Арутюнян Е. Б., Левитас Г. Г. Сказки по математике. — М. : Высшая школа, 1994. — 64 с.

Е.Б.Арутюнян, Г.Г.Левитас

Сказки по математике

Е. Б. Арутюнян, Г.Г.Левитас

Сказки по математике

МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1994

ББК 22.1

А 86 УДК 51

Арутюнян Е.Б., Левитас Г.Г.

А 86 Сказки по математике. — М.: Высш. шк., 1994. — 64 с.: ил. ISBN 5-06-003011-3

В увлекательной, сказочной форме здесь изложен материал из школьной математики, обычно трудно дающийся учащимся 5 — 6 классов: элементы геометрии, проценты, уравнения, пропорции, степени.

К этому добавлено и строгое изложение материала (" Комментарии старого учителя").

Такое построение книги учитывает склонности детей с разным складом интеллекта.

Книга может использоваться в индивидуальном чтении и при работе учителя в классе.

ББК 22 1 51

ISBN 5-06-003011-3

© Е.Б. Арутюнян, Г.Г. Левитас, 1994

Мышкина тропинка

Пришла весна. Высунула Мышка нос из норки. Смотрит, а в этом месте лисы себе тропинки проложили. Бегать к ручью теперь страшно, а бросать хорошую норку жалко.

Слышит Мышка — рядом Барсук в своей норе проснулся. Постучалась она к нему: «Барсук, Барсук! Как мне быть?» — «А ты свою тропинку к ручью протопчи — подальше от лисьих!»

«Протаптывай тропинку по биссектрисе!» «А что такое биссектриса?» — спросила Мышка. «Биссектриса,— сказал Барсук,— это луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам». Сказал и опять спать завалился.

Запомнила Мышка слова Барсука, а прокладывать тропинку боится. Вдруг видит, из соседней норы Змея выглянула. «Змейка, Змейка!— просит Мышка.— Проложи мне тропинку к ручью! Только по биссектрисе!» Хотела было Змея съесть Мышку, но заинтересовалась: «А что такое биссектриса?»

«Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол пополам». «Ясно»,— сказала Змея и проложила вот такую тропинку.

«Змейка!— прокричала ей вслед Мышка.— Это кривая тропинка! Если я побегу по ней, лиса сразу меня догонит. Ведь биссектриса — луч!» Но Змеи и след простыл.

Пригорюнилась Мышка. Вдруг видит: Заяц бежит. «Заяц, Заяц! Проложи мне тропинку к ручью! Только по биссектрисе!» — «А что такое биссектриса?» «Так называется луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам. Змея не поняла и проложила кривую тропинку. А мне нужна тропинка прямая! Как лучик!»

«Ясно!» — сказал Заяц, подпрыгнул и помчался к ручью. «Заяц!— прокричала Мышка ему вслед.— Твоя тропинка начинается не от норки. Пока я до нее доберусь, меня поймает лиса. Биссектриса ведь выходит из вершины угла!» Но Зайца и след простыл.

Еще пуще пригорюнилась Мышка. Видит, Крот из-под земли вылезает. «Крот, Крот! Проложи мне тропинку к ручью! Только по биссектрисе!» Хотел было Крот юркнуть обратно под землю, но заинтересовался: «А что такое биссектриса?»

«Биссектрисой угла называется луч, который выходит из вершины угла и делит угол пополам,— повторила Мышка.— Змея проложила мне кривую тропинку, Заяц проложил тропинку не от самой норки». «Ясно»,— сказал Крот и двинулся к ручью.

Но глазомер у Крота никудышный. И проложил он тропинку так, что угол между лисьими тропами не разделился пополам. «Крот!—закричала Мышка.— Твоя тропинка идет слишком близко к лисьей. Мне будет страшно бежать по ней». Но Крота и след простыл.

Вконец расстроилась Мышка. Но тут из своей норы опять вылез Барсук. «Барсук, выручай! Змея проложила мне кривую тропинку, Заяц проложил тропинку не от самой норки, а Крот — слишком близко к лисьей».

«Ладно,— сказал Барсук,— все равно мне к ручью идти. С самой осени не умывался. Проложу я тебе тропинку точно по биссектрисе. Она будет от обеих лисьих троп одинаково далеко». Сказал — и сделал. Вот какая тропинка получилась. По ней бегать к ручью не так уж страшно!

Хитрые проценты

Жили-были в Африке непоседливая Мартышка, рассудительный Удав, болтливый Попугай и очень умный Слоненок. Да-да! Те самые, которых придумал писатель Григорий Остер.

Однажды Удав сказал: «Надоело мне ползать по земле. И не видно ничего, и медленно. Давайте купим вертолет и посадим в него меня». «И меня,— закричала Мартышка.— Мы полетим быстрее Попугая!»

«Это мы еще посмотрим»,— возразил Попугай. А Слоненок очень огорчился: «Меня в вертолет не посадишь. Авария будет!»

Слоненка утешил Удав: «Ты будешь судьей нашего соревнования. Но где нам взять вертолет?» «Я придумала!—завопила Мартышка.— Пусть Попугай слетает в игрушечный магазин и купит там заводной вертолет. Он стоит сто бананов, и я их сейчас соберу».

Собрала Мартышка сто бананов, и Попугай полетел в город. Вернулся он очень быстро. «Где мой вертолет?» — спросил Удав. «Где мои бананы?» — закричала Мартышка.

«Вертолеты подорожали,— объявил Попугай,— на 10 процентов. Так что бананов не хватило, и я раздал их детям. Дети сказали мне, что завтра вертолеты снова подешевеют. И опять на десять процентов».

Наутро Попугай, захватив новые сто бананов, полетел в магазин.

Скоро попугай вернулся с прекрасным заводным вертолетом.

«Почему это ты облизываешься?» — подозрительно спросила Попугая Мартышка. «А потому, что я съел оставшийся банан».

«Не понимаю,— сказал Удав.— Вертолет сначала стоил сто бананов. Потом он подорожал на десять процентов, а потом подешевел тоже на десять процентов». «А я тебе дала ровно сто бананов»,— вмешалась Мартышка. «Я и сам не понимаю,— сказал Попугай,— но банан был очень вкусный». И он расправил крылья, готовясь к соревнованию.

А Слоненок сказал так: «Когда вертолет подорожал, он стал стоить сто десять бананов. А подешевел он на десять процентов от ста десяти, то есть на одиннадцать бананов. Значит теперь вертолет стоит девяносто девять бананов, и все правильно. Ну, летите, а я буду судить».

Как построили диаграмму

Соревнование Попугая с вертолетом закончилось полной победой Попугая, так как у вертолета кончился завод. «А куда мы поставим наш замечательный вертолет?» — спросил Слоненок и тут же предложил: «Давайте построим для него домик!»

«Чтобы построить дом, нужно собрать много камней,— сказал Удав,— а я не могу, я устал».

«Я соберу очень много камней»,— пообещал Попугай. «А я — еще больше»,— закричала Мартышка. «Чтобы узнать, кто собрал больше, мы построим диаграмму»,— предложил Слоненок. «Как это диаграмму?— возмутился Удав.— Построить нужно дом!»

«И диаграмму тоже,— сказал Слоненок.— Ты будешь работать лежа». «А как?» — обрадовался Удав. «Мы сделаем из тебя окружность. Нам нужно как раз столько камней, сколько поместится внутри нее...

...От центра окружности до кончика твоего хвоста мы положим палку. Пусть Мартышка собирает серые камни и кладет их начиная от хвоста. А Попугай будет класть белые камни от головы. Вот и получится диаграмма. Выиграет тот, кто заполнит в ней больше места. Внимание, начали!»

Попугай и Мартышка кинулись за камнями. Но Мартышка приносила за раз два камня в двух руках, а Попугай только по одному — в клюве.

И в конце концов оказалось, что круг стал на две трети серым и на одну треть белым.

«Эта диаграмма показывает, что победила Мартышка»,— объявил Слоненок и принялся за дело. Ведь ему, самому умному и сильному, предстояло теперь построить домик для вертолета.

Миллион удавов

Приближался Новый год. «Хорошо бы,— сказала Мартышка,— навестить на праздник моих индийских родственников!» Оказалось, что родственники в Индии есть у всех.

«А далеко ли эта Индия?» — поинтересовался Удав. «Узнаем по географической карте,— ответил Слоненок.— Я схожу за ней в магазин». «Но нам нужна самая большая карта, на которой есть все,— напутствовал его Попугай.— Должны же мы знать, где по дороге можно ползти, а где придется лететь или плыть».

Вскоре Слоненок вернулся с картой. Ее расстелили на земле, и все собрались на изображении Африки. «Вот сейчас мы здесь,— сказал Слоненок,— а Индия там». Услышав эти слова, Удав вытянулся во всю длину и спросил: «Значит, моя голова уже в Индии?»

«Не может быть!— воскликнула Мартышка.— Я слышала, что Индия очень далеко». «А что это здесь написано?» — спросил вдруг Попугай.

«Мне в магазине объяснили,— ответил Слоненок.— Это масштаб. Он есть на всех картах и говорит, во сколько раз расстояние на карте меньше, чем на самом деле». «Значит,— загрустил Удав,— на самом деле до Индии дальше? И намного?»

«Видишь, что здесь написано? Масштаб один к миллиону».

«Я поняла,— сказала Мартышка,— до Индии миллион удавов». «Это сколько ж ползти!»—ужаснулся Удав.

И, поразмыслив, друзья решили отправиться в Индию самолетом.

Однажды шестиклассник Сережа заблудился в лесу. К вечеру он очутился на краю большого оврага.

Вдруг он услышал злорадное хихиканье: «Попался, голубчик! Сейчас я тебя тоже заставлю решать мое любимое уравнение. А не решишь — в клетку. Как вон того, трехголового.»

«Подумаешь,— храбро ответил Сережа,— икс равен тринадцати».

«Ишь ты! Быстро додумался! А я-то! Семьдесят семь ям вырыла, сушеных лягушек в них поровну раскладывала, пока тысяча одна лягушка не набралась!»

«А теперь,— сказал Сережа,— ты реши мое уравнение: икс минус шестнадцать равно минус трем». «Это как же его решать? Где ж я тебе минус три лягушки достану?»

«Вот видишь, не можешь. А надо к обеим частям уравнения прибавить число, противоположное минус шестнадцати. И получится слева только икс, а справа...»

«Тринадцать! Любимое число!—обрадовалась Баба-Яга.— Потешил ты меня. Ложись-ка спать-почивать, а завтра мы опять математикой займемся».

Наутро Баба-Яга раздула самовар: «Люблю чайком побаловаться. А шишки для растопки мне мыши носят. Вчера пятнадцать мышей принесли мне шишек поровну и двадцать штук мне добавить пришлось. А сегодня семнадцать мышей по столько же принесли. Так шесть шишек осталось. Как бы узнать, выполняют ли мышки норму?»

«Вот такое уравнение поможет,» — сказал Сережа. «И как же решать-то его?» — спросила Баба-Яга. «Перенеси двадцать направо, а семнадцать икс налево, да не забудь знаки поменять».

«Перенесла. И подобные члены привела!» — «Молодец! А теперь осталось разделить обе части уравнения на минус два».— «Все в порядке. Выполняют мыши норму»,— сказала Баба-Яга.

Надоело Сереже у Бабы-Яги. Собрался он домой. «Куда это ты? Придумай сначала, как мне Горыныча кормить. Даю я ему по шесть лукошек сушеных грибов на каждую голову. Так вторая голова, у которой тридцать зубов, довольна, первая — у нее десять зубов — не все доедает; а третья — с сорока зубами — кричит: «Мало!»

«А ты давай им корм пропорционально числу зубов».— «Как это?» — «А вот смотри. Второй голове на тридцать зубов шести лукошек как раз хватает? Значит, и надо на каждые пять зубов давать по лукошку».

«Ага,— подсчитала Баба-Яга.— Значит, первой голове только два лукошка надо. А у третьей головы сорок зубов. Ей, стало быть, по восемь лукошек буду давать».

«Правильно,— похвалил Сережа,— у тебя получились две пропорции: два относится к десяти, как шесть к тридцати, и шесть относится к тридцати, как восемь к сорока». «Это надо же!» — умилилась Баба-Яга.

Полюбовалась Баба-Яга на пропорции и вдруг заволновалась: «Смотри-ка: в каждой из них произведение крайних членов равно произведению средних». «Это всегда так бывает»,— успокоил ее Сережа.

Накормила Баба-Яга Змея Горыныча по новым нормам, а он сил набрался, клетку сломал, да и уполз. Запричитала Баба-Яга: «Это сколько ж дорог прочесать придется, пока поймаешь его. Ведь каждая дорога на три новых разветвляется».

Показала она Сереже карту: на ней овраг, лес, поле, болото, луг, река, степь, пустыня, горы, а там и Тридевятое Царство. А Сережа и говорит: «Через овраг у тебя идут три дороги, через лес трижды три, или, как говорят, три во второй степени. Через поле...»

«...Через поле дорог три в третьей степени. Через болото три в четвертой степени».

«А в Тридевятое Царство ведет три в девятой степени дорог. Вот и считай сама, сколько их». Принялась Баба-Яга считать: З9 = 333333333 = 272727 = 72927 = 19683.

«Получается меньше двадцати тысяч дорог,— обрадовалась Баба-Яга.— А Горыныч на моих грибах летать разучился. Пока он до Тридевятого Царства доползет, я в своей ступе и сто тысяч дорог успею облетать».

Села Баба-Яга в свою ступу, взвилась вверх, да тут же свалилась на землю. «Эх, ступа повредилась. Придется к Лешему в ремонт тащить».

Не успел Сережа глазом моргнуть, а Баба-Яга уж снова тут как тут. «Починил, лохматый. Только, сдается мне, скорость у нее не та стала. Как бы проверить?»

«Очень просто,— заявил Сережа.— Ты полетай по кругу, а я время замечу. Так скорость и вычислим, по формуле «эс равно вэ тэ». «А как мой путь измерить? Он же не прямой».

«Эх, ты! Еще древние греки умели находить длину окружности по ее радиусу, по формуле «цэ равно два пи эр»,— и Сережа написал эту формулу. «Это что за закорючка у тебя тут?» — изумилась Баба-Яга. «Это греческая буква пи».

«Буквой пи,— продолжал Сережа,— обозначается бесконечная десятичная дробь, которая немного больше числа три, приблизительно три и четырнадцать сотых. Только какой бы радиус окружности нам выбрать?» «А ты меня подержи за помело, я и покручусь. В нем как раз два метра».

За одну секунду Баба-Яга сделала тридцать оборотов!

Немного придя в себя, Сережа принялся вычислять скорость отремонтированной ступы: «Сначала найдем путь, пройденный за секунду, то есть за тридцать оборотов»,— и он написал: s = 376,8 м.

«Значит,— продолжил Сережа,— скорость ступы триста семьдесят шесть и восемь десятых метра в секунду, или, приблизительно, тысяча триста шестьдесят километров в час». «Тогда все нормально»,— и Баба-Яга пустилась в погоню.

Только хотел Сережа сбежать, а Баба-Яга уже тут как тут. «Поймала! Сейчас мы ему новую клетку соорудим».

«Вот этот кружок заборчиком обнесем, крышечкой несгораемой прикроем. И будешь ты тут сидеть, пока уравнения решать не научишься»,— объявила Баба-Яга Змею Горынычу его участь.

«А я все равно удеру,— взвыл Горыныч.— Ход в земле ночью пророю и уползу!» «Не пророешь! Мы круг забетонируем. Ну-ка, Сережа, говори, сколько в этом круге квадратных метров, сколько бетона нужно?».

«Ладно. Только ты сразу меня отпустишь». «Вот еще! Ты для моего хозяйства очень полезный. А площадь я и сама найду. У меня палетка есть. Подержи-ка Горыныча». Баба-Яга нашла заржавленную палетку с площадью клетки в один квадратный метр и наложила ее на круг. Оказалось, что четыре клетки поместились в круге полностью, а еще двенадцать — частично. Подсчитала Баба-Яга: 4 + 12 1/2 = 10 — и объявила результат: 10 квадратных метров.

И приказала Баба-Яга, чтобы явилось бетона на десять квадратных метров и залило бы круг. Но бетона не хватило. И осталась в круге не залитая бетоном дыра.

Увидел Горыныч, что получилось, и обрадовался: «Удеру».

Запричитала Баба-Яга: «Надо же, не хватило. Видно, площадь не так считала. Ладно уж, Сережа, отпущу я тебя, только помоги!»

«Площадь круга,— сказал Сережа,— вычисляют по такой формуле». И он записал: s = кг. «Что такое пи, помнишь?» «Помню» — отозвалась Баба-Яга.

Сережа увидел результат и посоветовал: «Возьми-ка ты бетона на тринадцать квадратных метров. А то ведь число пи немного больше, чем три целых четырнадцать сотых».

Недовольный Горыныч громко зарычал...

...и Сережа открыл глаза. «Приснится же такое,— подумал он.— Почти всю математику повторил».

Комментарии старого учителя

О биссектрисе

Умеешь ли ты делить пополам? Например, можешь ли ты разделить пополам с приятелем булочку или яблоко?

А ведь существует способ такого деления пополам, при котором ни один не может пожаловаться на другого, что тот взял себе больше. Как это сделать?

Да очень просто: пусть первый делит на равные части, а второй выбирает любую часть. Тогда каждый может жаловаться разве что на себя. Первый не может жаловаться, так как мог разделить поточнее — сам делил. А второй не может жаловаться — сам выбирал.

Но это способ для деления на глаз. Можно разделить пополам и совершенно точно.

Например, можно точно разделить пополам 2652 рубля.

Какие из нарисованных здесь фигур ты берешься разделить пополам? Как именно ты будешь это делать?

Можно точно разделить пополам пакет песка, если есть весы. Можно точно разделить пополам некоторые геометрические фигуры.

Круг, прямоугольник, отрезок, угол можно разделить пополам, перегнув чертеж. Нужно только добиться, чтобы при перегибе половинки чертежа совпали. Совпали — значит равны.

А вот другие две фигуры на рисунке: треугольник с неравными сторонами и прямоугольную трапецию перегибанием разделить нельзя.

Фигуры, которые можно перегибанием совместить половинами, называют симметричными, а линию сгиба -осью симметрии.

Линия сгиба круга проходит через его центр. Она — диаметр круга. У круга бесконечно много осей симметрии.

Линия сгиба прямоугольника проходит через середины его противоположных сторон. У прямоугольника две оси симметрии.

Если этот прямоугольник — квадрат, то у него есть и еще две оси симметрии, проходящие через противоположные вершины.

Линия сгиба, при котором совмещаются половины отрезка,— его серединный перпендикуляр. Он у каждого отрезка один.

Линия сгиба, при котором совмещаются половины угла,— биссектриса угла. Она у угла одна и лежит на оси симметрии угла.

Что же такое биссектриса угла?

Выбери правильное утверждение из следующих трех:

— биссектриса — это прямая,

— биссектриса — это отрезок,

— биссектриса — это луч.

Правильное утверждение — третье.

Итак, биссектриса — это луч, но не любой луч, а луч, исходящий из вершины угла. И наконец, это луч, делящий угол пополам.

Следовательно, определение биссектрисы: биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам.

Пользуясь этим определением, можно узнать, является ли данная линия биссектрисой данного угла.

Вначале проверяем, является ли эта линия лучом. Если нет, то эта линия — не биссектриса. А если да, то нужно продолжить проверку.

Проверяем, выходит ли этот луч из вершины угла. Если нет, то это — не биссектриса. А если да,— продолжаем проверку.

Проверяем, делит ли этот луч пополам данный угол. Если нет, он — не биссектриса, а если да — биссектриса.

Эта работа представлена на схеме.

Вот, например, на рисунке линии я и б, конечно, не биссектрисы, так как они — не лучи: а — кривая линия, б — ломаная.

Луч в — не биссектриса, так как не выходит из вершины угла. Луч г — не биссектриса, так как не делит угол пополам.

А вот луч д — биссектриса. И убедиться в этом можно с помощью транспортира.

Заметим, что можно действовать и не по такой схеме. Можно заполнить (на самом деле или мысленно) таблицу, как это сделано здесь.

Линия

Луч?

Выходит из вершины?

Делит угол пополам?

Биссектриса?

а

Нет

Да

Нет

Нет

б

Нет

Да

Нет

Нет

в

Да

Нет

Да

Нет

г

Да

Да

Нет

Нет

д

Да

Да

Да

Да

Только наличие ответов «Да» по всем трем первым вопросам приводит к «Да» по последнему вопросу.

Если дан угол, то можно построить его биссектрису, пользуясь определением. Чтобы построить луч, понадобится линейка, начало луча мы определим на глаз, а разделить угол пополам поможет транспортир.

О процентах

Если 400 уменьшить на число 50, а потом увеличить на то же число 50, то что получится? Снова 400.

И в самом деле:

400 — 50 = 350; 350 + 50 = 400.

А если 400 сначала уменьшить на 50%, а потом увеличить на 50%, думаешь, получится снова 400?

Ничего подобного:

уменьшая 400 на 50%, ты уменьшаешь его на половину, значит, получается половина от 400, т.е. 200;

увеличивая 200 на 50%, ты увеличиваешь 200 на половину, т.е. на 100, и получается 200 + 100 - 300.

Итак, если 400 уменьшить на какое-нибудь число, а потом увеличить на то же число, то снова будет 400.

А если 400 уменьшить на какое-либо число процентов, а потом увеличить на то же число процентов, то будет не 400.

Попробуем сделать наоборот: сначала увеличить 400 на 50, а потом уменьшить на 50. Получится снова 400. Если же сначала увеличить 400 на 50%, а потом уменьшить на 50%, то опять получится не 400, а 300.

Докажи это.

Поэкспериментируй с процентами. Возьми число 10 000 и сначала увеличь его на сколько-нибудь процентов, а потом уменьши на столько же процентов. А потом наоборот: уменьши, а затем увеличь на столько же процентов. Результаты совпадут, но будут отличаться от 10 000. И вот почему.

Увеличив 10 000 на х %, мы получаем 10 000 + 100 х, так как 1 % от 10 000 равен 100, а х % равны 100 х. Теперь уменьшим 10 000 + 100 X на X %. Один процент от числа 10 000 + 100 jc равен его сотой части, т.е. равен 100 + х. Значит, х % от числа 10 000 + 100 X равны (100 + х)х = 100 х + х2. Уменьшить 10 000 + 100 х на это число — значит найти разность

10 000 + 100 X — (100 X + х2) - 10 000 — х2.

Убедись, что, действуя в обратном порядке, мы тоже получим

10 000 — X2.

Обращаться с процентами, как с числами, можно только в том случае, если это проценты от одного и того же числа. К числу 200 прибавили 50% от числа 6, а затем отняли 50% от числа 6. В этом случае будет в результате снова 200, так как прибавили и отняли одно и то же число 3 (3 — это 50% от числа 6): 200 + 3 — 3 = 200.

Секрет процентов так и раскрывается: не бывает просто процентов, а бывают проценты от каких-либо чисел. И какую бы задачу с процентами тебе ни пришлось решать, вначале нужно понять, что принимается за 100%, от какого числа высчитываются проценты. Затем нужно понять, что такое один процент от этих ста. И — найти ответ.

Пример 1. Найти 17% от числа 300.

Решение. 1) 100% — это число 300;

2) 1% от числа 300 равен 300 : 100 - 3;

3) 17% от числа 300 равны 17 ' 3 = 51.

Или, короче, —— = 51 »

Пример 2. Найти число, 18% которого равны 72.

Решение. 1) 100% — это число, которое надо найти;

2) 1% от этого числа равен 72 : 18 = 4;

3) само искомое число равно 4 ' 100 = 400.

Или, короче, —jg— - 400.

Пример 3. Сколько процентов составляет число 16 от числа 800?

Решение. 1) 100% — это число 800;

2) 1% от 800 равен 800 : 100 - 8;

3) в числе 16 число 8 помещается два раза, значит, 16 составляет 2% от 800.

Или, короче, —— = 2.

Бывают задачи и более сложные, в которых за 100% принимается сначала одно, а потом другое число. Именно таковы задачи, с которых мы начали наш разговор о процентах.

Вот еще одна такая задача.

В коробке 2800 шариков — красные и синие. Число красных шариков составляет 40% от числа синих. Сколько процентов составляет число синих шариков от числа красных?

Решение. 100% — это число синих шариков, 40% — число красных шариков, значит, общее число шариков составляет 140% от числа синих шариков. 2800 шариков — это 140% числа синих шариков. 1% от числа синих шариков равен 2800 : 140 = 20, а все синие шарики, т.е. 100% синих шариков, составляют 20 ' 100 = 2000. Итак, в коробке 2000 синих шариков, значит, красных 800. Надо узнать, сколько процентов составляет число 2000 от 800.

100% теперь — это 800, 1% — это 8, 2000 содержат 250 раз по 8. Значит, число красных шариков составляет 250% от числа синих.

Ответ: 250%.

Задачи на проценты

1. Один процент числа — это его сотая часть. Например, один процент числа 300 равен сотой части числа 300, т.е. равен 3. Чему равен один процент числа 4800?

2. Напоминаю: один процент числа — это его сотая часть. Чему равен один процент числа 72 000?

3. Вспомни: один процент числа равен его сотой части. Один процент обозначается так: 1%. Чему равен 1% числа 400?

4. Чему равен 1% от 6700? Чему равны 2% от 6700?

5. Отметь на координатном луче число, составляющее 1% от 200; 3% от 200.

6. Что больше, 1% числа 200 или 2% числа 100?

7. Ты знаешь, что 1 % числа — это его сотая часть. Какой части числа равны его 50%?

8. Найди 25% числа 300.

9. Найди 10% числа 600.

10. Найди 20% числа 400.

11. Прибор стоил 12000 руб. Он подешевел на 10%. На сколько рублей подешевел прибор?

12. Набор инструментов стоил 15000 руб. Он подорожал на 5%. Сколько он стоит теперь?

13. В школе 1000 учеников. Из них 55% — девочки. Сколько девочек в школе?

14. В цехе 55% работников — женщины. Сколько процентов работников этого цеха — мужчины?

15. Число 6300 увеличили на 10%. Какое получилось число?

16. Число 5700 уменьшили на 20%. Какое получилось число?

17. Сберегательный банк платит вкладчикам 30% годовых. Сколько он заплатит за год по вкладу 70000 руб.?

18. Скорость велосипедиста на 100% больше скорости пешехода. Скорость пешехода 5 км/ч. Какова скорость велосипедиста?

19. Рабочий должен был сделать за смену 200 деталей. Но он перевыполнил план на 12%. Сколько деталей он сделал сверх плана? Сколько деталей он сделал всего?

20. На грузовике должны были перевезти 30 т груза, но перевыполнили план на 15%. Сколько груза перевезли?

21. Сливочное мороженое содержит 15% сахара. Сколько сахара в 200 г мороженого?

22. Ведро емкостью 12 л заполнено на 25% водой. Сколько кубических сантиметров воды в этом ведре?

23. Нужно окрасить 60 м поверхности стены. 75% работы уже сделали. Какую площадь осталось окрасить? (Реши двумя способами.)

24. Сколько учеников в классе, если 1 человек составляет 4% всех учащихся?

25. 1 % числа равен 20. Чему равно все число?

26. 1 % числа равен 75. Чему равно все число?

27. 5% числа равны 40. Чему равен 1% числа? Чему равно все число?

28. 20% пути равны 75 км. Чему равен весь путь?

29. 45% стоимости товара составляет 9000 руб. Сколько стоит весь товар?

30. Рабочий выполнил план с превышением на 35 деталей, что составляет 10% плана. Сколько деталей он должен был сделать по плану?

31. Вырази следующие дроби в виде процентов: 1/100, 21/100, 1/10, 1/20, 1/50.

32. Вырази следующие проценты в виде дробей: 1%, 21%, 10%, 2%, 4%, 5%, 20%, 25%, 50%, 75%, 80%, 100%, 121%, 200%, 1000%.

33. Перечерти эту таблицу, заполни и запомни ее:

Проценты

1%

2%

25%

60%

80%

Десятичные дроби

0,01

0,04

0,1

0,5

Обыкновенные дроби

1/100

1/50

1/20

1/5

3/4

34. Что больше, 20% от 25 или 75% от 12?

35. Пользуясь таблицей, найди 2% от 150, 5% от 120, 20% от 45, 25% от 60, 50% от 124, 75% от 32, 80% от 35.

36. Что больше, 25% от 60 кг или 80% от 5 кг? Что больше, 30% от 27 см или 27% от 30 см?

37. Найди 250% от числа 200. Найди 38% от числа 50.

38. Чему равны 25% от урока в 40 мин?

39. Пользуясь таблицей, вырази в виде смешанного числа 102%, 205%, 325%, 450%, 680%.

40. 25% месяца равны 7 суткам. Что это за месяц?

41. Чему равен угол, мера которого составляет 20% меры прямого угла?

42. Высоту прямоугольной коробки увеличили на 10%, а длину и ширину не меняли. На сколько процентов увеличился объем коробки?

43. Длину и ширину коробки уменьшили на 10%, а высоту не изменили. На сколько процентов уменьшился объем?

44. Длину прямоугольной коробки увеличили на 10%, ширину уменьшили на 10%, а высоту не изменили. Изменился ли объем коробки? Как и на сколько процентов?

45. Сколько процентов составляет число 1 от числа 100?

46. Сколько процентов составляет число 2 от числа 100?

47. Сколько процентов составляет число 3 от числа 300? А сколько процентов составляет число 6 от числа 300?

48. Сколько процентов составляет число а от числа Ь, можно узнать так: разделить а на Ъ и результат умножить на 100% (т.е. на единицу!). Например, 3 от 5 составляет 3/5, или 0,6 100% = = 60%. А сколько процентов составляет число 15 от 30?

49. Сколько соли нужно растворить в воде, чтобы получить 100 г пятипроцентного раствора соли? Сколько для этого нужно взять воды?

50. Конструктор стоил 20 000 руб. Его цену дважды понизили, каждый раз на 5%. Сколько стал стоить конструктор?

51. Сколько надо взять воды, чтобы получить 200 г десятипроцентного раствора соли? Сколько нужно взять для этого соли?

52. Число мальчиков в школе составляет 90% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков?

53. Число мальчиков составляет 45% от числа учащихся. Каково процентное отношение числа девочек к числу мальчиков?

54. Раствор содержал 99% воды и имел массу 100 г. После выпаривания он стал содержать 98% воды. Какой стала масса раствора?

55. Банк платит вкладчику 30% годовых. Сколько получит за два года вкладчик, положивший в банк 100 000 руб.?

56. Банк платит вкладчику 30% годовых. Сколько денег положил в банк вкладчик, если за три года он получил 219 700 руб.?

О диаграммах

Для чего нужны диаграммы? Для наглядного изображения величин.

Вот диаграмма роста ребенка по годам.

Вот диаграмма состава воздуха.

Вот диаграмма поверхности земного шара.

Эти диаграммы называются столбчатыми. На них величины изображаются столбиками, причем во сколько раз величина больше, во столько же раз выше столбик.

Если сравниваемые величины вместе образуют одно целое, то можно начертить не только столбчатую, но и круговую диаграмму. Тогда весь круг — это целое, а входящие в него величины — части этого круга — секторы. Чем больше величина, тем больше сектор.

Из трех столбчатых диаграмму которые мы только что нарисовали, две можно перевести в круговые диаграммы. Какие именно?

Да, конечно, в виде круговой диаграммы можно изобразить состав воздуха и поверхность Земли.

В древности люди думали, что в году 360 дней. Они изображали календарь в виде круговой диаграммы. Вот как можно было бы изобразить на этой диаграмме «лето» и «не лето».

Ты догадываешься, что круг, разделенный на 360 равных частей, породил градусную меру угла и наши современные транспортиры.

О масштабе

Зачем нужен масштаб? Затем, чтобы рисовать, чертить, строить вещь не только в натуральную величину, но и с любым увеличением или уменьшением. Прежде чем построить дом, обычно делают его уменьшенный макет в определенном масштабе. В масштабе рисуют и географические карты.

Однако на географических картах масштаб выдержан не всегда. Ведь масштаб показывает, во сколько раз изображение меньше самого предмета (или больше его). А на карте, показанной на этом рисунке, разные части земли уменьшены не одинаково. Например, известно, что площадь Австралии почти в четыре раза больше площади острова Гренландия. А на этой карте изображение Гренландии больше изображения Австралии. Вообще на многих географических картах относительно больше те территории, которые дальше от экватора. Совершенно же точно выдержан масштаб в изображении Земли только на глобусе. Однако чем меньше изображаемая территория, тем карта точнее. Ведь все неточности карты происходят от того, что приходится изображать шаровую поверхность Земли на плоской карте.

Об уравнениях

Одно из великих искусств, которым владеют математики,— это искусство решать уравнения. Вот дай математику уравнение X3 — Зх2 + 2х - 0.

Он сразу скажет: «Это уравнение третьей степени; значит, у него не больше трех корней. Один корень виден сразу — это число нуль». «И правда,— согласишься ты,— ведь если х » 0, то х = 0, Зх = 0, 2х - 0, а значит, х — Зх + 2х = 0. Так что нуль — корень. А другие два корня как найти?» «Второй корень тоже виден сразу. Это единица». «Это надо же,— воскликнешь ты,— ну и зрение у Вас. А я и не заметил, что здесь х — 1 :

хъ » 1; Зх2 - 3; 2х - 2; хЪ — Зх2 + 2х » 0!

А третий корень?» «Третий корень — число 2». И снова прав математик:

23_- 3-22 + 2-2 = 8 — 12 + 4 = 0.

Когда-нибудь и ты научишься так же хорошо справляться с трудными уравнениями. А пока поговорим о самых легких. О таких, в которых нет ни х , ни х , а есть только х в первой степени. Примером такого уравнения может служить 9х — 324 = 1х + 612. Такие уравнения решаются с помощью известных свойств равенства:

если обе части равенства увеличить или уменьшить на одно и то же число, то получится снова равенство;

если обе части равенства умножить или разделить на одно и то же число (но не делить на нуль!), то получится снова равенство.

Иначе говоря, если верно равенство а = .6, то верны и следующие равенства:

я + с = Z> + с, а — с = b — с, а «с ■ Ь • с, о. : с = Ь : с (последнее при с * 0).

Решим уравнение 9х — 324 = 1х + 612.

Плохо то, что неизвестное х находится в разных частях уравнения: и в левой его части, и в правой.

Если из правой части равенства 9х — 324 = 1х + 612 вычесть число 7jc, то в правой части х вообще не останется. А чтобы равенство сохранилось, нужно вычесть 1х не только из правой, но и из левой части:

Теперь избавимся от числа 324 в левой части, для чего прибавим к обеим частям уравнения число 324:

2jc — 324 + 324 = 612 + 324, 2х = 936.

А теперь избавимся от двойки, стоящей перед дс, для чего разделим обе части равенства на 2:

2х : 2 = 936 : 2, х = 468.

Корень уравнения 9х — 324 = 7х + 612 — число 468.

Заметим, что операции прибавления и вычитания одного и того же числа сводятся к переносу числа из одной части уравнения в другую с переменой его знака. Смотри:

О задачах, решаемых с помощью уравнений

Умение решать уравнения очень полезно для решения разнообразных задач. Решим, например, такую задачу.

Для новогодней елки купили 30 игрушек: хлопушки и шары.

Хлопушек купили на 6 штук больше, чем шаров. Сколько купили шаров?

Эту задачу можно решить подбором, но можно сделать это с помощью уравнения. Начнем с того, что обозначим какую-либо из неизвестных величин буквой х.

О каких величинах говорится в тексте задачи? О числе всех игрушек, о числе хлопушек, о числе шаров, о том, на сколько больше было хлопушек, чем шаров. При этом неизвестны число хлопушек и число шаров. Какую-нибудь из этих величин мы и обозначим через х. Лучше всего — ту, о которой спрашивается в задаче. Итак, пусть

X — число купленных шаров.

Другую неизвестную величину (число купленных хлопушек) надо выразить через х. Сделать это можно, учитывая либо сколько игрушек купили всего, либо на сколько больше было хлопушек, чем шаров. Пойдем по второму пути. Хлопушек купили на 6 штук больше, чем шаров. Значит,

X + 6 — число купленных хлопушек.

Других неизвестных величин нет. Составим уравнение, зная, что всего игрушек было 30. Тогда

X + (х + 6) = 30.

Решим это уравнение: сначала раскроем скобки в левой части, а потом перенесем число 6 в правую часть уравнения, меняя знак:

X + X + 6 = 30, X + X = 30 — 6,

2х = 24,

X = 12.

Ответ. Шаров купили 12.

Итак, решение задачи с помощью уравнения состоит из следующих шагов:

1) обозначение одной из неизвестных величин буквой х;

2) выражение остальных неизвестных величин через х\

3) составление уравнения;

4) решение уравнения;

5) ответ.

Задачи на составление выражений и уравнений

1. Во второй бригаде на три человека больше, чем в первой. Число людей в первой бригаде обозначили буквой х. Запиши, сколько людей во второй бригаде.

2. Скорость пешехода в два раза меньше скорости велосипедиста. Скорость велосипедиста обозначили буквой у. Запиши, чему равна скорость пешехода.

3. Одно число в три раза больше другого. Меньшее из этих чисел обозначили буквой х. Запиши, чему равно большее из этих чисел.

4. Ботинки стоят на 2000 руб. дешевле шляпы. Цену шляпы в рублях обозначили буквой у. Запиши, какова цена ботинок.

5. Рабочий Иванов делает за смену на 10 деталей больше, чем рабочий Петров. Сменную выработку Иванова обозначили буквой у. Как можно обозначить сменную выработку Петрова?

6. Скорость вертолета в три раза меньше скорости самолета. Скорость вертолета равна у. Чему равна скорость самолета?

7. Путь в гору в три раза короче, чем путь по равнине. Путь в гору равен jc. Чему равен путь по равнине?

8. Тетрадей купили на 8 штук больше, чем карандашей. Число купленных тетрадей равно х. Сколько купили карандашей?

9. Число X увеличили в два раза. Какое число получилось? Это получившееся число уменьшили на 4,01. Запиши результат.

10. Весь путь равен у км. Пешеход за первый час прошел половину пути, а за второй час прошел еще 3,4 км. Сколько прошел пешеход за первый час? Сколько он прошел за два часа?

11. Одна сторона треугольника равна х см, вторая на 3 см больше, а третья в два раза короче второй стороны. Чему равна третья сторона?

12. Площадь земельного участка равна у га. Ее сначала уменьшили на 40 га, а потом получившийся участок утроили. Сколько гектаров в участке, получившемся в результате?

13. Задуманное число х разделили на 5, а затем результат умножили на 3. Какое число получилось?

14. Площадь прямоугольника у разделили на четыре равные части, а затем каждую часть разделили на пять равных частей. Чему равна площадь каждого получившегося участка?

15. Купили шесть игрушек ценой по х руб. за штуку и еще одну игрушку за 1500 руб. Сколько денег истратили?

16. Карандаш стоит л: руб., а тетрадь на 10 руб. дешевле. Сколько стоят 8 тетрадей?

17. Поезд проходит х км/ч, а самолет за 1 ч пролетает на 500 км больше, чем поезд. Сколько километров пролетит самолет за 3 ч?

18. В кувшине помещается х л, а в бидоне на 1,2 л меньше. Сколько литров поместится в пяти таких бидонах?

19. Вместимость кастрюли х л. Вместимость чайника в 1,2 раза больше вместимости кастрюли. Вместимость ведра в 2,4 раза больше вместимости чайника. Сколько литров помещается в ведре?

20. В первом цехе х рабочих. Во втором цехе на 120 рабочих больше, чем в первом цехе. В третьем цехе на 15 рабочих меньше, чем во втором цехе. Сколько рабочих в третьем цехе?

21. Составь уравнение, зная, что число х равно 2,7.

22. Составь уравнение, зная, что если к числу х прибавить 15, то получится 18.

23. Составь уравнение, зная, что разность чисел х и 16 равна 32.

24. Составь уравнение, зная, что если уменьшить число у в 8 раз, то получится 12.

25. Составь уравнение, зная, что разность чисел Зх и 8 равна 17.

26. Составь уравнение, зная, что стоимость одного карандаша равна X руб. и что 5 таких карандашей стоят 1050 руб.

27. Составь уравнение по следующему условию. Автомобиль движется со скоростью х км/ч; за 4 ч он проехал 360 км.

28. Составь уравнение по следующему условию. Карандаш стоит X руб., а ручка на 80 руб. дороже; ручка стоит 300 руб.

29. Составь уравнение по следующему условию. Цена портфеля X руб. Она на 6000 руб. больше, чем цена сумки, которая стоит 30000 руб.

30. Составь уравнение по следующему условию. Скорость велосипедиста х км/ч, а скорость автомобиля 90 км/ч. Скорость автомобиля больше скорости велосипедиста на 76 км/ч.

31. Составь уравнение по следующему условию. Число х в восемь раз больше, чем число 15.

32. Составь уравнение по следующему условию: скорость вертолета равна х км/ч; она в пять раз меньше скорости самолета, равной 900 км/ч.

33. Составь уравнение по следующим данным. Ученик делает за смену х изделий, а мастер втрое больше. Вместе за смену они делают 480 изделий.

34. Составь уравнение по следующим условиям. Площадь сада X га, площадь поля в четыре раза больше. Площадь поля на 30 га больше площади сада.

35. Составь уравнение по следующим условиям. Одно число равно ху а другое на 8 меньше. Произведение этих чисел равно 60.

36. Составь уравнение по следующим данным. Одно число равно у, а второе меньше его на 3. Отношение этих чисел равно 96.

37. Отрезок AB равен jc, отрезок CD в 3,6 раза больше. Отрезок CD на 62 мм больше отрезка AB. Составь уравнение двумя способами.

38. За месяц первый экскаватор вынул 10 000 т грунта. Второй экскаватор вынул х т грунта, что на 2800 т меньше. Составь уравнение двумя способами. Найди, чему равно х.

39. В библиотеке имени Пушкина на 8000 книг больше, чем в библиотеке имени Гоголя. При этом в библиотеке имени Гоголя книг в 1,2 раза меньше. Обозначь буквой х число книг в библиотеке имени Гоголя; составь уравнение; реши его. Сколько книг в каждой библиотеке?

40. Одна сторона прямоугольника в 1,11 раза больше другой. Площадь этого прямоугольника равна 999 м . Попробуй найти стороны этого прямоугольника.

О пропорциях

Выражение вида т называют дробью, а выражение вида а : b называют частным. Но ты знаешь, что оба эти выражения обозначают одно и то же — результат деления числа а на число Ъ. Чтобы подчеркнуть это, оба эти выражения называют одинаково: отношение числа а к числу Ь.

Итак, отношение а к b — это выражение а : в, или ~ Например, отношение 2 к 3 можно записать так: ^> ияи 2 : 3. Отношение 6 к 3 можно записать ^ , или 6 : 3. Конечно, можно сказать и так: отношение 6 к 3 равно 2. Заметим, что и отношение 8 к 4 тоже равно 2. Так что 6:3 = 8:4, или ^ = ^- У нас получились равенства отношений.

Равенство двух отношений называется пропорцией.

Записав пропорцию с помощью знака деления « : », мы сразу видим, что два ее члена — крайние, а два — средние:

а : b = с : d

— здесь крайние члены a и d, средние — b и с.

Пропорции обладают замечательным свойством:

произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

В самом деле, пусть ^ = ^. Обе части этого равенства можно умножить на одно и то же число bd. Получим:

Обратно, если равны произведения a b и с d, то имеется пропорция, у которой крайние члены а и b, а средние члены с и d. Это доказывается делением обеих частей равенства a b = cd на число b d:

А аких пропорции будет даже четыре:

а : d = с : b а : с = d : b, b : d = с : a, b: с = d : a.

Впрочем, a и b могут быть и средними членами; тогда получатся еще четыре пропорции:

с : а = с : d, с : b = а : d, d : а = b : с, d : b = а : с.

Свойством пропорции можно пользоваться для решения уравнений, если эти уравнения имеют вид пропорций. Например, уравнение

можно решить так. Перед нами пропорция. Ее крайние члены 17 и 8, средние члены х и 34. Значит, х • 34 = 17 -8, откуда

Разберись самостоятельно в решении следующих уравнений:

Уравнение:

Решение:

Ответ:

Уравнение:

Решение:

Ответ:

Уравнение:

Решение:

Ответ:

Задачи о пропорциях

1. Проверь, верны ли следующие записи, используя свойство пропорции и не используя его: 12 : 6 — 3 : 1,5; 60 : 12 = 20 : 4.

2. Можно ли составить пропорцию из следующих четырех чисел: а) 9, 7, 3, 21; б) 16, 15, 8, 14?

3. Дана пропорция: 25:5 = 100:20. Составь еще семь пропорций, используя эти же числа.

4. Сплав состоит из золота и меди; масса меди относится к массе золота как 4 : 5. Определи массу золота, если масса меди в сплаве 100 г.

5. Во сколько раз увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить в пять раз?

6. 16 каменщиков вымостили улицу за 21 день. Сколько каменщиков нужно, чтобы вымостить ту же улицу за 14 дней?

7. Для отопления дома приготовлено топливо на 60 дней при норме расхода 700 кг в день. На сколько дней хватит этого топлива, если расходовать ежедневно 525 кг топлива?

8. Зубчатое колесо имеет 75 зубцов и делает 92 оборота в одну минуту. Сколько оборотов в 1 мин делает сцепленное с ним колесо, имеющее 5 зубцов?

9. Груз массой 4,5 кг уравновешивается на рычаге гирей 3,6 кг. Какую длину имеет короткое плечо рычага, если длинное плечо равно 51 см?

10. Для приготовления фарфора берут 25 частей белой глины, 2 части песка и 1 часть гипса. Сколько нужно взять каждого из этих материалов, чтобы приготовить 350 г смеси, из которой приготовляется фарфор?

11. Пять чисел относятся между собой как 1:2:3:4:5. Найти эти числа, зная, что сумма первого и третьего числа равна 20.

12. 5 насосов в течение 3 ч выкачали 1800 м воды. Сколько воды выкачают четыре таких же насоса за 4 ч?

13. Карта, начерченная в масштабе 1 :25000, перечерчена в масштабе 1 :20000. Какова длина реки на новой карте, если на старой карте она равна 20 см?

14. (Шутка.) 6 котов за 6 минут съедают 6 мышей. Сколько понадобится котов, чтобы за 100 минут съесть 100 мышей?

О степени

Ты знаешь, что сумма одинаковых слагаемых записывается кратко в виде произведения: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4-6. Точно так же произведение одинаковых множителей записывается в виде степени: 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 - 4 .

Зная это, можно находить значение степени числа. Например, 25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 - 32. Найди, чему равны З4 и 10.

Вторая степень числа называется квадратом числа, например квадрат числа 8 равен 8 , т.е. 64. Как ты думаешь, почему вторая степень имеет такое геометрическое название?

Конечно, потому, что квадрат со стороной 8 содержит 64 квадратные единицы. Потому же кубом числа называется его третья степень. Так, куб числа 5 — это 5 , т.е. 125.

О длине окружности

Как измерить длину дороги? Удобнее всего — шагами. Конечно, для этого нужно знать длину своего шага. Сделай шаг и измерь его длину от следа одной пятки до следа другой пятки. Потом сделай еще один шаг и снова измерь. Результаты окажутся разными. Да и не равен такой отдельно сделанный шаг твоему обычному шагу при обычной ходьбе.

Поэтому лучше пройти несколько шагов, а потом пройденное расстояние разделить на число шагов. Чем больше шагов, тем лучше. Например, хорошо пройти, считая шаги, вдоль железной или шоссейной дороги от одного километрового столба до другого. Если окажется, что число шагов близко к 2 тысячам, то длина одного шага равна 1000 м : 2000 = 0,5 м.

Зная длину своего шага, ты сможешь приближенно измерять проходимый тобой путь. Правда, если путь кривой, то результат будет получаться меньше, чем на самом деле.

Пусть, например, дорожка имеет такую форму:

Точки на ней — твои следы.

Всего следов 11, значит, всего шагов 10. И если каждый шаг равен Оу.5 м, то длина дорожки 5 м.

Но на самом деле дорожка немного длиннее.

Ведь что такое длина одного твоего шага? Это расстояние между двумя соседними следами, взятое по прямой. Это — длина отрезка, соединяющего соседние точки на дорожке. Но, значит, 5 м — это не длина кривой дорожки, а длина ломаной с вершинами в этих точках. И так как кратчайшее расстояние между точками есть длина отрезка, то истинная длина дорожки больше чем 5 м. Заметим, что если бы мы мерили дорожку более мелкими шагами, то результат был бы точнее. Это видно на рисунке (все три изображения дорожки построены в одном и том же масштабе 1 :50).

Теперь рассмотрим окружность. Будем измерять ее длину тем же способом, каким мы измеряли длину дорожки. Для этого разделим окружность на равные дуги точками А, В и так далее (на рисунке таких точек шесть). Соединим эти точки отрезками АВ, ВС и так далее. Найдем периметр получившегося многоугольника. Это и будет приближенная длина окружности. Чем больше сторон в таком многоугольнике, тем ближе его периметр к истинной длине окружности. Но даже если у многоугольника очень много сторон, то все равно его периметр меньше длины окружности.

Еще древние греки умели находить длину окружности с большой точностью. Они открыли, что длина окружности всегда равна

удвоенному произведению радиуса на число, одинаковое для всех окружностей. Это число названо греческой буквой ж («пи»).

Число ж представляет собой бесконечную десятичную дробь 3,14159265358... . Первые двенадцать цифр этого числа можно запомнить с помощью двустишия, в котором число букв в каждом слове соответствует цифре числа ж:

это я знаю и помню прекрасно.

3 14 15 9

пи — лишние знаки тут чужды, напрасны.

2 6 5 3 5 8

Но на практике обычно используют лишь первые три знака числа ж. Итак, длину окружности можно вычислить по формуле

с = 2 яг,

где г — длина радиуса окружности, а ж ^ 3,14.

Решим с помощью этой формулы такую задачу.

Диаметр колеса автомобиля равен 60 см. Во время поездки колеса автомобиля сделали 4000 оборотов. Какой путь проехал автомобиль во время этой поездки?

Решение. Когда колёса автомобиля сделали один оборот, автомобиль продвинулся на длину окружности колеса, т.е. на путь с = 2 жгу где ж —3,14, г = 0,3 м. Тогда

с ~ 2 • 3,14 . 0,3 = 1,884 (м).

А когда колёса сделали 4000 оборотов, автомобиль прошел путь, равный 4000- 1,884 = 7336 (м), т.е. около 7 км.

О площади круга

Прежде чем говорить о площади круга, научимся вычислять площадь равнобедренного треугольника. Равнобедренным называется такой треугольник, у которого две стороны равны между собой.

Пусть ЛВС — равнобедренный треугольник, причем AB = ВС. Его третью сторону АС называют основанием. Чтобы найти площадь этого треугольника, построим на его основании АС прямоугольник АМКС так, чтобы сторона МК проходила через вершину треугольника — точку В. Площадь прямоугольника мы умеем вычислять. Она равна произведению двух его соседних сторон: S am кс = АС • AM.

Но площадь треугольника ЛВС вдвое меньше площади прямоугольника AM КС. Это становится очевидным, если провести в треугольнике ABC высоту BD. Тогда каждая половина прямоугольника окажется разделенной на равные части, одна из которых — половина треугольника. Итак,

Заметим теперь, что AM = BD, так что

Мы получили способ вычисления площади равнобедренного треугольника: она равна половине произведения основания и высоты треугольника. Иногда это записывают так: S = ^ ah.

Сказанное относится не только к равнобедренному, а вообще к любому треугольнику:

площадь любого треугольника равна половине произведения любой его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Но для наших целей — для вычисления площади круга — достаточно знать эту формулу для равнобедренного треугольника. А теперь рассмотрим круг.

Снова построим многоугольник, все стороны которого равны и все вершины лежат на окружности нашего круга. Площадь этого многоугольника занимает почти всю площадь круга. И это тем более верно, чем больше сторон у многоугольника. Как вычислить площадь этого

многоугольника? Поступим так: соединим все его вершины с центром круга — точкой О. Многоугольник разделился на равнобедренные треугольники, равные между собой. Площадь каждого такого треугольника равна половине произведения основания на высоту. Обозначим длину основания каждого из треугольников буквой а, обозначим высоту каждого из них буквой А.

Площадь каждого треугольника равна ^ ah, значит, площадь всего многоугольника равна половине периметра многоугольника, умноженной на число h. Если число сторон многоугольника очень велико, то периметр очень близок к длине окружности, высота h очень близка к радиусу г круга, а площадь многоугольника очень близка к площади S круга. Математики говорят, что

при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника его площадь в пределе равна площади круга, его периметр в пределе равен длине окружности, а высота h в пределе равна радиусу г круга.

Следовательно, в пределе получаем следующую формулу для площади S круга:

Задачи об окружности и круге

1. Из прямоугольного листа бумаги склеили цилиндрическую трубку радиусом 4,5 см и длиной 25 см. Найти площадь этого листа бумаги.

2. Круглый картонный стакан имеет высоту 20 см и радиус дна 6 см. Сколько граммов краски понадобится, чтобы окрасить его снаружи, если на окраску одного квадратного сантиметра картона требуется 0,05 г краски?

3. Во сколько раз площадь круга радиуса 2 м больше площади квадрата со стороной 2 м?

4. Во сколько раз длина окружности радиуса 2 м больше периметра квадрата со стороной 2 м?

5. Как изменится длина окружности, если ее радиус увеличить в два раза?

6. Как изменится площадь круга, если его радиус уменьшить в три раза?

7. Как изменится длина окружности, если ее радиус увеличить на 1 м?

8. Переднее колесо повозки имеет диаметр, в два раза меньший, чем заднее колесо. Во время поездки заднее колесо совершило 500 оборотов. Сколько оборотов совершило переднее колесо?

9. Какой путь длиннее: по большой полуокружности или по малым?

10. Пользуясь данными рисунков, установить площадь каждого из кругов.

Арутюнян Елена Бабкеновна

Левитас Герман Григорьевич

Сказки по математике

Ведущий редактор Г.Н. Чернышева Художественный редактор В.И. Пономаренко Оформление художника Ю.Д. Федичкина Художник В.И.Тарасов Технический редактор А/С. Нестерова Корректор Г.Н. Буханова Оператор Н.В. Хазраткулова

ИБ № 10013

Л Р№ 010146 от 25.12.91. Изд. № ФМ-125. Сдано в набор 25.06.93. Подписано в печать 14.09.94. Формат 60x90* 16. Бум.офс. № 1. Гарнитуры Журн. Рубл.. Тайме. Печать офсетная. Объем 4,0 усл.печ.л. 14,5 усл.кр.-отт. 3,75 уч.-изд.л. Тираж 20000 экз. Зак.№ 276

Издательство-Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д.29/14. Набрано на компьютерах издательства.

Отпечатано в АООТ "Ярославский полиграфкомбинат". 150049, Ярославль, ул. Свободы, 97.