ТРУДЫ ПО НЕМАТЕМАТИКЕ

КНИГА

2

ФИЛОСОФИЯ

Владимир А. Успенский

На фото (слева направо):

М. Е. Гайдар, В. А. Успенский и Д. Б. Зимин 18 января 2010 года на сцене Театрального центра на Страстном бульваре во время Церемонии вручения премии «Просветитель».

ТРУДЫ ПО НЕМАТЕМАТИКЕ

КНИГА

2

Владимир Андреевич Успенский

ТРУДЫ ПО НЕМАТЕМАТИКЕ

Второе издание, исправленное и дополненное

В пяти книгах

МОСКВА

ОБЪЕДИНЁННОЕ ГУМАНИТАРНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ФОНД «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЭТЮДЫ»

Владимир Андреевич Успенский

ТРУДЫ ПО НЕМАТЕМАТИКЕ

Книга вторая

ФИЛОСОФИЯ

с приложением трёх писем Н. Л. Трауберг к автору

МОСКВА

ОБЪЕДИНЁННОЕ ГУМАНИТАРНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ФОНД «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЭТЮДЫ»

2014

УДК 80 ББК 72.3 У77

Успенский В. А.

У77 Труды по нематематике / В. А. Успенский. — 2-е изд., испр. и доп. : В 5 кн. — М. : ОГИ : Фонд «Математические этюды», 2012— .

ISBN 978-5-94282-674-1

Кн. 2 : Философия (с приложением трёх писем Н. Л. Трауберг к автору). — 2014. — 566 с.

ISBN 978-5-94282-676-5

«Труды по нематематике» в пяти книгах содержат нематематические сочинения профессора математики В. А. Успенского, заведующего кафедрой математической логики и теории алгоритмов Механико-математического факультета Московского университета.

Во вторую книгу «Философия» включены философские сочинения автора при достаточно широком понимании термина «философия». Читатель найдёт здесь статьи, затрагивающие как логику Аристотеля и семантику Фреге, так и философию математики (включая философию её преподавания), и этику, и социологию, и кибернетику. В качестве приложений помещены написанная специально для этой книги статья А. Х. Шеня о философии и три письма Н. Л. Трауберг к автору.

УДК 80 ББК 72.3

ISBN 978-5-94282-674-1

ISBN 978-5-94282-676-5 (кн. 2)

© В. А. Успенский, 2014

© ОГИ, 2014

© Фонд «Математические этюды», 2014

Cognosco ergo sum1.

Наука умеет много гитик.

Ключ к карточному фокусу.

Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий. Козьма Прутков.

Усвоение преподанного зависит от привычек слушателя; какие у нас сложились привычки, такого изложения мы и требуем, и то, что говорят против обыкновения, кажется неподходящим, а из-за непривычности — более непонятным и чуждым, ибо привычное более понятно. А какую силу имеет привычное, показывают законы, в которых то, что выражено в форме мифов и по-детски просто, благодаря привычке имеет большую силу, нежели знание самих законов. Одни не воспринимают преподанного, если излагают математически, другие — если не приводят примеров, третьи требуют, чтобы приводилось свидетельство поэта. И одни хотят, чтобы всё излагалось точно, а других точность тяготит или потому, что они не в состоянии связать [одно с другим], или потому, что считают точность мелочностью. В самом деле, есть у точности что-то такое, из-за чего она как в делах, так и в рассуждениях некоторым кажется низменной. Поэтому надо приучиться к тому, как воспринимать каждый предмет, ибо нелепо в одно и то же время искать и знание, и способ его усвоения. Между тем нелегко достигнуть даже и одного из них.

А математической точности нужно требовать не для всех предметов, а лишь для нематериальных. Вот почему этот способ не подходит для рассуждающего о природе, ибо вся природа, можно сказать, материальна.

Аристотель. Метафизика, книга 2, глава 3.

1 Познаю, следовательно существую (лат.).

Оглавление

Предисловие к книге 2 «Философия» ......... 15

Из предуведомления от автора [к первому изданию «Трудов по НЕматематике»] .............. 19

I. Как возникло это издание ............... 19

II. Почему у этого издания такое название........ 21

III. Что входит в состав этого издания .......... 22

IV. Как устроено это издание ............... 24

Гуманитарное и математическое: преодоление барьера ... 25

Публикуется с изменением названия и с небольшой редактурой по тексту брошюры: Математическое и гуманитарное: преодоление барьера. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 48 с. Первая, журнальная публикация: Математическое и гуманитарное: преодоление барьера // Знамя. — 2007. — № 12. — С. 165—173.

I ..... 25

VII ... . 39

XIII .... 50

II..... 26

VIII .... 42

XIV ... . 55

III .... 29

IX .... 42

XV ... . 56

IV .... 31

X..... 43

XVI ... . 57

V..... 34

XI .... 46

Эпилог . . 59

VI .... 37

XII ... . 48

Приложение 61

Из брошюры «Простейшие примеры математических доказательств» ........................... 65

Простейшие примеры математических доказательств. — (Библиотека «Математическое просвещение»; Вып. 34). — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 56 с.

Математика и доказательства ............. 65

Индукция........................ 70

Доказательства методом математической индукции (70). Полная индукция и неполная индукция (73).

Два аксиоматических метода — неформальный и формальный 75

Неформальный аксиоматический метод (75). Формальный аксиоматический метод (78).

Теорема Гёделя..................... 80

Что такое доказательство?.................. 82

Начальный параграф статьи: Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней // Математическое просвещение. — Третья серия. — Вып. 15. — М.: МЦНМО, 2011. —С. 35—39.

Математика в системе наук ................. 88

Интервью взято 2 марта 2009 года. Интервьюер — Л. Ф. Борусяк. Опубликовано на сайте «Полит.ру» http://polit.ru/anticle/ 2009/08/06/videon_lb_uspensky/print/.

Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике ............................ 109

Журнальная публикация: Новый мир. — 2007. — № 12. — С. 131 — 139 (в качестве гл. 8 статьи автора «Апология математики, или О математике как части духовной культуры»). Полная публикация в книге: В. А. Успенский. Апология математики: Сборник статей. — 2-е изд., испр. — СПб.: Амфора, 2012. — С. 137—164 (в качестве гл. 8 статьи «Апология математики»).

Массовые задачи и алгоритмы................ 129

Журнальная публикация: Новый мир. — 2007. — № 11. — С. 146—149 (в качестве гл. 6 статьи «Апология математики, или О математике как части духовной культуры»). Полная публикация в книге: В. А. Успенский. Апология математики: Сборник статей. — 2-е изд., испр. — СПб.: Амфора, 2012. — С. 109—115 (в качестве гл. 6 статьи «Апология математики»).

Ватсон против Холмса.................... 135

Журнальная публикация: Новый мир. — 2007. — № 11. — С. 127—131 (в качестве гл. 1 статьи «Апология математики, или О математике, как о части духовной культуры»). Полная публикация в книге: В. А. Успенский. Апология математики: Сборник статей. — 2-е изд., испр. — СПб.: Амфора, 2012. — С. 42—52 (в качестве гл. 1 статьи «Апология математики»).

Примечания ...................... 142

Из статьи «Закон исключённого третьего и закон двойного отрицания».......................... 146

Полностью статья опубликована в качестве комментария к циклу работ А. Н. Колмогорова по интуиционистской логике в книге: А. Н. Колмогоров. Избранные труды: В 6 т. — Т. 1: Математика и механика / Сост. В. М. Тихомиров; Отв. ред. А. Н. Ширяев. — М.: Наука, 2005. — С. 445—454. (Соавтор: Валерий Егорович Плиско.)

I. Колмогоров и конструктивизм ............. 146

II. Общая логика суждений................ 149

III. Частная логика суждений ............... 151

IV. Аксиома двойного отрицания как диагностическая формула .......................... 152

V. Границы применимости закона исключённого третьего 154 Литература....................... 155

Разговор о книге Е. Ф. Сабурова «Власть отвратительна» . 157

Разговор состоялся 30 июля 2002 года. Собеседники: В.Н.Некрасов, В.А.Успенский, М.Б.Ходорковский. Опубликовано в интернет-проекте «Русский журнал» http://old.nuss.ru/ist_sovn/ 20021017_stol.html. А также в книге Е. Ф. Сабуров. Власть отвратительна. — М.: ГУ ВШЭ, 2003. — С. 136—158.

Предисловие автора настоящей книги......... 157

Примечания ...................... 174

Из книги «Что такое аксиоматический метод?»....... 179

В. А. Успенский. Что такое аксиоматический метод?. — 2-е изд., испр. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 95 с.

§ 1. Что такое аксиомы .................. 179

§ 2. Аксиомы Евклида ................... 182

§ 3. Современный подход к аксиоматизации геометрии: аксиоматика Гильберта ................... 186

§15. Аксиомы метрики и аксиомы меры .......... 190

Заключительные замечания .............. 195

Добавление от декабря 2013 года ........... 196

Колмогоров.......................... 199

Опубликовано в книге: Новая философская энциклопедия: В 4 т. — Т. 2. — М.: Мысль, 2001. — С. 272—274.

Сочинения Колмогорова, имеющие философскую составляющую ........................ 203

Витгенштейн и основания математики............ 206

Опубликовано в журнале: Вопросы философии. — 1998. — № 5. — С. 85—97.

1 ..... 206

2 ..... 206

3 ..... 208

4 ..... 208

5 ..... 209

6..... 210

7 .... 211

8 .... 212

9 .... 213

10 .... 215

11 .... 216

12 .... 218

13 .... 219

14 .... 221

15 .... 223

16 .... 224

Примечания 225

Литература 226

On respecting the “otherness” of others........... 227

Без названия (но с указанием автора: Vladimir A. Uspensky) опубликовано в сборнике: Education for Global Citizenship in the 21st Century: Explorations by the USSR and the USA: Proceedings of a Soviet/American Conference on Education (October 31—November 2, 1989) organized by the College of Education, Mankato State University, Mankato, Minnesota / Edited by Elaine M. Lilly. — Mankato, Minnesota: Mankato State University, 1990. — P. 30—34.

Примечания ...................... 230

Семь размышлений на темы философии математики .... 231

Опубликовано в книге: Закономерности развития современной математики: методологические аспекты / Отв. ред. М. И. Панов. — М.: Наука, 1987. — С. 106—155.

1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается? ..................... 231

2. Можно ли определить понятие натурального числа? . 235

3. Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)? 237

4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?.......... 241

5. «Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?» ........ 256

6. Что такое доказательство?............... 265

7. Можно ли сделать математику понятной?....... 281

Литература....................... 284

Математическое приложение. Проблема континуума и языки второго порядка ............. 287

Математическая логика в вычислительных науках и вычислительной практике ...................... 290

Опубликовано в журнале: Вестник Академии наук СССР. — 1986. — № 7. — С. 93—103. (Соавтор: Алексей Львович Семёнов.)

Общие концепции, понятия, теоремы ......... 292

Языки ......................... 299

Конкретные алгоритмы и теоремы........... 301

Перспективы...................... 304

Отзыв о докторской диссертации Зураба Николаевича Микеладзе 306

Защита диссертации «Логическое учение Аристотеля с точки зрения современной формальной логики» состоялась 4 марта 1985 года в Институте философии Академии наук СССР (точнее — в Специализированном совете Д 002.29.03 при этом Институте). Учёная степень доктора философских наук присуждена З. Н. Микеладзе 13 декабря 1985 года Высшей аттестационной комиссией при Совете министров СССР.

Нестандартный анализ .................... 318

Опубликовано в журнале: Наука и жизнь. — 1984. — № 1. — С. 45—50.

Что такое бесконечно малая величина? ........ 318

Как построить гипердействительное число? ...... 321

Несколько слов об эквивалентности .......... 323

Что такое число? ................... 324

Что такое гипердействительное число? ........ 326

История и перспективы нестандартного анализа . . . 329

Добавление от февраля 2001 года ........... 331

Два параграфа из книги: В. А. Успенский. Что такое нестандартный анализ?. — М.: Физматлит, 1997. — 128 с.

§ 1. Несколько примеров.................. 331

§ 14. Существуют ли гипердействительные числа «на самом деле»? ......................... 331

Что такое парадокс?..................... 337

Опубликовано в книге: Finitis duodecim lustris: Сборник статей к 60-летию проф. Ю. М. Лотмана. — Таллин: Ээсти раамат, 1982. — С. 152—162.

1. Тезис.......................... 337

2. Антитезис ....................... 339

3. Синтез ......................... 340

Примечания ...................... 341

К публикации статьи Г. Фреге «Смысл и денотат» ..... 342

Под названием «От редакции» опубликовано в продолжающемся сборнике: Семиотика и информатика. — Вып. 8. — М.: ВИНИТИ, 1977. — С. 179—180. Повторная публикация: Семиотика и информатика. — Вып. 35. — М.: Русские словари, 1997. — С. 351—352.

Послесловие от февраля 2001 года .......... 344

Предисловие к книге Е. Я. Гика «Математика на шахматной доске» ............................ 345

Опубликовано в книге: Е. Я. Гик. Математика на шахматной доске. — М.: Наука, 1976. — С. 3—8.

Примечания ...................... 350

Предисловие к сборнику переводов «Математика в современном мире» .......................... 351

Опубликовано в книге: Математика в современном мире / Пер. с английского Н. Г. Рычковой. — М.: Мир, 1967. — С. 5—11.

К преподаванию математики в начальной школе ...... 360

Опубликовано в журнале: Математика в школе. — 1966. — № 2. — С. 36—39.

Примечания ...................... 367

Что значит решить задачу? ................. 368

Статья представляет собою первые два параграфа брошюры: В. А. Успенский. Треугольник Паскаля. — М.: Физматлит, 1966. — (Популярные лекции по математике; Вып. 43).

§ 1. Задача из VIII олимпиады ............... 368

§ 2. Что значит решить задачу ............... 371

Интуиционистская логика в трудах А. Н. Колмогорова . . . 375

Под названием «Интуиционистская логика» опубликовано в качестве комментария к циклу работ А. Н. Колмогорова по интуиционистской логике в книге: А. Н. Колмогоров. Избранные труды. Математика и механика. — М.: Наука, 1965. — С. 394—404. Повторная публикация в книге: А. Н. Колмогоров. Избранные труды: В 6 т. — Т. 1. — М.: Наука, 2005. — С. 435—444. (Соавтор: Валерий Егорович Плиско.)

Предварение 375

I ..... 377

II..... 379

III .... 381

IV .... 383

V..... 387

Литература 388

Предисловие к книге Ю. А. Шихановича «Введение в современную математику»..................... 391

Опубликовано в книге: Ю. А. Шиханович. Введение в современную математику (начальные понятия). — М.: Физматлит, 1965. — С. 5—12. Перепечатано в книге: В. А. Успенский. Апология математики. — 2-е изд., испр. — СПб.: Амфора, 2012. — С. 283—298.

I . . 391 I II . . 392 I III . . 395 I IV . . 396

О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение' ......................... 398

Опубликовано в книге: Ю. А. Шиханович. Введение в современную математику. — М.: Физматлит, 1965. — С. 12—24.

Множество....................... 398

Кортеж......................... 400

Соответствие...................... 401

Функция ........................ 403

Отношение....................... 408

К проблематике теории научной информации........ 410

Опубликовано в журнале: Научно-техническая информация. — 1963. — № 3. — С. 17—20. (Соавтор: Юлий Анатольевич Шрейдер.)

Абстракция актуальной бесконечности............ 419

Опубликовано в книге: Философская энциклопедия. — Т. 1. — М.: Сов. Энциклопедия, 1960. — С. 16.

Гёдель ............................ 421

Опубликовано в книге: Философская энциклопедия. — Т. 1. — М.: Сов. Энциклопедия, 1960. — С. 338. (Соавтор: Софья Александровна Яновская.)

Гомоморфизм......................... 423

Опубликовано в книге: Философская энциклопедия. — Т. 1. — М.: Сов. Энциклопедия, 1960. — С. 387.

От редактора перевода книги А. Чёрча «Введение в математическую логику» ...................... 425

Опубликовано в книге: А. Чёрч. Введение в математическую логику. — Т. 1. —М.: ИЛ, 1960. — С. 5—11.

I . . 425 | II . . 427 | III . . 428 | IV . . 430

Алгоритм........................... 433

Опубликовано в книге: Философская энциклопедия. — Т. 1. — М.: Сов. Энциклопедия, 1960. — С. 38—42.

Значение алгоритмов .................. 433

Примеры алгоритмов.................. 435

Основные черты алгоритмов.............. 437

Основные абстракции теории алгоритмов ....... 438

Основные понятия теории алгоритмов......... 441

Связь теории алгоритмов с логикой.......... 443

Проблемы разрешения................. 447

Неразрешимые массовые проблемы .......... 447

Сводимость....................... 448

Уточнения понятия алгоритма и сопутствующих понятий 449

Литература....................... 451

К проблеме построения машинного языка для информационной машины ......................... 454

Опубликовано в продолжающемся сборнике: Проблемы кибернетики / Под ред. А. А. Ляпунова. — Вып. 2. — М.: Физматгиз, 1959. — С. 39—50. А также под названием «Логико-математические проблемы создания информационного языка для информационной машины» в издании: Сообщения лаборатории электромоделирования. — 1960. — № 1. — С. 5—28.

§ 1 . . . . 454

§ 4 ... . 465

Примечания 470

§ 2 . . . . 458

§ 5 ... . 468

Литература 471

§ 3 . . . . 463

§ 6 ... . 469

Винер ............................ 473

Опубликовано в книге: Большая Советская Энциклопедия. — 2-е изд. — Т. 51 [дополнительный]. — М.: Сов. энциклопедия, 1958. — С. 59. (Соавторы: Вячеслав Всеволодович Иванов, Михаил Константинович Поливанов.)

Метатеория.......................... 475

Опубликовано в книге: Большая Советская Энциклопедия. — 2-е изд. — Т. 51 [дополнительный]. — М.: Сов. энциклопедия, 1958. — С. 198. (Соавтор: Владимир Соломонович Чернявский.)

Семантика (в логике) .................... 478

Опубликовано в книге: Большая Советская Энциклопедия. — 2-е изд. — Т. 51 [дополнительный]. — М.: Сов. энциклопедия, 1958. — С. 266—267. (Соавторы: Делир Гасемович Лахути, Виктор Константинович Финн.)

Синтаксис (в логике) .................... 483

Опубликовано в книге: Большая Советская Энциклопедия. — 2-е изд. — Т. 51 [дополнительный]. — М.: Сов. энциклопедия, 1958. — С. 269—270. (Соавторы: Делир Гасемович Лахути, Виктор Константинович Финн, Владимир Соломонович Чернявский, Юрий Александрович Шиханович.)

Тезисы о кибернетике с комментариями........... 487

Написано в январе 1957 года. Опубликовано в книге: Очерки истории информатики в России / Ред.-сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. — Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1998. — С. 137—142. (Соавторы: Вячеслав Всеволодович Иванов, Михаил Константинович Поливанов.)

1. Определение кибернетики ............... 487

2. Управление....................... 488

3. Связь.......................... 488

4. Информация ...................... 489

5. Организованные системы ............... 490

6. Место кибернетики в системе наук .......... 490

7. История кибернетики ................. 491

8. Роль кибернетики в убывании энтропии........ 492

Послесловие от февраля 2001 года .......... 493

Примечания ...................... 494

Приложение 1. А. Н. Колмогоров. Тезисы о кибернетике 495

Опубликовано в книге: Очерки истории информатики в России / Ред.-сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. — Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1998. — С. 142—145.

Приложение 2. А. Н. Колмогоров. Автоматы и жизнь . 501

Опубликовано в бюллетене: Машинный перевод и прикладная лингвистика. — 1961. — № 6. — С. 3—8.

Приложение 3. Письмо Колмогорова автору настоящей книги, написанное им от руки............. 506

Опубликовано в книге: Колмогоров в воспоминаниях учеников. — М.: МЦНМО, 2006. — С. 302—303.

Экспансия математики .................... 508

Опубликовано в журнале: Вокруг света. — 2011. — № 7 (2850), июль. — С. 128—132. Интервью дано 2 декабря 2010 года. Беседовала А. Д. Нарышкина.

Приложение 1 к книге 2 «Философия».

А. Х. Шень. О непостижимой (не)эффективности философии 514

Марксизм-ленинизм в СССР ............. 514

Загадка «Материализма и эмпириокритицизма» .... 517

Философы о науке................... 519

Гегель (519). Другие философы (523).

Загадка философии .................. 526

Примечания (В. А. Успенского) ............ 531

Приложение 2 к книге 2 «Философия».

Три письма Натальи Леонидовны Трауберг автору настоящей книги 533

Предуведомление.................... 533

[Первое] письмо В. А. Успенскому (от 25.08.1998) ..... 536

Опубликовано в журнале: Неприкосновенный запас. — 1999. — № 1 (3). — С. 40—41. Перепечатано в книге: Наталья Трауберг. Невидимая кошка: Сборник статей. — М.; СПб.: Летний сад, 2006. — С. 31—35.

От публикатора .................... 536

Примечания ...................... 539

Второе письмо В. А. Успенскому (от 24.10.1998) ...... 542

Под названием «Ещё одно письмо В. А. Успенскому» опубликовано в журнале: Неприкосновенный запас. — 1999. — № 3 (5). Перепечатано в книге: Наталья Трауберг. Невидимая кошка: Сборник статей. — М.; СПб.: Летний сад, 2006. — С. 16—20.

Послесловие публикатора ............... 544

Третье письмо В. А. Успенскому (от 23.10.1999) ...... 546

Опубликовано в журнале: Неприкосновенный запас. — 2000. — № 2 (10). — С. 86—89. Перепечатано в книге: Наталья Трауберг. Невидимая кошка: Сборник статей. — М.; СПб.: Летний сад, 2006. — С. 36—42.

Указатель имён .................... 551

Предисловие к книге 2 «Философия»

Первое издание «Трудов по НЕматематике», осуществлённое издательством ОГИ и подписанное к печати 17 июня 2002 года, материализовалось в виде тысячи экземпляров двухтомника, появившихся в конце августа 2002 года. Появилось оно и в Интернете: ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/uspbook/; http://www.mccme.ru/free-books/usp.htm; http://www.math.ru/lib/book/pdf/shen/usp/usp-all.pdf.

Несмотря на совершенную нереальность, довольно быстро возникла мечта о втором издании. Для второго издания наличествовали по крайней мере три причины. Во-первых, сразу стали поступать сигналы о присутствии в тексте не только опечаток, но и неточностей и даже ошибок. Во-вторых, у меня стали появляться новые публикации, по своей тематике могущие быть включёнными в названные «Труды». Наконец, в-третьих, отчасти на бумаге, отчасти в компьютерной памяти, начали накапливаться записи, в которых я пытался фиксировать некоторые соображения о том, какими новыми фразами, абзацами, а то и параграфами мог бы быть пополнен текст первого издания. И в компьютере, и тем более на разрозненных клочках бумаги эти записи хранились в большом беспорядке, что делало мечту о новом издании практически неосуществимой.

Положение казалось полностью безнадёжным, пока его не переломил Виталий Дмитриевич Арнольд, заместитель директора Московского центра непрерывного математического образования. Летом 2010 года он дал импульс тому, «чтоб сказку сделать былью». Его инициативу подхватил, а весной 2011 года окончательно взял дело в свои руки Николай Николаевич Андреев, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института имени В. А. Стеклова РАН и лауреат премии Президента Российской Федерации 2010 года для молодых учёных, присуждённой ему, в частности, за высокие результаты в популяризации и распространении научных знаний. Он привлёк к работе Никиту Михайловича Панюнина, своего друга и коллегу по лаборатории, и Михаила Юрьевича Панова, глубокого знатока тонкостей компьютерной вёрстки и типографского дела. Оба работали самоотверженно, и мне приятно поблагодарить их за усердие и трудолюбие.

В результате обсуждений было решено изменить композицию издания. Первое издание, хотя и состояло из двух томов, имело единую пагинацию, т.е. нумерацию страниц; разбиение на томы было вызвано причинами чисто техническими. Тематически же издание состояло из шести частей и одного Приложения. Во втором издании одна из частей, а именно «Избранные предисловия», ликвидирована, а составлявшие её статьи разбросаны по другим частям; Приложение, каковое составляли «Семиотические послания» А.Н.Колмогорова, отнесено теперь, по его тематической принадлежности, в книгу 4 «Филология».

Второе издание должно состоять из пяти книг, соответствующих оставшимся пяти частям двухтомника, и каждая книга будет иметь собственную пагинацию. Книги предполагается выпускать в свет не в порядке их номеров, а по мере готовности. Первыми вышли книга 4 «Филология», в которую вошла одна из статей части «Языкознание», и книга 3 «Языкознание», в которую вошла одна из статей части «Воспоминания и наблюдения»; третьей выходит настоящая книга 2 «Философия». Всевозможные добавки к тексту первого издания подразделяются на два типа. К первому относятся те фрагменты, которые могли бы присутствовать и в первом издании; внесение таковых в текст никак не помечается. Второй тип образуют фрагменты, составленные под влиянием более поздних событий и потому в первом издании невозможные; эти фрагменты заключаются между двумя семафорами: открывающим «●●▶» и закрывающим «◀●●» (однако статьи, целиком появившиеся после первого издания и включённые во второе, семафорами не помечаются). Значение семафоров «●▶» и «◀●» разъясняется в разделе III Предуведомления, помещённого сразу вслед за настоящим Предисловием. Встречающиеся в тексте белые цифры внутри чёрных квадратов означают ссылки на затекстовые примечания к данной статье. И затекстовые примечания, и список литературы помещаются в конце каждой статьи.

Обратный хронологический порядок, в котором располагаются статьи настоящей книги, объясняется тем, что некоторые ранние статьи (такие, как «К проблеме построения машинного языка...» 1957 года или «К проблематике теории научной информации» 1963 года) если и представляют какой-то интерес, то, пожалуй, лишь для исследователей соответствующего периода истории науки в СССР.

В настоящую книгу 2 включены сочинения автора, имеющие прямое или косвенное отношение к философии. К имеющим прямое отношение можно, с той или иной долей условности, отнести статьи по философии математики и статьи по логике (при попытке соблюсти зыбкую грань отделяющую логику как часть философии от

математической логики как части математики). Конечно, сочинителю и самому хотелось бы иметь в своём портфеле что-нибудь более возвышенное, что-нибудь такое, в чём звучала бы музыка сфер, но такового, увы, не имеется. Разве что в статье про Витгенштейна её предмет слегка звучит (или нам кажется, что звучит) такой музыкой. К философии у автора сложное отношение.

С одной стороны, в его студенческие годы в Московском университете, пришедшиеся на последнее пятилетие сталинизма (1947—1952), Философский факультет МГУ являл собою центр мракобесия. Да и вся советская философия была, в духе ленинской риторики (чтобы не сказать — демагогии), нацелена на разоблачения. Разоблачались квантовая физика и теория относительности, теория резонанса в химии, кибернетика и молекулярная генетика. Всюду виделся идеализм, а то и сползание к фидеизму и поповщине. Замечательно, что идеалистами, в частности, были заклеймены те, кто отстаивал ген как материальный носитель наследственности.

С другой стороны, всегда было ясно, что есть и другая, отличная от марксистско-ленинской, философия. И действительно, в молодости я с интересом читал Канта, с наслаждением Платона и с восторгом Спенсера.

С третьей стороны, тексты некоторых философов, признаваемых великими или даже величайшими, оказывались недоступны моему пониманию. Так, я честно пытался пробиться сквозь тексты Гегеля, Хайдеггера и Шпета1, но так и не смог их понять; они казались написанными на каком-то неизвестном мне загадочном языке.

С четвёртой стороны, я всегда был и есть противник самого существования в Университете Философского факультета для обучения на нём выпускников средней школы. Как-то, очень давно, когда Философский факультет ещё не переехал на Воробьёвы горы и находился на Моховой, меня пригласили выступить на его Учёном совете. Это было время философской растерянности, когда вдруг в естественных науках разрешили почти всё и разоблачать стало нечего; конечно, остались ещё, в качестве жертвы, науки гуманитарные, но там так не развернёшься, поскольку не работает библия разоблачения: ленинский «Материализм и эмпириокритицизм». Вот в рамках этой растерянности пригласили и меня. Уж не помню, что

1 Читать Шпета я считал себя морально обязанным, так как с некоторыми из шпетидов был хорошо знаком. А когда я пытался читать Гегеля, я ещё не знал, что это он, с его разоблачением законов механики, в частности небесной механики (см. с. 519—522), был предшественником и учителем Ленина по части разоблачительства.

я там говорил — наверное, какие-нибудь банальности, но одну вещь я помню. Я сказал, что если бы мне дали власть, я закрыл бы Философский факультет, оставив лишь аспирантуру по философии; в эту аспирантуру могли бы поступать те, кто окончил другие факультеты Университета — причём окончил достаточно хорошо: желательно с отличием и уж во всяком случае без троек. Тогда меня никто не поддержал, полагаю, что и сегодня из членов Учёного совета Философского факультета не поддержал бы никто. Хотя проблема осталась актуальной. Несколько лет назад, когда Философский факультет уже переехал в кампус на Воробьёвых горах и разместился там на 11-м этаже Первого гуманитарного корпуса, но ещё не совершил второго переезда на так называемые «Новые территории» по Ломоносовскому проспекту, я ехал в лифте на 9-й этаж названного корпуса. В том же лифте на свой родной 11-й этаж ехали две девицы. Они говорили, сильно растягивая гласные (их речь доставила бы удовольствие профессору фонетики Генри Хиггинсу). «То-о-нь, — спросила одна из них ленивым голосом, — ты на а-антологию пойдё-ёшь?». Оставим читателя гадать об ответе второй девицы на этот вопрос.

Поскольку нам нечего сказать о музыке сфер, поговорим о близкой к ней по смыслу (а то и имеющей прямо противоположный смысл) разноголосице миров. Разноголосица в нашем мире проявляется, в том числе, в том, что «Орфоэпический словарь русского языка»2 разрешает оба произношения: околесица и околёсица. Имея в виду указанное разрешение, закончим предисловие девятистишием:

И правдой входит в наш мирок

Миров разноголосица.

Борис Пастернак

Что есть миров разноголосица?

Решать тебе. Ответов — два:

Бессвязных звуков околёсица

И откровенье божества.

Себя не мысля без оков,

К альтернативе не готов,

Ум возмущается и бесится:

Признать не хочет околесицу,

Понять не может речь богов.

16 мая 2014 года.

2 Орфоэпический словарь русского языка: Произношение, ударение, грамматические формы / С. Н. Борунова, В. Л. Воронцова, Н. А. Еськова; Под ред. Р. И. Аванесова. — 2-е изд., стереотип. — М.: Русский Язык, 1985.

Из предуведомления от автора [к первому изданию «Трудов по НЕматематике»]

Настоящее предуведомление имеет целью ответить на четыре вопроса:

• как возникла эта книга?

• почему у неё такое название?

• что входит в её состав?

• каково её устройство?

Ответам на эти вопросы и посвящёны четыре соответственных раздела предуведомления.

I. Как возникла эта книга

Настоящее издание придумала Катя (Екатерина Владимировна) Рахилина, и если бы не она, его бы не было. Данное заявление следует рассматривать как недостойную попытку снять с себя если не всю ответственность, то хотя бы основную её часть.

Я никогда не осмелился бы выпускать собрание собственных сочинений, да у меня и в мыслях такого не было. Однако Катя пришла ко мне весной 2000 года и заговорила об этом как о деле, для неё очевидном и решённом. Я сперва сильно удивился, а потом сопротивлялся, но уже не так сильно. Не знаю, должен ли я благодарить её за эту идею, в правильности каковой у меня и сейчас нет уверенности. Но за что я ей благодарен бесконечно, это за то, что она взяла на себя все хлопоты по организации издания.

Именно Катя (Екатерина Владимировна) Рахилина написала и подписала своим именем заявку в Российский фонд фундаментальных исследований (РФФИ) на получение издательского гранта. Таким образом, она стала руководителем проекта (в котором я не являюсь даже участником, так что от меня потребовалось только определить состав издания и предоставить необходимые материалы: рукописи, книги, журналы, оттиски, ксерокопии); она же взяла на себя все переговоры. Не менее важно и то, что Катя оказывала мне необходимую моральную поддержку, в которой я временами остро нуждался, и не позволяла сомневаться в правильности затеянного.

Всякий проект нуждается в организационном центре. Для данного проекта таким центром согласился стать Научный совет Российской академии наук по комплексной проблеме «Кибернетика», а основную ответственность и всю реальную работу взял на себя заместитель председателя Научного совета Валерий Арамович Варданян.

В середине сентября 2000 года обширная папка с рукописями, оттисками и ксерокопиями была готова и сдана в РФФИ. А 22 декабря 2000 года мне были вручены, в качестве сюрприза, два держателя для бумаг, расписанных Катиной дочерью Надей Плунгян и содержащие в общей сложности 1027 страниц компьютерной распечатки. Эти страницы, изготовленные из того разношёрстного материала, что был сложен в указанную папку, образовывали предварительную версию оригинал-макета издания. Я не мог поверить своим глазам: ведь для получения оригинал-макета надо было многое отсканировать, затем свести всё воедино, набрать и отпечатать.

Выяснилось, что Катя поделилась своим замыслом с Сашей (Александром Ханевичем) Шенем, который не только поддержал её проект, но и согласился принять на себя ответственность за всю техническую часть операции. Он, в свою очередь, привлёк к работе Аню (Анну Юрьевну) Зарубину, которая под его руководством осуществила — и притом в очень сжатые сроки — сканирование и латеховский набор и изготовила упомянутую выше предварительную версию оригинал-макета.

Со второй половины января 2001 года я начал редактировать подаренные мне 1027 страниц, внося изменения и дополнения, иногда довольно значительные. С мая того же года эти изменения и дополнения стали поступать к Максиму (Максиму Александровичу) Ушакову и Вите (Виктору Валерьевичу) Шувалову, которые вносили их в текст. С октября эту работу продолжил Саша Шень. Их усилиями к марту 2002 года был создан чистовой оригинал-макет.

Оказалось, что количество упоминаемых в книге имён превышает две тысячи; было решено, что в этих условиях необходим именной указатель. Труд по его созданию взяла на себя Аня (Анна Владимировна) Шипунова. В процессе её работы над указателем обнаружилось много таких опечаток, выявить которые на предыдущих этапах было практически невозможно. Аня взяла на себя ответственность не только за их устранение, но и за потребовавшиеся в связи с этим изменения в чистовом макете (и, тем самым, за возможные новые ошибки — А. Шипунова).

Созданию доброжелательной атмосферы, в которой проходили заключительные фазы работы над книгой, немало способствовал главный редактор Объединённого гуманитарного издательства (ОГИ)

Евгений Владимирович Пермяков, чьи редкие человеческие и деловые качества я имел возможность оценить ещё в 1994 году, во время работы над Первым Лотмановским сборником.

II. Почему у этой книги такое название

Название «Труды по нематематике» придумал Владимир Александрович Плунгян. И в самом деле, здесь собраны нематематические сочинения автора. Но ведь эти сочинения также неастрономические и неботанические; так почему же книга не называется «Труды по неастрономии» или «Труды по неботанике»?

Объяснение таково. Провозглашение отрицания чего-нибудь всегда намекает на выделенную возможность существования отрицаемого. В данном случае название книги намекает на то, что её автор связан с математикой. Действительно, он получил математическое образование (окончил в 1952 году Московский университет по специальности «математика»), исполняет «математическую» должность (с 1993 года заведует кафедрой математической логики и теории алгоритмов Механико-математического факультета того же Университета), и основные его сочинения принадлежат математике.

В предыдущей фразе не сказано, что автор — математик. И это не случайно. «Математик» — так, без каких-либо званий, написано на могиле глубочайшего, быть может, мыслителя из встреченных мною в жизни, — Петра Сергеевича Новикова. В применении к академику и лауреату, каким он был, это может звучать скромно. Но может и горделиво, как звучит для меня. Быть математиком трудно, и мне не кажется, что я справился с этой трудностью.

Я выбрал математическую профессию по двум причинам. Во-первых, математика влекла меня со школьных лет — с восьмого класса (с осени 1945 года) я посещал школьный математический кружок при Московском университете и участвовал в организованных Университетом математических олимпиадах. Во-вторых, окончив школу летом 1947 года, в сталинское время, я не видел для себя иной судьбы, кроме поступления на Механико-математический факультет Университета. Окажись я в ином времени или в ином месте, я скорее всего поступил бы на Юридический факультет и сделался бы юристом по конституционному или каноническому праву.

Но мне в моей «математической карьере» повезло и притом неслыханно повезло: один из трёх (наряду с Ломоносовым и Менделеевым) великих учёных России, Андрей Николаевич Колмогоров, принял меня в число своих учеников.

III. Что входит в состав этой книги

В 50-х годах прошлого века, по возвращении с индийских научных конференций, мои московские математические коллеги с изумлением рассказывали мне, что в Индии математику — при стандартном разделении наук на естественные и гуманитарные — относят к наукам гуманитарным. Хотя такое местоуказание математики, на мой взгляд, совершенно справедливо, я всё же буду придерживаться традиционного для отечественной культуры противопоставления. Такая отчасти беспринципная позиция позволяет так сформулировать критерии, по которым происходил отбор материала для данной книги: в книге собраны те сочинения её автора, которые он квалифицирует не как математические, а как гуманитарные («Гуманитарные очерки» — таков был первый, рабочий вариант названия). Сюда относятся очерки мемуарного и мемориального характера, избранные предисловия, статьи по философии, по языкознанию, по филологии. Как известно, термин «филология» может употребляться в двух смыслах: в широком, включающем в себя языкознание (как, скажем, в словосочетании «филологический факультет»), и в более узком, языкознание не включающем, а покрывающем собою литературоведение, текстологию и, вообще, исследование (в том числе интерпретацию) текстов. Не отдавая преимущества какому-либо из этих двух смыслов, здесь — по прагматическим соображениям — мы предпочитаем пользоваться смыслом более узким.

За тремя исключениями, все помещённые в книге сочинения автора были ранее опубликованы. Исключение составляют три текста: отзывы на диссертации А. А. Зализняка и 3. Н. Микеладзе (из частей «Языкознание» и «Философия») и статья «Химико-филологический конфликт» (из части «Воспоминания и наблюдения») — но и они в своё время отчасти приобрели самостоятельное существование: первые два в 1965 году и в 1985 году соответственно поступили в диссертационные советы и далее в Высшую аттестационную комиссию, а документы, образующие основу третьего, были в 1963 году направлены надлежащим адресатам.

Для каждой статьи указан источник её первоначальной публикации; указание даётся на первой странице статьи, внизу. Однако слова «ранее опубликованы» и «источник первоначальной публикации» не следует понимать слишком буквально. Как уже отмечалось, при подготовке этой книги в составляющие её публикации автором внесены изменения, в том числе добавки в первоначальный текст. Одни из этих изменений оговариваются в тексте, другие — нет.

Положение вещей здесь таково.

Некоторые изменения следовало бы сделать ещё перед представлением той или иной статьи для первоначальной публикации; они хотя и не были своевременно сделаны (как правило, из-за нехватки времени), но могли быть тогда сделаны. Такого рода улучшающие изменения сделаны сейчас, они никак в тексте не выделены. Таким образом, ссылка на источник первоначальной публикации той или иной помещённой в книгу статьи (а она приводится, как уже говорилось, в подстрочном примечании на первой странице статьи) относится, вообще говоря, не к публикуемому в данном издании окончательному варианту статьи, а к её первоначальной редакции.

Совершенно другой род изменений составляют такие добавки в текст, которые и не могли быть сделаны при его первоначальной публикации — не могли потому, что они используют сведения, возникшие уже после этой публикации, или потому, что были при первоначальной публикации неуместны. Все такие добавки отмечены специальными семафорами: семафор «●▶» открывает позднейшую добавку, т.е. непосредственно ей предшествует, семафор «◀●» добавку закрывает, т. е. непосредственно за нею следует. Исключением из общего порядка служат позиции, добавленные в библиографические списки. Как правило, они никак не отмечены. Ведь и так ясно, что если для какой-то позиции из подобного списка указан год выхода в свет более поздний, нежели год первоначальной публикации той статьи данной книги, к которой этот список относится, то это значит, что эта позиция добавлена в список уже после указанной публикации.

К некоторым статьям сделаны приложения, добавления, послесловия; все они указаны в Оглавлении.

Раскрыв книгу, читатель может увидеть математический термин и даже символ и счесть себя обманутым. Изъяснимся поэтому несколько подробнее.

Прежде всего, некоторые понятия и термины, зародившиеся внутри математики, давно уже переросли её рамки и вошли в состав фундамента науки вообще. В частности, к ним принадлежат понятия и термины, перечисленные в заглавии очерка «О понятиях 'множество', 'кортеж', 'соответствие', 'функция', 'отношение'», помещённого на с. 398—4091.

Таким образом, не всякий текст, в котором встречаются математические термины и символы, есть математика. Так, философия

1 В качестве иллюстрации к сказанному можно упомянуть, что пересказ одного из разделов названного очерка составляет содержание пункта 2 статьи известного лингвиста А. А.Холодовича «Залог. I: Определение. Исчисление».

математики образует один из разделов философии, поэтому статьи по философии математики, неизбежно содержащие такие термины и символы, следует относить не к математике, а к философии и, тем самым, к «нематематике». Дополнительным аргументом служит место первоначальной публикации. Если статья была опубликована в философском издании, это означает, во-первых, что она писалась в расчёте на достаточно широкую аудиторию и, во-вторых, что она была адекватно воспринята философской редколлегией. Поэтому, скажем, в книгу вошла статья «Витгенштейн и основания математики» (с.206—226) и не вошла статья «Kolmogorov and mathematical logic»: первая, излагающая доклад, сделанный на культурологической конференции, была опубликована в философском журнале; вторая, излагающая доклад на математической конференции, писалась для математиков и была опубликована в журнале математическом. По сходной причине в книгу включена статья «Алгоритм» из «Философской энциклопедии» (с. 433—453), написанная с вниманием к философскому аспекту темы, и не включена статья с тем же названием из «Математической энциклопедии». К философии же (а именно, к той её области, которая называется философией образования) принадлежат и рассуждения о начальном преподавании математики дошкольникам и младшим школьникам.

IV. Как устроена эта книга

К некоторым статьям сделаны приложения, добавления, послесловия; все они указаны в Оглавлении.

●●▶ Устройство настоящего издания разъясняется выше на с. 16. ◀●●

15 мая 2002 года.

Гуманитарное и математическое: преодоление барьера

Поверх барьеров.

Борис Пастернак.

Уточняйте значения слов. Тогда человечество избавится от большей части своих заблуждений.

Рене Декарт.

«Да, мой голубчик, — ухо вянет:

Такую, право, порешь чушь!».

И в глазках крошечных проглянет

Математическая сушь.

Андрей Белый. Первое свидание.

Чем дальше, тем Белому становилось яснее, <...> что искусство и философия требуют примирения с точными знаниями — «иначе и жить нельзя». <...>. Недаром прежде, чем поступить на филологический факультет, он окончил математический.

Владислав Ходасевич.

I

Никто не знает, сохранят ли грядущие века и тысячелетия сегодняшнее деление наук на естественные и гуманитарные. Но даже и сегодня безоговорочное отнесение математики к естественным наукам вызывает серьёзные возражения. Естественнонаучная, прежде всего физическая, составляющая математики очевидна, и нередко приходится слышать, что математика — это часть физики, поскольку она, математика, описывает свойства внешнего, физического мира. Но с тем же успехом её можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления и, тем самым, должны проходить по ведомству психологии. Не менее очевидна и логическая, приближающаяся к философской, составляющая математики. Скажем, знаменитую теорему Гёделя о неполноте, гласящую, что, какие бы способы доказывания ни установить, всегда найдётся истинное, но не доказуемое утверждение — причём даже среди утверждений о таких, казалось бы, простых объектах, как натуральные числа, — эту теорему с полным основанием можно считать теоремой теории познания.

Публикуется с изменением названия и с небольшой редактурой по тексту брошюры: Математическое и гуманитарное: преодоление барьера. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 48 с. Первая, журнальная публикация: Математическое и гуманитарное: преодоление барьера // Знамя. — 2007. — № 12. — С. 165—173.

В 1950-х годах, по возвращении с индийских научных конференций, мои московские математические коллеги с изумлением рассказывали, что в Индии математику — при стандартном разделении наук на естественные и гуманитарные — относят к наукам гуманитарным. И на этих конференциях им приходилось сидеть не рядом с физиками, как они привыкли, а с искусствоведами. К великому сожалению, у людей гуманитарно-ориентированных математика нередко вызывает отторжение, а то и отвращение. Неуклюжее (и по содержанию, и по форме) преподавание математики в средней школе немало тому способствует.

Лет сорок назад было модно подчёркивать разницу между так называемыми физиками (к коим относили и математиков) и так называемыми лириками (к коим относили всех гуманитариев). Терминология эта вошла тогда в моду с лёгкой руки поэта Бориса Слуцкого провозгласившего в 1959 году в культовом стихотворении «Физики и лирики»:

Что-то физики в почёте, Что-то лирики в загоне. Дело не в сухом расчёте, Дело в мировом законе.

Однако само противопоставление условных физиков условным лирикам вовсе не было вечным. По преданию, на воротах знаменитой Академии Платона была надпись: «Негеометр (т. е. нематематик — В. У.) да не войдёт сюда!». С другой стороны, самоё математику можно называть младшей сестрой гуманитарной дисциплины, а именно юриспруденции: ведь именно в юридической практике Древней Греции, в дебатах в народных собраниях впервые возникло и далее шлифовалось понятие доказательства.

II

Можно ли уничтожить и нужно ли уничтожать ставшие, увы, традиционными (хотя, как видим, и не столь древние!) границы между гуманитарными, естественными и математическими науками — об этом я не берусь судить. Но вот разрушить барьеры между представителями этих наук, между лириками и физиками, между гуманитариями и математиками — это представляется и привлекательным, и осуществимым. Особенно благородная цель — уничтожить этот барьер внутри отдельно взятой личности, т.е. превратить гуманитария отчасти в математика, а математика — отчасти в гуманитария.

Обсуждая эту цель, полезно вспомнить некоторые факты из истории российской науки. Эти факты связаны — в обратном хронологическом порядке — с именами Колмогорова, Барсова и Ададурова (в другом написании — Адодурова).

Первой научной работой великого математика Андрея Николаевича Колмогорова (1903—1987) была работа отнюдь не по математике, а по истории. В начале 20-х годов XX века, будучи семнадцатилетним студентом математического отделения Московского университета, он доложил свою работу на семинаре известного московского историка Сергея Владимировича Бахрушина. Она была опубликована посмертно1 и чрезвычайно высоко оценена специалистами — в частности, руководителем Новгородской археологической экспедиции Валентином Лаврентьевичем Яниным. Выступая на вечере памяти Колмогорова, состоявшемся в Московском доме учёных 15 декабря 1989 года, он так охарактеризовал историческое исследование Колмогорова: «Эта юношеская работа в русле исторической науки занимает место, до которого её [исторической науки] развитие ещё не докатилось. Будучи опубликованной, она окажется впереди всей исторической науки». А в предисловии к вышеназванному посмертному изданию исторических рукописей Колмогорова В.Л.Янин писал: «Некоторые наблюдения А. Н. Колмогорова способны пролить свет на источники, обнаруженные много десятилетий спустя после того, как он вёл своё юношеское исследование». И там же:

Андрей Николаевич сам неоднократно рассказывал своим ученикам о конце своей «карьеры историка». Когда работа была доложена им в семинаре, руководитель семинара профессор С. В. Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого исследователя не могут претендовать на окончательность, так как «в исторической науке каждый вывод должен быть снабжён несколькими доказательствами»2. Впоследствии, рассказывая об этом, Андрей Николаевич добавлял: «И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства». История потеряла гениального исследователя, математика приобрела его.

1 А. Н. Колмогоров. Новгородское землевладение XV века; Л. А. Бассалыго. Комментарий к писцовым книгам Шелонской пятины. — М.: Физматлит, 1994.

2 Замечание Бахрушина не лишено оснований. Ведь — в отличие от математических истин, верных в абсолютном смысле, — гуманитарные истины верны лишь с определённым процентом правдоподобия, и каждое новое доказательство повышает такой процент. — В. У.

26 апреля (по старому стилю, а по новому стилю тогда было 7 мая) 1755 года состоялось торжественное открытие Московского университета. После молебна были произнесены четыре речи. Первая из них— и притом единственная, сказанная на русском языке, — называлась «О пользе учреждения Московского университета». Говорил её Антон Алексеевич Барсов (1730—1791). Неудивительно, что в 1761 году он был назначен профессором (в современных терминах— заведующим кафедрой) на кафедру красноречия; вступление в эту должность ознаменовалось его публичной лекцией «О употреблении красноречия в Российской империи», произнесённой 31 января (11 февраля) 1761 года. Чем же занимался Барсов до того? Преподавал математику — именно с Барсова, в феврале 1755 года специально для этой цели переведённого из Петербурга в Москву, и началось преподавание математики в Московском университете! Впоследствии Барсов прославился трудами по русской грамматике; ему же принадлежит и ряд предложений по русской орфографии, тогда отвергнутых и принятых лишь в XX веке.

Ещё раньше, в 1727 году, знаменитый математик Даниил Бернулли, работавший в то время в Петербургской академии наук, обратил внимание на студента этой академии Василия Евдокимовича Ададурова (1709—1780). В письме к известному математику Христиану Гольдбаху от 28 мая 1728 года Бернулли отмечает математические способности Ададурова и сообщает о сделанном Ададуровым открытии3: сумма кубов последовательных натуральных чисел равна квадрату суммы их первых степеней: 13 + 23 + ... + n3 = (1+2 + ... + n)2. Математические заслуги Ададурова засвидетельствованы его включением (с портретом в виде силуэта) в биографический раздел однотомного «Математического энциклопедического словаря» (М.: Советская энциклопедия, 1988). А из статьи «Ададуров» в первом томе другого словаря, «Нового энциклопедического словаря» Брокгауза и Ефрона, мы узнаём, что Ададуровым написано несколько сочинений по русскому языку и, более того, что «в 1744 году ему было поручено преподавать русский язык принцессе Софии, т. е. будущей императрице Екатерине II». Последующие изыскания (они были проведены братом автора этих строк Борисом Андреевичем

3 Указанное письмо Бернулли можно прочесть на с. 261 второго тома двухтомника «Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIII-éme siècle», изданного в 1843 году в Санкт-Петербурге Паулем (он же Павел Николаевич) Фуссом (Paul Heinrich von Fuss); кстати, Ададуров был сделан адъюнктом кафедры математики в Академии наук по инициативе именно Даниила Бернулли.

Успенским) показали, что Ададуров является автором первой русской грамматики на русском же языке, составление каковой следует рассматривать как большое событие. Ведь важнейшим этапом в языковом сознании носителей какого бы то ни было языка является появление первой грамматики этого языка на том же самом языке; этот этап сравним с осознанием того, что кажущаяся пустота вокруг нас заполнена воздухом. Прибавим ещё, что с 1762 года по 1778 год Ададуров был куратором Московского университета — вторым после основавшего университет И. И. Шувалова.

Итак, даже если согласиться с традиционной классификацией наук, отсюда ещё не следует с неизбежностью аналогичная классификация учёных или учащихся. Приведённые факты показывают, что математик и гуманитарий способны уживаться в одном лице.

Здесь предвидятся два возражения. Прежде всего, нам справедливо укажут, что Ададуров, Барсов, Колмогоров были выдающимися личностями, в то время как любые рекомендации должны быть рассчитаны на массового потребителя. На это мы ответим, что образцом для подражания — даже массового подражания — как раз и должны быть выдающиеся личности и что примеры Ададурова, Барсова, Колмогорова призваны вдохновлять. Далее нам укажут, опять-таки справедливо, что отнюдь не всем гуманитариям и отнюдь не всем математикам суждено заниматься научной работой, это и невозможно, и недолжно. Ну что м, ответим мы, примеры из жизни больших учёных выбраны просто потому, что история нам их сохранила; возможность же и цель сочетания в одном лице математического и гуманитарного подхода к окружающему миру сохраняют привлекательность не только для научных работников, но и для тех гуманитариев и математиков, кто не собирается посвятить себя высокой науке.

III

По всеобщему признанию, литература и искусство являются частью человеческой культуры. Ценность же математики, как правило, видят в её практических приложениях. Но наличие практических приложений не должно препятствовать тому, чтобы и математика рассматривалась как часть человеческой культуры. Да и сами эти приложения, если брать древнейшие из них — такие как, скажем, использование египетского треугольника (т. е. треугольника со сторонами 3, 4, 5) для построения прямого угла — также принадлежат общекультурной сокровищнице человечества. (Кому, чьей

сокровищнице принадлежит шестигранная форма пчелиных сот, обеспечивающая максимальную вместимость камеры при минимальном расходе воска на строительство её стен, — этот вопрос мы оставляем читателю для размышления.) В Древнем Египте, чтобы получить прямой угол, столь необходимый при строительстве пирамид и храмов, поступали следующим образом. Верёвку делили на 12 равных частей, точки деления, служащие границами между частями, помечали, а концы верёвки связывали. Затем за верёвку брались три человека, удерживая её в трёх точках, отстоящих друг от друга на 3, 4 и 5 частей деления. Далее верёвку натягивали до предела — так, чтобы получился треугольник. По теореме, обратной к теореме Пифагора, треугольник оказывался прямоугольным, причём тот человек, который стоял между частью длины 3 и частью длины 4, оказывался в вершине прямого угла этого треугольника.

Раздел математики, сейчас называемый «математический анализ», в старые годы был известен под названием «дифференциальное и интегральное исчисление». Отнюдь не всем обязательно знать точное определение таких основных понятий этого раздела, как производная и интеграл. Однако каждому образованному человеку желательно иметь представление о производном числе как о мгновенной скорости (а также как об угловом коэффициенте касательной) и об определённом интеграле как о площади (а также как о величине пройденного пути). Поучительно знать и о знаменитых математических проблемах (разумеется, тех из них, которые имеют общедоступные формулировки) — решённых (таких как проблема Ферма4 и проблема четырёх красок5), ждущих решения (таких, как проблема близнецов6) и тех, у которых решения заведомо отсутствуют (из числа задач на геометрическое построение и простейших задач на отыскание алгоритмов). Ясное понимание несуществования чего-то — чисел ли с

4 Проблема Ферма заключается в требовании доказать следующий факт: не существует такой четвёрки положительных целых чисел а, b, с, n, для которых выполнялось бы неравенство n>2 и равенство an + bn=cn. (Как демонстрирует египетский треугольник, при n = 2 такая четвёрка существует.)

5 Проблема четырёх красок заключается в требовании доказать следующий факт: любую мыслимую карту можно так раскрасить в четыре цвета, чтобы страны, имеющие общую границу, всегда были окрашены в разные цвета. Проблема ждала решения более ста лет.

6 Близнецами называются такие два простых числа, разность между которыми равна двум, например 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. Неизвестно, конечным или бесконечным является количество близнецовых пар; в требовании дать ответ на этот вопрос и состоит проблема близнецов. (Напомним, что простым называется такое большее единицы целое число, которое делится без остатка только на само себя и на единицу.)

заданными свойствами, или способов построения, или алгоритмов — создаёт особый дискурс, который можно было бы назвать культурой невозможного. И культура невозможного, и предпринимаемые математикой попытки познания бесконечного значительно расширяют горизонты мышления.

Всё это, ломая традиционный стереотип математики как сухой цифири, создаёт её образ как живой области знания, причём живой в двух смыслах: во-первых, связанной с жизнью, во-вторых развивающейся, т. е. продолжающей активно жить. Всякому любознательному человеку такая область знания должна быть интересна. Вообще, образованность предполагает ведь знакомство не только с тем, что непосредственно используется в профессиональной деятельности, но и с человеческой культурой как таковой, чьей неотъемлемой частью — повторим это ещё раз — является математика.

Здесь возможен следующий упрёк. Хотя в названии настоящего очерка политкорректно говорится о преодолении барьера, изложение явно уклоняется в сторону пропаганды «математического». Автор болезненно относится к такому упрёку и спешит оправдаться. Дело в том, что гуманитарная культура не нуждается в пропаганде, она не только повсеместно признана непременной частью культуры вообще, но часто отождествляется с последней. Отличать ямб от хорея, понимать значение выражения «всевышней волею Зевеса», а заодно и знать, кто такой Зевес, — все (или, по крайней мере, большинство) согласны в том, что подобные знания и умения входят в общеобязательный культурный багаж. Включение же в этот багаж чего-то математического в качестве обязательной составной части многим может показаться непривычным и потому нуждается в лоббировании.

IV

Однако образование состоит не только в расширении круга знаний. Не в меньшей степени оно состоит в расширении навыков мышления. Математик и гуманитарий обладают различными стилями мышления, и ознакомление с иным стилем обогащает и того, и другого. Скажем, изучение широко распространённого в математике аксиоматического метода, при котором в рассуждениях дозволяется использовать только ту информацию, которая явно записана в аксиомах, прививает привычку к строгому мышлению. А знакомство со свойствами бесконечных множеств развивает воображение. Потребуются ли когда-нибудь, скажем, историку аксиоматический метод или

бесконечные множества? Более чем сомнительно. Но вот строгость мышления и воображение не помешают и ему. С другой стороны, и математику есть чему поучиться у гуманитария. Последний более толерантен к чужому мнению, чем математик, и это говорится здесь в пользу гуманитария (разумеется, имеются в виду некоторые усреднённые — а то и воображённые автором этих строк — гуманитарий и математик). Математические понятия резко очерчены, тогда как гуманитарные расплывчаты; и как раз эта расплывчивость делает их более адекватными для описания окружающего нас расплывчатого мира, поскольку его явления (или надо сказать «его феномены»?) сами расплывчаты. Математик ведь привык иметь дело с такими утверждениями, каждое из которых либо истинно, либо ложно, и эта привычка поневоле заставляет его видеть мир в чёрно-белом цвете. Его мышление настроено на более высокую контрастность или резкость (не знаю, какое слово здесь правильнее). Ему, в отличие от гуманитария, чужда или непонятна мысль, что истина, может быть, и одна, но вот правда у каждого своя.

Поучительно сравнить между собой методы рассуждений, применяемые в математических и в гуманитарных науках. На самом деле речь идёт здесь о двух типах мышления, и человеку полезно быть знакомым с каждым из них. Автор не берётся (потому что не умеет) описать эти типы, но попытается проиллюстрировать на двух примерах своё видение их различия. Пример первый. Все знают, что такое вода, — это вещество с формулой Н2О. Но тогда то, что мы все пьём — это не вода. Разумеется, в повседневной речи и математик, и гуманитарий и то, и то называет водою, но в своих теоретических рассуждениях первый как бы тяготеет к тому, чтобы называть водою лишь Н2O, а второй — всё, что имеет вид воды.

Потому что математик изучает идеальные объекты, имеющие такой же статус, как, скажем, круги и треугольники, которых ведь нет в реальной природе; гуманитарий же изучает предметы более реалистические. Боюсь, впрочем, что этот пример слишком умозрителен и способен отчасти запутать читателя. Вот другой, уже не умозрительный, а взятый из жизни пример. Имеется строгое (кстати, в наиболее отчётливой форме сформулированное Колмогоровым) определение того, что такое ямб. Мы имеем здесь в виду не ямбическую стопу та-тА, понимание которой не вызывает вопросов, а ямбическую строку, которая может состоять отнюдь не из одних только ямбических стоп (как иногда ошибочно думают): любая ямбическая стопа может быть всегда заменена пиррихием та-та (здесь оба слога безударны), а в особых случаях, впервые чётко указанных

Тредиаковским, и спондеем тА-тА (здесь оба слога ударны). Если в стихотворении встречается отклонение от законов, которым обязана подчиняться ямбическая строка, то с точки зрения математика это уже не ямб. Однако для многих филологов стихотворение, содержащее не слишком много нарушений, не перестаёт быть ямбическим — в то время как математик назовёт его всего лишь похожим на ямб, ямбоподобным.

По-видимому, математики, которых специально обучают обращению с абстракциями, начинают мыслить отчасти по-особому. Некоторые из них перестают это замечать и начинают думать, что так мыслят все. Другие же математики достаточно реалистически осознают ограниченность применения своих представлений к реальным ситуациям и с удовольствием рассказывают анекдоты, высмеивающие тех математиков, которые эту ограниченность не замечают (или не желают замечать). Вот три примера таких анекдотов.

Жена говорит мужу-математику: «Купи батон, а если будут яйца, купи десяток». Муж приносит десять батонов. (Действительно, сказанное женой имеет — на формальном уровне — два смысла, и муж воспользовался тем из них, который аналогичен смыслу фразы: «Купи батон, а если хватит денег, купи десяток».)

Летящие на воздушном шаре заблудились в критической для них ситуации, и им жизненно необходимо знать, где они находятся. Завидев человека внизу, они крикнули ему: «Где мы?». Человек внизу оказался математиком, и его ответом было: «Вы на воздушном шаре». (Более длинный вариант анекдота таков. Спрошенный, прежде чем ответить, подумал, и тогда один из унесённых ветром воздухоплавателей сказал: «Ясно, что этот человек — математик. Во-первых, он подумал, прежде чем дать ответ. Во-вторых, его ответ был совершенно точен и совершенно бессмыслен».)

Пассажиры поезда наблюдают в окно нескончаемые стада белых овец. И вдруг замечают чёрную овцу, повернувшуюся к мчащемуся поезду боком. «О, здесь бывают и чёрные овцы!» — восклицает один из пассажиров. «По меньшей мере одна овца с по меньшей мере одним чёрным боком», — поправляет его другой, математик.

«Сказка ложь, да в ней намёк! Добрым молодцам урок». Эти анекдоты весьма поучительны: в них в наглядной и сжатой форме выражена идея о том, что чрезмерная точность может быть вредной, может мешать адекватному восприятию текста. Здесь — основа для уважительного диалога между гуманитарием и математиком, диалога, полезного для обеих сторон. В этом диалоге математик обучает гуманитария... — нет, не так, не обучает, а делится с собеседником

своими представлениями о важности точности, причём не только точности слов, о которой говорил ещё Декарт, процитированный нами в эпиграфе, но и точности синтаксических конструкций. Математик в этом диалоге пытается передать гуманитарию свою способность увидеть логический каркас текста. Гуманитарий же делится с математиком своими соображениями о важности неточности, он объясняет математику, что и «плоть» текста, натянутая на его логический каркас, и контекст, в котором возникает текст, не менее существенны, чем упомянутый каркас. Окружающий мир, говорит гуманитарий, аморфен и расплывчат, и потому неточные, расплывчатые тексты и образы более приспособлены для адекватного его отражения, нежели тексты и образы математически точные.

V

Ряд положений языкознания может быть изложен с математической точностью. (А, скажем, для литературоведения подобный тезис справедлив разве что в применении к стиховедению.) В то же время именно на уроках математики учащиеся могли бы приучаться правильно выражать свои мысли на своём родном языке. Уроки языка и уроки литературы на родном языке проводятся, как правило, одним и тем же учителем. На наш взгляд, было бы полезнее несколько отделить лингвистику от литературоведения. И уже совсем крамольная идея — объединить, хотя бы в порядке эксперимента, язык и математику, с тем, чтобы один и тот же учитель преподавал и математику, и родной язык. Некоторые уважаемые коллеги автора этих строк нашли эту фантастическую идею ужасающей. Поэтому спешу объясниться.

Прежде всего, идея эта не столько крамольная, сколько утопическая и относится к некоторому идеальному будущему. Будущее, как известно, подразделяется на обозримое и необозримое. В обозримом будущем объединение уроков языка и уроков математики нереально хотя бы потому, что преподавателей, способных осуществить такое объединение, на сегодняшний день не существует. Если же говорить о будущем необозримом, то можно предполагать, что сама технология обучения в этом будущем кардинально изменится и окажется мало похожей на сегодняшнюю. Так что высказанное предложение обозначает всего лишь вектор движения, и притом не движения реальной организации образования, а движения мысли. Это как показ изделий высокой моды или выставки и конкурсы бумажной архитектуры, которые хотя и не предполагают реализации образцов одежды или

архитектурных проектов, но ценятся дизайнерами реальной одежды и реальной архитектуры.

Что до «движения мысли», то здесь надлежит сказать следующее.

Среди многочисленных функций языка можно выделить две: передавать информацию и передавать эмоции. Разумеется, в реальном использовании языка названные функции переплетены. Тем не менее, при всей их нераздельности наличествует и некая неслиянность, и можно попытаться разделить их как в обучении языку, так и в его преподавании. Функция передачи эмоций сближает язык с литературой (думается, что, когда говорят о «великом и могучем», имеют в виду именно эту функцию). Действительно, вся стилистика, всевозможные художественные средства языка, и, в частности, такие локальные средства, как тропы (метафоры, метонимии, гиперболы и т. п.), — всё это относится столько же к ведомству лингвистики, сколько к ведомству литературоведения. Поэтому названные темы могут изучаться на лингвистико-литературоведческих уроках. Нас же будет интересовать функция бесстрастной передачи информации; она воплощается в таких текстах, которые один из основоположников отечественного программирования Андрей Петрович Ершов называл деловой прозой. К деловой прозе относятся, в частности, естественнонаучные тексты7 (и прежде всего математические), юридические тексты, тексты делопроизводства, инструкции. Деловая проза занимает всё большее место в нашей жизни и потому должна быть предметом, которому учат в школах. Соответствующее преподавание могло бы происходить на уроках родного языка или же на специальных уроках, посвящённых чистой, т. е. не несущей эмоции, информации.

Обучение деловой прозе заключается в обучении правильно ею пользоваться, т.е. правильно составлять и правильно понимать, иначе говоря, правильно выражать мысль посредством слов и правильно находить в словах выраженную ими мысль. Это особенно важно для правильного понимания инструкций. Их понимание может вызывать проблемы.

Приведём одну из таких проблем, случившихся на практике8. Чтобы стать членом некоего общества гуманитарной направленности, надо пройти процедуру голосования на имеющиеся вакансии.

7 Было бы хорошо, если бы и некоторые гуманитарные тексты, в частности все тексты исторической науки, писались с такой же безоценочной бесстрастностью.

8 А именно, в 2008 году при избрании в члены-корреспонденты одного из гуманитарных отделений Российской академии наук. Эпизод этот излагается нами в нарочито абстрактном виде.

Правом голоса обладают все члены общества, голосование проводится турами. Положение о выборах было написано математиками. Оно гласит:

Для избрания членом общества необходимо получить не менее 2/3 голосов лиц, принявших участие в голосовании, и не менее половины от списочного состава общества. Кандидат считается избранным в данном туре голосования, если в этом туре он получил необходимое для избрания число голосов и число всех кандидатов, получивших в этом туре такое же или большее число голосов, не превышает числа вакансий по данной специальности, оставшихся незаполненными в предыдущих турах (в первом туре — числа всех имеющихся вакансий). Если в первом туре голосования число избранных кандидатов по данной специальности оказалось меньше, чем число вакансий по этой специальности, то проводится второй тур голосования. Если по результатам первого и второго туров остались незаполненные вакансии по данной специальности, то проводится третий тур голосования.

Случилось так, что при выборах на единственную вакансию каждый из кандидатов X и Y получил во втором туре не менее 2/3 голосов лиц, принявших участие в голосовании, и не менее половины списочного состава. При этом Y получил больше голосов, чем Х. Два вопроса: избран ли кто-нибудь в этом туре, и если избран, то кто? надо ли проводить третий тур? Эксперимент показал, что математики отвечают на этот вопрос, как правило, верно, тогда как гуманитарии, как правило, неверно. Верные ответы состоят в том, что X не избран, избран Y и что третий тур проводить не надо. Это обосновывается следующим рассуждением. Имеются два условия избрания. Первое условие — получить необходимое количество голосов: не менее 2/3 голосов участвующих в голосовании и не менее половины от списочного состава. Второе условие — количество N всех кандидатов, получивших в этом туре такое же или большее число голосов, не превышает числа Р вакансий. В нашем примере первое условие выполнено для обоих кандидатов. Посмотрим, что происходит со вторым условием. В нашем примере число вакансий Р равно 1. Для X второе условие не выполнено, поскольку для этого кандидата N = 2 и тем самым N превышает Р. Для Y второе условие выполнено, поскольку для этого кандидата N = 1 и тем самым N не превышает Р. В реальности же был проведён третий тур, в котором избранным оказался X.

Напомним, что электорат состоял из гуманитариев. Мораль этой истории такова: текст положения о выборах, логически и лингвистически безупречный, всё же обладает тем недостатком, что реальный гуманитарный электорат понимает его (по крайней мере, отдельные его фрагменты) с трудом, или вовсе не понимает, или понимает неправильно. По-видимому, текст стоило бы переписать с учётом этого обстоятельства. Так что упрёк можно предъявить не только гуманитариям, не понявшим инструкцию, но и математикам, её составлявшим. Хотя текст инструкции безупречен с логической точки зрения и смысл его однозначен, он, этот текст, был составлен без учёта возможных психологических трудностей его восприятия.

В понимании деловой прозы главное — это понимание синтаксических конструкций. Вот пример на сравнительное понимание таких конструкций студентами-математиками и студентами-гуманитариями. Рассмотрим два утверждения: «каждый из присутствующих знает хотя бы один из следующих двух языков — баскского и чукотского» и «среди присутствующих есть некто, кто не знает ни баскского, ни чукотского». Абсолютное большинство студентов-математиков не испытывают никаких затруднений в понимании того, что каждое из этих утверждений равносильно отрицанию другого. Большое число студентов-гуманитариев испытывают такие затруднения.

Следует, однако, подчеркнуть, что реальная фраза на естественном языке состоит не только из её логического каркаса. Каркас этот облачён в мягкую (а то и пульсирующую студенистую) плоть, каковая плоть весьма существенна для адекватного восприятия фразы. Что и было продемонстрировано приведёнными выше анекдотами о математиках.

VI

В последние годы получило заметное распространение преподавание математики студентам гуманитарных специальностей. Если иметь в виду интересы такого преподавания, то понимание математиком способов мышления гуманитариев становится важно не только в общефилософском, но и в совершенно практическом аспекте. Чтобы преподавание было успешным, преподаватель-математик должен понимать, как предмет воспринимается его учениками-гуманитариями. Вот простой пример. Отношение называют рефлексивным, коль скоро всякий предмет, для которого данное отношение осмысленно, находится в этом отношении к самому себе. Пример рефлексивного отношения: 'жить в том же городе' — каждый живёт

в том же городе, что он сам (не исключено, впрочем, что некоторые сочтут предложение «NN живёт в том же городе, что он сам» бессмысленным). Будет ли рефлексивным отношение 'находиться неподалёку'? Опрошенные мною математики (притом отнюдь не математические логики) отвечали, что будет: каждый предмет находится неподалёку от самого себя. Гуманитарии же—да и просто обычные люди, нематематики, — в большинстве своём расценивают высказывание «нечто находится неподалёку от самого себя» либо как ложное, либо как бессмысленное. Причина такого расхождения, надо полагать, заключается в следующем. «Неподалёку» означает 'на малом расстоянии' (но смысл слова этим не ограничивается, о чём будет сказано ниже). Математики свободно оперируют расстоянием ноль, на каковом расстоянии любой предмет находится от самого себя. Для нематематика же, в том числе для гуманитария, нулевых расстояний не бывает. Беседуя как-то с дамой, мастером по маникюру и педикюру, я спросил её, находится ли предмет неподалёку от самого себя. Получив, к немалому своему удивлению, положительный ответ, я спросил о расстоянии между предметом и им самим и удивился ещё более: ответом был ноль. Тогда я задал вопрос об образовании моей собеседницы. Оказалось — высшее техническое по специальности «гидравлика», с достаточно большим курсом математики. Всё стало на свои места. Даже если её и не обучали в этих курсах расстоянию ноль, то даваемая в них общая система понятий и терминов не могла не выработать мысли о возможности такого расстояния.

Математики, в большинстве своём, не замечают, что слово «неподалёку» означает нечто большее, чем малость расстояния. Напомним, что отношение называется симметричным, коль скоро выполняется следующее условие: всякий раз, когда какой-то предмет находится в этом отношении к другому, то и этот второй предмет находится в том же отношении к первому; примеры симметричных отношений: 'жить в том же городе', 'быть родственниками'. По наблюдению автора этих строк, для большинства математиков отношение 'находиться неподалёку' является симметричным. Но анализ естественного языка показывает, что значение словосочетания 'находиться неподалёку' отнюдь не симметрично. Соответствующее наблюдение сделал выдающийся американский лингвист Леонард Талми. Вот что пишет Талми по этому поводу9:

9 Leonard Talmy. Toward a Cognitive Semantics. — V. 1. — The MIT Press, 2000. — P. 314. — [http://linguistics.buffalo.edu/people/faculty/talmy/ talmyweb/Volumel/chap5.pdf].

Можно было бы ожидать, что такие два предложения, как

(a) Велосипед находится неподалёку от дома;

(b) Дом находится неподалёку от велосипеда10.

будут синонимичны, на том основании, что они всего-навсего выражают две инверсные формы некоторого симметричного отношения. Отношение это выражает не что иное, как малость расстояния между двумя объектами. На самом же деле эти два предложения вовсе не означают одно и то же. Они были бы синонимичными, если бы они выражали только указанное симметричное отношение. Однако, в дополнение к этому, (а) содержит несимметричное указание, что один из объектов (а именно дом) имеет местоположение [set location] в пределах некоторой рамки [reference frame] (в качестве таковой здесь подразумевается данная окрестность, весь мир и т. п.), и используется в целях сообщения о местоположении другого объекта (а именно велосипеда). Соответственно, местоположение этого другого объекта есть переменная (для рассматриваемого примера это так и есть, поскольку в разных ситуациях велосипед окажется в разных местах), чьё частное значение и составляет предмет интереса.

Что касается предложения (b), то оно содержит противоположное указание. Это указание, однако, не вписывается в привычную картину мира, что и заставляет предложение (b) выглядеть странным и, тем самым, ясно демонстрирует его отличие от (а).

Из разбора Талми в действительности видно, что обычный человек (в том числе гуманитарий) полнее и глубже понимает смысл русского слова неподалёку (а именно, слышит во всей полноте заключённый в нём «семантический звук», а потому и отвергает фразу, где он прозвучать не может) — глубже, чем типичный математик. Типичный математик слышит в этом слове только те элементы, которые ему профессионально близки (да ещё зачастую учит гуманитария быть таким же полуглухим).

VII

Различие в понимании слов составляет существенную часть барьера, упомянутого в заголовке настоящего очерка. И следует признать, что подавляющая часть людей находится по ту же сторону барьера, что и гуманитарии. Честнее было бы сказать, что

10 В оригинале: «The bike is near the house » и «The house is near the bike».

гуманитарии просто пользуются общенародными значениями слов. (Подозреваю, правда, что, когда в гуманитарном собрании звучат слова дискурс, парадигма, экзистенциальный и им подобные, затесавшийся на собрание математик получает редкую возможность насладиться своим единством с большинством человечества.) Можно выделить два фактора, вызывающие указанное различие.

Первый, очевидный фактор состоит в том, что математики пользуются точной терминологией, а в качестве терминов нередко используют слова обычного языка, придавая им совершенно новый смысл. Например, слова кольцо и поле обозначают в математике алгебраические структуры определённого вида, ничего общего не имеющие с обручальными кольцами и засеянными полями. Подобные явления следует квалифицировать как омонимию, а омонимия, как правило, легко устраняется контекстом, и потому правильное понимание того, какое значение слова имеется в виду, обычно не является проблемой11. Математики настолько привыкли к свободному заимствованию общеупотребительных слов для использования в качестве сугубо математических терминов, что бывают склонны искать особый, «математический» смысл в самых обычных словах. Вот иллюстрация к сказанному. Механико-математический факультет Московского университета, 1950-е годы. Идёт научный семинар, руководимый знаменитым математиком Сергеем Львовичем Соболевым (сейчас его имя носит Институт математики Сибирского отделения РАН). До слегка задремавшего Соболева доносятся слова докладчика: «А теперь я должен ввести целый ряд обозначений». Соболев просыпается и спрашивает: «Простите, какой ряд вы называете целым?». (Для тех читателей, которые незнакомы с математическим термином ряд, поясню, что в математике рядом называется последовательность из бесконечного числа членов, подлежащих суммированию.) В подобных случаях долг гуманитария — напомнить математику, что обычные слова имеют значения и за пределами математического жаргона.

Второй фактор наблюдается в тех случаях, когда математический смысл слова, заимствованного из естественного языка, близок к обычному смыслу этого слова, но не совпадает с этим обычным смыслом. Так, математическое понимание слова угол заимствовано

11 Математикам, впрочем, иногда нравится обыгрывать указанную омонимию в каламбурах: И до боли жаждет воли / Истомившийся от бега / По борелевскому полю / Измеримых по Лебегу. Те множества, которые являются измеримыми по Лебегу, действительно образуют борелевское поле, но бежать по нему, разумеется, невозможно.

из обыденного понимания этого слова, однако эти понимания не совпадают даже в простейшем случае угла между двумя прямыми линиями (не говоря уже об угле комнаты): обыденное понимание вряд ли примирится с углом в ноль градусов. В подобных случаях установление правильного значения исходя из контекста может оказаться затруднительным. Этот фактор более глубок и заключается, по-видимому, в том, что занятия математикой и сопряжённое с ними систематическое использование точной терминологии приводят к изменениям психологии — по крайней мере, в части восприятия слов. Этот фактор и проявился в нашем примере со словом неподалёку.

Пожалуй, существует и третий фактор, не упомянутый нами по той причине, что он, возможно, проявляется лишь в одном (но очень важном) слове. Фактор этот заключается в том, что для обозначения одного важнейшего — и важнейшего не только для математики! — понятия в русском языке отсутствует нужное слово. В математике понятие, о котором идёт речь, обозначается словом ложь.

Слово ложь происходит от глагола лгать, каковой факт отражается в его определении в толковых словарях: «неправда, намеренное искажение истины». Подчеркнём здесь слово «намеренное». Знаменитый «Энциклопедический словарь» Брокгауза и Ефрона в одноимённой статье прямо указывает на аморальность лжи:

Ложь — в отличие от заблуждения и ошибки — обозначает сознательное и потому нравственно предосудительное противоречие истине. Из прилагательных от этого слова безусловно дурное значение сохраняет лишь форма лживый, тогда как ложный употребляется также в смысле объективного несовпадения данного положения с истиною, хотя бы без намерения и вины субъекта; так, лживый вывод есть тот, который делается с намерением обмануть других, тогда как ложным выводом может быть и такой, который делается по ошибке, вводя в обман самого ошибающегося.

Мы видим, что в значение русского существительного ложь непременно входит субъект и его злонамеренность. Но субъект со своими намерениями чужд математике.

Вместе с тем в математике ощущается острая потребность в слове, обозначающем любое неистинное утверждение. В качестве такого слова и выбрано слово ложь. Таким образом, математики употребляют это слово, лишая его какой-либо нравственной оценки

и отрывая от слова лгать. Заметим, что английский язык располагает двумя словами для перевода русского слова ложь: это Не для обычного, общенародного, бытового его смысла, включающего сознательную злонамеренность, и falsehood для смысла математического. Заметим также, что в русском языке существует слово, обозначающее любое истинное утверждение, вне зависимости от намерений, с которыми это утверждение сделано, — это слово истина. Можно сказать «дважды два четыре — это истина» и при этом не иметь в виду никого, кто бы собирался нас просветить. Но в математике можно сказать и «дважды два пять — это ложь», не имея в виду никого, кто бы стремился нас обмануть. (Вот тема для любителей философии языка: истина в русском языке объективна, а ложь субъективна.)

VIII

Было бы замечательно, если бы математик был способен понимать точку зрения гуманитария, в значительной степени отражённую в языке гуманитария, а гуманитарий — точку зрения математика, в ещё большей степени отражённую в языке математика. И то, и другое трудно. Ещё труднее не требовать признания одной из точек зрения единственно правильной. Таким образом, и гуманитариев, и математиков следует призвать сделать шаги навстречу друг другу. И начинать надо с преподавания, руководствуясь следующими словами А. Н. Колмогорова:

...Учитель (для конкретности — преподаватель математики) находится в том же положении, как учёный, приходящий со своей проблематикой в уже существующий вычислительный центр с определённым набором вычислительных машин, запасом заготовленных (с другими целями!) программ, даже со штатом программистов. Задача его состоит в том, чтобы обучить этот сложный механизм выполнить новую работу, используя все свои уже заготовленные заранее механизмы, программы, навыки.

IX

Обсуждая вопрос о преподавании кому-либо чего-либо, полезно иметь представление о целях этого преподавания. Среди таких целей можно выделить две:

1) получение образования;

2) подготовка к профессии.

Следует заметить, что в ряде стран различие названных целей отчётливо отражено в организации образовательных учреждений. Так, в России разделение целей организационно оформлено на уровне среднего образования, во Франции — на уровне высшего. В современной России, как это было ещё в СССР, образование призваны давать средние школы; в СССР к профессии готовили техникумы, каковые в современной России переименованы, кажется, в колледжи (слава богу, что не в академии). Во Франции образование дают Университеты, профессии же — так называемые Высшие школы («Grandes Ecoles»), среди которых наиболее известны Высшая нормальная школа (École normale supérieure) и Политехническая школа (École Polytechnique). В университеты берут без экзамена всякого, лишь бы он проживал в данном регионе и имел надлежащую справку о среднем образовании; в высшие школы — суровый конкурс, и по крайней мере в некоторых из них платят приличную стипендию.

X

Разумеется, грань между повышением общеобразовательного уровня и профессиональной подготовкой зачастую стирается. Скажем, знакомство с аксиоматическим методом значимо не только в плане общего образования.

Разъясним, прежде всего, как в рамках этого метода трактуется слово аксиома. В повседневном языке аксиома понимается, скорее всего, как утверждение настолько очевидное, что не требует доказательств. Однако авторитетный толковый словарь Ушакова вообще отрицает принадлежность слова аксиома повседневному языку, относя один из оттенков его значения к математике, а другой — к языку книжному12. Словари же иностранных слов — и словарь Крысина13, и словарь трёх авторов14 — если и впускают это слово в повседневный язык, то лишь в значении, квалифицируемом этими словарями как переносное: «Бесспорное, не требующее доказательств положение». Для основного же, даваемого первым значения слова аксиома эти словари дают близкие друг другу толкования:

12 «Положение, принимаемое без доказательств (мат.). || Очевидная истина, утверждение, принимаемое на веру (книжн.)» (Толковый словарь русского языка / Под ред. Д. Н. Ушакова)

13 Л. П. Крысин. Толковый словарь иноязычных слов. — 2-е изд., доп. — М.: Русский язык, 2000.

14 Е. Н. Захаренко, Л. Н. Комарова, И. В. Нечаева. Новый словарь иностранных слов. — М.: Азбуковник, 2003.

«Исходное положение, принимаемое без доказательств и лежащее в основе доказательств истинности других положений» (словарь Крысина), «Отправное, исходное положение какой-либо теории, лежащее в основе доказательств других положений этой теории, в пределах которой оно принимается без доказательств» (словарь трёх авторов). Таким образом, в том своём значении, которое является основным для математиков, аксиомы функционируют не как положительные утверждения, а как формулировки предположений. В современной математике развитие какой-либо аксиоматической теории происходит так: предположим, что верно то, что записано в аксиомах, тогда окажется верным то-то и то-то.

Сущность аксиоматического метода останется непонятной без предъявления содержательных примеров. Сообщим поэтому, как выглядит фрагмент одной из аксиоматических систем для геометрии. Сперва объявляется, что существуют два типа объектов; объекты первого типа называются точками, объекты второго типа называются прямыми. Что это за объекты, как они «выглядят», намеренно не объясняется. Далее объявляется, что существует некоторое отношение, называемое отношением инцидентности, в которое могут вступать между собой отдельно взятая точка и отдельно взятая прямая. Что это за отношение, опять-таки не объясняется, сообщается лишь, что если даны точка и прямая, то они могут быть инцидентны друг другу, а могут быть и не инцидентны. Если точка инцидентна прямой, то говорят, что точка лежит на этой прямой, а прямая проходит через эту точку. Наконец, указываются свойства, соединяющие между собой вводимые сущности: в нашем случае — точки, прямые, отношение инцидентности. Формулировки таких свойств и называются в математике аксиомами — в нашем случае аксиомами геометрии. Приведём для примера три из аксиом геометрии. Первая: для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из этих точек. Вторая: существуют три точки, не лежащие на одной прямой. Третья: для любой прямой и любой не лежащей на ней точки существует не более одной прямой, проходящей через эту точку, но не проходящей ни через одну из точек, лежащих на исходной прямой (эта аксиома называется аксиомой о параллельных). Эти три аксиомы вкупе с другими аксиомами, говорящими о свойствах точек, прямых и отношения инцидентности, а также свойствах некоторых других объектов и отношений, позволяют развить науку, называемую геометрией. При этом никакими иными сведениями, кроме тех, которые записаны в аксиомах, пользоваться не разрешается. Предпринимались попытки создать аксиоматику и

для некоторых нематематических дисциплин, скажем, для фонологии. В качестве исходных понятий брались такие объекты, как звук языка и фонема. В качестве исходных отношений — отношение равносмысленности, в каковом отношении могли находиться две цепочки звуков языка и отношение принадлежности, в каковом отношении могли находиться звук языка и фонема. Одна из аксиом постулировала, что если при замене в какой-то цепочке звуков языка звука X звуком У оказалось, что результирующая цепочка не равносмысленна исходной, то звуки X и Y не могут принадлежать одной и той же фонеме (эта аксиома называется аксиомой минимальной пары, поскольку пара цепочек, не являющихся равносмысленными и различающихся лишь тем, что в одной и той же позиции в них стоят разные звуки, называется минимальной парой). Другая аксиома постулировала, что если, напротив, в любой цепочке звуков такая замена приводит к равносмысленной цепочке, то звуки X и Y непременно принадлежат одной и той же фонеме (эта аксиома называется аксиомой свободного варьирования, поскольку про звуки X и Y, во всех случаях допускающие замену одного другим, так что результирующая цепочка оказывается равносмысленной исходной, говорят, что они находятся в отношении свободного варьирования).

И геометрический, и фонологический примеры демонстрируют главное, что характеризует аксиоматический метод. Это главное состоит в следующем. Природа вводимых в рассмотрение предметов и отношений намеренно не разъясняется, они остаются неопределяемыми. Единственное, что про них предполагается известным, — это те связи между ними, которые записаны в аксиомах. Вся дальнейшая информация выводится из аксиом путём логических умозаключений. Таким образом, человек, собирающийся развивать теорию на основе сформулированных аксиом, должен сделать над собой психологическое усилие и забыть всё, чему его учили в школе по геометрии и в вузе по фонологии. Другое дело, что он ни в коем случае не должен забывать этого на стадии составления списка аксиом, коль скоро он желает, чтобы эти аксиомы отражали реальность.

В обоих наших примерах невозможно было выделить из списка аксиом геометрии такие, которые характеризовали бы только точку, или только прямую, или только инцидентность. Аналогично среди аксиом фонологии невозможно выделить такие, которые характеризуют, скажем, только звук речи или только равносмысленность. Набор аксиом характеризует, как правило, исходные понятия не по отдельности, а в их совокупности — через объявление их связей между собой.

Аксиоматический метод может рассматриваться как один из способов введения новых понятий, наряду с широко известными демонстрационным и вербальным. Демонстрационный способ заключается в предъявлении достаточного числа примеров, не только положительных, но и отрицательных. Желая, например, ввести понятие 'кошка', нужно показать достаточное количество кошек, но также, скажем, собак и кроликов, объясняя, что эти собаки и кролики не суть кошки. Вербальный способ опирается на словесную дефиницию. Вот два примера вербального способа: 1) определение слова хвоя из толкового словаря Ушакова: «Узкий и упругий в виде иглы лист у некоторых пород деревьев»; 2) определение термина простое число: «Натуральное число называется простым, если оно, во-первых, больше единицы и, во-вторых, делится без остатка только на единицу и на само себя» (интересно, кстати, сколько чисел, как простых, так и простыми не являющихся, надо предъявить, чтобы понятие простого числа могло быть усвоено демонстрационным способом15). Аксиоматический способ определения, скажем, понятия 'точка' предполагает определение этого понятия одновременно с понятиями 'прямая' и 'инцидентно'. Все эти три понятия определяются не порознь, а совокупно, через ту информацию о них, которая записана в аксиомах. Хотя записанная в аксиомах информация, очевидно, вербальна, аксиоматический способ существенно отличается от вербального. Ведь при вербальном способе новое понятие определяется через старые, уже известные; при аксиоматическом способе несколько новых понятий определяются друг через друга на основе тех соотношений, кои связывают их в аксиомах.

XI

Сходным образом, изучение математических моделей реальных явлений позволяет осознать границы моделирования, задуматься над соотношением между моделью и моделируемой реальностью. Но помимо этой философской миссии, изучение математических моделей явлений экономики, психологии или лингвистики позволяет и лучше понять сами моделируемые явления. Можно согласиться с теми, кто не устаёт напоминать об ограниченности математических моделей. Действительно, когда говорят о точности такой модели, то подразумевают её точность как математического объекта, т. е. точность «внутри себя». Когда говорят о точности модели, речь не

15 Задача для развлечения нематематика: продолжить последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . ..

идёт о точности описания, т. е. о точном соответствии модели с описываемым фрагментом действительности. Под ограниченностью математических моделей как раз и понимается их неспособность охватить описываемое ими явление во всей его полноте. Однако нельзя согласиться с теми, кто в этой ограниченности видит их слабость. Скорее, в этом их сила. Математическая модель должна быть проста, а потому огрублена. Проиллюстрирую сказанное таким примером. Все знают, что Земля — шар. Те, кто получил некоторое образование, знают, что Земля — эллипсоид вращения, сдавленный у полюсов. Геодезисты знают, что Земля — геоид; геоид есть геометрическая фигура, поверхность которой совпадает с поверхностью Земли без учёта таких мелких деталей, как горы и т. п. (более точно — совпадает с той поверхностью, которую образовывал бы Мировой океан, если бы все материки и острова были бы залиты водой, или, ещё более точно, были бы срезаны по уровню Мирового океана). Мы имеем здесь три математические модели, с возрастающей точностью описывающий моделируемый ими объект — форму планеты Земля. Самая важная из этих моделей — самая первая, она же самая неточная. Хотя для прокладки авиамаршрутов нужна, возможно, и вторая, а для запуска баллистических ракет даже третья.

Полное понимание реального строения окружающей нас Вселенной вряд ли когда-либо будет достигнуто. Однако именно математические модели приближают нас к такому пониманию и — это главное — объясняют, каким это строение может быть. А ведь если вдуматься, то понимание некоторых сторон устройства пространственно-временного континуума (а может, вовсе и не континуума, а чего-то дискретного) существенно для выживания человечества — или, точнее, того, во что превратится человечество в далёком будущем.

Роль математической модели для представителя гуманитарной науки можно сравнить с ролью скелета для художника, рисующего человека. Художник не изображает скелет, скелет скрыт и от него, и от зрителя картины, но, чтобы грамотно изобразить человеческую фигуру, полезно представить её себе в виде скелетного каркаса, обросшего плотью. Так, гениальный математик Андрей Колмогоров очертил скелет понятия падежа, указав, в частности, основные исходные представления, необходимые для образования этого понятия (а именно, представления о синтаксически правильной фразе, о состоянии предмета, о выражении состояний предмета контекстами и т. п.). Гениальный лингвист Андрей Зализняк обрастал этот скелет лингвистической плотью в своём знаменитом трактате «Русское именное словоизменение».

Тут самое время заметить, что скелеты всё же представляют скорее интерес для анатомов. И при всей пользе, которые могут извлечь художники от рисования скелетов, на картинах всё-таки изображаются скелеты, обросшие плотью. В качестве поучительного отступления перескажу свой разговор с Ираклием Луарсабовичем Андрониковым. Я спросил его, как ему удаётся добиваться не только голосового, но и портретного сходства с имитируемыми людьми. Он объяснил, что главное в похожести лица — это не геометрическая форма, которой он, разумеется, достичь не может, а мимика.

XII

Из только что сказанного как бы напрашивается вывод, что главная цель обучения гуманитариев математике состоит в обучении их математическим моделям или хотя бы в создании фундамента для такого обучения. Однако это не так.

Главная цель обучения гуманитариев математике — психологическая. Эта цель состоит не столько в сообщении знаний и даже не столько в обучении методу, сколько в изменении — нет, не в изменении, а в расширении психологии обучающегося, в привитии ему строгой дисциплины мышления (слово «дисциплина» понимается здесь, разумеется, не в значении 'учебный предмет', а в смысле приверженности к порядку и способности следовать этому порядку). Как сказал Ломоносов, «математику уже за то любить стоит, что она ум в порядок приводит».

Помимо дисциплины мышления я бы назвал ещё три важнейших умения, выработке которых должны способствовать математические занятия. Перечисляю их в порядке возрастания важности: первое — это умение отличать истину от лжи (понимаемой в обсуждённом выше объективном математическом смысле, т. е. без ссылки на намерение обмануть); второе — это умение отличать смысл от бессмыслицы; третье — это умение отличать понятное от непонятного.

Вливание элементов математической психологии в сознание гуманитариев (недруги такого вливания назвали бы его индоктринизацией, а то и интоксикацией) может осуществляться как в прямой форме, путём обучения в классах и аудиториях, так и в форме косвенной, путём проведения совместных исследований, участия математиков в проводимых гуманитариями семинарах и т. п.; к косвенным формам влияния относятся даже вопросы, задаваемые математиками на лекциях на гуманитарные темы. Здесь на память приходит известный случай из истории психологии. В конце XIX века в одной

из больших аудиторий Московского университета была объявлена лекция на тему «Есть ли интеллект у животных?». Просветиться на такую интригующую тему собралось несколько десятков, а то и сотен слушателей. Председательствовал заслуженный ординарный профессор математики Московского университета Николай Васильевич Бугаев — президент Московского математического общества (с 1891 года по 1903 год) и отец Андрея Белого. Перед началом доклада он обратился к аудитории с вопросом, знает ли кто-либо, что такое интеллект. Ответ оказался отрицательным. Тогда Бугаев объявил, что, поскольку никто из присутствующих не знает, что такое интеллект, лекция о том, есть ли он у животных, состояться не может. Это типичный пример косвенного воздействия математического мышления на мышление гуманитарное. Подобные формы воздействия также являются одним из элементов математического образования.

За последние полвека произошло заметное уменьшение количества непонятных или бессмысленных утверждений в отечественной литературе по языкознанию; полагаю, что это произошло не без влияния — как прямого, так и главным образом косвенного — математики. Случается, впрочем, и языковедам поправлять математиков. Наиболее существенную из таких поправок осуществил в отношении математика Фоменко лингвист Зализняк16.

Разумеется, математики не претендуют на то, чтобы ответить на проблемы, возникающие в гуманитарных науках (хотя именно математику Колмогорову принадлежит первое научное определение лингвистического понятия 'падеж'). Но они помогают гуманитариям лучше уяснить суть этих проблем и критически отнестись к попыткам их решения.

Роль математики в подготовке гуманитариев можно сравнить с ролью строевой подготовки в обучении воина. Все эти ружейные артикулы, повороты, строевой шаг и иные движения, которым обучают молодого бойца, вряд ли находят применение в реальном бою. Но во всех армиях мира они рассматриваются как необходимая основа всякого военного обучения, поскольку приучают выполнять команды. (Кстати, оперирование с математическими алгоритмами также приучает выполнять команды. «Сначала я вам скажу, что я делаю, а [только] потом объясню зачем» — это программное заявление содержится в одной из книг по методике математики.)

16 А. А. Зализняк. Лингвистика по А. Т. Фоменко // Успехи математических наук. — 2000. — Т. 55. — Вып. 2. — С. 162—188. И подробнее: А. А. Зализняк. Из заметок о любительской лингвистике. — М.: Русскiй Мiръ, 2009. — 240 с.

Строевая подготовка тренирует дисциплину — только не дисциплину мышления, как это делает математика, а дисциплину действий.

Другая аналогия — тренировка моряков на парусных судах. Не знаю, как сейчас, но во времена моей молодости всякий, кто обучался в гражданских мореходных вузах, в обязательном порядке проходил плавание на парусниках — и это притом, что применять полученные парусные навыки впоследствии ему вроде бы не приходилось. Тем не менее, обучение этим навыкам считалось (а может быть, и считается до сих пор) необходимой частью морской подготовки, необходимым тренингом. Сходным тренингом — тренингом мышления, наведением порядка в мозговых извилинах — служит математика.

XIII

Спросите «человека с улицы», в чём состоит аксиома о параллельных прямых и в чём состоит открытие Лобачевского. Эксперимент показывает, что на первый вопрос ответ будет в большинстве случаев таким (причём и в России, и в Америке): аксиома состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. А на второй вопрос ответ будет, скорее всего, таким: Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются. При этом отвечающий, как правило, знает, что прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. В значительном числе случаев ответившего можно убедить в ошибочности обоих ответов. В случае вопроса об аксиоме многие (но не все!) понимают, что коль скоро слово «параллельные» — это синонимичное название для непересекающихся прямых, то объявлять непересекаемость параллельных аксиомой довольно бессмысленно (это всё равно как объявить такую аксиому: «всякий красный предмет является красным»; впрочем, ощутимое количество людей не имеют ничего против такой аксиомы). Что до открытия Лобачевского, то, в чём бы оно ни состояло, ясно, что прямые линии, называемые параллельными, пересечься не могут.

Вопрос про аксиому о параллельных не является, разумеется, вопросом на испытание памяти. Точно так же вопрос об открытии Лобачевского не является вопросом на проверку эрудиции. Оба вопроса — на понимание смысла делаемых утверждений. Строго говоря, вся ситуация лежит здесь не в сфере математики, а в сфере упоминавшейся выше логики русского или иного естественного языка. И это довольно типично: значительная часть того,

что происходит на уроках математики для гуманитариев, как раз и должна, по нашему разумению, состоять в обсуждении этой логики, а отчасти и в обучении ей. Математики впитывают семантику неосознанно, поскольку занятия математикой невозможны без чётко сформулированных утверждений. Столь же неосознанно у гуманитариев семантика размывается — не без влияния расплывчатых текстов гуманитарных наук. (И для гуманитария такая размытость семантики зачастую необходима.)

Диалог математика с гуманитарием о параллельных прямых мы считали бы полезным и поучительным для обеих сторон. Вот ещё пример такого полезного и поучительного диалога.

Математик. Возьмём прямую линию и точку на ней. Существует ли на этой прямой точка, ближайшая к нашей точке и лежащая справа от неё?

Гуманитарий. Да, существует.

Математик. Вы не возражаете, если исходную точку мы обозначим буквой А, а ближайшую к ней справа буквой В?

Гуманитарий. Не возражаю.

Математик. Вы согласны с тем, что любые две различные точки можно соединить отрезком?

Гуманитарий. Согласен.

Математик. Значит, можно соединить точки А и В и получить отрезок AВ. Правильно?

Гуманитарий. Правильно.

Математик. А согласны ли вы с тем, что всякий отрезок имеет середину?

Гуманитарий. Согласен.

Математик. Значит, и у отрезка AB есть середина. Но ведь эта середина явно ближе к точке А, чем точка В. Меж тем, точка В — ближайшая к А. Как быть?

Гуманитарий. (Не знает, что сказать.)

Математик. Я лишь хотел обратить ваше внимание, что не могут одновременно быть истинными все три утверждения о существованиях: «Для всякого отрезка существует его середина», «Любые две различные точки можно соединить отрезком» и «Для точки на прямой линии существует ближайшая к ней точка справа».

Надо признать, впрочем, что ответ «Да, существует» на вопрос о ближайшей точке встречается хотя и весьма часто, но всё же реже, чем приведённые выше ответы о сущности аксиомы о параллельных и открытия Лобачевского.

Результатом диалога о ближайшей точке должно стать отнюдь не только уяснение гуманитарием того, что для данной точки не существует ближайшей к ней точки справа; несуществование такой точки — это, в конце концов, всего лишь математический факт. Не менее, а скорее даже более важным является уяснение математиком тех деталей психологии гуманитария, которая заставляет его считать, что такая точка существует. Дело в том, что представление о 'ближайшем' формируется у гуманитария (как и у всякого человека) не на основе изучения такого сложного и к тому же абстрактного образования, как континуум точек на прямой, а на основе наблюдений материальных предметов окружающего мира. Наблюдение же, скажем, окон дома или кресел в театральном зале не оставляет сомнений в наличии ближайшего справа окна или кресла (предвидя ехидное возражение мелочного педанта, прибавим: если только исходное окно или кресло не является крайним). Из сказанного можно сделать такое заключение: наш пример с ближайшей точкой есть конкретное проявление некоей общей трудности, имеющей философский характер. Трудность состоит в следующем. Математика изучает идеальные сущности (такими сущностями являются, в частности, точки), но обращается с ними, как если бы они были реальными предметами физического мира (например, применяет к точкам понятие 'ближайший'). Но в таком случае математик обязан отдавать себе отчёт, что подобный квазиматериальный подход к абстракциям, если не сделать специальных оговорок, влечёт перенесение на эти абстракции шлейфа таких представлений, которые абстракциям не свойственны, а заимствуются из обращения с физическими предметами. Что до упомянутых «специальных оговорок», они не делаются явно, а подсознательно впитываются математиками в процессе их обучения. В случае точек на прямой указанный шлейф включает в себя представление о точках на прямой как о мельчайших бусинах, нанизанных на натянутую нить. Разумеется, в рамках такого представления естественно предполагать наличие ближайшей точки и даже быть уверенным в таком наличии. В отличие от бусин, порядок точек на прямой является, в математической терминологии, плотным порядком; термин «плотный» означает, что для любых двух участвующих в этом упорядочении объектов, каковыми в данном случае служат точки прямой, найдётся объект (в данном случае точка) между ними. В окружающем нас материальном мире плотных порядков не встречается.

Вот другой пример на ту же тему. Одной из математических абстракций является пустое множество. Само понятие 'множество', подобно понятию 'натуральное число', является одним из первичных,

неопределяемых математических понятий, познаваемых из примеров. Синонимом математического термина множество является слово совокупность', объекты, входящие в какую-либо совокупность, она же множество, называются её (соответственно его) элементами. Слово «множество» может навести на мысль, что в множестве должно быть много элементов — тем более, что главное общеязыковое значение этого слова действительно выражает эту мысль, как, например, во фразе «Можно указать множество причин...». Эта ложная мысль разрушается уже заявлением, что «множество» (в математическом смысле) и «совокупность» суть синонимы: ведь количество элементов в совокупности может быть и малым. Заметим, кстати, что переводы термина «множество» на французский язык («ensemble») и на английский язык («set») не содержат идеи 'много'. Зададимся теперь вопросом, может ли совокупность состоять из одного элемента. Математик ответит категорическим «да». Для гуманитария же минимально возможное количество элементов совокупности — это два. Но математики свободно оперируют и пустым множеством, вовсе не содержащим элементов. На занятиях по математике гуманитарии быстро усваивают это понятие (в частности, соглашаются, что пустое множество единственно: пустое множество крокодилов и пустое множество планет — это одно и то же множество).

Для математика наименьшим числом, возможным при ответе на вопрос «Сколько?», является число ноль. Для нематематика же наименьшим числом, возможным при ответе на вопрос «Сколько?», является число один. Скажем, если в зоопарке всего лишь один слон, то слово «один» будет естественным ответом на вопрос «Сколько слонов в этом зоопарке?». Хотя нематематик поймёт ответ «ноль» на вопрос «Сколько в этом бассейне крокодилов?» и даже, возможно, сам в состоянии дать подобный ответ, но всё же он скорее ответит так: «Да нет тут никаких крокодилов!». И уж точно он не задаст вопрос «Сколько?», не спросив предварительно «Есть ли в этом бассейне крокодилы?», и только после положительного ответа спросит, сколько их.

Как в примере с точками, так и в примере с пустым множеством общение математика с гуманитарием здесь более поучительно для математика, нежели для гуманитария. Потому что заставляет математика осознать, что он, математик, даже в таких простых, казалось бы, вопросах, ушёл в мир абстрактных сущностей и тем самым удалился от общечеловеческого словоупотребления и образа мыслей.

Поэтому математику негоже с высокомерием относиться к высказываниям гуманитария. Напротив, ему полезно осознать, что это он приписывает своим абстракциям такие свойства, которые в жизни не

встречаются. Заметим, что именно неограниченное, а потому незаконное перенесение на математические абстракции слов и смыслов, заимствованных из реальной жизни, и приводит, в конце концов, к математическим парадоксам, а именно к так называемым парадоксам теории множеств. Эти парадоксы появляются там, где с чрезвычайно высокими абстракциями начинают обращаться так, как обращаются обычно с реальными предметами.

Заметим, что ту же, по существу, природу — природу незаконного перенесения — имеют и парадоксы, которые обычно называют логическими, хотя правильнее было бы называть их лингвистическими. Так мы и будем их называть. Как только что отмечалось, математические парадоксы возникают при попытке оперировать с математическими сущностями путём обычных словоупотреблений. Лингвистические парадоксы возникают, напротив, при попытке оперировать с обычными словоупотреблениями так, как если бы они выражали точные математические понятия. Обычные словоупотребления, как правило, имеют расплывчатый смысл, и попытка придания им точного смысла как раз и приводит к парадоксам. Приведём для ясности три известных лингвистических парадокса.

Парадокс кучи. Это один из самых известных и древних парадоксов. Ясно, что если из кучи песка удалить одну песчинку, то то, что останется, всё ещё будет кучей. Но ведь производя удаление достаточное количество раз, мы дойдём до одной единственной песчинки, каковая кучу не образует. Где же граница между кучей и не кучей? Ответ очевиден: слово «куча» имеет расплывчатый смысл, и потому искать точные границы этого смысла бесполезно.

Парадокс наименьшего числа. Возьмём «наименьшее натуральное число, которое не допускает определения посредством фразы, содержащей менее ста слов». С одной стороны, это число не допускает определения посредством менее ста слов. С другой стороны, взятая в кавычки фраза является его определением, причём таким, которое содержит менее ста слов. Разгадка в том, что мы обращаемся с выражением «определять натуральное число» так, как если бы оно имело точный смысл, какового в действительности оно не имеет. Достаточно задаться вопросом, какие слова можно использовать в определении. Можно ли, например, использовать названия редких растений, известные лишь узкому кругу ботаников, или специальные математические термины, или собственные имена людей (притом, что каждое такое имя принадлежит, как правило, нескольким людям)? Наш парадокс как раз и показывает, что обсуждаемому выражению точный смысл придать невозможно.

Парадокс гетерологичности. Назовём прилагательное гомологическим, если оно обладает тем свойством, которое это прилагательное выражает; в противном случае назовём его гетерологическим. Примеры: прилагательное «многосложный» само многосложно, и потому оно является гомологическим; прилагательное «односложный» не односложно, и потому оно является гетерологическим. Гомологическим или гетерологическим является прилагательное «гетерологический»? Если оно гомологическое, то, значит, оно обладает тем свойством, которое оно выражает, а свойство это — 'гетерологичность'; значит, рассматриваемое прилагательное — гетерологическое. Если же оно гетерологическое, то, обладая выражаемым им свойством гетерологичности, оно должно квалифицироваться как гомологическое. Как же быть? Всё дело в том, что слова «гомологический» и «гетерологический» не обладают точным смыслом, в презумпции какового происходит рассуждение. Толкование этих слов опирается на толкование словосочетания «свойство, выражаемое прилагательным», а при толковании этого словосочетания возникают значительные трудности. Возьмём, для примера, прилагательное простой. Возможно ли недвусмысленно указать свойство, выражаемое этим прилагательным? Где граница между простыми и непростыми сущностями? И подпадают ли под это свойство простые дроби, простые числа, простые вещества, простые эфиры и василистник простой (являющийся растением семейства лютиковых)?

XIV

Вернёмся, однако, к тому, чем математика может быть полезна всем — в частности, гуманитариям.

К воспитываемой на уроках математики дисциплине мышления относится осознание отчётливого различия между истиной и ложью (в вышеуказанном математическом значении слова «ложь»), между доказанным и всего лишь гипотетическим: ведь нигде эти различия не проявляются с такой чёткостью, как в математике. Автору очень хочется сказать, что математика — единственная наука, где достигается абсолютная истина, но он всё же на это не решается, так как подозревает, что абсолютность истины не достигается нигде. Но в любом случае математические истины ближе к абсолютным, чем истины других наук. Поэтому математика — наилучший полигон для тренировки на истину. Истина — основной предмет математики.

Духовная культура состоит не столько в знаниях, сколько в нормах. Нормы проявляются прежде всего в противопоставлениях. Эстетика

учит нас противопоставлению между прекрасным и безобразным, высоким и низким. Этика — между должным и недолжным, между нравственным, моральным и безнравственным, аморальным. Юриспруденция — между законным, правовым и незаконным, неправовым. Логика — между истинным и ложным. Но логика сама по себе не создаёт истин. Её законы носят условный характер: если то-то и то-то истинно, то неизбежно истинно то-то и то-то. (Точно так же теория вероятностей ни для какого события не назначает и не может назначать вероятности этого события, а лишь указывает, как по одним вероятностям вычислять другие. Например, она не утверждает, что при бросании монеты выпадение двух орлов подряд имеет вероятность одна четвёртая; она утверждает лишь, что если при одном бросании монеты выпадение орла имеет вероятность одна вторая и если результаты бросаний не зависят друг от друга, то выпадение двух орлов подряд имеет вероятность одна четвёртая.) Знаменитый силлогизм про смертность бедного Кая не утверждает, что Кай смертен, а утверждает лишь, что если все люди смертны и если Кай — человек, то и он, Кай, смертен.

Истину же поставляют конкретные науки, в том числе математика. Кажется, что математика становится, тем самым, на одну доску с другими науками. Но нет, это не так: её и только её истины могут претендовать на приближение к абсолютности, и если они даже не абсолютны, то «почти» абсолютны.

Приходится, однако, признать — математику со вздохом, гуманитарию с удовлетворением, — что в этой приближённости математических истин к абсолютным состоит некоторая ограниченность математики. Потому что тот мир, который дан нам в ощущениях, более адекватно отображается скорее в истинах, достаточно удалённых от абсолютных. Даже казавшиеся незыблемыми законы Ньютона оказались пригодными лишь для сравнительно узкой полосы между микро- и макромирами, а вне этой полосы требующими замены законами теории относительности. Что уж говорить о так называемых прописных истинах гуманитарной сферы, будь то истины моральные или эстетические, которые с трудом поддаются, а то и вообще не поддаются оценке в терминах «верно» и «неверно».

XV

Казалось бы, что может быть важнее и первичнее, чем умение отличать истинные высказывания от высказываний ложных. Однако ещё более важным, ещё более первичным является умение отличать

осмысленные высказывания от бессмысленных. Вот характерный пример бессмысленного высказывания: «рассмотрим совокупность всех слов, имеющих хотя бы одну общую букву». Бессмысленность этого заявления вызвана тем, что такой совокупности не существует. В самом деле, «рот» и «сыр» имеют общую букву эр и потому должны принадлежать этой совокупности. Слово «око» должно принадлежать этой совокупности, поскольку имеет общую букву со словом «рот», и не должно ей принадлежать, поскольку не имеет общих букв со словом «сыр». Мы потому назвали пример характерным, что подобные псевдоконструкции, ничего на самом деле не конструирующие, были довольно типичны для литературы по языкознанию несколько десятилетий назад. Возникало даже парадоксальное удовлетворение, когда некоторое опубликованное утверждение можно было квалифицировать как всего лишь ложное, — чувство удовлетворения возникало потому, что ложность утверждения свидетельствовала о его осмысленности.

В диалоге преподавателя-математика со студентом-гуманитарием зачастую приходится просить студента вдуматься в то, что он только что сказал, и затем спросить его, понимает ли он то, что сам сказал. Не столь уж редко честные студенты после размышления в некоторой растерянности признаются, что не понимают.

Когда знаменитого педиатра доктора Спока спросили, с какого возраста следует воспитывать ребёнка, он, узнав, что ребёнку полтора месяца, ответил: «Вы уже опоздали на полтора месяца». Не следует ли способность отличать осмысленное от бессмысленного и истинное от ложного неназойливо прививать уже с начальных классов школы? И не является ли это главным в школьном преподавании?

Надо сказать, что для того, чтобы квалифицировать высказывание как ложное, бессмысленное или непонятное, надо, как правило, сделать некоторое усилие — иногда почти героическое: «как же так, уважаемый человек что-то говорит или пишет, а ты осмеливаешься его не понимать или, поняв, возражать». Не все и не всегда способны на такое усилие.

XVI

Способность к тому усилию, о котором только что говорилось, тренируется (во всяком случае, должна тренироваться) на уроках математики и при общении с математиками. Дело в том, что математика — наука по природе своей демократическая. На её уроках воспитывается — а при косвенном воздействии прививается —

демократизм. Внешние формы такого демократизма произвели большое впечатление на автора этих строк в его первые студенческие годы, когда в конце 1940-х годов он стал обучаться на знаменитом Мехмате — Механико-математическом факультете Московского университета. Если почтенный академик обнаруживал, что выступающий вслед за ним студент собирается стереть с доски им, академиком, написанное, он с извинениями вскакивал с места и стирал с доски сам. Для профессора Мехмата было естественно самому написать и вывесить объявление; для профессора гуманитарного факультета это не было столь естественно. Эти внешние проявления косвенно отражают глубинные различия. Ведь математическая истина не зависит от того, кто её произносит, академик или школьник; при этом академик может оказаться неправ, а школьник прав. Реакция Колмогорова на третьекурсника, опровергнувшего его на лекции, была такова: он пригласил студента к себе на дачу и там покатался с ним на лыжах, накормил обедом и взял себе в ученики. С горечью приходится признать, что подобный демократизм имеет свои издержки. Указывает Андрей Анатольевич Зализняк17:

Мне хотелось бы высказаться в защиту двух простейших идей [...]:

1) Истина существует, и целью науки является её поиск.

2) В любом обсуждаемом вопросе профессионал (если он действительно профессионал, а не просто носитель казённых титулов) в нормальном случае более прав, чем дилетант.

Им противостоят положения, ныне гораздо более модные:

1) Истины не существует, существует лишь множество мнений (или, говоря языком постмодернизма, множество текстов).

2) По любому вопросу ничьё мнение не весит больше, чем мнение кого-то иного. Девочка-пятиклассница имеет мнение, что Дарвин неправ, и хороший тон состоит в том, чтобы подавать этот факт как серьёзный вызов биологической науке.

Чем наука дальше от математики, чем она, так сказать, гуманитарнее, тем сильнее убедительность того или иного высказывания начинает зависеть от авторитета высказывающего лица. На гуманитарных факультетах подобная персонализация истины ещё недавно ощущалась довольно сильно. Это верно, потому что сказано имяреком или даже Это верно, потому что сказано мною — такие категорические заявления, высказанные в явной или, чаще, неявной

17 В книге: Похвала филологии. — М.: Русский путь, 2007. — С. 79. А также в книге: А. А. Зализняк. Из заметок о любительской лингвистике. — М.: Русскiй мiръ, 2009. — С. 210.

форме, не столь уж редки в гуманитарных науках. (Как имярек в первой фразе, так и первое лицо во второй фразе обычно относились как раз к одному из тех «носителей казённых титулов», о которых говорит Зализняк.) В естественных науках и в математике подобные заявления невозможны. Впрочем, в тоталитарном обществе принцип приоритета того, кто на должность авторитета назначен властью, применялся, с печальными последствиями, и к естественным наукам — достаточно вспомнить лысенковщину. Проживи Сталин дольше, возможно, была бы заменена и таблица умножения. Попытки отменить, скажем, теорию относительности имели место в действительности.

Нет в математике и «царского пути». Здесь я ссылаюсь на известную историю, то ли подлинную, то ли вымышленную, которую одни рассказывают про великого математика Архимеда и сиракузского царя Гиерона, другие про великого математика Евклида и египетского царя Птолемея. Царь выразил желание изучить геометрию и обратился с этой целью к математику. Математик начал его обучать. Царь выразил недовольство тем, что его учат совершенно так же, в той же последовательности, как и всех других, не принимая во внимание его царский статус, каковой особый статус, по мнению царя, предполагал и особый способ обучения. На что математик, по преданию, ответил: Нет царского пути в геометрии.

Эпилог

Первоначальный, журнальный вариант этого очерка был напечатан в 2007 году в виде статьи в декабрьском номере журнала «Знамя». Даже самые доброжелательные критики не могли не предъявить тексту упрёка в односторонности. Хотя и чувствуется, говорили они, что автор желает примирить «физиков» и «лириков» на основе презумпции равенства сторон, но на деле этого подразумеваемого равенства не получилось. Каковы бы ни были самые добрые намерения автора, в статье декларируемое преодоление барьера реально осуществилось путём агрессии с математической стороны: математическое проламывает барьер и, вторгшись на территорию гуманитарного, начинает устанавливать там свои порядки. Автор вынужден был признать справедливость критики. Готовя текст для включения в книгу «Апология математики», выпущенную издательством «Амфора» в 2009 году, он пытался эту критику учесть. Но всё равно получалось, что математик выступает в роли поучателя для гуманитария. Такое положение вещей автору определённо не нравилось и, главное, не отвечало его

замыслу. Автор стал размышлять, почему так получилось. Результатами своих размышлений он и хотел бы поделиться с читателем в настоящем эпилоге.

Дело в том, что каждое из слов математик и гуманитарий употребляется в тексте в двух смыслах, или пониманиях. Эти смыслы не указаны явно, но могут, при желании, быть извлечены из контекста. Первое понимание подразумевает и математика, и гуманитария в их профессиональной сфере деятельности. Второе понимание подразумевает и того, и другого в быту. При этом втором понимании объёмы терминов математик и гуманитарий расширяются. Говоря о поведении в быту, к математикам мы относим не только профессиональных математиков, но и просто людей с математически ориентированными мозгами; к гуманитариям относим почти всех остальных представителей человеческого рода.

Каждое из этих пониманий приводит к своему направлению преодоления барьера. Иными словами, выбор того или иного понимания определяет, с какой стороны происходит или должно происходить это преодоление — математическое ли влияет на гуманитарное, его математизируя, или же, напротив, гуманитарное влияет на математическое, его гуманизируя.

Условный математик вряд ли поможет гуманитарию в его бытовом поведении, но вот в профессиональной деятельности может помочь. Термин условный математик не следует понимать в вульгарном смысле математика, который нависает над гуманитарием и подаёт ему непрошенные советы. Этим термином обозначается здесь абстрактная персонификация математического. Математическое же может проявляться в разных формах, в том числе и в виде реального лица, в пессимальном случае действительно, увы, «нависающего над», а в случае оптимальном — в виде доброжелательного критика, обращающего внимание гуманитарного исследователя на недостаток, скажем, ясности, логики или точности. Наиболее успешный результат математического влияния, к которому надлежит стремиться, состоит в усвоении гуманитарием той дисциплины мышления, о которой шла речь в настоящем очерке, т. е. в создании некоего небольшого условного математика в своём мозгу. (Теоретически усвоение дисциплины мышления должно происходить на уроках математики в школе, практически же этого не происходит, поскольку математика редко когда преподаётся интересно, да и вообще преподаётся не та математика, которой следовало бы обучать школьников.)

Гуманитарий же, напротив, вряд ли поможет математику в его профессиональной деятельности, но вот в бытовом поведении может

помочь. Он, прямо или косвенно, может привить математику общечеловеческие нормы использования языка. Среди них — те нормы восприятия синтаксических конструкций, которые требуют учёта контекста («предлагаемых обстоятельств», как сказал бы Станиславский) и тем предписывают купить не десять батонов (как математик из приведённого в разделе IV анекдота), а десять яиц. А также нормы, регулирующие употребление отдельных слов — например, слова неподалёку, обсуждавшегося в разделе VI. Возможно, слово «норма», даже с эпитетом «общечеловеческая», здесь слишком узко. Потому что, скажем, рекомендации по составлению инструкций вряд ли поддаются регламентации, предполагаемой термином «норма». Ведь одна из главных рекомендаций состоит в том, что текст инструкции должен быть лёгок для понимания, а именно этой лёгкости была лишена электоральная инструкция, приведённая в разделе V. Безупречная с точки зрения синтаксиса и семантики и, тем самым, полностью устраивающая математиков (в широком смысле слова), она была, как показала практика, трудна для понимания гуманитариями (опять-таки в широком смысле слова) и, тем самым, неудачна. Лингвист сказал бы, что текст инструкции неудовлетворителен с точки зрения прагматики.

И ещё одно немаловажное обстоятельство. Основная форма влияния математического на гуманитарное, при всей роли школы (не реальной, впрочем, роли, а той, которая должна быть) и прочих общественных институтов, — это всё-таки личное влияние математика-человека. Такое положение вещей не может не представить математика в незавидной роли высокомерного поучателя, каковым он, в целом, не является. Напротив, основная форма влияния гуманитарного на математическое деперсонализирована и не выглядит как личное влияние какого-то гуманитария. Влияние гуманитарного на математическое осуществляется путём мощного давления среды, при условии, что эта среда, в широком смысле преимущественно гуманитарная, сумеет победить желание математика от неё отгородиться.

Приложение

Окончательный текст настоящего очерка возник с учётом многочисленных дискуссий с Андреем Анатольевичем Зализняком. Ознакомившись с финальным вариантом, он прислал мне письмо, каковое, с любезного разрешения Андрея Анатольевича, и составляет содержание этого приложения.

Разрешите мне, раз уж я погружался в Ваш текст, порассуждать немного от себя на эти темы.

Об общеязыковом и математическом значении слов

Слова обычного языка с их значениями веками и тысячелетиями складывались на основе человеческой практики. Если в практической жизни человека какая-то шкала представлена только в определённых границах, то соответствующее слово получает значение, предполагающее эти границы (т. е. указание этих границ является одним из элементов этого значения).

Например, человек видит цвета только в определённом интервале длины волны. Аналогично со звуком.

И поэтому инфракрасное и ультрафиолетовое излучение обычный обиходный язык никак не может назвать цветом (каким-то ещё одним цветом). Или ультразвук — звуком.

А наука (физика, математика) достигает понимания того, что та или иная шкала в действительности шире, чем её практически известный людям интервал.

И вот возникает терминологическая проблема: как называть теперь в соответствующей науке всю шкалу и как называть её непрактические (нетрадиционные) части?

Возможные решения таковы:

1) ввести новые термины (либо специально изобретённые, либо взятые из числа уже существующих слов языка, но не тех, которые обозначают практическую часть данной шкалы);

2) использовать обычные общеязыковые обозначения шкалы и её элементов, объявив, что в науке им приписывается новое, более широкое значение;

3) то же, что 2, но без объявления о новом значении.

Физики, по-видимому, обычно идут по пути 1. Расширенная шкала цветов называется уже, если не ошибаюсь, шкалой длины волны и т. п. Ультрафиолет цветом называть не предлагается.

У математиков в деле счёта практически известный человечеству интервал составляет от единицы до несколько неопределённой границы, имеющей последние числительные (тысяча?, тьма? может быть, миллион, хотя скорее он уже из умозрительной сферы). Этому соответствуют слова число, количество, сколько.

Обсуждавшееся нами слово совокупность по своему объёму меньше указанных слов на единицу: его значение начинается с двух. Но это слово стоит не совсем в той же категории, что число, количество, сколько, — оно почти чуждо обычному обыденному языку, а принадлежит фактически уже либо официальному, либо научному (или полунаучному) узусу.

Математики в ходе истории совершили (уже в древности) такое же расширение практической шкалы, как в предшествующих примерах. В сторону увеличения количеств — с идеей бесконечности. И в сторону их уменьшения — с идеей сперва нуля, а затем отрицательных чисел.

Насколько я понимаю, они потом применяли такой же мыслительный ход — выявление общего принципа структуры некоторой цепочки элементов и его экстраполяцию (применение за рамками первоначального состава этой цепочки) — во многих других случаях. Например, в появлении отрицательных степеней, дробных степеней, мнимых чисел, новых измерений.

Но, в отличие от физиков, терминологическое решение у математиков обычно было типа 2 или даже 3. Например, и дробные, и отрицательные, и даже мнимые — все они называются числа.

Склонность к решению 3 в значительной мере коррелирована с представлением, что достигнутое наукой расширение значения некоторого понятия означает приближение к «более правильному» значению использованного для этого понятия общеязыкового слова. Например, что неправильно понимают слово число те, кто не знает, что числом является также и нуль и, скажем, минус единица. Соответственно, у математика легко может возникать представление, что он лучше простых носителей языка знает, что значат слова (если не все, то многие).

Всё это категорически не соответствует тому, что достигнуто лингвистикой, но имеет вполне прозрачную психологическую поддержку.

Проблема «ничего не сообщается»

Вы подчёркиваете, что при аксиоматическом методе «природа вводимых в рассмотрение предметов и отношений никак не разъясняется», о них ничего не сообщается.

Хочу обратить Ваше внимание на то, что гуманитарный читатель решительно не может воспринять эту Вашу фразу так, как Вы её замыслили.

Причина — в словах! Если бы у Вас вместо точки была папагиглемма, а вместо прямой — сепулька, то Ваше заявление было бы полностью психологически оправданно18. Но когда Вы что-то говорите о точках и прямых, никакими силами носитель языка — нематематик не может освободиться от подсознательного ощущения, что он всё основное о характере обсуждаемых предметов знает, сколько бы Вы ни приказывали ему считать, что он ничего не знает, кроме аксиом. Как это он может ничего не знать о том, что такое точка или что такое прямая?! Пользуясь Вашей любимой максимой, «знание скрыть невозможно».

Это — очень большая и очень глубокая трудность на пути Вашей пропаганды математичности. То, что математики узурпируют слова из общенародного фонда, сами обычно этого не осознавая (во всяком случае, не осознавая последствий этого), оборачивается одной из причин той самой их отгороженности, от которой Вы их приглашаете освободиться. Отгороженности, при которой пересечение барьера плохо даётся как одной стороне, так и другой.

18 Андрей Анатольевич, конечно, совершенно прав. В моей статье «Апология математики», вошедшей в состав одноимённого сборника, так и сделано, только там, на с. 163, вместо слова точка использовано слово куздра, и слово бокр вместо слова прямая. — В. У.

Из брошюры «Простейшие примеры математических доказательств»

Математика и доказательства. — Индукция. — Два аксиоматических метода — неформальный и формальный. — Теорема Гёделя.

Математика и доказательства

Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-нибудь другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике, по астрономии или по мостостроению. Дело в том, что в любой серьёзной книге по математике непременно присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств — вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания.

Первую попытку охватить единым трактатом всю математику предпринял древнегреческий математик Евклид в III веке до н. э. В результате появились знаменитые «Начала» Евклида. А вторая попытка состоялась только в XX веке н. э., и принадлежит она французскому математику Николя Бурбаки1, начавшему в 1939 году

Простейшие примеры математических доказательств. — (Библиотека «Математическое просвещение»; Вып. 34). — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — 56 с.

1 На самом деле такого математика не существует. Николя Бурбаки — это коллективный псевдоним группы математиков, подобно тому как «Козьма Прутков» — коллективный псевдоним группы писателей (но только, в отличие от группы Бурбаки, группы постоянного состава). Сказанное не послужило препятствием ни тому, чтобы г-н Бурбаки имел свой почтовый ящик на Международном съезде математиков в Москве в 1966 году (причём почта из ящика исправно забиралась), ни тому, чтобы он получил гонорар, выписанный ему издательством «Мир» за осуществлённое в 1965 году издание русского перевода первого тома его трактата. Рассказывают, что когда Американское математическое общество выпустило справочник, в котором Бурбаки был назван псевдонимом группы математиков, возмездие последовало незамедлительно: в одной из публикаций Бурбаки президент Американского математического общества был назван точно так же.

издавать многотомный трактат «Начала математики». Вот какой фразой открывает Бурбаки свой трактат: «Со времён греков говорить „математика“ — значит говорить „доказательство“». Таким образом, «математика» и «доказательство» — эти два слова объявляются почти синонимами.

Казалось бы, можно возразить, что доказательства встречаются и в других сферах — скажем, в юриспруденции. Например, в суде каждая из спорящих сторон предъявляет свои доказательства (причём доказательства одной стороны нередко противоречат доказательствам другой стороны). Однако все согласны, что математические доказательства гораздо убедительнее тех, которые произносятся в судах.

Доказательства, собственно, встречаются во всех науках, даже в науках гуманитарных. Приведу два примера: первый из исторической науки, второй — из филологии.

Первые шаги в науке великого российского математика Андрея Николаевича Колмогорова (1903—1987) были сделаны не в математике, а в истории2 и относились к истории Новгородской земли XV века.

Колмогоровские разыскания содержали, в числе других достижений, ответ на вопрос, как брался налог с селений Новгородской земли — с селения в целом или же с каждого его двора. Опровергая господствующее мнение, Колмогоров доказал, что налог брался с селения в целом. Доказательство состояло в том, что в противном случае правило налогообложения должно было бы быть чересчур сложным. Проведённый Колмогоровым анализ новгородских писцовых книг, в которых наряду с другими сведениями записывались сведения о налогообложении, привёл к следующим результатам. Налог с больших селений всегда брался в целых единицах, к тому же в большинстве случаев — в круглых цифрах. Налог со средних селений брался, в основном, также в целых единицах. Налог с небольших селений мог составлять как целое, так и дробное число налоговых единиц, но это дробное число всегда имело вид целого

2 Над рукописями своих исторических исследований Колмогоров начал работать, когда ему было семнадцать с половиной лет, а закончил их в 1922 году, когда ему ещё не было девятнадцати. В то время он был студентом Московского университета. Эти рукописи долгое время считались утерянными, они были найдены лишь после смерти Колмогорова и опубликованы в книге: А. И. Колмогоров. Новгородское землевладение XV века; Л. А. Бассалыго. Комментарий к писцовым книгам Шелонской пятины. — М.: Физматлит, 1994. (Да, книга имеет такое сложное библиографическое описание. Она состоит из двух самостоятельных сочинений, имеющих каждое своего автора.) После опубликования колмогоровские рукописи по истории получили высокую оценку специалистов.

числа с половиной. Более того, во многих случаях, когда налог с небольших селений брался в целых единицах, дворов в селении оказывалось больше, чем число налоговых единиц, взымаемых с селения. Кажется невероятным, чтобы налог был подворным и его ставки были столь хитроумны, чтобы достигнуть таких числовых эффектов!

Теперь пример из филологии. Долгое время предметом ожесточённых спекуляций служил вопрос о подлинности «Слова о полку Игореве», т. е. вопрос о том, создано ли оно в XII—XIV веках, что и означает подлинность, или же является подделкой, относящейся, скорее всего, к XVIII веку. Великий российский лингвист Андрей Анатольевич Зализняк доказал подлинность «Слова». Доказательство опирается на анализ раскрытых Зализняком тончайших закономерностей древнерусского языка. Невероятно, чтобы мог существовать такой фальсификатор, который не только знал бы эти закономерности, иные из коих были обнаружены лишь недавно, но и скрыл своё знание от современников! (Это при том, что, как известно, незнание можно скрыть, знание скрыть невозможно.)

В обоих наших рассказах о доказательствах в гуманитарных науках мы употребили слово невероятно, а не слово невозможно. Дело в том, что в обоих случаях всё-таки остаётся некоторая, пусть ничтожно малая, вероятность того, что в действительности налог был подворным, а «Слово» — подделкой. Требуется ли ещё уменьшать эту вероятность? На мой взгляд, в приведённых примерах не требуется — но этот взгляд субъективен. И если кто-нибудь потребует сделать вероятность опровержения открытий, сделанных Колмогоровым и Зализняком, ещё ничтожнее, против этого будет трудно возразить. Вот, например, как реагировал на сообщение Колмогорова известный историк С.В.Бахрушин, когда работа была рассказана на занятиях его семинара в Московском университете. Пишет известный археолог, руководитель новгородской археологической экспедиции В. Л. Янин:

Когда работа была доложена им [Колмогоровым] на семинаре, руководитель семинара профессор С.В.Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого исследователя не могут претендовать на окончательность, так как «в исторической науке каждый вывод должен быть обоснован несколькими доказательствами» (!). Впоследствии, рассказывая об этом, Андрей Николаевич добавлял: «И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства». История потеряла гениального исследователя, математика навсегда приобрела его.

Думается, позиция Бахрушина имеет следующее объяснение. Он привык к тому, что обычно применяемые в исторической науке доказательства допускают, каждое в отдельности, ощутимую, но не ничтожно малую вероятность того, что доказанное утверждение не соответствует действительности; а посему, для уменьшения этой вероятности, требуется несколько доказательств. Возможно, он впервые услышал доказательство, уже в единственном числе делающее указанную вероятность пренебрежимо малой, — услышал, но не осознал.

Вернёмся, однако, к математике. Математические доказательства повсеместно признаются эталоном бесспорности. Выражения вроде «я тебе докажу математически», встречающиеся в русской классической литературе, призваны продемонстрировать доказательство, которое нельзя оспорить.

Но что же такое доказательство? Доказательство — это рассуждение, которое убеждает того, кто его воспринял, настолько, что он делается готовым убеждать других с помощью этого же рассуждения. Так понимается доказательство всюду — и в истории, и в филологии, и в математике. Во избежание недоразумений и возможного возмущения просвещённых читателей (если таковые найдутся среди читателей этого текста) отметим, что есть и другое понимание того, что такое доказательство. По Бурбаки, например, доказательство — это цепочка символов, организованная по определённым правилам. Полагаем, однако, что наше понимание не является чем-то оригинальным, а отражает то стандартное употребление слова доказательство, которое имеет место и в средней, и в высшей школе. Те математические объекты, которые называет доказательствами Бурбаки, разумно называть формальными доказательствами — в отличие от содержательных, психологических доказательств, о которых мы здесь говорим. Формальные доказательства составляют предмет изучения математической логики. Заметим ещё, что, на наш взгляд, и Бурбаки не может избежать содержательных доказательств: ведь чтобы убедиться, что данная цепочка символов является формальным доказательством, требуется провести содержательное рассуждение, т. е. именно психологическое доказательство.

Отличие математического доказательства от доказательств в других науках состоит в том, что в математике порог убедительности значительно выше. Можно сказать, что математические и нематематические доказательства имеют разные амбиции. Нематематические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с подавляющей вероятностью,

а предположение, что это не так, невероятно. Математические доказательства претендуют на то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с необходимостью, а предположение, что это не так, невозможно. Так, уже отмечалось, что в приведённых выше примерах из истории и филологии оставалась возможность, пусть совершенно невероятная, что в действительности дело обстояло иным образом. И даже демонстрация нескольких доказательств, как того требовал Бахрушин, всего лишь повысила бы степень невероятности, но не превратила бы её в невозможность. В математических же доказательствах невероятность противоположного эффекта — т. е. допущения того, что доказанное утверждение неверно, — заменяется на невозможность. Поэтому в математических доказательствах убедительность должна быть абсолютной, не оставляющей никакой возможности для противоположного суждения.

Предвидим протест или, по меньшей мере, удивление некоторых читателей. Как же так, такое важное математическое понятие, как доказательство, а имеет такое нечёткое определение — да и вообще не определение, а описание, пояснение. На это у нас два возражения. Во-первых, даже и в математике всё определить невозможно: ведь одни понятия определяются через другие, другие через третьи, и т. д. Но этот процесс не может продолжаться бесконечно. Поэтому мы вынуждены где-то остановиться. Во-вторых, понятие доказательства не есть математическое понятие (подобное, скажем, понятию действительного числа или понятию многоугольника); по отношению к математике оно не внутреннее, а внешнее и принадлежит не математике, а психологии (и отчасти лингвистике). Однако невозможно представить себе современную математику без повсеместного использования этого понятия.

Можно ли предложить разумную классификацию всевозможных доказательств, т. е. убедительных рассуждений? Вряд ли. Тем более, что доказательство, как правило, состоит из нескольких (иногда очень многих) этапов, и на каждом этапе применяется свой способ убеждения. Можно, однако, среди схем доказательства выделить несколько часто повторяющихся; ниже некоторые из таких схем будут изложены. Чтобы не дезориентировать читателя, сделаем два предупреждения.

Предупреждение первое. Было бы глубоким заблуждением считать, что других методов доказательства не бывает! Да и само выделение схем достаточно условно. Ведь нередко случается, что одна схема «залезает» внутрь другой — скажем, внутри доказатель-

ства по индукции может встретиться доказательство от противного или наоборот.

Предупреждение второе. Все примеры, которые будут приведены ниже, содержат лишь очень простые и короткие доказательства. Многие доказательства, встречающиеся в математической науке, и гораздо сложнее, и гораздо длиннее: их длина может измеряться десятками, сотнями и даже тысячами страниц. Поясним, откуда могут взяться эти тысячи. Дело в том, что каждое доказательство опирается на какие-то факты, и если включить в него и полные доказательства всех этих фактов, то тут-то и могут потребоваться тысячи страниц.

Индукция

Доказательства методом математической индукции

Метод математической индукции применяется тогда, когда хотят доказать, что некоторое утверждение выполняется для всех натуральных чисел.

Пример 21. Продемонстрируем метод математической индукции на простом примере. Пусть, например, мы хотим доказать, что всегда

Рассуждаем так. Во-первых, для n = 1 это утверждение верно; действительно, 1 =

Во-вторых, предположив, что наше утверждение верно для n = k, убеждаемся, что тогда оно верно и для n = k+ 1. Действительно,

Значит, наше утверждение верно для всех значений п: действительно, оно верно для n=1 (это было наше «во-первых»), а тогда, в силу «во-вторых», оно верно для n = 2, откуда, в силу того же «во-вторых», оно оказывается верным и для n = 3, и т. д. □

Пример 22. Равенство Ададурова (названо по имени нашедшего его российского математика XVIII века Василия Евдокимовича Ададурова):

Доказываем по индукции. Для n=1 проверяем непосредственно.

Предположим, что равенство верно при n = k. Докажем, что тогда оно верно и при n = k + 1 (при этом используем результат примера 21):

Проведённое рассуждение показывает, что наше равенство верно не только при n=1, но и при n = 2, n = 3, и т.д. — и тем самым при всех n. □

Изложенный метод рассуждения требует установления двух фактов:

(1) интересующее нас утверждение верно для единицы;

(2) если интересующее нас утверждение верно для какого-то числа k, то оно верно и для следующего за ним числа k + 1.

Если оба факта установлены, тогда, переходя от 1 к 2, от 2 к 3 и т. д., убеждаемся — подобно тому, как мы в этом убедились в только что приведённых примерах 21 и 22, — в том, что рассматриваемое утверждение верно для всех натуральных чисел.

Первый факт называется базисом индукции, второй — индукционным переходом или шагом индукции. Индукционный переход включает в себя посылку, или предположение индукции, или индукционное предположение, и заключение. Смысл посылки: рассматриваемое утверждение верно при n = k. Смысл заключения: рассматриваемое утверждение верно при n = k+1. Сам же индукционный переход состоит в переходе от посылки к заключению, т. е. в заявлении, что заключение верно, коль скоро верна посылка. Весь в целом логический приём, позволяющий заключить, что рассматриваемое утверждение верно для всех натуральных чисел, коль скоро справедливы и базис, и переход, называется так: принцип математической индукции. Использование этого принципа и составляет метод математической индукции.

Таким образом, обстановка, позволяющая надеяться (всего лишь надеяться!) на успешное применение метода математической индукции, должна быть такова. Имеется некоторое утверждение А, зависящее от параметра, принимающего натуральные значения; требуется доказать, что А справедливо при всяком значении параметра. Так, в примере 21 утверждение А имело вид

Сам параметр называется параметром индукции; говорят также, что происходит индукция по данному параметру.

Утверждение А при значении параметра, равном 1, принято обозначать через А(1), при значении параметра, равном 2, — через А(2) и т. д. В примере 21 А(10) есть

Утверждения А(1), А(2), А(3), . . . называют частными формулировками, утверждение «для всякого n имеет место А(n)» называют универсальной формулировкой. Таким образом, в наших теперешних обозначениях базис индукции есть не что иное, как частная формулировка А(1). А шаг индукции, или индукционный переход, есть утверждение «каково бы ни было k, из истинности частной формулировки A(k) вытекает истинность частной формулировки A(k + 1)».

Применение метода начинается с того, что формулируются два утверждения: базис индукции и её шаг. Здесь проблем нет. Проблема состоит в том, чтобы доказать оба эти утверждения. Если это не удаётся, это означает, что наши надежды на применение метода математической индукции не оправдались. Зато если нам повезло, если нам удалось доказать и базис, и шаг, то доказательство универсальной формулировки получаем уже без всякого труда, применяя следующее стандартное рассуждение.

Утверждение А(1) истинно, поскольку оно есть базис индукции. Применяя к нему индукционный переход, получаем, что истинно и утверждение А(2). Применяя к нему индукционный переход, получаем, что истинно и утверждение А(3). Применяя к нему индукционный переход, получаем, что истинно и утверждение А(4). Таким способом мы можем дойти до каждого значения n и убедиться, что А(n) истинно. Следовательно, для всякого n имеет место А(n), а это и есть та универсальная формулировка, которую требовалось доказать.

Принцип математической индукции заключается, по существу, в разрешении не проводить «стандартное рассуждение» в каждой отдельной ситуации. Действительно, стандартное рассуждение только что было обосновано в общем виде, и нет нужды повторять его каждый раз применительно к тому или иному конкретному выражению А(n). Поэтому принцип математической индукции позволяет делать заключение об истинности универсальной формулировки сразу, как только установлены истинность базиса индукции и индукционного перехода.

Полная индукция и неполная индукция

Метод индукции, в самом общем смысле, состоит в переходе от частных формулировок к формулировке универсальной. Различают полную и неполную индукцию. Метод математической индукции позволяет, применяя некоторое логическое рассуждение к произвольному натуральному числу, убедиться, что А истинно для этого произвольного числа, а тем самым — убедиться, что A(n) истинно для всех n. В этом смысле этот метод является методом полной индукции; слово полная означает, что мы лишь тогда считаем себя вправе объявить об истинности универсальной формулировки, когда мы убедились в её истинности для каждого отдельного значения n — во всей полноте этих значений, без исключения. Метод неполной индукции состоит в переходе к универсальной формулировке после проверки частных формулировок для отдельных, но не всех значений n.

Примеры неполной индукции встречаются на каждом шагу. Скажем, если не все, то многие знают, что Бенджамин Франклин был президентом Соединённых Штатов. «Президент Франклин» — такое можно услышать и от кассира в банке, и с экрана телевизора, причём от персонажей, которых трудно заподозрить в глубоком знании американской политической истории. А откуда же известно это качество Франклина? Дело в том, что на лицевой стороне долларовых банкнот помещены заключённые в овал портреты американских президентов — и это уже, можно сказать, знают все. И действительно, на однодолларовой купюре изображён первый президент Джордж Вашингтон, на двухдолларовой — третий президент Томас Джефферсон, на пятидолларовой — шестнадцатый президент Авраам Линкольн, на двадцатидолларовой — седьмой президент Эндрю Джэксон, на пятидесятидолларовой — восемнадцатый президент Улисс Грант. Однако попытка установить порядковый номер президентства Франклина встречает непреодолимые затруднения. Дело в том, что Франклин не был президентом США. (Как не был президентом США и Александр Гамильтон, чей портрет украшает десятидолларовую купюру.)

Только что был приведён наглядный пример провала метода неполной индукции. Тем не менее любой человек в своей повседневной жизни постоянно применяет и не может не применять этот метод. Вот, например, вы покупаете яблоки; вам предлагают попробовать; вы пробуете, яблоко вам нравится, и вы покупаете два кило, применив неполную индукцию, т. е. рассуждая так: «Если одно яблоко хорошее, то и все хороши». Однако ведь не исключено, что, в отли-

чие от выбранного вами на пробу образца, все купленные яблоки окажутся плохими. Да, не исключено, но надкусить все яблоки вам не дадут, потому что надкус выводит яблоко из категории товаров.

Если магазин, закупающий яблоки ящиками, серьёзно подходит к делу, он подвергнет дегустации не одно, а несколько яблок (но, конечно, не все яблоки) из каждого ящика. Если результат дегустации оказался положительным, магазин закупает все ящики целиком, т. е. на практическом уровне принимает решение «все яблоки хорошие» — таким образом, опять-таки применяет неполную индукцию. Сходная процедура применяется при контроле качества многих товаров. Чтобы полностью проверить, хорошо ли сделана, скажем, электрическая лампочка, нужно её разбить, т. е. уничтожить как товар. Поэтому, полный контроль партии в тысячу лампочек предполагает тотальное уничтожение всей партии. Разработана математическая теория, которая указывает, сколько яблок из ящика или лампочек из тысячи надо опробовать, чтобы при положительном результате их исследования можно было с большой вероятностью заключить об исправности всех яблок или всех лампочек партии.

Строго говоря, даже универсальные законы природы формулируются лишь на основе отдельных наблюдений — т. е. на основе метода неполной индукции. Поэтому и наши практические решения (типа решения о качестве яблок или лампочек), и наши теоретические суждения (типа законов природы), если они высказаны в виде универсальных формулировок, верны не в абсолютном смысле, а — в лучшем случае — лишь с высокой степенью правдоподобия. Иное дело математика, истины которой признаются незыблемыми. А потому и метод неполной индукции, действующий в естественных науках, в математике не действует.

В математике нередко случается, что частная формулировка A(n) оказывается верной для отдельных значений n, и вместе с тем не удаётся найти таких значений, для которых частная формулировка была бы неверна. Тогда есть основание выдвинуть гипотезу об истинности универсальной формулировки — но всего лишь гипотезу, потому что то, что не удалось найти сегодня, будет, может быть, обнаружено завтра. Вот два замечательных примера, показывающих, что метод неполной индукции не работает в математике.

Пример 28. Числа Ферма. Великий французский математик XVII века Пьер Ферма изучал числа вида 22n+ 1; эти числа стали называть числами Ферма. Ферма полагал, что все эти числа суть числа простые. Для такого мнения, казалось бы, имелись основания:

ведь при n = 0, 1, 2, 3, 4 числа Ферма и в самом деле являются простыми. Однако в XVIII веке великий швейцарский (да и российский тоже) математик Леонард Эйлер обнаружил, что число 225 + 1 есть произведение двух простых чисел 641 и 6 700 417. Более того, неизвестно, существуют ли простые числа Ферма помимо вышеуказанных пяти, открытых ещё самим Ферма. □

Пример 29. Трёхчлен Эйлера. Трёхчлен x2 + х + 41, указанный Эйлером, принимает простые значения при х = 0, 1, 2, ..., 39.

Однако при X = 40 его значением будет число составное, а именно 412. □

Два аксиоматических метода — неформальный и формальный

Неформальный аксиоматический метод

Поиски большей убедительности математических доказательств привели к появлению так называемого аксиоматического метода. Вкратце он состоит в следующем. Выбираются основные положения рассматриваемой математической теории, которые принимаются без доказательств, а из них уже все остальные положения выводят чисто логическими рассуждениями. Эти основные положения получили название аксиом, а те, которые из них выводятся, — теорем. Ясно, что всякая аксиома также выводится из списка аксиом, поэтому удобно аксиомы рассматривать как частный случай теорем (в противном случае слову «теорема» надо было бы дать такое длинное определение: теорема — это то, что выводится из списка аксиом, однако в этот список не входит).

Первая попытка создать систему аксиом для какой-нибудь теории была предпринята Евклидом в III веке до н. э. Система аксиом из его «Начал» оставалась единственной системой аксиом геометрии вплоть до конца XIX века, когда появились новые системы, отвечающие современным требованиям. Вот как Евклид определяет, что такое точка и что такое прямая: «точка есть то, что не имеет частей», «прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней». С современных позиций эти определения непонятны и не могут быть использованы в доказательствах.

А как же определяются точка и прямая в современных аксиоматических системах? Ответ может удивить неискушённого читателя (искушённого читателя ничто не может удивить). Эти понятия не определяются никак. Не определяется и значение слов «точка лежит

на прямой», «прямая проходит через точку». Если вдуматься, то чего-то подобного, т. е. предъявления основных понятий без определения, и следовало ожидать — ведь всё определить невозможно: одно определяется через другое, другое через третье, и где-то приходится остановиться. Уж лучше сделать такую остановку честно и открыто. Спрашивается, а как же в таком случае можно использовать эти понятия в доказательствах. Вот тут на помощь и приходят аксиомы.

В аксиомах вместо определений основных понятий формулируются их главные, исходные свойства. На эти свойства и опираются доказательства. Поясним сказанное на примере. Среди основных понятий геометрии присутствуют такие: «точка», «прямая», «лежать на», «лежать между». Что такое точки и прямые, не разъясняется, а говорится лишь, что бывают такие объекты, одни называются точками, другие — прямыми. А про лежать на говорится, что это некоторое отношение между точками и прямыми. Это означает следующее: если взять произвольную точку и произвольную прямую, то осмысленно спросить, лежит ли эта точка на этой прямой; точка либо лежит на прямой, либо нет. А вот спрашивать, скажем, лежит ли прямая на прямой, бессмысленно: отношение «лежать на» для пары прямых не определено — как не определено оно и для пары точек, и для пары (прямая, точка). Лежать между — это некоторое трёхместное отношение между точками; сказанное означает, что если даны три точки А, В, С, то точка В либо лежит между точками A и С, либо нет. Природа предметов «точка» и «прямая» и отношений «лежать на» и «лежать между» никак не раскрывается. Вместо этого в аксиомах формулируются основные свойства этих объектов и отношений и основные связи между ними.

Вот как выглядят некоторые из аксиом:

1. На каждой прямой лежат по меньшей мере две точки.

2. Для двух различных точек не может существовать более одной такой прямой, что обе точки лежат на этой прямой.

3. Если три точки таковы, что одна из них лежит между двумя другими, то все эти три точки различны.

4. Если три точки таковы, что одна из них лежит между двумя другими, то все эти три точки лежат на одной прямой.

5. Для любых двух различных точек А и В существует такая точка С, что В лежит между А и С.

Покажем на примере, как на основе аксиом проводят доказательства. Докажем, опираясь на выписанные пять аксиом, такую теорему:

На каждой прямой лежат по меньшей мере три точки.

Вот доказательство. Итак, пусть р — прямая. Надо обнаружить на ней три различные точки. По аксиоме 1 на ней лежат какие-то две различные точки; обозначим их A и В. По аксиоме 5 находим такую точку С, что В лежит между А и С. Согласно аксиоме 3 все они различны, а согласно аксиоме 4 все они лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую буквой q. Точки А и В лежат на прямой р и в то же время лежат на прямой q. Но в силу аксиомы 2 две различные точки не могут лежать на двух различных прямых; следовательно, q совпадает с р. Поскольку через q была обозначена та прямая, на которой лежат все три точки A, В и С, a q совпадает с р, то все эти точки лежат на р. Вот мы и нашли на р три различные точки.

Казалось бы, тем же способом можно далее доказать, что на р лежат четыре точки: надо применить аксиому 5 к точкам В и С и получить такую точку D на той же прямой, что С лежит между В и D. Действительно, все точки В, С и D будут различны; однако ведь может случиться, что точка D совпадает с точкой A, — из выписанных нами аксиом не вытекает, что такое невозможно! Для доказательства невозможности приходится привлекать другие аксиомы.

Ещё один пример. Дано множество N каких-то объектов. Задана операция, которая каждому объекту из N ставит в соответствие некоторый другой (а впрочем, может случиться, что и тот же самый) объект из того же N. Объект, ставящийся в соответствие объекту х, будем обозначать так: х'. Некоторый объект из N выделен особо, его будем обозначать так: 0. Всё это подчиняется двум аксиомам:

Аксиома I. Если х' = у', то х = у.

Аксиома II. Не существует такого х, что х' = 0.

Требуется доказать утверждение

0"" ≠ 0".

Доказываем от противного. Предположим, что

0"" = 0".

В силу первой аксиомы тогда

0"' = 0'.

В силу той же первой аксиомы получим

0" = 0.

Но это противоречит второй аксиоме, потому что получается, что 0 есть результат применения операции ' к объекту 0'. Точно так

же доказывается различие любых двух объектов вида 0""', имеющих в своей записи различное количество штрихов. Поэтому выражения

0, 0', 0", ...

часто используются в качестве обозначений натуральных чисел (включая нуль). Если принять эти обозначения, то видно, что только что была доказана формула 4≠2.

Заметим, что доказательства в обоих примерах понимались в соответствии с разъяснениями, предложенными в начальном разделе данного очерка, — как убедительные рассуждения. Специфика состояла в том, что мы не знали, о каких сущностях идёт речь. Мы не знали, что такое точка, прямая, отношение «лежать на» и «лежать между» в первом примере. Во втором примере мы не знали ни какие объекты образуют множество N, ни который из них выделен, ни в чём состоит операция штрих ('), ставящая в соответствие каждому объекту X объект х'. Мы знали лишь те свойства этих таинственных сущностей, которые были перечислены в аксиомах, и именно на эти свойства и только на них опирались в рассуждениях, образующих доказательства. Таким образом, сами наши доказательства были неформальными, психологическими доказательствами. Поэтому тот вариант аксиоматического метода, который был проиллюстрирован на двух примерах, принято называть неформальным аксиоматическим методом.

Формальный аксиоматический метод

Формальный аксиоматический метод отличается от неформального тем, что в нём совершенно чётко перечисляются не только исходные понятия, не только записанные в виде аксиом исходные положения, но и дозволенные способы рассуждения. Точно указываются те логические переходы, которые разрешается делать. Более того: и аксиомы, и разрешённые логические переходы должны быть оформлены таким образом, чтобы первые могли использоваться, а вторые делаться чисто механически, чтобы мы могли не вникать в их содержание, — так, чтобы и то, и другое было доступно исполнительному лаборанту или, как уместнее сказать в наше время, компьютеру. Для этого нужно уметь оперировать с участвующими в доказательствах утверждениями, опираясь только на их внешний вид, а не на содержание, непонятное ни лаборанту, ни компьютеру. Такое оперирование довольно затруднительно, если утверждения записаны на естественном языке, т. е. на одном из тех языков,

которыми пользуются люди в повседневной жизни. Приходится записывать утверждения на специальном языке, отражающем структуру утверждений.

Скажем, тот факт, что из А следует В, на русском языке может быть записан многими разными способами: «из А следует В», «из А вытекает В», «если А, то В», «В верно при условии, что верно А», «В верно при условии, что справедливо А», «В справедливо при условии, что верно А» — и ещё многими другими, которые, без сомнения, сможет предложить любезный читатель. Заставить компьютер во всём этом разбираться было бы слишком накладно. А ведь помимо русского языка существуют ещё немало и других. В специальном, искусственном языке математической логики (точнее было бы сказать: в одном из орфографических вариантов такого языка) указанный факт записывается так:

(А⇒В).

Аналогично вместо того, чтобы анализировать все способы, которыми в русском языке можно выразить тот факт, что утверждение А неверно, пишут просто ¬А.

Вот здесь очень важное отличие формального аксиоматического метода от неформального. Для неформального метода несущественно, на каком языке — на древнегреческом, русском или китайском — записаны утверждения. Для формального метода утверждений вне способов записи как бы не существует. Поэтому грамотнее говорить, что формальный метод имеет дело не с утверждениями, а с предложениями.

Посмотрим, например, в каком виде рассуждение «от противного» выглядит в рамках формального метода. На содержательном уровне это рассуждение происходит по следующей схеме:

из двух утверждений, (1) и (2):

(1) в,

(2) из утверждения не-А (т. е. из отрицания утверждения А) следует утверждение не-В (т. е. отрицание утверждения В)

— вытекает утверждение А.

В формальном методе указанное содержательное рассуждение оформляется в виде такого правила: если доказано предложение В и доказано предложение (¬А⇒¬В), то считается доказанным и предложение А.

Подобные правила носят название правил вывода. Они должны быть перечислены исчерпывающим образом. Их соединение с акси-

омами приводит к тому, что некоторые предложения объявляются доказуемыми. Сперва доказуемыми объявляются все аксиомы, а затем провозглашается, что применение любого правила вывода к любым доказуемым предложениям даёт доказуемое предложение.

Теорема Гёделя

Словосочетание «теорема Гёделя» довольно популярно, и не только в математической среде. И это совершенно заслуженно. Ведь теорема Гёделя (точнее, теорема Гёделя о неполноте) — не только одна из самых замечательных и неожиданных теорем математической логики, да и всей математики, но, пожалуй, единственная на сегодняшний день теорема теории познания.

Если говорить совсем грубо, теорема Гёделя утверждает, что не всё можно доказать, если говорить чуть более точно — что существуют истинные утверждения, которые нельзя доказать, а подробнее — что такие утверждения найдутся даже среди утверждений о натуральных числах. Но эта формулировка заключает в себе некое противоречие. В самом деле, если мы обнаружили истинное утверждение, которое невозможно доказать, то откуда, спрашивается, мы знаем, что оно истинное? Ведь чтобы убеждённо заявлять о его истинности, мы должны эту истинность доказать. Но тогда как же можно говорить о его недоказуемости?

Разгадка в том, что в грубых, подобно приведённым, формулировках теоремы Гёделя смешиваются два понятия доказательства — содержательное (неформальное, психологическое) и формальное. Теорему Гёделя надлежит понимать в следующем смысле: существуют не имеющие формального доказательства утверждения, являющиеся тем не менее истинными, причём истинность их подтверждается содержательными доказательствами. Иными словами, эти утверждения доказуемы содержательно и недоказуемы формально. Отметим, что в применении к какому бы то ни было утверждению более корректно было бы говорить о формальных доказательствах не самого этого утверждения, а предложения, служащего записью этого утверждения в виде слова, составленного из букв подходящего алфавита. Однако мы этого делать не будем, чтобы не утяжелять изложения.

Указанный смысл нуждается в дальнейшем уточнении. Ведь понятие формального доказательства осмысленно лишь тогда, когда предъявлены аксиомы и правила вывода. Достаточно взять любое утверждение и включить его в число аксиом — и оно тут же сделается

доказуемым формально. Точная, хотя и требующая разъяснений, формулировка теоремы Гёделя такова: если язык достаточно богат, то какой бы список аксиом и какой бы список правил вывода ни предъявить, в этом языке найдётся истинное утверждение о натуральных числах, не имеющее формального доказательства.

Жанр данного очерка не позволяет дать предложенной «точной» формулировке исчерпывающих объяснений. Но некоторые намётки всё же сделаем.

Под утверждениями о натуральных числах понимаются такие утверждения, которые помимо общелогических понятий (таких как «и», «если . . ., то . . .», «существует», «равно» и т. п.) используют в своих формулировках лишь натуральные числа и операции сложения и умножения.

Под достаточным богатством языка понимается его способность выражать достаточно сложные утверждения о числах; а именно, требуется, чтобы для любого перечислимого множества натуральных чисел в языке имелась формула, выражающая принадлежность к этому множеству натурального числа. Дальнейшие объяснения потребовали бы изложения основ математической логики и теории алгоритмов, а потому здесь мы остановимся.

Что такое доказательство?

Теорема Гёделя о неполноте, пожалуй, — одна из двух (наряду с Теоремой Ферма) самых знаменитых теорем математики. Не самая главная (таковой — по моему мнению, с которым многие не согласятся, — является теорема о существовании фактор-множества для всякого отношения эквивалентности), не самая известная (таковой является Теорема Пифагора), но — самая знаменитая. И это вполне заслуженно: ведь её можно считать теоремой теории познания. Да и автор её — человек достаточно знаменитый. Когда известный американский журнал «Тайм» составлял список ста самых выдающихся деятелей уходящего XX века, на всю науку он отвёл десять мест, из них на математику — одно. Это место и занял Курт Гёдель (Kurt Friedrich Gödel, 28.04.1906—14.01.1978).

Хотя Теорема Ферма, по внематематическим (и отчасти скандальным) причинам, возможно, и знаменитее Теоремы Гёделя, думается, что какое-то представление о Теореме Гёделя имеет более широкий круг людей. В самом первом и самом грубом приближении Теорема Гёделя утверждает, что невозможно доказать все истины, иными словами, что существуют недоказуемые истины.

Такая формулировка, однако, содержит в себе очевидное противоречие. Вот оно. Раз Гёдель доказал существование утверждения, которое, хотя и недоказуемо, является истинным, то, значит, он доказал истинность этого утверждения. Но ведь доказать истинность некоторого утверждения — это и значит доказать это утверждение. Получается, что Гёдель доказал обсуждаемое утверждение, — но тогда оно не может быть недоказуемым. Как же быть?

Всё дело в том, что существуют два различных понятия доказательства и, следовательно, два различных понятия доказуемости. Первое из них хорошо известно всем из школы, да и из повседневной

Начальный параграф статьи: Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней // Математическое просвещение. — Третья серия. — Вып. 15. — М.: МЦНМО, 2011. — С. 35—39.

жизни тоже; мы будем называть его содержательным, или психологическим, доказательством. Второе принадлежит математической логике; мы будем называть его формальным доказательством.

Понятие психологического доказательства потому названо психологическим, что оно принадлежит не математике, а психологии и, отчасти, лингвистике. Психологическое доказательство — это содержательное рассуждение, убеждающее нас в истинности какого-либо утверждения настолько, что мы готовы убеждать других в истинности этого утверждения при помощи этого же рассуждения. Именно такие доказательства и фигурируют как в школьных, так и в вузовских курсах математики. Да и в курсах, читаемых на математических факультетах, используются именно они.

Психологическое доказательство имеет место и тогда, когда что-то доказывают, исходя из каких-то аксиом, — скажем, аксиом геометрии или аксиом кольца. Ведь использование аксиом при доказывании теорем не меняет сути дела: доказательство и в этом случае состоит в рассуждении, имеющим целью убедить, что если предположить аксиомы истинными, то окажется истинным и доказываемое утверждение. Приведём простой пример. Рассмотрим множество, в котором выделен элемент 0 и на котором задана одноместная операция Известные аксиомы Пеано содержат в своём составе две такие: (x' = у')⇒(х = у) и ¬∃x (х' = 0). Исходя из этих аксиом, докажем неравенство 0"" ≠ 0". Доказываем от противного. Предположим, что 0"" = 0". В силу первой аксиомы тогда 0''' = 0'. В силу той же первой аксиомы тогда 0" = 0. Но это противоречит второй аксиоме, потому что получается, что 0 есть результат применения операции ' к элементу 0'. Точно таким же рассуждением доказывается различие любых двух элементов вида 0"'"', имеющих в своей записи различное количество штрихов. Поэтому выражения

0, 0', 0", . . .

можно использовать в качестве обозначений, или имён, натуральных чисел.

Психологическое доказательство есть продукт социальной истории, и требования к убедительности меняются со временем. Не сомневаюсь, что в Древнем Египте написанный на папирусе исходящий из храма текст, содержащий рецепты, скажем, сложения дробей или вычисления площадей, считался не подлежащим оспариванию доказательством (независимо от того, верными или неверными оказывались указанные рецепты). В средневековой Индии доказательством служил чертёж, под которым было подписано «Смотри». Именно так,

например, доказывалась формула S = lr/2, связывающая площадь S произвольного круга радиуса r с длиной l его окружности. Сейчас нас вряд ли устроит подобное доказательство (хотя, надо признать, оно довольно убедительно — и уж во всяком случае очень наглядно). Но, вполне возможно, те доказательства, которые мы сейчас считаем строгими, не устроят наших потомков — такую возможность допускал великий математик Пуанкаре.

Психологические, содержательные доказательства часто называют также неформальными. Мы видим, что то, что именуется просто доказательством в обычной математической (но не в математикологической!) практике, и есть в точности то, что мы только что назвали психологическим (неформальным, содержательным) доказательством.

В отличие от психологических доказательств, формальные доказательства являются математическими объектами, подобными, скажем, треугольникам или шарам. В реальном мире нет ни треугольников, ни шаров в точном смысле этих слов, но есть нечто, идеальными образами, математическими формализациями чего служат треугольники и шары. Аналогичным образом, понятие формального доказательства служит формализацией понятия психологического доказательства. Важно подчеркнуть, что понятие психологического доказательства допускает различные формализации, подчиняющееся неким общим для всех таких формализации требованиям. Более точно понятие формального доказательства будет описано в § 21. Пока же мы ограничимся заявлением, что формальное доказательство есть конечная последовательность знаков, определённым образом организованная.

Мы в состоянии теперь сформулировать Теорему Гёделя чуть-чуть более аккуратно: какую бы формализацию понятия доказательства ни предъявить, всегда найдётся истинное утверждение, которое не имеет формального доказательства в рамках этой формализации. Противоречие, о котором шла речь выше, устранено: истинность утверждения доказывается при помощи психологического доказательства, а его недоказуемость означает отсутствие для него формального доказательства.

Ясно, однако, что столь общая теорема не может быть верной без каких-то ограничений. Во-первых, если запас утверждений, истинность и доказуемость которых исследуется, очень беден, то

1 Названный § 2, как и прочие параграфы статьи, а также дополнения к ней, не приводится в настоящем издании. — Примеч. ред.

можно предложить такую формализацию понятия доказательства, при котором все истинные утверждения из этого запаса окажутся доказуемыми. За примером ходить недалеко — именно так будет, скажем, в случае, когда все утверждения суть утверждения о равенстве или неравенстве арифметических выражений, изучаемых в начальной школе, т. е. выражений, составленных из натуральных чисел и операций сложения и умножения. Чтобы язык подпадал под действие Теоремы Гёделя, он должен быть богатым, т. е. обладать такими выразительными средствами, при помощи которых можно выразить действительно содержательные утверждения. Поэтому формулировку Теоремы Гёделя следует начать с ограничительной клаузулы «если язык достаточно богат». Точное определение термина достаточно богатый язык будет дано в конце § 4. Во-вторых, нетрудно ввести такое понятие формального доказательства, при котором решительно все утверждения языка, как истинные, так и ложные, будут обладать формальным доказательством. Для этого достаточно, например, объявить, что запись любого утверждения является его формальным доказательством. В советское время именно так обстояло дело со всеми утверждениями, содержащимися в сочинениях Ленина и Сталина: формальным доказательством истинности такого утверждения служило его предъявление в составе официального издания.

Ясно, что если не позаботиться об исключении подобных ситуаций, Теорема Гёделя окажется неверна. Исключение естественнее всего достигается требованием семантической непротиворечивости. Рассматриваемое понятие формального доказательства называется семантически непротиворечивым, коль скоро выполнено следующее требование: никакое ложное утверждение не может обладать формальным доказательством. Другая ограничительная клаузула, следовательно, должна иметь вид «если понятие формального доказательства семантически непротиворечиво».

Заметим ещё, что тот вариант Теоремы Гёделя, о котором говорилось до сих пор, есть так называемый семантический её вариант: он использует в своей формулировке представление об истинности подлежащих доказыванию утверждений. Известен и так называемый синтаксический вариант, не использующий указанного представления. Именно в синтаксическом варианте Гёдель и доказал в 1930 году свою знаменитую теорему; в самом первом и самом грубом приближении Гёдель доказал, что существуют утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. В более аккуратной формулировке, синтаксический вариант Теоремы Гёделя гласит, что какую бы фор-

мализацию понятия доказательства ни предъявить, всегда найдётся такое утверждение — причём даже в арифметике, т. е. среди утверждений о натуральных числах, — что ни его само, ни его отрицание невозможно доказать в рамках предъявленной формализации; другими словами, найдётся утверждение, для которого ни для него, ни для его отрицания нет формального доказательства (как математического объекта). Своих ограничений требует и синтаксический вариант. Требование семантической непротиворечивости заменяется в синтаксическом варианте требованием синтаксической непротиворечивости; последняя состоит в том, что отрицание утверждения, обладающего формальным доказательством, само не должно обладать таковым. Требование достаточного богатства языка заменяется предъявлением списка конкретных утверждений, относительно которых выдвигается требование, чтобы они обладали формальными доказательствами. Синтаксический вариант Теоремы Гёделя обсуждается в Дополнении к этому очерку.

Но вернёмся к семантическому варианту. Сформулируем его чуть более точно: какое бы строго определённое понятие формального доказательства ни предъявить, всегда найдётся истинное утверждение (причём даже в арифметике), которое невозможно доказать в рамках этого понятия.

Знаменитый многотомный трактат Николя Бурбаки «Начала математики» начинается со слов: «Со времён греков говорить „математика“— значит говорить „доказательство“». Древние греки тут не случайны. Именно они создали современную европейскую математику. Именно у них возникло и само понятие доказательства. Дело в том, что первые доказательства, т. е. убедительные рассуждения появились у греков в их народных собраниях и в судах — в прениях сторон. С этой точки зрения, математика — младшая сестра юриспруденции.

Математика, как известно, не отменяет, но уточняет содержательные, интуитивные представления. Так, математическое понятие действительного числа уточняет интуитивное, физическое представление о длине отрезка. Да и математическое понятие отрезка уточняет соответствующее физическое понятие. Ведь математических отрезков в реальном мире не бывает. Математическое уточнение того или иного неформального представления состоит в том, что математика предлагает некоторое строгое, точно очерченное абстрактное понятие, не совпадающее, конечно, с указанным неформальным представлением, но всё же схватывающее его существенные черты.

В качестве уточнения психологического представления о неформальном доказательстве математика и предлагает понятие формального доказательства. Именно о них, а не о содержательных доказательствах говорит Теорема Гёделя, точно так же, как теоремы геометрии — об идеальных математических точках, прямых, окружностях и треугольниках. (Вряд ли кто-нибудь сможет указать «физическую точку», лежащую на «физической прямой», да таких объектов и не бывает в реальности; однако несомненно, что математические точка и прямая отражают некоторые существенные черты реального мира.) Я потому так долго говорю на эти философские темы, что хочу убедить уважаемого читателя, что по своей логической природе понятие формального доказательства не отличается от других идеальных понятий математики.

Математика в системе наук

— Владимир Андреевич, в самом начале раздела книги1, который называется «Философия», есть фраза о том, что в Индии математика относится к наукам гуманитарным, и, как Вы пишете, это вполне оправдано. Но если следовать этой логике, тогда совершенно правильно, что отделение лингвистики существует при Филфаке МГУ, а не при Механико-математическом факультете, хотя Вам это всегда не нравилось. Как Вы объясните это логическое противоречие?

— С утверждением «всегда не нравилось» я согласиться не могу. Другое дело, что не всегда нравилось. Не нравилось в те отдалённые, к счастью, времена, когда гуманитарные факультеты МГУ утопали в трясине идеологии и утягивали туда лингвистику.

Если считать лингвистику гуманитарной наукой, это не означает обязательности её нахождения при Филологическом факультете. Лингвистика могла бы быть и при Мехмате. Дело в том, что Мехмат состоит из двух частей: из отделения математики и отделения механики. Механика — негуманитарная наука, в значительной степени это наука экспериментальная, там есть лаборатории.

Сейчас, когда университет переехал в новое здание, Институт механики находится более чем в километре от Мехмата, это огромное отдельное здание. Раньше этот Институт располагался в подвале того же здания, что и Мехмат, и я туда иногда (хотя довольно редко) заходил. Это было неслыханно интересно, потому что там изучали гидродинамику, текли какие-то жидкости. Когда изучали газовую динамику, то запускали такой звук, что лопались барабанные перепонки, что-то такое чудовищное было. Было очень интересно.

А по отношению к математике существуют разные взгляды, и её считают не только естественнонаучной дисциплиной. Наш очень круп-

Интервью взято 2 марта 2009 года. Интервьюер — Л. Ф. Борусяк. Опубликовано на сайте «Полит.ру» http://polit.ru/anticle/2009/08/06/videon_lb_ uspensky/pnint/. См. также http://polit.ru/news/2009/08/06/math/.

1 Речь идёт о 1-м издании «Трудов по нематематике». — В. У.

ный математик, можно даже сказать — великий математик, Владимир Игоревич Арнольд, ученик Колмогорова считает, что математика это часть физики. Вот имеется физика, которая описывает реальный мир, как там всё устроено, и у неё есть такая часть, как математика, которая это всё описывает математически. И хотя Арнольд настолько превосходит меня по математическому рангу, что с ним даже спорить как-то неприлично, тем не менее, это не единственная возможная точка зрения.

— Вообще, идея о том, что математика — это часть физики, тоже весьма необычна.

— При существующем, очень грубом делении факультетов университета на гуманитарные и естественнонаучные, математика всегда будет естественнонаучной дисциплиной. В МГУ всегда были проректоры по естественным наукам и по гуманитарным. Если сделать более тщательное деление, то можно сказать, что бывают естественные науки, бывают гуманитарные, а бывают точные. Точные науки представлены математикой.

— А многие историки считают, что есть гуманитарные науки и есть история.

— Ну, вполне возможно. Математику с равным успехом можно считать и частью психологии, потому что математические понятия, как, впрочем, и физические, реально не существуют: не существует никаких твёрдых тел, есть только наши представления об этом в нашем уме. Это сложный философский вопрос, и я не берусь обо всём этом аккуратно говорить.

Математика в некоторых своих областях создаёт совершенно абстрактные концепции, чрезвычайно далеко уходящие от реального мира. Физика же, какой бы она ни была, всегда описывает какие-то явления реального мира, и положения физики, даже сложнейшие положения теории относительности, теоретически могут быть проверены. Другое дело, что не все из них могут быть сейчас экспериментально проверены просто потому, что для этого не хватает точности наших приборов. А что касается математики, то, например, дважды два четыре может быть проверено экспериментально.

— Можно положить палочки.

— Как совершенно правильно сказал Маяковский, которого с уважением цитирует Арнольд: «человек, который первым открыл, что дважды два четыре, был великий математик, хотя бы он открыл это, считая папиросные окурки». Абсолютно неважно, что он считал, но это совершенно правильно. Это описывает что-то реальное, но бывает, что математика в некоторых своих разделах уходит так

далеко, что уже совершенно отрывается от реальности. Правда, Арнольд говорит, что тогда это не математика, а философия или что-то вроде игры в бисер. Вообще, всякая классификация «что куда относится» — это очень непросто. С моей точки зрения, и я это очень ценю, в математике, безусловно, есть гуманитарная часть.

— Хотя бы потому, что математика смыкается с философией.

— Отчасти. Понимаете, это тоже очень сложный вопрос. Математическая логика, когда я ей начал заниматься ещё при жизни вождя всех народов и корифея всех наук товарища Сталина, была почти лженаукой. Не лженаукой, но почти, что-то такое непонятное, какой-то отрыв от действительности.

— Ну конечно, когда говорят «множества» и не говорят множества чего...

— Бесконечные множества. Вот говорят «теория бесконечных множеств»: такие разные соображения о разных бесконечностях. Они разные, но как их сравнивать? Понимаете, бесконечность же никто не видал. Есть даже такие математики, которые отрицают бесконечность, они говорят: «Ну, как так? Не бывает никаких бесконечностей. Бывает потенциальная возможность к любому числу прибавить ещё единицу и получить большее число. Это не значит, что есть бесконечный ансамбль всех чисел. Его нет. Есть только такой процесс, который позволяет двигаться неограниченно. Нет предела. Нет границы». Это, действительно, разные вещи.

Так вот, когда начинаешь заниматься бесконечностью, то встаёт вопрос: где эта бесконечность? Её не видно. Если считать целые числа, тут понятно — какое-то количество палочек. Но уже квадриллион в квадриллионной степени палочек — это представить себе нельзя.

— Гораздо меньшее число уже нельзя представить.

— И меньшее нельзя. Так вот, это больше, чем число всех элементарных частиц во Вселенной. Это невозможно представить и непонятно, в каком смысле это существует. Математика оперирует далеко идущими абстракциями и в этом смысле смыкается с философией, которая оперирует такими абстракциями, как «добро», «зло». Что это такое? Какие-то непонятные категории, но философы очень лихо ими оперируют.

— К одной из статей вы взяли эпиграф из Витгенштейна: «Большинство предложений и вопросов, трактуемых как философские, ложны и бессмысленны». К математике это в равной степени относится или нет?

— Как понимать бесконечно малую величину — это тоже вопрос. Есть такие математики, которые считают, что все рассуждения, связанные с бесконечно малым, бессмысленны.

— А осмысленно то, что можно представить?

— То, что можно представить. Существует набор абстракций, который все признают. Их как-то ещё можно представить. Они говорят, что если не ограничивать человечество в его физических возможностях, например, тем, что существует ограниченный запас времени или чернил, чтобы написать это число на бумаге, мела, чтобы написать на доске, доступного пространства — вообще всего, то квинтиллион в квинтиллионной степени существует. Хотя, наверное, есть и такие, кто считает, что его тоже не существует, но я о таких даже не буду говорить.

А наиболее разумные, в частности, первый заведующий нашей кафедрой — совершенно замечательный математик Андрей Андреевич Марков младший (его отец — Андрей Андреевич Марков старший был знаменитым математиком) — утверждал, что квинтиллион в квинтиллионной степени существует, потому что его можно себе представить, если отвлечься от физической ограниченности человека. Конструктивисты, каким был Марков младший, говорят, что точными математическими формулами, содержащими бесконечность, можно по некоторым правилам оперировать. Если рассматривать их не как последовательность смысла, а как некую последовательность закорючек, то они поддаются некоторым своим законам.

— Здесь интересно то, что математика ведь вообще работает с абстрактными вещами. Но, по мнению математиков этой школы, есть некий предел, некая граница, которая отделяет разумную абстракцию от неразумной.

— Что разумно, а что неразумно — по этому поводу у большинства математиков единая точка зрения. Конструктивисты (которые отрицают бесконечность) — это всё-таки безусловное меньшинство. Но дело в том, что если никак не ограничивать разумную абстракцию, то где-то там, в далёком горизонте или за ним, уже начинаются парадоксы и противоречия. Поэтому где-то нужно ограничивать. А где — никто не знает. Эти противоречия начинаются так далеко, что в реальной математике до них не доходят. Но если заниматься теорией множеств, возникают проблемы. Вот, скажем, великий Кантор, который её основал, последние двадцать лет своей жизни уже ничего не писал, а всё чаще и чаще поступал в нервную клинику... А свою жизнь он кончил в психическом расстройстве.

— Многие знают, что у математиков в этом смысле есть большой профессиональный риск. Видимо, действительно есть опасная граница.

— Опасная граница есть. Он прикоснулся к чему-то такому и не выдержал.

— И это неслучайно. Я читала работы психологов о математических способностях. Их исследованиями было установлено, что математическая одарённость — это совершенно особая область, и математические способности даже не коррелируют с общим интеллектом, с общими способностями.

— Вероятно, это как с шахматами. Кстати, то, что Вы сейчас рассказали, напомнило мне об одном случае. На моём любимом Мехмате состоял академик Павел Сергеевич Александров. Он был видный представитель старой интеллигенции и говорил, грассируя. Про него есть замечательная совершенно история. В Гёттингене он был однажды в бане, а там люди без знаков различия, без одежды, вообще без всего. И к нему было обращение — по-немецки я сказать не могу, потому что немецкого не знаю, но если перевести его на русский язык, то оно было такое: «Герр профессор, передайте, пожалуйста, шайку», т. е. по нему было совершенно очевидно, что он профессор.

Выступая на учёном совете Мехмата, посвящённом вопросам приёма (как проводить вступительные экзамены, кого брать, кого не брать), он сказал: «Все устные экзамены по математике совершенно бессмысленны, по определению. Потому что любой психиатр скажет вам, что за 20 минут, за 40 минут, и даже за 2 часа поставить точный диагноз психической болезни невозможно, необходимо более длительное наблюдение. А поскольку математический талант — вид психического расстройства...». Он сказал как-то более деликатно, не расстройство, может быть, психическое отклонение.

— А я это обычно называю «особенностью».

— Я думаю, он сказал «психическое отклонение от среднего».

— Но он ведь сам математик.

— Безусловно. Так вот, за 40 минут, которые отпускают нам на опрос абитуриента (и это самый максимум), нельзя ничего определить. Конечно, сейчас иначе, набирать стали больше на факультет. Когда я сам поступал, нас, включая астрономов, было человек 120 на курсе. Да и знания были другие, чем теперь.

— Владимир Андреевич, большой раздел Вашей книги — это философия, Вы анализируете серьёзные философские проблемы. Одна из этих проблем — всё-таки, для чего нужны многие

математические исследования? Многие знания в математике, кажутся абсолютной «вещью в себе». Они представляют собой некую ценность, которая не распространяется вовне. Зачем, например, три века пытались решить ту же теорему Ферма? Ведь не для практических же целей?

— Давайте спросим себя: а почему собственно знание должно иметь практическое применение? Для чего? Чтобы — что?

— Нас ещё в школе учили, что геометрия нужна была для того, чтобы мерить землю.

— А землю мерить для чего?

— Для нужд земледелия.

— А земледелие для чего?

— Для того, чтобы сажать хлеб, чтобы не голодать.

— А что, пока не мерили, голодали?

— Нет, ну, наверное, хуже выращивали.

— Неизвестно, понимаете. Если продолжать такую цепочку: это для чего?, а это для чего?..

— В результате бессмыслица получится?

— Понимаете, я (в отличие от Вас, Люба, наверное) в прогресс не верю. Я не верю, что с каждым веком человечество живёт лучше, чем раньше.

— Тут трудно спорить. Я бы никогда не смогла сказать, что современный человек умнее Аристотеля, скорее, сильно наоборот.

— Зато у него теперь есть компьютеры, телевизоры...

— Знаете, об этом хорошо сказал Жванецкий: «Купили цветной телевизор. Что, жить стали лучше? Нет, смотреть стали лучше».

— Смотреть стали лучше, да. Понимаете, это вопрос и сложный, и примитивный. Мне вот от телевизора только хуже. У меня его нет, и я этим очень доволен. Я говорю общеизвестные банальности. Человечество дошло до того, что создало такое средство, что может уничтожить само себя. Раньше такого не было. Причём разными способами: может взорвать атомную бомбу, а может пустить какую-нибудь бактерию.

— И не один раз уничтожить своё живое, словно одного мало.

— И не один раз. И бактерии может разные пустить, они все в лабораториях хранятся: какая-нибудь там сибирская язва, чума и пр. Так что вопрос, должны ли знания иметь практическую ценность, для меня не является аксиомой.

— Но я же на этом совершенно не настаиваю, разумеется. Не являюсь Вашим оппонентом.

— Знание должно доставлять удовольствие само по себе.

— Оно должно радовать того, кто его добывает?

— Да, радовать. Это первое. А второе — как раз про теорему Ферма. Пока что, действительно, она никакого практического применения не имеет — кроме того, что при её решении были созданы замечательные математические методы. Ведь решить её было очень сложно.

— Замечательные книги уже есть о том, как её решали, как ошибались, сколько жизней было посвящёно решению этой математической проблемы.

— Да, книга Саймона Сингха «Последняя теорема Ферма» или «Великая теорема Ферма». По-английски называется «Last Fermat Theorem».

— В русском переводе — «Великая теорема Ферма». Безумно интересно читается.

— Безумно интересно. И действительно, математика от этого развилась. Казалось бы, зачем нам какие-то древние мореплаватели, плывшие на какой-нибудь никому не нужный остров? Зато они потом прокладывали новые пути. Это второстепенно, что развилась математика. Ещё есть третьестепенный ответ, вот какой: проблема Ферма — это проблема из теории чисел. Теория целых положительных (1, 2, 3, 4 — самых простых) чисел очень древняя. Она самая простая по первоначальным понятиям, но она очень сложная по результатам. Но теорема Ферма тоже простая.

— По формулировке она очень простая.

— Там есть проблемы очень сложные, но есть и очень простые по формулировке. Теория чисел как наука развивается с древнейших времён, и долгое время считалось, что это просто такая игра ума. Хотя повсюду были кафедры и отделы теории чисел, в университетах она преподавалась. Почтенная очень наука, но зачем она — никто не знал. Но внезапно оказалось, что она имеет огромное прикладное значение для криптографии и, вообще, всего того, что сейчас объединяется общим названием «защита информации». Не могу сказать, что все, но чрезвычайно многие криптографические системы основаны на тонких свойствах чисел.

— Простых, прежде всего.

— Именно простых чисел, да. В школе учат, но так плохо, что я не думаю, что кто-нибудь помнит, что такое простое число. Простое число — это число, которое, во-первых, больше единицы, а во-вторых, не делится ни на что, кроме единицы и самого себя.

— Неужели со школы это может кто-нибудь забыть?

— Конечно. То, что больше единицы, все забывают. Разложение на простые множители (то, что всякое число разлагается на простые множители, причём единственным образом) — этот факт является основой теории чисел. И вот, действительно, криптография, а также так называемая электронная подпись.

— Это огромная у нас проблема.

— Проблема, когда клиент общается с банком по электронной почте. Банк должен быть уверен, что это именно его клиент, а клиент должен быть уверен, что это именно его банк, что он перечисляет деньги туда, куда нужно. Очень непростой протокол происходит: они обмениваются некими сигналами, которые практически невозможно подделать.

— Идея в том, что перемножаются очень большие простые числа, и без ключа это происходит так долго, что подделать его невозможно.

— Казалось бы, все могут перемножить простые числа. Что-то такое интересное должно происходить. Я не знаю, насколько это реально применяется, может быть, и нет, но это очень эффектно — называется «открытый ключ». Я позволю себе это изложить в терминах Юстаса и Алекса. Представьте себе, что таких агентов, как Штирлиц, может быть у Алекса много во всём мире, и они пользуются каким-то единым тайным шифром для простоты. И представьте, что Алекс получил известие, что шифр взломан. Что он может сделать? Он может сообщить им новый шифр, но боится, что его перехватят.

— Но дороге, конечно. Поэтому в открытом виде его нельзя передавать.

— Алекс в средствах массовой информации открыто публикует некоторое число и подробную инструкцию, как шифровать с помощью этого числа. Все могут шифровать, включая врага, но прочесть не могут. Вот они зашифровали, и своё-то могут прочесть, потому что знают, а рядом лежит зашифрованное Штирлицем послание. Им известно, как он его зашифровал — с помощью этого числа, по присланной инструкции, но инструкция необратима.

— И для этого нужна теория чисел?

— Для этого нужна теория чисел, очень несложная, кстати сказать. У меня даже есть статья по этому поводу. Так вот, если они перехватят такое сообщение, расшифровать его никто не может.

— Почему обратный процесс невозможен?

— Потому что так это устроено. Обратный процесс практически невозможен. Вы ведь не можете запихнуть пасту в тюбик обратно.

— Понятно. Или сахар растворить можно, а обратно — нет.

— В реальной жизни полно необратимых процессов: ребёнка родить обратно тоже нельзя. Так что очень много процессов, которые нельзя обратить.

— Владимир Андреевич, сейчас много споров идёт о том, почему математика так плохо сейчас преподаётся. Точнее, о том, почему она так плохо усваивается. Вы знаете, что по результатам ЕГЭ в прошлом году двойки по математике получили более 20% тех, кто писал.

— Это очень хороший результат.

— Он был бы хорошим, если бы не одно обстоятельство. У большей части остальных выпускников — еле-еле тройки. Как Вы считаете, может ли быть доступна математика школьного уровня, то хотя бы большинству людей?

— Нормальным людям — безусловно. В школе всё преподают плохо. У меня лично школа была очень хорошая, я считаю, но сейчас я скажу по поводу того, что дети выносят из школы. Есть такой Международный университет в Москве, одно время я вёл там какие-то занятия, много лет назад. Там в основном девочки были, хотя, в минимальном количестве, и какие-то мальчики тоже. И выяснилось, что никто не знает таблицу умножения.

— Таблицу умножения?

— Да, никто не знает.

— А какой же это факультет был?

— Филологический, наверное, не помню точно.

— И Вы им высшую математику читали?

— Нет, не высшую, но что-то такое. Должен сказать, что я не мог им объяснить, зачем нужна таблица умножения, и вот по какой причине. Они сказали: «Вам нужно что-то умножить?». Я говорю: «Конечно, давайте там умножьте 17 на 38». Они говорят: «Сейчас». Все вытащили калькуляторы и сказали: «Вот вам ответ. И зачем нам таблица умножения?». Надо сказать, что я несколько растерялся и продолжаю в этой растерянности находиться.

Это проблема социальная. Первый вопрос: может ли математика быть доступна нормальному человеку с нормальными способностями? Школьная математика — да, может. Теперь второй вопрос: почему этого не происходит? Здесь очень много разных причин, но главная — плохое преподавание. Я думаю, это не только у нас. В Америке преподают математику не лучше, что связано, как ни странно, с большей свободой. Это причина социальная, потому что государство

не может себе позволить не вводить всеобщего сперва 10-, потом 11-, а теперь даже поговаривают о 12-летнем образовании. Потому что нужно детей чем-то занять. Это никакого отношения к получению знания не имеет.

— Конечно. Сейчас опять заговорили, что кризис, куда им деваться — пусть лучше сидят и чему-нибудь учатся, чем влиться в ряды безработных. А так хоть при деле.

— Это очень важная социальная проблема. Я не хочу сказать, что государство себя неправильно ведёт, когда хочет ввести всеобщее 12-летнее образование. Но к обучению и получению знаний это никакого отношения не имеет. С моей точки зрения, обязательным должно быть четырёхклассное образование, может быть, пятиклассное, я не знаю. Начальное.

— То есть научиться себя обслуживать, рассчитаться в магазине...

— Уметь грамотно написать, прочитать, сосчитать, какие-то элементарные технические знания (чему, кстати, у нас в школе не учат). Понимаете, я считаю, что починить текущий кран должен уметь всякий. Я вот не умею, и очень от этого страдаю. Приходят некоторые мои друзья, и делают это за минуту. Прокладки всякие там заменить, починить выключатель.

— Это электричество, это страшно.

— Может быть. Хорошо, но, скажем, починить вилку от лампы выключенной — это не страшно, потому что она выключена. Ещё чему я считаю надо бы обязательно учить в школе, даже начиная с детского сада, — умению сидеть на корточках.

— Зачем?

— Как зачем? Сейчас объясню. Вы заметили, как восточные люди сидят?

— Они могут сидеть часами.

— А мы не можем. Потому что сидеть нужно так, чтобы ляжка, т. е. верхняя часть ноги, полностью лежала на нижней. А мы этого не умеем. Когда европейцы сидят на корточках, они сидят на цыпочках, пятка у них поднята от земли. Так долго просидеть невозможно.

— А для чего это нужно, зачем?

— Зачем? Очень просто. Вот вы идёте по улице, вы устали, хотите сесть. Сидеть на корточках — всё равно, что сидеть на стуле.

— Ну да: если не напряжены мышцы, ты не устаёшь. И они отдыхают при этом?

— Конечно. А есть другой способ восточного сидения: когда нижняя часть ноги, от колена и ниже, горизонтально лежит на земле. Так

японцы сидят, скажем. Нам это необязательно, потому что где мы так будем сидеть? У японцев — другое дело, у их вся жизнь на полу. А вот на корточках сидеть, с моей точки зрения, обязательно надо научиться. Для меня это очевидно, но все точно так же удивляются, как и Вы.

— Просто я не слышала никогда, что это полезная вещь. Мне всегда казалось, что это дико трудно, и нагрузка больше, чем в любом другом положении.

— Правильно. Если Вы посмотрите где-нибудь, как сидят на корточках, Вы увидите два совершенно разных способа. Вы смотрите, пятка при этом поднята или стоит на земле. Если стоит на земле, так можно сидеть сколько угодно, как на стуле. А если она поднята — так не удержишься, стоя на цыпочках.

— В данном случае это уже касается физкультуры, т. е. умения владеть своим телом.

— Безусловно.

— Вы считаете, что этих навыков, интеллектуальных и физических, большинству людей достаточно. А всё остальное?

— А всё остальное — если захочет.

— И вот тут выясняется, что если в начальной школе что-то усваивается (читать и как-то там считать дети учатся), то дальше начинаются большие проблемы с освоением школьного материала. В каком объёме нужна математика обычному человеку, тому, кто не собирается связывать свою жизнь с математикой или с инженерным делом?

— В очень небольшом объёме.

— То есть то, что сейчас даёт или пытается дать школа, содержит много лишнего. Подростку это реально не нужно.

— Много лишнего, просто масса вещей. Нужно учить вот чему — пользоваться справочниками, пользоваться Интернетом. Формулы никакие учить, конечно, не надо. Зачем?

— Я помню школьную тригонометрию: формулы, формулы и формулы.

— Кошмар, кошмар. Тригонометрические формулы, тригонометрические уравнения учить точно не надо.

— Все учили, куда м деваться. На самом деле их можно легко посмотреть.

— В справочнике посмотреть, в Интернете. Но этому надо специально учить, потому что это целое умение.

— Но смотреть ведь нужно уже после того, как ты понимаешь физический смысл того, что это такое. Потому что

в тригонометрии если ты не понимаешь, о чём речь, то и справочник не поможет.

— Тому, кто не будет связан ни с какой математикой, тригонометрия не нужна совсем.

— А мне, например, просто сам процесс решения тригонометрических задач нравился. Я получала от него удовольствие.

— Вы совершенно правильно говорите, с этим я полностью согласен, что математикой надо заниматься для удовольствия. Если кто хочет учиться дальше — пусть учится, ради бога. И надо, чтобы государство помогало в этом, обеспечивало, что называется, условия. Но если не хочет, если не нужно, то имеет право этого не делать. Если ребёнок маленький, то родители должны решать. Но сразу возникает социальная проблема — а куда его девать-то?

— Но учить чему-то всё равно надо.

— Это другой вопрос, не вопрос обучения. Куда его девать? Пусть учится в музыкальной школе или учится кройке и шитью.

— До восемнадцати лет?

— Куда девать — это другой вопрос, понимаете. Почему нужно обязательно учить? Например, учить тому, как устроены галактики. Надо долго думать, чему учить. Считать, что всё обучение в старших классах происходит только потому, что некуда девать — в этом есть даже что-то унизительное для человечества. Основной итог школы — это ненависть к тем предметам, которые там изучаются.

— Не у всех.

— Ну и слава богу! У меня тоже не было. Но мне очень многие люди говорили, что они даже Пушкина стали читать только через много лет после окончания школы, потому что его так вбивали. Моя идея в том, что литература в школе не должна превратиться в литературоведение. Нужно превратить школьные предмет «литература» в литературное чтение. Нужно, чтобы люди читали русскую классику. А разбирать какой-то образ или где здесь композиция, как изображена природа: «Дети, посмотрите, с каким тонким лиризмом изображена здесь природа» — это всё наводит тоску и вызывает ненависть. Нужно, чтобы просто читали!

— А разговаривать об этом не требуется?

— Ну, можно и поговорить.

— Мне кажется, что любое чтение, если книга вызывает интерес, всегда предполагает потом обсуждение. Обсуждение всегда интересно.

— Согласен. Об этом я не сказал, это моё упущение. Но отметки нужно ставить только за «прочёл/не прочёл», а это можно легко проверить.

— Проверить знание текста?

— Да. Не то, что он должен наизусть что-то там выучивать, но содержание знать должен.

— А впечатление неважно?

— Допустим, плохое впечатление. Это допустимо и не подлежит наказанию. Если уж вы так ссылаетесь на «Труды по нематематике» (где слово НЕ написано на обложке большими буквами), то там же есть результаты вступительных сочинений на Химический факультет бог знает в каком году. Я был в комиссии, которая изучала эти результаты.

— Это было в начале 1960-х годов.

— Да. Там кому-то снизили отметку за то, что Печорин ему, видите ли, не понравился. Или Онегин не нравится, и Татьяна не нравится, а нравится не знаю там кто.

— Грушницкий, например, а он плохой, нравиться не должен.

— А он плохой. Понимаете, это ведь право каждого. Вот в ЕГЭ включить бы такой вопрос: «На дуэли Онегина и Ленского кто был секундантом Онегина?». И четыре варианта. Если человек не читал...

— Ну, Владимир Андреевич, знаете, сколько возмущения общественности будет, что нашу молодёжь за полных идиотов считают, что это вещи несущественные... Что проверяется не память, а понимание и пр.

— Именно несущественные и надо спрашивать, потому что это доказательство, что человек прочёл. Понимаете, когда я слышу слово «духовность», я не хочу повторять слова преступников, но мне хочется за что-то схватиться...

— Тем не менее, оно, это выражение, очень активно используется. В частности, в том контексте, что русская литература — основа русского менталитета и русской духовности.

— Нет, я не понимаю, не знаю этого слова. «Духовное лицо» — понимаю. «Духовник» — понимаю такое слово. А что такое «духовность», я не понимаю. Помните, была такая песня: «Мы не пашем, не сеем, не строим — мы гордимся общественным строем»?

— Это из фильма Рязанова «Забытая мелодия для флейты».

— Да. Я считаю, что есть некоторые достижения России, которыми можно было бы гордиться. А вот когда гордятся духовностью,

ощущение, что это из-за отсутствия остального. Потому что тут не попрёшь: духовность... Значит, ничего другого не могут предъявить. Это мне не нравится.

Почему за школьные сочинения так все держатся? Разные есть мотивы. Мощная когорта гуманитариев хочет остаться при своих. Их тоже можно понять: они потеряют работу. Скажем, Иван Георгиевич Петровский — замечательный совершенно человек, прекрасный математик, выдающаяся личность. Когда он создал комиссию по изучению сочинений на Химическом факультете, то сам он упорно называл этот экзамен экзаменом по русскому языку.

— Там одна оценка ставилась и по литературе, и по русскому.

— Это вообще безобразие, потому что это совершенно разные вещи. Это как если человек пишет сочинение по ботанике, и ему за грамотность снижают оценку по ботанике. Но я хотел сказать о другом. Распространённое мнение, что человек должен писать грамотно. Против этого не попрёшь: человек действительно должен писать грамотно. Но вот что смесь из грамотности и образа помещика — это полная каша, этого никто не хочет понимать.

— А вообще возможны объективные критерии оценки?

— Чего? Грамотности?

— Нет, не грамотности, здесь понятно, содержания.

— Литературы? Конечно, нет. А вот объективная оценка знания текста может быть. Меня бы многие за эти предложения гильотинировали, я понимаю.

— За это? Запросто.

— Но с меня-то взятки гладки. Я же говорю безответственно, всё равно меня никто слушать не будет.

— Ваше отношение к школьным сочинениям — это одно из мест в Вашей книге, которые я бы, несомненно, отнесла к парадоксальным. А зачем быть грамотным?

— Грамотным, с моей точки зрения, быть необходимо, по крайней мере, по двум причинам.

— Главной и второстепенной?

— Нет, обе главные. Одна причина иррациональная. Она состоит в том, что надо быть грамотным, и всё тут.

— Понятно, это личная установка.

— Надо быть грамотным точно так же, как надо сморкаться в носовой платок, а не на пол.

— Или в занавеску.

— Или в занавеску. В конце концов, занавеску можно выстирать. Далее. В принципе можно писать фонетически. Сколькими способами можно написать слово «аспирант», чтобы звучало совершенно так же? Например, если написать «озперанд», прочтётся так же. Ну, и разные есть такие придумки. Но разные способы написания замедляют процесс чтения.

— В компьютере можно не только написать, но и проверить.

— Конечно, есть проверки — так называемые spelling checker'ы. Правда, если вы пишете от руки, никакой spelling checker вам не поможет.

— А сейчас не пишут от руки.

— Сейчас не пишут от руки, сейчас пишут на компьютере. Хорошо, я не возражаю. Отменяем письмо от руки.

— Другое дело, что сами вордовские правила проверки очень плохие.

— Вот! Во-первых, плохие. А главное, что они тоже заменяют некоторые вещи. Вот я сам себя считаю довольно грамотным, но, тем не менее, я пишу с огромным числом опечаток, и мне всё время красненьким подчёркивают и требуют менять. Я тут же меняю, в самых глупых местах (корова через ять, грубо говоря). Но это всякий раз занимает время. Короче говоря, вторая причина совершенно практическая: безграмотное писание сильно замедляет процесс и чтения, и писания.

— Ну, понятно. В нашем мире больших скоростей, когда люди торопятся... Но узнавание слов ведь всё равно будет происходить?

— Будет, но процесс узнавания сильно замедляется. Можно оставить неправильно написанное, можно отключить опцию проверки, как написал — так и написал. Но тогда узнавание ещё медленнее идёт.

— Узнавать тяжело будет, конечно.

— Такие эксперименты были.

— Какого рода?

— Сколько времени требуется. Очень давно, ещё spelling checker'ов не было. Просто для того, чтобы понять, зачем нужна грамотность.

— Грамотность, на самом деле, это, прежде всего, социальное позиционирование себя.

— Это первая причина, а вот вторая причина ставилась разумными практическими людьми — языковедами, лингвистами.

— Как Вам кажется, если сейчас нормы написания будут меняться, начнут ли они приближаться к фонетическим?

— Этого я не знаю. Это сложный вопрос, я отказываюсь отвечать на него.

— А требуется ли упрощать некоторые правила, которые всё равно в массовом порядке нарушаются? Мы должны народ притягивать к правилам или правила приближать к народу?

— Значит, так. В начале 1960-х годов была очень большая дискуссия об упрощении правил орфографии.

— Кстати, а почему (извините, что я вас перебила), меня это много лет удивляет, тогда решили «изысканный» и подобные слова писать через «ы»? Зачем менять эти «и» на «ы»? По-моему, это не очень логично.

— Некоторые правила мне казались там непонятными. Именно это «и» и «ы». Вот «огурци» через «и». Когда говорили, что «огурци» надо писать через «и», кто-то писал: «Я ваших огурцей есть не буду». Я понимал, что можно и так писать, но почему «огурци» через «и» лучше, чем через «ы», это мне было не очень понятно.

— А, например, «брошура» через «у» явно ничем не хуже.

— Я не понимал, но знал, чем это хуже на самом деле. Потому что орфография влияет на произношение, хотя лингвисты не хотят этого признавать. В основном новые правила, эти предложения по упрощению были очень разумными. В частности, писать «заЕц», а не «заЯц». Кстати, если вы помните, был очень смешной фильм «Тридцать три».

— Конечно. Про лишний зуб.

— Этот человек, у которого 33 зуба, такой национальный герой, летит на Марс. И когда он уже садится в ракету, по полю бежит профессор в шапочке и говорит: «Вот вы улетаете, и очень важно ваше мнение: как надо писать — „заЯц“ или „заЕц“?». Андрей Анатольевич Зализняк испытывает некоторую гордость, что он изображён в художественном фильме, потому что это его предложение, и это он изображён в виде этого профессора. Это действительно было разумное предложение, и много было других разумных предложений. Но члены той орфографической комиссии не понимали, что изменение орфографии — это не лингвистический вопрос, а социальный.

Они этого не поняли, не хотели понимать, и не в состоянии были понимать. Они считали: это же разумно, а если что неразумно, вы нам скажите, и мы это отменим, можно нас убедить. Но если это разумно, то так лучше: правила будут проще, и меньше будут

делать ошибок. Но это вопрос социальный — переход на новую орфографию.

— Мне кажется, убедить общество поменять орфографию невозможно.

— Невозможно. Когда в 1918 году отменялась старая орфография, в соответствующем декрете советская власть была толерантна: правильными признавались оба варианта. Писать надо вот так, но если кто написал по-старому, это тоже правильно, и не следует, скажем, ставить двойку в школе. А у нас, конечно, так не будет. Орфография может быть улучшена, потому что можно научно составить орфографию очень разумно, с меньшим количеством правил и меньшим количеством исключений.

— Но это слишком негативный резонанс вызывает. Вообще, проблемы такого рода всегда воспринимаются как поползновение на нашу культуру.

— Правильно.

— Как Вам кажется, Владимир Андреевич, массово готовить в школе грамотных людей — это вообще реально? Сейчас этого совсем не получается. Неужели русская орфография настолько сложная? Или это нежелание учиться и неумение учить?

— Люба, Вы меня спросили, можно ли обучать обычных средних людей математике, чтобы они её понимали? Отвечаю: можно. Реально ли это? Не знаю.

— Понятно. Теоретически можно, а практически вряд ли.

— А практически — нет. Потому что вот, скажем, совершенно гениальный математик, один из самых крупных математиков 20-го века, Колмогоров, мой учитель, попытался провести реформу математики в школе.

— Он вообще проявлял очень большой интерес к школьному образованию, создал знаменитый Колмогоровский интернат при МГУ, ныне СУНЦ2.

— Реформа его была очень разумной, но, как это ни грустно, она провалилась. Провалилась, потому что он не понимал, по-видимому, что это социальный вопрос.

— Всё, что касается образования, это социальная проблематика, а не какая-то ещё.

— Проблема в том, что пришлось бы всех учителей переучивать, включая учителей какого-нибудь посёлка на Чукотке. Поэтому все были против. Тут я должен сказать (я впервые это публично говорю),

2 СУНЦ—специализированный учебно-научный центр. — В. У.

что это был единственный случай, когда я в частной беседе с ним позволил себе не согласиться с самим Колмогоровым.

Я говорил ему: «Андрей Николаевич, это не ваше дело — писать учебники для школы, не ваше дело даже писать учебники для студентов пединститутов. Ваше дело — писать учебники для профессоров пединститутов. Вот для них напишите книгу о том, как в пединститутах учить студентов, чтобы они потом учили детей. Вот это ваше дело». Но он не согласился со мной. Я даже не могу сказать, что я был прав, а он нет, потому что Колмогоров по определению более прав, чем я. Но вот такое у меня было ощущение. Это я про социальное.

Специализированный учебно-научный центр имени Колмогорова, который вы упомянули, — это великая вещь. Все ему за это благодарны. Но всё же специализированное обучение тех мальчиков и девочек, которые хотят заниматься математикой — это одно, а общее образование — совсем-совсем другое. Кстати, я очень хорошо помню, кто-то при мне спросил Колмогорова: «Андрей Николаевич, как Вы считаете, дети из сельской глубинки менее способные?». Он твёрдо сказал, что сельские дети совершенно так же способны или не способны к математике, как дети из интеллигентнейших московских семей. Другое дело, как их там учили. Но собственно способности...

— А почему возник такой странный вопрос? Талант — это же «поцелуй бога», а он может поцеловать кого угодно.

— Вот так.

— И на Мехмате много ребят из разных городов и весей. Всегда так было, и сейчас не изменилось. Но вернусь к «загадкам» Ваших книг. Владимир Андреевич, так всё-таки дефис и апостроф — это буквы? Для непрофессионалов их отнесение к буквам кажется очень неожиданным.

— Одно из двух. Русское слово состоит из букв и только из букв, или оно состоит из букв и чего-то ещё. Есть текст, и там встречаются и знаки параграфов, и знаки препинания, и что-то ещё. А вот слово русское? Как считать? В зависимости от того, как вы скажете, я вам скажу, буква это или нет. Слово состоит только из букв, которых 33 в русском языке, и каждая ещё бывает большая и маленькая, или из букв и чего-то ещё? Как вы распорядитесь, тогда я вам отвечу, буква это или не буква.

— Понятно. Вы доказывали, что, в общем-то, это тоже буквы.

— Если считать, что всякое слово русского языка состоит из букв и ничего другого, то поскольку можно предъявить такие слова, в

которых внутри слова встречается апостроф, апостроф оказывается буквой.

— Например, Д'Артаньян.

— Например, Д'Артаньян. Апостроф в словах встречается, по-видимому, только в собственных именах. Я не знаю других слов, в которых встречается.

— По-видимому, да.

— А дефис встречается очень часто. И с моей точки зрения, это буква.

— А ноль — это часть натурального ряда? Опять-таки «проблема ноля» для нематематиков — это чистая игра в бисер, а математики не могут договориться уже очень долго.

— Это сложный вопрос.

— Я так понимаю, что вы сторонник включать ноль в натуральный ряд.

— Это вопрос — что считать натуральным рядом, натуральным числом. Дело в том, что есть числа количественные и считательные. Количественное число — это сколько чего-нибудь может быть. Вот сколько в этой комнате может быть рассыпанных по полу спичек? Я не знаю, очень может быть, что у меня под столом какие-то спички лежат, не выметенные оттуда. Их может быть 7, а может быть 0.

— Только отрицательного их числа не может быть точно.

— Да, наименьшее количественное число — это 0. Если считать, что натуральный ряд состоит из количественных чисел, то 0 — натуральное число. А бывают числа «считательные» — когда мы начинаем пересчитывать предметы...

— И ноль пересчитать нельзя.

— Вот мы считаем, сколько в этой комнате людей. Раз, два, три. Наименьшее считательное число — это единица. Разные понятия — считательное и количественное число. Это философский вопрос, чем считательное отличается от количественного.

— Нолём, собственно, и отличаются.

— Нет, это натуральные ряды отличаются этим. Но они возникают из разных процессов.

— То есть это символ веры: одни принадлежат к одной школе и присоединяют ноль...

— Нет.

— А как?

— Ну да, можно сказать, что это символ веры. А можно понять, что есть два подхода. Символ веры — это если бы я заявлял, что есть только количественные числа и ноль, а всех, кто счи-

тает, что натуральное число — это считательное, нужно сжигать на костре.

— Можно, конечно, с нами не соглашаться, только правы те, кто с нами согласен. Если мы так считаем, то этот подход более правильный. Обычно толерантность ограничивается таким допущением «правоты противников».

— Если Вам ещё не надоело меня слушать, я хочу рассказать ещё вот что.

— Наоборот, очень интересно.

— Когда Колмогоров занимался стиховедением, он очень уважительно относился к своим предшественникам — Томашевскому, Шенгели, Андрею Белому. Когда они анализировали одно и то же произведение, у них получались разные результаты. И все считали, что кто-то из них прав, а другие неправы. А он обнаружил, что они по-разному понимали, что такое, скажем, безударный и ударный слог. И потому нельзя сказать, кто из них более прав. Просто у них были разные понятия ударного и безударного слога. И всё. Поэтому получались разные результаты.

— Но математика, вообще-то не любит неоднозначностей. Математике, мне кажется, это имманентно не присуще, чуждо.

— Очень много неоднозначностей в математике, на самом деле. Она её, конечно, не любит, но если копнуть поглубже... Возьмём, скажем, такую простую вещь, как определение угла. Очень разные есть подходы к тому, что такое угол. В треугольнике понятно, что это такое. А что такое угол вообще? Я сейчас не хочу говорить подробно, но в математике масса терминов, о которых надо договариваться. Все они обозначены, они имеют несколько смыслов, и все они очень точные, эти смыслы.

Скажем, если угол — это два луча, имеющие общую точку, то что такое угол в 479 градусов — уже непонятно. Другое понимание, что угол — это мера поворота одного луча, а чтобы он перешёл в другой, нужно несколько раз прокрутить и т. д.

— И это математика, в которой как бы точно всё определено.

— Там всё определено, но иногда бывает, что один и тот же термин используется в разных смыслах, но каждый раз понятно, в каком.

— И логика тоже может быть многозначной в математике? Если так, Вы разобьёте мои последние иллюзии.

— Нет, логика однозначна.

— И именно это делает применение математики (я цитирую одну из Ваших статей) в какой-то науке свидетельством того, что данная наука достигла некоего уровня развития, а также о некотором её новом состоянии. Применение математики в гуманитарных науках, в свою очередь, это новый толчок для их дальнейшего развития.

— Между прочим, если посмотреть последние выборы в Академию наук, то последние три члена-корреспондента, которые были избраны по специальности «языкознание» все как-то связаны с математикой.

— Математизация науки в широком смысле — это процесс, который продолжается? Вам кажется, что за ним будущее?

— Не могу ничего сказать.

— Когда-то Вы уверенно писали, что развитие науки предполагает её математизацию. Сейчас уже не готовы так уверенно говорить?

— Понимаете, одно дело что-то просто написать. Ну, написал и написал. А если устно говорить, то нужно более подробно объяснить, почему. Это я сейчас не готов делать.

— Владимир Андреевич, я вновь с большим интересом Вас послушала. Может быть, Вы хотите что-нибудь интересное сказать нам на прощание?

— Хочу поприветствовать «Полит.ру», это очень хороший сайт. Это очень хорошее интернет-издание, я его ценю и хочу вас приветствовать.

— Спасибо большое.

Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике

Насчёт параллельных линий

всё оказалось правдой и в кость оделось <...>.

Иосиф Бродский (1976).

Общественное сознание в значительной степени мифологизировано, и это давно не новость. Все знают, что во время Второй мировой войны, в период германской оккупации Дании, датский король надел жёлтую звезду. На самом деле этого не было. Всем известны слова Ленина, что искусство должно быть понятно массам, и сетования Пушкина на то, что он родился в России с умом и талантом. На самом деле Ленин (в беседе с Кларой Цеткин) говорил не «понятно массам», а «понято массами», а Пушкин (в письме к жене) писал не «с умом», а «с душою». Замена понятности на необходимость понимания и ума на душу в корне меняет смысл привычных формулировок. Если искажение слов Ленина можно списать на неправильный перевод с немецкого (а подлинник текста Цеткин был доступен в России единицам), то случай с Пушкиным требует более глубокого анализа. Объяснение состоит здесь, по-видимому, в том, что наше сознание готово допустить неуместность в России ума (которым, как известно, Россию не понять), но никак не души (это в России-то, заповеднике духовности и душевности!). Сила предубеждённости в этом вопросе поистине замечательна, ведь тираж изданий писем Пушкина исчисляется сотнями тысяч! Тем не менее ошибку в цитате делают даже филологи весьма известные. Вот ещё распространённый миф — формула «Клянусь говорить правду, только правду и ничего, кроме правды», якобы применяемая в американском судопроизводстве (и довольно странная, поскольку обороты «только правду» и «ничего, кроме правды» имеют один и тот же смысл). На самом деле в Америке говорят по-другому: «Клянусь говорить правду, всю правду и ничего, кроме правды, и да поможет мне Бог» (I swear to tell the truth, the whole truth, and nothing but the truth, so help me God).

Журнальная публикация: Новый мир. — 2007. — № 12. — С. 131—139 (в качестве гл. 8 статьи автора «Апология математики, или О математике как части духовной культуры»). Полная публикация в книге: В. А. Успенский. Апология математики: Сборник статей. — 2-е изд., испр. — СПб.: Амфора, 2012. — С. 137—164 (в качестве гл. 8 статьи «Апология математики»).

Математики могут чувствовать себя польщёнными тем, что среди деталей, в которых мифологическая картина мира отличается от картины реальной, есть и такие, которые относятся к их дисциплине. Например, большинство людей убеждено, что в математике все понятия определяются и все утверждения доказываются. Но ведь каждое понятие определяют через другие понятия, а каждое утверждение доказывают, опираясь на другие утверждения. Вспоминается риторический вопрос г-жи Простаковой: «Портной учился у другого, другой у третьего, да первоет1 портной у кого же учился?». Автору этих строк приходилось слышать и такое определение площади поверхности шара: «Площадь поверхности шара есть предел площадей поверхностей правильных многогранников, вписанных в этот шар, — при неограниченном возрастании числа граней этих многогранников». Подобное представление о площади поверхности явно возникло по аналогии с тем фактом, что длина окружности действительно есть предел периметров правильных многоугольников, вписанных в эту окружность, — при неограниченном возрастании числа сторон этих многоугольников. Но всё дело в том, что в правильном многоугольнике может быть сколько угодно сторон, в правильном же многограннике количество граней может выражаться лишь одним из следующих пяти чисел: 4 (у тетраэдра), 6 (у куба, он же гексаэдр), 8 (у октаэдра), 12 (у додекаэдра) или 20 (у икосаэдра), так что ни о каком неограниченном возрастании числа граней не может быть речи.

Самое же замечательное — это то, как преломляется в мифологическом сознании учение о параллельных прямых.

Что такое параллельные прямые, знают практически все. Практически все слышали про аксиому о параллельных прямых, ведь её проходят в школе. Никто из так называемых людей с улицы, которых я спрашивал, в чём состоит аксиома о параллельных, не отговорился незнанием. Абсолютное большинство опрошенных отвечали так: аксиома о параллельных состоит в том, что параллельные прямые не пересекаются. Рекомендуем читателю самому произвести опрос и убедиться, что именно такая формулировка аксиомы о параллельных бытует в массовом сознании. Получив указанный выше ответ, следует немедленно задать следующий вопрос: а что такое параллельные прямые? Скорее всего, вам ответят, что параллельными называются такие прямые, которые не пересекаются. (Если даже клаузула «и лежат в одной плоскости» не будет про-

1 Так в оригинале.

изнесена, этому не следует придавать значения: её необходимость понимают все.) Многие сразу же осознают: тут что-то не так, ибо не может же аксиома заключаться в том, что непересекающиеся прямые не пересекаются. Многих из тех, кто не поймёт этого сразу сам, удастся в этом убедить. Останется незначительное меньшинство, считающее, что аксиома о непересекаемости непересекающихся прямых имеет право на существование. С представителями этого меньшинства договориться трудно: разговор происходит на разных языках. (Ведь параллельные прямые и в самом деле не пересекаются. «А как насчёт такой аксиомы: всякий зелёный предмет является зелёным?» — спрашивал я. «Аксиома как аксиома, — отвечали мне представители названного меньшинства. — Вот если б вы сказали, что всякий зелёный предмет является красным, тогда другое дело».)

Замечательно, что ложная формулировка аксиомы о параллельных (параллельные прямые не пересекаются) получила интернациональное распространение. В этом несколько неожиданном обстоятельстве автор убедился следующим образом. В марте 2006 году на симпозиуме в Пекине, посвящённом проблемам математического образования, я рассказал о своих наблюдениях относительно аксиомы о параллельных — наблюдениях, сделанных на русскоязычном материале. Среди присутствовавших был американский профессор математики Веллеман (Daniel J. Velleman) из довольно известного Амхерст-колледжа (Amherst College), что в штате Массачусетс. В тот же день он спросил свою жену Шелли (Shelley L. Velleman), бакалавра и магистра нескольких гуманитарных наук, приехавшую вместе с ним в Пекин, в чём состоит аксиома о параллельных прямых. И получил ответ: «В том, что параллельные прямые не пересекаются». Тогда он спросил, а что такое параллельные прямые. Ответом ему был хохот: супруга профессора сразу же поняла бессмысленность своего ответа. Итак, хотя бы в этой детали русская и американская мифологические картины мира оказались одинаковы.

Но сюжет с параллельными прямыми на этом не заканчивается. Респондента, осознавшего абсурдность его ответа, можно спросить, в чём же всё-таки состоит аксиома о параллельных. На этом этапе вы, скорее всего, получите такой ответ: «Через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести прямую, параллельную этой заданной прямой». Это уже значительно лучше, потому что такой ответ всего лишь неверен, но уже не абсурден. Неверен же ответ потому, что представляет собою не аксиому, а теорему. (Теорема эта доказывается чрезвычайно просто: надо сперва из точки опустить

перпендикуляр на заданную прямую, а затем из той же точки восставить перпендикуляр к опущенному перпендикуляру; тогда заданная прямая и восставленный перпендикуляр будут перпендикулярны к одной и той же прямой, а именно к опущенному перпендикуляру, и потому параллельны.) Подлинный же смысл аксиомы о параллельных не разрешительный, а запретительный: она утверждает не то, что нечто сделать можно, а то, что чего-то сделать нельзя, что чего-то не существует. Вот её правильная формулировка: через точку, не лежащую на заданной прямой, нельзя провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой. (Проницательный читатель усмотрит здесь аналогию с восемью из первых десяти поправок к американской конституции, известных в своей совокупности под названием «Билль о правах». В этих восьми поправках свободы формулируются в терминах запретов: «Конгресс не должен...»— в первой поправке, «ни один солдат не должен...» — во второй поправке и т. п.). Причина искажённого восприятия аксиомы о параллельных, на наш взгляд, заключается в следующем. В средней школе для простоты обычно вдалбливают формулировку «можно провести одну и только одну прямую», не заостряя внимания на том, что оборот «можно провести» выражает здесь теорему, а «можно провести одну и только одну» — аксиому. В результате в сознании остаётся более простая идея о возможности, а более сложная (и более глубокая) идея о единственности теряется.

Учение о параллельных — основа геометрии Лобачевского. Чем эта геометрия отличается от обычной, евклидовой, будет сказано несколькими абзацами ниже. А пока констатируем, что Лобачевский, возможно, единственный российский математик, присутствующий в общественном сознании (а если брать всех математиков, а не только российских, то, скорее всего, один из двух; другой — Пифагор). Его место закреплено в поэзии: «Пусть Лобачевского кривые / Украсят города / Дугою <...>», «И пусть пространство Лобачевского / Летит с знамён ночного Невского», — призывает Хлебников в поэме «Ладомир». Бродский в стихотворении «Конец прекрасной эпохи» не призывает, но констатирует:

Жить в эпоху свершений, имея возвышенный нрав,

К сожалению, трудно. Красавице платье задрав,

Видишь то, что искал, а не новые дивные дивы.

И не то чтобы здесь Лобачевского твёрдо блюдут,

Но раздвинутый мир должен где-то сужаться, и тут —

Тут конец перспективы.

Если спросить «человека с улицы», в чём состоит вклад Лобачевского в науку, в подавляющем большинстве случаев ответ будет таким: «Лобачевский доказал, что параллельные прямые пересекаются» (в более редком и изысканном варианте: «Лобачевский открыл, что параллельные прямые могут и пересечься»). Тогда надо немедленно задать второй вопрос: «А что такое параллельные прямые?» — и получить ответ «Параллельные — это такие прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются». После чего можно пытаться (с успехом или без оного) убедить собеседника в несовместимости двух его ответов. Намёк на схождение параллельных в точку содержится уже в приведённой цитате из Бродского о сужении мира до финального «конца перспективы». Более раннее свидетельство встречаем в романе В. А. Каверина «Скандалист, или Вечера на Васильевском острове»2. Открываем изданный в 1963 году первый том шеститомного собрания сочинений на с. 447—448. Герой романа Нагин3 просматривает читанную ранее «книгу по логике», и вот «он внезапно наткнулся на вопросительный знак, который был поставлен на полях книги его рукою. Одна страница осталась непонятой при первом чтении курса. Вопросительный знак стоял над теорией Лобачевского о скрещении параллельных линий в пространстве». Нагин собирается писать рассказ на эту тему: «Он кусал себе ногти. „Параллели, параллели“, — написал он здесь и там на листе <...>. „Нужно заставить их встретиться“, — начертал он крупно <...>». Наконец, прямое указание находим в фольклоре (а ведь буквальное значение слова folklore — народная мудрость):

Однажды Лобачевский думал, кутаясь в пальто:

Как мир прямолинеен, видно, что-то здесь не то!

И он вгляделся пристальней в безоблачную высь,

И там все параллельные его пересеклись4.

Имеются и более современные свидетельства. Каждое утро по будням, между 9 и 11 часами, на «Эхе Москвы» идёт интерактивная программа «Разворот». 15 февраля 2006 года в рамках этой программы слушателям предлагалось выразить своё отношение к идее провести в Москве парад геев. Ведущий Алексей Венедиктов, беседуя с очередным слушателем, призывал его к толерантности и

2 Благодарю В. И. Беликова, подсказавшего мне это свидетельство.

3 В восьмитомнике В. А. Каверина (1980) этот персонаж носит фамилию Ногин.

4 Сообщено Н. М. Якубовой.

к признанию права каждого иметь свою собственную точку зрения. Происходил такой диалог (я записал его тогда со слуха):

Венедиктов. Вот Вы скажите, параллельные прямые пересекаются?

Слушатель. Нет.

Венедиктов. А вот у Лобачевского пересекаются, там другая система отсчёта.

В следующем, 2007 году на «Эхе Москвы» та же точка зрения была высказана ещё раз, теперь уже в рамках программы «Особое мнение», с каковым мнением 18 октября выступил Леонид Радзиховский. Он сказал: «Вот когда Лобачевский придумал свою неевклидову геометрию, что две параллельные прямые могут пересечься, это был действительно переворот в области геометрии и физики»5.

Правда, как известно, у каждого своя, но истина одна. Истина состоит в том, что параллельные друг другу прямые не пересекаются даже у Лобачевского.

Природа мифологического представления об открытии Лобачевского понятна: все знают, что в его геометрии происходит что-то необычное с параллельными прямыми; а что может быть необычнее их пересечения?! Поражает всё же степень распространённости этого представления. Впрочем, апологет математики вправе испытать и чувство законного удовлетворения: хоть какие-то серьёзные математические представления, пусть даже ложные, в массовом сознании присутствуют!

Не в интересах правды, а в интересах истины сообщим, что же происходит в геометрии Лобачевского. Отличие геометрии Лобачевского от привычной, известной со школы евклидовой геометрии в следующем. В евклидовой геометрии через точку проходит только одна прямая, параллельная заранее указанной прямой, а в геометрии Лобачевского — много таких прямых. В аксиоме о параллельных, сформулированной выше, надо заменить слово «нельзя» на слово «можно», и аксиома о параллельных в версии Евклида превратится в аксиому о параллельных в версии Лобачевского: через точку, не лежащую на заданной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной этой заданной прямой.

Особое положение аксиомы о параллельных вызвано тем, что она не столь очевидна, как другие аксиомы геометрии. Возьмём, напри-

5 Списано с сайта «Эха Москвы». Этот пример указан мне Г. М. Полотовским.

мер, аксиому о том, что через две любые различные точки проходит одна и только одна прямая. Её можно проверить экспериментально. Надо выбрать плоский участок, вбить два колышка и туго натянуть между ними нить — вот вам наглядное подтверждение существования прямой, проходящей через две точки. Если же мы возьмём другую натянутую нить, соединяющую те же колышки, то обе нити сольются в одну линию — на глаз, конечно, но вся наша проверка и производится «на глаз»; так подтверждается единственность прямой, проходящей через две заданные точки. А вот убедиться столь же просто, что проходящая через точку параллельная к заданной прямой всегда только одна, невозможно. Представим себе, что мы провели параллельную и, кроме того, через ту же точку провели какую-то другую прямую под очень маленьким углом к этой параллельной. По евклидовой аксиоме эта другая прямая обязана пересечь ту исходную прямую, к которой и была проведена наша параллельная. Но где она, точка пересечения? Она ведь может оказаться не только вне выбранного участка, доступного нашему обозрению, но и астрономически далеко, вне нашей Галактики. И может не найтись иного способа убедиться в том, что такая точка существует, как просто поверить в евклидову аксиому о параллельных. Но такой, основанный на чистой вере, способ подтверждения того факта (а лучше сказать того предположения, той гипотезы), что аксиома о параллельных выполняется в реальном физическом пространстве, был не по душе математикам.

Поэтому в течение долгого времени предпринимались попытки доказать содержащееся в аксиоме о параллельных утверждение и, тем самым, как бы понизить её статус, переведя её из аксиом в теоремы. До нас дошли сведения о таких попытках, относящихся ко II веку н. э. Желание доказать аксиому о параллельных подогревалось, помимо всего прочего, громоздкостью её первоначальной формулировки, которая содержится в составленных в III веке до н. э. «Началах» Евклида. В «Началах» она значилась по одним манускриптам 11-й аксиомой, а по другим — 5-м постулатом. В качестве 5-го постулата она так изложена в последнем, наиболее авторитетном русском издании «Начал» 1948 года:

И если прямая, падающая на [пересекающая] две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где [в сумме] углы меньше двух прямых [углов].

Слова в квадратных скобках добавлены нами для ясности. При взгляде на список всех пяти постулатов Евклида бросаются в глаза отличия 5-го постулата от других. Во-первых, его не так легко понять при беглом чтении. А во-вторых, когда понимание наконец приходит, обнаруживается, что истинность этого постулата не столь очевидна, как других. Была ещё одна причина, побуждавшая доказывать 5-й постулат: выяснилось, что 4-й постулат, провозглашающий равенство всех прямых углов, можно доказать, а значит, изъять его из списка постулатов.

Однако все попытки доказать 5-й постулат неуклонно проваливались. Нельзя сказать, что эти попытки были бесполезны, они способствовали развитию геометрии. Тот общепринятый ныне, «школьный» вариант аксиомы о параллельных, который мы привели выше (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную этой прямой), принадлежит античному философу и математику V века Проклу Диадоху, руководителю Платоновой Академии. Прокл пришёл к этой современной формулировке, комментируя Евклида и пытаясь доказать 5-й постулат. Формулировка Прокла равносильна 5-му постулату (он же 11-я аксиома) Евклида.

Вообще, в каждое рассуждение, объявляемое доказательством аксиомы о параллельных, незаметно вкрадывалось какое-нибудь геометрическое утверждение, не вызывающее, казалось бы, никаких сомнений, но на самом деле равносильное этой аксиоме. Например, в «доказательстве» знаменитого французского математика XVIII—XIX веков Лежандра использовалось такое вроде бы невинное предложение: через любую точку внутри угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла. Оказалось, что это предложение равносильно аксиоме о параллельных: мало того что оно опирается на эту аксиому, её можно из этого предложения вывести.

Известно много других равносильных формулировок аксиомы о параллельных. Многие из них выглядят совершенно очевидными — гораздо более очевидными, чем те, что были предложены Евклидом и Проклом. Вот некоторые из них.

1. Существует хотя бы один прямоугольник, т. е. такой четырёхугольник, у которого все углы прямые.

2. Существуют подобные, но не равные6 треугольники.

3. Любую фигуру можно пропорционально увеличить.

4. Существует треугольник сколь угодно большой площади.

6 Мы предпочли бы сказать «не конгруэнтные».

5. Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую сближаются.

6. Сумма углов одинакова у всех треугольников.

7. Существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.

8. Существуют параллельные прямые, причём две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу.

9. Существуют параллельные прямые, причём прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

10. Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.

11. Справедлива теорема Пифагора.

12. Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.

13. Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться.

Последние две формулировки принадлежат знаменитому персидскому математику и философу XI—XII веков Омару Хайяму, в России более известному в качестве поэта.

С большим трудом в сознание математиков проникало убеждение, что, скорее всего, утверждение, сформулированное в аксиоме о параллельных, вообще нельзя доказать. Осознать это было трудно ещё и потому, что вплоть до самого конца XIX века какой-либо чёткой системы аксиом геометрии вообще не существовало. Для аксиомы о параллельных решающим оказалось третье десятилетие XIX века. В этот период два великих геометра — российский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) и венгерский математик Янош Бойаи7 (Bolyai Jânos, 1802—1860) совершенно независимо друг от друга построили геометрическую теорию, основанную на отрицании аксиомы о параллельных. Эту теорию за рубежом, как правило, называют геометрией Лобачевского—Бойаи (по-английски Bolyai—Lobachevskian geometry), а в России — геометрией Лобачевского (предполагаю, что в Венгрии она называется геометрией Бойаи). У неё есть и «обезличенное» название — гиперболическая геометрия.

Надо сказать, что гениальность Лобачевского и Бойаи была признана только после их смерти, после признания созданной ими неевклидовой геометрии, отрицающей ту общепринятую евклидову аксиому о параллельных, которая была сформулирована выше.

7 По-русски эту фамилию часто пишут как Больяй, хотя наиболее близким к венгерскому произношению является написание Бояи.

Свершившись, это признание произвело переворот не только в математике, но и в философии. Во-первых, была признана возможность развития гиперболической геометрии в качестве теории столь же содержательной и непротиворечивой, как и геометрия Евклида; и это развитие уже произошло. Во-вторых, признали теоретическую возможность того, что гиперболическая геометрия реализуется в окружающем нас физическом пространстве.

Первые публикации по гиперболической геометрии принадлежат её авторам: в 1829—1830 годах обнародовал результаты своих изысканий Лобачевский, в 1832 году — Бойаи. Их предшественником можно считать немецкого юриста Швейкарта (Ferdinand Karl Schweikart, 1780—1857), который пришёл к идее неевклидовой геометрии в 1818 году, а также, может быть, его племянника Тауринуса8. В начале 1819 года принадлежащее Швейкарту описание новой «астральной» (звёздной) геометрии, уместившееся на одной странице, было переслано великому математику Гауссу одним из учеников последнего (кстати, астрономом). Гаусс ответил: «Почти всё списано с моей души». Дело в том, что «король математиков», как его называли, Гаусс (Carl Friedrich Gauss, 1777—1855), пришёл к неевклидовой геометрии ещё раньше. В письме к Тауринусу от 8 ноября 1824 года Гаусс называл эту геометрию странной и сообщал: «Я настолько разработал [её], к моему полному удовлетворению, что могу решить в ней любую проблему». Однако Гаусс ничего на эту тему не публиковал, справедливо полагая, что научная общественность ещё не готова воспринять столь смелые мысли. Работы Гаусса по неевклидовой геометрии стали известны лишь после посмертной публикации его архива. Вот какое признание он сделал в 1829 году в частном письме: «Вероятно, я ещё не скоро смогу обработать свои пространные исследования по этому вопросу, чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, я не решусь на это во всю свою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев, который поднимется, если я выскажу свои воззрения целиком». А упомянутого ученика астронома, намеревающегося публично допустить ложность евклидовой аксиомы о параллельных, Гаусс в 1818 году предостерегает: «Я радуюсь, что вы имеет мужество высказаться так, как если бы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых вы потревожите, полетят вам на голову».

8 Юрист и математик Франц Адольф Тауринус (Franz Adolf Taurinus, 1794—1874) допускал под влиянием дяди возможность существования неевклидовой геометрии, но свою брошюру 1826 года, содержащую это допущение, сжёг. Труды Тауринуса были обнаружены только после его смерти.

Обоснованность опасений Гаусса вскоре была подтверждена реакцией современников на сочинения Лобачевского. Что касается единственной публикации Бойаи, то она, кажется, не привлекла особого внимании и оставила современников равнодушными — исключая Гаусса. Он высоко оценил заслуги обоих коллег. Получив в 1832 году от знакомого ему по Гёттингену Фаркаша Бойаи работу его сына Яноша, он написал отцу автора: «Всё содержание работы, путь, по которому твой сын пошёл, и результаты, к которым он пришёл, почти сплошь совпадают с моими, которые я частично получил уже 30—35 лет тому назад. Я действительно этим крайне поражён. Я имел намерение о своей собственной работе, кое-что из которой я теперь перенёс на бумагу, при жизни ничего не публиковать <...>. Я хотел <...>, чтобы эти мысли, по крайней мере, не погибли со мной. Я поэтому чрезвычайно поражён случившимся — оно освобождает меня от этой необходимости; и меня радует, что именно сын моего старого друга таким удивительным образом меня предвосхитил». А вот что сообщал Гаусс в письме к другому своему корреспонденту: «Я нашёл все мои собственные идеи и результаты, развитые с большим изяществом, хотя, вследствие сжатости изложения, в форме труднодоступной тому, кому чужда эта область <...> я считаю, что этот юный геометр Бойаи — гений первой величины».

Первое знакомство Гаусса с трудами Лобачевского состоялось в 1841 году, на следующий год после того, как в Берлине вышла небольшая (всего 61 страница) книжка Лобачевского «Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien» (её первый русский перевод, опубликованный под названием «Геометрические изыскания о теории параллельных линий», появился лишь в 1868 году в российском математическом журнале9). В 1842 году Гаусс предложил избрать Лобачевского, как «одного из превосходнейших математиков Российского государства», в члены-корреспонденты Геттингенского научного общества и лично известил его об избрании. Однако ни в этом письме, ни в представлении Гаусса, ни в выданном Лобачевскому дипломе не говорилось ни слова о том, что послужило поводом для лестного отличия. Янош Бойаи и вовсе не получил от Гаусса никакой поддержки.

9 Другой русский перевод, озаглавленный «Геометрические исследования по теории параллельных линий», который выполнил, прокомментировал и снабдил вступительной статьёй Вениамин Фёдорович Каган (1869—1953), известный специалист в области оснований геометрии, вышел в 1945 году отдельным изданием, а позже и составе полного собрания сочинений Лобачевского.

Открытие неевклидовой геометрии не принесло прижизненной славы двум смельчакам, решившимся обнародовать своё открытие. Их исследования были выше понимания современников. И если для Лобачевского, который стал жертвой глумления, его открытие обернулось драмой, то Бойаи оно привело к трагедии — расстройству психики.

Труды Лобачевского не просто не были признаны современниками, но подверглись прямому поношению. Упомянутая выше первая публикация Лобачевского 1829—1830 годов называлась «О началах геометрии» и была напечатана в виде пяти статей в журнале «Казанский вестник, издаваемый при Императорском Казанском университете», в частях XXV, XXVII, XXVIII этого журнала. К заглавию публикации была сделана примечательная ссылка:

Извлечено самим Сочинителем из рассуждения под названием: «Exposition des principles de la Géometrie etc.», читанного им в заседании Отделения физико-математических наук 11 февраля 1826 года10.

В 1832 году совет Казанского университета представил эту работу в Академию наук. Академик Остроградский написал в своём отзыве: «Всё, что я понял в геометрии г-на Лобачевского, ниже посредственного. <...> Книга г-на ректора11 Лобачевского опорочена ошибкой <...> она небрежно изложена и <...> следовательно, она не заслуживает внимания Академии». Михаил Васильевич Остроградский был математик хотя и несколько приземлённый, но знаменитый (и даже заслуженно знаменитый), и его мнение пользовалось высоким авторитетом. Провинциала же Лобачевского в столицах никто не знал. К отзыву Остроградского прислушались. И в 1834 году в журнале Ф. В. Булгарина «Сын отечества» появился издевательский пасквиль, подписанный двумя буквами С. С. Вот цитата из него:

Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю! Если не учёность, то, по крайней мере, здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостаёт и сего последнего.

10 Лобачевский, разумеется, указал дату по старому стилю, т. е. по юлианскому календарю, принятому тогда в России. По новому стилю, т. е. по григорианскому календарю, выступление Лобачевского состоялось 23 февраля 1826 года.

11 Лобачевский был ректором Казанского университета с 1827 по 1846 год. Именно на его имя как ректора Лев Толстой писал прошение о приёме в число студентов.

Слава «Коперника геометрии» пришла к Лобачевскому посмертно, накануне столетнего юбилея. Уважение вызывает его преданность научной истине, бесстрашие в её отстаивании и стойкость в перенесении невзгод.

В июне 1981 года я посетил могилу Лобачевского на Церковной аллее Арского кладбища в Казани и обнаружил её в довольно запущенном состоянии. Поставленный в своё время крест был похищен или разрушен, от него сохранился только постамент, и на нём стоял стандартный дешёвый крест из металлических труб и прутьев, такие кресты и ныне можно видеть на наших кладбищах.

Николай Семёнович Лесков в «Левше» описал судьбу русского гения. Именно усилиями Лобачевского Казанский университет стал одним из лучших учебных заведений России. 20 ноября 1845 года Лобачевский был в шестой раз утверждён в должности ректора на новое четырёхлетие. Тем не менее летом 1846 года Лобачевского уволили с должности ректора, а весной 1847 года — с должности профессора. Он тяжело переживал этот страшный удар. Формально Лобачевский получил даже повышение — был назначен помощником попечителя учебного округа, однако жалованья ему не назначили. Наступили годы увядания. Вскоре Лобачевский разорён, имение его жены продано за долги. В 1852 году умер старший сын Лобачевского. Здоровье его самого подорвано, он сильно одряхлел, стал слепнуть и к концу жизни ослеп совершенно. Но и лишённый зрения, Лобачевский не переставал приходить на экзамены, на собрания и учёные диспуты и не прекращал заниматься наукой. За год до смерти он закончил свой последний труд «Пангеометрия», диктуя его ученикам. Разбитый жизнью и больной, он умер в феврале 1856 года, не дожив совсем немного до признания своей теории.

Толчок к признанию дала публикация дневников и писем Гаусса, последовавшая за его кончиной в 1855 году. Рассыпанные в них восторженные отзывы о Лобачевском всколыхнули математический мир. О Лобачевском заговорили, стали искать его работы. В Казань из университетов Европы полетели просьбы прислать его сочинения. Потребовалось срочное переиздание всех его геометрических трудов, а позже из журналов были извлечены статьи Лобачевского и по другим математическим темам. «...Чем Коперник был для Птолемея, тем был Лобачевский для Евклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель. Коперник и Лобачевский — оба славяне по происхождению. Каждый из них произвёл революцию в научных идеях. Величие каждой из этих революций настолько огромно, что оно может быть сравнено лишь с величием другой.

Причина чрезвычайной важности этих революций заключается в том, что они изменили наше понимание космоса», — писал знаменитый английский геометр и философ Уильям Клиффорд12.

Что касается Бойаи, то открытие им неевклидовой геометрии привело его к повреждению в психике. Судя по всему, он был довольно амбициозен. Янош с детства был весьма одарён и рос вундеркиндом. В 13 лет он овладел дифференциальным и интегральным исчислением и аналитической механикой. Он играл на скрипке и знал девять иностранных языков, в том числе китайский и тибетский. Окончив в 1822 году обучение в венской Инженерной академии (пройдя за четыре года семилетний курс), он в сентябре 1823 года поступил в инженерные войска; на военной службе пробыл 11 лет и имел славу лучшего фехтовальщика и танцора во всей австро-венгерской армии. При этом он никогда не курил и не пил ничего крепкого, даже кофе. Ни одного достоверного портрета Яноша Бойаи до нас не дошло.

Создавать неевклидову геометрию Бойаи начал в 17 лет, а 3 ноября 1823 года написал отцу, что открыл удивительные вещи, сотворил другой, новый мир. Но лишь в 1832 году результаты исследований Бойаи были опубликованы — как тогда было принято, на латыни. Полное название единственного (!) опубликованного сочинения Бойаи таково: «Appendix. Scientiam spatii absolute veram exhibens: a veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priori haud unquam decidenda) independentem; adjecta ad casum falsitatis, quadratura circuli geometrica» [«Приложение. Содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности и ложности 11-й аксиомы Евклида13 (что априори никогда решено быть не может); с прибавлением к случаю ложности геометрической квадратуры круга»]. «Математический энциклопедический словарь» (М., 1988, с. 669) отмечает, что изложение «отличается крайней сложностью и схематичностью, но по продуманности каждого слова и обозначения принадлежит к числу наиболее совершенных произведений математической литературы». Указанные сложность и схематичность, а также чрезвычайная сжатость (изложение занимало 24 страницы) явно не способствовали популяризации идей Бойаи: надо было быть Гауссом, чтобы их понять. Кроме того,

12 Уильям Клиффорд (William Kingdon Clifford, 1845—1879) один из основоположников векторного исчисления, автор терминов «ротор» и «дивергенция», предвосхитивший Эйнштейна в предположении, что гравитация имеет геометрическую природу.

13 Напомним, что в 11-й аксиоме (чаще называемой 5-м постулатом) Евклида говорится о свойстве параллельности в евклидовой геометрии.

трактат не вышел отдельным изданием, а был опубликован в качестве приложения к книге Бойаи-старшего (отсюда и общепринятое краткое название — «Appendix», т. е. «Приложение»). Не получив публичной поддержки Гаусса, да ещё и узнав о его заявлении, что сообщённое ему открытие он сделал раньше, младший Бойаи впал в полное отчаяние. Он заподозрил Гаусса в попытке украсть его результаты и присвоить приоритет. Но сильнейший удар ждал его впереди. В 1848 году Бойаи ознакомился с упомянутым выше сочинением Лобачевского «Geometrische Untersuchungen...», из первых же строк которого явствовало, что русский математик обнародовал неевклидову теорию раньше, в 1829 году. Это доконало Яноша. Он даже заподозрил, что Лобачевский — вымышленное лицо, выдумка хитроумного интригана Гаусса. Это уже был явный симптом психического нездоровья, на которое сдержанно намекает «Математический энциклопедический словарь»: «Открытия Бойаи при жизни признания не получили, что отразилось на его психике».

В геометрии Лобачевского—Бойаи много непривычного для нас, воспитанных на учении Евклида. Например, сумма углов своя у каждого треугольника, и притом она всегда меньше 180°. Достаточно взглянуть на утверждение, использованное Лежандром, и другие приведённые выше равносильные формулировки аксиомы о параллельных, чтобы осознать: ни одно из них не имеет места в гиперболической геометрии (хотя все другие аксиомы евклидовой геометрии выполняются). Вот какое суждение высказал Гаусс в упомянутом письме Тауринусу от 8 ноября 1824 года:

Предположение, что сумма углов треугольника меньше чем 180°, приводит к странной геометрии, совершенно отличной от нашей, но совершенно непротиворечивой <...>. Три угла треугольника становятся сколь угодно малыми, если только стороны взять достаточно большими, хотя площадь треугольника никогда не может превзойти и даже достигнуть некоторого предела, сколько бы большими ни были стороны.

Кажется естественным вопрос, какая же из аксиом всё-таки истинна — Евклида или Лобачевского. Тот раздел труда Лобачевского «О началах геометрии», который был опубликован в 1830 году в части XVIII «Казанского вестника» (с. 251—283), начинается такими словами, в которых мы изменили лишь орфографию и пунктуацию:

Изложенная нами теория параллельных предполагает линии с углами в такой зависимости, которая, как после увидим, находится

или нет в природе, доказать никто не в состоянии. По крайней мере, наблюдения астрономические убеждают в том, что все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными телами, столько малы, что в сравнении с линиею, принятою в данной теории за единицу, употребительные до сих пор уравнения прямолинейной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть справедливы.

Здесь мы вынуждены обратиться к проблемам философским. Прежде всего, надо понять, что значит «истинна». Казалось бы, ясно: истинна — значит соответствует реальному положению вещей. Как там, в реальном мире, одна параллельная прямая или много? А никак, потому что в реальном мире вообще нет прямых, как нет и других объектов геометрии. Геометрических шаров, например, в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару; при этом арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч — в меньшей степени, чем биллиардный шар или шарик подшипника. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке либо на бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком, — все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, т. е. то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Да и отрезков в точном геометрическом смысле в природе не существует: самая тонкая нить имеет толщину, самая гладкая поверхность лишь приближается к идеально ровной, а под электронным микроскопом выглядит как рябь. Луч света, и тот искривляется в реальном пространстве. Для формирования же представления о бесконечной прямой одного только наглядного способа недостаточно — требуется ещё и воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, отрезки, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты, и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, населённый этими идеальными геометрическими объектами, всего лишь похожий на мир реальный (по терминологии некоторых философских школ, являющийся отражением реального мира).

«Поверхности, линии, точки, как их определяет Геометрия, существуют только в нашем воображении», — писал в 1835 году Лобачевский во вступлении к своему сочинению «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (впервые оно было опубликовано в

четырёх номерах «Учёных записок Казанского университета» за 1835, 1836, 1837 и 1838 годы). Аксиомы геометрии как раз и уточняют свойства этих существующих в нашем воображении понятий. Значит ли это, что мы можем сформулировать какие угодно аксиомы? Нет, если мы хотим, чтобы геометрические понятия отражали наши представления о реальном физическом пространстве. Потому что, хотя точки, прямые, поверхности не существуют реально, некие физические объекты и явления, приводящие к этим понятиям, безусловно, существуют (если вообще признавать как реальность существование окружающего нас мира). Поэтому вопрос надо ставить так: какая из аксиом, Евклида или Лобачевского, точнее описывает те представления о структуре реального физического пространства, которые отражаются в геометрических образах? Строгий ответ на это вопрос таков: неизвестно. Однако можно с уверенностью утверждать, что в доступных нашему наблюдению областях пространства евклидова геометрия соблюдается с высокой степенью точности. Так что, говоря о неизвестности, мы имеем в виду очень большие области пространства. Дело в том, что в геометрии Лобачевского отличие суммы углов треугольника от 180° тем больше, чем длиннее стороны этого треугольника; поэтому чем больше треугольник, тем больше надежды заметить данное отличие — и, тем самым, подтвердить на практике аксиому Лобачевского. Отсюда возникает мысль измерять треугольники с вершинами в звёздах (недаром упомянутый выше Швейкарт называл звёздной геометрию, впоследствии предложенную Лобачевским). Такими измерениями занимался сам казанский ректор («И он вгляделся пристальней в безоблачную высь...»), но точность измерительных приборов оказалась недостаточной, чтобы уловить отклонение суммы углов треугольника от суммы двух прямых углов, даже если таковое отклонение и существует.

Чтобы пояснить, как это может быть, что для меньших участков пространства действует одна геометрия, а для больших — другая, воспользуемся следующей аналогией. При составлении плана местности нет нужды учитывать шарообразность Земли — именно потому, что участок, план которого снимается, невелик. Поэтому, когда имеешь дело со сравнительно небольшими участками, разумно исходить из того, что Земля плоская, оттого это заблуждение так долго держалось. При составлении же карты России шарообразность Земли не брать в расчёт нельзя, а при тонких расчётах приходится иметь в виду, что Земля есть эллипсоид (а точнее, геоид). При ружейной стрельбе можно проследить на карте местности траекторию пули, приложив линейку к двум точкам, отмечающим положение стрелка

и положение цели. Но маршрут самолёта, совершающего дальний перелёт по кратчайшей линии, на плоской карте выглядит как дуга. Аналогично евклидова геометрия хорошо работает в малых масштабах, т. е. на доступных нам участках пространства. Мы не знаем, что происходит в масштабах очень больших. В рассказе Уэллса «История Платтнера» его герой Готфрид Платтнер проделывает некое фантастическое путешествие, после чего возвращается зеркально перевёрнутым. Уэллс объясняет это явление выходом в другой мир, в четвёртое измерение. Теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть совершено и без выхода из нашего трёхмерного мира.

Но что же представляют собой идеальные геометрические объекты: точки, прямые, углы, плоскости и т. п., отражающие наши представления о физической реальности? И в каком смысле они подчиняются аксиомам? Проще всего объяснить это с помощью хотя и искусственной, но поучительной аналогии. Выпишем следующие четыре утверждения:

(1) Для каждых двух бокров существует куздра, которая их будлает.

(2) Если два бокра различны, то не более одной куздры могут будлать и того, и другого.

(3) Существуют три бокра, для которых нет такой куздры, которая будлала бы их всех.

(4) Каждая куздра будлает не менее двух бокров.

Кто такие бокры, куздры, и что такое будлать, оставляется неразъяснённым. Оказывается, однако, что разъяснения и не требуются для выведения из этих утверждений определённых заключений, т. е. таких, которые непременно являются истинными при условии истинности всех четырёх исходных посылок. Убедимся, например, что (5) две различные куздры не могут будлать одновременно более чем одного бокра. В самом деле, если бы таких бокров было два, то их совместно будлали бы две наши куздры, что запрещено утверждением (2). Для собственного развлечения читатель может доказать, например, такой факт: (6) для каждых двух бокров найдётся такой третий бокр, что не существует куздры, будлающей всех этих трёх бокров.

Итак, что мы имеем? Мы имеем какие-то объекты (в данном случае — бокры и куздры) и отношения между ними (в данном случае — отношение будлания). Относительно этих объектов и отношений нам

не известно ничего, кроме некоторых их свойств, сформулированных в заявленных утверждениях, в данном случае — в утверждениях (1)—(4). Эти заявленные утверждения суть не что иное, как аксиомы (в данном случае — аксиомы куздрологии). Они используются для того, чтобы, принимая их в качестве истин, выводить из них теоремы, т. е. дальнейшие утверждения о наших объектах и отношениях (одну теорему куздрологии мы доказали, другую предложили доказать читателю). Так строится любая аксиоматическая теория, в частности геометрия.

Ограничимся для простоты планиметрией, т. е. геометрией плоскости, не выходя в трёхмерное пространство. Основные объекты планиметрии суть точки и прямые. Основных отношений четыре:

(1) отношение инцидентности между точками и прямыми — точка и прямая могут быть или не быть инцидентны друг другу; в школьной геометрии употребляется более приземлённая терминология: когда точка и прямая инцидентны, говорят, что «точка лежит на прямой» или же «прямая проходит через точку»;

(2) отношение “между”, связывающее тройки точек, — из трёх точек, лежащих на одной прямой, одна, произвольно выбранная, может находиться или не находиться между двумя другими;

(3)—(4) отношение конгруэнтности отрезков и отношение конгруэнтности углов — два отрезка или два угла могут быть или не быть конгруэнтны друг другу.

Когда-то в наших школах не боялись слова «конгруэнтны»; сейчас, к сожалению, это слово велено заменить на «равны». Почему к сожалению? А потому, что в виду имеется не отношение между длинами отрезков или величинами углов (и те, и другие действительно равны, если соответствующие отрезки или углы конгруэнтны), а отношение между отрезками и между углами как геометрическими фигурами. А каждая сущность, геометрическая фигура в частности, может быть равна только самой себе.

Аксиоматическое построение геометрии не предполагает разъяснения того, что такое точки, прямые и названные отношения. Вместо этого формулируются аксиомы, в которых указывается, каким законам подчиняются точки, прямые, инцидентность, отношение 'между', конгруэнтность отрезков и конгруэнтность углов. Из этих аксиом и выводятся теоремы геометрии. Говоря формально, аксиомы могут быть какими угодно, лишь бы они не противоречили друг другу. Но ежели мы желаем, чтобы теория описывала реальность, то, как уже отмечалось, и аксиомы, связывающие идеальные объекты и отношения теории, должны отражать свойства тех сущностей реаль-

ного, физического, мира, отражением каковых служат указанные идеальные объекты и отношения, положенные в основу теории. В частности, отношение конгруэнтности геометрических фигур должно отражать возможность совмещения одной фигуры с другой посредством перемещения.

На примере бокров, куздр и будлания мы попытались вкратце изложить суть аксиоматического метода. Несколько заключительных замечаний относительно этого примера. Заменим в вышеприведённых аксиомах (1)—(4) слово «бокр» на «точка», слово «куздра» — на «прямая», слово «будлать» — на выражение «проходить через». Аксиома (4) превратится тогда в такое утверждение (4*): каждая прямая проходит по меньшей мере через две различные точки. С учётом пояснений, сделанных выше по поводу отношения инцидентности, утверждение (4*) можно высказать в более привычной форме: на каждой прямой лежать по меньшей мере две различные точки. Аналогично, аксиомы (1), (2) и (3) превратятся в утверждения (1*), (2*) и (3*), которые мы просим любезного читателя образовать самостоятельно. Утверждения (1*)—(4*) составляют в совокупности группу так называемых аксиом связи планиметрии, регулирующих то, как точки связаны с прямыми. Читатель может теперь перевести аксиому о параллельных на язык бокров и куздр: для бокра, не будлаемого заданной куздрой, существует не более одной куздры... (благоволите продолжить). И последнее: странные эти слова мы заимствовали у выдающегося отечественного языковеда Льва Владимировича Щербы, который в 1920-х годах учил студентов извлекать максимум лингвистической информации из фразы «Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокрёнка».

Массовые задачи и алгоритмы

Задача — это всегда требование что-то найти, построить, указать. В школе это «что-то» обычно называют ответом, а систему рассуждений, приводящую к ответу,—решением. Во «взрослой» математике ответ чаще всего тоже называют решением. Таким образом, термин «решение» приобретает два значения: 'решение-ответ' и 'решение-процесс', причём первое есть результат второго. С точки зрения русской лексики ситуация эта отнюдь не уникальна: например, печенье как изделие есть результат печения как действия по глаголу «печь». К путанице подобная полисемия, как правило, не приводит: из контекста всегда бывает ясно, что имеется в виду. Так что согласимся употреблять «взрослую» терминологию.

В замечательной одноактной пьесе «Урок» Эжена Ионеско есть такой диалог, который мы приведём с купюрами.

Учитель. <...> Сколько будет, ну, скажем, если три миллиарда семьсот пятьдесят пять миллионов девятьсот девяносто восемь тысяч двести пятьдесят один умножить на пять миллиардов сто шестьдесят два миллиона триста три тысячи пятьсот восемь?

Ученица (отвечает немедленно). Это будет девятнадцать квинтиллионов триста девяносто квадриллионов два триллиона восемьсот сорок четыре миллиарда двести девятнадцать миллионов сто шестьдесят четыре тысячи пятьсот восемь.

<...>

Учитель (сосчитав в уме, с нарастающим изумлением). Да... Вы правы... ответ, действительно... (невнятно бормочет) квадриллионов... триллионов... миллиардов... миллионов... (разборчиво) сто шестьдесят четыре тысячи пятьсот восемь...

Журнальная публикация: Новый мир. — 2007. — № 11. — С. 146—149 (в качестве гл. 6 статьи «Апология математики, или О математике как части духовной культуры»). Полная публикация в книге: В. А. Успенский. Апология математики: Сборник статей. — 2-е изд., испр. — СПб.: Амфора, 2012. — С. 109—115 (в качестве гл. 6 статьи «Апология математики»).

(Ошеломленно.) Но каким образом вы это вычислили, если вам недоступны простейшие приёмы арифметического мышления?

Ученица. Очень просто. Поскольку я не могу положиться на своё арифметическое мышление, я взяла и выучила наизусть все результаты умножения, какие только возможны.

Всех результатов умножения бесконечно много, так что выучить их наизусть нет никакой возможности. Да это и не нужно: Ионеско справедливо утверждает устами Учителя из своей миниатюры, что «математика — заклятый враг зубрёжки». (Кстати, теоретическая невозможность выучить все результаты получила в приведённом диалоге и экспериментальное подтверждение. Дело в том, что Ученица дала неправильный ответ: правильным ответом является число 19 389 602 947 179 164 508, а ею названо число 19 390 002 844 219 164 508 Не берусь судить, получил ли этот факт должное отражение в ионесковедении1.)

Но мы ведь умеем умножать. Это потому, что ещё в начальной школе нам сообщают некоторый общий способ умножения любых целых чисел, а именно способ умножения столбиком. Любой человек, овладевший этим способом, имеет право заявить, что теперь он готов умножить друг на друга любые два натуральных числа — и не потому, что он выучил все результаты (что, повторим, невозможно), а именно потому, что указанный способ позволяет найти требуемый результат для любой пары сомножителей.

На примере с умножением можно получить представление о понятии массовая задача. Массовая задача образуется путём совместного рассмотрения серии однотипных единичных задач. В случае умножения каждая единичная задача состоит в указании пары кон-

1 Сдержанность в этом вопросе российского ионесковедения объясняется, возможно, тем, что в некоторых русских переводах (например, на с. 208 издания: Э. Ионеско. Носорог: Пьесы и рассказы. — М.: Текст, 1991) приведены иные цифры, отличающиеся от французского оригинала. Наши цифры сверены по двум изданиям, вышедшим в 1954 году в известном парижском издательстве Gallimard: 1) Ionesco, Eugène. Théâtre. V. 1. P. 73, и 2) Ionesco, Eugène. La cantatrice shauve, suivi de La leçon. P. 114. Для полной ясности приведём французский текст. Вопрос Учителя звучит так: ...Combien font, par exemple, trois milliards sept cent cinquante-cinq millions neuf cent quatre-vingt-dix-huit mille deux cent cinquante et un, multiplié par cinq milliards cent soixante-deux millions trois cent trois mille cinq cent huit? На что Ученица сразу же отвечает: Ça fait dix-neuf quintillions trois cent quatre-vingt-dix quadrillions deux trillions huit cent quarante-quatre milliards deux cent dix-neuf millions cent soixante-quatre mille cinq cent huit...

кретных чисел (как, например, тех, которые были названы Ученице Учителем) и требовании найти их произведение. Это произведение является решением предложенной единичной задачи. Массовая же задача состоит здесь в требовании указать некий метод, позволяющий найти произведение для каждой отдельной пары чисел.

Другой простой пример. Задача решить квадратное уравнение x2 — 13х + 30 = 0 — это единичная задача, и её решением служит пара чисел 3 и 10. А вот изучаемая в средней школе задача о решении произвольного квадратного уравнения — это массовая задача, и её решением служит всем известная (или долженствующая быть всем известной) формула, дающая решение для любого конкретного квадратного уравнения.

Остановим свой взгляд на какой-нибудь массовой задаче и посмотрим, чем отличаются друг от друга составляющие её единичные задачи. Мы видим, что они отличаются своими исходными данными. Для каждой единичной задачи умножения исходным данным служит конкретная пара чисел. А для каждой единичной задачи на решение квадратного уравнения исходное данное — это конкретное квадратное уравнение. Решением же массовой задачи является общий метод, дающий для каждой из составляющих её единичных задач решение этой задачи. Если предложенный общий метод состоит в последовательности строго детерминированных операций, ведущих от исходного данного к результату, он называется конструктивным, или эффективным, или алгоритмическим, или, короче, алгоритмом. Таким образом, можно говорить об алгоритме сложения столбиком, об алгоритме умножения столбиком, об алгоритме решения квадратных уравнений и т. п. Алгоритмы играют в математике, да и во всей нашей жизни, большую роль — особенно в связи с развитием компьютерной технологии.

Само слово «алгоритм» достаточно интересно: это, возможно, единственный математический термин, произошедший от географического названия. Таким названием служит Хорезм, имя среднеазиатского исторического региона в низовьях Аму-Дарьи. Арабское имя аль-Хорезми буквально означает 'из Хорезма'. Аль-Хорезми жил в конце VIII — первой половине IX века. Он предложил некоторые методы решения арифметических задач, и на его авторитет ссылались средневековые европейские авторы, писавшие, как это было принято, на латыни. При этом начиная с XII века его имя транслитерировалось как Algoritmi. Отсюда и пошёл термин «алгоритм». Поиски общего метода для решения массовой задачи велись со времён античности. Однако впервые ясное понимание алгоритма в

качестве самостоятельной сущности встречается лишь в 1912 году в трудах великого французского математика Эмиля Бореля.

Понятие алгоритма — одно из центральных в математике. Программа для компьютера есть не что иное, как запись какого-то алгоритма на одном из так называемых языков программирования. Прорыв в осознании этого важнейшего понятия произошёл в 1936 году, когда независимо друг от друга Алонзо Чёрч в Америке и Алан Тьюринг в Англии предложили математические уточнения понятия алгоритма (каждый своё) и на основе этих уточнений предъявили первые примеры массовых проблем, неразрешимых алгоритмически, в числе которых оказалась и очень знаменитая, стоявшая с 1915 года так называемая das Entscheidungsproblem (проблема разрешения), считавшаяся главной проблемой математической логики. Поясним, что термины «проблема» и «задача» для нас синонимы и что массовая проблема считается алгоритмически неразрешимой, если не существует решающего её алгоритма, т. е. такого единого алгоритма, который позволял бы находить решение для каждой из тех единичных проблем, которые и составляют рассматриваемую массовую проблему.

Алгоритмически неразрешимые проблемы, указанные Чёрчем и Тьюрингом, слишком сложны, чтобы их здесь формулировать. Сейчас мы приведём достаточно простой пример такой проблемы. Разумеется, мы вынуждены ограничиться её формулировкой и не приводить ни доказательства, ни даже намёка на доказательство её неразрешимости. Пример этот покажет, что массовые проблемы, для которых отсутствует требуемый алгоритм, лежат совсем близко к нашей повседневной жизни.

Для большей наглядности изложим наш пример в терминах некоей игры. Любезный читатель согласится, что такая игра вполне мыслима в нашу эпоху пиара, рекламных акций, казино и игровых автоматов.

Средствами игры будут служить пластинки, наподобие тех костяшек, что используются при игре в домино. Как и костяшка домино, каждая пластинка разделена на верхнюю и нижнюю половину. В каждой половине что-то написано. Отличие от домино в том, что именно написано. В случае домино в каждой из половин записывается количество очков, от 0 до 6. А нашем случае в каждой из половин записывается какая-то цепочка из букв х и z. Вот примеры таких цепочек. Цепочки длины один: х, z. Цепочки длины два: хх, xz, zx, zz. Цепочки длины три: ххх, xxz, xzx, xzz, zxx, zxz, zzx, zzz. Возможна и цепочка длины ноль, в этом случае не записано ничего.

А вот одна из 128 цепочек длины семь: zxzxxxz. Проиллюстрируем сказанное изображениями возможных пластинок:

Изображённые на рисунке четыре пластинки, в том порядке, как они показаны, обозначим — для дальнейших ссылок — буквами A, В, С, D. Если приложить одну пластинку к другой, но не торцами, как при игре в домино, а боками, то в результате получим две строчки букв: одну сверху, другую снизу. Так, прикладывая А к D (слева D, справа A), получаем zzzx сверху и zzx снизу. Если приложить в другом порядке, получим xzzz сверху, zxz снизу. Аналогично можно прикладывать друг к другу несколько пластинок и считывать верхнюю и нижнюю строчки букв. Более того. Каждую пластинку разрешается воспроизводить в неограниченном количестве и создавать сочетания из повторяющихся пластинок, такие, например, как ААСА. В этом примере верхней строчкой будет xxxzx, а нижней — zxzxzzzx. Прошу у читателя прощение за долгое предварение к игре, но хотелось бы, чтобы всё было предельно ясно.

Теперь — сама игра. Она состоит в следующем. В средствах массовой информации объявляется некоторый конкретный набор пластинок. Далее предлагается, воспроизводя каждую из пластинок набора в необходимом количестве, приложить пластинки друг к другу так, чтобы верхняя и нижняя строчки иксов и зетов совпали друг с другом. Первым пяти приславшим решения будет выплачен внушительный приз.

Поясним сказанное на примерах. Пусть объявленный набор содержит всего только одну пластинку А из приведённого выше перечня. Ясно, что решение невозможно, поскольку, сколько раз ни прикладывай пластинку А саму к себе, нижняя строка всегда окажется длиннее верхней. По сходной причине решения не существует, если объявленный набор состоит из одной только пластинки D, только тут длиннее будет верхняя строка. Желающие могут попытаться доказать, что решения не существует и в том случае, когда объявленный набор состоит из двух пластинок А и D. А вот если объявить набор из всех наших четырёх пластинок A, В, С и D, то решение существует. Действительно, если сложить пластинки в таком порядке: DBCDA, то и верхняя, и нижняя строка окажутся одинаковы: zzzxxzzzzx.

Итак, набор объявлен. Все хотят получить приз. Но прежде чем пытаться найти такое расположение пластинок, при котором верхняя и нижняя строки окажутся одинаковыми, желательно узнать, возможно ли такое расположение в принципе. Ведь если оно невозможно, то бесперспективно его искать, это будет пустой потерей времени. Так вот, оказывается, что не существует никакого эффективного способа это узнавать. Не существует (именно не существует, а не просто неизвестен) такого алгоритма, который позволял бы для любого объявленного набора пластинок узнать, имеется ли решение, т. е. возможно или невозможно сложить пластинки требуемым образом. Для каждого отдельно взятого набора пластинок задача узнать, к какой из двух категорий этот набор относится — к той, для которой решения имеются, или же к той, для которой решений нет, — она, эта задача, есть сугубо творческая задача, своя для каждого такого набора, а общий метод получения ответа для всех таких задач отсутствует.

Ватсон против Холмса

Знание есть переживание, сравнённое с другими переживаниями.

Н. О. Лосский. Обоснование интуитивизма.

Мира восторг беспредельный Сердцу певучему дан.

А. Блок. Роза и Крест.

«Человек отличается от свиньи, в частности, тем, что ему иногда хочется поднять голову и посмотреть на звёзды». Это изречение принадлежит Виктору Амбарцумяну (в 1961—1964 годах президенту Международного астрономического союза). А почти за 200 лет до него на ту же тему высказался Иммануил Кант, который поставил звёздное небо по силе производимого впечатления на один уровень с пребывающим внутри человека — и прежде всего внутри самого Канта — нравственным законом. Эти высказывания объявляют усеянное звёздами небо частью общечеловеческой духовной культуры, более того, частью обязательной для всякого человека. Трудно представить индивидуума, не впечатлявшегося видами неба. Впрочем, воспоминания переносят меня в осень 1947 года, на лекцию по астрономии для студентов первого курса Механико-математического факультета МГУ. Лекцию читает профессор Куликов. Он делает нам назидание. «В прошлом веке профессор Киевского университета Митрофан Хандриков, — говорит он, — на экзамене спросил студента, каков видимый размер Луны во время полнолуния, и в ответ услышал, что студент не может этого знать, поскольку никогда не видал Луны»1.

Приведённые выше высказывания о роли звёздного неба в духовной культуре человека декларируют, если не прямо, то косвенно,

Журнальная публикация: Новый мир. — 2007. — № 11. — С. 127—131 (в качестве гл. 1 статьи «Апология математики, или О математике, как о части духовной культуры»). Полная публикация в книге: В. А. Успенский. Апология математики: Сборник статей. — 2-е изд., испр. — СПб.: Амфора, 2012. — С. 42—52 (в качестве гл. 1 статьи «Апология математики»).

1 Константин Алексеевич Куликов вообще щедро делился со студентами замечательными подробностями из истории науки. Так, из его лекций я узнал, что знаменитый датский астроном XVI века Тихо Браге, чьим именем названы кратеры на Луне и на Марсе, лишился части носа во время дуэли и носил протез. Уже в пересказе до меня дошёл такой его рассказ. В конце XVIII века на Сухаревской башне была установлена зрительная труба. Образованные барышни, зная о способности трубы показывать перевёрнутое изображение, проходя мимо, старательно придерживали юбки.

принадлежность к ней сведений об устройстве небесного свода. Неотъемлемой частью человеческого знания является то или иное представление об этом устройстве, хотя бы и признаваемое в наши дни совершенно фантастическим, как, например, такое: «А Земля — это только лишь плесень в перевёрнутой неба корзине; звёзды — это свет другого мира, к нам просвечивающий сквозь дно корзины, сквозь бесчисленные маленькие дыры, не затёртые небесной глиной».

Человек, вовсе не имеющий представления об устройстве мироздания, признаётся выпадающим из культуры. Вспомним, как изумился доктор Ватсон, когда вскоре после вселения в знаменитый дом 221b по Бейкер-стрит узнал: Холмс понятия не имеет, что Земля вертится вокруг Солнца. И даже полагает это знание совершенно излишним. «Ну хорошо, пусть, как вы говорите, мы вращаемся вокруг Солнца, — возражал Холмс. — А если бы я узнал, что мы вращаемся вокруг Луны, много бы это помогло мне или моей работе?». Вот здесь очень важный момент. Холмс признаёт нужным только то знание, которое может быть использовано в практических целях. Ватсон считает — и, очевидно, исходит из того, что читатели его записок разделяют эту точку зрения, — что некоторые знания обязательны независимо от того, имеют они практическое применение или нет. При всём уважении к великому сыщику, согласимся с доктором.

Итак, есть определённый объём непрактических знаний, обязательный для всякого культурного человека ➊ (выражение «культурный человек» в силу расхожести и затрёпанности отдаёт дурновкусием, но ради ясности изложения приходится его употреблять). Мы полагаем, что в этот объём входят и некоторые математические ➋ представления, не нашедшие утилитарного использования. Это не только факты, но также понятия и методы оперирования с ними.

Роль математики в современной материальной культуре, как и роль её элементарных разделов в повседневном быту, достаточно известны, так что на них можно не останавливаться. В этом очерке мы собираемся говорить о математике как о части культуры духовной.

Математические идеи способны вызывать эмоции, сравнимые с теми, что вызывают литературные произведения, музыка, архитектура. К сожалению, косные методы преподавания математики редко позволяют ощутить её эстетическую сторону, доступную, хотя бы отчасти, не только математикам. Математиками же эта сторона ощущается с полной ясностью. Вот что писал выдающийся математик, учитель великого Колмогорова, Николай Николаевич Лузин (27.11(09.12). 1883—28.02.1950): «Математики изумляются гармонии чисел и геометрических форм. Они приходят в трепет, когда новое открытие открывает им неожиданные перспективы. И та радость, которую они переживают, разве это не есть радость эстетического порядка, хотя обычные чувства зрения и слуха здесь не участвуют. <...> Математик изучает свою науку вовсе не потому, что она полезна. Он изучает её потому, что она прекрасна. <...> Я говорю о красоте более глубокой [чем та, которая поражает наши чувства — В. У.], проистекающей из гармонии и согласованности воедино всех частей, которую один лишь чистый интеллект и сможет оценить. Именно эта гармония и даёт основу тем красочным видимостям, в которых купаются наши чувства. <...> Нужно ли ещё прибавлять, что в развитии этого чувства интеллектуальной красоты лежит залог всякого прогресса?».

Являясь (через Колмогорова) «научным внуком» Лузина, автор настоящего очерка с сочувствием относится к формуле «математика для математики», образованной по аналогии с известным слоганом «искусство для искусства». Однако всё не так просто. Следует огорчить поклонников чистого разума и утешить приверженцев практической пользы. Опыт развития математики убеждает, что самые, казалось бы, оторванные от практики её разделы рано или поздно находят важные применения. Всю первую половину XX века математическая логика рассматривалась как наука, занятая исклю-

чительно проблемами логического обоснования математики, своего рода философский анклав в математике; в СССР борцы со всевозможными «-измами» ставили её под подозрение, и первая кафедра математической логики была открыта лишь в 1959 году. Сегодня математическая логика переплетена с теоретической информатикой (theoretical computer science) и служит для последней фундаментом. Теория чисел, одна из древнейших в математике, долгое время считалась чем-то вроде игры в бисер. Оказалось, что без этой теории немыслима современная криптография, равно как и другие важные направления, объединённые названием «защита информации». Специалисты по теоретической физике интересуются новейшими разработками алгебраической геометрии и даже такой абстрактной области, как теория категорий.

Применение математики в физике не ограничивается числовыми формулами и уравнениями. Её (математики) абстрактные конструкции позволяют лучше понять природу тех физических явлений, исследования которых составляют передовой край науки. Поясним сказанное с помощью исторической аналогии. Когда-то считалось, что Земля плоская. Ничего другого в то время просто не могло прийти в голову. Затем люди пришли к мысли о её шарообразности. Вряд ли эта мысль затеплилась бы в человеческом сознании, не обладай оно уже готовым представлением о шаре. Точно так же долгое время считалось очевидным, что окружающее нас физическое пространство есть самое обычное трёхмерное евклидово пространство, известное из школьного курса геометрии. В этом были уверены все, включая тех, кто, не владея учёной терминологией, ведать не ведал, что это за «евклидово пространство» такое. (Вспомним мольеровского Журдена, не подозревавшего, что он говорит прозой.) И действительно, а как же может быть иначе? Первыми прониклись сомнением в XIX веке, независимо друг от друга, в России великий геометр Лобачевский, а в Германии — великий математик Гаусс и, возможно, юрист и математик Швейкарт ➌. Они первыми осознали не только существование неевклидовой геометрии как математического объекта, но и возможность неевклидового строения нашего мира (мы ещё коснёмся этой темы в главе 82). Лобачевского тогда никто не понял, кроме Гаусса, сам же Гаусс, предчувствуя непонимание, ни с кем не делился своим прозрением. Теория относительности подтвердила неевклидовость мироздания, предсказав искривление пространства

2 ●●▶ В настоящем издании названная глава 8 публикуется на с. 109—128 в виде статьи «Параллельные прямые в мифологии, в реальности и в математике». ◀●●

под воздействием массивных тел, что, в свою очередь, было подтверждено наблюдаемым отклонением луча света вблизи таких объектов. Некоторые свойства пространства-времени оказались парадоксальными, другие остаются неизвестными. Вместе с тем познание этих свойств может оказаться жизненно важным для человечества. Математика предлагает уже готовые модели, позволяющие лучше понять подобные свойства, в особенности же свойства парадоксальные, противоречащие повседневному опыту. Более точно, в математике построены структуры, обладающие требуемыми свойствами.

В частности, математические модели позволяют понять два непривычных качества окружающего нас пространства — его признанную сообществом физиков кривизну и его возможную четырёхмерность (нельзя исключать, что измерений ещё больше). Говоря о четвёртом измерении, мы не имеем в виду время (которое иногда не без оснований так называют), а ведём речь об измерении в прямом, пространственно-геометрическом смысле. Не исключено, что в реальности3 пространство, в котором мы живём, четырёхмерно (или даже имеет пять, шесть, а то и больше измерений), хотя непосредственному наблюдению, по крайней мере до сих пор, было доступно лишь его трёхмерное подпространство. Осознание подлинной размерности пространства (оставим в стороне вопрос о смысле слова «подлинный») может оказаться важным для познания мира. Представим себе двумерную поверхность (например, плоскость или сферу), по которой ходит слон. Его следы на поверхности имеют вид пятен. Двумерным, не обладающим толщиной существам, живущим в (не на, a именно в!) поверхности, появление этих пятен покажется необъяснимым. Наиболее проницательные двумерные мудрецы предположат наличие третьего измерения и передвигающегося в нём «слона». Возможно — всего лишь возможно! — некоторые явления в доступном нашим чувствам трёхмерном пространстве получат аналогичное объяснение на основе представлений о «четырёхмерном слоне», т. е. как следы процессов, развивающихся в четырёхмерном пространстве.

Здесь мы прикоснулись к важной философской, а точнее, гносеологической теме. Выше говорилось, что мысль о шарообразности Земли не возникла бы в человеческом сознании, если бы ещё раньше в нём не появилось представление о шаре. Само же это представление, в свою очередь, опиралось на повседневный опыт, а именно наблюдение шарообразных тел, как природного происхожде-

3 Автор просит не допытываться у него, что значит «в реальности»: он всё равно не сумеет ответить.

ния (плодов и ягод, катимых скарабеями навозных шариков и т. п.), так и искусственного (например, пушечных ядер). И когда человек задумался над формой Земли, ему оставалось лишь воспользоваться названным представлением. Иначе обстоит дело с попытками познать строение Вселенной. Повседневный опыт не даёт требуемых геометрических форм. Но, хотя такими формами и не обладают предметы, доступные непосредственному созерцанию, оказалось, что этим формам отвечают уже обнаруженные математиками структуры. Поскольку указанные математические структуры точно описаны, при желании нетрудно понять, как в них реализуются предполагаемые свойства мироздания — даже те, которые кажутся парадоксальными. А тогда остаётся допустить, что геометрия реального мира хотя бы отчасти выглядит так, как геометрия этих структур. Таким образом, математика, не давая ответ на вопрос, как оно есть в реальном мире, помогает понять, как оно может быть — что не менее важно: ведь как оно есть, мы вряд ли когда-нибудь узнаём до конца. И помощь, которую оказывает математика в познании мира, также следует вписать в перечень её практических приложений.

Как говорил один из самых крупных математиков XX века Джон фон Нейман (1903—1957), «в конечном счёте современная математика находит применение. А ведь заранее и не скажешь, что так должно быть».

Нередко утверждают, что математику следует рассматривать как часть физики, поскольку она описывает внешний физический мир. Но с тем же успехом её можно считать частью психологии, поскольку изучаемые в ней абстракции суть явления нашего мышления, а значит, должны проходить по ведомству психологии. Взять, например, такое основное (и, может быть, самое главное) понятие математики, как понятие натурального числа, т. е. числа, являющегося одновременно и целым, и положительным (иногда к натуральным числам причисляют ещё и число ноль, для чего есть серьёзные основания). Ведь показать, скажем, число пять невозможно, можно только предъявить пять пальцев или пять иных предметов. Уже здесь не такая уж малая степень абстракции. Ещё более высокая степень абстракции в числе пять септиллионов: ясно, что предъявить столько предметов невозможно. И уж совсем высокая (и одновременно глубокая) абстракция заключена в понятии натурального числа вообще и натурального ряда как совокупности всех натуральных чисел. Здесь поле, которое психология только начала распахивать. Упоминавшийся уже Лузин, который был не только математиком, но и философом (и даже его избрание в 1929 году в Академию наук

СССР произошло «по кафедре философии»), так высказывался на эту тему: «По-видимому, натуральный ряд чисел не представляет собой абсолютно объективного образования. По-видимому, он представляет собой функцию головы того математика, который в данном случае говорит о натуральном ряде»4.

Тем не менее два математика на разных континентах приходят к одним и тем же выводам о свойствах натурального ряда чисел, хотя могут наблюдать числа никак не внешним зрением, а лишь зрением внутренним, мысленным. В этом труднообъяснимом единстве взглядов на идеальные сущности некоторые усматривают доказательство существования Бога. (Как пишет Ю. И. Манин, «мы [математики — В. У.] изучаем идеи, с которыми можно обращаться так, как если бы они были реальными предметами»5. Весь вопрос в том, почему это возможно.)

Итак, мы отстаиваем два тезиса. Первый: математика — вне зависимости от того, находит ли она практическое использование, — принадлежит духовной культуре. Второй: отдельные разделы математики входят в общеобязательную часть этой культуры.

Задаваться же вопросом, что именно из математики, причём неприкладной, должно входить в общеобязательный культурный минимум, вряд ли стоит, потому что однозначного ответа на него не найти. Каждый должен определять этот минимум для себя. Задача общества — предоставить каждому индивидууму ту информацию о математических понятиях, идеях и методах, из которой можно было бы отобрать этот субъективный минимум. Вообще, приобретение знаний есть дело добровольное, и насилие тут неуместно. На ум приходит замечательное высказывание Сухарто (второго президента Индонезии — не путать с первым её президентом, Сукарно): «В наше время чрезвычайно трудно заставить кого-либо сделать что-либо добровольно». Школьная программа по математике — слишком болезненная тема, чтобы её здесь затрагивать (хотя она не может не волновать, поскольку касается миллионов наших детей). Ограничусь тем, что скажу: хорошо бы в этой программе устранить перекос в сторону вычислений и уделить больше внимания качественным моментам, с вычислениями непосредственно не связанным.

4 Читателя, желающего задуматься о том, что, собственно, представляет собой натуральный ряд, отсылаем к статье: П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда // Успехи математических наук. — 1973. — Т. 28. — Вып. 4. — С. 243—246. ●●▶ Названная статья перепечатана в качестве приложения II в книге: В. А. Успенский. Апология математики. — СПб.: Амфора, 2009; 2010; 2011; 2012 [2-е изд., испр.]. ◀●●

5 Ю. И. Манин. Математика как метафора. — М.: МЦНМО, 2008. — С. 20.

Замечу в заключение, что математика составляет часть мировой культуры и благодаря своему этическому аспекту. Хотя существование такового может показаться странным, он есть. Математика не допускает лжи, т. е. ложных утверждений. Более того, математика требует, чтобы утверждения не просто провозглашались, но доказывались. Она учит задавать вопросы и требовать разъяснений, если ответ оказался тёмен. Она по природе демократична, её демократизм обусловлен характером математических истин. Их непреложность не зависит от того, кто их провозглашает, академик или школьник. Вот поучительный эпизод из жизни Механико-математического факультета (знаменитого Мехмата) Московского университета, относящийся к концу 1940-х годов. Великий Колмогоров читает специальный (т.е. необязательный) курс по теории меры. Он объявляет некоторую теорему и говорит, что поскольку дальнейшее изложение на неё не опирается, он её доказывать не будет, а просит поверить на слово. Один из слушателей, третьекурсник, строит опровергающую конструкцию и в перерыве показывает её лектору. Вторую половину лекции Колмогоров начинает с изложения этой конструкции, а третьекурсника приглашает к себе на дачу, где производит в ученики.

Примечания

➊ [к с. 137]. Сказанному, впрочем, отчасти противоречат данные Всероссийского центра изучения общественного мнения (ВЦИОМ). Как явствует из его пресс-выпуска № 679 от 20.04.2007 (выложенного в Интернете по адресу http://wciom.ru/ novosti/press-vypuski/pressvypusk/single/4448.html), на вопрос «Согласны ли вы со следующим утверждением: „Солнце обращается вокруг Земли“?» правильный ответ дали 67% россиян, неправильный — 28%, затруднились с ответом 5%. Я не осмеливаюсь согласиться с тем, что лишь не более чем 67% моих соотечественников являются «культурными людьми». (То обстоятельство, что, по данным ВЦИОМ, те же цифры, с точностью до одного процента, дал аналогичный опрос в странах Европейского Союза, служит слабым утешением.) ●●▶ За прошедшие с тех пор четыре года положение ухудшилось, о чём свидетельствует пресс-выпуск ВЦИОМ № 1684 от 08.02.2011 (адрес в Интернете: http://wciom.ru/index.php ?id=459&uid=111345).

МОСКВА, 8 февраля 2011 года. В День Науки Всероссийский центр изучения общественного мнения (ВЦИОМ) представляет результаты исследования о самых распространённых научных

заблуждениях россиян. Каждый третий россиянин считает, что Солнце вращается вокруг Земли. Большинство россиян уверены, что радиоактивность — дело рук человеческих (55%). Наши сограждане также убеждены в том, что антибиотики убивают вирусы так же, как и бактерии (46%). Треть опрошенных всерьёз полагают, что Солнце вращается вокруг Земли (32%), причём за последние четыре года таких респондентов стало даже больше (с 28% в 2007 году). Чуть меньшая доля россиян утверждает, что первые люди жили в ту же эпоху, что и динозавры (29%).

А вот как лучшие выпускницы РосГосТоргЭкУн (Российского государственного торгово-экономического университета) отвечают на простейшие вопросы: http://anti.fishki.net/comment.php?id=167443. ◀●●

Приходится признать, что мои представления об исключительности астрономических познаний (точнее, невежества) Холмса неверны. Однако не следует забывать и знаменитое высказывание Корнея Ивановича Чуковского. Когда его упрекнули в наивности: и как это он не понимает, что все его усилия в защиту чистоты русского языка напрасны, Чуковский возразил: «Я понимаю, но партия учит нас, что новое должно рождаться в борьбе со старым; так вот, я и есть это старое». В данном случае старым, по-видимому, является гелиоцентрическая система Коперника, а новым — приходящие ей на смену невежественные представления.

●●▶ Может сложиться впечатление, что именно азы астрономических знаний по каким-то причинам вызывают трудности для их усвоения. Но нет, такое впечатление будет ложным. Достаточно взглянуть на статью Бориса Игоревича Соболева «Дно знаний», вывешенную в Интернете 12 ноября 2012 года: http://www.vesti. ru/doc.html?id=956877&cid=7. В статье воспроизводятся собеседования с претендентами на должность школьного учителя литературы. Вот некоторые вопросы и ответы из этих бесед:

— Эрих Мария Ремарк—мужчина или женщина?

— Женщина.

— Жорж Санд?

— Мужчина.

— С кем стрелялся Пушкин?

— С Дантесом.

— А Лермонтов?

— Стрелялся?

— Да. Или он не стрелялся?

— Вы надо мной издеваетесь?

— Как, по-вашему, умер Лермонтов?

— А чёрт его знает!

Отвечал аспирант-филолог одного из московских вузов.

— «У Лукоморья дуб зелёный...». Вы помните, из какого это произведения?

— Не «Три богатыря»?

— «Не приведи Бог видеть русский бунт, бессмысленный и беспощадный»?

— Я тоже не знаю, откуда это. Ну, я знаю, что это, но в общем — нет.

— «Любви все возрасты покорны»?

— Лермонтов. Нет?

— «Не хочу учиться, а хочу жениться»?

— Я забыла название этого произведения.

— «Не хочу учиться, а хочу жениться»?

— Да я знаю, я сто раз это слышала. Просто сейчас у меня вылетело из головы.

Отвечала студентка выпускного курса филологического факультета другого московского вуза. ◀●●

➋ [к с. 137]. Разумеется, не только математические. Извольте получить пример. В 2007 году на Рождественских чтениях Патриарх Алексий II высказался против, как он выразился, «навязывания» представления о том, что «человек произошёл от обезьяны». Высказывание Патриарха очень характерно и отражает распространённое заблуждение. Дело в том, что в действительности эволюционная теория отнюдь не утверждает, что человек произошёл от обезьяны — хотя эволюционной теории обычно приписывают именно это утверждение. Эволюционная теория утверждает лишь, что человек и обезьяна имеют на филогенетическом дереве общего предка, и что предок этот расположен на этом дереве ближе к нашему времени, нежели общий предок человека и любого другого животного. (А ещё ближе к истине высказался наш замечательный биолог А. В. Марков: С точки зрения биологической классификации человек не произошёл от обезьяны — он ею как был, так и остался6.) С тем же успехом можно было бы приписать эволюционной теории утверждение, что обезьяна произошла от человека. (Оба ложных утверждения — человек произошёл от обезьяны и обезьяна произо-

6 А. В. Марков. Эволюция человека: В 2 кн. — М.: Астрель; CORPUS, 2011.

шла от человека — занимают одинаковое положение относительно того, что в действительности утверждает эволюционная теория.)

➌ [к с. 138]. Впрочем, озарение снизошло на Швейкарта (Ferdinand Karl Schweikart, 1780—1857), когда он находился в России. С 1811 по 1816 год (по другим источникам — с 1812 по 1817 год) Швейкарт состоял ординарным профессором древних прав Харьковского университета. В «Энциклопедическом словаре» Брокгауза и Ефрона (2-й дополнительный том, или 4-й полутом, с. 880) сообщается, что Фердинанд Львович Швейкарт читал лекции на латыни. О том, что к неевклидовой геометрии Швейкарт пришёл именно в харьковский период своей жизни, свидетельствует письмо ученика Гаусса, Х. Л. Герлинга (Christian Ludwig Gerling, 1788—1864), своему учителю от 26 февраля 1844 года, в котором он, благодаря Гаусса за указания на труды Лобачевского, прибавляет: «Das russische Steppenland scheint demnach doch ein geeigneter Boden für diese Spekulationen, denn Schweikart (jetzt Professor in Königsberg) ersann seine Astral-Geometrie während er in Charkov war» [«Русские степи, должно быть, — благоприятная почва для этих изысканий, потому что Швейкарт (сейчас профессор в Кенигсберге) придумал свою астральную [звёздную] геометрию, будучи в Харькове»].

Просвещённого читателя может удивить, что выше не упомянуто имя великого венгерского геометра Бойаи. Увы, автор не знает, допускал ли Бойаи возможность неевклидова строения реального мира.

Из статьи «Закон исключённого третьего и закон двойного отрицания»

I. Колмогоров и конструктивизм. — II. Общая логика суждений. — III. Частная логика суждений. — IV. Аксиома двойного отрицания как диагностическая формула. — V. Границы применимости закона исключённого третьего. — Литература.

Сочинения Колмогорова имеют следующую примечательную особенность: с течением времени их значение не убывает. Напротив, тщательное их обдумывание открывает новые возможности для их осмысления. Даже замечания, оброненные Колмогоровым мимоходом, могут служить источником неожиданных и содержательных построений (см., например, ниже раздел V).

Данный комментарий, составленный в 2005 году, подводит итоги обдумывания статьи Колмогорова «О принципе tertium non datur», появившиеся после нашего первоначального комментария более чем двадцатилетней давности; некоторые из таких итогов были сообщены в докладе [PatlPli], сделанном на Международной конференции, посвящённой столетию со дня рождения Колмогорова. Заметим, что в современной литературе вместо термина «принцип tertium non datur» обычно употребляют термин «закон исключённого третьего».

I. Колмогоров и конструктивизм

«Во всём современном математическом мышлении большое место занимает различие между „конструктивным“ и „неконструктивным“, — писал Колмогоров в своём замечательном предисловии [Колм] к русскому переводу первой в мире монографии о рекурсивных функциях. — Даже математики, которые спокойно признают „неконструктивные“ доказательства существования, не могут отрицать, что

Полностью статья опубликована в качестве комментария к циклу работ А.Н.Колмогорова по интуиционистской логике в книге: А. Н. Колмогоров. Избранные труды: В 6 т. — Т. 1: Математика и механика / Сост. В.М.Тихомиров; Отв. ред. А. Н. Ширяев. — М.: Наука, 2005. — С. 445—454. (Соавтор: Валерий Егорович Плиско.)

чистое (неконструктивное) доказательство существования какого-либо математического объекта естественно влечёт за собой проблему восполнения этого доказательства соответствующей конструкцией».

Для самого Колмогорова характерно повышенное внимание к различению — в объектах и процессах — конструктивного и неконструктивного. Статьи Колмогорова по логике были посвящёны исследованию проблематики, которая возникает при попытках отразить в логике указанное различение. Обе эти статьи: «О принципе tertium non datur» 1925 года и «Zur Deutung der intuitionistischen Logik» (в русском переводе: «К толкованию интуиционистской логики») 1932 года — сыграли в логической науке выдающуюся роль. Обе статьи объединены общей идеей — навести мост между интуиционистской логикой, признающей только конструктивные доказательства, и традиционной, или «классической», логикой, причём сделать это средствами, свободными как от «архиреволюционной» идеологии интуиционизма, так и от крайностей теоретико-множественного догматизма. Именно, в статье 1925 года предлагается такая интерпретация классической логики, которая приемлема с точки зрения интуиционизма; напротив, в статье 1932 года предлагается такая интерпретация интуиционистской логики, которая приемлема с классических позиций.

В статье «О принципе...» Колмогоров принимает предпринятую главой интуиционизма Л. Э.Я.Брауэром критику традиционной логики; при этом Колмогоров обнаруживает в последней ещё один уязвимый, но обойдённый критикой Брауэра логический принцип, а именно — выражаемый аксиомой А→(≈\А→В). Как указывает Колмогоров, эта аксиома «не имеет и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая нечто о последствиях невозможного». Колмогоров выдвигает два вопроса: 1) почему незаконное, с интуиционистской точки зрения, применение закона исключённого третьего часто остаётся незамеченным? 2) почему оно не привело до сих пор к противоречию? На оба вопроса в статье даются ответы. На 1-й вопрос — потому что применения закона исключённого третьего оправданы, коль скоро возникающее в результате таких применений суждение носит финитный характер; действительно, в этом случае оно может быть доказано и без использования указанного закона; это открытие Колмогорова опровергло точку зрения Брауэра о том, что при получении финитных результатов должны быть запрещены нефинитные умозаключения. На 2-й вопрос — потому что если бы противоречие было получено при использовании закона исключённого третьего, то оно могло бы быть получено и без него; здесь впервые в исто-

рии логики произошло предвосхитившее последующие работы Гёделя 1930-х годов доказательство относительной непротиворечивости формальной аксиоматической системы, т. е. такое доказательство непротиворечивости, которое использует презумпцию о непротиворечивости другой системы. Колмогоров точно очертил круг тех суждений, для которых составленные из них тавтологии классической пропозициональной логики являются интуиционистски обоснованными (при последовательном проведении интуиционистской точки зрения — более последовательном, чем у самих интуиционистов): это суть те и только те суждения, для которых выполняется закон двойного отрицания. В своей статье Колмогоров впервые предложил позитивный анализ обоснованности с точки зрения интуиционизма традиционной, или «классической», математики. Одновременно Колмогоров впервые сделал интуиционистскую логику объектом строгого математического анализа. В статье была предложена первая система аксиом для этой логики, предвосхитившая формализацию А. Гейтинга, и ныне известная как минимальное исчисление для отрицания и импликации.

В 1-м разделе статьи «К толкованию...» Колмогоров наполняет формулы интуиционистской пропозициональной логики новым содержанием, свободным от философских предпосылок интуиционизма. Именно, он предлагает рассматривать каждую такую формулу не как утверждение, а как проблему (т. е. как требование указать или построить объект, подчинённый тем или иным заранее заданным условиям). Понятие проблемы, или задачи, есть одно из фундаментальных понятий математики; Колмогоров был первым, кто включил это понятие в логико-математический дискурс (здесь идеи Колмогорова предвосхитили так называемую семантику реализуемости Клини). Предложенная Колмогоровым интерпретация интуиционистской логики близка к концепции Гейтинга, однако у последнего отсутствует чёткое различение между суждением и проблемой. Существенным этапом в становлении логического мышления явилось предложенное Колмогоровым уточнение представления о сводимости одной проблемы к другой. Во 2-м разделе статьи выдвигается и обосновывается следующий взгляд: с интуиционистской точки зрения, нельзя, вообще говоря, рассматривать отрицание общего суждения в качестве содержательного суждения. «Но тогда,—указывает Колмогоров, — исчезает предмет интуиционистской логики, поскольку теперь принцип исключённого третьего оказывается справедливым для всех суждений, для которых отрицание вообще имеет смысл. Возникает, однако, новый вопрос: какие логические законы справедливы для суждений, отрицание которых не имеет смысла?».

II. Общая логика суждений

В математической литературе термины «алгебра» и «логика» (да даже и «теория») понимаются в двух смыслах — как названия наук и как названия математических объектов. В применении к слову «логика» эта терминологическая традиция восходит к колмогоровской статье 1925 года «О принципе tertium non datur». Так, в § 5 главы I названной статьи говорится: «Мы понимаем в дальнейшем под общей логикой суждений науку, исследующую свойства произвольных суждений в отношении их истинности, ложности и процесса вывода независимо от их состава (каждое суждение считается неразложимым элементом исследования)». А § 1 главы III той же статьи начинается с определения некоторого математического объекта, а именно некоторого множества формул: «Формулы, доказуемые на основе аксиом 23, образуют общую логику суждений». Разумеется, оба понимания термина «логика суждений» тесно связаны, и эту связь автор подчёркивает, заявляя в подстрочном примечании в главе III: «Общая логика суждений имеет и другое, реальное определение (см. § 5 главы I)». Это другое, реальное определение состоит в том, что к общей логике суждений, понимаемой как множество формул, принадлежат, по Колмогорову, те и только те формулы, истинность которых в состоянии обосновать общая логика суждений, понимаемая как наука.

В статье «О принципе...» её автор становится на весьма последовательную позицию, которую сам он называет интуитивистской и которая, как мы увидим, является более жёсткой, чем даже позиция приверженцев интуиционизма в стиле Брауэра. С интуитивистской точки зрения обосновывать истинность формул разрешается с опорой лишь на не вызывающие никаких сомнений в их законности свойства суждений и логических операций. Именно такие свойства и отражены в пяти аксиомах, образующих систему 23.

Происхождение этой системы аксиом 23 таково. В 1923 году Гильберт опубликовал нижеследующую систему из шести аксиом, предложенную им для формализации логики суждений:

Аксиомы следования.

Аксиомы отрицания.

Первые четыре из них, аксиомы следования, не содержат иных логических операций, кроме импликации; эти аксиомы признаются Колмогоровым интуитивно истинными и потому сохраняются. Последние же две аксиомы системы Гильберта содержат наряду с импликацией также и отрицание; обе они в § 6 главы I Колмогоровым не признаются истинными и отвергаются. Одна из отвергаемых Колмогоровым аксиом (6-я в системе Гильберта) выражает, хотя и в необычной форме, закон исключённого третьего (т. е. принцип tertium non datur), подвергнутый критике основателем интуиционизма Брауэром. Про вторую отвергаемую аксиому (5-ю в системе Гильберта) Колмогоров пишет: «...критика Брауэра не коснулась её, тем не менее она также не имеет интуитивных оснований». Достойно восхищения, что двадцатидвухлетний Колмогоров решается предъявить к истинности более суровые требования, чем уже всемирно знаменитый к тому времени Брауэр — и даже чем брауэровские последователи, включившие впоследствии эту 5-ю аксиому Гильберта в число формул интуиционистского исчисления. Деликатно ограждая предшественника от возможных упрёков, Колмогоров считает нужным привести объяснение, почему «критика Брауэра не коснулась» этой аксиомы: «аксиома 5-я употребляется только в символическом изложении логики суждений», — пишет Колмогоров. Заметим, что в применении к последователям Брауэра подобное объяснение уже невозможно.

Однако должна же иметь место какая-то аксиома, выражающая свойства отрицания и являющаяся вместе с тем интуитивно очевидной! В качестве таковой Колмогоров предлагает (в § 6 главы II) свою собственную аксиому, названную им принципом противоречия:

В другой форме записи (на которую сам Колмогоров переходит в статье «К толкованию...») эта аксиома Колмогорова выглядит как

Своим принципом противоречия Колмогоров замещает отвергнутые им аксиомы. Добавление этой аксиомы Колмогорова к четырём сохранённым аксиомам Гильберта и даёт пятичленную систему аксиом 23.

Логику суждений, образуемую формулами, получаемыми на основе системы аксиом 23, Колмогоров называет общей логикой суждений. Термин общая означает, что формулы этой логики признаются истинными для всех мыслимых суждений, которые могут быть подставлены вместо переменных.

III. Частная логика суждений

Принцип, или закон, двойного отрицания утверждает, что из отрицания отрицания суждения следует само это суждение. В традиционной, так называемой классической логике этот принцип считается общеприменимым, т. е. справедливым для любого суждения. С брауэровской интуиционистской, а тем более с колмогоровской интуитивистской точки зрения закон двойного отрицания нельзя считать общеприменимым. Формальным выражением закона двойного отрицания служит аксиома двойного отрицания А→A в другой записи эта аксиома выглядит так: ¬¬а⊃а.

Если к системе аксиом B прибавить аксиому двойного отрицания, получим систему из шести аксиом, которую Колмогоров называет §) и которая, как он показывает, эквивалентна исходной системе Гильберта (гл. II, §§ 7 и 8). Формулы, доказуемые в этой системе, принадлежат так называемой классической логике суждений, или классической логике высказываний, повсеместно используемой в традиционной, или классической, математике, — но, разумеется не в математике интуиционистской. Именно для аксиоматизации классической логики суждений и была введена система аксиом Гильберта.

О формулах системы G мы потому сказали, что они «принадлежат классической логике», а не «образуют классическую логику», что в классической логике высказываний наряду с операциями отрицания и импликации обычно допускаются также операции конъюнкции и дизъюнкции. Формулы, доказуемые в системе G, образуют импликативно-негативный фрагмент классической логики высказываний — т. е. совокупность тех и только тех формул этой логики, которые не содержат иных связок, кроме импликации и отрицания.

Этот импликативно-негативный фрагмент Колмогоров называет частной логикой суждений. В § 1 главы III он пишет: «Совокупность формул, доказуемых на основании шести аксиом G, будем называть частной логикой суждений. Содержание частной логики суждений богаче, чем общей, но область применения уже». Термин частная означает, что формулы этой логики признаются истинными не для всех суждений, а лишь для некоторых. Но тогда возникает вопрос, для каких именно суждений справедливы формулы частной логики. Именно этот естественный вопрос и ставится — и притом впервые — в статье «О принципе...». Автор статьи даёт исчерпывающий ответ на этот вопрос: оказывается, формулы частной логики

суждений истинны для тех и только тех суждений, для которых справедлив закон двойного отрицания, в том числе для всех финитных (т. е. относящихся к конечным множествам) и для всех отрицательных суждений. «Этим найдена точная граница области применимости частной логики суждений: область эта совпадает с областью применимости формулы двойного отрицания» (гл. III, § 4). В следующем разделе настоящего комментария мы предложим интерпретацию этого результата Колмогорова, основанную на понятии диагностической формулы.

IV. Аксиома двойного отрицания как диагностическая формула

Результат Колмогорова о точной границе области применимости частной логики суждений — один из основных результатов его статьи «О принципе...»— может быть сформулирован в виде следующей теоремы:

Пропозициональная формула A, содержащая только пропозициональные переменные p1, p2, . . ., pn и логические связки d (импликация) и и (отрицание), тогда и только тогда принадлежит частной логике суждений (что в данном случае равносильно принадлежности классической логике высказываний), когда она выводится в общей логике суждений (т. е. в исчислении Колмогорова 23) из гипотез ¬¬p1⊃p1, ¬¬p2⊃p2, ..., ¬¬pn⊃pn. (Напомним, что при выводе из гипотез применение правила подстановки к гипотезам запрещено.)

Поскольку для исчисления B справедлива теорема о дедукции, теорема Колмогорова может быть переформулирована так:

Пропозициональная формула А, содержащая только пропозициональные переменные p1, p2, . . ., pn и логические связки ⊃ (импликация) и ¬ (отрицание), тогда и только тогда принадлежит частной логике суждений (что в данном случает равносильно принадлежности классической логике высказываний), когда в общей логике суждений (т. е. в исчислении Колмогорова 23) выводится формула

Теорема Колмогорова даёт сигнал о том, что аксиома двойного отрицания ппр^р играет особую роль во взаимоотношениях общей и частной логик: как показывает эта теорема, названная аксиома

выражает условие, которому должны удовлетворять элементарные высказывания для того, чтобы с точки зрения общей логики для этих высказываний выполнялся всякий закон частной логики.

Описанную ситуацию можно изложить в общем виде. Имеются две пропозициональные логики — базовая логика L и испытуемая логика W; каждая из них есть некоторое множество пропозициональных формул. (В применении к статье Колмогорова «О принципе tertium nondatur» в качестве базовой логики выступает логика 23, а в качестве испытуемой — логика G.) Нас интересует вопрос, при каком условии, налагаемом на элементарные высказывания, принадлежность составленной из этих высказываний формулы А к испытуемой логике W оправдана «с точки зрения» базовой логики L. Условие должно выражаться подходящей пропозициональной формулой D, а «оправданность» означает, что к базовой логике принадлежит формула, выражающая следование А из результатов применения условия D к каждому из элементарных высказываний, входящих в состав формулы А, т. е. формула

где Di есть результат применения формулы D к i-му элементарному высказыванию, входящему в состав формулы А. Саму формулу D будем называть диагностической для испытуемой логики W относительно базовой логики L. Сказанное формализуется в виде следующего определения (см. [УспПли] и [Usp], р. 389):

Формула D(p) с единственной пропозициональной переменной р называется диагностической формулой для логики W относительно логики L, если для любой формулы А, не содержащей иных переменных, кроме p1, p2, . . ., pn, эта формула А тогда и только тогда принадлежит логике W, когда логика L содержит формулу

Теперь теорему Колмогорова о границах применимости частной логики суждений можно сформулировать так:

Аксиома двойного отрицания ¬¬p⊃p служит диагностической формулой для частной логики суждений (т. е. импликативно-негативного фрагмента классической логики высказываний) относительно общей логики суждений (т. е. исчисления Колмогорова B).

V. Границы применимости закона исключённого третьего

Нахождение границ применимости частной логики суждений — одна из главных целей статьи «О принципе...». В § 1 главы I Колмогоров пишет: «Всё дальнейшее посвящёно выяснению области применимости частной логики суждений». Но уже в следующей фразе он делится с читателем наблюдением, к которому более не возвращается и которое никак не разъясняет: «Эта область, может быть, и несколько уже, чем область применимости принципа tertium non datur в гильбертовой форме». Это наблюдение Колмогорова, сформулированное как бы мимоходом, оказывается весьма тонким. Попробуем его прокомментировать. Прежде всего напомним, что в силу основного результата Колмогорова область применимости частной логики суждений совпадает с областью применимости закона двойного отрицания. Поэтому в нашем комментарии мы будем сравнивать между собой области применимости для этого закона и для принципа tertium non datur (иначе — закона исключённого третьего).

Прежде всего заметим, что для закона исключённого третьего само понимание слова «применимость» нуждается в разъяснении, которое не так просто дать. В самом деле, если говорить, скажем, о законе двойного отрицания или же о законе исключённого третьего в его обычной, дизъюнктивной форме, то ясно, что означает применимость каждого из них: первый закон применим к тем суждениям а, для которых истинна формула ¬¬a⊃a, второй — к тем суждениям а, для которых истинна формула a∨¬a. Но в гильбертовой форме закона исключённого третьего

помимо «основного» суждения а встречается ещё «вспомогательное» суждение b. Один из вариантов избавления от этого b состоит в замене b на а. После такой замены получаем формулу

которая представляет собою частный случай закона исключённого третьего в гильбертовой форме. В исчислении Колмогорова B (а также в системе Гильберта) эта формула эквивалентна (в смысле выводимости двух импликаций) формуле

Сопоставляя последнюю формулу с аксиомой двойного отрицания

¬¬a⊃a, обнаруживаем, что импликация ((¬a⊃a)⊃a)⊃(¬¬a⊃a) невыводима в исчислении B Колмогорова. Этот факт можно интерпретировать следующим образом: если для суждения а выполнен частный случай закона исключённого третьего в гильбертовой форме, то, с точки зрения общей логики суждений (т. е. исчисления Колмогорова), отсюда ещё не следует, что для суждения а выполнен принцип двойного отрицания. Так что область применимости принципа двойного отрицания оказывается более узкой, чем область применимости обсуждаемого частного случая закона исключённого третьего в гильбертовой форме.

Колмогоровское «может быть» мы соотносим с тем обстоятельством, что при рассмотрении вопроса о применимости закона исключённого третьего в гильбертовой форме произошла вынужденная замена общего вида закона (в указанной форме) на его частный случай. Оказывается, однако, что этот частный случай сам может служить выражением общего закона исключённого третьего. Для обоснования этого тезиса обратимся к работе [LukTar], в которой приведена предложенная Лукасевичем аксиоматика импликативно-негативного фрагмента классической логики высказываний, состоящая всего из трёх аксиом. Именно, система Лукасевича содержит единственную аксиому следования

выводимую на основании аксиом следования Гильберта, и две аксиомы отрицания: аксиому 5 системы Гильберта и аксиому исключённого третьего в форме Лукасевича (¬a⊃a)⊃a. Последняя аксиома, как видим, совпадает с рассматриваемым нами частным случаем закона исключённого третьего в гильбертовой форме. Рутинным способом доказывается полнота этой системы. Таким образом, если в системе Гильберта аксиому 6 заменить на аксиому исключённого третьего в форме Лукасевича, мы получим систему, в которой выводимы все аксиомы системы Лукасевича. Следовательно, так изменённая система Гильберта полна и потому эквивалентна системе Гильберта в первоначальной формулировке. А значит, аксиома исключённого третьего в форме Лукасевича полноценно выражает закон исключённого третьего.

Литература

[Колм] А. Н. Колмогоров. Предисловие редактора перевода // Р. Петер. Рекурсивные функции. — М.: ИЛ, 1954. — С. 3—10.

[УспПли] В. А. Успенский, В. Е. Плиско. Диагностические пропозициональные формулы // Вестник Московского университета. — Математика, механика. — 1991. — № 3. — С. 7—12.

[LukTar] J. Lukasiewicz, A. Tarski. Untersuchungen über den Aussagenkalkül II Comptes Rendus de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie. — Cl. III. — 1930. — Т. 23. — P. 1—21.

[PatlPli] M. V. Patlasov, V. E. Plisko. Diagnostic formulas for intuitionistic and minimal propositional calculi // Международная конференция «Колмогоров и современная математика»: Тезисы докладов. — М., 2003. — С. 691—692.

[Usp] V.A. Uspensky. Kolmogorov and mathematical logic // The Journal of Symbolic Logic. — 1992. — V. 57. — N. 2. — P. 385—412.

Разговор о книге Е. Ф. Сабурова «Власть отвратительна»

Предисловие автора настоящей книги

Всё началось с того, что в июне 2002 года мне позвонил Евгений Фёдорович Сабуров и сказал, что хочет меня посетить. До этого Сабуров мне никогда не звонил и у меня не бывал.

С Сабуровым я был знаком довольно отдалённо — так, случайные встречи, во время которых мы демонстрировали взаимную приязнь. Сабуров окончил Мехмат МГУ в 1969 году, на 17 лет позже меня, и, по моему ощущению, уважал меня тем специфическим уважением, каковое человек, когда-то окончивший Мехмат МГУ, но не пошедший далее по математической линии, питает к человеку, на Мехмате работающему. На полке у меня стояли два его стихотворных сборника, им мне подаренных: «Пороховой заговор» (М.: Золотой вЪк, 1995) и «По краю озера» (М.: ОГИ, 2001). На первом из них он надписал «...от всегдашнего мехматянина», на втором — «...от бывшего мехматянина». Я неоднократно слышал, что Сабуров был главой правительства Крыма. Интернет указывает, что с 11 марта по 6 октября 1994 года он был вице-премьером этого правительства; однако, в Интернете встречается и выражение «правительство Сабурова», а сам Сабуров именуется «руководителем правительства». Наконец, в том же источнике находим сведения, что августе 1991 года Сабуров был назначен заместителем Председателя Совета Министров и министром экономики РСФСР и что удостоверение он получил уже в осаждённом гекачепистами Белом Доме. В этих должностях он пробыл по ноябрь 1991 года. Он пытался, но не смог меня убедить, что какое-то время исполнял обязанности главы российского правительства; сошлись на том, что в некоторых ситуациях он исполнял эти обязанности фактически.

Разговор состоялся 30 июля 2002 года. Собеседники: В. Н. Некрасов, В. А. Успенский, М. Б. Ходорковский. Опубликовано в интернет-проекте «Русский журнал»: http://old.nuss.ru/ist_sovn/20021017_stol.html. А также в книге: Е. Ф. Сабуров. Власть отвратительна. — М.: ГУ ВШЭ, 2003. — С. 136—158.

Приехав ко мне, Сабуров объявил, что написал книгу под заимствованным из строк Мандельштама названием «Власть отвратительна» и что он хотел бы организовать обсуждение не столько самой книги, сколько затронутых в книге тем до сдачи рукописи в печать. Имелось в виду, что запись указанного обсуждения войдёт в текст книги в качестве особого раздела. Обсуждение предполагалось организовать в редакции интернет-издания «Русский журнал» в виде трёх последовательных разговоров, каждый с тремя участниками. Впоследствии Сабуров так объяснял принцип, из которого он исходил, выбирая состав каждой из троек:

Поскольку поставленные проблемы не носят профессионального, специализированного характера и не могут быть описаны и оценены с какой-то одной точки зрения, то выбор участников разговоров диктовался требованием их «перпендикулярности» друг к другу. (http ://old.russ.ru/ist_sovn/20021017_sab.html)

Сабуров передал мне распечатку текста книги и предложил участвовать в одном из трёх разговоров вместе с предпринимателем Михаилом Ходорковским и поэтом Всеволодом Некрасовым, считающимся одним из основателей так называемого «московского концептуализма». Наш разговор оказался первым из трёх и состоялся 30 июля 2002 года. Помимо трёх собеседников и пришедшей с Некрасовым его жены Анны Журавлёвой присутствовали автор книги и заместитель главного редактора «Русского журнала» Елена Пенская. Книга с соответствующей строфой Мандельштама в качестве эпиграфа была выпущена Высшей школой экономики в 2003 году: Е. Ф. Сабуров. Власть отвратительна.—М.: ГУ ВШЭ, 2003.

Текст книги выложен и в Интернет: http://www.sabunov.ong/ education/powen_is_disgusting. Запись всех трёх разговоров составляет в названной книге раздел, который так и называется «Три разговора» и размещается на с. 136—209.

Краткое вступление сделал автор обсуждаемой книги. Далее выступить было последовательно предложено мне, М. Б. Ходорковскому, В. Н. Некрасову.

* * *

В. А. Успенский. Начну с двух мыслей, которые раньше не приходили мне в голову. «Истина рождается парадоксом и умирает тривиальностью», — сказал кто-то из великих. Первая мысль

касается роли информации в современном обществе, вторая — роли образования в престижных вузах.

Об информации. Информация как вид собственности котируется выше иных видов (например, средств производства). Это знают все. Но вот важное уточнение: более важной вещью, чем обладание информацией является доступ к ней. Не так важно, что человек что-то знает, он может знать сравнительно мало. Гораздо важнее, чтобы он знал, как узнать. Причём узнать сравнительно быстро. Вот это перераспределение шкалы ценностей представляется мне очень существенным.

О престижных вузах. Почему ценятся выпускники престижных вузов? Казалось бы, ясно, почему: в престижных вузах лучше учат или, по крайней мере, считается, что там лучше учат. Но есть, оказывается, и другая причина: в престижный вуз трудно поступить, там трудно учиться, трудно переходить с курса на курс и добраться до финала. Если человек всё это преодолел, он доказал свою состоятельность. Вот именно за этот «гроссмейстерский балл» выпускника престижного вуза и ценят. Обладатель этого балла автоматически попадает в повсеместно и повсесердно любимую категорию удачников. ➊

Интерес вызывает и настойчиво проводимый в книге тезис о единстве поэзии и политики, точнее — о единстве психологического типа поэта и политика и о сходстве их профессий. По размышлении я обнаружил, что в названном тезисе есть и глубина, и некая справедливость. И дело не только в Тютчеве, совмещавшем обе профессии. Можно найти и другие подтверждения. Хорошо известно, например, что в 1917 году Хлебников провозгласил себя одним из Председателей Земного Шара. Менее известно, что в следующем, 1918 году Гумилёв, находясь в Англии, заявил, что государствами должны управлять поэты и предложил себя в правители России, Честертона (прозаика и поэта) — в правители Англии и д'Аннунцио (прозаика и поэта) — в правители Италии.

Однако в обсуждаемой книге есть положения, вызывающие у меня непонимание, недоумение или несогласие по существу. Меня, к примеру, возмутила фраза: «Конечно, психолого-педагогическое сообщество примет обращенный к нему вызов и найдёт достойные ответы». Это с чего вы взяли? Весь опыт нашего так называемого психолого-педагогического сообщества убеждает как раз в обратном. Может, оно и примет вызов (потому что это непроверяемо), но уж достойных ответов точно не найдёт. Сгустком указанного сообщества была пресловутая Академия педагогических наук (АПН) —

организация, которую по результатам её деятельности я оцениваю крайне негативно. Когда рушилась Советская власть и строилась новая Россия, была слабая надежда, что АПН закроют, — но нет, её преобразовали в Российскую академию образования. Здесь я останавливаюсь. Руководствуясь заветом глубоко мною чтимого Алексея Константиновича Толстого:

Ходить бывает склизко

По камешкам иным,

Итак, о том, что близко,

Мы лучше умолчим.

(Всё вышесказанное никак не относится к подвижническому труду тысяч учителей.)

Особо хочу сказать о предметно-урочной системе, берущей своё начало от великого педагога Яна Амоса Каменского. Если я правильно понял (в чём не вполне уверен), одновременно с введением предметно-урочной системы и вследствие такого введения обучение стало происходить на основе наук. То есть стали учить началам наук и создавать у учащегося так называемую научную картину мира.

Утверждения типа «учить надо наукам», «главная цель образования — создание научной картины мира» и т. п. стали парадигмами современной цивилизации. А ведь неизвестно, нужно ли на самом деле так учить, правильно ли всё это. Вот меня в мои школьные годы учили строению инфузории и особенностям кровообращения крокодила; кажется, этому учат и сейчас. А зачем? Ответа на этот естественный вопрос нет, да и сам вопрос обычно не ставится. Разумеется, биология (основы которой, конечно же, надо в школе изучать) взята лишь для примера; то же относится и к математике. Может быть, разумнее учить не научной картине мира, а тому, как устроен унитаз.

Когда-то мне довелось прочесть совершенно замечательную формулировку целей английского образования. Привожу по памяти: сообщить учащемуся достаточное количество знаний и навыков, чтобы, пользуясь ими, он мог принимать решения по собственному усмотрению. По-моему, совершенно замечательная цель. Тут наука как бы и не присутствует — во всяком случае, не присутствует явно.

Всё это недопустимо мало у нас обсуждается. Да и обсуждаются подобные проблемы (если вообще обсуждаются) больше в специальной педагогической среде. Известно изречение (забыл, кому принадлежит): «Война — слишком серьёзное дело, чтобы доверять

её генералам». Образование — не менее серьёзное дело, и доверять его генералам от образования уж точно нельзя.

Несомненно, что мы живём среди верований, это абсолютно верно. Но мы живём не только среди верований, но также и среди обрядов. Например, защита диссертации — это типичный обряд. Тем более что результат, как правило, известен заранее (и потому заранее заказывается банкет). Обряд этот мало отличим от плясок вокруг костра со священным зубом крокодила.

Об источнике власти. Раньше был правитель — «принц» (князь, король), а теперь вроде бы народ. Ну, насчёт народа это всегда несколько сомнительно. ➋ Возможно, что о народе как об источнике власти говорят тогда, когда подлинный источник власти либо неизвестен, либо табуирован. Проскальзывает мысль, что подлинный источник не всегда себя раскрывает. Здесь уместно вспомнить Станислава Лема. Настоящая фантастика возникает там, где литература пытается сообщить нам представления, полностью отличные от нашего земного опыта. Вся жюльверновская фантастика основана на усовершенствовании привычных предметов. Иное дело Лем. Я хочу привести пример из его романа «Эдем». Необычным здесь является сам предмет, избранный Лемом для фантастического преломления в ткани романа — и в этом его, Лема, заслуга; это не техническое приспособление и не живое существо, а социально-психологическая структура общества. Общественное устройство, присущее высокотехнологичной цивилизации далёкой планеты, на которую попадает экспедиция с Земли, так и остаётся не полностью понятой участниками экспедиции. Но вот что им всё же удаётся понять. Источник власти в этом обществе анонимен, знание о природе этого источника запрещено и даже вопросы о такой природе жестоко подавляются. Кажется, здесь есть о чём поразмышлять и в применении к планетам не столь отдалённым.

Ещё о власти. Любопытно проследить разницу между механизмом достижения власти и механизмом её удержания. Некогда один американский журнал составил два списка: список качеств, требующихся, чтобы стать президентом, и список качеств, требующихся, чтобы быть президентом. Эти списки оказались почти (если не полностью) непересекающимися.

Ещё об Америке. В ней умиляет одномерность измерения успеха: деньгами и только деньгами. Скажем, в России достижения писателя могут измеряться тремя параметрами, до некоторой степени независимыми друг от друга: качеством произведений, степенью известности, размером гонорара. Не так в Америке. Если ты хороший, да ещё известный писатель, то изволь зарабатывать много денег — в про-

тивном случае тебе запрещено считаться хорошим и известным. Если ты хороший исследователь, твой оклад должен быть большим, а иначе ты исследователь плохой. Если ты знаменитый профессор, ты становишься профессором с окладом там 200 тысяч долларов в год, а если ты не знаменитый профессор, тебе платят 30 тысяч в год. Всё совершенно понятно и однозначно.

Я не нахожу эту систему порочной, признаю даже в чём-то удобной; просто идея денег как главного и единственного измерителя ценностей противоречит русскому менталитету, в котором ценность измеряется набором, состоящим из нескольких признаков. Американская система кажется нам столь же странной, как, скажем, приведённое к одному числу представление о величине автоцистерны, — тогда как автоцистерна имеет и вес, и длину, и ширину, и высоту, и вместимость.

И, наконец, самый последний комментарий. Я ещё раз убедился в справедливости следующих двух общих положений, относящихся к теории познания.

Положение первое. В познании мира человечеством можно выделить такой мейнстрим: общепризнанные понятия лишаются смысла, а представления, кажущиеся бессмысленными, смыслом наполняются. Например, с развитием физики лишились смысла такие общепринятые в своё время понятия, как флогистон (флюид горения), теплород (флюид тепла), мировой эфир ➌. Напротив, представление о том, что и размер предмета, и даже свойство одновременности двух событий являются не абсолютными, а относительными и зависят от обстоятельств наблюдения, — представление невообразимое, казавшееся совершенно диким, — оказалось не только осмысленным, но и верным. Более того, даже сама последовательность событий оказалась относительной: событие А может произойти раньше события В для одного наблюдателя и позже, чем В, для другого.

Положение второе касается причинно-следственной связи явлений. Это мы, люди, навязываем её мирозданию, а существует ли она в мироздании независимо от нас — это совершенно неизвестно. Может, да; а может, нет. Возникает такое впечатление, что сейчас человечество дошло до такой степени развития, что оно этот фундаментальный факт наличия причин и следствий начинает ставить под сомнение — ставить под сомнение самоё идею причинно-следственной связи. Подозрение, что представление об обязательности причинно-следственных связей (т. е. об обязательности причин у следствий и следствий у причин) является всего лишь заблуждением, поучительно и прогрессивно независимо от того, подтвердится оно ли нет.

М. Б. Ходорковский. Проблема правил игры очень глубокая. У неё есть оттенки как политические, так и экономические, социальные и образовательные. У меня в компании работает много иностранцев. И они всё время жалуются на то, что у нас каждый шаг должен подтверждаться распоряжением. Ну вот, условно говоря, как диспут проводить? Выходит распоряжение в компании: «Утвердить положение о диспуте. Регламент такой-то, работать в таком-то порядке». Иностранцы говорят: «Что у русских в компаниях творится? Вот у нас свобода творчества, народ действует в режиме собственного усмотрения. Мы дальше продвинулись». А я отвечаю: «Вы действительно дальше продвинулись, настолько дальше, что уже забыли, что, собственно говоря, у вас на самом деле происходит».

Заходишь в любую западную компанию и достаёшь у них регламент. Причём нашего слова «регламент» они тоже не понимают, у них это стандарт называется. И таких стандартов очень много. Причём изучают они их уже в университете. Поэтому когда они приходят на работу, то основная регламентная база у них уже в голове. Она принесена из вуза. А поскольку за границей ситуация меняется медленно — и в стране, и в бизнесе, и т.д., — то, что они учили в университетах 10—15 лет назад, — оно в базе своей и до сегодняшнего дня сохранилось. Грубо говоря, положения о диспуте они уже изучали на каком-то курсе. И оно им не нужно. Потому что все они учились по более-менее одинаковой программе, несмотря на то, что каждый вуз на Западе будет рассказывать, насколько он сильно отличается от других.

Я был свидетелем того, как работает регламент в крупной западной компании. Я попросил в офисе British Airways поменять мне билет довольно сложным образом. Мне сотрудница отвечает: «У меня сейчас компьютер не работает, справки нет, я сейчас посмотрю регламент компании». Достаёт толстенную кипу бумаг и начинает её перелистывать. Нашла, что делать в этом случае по порядку.

Если взять западный банк, то русского человека поражает низкий интеллектуальный уровень исполнителей младшего ранга. Операционистов. Да и руководителей департаментов тоже. Ужасно? Да нет. Всё сложнее. Умные люди в банке есть, но они занимают высокие должности. А куда девать тех, кто не может принимать решения, тех, кому это противопоказано? Им надо дать работу и надо дать регламент. Американец мне объясняет: «Ну что же вы не понимаете? У нас есть, во-первых, социальная программа адаптации, мы увечных должны брать на работу. А мы с удовольствием берём таких, потому что у них

метромоторика1 лучше, чем у обычных людей». Иными словами, обычный человек, если его заставить 6 часов в день заполнять разные формуляры, озвереет и начнёт ошибаться. А такой — нет. А если ему задают какой-нибудь нестандартный вопрос, он не должен отвечать. Русский человек всегда, когда его что-нибудь спросят, — он даже не знает — всё равно ответит. А тут есть кнопка — «Вызови менеджера». Менеджер приходит — у него свой набор инструкций. Чуть пошире, чем у операциониста, но тоже ограниченный. Не может — вызвал начальника смены. И так далее. Если сложный вопрос — выходят на тех, кто принимает решения. Система работает абсолютно чётко. Вот у нас в России среди операционистов встретишь столько же умных людей, сколько среди директоров банков, так? Это очень плохо. Это значит, что у нас селекция людей идёт плохо. В Америке среди операционистов умных людей практически не встретишь. Они считают, что у них выдвижение умных людей на тот уровень, на котором они должны находиться, достигает 75—85%. В Европе, видимо, порядка 60%, по их мнению. Вообще считается, что есть всего 3% людей, способных думать головой и принимать нестандартные решения, в Америке чуть побольше за счёт того, что они из других стран подтягивают. Вот задача каждого производства, каждого общества — сейчас особенно, когда руками уже меньше надо работать, головой надо больше, — задача извлечь эти 3% людей и поставить на тот уровень компетентности, на котором они могут максимально приносить пользу. Вот американцы считают, что они 75—85% всех этих людей расставляют правильно. А у нас считается — порядка 30%.

У нас машина, которая называется сепаратор, не работает. В Америке сепаратор начинает работать со школы. Когда мне начинают говорить о том, что дилетант может заниматься каким-то делом, я говорю: может, в том случае, если его поддерживает жёсткая система регламента, которая просто его игнорирует.

Поэтому, к примеру, такое огромное количество «красных директоров», директоров, которые были при Советском Союзе на заводах, действовали достаточно успешно в советское время и оказались абсолютно неуспешным в постсоветское. Тогда они действовали в жёстко

1 По-видимому, имеется в виду микромоторика (мелкая моторика), т. е. координация движений кистей и пальцев рук и ног, выполнение ими своих функций, а также внимательность и слаженность работы глаз и рук, работа с мелкими предметами. Микромоторика заключается в совокупности эффективной работы нервной, мышечной и костной систем и развивается с младенчества. — В. У.

регламентированном режиме. Как только им сказали: ребята, теперь всё это отменяется, теперь думайте сами, то, на мой взгляд, не более 2% оказались способными действовать. Общество нуждается в профессионалах. Требования к профессионализму можно снижать по мере того, как растёт стабильность и регламентированность общества. Вот по мере того, как стабильность растёт, по мере того, как регламентация вследствие этого проясняется, требования к профессионализму понижаются. Теперь о корпорации. Задача любой крупной корпорации — создавать не наилучшие, штучные какие-то товары, а дешёвый стандартный продукт. Вы хотите простой хлеб — это к крупному бизнесу. А хотите специальную выпечку — это к мелкому предпринимателю. Но зато такая финтифлюшка может стоить 5 рублей, а простой батон будет стоить рубль. Почему? Потому что это крупный бизнес, серийное производство, рост регламентации, подавление свободы воли. Соответственно — снижение требования к квалификации, соответственно — снижение стоимости рабочей силы, соответственно — снижение стоимости продукта. Получите дешёвый стандартный продукт. Что в результате получается? Двести лет назад для того, чтобы народ прокормить, 70% или 80% населения работало в сельском хозяйстве. А сейчас, если мы возьмём Америку, наиболее продвинутую страну, — 3% населения кормят всю страну. Крупный бизнес.

А теперь второй аспект. Очень интересную вещь я для себя вывел. Эффективный размер трудового коллектива. По мере роста информатизации общества снижается размер эффективного трудового коллектива. Если мы возьмём время, когда промышленная революция начиналась, наиболее эффективным был коллектив в 10 тысяч человек. Ткацкие фабрики: куча народу, погонщик... Или каменоломня: тоже куча народу, тоже погонщик, в результате 10 тысяч человек очень эффективно работают. Меньше — неэффективно. Почему? Всё инхаус. Всё надо было делать внутри. Количество связей маленькое, налаживаются связи тяжело, затраты на налаживание связей огромные, всё выгодно делать внутри себя. В результате — эффективный коллектив, который всё делает сам. По мере того, как информатизация общества росла в широком плане, я не только компьютеры имею в виду, вообще связи росли, коллектив сжимался, сжимался-сжимался-сжимался, и сейчас, по моей оценке, эффективный коллектив составляет 100 человек. Вот 100—150 человек — это наиболее эффективный коллектив. Если вы можете свести свой бизнес к 100—150 людям — то это самое эффективное. Всё остальное — на подряд. Отдавать, отдавать, отдавать.

В. А. Успенский. А сколько у вас работает?

М.Б.Ходорковский. У нас в ЮКОСе работает 110 тысяч человек, и ЮКОС был бы наиболее эффективен, если бы мне его удалось сегментировать на подорганизации. Каждая по 100—150 человек. Мне до конца это не удалось. И это, на самом деле, на сегодняшний день разрыв между той производительностью труда, которая у меня есть, и той производительностью труда, которой я в принципе мог бы достигнуть, если бы я до конца построил эффективную структуру. Так что это моя недоработка.

А дальше что? Ведь по мере роста, по мере продвижения вот этих связей, глобализации и т.д., в принципе, настанет время, когда самым эффективным трудовым коллективом будет один человек. Значит, где проблема? Проблема, что вот этот один человек должен быть не просто человеком, а человеком думающим. А вот думающих — мало. 3% населения — по мнению социопсихологов. Не важно, кем он будет. Он пошёл в поэты, или он пошёл в учёные, или он пошёл в предприниматели — всего 3%. Вот это — потенциал общества.

В Советском Союзе не было бизнеса. Соответственно эти 3% переориентировались в какие-то другие сферы. Потом появился бизнес — откуда эти люди взялись, их же больше не стало, они просто вышли из других отраслей, из той же науки, и ушли в бизнес, потому что там появились более привлекательные условия. А это те же самые 3% думающих людей. Может быть, с помощью какого-то суперобразования можно как-то дотянуть и увеличить это число до 4%, я не знаю. Может быть, и в этом я абсолютно уверен, можно задушить. Если верования общества таковы, что предпринимательство — это плохо, если об этом все говорят, как было у нас в Советском Союзе, то человек, который в себе чувствовал предпринимательскую энергию, просто это не выдавал и до конца жизни сидел вжавшись. Мы теряли, соответственно, и потенциал людей. Так вот, с этой точки зрения, конечно, я приветствую существенную толику анархизма. Особенно в школах. Мне очень нравится, что делают в этом отношении американцы. Дети должны быть интеллектуальными дебоширами. Потому что только таким образом мы можем полностью раскрыть потенциал этих 3% и продвинуть их вверх для того, чтобы они дальше двигали всё общество.

Об этом неудобно говорить, но соотношение между тем, какую долю продукта в информационном обществе создают вот эти 3% населения и остальные 97% — очень легко определить. Возьмите две страны с одинаковым уровнем технического развития — Россию и Америку.

В. А. Успенский. С одинаковым уровнем технического развития?

М. Б. Ходорковский. Ну а что, какая разница у нас, по большому счёту, в производственных фондах? Ну, если мы возьмём нефтянку, то разницы в производительности труда американской буровой и российской буровой — никакой. Или станки по производству компьютеров — небольшая разница. А дальше встаёт вопрос: интеллект, который наполняет всё это железо. Американцы его задействуют полностью, а мы его до последнего времени не задействовали. Разница получается в 5—10 раз. Соотношение в объёме создаваемого продукта между 97% населения и 3% населения — это, в лучшем случае, один к одному.

В. А. Успенский. Но ведь есть и другие проблемы помимо плохой работы сепаратора, помимо отбора наиболее эффективных 3%. Возьмём самую простую вещь. Американский водопроводчик завёртывает кран, он завёртывает гайку как следует, а наш слесарь бьёт по ней кувалдой... Понимаете, что я хочу сказать? У тамошних 97% есть культура труда, а у нас нет ➍ ➎. Или это абсолютно неверно?

М. Б. Ходорковский. Абсолютно неверно. Ничем наш рабочий не хуже их рабочего. Поверьте, я и там, и у нас внимательно приглядывался. Даже не хочу об этом говорить. Наш лучше.

В. Н. Некрасов. Мне нравится американское (как я слышал) выражение: «Если ты такой умный, чего же ты не такой богатый?» — только я никак не могу его принять в буквальном, прямом смысле: у меня совершенно не тот опыт, прямо обратный. А в переносном смысле звучит, да: если такой ты умный, чего же у тебя так плохо выходит?

Близкий мне пример: если ты такой великий теоретик-критик, чего м ты возишься с такой фигурой — сомнительной — как блатной твой подшефный? А я, прости, вижу ясно, чего фигура стоит на самом деле, как литературный факт — и судить, уж извини, стану не по теории о практике; а по практике — о теории. Поскольку фигуре-то цену вижу: работа такая. Достаточно точно вижу, пусть и не в цифровом выражении...

А несуразица уже, что против практики двинули лозунг, а, главное, лозунгом таким взяли духовность в пику долларовому индексу. А она не лозунг и не вещь, которая так называется, и её можно куда-то двинуть; скорей уж она опыт, качество, которое наживают. Если получится. Да и практика ведь никакой не лозунг подавно, не знамя веры, а именно что практика. Жизнь.

Американцы и книжек не читали, а вон как живут... А мы, дураки... Дураки. Потому ещё, что не понимаем: дураки мы всё-таки

не в этом... Беря грубо, системы были обратно симметричны. И в целом у нас система оказалась самоубийственной, а у них — вообще у нормальных людей — жизнеспособной. И идея делиться передовым опытом социализма на уровне систем в целом, очевидно, странная: вроде как больному поделиться болезнью ради общего самочувствия... Что совсем не значит, будто на других уровнях в иных бесчисленных случаях так уж нечем нам делиться конкретно и нечего беречь для собственного пользования. Пользы. И до советской, и даже при советской власти какая-то тут жизнь всё же шла. И что-то всё-таки своё наживалось тоже.

И не всякий импорт — приобретение. Наше журнальё, как одна мартышка, стало везде пихать слово шокировать — за импортное, англо-американское происхождение — вместо сиволапого потрясать, — и где было два слова в русском языке, стало одно...

Импортировать же институты, очевидно, надо, раз свои искореняли с 17 года. Пересаживать, раз в своё время пересажали... Но с головой, с толком, разбором и понятием, и тут пример с искусством мог бы, наверно, что-то подсказать. И пересаживают всё-таки в землю, на какую-то почву, а не в чёрт-те что. Свежим нашим людям не то что уж совсем невдомёк, но не так ощутимы могут быть под простыми долларовыми заповедями другие американские заповеди, ещё проще:

Надо делать хорошо

И не надо — плохо.

И так-то почва тут — не бей лежачего, как говорится, а стремиться разбить, размесить её вконец в полную трясину специально резкими движениями кажется просто бесхозяйственным... Допустим даже, симметричная нашей земля-территория на той стороне глобуса и есть земля обетованная. Но лезть туда напролом — хороший шанс убедиться, что при таком подходе земля эта обернута к нам изнанкой.

Повсюду свои кочки и ямочки. Своя наука, своя природа, магия, своя необходимость, свои права у фигуры круг, свои — у фигуры квадрат. Похоже, ничего не остаётся, как искать квадратуру круга, которая даже не задача, а задание, занятие. Практическое, для решений в рабочем порядке.

М. Б. Ходорковский. Может быть, я не большой специалист, по-английски плохо говорю, но я всё время работаю с хорошо говорящими переводчиками. Так вот, английский язык для бизнеса очень подходящий. Жёсткая схема, чётко определённые понятия, тут нет

никакой расплывчатости. Если ты на английском составил договор, ты можешь быть твёрдо уверен, что обе стороны поняли его одинаково. Пригоден ли английский язык для других вещей, например для культуры? А там на самом деле три языка. Английский английский, английский американский, и английский-бизнес. Английский английский — это приблизительно 140 тысяч слов. Английский американский — это, говорят, 30 тысяч слов, я не знаю точно, но где-то такой порядок, а вот английский-бизнес — это около 8 тысяч слов. Восемь тысяч слов — и всё. То есть очень комфортный для бизнеса язык.

В. А. Успенский. Чем меньше слов, тем точнее смысл?

М. Б. Ходорковский. Проще. Я бы не сказал точнее — проще. А не требуется слишком большая точность. Требуется унификация понимания. Стандарт. Точности можно было бы достичь учётом оттенков. Это другое. Главное — простота. Поэтому, например, когда мы говорим с бизнес-контрагентами по-английски, я их понимаю, с американцами — почти всё понимаю. Но вот я разговаривал с лордом Ротшильдом. Я его вообще не понимаю. Он говорит по-английски, а я его вообще не понимаю. У него очень богатый лексический запас, и он говорит в общем понятные вещи, но подбирает такой синонимический ряд... И это уже не стандартный бизнес-язык, и я выпадаю вообще, не могу понять. Наследственная культура.

В. А. Успенский. Замечательно читать параллельно набоковские послесловия к английской «Лолите» и к русской «Лолите», в каждом из которых он пишет, что на другом языке всё это немножко по-другому и лучше. То есть в русском послесловии он пишет, что его роман лучше звучит по-английски, а в английском — что роман лучше звучит по-русски. И поэтому русский язык, конечно, терять нельзя.

М. Б. Ходорковский. Русский язык, конечно, терять нельзя. Я считаю, что вообще через 50 лет национальные государства приобретут совершенно иное значение, они будут культурными общностями. А вот с культурными общностями не простимся. И государствообразующими будут другие понятия.

В. Н. Некрасов. Я просто не стал говорить об очевидности, конечно, идиотизма вот такого, вот, прошу прощения, предположения, что: а может, мы язык импортируем?.. Вообще, такая идея сама по себе вызывает серьёзные опасения....

То, что делают журналисты, это ещё не русский язык, прости меня. Это разные языки. А русский язык, конечно, берёт то, чего надо, то, чего не хватает: «триггеры», «компьютеры», например.

Куда деваться? Это нормально. Язык работает с этими словами, осваивает.

Русский народ—это те люди, которые помнят русскую культуру и говорят на русском языке. А иные факторы, вообще говоря, меняются. Если это будет сохраняться, вот эта страна с этим более-менее сознанием, которое базируется не в последнюю очередь на языке и культуре, то не стоит говорить о том, что там будет с русским народом. Ничего такого не будет.

Правда: Господи, оборони от духовного... От разговоров о культуре — подальше. Культура не для разговоров о культуре. От разговоров таких культура бежит, спасается. Что мэр Лужков, что мэтр Глазунов, объявив, что в Америке культуры нет, культуру собственную не то, что оконфузили — уходили. Укокошили.

Культура и бахвальство — две вещи несовместные. Бахвальство культурой — для культуры вещь просто смертоубийственная. Этого не понимать — о какой тогда уж культуре разговоры...

Страна десятилетиями вылезти не могла из насильно навязываемой наглой и жалкой лжи про какое-то небывалое светлое будущее, куда она силком потащит за собой якобы весь мир, и существовала, этот мир шантажируя, завязая глубже и глубже, да ещё без устали при этом всём рекламируя свою якобы зато духовность, культурность. Торгуя духом святым.

Тем не менее, это правда, что хотя бы относительная свобода движений практически могла быть только здесь: на культурном, как говорится, поприще. Только здесь свободу эту можно было хоть как-то отстаивать — хоть под секретом. Свои плоды у этой ненормальности всё-таки усматриваются, в том числе нормальными людьми, из нормальной жизни — только они такие: волшебные. Способные от похвальбы обратиться в пыль.

В. А. Успенский. Утверждается, что поэты создают язык и тем самым сильно, а то и решающим образом влияют на общество. Например, говорится: «Тютчев вернул Россию в Европу». Интересно, что Строуб Тэлбот, ведущий американский эксперт по России и видный член администрации в правление Клинтона, окончил Иельский университет со специализацией именно по Тютчеву. Всё это так. Но всё равно цитированная фраза показалась мне недостаточно обоснованной. Ну, например, да кто там тогда читал этого Тютчева вашего, их всех можно пересчитать. Предлагается такой ответ: правильно, Тютчева никто не читал, кроме каких-то представителей элиты, но его прочли несколько поэтов, образовавших, так сказать, второй ярус, и они написали свои стихи. Стихи поэтов второго яруса

прочли поэты третьего яруса, которых уже было значительно больше. Возникла такая иерархическая структура, разветвляющаяся вниз, где на верхней ступеньке стоит Тютчев, а в самом низу—многочисленные читатели, на которых Тютчев тем самым опосредованно повлиял и вернул их в Европу. Так вот, Всеволод Николаевич, правильна ли эта модель опосредованного воздействия поэта на общество или всё-таки роль поэта преувеличена? Действительно ли Тютчев так сильно повлиял на русскую цивилизацию, на устройство нашего общества или нет?

В. Н. Некрасов. Могу сказать только, что на устройство моих мозгов он здорово повлиял.

Я только не могу согласиться, когда утверждается, что Тютчев — вот это да, а Лермонтов супротив Тютчева, что плотник супротив столяра.

В.А.Успенский. Да нет. Не утверждается, что Лермонтов супротив Тютчева — это ничто; просто утверждается, что Лермонтов не оказал такого влияния на Россию. Поэтически они не сравниваются.

В.Н.Некрасов. Лермонтов оказал другое влияние. Очень большая серьёзная мудрость стоит за школьным таким хрестоматийным опытом, когда парочка портретов висит: Пушкин и Маяковский, Пушкин и Лермонтов. Это не так глупо. Это устоялось не зря. Лермонтов — это потрясающее явление, это коллекция мелодий. Необязательно брать даже и «Демон», не говоря уже о том, что необязательно вообще брать эту романтику Лермонтова. Скорее видно другое, то, что из неё получилось как поэтический факт — остроту лирики зрелой. Это набор мелодий, до того не бывших в русской поэзии. «Анчар» или «Чёрная шаль» у Пушкина — совсем другое дело. У Лермонтова это существо дела, это Лермонтов сам и есть. Это лирика школьная. Она, по меньшей мере, равна какой угодно, хоть «Евгению Онегину».

Аналогично с Маяковским и Хлебниковым. Конечно, Хлебников — это очень интересно, конечно Хлебников — это замечательно. Хлебникова советское культуроведение гнобило, и это безобразие, и давно пора восстановить справедливость. Но её в общем-то восстановили. То есть Хлебников уже давно издан, Хлебникова мы все знаем. Нельзя говорить, что Хлебников — это великий мастер, а Маяковский — это мелкота. Маяковский — величайший революционер в стихе. Только если не бояться этого слова, понимать, что и у него есть свой смысл. В стихе революция была не то, что революция в других местах, она была необходима, она была органична, она была очень продуктивна. Я так думаю, что хоть взять

хоть «Засмейтесь, смехачи», хоть «Крылышкуя», хоть что, а никак этому не уступит, ну, хотя бы «Солнце». Кто ещё так вот речью писал русской? В общем-то, Маяковский останется, конечно, таким же важным реформатором для XX века как для XIX века Пушкин. Они не зря рядышком висят.

О воде живой и воде мёртвой. Вот Пушкин — этой мёртвой водой привёл русский стих в актуальное состояние. Мёртвая вода в сказке — это отнюдь не смерть, это другое. Это скорее именно состоятельность или упорядоченность. А Маяковский дал русскому стиху живую воду.

Теперь вернёмся к Лермонтову. Понимаете, без лермонтовской прозы невозможно представить русскую литературу. Её продолжили непосредственно Толстой и Достоевский особенно, как мы знаем, а это уже бренд-патент, это уже мировые признанные величины, тут говорить нечего. Русский психологический роман! Но дело в том, что лермонтовская проза невозможна без лермонтовских стихов. Профессор российской словесности из Англии, наверное, скажет: «А это Байрон и Шиллер, это мы все знаем!». Но это для него, он по-русски плохо разговаривает. Человек русской культуры, который русский язык, русский стиль знает чётко, ну не может он с этим согласиться. «Выхожу один я на дорогу», «Ночевала тучка золотая», ну что вы, ребята! Это классика самая что ни на есть.

А вот в отношении отбора, сепаратора надо быть очень осторожными. По-моему, слова талант, бездарность — неудачные, неудобные. Сразу запутывают. Талант, дар, даруемый, даваемый кем-то... Очень сомневаюсь в такой диагностике. В принципе. «Вот есть талант, или нету таланта? Скажите сразу...». Не знаю, кто бы взялся сказать сразу... Чур не я. Я-то повидал, как в этом давали маху. Давал и я в том числе.

Выйдет толк или нет — а, вот это другой разговор. Более нормальный. Может быть — да, может быть — нет. Попробуем. Поглядим. Постараемся. Гарантий никаких, ни в ту, ни в другую сторону.

У меня, например, таланта нету и не было. Ранние мои стихи просто отвратные. Бездарные принципиально, безнадёжно. Фальшивые. Не советские, нет. Не в этом дело. Таланта не было, но что-то же было. Не сразу, но удалось же зацепить и вытащить что-то из этого чего-то.

Я хуже скажу — у нас не было таланта... Имея в виду ближайших соседей. У кого учился и кто учился у меня. Взаимно... Но мы старались соображать. И было у нас — что? Трудолюбие? Это вряд ли. Упорство? Теплее, но не совсем. Закоренелый инте-

рес к этому делу — пожалуй, так. Занятно: у кого талант, кто гнал побойчей, броско, — те в дальнейшем от этого дела как-то поотошли. Интерес-то, похоже, и выдохся. И не очень такие бойкие жаловали нашего брата: «формалистов-авангардистов»... Муравьиное копошение — один вундеркинд выразился...

Что талантливых растит партия — тогда все слышали. Что-то не слыхать было, чтобы партия растила толковых...

На деле — когда авангард по делу — он-то и есть свобода. И за своих обезьян отвечать не может. Авангард и есть новые, непривычные возможности преодоления глухих стенок и способы общения с инстанциями. Не универсальные, абсолютные способы — такие существуют ли и в природе? — но они воочию показывают тебе: а ещё, ещё подумай. Не тупей, главное.

Конечно, бывают люди, совсем не расположенные к литературе или живописи, музыке. И просто глупые в чём-то. Это другой разговор. Всё же дары тебе уже даны. Твоё дело с ними обойтись — с какими-то. Какими, как — а ещё, ещё попробуй. Подумай. Может, не тут, а тут? Не так, а так?

Особенно же не годится слово бездарность. По-моему, просто вредное слово, с явно извращённой внутренней формой: я говорю — не без чего-то ходит бездарность, а именно что с чем-то. Чем-то лишним, мягко сказать — необязательным. С шилом в заднице, извините за точное выражение.

И что хошь делайте, никак не могу уверовать в три процента способных при фиксированных девяноста семи безнадёжных. В нашем деле, в искусстве, во всяком случае, проценты способностей способны бывают ого как гулять вверх-вниз по шкале статистики — не то откуда бы тут брались целые эпохи — начать хоть с Возрождения?

Процент способностей, процент предрасположенностей...

А умри Грибоедов в возрасте Лермонтова? Остался бы заурядным водевилистом...

Неужели же это наше дело одно такое исключительно капризное во всей многообразной человеческой природе, в остальном ориентированной жёстко-безоговорочно на достижения передовой американской социо-статистико-психологии?.. С чего бы это ему?..

В.А.Успенский. Насколько я понял, одна из главных поставленных проблем такова: следует или нет импортировать в Россию западные институты, управляющие социально-экономической жизнью, в частности — принятые на Западе принципы управления финансами, экономикой, производством. Но вот, смотрите, эти западные институты импортировали в Африку, и что там получилось? Резня.

М. Б. Ходорковский. Всё дело в уровне образованности населения. Возьмём даже не Африку, а Латинскую Америку, она социально и психологически всё же ближе к нам, чем Африка. Там применение западных (европейских и североамериканских) экономических подходов провалилось. Почему? А потому что низкий уровень образованности. В России уровень образованности довольно высок, и здесь западные принципы должны работать. Поэтому главная задача — поддерживать высокий уровень образованности. Для этого образованию, просвещению следует уделять повышенное внимание. В частности, в бюджете можно экономить на чём угодно, но не на образовании. Ассигнования на образование следует увеличивать.

В. А. Успенский. Но ведь одни только деньги положения не спасут. Надо ещё знать, чему учить. А мы этого не знаем.

М. Б. Ходорковский. Не согласен. Знаем. И вы знаете. ➏

В.А.Успенский. И ведь дело не только в образовании. С 1917 года происходило разрушение генофонда. Имел место отрицательный естественный отбор — впрочем, не очень естественный, — при котором лучшие представители населения уничтожались. В результате имеем то, что имеем.

М. Б. Ходорковский. Отрицательный отбор происходил, но генофонд не нарушен. ➐ Среди тех, кто рождается, процент способных и активных остался на прежнем уровне. Такие рождаются в самых простых семьях. Надежда есть. Она реальна.

Примечания

➊ [к с. 159]. ●▶ Не могу удержаться, чтобы не вспомнить анекдот о неудачниках.

Нью-Йорк, 27-й этаж, обширный угловой кабинет с окнами на две стороны. Собирается конкурсная комиссия, чтобы выбрать единственного кандидата на должность топ-менеджера с очень серьёзным окладом. На столе — грандиозная куча папок, содержащих досье конкурсантов. Комиссия смотрит на неё с ужасом. Председатель разделяет кучу на две неравные части и большую сбрасывает под стол. Члены комиссии выражают недоумение. «А кому нужны лузеры?» — говорит председатель. ◀●

➋ [к с. 161]. ●▶ Слово «народ» вызывает много вопросов.

Уместно вспомнить, что говорил в связи с этим словом великий Готлоб Фреге:

Псевдоимена, по-видимому, даже в большей степени, чем неоднозначные выражения, способствуют демагогическому злоупотреб-

лению языком. «Воля народа» может служить этому хорошим примером: легко можно установить, что у этого выражения нет никакого, по крайней мере общепринятого, значения.

Вот, скажем, считается, что народ имеет право силой свергнуть тираническую власть. Но власть, ежели она не желает свергаться, будет называть тех, кто пытается её свергнуть, не народом, а кучкой безответственных бунтовщиков. Как известно,

Мятеж не может кончиться удачей,

В противном случае его зовут иначе2. ◀●

➌ [к с. 162]. Мировым эфиром называлось предполагаемое вещество, которое заполняет межпланетное пространство и является средой, передающей свет, тепло и гравитацию. В одной из своих гипотез Д. И. Менделеев, допускал, что эфир мог оказаться специфическим состоянием сильно разрежённых газов воздуха. Поскольку эфир легче водорода, то в периодической таблице элементов он входит в особую, нулевую группу. Сам же элемент эфир как не обнаруженный, а всего лишь предполагаемый, Менделеев обозначил символом Х. Свои взгляды на возможную химическую природу эфира Менделеев изложил в брошюре «Попытка химического понимания мирового эфира» (СПб., 1905):

Представляя эфир газом, <...> относящимся к нулевой группе, я стремлюсь прежде всего извлечь из периодического закона то, что он может дать, реально объяснить вещественность и всеобщее распространение эфирного вещества повсюду в природе и его способность проникать во все вещества не только газо- или парообразные, но и твёрдые и жидкие, так как атомы наиболее лёгких элементов, из которых состоят наши обычные вещества, всё же в миллионы раз тяжелее эфирных и, как надо думать, не изменят сильно своих отношений от присутствия столь лёгких атомов, каковы атомы х, или эфирные. Понятно само собой, что

2 Это принадлежащий С. Я. Маршаку перевод эпиграммы английского поэта Джона Харингтона (Sir John Harington, 1561—1612):

Treason doth never prosper:

What's the reason?

Why if it prosper,

None dare call it treason.

Харингтон, кстати, является не только автором мудрой эпиграммы, но изобретателем сливного устройства в отхожем месте (и, главное, автором самой идеи такого устройства).

вопросов является затем и у меня самого целое множество, что на большую часть из них мне кажется невозможным отвечать, и что в изложении своей попытки я не думал ни поднимать их, ни пытаться отвечать на те из них, которые мне кажутся разрешимыми. Писал не для этого свою «попытку», а только для того, чтобы высказаться в таком вопросе, о котором многие, знаю, думают, и о котором надо же начать говорить.

А вот как замечательно Менделеев начинает свой очерк:

Как рыба об лёд, испокон веков билась мысль мудрецов в своём стремлении к единству во всём, т. е. в искании «начала всех начал», но добилась лишь того, что всё же должна признавать нераздельную, однако и не сливаемую, познавательную троицу вечных и самобытных: вещества (материи), силы (энергии) и духа, хотя разграничить их до конца, без явного мистицизма, невозможно. Различение и даже противоположение, ещё нередко встречающееся в виде остатка от Средних веков, лишь материального от духовного или — что того менее обще — лишь покоя от движения, не выдержало пытливости мышления, потому что выражает крайность и, главное, потому, что покоя ни в чём, даже в смерти, найти не удаётся, а духовное мыслимо лишь в абстракте, в действительности же познаётся лишь чрез материально ощущаемое, т. е. в сочетании с веществом и энергиею, которая сама по себе тоже не сознаваема без материи, так как движение требует и предполагает движущееся, которое само по себе лишь мысленно возможно без всякого движения и называется веществом. Ни совершенно слить, ни совершенно отделить, ни представить какие-либо переходные формы для духа, силы и вещества не удаётся никому, кроме явных мистиков и тех крайних, которые не хотят ничего знать ни про что духовное: разум, волю, желания, любовь и самосознание. ◀●

➍ [к с. 167]. ●▶ Ответ Ходорковского вызвал у меня сомнения, но возражать я не стал, заранее соглашаясь с тем, что в этой теме он компетентнее меня. Его подлинный ответ был более развёрнутым. Он тогда сказал примерно следующее: «Вы ведь не стояли рядом с американским конвейером, а я стоял. И видел, как это происходит. Рабочий на каждом месте имеет очень точную инструкцию типа „довернуть такую-то гайку“. Тут никакой квалификации не надо, надо только точно выполнять инструкцию». ◀●

➎ [к с. 167]. ●●▶ Если бы наш разговор шёл в середине лета 2013 года, я привёл бы более удачный, нежели слесарь с кувалдой, пример на тему всесилия знаменитой русской пословицы Сила есть —

ума не надо. Актуальность её была подтверждена 2 июля 2013 года. Стартовавшая в тот день с космодрома Байконур ракета-носитель «Протон-М» с тремя российскими навигационными космическими аппаратами «Глонасс-М» упала на космодром на первой же минуте старта. Причиной стала неправильная установка датчиков угловых скоростей. Вот, что сообщает по этому поводу Лента.ру (http ://lenta.ru/news/2013/07/18/usethefonce/):

Пресс-служба Роскосмоса обнародовала заключение аварийной комиссии, из которого следует то, что все три датчика поставлены при сборке на место вверх ногами с применением силового воздействия. Подробности приведены на сайте федерального космического агентства.

Заключение аварийной комиссии гласит, что ставшие причиной аварии датчики угловой скорости были поставлены на место с разворотом на 180 градусов за счёт силового воздействия.

Воображению читателя предоставим воспроизвести перед глазами картину, как датчики не желали влезать вверх ногами в заготовленные для них пазы, и как их туда запихивали «с применением силового воздействия». Возможно, всё же, обошлось без кувалды. (Возможно, впрочем, что и не обошлось. Вот что сказал по этому поводу подполковник ФСБ в запасе А. А. Ермолин, выступая 26.08.2013 в программе «Арсенал» на радиостанции «Эхо Москвы»: «...Сейчас забивают датчики молотками и „Протоны“ падают» (http://echo. msk.ru/pnognams/ansenal/1142000-echo/).

Интересно было бы узнать, а присутствовала ли на датчиках маркировка, указывающая, каким концом или боком их следует вставлять.

Однако, «разруха не в клозетах, а в головах», как говорил профессор Филипп Филиппович Преображенский доктору Ивану Арнольдовичу Борменталю. Провалы, постигшие российскую космическую отрасль в 2011 году наглядно это демонстрируют. Так, 9 ноября 2011 года потерпел неудачу запуск к Фобосу российской автоматической межпланетной станции Фобос-Грунт, которая должна была сесть на названный спутник Марса, провести там ряд исследований, а затем доставить образцы грунта Фобоса на Землю. Вот что писала по этому поводу известная американская газета Los Angeles Times в своей публикации от 29 ноября 2011 года, озаглавленной «Russia Mars probe failure underlined by successful U.S. launch»:

The $167-million probe, launched Nov. 9, was intended as a major step back into exploration of the deeper cosmos by Russia's

proud space program. It was to land on the Martian moon Phobos next year, pick up samples of dust and deliver them back to Earth. After the probe separated from its main booster rocket, however, its engines failed to fire properly to set it on a path toward Mars, and it didn't respond to signals from ground control. <...>

...Phobos-Ground added to a list of embarrassing space failures over the last year. On Dec. 5, three satellites failed to reach orbit after being erroneously loaded with excess fuel. Then, on Feb. 1, a military satellite failed to reach orbit and lost contact with ground controllers. Another satellite missed its orbit Aug. 18 because of a programming error. Less than a week later, on Aug. 24, the unmanned cargo ship Progress M-12M disintegrated just minutes into a flight to bring supplies and research equipment to the International Space Station. ◀●●

➏ [к с. 174]. ●▶ Я не стал возражать Ходорковкому, оставив несогласие при себе. Но, конечно, я был с ним не согласен. Я не знаю, чему надо учить в школах, помимо счёта и грамоты. Полагаю, что и другие не знают, а те, кто думают, что знает, заблуждаются. ◀●

➐ [к с. 174]. ●▶ И опять я не согласился с Ходорковским, но промолчал. Полагаю, что мнение о разрушении, вследствие репрессий и эмиграции, российского генофонда разделяется многими. Достаточно набрать в каком-нибудь поисковике два слова: «генофонд» и «репрессии». ◀●

Из книги «Что такое аксиоматический метод?»

§1. Что такое аксиомы. — §2. Аксиомы Евклида. — §3. Современный подход к аксиоматизации геометрии: аксиоматика Гильберта. — §15. Аксиомы метрики и аксиомы меры. — Заключительные замечания. — Добавление от декабря 2013 года.

§ 1. Что такое аксиомы

Аксиоматический метод—это такой способ построения какой-либо математической теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории, называемые теоремами, доказываются на основе этих аксиом путём чисто логических рассуждений. Те выражения из предыдущей фразы, которые были выделены курсивом, а именно аксиомы, теоремы и чисто логические рассуждения, будут разъяснены далее.

Начнём с аксиом. Возникают естественные вопросы: что такое аксиомы? откуда они взялись? зачем они нужны? Чтобы ответить на них, нам придётся вступить в области, пограничные между математикой и философией.

В естественных науках многие факты обосновываются экспериментально, т. е. посредством проведения эксперимента (экспериментом называется научно поставленный опыт). Возьмём, например, такой медицинский факт: анальгин производит обезболивающее и жаропонижающее действие. Этот факт обосновывается многочисленными экспериментами: анальгин давали людям, имевшим повышенную температуру или испытывавшим боль, после чего температура у них понижалась, а боль уменьшалась. Или такой ботанический факт: деревья, имеющие хвою, имеют и шишки. Этот факт обосновывается многочисленными наблюдениями над хвой-

В. А. Успенский. Что такое аксиоматический метод?. — 2-е изд., испр. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 95 с.

ными деревьями. Или растворимость поваренной соли в воде — каждый может убедиться в этом на своём собственном опыте. В физике свойство равноускоренности свободного падения неоднократно проверялось открывшим это свойство Галилеем и его современниками.

Другое дело — теоремы геометрии. Предположим, что мы хотим обосновать тот факт, что у двух треугольников, у которых равны две стороны и угол между ними, равны и третьи стороны. Что мы должны делать? Конечно, мы можем поставить опыт: взять какие-либо два треугольника, удовлетворяющие сформулированному требованию, и убедиться в том, что их третьи стороны действительно равны. Однако может ли этот опыт служить достаточным обоснованием интересующего нас факта? А ну как равенство третьих сторон имеет место только для выбранной нами пары треугольников, а для других пар треугольников оно места не имеет? Будем продолжать наши эксперименты и брать всё новые и новые пары треугольников с равными углами, заключёнными между попарно равными сторонами. Каждый раз мы будем убеждаться, что и третьи стороны равны. Но ведь мы всё равно не сможем перебрать все треугольники, а тогда каждый раз будет оставаться сомнение: а вдруг для ещё не рассмотренных нами треугольников равенство третьих сторон не выполняется!

Наши сомнения совершенно законны, и их законность подкрепляется следующим рассуждением. Изменим условия, изначально налагаемые нами на треугольники, и вместо того, чтобы требовать равенства углов, расположенных между попарно равными сторонами, будем требовать равенства углов, прилежащих к соответствующим сторонам. Более точно, рассмотрим такое утверждение: «Пусть у треугольников ABC и А'В'С' сторона AB равна стороне A'B', сторона АС равна стороне А'С' и, кроме того, угол В равен углу В'; тогда сторона ВС равна стороне В'С'». Это утверждение неверно, и мы приглашаем читателя убедиться в этом самостоятельно, найдя противоречащий пример, т. е. пару треугольников, для которой выполнены все условия сформулированного утверждения (они перечислены после слова «пусть»), но не выполнено его заключение (оно сформулировано после слова «тогда»). Однако легко может случиться, что такой противоречащий пример будет найден не сразу, и у многих испробованных пар треугольников, в которых равны углы, прилежащие к равным сторонам, третьи стороны этих треугольников также окажутся равными. А что если противоречащий пример (хотя он на самом деле существует) вовсе

не будет найден? Ведь тогда можно было бы сделать ошибочный вывод, что наше утверждение истинно! Проведённый анализ показывает, что надо быть очень осторожным при применении неполной индукции, т. е. перехода от частных примеров, не исчерпывающих в своей совокупности всех возможных случаев, к утверждениям общего характера.

Здесь у читателя может возникнуть законное недоумение. Ведь упомянутые выше выводы о свойствах анальгина, о наличии шишек у хвойных деревьев, о растворимости соли, о законе свободного падения — все эти выводы сделаны на основе ограниченного числа наблюдений, т. е. на основе той самой неполной индукции, которую мы только что вроде бы отвергли. Да, мы её отвергли — но только как средство для доказательств положений математики. Для естественных наук — таких, как медицина, биология, химия, физика — метод неполной индукции считается вполне приемлемым; более того, им без него не обойтись. Хотя, случается, он подводит. Так, почти 70 лет считалось непреложной истиной, что инертные газы не вступают ни в какие химические реакции и что химические соединения с их участием невозможны (отсюда и название инертные). Это положение было выведено методом неполной индукции. Автор этих строк, которого этой истине обучали в школе, помнит своё ощущение шока, когда в 1962 году было найдено соединение одного из таких газов с другими химическими элементами.

Что же касается математики, то её истины более незыблемы, чем истины медицины или химии, и в математике неполная индукция не работает.

Вернёмся, однако, к теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними. Что же с нею делать? Перед нами выбор: или пытаться доказывать её, опираясь на ранее доказанные утверждения, или объявить её аксиомой, т. е. утверждением, не нуждающимся в доказательстве. Если несколькими строками выше читатель был вправе недоумевать, то теперь он вправе возмутиться. Что значит «объявить аксиомой»? Разве это в нашей власти? Да, в значительной степени в нашей власти, и чуть позже мы попытаемся это объяснить. Если же мы будем доказывать нашу теорему с помощью других, ранее доказанных теорем, а те, другие теоремы — с помощью третьих, и т.д., то ведь всё равно этот процесс не может продолжаться бесконечно. Значит, где-то придётся остановиться, т. е. какие-то предложения уже не доказывать, а принять их за аксиомы.

§ 2. Аксиомы Евклида

Необходимость аксиом была осознана ещё древними греками. Самое знаменитое сочинение мировой математики — написанный в III веке до н. э. древнегреческим математиком Евклидом и охватывающий всю современную ему математику трактат «Начала» — начинается так. Сперва идут определения, а сразу вслед за ними — аксиомы. Аксиомы у Евклида разбиты на два списка. Первый список состоит из пяти предложений, второй — из девяти. Лишь аксиомы второго списка названы в русском переводе трактата аксиомами, аксиомы же первого списка названы постулатами. Говоря о древних текстах, всегда надо точно указывать издание; вот издание, на которое мы здесь ссылаемся: Начала Евклида / Перевод с греческого Д. Д. Мордухай-Болтовского. — Книги I—VI. — М.—Л.: Гостехиздат, 1948. Приведём полностью постулаты и аксиомы из этого издания. Слова в квадратных скобках добавлены нами для ясности.

Постулаты

Допустим:

1. Что из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то, неограниченно продолженные, эти прямые встретятся с той стороны, где [внутренние] углы [в сумме] меньше двух прямых [углов].

Аксиомы

1. Равные одному и тому же равны между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые [т. е. суммы] будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства.

Возникает естественный вопрос, почему одни предложения названы постулатами, а другие — аксиомами. Вопрос этот достаточно сложен. На примере приведённых двух списков можно увидеть некое различие между значениями слов «аксиома» и «постулат» — но различие столь тонкое, что нам, для целей нашего изложения, нет нужды принимать его во внимание; к тому же это различие не всегда ясно прослеживается. В современном языке термины «аксиома» и «постулат» считаются синонимами. Например, пятый постулат Евклида часто называют аксиомой о параллельных. (В более строгой терминологии аксиомой о параллельных называется другое утверждение, а именно такое: через точку, лежащую вне заданной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной исходной. Это утверждение оказывается равносильным пятому постулату.) Мы тоже будем считать термины «аксиома» и «постулат» синонимами, а если и будем называть одни формулировки Евклида постулатами, а другие — аксиомами, то только потому, что у них такое исторически сложившееся название.

Кроме того, надо иметь в виду следующее. Текст Евклидовых «Начал», как и подавляющее большинство других древних текстов, не сохранился в виде рукописи, написанной самим автором. До наших дней дошли лишь копии, причём копии, сделанные не с оригинального манускрипта, а с других копий. Изготовление таких копий требовало достаточно высокой, по тем временам, математической квалификации, и этот высокий уровень древних переписчиков и издателей имел свою оборотную сторону: иногда они «улучшали» и дополняли Евклида — в особенности же по части постулатов и аксиом. Поэтому некоторые учёные полагают, что не все те аксиомы и постулаты, которые приводятся в современных изданиях «Начал», действительно присутствовали в исходном тексте Евклида. Некоторые даже считают, что у Евклида вовсе не было аксиом второго списка (они-то и называются в переводах аксиомами), а из пяти постулатов первого списка Евклиду принадлежало лишь первые три. А некоторые публикаторы, оставляя в списке постулатов первые три, оставшиеся два переносят в аксиомы; они же добавляют в аксиомы ещё одну: «И если от неравных отнимаются равные, то остатки будут не равны». Всего тогда в списке оказывается 12 аксиом, среди которых аксиома о параллельных — предпоследняя, отчего её иногда называют одиннадцатой аксиомой.

Мы привели постулаты и аксиомы Евклида по двум причинам. Во-первых, интересно посмотреть, как формулировали свои мысли математики далёкого прошлого. Во-вторых, поучительно сравнить

формулировки Евклида с современными формулировками аксиом геометрии.

Но сперва четыре замечания о Евклидовых формулировках.

Замечание 1. Принято считать, что когда Евклид говорит о равенстве геометрических фигур, он имеет в виду их равновеликость. А девятая аксиома Евклида отражает тот факт, что через две точки может проходить только одна прямая, т. е. что для двух прямых р и q невозможно расположение, показанное на рисунке (если бы такое расположение было возможно, Евклид сказал бы, что линии р и q «содержат пространство» — а именно то «пространство», которое заштриховано на рисунке).

Девятая аксиома Евклида утверждает невозможность такого взаимного расположения прямых р и q.

Замечание 2. Некоторые из аксиом (например, 8-я) не используются Евклидом в его последующем изложении.

Замечание 3. Напротив, изложение Евклида опирается на некоторые положения, не входящие в списки постулатов и аксиом. Так, бросается в глаза, что в эти списки не входят аксиомы стереометрии, хотя теоремы стереометрии в трактате Евклида имеются. Но даже если ограничиться теоремами планиметрии, то Евклид часто опирается не только на аксиомы, но и на непосредственную геометрическую наглядность. Например, в аксиомах Евклида ничего не говорится о таких важных геометрических понятиях, как 'располагаться между', 'располагаться по одну сторону' и т. п., хотя использование этих понятий необходимо при доказательстве многих теорем.

Замечание 4. Некоторые формулировки при внимательном анализе оказываются неполными или непонятными. Но, может быть, всё дело в том, что мы пока ничего не сказали об определениях Евклида? Может быть, если принять во внимание определения, формулировки станут полными и понятными? Обратимся к определениям.

Как мы отметили ранее, трактат Евклида начинается с определений. Вот некоторые из них.

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же—длина без ширины.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

7. Плоская же поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.

С современной точки зрения это всё не определения таких понятий, как 'точка', 'линия', 'прямая', 'поверхность', 'плоскость', а всего лишь пояснения этих понятий.

Впрочем, у Евклида встречаются и такие формулировки, которые следует признать определениями и с современной точки зрения. Таково, например, его 10-е определение, в котором определяются понятия 'прямой угол' и 'перпендикуляр':

10. Когда же прямая, восставленная на другой прямой, образует рядом [смежные] углы, равные между собой, то каждый из [этих] равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.

Меньше всего, однако, мы хотели бы создать впечатление, что Евклид и другие древние авторы заслуживают лишь критики или снисходительного похлопывания по плечу: вот, дескать, какие у них неточные и примитивные формулировки, только в отдельных случаях поднимающиеся до нашего просвещённого уровня! Совсем наоборот, достойно удивления и восхищения то обстоятельство, что более двух тысяч лет назад мыслящие люди ставили перед собою задачу заложить логический фундамент математики (и блестяще решили эту задачу!). Этот факт служит опровержением известного тезиса, что движущей силой развития науки являются исключительно практические потребности: ведь и уровень строгости, и само содержание трактата Евклида далеко превосходили практические потребности того времени. Что же касается формулировок, которые кажутся нам сейчас странными, расплывчатыми, устаревшими, то такими же (или даже худшими) покажутся, надо думать, современные формулировки нашим потомкам — причём не через две тысячи лет, а много раньше, потому что человеческая цивилизация эволюционирует с ускорением.

§ 3. Современный подход к аксиоматизации геометрии: аксиоматика Гильберта

В названии этого параграфа два учёных слова: «аксиоматика» и «аксиоматизация». Аксиоматика, или аксиоматическая система, — это то же самое, что система аксиом. А аксиоматизация какой-либо теории — это процесс создания аксиоматики для этой теории.

Только что мы познакомились с древнейшей аксиоматической системой — системой геометрических аксиом (куда мы включаем и постулаты!) Евклида. Посмотрим теперь, как устроены современные системы аксиом геометрии. Мы сделаем это на примере наиболее известной из таких систем. Она была создана на рубеже XIX и XX веков великим немецким математиком Давидом Гильбертом и называется поэтому системой аксиом Гильберта. На этом примере мы сможем увидеть и проанализировать многие свойства, характерные для аксиоматических систем вообще.

Чтобы устройство системы аксиом Гильберта, да и любой системы аксиом геометрии, было более понятным, — важное предварительное замечание. В аксиомах геометрии встречаются те или иные геометрические понятия — такие, как, например, 'угол' (для обозначения понятий принято использовать так называемые одинарные кавычки — такие, какими мы только что окружили слово «угол»). Чтобы понимать смысл аксиомы, мы должны иметь представление о смысле участвующих в аксиомах понятий — говоря попросту, понимать, что эти понятия означают. Но как можно составить представление о том или ином понятии? Есть два основных способа, один из которых мы условно назовём наглядным, а другой, столь же условно, дефиниционным (от латинского существительного «definitio», произносимого как «дэфинйцио» и переводящегося на русский как «определение»).

При наглядном способе понятие усваивается на примерах, при дефиниционном — с помощью определений. Скажем, усвоение понятий 'стол' и 'корова' происходит на основе того, что человеку показывают достаточное количество столов и коров. Таким же наглядным способом могут усваиваться и понятия, выражающие свойства, такие, например, как 'металлический' или 'фиолетовый'; для этого нужно предъявить достаточное количество металлических предметов и предметов фиолетовой окраски. Аналогичным образом человек обучается понятиям, выражающим положение в пространстве одних предметов относительно других, таких как 'слева от', 'справа от', 'спереди', 'сзади', 'над', 'под', 'на', 'в', 'между' и т. п.

А вот представление о понятиях 'металлический стол' или 'фиолетовая корова' можно получить, и не прибегая к примерам (в случае фиолетовой коровы это было бы и затруднительно). Здесь годится способ дефиниционный. Понятия 'металлический стол' и 'фиолетовая корова' можно не показать, а определить: металлический стол — это такой стол, который является металлическим; фиолетовая корова — это такая корова, которая является фиолетовой.

Наглядным способом происходит и первое знакомство с такими математическими понятиями, как, скажем, шар или прямая. Однако здесь надо проявить осторожность и понимать, что арбуз в меньшей степени шар, чем волейбольный мяч, а мяч — в меньшей степени шар, чем биллиардный шар или шарик подшипника: ведь, строго говоря, геометрических шаров в природе не бывает, а бывают лишь предметы, приближающиеся по форме к геометрическому шару. С прямыми дело обстоит ещё сложнее: ведь прямая бесконечна, а все примеры, которые мы можем предъявить, будь то линия, начерченная на песке или бумаге, или натянутая нить, или граница между стеной и потолком — все они демонстрируют нам (опять-таки, разумеется, приблизительно) лишь ограниченные, конечные участки прямых линий, т. е. то, что на языке современной геометрии называется отрезками. Отметим, что в трактате Евклида термин «прямая» обозначает не всю бесконечную прямую линию, а именно отрезок. Представление о бесконечности было, по-видимому, чуждо античной математике. Например, утверждение о бесконечности множества простых чисел выглядит у Евклида так: простых чисел больше, чем в любом предъявленном списке таковых (предложение 20 книги IX «Начал»). Для возникновения представления о бесконечной прямой одного только наглядного способа недостаточно — требуется ещё воображение. От зарождения геометрии прошли тысячелетия, пока люди осознали, что мы не можем непосредственно наблюдать точки, прямые, плоскости, углы, шары и прочие геометрические объекты и потому предметом геометрии служит не реальный мир, а мир воображаемый, который населён этими идеальными геометрическими объектами и который всего лишь похож на мир реальный (как говорят философы, является отражением реального мира).

Таким образом, к геометрическим понятиям наглядный способ применим лишь с оговорками. Посмотрим, как работает дефиниционный способ. Возьмём для примера понятие угла. Можно объяснять это понятие, демонстрируя конкретные углы, т. е. применяя наглядный способ. А можно воспользоваться способом дефиниционным, т. е. попытаться определить, что такое угол. Вот определение: угол есть

совокупность (другими словами — множество) двух лучей, исходящих из одной и той же точки О. Но тогда надо знать, что такое «луч, исходящий из точки О». Это понятие, в свою очередь, определяется как множество, состоящее из самой этой точки О и всех точек, расположенных по одну и ту же сторону от этой точки. Но что значит, что две точки лежат «по одну и ту же сторону» от точки О? Это значит, что эти две точки и точка О лежат на одной и той же прямой, причём так, что точка О не находится между этими двумя точками. Но тогда мы должны сперва знать, что означает, что одна точка находится «между» двумя другими.

Итак, при дефиниционном способе одни понятия определяются через другие, другие через третьи, и т. д. Но ведь мы не можем продолжать этот процесс бесконечно. А значит, на каких-то геометрических понятиях мы вынуждены остановиться и далее их не определять. Эти понятия, которые уже не имеют определения, называют неопределяемыми или исходными. Но если исходные понятия не могут быть определены, то, спрашивается, откуда же мы можем знать, что они означают? Казалось бы, ответ очевиден: мы должны использовать наглядный способ и познать эти понятия из непосредственного опыта, иными словами — усвоить их на примерах. Однако несколькими строками выше было отмечено, что на примерах можно получить хотя и близкое, но всё-таки лишь приблизительное представление о том или ином геометрическом понятии. А математика — наука точная, приблизительность ей не к лицу, и математик должен совершенно точно знать, с каким именно понятием он оперирует. Вроде бы возник тупик. Аксиоматический метод как раз и предлагает выход из этого тупика.

Чтобы понять этот выход, ещё раз осмыслим встающую перед нами проблему. Мы хотим рассуждать о некоторых понятиях, причём рассуждать совершенно точно. Но точности наших рассуждений мешает то обстоятельство, что эти понятия не имеют определений. Тогда поступим так. Попытаемся выписать основные свойства этих понятий, а именно те свойства, на которые мы будем опираться в наших рассуждениях. Дадим себе обещание не использовать в рассуждениях никаких иных свойств, кроме тех, которые внесены нами в наш список основных свойств. Каждый отдельный элемент списка, в котором фиксированы какие-то определённые свойства рассматриваемых понятий, будем называть аксиомой, сам же список — системой аксиом. Рассуждения же, которые не опираются ни на какие свойства понятий, кроме явно указанных в аксиомах, — это и есть те самые чисто логические рассуждения, которые упоминались в начале § 1.

Очевидно, что построению системы аксиом должно предшествовать составление перечня исходных, или неопределяемых, понятий. Надо подчеркнуть, что составление такого перечня во многих чертах произвольно и зависит от вкуса составителя. Например, можно взять за исходное понятие понятие отрезка (как это по существу и делает Евклид) и с его помощью определять понятие прямой, а можно, напротив, взять за исходное понятие понятие прямой (как это и делается в большинстве современных аксиоматических систем), а через него уже определять понятие отрезка. Говоря о трёх точках О, А, В некоторой прямой, мы определили (см. выше) понятие 'лежать по одну сторону от О' через понятие 'находиться между А и В'. А могли бы наоборот, следующим образом определить второе понятие через первое: 'точка Q находится между точками А и В' означает, что А и В не лежат по одну сторону от Q. Таким образом, по желанию составителя системы аксиом геометрии в качестве исходного можно принять одно из двух понятий: 'находиться между' или 'лежать по одну сторону'.

Для своей системы аксиом геометрии Гильберт выбирает восемь исходных, или неопределяемых, понятий: точка, прямая, плоскость, отношение связи точки и прямой, отношение связи точки и плоскости, отношение 'находиться между' (для точек), отношение равенства отрезков, отношение равенства углов. Список же своих аксиом он для удобства изложения разбивает на группы.

Гильбертовы аксиомы первой группы говорят о способах, которыми прямые и плоскости связываются, или соединяются, или сочетаются, с точками. Поэтому их называют аксиомами связи, или аксиомами соединения, или аксиомами сочетания. Наглядно мы себе представляем, что значит, что какая-то точка лежит на какой-то прямой или на какой-то плоскости. Это соотношение между точкой А и прямой или плоскостью р словесно можно выразить по-разному: «А лежит на р», «р проходит через А», «А соединяется (сочетается) с р». Все эти взятые в кавычки обороты синонимичны, они выражают один и тот же факт. Таким образом, слова разные, а понятие одно и то же; его можно называть и 'соединяться', и 'сочетаться', и 'лежать на', и 'проходить через'.

В обычной, «школьной», геометрии прямая рассматривается как множество точек. В аксиоматической геометрии прямые — это просто такие особые вещи, некоторые из которых связаны (соединяются, сочетаются и т.д.) с некоторыми другими вещами, точками. Но каждой прямой отвечает множество точек, лежащих на этой прямой. Вместо того, чтобы говорить длинно «точка А принадлежит мно-

жеству точек, лежащих на прямой р» говорят короче: «точка А принадлежит прямой р» (и эта фраза выражает то же, что и фраза «р проходит через A»). Аналогично, фразу «точка А принадлежит множеству точек, лежащих на плоскости π» сокращают до фразы: «точка А принадлежит плоскости π» (и эта фраза выражает то же, что и фраза «π проходит через A»). Поэтому отношения связи называют также отношениями принадлежности, а аксиомы связи — аксиомами принадлежности.

§ 15. Аксиомы метрики и аксиомы меры

Знаете ли Вы, уважаемый читатель, что такое расстояние между двумя точками? Ну конечно же, знаете — это знают все: надо соединить эти точки отрезком и измерить его длину. Очень хорошо. Значит, когда говорят, что от Москвы до Владивостока столько-то километров, мысленно соединяют эти города отрезком прямой... Нет, тут что-то не так: ведь ввиду шарообразности Земли этот отрезок пройдёт под землёй. А расстояния между городами всё-таки измеряются по поверхности Земли. Значит, расстояние между Москвой и Владивостоком надо мерить так: натянуть между этими двумя городами нитку по глобусу, измерить её длину и затем умножить на масштаб. На более научном языке тот же способ излагается так: находим дугу большого круга, соединяющую Москву и Владивосток, и измеряем её. (Для простоты изложения мы принимаем, что Земля — это в точности шар; именно тогда можно говорить о «больших кругах», т. е. о тех окружностях на поверхности Земли, центры которых совпадают с центром Земли.) Допустим, что мы нашли расстояние между нашими городами именно таким способом (можно даже внести поправку на отклонение формы Земли от шара). Но если мы теперь откроем железнодорожный справочник, то мы увидим совсем другое расстояние — и это понятно, поскольку там расстояние указывается в километрах железнодорожного пути. А в справочнике автомобильных дорог — ещё одно расстояние, в километрах автодорог1.

Итак, мы обнаружили четыре разных расстояния между Москвой и Владивостоком. Которое же из них истинное? А ведь есть

1 Впрочем, существует ли автомобильная дорога от Москвы до Владивостока, да ещё включённая в справочник — это автору не известно.

ещё и другие способы измерения расстояния. Всем известно, что капитаны добрых старых времён измеряли путь по пучинам вод не иначе, как количеством выкуренных трубок. Вот более серьёзный пример: представим себе неоднородное прозрачное вещество, внутри которого распространяется свет. Тогда расстояние между двумя точками уместно измерять временем прохождения света от одной точки до другой, и это время будет зависеть не только от геометрического расстояния между точками, но и от меняющихся на его пути оптических свойств среды.

Повторим вопрос: какой же из способов измерения расстояния приводит к истинному расстоянию? Ответ: все. Просто мы имеем дело с разными представлениями о расстоянии или, как говорят, с разными метриками.

Вот, скажем, в случае Москвы и Владивостока мы имели четыре разные метрики: 1) евклидову метрику, когда расстояние между двумя точками пространства измеряется длиной соединяющего их отрезка, пусть даже и протыкающего насквозь нашу планету; 2) сферическую метрику, когда расстояние между двумя точками мерится по поверхности сферы; 3) железнодорожную метрику, когда расстояние между двумя точками измеряется длиною рельсового пути между ними; 4) автомобильную метрику, когда расстояние измеряется длиной автомобильного пути.

А давайте подумаем, можно ли расстояние между двумя точками туристского маршрута измерять временем перехода. Если мы так сделаем, то расстояние от точки А, лежащей под горой, до точки В, расположенной на горе, может оказаться больше, чем расстояние от В до А, что как-то нехорошо. (По той же причине нельзя мерить расстояние количеством затраченного топлива.) В наших предыдущих примерах такого неприятного эффекта не наблюдалось, и расстояние было симметричным. А вот между площадями Москвы измерять расстояние при помощи пробега автомобиля нельзя: такое расстояние оказалось бы несимметричным (ввиду наличия улиц с односторонним движением и вызванной этим необходимости объездов).

Можно попытаться выделить те свойства, которые присущи всем мыслимым способам измерения расстояния. Таких свойства оказалось четыре. Во-первых, расстояние является действительным числом, и это число не может быть отрицательным. Во-вторых, расстояние от любого места до этого же самого места равно нулю, а расстояние между различными местами не может быть равно нулю. В-третьих, расстояние от одного места до второго должно быть равно расстоянию от второго места до первого (свойство симметричности расстояния).

В-четвёртых, мы не можем сократить расстояние от А до В, если по дороге зайдём в пункт С. Все эти свойства оформляются в виде так называемых аксиом метрики. А метрикой называется функция, относящая двум объектам расстояние между ними.

<...> Итак, мы познакомились с различными способами измерения расстояния; все они подчиняются аксиоматике метрики. Но бывают и совсем другие измерения. Так, размер комнаты обычно измеряют площадью её пола. Однако если нужно клеить обои, то важнее другое измерение — площадь стен. Немаловажное значение имеет и объём комнаты. Когда перемещают товар, то иногда его мерят по весу (столько-то тонн угля), иногда по объёму (столько-то кубометров газа), а в иных случаях — скажем, при таможенных расчётах — и по стоимости (на такую-то сумму денег). А сельскохозяйственные угодья можно измерять количеством снимаемого урожая. Все эти способы подчиняются аксиомам меры.

Представим себе, что у нас есть нечто, что может делиться на части. Это может быть проволока, или жилой фонд, или какой-то товар, или лесной массив. Далее, каждой части мы относим некоторое число, называемое мерой этой части. Например, в случае проволоки мерой части, т. е. куска проволоки, может служить её длина или вес — но мы должны остановиться на одном из этих вариантов. В случае жилого фонда часть состоит из какого-то количества комнат или квартир, а мерой может служить или, как обычно, площадь, или, скажем, объём (что на практике, кажется, не встречается). В случае товара мерой части может служить или её вес, или объём, или цена — но, конечно, мы должны выбрать что-нибудь одно. В случае леса частями являются его участки, а мерой может служить количество кубометров вырубленной на нём древесины — или, что более приятно в экологическом отношении, цена, вырученная за собранные на этом участке шишки.

Во всех этих случаях мера каждой части есть неотрицательное действительное число. Очевидны основные свойства меры. Ну, например, мера пустой части должна быть равна нулю. Но это не главное свойство меры. Главное свойство меры состоит в её аддитивности. Это значит, что при сложении частей меры должны тоже складываться; разумеется, слагаемые части должны при этом не перекрываться. Достаточно потребовать, чтобы это правило действовало для сложения двух частей, т. е. чтобы выполнялось следующее: если две неперекрывающиеся части соединяются в одну, то мера образовавшейся суммарной части должна быть равна сумме мер тех двух частей, из которых эта суммарная часть составлена. А тогда

это свойство аддитивности будет автоматически распространяться на сложение любого конечного числа неперекрывающихся частей. Действительно, меру части, полученной слиянием частей A, В и С, можно вычислить так: сперва объединить A и В, мера объединённой части будет равна сумме мер частей А и В; а затем к этой объединённой части присоединить С; в результате окажется, что результирующая мера равна сумме мер всех трёх частей. И так — для сложения любого конечного числа частей. Поэтому изложенный вариант свойства аддитивности называется свойством конечной аддитивности.

Однако для развития теории меры свойство конечной аддитивности часто оказывается недостаточным, а востребованным оказывается его обобщение на случай бесконечного числа слагаемых. Чтобы мы имели дело с полноценной мерой, нужно чтобы выполнялось следующее правило счётной аддитивности: если A1, A2, A3, . . ., Аn, ... есть последовательность неперекрывающихся частей и мы соединили их всех в новую часть, то мера этой образовавшейся суммарной части равна сумме ряда, составленного из мер всех отдельных членов нашей последовательности. Заметим, что свойство конечной аддитивности вытекает из свойства счётной аддитивности. Это обосновывается следующим простым рассуждением. Сумма двух частей A и В равна сумме членов бесконечной последовательности, у которой первые два члена совпадают соответственно с A и В, а остальные члены совпадают с пустой частью. Составленный из мер числовой ряд будет выглядеть так: мера части A плюс мера части В плюс нули, нули, нули... Сумма этого ряда как раз и будет равна сумме мер частей А и В.

Мы уже почти готовы дать точное определение меры. Чтобы перейти на математический уровень, вместо слова «часть» будем говорить слово «подмножество». Когда говорят о подмножествах, всегда имеют в виду некоторое универсальное множество, чьими частями и являются рассматриваемые подмножества. В случае проволоки таким множеством будет множество её точек; это если игнорировать её толщину. (А если не игнорировать — множество линейных координат поперечных срезов; линейная координата — это расстояние от начала проволоки до среза.) Всякий кусок проволоки можно рассматривать как подмножество такого множества. В случае жилого фонда универсальным множеством будет множество всех точек пространства, принадлежащих включённым в этот фонд комнатам и квартирам. В случае товара универсальным множеством служит множество всех единиц, из которых состоит товар. Например,

в случае мебели — это предметы мебели, а в случае угля или газа — материальные точки, т. е. мельчайшие частицы, из которых состоит топливо. В случае лесного массива универсальным множеством можно считать множество принадлежащих этому массиву деревьев.

Перед окончательным определением — ещё два примера.

Представим себе пространство, заполненное материальными телами, имеющими массу; тогда, очевидно, имеет смысл говорить о суммарной массе, заключённой в данном объёме пространства, — а более общо, в данном множестве точек пространства. Мы получаем функцию, относящую некоторым множествам точек пространства их (множеств) массу. Эта функция является мерой. Универсальное множество здесь — множество всех точек пространства.

Другой пример — с тем же универсальным множеством. Поставим в соответствие данному объёму пространства вероятность того, что интересующее нас событие происходит именно в пределах этого объёма. Более общо, припишем некоторым множествам вероятность того, что событие происходит в одной из точек этого множества. Функция, относящая множеству соответствующую вероятность, является мерой. Этот простой пример позволяет понять, почему вся современная теория вероятностей (следуя высказанному в начале 30-х годов предложению великого математика Колмогорова) имеет своим фундаментом теорию меры.

Мера есть функция, аргументами которой служат подмножества универсального множества. Не предполагается, что мера есть у всякого подмножества; те подмножества, у которых она есть, называются измеримыми. Скажем, в случае товара, при измерении его по стоимости, не всякое собрание единиц этого товара можно считать товаром, имеющим стоимость. Даже газ должен поступать достаточно компактными объёмами; если мы, скажем, мысленно отберём в рассматриваемую часть каждую десятую молекулу газа, то полученное подмножество молекул будет слишком разрежённым, чтобы признать его частью того самого газа — не в физическом, а в потребительском смысле.

<...> В аксиоматиках метрики и меры участвовало, помимо исходных (неопределяемых) понятий этих аксиоматик, также и понятие действительного числа. <...> Возможны два подхода к введению в рассмотрение действительных чисел. При одном подходе мы их строим (используя в качестве строительного материала натуральные числа), при другом — определяем аксиоматически. Если мы выбираем второй подход, то в систему аксиом как метрики, так и меры должны быть включены и аксиомы действительных чисел.

Заключительные замечания

Во всех рассмотренных нами системах аксиом свободно употреблялись понятия множества, функции и натурального числа. Иногда эти понятия были упрятаны внутрь других. Так, использовавшееся понятие последовательности содержит внутри себя понятия натурального числа и функции: ведь последовательность это не что иное, как функция, определённая на натуральном ряду. Мы не включали понятия множества, функции и натурального числа в наши списки исходных, неопределяемых понятий на том основании, что относили их к тому языку, на котором мы разговариваем. Точнее сказать — к логике этого языка. Однако пользование логикой — а лучше сказать тем, что мы считаем логикой, — языка без каких-либо ограничений приводит к парадоксам. Удивляться этому особенно не приходится, потому что ведь логика языка возникла и развивалась, исходя, прежде всего, из бытовой практики, а потом уже стала, не вполне законно, применяться к сложным математическим образованиям.

Мы оказали бы дурную услугу читателю, призвав его усомниться в существовании натуральных чисел. Но всё же полезно задуматься над тем, что значит, что существует какое-нибудь очень большое число — например, число, превосходящее количество элементарных частиц в видимой Вселенной. А существование натурального ряда — т. е. совокупности всех натуральных чисел — вызывает ещё больше непростых философских вопросов.

Можно потребовать, чтобы и такие фундаментальные понятия математики, как понятия множества и натурального числа, определялись аксиоматически. Однако задача аксиоматического определения фундаментальных понятий таит в себе ловушки и опасности. Это уже совершенно другая и более сложная тема, относящаяся к компетенции математической логики.

Добавление от декабря 2013 года

Бывает, однако, и так, что одна только постановка задачи о создании системы аксиом для какой-либо отрасли знания встречается в штыки. Подтвердим сказанное эпизодом из истории математики.

Три математика играли в этом эпизоде главные роли. Это Давид Гильберт (David Hilbert, 23.01.1862—14.02.1943)—немецкий математик-универсал, внёсший значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910—1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) Гильберт был признанным мировым лидером математиков (так его характеризует русскоязычная версия Википедии). Это Андрей Андреевич Марков-старший (2(14).06.1856—20.07.1922) — выдающийся российский математик, один из классиков теории вероятностей, в каковой ему принадлежит понятие марковской цепи и соответствующей теории; отец Андрея Андрееича Маркова-младшего (9(22).09.1903—11.10.1979), также выдающегося математика и также классика, но в другой области — в математической логике и в теории алгоритмов. И это Андрей Николаевич Колмогоров (12(25). 04.1903—20.10.1987) — один из крупнейших математиков XX века, в отдельные годы многими воспринимавшийся как первый математик мира. (Когда выдающийся бельгийский математик Пьер Делинь, впоследствии виконт, приехал в Россию и увидел Колмогорова, он сказал: «Это как если бы я увидел живого Пуанкаре».)

Теперь послушаем рассказ петербургского академика-математика Владимира Ивановича Смирнова (1887—1974), чьё имя носит сейчас НИИ математики и механики Санкт-Петербургского государственного университета. В 1907—1909 годах он был студентом этого (в те годы Императорского Санкт-Петербургского) университета.

А знаете, у кого я слушал курс теории вероятностей? У самого Андрея Андреевича Маркова (старшего). О, это был человек крутого нрава! Он начал свою первую лекцию так: «Господа! Некто Гильберт недавно выдвинул перед математиками всего мира 23 задачи, объявив их почему-то наиболее важными. И среди них имелось предложение переделать теорию вероятностей на аксиоматической основе. К сожалению, наше математическое общество сочло возможным согласиться с господином Гильбертом и рекомендовало вниманию своих членов все без исключения придуманные им задачи. В знак протеста я немедленно вышел из этого общества!». Здесь Андрей Андреевич медленно обвёл

глазами аудиторию и, немного помолчав, сказал: «А теперь приступим к делу».

(В. В. Новожилов. «Воспоминания. В. И. Смирнов» // Вопросы механики сплошной среды. — Л.: Судостроение, 1989. — С. 384—385.)

А теперь посмотрим, что пишет Википедия:

Проблемы Гильберта — список из 23 кардинальных проблем математики, представленный Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году2. Тогда эти проблемы (охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, группы Ли, вещественный и комплексный анализ, дифференциальные уравнения, математическую физику и теорию вероятностей, а также вариационное исчисление) не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё две не являются корректными математическими проблемами (одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, другая, далёкая от решения, — физическая, а не математическая). Из оставшихся пяти проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

Каждой из 23 проблем Гильберт посвятил особый раздел своего текста. «Предложение переделать теорию вероятностей на аксиоматической основе», коего негодующим упоминанием открыл свой курс лекций А. А. Марков, вошло как часть в Шестую проблему; посвящённый ей раздел озаглавлен «Математическое изложение аксиом физики». Воспроизведём первый абзац этого раздела:

С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика.

(Проблемы Гильберта: Сборник / Под общ. ред. П. С. Александрова. — М.: Физматлит, 1969. — С. 34.)

Задача математического изложения аксиом физики (без теории вероятностей, которую вскоре из физики исключили) была признана слишком расплывчатой и, вообще, не относящейся к математике.

2 Доклад Гильберта назывался «Математические проблемы» и состоялся 8 августа. — В. У.

Что же касается попыток аксиоматизировать теорию вероятностей, то таковые стали появляться с начала XX века. Первая аксиоматическая система для теории вероятностей принадлежит Сергею Натановичу Бернштейну (1880—1968), одному из крупнейших российских3 математиков XX века4. Общепринятой в настоящее время аксиоматикой для математического описания теории вероятностей является аксиоматика Колмогорова, составленная в рамках теоретико-множественной концепции. Её первоначальный вариант был предложен её автором в статье 1929 года5, окончательная версия — в книге «Основные понятия теории вероятностей», написанной Колмогоровым на немецком языке и вышедшей в Берлине в 1933 году6. Эта 62-страничная книга постепенно произвела революцию в теории вероятностей, уложив её в рамки теоретико-множественной концепции при полном сохранении связи с действительностью7. Тем самым аксиоматика Колмогорова позволила придать теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

3 Возможно, более справедливым было бы не ограничивать словом «российских» значение Бернштейна в математике.

4 С. Н. Бернштейн. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей II Сообщения Харьковского математического общества. — Т. 15. — Харьков, 1917. — С. 209—274; С. И. Бернштейн. Теория вероятностей. — 4-е изд., доп. — М.—Л.: Гостехиздат, 1946.

5 А. И. Колмогоров. Общая теория меры и исчисление вероятностей // Труды Коммунистической академии. Математика. — Т. 1. — М., 1929. — С. 8—21.

6 A. Kolmogoroff. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. — Berlin: Julius Springer, 1933. — 62 s. На русском языке книга впервые вышла в 1936 году и впоследствии переиздавалась на русском и других языках.

7 Отрыв от действительности был бы неприемлем для Колмогорова, о чём свидетельствует его фраза из письма к знаменитому французскому математику Фреше (Maurice René Fréchet, 1878—1973) от 3 августа 1939 года:

Вы правы, приписывая мне мнение, что формальная аксиоматизация должна быть сопровождаема анализом её реального смысла.

(http://www.probabilityandfinance.com/articles/04.pdf. — Appendix A.2. — P. 66.)

Заметим, что § 2 главы I колмогоровских оснований теории вероятностей озаглавлен «Отношение к данным опыта».

Колмогоров

Колмогоров Андрей Николаевич, р. 25.04.1903 н. ст. (12.04.1903 ст. ст.) в Тамбове, ум. 20.10.1987 в Москве, — российский учёный, оказавший влияние на развитие ряда разделов математики (в том числе математической логики), её философии, методологии, истории и преподавания, а также внёсший значительный вклад в кибернетику, информатику, логику, лингвистику, историческую науку, гидродинамику, небесную механику, метеорологию, теорию стрельбы и теорию стиха. Действительный член Академии наук СССР (1939); почётный член многих зарубежных академий и научных обществ.

Колмогоров окончил Физико-математический факультет Московского университета (1925) и аспирантуру там же (1929); во время обучения был учеником Н. Н. Лузина. Первые научные работы — одну по истории Новгорода (опубликована в 1994 году) и другую, математическую (опубликована в 1987 году), — выполнил в январе 1921 года. Первая научная публикация — в 1923 году. С 1931 года Колмогоров состоял профессором Московского университета, где внёс выдающийся вклад в организацию математического образования. В МГУ Колмогоров создал и первым возглавил кафедру теории вероятностей (1935), лабораторию статистических методов (1963), кафедру математической статистики (1976); с 1980 года до конца жизни — зав. кафедрой математической логики. В Математическом институте имени В. А. Стеклова АН СССР Колмогоров с 1939 по 1960 год заведовал отделом теории вероятностей, а с 1983 года до конца жизни — отделом математической статистики и теории информации.

Колмогоров получил фундаментальные математические результаты в области теории вероятностей, математической статистики, теории множеств, теории функций, топологии, математической логики, теории алгоритмов, теории информации, теории динамических систем.

Опубликовано в книге: Новая философская энциклопедия: В 4 т. — Т. 2. — М.: Мысль, 2001. —С. 272—274.

Научное наследие Колмогорова весьма обширно; в библиографию к данной статье включены лишь сочинения, имеющие философскую составляющую.

Мировоззрение Колмогорова было последовательно материалистическим. Центральным для него был вопрос о соотношении математических представлений с реальной действительностью. Для философии и методологии математики огромное значение имела статья Колмогорова «Математика» в 1-м (1938) и 2-м (1954) изданиях Большой Советской Энциклопедии. Эта статья, перепечатанная также в сборнике статей Колмогорова «Математика в её историческом развитии», содержит оригинальную периодизацию истории математики, анализ предмета и метода математики и её места в системе наук, а также специальный раздел, посвящённый вопросам обоснования математики. В других статьях названного сборника Колмогоров исследует влияние Ньютона и Лобачевского на формирование математического мышления. В трудах Колмогорова вскрыты как внешние, так и внутриматематические мотивы возникновения новых математических понятий и теорий. Колмогоров отстаивал ту точку зрения, что восхождение к более высоким ступеням абстракции имеет прямой практический смысл, и потому настаивал на более широком внедрении метода абстракции в преподавание. В 1933 году Колмогоров предложил общепринятую ныне систему аксиоматического обоснования теории вероятностей.

Для Колмогорова характерно повышенное внимание к различению, в объектах и процессах, конструктивного и неконструктивного. Конструктивными объектами с необходимостью являются объекты, участвующие в конструктивных процессах, а также выражения какого-либо языка. При этом выражение языка служит, как правило, именем неконструктивного объекта. Последнее наблюдение естественно приводит к понятию нумерации, служащему математической формализацией общей идеи соответствия между именами (в математической терминологии — «номерами») и обозначаемыми ими предметами в рамках какой-либо системы имён (в математической терминологии — идеи «нумерации»); основы теории нумераций были сформулированы Колмогоровым в 1954 году. Интерес к конструктивным процессам привёл Колмогорова к алгоритмической проблематике. В частности, в 1960-х годах Колмогоров предложил новые, алгоритмические, подходы к обоснованию теории вероятностей, что позволило в конечном счёте дать строгое определение понятию случайности для индивидуального объекта (что недоступно традиционной теории вероятностей).

В кибернетике Колмогоров проанализировал роль дискретного (в противопоставлении непрерывному) и отстаивал принципиальную возможность возникновения у машин мышления, эмоций, целенаправленной деятельности и способности конструировать ещё более сложные машины. В информатике Колмогоров в 1950-х годах предложил общее определение понятия алгоритма, а в 1960-х годах, опираясь на алгоритмические представления, создал теорию сложности конструктивных объектов. Эта теория, в свою очередь, была им применена для построения нового обоснования теории информации.

Выдающуюся роль в логике играют две статьи Колмогорова: «О принципе tertium non datur» (Математический сборник. — 1925. — Т. 32. — № 4. — С. 668—677) и «Zur Deutung der intuitionistischen Logik» (Mathematische Zeitschrift. — 1932. — Bd. 35. — S. 58—65); обе перепечатаны в его книге «Избранные труды. Математика и механика» (вторая — в русском переводе: «К толкованию интуиционистской логики»)1. Обе объединены общей идеей — навести мост между интуиционистской логикой и традиционной, или «классической», логикой, причём сделать это средствами, свободными как от идеологии интуиционизма, так и от крайностей теоретико-множественного догматизма. Именно, в статье 1925 года предлагается такая интерпретация «классической» логики, которая приемлема с точки зрения интуиционизма; напротив, в статье 1932 года предлагается такая интерпретация интуиционистской логики, которая приемлема с классических позиций.

В статье «О принципе...» Колмогоров принимает предпринятую главой интуиционизма Брауэром критику традиционной логики; при этом Колмогоров обнаруживает в последней ещё один уязвимый, но обойдённый критикой Брауэра логический принцип, а именно — выражаемый аксиомой A→(¬A→B). Как указывает Колмогоров, эта аксиома «не имеет и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая нечто о последствиях невозможного». Колмогоров выдвигает два вопроса: 1) почему незаконное, с интуиционистской точки зрения, применение принципа исключённого третьего часто остаётся незамеченным? 2) почему оно не привело до сих пор к противоречию? На оба вопроса в статье даются ответы. На 1-й вопрос — потому что применения закона исключённого третьего оправданны, коль скоро возникающее в результате таких приме-

1 ●▶ Названные сочинения Колмогорова прокомментированы в двух статьях настоящей книги: «Интуиционистская логика в трудах А. Н. Колмогорова», с. 375—390; «Из статьи „Закон исключённого третьего и закон двойного отрицания“», с. 146—156.—Примеч. ред. ◀●

нений суждение носит финитный характер; действительно, в этом случае оно может быть доказано и без использования указанного закона (это открытие Колмогорова опровергло точку зрения Брауэра о том, что при получении финитных результатов должны быть запрещены нефинитные умозаключения). На 2-й вопрос — потому что если бы противоречие было получено при использовании закона исключённого третьего, то оно могло бы быть получено и без него; здесь впервые в истории логики произошло предвосхитившее последующие работы Гёделя 1930-х годов доказательство относительной непротиворечивости формальной аксиоматической системы, т. е. такое доказательство непротиворечивости, которое использует презумпцию о непротиворечивости другой системы. Колмогоров точно очертил круг тех суждений, для которых составленные из них тавтологии классической логики высказываний являются интуиционистски обоснованными: это суть те и только те суждения, для которых выполняется закон двойного отрицания. В своей статье Колмогоров впервые предложил позитивный анализ обоснованности с точки зрения интуиционизма традиционной, или «классической», математики. Одновременно Колмогоров впервые сделал интуиционистскую логику объектом строгого математического анализа. В статье была предложена первая система аксиом для этой логики, предвосхитившая формализацию Гейтинга и ныне известная как минимальное исчисление для отрицания и импликации.

В 1-м разделе статьи «Zur Deutung...» («К толкованию...») Колмогоров наполняет формулы интуиционистской пропозициональной логики новым содержанием, свободным от философских предпосылок интуиционизма. Именно, он предлагает рассматривать каждую такую формулу не как утверждение, а как проблему (т. е. как требование указать или построить объект, подчинённый тем или иным заранее заданным условиям). Понятие проблемы, или задачи, есть одно из фундаментальных понятий логики; Колмогоров был первым, кто включил это понятие в логико-математический дискурс (здесь идеи Колмогорова предвосхитили так называемую семантику реализуемости Клини—Нельсона). Предложенная Колмогоровым интерпретация интуиционистской логики близка к концепции Гейтинга, однако у последнего отсутствует чёткое различение между суждением и проблемой. Существенным этапом в становлении логического мышления явилось предложенное Колмогоровым уточнение представления о сводимости одной проблемы к другой. Сам Колмогоров впоследствии так определял цель статьи: «Работа писалась в надежде на то, что логика решения задач сделается со

временем постоянным разделом курса логики. Предполагалось создание единого логического аппарата, имеющего дело с объектами двух типов — высказываниями и задачами». Во 2-м разделе статьи выдвигается и обосновывается следующий взгляд: с интуиционистской точки зрения, нельзя, вообще говоря, рассматривать отрицание общего суждения в качестве содержательного суждения. «Но тогда,—указывает Колмогоров, — исчезает предмет интуиционистской логики, поскольку теперь принцип исключённого третьего оказывается справедливым для всех суждений, для которых отрицание вообще имеет смысл. Возникает, однако, новый вопрос: какие логические законы справедливы для суждений, отрицание которых не имеет смысла?».

Сочинения Колмогорова, имеющие философскую составляющую

Книги

Основные понятия теории вероятностей. — М.: Наука, 1974. — 119 с.

Введение в математическую логику. — М.: Изд-во МГУ, 1982. — 120 с. (Соавтор: А. Г. Драгалин.)

Математическая логика: Дополнительные главы. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — 119 с. (Соавтор: А. Г. Драгалин.)

Математика и механика: Избранные труды. — М.: Наука, 1985. — 470 с.

Теория вероятностей и математическая статистика: Избранные труды. — М.: Наука, 1986. — 424 с.

Теория информации и теория алгоритмов: Избранные труды. — М.: Наука, 1987. — 304 с.

Математика — наука и профессия: Сборник статей.—М.: Физматлит, 1988. — 288 с.

Математика в её историческом развитии: Сборник статей.—М.: Физматлит, 1991. —223 с.

Новгородское землевладение XV века. —М.: Физматлит, 1994. — 128 с.

Статьи

Современные споры о природе математики // Научное слово. — 1929. — № 6. — С. 41—54.

Современная математика // Сборник статей по философии математики / Под ред. С. А. Яновской —М.: ОНТИ, 1936. — С. 7—13.

Теория и практика в математике // Фронт науки и техники. — 1936. — № 5. — С. 32—42.

Предисловие // А. Гейтинг. Обзор исследований по основаниям математики. — М.: ОНТИ, 1936. — С. 3—4.

Аксиома // БСЭ. — 2-е изд. — Т. 1. — М.: Советская энциклопедия, 1949. — С. 613—616.

О понятии алгоритма // Успехи математических наук. — 1953. — Т. 8. — Вып. 4 (56). — С. 175—176.

Предисловие редактора перевода // Р. Петер. Рекурсивные функции. — М.: ИЛ, 1954. — С. 3—10.

Тезисы о кибернетике [от 20 января 1957 года] // Очерки истории информатики в России / Ред.-сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. — Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1998. — С. 142—145. [См. с. 495—500 настоящей книги.—Примеч. ред.]

Информация // БСЭ. — 2-е изд. — Т. 51. — М.: Советская энциклопедия, 1958. — С. 129—130.

Кибернетика // БСЭ. — 2-е изд. — Т. 51. — М.: Советская энциклопедия, 1958. — С. 149—151.

Предисловие // У. Р. Эшби. Введение в кибернетику. — М.: ИЛ, 1958. — С. 5—8.

Автоматы и жизнь: Тезисы доклада // Машинный перевод и прикладная лингвистика. — Вып. 6. — М.: 1961. — С. 3—8. [Перепечатано в сборнике: Очерки истории информатики в России / Ред.-сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. — Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1998. — С. 147—150.] [См. с. 501—505 настоящей книги. — Примеч. ред.]

Жизнь и мышление как особые формы существования материи // О сущности жизни / Отв. ред. Г. М. Франк, А. М. Кузин. — М.: Наука, 1964. — С. 48—57.

Бесконечность в математике // БСЭ. — 3-е изд. — Т. 3. — М.: Советская энциклопедия, 1970. — С. 264—265.

Вероятность // БСЭ. — 3-е изд. — Т. 4. — М.: Советская энциклопедия, 1971. —С. 544.

Элементы логики в современной школе // Математика в школе. — 1971. —№ 3. — С. 91—92.

О воспитании на уроках математики и физики диалектико-материалистического мировоззрения // Математика в школе. — 1978. — № 3. — С. 6—9.

Диалектико-материалистическое мировоззрение в школьном курсе математики и физики // Квант. — 1980. — № 4. — С. 15—18.

Письма А. Н. Колмогорова к А. Гейтингу // Успехи математических наук. — 1988. — Т. 43. — Вып. 6. — С. 75—77.

Семиотические послания // Новое литературное обозрение. — 1997. — № 24. — С. 216—245. [Перепечатано в настоящем издании: Кн. 4: Филология. — С. 207—250. —Примеч. ред.]

Литература о Колмогорове

Колмогоров: Юбилейное издание в 3 кн. — Кн. 1: Истина — благо: Биобиблиография / Ред.-сост. А. Н. Ширяев; Подготовка текста Н. Г. Химченко. — М.: Физматлит, 2003. — 384 с.

Колмогоров в воспоминаниях / Ред.-сост. А. Н. Ширяев. — М.: Физматлит, 1993. — 734 с.

Колмогоров в воспоминаниях учеников / Ред.-сост. А. Н. Ширяев; Подготовка текста Н. Г. Химченко. — М.: МЦНМО, 2006. — 472 с, 24 с. илл.

Явление чрезвычайное: Книга о Колмогорове / Сост. Н. Х. Розов; Под общ. ред. В. М. Тихомирова. — М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999. — 256 с.

Тихомиров В. М. Андрей Николаевич Колмогоров, 1903—1987: жизнь, преисполненная счастья / Отв. ред. С. С.Демидов. — М.: Наука, 2006. — 199 с.

Успенский В. А. Андрей Николаевич Колмогоров — великий учёный России // Очерки истории информатики в России / Ред.-сост. Д. А. Поспелов, Я. И. Фет. — Новосибирск: НИЦ ОИГГМ СО РАН, 1998. — С. 484—505.

Uspensky V. A. Kolmogorov and mathematical logic // The Journal of Symbolic Logic. — 1992. — V. 57. — N. 2. — P. 385—412.

Youshckevitch A P. A. N. Kolmogorov: Historian and Philosopher of Mathematics // Historia mathematica. — 1983. — V. 10. — N. 4. — P. 383—395.

Витгенштейн и основания математики1

Большинство предложений и вопросов, трактуемых как философские, не ложны, а бессмысленны.

Л. Витгенштейн, [ЛФТ], 4.003.

Философ — тот, кто должен излечиться от многих недугов рассудка, прежде чем он сумеет прийти к понятиям здравого человеческого разумения.

<...> В здоровье разума мы окружены безумием.

Л. Витгенштейн, [ЗпОМ], IV, 53.

1

Не без трепета приступаю я к написанию этого текста. Если уж Витгенштейна, по его мнению2, не понял (в своём введении к [ЛФТ], см. [Р]) сам Рассел, сумевший привести в замешательство великого Фреге3, то где уж нам. «„Но разве ты действительно не понимаешь, что имеется в виду?!“ — А разве невозможно думать, будто понимаешь, а между тем заблуждаться?» ([ЗпОМ], IV, 12).

Впрочем, Витгенштейн и не ожидал понимания: «Мне безразлично, — замечал он, — поймёт ли и оценит ли меня типичный западный учёный: ведь он всё равно не постигнет духа, в котором я пишу. <...> Меня интересует не возведение здания, а уяснение для себя оснований возможного здания» ([КЦ], 31). Поэтому автору настоящей статьи остаётся уповать на то, что он не является «типичным западным учёным» (а также на то, что примат уяснения оснований перед самим построением хорошо вписывается в российские традиции).

2

Различие между возведением здания и уяснением оснований возможного здания нигде так чётко не проявляется, как в математике. Поэтому постоянное обращение Витгенштейна к математике — не для создания математических теорий, разумеется, но для иллюстрации своих философских взглядов — очень характерно. Математические сущности, пребывающие в мире чистых форм, служат идеальным полем для философских спекуляций. С одной стороны, они менее

Опубликовано в журнале: Вопросы философии. — 1998. — № 5. — С. 85—97.

1 Изложение доклада, сделанного 30 октября 1997 года на международной конференции «Витгенштейн в контексте культуры XX века» (Москва, 29—31 октября 1997 года). ➊

2 См. [К-1], с. IX.

3 Письмо Рассела к Фреге опубликовано в [Б-2] на с. 105—106; там же см. о реакции Фреге.

загрязнены «эмпирическим мусором», с другой — если уж этот мусор их касается, он более ясно виден на их зеркальной поверхности. Где расположены эти сущности — в бытии или в сознании? Если в бытии, то где именно? А если в сознании, то в чьём — индивидуальном или коллективном? Если в коллективном, то что представляет собою коллективное сознание? А если в индивидуальном, то как объяснить, что различные индивидуальные сознания действуют в этом вопросе согласованно, так что теорема из теории чисел (не эмпирический факт, а теорема!) окажется одной и той же, будь она доказана в Саратове или в Рио-де-Жанейро. (Я нарочно взял теорию чисел, потому что теоремы этой теории устанавливаются практически работающими математиками не исходя из каких-либо аксиом, а опираясь на непосредственное интуитивное представление о натуральном числе и о натуральном ряде как совокупности таких чисел.)

Вопросы о природе и свойствах математических объектов занимали Витгенштейна на протяжении всей его деятельности. Нельзя, конечно, утверждать, что он разрешил возникающие здесь проблемы. Но это и не требуется. Когда говорят, что философия решила какой-то вопрос (да ещё и «окончательно решила») — это всегда подозрительно. Ведь дело философии — не столько давать ответы, сколько формулировать вопросы. «Постановка того или иного вопроса в философии всегда предпочтительнее ответа на вопрос» ([ЗпОМ], II, 5). Философ тот, кто умеет формулировать правильные вопросы. И тут Витгенштейну принадлежит видное место в мировой философии.

Итак, Витгенштейн занимался основаниями математики всего лишь как экспериментальным полигоном для занятий философией. Поэтому следует в первую очередь констатировать воздействие знакомства с этими основаниями на становление философских взглядов Витгенштейна и лишь во вторую очередь — воздействие этих взглядов на основания математики. Если понимать основания математики более узко, как некую специфическую математическую дисциплину, то тогда влияние Витгенштейна на основания математики обнаруживается с трудом. Если же признать, что термин «основания математики» охватывает своим объёмом и философию математики или по крайней мере ощутимо с нею пересекается (а именно так мы и будем трактовать этот термин в рамках настоящей статьи), то тогда можно говорить о вкладе Витгенштейна в основания математики. Я бы осмелился указать три элемента такого вклада: это роль веры в математике (слово «вера» понимается здесь не в религиозном смысле, а в том смысле, с каким оно входит, скажем, в сочетание «вера в счастливое разрешение конфликта»); это спокойное отношение к про-

тиворечию; это настороженное отношение к объектам очень большого размера и, в частности, недоверие к очень длинным доказательствам.

3

Стиль Витгенштейновых «Заметок по основаниям математики» непривычен для текстов на подобные темы. Прежде всего, этот стиль необычайно эмоционален. «От этого может закружиться голова» ([ЗпОМ], I, 11); «лёгкое опьянение мыслей» ([ЗпОМ], I, Приложение 1, 16) — вот обороты, характеризующие тональность названных заметок. Он понимает философию как часть эмоциональной жизни. И так же понимает основания математики. «...Противоречие становится интересным лишь благодаря тому, что оно мучает людей <...>» ([ЗпОМ], I, 13).

Тексты Витгенштейна (кроме «Логико-философского трактата») отличает повышенный процент вопросительных и повелительных предложений (а также — но об этом позже — сослагательных форм). И это соответствует его мировоззрению, поскольку для него вопрос важнее ответа, а действие важнее заявления.

4

Математические предложения и факты трактуются Витгенштейном прежде всего как ответы на разумно поставленные вопросы. А в ещё большей степени — как побуждение к действию. «Способ осмысления формулы определяет, какие действия должны совершаться при её расчёте», а самим способом осмысления «является тот способ, каким мы пользуемся ею» ([ЗпОМ], I, 2). Таким образом, интерпретация математического предложения у Витгенштейна оказывается не столько индикативной, сколько императивной: предложение предстаёт не столько в виде утверждения, сколько в виде повеления. Эта повелительная интерпретация математических предложений близка к процедурной (императивной) идеологии современной теории алгоритмов и Computer Science («Шишков, прости: не знаю, как перевести»: ни «информатика», ни тем более «вычислительная наука» не являются адекватными переводами). Самоё теорию алгоритмов можно трактовать как логику и лингвистику повелительных предложений. Что же касается науки Computer Science, то среди своих языков программирования она выделяет процедурные, или императивные языки, в которых преобладает описание действий, направленных на получение результата, и непроцедурные, или декла-

ративные, языки, в которых центральное место занимает описание (так называемая декларация) свойств того результирующего объекта, который требуется получить. Кажется замечательным, что у Витгенштейна можно обнаружить и зачатки непроцедурных, декларативных языков программирования: «Легко представить себе язык, в котором нет вопросительной и повелительной формы, а вопрос и пожелание выражаются в форме утверждения, в форме, соответствующей, например, нашему: „Я хотел бы знать...“ и „Я хочу, чтобы...“» ([ЗпОМ], I, Приложение 1, 1).

Деятельность, деятельность и ещё раз деятельность — вот кредо Витгенштейна. Для него процесс важнее результата. «Я открываю не результат, а тот путь, которым он достигается» ([ЗпОМ], III, 47). Точнее было бы сказать, что для Витгенштейна результат неотделим от процесса (насколько я понимаю, такая позиция близка к позиции гуссерлианства): «В логике процесс и результат эквивалентны» ([ЛФТ], 6.1261); «В математике процесс и результат эквивалентны» ([ЗпОМ], I, 82); «Свойством [записи числа] 100 является то, что оно произведено или может быть произведено таким образом» ([ЗпОМ], I, 83).

5

Однако, спросит читатель, какое всё это имеет отношение к основаниям математики? Самое прямое. Математика, по Витгенштейну, есть деятельность. Поэтому проблемы оснований математики суть не онтологические проблемы, а проблемы деятельности. Следовательно, если в математике возникает противоречие, то это не есть онтологическое противоречие бытия, а противоречие человеческой деятельности, за каковое противоречие, естественно, несёт ответственность не бытие, а сам создавший это противоречие человек. И путь к разрешению возникшего противоречия — в дальнейшей деятельности. «„Противоречие отменяет исчисление“ — откуда взялась эта странная констатация?» ([ЗпОМ], V, 12). «Противоречие можно понимать как знак богов, говорящий, что надо действовать, а не размышлять» ([ЗпОМ], III, 56). (Нелишне напомнить, что до сих пор противоречия если и возникали в математике, то отнюдь не в повседневной математической практике, но лишь в парадоксах теории множеств и математической логики, расположенных на отдалённых границах математического мироздания, — там, где, собственно говоря, исчезает право использования привычных математических понятий, поскольку в таком отдалении эти понятия начинают размываться.) Таким образом, следует быть психологически готовым

к встрече с противоречием. Столкнувшись же с таковым, надо не пугаться, а подвергнуть критическому пересмотру собственную деятельность — в том числе язык (потому что язык тоже есть один из видов деятельности).

6

Витгенштейн убедительно разрушает иллюзию, что математику якобы можно отделить от физической реальности. Как известно, в отношении математики бытуют две точки зрения. Согласно первой из них, математика отражает реальность, а её понятия в абстрактном и обобщённом виде выражают представления, почерпнутые из опыта. (Математике повезло или не повезло — зависит от пристрастий — в том отношении, что о ней высказался Энгельс: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал». Эта формулировка неизменно присутствовала в качестве дефиниции слова «математика» во всех словарях и энциклопедиях коммунистического периода истории России. При развитии темы, однако, приходилось подгонять непространственные формы и неколичественные отношения под пространственные и количественные.) Согласно другой точке зрения, объектами математики являются символы и их комбинации, а сама математика состоит в игре, наподобие шахматной, с указанными символьными комбинациями. Обе эти точки зрения имеют, каждая, свою правду и могут мирно уживаться друг с другом (если кто и не уживается, то исповедующие эти точки зрения люди). У Витгенштейна же вторая точка зрения как бы погружается в первую.

Действительно, Витгенштейн воспринимает сами символы и их комбинации как объекты реального мира, а правила игры с символами — как правила действия с предметами физического пространства. Уместно заметить, что именно такой подход лежит в основе того способа, посредством которого знаменитая Теорема Гёделя о неполноте была установлена её автором в 1931 году. (Теорема утверждает, что при любом достаточно разумном и достаточно точном определении понятия доказательства имеются такие утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть; или, в другом варианте, — такие истины, которые нельзя доказать.) В своём рассуждении Гёдель не только исходил из традиционного для математической логики представления математических утверждений в виде цепочек знаков, но и трактовал эти цепочки как элементы действительности;

в качестве таковых они, в свою очередь, делались предметом рассмотрения математики (у Гёделя — арифметики, но можно было бы, что и геометрии; ср. глубокое замечание Витгенштейна: «Доказательство недоказуемости — это как бы геометрическое доказательство: доказательство, касающееся геометрии доказательств» ([ЗпОМ], I, Приложение 1, 14)).

Витгенштейн, конечно же, материалист: он говорит и о «действительности во всём её охвате» ([ЛФТ], 2.063), и о том, что образ, или картина, есть «модель действительности» ([ЛФТ], 2.12). Однако «основной вопрос философии» получает своеобразное преломление во взглядах Витгенштейна на математику: сознание делается здесь частью бытия, а мир идеальный — частью мира материального. В самом деле, математические понятия и математические факты, принадлежащие сознанию (миру идеальному), воспринимаются Витгенштейном в неразрывном единстве с выражающими их знакосочетаниями. Эти последние принадлежат бытию (миру материальному): «Образ (картина) есть факт» ([ЛФТ], 2.141), «Знак-предложение есть факт» ([ЛФТ], 3.14). С другой стороны, ценность и оправдание этих знакосочетаний как явлений бытия состоит, по Витгенштейну, в том, что они служат объектами человеческой деятельности, направляемой сознанием. Сознательный характер этой деятельности подчёркивается неоднократным появлением в текстах Витгенштейна упоминаний о цели и целесообразности. Например: «Доказательство непротиворечивости должно дать нам основания для предсказания; и в этом его практическая цель» ([ЗпОМ], II, 86).

7

По Витгенштейну, правила игры с знакосочетаниями — математическими символами и их комбинациями — потому таковы, какие они есть, что они целесообразны, что следование этим правилам приводит к определённой цели. Таким образом, оправданием правил игры в данном случае служит критерий практики (что и отличает «математическую» игру от игры, скажем, шахматной).

Критерий практики занимает у Витгенштейна видное место. Вот он ведёт разговор с воображаемым собеседником о логико-математическом кванторе общности, и в разговоре используется слово все. «Как он усвоил, что означает все? Вероятно, на практике» ([ЗпОМ], I, 10). И далее: «...выражение пусто, пока для него нет применения» ([ЗпОМ], I, Приложение 1, 9). «Но тебе не понять этого предложения, пока ему не найдено применение. <...> А когда его

понимают? — Я полагаю: тогда, когда его могут применять» ([ЗпОМ], IV, 25). Даже математические аксиомы выделяются среди прочих положений не в силу своей безусловной истинности, а в силу того, что они специальным образом используются, что им приписывается особая функция ([ЗпОМ], III, 1, 5). Именно применимость служит главным оправданием математики: «Для математики существенно, чтобы её знаки применялись и в гражданской жизни. Именно употребление вне области математики <...> делает знаковую игру математикой» ([ЗпОМ], IV, 2). В силу общей ориентации Витгенштейна на деятельность, критерий практики служит у него не столько критерием истины, как в традиционной марксистской философии, сколько критерием разумности действия: в частности, упомянутое в начале настоящего абзаца слово все он поясняет на примере исполнения приказа «Сруби все эти деревья!» ([ЗпОМ], I, 10). Правильно поступать важнее, чем правильно думать, — этому учил ещё Цицерон. «А почему бы понятию не убеждать меня прежде всего тем, что я склонен его применять?» — это говорит Витгенштейн. И не в этом ли состоит тот «выход из <...> мерцания понятий», о котором говорится в [ЗпОМ], IV, 16?

8

У Витгенштейна свои отношения с истиной, в частности — с математической истиной. «Предложение делается математической теоремой не потому, что оно является истинным, а потому, что оно воспринимается нами как таковое» ([ЗпОМ], III, 3). То есть центр тяжести переносится с объективного положения вещей на субъективное восприятие. И даже ещё более резко: «То, что в действительности подразумевает солипсизм, вполне правильно. <...> Строго проведённый солипсизм совпадает с чистым реализмом» ([ЛФТ], 5.62 и 5.64). С другой стороны, в первых строках того же «Логико-философского трактата» читаем: «Мир есть всё, что имеет место. Мир есть совокупность фактов» и т. д. И ещё: «Предложение есть картина действительности» ([ЛФТ], 4.01); «Понять предложение — значит знать, что имеет место, когда оно истинно» ([ЛФТ], 4.024). Здесь мы подходим к той проблеме веры, о которой упоминалось выше в нашем п. 2 и которая, по нашему разумению4, занимает у Витгенштейна достаточно центральное место. Вот как мне представляется его позиция в данном вопросе.

4 Напомним оговорки о возможном непонимании, сделанные в начале статьи.

Есть мир, состоящий из фактов, и есть язык, отражающий этот мир. «Границы моего языка означают границы моего мира» ([ЛФТ], 5.6). Есть факт и есть отражающее его высказывание, или предложение: «Предложение есть описание какого-либо положения вещей» ([ЛФТ], 4.023). Мы видим, что наряду с сущностями двух общепризнанных разрядов: разряда фактов (событий, положений вещей) и разряда языковых выражений (предложений, высказываний) — на сцену выступает третья сущность: соответствие между фактом и выражением, описывающим, или отображающим, этот факт. Именно эта третья сущность занимает центральное место в рассуждениях Витгенштейна. Он неоднократно подчёркивает, что суть соответствия состоит в параллелизме структуры образа (картины, выражения) и структуры факта (события, положения вещей) — см., например [ЛФТ], 2.15 и 2.18. Однако, чем больше мы вчитываемся в Витгенштейна, тем больше убеждаемся, что полностью объяснить это соответствие в логически безупречных терминах невозможно. Признание человеком того, что данному высказыванию соответствует именно данное положение вещей, а не какое-либо иное, а данному положению вещей — именно данное высказывание, есть, в конечном счёте, результат акта веры. И в этом нет ничего удивительного, потому что любое объяснение происходило бы на языке, а тем самым опиралось бы на предположение, что язык «правильно» описывает действительность. Перефразируя поэта, можно сказать, что образ мира, в слове явленный, есть творчество и чудотворство.

9

И снова читатель вправе спросить, при чём тут основания математики. Мы попытаемся дать ответ на этот законный вопрос на примере одной из знаменитых теорем математической логики, а именно Второй теоремы Гёделя, относящейся к теории формальных логических систем (называемых также логистическими, формальными аксиоматическими и т. п. системами). Вывод в таких системах осуществляется по точно определённым правилам, опирающимся лишь на внешние, синтаксические свойства участвующих в выводе знакосочетаний. Система называется непротиворечивой, если в ней нельзя вывести противоречие (т.е. нельзя, для некоторого выражения, вывести как его само, так и его отрицание). Вторая теорема Гёделя имеет совершенно точную математическую формулировку, традиционное (и в целом верное) истолкование которой таково: непротиворечивость

какой-либо формальной логической системы не может быть доказана средствами самой этой системы. Более развёрнутое истолкование: если непротиворечивая формальная логическая система настолько богата выразительными средствами, что в ней можно записать утверждение о её собственной непротиворечивости, то это утверждение не может быть выведено в этой системе («доказана» и «выведена» суть синонимы в этом контексте). Говоря «можно записать утверждение о...», имеют в виду следующее: можно предъявить знакосочетание, трактуемое как утверждение о непротиворечивости рассматриваемой системы. Обратим внимание на слова «трактуемое как». Обычно предъявляют некоторое совершенно конкретное знакосочетание (в литературе оно часто обозначается символом Consis), которое всеми признаётся как выражающее непротиворечивость. И оно действительно не может быть выведено в системе — например, Consis для формальной арифметики не может быть выведено в формальной арифметике. Оказывается, однако, что можно привести другое знакосочетание, которое также можно трактовать как выражающее непротиворечивость и которое, тем не менее, можно доказать в рассматриваемой системе (в арифметике, например). Этот эффект был обнаружен в 50-х годах российским логиком А. С. Есениным-Вольпиным.

Наблюдение Есенина-Вольпина показывает, что традиционное понимание Второй теоремы Гёделя нуждается в значительном уточнении. То свойство знакосочетания, что оно выражает непротиворечивость системы, оказывается ещё недостаточным для заявления о его невыводимости в данной системе. Требуется указать конкретное знакосочетание. Однако при таком подходе формулировка Второй теоремы теряет свою философскую привлекательность. Потому что сказать «существует выражающее непротиворечивость знакосочетание, которое недоказуемо» — это сказать очень мало. Хотелось бы заменить «существует» на «всякое», но это, как мы только что видели, невозможно. Может быть, в будущем удастся выделить, по их структурным свойствам, те выражающие непротиворечивость знакосочетания, для которых справедлива Вторая теорема Гёделя, и отделить их от тех, для которых она неверна, — но пока это не удаётся. И весь вопрос упирается в невозможность исчерпывающим образом ответить на простой, казалось бы, вопрос: «Что означает, что данное знакосочетание, т. е. предложение, выражает данный факт (в нашем случае — непротиворечивость рассматриваемой системы)?». Как уже отмечалось, в отсутствии исчерпывающего ответа нет ничего удивительного: ведь подобный ответ уже содержал

бы в самом себе и факт, и предложение, и соответствие между ними, так что возникал бы порочный круг. Таким образом, соответствие между предложением и фактом оказывается тем «мистическим, которое себя показывает» ([ЛФТ], 6.522).

Представляется весьма поучительным, что непонимание всей философской сложности проблемы соответствия между предложением и фактом может привести к прямой математической ошибке. Именно так случилось с известным автором в области математической логики Р. М. Шмульяном (он же Смальян, он же Смаллиан). В своей известной книге о теоремах Гёделя он не заметил того, что применимость Второй теоремы Гёделя ограничивается конкретными предложениями, выражающими непротиворечивость, и потому пришёл к ложным математическим формулировкам5.

10

Вспомним теперь, что семантика Витгенштейна (особенно позднего Витгенштейна) не только, да и не столько утвердительная, но скорее императивная. В императивной семантике предложение служит прежде всего побуждением к действию. Обсуждавшиеся нами выше проблемы соответствия между действительностью и отображающим её языком сохраняются и в императивной семантике. В частности, роль фактора веры здесь не менее важна. Прежде всего, надо верить, что приказ понят правильно. Но что значит «правильно»? Этот вопрос занимает, более того — волнует Витгенштейна.

При исполнении приказа появляется новая сущность: результат. Цель исполнения — получение результата. Приказ понят правильно, если он приводит к правильному результату. Но какой результат считать правильным? Для Витгенштейна характерно иллюстрировать терзающие его вопросы на примере математических вычислений. Именно поэтому его философские искания особенно близки к тем методологическим проблемам, которые возникают в Computer Science.

Допустим, мы перемножаем два числа. В каком случае мы признаём, что получили правильный результат? И что вообще понимать под правильным результатом? Самый простой ответ: тот результат, который мы получили, и есть — по определению! — правильный

5 Что и было отмечено в рецензии на указанную книгу, в п. 5 списка критических замечаний: см. V. A. Uspensky, V. Ye. Plisko. [Рецензия] // Journal of Symbolic Logic. — 1995. — V. 60. — N.4. — P. 1320—1324. — [Рец. на книгу: R. M. Smullyan. Gödel's incompleteness theorem. — (Oxford logic guides; N. 19). — New York; Oxford: Oxford University Press, 1992. — XIII + 139 p.].

результат (как говорят юристы: «Истина — это то, что устанавливается в результате судоговорения»). А если мы ошиблись? Но ведь понятие ошибки опирается на понятие правильности; тем самым возникает порочный круг. Эта цикличность, автореферентность в системе понятий отчётливо осознаётся Витгенштейном: «Вычисление — это феномен, который мы узнаём из вычисления» ([ЗпОМ], II, 80). Таким образом, само понятие ошибки обогащается у Витгенштейна философским дискурсом. Скажем об этом чуть подробнее.

11

Естественно, что представление об ошибке при совершении той или иной математической операции неотделимо от представления о правильности. Ошибки неизбежны в познавательной деятельности человека (и, можно полагать, в деятельности компьютера), и в своих текстах Витгенштейн неоднократно возвращается к анализу их места и их роли в этой деятельности: см., например, [ЗпОМ], I, 106, 112, 134, 135, 168; II, 73, 75; V, 11.

Вот Витгенштейн рассматривает процедуру обнаружения равночисленности двух множеств путём установления взаимно однозначного соответствия между элементами первого множества и элементами второго множества ([ЗпОМ], I, 31). Здесь правильную процедуру легко дистанцировать от неправильной, поскольку, как указывает Витгенштейн, «в самой сущности [множеств] заложено, что они равночисленны». Сложнее дело обстоит в случае совершения таких арифметических операций, как, например, умножение. Здесь на сцену выступает психология: «...Я с большой достоверностью знаю, что, умножив 25 × 25, каждый раз буду получать 625. Это значит, что я знаю психологический факт» ([ЗпОМ], III, 44). К компетенции психологии принадлежит и рассмотрение фактора обученности (см., например, [ЗпОМ], I, 1 и 112).

За апелляцией к психологии скрывается глубокая проблема: что считать, вообще, произведением двух чисел — то ли нечто, имманентно и априорно связанное с сомножителями (как свойство равночисленности было связано с равночисленными множествами), то ли нечто, возникающее в результате процедуры, задаваемой алгоритмом умножения. (Здесь уместно заметить, что в той системе аксиом арифметики, которая общепринята в математической логике, аксиомы для сложения и умножения, хотя и записанные в декларативной форме, являются по существу процедурными: они задают рекурсивные процедуры, позволяющие вычислять суммы и произве-

дения.) При любом решении названной проблемы остаётся вопрос, что считать правильным вычислением, а в более точной постановке — какова должна быть та система действий, которая убедит нас, что произведённое вычисление было правильным. В случае сравнительно небольших вычислений мы можем повторить их в будущем или же, обращаясь к прошлому, сослаться на опыт наших предшественников, производивших то же самое вычисление.

Вообразим теперь, что вычисление астрономически велико и требует десятков лет работы современных компьютеров. Насколько можно доверять такому вычислению? И как его проверить? И — уже почти чисто философский вопрос — в каких терминах следует определять правильность результата? Не оказываемся ли мы в ловушке, потому что у нас нет иного выхода, как объявить правильным тот результат, который получен, — просто потому, что он получился? Повторить вычисление колоссальных размеров невозможно. Остаётся надеяться на правильность алгоритма, правильность программы, безошибочность компьютера — но здесь опять слова «правильность», «безошибочность», как раз и нуждающиеся в дефиниции, каковую дать не так-то просто. Да и надежда на то, что в течение нескольких лет вычислений не произойдёт никакой ошибки, нереальна — не говоря уже о компьютерных вирусах. Во времена Витгенштейна, не было, разумеется, ни компьютеров, ни, тем более, их вирусных заболеваний, но с тем большей остротой и прозорливостью ставит он проблему: «Представь себе такую странную возможность: до сих пор мы всегда ошибались при умножении 25 х 25. Да, непонятно как такое могло случиться, но это случалось. <...> В таком случае должно быть что-то не так в нашей идее истинности и ложности арифметических предложений» ([ЗпОМ], I, 134; ср. также III, 25, где рассматривается возможность изменения счётных таблиц).

Но даже систематические ошибки, о которых говорилось в только что приведённой цитате, присущи, надо полагать, конкретному человеку или конкретному компьютеру. Поэтому можно заявить, что правильные вычисления, подобно правильным физическим экспериментам, должны удовлетворять свойству повторяемости — причём при повторении их различными людьми или различными компьютерами. Повторение вычисления, как и повторение физического эксперимента, должно давать один и тот же результат (ср. [ЗпОМ], III, 17). И здесь мы снова сталкиваемся с проблемой веры. Потому что повторяемость вычисления или эксперимента основана на презумпции, что завтра будут действовать те же законы природы, которые действуют сегодня. Презумпция же эта не может быть подтверждена

ничем, кроме веры в самоё эту презумпцию. Но разве наша презумпция не подтверждается опытом? Ведь опыт сообщает нам, что законы природы остаются неизменными на протяжении длительного времени. Внесём поправку: не остаются, а оставались. Свойство консерватизма законов природы само может считаться универсальным законом природы. Однако то обстоятельство, что указанное свойство сохранится в следующее мгновение, — это обстоятельство не может быть подкреплено ничем, кроме веры. «Мы убеждены, что всегда будет получаться, вычисляться то же самое вычисление. А является ли это математическим убеждением? Нет <...>» ([ЗпОМ], III, 46).

12

Консерватизм сродни жёсткости. «Что, если бы кто-то сказал: „долженствование“ в кинематике значительно жёстче, чем причинное „долженствование“ <...>?» ([ЗпОМ], I, 121). В качестве иллюстрации Витгенштейн предлагает рассмотреть «абсолютно жёсткий» механизм — но уже в непосредственно следующем отрывке (122) он говорит о возможности деформации реального механизма. (Не допускается ли тем самым и для причинного долженствования возможность его нарушения?)

Жёсткость математических объектов традиционно рассматривается как их исключительная привилегия — в сравнении, например, с объектами физическими. Ведь, строго говоря, для реального физического тела нельзя говорить ни о постоянстве его размера, ни о постоянстве его состава: на границе тела происходят микроскопические флуктуации, всё время изменяющие и то, и другое. Математические же объекты в наибольшей степени удовлетворяют закону тождества формальной логики. Однако послушаем Витгенштейна. Вот что он говорит о строке, содержащей около ста триллионов знаков: «А если я посмотрю на неё через час, разве она не может за это время измениться? Ведь она необозрима» ([ЗпОМ], II, 3). Таким образом, сверхдлинные строки знаков оказываются нежёсткими и потому не внушают доверия; именно это и имелось в виду выше, в нашем п. 2, когда при обсуждении вклада Витгенштейна в основания математики говорилось о его настороженном отношении к объектам очень большого размера.

Тут читатель вправе возмутиться. Ведь речь должна идти о математических, а не о физических объектах, а говоря об изменчивости сверхдлинной строки, или цепочки, знаков, мы трактуем её как реальный физический объект. На это справедливое замечание у нас три возражения.

Первое. Если сверхдлинная строка (цепочка) знаков и является физическим объектом, то — хотя бы начиная с некоторой длины — объектом скорее мысленным, чем реальным.

Второе. Знакосочетания, служащие для записи математических понятий и утверждений, хотя и трактуются Витгенштейном как объекты физической реальности (см. выше наш п. 6), остаются, разумеется, в поле зрения и в компетенции математики.

Третье. Витгенштейн рассматривает такой вопрос: «появится ли при бесконечном десятичном разложении числа n сочетание цифр (р (некая конкретная конечная последовательность цифр, например „770“)?» ([ЗпОМ], IV, 9). Закон исключённого третьего требует, чтобы на это вопрос имелся один из двух возможных ответов: «да» или «нет». В связи с этим Витгенштейн замечает: «Если кто-то выдвигает закон исключённого третьего, то он как бы предлагает нам на выбор две картины, говоря, что одна из них должна соответствовать факту. А что, если сомнительна сама применимость здесь этих картин? (Здесь позиция Витгенштейна близка к точке зрения интуиционизма.—В. У.) Заявляя, что бесконечное разложение числа n должно либо содержать, либо не содержать сочетание цифр φ, нам предлагают как бы картину уходящего вдаль необозримого ряда. А что, если изображение на большом удалении начинает терять чёткость контуров? (Здесь позиция Витгенштейна близка к точке зрения российского математика П. К. Рашевского6.—В. У.)» ([ЗпОМ], IV, 10). Слова «на большом удалении» показывают, что, по мнению Витгенштейна, чёткость контуров теряется как для бесконечного разложения в целом, так и для очень длинного его начала. Но и бесконечное десятичное разложение какого-либо действительного числа, и любая цепочка десятичных знаков, являющаяся началом такого разложения, суть объекты самые что ни на есть математические.

13

Ясно, что консерватизм и жёсткость должны быть в полном объёме присущи таким специфическим математическим сущностям, как доказательства. Доказательство должно оставаться тем же самым при повторном к нему обращении и, в частности, при его проверке.

В своих текстах Витгенштейн несколько раз обращается к иссле-

6 См. П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда // Успехи математических наук. — 1973. — Т. 28. — Вып. 4. — С. 243—246. ●●▶ Названная статья перепечатана в качестве приложения II в книге: В. А. Успенский. Апология математики. — СПб.: Амфора, 2009; 2010; 2011; 2-е изд., испр. — 2012. ◀●●

дованию понятия математического доказательства — см., например, [ЗпОМ], II, 4, 7, 13, 21 — 65; V, 17, 19, 23. Из требований, предъявляемых им к доказательствам, мы выделим два тесно связанных между собою: доказательство должно быть обозримо ([ЗпОМ], II, 1, 39; V, 17) и воспроизводимо ([ЗпОМ], II, 1, 21).

Казалось бы, эти требования достаточно очевидны. Однако при их реализации возникают серьёзные и вполне реальные проблемы. Укажем две из них: проблему человеческого фактора и проблему компьютерного фактора.

Проблема человеческого фактора возникает в связи с тем, что доказательство рассчитано на восприятие его человеком. Математическое доказательство есть понятие психологическое: это текст, убеждающий нас настолько, что мы делаемся в некотором смысле агрессивными, а именно становимся готовы убеждать других с помощью этого же самого текста. Ясно, однако, что убедительность зависит от того багажа математических знаний, которым располагает воспринимающий доказательство субъект: для продвинутого математика доказательство может быть более коротким, поскольку может опираться на известные этому математику понятия и факты; для новичка такое короткое доказательство окажется непонятным, и ему потребуется другое, более развёрнутое доказательство, включающее в себя все исходные определения и теоремы. Но такое развёрнутое доказательство вполне может занять несколько сотен или даже тысяч страниц. Можно ли считать его обозримым и воспроизводимым?

Проблема компьютерного фактора возникает в связи с привлечением компьютера для получения доказательства. Обстановка, в которой происходит подобное привлечение, такова. Иногда удаётся свести рассматриваемую задачу к проверке конечного числа частных случаев. Если количество случаев невелико и проверка для каждого отдельного случая не слишком сложна, человек может сам осуществить эту проверку для всех случаев и тем самым решить интересующую его задачу. Если же проверка для отдельного случая сложна или если таких случаев много, то человеку решение становится не под силу и требуется привлекать компьютер. Именно так обстояло дело с одной из самых знаменитых задач математики, называемой «проблемой четырёх красок» (см. в энциклопедиях и словарях статью «Четырёх красок проблема»). Скажем об этой проблеме чуть подробнее.

Как известно, политико-административные карты печатают в несколько красок, добиваясь при этом, чтобы страны, имеющие общую границу, были окрашены в различные цвета (лучше всего, конечно, каждую страну печатать своей особой краской, но это

слишком дорого). Такую раскраску карты называют правильной. Спрашивается, сколько красок достаточно для правильной раскраски любой карты — не только реально существующей, но и любой возможной. Этот вопрос был задан известным математиком А. Кэли (A. Cayley) на заседании Лондонского математического общества в 1878 году, а в 1879 году Кэли опубликовал об этом статью в трудах Королевского географического общества. Ясно, что трёх красок не хватает. В 1890 году было доказано, что всегда достаточно пяти красок. Но никому не удавалось сочинить такую карту, для которой не хватало бы четырёх красок. Предположение, что любую мыслимую карту можно правильно раскрасить четырьмя красками, получило название гипотезы четырёх красок, а требование доказать (или опровергнуть) эту гипотезу — проблемы четырёх красок.

В решении проблемы четырёх красок долго не было никакого продвижения, пока в 1976 году Аппель (K.Appel) и Хакен (W.Haken) не анонсировали, а в следующем 1977 году не изложили положительное решение проблемы7. Авторы предъявили 1834 плоских графа8 и объявили, что свели проблему к проверке того, что каждый из этих графов обладает некоторым специальным свойством. Такая проверка проводилась на компьютере, что потребовало примерно 300 часов машинного времени. Сегодня, через 20 лет, это было бы сделано гораздо быстрее, поскольку возросло быстродействие компьютеров, но человеку всё равно не под силу — и вряд ли будет под силу когда-нибудь. Можем ли мы признать доказательство Аппеля и Хакена доказательством? Ведь оно необозримо. (Столь же необозримо, как «ложное доказательство» формулы 1010+1 = 1010 в логистической системе Рассела — см. ниже пример (6) из нашего п. 15; а как демонстрирует названный пример, для таких необозримых доказательств отличить их от лжедоказательств становится невозможным.)

14

Мы потому так подробно остановились на ситуации с проблемой четырёх красок, что, знай о ней Витгенштейн, она привлекла бы его внимание. В самом деле, имеется простой и наглядный, но гипоте-

7 Библиографические ссылки и более подробное обсуждение предложены на с. 149—150 в статье: В. А. Успенский. Семь размышлений на темы философии математики // Закономерности развития современной математики. Методологические аспекты: Сборник статей. — М.: Наука, 1987. — С. 106—155. (См. также с. 231—289 настоящей книги.—Примеч. ред.)

8 Читатель, не знакомый с термином «плоский граф», может считать, что это просто чертёж.

тический факт: раскрашиваемость любой карты посредством четырёх красок. Предъявляется доказательство этого факта — однако доказательство, включающее в себя компьютерный эксперимент столь объёмный, что осуществление его человеком невозможно. Человек может только всеми доступными ему средствами верифицировать задействованные компьютерные программы. Но можно ли полностью доверять такой верификации? И можно ли быть уверенным, что — даже при правильных программах — за 300 часов работы компьютера ни разу не произошло сбоя? «Рассмотрение длинных, недоступных обозрению логических доказательств — это лишь средство показать, как эта техника — покоившаяся на геометрии доказательств — может утратить силу, а новая — стать необходимой» ([ЗпОМ], II, 45). Однако что это за новая техника — остаётся неясным.

Витгенштейн неоднократно подчёркивал, что ценность математического утверждения заключена в его предсказательной силе, а цель доказательства — гарантировать действенность предсказания. Можно ли, в создавшихся условиях, высказать предсказание, что любая карта, которая нам встретится, окажется пригодной для правильной раскраски четырьмя красками? По-видимому, ответ на этот вопрос принадлежит компетенции не математики, а философии. Таким образом, философия становится прикладной наукой: ведь выходит, что без апелляции к ней невозможно судить о доказанности (а тем самым и об истинности) математических утверждений.

Возникновение у философии черт прикладной науки вообще очень замечательно. Это движение началось в XX веке, и оно связано прежде всего с успехами физики и космологии. Возникшие в этих науках новые представления не укладывались в традиционное миропонимание; чтобы понять — а, значит, и применить — эти представления потребовалось (и требуется) философское их осмысление. Мы имеем здесь в виду и теорию относительности, переведшую понятие одновременности из разряда абсолютных в разряд относительных (т.е. зависящих от точки зрения), поставившую свойства пространства и времени в зависимость от полей тяготения и приведшую к следствиям, кажущимся весьма странными (типа парадокса близнецов); и квантовую механику с её принципом неопределённости; и космологию с её чёрными дырами, допущением конечности Вселенной и идеей «большого взрыва» (т.е., по существу, сотворения мира). Была констатирована неевклидовость нашего мира и впервые поставлен вопрос о границах применимости общеизвестных законов природы. На этом фоне появление неканторовской теории множеств и превращение в прикладные науки математической логики и математической лингвистики отступает на второй план.

15

Несколько слов о стиле Витгенштейна. В нашем п. 3 уже говорилось о повышенном количестве повелительных и особенно вопросительных предложений. Но особенно примечательны сослагательные формы: «Если бы словом „боль“ я обозначал лишь то, что ранее называл „моей болью“ <...>» ([ФИ], 403). В значительном числе случаев их появление связано с тем, что Витгенштейн мысленно создаёт некую малореальную или же совсем нереальную, однако же логически допустимую ситуацию и, тем самым, — с целью пояснения хода своих мыслей — как бы переносит себя и читателя в воображаемый, параллельный мир. Воображение вообще эксплуатируется довольно часто. «...Если бы воображение представляло механизм, части которого состояли бы из очень мягкого материала (например, теста) и потому изгибались бы на картине различным образом <...>» ([ЗпОМ], III, 33; не правда ли, картина так и просится на холст Дали?; вопрос о возможной мягкости механизмов явно занимал Витгенштейна: см. выше наш п. 12).

Вот несколько замечательных примеров «параллельных миров»; все они связаны с философским осмыслением важнейшего математического понятия — понятия вычисления.

(1) «Продавцы брёвен <...> продают их в кубических метрах — но правы ли они, поступая так? Разве не было бы более правильным продавать их на вес, или по времени, затраченному на рубку леса, или по труду лесорубов, замеряемому по их возрасту и силе? <...> Хорошо; а что если брёвна сложены в штабеля произвольной, различной высоты, а затем продаются по цене, пропорциональной площади, занимаемой штабелями? <...> Как показать этим людям, что на самом деле — выражусь так — не тот покупает больше дров, кто покупает штабель, расположенный на большей площади? — Я взял бы, например, по их понятиям, малый штабель, и перекладкой дров превратил бы его в „большой“. Это могло бы их убедить, но, пожалуй, они бы сказали: „Да, теперь здесь больше дерева, и оно стоит больше“, — и с этой проблемой было бы покончено» ([ЗпОМ], I, 147—149).

(2) «Представим себе такой случай: люди некоего племени могут считать только устно. <...> В их счёте часто встречаются ошибки, цифры повторяются или опускаются, а они этого не замечают. Вот какой-то путешественник <...> учит их письменности и письменному вычислению и затем показывает им, как часто они ошибались при устном счёте.—Должны ли теперь эти люди признать, что прежде

они, собственно, и не производили вычислений? <...> А разве они не могли бы сказать: раньше наши дела шли лучше, наша интуиция не была отягощена мёртвой буквой?» ([ЗпОМ], II, 81).

(3) «Представь себе, что вычислительные машины встречаются в природе, но их корпуса непроницаемы для людей. И тогда люди использовали бы эти устройства так же, как мы — вычисление, хотя о таковом они ничего не знают. Так, с помощью вычислительных машин они бы делали предсказания, но их обращение с этими странными предметами носило бы характер экспериментирования» ([ЗпОМ], IV, 4).

(4) «Вычисление, которое служит для проведения некой церемонии. Например, в соответствии с определённой техникой из возраста отца и матери и числа их детей выводится число слов для некой формы благословения их семейного очага. Описание процедуры вычисления можно было бы представить себе в виде некоего подобия Моисеева закона. И разве нельзя было бы представить себе, что народ, обладающий этими церемониальными вычислительными предписаниями, в практической жизни никогда не вычисляет?» ([ЗпОМ], IV, 8).

(5) «В некой арифметике, где счёт не идёт дальше 5, вопрос о том, сколько будет 4 + 3, ещё не имеет смысла. Однако здесь вполне может существовать проблема придания смысла этому вопросу» ([ЗпОМ], IV, 11).

(6) «Допустим, кто-нибудь скажет: арифметика Рассела совпадает с обычной для чисел, меньших 1010; дальше же они расходятся. И чтобы обосновать это, он приведёт доказательство [в логистической системе] Рассела: 1010+ 1 = 1010. Почему бы мне не доверять этому доказательству? Как меня убедят в том, что я, должно быть, совершил ошибку <...>?» ([ЗпОМ], II, 13). Дело в том, что число 1010 очень велико, и потому тексты, претендующие на то, чтобы служить формальными доказательствами (в системе Рассела) связанных с этим числом соотношений, поневоле очень длинны. Таким образом, здесь мы встречаемся со следующей важной идеей Витгенштейна: для очень длинных доказательств мы не в состоянии отличить верное доказательство от неверного (ср. замечание в скобках в конце нашего п. 13).

16

В двух последних примерах предыдущего пункта Витгенштейн вплотную приблизился к понятию достижимого натурального числа. С помощью этого понятия математики пытаются выделить

среди всех натуральных чисел те, которые могут претендовать на «реальное» существование (в той идеологии, в которой слишком большие числа не могут претендовать на такое существование).

Вопрос о том, как понимать существование в математике — один из центральных вопросов её философии. «„Понимать математическое предложение“ — это очень зыбкое понятие. <...> 0тсюда возникает спор, является ли доказательство существования, не представляющее собой конструкцию, действительно доказательством существования. То есть спрашивается: понимаю ли я предложение „Существует...“, если у меня нет возможности найти, где это существует?» ([ЗпОМ], IV, 46).

В рамках короткого очерка было невозможно, конечно, затронуть все мысли Витгенштейна, относящиеся к философии математики. Поэтому поставим здесь точку, но прежде приведём две цитаты, характеризующие его взгляды на сущность и на предназначение математики как явления человеческой культуры.

«Являются ли предложения в математике антропологическими предложениями, которые говорят о том, как мы, люди, умозаключаем и вычисляем? — Является ли свод законов сочинением по антропологии, которое сообщает нам, как люди, принадлежащие к данному народу, обращаются с вором и т. д.?» ([ЗпОМ], II, 65).

«Но почему бы ей [математике] вместо того, чтобы „учить нас фактам“, не создавать формы того, что мы называем фактами?» ([ЗпОМ], V, 15).

Примечания

➊ [к с.206]. Принимающей стороной был Российский государственный гуманитарный университет на Миусской площади. Родину Витгенштейна, Австрию, представлял государственный секретарь одного из австрийских министерств, т. е. чиновник достаточно высокого, но всё же не министерского уровня и уж тем более не Государственный секретарь Австрийской республики, каковой должности не существует в природе. Но именно так, по аналогии с Государственным секретарём США, восприняли его российские организаторы конференции. Они называли его не иначе, как Государственный секретарь Австрии. И обращались с ним с соответствующим пиететом, как если бы он был одним из высших руководителей иностранного государства. (Не исключаю, впрочем, что российские устроители всё понимали правильно, но стремились создать у публики впечатление, что к ним приехал сам «Господин Финансов».)

Литература

[Б-2] Бирюков Б. В. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времён до эпохи кибернетики. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Знание, 1985. — 191 с.

[В-0] Витгенштейн Л. Логико-философский трактат / Пер. с нем. И.Добронравова и Д.Лахути; Общ. ред. и предисл. В.Ф.Асмуса. — М.: ИЛ, 1958. — 133 с.

[В-1] Витгенштейн Л. Философские работы. — Ч. 1. / Пер. с нем. М. С. Козловой и Ю. А. Асеева; Сост., вступ. статья, примеч. М. С. Козловой. — М.: Гнозис, 1994. — XXI + 520 с.

[В-2] Витгенштейн Л. Философские работы. — Ч. 2, кн. 1 / Пер. с нем. М. С. Козловой и Ю. А. Асеева; Вступ. статья М. С. Козловой. — М.: Гнозис, 1994. — XLII + 207 с.

[ЗпОМ] Витгенштейн Л. Замечания по основаниям математики // [В-2], с. 1—207.

[К-1] Козлова М. С. Философские искания Л. Витгенштейна // [В-1], с. VII—XXI.

[К-2] Козлова М. С. Проблемы оснований математики (к публикации заметок Л. Витгенштейна) // [В-2], с. VII—XXX.

[КЦ] Витгенштейн Л. Культура и ценность // [В-1], с. 407—492.

[ЛФТ] Витгенштейн Л. Логико-философский трактат // [В-0], с. 27—97; [В-1], с. 1 — 73.

[Р] Рассел Б. Введение [к [ЛФТ]] // [В-0], с. 11—26.

[ФИ] Витгенштейн Л. Философские исследования // [В-1], с. 75—319.

On respecting the “otherness” of others1

It has been necessary for me to come to Minnesota to learn that I play some role in this project2. [Laughter.] Many thanks to all of you who have helped me to learn this. Please be merciful about my use of language. I have been taken out of the Russian environment rather suddenly and am not accustomed to speaking English.

Yesterday with my new American colleagues I was in two schools, a high school and a middle school, in Mapleton and in Amboy3, and I was very impressed with what I saw there. First, I was impressed with the teaching of handicapped children. In America in general you take much care of handicapped people. Beside every stairs there is a smooth path without stairs. In the Soviet Union we are only trying to do this, anywhere we can4. What I have seen of the treatment of handicapped persons in ordinary schools, not in special schools, is very important and has a rather philosophical meaning. In the Soviet Union we teach them in special schools — schools for the blind, for the deaf and so on. I personally knew rather well the founder of a famous Soviet school for those who are both deaf and blind, and he explained to me that it was very important for even these students to be embedded in

Без названия (но с указанием автора: Vladimir A. Uspensky) опубликовано в сборнике: Education for Global Citizenship in the 21st Century: Explorations by the USSR and the USA: Proceedings of a Soviet/American Conference on Education (October 31—November 2, 1989) organized by the College of Education, Mankato State University, Mankato, Minnesota / Edited by Elaine M. Lilly. — Mankato, Minnesota: Mankato State University, 1990. — P. 30—34.

1 Текст представляет собою запись моего выступления 31 октября 1989 года на пленарном заседании советско-американской конференции по проблемам образования, проходившей с 31 октября по 2 ноября в городе Манкейто (штат Миннесота, США), в Манкейтском университете ➊.

2 Речь идёт о проекте «Школа» (School Project) Академии наук СССР. Руководителем проекта был вице-президент Академии Е. П. Велихов, заместителем руководителя — А. Л. Семёнов.

3 Mapleton, Amboy — небольшие населённые пункты в окрестностях Манкейто.

4 Сильное преувеличение.

a normal environment as early as possible. I have heard that 10 years ago you treated handicapped people in special schools too, as we do now. In this area we are behind you and I strongly hope that maybe in 10 years we will teach handicapped students, including mentally retarded children, in ordinary schools. This is a very important thing. This [integration] is important not only for the handicapped or retarded people, but also for “normal” people who interact with them, who see their “otherness,” their quite graphic otherness, their “defect”, but become accustomed to respect them nevertheless as human beings and as school children. I think it is one of the most important things, to respect the “otherness” of others; to see in them human beings no matter what they might be. This may be the most important aim of any education.

Secondly, what impressed me in Mapleton and Amboy was the fact that school children were impressed by me. Not by my person, but by the fact that I am Russian. I was the first Russian they had seen. Maybe they expected that I would have some horns, a tail... I don't know. But when I was having some refreshments in the teachers' room, the children from other classes which I had not visited came only to see me. They could not explain why they came, only that they came to see what is a Russian. Maybe that is the same thing as with a handicapped person. Maybe I am handicapped but they respect me nevertheless as a human being.

Those were positive impressions for me. But I have a negative impression too. We attended a lesson in the history of the United States and I was asked to put a question to the school children. I asked them about the history of Minnesota before the state was created about a hundred years ago. Were there some inhabitants? Who were they? Did they have any history at all? Or did the history of Minnesota begin only a hundred years ago — not the state of Minnesota, but this area. And they said practically nothing. This relates to the same topic as my previous two comments, the same theme. They do not have any bad impression of the Indians, of course. They showed me a Chippewa5 in their classroom. But they do not understand Indian

5 Слово Chippewa (также Chippeway), переводимое на русский язык как чиппева, есть этноним, обозначающий представителя одного из индейских племён группы алгонкинов. В качестве синонима употребляется также этноним Ojibwa, или Ojibway, переводимый на русский ныне как оджибве, а прежде как оджибуэй. Племя это к XVI веку населяло восточный берег озера Верхнее. Ср. строки из вступления к «Песне о Гайавате» Лонгфелло (H. W. Longfellow, «The Song of Hiawatha»):

history as the history of their country. And I think that is important. You have a very long history, even before Columbus, not only before the creation of the state of Minnesota. (Excuse me as I pretend to teach you this. Excuse me, but it is because I love you and I wish that in this beloved state of Minnesota there would be no defects at all.)

These are my three impressions on the same topic: two positive, and one negative. They bring us to the very profound and philosophical aspects of any education: For what must we educate our children? For what? It is the main question posed by our great writer, without a doubt known to you, Leo Tolstoy. He wrote that mankind creates great bridges and trains and so on and they make war against other countries, but for what? He gave no answer “for what” but he posed an important point and I strongly believe that if we try to agree about some method of education, some technology for education, some educational program, the first question which must be asked and which we must try to answer is “for what?” For what purpose? Is the purpose to have more money, or more power over other human beings? For what? I do not pretend that I have an answer to this important question, but I repeat that maybe it is the most important problem among all educational problems. For what?

Maybe if I can get the answer just now in this room, I will be very happy. But I believe that we all do know part of the answer. The main purpose of our existence as human beings and so of education is to live in harmony with three things, three entities: with ourselves, with the environment, and with other people. Maybe the hardest problem is to be in harmony with ourselves. Dealing with handicapped children helps to resolve this problem because when one learns a merciful and good attitude toward these children, one seems to be better in one's own eyes. And this is an important aspect of the treatment of handicapped people. I will say nothing about living in harmony with the environment, but about harmony with other people, I think that the first thing we are obliged to teach our children is to respect the diversity of mankind, to respect the otherness of any other person — man, woman or child.

...From the great lakes of the Northland,

From the land of the Ojibways <...>

В классическом переводе И. А. Бунина:

...Из озёр страны полночной,

Из страны Оджибуэев <...>

К этому племени оджибуэев (оджибвэев, оджибве, чиппева) принадлежал и сам Гайавата (а жена его Миннегага — к племени дакотов).

I repeat that I don't have a good answer to all of the questions that I'm trying to pose here. But I think that as you in America know better than we in our country, to pose a problem in a proper way is to maybe help solve the problem. I think that maybe in our conference, which is of the greatest importance for me and for my Soviet colleagues, we must at least try to “exactify” the problems and try to find a proper answer to the question, “For what?”

Примечания

➊ [к с. 227]. ●▶ Когда мы шли на это заседание, руководитель советской делегации Алексей Львович Семёнов сообщил мне, что после его выступления выступать предстоит мне. Для меня это было полной неожиданностью. Никакого подготовленного текста у меня не было; более того, мне не было заранее сообщено, что когда-либо я должен буду что-либо говорить. Расчёт А. Л. Семёнова был на полную импровизацию — он объявил, что я могу говорить о чём хочу. Единственное, что он потребовал, это сообщить ему название. Пребывая в понятном смятении, я через несколько минут изобрёл что-то вроде «Фундаментальные ценности как основа всякого образования», ещё слабо представляя, что именно я скажу. Когда я произносил свою речь, у меня не было ни малейшего представления, что она где-то фиксируется. Впервые я узнал об этом, увидев весной 1990 года сборник трудов конференции. Надо сказать, что выступление было записано очень точно. ◀●

Семь размышлений на темы философии математики

1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается? — 2. Можно ли определить понятие натурального числа? — 3. Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)? — 4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?— 5. «Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?». — 6. Что такое доказательство? — 7. Можно ли сделать математику понятной?

1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается?

Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке — причём не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знаний. И с этой исключительностью согласны и нематематики (так что величие математиков, к удовольствию этих последних, осознаётся не только ими самими, но и окружающими). В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет по крайней мере три присущие только ей черты. Во-первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике — опять-таки в отличие от других наук — всё строго доказывается из аксиом. В-третьих, математика непонятна в такой вызывающей уважительный трепет степени, какая недоступна ни одной другой науке. Непонятна даже в школе (репетиторов по математике едва ли не больше, чем по всем другим школьным предметам, вместе взятым). А уж о современной математической науке и говорить нечего: достаточно раскрыть любую монографию, а тем более журнальную статью. (Заметим, что третья из перечисленных черт

Опубликовано в книге: Закономерности развития современной математики: методологические аспекты / Отв. ред. М. И. Панов.—М.: Наука, 1987. — С. 106—155.

вступает в известное противоречие с первыми двумя, хотя над этим мало кто задумывается.)

Когда что-то общеизвестно, закрадывается подозрение, не миф ли это (ведь общественное мнение обладает автономным механизмом самоподдержания). Постараемся непредвзятым, по возможности, образом критически рассмотреть три только что названные общеизвестные черты математики.

Тогда, во-первых, обнаружим, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое — через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первоет портной у кого же учился?» — справедливо замечает г-жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С. О. Шатуновский, приводя определение всё новых и новых понятий в ответ на повторные вопросы: «А что такое то-то и то-то?», наконец не выдерживал и сам спрашивал: «А что такое „что такое“?». Давайте задумаемся о принципах толкования слов в словаре какого-либо языка — русского, английского и т. п. В нём одни слова определяются через другие, другие — через третьи и т. д. Но поскольку слов в языке конечное число, то неизбежно возникает круг (т. е. ситуация, в которой слово определяется в конечном счёте через само себя)1. Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без объяснений. В некоторых словарях так и делают2. Так же, разумеется, обстоит дело и с понятиями математики. А именно: если только не допускать порочного круга, некоторые понятия должны остаться без определения. Спрашивается, как же могут быть усвоены эти понятия. Ответ: из непосредственного наблюдения, из опыта, из интуиции. Нет нужды напоминать, что формирование общих, абстрактных понятий в мозгу человека — сложный процесс, принадлежащий более психологии, нежели логике. Эти понятия, усваиваемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно называть первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа.

1 Полезно представить себе граф, в котором в вершинах размещены слова, а стрелка идёт от вершины X в вершину У в том случае, если в словарной статье, толкующей слово X, встречается слово У.

2 Например, в толковом словаре английского языка Хорнби и Парнуэлла [8] оставлены без объяснений такие слова, как thing (в основном значении) и all. К сожалению, для русского языка подобный, без порочного круга, словарь ещё не создан.

При составлении перечня (который вряд ли может быть вполне определённым) категорий (первичных понятий) математики следует соблюдать известную осторожность. Иначе число первичных понятий будет неоправданно велико в нарушение принципа «бритвы Оккама». В самом деле, возьмём, например, такое понятие, как шар. Шар, как известно, есть геометрическое место точек пространства, удалённых на не более чем заданное расстояние (называемое радиусом шара) от одной определённой точки — центра шара. Однако вряд ли кто-нибудь впервые узнаёт, что такое шар, из этого определения. Надо полагать, что человек усваивает понятие шара в детстве — на примере мяча, глобуса, шарика из подшипника и бильярдного шара. Приведённое выше определение он узнаёт лишь на уроках в школе. При этом отнюдь не всегда учащемуся удосуживаются объяснить, что тот шар, который он знает с раннего детства, и тот шар, который он изучает в школе, — это одно и то же. В результате и возникает представление, что «у них в физике и математике всё наоборот. Может быть, у них и шар пойдёт вверх»3. Но следует ли на основании того, что понятие шара узнаётся из опыта, а не из словесной формулировки, считать понятие шара неопределяемым, одной из категорий математики? Вероятно, нет.

Казалось бы, дело обстоит яснее с более сложными и дальше отстоящими от опыта понятиями математики, такими, например, как понятие группы — уж понятие-то группы никак не отнесёшь к числу первичных. Однако формирование понятия группы в умах профессионалов-математиков, возможно, не слишком отличается от образования понятия шара в умах людей вообще (как математиков, так и нематематиков): как понятие шара возникает в результате многочисленного рассмотрения различных шаров, так и понятие группы возникает в результате рассмотрения конкретных групп, а уж потом это понятие закрепляется в словесной формулировке (здесь, разумеется, речь идёт о возникновении понятия группы в коллективном опыте математиков, а не в опыте отдельного математика). Поэтому характерным признаком первичности (категориальности) понятия надлежит считать не способ его возникновения, а способ сообщения сведений о нём при передаче системы знаний. Для разъяснения сказанного представим себе, что носитель некоторой системы знаний —

3 Эти слова произнёс «неглупый ученик» в оправдание сделанному им на уроке заявлению, что шар, положенный на наклонную плоскость, покатится вверх. Сей замечательный эпизод описан в книге [10] на с. 150—151. ●▶ (Цитата из книги [10] с изложением указанного эпизода приведена в настоящей книге в примечании 1 на с. 367.) ◀●

в нашем случае знаний о математике — должен передать свои знания другому. Тогда он может сообщить другому, что такое шар или что такое группа, пользуясь словесным определением соответствующего понятия. И потому эти понятия не категориальные. Если же нужно сообщить, что такое множество, что такое прямая или что такое натуральное число, то это делается по-другому. Говорится примерно так: все стулья в этой комнате составляют множество, и все страусы за Полярным кругом составляют множество, и все иррациональные числа отрезка [0, 1] составляют множество; и далее, после приведения достаточного числа примеров, говорится: «Всё это множества», и так возникает общее понятие множества. Аналогично говорится: «Ноль, один, два, три, четыре, пять и так далее — всё это натуральные числа», и так возникает общее понятие натурального числа. (Мы видим, что при объяснении понятия натурального числа явно или неявно присутствуют слова «и так далее», иначе и не может быть для первичных понятий: указывается достаточное количество примеров, а дальше — «и так далее».)

Итак, первый из мифов — в математике всё определено — оказывается разрушенным. Перейдём ко второму: в математике всё доказывается из аксиом. Чтобы убедиться, что это не так и таким образом разрушить и этот миф, достаточно открыть классический школьный учебник геометрии А. П. Киселёва, или какой-нибудь втузовский учебник математического анализа, или университетский учебник теории чисел. Мы встречаем в этих учебниках доказываемые теоремы, но вряд ли (за исключением, возможно, аксиомы о параллельных — она же пятый постулат Евклида) найдём какие-либо аксиомы. Дело обстоит несколько загадочным образом. В самом деле, если нет аксиом, то на основе чего происходят доказательства, скажем теорем теории чисел? По-видимому, на основе здравого смысла и неких представлений об основных свойствах натуральных чисел, каковые представления, хотя и одинаковые у всех людей, не сформулированы явно в виде списка аксиом. (Насколько их можно сформулировать — тема следующего размышления.)

Необходима честная констатация того наблюдения, что в реальной математике сплошь и рядом встречаются теоремы, доказываемые без опоры на какие бы то ни было аксиомы. Сложнее дело обстоит с третьей отмеченной нами чертой математики — её непонятностью. Проще всего сказать, что это миф, но если относительно первых двух черт достаточно было спросить самоё математику — спросить и получить отрицательный ответ, — то здесь, конечно, обращение к математике с вопросом, понятна ли она, неуместно. А опрос обще-

ственного мнения, безусловно, выставит математику на призовое место по уровню непонятности. Выяснение причин этого явления — которое следует признать настолько объективным, насколько вообще могут быть объективными явления социальной психологии, — тема отдельного большого исследования, на которое мы не замахиваемся. Некоторым комментариям на эту тему будет посвящёно наше последнее размышление.

2. Можно ли определить понятие натурального числа?

Конечно, можно сказать, что натуральное число — это количество предметов в конечной совокупности. Эта формулировка, по-видимому, будет отвечать как значению (точнее, одному из значений) слова «определить», предложенному «Толковым словарём русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова [5] («дать научную, логическую характеристику, формулировку какого-либо понятия, раскрыть его содержание»), так и формулировке «Философской энциклопедии» [11] [«поскольку результаты изучения объекта отображаются в соответствующих понятиях, определение можно рассматривать как формулирование (в явной и сжатой форме) содержания этих понятий»]. Подойдём, однако, к понятиям «определить», «определение» с позиций математика. А именно: потребуем, чтобы определение содержало в себе исчерпывающую информацию об определяемом понятии — настолько исчерпывающую, что человек, ничего ранее не знавший об этом понятии, мог бы составить правильное представление о нём исключительно из предложенного определения. Можно ли в таком случае предположить, что человек, вовсе не знающий, что такое натуральное число (не термин, а именно понятие), может усвоить это понятие из первой фразы данного абзаца? Весьма сомнительно: вряд ли, искренне не зная, что такое число, он понимает, что количество предметов не означает, скажем, их суммарного веса, да и само понятие конечной совокупности предметов расплывается при переходе к очень большим совокупностям. Вероятно, все согласны, что триллион в триллионной степени — это натуральное число; однако это число больше числа атомов во Вселенной. Неясно, насколько уместно говорить о конечной совокупности, состоящей из триллиона в триллионной степени предметов [16].

Итак, будем придирчиво требовать от определения исчерпывающей полноты, т. е. будем требовать, чтобы определяемое понятие выражалось с помощью общепринятых синтаксических конструкций

через другие понятия, отправные для рассматриваемого определения. С учётом сказанного попробуем предложить такую формулировку: натуральное число — это мощность конечного множества. В этом определении участвуют три основных понятия: 1) множество, 2) мощность, 3) конечное. В рамках тех теорий, в которых эти понятия уже как-то разъяснены (в частности, объявлены неразъясняемыми, или первичными), приведённая только что формулировка действительно является определением натурального числа. Именно такое определение — в идейном смысле такое, с точностью до несущественных деталей — принято, например, в трактате Николя Бурбаки «Начала математики»4. (Напомним в связи с этим, что полное имя единицы в теории Бурбаки требует для своей записи десятков тысяч знаков [6], с. 188.) Однако здравый смысл отказывается признать понятия множества, мощности, конечного более простыми, чем понятие натурального числа. Здесь типичный пример определения простого через сложное. (Как в прибаутке: «Плазма, или, короче говоря, протоплазма».)

Сказанное не следует воспринимать как критику в адрес Н. Бурбаки и других авторов, предлагающих аналогичные формулировки. Разумеется, они, как и все люди, имеют априорное представление о натуральном числе (априорное, конечно же, по отношению к предлагаемому определению, но не к опыту). Они не ставят себе цели дать объясняющее определение понятия натурального числа (т. е. определение, которое могло бы послужить для обучения новичка). Их цель более скромна и более технична — дать определение этому понятию в рамках излагаемой аксиоматической теории множеств.

Можно определить понятие функции через понятие пары, а можно — понятие пары через понятие функции. Ясно, что эти умственные построения имеют мало общего с объяснением непосвящённому, что такое пара и что такое функция. Все предыдущие рассуждения имеют целью подвести к следующей почти очевидной

4 Автор пользуется случаем выразить свой протест против получившего, к сожалению, распространение русского перевода названия трактата Бурбаки как «Элементы математики» (в подлиннике «Eléments de mathématique»). Французские издания «Начал» Евклида также озаглавлены «Eléments». Параллельность замыслов Евклида и Бурбаки бросается в глаза. (Несколько менее очевидное сходство заключается в загадочности личностей обоих авторов и скудности биографических сведений о них. Ведь само существование Евклида как отдельного человека иногда подвергается сомнению.) Если принятое русское название трактата Евклида, укоренившееся ещё в XIX веке, есть «Начала», то русским названием для трактата Бурбаки должно быть «Начала математики».

мысли. Оставим в стороне математическую и логическую проблематику, связанную с поисками определения (а правильнее было бы сказать — поисками отражения, моделирования) понятия натурального числа в рамках той или иной аксиоматической теории. Займёмся попытками дать «наивное» объяснение понятия натурального числа, позволяющее незнающему узнать, что это такое. Довольно скоро мы убеждаемся, что такие попытки бесплодны. Натуральное число следует признать первичным, неопределяемым понятием, одной из категорий математики.

Замечание. Читатель был вправе удивиться тому, что мы считаем ноль натуральным числом, тогда как в школе учат, что наименьшим натуральным числом является единица. Дело в том, что на самом деле есть два понятия натурального числа, считательное и количественное. Считательные натуральные числа возникают в процессе пересчёта предметов: один, два, три и т.д. Поэтому наименьшее считательное число есть единица. В начальных классах школы появляются именно считательные числа. Количественное же натуральное число отражает количество предметов конечной совокупности, каковая совокупность может быть и пустой, т. е. не содержать ничего. Поэтому наименьшее количественное число есть ноль (нуль). Вот что писал по этому поводу выдающийся математик Павел Сергеевич Александров (следует учесть, что математики обычно вместо слова «совокупность» употребляют слово «множество», имеющее в математике тот же смысл): «К числу конечных множеств мы причисляем и пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль. Необходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что, когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за Полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью5, так как, может быть, какой-нибудь капитан и завёз какого-нибудь страуса за Полярный круг».

3. Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)?

Потерпев неудачу в попытках определить, что такое натуральное число (или, напротив, преуспев в отнесении этого понятия

5 Цитата относится к 1948 году. П.С.Александров как бы предвидел начавшееся в последние годы разведение страусов в Северном полушарии. — В. У.

к категории неопределяемых), обратимся к понятию Натурального Ряда. Натуральный Ряд—с большой, или прописной, буквы — это совокупность всех натуральных чисел. Если мы знаем, что такое натуральное число и понимаем слова «совокупность всех», то мы знаем и что такое Натуральный Ряд. И наоборот, зная Натуральный Ряд, мы легко определим натуральное число как его элемент. Поэтому понятие Натурального Ряда столь же неопределимо, как и понятие натурального числа; впрочем, можно считать фразу «Натуральный Ряд есть множество всех натуральных чисел» законным определением понятия Натурального Ряда через первичные неопределимые понятия 'натуральное число' и 'множество всех'.

«Как же так? — воскликнет читатель. —А аксиомы Пеано? Разве они не определяют Натуральный Ряд?». Конечно нет, да они на это и не претендуют, если понимать Натуральный Ряд так, как мы его понимаем — т. е. как единственную (!) совокупность некоторых однозначно понимаемых сущностей, называемых натуральными числами. В самом деле, посмотрим, как выглядят аксиомы Пеано. Они гласят: «Ноль есть натуральное число, и ноль не следует ни за каким натуральным числом, и т. д.». Таким образом, они опираются на понятия 'ноль' и 'следовать за' (имеется в виду непосредственное следование). Но они не разъясняют, да и не могут разъяснить, что означают эти понятия (т. е. что такое 'ноль' и что такое 'следовать за'), а лишь указывают связи между ними. Причём аксиомы сформулированы таким образом, что если ноль этих аксиом — это обычный Ноль6 Натурального Ряда, а «следование за» означает непосредственное следование одного числа за другим в Натуральном Ряду (так что за Нолём следует Единица, за Единицей—Двойка и т. д.), то все эти связи будут выполнены в Натуральном Ряду. Иными словами, аксиомы Пеано оказываются верными, истинными утверждениями при естественной их интерпретации на Натуральном Ряду. Но они, разумеется, будут верны не только на Натуральном

6 Названия Членов Натурального Ряда — Ноль, Один (Единица), Два (Двойка) и т. д. — мы пишем с прописной буквы, чтобы подчеркнуть уникальность, т. е. абсолютную единственность, этих членов. Слова «Ноль», «Один» (или «Единица»), «Два» (или «Двойка») и т. д. — собственные имена в абсолютном смысле (такие, как слова «Солнце», «Луна», «Земля»), у каждого из них единственное значение — количество элементов пустого, одноэлементного, двухэлементного и т. д. множества. А «ноль» аксиом Пеано является именем собственным лишь относительно, в пределах данного контекста, а точнее, в контексте той структуры, которая описывается этими аксиомами. Таких структур много, и в каждой из них свой ноль.

Ряду, но и на всякой структуре, изоморфной7 Натуральному Ряду. Например, если интерпретировать встречающийся в аксиомах Пеано термин «ноль» как наименьшее простое число, а термин «следовать за» — как переход от одного простого числа к ближайшему за ним следующему простому числу, то при такой интерпретации все аксиомы Пеано окажутся верными. Выходит, они, эти аксиомы, не дают даже возможности отличить Натуральный Ряд от совокупности всех простых чисел. Повторяю, они на это и не претендуют. Они претендуют на то, чтобы, как говорят, «определить Натуральный Ряд с точностью до изоморфизма»8. Более точно это означает, что аксиомы Пеано определяют не одну, а сразу много математических структур, причём все эти структуры изоморфны Натуральному Ряду и, следовательно, изоморфны между собой. Ещё более точно, аксиомы Пеано определяют весь класс таких структур. Любую такую структуру будем называть натуральным рядом (с маленькой, или строчной, буквы!). Таким образом, Натуральный Ряд есть один из натуральных рядов.

Говоря коротко, изоморфизм двух математических структур — это взаимно однозначное соответствие между совокупностями элементов первой структуры и второй структуры, сохраняющее определённые на этих структурах операции и отношения. В нашем примере изоморфизм между структурой N (Натуральный Ряд с операцией «следовать за») и структурой Р (простые числа с операцией «следовать за») задаёт бесконечная таблица

0

1

2

3

4

5

6

2

3

5

7

11

13

17

Операция «следовать за» при этом соответствии действительно сохраняется: 6 следует за 5, и одновременно 17 следует за 13, и вообще у следует за х в верхнем ряду тогда и только тогда, когда соответствующие им члены нижнего ряда рy и рx (именно в этом

7 По поводу понятий 'изоморфизм', 'изоморфный' мы отсылаем читателей ко второй из двух статей «Изоморфизм» в 3-м издании Большой Советской Энциклопедии [14].

8 Хотя обычно говорят «с точностью до изоморфизма», возможно, более правильным было бы говорить «с точностью до изоморфии». Дело в том, что изоморфизм — это математический объект, а именно такое соответствие между двумя структурами, которое сохраняет свойства этих структур (несколько более точно — сохраняет характерные для этих структур отношения и операции). Изоморфия же двух структур означает факт существования изоморфизма между ними.

порядке!) следуют один за другим (следуют в смысле, определённом для Р).

Иногда говорят, что Натуральный Ряд — это есть ряд

ноль, один, два, три, . . ., сто двадцать шесть, . . .

(его членами являются выражения, составленные из русских букв и пробелов между словами); или ряд

0, 1, 2, 3, . . ., 126, . . .

(его членами являются выражения, составленные из арабских цифр); или ряд

0, I, II, . . ., CXXVI, . . .

(его членами являются выражения, составленные из римских цифр с добавлением придуманного нами символа 0 — «римский ноль»).

Разумеется, любой из этих рядов не есть Натуральный Ряд (который состоит из абстрактных количественных категорий и не может быть изображён), а есть всего лишь ряд имён, обозначений для его членов, т. е. для натуральных чисел. Вместе с тем каждый из этих рядов имён может рассматриваться как один из натуральных рядов с маленькой буквы.

Ситуация с Натуральным Рядом имеет универсальный характер. Аналогичным образом обстоит, например, дело с тем трёхмерным евклидовым пространством, в котором мы живём. Отвлечёмся от того, что мы, скорее всего, живём в неевклидовом пространстве, да и вообще живём в пространстве не математическом, а физическом9, а это разные вещи. Вообразим, отвлекаясь от реальности, что мы живём в совершенно конкретном трёхмерном Евклидовом Пространстве (мы опять употребляем прописные буквы, чтобы подчеркнуть уникальность этого пространства). Конечно, его нельзя определить никаким числом аксиом, а можно только «указать пальцем». С другой стороны, существуют многочисленные системы аксиом (наиболее известная из них принадлежит Гильберту [3]), определяющих

9 Заметим в связи с этим, что «физический» Натуральный Ряд, скорее всего, отличается от своей математической модели — «математического» Натурального Ряда. См. по этому поводу глубокую и недостаточно оценённую статью П. К. Рашевского [16]. Вот цитата из неё: «Духу физики более соответствовала бы такая математическая теория целого числа, в которой числа, когда они становятся очень большими, приобретали бы в каком-то смысле „размытый вид“, а не являлись строго определёнными членами натурального ряда, как мы это себе представляем. Существующая теория, так сказать, переуточнена: добавление единицы меняет число — а что меняет для физика добавление одной молекулы в сосуд с газом?».

это пространство «с точностью до изоморфизма». Взятое в кавычки выражение означает, что система аксиом определяет целый класс изоморфных между собой пространств, а наше «реальное» Евклидово Пространство — одно из них.

Вообще, никакая система математических аксиом никогда не определяет какую-либо структуру однозначным образом, в лучшем случае — с точностью до изоморфизма. (Мы говорим «в лучшем случае», поскольку бывают и весьма важные системы аксиом, определяющие класс неизоморфных структур. Например, аксиомы теории групп определяют математические структуры, называемые группами, но не все они изоморфны между собой.)

Подведём итоги. Определить аксиоматически Натуральный Ряд невозможно. Можно пытаться определить аксиоматически понятие натурального ряда, т.е. понятие произвольной структуры, изоморфной Натуральному Ряду. Обсуждению этих попыток мы посвящаем наше следующее размышление.

4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?

Итак, приступим к попыткам определить аксиоматически понятие натурального ряда — структуры, изоморфной Натуральному Ряду. Как только произносится слово «изоморфизм», тем самым предполагается, что указано, какие отношения и операции должны сохраняться при этом изоморфизме. Следовательно, мы должны прежде всего точно указать, какие отношения и операции мы желаем рассматривать на Натуральном Ряду и изоморфных ему натуральных рядах. В число этих операций могут быть включены нольместные операции (т.е. индивидные константы; например, индивидную константу «ноль» можно рассматривать как нольместную операцию) и одноместные отношения (т. е. свойства). Указание этих выделенных операций и отношений в значительной мере произвольно. Например, можно рассматривать Натуральный Ряд (а значит, и любой изоморфный ему натуральный ряд): 1) как структуру лишь с отношением порядка «<», или 2) как структуру с выделенным элементом «ноль» и операцией «переход к следующему», или 3) как структуру, в которой помимо уже названных отношений и операций выделены ещё операции сложения и умножения.

Для наших целей нагляднее всего не задавать никаких операций, а задать лишь отношение порядка «<». Итак, мы рассматриваем каждый натуральный ряд как множество, на котором определено

бинарное отношение порядка «<». Именно свойства такой математической структуры мы и будем исследовать.

Перейдём к перечислению этих свойств. Каждое свойство отношения «<» в произвольном натуральном ряду должно (в силу наличия изоморфизма) иметь место и в обычном Натуральном Ряду, когда отношение «<» понимается как обычное отношение порядка между натуральными числами. После этого замечания сформулируем несколько таких свойств.

1. Отношение «<» транзитивно. В символах:

2. Отношение «<» антирефлексивно. В символах:

3. Отношение «<» связно. В символах:

Эти три свойства в своей совокупности утверждают просто-напросто, что «<» есть отношение строгого линейного порядка.

Прежде чем двигаться дальше, остановимся и задумаемся: а зачем, собственно, мы перечисляем эти свойства? А вот зачем. Мы надеемся, что, перечислив некоторое число свойств, мы сумеем дать аксиоматическое определение натурального ряда. Более подробно наш план таков. Сперва мы выписываем некоторое число характерных для Натурального Ряда свойств. Затем мы объявляем эти свойства аксиомами и определяем натуральный ряд как произвольную математическую структуру, удовлетворяющую выписанным аксиомам. Мы не претендуем на то, что ровно одно определённое множество с заданным на нём бинарным отношением «<» будет удовлетворять нашим аксиомам (такая претензия была бы совершенно нереальна), но претендуем на то, что все такие множества (с заданным на них отношением) окажутся изоморфными между собой. А поскольку наши аксиомы будут выполняться на Натуральном Ряду (так мы будем выбирать аксиомы), то Натуральный Ряд будет одной из попарно изоморфных структур, удовлетворяющих аксиомам, и значит, все эти изоморфные между собой структуры будут изоморфны и Натуральному Ряду. Если нам удастся достичь изложенной только что цели, мы и будем считать, что сумели аксиоматически определить натуральный ряд (со строчной буквы!).

Можем ли мы, имея в виду поставленную цель, довольствоваться тремя выписанными свойствами — аксиомами? Разумеется, нет.

Этим аксиомам удовлетворяют все линейно упорядоченные множества, среди которых много неизоморфных и, следовательно, заведомо неизоморфных Натуральному Ряду N. Например, множество R всех действительных чисел с обычным отношением порядка будет удовлетворять выписанным трём аксиомам. Наблюдая совместно N и R, мы замечаем, что N имеет по крайней мере два свойства, которых нет в R. Вот они.

4. В N есть наименьший элемент. В символах:

5. В N за каждым элементом х непосредственно следует некоторый у. («Непосредственно» — это значит, что между х и у нет третьего элемента.) В символах:

Эти пять аксиом уже значительно сужают круг удовлетворяющих им линейно упорядоченных множеств. Этим аксиомам удовлетворяет Натуральный Ряд, а также, например, такое множество действительных чисел (рассматриваемое с обычным порядком):

(*)

Наличие этой, отличной от N, структуры (*), удовлетворяющей аксиомам 1 — 5, ещё не служит препятствием к тому, чтобы считать эти аксиомы аксиоматическим определением натурального ряда, ведь эта структура изоморфна N (и, таким образом, может признаваться натуральным рядом). Графическое изображение порядка на (*) (и на N) приведено на рис. 1.

Рис. 1

Легко заметить, однако, что аксиомам 1 — 5 удовлетворяет и такая структура (т. е. множество плюс отношение порядка):

(**)

Графический образ этой порядковой структуры приведён на рис. 2.

Рис. 2

В этой структуре у двух элементов (у 0 и у 10) нет непосредственных предшественников, чего не наблюдается в N. Тем самым, структура (**) неизоморфна Натуральному Ряду N. Запретим эту ситуацию следующей аксиомой 6.

6. Если у двух элементов x1 и x2 нет непосредственных предшественников, то они равны. В символах:

Аксиома 6 исключает структуру (**), но не исключает такой структуры:

Структура (***), очевидно, не изоморфна натуральному ряду. Её графический образ приведён на рис. 3.

Рис. 3

Наша цель, подобно горизонту, отодвигается всё дальше и дальше... Оказывается, она вообще недостижима. Оказывается, имеет место следующий поразительный факт: сколько бы мы ни выписывали аксиом, использующих логические знаки, знак отношения «<» и переменные, пробегающие по элементам определяемой структуры, у совокупности выписанных аксиом всегда будет модель, не изоморфная натуральному ряду. Ввиду фундаментальной важности этого факта (означающего невозможность аксиоматического определения натурального ряда с использованием указанных средств) изложим его подробнее.

Будем записывать аксиомы на формализованном символическом языке, в алфавит которого входят следующие знаки:

1) знаки препинания—левая скобка «(» и правая скобка «)»;

2) логические знаки

3) индивидные переменные

4) знак «<».

С помощью этих букв по естественным и легко формулируемым синтаксическим правилам составляются формулы. Простейшие примеры формул:

Возьмём теперь какое-либо множество с каким-либо определённым на нём бинарным отношением (не обязательно отношением строгого порядка), обозначаемым через «<». Всякое такое множество с отношением «<» будем называть структурой сигнатуры <. Таким образом, структура сигнатуры < состоит из множества (называемого носителем структуры) и отношения «<». Назначим для каждой индивидной переменной носитель структуры в качестве области изменения этой переменной. Тогда каждая формула становится либо высказыванием, как вторая, третья и пятая формула из приведённого только что списка, либо высказывательной формой, как первая и четвёртая формулы. Формулы, превращающиеся в высказывания, называются закрытыми10, только их мы и будем впредь рассматривать. Про (закрытую) формулу, становящуюся — при рассмотрении на данной структуре — истинным высказыванием, говорят, что она истинна на данной структуре или выполняется на данной структуре, а про структуру — что она удовлетворяет данной формуле.

Среди структур сигнатуры < выделена структура N — наш обычный Натуральный Ряд с обычным отношением порядка. Будем называть аксиомой любую закрытую формулу, превращающуюся в истинное высказывание при интерпретации на структуре N. Так вот, какое бы — конечное или бесконечное — количество аксиом мы ни выписывали, всегда найдётся такая структура сигнатуры <, которая, во-первых, удовлетворяет всем выписанным аксиомам и, во-вторых, не изоморфна N.

Получается, таким образом, что натуральный ряд нельзя определить аксиоматически: ведь определить N аксиоматически — это

10 Нетрудно заметить, что свойство закрытости формулы не зависит от того, применительно к какой структуре мы рассматриваем эту формулу; это свойство может быть определено чисто синтаксически по внешнему виду формулы. (Все переменные должны быть связаны кванторами; в этом и состоит закрытость.)

значит записать такую систему аксиом, которая определяла бы N с точностью до изоморфизма (это, в свою очередь, значит, что любые две структуры, удовлетворяющие всем выписанным аксиомам, изоморфны).

«Позвольте, — снова возразит читатель, — но аксиомы Пеано ведь определяют Натуральный Ряд как раз с точностью до изоморфизма. Система аксиом Пеано категорична, а это как раз и означает, что все её модели11 изоморфны». Немножко терпения, разберёмся и с аксиомами Пеано.

А сейчас обсудим вот какой вопрос. На Натуральном Ряде определено не только отношение порядка «<», но и бесчисленное множество других отношений и операций. Среди них двуместное (или бинарное) отношение делимости двух чисел; трёхместное (или тернарное) отношение «x + y = z»; одноместное (или сингулярное, singulary12) отношение «быть простым числом» (напомним, что свойства мы трактуем как одноместные отношения); двуместная операция сложения; двуместная операция умножения; двуместная операция возведения в степень (причём 00= 1); одноместная операция непосредственного следования (мы будем, как это часто делается, обозначать её штрихом, так что, например, (0'=1; 13'=14); константы 0, 1, 2, 3, 4, . . . (напомним, что константы мы трактуем как нольместные операции); четырёхместная операция [logu+2 z! + yxz+u] (здесь, как обычно, через [а] обозначается целая часть числа а); и многие другие. Мы привели лишь несколько примеров, a всего на N определено несчётное количество операций и отношений. Для того чтобы определить понятие структуры, изоморфной N, мы сперва должны из этого количества выделить некоторые (теоретически возможно — все) операции и отношения и рассмотреть изоморфизм относительно именно этих выделенных операций и отношений. На самом деле поэтому не существует понятия натурального ряда просто, а только понятие натурального ряда относительно данного списка операций и отношений. Выше мы рассматривали понятие натурального ряда относительно списка, в котором операций не было вовсе, а отношение одно — отношение 'быть меньше'.

Выделенные на множестве операции и отношения, а также выделенные элементы множества (таковых у нас пока не было) называют

11 Моделью системы, или списка, аксиом называется всякая структура, удовлетворяющая каждой из аксиом системы.

12 «Вслед за У. В. Куайном мы принимаем этот этимологически более правильный термин вместо распространённого в настоящее время термина unary (унарный)» [7], примечание 29.

в контексте наших рассмотрений сигнатурными, а список таких операций и отношений — сигнатурой. Точнее, сигнатурой называют список не самих выделенных элементов, операций и отношений, а список их имён, но для наших целей это различие (само по себе очень важное) не слишком существенно, и нам проще его не замечать. Множество с выделенными операциями и отношениями, образующими список σ, называется (математической) структурой сигнатуры σ. Теперь мы можем сказать, что всякий натуральный ряд является структурой той или иной сигнатуры σ. Поэтому следует говорить не о натуральном ряде вообще, а о натуральном ряде сигнатуры σ. До сих пор мы рассматривали случай, когда

Может быть, причина нашего неуспеха в попытке определить аксиоматически натуральный ряд вызвана именно бедностью сигнатуры? Давайте расширять сигнатуру и наблюдать, что при этом будет происходить.

Сперва добавим в сигнатуру константу «0» (для обозначения наименьшего, относительно порядка «<», элемента) и штрих «'» для обозначения операции непосредственного следования. На Натуральном Ряде N эти объекты подчинены аксиомам (свойствам) 7 и 8 (ср. свойства 4 и 5, которые вытекают из свойств 7 и 8).

Всякий натуральный ряд с сигнатурой {0, ', <} изоморфен, по определению, Натуральному ряду причём изоморфизм рассматривается относительно {0, <}. Поэтому всякий такой натуральный ряд состоит из элементов 0, 0', . . ., упорядоченных следующим образом: 0<0'<0"<0"'<....

Замечание. Следует отдавать себе отчёт, что в каждом натуральном ряду свой 0, свой ' и своё <, т. е. свой элемент, обозначенный через «0», своя операция, обозначенная через «'», и своё отношение, обозначенное через «<». Строго говоря, для каждого натурального ряда мы должны были бы придумать своё обозначение этих объектов — например, если мы рассматриваем натуральный ряд У, то можно прибавлять эту букву «У» в качестве индекса к знакам «0», «'», «<». Эта строгость создаёт некоторое удобство. Однако отсутствие строгости тоже создаёт некоторое удобство. Считается, что в данном случае удобство от нестрогости больше, и поэтому одним и тем же знаком «О» обозначаются различные элементы (но в каждом

натуральном ряду — один и только один элемент ноль; в частности, в Натуральном Ряду — мощность пустого множества). Аналогично знак «<» обозначает различные отношения (но в каждом натуральном ряде только одно) и знак «'» обозначает различные операции (но в каждом натуральном ряде — только одну). Сказанное сохраняет силу не только для натуральных рядов, но и для любых структур сигнатуры {0, ', <}, не обязательно изоморфных N.

Посмотрим теперь, как выглядит произвольная структура сигнатуры (0, ', <}, подчиняющаяся аксиомам 1—8 (аксиомы 4 и 5 следуют из аксиом 7 и 8, но в этом нет большой беды). Она, очевидно, представляет собой линейно упорядоченное множество, в котором 0 есть наименьший элемент, 0' — непосредственно следующий за 0 элемент (так что между 0 и 0' ничего нет), 0" — непосредственно следующий за 0' элемент и т. д. Все эти элементы 0, 0', 0", 0"', . . . образуют начальный отрезок нашей структуры. Этот начальный отрезок называется стандартной частью структуры, а оставшаяся часть (она может быть и пустой) — нестандартной. Стандартная часть изоморфна Натуральному Ряду N. Если бы оказалось, что в любой структуре сигнатуры {0, <}, подчиняющейся аксиомам 1—8, нет ничего, кроме стандартной части, то наша цель была бы достигнута: аксиомы 1—8 давали бы в своей совокупности искомое аксиоматическое определение натурального ряда, точнее, натурального ряда сигнатуры {0, <}.

Однако это не так, поскольку структура, графически изображённая на рис. 3, такая как, скажем, (***), где

удовлетворяет аксиомам 1—8, но не изоморфна N: в ней есть непустая «нестандартная» часть (на рис. 3 эта нестандартная часть изображена справа), в (***) эта нестандартная часть состоит из элементов вида 9 + 1/m и 10 + n-1/n. Более того, оказывается, что никакие аксиомы не могут задать натуральный ряд сигнатуры {0, ', <}, поскольку структура на рис.3 всегда будет моделью для таких аксиом.

Может быть, дело всё ещё в бедности сигнатуры? Что будет, если добавить сложение и умножение и рассматривать натуральный ряд не сигнатуры {0, ', <}, а сигнатуры {0, ', <, +, •}? Можно ли для такой более богатой сигнатуры составить список аксиом, определяющих понятие натурального ряда этой сигнатуры, т. е. выделить из всех структур этой сигнатуры те структуры, которые относительно 0, ', <,

+ , • изоморфны N? Оказывается, нет, нельзя. Какую бы совокупность аксиом13 — конечную или бесконечную — мы ни образовали, всегда для этой совокупности будут существовать структуры (сигнатуры (0, ', <, +, •}), не изоморфные N.

Более того, какую бы мы ни взяли сигнатуру и какую бы ни взяли для этой сигнатуры систему аксиом, всегда будет существовать модель этой системы аксиом, не изоморфная Натуральному ряду N. Такие неизоморфные N модели называют нестандартными, а аксиомы, перечисляющие свойства натурального ряда (особенно, когда в сигнатуру входят « + » и «•»), называют аксиомами арифметики. Поэтому сказанное можно выразить и так: для любой системы аксиом арифметики существует нестандартная модель.

Если в число аксиом входят аксиомы 1—8 или какие-нибудь им равносильные, то в любой модели можно выделить стандартную часть 0, 0', 0", . . .; нестандартность модели означает в этом случае непустоту нестандартной части. Эта нестандартная часть может оказаться устроенной более сложно, чем на рис. 3. На рис. 3 нестандартная часть подобна, с точки зрения порядка, множеству z всех целых чисел. При естественных же аксиомах для сигнатуры, включающей операцию сложения, нестандартная часть всякой счётной (т. е. насчитывающей счётное число элементов) структуры, удовлетворяющей этим аксиомам, имеет вид, который мы (не очень удачно) пытались изобразить на рис. 4. На этом рисунке мы пытались как-то выразить следующую идею: берётся очень много (бесконечное счётное число) экземпляров множеств целых чисел z, и эти экземпляры располагаются так, как расположено множество всех рациональных чисел q.

Итак, предъявить систему аксиом, определяющую понятие натурального ряда (какой угодно сигнатуры), невозможно. Более подробная расшифровка этого утверждения, как мы знаем, такова: какие ни выбрать определённые на N операции и отношения, не может быть такой системы аксиом, все модели которой изоморфны N относительно этих операций и отношений.

Рис. 4

13 Когда мы говорим об аксиомах, мы имеем в виду символический язык, подобный описанному выше для сигнатуры {<}; только теперь в алфавит его знаков вместе с «<» входят «0», «'», « + », «•».

Вот теперь и ответим на вопрос: а как же аксиомы Пеано?

Классические аксиомы Пеано с несущественными изменениями устроены так. Рассматривается сигнатура {0, '}. Формулируются три аксиомы.

I. II.

III. Аксиома индукции.

Третью аксиому, аксиому индукции, мы пока только назвали, но не выписали. Теперь выпишем её:

Приглядимся к аксиоме индукции. Мы замечаем, что в ней наряду с обычной индивидной переменной встречается ещё переменная Р. Разъясним смысл этой переменной. Прежде всего напомним, что семантика формулы (т. е. придание этой формуле смысла) возникает лишь после того, как предъявляется математическая структура соответствующей сигнатуры. В частности, чтобы обрели смысл аксиомы Пеано (формулы I—III), надо предъявить какую-либо структуру сигнатуры (0, '}, т.е. множество с выделенным элементом, обозначенным через «О», и выделенной одноместной операцией, обозначенной через «'». Тогда сразу определяется область изменения переменной X (как и всякой индивидной переменной): это есть множество всех элементов рассматриваемой структуры. Какова же область изменения переменной Р?

Переменная Р — особая, не встречавшегося ещё в нашем изложении типа. Её область изменения состоит из всевозможных свойств (= одноместных отношений), определённых на рассматриваемой структуре, т. е. свойств элементов этой структуры.

Понятие свойства относится к первичным и постигается из примеров. На натуральных числах определено, например, свойство чётности: каждое число может быть либо чётным, либо нечётным. Здесь несущественно, что бывают как чётные, так и нечётные числа; нас устроила бы ситуация, когда все числа — чётные; важно, что для каждого числа осмыслен вопрос, чётное оно или нечётное. А вот свойство зелёности не определено на натуральном ряду; для числа «быть зелёным» бессмысленно. Выше мы сформулировали некоторые свойства, какими как целое обладает Натуральный Ряд. Свойствами могут обладать и отношения: так, среди отношений выделяются, например, транзитивные. Но в данный момент нас интересуют свойства элементов рассматриваемой структуры (для которой

выполняются аксиомы Пеано). Именно эти свойства могут выступать в качестве значений переменной Р.

Тот факт, что элемент а обладает свойством Q, записывается как Q(a). Если на элементах какого-то множества M определено свойство Q, то можно ввести в рассмотрение подмножество К этого множества, состоящее из тех и только тех элементов М, которые обладают свойством Q:

(+)

И наоборот, для каждого подмножества К можно ввести свойство Q — «быть элементом К», и опять-таки будет выполнено соотношение (+). Таким образом, свойство — это почти то же самое, что подмножество: «язык свойств» и «язык подмножеств» тривиально переводимы один в другой. (На языке подмножеств, например, аксиома индукции записывалась бы так:

Итак, область изменения переменной Р в аксиоме индукции — совокупность всех свойств, определённых на рассматриваемой структуре. Посмотрим, как эта аксиома используется для того, чтобы установить, что удовлетворяющая аксиомам Пеано структура изоморфна N. Пусть структура сигнатуры {0, '} удовлетворяет аксиомам I—III. Аксиомы I—II обеспечивают наличие в этой структуре стандартной части {0, 0', 0", 0''', . . .}. Теперь применим аксиому индукции, взяв в качестве значения переменной Р такое свойство Р0 элементов структуры: «принадлежать к стандартной части». Аксиома индукции утверждает, что нечто справедливо для всякого Р, в частности для этого Рn. Таким образом,

Заключённая в квадратные скобки посылка, очевидно, истинна (О принадлежит стандартной части и если х принадлежит стандартной части, то принадлежит и х'); поэтому ∀x Р0(х), т. е. все х (все элементы структуры!) принадлежат стандартной части. Стандартная часть, как уже было замечено, изоморфна N. Этим завершается доказательство того, что рассматриваемая структура изоморфна N.

Таким образом, всякая структура, удовлетворяющая аксиомам Пеано, изоморфна N, и следовательно, эти аксиомы определяют понятие натурального ряда с сигнатурой {0, '}. Вроде бы это обстоятельство противоречит неоднократно делавшемуся нами заявлению, что системы аксиом с таким свойством не может быть.

Однако противоречия нет, и вот почему. Ранее речь шла лишь о свойствах Натурального Ряда, которые можно выразить определёнными языковыми средствами, иными словами, об аксиомах, записанных на определённом языке. В этом языке был лишь один вид переменных — индивидные переменные х, у, z, .... Сущность этих индивидных переменных заключается в том, что при интерпретации на какой-либо структуре областью изменения каждой из этих переменных объявляется одно и то же множество — множество всех элементов рассматриваемой структуры. В аксиоме же индукции участвует переменная другого вида — переменная Р. Её значениями являются не элементы рассматриваемой структуры, а свойства этих элементов (иначе, определённые на этих элементах одноместные предикаты, отчего сама переменная Р называется предикатной, точнее, предикатной переменной валентности 1). Таким образом, аксиома индукции — это формула другого, расширенного языка, более широкого, нежели рассматривавшийся до сих пор узкий язык. (Узкий потому, что в нём бывают только индивидные переменные.) А когда мы говорили, что систем аксиом, полностью характеризующих натуральный ряд, не бывает, мы имели в виду этот прежний, узкий язык.

Разъяснение, конечно, дано, но вряд ли оно кого-нибудь удовлетворит. Что с того, что на каком-то языке нельзя написать систему аксиом натурального ряда? Это, как говорится, «факт не биографии натурального ряда, а биографии этого языка». Просто-напросто узкий язык плохой, а вот теперь мы нашли хороший, расширенный язык, на котором как раз и возможно выписать адекватные аксиомы натурального ряда.

Однако всё не так просто. Грубо говоря, дело обстоит как раз наоборот: узкий язык «хороший», а расширенный — «плохой». Попробуем разъяснить ситуацию.

Начнём с терминологии. Формулы, в которых все переменные индивидные, называются элементарными формулами, а язык, в котором допускаются только элементарные формулы, — элементарным языком. Синонимом для термина «элементарный» в данном контексте является термин «1-го порядка», или «первопорядковый». Все рассматриваемые выше аксиомы, кроме аксиомы индукции (т. е. все аксиомы 1—8 и I—II), были элементарными аксиомами, т. е. элементарными формулами. Не существует никакой (ни конечной, ни бесконечной, и притом любой сигнатуры) системы аксиом, записываемых в виде элементарных формул (короче — никакой системы элементарных аксиом), которой удовлетворял бы Натуральный Ряд N и все модели которой были бы изоморфны Натуральному Ряду N.

Бывают и неэлементарные формулы, но они принадлежат неэлементарному языку. В этом языке допускаются переменные более сложной природы: предикатные переменные валентности 1, значениями которых служат свойства (= одноместные отношения), предикатные переменные валентности 2, значениями которых служат бинарные ( = двуместные) отношения и т.п., а также функциональные переменные (значением функциональной переменной валентности 1 может быть любая одноместная операция, такая, как, скажем, «следование за», а значением функциональной переменной валентности 2 может быть любая двуместная операция, такая, как скажем, сложение). Аксиома индукции служит примером неэлементарной формулы. Более точно, неэлементарный язык с описанными только что возможностями называется языком 2-го порядка: это значит, что в нём допускаются переменные, пробегающие по отношениям и операциям (каковые отношения и операции должны быть определены на элементах структуры), но не рассматриваются более сложные переменные, значениями которых могут служить, скажем, свойства операций или операции над отношениями (или свойства отношений, такие как «транзитивность»). Аксиома индукции служит примером неэлементарной формулы языка 2-го порядка (или просто примером формулы 2-го порядка).

Казалось бы, — и наличие аксиом Пеано это как бы подтверждает— возможна система неэлементарных аксиом 2-го порядка (т. е. аксиом, записанных в виде формул этого неэлементарного языка), определяющая понятие натурального ряда в следующем точном смысле:

1) N является моделью этой системы;

2) всякая модель этой системы изоморфна N.

Однако здесь возникают неожиданные, но совершенно фундаментальные трудности семантического (можно даже сказать — гносеологического) характера. Дело в том, что уже для языка 2-го порядка (не говоря уже о более сложных неэлементарных языках) само понятие модели теряет необходимую ясность. Это положение иллюстрируется следующим примером, связанным с так называемой проблемой континуума.

Как известно, количество элементов какого-либо множества называется кардинальным числом, или мощностью, этого множества. Понятие кардинального числа, или мощности, является обобщением понятия натурального числа, поскольку натуральные числа — это мощности конечных множеств. Среди бесконечных мощностей выделяются следующие две: мощность множества всех натуральных

чисел и мощность множества всех действительных чисел (или всех точек какой-либо прямой). Первая обозначается К0 (читается «алеф-ноль») и называется счётно-бесконечной мощностью (или бесконечной счётной, а чаще — просто счётной, хотя нередко бывает полезным называть счётными не только счётно-бесконечные, но и конечные мощности, т. е. натуральные числа); вторая обозначается с (строчное готическое «це») и называется мощностью континуума, континуальной мощностью. Эпитеты «счётно-бесконечный» («бесконечный счётный», «счётный») и «континуальный» распространяются и на множества соответствующих мощностей. Очевидно14, Х0<с.

Знаменитая проблема континуума состоит в выяснении того, существует или нет промежуточная мощность, т. е. мощность m, удовлетворяющая неравенству

Знаменитая континуум-гипотеза состоит в том, что такой мощности нет. Философский смысл континуум-гипотезы очевиден: не существует количества, промежуточного между количеством всех натуральных чисел и количеством всех точек прямой линии (или равным ему количеством всех действительных чисел)! Эквивалентная формулировка континуум-гипотезы: всякая бесконечная часть континуального (т. е. имеющего континуальную мощность) множества либо сама имеет мощность континуума, либо же имеет счётно-бесконечную мощность.

Историческая справка. Континуум-гипотезу высказал ещё в XIX веке Георг Кантор (1843—1918) — великий немецкий (впрочем, родившийся в Санкт-Петербурге и проведший там первые одиннадцать лет жизни) философ и математик, создатель теории множеств. Он высказал эту гипотезу не как гипотезу, а как положительное утверждение. А именно: в написанной в 1877 году статье «К учению о многообразиях» [27], с. 257, [29], с. 132, Кантор заявил, что всякое бесконечное множество точек на прямой имеет либо континуальную, либо счётно-бесконечную мощность и что это утверждение устанавливается «с помощью индуктивного рассуждения, которое мы не будем здесь приводить». «Строгое исследование этого вопроса, — завершалась статья, — мы откладываем до другого раза».

14 Точнее, это становится очевидным, если разумным образом распространить отношение строгого порядка «<» с конечных мощностей (т. е. конечных количеств) на все мощности, включая и мощности бесконечные (т. е. бесконечные количества).

И действительно, с 1879 года Кантор начал отдельными порциями публиковать трактат под названием «О бесконечных линейных точечных многообразиях»; эта серия публикаций должна была увенчаться доказательством заявленного утверждения. В шестой публикации [28] названной серии это утверждение и в самом деле было доказано, но лишь для узкого класса множеств (а именно, для так называемых замкнутых множеств). Соответствующая теорема была сформулирована в самом конце статьи [28], и её формулировка сопровождалась утверждением, что «эта замечательная теорема» (dieser merkwürdige Satz) остаётся справедливой и для произвольных множеств и что это будет доказано в последующих параграфах трактата. Таким образом, Кантор, во-первых, доказал, что не существует такого количества, промежуточного между счётно-бесконечным и континуальным, которое служило бы количеством элементов какого-либо замкнутого множества на прямой линии, а также, во-вторых, обещал предъявить доказательство более сильного утверждения, а именно: что ни для какого (а не только замкнутого) множества точек на прямой линии количество этих точек не может быть промежуточным. Статье [28], завершённой 15 ноября 1883 года, суждено было стать последней в серии. Кантор обнаружил, что не в состоянии выполнить своё обещание, поскольку не располагает доказательством для общего случая. Это осознание имело драматические последствия. В мае 1884 года Кантора постиг первый приступ нервной болезни. Через месяц приступ прошёл, но болезнь уже не отпускала свою жертву, а с 1899 года приступы участились. После 1897 года Кантор уже ничего не публиковал, а в 1918 году умер в нервной клинике.

Ныне известно (в силу результатов, полученных К. Гёделем и П. Коэном), что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Говоря «доказать» и «опровергнуть», мы имеем в виду все мыслимые средства, допускаемые современной математикой. А значит, повисает в воздухе вопрос о самом смысле континуум-гипотезы. В самом деле, смысл утверждения, истинность или ложность которого заведомо нельзя установить никакими средствами, воспринимается как туманный. Эта чрезвычайная ситуация радикально отличается от такого часто встречающегося положения, когда мы просто чего-то не знаем (но хотя бы ясно понимаем сам вопрос15).

15 А залог ясности понимания вопроса состоит в ясности понимания возможных ответов на него.

Оказывается, что можно выписать формулу 2-го порядка, которая тогда и только тогда имеет модель (т. е. такую структуру, в которой она становится верна), когда континуум-гипотеза справедлива. Можно выписать и такую формулу 2-го порядка, наличие у которой модели равносильно, напротив, наличию промежуточной мощности, т. е. справедливости отрицания континуум-гипотезы. Таким образом, для формул 2-го порядка вопрос о наличии у них модели может оказаться столь же туманным, как сама континуум-гипотеза. (Пример формулы, обладающей указанным свойством, интересующийся читатель найдёт в приложении к данной статье, на с. 287—289. Читателя следует предупредить, что это приложение при всём желании невоможно отнести к нематематике: его текст совершенно математический. )

Кажется сомнительным, чтобы язык со столь неясной семантикой мог служить удовлетворительным средством для аксиоматического определения чего-нибудь, в частности натурального ряда.

И действительно, если мы проанализируем использование аксиомы индукции в процессе доказательства того, что любая модель аксиом Пеано I—III изоморфна N, мы увидим, что здесь, по существу, используется то самое понятие натурального числа, которое мы ещё только собираемся аксиоматически определить. Наше свойство Р0 означает «иметь вид 0“...'». Многоточие между штрихами в выражении «О”...'» как раз и пытается заменить собою общее представление о натуральном числе. А выразить свойство Р0 без априорного представления о натуральном числе или без заменяющих его многоточия или слов «и так далее» невозможно.

5. «Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?»

●▶ Именно так было озаглавлено пятое размышление в опубликованном в 1987 году первоначальном тексте этой работы. В то время убеждение в справедливости Великой теоремы Ферма основывалось на некой иррациональной вере; доказательство теоремы отсутствовало, отсутствовало и опровержение. Напомним, что опровержение какого-либо утверждения состоит в доказательстве его ложности; опровергнуть утверждение — значит доказать, что оно является ложным, иначе говоря, доказать его отрицание.

Однако с тех пор в мировой науке произошло важное событие: более чем через 350 лет после того, как была сформулирована Великая теорема Ферма, она была наконец доказана! Автором доказательства стал сорокалетний англичанин Эндрю Уайлс (A. Wiles), выпускник аспирантуры Кембриджа, переехавший в 1980-х годах в Америку и ставший профессором Принстонского университета.

Доказательство Уайлса рождалось с драматизмом, достойным Великой теоремы. После многих лет упорной работы к маю 1993 года Уайлс был убеждён, что обладает доказательством, которое он изложил в общих чертах в трёх лекциях, прочитанных в его родном Кембридже 21—23 июня 1993 года. В номере от 5 июля 1993 года известный американский журнал «Тайм» посвятил этому событию статью с подзаголовком «Решена самая знаменитая математическая проблема в истории». В январе 1994 года популярный математический журнал опубликовал статью [31] о многовековой осаде Великой теоремы Ферма — осаде, завершившейся предпринятым Уайлсом семилетним штурмом; впрочем, в конце статьи содержалось следующее примечание:

На декабрь 1993 года рукопись Уайлса ещё не обнародована. Кен Райбет (Ken Ribet) отмечает, что применительно к длинным рукописям подобная задержка является сравнительно нормальной. Большинство экспертов продолжает верить в то, что в основном доказательство правильно.

Однако когда Уайлс записал своё доказательство, в нём обнаружился пробел (т. е. недоказанный логический переход). Над учёным нависла угроза провала. (Здесь уместно вспомнить судьбу Георга Кантора.) К счастью, в сентябре 1994 года с помощью своего ученика Ричарда Тэйлора (R. Taylor) Уайлс сумел пробел устранить. Уточнённое доказательство Уайлса теперь уже не подвергается сомнению в мире математиков. Подробнее обо всём этом можно прочесть в замечательной книге Саймона Сингха [32].

Итак, теорема Ферма доказана. Поэтому избранный нами в качестве заголовка вопрос «Можно ли доказать, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?» потерял свой смысл и потому взят в кавычки; сегодня ответом на него должно служить уверенное «нельзя». Попробуем, однако, перенестись в прошлое, когда теорема Ферма ещё не была ни доказана, ни опровергнута. Будем рассуждать в рамках того прошедшего времени, когда ещё не было известно, появится ли когда-либо доказательство или опровержение Великой теоремы. С современной точки зрения, настоящее, пятое,

размышление, вероятно, следовало бы озаглавить так: «Можно ли когда-либо было ожидать (опасаться, надеяться) получить доказательство того, что Великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?». Мы увидим, что ожидать этого было никак нельзя. ◀●

Проблема континуума, упомянутая в конце нашего предыдущего размышления, относится к числу главных проблем, волновавших умы математиков. В знаменитом докладе «Математические проблемы», с которым великий Гильберт выступил в 1900 году на Международном конгрессе в Париже, она была названа первой. Как было отмечено, проблема континуума оказалась неразрешимой: континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Перечисляя 23 основные проблемы математики, Гильберт не упомянул проблему доказательства (или опровержения) Великой теоремы Ферма. По-видимому, Гильберт не считал эту проблему достаточно важной. Тем не менее нет сомнения, что это самая знаменитая из не решённых в то время математических проблем. И притом единственная из таких проблем, известных, к сожалению, широкой массе нематематиков. Мы написали «к сожалению», ибо ощутимую долю времени математики-профессионалы тратят на изучение и опровержение сочинений ферматистов — так называются люди, не имеющие должной математической подготовки, но считающие, что они доказали теорему Ферма.

Если считать, что под теоремами следует понимать лишь те математические утверждения, истинность которых установлена путём доказательства, то теорему Ферма нельзя было называть теоремой, а следовало называть гипотезой Ферма. Ведь доказательство «теоремы Ферма» ещё не было найдено16. Но если обозначать словом «теорема» математическое утверждение, истинность которого подлежит установлению путём доказательства, то термин «теорема Ферма» оказывается законным во все времена. Как бы то ни было, мы будем употреблять именно его. (Не чуждого терминологических проблем читателя приглашаем взглянуть на статьи «Теорема» и «Ферма теорема» в «Математической энциклопедии» [22], [23].)

16 Впрочем, не все придерживались этой точки зрения. Так, Виктолий Иванович Будкин на с. 45 своей книги «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» (Ярославль: Верх.-Волж. кн. изд-во, 1975) указывал: «Итак, сменилось 13 поколений людей, а Великая теорема Ферма осталась ещё не доказанной. Только в настоящей работе впервые приводится полное доказательство теоремы в общем виде». Следует отметить, что подавляющему большинству ферматистов всё же не удаётся опубликовать свои псевдодоказательства.

Много факторов способствовало популярности теоремы Ферма в среде непрофессионалов. Среди них: 1) авторитетность автора (теорему сформулировал великий французский математик Пьер де Ферма); 2) почтенность возраста (она была высказана около 1630 года); 3) романтические обстоятельства, при которых она была сформулирована (Ферма записал её на полях латинского перевода «Арифметики» Диофанта издания 1621 года. Восьмая задача второй книги «Арифметики» Диофанта гласит: «Заданный квадрат разложить на два квадрата». Ферма сделал к этой задаче следующее замечание (также на латыни): «Напротив, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата — вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». В бумагах Ферма доказательства найдено не было); 4) учреждение в 1908 году премии Вольфскеля в 100 тысяч германских марок за доказательство теоремы Ферма («приятный» факт учреждения большой премии, естественно, получил гораздо большую известность, чем «неприятный» факт её обесценивания вследствие наступившей после Первой мировой войны инфляции); 5) простота формулировки.

Конечно, первые четыре фактора не смогли бы сработать, не будь теорема Ферма столь общедоступна по своей формулировке. Вот в чём она состоит: каково бы ни было целое число n, большее чем 2, уравнение xn + yn = zп не имеет целых положительных решений.

Как видим, участвующее в формулировке теоремы Ферма уравнение рассматривают как уравнение с тремя неизвестными: х, у, г. Поскольку n может принимать значения 3, 4, 5, 6 и т. д., то на самом деле речь идёт о бесконечной серии уравнений и утверждается, что ни одно из них не имеет решения в таких целых х, у, z, что х>0, у>0, z>0. С логической точки зрения, более естественно рассматривать уравнение xn + yn = zn как одно уравнение с четырьмя неизвестными n, х, у, г. Теорема Ферма, стало быть, утверждает, что это уравнение не имеет целых решений, таких что n>2, х>0, у >0, z >0.

Современные эксперты сходятся во мнении, что Ферма на самом деле не обладал доказательством своей теоремы, хотя, возможно, умел её доказывать для двух частных случаев, а именно: для случая, когда показатель степени n равен 3, и для случая, когда этот показатель равен 4. Впервые доказательства для этих двух случаев были опубликованы великим швейцарским и российским математиком Эйлером в XVIII веке. Заметим, что из доказательства теоремы

Ферма для какого-либо показателя n немедленно вытекает её доказательство для всех показателей, делящихся на n. Таким образом, ещё в XVIII веке теорема была доказана для всех показателей, делящихся на 3 или на 4. Далее теорема Ферма была доказана последовательно для показателей, делящихся на 5 (1825 год), на 14 (1832 год), на 7 (1839 год). К 1978 году справедливость теоремы Ферма была установлена для всех показателей, меньших 125 000 (и, тем самым, для всех показателей, у которых хотя бы один делитель меньше, чем 125 000). Однако все эти успехи не позволяли утверждать истинность теоремы Ферма в её полном объёме, т. е. утверждать отсутствие таких положительных целых чисел х, у, z, которые смогли бы удовлетворить уравнению xn + yn = zn хотя бы при одном каком-нибудь показателе n, большем чем 2.

Ситуация с гипотезой, называемой «теоремой Ферма», значительно отличалась от той, которая имеет место для континуум-гипотезы: ведь, как мы знаем, доказано, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть (точнее, Гёдель в 1939 году показал, что её нельзя опровергнуть, а Коэн в 1963 году — что её нельзя доказать). Для гипотезы (теоремы) Ферма такое доказательство — доказательство того, что её невозможно ни доказать, ни опровергнуть, — отсутствует. Спрашивается, доказательство пока17 отсутствует (и остаётся надежда получить его в будущем) или это в принципе невозможно? Если бы такое доказательство удалось получить, это, несомненно, принесло бы математике большую пользу, поскольку раз навсегда закрыло бы шлюз для потока безграмотных попыток доказать теорему Ферма18.

К сожалению, такое доказательство невозможно. И мы сейчас разъясним, почему оно невозможно. Правда, остаётся теоретическая возможность того, что удастся доказать, что теорему Ферма нельзя доказать. Появление такого доказательства также перекрыло бы вышеназванный шлюз, но тогда, вероятно, возник бы поток попыток опровергнуть теорему Ферма (например, путём предъявления в косвенной форме четвёрок астрономически больших чисел n, х, у, z, для которых нужное равенство было бы, впрочем, практически непроверяемым).

17 ●▶ Напомним, что мы перенеслись в XX век, когда доказательство Уайлса ещё не было обнародовано. ◀●

18 ●▶ Этот прогноз, сделанный мной при первой публикации очерка, оказался слишком оптимистическим. Как мне сообщили в Российской академии наук в январе 2001 года, поток поступающих туда лжедоказательств теоремы Ферма не иссяк. ◀●

Итак, предположим:

(а) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя доказать;

(б) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть.

Наша цель теперь — показать, что (а) и (б) несовместимы, т.е. не может быть, чтобы оба эти утверждения были истинны одновременно. На самом же деле мы обнаружим, что (б) несовместимо даже с более слабым, чем (а), утверждением (a1): теорему Ферма нельзя доказать. А именно, мы покажем, что из (б) следует: теорема Ферма поддаётся доказательству, что исключает (a1).

Начнём с некоторых предварительных комментариев. Всякую четвёрку натуральных чисел n, х, у, z, такую, что n>2, х>0, у>0, z>0 и xn+yn = zn, условимся называть четвёркой Ферма. Теорема Ферма гласит, что четвёрок Ферма не существует в природе. Опровергнуть какую-либо теорему19 — это значит доказать истинность противоположного. Опровергнуть теорему Ферма — значит доказать, что четвёрки Ферма существуют.

Лемма 1. Если нельзя доказать, что четвёрки Ферма существуют, то их не существует.

Замечание. Пусть А — какое-либо утверждение. Нет никаких причин считать, что если нельзя доказать, что А верно, то А неверно. Однако — и в этом содержание леммы — это так, коль скоро А есть утверждение «четвёрки Ферма существуют».

Доказательство. Поведём доказательство от противного. В самом деле, предположим, что четвёрки Ферма существуют. Выпишем какую-либо из них. Это будет четвёрка натуральных чисел а, b, с, d. Проверим, что это действительно четвёрка Ферма, т. е. проверим, выполняются ли неравенства а>2, b>0, c>0, d>0 и равенство bа + са = da. Предъявление четвёрки а > 2, b > 0, c > 0, d>0 вкупе с указанной пров