Александров П. С., Колмогоров А. Н. Алгебра : пособие для средних школ. Ч. 1. — М. : Учпедгиз, 1939. — 192, [1] с. — На обл. год издания: 1940.

П. С. АЛЕКСАНДРОВ и А. Н. КОЛМОГОРОВ

АЛГЕБРА

ПОСОБИЕ ДЛЯ СРЕДНИХ ШКОЛ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

УЧПЕДГИЗ • 1940

П. С. АЛЕКСАНДРОВ и А. Н. КОЛМОГОРОВ

АЛГЕБРА

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ПОСОБИЕ ДЛЯ СРЕДНИХ ШКОЛ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НАРКОМПРОСА РСФСР

МОСКВА * 1939

512 а 46

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА.

Предлагаемый вниманию читателей учебник алгебры П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова выпускается в 1939 г. пробным изданием для ознакомления с ним широких кругов преподавателей математики и научных работников.

Издательство просит отзывы и все замечания на эту книгу направлять по адресу: Москва, Орликов пер., д. № 3, Учпедгиз, редакция математики.

Замечания будут учтены авторами при дальнейших изданиях книги.

При составлении отзывов и замечаний необходимо иметь в виду, что настоящий учебник подготовляется издательством для замены действующего ныне стабильного учебника алгебры Киселева.

ПРЕДИСЛОВИЕ

I.

Выпускаемая нами сейчас первая часть учебника алгебры содержит все, что требуется действующими в настоящее время программами шестого и седьмого классов средней школы. Для проработки всеми учащимися предназначается только крупный шрифт, он по мысли авторов должен быть вполне доступен учащимся указанных классов1). Для буквального запоминания предназначены формулировки, набранные жирным шрифтом. Курсив служит для оттенения выводов, которые надо хорошо усвоить, но которые нет необходимости запоминать буквально.

Мелкий шрифт содержит, кроме дополнений, доказательства некоторых предложений, принятых на веру в крупном шрифте, указания на особые случаи, оставленные без рассмотрения в крупном шрифте, и т. п. Большая часть мелкого шрифта может заинтересовать способного и интересующегося математикой учащегося уже при первом чтении, некоторые же замечания, отнесенные к мелкому шрифту, станут интересными и вполне понятными лишь при повторном чтении. Что касается подстрочных примечаний, то они в значительной части предназначены для преподавателя, а не для учащегося.

Мы везде стремились соединить понятность изложения с его достаточной обстоятельностью и логической безупречностью. При этом мы исходили из убеждения, что наша книга будет верным и надежным руководителем для учащегося не только при первом знакомстве с предметом, но и при дальнейшем изучении математики. Мы надеемся, что, возвращаясь при повторении к первым главам, он найдет в них удовлетворительный ответ на свои возросшие за это время запросы. Например, десятиклассник при повторении курса алгебры перед окончанием средней школы не всегда будет удовлетворен изложением, данным в крупном шрифте: он найдет в нем много недоговоренностей. Однако, если принять во внимание дополнительные разъяснения, сделанные в мелком шрифте, то полнота и логическая строгость изложения должны удовлетворить и десятиклассника

1) Это не исключает того, что в некоторых случаях преподаватель может сначала требовать усвоения по учебнику только формулировок, данных жирным шрифтом и курсивом, а лишь при повторении—полного ознакомления со всем крупным шрифтом учебника. В конечном итоге прохождения каждого отдела все содержание крупного шрифта учебника все же должно быть усвоено всеми учащимися.

Главы учебника размещены в систематическом порядке. При прохождении в школе возможны отступления от этого порядка. Так как следует возможно скорее научить учащихся решать уравнения, то наиболее желательным мы считаем такой порядок прохождения: главы 1—9 в том порядке, как они расположены в учебнике, затем глава 13 и начало главы 15, дающие вполне достаточные на первое время сведения о решении уравнений, после же, вновь в порядке расположения в учебнике, главы 10, 11, 12, 14, конец главы 15 и глава 16.

Большая часть упражнений довольно легки и имеют единственной своей целью (отнюдь не заменяя задачник) служить для контроля понимания пройденного. В некоторых случаях упражнения содержат дополнительный теоретический материал (например упражнения 83—87 на стр. 81 и упражнение 96, посвященное так называемым „производным пропорциям"). Небольшое число более трудных упражнений, требующих известной сообразительности или длительных вычислений, отмечены звездочкой.

2.

Авторы везде стремились к полному и отчетливому пониманию учащимися смысла всех совершаемых операций. В частности, большие старания приложены к тому, чтобы действия с буквенными выражениями не воспринимались оторванно от арифметических действий с числами. Элементы логического доказательства вводятся с большой осторожностью. В тех случаях, когда строгое доказательство было бы недоступно учащимся, авторы предпочитают открыто говорить, что такое-то предложение принимается без доказательства. Но в определениях и формулировках авторы считали своей обязанностью стремиться к безукоризненной строгости и отчетливости. Ради достижения этой цели авторы не боялись в некоторых случаях пойти на известное удлинение изложения.

Такая установка на полное и отчетливое понимание может несколько замедлить первые шаги изучения алгебры, но эта задержка, по мнению авторов, вполне искупается возможностью на этой основе более уверенно и быстро двигаться в дальнейшем. Соблазнительная противоположная тенденция: возможно скорее научить беглому совершению алгебраических преобразований без ясного понимания их смысла (такая тенденция весьма распространена) решительно отвергается авторами.

3.

Остановимся здесь лишь на немногих более специальных вопросах.

а) Рекомендуемый в § 3 порядок действий в одном случае отличается от указываемого в учебниках арифметики. Именно, у нас сказано, что при отсутствии скобок умножение делается всегда раньше деления. Мы считаем, что соответствующее изменение должно быть сделано и в учебниках арифметики.

б) В § 4 термин неопределенное число удобен тем, что он одинаково применен и к переменным числам и к неизвестным числам. Термин переменное число авторы считают вполне научным термином, который должен систематически употребляться не только в средней, но и в высшей школе.

в) В § 13 упоминается о происхождении чисел от измерения величины. О величинах и измерении говорится и во многих местах далее. Так как в этой области нет вполне установившейся терминологии, объясним подробно принятую нами. Длина в 1 м и длина в 2 м считаются нами двумя различными величинами, хотя и однородными. Взяв какую-либо из величин за единицу измерения, можно измерять при ее помощи все другие однородные с ней величины. Например, если взять за единицу измерения длину в 1 м, то длина в 2 м выразится числом 2, если же взять за единицу измерения 1 см, то та же самая длина в 2 м выразится числом 200. Величины могут быть постоянными (например длина в один метр) и переменными (например рост ученика, меняющийся со временем). Измеряя постоянной единицей измерения постоянную величину, получаем постоянное число, измеряя же постоянной единицей измерения переменную величину, получаем переменное число (например рост ученика, выраженный в сантиметрах, есть переменное число, проходящее со временем через значения 140, 145, 150 и т. д.). Эту терминологию мы считаем наиболее простой и последовательной и рекомендуем ее одинаково в средней и высшей школе.

г) Абсолютную величину числа, отличного от нуля, мы считаем положительным числом, а не „числом без знака". Вообще, последовательно проводится точка зрения, что в алгебре числа, известные из арифметики (кроме нуля), называются положительными и к ним присоединяются новые отрицательные числа. Таким образом, никаких особых „арифметических чисел без знака" не появляется. Поэтому не является необходимостью и в особом термине „относительные числа".

д) Отличается от принятого во многих учебниках определение одночлена и многочлена (см § 59).

е) Корень уравнения в пределах этой книги всегда есть число. Поэтому ни о каких „бесконечных корнях" ничего не говорится.

ж) Термин равносильные уравнения не вводится в главах 13 и 14. Тем не менее с полной отчетливостью устанавливается, при каких преобразованиях уравнения его корни остаются неизменными, а при каких могут появиться посторонние корни и т. д. Слова „уравнение, равносильное данному", произносятся в главе 16 по поводу уравнений с двумя неизвестными, но тоже не в качестве термина для запоминания.

В заключение отметим два терминологических вопроса, в которых избранное нами решение, быть может, является не окончательным. Таково положение с терминами „алгебраическая длина" (§ 24) и „рациональная дробь" (§ 87).

Следовало бы обсудить, на каких терминах следует остановиться для обозначения понятий, которые здесь имеются в виду.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ:

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

ГЛАВА ПЕРВАЯ.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УПОТРЕБЛЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗНАКОВ.

§ 1. Знаки действий. Знаки равенства и неравенства.

Из арифметики нам знакомы четыре действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти четыре арифметических действия обозначаются знаками -{-, —, Х> :- Например:

Вместо знака X употребляют для обозначения умножения точку. Например, вместо того чтобы писать

5 X 4 = 20,

пишут:

J 5 • 4 = 20.

Знак деления (:) часто заменяется горизонтальной чертой. В этом случае делимое пишут над чертой, а делитель — под чертой. Например, вместо того, чтобы писать

20 :4 = 5,

пишут:

20 с Т = 5'

Кроме знаков действий мы уже пользовались в только-что приведенных примерах знаком равенства (=).

Для того чтобы записать, что одно из двух чисел больше или что оно меньше другого, пользуются знаками неравенства, имеющими вид > (больше) и < (меньше). Например, запись

5>3

словами читаются так:

пять больше трех,

а запись

3<5

читается:

три меньше пяти.

Мы видим: знак неравенства обращен вершиной угла всегда в сторону меньшего из двух сравниваемых чисел.

Знак ф обозначает не равно. Если одно число не равно другому, то оно или больше, или меньше этого другого числа. Например:

12>11, 1<3; в обоих случаях можно написать:

12^11, 1 фЪ.

Знак >- обозначает не меньше. Если одно число не меньше другого, то оно или больше, или равно этому другому числу. Например:

в обоих случаях можно писать:

Наконец, знак обозначает не больше. Если одно число не больше другого, то оно или меньше, или равно этому другому числу. Например:

1001 < 1002, 1000=1000;

в обоих случаях можно писать:

1001 < 1002, 1000 < 1000.

§ 2. Возведение в степень.

Как известно, сложение нескольких одинаковых чисел можно заменить умножением. Например:

Подобно этому произведение нескольких одинаковых множителей записывают более коротко и считают такое умножение нескольких одинаковых множителей особым действием. Например, произведение десяти множителей, равным двум, записывают кратко:

Таким образом,

Действие, состоящее в перемножении нескольких множителей, равных одному и тому же числу, называется возведением в степень. Например, вместо того чтобы сказать: „перемножить десять множителей, равных двум", говорят: „возвести два в десятую степень". Число

2^=1024

называется десятой степенью числа два. При возведении в степень число, которому равны все множители, называется основанием степени, а число множителей—показателем степени. Например, в выражении

основание степени есть число два, а показатель—равен десяти. Показатель степени пишется сверху справа от основания.

Например, вторые степени чисел

1, 2, 3, 4, 5

равны следующим числам:

12=1; 22=4; 32= 9; 42= 16; 52 = 25.

Третьи степени тех же чисел суть:

23=8; 33= 27; 43== 64; 53 = 125.

Четвертые степени тех же чисел равны:

14=i; 24= 16; 34=81; 44= 256; 54 = 625.

Заметим еще, что первой степенью числа называется само это число. Поэтому можно писать:

21 = 2; 51 = 5; И1 = 11 и т. д.

Выпишем в виде последнего примера последовательные степени числа 2:

21 = 2; 22 =4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32; 26 = 64; 27 = 128; 28 = 256; 29 = 512; 210= 1024; 2П = 2048 212 = 4096 и т. д.

Степени чисел 2, 3, 4, 5 при небольших показателях полезно запомнить.

Возведение чисел во вторую степень применяется, в частности, при вычислении площади квадрата: квадратная комната, длина и ширина которой равны пяти метрам, имеет площадь в

5 • 5==52= 25 (кв. м).

Вообще, если дано число, выражающее сторону квадрата в каких-нибудь единицах длины (например в метрах), то вторая степень этого числа выражает площадь квадрата в соответствующих квадратных единицах (например в квадратных мет-

рах (черт. 1). Поэтому, вторая степень любого числа называется квадратом этого числа. Например, записи 22, З2 читаются „два квадрат", „три квадрат".

Вместо „возвести во вторую степень" говорят: „возвести в квадрат".

Подобным же образом, вычисление объема куба сводится к возведению в третью степень: если и длина, и ширина, и глубина погреба равны двум метрам, то объем погреба составляет:

Черт, 1,

Вообще, если дано число, выражающее сторону куба в каких-нибудь единицах длины, то третья степень этого числа выражает объем куба в соответствующих кубических единицах. Поэтому, третья степень любого числа называется кубом этого числа. Например, 113 читается „одиннадцать куб". Вместо „возвести в третью степень" говорят „возвести в куб".

Замечание. Основание степени может быть любым целым или дробным числом (причисляя к целым числам и число нуль). Например:

Показатель степени, по нашему определению, может быть только числом целым и не равным нулю.

§ 3. Употребление скобок. Порядок действий.

Предположим, что нам нужно к 5 прибавить произведение 7 на 2. Мы это записываем так:

5 + 7-2;

результат этого вычисления есть число 19. Предположим теперь, что мы должны сложить 5 и 7 и полученную сумму умножить на 2; для того чтобы записать это, мы пользуемся скобками и пишем: , « 0

что дает в результате 24.

Что же показывают скобки?

Скобки показывают, что действие над числами, заключенными в скобках, надо произвести сначала, а потом вычислять дальше с полученным результатом.

Хотя скобки употреблялись уже в арифметике, сейчас будет полезно привести в порядок правила их употребления. Писать очень много скобок неудобно. Поэтому установлены правила, позволяющие обходиться с возможно меньшим числом скобок. Эти правила сводятся к следующему: во всякой записи действий над числами, в которой нет скобок, сначала производят возвышение в степень, потом умножение, потом деле-

42=16

ние и в последнюю очередь сложение и вычитание. Что касается сложения и вычитания, то их следует производить в той последовательности, в какой они написаны. Точно так же, несколько умножений или несколько делений, идущих подряд, надо производить в той последовательности, в какой они написаны.

Примеры. 1) Пусть написано

24 + 216 : 3-23.

Это значит: надо сначала возвести 2 в третью степень, потом умножить 3 на получившийся от возведения в степень результат, потом разделить 216 на результат умножения и, наконец, получившееся от деления число прибавить к числу 24. Сделав все эти действия, получим в результате 33.

2) Выражение

5 — 3 + 12 — 40 : 4 : 5 : 2

надо вычислить так: сначала сделать все деления в том порядке, как они написаны, т. е.

40 : 4 = 10, 10 : 5 = 2, 2:2=1;

после этого производить, тоже по порядку, все вычитания и и сложения, т. е.

5 — 3 = 2, 2+12=14, 14—1 = 13.

Итак,

5 — 3+12-40 : 4 : 5 : 2 = 13.

Во всех тех случаях, когда порядок выполнения действий должен отличаться от установленного только что высказанным правилом, употребляют скобки. Например, если написано

(24 + 216) : 3-28,

то это значит, что сначала надо произвести сложение чисел, заключенных в скобки. Так как других скобок здесь нет, то в остальном надо действовать по прежнему правилу. То-есть надо 3 умножить на 23 и после этого сумму 24 + 216 разделить на полученное произведение. Сделав все вычисления, мы получим:

(24 + 216) : 3-23= 10.

Когда приходится заключать в скобки выражение, уже содержащее скобки, то новым скобкам придают какую-либо другую форму. Например, выражение

[(24 + 216) : 3]-23

надо понимать так: сумму 24 + 216 надо сначала разделить на 3, а потом полученный результат умножить на 2*. Получится:

Пусть читатель сам проверит еще, что

Обычно, выражения, не содержащие других скобок, заключают в круглые скобки ( ). Выражения, содержащие круглые скобки, заключают в квадратные скобки [ ]. Выражения же, содержащие и круглые и квадратные скобки, заключают в фигурные скобки { }.

Совершая указанные в скобках действия, мы уничтожаем, или, как говорят, раскрываем скобки. Например, в выражении

{[(24 + 216) : 3]- 2}3 ,

раскрыв круглые скобки, получим:

{[240 : 3] • 2}3 ;

раскрыв теперь квадратные скобки, получим:

{80 -2}3 ;

раскрыв, наконец, фигурные скобки, получим: 1603 = 4096000.

Замечание 1. При обозначении деления посредством черты деление производится после вычисления выражений, стоящих над чертой и под чертой, хотя бы эти выражения и не были заключены в скобки.

Например, выражение

8 + 7

6-3

обозначает то же самое, что и

(8 + 7) : (6-3).

Замечание 2. При возведении в степень сначала выполняются действия, указанные в показателе степени. Например, 23*4 обозначает, что 2 надо возвести в степень 3 + 4=7. Точно так же

33-2= 36 = 729 ; 23'2 + 1 = 27 = 128; 228 =2*=256.

Замечание 3. Писать лишние скобки не рекомендуется. Например,

2 + (4ХЗ)

можно записать без скобок в виде:

2 + 4X3,

так как все равно надо сначала делать умножение и только потом сложение. Записи с лишними скобками не являются, однако, недопустимыми или оши-

бочными. Очень часто для большей ясности пишут некоторые лишние скобки, не требующиеся правилами. Например, многие вместо того чтобы писать

24 : 4. 3,

пишут:

24 : (4.3).

УПРАЖНЕНИЯ 1 — 5 К ГЛАВЕ ПЕРВОЙ.

1. Проверить, какие из следующих записей правильны и какие неправильны:

2. Вычислить:

3. Вычислить:

4. Вычислить:

5. Записать следующие выражения без лишних скобок:

ГЛАВА ВТОРАЯ.

БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ. РАВЕНСТВА. ТОЖДЕСТВА.

§ 4. Смысл употребления букв для обозначения чисел.

Чтобы понять смысл употребления букв для обозначения чисел, рассмотрим несколько примеров. Первый пример.

Пусть дана такая задача: окраска 1 кв. м стены стоит 3 рубля; надо покрасить стены комнаты, длина которой равна 6 м, ширина 5 м, а высота 4 м; сколько рублей будет стоить окраска? Будем решать задачу так: каждая из продольных стен имеет площадь

6-4 = 24 (кв. м)\

обе продольные стены вместе имеют площадь

24 • 2 = 48 (кв. м)\

каждая из поперечных стен имеет площадь

5-4 = 20 (кв. м);

обе поперечные стены вместе имеют площадь

20-2 = 40 (кв. м)\

все четыре стены комнаты вместе имеют площадь

48 + 40 = 88 (кв. м)\

стоимость окраски всех четырех стен равна

3 • 88 = 264 (рублям).

Употребляя скобки, можно решение нашей задачи записать так:

3 • (6 • 4 • 2 + 5 • 4 • 2) = 264 (рублям).

Изменим теперь данные задачи: пусть окраска 1 кв. м стоит 2 рубля, длина комнаты равна 7 м, ширина 4,5 м, а высота 3,5 м. Теперь задача решается так:

2 • (7 • 3,5 • 2 + 4,5 • 3,5 • 2) = 161 (рубль).

Мы видим, что в обоих случаях пришлось производить одинаковые действия. Только производятся эти действия над разными числами. Как бы мы ни меняли числа, выражающие цену окраски 1 кв. м, длину, ширину и высоту комнаты, действия, которые надо будет производить над этими числами, останутся одними и теми же: чтобы найти цену окраски четырех стен, надо (считая, что длина, ширина и высота комнаты выражены в метрах):

1) умножить длину на высоту комнаты,

2) умножить полученное произведение на два,

3) умножить ширину на высоту комнаты,

4) умножить полученное произведение на два,

5) два указанных выше удвоенных произведения сложить,

6) цену окраски 1 кв. м умножить на полученную сумму.

Учащийся должен сам решить несколько задач, подобных приведенным выше, выбирая ту или иную цену окраски 1 кв. м, длину, ширину и высоту комнаты. Решая большое число подобных задач, удобно иметь перед глазами возможно более короткую запись общего правила, по которому решаются все эти задачи. Можно записать это правило в таком виде:

Такая запись правила обладает большой наглядностью, но она еще очень громоздка. Избежать такой громоздкости помогает обозначение чисел буквами. Так как мы хотим записать общее правило для вычисления стоимости окраски стен любой комнаты при любой цене за 1 кв. м> мы не можем записать цену за 1 кв. м, длину, ширину и высоту комнаты цифрами. Мы обозначим каждое из этих чисел особой буквой. Пусть

k обозначает цену окраски 1 кв. м, а —длину комнаты в м, b — ширину комнаты в м, с—высоту комнаты в м.

Здесь k, а, Ь, с обозначают любые, какие угодно, числа. Одни и те же буквенные обозначения пригодны для длины, ширины и высоты комнат самых различных размеров. Обозначим, наконец, через л стоимость окраски всех четырех стен комнаты в рублях. Тогда наше правило можно записать так:

X — k • (а • с • 2 + Ъ • с • 2).

Мы написали, как говорят, общую буквенную формулу, показывающую, как можно решать всевозможные задачи, подобные рассмотренным выше. Эта формула годится для любых чисел k, а, Ъ, с\ поэтому она вполне заменяет словесно выраженное правило. Например, если мы хотим вычислить стоимость окраски стен комнаты длиной в 5 м, шириной в 4 м и высотой в 3 м, при цене в 2,5 рубля за 1 кв. м, то нам достаточно, не повторяя всех рассуждений о ходе решения задачи, поставить в полученной формуле вместо а число 5, вместо b— число 4, вместо с — число 3, вместо k — число 2,5 и вычислить результат:

стоимость окраски стен комнаты = 2,5 • (5 • 3 • 2 + 4 • 3 • 2) = =135 рублям.

Легко сообразить, что вместо того, чтобы отдельно умножать длину комнаты на высоту и на 2, потом ширину комнаты умножать тоже на высоту и на 2 и затем складывать полученные произведения, удобнее сначала сложить длину с шириной и получившуюся сумму сразу умножать на высоту и на 2. Значит мы можем написать:

При помощи букв мы можем записать новую формулу так:

л = k • (a-f- b) • с • 2.

По прежней формуле для решения задачи надо было сделать шесть действий, а по новой — только четыре. Например, при данных в самом начале условиях (длина равна 6 м, ширина

равна 5 м, высота равна 4 м9 цена 1 кв. м равна 3 рублям) по новой формуле получим:

3-(6 + 5)-4 • 2 = 264 (рублям).

Замечание 1. Если один или оба множителя обозначены буквами или заключены в скобки, то знак умножения принято пропускать.

Например, вместо

аХЬ; 43-а; аХ(Ь + с); 2-(3 + 5); (3 + 7)Х(8 + 9)

пишут:

ab: 43а; ф + с); 2(3 + 5); (3 + 7)(8+ 9).

Значит, если между двумя буквами или скобками или между числом, обозначенным цифрами, и буквой или скобкой нет никакого знака, то всегда подразумевается знак умножения.

Замечание 2. Как известно из арифметики, произведение нескольких множителей не меняется от изменения порядка множителей. Принято множитель, выраженный цифрами, ставить впереди множителей, выраженных буквами. Множитель, выраженный цифрами и стоящий впереди буквенного выражения, называют коэфициентом (см. о коэфициенте далее — в § 35).

Например, вместо

а2Ь\ (а+2/>)| ; (х+у2) 3

принято писать:

2ab; |(а + 2*); 3(х+2у).

Учитывая два сделанных сейчас замечания, формулу стоимости окраски стен комнаты следует записать так:

X = 2£ (а + b) с.

Учащийся должен проверить по этой окончательной формуле сделанные ранее расчеты.

Второй пример.

Рассмотрим задачи на нахождение процентов:

найти 4% от 625; найти 20% от 35; найти 75% от 42.

Все эти задачи решаются одинаково: чтобы найти \% от заданного числа, надо разделить это число на 100; полученный от этого деления результат надо умножить на искомое число процентов. Поэтому

Поставим теперь задачу в общем виде:

найти p°j0 от числа а.

Здесь р и а обозначают любые числа. Очевидно, общее решение задачи можно записать так:

р% от а = ^Хр.

Мы написали общую буквенную формулу, которая показывает, как следует находить проценты от любого числа. Эта формула вполне заменяет словесное выражение правила для нахождения процентов от заданного числа. Третий пример.

В арифметике устанавливается правило умножения дробей: произведение двух дробей равно дроби с числителем, равным произведению числителей перемножаемых дробей, и с знаменателем, равным произведению знаменателей перемножаемых дробей. Обозначая числитель первой дроби через а, знаменатель через Ь, для второй же дроби — числитель через с и знаменатель через d, мы можем записать правило умножения дробей в виде формулы:

Правило деления дробей выражается формулой:

В обеих этих формулах буквы а, Ь, с, d могут обозначать любые целые числа, не равные нулю. Например, при а=3, 0 = 5, с = 7, d=2 получим:

Четвертый пример.

Будем решать такую задачу: задумано число; если 20 умножить на это число, к полученному произведению прибавить 5 и результат разделить на 3, то частное будет равно 5. Требуется найти задуманное число.

Условие задачи можно записать так:

Удобнее задуманное число обозначить какой-либо одной буквой, например буквой х. Тогда условие задачи запишется в виде равенства:

(20Х + 5) :3 = 5.

Решается наша задача так: делимое равно произведению частного на делителя, т. е. в нашем случае

первое слагаемое равно разности суммы и второго слагаемого, т. е. в нашем случае

20л: = 15 -5=10;

множитель равен частному от деления произведения на множимое, т. е. в нашем случае

х = 10:20=^.

Значит, задуманное число равно ^.

Рассмотренные примеры показывают следующее. Определенные, известные нам, числа можно обозначать цифрами. Однако часто приходится рассуждать о числах, которые во время рассуждения остаются неопределенными. Такие неопределенные числа и обозначают в алгебре буквами. В четвертом примере, когда мы записывали условие задачи в виде равенства

(20*+ 5) :3 = 5,

число X было неопределенным потому, что мы еще не знали каково оно; потом мы вычислили, что х—-^. В первых трех примерах числа, обозначенные буквами, были неопределенными потому, что в этих примерах при помощи букв записывались общие правила, применимые к любым числам. Например, записывая правило вычисления процентов (второй пример) в виде формулы

Р°1о от а=^ХР,

мы считаем числа р и а неопределенными, так как наше правило одинаково относится и к вычислению 4% от 625, и к вы числению 20% от 35, и к вычислению 75% от 42 и т. д.

§ 5. Алгебраические выражения; их вычисление при заданных значениях входящих в них букв.

В предыдущих примерах нам уже несколько раз приходилось записывать числа, обозначенные цифрами или буквами, вместе с действиями, которые над этими числами надо произвести. Например,

(я~И + 3) 1С

есть запись того, что числа a, b и 3 надо сложить и полученную сумму разделить на число с. При этом, действия записываются при помощи знаков этих действий (или в случае умножения и возведения в степень без всякого отдельного знака при помощи надлежащего расположения букв и цифр); порядок действий в нужных случаях указывается скобками. Всякая такая запись чисел и действий над ними называется алгебраическим выражением, или, для краткости, просто выражением.

Замечание. Во всей первой части алгебры рассматриваются только четыре арифметических действия (сложение, вычитание, умножение и деление) и действие возведения в степень с целым показателем, большим нуля. Поэтому во всем дальнейшем изложении имеются в виду выражения, в которых употребляются лишь эти, перечисленные сейчас, действия.

Примеры алгебраических выражений.

Отдельные буквы также являются алгебраическими выражениями, и притом самыми простыми. Может также случиться, что в данном выражении все числа окажутся выраженными цифрами, как, например, в выражении

(5 + 2)7,

или, наконец, что все выражение состоит из одного числа, выраженного цифрами.

Если в каком-нибудь выражении все входящие в него числа выражены цифрами, т. е. являются вполне определенными, известными нам числами, то, совершив над этими числами все указанные в выражении действия, мы узнаем, какому числу равно наше выражение. Например:

(5 + 2)7 = 49, !±| = 5.

Выражения, не содержащие букв, можно называть арифметическими выражениями. Может случиться, что некоторые действия, указанные в арифметическом выражении, окажутся невозможными. Например, вычисляя выражение

(5 4-4):(4-2.2),

нам пришлось бы делить 5 + 4 = 9 на 4 — 2*2 = 0; так как делить на нуль нельзя, то наше выражение не имеет смысла. Значит, чтобы быть вполне точным, надо сказать: всякое арифметическое выражение или равно какому-либо вполне определенному числу, или бессмысленно; последнее случается, если при вычислении выражения встречаются невозможные действия.

Напомним по этому поводу, когда каждое из интересующих нас действий возможно и когда — невозможно.

1. Сложить можно любые два числа. Иначе говоря: сложение возможно всегда.

2. Вычесть одно число из другого можно, если уменьшаемое не меньше вычитаемого; если уменьшаемое меньше вычитаемого, то вычитание невозможно. Иначе говоря:

3. Умножение возможно всегда.

4. Деление возможно во всех случаях, когда делитель не равен нулю. Делить на нуль нельзя.

5. Возведение в степень имеет смысл во всех случаях, в которых показатель есть целое число, большее нуля. Возведение в дробную степень ил» в степень, равную нулю, не было определено и, значит, не имеет смысла.

Заметим еще, хотя это замечание станет понятным учащемуся только впоследствии, что некоторые из установленных сейчас ограничений будут потом отменены. Например, среди известных из арифметики чисел нет такого числа, которое равнялось бы 10—12; поэтому, пока мы должны говорить, что вычесть из десяти двенадцать нельзя; во втором отделе этой книги мы узнаем,

что кроме чисел, известных из арифметики, имеются еще другие, неизвестные нам пока числа; с введением этих новых чисел действие вычитания сделается возможным во всех случаях.

Во второй части алгебры мы определим, что значит возведение в степень при дробных показателях и при показателе, равном нулю. Только деление на нуль останется запрещенным во всех отделах алгебры.

Займемся теперь выражениями, содержащими буквы. Буквами мы обозначим неопределенные числа. Пока об этих неопределенных числах нам ничего не известно, мы можем предполагать, что каждая буква в алгебраическом выражении может обозначать любое число.

Например, в выражении

(см. § 4, второй пример) в разных задачах придаем числам а и р разные значения. Например, когда требовалось найти 4% от 625, мы полагали а = 625, р = 4 и получали:

Если же задача будет заключаться в вычислении 12% от 1200, то мы придадим числу а значение 1200, а числу р — значение 12, и получим:

Вообще, неопределенным числам, выраженным буквами, можно придавать различные определенные значения, выраженные цифрами.

Если для всех букв, входящих в какое-либо алгебраическое выражение, выбраны определенные значения, выраженные цифрами, то, заменив в заданном выражении каждую букву выбранным для нее значением, получим выражение, не содержащее букв. По правилам арифметики можно вычислить, какому числу равно это выражение, не содержащее букв. Полученное таким образом число называется значением данного алгебраического выражения при выбранных значениях входящих в него букв.

Например, заменяя в выражении

{а + Ь)с

букву а через 5, букву b через 6 и букву с через 3, получим выражение

(5 + 6)3,

уже не содержащее букв. Поэтому число 33, получающееся в результате вычисления

(5 + 6) 3 = 33,

называется значением выражения (а + Ь) с при а = 5, b = 6, с = 3.

Нахождение значения данного выражения при данных значениях входящих в него букв называется вычислением выражения при данных значениях входящих в него букв.

Замечание. Если при замене букв, входящих в алгебраическое выражение, какими-либо определенными значениями получается бессмысленное арифметическое выражение, то само алгебраическое выражение бессмысленно при этих значениях входящих в него букв. Например, выражение

бессмысленно при а = 2, b = I.

Таким образом, чтобы быть вполне точным, надо сказать: алгебраическое выражение при каждом определенном выборе значений входящих в него букв или получает определенное значение, которое можно вычислить по правилам арифметики, или становится бессмысленным.

Давая буквам, входящим в одно и то же алгебраическое выражение, различные значения, можно получить различные значения самого алгебраического выражения. Например, выражение а' + 4-4а

Точно так же выражение

Итак, значение алгебраического выражения может меняться при изменении значений входящих в него букв. Или: значение алгебраического выражения зависит от значений, приданных входящим в него буквам.

Математика в значительной своей части занимается изучением того, как именно изменяются значения различного рода выражений при изменении значений входящих в них букв. С этим важным вопросом мы встретимся во второй части алгебры.

УПРАЖНЕНИЯ 6—14 К § 4 и 5.

6. Записать в виде алгебраического выражения сумму удвоенного произведения а на b и утроенного произведения с ш d.

7. Записать частное от деления суммы чисел х и у на их разность.

8. Ребро куба равно а см; а) чему равен его объем? б) чему равна площадь поверхности куба? в) вычислить объем куба при а = 3,5; г) вычислить площадь поверхности куба при а = 2,5.

9. Вес а м медной проволоки диаметра в d см выражается в килограммах так:

0,7 ad2.

Вычислить вес: а) 100 м проволоки диаметра 0,6 см; б) 100 м проволоки диаметра 0,2 см; в) 150 м проволоки диаметра 0,2 см; г) 150 м проволоки диаметра в 0,1 см.

10. Вычислить значение выражения ax^~\-2bxy 4- су2: а) при я=1, Ь = 2, с = 3, х = 1, у= 2; б) при а = 7, 6 = 0, с = 3, х — 10, у = 11; в) при а = 2 Ь 7

11. Длина комнаты равна хм, ширина меньше длины тум, а высота меньше ширины на z м. а) Каков объем комнаты? б) Вычислить объем комнаты при X = 6, у = 2, z = 1,

12. Запишите трехзначное число, имеющее а сотен, b десятков и с единиц.

13. Написать алгебраическое выражение, равное: а) сумме п слагаемых, каждое из которых равно а; б) произведению п множителей, каждый из которых равен а.

14. а) Как записать в виде буквенного выражения площадь треугольника с основанием а и высотой hl б) Вычислить площадь треугольника при а = 8, h = 7,

§ 6. Равенства. Тождества.

Два алгебраических выражения, соединенных знаком равенства, называются просто равенством. Рассмотрим два равенства:

5 + 6 = 11, a + b = с.

Первое из этих равенств содержит только определенные числа, выраженные цифрами. Такие равенства, не содержащие букв, бывают верными или неверными. Как бы сложно ни было такое равенство, в нем можно вычислить, чему равно выражение, стоящее слева от знака равенства, и чему равно выражение, стоящее справа от знака равенства. Если в результате вычисления и слева и справа получится одно и то же число, то равенство верно; если же справа и слева получатся разные числа, то равенство неверно. Например, равенство

верно, так как, совершив указанные здесь действия, и справа, и слева, получим одно и то же число 127. Наоборот, равенство

2 + 3= 12 : 3

неверно, так как 2 + 3 = 5, а 12:3 = 4.

Замечание. Равенства, не содержащие букв, можно называть арифметическими равенствами. Может случиться, что в арифметическом равенстве одно из выражений, соединенных знаком равенства, или оба эти выражения бессмысленны. Тогда самое равенство называется бессмысленным. Например, равенство:

1:(2 — 2) = 7

бессмысленно.

Иначе обстоит дело с равенствами между выражениями, содержащими неопределенные числа, выраженные буквами. Мы

уже видели, что значение выражения, в которое входят буквы, зависит от значений, приписанных этим буквам. Поэтому, равенство может оказаться при одних значениях входящих в него букв верным, а при других — неверным. Например, равенство

а + ô _ с

при а = 5, ô = 6, с = \ \ верно; при а = 4, Ь = 3, с = 8 неверно; при а = 4, 6 = 4, с = 8 верно; при а = 122, b = 145, с = 186 неверно; и т. д.

В четвертом примере § 4 мы видели, что равенство

(20х + 5) : 3 = 5 верно при одном единственном значении буквы х, именно при

х- 2 ;

при всех других значениях буквы х это равенство неверно, например:

Замечание. Может еще случиться, что алгебраическое равенство становится бессмысленным при некоторых значениях входящих в него букв. Например, равенство

а : (Ь — с) = а

при а = 1, b = 2, с = 2 бессмысленно; при а=1, 6 = 2, с=1 верно; при а = 2, 6 = 3, с = 1 неверно.

Однако существуют и такие равенства, которые справедливы при всевозможных значениях входящих в них букв. Таковы, например, равенства:

а -\- а = 2а; ааа = а3;

2(x+j;) = 2x + 2j;.

Определение. Равенство, верное при любых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

Много примеров тождеств будет дано в следующем параграфе.

Чтобы убедиться в том, что какое-либо равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы один такой набор значений входящих в него букв, для которого равенство неверно. Наоборот, для того чтобы доказать, что равенство является тождеством, не достаточно проверить его в нескольких отдельных случаях. Например, равенство

верно при

можно, поэтому, было бы думать, что наше равенство есть тождество, однако оно неверно при

х — 7.

Тождествами называются и все верные равенства, вовсе не содержащие букв.

Например, равенства

1 = 1; 999 999 • 1 000 001 = 999 999 999 999, 1+3 + 5 + 7 + 9+ 11= б2

являются тождествами.

§ 7. Основные свойства действий.

Очень важными являются тождества, выражающие основные свойства действий, известные из арифметики. Основные свойства сложения находят свое выражение в следующих трех тождествах:

1. а+Ь = Ь + а (закон переместительности сложения),

2. (#+&)+£ = #+(£>+£) (закон сочетательности сложения),

3 а + 0 = а (основное свойство нуля).

Написанные здесь равенства справедливы, каковы бы ни были числа а, Ь, с, и потому действительно являются тождествами.

Словесные выражения основных свойств сложения таковы.

Закон переместительности: сумма двух слагаемых не меняется при изменении порядка этих слагаемых.

Например:

Закон сочетательности: если даны три числа, то сумма первых двух чисел, сложенная с третьим числом, равняется первому числу, сложенному с суммой второго и третьего.

Например:

Третье основное свойство сложения, или основное свойство нуля, выражается словами так: от прибавления нуля к любому числу это число не меняется.

В силу закона переместительности мы можем написать так:

а + 0 = 0 + а = а

для любого числа а.

Например:

Основные свойства умножения записываются в виде следующих тождеств:

1. ab—ha (закон переместительности умножения),

2. (ab) с = a (be) (закон сочетательности умножения);

3. а • 1 = а (основное свойство единицы);

4. (a-\-b)c=ac-\-bc (закон распределительности умножения).

Мы видим, что первые три свойства умножения совершенно подобны трем основным свойствам сложения (только в третьем свойстве нуль заменен единицей). Четвертое свойство — закон распределительности — выражает связь умножения с сложением и поэтому занимает особое место.

Словесного выражения первых трех основных свойств умножения мы не даем: оно должно быть составлено самими учащимися по образцу соответствующих свойств сложения. Словесное выражение закона распределительности таково:

Произведение суммы двух чисел на какое-нибудь третье число равняется сумме произведений первого числа на третье и второго числа на третье.

Примеры.

Закон переместительности:

Закон сочетательности:

Основные свойства единицы:

Закон распределительности:

Заметим еще очень важное свойство умножения, выражаемое тождеством

а-0 = 0.

Словами: любое число, умноженное на нуль, равно нулю.

В силу закона переместительности мы можем также написать:

О • а = 0.

Например:

5-0=0-5=0; 0-0 = 0.

§ 8. Употребление равенств для выражения зависимостей между числами.

Как известно из арифметики, при делении с остатком делимое равно произведению частного на делитель, сложенному с остатком. Если обозначить делимое буквой а, делитель — Ь, остаток— г, а частное — q, то это правило можно записать так:

а = bq + г.

Например, деля 67 на 7, получаем в частном 9, а в остатке 4. Значит, в этом случае

а =67, Ь = 7, q = 9, г = 4.

Подставляя в общую формулу вместо a, b, q и г эти значения, получаем, как и следовало ожидать, верное равенство:

67 = 9-7 + 4.

Однако равенство

a=.bq-\-r

не является тождеством. Например, при а—\, ô = 5, q = 6 и г = 3 оно неверно. Это равенство выражает зависимость, существующую между делимым, делителем, частным и остатком. Формула

л = 2k (а + Ь) с,

выведенная в первом примере § 4, также не является тождеством (учащийся сам подберет примеры таких значений а, Ь, с, k, X, при которых она неверна). Эта формула тоже выражает зависимость, имеющуюся между размерами комнаты, стоимостью окраски 1 кв. м и стоимостью окраски всей комнаты.

Мы видим, что при помощи равенств, не являющихся тождествами, можно выражать зависимости, имеющиеся между несколькими числами.

Изучение различных видов зависимостей, которые могут иметься между числами в тех или иных задачах, составляет одну из важнейших задач алгебры. Например, в главе восьмой этой части мы займемся подробным изучением одного из простейших видов таких зависимостей —пропорциональной зависимостью между двумя числами.

§ 9. Понятие о решении уравнений.

Пусть дано какое-нибудь равенство, в которое входит только одна буква, например, равенство

х + 3 = 7.

Подставляя в это равенство вместо буквы х какое-нибудь определенное число, получим равенство, не содержащее букв. Такое равенство, не содержащее букв, может быть верным или неверным. Например, подставляя в наше равенство вместо буквы х число 4, получим верное равенство:

4 + 3 = 7,

а подставляя в то же самое равенство вместо буквы х число 3 или число 5, получим уже неверные равенства. Говорят, что равенство

х + 3 = 7,

в котором число, обозначенное буквой х, остается неопределенным (неизвестным), есть уравнение. Число 4, от подстановки которого вместо неизвестного х наше уравнение превращается в верное равенство, называется решением этого уравнения. Других решений уравнения л: + 3 = 7 нет, так как число, которое в сумме с числом 3 дает 7, должно непременно равняться разности 7 — 3 = 4. Подобно этому в четвертом примере § 4 мы видели, что уравнение

(20*+ 5) :3 = 5 1

имеет одно единственное решение —; при подстановке вместо буквы X числа это уравнение превращается в верное равенство

(21.i + 5):3 = 5;

если же вместо х подставлять какие-либо другие числа, отличные от то получившиеся от такой подставки равенства будут неверными.

Вообще, всякое равенство, содержащее неопределенные числа, выраженные буквами, называется уравнением. Если дано уравнение, содержащее одно единственное неопределенное неизвестное число, то решить это уравнение — значит найти все те числа, от подстановки которых вместо неизвестного уравнение превратится в верное равенство. Мы уже видели два примера уравнений, каждое из которых имело по одному решению. Покажем теперь пример уравнения с двумя решениями. Таково уравнение

X2 + 2 = Ъх.

Подставляя в это уравнение вместо х число 1, получим верное равенство:

Точно так же, подставляя в то же самое уравнение вместо х число 2, получим верное равенство:

22 + 2 = 3 • 2.

Значит и число 1 и число 2 являются решениями нашего уравнения. Других решений у этого уравнения нет: подставляя в него вместо X числа 0, 3, 5 и, вообще любое число, отличное и от 1 и от 2, будем всегда получать неверные равенства (это утверждение учащийся пока должен принять на веру, проверив его на нескольких примерах).

Что касается уравнений, содержащих несколько неопределенных чисел, то обычно одно такое уравнение указывает только на известную зависимость между этими числами, как это было объяснено в § 8. Например, уравнение

ху = 5

показывает, что х должно равняться 5 :у, а у должно равняться 5:х.

УПРАЖНЕНИЯ 15-17 К § 8 И 9.

15*. Выразить формулой зависимость, имеющуюся между двумя целыми -числами а и Ь, их общим наибольшим делителем d и их общим наименьшим кратным т.

16. Записать зависимость между числами а и Ь, если известно, что куб с ребром в а см имеет объем в два раза больший, чем куб с ребром в b см.

17. Решить уравнения: а) 2х—7 = 15; б) 8 = 1:дг.

§ 10. Основные свойства равенства.

В каждом равенстве выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью равенства, а выражение, стоящее справа от знака равенства, называется правой частью равенства. Например, в равенстве

(a -j- b) с — ас + be

выражение (а-\-Ь)с составляет левую часть равенства, а выражение ас-\-Ьс составляет правую часть равенства.

Заметим для будущего некоторые основные свойства равенств.

1. Части равенства можно менять местами, не меняя смысла равенства. Например, равенства

11.9=100 — 1 и 100—1 = 11-9

обозначают одно и то же.

2. Если одно число равно второму, а второе третьему, то и первое число равно третьему. Например, зная, что

22° = 10242 и 10242 = 1 048 576,

можно без новых вычислений написать, что

220 = 1 048 576.

3. Если к равным числам прибавить равные или от равных чисел отнять равные, то получатся вновь равные числа. Например, если известно, что

21° = 1024 и 28 = 256,

то можно сразу написать:

4. Если равные числа умножить на равные, то получатся вновь равные числа. Например, из равенств

сразу вытекает, что

5. Если равные числа разделить на равные, отличные от нуля, то получатся вновь равные числа. Например, из равенств

вытекает, что

6. Во всяком равенстве можно любое число заменить равным ему без того, чтобы равенство нарушилось. Например, если в верном равенстве

заменить 3-J-7 равным ему выражением 4 + 6, то получится вновь верное равенство

Все эти свойства равенств постоянно употребляются в вычислениях без. специального упоминания.

§ 11. Замечание об употреблении букв.

Для обозначения чисел в алгебре обычно употребляют буквы латинского алфавита, чаще малые, чем большие. Напомним начертание и названия этих букв:

Основным требованием к употреблению букв в алгебре является следующее: каждая буква во всех частях одного и того же рассуждения должна иметь один и тот же смысл. Например, в тождестве

(с + 1)с = с* + с

буква с встречается четыре раза. Можно в этом тождестве заменить букву с любым определенным числом — при каждой такой замене получится верное равенство. Но при этом мы обязаны заменить букву с во всех четырех случаях одним и тем же числом. Было бы совершенно недопустимо в одном месте поставить вместо с число 5, а в другом — число 4.

В остальном выбор букв для обозначения чисел можно считать произвольным. Даже полезно попробовать решать одну и ту же задачу, пользуясь один раз одними обозначениями, а другой — другими. Так, в первом примере § 4 можно было бы длину и ширину комнаты попрежнему обозначить буквами а и Ъ, высоту комнаты — буквой Л, а цену — буквой р. Тогда стоимость окраски всей комнаты выразилась бы так:

2р (а + Ъ) h.

Однако неизвестные числа (при решении уравнений) и переменные числа (при изучении зависимостей между ними) принято обозначать буквами ху у, z или и, Vj w. Для обозначения чисел, которые считают известными или постоянными, употребляют по преимуществу буквы а, Ь, с, d, е, /, g, h. Специально для обозначения целых чисел чаще всего употребляют буквы m и л, а иногда г, J и k. Если в задаче имеется несколько чисел, объединенных каким-нибудь

общим свойством, то их обозначают определенными привычными сочетаниями букв. Например, длину трех сторон треугольника хорошо обозначить буквами a, Ь, с, или je, у, z, или и, v, w, но было бы неудобно выбрать для этого буквы b, п, х. Такими привычными сочетаниями букв являются:

по три abc; fgh\ pqr; xyz; uvw; по две ab; ij; mn; pq; st; xy; uv.

Часто бывает удобно вместо различных букв употреблять для обозначения чисел, объединенных каким-нибудь общим свойством, одну и ту же букву, снабженную дополнительными значками — индексами. Например,

х0, Xi, дг2, хг, ...

читаются; х нулевое, х первое, х второе, х третье и т. д. Иногда употребляют обозначения а', а", а"\ которые читают; а штрих, а два штриха, а три штриха1).

В физических задачах есть свои обычаи обозначать скорость буквой vx время буквой t, давление и вес буквой р и т. п.

§ 12. Исторические сведения о возникновении алгебры.

Простейшие уравнения, вроде рассмотренного нами уравнения (20дг-(-+ 5): 3 = 5, умели решать еще в древнем Египте за 2000 лет до нашей эры. Вавилоняне в это же время умели решать и значительно более сложные уравнения, однако нам мало известно о том, какими способами они это делали. Первое известное нам сочинение, систематически излагающее способы решения уравнений, написано греческим математиком Диофантом, жившим в IV в. нашей эры в Александрии, Позднее решением уравнений много занимались индийские и арабские ученые. Самое слово „алгебра" арабского происхождения. Правила решения уравнений долго составляли основное содержание алгебры и излагались в словесной форме, а иногда даже в стихах.

При решении уравнений, начиная с Диофанта, неизвестное число и его степени обозначались специальными знаками. Однако более широкое употребление букв для обозначения чисел ведет свое начало от французского математика Виета (род. в 1540 г., ум. в 1603 г.). Современные знаки действий ( + ,— , X, • ,0 и равенства ( = ) тоже довольно позднего происхождения: они входят в употребление в XVI— XVII вв. Изложение элементарной алгебры получает современный вид в сочинениях Ньютона (1642 — 1727) и Эйлера (1707 — 1783).

1) Обозначения а\ а£, а* были бы неудобны, так как их путали бы со степенями.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ.

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА; ДЕЙСТВИЯ С НИМИ И С ПРОСТЕЙШИМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ.

ВВЕДЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

§ 13. Числа, употребляемые в арифметике.

В алгебре, кроме чисел, известных из арифметики, употребляются нового вида числа, именно числа отрицательные. Перед тем, как заняться этими новыми числами, следует вспомнить, с какими числами мы уже знакомы из арифметики.

Числа, употребляемые в арифметике, разделяются на целые и дробные. Целыми называются числа:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,...

Мы поставили после числа 17 многоточие, так как невозможно выписать все целые числа. Прибавляя к любому целому числу единицу, получим следующее за ним целое число. Поэтому, выписывая по порядку целые числа, как мы начали это делать, мы никогда не дойдем до последнего целого числа. Целых чисел бесконечно много, и среди них нет последнего, самого большого числа.

Целые числа служат для счета предметов. Среди них особое место занимает число нуль (0), которое при счете предметов обозначает, что предметов интересующего нас сорта совсем нет.

Для счета нужны только целые числа. При измерении величин (расстояний, площадей, объемов, промежутков времени, весов и т. д.) одних целых чисел недостаточно. В результате измерения могут получаться как целые, так и дробные числа. Например, площадь одной комнаты 14 кв. м, а другой 12,6 кв. м; расстояние до реки равно полутора километрам, а до леса — двум, и т. д.

Дробные числа в арифметике записывают:

а) В виде простых дробей. Например:

б) В виде смешанных дробей. Например:

в) В виде десятичных дробей. Например:

1,25; 0,001; 3,14159.

При практических измерениях и расчетах удобнее всего пользоваться десятичными дробями. Когда знаменатели не слишком велики, бывает также удобно пользоваться смешанными дробями. В соответствии с этим выражения „полтора", „два с половиной" и т. п. остаются общепринятыми в повседневной жизни. Однако при сколько-нибудь сложных математических рассуждениях и доказательствах самой удобной оказывается запись в виде простой дроби. Поэтому для дальнейшего важно запомнить: каждое дробное число может быть записано в виде простой дроби. Например:

Одно и то же дробное число можно записать различными простыми дробями. Например, различные дроби

изображают одно и то же дробное число — • Мы называем это число -g-, а не -g- или > так как дробь несократима, а дроби -g- и — можно сократить. Вообще, каждое дробное число выражается одной единственной несократимой дробью.

Эта несократимая дробь и служит основным названием дробного числа. Например, дробное число

называется: восемь пятых.

Целые числа тоже можно записывать в виде дробей. Например, дроби

изображают одно и то же целое число 3. Дробь, изображающая целое число, всегда сократима.

Все известные из арифметики целые и дробные числа, кроме нуля, называются положительными числами.

Целые положительные числа называются натуральными числами. Значит, натуральные числа — это числа

1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, 10, 11,...

Например, показатель степени (§ 2) может быть любым натуральным числом. Показатель же, равный нулю или какому-либо дробному числу, пока для нас не имеет смысла.

§ 14. Измерение изменений величин.

Величины могут изменяться. Изменения величин могут быть двух сортов: величины могут увеличиваться и могут уменьшаться.

Первый пример. Будем высоту, на которую поднялся стратостат, вылетевший в 6 часов утра, измерять в метрах. Допустим, что эта высота изменилась так:

Высота в метрах

6 часов утра .......

0

9 часов утра .......

12 000

12 часов дня.......

20 000

1 час дня ........

22 000

2 часа дня ........

22 000

3 часа дня ........

20 000

6 часов дня .......

0

При этом, высота в 0 м, указанная для 6 часов утра, обозначает, что в момент вылета стратостат еще совсем не успел подняться. Будем теперь подсчитывать изменения высоты за разные промежутки времени:

Момент времени

Изменение высоты в метрах

с 6 часов утра до 9 часов утра

увеличение на 12000

с 9 часов утра до 12 часов дня

увеличение на 8000

с 12 часов дня до 1 часа дня

увеличение на 2000

с 1 часа дня до 2 часов дня

высота не изменилась

с 2 часов дня до 3 часов дня

уменьшение на 2000

с 3 часов дня до 6 часов дня

уменьшение на 20000

Мы видим, что с 12 часов дня до 1 часа дня высота изменилась на 2000 м. С 2 часов дня до 3 часов дня высота изменилась тоже на 2000 ж. Но в первом случае изменение состояло в увеличении на 2000 м, а во втором случае—в уменьшении на 2000 м. Для обозначения этих двух разных изменений у нас имеется одно единственное число 2000. Это различие приходится выражать словами, говоря в одном случае:

„увеличение на 2000 ми,

а в другом случае:

„уменьшение на 2000 ми.

Мы видим, что известных из арифметики положительных чисел недостаточно, чтобы выражать изменения величин без дополнительных приписок „увеличение", „уменьшение".

Существует другой, гораздо более удобный, способ выражения изменений величин. По этому способу обычные положительные числа употребляются только для выражения увеличений. Для выражения же уменьшений употребляются особые новые числа, называемые отрицательными. Например, увеличение высоты на 2000 м выражается просто числом

2000,

без приписки „увеличение". Уменьшение же высоты на 2000 м выражается новым числом, которое называется минус две тысячи, и пишется

- 2000.

Точно так же уменьшения на 1, или 1000 единиц измерения выражаются числами:

- 1000.

Все эти числа, как уже сказано, называются отрицательными.

Число нуль будет употребляться для выражения отсутствия как увеличения, так и уменьшения.

Перепишем по новому способу таблицу изменений высоты стратостата:

Изменение высоты в метрах

с 6 часов утра до 9 часов утра .....

12 000

с 9 часов утра до 12 часов дня ......

8000

с 12 часов дня до 1 часа дня .......

2000

с 1 часа дня до 2 часов дня .......

0

с 2 часов дня до 3 часов дня ......

—2000

с 3 часов дня до 6 часов дня ......

—20 000

Второй пример. Пусть в чьей-либо сберегательной книжке сделаны такие записи:

Номер операции

Дата

Приход

Расход

1

2 октября

285 рублей

2

5 октября

200 рублей

3

18 октября

448 рублей

4

20 октября

350 рублей

Приход в 285 рублей обозначает увеличение вклада, лежащего на книжке, на 285 рублей. Расход в 200 рублей обозначает уменьшение вклада на 200 рублей. Результат каждой операции, указанной в нашей записи, состоит в том или ином изменении— увеличении или уменьшении вклада. Будем же пользоваться, как и в случае изменения высоты, положительными числами для обозначения увеличений вклада, а отрицательными—для обозначения уменьшений вклада. Тогда нашу запись можно переписать так:

Номер операции

Дата

Результат операции в рублях

1

2 октября

285

2

5 октября

—200

3

18 октября

448

4

29 октября

—350

Значит, при подсчете приходов и расходов можно обозначить приход положительными числами, а расход,—отрицательными.

§ 15. Рациональные числа.

Из примеров предыдущего параграфа видно следующее:

Положительные числа служат для выражения увеличений величин. Для выражения уменьшений величин вводятся новые отрицательные числа. При этом каждому положительному числу а соответствует свое особое отрицательное число —а, выражающее уменьшение на а единиц измерения.

При измерении изменений величин число 2,7 выражает увеличение на 2,7 единиц измерения, а число—2,7 выражает уменьшение на 2,7 единиц измерения. Значит, эти числа выражают изменение на одно и то же число единиц, но происходящие в противоположных направлениях. Поэтому, сами числа 2,7 и—2,7 называются противоположными друг другу. Точно так же число 1245 противоположно числу—1245 и, обратно, число—1245 противоположно числу 1245.

Вообще, каково бы ни было положительное число а, числа а и —а называются противоположными друг другу.

Число нуль выражает отсутствие как увеличения, так и уменьшения, поэтому число нуль считается противоположным самому себе.

Отрицательное число, противоположное положительному целому числу, называется целым отрицательным числом. Отрицательное число, противоположное положительному дробному числу, называется дробным отрицательным числом.

Например, числа

— 1,-2,-457

называются целыми, а числа

называются дробными.

Подведем итог тому, какие же числа нам теперь известны. Это:

1. Целое кисло нуль.

2. Положительные целые и дробные числа.

3. Отрицательные целые и дробные числа.

Все эти числа вместе называются рациональными числами.

Замечание 1. Мы видим, что целое число может быть положительным, отрицательным или нулем. Положительные целые числа называются также натуральными числами (§ 13). Дробное число может быть только или положительным, или отрицательным.

Замечание 2. Во всей первой части алгебры мы будем иметь дело только с рациональными числами. Лишь в начале второй части алгебры мы узнаем, что существуют еще другие числа, кроме рациональных.

Легко понять, почему при обозначении отрицательных чисел употребляется знак минус (—). В нашем примере со сберегательной книжкой каждое увеличение вклада (приход) прибавляется к уже имеющемуся вкладу, а каждое уменьшение вклада (расход) вычитается из вклада. Например, если на книжке лежало 100 рублей и потом было положено еще 50 рублей, то всего на книжке окажется:

100 + 50 = 150 (рублей).

Если же на книжке лежало 100 рублей, а потом с нее было взято 50 рублей, то на книжке останется:

100 — 50 = 50 (рублей).

Поэтому, уменьшение вклада и обозначается тем же знаком как и действие вычитания.

По тем же соображениям можно увеличение вклада (приход) отметить знаком плюс (+). То же самое относится и к изменениям любых величин. Поэтому, не только для обозначения отрицательных чисел употребляют знак минус, но часто перед положительными числами ставится знак плюс. Например, записи

245 и + 245

обозначают одно и то же положительное число 245. Мы видим, таким образом, что писать перед положительным числом знак + нет необходимости: он ставится только, чтобы подчеркнуть противоположность, которая имеется между положительными и отрицательными числами.

Во всем дальнейшем изложении буквы обозначают произвольные рациональные числа (безразлично, положительные, или отрицательные, или нуль1). Например, букве a можно в одном случае приписать положительное значение 475, в другом—отрицательное значение—475, в третьем—значение 0 и т. д.

Мы уже установили, что в том случае, когда число a положительное, —a обозначает отрицательное число, противоположное числу а. Условимся теперь для любого числа а обозначать через—а число, противоположное числу а. Будем, следовательно, писать:

-(-3) = + 3 = 3;-( + 3) = -3;

- ( + 2,7)--2,7;- ( - 2,7) = + 2,7 = 2,7;

— 0 = 0.

Условимся также, что приписывая перед любым числом знак-\-, мы не меняем это число. Значит,

+ ( + 3) = +3 = 3; + (-3) = -3; + (-2,7) = -2,7; + ( + 2,7) = + 2,7 = 2,7; + 0 = —0=0.

Итак, поставить перед каким-нибудь числом знак плюс, значит оставить это число без изменения; поставить перед каким-нибудь числом знак минус, значит заменить это число противоположным ему числом.

Из этого правила следует, что для всякого числа а справедливы формулы: +( + а) = + а = а;

_( + а)=-а; + ( —а) = —а; — ( — а)= + а = а.

Последнее из этих равенств словами выражается так: число, противоположное числу, противоположному числу а, есть само число а.

Например, если а = — 3, то — а = + 3, —(— а) = + а= — 3.

§ 16. Абсолютная величина числа.

Иногда бывает важно выразить число единиц измерения, на которое произошло изменение, независимо от того, было это изменение увеличением или уменьшением. Например, увеличение на 2,7 единиц измерения и уменьшение на 2,7 единиц измерения являются разными изменениями и выражаются разными числами 2,7 и—2,7. Однако в обоих случаях самое число единиц измерения, на которое произошло изменение, одинаково и выражается положительным числом 2,7. Поэтому, положительное число 2,7 называется абсолютной величиной обоих чисел: положительного числа 2,7 и отрицательного числа—2,7. Вообще принимают такое определение:

1) Если буква в каком-либо рассуждении обозначает не произвольное рациональное число, а только положительное или только целое и тому подобное, это будет специально оговариваться.

Определение. Абсолютной величиной положительного числа называется само это число. Абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число. Абсолютной величиной числа нуль называется само число нуль.

Например, абсолютная величина числа—3 есть 3; абсолютная величина числа 3 есть тоже 3.

Абсолютная величина числа а обозначается так :

Например:

Так как перед обозначением положительных чисел можно ставить знак-f-, не меняя смысла этого обозначения, то можно также писать:

|_3|=| + 3|= + 3 = 3; I - 2,71 = I + 2,7 I = 12,7 I = + 2,7 == 2,7.

Вообще, противоположные числа имеют одинаковую абсолютную величину:

\а\ = \ — а\.

Наоборот, если абсолютная величина двух чисел одинакова, то эти числа или равны, или противоположны.

УПРАЖНЕНИЯ 18—19 К ГЛАВЕ 3.

18. В Москве день продолжается (от восхода до захода солнца):

1 января 7 ч. 2 м. 1 июля 17 ч. 28 м.

1 февраля 8 ч. 36 м. 1 августа 16 ч. 4 м.

1 марта 10 ч. 39 м, 1 сентября 13 ч. 54 м.

1 апреля 13 ч, 3 м. 1 октября 11 ч. 36 м,

1 мая 15 ч. 19 м. 1 ноября 9 ч. 19 м,

1 июня 17 ч. 7 м. 1 декабря 7 ч. 29 м.

Выразить изменение продолжительности дня за каждый месяц года, пользуясь положительными и отрицательными числами.

19. Чему равняется:

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.

§ 17. Правила сложения любых рациональных чисел сложение и вычитание.

Как складывать положительные рациональные числа, известно из арифметики. Мы пока не знаем, что значит сложить между собой два отрицательных числа или отрицательное число

с положительным. До тех пор пока не дано определение суммы двух чисел для этих новых случаев, выражения вроде

4 + (-3) или (_6) + (-2)

не имеют никакого определенного смысла.

Чем же следует руководиться при выборе того или иного определения суммы двух отрицательных чисел или отрицательного и положительного числа?

Сложение положительных чисел употребляется при решении определенных практических задач. Вполне естественно постараться определить сложение отрицательных чисел между собой и с положительными числами так, чтобы в этих новых случаях сложение можно было употреблять для решения тех же самых задач (когда некоторые из данных задачи становятся отрицательными).

Рассмотрим такую задачу.

Высота стратостата изменилась сначала на а м, а потом еще на b м. Какое изменение высоты стратостата получилось в результате этих двух изменений? При этом, как уже условлено, увеличение высоты мы выражаем положительными числами, а уменьшение — отрицательными.

1. Пусть a = -j-2000, а ft = -{-.3000, т. е. стратостат сначала поднялся на 2000 м, а потом еще на 3000 м. Ясно, что в итоге он поднялся на

(+ 2000) + (+ 3000) = + 5000 м.

Вообще, если числа а и b положительны, то общее изменение высоты стратостата, которую мы обозначим буквой х, равно

x = a + b. (1)

Мы желаем теперь во всех других случаях определить сложение чисел так, чтобы формула (1) была правильна во всех этих случаях.

2. Пусть а = — 2000, а Ь = — 3000, т. е. стратостат сначала спустился на 2000 му а потом спустился еще на 3000 м. Ясно, что в итоге он спустился на 5000 м. Значит, мы должны положить (_ 2000)+(— 3000) = — 5000.

Рассматривая этот и подобные ему примеры, можно убедиться, что следует установить правило:

Для того чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их абсолютные величины и перед полученной суммой поставить знак минус.

Например:

3. Пусть стратостат сначала поднялся на 1000 м, а потом спустился на 1000 м. В результате его высота осталась не изменной. Значит, мы должны положить

Вообще, установлено правило:

Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Это правило можно записать в виде формулы:

Например, если а = —х", то — а — -\-— и, значит,

4. Допустим теперь, что стратостат, сначала поднялся на 6000 M, а потом спустился на 2400 м. В результате этих двух изменений получилось увеличение высоты на 3600 м. Значит, следует положить

( + 6000) + (— 2400) = + 3600.

Если бы стратостат сначала спустился на 4000 м, а потом поднялся на 3500 Mf то в итоге получилось бы уменьшение высоты на 500 м. Следовательно, мы должны положить

(— 4000) + (+ 3500) = - 500.

Вообще установлено правило:

Если положительное и отрицательное числа имеют разные абсолютные величины, то для сложения этих чисел надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую и перед полученной суммой поставить знак того из слагаемых, у которого абсолютная величина больше.

Например:

5. Остается еще случай, в котором одно из слагаемых или оба слагаемых равны нулю. Легко понять, что здесь следует сохранить известное для сложения чисел, встречающихся в арифметике, основное свойство нуля (§ 7):

Если одно из слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому, т. е.

а-{-0 = 0-\-а=а.

Например:

(—5) + 0 = —5; 0 + 0 = 0.

Мы установили, как складывать рациональные числа во всех могущих встретиться случаях. Теперь задачу об изменении высоты стратостата можно решать по формуле (1), каковы бы ни были числа а и b (положительные, отрицательные или равные нулю). Легко можно убедиться, что те же правила позволяют заменять сложением чисел сложение изменений любых величин.

Рассмотрим в виде примера сложение приходов и расходов:

Все эти расчеты можно делать при помощи сложения положительных и отрицательных чисел по установленным выше правилам:

(+ 200) + (+ 400) = + 600; (+ 456) + (— 245) = +211; (+ 100) + (— 100) = 0; (—125) + (—125) = — 250.

Вообще, если два последовательных изменения некоторой величины выразились числами а и Ь, то в результате обоих изменений получится изменение, выражающееся числом a+ô1).

Соберем вместе все, что надо знать о сложении любых рациональных чисел.

Положительные числа складываются так, как учат в арифметике.

Для того чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их абсолютные величины и перед этой суммой поставить знак минус.

Если одно слагаемое положительно, а другое слагаемое отрицательно, то в случае равенства их абсолютных величин сумма равна нулю; в остальных случаях, чтобы получить сумму надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую и перед этой разностью поставить знак того из слагаемых, абсолютная величина которого больше.

Если одно из слагаемых равно нулю, то сумма равна другому слагаемому.

§ 18. Основные свойства сложения.

Основные свойства сложения, установленные в § 7, остаются в силе для сложения любых рациональных чисел.

1. Закон переместительности:

а + b = b-\-a.

Справедливость этого закона для любых рациональных чисел следует непосредственно из того, что в правилах сложения, данных в § 17, оба слагаемых вполне равноправны и не делается никакого различия между первым и вторым слагаемым. Например:

1) Если принять за основу этот общий принцип, то можно вывести из него строго логически все сформулированные выше правила, сложения положительных и отрицательных чисел.

2. Закон сочетательности:

{a + b) + c=a + {b + c).

Например:

[(-5)+4] + (-7) = (-1) + (-7) = -8; (- 5) + [4 + (- 7)] = (_ 5)+ (- 3) = - 8.

Убедимся, что закон сочетательности действительно справедлив для любых рациональных чисел1). Произвольные три рациональных числа а, Ь, с могут выражать три последовательных изменения какой-либо величины. Как же найти число х, выражающее результат этих трех изменений? Можно это сделать двумя способами: или к числу а-\-Ь, выражающему результат первых двух изменений, прибавить число с, выражающее третье изменение, или к числу а, выражающему первое изменение прибавить число Ь-\-с, выражающее результат второго и треть, его изменения. В первом случае получится

х = (а + Ь)+с,

а во втором

X = a -J- (Ь -|- с).

Значит,

(a + b) + c = a + (b + c).

3. Основное свойство нуля:

а + О =з а.

Это свойство нуля составляет часть правил сложения, установленных в § 17.

Из закона переместительности и закона сочетательности можно вывести такое общее правило:

Правило2). При вычислении суммы любого числа слагаемых можно произвольно переставлять эти слагаемые, а также произвольно разбивать их на группы и каждую группу слагаемых заменять их суммой.

Наглядный смысл этого правила очень прост. Если, на пример кто-нибудь должен сделать расходы в 55 рублей, 60 рублей и 11 рублей и должен получить приходы в 40 рублей, 30 рублей и 6 рублей, то в каком бы порядке ни располагать эти приходы и расходы, или складывать их по группам, в итоге получается один и тот же результат, а именно, расход в 50 рублей:

1) Можно было бы вывести закон сочетательности и непосредственно из правила сложения. Вывод этот более сложен.

2) Строгий вывод этого правила из законов переместительности и сочетательности не так прост- Поэтому мы рассчитываем, что учащиеся удовлетворятся проверкой его на ряде примеров.

Следствие 1. Чтобы вычислить сумму многих слагаемых, можно поступать так: сложить все положительные слагаемые; сложить абсолютные величины всех отрицательных слагаемых; меньшую из полученных сумм вычесть из общей и перед разностью поставить знак плюс, если большая сумма получилась от сложения положительных слагаемых, и знак минус, если большая сумма получилась от сложения абсолютных величин отрицательных слагаемых.

Например, чтобы вычислить

х= 1,25 + (- 0,95) + (-0,70) + 0,85 + (- 0,25)+ 1,05+ ( - 1,90),

вычислим сначала

1,25 + 0,85+1,05 = 3,15; 0,95 + 0,70 + 0,25+1,90 = 3,80.

Так как 3,80>3,15, то

л = — (3,80 - 3,15) = — 0,65.

Следствие 1 указывает определенный порядок вычисления суммы многих слагаемых, которого полезно держаться, если нет возможности сократить вычисления, делая сложение в другом порядке. Например, сумму

у = 2,871 + (- 5,442) + 2,442 + (- 0,871)

было бы нецелесообразно вычислять в порядке, указанном в следствии 1. Лучше ее вычислить так:

у = [2,871 + (- 0,871)] + [(- 5,442) + 2,442] = 2 + (- 3) = - 1.

Следствие 2. Чтобы прибавить сумму, можно прибавить одно за другим все входящие в нее слагаемые.

Например:

43+ [(- 2)+ 4 + (- 7Н-6] = 43 + (- 2) + 4 + (- 7) + 6 = 44.

Вообще,

Л + (а + 6 + £) = Л + а + & + с; A + (a + b + c + d) = A + a+b + c + d;

и т. д.

УПРАЖНЕНИЯ 20-24 К § 17 И 18.

20, Вычислить:

а) 0,001+ (-1); б) (-43) + (+44); в) (-i) + (_ 1г) (-17)+ 17.

21. Путешественник путешествует по горам. Изменения высоты, на которой он находится, составили: за первый день +1740 м, за второй день — 320 м, за третий день + 2480 м% за четвертый день — 1230 м% за пятый день +1560 лс, за шестой день — 2890 м. Вычислить изменение высоты от начала путешествия до конца каждого дня.

22 Вычислить:

23. Вычислить аb ~\-сd при:

24. Вычислить — |6| + m — |rf| при ö = — 2, 6 = 4-3, с = + 1 г/= — 5.

§ 19. Вычитание.

Напомним определение вычитания.

Определение. Вычесть из числа а число b значит найти такое число, сумма которого с числом b равна числу а. Иначе говоря, разность

а — b

это такое число х, для которого

х-\-Ь — а.

При этом, число а называется уменьшаемым, а число b — вычитаемым.

Это определение, которое раньше употреблялось только для положительных чисел и нуля, сохраняется и для любых рациональных чисел. Например, найти разность

(- 1000)-(—3000)

это значит найти такое число х> для которого

х + {— 3000) = —1000.

Легко сообразить, что число х должно равняться в нашем случае -f-2000. Значит,

(—1000) - (— 3000) = + 2000.

Точно так же, разность

должна равняться такому числу х, для которого

Учащийся догадывается, что х = —-т. Следовательно,

Теорема1). Разность равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому, т. е. для любых чисел а и b

а — b = а -\- (— b).

Пусть, например, нам надо вычесть из числа 15 число 7. Вместо этого можно к числу 15 прибавить число —7, противоположное числу 7:

15 —7 = 15 + (— 7) = 8.

Доказательство теоремы. Если прибавить к а -}- (— b) число ft, то получится

а + (— b) + b=*a + + = а + 0 = а.

Таким образом, ясно, что число а + (— Ь) удовлетворяет определению разности а — ft. Остается еще доказать, что кроме я + (—Ь) не существует никакого другого числа, которое тоже удовлетворяло бы определению разности а — Ь. По определению вычитания число х только тогда можно назвать разностью a — b, если

х + Ъ = а. (1)

Докажем, что число х, удовлетворяющее равенству (1), равно а4~(—В самом деле, если прибавить к х-\~Ь число —Ь9 то получится

x + b + (— ft) = *+[& + (— b)] = x + 0 = x.

Если же прибавить —b к числу а, то получится

а+(-&).

Но, прибавляя к равным числам одно и то же число, получим равные числа. Следовательно,

х = а + (— Ь)у

что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы вытекает:

Правило. Вместо того чтобы вычесть какое-либо число, можно прибавить противоположное ему число.

Например:

Из самого определения вычитания ясно, что вычитание можно проверять сложением:

1) Теоремой называется в математических науках всякое утверждение, требующее доказательства.

и т. д. Учащийся должен проверить сложением все приведенные выше примеры на вычитание.

В арифметике действие вычитания не всегда было возможно. Например, из числа 5 нельзя было вычесть число 7. Этим действие вычитания отличалось от сложения: в арифметике любые два числа можно сложить, вычесть же одно число из другого можно только в том случае, если вычитаемое не больше уменьшаемого. Теперь с введением отрицательных чисел это различие исчезает: любые два рациональных числа можно сложить и из любого рационального числа можно вычесть любое другое рациональное число, в результате всегда получится рациональное число (положительное, отрицательное или нуль). Иначе говоря, оба действия — сложение и вычитание — теперь стали возможными во всех случаях. В самом деле, каковы бы ни были числа а и Ь, по правилам § 17 их можно сложить, а по правилу, установленному в этом параграфе,— вычесть одно из другого.

Рассмотрим теперь несколько задач, при решении которых употребляется вычитание.

Задача 1. Из корзины, в которой было а яблок, взяли Ь яблок. Сколько яблок осталось в корзине?

Очевидно, в корзине осталось

х = а — b яблок.

В этой задаче число х не может быть отрицательным. Если, например, сказано, что а = 5, a 6 = 7, то задача не имеет решения, так как не имеет смысла говорить о „минус двух" яблоках, оставшихся в корзине.

Задача 2. В 12 часов дня стратостат находился на высоте а м, а в 2 часа дня — на высоте b м. Каково изменение высоты стратостата за промежуток времени от 12 часов дня до 2 часов дня?

Ответ: искомое изменение высоты равно

х = Ь — а м.

Например,

при а=13000, 6 = 22000 получится:

X = 22 000 — 13 000 = + 9000;

при а = 19000, 6 = 7000 получится:

х = 7000 —19 000 = —12 000.

В этой задаче данные числа (а и Ь) не могут быть отрицательными, решение же (х) может быть как положительным, так и отрицательным, или нулем.

Замечание. Вообще, если какая-либо измеряющаяся величина выражалась сначала числом a, a потом числом 6, то ее изменение выразится числом

х—Ь — а.

Задача 3. За два месяца изменение вклада на сберегательной книжке составило а рублей. За первый из этих двух месяцев вклад изменился на b рублей. Каково было изменение вклада за второй месяц?

Ответ: изменение вклада за второй месяц равно

х = а — b рублей.

Например,

при а = — 200, ô = +100 получится: л = (— 200) — (+ 100) = — 300,

т. е. если за первый месяц имелся приход в 100 рублей, а всего за два месяца получился расход в 200 рублей, то за второй месяц должен был произойти расход в 300 рублей. В этой задаче как данные (а и о), так и решение (х) могут быть как положительными и отрицательными, так и равными нулю.

Очень важно, чтобы учащийся проделал много задач с применением сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел, проверяя результат по соображению.

§ 20. Алгебраическая сумма.

В предыдущем параграфе доказано: вычесть какое-либо число это все равно, что прибавить противоположное число. Например,

8 — 5

обозначает то же самое, что и

8+(-5).

Можно считать, что запись 8 — 5 является просто сокращенной записью суммы чисел 8 и —5. Таким образом, рассматривать вычитание как особое действие оказывается излишним. Вместо этого можно считать, что знак (—), поставленный между двумя числами, обозначает „прибавить к первому числу число, противоположное второму". Точно так же

8—11+4 — 12

обозначает то же самое, что и

8 + (-11)+4 + (-12).

Значит, можно сказать, что запись 8 — 11+4 — 12 выражает просто сумму чисел 8, —11, 4 и —12, или, что то же самое, чисел +8, —11, +4 и —12. Точно так же

— a-\-b — c-\-d

обозначает сумму чисел — a, +ô, —с и +я?.

То же самое относится и к тому случаю, когда знаками + или — соединены любые алгебраические выражения. Например,

обозначает сумму выражений

Вообще, мы будем считать: несколько алгебраических выражений (которые могут быть и отдельными числами), соединенных знаками + или —, обозначают сумму этих выражений, взятых со стоящими перед ними знаками. В соответствии с этим совокупность алгебраических выражений, соединенных знаками + или —, называется алгебраической суммой, а сами выражения вместе со стоящими перед ними знаками называются слагаемыми этой суммы. Например, в алгебраической сумме

— 0,01 + 0,13 - 0,04 + 0,07

слагаемыми являются числа —0,01; +0,13; —0,04 и +0,07.

Замечание 1. Слагаемые алгебраической суммы называются также ее членами.

Замечание 2. Ясно, что алгебраическая сумма обладает всеми свойствами суммы, установленными в § 18.

Замечание 3. Если перед каким-либо из слагаемых алгебраической суммы стоит несколько знаков (+ или —) один перед другим, то их всегда можно заменить одним по правилам, изложенным в конце § 15. Знак + перед первым слагаемым можно не писать. Например, вместо

пишут: вместо пишут: и т. д.

§ 21. Число, противоположное сумме. Перемена знака перед скобками и раскрытие скобок.

Мы уже знаем, что сумма двух противоположных чисел равна нулю:

а + (— а) = 0.

Обратно: если сумма двух чисел равна нулю, то они противоположны. В самом деле, из правил сложения видно, что, складывая число а с каким-либо другим числом, не равным —а, мы никогда не получим нуль. Например:

(-5) + (+5) = 0,

но складывая —5 с каким угодно числом, отличным от противоположного ему числа —(—5) = + 5, мы никогда в сумме не получим нуль.

Теорема. Число, противоположное сумме нескольких слагаемых, равно сумме чисел, противоположных этим слагаемым.

Например, число противоположное сумме

(+5) + (-17) + (-3) + (+4) = -11,

есть

(-5) + (+17)+(+3) + (-4)= + 11.

Доказательство. Рассмотрим сумму четырех слагаемых

a + b + £ + .

Напишем сумму чисел, противоположных этим слагаемым:

(-a) + (-b) + (-c) + (-d).

Сложим между собой обе суммы:

(a + b + c + d) + [(-a)+(-b) + (-c) + (-d)].

На основании следствия 2 § 18 и рассуждений, приведенных в предыдущем параграфе, получим

(а + b + c + d)+ [(- а)+ (- b) + (- *)+(-<*)] = = a + ft + <: + rf + (- a) + (-ô) + (-*)+(-<*) = = a + (_a) + ô + (- 6) + £+(_<:) + rf + (_rf) = = [a + (- a)] + [* + (- b)] + [c + (- c)] + [d + (- d)] = = 0+0 + 0 + 0 = 0.

Мы видим, что сумма a + ô + c + д?, сложенная с суммой (— а) + (—&) + (— е) + (—равна нулю. Значит, число, противоположное числу a + ô + £+d, есть (—#) + (—+ £) + + (—d). Мы доказали теорему для случая четырех слагаемых. То же самое рассуждение можно провести и в случае любого числа слагаемых.

Доказанную сейчас теорему можно также выразить так: Чтобы найти число, противоположное алгебраической сумме, надо у всех ее членов переменить знаки на противоположные. Например:

— (—a + ô — c-\-d) = +a — b-{-c — d, — (—8 —3 + 7+9) = 8+3 — 7 —9.

Можно также сказать, что значение алгебраической суммы, заключенной в скобки, не изменится, если переменить знаки у всех членов суммы и одновременно переменить знак, стоящий перед скобками. Например:

+ (+8 + 3 -7 —9) = -(-8-3 + 7 + 9).

В § 18 (следствие 2) было установлено: чтобы прибавить сумму, можно прибавить один за другим члены этой суммы. Поэтому, например, чтобы прибавить алгебраическую сумму — 5 + 4 — 3, можно прибавить один за другим члены этой суммы:

А + (—5 +4 _3) = Л —5 + 4 —3.

Если теперь требуется вычесть сумму —5 + 4 — 3, то это значит то же самое, что прибавить противоположное число

_(_5 + 4-3) = + 5 — 4 + 3.

Следовательно,

Вообще, чтобы вычесть алгебраическую сумму, можно прибавить один за другим члены этой суммы, взятые с противоположными знаками. Например:

Мы видим, что, прибавляя или вычитая алгебраическую сумму, заключенную в скобки, эти скобки можно опустить, а члены суммы переписать без скобок с неизменными знаками, если сумма прибавляется, и с противоположными знаками, если сумма вычитается. Это выражают коротко так: при раскрытии скобок знаки членов, заключенных в скобки, остаются неизменными, если перед скобками стоит знак +, и меняются на противоположные, если перед скобками стоит знак —.

Рассмотрим еще примеры раскрытия скобок, внутри которых находятся другие скобки. Пусть, например, дано выражение:

-(-а+Ь)-[-Ь-(с-а)].

Раскрывая круглые скобки, получим:

а — b — [—b — с-\-а].

Раскрывая квадратные скобки, получим:

а—Ь-\~Ь-\-с — а = (а— + —Ь)-\- с = = 0 + 0 + с = с.

§ 22. Заключение части алгебраической суммы в скобки.

Часто бывает, наоборот, полезно несколько членов алгебраической суммы заключить в скобки. Например, сумму

^-a — b — c+d — e (I)

можно записать так:

+ а — b+(— c+d-e)

или еще так:

-\-a-b-(+c—d+e).

В самом деле, раскрывая в обоих этих выражениях скобки, получим первоначальное выражение (I).

Правило. Заключая несколько членов алгебраической суммы в скобки, можно поступить двумя способами: или поставить перед скобками знак плюс (+) и оставить знаки членов, заключенных в скобки, без изменений; или же поставить перед

скобками знак минус (—) и переменить знаки всех членов, заключенных в скобки, на обратные. Например:

§ 23. Свойства вычитания.

По теореме, доказанной в § 19, вычитание всегда можно заменить сложением:

а — b = а + (— Ь).

Во всем дальнейшем изложении нам не понадобится знать о вычитании ничего, кроме этой основной теоремы. В самом деле, в § 20, на основании этой теоремы, было установлено, что в алгебре можно рассматривать только действие сложения, считая, что вычитание есть просто сложение уменьшаемого с числом, противоположным вычитаемому. Поэтому, все свойства вычитания по существу уже содержатся в свойствах алгебраической суммы. Мы увидим сейчас, как свойства вычитания, известные из арифметики, получаются простым вычислением с алгебраическими суммами.

Применяя правило раскрытия скобок (§ 21) и правило о том, что сумма не меняется от перемены порядка слагаемых (§ 18), получим:

a — {b + c) = a — b~c; (1)

a + (b — с) = а + b — с; (2)

а — (Ь — с) = а — b + с; (3)

а — (Ь — с) = а + с — Ь. (4)

Формулы (1) и (2) и (4) выражают правила, известные из арифметики.

1°. Чтобы отнять от какого-нибудь числа сумму, можно отнять от этого числа каждое из слагаемых одно за другим.

2°. Чтобы прибавить к какому-либо числу разность, можно прибавить к этому числу уменьшаемое и вычесть из полученной суммы вычитаемое.

4°. Чтобы отнять от какого-нибудь числа разность, можно прибавить к этому числу вычитаемое и затем отнять уменьшаемое. Например:

5 —(7 —4) =-5 + 4 —7 = 2.

Все эти формулы в арифметике были установлены для положительных (или равных нулю) чисел. Теперь мы доказали простым вычислением, что они верны и для любых рациональных чисел (положительных, отрицательных или равных нулю).

Формула (3) выражает правило:

3°. Чтобы отнять от какого-нибудь числа разность, можно вычесть из этого числа уменьшаемое и затем прибавить вычитаемое.

Это правило верно в алгебре при вычислениях с любыми рациональными числами, но неверно в арифметике, не употребляющей отрицательных чисел. Например, в алгебре верно равенство

5 —(7 —4) = 5 — 7+4;

но в арифметике, пока отрицательные числа остаются неизвестными, из 5 нельзя вычесть 7 и, поэтому, для вычисления выражения

5-(7-4)

можно пользоваться правилом 4° и нельзя пользоваться правилом 3°. Также, простым вычислением, получается:

(а-\-с) — (Ь с) = а + с — b — с = a — b(с — с) — a — b -{-0 = а — Ь.

То-есть (а +с ) - (Ь + с) = а - Ъ. (5)

Формула (5) выражает правило: если к уменьшаемому и к вычитаемому прибавить одно и то же, число, то разность не изменится.

УПРАЖНЕНИЕ 25- 33 К § 19 И 23.

25. Написать число, противоположное числу а + (—Ь)~\-с.

26. X + (— 1) = +1; у + (- 0>4?) = — °>81»5 + * = °;41 + « = — is;

500 -\-v = 499; w -f- ■§)== ~ Найти числа: л, jr, z, и, v, w.

27. Вычислить:

а) (— 1001) — (-999); б) 999 ~ (— 1001); в) 999—1001.

28. Вычислить:

29. Вычислить:

а) -[-(-3 + 2) + (+4-6)];

б) -{- [-7-(-3-1)]-[-(-4-2)-!]}.

30. Вычислить:

a — b-\-c — d при a =± — 1, b = — 2, c — — 3, tf = — 4.

31. Чему равняется

(b — a) + {с — &) + (d — с ) + (a — d)?

32. В алгебраической сумме х-\-у — z-\-u заключить в скобки два последних члена: а) поставив перед скобками знак +; б) поставив перед скобками знак —.

33. Представить алгебраическую сумму а — b-\-c-\-d — е—/в виде разности двух скобок так, чтобы внутри каждой скобки все члены имели знак +

ГЛАВА ПЯТАЯ.

ПРИМЕНЕНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

§ 24. Измерение направленных отрезков.

Отрезком прямой линии (черт. 2) называется часть прямой линии, расположенная между двумя точками. Часто бывает полезно рассматривать отрезки вместе с определенным направлением. В этом случае, например, отрезок с началом в точке А и с концом в точке В обозначают AB и отличают от отрезка ВА с началом в точке Вис концом в точке А: отрезки AB и ВА отличаются друг от друга направлением. Мы будем заниматься отрезками, лежащими на одной и той же прямой. На каждой прямой можно различать два направления. Например, на горизонтальной прямой, изображенной на чертеже 3, различаются направление слева направо и противоположное направ-

Черт. 2.

Черт. 3.

ление — справа налево. Отрезки AB, ВС, АС на этой прямой имеют одинаковое направление слева направо, а отрезки ВА, СВ, CA направлены справа налево и, значит, имеют направление, противоположное первым трем отрезкам.

При измерении направленных отрезков, лежащих на одной и той же прямой, какое-либо одно направление на этой прямой выбирают за положительное, а противоположное направление считают отрицательным. Длину отрезка, имеющего положительное направление, считают положительной и выражают положительным числом, а длину отрезка, имеющего отрицательное направление, считают отрицательной и выражают отрицательным числом. Возьмем, например, на горизонтальной прямой (черт. 4) направление слева направо за положительное направление. Примем за единицу длины отрезок MN. Отрезок MN укладывается в положительно направленном отрезке AB три с третью раза. Значит, длина отрезка AB равна +3^ единицам длины. Отрезок CD направлен отрицательно, единица длины укладывается в нем два раза, значит, длина его равна —2 единицам длины. Ясно также, что длина отрезка ВА равна —3 4 единицам длины, а длина отрезка DC равна +2 единицам длины. Чтобы подчеркнуть, что длина направленного отрезка зависит от его направления, говорят об алгебраической длине направленного отрезка. В алгебре мы всегда будем иметь дело с алгебраической длиной отрезков и, поэтому, будем употреблять безразлично слова „алгебраическая длина" и просто „длина".

Алгебраическая длина отрезка AB обозначается так:

AB.

Если обе точки А и В лежат в положительном направлении от точки О (черт. 5), то алгебраическая длина отрезка AB выражает изменение расстояния от точки О при передвижении из точки А в точку В.

Пусть, например, прямая на чертеже 5 изображает дорогу, за единицу длины выбран километр, а за положительное направление — направление слева направо на чертеже. Если пешеход пройдет по дороге из точки А в точку В, то его расстояние от точки О увеличится на 2 км, т. е. расстояние пешехода от точки О изменится на +2 км, т. е. как раз на алгебраическую длину отрезка AB. Если теперь пешеход вернется из точки В в точку А, то изменение его расстояния от точки О составит —2 км, т. е. опять алгебраическую длину пройденного им направленного отрезка ВА.

Черт. 4.

Черт. 5.

Как в этом случае, так и вообще алгебраическая длина отрезка ВА выражается числом, противоположным к алгебраической длине самого отрезка AB:

BÄ = — AB.

§ 25. Сложение направленных отрезков.

Пусть пешеход двигается по дороге (черт. 5) из точки А в точку В и затем в точку С. При переходе из точки А в точку В его расстояние от точки О меняется на длину отрезка AB, т. е. на + 2 км. При переходе из точки В в точку С расстояние пешехода от точки О изменится еще на +3 км, (такова длина отрезка ВС). Всего за оба перехода расстояние пешехода от точки О изменится на (-}-2)-}-(-f-3) = + 5 (км), т. е. на длину отрезка АС. Значит, алгебраические длины отрезков AB, ВС и АС связаны равенством:

АВ + ВС==АС- (I)

Для того чтобы можно было пользоваться формулой (I), совсем не нужно, чтобы точки А, В, С лежали в таком порядке, как указано на чертеже 5. Например, в случае, изображенном на чертеже 6, расстояние пешехода от точки О при передвижении из точки А в точку В изменяется на — 3 км, а при передвижении из точки В в точку С — на +2 км. В итоге получается изменение расстояния от точки О на

(-3) + (+2) = -1 (км).

Здесь ÄB = — 3, £С = + 2, ЛС=—1 и формула (I) сохраняет свою силу.

Приведенные примеры являются частными случаями общего положения:

Каково бы ни было расположение точек А, В и С на прямой, всегда

ÄB + BC=ÄC. (I)

В самом деле, пусть даны точки А, В, С. Выберем точку О, лежащую в отрицательном направлении от всех точек А, В и С. Будем передвигаться вдоль по прямой из точки А в точку В и затем в точку С. При первом передвижении расстояние от точки О изменится на длину отрезка AB, т. е. на AB. При втором передвижении изменение расстояния от точки О составит ВС, а в итоге обоих передвижений получится изменение расстояния от точки О, равное АС. Значит, складывая изменения, равные AB и ВС, получаем изменение, равное АС.

Формула (I) совсем не зависит от выбора точки О. Учащийся должен проверить ее для различных случаев расположения точек А, В и С, представленных на чертеже 7.

Черт. 6.

Например, в случае ё):

В геометрии при любом расположении точек А, В и С отрезок АС называют суммой отрезков AB и ВС. Формула (I) показывает, что при геометрическом сложении направленных отрезков их алгебраические длины складываются.

Замечание. Формула (I) остается правильной и в том случае, когда некоторые из точек А, В к С совпадают. При этом надо считать длину „отрезка", начало и конец которого совпадают в одной точке, равной нулю. Например, если точка С совпадает с точкой А, то получим:

J5 + bä = ää = 0,

так как, как указано в § 24, АВ = — ВА.

Черт. 7

§ 26. Абсцисса точки на прямой.

Пусть на прямой дана точка О (черт. 8). Чтобы определить положение второй точки В на той же прямой, надо указать расстояние точки В от точки О и направление, в котором это расстояние надо откладывать. Если указать только расстояние, не указывая направления, то вместо одной точки В получится две точки В и В'. Выберем на нашей прямой какое-нибудь направление за положительное (на чертеже направление слева направо) и выберем какую-либо определенную единицу длины MN. Тогда, для того чтобы определить положение точки В на прямой, достаточно будет указать число, выражающее алгебраическую длину отрезка OB. Например, если сказано, что алгебраическая длина отрезка OB равна -j-2-g, то точка В должна лежать на расстоянии 2-g единиц длины от точки О в положительном направлении (как и изображено на чертеже).

Определение. Пусть на какой-либо прямой выбрано положительное направление и точка О (начальная точка). Пусть, кроме того, выбрана единица длины. Тогда, абсциссой точки В,

Черт. 8.

лежащей на прямой, называется число, выражающее алгебраическую длину направленного отрезка OB.

Например, абсцисса точки В на чертеже 8 равна -f-2 -g, абсцисса же точки В' равна

Абсциссой самой начальной точки О считается число нуль.

Начальную точку О называют также началом абсцисс.

Если точка передвигается по прямой, то абсцисса ее меняется. Каждому числу соответствует одна вполне определенная точка с абсциссой, равной этому числу. Например, на чертеже 8 обозначены точки с абсциссами — 4, -3, -2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4, 4-5. Значит, числа можно наглядно изображать при помощи точек на прямот каждое число изображается точкой, имеющей абсциссу, равную этому числу. Положительные числа изображаются точками, лежащими в положительном направлении от точки О, а отрицательные — точками, лежащими в отрицательном направлении от точки О. Число нуль, как уже сказано, изображается самой точкой О.

Поставим теперь такой вопрос: как, зная абсциссы двух точек А и В, узнать длину отрезка AB?

Абсцисса точки А равна длине отрезка OA, а абсцисса точки В — длине отрезка OB (черт. 9). По основной формуле § 25

04 + Äß = Öß.

Значит,

АВ = <ЭВ — Ш.

Иными словами: алгебраическая длина отрезка AB равна абсциссе точки В минус абсцисса точки А.

Рассмотрим, например, железнодорожную линию Москва—Севастополь. На этой линии к северу от Харькова лежат станции: Курск (245 км от Харькова), Орел (400 км от Харькова), Тула (589 км от Харькова) и Москва (783 км от Харькова). К югу от Харькова расположены: Запорожье(327 км от Харькова), Симферополь (685 км от Харькова) и Севастополь (762 км от Харькова). Если выбрать километр за единицу длины, Харьков за начало абсцисс и направление с юга на север за положитель-

Черт. 9.

Черт. 10.

ное, то каждая станция линии получит определенную абсциссу, как указано на чертеже 10.

Определим длину отрезка Курск — Запорожье. По только что установленному правилу она равна

(— 327) - (+ 245) = - 572 (км),

т. е. Запорожье лежит на расстоянии 572 км от Курска в отрицательном направлении (к югу). Точно так же длина отрезка Севастополь — Симферополь равна

(-685) —(-762) = + 77 км

и т. д.

§ 27. Смысл неравенств для любых рациональных чисел.

Пусть поезд выходит из Харькова и направляется в Москву (черт. 10). В каждый момент положение поезда определяется его абсциссой. На пути от Харькова до Москвы абсцисса поезда положительна и все время возрастает: в Орле она больше, чем в Курске, в Туле больше, чем в Орле, и т. д. Вообще, при движении точки по прямой в положительном направлении абсцисса точки возрастает. Наоборот, при движении по прямой в отрицательном направлении абсцисса точки убывает.

Пока мы можем высказать это правило только для положительных абсцисс, так как до сих пор смысл знаков > и < в применении к отрицательным числам не был установлен. Надо дать определение смысла этих знаков в применении к отрицательным числам. Естественно выбрать это определение так, чтобы высказанное выше правило было верно для любых абсцисс (положительных, отрицательных или равных нулю).

Если поезд двигается из Москвы в Харьков, то абсцисса его все время убывает и, наконец, в Харькове становится равной нулю. Это согласно с тем, что нуль меньше всех положительных чисел. Если поезд будет двигаться дальше в том же (отрицательном) направлении, то естественно считать, что абсцисса его продолжает убывать: что абсцисса Запорожья —327 меньше нуля, абсцисса Симферополя —687 еще меньше и т. д.

Итак, мы желаем определить смысл знаков неравенства > и < так, чтобы было:

b > а, если точка с абсциссой b лежит в положительную сторону от точки с абсциссой а;

b<ia, если точка с абсциссой b лежит в отрицательную сторону от точки с абсциссой а.

Например, по чертежу 8 сразу видно, что должно быть

— 4<-3< —2< —1<0<+1 < + 2< + 3< + 4< + 5.

Легко видеть, что этим принципам отвечают правила:

1. Всякое положительное число больше нуля и больше всякого отрицательного числа. Например: 7 > 0; 7 > —2.

2. Нуль меньше всех положительных чисел и больше всех отрицательных чисел.

3. Всякое отрицательное число меньше нуля и меньше всякого положительного числа. Например: —7<0; — 7<2.

4. Из двух отрицательных чисел то больше, у которого абсолютная величина меньше, и то меньше, у которого абсолютная величина больше. Например: — 7 > —8, —7 < — 2.

Замечание. В силу правила 2, для того чтобы коротко выразить, что число а положительно, можно писать а > 0, а для того чтобы выразить, что число а отрицательно, можно писать а<0.

Длина отрезка с началом в точке с абсциссой а и концом в точке с абсциссой b равна разности b — а (§ 25). Этот отрезок положителен, если b > а, и отрицателен, если Ь<^а. Значит,

Ь^>а, если b — а положительно;

b = а, если Ь — а = 0;

Ь<Са, если Ь — а отрицательно.

Например:

§ 28. Измерение времени.

То же самое, что было сказано в § 24 об измерении направленных отрезков, относится к измерению промежутков времени. За положительное направление здесь выбирают направление от более ранних событий к более поздним. Если, например, Петр родился позднее Павла на 5 лет, то можно сказать, что промежуток времени между рождением Павла и рождением Петра равен -f-5 годам. Если Павел родился на 7 лет раньше Андрея, то можно сказать, что промежуток между рождением Андрея и рождением Павла равен —7 годам.

Промежутки времени можно складывать так же, как складывают направленные отрезки.

Задача. Промежуток от рождения Андрея до рождения Павла равен а годам. Промежуток от рождения Павла до рождения Петра равен b годам. Каков промежуток от рождения Андрея до рождения Петра?

Ответ: искомый промежуток равен х = а~\-Ь годам.

Например, если а = —7, & = -(-5, то х = (— 7) + (+5)= — 2.

Удобно изображать промежутки времени отрезками на прямой. На чертеже 11 это сделано для нашей задачи. При этом более поздние события изображены точками, лежащими выше точек, изображающих более ранние события.

Точно так же, как в § 26 для обозначения положения точек на прямой была выбрана начальная точка О, выбирают какое-нибудь событие (какой-нибудь момент времени) за начало отсчета времен.

Черт. 11.

Какой-нибудь определенный промежуток времени выбирают за единицу измерения времени. Тогда любой другой момент времени может быть обозначен числом, выражающим промежуток времени, прошедший между моментом О и моментом Л1).

Например, если взять за начало отсчета полдень по московскому солнечному времени, а за единицу измерения минуту, то моменты наступления полудня в различных городах придется обозначить такими числами:

Ленинград +29

Тбилиси — 29

Минск +40

Горький — 27

Киев +28

Саратов — 34

Харьков +5

Баку — 49

Вычислим промежуток между полуднем в Саратове и полуднем в Киеве. Для этого надо из +28 вычесть —34:

(+28)-(-34) = + 62.

Значит, полдень в Киеве бывает на 1 ч. 2 м. позднее, чем в Саратове. Точно так же вычисляем промежуток между полуднем в Саратове и полуднем в Баку:

(- 49)—(-34) =- 15.

Значит, полдень в Баку бывает на 15 минут раньше, чем полдень в Саратове.

Вообще, промежуток времени между моментом, обозначенным числом t, и моментом, обозначенным числом Р, равен

§ 29. Другие применения положительных и отрицательных чисел.

Сведем вместе применения положительных и отрицательных чисел, с которыми мы познакомились.

Положительные числа выражают (при выбранной единице измерения):

Отрицательные числа выражают (при выбранной единице измерения):

1) положительные изменения любых величин;

1) отрицательные изменения любых величин;

2) положительные алгебраические длины отрезков;

2) отрицательные алгебраические длины отрезков;

3) положительные промежутки времени.

3) отрицательные промежутки времени.

Кроме алгебраических длин отрезков и промежутков времени существует еще много величин, которые могут быть

1) Это число, например, при астрономических расчетах называют эпохой момента А.

как положительными, так и отрицательными.1) Выбирая ту или иную единицу измерения, такие величины выражают положительными и отрицательными числами.

Например, температуру выше нуля считают положительной, а температуру ниже нуля — отрицательной температурой. Выбирая за единицу измерения, например, градус Цельсия, выражают положительную температуру положительным числом, а отрицательную — отрицательным.

Считая долг отрицательным имуществом, можно сказать, что имущество также может быть как положительным, так и отрицательным. Этот пример особенно интересен с исторической стороны. Долги были первыми величинами, для выражения которых еще индийские математики, больше тысячи лет назад, предложили пользоваться отрицательными числами.

УПРАЖНЕНИЯ 34-38 К ГЛАВЕ ПЯТОЙ.

34. На прямой расположены четыре точки Л, В, С, D. Известны длины отрезков: AB = + 7, ВС = — 4, CD = + 13. Вычислить длину отрезков АС, AD, BD. Сделать чертеж.

35. Для четырех точек Л, В, С, D на прямой дано: АВ = —4, ВС = -\-Ь% DC = + 8. Вычислить длину отрезка AD. Сделать чертеж.

36. Доказать, что для любых трех точек на прямой AB + ВС Л- CA —О.

37. Какие абсциссы получат станции на чертеже 10, если, сохранив положительное направление, за начало абсцисс взять не Харьков, а Орел?

38. Что больше: а) —1000 или +0,001; б) —17 или —18; в) тт: или 73 . г)—5 или I— 5|; д) +5 или |+5|? 10 1У

39. Вычислить по данным, приведенным на стр. 58 промежуток между наступлением полудня: а) в Киеве и в Харькове; б) в Баку и в Тбилиси; в) в Горьком и в Минске.

40*. Доказать, что из неравенства а > b вытекает неравенство —а < —Ь. 41*. Доказать, что для любого числа |д|>а.

42*. Доказать, что из а > Ь, 6 > с следует а > с.

43*. Доказать, что для любых чисел а и b верно неравенство [а + 6|<; <М + 1*|.

44. Часы Павла по сравнению с часами Андрея идут вперед на 5'40" (5 м. 40 с); часы Андрея отстают по сравнению с часами Петра на Г20", а часы Петра отстают от истинного времени на 30". Какие поправки надо сделать к показаниям часов каждого из них, чтобы получить правильное время?

45. Мои часы идут вперед на а секунд по сравнению со школьными, а часы в школе отстают на b секунд по сравнению с истинным временем. Какую поправку надо сделать к показаниям моих часов, чтобы получить правильное время?

46. Решить задачу 45, если: а) а = 10, 6 = 4; б) а = 4, 6—10. Сделать чертеж.

47. Термометр показывал утром +2°, а вечером —1,5°. Каково изменение температуры за день?

48. Утром температура воздуха была равна t градусов, с утра до полудня она изменилась на г градусов, а с полудня до вечера на q градусов, а) Чему равнялась температура воздуха вечером? б) Вычислить вечернюю температуру, если / = —12, г = 4-8, <7 = —9.

1) Однако в физике основное значение имеет употребление отрицательных чисел при измерении длин и промежутков времени. В самом деле, измерение всех физических величин сводится к измерению длин, промежутков времени и масс. Из этих трех основных видов величин массы не бывают отрицательными.

ГЛАВА ШЕСТАЯ.

УМНОЖЕНИЕ.

§ 30. Правило умножения.

Правило. Произведение двух множителей равно:

1) произведению абсолютных величин множителей, если оба множителя положительны или оба множителя отрицательны;

2) произведению абсолютных величин множителей, взятому со знаком минус, если один из множителей положителен, а другой отрицателен;

3) нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Например:

Если множители положительны или равны нулю, то наше правило не дает ничего нового по сравнению с тем, что известно из арифметики. Если же хотя бы один из множителей отрицателен, то это правило следует рассматривать как определение, которым впервые устанавливается, что следует понимать в этих случаях под произведением двух множителей. Как известно, определения не доказываются, а просто устанавливаются. Про определения новых понятий, которые раньше еще не употреблялись, не имеет смысла спрашивать: верны ли они? Можно только спрашивать: разумно ли (целесообразно ли) они выбраны?

Например, в § 17 были установлены правила сложения отрицательных чисел между собой и с положительными числами. Эти правила тоже не доказывались. Было только объяснено, почему разумно установить именно такие правила сложения, а не какие-либо другие. Определение вычитания в начале § 19 тоже не доказывалось. Только после того как смысл какого-либо действия уже определен, можно доказывать различные его свойства. Например, после того как вычитание уже было определено, было доказано, что вычесть число— это все равно, что прибавить противоположное ему число.

Правило, с которого начинается этот параграф, показывает, как найти произведение любых двух рациональных чисел а и Ь.

В следующей главе мы увидим, что это правило установлено в полном соответствии с потребностями, возникающими при решении практических задач. Сейчас же следует его просто запомнить и разобраться в вытекающих из него следствиях.

Когда в главе 4 этого отдела была определена сумма двух произвольных рациональных чисел, были соблюдены два условия:

1) оказалось возможным решать при помощи сложения в случае отрицательных данных те же задачи, которые в арифметике решались при помощи сложения в случае положительных данных;

2) при сложении любых рациональных чисел сохранились основные свойства, которые были известны раньше для сложения положительных чисел (§ 18).

То же самое будет достигнуто и в случае умножения. Можно показать, что для соблюдения второго условия, т. е. для того чтобы умножение любых рациональных чисел обладало основными свойствами умножения, записанными в § 7, необходимо определить умножение именно так, как мы это сделали.

В самом деле, в этом случае для любых чисел а и b должно быть ab + (— a) b = [а + (—а)] 6 = 0-6 = 0.

Но если

ab + (— a) b = О,

то числа ab и (— a) b — противоположны. Значит, при изменении знака одного из множителей произведение должно менять знак, а его абсолютная величина оставаться неизменной (это относится одинаково к изменению знака первого или второго множителя, так как произведение не должно зависеть от порядка множителей). Значит, меняя в произведении (+3)(+5) знак одного из множителей, мы должны получить (— 3) (+ 5) = — 15 и (+ 3) (— 5) = = — 15. Меняя в произведении (—3) (+5) = — 15 знак второго множителя, получим (— 3) (— 5; = — (— 15) = -f- 15.

Из правила умножения видно, что абсолютная величина произведения двух чисел всегда равна произведению их абсолютных величин. Что касается знака произведения, то способ его определения более коротко выражают так: при умножении двух чисел одинаковые знаки дают плюс (-}-), а разные минус (—).

Отметим еще такие следствия правила умножения:

Следствие 1. При умножении любого числа а на положительное число произведение имеет тот же знак, что и число а. При умножении любого числа а на отрицательное число произведение имеет знак, противоположный знаку числа а.

Следствие 2. При изменении знака одного из множителей знак произведения меняется, а при изменении знаков обоих множителей знак произведения остается неизменным1).

Это следствие можно записать при помощи тождеств:

(+a){+b) = + ab; (-\-à)(-b) = — ab; (—а) (+*) = —oft;

b) = + ab.

Например, если а — — 4, Ь — -\-7, то — а = + 4 и —Ь = —7, и в соответствии с формулой (4):

(+ 4)(- 7)= (- а)(- Ь) = + аЬ = (- 4)(+ 7) = - 28.

§ 31. Основные свойства умножения.

Для умножения любых рациональных чисел сохраняются осмовные свойства умножения, перечисленные в § 7.

1. Закон переместительности. ab = ba.

Справедливость этого закона для любых рациональных чисел (а не только для положительных, для которых он известен уже из арифметики) следует непосредственно из того, что в правиле умножения § 30 оба множителя равноправны и не делается

1) Как указано в мелком шрифте, можно, вместо того чтобы считать это предложение следствием правила умножения, поступать также и наоборот: взять это предложение за основу и вывести из него правило умножения.

никакого различия между первым и вторым множителем. Например:

(- 0,1) (+ 0,001) = (+ 0,001) (- 0,1) = - 0,0001.

2. Закон сочетательности. (ab) c = a(bc).

Например:

[(- 4)(+ 2)](- 3)=(- 8)(- 3) = + 24; (- 4) [(+ 2) (- 3)] = (- 4) (- 6) = + 24.

Докажем, что закон сочетательности верен для любых рациональных чисел. При этом мы будем считать, что справедливость этого закона для положительных чисел уже известна из арифметики. Во-первых, заметим, что если хотя бы одно из чисел а, Ь, с равно нулю, то обе стороны равенства (ab) с = = a (be) равны нулю и, следовательно, в этом случае оно верно. Допустим теперь, что все числа at Ьу с не равны нулю. Тогда абсолютные величины a, b, с все положительны. Значит, для этих абсолютных величин справедливо равенство:

(\а\\Ь\) \с\=\а\ (|*| |с|).

Так как абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин множителей, то в последнем равенстве слева стоит абсолютная величина выражения {ab) с, а справа — абсолютная величина выражения a (be). Итак, эти два выражения имеют одну и ту же абсолютную величину. Остается убедиться, что и знаки их совпадают. Для этого достаточно заметить, что оба эти выражения отрицательны, если среди чисел а9 Ь, с имеется либо одно, либо три отрицательных, и что оба выражения положительны, если отрицательных множителей либо вовсе нет, либо их два.

3. Основное свойство единицы. а • 1 = а.

Например:

(-101)- 1 = -101.

Если а положительно или равно нулю, то это свойство известно из арифметики. Если а отрицательно, то в силу правила умножения § 31 абсолютная величина произведения а • 1 равна \а\ • |lj = \а\ • 1 = а знак есть знак минус, т. е. совпадает со знаком самого числа а. Значит, и в случае отрицательного а основное свойство единицы сохраняется.

Заметим еще, что

а(— 1) = (— \)а=—(1 -а)=-а.

Значит, переменить знак у числа это все равно, что умножить это число на — 1.

Четвертым основным свойством умножения (свойством распределительности) мы займемся в § 35.

§ 32. Произведение нескольких множителей.

Пусть требуется вычислить произведение

Для этого надо первое число умножить на второе, полученное произведение — на третье число и т. д. :

(-1)(+2) = -2; (-2)(-3) = + 6; (+§)(-4)=-24; (— 24) (+5) = —120.

Мы видим, что абсолютная величина произведения оказалась равной произведению абсолютных величин множителей:

(+1)(+ 2)(+ 3)(+4)(+5) = + 120.

Чтобы понять, как определяется знак произведения нескольких множителей, будем в произведении

(+1 ) (+ 2) ( +3) (+ 4) (+ 5) = +120

менять знаки плюс перед отдельными множителями на минус. Если мы изменим знак одного множителя, то произведение из положительного превратится в отрицательное:

(+1)(+2)(+3)(-4)(+5)= -120.

Если изменить на минус знак третьего множителя., то произведение еще раз изменит знак и станет вновь положительным:

(+ 1) (+ 2) (- 3) (- 4) (+ 5) = +120.

Изменив на минус знак у первого множителя, получим вновь отрицательное произведение:

(- 1)(+ 2)(- 3) (- 4)(+ 5)= - 120.

Мы видим, что, когда число знаков минус перед множителями становится нечетным, произведение оказывается отрицательным, а когда число знаков минус перед множителями становится четным, произведение оказывается положительным.

Правило1). Произведение любого числа множителей равна произведению абсолютных величин множителей, взятому со знаком плюс, если число отрицательных множителей четное или их нет совсем, и со знаком минус, если число отрицательных множителей нечетное.

Примеры к правилу:

нет отрицательных множителей

один отрицательный множитель

два отрицательных множителя три отрицательных множителя

1) Правило остается верным и в том случае, когда некоторые из множителей равны нулю. Однако в этом случае оно бессодержательно: произведение равно нулю и безразлично, какой знак перед ним ставить.

Полезно еще заметить следующее: если в произведении любого числа множителей изменить знаки у четного числа множителей, то произведение останется неизменным, а если изменить знаки у нечетного числа множителей, то произведение изменит знак на противоположный.

Например:

Необязательно вычислять произведение нескольких множителей в том порядке, как они написаны. В самом деле, из законов переместительности и сочетательности можно вывести такое следствие1):

Произведение любого числа множителей не изменится, если произвольно переставлять множители, а также, если их произвольно разбивать на группы и каждую группу множителей заменять их произведением.

Например:

§ 33. Возведение в степень.

Возведение в степень положительных чисел и нуля было рассмотрено в § 2. Любая степень положительного числа положительна. Любая степень нуля равна нулю. Рассмотрим теперь степени какого-либо отрицательного числа:

Вообще, чтобы получить нечетную степень отрицательного числа, надо перемножить нечетное число отрицательных множителей; по правилу предыдущего параграфа результат получится отрицательный. Наоборот, четная степень отрицательного числа, как произведение четного числа отрицательных множителей, всегда положительна.

1) Строгий вывод этого следствия из законов переместительности и сочетательности не прост. Мы рассчитываем, что учащийся удовлетворится его проверкой на ряде примеров.

Итак, любая нечетная степень отрицательного числа отрицательна, а любая четная степень отрицательного числа положительна.

В частности, квадрат отрицательного числа положителен, а куб отрицателен. Например:

(-1)' = +1, (-2)2 = + 4, (—1)3 = —1, (-2)* = -8.

Заметим еще, что для любого числа (положительного, отрицательного или равного нулю):

(_а)2 = + а2, (-af = -а\ (-а)4 = + а4, (~а)6 = — а5 и т. д.

Рассмотрим, что получается при умножении степеней одного и того же числа:

Вообще, при умножении двух степеней одного и того же кисла получается степень того же числа с показателем равным сумме показателей перемножаемых степеней. Это правило можно записать в виде формулы:

ап • ат=ап+т.

Например:

210. 2^ = 1024 • 64 = 210 + 6 = 216 = 65 536.

Установленное сейчас правило можно применять к степеням любых алгебраических выражений. Например:

Если в каком-либо произведении имеется несколько одинаковых множителей, то удобно собрать их вместе и записать в виде степени:

Если в произведении несколько множителей является степенями с одинаковыми основаниями, то правило умножения степеней позволяет заменить их одним множителем. Например:

Рассмотрим теперь, как следует возводить в степень произведение нескольких чисел:

Вообще, чтобы возвести произведение в какую-либо степень, достаточно возвести в эту степень каждый множитель отдельно и результаты перемножить.

Займемся еще возведением степени в степень:

(а2)3 = (aäf — (аа) (аа) (аа) = аааааа = а6; (а3)4 = (aadf — (ааа) (ааа) (ааа) (ааа) = аааааааааааа =

Вообще, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Правило возведения степени в степень выражается формулой:

(ат )п = атп.

Например:

§ 34. Коэфициент.

Пусть дано произведение

Чтобы упростить это выражение, перемножают все множители, выраженные цифрами, и ставят их произведение впереди остальных множителей. Произведение от этого не изменится:

а • 3" b • 2 • 4 с • d=(3 • 2 • 4)abcd=24abcd.

Если перед некоторыми из множителей стоят знаки плюс или минус, то их можно заменить одним знаком, стоящим перед всем произведением (а именно, знаком -j-, если отрицательные множители имелись в четном числе, и знаком —, если отрицательные множители имелись в нечетном числе). Например:

(- а)(- 3)(- Ь)(+2)(- 4)(+*)(- d) = - 24abcd; 3 (— X) (—у) (— 4)z(— 5) = + 60xyz=ßOxyz.

Те же самые правила применимы и в том случае, когда некоторые из множителей представляют собой более сложные алгебраические выражения. Например:

Замечание. При этом надо помнить, что для определения знака произведения следует подсчитывать лишь число знаков минус, стоящих перед множителями, образующими это произведение. Например, в произведении

3(_a)(ô-c)(-4) [-(Ь-с)]

имеется знак минус перед тремя множителями. Поэтому

1) Сравнить упражнение 2 на стр. 12.

Итак, во всяком произведении можно все множители, выраженные цифрами, собрать в один и поставить его впереди остальных множителей, а все знаки плюс и минус перед отдельными множителями заменить одним, стоящим перед всем произведением. В таком упрощенном виде и принято записывать каждое произведение.

При этом, знак, поставленный перед всем произведением, можно считать относящимся к стоящему впереди множителю, выраженному цифрами. Например, если написано

— 5а2Ьс,

то можно считать, что это значит: умножить (—5) на а2, на b и на с. Стоящий в произведении на первом месте множитель, выраженный цифрами, вместе со знаком, поставленным перед всем произведением, называется коэфициентом1). Например, в произведении

коэфициент равен числу

а в произведении

коэфициентом является число 0,047 (или, что то же самое, + 0,047).

Замечание. Ясно, что

+ а*Ьс = (+1)а2Ьс; а(£— с) = (+l)a(b~ с); а = (+1)а; — x*y2z=(— l)x2y2z; — х=(—\)х.

Поэтому считают, что в выражениях

-\-а2Ьс\ а(Ь— с); а

коэфициент равен -f-1, или просто 1, а в выражениях

— x2y2z; —X

коэфициент равен — 1.

УПРАЖНЕНИЯ 49-64 К § 30-34.

49. Вычислить:

50. Вычислить

51. Вычислить выражение

52. Упростить 53- Вычислить:

1) Позднее слово коэфициент будет употребляться в другом более общем смысле (§ 48).

54. Упростить (аЬс)7аЦЬс)*с\

55. Вычислить а!1 + Ьп при п — 15, а = — 2, 6 = -|— 2.

56. Упростить (a3* )in .

57*. Доказать, что для любого а и любого натурального числа п справедливы равенства:

(_ а)2п= а2п = \а\2п; (- а)2п + 1 = - а2п + 1.

58. Упростить (— 1)(— 3^2)(_ д,2).

59. Упростить За8 у № (— 7) а,

60. Упростить laxy (— Ъ)хух.

61. Вычислить За62л:3 при я = 21, 6 = 14, л: = — -у,

62. Объем спирта при нагревании увеличивается. То количество спирта, которое при 0° С занимает объем в 1 куб. см, при температуре в t° С займет объем, равный

V = 1 +0,001049 t куб. см;

а) вычислить v при tf —+ 20°; б) вычислить v при / =— 30°; в) вычислить изменение объема v при охлаждении спирта от температуры в —23° до температуры в —33°.

63*. Формула предыдущего упражнения только приближенная. Более точная формула выглядит так:

V= 1+0,001049 / + 0,00000175 *2 + 0,000000013 ß.

Вычислить по этой формуле, какую поправку надо прибавить к значению v для —30°, вычисленному по формуле предыдущего упражнения (в ответе оставить пять десятичных знаков после запятой).

64*. Вес литра воздуха при температуре в f С и давлении в р см ртутного столба равен

Вычислить вес литра воздуха: а) при р = Ч6 и* = + 20; б) р — 76 и t = — 20; в) при р = 41 (таково обычное давление на высоте около 5000 м) и —20.

§ 35. Закон распределительности умножения.

В § 31 осталось не рассмотренным последнее из основных свойств умножения :

4. Закон распределительности.

(a -f- b) с = ас -f- be.

Этот закон также остается правильным при сложении и умножении любых рациональных чисел. Например:

К-7Ж+3)](-2) = (-4)(-2)=+8; (- 7) (- 2)+(+ 3) (- 2) = (+14) + (- 6) = + 8.

Доказательства закона распределительности мы не даем ввиду его сложности. Учащемуся рекомендуется ограничиться проверкой этого закона на ряде примеров.

Закон распределительности легко обобщается на случай, когда умножается сумма любого числа слагаемых:

Вообще, чтобы умножить сумму на какое-либо число, достаточно умножить на это число каждое из слагаемых и полученные произведения сложить. Например:

К- 3) + (+ 2) + (- 7) + (+ 5)] (- 2) = (- 3) (- 2) + (+ 2) (- 2) + + (-7)(-2) + (+5)(-2)= + 6.

Правило это применяется к любым алгебраическим суммам. Например:

Замечание. Тождество

(а — Ь) с = ас — be

выражает правило: чтобы умножить разность на какое либо число, достаточно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и из первого вычесть второе. Мы видим еще раз, как введение алгебраических сумм делает излишним отдельное изучение свойств вычитания: они входят как частные случаи в общие свойства алгебраических сумм.

Те же самые правила применимы и к умножению сумм любых алгебраических выражений на любое алгебраическое выражение.

Например:

§ 36. Вынесение общего множителя за скобки.

Иногда бывает полезно, наоборот, общий множитель, имеющийся у всех членов суммы, вынести за скобки. Например, выражение

можно преобразовать в выражение:

из которого оно было получено в предыдущем примере.

Приведем еще примеры вынесения общего множителя за скобки:

§ 37. Подобные выражения. Приведение подобных членов суммы.

Два алгебраических выражения называются подобными, если они отличаются только коэфициентами (или совсем не отличаются). Например, все три выражения

подобны между собой. Точно так же выражения

подобны между собой (их коэфициенты равны —5, +1 и —1). Закон распределительности умножения позволяет легко вычислить сумму двух, или нескольких, подобных выражений. Например:

Часто в алгебраической сумме имеется несколько групп подобных между собой членов. В этом случае сумму можно упростить, сложив члены каждой группы между собой. Например, в сумме

первую группу подобных членов образуют члены Ъх*у, -\- 2хъу и —х3у, а вторую группу подобных членов образуют члены — 6х2 и -\-х2; член -\-ху не имеет себе подобных. Рассмотренная сумма упрощается так:

Мы видим, что каждую группу подобных между собой членов суммы можно заменить одним подобным им членом, у которого коэфициент равен алгебраической сумме коэфициентов всех членов группы. Такую замену называют приведением подобных членов суммы.

Замечание. Если сумма коэфициентов нескольких подобных членов равна нулю, то при приведении подобных членов эти члены могут быть просто выброшены. Говорят, что они взаимно уничтожаются.

Например:

§ 38. Умножение суммы на сумму.

Из закона распределительности умножения вытекает:

Вообще, чтобы умножить сумму на сумму, достаточно умножить каждый член первой суммы на каждый член второй суммы и все полученные произведения сложить. Например:

Установленное правило можно применять к алгебраическим суммам, члены которых являются любыми алгебраическими выражениями. Например:

Замечание. Для того чтобы при перемножении двух сумм не сбиться, надо держаться определенного порядка, например: умножать все члены первой суммы на первый член второй, потом умножать все члены первой суммы на второй член второй суммы и т. д.

При умножении двух сумм могут получиться подобные члены. В этом случае следует сделать их приведение. Например:

§ 39. Некоторые формулы сокращенного умножения.

В этом параграфе мы отметим некоторые специальные случаи умножения сумм. Семь формул этого параграфа следует запомнить.

1. (a + b)(a-b)=a* — Ь\

В самом деле,

В самом деле,

В самом деле,

В самом деле,

В самом деле,

В самом деле,

В самом деле,

Все семь доказанных выше равенств справедливы при любых значениях а и Ь, т. е. являются тождествами. Их можно применять, подставляя вместо букв- а и b любые числа, а также любые алгебраические выражения.

Примеры.

УПРАЖНЕНИЯ 65-77 К § 35-39.

65. Сделать приведение подобных членов в суммах:

66. Упростить

67. Умножить

68. Проверить тождество:

69. Упростить

70. Вычислить

71. Упростить

72. Вычислить

73. Упростить

74. Упростить

75. Упростить

76. Вынести за скобки общего множителя членов суммы:

77. Упростить

§ 40. Исторические сведения о возникновении отрицательных чисел.

Употребление отрицательных чисел представляет большие удобства даже в таких задачах, в которых и данные числа и решения положительны. Например, выражение

5-(7-4)

может встретиться в арифметической задаче до всякого упоминания об отрицательных числах. Но только с введением отрицательных чисел становится возможным раскрыть в этом выражении скобки и написать

5 — (7 — 4) = 5 — 7 + 4.

Точно так же при умножении

(л: — 2) (л: — 3) = х2 — Ъх + 6,

даже если по смыслу задачи разности х — 2 и х — 3 должны быть положительными, очень удобно знать, что —2, умноженное на —3, дает -f-6. Диофант (IV в. нашей эры) еще не знает в собственном смысле слова отрицательных чисел. Но некоторые его правила, относящиеся к „вычитаемым" числам, очень близки к современным правилам действий с отрицательными числами. Например, он дает такое правило: „От умножения вычитаемого числа на прибавляемое получится вычитаемое, а от умножения вычитаемого на вычитаемое получается прибавляемое". Этим правилом Диофант и пользуется при таких вычислениях, как (х — 2)(х — 3) = jc2 — Ъх-\- 6. Однако „вычитаемые" числа Диофанта еще не являются настоящими отрицательными числами: „вычитаемые" числа всегда из чего-либо вычитаются, независимо же от этого им не придается никакого определенного смысла.

Индийские математики (например Брамагупта, около 620 г. нашей эры) в отличие от Диофанта, свободно вычисляют с отрицательными числами, не

пугаясь равенств вроде — 2х = — 4 и т. п., в которых отрицательные числа стоят отдельно. Им известно также употребление отрицательных чисел для обозначения долгов (§ 30): имущество, вычитаемое из нуля, становится долгом и т. п.

Однако и у индийских и у арабских математиков главным назначением отрицательных чисел остается облегчать алгебраические преобразования, данные же и искомые в задачах обычно остаются положительными.

В Европе до XVII в. отрицательные решения задач тоже считались обычно „невозможными" или „нелепыми". Только в XVII в. с широким развитием изучения переменных величин и их изменений и направленных физических величин (скорости, силы и т. п.) отрицательные числа входят во всеобщее употребление. В это же время распространяется геометрическое изображение положительных и отрицательных чисел (§ 26).

ГЛАВА СЕДЬМАЯ.

ДЕЛЕНИЕ.

§ 41. Определение деления. Правило деления.

Определение деления любых рациональных чисел остается то же, что и в арифметике: разделить одно число (делимое) на другое число (делитель) значит найти третье число (частное), которое при умножении на делитель дает в произведении делимое.

Например:

Вообще, по определению, a:b = q, значит, что

a = qb. (1)

Иначе говоря, делимое равно произведению делителя и частного. На это равенство и опираются все рассуждения о делении.

Замечание. Частное от деления числа а на число b называется также отношением числа а к числу Ь.

Рассмотрим различные случаи, которые могут представиться при делении.

Г. Делимое равно нулю, а делитель не равен нулю. В этом случае частное равно нулю. В самом деле, если а = 0, ЬфО, то равенство (1) будет справедливо при # = 0, так как

0-6 = 0,

каково бы ни было Ь. Никакое другое число сфО не даст по умножении на ЬфО в произведении 0.

2°. И делимое и делитель равны нулю. Казалось бы в этом случае частное, как и в предыдущем случае, должно равняться нулю, так как

0-0 = 0.

По этому поводу надо заметить следующее. Верно, что частное от деления нуля на нуль можно положить равным нулю; но верно также, что частное от деления нуля на нуль можно положить равным любому, совершенно произвольному числу q, так как всегда

9-0 = 0.

Другими словами, деление нуля на нуль приводит вместо какого-нибудь одного определенного результата к полной неопределенности, поэтому оно в математике не рассматривается.

3°. Делимое не равно нулю, а делитель равен нулю. В этом случае никакое число не может быть частным: какое бы число q мы ни взяли, помножая его на делитель, т. е. на нуль, мы получим нуль, т. е. никогда не получим делимое а ф 0. Итак, разделить на нуль число, отличное от нуля, невозможно. Подводя итог рассмотренным двум случаям (2° и 3°), в которых делитель равен нулю, можем кратко сказать:

делить на нуль никогда нельзя.

4°. И делимое и делитель не равны нулю. Пусть при делении афО на ЬфО получилось частное q. Это значит, что

a^qb. (1)

Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин множителей (см. § 30):

|а|=М-|*1;

следовательно, по определению деления

\q\ = \a\:\b\,

т. е. абсолютная великина частного равна частному от деления абсолютной величины делимого на абсолютную величину делителя.

Что касается знака частного, то из равенства (1) и правила умножения (§ 30) ясно:

Если а и b положительны, то q должно быть положительным, так как только положительное число по умножении на положительное b может дать положительное а.

Если а положительно, a b отрицательно, то q должно быть отрицательным, так как только отрицательное число по умножении на отрицательное b может дать положительное а.

Если а отрицательно, a b положительно, то q должно быть отрицательным, так как по умножении на положительное b оно должно дать отрицательное а.

Наконец, если я а я b отрицательны, то q должно быть положительным, так как по умножении на отрицательное b оно должно дать отрицательное а.

Таким образом, частное q определяется и по абсолютной величине и по знаку.

Итогом всего сказанного является следующее правило:

Правило деления. Абсолютная величина частного равна частному от деления абсолютной величины делимого на абсолютную величину делителя. Частное положительно, если делимое и делитель оба положительны или оба отрицательны; частное отрицательно, если из двух чисел, делимого и делителя, одно положительно, а другое отрицательно. Частное равно нулю, если делимое равно нулю; деление невозможно, если делитель равен нулю.

Часть правила деления, относящаяся к определению знака частного, может быть кратко выражена точно так же, как и в случае умножения: при делении одинаковые знаки дают плюс, а разные — минус. Отметим еще такое следствие правила деления:

Знак частного меняется, если изменить знак делимого, оставляя делитель без перемены, а также, если изменить знак делителя, а делимое оставить без перемены. Знак частного не меняется, если изменить знаки и у делителя и у делимого одновременно. Это следствие можно записать при помощи формул:

§ 41*. Доказательство закона распределительности умножения.

В этом параграфе мы докажем, что для любых рациональных чисел а, Ь, с справедливо равенство

(а + Ь) с = ас + be.

Доказательство это пришлось отложить до настоящего места книги, так как в нем приходится делить числа, которые могут быть и отрицательными, а это мы научились делать только сейчас. Рассмотрим отдельно такие случаи:

1°. Числа а и b какие угодно, число с целое положительное. В этом случае произведение {а -\-Ь) с равно сумме с слагаемых, равных а + Ь. Например, если с — 3, то

(a + b).3 = (a+b)+(a + b) + (a + b).

Такую сумму можно вычислить в другом порядке: сначала сложить с слагаемых, равных a, a потом к их сумме прибавить сумму с слагаемых, равных Ь. Например, в случае с = 3, получим

(а + Ь) • 3 = (а + Ь) + (а + Ь) + (а + Ь) = (а + а + а) + (b + b + b) = За + ЗЬ.

Точно так же и при любом целом положительном с получится

(a -f- b) с = ас + be.

2°. Числа а и b какие угодно, число с положительное. Положительное рациональное число с можно записать в виде с = —, где т и п положительные целые числа. Рассмотрим выражения

Если умножить первое из них на л, то получится (так как для умножения на целые положительные числа закон распределительности уже доказан):

Умножая на п второе из наших выражений, получим:

Значит, оба наши выражения равны частному от деления am 4- bm на п и, следовательно, равны между собой:

(а + Ь) с = ас + be.

3°. Числа а и b какие угодно, число с отрицательное. При изменении знака одного из множителей знак произведения меняется. Поэтому

{а-\-Ь)с = -[{а + Ъ){-с)].

Число —с, противоположное числу с, в нашем случае положительно. Для положительных чисел закон распределительности уже доказан; поэтому:

(а + Ь) с = — [(а + Ь) (— с)] = —[а(—с) + Ь(— с)) = -(—ас — be) = ас + be.

Мы видим, что закон распределительности справедлив и в случае отрицательного с.

4°. Числа а и b какие угодно, число с равно нулю. В этом случае

(a + b)c = (a + b)0 = 0 и ас + Ьс=^а-0 + Ь0 = 0 + 0 = 0.

Следовательно, и в этом случае

§ 42. Числа, обратные друг другу.

Числом, обратным к данному числу а, называется число-—-

Так как единицу можно разделить на всякое число, кроме нуля, то для всякого числа, не равного нулю, имеется обратное число и притом лишь одно. Из правила деления следует: обратное число к положительному числу положительно, обратное число к отрицательному числу отрицательно; числа, обратного нулю, вовсе нет.

Примеры обратных чисел.

Применяя к частному — основное свойство деления („делимое равно произведению частного и делителя"), получаем основное свойство обратного числа: произведение данного числа на обратное ему число равно единице.

Значит, можно сказать: обратное число к данному числу — это такое число, которое при умножении на данное число дает в произведении 1. Отсюда следует: обратное число к числу -~- есть число а.

Итак, числа au — являются числами, обратными друг другу.

Теорема. Разделить какое-нибудь число а на число b это все равно, что помножить число а на число, обратное числу Ь:

В самом деле, умножая а ■ \ на Ь, имеем:

Итак, умножая число а--^-на Ь> получаем а; значит, а • ~ есть частное от деления а на о, т. е.

что и требовалось доказать. Например:

Следствие 1. Разделить какое-нибудь число а на число, обратное числу Ь, это все равно, что умножить а на Ь.

В самом деле, так как число, обратное числу —, есть &, то по доказанной теореме

Следствие 2. Число,обратное отношению есть отношение —

В самом деле,

Значит, умножая отношение -у на отношение —, получаем:

Например:

§ 43. Свойства деления.

1°. Чтобы разделить произведение нескольких чисел на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число один из множителей.

Пусть, например, требуется разделить произведение трех множителей abc на р. Частное можно записать в виде:

В самом деле, умножая -ybc на /?, получим:

Значит, по определению деления, действительно

Точно так же

и

Те же самые рассуждения можно повторить в случае деления произведения любого числа множителей. Примеры.

2°. Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение нескольких множителей, достаточно разделить это число на первый множитель, полученное частное разделить на второй множитель, частное от этого второго деления разделить на третий множитель и т. д.— до исчерпания всех множителей произведения.

Пусть, например, требуется разделить х на произведение трех множителей abc. Покажем, что частное можно записать в виде:

X : а : b : с.

В самом деле, умножая х:а :Ь :с на abc, получим

(x:a:b :c)abc = (x :a:b: c)cba = (x:a \Ъ)Ьа—(х :а)а = х.

Значит, по определению деления, действительно

X :(abc) = x :а :Ь :с.

То же самое рассуждение можно повторить и в случае деления на произведение любого числа множителей. Примеры.

204 :(2-2-3)-=204 :2 :2 :3 = 102 :2 :3 = 51 :3 = 17; (- 6) : [(- 3)(- 2)] = (- 6) :(- 3) : (- 2) = (+ 2):(-2) = -1.

3°. Частное не меняется, если и делимое и делитель помножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Это свойство деления можно записать в виде формулы:

а : b = ас : be

(при этом предполагается, что с не равно нулю). Для доказательства справедливости написанной формулы умножим а:Ь на be. Получится

(а : b) Ьс = ас.

Значит, а : b действительно есть частное от деления ас на be, что и требовалось доказать. Примеры.

Так как разделить на какое-нибудь число все равно, что умножить на обратное число, то из свойства 3° вытекает:

Следствие. Частное не меняется, если делимое и делитель разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

Например:

4°. Чтобы разделить сумму на какое-либо число, достаточно разделить каждое слагаемое на это число и полученные частные сложить.

Пусть, например, требуется разделить сумму четырех слагаемых a+ô + c+d на X. Разделить на х это то же самое, что умножить на

Из § 35 мы уже знаем, что умножение суммы можно производить почленно:

Значит,

То же самое рассуждение можно повторить и в случае деления суммы любого числа слагаемых. Примеры.

Правило 4° можно применять к любым алгебраическим суммам.

Примеры.

Замечание. Формула

выражает правило: чтобы разделить разность двух чисел на какое-нибудь число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

УПРАЖНЕНИЯ 78—87 К § 41-43.

78. Вычислить:

79. Проверить равенства:

80. Написать числа, обратные к числам:

81. Упростить

82. Вычислить значение выражения:

83. Средним арифметическим п чисел аь а2, я3,.. , ап называется число

а) Вычислить среднее арифметическое пяти чисел:

б) Вычислить среднее арифметическое трех чисел:

84. Суточная максимальная и суточная минимальная температура воздуха в первые десять дней февраля составляла:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Максимальная . . .

-2°

—4°

+2°

+5°

+1°

-2°

-9е

—6°

Минимальная . . .

-5°

—11°

-6°

-4°

-12°

-10°

—13е

—11°

-7°

-2°

Вычислить среднее арифметическое за десять дней: а) максимальных суточных температур; б) минимальных суточных температур; в) суточных колебаний температуры (т. е. разностей между максимальной и минимальной суточной температурой), г) Вычислить для каждых суток среднее арифметическое минимальной и максимальной температуры.

85*. Доказать, что сумма уклонений ах — я, а2, — а, ав — а, ап—а чисел аг, я2» #з«*'" ап от их среднего арифметического а равна нулю.

86*. Доказать, что среднее арифметическое нескольких чисел, которые не все равны друг другу, меньше наибольшего из них и больше наименьшего из них.

87*. Доказать, что абсцисса середины отрезка ab равна среднему арифметическому из абсцисс точек а и в.

§ 44. Алгебраические дроби; понятие об их сокращении.

Частное (отношение) двух алгебраических выражений, записанное при помощи черты, называется алгебраической дробью. Например,

суть алгебраические дроби. При этом, делимое называется

числителем, а делитель — знаменателем. Например, алгебраическая дробь

имеет числителем число

а знаменателем число

Дроби, рассматриваемые в арифметике, являются частным случаем алгебраических дробей: у арифметических дробей числитель и знаменатель всегда целые положительные числа.

Так как алгебраическая дробь есть частное от деления числителя на знаменатель, а частное не меняется при умножении (или делении) числителя и знаменателя на одно и то же число, не равное нулю, то:

Значение дроби не изменится, если умножить (или разделить) числитель и знаменатель на одно и то же число, не равное нулю.

Это основное свойство дроби записывается в виде формул:

в которых предполагается, что число с не равно нулю (конечно, не должно равняться нулю и Ь, так как тогда уже с самого начала дробь -~ не имела бы смысла).

Читая формулу

справа налево, мы видим, что если числитель и знаменатель дроби представлены в виде произведений, имеющих общий множитель, то этот множитель можно опустить без изменения значения дроби. Например:

Такое упрощение дроби называется ее сокращением.

Замечание. В конце § 41 мы видели, что

Так как числа, противоположные к равным, равны, получаем:

Значит, меняя знак у числителя или у знаменателя дроби и ставя перед всей дробью знак минус, получаем выражение, равное первоначальной дроби. Например:

В конце § 41 была также установлена формула

Значит, если изменить знак и у числителя и у знаменателя, то значение дроби останется без изменения. Например:

§ 45. Условие равенства двух дробей.

Теорема. Если для четырех чисел а, Ьщ с, d справедливо равенство

~b = ~dy

то для них справедливо также равенство

ad = be.

Доказательство. При умножении равных чисел на одно и то же число получаются равные произведения. Умножая -г на bd, получим:

—rbd = ad. b

Умножая на то же самое число bd, получим

Значит, действительно, если числа и равны, то и числа ad и be равны.

Обратная теорема. Если для четырех чисел а, Ь9 с9 d справедливо равенство

ad = be

и числа Ь и d не равны нулю, то справедливо также равенство

Доказательство. При делении равных чисел на одно и то же число, не равное нулю, получаются равные частные. Деля ad на bd9 получим:

Деля be на то же число bd, получим:

Значит, если числа ad и be равны, то и числа -g и равны.

Содержание двух доказанных теорем можно высказать еще так: две дроби равны, если произведение числителя первой дроби на знаменателя второй дроби равно произведению знаменателя первой дроби на числителя второй и только в этом случае. Например, дроби

равны, так как Точно так же дроби

равны, так как

§ 46. Деление степеней одного и того же числа.

Пусть, вообще, надо разделить ап на ат, где п больше т. Так как п = (п — т)-\-т, то

При делении степени какого-нибудь числа на меньшую степень того же числа показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого.

Мы рассмотрели деление ап на ат при п > /я. Рассмотрим два других возможных случая. Если п—т, то ап = ату и мы имеем просто

Если то т — (т — п)-{-пу и

Например:

Объединяя все три случая, запишем:

Примеры.

УПРАЖНЕНИЯ 88-90 К § 44-46.

88. Сократить дроби:

89. Проверить равенства:

90. Решить, равны ли между собой следующие дроби:

ГЛАВА ВОСЬМАЯ.

ПРИМЕНЕНИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ. ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. ПРОПОРЦИИ.

§ 47. Пропорциональная зависимость.

Будем измерять вес различных объемов какой-либо жидкости, например ртути. Если взять ртути по объему вдвое больше, то и вес ее увеличится в два раза; если объем уменьшить в два раза, то вес тоже уменьшится в два раза. Вообще, если изменить объем ртути в каком-либо отношении, то и вес ее изменится в том же самом отношении.

Так, если отношение объемов ртути в двух сосудах будет равно 0,74, то и отношение весов будет равно тому же числу 0,74. Такая зависимость между объемом ртути и ее весом называется прямой пропорциональной зависимостью. Вообще, две величины прямо пропорциональны друг другу, если при изменении одной из них в каком-нибудь отношении другая меняется в том же отношении.

В алгебре мы будем иметь дело не с самими величинами, а с числами, получающимися от их измерения. Будем, например, измерять объем ртути в кубических сантиметрах, а ее вес — в граммах. Пусть х куб. см ртути весят у г. Число х может меняться: ртути по объему можно взять больше или меньше. При этом, число у (выражающее вес взятой ртути в граммах) тоже будет меняться. Изменение числа у зависит от изменения числа х; каждому определенному значению числа х соответствует определенное значение числа у: 1 куб. см ртути весит 13,6 г, 2 куб. см ртути весят 27,2 г; значит, когда х=1, число у равняется 13,6; когда х-=2, число у равняется 27,2 и т. д. Значит, можно сказать, что оба числа х и у переменные и притом связанные между собой известной зависимостью.

Зависимости между переменными числами бывают очень разнообразные; более полно мы займемся их изучением во второй части алгебры. В рассмотренном нами примере зависимость между X и у такова, что, когда х меняется в каком-либо отношении, то и у меняется в том же самом отношении.

Определение. Два переменных числа называются прямо пропорциональными (или просто пропорциональными), если при изменении одного из них в каком-либо отношении другое меняется в том же отношении.

Например, переменные числа х и у в рассмотренном выше примере прямо пропорциональны (коротко говорят: вес ртути пропорционален ее объему; то же самое, конечно, справедливо и для веса и объема любого однородного вещества).

§ 48. Формула пропорциональной зависимости.

Рассмотрим два переменных числа х и у, пропорциональных друг другу. Если X принимает значение 1, то у принимает какое-то определенное значение, которое мы обозначим буквой А.

Возьмем какое-нибудь другое значение х, тогда соответствующее новое значение у должно (по определению пропорциональности) находиться к числу k в таком же отношении, как х к 1:

Но если у :k = x, то

y — kx. (1)

Мы видим, что если переменное число у пропорционально переменному числу ху то значение у, соответствующее любому данному значению х, находится по формуле (1), где k есть постоянное число, равное тому значению у, которое соответствует х=1.

Замечание. При этом k не равно нулю, так как иначе

ух .

равенство -^ = -у не имело бы смысла.

Пусть, например, х попрежнему обозначает объем ртути в кубических сантиметрах, а у — вес этого объема в граммах. Вес 1 куб. см ртути равен 13,6 г. Значит, в нашем случае £=13,6 и

д/=13,6 X.

По этой формуле можно вычислять вес в граммах (у) любого данного объема ртути, выраженного в кубических сантиметрах (х). Например, если х = 105, то

у = 13,6- 105=1428.

Постоянное число k в формуле (1) называется коэфициентом пропорциональности (переменного у по переменному л:)-

Замечание 1. Вообще, постоянный множитель при выражении, содержащем переменные, принято называть коэфициентом, хотя бы он и был выражен буквами, а не цифрами. Таким образом, смысл слова коэфициент расширяется по сравнению с смыслом, приданным этому слову в § 34.

Замечание 2. Вместо переменное число мы будем дальше часто говорить просто переменное.

Докажем теперь, что, и обратно, если зависимость между двумя переменными х и у выражается формулой (1) с постоянным коэфициентом £, не равным нулю, то переменные X и у пропорциональны.

Для доказательства допустим, что переменные х и у связаны зависимостью, выражающейся формулой (1). Тогда, любым двум значениям хг и х2 переменного х соответствуют значения

уi —— kX-^f уQ " kXsy

переменного у. Вычислим отношение yt:yv Оно равно

Значит, при изменении переменного х в отношении х2 : хг пе~ ременное у изменяется в том же самом отношении у2:у1 = = х2:х1. Значит, переменные х и у действительно пропорциональны, что и требовалось доказать.

Приведем еще пример пропорциональной зависимости. Если цена товара равна k рублей, то стоимость х единиц товара будет равна = ^ рублей.

Значит, при постоянной цене за единицу товара, стоимость товара пропорциональна его количеству.

Замечание. Если переменное у пропорционально числу, обратному переменному х, т. е. числу —, то говорят, что переменное у обратно пропорционально переменному х. В этом случае зависимость у от х выражается формулой: £

У=х>

где k — постоянное число (коэфициент пропорциональности). Из этой формулы вытекает, что ху = k и, следовательно,

Значит, если у обратно пропорционально ху то и х обратно пропорционально у. говорят, что X и у обратно пропорциональны друг другу.

Если хну обратно пропорциональны друг другу, то, когда х меняется в каком-либо отношении, у меняется в обратном отношении. Это значит, что если значениям х^ и х2 переменного х соответствуют значения ух и у2 переменного у, то отношение jy2:у1 равно числу, обратному отношению х2:хъ т.е. отношению jcj : х2. Это свойство обратной пропорциональности записывается формулой: - у2:у1 = х1:х2.

Эта формула доказывается так: xAyx = k, x2y2~k\ следовательно, х2у2 = Xjyb откуда по условию равенства дробей (§ 47)

Более подробно мы займемся изучением обратной пропорциональности во второй части этой книги.

§ 49. Уравнение равномерного движения.

В обоих примерах предыдущего параграфа не имело смысла приписывать переменным числам х и у отрицательные значения (вес и объем ртути, количество и цена товара не бывают отрицательными). Рассмотрим теперь такой пример пропорциональной зависимости, в котором и положительные и отрицательные значения переменных имеют практический смысл.

Пусть точка равномерно движется по прямой в каком-либо определенном направлении. Это значит, что за равные промежутки времени точка проходит отрезки одинаковой длины. Если, при этом, точка за промежуток времени в один час проходит отрезок длиной в v км, то скорость точки равна v км\час. Длина отрезка, пройденного точкой за промежуток времени в t часов, будет равна

s = vt км. (1)

Формула (1) показывает, что при равномерном движении длина отрезка, пройденного точкой, пропорциональна прошедшему промежутку времени. Коэфициентом пропорциональности при этом служит скорость.

Выберем на нашей прямой начальную точку О (начало абсцисс) и положительное направление. Будем считать, что равномерно движущаяся точка X в начальный момент времени (при £=0) находится в начальной точке О. К моменту времени t точка X пройдет отрезок длины vt, начинающийся в точке О. Значит, абсцисса х точки X в момент времени t будет равна

x = vt (2)

Так выглядит формула, или уравнение, равномерного движения в том случае, когда движущаяся точка в начальный момент находится в начале абсцисс. Мы видим, что в этом случае абсцисса X пропорциональна времени t. Коэфициент пропорциональности X но t равен скорости v.

Будем, например, рассматривать движение поезда по железнодорожной линии. Какое-нибудь направление на этой линии выберем за положительное. Если поезд делает 60 км/час в положительном направлении, то его скорость равна -f-60, если же он делает 60 км\час в отрицательном направлении, то его скорость равна —60.

Пусть в начальный момент времени поезд проходит мимо какой-либо станции1). Эту станцию мы и примем за начало абсцисс. Тогда положение поезда в различные моменты времени можно вычислять по формуле (2). Например, если скорость поезда равна -f-60 км, то через 2 часа абсцисса поезда будет равна

х = vt = (+ 60) (+ 2) = _|_ J 20>

т. е. поезд будет находиться на расстоянии 120 км от станции в положительном направлении (черт. 12).

Покажем теперь на примерах, что формула (2) остается справедливой, если придавать в ней скорости V и времени t любые значения. Мы убедимся таким образом, что умножение положительных.чисел на отрицательные и отрицательных на отрицательные может употребляться при решении практических задач.

Сначала оставим скорость поезда положительной и равной -f-60 км. Зададим себе вопрос: где находился поезд за 2 часа до начального момента, т. е. в момент времени, обозначенный числом —2. По формуле получим абсциссу поезда в момент времени t = — 2 равной

X = vt = (+ 60) (— 2) = — 120,

Черт. 12.

1) В следующих далее задачах мы будем считать движение поезда равномерным, считая, что он на нужном нам участке не делает остановки или что этими остановками можно пренебречь.

т. е. поезд должен был находиться за 2 часа до начального момента на расстоянии 120 км от станции в отрицательном направлении (черт. 12). Легко сообразить и не пользуясь формулой, что этот вывод правилен.

Пусть теперь v— — 60, т. е. поезд двигается в отрицательном направлении, делая 60 км\яас. При t=-\-2 получаем по формуле:

x = vt=(- 60) (+ 2) = - 120.

И в самом деле, через 2 часа после начального момента поезд, двигаясь в отрицательном направлении, должен оказаться в точке с абсциссой —120. При t= — 2 по формуле получится:

x = vt=(— 60) (— 2) = + 120.

И в самом деле, легко понять, что в этом случае поезд за 2 часа до начального момента должен был находиться в точке с абсциссой +120.

§ 50. Более общее уравнение равномерного движения.

Допустим теперь, что в какой-либо момент времени t0 подвижная точка имеет абсциссу х0 (раньше мы предполагали, что в начальный момент точка

находится в начале абсцисс, т.е. что t0 — 0 и х0 = 0). Постараемся, зная скорость точки v, определить абсциссу точки х для любого момента времени t.

Промежуток времени от момента Д° момента t равен t—t0. Пусть за этот промежуток времени подвижная точка переместилась из положения Х0 в положение X (черт. 13). По формуле (1) предыдущего параграфа длина отрезка XqX равна

XjC = v(t-t0).

Черт. 13.

Длина отрезка ОХ0 равна абсциссе подвижной точки в момент времени /0:

ОХ0 = х0.

Длина отрезка ОХ равна абсциссе подвижной точки в момент времени t\

ОХ = х.

Значит,

x=~ÖX=ÖX0 +XÔ*= *о + v(t- t0).

Мы получили общее уравнение (формулу) равномерного движения:

x = xQ+v(t — t0). (3)

Это уравнение выражает зависимость, существующую между числами х% х0 , v, tQ и t. Из этого уравнения сразу видно как, зная х0 , v, t0 и t, вычислить Хщ

Задача 1. Через час после начального момента времени поезд находился на расстоянии 45 км в положительную сторону от станции. Поезд двигается в отрицательном направлении, делая 65 км/час. Где будет находиться поезд через 3 часа после начального момента?

Решение. Здесь х0 = + 45, v — — 65, tf0 = + 1» ^ = + 3.

Поэтому

X = ~\- 45 -j- (— 65) (3 — 1) ~ — 85,

т. е. через 3 часа поезд должен находиться на расстоянии 85 км в отрицательном направлении от станции.

В разобранной задаче неизвестным в уравнении (3) было число х. Уравнением (3) можно воспользоваться и иначе. Например, если известны х, х0 , tQ и t, то по уравнению (3) можно найти v. В самом деле, сумма х0 и v (t — *0) равна х; значит,

v(t — t0) = x — xQ,

откуда вытекает, что

Задача 2. Через полчаса после начального момента времени поезд находился на расстоянии 40 км от станции в положительную сторону, а через 2 часа — на расстоянии 65 км в отрицательную сторону. Какова скорость поезда?

Решение. Здесь х0 — + 40, х = — 65, Поэтому

§ 51. Дальнейшие свойства пропорциональной зависимости.

Вернемся к изучению пропорциональной зависимости. Пусть переменные х и у связаны пропорциональной зависимостью:

y = kx. (1)

Коэфициент пропорциональности k, как уже было сказано, предполагается не равным нулю. Ясно, что из равенства (1) вытекает равенство

или, обозначая

равенство

Мы видим, что если у пропорционально х с коэфициентом пропорциональности k, то X пропорционально у с коэфициентом пропорциональности k' = ^. Например, если вес (у) данного объема (х) ртути вычисляется по формуле

у = 13,6л:,

то для вычисления объема (х) ртути по его весу (у) получается формула:

так как приближенно yg-g равно 0,0735, то практически употребляют формулу:

Из формулы (1) следует, далее,

Значит, если даны несколько значений переменного х:

•^1» *^2» ^з» Х±9,..

и соответствующие им значения переменного у:

Ун >2> Уъ, j>4,".>

то

Эти равенства могут служить для проверки того, можно ли считать данную зависимость пропорциональной.

Пусть, например, железный стержень при 0°С имеет длину в один метр. Наблюдается изменение его длины при изменении температуры. Будем обозначать буквой t изменение температуры (по сравнению с начальной в 0°) в градусах Цельсия, а буквой d — изменение длины в миллиметрах. Опыты дали такие результаты:

Из этой таблицы видно, что пока t находится в пределах от — 20 до +50, отношение d :t остается постоянным. В этих пределах можно считать d пропорциональным t и выразить зависимость d от t в виде формулы:

d=0,012*.

Например, при t — — 20

d=0,0121 = 0,012 (— 20) = — 0,24.

Однако при больших значениях t отношение d : t начинает меняться. Значит, при больших изменениях температуры изменение длины уже нельзя считать пропорциональным изменению температуры.

§ 52. Пропорциональная зависимость от нескольких переменных.

Формула равномерного движения

s = vt

показывает, что пройденный путь 5 при постоянной скорости пропорционален времени t, а при постоянном времени пропорци-

онален скорости v. Можно также считать в формуле s = vt и скорость v и время t переменными. В этом случае придется считать, что переменное s зависит от двух переменных v и t. При этом говорят, что пройденный путь s пропорционален обоим переменным: скорости v и времени t.

Вообще, если переменное и зависит от двух переменных х и у так, что при постоянном л? оно пропорционально уу а при постоянному — пропорционально х, то говорят, что и пропорционально обоим переменным х и у.

Если переменное и пропорционально двум переменным х и у, то зависимость и от х и у выражается формулой.

и *=kxy, (1)

где k — постоянное число. Постоянное число k называется коэфициентом пропорциональности.

Например, давление р (в граммах) столба ртути высотой в h см на площадку в d кв. см выражается формулой:

/7= 13,6 М.

Мы видим, что р пропорционально h и d с коэфициентом пропорциональности 13,6 (если бы мы взяли вместо ртути любую жидкость с удельным весом А, то давление выражалось бы формулой p — khd.

Пропорциональная зависимость от трех и большего числа переменных определяется так же, как пропорциональная зависимость от двух переменных. Если переменное и пропорционально трем переменным х, у и z, то зависимость и от х, у и z выражается формулой:

u—kxyz,

и т. д.

Например, вес прямоугольного железного бруса пропорционален его длине, ширине и высоте. Если обозначить вес бруса в граммах через р> а длину, ширину и высоту в сантиметрах через X, у и z, то зависимость р от х> у и z выразится формулой:

р = 7,5 xyz

(коэфициент 7,5 равен удельному весу железа).

§ 53. Пропорции.

Равенство между двумя отношениями называется пропорцией. Например, равенства

являются пропорциями. При изучении пропорциональной зависимости нам встречались пропорции:

В пропорции a :b = c :d, или, что то же самое, ~^" = ^"> числа а и d называются крайними членами, числа b и с—средними членами, а и с — предыдущими членами, а числа & и d—последующими членами.

Из самой записи пропорции

видно, что пропорция выражает равенство двух алгебраических дробей. Поэтому, к пропорции можно применить условие равенства двух дробей, установленные в § 45: если верна пропорция (/), то верно и равенство

ad = bc (2)

[при этом числа b и d не равны нулю, так как иначе пропорция (1) не имела бы смысла]. Обратно, если верно равенство (2 и числа b u d отличны от нуля, то верна и пропорция (1). Словесно можно выразить эти результаты так:

1. Во всякой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

2. Если произведение двух чисел равно произведению двух других чисел, то из этих чисел можно образовать пропорцию, беря множители одного произведения за крайние, а множители другого произведения за средние члены пропорции (при этом дополнительно требуется, чтобы оба последующих члена пропорции не оказались равными нулю).

§ 54. Перестановка членов пропорции.

Будем считать в этом параграфе, что все члены пропорции

a:b=c:d (1)

отличны от нуля. Тогда опираясь на равенство

ad = be,

можно по правилу предыдущего параграфа образовать не одну пропорцию (1), а целых восемь:

Все эти пропорции можно получить из первой, переставляя в ней: а) крайние члены между собой; б) средние члены между собой; в) оба крайние на место средних, а оба средние на место крайних. При всех этих перестановках пропорция не нарушится, так как произведение крайних членов будет при всех этих перестановках оставаться равным произведению средних.

§ 55. Решение пропорций.

Часто в пропорции три члена бывают известны, а четвертый неизвестен. Тогда этот четвертый член можно найти. В самом деле, из пропорции

а :b = c :d (1)

вытекает, как мы знаем, равенство

ad = be. (2)

Из равенства (2) непосредственно следует:

Значит, крайний член пропорции равен произведению средних, деленному на другой крайний; средний член пропорции равен произведению крайних, деленному на другой средний.

Примеры решения пропорций.

2) 250 г некоторого вещества имеют объем 875 куб. см. Требуется определить объем 400 г того же вещества. Обозначим искомый объем (в кубических сантиметрах) через х. Так как объем пропорционален весу, то

3) При нагревании на 40° длина стального рельса увеличилась на 2,5 мм. Требуется определить изменение длины рельса при охлаждении на 32°, предполагая, что изменение длины рельса пропорционально изменению температуры. Обозначая искомое изменение (в миллиметрах) через х, получим:

т. е. при охлаждении на 32° длина рельса сократится на 2 мм.

4) Если в пропорции

считать неизвестным х, то, решая ее, получим:

§ 56. Свойств равных отношений.

Пусть дан ряд равных отношений:

Обозначим общее значение всех этих отношений буквой k:

Тогда

Следовательно,

или

Мы доказали такую теорему:

Если несколько отношений равны друг другу, то отношение суммы их предыдущих членов к сумме их последующих членов равно каждому из этих отношений.

В частности, из пропорции

(1)

вытекают равенства:

(2)

Отношение -~ в пропорции (1) можно заменить равным ему отношением-г*:

Из этой последней пропорции по доказанной выше теореме вытекают равенства:

(3)

Таким образом, мы получили из пропорции (1) еще четыре пропорции (2) и (3). Комбинируя этот способ с перестановкой членов, можно получить из данной пропорции еще много новых пропорций. Все такие пропорции называются производными от данной (упражнение 96).

УПРАЖНЕНИЯ 91-96 К ГЛАВЕ ВОСЬМОЙ.

91. Будут ли прямо пропорциональны: а) площадь прямоугольника его высоте (при постоянном основании); б) площадь квадрата его стороне; в) значение дроби ее числителю (при постоянном знаменателе); г) значение дроби ее знаменателю (при постоянном числителе).

92. Бегун пробежал первые 800 м за 1 мин. 58 сек., следующие 400 м за 59 секунд и последние 300 м за 43 секунды. Можно ли считать, что он пробежал все 1500м с постоянной скоростью (равномерно)?

93. Переменное у пропорционально переменному х. Определить коэфициент пропорциональности в формуле у = kx> зная, что значению х = — 2,5 соответствует значение у = + 0,4.

94. Для большинства материалов при небольших изменениях температуры изменение длины стержня, изготовленного из данного материала, пропорционально изменению температуры и первоначальной длине стержня. Обозначим / — первоначальную длину стержня (в сантиметрах), t — изменение температуры (в градусах) и d— изменение длины стержня (в сантиметрах). Тогда

d = kit.

Коэфициент пропорциональности k называется коэфициентом теплового расширения данного материала.

а) Зная, что для стали k = 0,000011, вычислить изменение длины стального стержня при / = 700, t = -f- 20.

б) Тот же вопрос при / = 700 и t = — 40.

в) Зная, что при нагревании на 100° медный стержень в 150 см удлинился на 0,27 см, определить коэфициент теплового расширения меди.

г) Материалы с отрицательным коэфициентом теплового расширения встречаются редко. Таково йодистое серебро. Его коэфициент теплового расширения отрицателен. Вычислить этот коэфициент, зная, что при нагревании стержня из йодистого серебра длиной в 20 см на 100° этот стержень сокращается на 0,003 см.

95. Решить пропорции:

96. Доказать, что для четырех чисел а, Ь, с, d, для которых верна пропорция -g- = -J-, верны также и пропорции:

Замечание. Пропорции эти называются производными пропорциями а с от пропорции -у =

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.

ЦЕЛЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ.

§ 57. Рациональные выражения; целые выражения.

Определение. Алгебраическое выражение, составленное из чисел, выраженных буквами или цифрами, при помощи четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления), называется рациональным.

Замечание. Выражение называется рациональным и в том случае, если в нем для записи произведения нескольких одинаковых множителей употреблены показатели степени, однако выражение, содержащее буквы в показателях степени, уже не считается рациональным.

Примеры рациональных выражений:

Наоборот, выражения ха или 23*+ 1 не являются рациональными, так как содержат буквы в показателях. |л:|-|-^ тоже нельзя назвать рациональным выражением, так как в это выражение входит знак абсолютной величины.

Определение. Рациональное выражение называется целым, если в него не входит действие деления. Например:

суть целые выражения, а

такими не являются (нецелые рациональные выражения называются дробными).

Замечание. В обозначении черта не считается знаком действия, а служит для обозначения дробного числа —.

Вычисление значения целого выражения при заданных значениях входящих в него букв (см. § 5) требует совершения только трех действий: сложения, вычитания и умножения. Как мы узнали в предыдущем отделе этой книги, эти три действия над рациональными числами всегда выполнимы: каковы бы ни были два рациональных числа, их сумма, разность и произведение являются всегда вполне определенными рациональными числами. Значит, подставляя в целом выражении вместо входящих в него букв какие-либо определенные рациональные числа и производя указанные в выражении действия, мы всегда получим в результате вполне определенное рациональное число: целое выражение при любых заданных значениях входящих в него букв имеет вполне определенное значение.

§ 58. Тождественные преобразования.

В соответствии с § 6 два алгебраических выражения называются тождественно равными, если они равны при любых определенных значениях входящих в них букв1). Что касается выражений, совсем не содержащих букв, то они считаются тождественно равными, если они выражают одно и то же число. Например, тождественно равны выражения:

ab и Ьа\ — (—а) и +а; а(о + с) и ab-\-ac\ аааа и а4; х — х и 0; 7 • 5 и 35.

Тождественно равные выражения во всех вычислениях могут заменять друг друга. Часто удается более сложные алгебраические выражения заменить тождественно равными им более простыми. Например, выражение

(хъ -\- х2а -|- ха2 + а3) (х — а)

тождественно равно значительно более простому выражению

X4— а4

(в этом можно убедиться, применив правило умножения суммы на сумму, § 38).

Превращение одного алгебраического выражения в другое, тождественно равное ему, алгебраическое выражение называется тождественным преобразованием, или просто преобразованием алгебраического выражения.

Все необходимые правила тождественных преобразований целых выражений уже даны в предыдущем отделе § 18—22 и 31—39. В этой главе мы подведем итог тому, чего можно достигнуть применением этих правил (см. далее § 66).

1) При этом естественно требуется, чтобы в обоих выражениях одной и той же букве приписывалось одинаковое значение.

§ 59. Одночлены и многочлены.

Особое значение в дальнейшем будут иметь некоторые простейшие виды целых выражений. Ими мы сейчас и займемся.

Пусть дано произведение нескольких отдельных букв или их степеней, и нескольких отдельных множителей, выраженных цифрами. Как показано в § 33 и 34, в таком произведении можно все степени одной и той же буквы объединить в одну, а все множители, выраженные цифрами, объединить в один и поставить его впереди в качестве коэфициента. Например, произведение

a3ô(—3) с~аЬЦ—2)

можно записать так:

+ baW.

Произведение, состоящее из множителя, выраженного цифрами (который называется коэфициентом и ставится впереди остальных) и одной или нескольких букв, взятых каждая в определенной степени, называется одночленом. Одночленом называется также отдельное число, выраженное цифрами.

Примеры одночленов.

Замечание. У одночленов — ах'1 и — а подразумевается коэфициент —1, а у одночленов -\-хч и а подразумевается коэфициент + 1-

После одночленов простейшими целыми выражениями являются алгебраические суммы одночленов. Сумма двух одночленов называется двучленом, сумма трех одночленов — трехчленом и т. д. Двучлены, трехчлены и, вообще, алгебраические суммы одночленов называются многочленами.

Примеры многочленов.

Существует много целых выражений, не являющихся ни многочленами, ни одночленами. Таковы, например:

а (Ь + с); (a + xy+(a-xf и т. д.

Однако особое значение одночленов и многочленов заключается в том, что каждое целое выражение может быть преобразовано в тождественно равный ему одночлен или многочлен. Доказательство этого предложения будет дано в § 66.

Таким образом, одночлены и многочлены оказываются основными, нормальными видами целых выражений, к которым тождественными преобразованиями сводятся все остальные целые выражения. Поэтому, задача действий с одночленами и многочленами состоит в том, чтобы результат действия выразить вновь в виде одночлена или многочлена. Например, сложить (или вычесть один из другого, или перемножить) два одночлена или многочлена это значит, найти одночлен или многочлен, тождественно равный их сумме (или разности, или произведению).

§ 60. Приведение подобных членов многочлена.

Первое тождественное преобразование, которое следует сделать с каждым многочленом прежде чем предпринимать какие-либо дальнейшие вычисления, это приведение подобных членов многочлена. После приведения подобных членов многочлена получается новый многочлен или одночлен, тождественно равный данному многочлену. Примеры.

Замечание. Для удобства нахождения подобных членов полезно каждый одночлен писать так, чтобы буквенные множители в нем были расположены в алфавитном порядке. Например, одночлен -f- AcAadzb2 лучше писать так:

+ 4ab2c4d*.

§ 61. Сложение одночленов и многочленов.

Пусть дано сложить несколько одночленов или многочленов, например

+ а3 — ft3, — 3a2ft и + а~Ь ~ а^2 +

Их сумма (+ а3 — ft3) + ( - 3a2ft) + ( f a2b - ab2 + ft3)

может быть записана без скобок (см. о раскрытии скобок § 21). Получится один многочлен

+ а? — ft3 — 3a2b + a2b - ab2 + ft3,

тождественно равный сумме трех данных слагаемых. В получившемся многочлене можно сделать приведение подобных членов:

+ а3 — Р - 3£ft +arb- ab2 + № = + а* - 2a2b - ab2.

Правило. Чтобы сложить несколько одночленов или многочленов, достаточно написать их один за другим с сохранением знаков всех их членов (если перед каким-либо членом не стоит никакого знака, то в сумме следует написать знак плюс) и в получившемся многочлене сделать приведение подобных членов. Например:

(— 4- 2х3 — Зх + 4) + (— X3) + (- х* + 5л:2 — 5) — - х* + + 2х?_ — Зх + 4 - X3 — X3 + 5х2 - 5 = -х*-\-5х2 — Зх — 1.

Замечание. Иногда удобно многочлены или одночлены, которые требуется сложить, писать один под другим, подписывая подобные члены под подобными. Например:

§ 62. Вычитание одночленов и многочленов.

Пусть дана разность

(+ а3 - о3) — (+а*о - ab2 - ft3).

Эту разность можно записать без скобок, переменив знаки у всех членов вычитаемого (§ 21):

Правило. Чтобы из одного многочлена или одночлена вычесть другой многочлен или одночлен, достаточно к уменьшаемому приписать вычитаемое, переменив у всех членов вычитаемого знаки на противоположные, и в получившемся многочлене сделать приведение подобных членов.

Замечание. При вычитании также часто удобно писать вычитаемое под уменьшаемым, подписывая подобные члены под подобными. Например, вычитание

удобно записать так:

§ 63. Умножение одночленов.

Пусть дано произведение двух одночленов, например:

(+За3Л/4)(- 5а W6).

Это произведение равно произведению всех множителей, входящих в данные одночлены. А так как произведение не меняется при перемене порядка множителей, то

Правило. В результате умножения одночлена на одночлен получается одночлен. При этом, коэфициент произведения равен произведению коэфициентов множителей; те буквы, которые входят в оба множителя, входят в произведение с показателем, равным сумме их показателей в множителях, а буквы, входящие лишь в один из множителей, входят в произведение с неизменным показателем.

Примеры.

§ 64. Умножение многочлена на одночлен.

Из правила § 35 непосредственно вытекает:

Правило. Чтобы умножить многочлен на одночлен, следует умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения с их знаками написать одно за другим.

Примеры.

Замечание. При умножении многочлена на одночлен в произведении не получается подобных членов, так как при умножении неподобных одночленов на один и тот же одночлен не могут получиться подобные одночлены.

§ 63. Умножение многочлена на многочлен.

Из правила § 38 непосредственно вытекает:

Правило. Чтобы умножить многочлен на многочлен, следует умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, полученные произведения сложить и в получившемся многочлене сделать приведение подобных членов.

Например:

УПРАЖНЕНИЯ 97-101 К § 61—65.

97. Сложить следующие многочлены, подписав их друг под другом (подобные члены под подобными):

98. Вычесть: а)

б)

99. Умножить: а)

б)

100. Возвести: а)

б)

101. Умножить: а) б)

§ 66. Заключение о целых выражениях.

Мы рассмотрели сложение, вычитание и умножение многочленов и одночленов. В результате получались всегда опять многочлены или одночлены. Возведение в степень с определенным (выраженным цифрами) натуральным числом в показателе всегда может быть заменено умножением; поэтому, возводя одночлен или многочлен в какую-либо определенную степень, получим всегда опять одночлен или многочлен.

Замечание. При возведении в квадрат и куб двучлена следует пользоваться формулами § 39.

При возведении в степень одночлена можно пользоваться таким правилом: чтобы возвести одночлен в какую-либо степень, надо возвести в эту степень его коэфициент и умножить на показателя этой степени показатели всех букв, входящих в одночлен. Например:

Пусть теперь нам дано какое-либо целое алгебраическое выражение, например:

[(а2 + V) (х2 + у1) — (ах + byf + 2abxy] (а2 у2 — 2Ь*х2).

Выражения а2 + #2, х2-\-у2, ах-\-Ьу, а2у2 — 2Ь2у2 уже записаны в виде многочленов и не содержат (каждое в отдельности) подобных членов. Выражение -\-2abxy уже записано в виде одночлена. Значит, с каждым из этих выражений в отдельности делать нечего. Будем производить над этими выражениями указанные действия. Вычислим сначала:

Теперь можно вычислить сумму, стоящую в квадратных скобках, она равна:

Остается умножить полученный двучлен на

В результате всех этих вычислений мы преобразовали данное нам целое выражение в многочлен.

Вообще, применяя последовательно правила, собранные в этой главе, можно любое целое выражение преобразовать в одночлен или многочлен. Для этого надо над одночленами и многочленами, из которых составлено данное выражение, сделать по порядку все указанные действия.

§ 67. Степень одночлена и многочлена относительно какой-либо буквы.

Показатель степени, с которым какая-либо буква входит в одночлен, называется степенью одночлена относительно этой буквы. Например, одночлен

5а2х2у

относительно а — второй степени, относительно х — третьей, а относительно у — первой.

Если какая-либо буква совсем не входит в одночлен, то говорят, что одночлен относительно этой буквы нулевой степени. Например, в трехчлене

X1 — 2х+5

первый член второй степени относительно х> второй член первой степени относительно х9 а третий член нулевой степени относительно X.

Степенью многочлена относительно данной буквы называется наибольшая степень его членов относительно этой буквы. Например, многочлен

ахьу + сРх^у — 4х4у2 — 7ау6

относительно а второй степени, относительно х пятой степени, a относительно у шестой степени.

Степенью одночлена относительно таких-то нескольких букв (вместе) называется сумма показателей, с которыми эти буквы входят в одночлен. Например, все одночлены

— jc6, + 2л*у, — \а2ху\ + ахъУь, + <Пу*

шестой степени относительно букв хну (вместе). Степенью многочлена относительно нескольких букв называется наибольшая степень его членов относительно тех же букв Например, многочлен

Ъах*у2 — а2хуЬ + аЪ'п

седьмой степени относительно х и у (вместе); относительно же каждой из букв X и у в отдельности этот многочлен пятой степени.

§ 68. Расположение многочлена по убывающим степеням какой-либо буквы.

Если в многочлен входит только одна буква, то его члены одинаковой степени относительно этой буквы подобны между собой. Значит, после приведения подобных членов такой многочлен содержит не более одного члена каждой степени. Например, многочлен

— 1+2а— 6а — а3 + 4а — а2 + 3,

в который входит только одна буква а, содержит один член третьей степени, один член второй степени, три члена первой степени и два члена нулевой степени. Однако, после приведения подобных членов, он превращается в многочлен

в котором имеется по одному члену третьей, второй и нулевой степени и совсем нет членов первой степени.

Члены многочлена, содержащего только одну букву, принято располагать в порядке убывания их степеней относительно этой единственной буквы. Например, многочлен

+ 24-jc3 -2х + хъ

принято записывать в виде:

x» + *» —2Х + 2.

Часто бывает, что в многочлене, содержащем несколько букв, какая-либо одна буква заслуживает особого внимания. Так бывает, например, когда одна из букв обозначает переменное число, а другие буквы — постоянные числа (сравнить, например §47—52), или при решении уравнений, когда одна из букв обозначает неизвестное, которое требуется найти. Такую выделенную букву будем называть главной буквой.

Если какая-либо из букв, входящих в многочлен, выбрана в качестве главной, то естественно попробовать расположить члены многочлена в порядке убывания степеней этой главной буквы. Однако при этом возникает следующая трудность: многочлен может содержать несколько не подобных между собой членов одинаковой степени относительно главной буквы. Например, многочлен

а?-хА ь*х' + с-х* + Фх2 + е« +/6

содержит три члена четвертой степени относительно буквы х и два члена нулевой степени относительно той же буквы. Принято все такие члены объединять вместе и выносить содержащуюся в них степень главной буквы за скобки. Например, приведенный выше многочлен записывается так:

(а2 + &2 + <?) X* + &х2 + (е« +/6).

В получившемся выражении рассматривают всю скобку (а2-{-Ь2-{-с2) как коэфициент при четвертой степени главной буквы X. Каждое из выражений

(а2 + Ь2 + с2)х\ Фх\ (е6+/6)

считают одночленом относительно буквы х, а все выражение

(а2 + Ь2 + с2) X* + d4x2 + (е« -f/6)

многочленом относительно буквы х.

Если многочлен расположен по убывающим степеням какой-либо буквы (выбранной за главную), то на первом месте стоит его старший член, содержащий главную букву в наибольшей степени, а на последнем месте—младший член, содержащий главную букву в наименьшей степени, или совсем ее не содержащий. Член многочлена, не содержащий совсем главной буквы, называют свободным членом.

§ 69. Умножение расположенных многочленов.

Пусть требуется перемножить два многочлена, члены которых расположены в порядке убывания степеней какой-либо одной (главной) буквы. Такое умножение удобно производить по образцу следующих примеров.

Пример 1. Умножить

произведение множимого на — 3z2

произведение множимого на — 2z9

произведение множимого на +2

Пример 2. Умножить

Мы видим, что в первом примере старший член произведения (-[-бг5) получился от умножения старшего члена многочлена (—2гъ) на старший член множителя (—3z2). То же самое обстоятельство наблюдается и во втором примере:

Что касается младшего члена произведения, то он в обоих случаях получился от перемножения младших членов перемножаемых многочленов:

+ 2= (+!)(+2), -aD = (+£>)(-а).

Вообще, произведение старших членов перемножаемых многочленов содержит главную букву в большей степени, а произведение младших членов — в меньшей степени, чем все остальные произведения их членов. Поэтому всегда:

При умножении двух многочленов, расположенных по одной и той же главной букве, старший член произведения равен произведению старших членов перемножаемых многочленов, а младший член произведения — произведению их младших членов.

Если коэфициенты старших и младших членов перемножаемых многочленов не равны нулю, то, очевидно, то же самое

будет и в произведении. Все же остальные члены произведения могут в некоторых случаях взаимно уничтожиться. Например:

Мы видим, что произведение двух многочленов по данной букве всегда содержит (после приведения подобных членов) не менее двух членов.

УПРАЖНЕНИЯ 102-105 К § 66—69.

102. Расположить многочлены z3 + г — г2 — 1 и z* -(- * + z* -f-1 по убывающим степеням буквы z и перемножить их.

103. Преобразовать

(I + х + х*) (je— 1) 4- (х* — х + 1) (1 +х) — (1 - jc)3 + (2 + 4х — 2х*)х + 2

в многочлен, расположенный по убывающим степеням буквы х.

104. Умножить по правилу умножения расположенных многочленов, считая главной букву у:

105. Не делая умножения х2~ 6x + Z на — 2х* + Zx* — 2х2 + х, найти старший и младший члены произведения.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.

ДЕЛЕНИЕ И ДРОБИ.

§ 70. Замечание о преобразовании дробных выражений.

Уже самые простые дробные выражения становятся при некоторых значениях входящих в них букв бессмысленными. Например, выражение

бессмысленно при а = +1» так как при этом значении а знаменатель 1 — а обращается в нуль, а на нуль делить нельзя.

Это заставляет в применении к дробным выражениям несколько изменить смысл понятий „тождество" и „тождественное преобразование". Если строго держаться определений, указанных в § 58, то, например, равенство

(1)

нельзя назвать тождеством, так как при а — 0 правая часть равенства обращается в О, левая же становится бессмысленной. Однако в применении к дробным выражениям принято понимать слово „тождество* в несколько более широком смысле: в дальнейшем равенство между двумя рациональными выражениями мы будем называть тождеством^ если оно справедливо при всех значениях входящих в него букв, кроме тех исключительных случаев,

когда одна из сторон равенства (или обе сразу) становится бессмысленной. С этой новой точки зрения равенство (I) можно называть тождеством. В самом деле, если а = о, то левая часть равенства (1) бессмысленна; при всех же остальных значениях буквы а равенство (I) верно.

Замечание. Если одна или обе части равенства между двумя рациональными выражениями бессмысленны при всех значениях входящих в них букв,, то такое равенство уже нельзя рассматривать как тождество. Например, нельзя назвать тождеством равенство

а — а_j

а — а

так как левая часть бессмысленна при всех возможных значениях буквы а. Подобные выражения, бессмысленные при всех значениях входящих в них букв, вообще далее рассматриваться не будут.

Преобразование одного выражения в другое, ему тождественно равное, попрежнему будет называться тождественным преобразованием. Тождественным преобразованием дробных рациональных выражений посвящены главы 10 и 12.

§ 71. Деление одночленов.

Частное двух одночленов можно, как всякое частное, записать в виде алгебраической дроби. Сокращая эту дробь, мы и приведем частное двух данных одночленов к его простейшему виду. Пусть, например, требуется разделить ЪачЬАсь на 5а2Ь10сь. Запишим это частное в виде дроби:

Приступим теперь к сокращению нашей дроби. Разделим числитель и знаменатель дроби на с'°; значение дроби от этого не измениться, а множитель сь исчезнет и в числителе и в знаменателе:

Разделим теперь и числитель и знаменатель на Ы\ в числителе множитель о4 исчезнет, а в знаменателе множитель Ь10 заменится множителем

Таким образом,

Разделим, наконец, и числитель и знаменатель на а2; в знаменателе множитель а2 исчезнет, а в числителе множитель а1 заменится множителем

Таким образом, получаем окончательно:

Последняя дробь далее не сокращается.

Вообще, при сокращении частного двух одночленов, записанного в виде дроби:

1. Если какая-либо буква входит и в знаменатель и в числитель с одним и тем же показателем степени, то ее следует просто вычеркнуть и в числителе и в знаменателе.

2. Если какая-нибудь буква входит и в числитель и в знаменатель с разными показателями, то из большего показателя вычитают меньший и букву с этой разностью в показателе оставляют только там, где она имела больший показатель.

Например:

Замечание. Если в числителе или в знаменателе в результате сокращения исчезают все стоявшие там множители, то на их месте следует ставить 1, сохранив перед ней тот знак, который стоял ранее перед произведением сокращенных множителей. Например:

Бессмысленно было бы сказать, что при сокращении дроби в числителе „ничего не осталось", или, что при сокращений дроби ^ в знаменателе „остался только знак минус".

Если каждая буква, входящая в знаменатель, входит и в числитель и притом с не меньшим показателем, то после сокращения в знаменателе совсем не останется буквенных множителей. Например,

Чтобы разделить Ъачъ на 7, достаточно разделить на 7 коэфициент 5. Значит, окончательно получается:

В этом случае деление произошло нацело: в результате деления двух одночленов получился одночлен. Вообще, справедливо такое правило:

Правило. Если даны два таких одночлена, что каждая буква, входящая во второй одночлен, входит и в первый и притом с не меньшим показателем, чем во второй, то при делении первого одночлена на второй получается одночлен (деление производится нацело). При этом коэфициент частного получается делением коэфициента делимого на коэфициент делителя; каждая буква, входящая в делимое и не входящая в дели-

тель, переходит в частное с неизменным показателем; каждая буква, входящая в делимое с большим показателем, чем в делитель, входит в частное с показателем, равным разности ее показателей в делимом и в делителе; буквы, входящие в делимое и в делитель с одинаковыми показателями, совсем исчезают в частном. Например:

Если делитель содержит хоть одну букву, которую делимое вовсе не содержит или содержит с меньшим показателем, чем делитель, то деление нацело невозможно; в результате деления в этом случае получается дробь.

Если в результате деления двух одночленов друг на друга получилась алгебраическая дробь, то следует преобразовать ее так, чтобы коэфициенты числителя и знаменателя сделались целыми числами. Затем, получившиеся целые коэфициенты сокращаются на их общих множителей. Например, алгебраическая дробь

освобождается от дробных коэфициентов в числителе и в знаменателе умножением ее числителя и знаменателя на 8-12 (от умножения числителя и знаменателя дроби на одно и то же число ее значение не изменяется). В результате этого умножения получается:

Вообще, чтобы освободить отношение двух одночленов, записанное в виде дроби, от дробных коэфициентов в числителе и в знаменателе, ее числитель и знаменатель умножают на произведение знаменателей этих коэфициентов. Целые коэфициенты числителя и знаменателя сокращаются на их общих множителей.

Наконец, если в знаменателе полученной дроби стоит знак минус, то обычно его устраняют, пользуясь тем, что при одновременной перемене знака числителя и знаменателя значение дроби не меняется. Например:

Таким образом, после всех упрощений, в результате деления одночлена на одночлен, получается или одночлен, или дробь, не содержащая общих букв в числителе и знаменателе, с целыми коэфициентами не имеющими общих множителей в числителе и знаменателе (причем коэфициент знаменателя принято делать положительным). Например, деля получим

§ 72. Деление многочлена на одночлен.

Многочлен есть алгебраическая сумма своих членов; поэтому, делить многочлен на одночлен можно по правилу деления алгебраической суммы: чтобы разделить многочлен на одночлен, достаточно разделить каждый член многочлена на данный одночлен и полученные частные сложить.

Например:

В этом примере все три члена многочлена разделились нацело. Это далеко не всегда бывает так. Например:

Если деление нацело не удается, то иногда удобнее записать результат в виде одной дроби, а не в виде суммы дробей. Например, результат деления

удобнее записать в виде

§ 73. Деление на многочлен.

Частное от деления одночлена на многочлен не может быть выражено ни одночленом ни многочленом1. Например, дробь

1 Строгое доказательство этой теоремы основывается на теоремах, которые мы сможем дать лишь во второй части этого учебника.

не может быть никак упрощена, а дробь ~—г—2 может быть сокращена, но все-таки останется дробью

При делении многочлена на многочлен частное иногда бывает одночленом или многочленом, иногда же может быть записано лишь в виде алгебраической дроби. Например, в случае

частное двух многочленов есть одночлен. В случае

частное двух многочленов оказывается многочленом. В случае же

получается дробь, не поддающаяся сокращению1.

Некоторые случаи, в которых можно разделить многочлен на многочлен нацело указаны в следующем параграфе. Более общий способ разыскания частного двух многочленов в том случае, когда это частное выражается многочленом или одночленом (т. е. когда деление происходит нацело), будет указан в § 75.

Если же результат деления на многочлены может быть выражен только дробью, то надо стремиться, как и в случае одночленных дробей, представить данную дробь в возможно простом виде, т. е. сократить ее. Например, частное двучленом х2—у2 и X2 + 2лу + у2у т. е. дробь

можно представить в виде

Дробь ^rj^y и может считаться окончательным выражением частного (л:2—у2) -\-2xy -\- у2), так как дальше ее сократить нельзя.

На этом примере мы видим, что в случае, когда числителем и знаменателем дроби являются многочлены, их до сокращения необходимо представить в виде произведений, или, как говорят, их надо разложить на множители (одночлены или многочлены). После того как и числитель и знаменатель разложены на множители, надо искать общие множители в числителе и в знаменателе и на них производить сокращение.

Разложением многочленов на множители мы будем заниматься в следующей главе.

1 Доказательство того, что какая-нибудь дробь не сократима, даже в простейших случаях опирается на теоремы второй части учебника.

§ 74. Формулы сокращенного деления

Формулы сокращенного умножения

установленные в § 40, можно переписать так:

Эти четыре формулы верны при любых значениях букв а и Ь, при которых знаменатель дробей, стоящих в левой части, не обращается в нуль. Пользуясь этими формулами, можно во многих случаях находить частное двух многочленов.

Примеры.

(по формуле 3, полагая а=1, Ь = 3х).

(по формуле 1, полагая а = ху2, b = 2z2).

УПРАЖНЕНИЯ 106 — 110 к §§ 71—74.

106. Разделить:

107. Сократить дроби:

108. Разделить:

109. Разделить:

ax*yz— bxy*-\-cx4y на —x2y2. Частное записать:

а) в виде суммы частных, получившихся при делении отдельных членов;

б) в виде одной дроби.

110. Разделить:

а) я366 + 8 на ай2 + 2; б) а3 — ft3 + а2 — Ь2 на а — Ь.

§ 75. Деление расположенных многочленов.

Если частное от деления двух данных многочленов может быть выражено в виде многочлена или одночлена (т. е. если деление может быть сделано нацело), то этот искомый многочлен или одночлен можно найти, расположив данные многочлены по убывающим степеням какой-либо из входящих в них букв и поступая далее так, как будет указано в этом параграфе.

Пример 1. Пусть, например, надо разделить 2х2— 13^+15 на X — 5. Оба многочлена расположены по убывающим степеням буквы л. Если частное есть многочлен или одночлен, то его старший (относительно х) член при умножении на старший член делителя должен дать старший член делимого. Поэтому, чтобы получить старший член частного, следует разделить старший член делимого, т. е. 2х\ на старший член делителя, т. е. на X. Получится 2х. Помножим делитель на 2х и вычтем произведение из делимого:

Получаем первый остаток: —Зл:+ 15. Разделим теперь старший член первого остатка, т. е. —Зх на старший член делителя. Получим—3. Умножая делитель на—3, получим—Зл:-|-+ 15, т. е. как раз первый остаток; значит, вычитая наше произведение из первого остатка, получим во втором остатке нуль:

первый остаток второй остаток

2х — 3 и есть частное от деления 2х2 — \Ъх-f-15 на х— 5.

В самом деле, производя проверку умножением, получаем:

Пример 2. Пусть требуется разделить

6z6-}-;z4-[-3z*-{--f-522 — 8z-\-2 на —2z3-{-22— 3z-\-1.

Поступаем для этого так:

первый остаток . .

второй остаток . .

третий остаток ..

Проверка этого деления умножением уже была сделана в § 69 на стр. 107.

Вообще, деление многочленов, расположенных по убывающим степеням какой-либо буквы, выбранной за главную, делается по такому правилу:

Делим старший член делимого на старший член делителя: получаем первый член частного. Умножаем делитель на первый член частного и произведение вычитаем из делимого: получаем первый остаток. Делим старший член первого остатка на старший член делителя: получаем второй член частного. Умножаем делитель на второй член частного и произведение вычитаем из первого остатка: получаем второй остаток. Старший член второго остатка делим на старший член делителя: получаем третий член частного. Умножаем делитель на третий член частного и произведение вычитаем из второго остатка: получаем третий остаток и т. д. Если мы таким образом дойдем до остатка, равного нулю, то деление закончено: алгебраическая сумма выписанных к этому моменту членов частного и равна частному от деления двух данных многочленов. В нашем последнем примере третий остаток оказался равным нулю, и частное состоит из трех членов. Вообще число членов частного всегда равно номеру того остатка, который равен нулю.

Для того чтобы убедиться, что изложенный способ деления приводит к верному результату, будем рассуждать так. При переходе от делимого к первому остатку мы из делимого вычитаем произведение делителя на первый член частного: разностью от этого вычитания и является первый остаток. При переходе ко второму остатку мы вычитаем из первого остатка произведение делителя на второй член частного. Итак, чтобы получить второй остаток, мы из делимого сначала вычли произведение делителя на первый член частного, а потом из полученной разности (т. е. из первого остатка) вычли произведение делителя на второй член частного. Значит, второй остаток тождественно равен разности между делимыми произведением делителя на алгебраическую сумму первых двух членов частного. Таким же точно образом убеждаемся, что третий остаток тождественно равен разности между делимым и произведением делителя на сумму первых трех членов частного и т. д.

Если какой-нибудь остаток (положим, как в последнем примере, третий остаток) равен нулю, то это значит, что равна нулю разность между делимым и произведением делителя на алгебраическую сумму трех выписанных членов частного. Другими словами, делимое равно произведению делителя на алгебраическую сумму трех членов частного. А это и значит, что алгебраическая сумма этих трех членов (в нашем примере — 3z2 — 2z-\-2) действительно есть частное от деления двух данных многочленов.

В разобранных нами до сих пор примерах многочлены содержали только одну букву, по убывающим степеням которой и располагались. Рассмотрим теперь более сложные примеры.

Пример 3. Пусть требуется разделить многочлен 4х*уъ— —х2у6 -}- 12х8у* — 1 \хеу* на многочлен Ахъу2 — ху3. Выберем букву у за главную и расположим делимое и делитель по убывающим степеням этой буквы. Производим затем деление:

Пример 4. Разделим а5 — Ьь на а — Ь. Выберем букву а за главную. Так как делимое и делитель уже расположены по убывающим степеням буквы а, то можем прямо приступить к делению:

Пример 5. Рассмотрим еще пример, в котором коэфициенты при степенях главной буквы сами являются многочленами:

Во всех рассмотренных выше примерах нам удавалось дойти до остатка, равного нулю,— на этом деление и заканчивалось. Рассмотрим теперь пример, в котором это не удается.

Пример 6.

Первый остаток

Второй остаток + 5л;-|-31

(он же остаток при делении).

В этом примере, дойдя до второго остатка, мы видим, что старший член этого остатка (Н-5л') нельзя нацело разделить на старший член делителя (4-х2). Вообще, если при делении, после того или иного числа шагов, получается остаток, старший член которого не делится нацело на старший член делителя, то на этом деление заканчивают. Последний остаток (он может быть по счету первым, вторым и т. д.) называют просто остатком при делении. Например, при делении 6л;3 + Зл;2 + -{-5л; + 4 на л;2 + 2л:3 получается в остатке 5л:+ 31.

Если при делении двух многочленов получается остаток, старший член которого не делится нацело на старший член делителя, то это значит, что частное от деления данных многочленов нельзя представить в виде многочлена или одночлена, а можно представить только в виде дроби1). То же самое относится и к тому случаю, когда уже с самого начала старший член делимого не делится нацело на старший член делителя.

В заключение укажем, что если взять наудачу два каких-нибудь многочлена, хотя бы и содержащие лишь одну букву, то почти никогда не случается, чтобы один из них делился нацело на другой.

УПРАЖНЕНИЯ 111-116 к § 75.

В упражнениях 111—114 деление происходит без остатка, в упражнениях 115 и 116 получается остаток.

1) Доказательства этого утверждения мы не даем.

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

§ 76. Вынесение за скобки и группировка членов

Общие правила, позволяющие во всех случаях узнать, разлагается ли данный многочлен на множители или нет, так же как правила, позволяющие во всех случаях, когда многочлен может быть разложен на множители, довести разложение до простых множителей (т. е. до таких, которые не могут быть разложены дальше), не могут быть даны в элементарном курсе алгебры. Поэтому в этой главе мы можем лишь сообщить некоторые приемы, которые во многих случаях позволяют произвести разложение многочлена на множители.

1) Простейший из этих приемов заключается в вынесении за скобки: если все члены данного многочлена (или, вообще, все члены некоторой алгебраической суммы) имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки. Например:

2) В многочлене

нет общего множителя, входящего во все четыре члена. Вынеся в Сумме первых двух членов за скобки а, в сумме же двух следующих членов за скобки ft, преобразуем наш многочлен так:

Два члена полученной суммы имеют общий множитель х +у. Вынося этот общий множитель за скобки, получаем окончательно:

Этот способ разложения на множители называется способом группировки. Приведем еще несколько примеров разложения на множители по этому способу:

Замечание. В последнем примере для успеха разложения понадобилось считать общим множителем членов — abx и +агхг выражение —ах. Вообще, надо научиться пользоваться тем, что общий множитель можно в одних случаях вынести со знаком +, а в других со знаком—.

§ 77. Применение формул сокращенного умножения

Часто разложение на множители достигается применением формул сокращенного умножения. В самом деле, формулы

если их читать справа налево, являются не чем иным как формулами разложения на множители. Примеры.

§ 78. Представление какого-нибудь члена многочлена в виде суммы двух членов. Трехчлен второй степени

Многочлен

а4 + а3 + 4а2 + 3а + 3

можно написать в виде:

а4 + а3 + а2 + За2 + За+3.

После этого его уже легко разложить на множители:

Этот прием, заключающийся в представлении одного из членов многочлена в виде суммы двух членов, особенно часто применяется к трехчленам второй степени по какой-либо букве. Например трехчлен

может быть разложен на множители так:

Вообще

Формула

x2+(a + b)x+ab = (x + a)(x + b)

дает возможность разлагать на множители трехчлен второй степени относительно какой-либо буквы во всех случаях, когда коэфициент при второй степени этой буквы равен единице, а коэфициент при первой степени может быть представлен в виде суммы двух слагаемых, произведение которых равно свободному члену.

Примеры.

§ 79. Введение в многочлен новых взаимно уничтожающихся членов

Многочлен

jc4 + 7x3+14x-4

можно представить в виде:

х* +■ 7х3 — 2х- + 2л:2 + 14* —4.

После этого его уже легко разложить на множители:

При более сложных задачах на разложение на множители обыкновенно применяется сразу несколько из указанных в этой главе приемов, причем требуется сообразить, как именно надо комбинировать эти приемы.

Примеры.

1).

Так как

2)

Разлагаем далее:

Итак

Дальнейшее разложение производим, применяя формулы § 78.

Окончательно получаем:

§ 80. Применение разложения на множители к сокращению дробей

Сократим дробь

Для этого надо и числитель и знаменатель разложить на множители, а затем и числитель и знаменатель разделить на те из множителей, которые окажутся общими:

Поэтому

Общими множителями числителя и знаменателя оказываются а2-}-1, а4-1, а—1; на них и можно сократить дробь. Получим;

Приведем еще несколько примеров сокращения дробей,

УПРАЖНЕНИЯ 117 — 129 К ГЛАВЕ 11.

Сначала мы даем для проверки понимания предыдущего изложения несколько очень простых упражнений на разложение на множители:

117. ах*у — 2bхуК 120. х* + 64.

118. ах* — Ъх* — ах* + bх. 121. с2 — 13с + 22.

119. 9х* — 13* + 4. 122. & - z — 30.

123. х± + ах* + а*х + а*.

124. а) б) в)

Следующие разложения на множители требуют некоторой сообразительности:

125*. 126*. 127*.

128. Сократить дробь

129. Сократить дробь

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ

ДЕЙСТВИЯ НАД ДРОБЯМИ

§ 81. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

По четвертому свойству деления (§ 43):

Читая эти формулы справо налево, имеем:

т. е. чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители и подписать их общий знаменатель; чтобы вычесть из одной дроби другую с тем же знаменателем, надо вычесть числитель второй дроби из числителя первой и подписать их общий знаменатель.

Если требуется вычислить алгебраическую сумму многих дробей с одинаковыми знаменателями, например:

следует привести сумму к такому виду, чтобы перед каждой дробью стоял знак плюс: это всегда можно достигнуть, меняя, если нужно, знак у числителя по формуле:

Например

После этого сложение производится так: составляется алгебраическая сумма всех числителей и под ней подписывается общий знаменатель. Так, в нашем примере

Точно так же

Замечание 1. Если числитель — многочлен, то переменить его знак это значит переменить знак перед всеми его членами. Например

Замечание 2. К сложению дробей с одинаковыми знаменателями легко сводится сложение дробей, у которых знаменатели могут отличаться знаками: для этого достаточно, воспользовавшись формулой

переменить знаки у знаменателей некоторых дробей, изменив в то же время знаки у числителей этих дробей (от этого значение дробей не изменится). При этом для перемены знака многочленного знаменателя надо переменить знаки у всех его членов. Например

§ 82. Сложение и вычитание любых дробей

Из предыдущего параграфа ясно: мы сможем сложить или вычесть одну из другой любые две дроби, если только сумеем привести их к одному знаменателю, т. е. тождественно преобразовать их в дроби с одним и тем же знаменателем.

Это сделать легко, помня, что значение дроби не меняется от умножения и числителя и знаменателя ее на одно и то же число. В самом деле, пусть даны две дроби -g- и умножая числитель и знаменатель первой дроби на d, а второй дроби на b, мы тождественно преобразуем их в дроби с одинаковыми знаменателями:

Итак,

Точно так же

Чтобы найти сумму более чем двух дробей, можно сначала сложить первые две дроби, потом к полученной сумме прибавить третью дробь и т. д. Но удобнее сразу привести все дроби к одному знаменателю и потом складывать по правилу предыдущего параграфа. Приведение трех и более дробей к одному знаменателю достигается тем, что числитель и знаменатель каждой данной дроби умножаются на произведение знаменателей всех остальных дробей, после чего знаменателем каждой дроби становится произведение знаменателей всех данных дробей.

Пусть, например, надо сложить дроби:

Приводим их к одному знаменателю, умножая числитель и знаменатель первой дроби на qr, второй на рг и третьей на pq. Получаем дроби:

Складывая их по правилу предыдущего параграфа, имеем:

§ 83. Нахождение возможно простого общего знаменателя нескольких дробей

Указанный выше способ приведения дробей к одному знаменателю во всех случаях ведет к пели и по своему существу является самым простым. Однако общий знаменатель, который мы таким образом получаем, может оказаться не самым простым из возможных: ведь и в арифметике приводить дроби ^ и ^ к одному знаменателю можно было бы так:

Однако проще взять не произведение, а общее наименьшее кратное обоих знаменателей, именно 36, и умножать числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель данной дроби (т. е. на произведение тех множителей общего наименьшего кратного, которые не входят в знаменатель данной дроби). Этим путем получим:

Подобные же упрощения в приведении к общему знаменателю часто достигаются и в случае алгебраических дробей. Для этого надо поступать так:

а) разложить на множители знаменатели данных дробей; те знаменатели, которые не разлагаются, оставить, как они есть;

б) составить произведение всех различных множителей, на которые разложились знаменатели, беря каждый множитель в наибольшей степени, в которой он входит в какой-нибудь из знаменателей, включая в число множителей и те знаменатели, которые не удалось разложить. Полученное произведение делится нацело на каждый из наших знаменателей и является таким образом общим кратным всех знаменателей;

в) выписать для каждой из данных дробей ее дополнительный множитель, т. е. произведение всех тех множителей общего кратного, которые не содержатся в числе множителей данного знаменателя;

г) умножить и числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

В результате все дроби тождественно преобразуются так, что знаменателем каждой из них сделается общее кратное знаменателей всех первоначально данных дробей.

Примеры.

1. Привести к одному знаменателю дроби:

дополнительный множитель

Общий знаменатель

2. Привести к одному знаменателю дроби:

В этом примере следует сначала разложить знаменатели на множители:

дополн. множитель

Общий знаменатель (a+lf(a — I)2. Значит,

Пользуясь полученными результатами, вычислим такую алгебраическую сумму:

Замечание 1. Иногда при нахождении общего знаменателя удобно переменить знак у знаменателей некоторых дробей (меняя одновременно знак их числителей для того, чтобы их значение осталось неизменным). Например при вычислении суммы

удобно дробь

заменить дробью

дополнительный множитель

Общий знаменатель (а+b)(а — b) = а? — b2, следовательно

Замечание 2. Если надо найти алгебраическую сумму нескольких выражений, из которых одни — дроби, а другие — целые выражения, то надо целые выражения рассматривать, как дроби с знаменателем 1. Например:

УПРАЖНЕНИЯ 130 - 136 К § 81 - 83.

Найти алгебраическую сумму:

Во всех следующих ниже упражнениях после сложения надо сократить получившуюся дробь:

§ 84. Умножение дробей

Правило. При перемножении дробей получается в произведении дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей перемножаемых дробей. Таким образом правило умножения дробей остается в алгебре то же, что и в арифметике.

Докажем это правило для случая двух множителей. Итак, надо доказать, что

Для этого заметим, что (на основании § 43):

что и требовалось доказать. Например:

Замечание. Это правило дает возможность умножить дробь и на любое выражение, не являющееся дробью. Для этого достаточно представить это выражение в виде дроби с знаменателем 1:

Мы видим, что для того, чтобы умножить дробь на какое-либо выражение с, не являющееся дробью, достаточно умножить на это выражение числитель данной дроби.

§ 85. Возведение дроби в степень

Возведение дроби в степень является частным случаем перемножения нескольких дробей. Применяя к этому случаю общее правило предыдущего параграфа, получаем:

Правило, п-я степень данной дроби есть дробь, числитель которой равен л-й степени числителя, а знаменатель п-й степени знаменателя данной дроби.

Итак

§ 86. Деление дробей

Правило деления двух дробей остается тем же, что и в арифметике. Частное двух дробей есть дробь, числитель которой есть произведение числителя делимого на знаменатель делителя, а знаменатель есть произведение знаменателя делимого на числитель делителя:

В самом деле, умножая

на делитель

получаем:

т. е. делимое.

Замечание 1. Как и в случае умножения, наше правило применимо и к тому случаю, когда делимое или делитель не являются дробями. В самом деле:

Первое из этих равенств показывает следующее: чтобы разделить дробь на какое-нибудь выражение, не являющееся дробью, достаточно умножить на это выражение ее знаменатель.

Замечание 2. Напомним еще, что разделить на дробь ~ это — то же самое, что умножить на обратную дробь — (§ 42).

§ 87. Преобразование рациональных выражений в рациональные алгебраические дроби

Иногда числитель и знаменатель дроби сами являются дробными выражениями. Например:

Складывая дроби в числителе и в знаменателе и производя затем деление полученных дробей, преобразуем наше выражение в дробь, числитель и знаменатель которой являются уже целыми выражениями:

Возможны и гораздо более сложные нагромождения действий. Например, обозначим через А следующие выражения:

Но как бы сложно данное выражение ни было, если оно рационально, т. е. содержит лишь действия сложения, вычитания, умножения и деления, то его всегда можно распутать, производя в указанном порядке указанные действия по изложенным выше правилам. При этом в результате мы всегда получим или целое выражение, или дробь, числитель и знаменатель которой суть целые выражения. Покажем это на только что приведенном примере:

Подобным же образом можно поступать и в сколь угодно сложных случаях. Преобразовав данное рациональное выражение в дробь, числитель и знаменатель которой суть целые выражения, мы можем далее преобразовать каждое из этих целых выражений в многочлен или одночлен.

Дробь, числитель и знаменатель которой суть многочлены или одночлены, называется рациональной алгебраической дробью.

Итак, всякое рациональное алгебраическое выражение может быть тождественно преобразовано в рациональную алгебраическую дробь. Основной смысл действий над алгебраическими дробями и заключается в том, чтобы дать возможность во всех случаях удобно производить это преобразование. Конечно в том случае, если знаменатель дроби окажется равным единице, его не пишут: получится просто многочлен или одночлен.

Замечание 1. Только что сказанное предполагает, что данное рациональное выражение не было бессмысленным при всех значениях входящих в него букв (ср. замечание в § 70).

Замечание 2. Рациональную алгебраическую дробь можно освободить от дробных коэфициентов в числителе и в знаменателе. Например, умножив числитель и знаменатель рациональной алгебраической дроби

на 12, получим дробь:

Вообще, для того чтобы рациональную алгебраическую дробь освободить от дробных коэфициентов в числителе и знаменателе, надо умножить ее числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей всех дробных коэфициентов членов числителя и знаменателя.

Замечание 3. Очень часто преобразования сложных дробных выражений в рациональную дробь можно произвести много проще, без выполнения по порядку всех указанных в выражении действий, а другими приемами. Особенно следует научиться пользоваться для упрощения алгебраических выражений основным свойством дроби (значение дроби не меняется при умножении ее числителя и знаменателя на одно и то же число).

Например, если дана дробь

то совсем нет необходимости отдельно выполнять действия, указанные в числителе и в знаменателе. Умножая числитель и знаменатель дроби на х2, получаем сразу:

Само собой разумеется, то же самое относится и к частному, не записанному в виде дроби. Например, если дано вычислить

то нет необходимости отдельно произвести действия, указанные в каждой скобке. Лучше сразу умножить делимое и делитель

на xz:

УПРАЖНЕНИЯ 137— 146 К § 84-87.

Преобразовать следующие выражения в рациональные дроби:

Замечание. Выражения такого вида, как данные в упражнениях 137—139, называются цепными (или непрерывными) дробями и имеют много важных применений.

140. Преобразовать в рациональную дробь выражение:

141. Выражение

т. е. число, обратное среднему

арифметическому чисел, обратных к х и у, называется средним гармоническим чисел X и у. Вычислить среднее гармоническое: а) чисел х— 1 и у = 2;

б) чисел х= 147 и у = 147; в) выражений 142. Проверить тождество:

143. Преобразовать в рациональную дробь:

144. Преобразовать в рациональную дробь:

145. Освободить рациональную дробь

от дробных коэфициентов в числителе и в знаменателе.

146. Упростить выражение, которое получится после подстановки в выражение

вместо t выражения

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ

ОДНО УРАВНЕНИЕ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

§ 88. Что значит решить уравнение?

В § 9 было сказано, что решение уравнений является одной из важнейших задач алгебры. Один специальный случай решения уравнений, а именно решение пропорций, был полностью разобран в § 55. При решении пропорций требовалось по трем известным членам пропорции найти четвертый неизвестный. Вообще, каждое равенство, в котором одно число, выраженное буквой, считается неизвестным, а значения остальных букв (если они имеются) считаются известными, называется уравнением с одним неизвестным. Неизвестное число называется коротко просто неизвестным. В уравнениях с одним неизвестным неизвестное чаще всего обозначается буквой х.

В этой и в следующей главе мы будем рассматривать уравнения с одним неизвестным, в которые кроме буквы, обозначающей неизвестное, не входит никаких других букв.

Решением, или корнем, уравнения с одним неизвестным называется каждое такое число, от подстановки которого вместо неизвестного уравнение превращается в верное равенство. Например, число — 7 является корнем уравнения

* + 10 = 3,

так как, подставляя в это уравнение вместо буквы х число —7, получаем верное равенство:

— 7 + 10 = 3.

Решить уравнение это значит найти все его корни. Например, единственным корнем уравнения х -[-10 = 3 является число —7, так как, если сумма числа х с числом 10 равна 3, то X должно равняться разности 3—10.

Не всегда уравнение с одним неизвестным имеет один корень. Например, уравнение

(х — 2)(х— 3) = 0

имеет два корня, а именно -f2 и -f-3, В самом деле, подстав-

ляя в это уравнение то или другое из указанных чисел, получим тождества:

(2 — 2)(2 — 3) = 0;

(з—2)(з—з;=о.

Других корней кроме +2 и +3 наше уравнение не имеет. В самом деле, произведение двух множителей только в том случае может равняться нулю, если один из множителей равен нулю. Поэтому равенство (х — 2) (х — 3) = 0 может быть верно только в том случае, если или х — 2 = 0, или х — 3 = 0. В первом случае х = 2, а во втором х = 3.

Встречаются уравнения, которые имеют три, четыре, пять и более корней.

Может также случиться, что уравнение совсем не имеет корней. Таково, например, уравнение

х = х+ 1.

От прибавления единицы любое число увеличивается, поэтому ясно, что, каково бы ни было х, число х+1 не может равняться числу X.

Может случиться, что любое число является корнем уравнения.

В этом случае уравнение является не чем иным как тождеством1). Таково, например, уравнение

X I X ' 2iXt

Подставляя в него вместо х любое число, получим верное равенство.

Уравнение может иметь бесконечное множество корней, не будучи тождеством. Таково, например, уравнение

\х\=х.

Корнями этого уравнения являются все положительные числа и число нуль2).

Замечание. Про корни (или решения) уравнения говорят также, что они удовлетворяют этому уравнению. Например, число —7 удовлетворяет уравнению х +10 = 3, а число —8 не удовлетворяет этому уравнению.

1) Мы считаем, таким образом, тождество частным случаем уравнения. Без этого соглашения многие дальнейшие формулировки были бы заметно осложнены.

2) Много позднее учащиеся познакомятся с тригонометрическими уравнениями, которые тоже могут иметь бесконечное множество корней, не обращаясь в тождество. Рациональное уравнение (т. е. уравнение, обе стороны которого являются рациональными выражениями) с одним неизвестным (как будет показано во второй части этой книги) не может иметь бесконечно много корней, не обращаясь в тождество.

§ 89. Первое основное свойство уравнения

При решении уравнения можно прибавить к обеим частям уравнения одно и то же число; корни уравнения от этого не изменятся.

Рассмотрим, например, уравнение

15 + 2х = Зх. (1)

Прибавим к обеим частям равенства (1) по —2х. Получим:

15 + 2х — 2х = Ъх — 2х,

или, после приведения подобных членов в обеих частях равенства:

15 = х. (2)

Обратно, прибавляя к обеим частям равенства (2) по +2х, получим вновь равенство (1). От прибавления к обеим частям равенства одного и того же числа равенство не нарушается; поэтому, если при каком-либо значении х верно равенство (1), то при этом значении х должно быть верно и равенство (2), и обратно, при каждом значении х, при котором верно равенство (2), должно быть верно и равенство (1). Иначе говоря, уравнения (1) и (2) должны иметь одни и те же корни. Но уравнение (2) имеет единственным своим корнем число 15. Следовательно 15 является также и единственным корнем уравнения (1). И в самом деле, подставляя в уравнение (1) вместо х число 15, получаем правильное равенство:

15 + 2. 15 = 3- 15.

Очевидно, что рассуждение, проведенное нами для случая прибавления числа 2х к обеим частям уравнения (1), можно повторить и в любом другом подобном случае.

Замечание. Число, которое прибавляется к обеим частям уравнения, может быть дано в виде любого буквенного выражения; в частности это выражение может содержать неизвестное, как это и было в нашем примере, где к обеим частям уравнения прибавлялось выражение —2х.

Следует только наблюдать, чтобы прибавляемое выражение не теряло смысла при тех значениях неизвестного, при которых обе стороны первоначального уравнения имеют определенный смысл. Например, уравнение

лг — 5 = 0

имеет корень х = 5. Прибавляя к обеим частям этого уравнения выражение -_ё=' получим уравнение

которое при х = Ъ становится бессмысленным.

Следствие 1. Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же число. В самом деле, вычесть какое-либо число — это то же самое, что прибавить противоположное число.

Если одна из частей уравнения записана в виде алгебраической суммы нескольких членов, то каждый член этой суммы называется членом уравнения. Если какая-либо из частей уравнения не записана в виде суммы нескольких членов, то она целиком считается одним членом уравнения. Например уравнение

х2 — 2х -}- 3 = 4 (х — 2)

имеет три члена (х2, — 2х и +3) в левой части и один член 4 (х — 2) в правой части.

Следствие 2. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив знак этого члена на противоположный.

Например, если к обеим частям уравнения х2 -|- 3 — 2х — 7 прибавить —2х, то получится:

Член + 2я перешел из правой части уравнения в левую с противоположным знаком (т.е., превратившись в —2х).

При этом, само собой разумеется, что если все члены уравнения перенесены в одну часть уравнения, то в другой части уравнения ставится нуль. Например, уравнение

после перенесения члена +7 с противоположным знаком в левую часть, превращается в уравнение:

Следствие 3. Два одинаковых члена, стоящие в разных частях уравнения, можно просто вычеркнуть.

Например, прибавляя к обеим частям уравнения х2-|-6л;-[-9 = = x*+lll по — х2у получим:

Таким образом, одинаковые члены в обеих частях уравнения пропали1).

§ 90. Второе основное свойство уравнения

Обе части уравнения можно умножить на одно и то же число, не равное нулю; корни уравнения от этого не изменятся.

1) При этом, конечно, члены считаются одинаковыми только в том случае, если их знаки одинаковы. Например, нельзя зачеркнуть в одной части уравнения + х2, а в другой — х\

Например, умножив обе части уравнения

(1)

на 10, получим уравнение:

-30 = *. (2)

Обратно, деля обе части уравнения (2) на 10, получим вновь уравнение (1). При умножении или делении обеих частей равенства на одно и то же число, не равное нулю, равенство не нарушается; поэтому, если при каком-либо значении х верно равенство (1), то при этом значении должно быть верно и равенство (2), и обратно, при каждом значении х, при котором верно равенство (2), должно быть верно и равенство (1). Иначе говоря, уравнения (1) и (2) должны иметь одни и те же корни. И действительно оба эти уравнения имеют единственным корнем число —30.

Очевидно, что рассуждение, проведенное нами для случая умножения обеих частей уравнения (1) на число 10, можно повторить и в любом другом подобном случае (лишь бы число, на которое умножаются обе части уравнения, было отлично от нуля).

Замечание. Умножить обе части уравнения разрешается только на число, отличное от нуля.

Рассмотрим на примере, что получается при умножении обеих частей уравнения на нуль. Возьмем уравнение

Зл: = 6;

оно имеет единственный корень х = 2. Умножим обе части уравнения на нуль; получится уравнение:

Зл:-0 = 6-0,

корнем которого является любое число (какое бы ни было х, в обеих частях нашего нового уравнения по умножении на нуль получается нуль), т. е. тождество. Вообще, при умножении обеих частей уравнения на нуль получается тождество 0=0.

В этой главе рассматривается только умножение обеих частей уравнения на определенное число, отличное от нуля, а не на выражение, содержащее неизвестное (о том, что происходит в этом последнем случае, см. следующую главу).

Оба уравнения (1) и (2) имеют единственным корнем число — 30.

Следствие 1. Обе части уравнения можно разделить на одно и то же число, не равное нулю. В самом деле, разделить на какое-либо число, — это то же самое, что умножить на обратное число.

Например, разделив обе части уравнения

5* = 15

на 5, получим:

Умножение или деление каждой части уравнения (как и всякой суммы) можно производить почленно. Поэтому можно также сказать:

Следствие 2. Если умножить (или разделить) все члены уравнения на одно и то же число, не равное нулю, то корни уравнения не изменятся.

Например, разделив все члены уравнения 12x+18 = 6x + 24

на 6, получим:

2х+3 = л: + 4.

Следствие 3. Любое уравнение можно преобразовать так, чтобы коэфициенты всех его членов сделались целыми числами: для этого надо умножить все члены уравнения на общее кратное знаменателей всех дробных коэфициентов уравнения.

Например, чтобы освободить от дробных коэфициентов уравнение

надо умножить все его члены на 12. Получится уравнение

9х2- 10д:+12=4л:+18

с целыми коэфициентами.

Следствие 4. Можно переменить знаки у всех членов уравнения.

В самом деле переменить знак,— это то же самое, что умножить на —1. Например, меняя знаки всех членов уравнения

— х = — 2,

получаем уравнение:

х = 2.

Оба уравнения имеют единственный корень 2. Точно так же, меняя знаки всех членов уравнения

_х+7=0,

получаем уравнение:

х-7=0.

Оба уравнения имеют единственный корень х = 7.

§ 91. Примеры решения задач при помощи уравнений

Правила, установленные в двух предыдущих параграфах, и их следствия позволяют удобно решать многие уравнения. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две задачи.

Задача 1. Отец в восемь раз старше сына, а через десять лет будет только в три раза старше. Сколько лет сыну?

Неизвестен в этой задаче возраст сына. Обозначим этот неизвестный возраст буквой: положим, что сыну х лет, отец в восемь раз старше, значит отцу 8л: лет. Через 10 лет сыну будет л;+10 лет, а отцу будет 8.x;+10 лет. Значит по условию задачи число 8х+Ю должно быть в три раза больше числа л;+10. Это условие можно записать в виде уравнения

8л:+10=3 (х+10).

Теперь все сводится к тому, чтобы решить написанное уравнение, т. е. узнать, при каких значениях буквы х написанное равенство верно.

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получится:

8лг+10 = 3л; + 30.

В левой части уравнения стоит сумма двух членов +8х и + 10, а в правой части — сумма двух членов + 3л: и +30. Перенесем член + 3л;, переменив у него знак, из правой части уравнения в левую, а член +10, также с противоположным знаком, из левой части в правую. Получится уравнение:

+ 8х — 3x = + 30 —10,

или, после приведения подобных членов:

Ъх = 20.

Разделим обе части уравнения на 5. Получится:

х = 4.

Мы видим, что уравнение 8х + 10 = 3 (х + 10) имеет один корень: х = 4.

Что 4 действительно является корнем нашего уравнения, можно проверить, подставив 4 вместо х в уравнение:

8.4+10 = 3(4+10).

Однако решение уравнения по установленным правилам даст больше, чем эта проверка: решив уравнение так, как это было сделано, мы убеждаемся не только в том, что 4 есть корень уравнения, а также и в том, что никаких других корней уравнения нет.

В самом деле, по доказанному в двух предыдущих параграфах, при производившихся нами преобразованиях первоначального уравнения, корни уравнения должны были остаться неизменными, а получившееся в результате уравнение х = 4, кроме числа 4, других корней не имеет.

Следовательно решение нашей задачи таково: сейчас сыну четыре года. Действительно, если сыну 4 года, то отцу 32 года; через десять лет сыну будет 14 лет, а отцу 42 года, т. е. в три раза больше, как и требовалось в задаче.

Задача 2. Задумано число. Если это число увеличить на 3, то квадрат его увеличится на 111. Найти задуманное число.

Обозначим задуманное число буквой х. Увеличив число хна 3, получим число х+3. По условию задачи квадрат числа (л: + 3) на 111 больше, чем квадрат числа х. Это условие можно записать в виде уравнения:

(x + 3)2 = jc2+111.

Раскрывая скобки в левой части, получим:

х2 + 6х + 9 = х2+111.

Одинаковые члены -|-л:2вобеих частях уравнения можно вычеркнуть. Получится:

6х + 9=111.

Перенесем член -j-9 из левой части в правую (переменив при этом его знак). Получится:

6х=П1— 9,

или

6лг=102.

Разделим обе части уравнения на 6. Получится:

Значит, задуманное число есть 17. Действительно (17-f-3)2 = = 172 + 111.

§ 92. Степень уравнения

Ограничимся пока уравнениями, правая и левая части которых являются целыми выражениями. Мы знаем, что каждое целое выражение можно тождественно преобразовать в многочлен или одночлен (§ 66). Значит, каждое уравнение с целыми выражениями в правой и левой частях можно преобразовывать в равенство между двумя многочленами. Например уравнение

после раскрытия скобок в правой и левой частях, получает вид:

л:3 - Зх2 + Зх — 1 + X2 — 1 = X* + Зх2 + Зх +1 — х\

а после приведения подобных членов в каждой части превращается в

хг - 2х2 + Зх — 2 = X* + 2х2 + Зх + 1.

Все члены многочлена, стоящего в правой части, можно перенести в левую часть с обратными знаками. В нашем примере получится:

хъ — 2х2+Зх-2 — X3-2х2-3х- 1 =0,

или, после приведения подобных членов:

Значит каждое уравнение с целыми выражениями в левой и правой частях можно привести к такому виду, что в левой части будет стоять многочлен (или одночлен), а в правой — нуль. Степень этого многочлена (или одночлена) относительно неизвестного и называется степенью уравнения.

Например уравнения

второй степени, а уравнение

6л- 102 = 0

первой степени.

Чтобы узнать, какова степень уравнения

(л + 3)2 = л:2+111,

которое мы решили в предыдущем параграфе, надо сначала преобразовать его. Получится:

Сделав эти преобразования, мы убеждаемся, что наше уравнение первой степени.

§ 93. Решение уравнений первой степени

Если уравнение первой степени, то после указанных в предыдущем параграфе преобразований в нем останется только член с первой степенью неизвестного и свободный член. Удобно член с первой степенью неизвестного оставить в левой части, а свободный член перенести в правую часть. Например уравнение

6л-102 = 0

удобно записать в виде:

6л=102.

Тогда, чтобы найти решение, останется только разделить обе части равенства на коэфициент при неизвестном в левой части (в нашем примере на 6). Получится:

Можно, конечно, с самого начала собирать члены, не содержащие неизвестного в правой части.

Значит для решения уравнения первой степени (с целыми выражениями в правой и левой частях) следует:

1. Каждую часть уравнения, раскрывая имеющиеся в ней скобки, превратить в многочлен или одночлен.

2. Перенести члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а члены, не содержащие неизвестное, в правую часть уравнения.

3. Произвести приведение подобных членов.

4. После того как в левой части осталось только неизвестное с каким-либо коэфициентом (так будет в случае уравнения первой степени), корень уравнения находят, разделив на этот коэфициент число, стоящее в правой части.

Пусть, например, дано уравнение:

2 (х — 1,37) — 0,28 = 7 (х - 0,18) + 2,43.

Раскрывая скобки, получим:

2х — 2,74 — 0,28 = 7х - 1,26 + 2,43.

Перенеся члены, содержащие неизвестное, влево, а не содержащие неизвестное — вправо, получим:

2х — 7х = —1,26 + 2,43+2,74 + 0,28,

или

— 5л: = + 4,19.

Наконец, деля +4,19 на —5, получаем окончательно:

Замечание 1. Конечно надо пользоваться всеми случаями упростить уравнение, разделив все его члены на их общий множитель (не содержащий неизвестного!), если у них такой имеется. Например, в уравнении

12(Зх-15) =18 (4л:+ 20).

Удобно еще до раскрытия скобок разделить обе части на 6. Получится:

2(Зл;-15) = 3(4л: + 20).

Раскрывая скобки, получаем:

6л: — 30 = 12л: + 60.

Опять все члены уравнения имеют общий множитель 6. Деля все члены на 6, получим:

Часто бывает удобно освобождаться от дробных коэфициентов, как указано в следствии 3 § 90. Например, решая уравнение

полезно с самого начала умножить уравнение на 12. Получится

Замечание 2. Уравнения, содержащие дробные выражения, в которых неизвестное стоит только в числителях дробей, а не в их знаменателях, не представляют новых затруднений. Такие дробные выражения всегда легко преобразовать в целые. Например, уравнение

можно записать в виде:

Еще удобнее освободиться от знаменателей умножением всех членов уравнения на надлежащее число. Например, умножая обе части уравнения (1) на 15, получим:

Замечание 3. Решать уравнения второй степени мы научимся во второй части этой книги. Пока заметим, что в некоторых случаях уравнение второй степени можно решить при помощи разложения трехчлена на множители по способу § 78. Например, чтобы решить уравнение

разлагаем левую часть уравнения на два множителя. Получается уравнение:

Произведение двух множителей равняется нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю. Значит, или * + 7 = 0, или л: -f- 6 = 0. В нервом случае х =— 7, во втором х =— 6. Наше уравнение имеет два корня: — 7 и — 6.

§ 94. Некоторые особые случаи, которые могут встретиться при решении уравнений

Может случиться, что после указанных в предыдущем параграфе преобразований неизвестное в уравнении вовсе исчезнет. Как будет, например, при решении уравнения

Зх = 2(х — 3)-f- л + 4.

Раскрывая скобки, получим:

Зх=2х — б + х+4,

или

Зл: = За —2,

или

За —Зл = —2,

или

0 = -2.

Так как в результате получилось неверное равенство, то и исходное уравнение не может быть удовлетворено никаким значением л. Вообще, если уравнение приводится (указанными выше преобразованиями) к невозможному равенству, то оно не имеет ни одного корня.

Рассмотрим другой пример, в котором после преобразования уравнения неизвестное тоже исчезает:

Зх= 2 (л — 3) + л-|-6.

Раскрывая скобки, получим:

Зл = 2л — 6 + jc + 6,

или

Зл = 3л,

или

Зл; — Зл* = О,

или

0 = 0.

В отличие от предыдущего случая получилось верное равенство, не содержащее неизвестного, т. е. тождество. Тождество верно, каково бы ни было значение х. Значит и первоначальное уравнение верно, каково бы ни было значение ху т. е. тоже является тождеством. Вообще, если уравнение приводится к тождеству, то само оно есть тождество. В этом случае любое число X можно считать корнем уравнения. Говорят, что решение уравнения неопределенно.

УПРАЖНЕНИЯ 147-158 К ГЛАВЕ 13

Решить следующие уравнения:

§ 95. Исторические сведения о решении уравнений

Возможность прибавлять к обеим частям уравнения одно и то же выражение, не меняя его корней, была известна Диофанту (IV в. нашей эры), индийским и арабским математикам. Арабские ученые называли эту операцию „ал-джебр". Эта операция вместе с вычитанием из обеих частей уравнения одного и того же выражения, которое называлось „ал-мукабала", считалось столь важной, что арабский математик Алховарезми (конец VIII—начало IX в.) назвал свое сочинение, посвященное алгебре, „ал-джебр-ал-мукабала". Отсюда и произошло самое слово алгебра.

Решение уравнений первой и второй степеней было известно Диофанту. Индийские математики значительно усовершенствовали приемы решения уравнений. Это им удалось благодаря более смелому обращению с отрицательными числами. Например, решая уравнение

х(х-2)=хъ- 16,

индийские математики могли поступать подобно нам:

х(х — 2) = jc2 — 16; х°- — 2х = X* — 16; — 2х=- 16; х = 8

Диофант же не мог бы позволить отбросить в обеих частях уравнения х\ так как ему было бы не понятно, что обозначают поставленные отдельно — 16 или — 2х. Чтобы избежать этой трудности, ему пришлось бы поступать примерно так:

Арабские ученые сделали первые шаги к решению уравнений третьей степени (особенно Омар Алхаиями, ум. в 1123 г.). Общее правило для решения уравнений третьей степени впервые удалось найти итальянскому математику Ферро (род. в 1465 г. и ум. в 1525 г.). Общий способ для решения уравнений четвертой степени вскоре после этого был найден Феррари (род. в 1522 г. и ум. в 1567 г.).

ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ НЕИЗВЕСТНОЕ В ЗНАМЕНАТЕЛЯХ

§ 96. Что происходит при умножении обеих частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение, содержащее неизвестное?

Мы уже знаем, что обе части уравнения можно умножить на одно и то же число, не равное нулю; корни уравнения от этого не изменятся. Наоборот, при умножении обеих частей уравнения на нуль любое уравнение обращается в тождество 0 = 0.

Рассмотрим теперь, что происходит с уравнением, если обе его части умножить на выражение, содержащее неизвестное, которое при одних значениях неизвестного равно нулю, а при других нет. Возьмем в виде примера уравнение

(1)

Умножим обе стороны этого уравнения на выражение X — 2. Получится уравнение:

(2)

При умножении обеих частей равенства на одно и то же число равенство не нарушается. Поэтому при каждом значении ху при котором было верно равенство (1), будет верно и равенство (2). Иначе говоря, среди корней уравнения (2) должны находиться все корни уравнения (1). Обратное же заключение было бы неправильно: при х — 2 множитель х — 2 обращается в нуль, благодаря чему уравнение (2) приводится к верному равенству 0 = 0; равенство же (1) при х = 2 неверно.

Вообще, при умножении обеих частей уравнения на целое выражение содержащее неизвестное, получается новое уравнение, сохраняющее все корни первоначального уравнения, но имеющее иногда и новые корни; каждый такой новый корень обращает в нуль то целое выражение, на которое множились обе части уравнения.

Например рассмотренное выше уравнение (1) имеет один единственный корень х—4, а уравнение (2), получившееся из (1) умножением обеих частей на х — 2, имеет корень х — А и кроме того еще корень х—2у обращающий в нуль выражение х—2.

Значит, если при решении уравнения пришлось умножить обе его части на целое выражение, содержащее неизвестное, то, решив уравнение, получившееся после такого умножения, надо проверить, удовлетворяют ли найденные корни первоначальному уравнению. Корни преобразованного уравнения, не удовлетворяющие первоначальному, называются посторонними корнями.

Пример 1. Умножение на целое выражение не вводит посторонних корней:

Умножив обе части уравнения на х — 2, получим уравнение:

Получившееся уравнение легко решается по способу, указанному в предыдущей главе:

Проверка показывает, что — ~- удовлетворяет и первоначальному уравнению:

Пример 2. Умножение на целое выражение вводит посторонний корень.

Умножив обе части уравнения на х- 3, получим:

Подставив л' = 3 в первоначальное уравнение, получим бессмысленное равенство:

Значит корень х = 3 является посторонним, не принадлежащим первоначальному уравнению. Если бы у первоначального уравнения были какие-либо другие корни, то они сохранялись бы и у преобразованного уравнения. Преобразованное же уравнение кроме X = 3 никаких других корней не имеет. Следовательно первоначальное уравнение совсем не имеет корней.

Замечание. Важно запомнить, что все сказанное выше относится к умножению обеих частей уравнения на целое выражение. При умножении обеих частей уравнения на одной то же дробное выражение может случиться, что корень первоначального уравнения будет „потерян", т. е. новое уравнение, полученное после умножения обеих частей первоначального на дробное выражение, уже не будет иметь этого корня. Например, уравнение

имеет два корня: х = 1 и х — 0. Если умножить обе части этого уравнения на-г > то получится уравнение:

или

Это новое уравнение имеет только один корень х = 0. Корень х = 1 мы „потеряли" при умножении на -г-

Тот же самый пример показывает, что корни уравнения могут теряться при делении обеих частей уравнения на одно и то же целое выражение (в нашем примере на х — 1).

§ 97. Приведение рациональных уравнений к целому виду

Если обе части уравнения суть рациональные выражения, то и само уравнение называется рациональным. В предыдущей главе был разобран тот случай, в котором обе части уравнения представляют собой целые выражения. Мы увидим сейчас, что к этому случаю сводится решение любых рациональных уравнений.

Рассмотрим сначала уравнения, члены которых являются или целыми выражениями, или дробями с целыми выражениями в числителях и в знаменателях. Таково, например, уравнение

(1)

содержащее четыре дробных члена. Чтобы преобразовать это уравнение с целыми выражениями в левой и в правой частях, достаточно умножить все его члены на общее кратное их знаменателей. За такое общее кратное можно взять (л; + 1)2(л; —-1). Умножив все члены уравнения на (х+1)2(х— 1), получим:

или

Проверка показывает, что х = 5 действительно является корнем уравнения (1):

Рассмотрим еще такой пример:

(2)

Разложим сначала хг— х — 6 на множители:

Значит наше уравнение можно записать так:

Для приведения уравнения к целому виду надо умножить все его члены на общее кратное знаменателей его дробных членов (х+2)(х— 3). Получится

Мы пришли к уравнению второй степени. Однако в нашем случае уравнение второй степени легко решается при помощи разложения на множители. В самом деле, уравнение хг — 4 = 0 можно записать в виде:

(х + 2)(х-2) = 0. (3)

Произведение двух множителей х+ 2 и х — 2 может равняться нулю только в том случае, если один из этих множителей равен нулю. Если jc-(-2 = 0, то х = — 2, если же х — 2 = 0, то х = +2. Значит уравнение (3) имеет два корня: -)-2 и —2. Проверка показывает, что при х = — 2 первоначальное уравнение (2) превращается в бессмысленное равенство. Следовательно корень х = — 2 является посторонним корнем, внесенным при преобразовании первоначального уравнения. Наоборот, при подстановке в уравнение (2) вместо х числа 4"2 получается верное равенство:

Значит, первоначальное уравнение (2) имеет один корень +2.

Обратимся теперь к рассмотрению произвольных рациональных уравнений. Оказывается, что любое рациональное уравнение может быть приведено к целому виду при помощи тождественных преобразований левой и правой частей уравнения и при помощи умножения обеих частей уравнения на одно и то же целое выражение. Получающееся в результате этих преобразований уравнение с целыми выражениями в левой и в правой частях имеет все корни первоначального уравнения, но может иметь еще и посторонние корни.

Приведение к целому виду в различных случаях целесообразно делать разными способами. Выше мы уже видели, что в случае уравнения с несколькими членами, записанными в виде дробей, имеющих целые числители и знаменатели, достаточно обе части уравнения умножить на общее кратное знаменателей всех этих дробей. Чтобы убедиться в том, что любое рациональное уравнение можно привести к целому виду, будем рассуждать так: в § 87 было установлено, что всякое рациональное выражение может быть преобразовано в рациональную алгебраическую дробь. Поэтому, как бы сложны ни были рациональные выражения в левой и в правой частях уравнения, всегда можно при помощи тождественных преобразований каждой из частей уравнения преобразовать его в равенство между двумя рациональными алгебраическими дробями. После того как такое преобразование сделано, умножив обе части уравнения на общее кратное обоих знаменателей, получим уравнение с целой правой и целой левой частями.

Пусть, например, дано уравнение:

(4)

Правая его часть уже записана в виде рациональной дроби. Левая часть преобразуется так:

После этого преобразования левой части получается уравнение:

За общее кратное обоих знаменателей здесь приходится взять их произведение (х+ \)(х+3).

Умножив обе части уравнения на (x-f- 1)С*: + 3), получим:

Получилось уравнение первой степени; поэтому оно легко решается: _ 2

Проверка показывает, что число — 2 действительно удовлетворяет первоначальному уравнению (4):

Значит мы не ввели при решении посторонних корней. Уравнение (4) имеет один корень: х = ~ 2.

УПРАЖНЕНИЯ 159—163 К ГЛАВЕ 14.

Решить уравнения:

ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ

СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ. БУКВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ 98. Решение задач при помощи уравнений

Чтобы решить какую-либо задачу при помощи уравнения с одним неизвестным, надо:

1°. Выбрать одно из неизвестных (искомых) чисел задачи за неизвестное будущего уравнения.

2°. Составить по условиям задачи уравнение с выбранным неизвестным.

3°. Решить это уравнение.

4°. Исследовать, удовлетворяет ли полученное решение всем условиям задачи.

Значение всех этих отдельных частей полного решения задачи выяснится на следующих задачах:

Задача 1. Веревку длиной в 14 ж разрезали на три части так, что вторая часть на 2 ж короче первой, а третья на 1 ж короче второй. Найти длину всех трех частей веревки.

Примем за неизвестное уравнения, которое мы хотим составить, длину первой части в метрах. Обозначим ее буквой х. Тогда по условию задачи длина второй части будет равна (х—2) ж, а длина третьей части (х—2—1) м. Значит сумма длин трех частей равна

х + (х — 2) + (x — 2— 1)ж.

По условию задачи эта сумма равна 14 ж. Поэтому:

х + (х— 2) + (jc-2 — 1)= 14.

Уравнение задачи составлено. Решаем это уравнение:

Уравнение решено. Мы видим, что длина первой части веревки должна равняться -g, или 6-^ (ж). Значит длина второй части должна равняться 6-1— 2 = 4-1 (ж), а третьей 4-1—1=3-1 (ж).

Сумма чисел б -1, 4-1 и 3-1 действительно равна 14. Найденное решение удовлетворяет всем условиям задачи.

Можно было бы решить ту же самую задачу иначе, взяв при составлении уравнения за неизвестное длину второй части веревки в метрах. Обозначим ее буквой у1). По условии задачи длина первой части равна (у+2) ж, а длина третьей части (У—1)м. Значит теперь уравнение задачи будет выглядеть так:

Решая это уравнение, получим:

Значит длина второй части равна

Следовательно длина первой части равна

а третьей части

1) Конечно можно было бы это новое неизвестное обозначить и буквой х (при условии не употреблять букву х в прежнем смысле).

Мы видим, что одну и ту же задачу можно решить разными способами, выбирая при составлении уравнения то или иное из искомых чисел задачи за неизвестное. Рекомендуем учащемуся в виде упражнения решить только что разобранную задачу, составив уравнение, в котором неизвестным служила бы длина третьей части веревки.

Конечно все правильные способы решения задачи должны привести к одному и тому же ответу на поставленные в задаче вопросы. Однако от удачного выбора неизвестного для составления уравнения часто зависит легкость и простота решения. Это видно, например, из следующей задачи.

Задача 2. Площадь квадрата равна площади прямоугольника, одна из сторон которого на 5 ж больше стороны квадрата, а другая на 4 м меньше стороны квадрата. Найти площадь квадрата.

Казалось бы, можно обозначить искомую площадь квадрата (в квадратных метрах) буквой х и составить для этого неизвестного X уравнение. Вряд ли, однако, это удастся учащемуся1). Удобнее считать основным неизвестным длину стороны квадрата в метрах. Обозначим ее буквой у. Тогда длина одной стороны прямоугольника равна (у -J-5) M, а другой (у — 4) м. Площадь квадрата равна у2кв.м> а площадь прямоугольника (у+b)(у— 4) кв. м. По условию задачи эти площади равны. Значит

y2 = (y + 5)(y-i).

Уравнение задачи составлено. Будем его решать:

У = 0> + 5)(у-4); у*=у* + 5у-4у-20; -5у + 4у= - 20; —у = — 20; у = 20.

Значит сторона квадрата должна быть равна 20 м, а площадь 20* = 400 (кв. м). Длина одной из сторон прямоугольника должна равняться 20 -}- 5 = 25 (м), а другой 20 — 4=16 (м). И действительно в соответствии с условием задачи

25 - 16 = 400.

Найденное решение удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача 3. Площадь квадратного участка земли на 25000 кв. м больше, чем площадь другого прямоугольного участка. Длина этого второго участка на 200 м больше стороны квадратного, а ширина на 150 м меньше стороны квадратного. Найти площадь квадратного участка.

Как и в предыдущей задаче, обозначим буквой у длину стороны квадратного участка в метрах. Тогда длина прямоугольного участка равна (^ + 200) м, а ширина (у —150) м. Площадь квадратного участка равна у2 кв. м, а площадь второго участка

1) Такое уравнение все же можно составить:

обозначает крадратный корень из х, т. е. число, квадрат которого есть х)

(j; + 200) (j; — 150) кв. м. По условию задачи первая из этих площадей на 25000 кв. м больше второй. Значит

у = (у + 200) (у — 150) + 25 000.

Уравнение задачи составлено. Будем его решать:

Мы видим, что сторона квадратного участка должна быть равна 100 м, а площадь 1002 = 10000 (кв. м). Казалось бы задача решена: площадь квадрата, которую только и требовалось найти, найдена. Исследуем, однако, решение задачи далее: длина прямоугольного участка должна равняться 100 + 200 = 300 (ж), а ширина 100—150 = —50 (м). Получилась бессмыслица: ширина прямоугольного участка не может выражаться отрицательным числом.

Значит, несмотря на то, что уравнение имеет решение у = 100, сама поставленная задача не имеет решения. Это объясняется тем, что в уравнении никак не было отражено одно из подразумевавшихся условий задачи, заключающееся в том, что ширина, длина и площадь участка не могут быть отрицательными.

Мы видим на этом примере, что, даже не сомневаясь в правильности решения уравнения, надо исследовать, действительно ли решение уравнения дает решение поставленной задачи.

Задача 4. В трех квартирах живет 14 человек. Во второй квартире живет на 2 человека меньше, чем в первой, а в третьей на 1 человека меньше, чем во второй. Сколько человек живет в каждой из квартир?

Обозначим буквой х число жителей первой квартиры. Тогда число жителей второй квартиры будет равно х — 2, а третьей X — 2—1. Сумма трех чисел х, х — 2 и х — 2 — 1 должна по условию задачи равняться 14. Значит

jc + (jc-2) + (a-2 — 1) = 14.

Уравнение задачи составлено. Это—то самое уравнение, которое мы уже решали в первой задаче этого параграфа. Решение этого уравнения таково:

В первой задаче х обозначало длину куска веревки, и дробный ответ был вполне осмысленным. В решаемой же сейчас задаче было бы бессмысленно сказать, что в квартире живут -к- человека. Значит эта задача не имеет решения.

Задача 5. Когда Александру было 14 лет, Андрей был в 3 раза старше, чем тогда, когда Александру было 5. На сколько лет Андрей старше или моложе Александра?

Займемся сначала вопросом о том, какое число выбрать в этой задаче за неизвестное при составлении уравнения. Пока задача не решена, мы не знаем, кто старше— Андрей или Александр. Если бы мы не были знакомы с отрицательными числами, то нам пришлось бы разобрать отдельно два случая: сначала предположить, что Андрей на х лет старше Александра, и попробовать найти неизвестное х\ потом предположить, что Андрей на X лет моложе Александра, и попробовать найти новое неизвестное х. Однако, вспомнив то, что мы знаем об измерении промежутков времени (§ 28), мы можем поступить проще. Обозначим промежуток времени от рождения Андрея до рождения Александра (в годах) буквой х. При этом, в соответствии с общим порядком, установленным в § 29, х будет считаться положительным, если Андрей родился раньше Александра, и отрицательным в противоположном случае.

Неизвестное для составления уравнения выбрано. Будем составлять уравнение. Когда Александру было 5 лет, Андрею было х+b лет.

В самом деле, если промежуток времени от рождения Андрея до рождения Александра составляет х лет, а от рождения Александра до данного момента 5 лет, то промежуток времени от рождения Андрея до данного момента равен л: + 5 лет (§ 28).

Подобно этому, когда Александру было 14 лет, Андрею было x -|- 14 лет. По условию задачи л:-}-14 в 3 раза больше, чем

jc + 14 = 3(jc + 5).

Уравнение задачи составлено; будем его решать:

x+14 = 3x-fl5;x — 3x= 15—14; — 2х=\; х=--

Какой же смысл имеет это решение для нашей задачи? х =--~- обозначает, что Андрей должен быть на года моложе Александра. Следовательно, когда Александру было 5 лет, Андрею должно было быть 4-~- года, а когда Александру было 14 лет, Андрею должно было быть 13-^- лет. Действительно 13 в три раза больше, чем 4-^-' Найденное решение удовлетворяет всем условиям задачи.

Разберем еще на двух простых примерах два особых случая: неопределенного решения уравнения и отсутствия решения у уравнения.

Задача 6. Отцу 35 лет, а сыну 10 лет. Через сколько лет отец будет на 25 лет старше сына?

Обозначим искомое число лет буквой х. Через х лет отцу будет 35 ~\-х лет, а сыну 10 + л: лет. Но условию задачи 35+х должно быть на 25 больше чем 10+ л::

35 + *= Ю + лг + 25; дг — х = 10 + 25- 35; 0 = 0.

Уравнение привелось к тождеству. Значит его решение неопределенно (§ 94). Решение задачи тоже неопределенно: отец как был на 25 лег старше сына, так и остается все время.

Задача 7. Отцу 35 лет, а сыну 10 лет. Через сколько лет отец будет на 20 лет старше сына?

Обозначим искомое число лет буквой х. Уравнение задачи составляется так же, как в предыдущей задаче:

35 + х = Ю + лг + 20. Решая уравнение, получим:

х-х = 10 + 20 — 35; 0 = — 5.

Получилось неверное равенство. Значит уравнение не имеет решения. Сама предложенная задача тоже не имеет решения, отец на 25 лет старше сына и, сколько бы лет ни прошло, не может сделаться на 20 лет старше.

Замечание. Если правильно составленное по условиям задачи уравнение не имеет решения, то этим все кончается: задача заведомо не имеет решения. Если же уравнение имеет неопределенное решение, то надо еще исследовать, все ли условия задачи учтены при составлении уравнения. Иногда случается, что, приняв во внимание неучтенные условия задачи, можно составить другое уравнение, которое приведет к определенному решению.

§ 99. Буквенные уравнения

Рассмотрим такую задачу:

Задача 5а. Когда Александру было а лет, Андрей был в m раз старше, чем тогда, когда Александру было b лет. Найти промежуток времени между рождением Андрея и рождением Александра.

Эта задача является обобщением задачи 5 предыдущего параграфа. В задаче 5 данные были определенными числами; теперь же эти числа заменены буквами.

Будем рассуждать, как в задаче 5. Обозначим искомый промежуток времени в годах буквой х. Когда Александру было а лет, Андрею было х+а лет, а когда Александру было b лет, Андрею было х+b лет. По условию задачи х+а должно быть в m раз больше, чем х+b:

х~\~а = т (x + ô).

Уравнение задачи составлено. Так как данные задачи обозначены буквами, то и уравнение задачи содержит кроме неизвестного X еще другие буквы. Решить такое уравнение это значит найти формулу, по которой, зная данные задачи a, b, m, можно вычислить неизвестное (искомое) х. Такие „буквенные" уравнения решаются по тем же правилам, как и уравнения, не содержащие других букв кроме неизвестного. Покажем это на нашем примере:

х~\га = т(х+b).

Раскроем скобки в правой части:

х+а = тх+ mb.

Перенесем члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а члены, не содержащие неизвестного, в правую часть уравнения:

Вынесем в левой части х за скобки :

Наше уравнение первой степени (относительно х). По общему правилу решения уравнений первой степени разделим обе части уравнения на коэфициент при х в левой части. Получим:

или

(1)

Последняя формула и должна рассматриваться как решение нашего уравнения (конечно, в предположении, что тф\). Эта формула показывает, как, зная a, b и т, вычислить х. Например, в задаче 5 предыдущего параграфа

а = 14, b = 5, т = 3.

В этом случае по формуле (1) получим:

как это и было установлено в предыдущем параграфе. Изменим теперь условия задачи 5 так.

Задача 56. Когда Александру было 10 лет, Андрей был в 2 раза старше, чем тогда, когда Александру было 4 года. На сколько лет Андрей старше или моложе Александра?

Чтобы решить измененную задачу по формуле (1), надо положить

а = 10, ft = 4, m = 2.

Получится:

Это значит, что при новых условиях задачи Андрей должен быть на 2 года старше Александра. Следовательно, когда Александру было 4 года, Андрею должно было быть 6 лет, а когда Александру было 10 лет, Андрею было 12 лет. Действительно, 12 в 2 раза больше, чем 6. Найденное решение удовлетворяет всем условиям задачи.

Придавая в общей задаче с буквенными данными буквам a, b и m различные определенные значения, можно получить, сколько угодно отдельных частных задач, вроде задач 5а и 56. Все эти задачи можно решать по общей формуле (1).

О решении однородных задач по общей буквенной формуле говорилось еще в самом начале книги, в §4. Теперь мы видим, что общие формулы для решения однородных задач можно получать при помощи решения буквенных уравнений.

С буквенными уравнениями мы уже имели дело при решении пропорций (§ 5). Например, если в пропорции

неизвестным считается член с, то решением этой пропорции является формула:

По этой формуле можно, зная а,b и d, найти неизвестный член пропорции с.

Рассмотрим еще уравнение равномерного движения (§ 49)

5 = vt. (2)

Если в этом уравнении неизвестным считается пройденный путь s, а время t и скорость v считаются известными, то уравнение следует считать уже решенным: оно прямо указывает, как, зная t и v, вычислить s.

Если же в уравнении (2) неизвестной считается скорость v, а пройденный путь 5 и время t считаются известными, то решением уравнения будет формула:

которая показывает, как вычислить v, зная s и t.

Наконец, если в уравнении (2) неизвестным считается время t, а скорость v и пройденный путь s известны, то решением уравнения будет формула:

§ 100. Нормальный вид уравнения первой степени с одним неизвестным

В предыдущей главе мы видели, что любое рациональное уравнение можно привести к целому виду. Будем поэтому рассматривать только уравнения с целыми выражениями в левой и правой частях. Таково, например, уравнение

(x + af = (x + b)\ (1)

Раскрыв скобки в обеих частях уравнения, перенеся все члены уравнения в левую часть и сделав приведение подобных (относительно неизвестного) членов, можно любое такое уравнение привести к следующему виду: в левой части многочлен или одночлен, а в правой — нуль. Например, уравнение (1) преобразуется (считая в нем неизвестным х) так:

Степень получившегося в левой части многочлена относительно неизвестного и называется степенью самого первоначального уравнения (§ 92). Например, уравнение (1) первой степени (относительно неизвестного х), а уравнение

а*х2 — bь = 0

второй степени (относительно неизвестного х).

При решении уравнений первой степени удобно с самого начала переносить все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного,— в правую часть (§ 93). Например, решая уравнение (1), следует поступать так:

X1 +2ax+ а2 = х2 + 2bx + b2\ 2ax — 2bx = b2 — a2.

После этого в левой части уравнения неизвестное выносится за скобки:

2(a — b)x = b2 — а2.

Мы видим, что всякое уравнение первой степени с неизвестным X приводится к виду:

Ах = В,

где А и В суть выражения, не содержащие неизвестного. Например, уравнение (1) привелось к виду:

2(а — b)x = b2 — а2.

Здесь Д = 2(а — b) и В — b2 — а2.

Точно так же уравнение

приводится к виду:

В этом случае Л=—1,

Из § 93—94 мы уже знаем, что уравнение

Ах = В

в случае А ф О имеет один единственный корень:

в случае А = О, В ф О совсем не имеет корней, в случае же А = 0 и В — О превращается в тождество, т. е. имеет своими корнями все решительно числа х.

Эти выводы применимы одинаково к уравнениям, не содержащим другие буквы кроме неизвестного или содержащим кроме неизвестного и другие буквы (буквенным уравнениям).

Рассмотрим, например, уравнение

(1)

Мы уже привели его к виду

2(a-b)x = b2-a\ Деля обе части уравнения на 2(а— b), получим:

Формулу

и рассматривают обычно как решение уравнения (1). При этом, однако, надо помнить, что эта формула выведена в предположении, что 2 (а — b)фО, т. е.афb.

Если же а = b, то уравнение (1) обращается в тождество

В этом случае его корнем является любое число. Таким образом полное решение уравнения (1) должно состоять из таких сведений:

если а — b, то х равно любому числу. Точно так же, когда в § 99, решая уравнение

X + а — m (х + b),

мы получили формулу

мы должны были оговорить, что эта формула выведена в предположении, что тф\. Случай же m — 1 требует особого исследования. Учащемуся предоставляется самому убедиться, что результат этого исследования будет таков:

1) если m = 1 и афb, то уравнение не имеет ни одного решения;

2) если m = 1 и а b, то уравнение обращается в тождество и, следовательно, любое число является его корнем.

§ 101. Проверка решения. Дополнительные замечания о решении буквенных уравнений с одним неизвестным

Правильность решения уравнения можно проверить, подставив найденное выражение его корня в самое уравнение вместо неизвестного. Например, подставив в уравнение (1) предыдущего параграфа вместо х выражение--^— , получим:

Это равенство верно для всех возможных значений параметров а и 6, т. е. является тождеством. В самом деле, преобразуя левую часть, получим:

а преобразуя правую часть, получим:

Мы видим, что обе части равенства тождественно равны. Если в уравнение кроме неизвестного входят еще другие буквы, то они называются параметрами. Например, в уравнении

X + а = m (х + 6),

разобранном в § 99, неизвестным было х, а параметрами a. b и т. Мы уже видели на примере этого после него уравнения, что корни уравнения могут меняться с изменением значений параметров. Например, при а == 14, b = 5, m = 3 корень уравнения равняется — JL а при а 10 ь = 4, m = 2 корень уравнения равняется 2.

Покажем эту зависимость корня уравнения от значений параметров еще на примере уравнения

(х + а)* = (х + Ъ)*,

разобранном в предыдущем параграфе. Здесь неизвестным считается х, а параметрами а и b. Если положить а = 3, 6 = 5, то уравнение (1) превратится в

(* + 3)" = (jc + 5)».

Решая это уравнение, получим:

jc2 + 6jc + 9 = jc2 + 10jc + 25; б* — 10* = 25 — 9; — 4дг = 16; jc = —4.

Если положить а = 2, 6 = — 6, то уравнение (1) превратится в

(X + 2)2= (X -6)2.

Решая это уравнение, получим:

дг2 + 4лг + 4=л;2 — 12JC + 36; 4х+ 12л: = 36 —4; 1бдг = 32; х = 2.

Однако нет никакой необходимости при каждом новом выборе значений параметров а и b решать уравнение (1) вновь: в предыдущем параграфе мы уже решили уравнение (1) в общем виде и получили формулу:

Формула (2) и дает нам общее решение уравнения (1). Она показывает, как, зная значения параметров а и bt вычислить корень уравнения. Например:

при а = 3,6 = 5 получается——g~ ^= — 4;

при а =2, b = —6 получается —-g-== 2.

Можно также сказать, что формула (2) выражает зависимость корня х от параметров а и b Следует только помнить, что эта зависимость выражается формулой (2) лишь при афb.

В более сложных случаях решения уравнений, содержащих параметры, надо иметь в виду следующее:

1) Обе части уравнения можно делить и умножать на выражения, не содержащие неизвестного; однако при этом надо заметить те значения параметров, при которых эти выражения обращаются в нуль или становятся бессмысленными. Для таких значений общая формула решения не должна применяться без особого исследования.

2) Обе части уравнения можно умножить на целые выражения, содержащие неизвестное, но при этом надо исследовать, не вносит ли такое умножение посторонних корней (ср. главу 14).

§ 102. Задачи на равномерное движение

Общее уравнение равномерного движения (§ 51)

x = x0 + v (t~tQ) (1)

показывает, как находить х если известны лг0, t0, t и v. Говорят, что уравнение (1) разрешено относительно х.

Если в уравнении (1) неизвестным считать t, то сразу еще не видно, как, зная х0, X, îq, и 1/, найти t. В этом случае уравнение (1) надо еще решить. Для этого следует раскрыть скобки в правой части:

X = х0 -f - vt — vt0;

перенести члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а не содержащие неизвестное — в правую:

— Vt = х0 — vt0 — X;

переменить знаки у всех членов уравнения:

vt — X — Xq + vtQ

и разделить обе части уравнения на vi

(2)

Получилось уравнение равномерного движения, разрешенное относительно t.

Если считать в уравнении (1) неизвестным скорость v, то уравнение тоже надо решить. Для этого следует перенести члены с неизвестным влево, а члены без неизвестного — вправо:

— (t — t0)v = x0— х;

переменить знаки у всех членов уравнения:

(t — tQ)v = x х0

и разделить обе части уравнения на t — tQ;

(3)

Получилось уравнение равномерного движения, разрешенное относительно скорости v, которым мы уже пользовались в § 50.

Формулы (1), (2) и (3) могут быть полезны при решении многих задач. Приведем этому пример.

Задача 1. Два автомобиля едут по прямой в направлении от M к N (черт. 14). Первый автомобиль делает 65 км/час, а второй 50 км/час. В полдень первый автомобиль находился в точке О, а в 2 часа пополудни второй автомобиль находился в точке Л, расположенной на расстоянии 90 км от точки О в направлении к N. Спрашивается, когда первый автомобиль нагнал второй?

Из условий задачи прямо не видно, нагнал первый автомобиль второй до полудня или после. Не видно также, произошло ли это влево от точки О или вправо.

Поступим так: выберем точку О за начало абсцисс, километр — за единицу длины и направление от MkN — за положительное; выберем кроме того полдень за начало отсчета времени и час за единицу измерения времени.

Первый автомобиль в начальный момент времени находился в начальной точке О. Скорость его равна 65 км1час. Поэтому его абсцисса х в любой момент времени t выражается так:

jt = 65/

[по формуле X = vt, являющейся частным случаем формулы (1) при *о = 0 х0 = 0]

Второй автомобиль в момент времени t0 = 2 находился в точке а с абсциссой х0 = 90. Скорость его равна 50 км/час. Поэтому по формуле (1) его абсцисса х' в любой момент времени t выражается так:

X' = 90 + 50(/ — 2).

В тот момент, когда второй автомобиль догнал первый, абсциссы обоих автомобилей были равны. Значит в этот искомый момент времени

65/= 90 + 50 (/ — 2).

Уравнение задачи составлено. Решаем это уравнение:

Значит первый автомобиль догнал второй за -g- часа, т. е. за 40 минут до полудня.

Задача 2. Две точки двигаются равномерно но оси абсцисс. Скорость, первой точки v, а второй w. В начальный момент времени первая точка находилась в начальной точке (с абсциссой, равной нулю). Вторая точка в момент времени *0 находилась в точке с абсциссой х0.

Когда одна точка догнала другую (или когда они встретились в случае, если они двигались навстречу друг другу)?

Обозначим искомый момент времени буквой /. В этот момент времени абсциссы точек равны. Абсцисса первой точки в любой момент времени t равна vt, а второй точки (по общей формуле)

x0 + w(t — t0).

Значит в искомый момент времени t

vt = x0+ w (t — tQ).

Решая это уравнение, получим:

В частности в задаче 1

v = 65, w = 50, tQ = 2, х0 = 90. Подставляя эти данные в формуле (4), получаем:

как и было вычислено ранее.

Черт. 14.

УПРАЖНЕНИЯ 164—181 К ГЛАВЕ 15.

164. Площадь квадратного участка земли на 2000 кв. я меньше, чем площадь другого прямоугольного участка. Длина этого второго участка на 50 м больше стороны квадратного, а ширина на 20 м меньше. Найти площадь квадратного участка.

Сравнить эту задачу с задачей 3 из § 98 и объснить, почему эта задача имеет решение, а задача 3 § 98 не имеет решения.

165. Температура воздуха измерялась три раза: утром, днем и вечером. Днем температура была на 10° больше, чем утром, а вечером на 5° меньше, чем днем. Средняя температура суток, вычисленная по этим трем наблюдениям, равна -(-3°. Вычислить утреннюю, дневную и вечернюю температуры.

Замечание. Средней температурой суток здесь считается среднее арифметическое трех наблюденных температур (определение среднего арифметического см. в упражнении 83 стр. 82).

166. Если к задуманному числу прибавить а, то квадрат задуманного числа увеличится на 6. Чему равно задуманное число?

167. Решить предыдущую задачу при

а) а = 10, 6 = 120; б) а = 3, 6 = 9; в) а = 3, 6 = 3.

168*. Имеет ли решение задача упражнения 166 при

а = 0, 6 = 4? б) а = 0, 6 = 0?

169*. Тело нагрето на С и опущено в калориметр, нагретый до t2° С. После погружения тела в калориметре установилась температура t°. Зная, что теплоемкость калориметра вместе с налитой в него водой (и с мешалкой) равна с, найти теплоемкость тела.

170. Решить предыдущую задачу при ^ = 99, t2 = 20, * = 29, с = 560.

171. а) Решить уравнение

ах + 6 = ex -f- d.

б)* При каких значениях а, 6, с и d это уравнение не имеет решений и при каких обращается в тождество?

172. Решить уравнение (х^а)2=(х—б)2, считая неизвестным х% а а и b известными.

173. Найти корень предыдущего уравнения при а = 5, 6 = 7.

174*. Каково решение уравнения задачи 172 при а = + 2, 6 = — 2. Объяснить, почему в этом случае нельзя пользоваться общей формулой, данной в решении упражнения 172.

175. Решить уравнение у = — считая неизвестным х, а а, 6, с, any известными (задача предполагает знакомство с главой 14).

176. Найти корень предыдущего уравнения при y=l, а = 2, 6 = 3, с = 4, rf = 5.

177. Велосипедист выехал вслед за пешеходом через 30 минут после выхода пешехода. Сколько минут нужно велосипедисту, чтобы нагнать пешехода, если велосипедист делает 240 м в минуту, а пешеход 90?

178. Решить уравнение ху -j- ах -f- by -f- с = 0, считая неизвестным х.

179. Решить предыдущее уравнение, считая неизвестным у.

180. В задаче 1 из § 102 определить абсциссу точки, в которой первый автомобиль нагонит второй.

181. Какова степень уравнения xyz -j- х2у* -j- 1 =0:

а) относительно неизвестного х; б) относительно неизвестного у.

ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ

§ 103. Пример задачи, которая приводит к системе уравнений

Задача. Задуманы два числа. Если к удвоенному первому числу прибавить утроенное второе, то получится 29. Если к утроенному первому числу прибавить удвоенное второе, то получится 31. Найти оба задуманных числа.

В этой задаче два неизвестных числа. Обозначим первое из них буквой л, а второе буквой у. Тогда условия задачи можно записать так:

а) удвоенное число х плюс утроенное число у равно 29:

2jc + Зу = 29;

б) утроенное число х плюс удвоенное число у равно 31 :

Зх + 2у = 31.

Мы записали условия задачи в виде системы двух уравнений с двумя неизвестными:

(1)

В обоих уравнениях этой системы х обозначает одно и то же число: первое из задуманных чисел. Точно так же у в обоих уравнениях обозначает одно и то же число: второе из задуманных чисел.

Решить нашу задачу это значит найти такие два числа, чтобы при подстановке в оба уравнения системы первого из этих чисел вместо буквы х, а второго вместо буквы у оба уравнения системы были удовлетворены (т. е. превратились бы в верные равенства).

Например, если мы положим

* = 4, у = 7,

то первое из уравнений системы будет удовлетворено:

2.4 + 3-7 = 29,

но второе уравнение еще не будет удовлетворено, так как 3-4-}-2-7 равно 26, а не 31, как этого требует второе уравнение системы. Пара значений х = 4, у =7 является решением первого уравнения, но не решением системы двух наших уравнений.

Если положить

х = 5, у = 8, то второе уравнение будет удовлетворено:

3.5 + 2.8 = 31,

но не будет удовлетворено первое уравнение, так как 2-5 + + 3-8 равно 34, а не 29, как это требует первое уравнение. Значит пару значений неизвестных л; = 5, у = 8 тоже нельзя считать решением системы (1); можно только сказать, что эта пара является решением второго из уравнений системы.

Попробуем же теперь найти решение системы уравнений (1), т. е. такую пару значений неизвестных х и у, которая удовлетворяла бы обоим уравнениям системы одновременно. Предположим, что у нам уже известно, и постараемся найти х. Для этого будем решать первое из наших уравнений, считая неизвестным х, а у известным:

(2)

Найденное выражение для х подставим во второе уравнение:

Получилось уравнение, содержащее только одно неизвестное у. Такие уравнения мы уже умеем решать. Умножив обе части уравнения на 2, получим:

3(29 — 3j;) + 4j/ = 62; 87 — 9у + 4у = 62; — 9у + 4у = 62 - 87;

— 5у = — 25; у = Ъ.

Зная искомое значение неизвестного у, вычисляем искомое значение неизвестного х по формуле (2):

Итак, для того чтобы удовлетворить обоим уравнениям системы (1), надо положить

х = 7, у = 5.

Проверка показывает, что эта пара значений х и у действительно удовлетворяет обоим уравнениям системы:

2 7 + 3-5 = 29, 3-7 + 2-5 = 31.

Предложенная в начале параграфа задача решена: первое из задуманных чисел равно 7, а второе 5.

§ 104. Одно уравнение с двумя неизвестными. Нормальный вид уравнения первой степени с двумя неизвестными

Одно уравнение с двумя неизвестными обычно имеет бесконечно много решений. Например, рассматривая в предыдущем параграфе уравнение

2х + 3у = 29,

мы видели, что ему можно удовлетворить, взяв любое значение у и подобрав к нему значение х по формуле:

По этой формуле находим, например, такие пары значений неизвестных X и у:

1) у=\, х=13\ 2) у = 3, х=\0; 3) j/ = 5, х — 7; 4) у =7, х= 4

и т. д. Каждая из этих пар должна рассматриваться как решение нашего уравнения, так как:

и т. д. Мы видим, что наше уравнение выражает только некоторую зависимость между значениями х и у, определить же по этому одному уравнению значения обоих неизвестных нельзя. То же самое относится почти ко всем встречающимся в задачах уравнениям с двумя неизвестными.

Могут, однако, встретиться и исключения. Например уравнение

имеет одно единственное решение: х = 0, _у = 0, а уравнение

X+y=zX+y+\

совсем не имеет решений.

Чтобы найти два неизвестных числа, обычно приходится пользоваться двумя уравнениями. К решению системы двух уравнений с двумя неизвестными мы и перейдем в следующем параграфе. Однако, чтобы научиться решать системы уравнений, надо знать, как можно преобразовывать каждое из уравнений в отдельности, не меняя его решений.

Для уравнений с двумя и большим числом неизвестных сохраняют силу два основных свойства уравнений, установленные в § 89 и 90:

Г. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, то решения уравнения не изменятся.

2°. Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то решения уравнения не изменятся.

Остаются справедливыми и все следствия этих двух основных свойств. Например, если дано уравнение (с двумя неизвестными X и у)

(X - 3) (у - 4) + 6 = (X - 1 ) (у - 5), (1)

то его можно преобразовать следующим образом. Сначала рас крыть скобки:

ху — Зу — 4л:-|- 12 + 6 — ху —у — 5л:+ 5;

затем вычеркнуть имеющийся в обеих частях уравнения член ху:

- Зу — 4л:+12+ 6 = — у — Ъх+Ъ\

все члены правой части уравнения перенести в левую (переменив у них знаки):

- Зу-4;с+12 + 6+.у + 5л: —5 = 0

и, наконец, сделать приведение подобных членов:

х-2j/ + 13 = 0. (2)

После всех указанных преобразований получилось уравнение, как говорят, равносильное первоначальному: каждое решение уравнения (1) является в то же время и решением уравнения (2), и, обратно, каждое решение уравнения (2) является в то же время и решением уравнения (1). Например, если установлено, что пара значений

X = 3, у = 8

удовлетворяет уравнение (2) (так как 3 — 2 «8+13 = 0), то отсюда уже без новых вычислений следует, что та же пара значений неизвестных х и _у удовлетворяет и уравнению (1). И в самом деле, проверка показывает, что

(3 _ 3) (8 - 4) + 6 = (3 — 1 ) (8 — 5).

Уравнение (1) мы преобразовали в уравнение (2), в левой части которого стоит многочлен, а в правой нуль. К такому виду можно привести, раскрывая скобки и перенося члены правой части в левую, любое уравнение с любым числом неизвестных, у которого в правой и в левой частях стоят целые выражения (ср. § 92). Если после такого преобразования каждый член левой части уравнения содержит только одно неизвестное и притом в первой степени или совсем не содержит неизвестных, то уравнение называется уравнением первой степени.

Вообще, чтобы определить степень уравнения с несколькими неизвестными надо привести это уравнение к виду Р=0, где Р—многочлен, не содержащий подобных членов. Степень многочлена Р относительно неизвестных (см. мелкий шрифт в конце § 67) и называется степенью уравнения. Например уравнение с двумя неизвестными х и у

ху + а* + by -f- с = О

второй степени. То же самое уравнение следует считать уравнением первой степени, если оно рассматривается как уравнение с одним неизвестным х (или с одним неизвестным у).

При изучении и решении уравнений первой степени принято члены, не содержащие неизвестного, собирать в правой части, а в левой части уравнения оставлять только члены, содержащие неизвестные. Например, уравнение (2) мы будем записывать так:

X — 2_у = — 13. (3)

Вообще каждое уравнение первой степени с двумя неизвестными X и у приводится к виду:

Ах + Ву = С,

где А, в и С — известные числа. Например, в уравнении (3)

Л = 1, £== — 2, С=— 13.

При этом Л и В называются коэфициентами уравнения (А — коэфициент при неизвестном х, В — коэфициент при неизвестном у), а С —свободным членом уравнения. Конечно, может случиться, что некоторые из чисел Л, В и С окажутся равными нулю. Например, в уравнении

— х+5у = 0

А= — 1, В = 5 и С = 0. Если равняется нулю один из коэфициентов А или В, то уравнение превращается в уравнение с одним неизвестным. Однако при общих теоретических рассуждениях целесообразно такие уравнения считать частным случаем уравнений с двумя неизвестными.

Замечание. То же самое относится и к уравнениям первой степени с двумя неизвестными, содержащими кроме неизвестных другие буквы, значения которых считаются известными. Каждое такое уравнение можно привести (обозначая неизвестные буквами X к у) к виду:

Ах + Ву = С,

где А, В и С суть выражения, не содержащие неизвестных. Например, уравнение

ах+bу+с = а'х -f- bry -f- е'

преобразуется так:

ах+bу — а! X — b'у = с' — с, (a — a')x+(b — b')y = c' — c. (4)

В уравнении (4) А —а—а', В—b — b', С = с' — с.

Если уравнение первой степени с двумя неизвестными х и у записано в виде Ах+ Ву = С, где А, В и С не содержат неизвестных, то говорят, что оно приведено к нормальному виду.

§ 105. Система двух уравнений с двумя неизвестными

В § 103 мы уже рассмотрели систему двух уравнений с двумя неизвестными:

(1)

Чтобы можно было сказать, что несколько уравнений с несколькими неизвестными образуют систему уравнений, надо, чтобы одни и те же буквы обозначали в них одни и те же числа. Например, при решении задачи § 103 в обоих уравнениях системы (1) буква х обозначала первое из задуманных чисел, а буква у — второе.

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется каждая такая пара значений неизвестных, состоящая из определенного значения первого неизвестного и определенного значения второго неизвестного, для которой справедливы оба уравнения системы.

В § 103 мы уже видели, что единственным решением системы (1) является пара значений

х = 7, у —5.

Эта пара значений неизвестных х и у удовлетворяет как первому, так и второму уравнению. У каждого из двух уравнений системы (1) в отдельности, кроме этого решения х = 7, у = 5, принадлежащего им обоим, имеется еще сколько угодно решений. Например, как было указано в § 103, первое уравнение системы (1) имеет решение х = 4, у — 7, второе же уравнение той же системы имеет решение х — Ъ, у = 8. Но совместное решение у этих двух уравнений имеется только одно, именно уже указанное: х = 7, у —5.

Вообще, можно сказать, что решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется каждая такая пара значений неизвестных, которая удовлетворяет как первому, так и второму уравнению. Например, чтобы решить систему уравнений

надо найти такую пару значений неизвестных х и у, которая была бы решением как первого, так и второго уравнения. Такое совместное решение двух данных уравнений имеется одно:

х = 3, у~2.

В самом деле, из второго уравнения вытекает, что

*=у+1;

подставив это выражение для х в первое уравнение, получаем: у + 1+у = 5у 2у = 4, у = 2;

подставив же у —2 в равенство х—у+\, получим х = 2+ + 1 = 3.

Не всегда система уравнений с двумя неизвестными имеет одно решение Например, система уравнений

2х+у = 8 \ ху = 6 J

имеет два решения:

первое решение: Jt=l, у = 6; второе решение: х = 3, у — 2.

Правильность этих решений легко проверить подстановкой в уравнения системы. Чтобы убедиться, что других решений наша система не имеет, поступим так: из первого уравнения находим

у = 8 — 2лг;

подставляя это выражение для у во второе уравнение, получим:

х(8 — 2х) = 6; 8х — 2х* = 6; х* — 4х = — 3; л? 4* + 3 = 0.

Разлагая трехчлен х1 — 4л:+3 на множители, получаем:

(лг — 1)(лг — 3) = 0.

Из последнего равенства видно, что х должно равняться или 1 или 3; в первом случае у = 8 — 2х = 8 — 2-1=6, а во втором у = 8 — 2jc = 8 — 2«3 = 2.

Далее мы увидим, что иногда система двух уравнений с двумя неизвестными вовсе не имеет решений, а иногда имеет бесконечно много решений. Такие случаи все же являются исключительными.

§ 106. Решение двух уравнений с двумя неизвестными способом подстановки

В предыдущих параграфах мы уже применяли такой способ решения системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Г. Пользуясь одним из уравнений системы, выражают одно из неизвестных через другое.

2°. Полученное выражение для первого неизвестного подставляют во второе уравнение. Получается уравнение, не содержащее первого неизвестного.

3°. Из полученного уравнения, которое содержит только второе неизвестное, находят это второе неизвестное.

4°. Найденное значение второго неизвестного подставляют в полученное ранее выражение для первого неизвестного и на-

ходят таким образом первое неизвестное. Теоретически безразлично, с определения которого из неизвестных и из которого из уравнений начинать решение системы. Это — вопрос удобства. Например, решая систему

удобнее всего начать с того, чтобы выразить у через х при помощи второго уравнения:

у = 5х — 4.

Подставив это выражение вместо у в первое уравнение, получим:

Подставив |1 вместо х в формулу у = 5х — 4, находим:

Если бы мы начали с определения неизвестного х из первого уравнения, то вычисления были бы сложнее, но окончательный результат был бы тот же самый. В самом деле, из первого уравнения:

ах=15 — 4j/;

после подстановки во второе уравнение:

после подстановки найденного значения у в выражение для х:

Вообще, способ подстановки особенно удобен, если в одном из уравнений коэфициент при одном из неизвестных равен +1 или — 1. В таком случае с выражения этого неизвестного через другое и следует начинать, как мы и сделали в нашем примере.

Замечание 1, В разобранном выше примере оба уравнения системы первой степени и приведены с самого начала к нормальному виду. Для применения способа подстановки не обязательно приводить уравнения к нормальному виду. Например, если дана система

то целесообразно сразу в первом уравнении перенести член — — 2у из левой части уравнения в правую (где он превратится в+2у):

х=5у+4,

и полученное выражение для х подставить во второе уравнение.

Замечание 2. Если уравнения даны с дробными коэфициентами, то часто бывает целесообразно начать с того, чтобы освободить их от дробных коэфициентов. Например, если дана система

то целесообразно, умножив обе части первого уравнения на 15 а обе части второго уравнения на 24, привести ее к виду

§ 107. Исключение из двух уравнений одного из неизвестных способом сложения

В способе подстановки по двум уравнениям системы составляется одно уравнение, содержащее только одно из двух неизвестных. Говорят, что другое неизвестное удалось исключить. Сейчас мы укажем другой способ исключения одного из неизвестных из двух уравнений.

Рассмотрим сначала такую систему уравнений:

Сложим левую часть первого уравнения с левой частью второго уравнения, а правую часть первого уравнения с правой частью второго уравнения, и приравняем друг к другу получившиеся суммы:

Получилось уравнение

2х=2, (2)

содержащее только одно неизвестное х. Складывая равные числа с равными, получают вновь равные числа. Поэтому для тех значений неизвестных х и у, которые удовлетворяют обоим уравнениям системы (1), должно удовлетворять и уравнение (2), получившееся в результате их почленного сложения. Так как это уравнение содержит только одно неизвестное х, то из него можно определить искомое значение этого неизвестного:

х=\.

Чтобы найти искомое значение у, можно подставить найденное значение х в одно из первоначальных уравнений (например, в первое):

В предыдущем примере исключение неизвестного у при помощи почленного сложения двух уравнений системы удалось потому, что коэфициенты при у в этих двух уравнениях были равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку (поэтому в сумме они и дали нуль). Решение любой системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными можно привести к этому частному случаю.

Рассмотрим, например, систему:

Чтобы исключить из этих двух уравнений у, преобразуем их так, чтобы коэфициенты при у в них оказались равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку. Для этого достаточно умножить обе части первого уравнения на коэфициент при у во втором уравнении (т. е. на + 4), а обе части второго уравнения на коэфициент при у в первом уравнении, взятый с обратным знаком (т. е. на —3). Получится система уравнений:

Складывая почленно два уравнения этой новой системы, получим

откуда х = 2. Искомое значение у можно найти, подставив х=2 в одно из первоначальных уравнений или исключив из данной системы х тем же способом, как было исключено у:

умножается почленно на 5: умножается почленно на 7:

отсюда

Изложенный способ применим к любой системе двух уравнений первой степени с двумя неизвестными, приведенных к нормальному виду.

Чтобы из двух уравнений первой степени, приведенных к нормальному виду, исключить одно из неизвестных, надо сначала умножить почленно каждое из уравнений на такие множители, чтобы коэфициенты при исключаемом неизвестном в этих двух уравнениях сделались равными по абсолютной величине и противоположными по знаку, а потом сложить почленно два полученных уравнения.

Замечание 1. Мы уже видели на предыдущем примере, что для достижения нужного результата можно умножить почленно одно уравнение на коэфициент при исключаемом неизвестном во втором уравнении, а второе уравнение на коэфициент при исключаемом неизвестном в первом уравнении, взятый с обратным знаком. Если коэфициенты при исключаемом неизвестном — целые числа, имеющие общих множителей, то рекомендуется вместо этого определить их общее наименьшее кратное и умножить каждое из уравнений на соответствующие дополнительные множители (взятые с надлежащими знаками). Например:

умножается на +3: умножается на —2:

Замечание 2. Чтобы исключить способом сложения неизвестное X из системы уравнений

надо второе уравнение умножить почленно на — 1 и почленно прибавить к первому. Получится:

Можно также сказать, что мы просто вычли почленно второе уравнение нашей системы из первого. Мы видим, что исключение неизвестных при помощи почленного вычитания уравнений является частным случаем способа сложения.

УПРАЖНЕНИЯ 182 — 190 к § 103 - 107.

182. Решить способом подстановки системы уравнений:

183. Решить способом сложения системы уравнений:

184. Решить системы уравнений (каким-нибудь способом):

185. Привести уравнение Зх — 2у-f-2 = 2(х—у\-2) к нормальному виду Ах+Ву — С и указать, чему в этом случае равны коэфициенты Л, В и С.

186. Найти среди решений уравнения 2х+Зу~29 такое, в котором значения X и у равны.

187. Имеет ли решение такая система трех уравнений с двумя неизвестными:

х+у — 7, X — у — 1, Зх = 4у?

188. Пароход шел х часов со скоростью 18 миль в час, затрачивая по 4 m угля в час, и у часов со скоростью 10 миль в час, затрачивая по 1,2 m угля в час. Найти х и у, если известно, что всего пароход прошел 4660 миль и потратил 855 m угля.

Замечание. В предыдущей задаче указаны неизвестные, которые следует взять для составления двух уравнений с двумя неизвестными. В следующих задачах мы не будем этого делать.

189. За 5 кг одного товара и 7 кг другого уплачено 43 рубля. В другой раз по тем же ценам уплачено за 6 кг первого товара и 4 кг второго товара 34 рубля. Найти цену килограмма каждого товара.

190. Если длину прямоугольника увеличить на 2 м, а ширину увеличить на 1 м9 то его площадь увеличится на 15 кв. м. Если же длину прямоугольника уменьшить на 1 м, а ширину уменьшить на 2 м, то его площадь уменьшится на 12 кв. м. Найти длину и ширину прямоугольника.

§ 108. Общее решение двух уравнений первой степени с двумя неизвестными с буквенными коэфициентами

Мы уже видели (§ 104), что каждое уравнение первой степени с двумя неизвестными приводится к нормальному виду Ах+Ву = С. Рассмотрим систему двух таких уравнений, приведенных к нормальному виду:

По способу сложения (см. предыдущий параграф) умножим почленно первое уравнение на В', а второе на —В и сложим полученные уравнения:

(2)

Умножая первое уравнение на — А', а второе на А, получим:

(3)

Формулы (2) и (3) показывают, как находится решение системы (1) при любых коэфициентах А, В, С, А' ,ВГ,С. Следует, конечно, заметить, что формулы эти справедливы лишь в предположении, что выражение, стоящее в знаменателе обеих формул, отлично от нуля; этот общий знаменатель

AB' — А'В

обеих формул (2) и (3) называется детерминантом (определителем) системы уравнений (1).

Вместо того чтобы применять в каждом отдельном случае способ подстановки или способ сложения, можно решать системы уравнений, приведенные к нормальному виду (1), по общим формулам (2) и (3). Например в системе

Укажем, как легко запомнить формулы (2) и (3). Знаменатель обеих формул (детерминант уравнения) составлен из коэфициентов

перемножением крест-накрест, причем произведение AB, взято со знаком плюс, а произведение А'В — со знаком минус. Числители формул получаются из знаменателя заменой коэфициентов при определяемом неизвестном соответствующими свободными членами. Например, в формуле (2) числитель СВ*— О В получен из знаменателя AB' — А'В заменой Л на С и Л' на С.

§ 109. Особые случаи, которые могут встретиться при решении двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Будем рассматривать систему уравнений уже приведенных к нормальному виду:

Если детерминант уравнения AB' — AfB не равен нулю, то система имеет единственное решение, указываемое формулами (2) и (3) предыдущего параграфа1). Это решение можно найти также способом подстановки или способом сложения.

1) В этом случае не следует пугаться того, что некоторые из коэфициентов А, В, С, А', В', С равны нулю. Если только детерминант отличен от нуля, решение все же будет единственным и находится благополучным образом по формулам (2) и (3) предыдущего параграфа способом подстановки.

Если какие-либо из коэфициентов при неизвестных, т. е. Л, Bt А' или Вг равны нулю (а детерминант не равен нулю), то в ходе решения получаются некоторые упрощения. Например, решая систему

2х = 6\ X + 2у = 7 J

из первого уравнения сразу находим х = 3, а подставляя во второе уравнение это значение х, получаем:

3 + 2у = 7, 2у = 4, у = 2.

Случай, когда детерминант обращается в нуль, будет подробно исследован во второй части этой книги.

Сейчас укажем для практического пользования только следующее: 1°. Если одно из уравнений системы привелось к невозможному равенству (это будет в случае А = В = О, С ф 0, или в случае А' = В' = О, С ^ 0) или если после исключения одного из неизвестных (способом подстановки или способом сложения) пол>чилось невозможное равенство, то система не имеет решений, или, как говорят, несовместна. Например:

х—у = 3\

- 2л: + 2у = 4 /

Из первого уравнения находим х = 3 +у. Подставив 3-j-y вместо х во второе уравнение, получаем:

-2(3+j,) + 2_y = 4;

— 6 — 2у + 2у = 4;

— 6 = 4.

Значит данная система не имеет решений.

2°. Если одно из уравнений привелось к тождеству (это будет в случае А = В = С = 0 или в случае А' = В'= О = 0), но при этом другое не привелось к невозможному равенству, или если оба уравнения привелись к тождеству (Л = В = С = А' = В' = С'), или если ни одно из данных уравнений не привелось к тождеству, но в результате исключения одного из неизвестных получилось тождество, то система имеет бесконечно много решений, или, как говорят, решение ее неопределенно.

Например:

х- у = 3\ ~2jc + 2y = -6f

Из первого уравнения находим х = 3+у. Подставив во второе уравнение вместо X выражение 3+у, получаем тождество:

-2(3 + v) + 2i> = -6; -6-2y-t- 2у = -6;

- 6 = - 6.

Значит система имеет неопределенное решение. Действительно, любая пара значений л: и у, связанных равенством л: = 3 + у, удовлетворяет обеим уравнениям системы.

УПРАЖНЕНИЯ 191 - 197 К § 108 - 109.

191. Решить системы уравнений из упражнения 182 (см. стр. 176) по формулам § 108.

192. Решить систему уравнений

считая неизвестными х и у, а а известным.

193. Найти решение предыдущей системы при а = 0,05.

194. При каком значении а детерминант системы упражнения 192 обращается в нуль? Сколько решений имеет в этом случае система?

195. Решить систему уравнений:

а) считая неизвестными х и у, а #, b, /?, # известными;

б) считая неизвестными а и 6, а л:, у, /7, </ известными.

186. Найти по предыдущей системе уравнений а и b, если

х — 1, у = 2, р = 0, q = 3.

197*. Считая в системе уравнений упражнения 195 неизвестными л: и ^, указать: а) при каких значениях а и b детерминант системы обращается в нуль; б) при каких значениях а, b, р и q решение системы неопределенно; в) при каких значениях я, /?, р и q система не имеет решения.

§ 110. Система трех уравнений с тремя неизвестными

Для определения трех неизвестных обычно требуется три уравнения. Двух уравнений для этого недостаточно. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим в виде примера систему:

(1)

Будем считать значение z известным и будем решать нашу систему, как систему с двумя неизвестными х и у. Складывая два данных уравнения, получим:

Вычитая второе уравнение из первого, получим:

Таким образом, решив два данных уравнения относительно X и у, мы выразили х и у через z. Ясно, что каково бы ни было значение z, достаточно определить соответствующие значения л: и у по найденным формулам и оба уравнения будут удовлетворены. Например, полагая 2 = 0, находим:

Тройка значений х — Ъ, у = — 1, z = 0 удовлетворяет обоим уравнениям системы. Выбирая для z любое другое значение, найдем новое решение той же системы. Значит система (1) имеет бесконечно много решений или, как говорят, неопределенна.

Рассмотрим теперь систему:

(2)

Первые два уравнения этой системы входят и в рассмотренную выше систему, но теперь к ним прибавлено еще третье уравнение. Решая первые два уравнения относительно х и у, мы нашли

Подставим эти выражения вместо х и у в третье уравнение. Получится:

а по умножении всех членов уравнения на 2:

Значит по выведенным уже ранее формулам:

Итак система (2) имеет одно единственное решение: х = 4, у = 2, 2 = 2.

Действительно, проверка показывает, что

Вообще решить систему трех уравнений с тремя неизвестными это значит найти такую тройку значений неизвестных (состоящую из определенного значения каждого из неизвестных), для которой все три уравнения системы справедливы.

Нам надо установить общие способы решений систем трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. Прежде чем перейти к этим способам, заметим, что каждое уравнение первой степени с тремя неизвестными х, у и z приводится к такому нормальному виду:

Ax+By + Cz = D.

Таково, например, уравнение

x—y+2z = 6,

в котором А = 1, В = —1, С =2t D — 6. В следующем параграфе мы предполагаем все уравнения приведенными к этому нормальному виду1).

1) В отдельных случаях бывает, что система трех уравнений с тремя неизвестными удобнее решается без приведения всех уравнений к нормальному виду (ср. замечание 1 в § 106). Такие упрощения, возможные при решении отдельных задач, можно предоставить непосредственной сообразительности учащихся.

§ 111. Различные способы решения системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными

Так как решать систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными мы уже умеем, то достаточно показать, как свести решение трех уравнений первой степени с тремя неизвестными к решению двух уравнений с двумя неизвестными.

I. Способ подстановки. Из одного из уравнений находится одно из неизвестных в зависимости от двух других. Найденное выражение подставляется в два оставшихся уравнения, что дает два уравнения, содержащие только два неизвестных. Например, чтобы решить систему

(1)

из третьего уравнения находим:

y=3x—2z — 5, (2)

и это выражение для у подставляем в первое и второе уравнения:

2* + 3(3;с — 2z — 5) + 4z=16; 5х — 8(3* — 2z — 5) + 2z= 1.

Получилась система двух уравнений с двумя неизвестными х и z (неизвестное же у исключилось). Решив эту систему тем или иным из описанных ранее способов, найдем

x = 3, z=l.

Подставив эти значения х и z в формулу (2), получим:

y = 3x — 2z — 5 = 3 • 3 —2 • 1—5 = 2.

Значит система (1) имеет одно единственное решение:

х — 3} у = 2, z=l.

II. Способ сложения. Исключаем по способу сложения одно из неизвестных из двух уравнений системы, затем заменяем одно из выбранных двух уравнений третьим и из новой пары уравнений исключаем то же самое неизвестное. Получается два уравнения с двумя неизвестными (так как третье исключено в обоих случаях). Например, решая уже рассмотренную систему (1), складываем первое уравнение со вторым, умноженным на —2:

Затем складываем второе уравнение с третьим:

Получилась система двух уравнений с двумя неизвестными л и у (неизвестное же z исключилось):

— 8;t+19v= 14 \ Sx— 9у= 6 j

Решая одним из способов, изложенных ранее, эту систему1), находим х — Ъу у— 2. Эти значения х и у подставляем в одно из первоначальных уравнений, например в третье:

3-3 —2 —2z=5,

откуда и находим z=\. Таким образом все три неизвестных найдены.

Часто бывает удобно (в зависимости от свойств данной системы уравнений) применять ту или иную комбинацию способов сложения и подстановки. Например в предыдущем параграфе мы решили систему (2) так: сложив первое уравнение со вторым, исключили у и выразили х через z: вычтя второе уравнение из первого, исключили х и выразили у через z и, наконец, полученные выражения для х и у вставили в третье уравнение, в результате чего получилось уравнение, содержащее только одно неизвестное z.

Чаще всего три уравнения первой степени с тремя неизвестными имеют ровно одно решение. Как и в случае двух уравнений первой степени с двумя неизвестными (§ 109), могут также встретиться исключительные случаи двух видов:

1°. Система несовместна, т. е. совсем не имеет решений.

2°. Система неопределенная, т. е. имеет бесконечное множество решений.

Пример несовместной системы.

х+ v — 3* = 3 \ 2х-3у — bz = 2 X _ 4у _ 2z = 1 J

Из первого уравнения находим:

X = 3 —у -|- 3 z.

После подстановки этого выражения для х во второе и третье уравнения, они принимают вид:

— 5у + * = — 4,

— 5у + z = — 2.

Вычитая второе из полученных сейчас уравнений из первого, приходим к нелепому равенству:

0 = — 2.

Пример неопределенной системы. Из первого уравнения находим:

X = 1 — у+ 32.

После подстановки во второе и третье уравнения этого выражения для х как второе, так и третье уравнения сводятся к одному и тому же уравнению

— 5y + z=l.

Значит, выбрав у произвольно, можно удовлетворить всем трем уравнениям системы, положив

z=z\ +5у, х= 1— y + 3z.

1) В нашем случае удобно сложить оба уравнения, что дает сразу 10у = 20, у = 2.

УПРАЖНЕНИЯ 198 - 202 к § 110-111.

198. Решить системы уравнений:

199. Решить задачу 1 из § 102, обозначив буквами х, у, z длину трех кусков веревки и составив по условиям задачи три уравнения с этими тремя неизвестными.

200. За 7 кг первого товара, 5 кг второго и 4 кг третьего уплачено 29 рублей. В другой раз, по тем же ценам, за 3 кг первого товара, 10 кг второго и 3 кг третьего уплачено 32 рубля. В третий раз — за 5 кг первого товара, 2 кг второго и 8 кг третьего уплачено 33 рубля. Найти цену каждого из трех товаров.

201. а) При каких значениях р и q в произведении

(x2 + ax + b) (jfi + px + q)

коэфициенты при л'3 и х обращаются в нуль?

б) При каких значениях р, q и г в произведении

(л:3 -f ах* - bх + с) (лгЗ + рх* + qx + r)

коэфициенты при л:5, л*3 и х обращаются в нуль?

202. а) Бассейн, объем которого равен А куб. м наполняется через три трубы. Если открыты только первые две трубы, то бассейн наполняется в с часов, если открыта первая и третья трубы — в b часов, если же открыты вторая и третья трубы, то в а часов. Сколько кубических метров в час подает каждая из труб?

б) Применить общее решение к случаю А = 2Ю0, с = 2, 6 = 3, а = 4.

в) Рассмотреть случай: Л=2400, с=\, b = 4, а — 6; объяснить, какой смысл можно приписать в этом случае отрицательным значениям искомых чисел.

§ 112. Заключительное замечание о системах уравнений первой степени

Уравнение первой степени с неизвестными хг, х2, лг3,. . . , хп приводится к такому нормальному виду:

A1x1 + A2x2 + Adxs-]- . . . +Ап хп = В.

Решение системы п уравнений первой степени с п неизвестными можно свести к решению системы //—1 уравнений с п—\ неизвестными. Для этого надо, пользуясь одним из п уравнений, выразить одно из неизвестных через остальные и подставить получившееся выражение в оставшиеся /i—I уравнений. Таким образом, постепенно уменьшая число неизвестных, можно решить систему уравнений с любым числом неизвестных. Из этих разъяснений понятно, почему обычно для определения п неизвестных надо иметь п уравнений. Например, для определения четырех неизвестных обычно требуется четыре уравнения; пользуясь одним из этих уравнений, выражают одно из неизвестных через остальные три и полученное выражение подставляют в оставшиеся три уравнения; таким образом, решение четырех уравнений с четырьмя неизвестными сводится к решению трех уравнений с тремя неизвестными.

Во многих случаях возможны некоторые упрощения по сравнению с этим нормальным порядком. Решим, например, такую систему:

Из третьего уравнения находим:

Подставив это выражение в первое уравнение, получим: (10 — z)Jry + zJrt= 14,

или

y + t = 4,

откуда находим:

у = 4 — t.

Последнее выражение подставляем во второе уравнение:

Следовательно, у = 4 — / = 4 — — -j-

Подставляя -yj в четвертое уравнение, находим zJrb = 9, или 2—9 — 5 = 4 и, наконец, л: = 10 — 2 = 6.

Решение систем уравнений первой степени с любым числом неизвестных способом подстановки было известно уже Ньютону (1642—1727). Вместо способа подстановки можно употреблять при решении систем любого числа уравнений и исключение неизвестных способом сложения.

Однако при большом числе неизвестных (и, соответственно, уравнений) последовательное исключение неизвестных способом подстановки или способом сложения становится очень громоздким. Более совершенные способы исследования и решения систем уравнений первой степени были найдены Лейбницем (1646—1716) и Крамером (1704-1752). Из этих исследований Лейбница и Крамера развилась большая глава высшей алгебры, посвященная общей теории систем уравнений первой степени с любым числом неизвестных. Несмотря на высокое развитие этой теории, практическое решение, например, системы одиннадцати уравнений с одиннадцатью неизвестными (такие системы приходится решать в некоторых технических вопросах) требует очень длительных вычислений, занимающих иногда несколько дней.

§ 113. Системы уравнений с неизвестными в знаменателях

Уравнение с несколькими неизвестными, содержащее неизвестные в знаменателях дробей, освобождается от этих знаменателей умножением обеих частей уравнения на надлежащее целое выражение так же, как это было указано в главе 14 для случая уравнений с одним неизвестным.

При этом следует помнить, что умножение какого-либо из уравнений системы на выражение, содержащее неизвестное, может привести к появлению посторонних решений.

Рассмотрим в виде примера систему:

(1)

Умножим обе части первого уравнения на у+2х9 а обе части второго уравнения на х — 2у, получаем систему:

Здг— 1 =у + 2х \ у-1 = 2(х-2у)1

или, после приведения к нормальному виду:

-2* + 5у=\ } (2)

Система (2) имеет одно решение:

лг = 2, у = 1.

Это решение удовлетворяет первому уравнению системы (1), второе же уравнение системы (1) при подстановке х = 2, у=1 теряет смысл. Значит найденное решение является для системы (1) посторонним, и эта система вообще не имеет решений.

Рассмотрим теперь систему:

(3)

Умножив обе части первого уравнения на у+2х, а обе части второго уравнения на х — 2у, получим:

(4)

Система (4) имеет одно решение:

лг = 3, у = 2.

Это решение является также и единственным решением первоначальной системы (3):

§ 114. Введение вспомогательных неизвестных

Иногда система уравнений может быть легко решена при помощи введения вспомогательных неизвестных. Пусть, например, дана система уравнений:

(1)

Обозначив

получим новую систему уравнений:

(2)

Эта система легко решается:

Значит

или

(3)

Эта система также легко решается:

Полученное решение системы (3) вместе с тем является и единственным решением системы (1).

УПРАЖНЕНИЯ 203 — 210 К § 112— 114.

203*. Решить систему уравнений с пятью неизвестными х% _у, z, v, и:

204*. Вычислить решение предыдущей системы при

а) а = b = с — d=e = \; б) а = 1, b =2, с — 3, d — \, е — 5..

205. Решить систему уравнений:

206. Решить систему уравнений:

207. Разделить число А на п частей, пропорциональных числам ah а2,... , ап это значит найти числа хъ х2, ... хп , удовлетворяющие уравнениям

Решить эту систему уравнений.

208. Пароход затрачивает на то, чтобы проплыть 110 км по течению и 60 км против течения, 10 часов, а на то, чтобы проплыть 132 км по течению и 150 км против течения — îe-g" часов. Определить скорость парохода на стоячей воде и скорость течения воды.

209. Решить систему уравнений с пятью неизвестными

210*. Решить систему уравнений со 101 неизвестными:

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ.

1. а), б), в), г), з). м) — правильны; л), е), ж), и), к), л) — неправильны.

2. а) 18 44G 744 073 709 551 616; б) 4 2Э4 967 296.

18. За январь -f 1 ч. 34 м. и далее по порядку:

21. Изменение до конца первого дня 4- 1740 м и далее соответственно: -4- 1420 м\ 3 00 м; + 2670 м\ + 4230 м; 1340 м.

37. Москва-f 383, остальные по порядку: -f-189; 0; —155; — 400; — 727; — 1085; — 1162;

90. б), в), г) — равны; а), д) — не равны.

91. а), б) — прямо пропорциональны.

168. а) Нет решения; б) решение неопределенное.

171. а) х= a-ZTc'6) не имеет решения при а = с и d^pb, обращается в тождество при а = с и d = b.

174. Решение неопределенное.

189. 3 рубля и 4 рубля.

190. Длина 5 м, ширина 4 м.

194. При а = 0 система решений не имеет.

500 и 100; в) 1 300, 1 100 и — 700, через две первые трубы вода вливается, а через третью выливается.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие ............3

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Глава первая. Предварительные сведения об употреблении математических законов.

§ 1. Знаки действий. Знаки равенства и неравенства. § 2. Возведение в степень. § 3. Употребление скобок. Порядок действий. Упражнения 1 — 5 к главе 1 . 6

Глава вторая. Буквенные выражения. Равенства. Тождества.

§ 4. Смысл употребления букв для обозначения чисел. § 5. Алгебраические выражения. Их вычисление при заданных значениях входящих в них букв. Упражнения 6 — 14 к § 4 и 5. § 6. Равенства. Тождества. § 7. основные свойства действий. §8. Употребление равенств для выражения зависимости между числами. § 9. Понятие о решении уравнений. Упражнения 15 — 17 к § 8 и 9. § 10. Основные свойства равенства. § 11. .Замечание об употреблении букв. § 12. Исторические сведения о возникновении алгебры ... 12

ОТДЕЛ ВТОРОЙ

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ С НИМИ И С ПРОСТЕЙШИМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ

Глава третья. Введение отрицательных чисел.

§ 13. Числа, употребляемые в арифметике. § 14. Измерение изменений величин. <§ 15. Рациональные числа. § 16. Абсолютная величина числа. Упражнения 18 —19 к главе 3......................30

Глава четвертая. Сложение и вычитание.

§ 17. Правила сложения любых рациональных чисел. § 18. Основные свойства сложения. Упражнения 20 — 24 к § 17 и 18. § 19. Вычитание. § 20. Алгебраическая сумма. § 21. Число, противоположное сумме. Перемена знака перед скобками и раскрытие скобок. § 22. Заключение части алгебраической суммы в скобки. § 23. Свойства вычитания. Упражнения 25 — 33 к § 19 — 23..............37

Глава пятая. Применения положительных и отрицательных чисел.

§ 24. Измерение направленных отрезков. § 25. Сложение направленных отрезков. § 26. Абсцисса точки на прямой. § 27. Смысл неравенства для любых рациональных чисел. § 28. Измерение времени. § 29. Другие применения положительных и отрицательных чисел. Упражнения 34 — 48 к главе 5«.«*«.. •••••• 51

Глава шестая. Умножение.

§ 30. Правило умножения. § 31. Основные свойства умножения. § 32. Произведение нескольких множителей. § 33. Возведение в степень. § 34. Коэфициент. Упражнения 49— 64 к § 30—34. § 35. Закон распределительности умножения § 36. Вынесение общего множителя за скобки. § 7. Подобные выражения. Приведение подобных членов суммы. § 38. Умножение суммы на сумму. § 39. Некоторые формулы сокращенного умножения. Упражнения 65—77 к § 35—39. § 40. Исторические сведения о возникновении отрицательных чисел 60

Глава седьмая. Деление.

§ 41. Определение деления. Правило деления. § 42. Числа, обратные друг другу. § 43. Свойства деления. Упражнения 78-87 к § 41—43. § 44. Алгебраические дроби; понятие об их сокращении. § 45. условие равенства двух дробей. § 46. Деление степеней одного и того же числа. Упражнения 88—90 к § 44—46 ••••••••••• 74

Глава восьмая. Применение умножения и деления. Пропорциональная зависимость. Пропорции.

§ 47. Пропорциональная зависимость. § 48. Формула пропорциональной зависимости § 49. Уравнение равномерного движения. § 50. Более общее уравнение равномерною движения. § 51. Дальнейшие свойства пропорциональной зависимости. § 52. Пропорциональная зависимость от нескольких переменных. § 53. Пропорции § 54. Перестановка членов пропорции. § 55. Решение пропорций. § 56. Свойства равных отношений. Упражнения. 91—96 к главе 8 87

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Глава девятая. Целые выражения.

§ 57. Рациональные выражения; целые выражения. § 53. Тождественные преобразования. § 59. Одночлены и многочлены. § 60. Приведение подобных членов многочлена. § 61. Сложение одночленов и многочленов. § 62. Вычитание одночленов и многочленов. § 63. Умножение одночленов. § 64. Умножение многочлена на одночлен. § 65. Умножение многочлена на многочлен. Упражнения 97—101 к § » 1—65. § 66 Заключение о целых выражениях § 67. Степень одночлена и многочлена относительно какой-либо буквы. § 68. Расположение многочлена по убывающим степеням какой-либо буквы. § 69. Умножение расположенных многочленов. Упражнения 102—105 к § 66—69 ••••••• 99

Глава десятая. Деление и дроби.

§ 70. Замечание о преобразовании дробных выражений. § 71. Деление одночленов. § 72. Деление многочлена на одночлен. § /3. Деление на многочлен. § 74. Формулы сокращенного деления. Упражнения 106—110 к § 71—74. § 75. Деление расположенных многочленов. Упражнения 111—116 к § 75 ... .......109

Глава одиннадцатая. Разложение на множители.

§ 75. Вынесение за скобки и группировка членов. § 77. Применение формул сокращенною умножения. § 78. Представление какого-нибудь члена многочлена в виде суммы двух членов. Трехчлен второй степени. § 79. Введение в многочлен новых взаимно уничтожающихся членов. § 80. Применение разложения на множители к сокращению дробей. Упражнения 117—129 к главе 11 . . . 120

Глава двенадцатая. Действия над дробями.

§ 81. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. § 82. Сложение и вычитание любых дробей. § 83. Нахождение возможно простого общего знаменателя нескольких дробей. Упражнения Id —136 к § 81— 8'*. § 84. Умножение дробей. § 85 Возведение дроби в степень. § 86. Деление дробей. § 87. Преобразование рациональных выражений в рациональные алгебраические дроби. Упражнения 137—146 к § 84—87. . 124

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Глава тринадцатая. Одно уравнение с одним неизвестным.

§88. Что значит решить уравнение? § 89. Первое основное свойство уравнения. § 90. Второе основное свойство уравнения § 91. Примеры решения задач при помощи уравнений. § 92. Степень уравнения. § 93. Решение уравнений первой степени. § 9«. Некоторые особые случаи, которые могут встретиться при решении уравнений. Упражнения 147—158 к главе 13. § 95. Исторические сведения о решении уравнений 136

Глава четырнадцатая. Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателях.

§ 96. Что происходит при умножении обеих частей уравнения на одно и то же алгебраическое выражение, содержащее неизвестное? § 97. Приведение рациональных уравнений к целому виду. Упражнения 159—163 к главе 14 ... . 148

Глава пятнадцатая. Составление уравнений. Исследование решения. Буквенные уравнения.

§ 98. Решение задач при помощи уравнений. § 99. Буквенные уравнения. § 100. Нормальный вид сравнения первой степени с одним неизвестным. § 101. Проверка решения. Дополнителные замечания о решении буквенных уравнений с одним неизвестным. § 102. Задачи на равномерное движение. Упражнения 164—181 к главе 15 ... 153

Глава шестнадцатая. Система уравнений с несколькими неизвестными.

§ 103. Пример задачи, которая приводит к системе уравнений. § 104. Одно уравнение с двумя неизвестными. Нормальный вид уравнения первой степени с двумя неизвестными. § 105. Система двух уравнений с двумя неизвестными. § 106. Решение двух уравнений с двумя неизвестными способом подстановки. § 107. Исключение из двух уравнений одного из неизвестных способом сложения. Упражнения 182—190 к § 101—107. § 108. сбщее решение двух уравнений первой степени с двумя неизвестными с буквенными коэфициентами. § 109. Особые случаи, которые могут встретиться при решении двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Упражнения 191—197 к § 1 8—109. § 110. Система трех уравнений с тремя неизвестными. § 111. Различные способы решения системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. Упражнения 198—203 к § 110—111. § 112. Заключительное замечание о системах уравнений первой степени. § 113. Системы уравнений с неизвестными в знаменателях. § 114. Введение вспомогательных неизвестных. Упражнения 203-210 к § 112—114...............166

Ответы к упражнениям , .......... 188

Редактор А. В. Зансохов. Технический редактор М. И. Натапов. Корректор М. М. Шулименко.

Сдано в набор 7|Х 1938 г. Подписано к печати 25/IV 1940 г. . У четно-издательских листов 12,62. Печатных листов 12. Тираж 10.000. Формат бумаги 60х92у1в. Учпед1из № 10697. Уполномоченный Главлита № А-25188.

Государственное учебно-педагогическое издательство Наркомпроса РСФСР. Москва, Орликов пер. 3, 3-й этаж.

Типография ООМП, им. И. В. Смирнова, Смоленск, площадь Смирнова. Дом печати. Заказ №5055

ОПЕЧАТКИ

Стр.

Строка

Напечатано

Следует читать

По чьей вине

4

14 сверху

на стр 81.

на стр. 82

редакт.

37

6, 5 и 4 сн.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.

§ 17. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ ЛЮБЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ.

§ 17. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ ЛЮБЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

59

15 сверху

34-38

34-48

коррект.