АКАДЕМИК В. СТЕКЛОВ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА

Р. С. Ф. С. Р.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

БЕРЛИН 1923

АКАДЕМИК В. СТЕКЛОВ

МАТЕМАТИКА И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ЧЕЛОВЕЧЕСТВА

Р. С. Ф. С. Р.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

БЕРЛИН 1923

Alle Rechte, einschliesslicü des Uebersetzungsrechtes, vorbehalten

Copyright 1923 by Z. J. Grschebin Verlag, Berlin Напечатано

Государственным Издательством по договору с Издательством З. И. Гржебина

Математика и философия познания.

Развитие наук в древности. Зарождение наук относится к древнейшим временам. Уже за несколько тысяч лет до Р. Х. следы сравнительно высокой культуры мы находим у египтян, вавилонян и в Китае. Но сведения наши об этих зачатках знания крайне скудны и только о состоянии образованности в Греции и у индусов за несколько веков до Р. Х. мы можем судить более положительно.

Наиболее пышный расцвет греческой образованности и науки относится приблизительно к 4-му и 3-му векам до Р. Х., когда, главным образом, точные науки достигли значительного для тех времен совершенства.

Особенно блестящее развитие получили науки математические, геометрия, а также физика и астрономия.

Достаточно напомнить такие имена, как Пифагора (540 г. до Р. Х.), Платона с его учениками (Лев, Эвдокс, Менехм), Аристотеля (384 г. до Р. Х.), Эвклида (около 300 г. до Р. Х.), Архимеда (287 г. до Р. Х.), Эратосфена (276 г. до Р. Х.), Апполония Пергейского (237 г. д. Р. Х.), Птоломеев (Сотера и Филадельфа), Гиппарха (160 г. до Р. Х.), деяния которых должны быть известны каждому образованному человеку. Одновременно с этим развивалась в древности и философия, которая, по существу, не отделялась от наук вообще, и в особенности от математики. Большая часть творцов в этой науке были в то же время и философами, в особенности, когда дело шло о теории познания.

Со времен последнего Птоломея (138 г. до Р. Х.) начинается остановка, а затем и падение творческого научного духа. Умственное движение еще продолжается, но как бы по инерции; изобретательный гений исчезает, его заменяет комментатор и толкователь старого. Греческий ум, подавленный Римом, дряхлеет, а последний начинает ломиться под своей собственной громадой.

Влияние христианства. В это время надвигается на Европу одно из величайших бедствий, скоро погрузившее ее в непроглядный мрак невежества и застоя; я разумею христианство, и именно христианство, воспринятое варварами, нахлынувшими на древний, классический Рим и раздавившими эту переросшую себя громаду.

Век разума сменяется веками непробудного умственного сна, продолжавшегося почти без перерыва полторы тысячи лет. В истории человечества не найти более грандиозного и ужасающего по своим проявлениям бедствия, чем это.

Невежество с удивительной ловкостью использовало учение Христа, чтобы под его прикрытием загубить всякое проявление живого духа, сковать всю Европу, казалось, цепями беспросветного мрака.

Церковь, носительница учения Христова, завладела и телом, и духом невежественных масс и, во славу всемогущего и всеблагого бога, начала разливать по земле потоки крови, в которых топила грешные тела своих рабов, дабы приобщить их души, освобожденные от греховной плоти, к престолу Господню.

Достаточно вспомнить инквизицию со всеми ее ужасами, сгубившую самым зверским образом такое количество невинных простецов, перед которым число жертв самых сильных мировых поветрий оказывается ничтожным, историю крестовых походов с их ужасами вплоть до отправки сотен тысяч младенцев на завоевание Св. Гроба и т. д.

До чего дошло отупение людей можно судить по тому, что даже через 7 веков после Р. Х. чудом учености во всей Европе считался монах Беда за то только, что он был единственным человеком, понимавшим четыре правила арифметики и способным применять их на практике.

И это более чем через тысячу лет после Эвклидовых начал геометрии и великих открытий Архимеда, который дерзал сосчитать число песчинок на дне океанов и даже во всей вселенной, т. е. в шаре, центр которого находится в центре земли, а радиус равен расстоянию земли от Сириуса.

Арабы. Большая часть творений великих греков наверно была бы уничтожена и человечеству пришлось бы воссоздавать заново все раньше созданное греческим гением, если бы на помощь ему не пришло воинственное нехристианское племя арабов.

Они восприняли и сохранили для потомства часть наследия греков и тем уже оказали громадную услугу человечеству.

Между прочим, они перевели на арабский язык сочинения Эвклида, присоединив к ним комментарии арабского ученого Абул-Абас-аль-Фадль-бен-Гатим ан Найризи, переделанного латинским переводчиком в Анарициуса, где он изложил многие выдержки из греческих комментаторов Геминуса, Герона и др.

Другое арабское издание Эвклида, с которого также впоследствии был сделан латинский перевод, распространившийся по Европе, принадлежит Абу-Дашфар-Мухаммед-Ибн-Гасан-аль-Тузи, более известному под прозвищем Насср-Эддина.

Но интерес к науке возник только с конца тринадцатого века по Р. X., а до того времени казалось, что народы, выступившие на историческую арену после греков и римлян, неспособны ни к какой культуре, ибо в течение ряда веков предавались только изуверству и взаимному истреблению и настойчиво стремились задушить с невероятной жестокостью малейшее проявление живой, свободной мысли, для развития которой почти не ставилось преград в свободной Греции до Р. Х.

Оказалось, однако, что в умственных младенцах варварах таились могучие силы, которые хотя медленно и едва заметно, но созревали,

несмотря на все препятствия, и с 10 века по Р. Х. начали выступать наружу.

Ни сожигание живьем, ни ужасающие пытки, не оказались в состоянии остановить рост раз пробудившегося сознания, и к началу 13 века по Р. Х. Европа начала отряхивать с себя душивший ее тысячелетний кошмар.

Первые проблески пробуждения от векового сна обнаружились в Англии. Францисканский монах Рожер Бэкон (1214 г.) выступил впервые в своих сочинениях (Opus majus, Opus minus, Opus tertium и др.) против бесплодного фразерства схоластической теологии, всецело владевшей в то время умами его современников.

Он первый поколебал всемогущую силу авторитета и привычки, обратил внимание на преимущества точных наук перед всеми другими, поставил во главу их «азбуку всей философии» — математику, «первую из всех наук, которая предшествует другим и подготовляет нас к ним», а за нею опытные науки, которые одни допытываются тайн природы, способны открывать их и дать нам возможность знать не только прошедшее, но и будущее. Он впервые выдвинул значение опыта и наблюдения и, не ограничиваясь теоретическими рассуждениями, сделал сам не мало опытов и практических изобретений.

Клерикалы почувствовали опасность, которая может грозить им и созданному ими строю от таких, повидимому, невинных вещей, как математика или физика, но были еще слишком самонадеянны, слишком полагались на свое могущество и потому отнеслись «милостиво» к опасному вольнодумцу: сочинения его были конфискованы, а его самого засадили в темницу, где он и пробыл около 14 лет.

Эпоха возрождения наук. Конечно, эта мера не остановила движения, и за Бэконом последовал ряд других мыслителей, шедших в том же направлении. Спустя два века после этого последовало (в 1440 г.) изобретение книгопечатания и развитие прессы, давшее могучее орудие для распространения знаний и тем нанесшее сильнейший удар средневековой рутине и застою.

Через четыре десятка лет Колумб (в 1487 г.) читает географические очерки Рожера Бэкона, и у него зарождается мысль о кругосветном плавании. Затем следует путешествие Васко-де-Гама (1497 г.) и кругосветное плавание Магеллана (1522 г.).

Магеллан уже твердо знает, что земля есть шар, и тени, которую она бросает на луну при лунных затмениях, верит более, чем всем авторитетам отцов церкви. Могучее умственное движение поднимается в то же время и в Италии.

Знаменитый математик, инженер и художник, Леонардо-да-Винчи, в более отчетливой форме, чем Рожер Бэкон и задолго до Фрэнсиса Бэкона, устанавливает, что единственным истолкователем природы, открывающим ее законы, должен быть опыт. О большим знанием дела он указывает на первостепенное значение математики и на деле доказывает пользу ее методов. Делает ряд открытий в механике (начало косого

рычага и т. п., движение тел по наклонной плоскости, падение тел под влиянием вращения земли и т. д.), в гидравлике, в теории сооружений. Он предвидит уже основной закон механики — закон инерции и даже закон сложения сил в статике; предсказывает гипотезу о поднятии материков и т. д.

За ним следуют математики Тарталья, Кардан и Феррари, внесшие значительные усовершенствования в алгебру (решение уравнений 3 и 4 степеней). В это же время польский ученый Коперник впервые заговорил (в 1536 г.) о движении планет и в том числе земли вокруг солнца.

Он первый дал научное обоснование гелиоцентрической теории, приписывая земле троякое движение: годичное вокруг солнца, суточное вращение около оси и изменение в наклонении оси вращения.

Сочинение его было напечетано в 1543 г. за несколько дней до его смерти. На этот раз церковь пришла в большое волнение, ибо поняла, что с открытием Коперника падает умственное основание ее системы, построенной на геоцентрическом учении, принимавшим землю за сосредоточие вселенной, но прекратить распространение научной истины оказалась бессильной, несмотря на крайние меры.

Так, она заточила в Piombi (свинцовую тюрьму) бенедиктинского монаха Джордано Бруно, который в своем сочинении «Многочисленность миров» стал распространять учение Коперника; затем по требованию инквизиции Д. Бруно был отлучен от церкви и приговорен к наказанию «по возможности милосердно и без пролития крови», что обозначало: «к сожжению живьем».

Он был сожжен в Риме 16 февраля 1600 г., и, по выслушании приговора, как говорят, сказал своим судьям: «Быть может вы с большим страхом произносите приговор, чем я его выслушиваю».

Учение Коперника стало быстро распространяться; даже поэты и некоторые епископы работали в этом направлении, как, напр., Мильтон, в своем «Потерянном рае» или епископ Вилькинс, изложивший очень популярно это учение.

Развитие математики и сопряженных наук. Но, конечно, самыми надежными, распространителями новых идей, были математики, как, напр., знаменитый Непир, изобретатель логарифмов, Бриггс и др., в особенности же знаменитый итальянский математик Галилео-Галилей.

В 1632 г. он издал известный диалог «Две величайшие системы мира», где с полной ясностью развил и обосновал систему Коперника.

Инквизиция сочла своим долгом вновь выступить против еретика и нарушителя авторитета церкви, но уже не решалась поступить с ним столь же «милосердно», как раньше с Джордано Бруно. Галилея не сожгли живьем, но подвергнув ряду публичных унижений с требованием отречься от своего еретического учения, отвезли на родину Арчетри и оставили под арестом в его доме. После шестилетнего ареста престарелому ученому позволили переселиться во Флоренцию, но он не имел права выходить из дому, принимать друзей, и только по ходатайству герцога флорентийского разрешили ему сообщать о своих новых

открытиях отцу Кастелли, но не иначе, как в присутствии представителя от инквизиции.

К концу жизни он ослеп и оглох, но до самой смерти не был освобожден от надзора инквизиции, которая не позволила его даже похоронить на кладбище и поставить ему памятник.

Так закончил свою жизнь гениальный человек, котораго следует считать прямым предшественником Ньютона. Он положил первые основы рациональной механики; определеннее, чем Леонардо-да-Винчи, формулировал закон инерции и установил правило сложения движений и скоростей, открыл законы падающих тяжелых тел. При решении некоторых вопросов он пользовался даже началом возможных перемещений, которое впоследствии Лагранж принял за основное начало механики.

Открытие телескопа, произведшего переворот в астрономии, также принадлежит Галилею. При помощи устроенного им телескопа он открыл, что луна всегда обращена одной и той же стороной к земле, открыл лунные горы, 4 спутника Юпитера, впервые заметил кольца Сатурна, подтвердил непосредственным наблюдением присутствие фаз на Венере, что должно было иметь место по теории Коперника. Ему же, как говорят, принадлежит устройство микроскопа и часов (1633 г.). Одновременно с Галилеем в Германии появляется другой великий астроном и математик — Кеплер, также, как и Галилей, принявший теорию Коперника.

Пользуясь замечательно точными для того времени астрономическими наблюдениями Тихо-Браге, Кеплер открывает (в 1609 г.) свои два первых закона движения планет вокруг солнца, а через 8 лет и свой третий закон.

Почти в то же время в Англии Нэпир делает одно из величайших открытий в математике: изобретает логарифмы (1614 г.). Бриггс и др. развивают и совершенствуют теорию Нэпира.

В Италии ученики Галилея — Кастелли и Торичелли создают начала гидравлики и гидростатики; последний производит свой знаменитый опыт с давлением ртутного столба, разбивший схоластический принцип о «боязни пустоты» и позволивший затем определить давление атмосферы (барометр).

Голландия выставляет с своей стороны известного математика Стэвина (1548—1620), который вводит во всеобщее употребление десятичные дроби, производит ряд исследований по алгебре и делает ряд открытий в области статики и гидростатики, наиболее важных со времени Архимеда, как-то: открытие закона равновесия тел на наклонной плоскости, равновесия стержневых и веревочных многоугольников, закона давления жидкости на дно сосуда (приписанного затем несправедливо Паскалю); определяет разность веса тела в воздухе и в пустоте, исследует вопрос о равновесии кораблей и т. д.

В это же самое время во Франции над усовершенствованием алгебраического счисления трудится известный математик Виет (род. 1540 г.); он впервые вводит в алгебру те буквенные обозначения, которые

употребляются, конечно, в усовершенствованной форме, и в настоящее время.

Немного позже Роберваль (1602—75) дает ряд открытий в геометрии: определяет длину дуги циклоиды, указывает прием определения об'ема тела, получающегося от вращения его около оси, находит новый метод построения касательных к кривым линиям, ставя эту задачу в связь с учением о движении точки по данной кривой, изобретает весы, повсюду употребляемые и теперь. В то же время выступает гениальный математик Декарт (1596—1650), создавший метод координат, т. е. аналитическую геометрию. Открытия Декарта составляют эпоху в истории развития математики, столь важны и общеизвестны, что об них распространяться излишне: достаточно упомянуть его имя, столь близкое каждому образованному человеку.

Конечно, это грандиозное умственное движение в области математических наук не могло остаться без влияния и на другие естественные науки: физика, отчасти химия и медицина также делают попытки сдвинуться с мертвой точки бесплодных схоластических умствований, но все эти попытки были ничтожно-жалкими по сравнению с гениальными достижениями механики, астрономии и их первой надежной руководительницы — математики.

Математика же не только прорвала фронт теологических бредней, освященных авторитетом церкви и сдавливавших железными тисками догмы ум человечества, но проникла в самое сердце теологической системы и, нанося ей без перерыва удар за ударом, вдребезги разбивала все ее устои, которые с такой фанатической настойчивостью и последовательностью воздвигались в течение ряда веков.

Ко времени великих открытий Гюйгенса, Лейбница и Ньютона, от грандиозной, но до изуверства мрачной, постройки средних веков не осталось камня на камне и ум человеческий, закованный до эпохи возрождения в свинцовую тюрьму богословской догмы, в страхе и трепете пресмыкавшийся перед авторитетом церковных учений, разорвал сковавшие его цепи и вместе с гением Коперника, Галилея, Кеплера и Декарта возлетел к небесам. И все это сделано математикой и ее родными сестрами — механикой и астрономией, которые признавали только один авторитет — чистого свободного разума и наблюдения, и сделано в течение каких-нибудь двух-трех веков после тысячелетней неподвижности, мрака и застоя.

Естественно, явилось стремление осмотреться, выяснить себе сущность приемов, при помощи которых ум человека достиг в столь короткое время столь поразительных результатов. Такие попытки, как я намекал уже, делались и раньше, Р. Бэконом и Леонардо-да-Винчи, но они не были сведены в стройную систему и не были выражены в достаточно определенной форме.

Ф. Бэкон и Декарт. Оформить теорию познания в двух различных направлениях выпало на долю Фрэнсису Бэкону и затем Декарту.

Первый из них, живший немного ранее Декарта, дипломат и государственный деятель, был мало знаком с математикой и сосредоточил свое внимание в часы своих досугов от служебных обязанностей на более ему доступных открытиях, совершенных при помощи опыта и наблюдения.

Размышляя об источниках истинного познания, он пришел к заключению, что таковыми могут быть исключительно опыт и наблюдение.

Он убедился, что действительная причина и корень всех зол в науке, которые к его времени столь ясно обнаружились в царившей до того схоластической метафизике, заключается в том, что «ошибочно превознося и преувеличивая силы ума, мы не ищем для него надлежащих пособий».

Этими пособиями, единственными, способными привести к познанию истины, он признал опыт.

«Оставьте, говорил он, трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины, и на ваши вопросы будет отвечать вам непременно и утвердительно».

Индукция. Важно не то, что он отметил значение опыта для получения точных знаний, но то, что он развил целую теорию того, что может дать опыт и как им необходимо пользоваться, — теорию, которая получила название «теории наведения или индукции».

Метод индукции, в своей элементарной форме, был известен еще и древним грекам и состоял в выводе через простое перечисление фактов наблюдения, но Бекон, давший это название практиковавшемуся с древности приему, признал его недостаточным и положил начало более строгому научному приему наведения: он учил, как нужно производить опыты и наблюдения и как пользоваться ими, чтобы получить, по его мнению, всеобщие и необходимые истины, а не обыденные, часто ошибочные выводы из наблюдений над случайными, хотя бы и многочисленными явлениями. Он указал признаки научной индукции, отличающие ее от сомнительной, обыденной, на те основания, которые характеризуют строгую индукцию и сообщают ей характер не случайности, а всеобщности и необходимости.

Он требует поверки всякого вывода из фактов путем повторных, в определенном направлении построенных опытов и наблюдений, и постепенного, постоянно контролируемого опытом, восхождения до общих положений, предостерегая в то же время от тех заблуждений ума, которые внедряются путем привычки и воспитания и имеют своим источником вековые предрассудки (idola), бессознательно передаваемые от поколения к поколению.

Все свои философские размышления он изложил в ряде сочинений и особенно обстоятельно в трактате «Novum organon».

Эмпиризм. Фрэнсис Бэкон, положил, таким образом, начало особой философской школе, которая известна под именем эмпиризма (сенсуализма) и получила особое развитие в Англии.

Но Бэкон, так настойчиво отказывавший в доверии чистому разуму, имел для своих выводов слишком мало фактического материала, руководствуясь исключительно теми ничтожными данными, которые могла доставить в его время физика, находившаяся в младенческом состоянии, которую он именовал, тем не менее, матерью всех наук.

О наиболее богатым материалом, который могли доставить для теории познания уже высоко развитые математические науки с механикой и астрономией, он был, как упоминалось, мало знаком.

Поэтому, его суждения, хотя и весьма глубокомысленные, и во многом правильные, были построены на отвлеченных началах, без достаточного фактического обоснования, т. е. преимущественно на началах того же чистого разума, доверять которому он сам же не разрешал.

Предостерегая от обманчивых представлений, которые он разделил, на 4 категории: 1) idola tribus, лежащие в природе всякого человека, 2) idola specus, зависящие от особого склада ума отдельных лиц, 3) idola fori, происходящие от недостатков человеческой речи и взаимотношений людей друг к другу и 4) idola thèatri, основанные на предании, он сам подпал idola specus, игнорируя математические науки и не поняв значения дедуктивного метода только потому, что сам был недостаточно образован.

Совершенно в ином направлении пошел Декарт, великий знаток и творец в области чистой математики.

Декарту была открыта вся наука того времени; он видел и знал, какие блестящие результаты достигнуты математикой, где, повидимому, действовал исключительно чистый разум, и как ничтожны и часто до смешного нелепы были некоторые выводы опытных наук того времени.

Физика не подвинулась ни на шаг вперед после Архимеда; алхимики производили бесчисленное множество опытов, но несмотря на все старания не давали никаких положительных результатов, кроме чисто случайных; медицина путалась в явно сумбурных фантазиях. Достаточно вспомнить нелепые теории знаменитого в свое время врача Ван-Гельмонта с его богом Археем, сидящем в желудке человека, куда Ван-Гельмонт поместил также и душу человека; рецепты другой знаменитости своего века Парацельса для приготовления гомункула, философские камни и жизненные элексиры алхимиков и т. д. Какой контраст всему этому представляла математика и механика, получившая свои результаты преимущественно путем дедукции.

Рационализм. Увлеченный бьющими в глаза успехами чистого разума, творческую силу которого Декарт непосредственно наблюдал на самом себе, он впал в крайность, противоположную той, которую проповедывал Фр. Бэкон: он признал единственным орудием открытия истины чистый разум, игнорируя опыт и наблюдение. Таким образом, было положено начало другому философскому направлению, получившему название рационализма (спиритуализма). Декарт со всей силой своего гения подверг уничтожающей критике все существовавшие

до него схоластические системы философии и своим анализом разрушил старую теологическую метафизику.

Он твердо установил исходную точку всей философии познания, что мы знаем достоверно только наши собственные ощущения и мысли. «Cogito, ergo sum» — «Мыслю, следовательно существую» есть основной принцип его философии. Безусловно достоверны только немногие истины, извлекаемые из чистого разума. Он считал немыслимым взаимодействие между мертвой природой и живым, познающим духом человека, а потому и отверг значение опыта.

Отрицание опыта он построил на игре слов, на предвзятом противоположении понятий «мертвый» и «живой».

Здесь можно видеть пример того, насколько завладевают даже выдающимися умами предвзятые идеи, в течение ряда лет внушаемые и передаваемые воспитанием от поколения к поколению (idola theatri Ф. Бэкона).

В утверждении Декарта о невозможности воздействия мертвой природы на живой дух сказалось основное положение старой теологии о коренном противоречии между душой человека, находящейся в ведении всеблагого бога, и его плотью, тем «сосудом скудельным», которым всецело заведует антипод бога — сатана.

Разрушая старую теологию, Декарт бессознательно подпал под ее же влияние.

Не имея возможности отрицать, что внешний мир познается нами только при помощи чувственных восприятий (и даже создается самим мыслящим суб'ектом) и отвергнув наперед возможность взаимодействия между ними и внешними предметами, он зашел в тупик, и с этого момента еще более запутался в сетях старой схоластики, которую сам же перед этим так основательно разрушал.

Пришлось прибегнуть, как в греческих до безвыходности запутанных трагедиях, к Deus'y ex machina, что Декарт и сделал, придумав теорию врожденных идей о явлениях так называемого внешнего мира, которые внушаются нашему разуму извне.

Но так как ничто вне нас лежащее и ограниченное, т. е. принадлежащее вещественному миру, воздействовать на наш разум не может, то пришлось вывернуться из безысходного положения опять-таки при помощи игры слов. Если вне нас лежащее конечное и несовершенное не может воздействовать на нас, то такое воздействие может оказать нечто также вне нас находящееся, но бесконечное, всесовершенное и всемогущее, т. е. бог, который как всемогущий, может сделать все, что является немыслимым для человека, и обманывать, как существо всесовершенное, не может, а потому влагает в разум человека с его рождения истинные основные идеи о внешнем вещественном мире.

Необходимо только розыскать их в своем разуме, представить ясно и раздельно, как это сделано уже в математике и в геометрии при составлении аксиом. Из этих основных аксиом можно уже затем развить, путем чистой дедукции, опять-таки по примеру математических наук, всю стройную систему человеческих знаний.

В этой последней схеме построения системы точного знания, заметим кстати, заключалась верная и совершенно новая для того времени мысль; но она была парализована признанием прирожденных идей, которые должны почерпаться исключительно из чистого разума совершенно независимо от опыта и наблюдения.

Когда Декарт, став на эту точку зрения, приступил к построению положительной части своей философии, т. е. прежде всего физики (метафизики), то оказалось, что его бог во многом обманул его. Ряд блестящих мыслей и гипотез его могучего ума потонул в массе ошибочных, явно несогласных с действительностью, выводов из заведомо ложных основных положений его чистого разума, несогласных с опытом. Поэтому он не понял надлежащим образом учение Коперника, впал в противоречие с точно установленными законами Кеплера движения планет; отрицая действие силы тяжести, он не мог об'яснить открытые Галилеем законы падения и движения тяжелых тел и даже исказил его динамическое учение.

Некоторые думают, впрочем, что он сделал это из страха перед церковью (Куно Фишер), но это неосновательно.

Три основных закона его натуральной философии настолько неопределенны и неудовлетворительны, что из них нельзя сделаеть никаких выводов, согласных с действительностью.

Употребляя слово сила, он в то же время отрицал понятие силы, не знал, в чем заключается ее существенное действие, он не имел понятия о законе независимости действия сил, он утверждал, что два тела, движущиеся навстречу друг друга с одинаковой силой, столкнувшись, приведут друг друга в покой.

В последнем утверждении нет определенного содержания; так остается совершенно необ'яснимым, что значит движение с равной силой, а если дать этому термину соответствующее толкование, то получится в исходной аксиоме явное отрицание закона сохранения энергии.

Он хотел вывести всю механику и физику из единственного свойства тел: их протяженности, и, естественно, должен был потерпеть полную неудачу.

На примере Декарта отчетливо видно, насколько прав был Ф. Бэкон, когда предостерегал от попыток вывести всю мудрость из одного разума, не спрашивая природу, т. е. пренебрегая опытом.

Гейне («Французские письма») и некоторые другие авторы проводят мысль, что рационализм или, как иначе называют, спиритуализм явился как бы осуществлением идей чистого христианства, неискаженного учениями католической церкви, что чистое религиозное чувство, возвышающее дух над плотью, привело к преклонению перед чистым разумом, к убеждению в превосходстве духа над материей, к тому дуализму, который решительно отделяет дух от материи, как две исключающие друг друга субстанции, не могущие иметь никакого взаимодействия между собою.

С этим мнением вполне нельзя согласиться. Здесь надо различать два различных принципа философии Декарта: один, что познание истины истекает единственно из врожденных идей чистого разума, другой, что дух, частью которого является разум, есть самобытная субстанция, а материя — вещественный мир — есть другая субстанция особого рода, так что между этими двумя субстанциями нет и не может быть никакого посредства, никакой связи; они как бы исключают друг друга. Но факт воздействия духа на тело и наоборот не подлежит сомнению; этот факт является творением всесовершенного и всемогущего бога, соединяющего несоединимое.

Это второе положение картезианской (декартовой) философии есть несомненно перифраз идей чистого христианства, но первое, признавшее источником всякого знания исключительно чистый разум, возникло и оформилось именно под влиянием того увлечения, которое охватило умы философов при виде необычайных успехов математики, которые почитались исключительно продуктами чистого разума. Не даром рационализм был создан и в первом своем принципе поддерживался именно величайшими математиками мира, как Ренэ Декарт и Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Свое завершение рационализм нашел в знаменитом Бенедикте Спинозе, философия которого уже не оставляет ни малейшего сомнения в том, что главным вдохновителем рационализма была именно математика и ее методы.

В нашу задачу не входит разбор философских систем двух ототмеченных школ во всей их полноте; нас интересует только вопрос о происхождении познания и о приемах, при помощи которых развивается стройное научное здание человеческих знаний.

К концу 17-го века, как видно из предыдущего, наметилось два противоположных учения: одно, установленное английскими мыслителями Р. и Ф. Бэконами, развитое затем Локком, перешедшее через скептицизм Юма и усовершенствованное уже в последнее время также в Англии Дж. Гамильтоном, Джемсом Стюартом Миллем, Гербертом Спенсером и др., и другое, созданное Ренэ Декартом, развитое Арнольдом Гелинксом из Антверпена, Малебраншем, особенно Лейбницом, перешедшее через так называемый трансцедентальный идеализм Фихте и Шеллинга и закончившееся философией Гегеля.

Первые утверждают, что все наши идеи мы получаем извне при посредстве наших органов чувств; ум наш представляет собою, как бы tabula rasa, на которой опыт и наблюдение непрерывно записывают ту совокупность сведений, которые перерабатываются затем нашим умом в стройную систему знания.

Вторые держатся прямо противоположного мнения, что идеи о всем, что мы называем знанием, прирождены человеку, что источником истинного знания служит сам разум, в котором от рождения заложены все основы знания; деятельность ума сводится лишь к тому, чтобы отыскать эти основы, превратить их в отчетливые и раздельные мысли

и из них путем строго логических построений развить всю систему знаний.

Рационализм был подорван, в сущности, уже самим Декартом, как только он приступил к построению своей физики; последовательные приверженцы картезианства, строго выдержавшие его начала, Гелинкс и Малебранш довершили дело.

Гелинкс справедливо рассуждает, что дух и тело суть два противоположные начала, вполне разделенные, между которыми не может быть никакого посредства, никакой связи. Это основной принцип рационализма.

Между тем всякий знает, как несомненный самоочевидный факт, что тело управляется духом, а на дух воздействует тело.

Этого факта нельзя отрицать, но его нельзя и об'яснить. Поэтому неподлежащее сомнению взаимодействие между духом и телом есть явление абсолютно непонятное, т. е. чудо.

Наивность, чтобы не сказать больше, такого рода суждений совершенно очевидна.

Я утверждаю: А не есть В и в то же время утверждаю: А есть В. Одновременность этих заведомо исключающих друг друга положений абсолютно непонятна, значит, это чудо, производимое всемогущим богом. В действительности же это просто значит, что нелепо в одно и то же время отрицать и утверждать один и тот же факт; либо А есть В, либо А не есть В, что-нибудь одно из двух, ничего третьего, за исключением разве нелепости, быть не может.

Второй принцип философии Декарта есть, следовательно, простой абсурд.

Таким образом, хотя, по мнению рационалистов, истинные идеи познания и вложены в наш разум всеведущим богом, который не может нас обманывать, но в действительности разум человека, даже гениального человека, может принять за истину явную нелепость.

Где же критерий того, что та или иная высказанная мысль на самом деле есть истина, вложенная в наш ум богом, а не ошибка? Такого критерия чистый рационализм не дает и не может дать, ибо для него опыт доказательной силы иметь не может.

Однако, все это еще не доказывает невозможности существования врожденных идей; быть может, трудно напасть на такую идею, можно принять за таковую ложное утверждение, но все же такие идеи существуют? Несомненно так судили наиболее выдающиеся рационалисты и, я не сомневаюсь, находили подтверждение своей мысли опять-таки в математике и геометрии.

Аксиомы этих наук признавались за таковые; они так или иначе найдены в нашем разуме и раз найденные создали грандиозное здание достоверных математических знаний.

Для мудрецов 17-го века это был несомненный факт; поэтому, полагали они, систему Декарта можно восстановить, заменив второй

принцип о невозможности взаимодействия между духом и материей другим, прямо противоположным.

Это и сделал Лейбниц, одухотворив мертвую природу, признав всякую вещь природы, принадлежит ли она материи или духу, за самостоятельную субстанцию, наделенною особой силой, которая составляет сущность вещей, их основную невещественную и природную способность.

Лейбниц. Нам нет надобности входить в подробности метафизической системы Лейбница; скажем только, что Лейбниц, действительно, устранил неразрешенное у Декарта противоречие между духом и телом, но вместо одного чуда подставил другое: изобретенные им монады, в которых душа и тело не сложены только, а соединены неделимо и неразрывно, и на этом начале построил всю философию мира.

Источником достоверного знания остался тот же чистый разум. Он отчетливо отмежевывает чувственный опыт от познания, память от разума, чувствующее представление от мыслящего.

Первыми, наравне с людьми, обладают и животныя, вторыми — только человек, который поэтому и способен к разумному познанию, может и создает то, что называется наукой.

Действительное разумное понимание (raisonnement) основывается, говорит он, на некоторых необходимых или вечных истинах, как, например, истины логики, арифметики, геометрии, приводящие к несомнительному сочетанию идей и к безошибочным заключениям.

В этих словах Лейбница мы имеем опять прямое подтверждение нашей мысли, что философия познания рационалистов целиком и непосредственно выведена из анализа методов чистой математики и может быть названа философией математики, или, лучше сказать, методов математических наук.

При этом я считаю нужным особо подчеркнуть то обстоятельство, что во времена Декарта, Спинозы и Лейбница и даже до начала 19-го века почти никому и в голову не приходило сомневаться в том, что аксиомы анализа и геометрии обладают безусловной достоверностью и являются продуктом чистого разума.

Таким образом, теория познания школы рационалистов есть детище чистой математики и представляет первый необходимый этап в развитии философии познания. Впоследствии на помощь этому учению, кроме наук чисто математических, механики и астрономии, пришли и другие науки: физика, химия, физиология, но лишь постольку, поскольку они входили в сферу воздействия математики, поскольку их методы сливались с методами наук чисто математических. Окончательное же решение вопросов теории познания, как оно может быть истолковано в настоящее время, было дано, как увидим далее, опять-таки гениями математической мысли. Но об этом после.

Основным и в то же время самым слабым пунктом рационализма была, без сомнения, теория прирожденных идей, особенно в толковании самого Декарта, как идей, внушенных извне волею бога.

Сами картезианцы, как мы видели, развивая последовательно до свойственного ей предела эту мысль, подорвали ее, приведя к абсурду.

Представителям противоположного учения, эмпирикам, не предоставлялось никакого труда разбить окончательно построение Декарта и его прямых последователей.

Но в защиту врожденных идей выступил Лейбниц, давший совершенно иное толкование этому понятию, с которым бороться было уже значительно труднее на почве соображений обще-философского характера.

Уже из вышеприведенных слов Лейбница можно усмотреть ту новую точку зрения, на которую он стал в этом вопросе.

В статье «О душе животных» он дает свою теорию прирожденных идей и старается доказать необходимость их признания.

«Человек настолько действует не эмпирически, а сообразно с разумом, насколько он не доверяет исключительно опыту или частным суждениям, выводимым им из опыта, но судит по принципам и заключает по разумным основаниям. И, как геометр, или человек, освоившийся с анализом, отличается от обыкновенного учителя, механически передающего памяти мальчиков правила арифметики, не зная ее законов, и приходящего в недоумение при сколько-нибудь необычном вопросе, так и эмпирический ум отличается от рационального, животные соображения от человеческих. Сколько бы случаев мы не подтвердили опытом, мы ни в коем случае не можем быть уверены в постоянстве следствия, если у нас нет необходимых принципов, что дело должно происходить непременно так и никак иначе.

Поэтому животныя не способны составлять общие суждения, так как они не имеют понятия о категории необходимости. Если иногда эмпирическим путем и достигают действительно общих положений, то только случайно, а никак не в силу их метода».

Без принципов, утверждает Лейбниц, нет никаких всеобщих и необходимых суждений, не может существовать никакой действительной науки. Где нет всеобщих и необходимых идей, там невозможно и разумное познание; где же существует фактически разумное познание (а пример такого, подразумевается, дает без сомнения математика), там должны присутствовать неизбежно и первые. А так как из опытов, как бы велико не было число их, никаких всеобщих и необходимых идей вывести нельзя, то остается допустить одно из двух: либо в духе человека совсем не существует способности познания, нет никакой истинной науки, или всеобщие и необходимые идеи, без которых немыслима наука, наперед заложены в нем, раньше всякого опыта, даны a priori.

Но истина, достоверное знание, истинная наука несомненно существует, она создана человеком, это: математика, геометрия, общая механика. Отрицать достоверность этих наук никто не может.

Следовательно, в разуме человеческом a priori даны, врождены ему некоторые всеобщие и необходимые идеи, которые, как говорит Лейбниц, предобразуют знание.

Но по Декарту эти идеи вложены в нас извне готовыми той всемогущей, как бы вне мира стоящей силой, которую он назвал богом, по Лейбницу, напротив, они заключаются в самой природе духа, составляют естественную и необходимую принадлежность его устройства. Они не даны извне и не производятся действием нашего самосознания, а составляют первоначальный факт человеческого духа.

Следует припомнить при этом, что основным элементом своей философской системы Лейбниц, кроме протяженности, считал также и силу, деятельное начало. В согласии с этим его врожденные идеи еще и в другом отношении отличаются от картезианских. Они, составляя природную способность разума, не лежат в нем в законченной, установившейся форме, а являются как бы зародышем той силы, которая постепенно развивается в научное знание; иначе говоря, Лейбниц придает им не статическое, а динамическое толкование.

Здесь можно отметить полную аналогию между понятиями кинетической и потенциальной энергии механики и врожденными идеями Лейбница, которые он называет иногда началами виртуального познания (connaissances virtuelles), опять-таки заимствуя этот термин «виртуальный» из динамики.

Врожденные идеи потенциально как бы предобразуют собою все человеческое знание, но в действительности оно раскрывается постепенно, переходя из потенциального состояния в кинетическое.

Часть этого общего запаса, перешедшая в кинетическое состояние, составляет совокупность постигнутых истин, содержание науки данного момента, другая часть остается в разуме, как бы в скрытом, потенциальном состоянии и с течением времени постепенно переходит в кинетическую часть, составляющую новые сознательные приобретения науки.

Такое толкование теории врожденных идей Лейбница непосредственно вытекает из всех его суждений по этому вопросу, хотя такой формулировки у него найти, конечно, нельзя, ибо в то время еще не были установлены отчетливо понятия о потенциальной и кинетической энергии, хотя в незаконченном виде эти представления, несомненно, предугадывались гениальным умом великого математика.

Хотя учение Лейбница неизмеримо совершеннее наивных построений Декарта, но все же не могло удовлетворить философа-эмпирика, возбуждая ряд недоумений и противоречий.

Почему, напр., разум человека с его врожденными представлениями об основных истинах даже в простейших случаях удовлетворялся явно ложными положениями и признавал их за истины, пока простой опыт не убеждал его в обратном?

В течение двух тысяч лет человек измерял, напр., площадь равнобедренного треугольника произведением из основания на половину боковой стороны (по правилам египетского ученого Амеса), и врожденная способность познавать истину не протестовала против этой ошибки.

Неуменье непосредственно измерять площадь этой фигуры с надлежащей точностью давало лишь грубо приближенную меру, не доставлявшую большой, заметной разницы от той, которая получалась вычислением по правилу Амеса, и ум человечества спокойно принимал это за истину в течение двадцати веков.

Только когда опыт показал несоответствие этого правила с действительностью, тогда разум человека и убедился в его ложности. Открыл истину опыт, а не врожденная способность ума из себя постигать истину.

В гениальном уме Аристотеля, казалось бы, с особой яркостью должна была проявляться эта врожденная способность, но он вопреки ей из своего же чистого разума вывел положение, что естественное движение, т. е. такое, которое совершается само собою, без влияния внешних причин, есть круговое, а для того, чтобы движение тела было равномерно прямолинейным, необходимо действовать на тело постоянной силой.

В последнем случае его врожденная способность познавать истину молчала, а разум удовлетворялся простым выводом из обыденного наблюдения, да еще неверно истолкованного, наивным описанием того факта, что для того, чтобы заставить двигаться повозку равномерно по прямой линии, необходимо прилагать к ней постоянное усилие движущего ее человека или животного.

И вплоть до Галилея и Ньютона, т. е. опять в течение почти двух тысяч лет, большинство мыслящих умов вполне удовлетворялось этими заведомо ложными основными положениями механики.

Потребовалось громадное число опытов и наблюдений, приведших, наконец, к сознанию их ошибочности.

По теории Лейбница ум человеческий может еще не знать чего-либо или иметь о чем-либо еще смутное представление, которое он не в состоянии отчетливо формулировать, но не может выставлять взамен этого заведомо ложное, совершенно определенное выраженное предложение, и считать его упорно за истину.

Ведь из этих примеров можно скорее вывести гипотезу о врожденной способности человека к ложным представлениям, которые затем, через долгий промежуток заблуждений, с большим трудом разбиваются именно опытом, и им только направляются на путь истины.

Замечательно и то, что добытая таким путем более правильная мысль и выраженная определенно представляется затем ясной до очевидности, принимается как бы за аксиому, не могущую иметь и доказательства в виду ее очевидности.

Каким же образом разум с его врожденными идеями основных истин сплошь и рядом предпочитает ошибку явно очевидной истине?

Уверенность ума в истине фактов, явно противоречащих действительности, доходит часто до предвзятого упорства: он нарочно сочиняет опыты, которые как бы сознательно не производит, для того только, чтобы опровергнуть так или иначе верное положение и подтвердить ему противоположное, неправильное.

Припомним случай, когда, желая доказать ложность утверждения Коперника и Галилея о движении земли и убедить в ее неподвижности, говорили: «Бросьте камень с вершины мачты быстро движущегося корабля; камень не упадет к основанию мачты; за время падения корабль уйдет, и камень ляжет где-нибудь ближе к корме или упадет за кормой в воду».

Чистый разум сочинял даже заведомо ложный опыт и так был уверен, что он даст именно тот результат, которого хотели, что не считал даже нужным действительно этот опыт проделать. Однако, возражения свои все-таки основывали на опыте, хотя и вымышленном. Рационализм силою вещей бессознательно впадал в эмпиризм.

Словом, чистый разум, несмотря или вопреки присутствию в нем врожденных идей, из которых только и можно извлечь истинное знание, оказывает, как бы нарочно, упорное сопротивление вывести эти идеи на свет божий, сопротивляется этому до последней возможности и пасует только перед непререкаемой очевидностью опыта.

Наконец, рационализм признает достоверным только то, что мы ощущаем и мыслим, только непосредственно доступные сознанию чувства и мысли. Как же он может допускать существование вещей, вне нас лежащих, внешнего вещественного мира? Быть может, вещественного мира и не существует? Имеет ли право рационалист и говорить о так называемой материи, да еще утверждать, что идеи о внешнем материальном мире нам внушены извне?

С другой стороны, и возражения рационалистов против учения чистого эмпиризма без сомнения заслуживают внимания и во многом представляются основательными. Таковы, напр., приведенные выше соображения самого же Лейбница, которые затем повторялись и дополнялись многими другими мыслителями.

В самом деле, сколько бы мы ни произвели измерений суммы углов треугольников, мы нашли бы только, что эта сумма во всех измеренных треугольниках приблизительно равна двум прямым. Но как же можно поручиться, что в первом же вновь взятом треугольнике она не окажется чувствительно отличной от двух прямых?

Какое имеем мы основание из сделанных, по необходимости приближенных, измерений данного числа взятых треугольников заключить, что непременно во всяком треугольнике эта сумма точно равна двум прямым?

Из опытов этих, очевидно, такого заключения сделать нельзя.

А, между тем, в течение более чем двух тысяч лет почти никто в очевидной истинности этого положения не сомневался.

Большинство первоклассных мыслителей было убеждено, что это положение не стоит ни в причинной, ни в логической связи с понятием треугольника, но представляется в то же время почти самоочевидной истиной.

Чем же иным может быть эта истина, как не произведением чистого разума или как не чистым воззрением по терминологии Канта и Шопенгауера.

Еще яснее покажется основательность возражений рационалиста против чистого эмпирика, если взять известный постулат Эвклида, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой необходимо пересекаются.

Никаким опытом, ни рядом опытов этой аксиомы доказать нельзя.

Точно также без помощи закона связи причины со следствием нельзя сделать никакого заключения о порядке и законности в мире явлений. Откуда же берется этот закон причинности? Опыт может только указать на последовательность двух событий, следующих одно за другим, но, во-первых, из данного ограниченного числа опытов нельзя заключать, что и при следующем опыте за А будет следовать В, а. во-вторых, и тем более, что А есть причина В, т. е. необходимо вызывает В.

Не вытекает ли отсюда с несомненностью, что идея о всеобщей и необходимой связи причины со следствием лежит в природе человеческого разума, есть идея врожденная?

Из сказанного следует, что эти две основные теории о происхождении достоверного знания, истин всеобщих и необходимых, далеко не безупречны и возбуждают ряд сомнений.

Но до конца 19-го века никаких других теорий, по существу отличных от двух указанных, не существовало. Содержание научных знаний, которые должны были давать необходимый для суждения материал и степень умственного развития, заставляли думать, что эти два направления суть единственно возможные.

При таком положении дела явное противоречие между ними и сомнения, которые возбуждали каждое из них, естественно должны были зародить мысль о том, возможно ли вообще достоверное знание, не представляется ли самая мысль о достоверном знании неосуществимой мечтой?

Юм. И эта мысль действительно нашла осуществление в скептицизме Давида Юма (1711—1776 г.).

Он устанавливает прежде всего критерий достоверности суждения и формулирует его так: суждение является достоверным тогда, и только тогда, когда отрицание его ведет к несомненному противоречию.

С этой точки зрения он и подвергает обстоятельной критике все существовавшие в его время теории как рационалистического, так и эмпирического направления.

Я не имею возможности изложить подробно обстоятельный и часто глубокомысленный анализ Юма всех основных положений философии познания. Остановлюсь только на главнейших результатах, имеющих значение для целей нашего очерка.

Юм основательно разрушает мысль о возможности вывести из чистого разума познание причинной связи между разнородными явлениями, напр., между духом и вещественным миром; точно также, дока-

зывает он, невозможно установить и причинную связь между различными событиями внешнего мира.

Однако, убеждение в том, что вещественный мир подчинен закону причинности, несомненно, существует. Это убеждение получается исключительно как вывод из опыта и наблюдения, но представляет собою не положительную истину, а только верование, которое составляет как бы природный инстинкт нашего духа, неизбежный процесс нашей психики.

Ощущение закона причинности возникает в нас таким же путем, когда мы наблюдаем последовательную смену явлений внешнего мира, и создает в нас уверенность, что такая причинность существует на самом деле.

Точно также чистый разум никоим образом не способен доказать существование внешнего мира, и только верование в причинную связь между явлениями, пробуждаемое в нашем разуме под влиянием опыта, т. е. эмпирически, возбуждает в нас уверенность, что наши чувственные восприятия производятся внешними предметами, в которых мы усматриваем причину этих чувственных восприятий.

Отсюда следует, что, вообще, о достоверности знания не может быть и речи.

Достоверным может быть только такая система познаний, которая выводится чисто логическим путем при помощи достоверных суждений, т. е. таких, отрицание которых ведет к явному противоречию, и притом из положений самоочевидных, лежащих в самой природе нашего ума и независящих от опыта.

Таким путем он заключает, что единственная наука, которая заслуживает название достоверной, есть чистая математика и притом только чистый анализ (арифметика и алгебра).

Основные положения геометрии уже не представляются Юму продуктами чистого разума, а происходят из опыта.

Поэтому, достоверность геометрии относительна: она, как построенная дедуктивно на некотором числе аксиом, достоверна по отношению к этим аксиомам, лежащим в ее основании, а не безусловно достоверна.

Я уже упоминал, что рационализм есть создание гениев чистой математики и притом увлеченных необычайными успехами этой науки, которую они сами же творили (Декарт, Лейбниц, сюда же необходимо отнести и Бенедикта Спинозу).

Упоенные восторгом они задумали распространить те начала познания, которые они с такой проницательностью усматривали в методах чистой математики, на всю возможную совокупность человеческих знаний, перешагнули пределы дозволенного и должны были, конечно, потерпеть неудачу.

Глубочайший критический ум Давида Юма, который мне представляется одним из самых выдающихся философов, поставил узкие границы рационализму, ограничив его областью чистого анализа, и

решительно преградив доступ его несправедливым притязаниям вторгнуться во все другие области науки, начиная с самой геометрии.

Скептицизм Юма был критической точкой в истории развития теории познания (гносеологии); старое здание должно было рухнуть, необходимость реформы в философии назревала.

Э. Кант. И эта реформа была произведена кенигсбергском философом Эммануилом Кантом, которого Гейне, едва ли, впрочем, основательно, называет Робеспьером революции философии и который в Германии создавал свою новую философию как раз в то время, когда Робеспьер разрушал старую Францию в Париже.

Канта считают творцом нового направления в философии, которое носит название критической философии, старой же, докантовской, философии дали общее название догматической.

Последнее название об'ясняется тем, что после всесторонней критики рационализма и эмпиризма было признано, что они основываются на положениях, которые можно принимать за истинные только на веру, подобно догматам религии, но нельзя обосновать строго научно.

Таким догматом в рационализме считается принимаемое им существование врожденных идей, а в эмпиризме вера в возможность извлечь из одного опыта всеобщие и необходимые истины.

Мне предстоит теперь довольно трудная задача изложить в кратком реферате с достаточной ясностью основные начала и особенности философии Канта, разумеется, лишь того ее отдела, который касается исключительно теории познания.

Единственным орудием познания служит разум человека, его мыслительная способность. Докантовская философия исследовала, главным образом, вопрос о том, откуда получает это орудие ту движущую силу, которая приводит его в движение, заставляет его производить работу познания.

Последователи эмпиризма видели источник этой работы исключительно в опыте, рационалисты, наоборот, доказывали, что источник ее заложен в самой природе познающего орудия-разума. И те и другие только отчасти затрагивали вопрос о том, при каких условиях совершается и может совершаться надлежащая работа разума, по каким именно правилам работает это орудие, приведенное в действие, независимо от того, откуда исходит та сила, которая производит это действие.

Попытки исследовать этот вопрос имеются, конечно, у всех философов, начиная с Декарта, о чем свидетельствуют самые заглавия важнейших их сочинений.

Сам Декарт и Берклей писали о началах человеческого сознания, Локк и Юм — опыты о человеческом разуме, Христиан Вольф, последователь Лейбница и его толкователь, — о силах человеческого разума и т. п., но все это были «опыты» и «попытки», не сведенные в строгую систему, не ставившие себе первой и главной задачей решение того основного вопроса, о котором мы только-что говорили.

Можно сказать, что философы старой школы работали при помощи орудия, не изучив предварительно всех его свойств, не ознакомившись во всех подробностях с его устройством, не выяснив тех условий, при которых возможна его правильная работа, не имея ясного понятия о пределах его возможного действия.

Один только Юм яснее других сознавал этот недостаток, но он ограничился одной, так сказать, отрицательной критикой существовавших теорий и не вывел из своей критики каких-либо положительных результатов, кроме отрицательного: невозможности достоверного знания.

Создать при помощи критики познавательных способностей человеческого ума положительную и совершенно новую теорию познания выпало на долю Эммануила Канта.

Кант, как и полагается истинному философу, был математик по образованию и в первые годы своей профессорской деятельности в Кенигсберге, которой он добился, заметим кстати, весьма поздно, лишь на 42 году своей жизни, читал математику, логику и физику (метафизику) и только впоследствии (через 4 года) посвятил себя всецело философии.

Замечательно, что в своем развитии он прошел как раз те стадии, по которым вся философия, начиная с Декарта, пришла к самому Канту.

Сначала он находился под влиянием идей Лейбница и Вольфа, затем, ознакомившись с математическими началами натуральной философии Ньютона, склоняется на сторону английских мыслителей Бэкона и Локка. В это время он создал, между прочим, свою гипотезу о происхождении солнечной системы, через несколько лет видоизмененную Лапласом.

Затем он увлекается «Эмилем» Ж. Ж. Руссо и его учением об естественной природе человека и в то же время, критикуя основы научного знания, постепенно приходит к скептицизму Юма.

С этого момента начинается самостоятельная критическая работа Канта, которую он выполняет с чрезвычайным вниманием, последовательностью и чисто немецкой пунктуальностью. Результатом этой грандиозной работы является его «Критика чистого разума», вышедшая в 1781 году, когда Канту было уже 56 лет, и положившая начало новой философии, которая носит название критической или Кантовской, по имени ее творца.

Уже Юм указал, что теория познания должна быть основана на критике достоверности суждений, при помощи которых ум человека строит свои знания.

Он уже разделял все суждения на аналитические и синтетические, при чем утверждал, что первые могут быть, несомненно, достоверными, достоверность же вторых казалась ему недоказуемой. Кант произвел более обстоятельный анализ суждений того и другого рода.

Аналитическими суждениями он назвал такие, которые только подробнее вскрывают, раз'ясняют представление о каком-либо предмете,

но не расширяют наше о нем представление, не приводят к каким бы то ни было новым понятиям о предмете.

Эти суждения, как и все суждения чистой логики, он называл априорными, вытекающими из свойств чистого разума; они как бы замкнуты в самих себе и не могут привести к противоречию. Это суждения достоверные. Юм, считая, что только система чисто математических знаний строится исключительно при помощи аналитических суждений, единственно достоверных, признал, поэтому, единственно достоверной наукой одну только чистую математику.

Синтетическими суждениями Кант называл такие, которые, наоборот, прибавляют к предмету, о котором говорится, нечто такое, что в самом его определении не содержится, которые связывают, следовательно, различные независимые друг от друга представления.

Синтетические суждения расширяют наше представление о предмете. По мнению Юма, эти суждения из чистого разума выведены быть не могут и получаются в результате опыта и наблюдения.

Так, суждение «тело протяженно» есть суждение аналитическое, ибо протяженность уже заключается в понятии тела; уничтожьте протяженность, исчезнет и тело. Сказуемое только раз'ясняет одно из основных свойств, заключающееся в подлежащем.

Наоборот, суждение «тело тяжело» есть суждение синтетическое, ибо в умственном определении тела отнюдь не содержится представление о его тяжести; представление о теле образовалось независимо от понятия тяжести. В данном случае суждение связывает два различных представления, расширяя понятие о теле.

Понятие о тяжести тела не заключается наперед в нашем уме, а получается путем опыта после того, как мы испытываем известное ощущение мускульных усилий, необходимых, чтобы поднять тело, удержать его от падения и т. п.

Но, очевидно, название познания заслуживает только такое познание, которое расширяет наши представления о предмете, которое связывает различные между собою факты, ибо только при этом условии и постигается связь между разнородными предметами или явлениями. Аналитическое же суждение ничего нового дать не может, так как содержит в сказуемом никак не больше того, что уже заключается в самом предмете, о котором идет речь, т. е. приводит, в существе дела, к тавтологии.

Поэтому, если держаться строго точки зрения Юма, то не существует никакого знания.

Математика, как построенная по теории Юма на суждениях чисто аналитических, явилась бы только перетолковыванием ее немногих исходных аксиом. Все другие науки, начиная уже с геометрии, не могли бы иметь никакой достоверности; они строятся исключительно при помощи суждений синтетических, источником которых является опыт и наблюдение, а опыт, как утверждал Юм, не способен привести к достоверным выводам, носящим характер всеобщности и необходимости.

Но мог ли считать Кант, по крайней мере, математику и геометрию только набором суждений тавтологичных или случайных и сомнительных, не имеющих, следовательно, никакой научной ценности?

Не естественнее ли предположить, что предыдущий анализ суждений, который Кант воспроизвел вслед за Юмом, заключает в себе какую-нибудь погрешность?

В чем же может заключаться эта погрешность?

Возможны, в противовес теории Юма, следующие допущения: 1) либо синтетические суждения (a posteriori), т. е. выведенные из опыта, могут быть достоверными, 2) либо могут быть синтетические априорные суждения и, наконец, 3) могут быть одновременно справедливы и первое и второе из только-что указанных предположений.

Очевидно, достаточно установить справедливость одного из них, чтобы пробить брешь в скептицизме Юма.

Кант поставил своей задачей доказать возможность второго из указанных допущений и прежде всего задал себе вопрос, где именно возможно розыскать такие суждения, которые оказались бы одновременно и синтетическими, и априорными.

Конечно, прежде всего, в науках, заслуживающих наибольшего доверия, т. е. в так называемых положительных науках, к каковым принадлежат: логика, математика и науки опытные.

Но логика, как составленная из суждений чисто аналитического характера, должна быть исключена, и остаются поэтому для исследования две группы наук: математика и опытные науки, и наиболее совершенная из них — физика.

Но физика хотя и состоит из суждений синтетических, однако, все ее суждения по преимуществу опытного происхождения, суждения других опытных наук и подавно имеют такой же характер.

Поэтому физика может доставить лишь материал для критики первого из вышеупомянутых трех допущений, а никак не второго, на котором Кант решил сосредоточить свое внимание.

Физика, а потому и подавно все остальные опытные науки, должны быть, следовательно, исключены из рассмотрения.

Из всех возможных случаев не остается, следовательно, ни одного кроме математики, и ей одной суждено решить вопрос, поставленный критическим умом Канта.

Задача им поставленная свелась, таким образом, к следующей простейшей: существуют ли и возможны ли в математике суждения синтетические и в то же время априорные.

Если, нет, то Юм прав: никакого достоверного знания не существует; если, да, то скептицизм Юма неоснователен: может существовать действительная наука, и такой наукой может быть математика и прежде всего анализ (арифметика) и геометрия. Доказанное не трудно уже будет распространить и на другие науки непосредственно к ней примыкающие: на механику, теоретическую астрономию, физику и т. д.

В предыдущей фразе я сознательно употребил слова «может существовать действительная наука» вместо «существует»;

«такой наукой может быть математика» и. т. д. вместо «такой наукой является математика».

Я наперед прошу обратить внимание на это последнее замечание, смысл которого выяснится впоследствии.

Исследуя вопрос, Кант находит синтетические суждения и одновременно, по его мнению, априорные уже в простейшей из математических наук, в арифметике.

Напр., суждение 7 + 5 = 12 есть суждение, по его мнению, априорное, ибо оно необходимо, и вообще немыслимо, чтобы 7 + 5 было чем-либо отличным от 12.

Но 7 предметов и 5 предметов мыслимы одновременно, как две группы предметов, независимо от общей суммы. Левая часть суждения требует определенной операции над этими двумя группами: соединить их в одну группу предметов и узнать, сколько предметов окажется в этой одной группе. Сумма полученных предметов не заключается в представлении двух групп слагаемых; чтобы узнать сумму нужно произвести счет и только после счета открывается, что число предметов, соединенных в одну группу, равно 12.

Следовательно, это суждение есть синтетическое, и, как сказано выше, в то же время и априорное.

Затем Кант берет для анализа простейшие положения геометрии и также старается доказать их синтетичность и априорность.

Не входя пока в критику, приведу один из его простейших примеров.

Возьмем Архимедову аксиому геометрии: прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

По мнению Канта, стоит только наглядно, путем воззрительного акта, представить себе эту аксиому, чтобы понять, что эта аксиома верна независимо от всякого опыта, т. е. верна всегда и во всех случаях, обладает всеобщностью и необходимостью; немыслимо и представить себе, чтобы какая-либо ломанная или кривая, соединяющая те же две точки, была короче прямой, через них проходящей. Следовательно это суждение априорное. Но будет ли оно синтетическим?

В понятии прямой линии, полагает Кант, как бы строго и точно его ни анализировать, не заключается понятия о кратчайшем расстоянии. Прямизна и краткость суть два различных представления; эти два различных представления связываются между собою в аксиоме Архимеда.

Следовательно, это суждение синтетическое.

Итак, по Канту, уже одна из основных аксиом геометрии оказывается суждением синтетическим и априорным, тогда как Юм утверждал, что и аксиомы геометрии являются только наведением из опыта.

Установив наличность синтетических и априорных суждений в геометрии, Кант показал, что и геометрия, подобно математике, может быть наукой достоверной, но отсюда еще не следует, что она есть действительно достоверная наука.

Это последнее положение будет доказано, если мы установим, что все аксиомы, лежащие в основе геометрии, из которых дедуктивно выводится вся стройная система геометрических знаний, суть суждения синтетические и априорные, т. е. происходят из чистого разума.

Доказательство легко получается тем же самым приемом, который только-что указан на примере аксиомы Архимеда, если применить его ко всем геометрическим аксиомам «Начал Эвклида».

Таким путем приходим к Кантовой теории происхождения основных положений (аксиом) геометрии, по которой они все оказываются суждениями синтетическими и, вопреки мнению Юма, априорными, т. е. вытекающими из чистого разума, независимо от опыта, а потому всеобщими и необходимыми.

В этом последнем утверждении с первого взгляда, повидимому, нет ничего нового. Ведь, и рационалисты, начиная с Декарта, утверждали то же самое; для них аксиомы геометрии (будем говорить только о ней) являлись продуктами чистого разума, только они обозначали это иным термином: вместо слов Канта «суждения априорные» они употребляли слова «врожденные (или прирожденные) идеи». Но это не так: между основными положениями рационалистов и Канта есть существенное различие.

Для картезианцев врожденная идея есть точная копия вещей вне нас, внушенная, вложенная в наш разум извне всемогущей волей. При помощи врожденных идей мы знаем вещи так, как они существуют в действительности, т. е. познаем «вещи в себе».

По теории Канта мы знаем только чувственные (восприятия) представления вещей, о самих же вещах не можем знать ничего; мы имеем только изображение вещи в нашем уме, которое отнюдь не совпадает с самой вещью. Это чувственное представление вещи он называет феноменом в отличие от вещи в себе, которой дает название ну менон.

Разум наш может судить только о феноменах и не имеет никакого понятия о самом нуменоне.

Сверх того, чувственные представления нашего ума могут быть двух различных родов: одни получаются извне при посредстве органов чувств и представляют чувственное изображение вне нас лежащей вещи, а другие производятся нашим разумом из некоторых первоначальных воззрений, ему самому свойственных.

Одним из таких первоначальных воззрений Кант считает пространство, а также и время, о котором мы говорить не будем.

Он доказывает это тем, что пространство не может быть чувственным восприятием какой-либо вещи, вне нас лежащей, так как представление о пространстве предшествует всякому чувственному восприятию всякой вещи, ни одно из которых немыслимо без предварительного представления о пространстве: все наши представления возможны только в пространстве и во времени.

Поэтому, наш разум получает представление о пространстве не извне, а содержит его в себе; оно не выводится из опыта, а предшествует всякому опыту, есть нечто данное в уме a priori.

Само пространство и все его элементы являются, таким образом, воззрениями чистого разума, создаются им самим через самого себя, а не являются изображением какого-либо внешнего предмета или предметов. Пространство, равно как и время, является той формой, под которой ум человека воспринимает все вещи, все явления.

Следовательно, всякая геометрическая фигура (пространственная) есть построение чистого резума, и основные ее свойства даны наперед, а priori, в самом разуме.

Основные аксиомы геометрии суть только словесные описания свойств той фигуры, которую мы называем прямой линией, свойств, которые наперед даны в нашем уме вместе с представлением о прямой линии, т. е. являются суждениями априорными.

Конечно, способность воспринимать все вещи под формой пространства есть тоже природная способность ума, зависящая от самого его устройства, но это, как видно из сказанного, совсем не то, что прирожденные идеи картезианцев, и в то же время в значительной степени, заметим кстати, согласуется с приведенными выше суждениями Лейбница.

В предыдущих строках дается определение того, что Кант разумеет иод суждениями априорными, выясняется их отличие от врожденных идей картезианцев, устанавливается его взгляд на пространство, как на форму, под которой ум человека воспринимает все вещи и явления так называемого внешнего мира, и воспроизводятся вкратце те соображения, при помощи которых Кант устанавливает, что все аксиомы геометрии суть суждения априорные, а, следовательно, всеобщие и необходимые.

Отсюда следует далее, что геометрия Эвклида, все положения которой выводятся логически (дедуктивно) из основных аксиом, есть достоверная система знаний, точно также как и чистый анализ. Приведенные выше соображения послужили точкой отправления для всех дальнейших изысканий Канта о свойствах чистого разума: учения о пространстве и времени, как о формах воззрения, учения о понятиях чистого рассудка, о категориях, как о формах чистого мышления, при помощи которых связываются чувственные восприятия, происходящие от опыта, и создается возможность опытных наук, учения об основных положениях чистого разума, о его схематизме, о границах деятельности чистого рассудка и т. д.

Для наших целей нет надобности излагать целиком все учение Канта о чистом разуме, достаточно и тех предварительных сведений, которые сообщены выше.

Математика и философия. Я хотел только, с одной стороны, в кратком историческом обозрении установить теснейшую связь математики со всеми философскими системами, начиная с древнейших, показать, что

именно математика всегда являлась и является источником философии, что она создала философию и может быть названа «матерью философии»*).

С другой стороны, я пытался последовательно, в общих чертах, проследить движение философской мысли в решении вопроса о происхождении и достоверности человеческого знания (начиная с Р. Бэкона, Декарта, и кончая Кантом), и, в частности, вопроса о происхождении и характере основных положений геометрии.

Математика создала философию, философия, анализируя все глубже и всестороннее основы математических знаний, постепенно привела к скептицизму Юма, отвергнувшего достоверность всех наук, кроме чистого анализа, признавшего, что даже аксиомы геометрии выводятся из опыта, а потому, с его точки зрения, лишены абсолютной достоверности; наконец, та же математика явилась орудием в руках Канта для опровержения скептического учения Юма и к доказательству того, что аксиомы геометрии суть истины априорные, т. е. всеобщие и необходимые, и что, следовательно, достоверность геометрии, как науки, не подлежит сомнению.

Но математика и именно геометрия оказалась весьма неблагодарной Канту. Как стихийная сила разума, идущая непрерывно вперед и неспособная остановиться, постоянно толкающая философскую мысль все к новым и более широким изысканиям, она заставила подвергнуть критике и самую критику чистого разума Канта. И как Кант при помощи математики создал новую критическую философию, примирив, до известной степени, рационализм с эмпиризмом и отвергнув скептицизм Юма, так математический гений Лобачевского произвел новый переворот в философии, об'единив в известном смысле некоторые здравые начала критической философии с такими же началами философских воззрений Юма, положив начала новых понятий о достоверности человеческих знаний, но, во всяком случае, разрушив теорию Канта об априорности геометрических аксиом.

Для того, чтобы обосновать эту теорию, необходимо сделать несомненным, что каждая аксиома геометрии есть суждение априорное, иначе говоря, представляет собою факт непосредственного воззрения, который мы прямо видим в чертеже, который при этом создается в нашем уме, в поле нашего зрения.

Кант именно таг: и понимал дело, да и не мог иначе понимать, хотя, быть может, и не вполне отчетливо выразил эту мысль словами. Шопенгауер, который в этом вопросе стоял на точке зрения Канта, именно так и рассуждает.

Для примера он берет даже более сложное положение: «в треугольнике сумма углов равна двум прямым» и утверждает, что мы постигаем это предложение не при помощи разума, а непосредственным созерцанием: мы, так сказать, видим это равенство.

Думаю, что не только простому смертному, но даже человеку с чрезвычайно развитым геометрическим воображением, никогда такого равенства не увидать.

*) Поэтому я совсем не буду говорить о философских учениях новейшего происхождения, начиная с Огюста Канта и кончая Бергсоном.

Признание этого положения за непосредственно созерцаемую истину большинством людей, знакомых с началами геометрии, можно об'яснить только известного рода гипнозом, внушением, которое постепенно внедряется в уме людей как привычка считать, что они видят то, что видеть нельзя.

Не даром все великие умы и истинные геометры, незараженные школьными предрассудками, в течение двух тысяч лет изощряли все свое остроумие, чтобы доказать это положение, вывести его из других более очевидных аксиом.

Они отчетливо понимали неочевидность этого предложения. Это предложение можно, как известно, легко вывести из других аксиом геометрии, которые кажутся несравненно более очевидными, стоит только принять в расчет так называемую XI аксиому Эвклида (или, по другим вариантам, его V постулат).

Последнюю можно формулировать весьма различно. Мы выразим ее так: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой, пересекающие ее в двух различных точках, необходимо сами пересекаются.

В этой форме аксиома представляется как будто бы более доступной непосредственному созерцанию.

Но это далеко не так. Мы отлично знаем теперь, что поле нашего зрения весьма ограничено. Вообразим перпендикуляр и наклонную, угол которой значительно отличается от прямого. Мы действительно увидим в воображаемом нами чертеже точку пересечения этих двух линий. Будем мысленно поворачивать наклонную около точки ее пересечения с третьей прямой, приближая угол наклона к прямому. Во-первых, наступит момент, когда мы нашим воззрением никоим образом не будем в состоянии решить, сделалась ли наклонная действительно перпендикулярной к третьей прямой, или нам кажется так, ибо глаз наш может различать между собою углы лишь большие известного весьма малого размера. Раз угол между двумя прямыми сделается равным или меньшим этого предела, но заведомо неравным еще нулю, наша способность различать отдельно две линии, пересекающиеся под таким углом, исчезает: обе линии сливаются в одну. Это подтверждается прямым опытом Вундта и др. При достаточном упражнении мы можем повысить чувствительность нашего зрительного восприятия: приучаться различать углы еще меньшей величины, но только до известного предела.

Во-вторых, по мере приближения угла наклона к прямому, точка пересечения наклонной с перпендикуляром уходит все далее и далее, и мы вскоре, при достаточно малом уклонении наклонной от перпендикуляра, просто теряем эту точку из виду, она выходит из поля нашего непосредственного зрения, мы перестаем ее видеть.

Таким образом, в данном случае непосредственным созерцанием, как говорят философы, можно видеть только одно, что одна наклонная, угол которой с данной прямой незаметно отличается от прямого, и другая наклонная к той же прямой, если угол ее наклона заметно отличается от прямого, пересекутся — и только.

Аксиома Эвклида, поэтому, вовсе не есть факт самоочевидный, а есть вывод из ряда опытов и притом самого примитивного характера.

Всякий раз, когда человек видел линию, которая казалась ему перпендикуляром к данной прямой, и другую линию, которую он безошибочно мог считать и считал за наклонную к ней, он замечал, что эти линии пересекаются; отсюда и заключал, что всегда и необходимо перпендикуляр и всякая наклонная должны пересечься.

Таким образом, XI аксиома Эвклида в сущности оказывается истиной того же характера, как и обычно приводимое в трактатах по логике положение: все лебеди белы. Сотни лет человечество считало это несомненной истиной, пока не открыли Австралии, а вместе с тем и черных лебедей.

Познание пространства. Совершенно справедливо, что без ошущения пространства или, я бы лучше сказал, без особого рода ощущений, которым мы придаем название пространственных, немыслимо представление никакой вещи, никакого явления, но можно ли утверждать, что пространственные ощущения предшествуют всякому опыту, т. е. существуют в уме человека раньше, чем он получает представление о внешнем мире.

Ведь, это, в конце концов, равносильно предположению, что способность создавать зрительные образы геометрических форм заложена в нашем мозгу от рождения и может проявляться раньше, чем глаз получит первое впечатление о предметах внешнего мира, или во всяком случае независимо от этого.

В таком случае кантовское чистое воззрение пространства ничем не отличается от врожденной идеи о пространстве.

По Канту выходит, что геометрические фигуры, линии, поверхности, об'емы суть создания чистого разума, чистые воззрения, предшествующие опыту. Выходит, что человек, никогда, положим, не видавший круглого предмета, как напр., новорожденный ребенок, увидав круглые предметы впервые, отличает круглый контур потому, что образ круга уже наперед заложен в его мозгу от природы. Только при подобных предположениях можно утверждать, что человек создает в своем уме идеальные геометрические фигуры независимо от опыта и непосредственно созерцает, видит в этих им же самим построенных образах их основные геометрические свойства.

Что человеку от природы, в силу его физиологической организации присуща способность испытывать пространственные ощущения, закреплять их в сознании на известный промежуток времени способность воспроизводить при известных условиях эти ощущения, вспоминать их, различать и сравнивать между собою, это несомненно так же, как и то, что человеку прирождена, в силу самого устройства его мозга, способность ощущать цвет, звук, запах, теплоту и т. д.

Но все эти ощущения возникают и развиваются только с того момента, когда соответствующие органы чувств получают впечатление от внешних предметов, т. е. обусловливаются наблюдением.

Взглянув, напр., на круглый предмет воображаемый первобытный человек получает известное ощущение от контура, ограничивающего этот предмет. Увидев затем другой круглый предмет, он сравнивает вновь полученное ощущение с предыдущим и непосредственно ощущает некоторое сходство между этими двумя ощущениями. Увидев квадратный предмет, он замечает отличие вновь полученного ощущения от двух предыдущих. Встретив глазами опять круглый предмет, он уже не спутает возникшее ощущение его очертания с только что полученным от квадратного предмета, а отнесет его по сходству к двум предыдущим и т. д.

Рядом таких сравнений сходства и различия он собирает сходственные ощущения в одну группу и дает им определенное словесное выражение, закрепляет их не только зрительной памятью, но и соответствующими звуками слова.

Первоначально такой человек, говорящий, что он видит круглый предмет, не в состоянии об'яснить, почему он считает его круглым. Он это узнает непосредственно по сходству вновь полученного ощущения с раньше закрепленными в сознании подобными же ощущениями, которые он запечатлел в слове «круглый».

Рядом такого рода последовательных наблюдений человек составляет представление, чисто зрительное, о геометрической фигуре, которой дает название круга.

Точно также, наблюдая пучки солнечных лучей, различным образом натянутые нити (тетива лука, отвес и т. п.), он составляет зрительный образ прямой линии и таким же способом всяких других линий, поверхностей и т. д. и различает одни от других по различию соответствующих им чувственных впечатлений.

Эти последние соответствуют различным двигательным актам, которые совершает глаз, когда в нем возбуждаются зрительные образы разных линий, фигур и т. д. Эти движения глаза требуют известной совокупности мускульных усилий, которые воспринимаются сознанием под формой особых ощущений расстояния между различными телами, различными частями одного и того же тела, ощущения протяженности тел и т. п.

Первоначально человек не доходит до понятия о геометрических фигурах, а составляет только чувственное представление об них, состоящее из совокупности определенных зрительных ощущений, соответствующих каждой из них, узнает каждую из них по комплексу этих ощущений, возникающих при взгляде на ту или иную фигуру, которые затем и закрепляет в памяти словами: круг, прямая, шар и т. д.

Затем уже одни звуки этих слов, в свою очередь, воспроизводят в мозгу как раз ту совокупность ощущений, которые раньше соответствовали условленным звукам слов, т. е. воспроизводят зрительные образы геометрических фигур: прямой, круга, шара, и т. д.

Ум человека при этом действительно строит зрительные образы геометрических фигур, но только после длинного ряда предшествовавших

опытов, а не раньше их, только воспроизводит в памяти раньше закрепленные в ней зрительные образы и только такие и в таком виде, какие и в каком виде они раньше запечатлевались в его ощущениях.

Никаких идеальных линий, поверхностей и т. д. человек вообразить не может, а в воспроизводимых им зрительных образах видит только одну из копий тех физических линий и фигур, которые закреплялись в его зрительной памяти.

Идеальная кривая есть уже понятие, лишенное всякого точно ей соответствующего зрительного образа и получаемое благодаря способности ума отвлекаться, не принимать во внимание некоторые из видимых особенностей предметов при тех или иных суждениях о них.

Знакомство с основными свойствами геометрических фигур он также получает путем опыта, как уже было отчасти показано на примере XI аксиомы Эвклида.

Остановимся на этом вопросе несколько подробнее.

Для практических нужд: построек, выделки оружия, разных предметов домашнего обихода первобытному человеку уже понадобилось выделывать из дерева или иного материала различные брусья, стержни, линейки, обрезывая их края по натянутой нити.

Обделанный, таким образом, край представлял для него, также как и натянутая нить, геометрический образ прямой линии. При различных манипуляциях с такими прямолинейными брусками он не мог не заметить, что если наложить краями два таких бруска один на другой и передвигать один по другому, то один из них свободно перемещается по другому, не оказывая заметного сопротивления такому перемещению. Это сопротивление оказывалось тем слабее, чем аккуратнее обделывались края брусков по натянутой нити и, наоборот, тем более затруднялось, чем край по крайней мере одного из брусков отклонялся от направления натянутой нити, а при значительном отклонении самое наложение и перемещение края одного по краю другого становилось совсем невозможным.

Таким путем после ряда опытов человек подметил основное свойство той физической линии, которую он назвал прямой, а именно свойство прямой линии целиком укладываться всякой своей частью на всем ее протяжении.

Почему именно это свойство прямой линии было принято за определение ее в трактатах по геометрии, которое, как известно, вовсе не может служить ее определением?

Если ум человеческий имеет способность априорного созерцания прямой линии, независимое от опыта, то почему он не был в состоянии точно определить то, что он сам построил и созерцал с такой очевидностью?

Почему Эвклид удовлетворился этим определением прямой линии, которое ничего не определяет, и все другие гениальные геометры в течение более двух тысяч лет не были в состоянии дать надлежащего определения с такой отчетливостью созерцаемого ими образа прямой?

Если чистый разум способен a priori устанавливать достоверные геометрические истины, как утверждает Кант, то возможно ли допустить, что он неспособен даже определить то, о чем он говорит в этих истинах? Заметим, что и все другие определения прямой, какие до сих пор давались, одинаково неудовлетворительны.

Рассмотрим далее одну из аксиом геометрии, о которой говорили выше: аксиому Архимеда, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками.

Это суждение синтетически связывает два разнородных представления: представление о прямой и о кратчайшем расстоянии.

Как уже сказано, мы имеем чувственное представление о физической прямой, но оно есть результат опыта, что же касается идеальной прямой, то мы, как только что отмечено, не можем ни вообразить ее, ни определить, что она такое. В подлежащем суждения мы имеем, следовательно, нечто a priori совершенно нам неизвестное.

Что же мы хотим сказать аксиомой Архимеда об этом неизвестном? То, что оно есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Если представление о расстоянии дается умом a priori, то невозможно допустить, чтобы наш разум был неспособен точно определить, что такое расстояние между двумя точками и притом кратчайшее. Не может же он удовольствоваться ответом: я с полной отчетливостью созерцаю то, не знаю что. Но в действительности так и выходит : разум оказывается неспособным сказать, что он разумеет под расстоянием, а тем более кратчайшим.

Итак, если рассматривать аксиому Архимеда с точки зрения чистого разума, как суждение нисколько не зависящее от опыта, то выходит, что чистый разум говорит в ней о том, не знаю о чем и говорит то, не знаю что, т. е. следует известной русской сказке.

Какую же научную достоверность может иметь такое априорное суждение?

Такая несообразность происходит именно оттого, что по требованию Канта, мы задались невыполнимой по самому существу дела задачей, извлечь из чистого разума, a priori, независимо от опыта, то чего в нем, независимо от опыта, не может заключаться, а возникает только благодаря опыту и передается в наше сознание как определенное ощущение через органы чувств.

Утверждать, что понятие о линии, в частности о прямой и понятие о расстоянии, в частности о кратчайшем, суть априорные произведения нашего ума, не зависящие от опыта, есть то же самое, что утверждать, что понятие цвета, в частности положим красного, есть априорное произведение разума, а не непосредственное чувственное восприятие.

Кант благоразумно, хотя и мимоходом, восстает против такого рода сравнений, не приводя серьезных доводов. Конечно, это сравнение не выгодно для его теории, но здесь и нет сравнения в обычном смысле олова. Здесь мы имеем дело с фактами физиологически тождественными между собою.

Я выше употребил слова понятие о прямой, о расстоянии потому, что имел в виду точку зрения Канта, по теории которого то, что мы называем линией, расстоянием, является продуктом чистого разума, а последнему приличествуют только понятия и, если иногда употребляют слово представление, то единственно в качестве синонима с понятием. Правильнее было бы слово представление, когда речь идет о чистом разуме, совсем не употреблять, ибо с представлением связывается непременно элемент ощущения, разум же имеет дело только с понятиями.

Открыв глаза, мы получаем в так называемом поле нашего зрения совокупность световых ощущений, производящих различные впечатления по напряженности и по окраске; эти ощущения частью нечувствительно переходят одни в другие, частью дают впечатления резких переходов от светового ощущения одной силы к световому ощущению другой, от одного цвета к другому.

Предположим, что все поле зрения оказалось бы заполненным одинаковым цветом одинакового напряжения: мы не составили бы при этом никакого представления о различных телах, ни о месте занимаемом этими телами, ни об относительном их расподожении, ни о протяжности тел, ни о расстоянии между ними. Именно резкие переходы от одных световых ощущений к другим, соответствующее этим переходам различие в зрительных образах приводит к представлению о различных телах, предметах или вещах видимых нами; смотря на различные тела, мы получаем ощущение расположения их в известном порядке относительно друг друга, характеризуя это словами, что один зрительный образ, отличный от других, занимает определенное место, и каждому из них приписываем свое, ему принадлежащее место. Переводя глаза от одного предмета к другому, мы испытываем известного рода мускульные усилия и ошущаем их различие; переведя глаза, напр., с предмета А на предмет В, получаем (воспринимаем) одно ощущение, а переводя глаза с того же предмета А на предмет О, — другое. Каждое такое усилие мускулов глаз мы воспринимаем как особого рода ощущение, которое называем ощущением расстояния между различными предметами. Разнообразие этих ощущений закрепляется различными словами: близко, далеко, рядом, подле, высоко, низко и т. п., сравнение этих закрепляющихся на некоторое время в сознании ощущений одного и того же рода приводит к словам: ближе, дальше, выше, ниже и т. п.

Окидывая взором границы, отделяющие одно тело от другого, мы также испытываем совокупность мускульных ощущений, которые воспринимаются под формой ощущения протяженности различных тел; ощущения эти также весьма разнообразны в зависимости от разнообразия тех двигательных актов, которые совершает глаз при обозрении разных предметов, и эти различия в ощущениях мы также закрепляем соответствующими звуками речи: высокий, длинный, широкий, толстый, узкий и т. п. и т. п. Различные степени однородных ощущений этого сорта мы выражаем словами: выше, длиннее, шире и т. п.

Видимые нами границы, отделяющие одни зрительные образы от других, приводят нас к представлению о поверхностях, отграничивающих одно тело от другого, о контурах, линиях, краях разных тел, краях линий или точках.

Эти термины представляют лишь словесные выражения определенных зрительных ощущений, непосредственно получаемых глазом от физических тел видимых нами, и закрепляющихся в нашем мозгу. Зрительный акт мы связываем с известным звуком; воспроизводя этот звук, мы можем, в свою очередь, вызвать в глазу ему отнесенный зрительный образ, воспроизвести одно из раньше полученных и закрепившихся в мозгу зрительных впечатлений.

Все такого рода зрительные ощущения, связанные с известной совокупностью мускульных ощущений, мы называем пространственными или ощущениями различных форм пространства.

Заметим, что под словом пространство, отнюдь, не следует понимать нечто вне нас существующее; этот взгляд докантовской философии должен быть оставлен. «В природе», повторим слова Лобачевского, «существует только движение без которого чувственные впечатления невозможны. Все прочие понятия, напр., геометрические (т. е. пространственные) произведены нашим умом искусственно, будучи взяты из свойств движения, а потому пространство само собой, отдельно от нас, не существует».

В одном отношении наша точка зрения, по существу совпадающая с точкой зрения Лобачевского, близка с Кантовской. По Канту также пространство есть лишь форма, под которой разум человека воспринимает все явления внешнего мира, но по Канту пространство является продуктом чистого разума, который строит его формы a priori, независимо от опыта и наблюдения; пространственные представления, по мнению Канта, создаются умом раньше всякого опыта, мы же говорим только об ощущении пространства; под формой этого ощущения мы воспринимаем известные зрительные акты, связанные с соответствующим комплексом двигательных актов, требующих известных мускульных усилий. Мы даем, таким образом, чисто физиологическое описание этого ощущения, и в этом смысле оно тождественно с ощущением цвета, звука, вкуса и т. п. Мы совершенно не касаемся и не можем касаться вопроса о том, почему тот или иной физиологический процесс воспринимается нод формой именно такого, а не иного ощущения, так как и самый вопрос является не имеющим смысла.

Ощущения пространства, цветов, звуков, запаха, тепла и т. п. сами по себе суть первичные факты, не имеющие ничего им предшествующего, служащие исходной точкой всей дальнейшей мозговой деятельности. Сознательная жизнь начинается прежде всего с накопления в мозгу следов этих ощущений; повторение этих чувственных восприятий вызывает, в свою очередь, ощущения сходства между одними из них и различия между другими. Если при ряде наблюдений одно ощущение сопровождалось другим или другими, то при возникновении, при новом

опыте, первого ощущения возбуждаются как бы резонансом и эти другие; происходит ассоциирование ощущений и т. п.

Таким образом, постепенно слагается чувственный мир не только человека, но и животных. Но человек отличается от прочих животных даром речи, т. е. способностью закреплять чувственные образы словами, которые служат средством к тому, что человек не только чувствует, но может и рассуждать о своих ощущениях, обсуждать их. К фактам непосредственно сознаваемых чувственных восприятий присоединяются начала умственной деятельности, материалом для которой служат постепенно накопленные и закрепленные в мозгу чувственные восприятия. Без наличности этого предварительного материала невозможна и сознательная деятельность, как невозможна постройка здания без соответствующего материала.

Размеры и характер, все особенности той постройки, которую производит по присущим ему правилам ум человека, которые являются следствием физиологического устройства его мозга, всецело зависят от упомянутого чувственного материала, накопленного путем опыта, и им определяются.

Разум не строит наперед, независимо от опыта, какие бы то ни было суждения, а только выражает при помощи речи, описывает словами то, что находит в чувственном материале, полученном от непосредственного наблюдения и закрепленном в сознании.

Здесь мы впадаем как будто бы в грубый эмпиризм, но это не совсем так.

Я не говорю, что самое ощущение пространства, как такое, или, напр., ощущение красного цвета и т. п. мы приобретаем путем опыта; я признаю, что способность воспринимать известные внешние впечатления под формой именно пространственных ощущений, известных цветов и т. п. составляет природное свойство нашей организации и заложена в нас раньше всякого опыта, но в то же время утверждаю, что эта способность не может притти в действие сама по себе, начать работать раньше, чем получится первое чувственное впечатление извне, т. е. раньше возникновения опыта в его первичной наипростейшей форме: человек в силу самой организации своей уже является в свет с потенциальной способностью воспринимать известную группу впечатлений под видом, напр., пространственных ощущений, а не каких-либо иных, другую группу под видом цветов и т. п. Способности запоминать чувственные впечатления, ощущать их сходство и различие, т. е. сравнивать их между собою, воспроизводить их вновь в мозгу, также составляют природу того органа, который мы называем мозгом человека.

Мозг его является как бы механизмом, способным работать только по определенным, ему присущим в силу особенностей его устройства правилам; этот механизм сейчас же приходит в движение под влиянием первого же полученного толчка; таким толчком служат те чувственные впечатления, которые получаются нами через посредство органов чувств; эти впечатления и доставляют тот материал, который перерабатывается пущенным этим же материалом в ход механизмом мозга теми именно

способами, в тех именно формах, которые диктуются самым его устройством.

Само собой разумеется, что этот механизм не является чем-то законченным с момента его появления на свет, а постепенно видоизменяется и усложняется с течением времени, растет или, как говорят, развивается из первоначального зачаточного состояния, но опять-таки определенным, исключительно ему присущим порядком. Как из пшеничного зерна постепенно вырастает не иное что, как именно колос пшеницы, из зародыша, положим, кошки развивается именно это животное — кошка, а не какое другое, так и из зачатков мозговой организации развивается постепенно тот механизм, который мы называем развитым человеческим мозгом, обладающим ему и только ему свойственными особенностями.

И совершенно так же, как из каждого определенного органического зачатка не только развивается постепенно определенный организм, но путем естественного и искусственного подбора свойства этого организма усовершенствуются из поколения в поколение, так и мозг человека с течением времен постепенно расширяет область своей деятельности, которая становится все более сложной, разнообразной и напряженной при переходе от одного поколения к другому.

Точно также постепенно возрастает и материал, получаемый мозгом извне, над обработкой которого ему приходится трудиться.

Таким образом, ум человека не есть в полном смысле слова tabula rasa, на которой лишь записываются внешние впечатления в последовательном порядке их поступления, но представляет собою от природы особого рода деятельное начало, которое имеет способность облекать все полученные впечатления в особые формы, сопоставлять и сравнивать их между собою, находя в них признаки сходства и различия, разпределять по различным группам или категориям, делать так называемые заключения из раньше отмеченных фактов и явлений к возможным будущим и т. п.

Рассмотрим подробнее вопрос о происхождении основных положений так называемых точных наук и прежде всего общий закон о связи причины со следствием.

Лейбниц утверждал, что идея о необходимости и всеобщности этого закона врождена нашему уму, вложена в него раньше всякого опыта и в то же время выражает тот действительный факт, который существует в природе независимо от нашего разума. Эта идея дает как бы точную копию того, что действительно имеет место всегда и всюду во внешней природе соответствует, как говорят, вещи самой в себе.

Связь, причина и следствие. Отличие Канта от Лейбница состоит лишь в том, что первый совершенно отрицал возможность знать вещи так, как они существуют сами по себе. Поэтому для него закон необходимой и всеобщей связи причины со следствием был лишь формой, под которой наш

разум воспринимал не самую вещь, как она существует (если существует) вне нашего сознания, а только ее проявление в нашем сознании.

Для него закон связи причины со следствием был априорным суждением, той формой, под которой наш разум неизбежно должен рассматривать связь между двумя последовательными событиями, как всеобщую и необходимую. И эта необходимость дается в разуме наперед, независимо от какого бы то ни было опыта.

Опыт, напр., показывает, что тела расширяются от нагревания. Лейбниц и Кант одинако утверждают, что сколько бы опытов мы ни производили, и хотя бы во всех этих опытах указанное явление подтверждалось каждый раз без всякого сомнения, все-таки из этих опытов не следует вывод, что всякое тело необходимо и всегда расширяется от нагревания; иначе говоря, необходимой причинной связи между нагреванием (причиной) и расширением (следствием) установить нельзя, если наперед, еще до опыта, не признать, что всякое действие А, при прочих равных условиях, необходимо и всегда должно приводить к определенному следствию В.

В основе этих суждений лежит предвзятое требование, чтобы так называемый закон связи причины со следствием был всеобщим и необходимым. А так как ни опытом, ни логически этого требования осуществить невозможно, то удовлетворить наперед поставленному непременному требованию можно только признанием этого требования независимо от опыта и доказательства.

Иначе говоря, хотя справедливость закона связи причины со следствием нельзя ни вывести из опыта, ни доказать, но он справедлив потому, что я наперед во что бы то ни стало желаю, чтобы он был справедлив, вследствие чего и утверждаю, что он представляет собою либо врожденную, либо априорную идею, неразрывно связанную с самой природой разума человека, а потому всеобщую и необходимую.

Совершенно иное заключение из тех же оснований вывел Д. Юм. Так как закон о необходимой связи причины со следствием нельзя ни вывести из опыта, ни доказать, то этот закон есть фикция или простое верование; поэтому все знание, построенное на этом законе, абсолютной достоверности иметь не может, а принимается за таковое лишь на веру.

Предположение о врожденности, либо априорности рассматриваемого закона сейчас же приводит к противоречиям. При этом предположении закон о необходимой связи причины со следствием есть факт, лежащий в самой природе нашего разума. Отприцать его немыслимо: это было бы равносильно отрицанию самого разума, отрицанию самоочевидного факта.

Между тем, в течение ряда веков во всех прочих отношениях здравомыслящие люди всех народов упорно не признавали непреложное действие этого закона. Все люди средних веков были непреклонно убеждены в возможности всяких чудес, т. е. в постоянном нарушении всеобщей и необходимой связи причины со следствием. По их понятиям одна и та же причина могла произвести по вине бога какое угодно

следствие. Иногда огонь сжигает брошенное в него тело, а иногда оставляет его нетронутым; обыкновенно человек, входя в воду, погружается в нее, а иногда может ходить по воде, как по суше; стрела может пронзить тело человека, а может и отскочить от него, не причинив ни малейшего вреда, и т. п., и т. п. И против такого сплошного отрицания непреложности, всеобщей необходимости однообразных законов природы, разум человека нисколько не протестовал; наоборот, он жестоко восставал против всякого, кто бы посмел отрицать чудо.

Даже выдающийся ум, напр., философ рационалист Гейлинкс с одной стороны признавал, как неопровержимый факт непосредственного наблюдения, что иногда внешний мир, мертвая по его взгляду природа, сказывает воздействие на живой дух человека, а с другой стороны и одновременно отрицал возможность такого взаимодействия, т. е. признавал, что одна и та же причина иногда может оказывать действие на дух, а иногда не может, и прямо называл эти казавшиеся ему несомненными факты чудом.

Значит, умы всех этих людей и множества им подобных были лишены врожденной, либо априорной идеи о необходимой связи между причиной и следствием, а это возможно лишь в том предположении, что рассматриваемая идея не есть необходимая принадлежность всякого ума.

Да, наконец, и сам Юм, один из величайших философов, не нашел такого закона в своем уме и нисколько не затруднился отвергнуть его всеобщность и необходимость, предоставив лишь веровать в него тому, кто этого пожелает. С другой стороны нельзя не признать долю основательности в возражении рационалистов и Канта против чисто эмпирического взгляда на происхождение так называемого закона причинности.

Но гипотеза о том, что всякая причина, при определенных условиях, всегда и необходимо приводит к одному и тому же следствию, несомненно, существует и лежит в основе миросозерцания опытных наук.

Откуда же она берется и что собою представляет? Простое ли предположение, принятое на веру, или нечто большее? Какое, в частности, имеет она отношение, к математике и в особенности к геометрии, которой мы приписываем также опытное происхождение.

Мы приписываем этой идее чисто физиологическое происхождение и одинаково не считаем ее ни непреложным требованием чистого разума, ни простым верованием, ни заключением, выведенным путем простой индукции из ряда опытов, и полагаем, что все недоразумения при философском тольковании этого закона происходят от предвзятой идеи, стремящейся во что бы то ни стало придать этому закону характер всеобщности и безусловной необходимости, которая имеет источником другую предвзятую идею о существовании абсолютно достоверного знания.

К наукам, имеющим претензию на такую достоверность, можно только отнести, и то с известными ограничениями, разве одну логику и арифметику. Все прочие науки достоверны только относительно, в определенном смысле, что будет выяснено нами впоследствии.

Теперь же, чтобы раз'яснить наш взгляд на происхождение и научное значение закона причинности, мы должны войти в некоторые подробности.

Предположим, что при появлении какого-либо события А в каком-либо определенном опыте или наблюдении над некоторым данным телом или данной совокупностью тел, при определенных условиях С, всегда возникает другое событие В, при чем последнее не обнаруживается ни в одном повторном опыте данного определенного состава, в котором отсутствует предыдущее событие А, и прекращается всякий раз, когда из данного опыта устраняется и это последнее (т. е. А).

В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что речь идет лишь о таких случаях, когда об'екты (тела), в которых происходит наблюдаемое явление (событие А), существуют независимо от этого события, и сами не исчезают с исчезновением или уничтожением события А.

Предположим теперь, что рассматриваемый опыт повторяется несколько раз и всегда приводит к одному и тому же результату.

При этом в мозгу человека запечатлевается картина повторенного несколько раз опыта во всей его последовательности, и, если в следующий затем момент времени, по каким-либо обстоятельствам, в мозгу возникает образ события А со всеми подробностями предыдущего опыта, то сейчас же, независисмо от нашей воли, в нем возникает и образ события В.

Иначе говоря, благодаря предыдущим упражнениям, мозг наш привыкает, в силу присущей ему организации, сопоставлять, ассоциировать вместе с возникающим в нем при определенных условиях образом события А непременно и образ события В.

И эта привычка развивается и укрепляется тем сильнее, чем больше испытано нами соответствующих упражнений ассоциировать с событием А событие В при помощи предыдущих опытов.

Но человек, в отличие от прочих животных, мыслит не только образами, но и речью, обладая способностью закреплять всякую последовательность каких-угодно чувственных впечатлений соответствующими звуками слов.

Значение речи в закреплении последовательных чувственных ощущений. В рассматриваемом нами примере описанную выше последовательность чувственных впечатлений, которую человек под влинием ряда упражнений уже запомнил и научился воспроизводить в так называемом воображении, он выражает словами: «При данных условиях событие А вызывает необходимо событие В», или «событие А есть причина события В» или, наконец, «событие В есть следствие А».

Я обращаю внимание на подчеркнутые фразы при описании того опыта, который приводит к представлению о связи причины со следствием. Выраженные в них условия обыкновенно не принимают в расчет и тем

дают повод к недоразумениям, а иногда некоторые из них и сознательно исключают, как либо устаревшие, либо излишние.

Так, напр., из рассуждений Дж, Ст. Милля в его логике (Т. I, стр. 373, Спб. 1878 г.) можно вывести заключение, что фраза: «прекращается (событие В) всякий раз, когда из данного опыта устраняется и это последнее (т. е. событие А)» — воспроизводит догмат схоластических школ: «С прекращением причины прекращается и действие (cessante causa cessant et effectus)». Но не трудно понять, что между нашим утверждением и только-что упомянутым догматом нет ничего общего, если его понимать так, как его понимали древние мыслители, или истолковывать так, как это делает Дж. Ст. Милль.

Он, напр., видит причину продолжительных неудач Кеплера объяснить на началах механики движение планет в том, что Кеплер, держась этого догмата, долгое время предполагал необходимым, чтобы сила, первоначально вызвавшая движение, продолжала действовать постоянно для поддержания движения, которое должно прекратиться с прекращением действия силы, как причины, вызывающей движение.

Рассуждение строится здесь на ошибке, которой держались древние со времен Аристотеля, от которой, повидимому, не освободился вполне и сам Милль, и которая не откинута совершенно даже и в настоящее время.

Движение и движущая сила. И теперь утверждают, что никакое тело не может притти в движение само по себе без действия особой причины, которую называют силой.

Это положение ошибочно и представляет собою частный случай другого ошибочного утверждения, что всякое явление или событие природы В непременно должно иметь свою причину А.

На самом деле никакой опыт никогда не может доказать, что возникновение движения всегда нуждается в какой-либо причине, ибо возникновения движения никто никогда не наблюдал и наблюсти не может. Сила не есть причина движения, а причина, сообщающая ускорение данному телу; тел, находящихся в покое, не существует; мы наблюдаем только относительный покой, и выход тела из относительного покоя происходит оттого, что подействовавшая на него сила превращает его относительное ускорение, равное нулю, в ускорение, отличное от нуля; в действительности же тело двигалось и до действия на него силы.

Движение есть явление первичное, не нуждается ни в какой причине и, наоборот, само может быть принято за первопричину всех происходящих в мире явлений, на что, заметим между прочим, указывал еще Ньютон в своих «Математических началах натуральной философии» и затем, как упоминалось раньше, Лобачевский в «Новых началах геометрии».

Что касается действительного действия, производимого силой, т. е. ускорения, то оно никогда не возникает при отсутствии силы и тотчас же прекращается, коль скоро прекращается действие вызывающей его причины, т. е. силы.

К этому вопросу мы еще будем иметь случай вернуться, а теперь заметим только, что ошибка Кеплера состояла не в том, что он держался неправильного взгляда на условия, определяющие понятия причины и следствия, а в том, что ошибочно принимал силу за причину движения, которое, как таковое, есть первичное мировое явление, не могущее иметь никакой предшествующей этому явлению причины.

Другие примеры, которыми Милль хотел подтвердить, что для составления представления о связи причины со следствием не следует допускать, что с прекращением причины прекращается и ее действие (производимое ею следствие) еще более несостоятельны.

Он говорит, напр.: «Человек пронзен мечем; нужно ли оставаться мечу в теле для того, чтобы человек продолжал быть мертвым?» Действительно, причиной смерти человека нужно считать пронжение его мечем. Но разве пронжение мечем остается таковым только до тех пор, пока пронзивший меч остается в теле, и прекращается, если его из тела вынуть? Если допустить это и сказать, что по вынутии меча из тела человек оказывается не пронзенным, так он, понятно, и не будет убитым, т. е. перестанет быть мертвым, так как окажется не пронзенным мечем. В том-то и дело, что здесь причина (известное поранение тела), произведшее как следствие смерть человека, оказывается неустранимой, не может прекратиться, как бы ни поступать с мечем, послужившим лишь орудием пронжения; факт пронжения продолжает существовать независимо оттого, будет ли вынут меч из тела, или нет, а потому будет продолжать свое существование и следствие вызванное этой непрекращающейся причиной.

Остановлюсь еще на одном примере, указанном Миллем, более сложном и могущем склонить на сторону Милля читателя.

«Сделанный однажды сошник остается сошником и по прекращении накаливания и ковки и даже по смерти лица, накаливавшего и ковавшего железо».

Появление сошника есть событие весьма сложное и считать причиной его накаливание и ковку очевидно нельзя; операции, которые мы называем накаливанием и ковкой, также сами по себе весьма сложны; доказывать что-либо при помощи неясных понятий, неопределенных наперед со всей точностью, нельзя.

Если упростить дело, глубже вникнув в его сущность, то оно сводится в рассматриваемом случае к следующему: некоторая сила сообщает известную деформацию данному телу; сила — причина прекращает свое действие, а следствие ее — деформация продолжает сохраняться и по прекращении вызвавшей ее причины.

Это видоизменение приведенного Миллем примера как будто бы еще отчетливее подтверждает мысль, что в некоторых случаях причина может прекратить свое действие, а произведенное ею следствие продолжить свое существование, несмотря на прекращение вызвавшей его причины.

Но это подтверждение только кажущееся и происходит исключительно оттого, что не уясняется отчетливо содержание употребляемых слов.

По существу, дело сводится к следующему: некоторая причина при известных условиях перемещает тело из точки А в точку В. Мы говорим: причиной перемещения тела из точки А в точку В есть данная сила. Последняя прекратила свое действие, а ее следствие, т. е. факт перемещения тела из точки А в точку В, остается.

Недоразумение здесь происходит от употребления нестрогого, обиходного языка. Действие перемещающей силы состоит не в том, что она переместила тело из А в В, а в том, что она (сила) вызывала перемещение тела из А по направлению к В, пока действовала. В момент, когда тело пришло в точку В, перемещающая сила прекратила свое действие, вызываемое этой причиной следствие — перемещение тоже прекратилось, дальнейшее перемещение оказалось при данных условиях невозможным и тело остановилось в точке В.

Таким образом, утверждение, что причиной перемещения тела из точки А в В является сила, совершившая это перемещение, неправильно, или, в крайнем случае, может быть допущено лишь условно для сокращения обиходной речи, как допускается, напр., условно выражение: «я с'ел три тарелки» и т. п.

На самом же деле следует сказать, что причиной остановки тела в точке В служит то обстоятельство, что причина, вызывавшая при данных условиях перемещение тела, прекратила свое перемещающее действие именно в тот момент, когда тело пришло в точку В.

При этом рассматриваемый пример, освобожденный от излишних затемняющих дело побочных обстоятельств не противоречит, а, наоборот, подтверждает тот факт, что с прекращением причины прекращается и вызываемое ею действие.

При такой постановке дела догмат старой школы теряет смысл догмата и превращается в точное выражение тех условий, которые приводят к правильному уразумению закона связи причины со следствием.

Далее, если в условиях опытов, приводящих к закону причинности, устранить требование, чтобы с прекращением явления А прекращалось и неизменно следующее за ним В, а определять причину только как «предшествующее событие А, за которым неизменно следует последующее В», тогда будет сохранять силу и старинное возражение Рейда, что в таком случае день надо будет признать за причину ночи.

О испокон веков наблюдение показывает, что за днем (событие А) неизменно следует ночь (событие В), следовательно, день есть причина ночи.

При поставленных нами условиях определения причины и следствия это недоразумение само собой отпадает без всяких дополнительных раз'яснений.

За днем следует ночь; с наступлением ночи прекращается день, т. е. событие А; следовательно, если день есть причина ночи (события В), то должна прекратиться и ночь; но она продолжается.

Поэтому день не есть причина ночи.

Здесь, впрочем, может возникнуть сомнение другого рода, а именно: можно ли утверждать, что все возможные наблюдения указывают на мгновенное прекращение действия причины? Если нет, то в примере Рейда, следующая за днем ночь, хотя и не сейчас же, но все же оканчивается и по истечении некоторого промежутка времени опять наступает день.

Не останавливаясь на этом общем вопросе, коснемся только смены дня и ночи.

Несмотря на неизменное следование за днем ночи, даже и древние не считали первый (день) причиной второй (ночи), так как скоро усмотрели, что причиной этих явлений является освещение земной поверхности солнцем. При наличности этого освещения всегда бывает день, а с прекращением освещения и день прекращается, наступает ночь, и наоборот. С другой стороны, сопоставляя, хотя бы и мысленно, ряд других наблюдений, легко убедиться, что прекращение дня отнюдь не может влечь за собой непременно прекращение ночи.

Если бы земля была обращена к солнцу всегда одной стороной, что, напр., имеет место для луны по отношению к земле, то на этой стороне всегда был бы день и за ним никогда не последовала бы ночь, а на другой была бы постоянная ночь без предшествующего дня.

Таким образом, условия, определяющие причину и следствие, в данном случае не соблюдаются, и поэтому день нельзя считать за причину ночи.

Рассмотрим, наконец, еще один пример. Вековой опыт показывает, что за рождением человека (событие А) всегда наступает затем его смерть (событие В), там где нет рождения, не может быть и смерти.

В данном случае события А и В, как будто бы (формально) удовлетворяют указанным выше условиям.

Однако, мы не считаем рождение причиною смерти. Хотя в данном случае за А всегда и неизменно следует В и там где нет А, нет и В, но, устраняя А, мы вместе с тем устраняем и тот предмет, в котором может проявляться событие А (рождение), и последующее событие В не может проявиться лишь благодаря отсутствию соответствующего об'екта.

Поэтому, хотя и в рассматриваемом случае мы, благодаря постоянному опыту, привыкаем с представлением о событии А всегда ассоциировать следующее за ним событие В, но эта ассоциация не сопровождается теми подробностями, которые выражены в выше подчеркнутых строках, вследствие чего эту ассоциацию мы и не связываем с представлением о причине и следствии.

Из предыдущего заключаем, что опыт и наблюдение дают человеку неисчислимое количество случаев, когда его мозг приучается связывать с одним каким-либо предшествующим событием А какое-либо другое последующее В.

Каждый раз в уме обрисовывается образ этих явлений во всей их совокупности с различными сопровождающими их подробностями и условиями.

Способность, присущая уму, сопоставлять и сравнивать эти образы между собою, дает ему возможность разделить все удержанные в памяти образы на две категории: в одних с представлением о неизменном следовании за одним событием А другого события В, всегда связывается и представление о том, что с прекращением А прекращается и В и что об'екты, на которых наблюдается событие А существуют независимо от него и с исчезновением его не уничтожаются, в других заключается только факт неизменного следования за событием А события В, остальные же из только-что перечисленных сопутствующих представлений отсутствуют.

Чувственные впечатления первой категории, закрепленные в нашем мозгу путем ряда упражнений, доставленных непосредственным опытом и наблюдением, мы описываем затем словами: А есть причина В.

Все же сохраняющиеся в нашей памяти образы второй категории, выделяем в другую группу, не фиксируя последовательность событий А и В словами: «причина» и «следствие».

Следствием описанного чисто физиологического процесса, зависящего от самого устройства нашего мозга, является тот факт, что мы не можем не ожидать того, что при всяком новом опыте вслед за событием А непременно произойдет и событие В, т. е. что при известных условиях А непременно будет причиной В.

Заметим, что наблюдения такого рода начались и производились либо случайно, либо сознательно с незапямятных времен, с проявлением первых проблесков сознания в человеке, и результаты этих опытов накоплялись с течением времени в громадном количестве. В большинстве случаев они давали один и тот же результат, а именно, что при определенных условиях каждая причина вызывала всегда одно и то же следствие и при каждом повторном опыте ожидание того, что за определенным событием последует, при определенных условиях, определенное же другое событие, оправдывалось и все более и более закрепляло приобретенную путем наблюдения способность (привычку) с возникновением в мозгу образа какого-либо события А, которое человек называл причиной, ассоциировать один определенный образ другого события В, которому и дал название следствия.

В конце концов, эта привычка, созданная неисчислимым количеством указанных упражнений всех предыдущих поколений, передаваемая путем наследственности и постоянно подкрепляемая новыми ее подтверждениями при множестве новых наблюдений, сделалась как бы врожденной способностью человеческого ума признавать, что каждая так называемая «причина» может, при определенных условиях, производить одно и только одно ей соответствующее «следствие», сделалась необходимой принадлежностью ума, от которой он уже не может отказаться.

Таким путем возникло понятие о так называемом законе причинности, который, как показано, отнюдь не является умозаключением по индукции из конечного ряда наблюдений, а результатом физиологической особенности устройства нашего мозга.

При таком взгляде на дело получает об'яснение и тот факт, что в продолжение ряда веков существовало, да и теперь существует, множество людей, которые не имели или не имеют отчетливого представления о необходимой связи между причиной и следствием и без всякого затруднения допускают возможность того, что одна и та же причина может порождать различные следствия, что было бы необ'яснимо в предположении, что закон причинности есть врожденная или априорная идея всякого человеческого ума.

Об'ясняется это тем, что мозг таких людей находится в первобытном, зародышевом состоянии вследствие недостатка тех упражнений, при помощи которых обрабатывается мозг научно развитого человека.

Понятно также, почему таким высоко развитым умам, как Декарт, Лейбниц, Кант и др., закон необходимой связи причины с определенным следствием казался истиной самоочевидной, независящей от опыта, всеобщей и необходимой.

Сопоставляя все изложенное, мы приходим к следующим выводам.

Закон причинности. Возникновение идеи о законе причинности обусловлено самой природой нашего мозга, но идея эта не является прирожденной или заложенной в нашем уме наперед и независимо от опыта, а, наоборот, возникает и развивается благодаря опыту и наблюдению.

Утверждение, что за событием А всегда и необходимо следует событие В, не есть умозаключение по индукции из конечного числа опытов, в которых указанное явление действительно наблюдалось, а лишь выражение того факта, что благодаря этим опытам и физиологическому устройству нашего мозга он приобретает неустранимую привычку, в силу которой в нашем уме одновременно с возникновением образа события А всегда возникает, ассоциируется с ним, при наличии определенных сопутствующих образов (условий) и образ события В. В то же время это не есть догмат, на мысль о котором нас наводит ряд опытов и который мы принимаем затем на веру, а является для нас фактом, который мы непосредственно сознаем и закрепляем затем соответствующими звуками речи.

Постоянное подтверждение этого факта сознания новыми опытами, новыми данными наблюдений, всегда его подтверждающими, и сейчас же обнаруживающееся противоречие с действительностью (с опытом), как только мы вздумаем отрицать его, заставляют нас отнести этот факт нашего наблюдения к особой группе замечаемых нами явлений, которым мы даем название «закона природы».

Рассматриваемый пример (закон причинности) играет первостепенную роль в теории познания и в учении о достоверности знаний, вследствие чего я считаю необходимым войти в дальнейшие подробности.

Наблюдения доставляют нам лишь частные, конкретные случаи закона причинности; каждый раз под причиной и следствием разумеются совершенно определенные факты, напр., нагревание тела (событие А) и его расширение (событие В); охлаждение поверхности почвы

(соб. А) и появление росы (соб. В); притяжение земли (соб. А) и падение на нее всякого тела (соб. В) и т. п.

Общее выражение закона причинности, говорящее, что «всякая причина вызывает определенное ей соответствующее следствие», когда в слова «причина» и «следствие» не вкладывают никакого определенного содержания, есть простое обобщение всех наблюденных и усвоенных нами частных случаев и составляется по тому же закону логики, как, напр., общее понятие о дереве из множества конкретных случаев дуба, вяза, липы, березы и т. д. Общая идея о связи причины со следствием есть лишь отвлеченное родовое понятие, составленное путем обобщения всех известных нам, наблюденных частных случаев совершенно также, как, напр., понятие дерева, а не представляет собою априорную идею, данную в нашем уме раньше всякого опыта.

Следует заметить, что предыдущими соображениями мы пояснили лишь то, каким образом создается в нашем уме представление о причинной связи одного предшествующего события А с другим последующим В, но не пояснили с полной определенностью, на каком основании складывается в нашем уме убеждение, что каждая причина может вызвать и только одно ему соответствующее следствие. Об'яснение, впрочем, уже заключается во всех приведенных выше рассуждениях. Это положение является прямым следствием всех имеющихся в нашем распоряжении опытов и наблюдений; до сих пор мы не могли заметить ни одного случая, когда за одним и тем же событием А непосредственно следовало бы два различных между собою события В и В1, и допущение такого факта сейчас же приводит к противоречию с действительностью.

Но из этого обстоятельства, что до сих пор такого случая не наблюдалось, следует ли, что он не может появиться в будущем? Конечно, нет; утверждать это с абсолютной достоверностью мы не можем, но с другой стороны и отрешиться от привычки, усвоенной вековым опытом, ассоциировать с каждым событием А только одно ближайшее к нему событие В мы не в состоянии. Только опыт силою мог бы заставить нас отвергнуть эту способность, сделавшуюся органической принадлежностью нашей природы.

Если бы мы встретились когда-либо с подобным фактом на опыте и убедились в полной безошибочности последнего, то пришлось бы отказаться и от закона причинности и признать, под давлением нового опыта, что с момента его возникновения мы вступаем в мир новых, нам чуждых и до сих пор неведомых явлений.

Пока же такого опыта нет, отрицание рассматриваемого факта для нас невозможно органически, как невозможно отрицание того, напр., факта, что мы живем.

Но если в результате неисчислимого ряда опытов мы пришли, наконец, к убеждению, что общее начало закона причинности мы не можем понимать иначе, как факт действительности, непреложно устанавливаемый не только всеми предыдущими и настоящими опытами, но справедливый и для будущего, т. е. приобрело для нас характер так называемой «достоверности», отвергнуть которую наш ум уже не может

в силу укоренившейся привычки, то отдельные конкретные выражения этого закона мы заведомо должны принимать справедливыми лишь условно и временно.

На это обстоятельство, резко отличающее нашу точку зрения от взглядов рационалистов и последователей Канта, необходимо обратить особое внимание.

В эмпирических науках весьма часто приходится одну конкретную формулу закона причинности заменять другой; это почти обыкновенно явление и истории развития этих наук.

Иногда в течение долгого промежутка времени опыты, либо по необходимости недостаточно точные, либо неправильно толкуемые, как будто бы неоспоримо доказывают, что причиной некоторого события В является определенное событие А; но затем, при усовершенствовании опыта или при более тщательном исследовании его условий, обнаруживается, что событие А не приводит к событию В, т. е. либо было истолковано, либо наблюдено ошибочно.

В таком случае производятся новые более тщательно и обдуманно поставленные опыты, в результате которых оказывается, что причиной В является не прежнее предполагаемое событие А, а другое, положим А1.

Так, напр., причиной появления окалины на металлах (событие В) при их прокаливании долгое время считали выделение в окружающую среду особого вещества «флогистона» и обращение вследствие этого части металла в «известку» (событие А — причина В).

Производили не мало опытов и находили в них подтверждение сказанного. Однако впоследствии опыты Ломоносова с запаянными трубками, а лет через 40, и опыты Лавуазье показали ошибочность предыдущего вывода и установили, что причиной события В является соединение кислорода воздуха с накаливаемым металлом, т. е. установили другую причину А1, совершенно отличную от предполагавшейся ранее А.

Точно также при определении того действия, которое производит данная причина А, мы, по разным обстоятельствам, впадаем в ошибки и неточности, которых иногда не замечаем очень долго, и лишь после долгого периода времени бываем принуждены формулу «А есть причина В» заменять другой: «А есть причина В1!» Более того, мы увидим впоследствии, что идея о всеобщей и необходимой причинной связи всех событий физического мира, будучи, как указано, опытного происхождения имеет, сверх того, характер временной гипотезы и с усовершенствованием наук устраняется, как излишняя.

При этом, чем продолжительнее мы пользовались первой формулой, чем она стала привычнее, тем труднее нашему уму отказаться от ее признания; именно вследствие этого на почве отрицания старых формул и возгораются обыкновенно споры и недоразумения.

Вообще, в настоящее время можно привести сколько угодно примеров, с очевидностью доказывающих насколько относительна достоверность наших познаний о природе и в какой мере возникновение даже основных, простейших законов природы обусловлено опытом и наблюдением.

Мы оставим в стороне науки чисто эмпирического характера, хотя и получившие во многих отношениях широкое теоретическое развитие в настоящее время, как, напр., физику или химию и остановимся еще на происхождении основных положений так называемой рациональной механики и геометрии, в безусловной достоверности которых ни рационалисты, ни Кант и не помышляли сомневаться.

Последователи Канта всеми способами старались и до сих пор стараются доказать, что первый основной закон механики, так называемый «закон инерции» есть априорная идея, независящая от опыта и что источник его лежит в другой более общей и также априорной идее о связи причины со следствием.

С этой целью стараются придать выражению этого закона соответствующую форму, которая наиболее согласовалась бы с той исходной точкой зрения, с которой приступают к исследованию вопроса.

Таких различных формул предложено не мало, но все они в большинстве случаев неудовлетворительны по своей неопределенности и годны только для абстрактных рассуждений, не приводящих ни к каким реальным результатам.

Обыкновенно этот закон формулируют примерно следующим образом: «Возникновение движения тела возможно только под действием некоторой внешней причины; раз возбужденное движение никогда не исчезает, а только слагается со вновь возникающими движениями тела».

Именно стремление придать ему характер априорной достоверности, независимой от опыта, и привело к такой неверной формулировке.

Мы выше уже, показали, что говорить о причине движения как такового нельзя; движение само по себе есть явление первичное, не имеющее причины; покоя в природе не существует, а потому и говорить о возникновении движения немыслимо.

Это есть один из наших простых и несомненных результатов всех опытов всех времен.

Рационалисты и последователи Канта не пожелали воспользоваться этим элементарным опытом и впали в ошибки.

Но мы постоянно наблюдаем изменения в движении, т. е. говоря точно, изменение в величине и направлении того, что мы называем скоростью движения, которое характеризуется в механике понятием ускорения.

Если мы скажем, что возникновение ускорения возможно только под влиянием некоторой внешней причины, это будет более правильно, но тем не менее закон инерции этой фразой не выражается: она еще весьма неопределенна и ни к каким полезным выводам привести не может; она говорит только, что ускорение понятие совершенно определенное, есть следствие какого-то неизвестного предыдущего события А, т. е., в сущности, не говорит ничего.

И никакими «априорными» соображениями из этой неопределенности выйти невозможно. Чтобы получить точное выражение закона природы, а не пустую, лишенную содержания фразу, необходимо точно знать, в чем состоит событие А, являющееся причиной ускорения. Эту

причину называют силой. Если мы под словом «сила» будем разуметь только термин, то не выйдем из неопределенности. Устранить эту неопределенность могут только опыт и наблюдение. Именно опыт показывает нам, что для того, чтобы вывести любое тело из состояния относительного покоя, т. е. сообщить ему некоторое ускорение, необходимо употребить соответствующее усилие, которое мы непосредственно ощущаем в форме так называемых мускульных усилий. Сдвигая с места, или поднимая какое-нибудь тело, мы действительно испытываем такое усилие и чувствуем, что для различных тел эти усилия различны. Таким образом, при помощи опыта мы убеждаемся, что для того, чтобы сдвинуть или поднять какое нибудь тело, лежащее, положим, на поверхности земли, или удержать его от падения, мы должны приложить к нему некоторую силу, при чем замечаем, что каждый раз для одного и того же тела эта сила, непосредственно ощущаемая нами в напряжении наших мускулов, оказывается одинаковой. Точно также мы по опыту узнаем, что для того, чтобы удержать какое-либо тело от падения на землю, надо употребить некоторую силу, откуда выводим заключение о существовании равной и противоположной силы, заставляющей тело падать на землю. Представление о том, что действие всякой силы может быть уничтожено действием силы же ей равной и направленной в противоположную сторону, мы также получаем на повседневном опыте. Так, напр., стремясь какой-нибудь предмет передвинуть правой рукой вправо, а левой влево мы чувствуем, что если мускульные усилия обеих рук одинаковы, то предмет остается без движения на месте и т. п.

Таким путем простые и постоянно повторяющиеся опыты создают представление о силе вообще и в частности о силе, заставляющей падать все тела на землю, при чем сила является для нас реальным фактом, так как мы узнаем о существовании его непосредственно воспринимаемым ощущением усилий наших мускулов.

Силы. Предыдущие и все подобные опыты, число которых неисчислимо, дают нам представление о том, что сила может действовать в различных направлениях и представляет собою некоторую величину, так как оказывается возможным сравнивать различные силы между собою, говорить о равных, больших или меньших силах.

Первые представления о силе развились, как видим, из наблюдений над общим свойством всех тел, с которыми нам приходится иметь дело, тяготеть к земле; силу эту, явившуюся первообразом понятия о всякой силе, человек назвал тяжестью или весом тела.

Вскоре он нашел и способ измерять эту силу при помощи весов, взяв за единицу силы (веса) определенное тело.

Таким образом, путем непосредственных опытов человек составил определенное понятие о силе, как о величине, имеющей определенное направление и научился измерять эту величину.

На опыте же он увидел, что именно сила сообщает ускорение всякому телу (точке), что с прекращением действия силы прекращается и

сообщаемое ей ускорение, что каждая сила сообщает точке одно определенное ускорение и, наоборот, каждое данное ускорение вызывается определенной силой, направление которой совпадает с направлением ускорения.

Представление о силе составилось, следовательно, совершенно таким же путем, как, напр., представление о геометрических линиях, о протяженности, и принадлежит к одному и тому же роду простейших первичных понятий.

Пытаться устранить представление, чисто физическое, о силе и заменять его каким-либо другим, столь же неосновательно, как устранять в геометрии из опыта же выведенные представления о расстоянии, о линиях и т. п., заменяя их какими-либо иными, более отвлеченными понятиями.

Сила есть понятие первичное, более ясное и доступное нашему уму, чем какое бы то ни было другое понятие механики, ибо корень его лежит в непосредственно сознаваемых нами ощущениях мускульных усилий.

Раз установлено понятие о силе, как об измеряемой величине и имеющей то самое направление действия, которое приобретает сообщаемое ей ускорение, также определенная величина, которая выводится из свойств движения, независимо от понятия о силе, то закон инерции превращается в определенное синтетическое суждение, выведенное из опыта и наблюдения, расширяющее первоначальное понятие о силе, основанное на чисто физиологической почве испытываемых нами мускульных ощущений.

Закон этот может быть выражен так: ускорение есть определенная функция силы.

Так как опыт показывает, что каждой силе соответствует, при данном направлении, определенное ускорение и наоборот, то можем сказать, что и сила есть определенная функция ускорения.

В такой форме, при сделанных выше пояснениях, закон инерции получает совершенно определенный смысл, ибо связывает два события: событие А — силу с событием В — ускорением, из которых каждое определяется заранее, вполне и независимо друг от друга.

Но к такому выражению закона инерции человечество пришло через длинный ряд заблуждений и их постепенных исправлений, но и заблуждения свои и следовавшие затем поправки все время выводило из наблюдений и опытов и только из них. Зачатки закона инерции можно найти еще у Аристотеля и в той или иной форме у всех последующих исследователей природы вплоть до Галилея и Ньютона. Постепенно путем опыта составлялось представление о силе, о причине непосредственно наблюдаемых движений, о связи между силой и движением, и всякий раз в выражениях основных законов механики человек лишь описывал словами то, что непосредственно усматривал в опыте. Первоначально он без надлежащей критики принимал за истину все, что видел в обыденных, грубых наблюдениях, затем, при некотором изощрении в наблюдениях и накоплении новых данных опыта, исправлял

первые грубые выводы; с дальнейшим развитием наблюдательности вводил новые исправления в свои поспешные выводы и продолжал эту работу почти в течение двух тысяч лет, постепенно исправляя свои заблуждения, но всегда руководствуясь при этом данными опыта, хотя бы и ошибочного.

Мы уже описали, каким образом человек при посредстве непосредственно воспринимаемых ощущений, вызываемых мускульными напряжениями, пришел к представлению о силе. Заметив далее, что никакое тело само собой не сдвигается с места и что требуется некоторое усилие, чтобы привести его в движение, он связал эти два факта в суждение, что сила есть причина движения. Здесь именно заключается зачаток закона инерции, который был в этом виде формулирован еще Аристотелем. Но прямой обыденный опыт показал ему, что если тело сдвинуть с места действием некоторого усилия, а затем это усилие прекратить, тело опять остановится. Он видел, напр., что для того, чтобы сообщить повозке равномерное движение, нужно постоянно прилагать к нему одну и ту же силу человека или какого-либо другого животного, он непосредственно ощущал это на повседневном опыте. Не вдаваясь в критическую оценку этого факта, наивный ум древних мыслителей сейчас же вывел отсюда закон механики, который явился просто описанием наблюденного факта.

Таким образом, получился принятый школой перипатетиков (Аристотеля) закон, что прямолинейное равномерное движение производится постоянной силой, действующей на тело во все время такого движения.

И мы видели, что до Кеплера, да и сам Кеплер, держались именно этого правила; разум выдающихся мыслителей две тысячи лет мирился с этой явной ошибкой.

С другой стороны наблюдатель замечал, что существуют тела, которые видимо движутся сами по себе, никем не влекомые, а именно солнце, луна и вообще небесные светила и описывают, по его грубым наблюдениям, круги на небесном своде.

Круговое движение Аристотель назвал «естественным». Таким движением обладает небесная сфера и находящиеся на ней светила, состоящие из высшей и совершенной субстанции «эссенции». Отсюда можно заключить, что Аристотель полагал, что «вещество», не подверженное действию сил, должно иметь круговое «естественное» движение.

Таким образом, разум великого стагирита был совершенно чужд созерцания априорных истин и смело подчинялся самому грубому обыденному наблюдению. Эти взгляды твердо удерживались затем в течение двух тысяч лет, и даже гениальный Леонардо да Винчи считал, что действие силы состоит в сообщении телу данной скорости, что «движущая сила» пропорциональна сообщаемой ею скорости.

Из всех доступных нам наблюдений только движение свободно падающих тяжелых тел могло бы доставить надлежащий материал для правильного суждения о законах динамики, но низкий уровень знания

и неуменье производить опыты заставляли ограничиваться исключительно наблюдениями, притом самыми поверхностными, над движением тел, перемещаемых по поверхности земли.

Что же касается свободно падающих тел, то заметили только влияние сопротивления среды, наблюдая непосредственно, что очень легкие тела падают в воздухе значительно медленнее, чем тяжелые.

Сопоставив все такие данныя вывели следующие законы:

Скорость пропорциональна движущей силе и обратно пропорциональна сопротивлению воздуха. Одна и та же сила сообщает телу, которое в п раз тяжелее другого, скорость в п раз меньшую, чем этому последнему; одному и тому же телу сила в п раз большая сообщает в п раз большую скорость.

Заметив, что весьма большую тяжесть нельзя сдвинуть с места слабым усилием, присоединили к предыдущим положениям следующее ограничение: весьма малая сила весьма массивному телу не может сообщить никакой скорости.

Такое именно положение высказывает Леонардо-да-Винчи, верный последователь Аристотеля, в одном из своих манускриптов (издание Равелон-Молльена, Париж 1889).

Разумеется, всюду речь идет только о прямолинейном, равномерном движении.

Все эти выводы кажутся нам теперь более, чем наивными; такие утверждения можно услыхать и в настоящее время от дикарей, или людей, лишенных элементарного образования, но сотни лет тому назад их придерживались и люди, которых мы и теперь почитаем гениальными.

Исключение, сколько нам известно, составлял только, быть может, самый выдающийся из гениев всех времен, Архимед.

Следует заметить, что сам Архимед, все его последователи, греки, все ученые средних веков до Леонардо-да-Винчи и после него до Галилея изучали исключительно законы равновесия сил, но все, за исключением Архимеда, исходили из вышеприведенных динамических представлений о силе и ее действии, тогда как Архимед основывал все свои суждения исключительно на фактах, наблюдаемых в явлениях равновесия.

Во всех его сочинениях нет ни одного намека на приведенные выше «законы», созданные школой перипатетиков; этот величайший из умов, когда-либо появлявшихся на земле, несомненно сознавал всю их несостоятельность. Но и он не был в состоянии вывести что-либо положительное из наблюдений над движением тел, а потому и предпочел в своих исследованиях по механике совершенно не касаться вопросов движения.

Все же остальные менее проницательные мыслители без всякого смущения признавали приведенные выше утверждения за факты действительности и принимали их за законы движения тяжелых тел.

Впрочем уже Аристотель заметил, что падающее тело изменяет свою скорость, увеличивая ее с течением времени, но держась своих ошибочных основных положений об'яснил это явление тем, что тело при

падении увеличивает свою тяжесть, что и заставляет его ускорять равномерное движение. На тех же основаниях он утверждал, что из двух тел то, которое вдвое тяжелее другого, падает вдвое быстрее.

И не только Аристотель, но и следовавшие за ним греческие ученые, даже Эвклид (если только справедливо, что именно ему принадлежит трактат «О тяжелом и легком» — De ponderoso et levi), арабы, как, напр., Табит ибн Куррах аль Гарани (836 г. по Р. Х.) итальянские ученые, как то: Джордано из Нима (Jordanus Nemorarius XII века), Блазиус из Пармы (умер в 1327 г.), сам Леонардо-да-Винчи, Тарталья из Брешии (1546 г.), Иероним Кардан, Александр Пикколомини и др., — все держались начал Аристотеля, хотя это обстоятельство не помешало им, заметим кстати, в области учения о равновесии сделать ряд важных открытий.

Если проследить внимательно историю этих открытий, то опять-таки окажется, что возможность их обусловливалась исключительно сравнительной легкостью производства точных и разнообразных статических опытов.

Что же касается явлений движения, то, повидимому, даже и не знали, как взяться за постановку таких опытов и ограничивались чисто случайными, обыденными наблюдениями.

До Бенедетти (1530—1590), напр., все твердо настаивали на том, что если два тела, одинаково тяжелых, соединить вместе, то вместе они упадут вдвое скорее на землю, чем каждое порознь, или, иначе, что из двух тел, сделанных из одного и того же материала, то, которое имеет вдвое больший об'ем, падает вдвое скорее, чем другое (перипатетики, Эвклид, Джордано из Нима, Леонардо-да-Винчи, Тарталья и др.).

Бенедетти первый отверг этот «закон» школы Аристотеля, но неизвестно, производил ли он соответствующие опыты; последние были произведены современником Бенедетти, знаменитым Стевином при содействии Жана Гроциуса.

До какой степени ничтожно было в те времена искусство опытного исследования наглядно показывает настоящий пример: Стевин не мог вывести никакого определенного заключения из своих наблюдений. Иногда они давали результаты будто бы согласные с гипотезой Аристотеля, иногда совпадали с предположением Бенедетти, утверждавшего, что оба из вышеупомянутых тел разных об'емов упадут в одно и то же время на землю, если их одновремено заставить падать с одной и той же высоты.

Итак, в течение двух тысяч лет, выдающиеся, а иногда и гениальные умы, положившие начала современной точной науки, в тех отделах ее, где им удавалось воспользоваться данными опыта, в других же областях, где они не могли руководиться хорошо поставленным опытом, признавали за истины заведомо ложные утверждения, извлекая их опять-таки не из чистого же разума, а из непосредственно наблюдаемых фактов действительности, без надлежащей критической оценки и ошибочно толкуемых.

Очевидно, эти гениальные люди были лишены всяких врожденных идей или способности усматривать истины природы à priori независимо от опыта и наблюдения.

Но стоило только молодому 26-летнему Галилею произвести ряд относительно точных опытов над падением тяжелых тел с наклонных башен Пизы, и основы учения Аристотеля, сотни веков владевшего умами человечества, рухнули.

Произведенные Галилеем опыты показали, что отношение скорости падающего тела, приобретенной за какой-либо промежуток времени, к самому этому промежутку есть величина одинаковая для всех тяжелых тел, которые он брал для своих опытов.

Таким образом, как раз в год смерти Бенедетти (или около этого времени) было подтверждено его положение, что все тела, независимо от их веса должны достигать земли в один и тот же промежуток времени.

Вес тела представляет ту силу, которая влечет тело к земле вниз по вертикали. Опыт показал, что этот вес оставался одним и тем же при всех положениях тела (и на верху башни, до падения, и внизу ее, после падения), и во всякий момент времени. Опыт же показал, что отношение приобретенной за известный промежуток времени скорости к этому промежутку оставалось одним и тем же для всех испытанных тел и для всех испытанных промежутков времени.

Это же отношение представляет в данном случае то, что называют ускорением тела (точки).

Оказалось, следовательно, что во всех испытанных случаях действие на тело постоянной силы сообщает ему не постоянную скорость, как думал Аристотель и все за ним следовавшие ученые до Галилея, а постоянное ускорение.

Закон инерции. Таким образом, получился закон инерции, правда, установленный, и то приближенно, в пределах погрешности наблюдений, лишь для испытанных Галилеем тел и только для той постоянной силы, которую мы называем тяжестью. Затем, благодаря природной способности нашего ума обобщать закрепленную на ряде частных фактов ассоциацию представлений и распространять ее на все возможные подобные случаи, наблюденный факт вскоре принял форму общего закона, что действие всякой силы состоит в сообщении всякому телу некоторого ускорения.

Ньютон. Это обобщение было сделано великим Ньютоном.

Рассматриваемый нами простейший пример и все другие наблюдения над развитием положительных знаний неизменно приводят к одному и тому же заключению: ни врожденных идей, ни априорного созерцания истин природы в уме человеческом не существует, но ему принадлежит врожденная способность закреплять в сознании наблюденные факты действительности, обобщать их и распространять на целые группы возможных (мыслимых) однородных случаев.

При этом рассматриваемая обобщающая деятельность ума про является всегда, каковы бы ни были воспринятые чувствами факты, независимо от того, ошибочны они, или нет.

Однако, эта деятельность проявляется тогда и только тогда, когда в мозгу человека накопляется достаточное количество материала, извлеченного из непосредственного опыта или наблюдения, и установится привычка связывать между собою воспринятые чувственные впечатления.

Этим умственным процессом, который приводится в действие опытом и наблюдением и ничего общего с логическим умозаключением не имеет, создаются нами так называемые законы природы.

Закон природы. Эти последние, вообще говоря, имеют относительную и временную достоверность, ибо и достоверность получаемого путем опыта и наблюдения материала также относительна. То, что ум человека привыкает считать несомненным десятки, сотни веков, оказывается часто ошибочным и подвергается впоследствии коренному изменению опять-таки благодаря новым впечатлениям, получаемым при помощи того же опыта и наблюдения.

Со времени открытия закона инерции прошло более трехсот лет. В первое время последователи Аристотеля, к которым принадлежала и церковь, восстали против новшеств Галилея, ему даже пришлось покинуть Пизу и лишь благодаря покровительству Гвидо Убальдо Маркиза дель Монте получить кафедру математики в Падуе.

Однако, свидетельству опыта оказалось невозможным противиться.

Идеи Галилея скоро распространились по всей Европе и все более и более подкреплялись новыми опытами, как прямыми, так и косвенными.

Гюйгенс (1629—1695), Гук (1639—1722) и др. дали ряд убедительных подтверждений открытого Галилеем закона, затем начала механики, положенные Галилеем, нашли окончательную формулировку и развитие в бессмертных творениях Ньютона, одновременно с которым работали Лейбниц, математический гений одного порядка с Ньютоном, братья Бернулли (Яков и Иван), несколько позже их дети и племянники Николай, Даниил Бернулли, затем, знаменитый Эйлер, д'Аламбер, Лагранж и т. д.

Найденные Галилеем и Ньютоном законы новой механики быстро приводили к новым открытиям, о которых не смели и мечтать прежние исследователи природы, стоявшие на точке зрения Аристотеля и его последователей, и все эти открытия с несомненной очевидностью подтверждали справедливость Ньютоновских законов механики и, е частности, закона инерции.

В 1784 году англичанином Атвудом был затем изобретен особый весьма простой инструмент для наглядного опытного подтверждения закона инерции и законов падения тяжелых тел, носящий название

Атвудовой машины. Усовершенствованная в различных направлениях эта машина употребляется и в настоящее время; каждый школьник может теперь без всякого труда сам проделать опыт, который наглядно и сколько угодно раз подтвердит ему справедливость опытов и выведенных из них законов Галилея.

Благодаря всему этому мысль о достоверности закона инерции настолько укоренилась в сознании людей, что многие стали считать этот закон истиной самоочевидной, не нуждающейся ни в каком опыте, однако, историческая действительность, вкратце описанная выше, решительно опровергает это заблуждение, особенно резко выдвинутое Кантом.

Чтобы еще определеннее выяснить относительную достоверность наших знаний, даже таких, которые необходимо признать наиболее достоверными из всех возможных, и их непосредственную зависимость от опыта, продолжаем далее разбор рассматриваемого нами закона.

Все опыты, все выводы, все предсказания, в основу которых положен закон инерции, подтверждают его справедливость с такой степенью точности, какую, повидимому, мы можем только желать; противоречий до самого последнего времени нигде не встречалось. Все подтверждает, что ускорение, сообщаемое силой, не зависит от той скорости, с какой двигалось тело в момент приложения силы.

Эйнштейн — теория относительности. Однако, некоторые противоречия в об'яснении световых явлений, наблюденных в самое последнее время (напр., опыты Майкельсона-Морлея), при помощи обычной электромагнитной теории света, основанной на механике Ньютона, привели к новой так называемой теории относительности. Эта теория, начала которой положены были проф. физики в Праге Эйнштейном, одно время завладела умами большинства физиков, и в ней увидели даже такой переворот всего строя наших знаний, установившихся со времен Галилея и Ньютона, перед которым якобы бледнел переворот, созданный этими гениями. Я не буду касаться по существу этого вопроса, а буду говорить о теории относительности лишь постольку, поскольку она касается рассматриваемого нами закона инерции.

По этой теории, вопреки утверждению Ньютона, приходится допустить, что ускорение, сообщаемое силой движущемуся материальному телу (точке) зависит и от скорости, с которой движется эта точка. Мы опять наблюдаем здесь одно и то же явление: если бы обычный закон инерции был непреложным требованием нашего чистого разума, то умам всех людей предыдущее утверждение должно было бы показаться явной нелепостью, равно как и самый закон относительности, приводящий к ней.

Однако, ничего подобного не произошло, и многие выдающиеся физики без малейших колебаний признали возможность и того допущения, что действие силы на тело, движущееся с одной скоростью будет одно, а на движущееся с другой скоростью—другое.

Немыслимо же допустить, что большое число известных ученых в один прекрасный момент утратили кантовский чистый разум с его априорными идеями.

Конечно, не все ученые признают закон относительности, но отнюдь не на том основании, что он только противоречит принятым началам механики Ньютона, а на соображениях иного рода, о которых здесь не место распространяться.

Но, так или иначе, как только исследователи столкнулись, при усовершенствованных методах наблюдения, с новыми фактами опыта, которых не могли заметить раньше и которые, повидимому, противоречили раньше принятым началам, так сейчас же нашлись вынужденными усумниться в справедливости этих начал и попытаться заново пересмотреть их, согласуя с новыми данными опыта.

Если бы теория относительности оказалась не только гипотезой, придуманной для об'яснения известной группы наблюдений, а неоспоримым фактом, и отступление от закона инерции, ею теоретически указываемое, оказалось бы чувствительно заметным на опыте, то пришлось бы счесть этот закон даже и приблизительно неверным.

Однако, со времени создания Ньютоновской механики прошло более двухсот лет. За это время она успела охватить, об'яснить и предсказать множество явлений природы, что было совершенно немыслимо до ее появления; привела к поразительным открытиям и изобретениям, о которых наши предки не могли иметь и представления.

Пользуясь законами этой механики, астрономы простым вычислением, не выходя из своего рабочего кабинета, открывают новые миры, предсказывают солнечные, лунные затмения и всякие другие явления в движении небесных тел с необычайной точностью до долей секунды Все чудеса современной техники, которым мы перестаем удивляться только благодаря привычке, все они созданы при помощи начал рациональной механики. Не зная этих начал, нельзя было придумать ни паровых машин, ни пароходов, ни локомотивов, ни автомобилей, позволяющих нам перемещаться с невероятной для наших предков быстротой. Осуществлена казавшаяся утопией мечта о летании по воздуху; мы теперь можем передавать по обыкновенному или беспроволочному телеграфу известия из одного конца света в другой в несколько секунд, можем разговаривать друг с другом по телефону на расстоянии сотен верст, можем передавать по телеграфу фотографические снимки на весьма большие расстояния; простая машина может запечатлевать человеческий голос во всех подробностях и вновь воспроизводить его в отсутствии говорившего, даже много лет спустя после его смерти. В нашем распоряжении электрические железные дороги, электрические трамваи, всевозможные электрические двигатели, мы пользуемся электрическим освещением.

Сообразуясь с началами механики, мы прорезываем туннелями горные непроходимые массивы, взбираемся по кремальерам на неприступные снеговые вершины гор, прорываем каналы между материками, В настоящее время каждый физик, химик, часто и биолог, при своих

открытиях и изобретениях шагу не может ступить без механики и математики, или бессознательно пользуется их началами, сам того не замечая.

Пожелаем ли мы об'яснить законы различных химических реакций, плодами которых пользуется с такой пользой все человечество, законы растворения одних веществ в других, удивительные радиоактивные явления, строение кристаллических веществ, действие лучей Рентгена, оказавших неоценимые услуги медицине, движение соков в растениях, мы должны неизбежно прибегать к помощи Ньютоновской механики.

Постройка современных дредноутов, устройство усовершенствованных артиллерийских орудий и снарядов, изучение законов стрельбы из них, устройство подводных лодок, поднятие затонувших кораблей, все это требует точных математических расчетов, основанных на началах механики, и без этих расчетов неосуществимо.

Каждая заводская машина для выделки всех насущных потребностей обихода: тканей, ниток, пуговиц, крючков, иголок и т. д., машина для перемалывания зерна в муку, для изготовления рельс для железных дорог, проволоки и т. д. создаются при помощи расчетов теоретической механики и создание всех этих машин немыслимо без таких расчетов.

Сельскохозяйственные орудия: плуги, сортировки, сеялки, жнеи, сноповязалки и т. п., создающие неизвестную для древних экономию труда и времени, все изобретаются и строятся на основании начал механики.

Все эти и множество других практических приложений механики не представляют ли неисчислимый опытный материал, оправдывающий на деле справедливость законов Ньютоновой механики и убеждающий, что эти законы суть истины, не подлежащие сомнению.

Ведь, если бы эти законы были ошибочны, то предсказания будущих событий, блестяще затем подтверждающиеся, были бы невозможны, механизмы, построенные на ложных, не соответствующих природе вещей, основаниях, не могли бы действовать, грандиозные постройки и сооружения неминуемо должны были бы рухнуть.

Значение опыта. Не убеждает ли этот громадный опыт в том, что хотя основные законы механики и выведены из несовершенных опытов и наблюдений, тем не менее они угаданы верно?

В том то и дело, что никакой опыт решить этого вопроса не может в положительную, по крайней мере, сторону.

Мы можем предсказывать будущее лишь приблизительно (напр., с точностью до 0,01 секунды), можем рассчитать постройку любого механизма с весьма большой аккуратностью, но вполне точного расчета ни в коем случае получить не можем; и все эти приближенные расчеты мы можем воспроизвести на практике тоже лишь приближенно. Достаточно заметить, что мы не в состоянии даже точно отмерить заданную длину, а тем более сделать, напр., стержень точно данной длины. Все

размеры частей любого самого совершенного механизма всегда воспроизводятся лишь в размерах более или менее приближающихся к заданиям и никогда с ними не совпадающих точно.

Практически от этих малых неточностей никакого вреда произойти не может: построенная таким образом машина хотя и будет обнаруживать некоторые недостатки, с течением времени портиться, но все же с достаточной долей приближения будет давать требуемый результат, совершенно достаточный для практических нужд. Поэтому, если выведенные из неточных опытов законы были бы и абсолютно верны, то все построенные на них практические применения и расчеты все же будут лишь приблизительными, достаточно мало уклоняющимися от того, что должно иметь место в действительной природе.

Поэтому мы никогда, судя по опытным материалам, не будем в состоянии сказать, происходит ли лишь приближенное подтверждение основных законов механики только оттого, что мы не можем в действительности точно воспроизвести требуемую теорией модель, или также и оттого, что сами законы, положенные в основу расчетов только с известным приближением, выражают факты действительности.

Однако, опровергнуть хотя бы и приблизительную верность основных положений опыты могут. Если отклонения теоретических расчетов, построенных на этих положениях, от соответствующих результатов непосредственных наблюдений оказались бы явно выходящими за пределы погрешностей наблюдений, давали бы явно противоречивые результаты, то эти основные положения пришлось бы признать ошибочными.

Так, напр., если бы согласно с требованиями так называемого «закона относительности», какие-либо опыты показали бы, что действие силы на тело заметно зависит от скорости движущегося тела, т. е., что эта скорость чувствительно влияет на ускорение, сообщаемое силой, то пришлось бы и закон инерции признать даже и приближенно неверным.

Оказывается, однако, что и по этой теории влияние скорости на эффект, производимый силой, столь ничтожно, что сама эта теория в своих расчетах этим влиянием часто пренебрегает, как ничтожно малым.

Из всего сказанного вытекает, что как самый способ возникновения закона инерции из ряда опытов, имеющих лишь приблизительную точность, так и громадное число подтверждающих его последующих опытов, также лишь приближенно верных, заставляют нас в настоящее время признать, что закон этот представляет собою во всяком случае приближенное выражение того, что происходит в действительности, весьма ничтожно отклоняющееся от этой действительности, так что мы можем пользоваться этим законом и строить на нем все наши расчеты без опасения впасть в сколько-нибудь заметную погрешность.

Философы часто очень огорчаются такими результатами; они требуют абсолютно достоверного знания. Возможность предсказывать будущее, изобретать и делать открытия неизмеримой для человечества пользы при помощи приближенного знания природы их не удовлетворяет. Им важна теория сама по себе, «чтобы она не была фиктивной,

хотя бы и пригодной для предсказаний». «Да разве историки, лингвисты, археологи изучают свои науки ради предсказаний?», говорит проф. А. П. Введенский («Опыт построения теории материи». С.-Петерб., 1888, стр. 15). «Не нужно нам никаких предсказаний ни астрономических, ни астрологических, ни спиритических, будут ли они все достоверными или только вероятными, не нужно даже техники, но пусть нам дадут такие понятия и представления о природе, которые заведомо соответствуют ей».

Очень почтенное требование, но, к сожалению, в угоду ему ломать природу не приходится: с ней не справиться нашему ограниченному уму. Став на эту предвзятую точку зрения, стремясь доказать и видеть не то, что есть, а непременно то, что нам хочется видеть, мы будем только обманывать самих себя, строить при помощи изощренной диалектики воздушные замки, испытывая лишь горькие разочарования при всяком столкновении с действительностью.

Мне думается, что такой взгляд на вещи именно и не соответствует истинному философу, который не должен бояться истины, как бы она горька не была.

И если мы, приходя к заключению о невозможности абсолютной достоверности знания, тем не менее убеждаемся, что основные законы, нами составленные под влиянием опыта, ничтожно мало отклоняются от того, что происходит на самом деле в природе, не даем ли мы тем самым именно «таких понятий и представлений, которые заведомо соответствуют ей?» Несомненно даем, да еще присоединяем к этому возможность предвидения будущего и об'яснение настоящего и прошедшего с тою точностью, на которую только способны наши несовершенные органы чувств.

Рассмотрим теперь происхождение второго закона механики, впервые точно формулированного Ньютоном.

Предположим, что сила F1, действуя отдельно на материальную точку М, сообщает ей ускорение g1, в направлении MA, другая сила F2, действуя отдельно на ту же точку М, сообщает ей ускорение g2 в направлении MB.

Спрашивается, какой эффект произведут эти силы F1 и F2, если они подействуют одновременно на точку М?

Само собой очевидно, что a priori никакого заключения сделать нельзя. Еще с глубокой древности человек на опыте усмотрел, что действие одной силы можно заменить одновременным действием двух, а, следовательно, и нескольких сил и притом весьма различными способами.

Так, напр., груз Р, подвешенный на нити можно удерживать от падения усилием одной руки, при чем нить будет натянута вертикально. Тот же самый груз Р можно подвесить на две нити и удерживать конец одной нити одной рукой, а конец другой нити другой. Нити будут

Рис. 1.

натянуты по направлениям, положим АР и BP, и усилия рук, которые потребуются для удержания груза Р, будут различны между собой и различны от того усилия, которое нужно было употребить, чтобы удержать груз Р, держа вертикально натянутую нить одной рукой.

Сила действия груза, натягивавшая нить по направлению DP, заменилась двумя силами, действующими одновременно в двух различных направлениях АР и BP и производящими то же действие, что и одна сила, равная весу Р.

Еще более грубый и повседневный опыт показывал, что одну и ту же тяжесть можно сдвинуть с места напряжением одной руки, или одновременным действием обеих рук, при помощи одного живого существа данной силы или одновременным усилием нескольких других существ, меньшей силы каждое, напр., одной лошадью или 10-ю людьми и т. п.

Если мы тянем тяжелое тело одной рукой, испытываем одно мускульное усилие, если сразу будем действовать двумя руками, то заметим, что мускульные усилия, испытываемые каждой рукой, будут отличны от прежнего, когда мы действовали только одной рукой, а совокупность совместных усилий обеих рук произведет тот же результат, что раньше усилия одной руки. Организм наш обладает способностью различать и сравнивать между собою различные испытываемые им мускульные напряжения; способность эта зависит от привычки работать мускулами и тем значительнее, чем более развита эта привычка. Первобытные люди отличались, а дикари и в настоящее время отличаются особенной тонкостью в этом отношении. Поэтому еще с глубокой древности человек должен был заметить, что при поднятии или двигании одного и того же груза двумя руками, мускульные усилия каждой руки приблизительно оказывались вдвое более слабыми, чем при поднятии или перемещении того же груза одной рукой. Таким образом грубый чувственный опыт должен был показывать, что одновременно прилагаемые два усилия данной напряженности могут быть, во-первых, заменены одним усилием другой напряженности и что эта последняя вдвое значительнее каждой из предыдущих в отдельности взятых. Точно также человек с незапамятных пор должен был по опыту заметить, что один человек определенной силы может сдвинуть одну тяжесть, два человека примерно равной силы, — тяжесть вдвое большую, три человека — тяжесть втрое большую и т. д.

Из этих и множества подобных наблюдений он должен был вывести заключение, что усилия одновременно действующие в одном и том же направлении слагаются в одну общую сумму, равную совокупности этих усилий, взятых в отдельности.

Таким образом мог возникнуть в первичной, грубой форме закон независимости действия сил, имеющих одно и то же направление.

Рис. 2.

Следует заметить при этом, что первобытный наблюдатель, составлявший представление о том, что он назвал силою, по тем мускульным ощущениям, которые он испытывал, когда приходилось сдвигать с места тяжелое тело или удерживать его от падения, не отделял отчетливо в сознании эти два ощущения, т. е. не делал различия между импульсом, который мгновенно изменяет скорость движущегося тела, и постоянно действующей на тело силы, как сила тяжести, например.

Заметив, что толчок одного напряжения сообщает шару, положенному на сравнительно гладкую горизонтальную плоскость, одну скорость, а толчок, требующий вдвое большего усилия — скорость вдвое большую (приблизительно, конечно), он говорил, что действие силы состоит в сообщении телу определенной скорости пропорциональной силе, подействовавшей на него, смешивая действие импульса с действием силы.

Этим обстоятельством только и можно об'яснить те законы действия сил, которые были формулированы Аристотелем и которых держались затем все ученые до Галилея, при чем употребляя слово «сила», разумели под ним то импульс или ряд импульсов, то ту единственную силу, которую могли наблюдать, т. е. силу тяжести.

Но так или иначе, при указанном смешении понятий импульса и силы путем упомянутых выше наблюдений пришли к формуле, что «две или несколько сил, одновременно приложенных к одному и тому же телу в одном и том же направлении, не изменяют действия каждой из них, взятой в отдельности, а слагаются в действие одной силы, равной по величине сумме приложенных». Замечательно, что если принять это положение и закон, открытый Галилеем, что действие силы состоит в сообщении телу (материальной точке) определенного ускорения (а не скорости, как считали до него), то из этих двух положений можно строго математически вывести заключение, что сила пропорциональна сообщенному ею ускорению.

Интуиция. Это именно положение и было определенно формулировано Ньютоном, хотя ни он, ни все следовавшие за ним мыслители и не могли дать его доказательства. Оно было просто угадано; здесь действовала, надо думать, та способность нашего ума, которую можно назвать интуицией, единственный источник открытия новых истин, которой одарены выдающиеся таланты и гении. (Ниже мы подробнее остановимся на этом).

Благодаря этой способности человеческого ума распространять по аналогии замеченный частный факт на случаи более общие, закон независимости действия сил одинаково направленных был распространен и на общий случай каких угодно сил какого угодно направления, одновременно приложенных к одному и тому же телу (точке).

К такому выводу могла привести только указанная обобщающая способность нашего ума, ибо прямого опыта, наглядно подтверждающего независимость действия сил неодинаково направленных, не существовало, да и в настоящее время не легко придумать такой опыт.

Следует заметить, что закон независимости действия сил теснейшим образом связан с законом сложения и разложения сил, с так называемым законом параллелограмма сил.

Мы уже указали, что из закона инерции и закона независимости действия сил одинаково направленных уже чисто логически вытекает положение, что сила пропорциональна сообщаемому ей ускорению.

Закон параллелограмма сил. Если принять закон независимости действия сил неодинаково направленных, то из этого закона и того положения, что сила пропорциональна сообщаемому ею ускорению сейчас же вытекает, как логическое следствие, что две силы, одновременно приложенные по двум каким угодно направлениям к одной и той же материальной точке могут быть заменены одной равнодействующей по величине и по направлению равной диагонали параллелограмма, сторонами которого служат геометрические изображения сил составляющих, т. е. закон параллелограмма сил.

Наоборот, если бы каким-нибудь путем удалось, убедиться, что две одновременно, как угодно направленные силы, одновременно приложенные к одной и той же точке, заменяются одной равнодействующей по величине и направлению равной диагонали параллелограмма, сторонами которого служат силы составляющие, то отсюда можно было бы заключить о том, что действие всякой силы не изменяется оттого, действует ли она отдельно на материальную точку или одновременно с каким угодно числом каких угодно других сил.

Замечательно, что закон независимости действия сил и вытекающий отсюда закон сложения сил (параллелограмм сил) был совершенно правильно формулирован еще Аристотелем и это произошло только потому, что он составил на основании грубого обыденного опыта неправильное представление о силе и о производимом ею действии, как было указано выше.

В самом деле, если один толчок определенного направления сообщает телу скорость V1, равную геометрически линии MA, другой толчок другого напряжения скорость V2, геометрически равную МБ, то приложив к телу M эти два толчка одновременно, мы сообщим телу некоторую скорость У. Так как действие каждого из этих толчков остается тем же самым, действуют ли они отдельно на тело, или одновременно, то результат их совместного действия будет тот же самый, когда мы сообщим телу M сначала скорость V1 в направлении MA, при чем тело через единицу времени перейдет из М, положим, в А, а затем, в момент, когда тело окажется в точке А, сообщим ему толчок в направлении, параллельном МБ, который сообщит телу ту же скорость V2 в направлении AB1 и через единицу времени переведет тело из А в В1, заставив его пройти путь равный AB1.

Рис. 3.

Таким образом действие двух одновременно приложенных к телу толчков, сообщающих ему в отдельности скорости V1 и V2, равносильное только-что указанной последовательности этих толчков, отдельно взятых, переведет точку из точки M в точку В1, т. е. сообщит точке M скорость V, по величине и направлению равную диагонали параллелограмма, сторонами которого служат составляющие скорости V1 и V2.

А так как, по Аристотелю, сила одинаково направлена с сообщаемой ей скоростью и по величине ей пропорциональна, то из сказанного сейчас же вытекает и аналогичное правило сложения двух различных сил, одновременно действующих на тело (точку), т. е., что равнодействующая двух каких угодно сил, одновременно приложенных к одной и той же точке равна и по величине и по направлению диагонали параллелограмма, сторонами которого служат силы составляющие. Таким образом, руководствуясь смутным представлением о силе, ошибочным взглядом на результат действия силы, Аристотель пришел к формально верному выражению закона сложения сил.

Но, как упоминалось выше, изучение явления движения было совершенно не под силу ни древним, ни средневековым исследователям природы, да и практика жизни выдвигала на очередь вопросы иного рода, а именно вопросы об уравновешивании тяжестей при помощи некоторых простейших машин, постепенно входивших в употребление, как то рычагов, наклонных плоскостей, блоков и т. п.

В этой области ложные представления о силе и ее действии сейчас же вызывали затруднения и противоречия с опытом.

Уже Аристотель при решении вопроса о равновесии рычага сейчас же столкнулся с трудностью, перед которой должен был остановиться.

Когда один груз, подвешенный к концу одного плеча простого рычага, поднимает другой, подвешенный к концу другого плеча, и сам опускается, то концы рычага описывают не прямые линии, совпадающие с направлением действия силы тяжести, а дуги соответственных кругов, скорость сообщаемого при этом движения явно не следовала простому правилу Аристотеля, притом, имея более или менее отчетливое представление о скорости прямолинейного равномерного движения, он не мог дать точного определения того, что следует разуметь под скоростью в рассматриваемом случае.

Об'яснить законы равновесия из начал динамики, притом ошибочно понимаемых, оказалось невозможным; пришлось приступить к самостоятельному изучению условий равновесия, руководствуясь непосредственными опытами, которые давались самими исследуемыми механизмами.

Таким путем Архимед впервые, откинув все сомнительные динамические предположения Аристотеля, на основании некоторых строго проверяемых на опыте данных, построил теорию рычага и одновременно с этим дал законы уравновешивания параллельных сил; в частности,

сил одного и того же или прямо противоположного направления, приложенных к одной и той же точке.

Но каждодневный опыт давал примеры уравновешивания сил различного направления.

Так простое наблюдение показывало, что груз Р, подвешенный на двух нитях PAQ и PBQ1, перекинутых через блоки А и В с подвешенными в концах нитей грузами Q и Q1, может быть уравновешен при соответствующем выборе грузов Q и Q1. Сила Р, направленная от D к Q, уравновешивалась двумя силами, направленными по натянутым нитям РА и PB и равным Q и Q1. Точно также шар веса Р, положенный на плоскость, наклоненную к горизонту под некоторым углом «, при помощи нити, соответствующим образом прикрепленной к нему и перекинутой через блок А, может удерживаться в равновесии грузом Q, вес которого меньше веса Р взятого шара и тем меньше, чем меньше угол наклона а.

Тот факт, что при движении тела по наклонному пути сила тяжести как бы разделяется на две части и что силой, движущей тело по этому пути является та ее часть, которая параллельна AB, заметили еще в древности. Эту составляющую называли secundum situm, термин, введенный вероятно еще Аристотелем.

Однако, насколько нам известно, никто из древних геометров не пытался определить величину этой силы, равно как и направление и величину другой составляющей веса данного тела, действие которой, очевидно, уничтожалось сопротивлением плоскости AB.

Только Паппус, живший в IV веке по Р. Х., занимался вопросом о том, какую силу надо приложить к данному тяжелому телу, чтобы заставить его подниматься по наклонной плоскости AB. Он искал отношение этой силы к той постоянной силе, которую, согласно учению Аристотеля, нужно было прилагать к тяжелому телу, чтобы сообщить ему равномерное движение по горизонтальной плоскости.

Самая постановка вопроса заключала в себе элементарную погрешность, а вследствие этого и рассуждения его и сделанный из них вывод оказывались лишенными смысла.

Затем до 12-го века этим вопросом никто не занимался.

На этом примере видно, насколько упорно держался ум человечества раз усвоенных, хотя бы и явно ошибочных, взглядов и в какой мере эти последние парализовали мышление.

Никому и в голову не приходило хотя бы простым опытом измерить силу РР1 (см. чертеж), уравновесив ее грузом Q.

Исследования Паппуса явились как бы последним вздохом умиравшего гения греков. Затем началась непроглядная ночь владычества теологии и религиозного изуверства средневековой церкви.

Рис. 4.

Рис. 5.

Окружающая человека действительность, живая природа, все так называемое материальное было признано не заслуживающим внимания и даже более того; был твердо установлен принцип превосходства духа над греховной плотью, но в то же время и духовные движения человека, в числе которых на первом месте стоит его разум, заковали в узкие цепи и рамки, малейшее уклонение от которых считалось величайшим преступлением. Все помыслы человека должны были сосредоточиться на догматах веры, все силы разума направиться на развитие софистической диалектики, пытавшейся разрешать схоластические бредни освященных церковью религиозных догматов.

Все это произвело столь подавляющее действие на умы людей, что они потеряли всякую способность к наблюдению действительных явлений природы.

Поэтому в течение нескольких сотен лет после Паппуса никто и не помышлял об изучении явлений природы и ее законов, ограничиваясь в лучшем случае перетолковыванием и искажением мыслей Аристотеля, к которым сумела приспособиться господствовавшая над умами церковь.

Это состояние умов продолжалось, как упоминалось выше, до так называемой эпохи возрождения, первые проявления которой можно усмотреть в сочинениях Р. Бэкона и какого-то неизвестного автора, жившего в XIII столетии, предшественника Леонардо-да-Винчи.

Но и последний находился еще под сильным влиянием Аристотеля и в его исследованиях по механике и статике постоянно замечаются колебания и двойственность; проблески здравых мыслей, навеянных опытом и наблюдением, часто сменяются туманными и даже ошибочными рассуждениями в духе старой средневековой школы.

В некоторых местах оставшихся после Леонардо рукописей он замечает, что если груз Р подвешен на двух нитях AD и BD, то сила Р разлагается на две по направлениям DA и DB и эти две силы уравновешивают силу Р, направленную по линии NDP (по вертикали), при чем указывает, что, напр., слагающая Q так относится к весу Р, как длина перпендикуляра BN из В на DN относится к длине перпендикуляра ВМ из В на продолжение линии AD. Отсюда легко выводится закон параллелограмма сил. Точно также он заметил, что вес тела, положенного на наклонную плоскость, можно разложить на две силы: одну по направлению линии ската AB и другую, перпендикулярную к ней. Он несколько раз и различными приемами пытается решить вопрос о величине первой из этих составляющих сил и колеблется между ошибочными суждениями иногда в духе Паппуса и правильными решениями, которые были даны до него неизвестным автором еще в 13-м столетии и впоследствии Стевином.

Несомненно во всяком случае, что к вопросу о сложении и разложении сил Леонардо-да-Винчи был приведен требованиями чисто

Рис. 6.

практического характера, как механик и архитектор; оставшиеся после него рукописи представляют собою ряд отрывочных заметок, сделанных, очевидно, для памяти, по самым разнообразным вопросам практической механики, архитектуры, гидравлики. В этом как бы дневнике мыслей, наблюдений и опытов им производившихся Леонардо-да-Винчи определенно указывает на важное значение опыта и, судя по иногда очень кратким заметкам, часто повторяющим один и тот же вопрос, разбираемый с различных точек зрения, и различным чертежам, сопровождающим эти заметки, можно утверждать, что именно данныя опытов и наблюдений приводили его к верным результатам.

К сожалению, в средние века умы исследователей природы были подавлены предвзятой мыслью, что все ее истины должны быть выведены из чистого разума, и это обстоятельство отклоняло их от единственно надежного пути открытия основных законов природы. Опыт и наблюдения, с которыми часто поневоле сталкивались такие выдающиеся наблюдатели, как Леонардо-да-Винчи и др., давали им верные ответы на возникавшие вопросы, но и они не решались вполне доверяться опыту в силу веками вкоренившегося предрассудка и всячески старались путем отвлеченных рассуждений оправдать замеченные ими на опыте факты действительности. И как только становились на этот путь, впадали в противоречие и погрешности, вводя и себя и своих последователей в заблуждения и тем самым отдаляя момент установления строгих научных систем.

Хотели доказывать при помощи чистого разума такие факты действительности, которые предшествуют возникновению самого чистого разума, которые запечатлеваются в нем как первичные факты внешнего мира, представляющие собой тот первый материал, из которого и вырастает содержание человеческого ума.

И таким путем продолжали долгое время вертеться в заколдованном кругу, не имея смелости выбраться из него, пока под давлением действительности не принуждены были признать, что первые начала всякой науки о природе не могут иметь другого источника кроме опыта и наблюдения, по крайней мере не могут быть произведены умом человека независимо от опыта и наблюдения.

Как только, если не ясное понимание, а только ощущение неизбежности подчиняться данным опыта проникло в сознание мыслителей, так и был положен конец бесплодным блужданиям вокруг одного и того же места. Галилей, положивший опыт в основу научных исследований, разрешил задачу о сложении сил.

Следует заметить, что Галилей был воспитан на началах старой школы Аристотеля и в своих теоретических рассуждениях явно держался его устарелых принципов, на что указывает, напр., П. Дюгем в своем сочинении «Происхождение статики» (Париж, 1905 г., T. I.), но это не помешало ему прибегнуть к производству самых разнообразных опытов. Как видно из его «Бесед, относящихся к механике и движению», он производил опыты над сопротивлением тел разрыву и излому, над изменением силы трения в зависимости от давления, пытался даже

произвести опыты для определения скорости распространения света; изучал на опыте условия падения различных тяжелых тел в воздухе и в других средах, условия уравновешивания различных тел в воде, наблюдал явления капиллярности, определял тяжесть воздуха, производил наблюдения над качаниями маятника, над звуковыми колебаниями струн и т. д.

Все эти опыты, конечно, носили совершенно элементарный характер, казалось иногда, что он занимается «избитыми вещами», едва ли и заслуживающими внимания, но именно этот опытный пересмотр еще со времен Аристотеля изучавшихся простейших явлений и привел Галилея к отрицанию общепринятых начал механики и созданию новой и в частности к окончательному установлению закона параллелограмма сил или, что то же, закона независимости действия сил.

Но мы уже упоминали, что никаких опытов, точно воспроизводящих действительность, не существует. Опыты же, которыми довольствовались в прежнее время, были до чрезвычайности неудовлетворительны. Достаточно заметить, что Галилей должен был измерять время по ударам пульса, ибо часов в то время не существовало, даже измерение длин производилось весьма грубыми способами.

Вес груза Q, равный составляющей силы тяжести Р по направлению линии ската шара веса P1, положенного на наклонную плоскость (см. рис. 5), может быть определен только приближенно. То же самое неизбежно имеет место во всех других опытах, которые привели к закону сложения сил. Поэтому, строго говоря, из опытов следует только то, что равнодействующая двух как угодно направленных сил, приложенных к одной и той же точке, и по величине и по направлению мало разнится от диагонали параллелограмма, построенного на составляющих силах.

Пренебрегая этими малыми отклонениями или относя их к погрешностям наблюдений и было сделано предположение, что равнодействующая двух сил точно равна упомянутой диагонали.

Здесь опять, как и в случае установления закона инерции, о котором говорилось выше, в создании основных законов природы приняла участие известная способность нашего ума выбирать из всех данных непосредственных наблюдений нечто всем им общее и простейшее и распространять раз установленную связь представлений на все возможные подобные случаи, не только бывшие, но и будущие.

Но строго говоря, и закон независимости действия сил (или параллелограмма сил), равно как и закон инерции, можно считать только приближенно верным. Мысленно, без всякого противоречия, можно допустить, что в действительности равнодействующая не равна как раз (точно) диагонали соответствующего параллелограмма, а всегда отклоняется от нее на некоторый весьма малый угол и по величине ничтожно мало разнится от нее.

Задав определенным образом эти ничтожно малые отклонения, не превосходящие явно размеров погрешностей наблюдения, мы придем

к другому закону сложения сил, который не будет противоречить ни требованиям чистого разума, ни опыту.

При помощи этого нового закона и закона инерции, хотя бы в той измененной форме, какую допускает, напр., теория относительности, мы могли бы затем, чисто логически построить новую систему механики, отличную от Ньютоновой. Конечно, новая система была бы много сложнее, но все ее выводы не могли бы быть опровергнуты ни рассуждением, ни опытом, ибо все они с совершенно достаточным приближением оправдывались бы последним.

Обычная механика явилась бы первым приближением новой, более общей механики, все выводы которой на практике отклонялись бы незаметно мало от данных прямых наблюдений.

И нельзя утверждать, что когда-нибудь, при открытии новых явлений и при необычайном усовершенствовании точности всякого рода измерений, не придется прибегнуть к новым началам механики, причем, однако, старая механика не потеряет своего значения, ибо будет по прежнему об'яснять и давать приближенно верные предсказания будущих событий до тех пор, пока вновь открывающиеся факты действительности, не замечавшиеся нами до сих пор, не приведут к явному противоречию с теорией.

Анализ второго закона механики привел, таким образом, к тем же самым результатам.

Врожденных или априорных идей о законах природы не существует, ум человека может мириться с какими угодно утверждениями, пока не встречает их явного противоречия с опытом, и при долговременной привычке настолько свыкается с ними, что часто старается игнорировать опыт их отвергающий. Все свои выводы относительно явлений внешней природы он строит все же на основании только опыта и наблюдения, хотя бы и ошибочно истолкованных. Опыт и наблюдение являются единственным источником, откуда ум человека почерпает свои познания об основных явлениях природы. Однако, он не является простым приемником получаемых извне чувственных представлений. Если бы он вел только, так сказать, их протокольную запись, то никаких определенных общих положений, одинаково применимых к известному роду явлений, законов, общих всем этим явлениям, он установить не мог бы. Чувственные впечатления, воспринимаемые путем наблюдений, возбуждают присущую разуму способность сопоставлять их между собою, отвлекаться от некоторых подробностей, обобщать эти впечатления; общие выводы из них удерживать в памяти, облекать в определенные суждения при помощи языка, и распространять укрепившиеся в мозгу в силу привычки ассоциации различных представлений на всевозможные группы явлений, об'единенные известными общими признаками. Создаваемые таким путем основные законы, не имеющие ничего им предшествующего в содержании разума, не являются, вообще говоря, точным воспроизведением фактов действительности, а только приближенным их выражением. Они имеют только

относительную достоверность, которая тем более приближается к абсолютной, чем более подтверждаются делаемые из них чисто дедуктивным путем выводы данными опыта и наблюдения, чем чаще и точнее оправдываются основанные на них предсказания будущих явлений. Однако, абсолютная достоверность никогда не достигается, и никогда не исключается возможность того, что те же опыт и наблюдение докажут недостаточность тех приближенных утверждений, которые мы признаем в течение иногда длинного промежутка времени достоверными.

Здесь возникает следующий вопрос: Аристотель, равно как и Галилей, а затем Ньютон строили свои основные законы динамики одинаково на основании данных опыта. В течение двух тысяч лет человечество твердо держалось начал, данных Аристотелем, и немногие решались усумниться в их справедливости. Новые, более обдуманно поставленные опыты разрушили старую Аристотелеву систему и заменили ее новой — Ньютоновой. О этого последнего времени прошло лишь немного более 200 лет, так что новая механика не прожила и десятой части того промежутка, в течение которого господствовала старая.

Не грозит ли и новой механике, т. е основным законам та же печальная участь: накопятся новые, более точные опытные данный и со временем разрушат механику Ньютона так же, как она сама разрушила средневековую механику?

Иначе говоря, не могут ли оказаться, в конце концов, основные законы механики Галилея-Ньютона столь же ошибочными, как и отвергнутые теперь законы Аристотеля и его школы?

Можно ли усмотреть какую-либо существенную разницу между первыми и последними?

Такая разница несомненно существует. Ум человека, основывавший свои суждения на гипотезах Аристотеля в течение двух тысяч лет, не мог сдвинуться с места, не был в состоянии вывести логически никаких следствий из этих гипотез, а если и выводил таковые, то они оказывались явно несогласными с самыми простыми опытами; на основании Аристотелевых начал не удавалось развить стройной системы знаний, оказывалось невозможным сделать ни одного предсказания, подтверждающегося прямым опытом; наоборот, каждодневный опыт давал явные противоречия с ее началами и всеми возможными из них выводами.

Совершенно иначе обстоит дело с основными законами новой механики. Два основных закона: законы инерции и независимости действия сил, положенные в основу суждений, при помощи строго логических умозаключений открыли, как указано выше, неисчислимое количество новых фактов, блестяще подтвержденных затем прямым наблюдением, привели к таким открытиям и изобретениям, о которых до этого времени нельзя было и думать, и которые все получили практическое осуществление. Все выводимые на основе новых начал предсказания получали затем и получают каждодневно весьма точные подтверждения

на опыте, все механические построения находят на каждом шагу практическое осуществление и все механизмы, теоретически рассчитанные по новым началам механики Ньютона, с поразительной точностью на самом деле выполняют все действия, которые предвидит заранее теория.

Если в последнее время и начинают замечать некоторое расхождение, то во всяком случае крайне ничтожное, которым, с известной степенью приближения, можно пренебрегать без существенного вреда для дела. Прямого противоречия или отрицания нигде не наблюдалось и не наблюдается.

Таким образом создалась обширная группа фактов и явлений действительности, которая с достаточной степенью точности оправдывает основные законы механики Ньютона, и все повторения этих явлений и явлений им аналогичных в будущем будут неизменно следовать этим законам. Если впоследствии и встретятся события, указывающие на незначительные отклонения от этих законов, то все же они не будут отрицать правильность этих законов, а лишь недостаточность даваемого ими для этих случаев приближения. В выражении этих законов, быть может, придется сделать некоторые усовершенствования, увеличив степень их приближения к действительности, прибавив дополнительные члены высших порядков к формулам их настоящего выражения. Нельзя отрицать, конечно, и того обстоятельства, что дальнейший опыт может открыть и такие явления, с которыми законы Ньютона встанут в прямое противоречие. Этого до сих пор не случилось, но если случится когда-либо в будущем, то все же механика Галилея-Ньютона не утратит своего значения.

Для всей обширной группы уже охваченных ею явлений она останется в прежней мере справедливой и только неприложимой ко вновь открытым явлениям, которые составят особую категорию явлений природы, управляемую какими-то особыми законами, отличными от законов современной механики. Они послужат материалом для новой отрасли знаний, особой науки о новой группе вновь открытых фактов и об основных законах ими управляющих. Расширится только область нашего ведения, но уже добытые и закрепленные обширным опытом знания останутся при нас и будут развиваться в твердо намеченном направлении.

Основные же начала механики старой школы перипатетиков оказались, повторяем, в противоречии как раз с теми фактами действительности, из которых были выведены, т. е. оказались простыми заблуждениями, которые пришлось отвергнуть целиком.

Геометрия. Обращаемся теперь еще раз к геометрии. Мы уже показали, что и аксиомы этой науки нельзя признавать истинами врожденными или априорными. Мы уже видели, что XI аксиома Эвклида (V постулат) есть только грубое описание известного зрительного опыта, что более внимательный анализ приводит к возможности заменить его другим, более точно выражающим (описывающим) результат этого опыта. Этот

другой постулат и был положен в основу новой геометрии, созданной Лобачевским, которую он сначала неосновательно назвал воображаемой, а под конец своей жизни совершенно правильно «Пангеометрией», т. е. обобщенной геометрией.

Припоминая сказанное выше по поводу того зрительного опыта, который привел к установлению XI-ой аксиомы Эвклида, мы можем утверждать, что более точное исследование этого опыта приводит лишь к следующему результату:

Перпендикуляр AM и наклонная ВМ к одной и той же прямой AB наверно пересекутся, пока угол между линей ВМ и прямой ВМ1, перпендикулярной к прямой AB в точке В, более некоторого угла «. Для всех же углов, меньших а, линии AM и ВМ не будут пересекаться, иначе говоря, сделаются параллельными друг другу и это будет иметь место для всех прямых ВМ, лежащих по ту или другую стороны от перпендикуляра ВМ1 и составляющих с ним угол, меньший а. Это положение и принял Лобачевский в основу своей геометрии вместо XI-ой аксиомы Эвклида, которое мы будем называть постулатом Лобачевского.

Основываясь на этом постулате, он построил новую систему геометрии, ей соответствующую тригонометрию и начала дифференциальной геометрии и никаких противоречий, которые могли бы опровергнуть принятое им начало, не оказалось.

Лобачевский. Впоследствии Бельтрами, Кэли, Клейн, Пуанкаре указали ряд различных геометрических многообразий, которые удовлетворяют всем выводам геометрии Лобачевского и показали, что никаких противоречий и не может встретиться в этой новой геометрии, сколь бы далеко мы не продолжали развивать ее; по крайней мере противоречия в ней настолько невероятны, как и в обычной геометрии Эвклида.

В настоящее время, после упомянутых выше исследований и трудов по неоэвклидовой геометрии Римана, О. Ли, Гельмгольца и множества других, геометрия Лобачевского получила всеобщее признание, и чистый разум в такой же мере освоился с постулатом Лобачевского, отвергающим постулат Эвклида, как в свое время признавал непреложной истиной этот последний.

Рационалисты свою теорию врожденных идей, а Кант свою теорию априорных истин почерпнули именно из критического анализа основных положений математики и, в частности геометрии, но та же самая математика, как упоминалось и выше, при посредстве гения Лобачевского, и разрушила их по виду солидные и глубокомысленные философские построения.

Веками укоренившаяся привычка ума заставила их впасть в заколдованный круг. Приписав наперед абсолютную достоверность аксиомам обычной геометрии, единственной геометрии известной в то время, т. е. наперед допустив то, что им нужно было доказать, они после длинного ряда иногда весьма остроумных и сложных логических построений пришли как раз к тем выводам, которые наперед допустили, т. е. в отвлеченно философской форме повторили ту же ошибку, которую

допускали чистые геометры в течение почти двух тысяч лет, стараясь доказать независимо от постулата Эвклида, что сумма углов прямолинейного треугольника всегда и необходимо равна двум прямым.

Одни, желая доказать справедливость этого предложения, в длинный ряд своих суждений незаметно вводили его же или ему равносильное и, конечно, приходили к тавтологии, другие наперед признавали истиной то, истинность чего думали доказать путем строгой логики, и, естественно, строго логически приходили также к тавтологии: если А ест В, то В есть А.

Лобачевский, созданием своей новой геометрии, таким образом, фактически доказал, что теория врожденной или априорной истинности, даже аксиом геометрии, независимой от опыта и наблюдения (если понимать таковые в самом широком смысле), есть чистая иллюзия. Аксиомы геометрии суть истины в том же относительном смысле и того же порядка, как напр., и основные законы механики, как известный закон о связи причины со следствием и т. п., о чем мы уже говорили выше.

Совершенно так же, как законы механики, точно формулированные, мы должны рассматривать только как приближенное описание фактов непосредственного наблюдения, мы должны рассматривать и аксиомы геометрии.

Как невозможно найти никаких оснований ни в чистом разуме, ни в данных наблюдения для утверждения, что ускорение, сообщаемое силой материальной точке, не зависит от скорости, с которою двигалась точка в момент действия силы, и на опыте наблюдаем лишь тот факт, что если скорость и влияет на это ускорение, то столь ничтожно мало, что этим влиянием можно пренебречь, не нарушая пределов неизбежной погрешности всяких наблюдений; как нельзя утверждать, что равнодействующая двух сил по величине и направлению точно равна диагонали параллелограмма, построенного на геометрических изображениях сил составляющих, а только то, что во всех известных случаях, если и существует отклонение равнодействующей от этой диагонали, то ничтожно малое, заметно не выходящее за пределы погрешностей наблюдений; так же точно нет никаких оснований утверждать, что сумма углов всякого плоского треугольника точно равна двум прямым.

Сколько бы измерений мы не производили, мы убедимся только в том, что при тех длинах, которые доступны нашему измерению и при тех способах измерения, которыми мы владеем, эта сумма всегда ничтожно мало отклоняется от двух прямых.

Поэтому, XI аксиома Эвклида эквивалентна положению, что сумма углов всякого прямолинейного треугольника точно равна двум прямым, должна быть рассматриваема как простейшее приближенное выражение действительности.

Это простейшее допущение можно заменить более общим и сложным, что рассматриваемая сумма, напр., менее двух прямых, но разность ее и двух прямых углов ничтожно мала для треугольников тех размеров, которые доступны нашему наблюдению.

Приняв в основу указанное более общее предположение, не только не противоречащее, а более согласное с опытом, чем Эвклидово, Лобачевский на самом деле построил геометрическую систему, отличную от Эвклидовой, при чем и оказалось, что если предположить длины сторон треугольников достаточно малыми, не выходящими за пределы доступных нам измерений, то все формулы его геометрии, если пренебречь в них членами ничтожно малыми по отношению к измеряемым длинам, обращаются в соответствующие формулы обычной Эвклидовой геометрии.

Эта последняя оказывается, таким образом, как бы первым приближением к действительности, совершенно достаточным для самых точных современных способов измерения, если дающим погрешность, то столь малую, которую при настоящих средствах измерения мы не в состоянии заметить.

Быть может, если со временем точность способов измерения длин и углов увеличится до крайних пределов, значительно превосходящую современную, отклонение действительности от результатов, даваемых приближенной геометрией Эвклида, и окажется заметным, но пока это возможное отклонение остается для нас неощутимым, точно так же, как остается неощутимым предположительно возможное отклонение действительных, точно соответствующих природе законов механики, от законов, принятых ныне употребляемой механикой Ньютона.

Спрашивается: после всего сказанного можно ли говорить о достоверности человеческих знаний, можно ли называть, как это принято, даже такие науки как геометрия и механика, точными науками?

С той точки зрения, которая является пережитком схоластической метафизики, говорить об абсолютной достоверности, абсолютной точности этих наук не приходится. Необходимо отказаться вообще от употребления термина «абсолютный», если не применять его лишь условно в некоторых случаях для упрощения речи. Сам по себе этот термин, в его старо - философском значении, представляется пустым звуком без определенного содержания, подобно тому, как термины: абсолютное пространство, абсолютный покой и т. п.

Все явления внешней природы, мы говорим только об них, мы познаем через посредство наших несовершенных органов чувств, мы не можем знать точно того, что происходит в мире внешних явлений, мы запечатлеваем в нашем мозгу лишь приближенное изображение фактов действительности под особыми формами, обусловленными самым устройством нашего организма. Знание наше о всем, происходящем во внешнем мире, по необходимости относительно; оно достоверно постольку, поскольку делаемые из него выводы с достаточной степенью точности согласуются с непосредственными данными опыта и наблюдения, не оказываются в прямом противоречии с ними. Если же мы убеждаемся, что полученные нами тем или иным путем заключения содержат некоторые погрешности, размеры которых заведомо не превосходят наперед данных достаточно ничтожных размеров, и это обстоятельство под-

тверждается на опыте, то такие заключения должно почитать достоверными. Только такая достоверность и доступна нашему познанию природы и никакая другая невозможна и недостижима.

Совокупность всех таких выводов, в основе которых лежит опыт и наблюдение, относящихся к определенной группе явлений, об'единенных какими-либо общими признаками, составляет науку о явлениях рассматриваемой категории.

Так, геометрия представляет собой науку о свойствах геометрических фигур и вообще тел, когда принимается в расчет лишь общее всем им свойство протяженности, механика есть наука о движении так называемых материальных тел в зависимости от сил, производящих движение и, в частности, об условиях уравновешивания этих сил, когда мы умственно отвлекаемся при этом от всяких других свойств, которыми одновременно с движением могут обладать рассматриваемые тела; физика, кроме геометрических свойств тел и их движения, принимает в расчет и другие явления, одновременно в них наблюдаемые, как то: тепловые, звуковые, электрические, магнитные, световые и т. п., химия еще более расширяет область явлений, происходящих в действительности с телами природы и т. д. Таким образом постепенно при переходе от одной науки к другой, нарастает сложность принимаемых в расчет явлений природы, усложняется материал, подвергаемый изучению и соответствующая этому наука.

Самой простой является геометрия, а за ней механика.

Этим наукам предшествует самая общая и отвлеченная из всех наук — чистая математика, которая имеет дело с одним понятием количества, самым общим из всех, в частности с понятием о числе (арифметика). В математике, повидимому, труднее всего подметить происхождение ее основных положений и понятий из опыта. Но это происходит оттого, что человечество свыклось с этими понятиями и положениями с незапамятных времен и давно уже утратило способность вспоминать те простейшие и повседневные опыты, при помощи которых оно составило их когда-то. Вековая привычка приводит к тому, что все эти положения воспринимаются теперь нашим умом без малейшего усилия, как самоочевидное. Происходит в сущности то же, что, напр., с виртуозом-музыкантом, который, после долговременных упражнений, производит затем без всякого напряжения сознания поразительные по точности и быстроте движения пальцами, нисколько не задумываясь над тем громадным количеством труда, который был им проделан раньше.

Прежде всего рассмотрим те аксиомы, которые часто, следуя Эвклиду, полагают в основу анализа.

Анализ. Эти аксиомы можно свести к следующим:

1. Две величины, порознь равные третьей, равны между собою.

2. Если к равным величинам прибавить равные, то полученные суммы равны между собою; если от равных отнимем равные, то получим также равные между собою величины.

3. Целое больше своей части.

Начнем с последнего предложения. Что такое целое и что такое часть чего-либо? Кусок камня мы можем разбить на несколько кусков, палку данной длины разломать на несколько палок и т. д. Разделяемый предмет называется целым, предметы, получающиеся после разделения его, — частями.

Мы уже показали, что понятия о длине, об об'еме тел и т. д. возникают путем опыта, выводятся из сравнения соответствующих мускульных усилий глаза. Заключение о том, что каждая часть разломанной палки, или каждый отдельный кусок разбитого камня меньше целой палки или целого камня получается, следовательно, как прямой результат непосредственного зрительного опыта. Следовательно, третье положение имеет чисто эмпирическое происхождение и является лишь обобщением из неисчислимого количества подобных элементарных опытов.

Обращаемся к двум первым аксиомам. В вышеприведенной общей и отвлеченной форме они представляют, в сущности говоря, простую тавтологию, только более сложное и подробное словесное выражение равенства двух величин.

Вместо того, чтобы сказать коротко: величина А равна другой величине В, мы можем сказать: величина А равна С и величина В равна С. Напр., мы имеем два прямолинейных отрезка А и В и знаем, что каждый из них по длине равен, положим, аршину. Мы говорим: отрезок А имеет длину аршина и отрезок В имеет длину аршина, или, если не желаем указывать какую именно длину имеет каждый из этих отрезков, просто говорим, что длина отрезка А равна длине отрезка В.

Первая аксиома указывает, следовательно, только на то, что фразу: «две величины А и В имеют одну и ту же меру» можно заменить более подробно сказанной фразой: «величина А имеет меру С и величина В имеет ту же меру С», прибавив лишь указание, какую именно меру имеют эти две равные между собою величины.

Это предложение не выражает, таким образом, никакого количественного закона и может получить определенный смысл и значение лишь при ином его понимании. Оно представляет, на наш взгляд, лишь неудачно выраженное описание того способа, который человек избрал для того, чтобы убедиться, будут ли две величины А и В, сравнить которые непосредственно мы не можем, равны между собою.

Равенство. Положим, мы имеем каких-либо два участка земли, отграниченных прямолинейными межами, напр., два прямоугольных участка; один из боков этого участка пусть будет А, один из боков другого В. Мы желаем сравнить между собою длины А и В. Непосредственно наложить сторону А на сторону В мы, конечно, не можем, глазомеру не доверяем или не можем им и воспользоваться по случаю дальности расстояния одного участка от другого. Нам утверждают, что бока А и В равны между собою. Как убедиться в этом? Как ни просто кажется в настоящее время решение этого вопроса, ежеминутно возникающего на практике, первобытный человек, столкнувшись с ним, едва ли разрешил его мгновенно,

по путем, быть может, долгих испытаний дошел до следующего способа: взял третий предмет С, напр., нить или прямолинейный стержень, т. е. предмет легко переносимый с места на место, и сделал его по длине равным, положим, боку А, убедившись в равенстве простейшим путем наложения. Затем перенес эту третью длину, в равенстве которой боку А только-что убедился, на другой участок земли и совместил его с боком В. Оказалось, что предмет С при наложении совместился с этим боком В, т. е. что бок В также равен по длине предмету С. Две до сих пор неизвестных длины А и В, при помощи сравнения их с одной и той же третьей длиной оказались одинаковыми с этой последней, т. е. равны между собою.

Предположим для другого примера, что торговец продал покупателю фунт какого-либо товара, уравновесив его на весах своей фунтовой гирей. Покупатель имеет свои весы и свою фунтовую гирю и хочет узнать, действительно ли равна гиря торговца его собственной по весу. Он уравновешивает купленный товар на своих весах своим фунтовым грузом и получает равновесие. Оказывается, что фунтовик торговца и его собственный уравновешиваются одним и тем же третьим грузом, т. е. имеют один и тот же вес. Обобщение такого рода конкретных приемов убеждаться в равенстве двух величин, непосредственно между собою по тем или иным причинам несравнимых, при помощи третьей величины и привело к общему приему, который можно формулировать так: если имеем две величины А и В, меру которых, непосредственно их сравнивая, установить не можем, берем третью О, заведомо равную, положим, А; если окажется, что мера В, по сравнению, окажется равной той же третьей мере С, то, очевидно, меры А и В одинаковы между собою.

В такой формулировке первая аксиома получает определенное практическое содержание и смысл, указывая на один из способов установления равенства между двумя величинами А и В, равенство которых непосредственно, без помощи третьей величины, установить невозможно или затруднительно.

При этом самое предложение лишается смысла какого-то количественного закона, а превращается в описание одного из способов доказательства равенства двух величин А и В при помощи третьей величины С, и выясняется чисто эмпирическое его происхождение.

Те же самые соображения применимы и к так называемой второй аксиоме.

Если ее применять буквально в диалектически отвлеченной форме, то она ровно ни к чему не приводит, кроме как к тавтологии вроде: один фунт и два фунта равны одному фунту и двум фунтам или, вообще, А+С равно А + С (либо А — С равно А — С).

Это положение опять таки нужно понимать лишь как другой способ установления равенства между двумя величинами А и В, убедиться в равенстве которых их непосредственным сравнением или при помощи предыдущего приема мы затрудняемся.

Пусть мы имеем две величины А и В; требуется узнать, равны эти величины между собою или нет. Если мы придадим или отнимем от

каждой из них одну и ту же величину С и если при этом окажется, что А + С или А — О соответственно равны В + С или В — С, то, очевидно, что А равно В.

Таким образом, и вторую аксиому, на наш взгляд, нет оснований рассматривать как какой-то количественный закон; ее устарелую, схоластическую форму, ровно ничем не расширяющую наше понятие о величине, следует откинуть, ибо, повторяем, из тавтологии: 2 + 3 равно 2 + 3; 3 + 7 равно 3 + 7 и т. д. до бесконечности, в которые она обращается при ее применении к любому конкретному случаю, кроме этих самых ничего не значащих тавтологий ровно никаких заключений вывести невозможно.

Эту аксиому также следует рассматривать как описание особого способа доказательства равенства двух величин А и В, равенство которых мы не в состоянии установить непосредственно.

В своих «Началах» Эвклид действительно и пользуется этими двумя приемами во всех своих рассуждениях.

Аксиомы, с которых начинается арифметика и на которых, в конечном счете, зиждется вся математика, начинаются с небольшого числа законов, которыми определяются основные арифметические действия над количествами или числами.

Каждый предмет так называемого внешнего мира, наблюдаемый нами, вызывает в нас, при посредстве органов чувств, определенную совокупность ощущений, при помощи которых мы и узнаем о существовании самого предмета.

Положим, мы останавливаем свое внимание на каком-нибудь определенном предмете и одновременно с этим замечаем еще сходный с ним предмет, напр., грушу, висящую на дереве и затем еще грушу, висящую рядом с ней. после чего продолжаем видеть их вместе и ту, и другую. К прежнему ощущению от замеченного предмета присоединилось новое, подобное предыдущему. Мы отмечаем непосредственно воспринимаемую разницу ощущений, говоря, что сначала мы видели одну грушу, затем одну грушу и еще одну грушу, или, короче, уславливаемся говорить: две груши. Получается в нашем сознаний простейший случай совокупности одинаковых предметов, который мы выражаем условно словами: «совокупность двух груш» или просто две груши. К полученной совокупности ощущений и их вызывающих предметов может присоединиться еще новое ощущение, сходное с каждым из испытанных в отдельности перед этим, от нового предмета, сходного с каждым из двух предыдущих. Мы получим новую совокупность непосредственно воспринимаемых ощущений и им соответствующей совокупности одинаковых предметов, которая будет отлична от предшествующей. Эту новую совокупность одинаковых предметов, факт которой непосредственно ощущаем, мы закрепляем словами: «совокупность трех предметов», или просто: «три одинаковых предмета», в частности, три груши.

Таким образом постепенно мы приходим к представлению о совокупности, состоящей из нескольких предметов, или содержащей, вообще, много отдельных одинаковых между собою предметов.

Затем мы можем сосредоточить наше внимание на одной совокупности из нескольких отдельных, но одинаковых для нас, предметов и на другой совокупности, также состоящей из нескольких таких же предметов, напр., совокупность нескольких лошадей, стоящих рядом в одном месте и совокупность нескольких лошадей, стоящих отдельно от первых, но также рядом, в другом месте; несколько груш, висящих на одной ветви дерева и несколько груш, висящих на другой и т. п.

При этом непосредственно при помощи одного зрения мы можем убедиться в различии тех ощущений, которые мы испытываем при взгляде на одну группу лошадей и при взгляде на другую; это различие мы замечаем непосредственным чувством, а словами, выражаем его так: одна группа видимых предметов, в частности, напр., лошадей или груш, больше или меньше, чем другая.

В том, что одна совокупность отдельных предметов более или менее другой, мы то и дело убеждаемся и множеством других способов, перечислить которые невозможно.

Если, напр., мы будем срывать одновременно по груше одной рукой с одной, другой с другой ветви, мы будем испытывать при каждом срывании приблизительно одинаковые ощущения, но в то время как при одном из таких актов мы одной рукой сорвем с ветви последнюю висящую на ней грушу, на ветви, назначенной для другой руки, останется еще некоторая совокупность груш несорванных. Мы говорим, отмечая это различие, что последняя совокупность была больше, чем первая или, что первая была меньше, чем последняя, или иначе, что количество предметов в одной совокупности больше или меньше чем в другой.

Предположим теперь, что некоторая совокупность предметов, напр., одинаковых шаров, расположена перед нами на прямой линии. Будем брать эти шары рукой, начиная, положим, с крайнего слева, последовательно переходя от каждого шара к ближайшему следующему за ним, и перекладывать их таким образом в пустой сосуд. При таком убирании каждого шара мы совершим известное действие рукой и соответствующие каждому действию в отдельности, для каждого шара, ощущения будут восприниматься как вполне одинаковые, но эти отдельные действия отделяются друг от друга некоторыми промежутками времени, чему также соответствуют определенные ощущения нашего организма; начало их, напр., прикосновение рукой к каждому шару перед тем как взять его, будет происходить в различные моменты времени: сначала мы возьмем крайний левый шар, через некоторый промежуток времени следующий ближайший к нему, через такой же промежуток времени непосредственно (без пропуска) следующий за этим и т. д., пока не уберем все шары в сосуд, т. е. не исчерпаем всю взятую совокупность предметов.

Чтобы отличить эти отдельные одинаковые действия, отличающиеся лишь тем, что они производятся во времени последовательно друг за другом, будем отмечать их каждый раз особыми отличными друг от

друга звуками. При взятии крайнего левого шара произнесем и запомним слово «один», при взятии следующего — слово «два», при взятии следующего за ним — слово «три», затем — слово «четыре» и, наконец, предположим, слово «пять». При этом последнем звуке все шары окажутся переложенными в пустой сосуд и из взятой нами совокупности, лежавшей перед нами, не останется ничего.

Будем теперь, обратно, вынимать по шару из сосуда и класть на прежнее место в прежнем порядке, заметив его наперед так или иначе, и при каждом таком действии будем произносить те же условные слова по порядку, т. е. сначала «один», затем «два», и т. д. Когда мы произнесем слово «пять», в сосуде не останется шаров, он опять окажется пустым, а перед нами окажется вновь та же их совокупность, так же расположенная, как и раньше.

Сколько бы раз мы не повторяли такой опыт, всегда соответствующие действия будут сопровождаться одними и теми те словами: «один», «два», «три», «четыре», «Пять», следующими в одном и том же порядке, так что за словом один всегда будет следовать слово два, за словом два — слово три и т. д., слово пять будет последним, с произнесением которого будет исчерпываться вся взятая совокупность шаров.

Предположим, что кроме этой группы предметов, мы замечаем другую группу предметов, напр., таких же шаров, так же расположенных на прямой, но заведомо отдельную от предыдущей группы.

Произведем с этой другой группой те же самые операции, что и с предыдущей. Предположим, что произнося, как и раньше, последовательно слова: один, два, три, четыре, пять, мы при том же звуке пять, что и раньше, исчерпаем и эту новую совокупность предметов.

Мы заметим при этом, что и ощущения каждого отдельного действия при этом новом опыте и промежутки между отдельными действиями и общая продолжительность всей операции, заканчивающейся при произнесении того же слова «пять», окажутся одинаковыми с теми, какие мы испытывали при подобной же операции с предыдущей группой предметов.

Мы не замечаем при этом никакого различия прежней совокупности предметов от новой, подвергнутой новому опыту, тождественному с предыдущим. Как собрания отдельных предметов обе совокупности нам будут представляться одинаковы ми,равны ми между собою.

Но может случиться, что вторая совокупность исчерпается, когда мы произнесем слова: один, два, три, т. е. на слове три, раньше, чем мы успеем произнести следующее за ним по порядку слово четыре и совершить ему соответствующее действие. И общая совокупность произведенных при этом усилий и продолжительность опыта окажутся иными, чем при соответствующем опыте с предыдущей группой предметов. Мы говорим тогда, что вторая совокупность меньше предыдущей, а предыдущая больше второй.

Наконец, может случиться, что после произнесения слова пять я совершения ему соответствующего действия, новая совокупность окажется неисчерпанной: перед нами еще останется группа предметов, не перенесенных в сосуд при слове пять; чтобы исчерпать всю совокупность придется производить новые действия руками, продолжить опыт, увеличить его продолжительность.

Чтобы исчерпать до конца эту вторую совокупность, придется совершить в общей сложности более отдельных усилий и потратить больший промежуток времени.

В этом случае мы считаем вторую совокупность большей, чем первая, и наоборот, первую меньшей, чем вторая.

Счет. Последнее слово пять, вместе с которым исчерпывается вся первая совокупность, характеризует количество предметов, составляющих эту совокупность. Точно также слово три, при котором исчерпывается вторая совокупность при втором опыте, меньшая, чем первая, мы называем числом предметов второй совокупности. Самый процесс, при помощи которого мы доходим до только-что указаннаго определения числа предметов в рассматриваемых совокупностях, называется сосчитыванием или счетом этих предметов.

Само собой разумеется, что суть дела состоит не в том, чтобы непременно брать предметы руками и складывать их в пустой сосуд. Я употребил этот прием, как один из многочисленных мыслимых приемов, при помощи которых мы можем определенно фиксировать наше внимание каждый раз на каждом отдельном предмете совокупности и связывать каждый такой акт с определенным словом, отличающимся от всякого другого слова, сопоставляемого со всяким другим отдельным актом. Я не думаю, чтобы кто-либо из читателей мог сделать такое наивное предположение, но, во избежание всяких недоразумений, все же считаю не лишним предупредить возможность такового.

Предположим теперь, что из находящейся перед нами совокупности 5-ти предметов (шаров, напр.), мы переложили в сосуд один шар. Данная совокупность, очевидно, распадается на две: одна состоит из одного только шара, находящегося в сосуде, и нескольких шаров, оставшихся на месте не тронутыми.

В том, что обе совокупности вместе представляют ту же данную совокупность, а не какую иную, мы сейчас же убеждаемся тем, что если произведем обратную операцию, вынув шар из сосуда и положив его на прежнее место, то восстановим данную совокупность.

Будем теперь складывать оставшиеся шары по порядку в сосуд, начав счет с одного. Очевидно, что при слове четыре мы исчерпаем всю данную совокупность: перед нами не останется ни одного шара, а все они перейдут в сосуд.

Следовательно, согласно предыдущему, число шаров в оставшейся совокупности равно четырем.

Мы убеждаемся, таким образом, с одной стороны, что от 5-ти предметов можно отнять один, и тогда останется 4 предмета, а с другой стороны, что данная совокупность может быть составлена из двух: в одной будет один шар, а в другой 4, т. е., что сложив (соединив вместе) 1 и 4 предмета, получим как раз пять предметов, ибо если к одному шару, оказавшемуся в сосуде после первого перекладывания, присоединим еще 4, то всего там окажется столько шаров, сколько было в данной совокупности. В самом деле, несомненно, что по окончании операции вся данная совокупность перешла в сосуд, и там оказывается именно она, а не какая-либо другая, так как, если произведем обратное перекладывание шаров из сосуда на прежнее место, производя при этом счет, то при слове пять прежняя совокупность, лежавшая перед нами на прямой линии, восстановится целиком, а в сосуде не останется ни одного шара, в чем убеждаемся наглядно. Так как подобная операция выполнима с какими угодно предметами (шары выбраны нами только для того, чтобы в рассуждении остановиться на чем-нибудь определенном) и всегда приведет к тем же самым результатам с числами 1, 4 и 5, то, отвлекаясь от самых предметов, можем сказать, что от числа 5 можно отнять одиницу, после чего в результате (разность) получим 4, и что к числу 4 можно приложить единицу и в результате (сумма) получим число 5. Таким путем приходим к представлению о числах от 1 до 5 включительно, о сложении и вычитании чисел 5 и 1, 1 и 4 и о их разности и сумме.

Если теперь мы остановимся в процессе нашего пересчитывания, переложив в сосуд два по порядку взятых шара, то совершенно так же, как в предыдущем случае, придем к понятию о том, что 5 без 2-х равно 3-м, и что сумма 2-х и 3-х равна пяти и так далее, что

5 — 3 = 2 и 3 + 2 = 5, 5 — 4=1 и 4+1 = 5.

Предположим теперь, что перед нашими глазами находится какая-нибудь совокупность хотя бы также одинаковых между собою шаров, расположенных в ряд один за другим.

Начнем, попрежнему, последовательно перекладывать эти шары в сосуд, начиная по порядку с крайнего левого и производя при этом соответствующий счет, т. е. произнося при каждом отдельном перекладывании каждого отдельного шара наперед условленные слова: один, два, три, четыре, пять.

Допустим, что при последнем действии, с которым соединяется слово пять, оказывается, что данная совокупность не исчерпывается, а распадается на две: одну в пять шаров (мы уже знаем это по предыдущему опыту), находящуюся в сосуде, и некоторую другую совокупность еще остающуюся на прежнем месте.

Это значит, что совокупность, взятая при новом опыте, больше предыдущей, содержит, как говорят, большее количество предметов.

Сделанных раньше условий будет недостаточно, чтобы определить количество предметов в этой совокупности, или, лучше сказать, чтобы

назвать определенно количество этих предметов, если мы не придумаем новых особых слов, отличных от знакомых уже нам слов от одного до пяти. Дальнейший счет без этих новых слов окажется невыполнимым.

Этот недочет будет исправлен, если мы условимся вслед за известным нам словом пять при дальнейшей операции перекладывания каждого отдельного предмета, по порядку следующего за пятым, произносить по порядку при каждом отдельном действии перекладывания каждого отдельного шара новые слова, из которых каждое отлично от всех предшествующих и от всякого следующего за ним; напр., условимся постоянно произносить по порядку, начиная сейчас же вслед за словом пять, следующие: шесть, семь, восемь, девять, десять и т. д. в этом роде.

Придумав указанным путем особые слова или так называемые числительные имена, продолженные по порядку сколько угодно далеко, мы получим возможность назвать число предметов любой совокупности, перечислить или сосчитать какое угодно число предметов.

И совершенно также, как на предыдущем частном примере, когда мы знали только пять первых чисел, мы теми же самыми опытами придем к представлению о сложении каких угодно чисел между собою, вычитанию из какого угодно числа другого какого угодно числа, меньшего этого числа. При этом под меньшим числом разумеем число всякое, ему предшествующее, а под большим всякое за ним следующее по порядку согласно условию последовательности придуманных нами для счета слов: один, два, три и т. д. Таким образом, благодаря дару речи, которым человек преимущественно отличается от всех остальных животных, оказалось возможным изобрести числа, которые, в сущности говоря, являются лишь особыми словами, но приспособленными к употреблению так, что при помощи их получается возможность весьма просто сравнивать между собою различные совокупности вещей, с которыми нам постоянно приходится иметь дело на опыте, и определенно выражать их непосредственно наблюдаемые свойства разделяться на составляющие меньшие совокупности, соединяться в одну или несколько совокупностей, больших каждой их составляющих, изучать законы сложения и разложения совокупностей в различные новые группы и т. п. Различные законы, получаемые путем наблюдений подобных вышеописанным, будут выражать различные зависимости между тем, что мы назвали числами предметов, и справедливы для каких угодно предметов.

Поэтому оказывается возможным, в конце концов, слова предмет или вещь совсем выкинуть из словесного выражения любого из получаемых таким путем законов, отвлечься от самих предметов, при чем все законы, характеризующие на самом деле свойства реальных вещей (или предметов), преобразуются в соответствующие законы чисел. Напр., вместо суждения: два предмета, соединенные с тремя предметами дают в общей сложности пять таких же предметов, получится более простая и общая формула чисто числового характера: два плюс три равно пяти и т. п.

Мы описали один из множества мыслимых процессов, при помощи которых человек дошел до изобретения чисел, т. е. тех новых слов, при помощи которых оказалось возможным описывать в определенных формах речи, при помощи определенных, понятных для всех освоившихся с этим языком, суждений, непосредственно наблюдаемый обширный класс явлений, которые обнаруживаются при рассмотрении разнообразных собраний каких угодно вещей, когда мы отвлекаемся от всех других их свойств, за, исключением тех, которые мы воспринимаем как количественные.

Из сделанного примерного описания, формы которого можно, конечно, разнообразить до бесконечности, можно усмотреть, что возникновение понятия о числе связано и с представлениями о последовательности во времени и с расположением предметов в пространстве в том или ином порядке.

Я полагаю поэтому, что различные философские учения, одни из которых утверждают, что понятие о числе связано, главным образом, с представлениями о последовательности во времени (Кант, Гамильтон, Гельмгольц), другие, что источником понятия о числе служит созерцание совокупностей предметов, известным образом расположенных в пространстве (Гебгарт и др.), одинаково правы и неправы. Вероятнее всего, что и те и другие из этих представлений одинаково играли роль в изобретении чисел. Но несомненно одно, что к открытию чисел привели наблюдение и опыт над реальными вещами:над различными совокупностями действительных предметов, вещей внешнего мира, с которыми на каждом шагу приходилось сталкиваться человеку в его повседневной практической жизни.

В соответствии с этим то философское направление, которое видит в представлении числа проявление какой-то особой способности нашего духа, стоящей чуть ли не выше наших представлений о пространстве и времени, следует признать несостоятельным. Оно ничего не раз'ясняет в рассматриваемом вопросе, а только отодвигает его решение в область туманных фантазий, в атмосферу того «высшего духовного разума», к которому любит прибегать теологическая схоластика, или поэтических грез, которым не место в области точных наук.

Что, в самом деле, может раз'яснить цитата из гетевского «Фауста»: «Здесь царят в уединении богини, вокруг них нет никакого места, нет никакого времени», которой проф. Минковский в его «Диофантовых приближениях» характеризует рассматриваемое направление. Царят здесь, где нет никакого места! Да уже самые слова здесь и вокруг не имеют смысла без представления о некотором месте.

Эта фраза поэта, хотя и почитаемого одним из величайших гениев, представляет, в сущности, пустой набор слов, лишенный всякого конкретного содержания.

Некоторые данныя истории, а также народоведения и языкознания подтверждают принятую нами точку зрения.

Счет первобытных народов. Первобытные народы не имеют понятия о так называемом отвлеченном числе и всегда связывают с представлением числа представление о числе каких-либо определенных одинаковых между собою предметов. Потребности обихода заставляют их различать и сравнивать между собою разные совокупности, но они испытывают при этом часто неодолимые затруднения, когда число предметов совокупности оказывается хоть сколько-нибудь значительным.

Это происходит именно оттого, что они не додумались до языка чисел. Многие из них имеют лишь слова для обозначения одного, двух, много трех предметов, а всякое число предметов, большее трех обозначают одинаково словом куча.

Эскимосы, напр., по свидетельству путешественника Парри, не могут даже сосчитать числа своих детей, и если оказываются в состоянии определить их совокупность, то только потому, что не все их дети совершенно одинаковы.

Вместо того, чтобы связывать процесс счета с особыми словами-числами, они запоминают отдельные приметы, отличающие каждую особь от всякой другой, и целая фраза, заменяющая число, служит им средством для определения размеров совокупности.

Так, если спросить эскимоса о числе собак в его своре, то он не ответит названием определенного числа, а начнет пересчет по приметам: «у меня», скажет он, «собака с черным пятном на боку, и собака с двумя пятнами на лбу, и собака без пятен на лбу, и собака с оторванным ухом и т. д.»

О потере какой-нибудь собаки он узнает не сравнением известного числа собак до потери с числом оставшихся их после потери, а только потому, что, осматривая по порядку оставшуюся свору, не заметит собаки с определенными приметами, образы которых по навыку запечатлелись в его мозгу, т. е. потому, что почувствует отсутствие на опыте, при действительном осматривании своры, одного из тех привычных и закрепленных, благодаря привычке, в памяти ощущений, которые испытывал много раз раньше при осмотре своей своры до пропажи собаки.

В подобной же стадии развития находятся и многие другие племена Америки, Африки и Австралии.

Едва ли можно сомневаться, что ту же стадию развития прошли в свое время и все культурные ныне нации, пока с развитием речи не изобрели особых слов, которые мы называем числами.

В какой мере возникновение понятия о числах связано с практической необходимостью различать отдельные предметы в различных совокупностях их, можно видеть из того факта, что понятие о числах развивалось постепенно в такой же степени, в какой с развитием человечества расширялась необходимость иметь дело с совокупностями, содержащими все большее и большее число предметов.

В первобытном состоянии, близком к животному, все потребности человека были до крайности ограничены, все внимание его сосредоточивалось прежде всего на собственном теле и ничтожном числе предметов его обихода. Поэтому он вначале едва дошел до чисел: один, два, много три. И теперь еще, как уже упоминалось, некоторые эскимосы Северной Америки имеют представление лишь о трех первых числах и дальше счета вести не могут. Самые названия чисел у многих народов равнозначущи с некоторыми простейшими совокупностями, которые всегда были у них на виду и служили для них прямым средством чувственного сравнения всех других совокупностей с этими основными.

Так у китайцев два значит то же, что уши, у готтентотов — то же, что руки, у тибетцев — два крыла птицы. Корень числительного пять (pente) языковеды связывают иногда с санскритскими и персидскими словами, равнозначущими русскому слову пятерня, т. е. кисть руки с пятью растопыренными пальцами. У некоторых народов Америки и Австралии шесть означает: рука и один палец с другой руки, десять — две руки и т. п.

Таким образом постепенно с расширением домашнего обихода, с увеличением числа предметов, которые постепенно входили в круг потребностей человека, создавались слова для обозначения чисел, больших трех, но долгое время число этих названий не выходило из весьма ограниченных пределов.

Некоторые исследователи полагают, напр., что человечество, уже в достаточной степени развития, удовлетворялось когда-то знанием первых двенадцати чисел; достаточно было ограничиваться совокупностями, содержащими не более 12-ти предметов. Употребление больших чисел считалось ненужным, бесполезным и даже вредным, чем, между прочим, и об'ясняют еще и до сих пор не исчезнувший предрассудок о зловредности числа 13.

И всюду обнаруживается определенно выраженная параллельность между постепенным развитием культуры и расширением области применения все больших и больших чисел.

Вавилоняне. Вавилоняне, уже, можно сказать, в историческую эпоху своего существования, довели счет до 60-ти, а затем и до кратных этого числа, приписывая сначала 60-ти, а затем 360-ти мистический смысл, как предельным этапам счисления.

Индия и Греция. Индусы и греки, дошедшие уже до сравнительно высокой степени культурности, в соответствии с этим имели уже понятие о многозначных числах.

Так Будда, как указывается в различных сочинениях, дошедших до нас от индусов, отличался уже замечательным искусством счета и имел понятие о более чем пятнадцатизначных числах, и даже знал названия всех чисел от единицы до десяти в пятьдесят четвертой степени. Архимед в своем «Псаммите» уже строит такие числа, для

записи которых, при непрерывной работе днем и ночью, потребовалось бы около 2-х миллиардов лет.

Счет русских. Русские в 15-ом или 16-ом столетии имели понятие о миллионе миллионов (легион), о легионе легионов — леодре и даже о леодре леодров, который назывался вороном. Но далее они отказывались идти, заявляя, что «более сего несть человеку разумевати», а в 17-ом столетии расширили представление о числе до колоды , т. е. до 10-ти воронов, прибавляя, подобно предыдущему, что «сего числа несть больше»*).

Итак, самое понятие о числе и числах развилось постепенно и выросло на почве потребностей практического характера, возникло в результате обобщения опыта и наблюдения над совокупностями подобных между собою предметов.

Отсюда уже само собою вытекает, что и происхождение основных законов арифметики носит чисто эмпирический характер. Мы уже видели,, напр., что именно путем отвлечения из данных, вытекающих из различных наблюдений над совокупностями предметов, получились представления о сложении чисел и вычитании их друг из друга (что какие угодно числа можно складывать друг с другом) и что результат сложения, называемый суммою, есть число вполне определенное, т. е. невозможно, чтобы сложив два данных, определенных числа, мы один раз получили в результате одну сумму, а в другой раз другую, отличную от предыдущей.

На предыдущих частных примерах мы уже показали, каким образом на опыте мы убеждаемся, что сумма, напр., 1 и 4-х равна 5-ти, сумма 2-х и 3-х также равна 5-ти и что в то же время и сумма 4-х и 1-го и 3-х и 2-х точно также равна тому же числу 5, т. е. что

1+4 = 4 + 1 и 2 + 3 = 3 + 2.

Совершенно такие же наблюдения приводят и к выводу, что при каких угодно двух заданных числах А и В будет иметь место равенство

а А + В = В + А,

Благодаря способности нашего ума распространять закономерности, подмеченные за ряде частных случаев, на все возможные, однородные с ними, мы приходим к убеждению в справедливости равенства (« для всех возможных чисел, хотя бы еще и не испытанных нами. Здесь действует тот же физиологический процесс (или психологический, что с моей точки зрения одно и то же), о котором мы говорили при выяснении вопроса о том, каким образом зарождается в нашем уме представление о законе причинности, об основных законах механики и аксиомах геометрии, и о котором будем говорить еще впоследствии (интуиция).

*) Некоторые подробности о всем предыдущем см. в книге проф. А. В. Васильева «Целое число». Петроград, 1919 г.

Благодаря ряду многочисленных опытов наш мозг приобретает привычку сейчас же, как только в нем возникнет вновь представление о двух каких-нибудь числах А и В и об их сумме, связывать с этим и представление о том, что эта сумма непременно равна сумме чисел В и А.

А. Пуанкарэ в своей книге «Наука и гипотеза» отмечает, что в рассматриваемом случае общий закон может быть доказан методом перехода через единицу, но, во-первых, такое доказательство стало возможным только тогда, когда человечество освоилось с буквенным исчислением (т. е. с алгеброй) и, во-вторых, когда оно уже имело точное выражение того закона, который требуется доказать.

Мы же говорим не о доказательстве, а о происхождении, возникновении в уме человека самого закона, который был ему известен за тысячи лет до того, как был изобретен способ доказательства его справедливости.

Рационалисты и последователи Канта, по существу значительно отличаясь друг от друга, выводят, что так называемый закон коммутативности, справедливый для всех чисел А и В без из'ятия и выраженный равенством

А + В = В + А,

есть, во-первых, истина наперед данная в нашем уме вместе с понятием о числе и независящая ни от какого опыта и, во-вторых, не требующая никакого доказательства, которого и быть не может. Последнее утверждение, как видно из только что сказаннаго, несправедливо, первое стоит в противоречии с фактами действительности. Мы уже упоминали что и теперь еще существуют полудикие племена, которые имеют смутные понятия о самом числе, некоторые не способны считать более, чем до трех. Естественно, что они не имеют никакого представления о сложении чисел, с трудом соображают, что один предмет и два предмета составят вместе три предмета, и едва ли для них априори очевидно, что и два предмета, соединенных с третьим, дают в сумме те же три предмета. На детях, начинающих обучаться счету, также можно убедиться, что для многих из них, не отличающихся особой наблюдательностью, не представляется сразу очевидным, что, напр., 7 и 8 дают в сумме то же, что 8 и 7.

Даже самое предложение, что сумма двух определенных чисел есть также определенное число, в каждом частном случае выводится только путем непосредственного опыта.

Кантовское рассуждение, приводимое им для доказательство того, что 7 + 5 = 12 есть суждение синтетическое, представляет собою в существе дела лишь доказательство того, что эта числовая истина есть обобщение ряда наблюдений, произведенных над двумя совокупностями конкретных предметов и всегда, каковы бы ни были эти предметы, приводящих к результату, что две отдельных совокупности, из которых одна содержит 7 одинаковых предметов, а другая 5, будучи соединены в одну совокупность, всегда дают совокупность, содержащую ровно 12 предметов.

Это рассуждение противоречит само по себе сделанному им перед этим утверждению, что суждение 7 + 5 = 12 есть суждение всеобщее

и необходимое, данное a priori в нашем уме. Если это так, то зачем прибегать к тому опыту, о котором говорит Кант, желая доказать синтетичность этого суждения. Зачем производить на деле подсчет, т. е. производить проверку опытом того, что наперед само собой очевидно, независимо от опыта? Он сам говорит, что «понятие двенадцати вовсе еще не мыслится вследствие того, что я только мыслю о соединении семи и пяти; и, сколько бы я ни анализировал свое понятие такой возможной суммы, я бы никогда не встретил в нем числа 12. Для этого необходимо выйти за пределы этих понятий, взяв на помощь наглядное представление, соответствующее одному из них, напр., пять пальцев своей руки или пять точек, и присоединить постепенно единицы числа 5, данного в наглядном представлении, к понятию семи... О том, что 5 должно быть присоединено к 7, я, правда, мыслил в понятии суммы 7 + 5, но я тогда еще не знал, что эта сумма равна двенадцати».

Этим уже утверждается, что 7 + 5 = 12 не есть истина самоочевидная: убедиться в этом можно лишь, по терминологии Канта, «при помощи наглядного представления». Словами «наглядное представление» Кант подменяет слово «опыт», ибо что иное, как не опыт представляет собою та операция, которую он сам описывает и называет наглядным представлением? Введите в рассуждения Канта вместо последнего термина более соответствующее сути дела слово опыт, и это рассуждение обратится в доказательство того, что суждение 7 + 5 = 12 есть эмпирическое и в то же время синтетическое, как и подобает всякому эмпирическому суждению.

А в чем состоит Кантово доказательство его утверждения, что это суждение априорное? Оно заключается в следующих немногих строках: «...следует заметить, что настоящие математические положения всегда суть априорные, а не эмпирические суждения, потому что они обладают необходимостью, которая не может быть заимствована из опыта. Если же с этим не согласиться, то я готов ограничить свое утверждение областью чистой математики, самое понятие которой указывает на то, что она содержит не эмпирическое, а исключительно чисто априорное знание».

Вместо доказательства в последнем предложении приводится предвзятое суждение, которое наперед признается справедливым и которое каким-то образом выводится из понятия «чистая математика».

Общие свойства целой науки немыслимо считать чем-то наперед данным, они сами могут быть выведены лишь из всей совокупности тех данных, которые составляют эту науку, а не наоборот.

В первом же предложении Кант, очевидно, считает априорность суждения эквивалентным с его необходимостью, утверждая, что необходимость не может быть заимствована из опыта. Но, ведь, это-то и нужно доказать. Почему необходимость не может быть заимствована из опыта? Из вышеприведенных его рассуждений как раз вытекает обратное: именно до опыта он сам не знает, что сумма 7-ми и 5-ти

необходимо равна двенадцати и лишь исключительно благодаря опыту и убеждается в этом.

Закон коммутативности. Еще в большей степени подобные же соображения приложимы к общему закону коммутативности, выраженному равенством А + В —В + А.

Можно показать, как мы это и сделали, что убеждение в справедливости этого равенства для всех чисел получается в результате обобщения множества конкретных случаев этого равенства, устанавливаемых прямым опытом, но доказать его истинность действительно нельзя. Всякое доказательство возможно только тогда, когда мы имеем некоторые еще более очевидные истины, чем та, которую мы желаем доказать, и которые предшествуют этой последней.

Только тогда путем строгой логики мы и можем доказать ее. Но таких предшествующих истин не имеется, ибо сама эта истина предшествует всем другим, есть один из первичных законов, выведенных из простейших житейских опытов, на котором зиждется вся арифметика, а, в конечном счете, и вся математика.

Итак, далее один из основных законов самой отвлеченной из всех наук — арифметики имеет эмпирическое происхождение.

Совершенно таким же путем можно убедиться, что и другой основной закон арифметики, так называемый закон ассоциативности, выражаемый равенством

(А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С

имеет также чисто опытное происхождение.

Полагаю, что останавливаться на этом нет надобности; пришлось бы повторить с незначительными видоизменениями все предыдущие соображения.

То же самое нужно сказать и о подобных же законах, определяющих другое основное действие арифметики, так называемое умножение, основные свойства которого можно вывести из таких же свойств сложения.

Умножение. Представление об умножении данного числа А на другое данное число В получается в результате обобщения и отвлечения от следующих конкретных задач: соединить В совокупностей одинаковых предметов, в каждой из которых по А предметов, в одну совокупность.

Рассматриваемое действие условно обозначается символом А X В или А . В.

Одно из основных свойств этого действия, так называемый закон коммутативности умножения, выражается равенством

А . В = В . А.

В каждом частном случае, при данных числах А и В, человек убеждался в справедливости этого закона на наглядном опыте и самый закон вывел из ряда таких опытов.

Пусть три совокупности каких-либо предметов, напр., одинаковых шаров, содержащих каждая по пяти шаров, нам нужно соединить в

одну совокупность. В данном случае А = 5, В = 3. Расположим эти совокупности, как показано на чертеже. Мы можем пересчитать все эти шары, если их рассматривать как одну совокупность, считая по порядку шары первой совокупности по горизонтали, затем шары второй совокупности, расположенные во второй горизонтальной строке, наконец, шары последней строки. В результате получим пятнадцать шаров, или, согласно принятому обозначению, 5 . 3 шаров = 15 шарам.

Те же самые предметы той же совокупности, находящейся перед нашими глазами, мы можем исчерпать, пересчитать, считая по порядку сначала шары, лежащие на первой вертикали, затем на второй и т. д. до пятой вертикали.

Получим в результате те же пятнадцать шаров. Но мы непосредственно видим, что шары, лежащие на отдельных вертикалях, образуют отдельные совокупности, число которых равно пяти, и в каждой из которых заключается по три шара.

Следовательно, при второй операции, приводящей к тому же самому результату, мы умножаем 3 на 5 и получаем

3 . 5 шаров =15 шарам.

Следовательно

5.3 = 3.5.

На этом конкретном опыте подмечаем закон коммутативности для чисел 5 и 3.

Взяв какие угодно другие числа, подобным же образом, непосредственным опытом, который Кант назвал «наглядным представлением», а некоторые современные авторы (напр., Клейн в соч. «Вопросы элемент, и высшей математики») — интуицей, подметим наличность закона коммутативности и для этих других чисел.

Отсюда, по свойству ума обобщать конкретные наблюдения, приходим к убеждению в справедливости равенства

А . В = В . А

для каких угодно чисел, т. е. к общему закону коммутативности для всяких двух чисел А и В.

Заметим, что наглядно-зрительные опыты, подобные только-что описанному, мы можем строить и строим только при современном уровне нашего развития. В действительности первобытные люди, постепенно подходившие к изобретению чисел и простейших операций над ними, не придумывали с заранее намеченной целью каких-либо опытов, а тем более опытов чисто зрительного характера; с соответствующими опытами их сталкивали независимо от их воли практические потребности жизни; они имели дело не с воображаемыми шарами или точками или другими подобными мысленно создаваемыми об'ектами, а с реальными вещами, которые им приходилось пересчитывать, распределять или раскладывать в различные группы на определенных участках земли, или в определенных помещениях, сосудах и т. п. Не с воображаемыми шарами,

Рис. 7.

изображенными на чертеже кружками или черными точками или другими какими-либо знаками, они имели дело, а с некоторыми собраниями животных, которых приходилось размещать в разном порядке в разных помещениях, с собаками, которых нужно было запрягать в том или ином порядке, с камнями, из которых необходимо было создавать постройки той или иной формы, с бревнами леса, которые требовалось уложить в определенные кучи в определенном месте и т. п.

Наблюдения над такими конкретными совокупностями и привели людей к изобретению чисел и дали возможность подметить основные свойства разных действий над ними. По мере накопления данных наблюдения постепенно подмечались признаки, общие всем этим частным случаям, наличность таковых подтверждалась затем множеством других случаев, доставлявшихся постоянно возраставшими новыми опытами; подмеченные закономерности постепенно охватывали все большее и большее количество частных случаев и постепенно создавалось убеждение в их приложимости ко всем возможным случаям, т. е. открывались общие законы.

Сказанного достаточно, чтобы притти к заключению, что все основные законы арифметики целых чисел носят чисто эмпирическое происхождение и, в сущности говоря, получаются в результате того процесса, который Ф. Бэкон называл индукцией через простое перечисление и которому он и многие следующие за ним мыслители придавали столь ничтожное значение.

Отвлеченная арифметика, т. е. учение о числах независимо от практических применений счета, из которых, повторяем, и возникло самое понятие о числе, была создана впоследствие гением греческого ума.

Не воспоминанием ли греков, впервые дошедших до понятия об отвлеченных числах и еще помнивших о том недалеком от них времени, когда представление о числе связывалось исключительно с представлениями о предметах внешнего мира, об'ясняется то обстоятельство, что они разделяли арифметику на собственно арифметику и логистику; первая излагала открытое ими учение об отвлеченном числе, а вторая рассматривала свойства чисел не самих по себе, а лишь в их применении к различным комбинациям всевозможных реальных предметов, с которыми приходилось сталкиваться в практической жизни.

Есть основание предполагать, заметим мимоходом, что понятие об отвлеченном числе имели, быть может, и ранее греков некоторые восточные народы и, в особенности индусы. Возможно, что греки многое заимствовали от них, особенно после походов Александра Македонского, но греческие ученые не оставили на этот счет никаких указаний и о работах индусов европейцы узнали очень поздно, лишь в начале 19-го столетия.

Однако, почитание греками Прометея, как духовного просветителя и учителя человечества, которому был воздвигнут на афинской академии алтарь рядом с богом Гефестом, и который, по легендам самих греков «число для смертных изобрел», подтверждает предположение о том, что

идею числа греки заимствовали именно от индусов: многие исследователи видят в самом названии Прометея не греческое, а санскритское происхождение, сближая греческое слово «Прометевс» с санскритским «Проматиус», т. е. тот, кто трет палку о дерево для добывания огня, и словом «прамата», означающим вращающуюся палку, трением которой добывали огонь, а Прометей и у греков считался именно похитителем огня с неба, который и принес затем людям в стволе дерева.

Деление. Мы говорили до сих пор об отдельных предметах или, как говорят, «индивидах», что означает неделимое. Если я имею, напр., собаку, то это есть индивид, так как если я разрежу собаку на две части, то каждая часть не будет представлять собою собаки. Но если я возьму какую-либо длину и разделю ее на две части, то каждая часть также представит некоторую длину, точно также, если я разделю какой-нибудь груз на несколько частей, то каждая из частей будет также определенным грузом, часть всякого об'ема есть также об'ем и т. д. Длину, площадь, вес, об'ем и т. п. можно делить на какое угодно число частей, при чем каждая часть сохраняет свойство целого. Все такие вещи называются величинами в отличие от неделимых (индивидов). Хотя на практике и приходится делить индивиды на части, когда, напр., нужно дать поровну от одного яблока 3-м детям и в общежитии говорят, что каждый ребенок получит по одной трети яблока, но здесь под словом яблоко разумеется только масса вещества, составляющего яблоко.

Точно так же величины можно складывать и вычитать друг из друга и в результате всегда получается величина того же рода. Так, можно соединить два фунта воды с одним ее фунтом; получится одна большая масса воды же, равная трем фунтам ее, но присоединив к двум индивидам, напр., собакам, третью собаку, всегда получим три отдельных индивида, рассматриваемых в одной совокупности, а не одну втрое большую собаку.

Наблюдение над совокупностями индивидов привело, как показано выше, к представлению о целых числах и об основных законах, управляющих всеми действиями над целыми числами.

Дробь, иррациональные числа. Наблюдения над величинами привели к обобщению понятия о числе, сначала к представлению о дроби, а затем и к понятию о несоизмеримых числах (иррациональных).

Различие между числом и величиной отчетливо выставлялось греками и обстоятельно проведено, напр., в знаменитых «Началах» Эвклида. Греки еще затруднялись соединять представление непрерывности с понятием о числе, но, пытаясь измерить, т. е. выразить числами, прямолинейные отрезки, убедились в невозможности выразить их при помощи целых чисел (или их отношений).

Не умея еще надлежащим образом обобщить эти данныя опыта, они и установили резкое различие между числом и величиной, однако,

рациональные дроби весьма скоро научились считать числами и производить над ними соответствующие арифметические действия. Только постепенно, путем усиленной работы мысли, было затем устранено это различие между числами и величинами и получилось понятие об иррациональных числах, строгое учение о которых составляет уже достояние новейшей математики.

Впрочем, индусы предупредили в этом отношении и греков, и европейцев и, повидимому, уже в начале нашей эры составили представление об отрицательных и иррациональных числах, над которыми производили те же действия, как над числами рациональными и по тем же правилам, хотя и не могли еще формулировать отчетливо упомянутое выше строго научное обобщение понятия о числе*).

Наблюдения и опыт, выдвигавшиеся потребностями практической жизни, и здесь служили источниками развития наших познаний в области чистой математики.

Замечательно, что греки, еще не достигшие до ясного представления об иррациональных числах, уже успели производить над непрерывными величинами те же действия сложения, вычитания, умножения и деления, что и над целыми числами.

Они рано пришли к различению величин однородных и неоднородных (разнородных) и пользовались так называемым началом однородности, хотя, если не ошибаюсь, и не высказывали определенно тех основных положений, которыми руководствовались на практике.

Остановимся на следующих начальных аксиомах:

1. Сравнивать между собою можно только величины однородные, иначе говоря, разнородные величины не подлежат сравнению.

2. Однородные величины можно складывать (вычитать) друг с другом.

3. Сумма однородных величин есть величина определенная, однородная с данными.

В частности, это значит, напр., что нельзя сравнивать между собою вес и длину, нельзя складывать длину и об'ем, но всякая длина может быть сложена со всякой другой длиной, и в результате сложения получится определенная длина, всякий вес со всяким другим весом же и в сумме получится также некоторый вес, и т. д.

В настоящее время мы до такой степени освоились с подобными истинами, что они кажутся нам данными в нашем сознании наперед, составляя как бы его природное свойство, возникают немедленно сами собой с возникновением самого сознания; устранить из нашего сознания эти истины представляется невозможным без утраты того, что мы называем сознанием.

Действительно, эти положения являются лишь описанием некоторых особенностей физиологического устройства наших органов

*) Мы узнаем об этом по некоторым сочинениям индусских математиков, которые нам стали известны лишь в 19-м столетии, как, напр., Брамагупты. Ариабхатта (V и VI века) и Бхаскар-Ачарии (12 век). См. А. В. Васильев: «Целое число».

чувств, однако, и оно явилось не вдруг, а в результате обобщения длинного ряда наблюдений над особенностями отправлений различных органов наших чувств, при помощи которых мы составляем представление о внешнем мире.

Конечно, инстинктивно никто не будет сравнивать по величине фунт железа с аршином сукна или складывать их, просто потому, что не может сделать этого физически, в силу устройства человеческого организма, но не затруднится присоединять к аршинам аршины, к одному весу другой вес, наперед отрицая возможность того, чтобы в первом случае могло получиться что-либо отличное от аршин, а во втором — отличное от некоторого веса.

Однако, повторяем, самое представление об однородных и разнородных величинах и определенная формулировка общих положений, приведенных выше и справедливых для всех возможных величин, могли появиться лишь в результате обобщения ряда наблюдений над упомянутыми выше физиологическими процессами.

Предположим, что мы совершаем тот зрительный акт, который приводит нас к представлению о длине какого-нибудь прямолинейного отрезка и одновременно испытываем некоторое напряжение мускулов руки при удержании от падения какого-либо предмета, приводящее нас к представлению о весе. Мы замечаем, что оба соответствующие этому опыту ощущения не сливаются к какое-либо одно, не влияют друг на друга и каждое из них воспринимается нами раздельно и независимо друг от друга.

Изменение одного из этих ощущений, если мы, напр., будем изменять груз, поддерживаемый рукой, ни в какой мере не изменяет напряженность того усилия глазных мускулов, которое производит ощущение данной длины, которую мы имеем перед глазами, и наоборот.

Мы таким путем убеждаемся, что в силу самого строения наших органов чувств невозможно установить никакой связи, никакого соотношения между ощущениями, приводящими нас к представлению о длине с одной стороны и о весе с другой.

Возьмем другой опыт. Предположим, как и в предыдущем случае, что мы удерживаем рукой некоторый груз от падения и одновременно воспринимаем ухом некоторый звук определенной напряженности. Точно также мы замечаем независимость этих двух ощущений друг от друга: они воспринимаются раздельно, изменение или уничтожение одного из них нисколько не влияет на напряженность другого, т. е., что сравнить между собою эти величины мы физиологически неспособны.

Те же самые результаты мы получим, если вздумаем сравнивать между собою напряженности света и звука, звука и запаха, света и мускульных усилий руки и т. п.

Таким образом, непосредственным наблюдением убеждаемся, что ощущения тяжести, длины, напряженности света, звука, тепла и т. п., а, следовательно, и соответствующие им величины веса, длины, напряженностей света, звука и т. д., суть величины независимые друг от друга.

Все эти величины, к представлению о которых приводят нас ощущения, воспринимаемые через наши органы чувств, мы называем разнородными и, обобщая все непосредственно наблюдаемые случаи отсутствия способности сравнивать их между собою, приходим к общему положению, что разнородные величины не подлежат сравнению между собою.

Эта общая формула является, таким образом, обобщенным словесным выражением непосредственно наблюдаемых физиологических фактов.

Предположим теперь, что мы удерживаем рукой от падения какой-нибудь определенный груз, испытывая при этом некоторое мускульное усилие. Присоединив к этому грузу новый, добавочный, или отняв от него какую-либо его часть, мы сейчас же почувствуем соответствующее изменение в испытываемом ощущении. При прибавлении нового дополнительного груза, мы не будем испытывать два раздельно воспринимаемых ощущения тяжести от первого и второго грузов, а оба ощущения сложатся, сольются в одно, только большей напряженности.

Точно так же, если мы воспринимаем звук определенного тона и напряженности, производимый каким-нибудь источником звука, помещенным в определенном месте, то испытываем определенное слуховое ощущение. Присоединим к этому источнику звука новый, дающий звук того же самого тона, помещенный в том же самом месте. Мы сейчас же почувствуем усиление прежнего ощущения, мы не будем в состоянии различить два звука разных напряженностей, а оба они сложатся в одно ощущение звука усиленной напряженности. Незначительное изменение напряженности, силы звука в источнике его сейчас же вызовет соответствующее изменение (увеличение или уменьшение) в воспринимаемом ощущении.

Возьмем на какой-либо прямой три точки А, В и С. Переведем глаза с точки А на точку В; мы испытаем при этом определенное ощущение усилия глазных мускулов, которое, как указывалось и раньше, приведет нас к представлению о длине отрезков. Затем сейчас же, пока не изгладилось в мозгу впечатление от этого опыта, переведем глаза снова от точки А на точку О, пройдя через точку В.

Мы сейчас же почувствуем, что вновь испытанное ощущение мускульных усилий будет больше, чем предыдущее, когда мы останавливали движение глаз на точке В, не переводя их дальше до точки С.

Точно также фактически убедимся, что ощущение, которое мы испытаем, переводя глаза от точки В в точку С, будет слабее, чем то, которое соответствует их переводу с точки А на точку С. Это последнее ощущение будет чувствительно больше, чем каждое из составляющих и является их соединением.

Все эти и подобные им ощущения (света, запаха, тепла и т. д.) различной напряженности, отдельно рассматриваемые для каждого ощущения, мы называем однородными, также как и величины различных весов длин, напряженностей звука, света и т. д., к представлению о которых нас эти ощущения приводят.

Мы убеждаемся при этом на прямом опыте в нашей способности сравнивать между собою эти однородные величины, ощущать большую или меньшую их напряженность, соединять их друг с другом, при чем в результате сложения всегда получается величина того же рода.

Распространяя все замеченные отдельные факты на все возможные величины, мы и приходим к двум последним из упомянутых выше общих положений.

Таков был, но нашему мнению, тот исторический путь, которым шел человеческий ум. Первоначальным источником познания даже в области чистой математики служили чисто чувственные восприятия, неоформленные и смутные, пока человек не изобретал соответствующих слов речи, при помощи которых он придавал определенную форму чувственным образам, облекая их при помощи изобретенных звуков речи в определенные суждения. Сначала эти суждения обнимали незначительное количество простейших частных случаев; по мере того, как круг наблюдений увеличивался, подмечались некоторые свойства, общие всем наблюденным фактам, закрепленным в сознании при помощи слова. Замеченные особенности с течением времени подтверждались непрерывно производившимися новыми наблюдениями над определенною группою явлений. Благодаря этому создавалась привычка, при всяком вновь наблюдаемом факте, характеризуемом теми же общими условиями, что и раньше наблюдавшиеся, связывать с ним те же особенности, которые отмечались и на всех предыдущих, и таким путем создавалось убеждение, что закономерность, подмеченная на большом числе уже наблюденных случаев, имеет место для всех возможных случаев. Таким путем переходом от частного к общему подмеченные на частных случаях закономерности распространялись на все возможные мыслимые случаи и создавались общие основные законы (аксиомы) всех наук, в том числе первой и самой отвлеченной из них — чистой математики.

Величины обладают способностью делиться на какие угодно части и складываться друг с другом, образуя всегда новые величины, однородные с данными, но большие или меньшие их. Совокупности неделимых (индивидов) точно так же могут складываться одна с другой и разделяться на части; размеры различных таких совокупностей также бывают различны: одни больше, другие меньше. Размеры совокупностей неделимых определяются при помощи числа заключающихся в них отдельных предметов и мы уже рассмотрели, каким образом создался прием определения этих размеров при помощи изобретения целых чисел. Эти совокупности можно назвать исчислимыми. Величины и совокупности из них составленные обладают особыми свойствами. Во-первых, они обладают свойством непрерывности, чем существенно отличаются от совокупностей, составленных из неделимых, во-вторых, даже при сложении нескольких однородных величин (т. е. целого числа однородных величин), размеры полученной совокупности их нельзя измерить счетом. Эти совокупности можно назвать измеримыми.

Если сплавить два куска железа, получится один новый однородного состава кусок железа, если соединить (слить), положим, 3 фунта и 5 фунтов воды, получится соединенная совокупность, в которой составляющих ее отдельных масс воды нельзя различить и т. п. В настоящее время любой неграмотный человек на вопрос: сколько фунтов воды оказывается в полученной смеси? — ответит без малейшего колебания: 8 фунтов.

Суждение, что А единиц одной величины, сложенные с В единицами другой, однородной с ней, дают в сумме А + В единиц той же самой величины, кажется нам истиной самоочевидной, как бы прирожденной нашему сознанию. Таковой казалась она и древним народам, уже освоившимся с понятием о числе.

Тем не менее и эта аксиома не могла возникнуть в сознании человека иначе, как после длинного ряда наблюдений и опытов, и история ее происхождения носит тот же характер, как и всех других основных законов природы.

Мы уже упоминали о том, что и теперь некоторые полудикие племена с большим трудом определяют даже число предметов в совокупности, составленной из двух отдельных совокупностей в 3 и 5 предметов. Чтобы сосчитать число предметов сложенной совокупности, они должны прибегать либо к пособию пальцев своих рук, либо к каким-нибудь другим подобным пособиям. Если же взять первобытного человека, не имевшего понятия о числах, или даже освоившегося лишь с представлением о первых трех, четырех числах, то для него даже эта простейшая задача представляется неразрешимой.

Если такому человеку показать три сосуда с одинаковым количеством воды в каждом и затем еще два сосуда с тем же количеством воды в каждом из них, то он, пересчитав сосуды, убедится, что в одной из групп по три одинаковых массы воды, во второй группе по две. Если затем эти сосуды поставить в один ряд, соединить в одну совокупность, не сливая из них воду в один общий сосуд, то и тут он затруднится сказать, сколько перед ним всего одинаковых масс воды. Если же сразу слить воду из той и другой отдельных групп сосудов в один сосуд, то он лишится всякой возможности сказать, какое же количество воды получилось в общей смеси. Действительно, чтобы притти к заключению, что А единиц одного вещества, смешанные с В единицами того же вещества в одну общую массу, дают в совокупности А + В тех же единиц вещества, необходимо иметь отчетливое понятие о числах и их сумме и, мало того, идею о неисчезаемости вещества при всяких его превращениях.

Мы знаем уже, что и самая способность складывать числа, отвлекаясь от предметов, создалась постепенно, путем ряда навыков, т. е. путем продолжительного опыта, что же касается идеи о неисчезаемости вещества, то как ни кажется она нам очевидной в настоящее время, тем не менее она весьма смутно сознавалась до конца 18-го столетия и впервые была отчетливо формулирована сначала Ломоносовым, а затем Лавуазье и сделалась общепризнанной истиной только после произведенных ими опытов.

Древние культурные народы понимали закон сложения однородных величин, напр., грузов, во-первых, как уже сказано, благодаря хорошо усвоенному понятию о числах, а во-вторых потому, что рано ознакомились с употреблением весов.

Только при помощи этого инструмента они могли на опыте убедиться и, действительно, убеждались, что количество вещества в механической смеси двух их количеств действительно равно сумме этих последних.

Что это есть истина опытного происхождения, а отнюдь не прирожденная уму человека, свидетельствует и тот факт, что даже в исторические времена люди не затруднялись верить в чудеса, что от смешения двух количеств жидкости, напр., вина, в результате может получиться, количество большее их суммы.

До изобретения же весов убеждение в том, что две, положим, и три единицы жидкости, смешанные вместе, давали пять единиц жидкости, или, напр., 2 меры муки и 3 меры муки после смешения давали 5 мер муки, могло составляться лишь при помощи следующего опыта. Жидкость из общей смеси разливали в те два и три отдельных сосуда, в которых она находилась до смешения, или рассыпали муку из общей меры в первоначальные. Точно также на опыте убеждались в сложении длин и т. п. Отсюда, путем обобщения, распространяли наблюденные правила сложения величин на какие угодно величины и, хотя путем подобных опытов нельзя было, напр., удостовериться, что 2 единицы веса меди, сплавленные с 3-мя такими же ее единицами, давали в сумме 5 тех же единиц меди, но признавали и эту истину, как результат только-что упомянутого обобщения. Впослествии справедливость этого утверждения и многих других подтвердилась при помощи весов.

Итак, основной закон о сложении однородных величин имеет чисто опытное происхождение.

Но более того: его далее нельзя назвать точным точно так же, напр., как аксиому Эвклидовой геометрии, что сумма углов треугольника равна двум прямым, или как законы механики.

Ни опыт переливания, пересыпания и т. п., ни опыт взвешивания никогда не укажут точно, что сумма А фунтов и В фунтов какого-либо вещества, соединенные вместе, дадут именно А + В фунтов, ибо точное взвешивание невозможно, как и всякое другое точное измерение.

Опыт всегда дает лишь приближенное равенство, делающееся тем более точным, чем более усовершенствуются методы и приемы измерения.

Следовательно, общий закон о сложении однородных величин есть не только опытный закон, но и закон, в сущности говоря, приближенный.

Опыт, наблюдение и обобщение. Мы полагаем излишним входить в дальнейшие подробности, так как и сказанного, думается нам, достаточно, чтобы признать, что основы всех наук, в том числе

и чистой математики, созданы путем длинного ряда опытов и наблюдений и обобщения замеченных на многих частных случаях общих закономерностей. Конечно, все эти первоначальные общие выводы подтверждаются затем громадным количеством новых опытов и наблюдений, так называемыми повторными и перекрестными опытами, которые создают затем в нас часто неискоренимое убеждение в так называемой абсолютной достоверности добытых таким путем результатов, но первоначально все так называемые аксиомы точных наук получаются, в существе дела, в результате того, что Бэкон называл индукцией через простое перечисление, как уже отмечалось нами и раньше.

В этом процессе, который Бэконом признан самым недостаточным и несовершенным, как способ умозаключения, мы видим нечто совершенно иное.

Если его рассматривать как умозаключение с точки зрения понятий старой логики, на которой стоял Бэкон и далее стояли многие мыслители до настоящего времени, то, конечно, он прав. Но на этот процесс и нельзя смотреть как на один из приемов умозаключения.

Здесь проявляется, на наш взгляд, особая способность человеческого ума, составляющая основу его творчества и одно из орудий открытия и изобретения, та способность, которую называют теперь интуицией, хотя и придают этому термину не всегда именно то значение, о котором мы сейчас говорим.

Способность подметить известную закономерность на нескольких данных опыта и затем сейчас же распространить ее на все возможные случаи есть неизбежная, действительно врожденная, способность всякого ума.

Такие обобщения совершает каждый человек ежеминутно в течение всей своей мыслящей жизни, но дело в том, что одни, и именно большинство, подмечают в ряде частных случаев общие признаки либо несущественные, либо даже ложно толкуемые и потому делают обобщения, несогласные с действительностью, т. е. весьма скоро опровергаемые новыми данными опыта и наблюдения, другие же, и притом весьма немногие, сразу угадывают на небольшом числе фактов то существенное, которое оказывается затем неизменно принадлежащим всем возможным фактам того же типа, что и наблюденные. Обобщая такие частичные выводы на все возможные случаи, эти последние умы являются творцами, изобразителями общих законов, иногда основателями целых наук и, во всяком случае, их двигателями. Это те выдающиеся таланты и гении, по поводу которых Лобачевский (актовая речь 5 июля 1828 г.) говорит: «Я не того мнения, чтобы человек лишен был инстинкта, который является во многих действиях ума, который в

соединении с умом составляет Гений... Инстинкт не приобретается; Гением быть нельзя, кто не родился... Ум, если хотят составить его из воображения и памяти, едва ли отличает нас от животных». Соединение инстинкта с умом он называет разумом.

Разум. «Разум», говорит он далее, «без сомнения принадлежит исключительно человеку. Разум это значит известные начала суждения, в которых как бы отпечатлелись первые действующие причины вселенной, и которые соглашают таким образом все явления природы, где противоречия существовать не могут». Под интуицией мы и понимаем именно то, что Лобачевский называл инстинктом человеческого ума; в умах от природы одаренных способностью интуиции, действительно, как бы отпечатываются первые причины вселенной. Хотя эта способность не может приобретаться, а является прирожденным свойством исключительных людей, особенными свойствами их организации (устройства их мозга), но приходит она в действие и приводит к открытию законов природы исключительно через посредство опыта, давая возможность усмотреть истину на некотором числе частных наблюденных случаев, в которых эти законы необходимо проявляются, как и во всех других, возможных. Человек обыкновенный, лишенный дара интуиции, лишен и способности усмотреть в известном ему частном материале те первые действующие причины природы, которые в нем отражаются, сколь бы велико ни было число наблюденных им или известных ему фактов, гений же быстро улавливает их даже на небольшом числе замеченных им конкретных явлений и по аналогии распространяет их на все возможные явления того же типа.

Процесс этот производится бессознательно, формальная логика здесь никакого участия не принимает, истина добывается не цепью умозаключений, а именно чувством, которое мы называем интуицией, идущей поверх того, что обыкновенно понимают под именем сознания. Она входит в сознание в виде готового суждения без всякого доказательства. Но, конечно, в последнем нуждается не только сам творец, но и все человечество.

Истина приобретенная таким путем должна быть либо строго доказана, либо подтверждена всеми предыдущими и следующими за ее открытием опытами и наблюдениями, в противном случае она пропадает бесследно, или лежит иногда по нескольку веков без движения и без всякого влияния на практическую и умственную жизнь человечества.

Вот здесь и выступают на сцену формальная логика, либо повторные и перекрестные опыты и наблюдения.

Они нужны не для того, чтобы открыть истину, а для того, чтобы убедить в ее справедливости все человечество, заставить его признать справедливость того, чего оно, в своей массе, по близорукости не видит и чего принять, без ряда доводов логического или опытного характера, не способно.

Вся история науки, начиная с величайших приобретений человеческого гения и до более маловажных по сравнению с ними открытий, полна примерами, подтверждающими сказанное.

Архимед долго не мог решить вопроса о том, как узнать, в какой пропорции смешаны золото и серебро в короне сиракузского царя Гиерона, но однажды, опускаясь в ванну с водой, обратил внимание на потерю своего веса при погружении в воду. Из этого одного частного случая мгновенно родился в уме его известный общий закон гидростатики, что всякое тело, погруженное в жидкость, теряет в своем весе столько, сколько весит об'ем жидкости, вытесненный телом.

Всем известен анекдот о том, как он выскочил из ванны не одевшись и с криком «Эврика» (нашел) побежал в таком виде домой.

На качающуюся люстру пизанского собора глядели десятки тысяч людей, но никто из них, за исключением Галилея, и не воображал, что отсюда можно вывести какой-то общий закон колебания маятника. Галилею же было достаточно одного этого наблюдения, чтобы создать закон (конечно, приближенный) так называемого изохронизма, справедливого для какого угодно маятника.

Факт, что все тела как бы притягиваются землею, был известен еще древним грекам, но в этом никто не мог усмотреть проявление общего закона природы, действующего во всей вселенной. Гений Ньютона уловил в этом давно известном обстоятельстве одну из «первых причин, действующих во вселенной» и создал закон всемирного тяготения.

Затем, фактически он подтвердил сначала свой закон притяжения обратно пропорционально квадратам расстояния лишь по отношению к одной луне. Этого было достаточно, чтобы распространить замеченный факт на всю вселенную.

Точно также Кеплер доказал законы движения планет только для одного Марса и сейчас же обобщил полученный результат на все планеты.

Эйлер и Фермат открыли не мало общих теорем, заметив их справедливость на немногих частных случаях.

Едва ли можно сомневаться, что знаменитая теорема Фермата о неразрешимости уравнения

хп + уп = zn

в целых числах при всяком п > 2 получена так же как результат обобщения немногих частных случаев.

И до сих пор эта теорема остается недоказанной, да едва ли и будет когда-нибудь доказана, хотя справедливость ее после многих сложных и в высокой степени поучительных исследований Куммера и других установлена для громадного числа значений п и до сих пор не встречено ни одного частного случая, на котором это предложение не оправдывалось бы.

Якоби дал одну определенную и сложную формулу, относящуюся к теории кратчайших (геодезических) линий на эллипсоиде без всякого доказательства, которого не мог и придумать. Только через пятьдесят

лет, после исследований многих математиков оказалось, что теорема Якоби вполне справедлива.

Множество примеров интуитивного угадывания самых сложных результатов можно найти в многочисленных трудах недавно скончавшегося французского геометра А. Пуанкарэ. Нескольких частных примеров, нескольких намеков для него часто было достаточно, чтобы уловить в них общее, иногда весьма сложно выражаемое общее положение.

О некоторых проявлениях этой интуитивной способности рассказано самим А. Пуанкарэ в его книге «Наука и Метод» (Париж, 1909, стр. 50).

Замечательно, что предварительная работа, подготовляющая открытие, продолжается иногда довольно долго и не имеет никакого сходства с процессом логического мышления, который мы употребляем, чтобы доказать уже известную нам истину.

Часто логические усилия ума направляются в сторону как раз противоположную той, в которую направляется помимо нашей воли и сознания интуитивный процесс.

Открытие группы так называемых фуксовых функций представляет одно из важных открытий Пуанкарэ. Но каким путем оно произошло? В течение пятнадцати дней, по его собственным словам, он пытался доказать, что подобных функций существовать не может. Каждодневно он придумывал всевозможные комбинации, чтобы достигнуть намеченной цели, но не мог притти ни к какому результату. Однажды вечером он выпил, против обыкновения, чашку черного кофе и затем не мог заснуть; масса идей закружилась в его голове, он чувствовал, что они как бы ударяются друг об друга, и к утру, неожиданно для него самого, совершилось открытие тех самых функций, возможность существования которых он отрицал.

В несколько часов затем был написан его знаменитый мемуар о фуксовых функциях, изучение которого требует месяцев упорного труда.

Зная, что в частных случаях некоторые аналогичные и хорошо известные функции (так называемые эллиптические) представляются отношением двух рядов (двух голоморфных функций), Пуанкарэ решил по простой аналогии, что тот же факт имеет место и для вновь открытых им функций, но доказать это долго ему не удавалось.

Вскоре ему пришлось отправиться в одну геологическую экскурсию и по обстоятельствам путешествия забыть о математических работах. Однажды, когда он входил в омнибус после одной прогулки его вдруг осенила мысль, что преобразования, которыми он пользовался при изучении фуксовых функций тождественны с некоторыми преобразованиями неоэвклидовой геометрии.

Но во время пути не пришлось и подумать об этой произвольно блеснувшей мысли: он ехал в компании и продолжал начатый общий разговор, не имевший к ней никакого отношения. Возвратившись из путешествия он начал разрабатывать эту идею, но без заметного успеха.

Разочарованный он отправился отдохнуть на берег моря и здесь, во время одной прогулки по скалам, с такой же неожиданностью и отчетливостью новая идея возникла в его уме, приведшая его к заключению, что кроме уже открытой им группы фуксовых функций существуют и другие.

Он решил тогда на самом деле построить все такие функции, но встретил при этом одно затруднение, которое, несмотря на все старания, не удавалось устранить.

Спустя несколько времени эту усидчивую работу, не приводившую, однако, к желанному результату, пришлось по необходимости прервать. Пуанкарэ должен был отправиться из Кайэнны, где жил, в Мон-Валериан для исполнения воинских обязанностей; размышлять об интересовавшем его вопросе не было времени.

Но однажды, когда он проходил по бульвару, решение сложного вопроса, над которым он бесплодно трудился перед тем, мгновенно обрисовалось в его уме со всеми подробностями. Оставалось только записать полученное неожиданное решение, что Пуанкарэ и сделал быстро, без малейшего затруднения.

Обращу внимание еще на один случай, относящийся к последнему исследованию Пуанкарэ, появившемуся уже после его смерти (1912 г.). Желая разрешить некоторые вопросы динамики о периодических решениях уравнений, определяющих движение системы точек, он заметил на некоторых простейших частных примерах, что в этих частных случаях вопрос разрешается при помощи особого точечного преобразования, при котором каждая данная точка плоскости преобразуется в другую, определенную точку, но данный контур и две, внутри его лежащие точки, преобразуются сами в себя, остаются, как говорят, инвариантными.

Взятые частные, простейшие примеры сейчас же привели его к убеждению, что преобразование это, со всеми его свойствами, справедливо для какого угодно контура, т. е. распространяется на все возможные случаи.

Здесь опять логическое мышление не играло никакой роли, действовал тот же физиологический процесс, который мы описывали, рассматривая вопрос о том, как составилось в уме человека понятие о всеобщем законе причинности, как создались аксиомы геометрии или основные законы механики. В рассматриваемом случае совершался процесс того же самого типа, но еще более сложный, ибо опытный материал, приведший к созданию общей теоремы, был и несравненно ограниченнее и неизмеримо сложнее.

Притом, несомненно, это утверждение, если оно было справедливо, могло быть доказано строго логически, ибо, очевидно, не представляло первичного закона природы, а хотя и очень отдаленное, но все же следствие основных аксиом геометрии.

Два года Пуанкарэ изощрял всю свою изобретательность, чтобы получить необходимое доказательство, но без малейшего успеха. Тогда он предположил, что сделанное им обобщение ошибочно, что замеченный им факт справедлив только для тех частных случаев, которые ему попались под руки, как простейшие, и не подлежит обобщению на все возможные контуры.

С целью убедиться в последнем, он стал испытывать всевозможные новые частные случаи, желая хотя бы на одном из них столкнуться с очевидным противоречием. Но на множестве испытанных им примерах он постоянно убеждался, что теорема верна.

Таким образом, исключительно путем того процесса, который Бэкон называл индукцией через простое перечисление, а мы — интуицией, была создана сложная теорема геометрии, которую Пуанкарэ и положил в основу своих изысканий по вопросу о периодических решениях некоторых уравнений динамики и об устойчивости движений, им соответствующих. Спустя несколько лет после смерти Пуанкарэ молодой американский ученый Биркгоф путем строгих рассуждений доказал справедливость предположения А. Пуанкарэ.

Печатая свое исследование, в основу которого была положена недоказанная им общая теорема геометрии, Пуанкарэ, за три месяца до своей смерти, писал: «Никогда еще я не публиковал столь незаконченной работы, как эта. Повидимому, при этих условиях, я должен был бы воздержаться от опубликования чего бы то ни было, так как я вопроса не решил; после бесполезных усилий в течение долгих месяцев, мне казалось более благоразумным заставить замереть вопрос, предоставив себе отдых на несколько лет; но это было бы хорошо, если бы я был уверен, что когда-либо смогу снова взяться за задачу, но в моем возрасте я не могу за это ручаться.» Он решил сообщить ученому миру результат своего интуитивного открытия и, отослав его в печать, через три месяца скончался.

Пуанкарэ разделяет всех гениев мысли на два различных типа, которых он делит на «логиков» и «синтетиков», а Оствальд на «классиков» и «романтиков». К первым Пуанкарэ причисляет, напр., Эвклида, Гаусса, Эрмита, Вейерштрасса, ко вторым Рисманна, Клейна, Понселе и, конечно, самого себя (см. его соч. «Значение науки»).

По этой классификации к первому типу должны принадлежать и наши знаменитые математики П. Д. Чебышев, А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев и недавно безвременно погибший А. М. Ляпунов.

Но это деление не касается существа дела, а только способа изложения добытых им результатов.

Одни не публиковали ничего из своих откровений, которых не могли доказать строго логическим путем и, не сомневаюсь, не мало новых идей и истин унесли с собой в могилу, другие, как Пуанкарэ, не стеснялись сообщать во всеобщее сведение свои открытия, созданные исключительно путем интуиции, но еще не доказанные.

В этом, чисто внешнем обстоятельстве, и заключается все различие между «классиками» и «романтиками», но в самом процессе творчества все выдающиеся мыслители одинаково «романтики», употребляя терминолигию Оствальда, или «синтетики» по определению Пуанкарэ.

Метод открытия и изобретения у всех один и тот же, та же интуиция, ибо при помощи логики никто ничего не открывает; силлогизм может только приводить других к признанию той или другой уже заранее известной истины, но, как орудие изобретения, бессилен.

Мой покойный учитель и друг А. М. Ляпунов по способу своих писаний должен быть признан одним из образцовых классиков; строгость и точность его суждений во всех изданных его сочинениях неоспорима, между тем из частных бесед с ним я отлично знаю, что многие из полученных им результатов были просто угадываемы им задолго до того, как он подыскивал им надлежащее доказательство.

Часто на вопрос показать, каким образом он пришел к новым выводам, новым неизвестным до сих пор обобщениям, о которых сообщал в товарищеской беседе, он отвечал: «Пока не знаю; я уверен, что это так. и постараюсь это доказать». И впоследствии, иногда через долгий промежуток времени, действительно доказывал.

Само собой разумеется, и все другие мыслители шли и идут таким же путем в своих открытиях.

Этим отчасти и об'ясняется тот факт, что для большинства лиц среднего ума, способных в лучшем случае воспринимать, а не творить, или таких, в которых еще не успел по каким-либо причинам развиться дар чутья и предвидения, доказательства математики кажутся искусственными, чуть ли не фокусами человеческой мысли.

Математик иногда наперед высказывает весьма сложное положение, совершенно не очевидное, и затем начинает доказывать его. Сделаем такое-то представление, воспользуемся таким-то преобразованием, рассмотрим такие-то выражения, говорит он.

Воспринимающий прежде всего недоумевает, зачем и почему берутся именно эти построения, именно эти формулы, зачастую как будто не имеющие никакого отношения к рассматриваемому вопросу. На каком основании пришли в голову эти именно, иногда сложные комбинации, какой логический процесс заставил выбрать именно их, часто, повидимому, не имеющих связи с самым доказываемым предложением.

Но суть дела в том и заключается, что часто даже в простых случаях нельзя логически из'яснить всех этапов доказательства.

В изобретении чуть ли не каждого шага доказательства играет роль не логика, а все та же интуиция, которая идет поверх всякой логики.

Возьмем хотя бы один из самых простых элементарных примеров. Как доказать, что в равнобедренном треугольнике углы при оснований равны. Эвклид продолжает равные стороны AB и СВ и на их продолжении

откладывает равные отрезки AD и ВС; затем точку D соединяет прямой с С, а точку Е с А. Исследование полученного чертежа сейчас же приводит к желаемому результату. Слушающий спрашивает себя, почему Эвклиду вздумалось проделать такое построение? Он поймет затем, что действительно указанным приемом теорема утверждается, но как и почему возник в уме этот прием? Вот этого то, по существу вещей, об'яснить и невозможно. Действиями геометра здесь руководила та интуитивная изобретательность, которую логикой, т. е. силлогизмом, не из'яснить. Можно лишь логически установить, что если поступить так, как вздумалось поступить Эвклиду, то равенство углов ВАС и ВСА можно установить путем ряда силлогизмов, но почему он произвел именно указанное построение можно лишь принять как факт, не допускающий сам по себе об'яснения, или объяснение сведется к тому, что Эвклид поступил так потому, что таким путем с очевидностью устанавливется заранее высказанная истина.

Чем дальше будем удаляться от элементарных вещей, тем резче будет выступать указанная особенность.

Результат угадывается наперед интуитивно, часто по аналогии с подмеченными немногими частными случаями, и приемы доказательства изобретаются таким же путем. Гений изобретателяя при доказательствах часто ставит в связь такие задачи, которые повидимому никакого отношения друг к другу не имеют и, пользуясь этими неожиданно и мгновенно возникающими в мозгу сближениями, действительно подтверждает угаданный результат. При этом и сам изобретатель не может сказать, почему и как возникают в его уме подобные процессы, часто поражающие и его самого своей неожиданностью.

Прирожденных или априорных идей в разуме человека не существует, все основные аксиомы и законы всех наук о природе, начиная с математики, извлекаются умом из опытов и наблюдений, но самая способность вскрывать их из накопленного в уме опыта указанным выше способом (интуиция) есть действительно прирожденное свойство того механизма, который мы называем мозгом.

Наличность этой интуитивной способности устанавливается непосредственным наблюдением; искать об'яснения или причины возникновения невозможно, ибо она сама является первой причиной всякого об'яснения чего бы то ни было; невозможно так же, как нельзя искать причины движения, как такового, как нельзя искать об'яснения того, почему известный цвет воспринимается нами как красный, напр., а не в какой-либо другой форме, почему известное раздражение слуховых органов воспринимается именно

Рис. 8.

как звук, а не как-нибудь иначе и т. п. Это суть первичные факты природы, предшествующие всякому суждению, которое стало возможным лишь после возникновения человеческой речи. Последняя только закрепляет в заранее условленных звуках различные чувственные восприятия, связанные с ними образы и всевозможные их комбинации и делает таким образом возможным для каждого отдельного организма осведомлять все другие, ему подобные, о большинстве возникающих в нем ощущений и, в более сложной форме, убеждать в справедливости интуитивно открываемых им образов, описываемых в форме определенных слов, т. е. выражаемых определенными суждениями.

Эти суждения о фактах природы, непосредственно воспринимаемых чувствами человека, подмечаются сначала на ряде частных случаев, уже воспринятых по опыту и наблюдению, затем распространяются на все возможные случаи, подобные воспринятым и, наконец, вводятся при помощи доказательства в сознание всех людей, не успевших или не могущих самостоятельно составить такие суждения.

Распространение точных знаний. Таким образом, исключительные люди, от природы обладающие даром интуиции, из ограниченного ряда наблюдений извлекают общие истины, создают науку, постепенно развивают ее, пополняя новыми открытиями и изобретениями и в то же время, при помощи доказательств, убеждают в справедливости своих выводов сначала небольшое число наиболее развитых умственно лиц, а затем, при посредстве их, распространяют приобретенные знания среди более обширного круга образованных людей; эти последние, в свою очередь, продолжают работу просвещения, приобщая к научным знаниям еще более широкие слои населения и так далее, пока знания не получат всеобщего распространения.

Этот исторический процесс постепенного распространения точных знаний, начиная с самого момента их возникновения, представляет одно из самых поучительных явлений в истории развития человечества и заслуживает особого рассмотрения, которое, однако, выходит за пределы нашей задачи.

Мы установили, таким образом, что все основные законы (или аксиомы) математики, геометрии и механики имеют эмпирическое происхождение, выводятся из ряда опытов и наблюдений.

Но выводятся они не при помощи логических умозаключений, а усматриваются непосредственно, угадываются в их проявлении на ряде частных наблюденных случаев и распространяются затем на все возможные при помощи особой способности человеческого ума, которую называли интуицией и которая составляет физиологическую особенность его устройства.

Не только так называемые основные законы, но и всякое положение этих наук предварительно создается в умах создающих науку таким же точно порядком и затем уже доказывается строго логически.

Само собой разумеется, что и законы всех других наук, называемых опытными, начиная с физики и кончая различными отделами биологии, создаются тем же самым способом.

Классификация наук. Однако, всем понятна некоторая существенная разница между тремя вышеназванными науками и науками чисто опытными; первые носят название наук умозрительных, а все вместе — наук положительных.

В чем же состоит это существенное отличие первых трех от всех других положительных наук, и почему эти три первые выделяются в особую группу наук умозрительных?

Следует заметить, что последний термин (умозрительные науки) может подать повод к некоторым недоразумениям и может быть употребляем лишь с известным ограничением.

Он вполне соответствует взглядам рационалистов и последователей критической философии Канта, смотрящих на основные положения этих наук, как на произведения чистого разума, независящие от опыта, но с нашей точки зрения, приписывающей даже аксиомам математики и геометрии опытное происхождение, его нельзя признать во всей его широте.

Умозрение, если понимать под этим словом процесс логических умозаключений, началось в рассматриваемых науках только после того, как были эмпирически точно установлены их основные начала, до этого же времени все положительные науки ничем не отличались друг от друга по способу их разработки.

В математике, геометрии и механике гению человека, после веков заблуждений и искания, из множества накопленного опытом и наблюдениями конкретных данных, удалось извлечь несколько основных законов одинаково присущих фактам, составляющим содержание этих наук, и являющихся их первыми причинами, так что все остальные факты или явления, изучаемые этими науками, выводятся как следствия этих основных законов.

При этом причинную зависимость здесь нужно понимать не в физическом смысле, а в чисто логическом.

Поясним сказанное более обстоятельно. Пусть An есть какой-либо факт или явление, взятое из совокупности всех явлений, изучаемых так называемыми умозрительными науками. Назовем через А, В, С и т. д. К ту ограниченную совокупность суждений, которые дают словесные описания основных законов, одинаково и всегда проявляющихся в той группе явлений, к которым принадлежит и явление An.

После их установления оказалось возможным для любого явления An, т. е. для любого суждения, описывающего словами это явление, установить следующую цепь умозаключений:

Явление An справедливо, иначе говоря логически необходимо имеет место, коль скоро справедливо некоторое другое явление An-i, т. е. An есть логическое следствие Ап-1. Это последнее безусловно справедливо, если справедливо третье явление (или соответствующее ему

суждение) An-2. Последнее, в свою очередь, необходимо имеет место, коль скоро справедливо новое суждение An-з и т. д., — суждение Ai есть прямое логическое следствие некоторого суждения Ао, это же последнее есть прямое логическое следствие суждений А, В, С и т. д. К, или некоторых из них.

Таким образом явление или факт An, так или иначе установленный, угаданный, или наблюденный, или предположенный, оказывается простым логическим выводом из основных законов А, В, О и т. д. К.

Эту цепь умозаключений можно воспроизвести и в обратном порядке, доказывая логически, что прямым следствием суждений А, В, С и т. д. К, или некоторых из них, является суждение Ао, это последнее имеет логическим следствием суждение Ai и т. д.; последовательно восходя, дойдем до заключения, что суждение An-i влечет за собою, как необходимое логическое следствие, суждение An. Следовательно, суждения А, В, С и т. д. К, т. е. и основные законы ими выражаемые, являются причиной взятого суждения An, т. е. явления, им выражаемого.

Сказанное приложимо ко всякому факту или явлению, принадлежащему к той их совокупности, которая составляет содержание каждой из рассматриваемых наук.

Таким путем каждый данный факт этих наук, каков бы он ни был, подтверждается при помощи цепи логических суждений как прямое следствие небольшого числа независимых между собою основных положений, принятых за аксиомы.

Очевидно, что и, обратно, исходя из этих начальных положений и произведя вышеуказанный второй процесс логических построений, мы можем дойти до открытия нового факта, который явится прямым логическим следствием аксиом или законов, положенных в основу каждой из этих наук и установленных описанным выше порядком при помощи опытов и наблюдений.

Таким образом получается возможность уже без помощи новых опытов и наблюдений, открывать новые, производные или вторичные законы и явления, т. е. предсказывать новые события, до сих пор нам неизвестные, пользуясь исключительно приемами чистой логики, т. е. чистым умозрением.

Конечно, каждое такое событие или факт можно открыть в любом конкретном случае и при помощи простого опыта, но такие открытия всегда носят случайный характер и притом лишены той общности, которая получается описанным выше процессом последовательных умозаключений, носящих название дедукции.

Рассматриваемые науки получили по указанным причинам название умозрительных или дедуктивных.

Само собою разумеется, что они пришли в такое состояние лишь постепенно, потребовались тысячелетия упорного труда, неисчислимое количество наблюдений, из которых интуитивный гений человечества извлек общие начала, те первопричины, которые обусловливают все

явления, входящие в круг ведения рассматриваемых наук. До открытия же этих общих начал все содержание тех зачатков знания, из которых выросли математика, геометрия и механика в их современном виде, состояло из описания незначительного числа фактов, установленных простейшими, иногда весьма неточными опытами или наблюдениями, с которыми сталкивали людей потребности практики.

Для примера достаточно вспомнить геометрию Египтян, изложенную в правилах Амеса, о которых мы упоминали выше. Это было собрание небольшого числа грубо приближенных приемов для определения площадей простейших фигур, полученных чисто эмпирическим путем. Такой же характер нашли в своем первобытном состоянии арифметика и тем более механика.

Только за несколько веков до Р. Хр. сначала чистая математика (собств. арифметика), а затем и геометрия начали понемногу терять свой чисто эмпирический характер и превращаться в науки дедуктивные, общая же механика (включая сюда и астрономию) оставалась еще долгое время в весьма несовершенном состоянии. Благодаря гению, главным образом, Архимеда в ограниченной области механических явлений уже устанавливались частичные законы и начинала проявляться способность выводить из некоторых эмпирических данных некоторые результаты путем умозаключения (напр., в теории рычага, отчасти в гидростатике), но данных опыта было еще слишком мало, чтобы извлечь из них те общие начала, которые удалось открыть лишь через десятки веков Галилею и Ньютону.

Только в начале 17-го столетия нашей эры механика преобразовалась в умозрительную науку, а на наших глазах этот процесс совершается в некоторых областях физики.

Но физика в значительной мере, равно как и химия и в особенности биологические науки продолжают еще носить чисто эмпирический характер, хотя с очевидностью стремятся к той же цели, которой удалось достигнуть сравнительно уже давно так называемым точным наукам (математика, геометрия, рациональная механика), делая за последнее время серьезные успехи в этом направлении.

Процесс постепенного развития наук от их зачаточного состояния до того совершенства, когда они становятся не только собранием разрозненных сведений чисто эмпирического характера, но сводятся на небольшое число первичных законов, общих для всех явлений и позволяющих путем строго логических умозаключений не только выводить из них уже известные факты, но и предсказывать будущие события, схематически может быть изображен в следующем виде.

С самого начала возникновения сознательной жизни на земле начались наблюдения человека над окружающим его миром в начале, надо думать, мало чем отличавшиеся от наблюдений, которые несомненно производят и все другие животныя, одаренные органами Чувств, Внимание первых людей со слабо развитым мозгом могло сосредоточиваться лишь на явлениях самых простых, наиболее часто повторяющихся, производящих наибольшее впечатление и наиболее отвечавших

его ограниченным потребностям. Эти повторные наблюдения внешних явлений постепенно закреплялись в мозгу и количество их, равно как и разнообразие, естественно возрастали с течением времени. В этот длинный доисторический период жизни человечества создавались в его уме первые представления о количестве, протяжении (пространстве), времени и затем о силе и возникали зачатки языка, выражавшего в определенных звуках запечатлевавшиеся в мозгу ощущения.

Сопоставляя и сравнивая закрепленные в мозгу и в звуках речи впечатления от замеченных во внешнем мире явлений, наблюдавшие не могли не обратить внимания на повторяемость многих из них и на некоторое постоянство в их последовательности. Таким путем составлялось постепенно представление об единообразии в ходе наблюдавшихся ими явлений, о некоторой постоянной связи между определенными событиями, предшествующими и последующими, что привело, в конце концов, к представлению о причинной связи между некоторыми явлениями; получилось понятие о закономерностях, которым подчиняются по крайней мере некоторые из явлений внешнего мира.

Таким образом, в результате продолжительных и многочисленных наблюдений, в большинстве случаев весьма грубых, накопилось в мозгу человека небольшое количество суждений, выражавших словом отмеченные в мире внешних явлений закономерности.

Эти законы представлялись совокупностью отдельных, разрозненных фактов, усвоенных грубо эмпирическим путем, зачастую даже ошибочных, не связанных между собою какими-либо общими им всем признаками. Они закреплялись в мозгу как бы в инвентарном порядке по мере их поступления в сознание и в зависимости от их влияния на обыденную житейскую практику.

С течением времени число таких частичных законов, в каждом из которых рассматриваемые в нем события подчинялись уже выработанному в сознании закону и необходимой связи причины со следствием (физическому, а не логическому), непрерывно увеличивалось, между отдельными частными случаями начинали подмечать некоторые аналогии, открывать некоторые общие признаки, заставлявшие соединять до сих пор разрозненные факты наблюдения в общие группы. Вместо отдельной причины для каждого отдельного следствия начинали усматривать одну или несколько общих им всем причин.

На помощь непреднамеренным наблюдениям, бравшим из мира действительности то, что возбуждало наблюдательность человека помимо его воли, пришли наблюдения организованные сознательно, опыт в его простейшей форме, подобный, напр., тому, каким пользовался Аристотель при составлении своих законов механики. Выдающиеся умы, богато одаренные даром интуиции, постепенно восходили от множества частных причинностей все к меньшему числу их, обобщая частные случаи.

При этом оказывалось возможным многие явления, об'единенные таким путем в общую группу, об'яснять как логические следствия меньшего числа причин, управлявших всеми явлениями данной группы.

Теория. Получились первые зачатки теорий, связывающих между собой до сих пор разрозненные факты известных совокупностей наблюдений, первые указания на возможность применения дедукции к некоторым группам явлений. Затем все эти отдельные группы явлений об'единялись в более широкие, пока, наконец, все они не были связаны одними и теми же общими началами в одно стройное целое. Проще всего усмотреть ход именно такого процесса на развитии общей механики.

В начале имелись только отдельные эмпирические сведения о некоторых фактах равновесия тяжелых тел, относящихся к случаю простого рычага.

Архимед усмотрел некоторые простейшие общие начала во всей совокупности указаний группы механических явлений, подтверждаемые опытом, и на них путем дедукции построил теорию прямолинейного рычага.

Но уже вопросы о равновесии так называемого косого рычага и непосредственно наблюдавшиеся при этом факты составляли особую группу явлений, не поддававшихся об'яснению на основании начал этой теории.

Все другие явления механики, в особенности динамики, и подавно не могли быть связаны между собою и с предыдущими какой-либо общей идеей, несмотря на все старания выдающихся мыслителей.

Только через 20 почти веков после Архимеда Леонардо да-Винчи открывает начало, позволившее затем об'единить в одно целое факты уравновешивания грузов как на прямом, так и на ломанном рычаге. Но обнаруживает при этом, как уже упоминалось, большие колебания и сбивчивость мысли, часто переходя от верных построений к ошибочным.

Хотя возможность такого обобщения, об'единения двух казавшихся различными групп явлений, предчувствовалась и некоторыми предшественниками Леонардо и отчетливее сознавалась им самим, но долгое время явления равновесия тел на наклонной плоскости приходилось рассматривать как третью группу явлений, не связанную с двумя предыдущими.

Но в конце концов, повидимому сам же Леонардо усмотрел общие начала, которые могли бы эти три отдельные группы об'единить в одну.

Мы не можем следить подробно за развитием постепенно об'единения и подведения под некоторые общие законы всех отдельных отраслей механики и останавливаемся, по необходимости, только на некоторых, наиболее известных случаях.

Долгое время вопросы равновесия и движения рассматривались независимо друг от друга, попытки же связать их между собою приводили к явно неудовлетворительным результатам.

Но с течением времени, когда число наблюдений и правильно поставленных опытов значительно увеличилось, т. е. увеличился материал, на котором можно было строить новые выводы, и эта трудность была побеждена.

Уже Галилей (и даже некоторые его предшественники), правда, на некоторых частных случаях усмотрели одно общее начало, общий закон, позволявший об'единить и эти классы явлений. Я говорю о так называемом начале возможных перемещений. Впоследствии д'Аламбер и Лагранж дали общее решение вопроса и почти целиком превратили механику в чисто дедуктивную науку. Но это оказалось возможным только после того, как все разрозненные факты динамики подчинились такому же об'единению благодаря гению Ньютона, установившего те основные законы, которые управляют всеми явлениями движения нашего мира и показавшего, что с принятием этих законов динамика превращается в чисто дедуктивную науку.

Таким путем, переходя от простых наблюдений к более сложным, от наблюдений непреднамеренных к наблюдениям и опытам сознательно организуемым, человечество доходит путем интуиции до общих начал каждой науки, после чего опыт и наблюдение, как бы совершившие и закончившие свою предварительную работу, отходят на второй план, на сцену выступает чистая логика, которая путем строгих умозаключений, изобретение которых творится при помощи той же интуиции, доказывает необходимость всех известных уже фактов данной науки, так и предсказывает все возможные будущие, т. е. еще неизвестные, вытекающие из упомянутых выше законов, установленных, еще раз повторяем, исключительно при помощи продолжительных наблюдений и опыта.

Исторический ход развития наук. Исторический ход развития каждой науки разбивается, таким образом, на две отдельные эпохи.

Первая, ведущая свое начало от самого возникновения сознательной жизни на земле, в свою очередь, распадается на несколько периодов.

Первый из этих периодов, быть может, самый продолжительный, носит грубо эмпирический характер. Здесь воспринимаемые от внешнего мира впечатления распределяются в особые группы по сходству и различию, составляются первичные представления о количестве, пространстве, времени, силе и массе, создается понятие о величинах и их взаимных отношениях. Человек из области чисто чувственных восприятий переходит к способности суждения о них при помощи изобретения слов и затем связной человеческой речи. Только после изобретения языка он становится способным закреплять в сознании воспринимаемые впечатления и при помощи установленных звуков речи воспроизводить их в уме, не ожидая каждый раз для этого соответствующего физического воздействия внешнего мира на соответствующие органы чувств.

С этого времени начинается второй период первой эпохи, когда на множестве повторяющихся наблюдений человек начинает подмечать некоторую правильность, постоянство в следовании одних из наблюдаемых явлений (или событий) за другими явлениями (или событиями), им предшествующими. Создается представление об известной закономерности если не всех, то, по крайней мере, некоторых определенных групп явлений внешнего мира, которое постепенно обобщается в общий закон

постоянной, необходимой связи между последовательными событиями, из которых одни получают название следствий, а другие причин, производящих эти следствия. Представление о случайности, хаосе всего происходящего во внешнем мире сменяется убеждением в подчинении известных категорий явлений определенным правилам, определенным законам, неизменно и постоянно управляющим ходом каждого из событий.

Первоначально каждая отдельная последовательность нескольких событий воспринимается и описывается словами как отдельный закон. Получается столько отдельных законов, несвязанных между собою, сколько отдельных наблюдений закреплено человеком в его уме. Факты и события заносятся в составляемые таким путем собрания сведений о природе так, как их человек видит непосредственно, в той форме, какая непосредственно открывается его взору. Критической оценки наблюдений, проверочных опытов еще почти не существует.

Происходит как бы накопление сырого материала для будущей постройки, и едва начинается разборка этого материала, для самой же постройки научного здания еще не намечается общего плана.

По мере накопления подмеченных отдельных законностей расширяется умственный кругозор человека и изощряется его наблюдательность. Наступает третий период первой эпохи, когда наблюдающий начинает разбираться в накопленном материале, подкреплять полученные выводы новыми наблюдениями, или видоизменять их и усовершенствовать под давлением ряда этих новых наблюдений, или, наконец, отбрасывать некоторые из раньше полученных, как явно противоречащие новым данным.

В то же время человек начинает усматривать общие признаки во многих явлениях, которые представлялись до этого отдельными, не связанными между собою фактами, замечает, что многие различные с первого взгляда события, из которых каждое, казалось, имеет свою особую причину, могут быть об'единены в одну общую группу и иметь своим источником одну общую причину, действующую лишь при различных условиях. Число отдельных чисто эмпирических законностей уменьшается, ибо все они разбиваются на меньшее число отдельных групп, подчиненных одному общему закону, ими управляющему.

С течением времени этот процесс обобщения продолжает развиваться, как раньше отдельные случаи соединялись в меньшее число особых групп, так эти группы об'единяются затем в еще более широкие по своему содержанию, общее число которых еще более уменьшается.

Отдельные частные законности все более и более обобщаются, число общих законов, управляющих известными (наблюденными) явлениями постепенно сокращается и область влияния каждого из них все расширяется.

Такой процесс обобщения продолжается до тех пор, пока не удается подчинить всю совокупность явлений известного типа некоторому небольшему числу основных законов, которые являются как бы общей первопричиной всех явлений рассматриваемой категории.

Уже с началом третьего периода первой эпохи в науку проникает дедукция, т. е. возможность путем умозаключений выводить одни из других явления, соединенные в общие группы, или логически связывать их между собою, выводя каждое из них как логическое следствие той общей законности, которая позволила об'единить их в одну общую группу. По мере уменьшения таких отдельных групп и сведения их к меньшему числу новых, но более широких по содержанию, область дедукции расширяется и, наконец, когда вся совокупность явлений оказывается охваченной небольшим числом общих основных законов, управляющих каждым из этих явлений, наступает вторая эпоха. Наука в целом превращается из (эмпирической) опытной в дедуктивную или умозрительную.

Получается возможность все факты или явления уже наблюденные или наблюдаемые вывести путем умозаключений из основных законов, как их необходимые логические следствия при данных условиях; оказывается возможным таким же путем предсказать будущие явления, которые должны логически необходимо вытекать из тех же самых законов.

Основные законы оказываются первопричинами всех явлений, все разнообразие которых зависит исключительно от условий, при которых они происходят.

С этого момента физическая связь событий, как причины и следствия, установленная в уме привычкой ассоциировать при известных условиях каждое последующее событие с некоторым определенным ему предшествующим, становится излишней, или, лучше сказать, заменяется логической необходимостью: какое-либо событие является следствием не только ему предшествовавшего, но и небольшого числа основных причин (основных законов) не потому, что в каждом частном случае к этой мысли приводит обобщение имеющихся опытов и наблюдений, а потому, что это следствие устанавливается путем ряда умозаключений, как безусловное и необходимое, без помощи какого бы то ни было опыта.

Все же, что приобретено опытом и наблюдением в первую эпоху, переносится, так сказать, и сосредоточивается в самом начале науки: на ее основных законах, которые являются единственными фактами, выведенными из опыта и непосредственно опытом же подтверждаемыми, фактами первичными, не обусловливаемыми никакой им предшествующей причиной и логически недоказуемыми.

Вторая эпоха наступила для немногих наук: в нее вступили и уже давно чистая математика, геометрия, общая механика и, в частности, теоретическая астрономия и некоторые отделы математической физики.

Все же другие науки переживают еще различные периоды первой эпохи. Физика уже находится, повидимому, в третьем, химия приближается к нему, прочие же опытные науки едва выходят из второго периода и начали подходить к третьему в самое последнее время. Ход развития всех положительных наук, таким образом, одинаков. Все различие между ними лишь в том, что одни уже достигли положения,

близкого к идеалу, другие же более или менее удалены от него, но непрестанно стремятся к нему.

В конце концов все рассматриваемые науки должны достигнуть этого идеала и превратиться в умозрительные.

Существенное различие между так называемыми умозрительными или, лучше, дедуктивными науками и опытными можно считать выясненным во всех отношениях; в то же время определен и смысл, который нужно придавать термину «умозрительный», не распространяя его так широко, как это делают рационалисты и отчасти последователи Канта.

Умозрительные науки, заметим, наконец, называются также точными, тогда как все другие отрасли естествознания только положительными.

Опять-таки термину точный необходимо, в силу всего сказанного выше, придавать ограничительное толкование.

Мы уже видели, что аксиомы геометрии и основные законы механики необходимо рассматривать как приближенные выражения того, что происходит в явлениях действительного мира.

Даже основные положения чистой арифметики, в их применении к чувственным предметам (в так называемой логистике древних греков) принимают, как упомянуто выше, характер приближенных истин.

Во всяком случае, нет никаких средств ни опыта, ни чистого умозаключения, чтобы установить их абсолютную точность, т. е. точное соответствие выраженных ими фактов с тем, что на самом деле происходит во внешнем мире.

Поэтому точность основных законов этих наук по существу дела такова, как точность всякого закона опытных наук, проверенного многократными опытами.

Но во всех своих дальнейших следствиях, которые и составляют, по существу дела, настоящее содержание этих наук, эти науки, можно сказать, абсолютно точны, поскольку можно признать таковыми все логические умозаключения, ибо все эти следствия выводятся исключительно логическим путем, т. е. при помощи математических суждений, из этих законов.

Таким образом, рассматриваемые науки можно назвать действительно точными по отношению к началам положенным в их основание, но все следствия из этих законов обладают лишь той же самой степенью точности, как и эти последние.

В опытных науках таких всеоб'емлющих законов еще не найдено; поэтому указать общего источника степени точности их данных невозможно: эта точность меняется при переходе от одного частичного закона к другому; и как часто самые законы оказываются еще независимыми друг от друга, так и степени их точности обладают тем же свойством. Изменение степени точности в формулировке одного закона не влияет на степень точности других, от него не зависящих, равно как и на все выводы, вытекающие из этих других законов. В науках же, называемых

точными, с изменением степени точности одного из основных законов сейчас же изменится и степень точности всех выводов, всех результатов, составляющих их содержание, ибо все эти результаты являются необходимыми математическими следствиями основных законов каждой из этих наук.

Короче говоря, опытные науки обладают приближенной степенью точности во всех своих частях и не могут иметь общего источника, определяющего степень точности всех данных, составляющих содержание каждой из этих наук, в науках же точных общим мерилом их точности является точность того небольшого числа основных положений, из которых все содержание наук выводится по законам логической необходимости. Таково в рассматриваемом отношении различие между точными науками и науками опытными, и в указанном выше смысле следует понимать термин: точные науки.

Итак, все основные положения математических наук (чистой математики, геометрии, рациональной механики), к которым можно причислить также теоретическую астрономию и математическую физику, имеют чисто опытное происхождение.

Далее, все основные законы этих наук, начиная с аксиом геометрии, являются истинами лишь приближенными. С усовершенствованием точности наблюдений, которая и в настоящее время уже возросла до размеров, о которых не смели и мечтать лет 30 тому назад, эти законы могут оказаться недостаточными для об'яснения многих новых явлений, которые при этом открываются.

Та степень приближения к действительности, которой до сих пор довольствовались при формулировке этих законов, может давать отклонения от данных опыта, явно выходящие за пределы погрешностей наблюдений, раньше незамечаемые благодаря меньшей степени точности производившихся наблюдений. При этом может встретиться необходимость изменить формулы основных законов, присоединив к ним некоторые дополнительные члены, которыми раньше пренебрегали, как незаметными.

Само собой разумеется, что в числе следствий, которые могут быть выведены дедуктивно (т. е. путем математических умозаключений) из приближенных законов, когда откидываются только-что упомянутые дополнительные члены, не могут встретиться, т. е. не могут быть открыты или предсказаны те явления, которые зависят существенно от наличности этих членов, как эти явления не могли быть замечены и при наблюдениях, благодаря несовершенству измерений всех величин, с которыми имеют дело точные науки. Если при усовершенствовании наблюдений и открываются новые факты, которые не могут быть выведены из общих законов, составленных указанным выше путем на основании всего опытного материала, имевшегося в распоряжении науки до открытия этих новых фактов, то отсюда еще отнюдь не следует, что эти законы ложны, ошибочны, что вновь открытые явления врываются как какой-то «разрушительный ураган» в те основные начала точных наук, которые до этого привыкли считать «незыблемым достоянием науки,

основою для научных построений», что они «коверкают элементарнейшие понятия», с которыми до того времени имело дело научное мышление.

Возможны два случая: либо вновь открытые факты находятся в прямом противоречии с началами, лежавшими в основе той или другой точной науки до открытия этих фактов, исключают друг друга, либо степень приближения основных законов, которые мы наперед признаем только приближенными, недостаточны для обяснения более тонких и точных результатов опыта и наблюдений.

В первом случае действительно открывался бы новый мир явлений, подчиненный совершенно особым законам, однако, наряду с этим неисчислимое множество фактов, уже непосредственно наблюденных и постоянно подтверждающих раньше принятые законы, оставалось бы попрежнему нетронутым. Мы узнали бы только, что наряду с обширной группой мировых процессов, которыми мы интересовались до сих пор, существует другая их группа (или даже несколько других групп), независимая от предыдущей, открывающая поле для новых изысканий при помощи, быть может, новых до сих пор неизвестных методов.

Во втором случае, если бы мы пожелали охватить в одной дедуктивной системе как все раньше наблюденные явления, так и все вновь открытые, нам пришлось бы лишь ввести соответствующие поправки в уже принятые основные положения, увеличив соответствующим образом точность их приближенной формулировки, ввести, как говорят математики, вторые, третьи и т. д. степени приближения, которыми до сих пор пренебрегали. Ограничиваясь первым приближением, получим вполне удовлетворительное для практики об'яснения всех уже известных фактов или всех новых, которые могут быть замечены уже и при первом приближении, вводя вторую и следующие степени приближения, об'ясним и все вновь открытые явления, требовавшие для своего обнаружения высших степеней точности в производстве опытов и наблюдений.

Теоретически говоря, возможен и первый случай, но до сих пор в точных науках (геометрии, механике, физике, химии) ничего подобного не наблюдалось.

Ко второму случаю относится то движение, которое наблюдается теперь в области физических наук с созданием принципа относительности, теории квант, с новыми теориями Бора, Зоммерфельда и др. о строении атомов и молекул, и которое возникло благодаря ряду новых открытий (опыты Майкельсона-Морлея, лучи Рентгена, радиоактивные явления и т. п.), оказавшихся возможными только потому, что точность наблюдений за последние 20 или 30 лет достигла необычайного совершенства.

Если невозможность об'яснить всю совокупность этих новых фактов на почве аксиом Эвклидовой геометрии и основных законов Ньютоновой механики производит на физиков «ошеломляющее впечатление», и они с трепетом взирают на эти события, видя в них какой-то стихийный ураган разрушительной силы, совершенный переворот во всех основах нашего научного мышления, перед которым якобы бледнеет

переворот, совершенный в науке Галилеем и Ньютоном, то лишь по следующим причинам.

Часть физиков-экспериментаторов мало знакома с математикой (включая сюда и геометрию), а большинство изучило ее лишь постольку, поскольку она нужна для практических нужд физики, отчасти же почти все физики сознательно или бессознательно стояли на точке зрения рационалистов или Канта о достоверности основных начал геометрии и механики.

Для них эти законы были либо врожденными либо априорными, безусловными, необходимыми и всеобщими истинами, абсолютно достоверными.

И вдруг несколько непосредственно наблюденных физических явлений оказались неподдающимися об'яснению при помощи этих вечных, по их понятиям, истин.

При таком взгляде на дело нельзя не притти в смущение перед захватившими врасплох событиями.

Но если бы физики с большим вниманием следили за сущностью и развитием математических наук, то несомненно с большим спокойствием отнеслись бы к делу.

Не только точнейшие физические измерения, но даже более внимательное отношение к простому опыту, доставляемому непосредственным зрительным восприятием, может убедить, что аксиомы, считавшиеся непреложными истинами в течение сотен веков, являются лишь приближенными истинами.

Такой именно случай произошел с геометрией лет 80 тому назад, когда Лобачевский создал свою Пангеометрию, о чем мы уже говорили выше.

И тогда люди, и не подозревавшие возможности усумниться в абсолютной достоверности аксиом обычной геометрии, отнеслись сначала с полным отрицанием к новым началам Лобачевского, а затем, когда труды его получили признание со стороны выдающихся представителей науки, стали говорить о том, какая из двух геометрий, Лобачевского или Эвклида, верна или ложна, о существовании различных пространств, о пространствах четырех и более измерений, как о физических реальностях.

Могло казаться, что открытия Лобачевского ниспровергают истины несравненно более очевидные, чем основные законы механики Ньютона, на которые теперь посягает новая физика, что они действительно разрушают незыблемое, казалось, здание Эвклидовой геометрии.

Но мы уже показали выше, что ничего подобного не произошло, и сам Лобачевский отлично понимал сущность своих открытий. Оказалось, в конце концов, невозможным говорить, что одна геометрия верна, а другая не верна.

Аксиомы геометрии представляют собою лишь описание основных свойств того, что мы называем пространством, точнее — свойств простейших геометрических фигур и линий.

Эвклид признал, что сумма углов прямолинейного треугольника равна двум прямым, что с весьма большой степенью приближения совпадает с непосредственными измерениями, которые, однако, нигде не дают и не могут дать эту сумму точно равную двум прямым.

Лобачевский заменил это приближенное положение другим, более точно выражающим результаты прямых наблюдений, а именно, что сумма углов треугольника меньше двух прямых, но мало отклоняется от этой величины.

Он ввел таким образом поправку в приближенный V-ый постулат Эвклида и на этой основе развил свою новую геометрию. Из всех формул этой геометрии сейчас же выводятся соответствующие формулы обычной геометрии Эвклида, если пренебречь весьма ничтожным отклонением суммы углов треугольника от двух прямых.

Если расположить формулы Лобачевского по возрастающим степеням этого ничтожно малого параметра, отличающего сумму углов треугольника от двух прямых, то, пренебрегая его первыми степенями, получим формулы первого приближения, дающие геометрию Эвклида, приняв в расчет члены со следующей, по порядку, за нулевой степенью этого параметра, можем развить геометрию второго приближения и т. д.

О усовершенствованием приемов измерения длин, углов и т. д. может оказаться, что первое приближение уже окажется грубым, придется прибегнуть ко второму, затем, быть может, третьему и т. д. приближениям и к соответствующим формулам геометрии, отвечающим этим последовательным приближениям.

Совершенно то же происходит теперь и с началами механики Ньютона, которые построены к тому же целиком на геометрии Эвклида. Уже по одному этому все выводы ее не могут почитаться иначе, как приближенными, не говоря о других причинах, указанных выше.

Если утонченные современные физические измерения открыли ряд фактов, не выводимых из начал Ньютоновой механики, то это может происходить лишь оттого, что в эти приближенные выражения фактов действительности следует ввести дополнительные члены, характеризующие следующие высшие степени приближения, которые могут зависеть как от необходимости увеличения точности приближения, даваемого геометрией Эвклида, так и от того, что в приближенных основных законах механики Ньютона следует добавить дополнительные члены следующих приближений, которыми до сих пор приходилось пренебрегать, как не поддающимися измерениям.

Механика же Ньютона в неизмеримо большей степени остается несокрушенной новыми физическими теориями, чем геометрия Эвклида новой геометрией Лобачевского, ибо во всех этих теориях еще слишком много невыясненного, слишком много общих мест и противоречий, все находится еще в зачаточном состоянии. Пока, говоря словами самого проф. О. Д. Хвольсона, сторонника теории относительности, «физики еще имеют дело с очень скромными маленькими победами; но не знают еще, что будет дальше».

Неисчислимое количество фактов действительности об'ясняется и предсказывается до сих пор с достаточной для практики степенью точности началами механики Ньютона, как и все геометрические построения по геометрии Эвклида в обычных пределах измеряемых геометрических фигур.

Для некоторых исключительных случаев может быть и придется прибегнуть к изменению основных законов механики и геометрии, введя в их выражения некоторые дополнительные достаточно малые члены, но для массы явлений эта усовершенствованная точность просто окажется бесполезной, как она оказывалась бесполезной и до сих пор.

Но и эти возможные изменения будут представлять не разрушение основных начал обычных механики и геометрии, а только их более точное выражение.

Для множества же других выводов, практические приложения которых проникают всю современную жизнь, пользу которых мы с очевидностью ощущаем на каждом шагу, как уже указывалось выше, основные начала геометрии Эвклида и механики Ньютона будут почитаться и впредь совершенно удовлетворительными, и человечество будет продолжать пользоваться этими началами для новых открытий и изобретений, для предсказания будущих событий, зная, что оно при этом не совершит заведомо грубой ошибки и не впадет в непримиримое противоречие с действительностью.

Мы уже сказали, что основные законы всех дедуктивных наук, начиная с геометрии, имеют не только опытное происхождение, но и характер приближенных, а не точных истин, и что, если и можно называть эти науки точными, то в известном ограничительном смысле, указанном выше.

Мы не упоминали при этом о чистой математике, которая начинается с арифметики.

Эта последняя наука, стоящая впереди всех других, охватывающая своими методами все другие, развитие которых немыслимо без посредства чистой математики, имеет некоторое существенное отличие от всех прочих.

Хотя и ее начальные аксиомы создались на почве опыта и наблюдения, но эти последние носят здесь особый характер, отличный от того, какой они имеют во всех других науках, начиная с механики. Только геометрия имеет в этом отношении сходство с чистой математикой.

Во всех науках, начиная с механики, мы уже считаем известными свойства того орудия, при помощи которого мы познаем внешний мир, те приемы и методы, при посредстве которых это орудие, т. е. ум человека, работает при этом познавании.

При помощи этих, уже известных, приемов мы наблюдаем явления внешнего мира и делаем затем из этих наблюдений соответствующие выводы.

Речь. В самом начале чистой математики, при создании ее основных положений, мы также руководствуемся наблюдениями и опытами, но с главной целью установить в точно определенных звуках речи те основные начала, те основные приемы или методы, при помощи которых ум человека познает так называемые количественные свойства вещей.

Вообще, приемы, которыми работает разум человека, представляют его органическое свойство, «физиологическое данное» того организма, который мы называем мозгом человека.

Этот орган имеет свойство непосредственно ощущать свою собственную деятельность, подобно тому, как один из его составляющих органов, напр., глаз непосредственно ощущает то, что мы называем красным, синим или каким-либо иным цветом, как ухо ощущает то, что мы называем звуком и т. п. Он знает эту деятельность, непосредственно ее ощущая.

Мы имеем здесь дело с первичным и самым совершенным из всех знаний, какие только доступны человеку, не могущим иметь никакого предшествующего об'яснения, как первичное из мировых явлений — движение не может иметь никакой предшествующей причины. Эта деятельность мозга, при помощи которой человек познает мировые явления, каковы бы они ни были, называется, вообще, мышлением.

Процесс этот весьма сложен и проявляется в самых разнообразных формах, все оттенки которых невозможно точно передать словами. Так, напр., невозможно проследить в подробностях, в чем состоит, по каким правилам совершается упомянутое выше интуитивное мышление, то самое, которое составляет основу творческой силы человеческого мозга.

Мы наблюдаем это явление как факт, но не способны об'яснить его чем-либо предыдущим, более простым и понятным, ибо ничего подобного не встречаем в природе.

Процесс этот совершается без помощи звуков речи и часто даже в противоречии с тем процессом мысли, который выражается в словах, в комбинации различных так называемых суждений. Однако, результаты этого процесса неминуемо должны воплотиться в звуках речи; хотя каждый отдельный мозг, одаренный в заметной мере силой интуиции, непосредственно ощущает наличность этой способности и ее проявлений под формой каких-то неопределенных чувственных движений особого рода, которые мы относим к типу мыслительных актов, но получаемые таким путем образы погибнут бесследно для науки, для человечества, если не выльются, в конце концов, в определенные словесные суждения. Дар речи, как справедливо утверждает Лобачевский, есть единственная особенность, отличающая человека от всех прочих так называемых живых существ.

Он состоит в том, что человек имеет способность закреплять всякое чувственное восприятие, каково бы оно ни было, в определенных

звуках, устанавливать определенное и притом однозначное соответствие между каждым чувственным актом и ему соответствующими звуками речи, которые он для этого изобретает.

Знание, которое не уничтожается одновременно с прекращением жизни мыслящего мозга, сохраняется и после смерти и потому имеет способность накопляться с течением времени и передаваться от одного мыслящего суб'екта к другому, от одного поколения к другому, начинается только с момента изобретения речи.

Из суб'ективного, чувственно постигаемого лишь отдельными индивидуумами, оно превращается в об'ективное, закрепленное и сохраняемое в определенных звуках речи, а затем получает еще более характер об'ективного внешнего материала, подлежащего наблюдению и исследованию на ряду со всеми иными вещами внешнего мира, после изобретения письменности.

Чистая математика, т. е. собственно наука арифметики, началась с того момента, когда человек сумел воплотить чувственные восприятия мозга о количественных свойствах совокупностей отдельных предметов в словах, изобретя для этого так называемые числа.

Как указано выше, он создал однозначное и определенное соответствие между воспринимаемыми чувственно свойствами различных совокупностей попадающих под его наблюдение предметов (индивидов) и особыми словами, которым дал название чисел.

Таким образом получилась возможность исследовать общие свойства, лежащие в природе совокупностей всевозможных вещей, наблюдаемых человеком, при помощи их однозначно характеризующих чисел, уже отвлекаясь от самых предметов, послуживших к изобретению языка чисел. С этого момента началась арифметика, основание науки, называемой теперь чистой математикой, и получилась возможность, руководясь наблюдениями над свойствами совокупностей вещей, установить основные законы чисел, их однозначно определяющих.

Эти законы являются определенным выражением в особого рода звуках речи, словах, тех процессов, при помощи которых человеческий ум воспринимает различные свойства всевозможных совокупностей отдельных вещей, т. е. тех правил, по которым ум человека работает при познавании количественных свойств разных групп внешних предметов. К таковым принадлежат, как уже сказано выше, основные законы так называемого сложения и умножения чисел. Здесь отсутствует процесс измерения величин, немыслимого без помощи какого-либо внешнего предмета, и не могущий выразить результата этого измерения точно определенным числом, а дело сводится к изучению основных свойств самих чисел. Эти законы, будучи также опытного происхождения, отличаются от основных законов всех других наук тем, что они не могут быть приближенными, а являются точными по самой сущности своего происхождения, ибо числа, как мы видели, выражают не приближенно, а точно и однозначно соответствие между определенным чувственным восприятием определенных свойств совокупностей предметов и числом.

Поэтому сумма, положим, 2-х и 3-х не может быть приблизительно равна 5-ти, а точно равна этому числу, 7 + 5 не может равняться приблизительно 5 + 7, а обе суммы точно равны друг другу, вообще А, умноженное на В, не может приближенно равняться произведению В на А, но эти произведения точно равны друг другу, и т. д.

Поэтому основные законы арифметики, на которых, повторяем, в конечном счете, основывается вся чистая математика, представляют собою точные законы, а не приближенные, как во всех остальных науках, начиная с геометрии.

Следовательно, в строгом смысле слова, существует одна только точная наука, — это чистая математика; следующая за ней наука, наиболее подходящая к термину «точной» и всецело основанная на чистой математике, является геометрия, начиная же с механики приближенное значение основных законов выступает все резче; физика, а тем более химия уже с большими ограничениями, условно могут называться точными, а остальные опытные науки, не достигшие характера дедуктивности, и подавно такого названия не заслуживают и их правильнее называть не точными, а только положительными науками.

Сопоставим в заключение в краткой общей сводке главнейшие положения наших предыдущих рассуждений с некоторыми дополнительными пояснениями.

Мы можем признавать и признаем несомненно существующим (действительностью) то и только то, что непосредственно испытываем (сознаем) в ощущениях нашего организма. Кроме ощущений, доставляемых так называемыми внешними органами чувств: зрением, слухом, вкусом, обонянием, мы испытываем еще ощущение осязания, мускульных усилий и особое «чувство времени» (ощущение различных промежутков времени, их продолжительности). Сверх того существует еще ряд так называемых душевных движений (эмоций), о которых мы здесь говорить не будем. Некоторые определенные комбинации зрения и мускульных усилий (преимущественно глазных мускулов) приводят нас к ощущению протяженности, а затем к представлению о пространстве.

Другие также определенные комбинации зрения, осязания и, вообще, мускульных усилий приводят нас к представлению о телах (вещах) вне нас лежащих, о силах, действующих на эти тела и, вообще, о том, что мы обозначаем словами: материальные предметы, внешний материальный мир, внешняя физическая природа, действительность и т. п.

Присоединение к этого рода ощущениям ощущения времени создает в нас представление о явлениях, о событиях, происходящих во внешнем относительно нас мире.

Другие комбинации тех же или только части тех же ощущений и многих других мы резко отличаем от предыдущих и в отличие от них не приписываем им внешнего материального существования.

Напр., изображение в зеркале какого-либо предмета мы отчетливо различаем по совокупности испытываемых ощущений от самого предмета и внешнего материального существования этому изображению приписать не можем.

Еще в большей степени мы непосредственно чувствуем невозможность приписать внешнее материальное существование так называемым душевным движениям нашего организма.

Все возможные ощущения, испытываемые человеком, «действительно существуют», так как им непосредственно испытываются, но в такой же мере «действительно существует» и упомянутое выше различие между ощущениями, которые мы условились считать происходящими от воздействия внешнего относительно нас мира, и теми, которые этими свойствами не обладают.

С этой точки зрения вопрос о том, действительно ли существуют вещи вне нас лежащие — внешний материальный мир, не имеет смысла.

Он действительно существует по самому своему определению, ибо существует определенная категория ощущений, ему соответствующая и непосредственно нами испытываемых.

Только в том случае, если бы не существовало этой категории ощущений, не существовало бы и внешнего мира, но тогда и самого представления о внешней материальной природе не могло бы и возникнуть.

Точно также бесполезно говорить и о том, соответствует ли вещь, вне нас лежащая, точно тому изображению, которое она отпечатлевает в соответствующем ощущении, каково различие между «вещью самой в себе», как говорят философы, и ее отображением в нашем сознании, ибо мы можем знать только это отображение.

Важно только признать однозначность соответствия между вещью или явлением природы и тем ощущением, которое они в нас возбуждают.

Если мы испытываем в какой-либо момент времени определенное ощущение из категории вызываемых в нас вещами или событиями так называемой нами внешней природы и в другой момент времени ощущение, тождественное с предыдущим, то мы признаем, что и вещь или событие, вызвавшие эти ощущения, также тождественны между собою; мы уславливаемся говорить при этом, что в обоих этих случаях на нас подействовала одна и та же вещь, одно и то же событие внешнего мира, что мы наблюдали одно и то же явление внешней природы и т. п.

Таким образом неизбежно устанавливается, по тождеству испытываемых нами разновременно ощущений, однозначное соответствие между последними и тем, что мы условились обозначать в звуках речи явлениями, событиями, вещами и т. п. внешнего мира.

Описывая испытываемые ощущения, мы будем, таким образом, описывать в точном с ними соответствии события, явления и т. п. внешнего мира и можем говорить о действительном существовании этого мира, не впадая в недоразумения и противоречия.

Мозг человека сознающий воспринятые ощущения устроен так (такова его физиологическая природа), что он может запечатлевать раз полученное ощущение в сознании в течение некоторого промежутка

времени; обладает, как мы говорим, памятью. Эта способность запоминать полученные ощущения возрастает с увеличением числа упражнений.

Если под ряд несколько раз в нашем сознании вслед за ощущением события А, при совокупности некоторых других условий, всегда следовало ощущение события В и с прекращением события А прекращалось и В, то мозг наш неизбежно с возникновением в нем образа А сам собою воспроизводит и образ события В (ощущение события В), иначе говоря, неизбежно ассоциирует с событием А (предшествующим) событие В (последующее).

Выражая результат этого физиологического процесса словами, мы обозначаем событие А словом «причина», а всегда следующее за ним (неизбежно возникающее за ним в нашем мозгу в силу приобретенной привычки) событие В словом «следствие». Таким путем возникает, под влиянием ряда повторных опытов и наблюдений, представление о связи причины со следствием.

Физиологический процесс, приводящий к представлению о законе причинности, в его первичной стадии, вполне сходен с тем, который происходит и у животных.

Для пояснения приведу следующий пример: в гор. Сергаче Нижегородской губ. была в свое время (до второй половины XIX столетия) особая так называемая медвежья академия.

Пойманных медведей помещали в сушилку с железным полом, под которым разводили огонь и одновременно хозяин медведя, вожак, начинал бить в барабан.

Раскаленное железо жгло ноги зверя, он инстинктивно приподнимал передние ноги и, оставаясь лишь на задних ногах, начинал подпрыгивать и тем сильнее, чем сильнее раскалялось железо и одновременно усиливался бой барабана.

По истечении некоторого времени такого испытания постепенно и параллельно заметно охлаждали пол и ослабляли силу барабанного боя, и одновременно с полным охлаждением железа прекращалась и дробь барабана.

Ряд таких повторных опытов приводил медведя к представлению, что необычный и поражавший его барабанный бой и был причиною мучительных ожогов его ног, а его невольное и энергичное подпрыгивание приводило в конце концов к прекращению боя барабана и вместе с тем испытывавшихся зверем мучений.

После продолжительного ряда таких испытаний привычка связывать в указанной последовательности описанные события настолько укоренялась в звере, что затем он, где бы ни находился, сейчас же начинал приплясывать, как скоро в его ушах раздавался барабанный бой, производимый его вожаком.

Само собой разумеется, что медведь устанавливал такую двойную цепь связи причины со следствием не вследствие умозаключения из ряда опытов (Бэкон) и не потому, что в разуме его была дана априори

(Кант) независимо от опыта, идея о законе причинности, или что он до опыта имел веру во всеобщую справедливость этого закона (Юм).

Совершенно такой же физиологический процесс привычных ассоциаций ощущения происходил и в первобытном человеке, когда в его сознании возникали первичные представления о причинной связи различных конкретных, непосредственно им наблюдаемых явлений.

Но в отличие от прочих животных первобытный человек был одарен особым свойством — даром речи. Получаемые ощущения он закреплял в памяти соответствующими звуками речи, словами, и благодаря этому мог составлять суждения.

Животное воспроизводило привычкою привитую ассоциацию чувственных впечатлений лишь при возобновлении (повторении) физических условий, той физической обстановки, которая создала эту привычку, человек же, возобновляя в звуках речи усвоенное соответствующее факту суждение, воспроизводил в то же время и всю соответствующую ему совокупность чувственных образов, воспринятых путем физического опыта, но уже независимо от этого последнего.

Таким путем получил он суждение о причинной связи двух или нескольких событий, знание о том, что одно из событий есть то, что он назвал «следствием» другого, обозначенного им термином «причина».

В сознании путем речи закреплялась идея о данном конкретном случае закона причинности.

Постепенно число таких частных случаев накоплялось в сознании, т. е. закреплялось в памяти при помощи составленных из слов суждений, все более и более.

Общее представление о закономерной связи различных последовательных явлений в порядке причины и следствия, развилось постепенно как результат обобщения множества замеченных и удержанных в памяти только-что указанным путем частных случаев.

Таким образом составилась идея об общем законе связи причины и следствия, которая постоянно подтверждалась множеством новых опытов и наблюдений.

Постепенно число таких частных случаев накоплялось в сознании, представлений, что она сделалась неизбежной, неустранимой принадлежностью его ума, до такой степени привычной, что он возвел идею о законе причинности во врожденную или априори данную в его сознании, независимо и прежде всякого опыта.

В действительности же мы имеем здесь вторичное проявление того же самого физиологического процесса, который приводит всех животных к ощущению причинной зависимости различных воспринимаемых их чувствами явлений, только произведенного не над самыми физическими фактами, а над закрепленными в памяти их описаниями при помощи слов, над так называемыми суждениями, которые отсутствуют у животных благодаря тому, что они лишены дара слова.

Чтобы еще более подчеркнуть рассматриваемую аналогию, отметим, что во множестве частных выражений причинной связи между событиями, которые принимались в разные времена за непреложные

истины, встречалось, как показывает история всех наук, много столь же ошибочных, как и в приведенном выше примере с медведем. Как медведь ошибочно связывал причину боли, вызываемой ожогом его ног раскаленным полом, с барабанным боем вожака, так и человек то и дело допускал такие же ошибки и упорно принимал их за непреложные истины; врожденные идеи рационалистов или априорное знание Канта нисколько не протестовали против таких заблуждений.

Рационалисты и последователи Канта одинаково считают, хотя и по различным основаниям, что никакое знание, никакая наука о природе немыслима без предварительного допущения закона причинности, что без этой предпосылки немыслимо установить никаких общих положений, невозможны никакие предсказания о будущем.

В действительности же этот закон есть не более как временная, весьма полезная рабочая гипотеза, созданная указанным выше путем в результате обобщения многочисленных опытов и наблюдений, при помощи которой облегчается планомерное развитие наук от первоначально беспорядочного накопления разрозненных сведений до совершенного состояния наук дедуктивных.

При помощи этой наперед предположенной гипотезы отдельные факты обобщаются в особые группы, устанавливаются общие свойства между их составляющими фактами, отдельные группы постепенно сводятся в более общие по некоторым общим признакам общих им всем причин и т. д.; таким путем постепенно доходят, восходя от частностей к общему, до так называемых основных законов, проявляющихся во всей совокупности изучаемых явлений.

Таким путем, напр., были созданы основные аксиомы геометрии Эвклида, основные законы механики Галилея-Ньютона.

Способность подмечать, угадывать общие начала в некоторой совокупности отдельных, частных случаев известной группы явлений и затем распространять их на все возможные случаи подобных же явлений составляет особое свойство всякого человеческого ума. достигая наивысшего напряжения у отдельных лиц с исключительно развитой (от природы) организацией мозга.

Эту способность мы называем интуицией, которая проявляется как особенность физиологического устройства человеческого мозга подобно тому, напр., как в семени даннаго животного или в зерне данного растения необходимо проявляется способность развиться в животное или растение того же типа, в живом глазу — способность ощущать цвета, в ухе — различать и ощущать различные звуки и т. п.

Коль скоро имеется правильно организованный глаз, он необходимо ощущает цвета независимо от желания, ибо так он создан от природы; точно так же мозг всякого человека неизбежно проявляет способность интуиции и обобщения подмеченных на отдельных случаях закономерностей на все возможные, аналогичные с ними.

Как только устанавливаются указанным путем основные начала какой-либо науки, постоянно подтверждающиеся опытом и наблюдением,

и выросшие исключительно на их почве, физический закон причинности становится излишним и устраняется, как отработавший в машине пар.

Получается возможность из небольшого числа основных законов, как, например, в механике Ньютона из закона инерции и независимости действия сил, выводить не по закону физической причинности, а по закону чисто математической необходимости, как необходимые следствия, не только все уже наблюденные явления природы, но и предсказывать теоретически новые факты и явления.

В уме человека создается таким путем ряд умственных образов, находящихся в однозначном соответствии с известной совокупностью вещей и явлений чувственного мира, строится изображение, особая модель внешнего мира, все действия которой управляются положенными в основу ее построения законами и могут быть выведены из них исключительно по законам логической необходимости, независимо от наперед сделанной предпосылки об единообразии природы, о физической связи между всеми ее явлениями, определяемой законом причины и следствия.

По отношению к этой модели внешнего мира мы достигаем точного знания о всех явлениях, которые должны происходить в ней при данных условиях, можем точно предсказать их.

Достоинство такой модели определяется тем, чтобы всякому факту или явлению, в ней происходящему или наперед предсказываемому по законам строгой логики, соответствовало определенное явление в действительной природе, возможно мало уклоняющееся от своего изображения в рассматриваемой модели, т. е. чтобы величины, определяющие каждое явление в модели и теоретически вычисляемые возможно мало уклонялись от соответствующих величин, характеризующих соответствующее явление действительного мира и непосредственно определяемых опытом и наблюдениями.

Модель эта не представляет собою точное, а лишь приближенное изображение того или иного класса явлений природы потому, что основные начала, на которых она строится, иначе говоря, основные законы науки, являются как показано выше, не точным, а лишь приближенным выражением действительности.

Несмотря на это, рассматриваемая точка зрения устанавливает возможность положительного знания, устраняя из науки как всякий элемент веры в наперед принятый догмат об единообразии природы, так и иллюзию об априорных истинах и абсолютной достоверности человеческих знаний.

Пользуясь построенными указанным выше способом моделями, мы можем об'яснять совершающиеся во внешнем мире явления и предсказывать новые с определенной степенью приближения, при чем во многих случаях можем определить и размеры той погрешности между величинами теоретически вычисленными по принятой научной модели и соответствующими величинами, полученными затем непросредственным измерением на опыте.

Всякая модель, при пользовании которой указанная погрешность не будет чувствительно выходить за пределы погрешности наблюдений,

может считаться удовлетворительно объясняющей известную совокупность явлений природы.

Таких моделей может быть несколько; наиболее удобной должно признать ту, конструкция которой отличается наибольшей простотой и которая дает возможно малую величину только-что упомянутых погрешностей.

Например, изучение протяженных свойств физических тел привело к построению нескольких геометрических систем (моделей), среди которых особенно замечательны системы Эвклида и Лобачевского.

Наипростейшей является модель Эвклида, и до последнего времени все получаемые из нее путем дедукции выводы с весьма большой степенью точности оправдывались на опыте, не сталкиваясь с заметными противоречиями.

Модель, построенная Лобачевским, сложнее, но уже в основаниях своих, как показано выше, более точно воспроизводит действительность. Геометрия Эвклида является лишь первым приближением к геометрии Лобачевского.

До сих пор, однако, точность измерения еще не достигла такой степени совершенства, чтобы погрешности между величинами, вычисляемыми по геометрии Эвклида и непосредственно измеряемыми, выходили за погрешности измерений.

Но с расширением круга наблюдаемых явлений природы, с усовершенствованием методов наблюдения, приближения, даваемые геометрией Эвклида, могут оказаться недостаточными и тогда придется, быть может, несколько усовершенствовать геометрическую модель Эвклида или обратиться к системе Лобачевского.

Точнейшие физические измерения последних лет как будто бы указывают на возможность этого.

То же самое должно сказать и о механической системе Галилея-Ньютона.

Все сказанное относится и ко всякой другой системе или модели, которую удастся построить указанным выше способом для научного об'яснения какого угодно класса явлений природы.

Всякая такая система будет пользоваться признанием в науке до тех пор, пока она удовлетворительно об'ясняет все известные факты и предсказывает новые с надлежащей степенью точности, подтверждаемой непосредственными наблюдениями.

Но вообще говоря, значение ее наперед нужно считать условным и временным.

Возможны, теоретически говоря, два случая: может случиться, что с накоплением новых наблюдений встретятся такие факты действительности, которые явно противоречат тем, которые должны бы были им соответствовать в принятой модели, может случиться также, что при увеличившейся точности наблюдений погрешности между теоретически вычисляемыми величинами и фактически наблюдаемыми, удовлетво-

рявшие нас при прежнем, меньшем совершенстве приемов измерения, теперь окажутся выходящими за пределы погрешностей усовершенствованных методов наблюдения.

В первом случае откроется новый класс явлений, до сих пор неведомых и управляемых особыми законами, пока нам неизвестными. Утверждать с абсолютной достоверностью существование таких законов, конечно, мы не можем, а можем лишь предполагать по аналогии со всеми предыдущими опытами.

Во втором случае мы должны будем притти к заключению, что степень приближения, с которой мы взяли основные законы данной науки, уже оказывается недостаточной; явится необходимость ввести в выражения этих законов дополнительные члены, которыми мы могли до сих пор пренебрегать, благодаря их малости.

О таких возможностях уже заходит речь в современной науке: чрезвычайно увеличивавшаяся точность измерений современной физики может потребовать замену Эвклидова угла параллельности, равного прямому ^, т. е. углом » — е, где е весьма малая величина, которая должна определиться по опыту.

Возможно также, что потребуется установить в механике зависимость силы не только от ускорения, но и от скорости тела (точки), на которую она действует, зависимость весьма малую, которой можно было пренебрегать, и т. п.

При этом значение всех предыдущих знаний, построенных на геометрии Эвклида и механике Нютона и давших уже громадное количество ценных результатов на практике и многократно подтверждавшихся на опыте способов предсказывать с достаточной точностью будущие события*), отнюдь не будет подорвано.

Все полученные уже результаты останутся справедливыми с той степенью приближения, которая при этом была принята и которая на практике во многих случаях оказывается совершенно достаточной.

Новые выводы, получаемые из вновь построенных, более совершенных моделей, будут лишь весьма мало отличаться от прежних. Впоследствии может потребоваться еще большее увеличение точности, придется, быть может, прибегнуть к следующим приближениям, более высокого порядка, к новым усовершенствованиям научной системы (модели), охватывающей и об'ясняющей с большей точностью большее количество фактов и явлений природы.

В прилагаемом взгляде на характер научного знания нет ни малейшего намека на необходимость принимать наперед что-либо на веру, нет и тени догматизма, без введения которого скептическая философия Юма, напр., приводила к совершенному отрицанию науки, к невозможности предвидения будущих событий, т. е. к отрицанию главнейшей задачи научного знания, к осуществлению которой всегда устремлялись и будут устремляться все силы человеческого гения.

*) Множество таких примеров можно найти в практической механике, астрономии, физике и др. науках.

Но установленное выше полное отрицание догматизма в науке, как показано, не только не устраняет возможность предсказания будущих событий, но и позволяет знать, насколько теоретически предсказанные данной научной системой (моделью), действующей в данное время, события или явления уклоняются от действительно, непосредственно наблюдаемых в природе.

В то же время этот взгляд на сущность точных наук освобождает нас от вредной иллюзии в неизменности основ человеческого знания, в его абсолютной достоверности, которая может приводить и действительно приводила к рутине и застою, к той косности умов, которая упорно сопротивлялась всякому вновь нарождающемуся научному движению и часто на долгие годы задерживало его развитие.

Изложенное выше направление в теории познания внешнего мира создано исключительно гениями математической мысли, среди которых одно из первых мест принадлежит русским математикам, а из этих последних первое место занимают Н. И. Лобачевский и П. Л. Чебышев.

Петербург, 27 июля 1920 г.

ФАБЕР, МАГДЕБУРГ.