СЕРИЯ XIX

1967

МАТЕМАТИКА И КИБЕРНЕТИКА

1

ICM

МОСКВА ⋅ 1966

В. Н. ТРОСТНИКОВ

ВСЕМИРНЫЙ КОНГРЕСС МАТЕМАТИКОВ В МОСКВЕ

В. Н. ТРОСТНИКОВ

ВСЕМИРНЫЙ КОНГРЕСС МАТЕМАТИКОВ В МОСКВЕ

Издательство «Знание»

Москва 1967

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Зачем нужны математические конгрессы ... 3

Организация конгресса....... 10

Загадка бесконечного множества..... 20

Некорректность в математике...... 43

Проблемы математического просвещения ... 56

Заключение........... 64

ВИКТОР НИКОЛАЕВИЧ ТРОСТНИКОВ

Редактор В. Ю. Иваницкий Худож. редактор Е. Е. Соколов Техн. редактор Т. В. Филипенкова Корректор В. И. Казакова Обложка А. П. Кузнецова

Сдано в набор 25/Х 1966 г. Подписано к печати 10/XII 1966 г.

Формат бум 60х901/16. Бумага типографская № 3, Бум. л. 2,0. Печ. л. 4,0. Уч.-изд. л. 3,99.

А 17326. Тираж 45 300 экз. Заказ 3382. Цена 12 коп. Опубликовано тем. план 1967 г. № 106. Издательство «Знание». Москва, Центр. Новая пл., д. 3/4.

Типография изд-ва «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4,

ЗАЧЕМ НУЖНЫ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КОНГРЕССЫ

Когда среди московских математиков разнеслась весть о том, что в августе 1966 года в Московском государственном университете будет проведен Международный математический конгресс, это известие вызвало оживление и большой интерес. Дело в том, что всемирных форумов представителей математической науки в нашей стране ранее не проводилось. Поэтому было очень лестно, что на этот раз Международный математический союз избрал для проведения конгресса Москву. Решение это, бесспорно, явилось признанием значительного вклада советских математиков в мировую науку. Для многих специалистов, работающих в области математики или в смежных областях, было приятно сознание, что они получат возможность «из первых рук» познакомиться с современными проблемами точных наук, прослушать доклады знаменитых ученых, увидеть тех, чьи имена были известны им из специальной литературы, учебников, энциклопедий.

— Интересно, приедет ли Николай Бурбаки?— шутили одни1.— Насчет Бурбаки неизвестно,— отвечали другие,— а Анри Картан, говорят, приедет.

К началу августа стали известны некоторые данные о количественном составе предстоящего конгресса. Они буквально ошеломили. Оказалось, что число участников превысит 4500! Корифеи математики предполагали прочитать около 100 докладов — часовых и получасовых, а на секциях было запланировано 2100 сообщений. Такие цифры вызвали даже некоторую тревогу — справятся ли организаторы со своей

1 Николай Бурбаки — фиктивная личность, псевдоним большой группы лучших математиков Франции в тех случаях, когда эта группа работает совместно. Дальше о Бурбаки будет сказано подробнее.

трудной задачей? Ведь предшествующий Стокгольмский конгресс принимал вдвое меньше делегатов.

Надо сказать, что лето 1966 года для Москвы вообще стало летом международных встреч ученых. Проводился конгресс психологов, конгресс по сверхнизким температурам и другие совещания мирового масштаба. Но среди них самым крупным и самым важным был безусловно ICM — International Congress of Mathematicians — Международный конгресс математиков.

Теперь, когда конгресс завершился и стал достоянием истории, мы можем не без гордости сказать: он прошел на высшем уровне четкости и организованности. Математики, занимавшиеся подготовкой и проведением конгресса, оказались достойными представителями точнейшей из наук: они рассчитали все и предусмотрели все. Сложнейший механизм работы и отдыха пяти тысяч людей в течение десяти дней работал безупречно. Начиная от первой пресс-конференции в Доме дружбы, состоявшейся 12 августа, и до отъездов иностранных гостей после 26 августа, события разворачивались напряженно, насыщенно, интересно, но в то же время без единого перебоя или срыва. Уже одно это нужно считать большим достижением, хотя, конечно, главные успехи конгресса были в другом.

Чтобы не показаться пристрастными в оценке организации конгресса, можно сослаться на мнение зарубежных делегатов — достаточно авторитетных и опытных. Вот что сказал, например, знаменитый математик Де Рам (Швейцария):

— Мы знаем, насколько трудно организовать такую крупную международную встречу ученых, как нынешний конгресс в Москве, и были поражены четкостью его работы.

Один из главных «героев» конгресса — лауреат Филдсовской премии Смейл (США) — заявил, что он восхищен великолепной организацией Московского конгресса, и добавил, что в Америке провести конгресс на таком уровне было бы невозможно.

Итак, как устроители встречи и гостеприимные хозяева, наши математики не ударили лицом в грязь. Но оказались ли они на той же высоте в отношении сделанного ими научного вклада в конгресс? По общему мнению всех участников — да. Наша математическая наука прозвучала в Москве в полный голос и ее авторитет во всем мире укрепился еще больше. Почти половину всех секционных сообщений сделали советские ученые, и не только по праву хозяев — им было что сказать своим иностранным коллегам.

О чем же они говорили и что услышали от своих друзей? В чем же заключался основной смысл конгресса и какова его цель?

В общем-то каждый из читателей в большей или меньшей

степени понимает для чего нужны научные конгрессы, съезды, конференции, симпозиумы и т. д. Основные цели их — обмен достижениями, подведение итогов в какой-то области науки за какой-то срок, координирование усилий на основных направлениях поисков. Но математика занимает несколько специфичное место среди других отраслей человеческого знания, и потому математические конгрессы обладают чертами, не свойственными, скажем, конгрессам по техническим дисциплинам.

Конгресс математиков, как и любой съезд ученых, является смотром основных достижений за период между двумя очередными конгрессами. На этом смотре определяются узловые проблемы математики и совместными усилиями наиболее компетентных специалистов математической науки производится как бы раскладка тем по степени их важности — на одних ставится восклицательный знак, на других — два восклицательных знака, а третьи, возможно, снимаются с повестки дня и объявляются исчерпанными. В математике такой объективный обзор значимости различных направлений исследований играет совершенно исключительную роль. Это связано с тем, что математика больше, чем любая другая наука, содержит в себе внутренние стимулы развития, не зависящие от внешних требований.

Мы часто слышим, что математика родилась из насущных потребностей жизни. Например, геометрия возникла в результате необходимости юридически обоснованно делить земельные участки; отсюда произошло название этой науки. Все это верно, но верно также и то, что, получив первый толчок извне, математика дальше в значительной степени повинуется своей собственной логике движения и часто прорубает просеки в чаще неведения согласно разработанным ею самой планам. Такие просеки иногда заводят исследователей в почти сказочные дебри — перед ними открываются странные ландшафты с непохожими ни на что красками и очертаниями. А когда математик рассказывает об этих призрачных землях непосвященному, последний, как правило, задает вопрос: «А зачем все это нужно?». Вопрос, при всей его наивности, очень трудный и неприятный для математика. Ведь люди, самозабвенно просиживающие дни и ночи над проблемами алгебры, топологии или теории множеств, тратят свои силы совсем не потому, что надеются немедленно оказать человечеству практическую пользу — добыть с помощью доказанной теоремы что-то вроде волшебной мельницы Сампо, а лишь потому, что их задела за живое увлекательная и кажущаяся не столь уж трудной, но упорно не дающаяся загадка. И как такой исследователь может объяснить, зачем нужно разгадывать загадку — в таком разгадывании смысл его жизни!

Сказанное здесь «кажущаяся не столь уж трудной» не

случайно. Математики—люди очень практичные в некотором смысле и они не любят браться за «безнадежные» проблемы. В то же время им хочется открыть что-то новое и каждый из них удаляется от известного в меру своей смелости и своего таланта. Но и самые гениальные все же бродят где-то «у края ойкумены». Решение одних вопросов автоматически вызывает к жизни постановку смежных, из теоремы А вытекает следствие В, работа Иванова заинтересовывает Петрова и тот ставит более общий вопрос и так далее. Таким вот образом и расширяется сфера математического знания. Получается в некотором роде цепная реакция.

Является ли этот процесс неконтролируемым? Нет, полностью спонтанным его назвать нельзя. Как бы математики ни «растекались мыслью по древу», они все время испытывают прямое или косвенное влияние окружающей жизни и ее запросов, предъявляемых к науке. В первую очередь это выражается в том, что в каждый период времени какая-то область математики становится модной, поощряемой, авторитетной и в нее устремляются в большом количестве энергичные свежие силы. И хотя вся математика продолжает развиваться по законам внутренней взаимосвязи проблем, «модная» область обгоняет в своем росте другие.

Как же устанавливается «мода»? Что объявляется перспективным и важным? В математике в таких определениях чрезвычайно легко ошибиться, причем всегда существует опасность очень жестоко расплатиться за ошибку. Все дело в том, что практически важные приложения математического открытия обычно запаздывают, приходят не сразу и часто довольно неожиданно.

Еще в прошлом веке великим немецким математиком Риманом были сформулированы почти все основные предпосылки, необходимые для создания общей теории относительности, однако последняя была разработана Эйнштейном лишь в 1916 году. Другой пример: английский ученый Джордж Буль создал алгебру высказываний более, чем сто лет назад. Но лишь совсем недавно эта отрасль математической науки стала исключительно важной и легла в основу машинной математики.

Очень часто ветвь математики, которая не находит практического применения непосредственно после своей разработки, как правило, объявляется «заумной», «слишком абстрактной», «оторванной от жизни» и тому подобное. Но, презирая скепсис и насмешки, энтузиасты-одиночки продолжают свои упорные поиски. И вот настает час торжества: область науки, считавшаяся никому не нужной, выходит на передний план среди других отраслей знания, оказывается в центре внимания ученых. Для исследований в этой области ассигнуются миллионы, основные понятия ее проникают в различ-

ные учебники. Так было уже не раз и не два. И мало-помалу ученые и те, от кого зависит финансирование научных исследований, стали осторожнее. В настоящий момент, вероятно, ни одно развитое государство уже не объявляет ни одну область математики ненужной, и «на всякий случай» поощряет все исследования «царицы наук». И все же, полное равноправие невозможно, хотя бы из материальных соображений. Кто же должен предсказывать, что же именно в ближайшие годы может стать особенно важным?

Чтобы сделать такой прогноз, нужно иметь огромный кругозор. Нужно видеть самые отдаленные связи между различными областями математики. Современная же математика стала настолько дифференцированной, что нередко можно слышать: математики перестают понимать друг друга (в частности, эту фразу можно было услышать и на Московском конгрессе). И уж совершенно определенно, что универсальные корифеи, знающие всю математику, как знал ее в свое время Эйлер, сейчас немыслимы. Означает ли это, что прогноз невозможен вообще и математика вынуждена отныне оставаться разобщенной? Нет, конечно. Это была бы смерть для математики как науки, она распалась бы на «много разных математик». И если этого не происходит, то именно потому, что есть все же гигантский ум, охватывающий всю математику— коллективный ум многих ученых. На конгрессах коллективный мозг ученых работает в полную силу и делает то, чего не смог бы сделать никто из ученых в отдельности.

Утверждение, что математики теряют общий язык, является, разумеется, несколько преувеличенным. Конечно, специалист в алгебре не знает так все тонкости дифференциальных уравнений, как тот, кто посвятил исследованию их всю жизнь. Но и то и другое — математика. Алгебраист, прослушав на конгрессе доклад по дифференциальным уравнениям, все же поймет очень многое — неизмеримо больше, чем, скажем, инженер или физик-экспериментатор. И не только поймет, но и извлечет для себя пользу, увидит больший круг проблем, чем он видел до сих пор. Обмен идеями математиков разных, особенно смежных отраслей этой науки — вещь совершенно необходимая. Такой обмен идей позволяет создавать более или менее объективную картину математической науки в целом и определять «ударные» направления на общем фронте математики.

Другая важная роль конгресса математиков состоит в общении специалистов одной и той же отрасли. Казалось бы нет особого смысла тратить средства на поездки в другие города или страны — все равно ученые ревностно следят за печатными работами своих зарубежных коллег, думающих над теми же проблемами. Однако одно только чтение статей в настоящее время не может удовлетворить пол-

ностью их интереса. Дело в том, что библиография даже этих специальных работ стала слишком обширной и зачастую математику не удается полностью просмотреть даже перечень всех опубликованных трудов из близко его касающейся области науки. Кибернетика еще не настолько прочно внедрена в дело отбора и сортировки информации, чтобы существенно помочь желающему регулярно следить за всеми работами в какой-то области этой науки. Ему нужно просиживать часами над каталогами. Как это ни печально, но несмотря на развитие теории информации и вычислительных машин, наиболее надежным, оперативным и эффективным способом обмена идеями остается непосредственное общение ученых. И математики всегда жаждут такого общения со своими «единомышленниками».

Рассказывают, что лет двадцать тому назад в Московский университет приехал один знаменитый французский математик— живая легенда. Прославленного ученого решили встретить подобающим образом — ознакомить со всеми достопримечательностями города, показать балет и т. д. Но француз заупрямился: едва сойдя с самолета, он заявил, что хочет встретиться с русским профессором, который еще в 1920 году доказал теорему, опровергающую его гипотезу. Представители Интуриста пришли в смущение — вся тщательно продуманная ими программа визита ломалась. Гостя стали всячески отговаривать от мысли о визите к московскому профессору, предлагали осмотреть Оружейную палату, дворец в Архангельском... Но ученый был неумолим. Пришлось менять программу. Коллеги встретились и в течение целого дня говорили о понятных и дорогих им только двоим предметах.

Таких личных встреч и кулуарных бесед, важных для ученых, на Московском конгрессе было великое множество. В период работы конгресса в МГУ постоянно можно было видеть пары собеседников, ничего не замечавших вокруг себя. Эти люди, которые отлично знали друг друга по статьям в реферативных журналах и ссылались друг на друга в своих работах, наконец получили возможность лично увидеть друг друга и «отвести душу». Эти личные встречи начались в первый же день даже не работы, а открытия конгресса, когда академик Петровский объявил во Дворце съездов перерыв между официальной частью и концертом.

Знаменитый голландский математик Фройденталь, говоря с корреспондентом о результатах конгресса, заявил:

— Самое интересное на конгрессе — встречи с математиками разных школ и стран, беседы с ними по спорным и малоразработанным вопросам науки.

Такого же мнения придерживались и многие другие участники конгресса.

Теперь надо сказать и о третьей функции такого международного форума математиков, каким был Московский конгресс. Она заключается в воспитательной роли конгресса.

Известно, что молодежь играет очень важную роль в любой отрасли науки, но в математике эта роль, пожалуй, исключительна. Вот что пишет по этому поводу академик Соболев:

«Одна из главных особенностей молодости — быстрый рост, устремленность вперед. В этом смысле наука всегда молода. Чем больше проходит веков, тем быстрее она развивается, тем смелее отказывается от догм и узости. Спрашивается: кому же, если не молодежи, быть самым энергичным двигателем науки?

...Надо помнить, что в той же математике, например, олицетворяющей собою строгую научную логику вообще, наиболее смелые и интересные идеи выдвигаются, как правило, молодыми. Э. Галуа сделал свое знаменитое открытие в возрасте 20 лет. А. Эйнштейн создал теорию относительности, когда ему было 26 лет. Наш советский математик Л. Понтрягин сформулировал закон двойственности — одно из фундаментальнейших открытий современной математики, приведшее к выделению особой науки—топологической алгебры,— в 24 года».

Дать возможность молодым математикам не только послушать «корифеев», но и выступить самим, попробовать свои силы и обрести уверенность в них — было одной из главных задач конгресса. И эта задача также была успешно решена.

Молодежь показала себя на конгрессе по-настоящему. В частности, прозвучавшие в полный голос доклады советских молодых математиков вызвали сильный резонанс среди участников. И если в некоторых других областях нашей деятельности, например, в спорте, раздаются жалобы на недостаточное количество молодых кадров и в связи с этим выражается тревога, то в нашей математической науке таких опасений не существует и это стало совершенно ясно после Московского конгресса.

С блестящим докладом выступил молодой профессор Владимир Игоревич Арнольд. Он занимался исследованием вопроса об устойчивости механических движений и нашел в этой области науки такое доказательство существования устойчивости, которое раньше не было известно. Это было важно не только для математиков, но и для астрономов и космогонистов.

Другой молодой математик, член-корреспондент Академии наук СССР Сергей Петрович Новиков сделал получасовой доклад «Характеристические классы». За этим кратким названием скрывается важный шаг в развитии того раздела

геометрии, который связан с топологическими проблемами. О современной топологии не так-то легко рассказать популярно, можно лишь заметить, что работы С. П. Новикова являются одними из лучших советских научных работ за последнее время.

Но не только «именитые» молодые ученые вроде Арнольда или Новикова выступали с докладами на конгрессе. Делегаты выслушали многих аспирантов и даже нескольких студентов. Надо полагать, что к следующему конгрессу, который состоится в Ницце, эти студенты станут уже зрелыми исследователями и также выступят с докладами.

Когда речь идет о футбольной команде, важной характеристикой является средний возраст игроков. Если он невелик, это радует тренеров, так как такой возраст свидетельствует о хороших перспективах. Вероятно, примерно так же можно было бы оценивать перспективность советской, французской, немецкой и других математических школ — по среднему возрасту делегатов конгресса. Однако подобная статистика не дала бы строго объективной картины, ибо «команды» находились в неодинаковых условиях в смысле возможности попасть на конгресс. Ясно, что нам легче было включить в повестку заседаний доклад молодого математика, живущего в Москве, и таким образом «обстрелять» его, чем сделать это американцам, которые должны платить за билет на самолет через Атлантический океан и обратно. Но если брать весь конгресс в целом, то средний возраст делегата окажется как раз в тех пределах, которые с точки зрения математики считаются молодостью. И это, безусловно, свидетельствует о подъеме математической науки в целом.

ОРГАНИЗАЦИЯ КОНГРЕССА

Математические конгрессы (как и олимпийские игры) проводятся сейчас раз в четыре года. Только после войны год проведения конгресса не совпадает с олимпийскими годами, а лежит точно посередине между ними.

До первой мировой войны было проведено пять конгрессов:

1897 год, Цюрих (Швейцария);

1900 год, Париж (Франция);

1904 год, Гейдельберг (Германия);

1908 год, Рим (Италия);

1912 год, Кембридж (Англия).

Как видно, строгой периодичности их до первой мировой войны еще не было. Ее стали придерживаться лишь со второго конгресса, состоявшегося в 1900 году. Однако и до этого математики многих стран мира съезжались на свой форум: в 1920 году в Страсбург (Франция) и в 1924 году в Торонто (Канада). Но эти конгрессы по решению их участников не были признаны международными, так как к участию в них по политическим причинам не были допущены немецкие математики — тогда ведущая группа в математической науке.

Итак, продолжение официального счета таково:

1928 год, Болонья (Италия);

1932 год, Цюрих (Швейцария);

1936 год, Осло (Норвегия).

После окончания второй мировой войны была создана Международная ассоциация математиков, в которую вошла 41 страна. На Московском конгрессе были избраны новый президент ее—Анри Картан (Франция)—и вице-президенты— М. А. Лаврентьев (СССР) и Д. Монтгомери (США). В каждой из стран-членов имеется свой национальный комитет. В послевоенные годы все математические конгрессы проводятся под руководством Международной ассоциации. Вот эти конгрессы:

1950 год, Кембридж (США);

1954 год, Амстердам (Нидерланды);

1958 год, Эдинбург (Великобритания);

1962 год, Стокгольм (Швеция);

1966 год, Москва (СССР).

Порядок работы Московского конгресса был таков: 16 августа в Кремлевском Дворце съездов состоялось открытие его. После официальной церемонии четырем математикам были вручены Филдсовские медали. При этом были прочитаны доклады о работах, заслуживших такое награждение. Рабочая часть конгресса проходила в здании МГУ на Ленинских горах с 17 по 26 августа.

Что представляют собой Филдсовские медали и какова их история?

Как известно, по какому-то, очевидно, досадному недоразумению знаменитые Нобелевские премии математикам не присуждаются: в уставе премии это не предусмотрено, а изменить завещание Нобеля уже нельзя. Но так же хорошо известно, что в наше время хорошая математическая работа стоит не меньше, чем работа в любой другой области науки. Частичный выход из положения предложил некий Больцано (не математик Больцано, в честь которого названа теорема анализа, а просто богатый меценат), оставивший премию своего имени для награждения как общественных деятелей, так и ученых, в том числе математиков. Больцановская пре-

мия как бы приравнивается Нобелевской по математике. Из наших ученых ее получил академик А. Н. Колмогоров. Но этого было недостаточно и на помощь Больцано пришел другой меценат — канадец Филдс. Он завещал выплачивать лучшим математикам мира, возраст которых не превышает 40 лет, две премии по 1500 канадских долларов каждая и давать лауреату золотую медаль. Будучи человеком скромным, Филдс просил выбивать на медали не его имя, а имя награжденного. Как видно, Филдс не просто стремился поощрить математические исследования, но и помочь молодым ученым.

Недавно еще один богач, пожелавший остаться неизвестным (его скромность оказалась даже больше, чем скромность Филдса), удвоил количество премий, и на Московском конгрессе, таким образом, были вручены уже четыре премии. Двое лауреатов — Смейл и Коэн — являются гражданами США, один — Аттия — англичанин арабского происхождения, а четвертый — Гротендик — хотя и живет во Франции, но отказался от какого-либо подданства и подал заявление в ООН с просьбой считать его гражданином мира. ООН удовлетворила просьбу Гротендика, и он получил соответствующий паспорт. Кстати говоря, на Московском конгрессе он не присутствовал.

Филдсовскими премиями, вручаемыми в начале конгрессов, как бы отмечают лучшие математические работы, вышедшие за время между двумя конгрессами. Разумеется, в оценке значимости результата имеется всегда известная субъективность мнения, но все четыре последних Филдсовских лауреата, бесспорно, сделали важный вклад в математическую науку. О блестящем достижении одного из награжденных— Коэна, мы расскажем дальше. Говоря о другом лауреате, Смейле, нужно заметить, что этот молодой ученый является страстным противником грязной войны, которую его страна ведет против вьетнамского народа. Находясь перед Московским конгрессом в Европе, Смейл много выступал в разных странах с резкими осуждениями политики США в Юго-Восточной Азии. Эта деятельность знаменитого математика пришлась не по вкусу ФБР, и Смейлу было предписано ни в коем случае не ехать на Московский конгресс. Но ученый отказался подчиниться нажиму Вашингтона и не только присутствовал на конгрессе, но и, находясь в Москве, продолжал выступать в защиту мира во Вьетнаме.

Как уже было сказано, количество делегатов конгресса превысило 4500 человек. Все это огромное множество специалистов разных направлений нужно было разбить на группы по интересам — секции. Всего было создано 15 секций:

1. Математической логики и оснований математики;

2. Алгебры;

3. Теории чисел;

4. Классического анализа;

5. Функционального анализа;

6. Обыкновенных дифференциальных уравнений;

7. Дифференциальных уравнений с частными производными;

8. Топологии;

9. Геометрии;

10. Алгебраической геометрии и комплексных многообразий;

11. Теории вероятностей и математической статистики;

12. Прикладной математики и математической физики;

13. Математических проблем управляющих систем;

14. Вычислительной математики;

15. Истории математики и вопросов преподавания математики.

Организаторы конгресса сочли необходимым попросить ведущих математиков важнейших отраслей сделать доклады как бы для всех—так называемые доклады по приглашению. Эти доклады оплачивались. Следует заметить, что по уставу любой из математиков может сделать доклад по приглашению только один раз в жизни. Перечень докладов в какой-то мере служит иллюстрацией важности основных направлений поиска:

Адамс Джон Фрайк (Англия) — «Обзор по гомотопической теории»;

Артин Майкл (США) — «Топология схем»;

Аттия Майкл (Англия) — «Глобальные аспекты теории эллиптических дифференциальных операторов» ;

Беллман Ричард (США) — «Динамическое программирование и современная теория управления»;

Виноградов И. М. и Постников А. Г. (СССР) — «О развитии за последние годы аналитической теории чисел»;

Ефимов Н. В. (СССР) — «Гиперболические задачи теории поверхностей»;

Карлесон Леннарт (США) — «Сходимость и суммируемость рядов Фурье»;

Крейн М. Г. (СССР) — «Аналитические проблемы и результаты теории линейных операторов в гильбертовом пространстве»;

Мальгранж Бернар (Франция)—«Локальная теория дифференцируемых функций»;

Мальцев А. И. (СССР) — «Некоторые пограничные вопросы алгебры и математической логики»;

Пятецкий-Шапиро И. И. (СССР)—«Автоморфные функции и арифметические группы»;

Смейл Стефен (США) — «Дифференцируемые динамические системы»;

Стейн Чарлз (США) — «О некоторых новых исследованиях по математической статистике»;

Томпсон Дж. Г. (США) — «Характеристики простых финитных групп»;

Хариш-Чандра (США) — «Гармонический анализ на полупростых группах Ли»;

Шредер Иоганн (ФРГ) — «Уравнения и оценки ошибок»;

Шютте Курт (ФРГ) — «Новые результаты в теории доказательств»;

Получасовые доклады.

Абхианкар Шриман (США) — «О проблеме (разрешения особенностей»;

Айзерман М. А., Браверман Э. М. и Розоноэр Л. И. (СССР) — «Экстраполяционные задачи автоматического управления и метод потенциальных функций»;

Аносов Д. В. (СССР) — «Динамические системы с трансверсальными слоениями»;

Арнольд В. И. (СССР) — «Проблема устойчивости и эргодические свойства классических динамических систем»;

Басс Хайман (США) — «Группы Уайтхеда и Гротендика групповых колец»;

Берч Б. Дж. (США) — «Арифметическая теория эллиптических кривых»;

Бишоп Е. А. (США) — «Конструктивный анализ»;

Боровков А. А. (СССР) — «Об условиях сходимости к диффузионным процессам и асимптотических методах теории массового обслуживания»;

Броудэр Вильям (США) — «Гомотопические методы в дифференциальной топологии»;

Везентини Эдуардо (Италия)—«Жесткость факторов ограниченных симметрических областей»;

Витушкин А. Г. (СССР)—«О возможности представления функций суперпозициями функций от меньшего числа измерений»;

Вишик М. И. (СССР) — «Эллиптические уравнения в свертках в ограниченной области и их приложения»;

Гарабедян П. Р. (США) — «Вычислительные эксперименты с гипотезой Бибербаха»;

Глушков В. М. (СССР) — «Автоматно-алгебраические аспекты оптимизации микропрограммы управляющих систем»;

Голод Е. С. (СССР) — «О некоторых проблемах Бернсайдовского типа»;

Гончар А. А. (СССР) — «Скорость приближения рациональными дробями и свойства функций»;

Граев М. И. и Кириллов А. А. (СССР) — «Теория представления групп»;

Грауэрт Г. и Реммерт Р. (ФРГ) — «О неархимедовом анализе»;

Гренандер Ульф (Швеция)—«Метрическая грамматика образов»;

Де Джорджи Эннио (Италия) —«Гиперповерхности минимальной меры в многомерных эвклидовых пространствах»;

Джон Фриц (США) — «Влияние геометрических параметров на поведение твердого тела»;

Диксмье Жак (Франция) — «Дуальное пространство алгебры или локально компактной группы»;

Дуади Андре (Франция)—«Некоторые проблемы модулей в комплексной аналитической геометрии»;

Ершов Ю. Л. (СССР) — «Элементарные теории полей»;

Заде Л. А. (США)—«Исследование некоторых неклассических задач управления в США»;

Заславский И. Д., Цейтин Г. С. и Шанин Н. А. (СССР) — «Особенности конструктивного математического анализа»;

Ибрагимов И. А. (СССР) — «Некоторые аспекты спектральной теории стационарных процессов»;

Кальдерон Альберто П. (США) — «Сингулярные интегральные операторы и дифференциальные уравнения»;

Клингенберг Вильгельм (ФРГ)—«Теория Морса в пространстве замкнутых кривых»;

Колчин Е. Р. (США) — «Вопросы дифференциальной алгебры»;

Кон Джозеф Джон (США) — «Дифференциальные комплексы»;

Коэн П. Дж. (США) — «Независимость гипотезы континуума и аксиомы выбора»;

Ладыженская О. А. (СССР) — «О некоторых нелинейных задачах теории сплошных сред»;

Лакс Питер Д. (США)—«Теория рассеяния для акустического уравнения с неопределенной формой энергии»;

Лехто Олле (Финляндия) — «Квазиконформные отображения на плоскости»;

Манин Ю. И. (СССР) — «Рациональные поверхности и когомологий Галуа»;

Марчук Г. И. (СССР) — «Вычислительные методы и теории переноса»;

Митягин Б. С. (СССР) и Пельчинский А. (Польша) — «Ядерные операторы и апроксимативная размерность»;

Мишель Л. (Франция) — «Теория групп и элементарные частицы»;

Моисеев Н. Н. (СССР) — «Численные методы, использующие варьирование в пространстве состояний, и некоторые вопросы управления большими системами»;

Нерон Андре (Франция) — «Индекс пересечения в диофантовой геометрии»;

Новиков С. П. (СССР) — «Характеристические классы»;

Оно Такаси (Япония) — «О числах Тамагавы»;

Паламодов В. П. (СССР)—«Общие свойства линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами»;

Папи Жорж (Бельгия)—«Исторические и педагогические вопросы»;

Пономарев В. И. (СССР) —«О пространствах, соабсолютных с метрическими»;

Росси Хуго (США) — «Дифференцируемые подмногообразия комплексного эвклидова пространства»;

Сигал И. Е. (США) — «Теория бесконечномерных функций и нелинейные дифференциальные уравнения с частными производными»;

Симура Торо (Япония) — «Числовые поля и дзета-функции, ассоциированные с дискретными группами и алгебраическими многообразиями»;

Соболев С. Л. (СССР)—«Теория приближения интегралов функций многих переменных»;

Стайнберг Роберт (США)—«Классы элементов полупростых алгебраических групп»;

Стюарт Дж. Т. (США)—«Гидродинамическая устойчивость при конечных амплитудах и ее связь с переходом к турбулентности»;

Сэрф Жан (Франция) — «Изотопия и псевдоизотопия»;

Тихонов А. Н. (СССР) — «О методах решения некорректно поставленных задач»;

Топоногов В. А. (СССР)—«Одна теорема о римановых пространствах, содержащих прямые линии»;

Уилкинсон Джеймс Харди (Англия) — «Априорный анализ ошибок в алгебраических процессах»;

Уолл Ч. Т. (Англия)—«Классификация многообразий с точностью до гомеоморфизмов и диффеоморфизмов»;

Урбаник К. (Польша) — «Информация и термодинамика»;

Хэйл Дж. К. (США) — «Колебания в дифференциально-разностных уравнениях»;

Хэфлигер Андре (Швейцария) — «Заузленные сферы и связанные с ними геометрические проблемы»;

Хирш Моррис Вильям (США) — «Сглаживание многообразий»;

Штрассен Фолкер (ФРГ) — «Теоремы о повторных логарифмах»;

Элайес П. (США) — «Гауссовы каналы и системы с обратной связью»;

Юшкевич А. П. (СССР) — «Исследования по истории математики в странах Востока в средние века: итоги и перспективы»

Кроме перечисленных запланированных заранее докладов по приглашению, в ходе конгресса решено было поставить

еще несколько, в частности доклад академика А. Н. Колмогорова о преподавании математики в средней школе. Но как сделать это, не нарушая заранее объявленного порядка,— математикам не к лицу ведь отступать от точного заранее объявленного расписания? Выход был найден такой: в университете провели заседание советских математиков не по линии конгресса, а совсем по другой. Делегатам конгресса объявили, что желающие могут послушать Колмогорова. Желающих оказалось столько, что первоначально намеченный зал не вместил их, и пришлось переходить в другое помещение.

Те, кто был в Московском университете в перерыве между заседаниями, видели пеструю толпу представителей самых разных стран. Вот каким был состав конгресса:

Австралия 20 делегатов

Марокко 2 делегата

Австрия 3 »

Мексика 4 »

Алжир 3 »

Нигерия 3 »

Аргентина 1 »

Нидерланды 92 »

Афганистан 2 »

Новая Зеландия 5 »

Бельгия 9 »

Норвегия 17 »

Болгария 81 »

ОАР 1 »

Бразилия 3 »

Польша 120 »

Великобритания 286 »

Румыния 88 »

Венгрия 94 »

Сенегал 3 »

Вьетнам 5 »

Сирия 1 »

Гана 3 »

СССР 1479 »

ГДР 229 »

США 725 »

Греция 14 »

Танзания 1 »

Дания 17 »

Тунис 1 »

Замбия 1 »

Турция 3 »

Западный Берлин 22 »

Финляндия 15 »

Израиль 20 »

Франция 280 »

Индия 12 »

ФРГ 147 »

Иран 3 »

Чехословакия 60 »

Ирландия 9 »

Чили 5 »

Испания 7 »

Швейцария 58 »

Италия 70 »

Швеция 89 »

Канада 83 »

Югославия 46 »

КНДР 2 »

Япония 26 »

Куба 3 »

Ливан 2 »

Мадагаскар 2 »

Учитывая данные о количественном представительстве стран, организаторы постановили утвердить в качестве официальных языков конгресса русский, английский, французский и немецкий языки. Это означало, что любой выступающий— с докладом по приглашению или с сообщением — может говорить на любом из этих четырех языков, но ни на каком другом. Перевода было решено не делать: во-первых, из-за технических трудностей, а во-вторых, предполагалось, что ученые, как правило, знают основные европейские языки. Правда, такое допущение подтвердилось не полностью и случалось, что англичанин не понимал французский доклад или

советский делегат не мог уловить сказанное по-английски. Чтобы облегчить положение своих слушателей, докладчики часто применяли прием, который можно назвать синтезом: например, поляк докладывал на английском языке, но в конце каждого раздела кратко резюмировал сказанное по-русски, или русский, говоря на родном языке, писал на доске главные положения по-английски. Упрощало дело, конечно, то, что математические формулы и обозначения являются интернациональными.

В отдельных случаях доклады шли с переводом на русский. Но это была как бы частная инициатива. При этом во всей полноте было видно, как трудно организовать перевод на математическом конгрессе. Переводчик должен был знать предмет и свободно два языка. Именно такой случай осуществился, когда доклад Мальгранжа переводил Арнольд. Понятно, что найти таких людей в большом количестве было почти невозможно.

Хотя основной частью конгресса были доклады, сообщения и кулуарные профессиональные беседы. Но этой, деловой, стороной жизнь делегатов не ограничивалась. Нельзя ведь провести десять дней без отдыха! И математики, конечно, отдыхали. Для них были организованы экскурсии в Загорск, во Владимир и Суздаль, в Ясную Поляну, по каналу имени Москвы и даже в Ленинград. В университетском клубе состоялся вечер встречи молодых математиков, концерт лауреатов конкурса имени Чайковского. В дни конгресса москвичи часто видели на улицах столицы иностранцев с планом города в руках и значком на лацкане, на котором был изображен интеграл на фоне земного шара. На ломаном русском языке гости задавали вопросы: как попасть в Кремль, как добраться до Останкино и т. д.

Организуя развлечения делегатов, лица, ответственные за проведение конгресса, не полагались целиком только на Интурист, Московский университет или на общеизвестное гостеприимство русских. Вообще говоря, делегаты конгресса чувствовали себя в Москве совершенно свободно, можно было бы сказать «как дома», если бы было известно, как они чувствуют себя дома. Французский математик Дуади ходил во время конгресса ...босиком. Это не было подражание Льву Толстому — просто Дуади убежден в пользе хождения босиком. На ступенях университетской лестницы участники конгресса ложились загорать под лучами августовского солнца, играли где придется в бадминтон. Но главным признаком полной непринужденности было то, что в любом месте, где собирались несколько человек со значками конгресса, сейчас же слышался дружный смех.

В заключительный день конгресса состоялся даже футбольный матч, который можно было бы назвать «Сборная

СССР — Сборная мира». Наши футболисты выиграли со счетом 5 : 2. Разумеется, в команды допускались только математики, даже не просто математики, а делегаты конгресса. Судьи также были делегаты.

Очень многие участники конгресса приехали в Москву с семьями. Уже в день открытия конгресса, когда президент Академии наук СССР М. В. Келдыш произносил вступительную речь в Кремлевском Дворце съездов, где-то в ложе неожиданно заплакал ребенок. Детей математиков, работающих на заседаниях, нужно было занимать, и это тоже сумели организовать, направляя интерес их в основном по линии зоологии (посещение зоопарка, уголка Дурова и т. д.). Для жен ученых был создан «дамский комитет».

Немало забот доставила организаторам необходимость регулярно освещать ход конгресса на страницах печати. Недостатка в журналистах — наших и зарубежных, конечно, не было. Но журналисты, к сожалению, не были одновременно математиками. Поэтому движение информации о конгрессе к рядовому читателю газеты или журнала было двустепенным: сначала ученый на пресс-конференции рассказывал представителям прессы о главных докладах или сообщениях дня, стараясь объяснить все как можно популярнее, а затем уже исписавшие свои блокноты разными заметками журналисты ломали головы над тем, как изложить все услышанное еще доходчивее. На каждом из двух этапов усилия не всегда увенчивались успехом. Сперва была подана мысль просить авторов наиболее интересных докладов делать общепонятное изложение своего выступления специально для пресс-центра в письменном виде. Однако этот способ информации не привился, так как математики единодушно заявили, что составить такую популярную бумагу гораздо труднее, чем написать доклад. Всю тяжесть перевода с научного языка на понятный журналистам пришлось взять на себя руководителю пресс-центра профессору В. Г. Болтянскому. Каждый день с 13 до 14 часов, а часто и значительно больше, он терпеливо объяснял окружавшим его газетчикам и журналистам суть той или иной затронутой на конгрессе проблемы. И все же, помещенные в печати в дни конгресса материалы были не всегда точны.

Говорят, что у Платона над дверью дома было написано: «Да не войдет сюда не знающий геометрии». Профессор А. И. Маркушевич остроумно заметил, что некий незримый лозунг, подобный этому, как бы висел над дверьми рабочих комнат конгресса. Неспециалистам нечего было делать на секциях, кроме, может быть, пятнадцатой,— секции истории и преподавания математики. Прессе нужно было формулировать общую постановку вопросов, их прикладное значение и перспективы развития той или иной отрасли математики. Все это

делалось, конечно, с большим напряжением. Зато уж в освещении «бытовых» сторон конгресса журналисты отводили душу. Очень сильно интересовали их также вопросы, связанные с персоналиями математиков. И просто до невозможности волновал один из них: приехал ли Бурбаки?

Имя Николая Бурбаки появилось еще в тридцатых годах. Первое время никто не обратил особого внимания на еще одного исследователя математических проблем. Но вскоре Бурбаки начал издавать огромный труд — книгу, претендующую на изложение всей математики с современной точки зрения. Сочинения Бурбаки были отмечены такой явной печатью гения и оказались столь энциклопедичны, что стало ясно: одному человеку, даже самому великому, это не под силу. Но что за коллектив скрывается за вымышленным именем?

Постепенно тайна приоткрывалась, хотя сам Бурбаки ни в чем не признался и до сегодняшнего дня. Выяснилось, что группу «невидимок» составляют лучшие математики Франции — цвет мировой математической науки. Эти ученые выступают со статьями и книгами также и под своими обычными именами, если они работают в одиночку. Но как только они собираются вместе и творят сообща (ходят слухи, что их собрания происходят раз в год на Лазурном берегу, причем во время работы из снятой виллы никто не выходит, а продовольствие запасается заранее), их индивидуальности полностью растворяются в имени Бурбаки.

Бурбаки оказывает огромное влияние на современную математику. Есть страны, где все развитие математической науки идет под знаком идей Бурбаки (например, Бразилия). В некоторых математических центрах, например, в Геттингене, возникла и яркая оппозиция коллективному гиганту мысли. Но так или иначе, Бурбаки волнует умы математиков всего мира, а иногда и веселит их.

Говорят, что, когда Бурбаки прислал в математическое общество США заявление о вступлении, секретарь — назовем его Смитом — ответил, что коллективные члены по уставу общества не принимаются. Бурбаки возмутился — ведь его составная природа официально никем не была доказана, и написал статью, в которой утверждал, что Смит не является фактической личностью, а представляет собой псевдоним группы людей. И секретарь общества убедился, как трудно опровергнуть такое обвинение!

Так все же: приехал Бурбаки в Москву? В списке делегатов Франции он значился под номером 4397. Это выгодно — французы получают лишний экземпляр докладов и других материалов. Никто не сомневался, что вполне реальные «составляющие» Бурбаки—Дьедонне, Анри Картан, Мандельброт, а может быть, и еще другие — были в Москве. Ведь до конца секрет великого математика так и не раскрыт.

Материалы Московского конгресса огромны по своему объему: если бы все официальные выступления ученых прозвучали подряд, без всяких перерывов, то слушать их нужно было бы 25 суток — днями и ночами. Но истинная грандиозность этих материалов заключается, конечно, в их содержании. Доклады и сообщения являлись лишь кратким экстрактом, за которым зачастую скрывались годы труда. Многие выступления делались докладчиками от имени целой группы исследователей, и в этом смысле можно сказать, что в работе его принимали участие значительно больше чем 5000 математиков—делегатов конгресса. Объективно и полно подвести хотя бы основные итоги конгресса было бы не под силу даже исполину науки масштаба Бурбаки. В нашей брошюре можно попытаться лишь вскользь коснуться некоторых проблем, обсуждавшихся на конгрессе, и постараться популярно изложить их сущность.

Поскольку выделить наиболее важные проблемы невозможно, ибо сегодня никто не может сказать с уверенностью, что окажется самым существенным завтра, при выборе пришлось руководствоваться, во-первых, «сенсационностью» темы, то есть тем резонансом, который она вызвала на конгрессе, и, во-вторых, возможностью популяризации этих проблем. Итак, вопреки Платону, мы говорим: да побывает на Московском конгрессе математиков и тот, кто «не знает геометрии», и да познакомится он с некоторыми из вопросов, которыми занимались ученые разных стран мира.

ЗАГАДКА БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА

Старые нерешенные проблемы — не редкость в математике. Среди них есть такие, которые имеют более, чем тысячелетний возраст, как, например, проблема простых чисел. Напомним ее сущность. Простым называется такое число, которое не имеет делителей, кроме самого себя и единицы (скажем, 13; 41 или 53). Вопрос состоит в том, чтобы отыскать способ узнавать, является ли любое данное число простым, не испытывая всех его возможных делителей. До сегодняшнего дня никто такого способа не придумал, хотя проблемой занимались такие великие умы, как Гаусс и Эйлер.

В качестве примеров более «свежих» можно привести так называемую Великую теорему Ферма (это не та теорема Ферма, которая доказывается на первом году институтского курса математического анализа), ожидающую своего доказа-

тельства или опровержения около четырехсот лет, и проблему четырех красок, поставленную в прошлом столетии.

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом:

«Не существует таких целых положительных чисел, х, у и z, чтобы для целого n >3 имело место равенство

xn + yn = zn»

Пьер Ферма, живший еще до Ньютона, написал однажды на полях книжки, что он нашел поистине замечательное доказательство этой теоремы, но недостаточный размер листа бумаги не позволяет изложить этот результат. Сейчас ученые сомневаются, что Ферма действительно доказал свою теорему, они склонны думать, что ему это лишь казалось и он не замечал какой-то ошибки в рассуждении или нестрогости. Но если он все же был прав, то очень жаль, что под его руками не оказалось нужного листка бумаги: сотни людей были бы избавлены от мучительных и безрезультатных поисков.

А вот как звучит задача о четырех красках:

«Каким бы способом ни был разбит на отдельные участки кусок плоскости с помощью проведенных линий, всегда можно найти способ раскраски, при котором будет употреблено не больше четырех красок, каждый участок будет выкрашен определенной краской и соседние участки будут выкрашены разными красками (соседними считаются участки, граничащие вдоль некоторой линии)». Приведенное утверждение означает, что всегда можно найти такое расположение четырех красок, что различные участки не сольются в глазах зрителя.

Когда нематематику рассказываешь о такого рода проблемах, он обязательно (можете проверить!) задает вопрос: а зачем это нужно?

Действительно, зачем, казалось бы, нужно биться над доказательством теоремы Ферма, от которой никакого проку промышленности или сельскому хозяйству заведомо не будет? Почему человек, которому удалось бы ее доказать, навеки войдет в историю науки и, наверное, будет избран членом многих академий мира?

Какое дело человеку до свойств абстрактных, воображаемых категорий, каковыми являются числа, линии или фигуры?

Удивляясь способности искусства затрагивать душу человека, причем затрагивать сильнейшим образом, Шекспир восклицал: «что он Гекубе, что ему Гекуба?» Ведь если встать на практическую точку зрения, нельзя не признать странным и необъяснимым, что античная драма, повествующая о давно умерших и истлевших в земле людях, трогает сердца живых.

Точно так же можно недоумевать почему так интенсивно развивалась астрономия. Положим, сейчас наука о звездах

и туманностях дает сведения о ядерных процессах, которые можно в принципе осуществить и на Земле. Но зачем исследовал небо Вильям Гершель, не имевший ни малейшей надежды использовать полученные с помощью телескопа знания для практической пользы?

Если уж мы процитировали одного великого писателя, то следует теперь напомнить слова другого. Чехов, возражая на утверждение, что человеку нужно лишь два аршина земли, справедливо и логично заметил, что два аршина нужны не человеку, а трупу; человеку же нужен весь мир. Эта точка зрения не противоречит и известному высказыванию героя тургеневской повести о том, что мир — мастерская, а человек в ней — работник.

Чтобы быть хорошим работником, нужно хорошо знать структуру того, над чем работаешь. И люди, сознательно или же инстинктивно, проявляют постоянный интерес ко всему, что связано с устройством окружающего мира. Ко всем деталям этого устройства человек испытывает ненасытное любопытство — врожденное и неистребимое. И вовсе не так уж важно, пойдет ли сразу же в дело новое открытие или будет ждать своего часа. Человеческий ум не остается безразличным, ибо все, что его окружает,— достояние человека, и рано или поздно новое открытие пригодится.

Так случилось, например, с астрономическими открытиями. Астрономия, как нам известно еще из школьных учебников, зародилась в Древнем Египте или в Вавилоне и появление ее было связано с необходимостью предсказывать разливы рек, ориентироваться на местности и т. д. Может быть, эти практические потребности и сыграли свою немалую роль как первоначальный импульс, способствовавший изучению неба. Однако прав и академик Амбарцумян, который, говоря о причинах зарождения астрономических исследований, напомнил, что человек отличается от известного животного тем, что иногда поднимает голову вверх и смотрит на небо. И бескорыстный интерес многих поколений любознательных умов к устройству Вселенной неожиданно привел к таким открытиям, которые мы сейчас обращаем для себя в прямую материальную выгоду.

Мы уже говорили, что в математике совершенно невозможно предвидеть, какое открытие двинет вперед физику, технику и затем окажет влияние на весь уклад нашей жизни. Но нет никакого сомнения в том, что всякое принципиальное открытие обязательно помогает нашему овладению силами природы. А чем более общей, абстрактной, отвлеченной от всего частного, конкретного является область математики, тем она принципиальнее, ибо затрагивает глубины глубин, проливает свет на универсальные закономерности, свойственные широчайшему классу явлений. Как раз такими областями яв-

ляются теория чисел, с которой связана теорема Ферма, и теория множеств, к которой относится блестящий результат Коэна. Задача, о которой пойдет сейчас речь, поставлена еще в конце прошлого века. С тех пор над ее решением тщетно бились лучшие математические умы. И лишь совсем недавно проблему «закрыл» молодой американский математик Коэн, которому за эту работу на Московском конгрессе была вручена Филдсовская медаль.

В своем математическом развитии человечество (как, вероятно, и каждый отдельный человек) освоило сначала конечные множества, а затем уже бесконечные. Переход к понятию бесконечности можно назвать революцией в мышлении — это был поистине поразительный по смелости прыжок в неизвестность. Совершив этот прыжок, наука приобрела аппарат огромной мощности. Благодаря разработке концепции бесконечности удалось создать теоретически обоснованный математический анализ, проникший сейчас во все области техники. Но бесконечность привнесла в математику и свои проблемы.

Во-первых, очень скоро стало ясно, что бесконечные множества не все одинаковы — есть менее богатые и более богатые элементами. Для новичка в математике это кажется странным: как может одна бесконечность быть «больше» другой? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно указать способ, с помощью которого можно сравнивать бесконечные множества.

Как мы сравниваем два конечных множества? Как, например, можно установить, кого в комнате больше—мужчин или женщин? Для этого имеется два пути. Можно сосчитать количество женщин, потом сосчитать количество мужчин и сравнить два полученных числа. В этом способе мы сравниваем множество мужчин и множество женщин с неким абстрактным рядом — множеством натуральных чисел, то есть вводим посредника, третье множество. Но можно обойтись и без него и сравнивать множества друг с другом непосредственно. Для этого достаточно, скажем, объявить танец и посмотреть, что будет дальше. Если останутся сидеть женщины, значит их больше, если мужчины — наоборот. Если же в танце будут участвовать все, значит множества эквивалентны.

Для сравнения между собою бесконечных множеств единственно возможным оказывается способ непосредственного сопоставления. Это понял еще восемьдесят лет назад уроженец Петербурга, немецкий ученый Георг Кантор. Он дал определение, которое до сих пор лежит в основе теории множеств: два бесконечных множества считаются эквивалентными, если можно найти такой закон соответствия, при котором каждому элементу первого множества будет сопоставлен один и только один элемент второго множества и наоборот.

Приведем примеры эквивалентных между собою множеств.

1. Множество всех натуральных чисел и множество четных чисел. Доказательство эквивалентности сводится к простому сопоставлению: всякому натуральному числу ставится в соответствие четное число в два раза большее. Ясно, что сопоставление удовлетворяет требованию Кантора.

2. Множество точек двух различных по длине отрезков. Канторовское сопоставление осуществляется в этом случае с помощью проекции из должным образом выбранной точки, как это показано на рис. 1.

3. Множество натуральных чисел и множество всех положительных рациональных чисел (дробей). Для сопоставления расположим рациональные числа следующим образом: в первой строке (она будет бесконечной длины) расположим все дроби со знаменателем единица. Это будут, разумеется, просто все натуральные числа. Во второй строке напишем все дроби со знаменателем двойка, пропуская, естественно, сократимые. Третью строчку образуют дроби, у которых в знаменателе стоит тройка, и так далее. В результате получится бесконечная в две стороны таблица:

Ясно, что ни одна дробь не будет пропущена в такой таблице.

Теперь уже нетрудно осуществить требуемое сопоставление. Выстроим натуральные числа по такой же форме, заполняя ее, например, таким образом:

Рис. 1.

Стрелки в таблице показывают, по какому закону заполняется она натуральными числами. Если две приведенные таблицы наложить друг на друга, то осуществится то самое взаимно однозначное соответствие, которое служит доказательством эквивалентности множеств.

Рассмотренные примеры показывают, что в теории бесконечных множеств возникают вещи довольно странные с точки зрения тех, кто привык к свойствам конечных множеств и считал их универсальными. Неискушенному человеку кажется очевидным, что натуральных чисел вдвое больше, чем четных, однако выясняется, что тех и других—«одинаковое количество». Так же не вызывает сомнения с позиции «здравого смысла», что маленький отрезок содержит меньше точек, чем большой, но и это опровергается математикой. Но самое парадоксальное наблюдается в третьем примере. Уже первая строка таблицы рациональных чисел совпадает с множеством натуральных чисел, а кроме нее имеется еще бесчисленное количество строк и все же рациональных чисел «столько же», сколько и натуральных (!). Иными словами, одна только строчка бесконечно растянувшейся вниз таблицы равноценна всей таблице.

Из-за того, что в теории множеств понятия «больше элементов» или «меньше элементов» имеют ясный смысл только по отношению к конечным множествам, употребления этих понятий избегают. Если два множества оказываются эквивалентными (по Кантору), их называют множествами одинаковой мощности или равномощными. С помощью взаимно однозначного сопоставления элементов математики установили, какие из известных множеств эквивалентны или равномощны друг другу, и в результате разбили всю совокупность множеств на классы так, что внутри каждого класса множества имеют одинаковую мощность. Для многих наиболее важных классов соответствующие мощности получили собственные названия.

Вот, например, один из таких классов: множество натуральных чисел; множество целых чисел (включая отрицательные); множество четных чисел; множество чисел, кратных трем; множество точных квадратов; множество точных кубов; множество простых чисел и т. д. Все перечисленные множества между собою равномощны, для некоторых пар множеств мы это уже доказали, для других читатель может найти доказательство самостоятельно, кроме, разве, равномощности множества простых чисел и множества, например, натуральных чисел. Равномощность их можно доказать так: пусть имеется несколько простых чисел — p1, p2, p3, ... pn; образуем число, равное их произведению плюс единица. Оно не делится ни на одно из данных простых чисел, следовательно, оно или само является простым или имеет простые делители,

отличные от р1, р2 и т. д. Следовательно, к любому количеству данных простых чисел всегда можно приписать еще одно, а это значит, что простые числа образуют бесконечный ряд, так же как и натуральные числа.

Общая для всех перечисленных множеств мощность называется счетной. Счетное множество—простейший и ранее всех изученный случай бесконечного множества.

Мы узнали, как определять равномощность двух множеств. А можно ли ставить вопрос о том, какое из множеств, принадлежащих к разным группам, более мощное, а какое менее мощное? Да, располагать группы по степени увеличения мощности можно. Если два множества не являются эквивалентными и при этом одно из них эквивалентно части другого, то более объемлющее множество считается более мощным. Такая ситуация возникает при сравнении множества действительных чисел с рядом натуральных чисел.

Под действительными понимаются как рациональные, так и иррациональные числа, то есть такие числа, которые не могут быть представлены в виде дроби, где в числителе и знаменателе стоят целые числа. Всякое иррациональное число может быть выражено бесконечной непериодической десятичной дробью. И вот, оказывается, что как ни располагай всевозможные десятичные дроби в таблицу, подобную той, которая приведена выше, между числами таблицы всегда можно найти хотя бы одно пропущенное Сна самом деле, разумеется, не одно, а бесчисленное множество). Значит множество действительных чисел не удается взаимно-однозначно сопоставить со счетным множеством (существует строгое доказательство этого; здесь мы призываем читателя принять все на веру), то есть эти множества не являются равномощными. Числа рациональные в то же время составляют часть действительных чисел. Следовательно, мощность действительных чисел превосходит мощность счетного множества. Эту более высокую мощность называют мощностью континуума.

Множество точек на отрезке или на кривой также обладает мощностью континуума. Это нетрудно было предвидеть: как известно, если нанести на прямой начало отсчета (нуль) и единицу (определить масштаб), то каждая точка этой прямой (числовой оси) определит некоторое действительное число и, наоборот,— любое действительное число будет соответствовать определенной точке числовой оси. Но это означает равномощность.

Для тех, кто хорошо помнит математический анализ, мы приведем еще один пример множества мощности континуума: множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке, скажем, от нуля до единицы. Такая же мощность характерна для множества точек плоской или объемной фигуры. В кубе точек «столько же», сколько в квадрате или на отрезке —

это очередной «парадокс» теории. Мощностью континуума обладает и множество всех точек безграничного трехмерного пространства и даже пространства любого числа измерений. Как видите, континуум очень широко распространен в мире математических категорий.

Существует ли множество еще более мощное, чем континуум? Конечно. Таковым является хотя бы множество всех функций (не обязательно непрерывных), заданных на отрезке нуль — единица или на любом другом отрезке. Но и это не самая грандиозная из бесконечностей, существуют и более мощные множества.

Когда аппарат теории множества был разработан со всей строгостью и математики научились им пользоваться, возникло стремление изобретать все более мощные бесконечные множества. Наконец встал вопрос: а существует ли самое мощное множество и каково оно? На первый взгляд казалось, что ответ должен быть таким: самым мощным из всех множеств является «множество всех множеств», элементами которого являются любые мыслимые множества: отдельные числа, любые сочетания чисел, множества функций, корней функций, линий, поверхностей, многомерных фигур и т. д. Кроме всех перечисленных и им подобных вещей, в «множество всех множеств» должны входить также в качестве элементов разнообразные комбинации самых разнородных величин. Элементом наиболее универсального множества должна быть пара функция — число и вообще всякая пара, которую мы можем вообразить. Бесспорно, образованное таким способом множество не уступит в мощности никакому другому, ибо любое другое составляет часть его (а кроме того, является отдельным элементом его). Но вот повело себя такое «множество всех множеств» как-то не очень понятно, и исследователи стали сомневаться, можно ли считать его «нормальным» множеством. Парадокс получился вот в чем: наше множество должно включать себя самого в качестве своего элемента, ибо оно содержит на правах элементов все существующие множества. Но пополнившись самим собой, оно становится уже новым множеством, которое в свою очередь должно войти в него составным элементом, и так далее. Возникает некая цепь множеств, которая не дает возможности говорить об определенном фиксированном множестве.

Итак, в крайней области гигантских мощностей возникли неприятности. Зато сравнительно спокойно было на другом конце ряда бесконечных множеств, который открывался счетными множествами. Но и здесь была своя проблема, хотя и не казавшаяся страшной. Она заключалась в вопросе: существует ли множество с мощностью промежуточной между мощностями счетного множества и континуума? Примера такого множества в математике не имелось, но это, конечно,

не означало, что проблема решена. Наличие примера не требовало бы доказательств; его отсутствие оставляло вопрос открытым.

Намного ли «больше» континуум, чем счетное множество — поместится ли между ними промежуточное множество? Опять нужно напомнить, что и то и другое множество состоят из бесконечного числа элементов. И все же, в некотором смысле континуум содержит гораздо больше элементов, чем счетное множество. Различие в масштабах можно пояснить с помощью следующей иллюстрации.

Рассмотрим отрезок числовой оси между точками нуль и единица. Каждая точка этого отрезка соответствует либо рациональному числу, либо иррациональному. Точки первого типа назовем рациональными, второго — иррациональными. И тех и других точек, конечно, бесчисленное множество. Более того, на всем отрезке точки обоих типов располагаются бесконечно густо. Это значит, что между сколь угодно близкими рациональными точками всегда существует хотя бы еще одна рациональная точка (например, их полусумма), и то же можно сказать об иррациональных точках. И все же именно точки иррациональные играют определяющую роль в формировании отрезка.

Представим, что мы наугад воткнули в отрезок иголкой с бесконечно острым концом. Каков будет шанс попасть в рациональную точку? Оказывается, вероятность такого попадания равна нулю. Сколько бы раз мы ни повторяли попытку— хотя бы затратили на это триллионы лет, производя уколы с частотой работы хорошей швейной машины, на кончик иглы будут попадаться одни только иррациональные точки. Это сначала кажется просто невероятным, но становится совершенно очевидным, если используется представление о иррациональных числах, как о десятичных дробях, отвечающих определенным условиям. В самом деле, случайное попадание иголкой в рациональную точку так же маловероятно, как мала вероятность того, что, ударяя бесконечное число раз по цифровым литерам пишущей машинки, можно получить случайно с какого-то момента периодическое повторение знаков. Проиллюстрировать это можно иначе. Предположим, что отрезок материален и весит, скажем, один грамм. Выкинем из него все рациональные точки. Он по-прежнему будет весить ровно один грамм.

Сказанное здесь подтверждает, что континуум — множество намного более богатое элементами, чем счетное множество. Грубо говоря, континуум больше счетного множества в бесконечное число раз. Но это само по себе еще не доказывает обязательного наличия промежуточного множества.

Еще создатель теории бесконечных множеств Кантор совершенно интуитивно высказал гипотезу о том, что промежу-

точного множества не существует. Поскольку речь идет о том, является ли континуум бесконечным множеством «номер два», предположение Кантора сокращенно назвали гипотезой континуума (континуум-гипотезой). Легионы математиков— любителей и профессионалов — пытались, подобно теореме Ферма, доказать эту догадку, чтобы превратить ее в математический факт.

Около тридцати лет назад немецкий математик Гёдель сильнейшим образом подкрепил гипотезу Кантора. Гёдель доказал, что никаким логическим рассуждением нельзя опровергнуть предположение о том, что не существует промежуточного множества. Дело как бы клонилось к торжеству интуиции. Но природа оказалась хитрее, чем мог подумать самый недоверчивый математик.

Коэн доказал, что никакими принятыми в математике способами нельзя и опровергнуть предположение о том, что существуют множества более мощные, чем счетное, и менее мощные, чем континуум.

Создалось более чем удивительное положение: гипотезу континуума нельзя ни опровергнуть, ни доказать!

После сенсационного результата Коэна вся теория бесконечных множеств оказалась в особом положении среди других отраслей математики. Затронуты глубочайшие проблемы, связанные с представлением о строгости рассуждения. Вся математическая логика и само понятие доказательства требуют, по-видимому, теперь пересмотра.

Интересно, что и раньше, благодаря появлению в теории бесконечных множеств разных парадоксов (вроде «множества всех множеств»), многие математики с недоверием относились к этой теории, считая ее не столь убедительной, как, скажем, алгебру. Борясь с неблагополучиями теории множеств, великие математики первой половины нашего столетия Бертран Рассел (известный всему миру своей общественной деятельностью) и Уайтхед разработали ряд построений с использованием необычного типа логики. Сейчас подобными исследованиями занимается школа Андрея Андреевича Маркова. В новой логике нет, например, принципа исключенного третьего (всякое явление есть либо А, либо не А). Другая линия состоит в том, что рассматриваются не любые множества, а только те из них, которые удовлетворяют определенным требованиям. Иными словами, некоторые множества объявляются как бы запретными и математике предписывается не иметь с ними дела.

Еще раз отметим исключительное своеобразие положения, возникшего в теории множеств после работы Коэна. То, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть, на первый взгляд напоминает ситуацию с параллельными ли-

ниями в геометрии. По такой поверхностной аналогии может показаться, что предположение Кантора допустимо взять в качестве постулата и построить «канторовскую» теорию множеств и с таким же правом принять как аксиому существование промежуточного множества (ведь это недоказуемо и неопровержимо!) и построить «неканторовскую» теорию множеств, подобно тому как строят эвклидову и неэвклидову геометрии. Чем будут отличаться выводы этих двух равноправных теорий — пока неизвестно. Но вспомним, что математический анализ основан на свойствах множества действительных чисел, имеющего мощность континуума. Если допущение о промежуточном множестве пошатнет теорию действительных чисел или изменит ту ее форму, которая существует сейчас, то воздействие этих сдвигов испытает весь анализ. А это будет означать, что некоторые, возможно очень существенные проблемы дифференциальных уравнений или разложения функций в ряды или еще что-то получат совершенно новое теоретическое обоснование.

Большие достижения, знаменующие собой новый этап в какой-то отрасли математики, делаются сравнительно редко. И приятно сознавать, что мы явились свидетелями такого редкого события. Проблемы континуума, столько времени занимавшей математиков всего мира, больше нет. И разрешение, которое получила эта знаменитая проблема, оказалось совершенно неожиданным. Всегда считалось, что гипотеза Кантора будет со временем либо точно доказана, либо так же точно опровергнута. И очень мало кто из математиков проявлял скептицизм (теперь, как будто оправданный!), считая, что теория множеств есть довольно произвольная игра человеческого ума. Теперь уже ясно, что последние открытия в этой области заставят сконцентрировать здесь большие усилия, чтобы навести порядок. И быть может отрицательный результат Коэна станет поводом для совершенно нового математического построения, как отрицательный результат опыта Майкелсона стал толчком для создания Эйнштейном теории относительности. В общем, нужен новый Эйнштейн, новый Коперник или новый Лобачевский.

Близко к затронутым нами только что вопросам примыкает теория доказательств. Обзору последних работ в этой области был посвящен часовой доклад математика из ФРГ Курта Шютте.

Вероятно, нет культурного человека в нашей стране, который не слышал бы или не читал о драме идей в области геометрии, связанной с революционными работами Лобачевского, Гаусса и Римана. Деятельность этих великих ученых оставила такой неизгладимый след в науке и так повлияла на все мышление исследователей, что их, безусловно, следует поставить в первый ряд гигантов мысли. О них написано

столько статей и книг, что нам нет нужды рассказывать о существе полученных ими результатов и, тем более, описывать трудности, с которыми они боролись, добиваясь торжества своих смелых высказываний. Мы не ставим себе также целью показать всю последовательность развития геометрии — от эвклидовой к римановой. Нас будет интересовать геометрия не сама по себе, а постольку, поскольку на ее примере лучше всего видны проблемы теории доказательств и методы разрешения этих проблем. На историю геометрических оснований мы будем смотреть с точки зрения все большего торжества четкости, строгости и логического совершенства.

Геометрия возникла, конечно, задолго до Эвклида—в Вавилоне или в Древнем Египте, но это вопрос истории науки. Первый геометрический трактат, построенный по научному (как его понимают сейчас) принципу, был труд Эвклида. У него впервые было сделано ясное различие между тем, что нужно доказывать (теоремой), и тем, что принимается без доказательства (аксиома, постулат). В частности, постулатом было объявлено следующее положение: через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, не пересекающаяся с данной прямой. Эта прямая называется прямой, параллельной данной.

Красивейшее построение эвклидовой геометрии производило громадное впечатление на каждое новое поколение в течение многих веков. Древо геометрических теорем разрасталось и давало множество замечательных плодов. Но на нем были также и ветви, уходящие в неизвестность или представляющие собою загадку. Тысячи безымянных энтузиастов старались осуществить трисекцию угла или квадратуру круга — и все напрасно. Но среди всего этого ряда проблем геометрии одна занимала особое место: доказательство постулата Эвклида о параллельных линиях, или пятого постулата. Дело в том, что этот постулат отличается от других четырех своей относительной сложностью и тем, что интуитивно всегда кажется: его можно вывести логическим путем, а не принимать на веру. И почти до середины прошлого столетия доказательство пятого постулата было официально санкционированным математической наукой занятием.

Первым, кто повернул свою мысль в другую, как впоследствии оказалось, правильную сторону, был казанский профессор Николай Лобачевский. Зная о тщетности попыток доказательства злополучного постулата, он решил заменить его другим, противоположным, положением: через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две не совпадающих между собою прямых, которые не пересекаются с данной прямой. Основываясь на этом, казавшемся в то время нелепом постулате,

Лобачевский построил некую «воображаемую» геометрию, которая, однако, была формально столь же стройной, сколь «обычная» эвклидова геометрия, имевшая более чем тысячелетний возраст. Новая геометрия, воспринимавшаяся современниками как академическая игра ума, привела впоследствии к грандиозным сдвигам в науке.

Чтобы понять логическое значение построения Лобачевского, лучше всего говорить не о параллельных линиях, а о треугольниках. Нетрудно показать, что пятый постулат Эвклида равносилен утверждению, что сумма углов треугольника составляет два прямых угла. Если это утверждение взять за аксиому, тогда положение Эвклида о параллельных линиях можно будет доказать как теорему. Так вот, в своей «воображаемой» геометрии Лобачевский взял как бы за постулат другое высказывание: сумма углов треугольника больше двух прямых углов. Получившаяся при таком предположении геометрия во всем напоминала эвклидову: была такой же строгой и стройной и лишь теоремы, разумеется, формулировались по-другому. И наш гениальный математик, видя стройность созданной им геометрии, глубоко верил в то, что она может оказаться более правильной, чем эвклидова. Он всячески стремился получить подтверждение своих ожиданий и даже производил проверочные измерения. Но опровергнуть эвклидову геометрию путем эксперимента он так и не смог.

Несколько позже великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, идя по пути, начатому Лобачевским, создал еще одну геометрию. В ней сумма углов треугольника была меньше двух прямых. Но вся система построений оказалась ничуть не хуже с формальной стороны, чем геометрии Эвклида и Лобачевского. Так появилась вторая неэвклидова геометрия.

В конце прошлого столетия третий великий математик — немец Бернгард Риман — создал обобщенную геометрию, в которую входили как частные случаи эвклидова и обе неэвклидовых. К тому времени математики достаточно хорошо привыкли к абстрактным построениям и даже больше того—начали страшно увлекаться такими построениями. Геометрия Римана поэтому не вызвала того ошеломляющего эффекта, который произвел своей новой геометрией первый из этих исследователей — Лобачевский. Но как же разрешилось дело с установлением того, какая геометрия реализуется в действительности?

Если говорить о том, равна ли, меньше или больше двух прямых углов сумма углов треугольника, построенного в реальном пространстве на трех реальных точках, то вопрос остается пока открытым — соответствующее измерение должно быть произведено с точностью, превышающей современные

возможности. Но значение обобщенной геометрии выходит далеко за рамки землемерии, от которой берет свое начало эвклидова геометрия, и распространяется не только на многие отрасли математики, но даже и на смежные науки, например на физику.

В общей теории относительности, созданной Альбертом Эйнштейном в 1916 году, рассматривается обобщенная геометрия в четырехмерном пространстве, координатными осями которого служат обычные пространственные оси и временная ось. Это пространство, как говорят, искривлено — оно не является эвклидовым и степень его искривления зависит от внесенной в него массы, то есть меняется от точки к точке. Это означает, что в теории относительности для объяснения поведения тел используются все виды геометрий и все они являются там равноправными, а следовательно, говорить о предпочтительности одной из них не представляется возможным.

Можно было бы привести множество других примеров использования в практических целях разных геометрических систем, но уже на основании теории относительности мы вправе сделать кардинальный по своему гносеологическому значению вывод: говорить о правильности такой-то геометрии и о неправильности другой принципиально невозможно, ибо любая частная геометрия, вытекающая из наиболее общей, римановой геометрии, отражает какую-то сторону объективной действительности, моделирует определенные реально происходящие процессы и, следовательно, имеет ценность для познавания окружающего мира.

Итак, критерий практики, который так упорно хотели применить Лобачевский и Гаусс, не может выделить какую-либо одну геометрию. Но нет ли других критериев, чисто математических? Нельзя ли все же установить, какая геометрия лучше всего согласуется с логикой, то есть какая из них наиболее совершенна с внутренней точки зрения?

Постановка этого вопроса знаменовала собою наступление нового этапа (после этапа, пройденного Лобачевским, Гауссом и Риманом) и в развитии не только геометрии, но и всей математики в целом. Тщательному изучению стали подвергаться самые основания геометрии, проверялась их прочность. Особенно много в этой области сделал немецкий математик-универсал Давид Гильберт. Он поставил проблему непротиворечивости данной системы аксиом. Что это такое?

Как было сказано, через несколько десятков лет после выхода в свет революционной работы Лобачевского математиков перестали пугать даже самые странные на первый взгляд построения «чистого разума». Но это не означало, конечно, что можно развлекаться сочинительством разнооб-

разных систем постулатов и возведением на этих системах различных математических конструкций. Как понял Гильберт, к аксиоматике предъявляются довольно жесткие требования и произвольный, случайно подобранный ряд постулатов почти наверняка не будет удовлетворять этим требованиям.

Во-первых, все положения аксиоматики должны быть независимыми, то есть никакое из них не должно быть следствием других. Это было известно еще Эвклиду и остается справедливым до сегодняшнего дня. Требование это означает, что система аксиом не должна содержать слишком много положений. Но, с другой стороны, аксиом не может быть и слишком мало — тогда система не будет обладать полнотой и в базирующемся на ней построении возникнут логические провалы — такие детали, которые нельзя будет проанализировать или для доказательства которых невозможно будет сформулировать важных теорем. Третье требование, которое интересует нас больше всего,— требование непротиворечивости системы аксиом. Вот в чем оно состоит.

Как все мы помним со школьной скамьи, курс эвклидовой геометрии содержит огромное количество утверждений, которые строго доказываются, то есть безукоризненно логично выводятся из основных, недоказуемых положений — аксиом. Доказуемые, выводимые положения называются теоремами. И мы помним, что почти всегда теорему можно доказать не одним и даже не двумя, а очень многими способами. Очень часто одной из задач, стоящих перед геометром, является как раз отыскание нового доказательства, например, более изящного или более короткого.

Рассмотрим для примера одну весьма простую теорему: угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, есть прямой угол. Как можно доказать это общеизвестное положение?

Первый способ доказательства. Сначала докажем, что любой угол, вписанный в окружность и лежащий одной из своих сторон на диаметре, равен половине дуги, на которую он опирается. Это явствует из рис. 2: внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним, а эти углы равны между собою по теореме о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Теорема же о внешнем угле треугольника, так же, как и утверждение об углах равнобедренного треугольника, следует из аксиом эвклидовой геометрии.

Второй способ доказательства. Построим точку D, симметричную точке В относительно центра окружности (рис. 3). В четырехугольнике ABCD все углы равны друг другу, так как они складываются из попарно равных углов, равенство которых доказывается рассмотрением соответствующих равнобедренных треугольников с применением теоремы о равен-

Рис. 2.

Рис. 3.

стве вертикальных углов. Но сумма всех углов четырехугольника равна четырем прямым — это легко свести к постулату о сумме углов треугольника.

Итак, два различных логических построения, покоящихся на одних и тех же постулатах (наиболее явно нами использовался пятый постулат, но тщательный анализ каждого шага наших доказательств показывает, что в доказательствах неявно использовались и другие постулаты), приводят к одному и тому же выводу. Это так привычно для нас, что мы как-то не задумываемся над тем, что могло бы получиться и иначе. Могло бы, если бы аксиоматика оказалась недостаточно «хорошей».

Представим себе такую ситуацию: рассуждая одним способом, мы получаем некоторую теорему. Но вот мы стали строить другую цепь вытекающих друг из друга положений и эта новая цепь приводит нас к теореме, противоречащей первой. Причем оба логические построения основаны на одной и той же системе аксиом. Разумеется, такая система потеряла бы для нас всякую ценность, а математическая теория, построенная на ее основе, справедливо могла бы стать объектом насмешек. Набор исходных положений, принятых за постулаты, который может привести как к одному, так и к другому из двух противоречащих друг другу положений, называется противоречивым. Естественно, что к аксиоматике, в том числе к геометрической аксиоматике, предъявляется требование непротиворечивости.

Когда проблемы оснований геометрии стали достаточно ясными, оказалось, что попытки установить с помощью эксперимента, какая из геометрий лучше, были несколько наивными. Для полной легализации неэвклидовой геометрии стало необходимым выяснить только одно: не будет ли аксиоматика, лежащая в ее основе, противоречивой?

Вскоре после того, как этот вопрос встал, ответ на него был таким: в смысле непротиворечивости неэвклидова геометрия (как Лобачевского, так и Гаусса) совершенно эквивалентна эвклидовой геометрии. Это было показано с помощью так называемых моделей, в которых с каждым элементом эвклидовой геометрии сопоставляется другой ее элемент,—например, отрезки прямых линий сопоставляются с дугами окружностей, и такая «вывернутая наизнанку» геометрия Эвклида по формальному строению становится абсолютно тождественной какой-либо неэвклидовой. Таким образом строго доказывается, что если непротиворечива эвклидова геометрия, то непротиворечива и неэвклидова, а если эвклидова противоречива, то противоречива и неэвклидова. Но почему «если противоречива»? Разве преподаваемая в школах всего мира и проверенная опытом двух тысячелетий геометрия не является заведомо непротиворечивой? Оказывается, нет.

Пока никто еще не наткнулся на противоречие. За двадцать столетий ни разу не было получено логически безукоризненного результата, который был бы противоположен результату, столь же строго добытому с помощью другой логической цепочки, опирающейся на те же пять постулатов. Но, как мы уже говорили, отсутствие примера не является доказательством. Вообще говоря, из того, что пока противоречия не найдено, не следует, что оно никогда не будет найдено. Кто может предсказать — а вдруг при достаточном развитии теории такая коллизия произойдет? Возможно, все пока обходится гладко лишь потому, что человечеством накоплено еще слишком мало геометрических доказательств и что эти доказательства относительно просты!

С осознания того, о чем только что мы рассказали, и началось развитие теории доказательства. На первом его этапе делались многочисленные попытки доказать непротиворечивость той или иной ветви математики. И как уже много раз случалось в математике, задача доказательства непротиворечивости оказалась чрезвычайно трудной. Безуспешные поиски в этой области прекратил уже упоминавшийся нами Гёдель, который показал, что непротиворечивость теории недоказуема. Но этим Гёдель не умертвил теорию доказательств, а лишь направил ее в новое русло. Математики с помощью хитроумно подобранной модели доказали, что эвклидова (а значит и неэвклидова) геометрия столь же непротиворечива, сколь арифметика. Непротиворечивость арифметики, как и любой теории в математике, недоказуема, но считается предположением наиболее вероятным, ибо арифметикой люди пользуются без столкновения с какими-либо «катаклизмами» уже много тысяч лет — гораздо дольше, чем любой другой наукой.

И, тем не менее, критические умы ученых вовсе не склонны принимать непротиворечивость арифметики за аксиому. Хотя, согласно теореме Гёделя, с помощью общепринятых логических средств доказать эту непротиворечивость нельзя, математики все время пытаются выяснить вопрос: а не удастся ли провести такое доказательство с помощью несколько модифицированной логики, содержащей, например, не совсем обычный принцип математической индукции? И как сильно нужно менять этот принцип?

Именно о такого рода исследованиях доложил на конгрессе Шютте. Его выступление было выслушано с большим интересом, так как оно затронуло очень глубокие проблемы обоснования математических построений.

Оказалось, что с помощью более сильного, чем традиционный, принципа индукции, введенного Гентценом, можно доказать непротиворечивость некоторых положений арифметики.

В последних работах Фефермана и Шютте сделан был еще один шаг вперед: удалось несколько ослабить принцип Гентцена и с помощью логики, достаточно близкой к обычной, доказать непротиворечивость не только арифметики, но и некоторых других областей математики. В частности, Феферман установил, что в эти доказательства можно включить и какую-то часть математического анализа, хотя для этого пришлось ввести дополнительную аксиому.

Наконец, совсем недавно профессор Такеути продвинулся в этом направлении еще дальше. Однако оригинальная работа Такеути была изложена не вполне ясно с точки зрения принятого в теории доказательств математического языка. Шютте переформулировал теорию Такеути и сейчас стало возможным, выполнив ряд минимальных требований, наложенных на усиление логики (принципа индукции), доказать непротиворечивость большей части математического анализа.

И все же, несмотря на наличие крупных сдвигов в теории доказательств, твердое установление непротиворечивости практически наиболее важного раздела математики — анализа — остается грандиозно сложной задачей. Может быть мы со времен Ньютона пользуемся не абсолютно совершенным аппаратом? Может быть наши способы решения дифференциальных уравнений не строги с точки зрения безукоризненной логики?

Слыша такой вопрос, невольно задумываешься о соотношении практических результатов и логических обоснований в математике. Пока логическая инспекция анализа и других средств математики идет своим чередом, эти мощные средства продолжают служить людям и, надо сказать, неплохо.

Еще один результат первостепенного значения был получен недавно в теории тригонометрических рядов. О нем рас-

сказал в своем часовом докладе шведский математик Леннарт Карлесон. Им было получено доказательство, которое безуспешно искали многие математики всего мира в течение сорока лет. В чем же состояла разрешенная наконец проблема?

В математике, особенно в ее прикладных областях, огромную важность имеет вопрос о представлении некоторой заданной функции комбинацией других, обычно более простых функций. Это действие можно сравнить с выражением некоей зашифрованной в символах идеи общепонятными словами. Наиболее широко известным примером такого представления является разложение функции в степенной ряд или в ряд Тейлора. Все, кто учился в техническом вузе, помнят этот ряд, но мы все же скажем о нем несколько слов.

Простейшим случаем ряда Тейлора является выражение дробно-рациональной функции через бесконечную убывающую геометрическую прогрессию. Его дает известная даже в средней школе формула:

Равенство это справедливо лишь в том случае, если х по своему модулю меньше единицы, то есть разложение будет справедливым лишь в том случае, если выполняется условие |x|<1. Для любого значения х, взятого в этом диапазоне, бесконечный ряд, стоящий в правой части, сходится к значению выражаемой через него функции. Это означает, что по мере увеличения числа складываемых членов ряда получаемое значение будет все меньше и меньше отличаться от значения функции при том же самом х.

Другими, повсеместно распространенными в практике рядами Тейлора являются следующие:

Зачем может оказаться необходимым раскладывать функцию в степенной ряд? Дело в том, что функции xn (n =0,1,2,3,...), через которые представляют данную функцию с помощью формул, подобных приведенным выше, являются весьма простыми, хорошо изученными, и с ними легко произ-

водить математические операции — дифференцирование и интегрирование, сравнительно несложно строить их графики и т. д. Поэтому при рассмотрении многих теоретических вопросов удобнее производить действия не с данной функцией, а с ее выражением через ряд Тейлора. Что же касается практических задач, то при их решении степенной ряд особенно ценен: в расчетах и вычислениях всегда можно взять лишь некоторое число первых членов ряда (ошибка, возникающая при отбрасывании «хвоста», заранее может быть установлена по специальной формуле) и, таким образом, свести сложное аналитическое выражение к обыкновенному многочлену.

Но ряд Тейлора имеет и свои недостатки. Начнем с того, что, как мы могли заметить на некоторых из приведенных примеров, он сходится к функции лишь в определенной области значений аргумента. Вне этой области функция и соответствующий ей ряд Тейлора ведут себя совершенно различным образом, не совпадая между собою. Это особенно хорошо иллюстрируется геометрической прогрессией: левая часть написанного нами равенства будет равна минус единице, если положить x=2, в то время как правая часть явно обратится при этом в бесконечность (она будет состоять из бесконечного количества все увеличивающихся слагаемых).

Но эта ограниченность в справедливости разложения для некоторых из рядов Тейлора — не самое досадное. Хуже то, что, как показывает теория, рядами Тейлора могут быть выражены лишь функции, удовлетворяющие очень сильным требованиям. Функция только в том случае выражается бесконечным степенным рядом, если от нее можно взять сколько угодно последовательных производных, или, как говорят, если функция дифференцируема любое число раз. Такая функция представима степенным рядом и называется в математике аналитической.

Условие аналитичности — очень жесткое условие. Это можно проиллюстрировать наглядно. Рассмотрим ряд функций с постепенно увеличивающимся числом производных и обратим внимание на то, как «улучшаются» геометрические свойства изображающих эти функции кривых.

1. Функция не имеет в некоторых точках даже первой производной. В этом случае в точках, лишенных производной, график функции может иметь изломы (рис. 4). Линия, соответствующая такой функции, не является гладкой.

2. Функция имеет первую производную на всем отрезке, но в некоторых точках лишена второй производной. Теперь линия уже гладкая, но отдельные части кривой плохо сопряжены со скачкообразным изменением радиуса кривизны (рис. 5). Если по направляющей, изогнутой в форме такой линии, пустить тяжелый шарик, то в точках, где отсутствует вторая производная, шарик будет постукивать.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6.

3. Функция всюду дважды дифференцируема, но в отдельных точках отрезка теряет третью производную (рис. 6). В этом случае «плохие» точки кривой уже не бросаются в глаза. А можно ли их вообще заметить? На этот счет мнения расходятся. Одни математики утверждают, что дважды дифференцируемую, а трижды недифференцируемую функцию по ее графику человек не в силах отличить от бесконечно дифференцируемой (аналитической). Другие говорят, что при внимательном рассматривании кривой точки разрыва третьей производной все же как-то выделяются — они чем-то «не нравятся» нашему глазу. Но кто бы ни был в этом вопросе прав, график функции, имеющей на всем отрезке три первых производных и лишенной четвертой, уже наверняка воспринимается как абсолютно совершенный: на такой кривой не видно никаких изъянов, она выглядит и гладкой, и плавно меняющей кривизну. Даже скорость изменения ее кривизны меняется от точки к точке постепенно, без скачков и рывков. А ведь эта превосходная линия выражает функцию не только не аналитическую, но и довольно «плохую» с точки зрения количества производных. Эту функцию и громадное количество значительно «лучших» разложить в ряд Тейлора невозможно.

Это, конечно, весьма ограничивает возможности практического приложения формулы Тейлора, в остальном очень удобной. Ведь процессы, происходящие вокруг нас, изображаются зачастую не только не аналитическими функциями, но даже скачкообразными. Ценность разложения в сильнейшей степе-

ни зависит от того, насколько широк класс функций, к которым это разложение применимо.

Значительно «терпимее» к качеству функции, чем степенные ряды, относятся ряды тригонометрические. Их называют еще рядами Фурье. Ряд Фурье состоит из синусов и косинусов — тоже весьма простых и прекрасно изученных функций (в некотором смысле даже более простых, чем многочлены: их, например, удобнее дифференцировать и интегрировать, при перемножении можно использовать простые формулы и т. д.).

Вот пример разложения линейной функции у=х в ряд Фурье по косинусам на отрезке, заключенном между точками числовой оси 0 и я:

В данном случае мы получили формулу как бы противоположную формуле разложения косинуса в степенной ряд: у нас степенная функция с показателем единица раскладывается в ряд по косинусам со все уменьшающейся амплитудой и со все увеличивающейся частотой. Как видите, в математике есть возможность переводить формулы с одного языка на другой, а потом обратно.

Как и ряд Тейлора, ряд Фурье совпадает с изображаемой им функцией (сходится к этой функции) лишь на определенном отрезке (если функция не является периодической; в этом случае ряд Фурье изображает ее на всей числовой оси), и с этой точки зрения преимущества никакого не имеет. Зато неизмеримо расширяется класс представимых рядом функций. По размаху своей применимости ряд Фурье оставляет далеко позади степенной ряд и поэтому играет первостепенную роль во многих отраслях математики — как теоретических, так и прикладных. Там, где в протекании явления возникают остановки, крутые повороты, скачки, ряды Тейлора не годятся и на сцену выступают тригонометрические разложения. Им под силу всяческие «пилы», «лестницы» и другие прерывистые и ломаные линии, характерные, скажем, для радиотехники, импульсной техники и многих других сфер практического применения математики.

В чем же состоит минимальное требование разложимости в тригонометрический ряд? Знать это очень важно, так как иначе нельзя эффективно использовать его в практических расчетах. Кроме того, выяснение вопроса о точных условиях разложимости имеет большое теоретическое значение. Напомним, что для разложимости в ряд Тейлора условие давно известно: аналитичность.

Так же давно было известно заведомо завышенное условие разложимости в ряд Фурье. Оно носит название условия

Дирихле и заключается примерно в следующем: функция, которая является гладкой на всем отрезке, кроме конечного числа точек (она называется кусочно-гладкой), может быть разложена на этом отрезке в ряд Фурье.

Это сразу же показывает, что в ряд Фурье могут быть разложены очень многие функции из тех, что встречаются в практике. Функция должна иметь всего лишь непрерывную первую производную — непрерывность высших производных становится условием необязательным, а в отдельных точках ей разрешается даже иметь разрывы. На рис. 7 изображен график функции — довольно «неважной» функции, удовлетворяющей условию Дирихле. Ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится к ней почти всюду — за исключением точек разрыва, в которых ряд принимает значения, равные полусумме значений функции на краях разрыва.

Мы уже сказали, что условие Дирихле, прослужившее математическому анализу десятки лет, является некоторой перестраховкой. Это означает, что если бесспорно, что кусочно-гладкая функция представима рядом Фурье, то вовсе не обязательно, что всякая функция, которую можно подвергнуть разложению в ряд Фурье, сходящийся к ней почти во всех точках, будет кусочно-гладкой. Такая обратная теорема доказана не была, да ее и невозможно было доказать, ибо она заведомо была неверна. Математики знали, что существуют функции «худшие», чем этого требует теорема Дирихле, но все-таки годящиеся для разложения в ряд Фурье. И было необходимо найти нижний предел требований.

К этому пределу шли постепенно. На последнем шаге случилась сорокалетняя остановка, воспринимавшаяся специалистами как дерзкий вызов природы человеческому уму. И вот досадное белое пятно затушевано. Отныне в учебниках высшей математики будут формулироваться четкие условия Карлесона. Они сводятся к следующему требованию: для разложимости в ряд Фурье функция должна быть интегрируема с квадратом. Что это значит?

Скажем сразу, что требование интегрируемости является значительно более мягким, чем требование дифференцируемости. Интегрируемой, как известно из любого курса анали-

Рис. 7.

за, наверняка будет всякая непрерывная на отрезке функция (хотя бы и имеющая изломы, то есть недифференцируемая). Но этого мало. Интегрируемы и те функции, которые имеют конечное число точек разрыва и даже бесконечное число таких точек, если оно только удовлетворяет определенным условиям. Для тех, у кого это последнее положение вызовет сомнение, мы заметим, что здесь идет речь о интегрируемости по Риману.

Понять сказанное нам поможет все тот же Дирихле, но теперь он нужен нам не как автор условия разложимости, а как изобретатель «чудовищной» функции, имеющей большое теоретическое значение и носящей его имя. Вот что это за функция: во всякой рациональной точке единичного отрезка ее значение равно единице, а во всякой иррациональной оно равно нулю. Функция Дирихле беспрестанно прыгает, ибо как угодно близко к любой рациональной точке располагаются точки иррациональные и наоборот. Нарисовать график этой функции, разумеется, невозможно. Но она все же прекрасно интегрируема на своем отрезке.

Осталось добавить, что интегрируемой с квадратом называется такая функция, квадрат которой является интегрируемой (по Риману). Именно такая функция разложима в ряд Фурье, как это установил Карлесон. Не удивительно, что для тех, кто знаком с проблемами теоретического анализа рядов и занимался смежными проблемами, человек, доказавший замечательную и важную теорему из этой области, был как бы живым классиком. Его появление на конгрессе ожидалось с некоторой долей возбуждения, о нем ходили разные слухи — что он голландец или норвежец. В «Правде» от 10 сентября сообщалось, что он швед. Оказался же Карлесон членом делегации США: около года он живет и работает в Америке, но остается подданным Швеции.

НЕКОРРЕКТНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ

Мы рассказали о некоторых имеющих большое теоретическое значение научных достижениях, доложенных на конгрессе в Москве. На конгрессе сообщалось и о таких результатах, которые относятся к прямым приложениям математики и свидетельствуют о широчайшей экспансии «царицы наук» в самые разнообразные сферы человеческой деятельности. Интересный получасовой доклад о решении некорректно поставленных задач сделал академик Андрей Николаевич Тихонов.

Люди, далекие от высшей математики, слыша приведенное

название доклада, обычно спрашивали: что за «некорректные» задачи и зачем их ставят? Неужели нельзя, занимаясь математикой, проявлять корректность?

Разгадка состоит в том, что такие задачи никто специально не придумывает, а они, к сожалению, возникают сами, когда ученые стремятся описать уравнениями явления окружающего мира.

Сущность математического понятия корректности такова. Согласно определению, решением дифференциального уравнения называется всякая функция, удовлетворяющая этому уравнению, то есть обращающая его при подстановке в тождество. Но таких функций всегда много — бесчисленное количество. Выбрать среди океана решений именно то, которое соответствует реальному процессу, помогают дополнительные условия, называемые начальными и граничными условиями. Математик или инженер находит такое решение (оно должно быть единственным), которое удовлетворяет этим дополнительным требованиям.

Рассмотрим сначала пример, который относится к обыкновенным дифференциальным уравнениям, то есть к уравнениям, решения которых представляют собою функцию одного переменного. Представим себе тело, брошенное с начальной скоростью вертикально вверх. Через сколько времени оно достигнет высшей точки своей траектории?

Как всякая масса, находящаяся в безопорном положении, наше тело будет двигаться с ускорением —g (если ось координат направить вертикально вверх). Следовательно, уравнение движения будет выглядеть так:

У этого уравнения существует бесчисленное множество решений. Все они входят как частные случаи в аналитическое выражение, называемое общим решением, которое записывается следующим образом:

где а и b — любые постоянные (кстати говоря, эта формула дается в средней школе, когда учащиеся еще ничего не знают о дифференциальных уравнениях).

Чтобы из общего решения выделить то, которое соответствует данной конкретной ситуации, поступают следующим образом: пишут равенства, определяющие начальные условия задачи — координату и скорость в нулевой момент времени, подставляют в них общее решение и получают нужное количество уравнений, из которых уже нетрудно найти значения

постоянных, соответствующие искомому частному решению. В нашем примере эта операция делается так:

Теперь уже несложно исследовать полученную зависимость и ответить на поставленный вначале вопрос (для этого можно, например, продифференцировать S и приравнять полученную скорость нулю; из такого равенства найдется время движения до верхней точки, в которой тело на мгновение останавливается).

Итак, для получения единственного частного решения обыкновенного дифференциального уравнения нужно в дополнение к этому уравнению иметь условия, определяющие значения искомой функции и некоторых ее производных в определенной точке (число производных должно быть на единицу меньше порядка уравнения—тогда количество уравнений будет как раз таким, которое нужно).

Несколько иначе обстоит дело в области дифференциальных уравнений с частными производными, которые описывают функции многих переменных. Вот один из классических вариантов: в некоторой плоской области отыскивается распределение температур. Предположим, что это распределение является установившимся — не меняется со временем. Математически такая задача состоит в том, что нужно найти температуру как функцию двух переменных величин — абсциссы и ординаты, то есть определить вид зависимости T=f(x, у).

Какие мы можем написать соотношения, проливающие свет на структуру искомой функции? Прежде всего это уравнение теплопроводности, которое при стационарном режиме превращается в уравнение Лапласа, основанное на законе сохранения энергии (количество тепла, приходящее в данную малую область, равно количеству тепла из нее уходящего). Это уравнение содержит вторые частные производные от температуры по обеим координатам. Но этого, разумеется, мало: нужны еще условия, определяющие протекание конкретного процесса, интересующего нас. Как установить эти условия, скажем, экспериментально? Для этого, оказывается, достаточно измерить температуру вдоль всей границы нашей области, а также величину потока тепла, идущего внутрь области (или из нее) в каждой точке границы. Таким образом, здесь будут иметь место уже не начальные, а граничные условия. Задача, в которой функция нескольких переменных определяется, помимо дифференциального уравнения, граничными условиями, исследована давно. Вот какими соотношениями определяется частное решение в нашей задаче:

где f1 и f2—заданные (найденные с помощью измерения) функции; — означает производную по нормали к границе (градиент), которая и определяет поток тепла.

Дальше решение задачи идет примерно по тому же плану, что и при рассмотрении движения брошенного вверх камня. Решение дифференциального уравнения, содержащее различные неопределенные параметры, подставляется в равенства, отражающие граничные условия, параметры фиксируются и на листе бумаги пишется окончательный ответ — конкретная функция двух переменных, изображающая распределение температур в заданном случае. Все как будто бы ясно и омрачить дело могут лишь, как может показаться, технические трудности отыскания общего решения и т. д. Но технические осложнения все же гораздо «приятнее» принципиальных.

Но вот еще, можно сказать, на заре развития теории дифференциальных уравнений в частных производных (этот отдел математики называется математической физикой, ибо подавляющее большинство подобных задач приходит в математику из физики) обнаружился один весьма прискорбный факт. Для некоторых задач постановка оказывалась некорректной. Это означает, что малейшее изменение в граничных условиях влекло за собою сильное изменение всей искомой функции. Такая критичность поведения частного решения по отношению к заданным условиям была бы более или менее терпимой с математической точки зрения, но если рассматривать математику как аппарат для решения практических задач, то она делает найденную функцию совершенно непригодной для расчетов. С точки зрения приложений дифференциальных уравнений, некорректно поставленную задачу нельзя решать обычными методами, ибо полученное при этом решение никому попросту не будет нужно.

Вот почему это получается. На практике граничные условия задаются режимом некоторого реально протекающего физического процесса. Чтобы объективные данные использовать для математического исследования вопроса, нужно прежде всего результаты измерений записать на бумаге, затем подобрать соответствующее аналитическое выражение (функцию), описывающее границу, и «заложить» это выражение в «механизм» формальных операций с тем, чтобы через какое-то время получить нужный ответ. Однако здесь приходится считаться с тем, что всякое измерение реальной величины выполняется обязательно с ошибкой.

Абсолютно точные измерения принципиально невозмож-

ны — не существует идеальных измерительных инструментов, нельзя выделить интересующий нас фактор из массы других, на него накладывающихся, и, наконец, просто нельзя записать точное значение, так как для этого понадобилось бы бесконечное число знаков после запятой. Поэтому во всех случаях математического описания действительности мы делаем это с определенной степенью приближения, которая зависит как от наших возможностей, так и от требований, предъявляемых к точности ответа. Когда нужно знать лишь приблизительный ход процесса, измерения можно делать довольно грубо, если же для нас очень существенна количественная сторона дела, то данные необходимо определять со значительно большей тщательностью. Хороший инженер никогда не пытается выполнить измерение с максимально возможной точностью, а заранее определяет, какая точность ему нужна по существу поставленной задачи. Повышение точности измерений почти всегда связано со значительным удорожанием измерительных приборов и с увеличением затрат времени на эту работу, поэтому повышения точности не следует добиваться без большой к тому необходимости.

Но как бы хорошо ни понимали это практики, они обычно исходят из интуитивного убеждения, что ошибка в окончательном ответе имеет примерно тот же порядок, что и ошибка в исходных данных. И если гидротехнику, допустим, нужно узнать что-то о поведении потока воды с точностью до третьего знака, то первым его побуждением будет измерить необходимые характеристики с точностью до того же третьего знака. Такой подход, собственно говоря, является вполне естественным с точки зрения здравого смысла и жизненного опыта, ибо в большинстве случаев он оправдывается. И только некорректные проблемы представляют собою совершенно особый случай. В них решение настолько чувствительно к ошибке в исходных данных, что даже малейшая неточность в этих данных приводит к ответу, ничего общего не имеющему с действительностью. А поскольку, как мы только что выяснили, не ошибиться в измерении невозможно, это означает, что некорректные задачи... практически не могут быть решены!

Можно привести не очень сложный пример, который, хотя и не относится к области дифференциальных уравнений с частными производными, однако покажет читателю с большой наглядностью, как может проявляться критичность решения по отношению к исходным условиям. Рассмотрим движение некоторой упругой системы (например, пружинного маятника) с массой m и коэффициентом жесткости k, на которую действует переменная сила, изменяющаяся по периодическому закону f=A «sincoot. Соответствующее этой задаче дифференциальное уравнение (обыкновенное), составленное на ос-

новании закона механики (второго закона Ньютона), будет выглядеть так:

Здесь мы обозначили— через со2, а — через а.

Полученное нами дифференциальное уравнение относится к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и решается хорошо разработанными простыми методами. Но для решения очень существенно знать, совпадают ли между собою числа со и соо или же они различны. Во втором случае решение, соответствующее центральному местоположению и неподвижности массы в начальный момент времени, будет суперпозицией двух колебательных процессов, происходящих с разной частотой:

Совершенно иначе будет обстоять дело, если о)=соо. При том же самом начальном состоянии процесс движения будет развиваться по закону, выражаемому формулой:

Найденные функции соответствуют процессам совершенно различного характера. В первом случае имеет место ограниченное движение, которое, если числа аз и ооо соизмеримы, будет по своему характеру периодическим (период движения окажется равным общему наименьшему кратному чисел 2к/ш и 2тс/ш0). Во втором случае также происходят колебания с определенным периодом, но амплитуда этих колебаний неограниченно возрастает со временем по линейному закону. Это — так называемый резонанс, приводящий теоретически к бесконечному увеличению амплитуды колебаний. Рис. 8 и 9 показывают принципиальную разницу между этими двумя возможными вариантами развития колебательного процесса.

Напоминаем, что мы даем не интерпретацию некорректности, а лишь аналогию, помогающую понять некоторые черты некорректного решения. В задаче с упругой системой при измерении (Оо, m и k нельзя было допускать ошибку большую, чем это требовалось, чтобы знать, «точно» ли совпадают œ и соо или нет. Но представим себе, что мы заранее знаем: со отклоняется от wo на величину, несколько меньшую, чем погрешность наших приборов. Тогда задача в принципе не может быть решена, либо мы никак не сможем узнать, наступит ли при этих условиях резонанс, или нет. Решение получается слишком критичным по отношению к исходным данным.

Рис. 8. Рис. 9.

Знаменитый французский математик Адамар уже давно показал, что одна из наиболее важных задач, касающихся распределения температур на плоской области, является некорректной. Это задача о поле температур на полуплоскости при условии, что на прямой, ее ограничивающей, задана температура и величина теплового потока как функции одной переменной. Эта задача имеет далеко не академический интерес, и необходимость решать ее часто возникает на практике. В частности, именно так производят расчеты нефтяники, которые делают замеры характеристик пласта вдоль скважины и затем пытаются на основании полученных данных решить вопрос о залегании нефти в окружающем районе.

Если в сугубо теоретических областях математики часто приходится терпеливо ждать разгадки какой-нибудь тайны, как это было с континуум-гипотезой, ибо там весь смысл заключается в строгом и полном решении вопроса, то в прикладных сферах никакие математические заминки недопустимы и, подхлестываемые запросами каждодневной жизни, ученые изо всех сил стремятся отыскать хотя бы полумеры, несколько улучшающие положение. Так было и с некорректностью. Нельзя было лишь спокойно констатировать существование решений, критических к исходным условиям, и переходить к рассмотрению других вопросов науки о дифференциальных уравнениях. Некорректные задачи вторгались в математику «без приглашения» и, хочешь не хочешь, необходимо было вырабатывать какую-то разумную тактику обращения с ними.

Один из путей состоял в том, что накладывались определенные дополнительные условия, позволявшие превращать задачу в корректную. Например, решение отыскивалось в виде данной функции или формулировались еще какие-то ограничения. Разумеется, эти ограничения подбирались так, чтобы задача не становилась вообще неразрешимой. По существу при использовании этого метода ставится новая задача, менее общая, чем первоначальная, но зато не обладающая некорректностью.

Второй путь был намечен Андреем Николаевичем Тихоновым и его школой. Изучая свойства так называемых функционалов, Тихонов нашел весьма общие методы «борьбы с некорректностью». Поскольку эти методы развивались на базе глубоко абстрактных понятий, работы нашего ученого можно назвать вкладом не только в прикладную, но также и в теоретическую математику. Практическое использование этого аппарата привело к тому, что природа на какую-то долю стала несколько менее «неподдающейся» для человеческой мысли. Это новое завоевание теоретической мысли важно потому, что все наши знания в области дифференциальных уравнений сильно отстают от того уровня, которым хотелось бы располагать в настоящее время. У тех, кто занимается математической физикой, то есть в основном уравнениями в частных производных, сейчас, пожалуй, больше всего работы, и за ними стоит, ожидая результатов, самое большое количество специалистов в области техники. Один из таких результатов, относящийся к некорректно поставленным задачам, таким образом, уже постепенно переходит в распоряжение практиков.

На дискуссии, возникшей после доклада Тихонова, был задан вопрос, который стоит здесь привести. Докладчика спросили: не кажется ли ему, что возникновение некорректных задач проистекает от нашего незнания некоторых сторон явления? Подумав, Андрей Николаевич ответил: если бы мы знали о явлении все, то и решение искать не нужно было бы. Эти слова, вызвавшие смех присутствующих, как бы напомнили математикам, что они ходят лишь по берегу огромного океана истины, радуясь, когда им удается найти дары его в виде отдельных изящных решений — жемчужин мысли.

Еще одному практически важному вопросу был посвящен получасовой доклад молодого советского математика Арнольда. Доклад назывался «Проблемы устойчивости и эргодические свойства классических динамических систем». В тезисах докладов, прочитанных по приглашению, Арнольд побил рекорд лаконичности. Излагая суть своего выступления, он написал всего одно предложение (у некоторых докладчиков тезисы занимали по 4—5 страниц):

«В докладе обсуждаются решенные и нерешенные задачи

в характере движения динамических систем со многими степенями свободы, близких к совершающим условно-периодическое движение системам классической механики».

Системы классической механики, о которых идет здесь речь, рассматриваются учеными уже очень давно, собственно говоря, со времен самого Ньютона. Установив закон всемирного тяготения, Ньютон рассмотрел задачу, которая потом была названа «задачей двух тел»: описать движение двух масс, на которые не действуют никакие силы, кроме сил взаимного притяжения. Решение задачи оказалось достаточно простым (сейчас его может проделать средний студент математического факультета университета), и было установлено, что каждое из двух рассматриваемых тел движется либо по эллипсу (частным случаем которого является окружность), либо по параболе, либо по гиперболе. Два последних случая соответствуют распаду системы — и парабола и гипербола являются неограниченными линиями и тело уходит по таким траекториям в бесконечность.

Когда ученые, ободренные изящным математическим результатом Ньютона, перешли к задаче о трех телах, движущихся только под влиянием взаимного притяжения, то на сцену выступили столь серьезные математические трудности, что преодоление их задержалось без малого на... триста лет. И уж совсем коварной оказалась общая задача «многих тел». Она до сих пор не решена в общем виде и никто особенно не надеется, что решение ее будет в ближайшее время найдено.

В то же время эта задача имеет чрезвычайно большое значение. В небесной механике с трудностями такого рода приходится встречаться постоянно. Правда, наиболее актуальными до последнего времени были лишь некоторые частные случаи общей проблемы «многих тел». При рассмотрении, например, движения искусственного спутника Земли приходится сталкиваться со специфической ситуацией: на траекторию спутника существенным образом влияют два тела, которые сами также перемещаются: Земля и Луна. Эти два небесных тела движутся только под воздействием взаимного притяжения — спутник на их движение не оказывает хоть сколь-нибудь заметного влияния. Задача благодаря этому несколько облегчается по сравнению с теми случаями, когда все три тела имеют примерно одинаковую массу и на движение каждого из них существенно влияют оба других тела. Для ее решения сейчас используются быстродействующие электронные вычислительные машины.

Солнечная система, включающая в себя наше светило и девять планет, представляет, строго говоря, именно такую систему, поведение которой должно определяться решением «задачи многих тел». Но и здесь имеются некоторые факторы, облегчающие решение ее: во-первых, масса Солнца в

огромное число раз больше массы любой планеты, а во-вторых, планеты движутся достаточно далеко друг от друга, ибо их траектории напоминают собой концентрические окружности. При расчете движения какой-либо планеты можно благодаря этому в первом приближении пренебречь существованием других планет и принять во внимание лишь притяжение Солнца, а уже затем внести необходимые поправки на тяготение близлежащих планет, движущихся по известным траекториям. За два последних столетия астрономы научились достаточно хорошо справляться с расчетами планетных движений и предсказывают местонахождение на небе членов солнечной семьи с довольно высокой точностью.

Но вот когда астроному приходится заниматься звездными движениями, задача трех и многих тел встает в наиболее общем виде. Дело в том, что хотя в среднем звезды отстоят очень далеко друг от друга (разреженность звездного «газа» огромна: межзвездные расстояния примерно в сто миллионов раз превосходят диаметр звезд), очень часто две или большее количество звезд располагаются вблизи друг друга и образуют двойную, тройную, четырехкратную и т. д. систему. Например, самая близкая к нам звезда альфа-Центавра является тройной звездой — кроме яркой звезды, подобной нашему Солнцу, эта система содержит менее яркую оранжевую звезду и красноватую, значительно уступающую по светимости первым двум. Двойную систему образует самая яркая звезда нашего неба — Сириус. Вообще говоря, кратные звездные системы распространены очень широко: например, из тридцати ближайших к нам звезд тринадцать входят в состав двойных и тройных систем. Таким образом, объединение звезд в тесные группы можно назвать достаточно характерным явлением нашей Вселенной и, естественно, это явление нуждается в изучении.

Главное, что интересует науку о Вселенной в этой связи, это — будут ли кратные звездные системы устойчивыми. О двойной звезде ответ на этот вопрос известен. Если полная энергия двойной системы есть величина отрицательная, то движение будет устойчивым — никогда ни один из компонентов системы не уйдет в бесконечность, а оба тела будут двигаться по эллипсам вокруг общего центра масс. Но в случае трех звезд дело обстоит по-другому: если звезды находятся в какой-то момент времени примерно на равных расстояниях друг от друга и имеют скорости, близкие по своим значениям, то система будет неустойчивой и распадется сразу же после нескольких сближений и расхождений частей между собою. Наряду с этим может существовать и сколь угодно долго живущая система, скажем, если два ее члена находятся совсем близко друг от друга, а третий отстоит от них относительно далеко. При таком расположении два близ-

ких между собою компонента будут действовать на далекий третий как одна звезда, обладающая суммарной массой, и третий компонент системы будет двигаться по эллипсу.

Характерное «разбалтывание» в системе многих тел—постепенно увеличивающееся удаление их друг от Друга — хорошо видно на примере близких к нам малых планет—астероидов. Когда-то эти тела образовывали тесную группу, теперь они значительно рассеялись по солнечной системе и некоторые из астероидов перешагнули уже орбиты Земли и Марса, например Икар, приобретший за последнее время громкую известность. В поведении системы многих тел нет периодичности и она меняет свою конфигурацию с каждым оборотом любого члена вокруг общего центра инерции. Так меняют свои характеристики траектории комет, и одни кометы постепенно теряются в космических далях, а другие, как комета Икейя-Секи, неожиданно подходят очень близко к Солнцу.

Если для планетной астрономии вопрос об устойчивости связан, так сказать, с практическими вопросами: когда будут прохождения комет вблизи Солнца и Земли, опасен ли для нас Икар и т. д., то для звездной астрономии этот вопрос имеет громадное теоретическое значение, и от его разрешения зависят фундаментальные представления о развитии Вселенной.

Один из основных пунктов дискуссии космогонистов—как образовались звезды и звездные системы. Академик Амбарцумян и его последователи усиленно развивают теорию о том, что материя Вселенной переходит от более плотной стадии к менее плотной. Это означает, в частности, что звездные группы образовались в результате взрыва сверхплотного вещества. Сторонники противоположной концепции считают, что, напротив, звезды формируются в результате сжатия газовых протяженностей под влиянием взаимного притяжения молекул. Принципиальные расхождения этих двух точек зрения, как мы видим,— огромны, и кратные звездные системы могут стать одним из главных ключей к разрешению волнующей тайны. Ведь если наблюдаемые на небе тройные системы являются неустойчивыми, то это может означать скорее всего, что они образовались недавно вследствие взрыва или расширения какой-то предыдущей системы и еще не успели разойтись. Иными словами, неустойчивость их является признаком молодости. Если же звезды постепенно сконденсировались из разреженной среды, то маловероятно, чтобы они вскоре после этого снова разбрелись в разные стороны, хотя и такой вариант в принципе возможен. Но для уверенного вывода нужно иметь хороший критерий устойчивости. Найти такой критерий — дело скорее математика, чем астронома.

На основе приблизительных оценок устойчивости недавно

было проделано статистическое исследование тройных и кратных звездных систем. Из имеющихся в каталоге Айткена 1076 тройных звезд 179 звезд, то есть 16,5%, имеют конфигурацию, свидетельствующую, по-видимому, о неустойчивости. Получить более точные данные мешает неразработанность используемого математического аппарата.

Еще большее значение вопрос об устойчивости имеет для галактической астрономии. Если, как утверждает Амбарцумян, материя Вселенной становится все более разреженной, галактики (звездные скопления) должны распадаться, делиться подобно одноклеточным организмам, отпочковывать от себя дочерние галактики. В этом случае наблюдаемые тесные группы галактик нужно интерпретировать как только что образовавшиеся и расходящиеся. Они, конечно, будут в этом случае неустойчивыми. Исследования В. А. Амбарцумяна, сделанные на основании некоторых принятых учеными критериев, показали, что среди тройных галактик примерно половина являются неустойчивыми. Опять-таки, напомним, что более или менее точное исследование пока невозможно.

Арнольд, изучая дифференциальные уравнения движения системы многих тел с помощью рядов, развил методы академика Колмогорова и показал, что в таких системах существуют устойчивые движения. Нужно сказать, что доказательство Арнольда является математическим и отличается от прежних доказательств астрономов, проводимых частично с помощью рассуждения логического порядка. Это значит, что задача многих тел несколько прояснилась — науке удалось вырвать у природы частицу важной тайны — некоторые сведения очень важного для практики характера. Ректор МГУ академик И. Г. Петровский после конгресса писал в «Правде»: «Хочется отметить несколько замечательных работ советских молодых математиков. В. И. Арнольд занимался качественным исследованием дифференциальных уравнений, встречающихся в механике... Много лет стоял вопрос: существуют ли в таких системах устойчивые движения?.. Арнольду удалось доказать, что в таких системах существуют устойчивые движения и их достаточно много».

В этих словах дана высокая оценка результата Арнольда.

Американский математик Питер Лакс сделал на конгрессе получасовой доклад под названием «Теория рассеяния для акустического уравнения с неопределенной формой энергии». В этой теории затронута очень старая классическая проблема рассеяния звука. В наше время, когда в физике считается почти дурным тоном заниматься теорией, не связанной с квантовой механикой или релятивизмом, тема работы Лакса может показаться несколько старомодной. Но из сообщения его (как и из предшествующих работ Лакса, опубликованных в печати) следует, что можно делать очень важные и

современные открытия, опираясь на традиционный материал. Как и во многих других случаях, важных для практики, речь шла о дифференциальном уравнении в частных производных так называемого гиперболического типа. Это уравнение пока точно не решается, поэтому стоял вопрос о его численном интегрировании. Здесь Лакс получил очень сильный результат, вызвавший большой интерес специалистов по приближенным вычислениям. Характерно, что Лакс применил в исследовании методы, характерные для другой области науки — теории поля.

Докладчик, рассказывая о своем достижении в решении уравнения, часто ссылался на своего соотечественника Забуского. Последний занимался численными решениями дифференциальных уравнений уже давно, но крупные сдвиги у него в исследовании произошли лишь за последние два года. Успехам Забуского, как утверждает он сам, способствовало то, что его группа получила в свое распоряжение электронную вычислительную машину, на экране которой возникают изображения соответствующих функций. Эти изображения фотографируются и используются при анализе проблемы. Таким образом, в этой чрезвычайно важной с утилитарной точки зрения области математики плодотворно сочетаются усилия человеческого мозга и работа быстродействующего счетного прибора. Можно надеяться, что такое сочетание позволит в ближайшем будущем решить многие сложные задачи, неприступность которых в настоящее время тормозит развитие прикладной математики и технических дисциплин.

Коль скоро речь зашла о вычислительных машинах, то нужно заметить, что на Московском конгрессе впервые в практике подобных всемирных форумов была создана секция под названием «Математические проблемы управляющих систем». Это свидетельствует о неразделимости математики и ее детища — кибернетики, и о все растущем внимании к вопросам теории управления. Весьма интересный получасовой доклад на этой секции сделал академик В. М. Глушков. Им были изложены соображения, которые, в частности, составляют основу теории взаимодействия двух автоматов между собою. Доклад носил название «Автоматно-алгебраические аспекты оптимизации микропрограммы управляющих систем».

Известно, что для работы автомата, скажем, быстродействующей вычислительной машины, необходим алгоритм — свод четких правил действия на каждом этапе вычислительного или логического процесса. Задание машине алгоритма вовсе не означает, как иногда думают, что машина делает лишь то, что вложил в нее человек. Электронное вычислительное устройство может повести себя совершенно непредвиденным способом и прийти к таким результатам, которые

заранее предусмотреть было невозможно. Дело в том, что алгоритм задается в такой форме, что на каждой стадии своей работы автомат опирается не только на вложенные в него с самого начала правила действия, но и на данные, полученные на предыдущих этапах, численное значение которых программист не может заранее предсказать. Иными словами, «напутствие» автомату в наше время напоминает не «универсальные» правила, в которых предусмотрены почти все возможные ситуации и описана желательная реакция на каждую из них, а твердый и достаточно доверительный совет: «действуй по обстоятельствам».

И тем не менее, алгоритм в автомате должен быть. Задача состоит в том, чтобы записать его на языке «понятном» машине. Академик Глушков рассказал на конгрессе о методах формального преобразования алгоритмов, позволяющих решать многие интересные с практической точки зрения задачи. Перевод с одного алгоритмического языка на другой осуществляется на основе построения двух алгебр особого рода (пары алгебр). Они задаются с помощью образующих и определяющих соотношений. Далее, элементы первой алгебры сопоставляются с некоторыми операциями второй алгебры и наоборот. В частности, преобразования, задаваемые алгоритмами и принадлежащие к преобразованиям второй алгебры, отождествляются при этом с элементами первой алгебры. Конкретная же реализация алгоритма отождествляется с некоторым представлением элементов первой алгебры через ее образующие, то есть записывается как бы формулой.

Применяя описанный метод преобразования алгоритмов, можно сделать, например, следующее. Пусть машине задан алгоритм умножения в соответствии с его определением — как многократное сложение чисел. Этот способ умножения является длинным. Желая избежать длительности процесса, можно с помощью формального соотнесения преобразовать данный алгоритм в такой, каким мы обычно пользуемся на практике и который является более удобным.

ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОСВЕЩЕНИЯ

На Московском конгрессе была затронута и такая тема, значение которой очевидно для всех, не только для математиков. Дискуссии по этой теме всегда носят необычайно острый характер, а доклады выслушиваются с особым вниманием. Мы имеем в виду проблему преподавания математики

или проблему постановки математического образования — содержание работы пятнадцатой секции конгресса. О некоторых материалах этой секции мы сейчас и расскажем. Точнее сказать, мы коснемся лишь одной половины работы секции— вторая половина была посвящена истории математики.

Первое, что бросалось в глаза тому, кто присутствовал на докладах и дискуссиях пятнадцатой секции, это—редкое единодушие в отношении к предмету разговора. Кто бы ни выступал, все или начинали с того или кончали тем, что постановка математического образования безнадежно отстала от запросов жизни, что имеется огромный разрыв между духом современной математики и содержанием учебных программ, принятых в школах и других учебных заведениях. На трибуну выходили англичане, французы, немцы, русские, индийцы, поляки—и ни для кого не было сомнения в том, что преподавание математики нуждается в немедленной и коренной реформе. Это было так очевидно для всех, что, говоря между собой, люди, имеющие отношение к математическому просвещению, даже не находили нужным это обосновывать, считая как бы заранее принятым, что кардинальная ломка методов обучения математике необходима как воздух.

Что же за причины вынуждают специалистов говорить о чрезвычайно серьезном положении в этой области? Отвечая на этот вопрос, хочется прежде всего привести выдержку из документа, розданного участникам конгресса и представителям прессы. В части, посвященной вопросу о значении математики в современной жизни, было сказано:

«В последние десятилетия происходит активное развитие математических методов во многих областях науки. Наряду с традиционными «сферами влияния», такими, как астрономия, механика, физика, математика все глубже проникает в прежде далекие от нее области: химию, биологию, психологию, языкознание. Если прежде здесь роль математики сводилась главным образом к применению статистических методов обработки экспериментальных данных, то теперь речь идет о математическом подходе к анализу структуры основных объектов, о создании математических моделей явлений, позволяющих оценить их развитие не только качественно, но и количественно. Наконец, применение современных вычислительных машин открыло широкие возможности для математического анализа процессов, изучение которых требует обработки колоссального объема информации. Так, в задачах, связанных с экономикой, конечный результат может быть получен столь большим числом различных путей, и при выборе наиболее выгодного из них нужно принять во внимание столь много различных факторов, что за ограниченное время без использования быстродействующих машин отыскание правильного решения невозможно. Точно так же без электронных

вычислительных машин было бы немыслимо успешное решение задач практической космонавтики.

Вторжение математики в смежные области науки оказывается взаимно плодотворным, так как сопровождается появлением в самой математике новых идей и направлений...

В настоящее время математика представляет собой сильно дифференцированную, но в то же время единую науку. Она объединяет десятки различных направлений, среди которых есть области, непосредственно примыкающие к приложениям, как, например, теория вероятностей, дифференциальные уравнения, математическая физика, и есть области, которые до последнего времени казались сугубо абстрактными, далекими от конкретных приложений (топология, алгебра, математическая логика)... Результаты, полученные в одних отраслях математики, в частности в самых абстрактных ее ветвях, активно воздействуют на весь математический организм, являясь для всех его частей источником новых идей и методов».

А вот что сказал на пресс-конференции, посвященной открытию конгресса, ректор Московского государственного университета академик И. Г. Петровский:

«Прежде всего следует сказать, что значение математики для развития почти всех наук с каждым годом растет. Математика — наука древняя и в то же время молодая. Математика быстро развивается и все больше проникает в другие науки. Мы теперь не мыслим физики без математики. Мы не смогли бы запустить спутники, не произведя предварительно сложных математических исследований. В экономической науке математика с каждым годом играет все большую роль...

Я позволю себе проиллюстрировать широту применения математических методов на примере Московского университета. Не говоря уж о механике, физике, астрономии, где математика применялась очень давно, сейчас математическими методами стали пользоваться химики, биологи, геологи, экономисты, филологи. На экономическом и филологическом факультетах МГУ созданы специальные отделения по применению математических методов в этих науках».

И в записке Организационного комитета, и в докладе его председателя академика Петровского можно уловить две общие, очень важные для нас сейчас мысли:

— в наше время происходит колоссальная по масштабам экспансия математики во все отрасли человеческого знания. Знать математику обязаны сейчас миллионы;

— значение отдельных направлений математической науки очень быстро изменяется, происходит, так сказать, перераспределение их ролей.

Эти два пункта можно считать общепризнанными.

А теперь вспомним, как поставлено дело математического просвещения. Школьные программы практически всего земного шара основаны на тех представлениях о важности различных частей математики, которые сложились десятки, сотни и даже в некоторых случаях тысячи (!) лет назад. Это значит, что совершенно не учитываются, те изменения в требованиях, продиктованных временем, если говорить о массовом обучении. С этим можно было бы кое-как мириться, если бы не огромная потребность в математике. Но миллионы школьников учат не тому, что нужно в первую очередь. Именно поэтому во всех областях знания ощущается резкий недостаток специалистов, которые знали бы то, что диктуется потребностями современной практики. Не преувеличивая, можно сказать, что положение в связи с этим создается довольно тяжелое.

Нельзя, конечно, сказать, что математики и педагоги не предпринимают никаких шагов и лишь только призывают свои правительства подготовить нужную реформу. Не дожидаясь вмешательства «сверху», тысячи энтузиастов по мере сил и возможностей уже начали свои важные эксперименты по выработке новых программ и новых, прогрессивных и соответствующих требованиям современности, методов обучения.

Это удается пока делать лишь в достаточно независимых по своему статусу учебных заведениях, в первую очередь в таких, которые возглавляются или курируются авторитетными учеными, или в специальных экспериментальных школах, на которых правительственные учреждения, занимающиеся проблемами народного просвещения, опробывают различные варианты новых учебных программ.

Научно-исследовательский институт общего и политехнического образования Академии педагогических наук РСФСР проводил в первых — седьмых классах некоторых московских школ исследования содержания возможных математических программ. Этот педагогический эксперимент имеет целью изучить степень усвоения детьми основных отвлеченных математических понятий: отношения, соответствия, функции, преобразования и т. д. В общеобразовательный курс математики признано целесообразным включить некоторые новые разделы: главы математического анализа, отдельные положения линейной алгебры, основы теории вероятностей и статистики и другие предметы. В модернизированной программе геометрические построения рассматриваются в связи с геометрическими преобразованиями и не проводится деления на арифметический и алгебраический материал. Это позволяет уже на ранних стадиях обучения вводить более эффективные способы решения задач.

Вот, например, какие уравнения решают в экспериментальном классе ученики 13-летнего возраста:

|х+2| + |х+5| = 6.

Для развития логического мышления и «математической интуиции» этим же школьникам дают задачи вроде следующей:

«Имеются два множества, записанные одно под другим—

— 1, 2, -3, 4, —5 2, 5, 10, 17, 26.

Требуется отыскать закон соответствия между находящимися на одной вертикали элементами множеств».

Другой эксперимент проводился в школе № 8 Волгограда. Он был начат в 1962 году. В программу математики в этой школе ввели элементы аналитической геометрии (метод координат, уравнение прямой, канонические уравнения кривых второго порядка), математического анализа (функции и пределы, понятие непрерывности, производная, элементы интегрального исчисления) и математической логики (элементы логики высказываний и логики предикатов).

Школа, в которой испытывались новые методы обучения математике, не является какой-либо специальной и в нее не отбирают особо одаренных учеников. Это самая обычная массовая школа. Указанный дополнительный материал вводится в старших классах всего лишь за счет одного лишнего часа в неделю на математику.

Сообщалось на конгрессе и о получившей довольно широкую известность московской школе № 444. В старших классах ее производится специализация обучения математике. При этом ставится цель подготовить кадры программистов средней квалификации, которые так нужны в самых разнообразных отраслях науки и техники. Опыт этой школы за 3—4 года получил широкое распространение в СССР, так как занятия по ее программе привлекли не только юношей и девушек, желающих стать программистами, но и всех учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике вообще. Доклад организаторов школы — В. Г. Ашкинузе и С. И. Шварцбурда — делегаты пятнадцатой секции конгресса просили перевести на иностранные языки и распространить.

Большое значение для московских школьников, любящих математику, имеет знаменитый математический кружок при МГУ. О нем рассказали на конгрессе профессора И. М. Яглом и В. Г. Болтянский — сами выросшие, как математики, в этом кружке. За много лет успешной работы кружка в нем сформировались три основных направления работы:

— лекции для школьников;

— секции по отраслям математики;

— московские математические олимпиады.

Значительную роль с точки зрения распространения математических знаний среди школьников играет Всероссийская математическая олимпиада, о которой, так или иначе, много раз вспоминали на заседаниях пятнадцатой секции. Олимпиада проводилась в четыре тура, и это дало возможность попробовать свои силы в математике практически каждому школьнику нашей страны. Интересно, что больше половины задач на последнем туре олимпиады, носило логический характер— для их решения не нужно было помнить громоздких формул, зато необходимо было четко и правильно рассуждать.

Наши зарубежные гости поделились с нами опытом математического просвещения в своих странах. Проблемы в других странах оказались до того сходными с нашими, что делегаты пятнадцатой секции понимали друг друга буквально с полуслова.

Молодая англичанка Хартли рассказала о проекте математического образования в Гане, который уже начал осуществляться усилиями энтузиастов и дает хорошие результаты. Профессор Мэтьюз из Великобритании познакомил своих слушателей с интереснейшим математическим интернатом, носящим имя Наффилда — богача-мецената, пожертвовавшего значительные суммы на разработку новых методов обучения детей. Всеобщее оживление вызвали показанные Мэтьюзом книжечки по математике для первоклассников. «Как мы делали пруд для утки» — таково название красочной брошюрки с иллюстрациями на каждой странице, которая рассказывает под видом игры о таких вещах, как линейные, квадратные и кубические меры, арифметические операции и т. д. Не у одного педагога или просто родителя, слушавшего доклад Мэтьюза, разгорелись глаза при виде великолепных детских пособий по начальной математике.

Соотечественница Мэтьюза, профессор Маргарет Хэймон сделала сообщение под названием «Математические конкурсы в Англии». Из него стало ясно, что английские педагоги с огромным интересом следят за проведением олимпиад по математике в СССР, изучают материалы этих олимпиад. Хэймон настоятельно просила советских коллег, чтобы английским школьникам была в следующий раз предоставлена возможность участвовать в международной олимпиаде «команд-победителей» Советского Союза и стран народной демократии.

Зависть преподавателей математики капиталистических стран тем условиям, в которых находятся педагоги у нас, нетрудно понять. Частные пожертвования и другие нерегулярные источники ассигнований на педагогические эксперименты не могут сравниться по своему масштабу с тем, что выделяет Советское государство на просвещение. И Всероссийская олимпиада, и большие математические школы-интер-

наты, и летние математические школы имеют такой широкий охват школьников, что шансы быть замеченным имеет каждый способный ученик. Но и того, что делается у нас, все еще недостаточно, ибо требования времени значительно превышают возможности, которыми располагают специальные школы, кружки и другие экспериментальные начинания в этой области. Пока и у нас и за границей дело реформы математического просвещения все еще лежит в основном на плечах энтузиастов.

Нетерпимое отставание качества математического образования от требований жизни и нелепый разрыв между математикой как наукой и математикой как школьным предметом могут быть ликвидированы лишь в масштабах общегосударственных преобразований. Все огромное количество экспериментов, о которых сообщалось на конгрессе, имеет значение только в той мере, в какой оно дает материал для проведения учебной революции.

Некоторые, наиболее нетерпеливые математики считают, что материала накопилось уже достаточно и пора переходить к решительным и широким мерам. Другие считают, что многое еще надо проверить на практике. Но с тем, что революционная перестройка в принципе необходима — никто не спорит. В отношении же того, в каком направлении ее следует развивать, существуют две в некотором смысле противоположные точки зрения.

Первой точки зрения придерживается бельгийский профессор математики Жорж Папи. Его позицию можно назвать экстремистской. Папи решительно выступает за полную ломку всех школьных программ начиная с первого класса. Наиболее радикальному преобразованию должна подвергнуться в его проекте самая «традиционная» из школьных математических дисциплин — геометрия.

Этот школьный предмет дольше, чем какой-либо другой, не подвергался влиянию времени, оставался вечным и незыблемым. Из года в год, из десятилетия в десятилетие проходит через умы поколений немного подправленная позднейшими учеными и педагогами, но все же немеркнущая система Эвклида. И именно с низвержения этого Мафусаила математики решил начать свою реформу Папи. Его лозунг — категорический отказ от эвклидовой традиции изложения геометрии. С самого начала обучения геометрии, то есть уже для двенадцатилетних школьников, Папи вводит понятие вектора любого числа измерений. Исходя из этой весьма абстрактной модели он начинает строить геометрические доказательства. Папи пропагандирует свою точку зрения с огромной убежденностью, даже фанатизмом. По словам профессора Маркушевича, доклад Папи напоминал по своей страстности призыв пророка или проповедника. Бельгийский ученый счи-

тает, что современная математика характеризуется абстрактностью более чем другим каким-то качеством, и строит свою модернизированную программу, исходя именно из этого убеждения.

Несмотря на тенденцию к крайностям, в работах школы Папи имеется очень много интересного. Сам Папи издал недавно замечательную книгу для детей под названием «Современная математика». Содержание ее представляется исключительно богатым не только для ребенка, но и для знающего математику взрослого: в книге излагается теория конечных множеств, теория групп и т. д. Такой выбор материала диктуется убеждением Папи в том, что самая нужная сейчас математика есть математика абстрактная или что наиболее приложимо в наше время то, что стоит как можно дальше от приложений.

Свою задачу Папи видит в том, чтобы научить школьников математизировать различные ситуации. Он делает это с помощью интересных примеров, в которых развивается идея классификации по определенным признакам. Один из разделов книги начинается такими словами: «Пьер молчалив, он занимается коллекционированием марок...». Дальше обнаруживается, что Пьер прежде всего разложил марки по странам и ему стало легко в них разобраться. Но затем выясняется и другая возможность упорядочить коллекцию: разложить марки по их цветам. Продолжая поиски признака классификации, Пьер раскладывает все множество марок на классы по цене, по величине и даже по тому признаку, ...какая из теток подарила ему эти марки. Дело в том, что марки дарят ему разные его тетки и это тоже помогает систематизации.

Описывая такие увлекающие ребенка игровые ситуации, Папи учит очень серьезным вещам, развивает в юном читателе понимание идейной стороны математики. Он хочет, чтобы ученик приобрел навыки быстрого перевода жизненных ситуаций и событий на схематический, но четкий математический язык. Папи дает в своей книге схемы отношений (Ромео любит Джульетту, Джульетта любит Ромео и т. д.), схемы родства. Разбирая эти примеры, школьник должен почувствовать, что математика является универсальным инструментом, помогающим разобраться в любой обстановке.

В докладах советских математиков-педагогов и их многих зарубежных коллег излагалась вторая, более умеренная точка зрения. Наиболее полно она была высказана в докладе академика Колмогорова. Проанализировав опыт математических школ, школ программистов, летних сборов юных математиков, кружков и т. д., Колмогоров убедительно показал, что уже сейчас можно провести довольно значительную реформу школьной математической программы, которая

могла быть осуществлена не болезненной коренной перестройкой, а путем введения (преимущественно в старших классах) нового материала с применением новой трактовки математических идей. Колмогоров не считает правильным абстрагировать курс школьной математики настолько, чтобы ученики теряли из виду реальность, стоящую за научным обобщением, за идеализацией. И в то же время материал нужно излагать на достаточно высоком уровне отвлеченности и универсальности. Преподавая математику в одной из подмосковных школ, Колмогоров и его сотрудники успешно осуществляют обучение по разработанной ими программе. Академик сообщил в своем докладе, что одна из учениц «колмогоровской» школы заявила, что высшая математика оказалась привлекательнее элементарной, которую изучали в младших классах. Очень важно, сказал докладчик, создавать на занятиях атмосферу увлеченности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Здесь мы попытались рассказать читателю о нескольких направлениях математической науки сегодняшнего дня. Снова хотим напомнить, что в силу необходимости пришлось выбрать лишь небольшую долю от общего количества сообщений, сделанных на конгрессе. Но «объять необъятное» никто не может, а Московский конгресс математиков дал поистине необъятное количество материала, который предстоит «переваривать» ученым в ближайшие годы.

Когда Иван Георгиевич Петровский объявил о закрытии конгресса, многим стало немного грустно. Но математики покидали конгресс все же с хорошим настроением. Многое было понято. Некоторые важные проблемы были «закрыты». Но на горизонте появились новые волнующие проблемы. Пусть же на следующем конгрессе в Ницце прозвучат новые славные имена тех, кто сумеет озарить эти тайны светом могучего человеческого разума, светом науки.

12 коп.

Индекс 70096

ЕСЛИ ВЫ ХОТИТЕ ПОЛУЧАТЬ НОВЕЙШУЮ ИНФОРМАЦИЮ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ, КИБЕРНЕТИКИ, ФИЗИКИ, АСТРОНОМИИ И ДРУГИХ НАУК, ВЫПИСЫВАЙТЕ СЕРИИ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫХ БРОШЮР «НОВОЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ, ТЕХНИКЕ»

Серия «ФИЗИКА, АСТРОНОМИЯ»

Индекс 70072

В 1967 году выйдут следующие работы:

Воронцов-Вельяминов Б. А., профессор. Успехи советской астрономии; Завойский Е. К-, академик. Физика плазмы; Карцев В. П., канд. техн. наук. Сверхсильные магнитные поля; Корец М. А., инженер-физик. Металлы при высоких давлениях; Мигдал А. Б., чл.-корр. АН СССР. Парадоксы физики; Франк-Каменецкий Д. А., докт. физ.-мат. наук. Ядерная астрофизика; Хотунцев Ю. Л., канд. физ.-мат. наук. Биологические принципы в радиолокации и др.

Серия «МАТЕМАТИКА, КИБЕРНЕТИКА»

Индекс 70096

В 1967 году выйдут следующие работы:

Боголюбов Н. Н., академик. Советская математическая школа; Международный конгресс математиков в Москве; Гнеденко Б. В., академик. Математическая статистика; Гутчин И. Б., канд. техн. наук. Формальные нейтроны в бионике; Кондратов А. М., инженер. Машинный перевод; Новиков С. П., докт. физ-мат. наук. Современная топология»; «Успехи математики» (сборник переводных статей иностранных ученых) и др.

Кроме этих серий, по науке и технике выпускаются серии брошюр: «Химия», «Радиоэлектроника и связь», «Техника», «Промышленность», «Транспорт», «Строительство и архитектура», «Наука о Земле». По каждой серии выходит по 1 брошюре в месяц средним объемом 48 стр.

Подписная плата на одну серию с 1 апреля до конца года — 81 коп.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»