СЕРИЯ

Новое в жизни науке технике

математика кибернетика

1968

10

И. М. ЯГЛОМ

геометрия точек и геометрия прямых

И. М. ЯГЛОМ,

доктор физико-математических наук, профессор

ГЕОМЕТРИЯ ТОЧЕК И ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»

Москва 1968

517.5 Я-29

2-2-3

ПРЕДИСЛОВИЕ

За последние годы концепция Клейна, согласно которой геометрия изучает инварианты той или иной группы геометрических преобразований, приобрела известную популярность в нашей учебной литературе по математике; она обсуждалась неоднократно в книгах и статьях, рассчитанных на учащихся и преподавателей средней школы (см. список литературы на стр. 43—44). Однако при этом зачастую забывается, что одним лишь указанием группы преобразований никакая ветвь геометрии еще не выделяется,— наряду с этим надо указать также и «образующий элемент» геометрии: однородное (клейновское) пространство задается указанием группы автоморфизмов и ее стационарной подгруппы (ср. ниже, стр. 35—42). Забвение этого обстоятельства приводит иногда к досадным недоразумениям: автор сам когда-то долго не мог понять встреченного в научной литературе утверждения о том, что проективная геометрия является одной из неэвклидовых геометрий Кэли—Клейна (это утверждение подразумевает, что за образующий элемент проективной геометрии на плоскости принята пара «точка + прямая», о чем читатель не был своевременно предупрежден). И настоящая брошюра, возникшая из прочитанной некогда московским школьникам лекции, ставит своей целью разъяснение той роли, которую играет в геометрии понятие «образующего элемента».

Самым трудным в брошюре, видимо, явится ее заключительный параграф, в известном смысле суммирующий содержание

брошюры. Возможно, что некоторым читателям будет полезно перед чтением §5 ознакомиться с указанной на стр. 44 книгой П. С. Александрова [17].

Рукопись настоящей брошюры была внимательно прочитана В. Г. Болтянским, которого я рад поблагодарить за советы и замечания. Я благодарен также М. С Королевой за помощь, оказанную мне при изготовлении эскизов чертежей.

И. М. Яглом

Москва, январь 1968 г.

§ 1. ГЕОМЕТРИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Содержание каждой науки можно описать, указав те объекты, которые эта наука рассматривает, и те свойства этих объектов, которые изучаются в рамках интересующей нас науки. При этом изучаемые той или иной наукой свойства всегда представляют собой только часть весьма многообразных свойств реальных объектов. Так, рассматриваемые в физике «физические свойства» тел касаются их масс, приложенных к ним сил, скоростей и ускорений движения, в котором участвует тело, и совсем не касаются внутреннего строения тела, элементов, из которых тело состоит: последнее относится уже к области химии, а не физики. Аналогично этому, скажем, натуральные числа первоначально возникли как характеристики произвольных (но конечных!) наборов каких-то предметов; однако математика интересует лишь одно свойство подобных наборов — число входящих в набор предметов: на пути отказа от изучения всех других свойств и возникла арифметика, игнорирующая все данные о совокупностях объектов, не связанные с числом индивидуальных объектов, входящих в данную совокупность. Последний пример очень удобен тем, что он позволяет понять характер условий, выделяющих ту или иную совокупность свойств, представляющих интерес с точки зрения определенной научной дисциплины. Для того чтобы понять, какие именно свойства нас интересуют, достаточно указать, какие свойства не представляют для нас интереса, нами отбрасываются. В случае с натуральными числами такими свойствами явились все те, которые не состоят в указании числа предметов рассматриваемой совокупности или не связаны с характером этого числа: так, например, возможность разбиения совокупности предметов на две равные по численности части интересует математика, а возможность разбиения ее на две равные по весу части его нисколько не касается. Другими словами, любые две совокупности предметов, содержащие одно и то же число предметов (например, совокупность пяти стульев в классе и совокупность пяти слонов в зоопарке), с нашей точки зрения следует считать одинаковыми или равными: все интересующие нас свойства одной совокупности присущи также и второй. При этом

одинаковыми или равными эти совокупности являются только с рассматриваемой здесь точки зрения; во всех других отношениях они отличаются одна от другой весьма значительно, что, впрочем, совсем не касается математика, рассматривающего каждую совокупность предметов лишь с чисто арифметической ее стороны.

Теперь нам уже нетрудно ответить и на вопрос о содержании геометрической науки. Для того чтобы эту науку охарактеризовать, необходимо указать объект исследования и совокупность подлежащих изучению свойств. Относительно объекта исследования мы скажем пока только, что им являются всевозможные пространственные тела или — в особенно интересующем нас в настоящей брошюре планиметрическом случае — плоские фигуры; более подробную расшифровку термина «плоская фигура», весьма тесно связанную с нашей основной темой, мы отложим до следующего параграфа. Что же касается рассматриваемых в геометрии свойств плоских фигур, то свойства эти полностью характеризуются тем, какие фигуры мы считаем одинаковыми, обладающими одними и теми же свойствами, равными. В геометрии, как известно, равными называются такие две фигуры, которые можно совместить при помощи движения. Под движением же в геометрии понимается такое геометрическое преобразование δ, переводящее каждую точку А плоскости в новую точку А' = δ (А), которое сохраняет расстояния между точками: если А' = δ (А) и B' = δ (В), то А'В' = AB (рис. 1)1. Таким образом, можно сказать, что геометрия изучает такие свойства фигур, которые присущи как данной фигуре F, так и всем равным ей фигурам, или — и эта последняя формулировка будет нам особенно полезной,— что геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при всевозможных движениях.

Определение геометрии как науки, изучающей свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, идет от знаменитого

Рис. 1

1 Запись А' = δ (А) подчеркивает близость понятия геометрического преобразования понятию функции: если функция f сопоставляет каждому (числовому!) значению переменного х новое число у = f (x), то преобразование («геометрическая функция») δ сопоставляет точке А новую точку A'=δ (A).

Ф. Клейна1, который это определение значительно обобщил. Прежде всего Клейн заметил, что на самом деле подавляющая часть задач и теорем, рассматриваемых в элементарной геометрии, такова, что в них не различаются между собой не только равные, но даже подобные фигуры. Две фигуры F и F' называются подобными, если они отличаются только своими размерами: форма фигуры F' совпадает с формой фигуры F, однако все размеры фигуры F' в k раз больше (или — при k < 1 — меньше соответствующих размеров фигуры F. В более точной формулировке последнее утверждение означает, что между точками фигуры F' и точками фигуры F можно установить такое взаимнооднозначное соответствие, что если А' и В' — точки фигуры F, а А и В — отвечающие им точки фигуры F, то А'В' = k*AB; можно также охарактеризовать подобные фигуры F и F' тем, что если А, B, С и D— какие угодно четыре точки фигуры F, а А', В', С' и D' — отвечающие им точки фигуры F', то

(рис. 2, а), последнее вытекает из того, что

Эквивалентная этому формулировка гласит, что фигура F в том и только в том случае подобна фигуре F', если F' может быть получена из F преобразованием подобия. Под преобразованием подобия здесь понимается такое геометрическое преобразование я, которое изменяет все расстояния в постоянном отношении k (называемом коэффициентом подобия) или которое сохраняет отношение расстояний: если преобразование n переводит точки А, В, С и D в точки А' = л (А), В' = л (В), С = л (С) и D' = л (D), то

(см. тот же рис. 2, а).

Примером преобразования подобия с коэффициентом подобия k может служить гомотетия у с коэффициентом (на рис. 2, б фигура F' получается из фигуры F гомотетией с положительным коэффициентом): это преобразование переводит каждую точку А плоскости в такую точку А' = у(А) прямой OA (где О — фиксированный центр гомотетии), что

1 Феликс Клейн (1849—1925) — знаменитый немецкий математик и педагог, автор ряда выдающихся работ, относящихся и к геометрии, и к алгебре, и к (математическому) анализу; много занимался также вопросами преподавания математики в средней и в высшей школе.

(здесь учитывается и знак отрезков: отрезки OA' и OA—считая от О к A и соответственно от О к А'—направлены в одну сторону при k положительном и в разные стороны при k отрицательном). Более того, любое преобразование подобия в известном смысле сводится к гомотетии: если я—преобразование подобия с коэффициентом подобия k, переводящее фигуру F в фигуру F', а у—гомотетия с коэффициентом k (и каким угодно центром О!), переводящая ту же фигуру F в фигуру F1, то я можно представить как гомотетию у, сопровождаемую некоторым движением δ (переводящим фигуру F1 в равную ей фигуру F'). Это утверждение формулируют еще и так: произвольное преобразование подобия я представляет собой произведение гомотетии у и движения δ:

(см. рис. 3, на котором преобразование подобия я переводит точку А фигуры F в точку А' = я (А) фигуры F', гомотетия у переводит точку А в точку A1 = у (А) фигуры F1, а движение δ совмещает точку A1 с точкой А' = δ (A1); преобразование δ яв-

Рис. 2

ляется движением, поскольку фигуры F1 и F' равны: каждая из них в k раз больше фигуры F).

Мы так подробно остановились здесь на вопросе о строении преобразований подобия, учитывая фундаментальную роль этих преобразований в геометрии; нам хотелось также сказать о важном понятии произведения преобразований. Основная роль преобразований подобия в геометрии связана с тем, что размеры фигур, определяемые сравнением расстояний между точками фигуры с наперед выбранной «единицей длины», например с метром, сантиметром или дюймом, на самом деле обычно в геометрических теоремах не учитываются. Таким образом, одинаковыми или «равными» для геометра чаще всего являются подобные фигуры, имеющие одинаковую форму, но, быть может, различные размеры; из этой неразличимости подобных фигур исходит учитель, когда предлагает учащимся «точно» воспроизвести изображенный им на доске чертеж, который, разумеется, без подобного уменьшения никак не уместился бы в ученических тетрадях. Однако в некоторых задачах и теоремах геометрии подобные между собой фигуры приходится считать различными (так обстоит дело во всех тех случаях, когда мы фиксируем единицу измерения длин, например при измерении площадей фигур в заданных квадратных единицах); это обстоятельство подчеркивается тем, что школьный курс геометрии начинается с признаков равенства треугольников, которые не имели бы смысла, если бы мы не различали между собой подобные фигуры.

Рис. 3

Таким образом, в некоторых вопросах геометрии рассматриваются те свойства фигур, которые сохраняются при движениях; другие, более обычные, постановки задач и условия теорем тесно связаны с соглашением о том, что предметом геометрии является изучение тех свойств геометрических фигур, которые сохраняются при преобразованиях подобия1. Эти соображения лежат в основе более общей концепции Ф. Клейна, который предложил фиксировать какую-нибудь совокупность G преобразований и принять изучение свойств геометрических фигур, сохраняемых всеми преобразованиями данной совокупности G, за определенную ветвь геометрии (так сказать, «подчиненную» совокупности преобразований G).

При таком общем определении геометрии мы вынуждены будем считать «одинаковыми» или «равными» любые две фигуры, переводимые одна в другую преобразованием из совокупности G. Однако для того, чтобы введенное таким образом понятие «равенства фигур» было осмысленным, необходимо, чтобы для него выполнялись следующие три условия, которые справедливы для всех без исключения типов «равенства», встречающихся в математике, в других науках, в обыденной жизни (равенства чисел, алгебраических выражений, расстояний, углов, векторов, геометрических фигур; равенства сил, скоростей, ускорений, напряжений электрического или магнитного поля, потенциалов, теплопроводностей, валентностей, калорийностей; равенства способностей, успеваемости, храбрости, художественных или иных достоинств, успехов, ловкости или хитрости и т. п.) и которые, собственно говоря, определяют саму возможность употребления термина «равенство»2:

А. Каждая фигура F «равна» сама себе (рефлексивность);

Б. Если фигура F «равна» фигуре F1, то и обратно, фигура F1 «равна» фигуре F (симметричность);

1 Можно сказать, что школьный курс геометрии складывается из рассмотрения двух разных (хотя и близких одна к другой) ветвей геометрии (их можно назвать «геометрией движений» и «геометрией подобий»), рассматривающих свойства фигур, сохраняющиеся при движениях, и свойства фигур, сохраняющиеся при преобразованиях подобия. [Различие этих двух «геометрий» хорошо иллюстрируется, например, тем фактом, что в то время, как в «геометрии движений» единственными линиями, устроенными в каждой своей точке одинаково (линиями, допускающими «скольжения по себе»), являются прямые и окружности, в «геометрии подобий» к их числу добавляются еще так называемые логарифмические спирали (ср. с задачей 234, а) книги [4].]

2 Последнее утверждение апеллирует к следующему общепринятому в математике определению: равенством (или, как чаще говорят, «эквивалентностью»), определенным на некотором множестве А объектов, называется любое заданное на А «бинарное отношение» (т. е. отношение, связывающее некоторые пары объектов из А), обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

В. Если фигура F «равна» фигуре F1, а фигура F1, в свою очередь, «равна» фигуре F2, то и фигура F «равна» фигуре F2 (транзитивность).

Ясно, что в случае совершенно произвольной совокупности G преобразований определенное с помощью этой совокупности «равенство» может и не обладать свойствами А — В. Для того чтобы обеспечить выполнение этих трех свойств, естественно потребовать, чтобы

А'. Совокупность G содержала «тождественное преобразование» е, переводящее каждую фигуру F саму в себя;

Б'. Наряду с каждым преобразованием φ, переводящим фигуру F в фигуру F1, и совокупность G содержала «обратное ф» преобразование ф-1, переводящее каждую фигуру F1 в ту фигуру F, из которой получается F1 при преобразовании φ (рис. 4, а);

В'. Наряду с каждыми двумя преобразованиями φ и гр, переводящими фигуру F в фигуру F1, и соответственно фигуру F, в фигуру F2, совокупность G содержала бы и «произведение» ifxp этих двух преобразований, переводящее каждую фигуру F в фигуру F2r получающуюся из F при применении последовательно сначала φ, а затем ч|э (рис. 4, б).

Совокупность преобразований, удовлетворяющая свойствам А — В, называется группой преобразований. Таким образом, мы приходим к следующему общему определению геометрии, впервые сформулированному Ф. Клейном в лекции II], которую он прочитал в 1872 г. при вступлении на философский факультет университета в Эрлангене (Германия)1 и которая

Рис. 4

1 В те годы для занятия профессорской кафедры в университете в Германии требовалось прочесть публичную лекцию на выбранную самим кандидатом на должность профессора тему; на основании этой лекции совет профессо-

впоследствии получила название Эрлангенской программы Клейна:

Геометрия — это наука, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при преобразованиях некоторой группы G преобразований.

Из этого определения вытекает, что можно построить много разных «геометрий» — столько, сколько имеется разных групп преобразований; лишь одной из них является обычная геометрия Эвклида, изучаемая в средней школе1. Выбирая в качестве G группу преобразований, отличную от группы движений (или от группы преобразований подобия), мы придем к иной геометрической схеме, к новой «не эвклидовой» геометрии. В настоящей брошюре мы не ставим своей целью дальнейшее развитие этой точки зрения и анализ получаемых на таком пути «геометрий» (по этому поводу см., например, книги [3] и [4] и статью [2]), однако это общее определение геометрии по Клейну полезно иметь в виду при изучении последующих параграфов настоящей брошюры.

§ 2. ГЕОМЕТРИИ С РАЗНЫМИ ОБРАЗУЮЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ; ПОНЯТИЕ О ЛИНЕЙЧАТОЙ ГЕОМЕТРИИ

Согласно Эрлангенской программе Клейна каждая геометрия задается указанием группы G преобразований, действующих в некоторой области А (например, на плоскости или в трехмерном пространстве), в которой и строится наша геометрия; предмет геометрии составляет изучение тех свойств фигур области А, которые не разрушаются преобразованиями из G. Однако на самом деле такое описание всевозможных геометрий является еще не совсем полным.

Для простоты мы далее будем считать, что рассматриваемая область А, представляющая собой «поле действия» нашей геометрии, совпадает с обычной плоскостью, так что эта геометрия составляет раздел планиметрии. В таком случае те фигуры, свойства которых мы изучаем,— это всевозможные фигуры плоскости: окружности и треугольники, круги и прямые линии, а может быть, и какие-нибудь иные геометрические образы, не встречавшиеся в школьном курсе геометрии. Однако все эти фигуры можно рассматривать с единой точки зрения — как совокупности или множества точек: так, окружность

ров университета выносил решение о том, достойно ли данное лицо быть про фессором университета. (Числа в квадратных скобках отсылают читателя к списку литературы в конце брошюры).

1 Любопытным примером совсем иной «геометрии» может служить векторная алгебра, изучающая свойства направленных отрезков (отрезков с фиксированным направлением обхода отрезка «от начала к концу»), или векторов, сохраняющихся при параллельных переносах (ибо «одинаковые» или «равные» векторы — это направленные отрезки, получающиеся один из другого параллельным переносом).

с центром О и радиусом r можно определить как множество таких точек М, что ОМ = r (рис. 5, a), a круг с тем же центром и радиусом — как множество таких точек N, что ON < r; отрезок AB представляет собой множество таких точек М, что AM + MB = AB (рис. 6, б), а прямая AB состоит из отрезка AB и двух лучей, один из которых представляет собой множество таких точек N, что AN — BN = AB, а второй — множество таких точек Р, что BP — АР = AB (см. тот же рис. 5, б); угол АОВ (понимаемый здесь как часть плоскости) представляет собой множество таких точек М, что ∠МОА < ∠ВОА и ∠МОВ < ∠АОВ (рис. 5, в; обычно к углу причисляют также два луча OA и OB); треугольник ABС можно определить как множество точек, принадлежащих хотя бы одному из трех отрезков: AB, ВС или CA, или как множество точек, одновременно принадлежащих трем углам: ВАС, АСВ и СBА (рис. 5, г) и т. д. И во всем школьном курсе геометрии мы всегда именно так понимали смысл выражения «геометрическая фигура».

Это понимание термина «геометрическая фигура» выдвигает на передний план такой простой геометрический образ, как точка; все остальные рассматриваемые в геометрии объекты считаются просто совокупностями (множествами) точек. В частности, как совокупность точек мы рассматриваем и прямую (рис. 5, б). Но хорошо известно, что прямая занимает в геометрии

Рис. 5

почти столь же важное место, как и точка; так, аксиомы геометрии, на базе которых строится вся эта наука, описывают свойства точек и прямых («через две точки А и В можно провести прямую, и притом только одну»; «через точку А, не принадлежащую прямой а, можно провести единственную прямую, не пересекающую а» и т. д.). Правда, прямую в геометрии чаще всего задают двумя ее точками, но ведь и точку весьма часто приходится определять указанием двух проходящих через эту точку прямых; понятие отрезка AB, т. е. пары точек А и В (и всех точек прямой AB, лежащих между А и В; рис. 6, а), играет в геометрии роль, сходную с ролью понятия угла, т. е. пары (пересекающихся) прямых а и b (и всех прямых, проходящих через «точки а и b» и в определенном смысле лежащих «между а и b»; рис. 6, б); треугольник можно задать указанием трех его вершин: А, В и С (которые не должны принадлежать одной прямой; рис. 6, в) или заданием трех его сторон: а, b и c (которые не должны пересекаться в одной точке; рис. 6, г) и т. д. И с точки зрения этой близости понятий «точка» и «прямая» может показаться не совсем оправданным то предпочтение, которое мы отдаем понятию точки, когда строим из точек все без исключения геометрические фигуры — в том числе и прямую.

Сказанное выше приводит к мысли, что за основной элемент геометрии можно принять не только точку, но и прямую линию; при этом все фигуры (в том числе и точку!) придется рассматривать как совокупности или множества прямых. Так, точку А мы теперь отождествим с пучком прямых с центром А, другими словами — с совокупностью всех проходящих через А прямых m (рис. 7, а); угол со сторонами a, b

Рис. 6

определим просто как пару прямых а, b или как совокупность всех таких проходящих через точку пересечения а и b прямых m, что ∠ (m, а) < ∠ (а, b) и ∠ (m, b)< ∠ (а, b) (см. выше рис. 6, б); под отрезком AB мы условимся понимать множество всех пересекающих этот отрезок прямых (рис. 7, б), а под треугольником ABC — тройку прямых а = BC, b = CA и c=AB (сторон рассматриваемого треугольника) или совокупность всевозможных прямых, пересекающих хоть один из отрезков AB, ВС и АС, т. е. совокупность всех прямых, пересекающих контур треугольника; окружность мы будем рассматривать как множество касающихся этой окружности прямых (рис. 7, в), а круг — как совокупность всех пересекающих круг прямых (рис. 7, г) и т. д. Этот новый взгляд на сущность понятия «геометрическая фигура» можетпоказатьсядовольнонеожиданным,—но он не менее допустим, чем обычный взгляд на фигуру как множество точек.

Новый взгляд на сущность понятия «геометрическая фигура» приводит к тому, что весьма многие знакомые нам из школьного курса геометрии понятия и предложения трансформируются совершенно неожиданным образом. Так, например, периметр треугольника ABC — это есть, сумма длин отрезков AB, ВС и CA; поэтому при новом понимании понятия «треугольник» естественно считать, что роль «периметра» треугольника (может быть, здесь уместнее было бы говорить о «периметре трехсторонника»?) со сторонами a, b и с играет сумма углов ∠(а, b) + ∠(b, с) + ∠(с, a); если условиться считать углы «направ-

Рис. 7

ленными», т. е. отвечающими совмещающему первую сторону угла со второй повороту первой стороны угла в направлении, обратном направлению вращения часовой стрелки, то понимаемый так «периметр» любого треугольника окажется равным 2д (или 360°; см. рис. 8). Далее длина s окружности S определяется как предел, к которому стремится сумма длин отрезков A1A2, A2A3, An-1An, AnA1, когда число точек А1, А2, ..., Аn-1, An окружности неограниченно возрастает, а длины всех отрезков A1A2, A2A3, ...,Аn-1Аn, AnAn+1 неограниченно уменьшаются (рис. 9, а). Аналогичный процесс, примененный к той же окружности S, но теперь понимаемой как совокупность своих касательных, приводит к идее о том, чтобы заменить «длину» о окружности приближенно равной этой «длине» суммой углов ∠(a1, a2) + ∠(a2, a3) + ... + ∠(an-1, an) + ∠ (an, a1), где а1, а2, an — касательные окружности S, каждые две соседние из которых достаточно близки одна к другой (рис. 9, б). Но в таком случае приходится заключить, что «длина» а любой окружности S (независимо от величины радиуса окружности!) равна 2я (см. тот же рис. 9, б, где, очевидно, ∠(а1, a2) = ∠A1OA2, ∠(а2, a3)= ∠A2OA3, .... ∠(an, a1) = ∠AnOA1).

Можно поставить также задачу определения «площади» Σ треугольника ABC, понимаемого как множество всех пересекающих его контур прямых, или «площади» круга, также понимаемого как множество прямых (см. выше рис. 7, г). Эта задача приводит к неожиданным и нетривиальным результатам; поэтому на ней мы остановимся более подробно.

Начнем с того, что отрезок AB, понимаемый как множество всех пересекающих AB прямых, также будет иметь положительную «площадь» ΣAB. При этом мы говорим не о «длине», а о «площади» отрезка потому, что с точки зрения развиваемой

Рис. 8 Рис. 9

здесь «геометрии прямых» (или, как говорят чаще, «линейчатой геометрии»), отрезок AB будет представлять собой «двумерную фигуру»; два его «измерения» (так сказать, «длина» и «ширина»)— это обыкновенная длина d отрезка, указывающая, в каких пределах может изменяться точка пересечения с прямой AB переменной прямой а, и угол A, указывающий, в каких пределах может изменяться «наклон» ∠ (а, AB) = а прямой а; если принять, что прямая AB горизонтальна и что ∠ (а, AB) — это угол между направленным вверх лучом прямой а и лучом AB, то 0 < а < я; поэтому можно считать, что «ширина» А любого отрезка равна я. Эту «площадь» 2ля отрезка AB мы и определим в первую очередь.

Ясно, что «площадь» Пав отрезка AB должна представлять собой некоторое положительное число, сопоставляемое отрезку AB:

(1)

Важно заметить еще, что двум равным отрезкам AB и А'В' сопоставляется одно и то же число:

(2)

В самом деле, ведь «отрезки» AB и АВ', понимаемые как множество пересекающих AB, соответственно А'В', прямых, одинаковы или равны в смысле «линейчатой геометрии», в основе которой, как и в основе обычной «точечной геометрии», лежит группа движений плоскости; поэтому «площади» этих отрезков никак не могут отличаться одна от другой. Кроме того, если отрезок AB разбит точкой С на две части АС и СВ, то

(3)

— это следует из того, что множество прямых, пересекающих отрезок AB, складывается из множества прямых, пересекающих АС, и множества прямых, пересекающих СВ (рис. 10, а)1.

Заметим теперь, что условия (1), (2) и (3) — это в точности те условия, которые определяют длину отрезка (см., на-

1 Правда, множество прямых, пересекающих АС, и множество прямых, пересекающих СВ, имеют общую часть — множество прямых, проходящих через точку С; однако это обстоятельство не нарушает справедливости нашего рассуждения. Дело в том, что множество прямых, проходящих через точку С, имеет уже только одно «измерение» (определяемое углом, образованным проходящей через С прямой а с прямой АВ); поэтому «площадь Σ этого множества прямых будет равна нулю и ее можно не учитывать. Здесь мы поступаем подобно тому, как при подсчете (обычной) площади многоугольникам, который зачастую приходится разбивать некоторой ломаной Г на два многоугольника M1 и M2 (рис. 10, б) и считать площадь M равной сумме площадей многоугольников M1 и M2: ведь эти два многоугольника также имеют общую «часть» Г; однако поскольку Г — это («одномерная»!) линия, то ее площадь равна нулю и при суммировании площадей многоугольников M1 и M2 площадью линии Г можно пренебречь.

пример, книгу [5]). Отсюда уже следует, что наша «площадь» ΣAB должна совпадать с (измеренной в какой-то системе единиц!) длиной отрезка AB (в смысле обыкновенной, «точечной» геометрии). Это нетрудно и доказать. Пусть Е — «единичный» отрезок, т. е. такой, «площадь» ΣE которого принимается равной 1, AB = а — произвольный другой отрезок. Если а и Е имеют общую меру е, которая n раз укладывается в отрезке Е и m раз — в отрезке а = AB (рис. 11, а), то, в силу условий (2) и (3) и так что ~ = т. е. «площадь» Σа равна длине m/n отрезка а, измеренной в единицах Е. Если же отрезки а и Е несоизмеримы, то мы можем для любой сколь угодно малой части е = —Е отрезка Е найти таких два последовательных целых положительных числа m и m +1, что m-е = AB1 < AB = а и (m + 1)-е = АB2 > AB s а (см. рис. 11,6); приэтом будем иметь

(для вывода этих соотношений нам уже понадобятся все три условия (1), (2) и (3)!), откуда также следует, что

т. е. что «площадь» Σа отрезкам равна его длине, измеренной в единицах Е.

Так как единицы измерения длин отрезков и их «площадей» мы можем выбирать произвольно, то можно, в частности, условиться считать, что «площадь» Σа отрезка а равна его удвоен-

Рис. ю

ной длине:

(4)

Это условие равносильно тому, что за «единичный» отрезок Е мы принимаем отрезок, длина которого равна 1/2 единицы длины.

Пусть теперь Т — фигура, образованная всевозможными прямыми, пересекающими треугольник ABC со сторонами AB = с, ВС = а и CA = b (рис. 12; здесь a, b, с — не прямые, а отрезки). Найдем «площадь» ΣT этой фигуры. Через (а, b) обозначим множество прямых, пересекающих стороны а и b треугольника ABC, а через Σcb — «площадь» этого множества прямых; аналогичный смысл будут иметь символы Σac и Σbс. Так как множество пересекающих отрезок а прямых состоит из двух частей (а, b) и (а, с), то

(5,а)

аналогично

(5,б) (5,в)

Складывая три последних равенства, без труда получаем

(8)

(ибо множество пересекающих треугольник ABC прямых состоит из трех частей (а, b), (а, с) и (b, с)). Таким образом, мы заключаем, что «площадь» ΣT треугольника АБС равна его (обычному) периметру.

Точно так же доказывается, что «площадь» ΣM любого выпуклого многоугольника M равна его периметру. А так как круг можно приближенно заменить (вписанным в него) выпуклым многоугольником с большим числом сторон, то и «площадь» ΣK круга К, понимаемого как множество пересекающих круг прямых (рис. 7, г), оказывается равной длине ограничивающей круг

Рис. 11 Рис. 12

окружности S. (Этому же равна и «площадь» ΣS окружности S, понимаемой как множество всех пересекающих S прямых.) И, более того, для любой выпуклой кривой у (т. е. такой замкнутой кривой, которую каждая прямая пересекает не более чем в двух точках; см. рис. 13) ее «площадь» ΣY в линейчатой геометрии равна длине этой кривой.

Мы не станем здесь развивать глубже линейчатую геометрию плоскости; остановимся лишь на кратких выводах из сказанного. Мы видим, что в рамках обычной планиметрии Эвклида могут быть построены две совершенно различные геометрические дисциплины — «точечная геометрия» и «линейчатая геометрия»; рассматриваемые в одной из них фигуры представляют собой множества точек, а в другой — множества прямых линий. Возвращаясь теперь к обсуждавшейся в § 1 общей концепции Клейна, согласно которой геометрия задается указанием «поля действия» А и группы преобразований G, мы приходим к необходимости пополнить это описание еще указанием «образующего элемента» £ рассматриваемой геометрии; в случае геометрии на плоскости таким образующим элементом может служить точка, прямая линия, окружность фиксированного радиуса r, произвольная окружность и т. д. Это уточнение Эрлангенской программы Ф. Клейна, согласно которой разные «геометрии» могут отличаться одна от другой не только отвечающими им группами «движений» G или полями действия А, но и образующими элементами, было, по существу, хорошо известно еще Ф. Клейну.

Окончательно мы приходим к следующей точке зрения (см. также ниже § 5). Изучаемая нами геометрия развивается в некоторой области А (на плоскости, в трехмерном пространстве и т. д.), рассматриваемой как множество «образующих элементов» £ (точек, прямых, плоскостей трехмерного пространства, окружностей, сфер и т. д.). Под «фигурой» нашей геометрии понимается произвольное множество элементов I; «равными фигурами» называются такие множества F1 и F2 образующих элементов, которые могут быть переведены одно в другое преобразованием из заданной заранее группы преобразований G (преобразования из G играют в нашей «геометрии» роль «движений»). При этом естественно потребовать, чтобы любые два образующих элемента ^ и ^2 были «равны» между собой («одинаковы») в смысле рассматриваемой геометрии, т. е. чтобы они переводились один в другой преобразованием из G; в противном случае придется считать, что мы имеем не одну-единственную совокупность элементов £, а два множества, состоящих из элементов разной природы (например, множество точек и множество прямых линий).

Рис. 13

В том случае, когда область А совпадает с обычной плоскостью, а группа G образуется всевозможными движениями плоскости, множества точек, прямых, окружностей фиксированного радиуса r и т. д. удовлетворяют этому последнему условию; поэтому точки, прямые, окружности радиуса r могут быть приняты за образующие элементы геометрии, представляющей собой раздел планиметрии Эвклида. Множество же всех вообще окружностей этому условию не удовлетворяет (ибо не всякие две окружности равны между собой),— и поэтому задача построения геометрии на плоскости, роль образующего элемента которой играет произвольная окружность, а равенство фигур определяется как обычно, является довольно бессодержательной. (В противоположность этому осмысленной является задача построения «геометрии окружностей», полем действия которой является множество всех окружностей плоскости, а «равенство» фигур определяется как их подобие.) Таким образом, «группа движений» © должна действовать на множестве образующих элементов : каждое «движение» g должно «переставлять» определенным образом эти образующие элементы, причем так, чтобы любой образующий элемент g можно было некоторым «движением» перевести в любой другой элемент £11.

§ 3. СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И НЕЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ РИМАНА; ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ

Результаты, о которых говорится в предыдущем параграфе, принимают особенно красивый (и особенно симметричный) вид при перенесении их в сферическую геометрию — настолько красивый, что трудно удержаться от соблазна здесь об этом рассказать. Под сферической геометрией (см. например, указанные в списке литературы статью [8] и книги [9] и [10]) понимают геометрическую систему, «полем действия» которой является поверхность сферы, а под «движениями» понимаются всевозможные вращения трехмерного пространства вокруг центра О сферы (очевидно, переводящие поверхность сферы в себя). Роль «прямых» на поверхности сферы играют «большие окружности», получаемые в пересечении сферы с проходящей

1 По-другому вышесказанное можно пояснить так. Имеется группа преобразований ©, действующая в некоторой области А (множество элементов |), и некоторая «фигура» у| (рассматриваемая как принадлежащее А множество тех же элементов £ — подмножество всего множества элементов образующего область А). С помощью группы © «фигура» г) «разносится» по области А, т. е. строятся всевозможные «фигуры» г)г, получаемые из г\ преобразованиями группы ©. Полученное множество элементов г) (точнее — множество «равных» г] элементов %) обозначается через А*, а группа ©, рассматриваемая как группа преобразований, действующая в множестве А*' элементов г),,— через ©*. Таким образом, мы приходим к д в у м геометриям: одна из них определена в области А элементов g и имеет своей «группой движений» группу (Ö; вторая же определена в области А* элементов г\ и имеет «группой движений» ©* (в современной математике геометрия (А*, G) называется ассоциированной с геометрией (А, G).

через ее центр плоскостью (рис. 14, а) — так, например, кратчайшим расстоянием между двумя точками А и В, измеренным по поверхности сферы, является (не большая полуокружности) дуга большой окружности, соединяющая эти две точки. Роль треугольника в сферической геометрии играет «сферический треугольник», образованный тремя дугами AB, ВС и CA больших окружностей (рис. 14, б); роль окружности играет так называемая «малая окружность» — пересечение сферы с не проходящей через центр сферы плоскостью (рис. 14, в): такую окружность можно описать как множество точек сферы, удаленных на одно расстояние р (понимаемое в смысле «кратчайшего расстояния» между точками сферы) от фиксированного «центра окружности» Q.

Периметр и площадь сферического треугольника ABC, понимаемого как множество точек, имеют обычный смысл: периметр Р = ⏝ AB + ⏝ ВС + ⏝ CA есть сумма длин сторон треугольника, а площадь S — это есть обычная площадь части ABC поверхности сферы. Если же перейти в область «линейчатой сферической геометрии», т. е. принять за образующий элемент

Рис. 14

геометрии на сфере «сферическую прямую» или большую окружность, то под «периметром» П треугольника АBС придется понимать сумму углов ∠(а, b) + ∠(b, с) + ∠(с, a) треугольника (см. рис. 14, б, на котором все отмеченные дугами со стрелками углы ∠ (а, b), ∠(b, с)и ∠(а, с) имеют одно и то же направление). [При этом под углом между двумя окружностями здесь, как и всегда, понимается просто угол между касательными к этим окружностям, проведенными в их общей точке — см. несколько ниже рис. 15, а]. Далее под «площадью» Σ треугольника ABC в смысле «линейчатой геометрии сферы» следует понимать «меру» множества всех пересекающих треугольник АБС «сферических прямых» (т. е. больших окружностей); при этом в точности аналогично выводу формулы (6) предыдущего параграфа можно установить, что при определенном выборе единиц измерения длин и «площадей» эта «площадь» 2ABC оказывается равной (обыкновенному!) периметру Рabc треугольника АБС (сумме его сторон):

(7)

Но замечательно, что также и «периметр» Пabc треугольника АБС — сумма его углов (а в противоположность эвклидову случаю этот «периметр» оказывается зависящим от выбора треугольника, а вовсе не одним и тем же для всех без исключения треугольников!) связан с простой характеристикой треугольника в «точечной геометрии» сферы: подобно тому как «линейчатая площадь» 2 треугольника определяется его «точечным периметром» Р, так и «линейчатый периметр» П определяется «точечной площадью» S треугольника (т. е. является функцией S, что можно записать так: П = f (5), Σ = f1(P)).

Доказательство последнего утверждения (в ходе которого будет раскрыт точный характер зависимости величины П от площади S) очень близко к доказательству формулы (7) (или

Рис. 15

формулы (6) из § 2). При выводе формулы (6) мы исходили m выражения (4) для «площади» 2лв отрезка А В; здесь же нам понадобится формула для площади (обыкновенной) Sab угла ∠(а, b). То обстоятельство, что в противоположность «школьной геометрии» в сферической геометрии угол имеет конечную площадь Sab, не может нас особенно удивить — ведь и вся сфера, являющаяся «полем действия» сферической геометрии, имеет конечную площадь 4я/?2 (или 4я, если принять радиус R сферы за единицу, как мы и будем считать в дальнейшем); поэтому на сфере вообще отсутствуют фигуры бесконечной площади (и даже площади, превосходящей 4я).

Нетрудно понять, что площадь Sab угла ∠ (а, b), образованного двумя большими окружностями au b сферы, пропорциональна

величине а угла между а и b: ведь фигура ∠ (а, b) представляет собой пару «ломтей», ширина которых определяется величиной а (рис. 15, а)1. При этом если а = я (здесь и далее мы измеряем углы в радианной мере), то наши два «ломтя» обращаются в две полусферы и заполняют всю сферу; таким образом, если радианная мера угла ∠(а, b) равна я, то Sab = 4я. Отсюда следует, что при выбранных единицах измерения углов и площадей площадь угла на сфере равна учетверенной величине этого угла:

SA = 4A, (8)

где мы теперь обозначаем угол одной буквой А.

Рассмотрим далее треугольник с углами А, В и С (рис. 15, б). Нетрудно убедиться, что сумма шести «ломтей», отвечающих трем углам треугольника, покрывает всю сферу, причем треугольник ABC и треугольник A1B1C1, вершинами которого служат точки, диаметрально противоположные вершинам A, В и С исходного треугольника, покрываются трехкратно (ибо оба этих треугольника входят в состав каждого из «углов» A, В и С, понимаемых как фигуры сферической геометрии), а остальная часть сферы покрывается однократно. А так как площадь всей сферы согласно нашему соглашению равна 4я, то, используя формулу (8), получаем

(9)

Рис. 16

1 Полное доказательство формулы Sab = k ⋅ а (где k — постоянный коэффициент, зависящий от выбора единиц измерения углов и площадей) аналогично выводу формулы (4) (стр. 18—19); мы предоставляем читателю провести его самостоятельно.

Симметричные друг другу относительно центра сферы треугольники ABC и A1BC1 не равны друг другу в смысле сферической геометрии — нетрудно понять, что один из них нельзя совместить с другим никаким вращением сферы. Однако площади этих (симметричных) треугольников равны1:

А теперь из формулы (9) следует:

и, следовательно,

(10)

Но если понимать под (a, b), (b, с) и (а, c) указанные на рис. 18,а углы, то

поэтому, в силу формулы (10),

(11)

Это и есть то соотношение между П и S, которое мы хотели доказать!

Аналогичные формулам (7) и (11) зависимости связывают также «точечные» и «линейчатые» периметр и площадь круга К сферической геометрии (т. е. «сферической шапочки»; см. рис. 17, а). Ясно, что периметр Р# изображенного на рис. 17, а круга К,— длина ограничивающей наш круг окружности s,— равен 2я*NM; если же считать радиус сферы равным 1, так что дуга QM = р — радиус рассматриваемого круга — равна ∠QOM (в радианной мере). Но, очевидно, NM = sin р и, следовательно,

(12)

Далее площадь S к круга К по известной формуле элементарной геометрии равна 2n-NQ. Но так как, очевидно,

1 Для доказательства равенства SABC = SA1B1C1 достаточно выбрать внутри ABC и внутри A1B1C1 точки Q и Qlt равноудаленные (в смысле сферической геометрии!) от вершин одного и второго треугольников (центры описанных вокруг ABC и A1B1C1 окружностей; см. рис. 16). При этом, скажем, равнобедренные треугольники QAB и Q1A1B1 с одинаковыми длинами сторон будут уже равны (их можно совместить движением так, чтобы стороны QA, QB и AB одного треугольника совместились со сторонами СB1, QA1 и B1A1 второго треугольника); аналогично AQBC=AQ1B1C1 и ДQAC = AQ1A1C1. Таким образом, треугольники ABC и A1ВC1 равносоставленны, — т. е. равновелики]

то окончательно имеем

(13)

Перейдем теперь к «линейчатым» характеристикам круга К в сферической геометрии. Что касается «площади» Пк круга К, то в полном соответствии с содержанием § 2 эта «площадь» равна длине окружности s круга:

(14).

«Периметр» же Пк круга К определяется так. Рассмотрим какое-то число n точек A1, A2, An окружности s круга К и касающиеся в этих точках s большие окружности а1, а2, ..., an сферы; в таком случае

(15)

где приближенное равенство является тем более точным, чем большее число n точек (или больших окружностей) мы выбираем и чем ближе друг к другу расположены эти точки на окружности s. На плоскости касающихся в точках A1 и A2 «малой» окружности s больших окружностей a1 и а2 определяются радиусами OA1 и ОA2 сферы и касательными A1T1 и A2Т2 к окружности s в точках A1 и A2 (рис. 17, б); так как A1Т1 ⊥ ОA1 и A2Т2 ⊥ ОA2, то при малом угле A1OA2 (т. е. при малой дуге A1A2 окружности s) угол между этими плоскостями почти равен углу между прямыми A1T1 и A2Т2 (см. рис. 18, а). Отсюда следует, что стоящее в правой части приближенного равенства (15) выражение можно также записать следующим образом:

Рис. 17

где A1T1, A2Т2, . .., AnTn — касательные к окружности s в точках А1, A2, .., An; оно выражает полный угол поворота касательной к окружности s при обносе касательной вдоль всей окружности.

Нетрудно видеть, что угол между касательными A1T1 и A2Т2 примерно равен углу между образующими ZA1 и ZA2 «конуса касательных» к к сфере, соприкасающегося со сферой вдоль окружности s (см. рис. 17, б и рис. 18,б). Таким образом, угол между A1T1 и A2Т2 примерно равен углу A1ZA2, а полный угол поворота касательной AT при обносе касательной вдоль всей окружности s (а этот угол и равен «периметру» Пк круга K!) равен «полному» углу, на который поворачивается образующая ZA конуса к. Последний же угол определить совсем просто: для этого достаточно развернуть конус на плоскость, разрезав его вдоль одной образующей ZA1. При этом мы получим сектор A1ZA1' круга, ограниченный дугой A1A1' = PK (см. рис. 18,б); длина же радиуса ZA1 = r этой дуги равна длине образующей конуса х, совпадающей, как легко видеть из рис. 17„ а и б, с линией тангенса угла QOM = р. Таким образом, r = tgp и, следовательно, полный угол A1ZA1' поворота образующей конуса х в радианной мере равен

Окончательно мы получаем

(16)

откуда в силу того, что

вытекает та же зависимость между П и S, что и в случае треугольника:

(17)

Сравнение формул, связывающих Σ и Р, П и S, становится еще поучительнее, если от сферической геометрии мы перейдем к так называемой неэвклидовой геометрии Римана. Мы уже отмечали большую близость к обыкновенной планиметрии сферической геометрии, в которой можно найти аналоги для почти всех понятий и теорем школьного курса геометрии. Серьезно нарушающим эту близость обстоятельством является лишь то, что в то время, как прямые плоскости не могут

Рис. 18

пересекаться более чем в одной точке, две большие окружности а и b сферы всегда имеют две общие точки (рис. 19, а). Поэтому представляется естественным продиктованное желанием сблизить сферическую геометрию с геометрией на плоскости соглашение о том, что основным «образующим элементом» сферической геометрии является не точка, а сразу пара диаметрально противоположных точек сферы. Таким образом мы, так сказать, «склеиваем» между собой каждые две диаметрально противоположные точки А и A1 сферы; другим образом мы объявляем «полем действия» интересующей нас геометрии не всю сферу, а лишь одну (скажем, нижнюю; рис. 19, б) полусферу а, отождествив еще, кроме того, любые две противоположные точки ограничивающей о окружности. Полученная при этом геометрическая система, которую в соответствии с содержанием § 2 все же лучше всего представлять себе так: «поле действия» А — (полная) сфера; «группа движений» G — группа всевозможных вращений сферы А вокруг ее центра; «образующий элемент» £ — пара диаметрально противоположных точек сферы А, имеет весьма много общего с обыкновенной геометрией Эвклида (и с неэвклидовой геометрией Лобачевского); так как эта близость «геометрии на полусфере» к эвклидовой геометрии была впервые отмечена в 1854 г. Б. Риманом1, то соответствующая геометрическая схема называется неэвклидовой геометрией Римана.

Рис. 19

1 Бернгард Риман (1826—1866) — замечательный немецкий ученый, автор многих первоклассных работ, относящихся к самым разным разделам математики. В 1854 г. Б. Риман выступил перед советом профессоров Геттингенского университета с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», на основании которой совет должен был решить, достоин ли Риман профессорской должности (ср. с подстрочным примечанием на стр. 11—12); эта лекция, во многом обогнавшая свое время, была по достоинству оценена лишь А. Эйнштейном, через 50 лет после смерти Римана. Одним из частных результатов, содержащихся в этой лекции, было указание на существование трех в ряде отношений равноправных геометрических систем: (обыкновенной) геометрии Эвклида, «гиперболической» геометрии Лобачевского и «эллиптической» геометрии Римана.

Переход от сферической геометрии к неэвклидовой геометрии Римана приводит к тому, что «полная площадь» всей области действия рассматриваемой геометрии (т. е. полусферы о) становится равной 2я, а не 4я, как раньше. Заметим теперь, что поскольку область а ограничена, то каждая замкнутая линия у на поверхности о (например, треугольник ABC или окружность s) является границей сразу двух фигур, причем нам нечем мотивировать отнесенные к этим фигурам названия «внутренняя часть у» или «внешняя часть 7». Поэтому уместнее всего здесь будет считать, что треугольник ABC является границей сразу двух «треугольных областей» T и T с площадями Sabc и SABC аналогично этому окружность s разбивает о1 на два «круга» K и K1 площади которых можно обозначить через SK и SК. А так как, очевидно,

то формулы (7) и (11), (14) и (17) можно теперь записать в следующем симметричном виде:

(18)

соответственно

ΣK= РК и PK = SK. (19)

Формулы (18) и (19), свидетельствующие о большой близости «точечной геометрии Римана» и «линейчатой геометрии Римана», могут быть выведены из справедливости в неэвклидовой геометрии Римана так называемого принципа двойственности, в силу которого каждой теореме точенной геометрии Римана отвечает также верная теорема линейчатой геометрии Римана, получаемая из первоначальной теоремы заменой слова «точка» словом «прямая» и соответственно этому — слова «расстояние» словом «угол»; выражения «точечная площадь S» выражением «линейчатая площадь Σ» и т. д. Этот принцип двойственности связан с наличием в неэвклидовой геометрии Римана своеобразного преобразования, сопоставляющего каждой большой окружности а (понимаемой как множество пар диаметрально противоположных точек сферы) пару точек — «полюсов» этой большой окружности, принимаемой за «экватор» сферы. При этом как нетрудно видеть, образующие угол d большие окружности а и b переходят в «точки» А и В неэвклидовой геометрии Римана, расстояние между которыми равно d (см. рис. 20, на котором изо-

Рис. 20

бражено перпендикулярное плоскостям а и ß окружностей а и b сечение сферы), a множество F точек полусферы O1 «точечной площади» SF = D переходит в множество Ф больших окружностей, «линейчатая площадь» ΣФ которого имеет то же значение D:

(20)

На более обстоятельном обсуждении принципа двойственности (некоторые, так сказать, «рудиментарные остатки» которого можно обнаружить и в обычной геометрии Эвклида!1) мы здесь не остановимся; укажем, однако, что этот принцип подчеркивает принципиальное равноправие точек и прямых как «образующих элементов» геометрии.

§ 4. ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ; ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА

До сих пор мы говорили больше об определениях, чем о теоремах,— и это отсутствие содержательных результатов может подорвать у неискушенного читателя веру в ценность излагаемых нами идей. Поэтому мы наметим здесь использующее родственные изложенным выше соображения доказательство одной замечательной теоремы плоской геометрии, теоремы вовсе не очевидной и не имеющей простых доказательств. Эта теорема, называемая обычно изопериметрической теоремой, утверждает, что из всех плоских фигур данного периметра Р наибольшую площадь S имеет круг K, причем тот результат, вывод которого составляет главную цель настоящего параграфа, является еще несколько более сильным, чем сформулированное нами утверждение.

В основе доказательства изопериметрической теоремы будет лежать одна формула, родственная установленному в § 2 настоящей брошюры соотношению

(21)

где 2Y есть «линейчатая площадь» выпуклой линии у, понимаемая как мера множества всех пересекающих у прямых, а Ру — (обычная) длина линии у. Здесь мы примем за «образующий элемент» I рассматриваемой геометрии произвольную дугу кривой (рис. 21); «полем действия» А геометрии будет по-прежнему являться вся плоскость, а роль группы © будет играть группа всех движений плоскости. Пусть теперь у — произвольная дуга какой-то (безразлично какой!) линии; через 2Y (£) мы обозначим

Рис. 21

1 По этому поводу см., например, § 5 гл. II второго тома книги [3].

ее «площадь» в смысле развиваемой здесь геометрии, т. е. меру множества всех пересекающих у дуг £ (каждая из которых должна еще засчитываться столько раз, сколько раз пересекает сна дугу у). В точности аналогично выводу формулы (21) устанавливается, что

(22)

где Ру есть (обычная) длина дуги y, a k (I) — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора «образующего элемента» £ (что подчеркивается самим обозначением этого коэффициента) и от единиц измерения длин Р и «площадей» Σ.

Предположим теперь, что мы варьируем выбор дуги |. Заметим, что «множество подвижных дуг fe, пересекающих неподвижную дугу у», и «множество подвижных дуг у, пересекающих неподвижную дугу по существу изображаются одним и тем же чертежом, только рассматриваемым, так сказать, «с позиции наблюдателя, связанного с дугой 7», и «с позиции наблюдателя, связанного с дугой £». Из этой равноправности дуг £ и у вытекает, что величина 2Y (£) пропорциональна не только длине Ру дуги у, но также и длине Р$ дуги £:

(23)

где коэффициент k теперь зависит лишь от выбора единиц измерения длин Р и «площадей» Σ.

Перейдем теперь к доказательству изопериметрической теоремы. Заметим прежде всего, что интересующая нас замкнутая линия у, отношение квадрата длины Р которой к площади 5 ограниченной ею области Ф нас интересует (мы хотим доказать, что наименьшим это отношение Р2 : S будет в том случае, когда у является окружностью s!), можно с самого начала считать выпуклой: в противном случае мы заменим у ее «выпуклой оболочкой» f (под которой можно понимать форму натянутой

Рис. 22 Рис. 23

на контур у резинки, которая стремится стать возможно более короткой; рис. 22) — ведь длина y, очевидно, меньше длины y, а площадь ограниченной ею фигуры Ф больше площади фигуры Ф, ограниченной исходной линией у. Эту выпуклую линию у (рис. 23) мы примем за ту, которая фигурирует в формуле (23); за £ же мы примем окружность фиксированного радиуса р, от которого потребуем лишь, чтобы он был не больше радиуса R «описанной вокруг y окружности» (окружность наименьшего возможного радиуса, заключающая кривую y внутри себя) и не меньше радиуса r «вписанной в y окружности» (окружность наибольшего возможного радиуса, заключающаяся внутри y; см. рис. 24).

Заметим, что если пренебречь «одномерным»1 множеством касающихся y окружностей £, то каждая другая пересекающая y окружность g будет иметь с y не меньше двух общих точек; поэтому если обозначить через aY (I) меру множества всех пересекающих линию y окружностей g, каждая из которых считается один раз (в то время как согласно определению величины 2у (£) здесь каждая окружность £ засчитывается многократно!), то будем иметь

(24)

С другой стороны, «площадь» аД) множества окружностей £ может быть определена как простая (эвклидова) площадь So множества Фр центров всех этих окружностей: это следует из того, что как «площадь» а множества окружностей g, так и площадь S множества Фр центров этих окружностей определяются одними и теми же условиями, родственными условиям (1)—(3) (стр. 17), определяющими «площадь» Σ и длину Р отрезка2. Поэтому

(25)

— и для того, чтобы найти оу(1), нам достаточно подсчитать площадь Sp области Фр.

Рис. 24

1 Ср. с подстрочным примечанием на стр. 17.

2 См. по этому поводу, например, статью: В. А. Рохлин. Площадь и объем.— Энциклопедия элементарной математики, кн. V. М., «Наука», 1965, стр. 5—87.

Но ясно, что область Фр, заполненная центрами всех пересекающих у окружностей £ радиуса р, представляет собой не что иное, как область, ограниченную «параллельной» у и отстоящей от y на расстояние р линией ур (см. рис. 23)1. Для того чтобы найти площадь Sp этой области, положим, что кривая у является многоугольником; при этом область Фр будет состоять из многоугольника Ф площади S, из ряда прямоугольников ширины р, построенных на сторонах многоугольника у (общая площадь всех этих многоугольников будет равна Рр, где Р — периметр многоугольника у), и из ряда секторов круга радиуса р, вместе составляющих целый такой круг площади яр2 (см. рис. 25). Таким образом, для случая, когда линия у является (выпуклым) многоугольником, получаем:

(26)

А так как произвольная линия у может быть приближена (вписанным в нее) многоугольником, площадь и периметр которого сколь угодно мало отличаются от ограниченной у площади S и от длины Р линии у, то формула (26) сохраняет силу для произвольной (выпуклой) линии у.

Теперь, комбинируя формулы (23) (где еще следует положить Я; = 2яр, поскольку в нашем случае ё есть окружность радиуса р, и писать просто Р вместо Ру), (24), (25) и (26), получаем

(27)

Для того чтобы определить значение входящего в эту формулу коэффициента k, достаточно принять за у окружность радиуса 1. Из неравенств r < р < R в таком случае с неизбежностью следует, что р = 1 ; далее в этом случае S = я и Р = 2л. Кроме того, неравенство (27) в этом случае обращается в равенство, ибо никакая окружность I не пересекает (фиксированную) ок-

Рис. 25

1 Неравенства r < р < R обеспечивают отсутствие «пустот» в заполняемой центрами окружностей | фигуре Фр.

ружность y более чем в двух точках. Поэтому мы имеем

откуда вытекает, что

Таким образом, неравенство (27) можно переписать так:

(28)

Нам будет более удобна несколько иная форма неравенства (28). Поменяем в нем знаки и умножим обе его части на 4я:

Далее дополним правую часть полученного неравенства до полного квадрата, увеличив соответственно этому и левую часть неравенства:

Таким образом, мы имеем

(28')

Теперь нам остается только подставить в неравенство (28') значения р = R и р = r:

(28, а) (28, б)

(так как круг радиуса R содержит выпуклую кривую у длины Я, а круг радиуса r содержится внутри нее, то, очевидно, 2nR > > Р > 2яг). Составив полусумму неравенств (28, а) и (28, б), получаем

(29)

Но (при любых X и у!)

поэтому правая часть неравенства (29) не меньше, чем

и, значит, это неравенство можно переписать так:

(30)

Неравенство (30) мы и хотели получить. Из него следует, что для любой выпуклой кривой у

(31)

таким образом, если периметр (длина) Р кривой у нам известен то площадь S ограниченной этой линией фигуры Ф не может быть больше величины Р2/4я, т. е. площади круга n(^^J2 радиуса р = ^, ограниченного окружностью s длины Р. Но более того, из неравенства (30) следует, что отношение P2:S равно 4л лишь в том случае, когда разность R — r радиусов описанной и вписанной окружностей линии у равна нулю, т. е. когда у сама является окружностью (радиуса R = r). Кроме того, неравенство (30) позволяет оценить разность Р2—4nS, сравнив ее с разностью R — r радиусов описанной и вписанной окружностей кривой у. Именно это обстоятельство мы и имели в виду, rоворя, что полученный нами результат будет даже сильнее изопериметрической теоремы.

§ 5. ОБРАЗУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ КАК СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ

Вернемся теперь к идущей от Ф. Клейна «теоретико-групповой» точке зрения на геометрию, в основе которой лежит «группа движений» G, преобразования которой сохраняют все изучаемые рассматриваемой геометрией свойства геометрических фигур. При этом понятие «образующего элемента» ç нашей геометрии может быть описано следующим образом. Рассмотрим все преобразования g из группы G, оставляющие на месте геометрический образ £ (т. е. переводящие его в себя). Эти преобразования также будут образовывать некоторую группу а преобразований (ибо тождественное преобразование е переводит g в себя; если преобразование g переводит g в себя, то и обратное g преобразование g-1 переводит I в себя; если преобразования g1 и g2 переводят g в себя, то и их произведение g2g1 переводит g в себя). Эта группа будет составлять лишь часть группы $ или, как говорят, являться ее подгруппой; она называется стационарной подгруппой, отвечающей геометрии с данным образующим элементом. (Если подгруппа з состоит из всех преобразований группы G, т. е. все «движения» нашей «геометрии» оставляют «образующий элемент» £ на месте, то область А вообще не будет содержать отличных от единственного элемента g «образующих элементов»; ясно, что подобная «геометрия» будет совершенно бессодержательной.) Так, например, если группа в

состоит из всевозможных движений плоскости1, а элемент £ есть точка, то подгруппа g состоит из всех вращений вокруг £, а если элемент г) есть прямая линия, то подгруппа в состоит из параллельных переносов в направлении m] и центральных симметрии относительно точек прямой т|.

Заметим теперь, что если образующие элементы £ и г\ двух геометрий с одной и той же группой движений G таковы, что отвечающие им стационарные подгруппы одинаковы, то одинаковы и сами рассматриваемые геометрии. Рассмотрим, например, две геометрии, областью действия А которых является плоскость, группа G совпадает с группой движений, а образующими элементами £ и m) являются соответственно точка и окружность фиксированного радиуса а. Ясно, что подгруппа g rруппы G движений, оставляющая на месте точку £, совпадает с подгруппой группы G, оставляющей на месте окружность m) с центром s. Это обстоятельство обеспечивает тождественность геометрии с образующим элементом m) с обычной, «точечной» геометрией. В гео-

Рис. 26

1 Здесь (и всюду дальше) мы под «движениями» понимаем лишь так называемые «собственные движения» (или «движения первого рода»), которые можно осуществить непрерывным перемещением плоскости по себе без ее «переворачивания» (см., например, т. 1, книги [3]).

метрии с образующим элементом m) можно определить все понятия, существующие в «точечной» геометрии: так, роль «прямой» в этой геометрии будет играть заполненная окружностями радиуса а полоса (рис. 26, а); роль «угла» с «вершиной» r)0 — две такие «прямые», имеющие общую окружность m]0 (рис. 26, б); «расстоянием» между двумя окружностями t]1 и rj2 следует назвать расстояние между их центрами или длину общей внешней касательной этих окружностей (рис. 26, в); под «величиной» изображенного на рис. 26, б «угла» следует понимать величину угла между средними линиями соответствующих полос и т. д. При этом все предложения этой «геометрии окружностей» будут полностью совпадать с предложениями обычной (эвклидовой) геометрии: например, здесь также «расстояние» между двумя самыми далекими из трех принадлежащих одной «прямой» окружностей равно сумме двух других попарных «расстояний» между этими окружностями (рис. 26, г); окружность m]о радиуса а, не принадлежащая данной «прямой» /, входит в состав единственной «параллельной» / «прямой» /0, т. е. «прямой», не содержащей общих с / окружностей (рис. 26, д), и т. д. Это тождество rеометрий с образующими элементами | и ц вытекает из возможности отображения одной из этих геометрий на другую: достаточно сопоставить каждой окружности г| радиуса а ее центр £ (или каждой точке I — окружность ц радиуса а с центром £), чтобы каждый образ одной из этих двух rеометрий перешел в соответствующий ему образ второй геометрии, а каждое предложение одной геометрии — в аналогичное предложение другой геометрии.

Совпадение геометрий с одной и той же группой G движений и с одинаковыми стационарными подгруппами вытекает из следующей общей конструкции. Рассмотрим множество всевозможных преобразований группы G как некоторый «геометрический» сбраз, который впоследствии будет играть роль «поля действия» А геометрии с группой движений G. Образующему элементу g нашей геометрии мы сопоставим подмножество элементов группы G, образующее стационарную подгруппу Рассмотрим теперь некоторый другой образующий элемент Ii нашей геометрии. Если g1 — какое-то одно из преобразований группы G, переводящее ê в £i (см. рис. 27, а, где элементы | и £i изображаются точками), то в с е преобразования из G, переводящие £ в £ь образуют множество g1g преобразований; здесь под gß понимается совокупность всех преобразований g1g, где g принадлежит подгруппе д. В самом деле, любое преобразование,

Рис. 27

представимое в виде gfg, переводит £ в £4 (ибо g переводит £ в себя, agi переводит £ в С другой стороны, если преобразование g' переводит £ в £ь a g есть такое преобразование из G, что g' = то g оставляет £ на месте, т. е. принадлежит подгруппе g: ведь если бы g переводило £ в отличный от I элемент то преобразование g' = gig переводило бы £ в элемент £/= gt (g'); но так как êi = gj (£), то не может совпадать с £t.

Таким образом, каждому отличному от £ образующему элементу || нашей геометрии отвечает множество gtQ преобразований из G. Все такие множества:

giδ = {множество всех g1g, где g принадлежит g}

элементов из ®, а также и сама подгруппа з, которую можно записать, например, в виде е§, где е — тождественное преобразование, называются смежными классами группы G по подгруппе

Мы видим, что на языке группы G множество образующих элементов g рассматриваемой геометрии можно описать как множество смежных классов gß группы ® по стационарной подгруппе §. Пусть теперь g' — произвольное преобразование группы G. Рассмотрим два образующих элемента £4 и £2 нашей геометрии, такие, что g' переводит Si в £2 (рис. 27, б), а также отвечающие этим элементам смежные классы g^g и g29« Мы утверждаем, что

g2Q=g'(gi$) (=(g'gi)e)i

—другими словами, что, умножив слева все преобразования из смежного класса gß на преобразование g' (т. е. образовав всевозможные произведения g'g, где g принадлежит смежному классу gjg), мы получим преобразования, принадлежащие смежному классу g2$. В самом деле, так как преобразование g из gi$ переводит g в £ь а преобразование g' переводит £4 в £2, то произведение g'g преобразований g и g' переводит образующий элемент £ в элемент ё2, т. е. принадлежит отвечающему £2 смежному классу g2<j. (Обратно, если преобразование g2 = g'g принадлежит смежному классу g2$, то g принадлежит gß.) Ясно, что полученное таким путем множество ^(^^ преобразований совпадает со смежным классом g2§.

Окончательно мы приходим к следующей геометрической схеме, исчерпывающим образом описывающей рассматриваемую «геометрию». За «поле действия» А нашей геометрии принимается множество G преобразований; роль «образующих элементов» £ играют смежные классы g$ группы G по подгруппе 9 (так что под «геометрическими фигурами» придется понимать множества смежных классов). Роль «движений» нашей геометрии играют преобразования группы G, причем преобразование g из этой группы переводит смежный класс gß в смежный класс (ggi)$ (=g23). «Равными» считаются те «геометрические фигуры»

(множества смежных классов) Ф4 и Ф2, которые переводятся одна в другую каким-либо преобразованием g из группы G (действующим на множестве смежных классов описанным выше образом). Поскольку это описание интересующей нас геометрии (точнее — одной из ее «моделей», однако «модели», в которой можно отыскать все присущие рассматриваемой геометрии понятия и предложения) зависит лишь от групп © и 9, то ясно, что две геометрии с одинаковыми группами © и $ также будут одинаковы.

Для того чтобы проиллюстрировать эту общую схему, остановимся подробнее на том случае, когда G есть группа движений плоскости1. Каждое движение δ представляет собой произведение тр вращения р вокруг начала О системы координат на угол а:

(32, а)

и параллельного переноса х на вектор р = (а, b):

(32, б)

Отсюда следует, что каждое движение δ может быть записано в виде

(33)

где а (здесь 0 < а < 2л) — величина угла вращения р, а (а, b) — координаты вектора р, характеризующего параллельный перенос m (см. рис. 28).

Рассмотрим теперь трехмерное пространство, отнесенное к декартовым прямоугольным координатам X, Y, Z. Множество преобразований (33) можно изобразить множеством точек слоя 0 < Z ^ 2л, сопоставив движению (33), характеризующемуся углом а и вектором р, точку трехмерного пространства с координатами X = a, Y = b, Z = а. При этом точки (а, b, 0) и (а, 6, 2л) ограничивающих рассматриваемый слой плоскостей Z = 0 и Z — 2л придется отождествить между собой, поскольку этим точкам отвечает одно и то же движение δ — параллельный перенос (32, б).

Рис. 28

1 См. подстрочное примечание на стр. 36.

Предположим теперь, что за образующий элемент нашей геометрии принята точка g или окружность ц фиксированного радиуса а. Если g совпадает с началом О системы координат или центр У] совпадает с О, то соответствующая такому выбору образующего элемента стационарная подгруппа g rруппы движений состоит из вращений (32, а) — иными словами, из движений (33), для которых а = b — 0; в трехмерном (X, Y, Z)- пространстве этим вращениям отвечает отрезок X = Y = 0 оси OZ (рис. 29). Смежный класс gß состоит из тех движений (33), которые переводят начало координат х = 0, у = 0 в фиксированную точку E1 с координатами х = а, у = b; эти движения δ изображаются точками слоя 0 < Z < 2я, принадлежащими прямой X = a, Y = b (см. тот же рис. 29). Таким образом, наша геометрия совпадает с геометрией слоя 0 < Z < 2я трехмерного (X, Y, Z)-пространства с отождествленными («склеенными») плоскостями Z = 0 и Z — 2x роль образующих элементов этой геометрии играют «столбики» X = a, Y — b (рис. 29), а в качестве «движений» выступают преобразования

(34)

переставляющие «столбики» X = a, Y = b между собой (переводящие «столбик» X — а, Y = b в «столбики» X = a', Y = b'). Тождественность построенной нами геометрии с обычной планиметрией вытекает из того, что, заменив «столбик» X = a, Y = b,

Рис. 29

0 < Z < 2я точкой X = а, Y = b плоскости Z = 0, мы придем, очевидно, к обычной геометрии на плоскости.

По-другому выглядит «модель» линейчатой геометрии, получаемая при предположении, что образующим элементом геометрии является прямая линия £. Если прямая £ имеет уравнение у=0, т.е. совпадает с осью Ох плоскости, то стационарная подгруппа д, отвечающая прямой £, будет состоять из всевозможных параллельных переносов (32, б) в направлении оси Ох1:

(35)

этим движениям отвечают точки X = a, Y = 0, Z=0 оси ОХ трехмерного (X, У, Z)-пространства (рис. 30, а). Смежный класс gi$ состоит из движений (33), переводящих прямую у = 0 в фиксированную прямую Zi с уравнением

(36)

здесь ß — угол, образованный прямой G с осью Ох, а l — отрезок, высекаемый прямой £f на оси Oy (рис. 30, б). Эти движения (33) имеют вид

(37)

Рис. 30

1 Здесь мы вынуждены считать прямую Ох и прямую £t «направленной», т. е. снабженной стрелкой, выделяющей одно из двух возможных направлений движения по прямой (рис. 30, б). Это связано с тем, что, как мы указывали ранее, в формулах (33) 0 ^ а < 2я, в то время как для ненаправленной прямой £, приходится считать, что 0< ß < л и, следовательно,

В трехмерном (X, У, 2)-пространстве смежный класс (37) изображается прямой

(38)

эта прямая лежит в плоскости Z = а и образует угол ос с осью ОХ (см. рис. 30,а). Таким образом, «линейчатая эвклидова планиметрия» совпадает с геометрией того же слоя 0<Z<2n трехмерного (X, Y, Z)-пространства, где в качестве образующих элементов фигурируют прямые (38), а «движения» переставляют между собой эти прямые в точности таким же образом, каким преобразуют обыкновенные движения плоскости Z = 0 прямые, являющиеся ортогональными проекциями прямых (38) на плоскость Z = 0. Ясно, что построенная нами «геометрия» тождественна с линейчатой геометрией обыкновенной плоскости Эвклида.

установление взаимнооднозначного соответствия между множеством значений ß и множеством значений а становится невозможным. (Ненаправленная прямая плоскости изображается в нашей модели парой прямых слоя 0 ^ Z ^ 2я трехмерного (X, Y, Z)-пространства, что значительно менее удобно; ср. по этому поводу литературу, указанную в подстрочном примечании на стр. 30).

ЛИТЕРАТУРА*

к § 1

1*. Ф. Клейн. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований [«Эрлангенская программа»].— В сб.: Об основаниях геометрии. М., Гостехиздат, 1956, стр. 399—434.

2. И. М. Яглом и Л. С. Атанасян. Геометрические преобразования. Энциклопедия элементарной математики [ЭЭМ]. Кн. IV. М., Физматгиз, 1963, стр. 49—158.

3. И. М. Яглом. Геометрические преобразования. Тт. I—II. М., Гостехиздат, 1955—1956.

4. И. М. Яглом и В. Г. Ашкинузе. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. Ч. I. Аффинная геометрия. М., Учпедгиз, 1962.

к § 2

5. Я. С. Дубнов. Измерение отрезков. М., Физматгиз, 1962.

6*. Л. А. Сантало. Введение в интегральную геометрию. М., Изд. иностр. лит., 1956.

7*. W. Blaschke (В. Бляшке). Vorlesungen Ober Integralgeometrie (Лекции по интегральной геометрии). Berlin, 1955. (Русский перевод более раннего издания первой части книги: «Успехи математических наук», 1938, вып. V, стр. 97—149.)

к § 3

8. Б. А. Розенфельд. Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии.— ЭЭМ. Кн. IV, стр. 518—557.

9. Ж. Адамар. Элементарная геометрия. Ч. 2. М., Учпедгиз, 1958, гл. VI и VII пятой книги; дополнения I и II ко второй части.

10. Д. И. Перепелкин. Курс элементарной геометрии. Т. II. М.— Л., Гостехиздат, 1949, гл. XVI.

(См. также Приложение к гл. 2 второго тома книги [3].)

к § 4

11. Д. А. Крыжановский. Изопериметры. М., Физматгиз, 1959.

12. Р. Курант и Г. Роббинс. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. М., «Просвещение», 1967, гл. VII.

* Звездочками отмечена литература, не рассчитанная на начинающего.

13. Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. М., Изд.-во иностр. лит., 1957, гл. X.

14. И. М. Яглом и В. Г. Болтянский. Выпуклые фигуры. М.— Л., Гостехиздат, 1951, § 5.

15. В. Г. Болтянский и И. М. Яглом. Геометрические задачи на максимум и минимум.— ЭЭМ. Кн. V. М., «Наука», 1966, стр. 338—340.

16*. В. Бляшке. Круг и шар. М., «Наука», 1967. (См. также книги [6] и [7]).

к § 5

17. П. С. Александров. Введение в теорию групп. М., Учпедгиз, 1951.

18*. Э. Картан. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методы подвижного репера. М., Изд-во Московского университета, 1963.

19*. Shiing-Shen Chern. (Шен-шень Чжень) On integral geometry in Klein spaces (Об интегральной геометрии в пространствах Клейна). Annals of Mathematics, т. 43, 1942. стр. 178—189.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Предисловие .......... 3

§ 1. Геометрия и геометрические преобразования .... 5

§2. Геометрии с разными образующими элементами; понятие о линейчатой геометрии........... 12

§ 3. Сферическая геометрия и неэвклидова геометрия Римана; принцип двойственности........... 21

§ 4. Геометрия кривых линий; изопериметрическая теорема 30

§ 5. Образующие элементы геометрии как смежные классы группы движений................. 35

Литература ................. 43

ИСААК МОИСЕЕВИЧ ЯГЛОМ

ГЕОМЕТРИЯ ТОЧЕК И ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ

Редактор В. Ю. Иваницкий Художник Л. П. Ромасенко Худож. редактор Е. Е. Соколов Техн. редактор Е. М. Лопухова Корректор В. И. Казакова

A10138 Сдано в набор 20/VIII-1968 г.

Подписано к печати 16/X—1968 г.

Формат бумаги 60 × 901/16. Бумага типографская № 3.

Бум. л. 1,5. Печ. л. 3,0. Уч.-изд. л. 2,26. Тираж 31100

Цена 9 коп.

Издательство «Знание». Москва, Центр. Новая пл., д. 3/4 Набрано во 2-й типографии изд-ва «Наука»

Отпечатано в типографии изд-ва «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Зак, 3084.

ДОРОГОЙ ЧИТАТЕЛЬ!

С Вашей помощью нам хочется сделать брошюры по вопросам математики и кибернетики более интересными и содержательными. Для того чтобы учесть Ваши предложения и критические замечания по улучшению издаваемых брошюр, просим ответить на следующие вопросы:

Возраст.............

Образование ...........

Профессия и специальность.......

Где живете (город, сельская местность)

Какие темы по вопросам математики и кибернетики Вас наиболее интересуют.........

Что Вас не удовлетворяет в наших брошюрах (содержание, стиль изложения и т. д.) и что Вы конкретно предлагаете для их улучшения

Ответы на эти вопросы присылайте к нам в редакцию по адресу:

Москва, Центр. Новая площадь, д. 3/4, издательство «Знание».

Редакция точных наук и техники.

Серия «Математика, кибернетика»

ЗАРАНЕЕ БЛАГОДАРИМ ЗА ОТВЕТ

Издательство «Знание»

9 коп.

Индекс 70096

УВАЖАЕМЫЕ ТОВАРИЩИ!

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ» ПРЕДЛАГАЕТ ВАМ СЕРИЮ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫХ ПОДПИСНЫХ БРОШЮР «ФИЗИКА, АСТРОНОМИЯ». РАБОТЫ СЕРИИ ПОЗНАКОМЯТ С УСПЕХАМИ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ И ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ, ДОСТИЖЕНИЯМИ В ОБЛАСТИ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ПЛАЗМЫ, НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ, СВЕРХПРОВОДИМОСТИ, КОСМОНАВТИКИ, АСТРОНОМИИ.

В 1969 году подписчики получат 12 брошюр, среди них:

Алексеевский Н. Е., чл.-корр. АН СССР. Исследования в области низких температур.

Доллежаль Н. А., академик. Проблемы атомной энергетики.

Кедров Б. М., академик. Ленин и философские проблемы материи.

Смородинский Я. А., д-р физ.-мат. наук. Развитие исследований элементарных частиц. Теория квантовых жидкостей. Сборник. Успехи радиоастрономии. Космические исследования за рубежом.

СЕРИЯ «ФИЗИКА, АСТРОНОМИЯ» В КАТАЛОГЕ «СОЮЗПЕЧАТИ» РАСПОЛОЖЕНА В РАЗДЕЛЕ «НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЕ ЖУРНАЛЫ» ПОД РУБРИКОЙ «БРОШЮРЫ ИЗДАТЕЛЬСТВА «ЗНАНИЕ». ИНДЕКС СЕРИИ 70072.

ВЫПИСЫВАЙТЕ! ЧИТАЙТЕ СЕРИЮ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫХ БРОШЮР «ФИЗИКА, АСТРОНОМИЯ».

ПОДПИСНАЯ ЦЕНА НА ГОД 1 РУБ. 08 КОП.

Издательство «ЗНАНИЕ»