Веннинджер М. Модели многогранников / пер. с англ. В. В. Фирсова ; под ред. и с послесл. И. М. Яглома. — М. : Мир, 1974. — 240 с. — Лит.: с. 228—229 (37 назв.).

МОДЕЛИ МНОГОГРАННИКОВ

М. ВЕННИНДЖЕР

M. WENNINGER

POLYHEDRON MODELS

Cambridge, Cambridge University Press 1971

М. ВЕННИНДЖЕР

МОДЕЛИ МНОГОГРАННИКОВ

Перевод с английского В. В. Фирсова

Под редакцией и с послесловием И. М. Яглома

Издательство «Мир»

Москва 1974

513 В29

Веннинджер М.

В 29 Модели многогранников. Пер. с англ. В. В. Фирсова. Под ред. и с послесл. И. М. Яглома., М., «Мир», 1974.

236 с. с илл.

Книга Веннинджера — практическое пособие по изготовлению многогранников: правильных и полуправильных, выпуклых и звездчатых. Фундаментальная теория симметрии, лежащая в основе данной темы, придает книге широкое познавательное значение.

Книга «Модели многогранников», снабженная выразительными фотографиями и чертежами, вызовет интерес и принесет несомненную пользу широкому кругу читателей и в первую очередь преподавателям математики и руководителям математических кружков, студентам и школьникам, которые захотят поближе познакомиться с этими изящными геометрическими объектами.

Редакция научно-популярной и научно-фантастической литературы

© Перевод на русский язык, «Мир», 1974.

МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ,

НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ — КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ

И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ

И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ,

КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ

ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА.

Бертран Рассел

От автора

Эта книга знакомит вас с описаниями 75 известных в настоящее время однородных многогранников и большого числа их звездчатых форм. Приведенные в ней краткие математические сведения позволяют четче выявить отношения, в которых находятся между собой различные тела. Но основу книги составляют инструкции, пользуясь которыми вы сможете самостоятельно строить модели многогранников.

В конце книги приводятся ссылки на математическую литературу, относящуюся к рассмотренной теме. Возможно, ранее вас не слишком увлекала геометрия, да и теперь вы не склонны считать этот предмет особо притягательным. Если это так, то вряд ли специальные книги пробудят в вас интерес к геометрии. Читателю же нашей книги вовсе не обязательно знать математическую теорию, которая изучает и классифицирует многогранники. Однако полностью избежать математики, особенно там, где речь идет о терминологии и обозначениях, ему не удастся.

Создавая эту книгу, я стремился дать читателю простые, удобные и не слишком умозрительные указания, достаточные для построения моделей многогранников. Приходится лишь удивляться, сколь поучительно это занятие и как много оно дает. Раз начав, вы и не заметите, как вас затягивает все глубже. Вы почувствуете красоту различных форм, и она будет сродни той красоте, которую находит математик в мире дорогих его сердцу абстракций.

Возможно, число моделей, описанных в предлагаемой вашему вниманию книге, покажется вам чрезмерным, а кое-какие из них — крайне сложными. И тогда вы спросите себя: «А зачем я хочу их построить?» Быть может, ответ на этот вопрос подскажет вам такая притча. Альпиниста как-то спросили: «Почему тебя так тянет Маттерхорн1?» «Но ведь это гора!»— ответил альпинист.

Возможно, при виде наших моделей кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?» На это позволительно ответить так: «А разве все красивое полезно?» Впрочем, нетрудно усмотреть известную пользу, которую приносят модели в качестве декоративных украшений. Ими хорошо украсить комнату или праздничный стол. А как красивы блестящие звезды на елке! На страницах этой книги вас ждет изобилие декоративных форм — возможность выбора обеспечена.

Рассматривая многогранные формы, характерные для космических устройств, вы обнаружите приложения, имеющие более серьезное прикладное значение. Наконец, в книге можно найти множество примеров, позволяющих судить о применении многогранников в архитектуре и строительстве, особенно если обратить внимание на конструкции сложных «геодезических» куполов и перекрытий. Впрочем, многие из представленных здесь многогранников ранее никогда не использовались. Видимо, это объясняется тем, что они почти никому не известны.

Все модели, описанные в книге и показанные на фотографиях, мною изготовлены. Быть может, вам интересно знать, как давно я этим занимаюсь? Впервые я обратился к этой теме в 1958 году. На следующий год я уже смастерил первые модели — их вы можете увидеть в первой части книги. Основным источником информации для меня служила книга «Математические развлечения» Кокстера и Болла [15]. В 1959—1961 годах я воспроизвел все модели, описанные

1 Маттерхорн — одна из самых трудных и опасных для восхождения вершин Альп. — Здесь и далее примечания редакции.

в книге Канди и Роллетта «Математические модели» [19], после чего взялся за «Пятьдесят пять икосаэдров» Кокстера, Дюваля, Флэзера и Петри [17]. При этом мне удалось разработать весьма удобную технологию изготовления моделей. Те из них, что украшают ныне заднюю стену класса, где я преподаю математику, сделаны в 1961 —1963 годах. В среднем каждая модель отнимала у меня около восьми часов; еще три-четыре часа я тратил на подготовку исходного материала. По завершении этой работы я обратился к профессору Кокстеру с просьбой прислать мне экземпляр его статьи «Однородные многогранники» [18]. Кокстер был столь любезен, что выслал мне надписанный экземпляр, один из трех еще остававшихся у него. В этой работе содержится детальное изложение математических вопросов теории однородных многогранников; однако, имея целью конструирование моделей, я сосредоточил свое внимание не на теоретической ее части, а на собранных в конце статьи чертежах, изготовленных Дж. Миллером. Мне хотелось понять устройство этих многогранников, а для этого следовало определить, как они выглядят «с лица». Соответствующие чертежи представлены теперь в настоящей книге. Я также изучал приложенные к «Однородным многогранникам» и выполненные М. Лонге-Хиггинс фотографии проволочных моделей. Однако на этих фотографиях показывалось одновременно несколько совмещенных моделей — а это совсем не так удобно для практического использования, как, скажем, включенные в эту книгу фотографии.

Время, которое я затратил на изготовление моделей невыпуклых однородных многогранников, в существенной степени зависело от характера модели. Так, на простейшие из них требовалось не более трех-четырех часов, в среднем же приходилось затрачивать восемь-десять часов, а некоторые сложные модели занимали двадцать-тридцать часов. Две модели отняли у меня свыше сотни часов каждая. Теперь, когда работа завершена, я, пожалуй, соглашусь с тем, что ее объем поразил и меня. Но китайская пословица гласит: «Если ты собираешься пройти тысячу ли, начни с того, что сделай первый шаг». За первым шагом последует другой, и вскоре красота открывшихся взору путника видов заставит его забыть о трудностях пути.

М. Веннинджер

Предисловие

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности — от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники» [11]. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие — в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчелы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.

Значительная часть этой книги посвящена однородным многогранникам, грани которых — правильные многоугольники — вблизи любой вершины расположены в одном порядке. (Такой многогранник называется правильным, если все ограничивающие его многоугольники одинаковы.) Согласно теореме Евклида, применимой ко всем выпуклым многогранным углам, в любом из них сумма плоских углов при вершине меньше 360°. Изготовив самостоятельно несколько моделей, читатель заметит, что разность между 360° и этой суммой для одних тел может оказаться значительной (так, у куба, который имеет 8 многогранных углов, для каждого угла рассматриваемая разность составляет 90°), а для других, у которых многогранных углов больше, разность окажется гораздо меньшей (так, для курносого1 додекаэдра, имеющего 60 углов, она равна всего 12°). Подобные наблюдения привели Рене Декарта (1596—1650) к открытию и доказательству теоремы, утверждающей, что сумма всех таких разностей (математики называют их угловыми дефектами) неизменно равна 720°2.

Приблизительно в это же время Иоганн Кеплер (1571 —1630) написал этюд «О снежинке», в котором высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных — куб, а его, если позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколь у куба граней». Кеплер первым опубликовал полный список тринадцати архимедовых тел и дал им те названия, под которыми они известны поныне. (Труд самого Архимеда утрачен; как полагают, его рукопись погибла во время знаменитого пожара Александрийской библиотеки, столь едко описанного в пьесе Бернарда Шоу «Цезарь и Клеопатра».) Кеплеру же принадлежит заслуга в постановке проблемы перечисления изозоноэдров (выпуклых многогранников, грани которых суть равные ромбы); он также внес первый вклад в ее решение, открыв ромбододекаэдр и триаконтаэдр. Однако с позиций этой книги, пожалуй, наиболее существенный вклад Кеплера в теорию многогранников заключался в предложении рассматривать невыпуклые многогранники со звездчатыми гранями, подобными пентаграмме (см. рис. 21). По всей вероятности, Кеплер не подозревал о существовании более ранней работы Томаса Бредвердайна (1290—1349) (ставшего архиепископом Кентерберийским3 в

1 В отечественной литературе соответствующие многогранники часто называются «плосконосыми», однако нам кажется более правильным переводить английский термин snub как «курносый».

2 Это наблюдение привело его также к установлению известного соотношения между числами вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, сегодня обычно называемого теоремой Эйлера (см. стр. 10).

3 Главой англиканской церкви.

последний месяц своей жизни), посвященной звездчатым многоугольникам.

В знаменитом соборе в Солсбери столько интересных реликвий, что лишь немногие посетители бросят взгляд на надгробие Томаса Горджеса, усопшего в 1610 году. А между тем резьба на могильном камне содержит изображения додекаэдра, трех икосаэдров и двух кубооктаэдров. На камне вырезаны скелетные каркасы этих тел в манере, близкой к использованной Леонардо да Винчи при построении моделей однородных многогранников с каркасом из прутьев.

Несколькими милями к юго-западу расположена деревушка Уимборн Сент-Джиле, где в 1627 году был похоронен Энтони Эшли. Его надгробие украшает усеченный икосаэдр, причем изображен не каркас, а сам многогранник, подобный модели 9 этой книги.

Со времен Декарта многие великие математики также уделяли внимание нашей теме. Эйлер открыл и доказал знаменитую формулу

В—Р + Г= 2,

связывающую числа вершин, ребер и граней любого выпуклого многогранника1. Гаусс применил неправильную сферическую пентаграмму (его pentagramma mirificum) к объяснению правил Напье из сферической тригонометрии. Коши доказал, что всякий выпуклый многогранник с жесткими гранями, шарнирно соединенными в ребрах, остается тем не менее твердым телом. Гамильтон придумал икосаэдральную игру2. Фон Штаудт дал новое доказательство формулы Эйлера. Шлефли распространил этот результат на случай п измерений. Большое влияние имела книга Клейна «Лекции об икосаэдре»3. Е. С. Федоров продолжил исследование Кеплера по проблеме изозоноэдров, обнаружив весьма необычный, как бы сплющенный ромбоикосаэдр. И наконец, совсем недавно, в 1960 году, Билински завершил перечисление этих тел открытием еще одного ромбододекаэдра, причем этот последний можно поместить в ящик с измерениями 1, т и т2 (где через т обозначено число (ч/5"+ 1)/2, выражающее знаменитую «божественную пропорцию», или «золотое сечение»).

Автор этой книги, заражая своим энтузиазмом читателя, дает ему ясные и четкие указания о том, как изготовить модели различных многогранников. Объяснения проиллюстрированы фотографиями моделей из собрания автора — возможно, наиболее полного в настоящее время. Но фотографии не в состоянии передать всего великолепия самих моделей. Наиболее сложные «курносые» модели не только крайне трудны в изготовлении, но и весьма декоративны. Это ли не превосходный пример родства истины и красоты!

Г. С. М. Кокстер

1 Эта формула доказывается в большом числе научных и научно-популярных сочинений, среди которых, наряду с учебниками [1] и [2], статьей [3], пособиями [4], [8] и монографией [5], уместно упомянуть следующие: Д. Пойа, Математическое открытие, М., изд-во «Наука», 1970, гл. 15; И. Лакатос, Доказательства и опровержения, М,, изд-во «Наука», 1967.

2 См. § 5 гл.II рассчитанной на учащихся средних школ книги О. Ope, Графы и их применение, М., изд-во «Мир», 1965.

3 Klein F., Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflössung der Gleichungen vom fünften Grade, Leipzig, Teubner, 1884; последнее (английское) издание: Klein F., The Icosahedron and the Solution of Equations of the Rfth Degree, N. Y., Dover Publ., 1956. В этой книге Феликс Клейн использует специфические свойства симметрии икосаэдра для доказательства неразрешимости в радикалах уравнений степени п>5 (то есть того, чтобы установить отсутствие общей формулы, выражающей корни уравнения а0хп +а\хп~х + ... + ал-!* + ап — 0, где л>5, через его коэффициенты!). Коротко об этом рассказывается и в книге Клейн Ф., Элементарная математика с точки зрения высшей, т. I, М. — Л., ОНТИ, 1935, стр. 182—237.

ВВЕДЕНИЕ

Однородные многогранники

При первом же знакомстве с этой темой у вас возникает естественный вопрос: что такое многогранник? Вы можете припомнить, что собственно геометрию определяют иногда (не вполне точно) как науку о пространстве и пространственных фигурах — двумерных в планиметрии и трехмерных в стереометрии. Возможно, вам также знакомо понятие множества. Если использовать теоретико-множественный язык, то фигуру на плоскости можно бы было описать как множество отрезков прямых, ограничивающих часть плоскости. Такая плоская фигура называется многоугольником. Из этого следует, что многогранник можно определить как множество многоугольников, ограничивающих часть трехмерного пространства.

Все термины, которыми мы будем пользоваться в нашей книге, пришли к нам от древних греков. Влияние знаменитого греческого мыслителя Платона сказалось и на «Началах» Евклида. В этой книге, которая на протяжении веков была единственным учебником геометрии, дано описание «идеальных» линий и «идеальных» фигур. Самая идеальная линия — прямая и самый идеальный многоугольник — правильный многоугольник, иными словами, многоугольник, имеющий равные стороны и равные углы. Простейшим правильным многоугольником можно считать равносторонний треугольник, поскольку он имеет наименьшее число сторон, которое может ограничивать часть плоскости. Интересно, что «Начала» Евклида открываются описанием построения правильного треугольника и заканчиваются изучением пяти правильных многогранных тел! Каждый из этих пяти многогранников имеет гранями правильные многоугольники одного типа. В наше время они известны под именем пяти Платоновых тел. Тетраэдр, гранями которого являются четыре равносторонних треугольника, можно считать трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, поскольку он имеет меньше всего граней, отделяющих часть трехмерного пространства.

Общую картину интересующих нас правильных многоугольников наряду с равносторонним (правильным) треугольником составляют: квадрат (четыре стороны), Пентагон (пять сторон), гексагон (шесть сторон), октагон (восемь сторон) и декагон (десять сторон); при этом, разумеется, все стороны и все углы каждого из них должны быть равны между собой. Как только вы приступите к построению моделей, описанных в этой книге, вам не составит особого труда научиться точно вычерчивать эти фигуры; к тому же вы познакомитесь с важнейшими их свойствами. В частности, вам важно будет знать величины внутренних углов многоугольников в градусах. Не все многоугольники вы найдете на гранях правильных тел: этими гранями служат лишь три из них. Гексаэдр (шесть граней), обычно называемый кубом, имеет квадратные грани; грани октаэдра (восемь граней) — равносторонние треугольники; все грани додекаэдра (двенадцать граней) — пентагоны; наконец, гранями икосаэдра являются двадцать равносторонних треугольников. «Начала» Евклида завершаются доказательством того, что существуют пять и только пять правильных многогранников.

Чтобы прийти к идее этого доказательства, вам стоит немного поэкспериментировать с картонными многоугольниками. Подобно тому как две стороны многоугольника соединяются в вершине, так и любые две грани многогранника соединяются общей стороной (или пересекаются вдоль общей стороны — что то же самое). Эти стороны принято называть ребрами многогранника. Каждое ребро является общей стороной двух и только двух многоугольных граней. Сами ребра сходятся в точках, именуемых вершинами многогранника.

В тетраэдре в каждой вершине сходятся три ребра, иными словами, каждая вершина окружена тремя треугольниками. Если развернуть эти треугольники на плоскость, можно подсчитать, сколько градусов содержит полученный при этом их общий угол. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольника равен 60°, три таких угла дадут в сумме 3 х 60° = 180°. Если мы приложим к нему еще один равносторонний треугольник, то получим в сумме 240°. Но в таком случае мы придем к развертке вершины октаэдра. Добавление еще одного треугольника дает 300°, и мы получаем развертку вершины икосаэдра. Наконец, добавление шестого треугольника дает полный угол в 360° — и мы сразу убеждаемся, что он не может соответствовать никакой вершине многогранника1.

Перейдем к квадратам. Естественно, что наименьшее их число равно трем. Три раза по 90° дают 270°; так получается вершина куба. Добавляя еще один квадрат, мы снова приходим к полному углу в 360° — и останавливаемся. Для пятиугольников минимальное число граней — три — дает нам вершину додекаэдра; если же мы возьмем более трех пентаграмм, то суммарный угол даже превзойдет 360°. Для шестиугольников (гексагонов) уже и минимальное их число — три — слишком велико: три раза по 120° сразу дают 360°. Поэтому правильного многогранника с гексагональными гранями не существует. Тем более не подходят правильные многоугольники с числом сторон, большим шести. Таким образом, мы убеждаемся, что может существовать лишь пять правильных многогранников.

Известно еще множество тел, получивших название архимедовых, или полуправильных многогранников. У них также все многогранные углы равны и все грани — правильные многоугольники, но нескольких разных типов. Существует 13 полуправильных многогранников2, открытие которых приписывается Архимеду, впервые перечислившему их в не дошедшей до нас рукописи. Ссылки на эту работу имеются в рукописях математика Паппа, который жил в III в. н. э. Кеплер первым из современных математиков развил полную теорию этих тел.

Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую из них составят пять многогранников, которые получаются из Платоновых тел в результате их усечения. Усеченное тело есть не что иное, как тело с отрезанной верхушкой. Усечением называется удаление некоторых частей тел, а в нашем случае — удаление всех частей, расположенных около вершин, вместе с самими вершинами. Для Платоновых тел это можно сделать таким образом, что и получающиеся новые грани, и остающиеся части старых будут правильными многоугольниками. К примеру, тетраэдр можно усечь так, что его четыре треугольные грани превратятся в четыре гексагональные, а к ним добавятся четыре правильные треугольные грани. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усеченный тетраэдр, усеченный гексаэдр (куб), усеченный октаэдр, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр.

Другую группу составляют всего два тела, именуемых также квазиправильными многогранниками. Частица «квази» подчеркивает, что грани этих многогранников представляют собой правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена многоугольниками другого типа. Эти два тела носят названия кубооктаэдр и икосододекаэдр. Подробнее на них мы остановимся на стр. 35 и 36.

Два последующих многогранника называются ромбокубооктаэдром и ромбоикосододекаэдром. Иногда их называют также «малым ромбокубооктаэдром» и «малым ромбоикосододекаэдром» в отличие от большого ромбокубооктаэдра и большого ромбоикосододекаэдра. Если процесс усечения применить к двум квазиправильным телам — кубооктаэдру и икосододекаэдру, то новые полученные грани будут в лучшем случае прямоугольниками, но не квадратами. Однако дальнейшие модификации могут превратить эти прямоугольники в квадраты. Вот почему некоторые авторы называют большой ромбокубооктаэдр и большой ромбоикосододекаэдр «усеченным кубооктаэдром» и «усеченным икосододекаэдром» соответственно. В на-

1 Сумма плоских углов любого выпуклого многогранного угла всегда меньше 360°.

2 Или 14 (см. стр. 37).

шей книге мы предпочитаем называть их ромбоусеченным кубооктаэдром и ромбоусеченным икосододекаэдром. Приставка «ромбо» указывает на особый способ получения квадратных граней, который был применен для построения этих двух тел из двух квазиправильных многогранников. Это дает нам право опустить определение «малые» перед названиями двух ранее введенных тел.

Наконец существуют две так называемые «курносые» модификации — одна для куба, другая — для додекаэдра. Для каждой из них характерно несколько повернутое положение граней, что дает возможность построить два различных варианта одного и того же «курносого» многогранника (каждый из них представляет собой как бы зеркальное отражение другого). Такие варианты, отличающиеся друг от друга, как правая рука отличается от левой, называются энантиоморфными.

Если вы достаточно упрямы и склонны к систематическим занятиям, то ради собственного удовлетворения, прибегая к тем же рассуждениям, которые мы применяли для Платоновых тел, можете доказать, что число архимедовых тел равно 131. При этом следует исходить из теоремы стереометрии, утверждающей, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Испробовав все возможные комбинации правильных многоугольников, удовлетворяющие этой теореме, вы придете к разверткам вершин в точности тринадцати архимедовых тел и двух бесконечных семейств — семейства призм (с квадратными боковыми гранями) и семейства скошенных призм2 (с боковыми гранями в виде правильных треугольников)3.

Объединение описанных выше множеств Платоновых и архимедовых тел вкупе с бесконечными семействами призм и скошенных призм образует множество тел, называемых выпуклыми однородными многогранниками. Выпуклость многоугольника означает, что ни один его внутренний угол не превосходит 180°. Аналогично выпуклость многогранника сводится к тому, что ни один из его внутренних двугранных углов (образованных соседними гранями) не превосходит 180°. Свойство, по смыслу противоположное выпуклости, иногда называют вогнутостью. Многогранники с полостями, впадинами или выступающими пиками будут невыпуклыми, то есть вогнутыми. Слово однородные в применении к рассмотренным выше многогранникам означает, что все их грани суть правильные многоугольники и все многогранные углы равны. В однородных многогранниках каждую вершину окружают многоугольники в одном и том же порядке. Так, например, для ромбоикосододекаэдра порядок следования граней вокруг вершин таков: треугольник, квадрат, пятиугольник и другой квадрат. Этот порядок сохраняется для любой вершины.

В дальнейшем вам довольно часто будет попадаться термин энантиоморфный. Он всего-навсего выражает свойство быть «правым» или «левым» экземпляром, подобно двум перчаткам одной пары или предмету и его отражению в зеркале. Если выбрать какой-либо порядок цветов и раскрасить грани, примыкающие к некоторой вершине в этом порядке по часовой стрелке, то энантиоморфной раскраской будет обратная — в том же порядке против часовой стрелки.

Для обозначения цветов мы воспользуемся следующими сокращениями: Ж — желтый, С — синий, О — оранжевый, К — красный, 3 — зеленый, Б — белый, Ч — черный.

Несомненно, все новые термины, равно как и классификация многогранников, станут для вас понятнее и осмысленнее после того, как вы самостоятельно изготовите модели выпуклых однородных многогранников, собранные в первой части книги.

1 Точнее, 13 равно числу типов вершин таких многогранников. Ср. со сказанным на стр. 37

2 Иногда их называют антипризмами.

3 Желающих подробнее ознакомиться с этим вопросом можно отослать к книге [2] и статье [3] ; см. также названную на стр.18 книгу Lines L., Solid Geometry.

Математическая классификация

(при первом чтении этот раздел можно опустить)

Любой однородный многогранник можно поместить внутри сферы таким образом, что его оси симметрии пройдут через центр сферы. Спроектировав затем из центра на поверхность сферы ребра многогранника, мы получим сеть, состоящую из дуг больших окружностей сферы. Эта сеть разбивает сферу на сферические многоугольники, каждый из которых соответствует одной грани многогранника. Плоскости симметрии многогранника добавят к разбиению новые дуги, так что если исходный многогранник, к примеру, был Платоновым телом, то с учетом новых дуг поверхность сферы будет разделена на сферические треугольники — по четыре для каждого ребра.

Эти сферические треугольники получили название треугольников Мёбиуса, по имени впервые рассмотревшего их математика (1849). Мёбиус же первым применил идею этих треугольников к устройству многогранного калейдоскопа, который составлен из трех зеркал, образующих трехгранный угол. Внося в такой калейдоскоп какое-либо тело, изображающее материальную точку, мы, глядя на нее и ее отражения в двух зеркалах, увидим вершины соответствующего многогранника. Другой, возможно, более простой иллюстрацией треугольников Мёбиуса является соответствующая сеть линий, нанесенных мелом на черном глобусе, на котором хорошо видны проведенные линии1. При этом определенные точки пересечения больших кругов сферы будут соответствовать вершинам многогранника. Полученная решетчатая сеть сферических треугольников покрывает глобус однократно. Все треугольники сети конгруэнтны, то есть равны между собой.

Каждый из этих треугольников можно обозначить символом (pqr), где p. g и г — натуральные числа, соответственно равные знаменателям дробей тг/р, n/q и я/г, выражающих радианные меры углов треугольника.

В нашем случае /?, q и г могут принимать лишь целые значения 2, 3, 4 или 5. Если позволить /?, q и г принимать дробные значения, то для определенных наборов дробей мы снова получим сеть треугольников с соответствующими углами. Эти треугольники носят имя Г. А. Шварца, который первым указал все возможные здесь случаи (1873). Было показано, что множество треугольников Шварца также покрывает глобус, но не однократно, а некоторое конечное число раз, так что оно в определенном смысле эквивалентно множеству треугольников Мёбиуса. Поэтому треугольники Шварца можно классифицировать как тетраэдральные, октаэдральные или икосаэдральные в зависимости от того, с какими треугольниками Мёбиуса они соотносятся (см. [15, 16, 18]).

Эти идеи можно сделать наглядными, используя подходящие модели. Прежде всего вы можете изготовить многогранный калейдоскоп из трех зеркал, вырезанных в форме кругового сектора. Радиус секторов следует взять довольно большим — порядка 30 см или больше; центральные углы секторов должны содержать:

для тетраэдрального калейдоскопа 54°44', 54°44', 70°32';

для октаэдрального калейдоскопа 35°16', 45°, 54°44';

для икосаэдрального калейдоскопа 20°54', 31°43', 37°23'.

Хотя такие калейдоскопы достаточно трудны в изготовлении, игра с ними доставляет истинное удовольствие.

Столь же (а быть может, и в большей мере) поучительно изготовить модели этих сферических треугольников из плотной бумаги или картона. Присоединяя один к другому требуемое число таких треугольников, вы получите модель сферы в виде множества пересекающих ее больших кругов. Можно, конечно, раскрасить большие круги по-разному, но это слишком усложнит работу.

Проще всего начать с тетраэдрального треугольника. Заготовка для вы-

1 Такие глобусы выпускаются в Англии как учебные пособия для классных занятий географией и астрономией.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3. Рис. 4.

Рис. 5. Рис. 6.

резания показана на рис. 1. Перегните заготовку по радиальным линиям и придайте ей форму сферического треугольника. Модель скрепляется клеем всего в одном месте при помощи наклейки, видной на рисунке. Надо сделать 24 одинаковые модели и склеить их плоскими частями таким образом, чтобы наклейки были не видны. Эту работу можно выполнять по частям. Одну такую часть составляют шесть сферических треугольников, склеенных между собой так, как показано на рис. 2. Их углы равны я/2, я/3 и л/3 Четыре части образуют модель сферы.

Для октаэдральных треугольников последовательность действий аналогична; исходная заготовка показана на рис. 3. Вам потребуется 48 октаэдральных треугольников, образующих два энантиоморфных множества по 24 в каждом. Можно взять заготовки любого подходящего для вас размера. Можно также по желанию делать кольцо шире или уже. Можно даже оставить всю внутренность секторов, ничего не вырезая, и тогда на модели сферы будет точно указан ее центр. При склеивании частей модели начинает обнаруживаться феномен двойственности октаэдра и куба, поскольку каждая из этих частей может быть составлена из восьми сферических треугольников, расположенных в порядке, показанном на рис. 4. Их углы равны я/2, я/3 и я/4. Шесть таких частей образуют модель сферы.

Икосаэдральные треугольники более трудоемки в изготовлении из-за большого числа заготовок, но последовательность действий остается той же. Как нам кажется, целесообразно приложить усилия, ибо результат весьма поучителен: на этой модели по сравнению с предыдущими очень явно прослеживается ее внутреннее строение. Вам потребуется 120 заготовок (рис. 5), образующих два энантиоморфных множества по 60 заготовок в каждом. На сей раз части будут пятиугольными, содержащими по десять сферических треугольников (рис. 6). Их углы будут равны я/2, я/3 и я/5. Двенадцать таких частей образуют модель сферы.

Существует еще один способ изготовления моделей, иллюстрирующих треугольники Мёбиуса. Он сводится к построению модели такого многогранника с плоскими треугольными гранями, вершины которого совпадали бы с вершинами сферических треугольников. Если стороны сферического треугольника равны /?, q и г (точнее, /?, q и г суть центральные углы сферы, опирающиеся на эти дуги), то соответствующие стороны плоского треугольника должны находиться в отношении, равном

Соответствующие треугольники для трех разобранных выше случаев показаны на рис. 7—9. Разумеется, в каждом таком случае нужное число плоских треугольников равно числу сферических треугольников. Эти модели можно клеить, придерживаясь той же схемы разбиения на части, что и разобранные выше. Числа, проставленные на рисунках, дают приближенные значения линейных размеров соответствующих плоских треугольников. В качестве линейного масштаба можно взять 1 см; в этом случае вы придете к вполне удовлетворительным результатам.

Сделав некоторые треугольники белыми, а остальные раскрасив в другие цвета, вы добьетесь красивого цветового эффекта. На рис. 10—12 показаны нужные части; внизу приведены таблицы их раскраски.

Рис. 7. Рис. 8. Рис. 9.

Рис. 10.

Раскраска остальных частей энантиоморфна.

Рис. 11.

См. стр. 28 для икосаэдральной таблицы.

Рис. 12.

Заметим, что в тетраэдральном случае у нас имеются четыре части, которые обозначены на таблицах через (1), (2), (3) и (4). В остальных двух случаях нет нужды приводить полные таблицы раскраски для всех частей. Это объясняется тем, что тетраэдр и усеченный тетраэдр — единственные однородные многогранники, вершины которых не разбиваются на диаметрально противоположные пары. В остальных двух случаях центр части (0) условимся считать северным полюсом модели. В октаэдральной модели затем приклеиваются на свои места части (1) и (2), образуя нечто вроде граней куба. За ними следуют энантиоморфные аналоги этих же частей, образуя тем самым как бы боковые грани куба. Энантиоморфный аналог части (0) завершает эту модель.

Наиболее интересен случай икосаэдра. Вы снова начинаете с части (0): склеиваете вместе десять треугольников, чередуя белые с треугольниками других цветов в соответствии с таблицей раскраски икосаэдра на стр.28 Затем подготавливаете части (1), (2), (3), (4) и (5) и приклеиваете их к части (0) по очереди, строя таким образом фигуру, напоминающую додекаэдр. Следующие шесть частей имеют энантиоморфный порядок раскраски и располагаются диаметрально противоположно своим двойникам.

Идеальная симметрия раскраски во всех трех моделях приведет вас в восхищение, но особенно впечатляет последняя. Здесь стоит упомянуть еще и о том, что три наших многогранника двойственны архимедовым телам. Двойственными называются такие многогранники, которые имеют одно и то же число ребер, но при этом число граней одного равно числу вершин другого и, наоборот, число вершин одного равно числу граней другого. Кроме того, и-сторонней грани в одном из них соответствует вершина другого, в которой сходятся п ребер. Только что построенные нами многогранники двойственны многогранни-

Рис. 13.

Рис. 14.

Рис. 15.

Рис. 16

кам, помещенным в книге под номерами 7, 15 и 16 соответственно.

Теперь, если вы сделали разобранные модели, их можно использовать для того, чтобы определить, как расположены вершины, ребра и грани выпуклых однородных многогранников. Это отличная тренировка пространственного воображения. Лучше всего использовать для этой цели сферические модели. Большую помощь окажут приведенные выше диаграммы (рис. 13— 15), изображающие соответственные сферические треугольники наших трех моделей. Вершины диаграмм указывают характерные точки сферических треугольников соответствующей модели. При этом числа, стоящие у вершин, указывают, вершиной какого многогранника на модели является та или иная точка. Соответствующие номера приводятся в сводном списке выпуклых однородных многогранников1. На диаграммах не указаны номера моделей «курносых» тел 17 и 18. Вершины этих тел находятся более сложным способом, описание которого можно найти в специальной литературе (см., например, L. Lines, Solid Geometry, N. Y., Dover Publ., 1965).

1 Так, под номером 12 в списке помещен икосододекаэдр. Мы можем найти этот номер на диаграмме рис. 15, изображающей сферический треугольник для третьей икосаэдральной сферической модели. Из диаграмм видно, что этим номером обозначена вершина прямого угла сферического треугольника. Следовательно, вершины прямых углов всех сферических треугольников этой модели являются вершинами икосододекаэдра.

Тетраэдральная форма

Октаэдральная форма

Икосаэдральная форма

Список выпуклых однородных многогранников

Платоновы тела (правильные многогранники)

1. Тетраэдр

2. Октаэдр

3. Гексаэдр (куб)

4. Икосаэдр

5. Додекаэдр

Архимедовы тела (полуправильные многогранники)

6. Усеченный тетраэдр

7. Усеченный октаэдр

8. Усеченный гексаэдр

9. Усеченный икосаэдр

10. Усеченный додекаэдр

11. Кубооктаэдр

12. Икосододекаэдр}— квазиправильные многогранники

13. (Малый) ромбокубооктаэдр

14. (Малый) ромбоикосододекаэдр

15. Ромбоусеченный кубооктаэдр

16. Ромбоусеченный икосододекаэдр

17. «Курносый» куб

18. «Курносый» додекаэдр

I. ВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.

ПЛАТОНОВЫ И АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА

Общие указания по изготовлению моделей

Первое, чему вы должны научиться, прежде чем строить модели многогранников, это точно и аккуратно вычерчивать нужные вам части. Для выпуклых многогранников ими будут только правильные многоугольники с 3, 4, 5, 6, 8 и 10 сторонами. Но следует помнить, что у выпуклых однородных многогранников все ребра имеют одну и ту же длину. Следовательно, все многоугольники, образующие один многогранник, должны иметь стороны одной длины. А, как легко заметить из чертежей, правильный десятиугольник (декагон), например, значительно больше правильного треугольника с такой же стороной. Это надо всегда иметь в виду при построении моделей и соответственно этому выбирать подходящий масштаб. Подумайте сначала, как вы собираетесь использовать модель и где она будет находиться. В последующих указаниях к моделям будет приведена величина радиуса сферы, которую можно описать вокруг модели. При этом за единицу масштаба мы принимаем половину длины ребра многогранника. Это поможет вам представить себе размеры модели. Удваивая величину радиуса, вы получите диаметр описанной сферы, а его можно принять в качестве приближенного значения высоты тела.

После того как вы со всеми необходимыми предосторожностями сделаете чертежи требуемых частей — правильных многоугольников, — лучше всего изготовить трафареты. Для этого наложите чертеж на лист картона или плотной бумаги и проколите оба листа в вершинах многоугольника тонким шилом (или любой достаточной тонкой и острой иглой). После этого соедините по линейке полученные проколы, воспользовавшись острым карандашом. Аккуратно и ровно вырежьте ножницами трафарет, оставляя поля, отстоящие от карандашной линии примерно на 0,5 см. Итак, трафарет готов.

Теперь уже не составит труда изготовить столько его копий, сколько вам требуется. Для этого нужно наложить трафарет на стопку листов картона. (Лучше, если эти листы предварительно закреплены скрепками.) Не следует брать одновременно больше шести листов. При этом, если, например, вы хотите изготовить одинаковое число фигур различных расцветок, имеет смысл сразу же соединять разноцветные листы. После этого вы снова прокалываете вершины многоугольников, пользуясь трафаретом. Обведите его карандашом и затем уберите или же перенесите на чистый лист. Таким способом вы сделаете столько проколов, сколько сочтете нужным.

Следующий ваш шаг — нарезать стопку картона по только что нанесенной обводке. Обязательно проследите, чтобы листы картона были надежно соединены скрепками. Обычно при такой нарезке листы слегка прогибаются и разрез сдвигается, но пусть это вас не пугает — оставленные поля дают нам достаточный запас. Впрочем, после того как заготовки нарезаны, их несложно подравнять, подрезав края каждой из них в отдельности. Теперь каким-нибудь острым инструментом, например кончиком циркуля, нанесите прямые бороздки по сторонам многоугольника. При этом не забывайте пользоваться угольником или линейкой. Если вы собираетесь изготовить не одну, а несколько моделей, рекомендуем вставить иглу циркуля в держатель — для этой цели подойдет держатель от рейсфедера.

Итак, вы проводите прямые бороздки, которые соединяют проколотые точки. После этого уже нет нужды размечать линии карандашом— границы достаточно заметны. Вот теперь самое время аккуратно подравнять ножницами края заготовки. Как мы уже говорили, каждую из них лучше обработать в отдельности. Срежьте уголки заготовки так, чтобы разрез проходил точно через прокол. После этого наши поля превратились в наклейки, и их следует отогнуть. Проведенные бороздки позволяют сделать это легко и точно. При помощи наклеек заготовки склеиваются друг с другом. Если многоугольник-заготовка имеет острые углы, после отгибания следует

дополнительно подрезать наклейки. Этого не стоит делать заблаговременно, иначе операция усложнится. Со временем вы научитесь с легкостью подгонять все части, причем будете делать это чрезвычайно аккуратно. Помните основное правило: для склеивания надо оставлять как можно больше места и срезать столько, сколько необходимо, чтобы наклейки не мешали одна другой и граням вблизи вершин.

Можете воспользоваться любым клеем, лишь бы он не коробил заготовки. Но вообще-то постарайтесь выбрать тот, что быстрее схватывает. Процедура склеивания чрезвычайно проста: вы наносите клей на одну из наклеек, после чего прижимаете наклейки друг к другу и немного их двигаете, чтобы клей равномерно распределился по поверхностям. Заготовкам следует придать правильное положение, дожидаясь, пока клей подсохнет. В вашей работе время от времени надо пользоваться пинцетами; они особенно полезны при завершении работы, когда модель приобретает окончательную форму. Хорошо также иметь зажимы; они очень нужны для сложных моделей. Зажимы легко изготовить из пружины, между витками которой помещаются склеиваемые поверхности.

На собственном опыте вы вскоре убедитесь, что способ изготовления моделей склеиванием отдельных граней, который мы предлагаем, позволяет получить на редкость жесткие конструкции. Это объясняется тем, что наклейки, оставляемые нами на каждой грани, служат дополнительными ребрами, придающими жесткость каждому ребру модели. Вот почему лучше следовать нашему правилу и оставлять наклейки с каждой стороны любой заготовки. Конечно, возможны иногда отступления, но лишь в крайних случаях, в частности при изготовлении сложных моделей, которые описаны в этой книге ниже. В основном же для любых выпуклых многогранников лучше оставлять все наклейки.

Первыми мы рассмотрим выпуклые однородные многогранники. Их модели проще всего изготовить, и вы, мы полагаем, согласитесь, что с них и лучше всего начать.

В приводимых ниже инструкциях часто употребляется слово «заготовка». Применительно к этой книге оно означает часть или набор частей, из которых склеивается модель конструкции. Во многих описаниях встречается и вершинная фигура соответствующего многогранника: она содержит информацию о порядке, в котором следуют грани многогранника, сходящиеся в одной вершине. Вершинную фигуру можно рассматривать как основание пирамиды с боковыми ребрами единичной длины, сходящимися в данной вершине многогранника. Иными словами, ее можно представлять себе как фигуру, образованную последовательным соединением точек, принадлежащих ребрам многогранника, исходящим из одной вершины и удаленным на 1 от рассматриваемой вершины. Каждый однородный многогранник полностью задается своей вершинной фигурой (см. [18], стр. 404).

Говоря о раскраске моделей, мы будем часто ссылаться на основной принцип раскраски карт. В применении к многогранникам он означает, что грани многогранника, имеющие общее ребро, должны быть окрашены в разные цвета.

1 Тетраэдр

Простейшим среди многогранников является тетраэдр. Его четыре грани — равносторонние треугольники. Четыре — это наименьшее число граней, отделяющих часть трехмерного пространства. Тем не менее тетраэдр обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Все его грани суть правильные многоугольники, причем каждая отделяется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетраэдра также равны между собой. Модель тетраэдра можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все четыре треугольные грани. Однако в этом случае все грани будут одного цвета. Подобным же образом все выпуклые многогранники можно сделать с помощью одной развертки и тем самым одноцветными [19]. Если же вы хотите сделать модель тетраэдра (как и любого многогранника) разноцветной, следует приготовить развертки для каждого типа грани в виде отдельного многоугольника. Для тетраэдра вам понадобится всего один трафарет в виде равностороннего треугольника.

Сделайте четыре заготовки разного цвета — например. Ж, С, О и К. Не забудьте оставить наклейки с каждой стороны, как показано на рисунке внизу (справа). Теперь склейте все четыре заготовки вместе в положение, показанное внизу слева. Соедините несклеенные боковые грани и склейте вначале только две из них между собой. Затем наложите клей на оставшиеся наклейки и приклейте последнюю грань, как бы закрывая коробку. Дальнейшее сделают внутренние напряжения в модели, ваши пальцы, приложенные к ее ребрам, и высыхающий клей.

2 Октаэдр

Октаэдр — это многогранник, гранями которого являются восемь равносторонних треугольников. Так как его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях, то можно превосходно обойтись всего четырьмя красками. Модель этого многогранника вы начинаете делать, склеивая четыре треугольника, как показано на рисунке внизу справа. После того как вы склеите между собой грани 1 и 4, в ваших руках окажется правильная четырехугольная пирамида без квадратного основания. Эта часть составляет ровно половину модели.

Вторая половина энантиоморфна первой. Тем не менее проще продолжить работу в такой последовательности: сначала приклейте наклейки четырех оставшихся треугольников к соответствующим наклейкам на сторонах квадратного основания. (Проследить, чтобы противоположные грани октаэдра имели один и тот же цвет, нетрудно.) Затем последовательно склейте наклейки соседних граней, снова закрывая модель последним треугольником, как крышкой. Теперь вы можете заметить, что квадрат, только что послуживший основанием первой половины модели, на самом деле всего лишь один из трех квадратов такого рода, которые можно видеть на полной модели. При этом ребра квадратов лежат в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Это обстоятельство будет впоследствии использовано при построении невыпуклого многогранника 67.

3 Гексаэдр (куб)

Несомненно, куб, или, как его иногда называют математики, гексаэдр — самый общеизвестный и широко используемый многогранник. Все шесть его граней — квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каждой вершине. Вы можете начать постройку модели куба, выбрав один квадрат и присоединив к нему четыре других, как показано на рисунке слева. Затем вы склеите наклейки соседних боковых граней, причем склеенные попарно наклейки вновь образуют как бы жесткий скелет многогранника. Остается добавить последнюю грань, и это действие уже с полным правом можно будет уподобить закрыванию ящика крышкой.

Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный многогранник. Но он обладает несколькими удивительными свойствами в отношении других Платоновых и некоторых архимедовых тел. А объединение пяти кубов можно поместить в додекаэдр, и при этом получается очень красивая модель [19]1.

1 Факт существования этих пяти кубов может быть положен в основу доказательства неразрешимости в радикалах общего уравнения 5-й степени (ср. со сноской на стр. 10).

4 Икосаэдр

Икосаэдр — одно из пяти Платоновых тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединяет то обстоятельство, что гранями каждого являются равносторонние треугольники. При изготовлении модели икосаэдра можно выбрать любую из двух эффектных возможностей распределения пяти цветов. Во-первых, икосаэдр может быть раскрашен так, что у каждой вершины встретятся все пять цветов (правда, в таком случае противоположные грани не будут окрашены одинаково). Другой способ обеспечивает противоположным граням одинаковые цвета, зато у каждой вершины, за исключением двух полярных, будет повторяться по кругу один цвет. Обе раскраски очень интересны и для наших целей полезны, ибо многие описанные ниже однородные многогранники имеют икосаэдральную симметрию. Быть может, по этой причине вы сочтете нужным впоследствии иметь две модели икосаэдра с разной раскраской. Обе модели можно строить, исходя из одного и того же начального расположения пяти равносторонних треугольников, как показано на рисунке в центре. Они образуют невысокую пятиугольную пирамиду без основания. К сторонам ее основания приклейте следующие пять треугольников, руководствуясь той или иной таблицей раскраски. Между ними вы приклеете по одному треугольнику — это сделать несложно, если обратить внимание на то, что в каждой вершине сходятся пять граней. Завершая модель, приклейте последние пять треугольников.

Чтобы облегчить пользование таблицами раскраски, запомните: первая строка любой таблицы задает раскраску пяти треугольников, окружающих

Первая таблица раскраски

Вторая таблица раскраски

«северную полярную» вершину икосаэдра. Последующие две строки указывают раскраску «экваториального» кольца из десяти чередующихся равносторонних треугольников. Наконец, четвертая строка показывает раскраску граней у «южного полюса» икосаэдра.

Если вас интересует порядок раскраски не только вблизи «полюсов», но и у других десяти вершин, то по нашим таблицам его тоже легко найти. Надо совершить круговой обход по таблице по следующему правилу: начиная с двух соседних цветов в крайней строке, опуститься (или подняться) на следующую строку, затем еще на одну и после этого вернуться на исходные. Например:

Это наводит нас на мысль о том, что таблицы раскраски можно задавать совершенно по-иному — нумеруя вершины и выписывая порядок чередования цветов у каждой из них. Правда, это приведет к тому, что каждая треугольная грань икосаэдра будет поименована в такой таблице трижды, но все же таблицы удобны: с их помощью легче последовательно «обклеивать» вершину. Мы воспользуемся ими впоследствии при построении более сложных моделей. Для икосаэдра таблицы этого типа выглядят так:

Первая таблица раскраски

Вторая таблица раскраски

Здесь указаны раскраски только шести вершин, причем вершина (0) — снова «северный полюс» икосаэдра. Для обеих моделей вершины, противоположные этим, имеют энантиоморфную раскраску. Ее можно получить, читая соответствующую строку в обратном порядке, то есть справа налево. Как только вы немного поэкспериментируете с построенной моделью, вы вполне уясните себе все, чего не поняли в этих объяснениях.

5 Додекаэдр

В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди Платоновых тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чем-то и превосходит). Пожалуй, пальму первенства додекаэдр получает за свои три звездчатые формы, описываемые ниже.

Модель этого многогранника можно сделать четырехцветной двумя способами; если же воспользоваться для раскраски шестью цветами, то противоположные грани легко сделать одноцветными. Такую раскраску хорошо перенести на упомянутые выше звездчатые формы додекаэдра. Приводим описание.

Построение модели вы начинаете с приклеивания пяти разноцветных пятиугольников — скажем, Ж, С, О, К, 3 — к одному центральному пятиугольнику, например белого цвета (Б). После этого вам следует склеить цветные пятиугольники между собой — и половина дела сделана. (Об этой половине додекаэдра мы будем говорить впоследствии в связи с моделями звездчатых форм икосаэдра, для которых она может служить в качестве строительной рамы. Правда, там нам придется вывернуть ее наизнанку, но для построения модели додекаэдра этого делать не следует — пусть наклейки останутся внутри модели.) Остается подклеить остальные грани додекаэдра к уже сделанной половине таким образом, чтобы противоположные грани были одноцветными.

На рисунке показана четырехцветная раскраска додекаэдра. Можно воспользоваться и энантиоморфным порядком цветов. Иногда удобнее обращаться именно к такой раскраске — особенно для моделей, имеющих симметрию додекаэдра. Поэтому мы сочли нужным привести ее здесь.

6 Усеченный тетраэдр

Этот многогранник будет выглядеть весьма эффектно, если его шестиугольные грани раскрасить теми же цветами, в которые были выкрашены четыре грани тетраэдра, а все треугольные грани сделать одноцветными, используя новый цвет. Другой способ раскраски основан на том, что каждая треугольная грань получает тот же цвет, что и противоположная шестиугольная, параллельная ей. Именно такую раскраску мы и приводим. Если вы подклеите все заготовки в указанном ниже порядке, то получите развертку с правильно раскрашенными гранями.

Вам остается только попарно склеить остальные наклейки способом, описанным для модели тетраэдра.

Эту же модель можно построить и по-другому. Сначала вы делаете чашу в форме тетраэдра, развертка которой показана на рисунке внизу слева. Дно чаши будет треугольным, а стенки — шестиугольными. При этом соединенные наклейки превратятся в жесткие ребра по углам чаши, находящиеся внутри нее. Затем вы склеиваете треугольники и шестиугольник между собой (лучше оставить одну треугольную грань напоследок, крепко приклеив ее только одной стороной) и закрываете отверстие, как закрывают крышку ящика.

Такой способ рекомендуется применять при построении всех моделей.

7 Усеченный октаэдр

Если вы успешно справились с предыдущей моделью, то теперь знаете способ, которым мы воспользуемся для построения усеченного октаэдра. Раскраска шестиугольных граней модели должна совпадать с раскраской граней октаэдра, а именно: четыре пары противоположных шестиугольных граней раскрашиваются в четыре разных цвета. Для квадратов же мы используем пятый цвет. Построение модели вы начинаете, окружая один шестиугольник четырехугольными и шестиугольными гранями, одна за другой, как показано на рисунке справа. Склеив соседние грани, вы получите чашу, образующую ровно половину модели.

После этого вам не составит труда подклеить остальные части — нужно только проследить за тем, чтобы противоположные грани были одного цвета. В последнюю очередь надо подклеить какой-нибудь квадрат. Вряд ли следует вам напоминать, что до тех пор, пока вы его не приклеите, модель будет легко деформироваться. После завершения работы модель окажется весьма жесткой — это характерно для всех выпуклых многогранников.

8 Усеченный гексаэдр (куб)

Этот многогранник представляет собой всего-навсего усеченный куб. Вряд ли его модель кого-нибудь особо привлечет, но следует помнить, что это все-таки тоже однородный многогранник.

Раскраску восьмиугольных граней модели можно скопировать с раскраски куба, а для всех треугольных граней выбрать четвертый цвет. Изготовление этой модели можно начать с того, чтобы окружить один восьмиугольник соседними треугольниками и восьмиугольниками, как показано на рисунке. Склеив между собой наклейки соседних восьмиугольников, оставьте треугольные отверстия, которые потом заклейте треугольниками. Как и в предыдущих моделях, хорошенько приклейте одну сторону треугольной грани, а затем закройте отрерстие треугольной крышкой. Все это нетрудно сделать, пока модель на закрыта и имеется доступ внутрь.

В последнюю очередь вы приклеиваете желтый (Ж) восьмиугольник, а четырьмя красными (К) треугольниками закрываете углы. Обратите внимание: по сравнению с предыдущими моделями изготовление этой модели требует от вас большей ловкости и аккуратности. Но мы не сомневаемся, что, если вы на этом не остановитесь, а продолжите работу по построению моделей, нужные навыки придут к вам сами.

9 Усеченный икосаэдр

Поскольку этот многогранник есть не что иное, как усеченный вариант икосаэдра, то естественно раскрасить его шестиугольные грани теми же пятью цветами, которыми были раскрашены грани икосаэдра, а для пятиугольных граней выбрать новый цвет. Если вы воспользуетесь таблицей раскраски икосаэдра, вам будет нетрудно правильно расположить цвета и изготовить эту модель.

Начните с белого (Б) пятиугольника, обклеив его пятью разноцветными шестиугольниками — Ж, С, О, К, 3. Внимательно проследите за каждым новым кольцом шестиугольников, добавляя всякий раз белый пятиугольник в его центр. Таким способом вы легко подклеите недостающие пять колец шестиугольников. Разумеется, каждый шестиугольник будет входить в три таких кольца. Законченная модель весьма привлекает чередованием разноцветных пяти- и шестиугольных граней.

10 Усеченный додекаэдр

Гранями этого многогранника являются правильные треугольники и десятиугольники. Здесь для десятиугольных граней мы можем вновь воспользоваться четырехцветной раскраской додекаэдра, сделав все треугольники, например, оранжевого цвета. Исходный красный (К) десятиугольник окружите последовательно десятиугольниками следующих цветов: Ж, С, 3, С, 3, а все треугольные отверстия закройте оранжевыми (О) треугольниками. Следующие пять десятиугольников будут иметь цвета: Ж, К, Ж, С, К. При этом первые из них (Ж) надо подклеить к тому зеленому (3) десятиугольнику, который расположен между двумя синими (С) десятиугольниками. После того как вы это сделали, приклейте на свои места остальные треугольники.

Эта модель не выглядит особо привлекательной, возможно, потому, что площади треугольников слишком малы по сравнению с площадями десятиугольников. Исходя из этого, при изготовлении модели необходимо как-то укрепить или усилить десятиугольные грани изнутри, иначе они будут легко сминаться. Для этой цели лучше всего воспользоваться более плотным картоном. Впрочем, если модель не слишком велика, надобности в таком усилении нет.

11 Кубооктаэдр

Само название многогранника указывает на некую близость его к кубу и к октаэдру. Такая близость существует в действительности. Шесть квадратных граней этого многогранника принадлежат граням некоторого куба, тогда как восемь треугольных граней принадлежат граням октаэдра. Если впоследствии вы захотите сделать модель соединения этих двух Платоновых тел, то на ней вы отчетливо увидите, что кубооктаэдр является их общей частью1.

При изготовлении этой модели можно использовать для раскраски квадратов те же цвета, что и для граней куба, а все треугольные грани сделать одноцветными.

Прежде всего подклейте к одному треугольнику три квадрата, как это показано на рисунке вверху. Затем с помощью еще трех треугольников склейте подобие чаши с треугольным дном и стенками, составленными из квадратов и треугольников, которые чередуются между собой. По окончании этой работы вы получите половину модели. После этого вам будет нетрудно подклеить недостающие грани. Проследите только за тем, чтобы противоположные квадратные грани имели один и тот же цвет.

Важнейшим свойством этого многогранника является то, что он имеет грани двух типов, причем каждая грань одного типа соседствует только с гранями другого типа. Многогранники, обладающие этим свойством, называются квазиправильными.

1 Другими словами, кубооктаэдр есть пересечение куба К и октаэдра О подходящих размеров (в современной символике КО = К^О), расположенных так, что центры К и О совпадают и диагонали октаэдра перпендикулярны граням куба.

12 Икосододекаэдр

Икосододекаэдр, подобно кубооктаэдру, являет собой квазиправильный комбинированный многогранник. Его также можно рассматривать как общую часть соединения двух тел — икосаэдра и додекаэдра. При раскраске икосододекаэдра можно ограничиться пятью цветами: если сделать все треугольные грани желтыми (Ж), то остальными четырьмя цветами можно раскрасить пятиугольные грани, подобно тому как раньше мы раскрашивали додекаэдр.

Вы можете начать работу, подклеив к исходному синему (С) пятиугольнику пять желтых треугольников. Следующие пять пятиугольников приклеиваются так, чтобы каждый из них двумя соседними гранями соединялся с двумя треугольниками. Цвета для пятиугольников — О, К, 3, К, 3. Подклеив в промежутки между пятиугольниками недостающие пять треугольников, мы получим ровно половину модели. При этом оставшиеся наклейки будут находиться по сторонам правильного десятиугольника. Продолжая работу, вы будете подклеивать к ним треугольники и пятиугольники в чередующемся порядке.

Начните с треугольных граней, подклеив их к свободным сторонам пятиугольников. Затем подклейте оранжевый (О) пятиугольник так, чтобы его вершина совпала с вершиной того зеленого (3) пятиугольника, который находится между двумя красными (К). Порядок раскраски пятиугольников таков: О, С, О, К, С. Последний зеленый (3) пятиугольник добавляется после того, как подклеена часть оставшихся треугольников. Изготовление модели заканчивается как обычно.

На модели ясно видны пять различных «экваториальных» поясов, образованных ребрами многогранника. Это свойство используется при построении моделей некоторых невыпуклых однородных многогранников.

13 Ромбокубооктаэдр

Название многогранника и на этот раз объясняет его происхождение. Множество квадратных граней ромбокубооктаэдра разбивается на два подмножества, каждому из которых можно отнести свой цвет. Для треугольников естественно выбрать третий цвет.

При построении этой модели можно начать со склейки показанных на рисунке частей, которые образуют неглубокую чашу с восьмиугольным верхним краем. К свободным наклейкам подклеиваются квадраты, причем их раскраска должна чередоваться в порядке, который указан второй строкой таблицы раскраски. Например, каждый красный (К) квадрат «экваториального» пояса подклеивается к синему (С) треугольнику, а каждый желтый (Ж) квадрат — к красному (К) квадрату. После этого легко закончить модель, подклеивая части по отдельности и продолжая чередовать цвета соседних квадратов. В результате получается довольно красивая модель, хотя ее гранями являются лишь правильные треугольники и квадраты.

Следует отметить, что, повернув одну восьмиугольную чашу ромбокубооктаэдра на угол 45° по отношению ко всему телу, можно получить многогранник, называемый псевдоромбокубооктаэдром. Это новое тело имеет равные многогранные углы. Однако оно не относится к архимедовым телам, ибо в нем перепутаны квадратные грани, имеющие кубическое и ромбическое происхождение1.

1 Этот многогранник не был известен на протяжении двух тысяч лет, видимо, именно потому, что его нельзя получить при помощи описанной выше процедуры ромбического усечения. Однако его, очевидно, следует включить в список архимедовых (или полуправильных) тел, если характеризовать эти тела не просто как известные Архимеду, а, к примеру, исходить из определения, которое приводит автор (и которое, видимо, давал сам Архимед). Любопытно отметить, что в конце 50-х—начале 60-х годов текущего столетия «брешь» в стройной теории архимедовых тел независимо обнаружили сразу несколько математиков в разных странах. Первым здесь, видимо, был советский ученый В. Г. Ашкинузе (1957); западные же ученые в этой связи чаще ссылаются на публикацию югославского математика С. Билинского от 1960 года.

14 Ромбоикосододекаэдр

Эта модель принадлежит к числу наиболее привлекательных среди всех других моделей архимедовых тел. Простейшее и наиболее естественное распределение красок на модели этого многогранника сводится к тому, что каждый из трех типов граней получает свой цвет. Например, все треугольники — желтый (Ж), все квадраты — синий (С) и все пятиугольники — оранжевый (О). Вы можете подряд обклеивать каждый пятиугольник квадратными гранями, каждые две из которых будут связаны промежуточной треугольной гранью.

С различными вариациями этого многогранника вы встретитесь в дальнейшем при рассмотрении невыпуклых однородных многогранников. Возможны также вариации раскраски — их подсказывает сама форма многогранника. Многие из этих раскрасок весьма эффектны.

15 Ромбоусеченный кубооктаэдр

Этот многогранник, известный также под названием усеченного кубооктаэдра, как и предыдущий, устроен так, что допускает простую раскраску: три разных цвета служат для окраски пар противоположных восьмиугольных граней, четвертый цвет — для всех шестиугольников, пятый — для всех квадратов. Как обычно, приступая к построению модели, вы составляете в чашу исходные заготовки, показанные на рисунке. После этого подклеиваете четыре восьмиугольника в соответствии с указаниями во второй строке таблицы раскраски. Завершить работу не составляет никакого труда.

Эта модель несколько более запутанная и сложнее в изготовлении, чем предшествующие, но вместе с тем и более интересная.

16 Ромбоусеченный икосододекаэдр

Этот многогранник часто называют также усеченным додекаэдром. Красивую раскраску его модели можно получить самым простым способом: все десятиугольники пусть будут одноцветными, скажем, желтыми (Ж), все шестиугольники — синими (С) и все квадраты — оранжевыми (О).

Для построения модели вам предстоит выполнить уже знакомую последовательность действий: окружите каждый десятиугольник чередующейся последовательностью шестиугольников и треугольников, образующих кольцо. Тем самым любые два десятиугольника будут отделены друг от друга подобным кольцом, причем каждая квадратная грань будет принадлежать в точности двум разным кольцам. Близкие к этому многограннику тела найдутся также среди невыпуклых многогранников, которые мы будем разбирать в дальнейшем.

Поскольку ромбоусеченный икосододекаэдр имеет десятиугольные грани, то для обеспечения необходимой жесткости модели эти грани следует делать из более плотного картона. Однако при небольших размерах модели требуемая жесткость обеспечивается автоматически.

17 Курносый куб

Этот многогранник можно вписать в куб таким образом, что плоскости шести квадратных его граней совпадут с плоскостями граней куба, причем эти квадратные грани курносого куба окажутся как бы слегка повернутыми по отношению к соответственным граням куба1. К каждой стороне квадрата примыкает треугольная грань, поэтому квадрат выглядит окруженным треугольниками. Таких треугольников всего 24. Кроме того, восемь дополнительных треугольников закрывают отверстия, остающиеся после склеивания предыдущих заготовок.

Подобное строение многогранника подсказывает следующую его раскраску. Три противоположных квадрата раскрашиваются тремя красками. Прилегающие к каждому квадрату треугольники одноцветны, но в силу соблюдения основного принципа раскраски карт этот цвет меняется в зависимости от раскраски соответствующего квадрата. Для раскраски треугольников используются те же три цвета, что и для квадратов. Наконец, четвертым цветом отмечаются все восемь дополнительных треугольников.

При изготовлении модели следует пользоваться таблицей раскраски, указывающей распределение цветов для первых трех частей модели. Эти части затем склеиваются вместе, причем в качестве связок между разноцветными треугольниками используются дополнительные красные (К) треугольники. Склеенные подобным образом три части образуют половину модели. Точно так же выполняется и вторая половина работы, нужно только проследить за тем, чтобы противоположные квадратные грани модели имели одинаковую раскраску2.

1 См. сноску на стр. 13.

2 Это значит, что примыкающие к новым квадратным граням треугольники также должны быть раскрашены в соответствии с таблицей.

18 Курносый додекаэдр

Этот многогранник находится в таком же отношении к правильному додекаэдру, в каком курносый куб находится к правильному гексаэдру (кубу). Чтобы раскрасить модель, возьмите все пятиугольники одного цвета, скажем желтого (Ж). Заметьте, что каждый из них окружен пятью треугольниками и всем таким треугольникам можно было бы дать один цвет. Однако допустима и другая раскраска, при которой у каждой пятерки треугольников будет свой цвет, соответствующий четырехцветной раскраске додекаэдра. При этом дополнительные связующие треугольники также можно сделать желтыми.

* * *

Курносый додекаэдр — последний из семейства выпуклых однородных многогранников. Перейдем к некоторым звездчатым формам и соединениям различных многогранников, после чего возвратимся к однородным многогранникам, но уже невыпуклым.

II. НЕКОТОРЫЕ ЗВЕЗДЧАТЫЕ ФОРМЫ И СОЕДИНЕНИЯ

Замечания о звездчатых формах и соединениях платоновых тел

Термин «звездчатый» имеет общий корень со словом «звезда», и это указывает на его происхождение. Существуют звездчатые многоугольники и звездчатые многогранники. Чтобы разобраться в существе дела, обратимся к чертежам и моделям.

Начнем с простейшего многоугольника — равностороннего треугольника. Посмотрим, что произойдет, если мы продолжим все три его стороны. Легко заметить, что этими прямыми не будет ограничена никакая новая часть плоскости: продолжения сторон будут расходиться (рис. 17). Аналогичная картина предстанет перед нами и в том случае, если мы попытаемся продолжить стороны квадрата. Построенные прямые будут попарно параллельны и не пересекутся, сколько бы их ни продолжали (рис. 18). Тем самым они не добавят никаких новых ограниченных частей плоскости к внутренности квадрата. Однако в случае пятиугольника картина меняется. Продолжения сторон пятиугольника пересекаются во внешней по отношению к пятиугольнику части плоскости, добавляя к пятиугольнику новые части. В результате получается хорошо известная нам пятиконечная звезда, иначе называемая пентаграммой (рис. 19). Пентаграмма была известна в глубокой древности, что явствует хотя бы из того, что пифагорейцы считали ее символом здоровья. Продолжение сторон шестиугольника приводит к появлению шестиугольной звезды, или гексаграммы (последнюю можно рассматривать не как единый многоугольник, а как соединение двух равносторонних треугольников).

Аналогично правильный восьмиугольник (октагон) приводит нас к восьмиугольной звезде — октаграмме, правильный десятиугольник (декагон) — к десятиугольной звезде, или декаграмме. Пентаграмму, октаграмму и декаграмму можно рассматривать как нераспадающиеся единые многоугольники соответственно с 5, 8 и 10 сторонами, поскольку существует непрерывный обход их вершин по сторонам вокруг центров. При этом в случае пентаграммы, например, совершая полный обход в порядке, определяемом номерами 0—5 (рис. 21), мы делаем два оборота вокруг центра пентаграммы, тогда как при обходе пятиугольника (рис. 20) мы делаем

Рис. 17. Рис. 18. Рис. 19.

Рис.20. Рис.21. Рис.22. Рис.23.

лишь один оборот. В случае же октаграммы и декаграммы получается по три оборота вокруг центра (рис. 22 и 23). Заметим, что внутренние точки пересечения мы не рассматриваем как вершины звезды. Указанное выше обстоятельство учитывается в символических обозначениях звездчатых многоугольников. В нашем случае пентаграмма, октаграмма и декаграмма обозначаются соответственно через 5/2, 8/3 и 10/3. Эти звезды могут принимать, кроме того, и иные очертания, но в дальнейшем мы будем говорить лишь об описанных выше формах ([4], стр. 63 и след.).

Если теперь обратиться к аналогичному процессу в трехмерном пространстве, то естественно снова начать с простейшего многогранника — тетраэдра. Разумеется, здесь нам потребуется продолжить не ребра, но грани многогранника. Однако четыре плоскости — продолжения граней тетраэдра — ограничивают лишь ту часть трехмерного пространства, которая совпадает с исходным телом. Шесть плоскостей куба попарно параллельны и взаимно перпендикулярны, подобно сторонам двумерного аналога куба — квадрата. Поэтому и в трехмерном случае к кубу не добавляется новых частей. Но уже случай октаэдра дает интересные результаты. Восемь плоскостей — продолжения граней октаэдра — отделяют от пространства новые части, так сказать, «отсеки», внешние по отношению к октаэдру. Вы обнаружите, что эти части суть не что иное, как малые тетраэдры, основания которых совпадают с гранями октаэдра. Если вы теперь мысленно присоедините эти части к октаэдру таким образом, чтобы их общие с октаэдром грани исчезли, оставив нутро нового тела полым, перед вашим взором возникнет невыпуклый многогранник.

Однако с таким же успехом вы можете представить себе этот многогранник и в виде множества пересекающихся треугольных граней, вершины которых совпадают с вершинами малых тетраэдров. Эти треугольные грани обладают свойством, отмеченным у выпуклых многогранников, а именно: каждое ребро этих треугольников принадлежит в точности двум таким граням. Разумеется, эти ребра пересекаются, но внутренние точки пересечения этих отрезков не следует рассматривать в качестве вершин многогранника, подобно тому как мы поступали в случае плоских звездчатых многогранников. Ведь и там каждая сторона, например пентаграммы, пересекалась двумя другими, но точки их пересечения не рассматриваются как делящие сторону. Подобным же образом в звездчатом октаэдре мы находим лишь восемь граней, и только концы ребер считаем вершинами многогранника.

Впрочем, дальнейшее тщательное изучение наводит нас на мысль о том, что этот многогранник на самом деле есть не единое тело, но соединение двух пересекающихся тетраэдров, центры которых совпадают с центром исходного октаэдра, причем эта точка является центром симметрии всего тела. Этот многогранник открыл Кеплер в 1619 году и дал ему имя Stella octangula1.

Еще одна особенность этого тела заключается в том, что восемь его вершин лежат в вершинах некоторого куба, а ребра являются диагоналями граней этого куба.

Продолжать дальше грани октаэдра не имеет смысла, ибо они не отделят более никакой части пространства, не создадут новых «отсеков». Поэтому октаэдр имеет лишь одну звездчатую форму.

Если же обратиться к додекаэдру, продолжив его грани как и в случае октаэдра, можно обнаружить, что это приведет к образованию трех различных типов отсеков. Вблизи самого додекаэдра имеется 12 пятиугольных пирамид. Эти пирамиды превращают додекаэдр в малый звездчатый додекаэдр. За ними следуют 30 клинообразных отсеков, превращающих малый звездчатый додекаэдр в большой додекаэдр. Наконец 20 треугольных бипирамид2 превращают большой додекаэдр в большой звездчатый додекаэдр, который, пожалуй, точнее было бы назвать звездчатым большим

1 Stella octangula (лат.) — восьмиугольная звезда.

2 Бипирамидой называется многогранник, образованный из двух л-угольных пирамид, которые сложены равными основаниями (и находятся по разные стороны от общего основания).

додекаэдром. Это завершающая звездчатая форма додекаэдра, который имеет три такие формы: две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809).

Теперь вас, возможно, заинтересует то обстоятельство, что в отличие от октаэдра любая из звездчатых форм додекаэдра не является соединением Платоновых тел, но образует новый многогранник. На самом деле эти многогранники правильные, поскольку два из них имеют гранями по 12 пересекающихся пентаграмм, а грани третьего — 12 пересекающихся пятиугольников (пентагонов). Коши (1811) доказал, что эти три многогранника, открытые ранее, на самом деле не что иное, как звездчатые формы додекаэдра [24]. Он также установил, что вместе с большим икосаэдром — звездчатой формой икосаэдра — они являются единственно возможными правильными звездчатыми телами. Так, к пяти правильным телам, известным еще древним ученым, математики более близкой к нам эпохи добавили четыре звездчатых многогранника, гранями которых могут быть правильные или звездчатые многоугольники. По-прежнему грани соединяются попарно в ребрах, но до этого они пересекаются с другими гранями. При этом внутренние линии пересечения не считаются ребрами. Все эти свойства отчетливо прослеживаются на моделях звездчатых тел.

Перед построением этих моделей небезынтересно ознакомиться с устройством трафаретов, задающих какую-либо одну лицевую звездчатую грань. Остальные грани имеют аналогичное строение. Трафаретом для октаэдра будет служить равносторонний треугольник, из которого следует вырезать треугольник с вершинами в серединах сторон (рис. 24). Этот внутренний треугольник является гранью исходного октаэдра, вне которого расположена Stella octangula. Трафаретом для додекаэдра служит звездчатый многоугольник без вырезанного звездчатого многоугольника (рис. 25). Нумерация показывает, какие части образуют внешние по отношению к граням куски. С помощью таких трафаретов вы сможете сделать заготовки, необходимые для изготовления моделей.

На следующих страницах светлой штриховкой обозначены те части граней, которые видны с соответствующих вершин многогранника, лежащих над рассматриваемой гранью. Черным цветом показана часть этой же звездчатой грани, видимая с противоположной стороны. По всем выделенным частям мы получаем возможность судить, какими должны быть заготовки для той или иной модели.

Рис. 24.

Рис. 25.

19 Звездчатый октаэдр (stella octangula Кеплера)

У октаэдра есть только одна звездчатая форма. Ее можно рассматривать как соединение двух тетраэдров. Для изготовления модели вам потребуются заготовки лишь одного типа — одинаковые равносторонние треугольники. На рисунке внизу приведена таблица раскраски для первых четырех треугольных пирамид, каждая из которых имеет в основании правильный треугольник. Они подклеиваются друг к другу таким образом, чтобы отсутствующие нижние основания образовывали как бы верхушку октаэдра. При этом грани октаэдра на самом деле будут заменены этими пирамидами. Сделав половину модели, вы заметите, что каждая ее грань окрашена в собственный цвет1. Вы также обнаружите, что параллельные грани имеют одну расцветку. Остающиеся четыре пирамиды энантиоморфны первым. Таблицу раскраски для них можно получить, переставив в приводимой таблице первый и третий столбцы.

Несмотря на простоту, модель весьма эффектна.

1 Напомним, что грань здесь образует не один треугольник, а три заштрихованных на чертеже.

20 Малый звездчатый додекаэдр

Этот многогранник — одно из тел Кеплера — Пуансо. В качестве трафарета вам необходим всего лишь равнобедренный треугольник с углами 72°, 72 и 36°. Такой треугольник образует любой луч пятиконечной звезды — пентаграммы. Пять склеенных треугольников образуют часть модели, примыкающую к любой вершине. Ниже указаны порядок склеивания и распределение раскраски.

Рекомендуем подклеивать не отдельные треугольники, а сразу же заранее заготовленные пятиугольные пирамиды одна к одной. Назовем такую пирамиду верхушкой. Начните с верхушки (0) и подклейте к ней наклейками подряд все пять остальных белых (Б) треугольников. Вы увидите, что образовалась белая звезда. В этом-то и заключался наш основной принцип: все части звездчатых многоугольников должны были иметь одну раскраску.

Кроме того, теперь видны и остальные звездчатые грани — подклеены две из пяти частей каждой из них. Следующие шесть верхушек энантиоморфны исходным, и их следует приклеивать сразу же после изготовления. Каждая должна занимать место, диаметрально противоположное тому, которое занимает ее двойник.

Описанный способ приводит к построению полой внутри модели, что может оказаться причиной недостаточной ее жесткости. При этом каждая верхушка будет легко деформироваться, ибо она представляет собой боковую поверхность пятиугольной пирамиды без скрепляющего ее основания. Попробуйте подклеить эти верхушки к граням додекаэдра как к основаниям пирамид. К сожалению, вид у такой модели не очень привлекательный и вряд ли удовлетворит вас. Лучше уж сделайте небольшую полую модель. Достаточно удовлетворительные результаты можно получить и в том случае, если изнутри хорошенько смазать клеем части, близко примыкающие ко всем вогнутым (ложным) вершинам многогранника, не забывая соединять наклейки по всей длине. Возможно, ваша изобретательность подскажет, как сделать модель более прочной.

21 Большой додекаэдр

Этот многогранник составлен из 12 пересекающихся пятиугольных граней. Если выполнить модель в шести цветах, то очень заметны выступающие над плоскими гранями пятиугольные звезды. При этом каждый луч будет принадлежать в точности двум соседним звездам. Для этой модели нужен трафарет в виде равнобедренного треугольника с углами 36°, 36 и 108°. Проще всего соединить заготовки между собой таким образом, чтобы получить 20 треугольных пирамид (вершинами вниз!), а затем склеить пирамиды вместе способом, напоминающим тот, что мы применяли при склейке 20 треугольников, образующих икосаэдр. Порядок склейки и таблица раскраски приводятся на рисунке.

Треугольники 5 склеиваем с треугольниками 2 и получаем половину модели. Остальные ее части энантиоморфны полученным и расположены на диаметрально противоположных местах.

22 Большой звездчатый додекаэдр

Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра. Модель многогранника можно изготовить, подклеивая треугольные пирамиды к граням икосаэдра. Но мы не рекомендуем этот способ: получится неаккуратная и потому не удовлетворяющая вас модель. Не составит большого труда выполнить модель целиком полой; она окажется достаточно жесткой. Это объясняется тем, что треугольные пирамиды даже без оснований обладают удовлетворительной прочностью. В качестве заготовок вам потребуются равнобедренные треугольники с углами 36°, 72 и 72° — лучи пятиконечной звезды. Их надо склеить между собой так, как показано на рисунке вверху и в соответствии с таблицей раскраски.

Первые пять пирамид (1, 2, 3) склеиваются между собой в кольцо таким образом, чтобы внешние ребра образовали треугольники 1. Их стороны дадут нам пятиугольник. Сюда белыми (Б) треугольниками подклеиваются остальные пирамиды (4, 5, 6). Обратите внимание, что лучи звезд, лежащих в одной плоскости, одинакового цвета. Остающиеся части энантиоморфны полученным и располагаются на диаметрально противоположных двойникам местах. Эта модель очень декоративна.

Замечания о звездчатых формах икосаэдра

Надо полагать, теперь вы достаточно уяснили процесс, посредством которого получаются звездчатые формы многогранников. Некоторые из них суть соединения нескольких тел. До сих пор нам пришлось встретиться лишь с одним таким соединением — звездчатым октаэдром. Больше подобных форм мы найдем, рассматривая икосаэдр. Все три звездчатые формы додекаэдра представляют собой единые и нерасчленяемые новые многогранники, которым находится место в классификации правильных тел.

Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многоообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Вы, конечно, можете попытаться их себе представить, но скорее всего потерпите неудачу. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20 + 30 + 60 + 20 + 60 + 120+ 12 + 30+ 60 + 60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти. При построении модели здесь, как и в случаях октаэдра и додекаэдра, можно пойти по следующему пути: сначала сделать модели дополнительных отсеков (предварительно запасясь необходимыми заготовками), а затем подклеить их либо к исходному многогранному основанию, либо друг к другу. Правда, на практике такой способ весьма утомителен и к тому же не дает сколько-нибудь удовлетворительных результатов. (Тем не менее в целях разработки удобных и практичных заготовок весьма полезно представлять себе формы и вид дополнительных отсеков.) В последующих описаниях вы найдете чертежи, по которым можно сделать нужные заготовки. Как только вы построите ту или иную модель, а еще лучше — все модели этого раздела, что,

конечно, потребует времени, вам нетрудно будет найти и другие способы изготовления моделей, требующие исходных заготовок иных форм и видов. Заготовки, приводимые ниже, вовсе не единственно возможные или самые лучшие — просто мы сочли нужным описать те из них, которые были использованы при изготовлении показанных на фотографиях моделей.

Среди звездчатых форм икосаэдра встречаются некоторые соединения Платоновых тел. Среди них: соединение пяти октаэдров, энантиоморфные формы соединения пяти тетраэдров и соединение десяти тетраэдров. Если бы Платон смог видеть эти формы, они привели бы его в восхищение. После того как были открыты эти и ряд других многогранников, ученые, естественно, задумались над вопросом: сколько существует звездчатых форм икосаэдра? В 1900 году Брюкнер опубликовал классическую работу о многогранниках, озаглавленную «Vielecke und Vielflache» [10], в которой были представлены некоторые новые звездчатые формы икосаэдра. Открытием еще нескольких форм мы обязаны Уиллеру (1924). В 1938 году систематическое и полное исследование вопроса провел Кокстер совместно с Дювалем, Флэзером и Петри [17]. Для различения исходных форм и выделения характерных тел они применили правила ограничения, установленные Дж. Миллером.

Кокстер доказал, что существует всего 59 звездчатых форм икосаэдра, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией (последнее обстоятельство дает возможность строить энантиоморфные им аналоги, которые имеют красивый и необычный вид).

В высшей степени интересен трафарет, используемый для конструирования заготовок звездчатых форм икосаэдра. Проще всего его изготовить следующим образом: возьмите один равносторонний треугольник с достаточно большой стороной. (Этот треугольник равен одной грани большо-

го икосаэдра.) На каждой стороне треугольника следует выбрать две точки, каждая из которых делит сторону в отношении золотого сечения. Для обозначения этого отношения мы иногда будем использовать символ т. Как известно,

Для нахождения нужных нам точек полезно использовать числа Фибоначчи1

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...

Отношение двух соседних членов этой последовательности чисел приближенно равно «золотому сечению», ибо своим пределом это отношение имеет число т. Удобно пользоваться линейкой с миллиметровыми делениями. Тогда части сторон треугольника могут равняться, например, 34/2, 21/2, 13/2 и 8/2 см. Отрезки, соединяющие отмеченные таким образом на

сторонах точки, задают трафарет (рис. 26).

На рис. 27 показано распределение цветов, подходящее для всех звездчатых форм икосаэдра. Оно совпадает с распределением, приведенным на стр. 28 в первой таблице раскраски. Здесь использовано пять цветов, причем каждый из них встречается вблизи любой вершины. Но порядок размещения цветов меняется от вершины к вершине. На рис. 27 пронумеровано и показано шесть вершин. Раскраска остальных шести энантиоморфна. Этот рисунок вполне заменяет таблицу раскраски, так что мы будем обращаться к нему во всех случаях, когда выполняемая модель будет обладать симметрией икосаэдра.

Возможно, вас удивит то обстоятельство, что многие звездчатые формы икосаэдра имеют и весьма заметную симметрию додекаэдра. Объяснение этому следует искать в принципе двойственности. Икосаэдр и додекаэдр образуют двойственную пару, подобную паре октаэдр — куб. И только тетраэдр двойствен самому себе, иначе говоря, другому тетраэдру [19].

Рис. 26.

Рис. 27.

1 Каждый член этой последовательности чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов ( см. по этому поводу: Воробьевы. Н., Числа Фибоначчи, М., изд-во «Наука», 1969).

23 Соединение пяти октаэдров

Каждую грань этого многогранника образуют два равносторонних треугольника, расположенных так, как показано на фотографии. Для изготовления модели вам предстоит сделать 30 копий показанной ниже заготовки, причем каждые шесть из них должны быть своего цвета. Прежде всего придайте каждой заготовке вид четырехугольной пирамиды без ромбического основания — она будет служить вершиной одного из октаэдров. Затем возьмите пять разноцветных заготовок и склейте их между собой, руководствуясь порядком раскраски у вершины (0). В промежутки между выступающими частями вклейте еще пять таких заготовок. Их следует расположить таким образом, чтобы короткие наклонные ребра новых заготовок служили продолжениями ребер во впадинах исходного набора заготовок. Тогда ребро во впадине и короткое наклонное ребро новой заготовки будут лежать на одной прямой — ребре одного из октаэдров, образующих соединение. Вы должны постоянно помнить о форме исходного октаэдра, и тогда вы увидите его на уже построенной части модели, а окраска подскажет вам ее продолжение. Впрочем, здесь могут также помочь своеобразные «кольца заготовок», подобные тем, которые появлялись при построении модели икосаэдра.

Как только будет выполнена описанная часть модели, продолжить ее не составит труда. Полученная полая модель не будет совершенно жесткой, но если пользоваться исходными заготовками того же размера, что и на наших рисунках, прочность модели будет вполне удовлетворительной. В любом случае такой способ даст лучшие результаты, нежели обклеивание исходного октаэдра дополнительными частями.

24 Соединение пяти тетраэдров

Асимметричное и скошенное положение граней этого многогранника придает ему необычайно привлекательный вид. Для изготовления модели вам потребуется всего 20 копий показанной ниже заготовки; каждые четыре из них должны иметь свой цвет. Сначала соедините их по три таким образом, чтобы всякий раз получался трехгранный угол с нижними зазубренными краями. Теперь склейте между собой пять таких трехгранников. При этом проследите за тем, чтобы ребра разных трехгранников, отмеченные буквой А на нижнем чертеже, склеивались между собой. Вы получите кольцо из пяти трехгранников, причем в центре его, образующем впадину (если смотреть с наружной стороны), окажутся вершины всех пяти зубцов, одной из сторон которых является ребро А.

После построения этой части несложно определить место расположения всех остальных трехгранников. При выборе цвета следует исходить из того, что каждый входящий в соединение тетраэдр окрашен в один цвет. Центральные точки каждой впадины совпадают с вершинами внутреннего икосаэдра, который мы, разумеется, не строим. Но порядок размещения цветов вблизи вершин впадин совпадает с распределением окраски для икосаэдра.

Возможно, предложенный метод соединения частей показался вам сложным в выполнении, поскольку все зазубренные ребра и вершины зубцов можно отнести к трем различным соседним впадинам. Чтобы упростить работу, попробуйте соединять наклейки последовательно, одну за другой, но непременно начиная с более длинных ребер и формируя впадину. Присоединение последнего трехгранника потребует от вас известной ловкости и терпения. Быть может, имеет смысл не склеивать заготовки в пирамиду, а оставить одну из них неподклеенной до конца работы. Таким способом вы добьетесь получения очень жесткой модели. Рекомендуем воспользоваться предложенным методом. Он себя оправдает, и вы получите модель, показанную на фотографии.

25 Соединение десяти тетраэдров

Этот многогранник представляет собой комбинацию двух энантиоморфных форм соединения пяти тетраэдров. При изготовлении его модели руководствуйтесь чертежом, показывающим вид заготовок. На каждой из них следует подрезать левую верхнюю сторону до вершины и отогнуть полученное треугольное крыло. К левой верхней стороне приклеивается крыло другого цвета, которое также отгибается наружу. Оба отогнутых крыла склеиваются между собой. При этом наклейка короткой стороны левого крыла непосредственно соединяется с внутренней поверхностью правого крыла. Оба крыла образуют половину чашеобразного желоба, или выемки, соединяющего между собой соседние части модели. Одна из таких частей, состоящая из пяти склеенных заготовок, показана на рисунке справа. Буквы указывают распределение окраски для части (0). Двенадцать таких частей соединяются между собой при помощи оставшихся наклеек. Так получается очень прочная и красивая модель.

26 Первая звездчатая форма икосаэдра

Эту модель делают из 20 частей, которые склеиваются из показанных внизу заготовок. Каждая часть представляет собой невысокую треугольную пирамиду без основания. При раскраске модели можно воспользоваться обычной таблицей раскраски икосаэдра (см. рис. 27). Однако если каждая пирамида будет одноцветной, то грани звездчатого многогранника не будут окрашены в один цвет. Если вы хотите сделать грани одноцветными, каждому треугольнику одной части следует придать свою окраску. Это означает, что их нельзя вырезать из одного куска цветного картона. Быть может, вы все-таки захотите выполнить эту работу. В таком случае вам предстоит самостоятельно продумать раскраску модели.

27 Вторая звездчатая форма икосаэдра

На этой очень красивой модели заметны пятигранные высокие пики, выступающие из впадин модели соединения десяти тетраэдров. Внизу показаны симметричные трафареты для заготовок — ими удобно пользоваться, если вас устраивает разноцветная раскраска граней звездчатого многогранника. На чертеже показана также одна грань пятиугольного пика. Два малых треугольника внизу, отогнутые и склеенные вместе, образуют небольшой желобок. Пять таких заготовок склеиваются в пятиугольный пирамидальный пик, от основания которого отходят пять желобков. Другая заготовка во всем совпадает с частью заготовки, использованной ранее в модели соединения десяти тетраэдров, за исключением того, что эти части одноцветны. Они служат связующими звеньями между разными пиками и подклеиваются между желобками.

Попытайтесь и на этот раз самостоятельно найти распределение окрасок, руководствуясь таблицей раскраски икосаэдра.

28 Третья звездчатая форма икосаэдра

Этот весьма простой многогранник принадлежит к семейству дельтаэдров. Для дельтаэдров характерно, что все их грани представляют собой равносторонние треугольники ([19], стр. 142— 144). Каждую грань этого звездчатого многогранника образуют три равносторонних треугольника. Сам многогранник внешне напоминает додекаэдр и даже содержит его ребра, но на самом деле является звездчатой формой икосаэдра. Его можно представить себе как додекаэдр с удаленными пятиугольными гранями, место которых заняли пятигранные впадины с правильными треугольными гранями. Что это так, подсказывает простой способ построения модели, при котором в точности соблюдаются указания по раскраске икосаэдра, приведенные на рис. 27. Каждая пятигранная впадина образует одну часть: все части соединяются между собой в той же последовательности, что и при построении модели додекаэдра. Если вы будете придерживаться предложенного выше распределения окраски, то три треугольника на каждой грани звездчатого многогранника будут одного цвета. Построенную модель можно рассматривать как трехмерный аналог таблицы раскраски, приведенной на рис. 27.

Многие звездчатые формы икосаэдра имеют грани, состоящие из частей трех правильных треугольников, которые образуют грань этой модели. Последнее обстоятельство делает нашу модель особенно полезной для установления связей между различными многогранниками. В некоторых последующих моделях вы обнаружите части рассматриваемого икосаэдра; они как бы служат своеобразными строительными лесами. Одна из таких частей показана на рисунке. Перед склеиванием — в зависимости от места и назначения этой части — ее центр, вершина пятиугольной пирамиды, располагается выше или ниже по отношению к воображаемому основанию.

29 Четвертая звездчатая форма икосаэдра

Как уже отмечалось, процесс продолжения граней икосаэдра ведет к появлению десяти различных типов отсеков, служащих дополнением к исходному телу. Модель одной из звездчатых форм можно построить таким образом, что отсеки, заготовки для которых показаны на рисунке внизу, явятся как бы связками между вершинами некоторого многогранника. Эта модель представляет собой аналог скелетной модели правильного додекаэдра, роль ребер которой выполняют наши отсеки.

Модель изготавливается следующим способом. Прежде всего сооружаются «строительные леса», которые предназначены для поддержки отсеков. Этими «лесами» служит половина модели дельтаэдра (см. модель 28) — внутри ее мы будем строить новую модель. Вершины «лесов» лучше обрезать и сделать на их месте отверстия: тогда при склеивании отсеков «леса» не прилипнут к модели. Когда все готово, приступайте к изготовлению отсеков. Для этого возьмите пять разноцветных отсеков и уложите их кольцом на дно нашей (открытой) половины дельтаэдра (играющей роль «лесов»). Отсеки должны касаться друг друга только концевыми вершинами. Теперь попробуйте нанести на вершины клей, но делайте это медленно и осторожно. Отложите модель в сторону и займитесь изготовлением других отсеков. После того как они будут готовы, поместите пять из них внутрь «лесов» так, чтобы нижний конец отсека совпал с уже склеенными вершинами, а длинное боковое ребро отсека лежало на наклонном ребре «лесов». Снова добавьте клей по капелькам, но постарайтесь склеить им три вершины покрепче. Часа через два склеенную часть можно вынуть и повернуть так, чтобы теперь на дно «полудельтаэдра» попали боковые отсеки. Итак, вы будете склеивать одно кольцо отсеков за другим. Желание, сноровка и немного терпения — и вы получите на редкость привлекательную модель.

Окраску следует подбирать так, чтобы диаметрально противоположные отсеки были одного цвета. На модели будет заметно, что любые шесть одноцветных отсеков лежат своими длинными ребрами на гранях воображаемого куба, окружающего додекаэдральную форму.

Эта модель — первый пример многогранника с открытой внутренней частью. Чередование освещенных и затененных частей на фотографии хорошо показывает с обеих сторон расположение граней звездчатого многогранника.

30 Пятая звездчатая форма икосаэдра

Многие звездчатые формы икосаэдра внешне очень похожи на большой икосаэдр, рассматриваемый ниже. Одна из них (ее трафареты для модели помещены на рисунке) особенно интересна: она служит примером многогранника, вершины которого связаны только отсеками. Треугольные трафареты для этой модели совпадают с трафаретами для модели большого икосаэдра. Вот почему, видимо, лучше в первую очередь построить модель большого икосаэдра. И в том и в другом случае техника склеивания- вершин и таблицы раскраски будут одними и теми же. И в том и в другом случае получится модель звездчатого многогранника, каждая грань которого окрашена в один цвет. Однако рассматриваемый многогранник отличается от большого икосаэдра в первую очередь тем, что вершинные части представляют собой отдельные цельные многогранники; они имеют форму «гармошкообразной» звездчатой пирамиды с пятиугольным выступающим основанием в виде пятиконечной звезды. Часть, подобная этому основанию, встречалась нам ранее в модели соединения десяти тетраэдров. Там мы называли ее «выемкой». Полная модель состоит из 12 звездчатых пирамид. Каждая из пяти выступающих вершин основания пирамиды связана с вершинами других пирамид. При этом появляются небольшие щели, через которые можно увидеть внутреннюю поверхность модели, образованную основаниями пирамид.

Звездчатые пирамиды несложно соединить между собой. Возьмите пять пирамид, раскраска которых соответствует в таблице строкам (1), (2), (3), (4) и (5). Пирамида (0) в нашем случае присоединяется последней. Расположите их в кольцо на подставке, как показано на рисунке (стр. 62). Эту подставку следует вырезать из куска толстого картона. Она будет представлять собой правильную пентаграмму с отверстиями, обозначенными на чертеже небольшими кружками. В центры этих кружков и сойдутся

склеиваемые вершины соседних пирамид. Пирамиды располагаются так, что два ребра любой из них идут по боковым сторонам соответствующего луча звезды. Как только вы это сделаете, станет заметно, что соприкоснутся по две вершины каждой пары соседних частей: две в плоскости подставки и две прямо над ними. Постарайтесь нанести на точки контакта по капле клея. Минут через 15 для большей прочности добавьте еще капельку. Через час-другой вы сможете осторожно снять с подставки полученное кольцо. Оно будет настолько крепким, что его можно будет передвигать по подставке.

Подклейте к кольцу пирамиду (0), поставив ее выступающие вершины в точки контакта уже склеенных попарно вершин. При этом снова нанесите капельки клея на все пять точек соединения. Теперь у вас в руках ровно половина модели. Другая половина ей энантиоморфна.

Выбрать правильное расположение частей модели непросто. Но если вы будете руководствоваться правилом, согласно которому грани звездчатого многогранника должны быть одноцветными, то методом проб и ошибок найдете, наконец, нужное положение. Сделав второе кольцо, сразу же подклейте его к первому. После этого, перевернув полученную часть, приклейте последнюю пирамиду— и модель готова.

31 Шестая звездчатая форма икосаэдра

Показанные на рисунке части являются шаблонами модели еще одной звездчатой формы икосаэдра. На ней легко обнаружить 12 длинных пиков, выступающих из впадин модели дельтаэдра 28. Построение модели можно начать с соединения в кольцо пяти малых заготовок, цвет которых определен в соответствии с обычным правилом раскраски икосаэдра. К кольцу добавляется пик, раскрашенный аналогично. Проденьте пик через отверстие в центре кольца — это несложно — и соедините нужные наклейки. (Рекомендуем использовать зажимы, которые не снимаются до тех пор, пока не высохнет клей.) Двенадцать таких частей соединяются, как при построении модели додекаэдра. Вам придется немного поломать голову, прежде чем выбрать правильное расположение частей. Помните: грань звездчатого многогранника должна быть одного цвета.

Эта простая и прочная модель достаточно декоративна.

32 Седьмая звездчатая форма икосаэдра

Из заготовок, показанных на рисунке, можно сделать 20 частей модели, каждая из которых будет иметь форму шестигранного невысокого пика. Склеенные вместе, эти части образуют модель еще одной звездчатой формы икосаэдра.

Вы можете исходить из пяти наборов заготовок, каждый из которых содержит четыре одноцветные заготовки, но в этом случае грани звездчатого многогранника не будут правильно раскрашены. Построение модели следует начать с образования кольца из пяти частей. Эти части склеиваются таким образом, чтобы один острый угол в основаниях каждой части попал в центр кольца. После этого модель изготавливается, как обычно. Проследите лишь за тем, чтобы раскраска каждого нового кольца соответствовала правилам раскраски икосаэдра.

Модель будет еще более эффектной, если прибегнуть к единой окраске каждой грани звездчатого многогранника. Попытайтесь сконструировать и выполнить такую модель самостоятельно.

33 Восьмая звездчатая форма икосаэдра

Трафарет, показанный на рисунке, служит для изготовления модели звездчатого икосаэдра, также весьма сходного с большим икосаэдром. В действительности наш многогранник можно представить в виде большого икосаэдра с удаленными клинообразными частями, стягивающими основания вершинных частей. Поэтому треугольный трафарет этой модели в нижней своей части несколько отличается от трафарета большого икосаэдра. Поэтому же на рисунке приведен всего один трафарет, служащий основой всех заготовок. 60 заготовок совпадают с этим трафаретом, а другие 60 — энантиоморфны ему1. В дальнейшем вы должны руководствоваться тем же парным распределением цветов, которое приведено в таблице раскраски большого икосаэдра (см. стр. 75).

Части модели довольно трудно соединять между собой из-за заметной углубленности их оснований в тело многогранника. Поэтому, как только ваша работа приблизится к завершению, измените обычный порядок действий: соедините сначала наклейки, расположенные в углубленных вогнутых частях, а затем склейте выступающие части (это уже легче сделать, даже не имея доступа изнутри).

1 Это значит, что для их получения трафарет надо попросту перевернуть.

34 Девятая звездчатая форма икосаэдра

В показанной на рисунке заготовке вы легко узнаете грань длинного пика модели. В предыдущих моделях пики были несколько короче, но эта состоит всего лишь из двенадцати таких пиков.

Сначала следует придать пикам обычную пятигранную форму, соблюдая при этом привычные правила икосаэдральной раскраски. Затем все части соединяют между собой посредством наклеек на основаниях пиков. Можно разместить пики так, что каждая грань звездчатого многогранника окажется одноцветной. Однако порядок такого размещения не очевиден, и вам придется немного поломать голову, чтобы его найти. В этой модели, как и в предыдущей, трудно подклеить на место последний пик из-за отсутствия доступа к наклейкам внутри модели.

Постарайтесь проявить терпение — и вы получите красивый многогранник.

35 Десятая звездчатая форма икосаэдра

Дальнейшее продолжение граней икосаэдра приводит к появлению нового типа отсеков — наклонных пиков, трафарет для которых приведен на рисунке. Это единственный тип отсеков, имеющих две энантиоморфные модификации; каждая из них состоит из 60 коротких трехгранных пирамидок. Интересно, что из такого множества 60 отсеков можно построить ажурную и вместе с тем удивительно прочную модель. По существу пики этой модели образуют ребра модели соединения пяти тетраэдров, встречаясь по три в каждой вершине тетраэдров и по две в остальных угловых точках на поверхности соединения.

На первый взгляд кажется, что выполнить такую модель невозможно, ибо создается впечатление, будто многогранник «состоит» большей частью из пустоты. Но это впечатление обманчиво. Модель можно построить, если в качестве строительных подставок использовать некоторые вспомогательные части, которые затем удаляются за ненадобностью. Заготовки для этих частей показаны на рисунке. Отметим, что они используются также для построения еще двух моделей звездчатых икосаэдров — разумеется, там свои правила; на них мы остановимся ниже. А сейчас постараемся дать описание модели, которую по праву можно считать самой невероятной среди всех представленных в этой книге моделей.

Работу следует начать с изготовления 60 копий заготовки пика (рисунок внизу слева): по 12 копий пяти цветов. Раскраска завершенной модели совпадает с раскраской модели соединения пяти тетраэдров. Далее вам потребуется всего 10 вспомогательных частей — 5 покрышек и 5 сердечников. Их окраска не играет никакой роли, поскольку они нужны лишь на этапе построения модели. (О назначении этих частей можно судить по их названиям.) Отогните все наклейки покрышек наружу и склейте две самые длинные из них так, чтобы получился трехгранный угол, равный углу при вершине тетра-

эдра. Три четырехугольника на основании покрышки также имеют наклейки, но их склеивать не надо. Эти четырехугольники служат своеобразными дверцами, через которые внутрь покрышки будут вноситься склеиваемые пики и сердечник, удерживающий пики в нужном положении. Обратите внимание, что чертежи для покрышки и сердечника содержат дугу с центром в вершине. Это означает, что вы должны отрезать окружаемую ею часть с тем, чтобы она не прилипала к склеиваемым поверхностям. Сердечник делается очень просто: все наклейки соединяются внутри, как у любого выпуклого многогранника. В дальнейшем вы, бесспорно, узнаете эту часть — она является элементом модели другого звездчатого икосаэдра.

После того как подготовлены строительный материал — пики и инструменты— покрышки и сердечники, можно приступать к изготовлению модели. Возьмите три одноцветных пика и поместите их внутрь покрышки так, чтобы вершины пиков оказались в одной точке, а сами пики плотно прилегали к углам покрышки. При этом пики не должны выступать сверху за пределы покрышки, для чего следует подобрать соответствующее их расположение. Закончив этот этап работы, внесите внутрь покрышки сердечник, плотно закрепляющий пики на своих местах. Теперь четырехугольные дверцы покрышки должны закрыться, придав всей конструкции абсолютную жесткость. Поскольку наклейки дверец были отогнуты наружу, сейчас их можно скрепить зажимами (но не склеивать!). Нанесите капельку клея в точку, в которой сходятся вершины трех пиков, и отложите конструкцию в сторону. Повторите всю процедуру применительно к пикам другого цвета и другим покрышке и сердечнику, потом к третьим и т. д. Примерно через час пики будут склеены по три достаточно крепко, так что их можно вынуть из конструкции, не нарушив совместного расположения, приданного им покрышкой и сердечником.

Теперь следует расположить эти тройки пиков на специальной подставке — «строительных лесах». Она изготовляется из одной части модели дельтаэдра 28 — впадины, вывернутой наизнанку так, что теперь она превращается в приплюснутую пятиугольную пирамиду. К нижним частям ее боковых сторон прикрепляются пять отсе-

ков — заготовок модели 29. Тупые верхушки этих пяти отсеков следует предварительно обрезать, после чего их можно просто приклеить, не удаляя. Такая конструкция и будет служить нужной нам подставкой. На ней можно расположить пять полученных ранее троек пиков так, что одни вершины придутся в вершины пятиугольного основания подставки, а другие (из соседних троек) попарно соприкоснутся.

Попробуйте выполнить все наши указания—такой опыт поможет вам больше, чем любые описания. После того как вы разместите все части требуемым образом, снова нанесите капельки клея на точки соприкосновения. Часа через два склеенное таким образом кольцо окажется достаточно прочным. Его можно снять и передвинуть по подставке. Теперь, если у вас готовы новые тройки пиков, присоедините их к построенной части, образовав новое кольцо, — и так столько раз, сколько необходимо. Работа потребует от вас терпения и ловкости. Здесь могут пригодиться различные подпорки для боковых сторон модели, хотя особой нужды в них нет. В частности, можно использовать оболочку додекаэдра, поддерживающую модель. Надо полагать, вы найдете способы обеспечить необходимые напряжения в модели, чтобы соединять склеиваемые вершины. Изображенная на фотографии модель была выполнена посредством описанной выше процедуры.

36 Одиннадцатая звездчатая форма икосаэдра

Эту модель можно сделать, используя ту же подставку, что и для предыдущей модели, и выполняя ту же последовательность действий. В качестве заготовки применяется вспомогательная часть модели 35, названная «покрышкой». Склеивать части этой модели гораздо легче.

37 Двенадцатая звездчатая форма икосаэдра

На нижнем рисунке представлена часть подставки, необходимой для соединения отсеков модели. Эти отсеки уже встречались нам при построении модели 35 (мы называли их «сердечниками»). Однако там они служили в качестве вспомогательных, а здесь играют роль основных многогранных отсеков, из которых строится модель, так что обрезать их вершины, как ранее, нет нужды.

Заготовка для частей подставки содержит два боковых крыла, подобных тем, которые мы находим на гранях модели 32. Нижняя сторона заготовки по длине не отличается от ребра клина для модели 29, но боковые их стороны разные. Из заготовки следует сделать невысокую треугольную пирамиду без основания. Соединив в кольцо пять таких пирамид, получим подставку. Если теперь наклейки на сторонах пятиугольного основания подставки отогнуть вверх, они образуют желобок вдоль всего основания. Чтобы не приклеивать подставку к частям модели, следует вырезать отверстия в вершинах каждой пирамиды. Поместите на подставку пять отсеков («сердечников») и соедините их в кольцо, прочно скрепляя соприкасающиеся вершины клеем. После того как кольцо подсохнет, его можно снять и передвинуть по подставке, добавив еще одно кольцо.

На всех стадиях работы модель необходимо перемещать так, чтобы подклеиваемые отсеки всегда находились на подставке. При желании можно вновь воспользоваться додекаэдральной оболочкой. Делают это следующим образом: помещают подставку на дно модели додекаэдра, из которой удалена одна пятиугольная грань, и тем самым получают доступ внутрь оболочки для построения модели. Полученная модель поражает своей простотой и открытой структурой.

38 Тринадцатая звездчатая форма икосаэдра

На рисунке показана заготовка для модели красивого многогранника с 12 длинными пиками: основание каждого из них окружено пятью более короткими пиками. Эти части легко узнать — они уже встречались в предыдущих моделях. Обычная икосаэдральная раскраска длинных пиков сделает грани звездчатого многогранника одноцветными, но короткие пики следует окрашивать так, как указано в инструкции к модели 35.

Технология изготовления этой модели требует, чтобы в первую очередь склеивались короткие пики. Вырежьте заготовки таким образом, чтобы с правой длинной их стороны не оставалось наклейки, и продолжите разрез до первой внутренней линии, как показано на чертеже. Отогните два треугольника (правый и нижний) и склейте их между собой свободными сторонами— у вас получится короткий пик. Теперь отогните маленький оставшийся треугольник так, чтобы совпали вершины двух острых углов. Возьмите пять таких частей и соедините их друг с другом. При этом образуется один длинный пик. Итак, мы получаем некий цельный многогранник, ибо основание пика окажется закрытым.

Возьмите пять таких частей с распределением раскраски, соответствующим вершинам (1), (2), (3), (4) и (5), и поместите их на пятиугольную подставку, которую мы использовали при построении модели 30. Тупые вершины вокруг оснований пиков должны соприкоснуться. Теоретически при этом должны войти в контакт и острые вершины малых пиков, но на практике это недостижимо. Теперь вам остается склеить в кольцо тупые соприкасающиеся вершины: образуется кольцо из пиков. Постарайтесь также склеить те вершины малых пиков, которые близки и соединимы. Дальнейшая последовательность действий совпадает с описанной в инструкции к модели 30.

Как только работа с большими пиками будет закончена и вы получите целую модель, надавите на вершины малых пиков, сведите их и затем склейте вместе.

39 Четырнадцатая звездчатая форма икосаэдра

Этот многогранник, весьма эффектный благодаря оригинальным скошенным граням, обладает обычной симметрией додекаэдра, подобно модели дельтаэдра 28, но характерен большими пятиугольными отверстиями, пронизывающими его насквозь и оставляющими как бы открытым изнутри. Рисунок заготовки приведен внизу. Раскраска этого многогранника совпадает с обычной икосаэдральной раскраской, подобной раскраске дельтаэдра 28.

Начать можно с изготовления части (0). Она представляет собой обычную впадину, но с отверстием посредине. На рисунке заготовки показаны и наклейки: заметьте, что одна сторона имеет две разные наклейки. У каждой из них свое назначение: верхняя наклейка служит для соединения пяти заготовок, образующих впадину, нижняя — для соединения ребер, образующих внутренний трехгранный угол. Чтобы получить трехгранный угол, нужно соединить три части модели.

Построение модели сопряжено с немалой ловкостью и умением работать внутри многогранника. Рекомендуем наносить клей на внутренние наклейки с помощью пинцета, а затем сдавливать наклейки пальцами, пока клей не подсохнет. При изготовлении этой модели от вас потребуется известное терпение и аккуратность в работе, ибо соединение частей здесь крайне запутано и усложнено. Но вы будете вознаграждены, так как получите весьма интересную модель.

40 Пятнадцатая звездчатая форма икосаэдра

Показанные на рисунке заготовки используют при построении модели еще одного многогранника, который, подобно предыдущим, обладает «кособокой симметрией» и потому весьма привлекателен. Многогранник состоит из 60 небольших пиков, расположенных так, что нутро его остается пустым и видно сквозь узкие щели. На чертеже указаны наклейки и особый разрез, который необходимо сделать на каждой заготовке. Все наклейки подгибаются, как обычно, и из заготовки склеивается небольшой пик в виде треугольной пирамиды1. Пять таких пиков соединяются вместе в форме обычной пятигранной впадины, из центра которой исходят пики. При этом в разрез каждой пирамиды входит свободная наклейка соседней, которая и связывает их. Для склеивания надо либо слегка сдавить пальцами края разреза, либо прибегнуть к помощи пинцета, прижимая им наклейки к внутренней поверхности другого пика.

Так подготавливают одну часть модели. Целая модель состоит из 12 таких частей. Они соединяются на описанной выше дельтаэдральной подставке. Можно также использовать додекаэдральную оболочку, внутренняя поверхность которой будет поддерживать части склеиваемой модели. При любом способе построения модели склейте сначала соприкасающиеся тупые вершины частей. На практике не всегда удается сразу склеить между собой острые вершины пиков. Это лучше сделать тогда, когда модель будет в основном готова. Помните: результат зависит от бережного и аккуратного обращения с моделью.

1 При этом верхняя левая наклейка остается снаружи — впоследствии она войдет в разрез другой пирамиды.

41 Большой икосаэдр

Из описанных до сих пор многогранников, пожалуй, самым красивым и декоративным является большой икосаэдр — последний из четырех правильных звездчатых многогранников Кеплера — Пуансо. Его вершины представляют собой центры правильных пятиугольных звезд, выступающих из тела многогранника. Это свойство роднит большой икосаэдр с большим додекаэдром и выделяет эти два тела из всего множества однородных многогранников. Многие однородные многогранники имеют звездчатые грани, но подобного строения вершин вы больше не встретите.

Сделать модель большого икосаэдра нетрудно. Заготовка для нее очень проста, и, если следовать предлагаемому методу построения, модель окажется очень прочной и жесткой, хотя и полой внутри. Пятицветная раскраска займет больше времени, но на это стоит пойти. Внизу приведена парная таблица раскраски, в соответствии с которой склеиваются показанные на рисунке части модели.

Каждая часть состоит из пяти пар заготовок, соединенных в своеобразный веер. Его следует перегнуть на манер гармошки так, чтобы вниз опустились внутренние ребра каждой пары, а соседние ребра разных пар приподнялись. Склеив свободные ребра, вы получите вершинную часть модели.

После этого малые равнобедренные треугольники подклеиваются на свои места, так что образуется пятиугольная впадина, из которой и вырастает вершинная часть.

Вам потребуется всего 12 таких частей; одна половина из них окрашена в соответствии с таблицей, а другая половина имеет энантиоморфную раскраску. Эти части соединяются теперь в обычном икосаэдральном порядке, причем энантиоморфные части, естественно, диаметрально противоположны. Соединения соседних частей выполняйте последовательно, склеивая ребра друг за другом. Рекомендуем для этой цели воспользоваться зажимами, ибо двугранные углы между краями оснований соседних частей очень малы. Даже последнюю часть стоит присоединять с помощью зажимов. Перед склеиванием последнего ребра с помощью пинцета удалите зажимы с соседних ребер, после чего капните клей в щель и распределите его по поверхности. Не огорчайтесь, если в углах пятиугольных ребер окажутся небольшие щели или отверстия. Когда модель будет окончена, добавьте сюда пинцетом по капле клея и чуть сдавите края, пока клей не подсохнет. Тем самым вы избавитесь от щелей и еще больше укрепите модель. Правильно выполненная модель большого икосаэдра удивительно красива.

42 Завершающая звездчатая форма икосаэдра

Показанный на фотографии многогранник — завершающая звездчатая форма икосаэдра1. Модель как бы ощетинена иглами, группирующимися по пять в красивые и отчетливо заметные гроздья. Вся модель состоит из 12 таких гроздьев. Внизу показана заготовка для одной части модели — трехгранного пика. Таких заготовок потребуется ровно 60. И хотя они не обеспечивают одноцветной окраски граней звездчатого многогранника, при желании вы можете этого добиться: нужно только склеить исходные части в такой же трехгранный пик. Пять частей соединяются в гроздь, причем края основания грозди должны образовать правильный пятиугольник. После этого 12 гроздьев склеиваются способом, обычным для построения тел с додекаэдральной симметрией.

Обратите внимание на следующее обстоятельство: если использовать показанную внизу заготовку, то по сравнению с большим икосаэдром этот многогранник будет существенно большим по размерам. Так, если высота большого икосаэдра приблизительно равна 24 см, то высота рассматриваемой модели составит примерно 58 см. Поэтому, коль скоро вы не преследуете цель выяснить сравнительную величину двух моделей2, уменьшите размеры трафарета. Если вы намерены воспользоваться нашим методом построения моделей и изготовить полую внутри модель, подобное уменьшение размеров заготовок придаст модели дополнительную прочность. Построенная модель на редкость красива: 60 игл, исходящих из ее тела, напоминают солнечные лучи.

1 Эта звездчатая форма образована присоединением к икосаэдру всех отсеков, получаемых при продолжении граней икосаэдра.

2 Это может представить интерес хотя бы потому, что наш многогранник получается из большого икосаэдра добавлением 20 однотипных отсеков (см. стр. 51).

* * *

Если вас заинтересуют другие модели звездчатых икосаэдров, рекомендуем воспользоваться книгой Кокстера и др. «Пятьдесят девять икосаэдров» [17]. В ней описаны всевозможные звездчатые формы икосаэдра, проиллюстрированные великолепными чертежами самих тел и их граней. С их помощью вы сможете самостоятельно разработать типы и вид нужных заготовок. Каждый из многогранников как бы бросает вам вызов — вы сумеете победить, лишь построив его модель.

Замечания о звездчатых формах архимедовых тел

Итак, вы увидели, к каким результатам приводит процесс продолжения граней, примененный к Платоновым телам. Вас, возможно, удивит, что эта же операция в применении к архимедовым телам приносит что-либо заслуживающее упоминания. Но в действительности это так. Характер самого процесса не меняется: по-прежнему все грани исходного тела продолжаются неограниченно, отсекая от окружающего пространства новые, дополнительные части. Пользуясь этими отсеками, как строительными кирпичами, мы получаем возможность изготовить множество моделей — теоретически сколь угодно много. На практике, однако, разумнее делать модели не путем добавления новых отсеков (хотя некоторое представление об их форме было бы только полезным), но применять предлагаемую систему работы с заготовками. А для этого вам необходимо ознакомиться с трафаретом, на котором впоследствии вы легко будете находить все части нужных заготовок.

Впрочем, теперь вы, возможно, спрашиваете себя: а стоит ли вообще этим заниматься? Не слишком ли много труда потребуют эти модели? Будем откровенны — объем предстоящей работы начинает казаться просто ошеломляющим. Честно говоря, эта работа по силам не одному человеку, а, скорее, группе лиц1. Трудно найти опубликованные материалы, которые затрагивали бы эту тему. Несомненно, это в первую очередь связано с великим нагромождением возникающих форм. В математике еще даже не решена проблема полного перечисления всех возможных здесь случаев. Понятно лишь, что в основе перечисления должны лежать какие-то ограничения, подобные тем, которые нашел Дж. Миллер для случая икосаэдра. Звездчатые формы архимедовых тел не всегда так привлекательны на вид, что вызывают эстетическое наслаждение, хотя среди них можно найти некоторые многогранники, которые удовлетворят самому изысканному вкусу. Особый интерес, как правило, вызывают заключительные звездчатые формы.

С математической точки зрения чрезвычайно важен один вопрос: будут ли звездчатые формы архимедовых тел правильными либо однородными многогранниками? Прежде чем пытаться ответить на этот вопрос, поучительно проследить, к каким результатам приводит процесс продолжения граней в применении хотя бы к двум архимедовым телам.

Мы выбрали кубооктаэдр и икосододекаэдр, исходя из их тесных связей с двойственными парами Платоновых тел. Мы также учли, что как квазиправильные тела они представляют наибольший интерес и подходят для целей порождения новых правильных или однородных многогранников.

Посмотрим теперь, как строить трафареты для заготовок. Если вы вернетесь назад, к случаю октаэдра, то заметите, что трафарет, которым мы пользовались, на самом деле представляет собой набор из шести прямых. Подсчет их числа облегчается тем, что они группируются в три пары параллельных прямых (рис. 28). Внутренний треугольник представляет собой одну грань исходного октаэдра. Если модель октаэдра положить на этот чертеж так, чтобы какая-либо грань в точности покрывала внутренний треугольник, то остальные прямые на чертеже совпадут с линиями пересечения других граней с плоскостью исходного треугольника. А поскольку треугольник на вершине так расположенного тела прямо противоположен исходному треугольнику, то он лежит в плоскости, параллельной плоскости чертежа. Именно поэтому он и не порождает новых линий на чертеже трафарета. Так по трафарету можно подсчитать все восемь граней октаэдра.

Обратясь теперь к додекаэдру, мы увидим, что 12 его граней породят трафарет, состоящий из пяти пар парал-

1 Например, членам школьного математического кружка.

Рис. 28. Рис. 29.

лельных прямых (рис. 29). Если на этот чертеж положить модель додекаэдра так, чтобы одна из его граней совпала с центральным маленьким пятиугольником, и смотреть вдоль остальных граней тела, то видно, что продолжения этих граней упираются как раз в линии, указываемые чертежом.

В случае икосаэдра получается аналогичный результат. 20 его граней порождают трафарет из девяти пар параллельных прямых (рис. 30).

Теперь вам, очевидно, стал понятнее принцип, положенный в основу построения трафарета. Ясно, что случай архимедовых тел, имеющих грани различных типов, требует построения такого же числа трафаретов.

Кубооктаэдр имеет 14 граней; восемь из них — правильные треугольники, а остальные шесть — квадраты. Поэтому здесь необходимы два разных трафарета, каждый из которых состоял бы из 12 прямых. Трафарет для треугольной грани образован из трех групп, состоящих каждая из четырех параллельных прямых; трафарет для квадратных граней — из двух пар и двух четверок параллельных прямых (рис. 31). Располагая этими трафаретами, нетрудно сообразить, сколько и каких дополнительных отсеков возникает при продолжении граней кубооктаэдра. Не считая самого исходного кубооктаэдра, мы получаем шесть правильных четырехугольных пирамид с равносто-

Рис. 30. Рис. 31.

ронними боковыми гранями, восемь правильных треугольных пирамид с гранями в виде прямоугольных равнобедренных треугольников, 24 бипирамиды с равносторонними и прямоугольно-равнобедренными треугольными гранями, еще 24 пирамиды, подобные шести описанным ранее, и, наконец, 24 пирамиды с ромбическими основаниями и равносторонними и прямоугольно-равнобедренными треугольными боковыми гранями. Сколько же тел может быть образовано добавлением таких отсеков? Это зависит от того, какие ограничения вы наложите на форму получающихся многогранников. Например, вы можете рассматривать (или не рассматривать) в качестве допустимых многогранники, вершины которых соединены лишь отсеками, или многогранники с отверстиями, сквозь которые можно проникнуть в их нутро1, подобные тем, что мы наблюдали среди звездчатых форм икосаэдра.

Ограничения, введенные Миллером для икосаэдра, в основном налагают на звездчатые формы условия симметричности и возможности доступа к любой грани извне многогранника. Случай кубооктаэдра приводит к появлению всего четырех звездчатых форм, удовлетворяющих этим ограничениям. Это модели 43, 44, 45 и 46.

Как и ранее, на чертежах граней звездчатых многогранников штриховкой обозначены видимые снаружи части граней. Они служат основой для изготовления заготовок, нужных для построения моделей.

1 Разумеется, здесь слово «нутро» не следует понимать буквально. Многогранник отделяет одну или несколько частей пространства, внутрь которых попасть невозможно.

43 Соединение куба и октаэдра

Первой звездчатой формой кубооктаэдра является соединение куба и октаэдра. Если воспользоваться разноцветными заготовками, то получится весьма интересная модель. Части куба можно раскрасить тремя красками, а части октаэдра — двумя другими. Исходные заготовки представляют собой треугольники двух разных типов, показанные штриховкой на чертежах граней. По четыре равносторонних треугольника соединяются в форме четырехугольной пирамиды без основания. При этом необходимо соблюдать чередование двух цветов боковых граней — желтого (Ж) и синего (С). Три равнобедренных прямоугольных треугольника образуют треугольную пирамиду — снова без основания. Для раскраски граней куба заготовки трех цветов — оранжевого (О), красного (К) и зеленого (3) — надо подбирать так, чтобы противоположные грани были одинаково окрашенными. Шесть пирамид первого типа и восемь пирамид второго типа образуют модель.

Построенная таким образом полая модель гораздо аккуратнее модели, изготовленной способом добавления нужных пирамид к исходному кубу или октаэдру. Внизу слева на рисунке показана заготовка с длинной наклейкой, проходящей под «слабым местом» модели. Использование таких заготовок существенно повышает прочность моделей.

44 Вторая звездчатая форма кубооктаэдра

Этот многогранник является следующей звездчатой формой кубооктаэдра. Он образован из соединения куба и октаэдра добавлением 24 бипирамид. Однако модель его значительно легче сделать, пользуясь теми же заготовками, что и в предыдущем случае. Лучше всего начать с изготовления кольца из четырех частей. Для этой цели подходят заготовки с длинной наклейкой вдоль нижней границы (наклейка закрепляет «слабое место» заготовки). Четыре двойные заготовки образуют квадратную в сечении призму, по сторонам основания которой идут длинные наклейки. Зазубренные края заготовок соединяются попарно над вершинами квадрата основания, после чего верхушка призмы покрывается восемью равносторонними треугольниками.

Так подготавливается одна часть модели. Для изготовления полной модели необходимо шесть частей. Раскраска этой модели повторяет раскраску предыдущей модели. Поэтому в ней легко распознать усеченную форму звездчатого октаэдра, известного под названием Stella octangula.

45 Третья звездчатая форма кубооктаэдра

Этот многогранник весьма интересен по двум причинам. Во-первых, на его модели ясно заметно расположение квадратных граней: они группируются в пары таким образом, что грани каждой из них параллельны между собой и перпендикулярны к остальным подобным граням. Во-вторых, многогранник представляет собой своего рода соединение шести четырехугольных пирамид, основаниями которых служат описанные выше квадраты, а боковые треугольные грани «вдавлены» в тело и касаются своими вершинами средних точек противоположных углублений. Все это вы можете узреть на модели, причем гораздо лучше, чем если будете основываться только на описании.

Постройку многогранника начните с того, что к четырем квадратным заготовкам подклейте по два равносторонних треугольника. Полученные части соедините треугольниками, оставляя квадраты вне кольца. Вам потребуется шесть таких частей: они будут соединены между собой также наклейками треугольников. И наконец, последняя операция: треугольные впадины, гранями которых служат прямоугольные равнобедренные треугольники, закрывают отверстия, образованные тройками соединенных треугольников.

46 Завершающая звездчатая форма кубооктаэдра

Итоговая1 звездчатая форма кубооктаэдра особенно привлекает тем, что она является соединением двух тетраэдров, Кеплеровой Stella octangula, итоговой звездчатой формы октаэдра и трех правильных четырехугольных призм, общим пересечением которых является исходный куб. Каждое основание этих призм представляет собой глубокую впадину, образованную четырьмя ребрами.

Для изготовления модели многогранника вам потребуются заготовки двух простых типов. Лучше всего строить модель обычным методом соединения ее частей. Четыре заготовки, внешне напоминающие погоны, скрепляются в кольцо, которое имеет форму открытой с обоих концов призмы. Подклейте к этой части четыре ромбические заготовки, соединяя их в глубокую впадину — верхнее основание призмы. (Ребра склеивайте последовательно одно за другим.) Работу можно облегчить применением зажимов. Вам потребуется шесть таких частей, которые будут соединяться друг с другом при помощи вершинных частей звездчатого

1 См. примечание к стр. 77.

октаэдра. Последние имеют также ромбические грани, так что для них можно воспользоваться теми же заготовками, что и для впадин. Во время работы над самой последней частью рекомендуем подклеить ее на место до того, как ее верхушку закроет ромбическая впадина. Тем самым вам будет обеспечен доступ к внутренним наклейкам через открытое основание призмы, которое затем несложно заклеить.

* * *

Как вы могли заметить, ни один из наших звездчатых кубооктаэдров не является правильным или однородным многогранником. Возможно, впрочем что среди многогранников, не приведенных здесь, найдутся и такие. Но, чтобы их отыскать, необходимо исследовать трафарет и обнаружить на нем правильный многоугольник, стороны которого совместились бы с прямыми трафарета. Этому условию удовлетворяет модель 43. Однако при этом не выполнено другое условие, которое сводится к следующему: полученный многогранник должен быть целым и нерасчлененным, не сводимым к соединению других тел. Вы могли убедиться, что здесь второе условие не выполнено: многогранник 43 представляет собой соединение куба и октаэдра. Одна грань модели 44 — правильная восьмиугольная звезда (октаграмма), но она соединяется с усеченным треугольником, который не является правильным многоугольником, так что отпадает и этот случай. Третья форма 45 имеет правильную квадратную грань, но ей сопутствует усеченный треугольник. Завершающая звездчатая форма вообще лишена правильных граней. Тем не менее модель имеет некоторое сходство с моделью однородного многогранника 92.

Замечания об икосододекаэдре

Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники. Казалось бы, столь большое число граней потребует сложнейших исследований. На самом же деле нам предстоит изучить два трафарета, каждый из которых образован 30 прямыми.

Перед тем как перейти к чертежам, заметим, что икосододекаэдр можно рассматривать как пересечение додекаэдра и икосаэдра. Их трафареты нам уже известны. Вряд ли следует добавлять, что они должны быть сходными с нужными нам трафаретами. Это соображение послужит нам путеводной нитью. Трафареты, приводимые ниже, можно проверить при помощи модели икосододекаэдра, как мы это делали ранее.

Как показывают два новых трафарета, продолжение граней икосододекаэдра приводит к появлению новых отсеков 40 различных типов. Вряд ли вы окажетесь настолько честолюбивыми, что захотите проверить это утверждение, тем более что далее об этом не будет сказано ни слова, если не считать одного краткого замечания. Поскольку чертежи для трафаретов икосододекаэдра содержат элементы трафаретов додекаэдра и икосаэдра, новые отсеки для икосододекаэдра можно рассматривать как блоки, из которых состоят дополнительные отсеки звездчатых форм додекаэдра и икосаэдра. Иными словами, эти последние сами разбиваются на части продолжениями граней икосододекаэдра.

Последующие многогранники представляют лишь часть множества всех звездчатых форм икосододекаэдра. Вы сразу заметите, что некоторые из них являются соединениями или видоизменениями трех звездчатых додекаэдров или некоторых звездчатых икосаэдров и сохраняют присущую исходным частям красоту. Однако являются ли эти многогранники однородными? Видимо, нет. Иногда можно отметить поразительное сходство между этими моделями и моделями однородных многогранников, но все же ни один из многогранников, о которых мы говорим, не удовлетворяет определению однородности.

Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши еще в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью Платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера — Пуансо. Так что если вы захотите отыскать новое тело, то лишь пополните ряды тех, кто бесплодно пытается осуществить квадратуру круга, удвоение куба или трисекцию угла1.

Модели звездчатых икосододекаэдров описаны под номерами 47—66.

1 Квадратура круга, удвоение куба и трисекция угла — три знаменитые задачи древности, неразрешимость которых давно доказана.

Рис. 32.

Рис. 33.

47 Первая звездчатая форма икосододекаэдра

Этот многогранник являет собой пример соединения двух Платоновых тел — додекаэдра и икосаэдра; его можно также рассматривать как первую звездчатую форму икосододекаэдра. С него начинается так называемая «основная линия» звездчатых форм икосододекаэдра, к которой относятся многогранники, полученные добавлением к исходному телу отсеков, полностью покрывающих его поверхность. Поэтому 12 невысоких пятиугольных пирамид и 20 маленьких треугольных пирамид закрывают внутренний икосододекаэдр. Тем не менее модель можно сделать совершенно полой внутри. Раскрасьте пятиугольные пирамиды, используя обычную икосаэдральную раскраску; для всех малых треугольных пирамид рекомендуем избрать один и тот же цвет, скажем, белый (Б). Пирамиды каждого типа, разумеется, не имеют оснований. Склейте их друг с другом тем же способом, которым вы уже пользовались при построении любой модели выпуклых тел. В результате получите весьма аккуратную модель.

48 Вторая звездчатая форма икосододекаэдра

Этот многогранник — вторая звездчатая форма икосододекаэдра, принадлежащая упомянутой выше «основной линии». Он связан с малым звездчатым додекаэдром и является по существу своеобразным усеченным вариантом этого правильного многогранника. Отсюда следует способ его построения.

Внизу показана заготовка из пяти частей вместе с требуемыми наклейками. Десять треугольников, раскраска которых соответствует обычной икосаэдральной схеме, закрывают отверстие, образуемое кольцом из этих пяти частей. Длинные наклейки, подкрепляя наиболее слабые места кольца, обеспечивают дополнительную прочность.

И хотя приведенный на фотографии многогранник не кажется таким уж привлекательным, по существу с него начинается построение последующих моделей.

49 Третья звездчатая форма икосододекаэдра

Многогранник является третьей звездчатой формой на «основной линии» икосододекаэдров. Любопытно, что одну из его граней составляет правильный пятиугольник, тогда как все остальные грани неправильные. Для построения этой модели лучше всего заготовить набор трехгранных частей, образующих вершины многогранника. Гранями такого трехгранного угла будут служить показанные на рисунке слева ромб и два треугольника. Из пяти подобных частей образуйте кольцо, а кольца склейте между собой. При этом образуются небольшие промежуточные впадины. Единственным связующим звеном между тройкой соседних колец служит неглубокая треугольная впадина, заготовка которой показана на рисунке.

Раскраска модели аналогична использованной в многограннике 48: все пятиугольные части могут быть белыми (Б), а остальные цвета следуют обычной икосаэдральной схеме. Возможно, полученная модель не слишком впечатляет, но она весьма наглядно иллюстрирует процесс образования новых отсеков.

50 Четвертая звездчатая форма икосододекаэдра

Многогранник представляет собой соединение малого звездчатого додекаэдра и икосаэдра модели 26, которые являются первыми звездчатыми формами додекаэдра и икосаэдра соответственно. Чертежи граней, приведенные на рисунке, убедительно подтверждают эту связь. Перенося на модель обычную икосаэдральную раскраску ее компонентов, вы получите на редкость привлекательную модель. При этом вершинные части малого звездчатого додекаэдра вы можете изготовить в виде пятигранных углов, а вершинные части икосаэдра 26 — в виде трехгранных холмиков (их грани похожи на очертания воздушного змея). Эти «холмики» впоследствии послужат связями между другими вершинными частями. Одного взгляда на приведенную фотографию достаточно, чтобы понять взаимное расположение частей,

* * *

Этим многогранником не завершается «основная линия» звездчатых форм икосододекаэдра. Но в дальнейшем интереснее исследовать различные комбинации икосаэдральных и додекаэдральных форм. Так как у додекаэдра имеются три звездчатые формы, а у икосаэдра их свыше 50, то возможность выбора обеспечена. Итак, пользуясь выражением музыкантов, вы имеете здесь «вариации на заданную тему»!

51 Пятая звездчатая форма икосододекаэдра

Многогранник устроен так: малый звездчатый додекаэдр как бы пронизывает соединение пяти октаэдров. При построении модели можно придерживаться уже опробованного порядка действий.

Сначала выполните пятигранные вершинные части малого звездчатого додекаэдра, руководствуясь обычными правилами раскраски. (Заметьте только, что нужные для этой модели вершинные части отличаются от аналогичных частей малого звездчатого икосаэдра: их основания зазубрены.) Заготовки для каждой вершинной части соединения пяти октаэдров представляют собой 4 четырехугольника, отмеченные штриховкой на показанном ниже чертеже, и соответствуют звездчатой грани. Эти четыре заготовки, как и на предыдущей модели, образуют «холмик», только повыше. «Холмики» служат связками между пятигранными вершинными частями. Здесь они к тому же соединяются между собой по три. Все это легко увидеть на фотографии модели. Но отдельные октаэдры — компоненты соединения — на ней выявить трудно. Они становятся гораздо заметнее, если рассматривать не фотографию, а саму модель тела.

52 Шестая звездчатая форма икосододекаэдра

Звездчатая грань этого многогранника, лежащая в одной плоскости с любой из 12 граней додекаэдра, состоит из двух правильных пентаграмм; большая из них принадлежит грани малого звездчатого додекаэдра.

Многогранник может быть получен из предыдущего, если удалить отсеки двух разных типов; это приведет к изменению вершинных частей соединения пяти октаэдров. В данном случае применима та же техника построения, которая использована для двух предыдущих моделей. 12 вершинных частей малого звездчатого додекаэдра подготавливаются обычным способом и соединяются между собой при помощи шестигранных связок. Грани связок образованы «воздушным змеем» из малой пентаграммы; за ним идут два энантиоморфных треугольника из левого чертежа икосаэдральной звездчатой грани, а затем снова «змей» и пара треугольников.

Фотография и чертежи граней дополняют наши объяснения.

53 Седьмая звездчатая форма икосододекаэдра

Многогранник представляет собой соединение большого додекаэдра — второй звездчатой формы додекаэдра — и многогранника 32 — одной из звездчатых форм икосаэдра. Для построения этой модели лучше всего изготовить «впадины» большого додекаэдра, содержащие большое шестиугольное отверстие в центре. Раскраска частей впадины вам уже знакома. Затем рекомендуем выполнить шестигранные пики, грани которых видны на звездчатой икосаэдральной грани. Раскраска пиков также повторяет обычную икосаэдральную раскраску (пики вклеиваются во впадины, закрывая отверстия).

Полученные части соединяются как части большого додекаэдра. Желательно воспользоваться показанной ниже заготовкой с длинной наклейкой, которая придаст прочность этой красивой модели.

54 Восьмая звездчатая форма икосододекаэдра

В этом многограннике легко распознать соединение пяти тетраэдров, пронизанное большим додекаэдром. Вершины последнего выглядят как маленькие розетки в центрах впадин соединения. И если ваша работа по построению моделей соединения пяти тетраэдров завершилась удачей, вам, несомненно, захочется попробовать сделать и эту модель. Схема ее построения остается неизменной. Как и раньше, начать следует с построения трехгранных вершин соединения пяти тетраэдров; при этом вы соединяете пять таких вершин в кольцо. Разумеется, в нашем случае в середине кольца появится десятиугольное отверстие. Закройте его упомянутой выше розеткой — вершинной частью большого додекаэдра. На пятиугольной грани тела, чертеж которой приводится, легко заметить 10 треугольных граней розетки. Их следует подклеивать друг к другу постепенно, соединяя ребро за ребром. Работа эта весьма кропотливая и требует немалого мастерства, но красота полученной модели окупит ваши усилия.

Раскраска модели обычна для всех моделей соединений многогранников: здесь каждый отдельный многогранник должен иметь свой цвет.

55 Девятая звездчатая форма икосододекаэдра

Многогранник представляет собой соединение 10 тетраэдров, на котором «тень» большого додекаэдра оставила следы в виде отверстий на дне впадин; из-за этого нутро многогранника становится видимым и доступным. Розетки, о которых мы говорили выше, точно соответствуют размерам отверстий, но модель хороша и без них. Правда, метод соединения частей модели несколько отличается от ранее использованного. Две заготовки, напоминающие крылья бабочки, связываются при помощи желобков, образованных двумя парами малых треугольников. V-образный вырез внизу закрывается двумя неправильными пятиугольными гранями. Эти грани в конечном счете образуют внутреннюю поверхность тела.

Такое соединение представляет собой одну часть. Для полной модели потребуется 30 частей.

56 Десятая звездчатая форма икосододекаэдра

Этот простой многогранник внешне напоминает дельтаэдр 28 — одну из звездчатых форм икосаэдра. Но в данном случае отверстия в центрах впадин дельтаэдра, через которые видно нутро тела, обязаны своим происхождением малому звездчатому додекаэдру (вершинные части малого звездчатого додекаэдра выступали бы из этих отверстий). Это означает, что по отношению к исходному телу необходимо проделать некоторую работу, аналогичную уже сделанной в отношении соединения пяти тетраэдров и соединения 10 тетраэдров. Пользуясь трафаретом, легко увидеть, как изменяются очертания исходных заготовок.

Метод соединения частей лучше всего заимствовать у предыдущей модели. Одна часть модели состоит из двух усеченных треугольников, соединенных по самой длинной стороне, и двух равнобочных трапеций, которые в итоге образуют часть внутренней поверхности модели. Эти части сами по себе не такие уж жесткие, но после склеивания их между собой достигается требуемая прочность.

Вся модель изготовлена из 30 частей.

57 Одиннадцатая звездчатая форма икосододекаэдра

Этот многогранник представляет особый интерес благодаря удивительному сходству с одним из однородных тел. Как видно из приведенных ниже чертежей, одни его грани представляют собой равносторонние треугольники, тогда как другие являются почти правильными десятиугольниками. В действительности многогранник можно рассматривать как усеченную форму большого звездчатого додекаэдра. Сечения производятся неглубокими разрезами у оснований пиков. Метод соединения частей модели заключается в следующем. Соедините между собой три показанные на рисунке заготовки. Длинные наклейки у основания полученного треугольника сохраните — они нужны для укрепления слабых мест модели. Три заготовки в форме «воздушного змея» закрывают верхушку получающейся трехгранной части, образуя впадину в вершине усеченной таким образом пирамиды. Склеивание частей производится в последовательности, которой мы придерживались при построении модели большого звездчатого додекаэдра. Для окраски модели можно использовать обычные схемы додекаэдральной или икосаэдральной раскраски.

58 Двенадцатая звездчатая форма икосододекаэдра

Как можно судить по фотографии, этот многогранник весьма привлекателен. Он образован взаимопроникновением двух тел — усеченной формы большого звездчатого додекаэдра и дельтаэдра, подобного звездчатой форме 28 икосаэдра. Икосаэдральные грани нашего многогранника состоят из трех равносторонних треугольников, несколько больших по размеру, чем треугольники на гранях дельтаэдра 28. Общая часть этих треугольников равна треугольной грани исходного внутреннего икосододекаэдра. Додекаэдральные звездчатые грани внешне напоминают звездчатый правильный десятиугольник, хотя в действительности несколько отличаются от декаграммы.

Икосаэдральные звездчатые грани принадлежат усеченному большому звездчатому икосаэдру.

При построении модели нетрудно заметить тонкие длинные отсеки, сужающиеся к своим внешним концам (последние расположены в точности в центрах впадин дельтаэдра 28). Это обстоятельство подсказывает крайне простой способ построения модели.

Начните с изготовления набора из пяти длинных отсеков, каждый из которых склеивается из четырех показанных ниже заготовок (заметьте, что они не образуют замкнутого отсека). Склейте их между собой в кольцо та-

ким образом, чтобы они соединялись своими тупыми основаниями. Получится «гроздь», из центра которой расходятся длинные отсеки. Части треугольных граней вклеиваются между этими пиками, так что получается часть, чем-то напоминающая части некоторых моделей звездчатых икосаэдров, в частности модели 28 и большого икосаэдра 41. Для завершения модели потребуется 12 таких частей.

На чертежах граней многогранника 58 показаны не все отрезки, образованные линиями трафарета, в чем легко убедиться. Обратите также внимание, что на додекаэдральном чертеже внешние отрезки определяются вершинами большого звездчатого икосаэдра. Как видно из чертежа, вершинные части тела рассечены многочисленными отсеками. Варьируя их, можно получить многочисленные усеченные формы большого звездчатого додекаэдра.

59 Тринадцатая звездчатая форма икосододекаэдра

В этой модели большой звездчатый додекаэдр пронизан телом одного из звездчатых икосаэдров (модель под номером 34). Поэтому 12 и 20 вершинных пиков кажутся как бы выступающими из основного ядра модели. Если вам удалось сделать модели этих двух многогранников в отдельности, то модель их соединения не доставит больших хлопот. Изготовьте прежде всего вершинные пики обоих видов, а затем подклейте их друг к другу. При этом вы можете воспользоваться обычной икосаэдральной раскраской. Начните работу с того, что окружите один икосаэдральный пик кольцом из пяти додекаэдральных пиков. Сделав это, вы без труда завершите остальное. Небольшая заминка, возможно, возникнет лишь при изготовлении последней части. Постарайтесь приклеить три заготовки — «воздушных змея» — к сторонам додекаэдрального пика в отдельности, не соединяя их до поры до времени в одно целое. Три длинных ребра этих заготовок склеиваются в последнюю очередь. Нанося клей на наклейки, слегка сдавите пальцами полученный трехгранный пик. Выполнив наши рекомендации, вы станете обладателем весьма впечатляющей модели.

60 Четырнадцатая звездчатая форма икосододекаэдра

Этот многогранник представляет собой соединение большого звездчатого додекаэдра с усеченной формой большого икосаэдра (усечение последнего производится путем удаления части его внешних отсеков). В результате соединения получается «колючее» тело, чем-то напоминающее морского ежа. На модели явственно проступают 12 вершинных частей многогранника 34, каждая из которых окружена кольцом из пяти меньших по размеру вершин. Вершинные части большого звездчатого икосаэдра выступают из тела модели ромбическими частями граней.

Рекомендуем воспользоваться следующим способом построения этой модели. Возьмите три заготовки и соедините их между собой; получится малая вершинная часть. Пять таких частей соедините в кольцо, в центре которого, на дне выемки, образуется пятиугольное отверстие. Края отверстия образуют малые равнобедренные треугольники с углом при основании 72°. Закройте пятиугольное отверстие длинной пикообразной вершинной частью звездчатого икосаэдра 34. Так вы подготовите одну часть модели, а всего их потребуется 12, причем соединяются они при помощи додекаэдральных вершинных частей, служащих связками. Присоединение самой последней части можно выполнить по способу, описанному для предыдущей модели.

61 Соединение большого звездчатого додекаэдра и большого икосаэдра

По-видимому, самыми впечатляющими из всех многогранников следует считать правильные звездчатые тела — большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр. Показанный на фотографии многогранник представляет собой соединение этих двух тел, являющееся одновременно звездчатой формой икосододекаэдра1. Для изготовления его модели лучше всего воспользоваться техникой, которую мы применяли при построении модели большого икосаэдра. Необходимые заготовки показаны на рисунке. Вершинные части, которые получают с их помощью, не столь устойчивы, как части большого икосаэдра, но после добавления кольца из пяти додекаэдральных вершин достигается необходимая конструктивная жесткость.

Изготовление модели этого многогранника потребует от вас изрядной доли терпения, но усилия вполне окупаются.

1 Другое соединение большого звездчатого додекаэдра и большого икосаэдра описано в [19], — Прим. авт.

62 Пятнадцатая звездчатая форма икосододекаэдра

Этот многогранник замечателен своим совершенным сходством с однородным многогранником 95, который нам еще предстоит рассмотреть. Но в отличие от модели 95 наш многогранник не является однородным, ибо его десятиугольные звездчатые грани отличаются от правильных, а пятиугольные — неполны, так как у них отсечены вершины. Чертежи помогут вам понять, как следовало бы видоизменить многогранник, чтобы он стал однородным.

Многогранник можно рассматривать и как усеченный вариант большого икосаэдра. Сечения в данном случае проходят по пятиугольным граням икосододекаэдра. Многогранник 95 также является усеченной формой большого икосаэдра, но там секущие плоскости просто параллельны плоскости основания вершинной части, а треугольники превращаются в правильные шестиугольники.

Модель можно построить тем же способом, что и модель большого икосаэдра. Заготовки для икосаэдральных граней, показанные на рисунке, представляют собой усеченные копии ранее использованных заготовок. После соединения нужного их числа в кольцо в центре кольца остается отверстие в форме звезды. Это отверстие закрывается звездой, состоящей из определенным образом расположенных впадин. Впадина в центре звезды имеет вид вывернутой наизнанку вершинной части малого звездчатого додекаэдра, которая образует углубление в форме чаши. Каждый луч звезды закрывается трехгранной впадиной, соединенной с одним свободным ребром чаши. Так закрывается все звездчатое отверстие. Следует сначала склеить между собой части самой звезды, а затем поставить ее на место, закрепив клеем и зажимами. Полная модель состоит из 12 частей.

63 Шестнадцатая звездчатая форма икосододекаэдра

В некоторых звездчатых икосаэдрах вершины связываются друг с другом лишь отсеками или соединениями отсеков. Благодаря этому получаются

открытые, «воздушные» модели. Для построения подобных моделей подходят и отсеки, получаемые при продолжении граней икосододекаэдра. В нашей книге представлены три такие модели — эта и две последующие. Модель, показанная на фотографии, может быть получена в результате удаления тела модели звездчатого икосаэдра 32 из составного многогранника 53 (см. стр. 64 и 96). Остаются лишь вершинные части большого додекаэдра в форме красивых выпуклых пятиугольных звезд. 12 таких звезд, соединенных только вершинами, и образуют наш многогранник.

Внизу показаны заготовки, необходимые для построения одного луча звезды. Пять лучей, соединяясь вместе, образуют выпуклую звезду. Для того чтобы склеить звезды в вершинах, необходима конструктивная подставка. Ею может служить часть модели большого додекаэдра, содержащая полную пятиугольную грань. Разумеется, для того чтобы она могла служить в качестве подставки, ее следует перевернуть. Вырежьте также небольшие отверстия в тех точках ребер подставки, где будут склеиваться вершины звезд. Проявите ловкость и запаситесь терпением — и вы смастерите красивую модель, которая показана на фотографии.

64 Семнадцатая звездчатая форма икосододекаэдра

Этот многогранник тесно связан с соединением большого звездчатого додекаэдра и большого икосаэдра (модель 61). Он может быть получен в результате удаления из тела соединения большого икосаэдра, «следы» которого остаются в виде внутренних граней многогранника. Но для того чтобы получить остающиеся отсеки большого звездчатого додекаэдра, которые связывали бы вершины многогранника, следует закрыть ромбические грани этих отсеков. Это вы можете заметить, сравнив чертежи, приведенные ниже, с чертежами к модели 61. Если закрыть ромбические грани, соприкасающиеся вершинами отсеки соединятся.

Модель многогранника можно сделать, исходя из показанных на рисунке заготовок. Три заготовки соединяются в форме вершинной части большого звездчатого додекаэдра. При этом треугольники заготовок образуют перепонку, полностью закрывающую отсек внизу1.

Для соединения отсеков и в этом случае потребуется подставка. Ею послужит кольцо из пяти вершинных пиков правильного большого звездчатого додекаэдра. Рекомендуем сделать отверстия на ребрах в точках склеивания вершин отсеков. Следует также оставлять несклеенными три треугольные грани подставки, в противном случае в процессе работы модель невозможно будет снять с подставки и передвинуть по ней.

Завершенная модель, как ни удивительно, оказывается устойчивой. Правда, она слегка пружинит, тем не менее конструкция вполне выдерживает собственный вес, напоминая этим модели 35 или 29.

1 Рекомендуем начать со склеивания перепонки и лишь затем соединить вершины ромбов.

65 Восемнадцатая звездчатая форма икосододекаэдра

Отверстия в теле многогранника и структура его внутренней поверхности — это следы, оставленные в большом икосаэдре после удаления большого звездчатого додекаэдра. Десятиугольную звездчатую грань, представляющую собой усеченную пентаграмму, которая столь заметна на приведенном ниже чертеже, по существу на многограннике обнаружить нельзя, ибо взгляд постоянно задерживается на внешних треугольных гранях. И лишь тщательное изучение подсказывает истинное строение внутренней поверхности.

Модель этого многогранника строится тем же способом, который мы применяли при построении другой модели звездчатого икосаэдра, имеющей подобное строение, — модели 30. И в самом деле, если исходить из согласованных размеров заготовок, то для этой модели можно применять ту же подставку, что и для модели 30. На рисунке показан чертеж одной заготовки. Для каждого отсека — вершинной части модели — потребуется 10 таких заготовок, образующих пять энантиоморфных пар. Схема раскраски та же, что и для большого икосаэдра. Нетрудно заметить, что полная модель состоит из 12 вершинных отсеков. Соседние отсеки соединяются не в вершинах звезд оснований, как в модели 30, а в других вершинах. Это несколько усложняет работу, но зато получаемая модель обладает поразительной конструктивной жесткостью.

66 Завершающая звездчатая форма икосододекаэдра

(Трафареты для этой модели приведены на стр. 88 и 89.

Завершающие звездчатые формы любых многогранников всегда вызывают особый интерес. Перед нами завершающая звездчатая форма икосододекаэдра. Не правда ли, чем-то она напоминает вспышку фейерверка, когда из одной точки в разных направлениях разлетаются огненные звезды и путь их ясно виден на фоне ночного неба. Но никакой фейерверк не сможет передать удивительной упорядоченности и математической точности этого многогранника, лучи которого четко группируются в 12 заметных «короноидальных» групп. Вы без труда обнаружите в нем завершающие звездчатые формы додекаэдра и икосаэдра. Большой звездчатый додекаэдр лишь слегка выступает из тела многогранника маленькими трехгранными отсеками, похожими на кустики травы у подножия гигантского дуба. А пятерки вершинных пиков завершающего звездчатого икосаэдра образуют основу каждой «короны». Но промежутки между этими пиками заполнены другими — тонкими и длинными, а все соединение из пиков и составляет целую «корону». Такой рисунок подсказывает нам способ построения модели.

Начнем с изготовления боковой оболочки «короны» из пяти заготовок, обозначенных буквой А. В нижнем основании «короны» будет лежать правильный пятиугольник, а края вверху окажутся весьма зазубренными. Теперь склейте пять пар трапеций, обозначенных буквой Б. Каждая пара таких энантиоморфных трапеций соединяется наклейками нижних коротких ребер, отходящих от срединного тупого угла. Соедините все пять пар вместе ребрами, которые у них склеены. У вас в руках окажется кольцеобразная гармошка. Теперь к ребрам, исходящим из верхней склеенной точки — вершины тупого угла, — подклейте пять заготовок в форме ромба. (При этом каждая ромбическая грань

должна связывать между собой ребра соседних пар трапеций.) Так вы получите внутреннюю часть «короны». Для того чтобы поставить ее на место, приклейте края ромбов, используя зажимы для соединения наклеек внутри острых двугранных углов. После этого приступайте к подклейке остальных ребер к средним выступам каждой стороны «короны». (Придерживайте пальцами склеиваемые части до тех пор. пока клей полностью не подсохнет.) Всю работу выполняйте последовательно, склеивая ребра одно за другим.

Полученная «корона» — только одна часть модели, а всего потребуется 12 частей. Соединяйте их обычным способом, как грани додекаэдра. Наконец, наклейте маленькие вершины большого звездчатого додекаэдра, соединив их предварительно в трехгранную часть. Лучше всего сохранить на них наклейки и, нанеся клей, просто прижать их к месту соединения трех «корон».

Штриховка на рисунке А показывает части боковой поверхности «корон», закрываемые трехгранными отсеками. Изготовление модели сопряжено с очень кропотливой работой. Что касается раскраски, то она может совпадать с обычной икосаэдральной раскраской, а выступающие части граней большого звездчатого додекаэдра можно сделать белыми (Б).

* * *

Выполнив эту модель, вы сможете самостоятельно отыскать и другие звездчатые формы кубооктаэдра или икосододекаэдра. Для этого надо лишь основательно изучить формы получающихся отсеков и понять, каким образом грани отсеков находятся из трафаретов. Вы также можете теперь исследовать звездчатые формы других архимедовых тел. Вам не понадобятся сразу же полные трафареты звездчатых граней таких тел. Вы создадите их постепенно, в процессе работы — методом проб и ошибок, если не найдете иного пути, напоминающего скорее решение кроссвордов или, в еще большей степени, составление трехмерных картинок (аналогов двумерных рисунков на детских кубиках).

III. НЕВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Замечания

Вы только что изучили, к каким результатам приводит процесс продолжения граней, примененный к Платоновым и к двум архимедовым телам. Вы также заметили, что среди всех полученных этим способом многогранников оказалось крайне мало однородных. В самом деле, однородными многогранниками были лишь при звездчатых додекаэдра и один звездчатый икосаэдр. Припомните, что однородным считается такой многогранник, все грани которого суть правильные многоугольники (к их числу, возможно, принадлежат правильные звездчатые многоугольники), а все вершины одинаковы. В список однородных многогранников, таким образом, попадают 5 Платоновых тел, 13 архимедовых тел и 4 тела Кеплера — Пуансо. Существуют ли другие однородные многогранники? Вы, вероятно, удивитесь, узнав, что их еще по крайней мере 53!

Каким образом они были открыты? 37 многогранников обнаружил Бадуро (1881), систематически исследовавший каждое из Платоновых и архимедовых тел с целью найти правильные многогранники или правильные звезды среди сечений этих тел. Очевидно, подобный подход существенно отличается от рассмотренного нами выше. Если мы таким путем обнаружим искомый многоугольник, ясно, что его вершины должны совпасть с вершинами исходного выпуклого многогранника. Плоскости таких многоугольников могут пересекаться. Если из исходного тела удалить некоторые симметрично расположенные части, отделяемые этими плоскостями, мы можем получить новый однородный многогранник. Такой процесс резонно называть «огранкой» исходного многогранника. Он в каком-то смысле противоположен добавлению новых отсеков, получаемых продолжениями граней исходного тела, ибо последний процесс приводит к дополнению исходного тела новыми частями, тогда как огранка ведет к удалению отсеков исходного тела (так что его поверхность может служить своеобразной оболочкой полученною многогранника).

Если с этих позиций вы исследуете тела Кеплера — Пуансо, то обнаружите, что как малый звездчатый додекаэдр, так и большой додекаэдр могут быть получены огранкой икосаэдра. Вершины первого и ребра второго совпадут соответственно с вершинами и ребрами воображаемого икосаэдра, окружающего эти тела. Это хорошо заметно на моделях. Большой звездчатый додекаэдр можно рассматривать и как ограненную, и как звездчатую форму додекаэдра.

Если вы вообразите отрезки, соединяющие любую вершину большого звездчатого додекаэдра с тремя соседними, то все множество таких отрезков составит скелетный каркас правильною додекаэдра. По этой причине вершины большого звездчатого додекаэдра совпадают с вершинами додекаэдра-оболочки. Аналогично большой икосаэдр можно рассматривать и как ограненную форму икосаэдра, и как звездчатую его форму. Многие из представленных в книге моделей достаточно полно иллюстрируют идею огранки.

Помимо Бадуро, которого мы упомянули выше, этой темой занимались и другие исследователи. Среди них стоит упомянуть Гесса (1878), открывшего два новых однородных многогранника (обратите внимание: Гесс предшествовал Бадуро). Питч (1881) совершенно независимо нашел 18 таких тел, причем некоторые из них не содержались в списке Бадуро. В 1930—1932 годах Кокстер и Миллер открыли 12 других, ранее не известных однородных многогранников, но не опубликовали результаты своих исследований, так как надеялись получить математическое доказательство того что больше однородных тел не существует. Независимо от них М. Лонге-Хиггинс и Г. Лонге-Хиггинс в 1942—1944 годах нашли 11 (из 12) этих многогранников.

В 1952 году обе группы получили возможность ознакомиться с параллельно ведущимися работами. Тем временем в 1947 году Лесавр и Мерсье «переоткрыли» 5 из этих же 12 тел. В статье

«Однородные многогранники» [18], вышедшей в свет в 1954 году, все известные тела были собраны вместе (к этому времени было найдено 75 однородных многогранников). Как отмечали авторы статьи, они предполагали, «что приведенное перечисление полное, хотя строгое доказательство этого еще только требуется получить».

Метод перечисления, который применили эти исследователи, отличался от методов более ранних работ. Он основан на систематическом изучении всех возможных треугольников Шварца и составленных из них многогранных калейдоскопов. Треугольники Шварца связаны с треугольниками Мёбиуса, упомянутыми на стр. 14.

Общие указания по изготовлению моделей невыпуклых однородных многогранников

Ниже представлены описания моделей невыпуклых однородных многогранников. К ним приложены чертежи граней, а также трафареты заготовок частей, возникающих в пересечении граней. На чертежах не проставлены размеры и не указаны никакие величины, поскольку их элементы находятся в весьма простых отношениях, которые могут служить ключом к определению всех требуемых размеров. Это связано с утверждением, согласно которому размеры частей пентаграммы (пятиугольной звезды) и декаграммы (десятиугольной звезды) находятся в отношении «золотого сечения». Поэтому, если какой-либо правильный многоугольник частично совпадает с такой звездой, его соответствующие части делятся в отношении золотого сечения т « 1,618. Проиллюстрировать сказанное могут лучше всего рис. 34—36. Метрические соотношения в восьмиугольной звезде, или окта-

Рис. 34.

Рис. 35.

Рис. 36.

грамме, подобным же образом связаны с известным числом V~2« 1,414.

Таким образом, если вы располагаете достаточно аккуратными чертежами этих трех звезд, то отрезки на их сторонах задают требуемые для заготовок размеры. И лишь для некоторых более сложных моделей, которые приводятся далее, потребуется нанести дополнительные точки на стороны звезд. Но и эти новые точки разделят соответствующие отрезки в отношении золотого сечения. Поэтому постарайтесь тщательно выполнить необходимые чертежи: они помогут вам изготовить модели любых размеров.

Грани невыпуклых однородных многогранников не всегда видны целиком. Иногда отдельные их части скрыты внутри тела, иногда одна и та же грань в какой-то своей части видна с одной стороны, а в какой-то — с другой. На чертежах светлой штриховкой обозначена лицевая поверхность видимых частей; видимая с тыльной стороны поверхность зачернена. Невидимые части граней на чертежах не заштрихованы. Не использована штриховка и в том случае, когда всю поверхность многогранника можно увидеть извне. Чертежи видимых и невидимых частей позволяют определить формы заготовок, из которых составляется модель.

67 Тетрагемигексаэдр

В этом простом многограннике легко узнать ограненную форму октаэдра. Топологически он представляет собой известный односторонний гептаэдр (семигранник), гомеоморфный односторонней поверхности, носящей имя Штейнера ([19], стр. 193). В этом многограннике три экваториальных квадрата лежат в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, причем каждый квадрат имеет общие ребра с четырьмя треугольниками.

Модель этого многогранника можно сделать четырехцветной. Все равносторонние треугольники можно взять одноцветными, скажем красными (К). К сторонам четырех равносторонних треугольников приклейте гипотенузы равнобедренных прямоугольных треугольников — оранжевого (О), синего (С) и желтого (Ж), как показано на рисунке внизу справа. Этим частям следует затем придать форму треугольной пирамиды, основанием которой послужит красный (К) треугольник, а остальные треугольники станут наклонными боковыми гранями. Однако здесь следует воспользоваться особой техникой склеивания. Одни наклейки нужно отогнуть наружу и склеить в форме язычка вдоль наклонных ребер пирамиды, в то время как другие надо загнуть, как обычно, внутрь, но не склеивать. Тем самым они образуют паз, в который будет вставляться язычок другой такой же части. При соеди-

нении частей помните, что каждая квадратная грань на полной модели должна быть одноцветной.

Соедините теперь две пирамиды, нанеся клей на обе стороны наклейки-язычка, и вставьте затем язычок в паз другой части. Сделав это, вы получите часть модели с двумя половинками описанных выше квадратов. Плоскости этих квадратов будут рассекать одна другую по ребрам, к которым присоединены язычки и пазы. Подобным же образом на свое место прикрепляется третья пирамида, а за ней и четвертая. Вам предстоит самостоятельно решить, какие наклейки следует соединять в форме язычка, а какие — в форме паза. Если вы разберетесь в том, каким образом модель принимает свои очертания, правильное решение придет к вам само.

Показанную на фотографии модель можно построить и иным способом, который пригодится нам в дальнейшем. Он сводится к следующему. Изготовьте исходные трехгранные чаши, заготовка для которых показана на чертеже; все наклейки отогните наружу. Они образуют на внешней нераскрашенной поверхности чаши некое подобие нервюр1 вдоль ребер. Сама чаша представляет собой треугольную пирамиду без основания. Нервюры могут быть должным образом подрезаны и расположены так, что при соединении чаши станут наклейками двойной толщины. При помощи таких наклеек соединяются чаши, причем ребро одной из них следует совместить с ребром другой. Под конец добавляются четыре красных (К) треугольника. Их ребра подклеиваются одно за другим. Последняя процедура, напоминающая наложение крышки, вам уже знакома. Обратите внимание на следующее обстоятельство: острые двугранные углы при ребрах облегчают присоединение последних равносторонних треугольников, хотя, для того чтобы они хорошо подошли к размерам отверстий, склеивание чаш нужно производить весьма аккуратно. С этой точки зрения первый рассмотренный нами способ предпочтительнее, во всяком случае, он легче в исполнении. Но, разумеется, вы сами решите, каким из них воспользоваться.

1 Нервюрой называется выступающее ребро крестового свода готического храма.

68 Октагемиоктаэдр

Этот многогранник представляет собой ограненный кубооктаэдр. Иногда его называют также октатетраэдром. Четыре экваториальные шестиугольные грани многогранника имеют общие ребра с восемью треугольными гранями. Построить модель, как и в предыдущем случае, можно двумя способами.

Можно изготовить восемь тетраэдров и первые четыре из них раскрасить в соответствии с приведенной на рисунке таблицей. Остальные тетраэдры также имеют в основаниях синие (С) треугольники, но раскраска их боковых граней энантиоморфна раскраскам граней первых четырех тетраэдров. Нетрудно представить себе, как будет выглядеть таблица их раскраски: следует просто поменять местами 2-й и 3-й столбцы. Эти тетраэдры затем соединяются между собой посредством язычков и пазов. Вам предстоит определить, какие наклейки следует отогнуть, а какие оставить внутри. В полученной полной модели все внешние треугольные грани должны быть синими (С), а на шестиугольных гранях вам встретятся все остальные цвета — Ж, О, К и 3. Если вы будете помнить это правило, то не встретите затруднений в расположении тетраэдров.

Существует и другой способ построения. Он заключается в следующем. Вы подготавливаете шесть тетраэдральных чаш и первые три раскрашиваете в соответствии с таблицей. Окраска остальных чаш должна быть энантиоморфной. Как и ранее, все наклейки соединяются с внешней стороны чаш. В итоге они могут служить внутренними связками между чашами, соединяемыми по общим ребрам. Следует только должным образом подрезать сдвоенные наклейки и придать им нужное положение. Последними подклеиваются синие (С) треугольники.

69 Малый кубокубооктаэдр

Этот многогранник получен в результате огранки ромбокубооктаэдра. Его квадратные грани лежат на плоскостях граней куба, восьмиугольные — на параллельных им плоскостях за квадратами, а треугольные грани совпадают с треугольными гранями ромбокубооктаэдра. Поскольку для окраски куба достаточно трех цветов, можно достичь очень эффектной окраски, воспользовавшись для окраски треугольников двумя другими цветами. В качестве трафаретов для заготовок вам послужат квадрат, прямоугольник и два треугольника, которые приведены на чертеже восьмиугольной грани.

Постройку модели следует начать с изготовления четырех треугольных пирамид с приведенной раскраской. Выверните все наклейки наклонных ребер наружу и склейте их в виде язычков. Затем изготовьте показанную на стр. 122 справа открытую призму, которая послужит верхней частью модели.

Боковыми гранями призмы будут чередующиеся синие (С) и оранжевые (О) прямоугольники. Вслед за этим подклеивайте к четырем углам призмы четыре пирамиды так, чтобы в паз между соседними прямоугольниками вошел язычок пирамиды. Разумеется, сами пирамиды следует расположить в соответствии с таблицей раскраски, их желтые (Ж) грани должны оказаться внизу.

Теперь добавьте кольцо из четырех боковых призм. Раскраски двух из них берутся из 2-й и 3-й строк второй таблицы внизу. Раскраска оставшихся четырех пирамид и трех призм полностью совпадает с раскраской уже использованных частей. Техника их соединения также не меняется. Впрочем, вы обнаружите, что прямоугольные грани призм можно просто подклеивать к язычкам, не мучаясь со вставкой язычков в пазы. Конечный результат от этого не меняется, но приходят к нему несколько иным путем. В процессе построения модели вы это полностью себе уясните. Любая из процедур приводит к весьма прочной и впечатляющей модели.

70 Малый битригональный икосододекаэдр

Этот многогранник состоит из 12 пентаграмм на гранях додекаэдра и 20 треугольников на гранях икосаэдра. Как легко заметить, вблизи каждой вершины грани встречаются тройками в чередующемся порядке. Поэтому многогранник и называется битригональным икосододекаэдром. Пентаграммы могут быть окрашены шестью цветами так, что противоположные звезды будут одноцветными, но для сохранения основного принципа раскраски карт при выборе красок для треугольных граней нам придется обратиться ко второй таблице раскраски икосаэдра.

Проще всего строить модель, окружая каждую звезду треугольными гранями. Каждые две такие грани образуют желобок между соприкасающимися парами лучей соседних звезд. На следующей странице приводится таблица раскраски. Присоединив все желобки к белой (Б) звезде, вы сразу же можете приклеить следующие пять цветных звезд. Чтобы разместить их правильно, подклейте зеленую (3) звез-

ду против желтых (Ж) треугольников и далее по кругу остальные звезды — Ж, С, О, К, 3.

Как видите, таблица раскраски устроена так, что цвета каждой пары соседних треугольников указаны в ней дважды. Это упрощает пользование ею и позволяет работать в предписываемом таблицей порядке, обклеивая каждую звезду двугранными желобками. Вы, конечно, обратили внимание на циклические перестановки цветов. Они становятся еще более очевидными, если рассмотреть столбцы раскраски, опуская при этом первую строку.

Если вы справились с изготовлением существенной части модели, доделать ее несложно. Проследите лишь за тем, чтобы противоположные звезды были одноцветными, а все треугольные грани модели окрашены в свой цвет. Вы убедитесь, что лучше сначала склеивать треугольные заготовки между собой, а затем присоединять их к лучам звезды. Таким способом целесообразно делать все желобки модели. Последней, подклеивается белая (Б) звезда.

Работу следует выполнять по частям. Соединяйте наклейки последовательно. Не торопитесь, пусть клей хорошенько подсохнет. Когда щель станет слишком узкой, прибегните к помощи пинцета. Будьте внимательны и аккуратны, запаситесь терпением, и вы будете вознаграждены.

71 Малый икосоикосододекаэдр

Гранями многогранника служат 20 треугольников, 20 шестиугольников и 12 пятиконечных звезд, причем треугольники располагаются параллельно шестиугольникам и над ними. Это означает, что можно удачно применить первую икосаэдральную раскраску из пяти цветов; при этом параллельные грани будут окрашены в один цвет, а для всех звезд останется шестой, белый (Б) цвет.

Треугольные грани имеют ребра, общие с шестиугольными гранями, а вершины треугольных граней совпадают с вершинами звезд. Пересечения шестиугольных граней образуют желобки, исходящие из промежутков между лучами звезд. Гранями желобков служат две трапеции. Такое расположение подсказывает нам метод соединения частей модели.

Сделайте пять показанных на рисунке желобков, раскраска которых должна следовать строке (0) таблицы. Они приклеиваются между лучами бе-

лой (Б) звезды так, что оказываются несколько опущенными по отношению к плоскости звезды. К желобкам подклеиваются треугольники, цвет которых должен совпадать с цветом расположенной под ними шестиугольной грани. В таблице раскраски каждый желобок встречается дважды, но это лишь облегчает пользование ею в процессе построения модели. Если вы будете последовательно обклеивать каждую звезду, то следовать таблице будет несложно. Располагайте желобки в соответствии с их раскраской и положением. Что касается раскраски, то соседние желобки и треугольники взаимно помогают определять по цветам одних раскраску других.

Вы обнаружите, что противоположные желобки энантиоморфны, но при склеивании трапеций это не играет никакой роли. Стройте модель последовательно, тогда вы автоматически получите энантиоморфный порядок раскраски противоположных желобков.

Построение модели малого икосоикосододекаэдра требует от вас терпения. Достаточно сказать, что к каждой из десяти сторон любой звезды надо подклеить свою трапецию. Запомните: не следует делать сразу слишком много. В каждый данный момент склеивайте лишь одно ребро. Если у вас имеется пять хороших зажимов, используйте их «конвейерным способом»: переносите с одного склеенного ребра на другое, так что к тому времени, когда вы склеите пятое ребро, можно будет снять зажим с первого.

Заметьте также, что легче сначала склеить между собой длинные стороны трапеций и стороны треугольников, которые окружают эти трапеции, и лишь затем подклеивать короткие ребра желобков к лучам звезд.

72 Малый додекоикосододекаэдр

Этот многогранник легко распознать как ограненную форму ромбоикосододекаэдра. Для его пятиугольных и десятиугольных параллельных граней подходит шестицветная додекаэдральная раскраска. Построение модели начинается с того, что белый (Б) пятиугольник окружается пятью трапециями, как показано на рисунке. Загните наклейки трапеций внутрь, но не склеивайте их. Они образуют пазы, в которые затем войдут язычки малых треугольных пирамид. Таблицы раскраски обеих частей представлены ниже.

Для правильного размещения треугольных пирамид мы вынуждены обратиться ко второй икосаэдральной

таблице раскраски. В таблицах раскраски приведены цвета лишь для половины требуемых заготовок. Раскраска остальных энантиоморфна приведенной, причем каждая часть занимает диаметрально противоположное положение по отношению к своему двойнику. Этим обеспечивается выполнение основного принципа раскраски карт.

73 Додекододекаэдр

Этот многогранник содержит 12 звезд на гранях додекаэдра, а на параллельных плоскостях под звездами находятся 12 пятиугольных граней, каждая из которых имеет общие ребра с пятью пересекающими ее звездами. Построение модели следует начать с соединения ромбических заготовок в форме трехгранных выемок, одна из которых показана на рисунке. Пять таких выемок подклеиваются к лучам белой (Б) звезды, причем все ромбы оказываются ей параллельны, формируя тем самым пятиугольную параллельную грань. Теперь можно подклеить пять следующих звезд. Каждая звезда должна совпадать по цвету с двумя ромбами, приклеенными к разделенным лучом отрезкам исходной звезды. После этого присоединяются еще пять выемок: шестая (6) под первой (1) и т. д. Оставшиеся части модели имеют энантиоморфную раскраску, причем она получается автоматически, если следить за сохранением единой окраски параллельных граней.

74 Малый ромбододекаэдр

Этот многогранник также получен из ромбоикосододекаэдра. Пятиугольные грани последнего удалены, и их место заняли неглубокие чаши, пятиугольные донца которых лежат на десятиугольных гранях тела. Удалены также треугольные грани: их заменили небольшие выемки, и грани выемок опять-таки лежат на десятиугольных гранях тела. На прежних местах остались только квадраты. Для окраски десятиугольных граней в этом случае удобно воспользоваться додекаэдральной раскраской. Отсюда с необходимостью вытекает способ соединения частей модели.

Начните с белого (Б) пятиугольника и подклейте к его сторонам пять трапеций, образовав неглубокую чашу. Цвета трапеций выбирайте в соответствии с таблицей раскраски, приведенной для малого звездчатого додекаэдра. 12 построенных чаш могут быть склеены вместе; они образуют внутренний додекаэдр. Промежутки между верхними основаниями чаш заполните чередующимися квадратами и треугольными выемками (см. фото). Если при этом следовать приведенной ниже таблице раскраски, то достигается по-

разительный эффект! Подклейте желтый (Ж) квадрат между белым (Б) и красным (К) пятиугольниками, затем синий (С) квадрат между белым (Б) и зеленым (3) пятиугольниками и так далее по порядку нулевой (0) строки таблицы. Таким образом вы получите верхнее кольцо квадратов — Ж, С, О, К и 3, окружающее белый (Б) пятиугольник. Следующие пять подобных колец имеют раскраски, соответствующие строкам (1), (2), (3), (4) и (5). Кольца содержат общие квадраты, вследствие чего каждый квадрат упоминается в таблице дважды. Раскраска остальных колец квадратов энантиоморфна. Эффект, о котором говорилось ранее, вы теперь можете наблюдать воочию. Если расположить модель так, чтобы белые пятиугольники оказались на ее полюсах, то пять белых квадратов, чередуясь с другими пятью разноцветными квадратами, образуют наклонный экваториальный пояс модели. То же будет выполнено и по отношению к любому другому цвету на модели.

Трехгранные выемки имеют одинаковую раскраску и даже одинаковые формы с впадинами модели большого додекаэдра. Однако вследствие их небольшой глубины можно не соединять наклейки треугольников попарно, но подклеивать их непосредственно к внутренней поверхности соседних треугольников в соответствии с рисунком. Ненужные наклейки следует обрезать. Положения выемок на модели определить несложно

75 Усеченный большой додекаэдр

Раскраска этой модели соответствует раскраске модели 21. Пентаграммы и параллельные им десятиугольные грани должны быть окрашены одинаково. Наилучший способ построения модели сводится к следующему.

Сначала сделайте трехгранные выемки, руководствуясь таблицей раскраски большого икосаэдра. Затем соедините выемки между собой вдоль их длинных свободных ребер, а отверстия, образованные короткими ребрами, закройте звездами.

Ниже представлены чертежи нужных заготовок. Показано также, как склеивать выемки.

76 Ромбододекододекаэдр

Этот красивый, почти шарообразный многогранник, очень напоминает пляжный резиновый мяч. А если вы к тому же воспользуетесь приведенной ниже раскраской, то его модель станет столь же яркой и красочной. Для изготовления модели требуется множество заготовок: всего их 312, и все нужно вырезать, подогнать и склеить. Для не слишком большой по размерам модели можно применить обычную технику соединения частей наклейками, которые имеются на всех сторонах заготовок. Это позволит получить прочный красивый многогранник. Если раскрасить пересекающиеся квадратные грани так, как мы это делали при построении модели 74, то возникающие наклонные экваториальные пояса из трапеций покажутся еще более восхитительными. Ниже приводятся таблица раскраски и чертежи соединения заготовок — они помогут вам в работе.

После того как вы склеите заготовки между собой, сразу же подклейте к ним маленькие треугольники, которые должны находиться в пятиугольных гранях. Вы сможете без труда опреде-

лить их окраску. Доведите работу до конца, оставив незаклеенными только маленькие треугольные отверстия. Эти отверстия нужно закрыть малыми трехгранными выемками: их стороны образованы треугольниками, лежащими на квадратных гранях. Вам снова будет нетрудно определить их раскраску. И еще запомните: как правило, вогнутые части легче сначала склеить вместе, а затем подклеить к остальным частям модели способом, который обычно применялся при окончании моделей. Поэтому треугольники 11—15 (см. рисунок) должны подклеиваться как половины двухцветных вогнутых ромбов, служащих связками между различными частями модели.

77 Большой кубокубооктаэдр

Этот многогранник представляет собой ограненный куб. Каждая восьмиугольная звезда лежит на гранях окружающего его воображаемого куба. Промежутки между лучами каждой звезды заполнены желобками и выемками, чередующимися между собой. Поскольку для раскраски куба достаточно трех цветов, эту же раскраску можно перенести на звезды модели. Тем самым противоположные звезды получат одну окраску. В тот же цвет должны быть окрашены части параллельных им квадратных граней. Треугольники можно раскрасить попеременно двумя другими цветами.

Построение модели начните с желтой (Ж) восьмиугольной звезды и подготовьте четыре выемки и четыре желобка. Заметьте, что треугольные грани желобков несколько больше, чем треугольные грани выемок. Подклейте

эти части в чередующемся порядке к лучам звезды, следя за тем, чтобы части параллельных граней были окрашены одинаково.

Работа не покажется вам трудной.

Окраски звезд и всех остальных частей определяются легко. Последней надо приклеить вторую желтую (Ж) звезду — опять-таки постепенно, ребро за ребром.

78 Кубогемиоктаэдр

Этот многогранник служит примером другой огранки кубооктаэдра, в силу чего к нему можно применить те же конструктивные приемы, что и при изготовлении модели 68.

Подготовьте исходные части, имея в виду, что треугольники должны в точности совпадать с треугольниками на чертеже шестиугольной грани. Соедините их между собой, как показано на рисунке. У вас должно получиться шесть пирамид с квадратными основаниями. Раскраски трех из них указаны в таблице, а остальные три должны быть раскрашены энантиоморфно. Пирамиды следует затем соединить между собой способом «язычок в паз».

Существует и другой способ построения модели. Он сводится к соединению восьми трехгранных чаш; раскраска четырех из них приведена ниже, а остальные должны быть раскрашены энантиоморфно. Как обычно, при таком способе все наклейки соединяются на внешней поверхности чаш. С помощью этих двойных наклеек чаши склеиваются общими ребрами. Квадратные грани подклеиваются в последнюю очередь.

79 Кубооктоусеченный кубооктаэдр

Этот многогранник есть не что иное, как ограненный октаэдр. Двугранные желобки между лучами звезд образованы частями шестиугольных граней. Связь многогранника с октаэдром позволяет выбрать весьма эффектную раскраску. Четыре параллельные пары шестиугольных граней раскрашиваются четырьмя цветами, а всем шести восьмиугольным придается пятый цвет. Звезды можно взять либо белыми (Б), либо раскрасить в соответствии с цветами параллельных им и лежащих ниже восьмиугольных граней.

Прежде всего окружите центральные части шестиугольных граней (правильные треугольники), показанные ниже, частями восьмиугольных граней. Самые короткие ребра этих частей нужно склеить между собой; они образуют неглубокие чаши с треугольным дном. Затем подготавливаются показанные ниже желобки. Этими частями обклеиваются попеременно лучи восьмиугольной звезды.

Как только вы закончите эту часть работы, присоедините еще четыре звезды. Теперь четырьмя желобками эти звезды соединяются между собой таким образом, что образуется экваториальный пояс, в который входят звезды. Раскраски новых желобков приве-

дены выше Вы заметите, что они окрашены энантиоморфным образом. Энантиоморфные части занимают, естественно, диаметрально противоположные положения.

Присоедините к конструкции еще четыре чаши и четыре связующих желобка. Диаметрально противоположные чаши должны быть окрашены одинаково, а противоположные желобки — энантиоморфно. При склеивании двух трапеций в желобок нет нужды разбираться в том, какой цвет окажется справа, а какой слева: в случае необходимости вы просто перевернете желобки.

Построение модели заканчивается подсоединением последней октаграммы. Модель очень прочна и привлекательна.

80 Битригональный додекаэдр

Этот многогранник особенно интересен своей тесной связью с большим звездчатым додекаэдром. Описание этой связи достаточно сложное, но после завершения работы над моделью она станет для вас почти очевидной.

Поставьте мысленно следующий опыт. Отсеките от тела большого додекаэдра его выпуклые звезды разрезом по плоскости пятиугольной грани, переверните их и приложите к модели большого звездчатого додекаэдра (22). При этом центральная вершина каждой телесной звезды пусть придет в центральную точку кольца из пяти пиков, а ребра звезды пойдут по исходящим из центра кольца ребрам пиков. Так вы получите многогранник 80. Его можно рассматривать и как ограненную форму многогранника 70. В этом случае двугранные треугольные желобки модели 70 заменяются глубокими выемками, находящимися между вершинами звезд. Выемки образованы пересекающимися пятиугольными гранями тела, и поэтому их сторонами служат равнобедренные треугольники двух типов с углами при основании 72° и 36°. Связь модели 80 с двумя звездчатыми додекаэдрами позволяет нам использовать аналогичную раскраску.

Начав строить эту модель, подготовьте 12 пентаграмм — по две каждого из шести цветов. Затем сделайте пять шестигранных чаш или выемок, как мы их только что называли. На рисунке показаны планы соединения этих частей. Там же приведена таблица раскраски пентаграммы и еще двух, которые понадобятся после.

Отогните наклейки во внешнюю сторону чаш и вклейте чаши между лучами звезд. Первой пятеркой чаш окружите белую (Б) пентаграмму и сразу

же подклейте на места еще пять цветных звезд. При этом желтая (Ж) звезда должна лежать в плоскости, расположенной выше плоскости, в которой находятся два желтых (Ж) треугольника— части пятиугольной желтой грани. Чтобы их найти, следите не за раскраской стенок чаш, а за цветами треугольников 1 или 2. Стоит вам правильно расположить эту звезду, как остальные пойдут по кругу в порядке Ж, С, О, К, 3.

После этого можно подклеить следующие пять чаш, которые используются в качестве связок между звездами. Чашу 6 поместите между звездами 3 и Ж, чашу 7 — между звездами Ж и С и так далее по кругу. Третьей пятеркой чаш вы закончите работу над одной половиной модели. Их положение легко определить, нужно только проследить за тем, чтобы все части каждой пятиугольной грани были раскрашены одинаково.

Другая половина модели энантиоморфна первой, и аналоги занимают диаметрально противоположные места. Белая (Б) звезда подклеивается последней. Как вы убедитесь, модель окажется очень прочной. Однако по мере ее завершения постарайтесь как можно аккуратнее склеивать части, чтобы оставшиеся звезды точно стали на свои места.

81 Большой битригональный додекоикосододекаэдр

Показанный на фотографии многогранник относится к семейству икосододекаэдров. Это обстоятельство служит ключом, позволяющим нам применить обычную раскраску, распределив шесть цветов между группами из противоположных десятиугольных и параллельных им пятиугольных граней, а для раскраски треугольников использовать вторую икосаэдральную таблицу, сделав тем самым противоположные треугольные грани одноцветными.

Простейший метод построения этой модели сводится к попеременной подклейке между лучами декаграмм заранее приготовленных выемок и желобков. Начните с белой (Б) десятиугольной звезды, подклеивая к ней показанные ниже части, и закончите работу обычным способом.

82 Малый битригональный додекоикосододекаэдр

Возможно, это один из самых замечательных многогранников, ибо, хотя он и имеет непосредственное отношение к звездчатым додекаэдрам, его сумели найти только в текущем столетии, а первая публикация об этом появилась в 1954 году [18]. Трудно представить себе, почему он не был открыт ранее. Впрочем, и сами звездчатые додекаэдры не были известны до Кеплера.

Многогранник можно представить как итог следующего мысленного эксперимента. Возьмите усеченную форму большого звездчатого додекаэдра. Заполните промежутки между обрубками пиков перевернутыми выпуклыми звездами, отсеченными от тела большого додекаэдра, и вы получите искомый многогранник. Построить его модель помогают описанные выше связи.

Возьмите 20 усеченных пирамид, составленных, как на рисунке. Их боковые грани раскрашены, как грани пиков большого звездчатого додекаэдра. Оставьте наклейки наклонных ребер несклеенными, только отогните их внутрь: они образуют пазы, в которые войдут язычки (наклейки ребер звезд). Треугольные грани раскрашены в соответствии с первой икосаэдральной таблицей.

Сделав это, тут же обнаружите, что принцип раскраски карт нарушен, но лишь внутри первого кольца из пяти таких частей. Как только вы склеите их в кольцо, в его середине появится место, которое займет первая телесная звезда. Раскраска этих звезд повторяет раскраску большого додекаэдра.

Возьмите по два равнобедренных треугольника с углом при основании 36° и подклейте каждый из них

боковой стороной к одной стороне луча пентаграммы. Соедините их по два и выверните наружу наклейки вдоль длинных сторон, так чтобы они образовали язычок. Свободные короткие стороны склеиваются наклейками внутрь звезды.

Полученная звезда отличается от обычной телесной звезды лишь наличием язычков, образующих нервюры вдоль выступающих ребер звезды. Теперь ее несложно поместить в центр кольца, вставив каждый из пяти язычков в пазы, которые образуют наклейки боковых ребер усеченных пирамид кольца. Белая (Б) пятиугольная звезда — основание телесной звездчатой пирамиды — должна лежать в плоскости, под которой проходит параллельная ей плоскость десятиугольной грани тела. Окрашенные в белый цвет части этой грани будут появляться попеременно то с одной, то с другой стороны ее поверхности. Это легко выявляется в процессе работы. Модель очень прочна, жестка и интересна.

83 Икосододекододекаэдр

Этот многогранник во многом схож с моделью 76, с той лишь разницей, что роль квадратных граней берут на себя шестиугольные. Это меняет очертания выемок и придает модели большую красоту, а также дополнительную жесткость. Но, начав ее построение, вы немало удивитесь тому обстоятельству, что, несмотря на сложную и запутанную конструкцию, работать над моделью довольно легко. Чтобы упростить построение модели, разобьем последовательность наших действий на четыре этапа. Начнем с телесных звезд, называемых далее частями I. Возьмите правильную пятиконечную звезду и к ее лучам подклейте треугольные заготовки, по форме совпадающие с треугольниками на шестиугольных гранях. Наклейки самых длинных сторон треугольника выверните наружу, соединив их в нервюры, идущие вдоль наклонных ребер из центра звезды. Так образуется невысокая звездчатая пирамида — часть I нашей модели. На соответствующем рисунке вы найдете план ее склейки и таблицу раскраски шести таких звезд.

Часть II имеет форму клина или открытой трехгранной чаши. Ее четырехугольные грани лежат в плоскости шестиугольника, а треугольник принадлежит пятиугольной грани тела.

Ниже приведена таблица раскраски частей II.

Теперь к каждой звезде — части I — следует подклеить пятерки частей II, окружив ими звезду. Каждая чаша соединяется со звездой так, что ее острый угол, образованный двумя самыми длинными свободными ребрами, приходит в вершину звездчатой пирамиды, а наклейки этих ребер подклеиваются к язычкам — нервюрам двух соседних лучей звезды. Работу существенно облегчают зажимы. На этом этапе производится склейка типа «язычок в паз», но технология ее несколько меняется. Именно это изменение способа соединения частей и делает модель удивительно простой в изготовлении.

Полученная конструкция из части I и пяти частей II образует одну секцию модели. Вся модель состоит из 12 таких секций. Они соединяются между собой посредством частей III, служащих в качестве связок. Части III — это те же двухцветные ромбы, что и в модели 76. Их положение на модели легко определяется. Наконец, последними подклеиваются 20 малых трехгранных выемок — частей IV. Они закрывают имеющиеся на модели треугольные отверстия, образованные сторонами треугольных граней соседних частей II. Распределение их окраски легко уяснить из условия одноцветности каждой шестиугольной грани.

Вы, быть может, обратите внимание на то, что и здесь нарушен основной принцип раскраски карт. Обнаружить это не так просто, но все же можно считать это определенным недостатком. И хотя описанная выше раскраска вполне удовлетворительна, вы, возможно, сами захотите отыскать иную, с большим числом цветов, чтобы устранить указанный недостаток и получить желаемый эффект.

Модель состоит из большого числа частей, соединение которых займет много времени. И здесь вам снова предоставляется возможность проявить инициативу — вы вправе придумать иные заготовки, содержащие больше частей, чем мы вам предлагаем, и тем самым облегчить свой труд. Вы сами должны решить, какая из полученных моделей вам нравится больше. Но как бы то ни было, бесспорно одно: эта модель принадлежит к числу наиболее удовлетворяющих нас с точки зрения простоты изготовления сложной на вид конструкции. Разумеется, говоря о простоте и легкости построения модели, мы имеем в виду лишь легкость соединения ее частей, но отнюдь не усилия, связанные с изготовлением модели. И наконец, последнее замечание: полученная модель конструктивно весьма жестка.

84 Икосододекоусеченный икосододекаэдр

Изображенный на фотографии многогранник относится к семейству икосаэдра в том же смысле, в каком многогранник 79 входил в семейство октаэдра. Поэтому и технология изготовления его модели та же. Чтобы построить модель, надо вклеить попеременно между лучами десятиугольных звезд (декаграмм) заранее подготовленные в соответствии с приведенной схемой раскраски мелкие треугольные части и двугранные желобки.

Первыми пятью чашами окружите белую (Б) звезду, используя желобки в качестве связок между соседними чашами. Первые пять желобков, исходящие из промежутков между лучами звезды в радиальных направлениях, направлены чуть вниз по отношению к плоскости звезды. К их краям вам предстоит подклеить следующие пять звезд. При этом желтая (Ж) звезда занимает место в точности над двумя уже видимыми желтыми (Ж) частями соответствующей десятиугольной грани, а остальные звезды следуют в обычном порядке по кругу. Добавьте набор треугольных чаш: чаша (6) под (1) и т. д. Цвета граней следующего набора желобков задаются раскраской оснований чаш. Та же процедура выполняется и по отношению к последующим желобкам. Здесь, как и в предыдущих моделях, нарушается принцип раскраски карт, но это нарушение характерно для тех случаев, когда для одной модели используется как додекаэдральная, так и икосаэдральная раскраски. В рассматриваемом

случае мы исходим из второй таблицы раскраски икосаэдра.

Для завершения модели все остальные части следует раскрасить энантиоморфно по отношению к указанным в таблицах. Подклеивание многочисленных ребер декаграмм — процесс длительный и кропотливый, он потребует от вас определенного упорства. Если вы решите выбрать линейные размеры модели достаточно большими, что облегчает склейку частей, то следует дополнительно усилить сами звезды, иными словами, применить для их изготовления более толстый картон.

85 Квазиромбокубооктаэдр

Этот многогранник во многом сходен с моделью 77. Восьмиугольные звездчатые грани этой модели в нашем случае изымаются полностью, остаются только их ребра. Вместо граней появляются глубокие выемки и впадины. Многогранник содержит два типа пересекающихся квадратных граней. Если обратиться к раскраске угловых впадин и треугольников, примененной ранее в модели 77, то она и на сей раз приведет к эффектному распределению цветов. Однако в данном случае с помощью пяти или даже шести цветов не удастся соблюсти принцип раскраски карт по причине слишком большого числа пересекающихся квадратных граней. Для построения многогранника требуется несколько частей, поэтому его выполнение в цвете потребует от вас изрядного упорства и настойчивости. Быть может, целесообразнее построить сначала одноцветную модель, а затем рассмотреть, какие варианты возможной раскраски она допускает.

Ниже показаны необходимые заготовки и планы их соединения в отдельные части модели. Буквами отмечены места заготовок на планах частей. Для

начала вам потребуются шесть копий части I, которая заполняет центр октаграммы. Не забудьте оставлять наклейки с каждой стороны. Пунктирные линии указывают, что в этом месте заготовки надо перегнуть ребром вниз, а не вверх, как обычно (для этой цели предварительно нанесите бороздки на ребрах с обратной стороны картона). Часть II — заготовка для лучей звезд. Их вам понадобится 24. Кроме того, необходимо изготовить 8 угловых впадин (часть III) и 12 желобков (часть IV). Соединяйте между собой вначале части I и II, а полученные секции связывайте частями III и IV.

86 Малый ромбогексаэдр

Этот многогранник представляет собой иной вариант огранки ромбокубооктаэдра, весьма напоминающий модель 69. Вообразите, что треугольные и квадратные грани модели 69 удалены, а все выемки закрыты новыми квадратами — перед вами искомый многогранник. При изготовлении его модели можно исходить из того же набора открытых призм, что и раньше. Тогда боковые грани треугольных пирамид становятся гранями треугольных выемок. Естественно поэтому сохранить их прежнюю раскраску. Первыми соединяются между собой открытые призмы, образуя внутренний куб. Возьмите 12 одноцветных квадратов — красных (К) или зеленых (3) и подклейте каждый двумя противоположными сторонами к ребрам открытых оснований призм. В последнюю очередь присоединяйте трехгранные выемки. Нет нужды указывать, как надо подрезать и расположить выступающие с наружной поверхности выемки двойные наклейки, чтобы они не мешали соединению, — вы сообразите сами. Проделав все, что положено, вы получите весьма прочную модель1.

1 Обратите внимание на следующее обстоятельство: как впадины, так и открытые призмы надо в отличие от способа соединения в модели 69 склеивать, вывернув «наизнанку». Рекомендуем каждую боковую грань открытых призм связывать одной наклейкой с поверхностью соседних граней. Подобный метод можно применить и к склейке впадин.

87 Большой битригональный икосододекаэдр

Этот многогранник, как и многогранник 70, — битригональный икосододекаэдр, но в отличие от модели 70 пентаграммы отсутствуют. Их заменяют параллельные им пятиугольные грани, проходящие через центр тела. Внешними частями 20 треугольных граней модели являются равносторонние треугольники двух размеров, внешние части 12 пятиугольных граней — равнобедренные треугольники, углы при основании которых имеют 72° и 36°. При выборе раскраски можно руководствоваться раскраской модели 70.

Построение модели начните с изготовления пятигранной чаши. По форме чаша совпадает с пятиугольной пирамидой модели малого звездчатого додекаэдра, но в данном случае пирамида выворачивается наизнанку, так что соединенные наклейки образуют нервюры вдоль ребер внешней поверхности чаши. Схема раскраски та же, разница только в том, что из-за «изнаночного положения» окрашенных поверхностей порядок цветов сменяется на энантиоморфный.

Теперь, руководствуясь приведенной ниже таблицей раскраски, приготовьте 5 трехгранных выемок. Их следует подклеивать к ребрам или краям пятигранной чаши. На этой стадии работы полученная вами конструкция не будет устойчивой. Но когда вы положите ее на стекло и посмотрите сквозь него, вашему взгляду предстанет совершенная пятиконечная звезда с великолепной огранкой. Между ее лучами необходимо вклеить пары равносторонних треугольников, как мы делали при построении модели 70. Благодаря этому конструкция станет несколько жестче, но все же советуем вам подкрепить ребра звезды изнутри, иначе их можно ненароком изломать1.

1 Для этой цели обклейте ребра изнутри полосками картона, свернутыми углом. Можно также разместить вдоль ребра кусок проволоки, прикрепив его по всей длине липкой лентой.

Таблицы раскраски и схемы соединения частей всех шести ограненных звезд приведены ниже.

Изготовив все звезды, свяжите их, как в модели 70, парами равносторонних треугольников. Как и в случае модели 70, вторая половина нашей модели энантиоморфна первой. Нарушения принципа раскраски карт на модели не будут бросаться в глаза. Но поскольку этот принцип здесь все же нарушен, пожалуй, проще не прибегать к таблицам раскраски, а подбирать цвета в процессе построения модели, следуя собственному вкусу.

88 Большой икосокосододекаэдр

Этот многогранник связан с моделью 81. Их отличие сводится к тому, что десятиугольные звезды модели 81 здесь удалены, хотя их ребра сохраняются. Добавление шестиугольных граней привело к появлению сложноограненной поверхности на месте плоскости каждой прежней звезды. К тому же поверхность эта весьма замысловата. Для изготовления каждой ограненной звезды понадобится ни много ни мало 76 различных заготовок, и это не считая частей, связывающих между собой разные звезды. Возможно, вам будет интересно узнать, что общее число частей поверхности этого многогранника, порожденных всеми пересечениями трех его правильных граней, достигает внушительной цифры 1232. Поистине блистательный вызов терпению и упорству любого конструктора моделей! Некоторые части столь малы, что в целях удобства работы желательно делать модель достаточно большой.

Модель нуждается в усилении ребер декаграммы изнутри, чтобы в процессе построения они не сломались1. Чертежи необходимых заготовок, планы их соединения и полные таблицы раскраски модели приведены ниже. В белый (Б) цвет окрашены все пятиугольные грани, а частям шестиугольных и треугольных

1 См. примечание к стр. 152.

граней отданы остальные цвета — Ж, С, О, К, 3.

Построение модели начните с части I. План соединения заготовок показывает, что к ребрам соседних стенок чаши надо подклеить дополнительные треугольники. Часть II представляет собой глубокую выемку, дно которой образовано двумя очень маленькими треугольниками. Ребра заготовок О частей II присоединяются затем к свободным наклейкам заготовок 1, 2, 3, 4 и 5 части I. Впадины в лучах звезды формируются частями III. Хотя очертания двух соседних впадин симметричны, на плане их соединения показаны обе двойственные формы, так как раскраски их не энантиоморфны.

Свободные края 2 и 6 заготовок части III нужно склеивать с краями 1 и 2 заготовок частей П. После этого остаются небольшие треугольные отверстия между парами лучей звезды и дополнительными треугольниками частей I. Эти отверстия закрываются трехгранными выемками — частями IV. На этом постройка ограненной десятиугольной звезды заканчивается. Для полной модели потребуется 12 таких звезд. Они соединяются между собой посредством тех же выемок и желобков, что и в модели 81. Единственное отличие сводится к тому, что в рассматриваемой модели для всех частей пятиугольных граней избран белый (Б) цвет.

В таблице приведена раскраска первых шести декаграмм. Раскраска другой половины модели энантиоморфна. Всего на построение модели вы затратите около 30 часов. Если работать систематически, то на изготовление каждой ограненной звезды потребуется около двух часов, так что все звезды займут у вас примерно 24 часа. Еще часов шесть пойдет на их соединение посредством двугранных желобков и угловых выемок.

Часть I Часть II Часть III Часть IV

89 Малый икосогемидодекаэдр

Как и модель 91, эта модель представляет собой ограненную форму икосододекаэдра. Десятиугольные сечения проходят непосредственно через центр тела в его экваториальных плоскостях. Поверхность многогранника содержит глубокие пятигранные выемки — пирамиды «наизнанку», вершины которых сходятся в центре тела. Для каждой из десятиугольных граней естественно избрать один цвет из следующих: Б, Ж, С, О, К, 3. Тогда треугольные грани раскрашиваются по обычной икосаэдральной схеме в соответствии со второй таблицей раскраски икосаэдра.

Существует два способа построения модели. Вы можете избрать технику соединения «язычок в паз», отправляясь от 20 треугольных пирамид. Помните, что эти пирамиды должны быть раскрашены, как на модели большого звездчатого додекаэдра. Но можно воспользоваться и иной техникой соединения частей. В этом варианте наклейки соседних граней пятигранной выемки соединяются на ее внешней поверхности в нервюры. Раскраска граней выемок повторяет раскраску малого звездчатого додекаэдра. После соединения выемок подклеиваются треугольные грани.

Судя по всему, второй способ легче. Впрочем, попробуйте оба и вынесите свое собственное суждение. Построенная модель должна быть весьма прочной.

90 Малый додекоикосаэдр

Как и в случае многогранника 82, публикация об этом многограннике впервые появилась лишь в 1954 году [18]. На его поверхности мы видим ограненные звезды, образованные пересечениями всего двух имеющихся типов граней: шестиугольников и десятиугольников. Модель выглядит эффектно, если 20 шестиугольных граней раскрасить по первой икосаэдральной схеме, а все десятиугольные — по схеме додекаэдра.

Построение следует начать с изготовления ограненных пятиугольных звезд. Их центральные части представляют собой пятигранные выемки — пирамиды «наизнанку», — раскрашенные в соответствии с таблицей к модели 20. В лучах звезд расположены трехгранные выемки; гранями каждой из них служат малый равносторонний треугольник из шестиугольной грани и два равнобедренных треугольника из десятиугольной грани. Раскраска равнобедренной грани выемки повторяет раскраску той грани центральной части, которая находится в одной с ней плоскости. Равносторонние треугольники в целом раскрашены в соответствии с раскраской соседних с ними граней центральной части, но порядок

раскраски «запаздывает» по часовой стрелке на две грани, как и показано ниже1.

Лучи звезд связываются желобками, образованными парами трапеций с обычной раскраской. Неглубокие трехгранные чаши заполняют треугольные отверстия между желобками, их вершины приходятся в вершины звезд. Боковые грани чаш являются продолжениями граней лучей звезд, так что их раскраску нетрудно определить. Присоединяя пять последующих ограненных звезд, вы обнаружите, что, например, желтая (Ж) шестиугольная грань имеет одно общее ребро с желтой десятиугольной гранью, синяя (С) —с синей и т. д. Впрочем, такое нарушение принципа раскраски карт не слишком портит внешний вид модели.

Остаток модели следует обычной циклической перестановке цветов, благодаря чему противоположные части получают энантиоморфную раскраску. Надо полагать, теперь вы в состоянии завершить работу самостоятельно. Заметьте только, что ограненные звезды недостаточно прочны, поэтому их следует укрепить изнутри. Впрочем, если модель невелика, без этого можно обойтись.

1 Это значит, что в таблице раскраски строка для 6, 7 и т. д. образуется из строки для 1, 2 и т. д. путем циклической перестановки, начиная с 4. Например, если цвета первых пяти были Ж, С, О, К, 3, то цвета последующих идут по кругу, начиная с К: К, 3, Ж, С, О.

91 Малый додекогемидодекаэдр

Выше уже упоминались отношения, в которых находится этот многогранник к модели 89 и к икосододекаэдру. Треугольные отверстия на его поверхности закрыты выемками — трехгранными пирамидами с вершинами в центре тела.

Для построения модели лучше всего использовать технику попарного соединения наклеек в нервюры на внешних поверхностях трехгранных пирамид-выемок. Потребуется 20 таких выемок, аналогичных пикам большого звездчатого додекаэдра 22. Начните с соединения в кольцо первых пяти таких пирамид и добавьте белый (Б) пятиугольник, который послужит основанием конструкции. Аналогично выглядит и остальная часть модели. Пятиугольные грани лежат в плоскостях, параллельных плоскостям десятиугольных граней, поэтому их следует окрасить в тот же цвет. Завершить построение будет несложно, если вы поставите перед собой модель 89 и вспомните, что роль треугольников той модели здесь играют пятиугольные грани. Полученная модель окажется весьма прочной.

92 Квазиусеченный гексаэдр

Многогранник представляет собой квазиусеченный куб. Шесть его октаграмм лежат на гранях внутреннего куба. Они имеют общие ребра с восемью треугольными гранями, пересекающими куб. Вы получите вполне приемлемую раскраску, если тремя цветами окрасите пары параллельных октаграмм, а остальные два цвета оставите для всех треугольных граней. Построение модели сводится к соединению показанных ниже частей.

Часть I образует четырехугольную чашу с квадратным основанием и заостренными боковыми гранями. Часть II представляет собой четырехугольную коробку без нижнего и верхнего оснований, причем нижние края коробки прямые, а верхние зазубрены. К зазубренному краю части II подклеиваются части I, образуя своеобразную корону с отсутствующим квадратным основанием. Полная модель состоит из шести таких корон; раскраска трех из них приведена ниже, а остальные три им энантиоморфны.

Перед соединением частей I и II убедитесь, что они расположены по отношению друг к другу должным образом, тогда цвета граней будут правильно распределены. Процесс склеивания весьма облегчается тем, что двугранные углы при соединяемых ребрах получаются острыми.

Построенная модель достаточно прочна и внешне привлекательна.

93 Квазиусеченный кубооктаэдр

Шесть октаграмм этого многогранника лежат на гранях правильного октаэдра. 12 квадратных граней пересекаются по три, формируя края 8 трехгранных впадин, глубоко проникающих в нутро тела. Боковые грани и основания впадин образованы пересечением шестиугольных граней тела. По этой причине боковые грани впадин совпадают с гранями усеченной Stella octangula, а основания лежат на поверхности внутреннего правильного октаэдра. Отсюда вытекает следующий способ построения модели.

Начать следует с изготовления показанных ниже усеченных пирамид (часть I). Поскольку пирамиды суть не что иное, как упомянутые выше впадины, выверните все наклейки наружу. Если модель не превышает обычных размеров, то внутрь впадин свет почти не попадет. Поэтому все их грани можно оставить белыми (Б). Двойные наклейки на основаниях впадин позволят вам соединить их, образуя внутренний октаэдр. Только после этого переходите к изготовлению частей II. Часть II содержит центральную долю квадратных граней, которая может быть Ж, С, О или К, и два боковых крыла — белых (Б), ибо они лежат в шестиугольных гранях. Эти части можно подклеить короткими ребрами к краям треугольных отверстий частей I.

Теперь вы получаете возможность сделать вторую четверку частей II, по цвету парную первой. Третья четверка

частей II образует экваториальный пояс квадратных граней. Наконец, пары треугольников, принадлежащих углам квадратных граней, подклеиваются между лучами октаграммы (через одну). Правильную раскраску этих частей нетрудно определить из самой модели. Как желобки, так и октаграммы легко приклеить на положенные места. Очень острые выступающие части конструкции весьма упрощают эту работу, хотя, как и прежде, ребра следует подклеивать друг за другом.

Так получается очень прочная модель, что связано и с ее довольно сложной внутренней структурой. Чтобы наружные части легко встали на свои места, следует чрезвычайно внимательно работать внутри модели. Интересно отметить, что, как правило, неискушенные люди даже не замечают ни отверстий на поверхности модели, ни структуры самих впадин.

94 Большой икосододекаэдр

Изображенный на фотографии многогранник называется большим икосододекаэдром, поскольку 20 его треугольных и 12 звездчатых пятиугольных граней лежат на подобных им гранях икосододекаэдра, но вместе с тем он не является звездчатой формой икосододекаэдра. Приемлемую раскраску модели можно получить, придав всем пентаграммам белый (Б) цвет, а все треугольные грани раскрасив согласно обычной икосаэдральной схеме.

Построение модели начните с изготовления чаш, у которых боковые грани принадлежат пяти пересекающимся треугольным граням, а в основаниях лежат малые пятиугольники из звездчатых граней. Сделав это, подготовьте тройки белых (Б) заготовок — лучей звезды — и соедините их вместе, образуя трехгранную выемку с заостренными гранями (см. рисунок). Выемки служат связками между пятигранными чашами. Таким способом получают одну половину модели, вторая ее половина энантиоморфна первой. Построенная модель весьма декоративна и конструктивно очень жестка.

95 Усеченный большой икосаэдр

Многогранник представляет собой усеченный вариант большого икосаэдра 41, поэтому для построения можно воспользоваться раскраской последнего. В этом многограннике место треугольных граней занимают шестиугольные и метод соединения частей модели существенно не меняется. Все пентаграммы удобно сделать белого (Б) цвета.

Начните с белой (Б) звезды и наклейте между ее лучами части, показанные ниже. Придерживайтесь того же парного распределения цветов, что и в таблице раскраски модели 41. После присоединения равнобедренных треугольников вы получите одну часть модели: она напоминает пятиугольный поднос, на котором возвышается пирог в форме звезды. Аналогично подготавливаются еще пять таких частей, каждая с белой (Б) звездой. Подклейте их друг к другу способом, к которому прибегали при построении модели большого икосаэдра.

При раскраске модели можно руководствоваться и иными соображениями, окрашивая звезды в соответствии со схемой додекаэдра. Тогда, если противоположные звезды будут одноцветными, вам потребуется всего шесть цветов. Но при этом каждая звезда непременно будет иметь общее ребро с частью шестиугольной грани, окрашенной в тот же цвет. Это обстоятельство не умалит красоты модели, так как одноцветные грани образуют при этом ребре острый угол, чуть меньший 90°

96 Ромбоикосаэдр

Рассматриваемый многогранник тесно связан с моделями 76 и 83. Все они содержат одно и то же множество из 30 пересекающихся скошенных квадратов, образующих экваториальные пояса. Но в данном случае шестиугольные грани занимают место пятиугольных, так что плоские звезды становятся ограненными. Кроме того, прямо над средними частями квадратных граней появляются неглубокие чаши, дно которых лежит на этих же гранях, а боковые грани, глубоко уходящие в тело многогранника, образованы четырьмя шестиугольными гранями. Вполне вероятно, что построение модели, в которой каждая грань имела бы свой цвет, сопряжено с большой и очень утомительной работой. Поэтому предлагаемый нами способ сводится к тому, что в разные цвета окрашиваются лишь квадраты и внешние поверхности шестиугольных граней. Это позволяет получить весьма привлекательную модель, а расхождение в окраске может заметить лишь предупрежденный человек, ибо неправильно окрашиваются недоступные глазу внутренние поверхности сильно наклоненных выступающих частей. Быть может, вы сочтете утомительным и этот способ из-за большого числа соединяемых в модели частей. Что ж, в таком случае построение предлагаемой модели явится испытанием ваших настойчивости и терпения.

Начните работу с изготовления ограненной звезды, план построения которой показан на рисунке. Центральная часть каждой звезды представляет собой чашу, составленную из пяти равносторонних треугольников. Для раскраски граней чаш следуйте первой икосаэдральной таблице. В про-

цессе работы к краям чаши подклеиваются равнобедренные треугольники, лежащие в квадратных гранях модели. Таблица раскраски приводится выше.

После соединения 10 заготовок не составляет труда приклеить пары тупоугольных треугольников и тем самым образовать выемки в лучах звезды. Треугольники лежат в тех же плоскостях, что и боковые стенки центральной чаши звезды. Поэтому их раскраску легко определить по соседним уже подклеенным частям тех же плоскостей. Поскольку построенная ограненная звезда не будет достаточно жесткой, ее следует усилить изнутри. С этой целью между лучами звезды вклеиваются показанные ниже части II. Их раскраска, несмотря на некоторую разницу, повторяет раскраску аналогичных частей модели 76. Вы, несомненно, обратили внимание на маленький треугольник, присоединенный к короткому ребру части II. Он представляет собой крохотный кусок внутренней поверхности шестиугольной грани, и потому вовсе не обязательно, чтобы его цвет повторял цвет внешней поверхности этой же грани. Зато соединение частей существенно облегчается, если не приклеивать его отдельно, но вырезать сразу вместе с четырехугольником, с которым он связан.

Часть III также удобнее вырезать как одну заготовку. Вам потребуется 30 таких частей, по пяти каждого из цветов — Б, Ж, С, О, К, 3. Эти части образуют неглубокие чаши с сильно наклоненными стенками, поверхности которых практически невидимы. Подклейте пять таких частей между парами соседних частей II. Расцветку определяйте исходя из цветов углов квадрата, образованных частями II.

Выполнив все указанное выше, продолжите изготовление ограненных звезд. К каждой из них подклейте пять частей II, а затем, пользуясь частями III в качестве связок, соединяйте их между собой. Конструкция содержит малые треугольные отверстия, края которых образованы тройками коротких ребер частей II. В самом конце работы они закрываются впадинами (часть IV), грани которых лежат в квадратных сечениях. Эти части лучше всего вырезать без лишних наклеек (чтобы они не мешали установке частей на места). Расцветку граней нетрудно определить из расцветки соответствующих квадратов. В результате вы изготовите красивую и прочную модель, заслуживающую упоминания ввиду ее сложности.

97 Квазиусеченный звездчатый додекаэдр

Этот многогранник представляет собой квазиусеченную форму малого звездчатого додекаэдра. Модель легко строится соединениями 12 частей, ребра оснований которых совпадают с ребрами додекаэдра. Раскраска модели совпадает с обычной шестицветной раскраской додекаэдра. Таблица раскраски представлена ниже.

Вершинные ребра заготовок 6, 7, 8, 9 и 10 подклеиваются к ребрам 1, 2, 3, 4 и 5. Полученная часть имеет край в форме пятиугольника. Наклейки на сторонах этих пятиугольников — основания соседних частей — соединяются между собой, как если бы пятиугольники были гранями додекаэдра. Запомните, что заготовки 1 и 6, 2 и 7 и т. д. лежат в параллельных плоскостях, образуя видимые части декаграмм и пентаграмм. Построенная модель не только привлекательна внешне, но и прочна.

98 Квазиусеченный додекаэдр

Этот многогранник находится в том же отношении к большому звездчатому додекаэдру, что и модель 88 к звездчатому октаэдру. В данном случае октаграммы заменены декаграммами. В отличие от 12 квадратных граней в модели 88 в нашем многограннике 30 квадратных граней, пересекающихся по три. Эти пересечения формируют края 20 трехгранных выемок, глубоко проникающих в тело модели. Грани выемок образуются пересечением десятиугольных граней.

Простейший способ раскраски модели сводится к использованию всего трех цветов — по одному для каждого типа граней. Начните построение так же, как вы делали это с моделью 88, где строили внутренние усеченные части звездчатого октаэдра. Постройте усеченные пики большого звездчатого додекаэдра, которые образуют стенки глубоких впадин. Но в нашей модели донца этих впадин не плоские; они совпадают с элементами поверхности большого додекаэдра. Поскольку все грани и дно впадины могут быть одноцветными, то можно использовать одну заготовку для всей внутренности впадин (часть I). Для удобства склеивания частей не забудьте отогнуть наружу все соединяемые наклейки. Лучше, если, приступая к работе, вы изготовите все 20 требуемых частей I.

Сделав это, переходите к изготовлению частей II, план соединения которых представлен на рисунке.

Часть II содержит внутреннюю долю квадратной грани и два крыла по ее бокам. При этом для внутренних частей следует избрать второй цвет, а крылья можно сделать одного цвета

с частями I. Части II затем подклеиваются как мостики, связывающие отверстия между собой. В последнюю очередь присоединяются декаграммы и двугранные желобки с треугольными гранями, лежащими в квадратных сечениях тела. Желобки соединяют попарно лучи звезды, как и в модели 88. Большой наклон крыльев частей II облегчает подклеивание декаграмм, хотя, надо признаться, процесс этот трудоемок из-за большого числа ребер звезды. Если же вы все-таки проявите упорство и доведете дело до конца, то получите прочную и красивую модель.

99 Большой додекоикосододекаэдр

Эта модель особенно хороша в цвете благодаря легко различимым чеканным телесным звездам, выступающим из десятиугольных звездчатых граней. Ее легко построить, придерживаясь обычной техники соединения частей. Гранями части I служат заготовки, форма которых напоминает нашивки на погонах. Эти грани образуют трехгранную впадину; раскраска впадин следует схеме модели большого додекаэдра 21, к которой вы имеете возможность обратиться в случае надобности. Заготовки для частей II — лучи пентаграммы. Они служат в качестве связок для частей I. Части II следует подклеивать таким образом, чтобы над одной гранью части I и параллельно ей лежал луч того же цвета. Часть III образует розетку, грани которой — ромбы из треугольных граней многогранника. Раскраска этих частей следует первой таблице раскраски икосаэдра.

Склеив между собой попеременно пять частей I и II, вы образуете кольцо. Отверстие в его центре надо сразу же закрыть первой розеткой. После этого не составит труда определить раскраску остальных частей II, исходя из одноцветности параллельных граней. При склейке розеток необходимо следить за цветами треугольных граней.

100 Малый додекогемиикосаэдр

Поверхность этого многогранника составляют 12 пентаграмм, лежащих в гранях додекаэдра, и 10 экваториальных шестиугольных граней, центры которых совпадают с центром тела. Модель связана с моделью 73, выемки которой на сей раз заменяются глубокими шестиугольными впадинами — пирамидами «наизнанку». Эти впадины можно рассматривать как 12 вершинных частей большого икосаэдра, вывернутых наизнанку и вдавленных в тело модели. Предлагаемая раскраска удачно иллюстрирует важнейшее свойство симметрии многогранников, связанное с порождением сферических луночек.

Отогните все наклейки так, чтобы вдоль ребер частей образовались нервюры. Сами части соединяются следующим образом: наклейки одной приклеиваются к поверхности другой, а ребра соединяемых частей совпадают. По мере необходимости к конструкции подклеиваются белые (Б) пентаграммы. Как обычно, вы пользуетесь энантиоморфизмом частей модели, поэтому их соединение не составит никаких трудностей.

Полученная модель оказывается весьма жесткой. Однако необходимо подклеивать пентаграммы с осторожностью и следить за тем, чтобы каждая из них находилась на своем месте. Конечный результат также зависит от того, как аккуратно вы склеивали впадины модели.

101 Большой додекоикосаэдр

Этот многогранник во всем подобен модели 81, за исключением того, что выемки и желобки последнего заменены здесь более глубокими девятигранными и трехгранными выемками. При построении этой модели можно воспользоваться обычными додекаэдральной и икосаэдральной раскрасками. Модель строится соединением показанных ниже частей. Они попеременно подклеиваются между лучами звезд и выполняют роль связок между звездами.

Вам не составит труда определить положение частей II, если вы внимательно проследите за долями пересекающихся шестиугольных граней — каждая из них окрашена в свой цвет. Вы также заметите, что последние внутренние наклейки частей II можно не склеивать, достаточно приложить их друг к другу.

102 Большой додекогемиикосаэдр

Рассматриваемый многогранник представляет собой ограненный вариант додекододекаэдра. Поверхности ограненных звезд образованы пересечением пятиугольных и шестиугольных граней, легко различимых на модели. При этом шестиугольные грани занимают то же положение, что и в модели 100. Построение модели начните с изготовления ограненных звезд, руководствуясь схемой и таблицей раскраски, приведенными ниже.

Схема соединения частей показывает лишь их взаимное расположение. Что же касается порядка соединения частей звезды, то вам предстоит определить его самостоятельно. Обратите внимание на то, что у каждой звезды части 0, 6, 7, 8, 9 и 10 принадлежат пятиугольным граням, а все остальные — шестиугольным. Соседние ограненные звезды соединяются между собой трехгранными выемками, как и в модели додекододекаэдра 73. Несмотря на сложную структуру, эта весьма декоративная модель отличается прочностью и не требует подкрепления изнутри.

103 Большой ромбогексаэдр

Этот многогранник имеет прямое отношение к модели 77, но четырехгранные выемки и двугранные желобки многогранника 77 в нем заменены более глубокими девятигранными чашами и четырехгранными желобками. Для раскраски восьмиугольных звезд достаточно взять три цвета с тем, чтобы противоположные звезды были одноцветными. Остальные грани звездчатого многогранника представляют собой квадраты, пересекающиеся внутри тела. Поскольку квадратов ровно 12, их можно раскрасить шестью цветами так, что параллельные квадраты окажутся одноцветными. Правда, при этом желтый (Ж) квадрат и желтая (Ж) восьмиугольная звезда будут иметь по крайней мере одно общее ребро. То же произойдет и со звездами другого цвета. Однако на законченной модели указанное нарушение основного принципа раскраски карт практически незаметно, ибо одноцветные грани сходятся под очень острым углом.

Построение модели лучше всего начать с изготовления чаш и желобков, которые попеременно подклеиваются между лучами восьмиугольной звезды. Обратите внимание: соседние чаши и желобки соприкасаются ребрами. Однако двойные наклейки у ребер необходимо только соединить внутри тела, но не склеивать между собой.

Вы без труда определите правильное расположение частей, если будете исходить из того, что части одной квадратной грани должны быть одноцветными. На рисунке представлены схемы соединения и таблицы раскраски тех частей, которые присоединяются к желтой (Ж) исходной восьмиугольной звезде. Как только эти части займут свои места, можно заняться подклеиванием следующих четырех октаграмм: О, С, О и С. Они в свою очередь окружаются чашами и желобками, расцветка которых энантиоморфна. Не забывайте об одноцветной окраске квадратных граней. Последней подклеивается вторая желтая (Ж) октаграмма. При ее присоединении пользуйтесь обычной техникой последовательной склейки ребер.

Углубленные замысловатые чаши и желобки рассматриваемой модели делают ее весьма эффектной и выгодно отличают от более скромной модели 77.

104 Квазиусеченный большой звездчатый додекаэдр

Этот многогранник представляет собой квазиусеченный вариант большого звездчатого додекаэдра. Лучи последнего в этом случае отсекаются почти у самого их основания плоскостями треугольных граней, так что звездчатые пятиугольные грани становятся десятиугольными. В итоге части секущих граней образуют трехгранные выемки, сверху замыкающие усеченные пирамиды.

Изготовление модели следует начать со склеивания исходных усеченных пирамид. Заготовка для их боковых граней показана ниже. Раскраска граней следует раскраске граней большого звездчатого додекаэдра 22, поэтому рекомендуем обратиться к приведенной в его описании таблице. Трехгранные впадины получают при этом обычную икосаэдральную раскраску (ее таблица приводится в правой части рисунка). Поскольку раскраска противоположных впадин оказывается неэнантиоморфной, мы помещаем полную таблицу раскраски.

Внимательно следите за правильностью расположения впадин по отношению к боковым граням соответствующих пирамид. Желтую грань впадины (1) подклеивайте между синей и зеленой боковыми гранями, и так далее в круговом порядке. После того как склеите первое кольцо из усеченных пирамид, последующие части смонтировать совсем просто.

105 Квазиромбоикосододекаэдр

Этот многогранник очень похож на модель 99 с той лишь разницей, что десятиугольные звездчатые грани последней здесь заменены причудливым переплетением пересекающихся плоскостей. Благодаря такому переплетению появляется удивительно интересная структура огранки. К счастью, построить эту модель совсем не сложно — надо лишь запастись упорством и настойчивостью, чтобы вырезать и склеить между собой все ее многочисленные части. Раскраска треугольных и пятиугольных звездчатых граней модели та же, что и в модели 99. Что же касается квадратных граней звездчатого многогранника, то все их лучше окрасить в белый (Б) цвет — это существенно облегчит работу.

Начните с изготовления углубленной пятицветной розетки — такой же, как в модели 99. Окружите ее пятью частями, названными у нас «часть I» (каждая часть должна быть белого (Б) цвета; вырезается из одной заготовки). К свободным боковым ребрам этих частей подклейте луч звезды того же цвета, что и приходящий в общую с ним вершину ромб розетки. Таким образом, желтый (Ж) луч звезды будет иметь общую вершину с желтым (Ж) же ромбом розетки и т. д. Кончив эту работу, приступайте к изготовлению сдвоенных клиньев, обозначенных на чертеже как часть II. Треугольные грани этих клиньев можно найти

на чертежах квадратных и треугольных сечений — это самые хмаленькие треугольники, видимые на чертежах. Наклейки коротких сторон этих треугольников присоединяются к наклейкам малого фигурного выреза части I. Лучше всего сначала поочередно подклеить белые (Б) треугольники1, а затем одновременно поставить на место цветные. Поскольку размеры их наклеек достаточно малы, рекомендуем воспользоваться пинцетами.

Теперь необходимо приклеить еще десять кусочков, обозначенных у нас как часть 1а, — все они лежат в одной пятиугольной звездчатой грани. После того как вы подклеите последовательно все недостающие части, у вас получится весьма жесткая конструкция. Для облегчения работы приводим ее проекцию на плоскость пентаграммы-основания. Эта конструкция составляет одну из 12 аналогичных секций модели.

Соедините их между собой. Для этого к секции (0) подклеиваются последующие пять секций, причем отрезанные лучи пятиугольных звезд-оснований соединяются между собой. Тем самым секция (0) оказывается соединенной с пятью другими, а соседние секции — между собой. После этого вы без особого труда заметите одну пятиугольную звездчатую грань, пересекаемую другими пентаграммами. Вы также обнаружите, что между соседними секциями остались отверстия в форме неправильных шестиугольников. Их следует закрыть напоминающей чашу конструкцией (часть III).

Три пары белых (Б) треугольников подклеиваются между боковыми сторонами треугольников 2, 3 и 4. Будьте внимательны и не перепутайте основания и боковые стороны треугольников. Теперь подклейте часть III на место; она должна закрыть не-

1 То есть те два треугольника, которые лежат в квадратных гранях звездчатого многогранника.

правильное шестиугольное отверстие. Проследите, чтобы раскраска треугольников 2, 3 и 4 соответствовала раскраске треугольников пятицветной розетки. Треугольник 1 части III является центральной частью треуголь-

ной грани звездчатого многогранника.

Изготовление модели займет около 30 часов. Но она настолько красива, что вряд ли вы пожалеете о затраченном времени.

106 Большой икосогемидодекаэдр

Рассматриваемый многогранник непосредственно связан с моделью 94. И на этой модели можно увидеть пятигранные чаши или розетки модели 94, только здесь пятиугольные грани уступают место экваториальным декаграммам, части которых образуют глубокие выемки. Гранями выемок и являются лучи декаграмм. Такая конструкция многогранника подсказывает способ построения его модели.

Прежде всего надо изготовить выемки, причем наклейки соседних граней отгибаются наружу, образуя двойные нервюры вдоль ребер выемок. Наклейки используются на втором этапе построения модели, когда набор из пяти выемок с их помощью соединяется в кольцо. Ниже приведена таблица раскраски для половины выемок. Раскраска другой половины определяется из соображений энантиоморфности.

Раскраска граней розеток следует обычному икосаэдральному распределению, применяемому в модели 94. Розетки могут быть подклеены на свои места, как только будет завершена работа по соединению соответствующих выемок в кольцо. Следите за правильным размещением частей модели, помните: все десятиугольные звездчатые и треугольные грани модели должны быть окрашены в один цвет. Рекомендуем способ правильной ориентации первой розетки: желтый (Ж) ее ромб должен лежать против желтого треугольника в основании одной из выемок, образующих первое кольцо из пяти выемок. Этим правилом можно руководствоваться и в дальнейшем.

107 Большой додекогемидодекаэдр

Этот многогранник сродни как модели 94, так и модели 106. Его конструкция очень проста, а полученная модель будет достаточно прочной. Прочность достигается за счет своеобразного расположения граней многогранника: его десятиугольные звездчатые грани лежат в экваториальных плоскостях параллельно двум противоположным пятиугольным звездчатым граням. Это дает возможность выбрать весьма красивую раскраску модели.

Построение модели начните с изготовления пятиугольных чаш (части I). Таблица раскраски этих частей приведена ниже. Наклейки соседних наклонных ребер каждой чаши слегка отогните в сторону с тем, чтобы с их помощью можно было соединять между собой соседние чаши. При этом наклейки следует приклеивать непосредственно к поверхности соседних чаш.

Изготовьте 20 выемок, закрывающих остающиеся треугольные отверстия. Гранями их будут служить усеченные лучи пятиугольной звезды, и раскраска следует таблице раскраски большого додекаэдра. Ставя выемки на место, проследите за одноцветностью раскраски граней звездчатого многогранника. Модель весьма красива.

108 Большой квазиусеченный икосододекаэдр

Изображенный на фотографии многогранник состоит из очень большого числа частей, так что на модели обычных размеров некоторые из них, скажем ограненные звезды, будут очень малы. Поэтому полной раскраской всех частей модели можно пренебречь; к тому же она слишком трудоемка. Метод, описанный ниже, не преследует цели добиться правильной раскраски, но ограничивается всего тремя цветами — по одному для каждого из трех типов граней модели. Хорошее соотношение цветов можно получить, сделав все части шестиугольных граней желтыми (Ж), квадратных граней — красными (К) и десятиугольных — синими (С).

Начните с изготовления пяти частей, показанных на рисунке как части 1а и 1б. Эти десять частей соединяются в чередующемся порядке в кольцо, в центре которого остается отверстие в форме звезды. Это отверстие закрывается крошечной ограненной пятиугольной звездой. Приведенная на рисунке звезда подходит для модели многогранника, длина ребра которого составляет около 20 см. Прежде чем ее изготовить, склейте центральную пятигранную выемку, а затем к ее краям подклейте малые треугольники. Присоединив к ним пары треугольников, вы получите выемку в луче звезды. Последними приклеиваются сдвоенные треугольники, соединяющие между собой лучи звезды. Полученная ограненная звезда закрывает отверстие в центре кольца частей I.

Для полной модели потребуется 12 таких колец и соответственно 12 ограненных звезд. Эти 12 секций соединяются между собой тремя видами связок: девятигранной чашей с шестью боковыми гранями и тремя гранями на дне (часть IIIа), двугранными желобками (часть IIIб) и четырехгранными выемками (часть IIIв). Представленные ниже чертежи задают их размеры в выбранном нами масштабе. Связки способствуют упрочнению модели, но ее все же следует подкрепить изнутри, особенно под ребрами частей I.

109 Большой ромбододекаэдр

Десятиугольные грани этого многогранника совпадают с гранями модели 99, но вместо пятиугольных и треугольных граней в нем имеются только квадратные грани. Поэтому там, где на модели 99 были сдвоенные лучи звезды и розетки, у него глубокие выемки, образованные пересечением квадратных граней. Вместо сдвоенных лучей вы обнаружите шестигранные чаши, четыре боковые грани которых лежат в плоскостях квадратов, а дно образовано маленькими равнобедренными треугольниками с углами, 36°, 72 и 72°, лежащими в плоскостях двух пересекающихся декаграмм; вместо же розеток найдете сложное переплетение впадин, которое, к счастью, вовсе не трудно построить. Вы, верно, согласитесь с тем, что нет необходимости соблюдать правильную раскраску этой сложной модели и раскрашивать квадратные грани шестью цветами. Мы предлагаем сделать все части квадратных граней белыми (Б) и распределить шесть цветов — Ж, С, О, К, 3 и Б — в соответствии с обычной додекаэдральной раскраской, как в модели 99.

Построение модели рекомендуем начать с изготовления набора из пяти трехгранных выемок с погонообразными гранями (часть I). Такие выемки уже встречались в модели 99. Если вы в точности скопируете приведенные ниже трафареты заготовок всех частей, то получите модель, ребро которой будет равно 20 см.

Часть II представляет собой шестигранную чашу; все ее боковые грани белые, поэтому их можно склеить из одной заготовки. Малые треугольники в основании имеют раскраску, соотносящуюся с раскраской соответствующих граней частей I. В связи с этим вам не потребуется дополнительных указаний относительно их раскраски — при условии, что вы будете работать последовательно. Так как указанные треугольники весьма малы, проще всего сначала склеить их в пары и лишь затем прикрепить эти пары к основаниям белых чаш

Пять частей I и пять частей II соедините в кольцо с отверстием посредине в форме неправильного десятиугольника. Сделав это, изготовьте набор из пяти частей III. Эта часть состоит из пары треугольников белого цвета (поэтому их можно вырезать из одной заготовки) и заготовки, своими очертаниями похожей на воздушный змей. Последнюю вы сможете найти на чертеже десятиугольной грани многогранника, поэтому ее раскраска следует обычной додекаэдральной схеме. В склеенном виде часть III образует трехгранную чашу с точечным основанием, верхние края которой образуют

косой четырехугольник1 Теперь вам предстоит поставить эти части на места. Приступая к работе, помните, что ребро части III, образованное белыми треугольниками, должно располагаться против ребра, образованного гранями части II. После этого подклеенными окажутся все части десятиугольных граней модели, и это обстоятельство поможет вам выбрать правильный порядок расположения частей III. Будьте внимательны и сле-

1 «Косым» в геометрии принято называть четырехугольник, не лежащий в одной плоскости.

дите за одноцветной раскраской каждой такой грани.

После подклеивания этих частей в теле модели по-прежнему останутся десятиугольные отверстия, теперь уже более заглубленные. Их следует закрыть другими чашами, представленными на рисунке как часть IV. Заготовка для боковых сторон чаши обозначена у нас как часть V. Все составляющие ее трапеции белого цвета, так что заготовку можно вырезать из одного куска картона. Не спутайте верхнюю сторону этого ряда из десяти трапеций с нижней: они похожи, но не одинаковы! Из заготовки образуется кольцо в форме десятиугольной призмы, напоминающее трубку. Все части кольца окажутся белого, цвета, ибо составляющие его трапеции лежат в гранях десяти пересекающихся квадратов. Кольцо из пяти неправильных пятиугольников части IV также состоит лишь из белых пятиугольников, расположенных в плоскостях еще пяти квадратов. Теперь вам ясно, почему мы считали слишком сложным изготовить модель, в которой каждая квадратная грань была бы окрашена по-своему!

Упомянутое кольцо из пяти неправильных пятиугольников приклейте к нижнему краю десятигранной трубки. Тогда дно чаши займет правильный пятиугольник части IV. Каждый такой пятиугольник лежит в центре десятиугольной грани, и этим определяется его расцветка. Наклейки заготовок многогранной чаши, разумеется, необходимо отогнуть наружу, образовав двойные нервюры вдоль ее ребер. При расположении чаши в модели вам придется отвернуть эти наклейки в стороны — в противном случае чаша с практически вертикальными стенками не войдет в отверстие. Выполняйте работу последовательно, пользуйтесь в случае надобности зажимами. Ловкость и навыки, немного терпения — и ваш труд будет вознагражден красивой моделью.

При ее построении можно воспользоваться и другим способом: сначала сделать лишь оболочку модели, не закрывая центральных отверстий. Преимущество этого способа заключается в том, что вы получаете возможность руководствоваться единой и простой схемой раскраски, особенно для частей II и IV. Однако вам не удастся достигнуть полной конструктивной жесткости модели вплоть до того момента, пока вы не закроете последнее отверстие.

Во всех случаях вы получите модель, весьма интересную по своей сложной и запутанной конструкции. Поскольку все части квадратных граней белые, сами грани увидеть довольно трудно. Их можно обнаружить только в том случае, когда держишь модель в руках.

Замечания о невыпуклых курносых многогранниках

Существуют всего два выпуклых курносых многогранника — курносый куб и курносый додекаэдр. Среди невыпуклых тел таких многогранников не меньше девяти или даже десяти, если мы согласимся отнести в их разряд многогранник 119, в общем-то довольно заметно отличающийся от всех остальных. В случае выпуклых тел их «курносость» проявлялась в несколько повернутом положении квадратных и пятиугольных граней по отношению к граням описанного куба и соответственно описанного додекаэдра. Поскольку такой поворот можно было осуществить в двух противоположных направлениях, мы имели возможность получить две модификации каждого тела — правостороннюю и левостороннюю; каждая из них являлась зеркальным образом другой. Симметрия достигалась и в отношении различно расположенных треугольных граней, образующих «курносую» сеть треугольников на поверхности каждой модификации. Нечто подобное мы найдем и у невыпуклых многогранников. Модель 119 здесь выделится тем, что у нее и диаметральные квадратные грани смогут получить двоякую ориентацию.

Трафареты для изготовления граней курносых тел кажутся на удивление несимметричными и неправильными. Здесь вы нигде не найдете обычных симметрии, за исключением двух случаев — очень простой модели 110 и, как ни странно, весьма сложной модели 118. Поскольку сами тела не имеют плоскостей симметрии (они обладают симметрией вращения), сложные пересечения граней определяют запутанные трафареты, характерные точки которых можно установить лишь путем вычислений. Это предполагает использование координатного метода, то есть аналитической геометрии. Обычные циркуль, линейка и транспортир здесь мало помогут.

Нужные вычисления были произведены Р. Бакли при помощи электронной вычислительной машины. Вкратце по его программе машина делала следующее: выбиралась система сферических координат, полярная ось которой совпадала с осью симметрии вращения, а нулевой меридиан проходил через вершину многогранника. Далее вычислялись координаты всех вершин многогранника, которые потом приводились к обычным декартовым осям. Нахождение линий и точек пересечения разных граней сводилось к решению систем линейных уравнений. Машина позволяла производить вычисления с шестью значащими цифрами. Для построения моделей такая точность представляется даже излишней.

Приведенные ниже чертежи скопированы с чертежей реальных моделей, у которых длина ребра составляла около 20 см (а для моделей 117 и 118 даже около 50 см). На чертежах граней показаны лишь основные линии пересечения. Как обычно, выделены внешние части граней: светлой штриховкой отмечены части, видимые с лицевой стороны, а зачернены видимые с тыльной стороны. Численные данные приведены с точностью до двух значащих цифр. Все модели, показанные на фотографиях, имеют высоту не больше 30 см, за исключением моделей 117 и 118, высота которых около 60 см. Если вы воспользуетесь приведенными в описаниях чертежами заготовок, то получите примерно такие же модели.

110 Малый курносый икосододекаэдр

Это первая из моделей невыпуклых курносых многогранников, и ее легче всего построить. 20 пар равносторонних треугольников рассекают грани исходного икосаэдра, образуя 20 шестиугольных звезд. Звезды не являются правильными, как должно быть в однородном многограннике, хотя и получены пересечением правильных треугольников. 12 пентаграмм полностью окружены другим набором треугольников, включающим в себя 60 треугольников. Такая конструкция подсказывает простой способ изготовления модели.

Прежде всего между лучами пятиугольной звезды вклейте желобки, составленные из пар косоугольных неправильных треугольников. Раскраску желобков определите из обычной икосаэдральной схемы. Все пятиугольные звезды модели пусть будут белого цвета. Это часть I.

Ниже показана схема соединения и раскраски для части (0) модели. К ней присоединяются пять шестиугольных звезд (часть II). Для их раскраски вы можете взять либо седьмой цвет, либо обычные цвета — Ж, С, О, К, 3, расположив их так, чтобы не нарушать

основного принципа раскраски карт. Приклеив пять последующих частей I, вы заметите, что между гексаграммами (шестиугольными звездами) остались отверстия. Закройте их парами равносторонних треугольников, определяя раскраску в зависимости от того, в какой грани лежат эти треугольники. Сначала склейте треугольники между собой, а затем заклейте ими отверстия между шестиугольными звездами.

111 Курносый додекододекаэдр

Этот многогранник имеет 12 пятиугольных звезд, расположенных в параллельных плоскостях над плоскостями пятиугольных граней, что очень сближает его с моделью 73. Но в данном случае пентаграммы имеют общие ребра с 60 равносторонними треугольниками, что приводит к появлению «курносости». Посмотрев на чертежи пятиугольных и треугольных граней многогранника, вы обратите внимание, что их пересечение дает тонкие ленты, появляющиеся вдоль одной стороны любой треугольной грани и вдоль каждой стороны пятиугольных граней. Это означает, что точное изготовление модели потребует от вас изрядной доли терпения.

Как и в предыдущем случае, изготовление модели начните с того, что окружите белую (Б) пентаграмму пятью желобками, составленными из пар неправильных треугольников подходящих размеров. Раскраска желобков и здесь следует обычной икосаэдральной схеме. Так получается часть I модели.

Часть II состоит из довольно сложного соединения частей в форме замысловатого равностороннего треугольника с ломаными сторонами. В ней имеются три желобка, идущих из вершин треугольника в точки, окружающие его центр, и три ленточные гряды,

исходящие из центра к сторонам треугольника. Некоторое представление о том, как выглядит часть II, можно получить из прилагаемого рисунка.

Склеивание этой части следует производить поэтапно. Сначала подклейте ленту из треугольной грани к соответствующей треугольной части, как показано на рисунке. Подберите подходящие раскраски ленты треугольной части. Затем ленту из пятиугольной грани подклейте к треугольной части. На рисунках показаны наклейки лент, поскольку при таком соединении важно точно поставить части на свои места.

Теперь соедините все части, образовав гряду из лент между ними. Здесь вам понадобятся и пинцет и зажимы. Из трех полученных соединений вы образуете одну часть II, а всего вам необходимо иметь 20 таких частей. Будьте готовы к тому, что соединение частей — процесс весьма кропотли-

вый. В каждый момент времени работайте над склеиванием только одного ребра, при этом особое внимание уделите наклейкам тупых концов лент, ставя их на место при помощи тонкого пинцета. Правильная подгонка наклеек треугольных частей, вырезанных в точном соответствии с нашими чертежами, позволит вам соединить их в одну полосу, подкрепляющую точку, в которую приходит острый конец лент.

После завершения работы над пятью частями II подклейте их в кольцо, окружающее секцию (0) части I. Ниже приводится таблица раскраски для всех частей II. Буква индекса обозначает цвет ленты. Поскольку все пятиугольные части следует оставить белыми, их раскраска в таблицу не включена.

Упрощенную и приближенную модель рассматриваемого многогранника можно сделать, использовав 20 изломанных частей II, но без лент. Приведенный ниже рисунок дает представление об идее конструкции. Мы показываем и упрощенные неточные чертежи граней модели. Размеры такой модели вам предстоит уменьшить, и тогда вы получите вполне удовлетворительное приближение к искомому телу. На фотографии показана упрощенная модель.

112 Курносый икосододекододекаэдр

Как и в модели 111, пятиугольные звездчатые грани этого многогранника лежат в плоскостях, параллельных плоскостям пятиугольных граней, но теперь пентаграммы повернуты относительно пятиугольников. Благодаря этому освобождается место еще для 20 треугольников в дополнение к 60 треугольникам, имеющим общие с пентаграммами ребра.

Для построения модели лучше подклеить пентаграммы в последнюю очередь. Тем самым вы облегчите работу с остальной частью модели, имеющей сложную внутреннюю структуру. Рекомендуем производить построение в описываемом ниже порядке.

Для раскраски 60 треугольников, связанных с пентаграммами, используйте икосаэдральную схему. Сами пентаграммы будут белыми. Остальные 20 треугольников лучше всего окрасить в какой-либо седьмой цвет, скажем черный (Ч). Это вызвано тем, что центральные части этих треугольных граней появятся впоследствии в основаниях треугольных выемок, боковые грани которых образуются угловыми частями трех разных пятиугольных граней, окрашенными в белый цвет. Одна вершинная часть модели соединяется в соответствии с приведенной ниже схемой. Мы также приводим таблицу раскраски для части (0). Раскраска остальных частей

получается обычной циклической перестановкой цветов.

Треугольники 1 и 7 следует отогнуть к себе и поместить над треугольниками 2 и 6, причем наклейки между треугольниками 1 и 2 и 6 и 7 затем склеиваются между собой и образуют наклейку сдвоенной толщины. Чтобы их склеить, приподнимите центральную точку фигуры. Впоследствии треугольники 1 и 7 окажутся под обратной поверхностью одного луча пентаграммы. Пять таких вершинных частей соедините в кольцо. Так вы образуете часть модели. При этом наклейки при коротких ребрах треугольников 7 подклейте с внутренней поверхности треугольников 1. Наклейки у треугольников 1 лучше не делать (как и показано на рисунке) во избежание нервюр, которые могут мешать подклеиванию пентаграмм. Подклеив пентаграмму, вы завершите работу над одной частью модели. Чтобы вас не затрудняли слишком острые углы, рекомендуем воспользоваться зажимами. Если вы заметите, что пентаграммы сминаются или сходят со своего места, держите конструкцию под небольшим давлением, пока клей не подсохнет.

Полная модель состоит из 12 частей. Вы, несомненно, обратите внимание на их зазубренные края и поразитесь, сколь идеально они подходят друг к другу.

Есть и другой метод построения этой модели, напоминающий о методе, который мы применяли к модели 83. Как и в том случае, вы можете начать с подклеивания треугольников 1 и 7 к лучам звезды. Загните их под звезду и склейте длинные наклейки этих треугольников наподобие нервюр, идущих от центра звезды к ее вершинам. Треугольники 2 и 6 образуют желобки между лучами телесной звезды, причем в качестве наклеек используются нервюры. Вершинную часть вокруг звезды и тем самым одну из описанных ранее частей завершают треугольники 3, 4 и 5.

Такой метод соединения позволяет несколько точнее помещать пентаграммы на свои места, поскольку при этом они не очень сминаются.

113 Большой вывернутый курносый икосододекаэдр

Этот многогранник служит еще одним примером курносого тела, модель которого сравнительно легко построить. Это объясняется тем, что вся конструкция образована повторением одних и тех же вершинных частей, поскольку все вершинные фигуры многогранника одинаковы. Модель изготавливают непосредственным соединением этих заранее выполняемых частей.

Приготовьте пять таких частей, каждую в соответствии с указанным на чертежах порядком и расцветкой. Склейте их в кольцо, образующее 1/12 часть модели. Центральные впадины колец напомнят вам аналогичные впадины на модели соединения пяти тетраэдров. Подобные же впадины встретятся и в моделях 115 и 116. Здесь снова можно воспользоваться икосаэдральной раскраской. Ниже приводится таблица раскраски для одного кольца (0). Раскраски остальных колец получаются обычными перестановками. Заметьте только, что все части пентаграмм должны быть белого цвета.

У полученных колец будут весьма зазубренные края, а некоторые из наклеек окажутся очень маленькими. Поэтому соединение их следует производить весьма аккуратно и без спешки.

114 Вывернутый курносый додекододекаэдр

У этого многогранника есть интересная особенность: лучи его пентаграмм как бы слегка подрезаны плоскостями граней пятиугольников и одного набора треугольников. В связи с этим конструкция тела вблизи его вершин значительно усложняется. Пятиугольные грани лежат в плоскостях, параллельных плоскостям пентаграмм, но на значительном от них удалении — практически рядом с экваториальной плоскостью многогранника. Конструкция под каждой пентаграммой напоминает модель 83 и модель курносого тела 112. Поэтому мы считаем целесообразным производить построение этой модели способом, аналогичным второму способу построения модели 112.

Подклейте треугольники 1 и 2 к лучам звезды, после чего подогните их под лучи и склейте между собой, предварительно вывернув наклейки наружу в виде нервюр от центра звезды вдоль лучей. Делать вырез в лучах звезды не следует, но после склеивания всех треугольников 1 и 2, когда телесная звезда будет завершена, надо произвести намеченный на чертеже разрез в треугольниках 2, а получающиеся при этом обрезки удалить. Старайтесь не нарушать прочности нервюр. Вырез облегчит работу при установке других частей, особенно надреза на части 5 пятиугольной грани. Впоследствии мы объясним, каким образом здесь можно обойтись без клея. Воспользуемся обычной схемой икосаэдральной раскраски, причем все пентаграммы будут белыми.

Теперь приготовьте части, связывающие лучи звезды между собой. Порядок их соединения показан на рисунке. Эти части также раскрашиваются по икосаэдральной схеме. Мы приводим таблицу раскраски для одной части (0). Раскраска остальных частей определяется, как обычно, простыми перестановками.

Поскольку при изготовлении частей здесь существенна их точная подгонка, на приведенных рисунках указаны и наклейки.

Сначала склейте разноцветные части 3 и 4, после чего к белой части 5 подклейте цветную часть 6. Затем склейте между собой наклейки, обозначенные буквами a, b и с, которые соединят указанные пары. Между частями 5 и 6 образуется острый двугранный угол, напоминающий выступ. Полное соединение всех частей придаст этой секции некоторую конструктивную жесткость.

Теперь ваша задача — вклеить полученную секцию между лучами телесной звезды. Нервюры под телом звезды должны соприкоснуться с наклейками е и f. Нанесите на них клей, поставьте секцию на положенное место и до того, как клей подсохнет, подкрепите соединение зажимами. Маленький отрезанный треугольничек части 3, приходящий к вершине звезды, будет свободно болтаться, но, так как его будет удерживать длинная наклейка, он не помешает работе.

Следующий этап работы потребует от вас большой сосредоточенности. Обратите внимание на вырез в части 5 — угловой части пятиугольной грани. Постарайтесь вправить луч звезды в вырез таким образом, чтобы верхний его край оказался над звездой, а нижний — под нею. Не думайте о клее: все равно маленькие вырезы не имеют наклеек. Итак, с этой секцией работа пока закончена, но потом вам придется еще раз обратиться к верхнему краю выреза. Обклейте звезду пятью такими секциями — и одна часть модели почти готова. Для изготовления полной модели вам потребуется 12 частей.

Теперь вам предстоит соединить все части между собой. Задача не из легких. Сложность заключается в том, что сначала надо склеить наклейку g части 6 одной секции с наклейкой h части 4 другой секции, а затем соединить наклейки. И лишь после того, как будет собрана вся модель, вы получите возможность приступить к подсоединению наклеек к и т. Для аккуратного помещения частей на места вам потребуются пинцет и шило. Сделав это, нанесите по капле клея и зафиксируйте место склейки зажимами. Не снимайте зажимов до полного высыхания клея: здесь очень острые углы и они могут разойтись. Если картон, которым вы располагаете, хорошего качества, то следы от зажимов исчезнут сами; в противном случае разгладьте смятое место шилом.

Изготовление этой модели потребует от вас немалого терпения и настойчивости. Пожелаем вам удачи!

115 Большой курносый додекоикосододекаэдр

Характерной чертой этого многогранника является наличие сдвоенных пентаграмм, лежащих в одной плоскости. Нечто подобное мы обнаружим позже в модели 119. В рассматриваемой же модели мы видим специфически «курносое» чередование впадин, уже отмеченное в модели 113. Аналогичное чередование мы заметим и на модели 116. Вершинные части нашего многогранника существенно более сложные, нежели у модели 113: их формирует причудливая система пересекающихся граней. Точно так же устроены вершины модели 116, на которой мы еще остановимся. При построении модели рекомендуем отступить от многократно использованной технологии соединения додекаэдральных блоков, предпочтя ей икосаэдральную конструкцию. Такой способ облегчает процесс пересечения граней, находящихся под лучами звезд. Мы предлагаем исходить из следующих правил раскраски: части пересекающихся треугольных граней (с 1 по 5) лучше сделать одноцветными, скажем черными (Ч), части сдвоенных пентаграмм — белыми (Б), а обычные цвета — Ж, С, О, К и 3 — оставить для раскраски пятигранных впадин. Таким образом, раскраска впадин следует обычной икосаэдральной схеме циклических перестановок.

Заметьте, что входящие в состав строительных частей треугольники 1 и 2 чередуются на гранях многогранника. Это объясняется тем, что

упомянутые части отгибаются и образуют конструкцию одного луча звезды.

Сначала соедините между собой три части 1, 3, образуя нечто вроде пропеллера с тремя лопастями. На заготовках частей оставьте все наклейки, за исключением стороны, помеченной буквой X. Эту наклейку можно удалить, поскольку вдоль этого ребра клей наносить не придется. Дальше мы объясним, каким образом следует расположить треугольник 1 в точности под лучом звезды.

Подготовьте три пары частей пентаграммы, показанных на рисунке как часть 7. Отогните нижний луч звезды по линии, как указано на рисунке а, и к внутренней поверхности верхней звезды приклейте заштрихованную двойной штриховкой часть (рисунок б). При этом нижний луч звезды может свободно болтаться (рисунок в).

Заштрихованные части на рисунках б и в впоследствии будут закрыты, поэтому на них не следует делать никаких отметок. Лучше нанести отметки непосредственно на наклейки. Наклейка h будет подрезана, тем не менее она все же используется как единая наклейка. Но на этом мы подробнее остановимся ниже.

Три подготовленные таким образом части пятиугольных граней необходимо подклеить к «трехлопастному пропеллеру». Сначала соедините наклейки h, позволяя нижнему лучу звезды на рисунке а свободно болтаться над «лопастью пропеллера». Как только клей вдоль ребра высохнет, перегните приклеиваемую часть, образовав острый угол, направленный ребром вниз. Это даст вам возможность соединить и склеить наклейки, помеченные буквой к. Наклейку m треугольников 1 на «лопастях пропеллера» подклейте к свободно болтающемуся лучу звезды. Острые двугранные углы вдоль ребра звезды вынудят вас использовать зажимы до того момента, пока не высохнет клей. По окончании работы со всеми тремя лопастями вы станете обладателем весьма прочной конструкции, представляющей собой центральную часть икосаэдрального блока, на которой уже имеются вершины трех соседних выступов модели.

На следующем этапе работы подклейте части 2, 4 к соответствующим ребрам только что законченной конструкции. Соедините наклейки, помеченные буквой п. Как только подсохнет клей, загните треугольники 2 под лучи звезд, после чего наклейки р соприкоснутся и их можно будет склеить. Теперь ясно видно, каким образом пересекаются треугольные грани многогранника — обратите внимание на складки, образованные частями 1, 3 и 2, 4. Наклейки к и р жестко удерживают грани на своих местах, поэтому дополнительных соединений не потребуется. В частности, не нужна наклейка на ребре х треугольника 2 по тем же причинам, что и для одноименного ребра треугольника 1. Теперь вы также видите, как исчезает заштрихованная площадь на рисунке б.

Последний этап работы выполнить сравнительно просто. Добавьте части 5 и 6, завершая, таким образом, работу над вершинными частями блока и соединяя их наклейками q, г и s. Поскольку часть 5 лежит в тех же гранях, что и часть 1, 3, ее следует окрасить в тот же цвет, а именно в черный (Ч). Все три используемые для построения первого блока части 6 пусть будут желтыми (Ж). Так как полная модель состоит из 20 подобных блоков, то раскраски частей 6 этих блоков следуют такому порядку: Ж, С, О, К, 3, причем части 6 одного блока должны быть окрашены одинаково.

Вы сами придете к тому, что эти блоки следует склеивать между собой лишь после того, как они будут полностью закончены. Эту работу начните с того, что соедините пять из них в кольцо, в центре которого расположится впадина с раскраской (0) граней 1. В первую очередь всегда соединяйте самые длинные наклейки, склеивая наклейку t части 5 одного блока с наклейкой t части 6 соседнего блока. Тогда остальные наклейки легко встанут на свои места. Работая над последним, 20-м блоком, оставьте наклейку s временно неподклеенной. Это позволит вам, отогнув соответствующую часть, соединять между собой другие наклейки. (Вам потребуется шило или пинцет.) Наклейку s приклейте последней.

Полученная в итоге модель удивительно хороша. Если вы воспользуетесь описанной выше технологией ее построения, то, бесспорно, вас ждет большой успех. Но предупреждаем: построение этой модели отнимет у вас (если вы будете работать в одиночку) 40—50 часов чистого времени!

116 Большой курносый икосододекаэдр

В этом многограннике содержатся очень маленькие элементы поверхности, которые, хотя формально и являются видимыми снаружи частями его граней, все же настолько малы, что не отмечены на наших чертежах этих граней. Модели свойственны многие характерные черты уже рассмотренного многогранника 115: здесь вы вновь найдете 12 пятигранных впадин и 60 многогранных вершин. Однако вместо сдвоенных пентаграмм модели 115 в этой модели лишь одна пентаграмма, пересекающая другие грани обычным икосаэдральным способом. Сходство с предыдущей моделью подсказывает нам способ соединения частей: он будет аналогичным. Но в целях облегчения работы мы внесем в конструкцию кое-какие изменения, которые на готовой модели сможет заметить разве что сам автор конструкции.

Чтобы вам яснее было понять, как устроены мельчайшие детали граней многогранника, а следовательно, нумеруемые нами части модели, ниже приводятся два увеличенных чертежа

фрагментов граней многогранника. Там же показаны и пронумерованы все части, необходимые для построения модели, причем буквами помечены наклейки вдоль сторон частей. Из этих частей образуется одна икосаэдральная конструкция, или блок, как мы его называли при построении модели 115. Однако блоки в рассматриваемой модели окажутся несколько более сложными. Мы приводим также таблицу раскраски частей одного блока; раскраска остальных блоков определяется обычной перестановкой цветов. Не следует по-разному раскрашивать части 3 и 5, ибо они принадлежат одной и той же треугольной «курносой» грани.

Оставьте наклейки вдоль всех ребер заготовок, за исключением ребра, помеченного буквой X. Здесь наклейка не потребуется. Склейте прежде всего пары 1 и 3, 4 и 2, а затем приклейте часть 7 к части 1 по ребру, помеченному буквой р. Часть 8 специально «раскроена» так, чтобы образовать маленький пикообразный клин, выступающий острием над лучом звезды, то есть над плоскостью пентаграммы. Обе стороны клина образованы малыми треугольниками, лежащими в треугольных «курносых» гранях, поэтому их следует раскрашивать каждый своим цветом. Кроме того, сам клин должен слегка врезаться в часть 4.

Однако, чтобы облегчить построение, мы прибегнем к некоторым упрощениям: в частности, сделаем обе стороны клина белыми и допустим, чтобы клин касался части 4, но не пересекал ее. Как вы сами сможете убедиться, этого практически нельзя будет обнаружить, поскольку на полной модели соответствующие части будут просто располагаться под лучом одной из звезд. Кроме того, хотя наклейка а части 8 разрезается на два сегмента по линии, приходящей в вершину клина, мы и далее должны рассматривать ее как одну наклейку, присоединяемую к одноименной наклейке части 4.

Теперь перегните части 1 и 7 и подклейте ребро b части 3 к одноименному ребру части 7. Так образуется небольшая, но глубокая трехгранная чаша, в основании которой по идее должны были бы лежать крошечные треугольники из треугольной «курносой» грани и четырехугольник из грани пентаграммы. Однако возиться с ними не стоит. Рекомендуем просто соединить между собой небольшие наклейки частей 1, 3 и 7, лежащие в основании чаши как придется. Пусть ваша чаша имеет практически точечное дно — все равно это невозможно увидеть на законченной модели.

Точно так же перегните части 2 и 8, после чего склейте их между собой вдоль ребер с. Две маленькие заштрихованные площади на чертежах частей 2 и 8 не следует помечать и тем более вырезать. После перегибания вы заметите, что клин станет как раз против заштрихованной площади на части 2, а ребро х части 2 пересечет заштрихованную площадь части 8. Но, как уже говорилось, подклеивать здесь ничего не надо. В результате перегибания снова образуется трехгранная чаша, на сей раз действительно с точечным основанием. Сами чаши в отдельности представляют собой вполне законченные и конструктивно весьма жесткие соединения.

Следующий этап работы потребует от вас недюжинного искусства, что вызвано запутанностью конструкции. А конструкция запутана так, что без подробнейших иллюстраций ее почти невозможно описать. Но изготовить ее можно. Вам только придется самостоятельно, методом проб и ошибок, выбрать наиболее подходящую методику работы со всеми упоминаемыми ниже частями. Возьмите конструкцию частей 2, 4, 8, окрашенных в цвета С, Ж, Б, и присоедините к ней аналогичную конструкцию, окрашенную в цвета К, Ж, Б, так, чтобы сошлись вместе наклейки d частей 2 и 8. Дайте клею подсохнуть, после чего сильно выгните вдоль общего ребра части, окрашенные в цвета С и Б. Затем присоедините третью конструкцию, окрашенную в цвета 3, Ж, Б, к части К, Ж, Б, — опять-таки наклейками d. Дайте клею подсохнуть, после чего снова выгните вдоль общего ребра части, окрашенные в К и Б цвета. Теперь поставьте окончательно ребра между 3 и Б частями на свои места и склейте наклейки вдоль ребер, помеченных буквой d. В ваших руках окажется центральная часть первого икосаэдрального блока. Вы явственно увидите вершины трех многогранных пиков и в центре блока нечто вроде колесика с тремя спицами, образованного тремя пересекающимися ребрами трех звезд. Вы также заметите, что ребра клиньев в основаниях лучей звезды окажутся на одной линии с только что подклеенными ребрами.

Следующий этап работы много проще. Склейте между собой наклейки f частей 1 и 8, предварительно уверясь, что расцветка части 3 соответствует расцветке части 2: если та С, то и эта С, если К, то К, если 3, то 3. Эти цвета располагаются вокруг колесика. Как только клей подсохнет, перегните конструкцию по этим ребрам, надавив их от себя. В результате соприкоснутся уже склеенные пары наклеек — между частями 1 и 3 и между частями 2 и 4, расположенные за (или под) лучами звезды.

Финальный этап работы — самый простой. Склейте части 4 и 6 вдоль ребер, помеченных буквой h, а части 5 и 6 — вдоль ребер, помеченных буквой к. Наклейка к части 5 разбита на два отрезка; меньший будет присоединен после соединения всех блоков. В данный момент вы являетесь обладателем конструкции, в которой завершены три вершинные части одного блока. Быть может, центральная

часть колесика покажется вам недостаточно жесткой и прочной: это объясняется тем, что здесь не производилось склеивания. По мере построения модели и присоединения все новых блоков давления, возникающие в модели, сделают конструкцию жесткой, так что с точки зрения прочности готовая модель окажется вполне удовлетворительной.

Соединяя блоки, всегда в первую очередь склеивайте самые длинные ребра. Образуйте кольцо из пяти блоков, в центре которого окажется впадина с раскраской, соответствующей части (0) икосаэдральной схемы. Наиболее трудоемким окажется процесс подклеивания последних наклеек, причем некоторые из них будут столь малы, что вы, возможно, предпочтете и вовсе обойтись без клея. Правильная подгонка частей модели существенно зависит от вашей аккуратности на всех этапах работы. Чтобы получить полную модель, вам потребуется ровно 20 блоков. И если вы работаете в одиночку, ее построение отнимет у вас около 50 часов!

117 Большой вывернутый обратнокурносый икосододекаэдр

Этот многогранник поистине замечателен своей сложностью. Глубокие пятигранные чаши на его поверхности перекрываются низко расположенными десятизвездными розетками, загораживающими сужающиеся книзу грани чаши. Чаши образованы, казалось бы, совершенно невероятными гранями многогранника, которые кажутся фантастически запутанными. В многограннике пары треугольных граней пересекаются над центральными частями пентаграмм. Это пересечение порождает весьма стройные пикообразные клинья, вершины которых совпадают с вершинами пентаграмм. Клинья продолжаются по направлению к центральной части звезды, но перед тем, как исчезнуть внутри тела, они рассекаются на две части. Впрочем, все сказанное станет вам более понятным, как только вы начнете самостоятельно строить эту модель. Если вы захотите попробовать свои силы в построении технически сложной конструкции, рассматрива-

«Курносый» треугольник Длина ребра = 50 см

емая модель предоставит вам превосходную возможность.

Начните работу с внутренних частей пятигранной чаши. Надеемся — и в последующих инструкциях будем из этого исходить, — что вы сумеете распознать форму части, а также определить, на какой грани и где она расположена. Условимся относительно раскраски. Советуем все части пентаграмм окрасить в белый (Б) цвет, один набор треугольных граней сделать черным (Ч), а для другого набора треугольников оставить обычную икосаэдральную раскраску из пяти цветов.

Часть I представляет собой пятигранную чашу с десятиугольной звездчатой розеткой на дне. На чертежах показана лишь одна секция, из которых состоит часть I. В первую очередь подготовьте части розетки и приклейте их к соответствующим большим частям, воспользовавшись наклейкой z. Перегните части розеток на манер гармошки так, чтобы вверх пошло ребро, разделяющее центральные Ж и Ч части, наклейки которых а и b затем соединятся с соответствующими наклейками большей Ж части. Наклейка с впоследствии встретится с наклейкой с. Подготовьте пять таких секций, раскрашенных в соответствии с (0) распределением окраски, причем раскраска розеток должна следовать циклическому порядку. На чертеже указан оранжевый (О) цвет; порядок раскраски с учетом этой части задается следующей цепочкой: О, К, 3, Ж, С, в то время как большие части окрашены в порядке Ж, С, О, К, 3 соответственно. Пять таких секций склеиваются в кольцо, причем наклейка X одной секции соединяется с наклейкой у другой секции, и так далее по кругу. Так завершается построение части I.

Одна из пяти секций, необходимых для построения части II, приведена на чертежах. Белые (Б) части принадлежат одному лучу звезды, черная (Ч) и синяя (С) части, расположенные посредине, образуют тонкий пикообразный клин, разрезающий луч звезды. Сначала необходимо склеить между собой все четыре верхние части. Заметьте, что левая белая часть содержит небольшой кусок заштрихованной площади, отсекающей некий треуголь-

ник. Эти части не следует отрезать от заготовки. В дальнейшем второй сегмент пикообразного клина будет подклеен к части X и закроет заштрихованную площадь. Но прежде легче приклеить спаренные треугольники синего (С) цвета на место вдоль наклеек, помеченных буквами a, b, d, f. Тогда можно приклеить на место второй сегмент пикообразного клина. Сделав это, вы сразу же заметите, что пикообразный клин словно пронизывает сдвоенные треугольники сквозь заштрихованные места, которые, естественно, также остаются невырезанными. Угол вдоль общего ребра сдвоенных треугольников оказывается весьма острым, и они достаточно прочно удерживаются в этом положении благодаря V-образному вырезу у основания луча звезды.

Теперь вам следует подклеить желтый (Ж) треугольник, соединив наклейки 1 и т. Загните желтый треугольник наверх и склейте между собой наклейки V и w желтого и синего треугольников.

Изготовьте пять таких секций, каждую со своей собственной раскраской, определяемой перестановками цветов. Эти пять секций присоедините к части 1 сначала при помощи наклеек, помеченных буквой р, а после того, как на них подсохнет клей, — при помощи наклеек q. Теперь вы заметите, что добавление частей П приводит как бы к заполнению пространства между круто вздымающимися вершинами частей I, указывая с большой определенностью, но не окончательно, кольцо из пяти многогранных вершин. Эти вершины будут полностью отделаны лишь после добавления части III, к описанию которой мы переходим.

На чертежах показаны заготовки для одной секции части III. Заштрихованные площади не следует обрезать, поскольку они будут закрыты разнообразными клиньями. Заметьте, что на чертеже белой (Б) части показаны все наклейки, необходимые для ее присоединения к другим частям: важно скопировать их в точности! Обратите также внимание на то, что самая большая часть — синяя (С) — связана с малым треугольником того же цвета. Это означает, что их можно вырезать из одного куска цветного картона. Однако уже два малых синих (С) треугольника разделят черный (Ч), как и показано на чертеже. Добавление белой (Б) части придаст жесткость конструкции из верхних черных (Ч) и синих (С) частей, поскольку они получат форму неглубокого желобка.

Как только вы склеите между собой эти части, изготовьте два показанных внизу клина. Приклейте их к ранее выполненной конструкции так, чтобы заштрихованные площади, обозначенные одними и теми же буквами, совпали. Можно было бы выполнить эти клинья в виде цельных неправильных многогранников, но нет нужды закрывать их концевые грани. Черный (Ч) и желтый (Ж) клинья образуют третий сегмент тонкого пикообразного клина, лежащего на поверхности луча

звезды, сдвоенные оранжевые (О) части явятся естественным продолжением сдвоенных оранжевых (О) треугольников, подобных сдвоенным синим (С) треугольникам части II. Повторите процедуру построения этих секций пять раз, исходя из обычной циклической перестановки цветов. Затем приклейте каждую из них на свое место, чтобы наклейки s и г части III соединились с наклейками s и г части II. Пара очень узких, образующих маленький клин треугольников, которая показана на чертежах части III, не подклеивается до завершения работы со всеми секциями. К тому же они настолько малы, что по практическим соображениям их можно было бы отбросить и этого бы никто не заметил.

Так строится один блок модели — кольцо из пяти многогранных вершин. Полная модель состоит из 12 блоков. Их соединение осуществляется склеиванием ребер h частей III одного блока с ребрами g других блоков. Добавление третьего блока к двум первым покажет, что часть грани пентаграммы вблизи наклеек h и g образует неглубокую трехгранную впадину. На полной модели вы обнаружите 20 подобных впадин.

Если вы будете работать без помощников, то работа займет у вас свыше 100 часов. Однако вы, возможно, захотите пойти на какие-то компромиссы, упрощающие модель и сокращающие рабочий процесс. Для этого можно, например, отказаться от розеток и клиньев, что, разумеется, потребует изменения частей. Тогда упрощенная модель будет иметь вершины, совпадающие с вершинами оригинала, и лишь некоторые важные части внутри граней будут отсутствовать (на стр. 213 приводится набор упрощенных частей и фотография упрощенной модели).

118 Малый вывернутый обратнокурносый икосоикосододекаэдр

Этот сложный многогранник имеет одно общее свойство с рассмотренной выше моделью 110: как легко заметить из чертежей его граней, он обладает плоскостями симметрии. Однако по сравнению с моделью 110 построение этой модели сопряжено с большими трудностями. Поэтому для выполнения столь сложной работы вам необходимо запастись поистине неистощимым терпением и огромной настойчивостью, как, впрочем, и для построения модели 117. Описываемый ниже метод построения модели предполагает использование только трех цветов — Ж, К и Б — по одному для каждого из трех типов граней.

Построение начните с соединения заготовок, показанных на рисунке как часть I. Сделайте три набора таких заготовок. Склейте ребро а одной заготовки с ребром b другой, а ребро с одной — с ребром d другой. После добавления третьего набора вы получите глубокую чашу, трехгранное основание которой будет образовано тремя белыми (Б) ромбами, а боковыми стенками явятся шесть четырехугольни-

ков. Для полной модели вам потребуется 20 таких частей.

Чтобы понять конструкцию части II, лучше всего отправляться от больших ее долей (часть IIа). План их соединения представлен отдельно в уменьшенном масштабе. Красный (К) четырехугольник образует двугранный желоб с большим желтым (Ж) куском. Малые красный (К) и белый (Б) куски, образующие небольшой клин, прикрепляются к конструкции наклейками g, h, к. После этого красный (К) четырехугольник удерживается достаточно прочно. Части в основании конструкции II, а перегибаются, но до этого лучше выполнить соединение всех кусочков конструкции II, б. Эта конструкция в форме неглубокого желобка чем-то напоминает бабочку. Схема соединения показана на II, в, где двугранный желобок обозначен горизонтальной штриховкой. Четырехугольник и желтый (Ж) треугольник на верхушке части II б разрезать не следует. Эту желтую (Ж) часть нужно только хорошенько перегнуть — это облегчит склеивание, а быть может, позволит и вовсе без него обойтись.

Кончив соединение II б, подклейте его к части На наклейкой р. Отогните желтые части соединения 116 резко вниз, образовав острый двугранный угол, и свяжите наклейки, помеченные буквой у. Вы сразу заметите, что теперь значительно легче соединить наклейки v и w, возможно, их даже не потребуется склеивать. Присоедините наклейку г. Очень маленький белый (Б) треугольник, закрывающий узкое трехстороннее отверстие в основании, присоединяется к наклейкам s.

Теперь вам предстоит перегнуть нижнюю половину части IIа и снова связать наклейки сначала по ребру р, а затем по ребру у. Небольшое отверстие в основании закройте белой (Б) заготовкой в форме воздушного змея, причем наклейки q этой заготовки соедините с одноименными наклейками части 116. Подготовленная таким образом часть II похожа на большую бабочку.

Вокруг каждой части I располагаются три части II; их соединяют наклейки

на ребре i. Поскольку модель содержит ровно 20 частей I, вам потребуется 60 частей II. Но, кроме этого, будет еще и часть III! Поэтому рекомендуем хорошенько разобраться в устройстве части III и соединять все части по мере их изготовления.

Одна секция части III представлена на чертежах заготовок. Кусочки части 111,6 образуют двугранный клин; он приклеивается к тройке красных (К) кусков, из которых состоит часть III,а, наклейками а, Ь, с, d, f. Легче всего начать с наклеек Ь, тогда красные (К) части с наклейками d и f можно согнуть, образовав глубокий желоб, окруженный белыми (Б) кусками части III,б. Части, обозначенные на чертеже как III,в и III,г, суть клинья. Лучше всего подготовить их так, как показано, оставив заштрихованные площади х и у невырезанными. Тогда вы сможете нанести на эти площади клей и приклеить клинья на соответствующие места части III,а. Теперь перегните нижнюю часть III,а. Сделав это, вы убедитесь, что клинья глубоко проникнут в образовавшиеся при сгибе узкие желобки.

Повторите описанную процедуру. Вы получите новую секцию части III. Теперь эти две секции следует соединить по ребру, отмеченному буквой j, используя в качестве связки часть Итак, работа над частью III завершена. Внешне часть III похожа на клинообразный сандвич: в качестве «хлеба» здесь выступают два равносторонних треугольника, (К), соединенные основаниями, но несколько расходящиеся в вершинах, а между ними проглядывает «начинка» — коллекция маленьких клиньев. Для построения модели потребуется 30 таких сандвичей. Изготовив три из них, вы сможете их подклеить вокруг соединения частей I и II и тем самым завершите работу над тремя вершинами многогранника и начнете новые три вершины.

В процессе построения модели нетрудно сообразить, каким образом к ней присоединяются новые части I — III и как они комбинируются между собой. Части II и III чередуются по кольцу, причем их ребра образуют набор из десяти линий, сходящихся к центру додекаэдрального блока. Это обс-

тоятельство позволяет использовать иной, отличный от предлагаемого метод соединения частей модели. Наличие длинных ребер у всех частей облегчает любой порядок соединения.

Можно предложить и иную раскраску модели. При желании можно исходить из обычной икосаэдральной раскраски 20 чаш — частей I. Шесть четырехугольников части I получают тогда цвета ЖС, ЖЗ и ЖК (как обычно, мы указываем раскраску лишь первой чаши, раскраска остальных определяется простыми перестановками цветов). Раскраску частей II и III несложно вывести в процессе работы, если исходить из требования, что раскраска граней должна быть одноцветной.

Бесспорно, соединение частей рассмотренной модели занимает много времени. Как и в предыдущем случае, на ее изготовление вам потребуется свыше 100 часов. Однако и здесь возможны некоторые упрощения, которые сводятся к следующему: в части III можно опустить малые клинья (части в и г) и просто сводить донце части II 1,6 в точку вблизи наклейки у части III а; в части II пренебречь похожим на бабочку соединением II,в и заменить его неглубоким двугранным желобом с точечным основанием, заполняющим площадь вблизи ребра q части II б. Часть I следует оставить без изменений. Такая упрощенная модель будет иметь те же вершины, что и более сложный оригинал, и лишь с трудом различимые мелкие детали в гранях будут опущены.

119 Большой биромбоикосододекаэдр

Этот многогранник замечателен по нескольким причинам. Прежде всего математически он отличается от всех других известных нам однородных многогранников. Вы можете спросить: не означает ли это, что существуют другие, подобные ему, которые пока не известны? На это мы можем ответить лишь цитатой из уже упоминавшейся работы Кокстера и др. «Однородные многогранники» ([18], стр. 427): «Требования однородности, накладываемые на более сложные многогранники, в свою очередь приводят к ряду требований, которые оказываются несовместимыми. Поэтому наш список однородных многогранников, вероятно, является полным». Многогранник 119 входит в список под номером 75.

Существенным отличием изображенного на фотографии многогранника от остальных является и то обстоятельство, что он единственный из известных нам многогранников, в каждой вершине которого сходятся более чем шесть граней. У него таких граней восемь. Они разбиваются на пары, лежащие в одной плоскости: 12

пар пентаграмм, 20 пар треугольников и 30 пар квадратов, расположенных в диаметральных плоскостях. Вблизи каждой вершины части квадратных граней чередуются с частями других граней.

Мы предлагаем строить модель многогранника методом соединения додекаэдральных блоков. Центральные их впадины напоминают впадины на модели соединения десяти тетраэдров — одной из звездчатых форм икосаэдра.

Начните со склеивания в кольцо набора из пяти частей 1, раскрашенных в соответствии с икосаэдральной схемой (0). Отыскать эти, а также все следующие части на чертежах граней многогранника нетрудно. Склеенное кольцо представляет собой вогнутую пятиконечную звезду.

Проще всего раскрасить все части квадратных граней модели одним цветом, скажем черным (Ч). Тогда следующий этап сводится к подклеиванию небольших V-образных частей 2 между лучами вогнутой звезды: сначала наклейкой а, а после того, как подсохнет клей, наклейкой Ь. Теперь вогнутая звезда окружена своего рода «бахромой», как у скатерти.

Сделав эту часть работы, присоедините части 3 наклейками, помеченными буквами с и d. Раскраска частей 3 должна соответствовать раскраске части 1. Это соответствие нетрудно определить исходя из того, что треугольники части 3 лежат на продолжении тех же граней, в которых находятся половинки желобков — лучей звезды части 1.

Теперь подклейте наклейки, помеченные буквой t, и пространство между лучами звезды заполнится окончательно. Оставшиеся наклейки по ребрам ей f лежат по сторонам косого десятиугольника. Этим завершается построение вогнутой звезды — центральной части одного додекаэдрального блока.

Переходите к соединению частей 4—8. Части 4, 5 и 7 лежат в гранях квадратов и поэтому должны быть окрашены в черный (Ч) цвет. Пунктирные линии следует нанести на тыльной поверхности соответствующих частей: по ним вы затем перегнете части. Часть 6 лежит в плоскости треугольника, поэтому ее раскраска не совпадает с раскраской соседних частей. И хотя на чертеже она показана соединенной с частями 5 и 7, в действительности ее следует подготовить отдельно и лишь затем подклеить на место. Раскраску для двух частей 6 нетрудно определить, руководствуясь обычной перестановкой цветов, как описано ниже.

Для первого набора из пяти пар раскраска задается следующей последовательностью: ЖК, СЗ, ОЖ, КС, зо. Порядок цветов для левого элемента каждой пары: Ж, С, О, К, 3. По существу тот же порядок сохраняется и для каждого правого элемента, однако для него следует начинать с третьей пары, продолжая раскраску правых элементов в циклическом порядке. Для последующих блоков вы должны исходить из этого же принципа. Так, к примеру, последовательность для блока (1) такова: СО, ЖЗ, КС, ОЖ, ЗК (здесь в основе лежит порядок: С,-Ж, К, О, 3)

и т. д. При построении этого соединения оставляйте наклейки вдоль ребер всех частей. Заштрихованную площадь на части 4 не отрезайте, нами она не помечена; следовательно, здесь не потребуются и наклейки.

Следующий этап работы во многом схож с одним из этапов работы над моделью 116: без показа его также практически нельзя описать сколько-нибудь понятно. Однако надеемся, что и здесь методом проб и ошибок вы добьетесь успеха.

Начните с левой стороны соединения. Перегните части 6 и 7 по общему ребру. При этом у вас образуется треугольный клин или выступ. Нанесите каплю-другую клея на наклейки g и h, перегните части 4 и 5 и расположите наклейки g и h на заштрихованной площади части 4. Закрепите соединение зажимами с помощью пинцета и дайте клею подсохнуть. То же проделайте с правой стороной. По окончании работы вы получите соединение, напоминающее бабочку. На его поверхности несложно обнаружить глубокие желобки между частями 4 и 5 и выступающие клинья из частей 6 и 7, пронизывающие поверхности частей 4. Теперь вам остается приклеить часть 8 наклейками по ребрам j и к. Часть 8 следует окрасить в белый (Б) цвет, так как она лежит в плоскости сдвоенных пентаграмм.

Сделав пять соединений-бабочек, обклейте ими вогнутую звезду по ребрам косого десятиугольника: наклейки е и f частей 5 должны соединиться с одноименными наклейками частей 3. На первых порах рекомендуем работать лишь с одними наклейками, например по ребрам е. Как только клей на них подсохнет, перегните полученные соединения таким образом, чтобы можно было склеить и наклейки f. Поскольку они располагаются в довольно острых двугранных углах, вы можете воспользоваться зажимами.

Итак, вы получили новое соединение: его края снова образуют косой десятиугольник со сторонами, наклейки которых помечены буквами 1 и т. Обратите внимание: желобок между частями 4 и 5 одной «бабочки» соединяется с аналогичным желобком соседней. На этом этапе можно было бы склеить указанные части по линиям их соприкосновения, но особой необходимости нет. Постараемся объяснить, как можно добавить следующие звезды, чтобы на этом же месте появились новые соприкасающиеся линии. Но, поскольку вся эта часть модели снаружи не видна, а сама модель достаточно прочна и без соединения указанных частей, в целях упрощения можно и не склеивать их между собой по линиям соприкосновения. К тому же это несколько упростит и выполнение следующего этапа работы.

Части 9 и 10 лежат в плоскостях сдвоенных пентаграмм, тогда как часть 11 лежит в плоскости квадрата. Поэтому части 9 и 10 следует окрасить в белый (Б), а обе части 11 — в черный (Ч) цвет. Можно вырезать последние части из одной заготовки, перегнув ее затем по пунктирной линии. Как обычно, оставьте все наклейки по краям соединения. Наклейки п и р имеют

особый рисунок. Их выступающие отрезки понадобятся впоследствии для соединения отдельных блоков между собой. Будучи склеенными с другими наклейками, они образуют одно целое. Перегиб по пунктирной линии и даст дополнительную линию соприкосновения, о которой мы говорили выше.

Это соединение — луч звезды — сделать весьма несложно. Рекомендуем прежде всего склеить между собой наклейки q и г. Образуется глубокий двугранный желоб. Теперь привяжите соединение наклейками 1 и m к одноименным наклейкам двух частей 4.

Сначала подклейте наклейку 1, а после того, как клей подсохнет, присоедините наклейку т. Обклейте таким способом все стороны косого десятиугольника, а затем соедините крест-накрест выступающие наклейки п и ру точечных оснований частей 8. Этим процессом вы завершите работу над одним додекаэдральным блоком.

Соединенные наклейки п и р образуют совершенно ровные края пятиугольника — основания блока. Это по существу правильный пятиугольник, если не считать того, что в его вершинах располагаются V-образные вырезы частей 9. Подготовив три таких блока, соедините их между собой наклейками п и р. В центре полученного соединения образуется шестиугольное отверстие. Его следует закрыть соединением, состоящим из частей 12 и 13. Шесть четырехугольников (часть 12) окрашены в черный (Ч) цвет, так как они лежат в плоскостях шести пересекающихся квадратов. Они образуют боковые стенки чаши, основание которой сходится в точности к центру модели. Вблизи этого центра чаша подрезается своим донцем; последнее представляет собой неправильный шестиугольник с равными сторонами, лежащий в точности в центре плоскости сдвоенных треугольников. Этот шестиугольник указан на рисунке как часть 13. Его раскраска выполняется одним из цветов — Ж, С, О, К, 3.

Лучше всего сразу же подготовить пять таких чаш (а всего их понадобится 20) и подклеить их к додекаэдральному блоку (0), как только он будет сделан. Чтобы правильно определить раскраску части 13, совместите точки z части 13 и части 1: соответствующие части должны быть одноцветными.

Для построения модели вам потребуется 12 додекаэдральных блоков. Помните: прежде чем подклеить следующий блок, всегда заполняйте V-образные вырезы секций 9. Метод соединения напомнит вам построение модели правильного додекаэдра, но какая огромная разница между этими двумя моделями! В то время как додекаэдр имеет всего-навсего 12 плоских граней, рассматриваемая модель состоит из 12 блоков весьма сложной конструкции. Поистине замечательный многогранник! Построение его модели отнимет у вас не менее 50 часов.

Последние замечания

Даже если вы смогли выполнить лишь малую толику моделей невыпуклых однородных многогранников, вы уже ознакомились с некоторыми свойствами, присущими им в целом. Важно помнить, что все они, за исключением модели 119, могут быть получены при рассмотрении треугольников Шварца. Модель 119 представляет исключение и по другой причине: это единственный известный пока многогранник, каждую вершину которого образуют более чем шесть граней. Его вершины образованы чередованием четырех квадратов с двумя треугольниками и двумя пентаграммами. Все плоскости квадратов проходят через центр симметрии многогранника. Тем не менее тело 119 относится к классу «курносых» многогранников, поскольку эти квадраты можно рассматривать как «курносые» грани, заменяющие в этом случае обычные «курносые» треугольники. Существование этого многогранника указывает на то, что не только сферические треугольники, но и многоугольники могут порождать однородные многогранники. Однако исследование всех возможных здесь случаев — задача необычайно сложная и до сих пор не решенная.

Возможно, вас несколько удивило, что мы столь подробно останавливались на процессе продолжения граней многогранников в части II. Мы сочли нужным сделать это по ряду соображений. Во-первых, указанный процесс открывает новые области исследований. Во-вторых, он на редкость прост и вместе с тем приводит к возникновению огромного числа новых форм, почти не поддающихся перечислению. Проявив достаточную настойчивость, вы сможете обнаружить здесь сколько угодно новых тел. В-третьих, этот процесс помогает понять, что может получиться, если мы будем продолжать не грани, но ребра многогранников. Продолжение ребер в свою очередь приводит к появлению новых тел, ребрами которых будут продолженные отрезки. Простейший пример: продолжения ребер додекаэдра порождают малый звездчатый додекаэдр. Скелетная модель покажет вам это с достаточной ясностью. Многие однородные многогранники можно получить таким способом. Но не станем подробно останавливаться на этом вопросе; если угодно, попытайтесь разобраться в нем сами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной книге представлены лишь некоторые многогранные образы. Каждый, кто знаком с этой темой, сразу увидит, что здесь не рассмотрены ни бесконечные семейства призм и антипризм, ни тела, двойственные архимедовым (за исключением трех тел, о которых упоминается на стр. 16—18), ни многие другие формы. Среди двойственных архимедовым телам два заслуживают особого внимания: ромбододекаэдр и ромботриаконтаэдр. Последний приводится Канди и Роллеттом [19] вместе с его звездчатыми формами, найденными Люком. Однако эти звездчатые формы заданы лишь общим видом, без точных чертежей. Чертежи некоторых трафаретов опубликованы Дж. Д. Эде ]21[. А ведь можно продолжать грани всех подобных тел, да и вообще всех многогранников!

Теперь, несколько уяснив себе существо вопроса, вы сможете самостоятельно найти необходимые трафареты и, пользуясь описанной в данной книге технологией, строить новые

модели многогранников: ведь, помимо описанных здесь, их великое множество! Конечно, целью научного исследования является не размножение все большего числа форм, а построение соответствующей теории, определяющей и классифицирующей различные формы. Но любое научное исследование идет по индуктивному пути: прежде чем развить общую теорию, необходимо изучить отдельные примеры. При таком подходе есть надежда уловить общие принципы, которые можно будет положить в основу теории. Вот из них-то путем дедукции и вырастает теория! Многие не подозревают о том, что подобный путь характерен для математики, однако история ее изобилует примерами, подтверждающими сказанное (ср.[8]).

Так что, возвращаясь к сравнению, приведенному в предисловии, перед вами расстилается широкая дорога. Почему бы вам не продолжить путь по ней?

Ограненная форма малого звездчатого додекаэдра (по Брюкнеру).

Реберная модель икосаэдра.

Реберная модель додекаэдра.

Литература1

Многогранники

1*. Адамар Ж., Элементарная геометрия, ч. 2, М., Учпедгиз, 1958, гл. III Дополнений к ч. 2 и Прибавление F.

2*. Перепелкин Д. И., Курс элементарной геометрии, ч. 2, М.—Л., Гостехиздат, 1949, гл. XIX.

3*. Ашкинузе В. Г., Многоугольники и многогранники, Энциклопедия элементарной математики, кн. IV (Геометрия), М., Физматгиз, 1963, стр. 382— 447.

4. Кокстер Г. С. М., Введение в геометрию, М., изд-во «Наука», 1966, гл. 10.

5. Люстерник Л. А., Выпуклые фигуры и многогранники, М., Гостехиздат, 1956.

6*. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М., Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. 3, Геометрия (стереометрия), М., Гостехиздат, 1954, цикл задач 2.

7. Евклид. Начала, т. III, M.—Л., Гостехиздат, 1950, кн. XI—XII.

8. Пойа Д., Математика и правдоподобные рассуждения, М., ИЛ, 1957.

9* Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М.—Л., Гостехиздат, 1950.

10. Brückner M., Vielecke und Vielflache, Leipzig, Tuebner, 1900.

11*. Grünbaum В., Convex Polytopes, Lnd. — N. Y. — Sydney, Interscience Publ., 1967.

Правильные и родственные им многогранники

12. Штейнгауз Г., Математический калейдоскоп, М. — Л., Гостехиздат, 1949; см. также Steinhaus H., Mathematical Snapshots, 2nd ed., Lnd., Oxford Univ. Press, 1960.

13. Гильберт Д., Кон-Фоссен С, Наглядная геометрия, М.—Л., Гостехиздат, 1951.

14*. Фейеш Тот Л., Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, М., Физматгиз, 1958.

15. Сохеter H. S. M., Polyhedra, Ch. 5 в книге Ball W. W. R., Mathematical Recreations and Essays, N. Y. — Lnd., Macmillan, 1965.

16. Coxeter H. S. M., Regular Polytopes, 3rd ed., N. Y., Dover Publ., 1973.

17. Coxeter H. S. M., Du Va1 P., Fiather H.T., Pétrie J. F., The fifty-nine Icosahedra, Toronto, Univ. Toronto Press, 1951.

18. Coxeter H. S. M., Longuet-Higgins M. S., Mi11er J. C. P., Uniform Polyhedra, Phili Trans., 246A, 401 -450 (1954).

19. Cundy H. M., Rollett A. P., Mathematical Models, 2nd ed., Lnd., Oxford Univ. Press, 1961.

20*. Holden A., Shapes, Space and Symmetry, N. Y. — Lnd., Columbia Univ. Press, 1971.

21. Ede J. D., Rhombic Triacontahedra, Math. Gazette, XLH, № 340, 98—100 (1958).

22. Wenninger M. J., Some Interesting Octahedral Compounds, Math. Gazette, LII, № 379, 16—23 (1968).

23. Wenninger M. J., Polyhedron Models for the Classroom., N. С T. M. Publ., 1966.

24*. Коши О., Исследование о многогранниках, УМН (старая серия), X, 5—17 (1944); Кэли А., О четырех новых правильных телах Пуансо, там же, стр. 18—21; Стрингем В. И., Правильные фигуры в /î-мерном пространстве, там же, стр. 22—23.

25*. Ашкинузе В. Г., О числе полуправильных многогранников, сб. «Математическое просвещение» (новая серия), вып. 1, М., Гостехиздат, 1957, стр. 107—118.

26*. Гамаюнов В., Поход за звездами. Знание —сила, № 2, стр. 58—59, 1973; Архитектура, как общетеоретическая часть художественного конструирования. Сб. трудов МГПИ им. Ленина, вып. 2. М., 1974.

См. также [1], гл. III Дополнений к ч. 2 и Прибавление Е; [2—5]; [6], цикл задач 3; [7], кн. XIII; [8].

Симметрия

27*. Вейль Г., Симметрия, М., изд-во «Наука», 1968.

28*. Вигнер Е., Этюды о симметрии, М., изд-во «Мир», 1971.

1 Звездочкой помечены ссылки на книги и статьи, отсутствующие в библиографии английского оригинала книги.

29*. Шубников А. В., Копцик В. А., Симметрия в науке и искусстве, М., изд-во «Наука», 1972.

30*. Банн Ч., Кристаллы; их роль в природе и науке, М., изд-во «Мир», 1970.

31*. Speiser A., Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 4 Aufl., Basel, Birkhäuser Verlag, 1956.

32*. Fejes Tôth L., Regular Figures, Lnd. — N. Y., Pergamon Press, 1964

33*. Гарднер М., Этот правый, левый мир, М„ изд-во «Мир», 1967.

34*. Мальцев А. И., Группы и другие алгебраические системы, в книге «Математика, ее содержание, методы и значение», т. III, M., изд-во АН СССР, 1956, стр. 248—251.

35*. Александров П. С, Введение в теорию групп, М., Учпедгиз, 1938.

36*. Виленкин Н. Я., Яглом И. М., Теория групп и школьная математика, сб. «Новое в школьной математике», М., изд-во «Знание», 1972, стр. 114— 146.

37*. Рыдник В., От ромашки до антимира, М., изд-во «Детская литература», 1971.

См. также [4], гл. 4; 12; 13; 15.

Однородные многогранники и книга М. Веннинджера

Книга, с которой вы только что познакомились, посвящена многогранникам. Ее страницы заполняют фотографии и рисунки, изображающие разнообразные многогранные тела — сравнительно простые на первых страницах, но постепенно доходящие до весьма изысканных форм, которые непросто даже вообразить, не говоря уж об изготовлении соответствующих моделей. С другой стороны, многогранники принадлежат к числу объектов, которые изучает геометрия — наука, знакомая всем нам еще со школьной скамьи. Исходя из этого, казалось бы естественным отнести книгу «Модели многогранников» к сочинениям геометрического содержания и считать, что перед нами научно-популярная книга по геометрии. Однако такой подход к книге, которую вы держите сейчас в руках, представляется мне не совсем правильным. Несколько заостряя вопрос, можно сказать, что к науке геометрии книга Веннинджера имеет примерно такое же отношение, как альбом рисунков зверей — к науке зоологии или знаменитая картина Рафаэля «Афинская школа» — к науке философии: ведь автор в ней ничего не доказывает, а предмет геометрии составляют именно доказательства, позволяющие чисто логическим путем выводить одни геометрические факты из других, известных нам ранее. Поэтому, как мне кажется, книгу «Модели многогранников» надо рассматривать просто как альбом, в котором собраны изображения удивительно красивых пространственных форм. Показ фотографий сопровождается практическими указаниями по моделированию собранных форм, причем указаниями весьма прозаическими: в них указывается, в каком порядке следует изготавливать отдельные детали той модели, которую вам захотелось подержать в руках, и как целесообразнее всего склеивать между собой эти детали.

Разумеется, ребенок, перелистывающий красочный альбом с изображениями зверей или прогуливающийся по зоопарку, может впоследствии всерьез заинтересоваться животными и стать выдающимся зоологом, а изображенные на картине Рафаэля философы, возможно, и в самом деле побудят кого-либо к занятиям философией. Но и в том случае, если этого не произойдет (а таких случаев, конечно, — большинство), прогулка по зоосаду или разглядывание картины великого художника не только доставляют нам эстетическое наслаждение, но и расширяют наш кругозор. Сходное значение, как мне кажется, имеет и изучение этой любопытной книги, причем она, бесспорно, доставит удовольствие и окажется небезынтересной даже для тех читателей, кто отнюдь не намерен заниматься изготовлением рассмотренных в ней моделей. Но особую пользу книга Веннинджера принесет всем тем, кто вслед за автором захочет собственноручно смастерить кое-какие из описанных моделей (выпуклых и звездчатых) многогранных форм.

Обращаясь именно к этой категории читателей (причем здесь легко представить себе и «коллективного умельца», пытающегося воплотить в жизнь описанные Веннинджером модели, — например, группу школьников, работающую под руководством учителя математики, черчения или труда), позволю себе сделать несколько рекомендаций. Модели проще всего делать из белых листков картона или плотной бумаги (для этой цели могут подойти, в частности, библиографические карточки — они иногда продаются), раскрашивая отдельные заготовки в разные цвета (здесь я рекомендовал бы использовать темперу). Следует также тщательно выбрать клей - он должен быст-

ро засыхать и не образовывать комков. Постарайтесь выбрать самую плотную цветную бумагу — тогда модель не будет мяться. Можно использовать для изготовления моделей и продающиеся в писчебумажных магазинах наборы цветной бумаги; однако в таком случае бумагу эту следует наклеить на более плотные белые листы, так как иначе полученные вами модели окажутся недостаточно прочными и будут легко сминаться.

Как уже было сказано выше, чтобы получить удовольствие от книги Веннинджера, вовсе не обязательно проявлять серьезный интерес к геометрии. Однако и тем, кто по-настоящему увлечен этим предметом, книга доставит не меньшее удовольствие. В списке литературы, приведенном в конце книги, читатель найдет ряд сочинений, позволяющих ознакомиться с началами геометрической теории многогранников', рекомендую начать с элементарных учебников [1] и [2]. В рассчитанном на учащихся средней школы сборнике геометрических задач [6] (сопровождаемых собранными в конце книги подробными решениями) теории многогранников также уделено весьма много места. Более серьезными по содержанию являются статья [3] и сочинение [4] автора предисловия к настоящей книге, выдающегося канадского геометра Гарольда С. М. Кокстера (правильнее было бы сказать Коксетера, но у нас, к сожалению, укоренилась неточная транскрипция фамилии этого ученого); однако и они, на мой взгляд, вполне доступны любознательному читателю, пусть обладающему лишь школьной подготовкой.

Следует отметить, что зародившаяся еще в Древней Греции (а может быть, и того раньше) теория многогранников переживает ныне период нового расцвета. Чтобы убедиться в сказанном, достаточно сравнить две книги: вышедшую в 1950 году и сегодня относимую чуть ли не к «математической классике» монографию А. Д. Александрова [9], подытожившую большой этап развития соответствующей теории, и почти одноименную с ней обширную монографию Б. Грюнбаума [11], увидевшую свет в 1967 году и в определенном смысле знаменующую собой новый этап: список литературы к последней книге содержит около 450 названий, большая (!) часть которых относится к 60-м годам нашего столетия (причем в ряде важных аспектов книгу Грюнбаума уже сегодня можно считать устаревшей). Этот неожиданный «взрыв» интереса к древним многогранникам в значительной степени объясняется новыми применениями, которые получила теория (выпуклых) многогранников в математической экономике и в имеющей в наши дни чисто прикладной характер теории графов. Наряду с этим существенную роль сыграло здесь также типичное для современной математики «смещение акцентов» по сравнению с первой половиной текущего столетия. Сейчас на авансцену математической науки выдвинулись весьма далекие от дифференциального и интегрального исчисления (составляющего ядро математики в XVII — XIX веках) «конечные», или «дискретные», объекты, примером которых могут служить и многогранники, задаваемые указанием конечного числа своих элементов (вершин, ребер и граней) и иногда довольно сложной системой «инцидентностей» этих элементов (то есть указаниями о принадлежностях вершин ребрам, вершин — граням и ребер — граням)1.

1 Характерно, что сходный с теорией многогранников расцвет переживают сегодня комбинаторика и теория чисел, также весьма далекие от «главных направлений» математики прошлого столетия.

Даже весьма бегло просмотревший книгу «Модели многогранников» читатель сразу же отметит, что ее автора интересуют отнюдь не все многогранники, а лишь самые «красивые» из них. Разумеется, субъективное представление о красоте не поддается пока математической формализации (и, надо надеяться, полная формализация здесь никогда не будет достигнута!); однако для нашего времени характерно «нащупывание» первых подходов к «математизированному» описанию понятия «красивого»1. В частности, красота рассматриваемых Веннинджером правильных и полуправильных (однородных) многогранников (а также других многогранников, близких к однородным), бесспорно, связана с высокой степенью их «симметричности». Симметрия же пространственных форм сегодня является чисто математическим понятием: она задается совокупностью всех самосовмещений данной формы, иными словами, всех движений, переводящих форму в себя. По этому поводу читателя можно отослать в первую очередь к замечательной книге одного из основоположников современной математики и математического естествознания Германа Вейля [27], а также к более близким к теме о «моделях многогранников» сочинениям [29] и [30]. Во всех указанных книгах достаточно подробно говорится о связи понятий «красота» и «симметрия»2 и обсуждаются факторы, частично поясняющие причины привлекательности изображенных на страницах данной книги моделей.

Видимо, именно эстетические соображения определили большой интерес к правильным и полуправильным телам античных авторов: Платона, по имени которого выпуклые правильные многогранники зачастую (впрочем, без достаточных к тому оснований) называются «Платоновыми телами»; Евклида, уделившего этим телам очень большое место в своих «Началах»3; Архимеда, впервые перечислившего все выпуклые полуправильные многогранники (которые с тех пор называются «архимедовыми телами»); Паппа и др. Эстетическая же привлекательность рассматриваемых тел в совсем другой исторический период вызвала пристальное к ним внимание прославленного Иоганна Кеплера (впервые восстановившего математическое содержание утерянного трактата Архимеда о полуправильных телах4): Кеплер пытался объяснить строение Вселенной исходя из принципов целесообразности и красоты (что не слишком, кстати сказать, отличается от научных воззрений нашего времени, хотя основные предпосылки современных ученых далеко ушли от кеплеровского мистицизма) — и в этой связи многократно возвращался к правильным телам.

Хорошо известно, что размышления Кеплера относительно строения солнечной системы, в итоге приведшие к знаменитым «законам Кеплера», начались с попытки (впоследствии оказавшейся неудачной) связать само число известных к тому времени планет солнечной системы, а также расстояния этих планет от Солнца с пятью правильными многогранниками: согласно первому (и, несмотря на всю его ошибочность, замечательному) сочинению Кеплера «Предвестник космогра-

1 Ср., например, Моль А., Теория информации и эстетическое восприятие, M., изд-во «Мир», 1966.

2 Специально этой теме посвящена, например, статья: Береснева В. Я., Яглом И. М., Симметрия и искусство орнамента, сб. «Ритм, пространство и время в литературе и искусстве», Л., изд-во «Наука», 1974, стр. 274—289.

3 Это обстоятельство дало основание известному английскому ученому У. Д'Арси Томпсону как-то шутливо заявить, что «Начала» Евклида представляют собой просто сочинение о пяти правильных многогранниках, которое, однако, оказалось несколько растянутым, поскольку автор задался целью предварительно сообщить читателю все необходимые для понимания основной темы сведения.

4 По этому поводу см. [7], стр. 320—326.

фических исследований, содержащий космографическую тайну» («Prodromos Dissertationum Cosmographicarum, Contiens Mysterium Cosmographicum», 1596), орбиты всех планет солнечной системы расположены на сферах, которые последовательно вписаны в одни правильные тела и описаны вокруг других (в сферу, на которой лежит орбита Сатурна, вписан куб; в этот куб вписана «сфера Юпитера»; в последнюю вписан правильный тетраэдр, а в него — «сфера Марса» и т. д.) — в этом-то, по Кеплеру, и заключается «космографическая тайна»1. В предисловии к настоящей книге Кокстер цитировал замечательный как по содержанию, так и по литературной форме трактат Кеплера «О снежинке, или Новогодний дар» («Mathematice Sterna Seu De Nive Sexangula», 1611), в котором были предвосхищены многие идеи современной геометрии и в котором правильные многогранники «обыгрываются» весьма широко. Наконец в своем основном труде — многотомной «Гармонии мира» («Harmonices Mundi» в 5 книгах; 1619) — Кеплер впервые указал на существование правильных звездчатых многогранников (полная теория их изложена в гораздо более поздних по времени статьях О. Коши и А. Кэли [24]).

Новая волна интереса к правильным многогранникам и родственным им телам2 сегодня связана с той ролью, которую в современной науке играют соображения симметрии (об этом говорится, например, в вводной статье к книге [27], а также в [28] и [33]). Существенным здесь оказался и чисто прикладной аспект учения о «правильных телах» и свойственных им системах симметрии, связанный с кристаллографией (см. [29] или [30]). Курьезным проявлением этого интереса явилось независимое открытие несколькими учеными в разных странах «дополнительного» полуправильного тела, видимо, не замеченного ни Архимедом, ни Кеплером, благодаря чему был устранен существовавший 2000 лет досадный пробел в теории этих тел (по этому поводу см. подстрочное примечание на стр. 37)3. Любопытно также отметить почти одновременное появление в наши дни двух весьма близких сочинений о правильных и полуправильных многогранниках, их выпуклых и звездчатых формах: я имею в виду книгу Веннинджера «Модели многогранников» и несколько более «математичную» книгу американского ученого Алана Холдена [20].

Не миновал интерес к соответствующим пространственным образам также и нашу страну, о чем свидетельствуют, например, недавние статьи [26] (автор которых, видимо, ранее был незнаком ни с настоящей книгой, ни с книгой Холдена). Ясно, что характерный для нашего времени широкий интерес к «правильным телам» в наиболее общем понимании этого термина никак нельзя объяснить только чисто декоративным значением соответствующих пространственных форм, о котором по преимуществу говорит Веннинджер в предисловии к настоящей книге: этот интерес имеет более глубокие основания, кото-

1 См., например, Белый Ю. А., Иоганн Кеплер, M., изд-во «Наука», 1971, стр. 38—46, в частности, приведенный в книге рисунок из «Космографической тайны» Кеплера, на котором изображены правильные многогранники.

2 О них см., например, [1 —8], [13], [14] и др. Более серьезные изложения этой же темы содержатся в монографиях [16] и [32], большой успех которых в наши дни весьма знаменателен.

3 Следует, однако, заметить, что пробел этот имеет достаточно естественное объяснение: если исходить из указанного на стр. 12 определения полуправильных многогранников (которое идет от Архимеда и Кеплера), то придется считать, что В. Г. Ашкинузе, С. Билински и др. действительно обнаружили новое (14-е!) тело Архимеда. Однако с точки зрения более глубоких соображений симметрии (которыми, видимо, инстинктивно руководствовались древние авторы), этот многогранник можно и не причислять к «полуправильным» телам.

рые, однако, вовсе не обязательно в полной мере осознать читателю, пожелавшему перелистать страницы предлагаемой его вниманию книги1.

Чему же сможет научиться читатель, внимательно изучивший собранные в настоящей книге-альбоме пространственные формы или даже попытавшийся самостоятельно изготовить те или иные из описанных в ней моделей? Прежде всего, книга будет способствовать развитию его «пространственного видения»: в частности, внимательно изучившему книгу будущему инженеру в дальнейшем не покажутся сложными никакие технические механизмы. Но гораздо более важным кажется мне то, что потенциальный читатель этой книги научится многосторонне воспринимать имеющую огромное общеобразовательное значение идею симметрии — и это независимо от того, знаком он с математическим определением симметрии или нет. Кроме того, читатель (особенно «активный» читатель, который воспримет книгу как «руководство к действию») научится распознавать (и создавать) ту «холодную» красоту многогранных (или «кристаллических»2) форм, которую с известным основанием можно рассматривать как «прообраз» красоты вообще и о которой с таким волнением говорил видный английский кристаллограф Чарлз Банн ([30], стр. 92):

«Кристаллические формы, исключительно примитивные с точки зрения художника, во всяком случае несут в себе нечто от эстетической привлекательности простоты: изучая эти элементарные формы, мы как бы приближаемся к самим основам понятия формы; пытаясь же понять принципы их строения, мы узнаем нечто о природе пространства, о мире, в котором мы живем. В нашем восприятии кристаллических форм есть нечто общее с впечатлением от египетских сфинксов или пирамид (огромная сила эстетического воздействия которых заключена в строгости их очертаний и в простоте) и что-то созвучное нашему отношению к суровости чистой математики».

Так, может быть, это не так уж и мало?

И. Яглом

1 В частности, читатель вовсе не должен вникать в круг глубоких научных проблем, связанных с часто встречающимся в книге Веннинджера понятием энантиоморфности (быть может, этот термин следовало бы перевести как «зеркальность»), означающим, попросту говоря, что рассматриваемые пространственные образы имеют ту же степень сходства и различия, что и ваша левая и правая руки. Тех же, кого заинтересует эта проблематика, мы отсылаем к доступной книге [33] (кое-что на эту тему имеется и в обращенной к школьникам средних классов книге [37]) или к замечательной (но отнюдь не простой) книге одного из классиков современного естествознания Вигнера [28].

2 Заметим, что все кристаллы имеют формы многогранников, причем зачастую — многогранников довольно замысловатого строения.

Содержание

От автора ............ 7

Предисловие ........... 9

ВВЕДЕНИЕ

Однородные многогранники .... 11

Математическая классификация 14

I. ВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ МНОГОГРАННИКИ. ПЛАТОНОВЫ И АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА

Общие указания по изготовлению моделей............ 22

1. Тетраэдр ........... 24

2. Октаэдр............ 25

3. Гексаэдр (куб)......... 26

4. Икосаэдр........... 27

5. Додекаэдр........... 29

6. Усеченный тетраэдр...... 30

7. Усеченный октаэдр ...... 31

8. Усеченный гексаэдр (куб) .... 32

9. Усеченный икосаэдр...... 33

10. Усеченный додекаэдр ..... 34

II. Кубооктаэдр ......... 35

12. Икосододекаэдр........ 36

13. Ромбокубооктаэдр....... 37

14. Ромбоикосододекаэдр..... 38

15. Ромбоусеченный кубооктаэдр . 39

16. Ромбоусеченный икосододекаэдр 40

17. Курносый куб......... 41

18. Курносый додекаэдр...... 42

II. НЕКОТОРЫЕ ЗВЕЗДЧАТЫЕ ФОРМЫ И СОЕДИНЕНИЯ

Замечания о звездчатых формах и соединениях платоновых тел . . 44

19. Звездчатый октаэдр (stella octangula Кеплера)......... 47

20. Малый звездчатый додекаэдр 48

21. Большой додекаэдр..... 49

22. Большой звездчатый додекаэдр 50

Замечания о звездчатых формах икосаэдра.......... 51

23. Соединение пяти октаэдров . . 53

24. Соединение пяти тетраэдров . . 54

25. Соединение десяти тетраэдров 55

26. Первая звездчатая форма икосаэдра ............ 56

27 Вторая звездчатая форма икосаэдра ........... 57

28. Третья звездчатая форма икосаэдра ............ 58

29. Четвертая звездчатая форма икосаэдра ............ 59

30. Пятая звездчатая форма икосаэдра ............ 61

31. Шестая звездчатая форма икосаэдра ............ 63

32. Седьмая звездчатая форма икосаэдра ............ 64

33. Восьмая звездчатая форма икосаэдра ............ 65

34. Девятая звездчатая форма икосаэдра ............ 66

35. Десятая звездчатая форма икосаэдра ............ 67

36. Одиннадцатая звездчатая форма икосаэдра........... 70

37. Двенадцатая звездчатая форма икосаэдра........... 71

38. Тринадцатая звездчатая форма икосаэдра........... 72

39. Четырнадцатая звездчатая форма икосаэдра ......... 73

40. Пятнадцатая звездчатая форма икосаэдра........... 74

41. Большой икосаэдр....... 75

42. Завершающая звездчатая форма икосаэдра........... 77

Замечания о звездчатых формах архимедовых тел ....... 79

43. Соединение куба и октаэдра . . 82

44. Вторая звездчатая форма кубооктаэдра ........... 83

45. Третья звездчатая форма кубооктаэдра ........... 84

46 Завершающая звездчатая форма кубооктаэдра ......... 85

Замечания об икосододекаэдре ... 87

47. Первая звездчатая форма икосододекаэдра ......... 90

48. Вторая звездчатая форма икосододекаэдра ......... 91

49. Третья звездчатая форма икосододекаэдра ......... 92

50. Четвертая звездчатая форма икосододекаэдра ......... 93

51. Пятая звездчатая форма икосододекаэдра ......... 94

52. Шестая звездчатая форма икосододекаэдра ......... 95

53. Седьмая звездчатая форма икосододекаэдра ......... 96

54. Восьмая звездчатая форма икосододекаэдра ......... 97

55. Девятая звездчатая форма икосододекаэдра ......... 98

56. Десятая звездчатая форма икосододекаэдра ......... 99

57. Одиннадцатая звездчатая форма икосододекаэдра........ 100

58. Двенадцатая звездчатая форма икосододекаэдра........ 101

59. Тринадцатая звездчатая форма икосододекаэдра........ 103

60. Четырнадцатая звездчатая форма икосододекаэдра...... 104

61. Соединение большого звездчатого додекаэдра и большого икосаэдра........... 105

62. Пятнадцатая звездчатая форма икосододекаэдра........ 100

63. Шестнадцатая звездчатая форма икосододекаэдра........ 107

64. Семнадцатая звездчатая форма икосододекаэдра........ 108

65. Восемнадцатая звездчатая форма икосододекаэдра........ 109

66. Завершающая звездчатая форма икосододекаэдра 110

III. НЕВЫПУКЛЫЕ ОДНОРОДНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Замечания ............ 114

Общие указания по изготовлению моделей невыпуклых однородных многогранников........ 116

67. Тетрагемигексаэдр....... 118

68. Октагемиоктаэдр....... 120

69. Малый кубокубооктаэдр .... 121

70. Малый битригональный икосододекаэдр .......... 123

71. Малый икосоикосододекаэдр 125

72. Малый додекоикосододекаэдр . 127

73. Додекододекаэдр....... 129

74. Малый ромбододекаэдр ... 130

75. Усеченный большой додекаэдр 132

76. Ромбододекододекаэдр .... 133

77. Большой кубокубооктаэдр 135

78. Кубогемиоктаэдр....... 137

79. Кубооктоусеченный кубооктаэдр 138

80. Битригональный додекаэдр . . 140

81. Большой битригональный додекоикосододекаэдр ....... 142

82. Малый битригональный додекоикосододекаэдр ........ 143

83. Икосододекододекаэдр .... 145

84. Икосододекоусеченный икосододекаэдр .......... 147

85. Квазиромбокубооктаэдр ... 149

86. Малый ромбогексаэдр .... 151

87. Большой битригональный икосододекаэдр ......... 152

88. Большой икосоикосододекаэдр 154

89. Малый икосогемидодекаэдр . 157

90. Малый додекоикосаэдр ... 158

91. Малый додекогемидодекаэдр 160

92. Квазиусеченный гексаэдр . . 161

93. Квазиусеченный кубооктаэдр 163

94. Большой икосододекаэдр ... 1о5

95. Усеченный большой икосаэдр . 166

96. Ромбоикосаэдр........ 167

97. Квазиусеченный звездчатый додекаэдр ........... 169

98. Квазиусеченный додекаэдр 170

99. Большой додекоикосододекаэдр 172

100. Малый додекогемиикосаэдр . . 173

101. Большой додекоикосаэдр ... 174

102. Большой додекогемиикосаэдр . 176

103. Большой ромбогексаэдр ... 177

104. Квазиусеченный большой звездчатый додекаэдр....... 179

105. Квазиромбоикосододекаэдр . . 180

106. Большой икосогемидодекаэдр . 183

107. Большой додекогемидодекаэдр 184

108. Большой квазиусеченный икосододекаэдр ......... 185

109. Большой ромбододекаэдр . . 187

Замечания о невыпуклых курносых многогранниках ....... 190

110. Малый курносый икосододекаэдр ............ 191

111. Курносый додекододекаэдр . . 193

112. Курносый икосододекододекаэдр ............. 196

113. Большой вывернутый курносый икосододекаэдр........ 198

114. Вывернутый курносый додекододекаэдр .......... 199

115. Большой курносый додекоикосододекаэдр ......... 202

116. Большой курносый икосододекаэдр ............ 205

117. Большой вывернутый обратнокурносый икосододекаэдр . . . 209

118. Малый вывернутый обратнокурносый икосоикосододекаэдр 215

119. Большой биромбоикосододекаэдр ............ 221

Последние замечания....... 225

Заключение............ 226

Литература............ 228

И. Яглом. Однородные многогранники и книга М. Веннинджера 230

M. Веннинджер

МОДЕЛИ МНОГОГРАННИКОВ

Редактор И. Хидекель

Художник А. Шипов

Художественный редактор Ю. Максимов

Технический редактор Е. Потапенкова

Корректор В. Постнова

Сдано в набор 21/1 1974 г. Подписано к печати 26/VI 1974 г. Бумага офсетн. № 1 70 X 108i/6 = = 7,50 бум. л. Печ. л. усл. 21,00. Уч.-изд. л. 16,39. Изд. № 21/7145. Цена 1 р. 36 к. Зак. № 731

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Ярославль, ул. Свободы, 97.

M. ГАРДНЕР

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НОВЕЛЛЫ

Перевод с английского

Издательство «Мир»

Москва

1974 г.

«Математические новеллы» — третья встреча нашего читателя литературы по занимательной математике с известным американским популяризатором науки Мартином Гарднером. Как и в двух предыдущих книгах («Математические головоломки и развлечения», «Мир», 1971 и «Математические досуги», «Мир», 1972), в ней собраны не только очерки на самые разнообразные математические темы, но и увлекательные задачи из области комбинаторной геометрии, теории множеств, математические задачи, решение которых связано с применением физических идей, разнообразные игры, фокусы.

Г. ШТЕЙНГАУЗ

ЗАДАЧИ И РАЗМЫШЛЕНИЯ

Перевод с польского

Издательство «Мир»

Москва

1974 г.

В книге «Задачи и размышления» замечательного польского математика Гуго Штейнгауза любителей занимательной математики ожидают встречи с новыми задачами, в том числе с задачами «доктора всех математических наук» Сильвестра Шарадека, занимательное введение в теорию вероятностей «Орел или решка?» и популярные статьи о взаимосвязи математики с другими науками и ее роли в современном мире.

С. В. ГОЛОМБ

ПОЛИМИНО

Перевод с английского

Издательство «Мир»

Москва

1975 г.

Книга известного ученого, специалиста в области теории информации и статистики, С. В. Голомба «Полимино» пользуется заслуженным успехом у любителей занимательной математики во всем мире. В ней собраны задачи, связанные с укладкой наборов специальных фигурок на шахматных и сходных с ними досках. Полимино — простейший частный случай таких фигур. Решение задач не предполагает специальных знаний, но требует определенной изобретательности.