Новое в жизни науке технике

СЕРИЯ

математика кибернетика

1971

8

И. М. ЯГЛОМ

О комбинаторной геометрии

И. М. ЯГЛОМ,

доктор физико-математических наук, профессор

О КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Издательство «ЗНАНИЕ» Москва 1971

617.3/6 Я29

Яглом Исаак Моисеевич

Я 29 О комбинаторной геометрии. М., «Знание», 1971. 64 стр. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика», 8).

В брошюре говорится о новой, возникшей совсем недавно отрасли современной математики — комбинаторной геометрии. На достаточно наглядных примерах автор показывает постановку задач этой отрасли математического знания и рассказывает об уже достигнутых в ней результатах.

Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся проблемами современной математики.

2-2-3 517.3/6

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая брошюра посвящена новой и активно развивающейся ветви математики — так называемой комбинаторной геометрии (о ней см. введение, стр. 4—7). Этот раздел геометрии возник сравнительно недавно; в настоящее время он бурно развивается и пока еще трудно сказать, какие очертания примет комбинаторная геометрия через несколько десятилетий или даже лет. Последнее обстоятельство делает невозможным исчерпывающее изложение всего относящегося сюда материала (которое может устареть быстрее, чем содержащая его книга выйдет в свет). Поэтому мы, подобно авторам всех других имеющихся книг по комбинаторной геометрии, ограничиваемся одним сравнительно узким кругом вопросов (за которым, однако, стараемся проследить с известной полнотой). При этом уже в первых параграфах брошюры читатель столкнется с нерешенными до сих пор задачами; это характерно для комбинаторной геометрии, насчитывающей сегодня больше открытых проблем, чем доказанных результатов.

Отличие этой брошюры от других книг сходной тематики заключается в первую очередь в том, что типичные для комбинаторной геометрии постановки задач мы стремимся проиллюстрировать, не выходя за рамки «элементарно-геометрических» фигур и тел — кругов и шаров, многоугольников и многогранников. Даже центральную для брошюры теорему Гохберга — Маркуса (см. § 3 гл. I) мы доказываем не в той общей постановке, которую она имела у авторов, а лишь для (плоских) выпуклых многоугольников. Такой подход делает брошюру вполне доступной для интересующихся математикой школьников старших классов; круг ее читателей может также включать учителей средних школ, студентов младших курсов пединститутов и университетов и всех других любителей математики.

Автор благодарит В. Г. Болтянского за ряд полезных советов, а М. С. Королеву и И. И. Яглома — за помощь в изготовлении эскизов чертежей.

И. М. Яглом

ВВЕДЕНИЕ

«Математическая революция» второй половины XX века, резкое изменение представления о «важном» и «неважном» в математике, связанное с появлением электронных цифровых вычислительных машин и возникновением целого ряда новых направлений чистой и (особенно!) прикладной математики, обозначаемых ныне чаще всего собирательным термином «кибернетика» — все это привело к зарождению большого числа новых ветвей математической науки, каждая из которых характеризуется свойственными только ей постановками задач и специфическими именно для нее методами.

Одним из самых неожиданных проявлений созревших лишь после второй мировой войны новых тенденций явилось выделение в самостоятельную научную дисциплину так называемой комбинаторной геометрии, изучающей определенный круг геометрических задач на максимум и минимум, связанный с отысканием в том или ином смысле наилучших (или по крайней мере «достаточно хороших») расположений конечных систем точек или геометрических фигур. Решения этих задач носят в значительной степени комбинаторный характер и связаны с отысканием определенных целых чисел, например, чисел, указывающих количество рассматриваемых точек или фигур. О комбинаторной геометрии (сам этот термин как будто предложен выдающимся современным швейцарским геометром Гуго Хадвигером) еще лет 15 назад не слышал ни один человек в мире; сегодня же мы имеем многие десятки посвященных ей книг (имеющиеся на русском языке книги перечислены в списке литературы на стр. 60) и многие сотни научных статей, причем литература по этой теме все растет.

Расцвет комбинаторной геометрии естественно связать с ростом интереса к комбинаторике, тесно связанного с выдвижением на передний край математической науки так называемой «дискретной» (или «конечной») математики, порожденной арифметикой и алгеброй и игнорирующей (непрерывные) функции я бесконечные процессы, изучение которых базируется на понятии предельного перехода и составляет прерогативу (математического) анализа.

На протяжении XVIII, XIX и первой половины XX века созданный в XVII веке трудами И. Ньютона и Г. В. Лейбница анализ рассматривался как «магистральное направление» всей математической науки, как та ветвь математики, которая единственно заслуживает серьезного внимания. Как пережиток этой эпохи, мы до сих пор называем математический анализ и все связанные с ним разделы науки «высшей математикой», противопоставляя его тем самым «низшей» математике — арифметике, алгебре, геометрии.

Еще в конце 30-х годов нашего века выдающийся французский математик Анри Лебег писал в одной из своих адресованных учителям математики статье: «Если все законченные точные вычисления, единственные, которые допускались древними, и сохранили все свое математическое значение ... то их практическое значение значительно уменьшилось, а порой и совершенно исчезло»1. Тем самым он признавал практически полезными лишь связанные с бесконечными процессами разделы математики, изучением которых занимается анализ.

Сегодня, однако, положение дела резко изменилось. Создание электронных цифровых вычислительных машин (причем прилагательное «цифровые» в названии этих машин подчеркивает принципиально «дискретную» их природу) содействовало значительному изменению наших взглядов на взаимоотношение «непрерывного» и «дискретного» и существенному повышению научного веса всех не связанных с анализом разделов математики. В качестве убедительной иллюстрации роста интереса к комбинаторике можно указать на публикацию в течение последних восьми лет четырех серьезных пособий по комбинаторике2 (в то время как до этого таких книг в русской литературе не было вовсе); помимо этого были изданы три книги по такой специальной области комбинаторного анализа, как теория графов3. Еще более характерным симптомом смещения акцентов в области математики явилось появление обширного сборника «Прикладная комбинаторная математика» (М., «Мир», 1968), причем составителем этой книги явился известный американский ученый Э. Беккенбах, ранее выпустивший обстоятельную «Современную математику для инженеров» (М., Изд-во

1 См. А. Лебег. Об измерении величин. М., Учпедгиз, 1960, стр. 42—43.

2 Дж. Риордан. Введение в комбинаторный анализ. М., Изд-во иностр. лит., 1963; М. Холл. Комбинаторный анализ. М., Изд-во иностр. лит., 1963; Г. Дж. Райзер. Комбинаторная математика. М., «Мир», 1966; М. Холл. Комбинаторика. М., «Мир»; 1970; см. также рассчитанную на учащихся средней школы книгу: Н. Я. Виленкин. Комбинаторика. М., «Наука», 1969.

3 К. Берж. Теория графов и ее применения. М., Изд-во иностр. лит., 1962; О. Оре. Теория графов. М., «Н аука», 1968; А. А. Зыков. Теория конечных графов, т. 1. Новосибирск, «Наука», 1969; см. также рассчитанную на школьников книжку: О. Оре. Графы и их применение. М., «Мир»., 1965.

иностр. лит., 1958), в первую очередь ориентированную в сторону математического анализа.

В настоящее время многие математики и педагоги считают «дискретную математику» чуть ли не равноправной по важности математическому анализу. Так, например, в Дартмутском колледже, сегодня являющемся одним из ведущих высших учебных заведений США, уже ряд лет на первых двух годах обучения студентам, специализирующимся как по чистой, так и по прикладной математике, читаются два независимых курса — математического анализа и «дискретной» (или «конечной») математики1. Слушатели обязаны прослушать оба курса, но вольны выбирать, какой из них они будут изучать на первом году обучения, а какой — на втором.

В период господства в математике математического анализа, т. е. дифференциального и интегрального исчисления, основной ветвью геометрии твердо считалась дифференциальная геометрия, созданная в начале XIX века трудами Г. Монжа и К» Ф. Гаусса; одно время с ней пыталась соперничать интегральная геометрия В. Бляшке. Выдвижение же на передний план дискретной математики и комбинаторики породило новые ветви геометрии — дискретную геометрию, изучающую оптимальные (например, самые плотные) расположения на плоскости или в пространстве (в первую очередь правильных или «решетчатых») систем фигур и тел или расположения, достаточно близкие к оптимальным, и тесно связанную с дискретной геометрией комбинаторную геометрию, которой и посвящена настоящая брошюра. Типичным примером задачи дискретной геометрии может служить проблема плотнейшей «укладки» (или «упаковки») равных кругов на плоскости или в некоторой ее части2 — здесь требуется, чтобы никакие два круга не пересекались и чтобы число или «плотность» кругов были возможно большими. Характерным примером задачи комбинаторной геометрии может служить так называемая проблема 13 шаров3, требующая приложить к материальному шару Ш возможно большее число равных ему (тоже материальных) шаров так, чтобы никакие два из приложенных шаров не пересекались и все они касались основного шара Ш.

Возникновение дискретной геометрии и комбинаторной геометрии естественно связать с большим значением, которое приобрели в современной науке и технике те области математики, которые ставят своей целью отыскание оптимальных (или достаточно близких к ним) режимов работы определенных

1 См. составленный «дартмутской группой» учебник: Дж. Кемени, Дж. Снелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. М., «Мир», 1965.

2 Заметим, что соответствующая стереометрическая задача не решена до сих пор (хотя ее ответ известен).

3 Эта задача, идущая еще от знаменитого И. Кеплера (1611 г.), была решена лишь в 50-х годах нашего века. В пространствах размерности >3 (о них см. § 5 гл. I) она не решена до сих пор.

механизмов или больших систем. Во второй половине XX века этот круг вопросов обсуждался столь оживленно, что он привел к появлению целого ряда самостоятельных научных направлений (теория игр и теория информации, линейное программирование и динамическое планирование, оптимальное управление и исследование операций, теория кодирования и методы Монте Карло); в некоторых из этих новых «математических дисциплин) непосредственно используется дискретная геометрия.

В настоящее время круг рассматриваемых комбинаторной геометрией задач группируется вокруг нескольких центральных тем. К их числу относится известная теорема Хелли о системах выпуклых тел с общими точками, так называемая проблема Борсука (см. ниже стр. 57), названная выше проблема 13 шаров и др. В настоящей брошюре мы не ставили своей целью охарактеризовать исчерпывающим образом все эти темы. Нам кажется, что проиллюстрировать типичные для комбинаторной геометрии постановки задач, ходы мысли и методы, продемонстрировать ее успехи и неудачи легче всего, выбрав какой-то один цикл вопросов; так, например, центральное место в книгах [1] и [3] из приведенного на стр. 60 списка литературы занимает теорема Хелли, а книги [2] и [5] больше всего внимания уделяют проблеме Борсука. Аналогично этому мы выбрали из всего массива комбинаторных задач о расположениях геометрических фигур небольшое число проблем, связанных с покрытиями одних фигур другими.

Развернутый здесь ряд задач начинается с весьма элементарного вопроса (см. задачу 1 на стр. 7), бесспорно, доступного любому школьнику. Все же последующие задачи (если исключить несколько связанных с многоугольниками и многогранниками вопросов, имеющих чисто иллюстративный характер) являются обобщениями задачи 1. При этом уже на первых страницах брошюры читатель встречается с проблемами, решить которые пока не удалось никому: для комбинаторной геометрии характерно соединение крайней простоты условий задач зачастую с большой сложностью их решения. Впрочем, некоторые из сформулированных, но не решенных в тексте задач вполне могут оказаться доступными начинающему математику, и мы хотим порекомендовать читателю не пренебрегать заложенными в этой книжке возможностями самостоятельной работы.

ГЛАВА I ТЕОРЕМА ГОХБЕРГА — МАРКУСА

§ 1. Несколько задач о кругах

Начнем со следующей задачи:

Задача 1. Чему равно наименьшее возможное число j кругов кр1, кр2, ..., крj, которыми можно полностью покрыть данный круг Кр, если известно, что все эти круги меньше круга Кр?

Решение. Ясно, что если мы наложим на круг Кр меньший его круг кр1, то покрытая кругом кр1 часть ограничивающей Кр окружности Окр будет меньше полуокружности (рис. 1, а, здесь хорда MN меньше диаметра окружности Окр и uMKN < 180°). Поэтому непокрытую кругом кр1 часть окружности Окр никак нельзя покрыть одним меньшим Кр кругом ир2; следовательно, два меньших Кр круга кр1 и кр2 не могут покрыть Кр (они не покроют даже всю окружность Окр). Трь меньших Кр круга кр1, кр2 и кр3 полностью покрыть Кр уже могут (рис. 1, б; здесь диаметрами кругов кр1, кр2 и кр3 служат стороны AB, ВС и CA вписанного в Кр правильного треугольника ABC). Таким образом,

j = 3. (1)

Более общей, чем задача 1, является

Рис. 1

Задача 2. Чему равно наименьшее число j, такое, что j кругами кр1, кр2, ..., крj радиуса ⩽ r можно полностью покрыть круг Кр радиуса 1? [Искомое число, разумеется, зависит от r; поэтому его, естественно, обозначить через j (r)).

Начинаем решать задачу. Ясно, что

j (r) = 1 при r ⩾ 1;

с другой стороны, равенство (1) означает, что

j (r) ⩾ 3 при r < 1.

Далее, из рис. 1, б видно, что круг Кр единичного радиуса можно покрыть тремя кругами кр1, кр2, и кр3 радиуса (ибо сторона вписанного в единичный круг правильного треугольника равна √3). Нетрудно убедиться также, что круг Кр нельзя покрыть тремя кругами радиуса < √3/2; в самом деле, если радиус круга кр1 на рис. 1,а < √3/2 (а радиус Кр равен 1), то MN < √3 и uMKN < 120°, uMLN > 240°, откуда следует, что уже uMLN окружности Окр не может быть полностью покрыта двумя кругами кр2 и кр3 радиуса √3/2.

Таким образом, мы имеем

Из рис. 2,а также следует, что Кр можно покрыть четырьмя кругами кp1, кр2, кр3 и кр4 радиуса

(напомним, что сторона вписанного в единичный круг квадрата равна √2); однако четырьмя кругами радиуса < r(2) круг Кр покрыть нельзя, так что

Аналогично этому на рис. 2, б—г изображены «наиболее экономичные» покрытия круга Кр пятью, шестью и семью меньшими кругами; при этом радиусы изображенных на рис. 2,6—г покрывающих Кр кругов, как нетрудно подсчитать, соответствен-

но равны

Таким образом,

Но как продолжить график функции j (r) влево от значения r = 1/2? Как выразить общую зависимость величины j (r) от r? Что представляет собой «область значений» функции j (r),

Рис. 2

т. е. множество (1, 3, 4, 5, 6, 7, ...} всех чисел j (r), какие еще натуральные числа, кроме числа 2, отсутствуют в этом множестве? Как оценить зависимость j (r) от r, если известно, что r мало? На все эти вопросы, кроме, пожалуй, последнего1, мы пока ответа не имеем.

В определенном смысле «двойственной» задаче 2 является

Задача 3. Чему равно наибольшее число i, такое, что в круг радиуса 1 можно поместить i непересекающихся кругов кр1, кр2, крi радиуса ⩾ R? [Искомое число, которое, конечно, зависит от R, естественно обозначить через i (R).]

Ясно, что

Рис. 3

1 Некоторую информацию, относящуюся к последнему из поставленных вопросов, вдумчивый читатель сумеет извлечь из содержания гл. III книги [6] или из введения к книге [7] (числа в квадратных скобках отсылают к списку литературы на стр. 60); изложенные в этих книгах результаты позволяют утверждать, что при малом r

в том смысле, что разность p(r) = при малом r гораздо меньше самой величины j (r).

Далее, на рис. 3,а—д изображены «самые экономные» заполнения круга Кр двумя, тремя, четырьмя, пятью и семью непересекающимися кругами1; из того, что радиусы заполняющих Кр кругов здесь соответственно равны

вытекает, что

(3)

(докажите это!).

С функцией i (R) связаны те же вопросы, которыми мы задавались при рассмотрении функции j (r) (заметьте, например, что множество значений этой функции не включает числа 6. что доказывает содержательность вопроса об «области значений» i (В)!); на большинство из них мы сегодня ответить не умеем2.

§ 2. Постановка общей задачи

Вернемся теперь к задаче 1 из § 1, с которой будет связано основное содержание брошюры. Ее естественным обобщением является следующая основная

1 Конфигурацию, образованную n одинаковыми кругами, «наиболее экономно» заполняющими больший круг, легко получить «экспериментально» — достаточно рассмотреть, как расположатся n одинаковых круглых карандашей, туго стянутых веревкой или резинкой.

2 Задачам 2 и 3 (впрочем, в первую очередь в такой их постановке, которая предполагает, что r или R очень мало по сравнению с 1) уделепо много места в книге [6] (ср. также [7]); из изложенных в этой книге результатов, в частности, следует, что при малом R

(ср. с подстрочным примечанием на стр. 11).

Рис. 4

Задача 4. Пусть F — какая угодно (плоская) фигура; чему равно наименьшее возможное число j (F) подобных F и меньших F фигур f1, f2, ..., fj, которыми можно покрыть фигуру F (рис. 4, а)?

Задача 4 является весьма трудной; поэтому мы упростим ее в нескольких направлениях. Прежде всего сложность задачи 4 связана с фигурирующим в ее условии общим понятием (плоской) фигуры F. В самом общем своем виде это понятие почти не поддается геометрическому анализу; его даже относят сегодня не к геометрии, а к топологии1 или к теории множеств. Именно поэтому мы всегда в дальнейшем, не оговаривая этого специально, будем считать, что F — это выпуклая фигура. Плоская фигура F называется выпуклой, если каждый отрезок AB, соединяющий любые две точки А и В фигуры F,

Рис. 5

1 Своеобразная ветвь геометрии, возникшая в XX веке и в настоящее время развившаяся в большую науку, значение которой в современной математике вполне сравнимо с тем местом, которое занимает в математике геометрия; по своим задачам и методам топология отличается от геометрии весьма значительно,

Рис. 6

целиком принадлежит этой фигуре (рис. 5, а; для сравнения на рис. 5б, изображена невыпуклая фигура F). Частным случаем выпуклой фигуры является каждый выпуклый многоугольник M (т. е. такой, что M лежит по одну сторону от каждой своей стороны — рис. 6, а и б, на которых изображены выпуклый и невыпуклый многоугольники). Выпуклую фигуру F можно охарактеризовать также тем, что через каждую точку Р ее границы Г можно провести такую прямую l, что F целиком лежит по одну сторону от l; эта прямая l называется опорной прямой выпуклой фигуры F. Последнее утверждение означает, что линия Г не имеет «впадин», таких, что каждая прямая m, проходящая через принадлежащую «впадине» точку Q линии Г, пересекает F (ср. рис. 5,6)1.

Заметим еще, что требуя лишь, чтобы покрывающие фигуры f1, f2, ... были подобны F, мы не накладываем никаких ограничений на расположение этих (меньших F) фигур. Ясно, что если мы ограничим как-то число возможных вариантов расположения фигур f1, f2 и т. д., то разобраться в этих расположениях станет легче. Эти соображения побуждают нас первоначально заменить задачу 4 следующей несколько более легкой.

Задача 5. Пусть F — какая угодно (выпуклая; плоская) фигура; чему равно наименьшее возможное число J (F) меньших F, подобных F и параллельно F расположенных фигур f1, f2, ..., fJ, которыми можно полностью покрыть фигуру F (см. рис. 4,б)?

Ясно, что в применении к кругу Кр задачи 4 и 5 не различаются; фигурирующее в условии задачи 1 число j (мы выяснили, что оно равно 3) можно описать так:

j = j (Кр) = J (Кр).

1 Относительно выпуклых фигур см., например, статью [13] или книги [12] и [9].

Рис. 7

Таким образом, и задачу 4 и задачу 5 можно рассматривать как обобщение той задачи 1, с рассмотрения которой мы начали эту брошюру. Однако для отличных от круга фигур задачи 4 и 5 различаются весьма существенно; при этом задача 5, в которой рассматриваются фигуры f1, f2 и т. д., получаемые из F не произвольным преобразованием подобия δ (рис. 7, а), а (положительной, т. е. имеющей положительный коэффициент) гомотетией γ (рис. 7, б)1, существенно проще задачи 4. Именно поэтому в отношении задачи 5 мы имеем на сегодня заметно больше результатов2; этим (также далеко еще не окончательным) результатам и посвящена первая глава настоящей брошюры.

1 См., например: И. М. Яглом и Л. С. Атанасян. Геометрические преобразования. — В кн.: Энциклопедия элементарной математики, кн. IV. Геометрия. М., Физматгиз, 1963, стр. 55; или И. М. Яглом. Геометрические преобразования, т. I, ч. 2, гл. I, § 1. М., Гостехиздат, 1955.

2 Еще одно преимущество задачи 5 перед задачей 4 состоит в том, что эту задачу можно отнести не только к обыкновенной (школьной) геометрии Евклида, но к (более простой, чем евклидова) аффинной геометрии, изучающей свойства (плоских) фигур, сохраняющиеся при любом параллельном проектировании фигуры с одной плоскости на другую (по поводу аффинной геометрии см., например, ту же статью И. М. Яглома и Л. С. Атанасяна или книгу: И. М. Яглом. Геометрические преобразования, т. II, гл. I, § 1. М., Гостехиздат, 1956.

Рис. 8

Начнем с простых примеров:

Задача 6, Чему равно

а) число J (Тр);

б) число J (Кв),

где Тр означает равносторонний треугольник, а Кв — квадрат?

Решение. а). Ясно, что меньший Тр и параллельно Тр расположенный (т. е. гомотетичный Тр) треугольник тр никак не может покрыть две вершины Тр: ведь сторона тр меньше стороны Тр, т. е. меньше расстояния между любыми двумя вершинами Тр. Таким образом, для покрытия каждой из вершин треугольника Тр необходим свой треугольник тр, а общее число таких треугольников не может быть меньше трех. Тремя меньшими Тр и гомотетичными Тр треугольниками mp1 = Ab1c1, тр2 = a2Вс2 и тр3 = a2b2С покрыть треугольник Тр = АВС можно (рис. 8, а); таким образом,

J (Тр) = 3. (4)

б). Меньший Кв и параллельно ему расположенный (гомотетичный Кв) квадрат кв не может покрыть две вершины квадрата Кв: ведь сторона кв меньше стороны Кв. Поэтому для покрытия каждой из вершин квадрата Кв нужен свой квадрат кв и общее число гомотетичных Кв квадратов квх, кв2 и т. д., которыми можно покрыть Кв, не меньше четырех. Четырьмя квадратами кв1 = Ab1c1d1, кв2 = a1Bc2d2, кв3 = a2b2Cd3 и кв4 = a3b3c3D покрыть квадрат Кв = ABCD с соблюдением условий задачи можно (рис. 8,б); таким образом,

J (Кв) = 4. (5)

Примечание. Легко видеть, что решение задачи 6 нисколько не изменится (и значит величина J будет иметь то же значение, что и выше), если мы откажемся от требования о том,

чтобы треугольник Тр был равносторонним (т. е. будем считать его произвольным) или если мы заменим квадрат Кв произвольным параллелограммом Пар (ср. со сноской 2 на стр. 15).

§ 3. Решение задачи

Интересно отметить, что результаты задачи 6 имеют в некотором смысле совершенно общий характер. А именно имеет место следующая основная

Теорема Гохберга — Маркуса. Пусть M — произвольный выпуклый многоугольник; тогда

(!)

Эта теорема была доказана в 1960 г. известными советскими математиками (кстати сказать, специалистами по математическому анализу, а не по геометрии) Израилем Цудиковичем Гохбергом и Александром Семеновичем Маркусом; родственный (хотя и несколько иначе сформулированный) результат получил немного раньше (в 1954—1955 гг.) известный немецкий геометр Фридрих Леви.

Доказательство. Заметим прежде всего, что никакой («существенно плоский», т. е. не вырождающийся в отрезок прямой) выпуклый многоугольник M нельзя покрыть двумя меньшими M и гомотетичным M многоугольниками m1 и m2. В самом деле, если многоугольники m1 и m2 равны, то они получаются один из другого параллельным переносом в направлении какой-то прямой l (рис. 9, а)1. В этом случае «ширина» h фигур m1 и m2 в перпендикулярном l направлении (т. е. ширина самой узкой полосы, ограниченной двумя параллельными l прямыми и заключающей внутри себя m1, соответственно m2) будет одной и той же. Такой же будет и ширина объединения фигур m1 и m2 (см. рис. 9, а). Но гомотетичный m1 и m2 и больший их обоих многоугольник M имеет в том же направлении большую, чем m1 и m2, ширину, что и доказывает невозмож-

Рис. 9

1 Ср.: И. М. Яглом. Геометрические преобразования, т. I, стр. 22—23 и 90.

Рис. 10

ность покрытия M парой многоугольников m1 и m2. Если же многоугольники m1 и m2 не равны между собой (а условия теоремы Гохберга — Маркуса не исключают и этот случай!), но оба они меньше М, то нам достаточно «раздуть» меньший из них (например, m2) до размера большего из этих двух многоугольников, т. е. заменить многоугольник m2 равным m1 многоугольником m2', получаемым из m2 гомотетией с центром в любой внутренней точке О многоугольника m2 (рис. 9, б); так как даже многоугольники m1 и m2 не могут целиком покрыть многоугольник М, то это тем более невозможно для многоугольников m1 и m2 (ибо m2 целиком содержит многоугольник m2). Тем самым доказано, что для всех (выпуклых) многоугольников M

J (M) > 2.

Далее, укажем, что если M — параллелограмм, то

J (M) = 4;

доказательство этого полностью аналогично решению задачи 6, б (стр. 16; см. также примечание на стр. 16—17). Таким образом, нам остается только показать, что любой, отличный от параллелограмма, выпуклый многоугольник M можно покрыть тремя многоугольниками m1, m2 и m3, гомотетичными M и меньшими М; установление этого составляет самую трудную часть доказательства теоремы Гохберга — Маркуса.

Заметим теперь, что правильный шестиугольник Ш, очевидно, можно заключить внутрь треугольника Т, все стороны которого содержат стороны шестиугольника Ш (рис. 10, а), в то время как квадрат Кв поместить в такой треугольник нельзя (рис. 10, б). Это обстоятельство иллюстрирует следующий общий факт.

Лемма. Если (выпуклый) многоугольник M — не параллелограмм, то существует описанный вокруг M треугольник Т, стороны которого содержат три стороны многоугольника M

(рис. 11); для параллелограмма же Пар подобного треугольника не существует.

Нетрудно понять, что из этой леммы сразу вытекает оценка

J (М) ⩽ 3

(из которой следует и равенство (!); ср. выше стр. 17, в частности рис. 9). Обозначим вершины фигурирующего в лемме треугольника Т через Q1, Q2 и Q3; будем еще для определенности считать, что сторона Q1Q2 треугольника Т содержит сторону АnA1 многоугольника M = А1A2 ... Аm, сторона Q2Q3 треугольника — сторону АкАk+1 многоугольника, а сторона Q3Q1 треугольника — сторону A1A1+1 многоугольника (где 1 < k < l < n; рис. 12). Выберем теперь внутри M произвольную точку О и соединим ее с какими-то (внутренними) точками В, С и D сторон AnA1, АкАк+1 и АlAl+l; при этом лучи OB, ОС и

Рис. 11

Рис. 12

OD разобьют M на три части м1, м2 и м3. Более далекие от Q1, соответственно от Q2 и от Q3 точки пересечения лучей Q1О, Q2O и Q3O с границей M мы обозначим через P1, Р2 и Р3. В таком случае гомотетия γ1 с центром Q1 и таким коэффициентом k1, что

переводит M в многоугольник M1', полностью покрывающий часть м1 многоугольника М. Для того чтобы установить это, достаточно сравнить границы многоугольников M1 и м1 (см. рис. 12). Аналогично этому гомотетии γ2 и γ3 с центрами Q2 и Q3 и такими коэффициентами k2 и k3, что

переводят многоугольник M в многоугольники M2' и M3', полностью покрывающие части м2 и м3 многоугольника М, откуда и вытекает, что J (М) ⩽ 3.

Перейдем теперь к доказательству леммы, составляющему основной этап всего рассуждения. Пусть ∠АnA1A2 = a — наименьший угол многоугольника M = A1A2A3 ... An (или один из нескольких равных друг дру-

Рис. 13

гу углов, меньших всех остальных); при этом весь многоугольник заключается внутри (бесконечного!) угла АпA1A2. Выберем теперь какую угодно прямую l', пересекающую обе стороны A1An и A1A2 угла и расположенную столь далеко от A1, что M целиком заключен внутри треугольника, образованного прямыми A1Ап, A1A2 и l' (рис. 13), и начнем приближать ее к вершине A1, сохраняя направление прямой до тех пор, пока она не «упрется» в контур многоугольника М. Если полученная при этом прямая l = ВС совпадает с некоторой стороной М, то прямые A1Аn, A1A2 и l уже образуют требуемый условием леммы треугольник Т = A1ВС (рис. 13, а); поэтому мы можем считать, что l проходит через какую-то вершину Ai многоугольника M, не совпадая ни с одной его стороной (рис. 13, б—г).

Проведем теперь через Аi прямые AiD || A1An и AiE || A1A2, вместе с A1A2 и A1An образующие параллелограмм A1DAiЕ. Так как ∠ Аi-1АiАi+1 ⩾ ∠ DAiE = а (ибо ∠АпA1A2 = а многоугольника M наименьший), то если луч АiАi-1 заключен внутри ∠ВАiA1, то луч A1A1+1 расположен вне ∠A1АiЕ (он заключен внутри ∠КАiС, где ∠Ai-1AiK = а; см. рис. 13,б); поэтому стороны A1Ап,A1A2 и A1Ai+1 многоугольника M образуют заключающий M внутри себя треугольник. Так же рассматривается случай, когда луч A1A1+1 заключен внутри ∠A1АiЕ; с другой стороны, если луч АiАi-1 заключен внутри ∠DАiВ или луч A1A1+l — внутри ∠ЕАiС, то соответствующая прямая вместе с A1An и A1A2 уже образует требуемый треугольник.

Таким образом, нам остается рассмотреть лишь случай, когда луч АiАi-1 совпадает с AD, а луч АiAi+1 с АiЕ (рис. 13, в, г). Если при этом, скажем, A1A2 < A1D, то луч A2A3 должен располагаться внутри ∠DA2Аi (ибо многоугольник M — выпуклый, и Ai — его вершина); при этом стороны A2A3, АiАi+1 и A1An многоугольника образуют треугольник, внутри которого лежит M (см. рис. 13, в). Точно так же рассматривается случай, когда A1An < A1Е. Если же A1A2 = A1D и A1An = A1E, то M=A1DAiE — параллелограмм (см. рис. 13, г), и требуемого условием леммы треугольника, очевидно, не существует.

Это рассуждение и завершает доказательство теоремы Гохберга — Маркуса.

Комментарий. Приведенная на стр. 17 формулировка теоремы Гохберга — Маркуса не совсем совпадает с той, которую дали этой теореме ее авторы. Мы ограничились в ее доказательстве рассмотрением лишь выпуклых многоугольников, в то время как И. Ц. Гохберг и А. С. Маркус рассматривали произвольные (плоские) выпуклые фигуры (вспомните исходную задачу 1, в которой фигурировали круги!). Однако каждую выпуклую фигуру F можно с любой степенью точности приблизить (скажем, вписанным в F) выпуклым многоугольником M с очень большим числом сторон; поэтому доказанная нами теорема делает в высшей степени правдоподобным следующий

результат (который в литературе обычно и называют теоремой Гохберга — Маркуса).

Если F — произвольная (плоская) выпуклая фигура, то

J (F) = 3, если F — не параллелограмм;

J (F) = 4, если F — параллелограмм.

Более того, предложение (!!) можно вывести из уже известного нам результата (!) (стр. 17); однако этот вывод опирается на некоторые общие сведения о приближениях произвольных (выпуклых) фигур многоугольниками, знания которых мы не можем требовать от читателей настоящей брошюры.

Оригинальное доказательство теоремы (!!), принадлежащее Гохбергу и Маркусу, несколько сложнее изложенных здесь рассуждений; однако оно имеет то преимущество, что относится сразу к произвольным выпуклым фигурам. Читатель может найти это доказательство в доступно написанной книге [5]. Совсем другое, во многом неожиданное, доказательство того же результата, связывающее его с рядом других глубоких фактов комбинаторной геометрии, приведено в книге [2].

§ 4. Стереометрические задачи

Теорема Гохберга — Маркуса (!!) полностью решает вопрос задачи 5, касающийся плоских фигур. Но как обстоит дело со стереометрическим вариантом той же задачи?

Задача 5 . Пусть F — какое угодно (выпуклое1) пространственное тело; чему равно наибольшее возможное число J (F) меньших F, подобных F и параллельно F расположенных2 тел f1, f2, ..., fJ, которыми можно полностью покрыть тело F?

Не представляет труда перенесение на случай пространства разобранных выше частных случаев задачи 5:

Задача 1'. Чему равно наименьшее возможное число J(Ш) меньших данного шара Ш шаров ш1, ш2, ..., шj, которыми можно полностью покрыть шар Ш?

Решение. Меньший Ш шар ш1, пересекающий шар Ш, наверное, не заденет хоть одну «большую окружность» Окр ограничивающей III сферы Сф, высекаемую из Сф какой-то плоскостью, проходящей через центр III (см. рис. 14, а, где плоскость окружности Окр параллельна плоскости той окруж-

1 Т. е. такое, что каждый отрезок AB, соединяющий точки А и В тела F, целиком принадлежит F.

2 Другими словами, если А и В — произвольные точки тела F, а а и b— отвечающие им точки (подобного F) тела f, то отрезки ab и AB должны быть параллельны и одинаково направлены. Можно также сказать, что тела F и f должны быть «положительно гомотетичны», т. е. должны получаться один из другого гомотетией с положительным коэффициентом. [По поводу определения и свойств гомотетии в пространстве см., например: Ж. Адамар. Элементарная геометрия, ч. II, кн. 7, гл. III, М., Учпедгиз, 1958, или Д. И. Перепелкин. Курс элементарной геометрии, ч. 2, гл. XVIII М. — Л., Гостехиздат, 1949].

Рис. 14

ности окр, по которой пересекаются ограничивающие Ш и ш1 сферы Сф и сф1). Два других меньших Ш шара ш2 и ш3 пересекут плоскость окружности Окр по кругам кр1 и кр2, радиусы которых не превосходят радиусов шаров ш1 и ш2, т. е. заведомо меньше радиуса окружности Окр. Но отсюда следует, что круги кр1 и кр2 не могут полностью покрыть окружность Окр (см. решение задачи 1); следовательно, три шара ш1, ш2 и ш3 н е могут полностью покрыть шар Ш: они обязательно оставят непокрытой некоторую часть окружности Окр. Четыре меньших Ш шара полностью покрыть шар Ш могут (см. рис. 14, б, где грани ABC, ABD, ACD и BCD вписанного в Сф правильного тетраэдра ABCD вписаны в «большие окружности» ограничивающих шары ш1, ш2, ш3 и ш4 сфер). Таким образом,

J (Ш) = 4. (6)

Задача 6'. Чему равны числа

а) J (T);

б) J (К),

где Т — правильный тетраэдр, а К — куб1?

Решение. Легко понять, что никакой подобный Т и меньший Т (правильный) тетраэдр m не может покрыть сразу две вершины тетраэдра Т (ибо расстояние между любыми двумя точками тетраэдра m меньше длины ребра тетраэдра Г, ср. ниже, стр. 48). Поэтому каждую вершину тетраэдра Т придется покрывать своим тетраэдром m и общее число подобных Т и меньших Т тетраэдров m1, m2, необходимых для покрытия тетраэдра Г, не меньше четырех, Четырьмя

1 См. также примечание на стр.16—17.

же гомотетичными Т и меньшими Т тетраэдрами m1, m2, m3 и m4 покрыть тетраэдр Т = ABCD можно. Так, например, за m1, m2, m3 и mx можно принять тетраэдры, получаемые из Т гомотетиями с центрами соответственно в точках А, В, С и D и одним и тем же коэффициентом гомотетии k, где 1 > k ⩾ 1/2 (ср. с рис. 8, а на стр. 6; см. сноску 2 на стр. 22).

Аналогично никакие две вершины куба К = ABCDA1B1C1D1 не могут быть покрыты одним кубом к, меньшим К и параллельно К расположенным (ибо размеры к в любом из трех «характерных для куба К» направлений AB, AD и AA1 меньше размеров К); поэтому общее число кубов k1, k2, которыми можно полностью покрыть куб К, не меньше числа вершин К, т. е. восьми. Восемью кубами k1, k2, ..., k8, меньшими К и параллельно К расположенными, покрыть куб К уже можно; достаточно принять за k1, k2, ..., k8 восемь кубов, полученных из К гомотетиями с центрами в вершинах А, В, С, ..., D1 куба К и одним и тем же коэффициентом гомотетии к, где 1 > к ⩾ 1/2 (ср. с рис. 8, б). Таким образом,

(7)

Совершенно аналогично решается и (несколько более общая) следующая задача.

Задача 6'а. Рассмотрим «восьмивершинник» (куб) M8 = ABCDA1B1C1D1 и многогранники, получаемые из куба M8 отсечением части его вершин M7 = ABCDA1B1C1, M6 = ABCDA1B1, M5 = ABCDA1 и M4 = ABCDA1 (рис.

Р ис. 15

15, а—д; M6 — это треугольная призма, M5 — четырехугольная пирамида, а M4 — треугольная пирамида, тетраэдр). Чему равны числа

Решение. Нетрудно видеть, что для каждого из многогранников Мu, где u = 4, 5, 6, 7 или 8, подобный рассматриваемому и параллельно ему расположенный меньший многогранник мне может покрыть сразу две вершины исходного многогранника; поэтому число J (Мu) не может быть меньше числа и вершин многогранника. Равенство

J (Mu) = u, u = 4, 5, 6, 7, 8 (8)

вытекает из возможности покрыть Мu и гомотетичными Мu многогранниками, получаемыми из Мu и гомотетиями с центрами в вершинах многогранника Mu и одним и тем же коэффициентом где 1 > к > 1/2.

Таким образом, задачи 1' и 6' оказались почти не труднее задач 1 и 6; также и задачу 6'а нам удалось легко решить. Но какие выводы, касающиеся производных (выпуклых) пространственных тел F, можно отсюда сделать? Прямых выводов почти никаких: хотя никто из специалистов не сомневается, что формулы (8) имеют общий характер в том смысле, что

4 ⩽ J (f) ⩽ 8 (!!!)

для всех «существенно пространственных» (т. е. не умещающихся в одной плоскости) выпуклых тел F, но доказать это не удалось никому. Соответствующая задача решена лишь «наполовину»: установлено, что всегда (т. е. для любого «существенно пространственного» выпуклого тела F)1

(9)

и что величина J (F) может принимать все значения в пределах (!!!) (см. решение задачи 6'а). Однако, может быть, величина J (F) может принимать и какие-то значения вне границ (!!!) (т. е. J (F) > 8 для некоторых пространственных тел F)? Это до сих пор неизвестно; высказанная еще в 1957 г. видным швейцарским геометром Г. Хадвигером гипотеза (!!!) (причем Хадвигер предположил также, что J (F) = 8 только в том случае, когда F — параллелепипед) остается пока никем не доказанной (но и не опровергнутой).

1 Доказательство этого — впрочем, совсем не простое — приведено, например, в книге [2].

§ 5. Обратимся к n-мерному пространству

Рассмотренные выше задачи допускают целый ряд интересных вариантов и обобщений. Одно из первых обобщений этих задач связано с понятием n-мерного (евклидова) пространства1, которое можно описать следующим образом. Хорошо известно, что содержание (школьной) планиметрии, следуя идеям Рене Декарта (1596—1650) и Пьера Ферма (1601—1665), можно охарактеризовать так. Условимся сопоставлять каждой точке А плоскости ее (декартовы прямоугольные) координаты хну (рис. 16,б); при этом множество точек плоскости можно будет отождествить с множеством пар чисел (х, у). Расстояние AB между точками А (х, у) и В (x1, y1) можно теперь определить формулой

(см. рис. 16,б). Далее фигуры (т. е. множества точек; на используемом нами здесь языке аналитической геометрии выражение множество точек» означает «множество пар чисел (x, у)») F и F' называются равными, если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие так, что расстояния между соответствующими друг другу парами точек равны. Если точками А (х, у) и В (x1, y1) фигуры F отвечают

Рис. 16

1 См. например: Б. А. Розенфельд и И. М. Яглом. Многомерные пространства. — В кн. Энциклопедия элементарной математики, кн. V. Геометрия. М., «Наука», 1966, стр. 349—393.

точки А' (х', у') и В' (х'1, у'1) фигуры F', то

(рис. 17) или

Предмет же планиметрии составляет изучение таких свойств плоских фигур (т. е. множеств пар чисел!), которые являются одинаковыми для всех равных фигур. Говорят также, что в геометрии любые две равные фигуры сами являются одинаковыми (т. е. неразличимыми по своим свойствам). На принятом в современной математике жаргоне можно сказать, что планиметрия изучает свойства плоских фигур, «заданных с точностью до замены фигуры любой равной ей».

Аналогично определению координат на плоскости (декартовых прямоугольных) можно внести и координаты (х, у, z) точки А пространства (рис. 16, в); при этом расстояние AB между точками А (х, у, z) и В (x1, y1, z1) пространства оказывается равным

(см. рис. 16, в). Равенство пространственных тел F и F' определяется теперь в точности так же, как и в случае плоских фигур. Содержание же стереометрии составляет изучение геометрических (т. е. одинаковых для любых двух равных тел!) свойств пространственных тел. Наконец, укажем еще, что совершенно так же можно описать (довольно бедный по объему имеющегося материала) предмет «геометрии прямой»; для этого достаточно сопоставить точкам прямой их координаты x (рис. 16,а) и определить расстояние AB между точками А (х) и В (x1) прямой аналогичной предыдущим формулой

Далее «равные фигуры» и «геометрические свойства» в геометрии прямой определяются в точности так же, как в планиметрии и стереометрии.

Рис. 17

Так как каждая «фигура» на прямой1 имеет единственное «измерение» — длину а (рис. 18, а), в то время как плоские фигуры имеют два измерения — длину а и ширину b (рис. 18,б), а пространственные тела — даже три «измерения» — длину а, ширину b и высоту с (рис. 18, в), то прямую часто называют одномерной, плоскость — двумерной, а (обыкновенное) пространство — трехмерным. Естественным обобщением всех этих понятий является понятие n-мерного (евклидова) пространства, под точками которого понимают (упорядоченные) наборы (x1, x2, ..., xn) n вещественных чисел, а расстояние AB между точками А (x1, x2, ..., хп) и В (y1, y2, ..., yn) принимается равным

(10)

Далее телом F n-мерного пространства (или n-мерным телом) условимся называть произвольное множество точек n-мерного пространства, а равенство двух тел F и F определим как в планиметрии или в стереометрии. Тогда геометрия n-мерного пространства (n-мерная геометрия) может быть охарактеризована как наука о геометрических (т. е. одинаковых у любых двух равных тел) свойствах n-мерных тел.

Не входя здесь в детали n-мерной геометрии, по поводу которых мы отсылаем читателя к статье, названной в сноске на стр. 26, отметим лишь несколько нужных нам для даль-

Рис. 18

1 Заметим, что в геометрии прямой единственной выпуклой фигурой (см. определение выпуклых фигур на стр. 13) является отрезок; равные (выпуклые) фигуры F и F' здесь — это равные отрезки.

нейшего понятий. Тела F и F' n-мерного пространства называются подобными (с каким-то коэффициентом подобия к > 0), если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие так, что расстояния между парами соответствующих точек пропорциональны: если точкам А и В тела F отвечают точки А' и В' тела F', то

Если же при этом «отрезки А'В' и AB параллельны и одинаково направлены», т. е. обозначая координаты точек А и В, A' и В' через (x1, x2, ..., хп) и (y1, y2, ..., уп), (x1', x2', ..., хп') и (y1', y2', ..., yп'), имеем

(рис. 19, где n = 2, а к = 2/3), то тела F и F' называются подобными и параллельно расположенными (или гомотетичным и).

Наконец, под отрезком AB с концами в точках А (x1, x2 ,..., хп) и B (y1, y2, ..., yn) понимается множество всех точек С (z1, z2, ..., zn), где1

(11)

Рис. 19

1 Отрезок можно также определить как я-мерную фигуру, равную (в определенном выше смысле) некоторому отрезку OD оси Ox1, т. е. множеству всех точек С (x1, 0, 0, ..., 0), где 0 ⩽ x1 ⩽ d.

Далее, выпуклое тело F n-мерного пространства попрежнему определяется тем его свойством, что наряду с любыми двумя точками А и В тела F ему принадлежат также и все точки отрезка AB.

В число основных геометрических образов n-мерной геометрии прежде всего, бесспорно, входит л-мерный шар с центром Q и радиусом r — множество всех таких точек А n-мерного пространства, для которых

(12)

Ясно, что «одномерный шар» представляет собой не что иное, как отрезок с серединой Q; «двумерный шар» — это круг, а «трехмерный шар» — обыкновенный (школьный) шар. «Граница» n-мерного шара, т. е. множество таких точек В, что

(13)

называется ((n — 1)-мерной) сферой. Так, «одномерной сферой» является окружность, «двумерной сферой» — обыкновенная сфера, т. е. поверхность (трехмерного) шара, а роль «0-мерной сферы» — границы «одномерного шара» или отрезка — играет просто пара точек.

Простейшим n-мерным многогранником (многомерные многогранники называют часто также политопами) является так называемый n-мерный симплекс с n + 1 вершинами A1, A2, ...

Ап, An+1. Если считать, что содержание понятия «(n— 1)-мерный симплекс» нам уже известно1, то n-мерный симплекс можно, например, описать как множество всех отрезков Ап+1РУ соединяющих вершину Ап+1 (a1, a2, ..., ап) симплекса (где мы считаем, что an ≠ 0) со всеми точками Р (x1, x2, ..., xn-1, 0) (n — 1)-мерного симплекса A1A2...Ап, принадлежащего «(n—1)-мерной плоскости» xn =0 (точки которой характеризуются n — 1 координатами x1, x2, ..., xn-1).

Нетрудно понять, что «одномерный симплекс» — это просто отрезок; «двумерный симплекс» — это треугольник, а «трехмерный симплекс» — тетраэдр (треугольная пирамида). Роль параллелограмма в n-мерной геометрии играет параллелотоп. Если считать понятие (n — 1)-мерного параллелотопа уже известным, то n-мерный параллелотоп Пар = A1A2, ... A2n-1 B1B2 ,.., B2n-1 можно определить так. Рассмотрим (/г — 1)-мерный параллелотоп пар = A1A2 ... A2n-1, принадлежащий (ai — 1)-мерному пространству xn = 0, и равный ему (n — 1)-мерный параллелотоп пар = B1B2 ... B2n-1, получаемый из него «параллельным переносом на вектор с = (c1, c2, ..., cn-1, cn)». Множество точек всех отрезков RR', где R (x1, x2, ..., xn-1, 0) и

1 См. например, И. С. Соминский, Л. И. Головина, И. М. Яглом. О математической индукции. М., «Наука», 1967, стр. стр. 97—100, 120—121 и 124.

R (x1 + c1, x2 + c2, ..., xn-1 + cn-1, cn) — точка параллелотопа пар и отвечающая ей точка параллелотопа пар', составляет (n-мерный!) параллелотоп Пар.

Ясно, что «одномерный параллелотоп» — это просто отрезок (таким образом, «одномерный шар», «одномерный симплекс» и «одномерный параллелотоп» — это одна и та же фигура!), «двумерный параллелотоп» — это параллелограмм, а «трехмерный параллелотоп» — параллелепипед.

Укажем еще, что наиболее «правильным» или «симметричным» из всех симплексов является так называемый правильный симплекс, все C2n+1 = (n + 1)(n + 2)/2 ребер AiAj которого (где i, j = 1, 2, .... n +1) равны между собой. Частными случаями правильного симплекса являются правильный треугольник на плоскости и правильный тетраэдр в пространстве. Частным случаем параллелотопа является так называемый прямоугольный параллелотоп, полностью характеризуемый своими «измерениями» (или «размерами») a1, a2, ..., an. Прямоугольный параллелотоп (частными случаями которого являются прямоугольник и прямоугольный параллелепипед) с «размерами» а1, a2,..., an можно описать как множество таких точек (x1, x2, ..., хп) n-мерного пространства, что

(см. относящийся к случаю плоскости рис. 20). Прямоугольный параллелотоп, все размеры которого одинаковы, называется n-мерным кубом; n-мерный куб со стороной а можно охарактеризовать как множество всех таких точек (x1, x2, ..., хп) n-мерного пространства, что

Ясно, что при n = 1 n-мерный куб обращается в отрезок, при n = 2 — в квадрат и при n = 3 — в обыкновенный куб.

После этого отступления мы можем вновь обратиться к нашей главной теме. Естественным обобщением основных задач 5 и 5' является следующая

Задача 5". Дано некоторое (n-мерное выпуклое) тело F; требуется определить наименьшее возможное число Jn (F) меньших F, подобных F и параллельно F расположенных тел f1, f2, ..., которыми можно полностью покрыть тело F. [Здесь и дальше номер или «индекс» у буквы J внизу указывает раз-

Рис. 20

мерность тела F и вмещающего F пространства; при этом тело F считается «существенно n-мерным», т. е. не равным никакому телу (n — 1)-мерного пространства.]

Частные случаи задачи 5 решаются легко.

Задача 1". Чему равно наименьшее возможное число jn = Jn = Jn (Ш) n-мерных шаров шх, меньших заданного n-мерного шара Ш, такое, что этими Jn шарами можно полностью покрыть Ш?

Ответ:

jn = n + 1 (14)

В частности, как мы знаем, j2 = 3 (см. решение задачи 1, стр. 8); j3=4 (см. решение задачи 1', стр. 22 — 23); j1 =2 (последнее очевидно; рис. 21).

Задача 6", Чему равны числа

а) Jn (С);

б) Jn (К),

где С — (n-мерный) правильный симплекс, а К — (n-мерный) куб?

Ответы:

(15а) (15б)

Решение задач 6" (которое почти не отличается от решения задач 6 и 6') и 1" (которое требует несколько более свободного владения понятиями я-мерной геометрии, но также весьма несложно) предоставляется читателям.

Однако полное решение задачи 6", требующей по заданному (выпуклому) телу F указать величину Jn (F), до сих пор неизвестно. Более того, недоказанной остается и гипотеза Г. Хадвигера, утверждающая, что для каждого выпуклого «существенно n-мерного» тела F

(!!!!)

причем Jn (F) = 2n только в том случае, когда F — параллелотоп; установлено лишь, что всегда

(16)

и что величина Jn (F) может принимать все значения в пределах (!!!!) (ср. с решением задачи 6'а).

Рис. 21

ГЛАВА II ВАРИАНТЫ И ОБОБЩЕНИЯ

§ 6. Не обязательно гомотетичны — просто подобны

Вернемся теперь снова к задаче 4, отличающейся от служившей основным объектом рассмотрения в гл. I задачи 5 тем, что теперь от фигур f1, f2 и т. д., уже не требуется, чтобы они были расположены параллельно исходной фигуре F. Другими словами, здесь эти фигуры лишь подобны F, но не обязательно гомотетичны1 F. Эту задачу мы сейчас можем сформулировать так.

Задача 4'. Пусть F — какая угодно (выпуклая; плоская, пространственная или даже n-мерная) фигура; чему равно наименьшее возможное число jn (F) подобных F и меньших F фигур f1, f2, ..., которыми можно полностью покрыть фигуру F? [Здесь, как и раньше, номер или «индекс» n внизу указывает размерность («существенно n-мерной») фигуры F и вмещающего ее пространства. Если размерность F фиксируется уже самим выбором фигуры, то число n внизу можно и опустить.] Начнем, как всегда, с примеров: Задача 7. Чему равны числа

а) j(Тр)

б) j (Пр),

где Тр — какой-то произвольно заданный треугольник (характеризуемый, например, длинами а, b, с своих сторон) а Пр — произвольно выбранный прямоугольник (скажем, со сторонами а и b)?

Комментарий. В задаче 6 из § 2 гл. I (стр. 16), родственной настоящей задаче и отличной от нее лишь тем, что там речь шла об отыскании характеристик J многоугольников, в то время здесь мы ищем величины j, мы могли ограничиться рассмотрением лишь правильного треугольника Тр(0) соответственно квадрата Кв, поскольку, как легко видеть,

где Пар — произвольный параллелограмм (даже не обязательно прямоугольник!)2. Однако в задаче 7 такое ограничение ее содержания существенно отразится на результате, поскольку, как мы увидим ниже, значения характеристик j для правильного треугольника Тр(0) и для квадрата Кв будут иными, чем для неравностороннего треугольника, соответственно для прямоугольника с неравными сторонами.

1 Определение и свойства гомотетии в n-мерном пространстве фактически не отличаются от фигурирующих в планиметрии (см. сноску 1 на стр. 15) и в стереометрии (см. сноску 2 на стр. 22).

2 См. примечание на стр. 16—17 и сноску 2 на стр. 15.

Ответ:

2, если треугольник Тр — неправильный,

3, если треугольник Тр — правильный:

2, если прямоугольник Пр — не квадрат,

3, если прямоугольник Пр — квадрат. (+)

Доказательство, а) Пусть Тр = АВС — не равносторонний треугольник, а = BC — его наибольшая, a AB = с — наименьшая сторона, так что а > с (рис. 22). Наложим на Тр подобный Тр и меньший Тр треугольник тр1 = A1ВC1 со сторонами BC1 = a1 и BA1 = c1 так, чтобы вершины В обоих треугольников совпали, а направления сторон ВC1 и ВA1 треугольника тр1, отвечающих сторонам ВС и В А подобного тр1 треугольника Тр, совпали с направлением сторон ВА и ВС треугольника Тр. Если при этом выбрать коэффициент подобия к = - треугольников тр и Тр так, чтобы

то точка C1 будет принадлежать продолжению стороны ВА треугольника Тр, а точка А1, естественно, самой стороне ВС (ибо ВA1 < BA < ВС; см. рис. 22). Поэтому если мы проведем через точку A2 пересечения АС и A1C1 прямую A2B2 || то треугольник Тр полностью покроется двумя подобными Тр и меньшими Тр треугольниками тр1 = A1ВC1 и тр2 = A2B2С. Это рассуждение и доказывает, что для неравностороннего треугольника Тр

j (Тр) = 2.

Если же Тр = Tp(0) — равносторонний треугольник со стороной а, то покрыть его двумя подобными Тр и меньшими Тр треугольниками тр1 и тр2 паверняка не удастся, ибо меньший Тр правильный треугольник тр не сможет покрыть сразу две вершины треугольника Тр (так как расстояние между любыми двумя точками равностороннего треугольника тр, как легко видеть, никогда не превосходит стороны треугольника). Поэтому для покрытия каждой из трех вершин треугольника Тр нам понадобится свой треугольник, и общее число

Рис. 22

использованных треугольников будет не меньшим трех. Тремя же меньшими Тр и подобными Тр (правильными) треугольниками тр1, тр2 и тр3 покрыть треугольник Тр = Тр(0) можно (см,, например, рис. 8, а на стр. 16); следовательно,

б) Пусть Пр = ABCD — неравносторонний прямоугольник (не квадрат!) со сторонами AB = m и AD = n, где m> n.

Попытаемся покрыть прямоугольник Пр двумя подобными Пр и меньшими Пр прямоугольниками пр1 и пр2. Начнем с того, что разрежем прямоугольник Пр на две (равные) части AEFD и BEFC прямой EF||AD, проходящей через центр прямоугольника (рис. 23). Ясно, что прямоугольник AEFD (и равный ему прямоугольник BEFC) тогда и только тогда можно покрыть прямоугольником пр1 = UEVW, подобным Пр и меньшим его, когда

т, е. когда

Таким образом, если

n < m < 2n,

то прямоугольник Пр = ABCD покрыть двумя меньшими Пр и подобными Пр прямоугольниками пр1 и пр2 можно.

Разрежем теперь прямоугольник ABCD на две (равные) части прямой GH, проходящей через центр прямоугольника и образующей со стороной AB угол a (рис. 24). Покроем трапецию AGHD прямоугольником XYGZ, как изображено на рис. 24, Так как проекция GH на сторону AB равна, очевидно, - = nctg а,

Рис. 23

Рис. 24

Для того чтобы прямоугольник np1 = XYGZ был подобен исходному прямоугольнику Пр = ABCD, необходимо, чтобы имело место соотношение

т. е. чтобы было

Отсюда без труда получаем

и, следовательно,

Ясно, что такой выбор угла а возможен, лишь если m2 ⩾ 2n2, При этом прямая GH пересечет стороны AB и CD прямоугольника ABCD (как это и изображено на рис. 24), ибо а > ∠DBA так как

Теперь нам осталось только выяснить, будет ли прямоугольник пр1 = XYGZ меньше или больше исходного прямоугольника Пр = ABCD. Мы утверждаем, что прямоугольник np1 всегда меньше прямоугольника Пр. В самом деле, срав-

ним сходственные стороны AD и XZ этих прямоугольников; одна из них равна m а вторая —

Обозначим

непосредственная проверка показывает, что M2 + N2 = 1/2. С другой стороны, так как квадрат любого отличного от нуля числа всегда положителен, то

значит

А теперь имеем

что нам и требовалось доказать. Таким образом, если

то прямоугольник Пр также можно покрыть двумя меньшими Пр и подобными Пр прямоугольниками. Наши два случая охватывают все варианты, когда m> n, т. е. когда прямоугольник Пр не является квадратом (они даже перекрываются: если 2n > m > √2n, то рис. 23 и 24 указывают два различных способа покрытия прямоугольника Пр подобными ему и меньшими Пр прямоугольниками пр1 и пр2!). Таким образом, при m≠n, наверное, j (Пр) = 2.

Рассмотрим теперь случай прямоугольника Пр = ABCD со сторонами AB = m и AD = m, т. е. квадрат Кв. Докажем

прежде всего, что

т. е. что квадрат Кв = ABCD нельзя покрыть двумя меньшими Кв квадратами. В самом деле, в противном случае хоть один из покрывающих Кв = ABCD квадратов покроет не меньше половины периметра Кв, т. е. целую сторону AB и такие части смежных с ней сторон AD и ВС, сумма которых не меньше целой стороны. Если «покрывающий» квадрат кв1— обозначим его через PQRS — содержит точки А и В внутри, то сдвинем его так, чтобы они оказались на контуре квадрата кв1 и чтобы покрываемая кв1 часть периметра квадрата Кв не уменьшилась. При этом мы придем к ситуации, изображенной на рис. 25, где (мы обозначаем сторону квадрата кв1 через х и угол BAQ через ß)

Поэтому если х < m, то

А так как

ибо выражение

заведомо положительно, то

и меньший Кв = ABCD квадрат кв1 = PQRS никак не может покрыть половины периметра Кв. Поэтому два меньших

Рис. 25

Кв квадрата кв1 и кв2 никогда не покроют целиком всю периферию квадрата Кв, т. е. заведомо не покроют весь квадрат Кв.

Заметим теперь, что не только квадрат Кв, но и любой параллелограмм Пар = ABCD можно покрыть тремя подобными Пар и меньшими Пар параллелограммами пар1, пар2 и nap3. В самом деле, уже параллелограммы парх = AB1C1D1 и пар2 = A1BC2D2, гомотетичные Пар с центрами гомотетии А и В с одним и тем же меньшим 1, но близким к 1 коэффициентом гомотетии k, покроют «почти весь» параллелограмм Пар = АВCD, оставляя непокрытой лишь узкую полоску CDD1C1 вдоль противоположной AB стороны CD (рис. 26; если параллелограмм Пар не является ромбом, то можно еще считать сторону CD меньшей, что, впрочем, нисколько не меняет дела). Но так как сторона CD параллелограмма Пар меньше его диагонали АС (большей диагонали, если Пар не является прямоугольником!), то равный Пар параллелограмм Пар' = А'В'СD' можно наложить на полоску CDD1C1 так, чтобы она «протянулась вдоль диагонали А'С' параллелограмма Пар и целиком поместилась внутри Пар1 (см. рис. 26). После этого мы можем заменить равный Пар параллелограмм Пар' = А'В'CD меньшим Пар параллелограммом пар3 = A2B2C2D3 (скажем, гомотетичным Пар' с центром гомотетии в точке пересечения диагоналей Пар' и тем же, что и выше, коэффициентом гомотетии к <1), все еще покрывающим полоску CDD1C1. При этом три меньших Пар и подобных Пар параллелограмма пар1, пар2 и пар3 полностью покроют параллелограмм Пар, откуда и следует, что для каждого параллелограмма Пар (и для квадрата тоже!)

Вместе с неравенством j (Кв) > 2 это и доказывает, что

[А может быть, вы сумеете самостоятельно выяснить, чему равно число j (Пар), где Пар — параллелограмм ABCD со сторонами AB = m, AD = n и углом ∠BAD = φ? Случай φ = 90° мы подробно разобрали выше.]

Итак, мы решили до конца задачу 7. Но чему это решение нас учит? Прежде всего относительной сложности задач 4—4' по сравнению с задачами 5—5'—5". Чтобы убедиться в этом

Рис. 26

достаточно сопоставить решения родственных друг другу задач 6 (см. также примечание к этой задаче, стр. 17) и 7. А так как даже в отношении задач 5—5" мы не имеем на сегодня достаточно полных результатов, то вряд ли можно ожидать каких-либо содержательных общих теорем, связанных с намеченной в задаче 4 проблематикой.

Правда, вытекающие из самого смысла величин j и J неравенство

j (F) ⩽ J(F),

где буква F в левой и в правой частях неравенства означает одну и ту же фигуру, совместно с теоремой Гохберга — Маркуса (!!) (стр. 22) и только что установленным неравенством j (Пар) ⩽ 3 показывает, что для каждой плоской (выпуклой) фигуры F

(!!!!!)

Однако в противоположность теореме Гохберга — Маркуса этот последний результат никак нельзя считать окончательным: хотелось бы еще уметь определять, для каких плоских фигур F величина j2 (F) равна 2, а для каких j2 (F) = 3. Что же касается вопросов определения величин jn(F), где n > 3, например, вычисления характеристик j3 (F) пространственных выпуклых тел, скажем, выпуклых многогранников, то здесь мы ее располагаем на сегодняшний день почти никакой содержательной информацией.

Впрочем, мы, конечно, можем утверждать, что

(17)

где F — одномерная выпуклая фигура (отрезка1), и что

где Т — правильный тетраэдр, а С — правильный n-мерный симплекс (почему?).]

§ 7. Одно обобщение основных задач

Нетрудно перенести на произвольные фигуры также и тематику связанных с кругами и шарами задач 2 и 3 гл. I;

Задачи 8а и 9а. Пусть дана (выпуклая; плоская, пространственная или даже n-мерная) фигура F; зададимся также числом к. Чему равно наименьшее число j или J, такое, что F можно покрыть j подобными F фигурами f1, f2, ..., fj (соответственно J подобными F и параллельно F расположенными фигурами f1, f2, ..., fj), каждая из которых не превосходит фигуры F',

1 См. подстрочное примечание на стр. 28.

подобной F с коэффициентом подобия к? [Искомое число мы будем обозначать через jn (к, F) в случае задачи 8а, в которой фигуры f1, f2, ..., fj подобны F и через Jn(k, F) в задаче 9а, где фигуры f1, f2, ..., fJ гомотетичны F; здесь n — размерность фигуры F и вмещающего ее пространства.]

Задачи 86 и 96. Пусть дано (положительное) число к; требуется определить наименьшее число j или J, такое, что любую (выпуклую; плоскую, пространственную или n-мерную) фигуру F можно покрыть j подобными F фигурами f1, f2, ..., fj, соответственно J подобными F и параллельно F расположенными фигурами f1, f2, ..., fJ, каждая из которых не превосходит фигуры F', подобной F с коэффициентом подобия к. [Здесь искомое число уместно обозначить через j n (к) в случае задачи 8б, где от фигур f1, f2, ... требуется лишь их подобие фигуре F, и через Jn(k) в случае задачи 9б, где фигуры f1, f2, ... гомотетичны F; здесь номер («индекс») n внизу указывает (фиксированную!) размерность рассматриваемых фигур.]

Обсуждение. Ясно, что в задачах 8а—б и 9а—б вполне можно ограничиться случаем к < 1, поскольку, очевидно,

для всех фигур F и всех разномерностей n = 1, 2, 3, ... Задачи 8а —9а обобщают как задачу 2, так и задачи 1 — 1' — 1'' и 4—5. В самом деле, в принятых нами обозначениях

где j (r) — рассматриваемая в задаче 2 числовая функция, а символ Кр, как всегда, означает круг; с другой стороны, фигурирующие в задачах 1—l'—1" числа j = j2, J (Ш) = J3 (Ш) ( = j3 (Ш) и Jn (Ш) ( = jn (Ш) равны первым, большим единицы, значениям функций j2 (к, Кр) = j2 (k, Кр), j3 (k, Ш) = J3 (k, Ш) и jn (k, Ш) = J (k, Ш), где Кр означает круг, Ш — (трехмерный или n-мерный) шар, а фигурирующие в задачах 4 и 5 числа j (F) и J (F) равны первым, большим единицы, значениям функций j (к, F) и J (к, F). Но поскольку нерешенными являются даже задачи, составляющие частный случай задач 8а и 9а, то трудно, разумеется, рассчитывать на полное решение и этих последних задач, хотя здесь возможны отдельные частные результаты. Так, например, очевидно, что для случая n = 1, где вообще существует единственная выпуклая фигура — «одномерный круг» или отрезок Отр, задачи 8а и 9а совпадают между собой и решение их составляет труда (но, увы, также и не представляют особого интереса), Здесь, как легко видеть,

где символом [х] обозначена целая часть числа х, т. е. [х] — целое число, такое, что х = [х] + ψ, где 0 ⩽ ψ <1. Другими словами, если обозначить рассматриваемую функцию просто через j1 (к) (= J1 (к)), то

(почему?).

С друг ой стороны, нетрудно, например, видеть, что

где буквы Кв, как всегда, обозначают квадрат (рис. 27), и эти же значения, видимо, имеет также функция j2 (к, Кв), хоть последнее и труднее доказать строго. Аналогично можно установить, что

где буквы Тр обозначают равносторонний треугольник (рис. 28; докажите эти утверждения о функциях J2 (к, Кв) и j2 (к, Тр)).

[Заметим, что

(рис. 29); мо-

Рис. 27

Рис. 28 Р ис. 29

жете ли вы продолжить функцию J2 (к, Тр) в область к < 1/2 ?].

Нетрудны также задачи определения функций Jn (к, К) и jn (k, С), где К n-мерный куб (обыкновенный куб при n =3) и С — правильный симплекс (правильный тетраэдр при n = 3); решение этих задач мы предоставляем читателю. Наконец, заметим, что «первые значения» функций j3 (k, Ш) (=J3 (k, Ш) и fп (k, Ш) (=Jn (k, Ш) таковы:

(докажите это самостоятельно); однако имеющаяся на сегодняшний день дальнейшая информация об этих функциях ничтожна1.

Трудно также надеяться на то, что скоро будет найден точный ответ на вопросы задач 8б и 9б, хотя первые оценки величин jn (к) и Jn (k) возникают сразу. Так, например, очевидно, что

где F — какая угодно (n-мерная, выпуклая) фигура.

1 Некоторые сведения о поведении функции j3 (k, Ш) при малых k читатель может найти в гл. VII книги [6]; по поводу функций jn (k, Ш) и Jn (k, С) см. книгу [7].

Следующие задачи являются в определенном смысле «двойственными» задачам 8 и 9 (ср. выше задачи 2 и 3).

Задачи 10а и 11а. Даны (выпуклая; плоская, пространственная или n-мерная) фигура F и число к > 0; требуется найти наибольшее число I, соответственно i, такое, что внутрь F можно поместить I непересекающихся подобных F фигур f1, f2, ..., fI или i непересекающихся подобных F и параллельно F расположенных (т. е. гомотетичных F) фигур f1, f2, ... fi, каждая из которых не меньше фигуры F , подобной F с коэффициентом подобия к.

Задачи 10б и 11б. Дано число к; требуется указать наибольшее число I, соответственно i, такое, что в каждую (выпуклую, плоскую, пространственную или n-мерную) фигуру F можно заключить I подобных F фигур f1, f2, ..., fI, или i гомотетичных F фигур f1, f2, ..., fi, каждая из которых не меньше фигуры F , подобной F с коэффициентом подобия к.

Фигурирующие в задачах 10а—б и 11 а—б числа уместно обозначить через In(k, F) и In(k), соответственно in (к, F) и in (к), где n — (фиксированная!) размерность фигуры F и вмещающего ее пространства. При этом, разумеется, можно считать к < 1, поскольку, очевидно,

для всех фигур F и всех значений n, а

Можно также считать, что n ⩾ 2, поскольку, как легко видеть,

Обсуждение задач 10—11 и, в частности, определение функций i2 (k, Кв) (а также in (k, К)), I2 (к, Тр) (а также Iп (k, С)) мы предоставляем читателю; заметим только, что при любом n ⩾ 1

(докажите это)1, где, конечно, i1 (k, Ш) — это функция i1 (k, Отр), a i2 (k, Ш) — функция i2 (k, Кр).

1 Некоторые связанные с задачами 10—11 оценки, относящиеся к случаю малого k, читатель может извлечь из материала книг [6] и ]7].

§ 8. Покрытия и заполнения кругами и шарами

Возможны также и иные обобщения задач 1—1'—1".

Задача 12. Дана плоская фигура F; требуется определить наименьшее возможное число к = к (F) кругов кр1, кр2, крк, каждый из которых не превосходит фиксированного круга Кр (или при другой постановке задачи, впрочем, очень близкой к первоначальной, каждый из которых меньше круга Кр), такое, что этими к кругами можно полностью покрыть фигуру F (рис. 30, а).

«Двойственная» задача здесь такова:

Задача 13. Дана плоская (выпуклая) F; требуется определить наибольшее число К = К (F) неперекрывающихся кругов, не меньших (или в другой постановке задачи больших) фиксированного круга Кр, которые можно поместить внутрь F (рис. 30, б).

Комментарий. Задачам 12 и 13, а также их (совершенно естественным) стереометрическим и многомерным аналогам (в которых круги, разумеется, заменяются шарами) посвящена обширная литература. Можно даже сказать, что это — основные задачи так называемой дискретной геометрии (см. книги [6] и [7]). Сами эти задачи можно понимать по-разному. Естественным является, например, тот вариант, когда фигура F считается твердо фиксированной, а радиус r круга Кр — переменным. В этом случае искомые величины к и X обращаются в функции r:

(ср. с задачами 2 и 3 из § 1 гл. I). Именно так понимаются задачи 12 и 13 в книгах [61 и [71; из содержащегося в этих книгах обширного материала мы укажем здесь лишь на возможности модификации условий основных задач 12—13 и на один весьма частный, но простой и поэтому впечатляющий результат.

Задачи 12 и 13 очень близки к следующим двум задачам:

Задача 12'. Дана плоская фигура F и число r > 0; требуется указать наименьшее возможное число к ~ к (r) = к (r, F) точек A1, A2, ..., Ак, которые можно расположить в области F так, чтобы расстояние от каждой точки области F до ближайшей к ней из точек A1, A2, ... не превосходило r (см. рис. 30, а; здесь можно говорить, например, о таком расположении торговых точек A1, A2, ... в городе F, что расстояние от любого пункта города до ближайшей к этому пункту торговой точки не превосходит r).

Задача 13 . Дана плоская (выпуклая) фигура F и число r > 0; требуется определить наибольшее возможное число λ = λ (r) = λ, (r, F) точек B1, B2, ..., Вλ, которые можно расположить в области F так, чтобы расстояние между каждыми двумя из этих точек было не меньше 2r (см. рис. 30, б; здесь можно говорить о наибольшем возможном числе К фруктовых

деревьев B1, B2, ... в саду F, где условие ВkВl > 2r определяется агрономическими требованиями, предъявляемыми к посадке деревьев).

Теорема. Пусть F — отличная от круга Кр область; тогда

(так, например, если область F можно покрыть 40 единичными кругами, то в ней нельзя уместить более 29 неперекрывающихся единичных кругов; ясно, что при F = Кр имеем λ (F) = к (F) = 1).

Укажем еще, что, например,

Рис. 30

где квадрат Кв и правильный треугольник Тр описаны вокруг круга радиуса 1, а равносторонний треугольник Тр, напротив, вписан в единичный круг (почему?). Рекомендуем читателю попытаться самостоятельно продолжить эти таблицы значений функций λ (r, Кв), λ (r, Тр) и и (r, тр). [Все, не превосходящие 9 значения функций λ2 (г, Кв) и λ3 (r, К), rде Кв и К — единичные квадрат и куб, а функция λ3 (r, F) определяется аналогично введенной выше функции λ = λ2, но для пространственных тел F были в 1965—1966 гг. вычислены канадским геометром Дж. Шаером.]

Иной подход к задачам 12 и 13 таков. Рассмотрим некоторое множество фигур F и попытаемся оценить фигурирующие в задачах 12 и 13 числа и и λ, отвечающие произвольным фигурам рассматриваемого множества. Так, например, мы можем считать все рассматриваемые фигуры F выпуклыми и как-то ограничить (или задать точно) одну (или несколько) из следующих основных численных характеристик фигуры; площадь S; периметр Р; диаметр D; ширина h; радиус описанного круга R; радиус вписанного круга r. Понятия площади и периметра выпуклой фигуры F (длины ограничивающей F линии Г) известны из средней школы; смысл же других характеристик фигуры F таков:

1. Диаметром F называется наибольшее расстояние между точками фигуры F (рис. 31, а; диаметр можно также

Рис. 31

определить как наибольшее из расстояний между параллельными опорными прямыми фигуры F — ср. рис. 31,а и рис. 5,а на стр. 131);

2. Шириной фигуры F называется ширина самой узкой из заключающих F полос (рис. 31, б; полосой называется часть плоскости, заключенная между двумя параллельными прямыми);

3. Описанным вокруг F кругом называется наименьший круг из числа тех, которые заключают F внутри себя (рис. 31, в; описанный круг фигуры обязательно единствен);

4. Вписанным в фигуру F кругом называется наибольший из заключенных внутри F кругов (рис. 31, г; вписанных кругов фигура может иметь много).

Задачами оценки чисел и по известной величине, скажем, площади S или периметра Р фигуры F в 50-е годы нашего века занимался известный немецкий геометр Ханфрид Ленц. Мы здесь не остановимся на этих задачах. Ограничимся следующим простым вопросом, иллюстрирующим интересующий нас круг проблем.

Задача. 14. Чему может быть равно число и (Тр), где Тр — треугольник диаметра 1 (т. е. треугольник, наибольшая сторона которого равна 1)?

Решение. Пусть Тр = ABC; стороны треугольника ABC обозначим, как обычно, буквами а, b, с, где ВС = а = 1 — наибольшая сторона треугольника. Ясно, что если треугольник Тр — тупоугольный или прямоугольный, то построенный на стороне ВС = 1 как на диаметре круг кр1 полностью покроет треугольник Тр (рис. 32, а, б); поэтому здесь к (Тр) = 1. Если же треугольник Тр = ABC — остроугольный, то построенный на стороне ВС как на диаметре круг кр1 полностью треугольник Тр не покроет (рис. 32, в); поэтому здесь и (Тр) > 1, поскольку кр1 есть единственный круг диаметра ⩽ 1, полностью покрывающий сторону ВС треугольника Тр.

Обозначим теперь точки пересечения окружности окр круга кр1 со сторонами AB и АС треугольника Тр через C1 и B1. Из прямоугольных треугольников АСC1 и АВB1 с острым углом ∠ВАС =А (заметим, что вписанные в окружность окр углы СC1В и ВB1С опираются на диаметр этой окружности!) следует,

1 Ясно, что расстояние между параллельными опорными прямыми фигуры F, соприкасающимися с контуром фигуры соответственно в точках А и В, не может превосходить расстояния АВ, т. е. не может быть больше диаметра D фигуры. С другой стороны, если Р и Q — наиболее удаленные друг от друга точки фигуры F (т. е. PQ = D) и l1||l2⊥PQ (см. рис. 31,а), то F целиком лежит внутри ограниченной l1 и l2 полосы (ибо каждая точка вне этой полосы удалена от Р или от Q набольшее PQ = В расстояние); таким образом, существуют такие параллельные опорные прямые фигуры F (а именно l1 и расстояние между которыми равно D.

Рис. 32

Поэтому треугольник АB1C1 = тр подобен Тр, причем коэффициент подобия этих треугольников равен cosA, Отсюда вытекает, что диаметр d описанного вокруг тр круга кр2 равен D cos А, где D — диаметр круга, описанного вокруг треуголь ника Тр. Но в силу теоремы синусов

и, следовательно,

А так как ∠А ⩾60° (ибо противолежащий наибольшей стороне ВС = а угол А является наибольшим углом треугольника Тр, а все три угла треугольника не могут быть меньше 60°, так как сумма этих трех углов равна 180° = 3»60°!), то

Поэтому треугольник Тр оказывается возможным покрыть двумя кругами кр1 и кр2, диаметр каждого из которых не превосходит 1,

Итак, окончательно имеем

1, если треугольник Тр — тупоугольный или прямоугольный;

2, если треугольник Тр — остроугольный.

§ 9. Задача Грюнбаума, проблема Лебега и гипотеза Борсука

Перейдем теперь к сформулированной выше общей задаче об описании множеств чисел и (F) и к (F) (мы для конкретности будем здесь говорить о числах к (F)), отвечающих выпуклым фигурам F, заданная численная характеристика которых имеет определенное значение, например значение 1.

Задача 15. Какие значения может принимать наименьшее возможное число х (F) кругов диаметра 1, достаточное для того, чтобы этими кругами можно было полностью покрыть плоскую (выпуклую) фигуру F:

а) единичного диаметра (соответствующее множество чисел и (F) мы обозначим через D);

б) единичной ширины (соответствующее множество чисел X (F) обозначим через h);

в) единичного диаметра описанного круга (множество R чисел к (F));

г) единичного диаметра вписанного круга (множество r чисел к (F))?

Комментарий. Задача 15 требует полностью описать множества D, h, R и r натуральных чисел: каждой фигуре F отвечает свое число к (F) и множество D, например, состоит из чисел к (F), отвечающих всевозможным (выпуклым) фигурам единичного диаметра. Таким образом, ответами на вопросы задач 15а) — г) служат не числа, а множества чисел. Ясно, что множество R состоит из единственного числа 1: R={1}

(роль покрывающего F круга кр1 в этом случае может играть описанный вокруг F круг); множества же h и r содержат сколь угодно большие (целые) числа. Таким образом, интерес здесь представляет лишь задача описания множества D.

При решении этой задачи нам понадобится следующая вспомогательная (но интересная также и сама по себе) задача.

Задача 16. Найти наименьший

а) квадрат;

б) правильный треугольник;

в) правильный шестиугольник;

г) круг,

внутрь которых можно заключить каждую плоскую (выпуклую) фигуру F диаметра 1.

Решать эту задачу мы будем в последовательности а) — в) — б) — г).

Решение: а) Рассмотрим две (ограниченные парами параллельных прямых) взаимно перпендикулярные полосы, внутри которых содержится фигура F (рис. 33; под направлением полосы мы понимаем направление ограничивающих ее прямых). Начнем теперь двигать ограничивающие первую поло-

су прямые l1 и l2, не меняя их направлений и уменьшая расстояние между ними до тех пор, пока обе эти прямые не «упрутся» в фигуру F (т. е. не станут опорными для F; ср. стр. 14); затем поступим так же с ограничивающими вторую полосу прямыми m1 и m2. Таким путем мы получаем «описанный вокруг F» прямоугольник Пр со сторонами l1', m1', l2', m2' при этом обе стороны этого прямоугольника ⩽1, поскольку диаметр F равен 1, а диаметр — это наибольшее из расстояний между параллельными опорными прямыми выпуклой фигуры. Теперь нам остается лишь заменить стороны прямоугольника параллельными им прямыми, удаленными от центра прямоугольника точно на расстояние 1/2, и мы получим содержащий F квадрат Кв со стороной 1.

Итак, каждую фигуру диаметра 1 можно заключить в единичный квадрат. С другой стороны, круг диаметра 1 нельзя, очевидно, поместить в меньший квадрат, откуда следует, что ответ на вопрос задачи а) доставляет квадрат Кв со стороной 1.

в) Аналогично решению задачи а) начнем с того, что рассмотрим три заключающие F внутри себя полосы, образующие между собой углы 120°, а затем сблизим ограничивающие каждую полосу прямые, сделав их опорными для F. Таким путем мы получим (единственный!) «описанный вокруг F» шестиугольник ш = ABCDЕF с углами в 120°, «первая» сторона AB = l1 которого образует с выбранным на плоскости «началом отсчета углов» (с заданным лучом е) определенный угол a0 (рис. 34).

Обозначим разность AB — DE через р. Эта разность зависит от угла а между AB =l1 и е, задающего направления сторон ш; она является функцией угла а, и мы можем писать р = f (а). Пусть, скажем, AB >DE, так что

Будем теперь «поворачивать» шестиугольник ш, непрерывно меняя а и каждый раз рассматривая описанный вокруг F шес-

Рис. 33

Рис. 34

тиугольник ш = ш (а) = ABCDEF, сторона AB = l1 которого образует с е именно этот угол ос. При изменении а будут меняться длины сторон шестиугольника ш, а следовательно, и разность А В — DE = р = f (а). Заметим теперь, что когда а о заменится на a0 + 180°, мы придем к тому же шестиугольнику ш, что и раньше; только роль «первой» стороны l1 его будет теперь играть сторона CD, а роль противоположной ей стороны — AB, так что

Таким образом, при переходе от значения a0 угла а к его значению a0 + 180° величина р меняет знак. А так как при малых изменениях а также и разность р = f (a) меняется мало, т. е. р есть непрерывная функция от ос, то, переходя от положительных значений к отрицательным, эта функция должна где-то в промежуточной между a0 и a0 + 180° точке принять значение 0 (см. рис. 35, изображающий вымышленный график функции р = f (а))1. Таким образом, вокруг F можно описать такой шестиугольник ш с углами в 120°, что две противоположные стороны AB и CD этого шестиугольника равны.

Заметим теперь, что расстояние между любыми двумя противоположными сторонами шестиугольника ш — расстояние между двумя параллельными опорными прямыми фигуры F диаметра 1—заведомо не превосходят 1. Сдвинем каждую из сторон шестиугольника ш параллельно самой себе во вне (по отношению к F) так, чтобы расстояния между противоположными сторонами полученного шестиугольника Ш (также заключающего F внутри себя!) были точно равны 1; при этом условимся сдвигать каждые две противоположные стороны ш на одно и то же расстояние. Мы утверждаем, что также и в полученном шестиугольнике Ш = abcdef противоположные стороны равны ab = de. В самом деле, поскольку (рис. 36) стороны AF и DC мы сдвинули до положения A1Fl, соответственно D1C1 на одно и то же расстояние, то ВA1 = ED1 (ибо АA1 = DD1); далее, поскольку ВC1 и EF1 мы сдвинули до положения B1c и E1f на одно и то же расстояние, то A1B1 = E1D1.

Рис. 35

1 См., например: Р. Курант и Г. Роббинс. Что такое математика? М., «Просвещение, 1967, § 5 и 6, гл. VI (ср, также § 2 книги [9]).

Наконец, поскольку A1B1 и D1E1 мы сдвинули до положения ab и de на одно и то же расстояние, то ab = de.

Докажем, наконец, что полученный шестиугольник Ш = abcdef правильный. В самом деле, образованный при продолжении сторон be, de и fa шестиугольника III треугольник Тр = PQR является правильным, поскольку все его углы равны 60°. Поэтому все высоты треугольника Тр имеют одну и ту же длину Н. А так как расстояния между любыми двумя противоположными сторонами Ш имеют одно и то же значение 1, то треугольники Pab, Qed и Ref — это равносторонние треугольники с одной и той же высотой H — 1; поэтому они равны, и значит ab = cd = ef.

Точно так же доказывается, что

be = de = fa,

а так как ab = de, то все стороны шестиугольника Ш с равными углами равны между собой, откуда и вытекает, что III — правильный шестиугольник.

Итак, мы убедились, что каждую фигуру F диаметра 1 можно заключить в правильный шестиугольник Ш, расстояние между каждыми двумя противоположными сторонами которого равно 1 (шестиугольник, диаметр вписанного круга которого равен 1); сторона шестиугольника Ш, очевидно, равна 2 1/2 tg30° = √3/3 (рис. 37). А так как круг диаметра 1 нельзя поместить в меньший правильный шестиугольник, то найденный шестиугольник III и служит ответом на вопрос задачи в).

б) Ясно, что каждую фигуру диаметра 1 можно заключить в изображенный на рис. 37 равносторонний треугольник Тр со стороной

образованный продолжением трех несмежных сторон шестиугольника Ш, ведь F можно заключить уже в шестиугольник Ш! А так как круг диаметра 1 нельзя заключить в меньший Тр правильный треугольник (ибо диаметр вписанного круга

Рис. 36

треугольника Тр равен 1), то этот треугольник и доставляет ответ на вопрос задачи б).

г) Ясно, что в изображенный на рис. 37 круг Кр радиуса √3/3 (этот круг описан вокруг шестиугольника Ш) можно заключить каждую фигуру F диаметра 1. А так как равносторонний треугольник тр — асе со стороной 1 (см. рис. 37; этот треугольник имеет диаметр 1) нельзя заключить в меньший Кр круг, то круг Кр и доставляет нам ответ на вопрос задачи г).

Комментарий. Задача 16 связана с вопросом об универсальных покрытиях, т. е. фигурах, которыми можно покрыть все фигуры того или иного фиксированного класса фигур. Знаменитый французский математик Анри Лебег еще в 1914 г. поставил задачу о нахождении наименьшего по площади (или наименьшего по периметру) универсального покрытия всех фигур1 диаметра 1; эта проблема Лебега до сих пор еще не решена. [Если обозначить площадь фигуры Ф через S (Ф), то, очевидно,

Рис. 37

1 В проблеме Лебега можно и не требовать выпуклости F; переход к случаю выпуклых фигур осуществляется заменой фигуры F ее выпуклой оболочкой F*, имеющей тот же диаметр, что и F (см., например, стр 44 книги [9]; диаметр произвольной фигуры — это наибольшее расстояние между ее точками).

где Кв, Тр, Ш и Кр — участвующие в задачах 16 а), б), в) и г)

фигуры;

Теперь мы можем вернуться к задаче 15.

Решение задачи 15 а. Мы уже знаем (см. решение задачи 14), что число и (F), где F — выпуклая фигура диаметра 1, может равняться 1 и 2. Нетрудно указать и такую фигуру F диаметра 1, что к (F) = 3. Пусть, например, F — это треугольник Релло Р диаметра 1, т. е. фигура, образованная пересечением трех единичных кругов кр1, кр2 и кр3 с центрами в вершинах равностороннего треугольника ABC со стороной 1 (рис. 38; диаметр Р равен 1, ибо 1 равно расстояние от каждой вершины треугольника ABC до любой точки противолежащей этой вершине круговой дуги, ограничивающей фигуру Р1). Ясно, что если никакой из покрывающих фигуру Р кругов кр1, кр2, ... единичного диаметра не покрывает сразу двух вершин треугольника АВС, то общее число покрывающих Р кругов будет не меньше трех (по числу вершин треугольника АВС; см. рис. 38,а), Если же некоторый круг кр1 единичного диаметра покрывает сразу и вершину А и вершину В треугольника ABC, то, очевидно, отрезок AB служит диаметром этого круга; при этом не покрытой кругом кр1 остается заштрихованная на рис. 38,б, фигура, которую нельзя всю покрыть од-

Рис. 38

1 Относительно дальнейших свойств фигуры Р см., например, § 7 книги [9],

ним кругом кр2 диаметра 1. В самом деле, если круг кр2 покрывает и точку С и сколь угодно близкие к А точки дуги АС, не покрытые кругом кр1, то его диаметр должен совпадать с АС. Но в таком случае круги кр1 и кр2 не покрывают целиком фигуру Р, и чтобы завершить ее покрытие, необходим еще один круг кр3. Таким образом,

к (Р) =3

(два разных варианта покрытия фигуры Р тремя кругами крх, кр2 и кр3 единичного диаметра показаны на рис. 38, а и б). Докажем теперь, что

для каждой фигуры F единичного диаметра; отсюда уже будет следовать, что множество D содержит всего три числа 1, 2 и 3:

D ={1,2, 3}.

Для доказательства неравенства к (F) ⩽ 3 можно воспользоваться результатом задачи 16 в). Соединив центр О заключающего фигуру F внутри себя шестиугольника Ш = abcdef со стороной с тремя несмежными вершинами Ш, мы разобьем Ш на три ромба Рб1 = аЪсО, Рб2 = cdeO и Рб3 = efaO со стороной √3/3 и тупым углом в 120° (рис. 39). Диаметр такого ромба (длина его наибольшей диагонали) равен 1 (ибо на рис. 39 ).

Легко видеть, что три круга кр1, кр2 и кр3, построенные на отрезках ас, се и еа как на диаметрах (описанные круги ромбов Рб1, Рб2 и Рб3!), полностью покрывают шестиугольник Ш, а значит, и заключенную внутри III фигуру F, т. е. каждую плоскую фигуру диаметра 1 можно покрыть тремя кругами единичного диаметра.

Единственным обобщением задачи 15а служит

Задача 17. Охарактеризовать множество Dn всевозможных чисел Kn (F), отвечающих всем n-мерным фигурам единичного диаметра; здесь размерность n фигуры F считается известной (но произвольной), а через Kn (F) обозначено наименьшее воз-

Рис. 39

можное число (n-мерных) шаров ш1, ш2, ..., шк единичного диаметра, которыми можно покрыть фигуру F.

Ясно, что D1 = {1} (почему?), a D2 — есть фигурирующее выше множество D = (1, 2, 3}, так что интерес представляют лишь множества Dn, где n > 3. При этом наименьшее из входящих в любое из множеств Dn число есть, разумеется, 1. (кп (F) = 1, например, если F — это и-мерный шар); поэтому основной интерес представляет определение наибольшего числа Kn ∈ Dn (запись Kn ∈ Dn читается так: Kn есть элемент множества Dn).

Задачу определения числа Kn можно также сформулировать так:

Задача 17'. Указать наименьшее возможное число Kn (n-мерных) шаров ш1, ш2, ... диаметра 1, которыми можно покрыть любое n-мерное тело F диаметра 1. В таком виде эта задача была поставлена в 1961 г. известным геометром Бранко Грюнбаумом. Грюнбаум предположил, что

(А)

Гипотеза Грюнбаума обязана своим происхождением близости с известной гипотезой Борсука (высказанной в 1933 г. польским математиком Каролем Борсуком), согласно которой каждое n-мерное тело можно покрыть n + 1 телами меньшего диаметра; эта гипотеза (ей уделено много места в книгах [1], [3], [5] и [2], особенно в двух последних) до сих пор еще никем не доказана (но и не опровергнута). Доказан предположенный К. Борсуком результат пока лишь для n = 2 (самим Борсуком в 1933 г.) и для n = 3 (англичанином Г. Эглстоном, венгром А. Хеппешом и Б. Грюнбаумом в 1957 г.). При этом самое простое доказательство гипотезы Борсука для плоских фигур основывается на результате задачи 16 в (найдите его!). Б. Грюнбаум знал, что аналогично доказывается и равенство К2 = 3 (результат задачи 15 а); впервые этот результат был получен в 1956 г. уже упоминавшимся выше Х. Лендом). Кроме того, он полагал, что предложенная им для доказательства трехмерного варианта гипотезы Борсука конструкция может быть использована для доказательства равенства К3 = 4 (то, что это на самом деле так, показала в 1967 г. болгарка П. Качарова-Каранова).

Предположение Грюнбаума было сформулировано в вышедшем в свет в 1963 г. английском оригинале обзора Л. Данцер, Г. Грюнбаум, В. Кли [3]. Однако из опубликованного в 1968 г. русского перевода того же обзора гипотеза (А) уже была исключена; к 1968 г. стало известно, что в общем случае равенство (А) места не имеет. А именно в 1965 г. немецкий геометр Людвиг Данцер показал, что

(В)

А так как при n = 2632 мы имеем

то во всяком случае при n = 2632 (и тем более при n > 2632)

(при n < 2632 имеет место обратное неравенство (1,003)n < n + 1). Поэтому предположение (А) Грюнбаума не выполняется1 во всяком случае для всех n > 2632.

Л. Данцер сумел также оценить число Kn и с другой стороны, доказав, что для любой (n-мерной) фигуры F диаметра 1

(В)

Это неравенство является довольно грубым. Так, при n = 2 оно дает лишь

в то время как на самом деле имеет место даже неравенство k2 (F) ⩽ 3. При n = 3 неравенство (В) утверждает, что

а мы знаем, что всегда k3 (F) ⩽ 4. Однако перед гораздо более простым неравенством (А) неравенство (В) имеет то бесспорное преимущество, что в противоположность неравенству (А) оно во всяком случае верно.

* * *

Мы рассмотрели несколько десятков задач, относящихся к области комбинаторной геометрии. Некоторые из них были весьма простыми; однако все они при попытках их обобщения сразу же приводили к очень сложным проблемам или даже к таким, которые сегодня не умеет решать никто. Выбор рассмотренных в этой брошюре задач является довольно случайным. С равным основанием мы могли бы избрать какую-либо иную тему из числа тех, которые входят в круг интересов комбинаторной геометрии, скажем, тему о прикладывании одних фигур к другим или о точках пересечения (выпуклых) фигур. В настоящее время, когда комбинаторная геометрия еще только складывается как самостоятельное научное направление, труд-

1 Уточнив свои рассуждения, Л. Данцер сумел показать, что Kn > n + 1 уже при всех n > 12. Таким образом, равенство (А) заведомо верно при n = 2 и n = 3 и неверно при n > 12; что же касается значений Kn в интервале 4 ⩽ n ⩽ 12, то для них вопрос о верности или неверности гипотетического равенства Грюнбаума (А) остается пока открытым.

но сказать, какой круг вопросов займет в ней более важное, а какой—менее важное место. Сегодня под комбинаторной геометрией понимается просто конгломерат разнообразных геометрических задач, как правило, совершенно элементарных по постановке вопросов, но зачастую весьма сложных по методам их решения. Наша цель состояла лишь в том, чтобы дать некоторое представление о характере этих задач. Читателя же, более глубоко заинтересовавшегося тем новым направлением математической мысли, которому посвящена эта брошюра, мы можем отослать к указанной на следующей странице литературе, предупредив, однако, о том, что ни в одной из названных нами книг и статей он не найдет ни исчерпывающего «определения» комбинаторной геометрии, ни полного обзора относящихся к ней проблем, которых пока нет и не может быть, ведь построение задания комбинаторной геометрии далеко еще не закончено.

ЛИТЕРАТУРА

Книги по комбинаторной геометрии

1. Г. Хадвигер, Г. Дебруннер. Комбинаторная геометрия плоскости. М., «Наука», 1965.

2. В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. М,, «Наука», 1965.

3. Л. Данцер, Б. Грюнбаум, В. Кли. Теорема Хелли и ее применение. М., «Мир», 1968.

4. И. М. Яглом. Как разрезать квадрат? М., «Наука», 1968.

5. В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части. М., «Наука», 1971.

Книги и статьи по дискретной геометрии

6. Л. Ф. Тот. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. М., Физматгиз, 1958.

7. К. А. Роджерс. Укладки и покрытия. М., «Мир», 1968.

8. Е. П. Барановский, Упаковки, покрытия, разбиения и некоторые другие расположения в пространствах постоянной кривизны. — В сб.:«Итоги науки». Серия «Математика», Вып. 16. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967. М., 1969, стр. 189—225.

Литература по разным вопросам геометрии, содержащая некоторые результаты из комбинаторной геометрии

9. И. М. Яглом, В. Г. Болтянский. Выпуклые фигуры. М. — Л., Гостехиздат, 1951.

10. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. Избранные задачи и теоремы планиметрии. М., «Наука», 1967.

11. Д. О, Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. М., «Наука», 1970.

12. Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. М., Гостехиздат, 1956.

13. В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. Выпуклые фигуры и тела. Энциклопедия элементарной математики, кн. V. Геометрия М. «Наука», 1966, стр. 181—269.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 3

Введение . ................... 4

Глава I Теорема Гохберха-Маркуса.......... 8

§ 1. Несколько задач о кругах........... 8

§ 2. Постановка общей задачи........... 12

§ 3. Решение задачи................ 17

§ 4. Стереометрические задачи........... 22

§ 5. Обратимся к n-мерному пространству...... 26

Глава II Варианты и обобщения........... 33

§ 6. Не обязательно гомотетичны — просто подобны 33

§ 7. Одно обобщение основных задач........ 40

§ 8. Покрытия и заполнения кругами и шарами . . 45

§ 9. Задача Грюнбаума, проблема Лебега и гипотеза Борсука.................. . . 50

Литература . .................... 60

Яглом Исаак Моисеевич

О КОМБИНАТОРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Редактор В. Иваницкий Художник обложки Л. П. Ромасенко Худож. редактор В. Конюхов Техн. редактор Г. Самсонова Корректор В. Гуляева

А 01861. Сдано в набор 11/VI 1971 г. Подписано к печати 5/VIII 1971 г. Формат бумаги 60х90/16. Бумага типографская № 3. Бум. л. 2,0. Печ, л. 4,0. Уч.-изд. л. 3,32. Тираж 46 510 экз. Издательство «Знание», Москва. Центр, Новая пл., д. 3/4. Заказ 2500. Набрано во 2-й типографии изд-ва «Наука». Отпечатано в типографии Всесоюзного общ-ва «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4, зак, 1722. Цена 12 коп.

УВАЖАЕМЫЕ ТОВАРИЩИ!

Возможно, вас заинтересует подписная серия «Космонавтика, астрономия». Из ее брошюр можно будет узнать о самых новейших достижениях и проблемах в области космонавтики и астрономии. В 1972 году в этой серии к выпуску, в частности, запланированы следующие работы:

Амбарцумян В. А., академик. ЯДРА ГАЛАКТИК И ИХ АКТИВНОСТЬ.

Белоцерковский О. М., доктор физико-математических наук. КОСМОС И ОБРАЗОВАНИЕ.

Жарков В. Н., доктор физико-математических наук. ВНУТРЕННЕЕ СТРОЕНИЕ ЗЕМЛИ, ЛУНЫ И ПЛАНЕТЫ.

Новокшонов Ю. И., кандидат технических наук. ЧЕЛОВЕК И АВТОМАТИКА В ОСВОЕНИИ КОСМОСА.

Раушенбах Б. В., член-корреспондент АН СССР. НАВИГАЦИЯ НА КОСМИЧЕСКОМ КОРАБЛЕ.

Севастьянов В. И., летчик-космонавт СССР и Урсул А. Д., доктор философских наук. КОСМИЧЕСКАЯ ЭРА: ОБЩЕСТВО И ПРИРОДА.

Харадзе Е. К., академик Грузинской ССР. НАША ГАЛАКТИКА.

Хозин Г. С, кандидат исторических наук. КОСМОНАВТИКА- НАРОДНОМУ ХОЗЯЙСТВУ.

15 ЛЕТ КОСМИЧЕСКОЙ ЭРЫ.

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ КОСМОНАВТИКИ. СБОРНИК.

ПОДПИСАВШИСЬ НА СЕРИЮ «КОСМОНАВТИКА, АСТРОНОМИЯ», ВЫ БУДЕТЕ ПОЛУЧАТЬ ЕЕ БРОШЮРЫ ПРЯМО НА ДОМ, ТАК ЖЕ, КАК ГАЗЕТЫ И ЖУРНАЛЫ. В СЕРИИ — 12 НОМЕРОВ. СТОИМОСТЬ ГОДОВОЙ ПОДПИСКИ — 1 РУБ. 08 КОП. ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВСЕМИ ОТДЕЛЕНИЯМИ СВЯЗИ.

В КАТАЛОГЕ «СОЮЗПЕЧАТИ» СЕРИЯ «КОСМОНАВТИКА, АСТРОНОМИЯ» РАСПОЛОЖЕНА В РАЗДЕЛЕ «НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЕ ЖУРНАЛЫ» ПОД РУБРИКОЙ «БРОШЮРЫ ИЗДАТЕЛЬСТВА «ЗНАНИЕ», ИНДЕКС 70101.

Издательство «Знание»

12 коп.

Индекс 70098

Уважаемые товарищи!

СООБЩАЕМ, ЧТО В 1972 ГОДУ В ПОДПИСНОЙ СЕРИИ «МАТЕМАТИКА, КИБЕРНЕТИКА» В ЧИСЛЕ 12 БРОШЮР К ВЫПУСКУ ЗАПЛАНИРОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:

Гнеденко Б. В., академик АН УССР. Архитектура современной математики.

Гладкий А. В., доктор физико-математических наук. Математическая лингвистика.

Семенов А. Н., кандидат экономических наук и Португал Б. М., кандидат технических наук. Теория расписаний.

А. Пуанкаре (биографический очерк).

Математики о математике. Сборник.

Современные проблемы кибернетики. Сборник.

ВЫПИСЫВАЙТЕ! ЧИТАЙТЕ! СЕРИЮ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫХ БРОШЮР «МАТЕМАТИКА, КИБЕРНЕТИКА». В КАТАЛОГЕ «СОЮЗПЕЧАТИ» ОНА РАСПОЛОЖЕНА В РАЗДЕЛЕ «НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЕ ЖУРНАЛЫ» ПОД РУБРИКОЙ «БРОШЮРЫ ИЗДАТЕЛЬСТВА «ЗНАНИЕ», ИНДЕКС 70096.

ПОДПИСКА ПРИНИМАЕТСЯ ВСЕМИ ОТДЕЛЕНИЯМИ СВЯЗИ.

Издательство «Знание»