ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Е. Арутюнян, Г. Левитас

1-5 классы

АСТ ПРЕСС

ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ УРОКИ

МАТЕМАТИКА

СЕРИЯ

СЕРИЯ «ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ УРОКИ»

Е. Арутюнян, Г. Левитас

Занимательная МАТЕМАТИКА

Книга для учащихся, учителей и родителей

Москва «АСТ-ПРЕСС» 1999

УДК 373.167.1 ББК 22.1я72 А 86

Художники Татьяна Галанова, Андрей Кузнецов

Арутюнян Е. Б., Левитас Г. Г.

А 86 Занимательная математика. — М.: АСТ-ПРЕСС, 1999, 368 с: ил. — («Занимательные уроки»).

ISBN 5-7805-0279-Х

В этой книге математика изложена весело. Авторы старались, чтобы все, открывшие эту книгу, полюбили математику. Ведь ребенок не может не любить то, что он понимает и что у него хорошо получается.

Для учащихся 1-6-х классов, учителей и родителей.

д 4306020500-064 8Ш9(03)-99

УДК 373.167.1 ББК 22.1я72

ISBN 5-7805-0279-Х

© «АСТ-ПРЕСС», 1999

Предисловие

Перед вами книга, в которой математика изложена весело. Нет, это не сказки, в которых используются математические сюжеты. И здесь нет историй о Карлсоне или о гномах, которые почему-то занимаются математикой. Просто у авторов мнение: математика — наука веселая. Вот и стараются они рассказывать о ней без излишка серьезности. Хотя в основном авторы согласны с Львом Толстым. При чем тут Лев Толстой? Очень при чем. Толстой был великим педагогом, лично обучавшим крестьянских детей математике и другим наукам. Он обнаружил важную истину: если ребенок понимает, как работать с числами, его эта работа увлекает больше, чем сюжет задачи. То есть для детей математика занимательна и интересна сама по себе.

Наш замечательный педагог С.Л. Соловейчик однажды получил письмо от девочки, которая раньше не любила геометрию, а потом полюбила ее. Она рассказала, как это у нее получилось. «Когда я теперь сажусь за геометрию, я говорю сама себе: «Ах ты, любимая моя геометрия! Как я рада, что наконец могу заняться тобой!» И это самовнушение оказалось очень сильным средством для того, чтобы действительно полюбить геометрию.

Авторы старались, чтобы все, открывшие эту книгу, полюбили математику. Над этим потрудился и художник. Но без труда души самого читателя все это может оказаться тщетным. Все-таки это не роман и не приключенческая повесть! Все-таки — математика!

Книга состоит из отдельных рассказов на разные темы и предназначена в основном для учеников 1-6-х классов. Самые первые рассказы — для самых маленьких, но и в них есть кое-что интересное для старших детей. Некоторые рассказы начинаются совсем просто, будто для дошкольников, но потом оказывается, что речь идет о сложных проблемах математики. Поэтому не обязательно читать эту книгу подряд, с первой до последней страницы. И не надо пугаться, если что-то непонятно. Просто к непонятному хорошо бы вернуться немного погодя.

Глава первая

Натуральные числа

Умеешь ли ты считать? (Числа и цифры)

Как дети учатся считать? Сначала они запоминают слова: раз, два, три, четыре, пять. Для этого часто используется считалка: Раз, два, три, четыре, пять, Вышел зайчик погулять.

Потом выучиваются следующие пять слов этого ряда. Для этого удобно такое продолжение:

Шесть, семь, восемь, девять, десять, Начал зайчик куролесить.

Хорош и такой стишок:

Раз, два, три, четыре,

Сосчитаем дырки в сыре.

Если в сыре много дыр,

Значит, вкусным будет сыр.

Если в нем одна дыра,

Значит, вкусным был вчера.

Пять,шесть, семь,восемь, девять, десять,

Этот сыр нам надо взвесить.

Если в сыре килограмм,

Ни кусочка вам не дам,

Если много килограммов,

Угощу я сыром маму.

Или:

Раз, два, три, четыре, Жили мошки на квартире.

К ним повадился сам-друг Крестоног — большой паук. Пять, шесть, семь, восемь, Паука мы все попросим: «Ты к нам больше не ходи, Твоя очередь — води!»

Потом человек начинает понимать, что означают эти слова: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять; он начинает ими пользоваться. Родители помогают ему в этом, показывая многочисленные примеры употребления чисел дома, на улице, вообще — в жизни.

Постепенно ребенок привыкнет к такому набору слов и приучится говорить не «раз», а «один».

Числа 1,2,3... называются натуральными числами.

Дома

Пора завтракать!

Вот один пакет молока — его возьмет Света.

Вот два яйца — мама сейчас их сварит.

Три чашки — их расставит Аня.

Четыре кусочка хлеба — сейчас Петя их поджарит.

Пять апельсинов — их почистит папа.

Пора завтракать!

Что больше?

Две тарелки или пять тарелок? Два цветка или четыре? Три сковороды или пять? Что больше?

Четыре апельсина — это больше, чем три. Сосчитай — и увидишь.

В тарелке три апельсина.

Петя берет один.

Аня берет один.

Света берет один.

Сколько осталось?

Ответ: нуль! Проверь, если хочешь.

Надо вымыть посуду, вытереть ее и убрать на место. Мама моет стаканы, чашки, блюдца, тарелки, ножи, вилки и ложки. Сколько их?

Сколько стаканов, чашек, блюдец, тарелок, ножей, вилок, ложек? Сосчитай хорошенько. Один или два? Три или четыре? Пять или больше?

На веревке сушится белье: рубашки и майки, платки, полотенца, юбки и платья. Сосчитай майки. Сосчитай рубашки. Сосчитай платья. Сосчитай юбки.

Полотенца развеваются на ветру. Три — больших, два — маленьких. Это мама их выстирала. Сколько больших платков? Сколько маленьких? Сколько больших цветков? Сколько маленьких?

Вот четыре платья для Ани и Светы: два — побольше, два — поменьше.

Пять пар ботинок. Одна пара для папы. Одна — для мамы. Две — для двух сестер. Одна — для брата.

Три часа! Мама закончила свои дела, и теперь она со Светой смотрит книжки.

Четыре часа! Петя и Аня прибежали из школы.

Пять часов! Мама, Петя, Аня и Света ждут. Сейчас придет папа!

В лесу

Со всех сторон деревья. Под ногами — трава. А как много цветов!

Аня сорвала два цветка. Но она видит еще два. Как ты думаешь, если она их сорвет, сколько будет всего?

Две огромные стрекозы летают вокруг Светы. Она собирает шишки: их уже пять. Две белки бегают по стволу сосны: вверх — вниз! А вот еще одна! Теперь их будет три.

Мама сорвала пять ягод земляники. Хватит ли всем по ягодке: папе, маме, Пете, Ане и Свете?

Папа достал три яблока. Но ведь нужно пять яблок, а не три. Сколько же не хватает? И где их найти?

Три бабочки сидят на цветах. А еще две порхают в воздухе. Сколько всего?

На краю большой канавы — пять лягушек. Они испугались ребят и — раз, два, три, четыре, пять! — все попрыгали в воду. Три ежика бегут по тропинке. Увидели три гриба. Вот хорошо: зимой пригодятся.

У реки

Как здорово провести весь день на пляже у реки! Здесь солнце, свежий ветерок и много песка.

Чуть подальше папа ловит рыбу. Мама прячется от солнца под большим зонтиком. Ребята плавают и загорают. Вот трое детей входят в воду. А другие трое — выходят.

Над водой летают стрекозы. Иногда они садятся на песок. Вот сидят две маленькие стрекозы. А вон там — еще две большие. Две и две — это четыре.

Мама прячется от солнца под зонтиком — совсем одна под большим зонтиком.

Мама под зонтиком играет со Светой. Теперь их двое под зонтиком.

Аня вылезла из воды и прибежала под зонтик. Теперь их трое.

Петя тоже залез под зонтик и смотрит на реку. Теперь их четверо.

Под большим зонтиком мама, Света, Аня и Петя ждут папу. С ним их будет пятеро под большим зонтиком.

Домашние животные

Пять цыплят с мамой курицей ходят возле загородки. А за загородкой — поросята. Поросята толстые и розовые. Трое — едят, трое — спят, а трое — катаются по земле.

На лугу пасутся пять коров. Три — черные, а две — белые с черными пятнами.

Телята резвятся на свободе: два — бегают, два — прыгают, два — едят, два — бодаются.

Сколько щенят у собаки?

Сколько петухов сидят на заборе?

Сколько цыплят у курицы?

Сколько поросят за загородкой?

Сколько котят на солнышке?

Сколько уток плавают в пруду?

Света пришла в огород. Там грядки с морковью. Моркови много. Света сорвала три морковки. Вот у Светы три морковки. Она дает одну Белянке. Теперь у нее осталось две морковки.

С дерева упали две груши. Потом еще одна. Теперь их три. К двум прибавить один будет три.

Три груши желтеют в траве. Упала еще одна. Теперь их четыре. К трем прибавить один будет четыре.

Две груши большие, две — маленькие. Петя сейчас съест все!

На холме отдыхают овцы. Один ягненок прижался к маме. Два ягненка спят рядышком. Три овцы стоят. Четыре — лежат под дубом. Пять — отдыхают в тени под холмом. Они устали.

В цирке

Сегодня все идут в цирк. Там столько интересного!

Вот пятеро детей фотографируются: трое — с обезьянкой, двое — с попугаем. Все пятеро очень довольны.

Вот два билета для взрослых: один — для мамы, один — для папы.

А вот три билета для детей: для Светы, для Ани и для Пети.

Еще есть время, давайте подкрепимся. В буфете продают бутерброды. Папе — пять. Свете — один. Ане — два. Маме — три. Пете — четыре. Вот бутерброды и исчезли. Их больше нет.

На арене — медведи! Они выходят по очереди. Посчитаем их. Вот первый. Он совсем один, и ему так грустно...

Один и один — два. Они ходят на двух ногах не хуже нас.

Два и один — три. Они умеют кататься на велосипеде.

В городе

Два автобуса, два грузовика и три легковые машины останавливаются на красный свет, чтобы другие машины могли проехать перекресток. Вот едут мотоцикл, грузовик, такси. Шесть больших автобусов везут детей на экскурсию.

А это зоомагазин. Он очень нравится детям.

Вот четыре щенка. А вот котенок.

Два великолепных попугая яростно орут.

В этой клетке — шесть канареек.

Вот три белых кролика. В клетке под ними — шесть белых мышек.

В аквариуме — блестящие рыбки. Их очень много — всех не сосчитать.

На детской площадке играют ребята. Сколько детей качаются на качелях? Сколько детей катаются на роликах? Сколько малышей съезжают с горки? А сколько мальчиков мчатся на велосипедах?

В этом магазине продаются фрукты.

Одна большая дыня. Она так хорошо пахнет.

Два колючих ананаса — спелые и сладкие.

Три груши — нежные и мягкие.

Четыре больших банана.

Пять прекрасных яблок.

Шесть золотистых апельсинов.

Есть что посчитать в зоопарке.

Один слон — он ест ветки, собирая их хоботом.

Два льва — они бегают по клетке и сердито рычат.

Три оленя ходят по загону: два больших и один совсем маленький.

Три львенка спят. Еще один — играет. Всего их четыре.

Пингвины такие забавные! Сосчитай-ка: их четыре или пять?

Обезьяны кувыркаются в клетке. Даже не разберешь: их пять или шесть?

В аэропорту

В аэропорту много самолетов. Одни стоят под крышей, другие готовятся взлететь.

Вот большой грузовой самолет. Он уже взлетает. Он полетит далеко-далеко, через океан.

А вот вертолет. У него два пропеллера: большой — сверху и маленький — на хвосте.

Вот один самолет. У него два крыла. Семь пассажиров еще ждут посадки. Погода хорошая — скоро взлет.

Семь парашютистов прыгают из летящего самолета. Они нажимают кнопки — и парашюты раскрываются.

На вокзале

Весь день на вокзале полно народу. Одни приезжают, другие уезжают. Поезда привозят пассажиров и разные грузы. А еще одни привозят почту для всех нас.

Рядом стоянка такси и автобусов. Они забирают или выгружают пассажиров и багаж.

Один электровоз — это он тянет поезд.

Два багажных вагона — они перевозят почту и товары.

Сосчитай пассажирские вагоны. Сколько пассажиров бегут к поезду? Сколько пассажиров идут от поезда? Сколько тележек повезут багаж?

Вот товарный поезд. Он проходит без остановки.

Первым идет электровоз. Машинист дает свисток.

Вторым идет еще один электровоз. Поезд очень тяжелый, его тянут два электровоза.

Третий — вагон для перевозки животных. Сейчас в нем едут лошади.

Четвертая — платформа. Она нагружена бревнами.

Пятый — холодильник. В нем хорошо сохраняются овощи и фрукты.

Шестой вагон везет автомобили.

Седьмой вагон наполнен углем.

Восьмой — вагон для рабочих поезда. Там они могут поесть и отдохнуть.

Внимание! Внимание! На вокзал прибывает цирковой поезд!

Приходите в цирк! Приходите к нам! Вы увидите парад и большое представление!

Два тигра ворчат и бросаются на двери. Шесть медвежат играют на полу.

Три лошади в вагоне фыркают и ржут.

В соседнем вагоне четыре льва рычат изо всех сил.

Семь красавцев попугаев кричат и летают по клетке. «Дай Гоше сахар-рок!» — просит один из них. Это попугай жако.

Семь дрессированных пуделей прыгают, бегают и ходят на задних лапках. Они думают, что представление уже началось.

Приходите в цирк! Приходите к нам! Вы увидите парад и большое представление!

На лодочной станции

Вот подплывает рыбачья лодка. Четыре мальчика ждут у причала. Прибегают еще пять. Всего их девять.

Коля поймал шесть рыб. Сережа поймал три. Хватит ли рыб на всех этих мальчиков?

Что больше? Восемь рыб или девять? Семь рыб или шесть? Пять рыб или четыре?

Что больше?

Миша поймал восемь рыб. Две он отдал. Сколько у него осталось?

Одна лодка идет на веслах. В ней плывут спасатели.

Вторая лодка — байдарка. Она верткая и быстрая.

Третья лодка — каноэ. Она очень легкая.

Четвертая лодка — это плавучий дом, в нем живут и работают люди.

Пятая лодка летит как стрела. Эта лодка — гоночная.

Шестая лодка — парусная. Ее гонит ветер.

Седьмая лодка предназначена для рыбаков. Это резиновая надувная лодка.

Восьмая лодка — китайская джонка.

Девятая лодка медленно плывет по реке. У нее сзади водяное колесо, которое заставляет ее двигаться.

На станции техобслуживания

Здесь очень много машин. Здесь можно подкачать шины и заправиться бензином. Здесь машину починят и вымоют, чтобы она сверкала, как новая.

Сколько машин ты видишь здесь и на следующей странице?

Как ты думаешь, как они используются?

1. Хлебные фургоны развозят по магазинам хлеб и пирожные.

2. Мясные фургоны доставляют мясо и колбасу.

3. Молочные — молоко и сметану.

4. Овощные — картошку и капусту.

5. Бакалейные фургоны — крупу и сахар.

6. Мебельные — столы и шкафы.

7. Бензовозы возят бензин.

8. Бульдозеры ремонтируют дороги.

9. Экскаваторы роют землю.

10. Рейсовые грузовики перевозят грузы из города в город.

Числа встречаются везде, и наш народ сочинил много поговорок и загадок, в которых говорится о числах. Вот такие загадки:

Стоит Антошка На одной ножке. Где солнце встанет, Туда он и глянет.

(хамгоэдоц)

Два кольца, два конца, А в середине гвоздик.

Три лампочки стоят, По очереди горят.

(аофошэээ)

Четыре брата под одной крышей живут.

(would пяжон)

Пять братьев в одном домике живут.

(dUMddv9 9 nfiqvvjj)

Сидит дед Во сто шуб одет, Кто его раздевает, Тот слезы проливает.

{vhn9onâjf)

А вот очень запутанная загадка. Вышел старик-годовик, махнул рукой — полетели двенадцать птиц. У каждой птицы — четыре крыла, в каждом крыле — семь перьев, а каждое перо — наполовину черное, наполовину белое.

'{чьон п чпэд :ппгиао — viddii 'тгэдэн — vwmdx 'nïivoaw — nhnuijj)

Корней Иванович Чуковский сочинил вот такую замечательную загадку.

Две ноги на трех ногах, А четвертая в зубах. Вдруг четыре прибежали И с одною убежали. Подскочили две ноги, Ухватили три ноги, Закричали на весь дом — Да тремя по четырем! Но четыре завизжали И с одною убежали.

(vuvgoD tveon wnndfiu Imddfigvm тпъчжъщ}

Есть у Чуковского и такая загадка, в которой числа только запутывают отгадчика.

Шел Кондрат В Петроград,

А навстречу — двенадцать ребят.

У каждого по три лукошка,

В каждом лукошке — кошка,

У каждой кошки — двенадцать котят,

У каждого котенка

В зубах по четыре мышонка.

И задумался старый Кондрат:

«Сколько мышат и котят

Ребята несут в Петроград?»

Кажется, что посчитать всех мышат и котят очень трудно: их так много. Но оказывается, что их считать и не нужно. Вот какая разгадка у этой загадки:

Глупый, глупый Кондрат! Он один и шагал в Петроград. А ребята с лукошками, С мышами и кошками Шли навстречу ему — В Кострому.

Числа запутывают отгадчика и в следующей загадке. Представь себе, что ты водитель трамвая. На первой остановке в трамвай вошли три женщины, на второй —

двое мужчин, одна женщина и трое детей, а на третьей — вышли один мужчина и одна женщина. Определи, сколько лет водителю трамвая.

Обычно отгадчик, сосредоточившись на подсчете пассажиров, забывает начало загадки и не может ее разгадать. А ведь водителю столько лет, сколько отгадчику!

Очень много есть и разных поговорок о числах. Особенно любимое число в народе — семь. Возможно, что раньше это число означало «много». Вот семь поговорок о числе семь.

Семь раз отмерь, один — отрежь (это значит, что надо хорошенько подумать, прежде чем принять окончательное решение).

У семи нянек дитя без глазу (без глазу — значит без пригляда, без присмотра; если за какое-нибудь дело отвечает слишком много людей — дело не будет сделано).

Семь бед — один ответ (так говорит человек, который, уже много всего натворив, собирается сделать еще какую-нибудь глупость).

На семи ветрах (значит, на открытом, уязвимом месте).

За семью печатями (означает глубокую тайну).

Семь потов сошло (очень устал).

Один с сошкой, а семеро с ложкой (сошка — соха, ею пашут землю; так говорят, когда один работник кормит многих лодырей).

До этого самого места в нашей книги мы все числа записывали словами, с помощью букв. Но для записи чисел с давних пор люди использовали специальные знаки — цифры.

В Древнем Риме, две с половиной тысячи лет назад, числа записывали так:

один — I,

два — II,

три — III,

четыре — IV, пять — V, шесть — VI, семь — VII, восемь — VIII, девять — IX, десять — X, тринадцать — XIII, четырнадцать —XIV, девятнадцать — XIX, тридцать —XXX, сорок — XL, пятьдесят — L, восемьдесят — LXXX, девяносто — ХС, сто — С,

четыреста — CD, пятьсот — D, восемьсот — DCCC, девятьсот — СМ, тысяча —М.

Как видно, римских цифр всего семь: I, V, X, L, С, D, М.

Если одинаковые цифры стоят рядом — их значения складываются: СС — значит «два раза по сто» (двести).

Так же поступают, если меньшая цифра стоит справа от большей: DC — значит «пятьсот и сто» (шестьсот).

Если же наоборот — большая цифра стоит справа от меньшей, то от большей меньшую отнимают: CD — значит «пятьсот без ста» (четыреста).

Вот как можно записать римскими цифрами даты рождения и гибели А. С. Пушкина:

MDCCXCIX - MDCCCXXXVII.

Первые три римские цифры легко выложить из спичек. Вот какие интересные задачи из этого получаются.

1. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным:

(Это можно сделать двумя способами!) 2. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным:

3. Переложи две спички, чтобы равенство стало верным:

Сейчас римские цифры почти забыты. Этому есть много причин. Во-первых, записи чисел получаются очень длинными и их трудно читать. Во-вторых, очень трудно складывать, вычитать, а тем более

умножать и делить числа, записанные римскими цифрами. Может быть, поэтому в Древнем Риме наука о числах почти не развивалась. Мы можем увидеть римские цифры на циферблатах старинных часов, в нумерации томов и глав книги, на фронтонах зданий (так обозначается год их постройки), иногда ими обозначают месяцы года (I — январь, II — февраль и так далее) и четверти учебного года. Римские цифры используются нами скорее для красоты, чем для дела.

Не только римляне имели в древности свои собственные цифры (кстати говоря, они их не придумали, а заимствовали у другого древнего народа — этрусков). Например, наши предки — славяне — поступали очень просто: для записи чисел они использовали те же буквы, что и для записи слов. Первая славянская азбука — кириллица (из нее получились наши современные буквы) содержала сорок три буквы. Двадцать семь из этих букв обозначали также и числа:

Буква

Название

Числовое значение

Буква

Название

Числовое значение

Л

аз

один

й

кей

шестьдесят

Б

веди

Два

о

он

семьдесят

Г

глагол

три

п

покой

восемьдесят

А

добро

четыре

червь

девяносто

е

есть

пять

t

рцы

сто

s

зело

шесть

слово

двести

3

земля

семь

т

твердо

триста

H

иже

восемь

а

УК

четыреста

е

фита

девять

Ф

ферт

пятьсот

1

и

десять

X

хер

шестьсот

к

како

двадцать

*

л

люди

тридцать

пси

семьсот

M

мыслете

сорок

ш

омега

восемьсот

H

наш

пятьдесят

Ц

цы

девятьсот

Чтобы было понятно, что написанные буквы обозначают не слово, а число, над буквами ставили специальный знак «—— титло. Например, число три-

надцать записывалось так: Г| (интересно, что в этой записи большая цифра после меньшей).

Если нужно было записать число больше тысячи, использовали еще один знак: ^. Его ставили слева внизу от цифры — и она начинала обозначать число

тысяч: Ф — пятьсот, а — пятьсот тысяч.

А для совсем огромных чисел использовались буквы в рамках различной формы:

миллион обозначался и назывался «тьма»;

тьма тем обозначалась •* Д } и называлась «легион» ;

легион легионов обозначался S Л $ и назывался «леондр»;

леондр леондров обозначался + Л + и назывался «ворон»; * + *

десять воронов обозначались Д и назывались «колода».

Колода — это число, которое сейчас мы бы записали так:

10000000000000000000000000000000000000000000000000.

В этом числе сорок девять нулей! Наши предки считали, что «боле сего несть человеческому уму разумевати».

Эта система записи чисел — вовсе не такая уж древность, особенно по сравнению с римской. Придуманная примерно тысячу двести лет назад, она повсюду применялась в России еще каких-нибудь триста лет назад.

Как ни странно, но те цифры, которые мы используем сейчас, гораздо старше. Им не меньше полутора тысяч лет. Их придумали индийцы в V веке. Потом их переняли арабы. А с X по XIII век европейцы, читая книги арабских ученых, постепенно привыкли пользоваться этими цифрами. В России «арабские цифры» используются с XVIII века. В первом русском учебнике арифметики Леонтия Филипповича Магницкого, изданном при Петре Великом, в год основания Санкт-Петербурга, используются арабские цифры.

У нас сейчас цифр всего на три больше, чем у древних римлян. Но зато насколько короче запись чисел! Римская запись MDCCXCIX-MDCCCXXXVII арабскими цифрами переводится так: 1799-1837 — восемь знаков вместо девятнадцати.

Наш способ записи чисел отличается от римского не только краткостью. Самое главное — в другом. Возьмем, например, то же самое число 1799. В его римской записи MDCCXCIX есть повторяющиеся цифры: три раза встречается С, два раза X. Все три раза С обозначает одно и то же число — сто; оба раза X обозначает одно и то же число — десять. В арабской записи 1799 тоже есть повторяющиеся цифры: 9 и 9. Но обозначают они вовсе не одно и то же число! Та девятка, которая стоит с правого края, обозначает число девять, а ее соседка — число девяносто. Значение цифры зависит от места, которое она занимает в записи числа, от ее позиции. Поэтому наша система записи чисел называется позиционной. Этим она отличается и от римской, и от славянской записи. Мы используем ровно десять цифр, поэтому наша система называется десятичной. Пришел черед разобраться, как она устроена.

В этой системе десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. Каждая следующая цифра на единицу больше предыдущей: 1-0 = 1,2-1 = 1,3-2 = 1,4-3 = 1,5-4 = 1, 6-5 = 1, 7-6 = 1, 8-7 = 1, 9-8 = 1.

Если число записано несколькими цифрами, то каждая цифра означает в 10 раз больше единиц, чем такая же соседняя цифра справа. В числе 777 вторая семерка означает в 10 раз больше единиц, чем ее соседка справа: не 7 единиц, а 10 • 7=70 единиц. А третья справа цифра этого числа означает еще в 10 раз больше единиц: не 7 и не 70, а 10 • 70=700 единиц. Все число 777 получается сложением: 100в7 + 10«7 + 7.

Число, записанное в десятичной системе счисления, очень удобно располагается в разрядной сетке.

Разряды

Миллионы

Сотни тысяч

Десятки тысяч

Тысячи

Сотни

Десятки

Единицы

Чтобы не ошибиться, лучше записывать числа справа налево, начиная с разряда единиц. Запишем в разрядной сетке число 8 403 279. Сначала запишем цифру единиц:

Разряды

Миллионы

Сотни тысяч

Десятки тысяч

Тысячи

Сотни

Десятки

Единицы

9

А теперь запишем цифру десятков, цифру сотен и все остальные цифры:

Разряды

Миллионы 8

Сотни тысяч

4

Десятки тысяч

0

Тысячи 3

Сотни 2

Десятки 7

Единицы 9

Каждая цифра в записи числа 8 403 279 вносит в это число свой вклад:

восьмерка — восемь миллионов, четверка — четыре сотни тысяч, тройка — три тысячи, двойка — две сотни, семерка — семь десятков, девятка — девять единиц.

В сумме эти вклады и составляют число 8 403 279.

И только цифра 0 никакого вклада не вносит: ведь нуль десятков тысяч — это ничто. Именно поэтому такой цифры нет ни в римской, ни в славянской записи: там записывают только те цифры, которые вносят вклад в число. Зачем нужен нуль в нашей записи числа 8 403 279? Он играет роль газеты, оставленной на кресле в зрительном зале в знак того, что место занято. Не будь его, цифры в числе сразу бы сдвинулись и получилось бы совсем другое число, почти в десять раз меньше: 843 279. Значения цифр 9, 7, 2 и 3, правда, при этом бы не изменились, зато цифры 4 и 8 стали бы сразу легче в десять раз каждая. Восьмерка стала бы значить не восемь миллионов, а восемь сотен тысяч, а четверка — не четыре сотни тысяч, а всего-навсего четыре десятка тысяч. Так что нуль в десятичной записи влияет на значение цифр, стоящих левее его.

Любопытно, что само слово «цифра» произошло от арабского слова «сифр», которое означает буквально «пустое место», «нуль»! Этим словом арабы называли знак, обозначавший отсутствие разряда в числе. Так что в самом названии знаков, которыми мы пользуемся для записи чисел, заложено уважение к нулю.

Маленькая сказка про Нулик

Жил-был в Числовом государстве маленький Нулик. Был он страшный проказник и все время приставал к другим, серьезным и положительным числам. Больше всего любил Нулик баловаться со знаками арифметических действий. Как-то раз взял он с собой все четыре знака: плюс, минус, точку и двоето-

чие — и побежал на улицу. По улице торопливо шагали числа, не обращая на Нулика внимания. «Ну, сейчас вы меня заметите!» — подумал обиженный малыш, вытащил плюс и подскочил к числу Семнадцать. Нулик поставил плюс между этим числом и собой — но на Семнадцать это не произвело никакого впечатления. Малыш подбежал к числу Восемь — то же самое. И с другими числами так же. Нулик и так, и сяк — не замечают его, и все тут. Рассердился он и забросил плюс подальше, там его какая-то хозяйственная Единичка подобрала.

Нулик посидел-посидел и взялся за минус. И опять то же самое: поставит Нулик между каким-нибудь числом и собой — а числу хоть бы что. Так что и минус пришлось малышу выбросить.

А вот с точкой — со знаком умножения — ему гораздо больше повезло. Подошел Нулик с этой точкой к числу Тысяча — глядь, а оно пропало! Нулик испугался и отскочил — Тысяча снова появилась. «Ты что делаешь? — закричала она. — Ты что, хочешь и меня в нуль обратить?» Нулик — бежать. По дороге наткнулся на число Сто Двадцать Три — и оно тоже исчезло! Тут уж числа заметили Нулика, а поймать-то его не могут. Никому ведь не хочется на нуль умножаться. Наконец две Четверки-близнецы с двух сторон подбежали к Нулику, и, пока он соображал, к какой бы из них приставить свою точку, хитрый Миллион подкрался сзади и выхватил у него эту точку. Нулика, конечно, хорошенько отшлепали, а точку отнесли в Государственный банк и положили в сейф с надписью: «Нулям не выдавать».

Осталось у Нулика только двоеточие — знак деления. И тут случилась просто страшная история. Шла по улице толстощекая Восьмерка. Нулик тут как тут. Приставил к Восьмерке свое двоеточие — и вдруг она как начнет расти! Растет, растет, уже голова в тучах скрылась, а она все растет. Заплакала Восьмерка: «Помогите!» Числам показалось, что это гром с неба загремел. Но тут они увидели Нулика с двоеточием. Еле-еле, но удалось оттащить его от выросшей Восьмерки. Та снова стала своего роста, а понять ничего не может. Сколько раз ее делили на разные числа: и на четыре, и на два, и даже на единицу — и всегда благополучно. А тут такой ужас!

Пришлось спросить у старого мудрого Миллиона. «Видишь ли, — сказал Миллион, — ты ведь знаешь, что чем меньше делитель, тем больше частное. Если Восемь разделить на Два — результат будет больше, чем если Восемь разделить на Четыре. А Нуль меньше всех наших чисел. Значит, частное должно быть больше их всех. Вот ты и выросла до бесконечности! Поэтому и запрещено делить на Нуль. А Нулик, паршивец, нарушил этот закон. Правда, что с него взять — маленький еще».

В общем, не осталось у Нулика ни одного знака: одни он сам забросил — не интересно, а другие у него отобрали, чтоб не наделал беды. Но пошалить-то хочется! Стал Нулик просто бегать по улицам. И вдруг оказался рядом с хорошенькой Семеркой. А она возь-

ми и вырасти. Не так, конечно, как бедная Восьмерка, но все-таки очень заметно. «Ах, — расплакалась Семерка, — я иду на конкурс красоты, а из-за этого хулигана я стала в десять раз тяжелее. Что мне теперь делать?» И она изо всех сил оттолкнула Нулика. Он смотрит: все в порядке, Семерка снова стала стройной. «Прости, пожалуйста, — сказал он издали. — Но мне так хочется идти рядом с тобой». — «Ну ладно, — сжалилась Семерка. — Пойдем вместе, только стань слева от меня. Тогда ты мне не повредишь». Так Нулик наконец научился дружить с другими числами. Оказалось, все очень просто: надо только всегда стоять слева от своих друзей, тогда с ними ничего не случится.

Но однажды Нулик отыскал на чердаке какой-то странный знак — запятую. Ничего подобного он в Числовом государстве еще не видел. Он даже подумал, что это знак скорее всего иностранный — из Страны Грамматики. Решил он его показать друзьям.

Вышел на улицу и сразу увидел знакомую Семерку. Подошел к ней, как всегда, слева — и показывает свою находку. И вдруг (опять вдруг!) Семерка стала такой маленькой, что на нее чуть не наступил проходивший мимо Миллиард. Нулик заплакал: опять из-за него несчастье. А Миллиард засмеялся: «Ничего, малыш. Не надо только подходить к числам слева, если у тебя в руках запятая. С нею ты можешь приближаться к нам только справа». — «Но почему? — удивились Нулик и Семерка. — Что это за знак такой?» — «Много будете знать — скоро состаритесь. Этот знак попал к нам из отдаленной числовой области — удельного княжества Десятичных дробей. Когда-нибудь ты, Нулик, там побываешь обязательно. Но это будет уже совсем другая сказка».

Задачи

1. На листе бумаги написано число шесть. Можно ли, ничего не записывая, прибавить к нему число три?

2. Нужно сделать календарь из двух кубиков, чтобы можно было выложить любое число от 1 до 31. Какие цифры нужно нанести на каждую грань кубиков?

Какую особенность цифр 6 и 9 придется при этом использовать?

3. Если поставить зеркало сбоку от буквы А — ты увидишь в зеркале точно такую же букву. Какие арабские цифры обладают таким свойством? А римские?

4. А если поставить зеркало снизу от буквы А — отражение выглядит совсем по-другому: оно перевернутое. А вот буква В в этой ситуации не изменится. Какие арабские и римские цифры обладают таким же свойством?

5. А какие цифры обладают обоими этими свойствами?

6. Цифра 7 стояла в таком разряде, что обозначала число семьдесят тысяч. Ее сдвинули на три разряда влево. Какое число она обозначает теперь?

7. Цифра 3 стояла в таком разряде, что обозначала число тридцать тысяч. Ее сдвинули на три разряда вправо. Какое число она обозначает теперь?

8. Какая цифра обозначает одно и то же в любом разряде?

9. Какое самое большое число можно записать, используя по одному разу все десять цифр? А какое самое маленькое?

10. Когда шофер посмотрел на счетчик спидометра своей машины, на нем было число 15951. Ему понравилось, что число симметрично: его можно читать одинаково и справа налево, и слева направо.

«Да, — подумал шофер, — такое число теперь встретится на счетчике не скоро».

Но ровно через два часа счетчик показал новое симметричное число. С какой скоростью ехал автомобиль эти два часа?

Свободный счет до 10 и до 100

Вася и Люба — брат и сестра и часто ходят в школу вместе. Только Вася ходит в восьмой класс, а Люба в первый.

Люба — маленькая. Она ходит по лестнице, наступая на каждую ступеньку. И так как она любит считать, то каждая ступенька у нее имеет номер. Люба

идет вверх по лестнице и считает: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. А когда она идет вниз, то считает наоборот: 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

А Вася — большой. Он ходит через ступеньку и наступает только на четные ступеньки.

Однажды Люба спросила Васю:

— А ты не можешь шагать через две ступеньки на третью?

— Конечно, могу! — И Вася поднялся по лестнице, наступая на третью, шестую, девятую и двенадцатую ступеньки. А потом спустился по тем же ступенькам: 12, 9, 6, 3.

—Я могу и через три перешагивать, если ты мне заранее скажешь, на какие ступеньки мне придется наступить.

Взяла Люба лист бумаги, нарисовала лестницу и отметила ступеньки через три на четвертую. И сказала Васе:

— Четвертая, восьмая и двенадцатая. И обратно те же самые: двенадцатая, восьмая и четвертая.

Однажды Вася увидел старый дом с пожарной лестницей и показал его Любе.

— Смотри, сколько перекладин!

Люба сосчитала:

— 100 перекладин!

— А теперь смотри. На третьей перекладине сидит голубь. Если прилетят еще пять голубей и сядут так, что между каждыми двумя голубями будет по четыре свободные перекладины, то какие перекладины будут заняты?

Люба — умная девочка. Она опять нарисовала лестницу (но не всю, а только начало), поставила около перекладин числа, а потом нарисовала точками всех голубей: того, который уже был на лестнице, и тех пятерых, о которых сказал ей Вася.

— А если первый голубь сидит на 56-й перекладине, а через каждые 6 ступенек вниз сидят еще голуби, то сколько их может поместиться и на каких перекладинах они сидят?

И тут для ответа Любе понадобился рисунок.

— А в уме не можешь? — спросил Вася.

— В уме трудно, — ответила Люба.

И стал Вася учить Любу считать в уме. Идут они вместе в школу, а он и говорит:

— Ну-ка, считай от двух, прибавляя по три, до двадцати.

И Люба считает:

— 2,5, 8,11,14,17, 20.

— А теперь от 33, отнимая по 5!

— 33, 28, 23, 18, 13,8,3.

— Считай от 7 через 8 не дальше 40!

— 7, 15, 23, 31, 39.

И настал день, когда Люба сказала Васе:

— Спасибо тебе! Мы начали проходить сложение и вычитание. И наши игры мне очень помогли.

И верно, чтобы быстро складывать или вычитать небольшие числа, нужно уметь ходить по числовой лестнице.

Задачи

1. В семье 4 сына. Каждый моложе другого на два года, причем старшему 8 лет. Сколько каждому лет?

2. Найди десятое число в таком ряду, который начинается с 3, а каждое последующее число в нем на 1 больше предыдущего.

3. Найди десятое число в таком ряду, который начинается с 5, а каждое последующее число в нем на 2 больше предыдущего.

4. Окно открыли в 2 часа дня. За первый час в комнату влетели 3 комара, за второй час — 5 комаров, за третий час 7 комаров и т. д. В 9 часов окно закрыли, но спать в этой комнате было невозможно. Сколько в ней было комаров?

5. Можно ли сосчитать ступеньки на лестнице, изображенной на рисунке?

6. В комнате 4 угла. В каждом углу стоит один наказанный озорник. Против каждого озорника стоят по три озорника. Сколько озорников в комнате?

7. У папы и мамы родились две девочки-близнецы. У каждой из них по три сестры. Сколько всего девочек в этой семье?

8. У папы и мамы родились два мальчика-близнеца. У каждого из них по одной сестре. Сколько всего девочек в этой семье?

9. В день рождения Оли мама разложила на блюде пирожные и, показав Оле это блюдо, сказала: «Вот видишь, если начинать считать пирожные с левого конца, с верхнего конца или с правого конца и досчитать до низу, всегда получится шесть пирожных — как раз столько, сколько тебе исполняется лет». Мама ушла готовить салат, а Оле и ее брату Володе очень захотелось съесть по пирожному. И Володя придумал, как расположить оставшиеся пирожные, чтобы выполнялось мамино правило. Как он это сделал?

10. Шесть девочек играют в мяч. Каждая девочка бросает мяч соседке слева, и в игре участвуют все. Будут ли участвовать в игре все девочки, если бросать мяч через одного, через двух, через трех, через четырех, через пятерых? А если девочек восемь?

11. Можно ли перечеркнуть все эти девять точек четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги:

12. Коту Мурлыке приснилось, что вокруг него расположилось 7 мышей: шесть серых и одна белая. Но есть он их может, соблюдая два условия: отсчитывать по часовой стрелке от съеденной мыши по равному числу мышей и закончить ужин обязательно на белой мыши. С какой мыши должен начать Мурлыка?

13. Перед отъездом из летнего лагеря вожатый объяснил ребятам, что из 20 птиц живого уголка в школу можно будет взять только двух. Он предложил поставить все 20 клеток с птицами в круг и открывать каждую пятую клетку, начав с соловья и не считая уже открытых клеток, пока не останется только двух закрытых. Расставить клетки поручили Оле и Коле, которым очень хотелось взять в школу чижа и малиновку. На какие места от соловья они должны поставить клетки с чижом и малиновкой?

14. В названиях каких чисел столько букв, сколько единиц в самих числах?

15. В названиях каких чисел столько букв, сколько цифр в их записи?

16. Когда участники школьной математической олимпиады пришли на соревнование, их попросили по очереди написать на доске числа 1, 2 и так далее. Всего их было 30 человек. Сколько чисел они написали? А сколько они написали цифр?

Сложение прямым счетом

Сложение обозначают знаком +. Этот знак образовался из латинского слова et (означающего «и»). С помощью этого слова когда-то записывали сложение. Например, «2 et 3» означало «к двум прибавить три». Потом стали для скорости вместо et писать t (2 t 3), а потом буква t потеряла хвостик и превратилась в +. Знак назвали «плюс», что по-латыни значит «больше».

Но почему сложение обозначили именно словом «и»? Да потому, что сложение означает присоединение, которое в речи обозначается союзом «и». Мы так и говорим:«Сколько будет 32 и 53?» Здесь 32 — первое слагаемое, 53 — второе слагаемое, а то, что получится, — их сумма.

Чтобы складывать, нужно уметь считать. В одной сказке на паруснике служили четверо: петух, баран, кот и пес. А к ним прибежали еще шестеро: козленок, теленок, корова, бык, конь и свинья. Чтобы узнать, не потонет ли парусник, нужно было убедиться, что всего на нем не более десяти зверей. Для этого надо бы

сложить 4 и 6. Но никто из них не умел складывать. Зато козленок умел считать! И этого оказалось достаточно. Он просто пересчитал всех зверей на паруснике:

— Один — это я, два — это теленок, три — это корова, четыре — это бык, пять — это олень, шесть — это свинья, семь — это петух, восемь — это баран, девять — это кот, десять — это пес. Всего десять.

И все успокоились: не потонем! Умения считать достаточно для того, чтобы складывать небольшие числа. А вот другая история.

Однажды серые мыши позвали в гости белых мышей. Серых мышей было девять, а гостей должно было прийти восемь. Хозяева решили заранее узнать, сколько тарелок ставить на стол для угощения. Но во всем лесу не нашлось зверей, которые умели бы складывать числа. И тогда серые мыши вспомнили про Барсука, который умел считать. Барсук спросил:

— Сколько вас самих, серые мыши?

— Девять.

Барсук отсчитал 9 еловых шишек и положил их так:

— А сколько придет белых мышей?

— Восемь.

Барсук отсчитал 8 сосновых шишек и положил так:

Потом он пересчитал все шишки и сказал: — Всего вас будет семнадцать. Барсук действовал правильно. Всегда можно 1) отсчитать столько шишек (или нарисовать столько точек), сколько единиц в первом слагаемом;

2) отсчитать столько шишек (или нарисовать столько точек), сколько единиц во втором слагаемом;

3) пересчитать все отложенные шишки (или нарисованные точки).

Для этого нужно только уметь считать.

Задача. Сосчитай этим способом, чему равно 7 + 2 и2 + 7.

Но не успел сообщить Барсук серым мышам о результатах своих подсчетов, как прилетела Сорока и объявила, что у белых мышей началась эпидемия гриппа, три из них уже больны и в гости не придут.

— Так сколько тарелок готовить? — спросили мыши Барсука.

Барсук взял свои семнадцать шишек и выбросил три из них, а оставшиеся пересчитал.

— Четырнадцать, — сказал он.

Для вычитания небольших чисел тоже достаточно уметь считать. Нужно только

1) отсчитать столько шишек (или нарисованных точек), сколько единиц в уменьшаемом;

2) выбросить из них столько шишек (или зачеркнуть столько точек), сколько единиц в вычитаемом;

3) пересчитать все оставшиеся шишки (или точки).

Задача. Сосчитай этим способом, сколько будет 9-4; 10-2.

Еще задача. В доме двенадцать этажей. Каким по счету будет седьмой этаж, если считать сверху?

Сложение с помощью прямого счета позволяет заметить важные свойства суммы.

От перестановки слагаемых сумма не меняется: а+Ь = Ь+а.

И правда, не все ли равно, в каком порядке пересчитывать карандаши в двух коробках: начиная с правой коробки или начиная с левой?

Чтобы прибавить к числу сумму двух слагаемых, можно прибавить сначала первое слагаемое, а к получившемуся результату прибавить второе слагаемое: а + (Ь + с) = (а + Ъ) + с.

И правда, не все ли равно, в каком порядке ссыпать в общую кучу грибы из трех лукошек?

Задачи

1. Расставь цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 в клетки этого квадрата так, чтобы суммы чисел по всем вертикалям, по всем горизонталям и по двум диагоналям были равны 12:

2. В двух коробках по 20 конфет. Сластена Маша съела несколько конфет из первой коробки. Увидев это, сластена Люба съела из второй коробки столько конфет, сколько осталось в первой коробке. Сколько конфет осталось после этого в обеих коробках?

3. В классе причесанных девочек столько же, сколько непричесанных мальчиков. Кого в классе больше, девочек или непричесанных?

Сложение присчитыванием и вычитание отсчитыванием

Числа первого десятка можно расположить в ряд:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Если числа записаны в ряд, то их очень удобно складывать: нужно от первого слагаемого продвинуться вправо на столько единиц, сколько их во втором слагаемом.

Это тоже сложение с помощью счета, только теперь не нужно пересчитывать первое слагаемое: оно просто берется в ряду чисел. А пересчитываем мы только второе слагаемое.

Прибавим этим способом к трем четыре:

1) отметим в ряду первое слагаемое 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2) присчитаем к нему второе слагаемое 4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Мы попали на число 7. Значит, 3 + 4 = 7.

Так же можно находить сумму любых чисел первого десятка, только ряд чисел придется удлинить до 20:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Вот как можно найти с помощью этого ряда сумму чисел 8 и 9:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Не менее удобно расположить числа от 1 до 20 в два ряда:

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Получается не так длинно. Теперь, для того чтобы прибавить к числу 8 число 9, мы от числа 8 пройдем вправо до конца ряда (считая: один, два), потом перепрыгнем в начало второго ряда (считая: три), а потом пойдем по верхнему ряду (считая: четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять) и придем к числу 17.

Задача. Сложи таким образом 9и2;8и4;6и5.

К нашей таблице можно надстраивать сверху новые и новые ряды: сначала до тридцати, потом до сорока и так далее. Так можно получить таблицу чисел первой сотни:

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

В нижней строке этой таблицы стоят числа первого десятка, во второй строке — числа второго десятка и так далее до числа 100. У таблицы есть важное свойство: чем выше в ней число, тем оно больше, а в одной строке число чем правее, тем больше.

Задача. Кто стоит на большем числе: Барсук или Мышь? Кто стоит на меньшем числе: Мышь или Сорока?

Пользуясь таблицей, можно складывать любые числа, сумма которых не больше ста. Для этого надо найти в таблице первое слагаемое, продвинуться от него вверх на столько рядов, сколько десятков во втором слагаемом, а затем продвинуться вправо на столько единиц, сколько их во втором слагаемом.

Вот так:

54 + 23 — два вверх и три вправо — получится 77

Вычитание тоже удобно выполнять, если числа расположены в ряд. Легче всего найти разность двух чисел первого десятка: нужно от уменьшаемого продвинуться влево на столько единиц, сколько их в вычитаемом. Вот так:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Так же удобно выполнять и вычитание чисел второго десятка. Вот так:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Или так:

11

12

13

14

15

16

17

18

19

,20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Задача. Какой пример решается на каждой из этих картинок?

Вычитать числа первой сотни удобно, пользуясь таблицей на следующей странице.

Задачи

1. Сколько раз в таблице чисел от 1 до 100 встречается цифра 1? цифра 5? цифра 0?

2. Как изменится однозначное число, если к нему приписать такое же число?

3. Между цифрами 1 2 3 4 5 6, не меняя их порядка, расставь знаки + и - так, чтобы получилась единица.

79 - 64 — шесть вниз и четыре влево — получится 15

4. Может ли сумма двух чисел равняться их разности?

5. Выписываются подряд все натуральные числа, начиная с 1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 и так далее. Какая цифра окажется на сотом месте? На тысячном месте?

Сложение и вычитание до 20 наизусть

Если каждый раз складывать и вычитать числа на рисунках или на палочках, то никакого времени не хватит. На рисунках и палочках складывают и вычитают маленькие числа — в пределах первого десятка, да и то только поначалу. А потом нужно научиться складывать и вычитать любые числа, например 1298705 и 456700. Но для этого нужно маленькие числа — первого десятка — складывать и вычитать наизусть.

Чтобы складывать и вычитать любые числа, приходится помнить наизусть таблицу сложения чисел первого десятка. Вот эта таблица:

+

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3

4

5

6

7

8

9

10111112

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

4 + 8 = 12

Если ты не знаешь наизусть таблицу сложения однозначных чисел, то тренироваться можно так.

Надо вырезать из бумаги восемьдесят одну карточку (потому что внутри нашей таблицы стоит восемьдесят одно число). Карточки можно сделать длиной около 4 сантиметров и шириной около 3 сантиметров. На каждой из них делают одну из следующих надписей: 1 + 1, 1 + 2 и так далее до 9 + 9. На обороте карточек пишут ответы к этим примерам.

Карточки перемешивают и складывают в стопку примерами вверх. Прочитывают пример в верхней карточке. Если ты уверенно называешь ответ, то надорви эту карточку и подложи ее вниз. Если не знаешь ответа, то прочти его на обороте, несколько раз повтори и положи карточку вниз. Читай следующую карточку, и так далее. Когда какая-нибудь карточка окажется надорванной трижды, выбрось ее. Постепенно твоих карточек будет все меньше и меньше. Работа закончится, когда будут выброшены все карточки — а ты будешь твердо помнить всю таблицу сложения.

Приходится помнить наизусть и все примеры на вычитание, которые можно получить из таблицы сложения однозначных чисел. Получаются эти примеры так: внутри таблицы берем какое-нибудь число — это уменьшаемое; вычитаемым может быть номер строки, в которой стоит это число (тогда разность — номер столбца), или номер столбца (тогда разность — номер строки).

+

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Вот сразу два примера:

13-6 = 7 13-7 = 6

Чтобы выучить примеры на вычитание, надо сделать карточки со следующими примерами: 2-1,3-1, 3-2, 4-1,4-2, 4-Зи так далее до 20 - 10. И потренироваться в ними так же, как при выучивании примеров на сложение.

Задачи

1. Кот Барсик, посаженный в подвал за дурное поведение, питался там одними мышами и поймал их за 4 дня 80 штук, причем его мастерство изо дня в день возрастало и он каждый день ловил столько мышей, сколько все предыдущие дни вместе. Сколько мышей удалось ему поймать в каждый из этих дней?

2. У пятерых учеников было по одинаковому количеству двоек. Когда трое из них исправили по пять двоек, у них осталось столько неисправленных двоек, сколько их было у двух других учеников вместе. Сколько двоек было у всех пятерых первоначально?

3. Дедушке 56 лет, а его внучке 14. Когда дедушка будет вдвое старше внучки?

4. Часы отстают каждый день на 6 минут. Хозяин поставил их на верное время. Через сколько дней они будут снова показывать правильное время?

5. Найди сумму всех чисел от 1 до 20.

6. Найди сумму всех чисел от 1 до 100.

7. Найди сумму всех четных чисел от 4 до 50.

8. Найди сумму всех нечетных чисел от 10 до 70.

9. Найди сумму 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28.

10. Куранты отбивают время каждый час. Сколько ударов сделают они с часу дня до двенадцати часов ночи?

11. Отцу 41 год, старшему сыну 13 лет, дочери 10 лет, а младшему сыну 6 лет. Через сколько лет возраст отца станет равным сумме лет его детей?

12. В квадрате Зв3 расставьте три единицы, три двойки и три тройки так, чтобы суммы чисел по всем столбикам, строкам и диагонали были одинаковыми. Такой квадрат называется магическим.

13. Составь магический квадрат 3 • 3 из девяти первых натуральных чисел.

14. Составь магический квадрат 5 • 5, в котором каждое из чисел от 1 до 5 встречается по пять раз, но никакая другая их них не встречается дважды ни в каком столбце, ни в какой строке и ни в какой диагонали.

15. Известный математик и писатель Б. А. Кордемский однажды получил от своих читателей такое письмо:

«Занимаясь в математическом кружке, мы вычертили план шестнадцати кварталов нашего города. На прилагаемой схеме плана все кварталы изображены одинаковыми квадратиками. Нас заинтересовал такой вопрос: сколько разных маршрутов можно наметить от пункта А к пункту С, если двигаться по улицам нашего города только вперед и вправо, вправо

и вперед? Отдельными своими частями маршруты могут совпадать (см. пунктирные линии на схеме плана). У нас сложилось впечатление, что это — не легкая задача. Верно ли мы ее решили, если насчитали 70 разных маршрутов?»

Какой ответ получили дети на это письмо?

Сложение и вычитание столбиком

Эти страницы, наверное, самые скучные в нашей книге о веселой науке математике. Во всяком, даже самом веселом, деле есть свои скучные места. Например, чтобы потешать народ в цирке, клоуны по тысяче раз тренируются в спортивном зале, и в этом мало веселого. Это тренировки в технике. Но без технических навыков нельзя обойтись нигде. Мы сейчас займемся техникой сложения и вычитания.

Зная наизусть таблицу сложения и вычитания однозначных чисел, многозначные числа можно складывать и вычитать по разрядам. Для этого их удобно записывать в столбик разряд под разрядом: единицы

под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями и так далее.

Найдем сумму чисел 1257024 и 86015. Используем для этого клетчатую бумагу:

Сложение начинаем справа. Складываем 4 и 5, получаем 9, вписываем в разряд единиц:

Теперь складываем 2 и 1, получаем 3, вписываем в разряд десятков:

Складываем 0 и 0, получаем 0, вписываем в разряд сотен.

Складываем 7 и 6, получаем 13. Вписать 13 в разряд тысяч нельзя — не влезет. Ведь в разряде не может быть больше девяти единиц. Но 13 = 10 + 3, а 10 — это уже единица следующего разряда — десятков тысяч. Поэтому 3 вписываем в разряд тысяч, а 1 переносим в следующий разряд. Отмечаем это единичкой над следующим разрядом:

Складываем 5 и 8, получаем 13. Но над этим разрядом стоит единичка, это знак: надо прибавить еще единицу. Всего будет 14. В разряд десятков тысяч вписываем 4, а 1 переносим в следующий разряд:

В следующем разряде у первого слагаемого стоит 2, а у второго 0. Над разрядом стоит единичка, поэтому всего получаем 2 + 0+1 = 3. Вписываем в разряд сотен тысяч:

В следующем разряде у первого слагаемого стоит 1, а у второго 0. Поэтому в сумме в этом разряде ставим 1. Сложение окончено:

Ответ: 1343039.

Задача. Найди столбиком суммы:

4567403 + 22291;34708 + 510286.

Для вычитания многозначных чисел их записывают в столбик так же, как и при сложении, и вычитают по разрядам.

Найдем разность чисел 53402 и 1982. Для этого запишем их «разряд за разрядом», используя клетчатую бумагу:

Начинаем вычитание справа: 2-2 = 0; вписываем 0 в разряд единиц.

Теперь надо от нуля отнять 8. Этого сделать нельзя. Поэтому занимаем одну единицу из следующего разряда — разряда сотен. Эта единица дает нам десять десятков. Получаем, что теперь восемь десятков надо отнять от десяти десятков. 10 - 8 = 2; вписываем 2 в разряд десятков, а над разрядом сотен ставим точку в знак того, что из него заняли единицу:

В разряде сотен в уменьшаемом стоит 4, но одну единицу мы заняли — осталось 3. От трех надо отнять девять. Этого сделать нельзя. Поэтому занимаем одну единицу из разряда тысяч. Получаем 10 единиц разряда сотен. 10 + 3 = 13, значит, теперь надо отнять девять от тринадцати. 13 - 9 = 4; вписываем 4 в разряд сотен:

В разряде тысяч в уменьшаемом стоит 3, но одну единицу мы заняли — осталось 2. От двух надо отнять один. Это сделать можно. 2-1 = 1; вписываем 1 в разряд тысяч:

В разряде десятков тысяч в уменьшаемом стоит 5, в вычитаемом 0. Поэтому в разности получаем в этом разряде 5. Вычитание закончено.

Ответ: 51420.

Задача. Найди столбиком разности:

432019 - 297605; 639005 - 32778.

Из всех этих вычислений видно, что складывать и вычитать «в столбик» может только тот, кто твердо помнит суммы и разности однозначных чисел. Страшно подумать, как бы это делал человек, который не может сразу написать «4 + 5 = 9», а должен долго соображать, сколько же это будет!

Конечно, чтобы привыкнуть считать столбиком, нужно много терпения. А всякое терпение должно вознаграждаться. Оказывается, что и на эту скучную тему есть очень интересные задачи — арифметические ребусы.

Арифметический ребус устроен так. Берется запись решения арифметического примера и часть цифр в ней (или даже все цифры) заменяется звездочками или буквами. Задача состоит в том, чтобы догадаться, какие цифры скрываются за этими звездочками или буквами.

Начнем с ребусов со звездочками. Мы можем сочинить такой ребус сами. Возьмем только что решенный пример:

Разность и вычитаемое оставим как есть, а все цифры уменьшаемого заменим звездочками:

Получился арифметический ребус. Он, правда, очень простой, чтобы его решить, надо к разности прибавить вычитаемое. Получится 53402. Такой же простой ребус получится, если заменить звездочками все цифры вычитаемого:

Гораздо интереснее получаются ребусы, если звездочками заменяются цифры в разных строках примера. Например, так:

Этот ребус удобно начать решать в том же порядке, что и вычитание, — справа.

1) * - 2 = 0, значит, правая верхняя звездочка заменяет цифру 2. Впишем ее на место:

2) В разряде десятков написано: 0 - * = 2. От нуля ничего отнять нельзя, значит, пришлось занять 1

в разряде сотен. 10 - * = 2. Значит, в разряде десятков звездочка заменяет цифру 8. Впишем ее на место и поставим для памяти точку над разрядом сотен:

3) В следующем разряде будет: 13 - 9 = *. Значит, * — это 4:

4) В следующем разряде: 2 - * =.1. Значит, * — это 1:

5) И наконец, в последнем разряде: * — это 5. Решение закончено — и перед нами исходный пример.

Задача. Придумай еще несколько ребусов из того же примера и предложи их своим знакомым. Еще задача. Реши ребус:

Бывают ребусы и похитрее. Например, такие:

Чтобы решить первый из них, надо сообразить, от какого четырехзначного числа можно отнять трехзначное число и получить единицу. А во втором ребусе получится два решения, но они отличаются только порядком слагаемых.

Вот еще два нетрудных ребуса:

Гораздо привлекательнее выглядят ребусы, в которых цифры заменены не звездочками, а буквами. Звездочки могут обозначать любые цифры, а в буквенных ребусах одинаковые буквы должны обозначать одинаковые цифры, а разные буквы — разные цифры. Поэтому составлять буквенные ребусы гораздо труднее: ведь интереснее всего, когда буквы образуют осмысленные слова.

Вот пример: УДАР + УДАР = ДРАКА. Здесь не только слова, но и целая осмысленная фраза. Расшифровка этого ребуса требует терпения, но начало очень простое. Сумма двух четырехзначных чисел всегда меньше, чем 20000. Попробуй сложить два самых больших четырехзначных числа и ты убедиться в этом.

Поэтому первая цифра суммы (то есть буква Д) — 1. Перепишем пример столбиком, заменяя всюду Д на 1:

Еще можно сказать, что А обозначает четную цифру: это будет видно, если мы посмотрим на разряд

единиц. Ведь А получается, когда мы складываем две одинаковые цифры (Р+Р). Посмотрим на разряд сотен. Из него видно (1 + 1), что А может быть равно либо двум (если нет переноса из предыдущего разряда), либо трем (если этот перенос есть). Но так как А четно, то А = 2 и переноса нет. Перепишем пример снова:

Посмотрим теперь на букву Р. Из разряда единиц видно, что Р может быть равно либо 1, либо 6, так как Р + Р оканчивается на 2. Но цифра 1 у нас уже занята буквой Д, поэтому Р = 6. Еще раз перепишем пример:

Теперь уже ясно, что К = 5, а У = 8. Окончательный ответ: 8126 + 8126 = 16252.

Предлагаем несколько ребусов для самостоятельного решения. Два первых понравятся тем, кто умеет читать по-английски.

Два следующих ребуса можно решить по-разному, поэтому к каждому из них добавлено дополнительное условие, которому удовлетворяет уже только одно решение.

при этом все три числа читаются одинаково справа налево и слева направо.

2) РЕШИ + ЕСЛИ СИЛЕН;

при этом наибольшая цифра в числе СИЛЕН — 5.

Задачи

Разгадай ребусы 1—28.

1. ЛЕТО + ЛЕТО = ПОЛЕТ.

2. НАТАША + ТОНЯ = СЕСТРЫ.

3. НИТКА + НИТКА = ТКАНЬ.

4. ВАГОН + ВАГОН = СОСТАВ.

5. КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА.

6. ВЕТКА + ВЕТКА = ДЕРЕВО.

7. СИНУС + СИНУС + КОСИНУС = ТАНГЕНС.

8. ТАМТАМ + МРАК = КОШМАР.

9. LEONHARD - 12325551 = EULER.

10. РАЙОН + РАЙОН = ГОРОД.

11. ДЕДКА + БАБКА + РЕПКА = СКАЗКА.

12. ШЕПНУЛ ШЕПНУЛ

+ ШЕПНУЛ ШЕПНУЛ ШЕПНУЛ КРИКНУЛ

13. ОДИН + ОДИН = много.

14. АИСТ АИСТ

+ АИСТ АИСТ СТАЯ

15. а + ЬЪ + а = ссс.

16. КТО + КОТ = ТОК.

17. АТАКА + УДАР

УДАР НОКАУТ

18. ЛАДЬЯ + ЛАДЬЯ = ФЕРЗЬ.

19. Д АД

ЛАД + КЛАД ОКЛАД ДОКЛАД

987654

20. АХИНЕЯ + АХИНЕЯ = ЧЕПУХА.

21. ПРИМЕР

РИМЕР ИМЕР + МЕР ЕР

ЗАДАЧА

22. ПОДАЙ - ВОДЫ = ПАША.

23. ДЕТАЛЬ + ДЕТАЛЬ = ИЗДЕЛИЕ.

24. КИС + КСИ = ИСК.

25. СИНИЦА + СИНИЦА = ПТИЧКИ.

26. КАФТАН + КАФТАН = ТРИШКА.

27. БУЛОК + БЫЛО = МНОГО.

28. KB + А = HT.

29. Между цифрами от 1 до 9, записанными по порядку, вставь знаки + и -, чтобы получилось 100.

30. Найди сумму 193 + 384 + 573 + 769. Найди, как связаны между собой эти слагаемые со следующими: 807 + 616 + 427 + 231, и в уме найди вторую сумму.

Смысл умножения

Вот простая задача. В одном автомобиле помещается 5 человек; сколько человек поместится в четырех таких автомобилях? В этой задаче даны два числа: 5 (число людей в автомобиле) и 4 (число автомобилей). Умножив 5 на 4 (взяв четыре раза по пять), мы узнаем ответ задачи: 5*4 = 20. Это нетрудно сосчитать, глядя на рисунок.

Вторая задача. У мухи 6 лап; сколько лап у трех мух? В этой задаче даны два числа: 6 (число лап у одной мухи) и 3 (число мух). Умножив 6 на 3 (взяв три раза по шесть), мы узнаем ответ задачи: 6*3 = 18. И это нетрудно сосчитать, глядя на рисунок.

Третья задача. Прямоугольник состоит из восьми горизонтальных полос, в каждой из которых по пять квадратиков; из скольких квадратиков состоит этот прямоугольник? В этой задаче даны два числа: 5 (число квадратиков в одной полосе) и 8 (число полос).

Умножив 5 на 8 (взяв восемь раз по пять), мы узнаем ответ задачи: 5 • 8 = 40.

Мы решили три задачи по трем рисункам. Самый простой из этих рисунков, конечно, третий. Ведь на нем просто начерчен прямоугольник, состоящий из отдельных квадратиков. Чтобы его нарисовать, не надо быть художником и не нужно много времени. Но ведь квадратик может обозначать что угодно: и человека в автомобиле, и мушиную лапку. Тогда такой простой рисунок будет годиться к любой задаче. Математики считают самым красивым решением то, которое проще. Поэтому хорошо бы научиться делать простые рисунки к задачам на умножение.

Например, первую задачу можно было бы изобразить в виде прямоугольника 1, а вторую — в виде прямоугольника 2.

Какой же получился прямоугольник в первой задаче? Его горизонтальная сторона равна числу 5 (столько людей в одном автомобиле), а вертикальная — числу 4 (числу автомобилей). Каждый человек на рисунке находится в одном отдельном квадратике.

Значит, всего людей столько, сколько квадратиков в прямоугольнике, то есть 5 • 4. А найти ответ можно, сосчитав число квадратиков.

Во второй задаче получился прямоугольник, у которого горизонтальная сторона равна шести (столько лапок у одной мухи), а вертикальная — трем (числу мух). В каждой клетке — одна мушиная лапка. Сколько лапок, столько и клеток: 6 • 3 = 18.

Задачи

1. Перенеси в тетрадь рисунки и надписи:

2. Догадайся, каким примерам соответствуют рисунки:

3. Нарисуй прямоугольники, соответствующие примерам 3*2, 4 • 3 , 5 • 4, 3 • 1, 1 • 5.

4. Нарисуй прямоугольный домик в два этажа, на каждом из которых семь отдельных комнат, а в каждой комнате живет один заяц.

Нарисовав задачу на умножение в виде прямоугольника, мы всегда можем найти результат умножения. Глядя на прямоугольник со сторонами 2 и 2, находим, что 2*2 = 4 (ведь в этом прямоугольнике 4 клетки). Из прямоугольника со сторонами 5 и 3 видим, что 5*3 = 15 (в прямоугольнике 15 клеток), и так далее.

Очень удобно сооружать такие прямоугольники не из пустых квадратиков, а использовать квадратики с числами, отделяя их от бесконечного числового ряда:

Например, чтобы умножить 7 на 2, построим прямоугольник так:

1) отделим от числового ряда полоску длиной в 7 единиц:

2) отделим вторую полоску такой же длины и пристроим над первой:

Получился прямоугольник длиной 7 и шириной 2, соответствующий примеру на умножение 7 на 2. А чему равен результат — даже считать не нужно. Результат написан в верхнем правом квадратике. Ведь этот квадратик — последний взятый нами из числового ряда, а всего мы взяли именно столько квадратиков, сколько их в нашем прямоугольнике.

Задачи

1. Построй из полосок числового ряда прямоугольник, соответствующий примеру 2*3.

2. Какие примеры на умножение показаны здесь? Напиши эти примеры и результаты умножения по образцу:

Числа, которые умножают друг на друга, называются множителями, а результат умножения называется произведением. Найти произведение множителей 4 и 2 — значит умножить 4 на 2. Произведение будет равно восьми: 4 • 2 = 8.

Конечно, чтобы найти произведение, не обязательно рисовать прямоугольник. Достаточно сложить столько первых множителей, сколько единиц во втором множителе:

4-2 = 4 + 4 = 8,

5-3 = 5 + 5 + 5 = 15,

3-5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 и так далее.

Так что можно находить произведения, просто складывая числа, а это мы умеем делать.

Задача. Найди произведение сложением: 7*3; 6-5; 4-4.

А что значит умножить число 19 на 1? Нельзя же найти сумму одного слагаемого! И не надо. Один раз по девятнадцати — это, конечно, 19.

Произведение любого числа на 1 равно самому этому числу:

а • 1 = а.

Важно, что и произведение единицы на любое число равно самому этому числу:

1 • а = а.

Например, 1-7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7.

Так что получается, что а • 1 = 1 • а, то есть от перестановки множителей а и 1 произведение не меняется: как было а, так и останется а.

Разберемся еще с умножением нуля. Например, О• 5 = 0, так как 0-5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0; 5-0 также равно нулю. Произведение любого числа и нуля равно нулю:

а-0 = 0-а = 0.

Значит, и для нуля верно переместительное свойство умножения: а • 0 = 0 • а.

Переместительное свойство умножения верно для любых множителей, и это легко понять, глядя на рисунок. Ведь если произведение а и & — это число квадратиков в прямоугольнике со сторонами а и Ь, то произведение & и а — это число квадратиков в прямо-

угольнике со сторонами & и а. А это один и тот же прямоугольник.

И вообще: от перестановки множителей произведение не меняется:

а • Ъ = Ъ • а

Это правило называется переместительным законом умножения.

Чтобы умножать любые числа, надо знать наизусть таблицу умножения однозначных чисел:

Выучить таблицу умножения можно так же, как и таблицу сложения, — с помощью карточек.

Некоторым трудно дается таблица умножения на число 9. Между тем в распоряжении каждого всегда имеется «машинка» для умножения на 9 — это его десять пальцев. Положи их перед собой и поднимай по очереди каждый палец. Подними первый палец слева — останется 9; читаем: 1 • 9 = 9. Подними второй палец. Останется слева от него один палец, а справа восемь пальцев; читаем: 2*9 = 18. А если поднять девятый палец, то слева от него останется восемь пальцев (читаем: восемь десятков), а справа один (одна единица). Получается: 9 • 9 = 81. Вообще, какой палец ты ни поднимешь, у тебя получится такая картина: номер пальца, умноженный на девять, равен числу, в котором десятков столько, сколько пальцев левее поднятого, а единиц столько, сколько пальцев правее поднятого.

А как быть с числами многозначными? Как умножить, например, 56 на 784, 5 на 18, 7 на 20, 8 на 100?

Для этого используются законы умножения: переместительный, сочетательный и распределительный.

Переместительный закон помогает запомнить таблицу умножения. Сколько будет 7*8? А столько же, сколько 8 • 7. Два примера, а ответ один: 56.

Переместительный закон умножения напоминает переместительный закон сложения: а + b = b + а, а • b = b • а.

И это не единственное общее свойство сложения и умножения. Вспомним сочетательный закон сложения:

a+(b + c) = (a + b) + c

Чтобы прибавить к числу сумму, можно прибавить к нему первое слагаемое, а потом к результату прибавить второе слагаемое.

Заменим в этом равенстве все плюсы на знаки умножения:

а • (Ь • с) = (а • Ь) • с

Чтобы умножить число на произведение, можно умножить его на первый множитель, а потом результат умножить на второй множитель.

Это — сочетательный закон умножения.

Убедимся в его справедливости на примере. Найдем, чему равно произведение 5 • (3 • 2) и чему равно произведение (5в3)«2. Первое произведение равно 5*6 = 30, второе равно 15 • 2 = 30. Так что на примере все получается. Если же мы хотим объяснить справедливость сочетательного свойства умножения в общем виде, то придется строить фигуру, соответствующую умножению трех чисел а, & и с. Для чисел 5, 3 и 2 эта фигура строится так:

Строим ряд из пяти кубиков:

Строим слой из трех таких рядов:

А потом строим фигуру из двух таких слоев:

Сколько кубиков в одном ряду? Их пять. Сколько кубиков в одном слое? Их 5 • 3 = 15. А сколько кубиков во всей этой фигуре? Их в 2 раза больше, чем в одном слое, то есть 15*2 = 30.

Итак, в нашей фигуре (5*3)в2 = 30 кубиков. Но можно подсчитать и по-другому: в этой фигуре 3 • 2 ряда; в каждом ряду по 5 кубиков, то есть в ней 5 • (3 • 2) кубика. Так что 5 • (3 • 2) = (5 • 3) • 2.

Точно так же строится фигура и для любого другого примера на умножение трех чисел а, & и с:

Итак, сложение и умножение подчиняются двум одинаковым законам:

Переместительный закон

Сочетательный закон

Сложение

а + Ъ = b + а

а + (Ь + с) = (а + Ь) + с

Умножение

а*Ъ = Ъ*а

а*{Ъ*с) = (а*Ъ)*с

Сочетательный закон сложения позволяет прибавить к числу сумму. Сочетательный закон умножения позволяет умножить число на произведение. А еще одно свойство позволяет умножать число на сумму. Это распределительный закон умножения:

а • (Ь + с) = а • Ь + а • с

Чтобы умножить число на сумму, достаточно умножить его на каждое слагаемое, а результаты сложить.

Можно убедиться в этом на примерах: 2 • (3 + 5) = 2 • 3 + 2 • 5, так как и там и там получается 16.

4 • (2 + 7) = 4 • 2 + 4 • 7,

так как и там и там получается 36.

Чтобы убедиться, что распределительный закон верен для любых чисел а, & и с, снова будем чертить.

Начертим прямоугольник для умножения числа а на число Ъ + с. Этот прямоугольник имеет длину а и ширину Ъ + с. В нем а • (& + с) квадратиков. Разделим его на два прямоугольника. Один из них будет иметь длину а и ширину &, а другой будет иметь длину а и ширину с. Значит, в первом прямоугольнике будет а • Ъ квадратиков, а во втором — а*с квадратиков. Вместе их будет а • Ъ + а • с. А это и значит, что а • (Ь + с) = а • Ъ + а • с.

Задача. Нарисуй такую же картинку для доказательства того, что 7 • (8 + 9) = 7 • 8 + 7 • 9.

Еще задача. Запиши распределительный закон для чисел, умножение которых показано на этом рисунке.

Законы умножения позволяют умножать многозначные числа, если умеешь умножать однозначные.

Проще всего, когда один из множителей — число 10, 100, 1000 и вообще любое число, которое записывается одной единицей с несколькими нулями.

Умножение какого-нибудь числа на такое число — это передвижение его в разрядной сетке влево. При умножении на 10 число смещается влево на один разряд, и в его записи появляется один нуль справа:

37-10 = 370, 420-10 = 4200.

При умножении на единицу с несколькими нулями число смещается влево на столько разрядов, сколько нулей в записи второго множителя.

Например, при умножении числа 523 на 100 цифра 5 из разряда сотен перешла в разряд десятков тысяч (на два разряда влево). Цифра 2 тоже смещается на два разряда влево: из разряда десятков в разряд тысяч. И цифра 3 смещается из разряда единиц в разряд сотен — на два разряда влево:

Разряды

Миллионы

Сотни тысяч

Десятки тысяч

Тысячи

Сотни

Десятки

Единицы

0

0

0

0

5

2

3

0

0

5

2

3

0

0

Получается, что 523 • 100 = 52300.

Задача. Умножь число 34 на 1000.

Еще задача. С помощью таблицы умножения, используя сочетательный закон умножения, вычисли: 50-3, 6-80, 70-80, 600-9.

А теперь умножим многозначное число на однозначное, например найдем такое произведение: 2079-8.

Число 2079 равно сумме 2000 + 70 + 9. Нам известен распределительный закон умножения: чтобы умножить сумму на число, достаточно умножить на это число каждое слагаемое и сложить результаты. Значит, 2079 • 8 = 2000 -8 + 70-8 + 9-8. Каждое слагаемое в этой сумме легко найти устно: 2000 • 8 = 16000, 70-8 = 560, 9-8 = 72. Конечно, для этого надо помнить таблицу умножения! Значит, 2079 • 8 = 16000 + + 560 + 72. Эти числа можно сложить столбиком или устно, получится 16632. Удобнее в этом случае записывать действие столбиком.

Умножение начинаем с единиц:

9*8 = 72; подписываем 2 под разрядом единиц. 7 переносим в следующий разряд; 7 • 8 = 56, 56 + 7 = = 63; подписываем 3 под разрядом десятков, 6 переносим в следующий разряд; 0*8 = 0, 0 + 6 = 6; подписываем 6 под разрядом сотен; 2 • 8 = 16; подписываем 6 под разрядом тысяч, единицу переносим и подписываем в следующий разряд.

Многозначное число на многозначное умножают тоже столбиком. Для этого первый множитель умножают сначала на число единиц во втором множителе, затем на число десятков, сотен и так далее. Полученные произведения подписывают под соответствующими разрядами, а потом складывают столбиком.

Умножь столбиком 128 на 37, используя эту заготовку:

Задачи

1. Сколько получится десятков, если два десятка умножить на 3?

2. Сосчитай в уме: 2 • 7 • 5.

3. Сколько получится десятков, если два десятка умножить на 3 десятка?

4. Один из двух множителей равен 36. Как изменится произведение, если другой множитель увеличить на 9?

5. Один из двух множителей равен 36. Как изменится произведение, если другой множитель умножить на 9? Какое условие в этой задаче не влияет на ответ?

6. Сумма и произведение четырех чисел равны 8. Что это за числа?

7. Сумма трех различных чисел равна их произведению. Что это за числа?

8. Задача Леонардо Пизанского. Один человек говорит другому: «Дай мне 3 динария, и я буду в 2 раза богаче тебя». А другой отвечает: «Дай мне 2 динария, и я буду в 3 раза богаче тебя».

Сколько денег у каждого?

9. Есть два числа: 1333 и 2171. Хотелось бы каждое представить в виде произведения нескольких чисел так, чтобы суммы множителей были равны соответственно 1333 и 2171. Сможешь?

10. Ученик быстро умножил 84 на 84. Свои действия он объяснил так: «Да я просто отнял 144 от 7200, и получился ответ 7056». Как он рассуждал?

Реши арифметические ребусы:

11. КРАБ-4 = БРАК.

12. ПЛОМБА • 5 = АПЛОМБ.

13. СОРОК • 5 = ДВЕСТИ.

14. SIX X TWO = TWELVE.

15. ЧЧН x HH ЧНЧН

ЧНН HHHHH

Здесь вместо букв Ч нужно подставить четные цифры, а вместо букв H — нечетные.

16. EINS x 5 = FÜNF.

17. КАЗАК x 6 = СОТНЯ.

18. ПЧЕЛКА x 7 — 5K5KÎK5K5K5K.

19. БУКВА x 6 = СЛОВО.

20. Кв = АНТ.

21. ВО x Л = НА.

22. ОДА РИС ПАТ

ИНД

+ сор

СПОРТ

23. 92 • ** = ***.

24. 51

25.

26.

27.

28.

29. 10-* = 3-(3-* + 5).

30. АБ • АБА = АБАБ.

31.w 19

32. АБВ-5 = ГАГ

Но в конце-то концов, так ли уж необходимо уметь письменно или устно умножать числа? Ведь сейчас повсюду есть калькуляторы, они считают гораздо быстрее и не ошибаются. На самом деле человеку достаточно самому считать в пределах ста, больше требуется редко. Интересно другое: оказывается, что иногда устно умножать можно быстрее, чем с помощью калькулятора.

Умножать однозначные числа на 9 можно вообще мгновенно, об этом мы уже рассказывали на с. 102.

Быстро считать можно и в более трудных случаях.

Например, чтобы получить произведение 36*11, достаточно между цифрами 3 и 6 вставить их сумму — 9. Получится 396. Это быстрее, чем на калькуляторе: там пришлось бы нажать шесть кнопок. Так же можно умножить на 11 любое двузначное число. Немного

труднее, если сумма его цифр больше десяти. Тогда между цифрами числа вставляется вторая цифра суммы его цифр, а единица прибавляется к первой цифре числа:

49-11 = 539.

Можно научиться быстро умножать на 11 любые числа. Надо написать последнюю цифру множителя, а перед ней писать суммы соседних цифр. В конце, то есть слева, записывается первая цифра множителя. Например, умножим 543 на 11.

1) Пишем последнюю цифру множителя 543 —» 3.

2) Складываем цифры 4 и 3 и результат пишем перед написанной тройкой: 4 + 3 = 7 —> 73.

3) Складываем 5и 4: 5 + 4 = 9 -> 973.

4) Записываем цифру 5 —» 5973. 543-11 = 5973.

Еще можно быстро перемножать двузначные числа, в которых десятков поровну, а единицы в сумме дают 10. Например, чтобы умножить 37 на 33, надо умножить 3 (число десятков) на следующее за ним число ( на 4). А потом к результату (к числу 12) приписать справа произведение 7-3. Вот что получается:

Еще пример, 3267-11 = ? 7 сносим: 7.

7 + 6 = 13,3 пишем слева от 7, 1 переносим в следующий разряд:37.

6 + 2 = 8, 1 из предыдущего разряда, 8 + 1 = 9, пишем 9 слева от 7: 937.

2 + 3 = 5, пишем 5 слева от 9: 5937.

3 сносим: 35937. Это и есть ответ.

Это тоже получается быстрее, чем на калькуляторе. Вот несколько примеров для тренировки в устном счете:

25-11; 43-11; 57-11; 92-11; 62-68; 45-45; 96-4; 71-79.

И вот еще один пример устного счета. Это способ умножения числа, оканчивающегося цифрой 5, самого на себя. Произведение числа а самого на себя называют квадратом числа а и обозначают а2. Так вот, чтобы найти квадрат числа, оканчивающегося на 5, достаточно отбросить пятерку, умножить оставшийся кусок на следующее за ним по порядку число и приписать к результату 25. Вот так:

А это — интересные случаи умножения многозначных чисел:

123456789-9;

123456789-27;

123456789-45;

123456789-63;

123456789-81;

123456789-18; 123456789-36; 123456789-54; 123456789-72.

Найди произведения — они красивые.

Задачи

1. Во сколько раз увеличится однозначное число, если приписать к нему справа такое же число? А двузначное?

2. Задача из Древней Греции. Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз.

Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами (у муз до этой встречи не было ни одного плода)?

3. Старинная русская задача. Помещик, узнав, что корова стоит вчетверо дороже собаки и вчетверо дешевле лошади, захватил на ярмарку 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Что почем?

4. Утомившись от школьных занятий, Костя поехал на лето в деревню к бабушке и занялся там своим любимым делом — ловлей мух. За первые пять дней он поймал 532 мухи, причем в каждый из этих дней отлавливал их столько, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мух поймал Костя в каждый из этих дней?

5. Пять победителей конкурса «Кто громче крикнет» получили в награду по одинаковому количеству орехов. Трое из них сразу съели по 5 орехов и увидели, что у них вместе осталось столько орехов, сколько было выдано двум другим. Сколько всего орехов было выдано всем пятерым?

6. Деду 60 лет, а внуку 10. Когда дед будет втрое старше внука?

7. Двум отцам вместе 80 лет, а двум сыновьям вместе 40 лет. Сколько лет вместе всем троим?

8. У 33-летнего отца 4 сына. Каждый моложе другого на 2 года. Старшему сыну 8 лет. Через сколько лет всем четверым будет вместе столько же лет, сколько отцу?

9. Часы отстают каждые сутки на 61 минуту. Через сколько суток они будут показывать опять верное время?

10. Чему равна сумма всех чисел:

1) от 1 до 10,

2) от 10 до 100,

3) от 21 до 80?

11. Найди сумму чисел 1, 3, 5, 7, 9 и 11.

12. Найди сумму всех чисел от 5 до 100, оканчивающихся на 5 или 0.

13. Два поезда одинаковой длины идут навстречу друг другу по параллельным путям. Скорость первого поезда 36 км/ч, скорость второго поезда 45 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него в течение 6 секунд. Какова

длина каждого поезда? За сколько минут проедет второй поезд мимо пассажира, сидящего в первом поезде?

14. Сосчитай в уме произведение трех чисел: 9, 24 и 25.

15. Третьеклассник Валера начал выполнять заданный на дом пример, когда началась его любимая передача. Его младшая сестренка Даша, не интересующаяся глупыми мультиками, подошла к столу и увидела такую запись в Валериной тетрадке:

Даша не знала таблицу умножения, а умела только складывать любые числа и была очень сообразительной девочкой. Поэтому она сумела закончить пример, так что Валера даже не обругал ее за то, что она писала в его тетради. Как Даша смогла это сделать?

Деление

Четвертое арифметическое действие — деление — самое трудное. Двести лет тому назад делить умели только ученые-математики — не больше 100 человек на всем земном шаре. А сегодня делить умеет любой отличник, начиная со второго или с третьего класса.

Что же такое деление? Начнем с простого примера.

Разделим пятнадцать конфет поровну между тремя детьми. Будем раздавать им конфеты, пока не раздадим все пятнадцать. Сначала дадим каждому по одной конфете: первую, вторую и третью.

Потом дадим каждому еще по одной конфете: четвертую, пятую и шестую.

И еще по одной:

И еще по одной:

И еще по одной:

Все! Конфеты закончились. Каждый получил по 5 штук. Если 15 конфет разделить поровну на три части, получится в каждой части по 5 конфет. 15:3 = 5.

Конфеты нам здесь понадобились только для того, чтобы сладкоежкам было интереснее. А вообще-то мы могли бы работать и просто с рядом чисел. Тогда, чтобы разделить пятнадцать на три, мы поступили бы так.

Взяли бы первые пятнадцать чисел:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Эти числа мы уложили бы, как кирпичи, в три столбика. Первые три числа — в нижний ряд:

Над ними следующие три числа:

Над ними еще три:

И еще три:

И еще три:

Все! Числа кончились. Получилось 3 столбика по 5 клеточек, а всего 15. Значит, 15:3 = 5.

Задача. Раздели этим способом 12 на 4. А теперь 12 на 3.

Чтобы разделить 15 на 3, мы разложили числа в три столбика. Если сдвинуть эти столбики — получится прямоугольник:

13

14

15

10

11

12

7

8

9

4

5

6

1

2

3

Это тот самый прямоугольник, который рисуют для того, чтобы умножить 3 на 5. На одной картинке получаются два примера: 3*5 = 15и15:3 = 5.А если этот прямоугольник повернуть — получится еще один пример: 15:5 = 3.

Задача. Для каждого из прямоугольников напиши по три примера:

Вообще, если а • в = с, то с : а = b и с : b = а. Поэтому и говорят, что деление — действие, обратное умножению, так же как вычитание обратно сложению:

12-4 = 8, так как 8 + 4 = 12;

12:4 = 3, так как 4-3 = 12.

Вообще:

вычесть а из Ъ — значит найти число, которое в сумме с а дает Ь;

разделить а на & — значит найти число, которое в произведении с Ъ дает а.

Но это значит, что нельзя делить на нуль. И в самом деле, попробуем разделить на нуль число 8. Если бы при этом получилось какое-нибудь число а, то мы могли бы записать: 8 : 0 = а, а значит, а • 0 = 8. Но это неверно, так как а • 0 равно нулю, а вовсе не восьми. Значит, никакого результата деление числа 8 на нуль дать не может. Если бы вместо числа 8 мы взяли любое другое число (кроме нуля!), получилось бы то же самое. Значит, никакое число, не равное нулю, разделить на нуль нельзя. А можно ли нуль разделить на нуль? Если бы это было возможно, то мы могли бы найти результат такого деления —какое-то число а. Но в том-то и дело, что если 0 : 0 = а, то а • 0 = 0. А это верно для любого числа а! Значит, результатом деления нуля на нуль могло бы быть любое число. Поэтому найти этот результат нельзя. Этим и объясняется всем известное правило:

НИКАКОЕ ЧИСЛО НЕЛЬЗЯ ДЕЛИТЬ НА НУЛЬ!

Число, которое делят, называется делимым. Число, на которое делят, называется делителем. Число, которое получается в результате деления, называется частным.

При делении небольших чисел можно пользоваться все той же таблицей умножения.

Все примеры на деление, которые можно получить из таблицы умножения однозначных чисел, надо знать наизусть. Получаются эти примеры так: внутри таблицы берем какое-нибудь число — это делимое;

делителем может быть номер строки, в которой стоит это число (тогда частное — номер столбца), или номер столбца (тогда частное — номер строки).

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

2

4

6

8

10

12

14

16

18

3

3

6

9

12

15

18

21

24

27

4

4

8

12

16

20

24

28

32

36

5

5

10

15

20

25

30

35

40

45

6

6

12

18

24

30

36

42

48

54

7

7

14

21

28

35

42

49

56

63

8

8

16

24

32

40

48

56

64

72

9

9

18

27

36

45

54

63

72

81

Вот сразу два примера:

35: 7 = 5 35:5 = 7

Многозначные числа делят углом. Как это делается, покажем на примере. Разделим 3638 на 34. Запишем эти числа так:

Деление, в отличие от сложения, вычитания и умножения, начинают не справа, а слева. В числе 3638 первая цифра делимого 3 обозначает число, в котором делитель 34 не помещается ни одного раза. Поэтому возьмем две цифры слева: 3 и 6. Они образуют число 36. В нем делитель 34 помещается один раз. Запишем в частном число 1 :

Умножим 34 на 1 и подпишем результат под числом 36:

Вычтем 34 из 36:

Продолжаем деление. Для этого снесем следующую цифру 3:

В числе 23 делитель 34 не помещается ни разу. Ставим в частном нуль:

Сносим последнюю цифру 8:

В числе 238 делитель 34 помещается 7 раз, что нетрудно установить, умножая число 34 на 1, на 2 и так далее. Записываем число 7 в частное:

Умножаем 34 на 7 и подписываем результат под числом 238:

Вычитаем полученное число из 238:

Деление окончено. Ответ: 107. Для проверки можно перемножить 107 и 34. Получится 3638.

Какие бы натуральные числа мы ни взяли, всегда можно их сложить, вычесть (из большего меньшее), перемножить. А вот разделить одно из этих чисел (даже большее на меньшее) удается не всегда. Возьми 14 конфет и попробуй разделить их между тремя людьми поровну. Каждый получит по 4 конфеты, но еще 2 конфеты останутся:

Математики говорят, что число 14 делится на число 3 с остатком. Это можно записать так:

Здесь 14 по-прежнему называется делимым, 3 — делителем, а 4 называется неполным частным. Если в примере 3638 : 34 увеличить делимое на единицу, то получится пример деления с остатком:

Задачи

1. Найди частное, пользуясь таблицей умножения:

36 : 9; 48 : 6; 54 : 9; 56 : 7; 360:9; 480:8; 540:60; 5600:8.

2. Два числа перемножили — получилось 25. Потом большее из этих чисел разделили на меньшее — опять 25. Что это за числа?

3. Существует ли такое число, которое делится на все остальные числа? Существует ли такое число, на которое делятся все числа?

4. Расставь между числами 9 9 9 9 знаки действий так, чтобы получилось 100.

5. То же для чисел 5 5 5 5.

6. Семь одинаковых батонов хлеба надо разделить поровну между двенадцатью людьми. Как это сделать, разрезая каждый из батонов на равные части, но не разрезая ни один на 12 частей?

7. В коробке лежат 15 шариков: черных, белых и красных. Красных шариков в 7 раз больше, чем белых.

Сколько в коробке черных шариков?

8. Как разрезать эту фигурку на четыре одинаковых четырехугольника?

9. Как разрезать на четыре одинаковых четырехугольника эту фигуру?

10. А как разрезать эту пластинку на шесть одинаковых частей?

11. Как разделить этот участок земли на пять одинаковых квадратов? А можно ли разделить его на четыре равных участка?

12. Здесь нарисована цепочка из трех бумажных колечек. Если разрезать среднее колечко, она распадется на три части. Как составить цепочку из трех колечек, чтобы она распадалась на три части при разрезании любого колечка? А можно ли составить цепочку из пяти колечек так, чтобы она распадалась на пять частей при разрезании любого колечка?

13. Постоялец гостиницы, не имея денег, договорился с хозяином, что будет расплачиваться, отдавая ему каждый день одно из семи звеньев своей золотой цепи. Но портить цепь, распиливая каждое звено, было жалко, и они, поразмыслив, сообразили, что можно распилить всего одно звено. И правда, распилив это звено, они смогли устроить так, что у хозяина каждый день прибавлялось по одному звену цепи. Как они этого добились?

14. В вагоне электрички ехали из города на дачу Соня и Ира.

— Посмотри, — сказала Ира, — обратные электрички нам встречаются через каждые 5 минут. Как ты думаешь, сколько их прибывает в город за час?

— Конечно, 12, так как 60 : 5 = 12, — сказала Соня.

Но Ира не согласилась с ней. Почему?

15. Во сколько раз путь на девятый этаж длиннее пути на третий этаж того же дома?

16. Петя нашел один гриб, Коля — два, а Паша — три. Мама дала им 18 орехов и попросила разделить их по заслугам. Сколько орехов должен получить каждый?

17. В другой раз Петя, Коля и Паша ловили рыбу. Петя поймал трех плотвичек, Коля — пять. А Паша не поймал ни одной рыбы. Когда стали варить уху, Паша пообещал за это сделать вместо братьев восемь домашних заданий по математике. Сколько домашних заданий он должен сделать вместо Пети и сколько вместо Коли?

18. Летели галки, увидели палки. Если на каждую палку сядет по галке, то для одной галки не хватит палки. А если на каждую палку сядет по две галки, то одна из палок останется без галок. Сколько было галок? Сколько было палок?

19. А вот еще несколько числовых ребусов.

3) ПИРОГ : И = ГОСТИ 4)

6) **234* : 72 = *0***.

7) ***1* : 11 = *9*.

8)

5)

9)

10)

12)

11)

Делимость. Признаки делимости. Четные и нечетные числа

Любое число можно получить, складывая друг с другом единицы. Если каждый день выучивать по одному английскому слову, то наступит и такой день, когда ты будешь знать 6 слов, и такой, когда ты будешь знать 217 слов. А вот если каждый день выучивать по два слова, то ты будешь знать ровно 6 слов к концу третьего дня, но такого дня, к концу которого ты будешь знать ровно 217 слов,— такого дня не будет. Число 6 можно составить из двоек, а число 217 — нельзя. Говорят, что 6 делится на 2, а 217 не делится на 2. Иначе: 2 является делителем числа 6, но не является делителем числа 217. Или так: 6 кратно числу 2, а 217 не кратно числу 2.

Знание делителей и кратных помогает находить ошибки в вычислениях, даже не повторяя этих вычислений.

Ковбой Билл заказал в баре две бутылки минеральной воды.

— Не хочешь ли новую воду «Слезы крошки Мэри»? — спросил хозяин.

Билл утвердительно кивнул головой.

Но когда трактирщик предъявил ему счет в 35 центов за две бутылки, ковбой вытащил из-за пояса кольт. Трактирщик тут же переписал счет и долго потом просил прощения у сообразительного покупателя.

Как же обнаружил ошибку Билл? Ведь он не знал, сколько стоит бутылка новой минеральной воды.

Оказывается, сколько бы ни стоила эта бутылка, сумма не могла составить 35 центов. Стоимость двух бутылок должна делиться на 2, а 35 на 2 не делится.

Числа, делящиеся на 2, называют четными; не делящиеся на 2, — нечетными. Стоимость двух одинаковых бутылок должна быть четным числом, а число 35 — нечетное.

Четные и нечетные числа имеют некоторые очень простые свойства: сумма, разность, произведение четных чисел — четны; четна сумма и разность нечетных чисел, а их произведение нечетно.

Задача. Четной или нечетной будет сумма двух чисел разной четности (таких, одно из которых четно, а другое нечетно)? А разность? А произведение?

Но есть и более интересные факты, связанные с четностью.

Когда великому русскому математику Андрею Николаевичу Колмогорову было шесть лет, он придумал, как вычислять суммы первых нечетных чисел. Например, чтобы найти сумму 100 таких чисел, достаточно умножить 100 на 100:

1 + 3 + 5 + . . . + 197 + 199 = 100 • 100 = 10000.

Почему это так, мы поймем, изображая нечетные числа в виде таких вот фигурок:

и так далее.

Будем прикладывать к первой фигурке вторую, потом третью и так далее. Каждый раз будет получаться квадрат со стороной, равной числу сложенных фигурок:

Понятно, что и следующие нечетные числа будут достраивать этот квадрат до новых квадратов:

Поэтому, чтобы найти сумму нескольких первых нечетных чисел, достаточно умножить их количество само на себя.

Как мы уже знаем (с. 114), произведение числа а самого на себя называется квадратом числа а и обозначается так: а2. Утверждение о сумме нечетных чисел можно записать в виде такого равенства: 1 + 3 + 5 + . . . + {2п-\) = п2.

В этом равенстве вместо п можно подставить любое натуральное число, а многоточие означает, что складываются все нечетные числа от 1 до (2п - 1). Из этой формулы получается:

при п = 2 1 + 3 = 4;

при п = Ъ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25;

при = 11 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + + 19 + 21 = 121.

Однажды Коля попросил отличника Севу проверить решенный им пример: 3423 х 5 = 17116.

— Так не может быть, — сразу сказал Сева.— Произведение 3423 на 5 должно делиться на 5, а 17116 на 5 не делится!

Как же эти грамотеи — Билл и Сева — определяют, что на что делится? Просто они знают признаки делимости на 2 и на 5.

Делимость натурального числа на 2, на 5, а также и на 10 зависит от последней цифры этого числа: чис-

ло делится на 2, на 5 или на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится соответственно на 2, на 5 или на 10.

Например, число 35 не делится на 2 потому, что последняя его цифра 5, а 5 на 2 не делится. Чтобы число делилось на 2, его последняя цифра должна быть одна из пяти: 0, 2, 4, 6 или 8.

Точно так же число 17116 не делится на 5 потому, что последняя его цифра 6, а 6 на 5 не делится. Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть одна из двух: 0 или 5.

А на 10 делятся только числа, оканчивающиеся цифрой 0,— круглые числа.

Задача. Какие из следующих чисел делятся на 2, на 5, на 10:

123456,5630985, 12760, 111112?

Если число оканчивается цифрой, не делящейся на 2, на 5 или на 10, то оно, конечно, на 2, на 5 или на 10 не делится. Мало того, можно даже сразу сказать, какой остаток дает это число при делении на 2, на 5 или на 10, потому что само число и его последняя цифра при этом дают одинаковые остатки.

Например, число, получившееся у Коли,— 17116 на 2 делится (потому что 6 делится на 2), при делении на 5 дает остаток 1 (потому что 6 при делении на 5 дает остаток 1), а при делении на 10 дает остаток 6 (потому что 6 при делении на 10 дает остаток 6).

Задача. Какие остатки при делении на 2, на 5 и на 10 дает число 1825?

Еще задача. Можно ли составить число, делящееся на 5, используя только цифры 1, 3 и 2?

Определять, что на что делится, с помощью последней цифры, конечно, проще всего. Но этот признак годится только для деления на 2, на 5 и на 10. Для деления, скажем, на 3 он уже не подходит: например, 13 не делится на 3, а 63 на 3 делится; 17 не делится на 3, а 27 на 3 делится — видно, что последняя цифра тут ни при чем.

Что же такого особенного в числах 2, 5 и 10? Что роднит их между собой? Ответ прост: 2, 5 и 10 — это единственные (кроме единицы, конечно) делители числа 10, а мы записываем числа в десятичной системе. А при чем здесь последняя цифра? Дело в том, что раз 10 делится на 2, то и любое количество десятков делится на 2. А всякое число складывается из какого-то количества десятков и какого-то количества единиц: в числе 27 — два десятка и семь единиц; в числе 3898 — триста восемьдесят девять десятков и восемь единиц; в числе 111 — одиннадцать десятков и одна единица; в числе 1300 — сто тридцать десятков и нуль единиц; в числе 6 — нуль десятков и шесть единиц. И так как любое число десятков делится на 2, то все число делится или не делится на 2 в зависимости от того, сколько в нем единиц. Если единиц нуль — число делится на 2; если единица одна — число не делится на 2; если единиц две — делится; если три — не делится, и так далее. А количество единиц в числе как раз и обозначено его последней цифрой.

Задача. Почему делимость на 5 и на 10 тоже зависит только от последней цифры?

Число 3 не является делителем числа 10. Поэтому делимость на 3 зависит не только от последней цифры, но и от других цифр числа.

Делимость натурального числа на 3 и на 9 зависит от суммы цифр этого числа: число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится соответственно на 3 или на 9. Если сумма цифр числа не делится на 3 или на 9, то остаток при делении этого числа на 3 или на 9 совпадает с остатком от деления на 3 или на 9 его суммы цифр.

Например, сумма цифр числа 45620 равна 17, значит, число 45620 при делении на 3 дает в остатке 2, а при делении на 9 — остаток 8.

Но и сама сумма цифр может быть достаточно большим числом, и тогда не так легко проверить, делится ли оно на 3 или на 9. Например, сумма цифр числа

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334

равна 190. Чтобы узнать, делится ли 190 на 3, снова применим признак — найдем сумму его цифр: 1 + 9 + + 0 = 10. Кто не видит, что 10 при делении на 3 дает в остатке 1, может применить признак и еще раз — найти сумму цифр числа 10:1 + 0 = 1. Значит, число 10 при делении на 3 дает в остатке 1; такой же остаток при делении на 3 дает число 190; следовательно, такой же остаток при делении на 3 дает и данное число.

Задача. Какой остаток дает при делении на 3 число, в записи которого семнадцать единиц, девяносто пять двоек и семь нулей (других цифр нет)? Зависит ли ответ от того, в каком порядке идут эти цифры?

Еще задача. Ире задали задачу: определить, какой остаток дает при делении на 9 некоторое число. Листок с заданием она потеряла, но помнила, что в этом числе были все десять цифр — и каждая по одному разу. Сможет ли Ира решить задачу?

Когда ковбой Билл узнал признак делимости на 3, он решил проведать своего знакомого бармена и отметить это событие. Он потребовал шесть бутылок «Слез крошки Мэри», два хот-дога по 2 доллара 40 центов каждый и на 30 центов виски. «С тебя 5 долларов 80 центов»,— объявил бармен. «Ты опять?!» — «А в чем дело? Эта сумма делится на 2!» — «Но она не делится на 3, а должна бы делиться». — «Прости, старина, я не ожидал, что ты и это знаешь».

С помощью признака делимости на 9 можно проверять не только правильность представленного барменом счета, но и правильность более сложных вычислений.

Предположим, надо прикинуть, верно ли такое равенство: 5647 + 4762 + 3941 = 14313. Ясно, что, если сложить остатки, которые дают слагаемые при делении на 9, должно получиться число, дающее при делении на 9 такой же остаток, что и сумма:

числа

суммы цифр

сумма остатков

5647

22

4

4

4762

19

10

1

3914

17

8

8

4 + 1 + 8 = 13

14313

12

3

Сумма остатков 13, это число при делении на 9 дает остаток 4; а найденная сумма 14313 при делении на 9 дает остаток 3. Значит, эта сумма найдена неверно. И правда, 5647 + 4762 + 3914 = 14323. Надо заметить, что, если бы остатки совпали, это бы еще не значило, что пример решен верно. Число 14332 дает при делении на 9 остаток 4, хотя не является суммой данных чисел. Но если остатки не совпадают — пример решен неверно.

Точно так же проверяются и другие арифметические действия. Проверим умножение

Ошибка есть: в произведении должен получиться остаток 3, а не 2. Интересно, что тем же способом можно найти и то место, в котором совершена ошибка. Проверим результаты умножения 3453 на отдельные цифры 7, 8 и 2.

Здесь остатки совпали.

И здесь остатки совпали.

И здесь все сходится. Нет ли ошибки в сложении?

Есть ошибка! Значит, мы неверно выполнили сложение. И правда, проверяя сложение, находим, что сумма равна 9692571.

Может быть, тебе покажется, что проще было бы проверить результат повторением вычислений. Но дело в том, что при повторении вычислений обычно повторяется и сделанная ошибка. А тут проверка шла совершенно другим способом.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9и 10 очень легко запомнить. Другие признаки делимости — посложнее. Мы поговорим сейчас о делимости на числа первого десятка.

Есть ли признак делимости на единицу? Конечно! Вот он:

ЛЮБОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 1.

Признаки делимости на 2 и на 3 мы уже знаем.

А как узнать, делится ли число на 4? Можно ли это узнать по сумме цифр? Конечно, нет: число 1111 не делится на 4, хотя сумма его цифр равна четырем; а число 16 делится на 4, хотя сумма его цифр равна семи. Тогда, может быть, делимость на 4 зависит от последней цифры? Тоже нет: 14 не делится на 4, а 36 делится. И это неудивительно. Ведь мы уже знаем, что по последней цифре можно определить, делится ли число на какой-нибудь делитель числа 10. А число 4 не является делителем числа 10. Но зато 4 — делитель следующей разрядной единицы — числа 100. А значит, 4 — делитель любого числа, состоящего из сотен (то есть кончающегося не меньше чем на два нуля: 700, 1300000, 17098000 и так далее).

Всякое число складывается из какого-то числа сотен и какого-то числа единиц: в числе 207 — две сотни и семь единиц; в числе 3898 — тридцать восемь сотен и девяносто восемь единиц; в числе 112 — одна сотня и двенадцать единиц; в числе 1300 — тринадцать сотен и нуль единиц; в числе 6 — нуль сотен и шесть единиц. И так как любое число сотен делится на 4, то все число делится или не делится на 4 в зависимости от того, сколько в нем единиц сверх целого числа сотен. Иначе говоря, все дело в том, делится ли на 4 число, записываемое двумя последними цифрами данного числа.

Данное число

Число, записываемое последними двумя цифрами

Делится ли данное число на 4

207

07 = 7

нет

3898

98

нет

112

12

да

1300

00 = 0

да

6

6

нет

Мы получили признак делимости на 4:

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится число, записываемое двумя его последними цифрами.

Понятно, что от двух последних цифр зависит делимость не только на 4, но и на любой делитель числа 100. Например, число делится на 25 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.

Задача. Как сформулировать признаки делимости на 20, на 50 и на 100?

Еще задача. Число 199* делится на 4. Какой может быть цифра, замененная звездочкой? Тот же вопрос для числа 20*8.

Пойдем дальше по ряду чисел первого десятка. Признак делимости на 5 нам известен. Займемся числом 6. Так как 6 = 2 • 3, то признак делимости на 6 должен быть как-то связан с делимостью на 2 и на 3. Ясно, что если число делится на 6, то оно делится и на 2, и на 3. Ведь, например, 216:6 = (216 : 3) : 2 = (216 : 2) : 3. Итак, если число делится на 6, оно должно оканчиваться на четную цифру (0, 2, 4, 6 или 8), а сумма его цифр должна делиться на 3.

Задача. Почему число 118 не делится на 6? Почему число 11 не делится на 6?

А правда ли, что если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6? Вопрос этот не такой простой, как кажется. Если число делится на два различных числа, оно вовсе не обязано делиться на их произведение.

Например, число, кратное 6 и кратное 8, не обязательно будет делиться на 48.

Задача. Придумать число, которое делится и на 6, и на 8, но не делится на 48.

Но числа 2 и 3 в этом смысле очень хорошие: если число делится и на 2, и на 3, то оно делится и на их произведение, на 6. Попробуем разобраться, почему это так. Предположим, что число а делится и на 2, и на 3. Разделим его на 3:

а : 3 = Ь.

Тогда а = 3 • Ь. Значит, a = b + b + b. Может ли число Ъ оказаться нечетным? Нет, не может: если бы Ъ было нечетным, то и сумма Ъ + Ь + Ъ была бы нечетной, то есть тогда число а не делилось бы на 2; а оно на 2 делится. Значит, Ъ — четное число, поэтому Ъ можно разделить на 2:

Ь:2 = с.

Мы получили, что Ъ = с + с.

А тогда а = Ь + Ъ + Ъ = с + с + с + с + с + с.

Число а разделилось на 6!

И вот признак делимости на 6:

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на четную цифру, а сумма его цифр делится на 3.

Задача. Найди наименьшее число, записанное только единицами и нулями, которое делится на 6.

Следующее число — 7. Признак делимости на него довольно труден. И его нельзя применить к числам,

меньшим 1000. Для двузначных и трехзначных чисел делимость на 7 приходится проверять прямым делением. Мы сформулируем этот признак в виде правила: чтобы узнать, делится ли многозначное число на 7, нужно отделить от него три знака справа; получится два числа, одно из которых трехзначное; затем от большего из этих чисел надо отнять меньшее; исходное число делится на 7 тогда и только тогда, когда полученная разность делится на 7. Вот примеры.

1. Возьмем число 8561. Отделим от него последние три знака:

8 I 5 6 1.

Мы получили числа 8 и 561. Вычтем из большего меньшее: 561 - 8 = 553. Проверим, делится ли полученная разность на 7. 553 : 7 = 79. Значит, число 8561 делится на 7.

2. Возьмем число 1001999. Отделим от него последние три знака:

100 1|999.

Мы получили числа 1001 и 999. 1001 - 999 = 2. 2 на 7 не делится. Значит, число 1001999 не делится на 7.

3. Возьмем число 123456789. Отделим от него последние три знака:

123456|78 9.

Мы получили числа 123456 и 789. 123456 - 789 = = 122667. Чтобы узнать, делится ли эта разность на 7, применим признак делимости еще раз:

1 2 2 I 6 6 7.

667 - 122 = 545. 545 : 7 = 77 (ост. 6).

Значит, число 123456789 на 7 не делится.

Задача. Докажи, что шестизначное число, в котором сотен тысяч столько же, сколько сотен, десятков

тысяч столько же, сколько десятков, а тысяч столько же, сколько единиц, делится на 7.

Из чисел первого десятка осталось только число 8 (делимость на 9 и на 10 мы уже разобрали). Признак делимости на 8 похож на признаки делимости на 2 и на 4.

2 — делитель числа 10. Делимость на 2 зависит от одной последней цифры числа.

4 — делитель числа 100. Делимость на 4 зависит от двух последних цифр числа.

8 — делитель числа 1000. Делимость на 8 зависит от трех последних цифр числа.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда делится на 8 число, записываемое тремя последними его цифрами.

Задача. Какие из чисел от 7815211 до 7815230 делятся на 8?

Еще задача. Придумай признаки делимости на 125, на 40 и на 500.

И еще задача. Придумай признак делимости на 16.

Перед нами прошли признаки делимости на числа первого десятка. Чтобы сформулировать признак делимости на какое-нибудь число, мы пользовались тем, что оно является делителем хорошего числа: числа 10 (2, 5, 10), числа 9 (3, 9), числа 100 (4), числа 1000 (8). А число 7? Чьим делителем оно является? Оказывается, признак делимости на 7 получается из того, что на 7 делится число 1001. Но число 1001 делится не только на 7. Легко убедиться, что 1001 = = 7 • 11 • 13. Значит, число 1001 делится на 7, на 11,

на 13, на 77, на 91, на 143 и, конечно, на 1001. Проверять делимость на каждое из этих чисел можно тем же способом, что и делимость на 7.

Например, можно доказать этим способом, что число 13596407 делится на 11:

13596|40 7; 13596 - 407 = 13189.

1 3 I 1 8 9; 189 - 13 = 176. 176 : 11 = 16.

Но есть и другой признак делимости на 11, проще этого. С его помощью можно проверять делимость на 11 любых чисел, а не только тех, которые больше 999.

Чтобы узнать, делится ли число на 11, нужно

1) найти сумму цифр, стоящих на нечетных местах (на местах единиц, сотен, десятков тысяч и так далее);

2) найти сумму цифр, стоящих на четных местах (всех остальных цифр);

3) найти разность полученных сумм.

Если эта разность делится на 11, то и число делится на 11.

Докажем по этому правилу делимость на 11 того же числа 13596407.

1) Найдем сумму цифр, стоящих на нечетных местах:

7 + 4 + 9 + 3 = 23;

2) найдем сумму цифр, стоящих на четных местах:

0 + 6 + 5 + 1 = 12;

3) найдем разность этих сумм:

23- 12 = 11.

Так как разность делится на 11, то и само число делится на 11.

А вот простенькое правило делимости на 19: число делится на 19, если число его десятков, сложенное с удвоенным числом его единиц, делится на 19. Например, у самого числа 19 1 + 2*9 = 19.

Использование делимости чисел позволяет показывать числовые фокусы.

Фокус первый. Попроси одного из твоих знакомых написать на листочке бумаги любое трехзначное число. Пусть он передаст эту запись другому. Того попросите приписать к этому числу такое же число и передать запись третьему. Пусть третий разделит полученное шестизначное число на 7 и передаст результат четвертому. Пусть четвертый разделит этот результат на 11 и передаст результат пятому. Пятый пусть разделит результат на 13 и передаст результат снова первому. Первый с изумлением обнаружит, что ему отдали задуманное им число.

Например, если первый напишет число 584, то события будут развиваться так: 1-й: 584, 2-й: 584584, 3-й: 584584 : 7 = 83512, 4-й: 83512 : 11 = 7592, 5-й: 7592 : 13 = 584.

В этом фокусе удивляет не только то, что получается первоначальное число. Непонятно и то, почему «фокусник» уверен, что неизвестные ему числа непременно будут делиться на 7, на 11 и на 13 — это бывает не так уж часто.

Разгадка в том, что, заменяя число 584 числом 584584, второй участник умножил 584 на 1001: 584584 = 584 • 1001. А 1001 как раз и равно произведению чисел 7, 11 и 13. Так что 3-й, 4-й и 5-й разделили число (584 • 1001) на 1001, отчего и получился ответ 584.

Фокус второй. Попроси товарища записать любое число, затем найти сумму его цифр, затем вычесть из числа сумму его цифр, затем в полученной разности зачеркнуть любую цифру, кроме нуля. Пусть теперь он сообщит получившееся число. И ты сразу скажешь, какую цифру он зачеркнул.

Например, он задумал число 5912, нашел сумму цифр 17, вычел ее из задуманного числа: 5921 - 17 = = 5904, зачеркнул четверку и сообщил результат 590. Ты складываешь 5 + 9 + 0 = 14и сообщаешь, что зачеркнута цифра 4.

Разгадка фокуса в том, что задуманное число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 9. Значит, их разность делится на 9, поэтому сумма цифр этой разности делится на 9. В нашем примере сумма незачеркнутых цифр 14 и ближайшее большее число, делящееся на 9,— 18. Значит, зачеркнута цифра 4. А как быть, если сообщенное число уже делится на 9? Тогда зачеркнута девятка, так как нуль зачеркивать нельзя.

Задачи

1. Можно ли разложить 11 орехов на 2 кучки так, чтобы в каждой кучке число орехов было нечетным?

2. Можно ли разложить 11 орехов на 2 кучки так, чтобы в каждой кучке число орехов было четным?

3. Можно ли разложить 30 орехов на 3 кучки так, чтобы в каждой кучке число орехов было нечетным?

4. Число 82** делится на 90. Найди частное.

5. Кассир подсчитал стоимость 3 кг мяса, 1 кг сыра за 30 рублей и 9 пачек мороженого. У него получилось 127 рублей. Докажи, что кассир ошибся.

6. Сумма двух чисел нечетна. Может ли их произведение быть нечетным?

7. Требуется узнать, делится ли на 3 сумма чисел 28, 31, 61, 92 и 120. Можно ли это сделать, не складывая сами числа?

8. К двузначному числу прибавили 5 — сумма оказалась кратной пяти. От того же числа отняли 3 — разность оказалась кратной трем. Когда это же число разделили на 2 — частное оказалось кратным двум. Что это за число?

9. Коля и его бабушка празднуют свой день рождения в один и тот же день. Мама сделала в этот день торт, а бабушка написала на нем кремом число 10 — столько исполнилось Коле. Тогда Коля приписал тем же кремом к числу 10 справа и слева по одной цифре, так что получилось четырехзначное число, делящееся на 72,— на возраст бабушки. Какое число оказалось на торте?

10. Какое число при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 каждый раз дает в остатке единицу?

11. Старинная китайская задача. Имеются вещи. Число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать пятерками, то остаток 3; если считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается, сколько вещей?

12. Две задачи из «Арифметики» Л. Магницкого.

1. Найти число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4.

2. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, со женою выпьет тое же кадь в 10 дней, и ведательно знать, в колико дней жена его особо выпьет тое же кадь.

13. Какое наименьшее число обладает следующими свойствами: оно записывается только цифрами 3 или 7; оно делится на 3 и на 7; сумма его цифр делится на 3 и на 7?

14. Какое наименьшее число в сумме с числом 7 делится на 7, в сумме с числом 19 делится на 19, после уменьшения на 17 делится на 17, а после деления на 11 делится на 11?

15. Найди наименьшее число, которое при делении на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 дает остаток 1, а на 7 делится без остатка.

16. Найди остаток от деления на 9 произведения всех последовательных чисел от 9991 до 9998.

17. Математический фокус. Дай товарищу две таблички и попроси написать на одной четное число, а на другой — нечетное. Пусть он по секрету от тебя положит одну табличку в левый карман, а другую — в правый. Фокус состоит в том, что ты берешься угадать, в каком кармане лежит четное, а в каком нечетное число. Для этого твой товарищ должен только умножить на 2 содержимое левого кармана и прибавить к результату содержимое правого кармана. Если он сообщит четный результат, значит, в левом кармане число нечетное, а если он сообщит нечетный результат, то в левом кармане число четное. Объясни этот фокус.

18. Какое наименьшее число при делении на любое число первого десятка дает остаток на 1 меньше, чем делитель?

19. Если от задуманного трехзначного числа отнять 7, то разность разделится на 7, если от того же числа отнять 8, то оно разделится на 8, а если отнять 9, оно разделится на 9. Какое число задумано?

20. Если от трехзначного числа отнять 27, оно разделится на 27, а если к нему прибавить 37, оно разделится на 37. Что это за число?

21. Зная, что 37*3 = 111, найди 37*27, не умножая в столбик.

22. Число 4876391520 интересно не только тем, что в его записи использованы все 10 цифр, но и тем, что оно делится на все числа от 1 до 18. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что 4876391520 делится всего на семь чисел. Что это за числа?

23. В кружочках написали числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12 и от каждого числа провели стрелки ко всем его делителям. Но потом все числа и часть стрелок стерлись. Как выглядела вся схема?

24. Проверь признак делимости трехзначного числа на 8: на 8 делятся все те и только те трехзначные числа, у которых двузначное число, образованное цифрами сотен и десятков, сложенное с половиной числа единиц, делится на 4.

25. Расшифруй ребус, в котором произведение кратно 9:

Простые числа

Можно ли записать в виде формулы, что число 350 делится на число 14? Чтобы это сделать, разделим 350 на 14:

350: 14 = 25. Это равенство можно переписать так: 350 = 14-25

Точно так же можно записать в виде формулы, что число а делится на число Ъ. Разделим а на Ъ:

а : Ъ = я, или а = Ъп.

У нас получилось, что если а делится на Ь, то существует такое натуральное число /г, что а = Ъп. Конечно, можно было бы остановиться на записи а : Ъ = п. Формула а = Ъп полезна тем, что она выражает а через Ь — кратное через делитель.

Существует ли такое натуральное число, которое не имеет ни одного делителя? Таких чисел нет: всякое натуральное число делится само на себя, а значит, имеет хотя бы один делитель — само себя: 11 имеет делителем число 11, число 347 имеет делителем число 347.

Кроме того, каждое число имеет делителем число 1, так как на 1 делится любое число.

Из сказанного получается, что каждое натуральное число имеет два делителя: само себя и 1. Эти два делителя могут совпадать — если само число равно 1. У числа 1 только один делитель — число 1. Но любое натуральное число, кроме 1, имеет хотя бы два делителя: само себя и единицу. Например, число 2 имеет два делителя: 1 и 2, число 3 — два делителя: 1 и 3, а вот число 4 имеет три делителя: 1, 2 и 4.

Натуральное число, которое имеет ровно два делителя, называется простым числом.

Натуральное число, которое имеет больше двух делителей, называется составным числом.

Число 1 — не простое и не составное, так как у него всего один делитель.

Как узнать, простое или составное число 163? Для этого надо выяснить, имеет ли 163 другие делители, кроме чисел 1 и 163. Если такие делители имеются, то они находятся среди чисел 2, 3, 4, 5, 160, 161, 162, так как 163 не может делиться на числа, большие, чем оно само.

Проверять, делится ли 163 на каждое из всех этих чисел, было бы слишком долго. Но оказывается, это и не нужно. А достаточно сделать всего 5 проверок. Сейчас мы убедимся в этом.

Самое маленькое число, на которое могло бы делиться 163, — число 2. Но на 2 число 163 не делится (его последняя цифра — нечетная).

Не может 163 делиться и ни на какое число, делящееся на 2, например на 42. Ведь если бы 163 делилось на 42, его можно было бы записать в виде: 163 = 42п. Но 42 = 2 • 21, значит, было бы 163 = (2 • 21)n. А тогда было бы 163 = 2(21п). Но это значило бы, что 163 равно произведению числа 2 на натуральное число 2In, то есть 163 делится на 2, а это неверно.

Теперь ясно, что 163 не делится на четные числа: на 2, 4, 6, 8, 160, 162.

Вычеркнем эти числа из нашего списка.

Первое оставшееся в списке число — 3. 163 на 3 не делится (сумма его цифр равна 10). Но тогда оно не делится ни на одно из чисел, делящихся на 3: на 3, 6, 9, 156, 159, 162.

Вычеркнем эти числа из нашего списка.

Первое оставшееся в списке число — число 5. 163 не делится на 5 (его последняя цифра не делится на 5). Значит, 163 не делится ни на одно число, делящееся на 5. Вычеркнем из списка и эти числа.

Теперь в списке остались только такие числа:

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119, 121, 127, 131, 133, 137, 139, 143, 147, 149, 151, 157, 161.

Все остальные числа от 2 до 162 делятся либо на 2, либо на 3, либо на 5.

Проверим делимость числа 163 на первое из оставшихся чисел — на 7:

163 : 7 = 23 (ост. 2).

Итак, 163 на 7 не делится. Значит, не делится оно и на любое число, делящееся на 7. Вычеркнем все эти числа из списка.

Теперь проверим делимость 163 на первое оставшееся число — на 11. 163 на 11 не делится (3 + 1 = 4, 6 - 4 = 2, 2 на 11 не делится). Поэтому 163 не делится и на все числа, делящиеся на 11. И их вычеркнем. В списке останутся: 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 147, 149, 151, 157.

Мы уже выполнили 5 проверок и установили, что 163 не делится на 2, на 3, на 5, на 7 и на 11.

Докажем, что проверять, делится ли 163 на оставшиеся в списке числа, уже не надо. Подумаем, какое число получилось бы в частном, если бы 163 разделилось на какое-нибудь из оставшихся чисел. Возьмем самое маленькое из них — число 13. Тогда частное должно быть меньше числа 13, потому что 13 • 13 уже больше, чем 163. Но ни одно число, меньшее 13, не является делителем числа 163 — мы это проверили. Тем более не стоит проверять числа, большие 13.

Значит, проведенные нами пять проверок доказывают, что число 163 не имеет никаких делителей, кроме чисел 1 и 163. Число 163 — простое.

Задача. Как с помощью двух проверок показать, что число 19 — простое? Как с помощью трех проверок показать, что число 47 — простое?

Простыми и составными числами очень интересовались в Древней Греции. Греческий математик Эратосфен, живший в Александрии (между прочим, он заведовал там знаменитой библиотекой) в III веке до нашей эры, придумал способ отыскания простых чисел, которым пользуются до сих пор. Сейчас имеются таблицы, содержащие многие тысячи простых чисел. Эти таблицы составлены с помощью современных компьютеров, но способ вылавливания простых чисел остался тем же, какой был придуман Эратосфеном. Этот способ называется решетом Эратосфена. Покажем его действие на примере такой задачи: нужно найти все простые числа в первой сотне.

Запишем все натуральные числа от 2 до 100. Число 1 не пишем, потому что оно не простое.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

Первый шаг: число 2 — простое (у него ровно два делителя: 1 и 2); все остальные числа, кратные двум,— составные; вычеркиваем их:

У нас остались следующие числа:

2

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

33

35

37

39

41

43

45

47

49

51

53

55

57

59

61

63

65

67

69

71

73

75

77

79

81

83

85

87

89

91

93

95

97

99

Второй шаг: первое из оставшихся чисел — число 3 — простое (оно не делится на меньшие числа, кроме 1, иначе мы бы его уже вычеркнули); все остальные числа, кратные трем,— составные; вычеркиваем их:

У нас остались числа:

2

3

5

7

11

13

17

19

23

25

29

31

35

37

41

43

47

49

53

55

59

61

65

67

71

73

77

79

83

85

89

91

95

97

Третий шаг: первое из оставшихся чисел — число 5 — простое (оно не делится на меньшие числа, кроме 1, иначе мы бы его уже вычеркнули); все остальные числа, кратные пяти, — составные; вычеркиваем их:

Остались числа:

2 3

5

7

11 13

17

19

23

29

Четвертый шаг: первое из оставшихся чисел — число 7 — простое (оно не делится на меньшие числа, кроме 1, иначе мы бы его уже вычеркнули); все остальные числа, кратные семи, — составные; вычеркиваем их:

Осталось:

2

3

5

7

11

13

23

17 19 29

31

37

41

43 53

47

59

61

67

71

73 83

79 89

97

Пятый шаг: первое из оставшихся чисел — число 11 — простое; все остальные числа, кратные одиннад-

цати,— составные. Посмотрим, остались ли у нас еще невычеркнутые числа, кратные одиннадцати. В первой сотне следующие числа кратны одиннадцати: 11 — простое число;

22 = 2•11 — вычеркнуто на первом шаге (делится на 2);

33 = 3 • 11 — вычеркнуто на втором шаге (делится на 3);

44 = 4 • 11 — вычеркнуто на первом шаге (делится на 2);

55 = 5 • 11 — вычеркнуто на третьем шаге (делится на 5);

66 = 6*11 — вычеркнуто на первом шаге (делится на 2);

77 = 7 • 11 — вычеркнуто на четвертом шаге (делится на 7);

88 = 8 • 11 — вычеркнуто на первом шаге (делится на 2);

99 = 9*11 — вычеркнуто на втором шаге (делится на 3).

Так что вычеркивать нам уже больше нечего. Первое число, которое следовало бы вычеркнуть, — это даже не 10 • 11 (все четные числа уже вычеркнуты), а 11 • 11, то есть 121. Но это число уже выходит из нашего промежутка: 121 > 100.

Но у нас еще осталось очень много чисел, кроме 11. Могут ли среди них быть составные? Предположим, например, что число 83 — составное. Какие у него могут быть делители? Если бы оно делилось на какое-нибудь число, меньшее одиннадцати, мы бы его давно вычеркнули. А если бы у него были только делители, которые не меньше одиннадцати, оно само было бы не меньше, чем 11 • 11, то есть чем 121. Но 83 < 100 и тем более 83 < 121. Значит, число 83 не может быть составным, оно простое. И все числа, оставшиеся невычеркнутыми, — простые.

После четырех вычеркиваний в таблице остались все простые числа первой сотни и не осталось никаких других чисел:

2 3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

97

89

Простые числа первой сотни — это 2, 3, 5, 7,11,13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 и 97 — всего 25 чисел.

Вопрос: а если бы нам нужно было найти простые числа не между числами 1 и 100, а между числами 1 и 50 — сколько бы шагов понадобилось? Как ни странно, столько же! Правда, на четвертом шаге нам осталось бы вычеркнуть всего одно число: 7 • 7 = 49. А вот если искать простые числа от 1 до 40 — понадобится на один шаг меньше: мы вычеркнем числа, кратные двум, кратные трем и кратные пяти. Числа, кратные семи, вычеркивать уже не придется.

Задача. Если проверять делимость на 2, на 3 и на 5, то самое большое число, о котором можно точно сказать, что оно простое, — это 47. Для этого надо применить решето Эратосфена к промежутку от 1 до 48. Если проверять еще и делимость на 7, то можно взять промежуток от 1 до 120, и тогда самое большое простое число, до которого мы доберемся, будет 113. А до какого самого большого простого числа можно добраться, если проверять еще и делимость на 11?

И вообще, прекращать вычеркивания надо в тот момент, когда квадрат первого из оставшихся чисел (его произведение самого на себя) выйдет за пределы нашего промежутка. Например, если взять промежуток от 1 до 200 — понадобится шесть шагов: мы вычеркнем числа, кратные двум, трем, пяти, семи, одиннадцати и тринадцати; первое из оставшихся чисел — 17, так как 17*17 = 289, а это число больше, чем 200.

Задача. Проверить с помощью решета Эратосфена, что среди чисел от 1 до 200 простых чисел 46.

Если же взять промежуток от 1 до 1000, понадобится одиннадцать шагов: вычеркиваются числа, кратные двум, трем, пяти, семи, одиннадцати, тринадцати, семнадцати, девятнадцати, двадцати трем, двадцати девяти и тридцати одному. Не так уж много времени требуется, чтобы найти все простые числа первой тысячи! Вот их список.

ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ОТ 1 ДО 1000

2

3

5

7

11

13

17

19

23

29

31

37

41

43

47

53

59

61

67

71

73

79

83

89

97

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

151

157

163

167

173

179

181

191

193

197

199

211

223

227

229

233

239

241

251

257

263

269

271

277

281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

359

367

373

379

383

389

397

401

409

419

421

431

433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499

503

509

521

523

541

547

557

563

569

571

577

587

593

599

601

607

613

617

619

631

641

643

647

653

659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739

743

751

757

761

769

773

787

797

809

811

821

823

827

829

839

853

857

859

863

877

881

883

887

907

911

919

929

937

941

947

953

967

971

977

983

991

997

Любое число, кроме 1,— либо простое, либо составное. Но оказывается, что всякое составное число можно разложить на простые множители — записать его в виде произведения простых чисел.

Например, 4 = 2-2, 6 = 2-3, 8 = 2- 2-2, 9 = 3*3, 10 = 2 • 5. Конечно, можно записать и так: 10 = 5 • 2. Но обычно простые множители записывают в порядке возрастания: от меньших к большим.

Если нужно разложить на простые множители большое число, пользуются таблицей простых чисел и признаками делимости. Для примера возьмем число 47580.

Первое простое число в таблице — это 2. Число 47580 делится на 2 (оно оканчивается четной цифрой):

47580 : 2 = 23790, а значит, 47580 = 2 • 23790.

Теперь посмотрим на число 23790. Оно делится на 2 (оно оканчивается четной цифрой):

23790 = 2 • 11895, а значит, 4758Ö = 2 • 2 • 11895.

Число 11895 уже не делится на 2 (оно оканчивается нечетной цифрой). Посмотрим, делится ли оно на следующее простое число — на 3. Применим признак делимости на 3:1 + 1 + 8 + 9 + 5 = 24, 2 + 4 = 6, 6 делится на 3. Значит, 11895 делится на 3:

11895 = 3 • 3965, а значит, 47580 = 2 • 2 • 3 • 3965.

3965 уже не делится на 3-3 + 9 + 6 + 5 = 23, 2 + 3 = = 5). Следующее простое число — 5. 3965 оканчивается цифрой 5, поэтому оно делится на 5:

3965 = 5 • 793, поэтому 47580 = 2 • 2 • 3 • 5 • 793.

793 не делится на 5: оно оканчивается цифрой 3. Следующее простое число — 7. 793 и на него не делится. Может быть, 793 — простое число? Нет, в таблице простых чисел его нет. Поэтому продолжаем проверку.

Следующее простое число — 11. Вспомним признак делимости на 11: 3 + 7 = 10; 10 - 9 = 1; 1 на 11 не делится. Значит, 793 не делится и на 11. Следующее простое число — 13.

Ура, разделилось! Оказывается,

793 = 13 • 61, а значит, 47580 = 2 • 2 • 3 • 5 • 13 • 61.

Заглядываем в таблицу простых чисел — и видим, что число 61 — простое. Работа закончена. Ее принято оформлять так:

Конечно, не обязательно раскладывать это число на простые множители именно в таком порядке. Например, можно заметить, что 47580 = 10 е 4758; 10 = 2*5, поэтому достаточно разложить на простые множители число 4758:

Если теперь переписать множители в порядке возрастания, то получим тот же результат: 47580 = = 2-5-2-3-13-61.

Задача. Разложи на простые множители числа: 120, 175, 343.

Всякое число можно представить в виде суммы единиц, при этом каждое слагаемое дальше в сумму уже не раскладывается (если потребовать, чтобы среди слагаемых не было нулей). Точно так же всякое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, при этом каждый множитель дальше в произведение уже не раскладывается (если потребовать, чтобы среди множителей не было единиц). Простые числа — это как бы кирпичики, из которых можно построить любое составное число. Возможно, их поэтому и называют простыми. Хотя изучение простых чисел — одна из самых сложных областей в математике. Начать с того, что их расположение в ряду натуральных чисел не подчиняется никакому порядку. Четные числа идут через одно, нечетные — тоже. Числа, кратные пяти, идут через четыре числа. Числа-квадраты (1 = 1 • 1; 4 = 2 • 2; 9 = 3 • 3; 16 = 4 • 4 и так далее) тоже идут в определенном порядке:

1;

4 = 1 + 3;

9 = 4 + 5;

16 = 9 + 7;

25 = 16 + 9, — вообще, чтобы получить следующий квадрат, надо к предыдущему прибавить очередное нечетное число. А вот простые числа располагаются в числовом ряду как хотят. Ну конечно, они не могут стоять рядом, если только это не пара 2 и 3. Ведь из двух соседних чисел одно обязательно четное, а единственное четное простое число — это 2. Но во всем остальном — полная свобода. Простые числа могут стоять через одно — тогда их называют близнецами: это 3 и 5, 5 и 7,

11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и так далее. Близнецов разделяет только одно составное число. Их легко обнаружить в таблице простых чисел. Но из той же таблицы видно, что числа 113 и 127 отделены друг от друга целой чертовой дюжиной — тринадцатью составными числами. Оказывается, в числовом ряду можно найти отрезок любой длины, сплошь заполненный составными числами. Только представить себе: миллионы, миллиарды подряд идущих составных чисел. Поневоле покажется, что простых чисел больше не будет. Может быть, они когда-нибудь кончатся? Как бы не так! Еще великий древнегреческий математик Евклид, современник Эратосфена, тоже живший в Александрии, доказал, что никогда они не кончатся. Какое бы простое число мы ни взяли, утверждает Евклид, найдется простое число еще больше. Это значит, что простых чисел бесконечно много.

Поиск простых чисел — дело очень долгое даже для современных компьютеров. Ведь любое нечетное число, не оканчивающееся пятеркой, может оказаться простым и должно быть просеяно через решето Эратосфена. Если число не является простым, через какое-нибудь отверстие в решете оно обязательно «провалится»: разделится не на 3 — так на 7, не на 7 — так на 11 и так далее. На дне решета остаются только те числа, которые ни на что, кроме себя и единицы, не делятся,— простые. Ясно, что чем больше число, тем больше проверок должен произвести компьютер. Так было, например, выяснено, что простым является вот такое число: 286243 - 1. Чтобы найти его, нужно перемножить восемьдесят шесть тысяч двести сорок три двойки и от произведения отнять единицу. В записи этого числа 25962 цифры. И оно найдено с помощью все того же древнего решета!

Попробуем представить себе, насколько громадно это число. Для этого поговорим о числе, которое неиз-

меримо меньше: чтобы получить его, надо перемножить всего-навсего 64 двойки и отнять от произведения единицу. В записи этого числа всего 20 цифр: оно равно 18 446 744 073 709 551 615. Разумеется, это число не является простым — это ведь сразу видно! Но сейчас нам это неважно: мы хотим только попробовать вообразить себе его величину. Это число часто называют «шахматным» и связывают с легендой об изобретении шахмат. Вот как выглядит эта легенда в изложении Якова Исидоровича Перельмана.

Шахматы — одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить. Вот одна из этих легенд. Чтобы понять ее, не нужно уметь играть в шахматы, а достаточно знать, что эта игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки.

Шахматная игра была придумана в Индии мудрецом по имени Сета, и, когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен. Царь приказал позвать изобретателя игры, чтобы лично наградить его.

— Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал, — сказал царь. — Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Мудрец поклонился и ответил:

— Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя скромностью своей просьбы.

— Повелитель, — сказал Сета, — прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

— Простое пшеничное зерно? — изумился Шерам.

— Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвертую 8, за пятую 16, за шестую 32...

— Довольно, — с раздражением прервал его царь. — Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета с улыбкой поклонился, покинул залу и стал дожидаться у ворот дворца.

За обедом Шерам вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета свою жалкую награду.

— Повелитель, — ответил ему приближенный, — приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медленно.

Вечером, отходя ко сну, Шерам еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца.

— Повелитель, — ответили ему, — математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

— Почему медлят с этим делом? — гневно воскликнул царь. — Завтра, прежде чем я проснусь, все до последнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не приказываю.

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его.

— Прежде чем скажешь о своем деле,— объявил Шерам,— я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил.

— Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, — ответил ученый.— Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико...

— Как бы велико оно ни было, — надменно перебил царь, — житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана...

— Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам ученого.

— Назови же мне это чудовищное число, — сказал он.

— Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

Такова легенда. Действительно ли случилось то, что здесь рассказано, неизвестно. Но награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом. В этом можно убедиться терпеливым подсчетом.

Начав с единицы, нужно сложить числа 1, 2, 4, 8 и так далее. Результат 63-го удвоения покажет, сколько зерен причиталось изобретателю за 64-ю клетку доски. Сложив найденные шестьдесят четыре числа, мы и найдем этот результат:

18 446 744 073 709 551 615.

Можно доказать, что это же число получится, если перемножить 64 двойки и отнять от результата единицу: 264 - 1.

Чтобы представить себе всю огромность этого числового великана, прикинем, какой величины амбар потребовался бы для вмещения подобного количества зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вмещает около 15 миллионов зерен. Значит, награда шахматного изобретателя должна была занять объем примерно в 12 000 000 000 000 кубических метров, или 12 000 кубических километров. При высоте амбара 4 метра и ширине 10 метров длина его должна была бы составить 300 000 000 километров — вдвое больше расстояния от Земли до Солнца!

Шерам не в состоянии был выдать подобной награды. Но он легко мог бы освободиться от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитающуюся ему пшеницу.

В самом деле: если бы Сета работал непрерывно день и ночь, отсчитывая по одному зерну в секунду, он за минуту отсчитал бы 60 зерен, за час 60 • 60 = 3600 зерен, а за сутки 3600 • 24 = 86400 зерен. Чтобы отсчитать один миллион зерен, потребовалось бы более 10 суток непрерывного счета (разделите на микрокалькуляторе 1000000 на 86400, и вы получите 11,574074 — более 11,5 суток). Один кубический метр (около 15 миллионов зерен) Сета отсчитал бы примерно за полгода. За год — 2 кубических метра. В кубическом километре — миллиард кубических метров, поэтому на отсчет одного кубического километра потребовалось бы полмиллиарда лет! А требуется 12000 кубических километров... Так что, даже посвятив этому делу всю свою жизнь, Сета получил бы лишь ничтожную крупицу потребованной им награды. На это не хватило бы даже времени жизни нашей Земли: по мнению ученых, она существует всего-навсего около трех миллиардов лет.

Вот так рассказал эту легенду Я. И. Перельман в своей книге «Живая математика». Эта его книга, а также «Занимательная арифметика», «Занимательная геометрия» и другие недавно снова изданы. Очень советуем их почитать.

Теперь уже понятно, что если так огромно шахматное число, равное 264 - 1, то простое число 286243 - 1 вообще трудно себе представить. И все-таки существует простое число, еще большее, чем 286243 - 1. Чтобы доказать это, перемножим все простые числа от 2 до 286243 - 1 и, обозначив это произведение буквой р, прибавим к нему 1 :

р + 1 = 2 • 3 • 5 • 7 • 11 • 13 •... • (286243 - 1) + 1.

Число р больше каждого из перемноженных простых чисел и делится на любое из них. Поэтому число р + 1 тоже больше каждого из простых чисел от 2

до 286243 - 1, но оно не делится ни на одно из них (при делении на любое из них дает в остатке единицу). Число р + 1 может оказаться либо простым, либо составным. Если оно простое, то оно и есть простое число большее, чем 286243 - 1. Если же оно составное, то его можно разложить на простые множители, среди которых нет ни одного из простых чисел от 2 до 286243 - 1 (ведь ни на одно из них числор + 1 не делится!). А значит, и в этом случае существует простое число большее, чем 286243 - 1.

Именно таким способом доказал великий Евклид в III веке до нашей эры бесконечность ряда простых чисел.

Задачи

1. Сколько существует четных простых чисел? Сколько существует простых чисел, кратных числу 17? А кратных числу 18?

2. Расшифруй равенство * + 9* + * = *0*, в котором слагаемые — простые числа.

3. Есть только два таких простых числа, у которых их сумма и разность — тоже простые числа. Что это за числа? Более трудный вопрос: почему нет других таких чисел?

4. В каких десятках первой сотни имеется ровно три простых числа?

5. Есть ли в первой сотне такой десяток, в котором ровно одно простое число?

6. Четырехзначное число, у которого все цифры одинаковы, имеет ровно два простых делителя. Что это за число?

7. Сколько различных делителей у числа 6? У числа 7? У числа 8? У числа 9? У числа 23 • З4?

8. Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом? А четырех?

9. К двузначному числу приписали такое же число. Может ли получившееся четырехзначное число быть простым?

10. Какое двузначное простое число при умножении на 9 дает в произведении трехзначное число, записываемое одинаковыми цифрами?

11. Докажи, что остаток от деления простого числа на 30 — либо простое число, либо 1.

12. Числа 3, 5 и 7 — три последовательных нечетных простых числа. Существует ли еще такая тройка чисел?

Глава вторая

Дроби

Дроби с одинаковыми знаменателями

До сих пор мы говорили о числах, с помощью которых считают предметы: 1, 2, 3, 4 и так далее. Это — натуральные числа.

Но бывает, что предмет делят на части.

Вот два разбойника делят добычу пополам. Каждый говорит: дай мне мою половину.

А если бы разбойников было три, каждый требовал бы себе свою треть.

Половина и треть — это дроби. Записываются они так. Сначала ставится черта дроби. Потом пишутся два числа: числитель выше черты дроби и знаменатель ниже черты дроби. Знаменатель показывает, на какое число равных частей разделен тот или иной предмет, а числитель — сколько таких частей берется.

Например, половина записывается так: -|. Здесь знаменатель 2 показывает, что разбойники делят добычу на две равные части. А числитель 1 показывает, что каждый разбойник может взять себе одну такую часть.

Точно так же ^ — это одна треть — часть, которую может взять себе каждый разбойник, если добычу делят на троих. Заметим, что если один разбойник возьмет себе ^ добычи, то остальным двум останутся две трети: ^, и они будут делить их пополам, по ^ каждому.

Как двоим разбойникам разделить добычу пополам, чтобы никто не обижался на другого? Это можно сделать так: один делит на две такие части, что он согласен взять себе любую из них, а другой выбирает ту часть, которая ему больше понравилась.

А как разделить добычу между тремя разбойниками? Эта задача посложнее.

Задача. Подумай, как разделить добычу между тремя разбойниками, чтобы никто не обижался на других.

Числа изображаются точками на координатной прямой. Чтобы изобразить натуральное число 5, нужно отложить от нуля вправо пять единичных отрезков:

Откладывая от нуля вправо целое число единичных отрезков, можно изобразить любое натуральное число: отложим 39 отрезков — получим число 39, отложим 9999 отрезков — получим число 9999. Но на прямой очень много точек, которые не изображают никаких натуральных чисел. Например, точки А, В и с на этом рисунке:

Точка А получилась так: единичный отрезок разделили на четыре равные части и взяли одну такую часть. Поэтому точка А изображает число, которое можно записать так: j.

Точка В изображает число |> так как единицу разделили на четыре равные части и взяли три такие части.

Точка С изображает число ^, так как единицу разделили на четыре равные части и взяли пять таких частей.

Вообще, если разделить единичный отрезок на п равных частей и отложить от нуля вправо m таких частей, то получится точка, изображающая дробь

Какие действия можно выполнять с натуральными числами?

Их можно:

— сравнивать: 7 > 2, 3 < 5, 4 = 4;

— складывать: 6 + 8 = 14;

— вычитать: 74-53 = 21;

— умножать: 3*9 = 27;

— делить: 44 : 2 = 22.

При этом сравнить, сложить или перемножить можно любые два натуральных числа. Вычесть можно только из большего числа меньшее. А разделить одно число на другое можно только тогда, когда первое делится на второе.

Те же действия можно выполнять и с дробями. Здесь даже больше возможностей: оказывается, делить дроби можно всегда (если, конечно, делитель — не нуль).

Проще всего выполнять действия с дробями, когда у них одинаковые знаменатели. В этом случае их легко сравнивать, складывать и вычитать. Научившись это делать, можно сравнить, сложить или вычесть любые дроби, приведя их сначала к одинаковому знаменателю.

Итак, начнем.

Сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями как две капли воды похожи на эти же действия с натуральными числами.

Сравним, сложим и вычтем f и у — две седьмых и четыре седьмых.

Для этого сначала сравним, сложим и вычтем 2 вещи и 4 вещи. Конечно, мы будем считать, что все эти

вещи — одинаковые. Но точно так же и все седьмые должны быть одинаковые — это седьмые доли одной и той же единицы.

2 вещи < 4 вещей 2 седьмых < 4 седьмых

2 вещи 4- 4 вещи = 6 вещей 2 седьмых + 4 седьмых = 6 седьмых

4 вещи - 2 вещи = 2 вещи 4 седьмых - 2 седьмых = 2 седьмых

Вещи могут быть любые: кирпичи, столы, яблоки. И вместо седьмых долей можно брать любые: четырнадцатые, сотые, двадцать восьмые. Лишь бы вещи были одинаковые; лишь бы доли были одинаковые. Пока мы не знаем отрицательных чисел и не берем нулей, мы можем сказать так:

2 чего угодно < 4 того же самого;

2 чего угодно + 4 того же самого = 6 того же самого;

4 чего угодно - 2 того же самого = 2 того же самого.

Мы можем даже не интересоваться, какие вещи сравниваются, складываются и вычитаются — лишь бы они были одинаковые.

Вот и при сравнении, сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями мы можем не обращать внимания на знаменатели — лишь бы они были одинаковые. Сравнивать, складывать и вычитать мы будем числители:

Сравнивать, складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями можно и с помощью координатной прямой. Возьмем две дроби с одним и тем же знаменателем 7 и с числителями 2 и 4: дробь у и дробь у. Изобразим их на координатной прямой. Для этого придется разделить отрезок от 0 до 1 на 7 равных отрезков (длина каждого из них будет равна у). Чтобы

получить изображение числа у, отсчитаем вправо от нуля 2 таких отрезка. Чтобы получить изображение числа у, отсчитаем вправо от нуля 4 таких отрезка. Так как 4 > 2, то дробь j окажется правее дроби у. И при этом дробь у больше дроби у, так как она состо; ит из большего числа одинаковых частей, равных j.

Если такой способ сравнения не кажется убедительным, то представим себе другое: не числовую прямую, а праздничный пирог, разрезанный на 7 равных частей. Ясно, что 4 такие части больше, чем 2 такие же части: ^ > |.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.

На математический язык это правило переводится в виде такой формулы:

Найдем теперь сумму дробей с одинаковыми знаменателями — дробей у Hj. Для этого изобразим дробь y на координатной прямой и продвинемся от нее вправо на ^:

Нам пришлось к 2 отрезкам (длиной ^ каждый) присчитать еще 4 таких же отрезка. Так что всего мы отсчитали от нуля 2 + 4 таких отрезков. Получается, что число f + у равно дроби .

Сумма дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей данных дробей.

На математическом языке это правило выглядит так:

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями понятно из рисунка:

Разность дробей с одинаковыми знаменателями равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным разности числителей данных дробей:

Снова вспомним праздничный пирог. Если его разделят на 7 равных частей и сначала положат на блюдо 2 такие части, а потом еще 4 такие же части, то получится у + j = у, а если положат 4 такие части, а потом из них съедят 2 части, то останется 4 - -I = f.

Основное свойство дроби. Сокращение дроби

На математической олимпиаде в 4 классе Коля и Вася решали такие задачи:

Запишите число 1, используя две тройки; запишите число 2, используя числа 6 и 3.

Вася эти задачи решил так: 3:3 = 1;6:3 = 2.

Коля написал по-другому: |= 1; |= 2.

Оба мальчика заслужили похвалу учителя. Но самое интересное было потом: Коля сразу согласился, что решение Васи тоже правильное: если разделить 3 на 3, то получится 1, а если разделить 6 на 3, то получится 2. А вот Вася долго не мог понять, всегда ли можно заменить частное дробью:

получается, что |-= 3 : 3 и что §=6 : 3.

Это что, совпадение или общий закон? Всегда ли дробь |- равна частному а : Ы

Оказывается, всегда.

Разберемся в этом на примере дроби |. Докажем, что эта дробь равна частному 3:4. Для этого нам надо разделить 3 на 4.

Это можно сделать в два приема.

1) Взять 3 единицы (или, если хотите,— три пирога) и разделить каждую из них на 4 равные части:

2) Взять из каждой единицы (из каждого пирога) по одной такой части:

Вот мы и разделили 3 на 4 (разделили три пирога на четыре равные части). И получили в каждой части три четвертых. Значит, 3 : 4 = f.

Дробь j равна частному а : Ь.

Недаром на любом микрокалькуляторе кнопка «деление» выглядит так:

Дробная черта и двоеточие означают одно и то же действие — деление.

Раз уж речь зашла о калькуляторе, обратим внимание на то, что на его дисплее мы никогда не увидим никаких записей с дробной чертой. Калькулятор все пишет в десятичной системе счисления: каждая цифра правее или левее других, но не выше и не ниже. Хочешь узнать, чему равна дробь ^ — набираешь 3, нажимаешь кнопку «деление», набираешь 4, затем знак равенства — и получаешь запись: 0.75. Так записывает калькулятор десятичные дроби: он сообщает нам, что три четверти равны нулю целых семидесяти пяти сотым. Мы сразу получили запись дроби |-в виде десятичной дроби 0,75. Подробно об этом мы поговорим позже. Точно так же можно узнать, чему равна дробь I- : набираем 4, деление, 2, знак равенства — и получаем 2. Естественно: | = 4 : 2 = 2.

Зная, что j = а : Ь, можно догадаться о некоторых важных свойствах дробей: ведь свойства частных нам известны! Например, от увеличения делимого в несколько раз частное увеличивается во столько же раз. Отсюда сразу следует, что от увеличения числителя в несколько раз дробь увеличивается во столько же раз:

Каждому свойству частных соответствует свойство дробей:

от уменьшения делимого в несколько раз частное уменьшается во столько же раз;

от увеличения делителя в несколько раз частное уменьшается во столько же раз;

от уменьшения делителя в несколько раз частное увеличивается во столько же раз;

от увеличения или уменьшения в несколько раз и делимого, и делителя частное не изменяется.

Последнее получившееся у нас утверждение называется основным свойством дроби. Повторим его еще раз:

От увеличения или уменьшения числителя и знаменателя в одно и то же число раз значение дроби не изменяется.

Читая это равенство слева направо: ffj; = f > мы делим числитель и знаменатель на одно и то же число, например ^ = ^.

Читая это равенство справа налево: ^ , мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число, например ^ = ^.

Основное свойство дроби позволяет иногда упрощать дроби, деля числитель и знаменатель на одно и то же число. Такая операция называется сокращением дроби.

Например, у дроби Щ и числитель, и знаменатель делится на 10. Эту дрооь можно сократить на 10:

Дроби с разными знаменателями

Ну а как сравнивать, складывать, вычитать дроби с разными знаменателями? Как, например, сложить в старинной задаче «столько, да полстолька, да четверть столька» (то есть единицу, половину и четверть)? Или как догадаться, что две восьмых ноты и одна четверть составляют полный такт в размере

Видно, что

Одним способом это можно сделать наверняка — с помощью числовой прямой. Сравним, сложим и вычтем дроби тг и j.

1) Сравнение.

Видно, что

2) Сложение.

3) Вычитание.

Видно, что

Попробуем теперь проделать то же самое с дробями

1) Сравнение.

Видно, что

2) Сложение.

И куда же мы попали? В какую-то точку, лежащую правее единицы. Из рисунка узнать, что это за точка, мы не можем. Попробуем заменить данные дроби равными им дробями, но с одинаковыми знаменателями. Для этого надо подобрать такую долю, которая помещается целое число раз и в одной трети, и в трех четвертях. Такой долей может быть, например, одна двенадцатая — она помещается три раза в одной четверти, а значит, девять раз в трех четвертях:

Она же помещается четыре раза в одной трети:

Теперь сложить дроби можно без всякого рисунка:

3) Вычитание.

Мы попали в какую-то точку, лежащую между одной третью и двумя четвертями. Но теперь мы уже знаем, как нам быть:

Замена дроби на равную ей дробь с другим знаменателем называется приведением дроби к новому знаменателю. Эта замена осуществляется с помощью основного свойства дроби. Например, можно привести дробь I к знаменателю 30:

Складывая и вычитая дроби * и g , мы приводили их к общему знаменателю — к знаменателю 12. К общему знаменателю можно привести любые две дроби. Покажем, как найти общий знаменатель, на примере дробей g и |. Воспользуемся основным свойством дроби и умножим числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй (на 8), а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой (на 6). У нас получатся дроби и с равными знаменателями 6 • 8 и 8 • 6. Итак,

А нельзя ли привести дроби jj и | к знаменателю, меньшему, чем 48? Оказывается, можно. Если умножить числитель и знаменатель первой дроби на 4, а второй — на 3, то получим: = ^ ; = ^ .

Нельзя ли сделать общий знаменатель этих дробей еще меньше, чем 24? Оказывается, нельзя. Ведь новый знаменатель получается умножением чисел 6 и 8 на какие-то другие числа, а значит, он должен делиться и на 6, и на 8. Но ни одно число, меньшее, чем 24, не делится на 6 и на 8 одновременно.

Наименьший общий знаменатель данных дробей можно найти, разложив их знаменатели на простые

множители. Для дробей § и | получится: 6 = 2 • 3, 8 = 2 • 2 • 2. Значит, наименьший общий знаменатель равен 2 • 3 • 2 • 2. Почему? А потому, что он должен делиться на 6 и на 8. Значит, он должен содержать по крайней мере одну тройку и по крайней мере три двойки. А раз он наименьший, то никаких других множителей он содержать не должен. Значит, наименьший общий знаменатель данных дробей равен 24.

Задача. Найди наименьший общий знаменатель дробей 4 и jg._|

Впрочем, в тех несложных примерах, с которыми сталкиваются школьники, обычно удается находить наименьший общий знаменатель подбором. Кстати, если даже найти не самый маленький общий знаменатель для двух данных дробей, ничего страшного не произойдет.

Умея приводить дроби к общему знаменателю, можно сравнивать, складывать и вычитать любые дроби.

Пример. Сравним дроби yg и у|, найдем их сумму и разность.

1) Знаменатели у дробей jö и т§ Разные- Приведем их к общему знаменателю Зо. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножим на дополнительный множитель 3, а числитель и знаменатель второй дроби — на дополнительный множитель 2. Чтобы не ошибиться, дополнительные множители подписывают рядом с числителями дробей:

2) Выполним действия:

Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями и чтобы найти их сумму или разность, нужно:

1) привести дроби к общему знаменателю,

2) выполнить требуемое действие.

В краткой записи сложение и вычитание дробей выглядят так:

Мы умели сравнивать, складывать и вычитать натуральные числа. Теперь мы научились делать то же самое с любыми дробями. Ну а если взять одно число натуральное, а другое — дробь? Сможем ли мы их сравнить между собой, найти их сумму и разность?

Начнем со сравнения. Если у дроби числитель меньше знаменателя, то она меньше любого натурального числа, даже меньше единицы. В самом деле, если взять дробь y§, то ее изображение на координатной прямой окажется левее единицы, так как единицу надо разделить на 15 одинаковых долей и отложить от нуля вправо 11 таких долей. Но 11 < 15, и полученная точка окажется левее единицы.

Дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называются правильными дробями. Правильная дробь меньше единицы и меньше любого натурального числа.

Дроби, у которых числитель не меньше знаменателя (либо равен знаменателю, как у дроби |, либо больше него, как у дроби | ), называются неправильными.

Если числитель равен знаменателю, как у дроби |, то дробь просто равна единице:

тк=п\п=\ п

Если же числитель больше знаменателя, то чтобы сравнить дробь с натуральными числами, нужно выделить ее целую часть. Вот, например, дробь ^у. Разделим ее числитель на ее знаменатель. Получим: 23 : 7 = 3 (ост. 2). Значит, в дроби ^ содержатся 3 целые единицы и еще ^ . Это хорошо видно на рисунке:

Число 3 — это целая часть неправильной дроби Число ^ больше любого натурального числа от 1 до 3; это число меньше любого натурального числа, начиная с 4.

Задача. Выдели целую часть у неправильной дроби .

Еще задача. Выясни, между какими натуральными числами находится число Щ .

Сумму правильной дроби и натурального числа обычно записывают в виде так называемого смешанного числа: 3 + -| = Щ. Число 3 — целая часть смешанного числа Щ 9 a j — его дробная часть. Выделив целую часть дроби ^г, мы можем обратить ее в смешанное число:

И наоборот, смешанное число можно превратить в неправильную дробь.

Например, 151 = 15 +1 = ^ +1 = ^.

Подведем итоги. Чтобы сравнить дробь с натуральным числом, надо сначала посмотреть, правильная это дробь или неправильная. Если правильная — она меньше любого натурального числа. Если неправильная — она либо равна единице, либо больше единицы. В последнем случае мы выделяем ее целую часть и находим, между какими соседними натуральными числами заключена дробь.

Задача. Сравни числа:

Сложение натурального числа и дроби выполнить нетрудно. Если дробь правильная — получается смешанное число:

Если дробь неправильная и числитель равен знаменателю, то сумма будет на единицу больше данного натурального числа:

Если же дробь неправильная и числитель больше знаменателя — нужно превратить дробь в смешанное число и к ее целой части прибавить данное натуральное число:

Вычитание натурального числа из дроби и вычитание дроби из натурального числа — самая неприятная из всех операций с дробями. Покажем на примерах, как это делается.

1. Дробь правильная.

Вычесть из правильной дроби нельзя никакое натуральное число.

2. Дробь неправильная, числитель равен знаменателю.

Это проще всего:

§ -1 = 1-1 = 0. Никакое другое натуральное число вычесть из такой дроби нельзя.

3. Дробь неправильная, числитель больше знаменателя.

а дальше, как в первом случае.

Умножение и деление дробей

Легче всего умножить дробь на натуральное число — для этого достаточно уметь складывать:

х • 3 = X + X + X,

и вообще, умножить число на натуральное число п — значит взять его слагаемым п раз.

Задача. Как узнать, чему равно 4*3, заменяя умножение сложением?

Так и поступим, чтобы умножить число т~ на 5:

Как видно, умножение дроби на натуральное число п осуществляется по формуле

Чтобы умножить дробь на натуральное число, достаточно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить прежним.

Задача. Выполни умножение:

А как разделить дробь на натуральное число?

Деление на натуральное число п означает уменьшение данного числа в п раз. А уменьшить дробь в п раз можно двумя способами:

либо разделить на п ее числитель;

либо умножить на п ее знаменатель.

Например:

Но первый способ можно использовать лишь тогда, когда числитель делимого делится на п. А второй способ годится всегда.

Поэтому деление дроби на натуральное число осуществляется по формуле

Чтобы разделить дробь на натуральное число, достаточно умножить знаменатель дроби на это число, а числитель оставить прежним.

Задача. Выполни деление f на 3 двумя способами. Выполни деление | на 11 одним способом.

Займемся теперь умножением дроби на дробь: найдем произведение дробей § и у.

Дробь f в 3 раза меньше, чем число 2. А дробь у в 7 раз меньше, чем число 4. Значит, произведение дробей |^ и4 в 3 • 7 раз меньше, чем произведение чисел 2 и 4. Поэтому

Произведение дробей — это дробь, числитель которой равен произведению их числителей, а знаменатель — произведению их знаменателей:

Задача. Найди произведение дробей

Так же просто и деление дроби на дробь. Найдем частное дробей § и ^.

Делимое f в 5 раз меньше числа 2, а делитель ^

в 7 раз меньше числа 3. Значит, частное дробей § и ^ можно получить так:

1) найти частное чисел 2 и 3 (оно равно |);

2) уменьшить полученный результат в 5 раз (получится Д);

3) увеличить полученный результат в 7 раз (получится ph.

Итак 2 . 3 = 2il = И jr±ia*,, 5*7 5-3 15е

Частное от деления дроби на дробь — это дробь, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель равен произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби:

Задача. Найди частное Еще задача. Вычисли:

Три задачи на дроби

Среди многочисленных задач, связанных с дробями, есть три основные задачи.

Задача первая. Найди дробь |- от числа m (например, найди -| от числа 210).

Решение

1) Найдем сначала у от числа 210, для чего разделим 210 на 7. 210 : 7 = 30.

2) Найдем -| от числа 210, для чего умножим его у на 5. 30-5 = 150.

Ответ: 150.

Краткая запись решения: (210 : 7) • 5 = 150, или Щ^- = 150.

Чтобы найти дробь f от числа т9 достаточно число m умножить на дробь ^

Задача вторая. Найди число х, если его дробь & равна р (например, число х, ^ которого равны 75).

Решение

1) Найдем сначала д искомого числа, для чего разделим его jî на 3. 75 : 3 = 25.

2) Найдем все число, для чего умножим его на 11. 25-11 = 275.

Ответ: 275.

Краткая запись решения: (75 : 3) • 11 = 275,

Чтобы найти число по его дроби ^, равной р, достаточно разделить число р на дробь

Задача третья. Найти отношение числа а к числу Ъ (например, какую часть от 85 составляет число 34).

Решение

Число 1 составляет ^ от числа 85. Значит, число 34 составляет от него Ц, то есть -|. Ответ: ^.

Краткая запись: §§ = §.

Чтобы найти, какую часть составляет число а от числа Ъ, надо разделить а на Ь.

Давно ли появились дроби?

Не только сами дроби, но и действия с ними были известны уже в Древнем Египте за 2000 лет до нашей эры. Значит, дроби сопутствуют людям уже четыре тысячи лет! Мы знаем об этом из древнеегипетских рукописей — папирусов (папирус — растение, развернутые стебли которого использовали вместо бумаги; они оказались на удивление долговечными). Один такой папирус был обнаружен в середине прошлого века немецким ученым Генрихом Риндом, поэтому его так и называют папирус Ринда. Сейчас большая его часть хранится в Британском музее в Лондоне. На нем писал писец по имени Ахмес, и иногда папирус называют также папирусом Ахмеса. Судя по всему, это не просто математическая рукопись, а учебник, составленный для тех, кто готовился стать придворными писцами фараона. Если так — это древнейший в мире учебник математики, прапрапра...дедушка наших современных учебников. Ахмес, кажется, был очень хорошим учителем, потому что он очень ясно объясняет решения всех восьмидеся-

ти четырех задач, составляющих папирус. Среди этих задач есть и задачи на дроби. И это очень трудные задачи, потому что египтяне признавали только дроби с числителем 1 (те, которые мы называем «долями»), а это усложняло и формулировки, и решения задач. Правда, две дроби, не являющиеся долями, у египтян были — две трети и три четверти. Никаких числителей и знаменателей в записи дробей тогда не было. Чтобы записать дробь Ахмес просто ставит точку над обозначением числа 10. 10 обозначается примерно так: л, a — л. Так же записывались и другие дроби с числителем 1. Дроби, не являющиеся долями, приходилось либо обозначать так: «три раза по jU (по-нашему ^), либо представлять в виде суммы долей:

Задача. Как мы записываем число, которое Ахмес обозначает так: ^ + Jg?

Еще задача. Объясняя расчет пирамиды, Ахмес получил такое число: семь раз по ^ + -| + Как мы записываем это число сейчас?

Кроме «серьезных» задач, в папирусе Ахмеса есть и несколько головоломок. Например: «Столько да четверть столько — вместе 15. Сколько это?» А правда, сколько?

Задачи

1. Сколько будет полторы трети от 100?

2. Найди дробь с возможно меньшим знаменателем, которая была бы больше р^, но меньше у^.

3. Жили-были два брата-близнеца. Один из них ежедневно спал ^ суток, а другой ^ суток. Дожили они

так до 72-летнего возраста. Сколько лет за это время проспал каждый из них?

4. Племянник спросил дядю, сколько тому лет. Дядя ответил: «Если к половине прожитых мной лет прибавить еще 10 лет, то получится число, которое составит j моего возраста». Сколько лет дяде?

5. Однажды греческого математика Пифагора спросили, который час. Пифагор ответил, что до конца суток осталось дважды две пятых того, что уже прошло от начала. Который был час?

6. Три брата пришли на постоялый двор, заказали пельмени и улеглись спать. Когда старший брат проснулся, он увидел на столе блюдо с пельменями, пересчитал их и съел свою долю. После этого он снова уснул. Проснулся средний брат, увидел пельмени, пересчитал их и съел одну треть, не зная, что старший брат уже поел. После этого средний брат тоже уснул. Наконец, проснулся младший брат. Он тоже съел одну треть оставшихся пельменей и разбудил старшего и среднего брата, предложив им оставшиеся 24 пельменя. Тут все выяснилось, и братья стали думать, как разделить эти 24 пельменя по справедливости. Как они должны это сделать?

7. В прежние времена два крестьянина Петр и Иван пришли покупать избу. Хозяин попросил за нее 38 рублей. Петр сказал Ивану: «Дай мне ^ своих денег, и я смогу купить избу». Иван ответил: «Лучше ты дай мне|-твоих денег, и я куплю избу». Сколько денег было у каждого?

8. Задача из папируса Ахмеса. Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, чтобы разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляла ^ меры.

9. Древнегреческая задача о статуе Афины.

Я — изваянье из злата. Поэты то злато

В дар принесли: Харизий принес половину всей жертвы,

Феспия часть восьмую дала; десятую — Солон. Часть двадцатая — жертва певца Фемиона, а девять Всё завершивших талантов* — обет, Аристоником данный.

Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

10. Древнегреческая задача: бог любви Эрот жалуется своей матери — богине любви и красоты Афродите — на муз, которые отобрали у него яблоки.

Яблок я нес с Геликона немало.

Музы, отколь ни возьмись, напали на сладкую ношу.

Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио

Пятую долю взяла. Талия — долю восьмую.

С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть

взяла Терпсихора. С частью седьмою Эрато от меня убежала. Тридцать плодов унесла Полигимния. Сотня

и двадцать

Взяты Уранией. Триста плодов унесла Каллиопа. Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками. Только полсотни плодов мне оставили музы на долю.

Сколько яблок было у Эрота до встречи с музами?

11. Средневековая немецкая задача (Адама Ризе). Трое торгуют лошадь за 12 флоринов, но никто в отдельности не располагает такой суммой. Первый гово-

* Здесь слово «талант» означает не способности к чему-либо, а самую крупную древнюю меру веса.

рит двум другим: «Дайте мне каждый по половине своих денег, и я куплю лошадь». Второй говорит первому и третьему: «Дайте мне по одной трети ваших денег, и я приобрету лошадь». Третий говорит первым двум: «Дайте мне по четвертой части ваших денег, и я куплю лошадь». Сколько денег было у каждого?

12. Задача Ньютона. На трех лугах площадью 3^, 10 и 24 га трава растет одинаково, то есть с одинаковой густотой и одинаковым приростом. После того как на первом лугу 12 коров паслись 4 недели, а на втором лугу 21 корова паслась 9 недель, трава оказалась съеденной настолько, что оба пастбища на время пришлось забросить. Сколько коров можно пасти на третьем лугу в течение 18 недель?

13. Батон стоит 1^ рубля и половину стоимости батона. Сколько стоит батон?

14. Какая из дробей ближе к единице: & или если п > ml

15. У прохожего спросили, который час. Он ответил, что это можно узнать, если промежуток времени, оставшийся до полудня, увеличить на | промежутка времени, прошедшего после полуночи. Так который час?

16. Из знаменателя дроби вычли число к. Какое число нужно вычесть из числителя, чтобы получилась дробь, равная данной? Всегда ли это можно сделать?

17. Нужно разделить 5 одинаковых яблок между шестью ребятами. Как это сделать с наименьшим числом разрезов?

18. Можно ли разрезать 13 одинаковых арбузов на 42 одинаковые порции, не деля ни одного арбуза больше чем на 7 частей?

19. Числовой ребус:

20. Весна выдалась в этом году капризная. Ночью было настолько холодно, что мои часы отставали за ночь на^ минуты. А днем от жары они убегали на полминуты вперед. Утром 1 мая часы показывали верное время. К какому числу они ушли вперед на 2 минуты?

21. Если к числителю и знаменателю дроби ^ прибавить ее знаменатель, то получится дробь ^, то есть данная дробь увеличится вдвое. Нет ли дроби, которая после такой операции увеличивается в три раза? в четыре раза?

22. Какое число больше: то, треть которого — половина, или то, половина которого — треть?

23. Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на равных расстояниях друг от друга. Старт у первого флажка. У восьмого флажка спортсмен оказался через 8 сек. Через сколько секунд он окажется у двенадцатого флажка, если не будет менять скорость бега? Не попади впросак!

24. На одну чашку весов положили кусок мыла, а на другую j такого же куска и еще гири на^кг. Весы пришли в равновесие. Сколько весит целый кусок мыла?

25. Из семи спичек выложена дробь у: -/[]. Как, переложив одну спичку, получить число ^?

26. Когда у Миши спросили, сколько у него котят, Миша ответил: «У меня три четверти их числа и еще три четверти одного котенка». Так сколько котят у Миши?

27. Когда пассажир проехал половину всего пути, то лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть пути он проехал спящим?

28. Когда велосипедист проехал j| пути, лопнула шина. На остальной путь пешком он затратил вдвое

больше времени, чем на велосипедную езду. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел? 29. Найди значение выражения

30. Найди сумму

31. Найди сумму

32. Найди такую дробь, которая не меняет своего значения от прибавления к ее числителю числа 30, а к знаменателю — числа 40.

33. Знаменатель дроби на 35 больше числителя. После сокращения этой дроби получилось Найди дробь до сокращения.

34. Сумма числителя и знаменателя дроби равна 130. После ее сокращения получилась дробь ^. Найди дробь до сокращения.

35. В одном городе число мужчин составляет ^ числа женщин. Какую часть населения составляют мужчины?

36. Число отсутствовавших в классе в понедельник составило уд часть присутствовавших. Во вторник число отсутствовавших уменьшилось на 1 и составило ^ числа присутствовавших. Сколько учеников в этом классе?

37. Четверо друзей купили вместе лодку. Первый внес половину суммы, внесенной остальными, второй — ^ суммы, внесенной остальными, третий — J суммы, внесенной остальными, а четвертый — остальные 130 рублей. Сколько стоит лодка?

38. У торговца семечками были неправильные рычажные весы: их плечи немного отличались по длине друг от друга. Но зато килограммовая гиря была правильная. Когда покупатель попросил отвесить 2 килограмма семечек, торговец отвесил один килограмм,

положив гирю на правую чашку, а второй килограмм — положив гирю на левую чашку. Правда ли, что всего он отвесил ровно 2 килограмма? Если нет, то как надо было взвешивать?

39. Задача Л. Н. Толстого. Косцы нанялись выкосить 2 луга. Половину дня они косили большой луг, а потом разделились: одна половина косцов докосила к вечеру большой луг, а вторая половина косцов полдня косила второй луг, который в два раза меньше первого. Оставшуюся работу доделал за весь следующий день один косец. Сколько было косцов?

40. Есть ли такая дробь, которая находится между дробями § и ^?

41. Новогодняя елка украшена лампочками. Каждая третья лампочка — красного цвета, каждая четвертая — синяя, каждая шестая — желтая, а остальные — зеленые. Сколько всего лампочек на елке, если зеленых на 5 больше, чем желтых?

42. Вода, обращаясь в лед, увеличивается на часть своего объема. Сколько кубических дециметров воды образуется при таянии 132 дм3 льда?

Глава третья

Расширение разрядной сетки

Десятичная дробь

Действия с натуральными числами выполняются по разрядам. Любое натуральное число мы можем разложить по разрядам и записать в разрядную сетку. Но в жизни нам встречаются не только числа, состоящие из целого числа единиц, но и числа, состоящие из долей единицы. Чаще всего это десятые, сотые, тысячные доли. Это особенно заметно при всяких измерениях: дециметр — десятая доля метра; сантиметр — сотая доля метра; грамм — тысячная доля килограмма. А нельзя ли такие числа тоже записывать в разрядную сетку? Ведь они очень похожи на натуральные числа: так же, как три единицы в 10 раз меньше, чем три десятка, так и три десятых в 10 раз меньше, чем три единицы; а три сотых еще в 10 раз меньше. Похоже, что для того, чтобы записывать десятые, сотые, тысячные доли, нам придется продолжить разрядную сетку вправо.

Попробуем сделать это так, чтобы сохранился основной принцип десятичной системы счисления: значение цифры в каждом разряде в 10 раз меньше, чем значение той же цифры в соседнем разряде слева. Тогда правее разряда единиц будет разряд десятых долей единицы, или просто разряд десятых. Например, цифра 2 в разряде десятых обозначает число, которое в 10 раз меньше, чем 2 единицы. В разрядной сетке это число записывается так:

Расширенная разрядная сетка выглядит так:

Если число не содержит какого-либо разряда, то в этом разряде пишут нуль. Например, число, состоящее из двух сотен, трех единиц и восьми тысячных, можно записать в разрядной сетке по-разному:

Число, записанное в десятичной системе счисления и имеющее цифры правее разряда единиц, называется десятичной дробью. В записи десятичной дроби после разряда единиц ставится запятая. Запятая делит десятичную дробь на целую и дробную части.

Например, у десятичной дроби 23,01 целая часть — число 23, а дробная часть — 1 сотая. У десятичной дроби 8,0 дробная часть равна нулю. А у десятичной дроби 0,75 нулю равна целая часть.

Сравнение десятичных дробей

Мы расширили наш запас чисел — добавили к натуральным числам десятичные дроби. Теперь надо научиться выполнять над ними привычные действия.

Самое простое — сравнение десятичных дробей. В этом помогает числовая прямая. Вспомним, как изображают числа на прямой.

Чертят горизонтальную прямую со стрелкой справа:

Отмечают на ней точку — изображение числа 0:

Правее точки 0 отмечают точку 1 :

Отрезок от 0 до 1 называют единичным отрезком. Теперь от точки 1 откладываем вправо единичный отрезок — получаем точку 2; затем от точки 2 откладываем вправо еще один — получаем точку 3; и так далее:

У нас получилась числовая (или координатная) прямая. Из двух чисел больше то, которое лежит правее на числовой прямой.

А как изобразить на координатной прямой десятичную дробь? Точно так же. Только вместо целых единичных отрезков нам придется откладывать их десятые, сотые, тысячные доли. Возьмем, например, число 3,62. Целая часть его равна 3. Изображать число 3 мы умеем:

Теперь разделим единичный отрезок на десять равных частей и отсчитаем от числа 3 вправо 6 десятых — получим число 3,6:

Наконец, отсчитаем от числа 3,6 вправо две сотые — получится изображение числа 3,62:

Умея изображать десятичные дроби на числовой прямой, займемся теперь их сравнением.

Проще всего сравнивать такие десятичные дроби, у которых неодинаковые целые части. Например, 4,1 лежит правее числа 4, а 2,8 — левее числа 3. Поэтому 4,1 лежит правее числа 2,8:

А значит, 4,1 > 2,8.

Теперь попробуем сравнить десятичные дроби с одинаковой целой частью: 23,8 и 23,56. Оба эти числа лежат правее числа 23, но левее числа 24. Число 23,8 получается, если отсчитать от числа 23 вправо 8 десятых, поэтому оно лежит правее числа 23,7:

А число 23,56 лежит левее, чем число 23,6:

Значит, число 23,56 лежит левее, чем число 23,8:

Отсюда видно, что 23,56 < 23,8.

Теперь можно сформулировать правило сравнения десятичных дробей.

Из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть. Десятичные дроби с одинаковыми целыми частями сравнивают по разрядам их дробных частей: десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее — до обнаружения неравных знаков в одном и том же разряде.

Например,

3,94 < 12,05, так как 3 < 12; 16,5891 > 16,58632, так как 16 = 16, 5 = 5, 8 = 8, 9 > 6;

17,23 < 17,2315, так как 17 = 17, 2 = 2, 3 = 3, 0 < 1.

По этому же правилу можно сравнить десятичную дробь с натуральным числом. Ведь у натурального числа нет разрядов правее разряда единиц, поэтому его можно записать в виде десятичной дроби с нулевой дробной частью. Например,

13 < 17,11, так как 13 < 17; 13 > 7,185, так как 13 > 7; 13 = 13,00; 13,00 < 13,05, так как 13 = 13, 0 = 0, 0 < 5.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание десятичных дробей очень похоже на сложение и вычитание натуральных чисел. Найти сумму двух натуральных чисел — значит, узнать, сколько в этой сумме единиц, десятков, сотен и так далее. А чтобы найти сумму двух десятичных дробей, нужно, кроме того, узнать, сколько в этой сумме десятых, сотых, тысячных и так далее.

Вычислим, например, сумму чисел 29,63 и 8,754. Для этого расположим их в разрядной сетке:

В разрядах, стоящих правее тысячных, оба слагаемых содержат нули. Значит, и их сумма содержит нули в этих разрядах. В разряде тысячных в первом слагаемом стоит нуль, а во втором слагаемом — цифра 4. Это значит, что в первом слагаемом 0 тысячных, а во втором 4 тысячные. Значит, в сумме будет 0 + 4 = 4 тысячных. Сотых в сумме будет 3 + 5 = 8. Десятых будет 6 + 7 = 13. Но 13 десятых — это (3 + 10) десятых, или 3 десятых + 1 целая. Переносим 1 целую в разряд целых единиц. Продолжая сложение, получим в целой части число 38.

Итак, десятичные дроби складываются по разрядам, так же, как и натуральные числа. Поэтому их тоже удобно складывать столбиком. Слагаемые записывают так, чтобы цифры одного и того же разряда оказались друг под другом. При этом оказываются друг под другом и запятые:

По разрядам выполняется и вычитание десятичных дробей; при вычитании столбиком числа подписывают так же, как при сложении: разряд под разрядом, запятая под запятой:

Точно так же поступают и в том случае, когда одно из слагаемых, вычитаемое или уменьшаемое, — натуральное число:

Умножение и деление на 10, 100, 1000

Проще всего умножать и делить десятичные дроби на 10, 100, 1000 и вообще на любое число, которое записывается единицей с несколькими нулями.

Умножим, например, число 4,85 на 10. Для этого используем распределительное свойство умножения:

4,85 • 10 = (4 единицы + 8 десятых + 5 сотых) • 10 = = 40 единиц + 80 десятых + 50 сотых = = 4 десятка + 8 единиц + 5 десятых = 48,5.

Получилось, что 4,85 • 10 = 48,5.

Мы видим, что при умножении числа на 10 каждая цифра этого числа переходит в соседний разряд влево. Это значит, что при умножении десятичной дроби на 10 запятая перемещается на один знак вправо:

4^85-10 = 48^5.

А может запятая при этом и совсем пропасть:

22/7-10 = 227_.

Умножить число на 100 можно так: сначала умножить его на 10, а потом результат умножить еще на 10. Поэтому при умножении десятичной дроби на 100 запятая перемещается на два знака вправо:

ЗД4159-100 = 314Д59; 172,07-100 = 17207 .

Точно так же умножение на 1000 можно провести как троекратное умножение на 10. Значит, запятая переместится на 3 знака вправо:

Ясно, что при делении на такие числа запятая путешествует в обратном направлении:

Запомни такое правило:

Чтобы умножить десятичную дробь на число, которое записывается единицей с несколькими нулями, достаточно перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей в этом числе.

Чтобы разделить десятичную дробь на такое число, достаточно перенести запятую влево на столько же знаков.

Умножение любых чисел в десятичной системе счисления

Предположим, надо умножить 13,1 на 3,17. Первый множитель в 10 раз меньше числа 131. Второй множитель в 100 раз меньше числа 317. Поэтому произведение 13,1 • 3,17 можно найти так: умножить 131 на 317, результат разделить на 10, а потом еще на 100. Или ко-

роче: умножить 131 на 317и разделить результат на 1000. А разделить на 1000 — значит, сдвинуть запятую влево на 3 знака. Запомни еще одно правило:

Чтобы умножить числа, записанные в десятичной системе счисления, нужно найти их произведение, не обращая внимания на запятые, и отделить в нем запятой справа столько знаков, сколько их стоит после запятых во всех множителях вместе.

Например, в произведении 45,6 • 7 • 0,0002 = = 0,06384 отделено запятой 5 знаков, так как в первом множителе 45,6 имеется один знак после запятой, во втором множителе 7 таких знаков нет, в третьем множителе 0,0002 их 4, а значит, всего в этих множителях 1 + 0 + 4 = 5 знаков после запятых.

Разберемся в этом правиле на примере умножения чисел 1,28 и 0,064.

1) Не обращаем внимания на запятые — заменяем десятичные дроби натуральными числами:

2) Находим произведение полученных чисел:

3) Подсчитываем число знаков после запятых во всех данных множителях:

4) В произведении 8192 отделяем запятой 5 знаков справа:

5) И вот (ура!) мы получили ответ:

Пока человек только учится применять это правило, приходится записывать решение подробно, как это сделано в рамочках.

А когда правило умножения хорошо запомнится, полезно еще некоторое время выполнять все пять шагов (заменять десятичные дроби натуральными числами; перемножать эти числа; подсчитывать число знаков после запятых; отделять запятой знаки в произведении; выписывать ответ), но делать при этом краткие записи. Они могут выглядеть так:

Из правила умножения, между прочим, следует, что умножить десятичную дробь на 0,1 — значит сдвинуть запятую на 1 знак влево. А это означает просто деление на 10. Это же относится и к умножению на 0,01, 0,001 и так далее.

Умножение на 0,1, на 0,01, на 0,001 и так далее можно заменить делением на 10,100, 1000 и так далее.

Деление

Самое трудное действие, как известно, деление. Деление десятичных дробей, так же как и деление натуральных чисел, можно выполнить не всегда. Но все же с появлением десятичных дробей количество примеров на деление, которые можно решить, увеличивается. Например, разделить 70 на 8 в натуральных числах нельзя, а с десятичными дробями можно: 70 : 8 = 8,75 — это легко проверить умножением.

Как мы видели, умножение десятичных дробей сводится к умножению натуральных чисел и постановке запятой. Естественно, что и деление десятичных дробей оказывается связано с делением натуральных чисел. Если, например, надо разделить какое-нибудь число на десятичную дробь 28,17, которая в 100 раз меньше числа 2817, это значит, что достаточно разделить его на 2817, а потом частное увеличить в 100 раз. Поэтому деление любого числа, записанного в десятичной системе счисления, на натуральное число заслуживает отдельного разговора.

Разделим 376,96 на 31. Чтобы найти частное от деления двух чисел, достаточно найти его целую часть и найти, сколько в нем десятых, сотых, тысячных и так далее.

1) Найдем целую часть частного. Она получится, если разделить на 31 целую часть делимого — число 376:

Получилось, что в частном 12 целых.

2) Чтобы найти дробную часть частного, превратим остаток от деления целой части — 4 единицы — в сотые и найдем, сколько сотых надо делить на 31:

4 единицы + 96 сотых = 400 сотых + 96 сотых = = 496 сотых.

Разделив 496 сотых на 31, найдем дробную часть частного:

Значит, 496 сотых : 31 = 16 сотых. Итак, в частном 376,96 : 31 содержится 12 целых и 16 сотых:

376,96 : 31 = 12,16.

Деление на целое число можно провести и сразу, с начала до конца. Нужно делить, как делят натуральные числа, и только вовремя поставить запятую:

Момент, когда нужно ставить в частном запятую, совпадает с моментом снесения первого знака из дробной части делимого.

Итак, выполняя деление на натуральное число, мы сначала делим целую часть делимого; когда заканчивается деление целой части (сносится цифра, стоящая в разряде десятых), в частном ставится запятая и деление продолжается.

На первых порах рекомендуется записывать деление двумя ручками разного цвета, например черной и зеленой. Черным цветом записывают делимое и делитель, зеленым обводят цифру десятых в делимом:

Затем выполняют деление черной ручкой, пока не закончится целая часть делимого, то есть пока не придется сносить обведенную цифру десятых:

Обведенную цифру десятых сносят зеленым цветом и тем же цветом ставят запятую в частном:

Деление продолжают до конца черной ручкой:

Наконец мы подошли к вопросу: как же найти частное, если делитель — десятичная дробь? Для этого воспользуемся важным свойством частного: оно не меняется, если и делимое, и делитель умножить на одно и то же число, не равное нулю.

Разделим, например, 1,04 на 1,3. Это действие легко заменить делением на натуральное число 13 — ведь частное не изменится, если и делимое 1,04, и делитель 1,3 умножить на 10:

1,04 : 1,3 = (1,04 • 10) : (1,3 • 10) = 10,4 : 13.

Осталось разделить 10,4 на натуральное число 13, а это мы умеем:

Итак, 1,04 : 1,3 = 0,8.

Так деление на десятичную дробь заменяют делением на натуральное число: делимое и делитель увеличивают в одно и то же число раз (10, 100, 1000 и так далее) таким образом, чтобы превратить делитель в натуральное число.

Итак, чтобы выполнить деление на десятичную дробь, нужно:

1) заменить делитель натуральным числом и установить, во сколько раз он от этого увеличился;

2) увеличить во столько же раз делимое;

3) выполнить деление полученных чисел.

Вот подробная запись деления числа 31,26 на десятичную дробь 0,015:

1) 0,015 -> 15; 15 = 0,015 • 1000.

2)31,26-1000 = 31260.

Этот же пример кратко записывается так: 31,26 : 0,015 = 31260 : 15, и дальше — деление «уголком».

Разделим по этому правилу 3,14 на 0,1:

3,14:0,1 = 31,4: 1 = 31,4.

Как видно, деление на 0,1 — это то же самое, что умножение на 10.

Точно так же 27,5 : 0,001 = 27500 : 1 = 27500; деление на 0,001 — то же самое, что умножение на 1000.

Итак, чтобы разделить число на 0,1, на 0,01, на 0,001 и так далее, надо его умножить на 10, на 100, на 1000 и так далее.

Проценты

Процентом от какого-нибудь числа называется одна сотая часть этого числа. Процент обозначается специальным значком %.

Нужно уметь решать три главные задачи на проценты.

Задача первая. Найти несколько процентов от данного числа (например, найти 17% от числа 25).

Подробное решение.

1) Находим 1% от данного числа, разделив это число на 100 (в нашем примере пишем: 1% — это 25 : 100 = 0,25).

2) Находим нужное число процентов, умножив результат первого действия на нужное число (в нашем примере пишем: 17% — это 0,25 • 17 = 4,25).

Краткое решение: 2\0q7 =4,25.

Можно решать и по-другому, пользуясь тем, что разделить на 100 — все равно что умножить на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, можно это число умножить на 0,01. Тогда краткое решение нашей задачи запишется в строчку:

25-0,01-17 = 4,25.

Задача вторая. Найти число, зная, чему равен какой-либо процент от него (например, найти число, 13% которого равны 65).

Подробное решение.

1) Находим 1% от искомого числа, разделив данное нам число на число содержащихся в нем процентов (в нашем примере пишем: 1% — это 65 : 13 = 5).

2) Находим все число, умножив результат первого действия на 100 (в нашем случае пишем: 100% — это 5 • 100 = 500).

Краткое решение: 65 = 500.

Задача третья. Найти процентное отношение двух чисел, то есть найти, сколько процентов составляет одно число от другого (например, найти процентное отношение 36 и 120, то есть найти, сколько процентов составляет число 36 от числа 120).

Подробное решение.

1) Находим 1% от второго числа, разделив его на 100 (в нашем примере пишем: 1% — это 120 : 100 = 1,2).

2) Находим, сколько процентов от второго числа содержится в первом числе, разделив первое число на результат первого действия (в нашем примере пишем: 36: 1,2 = 30).

Краткое решение: 361*21qQ = 30.

Все три задачи можно решить, пользуясь одной и той же таблицей:

100%

1%

%

Вот как заполняется эта таблица при решении каждой из наших задач.

Задача первая. Найти 2,8% от 50 кг.

Вначале заполняем по условию третью клетку верхней строки и первую клетку нижней строки и обводим ту клетку, в которой должно появиться число, о котором спрашивается в задаче:

100%

1%

2,8%

50 кг

Затем, после необходимых вычислений, заполняем пустые клетки нижней строки:

100%

1%

2,8%

50 кг

0,5 кг

100%

1%

2,8%

50 кг

0,5 кг

1,4 кг

Задача вторая. Найти длину пути, 40% которого равны 16 км.

Вначале заполняем по условию третью клетку верхней строки и третью клетку нижней строки и обводим ту клетку, в которой должно появиться число, о котором спрашивается в задаче:

100%

1%

40%

16 км

После вычислений заполняем вторую, а затем первую клетки нижней строки:

100%

1%

40%

0,4 км

16 км

100%

1%

40%

40 км

0,4 км

16 км

Задача третья. Найти процентное отношение 48 к 25. Таблицу заполняем в следующем порядке:

100%

1%

%

25

48

100%

1%

%

25

0,25

48

100%

1%

192%

25

0,25

48

Но самое интересное в процентах — это то, что они, собственно говоря, не числа. Вот, например, если какое-то число увеличить на 10, а потом уменьшить на 10, что получится? Конечно, то же самое число. А что

будет, если число увеличить на 10%, а потом уменьшить на 10%?

Вот какая история приключилась однажды с известными всем персонажами Григория Остера: Мартышкой, Попугаем, Слоненком и Удавом.

Однажды Удав сказал: «Надоело мне ползать по земле. И не видно ничего, и медленно. Давайте купим заводной вертолет и посадим в него меня». — «И меня, — закричала Мартышка. — Мы полетим быстрее Попугая!» — «Это мы еще посмотрим», — возразил Попугай. А Слоненок очень огорчился: «Меня в заводной вертолет не посадишь — авария будет! И крыльев у меня нет». Удав утешил его: «Ты будешь судьей нашего соревнования. Вот только где взять вертолет?» — «Я придумала! — завопила Мартышка. — Пусть Попугай слетает в игрушечный магазин. Вертолет стоит сто бананов, и я их сейчас соберу».

Собрала Мартышка сто бананов, положила их в большой рюкзак, и Попугай полетел в город. Вернулся он очень быстро, с пустым рюкзаком. «Где мой вертолет?» — спросил Удав. «Где мои бананы?» — закричала Мартышка. «Вертолеты подорожали, — объявил Попугай, — на 10%. Так что бананов не хватило, и я раздал их детям. Они сказали мне, что завтра вертолеты снова подешевеют. И опять на 10% ».

Наутро Попугай, захватив новые сто бананов, полетел в магазин. Скоро он вернулся с прекрасным заводным вертолетом. «Получай!» — сказал Попугай Удаву и облизнулся. «А почему это ты облизываешься?» — подозрительно спросила Мартышка. «А потому, что я съел оставшийся банан». — «Ничего не понимаю! — сказал Удав, заползая в вертолет. — Вертолет сначала стоил сто бананов. Потом он подорожал на 10% , а потом подешевел тоже на 10% ».— «А я тебе дала ровно сто бананов», — вмешалась

Мартышка, старательно заводя вертолет. «Я и сам не понимаю, — заявил Попугай. — Но банан был очень вкусный». И он расправил крылья, готовясь к соревнованию.

А Слоненок сказал так: «Когда вертолет подорожал, он стал стоить сто десять бананов. А подешевел он на 10% от ста десяти, то есть на одиннадцать бананов. Значит, теперь он стоит девяносто девять бананов, и все правильно. Ну, летите, а я буду судить».

Действия с десятичными и обыкновенными дробями

Мы умеем обращаться с натуральными числами, с десятичными и с обыкновенными дробями, со смешанными числами: умеем их сравнивать, находить их сумму, разность, произведение и частное, умеем изображать их на числовой прямой.

Но не испугает ли нас задача сравнить, сложить, вычесть, перемножить, разделить два числа, из которых одно — десятичная дробь, а другое — обыкновенная дробь или смешанное число?

Вот примеры таких задач:

1) сравнить числа 0,8 и |>

2) найти сумму |^+ 0,31;

3) найти разность 0,84 -1;

4) найти произведение ^ • 0,22;

5) найти частное 2^ : 1,5.

Для решения таких задач придется превратить десятичную дробь в обыкновенную или, наоборот, превратить обыкновенную дробь в десятичную.

Решим первую задачу — сравним 0,8 и j. Мы сделаем это двумя способами: превращая десятичную

дробь 0,8 в обыкновенную и превращая обыкновенную дробь j в десятичную.

Первый способ.

Превратим 0,8 в обыкновенную дробь:

0,8 = 8: 10 = ^=1-Сравним f и ^, приведя их к общему знаменателю:

Делаем вывод:

Второй способ.

Превратим ^ в десятичную дробь — для этого разделим 3 на 4:

Получили: 4 = 0,75. Сравним 0,8 и 0,75:

0,8 > 0,75, так как целые части у этих десятичных дробей равны, а цифра десятых у первого числа больше. Делаем вывод: 0,8 > f.

Тем же путем решаются и остальные четыре задачи, но не всегда удается решить их обоими способами.

Дело в том, что превратить десятичную дробь в обыкновенную можно всегда, а превратить обыкновенную дробь в десятичную иногда не удается.

Например, найдем сумму \ + 0,31.

Первый способ.

Превратим десятичную дробь 0,31 в обыкновенную дробь и выполним сложение:

Второй способ.

Чтобы превратить дробь ^ в десятичную, нужно разделить 2 на 3:

Как видно, деление не закончится никогда: в остатке все время получается 2, а не 0. А в частном все время повторяется цифра 6. В этом случае говорят, что дробь представляется в виде «бесконечной десятичной дроби». Но нам-то нужна самая обычная, конечная десятичная дробь, а получить ее тут как раз не удается. Так что остается решать задачу только первым способом — так, как мы уже сделали.

И последнее: в какой форме записывать ответ? Если это возможно, надо записать его в виде десятичной дроби или (если повезет!) в виде натурального числа. Если же это невозможно, нужно записать ответ в виде правильной дроби или в виде смешанного числа. Например, в предыдущем примере ответ Щ — правильная дробь. А вот в третьей из приведенных задач: найти разность 0,84 - f, — получаем такой ответ:

П Я4 _ 3 = _84_ _ 3 = 168 _ _75_ = _93_ = 465 = л ДКЪ — 8 100 8 200 200 200 1000 ^,<±ии

десятичная дробь (если бы мы сразу решали задачу вторым способом — ответ получился бы еще быстрее).

Задачи

1. Какой знак надо поставить между цифрами 4 и 5, чтобы получилось число, большее 4, но меньшее 5?

2. Пуговица весит 1,5 г. Сколько весит миллион таких пуговиц?

3. Вместо того чтобы умножить число на 0,5 и к результату прибавить 3, его разделили на 0,5 и от результата отняли 3. А ответ получился такой, какой должен был получиться. Что это было за число?

4. Два мотоциклиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми равно 330,66 км. Скорость первого 50,7 км/ч, скорость второго 49,5 км/ч. Вместе с первым мотоциклистом вылетела муха со скоростью 100 км/ч и стала летать между мотоциклистами, пока они не встретились. Сколько километров пролетела муха?

5. Вот как древнегреческий философ Зенон Элейский доказывал, что сам быстроногий Ахиллес не смог бы догнать тихоходную Черепаху: «Пусть вначале их разделяло 100 стадий и пусть Ахиллес бегал в 100 раз быстрее Черепахи. Когда Ахиллес пробежит эти 100 стадий, Черепаха отползет на одну стадию. Когда Ахиллес пробежит эту стадию, Черепаха отползет на одну сотую стадии. Когда Ахиллес пробежит эту сотую долю стадии, Черепаха уползет на одну десятитысячную стадии. И так без конца. Ахиллес никогда не догонит Черепаху!» Почему из рассуждения Зенона не следует, что Ахиллес не догонит Черепаху?

6. Как измерить толщину проволоки, пользуясь карандашом и обычной линейкой?

7. Человек может почувствовать изменение массы предмета, который он держит в руках, если это изменение будет не меньше 0,03 массы самого предмета. Возможно ли, взвешивая в руках, ощутить различие масс 700 г и 715 г?

8. Зная, что 0,218 + 0,436 + 0,653 + 0,877 = 2,194, найди сумму 0,782 + 0,564 + 0,347 + 0,123.

9. Первое число составляет 80% второго, второе число составляет 40% третьего, третье число составляет 20% четвертого. Найди эти числа, зная, что их сумма равна 336.

10. Число кукол у Сони составляет 10% от числа ее бантиков. Сколько процентов составляет число Сониных бантиков от числа ее кукол?

11. На один товар дважды снижали цену — на 15% каждый раз. На другой товар той же стоимости снизили цену один раз — на 30%. Какой товар теперь стоит дешевле?

12. Что больше: 12% от числа 20 или 20% от числа 12?

13. Что больше: а% от числа b или Ь% от числа а?

14. Сколько учеников в классе, если 1 ученик составляет 4% всех учащихся?

15. Число мальчиков составляет 45% от числа учеников класса. Каково процентное отношение числа девочек к числу мальчиков?

16. 100 кг свежих грибов содержали 99% воды. После сушки в них стало 98% воды. Сколько весят грибы после сушки?

17. Банк платит вкладчику 30% годовых. Сколько получит через два года вкладчик Емеля, положивший в банк 100 000 рублей? А сколько денег положил в банк вкладчик Ерема, если через три года он получил 219 700 рублей?

18. Числовой ребус: СЛОВ,0 + СЛОВ,0 = ПЕСНЯ.

Глава четвертая

Рациональные числа

Положительные и отрицательные числа

На этом рисунке изображены число О, два первых натуральных числа и две дроби. Но та часть прямой, которая лежит левее нуля, не содержит никаких чисел.

А вот на шкале термометра имеются числа с обеих сторон от нуля.

Температуры выше нуля называются положительными, их записывают с помощью знака «плюс». Например, «18 градусов тепла» можно записать так: «+18°» или так: «18°».

Температуры ниже нуля называются отрицательными и записываются с помощью знака «минус». Запись «-18°» обозначает « 18 градусов ниже нуля», то есть « 18 градусов мороза».

Левую часть нашей прямой можно заполнить так же, как заполнена нижняя часть шкалы термометра. Отложим влево от точки 0 единичный отрезок и обозначим получившуюся точку числом -1. Отложим влево от -1 еще один единичный отрезок и отметим число -2. И так далее:

Числа, расположенные на числовой прямой правее нуля, называются положительными. Положительные числа записываются со знаком «плюс» или вообще без знака: +3, 5, у, +0,35.

Числа, расположенные на числовой прямой левее нуля, называются отрицательными. Отрицательные числа записываются со знаком «минус»: -5, —|, -6,7. Для того чтобы отметить на числовой прямой отрицательные числа -3, -5, —|, -5,6, нужно отложить влево от нуля отрезок, длина которого равна 3, 5, |, 5,6.

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Все положительные числа находятся правее нуля, поэтому нуль меньше любого положительного числа:

Вместо того чтобы говорить: «а — число положительное», говорят: «а больше нуля».

Все отрицательные числа находятся левее нуля, поэтому нуль больше любого отрицательного числа:

Вместо того чтобы говорить: «Ь — число отрицательное», говорят: «Ь меньше нуля».

Координатная плоскость

Как найти число на координатной прямой? Что для этого нужно знать? Если нам скажут: «Число находится справа от нуля» или «Число находится от нуля на расстоянии двух с половиной единичных отрез-

ков» — этого недостаточно. Ведь справа от нуля находятся все положительные числа. А на расстоянии двух с половиной единичных отрезков от нуля находится не одно, а два числа: 2,5 и -2,5.

Задача. Назвали только расстояние от данного числа до нуля — и этого оказалось достаточно, чтобы назвать само число. Какое расстояние назвали?

А вот если известно и расстояние от данного числа до нуля, и то, находится оно от нуля справа или слева, — тогда число можно точно назвать. Например, число, которое находится справа от нуля на расстоянии двух с половиной единичных отрезков, — это число 2,5.

Можно решить и такую задачу: указать на прямой точку, которая изображает данное число. Это делается так.

Число

Точка

справа или слева от нуля

расстояние от нуля

-17

слева

17 ед. отрезков

3,14

справа

3,14 ед.отрезков

0

0

Итак, назвав число, мы называем точку на прямой. Это число называется координатой точки. Чтобы найти точку на прямой, достаточно назвать ее координату.

Ну а если нам нужно найти точку не на прямой, а на плоскости? С этим всегда сталкиваются игроки в «морской бой». Они ведь не могут заглядывать друг к другу, чтобы показать, в какую клетку стреляют. Клетку надо не показать, а назвать. Для этого их обозначают, как известно, так:

Теперь, чтобы назвать нужную клетку, достаточно сказать: «ж7», — и услышать «мимо» или «попал». При этом игроки могут вообще не видеть друг друга. В морской бой можно играть даже по телефону.

Точно так же поступают и шахматисты, только они используют латинские буквы. И не всем понятная запись «Kph5» означает, что король идет на поле h5. Так можно записывать партии, передавать их по радио, сообщать друг другу ходы по телефону. Удобно!

Математики поступают очень похожим образом, когда хотят указать точку на плоскости. Буквы здесь,

правда, не годятся. Ведь в любом алфавите конечное число букв, а точек на плоскости бесконечно много. Поэтому математики задают точку не парой «буква — число», а парой «число — число». Как и на прямой, эти числа называются координатами точки. Вот как их находят.

Выберем на плоскости точку, обозначим ее буквой О и назовем началом координат. Теперь проведем через эту точку две прямые: вертикальную и горизонтальную.

Каждую из них превратим в координатную прямую: точка О будет на обеих прямых изображать нуль; единичный отрезок возьмем один и тот же:

Положительное направление на горизонтальной прямой выберем вправо и отметим буквой jc, а на вертикальной прямой положительное направление выберем вверх и отметим буквой у. Получатся две координатные прямые — Ох и Oy:

То, что у нас получилось, называется прямоугольной системой координат. Прямая Ох называется осью абсцисс, прямая Oy — осью ординат. Прямоугольная система координат позволяет любую точку плоскости обозначить двумя числами — координатами. Возьмем на плоскости точку М:

Проведем через точку M вертикальную прямую. Она пересечется с осью абсцисс в точке, изображающей на этой оси какое-нибудь число (у нас получилось число 3). Это число называется абсциссой точки М.

Значит, чтобы найти абсциссу точки М, нужно:

1) провести через точку M вертикальную прямую,

2) найти точку пересечения прямой с осью абсцисс,

3) найти координату точки пересечения — это абсцисса точки М.

Чтобы найти точку на плоскости, одной абсциссы мало. Например, точки А, Б и С имеют такую же абсциссу, как и точка М:

Задача. Изобрази как можно больше точек, имеющих абсциссу 3.

Теперь проведем через точку M еще одну прямую — горизонтальную — до пересечения в некоторой точке с осью ординат. Эта точка обозначает на оси ординат какое-то число (в нашем случае — число -4). Это число называется ординатой точки М.

Значит, чтобы найти ординату точки М, нужно:

1) провести через точку M горизонтальную прямую,

2) найти точку пересечения этой прямой с осью ординат,

3) найти координату точки пересечения — это ордината точки М.

Задача. Изобрази как можно больше точек, имеющих ординату -4.

Абсцисса и ордината точки называются ее координатами: абсцисса — первая координата, ордината — вторая координата. Точка А с абсциссой х и ординатой у записывается так: А (х; у). На первом месте всегда пишут абсциссу, а на втором — ординату.

Например, точка M на нашем рисунке имеет координаты 3 и -4 и записывается так: M (3; -4).

Зная абсциссу и ординату точки, можно построить эту точку в прямоугольной системе координат. Построим, например, точку А (5; -1). Сделаем это в два этапа:

1) найдем на оси абсцисс точку 5 и проведем через нее вертикальную прямую;

2) найдем на оси ординат точку -1 и проведем через нее горизонтальную прямую.

Проведенные прямые пересекаются в точке А (5; -1).

Противоположные числа. Модуль числа. Целые и рациональные числа

На расстоянии трех единичных отрезков от нуля на координатной прямой находятся два числа: 3 и -3. Два числа, расположенные на числовой прямой по разные стороны от нуля и одинаково удаленные от него, называются противоположными числами. Число О считается противоположным самому себе. Например, числа 3 и -3 противоположные, так как каждое из них удалено от нуля на 3 единицы и они расположены по разные стороны от нуля:

Число, противоположное числу а, обозначается -а. Например, -3 — это число, противоположное числу 3. А -(-3) — это число, противоположное числу -3, то есть число 3. Так что число -а не обязательно отрицательное. Если а — положительное, то -а — отрицательное; если а — отрицательное, то -а — положительное; если а = О, то -а = 0.

Пусть число x изображено точкой А на числовой прямой:

Тогда противоположное ему число -х можно найти так: отложить от точки О отрезок, равный отрезку OA, в другую сторону от точки А. Получится точка В, удаленная от нуля на то же расстояние, что А, но лежащая с другой стороны:

Значит, точка В изображает число -х9 противоположное числу X.

Такую точку В можно найти только одну. Так что у всякого числа есть ровно одно противоположное ему число. Отсюда вытекает очень интересное правило:

- (-а) = а

Ведь число - (-а) противоположно числу -а. И число а тоже противоположно числу -а. А так как у числа -а всего одно противоположное число, то - (-а) = а.

Расстояние от числа на числовой прямой до нуля имеет специальное название: оно называется модулем числа. Модуль числа х обозначается двумя вертикальными черточками: \х\.

Например, число -8 находится на расстоянии 8 единиц от нуля, и поэтому его модуль равен 8. Пишем: |-8| = 8. Число 0 удалено от нуля на 0 единиц, поэтому модуль нуля равен нулю: |0| = 0. А число 3,8 удалено от нуля на 3,8 единицы: |3,8| = 3,8.

Определение модуля числа а можно записать в виде формулы:

Например.

|5| = 5, так как 5 > 0 (первая строка формулы),

|0| = 0 (вторая строка формулы),

|-7| = - (-7) = 7 (третья строка формулы).

Теперь есть числа и в левой части числовой прямой. Натуральным числам 1, 2, 3, 4, лежащим правее нуля, соответствуют противоположные им

числа -1, -2, -3, -4, лежащие левее нуля. Их разделяет число нуль. Все они: натуральные числа, число нуль и числа, противоположные натуральным, — называются целыми числами. Кроме натуральных чисел, справа от нуля располагаются дроби, а слева от нуля находятся числа, противоположные дробям. Целые числа, дроби и числа, противоположные дробям, называются рациональными числами.

Задача. Какие из следующих утверждений верны:

1) всякое натуральное число — целое;

2) всякое целое число — натуральное;

3) всякое рациональное число — целое;

4) всякое рациональное число — положительное;

5) всякое натуральное число — положительное;

6) нуль — рациональное число;

7) 0,7 — целое число;

8) 0,7 — рациональное число; [ 9) -29 — целое число?

Определить рациональные числа можно и по-другому: это числа, которые можно записать в виде ®9 где m — число целое, an — число натуральное. Вот примеры:

Числовая прямая плотно покрыта рациональными числами. Между любыми двумя числами, как бы близко друг к другу они ни стояли, обязательно найдется еще одно рациональное число. Например, между числами 2 и 2,000001 находится число 2,0000005.

Задача, а и Ъ — рациональные числа. Какое из следующих чисел обязательно находится между ними: а + b, а - Ь, ab, ab : 2, (а + Ъ) : 2?

Но самое интересное — то, что рациональные числа вовсе не заполняют всю числовую прямую. На прямой бесконечно много чисел, не являющихся рациональными (их называют иррациональными). Оказывается, если взять квадрат со стороной в 1 см, то длина его диагонали выражается иррациональным числом сантиметров. Но это уже относится к высшей математике.

Сложение рациональных чисел на числовой прямой

Наш запас чисел опять увеличился. Значит, опять надо учиться сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить.

Сравнивать рациональные числа очень легко, изображая их на числовой прямой: чем правее число, тем оно больше, а чем левее, тем меньше.

Можно сравнивать числа и без числовой прямой по следующим правилам:

— нуль больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного числа;

отрицательные числа положительные числа

— любое положительное число больше любого отрицательного числа;

отрицательные числа положительные числа

— из двух положительных чисел больше то, у которого больше модуль;

— из двух отрицательных чисел больше то, у которого меньше модуль.

Займемся сложением рациональных чисел. И здесь начнем с использования числовой прямой. Но сначала

договоримся, что все известные нам законы сложения выполняются для любых рациональных чисел:

а + Ъ = Ь + а — переместительный закон сложения;

а + (Ъ + с) = (а + Ь) + с — сочетательный закон сложения;

а + 0 = а — свойство нуля при сложении.

Научимся складывать рациональные числа с помощью числовой прямой, как уже делали это с числами положительными. Тогда мы действовали так:

1) отмечали на числовой прямой первое слагаемое;

2) от отмеченной точки перемещались вправо на столько единиц, сколько их во втором слагаемом;

3) отмечали на прямой полученную точку — это и была сумма.

Так же можно прибавить положительное число Ъ к любому числу а (положительному, отрицательному или нулю). Например, вот как можно найти сумму а + &, если а = -2,5, Ъ = 1:

Итак, мы умеем прибавить положительное число к любому числу. Отсюда нетрудно перейти к прибавлению отрицательного числа к числу положительному: ведь слагаемые можно менять местами. Чтобы найти, например, сумму 5 + (-2), достаточно найти с помощью числовой прямой сумму -2 + 5:

-2 + 5 = 3, значит, и 5 + (-2) = 3.

Но можно выполнить действие 5 + (-2), и не переставляя слагаемых. Чтобы понять, как это делается, отметим на числовой прямой первое слагаемое 5 и сумму 3:

Из рисунка видно, что сумма 3 получается, если из точки 5 переместиться влево на 2 единицы:

Значит, для того чтобы к числу 5 прибавить число -2, надо от точки 5 переместиться влево на 2 единицы, то есть на столько единиц, сколько их в числе |-2|.

Так же можно прибавить отрицательное число Ь к любому рациональному числу а (положительному, отрицательному или нулю). Вот, например, как можно найти сумму а + &, если а = -3, Ъ = -5:

Сформулируем общее правило. Для того чтобы найти с помощью числовой прямой сумму а + &, надо:

1) отметить на числовой прямой точку а;

2) указать стрелкой направление перемещения от а: если Ъ положительно — вправо, если Ь отрицательно — влево;

3) переместиться в выбранном направлении на столько единиц, сколько их в числе |&|, — получим точку, соответствующую сумме а + Ь:

Числовая прямая позволяет понять, каким образом надо выполнять сложение, и в тех случаях, когда изобразить числа трудно. Например, если надо найти сумму чисел -3,794 и 1,6, то можно рассуждать так. Число 1,6 положительное. Поэтому от точки -3,794 надо передвинуться вправо на 1,6 единицы. Перейдя вправо от -3,794 на 1 единицу, мы попадем в точку -2,794. Перейдя вправо еще на 0,6 единиц, мы попадем в точку -2,194. Следовательно, -3,794 + 1,6 = -2,194.

Еще пример: 59 + (-83). Представим себе на числовой прямой первое слагаемое 59. Так как второе слагаемое -83 — число отрицательное, то направление движения от числа 59 выбираем влево. От числа 59 нужно продвинуться влево на |-83|, то есть на 83 единицы. Так как 83 > 59, то мы перейдем через нуль, и нам после этого останется пройти влево еще 83 - 59 единиц. Итак, 59 + (-83) = -24.

Сложение рациональных чисел без помощи числовой прямой

Использовать числовую прямую для сложения рациональных чисел не всегда удобно. В этом легко убедиться на примерах вроде -3,145 + 2,78 или -96 + (-57). Поэтому будет совсем неплохо научиться складывать рациональные числа без помощи числовой прямой.

Когда одно из слагаемых — нуль, то все очень просто:

а + 0 = аиО + а = а при любом значении а. Еще один легкий случай — когда оба слагаемых положительные числа.

Остаются только два случая:

1) оба слагаемых отрицательны;

2) слагаемые имеют разные знаки: одно положительно, а другое отрицательно.

Начнем с первого случая: сложим числа -3 и -5, не изображая их на числовой прямой, но представляя себе эту прямую.

Чтобы найти сумму -3 + (-5), надо от числа -3 (отрицательного, то есть лежащего левее нуля) переместиться влево еще на 5 единиц. Ясно, что сумма окажется числом отрицательным, удаленным от нуля на 3 + 5 = 8 единиц. Значит, сумма — отрицательное число с модулем 8: -3 + (-5) = -8.

Вот что у нас получилось: 3 + 5 = 8и-3 + (-5) = -8. Значит, если слагаемые имеют одинаковые знаки, то их сумма имеет тот же знак, а модуль суммы равен сумме модулей слагаемых.

Осталось разобраться в случае, когда слагаемые имеют разные знаки. Найдем, например, чему равны следующие суммы: 1) -3 + 1; 2) -3 + 3; 3) -3 + 5.

Если бы мы находили эти суммы с помощью числовой прямой, то во всех этих случаях продвигались бы вправо от числа -3.

В первом случае, продвигаясь от -3 на 1 единицу вправо, мы бы не достигли нуля, а остались в левой части числовой прямой. До нуля оставалось бы еще 3-1 = 2 единицы. Значит, сумма -3 + 1 — число отрицательное с модулем, равным числу 2: -3 + 1 = -2.

Во втором случае, складывая -3 и 3, мы продвинемся от -3 на 3 единицы вправо и окажемся в точке 0; значит, -3 + 3 = 0.

В третьем случае, складывая -3 и 5, мы перейдем через точку 0 и пройдем от нее вправо еще на 5 - 3 = 2 единицы. Получится положительное число с модулем два: -3 + 5 = 2.

Сказанное можно повторить для любых чисел: если слагаемые имеют разные знаки, но не являются противоположными числами, то знак их суммы совпадает со знаком того слагаемого, которое больше по модулю, а модуль суммы равен разности модулей слагаемых; сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Например, 14 + (-2) — число положительное, так как положительное слагаемое 14 имеет больший модуль, чем отрицательное слагаемое -2; модуль суммы 14 + (-2) равен разности модулей слагаемых, то есть равен 14 - 2 = 12; итак, 14 + (-2) = 12.

Правила сложения рациональных чисел собраны в таблице:

Что нужно сделать, чтобы найти сумму с помощью этой таблицы? Прежде всего смотрим, одинаковы или различны знаки слагаемых. Если одинаковы — видим из первой строки таблицы, что сумма имеет тот же знак, а ее модуль равен сумме модулей слагаемых. Если различны — сравниваем модули слагаемых. Если одно из них больше по модулю — из второй строки таблицы находим, что сумма имеет знак того слагав-

мого, которое больше по модулю. Если модули слагаемых одинаковы — из третьей строки таблицы находим, что их сумма равна нулю.

Конечно, точно так же мы действуем, если находим сумму и без всякой таблицы. Последовательность наших действий можно представить в виде схемы:

Вычитание рациональных чисел

Чтобы научиться вычитать рациональные числа, используем определение вычитания:

вычесть число Ь из числа а — значит найти такое число, которое в сумме с числом Ъ дает число а.

Например, когда мы вычитаем число 2 из числа 6, мы находим число, которое в сумме с числом 2 дает число 6:

6-2 = 4, так как 2 + 4 = 6.

Пока наш запас чисел был ограничен натуральными числами, нулем и положительными дробями, вычитание было возможно не всегда: нельзя было вычесть из меньшего числа большее. Можно было отнять пять от восьми и даже пять от пяти, но нельзя было отнять восемь от пяти. Появление рациональных чисел — великое событие: теперь вычитание возможно всегда.

Ведь что значит вычесть восемь из пяти? По определению, это значит найти такое число, которое в сумме с числом 8 дает число 5:

5 - 8 = X, если X + 8 = 5.

Пока нам были известны только положительные числа, мы не могли найти такого х. Но теперь мы знаем, что

-3 + 8 = 5. Поэтому 5 - 8 = -3.

Заметим, что тот же результат мы получили бы, прибавляя к числу 5 число -8, противоположное числу 8:

5 + (-8) = -3.

Значит, 5-8 = 5 + (-8). Отнять от числа 5 число 8 — все равно что прибавить к числу 5 число -8.

А может быть, это всегда так? Может быть, вообще отнять от числа а число b — все равно что прибавить к числу а число -Ь?

Да, это именно так. В самом деле, равенство

а - b = а + (-&)

легко проверить. Для этого достаточно убедиться, что число а + (-Ь) в сумме с числом b дает число а:

(а + (-&)) + Ъ = а + ((-Ь) + Ь) = а + 0 = а. Мы получили правило вычитания:

Чтобы вычесть из числа а число &, достаточно к числу а прибавить число, противоположное числу Ь:

а-Ъ = а + (-&).

Теперь мы можем любую разность записать в виде суммы:

разность 6-15 — это сумма 6 + (-15),

разность 3-х — это сумма 3 + (-х),

разность —Ъ - 9 — это сумма -Ъ + (-9) и так далее.

Умножение и деление рациональных чисел

При умножении и делении рациональных чисел считаются справедливыми все те законы, которые известны для чисел положительных:

ab = ba — переместительный закон умножения;

a(bc) = (ab)c — сочетательный закон умножения;

а(Ь + с) = ab + ас — распределительный закон;

а • 1 = а — свойство единицы при умножении;

а = 1, если а Ф 0, — свойство взаимно обратных чисел.

На основании этих законов и законов сложения можно доказать еще одно свойство умножения: а • 0 = 0. Вот это доказательство.

Возьмем любое число а. По свойству единицы при умножении а = а • 1. По свойству нуля при сложении 1 = 1 + 0, а значит, а = а (1 + 0). По распределительному закону а (1 + 0) = а • 1 + а • 0, значит, а = а • 1 + а • 0. По свойству единицы при умножении а • 1 = а, поэтому а = а + а • 0. Прибавим к обеим частям этого равен-

ства одно и то же число -а; получится новое равенство (-а) + а = (-а) + а + а • 0. В обеих его частях содержится сумма (-а) + а, равная нулю по известному закону сложения — свойству противоположных чисел. Значит, это равенство можно переписать так: 0 = 0 + а • 0, то есть а • 0 = 0, что и требовалось доказать.

Это длинное рассуждение можно переписать в виде цепочки равенств:

а = ав1 = а(1 + 0) = ав1 + а«0 = а + ав0, откуда

(-а) + а = (-а) + а + а • 0, 0 = 0 + а • 0, 0 = а • 0.

Итак, для всех рациональных чисел справедливы следующие десять свойств сложения и умножения:

l)a + b = b + a 6)а + 0 = а

2)ab = ba 7) а • 1 = а

3)а + (Ь + с; = (а + &; + с 8) а + (-а) = 0 4) а (Ьс; = (ab) с 9)а«1= 1 приа^О

5)a(b + c) = ab + ac 10) а • 0 = 0.

Эти свойства применяются для упрощения вычислений. Но еще важнее то, что с их помощью можно научиться умножать и делить рациональные числа.

Докажем, во-первых, что числа ab и а (-Ь) — противоположные, то есть что их сумма равна нулю:

ab + a (-&) = а (Ь + (-&)) = а • 0 = 0.

Итак, а (-Ь) = - (ab).

Например, число 2 • (-3) противоположно числу 2 • 3, а значит, 2 • (-3) = -2 • 3 = -6. Понятно, что и (-a)b = -(ab):

(-а )Ъ = Ъ(-а) = -(Ьа ) = -(ab ).

У нас получилось, что произведение чисел с разными знаками — это отрицательное число, противоположное произведению модулей множителей.

Например, произведение чисел -7 и 8 — отрицательное число, модуль которого равен 7*8, то есть -7-8 = -56.

Теперь мы умеем перемножать 1) положительные числа; 2) числа с разными знаками. Осталось понять, как найти произведение двух отрицательных чисел.

Для этого возьмем числа -а и -Ь. Из формул а(-Ъ) = ~(ab) и (-а)Ъ = -(ab) получаем:

(-а) (-Ъ) = - ((-а)Ь) = - (-(ab)).

Значит, произведение (-а) (-Ь) противоположно числу -(ab). Например, произведение (-2)»(-3) противоположно числу -(2 • 3). Отсюда получается, что (-2) • (-3) противоположно числу -6. Но число, противоположное числу -6, — это число 6. Так что (-2) • (-3) = 6. Точно так же и вообще

(-а) (-Ь) = ab.

Значит, произведение двух отрицательных чисел положительно: оно равно произведению модулей данных чисел.

Итак, чтобы найти произведение двух рациональных чисел, надо:

1) найти модуль произведения: он равен произведению модулей данных чисел;

2) определить знак произведения: если множители имеют одинаковые знаки, то произведение положительно; если знаки разные — произведение отрицательно.

Такжке обстоит дело и с делением:

частное двух чисел с разными знаками противоположно частному модулей данных чисел; частное двух чисел с одинаковыми знаками равно частному модулей этих чисел.

Например, (-14) : 7 = -2; (-15) : (-2) = 7,5 — это легко проверяется умножением.

Из правил умножения и деления получается важный вывод — правило знаков:

произведение и частное двух чисел с одинаковыми знаками имеют знак плюс;

произведение и частное двух чисел с разными знаками имеют знак минус.

Иногда, чтобы запомнить эти правила, говорят так:

Друг моего друга — мой друг; плюс • плюс = плюс.

Враг моего друга — мой враг; минус • плюс = минус.

Друг моего врага — мой враг; плюс • минус = минус.

Враг моего врага — мой друг; минус • минус = плюс.

Задачи

1. а + b = ab = а : b. Найди числа а и Ь.

2. а + b + с = abc. Найди числа а, & и с.

3.a + b + c + d + e = abcde. Найди эти числа.

4. Можно ли расставить в клетках квадрата 3x3 девять чисел так, чтобы сумма всех этих чисел была положительна, а сумма чисел в любых двух соседних клетках — отрицательна?

5. Построй как можно больше точек, у которых

1) ордината равна 3;

2) абсцисса равна -2;

3) ордината равна абсциссе;

4) ордината противоположна абсциссе;

5) ордината равна модулю абсциссы;

6) ордината противоположна модулю абсциссы;

7) абсцисса больше 2;

8) ордината меньше нуля;

9) абсцисса меньше 2;

10) абсцисса больше 2, а ордината меньше 3;

11) ордината на 2 больше абсциссы;

12) абсцисса на 5 больше ординаты.

6. Будем, как обычно, обозначать абсциссу точки буквой je, а ее ординату буквой у. Тогда условия пре-

дыдущей задачи можно переписать так: 1) у = 3; 2) x = -2; 3) i/ = x и так далее. Перепиши таким образом остальные задания из номера 5.

7. Вместо длинного задания «построить как можно больше точек» будем говорить кратко: «построить графики». Построй графики: 13) у = х + 2, 14) у = х + + 3, 15) у = x + (-2), 16) у = x + (-3), 17) у = 2 + х, 18)у = 3 + х, 19) г/ = \х\ + 2, 20) I/ = \х + 2|, 21)у = -х + 2, 22) г/ = -я + 3, 23) г/ = 24) у = -|*| + 2, 25) г/ = х - 2, 26) г/ = x - 1, 27) у = \х\- 4, 28) у = - 1, 29) у = 2х9 30) у = -Зх, 31) у = f , 32) г/ = f, 33) у = х\ 34) у = = -х\ 35) у = x2 + 1, 36) у = x2 - 1, 37) у = |jc|2.

8. Следующие графики удобно строить по точкам, заполняя такую таблицу:

X

-2

-1

0

1

2

У

38) у = 2* + 1, 39) у = 2х - 2, 40) у = 2(х + 1), 41) у = = 2(х-1),42)у = -2 (х-1), 43)j, = 2(*+l)-2,44)y = = *(* + 1) - x, 45) г/ = (х + 1) (х - 1) + 1, 46) I/ = (х + 1)х х(х + 1) - 2(х - 1), 47) г/ = (х + 1) (я + 1) - (x - 1) (x - 1), 48) у = (* + 1) x - (х - 1) x, 49) г/ = 3* + 2, 50) г/ = х2 + х.

9. В предыдущих задачах значение у можно было найти для любого значения х. Следующие примеры потруднее:

Глава пятая

Уравнения

При каком значении буквы а значение выражения а + 5 равно 12? То есть к какому числу надо прибавить 5, чтобы получилось 12? Правильно, к числу 7. Сейчас неважно, как мы до этого додумались: перебирали разные числа, считали на палочках или как-нибудь еще. Важно, что теперь мы знаем: а + 5 = 12, если а = 7. Запись а + 5 = 12 называется уравнением, а число 7 — его корнем.

Уравнение — это равенство, в котором имеется буква и требуется узнать, при каком значении этой буквы равенство становится верным.

Обычно для обозначения нужного числа используется буква x (икс). Икс — это что-то вроде маски, за которой прячется число, пока уравнение не решено.

Решить уравнение — значит сорвать маску, найти значение икс, при котором уравнение превращается в верное равенство. Это значение икс называют корнем уравнения.

Возьмем уравнение 3 + х = 7. Если х = 4, оно превращается в равенство 3 + 4 = 7; это равенство верно, поэтому число 4 является корнем уравнения. Если же взять x = 2, то уравнение превратится в равенство 3 + 2 = 7; это равенство неверно, поэтому число 2 не является корнем нашего уравнения.

Решение самых простых уравнений

Проще всего решить уравнение, в котором буквой икс обозначен один из компонентов арифметического действия: слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое или делитель. Что общего у уравнений х + 3 = 23 и 18 + х = 30? В обоих случаях нам известно одно из двух слагаемых и сумма, а найти требуется второе слагаемое. Поэтому и решаются оба уравнения одинаково — вычитанием из суммы известного слагаемого:

х + 3 = 23 18 + х = 30

х = 23-3 х = 30-18

х = 20 х=12

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из известной суммы вычесть известное слагаемое.

Чтобы решить уравнение х - 4 = 13, надо найти уменьшаемое, зная вычитаемое и разность. Это уравнение решается так:

х- 4 = 13 х = 4 + 13 х = 17

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к известному вычитаемому прибавить известную разность.

Чтобы решить уравнение 23 - х = 17, надо найти вычитаемое, зная уменьшаемое и разность. Уравнение решается так:

23-х= 17 х = 23-17 X = 6

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из известного уменьшаемого вычесть известную разность.

Возьмем уравнения 2вх=12ид:*7 = 28. В обоих случаях известно произведение и один из двух множителей и требуется найти второй множитель. Оба уравнения решаются одинаково:

2-х= 12 х-7 = 28

х=12:2 х = 28: 7

X = 6 X = 4

Чтобы найти неизвестный множитель, надо известное произведение разделить на известный множитель.

Чтобы решить уравнение х : 5 = 11, надо найти делимое, зная делитель и частное. Уравнение решается так:

х:5 = 11 X = 5 • 11

X = 55

Чтобы найти неизвестное делимое, надо известный делитель умножить на известное частное.

Чтобы решить уравнение 24 : х = 8, надо найти делитель, зная делимое и частное. Уравнение решается так:

24 : X = 8 X = 24 : 8, х = 3.

Чтобы найти неизвестный делитель, надо известное делимое разделить на известное частное.

Решение более сложных уравнений. Аль-джебр ва-л-мукабала

Решение уравнений — предмет изучения в одной из главных математических наук — в алгебре. Название этой науки произошло от названия книги среднеазиатского ученого Аль-Хорезми, жившего в VIII—IX веках. Книга эта называлась «Китаб мухтасар аль-джебр ва-л-мукабала». Словом «аль-джебр» в ней было названо важное правило, применяемое при решении уравнений. Мы называем его правилом переноса. Вот это правило в его нынешнем виде:

Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак этого слагаемого, то получившееся уравнение будет иметь те же корни, что и исходное уравнение.

Задача. Где применено правило переноса при решении уравнения:

2 (х + 5) = Sx + 18, 2х+ 10 = 3х+ 18, 2х-3х= 18- 10, -х = 8, х = -8?

При решении этого уравнения мы использовали не только правило переноса. Чтобы от предпоследней строчки перейти к последней, нам понадобилось правило, которое называется правилом деления и формулируется так:

Если обе части уравнения разделить на одно и то же число, кроме нуля, то получившееся уравнение будет иметь те же корни, что и исходное уравнение.

Решение задач с помощью уравнений

Решение многих задач упрощается, если использовать уравнения.

Задача. Чтобы как следует потренироваться перед контрольной работой, Лена за три недели решила 200 задач. С каждым днем она работала все лучше и лучше, поэтому за вторую неделю она решила на 20 задач больше, чем за первую, а за третью неделю — в 4 раза больше, чем за первую! Сколько задач решила Лена за первую неделю?

Решение

1) В этой задаче спрашивается, сколько задач решено за первую неделю. Обозначим это неизвестное нам число через х:

X — число задач, решенных за первую неделю.

2) Выразим через х остальные неизвестные нам величины, о которых говорится в задаче. Всего в ней встречаются четыре величины: число задач, решенных за каждую из трех недель, и общее число решенных задач. Первое число мы уже обозначили через х. Число всех решенных задач — 200. Остаются две неизвестные величины, которые мы и должны выразить через X. Это число задач, решенных за вторую неделю, и число задач, решенных за третью неделю. За вторую неделю Лена решила на 20 задач больше, чем за первую, то есть (х + 20) задач. За третью неделю она решила задач в 4 раза больше, чем за первую, то есть 4х задач.

3) Теперь составим уравнение, переведя на математический язык следующее соотношение:

Уравнение будет таким: х + (х + 20) + 4х = 200.

4) Решим это уравнение: X + X + 20 + 4jc = 200, 6х + 20 = 200, 6х = 200 - 20, 6х=180, X = 30.

5) Осмыслим результат: х — это число задач, решенных за первую неделю. Мы получили, что х = 30. Значит, число задач, решенных за первую неделю, равно 30.

Ответ: за первую неделю Лена решила 30 задач.

Как видно, решение задачи с помощью уравнения состоит из пяти шагов:

1) обозначение одной из неизвестных величин через х;

2) выражение остальных неизвестных величин через х;

3) составление уравнения;

4) решение уравнения;

5) осмысление результата и запись ответа.

Из этих пяти шагов самые трудные — второй и третий. Имеет смысл потренироваться — выполнить много заданий, в которых надо совершить только эти шаги: составить выражения и уравнения по условию задачи. Вот эти задания.

1. В первой бригаде на 3 человека больше, чем во второй. Число людей в первой бригаде обозначили буквой X. Вырази через х число людей во второй бригаде. Изобрази обе величины отрезками.

2. Скорость пешехода в 2 раза меньше скорости велосипедиста. Скорость пешехода обозначили буквой X. Вырази через х скорость велосипедиста. Сделай рисунок.

3. Одно число в 4 раза больше другого. Меньшее из этих чисел обозначили буквой у. Вырази через у большее число. Сделай рисунок.

4. Ботинки на 2000 крон дешевле шляпы. Цену шляпы в кронах обозначили буквой х. Вырази через х цену ботинок. Сделай рисунок.

5. Рабочий Иванов делает за смену на 10 деталей больше, чем рабочий Петров. Сменную выработку Иванова обозначили через х. Вырази через х сменную выработку Петрова. Сделай рисунок.

6. Скорость вертолета в 3 раза меньше скорости самолета. Скорость вертолета обозначили буквой у. Вырази через у скорость самолета. Сделай рисунок.

7. Путь в гору в 2 раза короче, чем путь по равнине. Путь в гору обозначили через х. Вырази через х путь по равнине. Сделай чертеж.

8. Тетрадей купили на 8 штук больше, чем карандашей. Число купленных карандашей обозначили буквой у. Вырази через у число купленных тетрадей. Сделай рисунок.

9. Число X увеличили в два раза. Получившееся число уменьшили на 4,01. Запиши результат. Сделай рисунок.

10. Весь путь равен у км. Пешеход прошел половину этого пути, а потом еще 3,4 км. Запиши, сколько прошел пешеход. Сделай чертеж.

11. Одна сторона треугольника равна х см, вторая на 3 см больше, а третья в два раза короче второй стороны. Вырази через х третью сторону. Сделай чертеж.

12. Калуша весила у каратов. Когда она вычучила бутявку, то похудела на 40 каратов. Потом она стрямкала грямзика, и ее вес увеличился втрое. Сколько каратов весит она теперь?

13. Задуманное число х разделили на 5, а затем результат умножили на 3. Какое число получилось? Сделай рисунок.

14. Площадь прямоугольника у разделили на 4 равные части, а затем каждую часть разделили на 5 равных частей. Вырази через у площадь каждого из получившихся участков. Сделай чертеж.

15. Купили 6 игрушек ценой по х крон за штуку и еще одну игрушку за 3000 крон. Сколько денег истратили? Сделай рисунок.

16. Карандаш стоит х рублей, а тетрадь на 1 рубль дешевле. Вырази через х стоимость 8 тетрадей. Сделай рисунок.

17. Поезд проходит х километров в час, а самолет за 1 час пролетает на 500 километров больше. Сколько километров пролетит самолет за 3 часа? Сделай рисунок.

18. В кувшин вмещается х литров, а в бидон на 1,6 л меньше. Сколько литров поместится в пяти таких бидонах? Сделай рисунок.

19. Вместимость кастрюли х литров, вместимость чайника в 1,2 раза больше вместимости кастрюли. Вместимость ведра в 2,4 раза больше вместимости чайника. Сколько литров помещается в ведре? Сделай рисунок.

20. В первом цехе у рабочих. Во втором на 120 рабочих меньше. В третьем цехе рабочих в два раза больше, чем во втором. Вырази через у число рабочих третьего цеха. Сделай рисунок.

Это были задания на составление выражений по условию задачи. Следующие задачи — на составление уравнений. Решать получившиеся уравнения не нужно! При затруднениях в выполнении заданий делай рисунки.

21. Составь уравнение, зная, что число х равно 27.

22. Составь уравнение, зная, что число у равно 12,31.

23. Составь уравнение, зная, что если к числу X прибавить 15, то получится 18.

24. Составь уравнение, зная, что если от числа у отнять 8, то получится 84.

25. Составь уравнение, зная, что разность числа X и числа 16 равна 48.

26. Составь уравнение, зная, что если уменьшить число у в 10 раз, то получится число 12.

27. Составь уравнение, зная, что разность чисел X и 5 равна 90.

28. Составь уравнение, зная, что произведение числа 7 и числа у равно 1001.

29. Составь уравнение, зная, что частное чисел X и 4 равно 2.

30. Составь уравнение, зная, что частное чисел 8 и X равно 4.

31. Составь уравнение, зная, что стоимость одного карандаша х пиастров и что 5 таких карандашей стоят 80 пиастров.

32. Составь уравнение по следующему условию. Автомобиль движется со скоростью х км/ч; за 4 ч он проехал 360 км.

33. Составь уравнение по следующему условию. Пирожное стоит х тугриков, а мороженое на 80 тугриков дороже, причем известно, что две порции мороженого стоят 500 тугриков.

34. Составь уравнение по следующему условию. Скорость велосипедиста х км/ч, а скорость автомобиля 90 км/ч. Скорость автомобиля на 78 км/ч больше скорости велосипедиста.

35. Составь уравнение по следующему условию. Цена портфеля х купонов. Она на 60 купонов больше, чем цена сумки, равная 130 купонам.

36. Составь уравнение по условию: число 15х в 8 раз больше, чем число 15.

37. Составь уравнение, зная, что скорость вертолета X км/ч и что она в 5 раз меньше скорости самолета, равной 900 км/ч.

38. Составь уравнение по следующим данным. Ученик делает за смену х изделий, мастер — втрое больше, а вместе они за смену делают 480 изделий.

39. Составь уравнение по следующему условию. Площадь сада х га, площадь поля в 4 раза больше, при этом поле на 30 га больше сада.

40. Составь уравнение по следующему условию. Одно число равно х, а другое на 8 меньше; произведение этих чисел равно 20.

41. Составь уравнение по следующим данным. Одно число равно г/, а второе меньше его на 3; частное этих чисел равно 1,5.

42. Отрезок AB равен х мм, отрезок CD в 366 раз больше; отрезок CD на 62 мм больше отрезка AB. Сделай чертеж. Составь уравнение.

43. За месяц первый экскаватор вынул на 1000 т грунта больше, чем второй. При этом первый экскаватор вынул X т грунта, а вместе они вынули 28 000 т. Составь уравнение.

44. В библиотеке имени Пушкина на 8000 книг больше, чем в библиотеке имени Гоголя. При этом в библиотеке имени Гоголя книг в 1,2 раза меньше, чем в библиотеке имени Пушкина. Обозначь через х число книг в одной из библиотек и составь уравнение.

45. Одна из сторон прямоугольника в 2,7 раза больше другой. Площадь этого прямоугольника 999 м2. Обозначь одну из сторон через х и составь уравнение.

46. Сторона AB треугольника ABC равна х см, сторона ВС в два раза больше стороны AB, сторона АС равна стороне БС, а периметр треугольника ABC равен 30 см. Сделай чертеж. Составь уравнение.

47. Одна сторона прямоугольника на 2 см больше другой, а периметр его равен 13 см. Сделай чертеж. Составь уравнение.

48. Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины, а периметр равен 24 см. Сделай чертеж. Составь уравнение.

49. Витя задумал число, увеличил его в 3 раза, отнял 5 и умножил результат на 2. Получилось 50. Составь уравнение, введя удобное обозначение.

50. Стороны квадрата увеличили в 2 раза. Его площадь стала равна 16 см2. Составь уравнение, позволяющее найти сторону исходного квадрата.

51. Одну сторону прямоугольника, равную х см, увеличили на 2 см, а другую, равную у см, оставили неизменной. Площадь прямоугольника стала равна 40 см2. Сделай чертеж. Составь уравнение с двумя неизвестными (х и у).

52. Одну сторону квадрата увеличили на 2 см, а другую сторону уменьшили на 2 см. Получился прямоугольник площадью 60 см2. Сделай чертеж. Составь уравнение.

Глава шестая

Введение в геометрию

Об измерениях

Теперь мы поговорим о геометрии. Название этой науки древнегреческое. В переводе на русский язык слово «геометрия» означает «землемерие». Это потому, что главной задачей геометрии в древности было сравнение и измерение земельных участков.

С измерением длин человек встречается уже в раннем детстве. Позже он узнаёт, что для того, чтобы измерить расстояние между точками, нужно узнать, сколько единиц длины содержит отрезок с концами в этих точках.

Задача. Чему равны длины отрезков на рисунке?

Длина — это место, которое занимает отрезок на прямой. Точно так же площадь — это место, которое занимает фигура на плоскости.

Длину измеряют сантиметрами и другими линейными единицами: узнают, сколько единиц длины или сколько единичных отрезков помещается в измеряемом отрезке. Площадь измеряют квадратными сантиметрами и другими квадратными единицами: узнают,

сколько таких единиц, сколько единичных квадратов помещается в измеряемой фигуре.

Чтобы найти площадь фигуры, нужно узнать, сколько единиц площади помещается в этой фигуре.

Задача. Чему равна площадь фигуры на рисунке?

Конечно, и длины, и площади мы измеряем не теми единицами, которыми пользовались древние.

Сейчас основной мерой длины является метр. Метр введен в употребление в конце XVIII века во Франции. Метром назвали одну сорокамиллионную долю длины парижского меридиана Земли. Эталон метра отлит из сплава платины с иридием; он хранится в специальном помещении в городе Севре, близ Парижа. Копии этого эталона хранятся в таких же помещениях в разных странах мира. Российская копия эталона метра находится в Пулковской обсерватории, в Санкт-Петербурге. Вот почему метровые линейки во всех странах мира имеют совершенно одинаковую длину. Сокращенно метр обозначается буквой м. От метра произошли и другие метрические единицы

длины: миллиметр (мм), сантиметр (см), дециметр (дм), километр (км). А от мер длины произошли и современные меры площади: квадратный миллиметр (мм2), квадратный сантиметр (см2) и т. д. Например, квадратный дециметр — это площадь квадрата со стороной 1 дм.

Задача. Нарисуй в тетради по клеточкам квадрат площадью в 1 квадратный сантиметр и квадрат площадью в 1 квадратный дециметр. Подсчитай, сколько квадратных сантиметров в одном квадратном дециметре.

От тех же единиц длины произошли и современные меры объема. Куб, ребро которого равно одной единице длины, называется единичным кубом. Например, объем куба с длиной ребра в 1 мм называется кубическим миллиметром (мм3).

Вспомним, что такое куб и из чего он состоит. С кубом мы встречаемся еще в раннем детстве — все малыши играют в кубики. Поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратов. Они называются гранями куба. Стороны этих квадратов называются ребрами куба.

Задача. Сосчитай, сколько ребер у куба.

Еще задача. Составь куб из одинаковых палочек, пользуясь пластилином. Сколько палочек и сколько кусочков пластилина тебе для этого понадобится?

И еще задача. Догадайся, как называется объем куба с ребром в 1 см, в 1 км, 1 дюйм, 1 аршин. Что такое дюйм и аршин, посмотри в энциклопедическом словаре.

На этом рисунке изображены единичный отрезок, единичный квадрат и единичный куб.

1 сантиметр

1 квадратный сантиметр

1 кубический сантиметр

Задача. Фигура на рисунке разделена на равные кубы. Сколько получилось кубов?

Еще задача. Сколько кубиков в фигуре на следующем рисунке?

И еще задача. Прямоугольная площадка разделена на квадратные сантиметры. На каждый сантиметр кладут куб объемом в один кубический сантиметр. Сколько кубических сантиметров уложится в 1 слой, в 2 слоя, в 5 слоев?

Литр

Количество вещества можно измерять по-разному. Иногда определяют массу вещества, иногда — его объем. Когда мы покупаем в магазине картошку, ее отмеривают килограммами, а молоко отмеривают литрами, то есть единицами объема.

Объем тела — это место, которое занимает тело в пространстве. Измерить объем — значит узнать, сколько единиц объема — кубиков с ребром в одну единицу длины — помещается в этом теле.

Литр — это кубический дециметр. Это значит, что жидкость объемом в один литр занимает в пространстве столько же места, сколько куб с ребром в 1 дм.

Упаковку для одного литра жидкости можно склеить в форме куба.

Задача. Куб имеет объем 1 литр. Какова длина ребра этого куба?

Чтобы коробка годилась для хранения жидкости, ее нужно сделать из водонепроницаемого материала. Мы же сделаем такую коробку из обычной плотной бумаги.

Задача. Какой формы и каких размеров должны быть стенки, дно и крышка коробки, если форма этой коробки — куб, а объем ее — 1 литр? Нарисуй на плотной бумаге и вырежь грани куба. Склей такую коробку.

Стенки, дно и крышка куба — это его грани. У куба 6 граней. Все они — равные квадраты.

Половина литра. Прямая призма

Иногда молоко продают в полулитровых упаковках. Такую упаковку можно сделать, разделив литровый куб пополам.

Задача. Литровый куб разрезали пополам, как показано на рисунке. Склей одну из таких коробок.

Еще задача. Литровый куб разрезали пополам, но уже по-другому. Склей одну из получившихся коробок.

Получившиеся полулитровые коробки имеют разную форму: основание первой коробки — прямоугольник, основание второй коробки — треугольник. Но есть в этих фигурах и общее: 1) у каждой из них два равных между собой основания; 2) у каждой из них боковые грани — прямоугольники. Такие фигуры называются прямыми призмами.

Если в основании прямой призмы лежит прямоугольник, то такая призма называется прямоугольным параллелепипедом. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют спичечный коробок и классная комната.

Задача. Какие фигуры на этом рисунке — прямые призмы? Какие из них — прямоугольные параллелепипеды?

Еще задача. Какие фигуры из бумаги надо вырезать, чтобы из них можно было склеить прямоуголь-

ный параллелепипед высотой 3 см, длиной 5 см и шириной 4 см?

Расстояние между верхним и нижним основаниями прямой призмы называется высотой призмы. Высоту призмы можно измерить так, как измеряют рост человека — прибором под названием ростомер.

Задача. Объясни, почему куб является прямой призмой; почему куб является прямоугольным параллелепипедом .

Одна треть литра. Пирамида

Нетрудно сделать и такую коробку, которая вмещает одну треть литра. Для этого достаточно разрезать литровый куб на три равные части.

Задача. Какие фигуры из бумаги надо вырезать, чтобы из них можно было склеить прямую призму объемом в -| литра?

Но коробку объемом в ^ литра можно склеить и совсем иначе — не в форме призмы, а в форме пирамиды.

Пирамиды известны людям давно. Несколько тысячелетий стоят в северо-восточной Африке пирамиды, построенные древними египтянами. Самая большая из них — пирамида Хеопса — имеет высоту около 150 м. В ее основании лежит квадрат со стороной около 230 м.

У призмы два основания, а у пирамиды одно. Высотой пирамиды называется расстояние от ее основания до вершины. Высоту пирамиды, как и призмы, тоже можно измерить ростомером. Все грани пирамиды, кроме основания, называются боковыми гранями — как у призмы.

Задача. На сколько удалена вершина пирамиды Хеопса от основания — от поверхности земли?

Еще задача. Среди тел, изображенных на рисунке, найди пирамиды. Какую форму имеют их основания и какую — боковые грани?

Но вернемся к тому, с чего мы начали наш разговор о пирамиде, — к вопросу о ее объеме.

Возьмем пирамиду и призму, у которых равны и основания, и высоты. Конечно, объем такой пирамиды меньше объема такой призмы. Но оказывается — не просто меньше, а меньше ровно в три раза.

Доказательство этого очень сложно, и о нем говорить мы не будем. Но есть один пример, который прост и понятен.

Возьмем куб. Соединим его центр со всеми точками нижнего основания куба. Получится пирамида. Таких пирамид в кубе шесть. Все эти пирамиды равны друг другу, а значит, имеют равные объемы. Объем каждой из них равен А части объема куба.

Теперь рассмотрим прямую призму с таким же основанием и с такой же высотой, как у построенной нами пирамиды. Эта прямая призма — половина куба. Ее объем равен половине объема куба. Итак, объем пирамиды в нашем случае действительно равен ^ объема призмы с таким же основанием и с такой же высотой.

Поэтому коробку в ^ литра можно сделать в виде пирамиды, у которой основание и высота такие же,

как у литрового куба. В качестве основания берется нижнее основание такого куба, а в качестве вершины — любая точка на верхнем основании куба. Удобнее всего взять в качестве вершины центр верхнего основания. Объем этой пирамиды втрое меньше объема этого куба, то есть равен ^ литра.

Задача. Склей пирамиду объемом в ^ литра.

Формулы объема призмы и пирамиды

До сих пор речь шла о том, как склеить призму или пирамиду известного объема. А если нам дали готовую призму или пирамиду — как измерить их объем?

Начнем с призмы. Как узнать, сколько в ней помещается единиц объема — единичных кубиков?

Задача. Найди площадь основания и объем каждой фигуры на рисунке.

Как видно, в одном слое помещается столько кубиков, сколько квадратных единиц помещается в основании. Это означает, что если высота призмы равна 1, то ее объем численно равен площади основания.

Задача. Найди площадь основания и объем фигуры на рисунке.

Получается, что объем равен произведению числа единичных кубов в одном слое на число слоев. Объем обычно обозначают буквой V, а площадь основания — буквой S. А так как число кубиков в одном слое равно площади основания, а число слоев равно высоте прямой призмы, получаем такую формулу:

V=Sh,

где V — объем призмы, S — площадь ее основания, h — ее высота.

Задача. Сколько слоев единичных кубов содержится в прямой призме с высотой 3 единицы?

Формулой объема можно пользоваться лишь тогда, когда площадь основания и высота измерены в соответствующих единицах, например в квадратных сантиметрах и сантиметрах. Тогда и объем получает-

ся в соответствующих им единицах, например в кубических сантиметрах.

Задача. Вычисли объем прямой призмы с площадью основания S и высотой Л, если 1) S = 5 см2, h = = 4 см; 2) S = 7 м2, h = 8 м; 3) S = 6 дм2, h = 4 м.

Теперь возьмем пирамиду с основанием, площадь которого равна S, и высотой h. Ее объем V в три раза меньше, чем объем призмы с такими же основанием и высотой.

Задача. Объем пирамиды равен 660 см3. Определи объем призмы с таким же основанием и такой же высотой, как у этой пирамиды.

Формула объема V пирамиды с площадью основания S и высотой h получается такая:

V = ±Sh.

Задача. Вычисли объем прямой пирамиды с площадью основания S и высотой Л, если 1) S = 5 см2, h = 4 см; 2) S = 7 м2, h = 8 м; 3) S = 6 дм2, й = 4м.

Еще задача. Из склеенных раньше фигур возьми одну призму и одну пирамиду и вычисли их объем. Выполняй работу в таком порядке:

1) Начерти сетку с квадратами в 1 см, поставь на нее основание призмы или пирамиды и обведи его карандашом. Квадраты, целиком содержащиеся внутри нарисованной фигуры, заштрихуй горизонтально (на рисунке имеется 3 таких квадрата). Квадраты, занятые этой фигурой частично, заштрихуй косо (на рисунке имеется 14 таких квадратов). Подсчитай приблизительно площадь фигуры, считая площадь

каждого квадрата, заштрихованного горизонтально за 1 см2, а площадь каждого квадрата, заштрихованного косо, за^см2.

2) Измерь высоту призмы или пирамиды.

3) Вычисли объем, подставив в нужную формулу найденные значения площади основания и высоты призмы или пирамиды.

Еще задачи

1. Вычисли по клеткам приблизительную площадь фигуры на рисунке.

2. Вычисли объем пирамиды Хеопса (см. с. 271).

3. Объем пирамиды равен 150 дм3. Чему равен объем прямой призмы с таким же основанием и такой же высотой, как у этой пирамиды?

4. Объем прямой призмы 72 см3, а площадь ее основания равна 18 см2. Чему равна ее высота?

5. Объем пирамиды равен 48 см3, а ее высота 30 мм. Чему равна площадь ее основания?

6. На рисунке изображены сосуды. Сколько жидкости вместится в этих сосудах?

Цилиндр

Объем часто измеряют стаканами. Так и пишут в рецептах: «Возьмите два стакана муки».

Обычный круглый тонкостенный стакан имеет объем j литра. Форма такого стакана — цилиндр.

Из всех фигур, о которых мы говорили, больше всего похожа на цилиндр прямая призма. Только основания у призмы — многоугольники, а у цилиндра — круги.

Формула объема прямой призмы V = Sh верна и для цилиндра. И ничего удивительного в этом нет. Представим себе, что мы стали увеличивать число сторон многоугольника, лежащего в основании прямой призмы: взяли треугольную призму, от нее перешли к четырехугольной, потом к пятиугольной и так далее. В конце концов мы не сможем отличить многоугольник от круга и призму от цилиндра. А формула V = Sh, верная для всех этих призм, в конце концов перейдет в формулу объема цилиндра.

V=Sh

Найдем по этой формуле вместимость стакана, внутренние размеры которого такие: площадь основания равна 28,8 см2, а высота 8,7 см. По формуле объема получаем:

V = Sh = 28,8 • 8,7 = 250,56 (см3).

Задача. Найди объем цилиндра, высота которого равна 3 м, а площадь основания 36 дм2.

Чтобы склеить цилиндр, вырезают два равных круга и прямоугольник, который можно свернуть так, что получится стенка цилиндра. Правда, правильно подобрать длину этого прямоугольника непросто. О том, как это делается, мы будем специально говорить. А пока что склей цилиндр, точно копируя рисунок.

Задача. Склей цилиндр по рисунку и вычисли его объем, измеряя площадь круга по клеткам, как в задаче на с. 275.

Конус

Как изготовить сосуд, объем которого в 3 раза меньше объема стакана? Конечно, можно склеить цилиндр

с таким же основанием и с высотой, в 3 раза меньшей. Но можно поступить и так, как мы однажды поступили с призмой, — перейти к фигуре другой формы:

от призмы — к пирамиде,

от цилиндра — к конусу. Сравним формулы:

V призмы = Sh, V цилиндра = Sh,

V пирамиды = TjSh, V конуса = j^Sh.

Нет ничего удивительного в том, что формулы объема пирамиды и конуса одинаковы. Ведь конус можно представить себе как пирамиду, в основании которой лежит многоугольник с бесконечно большим числом сторон.

Задача. В цилиндр вставили конус с таким же основанием и такой же высотой, как у цилиндра. Какая часть объема цилиндра занята конусом? Какая часть свободна от конуса?

Еще задача. Вычисли объем конуса, высота которого 6 дм, а площадь основания 30 см2.

Склеить конус, равный данному, — дело непростое. Пока достаточно уметь склеивать конус из готовой развертки.

Задача. Склей конус по рисунку и вычисли его объем.

Площадь. Площадь прямоугольника

Как известно, площадь фигуры — это место, которое занимает фигура на плоскости. Измеряется площадь в квадратных единицах, то есть с помощью единичных квадратов.

Мы умеем находить площадь, накладывая фигуру на сетку. Но это и долго, и неточно. Иногда результат таких вычислений зависит от того, как наложена фигура. Например, на рисунке а) площадь фигуры равна 5 см2, а на рисунке б) площадь той же фигуры равна 4 см2.

Для некоторых фигур имеются формулы, позволяющие быстро находить их площадь. К таким фигурам относится прямоугольник — четырехугольник, все углы которого прямые.

На рисунке изображен прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см. Какова его площадь? Сколько квадратов со стороной 1 см помещается в этом прямоугольнике? Сразу видно, что 15. Но, для того чтобы это определить, можно было и не разлиновывать прямо-

угольник, а немножко порассуждать и провести вычисление по формуле. В самом деле, ширина нашего прямоугольника 3 см. Значит, его можно мысленно разделить на три полосы шириной по 1 см каждая. Длина каждой полосы равна длине прямоугольника, то есть равна 5 см. Значит, в каждой полосе помещается по 5 квадратных сантиметров. Итак, в нашем прямоугольнике помещается 3 раза по 5 квадратных сантиметров, то есть его площадь S = 3 • 5 см2. И вообще, если длина прямоугольника а единиц длины, а ширина его Ь таких же единиц длины, то в нем помещается а полос по Ъ единичных квадратов в каждой полосе. То есть площадь S любого прямоугольника можно вычислить по формуле

S = ab.

Знание этой формулы облегчает вычисления: теперь уже не только не нужно разлиновывать прямоугольник, но даже можно и вообще не рисовать его. Чтобы найти его площадь, достаточно знать его измерения — длину и ширину.

Задача. Найди площадь прямоугольника со сторонами а и о, если 1) а = 3 м, Ъ = 8 м; 2) а = 6 см, Ъ = 8 дм.

Еще задача. Начерти какой-нибудь прямоугольник площадью 12 см2.

Всякий квадрат является прямоугольником. Поэтому площадь квадрата можно найти по формуле площади прямоугольника. Правда, здесь дело еще проще: у квадрата стороны равны, а если известна одна из сторон а, то другую сторону измерять не надо. Да и формула упрощается:

5квадрата = а • а, то есть S = a2.

Задача. Найди площадь квадрата со стороной 15 мм. Еще задача. Начерти квадрат, площадь которого равна 49 см2.

Площадь треугольника

На этом рисунке изображен многоугольник, который легко разделить на прямоугольники. Площадь такого многоугольника вычислить просто.

Задача. Вычисли площадь этого многоугольника.

Но ведь не всякий многоугольник можно разделить на прямоугольники.

Задача. Начерти многоугольник, который нельзя разделить на прямоугольники.

А вот на треугольники можно разделить любой многоугольник. Чтобы, например, разделить на треугольники вот такой многоугольник, достаточно провести из точки А все его диагонали — отрезки, соединяющие вершину А с несоседними вершинами.

Задача. Перечерти по клеткам многоугольник с рисунка и раздели его на треугольники диагоналями, выходящими из вершины М.

Значит, чтобы вычислить площадь любого многоугольника, достаточно научиться вычислять площадь любого треугольника.

Если треугольник равен половине прямоугольника, то его площадь найти легко — достаточно перемножить длины сторон, образующих прямой угол (тогда мы найдем площадь прямоугольника), и разделить результат пополам.

Треугольник, равный половине прямоугольника, легко узнать среди других — у него есть прямой угол, и называется он прямоугольным треугольником. Интересующие нас стороны этого треугольника, образующие прямой угол, называются катетами прямоугольного треугольника. Если просят построить треугольник с катетами 3 см и 4 см — речь идет о прямоугольном треугольнике, и прямой угол расположен между указанными сторонами — катетами.

Задача. Среди фигур на рисунке найди прямоугольные треугольники и измерь линейкой их катеты. Чему равна площадь каждого из них?

Еще задача. Начерти какой-нибудь прямоугольный треугольник, площадь которого равна 5 см2.

Возьмем теперь непрямоугольный треугольник. Именно таков треугольник ЛВС. Чтобы найти его площадь, достаточно разделить его на два прямоугольных треугольника, вычислить площадь каждого из них и сложить результаты.

Задача. Перечерти по клеткам треугольник ABC, раздели его на прямоугольные треугольники и найди площадь треугольника ABC.

Чтобы разделить треугольник на два прямоугольных треугольника, в нем проводят высоту. Высоту треугольника можно найти так же, как высоту призмы, пирамиды, цилиндра и конуса — ростомером.

Если все углы треугольника острые, то в нем можно провести три высоты, каждая из которых делит его на два прямоугольных треугольника. Но хотя бы одну такую высоту можно провести у любого треугольника.

Задача. Перечерти по клеткам треугольники и проведи внутри них все возможные высоты.

Займемся выводом формулы площади треугольника. Из рисунка понятно, что она равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне:

Для прямоугольного треугольника эту формулу можно переписать в виде S = где аиЬ — длины катетов треугольника. И в самом деле, если взять в качестве одной из сторон катет а, то высотой прямоугольного треугольника окажется катет Ъ.

Задачи

1. Перечерти многоугольник и раздели его на треугольники, проводя диагонали из какой-нибудь одной вершины.

2. Начерти многоугольник, который можно разделить на четыре треугольника диагоналями, проведенными из одной вершины.

3. Начерти прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см и раздели его на два треугольника. Какие треугольники получились? Чему равны катеты?

4. Начерти прямоугольник со сторонами 4 см и 5 см и раздели его на два треугольника. Чему равна площадь этого прямоугольника? Чему равна площадь каждого получившегося треугольника?

5. Убедись с помощью чертежного угольника, что все треугольники на рисунке прямоугольные. Перечерти их по клеткам и найди площадь каждого из них.

6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 4 см, а другой 1,2 дм. Чему равна площадь треугольника?

7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 7 см, а его площадь равна 70 см2. Чему равен второй катет?

8. Начерти треугольник, имеющий тупой угол, и раздели его на два прямоугольных треугольника.

9. Сторона треугольника равна 6 дм, а высота, проведенная к этой стороне, равна 15 см. Чему равна площадь этого треугольника?

10. Сколько понадобится краски, чтобы закрасить треугольник на рисунке, если на 1 см2 уходит 10 мг краски? (Длина клетки 5 мм).

11. На окраску какого треугольника пойдет больше всего краски?

Дельтоид и параллелограмм

Умея находить площадь треугольника, мы можем найти площадь любого многоугольника.

Конечно, самый простой случай — если многоугольник делится на два треугольника, то есть если этот многоугольник — четырехугольник. Мы тогда можем принять за общую сторону треугольников диагональ четырехугольника и, проведя высоты этих треугольников, быстро найти ответ.

Задача. Найди площадь четырехугольника на рисунке.

Еще лучше, если четырехугольник делится на два равных треугольника. Тогда достаточно найти площадь одного из этих треугольников и результат удвоить.

Задача. Четырехугольники на рисунке состоят из равных треугольников. Найди площади этих четырехугольников.

Эти четырехугольники отличаются друг от друга. У первого равные стороны равных треугольников — соседние. У второго равные стороны равных треугольников — противоположные. Первый четырехугольник называется дельтоидом, второй — параллелограммом.

Задача. Среди четырехугольников на рисунке найди дельтоиды и параллелограммы.

Еще задача. Скопируй по клеткам треугольник ABC. Вырежь два треугольника, равных треугольнику ABC. Наклей их на бумагу так, чтобы получился дельтоид. Найди его площадь.

И еще задача. Скопируй по клеткам треугольник ABC. Вырежь два треугольника, равных треугольнику ABC. Наклей их на бумагу так, чтобы получился параллелограмм. Найди его площадь.

Из этого рисунка видно, что площадь дельтоида равна половине произведения его диагоналей: В

Задача. Найди площадь дельтоида, изображенного на рисунке.

А из этого рисунка видно, что площадь параллелограмма равна половине произведения его стороны на его высоту, проведенную к этой стороне.

Задача. Найди площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.

Еще задача. На рисунке изображен ромб — четырехугольник, все стороны которого равны. Ромб одновременно и дельтоид, и параллелограмм. Найди площадь этого ромба двумя способами и сравни результаты.

Еще задача. Какими способами можно найти площадь квадрата?

И еще задачи

1. Стороны прямоугольника 36 дм и 40 см. Найди его площадь.

2. Длина прямоугольника 20 см, а его площадь 4 дм2. Какова его ширина? Как называется такой прямоугольник?

3. Начерти прямоугольник площадью 7 см2.

4. Найди площадь треугольника, сторона которого равна 5 см, а высота, проведенная к этой стороне, равна 6 см.

5. Найди площадь прямоугольного треугольника с катетами 30 см и 4 дм.

6. Начерти прямоугольный треугольник, площадь которого равна 11 см2.

7. Найди площади фигур, изображенных на рисунке.

8. Все стороны каждой из фигур, изображенных на рисунке, увеличили в 2 раза. Нарисуй получившиеся фигуры. Во сколько раз увеличилась площадь каждой фигуры?

О построениях

Задачи в геометрии бывают разные. В некоторых предлагается что-нибудь измерить или вычислить, если имеется сама фигура.

Задача. Какие измерения и вычисления можно сделать по этому рисунку?

В некоторых задачах требуется построить (изобразить, нарисовать, начертить) фигуру, равную данной. Если требуется построить фигуру, равную грани данной пирамиды или призмы, мы можем приложить ее к листу бумаги и обвести карандашом. Если требуется построить фигуру, равную той, которая начерчена на клетчатой бумаге, мы можем перерисовать ее по клеткам. Если требуется скопировать фигуру, начерченную на нелинованной бумаге, то это можно сделать с помощью кальки или копирки.

Задача. Перерисуй по клеткам пятиугольник ABCDJS.

Еще задача. Перерисуй шестиугольник ABCDEF.

К сожалению, все эти способы имеют свои недостатки. Когда мы обводим фигуры, изображение получается неточным, так как карандаш или шариковая ручка проходит не точно по краю фигуры, а рядом с ним. Рисовать по клеткам удобно не всегда, а только когда опорные точки находятся в узлах клетки. Копировальная или прозрачная бумага не всегда имеется под рукой.

Еще древние греки поняли, что особо точные чертежи можно получить, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой.

Но мы, кроме этих двух приборов, будем использовать также чертежный угольник и транспортир.

Задача. Построй отрезок MN, равный отрезку Aß, пользуясь только линейкой без делений и циркулем.

Построение отрезков

Прежде всего договоримся, что все фигуры мы будем строить на нелинованной бумаге. Так что задания

нужно выполнять, используя не тетрадь в клетку, а тетрадь для рисования. При этом мы будем пользоваться хорошо отточенным простым карандашом. Прямые мы будем проводить по линейке, не обращая внимания на деления, имеющиеся на ней. Прямые углы будем строить при помощи чертежного угольника. Откладывать отрезки и строить окружности мы будем циркулем. А вскоре нам понадобится и транспортир для построения углов.

Начнем с построения отрезков.

Задача первая. Построить отрезок данной величины.

Пусть нужно построить отрезок длиной в 40 мм. Выполним задание так.

1. Проведем прямую по линейке:

2. На этой прямой отметим какую-нибудь точку. Назовем ее какой-нибудь буквой, например А:

3. Приложим циркуль к линейке, разведя его ножки точно на 40 мм.

4. Циркулем отмерим нужную длину отрезка на прямой.

5. Обозначим второй конец получившегося отрезка какой-нибудь другой буквой, например В:

Построение закончено.

Конечно, можно было бы отмерить отрезок и линейкой, но это было бы менее точно, так как линейка имеет толщину и конец отрезка не совпадает с отметкой на линейке.

Построй указанным способом отрезок длиной 44 мм.

Задача вторая. Построить отрезок, равный данному.

Пусть дан отрезок. Построить отрезок, равный ему, можно было бы так: измерить данный отрезок линейкой с делениями, а затем построить отрезок полученной длины (см. задачу первую). Однако при этом была бы допущена неточность во время измерения отрезка. Мы решим задачу по-другому, без такого измерения.

1. Проведем прямую по линейке:

2. На этой прямой отметим какую-нибудь точку. Назовем ее какой-нибудь буквой, например А:

3. Приложим циркуль к данному отрезку.

4. Отложим циркулем отрезок, равный данному, от точки А на прямой.

5. Второй конец отрезка назовем какой-нибудь другой буквой, например В:

Построение закончено.

Построй отрезок, равный отрезку FD.

Задача третья. Построить отрезок, длина которого в 2 раза меньше длины данного отрезка.

Мы не можем здесь обойтись без измерения данного отрезка. Поэтому мы:

1. Измеряем линейкой данный отрезок.

2. Делим его длину пополам.

3. Строим отрезок полученной длины (см. задачу первую).

Построй отрезок вдвое короче отрезка KL.

Измерение углов. Транспортир

Теперь нам нужно научиться строить углы так же, как мы умеем строить отрезки.

Но для этого нужно научиться измерять углы так же, как мы умеем измерять отрезки. Некоторые углы мы умеем и строить, и измерять. Это прямые углы, равные 90°.

Задача. Среди данных углов найди углы в 90° и построй их с помощью чертежного угольника.

Углы меряют в градусах, минутах и секундах. Эти угловые меры возникли в глубокой древности. Предполагают, что это было связано с созданием календаря. Древние математики нарисовали круг и разделили его на столько частей, сколько дней в году. Но они думали, что в году не 365 и не 366 дней, а 360. Поэтому круг они разделили на 360 равных частей. Такое изображение года было очень полезным: на нем можно было отметить любой день.

Картинку с древним календарем легко сделать, имея транспортир.

Задача. Положи транспортир на чистый нелинованный лист бумаги и снаружи обведи карандашом полукруглую шкалу. Теперь переверни транспортир и закончи изображение круга. Отметь буквой О центр окружности.

Полукруглая шкала транспортира разделена на 180 частей. А на всей окружности таких делений 360, как на древнем календаре.

Задача. Разметь свою окружность через каждый 10 делений. Соедини точки деления с центром О и поставь обозначения делений.

Древние греки уже знали, что в году не 360 дней, а больше, но деление круга на 360 равных частей они сохранили. Древние римляне дали каждой такой части название «градус». Градус обозначается специальным значком: 1°.

Градусная мера углов сохранилась до наших дней. Используются и более мелкие единицы измерения угла: часть градуса называется минутой (Г), а щ часть минуты называется секундой (1"): 1° = 60', 1' = 60".

Задача. Сколько секунд в трех градусах?

С помощью круга, разделенного на 360°, можно измерять углы.

Задача. Чему равен угол между отрезками OA и OB?

Еще задача. Построй на кальке с помощью круга, разделенного на градусы, угол величиной в 90°.

Построение углов

Для построения углов мы пользовались кругом, разделенным на 360 градусов. При выполнении следующих заданий пользуйся транспортиром.

Задача. Построй угол, равный 54°.

Еще задача. Построй угол, равный углу С, и угол, равный половине угла С.

И еще задачи

1. Построй отрезок длиной 37 мм.

2. Построй отрезок, равный отрезку AB.

3. Построй отрезок, равный одной трети отрезка FD.

4. Построй отрезок длиной 45 мм и найди его середину.

5. Построй угол в 35° и раздели его пополам.

6. Построй угол, равный углу АБС, и раздели его на три равных угла.

Построение треугольников

Отрезок можно построить, если знать его длину, угол — если знать его градусную меру. А по каким данным можно построить треугольник?

Предположим, вы с товарищем получили задание на дом: построить одинаковые треугольники. Придя домой, ты только к вечеру вспоминаешь об этом зада-

нии, чертишь треугольник и звонишь своему товарищу по телефону. И происходит между вами такой разговор. Ты. У меня все готово.

Он. А у меня нет. Я вообще не знаю, какой треугольник строить.

Ты. Такой же, как у меня. Он. А какой он у тебя?

Ты. Сейчас скажу. Называется он треугольник АБС. Сторона AB равна 5 см, сторона ВС равна 10 см, сторона АС равна 86,5 мм, угол А равен 90°, угол В равен 60°, угол С равен 30°. Записал?

Он. Записать-то записал. Только как же я буду его строить?

Это построение можно осуществить по-разному.

Можно сначала построить катет АБ, потом прямой угол А, потом второй катет АС, потом соединить концы катетов. И наконец, проверить, что углы Б и С, а также сторона ВС получились, как надо: ZB = 60°, АС = 30°, ВС = 10 см.

А можно построить сторону БС, а к ней пристроить углы Б и С. Есть и другие варианты построения.

Задача. Осуществи перечисленные способы построения этого треугольника.

Еще задача. Придумай и осуществи еще два других способа построения этого треугольника.

Интересно, что каким бы способом построения мы ни пользовались, нам придется учесть только три из шести чисел, характеризующих этот треугольник: либо три стороны, либо две стороны и угол, либо одну сторону и два угла.

И это всегда так: для построения треугольника нужно знать ровно три его элемента (важно только, чтобы среди них был хотя бы один отрезок).

Задача. Можно ли построить треугольник DEF, у которого ZD = 50°, Z Е = 40°, сторона DE = 4 см, сторона DF = 5 см?

Еще задача. Построй треугольник MKN, у которого Z M = 50°, МК = 3 см, MN = 5 см. Измерь его сторону KN и углы К и N.

И еще задача. Построй треугольник PST, у которого Z Р = 40°, PS = 45 мм, Z S = 60°. Измерь его угол Т и стороны РТ и ST.

И еще одна задача. Построй треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Измерь его углы.

Треугольник, у которого две стороны равны между собой, называется равнобедренным; треугольник, у которого все три стороны равны между собой, называется равносторонним.

Задача. Докажи, что всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий равнобедренный треугольник является равносторонним.

Еще задача. Построй равнобедренный треугольник, равные стороны которого равны 5 см, а угол между ними равен 90°. Измерь третью сторону и остальные углы.

И еще задача. Построй равносторонний треугольник со стороной 4 см. Измерь его углы.

Итак, если известны три элемента треугольника, можно построить этот треугольник и измерить остальные три его элемента.

Задача. Построй треугольник, равный треугольнику ABC.

Еще задача. Построй треугольник, площадь которого в 2 раза меньше площади треугольника ABC.

Для выполнения последнего задания достаточно провести медиану треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Задачи

1. Построй отрезок, равный 5 мм.

2. Построй отрезки, равные отрезкам AB и CD, пользуясь линейкой с делениями. Сколько миллиметров в каждом получившемся отрезке?

3. Построй отрезок, равный одной трети отрезка CD. Сколько миллиметров в получившемся отрезке?

4. Построй отрезок, в 2 раза больший отрезка AB. Сколько миллиметров в получившемся отрезке?

5. Построй отрезок, длина которого равна сумме длин отрезков AB и CD. Сколько миллиметров в получившемся отрезке?

6. Построй отрезок, длина которого равна разности длин отрезков Aß и CD. Сколько миллиметров в получившемся отрезке?

7. Построй отрезок, равный отрезку EF и найди его середину. Для проверки построения используй циркуль.

8. Пользуясь транспортиром, построй:

а) угол X, равный 90°;

б) угол У, равный 64°;

в) угол М, равный углу А;

г) угол Б, равный 153°;

д) угол С, равный половине угла А;

е) угол К у равный j угла А;

ж) угол D, вдвое больший угла А.

9. Построй две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 4 см.

10. Построй две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 35 мм.

11. Построй треугольник, равный треугольнику АБС.

12. Построй прямоугольный треугольник с катетами 23 мм и 45 мм.

13. Построй прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен 8 см, а сторона, лежащая против прямого угла, равна 10 см. Чему равен второй катет этого треугольника?

14. Построй равнобедренный треугольник со сторонами 5 см и 4 см. Сколько разных равнобедренных треугольников с такими сторонами можно построить?

15. Построй равнобедренный треугольник со сторонами 5 см и 2 см. Сколько разных равнобедренных треугольников с такими сторонами можно построить?

16. Построй равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 3 см. Измерь углы этого треугольника.

17. Построй треугольник ABC, у которого AB = = 7 см, Z А = 60°, Z В = 75°. Чему равны остальные три элемента этого треугольника?

18. Построй треугольник DEF9 у которого DE = = 6 см, ZD = 90°, ZE = 30°. Чему равны остальные три элемента этого треугольника?

19. Построй треугольник MKN, площадь которого в 4 раза больше площади треугольника АБС.

20. Построй треугольник PQR, площадь которого в 2 раза меньше площади треугольника ABC.

21. Построй параллелограмм, у которого одна сторона 4 см, другая сторона 5 см, а одна из диагоналей 3 см.

Измерь вторую диагональ.

22. Построй прямоугольник, диагональ которого равна 9 см, а одна из сторон равна 7 см. Измерь вторую диагональ и вторую сторону.

23. Построй параллелограмм, у которого одна сторона 3 см, другая сторона 4 см, а один из углов равен 60°. Измерь остальные углы и диагонали.

24. Построй ромб, у которого сторона равна 5 см, а одна из диагоналей 8 см. Измерь вторую диагональ.

25. Построй треугольник ABC, у которого: а) AB = X, ВС = у9 АС = г;

6)AB = x9BC = y9ZB = Zl; в)АВ = х, ZA = Z1,ZB = Z2; г) AB = х,ВС = г/, ZA = Z 1.

26. Построй параллелограмм ABCD, у которого:

а) Aß = X, AD = у, BD = z;

б) АВ = x9AD = y9ZA = ZI; в)АВ = x,AD = y, ZB = Z 1; r) AB = x9 АС = y, Z В = Z 1.

Площадь круга

Теперь мы умеем найти площадь любого многоугольника, а значит, объем любой призмы и любой пирамиды. Чтобы уметь находить объем цилиндра и объем конуса, нужно научиться находить площадь круга.

Для этого нужно знать, что такое диаметр круга и что такое его радиус.

Радиус круга — это расстояние между точкой окружности и центром круга.

Диаметр круга — это наибольшее расстояние между точками круга. На рисунке изображено несколько точек круга. Если измерить расстояние между этими точками, мы увидим, что самые далекие друг от друга точки — это точки А и В. Значит, отрезок AB — диаметр этого круга. Сразу видно, что диаметр круга вдвое больше его радиуса. Это можно записать так: d = 2г.

На этом рисунке показано, как измерить линейкой диаметр и радиус круга.

Задача. Чему равны диаметры и радиусы кругов?

Круг можно начертить циркулем, если знать его радиус.

Задача. Начерти круг, радиус которого равен 3 см. Еще задача. Начерти круг, радиус которого в 2 раза меньше, чем радиус круга на рисунке.

И еще задача. Начерти круг, диаметр которого равен 8 см.

Древнегреческие математики доказали, что площадь любого круга можно найти по формуле

S^nr2

(читается: «Эс равно пи эр квадрат»). Греческой буквой к (пи) обозначается очень важное число. Не всякое число удостоено специального обозначения. Число 71 в математике встречается очень часто. Приблизительно оно равно 3,14.

Итак, в наших расчетах мы будем пользоваться такой формулой для площади круга:

S = 3,14r2.

Если радиус измерен в сантиметрах, то площадь круга получится в квадратных сантиметрах, и так далее. Например, площадь круга с радиусом 4 м равна 3,14 • 42 = 3,14 • 16 = 50,24 м2.

Задача, а) Найди площадь круга с радиусом 6 дм.

б) Найди площадь круга с диаметром 6 дм.

в) Во сколько раз радиус первого круга больше, чем радиус второго? Во сколько раз больше его площадь?

Еще задача. Найди площадь круга.

И еще задача, а) Найди объем цилиндра, у которого высота равна 4 см, а радиус основания 5 см.

б) Найди объем склеенного тобой цилиндра.

И еще одна задача, а) Найди объем конуса, у которого высота равна 4 см, а радиус основания 5 см.

б) Найди объем склеенного тобой конуса.

Секрет склеивания цилиндра

— Какой же тут секрет? — скажешь ты. — Вырезай себе два равных круга и один прямоугольник и склеивай!

Но дело в том, что круги и прямоугольник, вырезанные для этой цели, должны соответствовать друг другу.

Задача. Перечерти и вырежь из плотной бумаги прямоугольники и круги по размерам, обозначенным на рисунке. Выясни, какой из этих прямоугольников годится для склеивания цилиндра с такими основаниями.

Не правда ли, тут есть какой-то секрет? Он состоит в том, чтобы уметь правильно подобрать размеры прямоугольника для кругов данного размера.

На этом рисунке показаны жирными линиями места склеивания прямоугольника с кругом. Ясно, что длина прямоугольника должна быть точно такой, как длина окружности основания.

Предположим, что нам нужно склеить цилиндр с высотой h = 5 см и с диаметром основания d = 8 см. Как мы будем действовать?

Сначала мы начертим на плотной бумаге и вырежем два круга радиусом 4 см (ведь диаметр основания цилиндра должен равняться 8 см!). Затем мы начертим прямоугольник. Высота этого прямоугольника должна быть равна 5 см, но вот какой должна быть его длина — это и есть вопрос, на который нам надо ответить. Для этого следует измерить длины окружностей наших кругов. Линейкой это сделать трудно.

Задача. Возьми какой-нибудь круг, сделанный из толстого материала. Отметь на его окружности точку А. Начерти прямую и прокати по ней круг, отметив на прямой два различных положения точки А.

Измерь расстояние между этими точками на прямой.

Повтори измерение, обтягивая круг ниткой. Подсчитай, во сколько раз длина окружности больше диаметра круга.

У тебя должно получиться, что длина окружности больше диаметра приблизительно в 3,14 раза. Перед нами опять появилось число я.

Еще в Древней Греции математики установили, что длина с любой окружности равна ее диаметру, умноженному на число я:

С = nd, или с = 2кг.

В этом и состоит секрет изготовления цилиндра: для определения длины прямоугольника нужно использовать то самое число я, которое входит в формулу площади круга.

Число я легко запомнить не только с точностью до трех знаков (я = 3,14...), но с точностью до 12 знаков: я = 3,14159265358... Каждая цифра — это число букв в слове двустишия:

Это я знаю и помню прекрасно:

3 14 15 9

Пи — лишние знаки тут чужды, напрасны.

2 6 5 3 5 8

Однако мы будем по-прежнему пользоваться только первыми тремя знаками числа я, считая его приближенно равным 3,14.

И если нам придется склеивать цилиндр с данной высотой h и данным диаметром основания d, мы вырежем для него прямоугольник шириной h и длиной 3,14d.

Задача. Вырежь из бумаги заготовки для склеивания цилиндра с высотой 5 см и радиусом основания 2 см.

Подобие

Приходилось ли тебе слышать о Гулливере — герое сочинения английского писателя Джонатана Свифта? Его книги появились в начале XVIII века. В первой из этих книг рассказывается о путешествии Гулливера в страну лилипутов. Лилипуты были во всем такие же, как Гулливер, но только в 12 раз меньше. Скажем, длина ступни Гулливера была около 1 фута, а длина ступни у лилипута — около 1 дюйма. В 12 раз меньше был рост лилипута, в 12 раз меньше — расстояние между глазами и так далее.

Задача. Расстояние между глазами Гулливера 66 мм. Каково расстояние между глазами лилипута?

Еще задача. Рост лилипута 15 см. Каков рост Гулливера?

Можно сказать, что расстояния между одноименными (в математике говорят: между соответственными) точками на теле Гулливера и лилипута пропорциональны:

Геометрические фигуры, у которых расстояния между любыми соответственными точками пропорциональны, называются подобными фигурами. Например, подобны любые окружности, любые равносторонние треугольники, любые квадраты.

Прямоугольники ABCD и EFGH подобны, так как у каждого из них длина вдвое больше ширины. Подобны и две карты Испании.

Масштаб 1:18 000 000 (в 1 см 180 км)

Масштаб 1:12 000 000 (в 1 см 120 км)

Задача. Какие из фигур подобны друг другу?

Еще задача. Картина размерами 20x30 см взята в рамку шириной 3 см. Почему прямоугольник ABCD не подобен прямоугольнику EFGH1

И еще задача. Два четырехугольника подобны. Диагонали первого четырехугольника равны 4 см и 6 см. Большая диагональ второго четырехугольника равна 12 см. Чему равна меньшая диагональ второго четырехугольника?

И еще одна задача. Вырежь пять полосок бумаги шириной 5 мм и длиной 7 см, 10 см, 14 см, 16 см и 17 см. Склей из них четырехугольник с диагональю, подобный четырехугольнику на рисунке.

Четырехугольник — фигура подвижная. Это значит, что если мы не будем склеивать стороны четырехугольника клеем, а скрепим их булавками и к тому же не приделаем к четырехугольнику диагонали, то сможем менять форму четырехугольника, не меняя длин его сторон. Например, ромб можно будет растянуть в квадрат.

В отличие от четырехугольника треугольник — фигура жесткая. Если вырезать из бумаги три полоски длиной 7 см, 14 см и 16 см и скрепить их только булавками, то изменить форму этого треугольника, не меняя длин сторон, будет невозможно. И если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то этого достаточно, чтобы треугольники были подобны друг другу.

Задача. Начерти треугольник, подобный треугольнику, изображенному на рисунке, так, чтобы большая сторона твоего треугольника равнялась 12 см. Чему будут равны его другие стороны?

Подобием треугольников часто пользуются в практических целях, в том числе для построения карт и планов местности.

Задача. Расстояние между городами А и Б равно 40 км, между городами А и С — 50 км, а между городами В и С — 30 км. Изобрази эти города на плане, уменьшая расстояния в миллион раз.

Еще задача. По карте Испании найди расстояние между Мадридом и Барселоной.

И еще задача. Изобрази на листе бумаги точки М, С и Б, обозначающие города Мадрид, Севилью и Барселону, увеличив расстояние в 2 раза по сравнению с большой картой.

Задачи

1. Подобны ли треугольники со сторонами 2 см, 7 см, 8 см и 2 м, 7 м, 8 м? Почему?

2. Стороны одного треугольника равны 5 см, 6 см и 7 см. Меньшая сторона подобного ему треугольника равна 10 дм. Чему равны две другие стороны второго треугольника?

3. Два четырехугольника подобны. Стороны одного из них равны 5 дм, 7 дм, 8 дм и 10 дм, а большая диагональ равна 11 дм. Большая диагональ второго четырехугольника равна 55 см. Чему равны его стороны?

4. Курсантам морского училища поручили измерить высоту мачты. Но так как день был жаркий, солнечный, то лезть на мачту им было неохота, и они придумали свой способ измерения. Что они сделали?

5. Школьники купались в пруду. Они решили выяснить, с какой скоростью каждый из них плавает. Для этого им понадобилось измерить ширину пруда. Известно, что ширина шага одного из них 70 см. Проходивший мимо них учитель математики нарисовал им чертеж, но больше ничего не сказал. Что посоветовать школьникам?

Подобие в пространстве

Подобие используют для решения задач не только на плоскости, но и в пространстве — ведь именно такую задачу мы решили, определяя высоту мачты. Тело Гулливера и тело лилипута — это подобные фигуры в пространстве. Подобными фигурами в пространстве являются шары, кубы.

Задача. Два цилиндра подобны. Их радиусы 2 см и 4 см. Высота большего цилиндра 7 см. Чему равна высота меньшего цилиндра?

Еще задача. Придумай и реши задачу о подобных конусах.

И еще задача. Как узнать, подобны ли две призмы? Две пирамиды?

И еще одна задача. Два прямоугольных параллелепипеда подобны. Один имеет измерения 5, 6 и 7 дм. Меньшее измерение второго равно 10 дм.

а) Вычисли два других измерения второго параллелепипеда.

б) Вычисли объемы параллелепипедов.

в) Во сколько раз объем второго параллелепипеда больше объема первого параллелепипеда?

Задачи

1. Перечерти треугольник ABC и соедини середины его сторон M, N и Р. Сколько равных треугольников получилось?

2. Измерь стороны треугольника АБС и стороны маленьких треугольников на получившемся у тебя чертеже. Можно ли сказать, что маленькие треугольники подобны треугольнику АБС?

3. Скопируй по клеткам рисунок и соедини точки на сторонах отрезками, параллельными сторонам треугольника. Сколько равных треугольников получилось? Подобны ли они большому треугольнику?

4. Начерти треугольник и раздели его на 9 равных треугольников.

5. Придумай, как разделить треугольник на 100 равных треугольников. Как разделить прямоугольник на 100 равных прямоугольников?

Периметры подобных многоугольников

Если два многоугольника подобны, то их стороны, как мы уже знаем, пропорциональны: стороны одного многоугольника в одно и то же число раз больше (или меньше) сторон другого. Оказывается, и периметры — суммы сторон — таких многоугольников находятся в таком же отношении. Например, AB = 4А1Б1, ВС = 4ß1C1, АС = 4AXCV Значит, каждая сторона тре-

угольника АБС вчетверо больше соответственной стороны треугольника A^Cj. Если мы захотим сравнить их периметры Р и Pv то получим следующее:

Р =АВ + ВС + АС = 4А1Б1 + 4В1С1 + 4А1С1 = = 4 (А1Б1 + Б^ + А^) = 4PV

Значит, Pi = .

Это — общее свойство всех подобных многоугольников.

Что касается окружностей, то все они подобны между собой и их длины пропорциональны их радиусам.

Задача. На рисунке изображены треугольники.

1) Какие из них подобны?

2) Чему равны стороны подобных треугольников?

3) Чему равны их периметры?

4) Каким свойством обладают их периметры?

Еще задача. На рисунке изображены два подобных четырехугольника. Измерь длины их сторон и убедись в том, что их стороны пропорциональны. Найди периметры и убедись в том, что они пропорциональны сторонам.

И еще задача. Начерти прямоугольник, подобный прямоугольнику ABCD на рисунке и имеющий вдвое больший периметр.

И еще одна задача. Начерти треугольник, подобный треугольнику ABC и имеющий вдвое меньший периметр.

Предположим, нужно построить треугольник, подобный треугольнику ABC и имеющий периметр 21 см. Как быть?

Чтобы решить эту задачу, измерим стороны данного треугольника и найдем его периметр. Находим, что AB = 5 см, АС = 3 см и ВС = 6 см. Р = 14 см. А нам нужно построить подобный треугольник с периметром 21 см. 21 больше 14 в 1,5 раза. Значит, нам надо построить треугольник, периметр которого в 1,5 раза больше периметра треугольника ABC. Так как периметры подобных многоугольников пропорциональны их сторонам, то и стороны нашего треугольника должны быть в 1,5 раза больше сторон треугольника

ABC. Значит, они должны равняться 5 е 1,5 = 7,5 см, 3 • 1,5 = 4,5 см, 6 • 1,5 = 9 см. По этим данным и строится нужный нам треугольник.

Задача. Начерти треугольник, подобный треугольнику ABC (с. 328) и имеющий периметр 28 см.

Еще задача. Начерти пятиугольник, подобный пятиугольнику ABCDE, у которого периметр в 2 раза больше.

И еще задача. Начерти окружность, длина которой в 2 раза меньше длины окружности на рисунке.

Площади подобных фигур

Возьмем два квадрата со сторонами 1 см и 3 см. Они подобны, как любые квадраты. Сторона второго квадрата в 3 раза больше стороны первого квадрата. Периметр второго квадрата тоже втрое больше периметра первого квадрата. А во сколько раз площадь второго квадрата больше, чем площадь первого? Оказывается, не в 3, а в 9 раз: ведь площадь первого квадрата равна 1 см2, а площадь второго квадрата равна 9 см2.

Если стороны одного квадрата вдвое больше сторон другого квадрата, то площадь его больше в 4 раза, так как больший квадрат можно разделить на 4 квадрата, равных меньшему:

Если взять квадрат, сторона которого в 10 раз больше стороны другого квадрата, то площадь окажется больше в 100 раз. То же можно сказать и о любых подобных многоугольниках: если сторону увеличить в п раз, то площадь увеличится в п • п раз, то есть в п2 раз.

Если два многоугольника подобны и стороны одного в п раз больше сторон другого, то его площадь больше в п2 раз.

То же и у кругов. Два круга всегда подобны, и если радиус одного круга в п раз больше, то его площадь больше в п2 раз.

Задача. Два пятиугольника на рисунке подобны. Во сколько раз площадь первого пятиугольника больше площади второго?

Гулливер и лилипут

Однажды Гулливер и лилипут пошли в овощной магазин и купили там 13 кг картошки (почему 13? Просто чтобы доказать, что они не суеверны). Как разделить между ними этот груз для доставки его на кухню?

Чтобы правильно, по справедливости, решить задачу, нужно знать, от чего зависит подъемная сила руки. Руки Гулливера в 12 раз длиннее рук лилипута. Но специальные опыты, проделанные биологами, доказали, что сила руки зависит не от длины руки и даже не от длины мышц, а от толщины мышц — от площади сечения мышц.

Будем считать, что мышцы Гулливера и лилипута имеют круглое сечение. Так как радиус этого сечения у Гулливера в 12 раз больше, то площадь сечения больше в 122 раз, то есть Гулливер сильнее лилипута не в 12 раз, а в 144 раза. Значит, будет справедливо разделить груз между ними так, чтобы Гулливер нес в 144 раза более тяжелую поклажу, чем лилипут. Нужно дать лилипуту около 0,1 кг картошки, а Гулливеру — все остальное.

Придя на кухню, Гулливер и лилипут попросили повара сразу распределить картошку в два ящика: ящик Гулливера и ящик лилипута. Повар решил распределить картошку в соответствии с аппетитом каждого, для чего решил вычислить соотношение между объемами их желудков.

Повар рассудил так: если бы желудки Гулливера и лилипута имели форму кубов, то куб Гулливера имел бы ребро в 12 раз длиннее, чем куб лилипута. Если, например, куб лилипута имел бы ребро 1 см, то его объем был бы 1 см3. А у Гулливера был бы куб с ребром 12 см и имел бы объем 123 см3, то есть 1728 см3. Вот и нужно разделить картошку так, чтобы ее объемы, а значит и массы, относились бы, как 1 к 1728. И повар положил в ящик лилипута 8 г картошки, а все остальное сложил в ящик Гулливера.

Задача. Проверь вычисления, которые позволили определить ношу Гулливера.

Еще задача. Проверь вычисления повара.

Закономерность, замеченная поваром, верна не только для числа 12, но и для любых чисел.

Задача. Ребро одного куба 3 м, а ребро второго куба 6 м. Во сколько раз объем первого куба меньше объема второго? .

Как видно, если ребро одного куба вдвое больше ребра другого, то объем его больше в 8 раз, то есть в 23 раз. В этом нет ничего удивительного: ведь если разделить куб пополам по ширине, по длине и по высоте, то он разделится именно на 8 кубов с вдвое меньшими ребрами.

Если разделить куб на кубы с ребрами, втрое меньшими, то получится 27, то есть З3 малых куба. Некоторые наборы детских кубиков состоят именно из 27 кубиков, которые укладываются слоями в одну большую кубическую коробку. Слоев три, и в каждом слое по девять кубиков.

От увеличения ребра куба в п раз его объем увеличивается в я3 раз. То же верно и для любого пространственного тела.

Задача. Возьмем цилиндр, имеющий радиус основания 2 см и высоту 5 см. Увеличим радиус и высоту в 4 раза. Как изменится объем цилиндра?

Глава седьмая

Разные задачи

Что значит — разные задачи? А до сих пор все задачи у нас были одинаковые? Конечно, нет. Но те задачи относятся к определенным разделам математики — к натуральным числам, к обыкновенным дробям, к десятичным дробям, к геометрии. А математика — это не только числа и геометрические фигуры. Это еще и логика рассуждений. Задачи, которые приводятся ниже, — на самые разные темы. Все они требуют не только знания геометрии и умения считать, но главное — умения думать.

1. На дереве сидели 10 птиц. Охотник выстрелил и застрелил одну птицу. Сколько птиц осталось на дереве?

2. На поляне сидели 10 птиц. Охотник выстрелил и застрелил одну птицу. Сколько птиц осталось на поляне?

3. Два отца и два сына несли три апельсина. Сколько нес каждый?

4. Яйцо всмятку варили 3 минуты в широкой и глубокой кастрюле.

Сколько понадобится времени, чтобы сварить всмятку 5 яиц?

5. 6 котов в 6 минут съедают 6 мышей.

Сколько понадобится котов, чтобы в 100 минут съесть 100 мышей?

6. Имеются два пакета. В один помещается 300 г чая, в другой — 400 г.

Как отмерить из ящика, содержащего 1 кг 100 г чая, ровно 1 кг?

7. Имеются два сосуда вместимостью в 3 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л?

8. На берегу реки стоят трое взрослых и два мальчика. У них есть лодка, вмещающая лишь одного взрослого или двух мальчиков. Как всем пятерым переправиться на другой берег?

9. На сковородке помещается два блинчика. На обжаривание блинчиков с одной стороны требуется 1 минута. Как на этой сковородке обжарить 3 блинчика с обеих сторон за 3 минуты?

10. Говорят, один остроумный человек, слабо игравший в шахматы, сумел в двух партиях по переписке (одной с чемпионом мира Капабланкой и другой — с экс-чемпионом мира Ласкером) набрать 1 очко. Как он сумел это сделать?

(В шахматах очко присуждается за выигранную партию и пол-очка — за ничью.)

11. Я отпил ^ часть стакана черного кофе и долил его молоком. Затем я выпил ^ стакана и снова долил его молоком. Потом я выпил полстакана и опять долил молоком. Наконец, я выпил полный стакан. Чего больше выпито, кофе или молока?

12. Две мухи соревнуются в беге. Они бегут от потолка к полу и обратно. Первая муха ползет в обе стороны с одинаковой скоростью. Вторая ползет вниз вдвое быстрее первой, а вверх — вдвое медленнее первой. Кто победит?

13. Одно из 75 одинаковых по виду колец несколько отличается по весу от остальных. Двумя взвешиваниями на чашечных весах нужно определить, легче или тяжелее это кольцо, чем остальные.

14. Сколько всего имеется пятизначных чисел, сумма цифр которых равняется двум?

15. Из 9 одинаковых на вид колец одно несколько легче остальных. Найди его двумя взвешиваниями на чашечных весах.

16. Из 4 колец одно несколько отличается по весу от других. Найди его двумя взвешиваниями на чашечных весах.

17. Из бочки дегтя вылили ложку в бочку меда и после перемешивания перелили такую же ложку обратно. Чего стало больше: меда в дегте или дегтя в меде?

18. Брошены два игральных кубика. Какая сумма очков на их верхних гранях наиболее вероятна?

19. Двое одновременно отправились из А в Б. Первый поехал на велосипеде, второй — на автомобиле со скоростью, в 5 раз большей скорости первого. На полпути автомобиль сломался, и оставшуюся часть пути автомобилист прошел пешком со скоростью, в 2 раза меньшей скорости велосипедиста. Успел ли велосипедист помахать рукой автомобилисту?

20. Имеется много жетонов стоимостью 3 тугрика и два жетона по 5 тугриков. Можно ли из этих жетонов составить любую сумму, большую 7 тугриков?

21. Двое путников одновременно вышли из А в Б. Первый половину времени, затраченного им на переход, шел по 5 км в час, а затем пошел по 4 км в час. Второй же первую половину пути прошел по 4 км в час, а затем пошел по 5 км в час. Кто из них раньше пришел в Б?

22. Сыграйте в игру «Кто первый скажет сорок?»!

Играют двое. Начинающий называет одно из четырех чисел: 1, 2, 3 или 4. Второй прибавляет к названному числу одно из тех же чисел и так далее. Выигрывает тот, кто первый сможет назвать число 40. Может ли первый игрок обеспечить себе выигрыш?

23. Еще одна игра с теми же правилами, но назвавший «сорок» считается проигравшим. Кто может выиграть в этой игре?

24. Миша уверяет Машу, что для перенумерования страниц имеющейся у него книги (с первой страницы до последней) потребовалось ровно 999 цифр. Сколько страниц в этой книге?

25. Можно ли выложить, соблюдая правила игры в домино, все косточки так, чтобы на одном конце оказалась шестерка, а на другом — пятерка?

26. Я хочу сделать домино с пустышками, единицами, двойками, тройками, четверками, пятерками, шестерками и семерками. Сколько косточек будет в этой игре?

27. Если деньги брата сложить с половиной денег сестры, то они смогут купить две плитки шоколада. А если деньги сестры сложить с половиной денег брата, то они смогут купить одну плитку шоколада. Сколько денег у сестры?

28. У меня остановились стенные часы, а никаких других часов у меня нет. Я пошел к другу, часы которого ходят верно, поиграл с ним в шахматы и, придя домой, смог верно поставить свои часы. Как мне удалось это сделать?

29. Двести учеников выстроены в прямоугольник по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 в каждом продольном ряду.

В каждом поперечном ряду выбран самый низенький ученик, а затем из 20 отобранных выбран самый высокий. Им оказался ученик Андреев. Затем в каждом продольном ряду был выбран самый высокий ученик и среди 10 отобранных выбран самый низенький. Им оказался ученик Петров. Кто выше, Андреев или Петров?

30. В шахматном турнире участвовали 4 шахматиста: Андреев, занявший 1-е место, Борисов, занявший

2-е место, Власов, занявший 3-е место, и Гвоздев. Известно, что Андреев с Гвоздевым сыграли вничью. Установи результаты остальных девяти партий.

31. От записанной карандашом задачи сохранился лишь следующий текст: «Произведение ... последовательных ... двузначных чисел равно 12075. Найти все эти числа». Многоточиями обозначены неразборчивые слова. Восстанови текст задачи и реши ее.

32. В трех кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется уравнять число орехов во всех этих кучках, причем можно перекладывать из одной кучки в другую столько орехов, сколько в ней уже имеется (удваивать число орехов в кучке). Как это сделать?

33. В ящике 35 шариков. Каждый из двух играющих по очереди вынимает из ящика любое число шариков от 1 до 5. Выигрывает взявший последний шарик. Кто выиграет при правильной игре, начинающий или второй игрок?

34. Пункты А и В расположены на берегу реки. Из А в Б одновременно отправляются пешеход и лодка. Каждый из них, достигнув В, поворачивает и отправляется в А. Кто раньше достигнет А, лодка или пешеход, если скорость лодки в стоячей воде равна скорости пешехода?

35. Найди все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению.

36. Коля ездит из дома в школу на трамвае (а обратно он ходит пешком). От дома до школы ходят трамваи двух маршрутов: № 1 и № 2. Каждый из них приходит на остановку около дома Коли через каждые 4 минуты. Оказалось, что Коля гораздо чаще попадает на трамвай № 1, чем на трамвай № 2. Почему это возможно?

37. Среди 77 колец одно несколько легче остальных. Во сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно найти это кольцо?

38. Среди 77 колец одно несколько отличается от остальных по весу. Во сколько взвешиваний на чашечных весах без гирь можно установить, легче оно или тяжелее других колец?

39. Имеется 10 одинаковых по виду и размеру кубиков. Одни из них алюминиевые (более легкие), другие дюралевые (потяжелее). Определи число кубиков каждого вида с помощью не более шести взвешиваний на чашечных весах без гирь.

40. Имеется 10 мешков с одинаковыми монетами. Злоумышленник заменил один мешок мешком с фальшивыми монетами. Известно, что хорошая монета весит 10 г, а фальшивая 11г.

Как с помощью одного взвешивания на весах с гирями установить, в каком именно мешке монеты фальшивые?

41. В шахматном турнире участвовали ученики 9 и 10 классов. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников, и они набрали в 4,5 раза больше очков, чем девятиклассники. Сколько было в турнире девятиклассников и сколько они набрали очков?

42. Доказать, что число людей, сделавших нечетное число рукопожатий, не может быть нечетным.

43. Из трех победителей математического турнира, набравших одинаковое число очков, надо было выделить самого сообразительного. Им показали пять колпаков: три белых и два черных, затем им завязали глаза, надели на каждого по белому колпаку, а черные колпаки спрятали. После этого им развязали глаза и сказали: «Каждый из вас видит колпаки на двух других, но не видит колпака на самом себе. Кто догадается первым, какого цвета на нем колпак, тот получит звание самого сообразительного». Постояли они, постояли, и один из них сказал: «На мне белый колпак». Как он рассуждал?

Если эта задача оказалась слишком трудной, можно сначала решить ее для случая, когда отгадывающих двое, а колпаков — три: два белых и один черный.

44. Как в 10 вопросов отгадать задуманное натуральное число, если оно не более 1000 и если отвечающий на вопросы говорит только «да» или «нет»?

45. Сколько придется задать вопросов, если отвечающий в предыдущей задаче имеет право один раз соврать?

46. Восстанови расписание начала сеансов в кинотеатре, если они начинаются через одно и то же время:

1-й сеанс — 12 ч .. мин 2-й сеанс — 13 ч.. мин 3-й сеанс — .. ч мин 4-й сеанс — .. ч .. мин 5-й сеанс — .. ч .. мин 6-й сеанс — .. ч .. мин 7-й сеанс — 23 ч 05 мин

47. Из какой точки земного шара надо выйти, чтобы, пройдя 100 км на юг, затем 100 км на восток и затем 100 км на север, снова оказаться в точке отправления?

48. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 2 ладьи так, чтобы одна из них не была под боем у другой?

49. В одном ящике 50 шариков, а в другом 80. Каждый из двух игроков по очереди вынимает из какого-нибудь ящика любое число шариков. Выиграет тот, который возьмет последний шарик.

Кто выиграет при правильной игре, начинающий или второй игрок?

50. В турнире играли 6 шахматистов, по одной партии каждый с каждым. Андреев набрал 4 очка и занял 1-е место, Бунин занял 2-е место, Воронов и Гусев разделили 3—4-е места, Дымов занял 5-е место, а Егоров, занявший 6-е место, выиграл у Гусева. 5 партий тур-

нира закончились вничью, причем Бунин сделал только одну ничью. Восстанови результаты всех партий.

В задачах 51—56 поставь вместо многоточия одно из трех выражений: «необходимо», «достаточно», или «необходимо и достаточно»:

51. Чтобы число делилось на 5, ... , чтобы последняя цифра его была 5.

52. Чтобы сумма нескольких чисел делилась на некоторое число, ... , чтобы каждое слагаемое делилось на это число.

53. Чтобы число делилось на 24, ... , чтобы оно делилось на 4 и на 6.

54. Чтобы число делилось на 24, ... , чтобы оно делилось на 3 и на 8.

55. Чтобы натуральное число было точным квадратом, ... , чтобы оно оканчивалось одной из цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

56. Чтобы произведение нескольких чисел было равно нулю, ... , чтобы хотя бы один из множителей равнялся нулю.

57. В некотором месяце три воскресенья пришлось на четные числа. Какой день недели был 20-го числа этого месяца?

58. 7 карандашей дороже 8 тетрадей. Что дороже, 8 карандашей или 9 тетрадей?

59. Найди площадь треугольника, если его вершины имеют координаты (2; 3), (-1; 2) и (4; -2).

60. Сумма любых трех стоящих рядом чисел в этой таблице равна 15. Заполни пустые клетки таблицы:

61. Вместо квадратиков в уравнениях Ъх - 3 = 8 + + DhD + 5jc-3 = 8 + D вставь такие числа, чтобы оба уравнения имели корнем число -8.

62. Улитка ползет по столбу высотой 20 м. Каждый день она поднимается на 2 м и каждую ночь опускается на 1 м. Через сколько дней она достигнет вершины?

63. Как определить высоту кирпичного дома, имея в руках только линейку длиной 30 см?

64. Сколько нулей на конце произведения всех натуральных чисел от 1 до 100?

65. Муравей сидит на передней грани куба, в точке А, и желает попасть на заднюю грань, в точку В. По какому кратчайшему пути должен он ползти?

66. Докажи, что календарь любого года в точности повторяется через каждые 400 лет.

67. С каких дней недели может начинаться век?

68. На ферме выращивают кур и кроликов. Всего имеется 100 голов и 300 ног. Сколько на ферме кур и сколько кроликов?

69. В одном украинском городе 90% жителей говорят по-украински, 80% говорят по-русски, и притом каждый житель говорит хотя бы на одном из этих языков.

Сколько процентов жителей говорят на обоих этих языках?

70. Вниз по течению пароход идет от города А в город В со скоростью 25 км/ч, а вверх по реке из Б в А со скоростью 15 км/ч.

Определи среднюю скорость парохода во время всего пути туда и обратно.

71. По течению реки катер прошел расстояние между двумя пунктами за 4 ч, а против течения между теми же пунктами — за 6 ч. За какое время пройдет это расстояние плот?

72. В ящике находится 20 носков черного цвета и 10 носков синего цвета.

Сколько нужно вынуть носков не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных носков?

73. В ящике находится 10 пар черных перчаток и 5 пар синих.

Сколько нужно вынуть перчаток не глядя, чтобы образовалась пара одноцветных перчаток?

74. (Задача Эйлера.) Крестьянка принесла на рынок некоторое число яиц. Одному покупателю она продала половину того, что имела, и еще пол-яйца; второму — половину того, что у нее осталось, и еще пол-яйца; третьему — половину нового остатка и еще пол-яйца; четвертому — половину того, что осталось от прежней продажи, и еще пол-яйца. После этого у нее ничего не осталось.

Сколько она принесла яиц?

Ответы. Указания. Решения

К стр. 46.

1.IIIIIIIIII =Х; IIIIIIIII =1Х.

2. VI + IV = X.

3. VII = X - III.

К стр. 57-59.

1. Нужно перевернуть лист. На нем будет число 9.

2. На первом кубике можно написать 0, 1, 2, 3, 4 и 5, а на втором 0, 1, 2, 6, 7 и 8. Отдельная цифра 9 не нужна, она получается переворачиванием цифры 6.

8. Это цифра 0.

10. Ближайшие симметричные числа 16061, 16161 и 16261. Если шофер увидел первое из них, то скорость равна 55 км/ч, если второе, то 105 км/ч, а если третье, то 155 км/ч.

К стр. 63-66.

6. Их четверо, они сидят по углам.

7. Четыре.

8. Одна.

9. Дети положили пирожные так:

11.

14. Это число 3.

15. Это число 100.

К стр. 70—71.

2. 20 конфет.

3. Составим такие соотношения:

А так как по условию число непричесанных мальчиков равно числу причесанных девочек, то число всех девочек равно числу всех непричесанных.

К стр. 76.

2. Увеличится в 11 раз.

4. Да, если второе число — нуль.

5. На двухсотом месте окажется цифра нуль, так как первые 9 мест займут однозначные числа, следующие 180 мест — двузначные числа, а последние 11 мест будут выглядеть так: 10010110210.

К стр. 80-83.

1. 10, 10, 20 и 40.

2. 75.

3. Через 28 лет.

4. За десять суток часы отстанут на 1 час, а за 120 суток — на 12 часов, то есть покажут правильное время.

5. (1 + 20) 10 = 210.

6. 5050.

7. 648.

8. 1200.

15. На этом рисунке показано, сколько маршрутов ведет из точки А к каждому перекрестку этого города. Так что девочки совершенно правы.

К стр. 93-94.

30. Каждое слагаемое второй суммы составляет 100 с одним из слагаемых первой суммы. Поэтому эти две суммы вместе составляют 4000. И так как первая сумма равна 1919, то вторая сумма равна 4000 - 1919 = 2081.

К стр. 108-111.

10. Он считал так: 84 = 7 • 12, значит, 84 • 84 = 72 • 122 = = (50 - 1) • 144 = 7200 - 144 = 7056.

К стр. 114-116.

3. Собака стоила 8 р.

13. Можно считать, что один поезд стоит на месте, а другой едет мимо него со скоростью (36 + 45) км/ч. Тогда легко вычислить, что длина каждого поезда равна 135 м.

15. Даша воспользовалась тем, что 3 + 4 = 7, и написала в третьей строке сумму предыдущих результатов — чисел 2856 и 3808.

К стр.125-131.

2. 1 и 25.

3. 0; 1.

4. 99 + 9 : 9 = 100.

5. (5+ 5)-(5+ 5).

6. Так как ^ = + -L, то достаточно разрезать 3 хлеба на четыре равные части каждый и 4 хлеба на три равные части каждый.

13. Надо распилить третье кольцо. Цепочка распадется на три куска: одно кольцо (распиленное), два кольца и четыре кольца. За первый день постоялец отдаст одно кольцо, за второй отдаст два, а первое заберет обратно и так далее.

14. Если бы электричка с девочками стояла на месте, то встречные электрички проезжали бы мимо через каждые 10 мин, так что в течение часа мимо одного и того же неподвижного пункта проходит не 12, а только 6 электричек.

15. В 4 раза.

17. Паша за съеденные им |-рыбы решает 8 задач, то есть по 1 задаче за каждую треть рыбы. Коля из своих 5 рыб съел |- сам, а ^ потратил на Пашу. Так что Паша должен решить за Колю 7 задач. А Петя из своих 3 рыб потратил на Пашу ^- рыбы, так что Паша должен решить за него 1 задачу.

К стр. 148-152.

1. Нет, так как сумма двух нечетных чисел четна и не может равняться 11.

2. Нет.

3. Нет.

4. Так как число 82** делится на 90, то оно делится и на 10, и на 9. Чтобы делиться на 10, оно должно оканчиваться на 0, то есть выглядеть так: 82*0. А чтобы делиться на 9, оно должно иметь цифры, сумма которых делится на 9. Значит, это число 8280.

5. В этой сумме каждое слагаемое делится на 3, а значит, должна делиться на 3 и вся сумма. Но число 127 на 3 не делится.

6. Нет. Если сумма двух чисел нечетна, то одно из них четно, а значит, их произведение четно.

7. Можно. Надо найти сумму остатков, которые дают все эти числа при делении на три: 1 + 1 + 1 + 2 + 0 = 5. Значит, при делении на 3 данная сумма дает в остатке 2.

8. Искомое число делится на 5, на 3 и на 4, а значит, делится на 60. Такое двузначное число единственно. Ответ: 60.

9. Число, написанное Колей, имеет вид *10*. Оно делится на 72, то есть делится на 8 и на 9. Чтобы это число делилось на 8, оно должно оканчиваться на 4, то есть иметь вид *104. А чтобы делиться на 9, это число должно иметь цифры, сумма которых делится на 9. Значит, это число 4104.

10. Если от искомого числа отнять 1, разность будет делиться без остатка на все указанные числа, то есть делиться на число 8 • 9 • 5 -7 = 2520. Ответ: 2521.

11. Наименьшее из возможных чисел 23.

12.1. Наименьшее из возможных чисел 59.

12.2. За 70 дней муж выпивает 5 кадей, а вместе с женой он выпивает за 70 дней 7 кадей. Значит, экена за 70 дней выпивает 2 кади. Ответ: 35.

13. 777.

14.273581.

15. 301.

16. Это произведение делится на 9 без остатка, так как множители 9993 и 9996 делятся без остатка на 3.

18.2519. 19.504. 20.999.

21. 999.

22. Это числа 2, 5, 7, 9, 11, 13 и 17. 23.

24. Пусть x, у и г — цифры сотен, десятков и единиц трехзначного числа. Тогда это число равно ЮОх + 10i/ + + 2. Если число IOjc + у + делится на 4, то вдвое большее число 20х + 2у + г делится на 8. А так как число 80х + 8у тоже делится на 8, то сумма (20jc + + 2у + 2) + (80х + 8) делится на 8. Но это и есть наше число.

К стр. 172-173.

1. Одно; одно; ни одного.

6. Это число вида аааа. Оно делится на одиннадцать: аааа : 11 = аОа . По таблице простых чисел (с. 162) находим, что такое число единственно — это 101. Ответ: 1111.

7. Все делители числа 23 • З4 можно записать в таблицу, учитывая, сколько двоек и троек входят в каждый делитель:

Как видно, у числа 23 • З4 двадцать делителей.

8. Не может. Сумма трех последовательных натуральных чисел обязательно делится на 3, и притом она больше, чем 3; значит, это — составное число.

9. Нет. Оно делится на 101 и при этом больше, чем 101.

10. 37.

11. Пусть р = 30g + г, где г — составное число, меньшее делителя 30. Тогда г должно делиться на все простые числа, меньшие числа 6, т. е. на числа 2, 3 и 5. Но тогда сумма 30с + г делится на одно из этих чисел. А так как эта сумма и есть данное число, то простым оно быть не может.

К стр. 195-201. 1. 50.

9 11 34-

4. 40.

5. 13 ч 20 мин.

6. Младший брат съел 12 пельменей, средний — 18, а старший — 27. Значит, оставшиеся 24 пельменя надо разделить так: среднему дать 9 пельменей, а младшему 15.

7. 24 р. и 18 р.

12. Ответ: 36 коров.

13. 3 рубля.

14. Правильная дробь ближе к единице, чем обратная ей неправильная. Например, |- отстоит от 1 на g*, а *2 на т^.

17. См. задачу 6 нас. 125, учитывая, что \ + \ = §.

35. Jg.

39. Нарисовав первый луг в виде площадки в 6 клеточек, мы нарисуем второй луг в виде площадки в 3 клеточки. Тогда вся бригада выкашивает за полдня 3 клеточки, а один косец выкашивает за целый день одну клеточку. То есть вся бригада вшестеро больше одного косца. Ответ: 6 косцов.

К стр. 224-225.

1. Нужно поставить запятую: 4 < 4,5 < 5.

2. 1,5 тонны.

4. Скорость сближения мотоциклистов 50,7 + 49,5 = = 100,2 км/ч. Значит, муха летала 3^?'6!? = 3,3 часа.

10. 1000%.

11. Второй: его цена равна 70% от первоначальной. А цена первого равна 72,25% от первоначальной цены.

15. 122|%.

16. 50 кг. Дело в том, что первоначально масса грибов с девяностодевятипроцентной влажностью состояла из 99 кг воды и 1 кг сухого вещества. В результате сушки вода испарялась, а сухое вещество оставалось в том же количестве. Когда влажность достигла 98%, 1 кг сухого вещества стал составлять 2% массы грибов.

К стр. 249-250.

3. Ответ: а = 0,5, Ь = -1.

4. Это можно сделать разными способами. Вот один из них: в первой строке числа 8, -9 и 8, во второй -9, 8 и -9, в третьей 8, -9 и 8.

К стр. 276. 3.450 дм3.

К стр. 296.

8. Площади увеличатся в 4 раза. К стр. 310.

13. Порядок построения:

1) чертим по линейке прямую а;

2) выбираем на прямой а точку А;

3) проводим с помощью угольника или транспортира из точки А луч Ъ под углом 90° к прямой а;

4) откладываем с помощью циркуля на луче Ъ от точки А отрезок AB = 8 см;

5) проводим с помощью циркуля окружность с центром В и радиусом 10 см.

6) обозначаем буквой С одну из двух точек пересечения проведенной окружности с прямой а;

7) соединяем с помощью линейки точки В и С.

14. Можно построить один треугольник со сторонами 5 см, 5 см, 4 см, а другой — со сторонами 5 см, 4 см, 4 см.

19. Это можно сделать разными способами, из которых отметим три:

1) построить треугольник с такой же стороной, как у данного треугольника, и с высотой, в 4 раза большей, чем у него;

2) построить треугольник с такой же высотой, как у данного треугольника, и со стороной, в 4 раза большей, чем у него;

3) построить треугольник со стороной и с высотой, в 2 раза большими, чем у данного треугольника.

22. См. задачу 13.

К стр. 324.

4. Они измерили длину тени мачты, а кроме того — рост и длину тени одного из них. Если рост курсанта в п раз больше длины его тени, то и длина мачты в п раз больше длины ее тени.

Именно таким способом в VI веке до н. э. древнегреческий математик Фалес Милетский измерил высоту пирамиды Хеопса в Египте.

К стр. 325-326.

1. Четыре.

2. Да.

4. Нужно каждую сторону разделить на три равные части и провести через точки деления прямые, параллельные сторонам треугольника.

К стр. 335-343.

1. Ни одной.

2. Одна.

3. По одному; людей было трое: дед, отец и сын.

4. Столько же.

5. 6 котов: за 6 минут они съедают шесть мышей, за 1 минуту — одну мышь, за 100 минут — сто мышей.

9. В первую минуту жарим два блинчика с одной стороны, во вторую минуту дожариваем первый блинчик с другой стороны и жарим третий блинчик с одной стороны, в третью минуту дожариваем второй и третий блинчики.

10. Он пересылал Капабланке ходы Ласкера, а Л аскеру — ходы Капабланки.

11. Кофе выпит один стакан. Молока выпито ^ + ^ + + \ стакана, то есть тоже один стакан.

12. За время, которое понадобится второй мухе, чтобы проползти от пола до потолка, первая муха проделает весь путь туда и обратно.

13. Надо разделить кольца на три равные группы. Первым взвешиванием надо сравнить первую группу со второй, а вторым — первую группу с третьей.

14. Таких чисел пять.

15. Надо разделить монеты на три равные группы.

17. Поровну.

18. Это семь, получающееся шестью разными способами: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2и6 + 1. Остальные суммы получаются меньшим числом способов, а потому менее вероятны.

19. См. задачу 12.

20. Если сумма делится на 3, ее можно составить из жетонов по 3 тугрика в каждом. Если сумма при делении на 3 дает в остатке 1 (и при этом больше 7), то ее можно составить из двух жетонов в 5 тугриков и необходимого числа жетонов по 3 тугрика. Если сумма при делении на 3 дает в остатке 2 (и при этом больше 7), то ее можно составить из одного жетона в 5 тугриков и необходимого числа жетонов по 3 тугрика.

21. Первый пришел раньше. Он дольше, чем второй, шел со скоростью 5 км/ч.

22. Второй может выиграть, называя в свой ход числа, кратные пяти.

23. Первый может выиграть, называя числа, оканчивающиеся цифрами 4 и 9.

24.369 страниц.

25. Нет. Концы цепочки должны быть одинаковы: если не считать дублей, в цепи четное число пятерок и четное число шестерок.

26. 36.

27. У сестры денег не было.

28. Я поставил часы на 1200, по часам друга определил продолжительность визита к нему, а вернувшись домой, вычислил продолжительность пути от него до дома. Например, если, придя к другу, я увидел бы на его часах время 1000, уходя от него — 1130, а придя к себе, увидел на своих часах время 1445, то я бы поставил на своих часах II45.

29. Если Андреев и Петров стояли в одном поперечном ряду, то Андреев ниже Петрова. Если они стояли в одном продольном ряду, то Петров выше Андреева.

Если же они стояли в разных поперечных и разных продольных рядах, то можно найти ученика, стоявшего и в одном поперечном ряду с Андреевым, и в одном продольном ряду с Петровым. Андреев ниже этого ученика, а Петров выше него. Так что и в этом случае оказывается, что Андреев ниже Петрова.

30. Андреев выиграл у Борисова и Власова, Гвоздев проиграл им, Борисов выиграл у Власова.

31. Первая фраза текста была такой: «Произведение трех последовательных нечетных двузначных чисел равно 12075».

32. Это можно сделать, например, так:

22 14 12

8 28 12

8 16 24 16 16 16

33. Первый должен взять 5 шариков, а затем дополнять числа второго до 6.

34. Пешеход придет раньше.

35. Пусть ab = а + Ъ. Тогда ab - а = Ь, а (Ъ - 1 ) = Ъ. Либо Ъ = 1, либо а = . Но Ь равняться единице не может, так как не может а равняться а + 1. Поэтому a =-frzrj > откуда получается, что b делится на & -1. Это возможно при b = 0 (и а = 0), а также при b = 2 (и а = 2). Ответ: 0 и 0; 2 и 2.

36. Это может произойти, если между приходом маршрута № 2 и № 1 проходит больше времени, чем между приходом маршрута № 1 и № 2. То есть, например, при таком расписании:

№ 1: 8.00 8.04 8.08 ... №2:8.01 8.05 8.09...

37. В четыре взвешивания. Первым взвешиванием нужно сравнить две группы по 27 колец в каждой.

38. В три взвешивания. Первым взвешиванием надо сравнить две группы колец по 20 в каждой.

40. Надо положить на одну чашу весов одну монету из первого мешка, две монеты из второго мешка, девять монет из девятого мешка и десять монет из десятого мешка и все их взвесить. Если бы все монеты были настоящие, их масса равнялась бы 550 г, а в нашем случае она будет отличаться от этой массы на столько граммов, сколько на весах ненастоящих монет. Но это число и есть номер мешка, из которого они взяты.

42. Дело в том, что общее число рукопожатий, сделанных отдельными людьми, всегда четно, так как каждое рукопожатие можно считать за два, сделанные двумя людьми.

43. Зная, что черных колпаков всего два, и видя перед собой два белых колпака, человек может рассуждать так. Если бы на мне был черный колпак, то один из моих соседей видел бы один черный колпак и один белый и мог бы рассуждать так: если бы на мне был черный колпак, то тот, на ком белый, видел бы два черных колпака и сразу сказал бы, что на нем белый колпак, а раз он молчит, то на мне белый колпак. Но он молчит, и значит, на мне белый колпак.

44. Каждый вопрос должен отсеивать половину чисел. Например, первый вопрос может быть таким: делится ли задуманное число на два? или: задуманное число больше, чем 500?

46. Каждый сеанс должен занимать 1 час. 50 минут.

47. Это может быть Северный полюс, а также любая точка вблизи Южного полюса, находящаяся на 100 км севернее широты, имеющей длину Щ*- км, где п — натуральное число.

48. 64 • у = 1600 способами.

49. Выиграет первый, если он вынет из второго ящика 30 шариков и в дальнейшем каждым своим ходом будет уравнивать число шариков в ящиках.

51. Достаточно.

52. Достаточно.

53. Необходимо.

54. Необходимо и достаточно.

55. Необходимо.

56. Необходимо и достаточно.

57. Четверг.

58. 8 карандашей дороже, чем 9 тетрадей. 60. Обозначим буквами неизвестные числа:

6

а

b

с

d

е

f

g

4

h

i

j

k

1

m

Так как 6 + a + b = a + b + c, то с = 6; точно так же вычисляем, что / = 6, h = 6, k = 6. Так как 4 + h + i = = h + i + y, то j = 4; точно так же вычисляется, что АП = 4,е = 4,Ь = 4.А так как сумма любых трех соседних чисел равна 15, то a = d = g = i = l = 5.

62. Через 19 дней.

63. Нужно измерить высоту одного кирпичного слоя вместе со слоем извести, а затем подсчитать число слоев в доме.

64. 24.

65. Нужно сделать развертку куба и провести на ней по линейке отрезок AB.

67. Будем считать, как обычно, что начало века — 1 января 2000 года, 2100 и т. д. годов. 1 января 2000 г. — суббота. В XXI веке сто лет, из них 25 високосных и 75 невисокосных. В каждом високосном году 52 недели и 2 дня, а в невисокосном 52 недели и 1 день. Значит, в XXI веке некоторое число полных недель и еще 6 дней. Поэтому 1 января 2100 года — пятница. Так как 2100, 2200 и 2300 годы не считаются високосны-

ми по нашему григорианскому календарю (чем он и отличается от старого юлианского), то в XXII, XXIII и XXIV веках — на один день меньше, чем в XXI веке. Поэтому 1 января 2200, 2300 и 2400 годов — соответственно среда, понедельник и суббота. 2400 год — снова високосный, и следующие 400 лет повторяют предыдущие. Итак, век может начинаться только понедельником, средой, пятницей или субботой.

68. 50 кур и 50 кроликов.

69. 70%.

70. 18,76 км/ч.

72. 3 носка.

73. 16 перчаток.

74. 15 яиц.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Журнал «Квант». 1970—1996 гг., задачи для младших школьников.

2. Перельман Я. И. Живая математика. Изд-во ВАП, 1994.

3. Перельман Я. И. Занимательная алгебра. Изд-во ВАП, 1994.

4. Германович П. Ю. Сборник задач по математике на сообразительность. М.: Учпедгиз, 1960.

5. Кордемский Б. А. Математическая смекалка. М.: ГИТТЛ, 1955.

6. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел. М.: Просвещение, 1986.

7. Аменицкий Н. Н., Сахаров И. П. Забавная арифметика. М.: Наука: Физматлит, 1992.

8. Баврин И. И., Фрибус Е. А. Старинные задачи. М.: Просвещение, 1994.

9. Пономарев С. А., Стратилатов П. В., Сырнев Н. И. Сборник задач по математике для 4—5 классов. М.: Просвещение, 1979.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..................................... 5

Глава первая. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА .............. 7

Умеешь ли ты считать? (Числа и цифры)............. 7

Свободный счет до 10 и до 100 .................... 59

Сложение прямым счетом........................ 67

Сложение присчитыванием и вычитание отсчитыванием . . 72

Сложение и вычитание до 20 наизусть .............. 77

Сложение и вычитание столбиком ................. 83

Смысл умножения ............................. 95

Деление ...................................... 116

Делимость. Признаки делимости. Четные и нечетные числа.......................................131

Простые числа ................................152

Глава вторая. ДРОБИ ............................174

Дроби с одинаковыми знаменателями ..............174

Основное свойство дроби. Сокращение дроби.........179

Дроби с разными знаменателями ..................183

Умножение и деление дробей .....................190

Три задачи на дроби ............................193

Давно ли появились дроби? ......................194

Глава третья. РАСШИРЕНИЕ РАЗРЯДНОЙ СЕТКИ . . 202

Десятичная дробь ..............................202

Сравнение десятичных дробей ....................203

Сложение и вычитание ..........................206

Умножение и деление на 10,100,1000 .............208

Умножение любых чисел в десятичной системе счисления.............................209

Деление ......................................212

Проценты ....................................216

Действия с десятичными и обыкновенными дробями . . 221

Глава четвертая. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА . .......226

Положительные и отрицательные числа ............226

Координатная плоскость ........................227

Противоположные числа. Модуль числа. Целые и рациональные числа...........................234

Сложение рациональных чисел на числовой прямой . . . 237

Сложение рациональных чисел без помощи числовой прямой..............................241

Вычитание рациональных чисел ..................244

Умножение и деление рациональных чисел..........246

Глава пятая. УРАВНЕНИЯ .......................251

Решение самых простых уравнений................252

Решение более сложных уравнений. Аль-джебр ва-л-мукабала.......................254

Решение задач с помощью уравнений...............255

Глава шестая. ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ .........263

Об измерениях ................................263

Литр ........................................267

Половина литра. Прямая призма ..................268

Одна треть литра. Пирамида .....................270

Формулы объема призмы и пирамиды..............273

Цилиндр ..................................... 277

Конус........................................279

Площадь. Площадь прямоугольника ...............281

Площадь треугольника..........................284

Дельтоид и параллелограмм......................291

О построениях.................................296

Построение отрезков............................298

Измерение углов. Транспортир....................302

Построение углов ..............................304

Построение треугольников .......................305

Площадь круга.................................311

Секрет склеивания цилиндра .....................315

Подобие......................................318

Подобие в пространстве .........................324

Периметры подобных многоугольников.............326

Площади подобных фигур........................330

Гулливер и лилипут.............................331

Глава седьмая. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ ..................335

Ответы, указания, решения......................345

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА ................361

«Занимательные уроки»

Арутюнян Елена Бабкеновна Левитас Герман Григорьевич

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Книга для детей, учителей и родителей Учебное издание

Редактор С. Младова Ответственный редактор Т. Носенко Дизайнер обложки В. Пантелеев Схемы и чертежи Н. Громовой Художественный редактор Е. Урусов Технический редактор Н. Лукова Корректоры И. Дмитриева, Р. Станкова Компьютерная верстка Г. Хорикова, Н. Холманских Диапозитивы М. Леонтьева

ЛР № 064267 от 24.10.95.

Подписано в печать 28.05.99. Формат 60 х 90/16. Печать офсетная. Бумага газетная. Гарнитура «Школьная». Печ. л. 23,0. Тираж 25000 экз. Заказ № 2442. С-064.

Налоговая льгота—общероссийский классификатор продукции OK-005-93, том 2—953000.

Гигиенический сертификат № 77. ЦС. 04. 952. П. 01464. M. 98. от 27.05.98 г.

ACT-ПРЕСС, 107078, Москва, а/я 5.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ГМП «Первая Образцовая типография» Государственного комитета Российской Федерации по печати. 113054, Москва, Валовая, 28.

ЗАО «Компания «ACT-ПРЕСС»:

Россия, 107078, Москва, Рязанский пер., д. 3 (ст. м. «Комсомольская», «Красные ворота») Тел./факс 261-31-60, тел. 265-86-30, 974-12-76 E-mail: astpress @ glasnet.ru http://www. ast-press — edu.ru

По вопросам покупки книг «ACT-ПРЕСС» обращайтесь

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Е. Арутюнян, Г. Левитас

1-5 классы

В серии:

Занимательная БОТАНИКА

Занимательная ЗООЛОГИЯ

Занимательная ГЕОГРАФИЯ

Занимательная ХИМИЯ

Занимательный РУССКИЙ ЯЗЫК

Занимательная МАТЕМАТИКА

Занимательная АСТРОНОМИЯ

Занимательный КОМПЬЮТЕР