Акад. Я. В. УСПЕНСКИЙ

ИЗБРАННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ

КНИГОИЗДАТЕЛЬСТВО

СЕЯТЕЛЬ

Е. В. ВЫСОЦКОГО

ПЕТРОГРАД

1924

Петрооблит № 10019, Зак. № 567. Тираж. 2000.

Военная типография Штаба Р.-К. К; А. (Пл. Урицкого, 10).

ВВЕДЕНИЕ.

Во все времена и у всех народов, достигших известной ступени образованности, имеется в обращении ряд интересных задач, игр и других развлечений, построенных на расчете м носящих, таким образом, математический характер.

Эти развлечения передаются из поколения в поколение и даже от народа к народу, изменяясь часто по форме, но в сущности своей оставаясь неизменными. От времени до времени изобретательные умы пускают в оборот новую игру или задачу, которая затем начинает циркулировать вместе с прежними. Поэтому во многих случаях бывает затруднительно определить, какой эпохе или даже какому народу, не говоря уже об авторе, принадлежит то или иное ходячее развлечение. Все, конечно, с детства знают известную задачу о том, как переправить через реку волка, жоау и капусту, но едва ли кто имеет правильное представление о древности этой задачи. Ее историю во всяком случае можно проследить до времен Карла Великого, так как юна встречается в сочинении раннего средневековья: „Propositiones àd acuendos juvenes", приписываемом известному деятелю той эпохи Алкуину. Другим примером можем служить шахматная игра. Эга игра, весьма распространенная среди всех культурных народов земного шара, служит развлечением для людей с незапамятных времен. Одно лишь несомненно, что шахматы были изобретены на Востоке не менее чем за 1500 лет до Р. Хр.

Весь этот разнообразный как по содержанию, так и по месту и времени происхождения материал математических развлечений, циркулируя среди народа, является в истинном смысле его творчеством и достоянием. Вместе с тем выло-

вить этот материал и систематизировав его для отдельного лица довольно трудно, и нередко даже специалисты в этой области каким-нибудь случайным путем с удивлением узнают то или иное новое остроумнейшее развлечение.

Первая удачная попытка привести в систему пестрый материал ходячих математических развлечений была сделана в начале XVII столетия Баше де Мазирнаком в его книге „Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres", вышедшей первым изданием в Париже в 1612 году,, вторым изданием там же в 1624 году. Эта книга в свое время пользовалась большою известностью; она переиздается даже в наше время и все еще находит читателей.

Успех книги Баше, очевидно отвечавшей назревшей потребности, в дальнейшем вызвал много подражаний, так что в конце концов создалась целая литература по занимательной математике. Так как мы ограничиваем рамки нашего изложения только избранными вопросами, то считаем полезным теперь же указать читателям лучшие сочинения этого рода. Прежде всего перечислим интересные в том или ином отношении старые сочинения, не включая в список уже упомянутую книгу Баше: Sehventer, „Deliciae phiysico-mathematicae", Norimberguae 1626; Ought red, „Mathematical recreations", London 1667; Ozanam, „Recreations mathématiques",. Paris 1694 (со многими позднейшими изданиями).

Что же касается новейших книг, то читателям, интересующимся, главным образом, математическими основами разных развлечений л игр, можно рекомендовать: Ahrens, „Mathematische Unterhaltungen und Spiele", 2. Aufl., Leipzig 1910. Для других читателей, менее склонных к абстрактным соображениям, может быть будут более интересными следующие книги: Н. Schubert, „Mathematische Mussestunden", Bd. 1—3, Leipzig 1909 (5-е изд.); W. Rouse Ball, „Recreations mathématiques", t. 1 — 2—3, Paris 1907—08—09; E. Lucas, „Recreations mathématiques", t. 1—2—3 — 4, Paris 1891 — 96—93—94. К сожалению, последняя весьма изящно и интересно написанная книга осталась за смертью автора не вполне законченной. На русском языке оригинальная литература подобного рода, если не ошибаемся, представлена

только книгой Е. Игнатьева, „В царстве смекалки", на это сочинение уже слишком элементарно1).

Если исключить книгу Ahrens'a, то в остальных авторы отводят довольно много места вопросам или шуточным или же настолько простым, что они с математической стороны не представляют интереса. Вообще в этой области подбор вопросов обусловлен в значительной степени кругом читателей, к которым обращается книга. Мы, имея в виду читателя, знающего хотя и немного, но обладающего математическим складом ума, отводим место лишь тем вопросам, которые интересны с математической стороны и для которых имеется развитая теория. Хотя круг подлежащих рассмотрению вопросов таким образом суживается, все же разнохарактерность их не позволяет излагать их по какой-либо строгой системе, и по необходимости группировка, которую приходится избрать, носит произвольный характер. Мы начнем с простейших развлечений с картами.

1) Во время печатания этой книги вышла в свет книга Я. И. Перельмана, „.Диковинки и загадки в мире чисел".

ГЛАВА I.

Развлечения с картами.

Конечно, нет никакой необходимости связывать нижеследующие развлечения именно с картами; можно в них карты заменять другими предметами, например билетами с номерами. Если мы говорим о картах, го потому, во-первых, что при употреблении карт суть дела лучше скрывается и поэтому самые развлечения выходят более эффектными; во-вторых, карты являются столь знакомым предметом, что для умов, не привыкших к абстракциям, гораздо занимательнее и понятнее будут операции именно с ними.

1. Угадывание задуманной кем-либо карты.

Развлечение, с которым мы сейчас познакомим читателя,, принадлежит к числу весьма распространенных и многим хорошо известно; когда и кем оно было пущено в обращение — совершенно невозможно установить.

Обыкновенно поступают так: берут известное количество карт, хотя бы всю колоду, и, держа карты лицевой стороной вниз, открывают их, выкладывая на стол по порядку начиная с первой; лицо, которому показывается этот фокус, приглашается заметить какую-либо карту и запомнить порядковый номер ее выхода. После окончания раскладки всех карт их собирают вновь в пачку в прежнем порядке, лицевой стороной вниз, и тогда спрашивают номер задуманной карты; потом карты снимают произвольное число раз и вновь открывают, начиная с верхней. Велико бывает изумление зрителей, когда при этом на известном месте вынимают и

показывают задуманную карту. Иногда случается, что для этого требуется еще одна раскладка карт.

Так как при этом возможно вести дело сразу со многими лицами, то на зрителей такое отгадывание карт обыкновенно производит большое впечатление; эффект усиливается еще тем, что невнимательные наблюдатели снимание карт, производящееся к тому же быстро, принимают за тасовку.

Поразмыслим теперь, в чем состоит весьма простая разгадка этого фокуса, и прежде всего обратим внимание на изменения, происходящие в расположении карт вследствие снимания. Снимание карт состоит, как известно, в том, что пачка произвольным образом разделяется на две части и затем либо нижняя часть кладется на верхнюю, либо, наоборот, верхняя подкладывается под нижнюю. Допустим прежде всего, что нижняя половина кладется на верхнюю. Если в нижней половине имеется к карт, то, перекладывая эти h карт последовательно одна за другой на верх, мы в итоге, очевидно, получим тот же результат, как если бы переложили наверх всю нижнюю половину сразу. Поэтому нужно проследить только, какое изменение в расположении карт получается при перекладывании одной нижней карты на верх. Обозначим карты пачки, которых пусть будет всего щ начиная с верхней, номерами 1, 2, 3, ...//г. Первоначальный порядок этих номеров будет, следовательно, такой:

1 2 3 ... п.

После перекладывания нижней карты наверх ее номер п встанет на первое место, затем в естественном порядке пойдут номера 1, 2, 3, ... , п— 1, так что новое расположение карт будет такое:

п 1 2 3 ..п— 1.

Каким образом получается второе расположение из первого? Очевидно так, что первая карта замещает вторую, вторая третью, третья четвертую и т. д., наконец последняя замещает первую. Такое перемещение называется прямой кру-

говой перестановкой. Чтобы выяснить лучше суть дела и происхождение этого термина, расположим известное число номеров, напр. 5, в равных расстояниях по окружности круга, как показано на рис. 1. Если представить себе, что круг поворачивается по часовой стрелке около своего центра так, что 1 переходит в 2, то 2 перейдет в 3, 3 в 4, 4 в 5 и, наконец, 5 в 1. Таким образом первоначальное расположение номеров 1 2 3 4 5 переходит в такое: 5 1 2 3 4 (рис. 2), т. е. осуществляется как раз описанное выше перемещение. Очевидно, что при круговой перестановке взаимное расположение номеров не изменяется; напр., номер 4 занимает 5-е место, считая от номера 5 как до, так и после оборота круга. Так как перемещение одной карты снизу на верх пачки равносильно прямой круговой перестановке в первоначальном расположении карт, то, по замеченному выше, перекладывание группы из к карт разом снизу наверх равносильно к последовательным прямым круговым перестановкам в их первоначальном расположении, причем взаимное расположение карт при этом не изменяется.

Когда при снимании одна верхняя карта кладется под низ, то полученное после этого новое расположение карт или их номеров будет такое:

Рис. 1. Рис. 2.

и получается из первоначального замещением 1 через 2, 2 через 3,. .., п через 1, что соответствует обратной круговой перестановке. При обратной круговой перестановке номера, расположенные по кругу, перемещаются на одно место против часовой стрелки без изменения в их взаимном расположении. Перекладывание сразу I карт сверху вниз равносильно Z-кратной обратной круговой перестановке. Но очевидно, что какая угодно последовательность круговых перестановок прямых и обратных, соответствующая последовательным поворотам круга на известное число мест по или против часовой стрелки, равносильна известному числу прямых или обратных круговых перестановок. Таким образом, если мы представим себе карты в первоначальном расположении размещенными по кругу, то достаточно их зараз сместить на известное число мест по или против часовой стрелки, чтобы получить их окончательное расположение после всех сниманий. Карта, имевшая номер г в первоначальном расположении, будет г-й после первой карты в окончательном расположении после всех сниманий. Это сразу дает ключ к пониманию описанного выше отгадывания карты. В самом деле, отгадывающее лицо, очевидно, поступает так. При первой раскладке отгадывающий запоминает первую карту. Затем, получив указание, что задуманная карта была, скажем, десятой, он при второй раскладке дожидается появления известной ему первой карты, после чего остается открыть еще девять следующих; последняя из них и будет искомой картой. Может случиться, что после появления первой карты в пачке остается менее девяти карт, напр. только 5; тогда нужно вновь собрать выложенные карты и при новой раскладке остановиться на четвертой карте с начала. Именно эта карта при расположении всех карт по кругу будет, очевидно, десятой, начиная считать с известной уже первой карты.

Простейшее свойство круговых перестановок является, как мы видим, математической основой объясненного простого, но довольно интересного развлечения.

2. Угадывание задуманной пары карт.

Это также весьма распространенное развлечение обыкновенно производится с 20 картами, которые соединяются в десять пар. Пары выкладываются лицевой стороной вверх на стол перед присутствующими, которые приглашаются задумать любые из них. Затем пары собираются вместе в произвольном порядке, но отнюдь не разлучая карт, принадлежащих к одной и той же паре, и полученная пачка из 20 карт раскладывается лицом вверх в четыре ряда по пяти карт в каждом по известной системе. После этого задумавшие приглашаются указать, в каких рядах они видят свои карты, и тогда угадывающее лицо сразу вынимает задуманные пары.

Здесь суть дела заключается в системе, по которой карты располагаются в ряды. Обыкновенно при этом пользуются мнемотехническими средствами, а именно известными фразами, часто лишенными всякого смысла. В большом ходу следующая латинская фраза:

Как мы видим, каждое из этих четырех слов содержит по пяти букв по числу карт в ряду; число различных букв 10, по числу пар. Если мы представим себе, что карты, составляющие пары, располагаются так же, как одинаковые буквы в четырех словах предыдущей фразы, то указание на ряды, в которых усматриваются карты одной пары, вполне достаточно для немедленного отыскания этих карт. Если, напр., сказано, что задуманные карты лежат во втором и третьем рядах, то во втором ряду это будет вторая, а в третьем четвертая карта; именно потому, что в словах dédit и потеп имеется только одна буква входящая в то и другое, причем в первом слове она стоит на втором месте, а во втором на четвертом.

Спрашивается, нельзя ли избегнуть употребления каких-либо мнемонических фраз вроде предыдущей и производить раскладку карт, руководясь более рациональными математическими соображениями. Это вполне возможно и даже для более общего случая, когда требуется карты, собранные в -~—- пар, расположить в п рядов по карт в каждом так, чтобы в любом ряду находились две карты только одной пары и в любых двух различных рядах было по одной карте лишь одной пары.

Расположим п2 величин ai j следующим образом в квадратную таблицу из п горизонтальных и п вертикальных рядов :

(А)

Элементы с равными значками alfl, #2,2> - ••ia„,n занимают в этой таблице главную диагональ. Два элемента с переставленными значками, напр. а12 п я2Л, я2,а и а32 и вообще a^j и aj Л, расположены симметрично относительно главной диагонали. Таблица называется симметричной, если в ней симметричные относительно главной диагонали элементы равны, т. е. вообще a- j = aj \i. Всего в квадратной таблице (А) будет п2 элементов, из них п находится на главной диагонали, следовательно над главной диагональю будет п Т" п = ^^-^ элементов, п ровно столько-же под ней. Допустим теперь, что таблица (А) симметричная и кроме того все величины

между собою различны. Тогда ясно, что все элементы таблицы (А), кроме диагональных, группируются в пары, причем каждая пара составляется из двух симметричных элементов. Если теперь слева к таблице (А) припишем столбец

то получим прямоугольную таблицу с п горизонтальными рядами и п-\-\ вертикальными:

все элементы которой соединяются ровно в —-—--\-п — = — -—- пар, различных между собою. А именно, пары образуются элементами altl, ЩШ а2,2> аъ\ъ\ • • • \ ап,п> ап ,т затем симметричными элементами а- л и aj i Если с парами таблицы (В) сопоставить *^ пар карт, то при раскладке карт парами на места парных элементов таблицы получится расположение карт, позволяющее сразу угадать пару, лишь только будут указаны горизонтальные ряды, в которых усматриваются входящие в нее карты. Сама раскладка производится просто и может быть многообразно изменяема с тем, чтобы зрители не могли подметить в ней закономерности.

Поясним еще изложенный способ раскладки на конкретных примерах. Пусть п = 4, что соответствует 10 парам. Обоначим символически эти пары через (1, 1), (2, 2), .. ., (10, 10), тогда схема расположения карт будет представляться таблицей :

Карты одной пары кладутся на места с одинаковыми числами. Если, напр., будет сказано, что карты задуманной пары усматриваются в третьем ряду, то они будут лежать на первом и четвертом местах. В случае, если указаны ряды первый и четвертый, то в первом ряду нужно взять карту с пятого места, а в четвертом со второго.

Пусть теперь ю = 5, что соответствует случаю 30 карт, собранных в 15 пар. Схема расположения карт в этом случае представляется таблицей:

При 42 картах, собранных в 21 пару, т. е. для п = а схема расположения такова:

Надеемся, что после всех этих объяснений читатель совершенно ясно видит, насколько бывает полезно даже в самых простых вопросах обращаться к помощи математических соображений.

3. Еще один способ угадывания карты.

Развлечение, которое мы сейчас изложим, также очень распространенное, но оно уже значительно сложнее двух предыдущих и имеет гораздо более интересную теорию. Описано это развлечение впервые у Баше в применении к случае, которые как раз обыкновенно демонстрируются. Обыкновенно берут 27 карт лицевой стороной вниз и раскладывают их лицом вверх в три ряда или три кучки, кладя первую карту в первую кучку, вторую — во вторую, третью — в третью, потом четвертую опять в первую, пятую — во вторую, шестую — в третью, и продолжают поступать дальше таким же образом, пока не исчерпаются все карты. Таким образом получаются три кучки по 9 карт в каждой. Один из присутствующих приглашается заметить какую-нибудь карту и после раскладки сообщить только, в какой кучке она находится. После этого кучки поднимаются со стола лицом вниз, и та, в которой находится задуманная карта, кладется непременно между двумя другими. Затем производится совершенно тем же способом вторая раскладка, и опять просят указать, в какой кучке видят задуманную карту. Кучки опять собираются вместе прежним способом, т. е. та, где находится задуманная карта, кладется между двумя другими, и производится третья раскладка. Узнав опять, где находится задуманная карта, берут соответствующую кучку лицом вниз и отсчитывают 5 карт, начиная с верхней; тогда пятая карта будет как раз та, которую задумали. Это угадывание производит большое впечатление на зрителей особенно потому, что его можно производить с завязанными глазами.

Для лучшего усвоения общей теории рассмотрим сначала, что происходит в описанном частном случае. После первой раскладки карга лежат в трех кучках по 9 карт лицевой стороной вверх. Пусть задуманная карта в некоторой кучке имеет номер хг, считая от нижней карты кучки. При сложении кучек вместе задуманная карта будет иметь номер считая сверху. Чтобы определить, какое место снизу займет задуманная карта после второй раскладки,

предположим, что 9 + разделено на 3, и пусть частное при этом делении будет г,, а остаток sx. По известному соотношению между делимым, делителем, частным и остатком имеем

9+^3^+v (1)

Здесь зг может иметь только три значения: 0, 1, 2. Если 8г — О, то при второй раскладке задуманная карта попадет в третью кучку и будет иметь номер тх (считая, как всегда, снизу). Если $г = 1, то эта карта будет в первой кучке, но уже на тх-\-\ месте; при ^ = 2 она также будет на гх-\-\ месте, но во второй кучке. Итак, если после второй раскладки задуманная к$рта получает номер #2, то

при

sr = О, ^=1, 5j = 2.

Соответственно этим трем случаям из равенства (1) получаем :

3 х2 = 9 -\-хг при Sj = О 3 a?2 = 9-j-^i+2 при 5L=1 3 а?2 = 9+^1 + 1 при зг = 2.

Все эти случаи можно объединить в одном равенстве

Зя2 = 9(2)

где Ц одно из чисел 0, 1, 2, выбранное так, что правая часть делится на 3 без остатка. Очевидно совершенно также найдем, что номер задуманной карты после третьей раскладки определится равенством

3^з=9+^+^2, (3)

где t2 = 0, 1, 2 нужно выбрать так, чтобы правая часть нацело делилась на 3.

Допустим теперь, что хг = 5\ тогда в равенстве (2) нужно взять ^ = 1, после чего получим х2 — 5. Значит, если

задумана 5-я карта какой-нибудь кучки, то при всех раскладках она будет 5-й в соответствующей кучке. Предположим теперь, что ^=1, 2, 3, 4; соответственно этим значениям нужно взять ^ = 2, 1, О, 2, что даст #2 = 4, 4, 4, 5. Если ^ = 6, 7, 8, 9, то 0Г#? 2, 1, 0 и х2=5, 6, 6, 6. Таким образом, если

хг = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

то

Щ = 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6.

Но хъ из Щ получается совершенно так же, как х.2 из х19 откуда на основании предыдущей таблички ясно, что при

ЩЩ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

всегда

х^ — 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

Следовательно, какова бы ни была задуманная карта, после третьей раскладки она будет в соотвстствующей кучке всегда занимать пятое место, считая снизу. Это дает объяснение изложенному способу угадывания карты.

Рассмотрим теперь вопрос с более общей точки зрения. Пусть m п карт раскладываются в п кучек по m карт в каждой и притом лицом вверх. Пусть после того, как в одной из этих кучек карта задумана, кучки собраны одна за другой лицом вниз, но так, что содержащая задуманную карту кучка будет второй, считая сверху. Потом производится вторая раскладка тем же способом, указывается, в какой кучке находится задуманная карта, затем кучки собираются вместе совершенно так же, как раньше, производится третья раскладка и т. д. Спрашивается, сколько раскладок нужно производить и как найти задуманную карту?

Пусть задуманная карта имеет после первой раскладки номер xv считая снизу той кучки, где она усматривается. Когда кучки собраны вместе указанным выше способом, она будет т-\-я^-ой, считая сверху. Для определения положения задуманной карты после второй раскладки делим

m-f-^i на n\ пусть при этом делении получается частное г] и остаток а1 так что

(4)

Если s1 — О, то при раскладке т-\-хг карт в п кучек каждая кучка получит по гг карт, и искомая карта будет гх«ой в последней кучке. Если же sx—l, 2, 3, п—1, то 1-ая, 2-ая, ... , s-ая кучки получат по гг-\-1 карт, а остальные только по гг карт, причем последняя карта попадет в Sj-ую кучку и будет там находиться на гх-\-1-ож месте. Если поэтому искомая карта после второй раскладки будет #2-ой в соответствующей кучке, то

Щ — rv когда s1 = О, #2 = г-|-1, когда 5j=l, 2, 3, ... , п— 1.

На основании равенства (4) имеем, следовательно,

w#2 = m-|-xv когда ^ — 0, пх2 = т~\-хх-\-п — Щ когда 2, 3, ?г—1.

В обоих случаях связь между #2 и î| может быть представлена в виде

п х2 = m+-f -1| (5)

где ^ наименьшее положительное число или нуль, выбранное так, что правая часть равенства (5) делится нацело на п. Если назовем через #3, #4, хк номер искомой карты в соответственной кучке после 3-ей, 4-ой, ... , а-ой раскладки, то, очевидно, будем иметь следующие равенства, подобные равенству (5):

(6)

В них вообще Щ обозначает одно из чисел 0, 1, 2, ... , п— 1, выбранное так, что wа-t-#»+*f- делится нацело на п. Теперь, желая непосредственно выразить хк через хг, мы постараемся исключить промежуточные величины из равенств (5) и (6). Определяя х2 через 1щ находим

затем, внося это значение в первое из равенств (6), найдем следующее выражение #3 через хх:

Подстановка этого значения во второе из равенств (6) позволит найти для #4 выражение:

и т. д. Вообще получим

или, полагая для сокращения

и после простых преобразований,

(7)

Дальнейшие заключения будут различны в зависимости от того, делится ли m на п—1 или нет. Пусть прежде всего m на п—1 не делится нацело, и пусть остаток будет г. Употребляя знак Е{х) для обозначения наибольшего целого числа, содержащегося в можем написать:

и по внесении в равенство (7) получим:

(8)

Допустим, что к, которое еще оставалось произвольным теперь подчинено условию

(9)

Тогда

Кроме того, всегда рк ^> 0 и хг ^ 1 ; следовательно, при выбранном Ь во всяком случае

(10)

С другой стороны, так как каждое из чисел не превосходит п — 1,

следовательно

так как во всяком случае хх <^ т. Имея это в виду, получаем из равенства (8)

Если еще подчиним к условию

которое после упрощений может быть написано в виде

(11)

то найдем Иными словами

что при сопоставлении с неравенством (10) даст

(12)

Окончательно получаем следующее заключение: Если m не делится на п—1, то после к раскладок, где к определяется неравенствами (9) и (11)г искомая карта в соответственной кучке имеет номер, определяемый равенством (12).

В применении к уже рассмотренному случаю имеем т — 9, w=3, г = 1; следовательно, неравенства (9) и (11) будут в данном случае

Они удовлетворяются при к = 3; поэтому достаточна производить три раскладки. Затем имеем

и по формуле (12) получаем #3=5, чем подтверждаются все изложенные выше правила.

Если колода в 52 карты раскладывается в четыре кучки по 13 карт в каждой, то m =13, п — 4, г=1. Число раскладок к определится из неравенств

которые удовлетворяются при а=3. Затем, определяя величину х3 по формуле (12), найдем х^~Ъ. Следовательно,

в данном случае достаточно произвести три раскладки; после третьей искомая карта в соответствующей кучке будет пятой снизу.

Мы ограничимся этими двумя примерами; читатель сам может подобным же образом рассмотреть сколько угодно других.

До сих пор мы предполагали, что m не делится на 1. Что же будет в том случае, когда m делится на п—1? В этом предположении г = 0, следовательно неравенству (9) удовлетворить невозможно и можно утверждать только, что при к. удовлетворяющем условию

всегда

С другой стороны, когда к удовлетворяет еще неравенству (11) с г = 0:

то попрежнему

Таким образом можно только сказать, что

при всех превышающих известный предел. При этом каждая из этих возможностей может действительно иметь место. В самом деле, пусть %х —тогда для определения х2 имеем равенство (5):

или, внося сюда

откуда видно, что нужно взять ^ = 0, а тогда окажется х2 = хх. Следовательно, карта с номером т изменяет своего положения в кучке, где она усматривается, при всех раскладываниях. Положим теперь а?г = 1 + -, откуда

m — (п—\)хх— (п—1) и

пх2 — пхх— (п — l)-\-tx.

Теперь необходимо взять 1 = п — 1, и опять окажется х2~хх , Поэтому также карта с номером 1 + не изменяет своего положения в кучке, где она усматривается, при всех раскладываниях. Отсюда ясно, что в случае делимости m на п — 1 нельзя ручаться за точное угадывание карты и можно только после достаточного числа раскладываний указать две карты, одна из которых будет задуманная.

Мы предполагали, что при собирании кучек, та, где находится задуманная карта, кладется постоянно второй сверху. Ясно, что ее можно было бы класть постоянно на третье, четвертое или, вообще, на какое-угодно заранее определенное место, и теория от этого существенно не изменилась бы.

4. Видоизменение предыдущего развлечения.

Положим, что ш и карт раскладываются в п кучек по m карт в каждой, лицевой стороной вверх. Кучки номеруются в известном порядке, напр, слева направо, и один из присутствующих должен задумать карту и указать кучку, где она находится. После этого кучки собираются вместе, как всегда лицом вниз, в их естественном порядке, т. е. первая кладется сверху, за ней идут вторая, третья и т. д., и производится вторая раскладка. По окончании раскладки просят указать кучку с задуманной картой, собирают прежним порядком кучки вместе, производят затем третью раскладку и т. д. Спрашивается, как узнать после известного числа раскладок задуманную карту?

Данными при этом служат номера ух, у2, ... , ук кучек, в которых появляется задуманная карта при к после-

довательных раскладках. Если после первой раскладки задуманная карта в 2/х-ой кучке занимает ^-ое место снизу, то после собирания кучек номер ее, считая сверху, будет (уг—l)mJrxlt Чтобы узнать номер кучки и положение задуманной карты в ней после второй раскладки, делим (у\— \)т-\-хг на п так, чтобы остаток имел одно из значений 1, 2, 3, п] последнее значение остаток получит в том случае,- когда деление совершается нацело. Пусть

— 1 ) Щщ ЩI r1-Jrsl,

где г} частное, а Щ остаток. Ясно, что этот остаток дает как раз номер кучки у2, куда иекомая карта попадает при второй раскладке; таким образом

Далее искомая карта, считая снизу кучки, будет занимать гг-f- 1-ое место; следовательно ее номер при второй раскладке будет

Заменяя в предыдущем равенстве зг через щ и гг через х2—1, получим основное соотношение

ЩЩ Щ (Уг — 1)т \-хг+п — у2. (1)

Это соотношение вместе с подобными же для последующих раскладок:

(2)

дает возможность через исключение промежуточных величин #2, #3, ... , хк_1 выразить прямо щ через хг Простое вычисление дает следующий результат:

(3)

Если бы хг было известно, то отсюда сейчас же могла бы быть определена искомая величина хк) характеризующая положение задуманной карты в %-ой кучке после а-ой раскладки. Для определения же хг мы воспользуемся тем обстоятельством, что правая часть в равенстве (3) должна делиться на Разделим число

на пк~1 так, чтобы остаток совпадал с одним из чисел: —1,-2, —3, ... , —п10"1. Называя остаток этот через—R, мы легко увидим, что разность щ — .В должна делиться на п1"А. Если к выбрано под условием

то Ер которое может быть только или 1, или 2, ... , или ту будет ^nh~\ Тогда разность хх— В будет численно меньше п70"1 и может делиться на это число только тогда, когда она равна нулю. Следовательно, если число раскладок к подчинено условию

(4)

то обязательно

ф0 Хх — Ii.

Зная же х1} можно определить хк} т. е. угадать задуманную карту.

Положим, что m = 9,.w = 3; это соответствует раскладке 27 карт в три кучки, по 9 карт в каждой. Неравенство (4) для нашего случая будет

и удовлетворяется при к — 3. Число А будет такое:

откуда видно, что It будет остатком от деления числа 3/2-f-3 2/3+6 на 9, взятым среди чисел 1, 2, ... , 9. Но такой остаток будет как раз

потому что эта величина всегда положительна и не превосходит 9. Итак,

далее откуда

(5)

Если, следовательно, раскладывая карты на 3 кучки но 9 карт в каждой, мы узнаем, что при трех раскладках задуманная карта последовательно находится в кучках с номерами у17 у2, у3, то в последней кучке она занимает место (считая снизу), номер которого определяется формулой (5),

Для случая полной колоды в 52 карты, раскладываемой в 4 кучки по 13 карт в каждой, мы должны принять m = 13, п = 4. Неравенство (4) будет удовлетворено при I = 3, так что достаточно произвести 3 раскладки. Правило для определения положения задуманной карты мы приведем в окончательной форме, предоставляя вывод его из предыдущих общих формул самому читателю. Назовем через Q частное от деления, выполненного обычным образом, величины

jtf= Sy^lSy^l iî/o — 3

на 16; тогда номер искомой карты в той кучке, где она оказывается после третьей раскладки, определяется формулой:

#3 = ^+42/2 — 3—$.

Напр., положим, что при трех последовательных раскладках задуманная карта была соответственно в 1-ой, 2-ой и 4-ой кучках. В данном случае ух = 1, у2 = 2, уъ = 4, затем Ж— 3-}-26-|-16 — 3 = 42; частное от деления этого числа на 16 есть 2, следовательно Q = 2 и

я3=1-|-8 —3 — 2 = 4,

т. е. задуманная карта после третьей раскладки занимает 4-ое место снизу в четвертой кучке.

5. Периодичность в раскладке карт.

Чтобы лучше понять, в чем заключается это интересное явление, рассмотрим сначала частный пример. Допустим, что 27 карт разложены в трех рядах по 9 карт в каждом, лицевой стороной вверх, так что зрители могут запомнить их расположение. Это первое расположение можно схематически представить таблицей:

Расположение I.

12 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

Из этого первоначального расположения выводится второе следующим образом. Карты первого ряда в их естественном порядке собираются лицом вниз, за ними помещаются в естественном порядке карты второго и третьего рядов, так что в получившейся кучке карты идут в порядке 1, 2, 3, ... , 27. После этого производится новая раскладка в таком порядке; первая карта кладется в первый ряд, вторая во второй, третья в третий, затем четвертая опять в первый, пятая во второй, шестая в третий и так продолжается, пока все карты не будут разложены. Новое расположение будет, очевидно, такое:

Расположение II.

1 4 7 10 13 16 19 22 25

2 5 8 11 14 17 20 23 26

3 6 9 12 15 18 21 24 27

От второго расположения переходим к третьему совершенна так же, как от первого ко второму; ясно, что таким путем приходим к расположению:

Расположение III.

Полученное точно таким же путем отсюда четвертое расположение:

Расположение IV.

совпадает с первым, и при дальнейших раскладках будут, очевидно, периодически повторяться прежние расположения. Подобную же периодичность читатель сам может обнаружить во всех других примерах, но длина периода оказывается разная. Возникает вопрос, сколько же членов будет содержать период в общем случае m п карт, разложенных в п рядов по m карт в каждом? Для читателей, знакомых с самыми первыми элементами теории чисел, ответ на этот вопрос можно представить в очень простой форме: Число членов периода равно наименьшему показателю степени А, при котором имеет место сравнение:

иначе говоря, число членов периода равно показателю, к которому принадлежит m по модулю ж и—11).

В нашем примере m — 9, п = 3, mп — 1 = 26. Последовательные степени 9 по модулю 26 дают такие вычеты:

откуда h — 3, как мы видели.

Если положим, что полная колода в 52 карты раскладывается в 4 ряда по 13 карт в каждом, то мы должны взять m —13, w = 4, m и — 1 = 51. Так как последовательные степеии 13 по модулю 51 дают вычеты:

1) Читателей, не знакомых с обозначением сравнений, отсылаем к приложению в конце книги.

то h = 4; следовательно достаточно 4 раскладок, чтобы придти к прежнему расположению карт. В самом деле, непосредственно находим;

Расположение I.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Расположение II.

15 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49

2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52

Расположение III.

1 17 33 49 14 30 46 11 27 43 8 24 40

5 21 37 2 18 -34 50 15 31 47 12 28 44

9 25 41 6 22 38 3 19 35 51 16 32 48

13 29 45 10 26 42 7 23 39 4 20 36 52

Расположение IV.

1 14 27 40 2 15 28 41 3 16 29 42 4

17 30 43 5 18 31 44 6 19 32 45 7 20

33 46 8 21 34 47 9 22 35 48 10 23 36

49 11 24 37 50 12 25 38 51 13 26 39 52

Расположение Y.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Расположение У, как и должно было быть, оказывается тождественным с расположением I. Теперь рассмотрим вопрос теоре-

тичееки. Пусть некоторая карта в расположений I находилась в '^-ом ряду на ^-ом месте от начала ряда; в расположении II пусть она находится в i2-OM ряду на .?2-ом месте. Как установить связь между i2} j2 и iu jfi Вопрос этот, но немного в другой форме, уже решен формулой (1) на стр. 23. В самом деле, в нашем вопросе ряды играют роль кучек, о которых говорилось на упомянутой странице, а обозначенные там через #п у1пос2, у2 величины равносильны нашим jx, % и j2, i2. Поэтому без новых рассуждений можно прямо написать соотношение:

или

Но так как

то

откуда в связи с предыдущим равенством, получается сравнение

Для краткости мы положим

и аналогично тогда

Подобным же образом получатся сравнения:

где величины £3, ... ^ имеют для расположений III, IV и т. д. тот же смысл, как fi для расположения I. Из этих сравнений получаем

(1)

Если расположение к + 1 тождественно с расположением I, то каждая карта после к раскладываний возвращается на прежнее место; иначе говоря, для всякой карты = Щ. В частности для второй карты первого ряда — 1. Подставляя эти величины в сравнение (1), получаем

(2)

Число раскладываний, необходимых для возвращения карт в первоначальное расположение, таким образом должно удовлетворять' этому сравнению. Обратно, предположим, что сравнение (2) удовлетворено; тогда на основании (1) имеем

(3)

для всякой карты. Мы покажем, что отсюда необходимо следует равенство

(4)

Во-первых, из самого способа раскладки ясно, что первая и последняя карты всегда остаются на своих местах, так что для них равенство (4) оправдывается. Для всех остальных карт всегда или iL<m или /[О и невозможно одновременно — но тогда и êi и оба положительны и меньше тп— 1. А при таких условиях сравнение (3) с необходимостью приводит к равенству (4).

Итак, если к удовлетворяет сравнению (2), то к^-1»ое расположение карг тождественно с исходным и обратно. Отсюда уже очевидно, что наименьшее число раскладок, приводящее карты в прежний порядок, действительно совпадает с показателем, к которому принадлежит m по модулю тп— 1.

6. Тасовка Монжа.

Повторное перемещение карт по одному и тому же правилу, составляющее сущность предыдущего развлечения, может быть весьма наглядно осуществлено при тасовке карт. Если бы удалось указать такой простой способ перемешивания карт, который незаметно для присутствующих можно было бы повторять сколько угодно раз, то это могло бы иметь большое значение для игроков, желающих поправить свои дела. В самом деле, после достаточного числа перемешиваний по одному и тому же правилу карты должны вернуться в прежнем порядке. К сожалению, весьма затруднительно повторять одно и то же перемешиванье карт так, чтобы это осталось незамеченным присутствующими. Здесь, как и во многих других случаях, теория дает, повидимому, удобные средства для достижения известной цели, но применить их на практике почти невозможно. Из различных простых способов перемешивания карт мы рассмотрим два. Первый из них был предложен и изучен знаменитым французским математиком Монжем.

По Монжу нужно взять пачку карт (лицом вниз, как всегда) в левую руку и, сняв правой рукой первую верхнюю карту, вторую положить поверх ее, третью под низ, четвертую поверх, пятую под низ и т. д., пока все карты не окажутся в правой руке. Затем, повторяя ту же операцию второй, третий и т. д. разы, мы в конце концов должны будем притти к первоначальному расположению карт. Спрашивается, сколько операций для этого потребуется? Прежде чем разбирать эту общую задачу, поясним ход действий на примере. Пусть пачка содержит 10 карт, которые отмечены номерами 1, 2, 3, 10. Первоначальное расположение карт будет такое:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.

Чтобы получить расположение карт после тасовки, нужно слева от 1 поставить 2, справа 3, слева от 2 поставить 4,

справа от 3 поставить 5 и т. д. Таким путем найдется второе расположение карт:

10 8 6 4 2 1 3 5 7 9.

Третье расположение карт, получаемое из второго так же. как оно получается из первого, будет:

9 5 1 4 8 10 6 2 3 7.

Таким же путем найдем четвертое расположение:

7 2 10 4 5 9 1 8 6 3,

затем пятое :

389427 10 51 6,

шестое :

6 5 7 4 8 3 9 2 10 1,

и, наконец, седьмое:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,

тождественное с первым. Таким образом шесть тасовок возвращают в этом примере карты в прежнее расположение.

При рассмотрении общего вопроса мы можем ограничиться случаем четного числа карт, потому что при нечетном числе карт последняя карта будет всегда оставаться последней. Итак, предположим, что имеем 2п карт, первоначальное расположение которых такое:

1, 2, 3, 4, ... , 2п—\, 2ж

После тасовки карты расположатся в таком порядке:

2п, 2п — 2, ... , 4, 2, 1, 3, б, ... , 2п — 3, 2п — 1.

Здесь сначала идут в порядке убывания четные числа от 2п до 2, затем в порядке возрастания нечетные числа от 1 до 2п—1. Заметив это, нетрудно определить, какое место

после тасовки занимает карта, имевшая первоначально номер хг. Пусть сначала хг четное. В ряду четных чисел

2, 4, 6, 8, ... , 2 п

оно занимает - ое место, считая от начала ряда, и п--y--f 1~ое считая от конца. Последняя величина будет искомым номером х2 той карты, которая первоначально имела номер Щ. Итак, в случае четного хх

(1)

Если хг нечетное число, то в ряду нечетных чисел

1, 3, 5, 7,... ;

оно стоит на - ом месте. Так как 1 после тасовки стоит на п-{-\-ом месте, то на основании замеченного карта, имевшая первоначально номер хх, после тасовки будет иметь номер п -f- -^р . Таким образом при нечетном хг

(2)

Величина х2 определяется двумя различными формулами для хл четного и нечетного. Это составляет неудобство, от которого мы постараемся освободиться следующим образом. Сумма

при нечетном хх приводится, очевидно, к так как тогда второй член равен нулю; при четном хг второй член будет равен Щ и вся сумма приводится к 1. Это простое замечание позволяет заменить формулы (I) и (2) одной совершенно общей:

которую по умножении обеих частей на 4 можно заменить такою :

4 х2 - 4 п | 3+(- 1)^111 (2 J — 1),

а эту последнюю представить в виде

2(2х2 — 1) - (— Щ | 42 |£ — 1 ) Щ 4 |§f1.

Полагая для краткости

Еж — 1 = éj, 2 р| ~ 1 р Щ,

будем, следовательно, иметь

Но так как Щ и щ всегда меньше 4и-[-1, то это равенство может быть заменено сравнением

вполне ему равносильным. Если карта, получившая после первой тасовки номер х2, затем после новой тасовки получает номер хъ, далее номер хА и проч., то, полагая вообще

будем иметь сравнения:

Отсюда путем исключения величин v2, щ Щ ,:§Щщ найдем

где

Пусть после к тасовок карты вернулись в исходное положение. Так как для первой карты xl — \, vl—\] то по возвращении первой карты на первое место будем иметь 17^=1; следовательно, в силу сравнения (3) к подчинена условию

Обратно, если к удовлетворяет такому сравнению с произвольным знаком (±) в правой части, то после к тасовок все карты вернутся в прежнем порядке. В самом деле, тогда сравнение (3) даст

притом для всякой карты. Если в правой части имеет место знак (+), то обе величины vx и щМ, будучи меньше 4п^-1, должны быть равны, т. е. карты приходят в первоначальное расположение. Знак же (—) не может иметь места. Иначе должно быть

Но сумма 'fljj-j-Vfrf! четная, следовательно, при нечетном модуле можно обе части сравнения сократить на 2, так что

Это значит, что число -х~*~**+л делится на 4я-р1; но оно положительно и меньше 4и-{-1, следовательно сравнение

невозможно.

Итак, для возвращения карт в прежнем порядке необходимо и достаточно, чтобы число тасовок удовлетворяло условию

Следовательно, наименьшее число тасовок 7г7 возвращающее карты в прежнее расположение, будет наименьшим показателем степени 2 — Щ при котором или 2п—1 или 2h-\-l делится на 4и+1,

Определим для примера по этому правилу наименьшее число тасовок, возвращающих полную колоду в 52 кар!ы в первоначальное расположение. В этом случае 2*г = 52г 4w-j- 1 = 105; по модулю 105 последовательные вычеты степеней 2 будут такие:

Таким образом, для полной колоды карт нужно сделать 12 тасовок по Монжу, чтобы возвратить карты в прежнее расположение.

7. Другой способ тасовки карт.

Описанный способ тасовки карт по Монжу при практическом осуществлении слишком отличается от обычно практикуемых приемов и является ничем иным как только интересным развлечением. Поэтому может быть будет полезно рассмотреть еще один способ тасовки карт, весьма близкий к обычным приемам, для осуществления которого, конечно, требуется большое проворство рук, не выходящее, однако, за пределы возможности. Читатель пусть судит сам по нижеследующему описанию, достижимо ли это или нет.

Для лучшего уяснения дела начнем с частного примера. Пусть имеем пачку из 14 карт, отмеченных в первоначальном порядке номерами 1, 2, 3, ... , 14, так что первоначальное расположение карт такое:

1 2 3 4 5 6 7 é 8 9 10 11 12 13 14.

Звездочкой карты разделены на две половины: верхнюю и нижнюю. Способ тасовки состоит в том, что карты верх-

ней половины, не нарушая их порядка, вкладываются в промежутки между картами нижней половины, напр., 1 вкладывается между 8 и 9, 2 между 9 и 10 и т. д. Отсюда ясно, что после первой тасовки карты придут в такой порядок:

8, У 9, 2, 10, 3, 11 I 4, 12, 5, 13, 6, 14, 7.

Подобным же образом найдем далее, что после второй, третьей, четвертой и т. д. тасовок порядок карт будет следующий: после второй тасовки:

4, 8, 12, 1, 5, 9; 13 й 2, 6, 10, 14, 3, 7, 11;

после третьей тасовки:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 * 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13;

после четвертой тасовки:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 § 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

В этом примере четыре тасовки возвращают карты в исходное положение. Рассмотрим теперь ближе теорию этого способа тасовки карт. Предположим, что в пачке заключается четное число карт 2п\ тогда верхняя и нижняя части пачки будут состоять из карт:

верхняя: 1, 2, 3, ... , п нижняя: w-f-1, п-{-3, ..., 2п.

Очевидно, что при принятом способе перемещения карт карты, занимавшие первоначально первое, второе, ... , п - ое место, будут занимать после тасовки второе, четвертое, ..., 2^-ое место. Если назовем через хг номер некоторой карты в первоначальном расположении, а через оо2 номер той же карты после тасовки, то будем иметь, следовательно, при Хл ^ п :

(1)

Карты, занимавшие первоначально места

w-pl, я-}-3, 2л,

после тасовки займут места:

1, 3, 5 , .. ., 2 п — 1.

Заметив же, что

найдем следующую связь между #2 и хх в случае ж1>^:

(2)

Равенства (1) и (2) во всех случаях дают сравнение:

Если после второй, третьей ,..., к-оа тасовки та же карта будет занимать места #8, а?4, хк+и то будем иметь сообразно только что установленному:

Путем исключения промежуточных величин отсюда получим сравнение

Затем, пользуясь этим сравнением, можно без труда установить, как выше, что наименьшее число тасовок, возвращающее карты в прежнее расположение, равно показателю, к которому принадлежит 2 по модулю 2 п + 1 \ иначе говоря, наименьшему показателю, обладающему тем свойством, что 21г—1 делится на 2nJr 1.

Определим по этому правилу число потребных тасовок для обычной колоды карт. В этом случае 2п = 52 и

2.п-\-1 = 53 простое число. Из теории чисел известно, что в таком случае искомый показатель должен быть делителем 52, т. е. одним из чисел

I 2, 4, 13, 26, 52.

Первые три числа очевидно отпадают и подлежат испытанию только 13, 26, 52. Но так как

то, следовательно, требуется 52 тасовки, чтобы перевести карты в прежнее расположение. Таким образом, наш способ тасовки для колоды в 52 карты неудобен по числу действий. Но достаточно его слегка изменить, чтобы это неудобство исчезло. Именно, в видоизмененном способе нужно карты второй половины вставлять между картами первой половины колоды; тогда первая и последняя карты будут всегда оставаться на своих местах, и все дело сводится к разобранному уже способу тасовки, но примененному к числу карт на две единицы меньшему. Следовательно, в измененном способе число тасовок, возвращающее карты в прежнее расположение, будет наименьшим показателем степени 2, при котором 2h—1 делится на 2п— 1. По этому правилу при 2^=52, 2п — 1 = 51 найдем:

Следовательно, теперь нужно только 8 тасовок. Число тасовок, как видим, небольшое, и практическое применение требует изощрения только в самом механизме тасовки.

8. Игра Баше.

Существует несколько игр с участием двух партнеров, построенных таким образом, что при правильной игре начинающий игру или непременно выигрывает или же непременно проигрывает, в зависимости от начальных обстоятельств игры. Если ваш противник не знаком с секретом

правильной игры, то в ходе игры он сделает почти наверно ошибки и проиграет, даже когда он должен был бы выиграть. Эти практически беспроигрышные игры производят большое впечатление на несведующих лиц и при игре на деньги могли бы иметь большое значение, если бы нашлось много охотников играть в них. К сожалению, все такие игры требуют тщательного расчета и, будучи связаны с повышенной умственной деятельностью, едва ли могут привлечь тех, кто главною целью игры ставит наживу.

Мы рассмотрим здесь сначала игру, предложенную Баше, секрет которой не очень глубоко скрыт и может быть обнаружен после небольшого размышления.

Игра Баше может практиковаться в различных формах, напр. так: Из кучки, содержащей наперед известное число карт или других предметов, игроки А и В поочередно берут карты, но так, чтобы каждый раз количество взятых карт не превосходило заранее условленного числа. Выигрывает тот, кто возьмет последние оставшиеся карты. Спрашивается, в чем состоит правильная игра иг кто при этом выигрывает? Ответ зависит от первоначального количества карт в кучке и от наибольшего, заранее условленного числа карт, которое можно взять из кучки зараз.

Произведем анализ игры для ясности в частном предположении, что каждый раз можно взять из кучки не более пяти карт. Чтобы не было недоразумений, условимся считать игрока А начинающим игру. Если кучка содержала первоначально 1, 2, 3, 4 или 5 карт, то А заберет все карты сразу и выиграет игру. При 6 картах в кучке, что бы ни взял игрок А, для игрока В останется не менее одной и не более пяти карт. Игрок В заберет все эти карты и выиграет игру. Пусть теперь в кучке будет 7, 8, 9, 10 или 11 карт. Игрок А всегда может взять столько карт, чтобы в кучке осталось ровно 6 карт, но тогда игрок В будет в положении начинающего при кучке в 6 карт и обязательно проиграет. Если в кучке будет 12 карт, то после того, как игрок А возьмет от одной до пяти карт, в кучке останется от 7 до 11 карт, и по предыдущему обязательно выиграет В. Мы видим таким образом, что известное начальное количество

карт в кучке благоприятно то для игрока А, то для игрока В. Важно выяснить, какое количество карт благоприятно для В. Мы уже убедились, что при 6 и 12 картах выигрывает В. Пойдем теперь дальше. Если число карт в кучке от 13 до 17, то игрок А может опустить его до 12 и по предыдущему непременно выиграет. При 18 картах, что бы ни взял А, игрок В затем доводит число карт до 12 и выигрывает. Таким образом выясняется, что благоприятное для игрока В число карт будет 6, 12, 18 и вообще число, кратное 6. Все остальные случаи благоприятны для А.

Общее доказательство этого заключения, выведенного по индукции, следующее. Пусть число карт кратное 6 и именно в г. Игрок А, начиная игру, берет от 1 до 5 карт; это число можно представить в виде разности 6—s, где s одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5. После этого в кучке остается

6 г — 6+s = 6 (г— 1)+£

карт. Игрок В, беря затем s карт, доводит число карт до 6 (г—1). Теперь должен играть А опять при числе карт кратном 6. Что бы он ни взял, игрок В вслед затем доводит число карт до 6 (г — 2) и т. д., пока наконец игрок В но доведет число карт до 6, а тогда он непременно выиграет. Итак, если число карт 6 г, то при правильной игре выигрывает В. Пусть теперь число карт не делится на 6. Тогда оно представляется в виде бг-f-s, где s одно из чисел 1, ж 3, 4, 5. Игрок А берет сразу s карт и оставляет игроку В число карт 6 г. Этот последний находится в положении начинающего при 6 г картах и непременно проигрывает. Из этих объяснений видно, что правильно играть можно только одним способом. Если поэтому игрок, который должен выигрывать, сделает хоть один ошибочный шаг, то он сейчас же теряет преимущество и неизбежно проигрывает, чем и объясняется, так сказать, практическая беспроигрышность этой игры с неопытным игроком.

Хотя при анализе игры мы предполагали, что каждый раз можно взять не более 5 карт, но наши рассуждения очевидно общие. Не повторяя поэтому их в общем виде,

можем прямо высказать следующее правило: Если по условиям игры каждый раз из кучки можно взять не более Ь карт и а первоначальное число карг в кучке, то

всегда выигрывает начинающий, если а не делится на Ъ-\-1,

всегда проигрывает начинающий, если а делится на Ь-{-1.

Правильная игра состоит в том, чтобы игрок, которому суждено выиграть, всегда оставлял противнику число карт, кратное Ъ-\-1..

Мы уже отметили, что игра Баше может быть представлена в разных вариантах. Сам Баше дает ей такую форму. Двое называют по очереди числа от 1 до 10; выигрывает тот, кто первым доведет сумму названных чисел до 100.

Анализируем этот вариант игры в общем виде. Пусть каждый раз можно называть числа от 1 до а включительно и пусть выигрывает тот игрок, который первым доводит сумму названных чисел до заранее условленной границы а. Совершенно очевидно, что такая игра только по форме отличается от предыдущей, так как весь вопрос сводится к исчерпанию а единиц (что соответствует первоначальному числу карт в кучке) путем последовательного отнятия не свыше Ъ единиц зараз (что соответствует изъятию из кучки зараз не более Ъ карт). В виду этого полученные выше результаты непосредственно прилагаются к нашему случаю и дают возможность высказать следующее заключение: Если а не делится на Ь-f-l, то должен всегда выиграть начинающий; наоборот, начинающий должен проиграть, если а делится на fr-j-1. Игрок, который при правильной игре неизбежно выигрывает, должен останавливаться на такой сумме названных чисел, чтобы разность между ней и а делилась на Ъ~\-1. Напр., если а =100, ft =10, как у Баше, то должен выиграть начинающий, так как 100 не делится на. Ь+1 = 11. Остаток от деления 100 на 11 есть 1; поэтому начинающий игрок А должен сначала назвать 1. Затем, что бы

ни назвал игрок В, А должен довести сумму названных чисел до 12, затем последовательно до 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89 и наконец до 100. Эти числа 1, 12, 23 и т. д. именно таковы, что разности 100 — 1 = 99, 100 — 12 = 88у 100 — 23 = 77 и т. д. делятся на 11.

9. Игра, предложенная Wythoff'ом.

Основы игры Баше сравнительно настолько просты, что усмотреть их не представляется слишком трудным для человека, умеющего хоть немного думать. Поэтому практиковать игру Ваше слишком долго с лицами, не совсем лишенными сообразительности, невозможно. Существуют другие игры подобного же характера, но с гораздо более скрытыми основаниями. Здесь мы рассмотрим игру, предложенную в 1907 году голландским математиком Wуthоff'ом.

Два игрока А и В последовательно берут карты из двух кучек, содержащих заранее известное число карт для каждой из них, причем зараз можно взять произвольное число карт или из одной какой-нибудь кучки (напр. даже все карты этой кучки) или сразу из двух, но тогда из каждой поровну. Выигравшим считается тот, кто заберет последние оставшиеся карты. Спрашивается, кто должен выиграть в этой игре и в чем состоит правильная игра?

Анализ этой игры показывает, что выигрыш или проигрыш игрока А, начинающего игру, зависит от начального количества карт в кучках. В большей части случаев выигрывает А, и только некоторые специальные начальные условия благоприятны для игрока В, вступающего в игру вторым. Задача состоит в отыскании всех комбинаций, благоприятных для В.

Обозначим вообще через а и Ъ числа карт двух данных кучек. Так как безразлично, какую кучку считать первой и какую второй, то можно всегда предполагать а^Ъ. Пару чисел (а, а), подчиненных условию будем называть положением, имея в виду, что такая пара вполне опре-

деляет исходное положение в игре. Поищем сначала по индукции положения, благоприятные для игрока В, и для этого придадим прежде всего а наименьшее возможное для него значение 0. Положение (О, Ъ) будет всегда благоприятно А, ибо при таком положении А заберет всю кучку из Ъ карт сразу и выиграет игру. Итак, искомых положений с а = 0 не существует. Положим поэтому а—1 и рассмотрим положения (1, Ъ). Если Ь= 1, то положение (1, 1) благоприятно для А, потому что этому игроку стоит только взять из каждой кучки по одной карте (что согласуется с правилами игры), чтобы закончить игру победителем. Возьмем далее 1 — 2\ тогда положение (1, 2) будет первое, благоприятное для В. В самом деле, игрок А, имея перед собою такое положение, может или взять из обеих кучек поровну, т. е. по одной карте, оставив В положение (0, 1), или взять из первой кучки одну карту, оставив В положение (0, 2), или, наконец, взять из второй кучки 1 или 2 карты, оставив В одно из положений (1, 1) или (0, 1). Таким образом яри начальном положении (1, 2) игрок А оставляет В одно из положений (0, 1), (0, 2), (1, 1), при котором последний непременно выиграет. Положение (1, Ъ) при Ь>2 всегда благоприятно для А; ибо этому последнему достаточно взять Ъ — 2 карты из большей кучки, чтобы поставить В в роль начинающего при положении (1, 2), что по предыдущему влечет проигрыш В. Окончательно оказывается, что из всех положений с а—\ только одно положение (1, 2) благоприятно для В.

При а = 2 все положения (2, Ь) благоприятны для А. В самом деле, этот игрок из большей кучки должен взять все карты, кроме одной, и тогда оставит В в роли начинающего перед положением |1| 2), так что В проиграет неизбежно.

При а = 3 положения (3, 3) и (3, 4) благоприятны для А. В первом случае А выиграет, взяв сразу по 3 карты из обеих кучек; во втором же возьмет по 2 карты из каждой кучки и оставит игроку В положение (1, 2). Наоборот, положение (3, 5) благоприятно для В. В самом деле, что может сделать игрок А, имея перед собою такое поло-

жение? Во-первых, он может взять поровну из обеих кучек и тогда поставит В перед одним из положений (0, 2), (1, 3), (2, 4), при которых В, по предыдущему, выигрывает. Во-вторых, А может взять из меньшей кучки 1, 2 или 3 карты и оставить В в роли начинающего перед одним из положений: (2, 5), (1, 5), (0, 5); следовательно выигрывает В. В-третьих, А может взять карты из большей кучки, оставляя В одно из положений: (3, 4), (3, 3), (2, 3), (1, 3), (О, 3); выигрывает поэтому опять В.

Положения (3, Ь), где Ь>5, все благоприятны для А. Именно, игрок А возьмет из большей кучки 5 — Ъ карт и оставит В в роли начинающего при положении (3, 5), что приведет по предыдущему к проигрышу В. Из этого исследования вытекает, что положения (3, Ъ) все благоприятны для А, кроме одного, соответствующего Ъ = 5.

Возьмем теперь а = 4, Положения (4, Ъ) при а —4, 5, 6 благоприятны для А, так как, отнимая от обеих кучек зараз 4, 3, 1 карт при а = 4, 5, 6 игрок А оставляет В положения (0, Oj, (1, 2), (3, 5), ведущие к проигрышу В. Но положение (4, 7) благоприятно для В. Именно, А, начиная игру при таком положении, может: 1° взять от обеих кучек 1, 2, 3 или 4 карты, поставив В перед одним из положений (3, 6), (2, 5), (1, 4), (0, 3); 2° взять от меньшей кучки 1, 2, 3 или 4 карты, что ставит В перед одним из положений (3, 7), (2, 7), (1, 7), (0, 7); 3° взять от большей кучки 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7 карт, что ставит В перед положениями (4, 6), (4, 5), (4, 4), (8, 4), (2, Щ (1, 4), (0, 4). Как бы, следовательно, ни сыграл А, игрок В будет в роли начинающего перед благоприятным для начинающего положением.

Положения (4, Ь), где Ь>7, все благоприятны для А потому что после отнятия от большей кучки Ъ— 7 карт приводят к положению (4, 7), начав с которого В проигрывает игру.

Путем подобного же разбора читатель сам найдет, что дальнейшие благоприятные для игрока, вступающего в игру вторым, положения будут: (6, 10), (8, 13), (9, 15) и т. д. Согласимся все такие положения, в виду их редкости, на-

зывать исключительными. Таким образом, все исключительные положения при а ^ 9 будут :

(О, 0), (1, 2), (3, 5), (4, 7), (6, 10), (8, 13), (9, 15) 0 12 3 4 5 6

Числа, поставленные снизу, дают номера исключительных положений, расположенных в порядке возрастающих а; вместе с тем сразу бросается в глаза, что те же числа совпадают с значениями разности Ъ — а для последовательных исключительных положений. Это замечание приводит к следующему, способу образования не только перечисленных выше, но, как мы докажем ниже, вообще всех исключительных положений. Возьмем безграничный ряд натуральных чисел :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, -31, ~32, 33,

и выделим из него пару (1, 2). Вычеркнем (или подчеркнем) выделенные числа 1 и 2; первое невычеркнутое число будет 3. Это число 3 и число 5, на две единицы большее, мы опять выделяем в пару (3, 5) и вычеркиваем из ряда. Первое невычеркнутое число будет 4; его и число 7, на три единицы большее, мы выделяем в пару (4, 7) и вычеркиваем из ряда. После этого первое невычеркнутое число 6 и на 4 единицы большее число 10 соединим в пару (6, 10) и вычеркнем. Первое невычеркнутое число 8 и на пять единиц большее число 13 опять соединим в пару и вычеркнем. Поступая дальше таким же образом, мы не только найдем перечисленные выше исключительные положения, но будем в состоянии построить бесконечный ряд пар:.

(О, 0), (1, 2), (3, 5), (4, 7), (6, 10), Щ 13), I (9,15), (11, 18), (12, 20), (14,23), (16, 26), (А) (17, 28), (19, 31), (21, 34) и т. д. J

Нужно доказать теперь, что все исключительные положения исчерпываются этим рядом. Доказательство будет осно-

вано на следующих свойствах ряда (А), очевидных из способа его составления:

1°. Каждое число 1, 2, 3. ... встречается в одной и только одной паре ряда (А).

2°. Разности между числами, составляющими пары, будут равны последовательно 0, 1, 2. 3,...

Докажем прежде всего, что при соблюдении правил игры из любого положения ряда (А) всегда выводится положение, не заключающееся в этом ряду. Пусть в ряду (А) взято какое-нибудь положение (а, ft). По правилам игры из него выводится одно из трех положений:

(а —к, Ъ — а), (а — к, ft), (а, Ь — к).

Ни одно из них не может принадлежать ряду (А). Именно, для положения (а — к, Ъ— к) разность между входящими в него числами Ь —- к — (а — к) = Ъ — я. но в ряду (А) существует уже положение (а, Ь) с тою же разностью и, по свойству 2°, другого такого же быть не может. Следовательно, положение (а — й, Ъ — к) не находится в ряду (А).

Положение (а — ft, Ь) не может принадлежать ряду (А), потому что иначе в этом ряду были бы два положения {а — к, ft) и (я, ft) с одним и тем же числом ft. Число а также не может, по свойству 1°, встречаться в двух положениях ряда (А), следовательно положение (а, Ъ — к) не принадлежит к этому ряду.

Докажем далее, что из любого положения, не находящегося в ряду (А), по правилам игры может быть выведено положение, принадлежащее к этому ряду. Пусть дано положение (a, ft), не принадлежащее к ряду (А), и пусть h — а —к. В ряду (А) найдется такое положение (а, ß), что ß — a = fc. Так как равенство а = а, влекущее равенство ß = ft, невозможно, то должно быть одно из двух: или гх<а, или а>а. Если а О, то, отнимая от чисел ажЪ равные Числа а — а = ft — ß, мы перейдем от положения (а, ft) к положению (а, ß), находящемуся в ряду (А).

Если а>а, то в ряду (А) найдется одно и только одно положение, содержащее число а. Это положение будет или типа (а, с), или типа (с, а).

В первом случае, так как а<а, разность с — а будет меньше ß — а = Ь— а; следовательно с<Ь. Поэтому достаточно отнять Ь — с единиц от Ь, чтобы от положения (а, Ь) перейти к положению (я, с) из ряда (А).

Во втором случае с<Са, следовательно тем более с<а. Опять отнятием Ъ — с единиц от Ь мы превратим положение (а, Ъ) в положение (с, а) из ряда (А).

Примеры помогут лучше понять эти операции. Пусть дано положение (6, 15) с разностью 15— 6 = 9. В ряду (А) имеет такую разность положение (14, 23). Так как 6<14, то мы ищем в ряду (А) положение, содержащее число 6; это будет (6, 10). Следовательно, достаточно уменьшить 15 на 5 единиц, чтобы перейти от положения (6, 15) к (6, 10).

Пусть далее дано положение (7, 15) с разностью 15 — 7 = 8. В ряду (А) с такою разностью имеется положение (12, 20). Так так 7<12, то в ряду (А) следует найти положение, содержащее число 7; это будет (4, 7). Следовательно, нужно отнять 11 единиц от 15, чтобы перевести положение (7, 15) в (4, 7).

Наконец, пусть дано положение (10, 14) с разностью 4. Этой разности в ряду (А) соответствует положение (6, 10), получаемое из (10, 14) отнятием от 10 и 14 по 4.

Теперь уже нетрудно доказать, что рядом (А) даются все исключительные положения и только они. В самом деле, если при начале игры дано одно из положений ряда (А), то что бы ни сделал игрок А, он оставит В положение, не находящееся в ряду (А). Игрок В может перевести его опять в некоторое положение ряда (А), затем игрок А выведет положение, не принадлежащее этому ряду. Тогда игрок В опять переведет его в некоторое положение ряда (А) и т. д., пока наконец игрок В не дойдет первым до положения (0, 0) и выиграет игру. Таким образом, все положения ряда (А) благоприятны игроку В, т. е., по принятой терминологии, исключительные. Наоборот, любое положение, не встречаю-

щееся в ряду (А), благоприятно для игрока А. В самом деле, этот игрок, имея перед собою такое положение, может перевести его в одно из положений ряда (А). Тогда игрок В очутится в роли начинающего при исключительном положении и, по предыдущему, должен проиграть, если только А будет играть правильно.

Чтобы закончить теорию этой игры, остаемся еще указать общие формулы для составления пар ряда (А). Будем обозначать по обычаю через Е (%) целую часть числа х\ тогда, придавая к значения 0, 1, 2, 3,... в выражениях

(1)

мы получим по порядку пары (а0, а0), Ъх), (а2, Ь2), составляющие ряд (А). Чтобы в этрм убедиться, нужно только доказать, что ряд

К, ь0), К> % (а2> W К> W Ш (В)

имеет характерные свойства ряда (А), т. е.

1° каждое целое число 0, 1, 2, 3,... встречается в одной и только одной паре ряда (В),

20 разности Ъ0 — а0, Ъг — ах, Ъ2 —г а2, ..имеют значения 0, 1, 2,...

Свойство 2° почти очевидно; в самом деле,

следовательно

откуда

или иначе

как и должно быть.

Доказательство свойства 1° несколько сложнее. Это свойство сводится к тому, что какое угодно целое число т = 19 2, 3,.., или совпадает с одним из чисел akJ но тогда среди чисел Ъь значение m не встречается, или же совпадает с одним из чисел Ьк, но тогда среди чисел ак нет равного т. Посмотрим поэтому, когда возможно равенство

Для этого целое число к должно зараз удовлетворять двум неравенствам:

или

что можно путем простых преобразований представить в виде

(2)

Подобно этому равенство

равносильное двум неравенствам

дает

(3)

или, если для избежания недоразумения напишем I вместо к,

(4)

Для достижения нашей цели нам нужно показать, что при любом целом m найдется или целое число й, удовлетворяющее неравенствам (2), или целое число 1} удовлетворяющее

неравенствам (4), причем то и другое одновременно невозможно.

Что невозможно зараз удовлетворить неравенствам (2)ш 4) целыми числами к и ?. это доказать очень просто. Сложим почленно неравенства (2) и (4); имея в виду, что

найдем

что невозможно, если к и I целые числа.

Остается, следовательно, показать, что когда нельзя удовлетворить неравенству (2) целым числом к, то можно удовлетворить неравенству (4) целым числом /. В промежутке между числами

всегда находится одно целое число к. Если для этого к

то удовлетворяются неравенства (2). В противном случае

Неравенства (4) удовлетворяются поэтому целым значением ü = m-f-l — к. Таким образом, доказано, что ряд (В), обладая характерными свойствами ряда (А), с ним совпадает.

Формулы (1) позволяют узнать, будет ли данное начальное положение исключительным или нет, не прибегая при этом к составлению ряда исключительных положений. Пусть для примера требуется узнать, будет ли положение (37, 52) исключительным или нет? Согласно изложенному, следует искать целое число h по условию

Но

следовательно,

Между этими числами лежит целое число а=23, следовательно

Исключительное положение, содержащее число 37, будет поэтому такое (37, 60) и отличается от данного. Следовательно, исходное положение (37, 52) не принадлежит к числу исключительных. При таком положении в начале игры должен выиграть начинающий игрок.

ГЛАВА II.

Развлечения, связанные с системами счисления.

1. О системах счисления вообще.

Система счисления или нумерация есть условный способ для удобного словесного выражения или письменного изображения чисел. Сообразно с этой двойной целью нумерация распадается на устную и письменную. Разумеется, что последняя находится в связи с первой, но, предполагая письменную передачу мысли, имеет гораздо более позднее происхождение. Зарождение устного счисления относится, без сомнения, к древнейшим стадиям развития человечества. Мы не имеем поэтому никаких прямых средств судить о развитии устного счисления у разных народов и принуждены ограничиться немногими указаниями, почерпаемыми из изучения языков этих народов, и более или менее правдоподобными догадками. Несомненен тот факт, что народы земного шара, за исключением лишь некоторых первобытных племен, для названия чисел пользовались и пользуются так называемой десятеричной системой счисления, сущность которой сводится к соединению десяти простых единиц в единицу высшего разряда — десяток, десяти десятков в новую единицу еще более высокого разряда — сотню и т. д., и основанному на этом систематическому словесному выражению чисел.

Уже Аристотель обратил внимание на этот факт и дал ему весьма правдоподобное объяснение. Совершенно естественно, что первобытный человек для облегчения счета, являющегося и теперь, по свидетельству этнографов, делом

весьма трудным для дикарей, обращался к помощи данных ему самой природой инструментов, а именно к пальцам рук и, в необычных случаях большого счета, также и ног. Считая по пальцам рук или ног, люди должны были естественно придти к системе счисления с основанием 5, 10, 15 или 20. Пятяадцатеричная система, однако, никогда повидимому не употреблялась. Пятеричная система тоже, как кажется, не достигла последовательного развития, будучи вытеснена десятеричйой. Но двадцатеричная система действительно была в употреблении у ацтеков в древней Мексике. Да и в языках живущих теперь культурных народов встречаются слабые намеки на двадцатеричную систему счисления. Напр.. во французском языке числа восемьдесят и девяносто называются quatre-vingts, quatre-vingts-dix. Употребляются также выражения six-vingts (120), sept-vingts (140) и huit-vingts (160). Подобные же отголоски двадцатеричной системы имеются в датском языке, напр., halvtrcsindstyve, tresindstyve для обозначения 50 и 60. Как бы то ни было, в настоящее время у всех народов, кроме редких исключений, господствует десятеричная система счисления. Эти редкие исключения, к тому же сомнительные и многими оспариваемые, относятся к племенам, находящимся на первобытной стадии развития. Так, напр., говорят, что туземцы Новой Зеландии в своем языке имеют особые слова для обозначение 11, 121 = 112 и 1331 = II3? что указывало бы, если бы стояло вне сомнений, на весьма странный факт существования одиннадцатеричной системы нумерации. Некоторые исследователи утверждают также, что австралийцы и жители островов Тихого Океана даже в настоящее время пользуются двоичной системой нумерации, следы которой Лейбниц, весьма горячо отстаивавший эту систему с теоретической точки зрения, думал найти в некоторых древних китайских символах.

Десятеричная система счисления, возникшая в связи с устройством человеческого тела, является ли самой удобной? Многие указывали, что более удобной была бы двенадцатеричная или восьмеричная системы, основания которых имеют большее число делителей, нежели 10. Знамени-

тый голландский математик Симон Стевин (Simon-Stevin, 1548—1620) даже предлагал ввести в употребление двенадцатеричную систему в связи с основанными на ней подразделениями мер и весов. Это предложение было, может быть, и целесообразно, но едва ли выполнимо, так как потребовало бы искусственной ломки самого языка.

С другой стороны, для известных теоретических целей иногда употреблялись системы счисления, отличные от десятеричной. Знаменита в истории математики шестидесятеричная система счисления, употреблявшаяся наряду с десятеричной древними вавилонянами, отголоски которой до сих пор продолжают жить в разделении окружности на 360 градусов, градуса на 60 минут и минуты на 60 секунд или в подразделении часа на минуты времени и минуты на секунды.

При одной и той же десятеричной системе устного счета способы изображения чисел в письме у разных народов в древности были весьма разнообразными и не всегда отвечали требованию простоты и удобства действий над написанными числами. У древних греков, напр., способ изображения чисел был настолько неудобным, что выполнение даже простых арифметических действий представляло большие трудности и требовало особых вспомогательных инструментов. Мы с трудом можем себе представить эти трудности благодаря тому, что с детства приучаемся писать числа и соответственно выполнять над ними действия по особой системе, изобретенной индусами и от них через арабов проникшей в средние века в Европу. Индийская система изображения чисел является одним из полезнейших и удивительнейших изобретений, когда-либо сделанных людьми. Если мы ей не удивляемся, то только по привычке. Людям вообще свойственно переставать испытывать удивление даже перед самыми замечательными вещами, если только эти вещи входят в человеческий обиход. Давно ли мы имели возможность наблюдать, как огромные толпы народа с изумлением смотрели на первые полеты аэропланов; а теперь, когда аэроплан парит над городом, прохожие даже не останавливаются взглянуть на него: так теперь все это кажется обычным.

В обычной системе письменной нумерации, индийской, как мы ее выше назвали, все числа изображаются десятью знаками или цифрами: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Значение цифры зависит от места, где она стоит. Крайняя цифра справа обозначает количество простых единиц в числе; цифра слева от нее обозначает количество единиц следующего разряда, т. е. десятков, и т. д. Если на каком-нибудь месте стоит знак 0 (нуль), то это значит, что единиц соответствующего разряда в числе вовсе нет. Все это, конечно, хорошо известно читателю и напоминается лишь для того, чтобы лучше понять следующее замечание: сущность нашей системы изображения чисел заключается в возможности представить всякое целое число, и притом единственным способом, в виде суммы:

где все числа с0, с1Г . . ., сд_15 ст имеют одно из десяти значений 0, 1, 2, 9 и могут быть, следовательно, изображены цифрами.

Можно подобным же образом изображать числа и при другом основании системы счисления, нежели 10. Пусть за основание системы взято некоторое целое число а>1; тогда всякое целое число N можно представить, и только одним способом, под видом суммы:

где все числа ß0, , ... , ßw имеют одно из значений О, 1, 2, Ъ—1. Если Ь<10, то числа ß0, ß19 ß2, ... могут быть изображены употребительными цифрами; если же Ь>10, то для изображения тех из них, которые больше 9, нужно употреблять новые знаки. Для доказательства нашего утверждения мы можем представить число Лг в виде

где

А так как по предположению 0;^$п^Ь—1, то ßM однозначно определится, как остаток от деления N на Ъ, а частным будет служить Кг. Подобно этому, деля Nt на Ь, мы получим в остатке $п_г, а частное будет

При делении К2 на Ъ в остатке получится ßn_2 и т. д. Эти действия закончатся, когда мы уже придем к частному <а, которое и будет совпадать с ß0. Для пояснения описанных действий представим число N=2523 в системе с основанием 8. Действия удобнее всего располагаются нижеследующим образом:

Подчеркнутые последовательные остатки 3, 3, 7 и последнее частное 4 дают последовательные цифры числа 2523, написанного по восьмеричной системе, начиная с цифр низшего разряда. Таким образом, число N=2523 напишется по восьмеричной системе так :

N= 4733,

что равносильно следующему равенству:

2. Двоичная система счисления.

Система счисления с основанием 2 или двоичная теоретически является простейшей, так как требует всего только двух цифр 0 и 1 для изображения всякого числа.

Единицами различных разрядов в двоичной системе служат степени двух:

При наличии только двух различных цифр все числа изображаются в виде последовательности единиц и нулей. Напр., числа 3, 8, 15, 59, 73, 100 по двоичной системе изображаются так:

что соответствует равенствам:

Вообще всякое целое число JV по двоичной системе изображается, и только одним способом, в виде суммы:

где з1э с2, зм-], гп равны 0 или 1. Отбрасывая степени 2 с коэффицентами 0, мы придем к важному арифметическому предложению:

„Всякое целое число может быть представлено как сумма различных степеней двух, и притом только одним способом",

которое лежит в основе многих интересных развлечений.

Арифметические действия над числами, написанными по двоичной системе, совершаются обычным способом и отличаются особенной простотой. Напр., пусть требуется сложить

числа 59 = 111 Oil и 15=1111; действие располагается обычным образом и представляется в следующем виде:

Пример вычитания:

Умножение особенно упрощается, так как не нужно знать таблицы умножения; в остальном действие располагается обычным способом. Вот пример умножения:

Вследствие простоты умножения очевидно, что также и деление сильно упрощается.

Нельзя, однако, не отметить, что при всех своих преимуществах двоичная система имеет в практическом отношении существенный недостаток, так как в ней даже сравнительно небольшие числа выражаются большим числом знаков. Несмотря на это, Лейбниц, первый из европейских ученых обративший внимание на двоичную систему счисления, ставил ее весьма высоко и в своем увлечении дошел даже до курьеза. Для Лейбница она служила символом творения из ничего, ибо подобно тому, как единица и нуль достаточны для изображения всех чисел, так творческая воля производит все вещи из ничего. Эта мысль так понравилась Лейбницу,

что он сообщил ее иезуиту Гримальди, миссионеру в Пекине, в надежде этим математическим символом творения склонить принять христианство тогдашнего китайского императора, бывшего любителем наук.

Лаплас, после рассказа об этом, справедливо замечает: „Je ne rapporte ce trait que pour montrer jusqu'à quel point les préjugés de l'enfance peuvent égarer les plus grands hommes".

В связи с двоичной системой счисления стоит интересный способ умножения, по свидетельству некоторых иностранных авторов будто бы применяемый русскими крестьянами. Пример поможет лучше понять, в чем состоит этот способ.

Пусть требуется перемножить 72 на 53. Делим множитель 53 на 2; отбрасывая дробную часть, получаем 26. Потом делим 26 на 2, что дает 13; далее делим 13 на 2, что дает после отбрасывания дробной части 6, и т. д., иока не придем к числу 1. Расположив получившиеся числа 53, 26, 13 и т. д. в один столбец

рядом с ними выписываем 72 и числа, получившиеся из 72 последовательными удвоениями. Отметив в столбце слева нечетные числа, берем стоящие против них числа 72, 288, 1152, 2304 и складываем их :

Получившаяся сумма 3816 будет искомым произведением 72 на 53. Замечательно, что для производства умножения по этому способу нет нужды знать таблицу умножения; что же касается последовательных делений пополам и удвоений, то они легко производятся в уме.

Для теоретического обоснования этого способа обозначим множимое через а, а множитель через Ъ. Напишем Ь по двоичной системе:

Если Ъ четное, то sа~0 и частное от деления Ъ на 2 представится так

(1)

При нечетном Ъ то же выражение (1) даст целую часть частного Отсюда понятно, что в столбце слева будут стоять числа

Какое-нибудь из этих чисел bi будет нечетным, если £л-*=1*. наоборот bi будет четным, если Sfc_4-=0. Рядом с каждым числом bi при расположении действий по указанной выше схеме будет стоять = 2га. Сумма всех чисел aiy которым соответствует нечетное Ъ{, может быть представлена в виде

так как произведение

если Ь- нечетное, и

JÉr.. é| _ • = 0, если Щ четное. Но это выражение для s после замены ai через 2га можно представить так:

или но

следовательно

s — ah,

что и требовалось доказать.

3. Система счисления с основанием 3.

Если за основание принято 3, то для изображения чисел достаточно трех цифр: 0, 1 и 2. Отсюда следует, что всякое целое число N может быть представлено, и только одним способом, в виде суммы

где каждое из чисел s1? е2, ... , Ц может иметь три значения: О, 1 или 2, a s0 только .два: 1 или 2. Напр., число 142 изобразится таким образом:

1 2 0 2 1,

что соответствует равенству

Заменяя здесь 2 разностью 3 — 1, можем это равенство переписать так:

Таким образом оказалось возможным представить 142 ! виде алгебраической суммы степеней 3. Подобным же образом может быть представлено всякое целое число. Проще всего в этом можно убедиться так. Взяв какое-нибудь целое число JVj разделим его на 3 так, чтобы остаток имел одно из значений 0, 1, — 1; пусть частное будет JV15 а остаток г15 тогда

где, как сказано, г2 —0, -|-1 или —1, a JVj<;X Деля подобным же образом Nx на 3, получим

^-ЗЛ;+г2,-

где r2~0, 1, —1 и A^iVj. Если .У2>1, то опять делим Щ на 3, что приводит к равенству

где ^з~0, 1, —1 и ]У3<ЛГ2. Продолжая такие действия, пока получаемые частные больше 1, мы, наконец, придем к равенству

AT Q AT* ' '

в котором Nn— 1 и гп имеет одно из значений: 0, 1 или —1. По исключении из полученных равенств промежуточных величин JVi, J\r2, ... , ЛтЛ-1 окончательно найдем представление Л7" в виде

где гп г2, ... , гп имеют только три значения: 0,1 или — 1. При этом такое представление будет единственным.

В дальнейшем при разборе так называемой задачи о гирях только что доказанное предложение будет играть важную роль.

4. Угадывание взятых тремя лицами предметов.

В связи с троичной системой нумерации уместно рассмотреть следующее простое развлечение, в несколько измененной форме имеющееся у Баше и затем постоянно воспроизводимое всеми авторами.

Три лица А, В, С должны взять каждое один из трех предметов а, Ь, С, причем им предоставляется согласиться относительно выбора. Чтобы угадать, какой предмет взят каждым из участников этой игры, дают предварительно из кучки в 50, скажем, жетонов или других подобных предметов лицу А один, В три и С девять жетонов, затем предлагают лицу, взявшему соответственно предметы а, Ь, С, добрать из кучки столько же жетонов, сколько ему первоначально дано, если взят предмет а, или в два раза больше, если взят предмет Ь, или, наконец, в три раза больше, если взят предмет с. Преподавши эти правила, угадывающий удаляется, предоставляя лицам А, В, С совершить все предписанные операции наедине. После того, как все это будет окончено, угадывающее лицо приглашается вновь и по числу оставшихся жетонов сразу определяет, какой предмет взят каждым из трех лиц.

Чтобы понять, как это делается, заметим, что по числу оставшихся жетонов можно определить число добранных жетонов N. Это число будет вида

где щл х2, хъ различные числа, взятые среди чисел 1,2,3, а именно, напр., хх будет 1, 2 или 3, если предмет, взятый А, будет соответственно а, Ь или с. Таким образом, если узнать числа хг, х2, г8, то можно сказать, какой предмет взят каждым из участников игры. Если из числа N отнять сумму 1-J-3-J-9 = 13 и разности хг — 1, х2—1, х%—1 назвать через уп у2, у3, то в выражении

мы имеем представление числа N— I 3 по троичной систему, что дает возможность определить цифры ух, у2, у3 и через

прибавление к ним единицы найти искомые числа х19 хг) хъ. Напр. положим, что осталось 13 жетонов. Так как после предварительной раздачи оставалось 50 —13 = 37 жетонов, то, следовательно, добрано N=37— 13 = 24 жетона. Число j\r_ 13=ц по троичной системе представляется так :

следовательно уг = 2, у2 = 0, уъ = 1 и хх = 3, х2 = 1, хг = 2. Таким образом А взял предмет с, В предмет а и С взял предмет Ь.

Понятно, как можно практиковать подобную же игру с числом участников большим 3; для этого нужно только воспользоваться изображением чисел в системе с основанием, равным числу участников. »£Ц

У Баше игра практикуется также с тремя лицами А, В, С, которым из кучки в 24 жетона выдается предварительно 1 жетон А, 2 жетона В и 3 жетона С. Затем взявший соответственно предметы а, Ь, С должен из оставшихся жетонов добрать столько, сколько у него есть, или в два раза больше или в четыре раза больше. По оставшемуся числу жетонов, которое назовем через s, можно судить, что было добрано 18 — s жетонов. Это число добранных жетонов представляется в виде

18—5 = ^+2^+3^3,

где числа х19 #2, хъ совпадают с числами 1,2,4, взятыми в некотором порядке, а именно, напр., х2 равно 1, 2 или 4, если предмет, взятый В, есть а, Ь или с. Так что для определения, какой предмет взят каждым из участников, достаточно по величине s уметь найти хг, х2 и #3. Баше дает для этого особые мнемонические правила, но едва ли не проще воспользоваться следующими формулами, к которым приводит анализ этого варианта игры. Положим

^ = 4 — 5, и = 3 22 — 7,

тогда

Напр., пусть число оставшихся жетонов s = 5, тогда Шт— 1, и ~ —4 и

так что в этом случае лицо А взяло предмет Ь, В предмет с и С предмет а.

5. Угадывание задуманного числа.

Возможность представить всякое целое число, и только одним способом, в виде суммы степеней 2 служит источником многих эффектных развлечений, которые являются лишь вариантами одной и той же основной идеи.

Первый вариант практикуется таким образом. Из кучки жетонов или других одинаковых предметов предлагается отобрать произвольное число жетонов. Затем с отобранными жетонами нужно произвести следующие действия. Беря эти жетоны по очереди один за другим, нужно первый жетон положить на блюдечко, второй в сторону, третий опять на блюдечко, четвертый в сторону и т. д. Если под конец при этих операциях останется один жетон, то его следовало бы положить на блюдечко, но вместо этого его нужно поместить на столе перед блюдечком. Жетоны, отложенные в сторону, в дальнейшем не играют никакой роли. Жетоны же, оказавшиеся на блюдечке, с него снимаются и с ними поступают подобно предыдущему, т. е. первый из них кладут на второе блюдечко, второй в сторону, третий на блюдечко, четвертый в сторону и т. д. Если под конец останется один жетон, то его следует положить на столе перед вторым блюдечком. Жетоны, оказавшиеся на втором блюдечке, опять по очереди кладутся на третье блюдечко или в сторону и таким же образом продолжают поступать дальше, приставляя в случае нужды новые блюдечки, пока, наконец, не дойдут до блюдечка, на котором будет лежать один жетон. Тогда этот жетон следует снять и положить на столе перед новым блюдечком. В результате получится ряд пустых блюдечек, над некоторыми из которых будут лежать жетоны. Зная, перед какими блюдечками лежат жетоны, можно сразу угадать первоначально взятое число жетонов. Действи-

тельно, если вникнуть в описанные действия, то нетрудно понять, что они сводятся к отысканию цифр задуманного числа в двоичной системе нумерации. В самом деле, число жетонов, лежащих на первом блюдечке, будет частным от деления задуманного числа на 2, остаток же, равный О или 1, будет давать число жетонов, лежащих перед первым блюдечком. Вместе с тем это будет цифра низшего разряда в искомом числе, написанном по двоичной системе. Число жетонов на втором блюдечке будет частным от деления на 2 числа жетонов первого блюдечка, остаток же, равный 0 или 1, представится числом жетонов, лежащих перед вторым блюдечком; но то же число будет второй цифрой справа в изображении искомого числа по двоичной системе. Вообще число жетонов, лежащих над й-ым блюдечком, будет давать а-ую цифру справа в изображении задуманного числа по двоичной системе, следовательно это число может быть угадано без малейшего труда. Положим, напр., что задумано число 23. Тогда после первой раскладки на первом блюдечке будет лежать 11 жетонов и один жетон перед ним. После второй раскладки на втором блюдечке будет лежать 5 и один перед ним. На третьем блюдечке окажется 2 жетона, и один жетон будет лежать перед ним. На четвертом блюдечке окажется 1 жетон, который следует снять и положить перед пятым блюдечком. Окончательно по лучится такая картина:

Рис. 3.

По предыдущему мы должны отсюда заключить, что искомое число по двоичной системе изображается так: 10 1 1 1, и будет равно 24+22-|-2+1 = 23, как и должно быть.

6. Другие варианты той же идеи.

Каждое из чисел от 1 до 31 может быть представлено но двоичной системе не более, чем пятью цифрами, потому что наибольшее „пятизначное" число в двоичной системе будет 1 1 1 1 1 = 24-Ь23+22+2 + 1, т. е. 31. Приписывая

слева нули, если это окажется нужно, можно все числа от 1 до 31 представить как пятизначные. Соответственно этому все эти числа можно изобразить следующим образом в таблице, разделенной на пять столбцов, отвечающих цифрам различных разрядов :

Можно воспользоваться этой таблицей двояким образом. Возьмем пять одинаковых полосок бумаги, соответствующих столбцам первому, второму, ... , пятому предыдущей таблицы, считая слева направо. На каждой из этих полосок поместим все те из чисел 1, 2, 3, 31, для которых в соответствующих столбцах таблицы стоят единицы; тогда эти числа распределятся на полосках по 16 на каждой следующим образом :

При заполнении полосок числами для затемнения сути дела лучше числа писать в беспорядке. Имея готовые полоски, можно предложить желающим задумать числа от 1 до 31 и затем поочереди показывать им полоски с прось-

бой указать, на каких они находят задуманные числа. Этих указаний достаточно, чтобы отгадать задуманные числа. Положим, напр., что задуманное число усматривается во второй, четвертой и пятой полоске. Тогда, имея в виду, что второй, четвертой и пятой полоскам соответствуют в двоичной системе 8, 2 и 1, складываем эти числа; сумма 11 будет задуманное число. Вообще, сопоставляя с полосками I, И, III, IV, V, числа 16, 8, 4, 2, 1, для получения задуманного числа нужно сложить числа, соответствующее тем полоскам, где оно усматривается.

Другой способ использования предыдущей таблицы состоит в следующем. Для большей простоты ограничимся только 15 первыми числами таблицы и соответственно откинем первый слева столбец. Возьмем 5 совершенно одинаковых полосок бумаги или лучше картона, разделенных на клетки, как указано на рис. 4.

В клетках первой полоски, не отмеченной особым номером, написаны числа от 0 до 15. Против этих чисел в сответственных клетках полосок I, II, III, IV должны быть помещены цифры, начиная с высших разрядов, в изображении их по двоичной системе; однако вместо этих цифр, т. е. О и 1, на месте 0 ставится горизонтальная черта, а на месте 1 делается прорез в виде хотя бы прямоугольника. В верхнем отделе полосок I, II, III, IV выписаны те числа, которым на соответственной полоске отвечают вырезы. Обратим внимание на то, что горизонтальные черты и вырезы располагаются симметрично относительно средины полоски и при повороте полоски на 180° взаимно замещают друг друга. Это стоит в связи с тем фактом, почти очевидным, что цифрам 0 или 1 в изображении числа а отвечают в том же разряде цифры 1 или 0 в изображении числа 15-—а\ напр.

6 = 0 1 1 О 9=1 0 0 1

После того, как полоски будут указанным способом изготовлены, полоска с числами показывается с просьбой задумать одно из находящихся на ней чисел. Затем показывают по-

Рис. 4.

лоску I и спрашивают, показано ли на ней задуманное число. Если да, то ее просто накладывают на полоску с числами; если же нет, то ее сначала перевертывают на 180° и после этого накладывают на ту же полоску с числами. Совершенно также поступают с остальными полосками. Когда таким образом все полоски будут наложены на полоску с числами, то через единственный просвет будет видимо как раз задуманное число.

Объяснение этого легко вытекает из самого устройства полосок. Пусть, напр., задумано число 6. На полоске I оно не показано; следовательно, если прямо наложить эту полоску на полоску с числами, то против 6 придется клетка с чертой; после же поворота против 6 будет стоять клетка с прорезом, через которую 6 будет видимо. Далее на полоске II против 6 будет прорез, также и на полоске III; но полоску IV нужно будет повернуть, чтобы против 6 стояла клетка с прорезом. Когда после этого все полоски будут наложены на полоску с числами, то против задуманного числа 6 будут находиться прорезы, через которые это число и будет видимо. Наоборот, всякое другое число будет закрыто сплошной клеткой хотя бы на одной полоске. По поводу этого довольно эффектного развлечения заметим, что для большего затемнения его сущности можно, очевидно, вместо чисел 0, 1, 2, ... , 15 взять любые 16 различных чисел, сохраняя, однако, то же самое распределение черт и вырезов на клетках полосок. Равным образом читатель сам без труда поймет, как можно изготовить более длинные полоски для отгадывания одного из 32, 64 и т. д. чисел.

7. Ханойская башня.

В некоторой, хотя и не прямой связи, с двоичной системой нумерации стоит описанное Е. Lucas развлечение, известное под названием Ханойской башни.

Прилагаемый рис. 5 лучше длинных описаний поможет понять, о какой башне идет речь.

На горизонтальной доске вертикально укреплены три столбика А, В и С. На столбик А насажены через отвер-

стие в центре кружки (на нашем рисунке 8 кружков) уменьшающихся размеров, причем наибольший лежит внизу, а остальные располагаются над ним в порядке убывающей величины. Требуется перенести все эти кружки со столбика А, пользуясь столбиком С, как вспомогательной станцией, на столбик В в порядке убывающей величины, соблюдая при этом следующие правила:

1° каждый раз можно передвигать только один кружок, 2° недопустимо, чтобы когда-нибудь больший кружок располагался над меньшим.

Рис. 5.

Мы покажем, как можно решить этот вопрос, когда дано Ф кружков, если уже известно его решение для случая п—1 кружков. Этого будет достаточно, так как для малых значений де = 2 или 3 решение почти очевидно. Из самого способа решения далее получится выражение для наименьшего числа элементарных действий, состоящих в передвижении одного кружка.

Пусть прежде всего п=2. Тогда, очевидно, первое действие должно состоять в переносе верхнего меньшего кружка на столбик С. Затем нижний кружок должен быть перенесен на столбик В и, наконец, сюда же со столбика С переносится верхний кружок. Таким образом в случае двух кружков задача решается тремя передвижениями, и это число, очевидно, наименьшее. .

Положим теперь, что на столбике А насажено три кружка (и=3), которые в порядке возрастающей величины обозначены номерами 1, 2, 3. Для того, чтобы можно было насадить кружок 3 на столбик В, необходимо: 1° чтобы столбик В не содержал кружков; 2° чтобы на столбике А не было кружков 1 и 2. Эти последние, следовательно, должны, в силу предшествующих действий, быть перенесены на столбик С. Таким образом, стремясь решить задачу возможно короче, прежде всего нужно перенести кружки 1 и 2 на столбик С, что требует 3-х передвижений. Далее нужно перенести кружок 3 с А на В; это потребует 4-го передвижения. Наконец, тремя передвижениями кружки 1 и 2 снимаются со столбика С и переносятся при посредстве А на столбик В. Всего требуется при w=3 сделать семь передвижений и нельзя сделать меньше.

Перейдем теперь к случаю какого угодно числа кружков которые в порядке возрастающей величины обозначим номерами 1, 2, 3, ... , п. Назовем также через vn наименьшее число передвижений в случае п кружков. На некоторой стадии операций придется в первый раз передвинуть наибольший кружок с номером п. Чтобы это было возможно сделать, один из столбиков, В или С, должен быть свободным. Стремясь к наименьшему числу действий, очевидно, нужно предполагать свободным столбик В. В этом случае кружки с номерами 1, 2, 3, ... , 1 должны находиться на столбике С, что предполагает уже совершенными vn^_x действий. Перенося затем кружок п е А на В, мы прибавляем еще одно действие. Далее требуется еще vn_l действий, чтобы перенести кружки 1, 2, ... , п—1 со столбика С, пользуясь А, на столбик В. Полное число действий vn, потребных для перенесения всех кружков с А на В, слагается из чисел

Таким образом получается равенство из которого, принимая во внимание, что ^=1, найдем

Интересно еще определить число передвижений для каждого кружка в отдельности. Назовем через vjj® чивло передвижений к - го кружка сверху при полном числе кружков ti. По предыдущему очевидно, что vif® = 1. Далее мы видели, что до передвижения кружка п остальные кружки должны быть перенесены на столбик С, что даст для fc-ro кружка передвижений. Затем после переноса п-го кружка с А на В нужно опять перенести п — 1 кружков с С на В, что дает еще передвижений к - го кружка.

Всего, следовательно, этот кружок испытывает 2vj^}x передвижений; таким образом

откуда, имея в виду, что v^=ly получаем

Ив этой формулы видим, что числа передвижений кружков 1-го, 2-го, 3-го,... , п-го будут соответственно 2п~1} 2п~2 f 2W~S, . .. , 1 ; сообразно с этим полное число передвижений окажется равным

l-b2+22-f ... -|-2Л-1 = 2Л— 1,

как было найдено выше. С возрастанием числа кружков число передвижений и время, потребное для совершения всех операций, быстро возрастают. Число передвижений для »=1, 2, 3,..., 10 выражается следующими числами:

при числе кружков

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

число передвижений

1

3

7

15

31

63

127

255

511

1023

Чтобы судить, как быстро возрастает время, необходимое для переноса всех кружков, допустим, что передвижение одного кружка совершается в одну секунду. Тогда для переноса 8 кружков, как видно из предыдущей таблицы, потребуется 255 секунд, т. е. немного более 4 минут. При десяти кружках уже нужно употребить свыше 17 минут. Если же взять 64 кружка, то потребуется

264—1 = 18 446 744 073 709 551 615 секунд,

т. е. более пятисот миллиардов лет беспрерывной работы. Отсюда читатель может видеть, что иногда задача, на словах решаемая легко, может оказаться на практике превышающей всякие человеческие силы.

8. Задача о гирях.

Так как всякое целое число может быть составлено из степеней 2, то, имея в своем распоряжении гири в 1, 2, 4, 8, 16, 32 и т. д. фунтов, можно взвесить всякий груз в целое число фунтов до предела, обусловленного количеством наличных гирь. Так, при шести гирях в

1, 2, 4, 8, 16, 32

фунтов можно не только взвесить всякое целое число фунтов до пуда, но и дальше до 63 фунтов включительно. При атом предполагается, что взвешиваемый предмет кладется на одну чашку весов, а гири на другую. Если же позволить себе класть гири на обе чашки, то можно при взвешиваниях до пуда обойтись с меньшим числом гирь. Уже Леонард Пизанский, выдающийся ученый XIII столетия, знал, что с четырьмя гирями в

1, I 9, 27

фунтов можно взвесить всякое целое число фунтов до предела

l-f3+9_j-27 = 40,

т. е. до пуда включительно. Этот факт является прямым следствием того, что всякое целое число можно представить как алгебраическую сумму степеней 3. Отсюда следует, что, имея в распоряжении числа 1, 3, 9, 27, путем их сложения или вычитания можно получить все числа от 1 до 40, а это, очевидно, равносильно возможности взвесить число фунтов от 1 до 40, кладя надлежащим образом гири в 1, 3, 9, 27 фунтов на чашки весов. Пусть, напр., требуется взвесить 20 фунтов. Зная, что

20 = 27—9 + 3—1,

мы видим, что для уравновешивания весов нужно положить на чашку с взвешиваемым предметом гири в 1 и 9 фунтов, а на другую чашку гири в 27 и 3 фунта.

По поводу этих замечаний возникает вопрос, будут ли вышеуказанные 4 различные гири единственными, позволяющими производить взвешивания до пуда, или нет? И можно ли достигнуть этого менее чем с четырьмя гирями?

Чтобы ответить на эти вопросы, разберем более 01щую задачу. Дано г различных гирь аг, а2, ..., аг, причем а1>а2>я3>./.>аг; каково наибольшее возможное число взвешиваний, выполняемых с этими гирями?

Если всевозможными способами некоторые из этих гирь класть на одну чашку весов, а некоторые из оставшихся на другую, то разность грузов на первой и на второй чашках представится в виде

s1a1+s2a2-f...+srar, (I)

где каждое из чисел ег, г2, ..., ег может иметь три значения: 0, 1, —1. Если числа Щ независимо одно от другого будут принимать эти значения, то из выражения (1) получится Зг чисел. Среди них наверно встретится 0, а именно при e1 = e2 = ... = sr = 0; но случайно и другие могут оказаться равными 0. Пусть среда чисел (1) равных 0 будет V ; остальные Зг—v будут попарно различаться только

знаками. Следовательно, среди чисел (1) положительных, которые единственно нас интересуют, будет

Но не все они могут оказаться различными; во всяком случае число различных положительных чисел, получаемых из выражения (1), не будет превосходить числа —^— и тем более числа—-—. Это число дает высший предел числа взвешиваний, выполнимых er гирями. Если мы желаем гири подобрать так, чтобы с их помощью можно было взвесить всякое целое число фунтов до предела вида ——, то по предыдущему должно быть

т. е. г^р; иначе говоря, число гирь не может быть меньше р. Так как 40 = —g*-, т0 отсюда следует, что менее чем с 4 гирями невозможно сделать все взвешивания до пуда включительно. Этим дан ответ на один из поставленных выше вопросов.

Мы только что убедились, что нельзя взять менее, чем р, гирь, для того, чтобы иметь возможность взвесить всякий груз в целых фунтах от 1 до фунтов включительно.

Но можно ли этого достичь, беря именно р гирь? Так как всякое целое число представляется как алгебраическая сумма степеней 3 и так как

то, очевидно, вопрос решается при таком наборе гирь:

1, 3, З^1 фунтов.

Мы сейчас докажем, что это единственный набор в р гирь, удовлетворяющий поставленным требованиям.

Пусть искомые веса гирь в порядке убывающей величины будут

Ш требованию задачи выражение

§Щ «1+^2 ^2+- ..+ерар,

когда в нем sl5 Щ ..., sp независимо одно от другого пробегают значения 0, 1, —1, должно давать все числа

qP I

О Ш + 2 ~н ~1

и каждое по одному разу. Так как наибольшее положительное значение для s есть

то мы должны иметь

Далее, ближайшее по величине значение s будет

и оно должно оказаться равным щ--1. Таким образом

ax4-a2+as+.. .+ар^^—^ — 1. (3)

Отсюда и из (2) найдем а? = 1, т. е. наименьшая гиря должна весить 1 фунт. Следующее по величине значение s должно быть аг-{-а2-{-.. .+«p-i—dp и выражается, как следует, числом —2--2. Какое значение s будет по величине ближайшим к этому?

Нетрудно видеть, что это будет

Действительно, разность между ним и любым другим значением s выразится так :

Так как а1>а2>а3>., .>ар, то эта разность будет наверно положительна, если хоть одна из величин вг, s2, sp._3 отлична от 1. Если же ег=.е2 = .. . = Sp__2 = 1? то предыдущее выражение приводится к такому:

Кроме случаев ^i=si;j sp = 0, 1, —1, которые изучены выше и которым по порядку отвечают три наибольшие значения £, эта разность будет положительна, исключая, конечно, случай sp_! = 0, гр — 1. Из доказанного необходимо следует, что

(4)

откуда, через сличение с равенством (2), получается а^г = 3. Подобным же образом можно было бы убедиться, что ар_2=9. Таким образом при условиях нашей задачи веса гирь, начиная с наименьшей, составляют начало прогрессии 1, 3, 9, ....

Для полного доказательства примем как уже доказанное, что

■Яр 11 Яр-i ■= 3, .. . , ар_№ é З*-1

и тогда докажем, что необходимо ap__Ä = 3fc. Так как сумма

при £p_fc+1, 6p_n Sp принимающих значения 0, 1, —I, пробегает все числа

то соответственно этому выражение

последовательно представит все числа

и каждое по одному разу. Последнее из них будет представляться суммой

Следующее по величине значение будет

Во-первых, это число должно быть меньше всех предыдущих. Затем разность между ним и любым другим значением суммы s представится так:

Если исключить случай | = в2= ... =sp_a;--i = 1, sp_^ 1, то эта разность будет наверно положительна или нуль, причем последний случай возможен тогда только, когда

Этим доказано сделанное выше утверждение, в силу чего будем иметь

и, следовательно, Яр^^З^. Атак как уже установлено, что

ар= 1, ap_i = 3, то поэтому будет ар_.2=32, ар__3 = 33, ...., ж Щ 6

Поставленный выше вопрос вполне разрешен и установлено вместе с тем, что система гирь в

1, 3, З2, . .., Зр_1 фунтов

единственная, позволяющая взвесить любой груз от 1 до —— фунтов включительно. В частности комбинация из 4 гирь в 1, 3, 9, 27 фунтов оказывается единственной, дающей возможность производить взвешивание до пуда.

9. Обобщение предыдущей задачи, принадлежащее полковнику Мак-Магону.

При рассмотрении в предыдущем номере задачи о гирях мы предположили, во-первых, все гири разного веса, и кроме того верхняя граница взвешиваемого груза предполагалась числом специального вида. Известный английский ученый, полковник Мак-Магон рассмотрел задачу о гирях в общем виде, поставив ее следующим образом: Предполагая, что среди гирь могут быть гири равного веса, требуется узнать, какого веса следует выбрать гири и сколько именно для каждого определенного веса, чтобы с помощью их возможно было взвесить и притом только одним способом любой груз, выражаемый целым числом фунтов, от 1 фунта до любого заданного предела в Р фунтов включительно.

Эту задачу можно рассматривать с двоякой точки зрения в зависимости от того, предполагается ли, что гири кладутся только на одну чашку весов или же допускается возможность класть гири безразлично на обе чашки. Мы увидим, что из решения задачи в первой форме без труда получится ее решение и во второй форме, поэтому, для начала, мы будем предполагать, что при взвешивании все гири кладутся только на одну чашку. В этом случае, отвлекаясь от конкретных условий, мы легко усмотрим, что наша задача равносильна следующему вопросу о разбиении чисел на слагаемые: Как нужно выбрать положительные

целые числа: I, щ /г,..., г, s; X, [л, v,.... р, œ, чтобы выражение

представляло все числа от 0 до заданного предела Р включительно, и притом каждое по одному раз у, когда числам, у, ..., t, и, независимо одно от другого, пробегают следующее значение

X = 0, 1, 2, ..., I 2/ = 0, 1, 2, m £ = 0, 1, 2, *г

*=0, 1, 2, г м = 0, 1, 2, ..., I

Когда X, у, ..., t, и пробегают указанные значения то выражение (1) получит V'

' у (7+1)(ш+1)(м+1). ■Ц I

значений. По условию все они должны быть различны и должны совпадать с числами: 0, 1, 2, Р. Число этих чисел должно быть поэтому равно предыдущему произведению, откуда получается равенство:

Р-И=(г+1)(т+1)(И-1)...(М-1), (2)

доставляющее первое ограничение для выбора искомых неизвестных. Дальнейшее условие мы получим, рассматривая сумму

t/[/.+0v-{- \ Щ -f-tfp + wa-, (3)'

в которой 2/, 8: . .., I пробегают прежние значения. Докажем, что эта сумма необходимо должна представлять все числа О, 1, 2, ..., X — 1, притом каждое по одному разу, и не может представлять никакого числа ^ Л. Действительно, если в сумме (I) х отлично от 0, то представляемое

ею число наверно не меньше X. Следовательно, числа, меньшие X, могут представляться только суммой (3); и не только могут, но, по условию задачи, должны представляться этой суммой и притом но одному разу. Этим доказано одно из наших утверждений.

Для доказательства второго предположим, что сумма (3) представляет при некоторых значениях È Щ ..., t число А ;> X, так что

Это число -4, конечно, предполагается ^Р; следовательно, разность А — X не отрицательна и < Р, поэтому она должна представляться через слагаемые X, [л, С .., а в форме (1); а тогда для самого числа А получится два представления через те же слагаемые, а именно, одно, куда слагаемое X не входит, и другое, куда это слагаемое наверно входит, а это противоречит предположению.

Так доказано и второе утверждение. Из доказанных свойств выражения (3) мы выведем совершенно так же, как это было сделано по отношению к выражению (1), равенство

Х = (т+1)(*+1). . .(s+l). (4)

Сличение равенств (2) и (4) дает

P-f 1 = (1-}-1)Х. (5)

Так как выражение (3) обладает всеми свойствами выражения (1), то, подобно предыдущему, можно убедиться, что сумма

2 V-f- . . . -\-t p-f-MO-

представляет каждое из чисел О, 1, 2 , рь—1, притом одним способом, и не может представлять никаких других, при условии, конечно, что переменные коэффициенты принимают назначенные для них значения. Отсюда получим

что в сваей с (4) даст

Х = (ю + 1)Кг (6)

Совершенно таким же образом мы убедимся в справедливости равенств:

{А = (*+!) S р -=(s-L-\)<j, сг = 1.

Таким образом веса гирь и частота повторения каждой из них должны быть необходимо связаны уравнениями

(А)

Обратно, всякое решение этих уравнений доставляет подходящее решение задачи о гирях. Действительно, из них прежде всего следует

Это показывает, что выражение (1) получает всего Р+1 значений, когда переменные у, я..., и изменяются в назначенных им границах. Следовательно, если только будет доказано, что всякое число, не превосходящее Р, представляется под видом суммы (1), то из сказанного уже непосредственно будет следовать, что такое представление может быть только одним. Для доказательства же того, что действительно число, не превосходящее границы Р, представляется в форме (1), можно рассуждать так. Первое из равенств (А), написанное в виде

показывает, что X в числе Р не может содержаться более I раз; тем более это справедливо по отношению к числу <Р. Точно также второе из равенств (А) показывает, что в любом числе, не превосходящем X—1, число \ь содержится не более m раз; далее, подобным же образом убедимся, что в любом числе, не превосходящем (л—1, число v не может содержаться более п раз, и т. д.

Приняв это во внимание, возьмем любое число а, не превосходящее Р, и разделим его на X; обозначая через х частное и через Ра остаток, будем иметь

a^lx+P,.

Здесь наверно х не превосходит 7 и Рх не превосходит X—1, Далее делим Рг на (л; пусть при этом в частном получается у и в остатке Р2, так что

Рг = ру+Р2.

Здесь опять у не превосходит m, а Р2 не превосходит [л — 1. Продолжая действовать подобным же образом, мы при разделении Р2 на v получим в частном число не превосходящее п, в в остатке число Р8, не превосходящее v—1. Продолжая подобные же действия дальше, мы в конце концов дойдем до некоторого остатка, равного 0, что всегда наступит, когда придется делить на о* = 1. Исключив из ряда получившихся равенств остатки, мы получим для а выражение

a = Xa;+[Ay-{-v£-f- ... -j-<jw,

где X, у, ... , и числа не отрицательные и не превосходящие соответственно I, m, щ..., s. А это именно и нужно было доказать.

Для примера положим Р= 11. Тогда прежде всего имеем

12=(г+1)Х.

Для отыскания всех возможных значений Г и X мы должны представлять 12 всеми возможными способами в виде произведения двух множителей, из которых первый должен быть > 1.

Это нам дает для I и X следующие соответственные системы значений :

Далее по очереди нужно рассмотреть каждое из получившихся значений X в отдельности, чтобы знать, какие значения для [л могут быть с ними связаны. Полагая X = 6, мы получаем для определения (л и m уравнение

6 = (т-|-1)(а.

Отсюда

т=1, [л £ 3,

m = 2, и = 2,

m =5, [Л=1.

Подобно этому для Х=4 получаем

w=l, ;х — 2,

wi = 3, [/. = 1.

Далее при Х = 3

m = 2, ;л — 1.

При Х = 2

w = 1, [* = 1.

Во всех случаях, где (л получилось равным 1, уже не приходится искать новых значений v, ... Для [л=3 получается

п = 2, v=l.

Наконец, для (х = 2 имеем

м = 1, v = l.

Таким образом мы получаем следующую таблицу всевозможных решений нашей задачи для Р=11:

Всего получилось восемь различных решений.

Возьмем для примера одно из них: А =6, Z=l, [/<=3, т=1, v=l, п=2. Мы должны ожидать, следовательно, что с помощью одной гири в 6 фун., одной гири в 3 фун. и двух гирь в 1 фунт можно взвесить всякий груз до 11 фун включительно; и действительно, для взвешивания грузов в 1, 2, 3, 4, 5 фун. служат гири в 1 фун., 1 фун.+ 1 фун., 3 фун., 3 фун. -1-1 фун., 3 фун.+ 1 фун.+ 1 фун. Затем для взвешивания грузов в 6, 7, 8, 9, 10 и 11 фун. служат следующие комбинации гирь: 6 фун., 6 фун.+ 1 фун., 6 фун.-f-+ 1 фун.+1 фун., 6 фун.+З фун., 6 фун.-f 3 фун. + 1 фун.. 6 фун.-f 3 фун.+ 1 фун. + 1 фун.

Для другого примера поставим такой вопрос: при каком наборе монет можно сдать сдачу с рубля на любую сумму и притом только одним способом. Для этой задачи мы должны принять Р=99. После довольно длинного исследования получим всего 24 решения, из которых некоторые, однако, придется откинуть; так, напр., нужно откинуть следующее решение: А = 50, ï=l, (л=25, т=1, v = 1, п = 24, так как в то время, как обращалась разменная монета меньшая рубля, не существовало монеты в 25 коп. Таким образом придется откинуть 2 решения и тогда останется 22 решения. Не перечисляя всех их, мы остановимся лишь на решениях с наименьшим числом монет. Такими решениями будут:

1 полтинник, 4 гривенника, 1 пятак и 4 копейки.

1 полтинник, 4 гривенника, 4 двухкопеечника, 1 копейка.

Мы рассмотрели обобщенную задачу о гирях в предположении, что гири кладутся только на одну чашку весов. Если же не ставить этого условия, то задача приведется к такому вопросу о разбиении чисел: Как нужно вы-

брать положительные целые числа X, ш v,...,a, соответствующие весам искомых гирь, и числа ?, t?, соответствующие частоте повторения каждой из гирь, чтобы выражение

X#-{-|iy-f-v£-[- . . . -\-<JU (7)

получало по одному разу все значения —Р, —(Р — 1), ..., — 1, 0, -j-1, ... , Р — 1, Р, когда х. у, в, .. . .., к, независимо одно от другого, пробегают следующие значения:

Ко всем числам вида (7) прибавим число

тогда окажется, что выражение

' ХХ+^Г+vZ-f ... ШЩ

где

Х — 1~\-х, î'-=m-{-y, Z — n-\-z, ...,

должно представлять все числа 0, 1, 2, ... , 2Р и каждое притом по одному разу, когда X изменяется от 0 до 21, Y от 0 до 2 т9 ... , U ог 0 до 2 s. Определение же неизвестных величин по этому условию составляет уже решенный выше вопрос. Соответственно этому искомые неизвестные должны быть определены из системы уравнений

(В)

Для примера положим Р=40, что соответствует взвешиванию грузов, не превосходящих одного пуда. Не входя в подробности вычислений, мы дадим в нижеследующей таблице восемь возможных решений:

Из этих 8 решений наименьшее число гирь будет в решении: 1 фун., 3 фун., 9 фун., 27 фун., которое мы уже рассмотрели выше

Формулы (В) позволяют также без малейшего труда решить общий вопрос § 8: как нужно выбрать различные по весу гири в возможно меньшем числе, чтобы с их помощью можно было взвесить любой грув в целое число фунтов от 1 фун. до фун. В самом деле, в этом случае, так как гири различного веса, нужно принять 1—т = и— ... =1; тогда при Р= —^— из формул (В) сразу найдем, что веса искомых гирь в порядке убывания будут такие: 3*, З*"1, ... , 3, 1 фун, как это мы уже нашли в § 8.

10. Игра фан-тан.

Происхождение интересной игры, о которой идет речь, в точности неизвестно, но ее китайское название заставляет предполагать, что эта игра китайского происхождения. Теперь игра фан-тан хорошо известна в Европе и Америке. Говорят, что студенты многих американских колледжей любят проводить время за этой игрой. Впрочем, игра эта может быть интересной только для тех, кто не знает математического ее основания, связанного с двоичной системой нумерации и скрытого довольно глубоко. Полная теория игры фан-тан была опубликована в 1901 году американским математикам Баутоном (Bauton).

Сущность этой игры сводится к следующему. Карты или какие-нибудь другие одинаковые предметы раскладываются в три кучки, причем обоим участникам игры должно быть известно, сколько карт заключается в каждой из кучек. Игроки по очереди берут карты из любой кучки и в любом количестве, но при непременном условии, чтобы зараз карты брались только из одной кучки. Тот игрок, который возьмет последние оставшиеся карты, считается выигравшим. Ради краткости мы не будем входить в анализ этой игры и теорию ее изложим синтетически. Согласимся называть каждую определенную комбинацию чисел карт в кучках положением. Будем различать два рода положений,, причем основанием для такого различения послужит представление числа карт в каждой из кучек по двоичной системе. Представим себе, что написанные по двоичной системе числа карт в кучках помещены одно над другим так, что цифры одинакового разряда стоят в одном столбце; тогда, если во всех столбцах сумма цифр окажется четной, то соответствующее положение отнесем ко второму роду, положение же, для которых хотя бы в одном столбце сумма цифр нечетная, будут первого рода.

Для примера возьмем положение 10, 9, 1. Эти числа по двоичной системе представляются так:

Отсюда видно, что положение 10, 9, 1 первого рода.

Для другого примера возьмем положение 4, 10, 14. Так как

то положение будет второго рода.

Установив разделение положений на 2 рода, мы теперь докажем два основных принципа в теории разбираемой игры:

1°. Игрок, имеющий перед собою положение второго рода, всегда переводит его в положение первого рода.

2°. Игрок, имеющий перед собою, положение первого рода, всегда может перевести его в положение второго рода.

Доказательство первого предложения не представляется трудным. В самом деле, пусть числа карт в кучках будут а, с и пусть эти числа представляются по двоичной системе так:

|щ а2 «в ••• а*> b=ßi ß2 ß3... P.*, ÉÉÉ Щ Тз tS|

где буквами а, ß, у с различными значками обозначаются цифры двоичной системы, т. е. О и 1. По условию каждая m сумм

• ai+ßl-fYn a2+ß,>+Y2 J • - • , Щ Jrh + |É

четное число. Предположим теперь, что из какой-либо кучки, напр. той, которая содержит а карт, отнимается произвольное число d карт, что соответствует уменьшению а на d единиц. При этом очевидно, что по крайней мере одна из цифр а переменит четность, т. е. или 0 обратится в 1, или, наоборот, 1 в 0. Пусть, напр., переменит четность цифра хотя бы а3 ; тогда новая сумма a3'-}-ß8+Y3 окажется нечетной, другими словами, положение а — d, ft, с будет первого рода, что и требовалось доказать.

Доказательство второго предложения несколько труднее. Для большей ясности мы предпошлем ему следующее вспомогательное соображение. Пусть некоторое число изображено по двоичной системе и над цифрами поставлены по каким-либо основаниям знаки Щ и —. Если при вычитании из этого числа другого какая-либо цифра меняет свою четность, переходя из 0 в 1 или наоборот, то мы будем изменять стоящий над ней знак в противоположный. Таким образам, система знаков, поставленных над цифрами, претерпит при

вычитании некоторое изменение. Для примера возьмем число 7, которое по двоичной системе напишем так:

7 = 1 1 1.

Вычтем отсюда 3=11; тогда последние две единицы перейдут в нули, и разность 4 нужно будет написать таким образом :

4 = 1 0 0.

Докажем теперь, что при любой комбинации знаков, если только первый слева знак — стоит над 1, вычитаемое число всегда можно подобрать так, чтобы над всеми цифрами разности стоял знак. -f-. Для этого заменим в изображении данного числа каждую 1 со знаком — через О со знаком -f" и каждый 0 со знаком — через 1 со знаком -f-, оставляя прочие цифры с их знаками неизменными. Получившееся после такой замены число будет над всеми своими цифрами иметь знак; + с другой стороны, оно очевидно меньше данного числа и получается из него отнятием числа, которое всегда легко определить. Для примера пусть

89 = 1 0 1 1 0 0 1.

Изменяя согласно сказанному выше знаки, получим число

79 = 1 0 0 1 1 1 1,

которое меньше 89 на 10 = 1 0 1 0.

После этого отступления доказательство второго предложения получается в нескольких словах. Написав числа карт в кучках по двоичной системе одно над другим так, чтобы цифры одинакового разряда стояла в одном столбце, мы, по предположению, будем иметь по крайней мере один столбец о нечетной суммой цифр. Если таких столбцов несколько, то остановимся на том, который встречается первым, если идти слева направо. Но во всяком случае

одно из чисел в этом столбце будет иметь цифру 1. Остановившись на нем, над его цифрами поставим знаки ~j- и -— так, чтобы знак + стоял над цифрами столбцов с четной суммой, и знак — над цифрами столбцов с нечетной суммой; тогда первый знак — будет стоять над 1, и мы будем в состоянии по предыдущему способу отнять от него такое число, чтобы над всеми цифрами разности стоял знак -f- . Этой операции будет соответствовать отнятие некоторого числа карт из определенной кучки, переводящее данное положение первого рода в положение второго рода. Для примера возьмем такое положение:

23= 10 111 13= 110 1 6 = 10 1

Это положение первого рода. Уже первый столбец имеет нечетную сумму, поэтому нужно остановиться на числе 23, над всеми цифрами которого придется поставить знак — в виду того, что в нашем примере во всех столбцах оказались нечетная сумма цифр. Таким образом мы должны написать Щр

23 = 1 О ï ï Т.

Отсюда, изменяя описанным выше способом цифры и знаки, получим число 8 = 0 1 000; следовательно, нужно от 23 отнять 15, чтобы из положения первого рода 23, 13, 6 вывести положение второго рода 8, 13, 6; и действительно

8=1000 13= 1 1 0 1 6=10 1,

откуда ясно, что теперь во всех столбцах сумма четная.

После того, как два основные положения доказаны, изложение теории интересующей нас игры может быть представлено очень кратко. Назовем для удобства игроков буквами А и В, причем предположим, что игрок А начинает игру. При начале игры перед ним может быть или положение первого рода или положение второго рода. Докажем, что в первом случае игрок А при правильной игре должен выиграть, а во втором случай — неизбежно проиграет, если только его противник В будет играть надлежащим образом. Пусть, в самом деле, игрок А при начале игры имеет перед собою положение первого рода. Тогда он всегда, отнимая из известной кучки надлежащее количество карт, оставит игрока В перед положением второго рода. Что бы ни сделал этот последний, он оставит игроку А положение первого рода. Игрок А, в свою очередь, опять переведет. это положение в положение второго рода, и т. д. Ведя игру таким образом, игрок А будет постоянно перед собою иметь положение первого рода. Так как число карт в кучках постоянно уменьшается, то в конце концов перед игроком А будет положение первого рода с наименьшими числами: 1, О, О, иначе говоря, останется только одна карта в одной кучке, а другие две кучки будут уже разобраны. Тогда останется игроку А взять эту последнюю карту, чтобы выиграть игру.

Правильный способ игры, как видно из предыдущего, требует некоторого рассчета со стогны игрока А. Этот рассчет значительно упрощается с того момента, когда А опустошает одну кучку, оставляя В положение второго рода и вида с?, d, О. Заметим, что такой специальный вид должно иметь по необходимости всякое положение второго рода, в котором одно из чисел 0. После этого, что бы ни делал игрок В. игроку А останется только постоянно уравнивать число карт в двух остающихся кучках.

Допустим теперь, что А начинает игру, имея перед собою положение второго рода. Что бы он ни сделал, он оставит В перед положением первого рода. Таким образом игрок В окажется в роли начинающего перед положением первого рода и, следовательно, необходимо выиграет игру, если только не наделает ошибок.

Вообще говоря, положения первого рода будут встречаться гораздо чаще, чем положения второго рода; поэтому игра фан-тан вообще дает преимущество начинающему игроку. Практически же она является беспроигрышной, если иметь партнера, не знающего довольно скрытых оснований этой игры. Неопытный игрок будет играть наугад и почти наверно наделает ошибок, которыми другой игрок, знающий секрет игры, может воспользоваться и выиграть даже в том случае, когда обстоятельства для него не благоприятны.

Хотя критерий для различения положений первого и второго рода очень прост, тем не менее мы считаем полезным привести здесь таблицу всех положений второго рода, элементы которых не превосходят 15; исключаются только положения, в состав которых входит 0.

Читатель легко усмотрит сам, что игра фан-тан не связана с размещением карт обязательно в три кучки; число кучек может быть взято совершенно произвольным.

11. Baguenaudier.

Очень распространенная и хорошо всем известная игра, носящая французское название Вaguеnаudier, доставляет прекрасный пример применения соображений, основанных на двоичной системе нумерации. Эта очень старинная игра впервые описана Карданом в книге „De sabtilitate libri XXI", изданной в Нюренберге в 1550 году. Далее о ней упоминается в алгебре Валлиса, изданной в 1693 году, но ни

Кардан, ни Валлис не дают полной теории этой игры. Излагаемая ниже теория была предложена в 1872 году французским судьей L. Gros.

Инструмент, употребляемый при этой игре, изображен на рис. 6.

Существенную часть его составляет рукоятка, в которую вделаны концы согнутой в виде буквы U проволоки. На эту проволоку надеты кольца. К каждому кольцу привязана нить, пропущенная через предшествующее кольцо. Концы этих нитей привязаны к палочке. Нить, привязанная к последнему кольцу слева, разумеется ни через какое кольцо не пропущена, а прямо привязана к палочке. Впрочем, рисунок яснее слов передает устройство инструмента. Имея такой инструмент, ставят целью, путем возможно меньшего числа действий снять систему колец вместе с палочкой с проволоки. Хотя это может быть достигнуто путем ряда систематических действий, однако неопытный человек большею частью делает ошибочные шаги, которые приводят к путанице в нитях и еще более затрудняют задачу. Чтобы исследовать игру систематически, нужно прежде всего отдать отчет о том, из каких элементарных действий она слагается. Первое элементарное действие состоит в опускании кольца в отверстие между проволокой. Второе действие, обратное предыдущему, состоит в поднятии опущенного кольца на проволоку. Исследуя возможность этих действий, мы легко

Рис. 6.

убеждаемся из самой конструкции инструмента в следующем:

1°. Крайнее кольцо справа всегда может быть спущено или поднято.

2°. Последние два кольца справа могут быть одновременно спущены и, будучи одновременно спущены, могут быть также одновременно подняты.

3°. Любое другое кольцо, кроме крайнего справа, может быть спущено или поднято тогда и только тогда, когда ближайшее соседнее справа кольцо сидит на проволоке, а все следующие спущены.

Возможность первого действия не нуждается в особом пояснении. Возможность второго действия иллюстрируется схематическими рисунками рис. 7 и 8.

Рис 7.

Рис. 8.

На первом из них изображен тот момент, когда два последние кольца Только что отделены от проволоки. На втором те же кольца изображены пропущенными сквозь отверстие, образованное проволокой.

Для выяснения возможности третьей операции может служить рис. 9. Этот рисунок составлен в предположении, что 2 первые кольца справа уже спущены, между тем как третье сидит на проволоке. Он передает именно тот момент, когда четвертое кольцо отделяется от проволоки и может быть спущено в образованное ею отверстие. Чтобы, руководясь изложенными возможными операциями, легче представить себе ход действий, мы введем, во-первых, схематическое изображение расположения колец, а именно — кольца, сидящие на проволоке, будем изображать маленькими кружками, расположенными над горизонтальной чертой, кольца же спущенные—такими же кружочками под этой чертой; при этом будем считать кольца занумерованными слева, направо. Согласно этому схематический рис. 10 показывает, что кольца 1, 2, 4, 7 сидят на проволоке, между тем как кольца 3, 5, 6 спущены. С каждым расположением колец мы сопоставим

Рис. 9.

Рис. 10.

числовой его символ, образованный с соблюдением таких правил:

1°. Первому кольцу соответствует 1, когда оно сидит на проволоке, и 0, когда оно спущено.

2°. Всякое другое кольцо получает цифру предыдущего, если оно спущено, и противоположную цифру, если оно сидит на проволоке (или, как будем говорить проще, поднято).

Таким образом совокупности колец будет соответствовать известная последовательность нулей и единиц. Рассматривая ее как число, написанное по двоичной системе, мы будем называть его числовым символом, характеризующим данное положение колец. Числовой символ каждого положения изображается числом со столькими же цифрами, сколько имеется колец; при этом некоторые цифры слева могут быть нулями.

На этом основании только те двоичные числа могут служить символами положений колец, в которых число цифр не больше числа колец. Наоборот, всякое такое число служит символом возможного положения колец.

Для выяснения понятия о только что введенных числовых символах рассмотрим несколько примеров. Прежде всего спросим себя, какой символ изображает начальное положение колец, т. е. то положение, когда все кольца насажены на проволоку. Первое кольцо, будучи поднято, имеет символом 1. Второе кольцо должно иметь символ 0, третье кольцо, как поднятое, опять имеет символом 1, и т. д.; вообще 0 и 1 будут чередоваться. Таким образом символ начального положения, напр., 7 колец будет

10 10 10 1.

Для 6 колец символ начального положения будет такой:

10 10 10.

Наоборот, символом того положения, когда все кольца спущены, будет служить двоичное число, у которого все цифры 0; напр., для 7 колец символ конечного положения будет такой:

0 0 0 0 0 0 0.

Для дальнейшего примера напишем еще числовой символ приведенной выше схемы положения колец; этот символ будет

10 0 1110.

Установив однозначное обозначение положений колец с помощью их числовых символов, спросим себя теперь, каким изменениям подвергаются эти символы при опускании или поднимании некоторого кольца. Если для некоторого кольца, отличного от первого справа, возможно опускание, то нетрудно понять, что символ соответствующего положения будет одного из двух типов:

В этих двоичных числах начальные цифры могут быть какими угодно; они не имеют значения и потому обозначены точками. Звездочка помещена над символом того кольца, которое должно быть опущено. Так как оно, при рассматриваемом положении, сидит на проволоке, то слева стоящее кольцо должно иметь противоположный символ; такой символ получает стоящее справа поднятое кольцо и все дальнейшие опущенные. Положим теперь, что кольцо, отмеченное звездочкой, опускается; тогда символы а) или Ь) соответственно изменятся в

Нетрудно видеть, что числовой символ а) получается из а) вычитанием 1, а символ Ь) получается из Ь) прибавлением 1.

Наоборот, если некоторое кольцо, отличное от крайнего справа, должно быть поднято, то символ соответствующего расположения будет или а) или Ь). Поднятие кольца переводит эти символы в а) и Ъ), что соответствует прибавлению 1 к aj и отнятию 1 от Ь). При каждом положении колец всегда возможно опускание или поднятие кольца крайнего справа. Нетрудно видеть, что вызываемое этим действием изменение числового символа сводится опять к увеличению или уменьшению его на 1. Таким образом оказывается, что всякое возможное действие с кольцами соответствует или увеличению, или уменьшению числового символа на 1. •Обратно, всякий числовой символ, отличный только от двух исключительных символов

1 1 1 ... 1,

о о о ... о,

всегда можно увеличить и уменьшить на 1, причем этим действиям будут соответствовать, возможные операции с кольцами, сводящиеся к поднятию или опусканию известного кольца. Это ясно из того, что всякий символ, отличный от двух исключительных, всегда будет одного из 4 выше поименованных типов. Что же касается исключительных символов, то из первого можно отнять 1, но нельзя прибавить, ибо иначе мы вышли бы из области допустимых символов. Ко второму исключительному символу всегда можно прибавить 1, но вычесть 1 нельзя. В обоих случаях изменению символов будет соответствовать всегда возможное поднятие крайнего кольца справа. В виду установленного соответствия между действиями с кольцами и действиями над соответствующими числовыми символами, мы можем отвлечься от материальных условий задачи и производить действия только над числовыми символами. Допуская сначала для простоты,

что каждый раз поднимается или опускается только одно кольцо (исключение возможно только для двух крайних справа, которые могут быть опущены или подняты зараз), мы, соответственно этому, будем числовые символы увеличивать или уменьшать только на одну 1. Тогда очевидно, что всякая последовательность действий, состоящих в прибавлении или вычитании 1, которая обращает первоначальный числовой символ положения колец: 10 10... в окончательный ООО..., приводит к решению задачи.

Но ясно, что, желая решить задачу кратчайшим путем, мы должны исключить прибавление 1; тогда последовательные операции сведутся к постоянному отнятию 1 от исходного числового символа, пока он не перейдет в окончательный. Число необходимых для этого действий будет, очевидно, равно числу всех целых чисел от 1 до числа, изображенного по двоичной системе начальным символом. Если п число колец четное = 2 ft, то начальный символ представляется числом

При. нечетном п—2к-[-1 начальный символ будет

Отсюда видно, что при нашем замедленном ходе операций (т. е. при спускании или поднятии каждый раз только одного кольца) наименьшее число потребных действий Р , будет даваться формулами:

Так, при четырех кольцах потребуется 10 действий. Эти действия приведены в нижеследующей таблице, в которой слева показаны схематические положения колец, а справа.

последовательно уменьшаемые на 1 их числовые символы :

Рис. 11.

Число необходимых действий для спускания всех колец мы определили в предположении, что каждый раз опускается или поднимается только одно кольцо, но можно укоротить действия, воспользовавшись тем, что оба крайние кольца справа можно одновременно опустить, если они подняты, и поднять, если они опущены. Символы положений, когда это возможно сделать, будут, как нетрудно видеть, оканчиваться одним из следующих способов:

a) ... 010; с) ... 101 пред опусканием колец,

b) ... ООО ; d) ... 111 пред поднятием колец.

Случаи с) и Ь) не могут встретиться, потому что опускание 2 колец в случае с) переводит его символ в d), что соответствует увеличению на 2 единицы; точно также при поднятии 2 колец символ Ь) переходит в а), что опять соответствует увеличению на 2 единицы. Но мы производим только вычитания, при которых два последовательные вычитания 1 только тогда могут быть заменены зараз отнятием 2 и эта операция имеет реальный смысл, когда символы положений будут типа или а), или d). Таким образом, имея символ типа а), мы прямо можем перейти в символу типа Ь), минуя промежуточный символ типа ...001; точно также от символа типа d) сразу переходим в символу типа с), минуя промежуточный символ типа ... 110. Для исчисления числа действий Nn при таком ускоренном ходе нужно будет, на основании сказанного, от определенного выше числа Рп отнять число тех символов, которые будут одного из типов:

...001 или ...110.

Число символов первого типа, очевидно, равно числу всех чисел вида 81, при 1 — 0, 1, 2, ..., которые меньше числа, выражающего символ исходного положения. Точно также число символов второго типа равно числу чисел вида 8 ï-j- 6, при Z = 0, 1, 2, .. . , не превосходящих того же предела. Для определения верхней границы для I в обоих случаях при п четном = 2 к, получаем неравенства

равносильные следующим :

Отсюда следует, что общее число отнимаемых типов будет

Вычитая эту величину из P2fe, получаем

Рассуждая подобно этому, найдем, что число отнимаемых типов, при п нечетном = 2 ft.-f-l, составит

Отнимая эту величину от данного выше значения щагГ{г получим

Такими формулами определяется вообще наименьшее число действий, необходимых для снятия колец. Число действий до 71=20 приводится в следующей таблице:

Число колец.

Число действий.

Число колец.

Число действий.

2

1

9

256

3

4

10

511

4

7

11

1024

5

16

12

2047

6

31

20

254287

7

64

8

127

Интересно отметить, с какой быстротой возрастает время, потребное для совершения всех операций, с ростом числа колец. Допуская чрезвычайную быстроту действий, а именно 64 действия в минуту, можно легко подсчитать, что для снятия 5 колец потребуется меньше 20 секунд, для 7 колец уже одна минута; при 13 кольцах действия займут более чем 1 час времени, при 25 кольцах потребуется более 580 дней непрерывной работы по 10 часов в день; наконец, при числе колец в 64 нужно будет употребить сотни миллиардов лет для завершения всей операции. Ясно поэтому, что играть в эту игру нужно только с небольшим сравнительно числом колец.

В заключение приведем здесь таблицу ускоренных действий для случая 5 колец (стр. 107).

Рис. 12.

ГЛАВА III.

Задача о разделении жидкостей при ограниченных средствах.

1. История задачи и решение ее в одном частном случае.

Эта задача хорошо всем известна с давних пор. Очевидно, она не утратила своего интереса и доныне, так как постоянно предлагается в разного рода изданиях, в календарях, журналам для широкой публики и т. п. Первое упоминание об этой задаче восходит к отдаленному времени, во всяком случае не позже XIII столетия. В известном сочинении Chuquet, „Le Triparty en la science des Nombres" 1484, задача эта предлагается в следующей форме:

Слуга был послан своим господином в ближайший город, чтобы купить 8 мер вина. Когда он выходил из города с наполненным сосудом, его встречает другой слуга, который также должен был достать вина для своего господина. „Сколько у тебя вина?", спрашивает он того.— „Восемь мер".— „Я также иду за вином".—„Ну, ты его не получишь, потому что в городе вина больше нет". Тогда второй слуга просит первого поделиться с ним вином. „Я, — говорит он, — имею два сосуда в 5 и в 3 меры, и с их помощью мы можем разделить вино пополам". Каким образом поделят они вино при помощи только тех трех сосудов, которые имеют?

После, в XVI столетии, та же задача упоминается у многих авторов. Так, в сочинении известного итальянского математика Николая Тартальи: „General trattato di numeri, «e misure" (1556) задача предлагается в измененной словесной формулировке, но с теми же численными данными

в форме, которая должна была по тому времени иметь некоторую практическую привлекательность: „Двое украли склянку с 8 унциями бальзама, и так как у них нет никаких мер под руками, а время не терпит, то они покупают у торговца стеклом еще две склянки, в 5 унций и в 3. В безопасном скрытом месте они делят содержимое украденной склянки пополам". Замечательно, что с теми же численными данными, но опять в ином словесном выражении, та же задача разбирается в много раз уже упоминавшейся книге Баше и потом постоянно воспроизводится во всех позднейших сочинениях того же характера.

Мы отвели место этой старинной задаче потому, что общее ее решение отнюдь не является тривиальным, так как основывается на решении в целых числах некоторого неопределенного уравнения, самый способ получения которого представляет известный интерес. Прежде чем приступить к рассмотрению общего случая мы остановимся на частном случае трех сосудов с вместимостью в 8, 5 и 3 меры, чтобы на этом случае выяснить два пути, приводящие к решению при некоторых дополнительных ограничениях и в общем случае. Мы предполагаем, что больший сосуд в 8 мер наполнен вином, между тем как два другие пустые. Требуется разделить вино пополам, пользуясь этими тремя сосудами и не употребляя никаких других мер. Анализируя задачу, мы увидим, что, при исключении бесполезных, излишних действий, возможны только два ряда однообразных операций, приводящих каждый к решению. Посмотрим, в самом деле, что мы можем сделать сначала?

Очевидно, что возможны только такие два действия:

1° наполнение сосуда в 5 мер,

2° наполнение сосуда в 3 меры,

причем в сосуде, содержавшем 8 мер, соответственно этому останется 3 или 5 мер. Остановимся сначала на первом случае. Что можно сделать дальше? Во-первых, можно оставшиеся в большом сосуде 3 меры перелить в меньший сосуд. Но это действие бесполезное, потому что ближайшим шагом должно быть или обратное возвращение только что перелитых

3 мер в большой сосуд или же возвращение 5 мер туда же из сосуда среднего размера. Результат получается такой же, как если бы мы сразу наполнили сосуд в 3 меры. Следовательно, при втором шаге первая возможность действительно является бесполезной, но остается еще одна возможность. А именно, из сосуда, наполненного 5 мерами, можно отлить 3 меры в меньший сосуд. Это и будет единственное возможное действие при втором шаге. Если отбросить при третьем шаге два очевидно бесполезные действия, именно, обратное возвращение только что перелитых 3 ведер в сосуд среднего размера или дополнение этого последнего вином из большего сосуда (в 8 мер), то уже останется только вылить вино из меньшего сосуда в 3 меры в больший сосуд. Рассуждая подобным же образом, мы увидим, что при четвертом шаге, избегая бесполезных действий, остается только перелить 2 меры из среднего сосуда в меньший. При пятом шаге единственная полезная операция будет заключаться в наполнении среднего сосуда из большего, который теперь содержит 6 мер. Наконец, единственно, что можно с пользой сделать при шестом шаге, это долить одну меру из среднего сосуда в меньший. Тогда в среднем сосуде останется как раз 4 меры, т. е. половина всего количества вина. Все действия завершаются седьмым шагом, состоящим в перелитии 3 мер из меньшего сосуда в больший, где окажется также 4 меры. Пересматривая весь описанный ход действий, мы видим, что они разбиваются на два цикла. Первый цикл начинается с наполнения среднего сосуда, затем из него, с помощью меньшего сосуда, вино переливается в больший, пока не останется остаток в 2 меры, который переливается в меньший сосуд, чем и заканчивается первый цикл действий. Второй цикл построен совершенно также. Он начинается наполнением среднего сосуда из большего и затем продолжается наполнением меньшего сосуда до верху из среднего сосуда. На этом шаге искомый результат оказывается уже достигнутым, и потому второй цикл остается незавершенным, но можно его, удлиняя операции, продолжить, а именно, еще раз наполнить меньший сосуд и перелить его содержимое в больший, тогда в сред-

нем сосуде останется как раз 1 мера, именно, следовательно, столько, сколько достаточно для того, чтобы после прибавления 8 мер получить требуемые 4 меры.

Допустим теперь, что при первом шаге 3 меры наливаются в меньший сосуд; тогда при втором шаге останется только эти 8 меры перелить в средний сосуд. При третьем шаге нужно опять наполнить меньший сосуд. При четвертом шаге средний сосуд нужно дополнить доверху из меньшего, причем в последнем останется 1 мера. При пятом шаге нужно будет содержимое среднего сосуда перелить в больший. При шестом шаге одна мера, оставшаяся в меньшем сосуде, переливается в средний. Этим заканчивается первый цикл действий. При седьмом шаге начинается второй цикл наполнением меньшего сосуда из большего. При восьмом шаге 3 меры из меньшего сосуда переливаются в средний, в котором оказывается 4 меры. Этим все действия заканчиваются; второй цикл остается незавершенным.

Изложенные два способа решения нашей задачи передаются кратко в следующих таблицах, в которых буквами Л} В я G обозначены сосуды по порядку их величины; в строках таблиц указаны количества вина в этих сосудах при различных стадиях действий.

Для другого примера возьмем сосуды вместимостью в 10, 7 и 3 меры. Первый из них наполнен вином, которое требуется разделить пополам. Решение опять может быть получено по двум способам, в которых операции распадаются снова на циклы совершенно того же характера, как в предыдущем примере. Самое решение показано в следующих таблицах:

2. Решение общей задачи по первому способу.

Переходя к рассмотрению общего случая, обозначим сосуды буквами А} В и С, а их вместимости выраженные в каких-либо мерах, соответствующими малыми буквами а, Ъ и с. Предположим, что а>Ь>с. Имея в виду разделение содержимого большего сосуда пополам, мы должны считать число а четным; кроме того, так как половина вина должна остаться в сосуде А, то другая половина должна быть размещена в

сосудах В и G Это возможно лишь при соблюдении условия

или иначе

Кроме этого, совершенно необходимого условия, мы допустим еще, что

Последнее условие, дает возможность всегда решить задачу по двум способам, примененным выше к частным примерам, если только еще прибавить одно условие, о котором будет сказано ниже.

Таким образом последнее условие, не является вполне, необходимым для решения задачи. Если для начала мы допустим, что то тогда, как легко усмотреть из разбора предыдущих частных примеров, возможны только два пути, по которым могут итти действия.

Если сначала наполняется средний сосуд, то дальнейшие операции будут состоять в переливании из сосуда В с помощью сосуда G в больший сосуд каждый раз по с мер, пока, наконец, в среднем сосуде получится остаток < с. Тогда этот остаток переливается в сосуд С, и на этом заканчивается первый цикл действий. Второй цикл действий строится совершенно таким же образом; именно, сначала наполняется средний сосуд вином из большего, затем из него, с помощью меньшего сосуда, последовательно вино переливается ойять в больший, пока в сосуде В не поучится остатка <с. Тогда этот остаток переливается в меньший сосуд, и начинается совершенно такой же третий цикл действий которым может следовать четвертый, и т. д. Нетрудно видеть, что при описанных действиях количество отмеряемого вина будет отличаться только на кратное числа с от остатков, получаемых в конце каждого цикла. Поэтому прежде всего необходимо выяснить закон образования этих остатков. Назовем их последовательно через хх, х2, xz, ... ; тогда оче-

видно, что хг— остаток, получаемый в конце первого цикла— является просто остатком от деления Ъ на с, так что щ можно определить из сравнения

как наименьший положительный вычет Ъ по модулю с.

При начале второго цикла из сосуда В, наполненного до верху, в первый раз отнимается с—хх мер, так как в меньшем сосуде уже находится хх мер. Следовательно, непосредственно после этого в среднем сосуде остается Ъ—с-\-хг мер. При дальнейшем ходе действий отсюда последовательно отнимается по с мер, пока не получится остаток х29 который, следовательно, будет остатком от деления числа Ъ — с-\-х, или, все равно, числа Ъ-\-хг на с; но Щ является уже остатком от деления самого Ъ на с, следовательно, можно сказать просто, что х2 есть остаток от деления 2Ъ на с. Можно еще х2 определить сравнением

как наименьший положительный вычет числа 2Ъ по модулю с.

Совершенно таким же образом убедимся, что дальнейшие остатки хъ, х±, ... определяются сравнениями

Отсюда видно, что количество вина, которое вообще может быть отмерено, необходимо должно быть вычетом числа вида кЪ по модулю с.

Нам нужно отмерить -|- мер. Это будет возможно тогда и только тогда, когда возможно определить целое число к из сравнения

равносильного неопределенному уравнению

а это последнее, как известно, для разрешимости в целых числах требует, чтобы общий наибольший делитель чисела и с делил -|-. Таким образом это условие является необходимым для решения задачи по первому способу, когда а ^> Ъ-\-с. Если указанное условие соблюдено, то три числа Ь, с и -|-можно разделить на общий наибольший делитель чисел Ъ и с. Тогда, параллельно с данной задачей, мы будем иметь другую, очевидно совершенно ей равносильную, но в которой числа мер для двух меньших сосудов будут взаимно простые.

Таким образом, не нарушая общности, можно с самого начала предполагать, что Ъ и с взаимно простые числа; это именно мы и будем делать. Из сказанного вытекает, что при взаимно простых а и с и при условии а ^ Ъ-\-с задача всегда может быть решена по первому способу. Тот же способ всегда будет приводить к решению задачи и в случае а = Ъ-\-с—1. Легко, в самом деле, видеть, что в этом предположении операция наполнения сосуда В в начале каждого цикла не может встретить препятствия в недостаточном количестве вина в сосуде А, так как перед началом нового цикла в сосуде С будет заключаться самое большее, с —1 мер и, следовательно, в сосуде Л по крайней мере Ъ мер. Таким образом все операции первого способа можно будет проделать и придти к решению, как было показано выше. Причина, по которой случай а = Ъ-\-с—1 пришлось выделить особо, заключается единственно в том, что теперь выше описанные действия первого способа не навязываются нам с полной необходимостью, как в случае а^Ъ-\-с.

При соблюдении всех вышеуказанных условий и в предположении, что Ъ и с числа взаимно простые, мы убедились, что задача о разделении жидкостей пополам всегда разрешима. Но мы получили даже больше. Так как при взаимно простых био остатки от деления чисел

а, 2Ъ, 3а, (с— 1)Ъ

на с, как известно, воспроизводят все числа 1, 2, 3,..., с—1, то очевидно, что по указанному выше способу можно

вообще отмерить любое количество вина, способное уместиться в сосудах В и С. Для примера положим

а=12, Ь = 6, с = 5,

и пусть требуется из сосуда А перелить в В и С 9 мер вина. Так как остаток от деления 9 на 5 есть 4, то нам нужно будет вести действие до тех пор, пока под конец известного цикла в сосуде В не окажется ровно 4 меры. Перед концом первого цикла оставшееся количество вина хг будет остатком от деления 6 на 5, т. е. 1. Перед концом второго цикла оставшееся в сосуде количество вина х2 будет остатком от деления 6-j-l =7 на 5, т. е. 2. Перед концом третьего цикла оставшееся в сосуде В количество вина х? будет служить остатком от деления 6-J-2 = 8 на 5, т. е. 3. Следующий остаток в конце четвертого цикла будет именно 4. Тогда останется только наполнить сосуд (7, чтобы в нем и в В оказалось, как требуется, 9 мер.

3. Решение задачи по второму способу.

При решении задачи по второму способу мы будем предполагать сохраненными все ранее указанные условия. Операции второго способа состоят из последовательных циклов однообразных действий. Первый цикл сводится к наполнению сосуда В с помощью сосуда С. При последнем наполнении не все зачерпнутое количество в с мер войдет в сосуд В, остаток же уг останется в сосуде С. При окончании первого цикла все содержимое сосуда В непосредственно из него возвращается в сосуд А, и после этого ух мер из сосуда С переливается в сосуд В. Таким образом, количество вина в сосудах А, В, С при окончании первого цикла будет такое:

А, В, С

Затем следует второй совершенно такой же цикл действий, в конце которого количество вина в сосудах будет следующее:

В конце третьего цикла количество вина в сосудах будет:

4, В, С а—Уъ) Уз j °>

и т. д. Выясним теперь способ получения чисел уг, у2, у3,... Очевидно, что уг есть наименьшее положительное целое число, для которого сумма Ъ-\-уг делится на с; иначе говоря, ух есть наименьший положительный вычет числа —Ъ по модулю с. Подобно этому легко усмотреть, что у2 есть наименьшее положительное целое число, для которого сумма Ъ — уг-\-у2 делится на с, т. е. у2 есть наименьший положительный вычет числа »—bJryl или, что все равно, —26 по модулю с. Совершенно такие же рассуждения позволят заключить, что уг, ?/4, ... являются наименьшими положительными вычетами чисел — 3 Ъ, — 4 а, ... по модулю с. Таким образом, применяя второй способ, мы можем отмерить только такое количество вина, которое является вычетом числа вида кЪ, где к произвольное целое число.

Если предполагать а ^ Ъ -J- с, то это будет наверно единственная возможность, и таким образом решение задачи по второму способу опять будет обусловлено возможностью сравнения

Следовательно, если сопоставить этот результат с полученным выше, то окажется, что задача или будет неразрешима, или же, наоборот, будет разрешима обоими способами, в случае, когда a J|j Ъ-\-с. Предполагая числа а лс взаимно простыми, можно быть уверенным, что задача наверно решается по второму способу, и тогда, когда а = Ъ-\-с—1. В самом деле, легко понять, что и в этом случае действия, составляющие второй способ, не могут встретить препятствия вследствие недостатка вина в одном из сосудов. Далее, в предположении Ъ. и с взаимно простых, по совершенно тем же основаниям, как раньше, возможно по второму способу отмерить любое количество вина, способное разместиться в сосудах В я С. Для примера применения второго способа возьмем случай а = 9, Ь = 7, с=3. Пусть требуется отлить 5 мер вина. Количество вина в сосуде J5, при окончании

первого цикла действий, будет наименьшим положительным вычетом числа —7 по модулю 3, т. е. составит 2 меры. Далее останется только прилить еще 3 меры, чтобы в сосуде В оказалось как раз требуемое число 5 мер.

4. Рассмотрение случая a = b + c — 2.

Мы видели, что при взаимно простых Ъ и с и при соблюдении неравенства а^Ъ-^с — 1 можно как по первому способу, так и по второму отмерить любое количество вина, вмещающееся в сосуды В ж С. То же можно сделать еще в случае а = Ъ-\-с—2, но только или первым способом, или вторым, но не зараз обоими. Посмотрим, какие обстоятельства будут иметь место, если действовать по первому способу. Немного поразмыслив, мы легко поймем, что правильное течение; операций этого способа может быть нарушено только в одном случае, а именно, когда в конце некоторого цикла получившийся остаток будет содержать ровно с—1 мер, потому что в этом случае в сосуде А будет только Ъ-—1 мер и, следовательно, нельзя будет дополнить доверху сосуд Bf в чем и состоит нарушение правильности действий. Чтобы определить, на каком месте произойдет такое затруднение,, назовем через к наименьшее положительное целое число, удовлетворяющее сравнению

(1)

Остатки от деления на с чисел Ъ, 2 а, 3 Ъ,..., кЪ будут все между собою различны, и только последний из них как раз будет равен с—1. Отсюда следует, что без затруднений можно совершить 1-ый, 2-ой,..., jfc-ый циклы действий, но уже при ft-f- 1-ом цикле встретятся упомянутые выше затруднения. Поэтому, действуя по первому способу, во всяком случае можно отделить количество вина равное остаткам от деления на с чисел

6, 2Ь, кЬ. (2)

Посмотрим теперь, что получается при употреблении второго способа. Затруднение может встретиться только в том случае, когда сосудом G нельзя взять из сосуда А полно-

стью с мер, чтобы из них дополнить сосуд В доверху. Подобное обстоятельство может иметь место только тогда, когда после добавления по несколько раз с мер к содержимому сосуда В в нем окажется ровно 6 — 1 мер. Это требует, чтобы количество вина, оставшееся в сосуде В после последнего цикла действий, было = 6 — 1 по модулю с. Пусть последний цикл действий, предшествующий описываемым обстоятельствам, был т-ый; тогда оставшееся по окончании этого цикла в сосуде В количество вина будет наименьшим положительным вычетом числа — m 6 по модулю с; но оно должно быть сравнимо с 6— 1, что дает сравнение

(3)

Пусть m будет наименьшим положительным числом, удовлетворяющим этому сравнению. Тогда ясно, что можно проделать полностью операции m циклов, нигде не встретив затруднения. При этих операциях будет оставаться в сосуде В количество вина, равное наименьшим положительным вычетам по модулю с чисел

— 6, — 26, — 36, — тЪ

или, что все равно, равное остаткам от деления на с чисел

(с—1)6, (с —2)6, (с — т)Ъ.

Сличая сравнения (1) и (3), мы видим, что яг+1 =с — к; следовательно, только что указанный ряд чисел может быть представлен так:

(с—1)6, (с —2)6, (с —3)V (к+1)Ъ.

Этот ряд в соединении с рядом (2) доставляет все кратные 6 от 6 до (с—1)6, которые при делении на с дают ряд остатков 1, 2, 3, ..., с— 1. Отсюда видно, что по тому или другому способу всегда можно отделить количество вина, дающе.е при делении на с любой остаток.

Для пояснения только что изложенных рассуждений возьмем пример:

а=2Ъ, 6 = 13," с = 9.

Прежде всего определяем число к из сравнения

Отсюда к = 2 и, следовательно, m = 6. В нашем примере таким образом можно совершить 2 полных цикла действий по первому способу и 6 циклов по второму. Упомянутые циклы даются в следующих таблицах.

Таблица циклов для первого способа.

Первый цикл. Второй цикл.

Таблица циклов для второго способа.

Первый цикл. Второй цикл. Третий цикл.

Четвертый цикл. | Пятый цикл. Шестой цикл.

Из приведенных таблиц видно, что по первому способу получаются остатки 4, 8; а по второму способу остатки 5, 1, 6, 2, 7, 3. Все вместе они составляют полный ряд остатков для делителя 9. не считая нуля. Допустим, что требуется отделить 10 ведер. Так как при делении на 9 10 оставляет в остатке 1, а 1 получится только по второму способу, то нужно, как видно из таблиц, сделать 2 полных цикла действий по второму способу, затем останется только еще прилить в сосуд В 9 мер.

Таким образом, при взаимно простых 6 и с задача всегда может быть решена, если только а^Ъ-\-с — 2. Если же а<Ъ-\-с — 2, то могут встретиться самые разнообразные обстоятельства. Прежде всего задача может оказаться невозможной; таков, напр., случай: а = 16, Ъ = 12, с — 7, когда деление пополам всего количества вина невыполнимо при ограниченных средствах. В других случаях задача может оказаться разрешимой по первому или по второму способу; напр., при а=14, 6 = 11, с=6 деление пополам возможно по второму способу.

Вообще относительно всех подобных случаев трудно сказать что-либо общее.

ГЛАВА IV.

Задача Иосифа Флавия.

1. Исторические сведения.

С именем известного историка Иосифа Флавия, современника разрушения Иерусалима при императоре Веспасиане, связана интересная в особенности с математической стороны задача, которая в разных вариантах получила широкое распространение. Согласно древней легенде упомянутому Иосифу Флавию и его близкому другу, благодаря находчивости, удалось спасти свою жизнь при весьма трудных условиях. Легенда повествует, что отряд восставших евреев, среди которых был Иосиф Флавий и его друг, спасаясь от преследования римлян, укрылся в подземелье. Вся местность вокруг была в руках римлян, и, следовательно, в конце концов нужно было или сдаться на милость победителя, или погибнуть. Предложение Иосифа Флавия о сдаче было отвергнуто всеми с негодованием. Евреи решили лучше покончить самоубийством, нежели попасть в руки римлян. Попытка Иосифа Флавия отклонить их от этого намерения привела только к тому, что толпа стала угрожать ему самому. Видя бесплодность своих убеждений, Флавий будто бы прибег к следующей хитрости, чтобы спасти жизнь себе и своему другу. Во избежание беспорядка он предложил всем встать в круг (по легенде всего было 40 человек) и затем, считая от некоторого первого, убивать каждого третьего по счету, продолжая считать все время в одном направлении, пока не останется один человек, который должен был убить сам себя. Евреи на это согласились, и Флавий себя и своего друга поместил в такое положение, что под конец остались в живых только они одни. Тогда, не встречая больше противодействия со стороны, он и его друг сдались

римлянам. Насколько справедлива эта легенда, судить невозможно за отсутствием всяких точных свидетельств. Сам Флавий, повествуя об этом случае, говорит только, что ему удалось спастись исключительно благодаря счастливому стечению обстоятельств, но как именно — не указывает.

На фоне этой древней легенды уже в средние века возникла известнейшая задача о 15 турках и 15 христианах, своим содержанием характеризующая ту эпоху, когда наступавшие на Европу турки были ненавидимы всем христианским миром. Обыкновенно задача эта высказывается в следующей форме. Корабль, на котором находилось 15 турок и 15 христиан, был застигнут в море бурей. Для спасения необходимо было выбросить 15 человек в море. Капитан корабля предложил всем встать в ряд и, начиная с начала ряда, выбрасывать в море каждого девятого, причем, дойдя до конца ряда, и продолжая счет, возвращаться к началу и затем поступать по-прежнему. Турки и христиане были расставлены в таком порядке, что выброшенными оказались только турки. Спрашивается, как это было сделано?

Механический способ решения подобных задач не представляет никаких трудностей и вполне доступен даже детям, но математическая теория и основанное на ней рациональное решение вовсе не так просты. Первое удовлетворительное решение принадлежит знаменитому Эйлеру. Но относящийся сюда мемуар Эйлера затерялся среди множества других его работ и остался незамеченным, так что не удивительно, что Эйлерово решение гораздо позже, именно в девяностых годах XIX столетия, было вновь найдено германским математиком Шубертом. Он, впрочем, опубликовал свое решение без доказательства, которое вскоре затем было дано другим германским математиком Е. Busche.

2. Механический способ решения задачи.

Механический способ решения задач, подобных предыдущим, не представляет никаких затруднений. Нужно предметы, подлежащие исключению, изобразить на бумаге в виде ряда каких-либо знаков, напр. вертикальных черточек. Так,

для задачи о турках и христианах нужно изобразить нижеследующим образом 30 черточек:

затем подчеркивать каждую девятую, ставя над подчеркнутыми черточками числа 1, 2, 3,... по порядку их выбывания из ряда; при этом нужно представить себе, что ряд как бы замкнут, так что конечное звено его непосредственно примыкает к начальному, и таким образом, дойдя при счете до конца ряда, нужно продолжать счет сначала, т. е. совершенно так, как если бы черточки были расположены по кругу. Разумеется само собою, что уже раз подчеркнутые черточки далее при счете не принимаются во внимание. Произведя эту операцию в нашем примере и доведя ее до пятнадцатой подчеркнутой черточки, мы видим, что турок нужно поставить на местах: 5-ом, 6-ом, 7-ом, 8-ом, 9-ом, 12-ом, 16-ом, 18-ом, 19-ом, 22-ом, 23-ем, 24-ом, 26-ом, 27 ом, 30-ом.

Более интересным является вариант нашей задачи, в котором требуется известное количество карт расположить в таком порядке, чтобы, открыв первую карту и подложив некоторое данное число следующих под низ, далее, открыв вторую и подложив то же число следующих под низ и т. д., получить все карты в определенном порядке. Положим, напр., что берется полная масть, т. е. 13 карт, затем число подкладываемых вниз карт принимается равным 5 и, наконец, требуется, чтобы карты вышли в естественном порядке, т. е. сначала туз, потом двойка и т. д. до короля.

Дли решения такой задачи удобнее всего пользоваться не черточками, а числами от 1 до 13 по числу карт в масти, и эти числа расположить в ряд:

I XI V Х- XIII VIII II IV VII IX VI XII III

1234 5 6 78 910 1112 13

потом следует подчеркнуть первое число, затем продолжать подчеркивать каждое шестое. Это нужно производить до тех нор, пока не будут подчеркнуты все числа. Над каждым

подчеркнутым числом следует ставить римскую цифру, указывающую, каким по порядку оно выходит из ряда. По окончании всех действий получается распределение римских цифр, указанное в схеме на стр. 124; из нее видно, что первым выбывает число, стоящее на первом месте, вторым — число, стоящее на седьмом месте, третьим — число, стоящее на тринадцатом месте, и т. д.

Раз это известно, то очевидно, что карты следует расположить в таком порядке: туз, валет, пятерка, десятка, король, восьмерка, двойка, четверка, семерка, девятка, шестерка, дама, тройка. Предлагаем самим читателям расположить карты всей колоды в. таком порядке, чтобы при открывании первой и затем каждой шестой из следующих вышли в порядке сначала все черви, затем все бубны, трефы и пики. Эта довольно длинная операция потребует некоторого времени, но не составит никаких трудностей.

3. Математическая теория.

Математическая теория задачи Иосифа Флавия исчерпывается решением следующего основного вопроса: Hа круге расположено п точек, по порядку отмеченных номерами 1,2, 3,..., п. Начиная счет от точки с номером 1, будем удалять каждую с?-ую точку, где d заданное число, которое может быть даже и больше п. Спрашивается, какой будет номер v той точки, которая будет удалена по порядку <?-ой, где е заданное число от 1 до п.

Искомое число v будет зависеть от я, d и е. Весь вопрос заключается в том, как установить эту зависимость. Прежде чем приступить к его решению, сделаем следующее полезное замечание. Расположенные по кругу точки, считая от некоторой начальной, получают определенный номер, изображаемый числом, заключенным между единицей и числом точек на круге. Такой номер мы будем называть приведенным. Положим, теперь что, считая от начальной точки и переходя последовательно от каждой точки к соседней, мы при этом ведем счет, говоря последовательно: один, два, три и т. д.;

дойдя до некоторой точки А, пусть мы назовем число Щ тогда можно утверждать, что это число или совпадает с приведенным номером точки А, или же отличается от него на кратное полного числа точек в круге; последнее будет иметь место в том случае, когда при счете придется обойти полный круг один или несколько раз. После этого почти очевидного замечания назовем через А19 А29 ..., Ае точки, последовательно выбывающие из круга. Приведенный номер точки Ае по отношению к начальной точке 1, когда еще ни одна точка не исключена из круга, пусть будет %^=v> Пусть та же точка Ае имеет приведенный номер ^ относительно точки, непосредственно следующей за первой исключенной точкой Аг. Далее пусть та же точка Ае имеет приведенный номер £2 по отношению к точке, непосредственно следующей за второй исключаемой точкой А29 и т. д. Вообще через будет обозначен приведенный номер точки Ае, считаемый от точки, непосредственно следующей за а-ой исключаемой точкой Щц Таким образом с точкою Ае сопоставляется ряд чисел

Последнее число этого ряда легко находится; если поэтому будет указан способ определения каждого числа по известному следующему за ним, то, подвигаясь в упомянутом ряду справа налево, мы в конце концов будем в состоянии определить искомую величину £0. Таким образом нам прежде всего предстоит решить такой вопрос: зная Щ определить К решению этого вопроса ведут следующие соображения. Начав счет от точки, непосредственно следующей за Ajc_l9 мы считаем 1, 2, 3 и т. д., пока - не насчитаем ä\ назвав d, мы попадаем на точку Аъ9 которую исключаем и дальнейшем счете во внимание не принимаем. Продолжая счет от точки, непосредственно следующей за А^ мы еще присчитаем единиц, пока не остановимся на точке Ае, Так как %к не превосходит числа точек, остающихся по исключении Ah-* то ясно, что счет остановится прежде, чем мы вновь встретим точку Ak ; это замечание имеет важность,

потому что иначе точку Ah следовало бы не считать, как уже исключенную, и мы не могли бы сказать, что, считая от первой следующей за Аъ-\ точки, мы насчитаем bc^rd единиц, когда дойдем до Ае и при этом еще не будем считать исключенной Ак. Но, на основании сказанного выше, всякое сомнение такого рода отпадает, и таким образом, начав счет с точки, непосредственно следующей за Ajc-i, и дойдя при счете до числа мы как раз попадем на точку Ае; поэтому можно быть уверенным, что отличается от приведенного номера %h-i точки Ае только на кратное числа всех точек, остающихся в круге по исключении Аг, А2, ..., -4fc_i, т. е. числа п — к-\-\. Таким образом получается равенство:

: . k-i = %A'd-{n-k-\-\)4, (1)

где ек целое число, подобранное так, чтобы как приведенный номер при числе точек в круге п — к-\-19 было числом положительным и не превосходящим п —

Равенство (1) однозначно определяет когда известно . Что же касается до величины £е_1? то ее найти не трудно. В самом деле, нужно начать счет с точки, непосредственно следующей за исключенной точкой А , при полном числе оставшихся точек п— е-\-1. Досчитав до числа d. мы попадем на точку Ае ; ее приведенный номер Ç будет, следовательно, отличаться от d на кратное числа п — e-f-1. Таким образом для определения êel имеем равенство

= (и-е-ИК, (2)

где s~ целое число, однозначно определяемое условием

Равенства (1) и (2) содержат в себе решение поставленной задачи. На практике последовательные действия удобно располагать по нижеследующей схеме: напишем

в первой строке числа п — 0+1, п—£+2, п — в+3, ... Под первым из них подпишем во второй строке d\ если стоящее над ним число (т. е. п — e-f-1) не меньше его, то %e-i будет именно d. В противном случае из d вычитаем надлежащее кратное стоящего над ним числа, пока не получится не превосходящий его остаток, который и будет давать Для получения §е_2 под вторым числом верхнего ряда подписываем сумму %e_x-\-d* Отнимая в случае нужды надлежащее кратное стоящего сверху числа, получим остаток, не превосходящий этого последнего, который даст нам £,е_2. Продолжая таким же образом дальше, мы под каждым числом верхнего ряда поместим в нижнем ряду соответствующее число. Под последним числом п будет стоять £0, т. е. искомый первоначальный номер v точки, выходящей из круга е-ou по порядку.

Поясним описанный процесс действий примером и остановимся как раз на том случае, который легенда связывает с именем Иосифа Флавия. Для этого случая нужно принять w = 40, d=S и е = 40 или 39. Мы остановимся на предположении е = 40, т. е. узнаем, в каком месте от начала счета должен был быть помещен последний остававшийся в живых. При таких данных указанная выше схема действий будет иметь такой вид:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 2 1 4 1 4 7 1 4 710 13 2 5 8 11 14 17 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

2 5 8 11 141720232629 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28

Отсюда видно, что v =28, т. е. Иосиф Флавий должен был встать на 28-е место, чтобы остаться в живых последним.

4. Окончательная форма решения.

Изложенное выше решение нужно рассматривать только как предварительное. Можно указать другое, правда более скрытое, но гораздо более удобное. Величина v> которую мы

ищем, определяется числами п, d, е; поэтому можно положить

v = f(n, 0, d).

Эта числовая функция, как мы сейчас покажем, удовлетворяет замечательному сравнению

(1)

которым она вполне определяется. В самом деле, если величина f(n, 0, d) уже известна, то величина, стоящая в левой части сравнения (1), будучи числом положительным и не превосходящим -п+1, этим сравнением вполне определяется. С другой стороны, из самого определения функции f (п, 0, d) следует, что величина f (п, 1, d) при всяком п будет остатком от деления п на rf, если деление производить так, чтобы остаток выходил всегда положительным и не превосходил делителя. Зная f(n, 1, d), мы по замеченному выше будем в состоянии определить f(n, 2, d), f(n, 3, d) и.т. д. Для доказательства сравнения (1) достаточно вспомнить описанный выше процесс получения числа v. Выполнив этот процесс сначала для данных Щ е, а, затем для данных w+1, 0+1, d, мы увидим^ что начальные члены верхние и нижних рядов до предпоследних членов включительно в обоих процессах будут одинаковы. Под числом п для первого процесса будет стоять v = f(n,*e, d). Под числом п для второго процесса будет стоять то же число v. Следующее за ним число #г = /г(и+1,'0+1, d) получится как вычет по модулю п-\-1 суммы v-\~d, заключенный в границах 1 и п-\- I. Именно это и передает сравнение (1). Чтобы воспользоваться сравнением (1) для окончательного решения нашей задачи, положим, что каким-нибудь образом найдена числовая функция от трех аргументов п, е, d:

<р (и, 0, d\

которая, во-первых, удовлетворяет сравнению

во-вторых, значения которой не превосходят и, каковы бы ни были е и и, наконец, в-третьих, для которой имеет место равенство

о(п, 1, ä)^f(n, 1, Ц

Тогда, на основании сказанного выше, мы можем заключить, что при всяких », Ï£$p

ff«, е, а) — ф(п, е щ.

Ведя ради краткости изложение синтетически^ мы сейчас покажем, как можно построить функцию, удовлетворяющую перечисленным условиям. Прежде всего, ради удобства, введем особый символ Щ для обозначения целого числа, которое совпадает с самим если х целое число, и будет равно ближайшему числу большему если х дробное; иначе говоря, наш символ должен служить для обозначения целого числа, удовлетворяющего неравенствах

X щ [x}<Cx-f-1.

Условившись в этом обозначении, далее введем в рассмотрение ряд целых чисел, образованный на подобие геометрической прогрессии следующим обрывом: пусть а и q произвольные положительные числа; тогда начальным членом нашего ряда будет служить число s0 — [а)\ следующий член определится равенством sl = {s0q}; далее подобным же образом из равенства s.2 = {sx q) определится третий член, и т. д. Образованный по этому закону ряд мы будем называть целочисленной прогрессией с первым членам а и знаменателем q. Для обозначения целочисленной прогрессии, характеризуемой элементами а и у, согласимся употреблять знак [a, g]. Пусть для примера а —7, ? = 'у; тогда ряд J 7, у] будет

Установив эти понятия и обозначения, введем в рассмотрение целочисленную прогрессию

и назовем через t последний член ее. который еще меньше числа nd~{-ly так что, обозначая через tx следующий за t член, будем иметь

Положив

мы получим функцию, удовлетворяющую трем перечисленным выше условиям. Докажем прежде всего, что при всяких

Допустим противное^ т. е. что

Обозначив для краткости через v правую часть неравенства, будем иметь

Отсюда

Так как мы предполагаем, что ю<#, то число л-f-l — v отрицательное или нуль, следовательно

что противоречит условию, определяющему t. Таким образом доказано, что v <J Щ Докажем теперь, что функция Ц (w, ri d) удовлетворяет сравнению

Для доказательства этого сравнения постараемся определить последний член нашей целочисленной прогрессии Т, который еще меньше числа L Этот член, очевидно, будет совпадать или с t, или с одним из следующих за t членов tXJ t2, £3, ... Чтобы определить, с каким именно из них будет совпадать искомый член Щ положим, как прежде,

t = пЩ1 — V = (п \-l)df-1 — d — v.

Отсюда

Положим, во-первых, что

тогда п-\-2 — V — d число положительное и, следовательно, во всяком случае

Отсюда видно, что при условии v-\-d ^п'-\-\ имеем T=L* Рассмотрим далее случай

' v~\-d>n-f-: 1.

Обозначим через к целое число, выбранное под условием

и введем еще обозначение

Тогда будем иметь

при всех г = 0, 1, 2, ... , к— 1, а при i = наоборот, получим

При таких обозначениях можем написать

Так как уже доказано, что v^.n. то все числа v.2 и т. д., очевидно, отрицательны,, следовательно сумма ЩаЩ — Ц будучи числом но отрицательным, в то же время <d—1. Отсюда ясно, что наименьшее целое число, которое не меньше левой части предыдущего равенства, будет

t{^(n-\-\)d-\-\— щ — d

Так как ух-\-а^>п-\-\^ то мы находимся в совершенно таких же условиях, какие сейчас только были разобраны. Следовательно, сразу можем написать

t2 = (п-г 1 ) d-j-1 — v,: — dl

Далее таким же образом получим

Все эти числа <(n-\-l)d-f-l; но так как vk~\~d ^ то, как мы выше видели, необходимо

Отсюда ясно, что в нашем случае имеем

Это равенство сохраняет силу и при к~0. Таким образом всегда

а это вполне равносильно сравнению, которое мы должны были доказать.

Для доказательства третьего свойства введенной нами функции найдем величину ор (п, 1, d). определяемую по последнему члену нашей целочисленной прогрессии

который еще меньше числа nd Первый член этой прогрессии будет

£0 = wd-|- 1 — d.

Для определения следующего составим выражение

Допустим сперва, что d^n, тогда п—rf-|l>0 и, следовательно, наверно

откуда видно, что в рассматриваемом случае искомый член совпадает с щ Положим теперь, что n<Zd. В этом случае определим целое число к по условиям

и затем вообще положим

dj — d—i п.

Тогда для г=0, 1, 2, ... , к — 1 будем иметь

di>n,

а при г —к получим

Приняв эти обозначения, можем написать

Так как dv очевидно, <d и в то же время будет числом положительным, то из предыдущего равенства получим

I =nä~\-l —dv

Путем подобных же рассуждений установим равенства

t2 = nd-^-l—d2, LA = nd-\-l—da, .... tk--nd~±-l —щ.

Все эти числа O^-f 1; но так как O^djc^n, то, *по предыдущему, следующий член будет уже >w^-j-l.

Таким образом искомым членом будет что справедливо и при а=0. Разность между nd-\-l и по определению, доставит величину о (w, 1, d), так что

1, d) = djc = d—к п.

Но совершенно таким же равенством определяется величина f(n, 1, d).

Доказав, что определенная с помощью известной целочисленной прогрессии функция удовлетворяет всем трем перечисленным выше условиям? мы, согласно изложенному раньше, можем быть уверенными, что ее значения совпадают с значениями v — f(n^ е, d), и таким образом можем окончательно формулировать следующее замечательное правило для решения задачи Иосифа Флавия: Чтобы определить номер v точки, выбывающей из круга по порядку 6-ой, нужно составить целочисленную прогрессию! d(n—в)4-1, |Ц 1 и довести ее до последнего члена, который остается еще меньше числа nd-\-l. Разность между этим числом и найденным членом прогрессии даст искомое значение v.

При малых значениях п это правило Шуберта менее удобно, чем первоначальное решение, из которого оно выведено, но его преимущества делаются очевидными, когда п имеет значительную величину. Чтобы применить это правило на практике, возьмем опять случай Иосифа Флавия:

п = 40, rf=3, е—Ш или 40. Принимая сначала £=39 образуем целочисленную прогрессию

Щ J 1-4, 6, 9, 14, 21, 32, 48,.72, 108, 162.

В этой прогрессии член 108 последний, который меньше предела 3.404-1—121. Разность между 121 и 108 дает искомое значение г? =13. Для е — 40 нужно составить прогрессию

Fl, 4 V1' ^ 3, 5, 8, 12, 18, 27, 41, 62, 93, 140.

В новой прогрессии нужно остановиться на члене 93. откуда ^=121 — 93 = 28.' Разумеется, получилось значение, которое совпадает с найденным по другому способу.

Для другого примера возьмем w=13, d!=5, <? = 4. Для этого случая целочисленная прогрессия будет

' : • ; [46, -J] = 46, 58, 73. : /.

Предел, на котором следует остановиться в нашем случае, есть 13.5] 1=66. Последний член прогрессии, меньший этого предела, 58, и # = 66 — 58 = 9*.

ГЛАВА V.

Магические квадраты.

1. Исторические сведения.

Построение так называемых магических квадратов составляло в XVII и XYIII столетиях любимое занятие многих известных математиков, среди которых встречаются имена таких выдающихся ученых, как Фермат и де-Лагир. Интерес к этому вопросу, повидимому, не утратился и до настоящего времени, так как, несмотря на то, что литература о магических квадратах чрезвычайно обширна, все же от времени до времени появляются работы, содержащие то или иное новое дополнение к уже известному. Впрочем, несмотря на обилие работ, вопрос о магически^ квадратах нельзя считать окончательно решенным, так как до сих пор нет совершенно общего способа для определения всех возможных квадратов данного порядка и даже не определено число их.

Магическим квадратом называется квадрат, разделенный на известное число равных между собою квадратных клеток. В этих клетках размещены числа натурального ряда от единицы до известного предела, выражающего число клеток, но таким образом, что суммы, получаемые при сложении чисел каждого горизонтального ряда, каждого вертикального ряда и обеих диагоналей одинаковы. Таков, напр., знаменитый квадрат Дюрера, состоящий из 16 клеток.

1

14

15

4

12

7

6

9

8

11

10

5

13

2

3

16

Рис. 13.

При указанном расположении чисел оказывается, что суммы, получаемые от сложения по строкам, столбцам и диагоналям все одинаковы и именно составляют 34. Этот квадрат мы назвали Дюреровский, потому что, он изображен на известной гравюре его „Меланхолия", относящейся к 1514 году. Кажется, что Дюреров квадрат был первым магическим квадратом, получившим широкую известность в Западной Европе. Конечно, мы не хотим сказать, что подобного рода курьезные сочетания чисел вообще не были никому известны в Европе до того времени. Без сомнения, что многие астрологи, алхимики и другие подобного рода носители тайных знаний, столь распространенные в средневековой Европе, были хорошо знакомы с магическими квадратами, но, приписывая этим безобидным конфигурациям чисел таинственные силы и свойства, хранили свой знания при себе, не делая их достоянием широкой публики. Где впервые стали заниматься магическими квадратами, в точности установить невозможно. Родиной их, без сомнения, является восток и именно Китай или Индия. В китайских старинных книгах часто встречаются упоминания о магическом квадрате с 9 клетками. Что же касается Индии, то изучение магических квадратов было доведено там до значительной глубины. Индусы создали знаменитый общий метод построения магических квадратов с нечетным числом клеток, о котором со всеми подробностями мы будем говорить в надлежащем месте. От индусов с магическими квадратами познакомились арабы, у которых эти фигуры пользовались большим почетом и считались одаренными магическими свойствами. От арабов сведения о магических квадратах проникли в Византию. Византийский ученый по Имени Mоскопул, живший в XV столетии, оставил два замечательных метода построения магических квадратов также с несчетным числом клеток, из которых один впоследствии был переоткрыт Баше и изложен им во втором издании его известной книги. В XVII столетии, как мы уже упоминали выше, вопрос о магических квадратах привлекал общий интерес. Фермат, один из величайших математических гениев, посвятил много времени изучению магических квадра-

тов с произвольным числом клеток и обещал опубликовать сочинение, в котором предполагал решить вопрос о таких квадратах во всей его общности. К сожалению, это сочинение не было опубликовано и, как многие другие открытия Фермата, оказалось потерянным для науки. Его современник Френикл де-Бесси составил обстоятельный трактат о магических квадратах, в котором, между прочим, дана таблица всех магических квадратов с 16 клетками, число которых восходит до 880. Известный французский математик конца XVII столетия де-Лагир опубликовал метод, дающий возможность строить магические квадраты как с нечетным, так и с четным числом клеток. Упоминанием об этих важнейших в историческом отношении работах мы позволим себе здесь ограничиться с одной стороны потому, что перечисление позднейших работ, даже наиболее значительных, отняло бы слишком много места, с другой же стороны потому, что в этих работах даются в сущности только частные приемы построения магических квадратов, вопрос же о построении всех возможных таких квадратов до сих пор остается открытым.

2. Построение магических квадратов с нечетным числом клеток.

При изучении магических квадратов приходится различать квадраты с нечетным числом клеток и квадраты с четным числом клеток. Способы построения тех и других различны. Для квадратов с нечетным числом клеток, или просто нечетных, способы построения гораздо проще и изящнее. Поэтому мы начнем с изложение наиболее интересных приемов, придуманных в разное время для построения нечетных магических квадратов. Эти приемы, на первый взгляд совершенно не похожие один на другой, являются однако лишь частными случаями одного общего метода. Хотя начинать изложение с общего метода может быть не удобно потому, что не привыкший к математическим соображениям читатель при этом встретит больше трудности для понимания, однако с другой стороны, благодаря этому, изложе-

ние чрезвычайно сократится и сделается более прозрачным. Заметим еще, что ради краткости изложения нам придется постоянно пользоваться простейшими свойствами сравнений и относящимися сюда основными понятиями. Все сведения из теории сравнений, которые нам понадобятся, читатель найдет в приложении в конце книги.

Обозначая через р произвольное нечетное число, мы будем рассматривать магический квадрат с р~ клетками. В этих клетках нужно разместить числа от 1 до р2 так, чтобы суммы, получаемые при сложении но рядам горизонтальным, вертикальным и по обеим диагоналям были одинаковы. Нетрудно найти общую величину этих сумм. В самом деле, называя ее через s и имея в виду, 4tq в квадрате имеется р горизонтальных рядов, найдем сумму всех чисел, составляющих квадрат, равной ps. С другой стороны, та же сумма будет

Таким образом

следовательно

Для облегчения понимания дальнейшего полезно будет сделать следующее замечание. Вообразим себе, что основной квадрат, разделенный на р2 клеток, повторен неограниченное число раз путем присоединения к его сторонам совершенно таких же квадратов и последующего присоединения точно таких же квадратов ко всем вновь пристроенным. Тогда лист бумаги, служащий для рисунка и предполагаемый неограниченным, будет весь покрыт, как видно из прилагаемого рис. 14, совершенно одинаковыми клетками, среди которых группа в р2 клеток составляет основной или центральный квадрат.

На приложенном рисунке центральный квадрат построен для р — 3 ; для большей ясности границы его изображены жирными линиями. Границы квадратов, получаемых повто-

рением центрального, не отмечены. Клетки, покрывающие весь .лист, располагаются с одной стороны по горизонтальным рядам, с другой стороны по вертикальным. Положение как тех, так и других, определяется сопоставленными с ними известным образом числами. Это сопоставление мы будем производить так. Обратим внимание на центральную, заштрихованную на рисунке, клетку основного квадрата. Сопоставим с горизонтальным рядом, который ее содержит, число 0; затем последовательно с рядами, лежащими над этим, сопоставим числа 1, 2„ 3, а с рядами, лежащими под ним, последовательно числа — 1, — 2, — 3, ... Таким образом каждый горизонтальный ряд; будет характеризоваться некоторым целым числом, положительным, равным нулю или отрицательным. Подобным же образом можно переномеровать вертикальные ряды клеток; именно, ряду, содержащему центральную клетку, можно приписать число 0, рядам справа от него числа 1, 2, 3, .. . , ряды же слева от центрального получают номера —1, —2, —3, ... Каждая клетка, принадлежит к. определенному горизонтальному ряду и определенному вертикальному. Если номер горизонтального ряда дается числом Ж а номер вертикального ряда числом Щ то мы будем говорить, что S и Щ координаты названной клетки. Таким образом положение каждой клетки вполне определяется ее координатами.

Рис. 14.

Клетки могут быть расположены не только в горизонтальные и вертикальные ряды, но еще и в диагональные. Первый диагональный ряд состоит из всех клеток, идущих по диагонали основного квадрата от нижнего левого угла в правый верхний. Другие диагональные ряды первой системы располагаются параллельно этому. Второй диагональный ряд состоит из всех клеток, идущих от правого нижняго угла основного квадрата к левому верхнему. Другие диагональные ряды первой системы ему параллельны. Очевидно, что координаты клеток, принадлежащих к центральному диагональному ряду первой системы, удовлетворяют уравнению

Щ$ = о.

Подобно этому координаты клеток центрального ряда второй диагональной системы связаны уравнением

M-g' = o.

Вся система клеток соединяется в группы по р\ составляющие основной квадрат, и другие, совершенно такие же квадраты, получаемые его повторением. Две клетки, принадлежащие к двум таким квадратам и занимающие относительно них одинаковое положение, мы будем называть эквивалентными. Нетрудно понять, что две Клетки будут эквивалентны тогда и только тогда, когда их соответственные координаты сравнимы по модулю р. Клетки, составляющие основной квадрат, очевидно, между собою не эквивалентны, но каждая другая клетка эквивалентна одной и только одной из них. Обращаясь для лучшего уяснения этих важных понятий к вышеприведенному рисунку, мы видим, что на нем клетки, отмеченные крестиком, будут эквивалентными; точно также эквивалентны между собою клетки, отмеченные звездочкой. В дальнейшем эквивалентные клетки будут играть совершенно одинаковую роль и в этом смысле могут не считаться различными. Поэтому, когда мы будем вводить в рассмотрение координаты клеток, то для нас будут важны не самые величины координат, но

лишь их вычеты по модулю и, соответственно этому, придется большею частью оперировать не над равенствами а над сравнениями. Прежде чем переходить к дальнейшему, заметим еще, что координаты клеток основного квадрата берутся среди чисел

и являются таким образом абсолютно наименьшими вычетами по модулю р.

Введя координаты для определения положения клеток, мы еще введем, „координаты", служащие для определения чисел от 1 до р2. Каждое из таких чисел может быть представлено в виде

л^рг+s,

где, для данного х, г будет иметь совершенно определенное значение из ряда 0, 1, 2, .. . , р— 1, as будет также совершенно определенным числом из ряда 1, 2, 3, ...,jp. Наоборот, когда за г и,s будут приняты числа из двух указанных рядов, то через них х совершенно определится, как некоторое число от 1 до р2. Эти величины г и s мы будем называть координатами числа х. Заполнение клеток основного квадрата числами 1, 2, 3, ... , jf в абстрактном смысле есть не что иное как приведение в однозначное соответствие р2 клеток квадрата с*р2 числами 1, 2, 3, Такое соответствие получится, когда мы известным образом однозначно свяжем между собою координаты этих чисел и клеток основного квадрата. Простейшая мыслимая связь будет линейная. На этом основании, обозначая чрез ê и с' координаты клеток основного квадрата, мы получим

где а, Щщ а'? m у' суть некоторые целые числа, рассматриваемые как данные. Условия задачи заставят подчинить эти числа известным ограничениям. Прежде всего, для того, чтобы по данным g и Щ из сравнений (1) можно было

определить г и* s по модулю р, мы предположим, что определитель

Д^аЗ'—a'ß

число взаимно простое с р. Далее, для успеха дальнейших рассуждений, существенно предполагать числа а, Щ а', ßf взаимно простыми с р. Что же касается ограничений для выбора чисел у и у', то они выяснятся в ходе самого рассуждения. Установив, согласно сравнению. (1), соответствие между клетками квадрата и числами, которые надлежит между ними разместить, мы будем сейчас же в состоянии определить, в какую клетку попадает данное число. Для этого нужно только координаты числа поставить в правые части сравнения (1), и тогда координаты соответствующей клетки определятся как абсолютно наименьшие вычеты получившихся чисел по модулю р. Наоборот, решая те же сравнения относительно г и s, получим:

(2)

Отсюда при данных § и для г я s получатся вполне определенные по модулю р значения, так как А предполагается взаимно простым с р. Зная кроме того, что г находится среди чисел 0, 1,^2, ... , р—1, a s среди чисел 1, 2, 3,.,., р7 мы видим, что по данной клетке вполне определяется число, которое в ней стоит. При указанном заполнении клеток основного квадрата числами. мы получаем для него уже свойство магичности но отношению ко всем горизонтальным и вертикальным рядам, т. е. сумма чисел каждого горизонтального ряда и каждого вертикального составляет, как и нужно, ^ ^ . Действительно, возьмем какой-нибудь горизонтальный ряд. Для всех клеток этого ряда координата одна и та же, а координата ê пробегает полную систему вычетов по модулю р. Так как а' и ß' числа взаимно простые с р то левые части сравнений (2), каждая в отдельности, пробегает также полную систему

вычетов; отсюда далее следует, что полную систему вычетов пробегают как координата г, так и координата s всех тех чисел, которые помещаются в рассматриваемом горизонтальном ряду. Очевидно поэтому, что сумма всех этих чисел составится из суммы всех выражений рг, где г = 0, 1, 2,.. ., р— 1, и суммы всех s, где s=i, 2, 3, ... , р\ а обе эщ суммы как раз составят

как и должно быть. Совершенно таким же образом, принимая во внимание, что числа а и ß также взаимно простые с р, мы убедимся, что то же значение имеет сумма чисел любого вертикального ряда.

Остается рассмотреть, при каких условиях сумма чисел по обеим диагоналям будет иметь нужное значение. Для клеток восходящей диагонали § = следовательно, координаты чисел, помещенных в клетках этой диагонали, определятся из сравнений

Отсюда, умножая обе части на союзное с Ä число Д', удовлетворяющее сравнению

получим

Чтобы избежать излишних ограничений, мы не будем предполагать обязательно числа а' — а и * ß' —ß взаимно простыми с р. Соответственно этому назовем через 8 общий наибольший делитель чисел а' — а и р\ точно также назовем через Ьг общий наибольший делитель чисел ß'— ß и p.

Чтобы легче можно было следить за дальнейшими рассуждениями, напомним, что линейная функция

az -J- % >

когда я пробегает полную систему вычетов по модулю р, воспроизводит также полную систему вычетов только в том случае, когда аир числа взаимно простые. Когда же а ъ р имеют общим наибольшим делителем d, то упомянутая линейная функция доставляет только -| различных по модулю/? вычетов, которые все найдутся из выражения

dz Щ а,

когда в нем будем полагать 8 = 07 1, 2, ..., щ--1. Каждый из этих вычетов повторится притом ровно d раз.

Имея это в виду, мы замечаем, что для чисел, помещенных в клетки восходящей диагонали, координата г будет иметь только — различных значений, каждое из которых повторится 8 раз, потому что общий наибольший делитель чисел А'(а' — а) и р будет 8. Все эти различные значения г найдутся как остатки от деления выражения

8* + Д'(а'у — а у')

на р, когда я = 0, 1, 2, 3, ... ,~ — Г. Чтобы определить эти остатки, назовем через g и р частное и остаток от деления второго слагаемого предыдущего выражения на 8; тогда оно примет вид

■а(*+?)-Ьр-

Но 8-\-q одновременно с 8 пробегает полную систему вычетов по модулю следовательно, искомые остатки, т. е.

интересующие нас значения г, будут совпадать с остатками от деления выражения

при 0 = 0, 1, 2, ... , -|--1 на jo, а эти остатки будут очевидно такие:

р, 8+р, 28+р, р — с+р.

Сумма их, повторенная Ь раз, даст сумму всех координат г чисел в клетках восходящей диагонали. Прямым вычислением для этой суммы находим значение

такова, следовательно, сумма всех г. Условие магичности необходимо требует, чтобы она достигала наибольшей возможной величины р(р~ ; отсюда для определения р получаем I равенство

которое дает

иначе говоря, числа у и у' подчинены условию

которое, очевидно, равносильно такому сравнению:

(4)

Подобным же образом можно определить сумму всех координат s. Каждое из р возможных значений для s встретится ровно 8j раз; различные же значения s найдутся как вычеты по модулю р, заключенные в ряду от 1 до р чисел, получаемых при# = 0, 1, 2, ~--1 из выражения

Назвав через рх остаток, заключенный среди чисел 1, 2, 8П от деления второго члена на'819 найдем, что искомые вычеты будут представляться числами р17 p^+Sp р— $1~Ьрг Повторенная Ьг раз сумма всех этих чисел даст сумму всех координат s. Таким образом получится для этой последней значение

Для удовлетворения условия магичности эта сумма должна достигать наибольшего значения ^ ^ ^ , что будет иметь место, когда

Отсюда получается второе ограничительное сравнение дога

(5)

В результате этого исследования мы видим, что восходящая диагональ будет магической при соблюдении сравнений (4) и (5). Заметим, что эти сравнения тождественно удовлетворяются, когда модуль их 1. Для определения координат чисел в клетках нисходящей диагонали мы должны в сравнениях (2) положить £' = — |. Повторив с получившимися сравнениями дословно все предыдущие рассуждения, мы придем окончательно к такому выводу: нисходящая диагональ будет магической при соблюдении условий

(6) (7)

Здесь 8' обозначает общий наибольший делитель чисел a'-f a и р\ точно также 8/ есть общий наибольший делитель чисел ß'-J-ß и р.

В изложенном весьма общем способе построения магических квадратов, который является синтезом различных

специальных приемов, мы можем в значительной .степени произвольно выбирать неопределенные коэффициенты а, а', ß, ß', у, у\ Нужно только, чтобы а, ß, а', ß' и определитель Д были числами взаимно простыми с р. Кроме того y и у' должны удовлетворять сравнениями (4), (5), (6), (7). Некоторые из этих сравнений и даже все могут тождественно удовлетворяться. Последнее будет иметь место тогда, когда все четыре числа

• а'-а, «Ч а, | - 3, \ З'+З

взаимно простые с р. Так как координаты числа 1 будут г = О, s = 1, то координаты £0 и ^' той клетки, где нужно поместить 1, будут связаны с у и yf сравнениями

Таким образом ограничение, налагаемое на y и т'> сводится к ограничению в выборе начальной клетки, куда помещается 1. Коэффициентами же а, ß, а', ß' главным образом определяется самая сущность распределения чисел по клеткам квадрата.

Прежде чем переходить к рассмотрению частных случаев только что изложенного общего способа, уместно будет сделать еще одно замечание. Из выражения

где s= 1, 2, 3, ... , р, видим, что г может быть определено, как целая часть частного

или иначе, при употреблении обычного обозначения,

Внося это выражение в сравнения (1) и заменяя в них s сравнимым с ним числом M придадим этим сравнениям вид

Отсюда ясно, что при построении магического квадрата по объясненному способу можно поступать так. Нужно составить цепь клеток, координаты которых выражаются формулами

(8)

и в каждой из этих клеток написать соответствующее число х. Соответственно р2 значениям для таким образом окажутся заполненными р2 клеток. Эти клетки вообще будут расположены, хотя бы отчасти, вне основного квадрата. Те из них, которые находятся вне основного квадрата, следует заме нить эквивалентный и клетками этого последнего, сохраняя в них то же самое число. Впрочем, замену клеток эквивалентными можно производить параллельно с самим процессом их получения. Так именно предписывается поступать в старинных методах индусов, Москопула и Баше, которые мы сейчас и рассмотрим.

3. Индийский способ.

Среди частных способов построения магических квадратов, содержащихся в изложенном выше общем методе, на первом месте нужно поставить так называемый индийский метод, изобретенный, как думают, еще до Р. Хр. индусами. По индийскому методу можно строить магические квадраты с произвольным нечетным числом клеток. Он состоит в ряде действий, совершаемых с постоянным соблюдением следующих основных правил:

1°. Когда в ходе действий некоторое число будет написано в определенной клетке, то от нее нужно идти по диагональному ряду, параллельному восходящей диагонали, и в встречаемых клетках нужно вписывать числа, непосредственно следующие за тем, на котором остановились.

2°. Если при этом придется выйти sa пределы основного квадрата, поставив некоторое число во внешней по отноше-

нию к нему клетке, то тотчас же нужно то же число поместить в эквивалентной ей клетке основного квадрата.

3°. Когда, соблюдая правило 1°, после заполнения известной клетки нужно ставить число на клетку уже занятую или такую, эквивалентная которой в основном квадрате уже занята, то вместо этого нужно заполнить клетку, непосредственно примыкающую снизу к той, на которой остановились.

4°. Клетка, заполняемая первой числом 1, должна находиться в середине верхнего ряда.

Первые три правила составляют существо индийского метода и должны строго выполняться при его применении; четвертое же правило, как мы увидим ниже, не является абсолютно необходимым.

Прежде чем объяснить теорию индийского способа, мы для выяснения его сущности применим его к построению магических квадратов с 9 и 25 клетками. Начиная с первого случая, как простейшего, мы ставим 1 в середине верхнего ряда, согласно правилу 4°. Затем, идя параллельно восходящей диагонали, мы должны поставить 2 в отмеченной звездочкой клетке. А так как эта клетка находится вне основного квадрата, то в нем 2 должно стоять в эквивалентной ей клетке. В клетке диагонального ряда параллельного восходящей диагонали, соседней с той, где стоит 2, мы должны поставить 3; но эта клетка опять выходит из основного квадрата и потому заменяется в нем эквивалентной клеткой. По правилу

9

2*

s

1

6

8

3

5

7

3

4

9

2

Рис. 15.

1° от клетки, занятой числом 3, нужно как раз перейти к средней клетке верхнего ряда, уже занятой*числом 1; поэтому вступает в силу правило 3й; Согласно этому правилу, 4 нужно поставить в клетке непосредственно под той, где стоит 3. Отсюда числами 5 и 6 заполняются две следующие клетки восходящей диагонали. Число 7V следовало бы поставить в клетке восходящей диагонали, следующей за той, где стоит 6, и затем перейти к эквивалентной клетке основного квадрата. Но когда мы должны были бы попасть на клетку, занятую числом 4; следовательно, здесь опять нужно применить правило 3° и поставить 7 в клетке под 6. По правилу 1° 8 ставится в диагональной клетке, примыкающей к той, где стоит 6. Эта клетка, как внешняя, опять заменяется эквивалентной. Наконец, применяя опять правило 1° и переходя к эквивалентной клетке, на последней пустой клетке основного квадрата ставим число 9. Таким образом получается следующий квадрат с 9 клетками.

8

1

6

3

5

7

4

9

2

Рис. 16.

Это квадрат магический, так как суммы чисел по горизонтальным рядам, вертикальным и по обеим диагоналям составляют 15. Из него можно получить еще 7 других магических квадратов. Прежде всего, путем последовательных поворотов около центра на четверть окружности, мы получаем 3 новых и вместе с прежним, следовательно, всего 4 квадрата. Затем с каждым из них можно еще построить квадрат симметричный относительно одной из сторон, напр., левой вертикальной; это даст еще 4 квадрата. Таким образом, всего получится 8 квадратов, и легко проверить, что кроме них никаких других магических квадратов с 9 клетками не может существовать.

Для другого примера построим по индийской методе магический квадрат с 25 клетками. Так как применение этой методы достаточно разъяснено уже на предыдущем примере, то мы не будем давать объяснений по поводу нового примера, а прямо приведем уже заполненный квадрат

17

24

1

8

15

23

5

7

14

16

4

6

13

20

22

10

12

19

21

3

11

18

25

2

9

Рис. 17.

Теперь нужно объяснить правильность индийского способа. Прежде всего сущность его лучше уясняется, если не обращать внимание на правило 2°, т. е. не заменять внешних клеток эквивалентными. При таком упрощении операции сведутся к заполнению определенной клетки числом 1 и следующих за ней клеток диагонального ряда последующими числами 2, 3, 4,... до тех пор, пока не встретится клетка, эквивалентная клетке с 1. Если строится квадрат с р2 клетками, то ясно, что таким путем в одном диагональном ряду последовательные клетки будут заполнены числами 1$ 2, 3,. .. , р. Клетка, следующая за той, где стоит число J9, будет эквивалентна клетке с 1. По правилу 3° число р-\-1 поэтому нужно помещать не в этой клетке, а в клетке под числом р. Начиная отсюда, опять будем иметь р последовательных клеток диагонального ряда с числами р-\-1, i>+2> i>+3, . .., 2р. По правилу 3° число 2р-\-1 опять нужно будет поставить в клетке под числом 2 р. Начиная отсюда и идя по новому диагональному ряду, получим опять р клеток этого ряда, заполненных числами 2#-{-1, 2р-\-%, 2р-\-3,. . . , Зр и т^ д. В оконча-

тельном счете схема распределения чисел от 1 до р2 будет такова: числа от 1 до р занимают клетки первого диагонального ряда. Под клеткой с числом р начинается в юрой диагональный ряд клеток с числами от jp-f-J до 2р. Под клеткой с числом 2р начинается третий диагональный ряд с числами от 2j>-|~l и т. д. Все числа от 1 до р2 расположатся, таким образом, на р диагональных рядах группами по р на каждом из них. Для иллюстрации мы здесь прилагаем схему такого распределения чисел по клеткам для р = 3.

Рис 18.

Передав схему заполнения клеток по индийской методе в таком упрощенном виде, мы докажем ее правильность, если установим, что совершенно такая же схема заполнения клеток получается из изложенного выше общего метода при надлежащем выборе чисел а, о/, ß,ß', у, у'. Мы возьмем в формулах (8) предыдущего параграфа а=1, ß = —1,а'=1, ß' =—2, оставляя пока у и у неопределенными; тогда формулы (8) перейдут в

Полагая в них последовательно а?=1, 2, 3,..., р2, мы получим систему р2 клеток, которые и заполним последовательно числами от 1 до р2. Строение этой системы клеток будет, очевидно, таково: р клеток с числами 1, 2, 3,..., р

лежат одна за другой в диагональном ряду, параллельном восходящей диагонали; при переходе к следующей клетке с числом #+1 придется сделать скачек и поместить ее непосредственно снизу клетки с числом р ; дальнейшие клетки опять будут лежать в одном диагональном ряду до клетки с числом 2р включительно; далее опять придется сделать скачек и поместить клетку с числом 2р-{-1 непосредственно под той, где стоит число 2р, и т. д. Отсюда ясно, что полученное расположение клеток совершенно такое же, какое предписывается индийской методой. Поэтому для полного доказательства последней остается только показать, что выбор начальной клетки в индийской методе, иначе говоря, выбор значений для | и у' совместим с ограничениями, указанными для этих чисел. Эти ограничения выражаются сравнениями (4), (5), (6), (7). Посмотрим, во что обращаются эти сравнения для нашего частного случая. Теперь разность ск!—а = 0; общий наибольший делитель ее и числа )) совпадает с последним; следовательно, нужно принять Ъ=р. Кроме того Д = —1, поэтому сравнение (4) в настоящем случае превратится в такое

(А)

Далее, так как а' = 2 и р нечетное число, то 8'= Г и сравнение (6) не налагает никаких ограничений на у и ш В нашем частном случае (У—ß приводится к —1; следовательно, ЩШЩ соответственно чему сравнение (5) отпадает. Наконец, ß'-f-ß =—3. Число 8/, как общий наибольший делитель чисел 3 и р, может иметь два значения: 1 или 3; именно, 8/— 1, если р не делится на 3, и 8^ = 3, если р делится на 3, Остановимся сначала на предположении, что р не делится на 3; тогда отпадает и сравнение (7); следовательно, единственным ограничением для выбора y и У будет служить сравнение (А). Вводя в это сравнение на место у и у' координаты начальной клетки |0', связанные с у и у' равенствами

получим сравнение

Это сравнение удовлетворится, если в него подставить, как требуется индийской методой, |0; , §0 = 0. Но оно будет удовлетворено не только для этой специальной клетки, но и для всех клеток диагонального ряда, через нее проходящего. Так доказана справедливость индийской методы для неделящегося на 3 числа клеток р2\ кроме того показано, что в этом случае можно заполнить 1 любую клетку диагонального ряда, проходящего чрез средние клетки левого вертикального ряда и верхнего горизонтального.

Теперь допустим,' что р делится на 3; тогда §/ — 3, соответственно чему, сравнение (7) приобретает вид

(В)

Сравнение (А),'рассматриваемое по модулю 3, доставляет

что, в совокупности с (В), дает

или, после введения координат начальной клетки,

К этим сравнениям присоединяется еще сравнение (А), написанное в форме

Все эти условные сравнения удовлетворяются при выборе начальной клетки согласно индийскому методу. Но, сохраняя сущность этого метода, можно начальною клетку выбирать и иначе, лишь бы ее координаты удовлетворяли

условным сравнениям. Эти условные сравнения выражают то, что начальная клетка должна быть выбрана в диагональном ряду, проходящем через средние клетки левого вертикального ряда и верхнего горизонтального; при этом первая координата ее должна делиться на 3, а вторая при делении на 3 должна давать остаток 1. Этим доказана индийская метода даже в несколько обобщенном виде и для того случая, когда р делится на 3.

4. Способ Москопула.

Способ византийского ученого Москопула дает, подобно индийской методе, механический прием для заполнения клеток магического квадрата. Порядок заполнения клеток по этому способу такой же, как порядок обегания клеток шахматной доски конем, в предположении, что конь постоянно восходит кверху и заворачивает свой путь направо. Точное правило построения магического квадрата по способу Москопула следующее:

1°. После того, как некоторая клетка заполнена известным числом, следующее число ставится на клетке, достигаемой шахматным конем при вышеуказанном направлении его движения.

2°. Всякий раз, как эта клетка выходит за пределы основного квадрата, она заменяется эквивалентной клеткой этого последнего.

3°. Если по правилам 1° и 2° новое число пришлось бы поставить на уже занятой клетке, то вместо этого нужно от последней занятой клетки отсчитать четвертую клетку вверх в том же вертикальном ряду и в ней поместить нужное число.

4°. Начальная клетка может быть выбрана произвольно, если р не делится на 3; если же р делится на 3, то предписывается за начальную клетку брать среднюю клетку нижнего ряда.

Правила способа Москопула настолько просты и настолько схожи с правилами индийского способа, что мы полагаем возможным в виде примера прямо дать магический

квадрат с 49 клетками, заполненный по способу Москопула, по без подробных объяснений (рис. 19).

Для доказательства правильности метода Москопула мы поступим так же, как при изложении индийского метода, а именно, для простоты отвлечемся от замены клеток эквивалентными и посмотрим, какова будет конфигурация этих клеток. Немного подумав, мы легко поймем, что все р* клеток распадутся на р групп, из которых каждая содержит р клеток. Клетки первой группы, заполненные числами 1,2, 3, ..., р, расположатся в смежных р вертикальных рядах, причем каждая клетка в своем ряду будет расположена двумя клетками выше клетки предшествующего ряда. Совершенно такое же относительное расположение будут иметь клетки второй группы, заполненные числами jp-j-1, jö+2, р-\-3, ... j 2p; но начальная клетка второй группы будет расположена в том же вертикальном ряду, как последняя клетка первой группы, и будет от нее по счету четвертой вверх. Третья группа расположена совершенно так же относительно второй, как эта последняя относительно первой, и т. д. Для иллюстрации описанного расположения клеток может служить рис. 20, составленный для jp = 3.

Очевидно, что совершенно такое же расположение имеют рг клеток, координаты которых получаются из выражений

41

10

35

4

22

47

16

25

43

19

37

13

31

7

9

34

3

28

46

15

40

49

18

36

12

30

6

24

33

2

27

45

21

39

8

17

42

11

29

5

23

43

1

26

44

20

33

14

32

Рис. 19.

Рис. 20.

при х = 1, 2, 3, ..., р\ Отсюда ясно, что метод Москопула является лишь частным случаем рассмотренного, в § 2 общего метода и соответствует предположению: а== 1, ß = — 1; а'= 2, ß' = 2;A = 4. Так как для данного случая а'—а—1, ß'—ß=3, <x'-f-a=3. ß'~{-ß=l, то, для неделящегося на 3 значения p,ô=l, 5t=-l, следовательно, условные сравнения (4), (5), (6), (7) не налагают никаких ограничений на у и у', иными словами, выбор начальной клетки при способе Москопула остается произвольным, когдар не делится на 3. Если же р делится на 3, то §' = 3 и = 3, 8=1, §^=1. В этом случае из условных сравнений остаются 2, а именно (5) и (6), которые могут быть написаны в виде

Отсюда получаем

Вводя сюда координаты начальной клетки, связанные с у и у' равенствами

получаем:

Эти сравнения являются единственным ограничением для выбора начальной клетки в способе Москопула. Москопула предлагав брать ê0 = 0, £0'= — р ~1 , что совместимо с предыдущими условиями, но не совершенно необходимо. Для того, чтобы способ удался, довольно начальную клетку выбрать только согласно с показанными сравнениями.

5. Метод террас.

Баше для построения нечетных магических квадратов предложил очень изящный метод, известный под названием метода террас. Сущность этого метода состоит в следующем. В диагональных рядах, параллельных восходящей диагонали,

выбирается в каждом по р последовательных клеток так, чтобы средняя среди этих р клеток попадала на нисходящую диагональ. Клетки первого верхнего ряда снизу вверх заполняются числами 1, 2, 3, ..., р ; клетка второго ряда в том же направлении заполняется числами p-j-l? Р-\~2* jp4~3,..., 2р; клетки третьего ряда-числами 2р-\-1, 2р-{-2г 2р+3, 3pj и т. д. Заполненная таким образом система jp2 клеток частью расположена внутри основного квадрата, частью же образует по бокам его 4 совершенно одинаковых выступа или террасы. Пустой клетке основного квадрата соответствует эквивалентная ей заполненная клетка одной из террас. Путем замены заполненных клеток террас эквивалентными пустыми клетками основного квадрата, что на-

Рис. 21.

глядно может быть достигнуто путем надлежащего передвижения террас, основной квадрат окажется заполненным.

Для лучшего уяснения сути способа Баше заполним по этому способу квадрат с 81 клеткой. На рис 21 образовавшиеся при заполнении клеток террасы обозначены по порядку римскими цифрами I, II, III, IV.

Террасу I следует параллельно себе передвинуть так, чтобы AD совпало с ВС; тогда заполненные ее клетки как-раз займут положение пустых эквивалентных клеток основного квадрата. Подобно этому нужно сдвинуть террасу II так, чтобы AB совместилось с GD\ террасу III так, чтобы BG совместилось с AB, и, наконец, террасу IV так, чтобы GD совместилось с AB. В результате получится следующий заполненный магический квадрат.

5

46

15

56

25

66

35

76

45

54

14

55

24

65

34

75

44

4

13

63

23

64

33

74

43

8

53

62

22

72

32

73

42

2

52

12

21

71

31

81

41

1

51

11

61

70

30

80

40

9

50

10

60

20

29

79

39

8

49

18

59

19

69

73

38

7

48

17

58

27

68

28

37

6

47

16

57

26

67

36

77

Рис. 22.

Для доказательства правильности способа Баше нам достаточно будет показать, что он является только частным случаем общего способа § 2. Чтобы легче в этом убедиться, мы представим себе, что второй сверху диагональный ряд клеток сдвинут сам по себе вверх на р клеток; клетки нового ряда будут соответственно эквивалентны клеткам прежнего. Вообразим далее, что подобным же образом третий диаго-

нальный ряд клеток сдвинут вдоль по самому себе на 2р мест вверх, затем четвертый ряд подобным же образом сдвинут на Зр мест и т. д. Очевидно, что характер нового расположения клеток будет совершенно такой же, как характер расположения системы р2 клеток, координаты которых определяются по формулам:

при #=1, 2, 3, ... , р2. Отсюда видно, что способ Баше получается из общего в частном предположении ос=1, ß= 1; а' = 1, ß' = —1; А = — 2. Чтобы узнать, каким ограничениям подлежат у и у', иначе говоря, координаты начальной клетки, составляем по общему правилу числа а'— а = 0, ß'— ß =— 2, а'+а = 2, ß'_j_ß = o и ищем их общие наибольшие делители с р. Находим Ь=р, Ъг=1, 8'=1, V=jtf. Отсюда ясно, что из условных сравнений остаются сравнения (4) и (7), которые для данного случая будут

Отсюда

Эти сравнения, после введения координат начальной клетки

принимают вид

Способ Баше предписывает взять, как в этом легко убедиться из рассмотрения самой фигуры, |0=—J0+1, ^' — 0 в согласии с предыдущими сравнениями.

После всего этого правильность способа Баше можно считать доказанной.

6. Метод де-Лагира.

Способ, предложенный в 1705 году французским математиком де-Лагиром, по своей общности и по количеству доставляемых им магических квадратов является одним из лучших. Притом этот способ с некоторыми изменениями годится и для построения квадратов х четным числом клеток; однако, ради простоты, здесь мы ограничимся только рассмотрением нечетных квадратов.

Всякое число х от 1 до р2 может быть однозначно разложено на две составляющие по формуле

где г равно одному из чисел 0, 1, 2, равно одному из чисел 1, 2, 3, ..., р. Соответственно такому разложению каждого числа на две составляющие, магический квадрат может быть разложен на 2 квадрата: один из них будет состоять только из чисел 0, р, 2р, (р—другой только из чисел Ï, 2, 3, ..., р. Напр., изображенный на рис 23 магический квадрат из 9 клеток следующим образом разлагается на два соответствующих квадрата:

Рис. 23

6

0

3

0

3

6

3

6

0

2

1

3

3

2

1

1

3

2

Рис. 24.

Каждый из них обладает свойством магичности. Основная идея способа де-Лагира состоит в предварительном построении двух вспомогательных магических квадратов, по-

добных только что показанным для частного случая р Щ 3; один из этих вспомогательных квадратов должен быть составлен только из чисел 0, 2jp, ... i (р— 1)#, другой же только из чисел 1, 2, 3, .. . , р. Вспомогательные квадраты требуемого характера можно построить, руководясь следующими соображениями. Прежде всего согласимся горизонтальные ряды нумеровать числами 0, 1, 2, ... , р— 1, считая от верхнего ряда; равным образом, теми же числами будем нумеровать вертикальные ряды, считая от крайнего левого вертикального ряда. При таких условиях каждая клетка будет характеризоваться двумя числами i и jf, дающими соответственно номера горизонтального и вертикального рядов, к которым она принадлежит. Имея в виду указать сначала построение вспомогательного квадрата, образованного числами 1, 2, 3, ...., р, мы эти числа, взятые в некотором порядке, обозначим символами

; со),ах(2),(р-1). ' |-

Условимся, кроме того, считать два подобных символа (х) и {х1) равными или представляющими одно и то же число, если X и х' сравнимы по модулю jp. Принимая это обозначение и вводя еще два неопределенных целых числа а и ß, взаимно простых с р} мы условимся заполнять клетки таким образом, чтобы в клетке, характеризуемой числами г, É стояло число

(аг+ßi).

При таком заполнении клеток квадрат получится магическим по отношению к горизонтальным и вертикальным рядам, без всякого ограничения порядка, в котором символы (0), (1), (2), ..., (р—1) представляют числа 1, 2, 3, ..., р. В самом деле, возьмем какой-нибудь горизонтальный ряд; для всех клеток этого ряда i сохраняет одно и то же значение, и j пробегает полную систему вычетов по модулю р.

Так как ß число взаимно простое с р, то выражение аг-j-ß^ будет также одновременно пробегать полную систему

вычетов; иначе говоря, клетки г-го горизонтального ряда заполнятся в известном порядке числами: (0), (1), (2), ... , {р—1), которых сумма равна

Таким образом, сумма чисел любого горизонтального ряда оказывается одна и та же. Совершенно таким же образом, принимая во внимание, что а взаимно простое с р, мы убедимся в постоянстве суммы каждого вертикального ряда клеток. Остается посмотреть, как можно удовлетворить условию магичности обеих диагоналей. Для нисходящей диагонали имеем i=j\ следовательно, эта последняя заполняется числами вида

IffPl

при i = 0, 1, 2, ..., р— 1. Не желая без нужды ограничивать общность рассуждений, мы не будем предполагать обязательно, как это делают многие авторы, что числа a-|-ß и р взаимно простые. Соответственно этому обозначим общий наибольший делитель чисел a-[-ß и р через 5. Из того, что было сказано по поводу аналогичного случая в § 2, ясно, что нисходящая диагональ заполняется числами

(0), (8), (2 8), ... , (р — Ъ), - (А)

каждое из которых повторяется ровно Ь раз. Условие магичности нисходящей диагонали требует, чтобы 8-кратная сумма чисел ряда (А) имела величину

Этому условию, согласно сказанному в § 2, мы удовлетворим, приняв, что числа рада (А), независимо от порядка, совпадают с числами

(В)

При этом единственном ограничении для выбора значений наших символов нисходящая диагональ будет магической. Теперь обратимся к рассмотрению восходящей диагонали, на которой i-\-j=p—1. Восходящая диагональ будет заполнена числами

((a — fii+fp — l)ß)=((a — ß)f— ß)

при i=0, 1, 2, ..., p—1. Называя через Ьг общий наибольший делитель чисел а — ß и р и через р наименьший положительный вычет числа —ß по модулю 815 мы опять легко усмотрим, что восходящая диагональ будет заполнена числами

(Р)> (Si+PJ, (25,+р), (р-»!+р) (С)

каждое из которых на ней будет повторяться ровно 8t раз. Условие магичности восходящей диагонали будет удовлетворено, если принять, что числа ряда (С), независимо от порядка, совпадают с числами

(D)

Мы видим таким образом, как можно в отдельности достигнуть того, чтобы диагонали нисходящая и восходящая порознь были магическими. Чтобы они были магическими зараз, нужно еще принять в соображение некоторые добавочные условия, возникающие от того, что как ряды (А) и (С), так и ряды (В) и (D) могут содержать общие члены. Посмотрим поэтому, какие могут быть общие члены в рядах (А) и (С). Очевидно, что для этого нужно найти все решения неопределенного уравнения

81я14-р = 8#

при условии, что I число положительное и не превосходящее у — 1. Необходимо заметить, что 8 и 8Х взаимно простые числа; в самом деле, их общий делитель должен зараз делить <x-|-ß и а — ß, т.е. 2a и 2ß; будучи нечетным,.

он должен делить а, | и ju, но это возможно только тогда, когда он равен 1. Принимая во внимание, что 5 и Ъг числа взаимно простые, мы заключаем, что приведенное выше неопределенное уравнение всегда решается в целых числах. Среди его решений встретится решение яг°у #°, в котором #° число положительное и <§г Все другие решения найдутся из формул

при произвольном целом t Мы ищем те решения, в которых

очевидно, что для получения таких решений нужно заставить неопределенное число t пробегать ряд значений

Отсюда ясно, что в рядах (А) и (С) будет заключаться ровно общих членов.

Для определения общих членов в рядах (В) и (D) мы, очевидно, должны найти решения неопределенного уравнения

в которых 0 <1 z < ~. Рассуждая совершенно так же, как выше, мы убедимся, что таких решений будет ровно <~, иначе говоря, именно столько общих членов будет в рядах (В) и (D). Одинаковость числа общих членов в рядах (А) и (С), с одной стороны, и (В) и (D), с другой, является важным моментом в излагаемом способе построения магических квадратов. Благодаря этому обстоятельству, не впадая в противоречие, мы можем зараз сделать обе диагонали магическими, если только общим членам в рядах (А) и (С) припишем значения общих членов в рядах (В) и (D), причем порядок, в котором будут браться эти последние, безразличен. Остаю-

щиеся члены рядов (А) и (С) можно отождествить в произвольном порядке с остающимися членами соответственно в рядах (В) и (D). Наконец, те из наших символов, которые еще останутся, можно отождествить, опять в произвольном порядке, с оставшимися в ряду 1, 2, 3, ..., р числами. Таким образом будут определены все необходимые элементы для построения вспомогательного квадрата. Для пояснения изложенных соображений возьмем сначала случай р = 15, а = 4, ß=l. В данном случае будем иметь Ь = 5, е2 = 3 и р = 2. Соответственно этому ряды (А) и (С) будут такие: Z

(0), (5), (10), (А)

(2), (5), (8), (11), (14). (С)

В этих рядах, как и должно быть, имеется только один общий член (5). Ряды (В) и (D) состоят из чисел

3, 8, 13, (В)

2, 5, 8, 11, 14. (D)

В этих рядах, согласно теории, опять один общий член 8, поэтому мы должны положить (5) = 8. Оставшиеся члены в ряду (А) (0) и (10) нужно отождествить в произвольном порядке с оставшимися членами в ряду (В) 3 и 13. Мы положим (0) = 3, (10) —13. Оставшиеся члены ряда (С) (2), (8), (11), (14) мы должны отождествить с оставшимися членами в ряду (D), т. е. с числами 2, 5, И, 14, взятыми в каком угодно порядке. Положим, напр.

(2) = 2, (8) = б, (11)= 11, (14) = 14.-

Таким образом из 15 символов 7 оказались уже определенными, остальные 8 символов

(1), (3), Щ (6), (7), (9), (12), (13)

должны совпадать с числами

I 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15,

взятыми в каком угодно порядке. Можно, напр., положить

(1) = 4, (3)=1, (4) = 10, (6) = 7, (7) = 6, (9)=9, (12)= 12, (13) = 15.

Таким образом, все 15 символов имеют такие значения

(0)Д1)Д2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10)Д11),(12),(13)

^ 3, 4, 2, Ц 10,8, 7, 6, б, 9, 13, 11, 12, 15, 14,

После этого заполнение всех 225 клеток квадрата не представляет уже трудностей: именно нужно только в клетки i, з ставить число., соответствующее символу (4 j). Самого заполнения мы производить не будем в виду длинноты этой операции.

Остановимся еще на предположении а=1, ß = 1.« Для этого случая 8=1, 8х=_р. Ряд (А) заключает в себе все символы, а ряд (В) все числа от 1 до р. Наоборот, ряд (С) сводится только к одному символу (р — 1), а ряд (D) к одному числу Согласно общим рассуждениям, мы должны положить (р—l)=£ii, остальные же символы должны совпадать с оставшимися числами, которые можно взять в произвольном порядке. По этому правилу для случая р= 5 можно, напр., принять

(0) = 5, (1)=1, (2) = 2, (3) = 4, (4) = 3. Клетка г, j заполняется числом, соответствующим символу Соответственно этому числа первого горизонтального ряда будут

(0), (1), (2), (3), (4);

числа в клетках второго горизонтального ряда представятся символами

(1), (2), (3), (4), (0).

Они получаются из чисел первого ряда путем циклической перестановки.

Точно также числа третьяго ряда получаются циклической перестановкой чисел второго ряда и т. д. Таким путем получится следующий вспомогательный квадрат:

5

1

2

4

3

1

2

4

3

5

2

4

3

5

1

4

3

5

1

2

3

5

1

2

4

Рис. 26.

Построение второго вспомогательного квадрата из чисел О, jp, 2р,..., (р— 1) р основывается на соображениях совершенно подобных вышеизложенным. Прежде всего, ради простоты, можно построить квадрат из чисел 0, 1, 2, . .., р — 1 с тем, чтобы затем все входящие в него числа увеличить в р раз. Эти числа в известном порядке мы опять обозначим прежними символами. Затем введем два числа, а' и ß', взаимно простые с р, и согласимся заполнять клетку i, j числом (a'i-j-ß'i). Чтобы заполненный таким образом квадрат был магическим, останется выяснить, при каких условиях будут магическими обе его диагонали. Совершенно очевидно, что, повторяя прежние рассуждения с незначительными изменениями, мы должны будем ввести в рассмотрение общий наибольший делитель Ъ' чисел a'+ß' и р и общий наибольший делитель 5^ чисел а' — Щ и р и затем построить ряды

(6), (§'), (2 5'),..., (Р~Ь% . (А')

(В')

Далее, назвав через р' наименьший положительный вычет числа — ß' по модулю §/, мы должны ввести в рассмотрение еще два аналогичных ряда:

Ряды (А7) и (С7), с одной стороны, и (В') и (D'), с другой, имеют одинаковое число общих членов, а именно ^yj • Соответственно этому символы, общие рядам (А') и (С7), нужна отождествить с общими членами рядов (В7) и (D7). Остальные символы рядов (А') и (С7) отождествляются с оставшимися соответственно в рядах (В') и (D') числами. Наконец,, те символы, которые не входят ни в (А'), ни в (С), отождествляются с числами, не входящими ни в (В7), ни в (D'). Таким образом, все символы получают вполне определенное значение, после чего заполнение квадрата совершается таким образом, что в клетке г, j ставится число, соответствующее символу (a'tf-f-ß^*). Если все числа построенного квадрата увеличить в р раз и прибавить к соответственным числам ранее построенного другого вспомогательного квадрата, то получится магический квадрат, составленный из различных чисел от 1 до 2>2, если только определитель

число взаимно простое с р. Покажем действительно, что при этом условии невозможно, чтобы в двух различных клетках стояли одинаковые числа. В самом деле, пусть в клетках i, j и г7, j1 стоят одинаковые числа; тогда у этих чисел порознь должны быть равны обе их составляющие, т. е.

что равносильно сравнениям

Но так как определитель этой системы сравнений взаимно простой с модулем, то они возможны только тогда, когда

а это для различных клеток невозможно.

Если принять а = 1, ß = 1, то всегда можно взять а' = 1, JJ' = — 1. Построение первого вспомогательного квадрата в этом предположении было уже объяснено выше. Что же касается построения второго, то нужно заметить, что в данном случае V =zp, Щ = 1, следовательно ряд (А') приводится к одному только члену (0) и равным образом ряд (Bf) к одному

только числу ^Цр- ; в то же время ряды (С) и (Df) состоят из всех возможных символов и чисел. Мы должны поэтому положить (0)=^-^, приписывая остающимся символам значения других чисел ряда 0, 1, 2, ... , р—1. После этого для заполнения квадрата останется только в клетке % j поставить число, соответствующее символу (i—j). Для примера-возьмем опять j0 = 5; тогда можно взять

V (0) = 2, (2) = 3, (3) | 4, (4) = 0.

Сообразно этому, первая строка заполняется числами 2, О, 4, 3, 1; числа второй строки будут 1, 2, 0, 4, 3. Они получаются из чисел первой строки путем обратной круговой перестановки, и таким же точно образом получатся числа третьей строки из чисел второй строки и т. д. Умножив еще все числа на 5, получим окончательно следующий квадрат:

10

0

20

15

5

5

10

0

20

15

15

5

10

0

20

20

16

5

10

0

0

20

15

5

10

Рис. 26.

Если наложить этот квадрат на ранее найденный первый вспомогательный квадрат и сложить числа, приходящиеся на одну и ту же клетку, то получится такой магический квадрат из 25 чисел от 1 до 25:

15

1

22

19

8

6

12

4

23

20

17

9

13

5

21

24

18

10

11

2

3

25

16

7

14

Рис. 27.

Метод де-Лагира позволяет построить для каждого данного р очень большое число магических квадратов, хотя и не все возможные. Других примеров применения этого метода мы не будем излагать, предоставляя самим читателям, распоряжаясь произволом, который оставляет метод де-Лагира, сделать самим разнообразные его применения.

7. Магические квадраты с четным числом клеток.

Известные способы построения магических квадратов с четным числом клеток не отличаются таким разнообразием, как способы, применимые к нечетным квадратам; притом они менее изящны и более кропотливы. Простейший из них является способ, предложенный английским математиком Rousе-Ball'ом, изложением которого мы здесь и ограничимся.

Квадрат, разделенный на 4ю2 клеток, заполним числами от 1 до 4 п2 в ; их естественном порядке, т. е. в первом горизонтальном ряду слева направо поместим числа 1, 2, 3, ... , 2п, во втором ряду следующие за ними числа

2w-f-.l, 2 я-|-2, ... , 4w и т. д. При таком заполнении квадрат, конечно, не будет магическим, но обе его диагонали оказываются уже магическими. В самом деле, на нисходящей диагонали стоят числа 1, 2п+2, 4ю+3, ... , 4п2, сумма которых будет

1 + 2+ ... + 2гс+2ю(1+2+ .... +2ю—1) = ю(4ю2+1),

т. е. как раз имеет ту величину, какая должна быть в магическом квадрате для всех рядов горизонтальных, вертикальных и. диагоналей. На восходящей диагонали стоят числа 2ю, 4w—1, ßn—2,...,4n2—2ю + 1, сумма которых

2п(1 + 2 + ... + 2w) — 1 — 2-3... —(2w-l) = w(4w2+l)

имеет как раз нужную величину. Горизонтальные же и вертикальные ряды при указанном заполнении квадрата, конечно, не будут магическими; но суммы, составленные для. них, находятся в замечательном соотношении. Согласимся называть два горизонтальные ряда дополнительными, если они расположены симметрично относительно горизонтальной средней линии квадрата; равным образом будем называть дополнительными два вертикальных ряда, если они расположены симметрично относительно вертикальной средней линии. Для двух дополнительных горизонтальных рядов сумма заключенных в них чисел как раз равна удвоенной средней сумме для магического квадрата, т. е. 2w(4w2+l). В самом деле, в г-ом горизонтальном ряду, считая сверху, стоят числа: 2n(i— 1)+1, 2п(г—1) + 2> 2n(i — 1) + 2ю, сумма которых есть

j $. = ю(2ю+1) +4и2(г— 1).

Дополнительный к этому ряд будет г-ым снизу или 2я+1— г-ым сверху. Сумма чисел его получится из предыдущего выражения через замену г на 2 п — г+1 и будет равна

Отсюда имеем

Таким образом, насколько сумма одного из дополнительных рядов меньше требуемой величины, настолько же сумма другого больше ее. Поэтому возникает вопрос, нельзя ли некоторые числа одного из них переместить с соответствующими числами другого так, чтобы уравнять суммы в обоих рядах. Это оказывается возможным, если руководиться следующими соображениями. Согласимся называть две клетки дополнительными вертикально, если они расположены в двух дополнительных горизонтальных рядах и в одном и том же вертикальном ряду, иначе говоря, если эти клетки расположены симметрично относительно горизонтальной средней линии квадрата. Нетрудно понять, что разность чисел, помещенных в дополнительные вертикально клетки рядов г-ого и 2п— i-f- 1-ого постоянна и равна in(i — п). Отсюда получаем

или

S;+4 и2 О — г) = s2n_ ж — 4 п2 О — г).

Это равенство показывает, что если в двух дополнительных горизонтальных рядах переставить между собою числа, стоящие в п дополнительных вертикально клетках, то суммы чисел в этих рядах после такой операции сравняются и, по предыдущему, ряды станут магическими. Таким образом, путем подобных действий можно сделать любые два горизонтальные ряда магическими; однако следует иметь в виду, что при этом диагонали, могут перестать быть магическими.

Подобные же действия можно применить к вертикальным рядам. Прежде всего, если взять дополнительные вертикальные ряды, то нетрудно показать, что сумма входящих в них чисел опять равна удвоенной средней сумме для магического квадрата. Действительно, в i-ом, считая слева, вертикальном ряду стоят числа i, i+2j-\-4n ,...,i+4n2 — 2n с суммой

<9 = 2n8(2n— l)-f-2nj.

Дополнительный к этому ряд будет, считая слева, 2п— + 1-ъш; сумма входящих в него чисел найдется из преды-

дущей формулы через замену j на 2 п — 1 и окажется равной

<72n-i+1 = 2 п* (2 п -1)+2 п (2 и —j+1).

Складывая оба выражения, получаем

(Ti+(72n«j+i = 2^(4n2+l),

как должно быть. Если согласиться называть две клетки дополнительными горизонтально, когда они расположены симметрично относительно вертикальной средней линии квадрата, то понятно, что числа, стоящие в дополнительных горизонтально клетках двух вертикальных рядов, имеют постоянную разность, равную 2j—2п—1, откуда может быть выведено равенство

Р — <72n_ j+l | 2 п (2 j — 2 п — 1 ).

Это равенство, представленное в форме

<jj+n (2 п+1 — Щ g d2n_J+1- п (2 п+1 - 2 §

показывает, что после взаимной перестановки чисел п дополнительных горизонтально клеток в рядах ^-ом и 2п—j+1-ом суммы чисел этих рядов делаются равными, а сами ряды магическими. Таким образом, можно сделать магическими все вертикальные ряды, но при этом диагонали могут потерять свойства магичности.

Путем описанных процессов мы получаем возможность, исходя из первоначального заполнения клеток квадрата, сделать магическими в отдельности или горизонтальные, или вертикальные ряды; но спрашивается, нельзя ли комбинировать действия таким образом, чтобы не только горизонтальные и вертикальные ряды, но и диагонали оказались магическими. Это всегда возможно, как будет сейчас показано.

Для лучшего уяснения дальнейших соображений отметим, что все последующие операции будут состоять в повторном применении двух элементарных действий: 1° взаимной перестановки двух дополнительных верти-

кально клеток с их числами, 2° взаимной перестановки двух дополнительных горизонтально клеток с их числами. К этим двум действиям можно присоединить, как самостоятельное третье действие, результат последовательного их применения в группе из четырех клеток а, 6, с, расположенных таким образом, что а и а, с и d дополнительны горизонтально, а а и с, Ъ и d дополнительны вертикально. При таком расположении клеток очевидно, что клетки а и d, с одной стороны, Ъ и с, с другой, симметричны относительно центра квадрата , и могут быть названы центрально дополнительными. Если применить действие 1° к парам клеток а и с, Ъ и то от первоначальной их конфигурации

перейдем к такой

Если далее к парам клеток с и d, а и а в новой конфигурации применить действие 2°, то получится конфигурация

которая сразу получается из первоначальной при взаимной перестановке накрест центрально-дополнительных клеток а и dy Ъ и с. Такую перестановку центрально-дополнительных клеток в группе четырех клеток, расположенных, как указано выше, можно рассматривать как третье основное действие. .Очевидно, что эффект этого действия сводится к взаимной замене дополнительных клеток в двух горизонтальных рядах и в двух вертикальных. Кроме того, третье действие не изменяет совокупности чисел, расположенных в диагональных клетках. Первые же два действия только тогда не оказывают влияния на диагонали, когда они применяются к внедиагональным клеткам.

Чтобы ближе проследить применение описанных действий к построению магического квадрата, мы должны в отдель-

ности рассмотреть случаи п четного и п нечетного, обозначая, как выше, через 2 п число клеток в каждом ряду квадрата. Начнем с случая четного п и сообразно этому положим п—2т. Квадрат, подлежащий заполнению, средними линиями разделяется на четыре совершенно одинаковых квадрата Kv К2, jfiT8, \ВГ4, как указано на рис. 28.

Рис. 28.

Остановимся на квадрате Kv который содержит 4 т2 клеток. Допустим, что каким-нибудь способом удастся среди них выбрать группу из 2 т2 клеток так, чтобы в каждом горизонтальном или вертикальном ряду квадрата Кг находилось ровно m клеток этой группы. Отметим клетки, составляющие группу, звездочками. Звездочки поставим также во всех тех клетках полного квадрата, которые будут дополнительными горизонтально, вертикально и центрально с теми клетками квадрата Kv которые отмечены звездочками. Во всем квадрате таким образом получится 8 ж2 клеток со звездочками; каждый его горизонтальный ряд или вертикальный будет заключать в себе ровно 2 m таких клеток, т. е. половину всех клеток соответственного ряда. Клетки, отмеченные звездочками, соединяются в 2 т2 групп вышеуказанного характера по четыре клетки в каждой. Произведя взаимную замену центрально-дополнительных клеток каждой такой группы, мы превратим квадрат в магический. В самом деле, в результате таких операций окажется, что в каждой строке ровно половина клеток заменится дополнительными с ними вертикально, и в каждом столбце также ровно половина его клеток заменится дополнительными с ними горизонтально. От этого, как было разъяснено выше, все строки и столбцы станут магическими, диагонали же были магическими и останутся таковыми, потому что составляющие их клетки

могут только перемениться местами. Остается, следовательно, только указать, каким образом в квадрате Ж\ всегда можно выбрать подходящую группу в 2 т2 клеток для отметки их звездочками. Этого можно достигнуть весьма разнообразными способами и прежде всего так. Квадрат Кг средними линиями разделяется на 4 квадрата; два из них на рис. 29 отмечены буквой а, два другие буквой Ъ.

Рис. 29.

Ясно, что можно отметить звездочками или клетки квадратов с буквой а, или же клетки квадратов с буквой Ъ. Это один способ получения нужной нам группы клеток. Другой из многих возможных способов состоит в следующем. Возьмем в первом вертикальном ряду клеток квадрата Кг (считая слева) произвольно группу в ж клеток, находящихся в горизонтальных рядах, имеющих (считая сверху) номера к> Чч \ч •••» *me Во втором вертикальном ряду возьмем m вжеток с номерами ^+1, i24~l? *8~t~l> • • •> *»~f"l* ^ третьем вертикальном ряду — клетки с номерами ^+2, г2+2, i3+2, ..., im-\-2, и т. д.; вообще в а-ом вертикальном ряду возьмем клетки с номерами — 1, i2-\-h— 1, — 1, ..., гт-\-Тс—1. Если какая-нибудь из таких клеток окажется вне квадрата К1У то она должна быть заменена эквивалентной клеткой по отношению к нему. Очевидно, что первые клетки всех 2 m вертикальных рядов расположатся во всех 2 m горизонтальных рядах; далее, вторые клетки всех вертикальных рядов расположатся опять во всех 2 т горизонтальных рядах, и т. д. Таким образом полученная группа из 2 т2 клеток будет такова, что в каждом ряду, горизонтальном или вертикальном, квадрата Кг будет ровно m клеток этой группы. Для пояснения изложенного способа построим сначала магический квадрат с 16 клетками. Квад-

рат jSTj в этом случае будет состоять из четырех клеток. Отметим звездочками сначала две клетки нисходящей диагонали; тогда в квадрате из 16-ти клеток, заполненном числами от 1 до 16 в естественном порядке, клетки будут отмечены звездочкой, как показано на рис. 30.

Рис. 30.

Теперь нужно взаимно переместить центрально-дополнительные клетки со звездочками, после чего получится такой магический квадрат (рис. 31, слева):

16

2

3

13

5

11

10

8

9

7

6

12

4

14

16

1

1

15

14

4

12

6

7

9

8

10

11

5

13

3

2

16

Рис. 31.

Если бы звездочки были поставлены на восходящей диагонали квадрата К19 то тогда получился бы другой магический квадрат с 16 клетками, изображенный на том же рис. 31, справа. Применим тот же способ к построению квадрата с 64 клетками. В этом случае квадрат Кг будет состоять из 16 клеток. Отметим в нем клетки звездочкой по второму способу, для чего можно взять, напр., ix = 2,

i2 = 3. На рис. 32 показана группа клеток, отмеченных звездочкой по этому способу.

Рис 32.

После этого заполняем квадрат в 64 клетки числами от 1 до 64 в естественном порядке и ставим звездочки, руководясь предыдущим рисунком.

Рис. 33.

Произведя взаимную замену центрально дополнительных клеток со звездочками, получим окончательно такой магический квадрат:

1

2

62

61

60

59

7

8

56

10

11

53

52

14

15

49

48

47

19

20

21

22

42

41

25

39

38

28

29

35

34

32

33

31

30

36

37

27

26

40

24

23

43

44

45

46

18

17

16

50

51

13

12

54

55

9

57

58

6

5

4

3

63

64

Рис. 34.

Построение магического квадрата в том случае, когда число клеток в его стороне делится только на два, т. е. п нечетное = 2 яг+1, несколько сложнее, чем1 в предыдущем случае четного п. В последнем случае основные действия 1° и 2° в отдельности не употреблялись, но входили лишь в той комбинации, которую мы назвали третьим основным действием. В случае же нечетного п дело становится сложнее потому, что приходится за раз пользоваться всеми тремя основными действиями. Весь квадрат опять средними линиями мы разделяем на четыре квадрата К1У К2, KQJ j8T4, и из них останавливаемся на квадрате Кг. Затем среди клеток этого квадрата выбираем группу из m (2w-f-l) клеток, расположенных так, что в каждом горизонтальном или вертикальном ряду находится ровно m клеток этой группы; такую группу клеток всегда можно выбрать, руководясь вторым из вышеуказанных методов. Клетки этой группы отмечаем звездочками. Затем строим вторую группу клеток так, чтобы в каждом горизонтальном ряду было по одной клетке этой группы и чтобы в ней не было клеток, принадлежащих нисходящей диагонали. Для этого достаточно в первом вертикальном ряду квадрата Кг выбрать какую-нибудь клетку,

еще не отмеченную звездочкой и не принадлежащую к нисходящей диагонали; если от этой клетки идти вниз по диагональному ряду, параллельно нисходящей диагонали, и отсчитать 2т-{-1 клеток, то, по замене некоторых из них эквивалентными по отношению к квадрату К1У получим группу клеток требуемого характера. Клетки этой группы отметим крестиками. Затем еще выбираем третью группу клеток так, чтобы в каждом вертикальном ряду находилось по одной ее клетке и чтобы не было клеток, принадлежащих к нисходящей диагонали. Такую группу также можно построить, если только w>0. Для этого нужно в первом вертикальном столбце выбрать клетку, еще не отмеченную никаким знаком и не лежащую на нисходящей диагонали; если от этой клетки, подвигаясь вниз параллельно нисходящей диагонали, отсчитать 2m-j-l клеток и те из них, которые находятся вне квадрата Щ9 заменить внутренними, им эквивалентными, то тогда получится нужная нам третья группа клеток. Клетки третьей группы отметим кружками. Что всегда возможно построить все три группы, видно из следующего. В первом столбце звездочками можно отметить первые m клеток сверху; тогда останется еще т-\-\^2 клеток, среди которых можно выбрать произвольно две и на одной из них поставить крестик, а на другой кружок. После того, как некоторые клетки квадрата Кг будут отмечены соответствующими знаками, ко всем клеткам, отмеченным звездочками, нужно найти дополнительные горизонтально, вертикально и центрально и на них также поставить звездочки. Затем нужно отметить крестиками клетки дополнительные вертикально с теми клетками квадрата Кг, которые были отмечены этим знаком. Наконец, клетки, дополнительные горизонтально с теми, которые отмечены кружком, нужно также отметить кружком. Когда клетки всего квадрата получат свои знаки, их нужно заполнись числами от 1 до 4п2 в их естественном порядке. Затем нужно взаимно переместить те из клеток со звездочками, которые центрально симметричны. Этой операции соответствует замена в каждом горизонтальном ряду 2 m клеток дополнительными с ними вертикально, и в каждом вертикальном ряду —

замена 2 m клеток этого ряда дополнительными горизонтально. Если после этого произвести замену дополнительных клеток с крестиками и дополнительных клеток с кружками, то в окончательном итоге окажется, что ровно половина клеток любого горизонтального ряда и любого вертикального заменилась дополнительными с ними клетками. От этого все ряды квадрата, как горизонтальные, так и вертикальные, станут магическими; диагонали же были магическими и останутся таковыми, так как действия 1° и 2° применяются лишь к недиагональным клеткам. Следовательно, получившийся после всех этих операций квадрат будет магическим.

Построим по этому способу прежде всего магический квадрат с 36 клетками. Для этого, руководясь преподанными выше правилами, отмечаем надлежащими знаками клетки квадрата, как показано на рис. 35.

Рис. 35.

Заполняя этот квадрат числами от 1 до 36 в естественном порядке, в результате получим такой' рисунок:

Рис. 36.

Теперь нужно произвести следующие действия: 1° взаимно переместить симметричные относительно центра квадрата клетки со звездочками; 2° взаимно переместить симметричные относительно горизонтальной средней линии клетки с крестиками; 3° взаимно переместить симметричные относительно вертикальной средней линии клетки с кружками. После совершения всех этих действий получается магический квадрат:

36

32

4

3

5

31

12

29

27

10

26

7

19

17

22

21

14

18

13

20

16

15

23

24

25

11

9

28

8

30

6

2

33

34

35

1

Рис. 37.

Построим еще магический квадрат со 100 клетками. Прежде всего на прилагаемом рис. 38 дается схема заполнения клеток звездочками, крестиками и кружками, как основа дальнейших операций.

Рис. 38.

Когда эта схема приготовлена, дальнейшие действия сводятся к механическому перемещению клеток; в результате этих довольно утомительных операций должен получиться такой магический квадрат:

1

92

8

97

96

95

94

3

9

10

90

12

83

17

66

85

14

18

19

81

80

79

23

74

26

25

27

28

72

71

40

69

68

34

65

36

37

63

62

31

51

49

58

57

45

46

54

53

42

50

41

52

48

47

55

56

44

43

59

60

61

39

38

64

35

66

67

33

32

70

30

29

73

24

75

76

77

78

22

21

20

82

13

84

16

15

87

88

89

11

91

2

13

7

6

5

4

98

99

100

Рис. 39.

Мы рассмотрели с достаточной подробностью построение магических квадратов с произвольным числом клеток при соблюдении лишь основных требований магичности. Но можно усложнить задачу разнообразными способами, добавив новые условия, которым должен удовлетворять квадрат. Исследование таких более сложных случаев является еще менее законченным, чем теория вопроса в простейшей постановке. Поэтому мы ограничимся только изложенными выше важнейшими результатами, относящимися к теории обыкновенных магических квадратов.

ГЛАВА VI.

Задачи о перемещении предметов при ограничительных условиях.

До сих пор мы занимались вопросами, в которых существенную роль играло число; теперь рассмотрим ряд задач, в которых главную роль играет не число, а положение. Мы начнем с рассмотрения задач на перемещение предметов при ограничительных условиях и прежде всего займемся интересной задачей, предложенной в 1884 году известным английским физиком Тэтом.

1. Задача Тэта.

„Несколько недель тому назад, когда я ехал в вагоне железной дороги,—рассказывает Тэт,—при мне предложили такую задачу. Четыре шиллинга и четыре соверена расположены в ряд в порядке чередования; требуется, передвигая за раз две монеты без изменения их относительного положения, в четыре перемещения расположить монеты так, чтобы сначала лежали четыре шиллинга, а за ними четыре соверена

Если кто-нибудь попробует решить эту задачу, то скоро увидит, что сравнительно легко удается расположить монеты в требуемом порядке, но не так легко сделать это сразу в четыре действия. Однако после некоторого размышления нетрудно придти к решению для данного частного случая. Будем обозначать черными кружками шиллинги, а белыми соверены; тогда первоначальное расположение монет будет такое:

Рис. 40.

На этой схеме звездочками отмечены пустые места для двух монет. Первое действие состоит в перенесении направо пары монет, отмеченных знаком 1, после чего получаемое расположение монет схематически представится так:

Рис. 41.

Теперь нужно на свободные места перенести монеты, отмеченные знаком 2; новое расположение монет указано в схеме

При третьем действии переносятся монеты, отмеченные и знаком 3; это дает расположение

Рис. 42.

Наконец, после перенесения монет, отмеченных знаком 4, они будут лежать в требуемом порядке:

Рис. 43.

В результате, как мы видим, вся система монет передвинута на два места вправо. Изложенное решение можно представить короче схемой:

В этой схеме цифрами, поставленными внизу, показаны те монеты, которые по порядку нужно переносить на свободные места.

Задачу Тэта можно обобщить на какое угодно число монет одного рода и такое же число монет другого рода

при сохранении прочих условий, за исключением, конечно, числа передвижений. Назовем число монет каждого рода через п и сначала покажем решение задачи для w = 5. 6 и 7. Это решение указано в нижеследующих схемах, подобных приведенной выше.

Схема действий для случая fî—Ъ.

Схема действий для случая п~ 6.

Схема действий для случая п—1.

Рис, 44.

Из этих схем мы усматриваем, что при ю = 5 задача решается пятью действиями, при п = 6 шестью и при и =7 семью. Это дает повод подозревать, что при произвольное! п> 3 задача всегда решается п действиями. Математическая теория, которую мы сейчас изложим, покажет, что задача Тэта при произвольном п>3 всегда разрешима и требует для решения п действий. Допустим, что задача разрешена уже, когда число монет одного рода будет п—4,

м требует совершения п — 4 перемещений; предполагая это, можно следующим образом показать ее решение для случая п монет одного сорта. Отделим от прочих вертикальными чертами четыре первых монеты и четыре последних, как доказано на рис. 45:

Рис. 46.

С группой восьми отделенных монет произведем первые два действия, необходимые для решения задачи при w = 4; это нам даст последовательно такие два расположения монет:

Рис. 46.

Дальнейшие два действия, потребные для перекладывания монет для п = 4, мы пока задерживаем и обращаемся к перемещению внутренних монет числом 2п — 8, пользуясь двумя свободными местами, отмеченными звездочками. По предположению, это мы можем сделать в п — 4 действия, причем внутренняя группа монет начнется с монет темных и окажется передвинутой на два места вправо. Расположение монет после этого представится так:

Рис. 47.

Теперь опять обращаемся к группе первоначально отделенных восьми монет и сначала переносим на свободное место пару монет, отмеченных знаком 3, затем, на вновь освободившееся место, пару монет, отмеченных знаком 4; после этого все монеты окажутся сдвинутыми вправо на два места, причем сначала будут лежать темные монеты, а затем светлые. Задача, таким образом, разрешена в п — 4-f-4 = п действий. Так как мы непосредственно решили нашу задачу

для м = 4, 5, 6, 7, то, на основании доказанного, ее можно решить для

я = 4, 8, 12, 16,... w = 5, 9, 13, 17,. .. ?г = 6, 10, 14, 18,... п = 1, 11, 15, 19,...

т. е. для всякого щ и притом употребляя только п действий.

Прием, который мы употребили при доказательстве, указывает также порядок действий, позволяя при заданном числе монет постепенно сводить задачу на меньшее число монет, пока не дойдем до случаев, для которых решение было найдено непосредственно и представлено в выше приведенных схемах. Для примера укажем схему решения, таким образом получаемого, при w = 9.

Схема решения для п=9.

Рис 48.

2. Задача Люка.

Так мы называем очень распространенную задачу, рассмотренную подробно Люка. Задача эта состоит в следующем: Белые и черные кости в равном числе расположены в ряд так, что сначала идут белые кости, а за ними после пустого промежутка, вмещающего одну кость, идут черные. Требуется перевести белые кости на место черных и черные на место белых, руководясь правилами: 1° белые кости могут двигаться только против черных, а черные только против белых;

2° каждый раз перемещается только одна кость или на пустое место, непосредственно за ней следующее, или же, перескакивая через одну кость, на расположенное за нею пустое место.

При начале, очевидно, можно подвергнуть перемещению или белую кость, или черную; но когда мы остановимся на одном из этих начальных действий, то после некоторых размышений убедимся, что каждое последующее правильное действие будет вполне определенным. Таким образом, при решении задачи все правильные действия навязываются с необходимостью, отчего, по крайней мере при небольшом числе костей, задача оказывается вовсе нетрудной. В нижеследующих схемах показаны расположения костей от начального до конечного в случаях, когда число костей одного цвета р=1, 2, 3. Белые и черные кости на этих схемах обозначены соответственно кружками белыми и черными, а пустое место отмечено звездочкой. Мы предполагаем, что белые кости вначале лежали слева от черных и что игра начинается передвижением белой кости.

Схема действий для р=1.

Рис. 49.

Схема действий для р=2.

Рис. 50.

Схема действий для р=3.

Рис. 51.

Рассматривая внимательно эти схемы, мы без труда подмечаем следующее обстоятельство: 1° звездочка или пустое место, последовательно перемещаясь, занимает все возможные положения; 2° в тот момент, когда звездочка занимает первое место слева, кости разных цветов располагаются чередуясь; 3° число положений от начального до конечного при р=1, 2, 3 равно соответственно 4, 9, 16, что даёт повод подозревать, что в случае р костей число положений будет (jp-pl)2, а число действий, переводящих начальное положение в конечное, будет Np = (pJrlf—1.

Докажем теперь общность наших заключений и вместе с тем разрешимость задачи для любого числа костей. Допустим, что вышеупомянутые обстоятельства имеют место, когда число костей есть р— 1. Чтобы доказать, что те же обстоятельства будут иметь место для р костей, мы вообразим, что в начальном расположении костей отделены от прочих первая белая кость слева и последняя черная кость справа.

После отделения крайних костей внутренняя группа будет состоять из р —1 белой кости и такого же числа черных. Оперируя только с внутренними костями, мы приведем их, по предположению, в такое расположение, что слева будет стоять звездочка, а за ней черные и белые кости будут чередоваться. В зависимости от того, будет ли первая после звездочки кость белая или черная, мы получим одно из двух расположений всех костей:

Рис. 52.

Остановимся сначала на рассмотрении первого расположения. Заставляя черные кости перескакивать через белые на свободные места и под конец передвинув последнюю черную кость справа на одно место, мы после р действий перейдем от положения 1а к положению

Рис. 58.

После этого последняя справа белая кость перепрыгивает на пустое место. На освободившееся место перепрыгивает следующая белая кость и т. д. После /) действий получится расположение

Рис. 54.

Наконец, последняя слева черная кость становится на пустое место; получившееся расположение

Рис. 55.

отличается от исходного Ла только тем, что крайние кости переменились местами. При этом в ходе наших операций звездочка один раз находилась справа, другой раз слева, и при этом кости располагались в порядке чередования цветов. Если, начиная от положения IVa, мы будем пере-

мещать только внутренние кости, оставляя крайние на своих местах, то, по предположению, в конце концов расположим их так, что сначала будут стоять черные кости, а затем, после звездочки, белые; но тогда мы придем к окончательному расположению, так как уже все белые кости будут находиться справа, а все черные слева.

Так как при передвижениях внутренних костей звездочка, по предположению, занимала все возможные места и кроме того стояла в начале и конце всего ряда костей, то очевидно, 1° если задача предполагалась разрешимой для р — 1 костей, то она будет разрешима и для р костей одного цвета; 2° если свойство 1° было справедливо для р — 1 костей, то оно будет справедливо и для р костей одного цвета; 3° если свойство 2° было справедливо для р — 1 костей, то оно будет справедливо и для р костей.

Положим теперь, что мы пришли к положению 1Ъ; тогда, переместив крайнюю кость слева на пустое место, мы получим расположение

Рис. 56.

Здесь звездочка стоит в начале ряда слева и кости расположены в порядке чередования цветов. После р перемещений черных костей придем к расположению

Рис. 57.

в котором звездочка стоит в конце ряда, и цвета костей чередуются. Отсюда, передвигая последнюю белую кость справа на свободное место и заставляя остальные последовательно перепрыгивать на освободившиеся места, мы опять после р действий придем к расположению

Рис. 58.

которое отличается от положения \ъ только тем, что крайние кости обменялись местами. Если, начиная отсюда, повторим все рассуждения, которые нами были сделаны по поводу первого предположения, то убедимся, что высказанные выше

три заключения будут иметь силу и при втором предположении. После того, как показан переход от jp—1 к f, мы можем считать уже установленным, что задача решается при всяком р и что обстоятельства, подмеченные выше на частных случаях и отмеченные номерами 1° и 2°, всегда имеют место.

Остается еще определить число действий. Рассматривая внимательно описанный выше процесс решения задачи для р костей одного цвета, мы усматриваем, что полное число действий N слагается из: 1° числа Кр — 1 перемещений внутренних костей и 2° числа перемещений, потребных для перехода от расположения \а к IVa или \ъ л 1УЪ. Последнее же число будет в обоих случаях 2 Таким образом,.

Если мы допустим, что для р — 1 костей одного цвета

-Vi-/'2-1'

то получим

Так как это равенство справедливо при jp=l, то, благодаря установленному переходу от р — 1 к р, можно считать его доказанным вообще.

Люка предложил еще одно интересное видоизменение только что разобранной задачи. Вообразим себе, что на квадратной доске, разделенной на нечетное число клеток, средняя клетка оставлена свободной, а на остальных размещены в равном числе белые и черные кости, расположенные симметрично относительно центра квадрата. Рис. 59 показывает распределение костей в квадрате с 49 клетками.

Рис. 59.

Требуется переместить белые кости на место черных и наоборот, соблюдая прежние правила, т. е. двигая белые кости против черных, а черные против белых и перемещая при этом кость или на соседнее с ней пустое место, или заставляя перепрыгивать эту кость через одну на пустое место.

Для решения задачи следует прежде всего переместить кости среднего горизонтального ряда, после чего нужно начать перемещение костей среднего вертикального ряда. При этом после каждого действия нужно обращаться к перемещению костей того горизонтального ряда, в котором находится в этот момент пустая клетка. Так как пустая клетка в среднем вертикальном ряду займет последовательно все положения, то окажется возможным переместить кости каждого горизонтального ряда кроме средних; средние же кости расположатся в надлежащем порядке но окончании всех перемещений костей среднего вертикального ряда.

Нетрудно рассчитать число действий, необходимых для решения этой задачи. Пусть в стороне квадрата заключается 2j)-pl клеток. Тогда при перемещении клеток любого горизонтального ряда потребуется $?-\-2р действий, для всех же 2pJ^\ горизонтальных родов число действий будет

Сюда нужно еще прибавить число всех перемещений для среднего вертикального ряда, т. е. опять р2-\-2р перемещений; таким образом, полное число действий будет

Ц (f+îp) (2р+1)+р*+2р=%р (Н-1) (И-2).

Для случая, изображенного на рисунке, р = 3, следовательно потребуется для решения задачи совершить

2.3.4.5 = 120 действий.

3. Еще одна задача на перемещение монет.

Очень часто предлагается такая задача: Восемь монет расположены в ряд; требуется образовать из них четыре кучки по две монеты, заставляя передвигаемую монету перескакивать через

две других и ложиться на третью. Решение задачи в этом частном случае можно видеть из прилагаемого схематического рис. 60.

Рис. 60.

Таким образом, сначала нужно положить пятую монету на вторую, затем третью на седьмую и шестую на восьмую. Это решение находится без большого труда после нескольких, может быть, неудачных попыток. Задача становится немного труднее, если ее обобщить на случай An монет, которые должны быть собраны в четыре кучки по, п монет в каждой путем передвижения An— 4 Монет,, причем каждая передвигаемая монета должна перескочить через п монет и лечь на и-}-1-ую. Для решения мы разбиваем весь ряд монет на две половины; первая половина содержит монеты с номерами 1, 2, 3, ... , 2пл вторая половина — монеты с номерами 2п-{~1, ?ШЁЩ 2w-f-3, An. Впервой половине за монетой 2 мы отсчитаем п монет с номерами 3, 4, п-\-2. После них останется еще п—2 монеты с номерами л+З, w-j-4, . . ., 2 п. Эти последние по порядку и в согласии с правилами игры можно перенести на монету 2. образовав таким образом на ее месте кучку в п—1 монет. Подобным же образом поступим со второй половиной монет, а именно * монеты с номерами Зп—-2, Зм — 4,..., 2п-\-1 по порядку перенесем на предпоследнюю монету, имеющую номер in— 1, образовав на ее месте кучку из п—I монет.

После этого монету с номером Ъп—1 переносим на кучку, лежащую над монетой 2, а монету с номером n-f-1, опять соблюдая правила игры, переносим на кучку монет, лежащих над предпоследней. Таким образом, за монетой

1 будет лежать кучка в п монет, а после нее еще п —-1 монет. Эти последние последовательно переносятся на первую монету, минуя п монет кучки. После этого переноса мы будем иметь в начале две кучки по п монет, затем п — 1 монет, опять кучку из п монет и, наконец, последнюю 4и-ую монету. Оставшиеся перед, последней кучкой монеты последовательно переносятся на последнюю монету, и в конце концов получается, как требовалось, четыре кучки по п монет в каждой.

Для объяснения описанных действий может служить нижеследующая схема, составленная для и = 4; в этой схеме для простоты монеты обозначены числами, а кучки кружками, при чем число монет в кучке изображается цифрой, поставленной на соответственном кружке.

Рис. 61.

Наконец, задачу еще можно обобщить, предположив, что дано рп монет, где j>>4, и требуется собрать их в р кучек по п монет в каждой, заставляя передвигаемую монету перескакивать через п других. Решение этой обобщенной задачи не представляет новых трудностей. Действительно, без всякого труда можно перенести п—1 монет на, последнюю, образовав там кучку из п монет. После этого останется распределить рп — п = (р — 1) п монет на р — 1 кучек, уменьшив таким образом число кучек на 1. Затем подобным же образом мы приведем задачу к образованию р — 2, р — 3 и т. кучек, пока не дойдем до 4ю монет, которые нужно будет разместить в 4 кучки; а решение этой задачи было только что показано.

ГЛАВА VII.

Игра в пятнадцать.

1. История игры и ее сущность.

Эта весьма поучительная игра, которую английские авторы называют Fifteen Puzzle, немецкие Boss-Puzzle, а французские le taquin, была изобретена в 1878 году неизвестным глухо-немым американцем. Затем в короткое время она получила чрезвычайно широкое распространение как в Америке, так и в Европе. Очевидцы рассказывают, что нередко можно было видеть, как, даже в трамвае, тот или другой пасажир нетерпеливо передвигал кости. В начале 80-х годов в Германии было даже издано особое постановление, запрещавшее отвлекаться этой игрой во время служебных занятий. Вскоре, однако, интерес публики стал уменьшаться после того, как, благодаря популярным изложениям, стала известна теория этой игры, впервые предложенная американскими математиками Johnson и Story.

Сущность этой игры заключается в следующем. В квадратный ящик небольшой высоты вложено 15 совершенно одинаковых костей квадратной формы и одно место, по величине как раз равное кости, оставлено свободным. Кости переномерованы числами от 1 до 15 и расположены в произвольном порядке. На рис. 62 изображено одно из возможных расположений костей.

Задача заключается в том, чтобы путем передвижения некоторых костей на свободное место расположить их в естественном порядке, т. е. так, чтобы в первом ряду слева направо лежали кости с номерами 1, 2, 3, 4, во втором также слева направо кости с номерами 5, 6, 7, 8 и т. д. В последнем ряду первые три места должны быть

заняты костями с номерами 13, 14, 15, последнее же места Должно остаться свободным. Естественный порядок костей изображен на второй схеме рис. 62.

Рис. 62.

Задача в такой постановке не всегда возможна; возможность обусловлена первоначальным распределением костей. Цель теории игры заключается в том, чтобы установить, какие исходные данные возможны и какие нет, и затем, в случае возможности, дать методический прием для приведения костей в естественное расположение. Пока теория игры не стала известной в широких кругах, многие думали, что требования ее всегда выполнимы.

В самом деле, всегда удавалось, хотя иногда после многих бесполезных шагов, расположить в нужном порядке кости трех первых рядов, но в четвертом ряду они шли в порядке 13, 15, 14, и казалось, что остается сделать сравнительно немного, а именно только переместить как-нибудь две последние кости. Но это никогда не удавалось и не могло удасться, как показывает теория.

2. Некоторые сведения из теории перестановок.

Теория разбираемой игры теснейшим образом связана с некоторыми элементарными теоремами из теории перестановок. Для удобства читателей,, не знакомых с теорией перестановок, мы выведем сейчас возможно короче нужные нам теоремы. Положим, что имеется w предметов, которые

мы отмечаем номерами 1, 2, 3, . .., п. Если предметы расположены в таком порядке, что номера их идут возрастая слева направо, то такое расположение мы будем называть естественным или нормальным. Допустим, что предметы каким-нибудь образом перемещены и выведены из нормального положения. Тогда номера их будут итти в другом порядке, нежели нормальный, и мы будем говорить, что это новое расположение номеров получается путем перестановки, выполненной над нормальным расположением. С этой точки зрения под перестановкой мы понимаем операцию, но часто и самый результат операции, т. е. новое расположение номеров также называется перестановкой. Перестановка вполне определена, когда известно, какой номер стоит на первом месте, какой на втором, какой на третьем и т. д. Положим, напр., что шесть предметов выведены из нормального расположения и приведены в такой порядок, при котором номера их образуют ряд

*, ; 1 V 2, 5, 4, в, з, I Я ' •

Перестановка, с помощью которой мы переходим к новому расположению предметов, сводится к замене 1 через 2, 2 через 5, 3 через 4, 4 через 6, 5 через 3 и 6 через 1. Чтобы легче было усмотреть замены номеров, производимые перестановкой, перестановки обозначают особым знаком; для нашего примера перестановка обозначается так:

Из этого обозначения совершенно ясно, каким номером заменяется 1, каким 2 и т. д.; именно: 1 заменяется стоящим под ним числом 2, 2 заменяется стоящим под ним числом 5 и проч. Среди перестановок особую роль играют перестановки круговые или циклические. При циклической перестановке первый предмет всегда заменяется вторым, второй третьим, третий четвертым и т. д, наконец, последний первым. Для обозначения циклических перестановок служит особый знак, более простой, чем в общем случае, а именно: элементы, подвергаемые циклической перестановке,

пишутся по порядку и заключаются в скобки. Напр., перестановка

циклическая и, соответственно этому, может быть обозначена еще так:

(1 2 3 4).

Циклическая перестановка двух элементов, очевидно, равносильна взаимной замене этих элементов и называется поэтому транспозицией. Всякая перестановка может быть заменена рядом последовательных транспозиций. Доказательство этого важного положения мы проведем на примере, что нисколько не уменьшит общность наших выводов. Пусть дана перестановка, переводящая нормальное положение номеров 1, 2, 3, 4, 5 в такое 5, 3, 1, 2, 4. Мы видим, что в новом расположении номеров 5 стоит на нервом месте. Чтобы этого достигнуть, нужно сделать четыре транспозиции, а именно, последовательно переместить 5 с 4, 3, 2 и 1. После этого нужно еще сделать две транспозиции, чтобы перевести 3 на второе место, а именно, нужно последовательно переставить 3 с 2 и 1. Так как после шести указанных транспозиций 1 стоит на третьем месте, как нужно, то 1 уже дальше не будет подвергаться перемещениям; точно также 2 и 4 стоят уже на нужных местах. В конечном итоге мы видим, что заданная перестановка равносильна шести транспозициям, так как после этих транспозиций получается как раз требуемое расположение номеров. Хотя мы рассуждали на частном примере, но характер рассуждений, очевидно, общий, и потому можно считать установленным, что всякая перестановка равносильна ряду последовательных транспозиций.

Однако следует сейчас же заметить, что каждая перестановка может очень разнообразными способами заменяться последовательными транспозициями. Но как бы ни были разнообразны представления данной перестановки посредством ряда транспозиций, всегда число потребных транспо-

зиций будет четное или нечетное. В этом состоит одно из важнейших предложений теории перестановок. Для доказательства его мы введем новое понятие о беспорядках в перестановке. Всякий раз, как за некоторым номером следует меньший номер, мы говорим, что имеется в перестановке беспорядок. Беспорядков в перестановке может быть несколько. Возьмем, напр., такое расположение номеров

6 4 3 5 7 1 2.

Мы видим, что после 6 стоят меньшие его номера 4, 3, 5, 1, 2; это нам дает 5 беспорядков. Далее после номера 4 стоят меньше его номера 3, 1, 2, что дает 3 новых беспорядка. После номера 3 стоят меньшие его номера 2 и 1; это прибавляет к прежним еще 2 беспорядка. За номером 5 стоят меньшие его номера 1 и 2, чему соответствуют 2 беспорядка. После 7 стоят номера 1, 2, что прибавляет еще 2 беспорядка. Далее новых беспорядков уже не встречается. Таким образом, в данном расположении будет всего 5-|-3 j-2 '[-2-!т2 — 14 беспорядков. Для данного расположения число беспорядков будет, очевидно, совершенно определенным. В нормальном расположении беспорядков вовсе нет, и число их следует положить равным нулю.

Установив понятие о беспорядках, докажем теперь следующую важную теорему: Если в каком-нибудь расположении произвести транспозицию двух номеров, то число беспорядков изменится на нечетное число, т. е. разность между числом беспорядков данного расположения и числом беспорядков, получившихся после транспозиции, будет нечетная.

Для доказательства предположим сначала, что транспозиции подвергаются два рядом стоящие номера. Пусть

ab ... defg ... г (1)

будет данное расположение номеров, в котором переставляются смежные номера е и f. Новое расположение номеров будет

ab ... df eg ... г. (2)

Сравним число беспорядков в обоих случаях. При счете беспорядков в рядах (1) и (2) мы последовательно считаем число беспорядков обоих рядов, начиная от er, 6, ... , d. Очевидно, что при этом получим совершенно одинаковые результаты. Считая затем в обоих рядах беспорядки, начиная от g и до конца, мы опять получим одно и то же число их. Следовательно, разница может получиться только при счете беспорядков начиная с номеров е и f. Чтобы определить число беспорядков в ряду (1), нужно сосчитать, сколько чисел этого ряда после е будут <е; пусть таких чисел будет а. Число беспорядков ряда (1), считая от f, равно числу чисел, следующих за/и </; число таких чисел назовем через ß. Обращаясь к ряду (2), назовем через а и ß' числа беспорядков, считая соответственно от f и :ei Совершенно очевидно, что

а' = 3, ß' = a-l, !щи,

если и

а' = Р+1, " ?' = а,

если e<f. Называя через Р и Р' число беспорядков в рядах (1) и (2), мы на основании сказанного выше будем иметь

р'_р=а'-|-$'— лх — I

т. е.

Iм — Р=1,

если e<f, и

Г— Р= — 1,

если £>/. Таким образом, транспозиция смежных номеров увеличивает или уменьшает число беспорядков на одну единицу. Предположим теперь, что транспозиции подвергаются не смежные номера в и /*, и пусть между ними стоит m номеров É ... , L От данного расположения к окончательному мы можем. перейти в три приема: 1° через m транспозиций номера /"последовательно с номерами г мы ставим f рядом с е\ 2° переменяем местами е и f: 3° через m транспозиций номера £ последовательно с номе-

рами г, Щ ,.. , I мы ставим е на место f. В первой стадии число беспорядков m раз увеличивается или уменьшается на единицу при m транспозициях смежных номеров. В третьей стадии точно также число беспорядков m раз увеличивается или уменьшается на единицу; следовательно первая и третья стадии вместе изменяют число беспорядков на четное число. При второй же стадии число беспорядков увеличивается или уменьшается на единицу, следовательно, окончательно перемена в числе беспорядков выражается нечетным числом.

Мы видели, что всякое расположение может быть получено из естественного путем ряда транспозиций. Каждая же транспозиция изменяет число беспорядков на нечетное число, и если транспозиций было сделано Jfc, то число беспорядков в окончательном расположении будет одной четности с % так как в естественном расположении беспорядков вовсе нет. Таким образом доказано, что, как бы ни вывести данное расположение путем ряда последовательных транспозиций, число этих транспозиций всегда будет четное или нечетное, смотря потому, будет ли четным или нечетным число беспорядков рассматриваемого расположения. Согласно этому, все расположения и обусловливающие их перестановки могут быть разделены на. два типа: 1° перестановки четные, равносильные четному числу транспозиций, и 2° перестановки нечетные, равносильные нечетному числу транспозиций. Число четных и нечетных перестановок одинаково и равно половине общего числа всех перестановок, которые для п номеров, как известно, есть 1 - 2 • 3 • • -п. Для доказательства пусть К и К1 соответственно числа четных и нечетных перестановок или расположений. Если выпишем все четные расположения и в каждом из них произведем транспозицию одних и тех же определенных двух номеров, то получим различные между собою нечетные расположения, откуда следует К'^К. Совершенно таким же образом докажем, что К1 ^К; следовательно, необходимо К' = К.

Заключая эти вспомогательные соображения, мы еще дадим простой критерий для суждения о том, будет ли данная перестановка четной или нечетной. Циклическая пере-

становка из п номеров, очевидно, равносильна я—1 транспозиций 1 последовательно с номерами 2, 3, ..., я. Следовательно при нечетном п циклическая перестановка четная, а при четном — нечетная.

Покажем теперь, что всякая перестановка может быть рассматриваема как ряд последовательных циклических, выполненных над некоторыми из номеров. Мы будем опять вести рассуждение на частном примере, но самые рассуждения будут совершенно общие. Положим, что дана перестановка

Эта перестановка заменяет 1 через 5, 5 заменяется через 9 и 9 опять заменяется 1. Таким образом мы получаем первый цикл (1 5 9), Выберем какой-нибудь номер, не входящий в этот цикл, напр. 2. Данная перестановка заменяет 2 на 3, 3 на 2, так что получается новый цикл (2 3). Выберем номер, не входящий в первые два цикла, напр. 4. Перестановка заменяет 4 на 10, 10 на 4, что дает новый двучленный цикл (4 10). В первые три цикла не входит номер 6; этот номер заменяется на 7, 7 на 6; следовательно, новый цикл будет опять двучленный (6 7). Наконец 8 заменяется 8, что соответствует одночленному циклу (8). Одночленный цикл означает, что перестановка оставляет на месте некоторый номер; следовательно, одночленные циклы не имеют существенного значения при счете транспозиций и могут быть оставляемы без внимания. Окончательно выходит, что данная перестановка равносильна следующим циклическим:

(1 5 9), (2 3), (4 10), (6 7),

т. е. окончательное расположение номеров, вызываемое данной перестановкой, получится, если мы сначала подвергнем циклической перестановке номера 1, 5, 9, затем 2, 3, после этого 4, 10 и, наконец, 6, 7. Первая циклическая перестановка равносильна двум транспозициям, все остальные сами по себе являются транспозициями; поэтому данная переста-

новка равносильна 2+1 + 1 +1 = 5 транспозициям и будет нечетной. Для определения четности или нечетности перестановки нам нет нужды знать точное число транспозиций, равносильных ее циклам; достаточно только знать, будет ли это число четным или нечетным. Соответственно этому можно совсем не принимать во внимание циклы, содержащие нечетное число номеров, и достаточно только сосчитать число четных циклов; в зависимости от того, будет ли это число четным или нечетным, перестановка будет также четной или нечетной. Таково простейшее правило, позволяющее быстро судить о четности или нечетности перестановок.

3. Условия возможности.

Как уже было сказано выше, не всякое начальное расположение костей может быть переведено в нормальное. Чтобы выяснить, для каких расположений это возможно, рассмотрим сначала перестановки, которым подвергаются кости при соблюдении правил игры. Каждый раз кость может быть передвинута на соседнее с ней пустое место, причем это последнее становится на место передвинутой кости. Если вообразим себе на пустом месте фиктивную кость с номером 16, то всякое изменение в расположении костей, вызываемое передвижением одной кости на свободное место, очевидно, равносильно транспозиции этой кости с фиктивной. Отсюда далее следует, что всякое возможное перемещение костей слагается из ряда последовательных транспозиций некоторых из костей с фиктивной костью. Так как фиктивная кость окончательно должна стать на прежнее место, то легко видеть, что полное число упомянутых транспозиций всегда четное. В самом деле, переномеруем каким-нибудь образом горизонтальные и вертикальные ряды костей. Ясно тогда, что при всякой возможной транспозиции кости с костью 16 сумма номеров строки и столбца, в которых стоит эта последняя, увеличивается или уменьшается на единицу. Следовательно, кость 16 может встать на прежнее свое место только после четного числа транспозиций. Это рассуждение показывает, что первоначальное расположение

номеров костей, дополненных фиктивной костью, только тогда может быть переведено в нормальное, когда это последнее из него может быть получено четным числом транспозиций. Обратно, путем тех же транспозиций в обратном порядке данное расположение костей, дополненных фиктивной костью, должно получиться из нормального путем четного числа транспозиций. Так как фиктивная кость с номером 16 стоит на одном и том же месте в обоих случаях, то окончательно можно высказать такое заключение: только тогда задача может быть решена, когда заданное расположение номеров на костях получается из нормального четной перестановкой.

Это условие установлено как необходимое; ниже мы докажем, что оно является также и достаточным. Так как половина всех перестановок четная и половина нечетная, то ровно половина всех возможных начальных заданий приводит к разрешимой задаче, другая же половина к неразрешимой, Таким образом, если начальное расположение задано случайно, то вероятности разрешимости и неразрешимости задачи одинаковы.

4. Решение задачи в случае, когда оно возможно.

Между клетками квадрата, заполненного костями, можно установить такую последовательность, при которой все клетки образуют замкнутый цикл. Одно из мест в этом цикле остается свободным, благодаря чему возможно по обоим направлениям цикла передвигать кости без нарушения взаимного их расположения. Характер связи клеток, образующих цикл, представлен на схематическом рис 63.

Рис. 63.

Шестнадцать клеток этого рисунка (число клеток может быть, конечно, всяким другим, лишь бы только оно было

не меньше 4) образуют замкнутый цикл в порядке, определяемом буквами А В СI) Е F О H IRL M NO В; при этом свободная клетка не принимается во внимание. Если мы вообразим, что на этих клетках как-нибудь расположены кости, то, благодаря свободному месту, всю систему костей, как одно целое, можно перемещать или по часовой стрелке, или против часовой стрелки. Направление, указываемое часовой стрелкой, мы согласимся называть направлением вращения цикла или просто направлением цикла. Ясно, что свободное место можно расположить на любой клетке из цикла. Далее, перемещая все кости по направлению цикла дли против него, можно добиться того, чтобы любая кость встала на любую из клеток. Допустим, что путем подобного передвижения некоторая кость встала на клетку О в то время, как клетка .2? пустая; тогда, если передвинуть кость из клетка О на свободное место, то это означает, что выбранная нами кость перескочила через две кости в направлении цикла. Если мы допустим, что некоторая кость переведена на клетку В, а клетка О оставлена пустой, то передвижение этой кости из В в О можно рассматривать как скачек через две кости против направления цикла. Итак, всякая кость может перескочить через две или по направлению цикла, или против него. Благодаря этому, кости цикла всегда можно расположить в заранее назначенном порядке для всех костей кроме двух каких-нибудь, принятых за последние, порядок расположения которых a priori установить невозможно. Чтобы в этом убедиться, мы можем прежде всего за начало цикла принять 1, так как при циклическом расположении номеров всякий номер может быть принят за начальный. Затем нужно будет поставить на свое место номер 2. Для этого заставим 2 перескочить один или несколько раз через два номера против направления цикла, пока 2 или не встанет непосредственно после 1, или не будет отделено от 1 только одним промежуточным номером. В первом случае 2 уже стоит на своем месте; во втором случае это достигается после того, как промежуточный номер сделает скачек через два номера по направлению цикла. После того, как 2 встанет на свое место, можно будет совершенно таким же образом привести

на свое место 3, затем 4 и т. д. до 13 включительно; что же касается номеров 14 и 15, то. смотря по обстоятельствам, они будут итти или в порядке 14, 15, или в порядке 15, 14. Какой из этих двух случаев встретится, зависит от начального расположения номеров в цикле. Допустим, что начальное расположение номеров получается из нормального путем четной перестановки; в таком случае, после описанных выше действий, все номера от 1 до 15 придут в нормальное расположение. В самом деле, скачек через два номера по циклу или против него равносилен двум транспозициям. Следовательно, если бы после расположения первых 13 номеров в естественном порядке последние 2 номера оказались переставленными, то это означало бы, что первоначальное расположение номеров получается из расположения

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 14

путем четного числа последовательных транспозиций. Последнее же расположение получается из нормального одной транспозицией; поэтому вышло бы, что первоначальное расположение получается из нормального путем нечетной перестановки против предположения. Совершенно подобным же образом мы убедимся, что описанным выше процессом первые 13 номеров можно расположить в естественном порядке, а последние 2 окажутся необходимо переставленными, когда первоначальное положение получается из нормального путем нечетной перестановки. Для призера положим, что первоначальное расположение номеров в цикле такое:

1, 6, 11, 12, 4, 5, 8, 7, 13, 10, 15, 9, 3, 2, 14.

Ради удобства номера здесь расположены не циклом, а в ряд, причем нужно считать, что от номера 14 мы переходим в цикле сразу к 1. Чтобы привести 2 на второе место, нужно заставить его сделать шесть скачков против цикла; затем 3 встанет на свое место, если заставив его сделать пять скачков против цикла и затем заставить 6 сделать один скачек по циклу. Номер 4 для того, чтобы встать на

свое место, должен сделать один скачек против цикла, и затем номер 11 должен сделать один скачек по циклу. После этих действий расположение номеров будет такое

1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 5, 8, 7, 13, 10, 15, 9, 14.

Номера 5, 6, 7, . . . становятся на свое место после ряда следующих действий: 5 делает один скачек против цикла, 6 — по циклу, 11— по циклу, 7 — против цикла, 12 — по циклу, 8 — против цикла, 9 — два скачка против цикла, 11 — скачек по циклу, 10 — против цикла, 12 — по циклу. После этого номера окончательно расположатся в порядке

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 14.

Так как последние два номера оказались переставленными, то, на основании сказанного выше, мы должны заключить, что исходный порядок номеров получается из нормального нечетной перестановкой; в этом читатель может увериться непосредственно сам.

Для завершения теории игры остается показать, каким образом все 16 клеток квадрата могут быть соединены в один цикл, подобный тому, который был схематически представлен выше. Следующий рисунок показывает, как можно это сделать.

Рис. 64.

Клетки, соединенные в цикл, обозначены последовательно буквами А В G D Е F G EIJ К L M N О F совершенно так же, как на приведенной выше схеме. Если пустое место

находится в О, то номер кости, перемещенной из В в О, делает скачек через два номера против цикла. Наоборот, если кость из О перемещается на пустое место, находящееся в J9, то ее номер делает скачек через два номера по направлению цикла. Если номера костей расположены в естественном порядке по горизонтальным рядам клеток, то естественный порядок номеров в цикле будет такой

1. 2, 3, 4, 8, 12, I 15, 14, 13, 9, 10, 11, 7, 6, 5.

Таким образом в случае, когда задача возможна, нужно добиваться поставить кость с номером 1 на первое место цикла, кость с номером 2 на второе, кость с номером 3 на третье, кость с номером 4 на четвертое, кость с номером 8 на пятое, кость с номером 12 на шестое и т. д. в порядке, указанном выше. Можно затруднить игру, поставив известным образом, внутрь квадрата перегородки, через которые кости не могут переходить в соседние клетки. Напр., можно перегородки расположить, как отмечено на рис. 64 жирными линиями. Очевидно, что присутствие таких перегородок по существу совершенно не изменяет характера игры.

Можно достичь расположения костей в нужном порядке в случаях, когда это возможно, иначе, чем было объяснено выше. Прежде всего горизонтальные ряды клеток первый и второй, считая сверху, второй и третий, третий и четвертый можно объединить в три цикла по восемь клеток. Затем, где бы ни были расположены кости с номерами 1, 2, 3, 4, их всегда легко перевести а первые два ряда клеток. Оставив одну из восьми клеток этих рядов пустой, нетрудно будет, согласно изложенному выше, привести номера 1, 2, 3, 4 в требуемое расположение, причем остальные три номера во втором ряду могут быть расположены как угодно. Затем следует номера 5, 6, 7, 8 перевести так, чтобы они расположились во втором и третьем рядах и чтобы одно место в этих рядах осталось пустым. Тогда, оперируя с циклом из семи костей, можно будет во втором ряду в нужном порядке расположить номера 5, 6, 7, 8. Наконец, останется привести в порядок номера от 9 до 15, располагаю-

щиеея в третьем и четвертом рядах. Оперируя с циклом из семи костей, можно расположить номера 9, 10, 11, 12 в нужном порядке в третьем ряду и номер 13 поместить на нервом месте четвертого ряда. Что же касается номеров 14 и 15, то в, случае возможности задачи, они расположатся в порядке 14, 15, в "случае же невозможности — в порядке 15, 14.

Это решение применимо только при отсутствии перегородок.

Мы предполагали, что пустая клетка, как вначале, так и в конце занимает одно и то же положение, а именно, находится в правом нижнем углу квадрата. Это предположение является не существенным. Можно предполагать, что пустая клетка в начальном расположении занимает заранее указанное место и точно также должна занимать заранее указанное место в окончательном расположении. Если пустое место в начальном и окончательном расположении занимает одно и то же положение, то ясно из предыдущего/что задача будет возможной тогда и только тогда, когда заданное расположение получается из окончательного четным числом транспозиций. При этом окончательное расположение номеров костей может отличаться от нормального. Если числа транспозиций, потребные для переведения нормального положения в исходное и окончательное, будут р и q, то для возможности задачи разность —q должна быть четная; иначе говоря, перестановки, переводящие нормальное положение в исходное и окончательное, должны быть обе зараз или четными или нечетными. Если, наконец, пустое место в начале и в конце занимает различные положения, то этот случай легко свести к предыдущему. Для этого нужно только несколькими перемещениями в начале игры перевести пустое место туда, где оно должно находиться в конце. Если получившееся промежуточное положение будет получаться из нормального перестановкой одинаковой четности с той, которая переводит нормальное расположение в окончательное, то в этом случае и только в этом задача будет возможна

5. Хамелеон.

Игра, носящая такое название, является интересным видоизменением предыдущей. Как показано на прилагаемом рисунке, в вершинах правильной восьмиконечной звезды и в ее центре расположены кружки, окрашенные в красный и синий цвет. Каждый кружок сообщается с другими с помощью линий, указанных на рисунке и окрашенных также красным или синим цветом. (На рисунке красный цвет заменен сплошной линией, а синий пунктиром). Каждый синий кружок сообщается посредством синих линий с двумя красными, каждый же красный сообщается с двумя синими посредством синих линий и с центральным красным посредством красной линии. Рядом с этими кружками, как показано на рисунке, поставлены буквы я, а, м, е, л, е, о, «, составляющие, если их расположить в порядке вершин восьмиугольника по часовой стрелке, ело во „хамелеон". Кроме описанной фигуры в состав этой игры входят восемь костяных или деревянных кружков, на которых изображены те же буквы. В начале игры эти кружки в произвольном порядке располагаются на красных или синих кружках кроме центрального. Требуется путем надлежащего передвижения костяных кружков вдоль показанных на рисунке линий красных или синих привести их в. такое расположение, чтобы на костях читалось то же слово хамелеон и чтобы буквы, стоящие на них, соответствовали буквам рисунка.

По виду эта игра представляется как бы новой, но в сущности она является лишь простым видоизменением

Рис 65.

рассмотренной выше со всеми подробностями игры в пятнадцать. В самом деле, представим себе квадрат, разделенный на 9 клеток. Связь между клетками этого квадрата такая же, как между кружками предыдущего рисунка, помеченными теми же буквами; напр., от кружка с буквой х можно перейти в кружки синего цвета, обозначенные каждый буквой е, точно так же, как от клетки, помеченной х1 можно перейти к двум смежным клеткам, помеченных буквой е1 или от кружка с буквой м можно перейти, во-первых, к центральному кружку, во-вторых, к кружкам с буквами е и «, и совершенно также от клетки, помеченной буквой ле, можно перейти, во-первых, к центральной пустой клетке и, во-вторых, к клеткам с буквами е и н. Таким образом вместо того, чтобы иметь дело со сложной фигурой восьмиконечной звезды, проще будет рассматривать девятиклеточный квадрат. Представим себе, что в нашем распоряжении имеется восемь квадратных костей, на которых написаны буквы, составляющие вместе слово „хамелеон". Пусть эти кости как нибудь размещены по клеткам квадрата, причем центральная клетка оставлена пустой. Требуется, путем возможных передвижений костей, привести их в такое расположение, чтобы кость, помеченная некоторой буквой, стояла на клетке с той же буквой. Очевидно, что если только эта задача будет решена, то вместе с тем будет решена задача, поставленная в первоначальной форме. Покажем теперь, что поставленная задача всегда решается. Для этого, ради удобства, прежде всего заменим буквы х, о, а, л, «, м цифрами 1, 3, 4, 5, 6, 7; букву же е, встречающуюся два раза, будем заменять через 2 или через 8. Конечное положение костей, соответственно этому, будет представляться номерами 1, 2 , ..., 8, расположенными в естественном порядке. Для начального расположения порядок всех номеров будет вполне определен кроме тех номеров, которые соответствуют буквам е, так как па месте одной буквы е можно поставить 2, а на месте другой 8, или же наоборот. Два такие расположения номеров будут

Рис 66.

отличаться одной транспозицией, следовательно, если одно из них нечетное, то другое будет четное. Мы остановимся на том обозначении для букв е, при котором получится четное расположение. Напр., пусть первоначально кости расположены так, что, начиная с буквы Щ порядок букв следующий:

х м л о а е и е.

Если обозначим первое е через 2, то этому расположению букв будет соответствовать такое расположение номеров

1 7 5 3 4 2 6 8.

Оно получается из нормального путем перестановки

распадающейся на циклы

* (2 7 6), (3 5 4);

так как в оба эти цикла входит нечетное число номеров, то перестановка будет четная; следовательно, выбранное обозначение для букв е оказалось соответствующим нашим целям.

Когда первоначальное расположение номеров таким образом будет установлено, то можно будет кости расположить в таком порядке, чтобы на Местах, занятых буквами х е о а л н м е, стояли номера 1 234567 8. Для этой цели, пользуясь циклом из шести клеток, в двух первых рядах можно будет в клетках первого ряда расположить по порядку номера 8, 1, 2. Затем, пользуясь другим циклом из шести клеток, в двух последних рядах можно на первом месте второго ряда поставить номер 7, на третьем месте номер 3, оставив второе место пустым; затем на первом месте третьего ряда номер 6. Но тогда, в виду того, что исходное положение было четное, номера 5 и 4 по необходимости встанут

на клетки л и а. Задача таким образом будет разрешена. Впрочем, можно указать другой путь для решения той же задачи, более однообразный. Допустим, что кость, стоящая на клетке с буквой перемещена на центральную клетку. Благодаря образовавшемуся пустому промежутку между внешними костями, их можно циклически перемещать; положим, что мы начинаем перемещение с буквы в, стоящей слева от х7 затем перемещаем на образовавшееся пустое место jw, далее w, л, а и о. Если на место о из центральной клетки переместить находившуюся там кость, то очевидно, что новое расположение костей будет отличаться от первоначального только транспозицией костей, первоначально бывших во второй и третьей клетке первого ряда. Подобно этому, мы убедимся, что вообще в системе всех костей можно сделать транспозицию каких-нибудь двух соседних. Но путем транспозиции соседних костей от одного их расположения можно перейти к любому другому. Транспозиции, употребляемые для перевода одного расположения в другое, не касаются той кости, которая принимается за начало цикла; легко понять, что эта кость, если она первоначально находилась на одной из клеток х о л л*, после четного числа транспозиций будет находиться также на одной из них, а после нечетного расположится на одной из клеток е е а и и обратно. Эти замечания приводят нас к такому решению задачи. Прежде всего обозначим кости в первоначальном расположении номерами от 1 до 8, выбирая для буквы е такие обозначения, чтобы перестановка этих номеров была четной, когда кость с номером 1 лежит на местах х о л л*, и нечетной, когда та же кость лежит на одном из остальных мест. Путем четного числа транспозиций соседних костей в первом случае и нечетного во втором их всегда можно расположить в порядке 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. При этом кости 1, 3, 5, 7 расположатся на клетках, сообщающихся с центральной. Задача будет разрешена, если окажется, что кость 1 лежит на клетке с буквой х. В противном случае, кость с номером 7 поставим в центральную клетку и систему внешних костей циклически передвинем так, чтобы кость 1 пришла в нужное положение и чтобы пустое место

расположилось на клетке с буквой м ; тогда останется только на это место сдвинуть кость с номером -7, чтобы задача оказалась разрешенной.

Для удобства мы все время вели рассуждения в предположении У клеток, соединенных известным образом в квадрат. Но, как было выше уже замечено, все действия, которые можно сделать в этом случае, находят себе отражение в перемещении костяных кружков по линиям, соединяющим красные и синие кружки первоначальной фигуры. Поэтому нет нужды останавливаться на описании действий, специально приноровленных к этой фигуре. Для читателя будет полезным упражнением, если он это сделает сам.

ГЛАВА VIII.

Вопросы из анализа положения.

В этом отделе мы рассмотрим ряд интересных задач, относящихся к вычерчиванию фигур одним почерком, обходу лабиринтов и т. п. Все эти задачи относятся к тому отделу математики, который в настоящее время разросся в большую самостоятельную дисциплину, называемую анализом положения (analysis situs). Первые начала анализа положения были заложены знаменитым Эйлером, по поводу так называемой „задачи о Кенигсбергских мостах". Получив свое начало от задачи, которую скорее нужно отнести к области развлечений, анализ положения впоследствии оказался необходимейшим орудием в руках Риманна и его преемников для исследования самых тонких и самых трудных вопросов теории функций. Те вопросы из анализа положения, которыми мы будем заниматься, относятся к самой элементарной его части, изучающей системы линий. Поэтому, как введение к дальнейшему, мы изложим сначала простейшие понятия и предложения, относящиеся к системам линий.

1. Системы линий.

К понятию о системе линий с точки зрения анализа положения можно притти следующим образом. Пусть дано сколько угодно точек, расположенных в пространстве произвольным образом. Если соединить эти точки одну с другой как-нибудь линиями произвольного вида, которые друг

с другом не имеют других общих точек, кроме первоначально данных, то мы получим фигуру, которую называют системой линий. Точки, соединенные линиями, носят название узлов, путями же называются те отрезки линий, которые оканчиваются в двух узлах и между своими концами не заключают других узлов. Если из некоторого узла выходит только один путь, то такой узел называют свободным концом, а выходящий из него путь — тупиком. Из всякого узла, если он не является свободным концом, выходит по крайней мере два пути. Если из узла выходит четное число путей, то он называется четным узлом; если же из узла выходит нечетное число путей, то такой узел называется нечетным. Система линий называется связной, если от любой точки любого из ее путей можно перейти к другой любой точке на любом другом пути но путям, принадлежащим к системе. Очевидно, что для связности системы необходимо и достаточно, чтобы от каждого ее узла можно было перейти к любому другому по путям, принадлежащим к этой системе. Когда, после изъятия некоторого пути, система теряет связность, тогда этот путь называют мостом системы. Связная система, в которой все пути являются мостами, т. е. которая теряет связность при изъятии любого ее пути, называется деревом (tree, Baum). Для пояснения этих определений могут служить следующие рисунки.

На рис. 67 изображен пятиугольник с его диагоналями, доставляющий пример связной системы. В этой системе имеется десять узлов, а именно: пять вершин пятиугольника и пять точек пересечения диагоналей; число же путей, как нетрудно подсчитать, будет двадцать. В этой системе все узлы четные, так как из каждого из них выходит четыре пути. Удаление любого пути не нарушает связности системы; следовательно, в ней нет мостов; в ней нет также свободных концов и тупиков. Наоборот, в системе, изображенной на

Рис. 67.

рис. 68, очевидно связной, имеется мост, обозначенный через а. Если вообразить себе, что этот мост удален, то система распадется на две отдельные системы, понятные из рисунка. Наконец, на рис. 69 изображено дерево. Действительно, это дерево теряет связность, как только будет удален один из его путей. Напр., если удалить путь, обозначенный на рисунке через а, то свободный его конец уже не будет ничем связан с остальной частью системы; при удалении пути Ъ система распадается на две части, на которых каждая будет также деревом.

Мост, согласно определению, является таким путем в связной системе, по удалении которого она теряет связность. Докажем, что по удалении моста система распадается на две системы, из которых каждая в отдельности будет связной.

Для того, чтобы не впасть в ошибку в рассуждении, мы при доказательстве совершенно отрешимся от интуиции и изложим его в абстрактной форме. Пусть удаляемый мост имеет свои концы в узлах В и S. Так как по удалении моста, по предположению, система потеряла связность, то не от всякого ее узла можно перейти к В по путям, оставшимся в системе. В самом деле, если бы это имело место, то тогда мы имели бы дело со связной системой, потому что можно было бы соединить любые две точки ее К и L линиями I и составленными из оставшихся путей, с точкою В и по путям / и V можно было бы перейти от К к L. Следовательно, не всякий узел после удаления моста

Рис. 68.

Рис. 69.

можно связать цепью путей с В. Назовем через А, В, С, * .. , F те узлы, которые могут быть связаны с В, а через 6f. Ну I, .,., К узлы, для которых это невозможно. Узлы первой группы вместе с путями, их соединяющими, образуют одну систему, а узлы второй группы также вместе с путями, их соединяющими, образуют вторую систему линий, которые, как мы сейчас докажем, обе будут связными. Для первой системы это очевидно, потому что, по предположению, все ее точки могут быть связаны с В путями этой системы. Для доказательства связности второй системы заметим прежде всего, что, пока мост BS не был удален, возможно было соединить каждую ее точку с В9 и это стало невозможным только после того, как мост был удален. Отсюда следует, что мост BS является необходимым звеном в цепи путей, соединяющих любую точку второй системы с В; поэтому всякую точку второй системы, даже после удаления моста, можно связать цепью путей с его концом S; следовательно, вторая система линий будет также связной.

Опираясь на это предложение, нетрудно будет показать, что в дереве число узлов всегда на одну единицу превышает число путей. Для доказательства мы воспользуемся приемом математически индукции. Допустив сначала, что утверждение верно для всяких деревьев с числом узлов меньшим и, докажем, что оно верно и для деревьев с п узлами. По определению дерева изъятие всякого пути нарушает связность его и именно — дерево распадается или на два дерева, или на дерево и изолированную точку; последнее будет в том случае, когда изъятию подвергается некоторый тупик. Допустим сначала, что мы встречаемся со вторым случаем. Ясно, что после изъятия пути как число узлов, так и число путей в оставшемся дереве будет на единицу меньше, чем в первоначальном. Мы предполагаем, что в оставшемся дереве число узлов на единицу больше числа путей. Очевидно, что то же самое соотношение сохранится для первоначального дерева. Допустим теперь, что по изъятии одного пути первоначально данное дерево распадется на два других. Пусть для первого из них число узлов будет пхл а для второго п2. По предположению числа путей в этих двух де-

ревьях будут соответственно пг—1 и п2—1, число же путей первоначального дерева будет на единицу больше общего числа путей в обоих деревьях, получившихся после изъятия одного пути; иначе говоря, число путей в первоначально данном дереве есть щ-\-п2—1. С другой стороны, при изъятии пути, не являющегося тупиком, общее число узлов в двух получившихся после этого деревьях будет то же самое, как в первоначальном дереве. Следовательно, между числом узлов и числом путей этого дерева имеется как раз то соотношение, которое нужно было доказать. Для полноты доказательства остается еще заметить, что для простейшего дерева, состоящего из двух узлов, соединенных одним путем, доказываемое свойство очевидно; следовательно, его можно считать, на основании предыдущего, установленным для всякого дерева. Нетрудно видеть, что только что доказанное свойство характерно для дерева; именно, всякая связная система линий, в которой число узлов на единицу превышает число путей, будет необходимо деревом. В самом деле, допустим, что такая система не будет деревом. Тогда можно в ней будет найти такой путь, по изъятии которого связность ее сохранится; удаляемый путь во всяком случае не будет тупиком; следовательно, число узлов в получившейся новой системе останется прежним, а число путей уменьшится на единицу. Получится таким образом связная система с числом путей на две единицы меньшим числа узлов, что, очевидно, невозможно.

Всякая система линий путем изъятия некоторых путей может быть всегда обращена в дерево. Для этого нужно поступать так. Остановившись на некотором узле, нужно прежде всего удалить все пути, из него исходящие, изъятие которых не нарушает связности; напр., если из рассматриваемого узла не выходит ни одного моста, то нужно будет удалить все пути кроме одного. Окончив эту операцию, нужно затем перейти к другому узлу и удалить из него все те пути, изъятие которых не вызывает распадения системы. Затем нужно сделать то же самое с третьим, четвертым и т. д. узлами. В результате получится связная система, из которой уже нельзя более удалить ни одного пути без нарушения

связности; иначе говоря, получится дерево. Как мы видим, данную систему линий можно превратить в дерево весьма разнообразными способами; но каким бы путем ни достигать этого, всегда число изъятых путей будет одно и то же.

В самом деле, пусть в первоначально данной системе имеется п узлов и m путей; в получившемся из нее дереве будет п узлов и п—1 путей; следовательно, для перехода от данной системы к дереву пришлось изъять m — п-\-\ путей— число, определяемое вполне системой и, очевидно, не зависящее от того процесса, каким она превращается в дерево. Этот важный результат может попутно нам доставить несколько интересных следствий. Допустим, что данная система линий начерчена на плоскости или на такой поверхности, которая без складок и разрывов может быть наложена на плоскость. Линии системы определяют некоторое число вполне ограниченных кусков поверхности, внутри которых нет ни узлов, ниточек каких-либо путей. Легко показать, что число таких кусков будет всегда m — где m и п имеют прежний смысл. Действительно, если мы будем, путем отбрасывания некоторых путей, обращать данную систему в дерево, то при удалении каждого пути число упомянутых кусков будет уменьшаться на единицу, а когда мы удалим m — п~\- 1 путей и обратим систему в дерево, то, очевидно, уже не будем иметь в последнем никаких вполне ограниченных кусков поверхности. Следовательно, число кусков в первоначально данной системе было именно m — п-\-\. Из этого результата попутно может быть очень просто выведена хорошо известная теорема Эйлера, устанавливающая связь между числом граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Назовем через F число граней, через S число вершин, через А число ребер выпуклого многогранника, тогда содержание теоремы Эйлера передается равенством

F+S = A+2.

Для доказательства вообразим себе, что из выпуклого многогранника изъята одна грань так, что образовалась незамкнутая поверхность, границей которой служит система ребер, ограничивавших изъятую грань. Если представить

себе, что эта поверхность сделана из гибкого и растяжимого материала,, напр. резины, то путем сгиба и растяжения ее можно развернуть на плоскость без складок и разрывов. В подробное доказательство этого мы не считаем нужным входить здесь, чтобы не затруднять себя добавочными соображениями, совершенно не относящимися к нашему предмету. После того, как упомянутая поверхность будет развернута на плоскости, на последней образуется система линий. Число узлов этой системы будет, очевидно, равно числу вершин многогранника S, число путей будет равно числу ребер А и, наконец, число вполне ограниченных линиями системы кусков будет равно числу граней без единицы, F—1. По доказанному выше мы должны иметь

F— 1 =А — #+1,

откуда получается соотношение Эйлера. На этом результате мы остановились лишь попутно и потому в дальнейшие подробности как относительно теоремы Эйлера, так и относительно дальнейших ее обобщений мы входить не будем.

Пусть по прежнему m обозначает число путей, а п число узлов в какой-нибудь системе линий. Назовем через N17 N2J JËJ ..., Nn числа путей, выходящих соответственно из узлов 1-го, 2-го, 3-го, .. . , w-ro. Между этими величинами и числом всех путей существует замечательное соотношение, которое можно получить следующим образом. По нашему предположению из первого узла выходит Nx путей, из второго ЛГ2 путей, из третьего Д. путей и т. д.; таким образом всего будет насчитано ^-г-^+Д^Ь— ~Ь^п путей. Но так как каждый путь соединяет два узла, то в предыдущем счете каждый путь будет сосчитан дважды, откуда ясно, что предыдущая сумма как раз равна удвоенному числу путей, т. е.

Д7] + ЛГ + ЛГЛ ..+Л^=2иг_ (1)

Из этого равенства можно сделать важное заключение. Так как правая часть его четное число, то в левой части или совсем нет нечетных слагаемых, или число их четное.

Это значит, что во всякой системе линий число нечетных узлов всегда четное. Этим заключением мы воспользуемся в ближайшем параграфе. Теперь же, пользуясь равенством (1), мы дадим еще выражение для числа р = т — w-f-l, которое, как мы видели выше, с одной стороны дает число путей, подлежащих изъятию для того, чтобы система стала деревом, с другой же стороны определяет число кусков, ограниченных линиями системы; извлекая из равенства (1) величину m, получаем:

По этой формуле всегда легко определить величину jo, когда известно число путей, выходящих из каждого узла.

2. Вычерчивание фигур одним почерком.

Весьма часто ставится вопрос, — можно ли данную фигуру вычертить одним почерком? При этом имеют в виду фигуру, образованную линиями, соединяющими некоторые точки, т. е. то именно, что мы выше назвали системой линий. Вопрос о вычерчивании системы линий одним почерком, как мы сейчас выясним, всегда может быть решен в положительную или отрицательную сторону, руководясь очень простыми критериями.

Прежде всего допустим, что фигура или система линий имеет только четные узлы. В этом случае можно будет, выйдя из какого угодно узла и пройдя последовательно до одному разу через каждый путь, возвратиться в исходный узел.

Действительно, представим себе, что мы вышли из некоторого узла по произвольному пути, достигли ближайшего узла, из него опять вышли по произвольному пути, по этому пути дошли до третьего узла, из него опять вышли и т. д. Поступая таким образом и избегая итти путями, уже раз пройденными, мы неизбежно должны будем вернуться к начальному узлу. В самом деле, согласимся

обозначать каким-нибудь знаком уже пройденные пути; тогда, покинув первый узел, который первоначально был четным, мы оставим в нем нечетное число путей, не отмеченных этим знаком, т. е. еще не пройденных, а когда покидаем какой-нибудь другой узел, то оставляем в нем четное число таких путей, так как при переходе через каждый увел мы отмечаем знаками два пути: путь входа и путь выхода. Наоборот, когда мы вступаем в какой-нибудь узел, отличный от начального, то в нем; остается всегда нечетное число свободных, т. е. не пройденных путей; следовательно,, придя в такой узел, мы всегда можем из него выйти. Таким образом, обходя пути указанным выше способом, мы не можем встретить препятствия к продолжению обхода, пока не достигнем исходного узла. Дойдя до него, мы оставим в этом узле четное число не отмеченных знаком путей. Если это четное число отлично от нуля, то мы можем вновь выйти по еще не пройденному пути из исходного узла и продолжать путь по не отмеченным знаком и путям, пока опять не вернемся в исходный узел. Если в нем остаются еще не пройденные пути, то можно опять из него выйти и в него же вернуться, идя все время новыми путями. Мы можем продолжать подобные обходы, пока, по возвращении в исходный узел, не встретим препятствий к их продолжению; это наступит тогда только, когда все пути, выходящие из исходного узла, окажутся уже пройденными.

Таким образом, выйдя из исходного узла и продолжая итти каждый раз новыми путями, мы в конце концов вернемся в исходный узел и не будем уже в состоянии из него выйти. Пройденные пути при этом будут обозначены знаками. Если окажется, что знаки поставлены на всех путях системы, то мы уже достигли желаемого результата; если же некоторые пути системы оказались еще не пройденными, то можно в предыдущий путь включить любой из них. Пусть путь, соединяющий узлы Р и ф, не был пройден. Может случиться, что узел Q принадлежит к числу пройденных. Во всяком случае, число выходящих из него непройденных путей непременно четное. Следовательно, если выйти из Q по пути фР, затем из Р выйти в соседний узел по не-

пройденному пути (такой путь всегда найдется), из этого узла опять по непройденному пути в следующий узел и т. д., то в конце концов мы необходимо возвратимся в узел Q.

Таким образом, из этого узла выходит замкнутая цепь путей, включающая в себя путь pq. К такому же результату мы придем в предположении, что узел Q не был пройден, В самом деле, по связности системы от узла ф, проходя последовательно через узлы JB, S,... , мы можем притти к некоторому уже пройденному узлу. Пусть Т будет первый пройденный узел, который мы встретим на нашем пути. Выйдя из него в обратном направлении по путям, которые привели к этому узлу, мы дойдем до узла q или пройдя по пути PQ,. или нет; в последнем случае, дойдя до q, мы сначала опишем путь qp, затем выйдем из р по какому-нибудь из свободных путей в ближайший узел, из него по непройденному пути перейдем в следующий и, продолжая итти таким образом дальше по непройденным путям, вернемся наконец в узел т. Как мы видим, во всех случаях возможно включить каждый непройденный путь в замкнутую цепь непройденных путей, выходящих из некоторого пройденного уже узла и в него же возвращающихся. Назовем такую замкнутую цепь путей через l'. Эту цепь можно соединить с прежде пройденной цепью l в одну замкнутую цепь путей l-\-l'. Для этого нужно, дойдя по путям цепи l до узла, в котором начинается и оканчивается цепь Z/, сначала описать цепь l' и затем уже, двигаясь по оставшимся путям цепи Z, дойти до исходного узла. В новой цепи будут заключаться не только все прежде пройденные пути, но еще путь pq вместе с несколькими другими, ранее непройденными. Если при этом опять окажется, что некоторые пути системы остались непройденными, то из них и из путей уже пройденных предыдущим способом опять можно образовать новый путь, выходящий из исходного узла и в него же возвращающийся. Продолжая поступать в случае нужды таким же образом дальше, мы в конце концов из всех путей системы составим один замкнутый путь с началом и концом в любом исходном узле. Этим доказано, что фигура с четными узлами может

быть вычерчена одним почерком, начиная с какого угодна ее узла.

Но допустим, что в системе линий имеются нечетные узлы, число которых будет необходимо четным, следовательно, по крайней мере, равно двум; тогда невозможно будет, выйдя из некоторого узла и обойдя все пути системы по одному разу, возвратиться в исходное положение. В самом деле, допустим, что удалось, выйдя из некоторого узла и описав по одному разу все пути, вернуться обратно в тот же узел.

Будет ли исходный узел четным или нечетным, во всяком случае, на пути мы должны встретить по крайней мере один нечетный узел. Все выходящие из этого узла пути, по предположению, будут пройдены после того, как он будет покинут в последний раз. Но это невозможно, потому что, покидая узел, отличный от исходного, мы оставляем в нем всегда четное число пройденных путей; следовательно, покидая нечетный узел, мы не можем оставить в нем пройденными все пути.

Однако, спросим себя еще, нельзя ли одним почерком вычертить фигуру с нечетными узлами, не ставя обязательного требования возвратиться в исходный узел? Это, как мы сейчас увидим, возможно только в том случае, когда в системе имеются только два нечетных узла, которые назовем через А и Z. Выйдем каким-нибудь путем из А и, продолжая итти каждый раз новыми путями, будем итти пока это возможно, т. е. пока мы не встретимся с невозможностью продолжать путь дальше. Это наступит тогда, когда мы придем во второй нечетный узел Z и в этом узле уже больше не окажется непройденных путей. В самом деле, во всех узлах, кроме после того как мы их покинули, будет оставаться четное число непройденных путей. Это очевидно из предыдущего для четных узлов, но будет также справедливо и для исходного узла А, покидая который в первый раз, мы оставляем в нем четное число не пройденных путей и, следовательно, при прохождении того же узла во второй, третий и т. д. разы мы будем оставлять в нем постоянно четное число не пройденных путей.

Из сказанного следует, что, подходя к какому-нибудь узлу, кроме Z, мы будем всегда иметь по крайней мере один свободный путь для выхода; поэтому, ни в каком из узлов, кроме Z, мы не встретим препятствия для дальнейшего обхода. Остановка наступит тогда и только тогда, когда мы придем в узел Z и в нем больше уже не окажется непройденных путей. Назовем через L совокупность таким образом пройденных путей от узла А до узла Z. Если в этой совокупности заключаются все пути системы, то мы описали одним почерком всю фигуру, начиная от А и кончая узлом Z. Но допустим, что какой-нибудь путь оказался непройденным; тогда этот путь вместе с несколькими другими можно будет соединить с путями совокупности L в новую совокупность путей, по которым можно пройти от А к Z. Для этого нужно поступать подобно тому, как описано выше. Пусть путь, соединяющий узлы Р и Q, не был пройден. Несомненно, что ни один из концов этого пути не совпадает с точкой Z, так как, по нашему предположению, все выходящие из этой точки пути уже пройдены. Относительно узла Q можно сделать два предположения: или он был уже однажды пройден, или нет. На каком бы из этих двух предположений мы ни остановились,, мы всегда придем, рассуждая совершенно так же, как выше, к тому выводу, что путь PQ можно включить в замкнутую цепь непройденных путей, выходящих из некоторого пройденного уже узла и в него же возвращающихся. Эту замкнутую цепь назовом через L'. Существование такой цепи несомненно, потому что все вышеприведенные рассуждения были основаны только на том, что в каждом узле число непройденных путей четное. Но это обстоятельство имеет место и в нашем случае. Эту цепь U можно соединить с прежде пройденной цепью L в одну сплошную цепь путей i+i', ведущую от узла А к узлу Z. Для этого нужно поступать совершенно так же, как было описано выше. В новой цепи будут заключаться не только непройденные раньше пути, но еще и путь PQ вместе с несколькими другими. Может случиться, что в систему L-\-L' еще не входят все пути; тогда любой из них можно включить в новую сплошную цепь путей, соединяющую А с Z и вклю-

чающую все пути цепей L и L\ Продолжая поступать подобным же образом дальше, мы в конце концов включим все пути системы в одну сплошную цепь, которую можно обойти от а к z.

Остается рассмотреть случай, когда число нечетных узлов в системе линий будет > 2. Так как оно всегда четное, то мы можем обозначить его через 2 s. Докажем, что все пути такой системы можно обойти в s приемов. Для этого выйдем из нечетного узла ах и будем проходить все новые и новые пути системы, пока дальнейшее продолжение обхода окажется невозможным. Это случится, когда мы придем в нечетный узел z{ и все пути, из него выходящие, окажутся уже пройденными. Таким образом узлы ах и zx будут соединены цепью путей, которую назовем через Lx. Во всех оставшихся нечетных узлах число непройденных путей будет нечетным, между тем как в четных узлах и в ах число таких путей будет четное. Возьмем какой-нибудь нечетный узел ай, отличный от ах и Z1? и, выйдя из него, станем проходить все новые и новые пути, пока наконец не дойдем до нечетного узла z2, где будем вынуждены остановиться. Узлы а2 и щ окажутся тогда соединенными цепью путей L2 . Во всех остальных нечетных узлах, кроме четырех перечисленных, число непройденных еще путей будет нечетным. Возьмем один из них аг и, выйдя из него, будем проходить непройденные пути системы, пока не будем вынуждены остановиться в некотором нечетном узле zz\ узлы аь и z% окажутся соединенными цепью путей ьь. Продолжая поступать таким же образом дальше, мы в конце концов соединим попарно нечетные узлы ах и а2 я z2, аъя z%, .. ., as я z8 соответственно цепями путей Lx, £2, L3, L8, которые по своему происхождению не имеют никаких общих путей. Если окажется, что все пути системы заключаются в перечисленных цепях, то наша цель достигнута. Если же нет, то возьмем какой-нибудь непройденный путь, оканчивающийся é узлах р я q. Может быть, что узел q уже был пройден. Если так, то этот узел непременно или четный, или совпадает с одним из узлов аг, а2,а^ .... а8; во всяком случае число непройденных

путей из узла Q непременно четное. Если мы выйдем из Q в Р, то затем дальше можем выйти из Р в другой соседний узел по непройденному пути, затем из него в третий и т. д., пока снова не вернемся в Q, что необходимо должно случиться. Таким образом путь PQ окажется включенным в замкнутую цепь путей L1, выходящих из пройденного узла Q ж в него же возвращающихся. Узел Q, как пройденный, наверно находится в числе узлов, принадлежащих к одной из цепей L17 L2J LZ,...L8.

Пусть, напр., Q принадлежит к цепи 1^ ; тогда из этой цепи и цепи L' объясненным выше способом можно составить цепь ЩМЛ/М ведущую от Ai к Z{ и заключающую в себе помимо всех прежних путей цепи Li еще путь PQ. Таким образом, если конец некоторого непройденного пути является узлом пройденным, то этот путь всегда возможно включить в цепь путей, ведущих от некоторого узла Ai к узлу К такому же заключению мы придем в предположении, что Q — узел не пройденный. В самом деле, узел Q, по связности системы, можно соединить с каким-нибудь из пройденных узлов цепью путей, соединяющих Q с JB, jß с S и т. д. Пусть в ряду этих узлов некоторый узел Т будет первым пройденным; тогда, рассуждая подобно предыдущему, можно построить замкнутую цепь U путей, выходящих из узла Г и в него же возвращающихся, причем в эту цепь будет включен путь PQ. Если Т является одним из узлов цепи Li, то из нее и из цепи L' можно составить цепь путей lii\-'L\ которая ведет от узла Ai к Z{ и включает в себя путь PQ. Таким образом каждый непройденный путь можно всегда включить в одну из цепей путей, ведущих или от Аг к Zx, или А2 к Z21 или As к Zs и т. д. Путем подобных включений мы в конце концов достигнем того, что все пути системы будут пройдены в s приемов, а именно, или при переходе от Ах в Zn иди при переходе от А2 к Z2, или от Аъ к Zz и т. д. Можно было бы показать, что система линий с 2 s нечетными узлами не может быть вычерчена менее чем в s приемов; однако, чтобы не удлинять изложения, мы предоставим доказать это самим читателям.

Для лучшего выяснения всех предыдущих рассуждений мы приведем здесь несколько рисунков, на которых читатель сам может попробовать применить изложенные выше общие соображения о вычерчивании систем линий.

Рис. 70.

Рис. 71. Рис. 72.

В первой группе рисунков (рис. 70—72) изображены фигуры с четными узлами, которые можно начертить одним почерком, выйдя из любого узла и в него же возвратившись.

Рис. 73.

Фигура, представленная на рис 73 и заимствованная из сочинения Листинга. „Vorstudien zur Topologie" (1847),

имеет два нечетных узла А и Z и может быть, следовательно, описана одним почерком от А к Z.

Наконец, фигура, представленная на рис. 74, как содержащая 8 нечетных узлов, может быть вычерчена только в 4 приема.

Рис. 74.

3. Задача о Кенигсбергских мостах.

Река Шпрегель у Кенигсберга, обтекая остров Кнейпгоф, образует 2 рукава, как можно видеть из прилагаемого здесь приблизительного плана (рис. 75).

Рис. 75.

Различные части близлежащей местности в первой половине XVIII столетия были соединены между собою и с островом семью мостами, обозначенными на рисунке буквами а, Ь, с, d, в, f9 д. Однажды в присутствии Эйлера возник спор о том, возможно ли обойти зараз все эти мосты, не проходя ни одного из них два раза. Большинство склонялось к мнению, что это невозможно, однако никто не мог дать точного доказательства невозможности. Эйлер, заинте-

ресовавшись этой задачей, подверг ее подробному рассмотрению в мемуаре „Solutio problematis ad gëometriam situs pertinentis". В результате Эйлер не только показал невозможность этой специальной задачи, но и установил некоторые общие предложения, относящиеся к той области математики, которая теперь называется анализом положения. Этот поучительный случай наглядно показывает, как иногда из вопроса, составляющего предмет чистого любопытства, может возникнуть новая и важная по своим приложениям отрасль знания.

Что касается собственно задачи о Кенигсбергских мостах, то она в конце концов равносильна вопросу о вычерчивании системы линий одним почерком. В самом деле, величина областей, соединенных мостами, не играет никакой роли; важно лишь то, какого рода связи существуют между этими областями. На этом основании можно будет области, обозначенные на рисунке буквами a, I?, С, i), представить в виде точек. Эти точки нужно соединить между собою линиями совершенно также, как одноименные с ними области соединены мостами. Получаемая таким образом фигура изображена на рис. 76.

Все четыре узла этой фигуры оказываются нечетными, следовательно, ее никоим образом нельзя описать одним почерком. Это соответствует невозможности обойти Кенигсбергские мосты в один прием. Но предыдущую фигуру можно вычертить в два приема, как имеющую четыре нечетных узла; соответственно этому и Кенигсбергские мосты могут быть все обойдены в два приема.

Курьезно отметить, что главные мосты Петербурга, переброшенные через Большую Неву, Малую Неву, Большую, Малую и Среднюю Невки, через р. Крестовку и Ждановку, не считая мостов через мелкие речки и каналы, образуют

Рис. 76.

более благоприятную конфигурацию. Сообразуясь с планом Петербурга, можно найти, что только из двух местностей выходит нечетное число мостов, а именно с Елагина и Петровского островов; если, следовательно, начать обход с Елагина острова, то можно будет обойти по одному разу все мосты через перечисленные выше главные реки и закончить путь на Петровском острове. Пусть читатель, руководясь планом, сам составит схематическую фигуру, подобную вышеприведенной, и по ней сообразит, каким образом нужно обходить петербургские мосты.

4. Лабиринты.

У древних лабиринтом называлось сложное сооружение,, состоящее из многочисленных вырытых под землею или построенных над ее поверхностью зал, дворов и переходов, соединеных между собою столь запутанным способом, что попавший в него легко мог заблудиться и не найти выхода. Самое название лабиринты получили от знаменитого в древности сооружения этого рода Лопе-ро-унт, что значит „храм при входе в озеро", воздвигнутого около 2100 лет до Р. Хр. фараоном Аменхотепом III на берегу Меридова озера в нынешней провинции Файюм в Среднем Египте, Древние писатели Геродот, Диодор Сицилийский, Страбон и Плиний оставили описание этого громадного сооружения, считавшегося одним из семи чудес света. По их описанию Файюмский лабиринт представлял собою грандиозное четыреугольное здание, построенное из гранита, внутри которого находилось около 3000 комнат, соединенных корридорами и расположенных частью на поверхности земли, частью же под землею. От этого громадного сооружения в настоящее время остались лишь жалкие развалины. Другой знаменитый, в древности лабиринт, по преданию, был построен на острове Крите по приказанию царя Миноса легендарным художником Дедалом, как место заключения фантастического чудовища Минотавра. Всем известен рассказ о том, как в этом лабиринте Тезей убил Минотавра и по совершении этого подвига избег другой опасности — заблудиться в самом да-

биринте, благодаря нитке, данной ему царевной Ариадной. Впрочем, никаких описаний этого лабиринта не осталось, и трудно сказать, нужно ля считать его плодом народной фантазии или действительно существовавшим сооружением.

Древние писатели упоминают еще о двух лабиринтах; один из них, будто бы, находился на острове Лемносе, другой же в Италии в Клузиуме, Остатки этого последнего сохранились и до настоящего времени в местности, ныне называемой Кьюзи.

Интерес к лабиринтам, повидимому в связи с классическими традициями, не утратился и в средние века. Во многих старинных соборах Франции и Италии на стенах находились мозаичные изображения сложных и запутанных лабиринтов. Точно такие же лабиринты часто делались на полах из каменных плит белого д черного цвета. До сих пор подобного рода лабиринты существуют в соборах в Реймсе и Шартре. Начиная с эпохи Возрождения, стали устраивать лабиринты в местностях, прилежащих к замкам или дворцам богатых и знатных лиц. Эти лабиринты состояли из более или менее высоких живых изгородей или из трельяжей, обсаженных растениями, между которыми были расположены дорожки, переплетающиеся между собою весьма причудливым образом; обыкновенно эти дорожки вели к общему центру. Но проникнуть в него было делом нелеггим, равно как и найти обратный выход. Особенно много подобных лабиринтов было построено в Англии во времена Тюдоров и Стюартов. В свое время был знаменит лабиринт, прилежавший к Hampton Court и устроенный в 1690 году для короля Вильгельма III. План этого лабиринта изображен на прилагаемом рис. 77.

Рис. 77.

Как в древности, так и гораздо позже, существовало убеждение в крайней трудности, если не полной невозможности, найти выход из лабиринта, если не иметь точного его плана, Подобное же заблуждение, вероятно, разделяется многими еще и доныне. На самом же деле, как бы ни был сложен лабиринт, всегда возможно, войдя в него и пройдя по всем аллеям ровно два раза в двух противоположных направлениях, придти к месту входа. Что особенно важно, при этом совершенно нет нужды знать план лабиринта. Как бы ни был сложен лабиринт, его всегда схематически можно представить в виде системы линий, причем эта система будет связной, если только от каждого места лабиринта можно перейти в любое другое его место. Линии системы соответствуют дорожкам или аллеям лабиринта, узлы же соответствуют местам встречи нескольких аллей. Так как возможно аллеи лабиринта обходить два раза в двух противоположных направлениях, то линии системы, схематически изображающей лабиринт, нужно мыслить себе двойными, т. е. как бы состоящими из двух совершенно одинаковых линий, наложенных одна на другую. При таком соглашении каждый узел системы будет четным. Вследствие этого уже можно предусматривать возможность обхода всех аллей лабиринта с возвращением в исходную точку на основании развитых выше общих соображений. Но так как для применения этих соображений нужно знать план лабиринта, то этим путем мы не придем к желаемому решению задачи.

Полное решение задачи об обходе лабиринта без знания его плана было впервые предложено французским инженером Тrémaux. Затем французский математик Tarry дал правило, которое, с одной стороны, общнее, с другой же стороны, проще правил Тrémаux. Правило Tarry может быть высказано в такой форме: При обходе лабиринта следует, достигая какого-либо узла в первый раз по некоторому пути ?, при возвращении в этот узел избегать пользоваться путем ? до тех пор, пока будет возможно; и лишь только в том случае допустимо вторично избрать этот путь, когда все остальные пути будут пройдены дважды.

Нужно доказать, что при строгом соблюдении этого правила каждый путь лабиринта будет дважды пройден в противоположных направлениях при условии возврата к начальному пункту. Заметим прежде всего, что при достижении узла, отличного от начального, мы всегда будем иметь возможность выйти из него. Чтобы было легче в этом убедиться, согласимся при выходе из некоторого узла по какому-нибудь пути, в начале этого пути ставить стрелку по направлению выхода, т. е. обращенную острием от узла; точно также, достигая узла по какому нибудь пути, согласимся в конце этого пути ставить стрелку, обращенную острием к узлу. При таком соглашении для всякого узла, отличного от начального, число стрелок, отмечающих вход в него, будет равно числу стрелок, отмечающих выход, как только мы покинем этот узел, ибо, вступая в узел и выходя из него, мы ставим одну стрелку, обращенную острием к узлу, для обозначения входа и одну стрелку, обращенную острием от узла, для обозначения выхода. Отсюда следует, что в тот момент, когда мы достигаем узла, отличного от начального, на выходящих из него путях число стрелок, обозначающих вход, на единицу больше числа стрелок, обозначающих выход; следовательно, во-первых, не на всех путях стоит по две стрелки и, во-вторых, при отсутствии путей, не отмеченных стрелками, всегда найдется по крайней мере один путь с одной стрелкой, обращенной острием к узлу, по которому из него можно выйти. Поэтому обход лабиринта, в согласии с предыдущим правилом, не может закончиться иначе как по достижении начального узла, и именно тогда, когда для выхода из него не останется ни свободных путей, ни путей, отмеченных одной стрелкой с острием, обращенным к узлу. В этот момент все пути, выходящие из начального узла, окажутся пройденными в двух противоположных направлениях. В самом деле, каждый раз, при достижении начального узла, число стрелок, обозначающих вход в него, будет равно числу стрелок обозначающих выход; следовательно, если в начальном узле нет ни свободных путей, ни путей, пройденных однажды в направлении к нему, то все пути будут пройдены дважды в противоположных направлениях.

Épi Докажем, что при., достижении начального узла в последний раз все пути лабиринта без изъятия окажутся пройденными в двух противоположных направлениях. Обозначим через А начальный узел, через Ву С, D, . .. , L узлы лабиринта, последовательно проходимые при обходе. Так как все пути, выходящие из А, пройдены дважды, то и путь, по которому в первый раз приходим из А в В, будет дважды пройден, а это, согласно правилу, возможно только в том случае, когда все остальные пути из узла В оказались дважды пройденными. Следовательно, в момент окончания обхода лабиринта все пути, выходящие из 2?, будут пройдены дважды в противоположных направлениях. Узел -С, ко торый мы встречаем на своем пути по порядку третьим, н первый раз достигается или из узла В, или из узла А. Так как все пути, выходящие из узла 4 и 2?, пройдены дважды, то путь, по которому в первый раз достигается узел О, будет также дважды пройден, а это возможно только тогда, когда все остальные пути, выходящие из узла Щ пройдены дважды. Следовательно, в момент окончания обхода все пути из узла С пройдены дважды. Четвертый встречаемый по порядку при обходе • лабиринта узел J) в первый раз достигается или из узла Л, или из узла 2?, или из узла С. Но так как все пути, выходящие из них, в конце обхода оказываются пройденными дважды, то, подобно предыдущему, можно сделать вывод, что при окончании обхода все пути из узла D будут пройдены дважды. Рассуждая таким же образом дальше, м,ы в конце концов заключим, что пути, выходящие из всех узлов, встреченных при обходе лабиринта, будут пройдены дважды в противоположных на^ правлениях при окончании обхода.

Остается доказать, ч го при обходе ни один из узлов лабиринта не может оказаться непройденным. Допустим, что Z непройденный узел. По связности лабиринта этот узел можно соединить цепью путей с начальным узлом А. Пусть первый из этих путей ведет от Z к Щ второй от U к Т, третий от Т к 8 и т. д., наконец, последний от J к А. В ряду

первый узел не пройден, а последний пройден. Идя в этом ряду слева направо, мы в первый раз перейдем от непройденного узла к пройденному; пусть эти узлы будут соответственно L в. К. Так как К пройденный узел, то, по предыдущему, все выходящие из него узлы будут пройдены дважды в момент окончания обхода. В частности будет прой^ ден и тот путь, который ведет из L в Щ следовательно, узел L также пройденный узел, но это противоречит нашему предположению. Следовательно, нельзя допустить, чтобы какой-нибудь узел Z связного лабиринта мог остаться непройденным. Из этого далее вытекает, на основании доказанного выше, что, строго придерживаясь правила Таг г у, мы действительно обойдем каждый путь лабиринта дважды в противоположных направлениях и возвратимся в исходный узел. Самый характер правила Tarry таков, что применение его совсем не требует знания плана лабиринта.

При практическом применении этого правила особенно важно отмечать те пути, по которым узлы достигаются впервые. На практике для этого можно поступать таким образом. При выходе из узла по некоторому пути нужно в начале этого пути ставить особый знак для обозначения входа, например стрелку, указывающую направление выхода. Достигая некоторого узла по известному пути, в конце этого пути нужно ставить знак для обозначения входа. Но этот знак может быть двоякого рода. Если мы вступаем в узел, в котором уже однажды были, то для обозначения входа можно у потреблять стрелку с острием, направленным к узлу. При вступлении же в узел, еще непройденный, в качестве знака входа можно ставить стрелку, обращенную острием к узлу, и рядом с нею еще какой нибудь знак, напр. крест. Само собой разумеется, что вместо стрелок можно употреблять и другие знаки, лишь бы только эти знаки вполне ясно отмечали выход из узла, вход в узел пройденный и вход в узел непройденный. С помощью таких знаков всегда будет легко судить, по какому пути нужно выйти из любого, достигнутого при обходе лабиринта, узла.

Таким образом, вопреки распространенному мнению, можно утверждать, что нет и не может быть безвыходных лабиринтов

и что обход всякого лабиринта требует только времени и терпения. Для уяснения всех предыдущих рассуждений, а также для приобретения практики обхода лабиринтов можно рекомендовать читателю сначала сделать несколько примеров на бумаге и затем, при случае, попробовать обойти дважды в противоположных направлениях все аллеи какого-нибудь сада, конечно, не слишком обширного.

5. Игра Гамильтона или путешествие по додекаэдру.

При обходе системы линий мы выделили те случаи, когда можно обойти все линии системы и каждую по одному разу в один прием. При таком обходе каждый узел приходится вообще проходить по нескольку раз. Можно поставить в известном смысле противоположную задачу об обходе системы линий, а именно, можно спросить себя, нельзя ли в один прием, двигаясь по линиям системы, обойти все узлы, побывав в каждом только один раз и возвратившись в узел, служивший исходным пунктом. Поставленная в такой форме задача до сих пор еще не разрешена в общем виде; не имеется даже никаких общих критериев для суждения о ее возможности или невозможности. Только для некоторых, очень частных случаев эту задачу удалось разрешить. Сюда прежде всего относится игра, предложенная в 1857 году знаменитым английским математиком Гамильтоном, который назвал ее путешествием по додекаэдру. Всем хорошо известно, что додекаэдром называется правильный многогранник, ограниченный 12 правильными пятиугольниками. Число вершин додекаэдра, как известно, 20, число ребер 30, и в каждой вершине сходится 3 ребра. Приложенный рис. 78 дает изображение додекаэдра.

Задача, которую ставит Гамильтон, заключается в том, чтобы, выйдя из какой-либо точки на одном из ребер и двигаясь по ребрам додекаэдра, побывать в каждой вершине по одному разу и возвратиться в исходную вершину. Для

Рис. 78.

-затруднения прибавляется еще дополнительное условие, по которому пять первых смежных вершин указываются наперед. Для того, чтобы легче~было следить за ходом решения, вместо додекаэдра можно взять плоскую систему линий, связь между частями которой такая же, как между ребрами додекаэдра. Напр., для этой цели может служить система линий, показанная на рис. 79.

Рис. 79.

В каждой вершине сходятся 3 ребра додекаэдра совершенно так же, как в показанной системе линий, в каждом узле сходятся 3 пути. Если, следовательно, мы приходим к некоторому узлу известным путем, то дальше мы можем Двигаться по одному из двух оставшихся путей; идя по одному из них, мы отклоняемся от первоначального направления вправо, идя же по другому — влево. Тот путь, который отклоняется от пути входа вправо, согласимся обозначать буквой d, путь же, отклоняющийся от пути входа влево, согласимся обозначать буквой s.

Положим, что, выйдя из какой-нибудь точки ребра, мы достигаем вершины додекаэдра, в которой это ребро заканчивается. При дальнейшем движении в нашем распоряжении остается выбор двух ребер, одно из которых, согласно предыдущему, будет характеризоваться буквой d, а другое буквой s.

Пройдя одно из них, мы достигаем следующей вершины, из которой опять можно итти или ребром d, или ребром s и т. д. Таким образом, всякий путь, который мы можем описать, идя по ребрам додекаэдра, будем вполне характеризоваться последовательностью символов d и s. Вопрос заключается в том, как нужно выбрать последовательность этих символов, чтобы соответствующий ей путь прошел через каждую вершину додекаэдра по одному разу и закончился в точке выхода* Гамильтон дает следующую последовательность символов ä и 8, удовлетворяющую поставленному требованию:

dddsssdsdsdddsssdsds. (А)

Согласно данным выше объяснениям, если выйти из какой-нибудь точки на ребре в ближайшую вершину додекаэдра, то последовательностью (А) вполне определится дальнейший путь. Можно непосредственно проверить, что этот путь всегда замкнется в точке выхода, обойдя по одному разу все 20 вершин додекаэдра. Для лучшего уяснения этого может служить пример такого обхода, схематически изображенный на рис. 80, в котором звездочкой обозначена точка выхода, толстыми линиями — пройденные пути и пунктирными—пути, которые не пришлось проходить Замкнутый путь, характеризуемый последовательностью символов (А), проходит через все вершины додекаэдра; а тая как каждая вершина ничем не выделяется среди других, то, очевидно, что кроме пути (А) можно получить много других путей, точно также образующих замкнутую цепь, которая проходит по одному разу через каждую вершину додекаэдра. Для получения таких путей достаточно символы ся-

Рис. 80.

стены (А) подвергнуть последовательным циклическим перестановкам; это даст нам следующую систему путей:

Если бы мы произвели круговую перестановку символов в последнем пути, то получили бы начальный путь; следовательно, путем круговых перестановок мы получаем всего 10 путей. Но так как каждый замкнутый путь можно проходить в двух противоположных направлениях, то к предыдущим путям можно присоединить еще 10 путей, читая символы справа налево. Таким образом, придя из некоторой точки ребра в какую-нибудь вершину додекаэдра, служащую концом этого ребра, мы дальше можем выбрать для обхода один из 20 только что перечисленных путей. Благодаря остающемуся произволу в выборе путей обхода, мы можем поставить дополнительное требование, чтобы первые пять обходимых вершин были наперед заданными. Назовем заданные вершины последовательно через A1J А%, Аг, А± и А^ в порядке их обхода. Вершины Аг и А2 соединены ребром АХА2\ вершина Аъ соединена с вершиной А2 ребром A2A2J вершина А± соединена с -43 ребром АЪА± и, наконец, вершина Аь соединена с А4 ребром АААЪ. По отношению к ребру AiA2 ребро А2А% характеризуется символом d или ё; равным образом ребро А%АК относительно А2А% характеризуется символом d или s и точно также одним из тех же символов характеризуется ребро АААЪ относительно АъАк. Отсюда ясно, что если принять Ах или, лучше сказать,, точку ребра АХА2, сколь угодно близкую к Аг1 за началь-

ную точку обхода, то начало требуемого пути будет характеризоваться одной из групп символов:

Справляясь с данной выше таблицей путей, мы видим, что начало dd d имеют пути (1) и (4), если первый читать слева направо, а второй справа налево. Начало d d s встречается в путях (2) и (3), если читать первый слева направо, а второй справа налево. Начало d s d имеют пути (7) и (9), читая слева направо, и (2) и (10), читая справа налево. Начало sdd встречается в ряду (10), читая слева направо, и в ряду (5), читая справа налево. Группы 5°, 6°, 7° и 8° отличаются соответственно от групп 4°, 3°, 2°, 1° только взаимной заменой букв d и s, откуда следует, что в случае начала пути, соответствующего группам 5°, 6°, 7,° 8°, найдется 2, 4, 2, 2 пути в предыдущей системе путей, имеющих такое начало в направлении слева направо или справа налево.

Таким образом всегда возможно разрешить поставленную Гамильтоном задачу об обходе по одному разу всех вершин додекаэдра, когда наперед заданы пять первых по порядку вершин. При шести наперед заданных вершинах задача уже не будет всегда возможна, так что 5 есть наибольшее число вершин, которые можно задать наперед. Конечно, можно задать наперед и меньше, чем 5 вершин; от этого задача только получает большее число решений, найти и исчислить которые может сам читатель.

Гамильтон предложил еще одну игру, находящуюся в теснейшей связи с предыдущей. В этой второй игре требуется обойти по одному разу все грани икосаэдра, переходя из одной грани в другую через общее ребро. Икосаэдр является фигурой взаимной с додекаэдром, а именно, 20 вершинам додекаэдра отвечают 20 граней икосаэдра, 12 граням додекаэдра отвечают 12 вершин икосаэдра, между тем как ребрам додекаэдра отвечают ребра икосаэдра и их в обоих многогранниках будет по 30. Отсюда ясно, что вторая задача Гамильтона по существу тождественна с первой, и останавливаться на ней не представляется необходимым.

Прибавление.

Во многих случаях, ради простоты и наглядности изложения, нам приходилось пользоваться обозначением сравнений и простейшими их свойствами. Конечно, можно было бы обходиться и без этого, но тогда изложение приобрело бы чрезвычайно тяжеловесный вид. Таким образом стремление к простейшей форме изложения заставляло обратиться к помощи сравнений; с другой же стороны, нельзя было предполагать у читателя знаний, выходящих за пределы первых элементов. При таком положении вещей оставалось только изложить в особом прибавлении те именно сведения ив теории сравнений, которые были необходимы.

1. Обозначение сравнений и действия над ними.

Два целых числа а и Ъ называются сравнимыми по модулю Щ если они отличаются одно от другого на кратное и*, или иначе, если разность а — Ь делится на т. Для обозначения сравнимости двух чисел по модулю m употребляется обозначение

Согласно установленному понятию о сравнимости двух чисел, мы можем написать такие сравнения:

Действительно, если составить разности между числами, стоящими в обеих частях этих сравнений, то окажется, что они делился на соответствующий модуль. Последнее из приведенных выше сравнений, в правой части которого стоит О, выражает собственно то только, что 6 делится на 3. Вообще сравнение

показывает, что а делится на т.

Самое обозначение сравнений имеет внешнее сходство с обозначением равенства двух чисел. Такое сходство в обозначении сохранено не случайно, но является внешним выражением аналогии, существующей между сравнениями и равенствами, ©дно из важнейших- свойств равенства есть транзитивность, выражаемая словесно таким образом: два числа, равные третьему, равны между собою. Совершенно такое же свойство транзитивности имеет место и для сравнений: два числа, сравнимые с третьим но одному и тому же модулю, сравнимы по тому же модулю между собою; иначе говоря, из сравнений а = с, Ъ^с (mod. m) вытекает сравнение

В самом деде, первые два сравнения выражают то, что обе разности а — с и Ъ — с делятся на т\ следовательно, а — Ъ = (а — с) — (6 — с) также делится на wi, а это именно и выражается третьим сравнением. Подобно почленному сложению или вычитанию равенств возможно также почленное сложение и вычитание сравнений. Именно, из двух сравнений,

вытекает сравнение

В самом деле, разность между обеими частями последнего сравнения может быть написана в форме

откуда ясно, что эта разность делится на т. Если принять c = d = b, то, по только что доказанному свойству, из сравнения а = Ь (mod. m) будет вытекать сравнение

которое является ничем иным, как выражением делимости разности а — Ь на т. Хотя таким образом указанное преобразование не дает нам ничего нового, однако было полезно на нем остановиться в виду того, что оно доставляет

возможность, путем переноса члена правой части с измененным знаком в левую, привести всякое сравнение к такому виду, что в правой части его будет стоять 0; р| Если сделаем с = а, Ъ — d и воспользуемся возможностью почленного сложения сравнений, то убедимся, что из сравнения a~fc (mod. m) вытекает сравнение

Прибавляя к обеим частям этого сравнения сравнимые числа а и Ь, получаем

Продолжая действовать таким же образом, мы найдем, что вообще

Это показывает, что обе части сравнения можно умножить на какое угодно число h Отсюда легко вывести, что два сравнения

можно почленно перемножить, в результате чего получится верное сравнение

Для доказательства умножим сначала обе части сравнения а = (mod, m) на с, что даст

Далее, умножая обе части сравнения c=d(mod. т\ на Ъ, получаем

Из двух полученных сравнений, по свойству транзитивности, вытекает то, которое нужно было доказать, j s Таким образом по отношению к действиям сложения, вычитания и умножения существует полная аналогия между

сравнениями и обыкновенными равенствами. Эта аналогия несколько нарушается по отношению к делению. В то время, как из равенства ка — кЪ, при й, отличном от 0, всегда вытекает равенство а = а, из сравнения

вообще не вытекает сравнения

Но последнее сравнение является наверно следствием сравнения (а), если к число взаимно простое с модулем т. В самом деле, сравнение показывает, что разность — кЪ~к(а — Ъ) делится на до, а так как к предполагается взаимно простым с m, то, по известной теореме арифметики, разность а — Ъ необходимо делится на до, что и требовалось доказать. К перечисленным свойствам сравнений можно добавить еще два следующих. Обе части сравнения и модуль можно умножить на одно и то же целое число. В самом деле, сравнение а = Ъ (mod. до) равносильно равенству

а — Ъ — mt,

где t целое число. По умножении обеих частей этого равенства на целое число й, получаем

ка — kb — kmt,

что равносильно сравнению

ка=кЪ (mod. Адо).

Если первая часть сравнения и модуль делятся на некоторое число d, то необходимо левая часть сравнения будет делиться на то же число. В этом случае из сравнения а = Ъ (mod. m) будет вытекать сравнение

В самом деде, данное сравнение можно заменить таким равенством:

^3 v а-— l) = mt, ï\\ ;'

где % целое число. Отсюда получаем равенство

очевидно равносильное тому сравнению, которое нужно было доказать.

2. Вычеты. Полная система вычетов.

Из двух сравнимых чисел по модулю m каждое по отношению к другому называется его вычетом. Следовательно, каждое число имеет бесчисленное множество вычетов, отличающихся от него на произвольное кратное модуля. Среди всех возможных вычетов данного числа два играют особо выдающуюся роль и потому имеют специальное название. Прежде всего каждое число имеет по данному модулю m единственный вычет г, характеризуемый неравенствами

Такой вычет называется наименьшим положительным и является ничем иным, как остатком, получаемым при обыкновенном делении данного числа на модуль. Почти очевидно, что два числа имеют один и тот же наименьший положительный вычет тогда и только тогда, когда они сравнимы.

Кроме наименьшего положительного вычета рассматривают еще так называемый абсолютно наименьший вычет. Абсолютно наименьший вычет р определяется как вычет по модулю т, характеризуемый неравенствами

Чтобы убедиться, что. такой вычет всегда существует и только один, будем рассуждать так. Положим прежде всего,

что положительный наименьший вычет некоторого числа по модулю m не превосходит Щ В таком случае этот наименьший положительный вычет вместе с тем будет и абсолютно наименьшим. Допустим теперь, что положительный наименьший вычет г превосходит Р| будучи, конечно, <*ю

В таком случае р = г—m будет абсолютно наименьшим вычетом. Так показано, что всякое число имеет абсолютно наименьший вычет ; и нетрудно показать, ведя рассуждения в обратном порядке, что для данного числа абсолютно наименьший вычет может быть только один. Нужно здесь же предупредить читателя, что некоторые авторы называют абсолютно наименьшим вычетом такой, который по абсолютной величине не превосходит половины модуля. При таком определении одно и то же число иногда может иметь два абсо^ лютно наименьших вычета. А именно, если модуль четный и число при делении на этот модуль дает остаток то, согласно второму определению, вычеты ~ и — у оба будут абсолютно наименьшими; по нашему же определению последний из них не включается в число абсолютно наименьших вычетов.

Для пояснения всего до сих пор изложенного определим наименьший положительный и абсолютно наименьший вычет числа 3533 по модулю 27. Прежде всего делением находим, что положительный наименьший вычет 353 по модулю 27 есть 2, следовательно

Возводя обе части этого сравнения в куб, что равносильно троекратному почленному умножению его с самим собой, получаем

Отсюда ясно, что 8 будет одновременно как искомым наименьшим положительным вычетом, так и абсолютно наименьшим. Для другого примера определим остаток от деления 25t на 19. J3 этом примере, равно как и во всех случаях, когда показатель степени представляется большим числом, удобнее всего поступать так. Прежде всего показатель степени.

в данном случае 64, нужно представить как сумму степеней 2. Для нашего случая имеем

54= 25+24-f-22+2.

Отсюда ясно, что прежде всего нужно определить наименьший положительный вычет числа 22; это будет 4; следовательно

Отсюда, путем почленного возведения в квадрат, найдем

Далее, возводя обе части этого последнего сравнения в квадрат, получаем

Затем еще дважды последовательно возведем обе части в квадрат, что дает

Имея сравнения

путем почленного их перемножения, найдем

Отсюда ясно, что искомый остаток будет 12. Уже на этом примере читатель без труда усмотрит практическую пользу употребления сравнений для определения вычетов чисел, возводимых в большую степень. Числа

О, 1, 2, ... I m— 1 (А)

для модуля m дают то, что называется полной системой вычетов.

Прежде всего очевидно, что все числа ряда (А) между собою несравнимы; с другой стороны, любое число при делении на m дает остаток, заключающийся в ряду (А), т. е. сравнимо по модулю m с одним из чисел этого ряда. Эти именно два свойства характеризуют предыдущий ряд чисел, как полную систему вычетов для модуля т. Вообще под полной системой вычетов для модуля m понимается система чисел, характеризуемая двумя свойствами:

1°. Всякое число сравнимо с одним из чисел системы.

2°. Никакие два числа этой системы несравнимы между собою по модулю т.

Так как мы уже указали одну полную систему вычетов, содержащую m чисел, то очевидно, что всякая другая полная система вычетов будет также содержать m чисел. Остатки от деления ее чисел на m будет совпадать с числами ряда (А), взятыми в известном порядке. На основании этого для суждения о том, будет ли данная система, состоящая из m чисел, полной системы вычетов по модулю и», достаточно только проверить, что все ее числа несравнимы между собою, В самом деле, в последнем случае m остатков, получаемых при делении чисел нашей системы на модуль, будут все между собою различны, следовательно, они совпадают с числами ряда (А); поэтому каждое число сравнимо с одним из чисел рассматриваемой системы, что характеризует ее как полную систему вычетов.

Особенно часто употребляются полные системы вычетов, получаемые одним из двух способов, которые сейчас будут указаны. Прежде всего, если к числам ряда (А) прибавить одно и то же целое число к, то получится полная система вычетов

fc, ft+l, А*+2, к-\-т — 1. (В)

Что ряд (В) действительно дает полную систему вычетов, в этом убеждаемся, заметив, что никакие два числа этого ряда между собою несравнимы.

При к=1 мы .получаем полную систему вычетов $т

Если при нечетном m возьмем к = — j то получим полную систему вычетов:

содержащую только абсолютно наименьшие вычеты.

Другой важный способ получения полной системы вычетов по модулю m состоит в умножении произвольного взаимно простого с m числа а последовательно на числа 0, 1, 2, ... \ m — 1. Получаемый при этом ряд

О, а, 2а, ... , (т—1)а (С)

будет полной системой вычетов. Довольно показать, что никакие два члена этого ряда не могут быть сравнимыми по модулю т. Допустим, в самом деле, что два члена ряда (Cy.iaHJa сравнимы; тогда разность га—ja = (i—j) а делится на w, между тем а и m числа взаимно простые; следовательно i—j делится на m, но это невозможно, потому что i и j два различные члена одной и той же полной системы вычетов.

Так как при предположении, что а взаимно простое с m, ряд (С) представляет полную систему вычетов, то всякое число Ъ будет сравнимо с одним и только с одним членен этого ряда; иначе говоря, сравнению

ах = Ъ (mod. m)

всегда можно удовлетворить числом х из ряда О, 1, 2, ... , m—1, если а взаимно простое с т. Назвав через х0 такое число, мы видим, что предыдущему сравнению будут удовлетворять все числа х=х0 (mod. m) и Только такие5 числа. Другими словами, все решения предложенного сравнения -найдутся из формулы.

а§| x — xQ-\-mt,

где t произвольное целое число положительное, равное нулю или отрицательное. Решение сравнения первой степени со-

вершенно равносильно решению в целых числах неопределенного уравнения

ах—тп — Ъ. к*

Если общий наибольший делитель чисел а и m не делит а, то это уравнение невозможно. В противном случае обе части уравнения можно разделить на общий наибольший делитель коэффициентов при неизвестных. Следовательно, в случае возможности неопределенного уравнения всегда можно предполагать, что коэффициенты при неизвестных числа взаимно простые. Считая на этом основании, что а и пь числа взаимно простые, мы заключаем из предыдущего, что в этом случае предложенное неопределенное уравнение решается в целых числах; если xQJyQ есть одна пара решений, то все другие найдутся по формулам

x^x^mt, ' y = yQ-f-at,

в которых следует числу t придавать всевозможные целые значения.

Этим вопрос о разрешении неопределенного уравнения первой степени в целых числах теоретически исчерпывается. Оставалось бы еще указать практически удобный прием для отыскания одной пары решений; но так как это не является необходимым для понимания того, что было изложено в этом сочинении, то на последнем вопросе мы останавливаться не будем.

3. Вычеты, доставляемые линейной функцией ax + b.

При изложении теории магических квадратов нам приходилось ссылаться на предложения, касающиеся вычетов линейной функции ах-{-Ъ> когда х пробегает полную систему вычетов по какому-нибудь модулю. Назовем этот модуль через m и предположим сначала, что а ж m числа взаимно простые. В этом случае числа ах при # = 0, 1, 2, m— 1 образуют полную систему вычетов. Прибавляя к ним одно и то же число а, мы опять получим полную систему

вычетов. Это дает возможность утверждать, что остатки от деления на m чисел

воспроизводят все числа 0, 1,2,..., ж — 1 и каждое по одному разу.

Допустим теперь, что а и ш имеют общим наибольшим делителем d. Числа 0, 1,2, 3, m — 1, составляющие полную систему вычетов для модуля m, можно распределить в d рядов по ~ чисел в каждом нижеследующим образом:

(А)

Каждый из горизонтальных рядов в этой системе является полной системой вычетов по модулю -j-. Числа одного и того же вертикального ряда между собою сравнимы по этому модулю. Положим, что в линейную функцию мы подставляем значения х = х0 и х = хг, сравнимые по модулю тогда получившиеся результаты, ах0-\-Ъ и axx-\-b, будут сравнимы по модулю т. В самом деле, разность этих чисел можно написать в виде

Так как разность х0— хх делится на ~ , то произведение d(x0 — хх\ а вместе с тем и предыдущая разность будут делиться на т. Из этого замечания видно, что когда § будет пробегать числа, заключенные во 2-й, 3-й и 4-й и т. д. строках системы (А), то будут получаться значения линейной функции а X-J-а, сравнимые с теми, которые эта функция получает при

(В)

Последние же значения будут все между собою несравнимы по модулю w. В самом деле, если бы допустить, что два из этих значений между собою сравнимы по модулю m, то это дало бы нам сравнение

где х0 и хг различные числа ряда (В). Обе части предыдущего сравнения и модуль можно сократить на что дает

Но так как ^ и -у числа взаимно простые, то обе части последнего сравнения можно еще сократить на а тогда получится невозможное сравнение

Из сказанного вытекает следующий вывод: если в линейной функции ах-\-Ъ X пробегает полную систему вычетов по модулю m, то различные остатки при делении на m этой линейной функции совпадают с остатками от деления на m чисел

при этом каждый из таких остатков повторится ровно d раз. Написав предыдущее выражение в виде d • -^-x-\-b и заметив, что* -ja? при х = 0, 1, 2, «:—1 дает полную систему вычетов по модулю -j-, мы убеждаемся, что остатки, о которых идет речь, совпадают с' остатками от деления на m чисел

Назовем через q частное от деления Ъ на d, а через г остаток. Тогда выражение dxA-b может быть написано в виде

Ho x-\-q пробегает полную систему вычетов по модулю -j j следовательно остатки от деления на m чисел окончательно совпадают с остатками от деления на до чисел

Это именно заключение играло важную роль в нашем изложении теории магических квадратов.

4. Вычеты степеней.

В главе I нам приходилось ссылаться на некоторые свойства вычетов степеней. Пусть а какое-нибудь число взаимно простое с модулем ж. В ряду последовательных степеней а

(А)

наверно какие-нибудь два члена окажутся сравнимыми по модулю ж, потому что в этом ряду находится бесчисленное множество чисел, между тем как число несравнимых между собою по модулю, до чисел будет равно ж.

Пусть а? и а\ где j>% будут сравнимые по модулю до члены ряда (А). Если обе части сравнения а3 ~аг (mod. m) разделить на взаимно простое с до число а1, то получится

следовательно, для всякого а взаимно простого с m существуют такие положительные показатели степени fc, что

Наименьший из всех таких показателей называется показателем, к которому принадлежит а по модулю ж. Назовем через h этот показатель; тогда из самого определения ясно, что числа

(В)

все несравнимы между собою по модулю m, между тем как

Умножая обе части этого сравнения на Щ а2, а3 и т. д., найдем, что числа

по порядку сравнимы с числами ряда (В). Затем подобным же образом убедимся, что числа

а2/\ a2h+\ fej ... , а*11-1

по порядку сравнимы с числами того же ряда (В), и т. д.

Таким образом приходим к заключению, что остатки, получаемые от деления последовательных степеней а на модуль, образуют периодический ряд, в котором группа из h остатков, получаемых от деления чисел 1, а, а2, ... , а1ь~1у повторяется бесчисленное множество раз.

Установив понятие о показателях, к которым принадлежат числа по данному модулю, мы не будем вдаваться в рассмотрение дальнейших свойств этих показателей. Ограничимся только указанием удобного на практике приема для получения полного периода остатков. Согласимся называть через Щ остаток от деления числа к а на т. Нетрудно найти ^последовательно гг, г2, г3, ... , fM^. В самом деле, прямо получается как остаток от деления а на т\ для получения г2 нужно к гг прибавить а, и если эта сумма будет больше щ то из нее нужно отнять столько раз m, чтобы получился остаток меньший m ; для получения г3 нужно опять прибавить а к г2 и вычесть из получившейся суммы в случае нужды надлежащее кратное модуля, и т. д. Приготовив таким образом ряд остатков га, напишем в двух строках с одной стороны числа 1, 2, 3, m—1, а под ними остатки гг, г2, г3, ... • гт_г, как здесь показано :

Г1 ' Г2 5 Г3 5 • • • ? ГШ-Ь

Под числами второй строки в третьей строке мы поместим числа, получаемые так : на первом месте ставим гг, затем в первом ряду останавливаемся на числе гг и смотрим, какое стоит под ним число во втором ряду; это число помещаем на втором месте в третьем ряду; затем отыскиваем

в первом ряду число, равное второчу члену третьего ряда, и стоящее под ним число второго ряда ставим на третье место в третьем ряду, и т. д.

Нетрудно убедиться, что числа третьего ряда являются остатками от деления на m степеней а, а2, о? и т. д. В самом деле, первое число третьего ряда гг есть остаток от деления а на т. Под гх в первом ряду во втором ряду стоит остаток от деления числа гх. а дли, что все равно, а2 на т\ этот остаток стоит на втором месте в третьем ряду. Если отыскать второй член третьего ряда в первом ряду, то под ним во втором ряду будет стоять остаток от деления на m числа а2.а = а8; этот остаток помещается на третье место в третьем ряду. Подобным же образом убедимся, что в третьем ряду на четвертом месте будет стоять остаток от деления на m числа а4 и т. д. Поясним это правило примером. Возьмем m =13, а = 6; тогда без дальнейших объяснений и без всякого труда получим следующие три ряда чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. 6, 12, 5, 11, 4, 10, 3, 9, 2, 8, 1, 7. 6, 10, 8, 9, 2, 12, 7, 3, 5, 4, 11, 1.

Отсюда ясно, что период остатков заключает, в себе в данном примере 12 членов; поэтому показатель, к которому принадлежит 6 по модулю 13, будет равен 12. Как мы видим, изложенный способ определения периода остатков является довольно удобным. Если бы требовалось только определить показатель, к которому принадлежит данное число по данному модулю, то этого можно было бы достичь и более короткими путями. Однако это потребовало бы более глубокого знакомства с теорией вычетов степеней, поэтому мы ограничимся только тем, что было изложено.

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

Введение.......................... 3

Глава I. Развлечения с картами.

1. Угадывание задуманной кем-либо карты.......... 7

2. Угадывание задуманной пары карт............ 10

3. Еще один способ угадывания карты........... 14

4. Видоизменение предыдущего развлечения........ 22

5. Периодичность в раскладке карт............. 26

6. Тасовка Монжа...................... 31

7. Другой способ тасовки карт............... 36

8. Игра Баше. . ...............;....... 39

9. Игра, предложенная Wythoff'oм.............. 43

Глава II. Развлечения, связанные с системами счисления.

1. О системах счисления вообще................ 53

2. Двоичная система счисления.............. 57

3. Система счисления с основанием 3........... . 62

4. Угадывание взятых тремя лицами предметов...... 64

5. Угадывание задуманного числа.............. 66

6. Другие варианты той же идеи............... 67

7. Ханойская башня..................... 72

8. Задача о гирях...................... 76

9. Обобщение предыдущей задачи, принадлежащее полковнику Мак-Магону............. ....... 82

10. Игра фан-тан............N. . . ........ 90

11. Baguenaudier................ ..... , 96.

Глава III. Задачи о разделении жидкостей при ограниченных средствах.

1. История задачи и решение ее в частном случае .... 10S

2. Решение общей задачи по первому способу ...... . 112

3. Решение задачи по второму способу........... 116

4. Рассмотрение случая а ~ ft-f-c — 2............. 118

Стр.

Глава IV. Задача Иосифа Флавия.

1. Исторические сведения.................. 122

2. Механический способ решения.......-...... 128

3. Математическая теория ....... . ........ 125

4. Окончательная форма решения.............. 12а

Глава V. Магические квадраты.

1. Исторические сведения ............. 13Т

2. Построение магических квадратов с нечетным числом клеток........................... 139

3. Индийский способ..................... 160

4. Способ Москопула..................... 157

5. Метод террас....................... 159

в. Метод де-Лагира...................... 163

7. Магические квадраты о четным числом клеток..... 173

Глава VI. Задачи о перемещении предметов при ограничительных условиях.

1. Задача Тэта..................... . . . 187

2. Задача Люка....................... 191

3. Еще одна задача на перемещение монет......... 197

Глава VII. Игра в пятнадцать.

1. История игры и ее сущность........... . . . 200

2. Некоторые сведения из теории перестановок ....... 201

3. Условия возможности................... 203

4. Решение задачи в случае, когда оно возможно...... 209

5. Хамелеон........................... 215

Глава VIII. Вопросы из анализа положения.

1. Система линий...................... 220'

2. Вычерчивание фигур одним почерком.......... 227

3. Задача о Кенигсбергских мостах............. 235

4. Лабиринты......................... 237

5. Игра Гамильтона или путешествие по додекаэдру. ... 243

Прибавление.

1. Обозначение сравнений и действия над ними...... 243

2. Вычеты. Полная система вычетов............ 252

3. Вычеты, доставляемые линейной функцией ах-\-Ь .... 257

4. Вычеты степеней..................... 260