Новое в жизни науке технике

СЕРИЯ

математика кибернетика

1971

2

Геометрия Лобачевского и теория относительности

Я. А. Смородинский,

доктор физико-математических наук,

Е. Л. Сурков,

кандидат физико-математических наук

Геометрия Лобачевского и теория относительности

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»

МОСКВА 1971

517.5 С51

Смородинский Я. А., Сурков Е. Л.

С51 Геометрия Лобачевского и теория относительности.

М., «Знание», 1971, 64 стр. (Новое в науке и технике. Серия «Математика, кибернетика», 2).

В брошюре рассмотрен важный для современной геометрии и релятивистской механики вопрос — о связи геометрии Лобачевского с теорией относительности. В ней показано, почему пространство релятивистских скоростей следует рассматривать не как эвклидово пространство, а именно как пространства Лобачевского, и устанавливается формула, которая позволяет переходить К решению задач релятивистской механики с помощью формул тригонометрии Лобачевского.

Написана брошюра в популярной форме и рассчитана на читателя, знакомого в общих чертах с идеями специальной теории относительности.

2-2-3 517.5

Содержание

Введение ............. 3

Принцип относительности........ 5

Наглядная геометрия пространств с кривизной . . 7

Релятивистское пространство скоростей .... 9

Геометрия пространства скоростей ...... 10

Геометрия Лобачевского........ 12

Скорость и расстояние ......... 27

Релятивисткая кинематика ........ 30

Законы сохранения импульса и энергии в релятивистской механике........... 35

Примеры релятивистских процессов рассеяния и распада частиц........... 44

Редактор В. Ю. Иваницкий Художник Л. П. Ромасенко Худож. редактор В. Н. Конюхов Техн. редактор Т. В. Самсонова Корректор Р. С. Колокольчикова

2-2-3

А 01472. Сдано в иабор 17/XI 1970 г. Подписано к печати 29/I 1971 г Формат бумаги 60×90/16. Бумага типографская № 3. Бум. л. 1,5. Печ. л. 3,0. Уч.-изд. л. 2,86. Тираж 47 500 экз. Издательство «Знание». Москва. Центр, Новая пл., д. 3/4. Заказ 2742. Типография Всесоюзного общества «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Цена 9 коп.

Введение

Мы давно привыкли к тому, что скорость материальной точки изображается вектором. Редко кто из физиков будет расписывать сейчас уравнение движения Ньютона в компонентах. Совсем покажется странным вид расписанных в компонентах уравнений электромагнитного поля. Векторы прочно вошли в аппарат физики. Если выбирать из свойств векторов самое главное, то лучше всего остановить свой выбор на законе сложения векторов. Действительно, как можно наиболее кратко ответить на вопрос, что такое вектор? Определение вектора, как совокупности трех чисел (компонент) или как объекта, имеющего величину и направление, явно неудовлетворительно. Почему в таком случае время, расстояние и температура не образуют вектора? Лучше определять вектор как три числа, которые преобразуются по заданному закону при вращении системы координат. Это определение хорошее, но не очень практичное. Наиболее удобно определять вектор, задав закон сложения двух векторов.

Пренебрегая более глубоким анализом, надеясь на то, что физическая интуиция нам в трудную минуту поможет, мы будем рассуждать о векторах, как о величинах, которые складываются по закону параллелограмма. Суммой векторов OA и OB называют вектор ОС, образующий диагональ параллелограмма ОАСВ (рис. 1).

Можно определить сумму и иначе. Вместо того чтобы откладывать оба вектора OA и OB из одной точки, мы можем отложить второй из векторов — вектор OB из конца первого — вдоль стороны АС. Очевидно, что результат сложения останется прежним и мы придем снова к вектору ОС. Но действительно ли это очевидно? Над этим вопросом стоит немного задуматься. Хотя геометрическая картина кажется ясной, с точки зрения физики оба способа сложения имеют совсем разный смысл. Когда мы рисуем оба складываемых вектора исходящими из одной точки, то такую картинку следует интерпретировать как разложение вектора скорости на две составляющие или как задание век-

Рис. 1

тора скорости двумя составляющими но двум осям (не ортогональным) системы координат.

Если мы складываем векторы, рисуя их друг за другом ОА+АС = ОС, то смысл такого рисунка совсем иной. Мы отвечаем на вопрос, какова относительная скорость точек О и С, если скорость точки С относительно некоторой другой точки А равна АС; при этом относительная скорость точек О и А равна OА. Например, нас может интересовать скорость человека на палубе корабля, следующего со скоростью OA относительно берега, если скорость его относительно палубы равна АС. При такой интерпретации сложения векторов становится не совсем очевидным, что оба правила сложения приводят к одинаковому результату.

В геометрической задаче тождественность правил вытекает из свойств параллелограмма в эвклидовой геометрии; в физике то же самое следует из законов классической кинематики.

Таким образом, оказывается (вероятно, для многих неожиданно), что геометрические теоремы можно доказывать с помощью теорем механики. Это значит, что любую теорему эвклидовой геометрии можно перевести на язык векторов скорости и интерпретировать как теорему механики (точнее, ее первой части — кинематики). Справедливо и обратное утверждение: строя диаграммы из векторов скоростей, можно, решая задачи о треугольниках, как это делается в тригонометрии, решать задачи о сложении скоростей, о переходах от одной системы отсчета в другую. Короче говоря, можно утверждать, что геометрия Эвклида и кинематика Галилея формально сводятся к одним и тем же законам. Такая очень далеко идущая аналогия позволяет решать много задач, искусно комбинируя законы механики и теоремы геометрии. Разобранный нами пример — только один из многих. Мы здесь не будем более подробно рассматривать задачи классической механики, а перейдем сразу к более сложным задачам механики теории относительности1.

Говоря о сложении векторов скорости, мы можем заметить, что множество всех векторов скорости очень похоже на множество всех радиусов-векторов, которые определяют всю бесконечную систему точек обычного (как rоворят, координатного) пространства. Поэтому можно говорить о пространстве скоростей, положение точек в котором определяется векторами скорости. Можно сказать точнее. Если мы возьмем три вектора скоростей u, v, w, перпендикулярные друг другу, и составим всевозможные суммы V= Vxu+ Vyv + Vzw, (Vx, Vу, Vz — любые положительные и отрицательные числа), то множество всех таких векторов образует векторное пространство, которое кратко и называется нерелятивистским пространством скоростей.

Есть и другие случаи, когда механика помогает упростить и сделать более наглядными геометрические теоремы. Так, зная законы движения планет по орбитам — законы Кеплера, можно очень просто рассказать о свойствах конических сечений2. Можно придумать механическую модель для построения теории кривых третьего порядка. На эти методы сейчас еще не обращают достаточно внимания. То, что будет рассказано, должно служить иллюстрацией геометрических методов в применении к задачам теории относительности. Полезно кратко объяснить план дальнейшего изложения. Мы будем считать, что читатель знаком, в самых общих чертах, с идеями специальной теории относительности, и потому лишь напомним ему об относительности движения. Всякого рода соображения о мас-

1 Задачи по классической механике читатель найдет в статье, опубликованной в журнале «Квант», 1970, № 5.

2 Об этом смотри упомянутую статью в журнале «Квант», 1970, № 5.

штабах и часах, очень важные для понимания физических основ теории, нам просто не понадобятся.

Дальше мы расскажем о пространстве релятивистских скоростей и объясним, почему данное пространство не эвклидово пространство, а кривое пространство Лобачевского. После этого нам придется сделать длинное отступление и рассказать о геометрии и тригонометрии Лобачевского и о том, как рисовать картину плоскости в пространстве Лобачевского на обычной эвклидовой плоскости. Далее мы установим основную формулу, связывающую расстояния в пространстве Лобачевского с относительной скоростью. Данная формула и даст нам возможность перейти к решению задач механики с помощью формул тригонометрии Лобачевского. Мы оставим в стороне обратную постановку задачи — изучение теорем геометрии Лобачевского с помощью уравнений теории относительности. Здесь есть еще большое поле деятельности, так как геометрия (особенно стереометрия) довольно сложна и можно найти много изящных методов доказательства трудных и не наглядных теорем. Но на это у нас просто не хватит места.

Принцип относительности

В механике, той, которой учат со времен Галилея, говорится, что уравнения движения одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Возьмем любой учебник механики. Предположим, что мы задались целью повторить какой-нибудь описанный в нем опыт или проверить какую-нибудь из формул. Мы сразу обнаружим, что ни в одной из формул не указано, относительно каких тел, в какой системе координат следует измерять расстояния и скорости. Дальше оказывается, что это можно делать в любой системе, лишь бы система эта не имела ускорения. Это значит, другими словами, что какие бы мы ни производили механические опыты внутри системы, мы не сможем определить нашу собственную скорость относительно никакого другого тела. Для этого нам обязательно надо установить связь с этим телом, посмотреть на него и определить нашу с ним относительную скорость. В механике нельзя определить самого понятия абсолютной скорости — в формулы входят только разности скоростей. Это совсем не тривиальный факт. Для того чтобы его осознать в полной мере, понадобился сравнительный анализ теорий двух физиков, жизнь которых разделена почти тремя столетиями — Галилея и Эйнштейна.

Важно отметить, что это не закон логики (нельзя сказать, что он очевиден, что иначе и быть не может), а результат осмысления опыта. Относительность скорости отражает свойства реального мира. Совсем не так обстоит дело с ускорением. Казалось бы, и ускорение должно быть относительным. Ускорять тело можно только относительно какой-либо системы отсчета. Но это не так! Опытами на Земле в самую облачную погоду можно измерить скорость вращения Земли и найти ось вращения, например, маятником Фуко. Странным образом одинокое тело может вращаться одно в пустой Вселенной и его вращение имеет вполне объективный смысл. Так что относительность не такое уж тривиальное свойство.

Поэтому не покажется неожиданным, что при переходе от механики к электродинамике вопрос о справедливости принципа относительности оказался нелегким. Относительно чего надо измерять скорость света — относительно источника, относительно детектора или же, наконец, относительно среды (эфира?), в которой свет распространяется? Нельзя было ответить, следует ли измерять ее относительно чего-нибудь конкретного, ибо что значило бы тогда число 300 000 км/сек?

Ответ Эйнштейна был радикален: измерять относительно чего угодно — любой наблюдатель будет регистрировать одну и ту же скорость

света. Эта радикальная точка зрения потребовала отказа от механики Ньютона, но зато позволила сохранить электродинамику Максвелла. После оказалось возможным понять, почему никакие опыты — ни механические, ни электрические — не позволяют определить абсолютную скорость системы или точки.

В то же время ускорение можно измерить по-прежнему и не только методами механики, но и, например, регистрируя излучение ускоренного заряда. Разница между старой механикой Ньютона и новой механикой Эйнштейна сводится в конце концов к вопросу о скорости распространения взаимодействия.

Механика Ньютона тоже подчиняется принципу относительности. Но в ней неявно предполагается, что взаимодействие между частицами распространяется мгновенно. Это связано с описанием взаимодействия с помощью потенциальной энергии, зависящей только от координат частиц. Любое изменение положения одной частицы сразу же сказывается на всех остальных. Но опыт показывает, что так не бывает, что всякое взаимодействие распространяется с какой-то конечной скоростью. Изменение положения одной частицы начинает влиять на остальные только через некоторое время, необходимое для того, чтобы взаимодействие успело распространиться из одной области пространства в другую. Но тогда существует и максимальная скорость распространения взаимодействий с. Ни одно материальное тело не может двигаться со скоростью, большей этой. В противном случае можно просто передавать взаимодействие от одних частиц к другим с помощью таких сверхбыстрых тел. Из принципа относительности следует, что эта максимальная скорость распространения взаимодействий должна быть универсальной постоянной, одинаковой для всех инерциальных систем отсчета. Как показывает опыт, с такой максимальной скоростью распространяются в пустоте электромагнитные волны.

Для проверки постоянства скорости света было поставлено множество тонких экспериментов, начиная с классических опытов Майкельсона— Морли (восьмидесятые годы прошлого века). Все они дали один и тот же результат: скорость света одинакова для всех наблюдателей, движущихся равномерно относительно друг друга, и равна примерно 3х1010 см/сек. Этот результат довольно удивителен с точки зрения наших обычных житейских представлений: вообразите себе автомобиль с зажженными фарами, который мчится мимо вас со скоростью 150 000 км/сек. Скорость света относительно автомобиля 300 000 км сек. Если вы теперь сами измерите скорость света, то увидите, что она равна не 450 000 км /сек, как можно было бы ожидать, а все тем же 300 000 км/сек!

Объединение принципа относительности с конечностью скорости распространения взаимодействий называется принципом относительности Эйнштейна.

Мы не будем ставить себе целью подробный разбор пространственных и временных соотношений теории относительности: сокращения длин, замедления хода часов движущегося наблюдателя и т. д. Есть много хороших книг, в которых можно об этом прочитать. Мы займемся здесь вопросом о том, какими свойствами обладают векторы скоростей в механике Эйнштейна. Короче говоря, мы займемся описанием геометрических свойств пространства скоростей в теории относительности и расскажем, как можно использовать эти свойства для решения простейших задач релятивистской механики.

Наглядная геометрия пространств с кривизной

На примере с автомобилем мы уже видели, что обычное сложение скоростей по правилу параллелограмма противоречит постоянству скорости света в теории относительности. Поэтому вычисление относительных скоростей наблюдателей с помощью геометрии и тригонометрии Эвклида, как это делается в механике Ньютона, в релятивистском случае уже невозможно. Геометрия релятивистского пространства скоростей не может быть эвклидовой.

Более общим случаем является геометрия пространств с кривизной. Довольно трудно представить себе трехмерное кривое пространство, зато двухмерное знакомо каждому, кто изучал географию. Сферическая поверхность Земли и есть простейшее двухмерное кривое пространство, которое имеет свою собственную геометрию, совсем не похожую на геометрию двухмерной эвклидовой плоскости. Чтобы понять, в чем сходство и в чем различие этих двух геометрий, попробуем взглянуть на них глазами жителей двухмерного мира.

Пусть в некотором мире на поверхности сферы живут двухмерные черные жуки, а на эвклидовой плоскости — синие. Они могут только ползать по своим поверхностям и даже не догадываются о существовании третьего измерения. Но их любознательность неисчерпаема, их любимое занятие — геометрия.

Синие жуки на эвклидовой плоскости обнаружили, что среди всевозможных линий, соединяющих две точки, одна линия имеет наименьшую длину, и назвали ее прямой. Черные жуки на сфере были не глупее синих и тоже открыли, что любые две точки их мира соединяет линия наименьшей длины, и тоже назвали ее «прямой».

Если посмотреть на них из нашего трехмерного мира, то мы увидим, что «прямая» синих жуков — это наша обычная трехмерная прямая; «прямая» же черных — дуга большого круга, соединяющая две точки на поверхности сферы. Но ведь жуки ничего не знают о третьем измерении, и их «прямые» для них самые настоящие.

Из отрезков прямых жуки начинают строить простейшие фигуры — треугольники и изучать их свойства. Жуки, живущие на плоскости, установили, что сумма углов на вершинах треугольников всегда равна двум прямым; у жуков на сфере оказалось, что эта сумма всегда больше двух прямых. У них даже был треугольник, у которого все три угла прямые (рис. 2, а)! И вообще у них был странный мир1. Их прямые (с трехмерной точки зрения — большие круги, следы пересечения сферы с плоскостями, проходящими через ее центр) всегда были замкнуты и всегда пересекались в двух точках, поэтому параллельных прямых у них не было совсем. Не было у них и подобных треугольников и многого другого из того, что было у жуков на плоскости.

Все эти различия связаны, конечно, с кривизной их мира. Но у них есть одно очень важное общее свойство. Как и на плоскости, на поверхности сферы любую фигуру можно свободно двигать и поворачивать, не меняя соотношений между ее элементами. При таких преобразованиях не меняется расстояние между любыми двумя точками сферы. Возможно это потому, что кривизна сферы везде одинакова и благодаря этому геометрические соотношения, установленные в одном месте сферы, будут справедливы и в любом другом.

1 Странный, конечно, только с точки зрения жуков синих. Ведь нам всегда кажутся странными дела у соседей.

Рис. 2

Рис. 3

Можно говорить поэтому о свойствах геометрических фигур вообще, а не только в данной точке; жуки могут сравнить две фигуры, перетащив их в одно место, жуки могут сравнить длины и углы в разных местах своих поверхностей. Но так бывает далеко не всегда. Если бы наши жуки жили на поверхности эллипсоида, который в разных точках имеет разную кривизну, они бы увидели, что их мир в разных местах устроен по-разному (рис. 2, б). Свойства треугольников на «экваторе» отличались бы от свойств треугольников на «полюсе». У них даже не было бы равных фигур. Ведь для сравнения фигуры нужно перенести в одно место без деформаций, а на эллипсоиде это невозможно.

На данном примере отчетливо видно, что пространство допускает движения и повороты только в том случае, когда кривизна его во всех точках постоянна. Кривизну пространства считают положительной, если сумма углов треугольника больше двух прямых, и отрицательной, если она меньше двух прямых (рис. 3). Плоское пространство с эвклидовой

геометрией, в котором сумма углов треугольника всегда равна двум прямым, имеет, конечно, нулевую кривизну.

Пространство, в котором живем мы с вами, обычно считают плоским, эвклидовым. На чем основано это убеждение? Нельзя ли проверить, нет ли у него на самом деле кривизны?

На один миг поставим себя на место двухмерных жуков, которые живут на сфере. К выводу о кривизне своего пространства они пришли, исследуя сумму углов своих треугольников, причем треугольники должны быть достаточно большими, чтобы кривизна их мира стала заметной. Ведь и кривая поверхность Земли почти не отличается от плоскости, если размеры треугольников много меньше земного радиуса. Для таких треугольников сумма углов с большой точностью равна двум прямым и поэтому в малом геометрия любой кривой поверхности есть геометрия Эвклида. Отличия «кривой» геометрии от плоской начинают проявляться только тогда, когда размеры треугольников становятся сравнимыми с радиусом кривизны пространства.

Мы — те же жуки, только живущие в трехмерном мире. Чтобы решить, обладает он кривизной или нет, нужно измерить сумму углов достаточно больших треугольников. Если эта сумма будет отличаться от двух прямых, то наше пространство имеет кривизну.

Вопрос о кривизне нашего мира вовсе не праздный. Общая теория относительности предсказывает, что в окрестности тел очень большой массы пространство должно искривляться. Данный эффект был проверен экспериментально, и такое искривление действительно было обнаружено. Однако кривизна нашего реального пространства очень невелика, поэтому с большей точностью можно считать его плоским пространством с обычной, эвклидовой геометрией.

Релятивистское пространство скоростей

В специальной теории относительности координатное пространство продолжает считаться плоским. Но пространство скоростей оказывается уже искривленным. В механике Ньютона исследовались движения тел со сравнительно небольшими скоростями, при этом изучалась небольшая часть всего пространства, по которой нельзя было судить о его кривизне в целом. Эта кривизна может стать существенной только при таких скоростях, когда наблюдению будет доступна большая часть пространства, когда скорость частиц будет сравнима со скоростью света — максимальной возможной скоростью движения.

Сформулируем некоторые свойства пространства скоростей:

1. Точки в пространстве скоростей изображают скорости всех возможных инерциальных систем отсчета.

2. Частице, которая движется с ускорением по прямой в координатном пространстве, отвечает прямая и в пространстве скоростей.

Это означает, что наблюдатели, движущиеся в одном и том же направлении с разными скоростями, в пространстве скоростей изображаются точками, лежащими на одной прямой.

3. Расстояние аАВ между точками А и В в пространстве скоростей определяет относительную скорость наблюдателей А и В.

Что можно сказать про функцию F? Пока только то, что она принимает значения от нуля до скорости света с и что в нерелятивистском пределе малых скоростей vАВ равна (или пропорциональна, в зависимости от выбора системы единиц) расстоянию между достаточно близкими точками A, В: vАВ ~ аAB. Ее явный вид мы найдем позже, когда подробно изучим геометрию пространства скоростей.

4. Угол пересечения прямых AB и АС в пространстве скоростей равен углу между векторами скоростей наблюдателей В и С с точки зрения наблюдателя А (рис. 4). Это сразу же следует в нерелятивистском пределе из свойства 2. Можно уменьшать скорость частиц В и С относительно наблюдателя A, не меняя направления их движения. Точки В и С будут оставаться на тех же прямых, приближаясь к точке А. В конце концов мы придем к нерелятивистскому случаю, когда угол между векторами скоростей равен углу а между «нерелятивистскими» прямыми AB' и АС.

Эти свойства позволяют связать абстрактные геометрические понятия точки, прямой, расстояния, угла между прямыми в абстрактном пространстве скоростей с непосредственно измеримыми физическими величинами: относительными скоростями и углами между ними. Они позволяют интерпретировать геометрические понятия, но еще ничего не говорят о структуре самого пространства, о связях между прямыми, углами, расстояниями, то есть о его геометрии.

Рис. 4

Геометрия пространства скоростей

Сейчас мы сделаем главный шаг. Мы посмотрим, каким должно быть пространство скоростей чтобы удовлетворять принципу относительности Эйнштейна.

Первая часть принципа относительности требует, чтобы все инерциальные системы были полностью эквивалентны друг другу. Это означает, что в каждой своей точке пространство скоростей должно быть устроено совершенно одинаково. Если бы это было не так, если бы геометрия в разных местах была разной, наблюдатели смогли бы отличать одну инерциальную систему от другой, что противоречит принципу относительности. Пространство скоростей по своему строению не может быть похоже на эллипсоид, имеющий в разных местах разную кривизну и разную геометрию. Его кривизна во всех точках должна быть одинакова, чтобы допускать движения и повороты фигур без их деформации, чтобы любые геометри-

ческие соотношения, установленные одним инерциальным наблюдателем, были справедливы в любом другом месте пространства скоростей.

Немецкий математик Ф. Клейн в конце прошлого века доказал основную для нас теорему:

Если в пространстве возможны произвольные сдвиги и повороты, то это может быть только

а) пространство постоянной положительной кривизны с обычной сферической геометрией (сумма углов треугольника больше двух прямых);

б) плоское пространство с нулевой кривизной и геометрией Эвклида (сумма углов треугольника равна двум прямым);

в) пространство постоянной отрицательной кривизны (сумма углов треугольника меньше двух прямых). Геометрия такого пространства называется геометрией Лобачевского.

Других возможностей не существует. Мы не доказываем эту теорему, но надеемся, что она для читателя понятна.

Ведь для суммы углов треугольника есть только три возможности — сумма углов может быть больше двух прямых, меньше двух прямых и равна двум прямым.

Соответственно возможны три разных геометрии в пространствах с движениями: сферическая, эвклидова и Лобачевского. С двумя первыми вы уже немного знакомы, а геометрию Лобачевского мы подробно рассмотрим в следующей главе.

Вернемся все же к пространству скоростей. Мы видим, что принципу относительности удовлетворяют только три геометрии: сферическая, эвклидова и геометрия Лобачевского.

Вторая часть принципа относительности Эйнштейна (конечность скорости распространения взаимодействий) требует постоянства скорости света для всех инерциальных наблюдателей. Это означает, что скорость света должна изображаться бесконечно удаленными точками С пространства скоростей. В самом деле, скорость света должна быть одинакова для всех инерциальных наблюдателей, значит, должно быть одинаково и расстояние от точки С до всех остальных точек пространства скоростей. Это возможно лишь для бесконечно удаленной точки, которая и в самом деле лежит на одинаковом (бесконечном) расстоянии от всех остальных точек пространства.

Может показаться странным, что, требуя конечности скорости света, мы приходим к бесконечности пространства скоростей. Но это означает только то, что функция vАС =F(aAC) должна стремиться к скорости света с, если расстояние аАС стремится к бесконечности.

В сферическом пространстве (представьте себе сферу) нет бесконечно удаленных точек, поэтому релятивистское про-

странство скоростей не может иметь сферическую геометрию. Данная геометрия не удовлетворяет второму требованию принципа относительности Эйнштейна.

На самом деле есть еще одна глубокая причина, чтобы отвергнуть сферическую геометрию. Две точки на сфере не определяют однозначно расстояния между ними, ведь его можно измерить и по короткой, и по длинной дуге большого круга. От этого в пространстве скоростей возникло бы много физических несуразностей. Что же касается плоского пространства, то мы неоднократно говорили, что сложение скоростей по правилу параллелограмма противоречит конечности скорости света в теории относительности. В последующем мы еще раз покажем, что геометрия Эвклида определяет пространство с бесконечной скоростью распространения взаимодействий, которое удовлетворяет принципу относительности Галилея в ньютоновской механике. Остается единственная возможность:

Релятивистское пространство скоростей, удовлетворяющее принципу относительности Эйнштейна, должно иметь геометрию Лобачевского.

Геометрия Лобачевского

Картографические модели. К сожалению, даже двухмерное пространство постоянной отрицательной кривизны — плоскость Лобачевского — невозможно представить в виде поверхности в нашем трехмерном пространстве. Поэтому оно лишено той наглядности, которую имеет модель пространства постоянной положительной кривизны в виде поверхности сферы, где «прямые» суть обычные эвклидовские окружности, а расстояния и углы совпадают с эвклидовскими, измеренными по поверхности сферы.

Однако и для плоскости Лобачевского существует очень наглядная модель, принадлежащая Е. Бельтрами. Идея состоит в том, что кривое пространство можно изобразить на плоскости, как это обычно делают на географических картах, где сферическую поверхность Земли чертят на плоском листе бумаги. Ясно, что при таком «распрямлении» неминуемо возникают искажения всех пропорций. Но можно сделать так, чтобы искажения коснулись только расстояний между точками при сохранении углов между линиями. Примером может служить проекция Меркатора, в которой меридианы и параллели земного шара на карте изображаются взаимно перпен-

Рис.

дикулярными линиями (рис. 5). На такой карте все параллели имеют одинаковую длину (на поверхности Земли, естественно, нет), углы сохраняются — перпендикулярные параллели и меридианы остаются перпендикулярными и на карте.

Если известен способ, как по расстоянию на карте определяется настоящее расстояние между точками в кривом пространстве, как на плоской карте изображаются «прямые» и углы между ними, то можно заменить изучение геометрии самого пространства изучением его карты, этой наглядной плоской модели кривого пространства. Так мы и поступим с плоскостью Лобачевского L.

Модель Бельтрами. Мы будем рассматривать не само пространство L, а его изображение на эвклидовой полуплоскости E, ограниченной снизу прямой а. Такую прямую называют абсолютом.

Каждая пара точек A, В в пространстве L изображается на карте Е точками A, В. Расстояние между точками A, В в пространстве L будем называть гиперболическим расстоянием σAB . Конечно, оно отличается от эвклидовского расстояния SAB между их изображениями на полуплоскости Е. Но для двух бесконечно близких точек мы примем простой закон соответствия: гиперболическое расстояние dσAB между А и В в L зависит только от длины dSAB отрезка AB на полуплоскости Е и его расстояния у до абсолюта (рис. 6) :

С помощью данного соотношения можно вычислить длину любой линии в пространстве L по ее изображению на карте Е. Для этого нужно разбить изображение на бесконечно малые отрезки, поделить их длину dSi на расстояние yi каждого из них до абсолюта и сложить:

Гиперболические движения. В пространстве Лобачевского — пространстве постоянной кривизны — возможны дви-

Рис. 6

жения и повороты, не меняющие расстояния между любыми двумя точками пространства. Возникает вопрос, как эти преобразования изображаются на полуплоскости Е?

Мы назовем гиперболическим движением такие преобразования в E, которые не меняют гиперболического элемента длины dσ = dS/y. При таких преобразованиях не будет меняться длина любой линии в L, в том числе и расстояние по прямой между любыми двумя точками пространства.

Простейшие гиперболические движения очевидны. Это сдвиг всей полуплоскости Е параллельно абсолюту и зеркальное отражение относительно прямой, перпендикулярной ему. При таких преобразованиях не меняется ни dS, ни у, поэтому не меняется и гиперболический элемент длины dσ.

Рассмотрим преобразование подобия с центром О на абсолюте (рис. 7). При таком преобразовании две бесконечно близкие точки A, В переходят в точки A', В', лежащие на тех же прямых OA и OB, причем

где k — коэффициент подобия.

Из подобия треугольников ОА'В' и ОАВ; ОС'М' и ОСМ следует, что при таком преобразовании бесконечно малый отрезок AB переходит в гиперболически равный ему отрезок А'В'.

Следовательно, преобразование подобия с центром на абсолюте является гиперболическим движением..

Но самым интересным случаем гиперболического движения является преобразование инверсии. Познакомимся подробнее с его определением и свойствами.

Инверсией относительно окружности р с центром в точке О и радиусом R называется геометрическое преобразование, которое переводит точку А в точку А', лежащую на луче OA, причем OA ⋅ OA' = R2. Точки А и А' называются симметричными относительно окружности р (рис. 8, а). Очевидно, что при инверсии луч с центром в О переходит в себя; точки, лежащие внутри окружности р, переходят в точки вне ее и наоборот; точки, лежащие на самой окружности р, остаются на

Рис. 7

месте; центр инверсии О переходит в бесконечно удаленную точку плоскости и наоборот.

Инверсия преобразует прямую q, не проходящую через центр инверсии О в окружность, проходящую через О. и наоборот. Чтобы убедиться в этом, из центра инверсии опустим перпендикуляр OA на прямую q и возьмем точки А', В', симметричные относительно р точкам A, В (В — произвольная точка на прямой q) (рис. 8, б). Треугольник ОА'В' подобен треугольнику ОАВ, так как угол при вершине О у них общий, и

Поэтому угол OB'А' прямой, и точка B' лежит на окружности, построенной на OA' как на диаметре. Обратное утверждение очевидно.

Мы доказали частный случай общего утверждения: инверсия всегда переводит окружность в окружность, в нашем случае прямую q — окружность бесконечно большого радиуса — в окружность, проходящую через центр инверсии.

Преобразование инверсии относительно окружности с центром на абсолюте есть гиперболическое движение. Построим точки А'В', симметричные относительно окружности р двум бесконечно близким точкам A, В. Треугольники ОАВ и ОА'В' подобны, так как OA ⋅ OA' = R2; OB ⋅ OB' = R2 и угол АОВ у них общий (рис. 8, в). Поэтому

гиперболический элемент длины не меняется при инверсии. В некотором смысле мы уже исчерпали все гиперболические движения. Можно показать, что любое преобразование, которое переводит фигуру в гиперболически равную ей, представимо в виде последовательности конечного числа элементар-

Рис. 8

ных движений: сдвигов, отражений, преобразований подобия и инверсии.

Гиперболические прямые. Напомним, что прямые в пространстве L — это линии, вдоль которых измеряется кратчайшее гиперболическое расстояние между любыми двумя их точками. Как они изображаются в полуплоскости Е? Рассмотрим эвклидову полупрямую q, перпендикулярную абсолюту а (рис. 9, а). Соединим две ее произвольные точки А, В кривой АСВ. Отрезок прямой AB и кривая АСВ есть изображения двух линий в пространстве L, соединяющих точки А и В. Какая из линий имеет в L меньшую длину?

Выяснить это нетрудно. Для этого их изображения в Е разобьем прямыми, параллельными абсолюту, на бесконечно малые отрезки dSi ; dSi'. Ясно, что эвклидова длина наклонного отрезка кривой dS/ больше длины отрезка прямой dSi, а расстояния yi до абсолюта у них одинаковы. Поэтому в пространстве L гиперболическая длина отрезка линии AB всегда меньше отрезка линии АСВ:

Значит, и длина всей линии AB в L меньше длины любой другой линии АСВ, соединяющей точки А и В. Так как точки А и В на q произвольны, эвклидова полупрямая, перпендикулярная абсолюту, будет изображением гиперболической пря-

Рис. 9

мой в L. Любое гиперболическое движение переводит гиперболическую «прямую» в гиперболическую «прямую». Посмотрим, как действуют элементарные гиперболические движения на прямую q.

Сдвиг параллельно абсолюту и отражения переводят q в такую же прямую q', перпендикулярную абсолюту. Преобразование подобия делает то же самое, как видно из рис. 9, б:

Преобразование инверсии относительно окружности р с центром О на абсолюте действует гораздо интереснее. Оно переводит луч q в полуокружность q', центр которой тоже лежит на абсолюте (рис. 9, в). Как и всякое гиперболическое движение, инверсия переводит «прямую» q в «прямую» q'. Поэтому прямые в пространстве L изображаются на полуплоскости Е полуокружностями с центром на абсолюте и эвклидовскими полупрямыми, перпендикулярными абсолюту.

Последние — это просто полуокружности бесконечно большого радиуса. Любое гиперболическое движение сводится к элементарным, поэтому других гиперболических прямых на полуплоскости Е не существует. Через любые две точки А и В в Е можно провести одну и только одну гиперболическую прямую. Если А и В лежат в перпендикуляре к а, то это сам перпендикуляр; если нет, то существует только одна окружность с центром на абсолюте, которая проходит через точки А и В. Способ ее построения ясен из рис. 9, г.

Некоторые теоремы геометрии пространства Лобачевского. Полуплоскость Е как карта пространства L обладает еще одним очень важным свойством. Ока конформна. Это значит, что углы между пересекающимися прямыми в L изображаются на карте без искажений, то есть угол между прямыми в пространстве L равен углу между их изображениями на полуплоскости Е.

Рассмотрим в качестве примера две гиперболические прямые — луч AB и полуокружность q, которые на карте пересекаются под прямым углом (рис. 10, а). Гиперболическое движение — зеркальное отражение относительно AB переводит угол 2 в угол 1, а угол 3 в угол 4 и тем самым совмещает их в пространстве L. Поэтому и там угол 1 равен углу 2: а угол 3 равен углу 4. Другое движение — инверсия относительно q оставляет саму окружность q на месте, а на луче AB меняет точки А и В местами. При этом угол 1 переходит в 4, а 2 в 3. Значит, и в L данные углы равны попарно друг другу и их сумма равна 4d. Значит и каждый из них равен d. Прямым углам в Е соответствуют прямые углы в L. Теперь давайте выясним, что же такое абсолют полуплоскости Е. Возьмем гиперболическую прямую — луч OA (рис. 10, б) и разделим точкой A1 отрезок OA пополам, затем точкой A2 разделим по-

Рис. 10

полам отрезок ОA1 и так далее: OAi+1 = — 1/2 OAi. Преобразование подобия с центром в точке О и коэффициентом подобия является гиперболическим движением и переводит точку Ai в Ai+1 . При этом отрезок АA1 переходит в отрезок A1A2, A1A2 в A2A3. Значит, гиперболические длины этих отрезков равны и преобразование сводится к последовательному откладыванию отрезка АA1 вдоль гиперболической прямой. Ясно, что этот процесс бесконечен, поэтому бесконечно и гиперболическое расстояние от точки А до точки О на абсолюте. Точками на абсолюте а изображаются бесконечно удаленные точки пространства L.

Мы видим, что геометрические объекты кривого пространства L — прямые, углы — на полуплоскости Е изображаются очень простыми эвклидовскими фигурами — полуокружностями и углами между ними. С помощью теорем геометрии Эвклида для окружностей можно получать теоремы для прямых и треугольников кривого пространства L, и получать их очень просто и наглядно. В этом и состоит главное преимущество такой геометрической модели. Сейчас вы сами убедитесь в этом. Сумма углов треугольника в пространстве L всегда меньше двух прямых.

Рассмотрим сначала на полуплоскости Е (рис. 10, в) прямоугольный треугольник ABC, образованный тремя гиперболическими прямыми — перпендикуляром к абсолюту СО' и

полуокружностями р и q с центрами в точках О и О'. Ясно, что произвольный прямоугольный треугольник гиперболическим движением можно привести к такому виду.

Угол 2 между полуокружностями р и q в точке В равен углу 4 между перпендикулярными к ним радиусами OB и O'B, а угол 1 треугольника ABC равен углу 3 между О'О и OА. На отрезке АО как на диаметре построим окружность r, которая пройдет и через точку О. Точка В окружности р будет тогда лежать вне окружности r, поэтому угол 4 меньше угла 5 (5 и 4 имеют общую хорду OO' окружности r). Треугольник ОАО' прямоугольный, и ∠5+ ∠3=d. Значит, ∠1 + ∠2= ∠3+ ∠4 меньше ∠3+ ∠5=d и сумма углов 1, 2, 6 прямоугольного треугольника ABC меньше двух прямых.

Произвольный же треугольник можно разбить на два прямоугольных, опустив на любую сторону перпендикуляр из вершины противоположного угла. Мы видим, что пространство L допускает движения, и сумма углов треугольника в нем всегда меньше двух прямых. Значит, это двухмерное пространство постоянной отрицательной кривизны. И если можно было сомневаться в его существовании, то только не теперь, когда мы построили его явную модель.

К возможности существования такой геометрии Лобачевский пришел, конечно, не таким путем. Он начал с попыток доказать от противного пятый постулат Эвклида, который утверждает, что через точку вне прямой проходит одна и только одна прямая (параллельная), которая не пересекаегся с первой. На протяжении многих веков этот постулат внушал геометрам сомнения, и его пытались «доказать», исходя из каких-то более простых и очевидных предпосылок. Но все было напрасно. Доказательств не получалось. Лобачевский (и не он первый, конечно) сделал допущение, что через точку вне прямой может проходить несколько прямых линий, не пересекающихся с исходной, и пытался на основании этого постулата развивать геометрию дальше, надеясь прийти где-нибудь к противоречию, что и доказывало бы невозможность такого допущения. Но противоречия не получалось. Вместо этого возникла новая геометрия, совсем непохожая на эвклидовскую, но такая же стройная и непротиворечивая.

В нашей модели как раз выполняется постулат Лобачевского (см. рис. 10, г). Через точку А вне гиперболической прямой l проходит бесконечно много гиперболических прямых, заключенных между гиперболическими прямыми р и q, которые называются параллельными прямой l. Параллельные прямые в геометрии Лобачевского имеют общую бесконечно удаленную точку. Например, параллельные прямые р и l имеют общую точку О на абсолюте а. Гиперболические прямые типа r, которые не пересекаются с l и не имеют с l общих точек на абсолюте, называются расходящимися. Пря-

мые l и q также параллельны, — они имеют общую точку на бесконечности Е.

О геометрии Лобачевского можно рассказывать очень много интересного. Но нам нужно кратчайшим путем торопиться к своей цели — релятивистскому пространству скоростей.

Измерение гиперболических отрезков. Рассмотрим сначала отрезок AB на прямой, перпендикулярной к абсолюту (рис. 11, а). Его гиперболическая длина аАB может зависеть только от эвклидовых расстояний уА, уB точек А, В до абсолюта. Преобразование подобия с центром в точке О является гиперболическим движением и переводит отрезок AB в гиперболически равный ему отрезок А'В' с координатами yA' = kyA, yB' = kyВ. Поэтому гиперболическая длина отрезка AB может зависеть только от отношения

Попытаемся установить явный вид данной функции. Возьмем отрезок AC, составленный из отрезков AB и ВС. Гиперболическая длина отрезка АС равна сумме длин отрезков AB и ВС:

Поэтому мы можем записать:

Функциональному уравнению типа а(а ⋅ b) =а(а) +а(b) удовлетворяет только логарифмическая функция: логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей. Гиперболическая длина отрезка AB равна

(логарифм берется по натуральному основанию е = 2,7182...) Для тех, кто умеет интегрировать, этот результат очевиден:

Через точку А проведем теперь окружность р (рис. 11, б) с центром в точке О и окружность q с центром в точке С. При инверсии относительно q прямая OB переходит в окружность р, точка В в точку В' и отрезок AB в отрезок гиперболиче-

Рис. 11

ской прямой (полуокружности р) AB' той же самой гиперболической длины.

Выразим ее через угол 0. Так как угол ОСВ' равен угол ОВС будет равен Поэтому

Теперь мы умеем измерять гиперболическую длину любого отрезка гиперболической прямой. Нам это нужно для того, чтобы установить очень важное свойство бесконечно малого четырехугольника Саккери.

В точках А и В прямой AB восставим два перпендикуляра, возьмем на них точки А' и В', лежащие на одинаковом расстоянии b от точек А и В и соединим их прямой А'В' (рис. 11, в). Полученный четырехугольник называется четырехугольником Саккери. Рис. 11, в изображает в символическом виде (не в полуплоскости Е) четырехугольник Саккери в случае эвклидовой геометрии и в пространстве Лобачевского. В эвклидовом случае это прямоугольник, у которого противоположные стороны равны. При отрицательной кривизне отрезок прямой А'В' по длине не равен AB.

Мы возьмем четырехугольник Саккери, построенный на бесконечно малом отрезке AB с гиперболической длиной da

и посмотрим, чему будет равна длина da' отрезка А'В'. Очевидно, что она может зависеть от длины b отрезков АА' и ВВ'. Точки А и В выберем лежащими на луче ОА, перпендикулярном абсолюту (рис. 11, г), и проведем перпендикулярные к AB гиперболические прямые АА' и ВВ' — эвклидовские полуокружности с центром в О. Точки А' и B1 видны из О под одним и тем же углом 0, поэтому гиперболическая длина отрезков АА' и ВВ' одинакова и равна b = ln ctg- , что иначе можно записать как

Эвклидова длина бесконечно малых отрезков AB и А'В' одинакова, но их гиперболические длины da и da' различны:

Очевидно, что ОВ = 0В' и

и гиперболическая длина

Выразим теперь через длину b отрезков AB и А'В'.

поэтому

Окончательно получаем, что da' = da ⋅ chb. Здесь нам впервые встретились так называемые гиперболические функции — chb (читается: косинус гиперболический b). Есть также гиперболический синус, тангенс, котангенс. По своим свойствам они очень похожи на обычные тригонометрические функции и нам придется часто ими пользоваться. Мы просто выпишем их определения и основные свойства наряду с обычными тригонометрическими формулами. Их можно доказать, используя только определения sha, cha и свойства показательной функции.

Тригонометрические и гиперболические функции.

Определения

Основные соотношения

Поведение при малых аргументах а

Графики функций показаны на рис. 12.

Рис. 12

Тригонометрия плоскости Лобачевского. Мы хотим получить формулы, которые связывают стороны и углы треугольников на плоскости Лобачевского, чтобы по любым трем элементам можно было находить остальные три. Всего таких элементов шесть — три стороны и три угла, и начинать нужно, конечно, с прямоугольных треугольников, как с самых простых.

Идея вычисления довольно проста. На малых расстояниях кривизна пространства незаметна, поэтому для бесконечно малых треугольников можно пользоваться обычной геометрией и тригонометрией Эвклида. Мы это уже неоднократ-

Рис. 13

но подчеркивали, а здесь используем этот факт в полную силу. Рассмотрим в плоскости Лобачевского L прямоугольный треугольник ABC со сторонами а, b и диагональю с. На рис. 13 он изображен в символическом эвклидовском виде без деформации углов и сторон. Несмотря на его привычный плоский вид, не будем забывать, что это треугольник в кривом пространстве. Придадим катетам а и b произвольные бесконечно малые приращения da, db . В результате получим прямоугольный треугольник А'ВС', углы которого бесконечно мало отличаются от углов а, ß исходного треугольника. На гипотенузу А'В спроектируем отрезки AD и A'D. Для бесконечно малых фигур DEA' и DAFE справедлива геометрия Эвклида, и приращение гипотенузы de будет равно dc=A'D cosa+ADsina = db cosa + da'sina. Теперь заметим, что CC'DA — прямоугольник Саккери, построенный на отрезке СС длиной da. Длина da' отрезка AD равна

da' = da ⋅ chb.

В результате получаем, что приращение диагонали dc выражается через приращения катетов da, db:

Совершенно аналогично можно записать, что

Сравнивая эти выражения, мы получим, что

равно нулю при любых da, db. Это означает, что нулю равны коэффициенты при da и db. Мы получили первую пару уравнений, связывающую стороны и углы прямоугольного треугольника Лобачевского:

(1) (2)

Еще два уравнения можно получить с помощью следующих соображений. Пусть катет а прямоугольного треугольника ABC получил бесконечно малое приращение da (рис. 14). В полученном таким образом треугольнике А'С'В угол А' с точностью до бесконечно малых равен а. Из точки С отложим отрезки С'А" = СА = b и С'В' = СВ = а. Треугольник А"В'С по построению равен исходному треугольнику ABC.

Рис. 14

Спроектируем теперь А"В' на А'В (опустим перпендикуляры A"D и В'Е). Так как угол А"В'С равен ß, углы четырехугольника A"DEB в точках Е и В' прямые. Значит, это четырехугольник Саккери, и

С другой стороны из треугольника AA"D

Сравнивая данные два выражения, получим еще одно соотношение:

(3)

Четвертое соотношение получается аналогичо, с заменой

Этих соотношений уже достаточно для того, чтобы построить всю тригонометрию пространства Лобачевского.

В прямоугольном треугольнике каждый из его элементов a, b, с, а, ß можно выразить через два других, используя выведенные нами соотношения (1—4) и формулы для гиперболических и тригонометрических функций. Выведем самые важные для нас.

Теорема Пифагора для треугольника Лобачевского связывает его гипотенузу и катеты. Подставим cosß = chb ⋅ sinca из уравнения (1) в уравнение (4). После сокращения на sina получим, что

(5)

Если треугольник Лобачевского мал, то есть а, b, с< 1, эта формула, конечно, переходит в формулу теоремы Пифагора на эвклидовой плоскости. При малых х можно вместо гиперболических косинусов подставить в (5)

и отбросить бесконечно малые высшего порядка a2 ⋅ b2 по сравнению с a2 и b2. В результате получим c2 = a2 + b2.

Гипотенуза, катет и противоположный угол. Возведем (3) в квадрат и исключим с помощью (1) угол а:

перенесем sin2ß в левую часть:

Извлекая корень, получим

(6)

При эта формула переходит в обычную эвклидовскую:

Гипотенуза, катет и прилежащий угол.

На этот раз с помощью (1) исключим угол ß. Проследим за преобразованиями:

Получим окончательный результат:

(7)

Для произвольного треугольника мы выведем только две основные формулы: теорему косинусов и теорему синусов.

Теорема косинусов.

В косоугольном треугольнике со сторонами а, b, с и углами а, ß, у (рис. 15, а) из вершины С опустим на противоположную сторону перпендикуляр CD = h. Из прямоугольного треугольника DCB по «теореме Пифагора» найдем, что

раскроем как косинус суммы:

Здесь мы воспользовались тем, что chb-chd = chb. В прямоугольном треугольнике ACD выразим прилежащий катет d

Рис. 15

через гипотенузу ъ и угол a: thd = thb ⋅ cosa. В результате получим теорему косинусов:

При а, b, с<1 она переходит в обычную формулу косинусов эвклидовой геометрии:

Теорема косинусов — самая важная формула тригонометрии Лобачевского. Все остальные можно получать из нее чисто аналитическим путем, используя известные свойства гиперболических и тригонометрических функций.

Теорема синусов непосредственно следует из соотношения (4) для прямоугольных треугольников ACD и CDВ (рис. 15).

Эта формула также переходит в обычную теорему синусов при малых а, b, с.

В заключение мы приведем сводку основных формул тригонометрии Лобачевского:

Тригонометрия прямоугольного треугольника (рис. 15, а):

1. 2. 3. 4.

Тригонометрия произвольного треугольника (рис. 15, б):

5.

(теорема косинусов), (теорема синусов).

Скорость и расстояние

Мы много знаем теперь о релятивистском пространстве скоростей. Мы полностью знаем его геометрию и можем легко решить в нем любой треугольник, используя для этого тригонометрические формулы из предыдущей главы. И сделать это будет также нетрудно,

как и в эвклидовом нерелятивистском пространстве скоростей, нужно только немного привыкнуть к виду формул геометрии Лобачевского.

Мы знаем, как физически интерпретировать геометрические понятия пространства скоростей: точки, прямые, углы между ними.

Мы знаем, что расстояние аab между двумя точками А и В в пространстве скоростей определяет относительную скорость vав двух наблюдателей:

vab=f(aa )'

Но мы еще не знаем явного вида данной функции. Чтобы найти его, посмотрим на одно и то же явление с двух точек зрения: с точки зрения наблюдателя в нашем обычном плоском координатном пространстве и с точки зрения пространства скоростей с геометрией Лобачевского. Пусть в системе координат Оху (рис. 16, а) из его начала О с постоянной скоростью v движется частица A, и направление ее движения составляет угол а с осью координат Ох. Через время t частица окажется в точке с координатами x = vcosa ⋅ t, у = v sina ⋅ t.

Рассмотрим еще одну систему координат О'х'у', которая движется вдоль оси Ох со скоростью v cosa, причем в начальный момент времени координатные оси О'х'у' совпадают с осями Оху. За время t система О'х'у' пройдет вдоль оси Ох путь, тоже равный v cosa ⋅ t. Координаты по оси х точки О' и частицы А будут совпадать, поэтому частица будет всегда находиться на оси О'у'. Для наблюдателя в системе О'х'у' частица будет двигаться вдоль оси О'у'. С точки зрения наблюдателя О' скорость частицы будет направлена по оси О'у', а скорость системы Оху вдоль оси О'х' и равна — v cosa, поэтому векторы скорости vO'А и vO'O перпендикулярны друг другу. А теперь посмотрим, как все это будет выглядеть в пространстве скоростей (рис. 16, б).

Рис. 16

Точки О, О', А изображают скорости, наблюдателей О, О' и частицы A, и образуют треугольник OO'А со сторонами а, b, d.

Длина а отрезка OA определяет относительную скорость частицы А и наблюдателя О, то есть v:

v = F(a).

Аналогично длина b отрезка OO' определяет относительную скорость v= v cosa наблюдателей О и О'

Угол АОО' нашего треугольника равен углу a между векторами скоростей частицы А и наблюдателя О' с точки зрения наблюдателя О. Треугольник АОО' прямоугольный, так как для наблюдателя О' скорости точек A и О перпендикулярны друг другу. Мы видим, что нашему случаю в пространстве скоростей отвечает прямоугольный треугольник, для которого справедлива формула тригонометрии Лобачевского:

С другой стороны, v = F(a), поэтому

Поделим теперь второе соотношение на первое; cosa сократится, и мы получим, что

Равенство выполняется при любых a, b, поэтому отношение F(a)/tha должно равняться некоторой константе я, не зависящей от а и b:

Что это за константа? Давайте вспомним, что скорость света изображается бесконечно удаленными точками пространства скоростей, расстояние до которых от любой другой точки равно бесконечности. Для любого инерциального наблюдателя скорость света имеет одну и ту же величину

Но гиперболический тангенс от бесконечности, как видно из графика (рис. 12), равен th(œ) = 1, поэтому константа k есть просто скорость света с = 3⋅1010 см/сек. Мы получили очень важный результат:

Относительная скорость vAB/c инерциальных наблюдателей A, В, измеренная в единицах скорости света, равна гипербо-

лическому тангенсу расстояния между точками А и В в пространстве скоростей.

Данная формула — основная для всей теории. Она устанавливает связь между геометрией Лобачевского и физическими величинами. Очень удобно использовать естественную систему единиц, в которой величина скорости света равнялась бы единице. Можно, например, в качестве единицы длины взять путь, который проходит свет за одну секунду. Скорости тел, измеренные в такой системе единиц, мы будем обозначать буквами V. Они очень просто связаны с нашими обычными скоростями: v = cV

Теперь в релятивистском пространстве скоростей мы можем решить любой треугольник и найти относительную скорость любых двух точек. Лучше всего это можно увидеть на примерах, которые и сами по себе представляют большой интерес. Мы их рассмотрим в следующем разделе.

Здесь мы еще попробуем понять, когда возникает не пространство Лобачевского, а пространство Эвклида. Предположим, что наше пространство скоростей эвклидово. Тогда треугольник OO'А на рис. 16, б — эвклидовский, и вместо соотношения thb = tha ⋅ cosa для него можно записать, что b = a⋅cosa. Поделив опять на F(b)=F(a) ⋅ cosa, получим, что

при любых a, b значит

Но скорость света лежит в бесконечности пространства скоростей а = ∞, поэтому vсвета = ∞. Мы видим, что эвклидовой геометрии пространства скоростей отвечает бесконечная скорость распространения взаимодействий.

Релятивистская кинематика

Сложение скоростей наблюдателей, движущихся по одной прямой. Рассмотрим самый простой случай (вначале лучше разобраться в простых вещах). Ракета с большой околосветовой скоростью V1 вылетает с Земли к созвездию a — Центавра и выпускает в том же направлении небольшой разведывательный корабль. С какой скоростью корабль будет двигаться относительно Земли, если с ракеты его запустили со скоростью V2? Вы уже,

наверное, достаточно осторожны, чтобы не ответить: со скоростью V1 + V2. В пространстве скоростей (рис. 17) точки З, Р, К, изображающие скорости Земли, ракеты и корабля, лежат на одной прямой. Расстояние a1 между точками 3 и Р определяет скорость ракеты относительно Земли V1 = tha1 расстояние a2 между Р и К — скорость корабля относительно ракеты V2 = tha2. Скорость же корабля относительно Земли будет определяться расстоянием а между точками З и К:

а = a1+а2.

В релятивистском случае складываются не скорости, а расстояния в пространстве скоростей!

Нетрудно найти и величину V скорости корабля относительно Земли:

Ее можно выразить и через известные скорости V1 и V2. Для этого вспомним, что тангенс гиперболический суммы аргументов выражается через тангенсы слагаемых:

Подставим теперь сюда скорости и получим, что

В предельном случае малых скоростей V1, V2<1 (единице равна скорость света в нашей системе) можно в знаменателе пренебречь произведением V1V2. В этом нерелятивистском пределе мы приходим к привычному, «домашнему» закону сложения «медленных» скоростей

При больших, релятивистских скоростях этого сделать, конечно, нельзя и нужно пользоваться точной формулой. Например, если V1 и V2 равны половине скорости света V1 = V2 = 1/2, то

V равно 4/5 скорости света.

Рис. 17

А теперь рассмотрим случай посложнее. Частица движется по оси у со скоростью Vy, а наблюдатель по оси х со скоростью Vx. Чему равна скорость частицы относительно наблюдателя? Как она направлена? Начнем с того, что нарисуем в пространстве скоростей картинку, соответствующую задаче. Нарисуем схематично, без особых искажений, связанных с кривизной. Точка О будет изображать скорость исходной системы, О' — скорость наблюдателя, А — скорость частицы. Прямые OO', OA (рис. 18) пересекаются в точке О под прямым углом (в системе координат О наблюдатель и частица движутся перпендикулярно друг другу). Поэтому треугольник OO'А — прямоугольный и его стороны определяют соответствующие скорости: Vx = tha, Vy = thb. Скорость же частицы относительно наблюдателя О определяется стороной с: V = thc, а направление — углом а треугольника ОО'A.

Наша задача, как и всегда, свелась к чисто геометрической: в пространстве Лобачевского известны катеты a, b прямоугольного треугольника, нужно найти его гипотенузу с и угол а. А это мы уже умеем делать. Мы не зря занимались геометрией и умеем решать любые треугольники, тем более прямоугольные:

Это и есть решение нашей задачи. Правда, можно еще написать ответ и через скорости Vх, Vy. Для этого нужно все гиперболические функции выразить через гиперболические тангенсы:

и подставить вместо тангенсов соответствующие скорости. После небольших преобразований получим следующий ответ:

(*)

В нерелятивистском пределе малых скоростей в первой формуле можно пренебречь членом Vx2 ⋅ V2y по сравнению с ос-

Рис. 18

тальными, а во второй — V2x по сравнению с единицей. В результате получим, конечно, обычные нерелятивистские формулы:

Аберрация света звезд. Гораздо больший интерес представляют данные формулы в другом предельном случае. Пусть скорость Vv точки А увеличивается, приближаясь к величине скорости света Vy = 1. В пространстве скоростей точка А при этом уходит на абсолют, на котором лежат бесконечно удаленные точки пространства L, а прямые OA и О'А становятся параллельными в смысле Лобачевского. Если мы подставим в (*) Vy = 1, то получим, что

скорость точки А и для наблюдателя О' равна, естественно, единице, если она изображает скорость света, а

Угол а называют углом параллельности Лобачевского. С ним непосредственно связано явление аберрации света звезд. Что же это такое? Если смотреть на небо в телескоп перпендикулярно плоскости движения Земли вокруг Солнца, то можно заметить, что в разное время года далекие звезды видны под разными углами. Объяснение этого очень просто. Земля движется вокруг Солнца со скоростью около 30 км/сек, и в течение полугода скорость ее меняется на 60 км/сек. Поэтому, если летом наблюдатель видит звезду точно под углом 90° к направлению движения Земли (в пространстве скоростей скорость фотонов перпендикулярна скорости Земли, которая изображается точкой О на рис. 19), то через полгода скорость Земли будет изображаться точкой О' и скорость фотонов, направляющихся от той же звезды, будет составлять угол а с направлением OO' движения Земли. Нам будет казаться, что угловые координаты звезды изменились на угол ψ = π/2 — а. Мы уже фактически вычислили этот угол:

Рис. 19

Хотя эффект аберрации света звезд и поддается экспериментальному обнаружению, угол аберрации г|э настолько мал, что наблюдения не смогли до настоящего времени дать решающего подтверждения приведенной релятивистской формулы, так как теория Ньютона дает очень близкое предсказание, а именно

«Релятивистский прожектор». Этот интересный эффект может возникнуть только при очень больших скоростях движения источника света. Пусть, например, такой источник установлен на ракете и излучает свет равномерно по всем направлениям, а сама ракета летит мимо наблюдателя с околосветовой скоростью V = tha. Относительно ракеты свет излучается равномерно, и ровно половина его излучается в переднюю полусферу по направлению движения ракеты. В пространстве скоростей это будет выглядеть так (рис. 20): точка Р изображает ракету, точка О — неподвижного наблюдателя, а прямая AA' ограничивает переднюю полусферу, куда направлена ровно половина всего света. Точки A и A' изображают скорости фотонов, которые летят под самым большим углом (π/2) и ограничивают пучок света, излучаемого вперед. Для неподвижного наблюдателя О скорости этих крайних фотонов будут видны под углом а к направлению движения ракеты, и данный угол, естественно, не равен π/2. Пучок света, излучаемый вперед, для неподвижного наблюдателя будет заключен уже в узком конусе по направлению движения ракеты, свет как бы концентрируется в этом конусе, хотя на самой ракете он излучается во все стороны равномерно. Угол раскрытия конуса мы нашли — это просто угол параллельности Лобачевского:

Если скорость ракеты очень велика и приближается к скорости света, то

Рис. 20

Такое сужение пучка называют эффектом «прожектора».

Конус вылета частиц. Примерно то же самое наблюдается и тогда, когда распадаются очень быстрые частицы. Продукты их распада тоже летят в узком конусе по направлению движения. Угол раскрытия конуса мы можем подсчитать. В системе координат, связанной с частицей, продукты распада могут лететь в любом направлении. Обозначим через V1 величину скорости осколков в данной системе. Если частица распадается на две другие, то V1, как мы увидим позднее, зависит только от масс начальной и конечных частиц. Значит, в пространстве скоростей точки, изображающие скорости продуктов распада, будут лежать на одинаковом расстоянии a1 от точки О, изображающей скорость начальной частицы (рис. 21):

Посмотрим теперь на эту картинку с точки зрения наблюдателя О', мимо которого частица О движется со скоростью V2 = tha2. Для этого наблюдателя продукты распада могут двигаться под углом, не превышающим амакс. Его мы найдем из прямоугольного треугольника АОО':

Можно его выразить и через скорости V1, V2:

Продукты распада частицы будут лететь в конусе с углом раскрытия амакс, если, конечно, V1<V2. В противном случае точка О' лежит внутри окружности, и распадные частицы могут двигаться в любом направлении относительно наблюдателя О'.

Рис. 21

Законы сохранения импульса и энергии в релятивистской механике

Разберемся теперь в том, что такое импульс частицы. В инерциальных системах отсчета свободные частицы движутся равномерно и прямолинейно, сохраняя постоянными величину и направление скорости. Взаимодействие между частицами (например, при столкно-

вении) проявляется в том, что векторы скорости каждой из них начинают изменяться, но когда частицы разлетятся далеко друг от друга и взаимодействие между ними уже прекратится, изменение импульса одной из них равно по величине и противоположно по направлению изменению импульса другой.

В нерелятивистской механике импульс определяется как произведение массы частицы на ее скорость: p = mV. Полный импульс системы сохраняется при столкновении частиц небольших энергий: p1+р2 = p1 + p2. Но в случае больших скоростей сталкивающихся частиц так определяемый импульс системы перестает сохраняться. И перед нами встает выбор: либо отказаться в релятивистском случае от закона сохранения импульса, либо отказаться от ньютоновского определения этой величины.

Закон сохранения импульса играет такую огромную роль в физике, что, естественно, следует выбрать второй путь. Мы примем за основу именно закон сохранения и будем искать векторную величину, которая сохраняется при столкновениях во всех системах отсчета — импульс частиц.

Но сначала несколько замечаний о единицах измерения импульса и энергии. В нашей системе единиц расстояние измеряется в световых секундах (единица длины — это путь, который проходит свет за одну секунду), поэтому скорость безразмерна. Энергия и импульс нерелятивистских частиц в такой системе единиц имеют размерность массы:

Чтобы получить импульс и энергию в обычной системе единиц, нужно домножить импульс на с, а энергию на квадрат скорости света c2:

В релятивистской механике такая система единиц очень удобна, мы и впредь будем измерять энергию и импульс частиц в единицах массы, дополнительно не оговаривая этого.

Прежде всего нужно решить, как может быть направлен вектор импульса. В инерциальных системах отсчета все направления в пространстве совершенно равноправны, и для движущейся частицы существует единственное выделенное направление — направление ее движения. Вектор импульса должен быть направлен по вектору скорости частицы, — другой однозначной возможности выбора вектора импульса просто не существует. Правда, можно направить импульс и против вектора скорости, но от этого ничего бы не изменилось, и мы произвольно выбираем одну из двух возможностей: вектор импульса частицы совпадает по направлению с вектором ее скорости.

Остается найти величину вектора импульса, его зависимость от скорости частицы Vao относительно наблюдателя О. Но скорость частицы определяется расстоянием aAO между точками A и О в пространстве скоростей VAO = thaAO, поэтому можно сформулировать задачу иначе: нужно найти зависимость импульса р(а) от расстояния а в пространстве скоростей между точками, изображающими скорости частицы и наблюдателя. Это можно сделать, потребовав, чтобы полный импульс сохранялся при упругих столкновениях.

Рассмотрим столкновение двух одинаковых частиц А и В. Всегда можно выбрать такую систему отсчета, в которой скорости частиц равны по величине и противоположны по направлению. На рис. 22 в пространстве скоростей данная система изображается точкой О, лежащей посередине между точками А и В, которые изображают скорости частиц до столкновения. Для наблюдателя О одинаковые частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, поэтому их импульсы должны быть равны по величине и противоположны по направлению: pAO =—pBO (равны по величине, потому что их скорости одинаковы р(аOA) =р(аOB), направлены в противоположные стороны, ибо в противоположные стороны направлены скорости частиц VOA и VOB). Это означает, что с точки зрения наблюдателя О импульс системы двух частиц до столкновения равен нулю. Что же произойдет после столкновения? Полный импульс системы должен сохраниться и остаться равным нулю — после столкновения частицы должны двигаться в противоположных направлениях с равными скоростями. Это означает, что точки А' и В', изображающие скорости частиц после столкновения, должны лежать на прямой, проходящей через точку О, на одинаковом расстоянии от самой точки О. Более того, мы ограничимся пока упругими столкновениями, при которых в процессе самого столкновения не меняется внутреннее состояние частиц.

Если просматривать в обратном порядке кинофильм, изображающий процесс столкновения, то в этом процессе не произойдет никаких изменений, кроме того, что налетающие частицы будут изображаться точками А', В', а рассеянные — точками А и В. Для наблюдателя О каждая частица при таком упругом соударении может изменить лишь направление своего движения, но не абсолютную величину скорости, и в результате эффект соударения для наблюдателя О сводится к повороту на угол φ векторов скорости обеих частиц. В пространстве скоростей OA = OВ = OА' = OВ' = а. Систему отсче-

Рис. 22

та О, в которой полный импульс равен нулю, как и в нерелятивистском случае, называют системой центра масс (СЦМ). Кинематическая диаграмма, изображающая столкновение одинаковых релятивистских частиц, выглядит точно так же. как и в нерелятивистском пространстве скоростей.

Теперь давайте рассмотрим это же столкновение с точки зрения наблюдателя, скорость которого изображается точкой О', лежащей посередине отрезка ВВ' (рис. 23, а). Скорости частиц до столкновения определяются отрезками О'A и O'B, а после — отрезками О'A' и О'В'. Картинка полностью симметрична, поэтому O'В = O'В' = O"А = O"А' = b и и O'А' = O'А = с. Нарисуем теперь вектора импульсов частиц в координатном пространстве наблюдателя О' (рис. 23, б). Векторы pA и pB — импульсы частиц A, В до рассеяния, pA', pB' — после рассеяния, а — тот же угол, что и на рис. 23, а. Импульс системы должен сохраняться и для наблюдателя O':

По оси X он сохраняется в силу симметрии, поэтому мы запишем закон сохранения импульса по оси у:

(В координатном пространстве работает тригонометрия Эвклида.) Вспомним теперь, что величина импульса определяется расстоянием от точки О до точек A, B, A', В':

Закон сохранения импульса по оси у после этого примет простой вид:

(*)

Вид функции р(b) нам еще не известен, и чтобы его найти, осталось сделать всего один шаг. Посмотрим еще раз на рис.

Рис. 23

23, а. Кинематическая диаграмма симметрична относительно прямой О'О", поэтому каждый из углов АО"O' и А'О"О' равен прямому, а треугольник АО"0' представляет собой прямоугольный треугольник в пространстве Лобачевского. Его катет АО" = b можно выразить через гипотенузу АО' = с и синус противолежащего угла а:

Теперь давайте поделим друг на друга соотношения (*) (**) и после сокращения sina получим, что

Так как b и с принимают различные значения, отношение должно быть равно некоторой постоянной величине:

Эту постоянную можно найти в предельном случае малых скоростей, когда V= tha ~ sha ~ а. Импульс нерелятивистской частицы р = mV и в нерелятивистском пределе

Постоянная k есть просто масса частицы m. Итак, мы нашли, что импульс релятивистской частицы

где а — расстояние в пространстве скоростей от наблюдателя до точки, изображающей скорость частицы. Его можно выразить и через скорость частицы V = tha, если вспомнить, что

Как видите, выражение для релятивистского импульса отличается от ньютоновского множителем -. При небольших скоростях (V <1) этот множитель очень близок к единице, поэтому при анализе столкновений медленных частиц можно пользоваться обычным выражением p = mV. Но при больших скоростях присутствие такого множителя в релятивистской формуле для импульса показывает, что частица способна нести с собой сколь угодно большой импульс, если только она движется со скоростью, близкой к скорости света V=1. Этого никак нельзя было ожидать, опираясь на невер-

ную в этом случае ньютоновскую формулу p = mV, где m — постоянная, а V не может превышать единицы. Таким образом, выражение для импульса быстро движущихся частиц существенно отличается от предсказываемого теорией Ньютона. Естественно ожидать, что и энергия релятивистских частиц будет отличаться от ньютоновской величины E = mV2/2.

Что такое энергия в классической механике? Это величина, зависящая от массы частицы и ее скорости, но в отличие от импульса величина скалярная. Из всех других скалярных величин она выделена законом сохранения энергии: при упругом столкновении сумма энергий частиц после столкновения равна полной энергии частиц до столкновения. В релятивистском случае энергией частиц естественно называть величину, которая зависит от масс и скоростей частиц и сохраняется при столкновении во всех инерциальных системах отсчета.

Может показаться странным, что импульс и энергию мы определяем как величины, сохраняющиеся в процессах столкновений. Какой смысл заключен тогда в законах сохранения энергии и импульса, когда эти величины сохраняются просто по определению? Дело в том, что выражения для них мы находим из законов сохранения, рассматривая только частные случаи столкновений с точки зрения только некоторых наблюдателей. После того мы будем использовать законы сохранения уже для всех столкновений, и упругих и неупругих, с точки зрения любых наблюдателей. И эксперимент показывает, что величины, определенные нами в данных случаях, действительно сохраняются и в любых других столкновениях, в любых других координатных системах. Тем самым законы сохранения энергии и импульса выполняются в силу глубоких причин, связанных с однородностью нашего пространства и времени.

Выражение для релятивистской энергии частиц мы найдем посмотрев на процесс упругого столкновения одинаковых частиц с точки зрения наблюдателя в лабораторной системе, в которой покоится одна из сталкивающих частиц, например А (рис. 24). Скорость налетающей частицы изображается точкой В, скорости рассеянных частиц — точками А', В'. Для наблюдателя А энергия каждой частицы определяется ее скоростью относительно наблюдателя V = tha, то есть расстояниями АА', AB, AB' в пространстве скоростей от наблюдателя А до точек А', В, В'.

Рис. 24

Энергия частиц до столкновения:

Энергия частиц после столкновения:

Закон сохранения энергии дает нам уравнение, которому должна удовлетворять функция Е(а):

Проверим, удовлетворяет ли этому уравнению функция

Запишем теорему косинусов для равнобедренных треугольников АОВ' и АОА':

Сложим данные уравнения. Так как члены с sh2b сократятся, и мы получим

С другой стороны, из формулы для гиперболического косинуса суммы аргументов

следует, что

Перенеся —1 в левую часть, мы получим

и, следовательно, справедливо равенство

Умножив его на массу частиц m, мы увидим, что функция E = m⋅cha действительно удовлетворяет закону сохранения энергии:

Множитель m в выражение для энергии мы добавили для того, чтобы энергия имела правильную размерность — размерность массы в нашей системе единиц. Кроме того, в нерелятивистском случае, при малых скоростях

поэтому в нерелятивистском пределе энергия частицы

Но здесь mV2/2 — обычное ньютоновское выражение для кинетической энергии, измеренной в единицах массы. Следовательно, релятивистская энергия связана с кинетической энергией частицы, хотя и не равна ей из-за присутствия добавочного члена m. Этот добавочный член сохраняется, даже если частица находится в состоянии покоя, когда ее кинетическая энергия равна нулю. Е = m ⋅ ch(o) = m называют энергией покоя частицы. Энергию покоя можно выразить и в обычной системе единиц, для этого достаточно умножить Е на квадрат скорости света c2. Мы приходим тогда к знаменитому выражению Е = mc2 (энергия покоя в обычных единицах). В механике Ньютона не существует понятия энергии покоя, хотя в ней и можно в выражение для энергии добавлять произвольную постоянную, не изменяя при этом уравнений движения частицы. Но в релятивистском случае невозможно удовлетворить требованиям сохранения энергии и импульса во всех инерциальных системах отсчета, если не учитывать во всех системах энергию покоя в составе полной энергии. Таким образом, релятивистское выражение E = m⋅cha можно рассматривать в случае малых скоростей как способ нахождения этой произвольной постоянной, неопределимой в рамках ньютоновской механики.

Выражение для релятивистской энергии можно переписать и в других удобных видах, например, через скорость частицы

или через ее импульс

Выражение справедливо как при больших, так и при малых импульсах, причем его можно упростить в обоих предельных случаях. Когда импульс частицы мал по сравнению с ее массой (то есть когда скорость частицы мала по сравнению со скоростью света V<1), его можно разложить по биному и получить для малых р< m:

При достаточно малых р можно оставить два первых члена разложения

первый из которых представляет собой энергию покоя, а второй — ньютоновское выражение для кинетической энергии частицы с импульсом р.

Если же импульс частицы велик по сравнению с ее массой p>m (ультрарелятивистский предел), то

При достаточно больших р можно ограничиться первым членом разложения: в ультрарелятивистском случае энергия частицы равна ее импульсу E ~ р.

Вообще же связь между энергией и импульсом релятивистской частицы при любых ее скоростях очень удобно записывать в двух разных видах:

Из последнего равенства следует, что импульс р приближается по своей величине к энергии частицы E, когда скорость ее становится сколь угодно близкой к скорости света V=1. Релятивистские выражения для энергии и импульса

теряют свои смысл, если речь идет об объектах, движущихся со скоростью света V=1, но зато равенство p = EV приобретает исключительную простоту: для любого вида энергии, распространяющегося со скоростью света, Е = р. Кроме того, из соотношения E2—р2 = m2 следует, что любой объект, переносящий энергию со скоростью света, имеет нулевую массу покоя m = 0. В настоящее время достоверно известны лишь два механизма переноса энергии со скоростью света — электромагнитное излучение и нейтрино. Оба они наблюдались экспериментально. Считается, что и гравитационное поле должно распространяться со скоростью света в пустоте, однако измерение скорости гравитационных волн лежит пока вне возможностей современного эксперимента.

Релятивистские выражения для энергии и импульса мы выводили, опираясь на законы сохранения в случае упругого столкновения одинаковых частиц. Но эти же выражения мы перенесем и на случай неупругих столкновений разных частиц, массы которых могут меняться в процессе взаимодействия между ними, причем энергия и импульс до и после взаимодействия, когда частицы находятся далеко друг от друга и движутся прямолинейно и равномерно, являются аддитивными величинами. Это означает, что энергия и импульс системы невзаимодействующих частиц равны сумме энергий,

и импульсов отдельных частиц. Эксперимент показывает, что так определенные энергия и импульс системы действительно сохраняются при любых взаимодействиях между частицами, в любых процессах рассеяния, рождения новых частиц и распада старых:

Давайте теперь посмотрим, как все эти процессы будут изображаться на кинематических диаграммах в пространстве скоростей.

Примеры релятивистских процессов рассеяния и распада частиц

Упругое рассеяние частиц разных масс. Рассмотрим этот процесс в системе центра инерции сталкивающихся частиц с массами m1, m2. В данной системе полный импульс частиц до рассеяния p1 +р2 = 0. Поэтому в пространстве скоростей точки 1 и 2, изображающие скорости частиц до процесса рассеяния, лежат на прямой, проходящей через точку О (СЦМ) на расстояниях ах и a2 от точки О и m1 ⋅ sha1 = m2 ⋅ sha2 (рис. 25) p1=p2. Скорости частиц после рассеяния 1' и 2' тоже должны лежать на прямой, проходящей через точку О на расстояниях a1 , a2,

(Закон сохранения импульса).

Закон сохранения энергии в СЦМ

приводит к тому, что a1' =а1; а'2 =а2. В процессе столкновения в СЦИ импульс каждой из частиц не может измениться по величине из-за закона сохранения энергии, так как

Рис. 25

Мы видим, что релятивистская кинематическая диаграмма очень похожа на нерелятивистскую. Претерпело изменение лишь «правило рычага»:

m1 ⋅ sha1 = m2 ⋅ sha2.

Как и в нерелятивистском случае, кинематическую диаграмму можно рассматривать с точки зрения любого наблюдателя в любой инерциальной системе, законы сохранения энергии и импульса будут выполняться при этом автоматически. Нужно только не забывать о кривизне пространства скоростей и использовать при вычислениях тригонометрические формулы пространства Лобачевского. Найдем, например, максимальный угол рассеяния тяжелой релятивистской частицы на легкой частице, покоящейся в лабораторной системе координат.

На рис. 26, а тяжелая частица m2 рассеивается на легкой m1 на угол a в лабораторной системе, скорость которой изображается точкой 1. Угол рассеяния будет максимален, когда прямая 12' касается окружности с центром в О, на которой лежат точки 2', изображающие скорости тяжелой частицы после рассеяния. Из прямоугольного треугольника 12'O находим, что

откуда

Интересно, что и в релятивистском, и в нерелятивистском случае максимальный угол рассеяния определяется тем же отношением масс:

Распады частиц. Кроме процессов рассеяния, физика элементарных частиц изучает и процессы их распада. Например, положительный K+-мезон (масса 967 масс электрона) за 10—8 сек распадается на положительный π+-мезон (масса

Рис. 26

273 масс электрона) и нейтральный π°-мезон (масса 264 масс электрона) :

В этом процессе масса распавшегося K+-мезона (967 е. м.) больше суммы масс образовавшихся частиц 273 + 264 = 637 е. м. Энергия покоя K+-мезона (в системе координат, где распавшийся K+-мезон покоился) переходит в энергию распавшихся частиц, которые разлетаются в противоположных направлениях, и, кроме энергии покоя, обладают еще и кинетической энергией движения. В этом процессе также выполняются законы сохранения энергии и импульса:

В пространстве скоростей (рис. 26, б) точки K+, π+, π° изображают скорости K+, π+, π°-мезонов. В системе покоя К+ импульс до распада равен нулю. После распада π+, π°-мезоны разлетаются в противоположных направлениях с примерно одинаковыми скоростями, так как их массы примерно равны: mπ+ ~ mπ° и a1 ~ a2 = а. Расстояние a1 = a2 определяется законом сохранения энергии:

Из закона сохранения энергии следует, что частица может распадаться на две другие, только если сумма масс покоя продуктов распада будет меньше массы покоя начальной частицы. В противном случае распад будет запрещен законами сохранения энергии — импульса. Из кинематической диаграммы можно найти все интересующие нас величины. Например, угол вылета продуктов распада, если распадается быстро летящий K-мезон. Для этого нужно только посмотреть на кинематическую диаграмму с точки зрения наблюдателя О', относительно которого распавшийся K-мезон двигался со скоростью V = thb (или с энергией E = mkchb). Продукты распада π+, π° вылетают под углами а+, a0 относительно направления движения распавшегося K-мезона. Максимальный угол вылета π+-мезона определяется из треугольника O'Kπ+ (рис. 26, в):

Его энергия находится из прямоугольного треугольника AKπ+

Угол разлета при столкновении одинаковых частиц. Ньютоновская механика предсказывает, что угол разлета частиц, равной массы при рассеянии одной из них на покоящейся другой всегда равен 90°. Иное дело в теории относительности — угол разлета при больших скоростях всегда должен быть меньше 90°. Убедимся в этом на простом примере, когда после рассеяния частицы разлетаются симметрично относительно направления движения налетающей частицы. В пространстве скоростей этому случаю соответствует кинематическая диаграмма рис. 27.

Лабораторная система, в которой покоилась одна из частиц до рассеяния, изображается точкой 1, точками 1' и 2' — скорости частиц после рассеяния, угол разлета частиц а есть угол между прямыми 11' и 12'. С помощью теоремы косинусов геометрии Лобачевского найдем из треугольника 11'2' угол а:

Но гиперболический косинус двойного угла равен

а из прямоугольного треугольника 101' с помощью «теоремы Пифагора» найдем:

Подставим эти выражения в теорему косинусов

и получим, что

Выразим угол разлета через энергию частиц после рассеяния Е = m ⋅ chb:

Очевидно, что косинус а зависит от энергии и всегда больше нуля, поэтому угол разлета меньше 90°. В ультрарелятивистском случае больших энергий E>m, cos а ~ 1 и угол

Рис. 27

разлета близок к нулю. В нерелятивистском случае

Абсолютно неупругое столкновение. На первоначально покоившуюся частицу массы m1 налетает вторая частица с энергией Е и массой m2. При столкновении частицы «слипаются» и движутся вместе. Чему равна масса покоя m такой составной частицы? Чтобы вычислить ее величину, напишем закон сохранения энергии и импульса. Энергия составной частицы Е' равна сумме энергии покоившейся и налетавшей частиц:

а импульс р' — сумме импульсов исходных частиц, т. е. импульсу налетавшей частицы:

Массу образовавшейся частицы найдем с помощью соотношения между импульсом и энергией:

В нерелятивистском пределе малых энергий Е ~ m2 и

приближенный закон сохранения массы.

Из этих примеров видно, что знание геометрии и тригонометрии Лобачевского позволяет решать самые разнообразные задачи релятивистской физики, связанные с кинематикой столкновений элементарных частиц. Можно было бы рассказать еще о многих интересных вещах — мы только подошли к ним, но ограниченный объем брошюры не позволяет этого сделать. Авторы вынуждены были прибегнуть в связи с этим и к сжатому стилю изложения, требующему от читателя большого терпения, настойчивости и работы с карандашом и бумагой. Но мы надеемся, что труд читателя, дочитавшего книжку до конца (значит и наш труд), не пропадет даром и читатель расширит свои представления, ознакомившись с идеями теории относительности, изложенными несколько необычным геометрическим языком.

В заключение приведем полезный для читателя список литературы, так или иначе использованной нами без ссылок в самом тексте.

ЛИТЕРАТУРА

Э. Ф. Тейлор, Д. А. Уилер. Физика пространства — времени. М., «Мир», 1969.

Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, вып. 2. М., «Мир», 1967.

А. С. Смогоржевский. О геометрии Лобачевского. М., Гостехиздат, 1957.

В. Ф. Каган. Лобачевский и его геометрия. М., Гостехиздат, 1955.

9 коп.

Индекс 70096

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»

Москва 1971