В. СЕРПИНСКИЙ

ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ

Учпедгиз - 1959

В. СЕРПИНСКИЙ

ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ

перевод с польского

Под редакцией и с примечаниями

С. И. ЗЕТЕЛЯ

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКВА 1959

Пифагоровы треугольники

В. СЕРПИНСКИЙ

Редактор Сидорова Л. А. Художественный редактор Максаев А. В. Технический редактор Головко Б. Н. Корректор Г. С. Попкова.

* * *

Сдано в набор 11 /XI 1958 г. Подписано к печати 14/1 1959 г. 84х 1081/« 7 (5,74) п. л. Уч.-изд. л. 5,21. Тираж 10 тыс. экз. А-00,20.

* * *

Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Заказ № 2446. Цена без переплета 1 руб. 40 коп. Переплет 50 коп.

Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Московского городского Совнархоза. Москва, Ж-54, Валовая, 28.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Книга известного польского математика Вацлава Серпинского „Пифагоровы треугольники“, безусловно, заслуживает внимания советского читателя. В ней в популярной форме даны интересные сведения о пифагоровых треугольниках. Этот раздел элементарной теории чисел интересен для преподавателей средней школы, для студентов педвузов и учеников старших классов средней школы.

Скажем несколько слов об авторе книги. Вацлав Серпинский (род. в 1882 г.) с 1919 г. — профессор Варшавского университета. С 1951 г. В. Серпинский — вице-президент Польской Академии наук. Многочисленные исследования В. Серпинского относятся к теории множеств и ее приложениям к топологии, к теории функций действительного переменного, к теории чисел и к другим областям математики. Вацлав Серпинский — глава Польской математической школы. В последние годы Серпинским написано много интересных популярных книг по математике. К числу их принадлежит книга „Пифагоровы треугольники“.

Для того чтобы сделать книгу более доступной, мы дали примечания, которые, как нам кажется, помогут читателю и возбудят у него интерес к пифагоровым треугольникам.

В книге 15 параграфов, из которых все, за исключением двенадцатого, вполне доступны студенту педвуза, ученику старших классов средней школы и дают хороший материал для кружковой работы. Двенадцатый параграф очень интересен, но доступен только хорошо подготовленному читателю. В этом параграфе дано сложное, хотя элементарное, доказательство одной из теорем Ферма, относящейся к пифагоровым треугольникам. При первом чтении этот параграф можно опустить.

Редактор перевода считает своим долгом выразить благодарность заслуженному учителю школы РСФСР И. А. Павленко, И. Б. Вейцману и особенно доценту И. М. Яглому, просмотревшим рукопись перевода и давшим ряд ценных указаний.

§ 1. ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ. ОСНОВНЫЕ ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ

1.1. Пифагоровым треугольником называется прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются натуральными числами. С пифагоровыми треугольниками связано много вопросов, разрешаемых элементарной математикой. Степень трудности решаемых задач различна.

Прежде всего возникает вопрос о существовании пифагоровых треугольников; если они существуют, то, конечно, или бесконечно множество пифагоровых треугольников.

Еще свыше четырех тысяч лет назад египтянам был известен пифагоров треугольник со сторонами 3, 4, 5.

1.2. В пифагоровом треугольнике, как известно, большая сторона называется гипотенузой, меньшие — катетами. Если обозначим соответственно длины катетов через х и у, а длину гипотенузы через г, то по теореме Пифагора имеем равенство:

x2+y2 = z2. (1)

Треугольник Пифагора со сторонами х, у, z условимся обозначать символом (х, у, z), считая, что на последнем месте внутри скобки стоит число, выражающее длину гипотенузы. Стороны треугольника (х, у, z) удовлетворяют уравнению (1), и обратно, если натуральные числа удовлетворяют уравнению (1), то, как известно из геометрии, треугольник со сторонами х, у, z является прямоугольным. Таким образом, исследование пифагоровых треугольников сводится к исследованию решений в натуральных числах уравнения (1), так называемого уравнения Пифагора.

1.3. Если каждую из сторон данного пифагорова треугольника увеличим в одно и то же число раз, то получим новый прямоугольный треугольник, подобный данному, со сторонами, выражаемыми натуральными числами, т. е. получим снова пифагоров треугольник.

Таким образом, из данного пифагорова треугольника (х, у, z) можно получить бесчисленное множество пифагоровых треугольников (kx, ky, kz), где /5 = 1, 2, 3,... •

Например, из треугольника (3, 4, 5) получим треугольники (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), (15, 20, 25),

Итак, для каждого пифагорова треугольника существует бесконечное множество ему подобных пифагоровых треугольников.

1.4. Среди всех подобных треугольников существует наименьший; легко догадаться, что это будет треугольник, стороны которого л и у выражаются взаимно простыми числами (т. е. числа х и у не имеют общего делителя, отличного от единицы).

Действительно, если бы л и у не были взаимно простыми, то существовал бы их общий наибольший делитель d>1. В этом случае можно было бы выразить л и у следующим образом: x — dxx и y — dyX, где хх и ух — взаимно простые числа. На основании равенства (1) имеем:

Из полученного равенства следует, что z2 имеет d2 своим делителем, а следовательно, d является делителем z; z = dzx, где zx— натуральное число.

Из равенства (1) после сокращения на d2 получаем равенство:

Из этого равенства следует, что треугольник (x1,, y1, zx) — треугольник Пифагора со сторонами, меньшими соответственных сторон треугольника (х, у, z) и ему подобный.

Итак, числа, выражающие длины катетов наименьшего из подобных пифагоровых треугольников,— числа взаимно простые.

Справедливо и обратное заключение: если в пифагоровом треугольнике (х, у, z) х и у — взаимно простые

числа, то не существует меньшего ему подобного пифагорова треугольника.

Приведем доказательство от противного. Предположим, что треугольник (я, b, с) подобен треугольнику (х, у, z) и что я<л, b<iy. Из подобия (а, b, с) и (х, у, z) имеем:

Так как дробь — несократима (х и у — взаимно простые числа по условию), то а^х и Ь^у, что противоречит предположению.

Итак, среди всех подобных пифагоровых треугольников наименьший (х, у, z) тот, у которого катеты х, у выражаются взаимно простыми числами.

Из наименьшего пифагорова треугольника можно получить все ему подобные, увеличивая его стороны в 2, 3, 4. .. раз.

1.5. Пифагоров треугольник (х, у, z), стороны которого х и у выражаются взаимно простыми числами, назовем основным. Для отыскания всех пифагоровых треугольников достаточно найти все основные пифагоровы треугольники, а остальные пифагоровы треугольники получим, увеличивая каждую из сторон в 2, 3, 4 ... раз.

Так как среди всех подобных пифагоровых треугольников основным является наименьший, то два основных пифагоровых треугольника не могут быть подобными.

Пифагоров треугольник (3, 4, 5) — основной, так как 3 и 4 — взаимно простые числа.

§ 2. ОТЫСКАНИЕ ОСНОВНЫХ ПИФАГОРОВЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

2.1. Пусть треугольник (х, у, z) — основной пифагоров треугольник. Числа х и у — взаимно простые и потому не могут быть оба четными. Докажем, что они не могут быть нечетными. Для этого заметим, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1.

Действительно, нечетное число, как известно, можно представить в виде 2k+1, где k является натуральным числом.

Отсюда:

Так как из двух последовательных натуральных чисел k и одно четно, то 4k(k+\) делится на 8 и число

(2&-f~ï)2 при делении на 8 дает в остатке единицу.

2.2. Сумма квадратов двух нечетных чисел дает при делении на 8 в остатке Два, следовательно, сумма квадратов двух нечетных чисел есть число четное, не кратное четырем, а потому это число не может быть квадратом целого числа.

Равенство (1) не может иметь места, если л и у оба нечетны.

Итак, если пифагоров треугольник (х, у, г) основной, то среди чисел л и у одно должно быть четным, а другое нечетным.

2.3. Пусть число у является четным (необязательно, чтобы было л&<у). Числа лиг нечетны (нечетность z следует из равенства (1).

Равенство (1) можно написать в виде

У = (* + *) (* — *). (2)

Числа z+x и z — л как сумма и разность двух нечетных чисел — числа четные, а потому

х+л = 2а\ z — x = 2b, (3)

где а и b— целые числа.

z = a+b, л = а — Ь. (4)

Из этих равенств следует, что а и b — взаимно простые числа.

Действительно, если бы у них был общий делитель то на основании (4) d был бы общим делителем чисел z и л, a следовательно, и чисел z-^-л, z — л и на основании равенства (2) d2 было бы делителем числа у2. В таком случае d был бы общим делителем чисел у и л, тогда как эти числа должны быть взаимно простыми. Число у, как известно, четно, а потому у — 2с, где с — натуральное число. Равенство (2) на основании равенства (3) принимает следующий вид:

4с2 = 2а-2fr, или с2 = аЬ. (5)

Из арифметики известно, что если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом натурального числа, то каждое из этих чисел также является квадратом натурального числа. [1]1

1 См. примечание стр. 74.

Из равенства (5) следует: а = т2, Ь = пг, где тип — взаимно простые числа, так как они являются делителями взаимно простых чисел а и Ь. На основании равенства (4) имеем:

Принимая во внимание равенство (5), а также учитывая, что а = т2, Ь = пг, находим с = тп и у=2с, следовательно,

у = 2тп.

Мы доказали, что длины сторон основного пифагорова треугольника (х, у, z) могут быть выражены через взаимно простые числа m и п:

(6)

Числа m и п не могут быть оба четными или оба нечетными, так как в этих случаях х = т2— п2 были бы четными, что невозможно. Итак, одно из чисел m или п четно, а другое нечетно (у = 2тп делится на 4).

Следовательно, в каждом основном, а тем более и не основном пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на 4. Отсюда следует, что нет пифагорова треугольника, все стороны которого были бы простыми числами. Существуют, однако, пифагоровы треугольники, у которых гипотенуза и один из катетов — простые числа, например: (3, 4, 5), (11, 60,61), (19, 180, 181), (61, 1860, 1861), (71, 2520, 2521), (79, 3120, 3121). [2]

Неизвестно, конечно или бесконечно множество всех таких треугольников.

2.4. Предположим, что т и п, где т>п являются целыми и взаимно простыми числами, из которых одно (безразлично, какое) четно, а другое нечетно. Этими числами по формулам (6) определяются стороны х, у, z основного пифагорова треугольника. Из тождества

которое очень легко проверить, а также из равенств (6) следует, что треугольник со сторонами х, у, z — пифагоров треугольник. Остается доказать, что числа х и у взаимно простые. Пусть у чисел х и у есть общий делитель d > 1 ; принимая во внимание нечетность числа х, мы должны считать d нечетным числом. На основании равенства (1) d было бы делителем числа z. Основываясь

на равенстве (6), заключаем, что m2 +п* и т2— п* имели бы общим делителем число d, а следовательно, 2т2 и 2п2 также должны делиться без остатка на d. Так как d нечетно, то т2 и п2 должны делиться на число d, что противоречит условию, так как т2 и п2 являются взаимно простыми (т и п — взаимно простые). Следовательно, числа х и у взаимно простые.

2.5. Заметим, что разным парам чисел m и п соответствуют различные пифагоровы треугольники (х, у, z). Из равенств (6) следует, что

Можно, кроме того, заметить, что

несократимая дробь, равная

Полученные результаты можно выразить в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Все основные пифагоровы треугольники, у которых у является четным числом, получаются из формул:

где m и п все пары взаимно простых чисел, из которых одно (безразлично, какое) является четным, а другое нечетным.

Каждая основная тройка (х, у, z), где у является четным числом, определяется этим способом однозначно.

2.6. Вместо того чтобы равенство (1) преобразовать в равенство (2), как было сделано выше, можно преобразовать его в следующее:

(7)

где у— четное число, а х и z— нечетные; числа u=z+y и v = z—у — нечетные и взаимно простые (так как пара х и у и пара у и z взаимно простые).

На основании (7) имеем x* = uv.

Следовательно, существует такая пара взаимно простых чисел k и /, что u — k* и г>=/2.

Рассуждая аналогично, как и при выводе первой теоремы, легко докажем следующую теорему.

Теорема 2. Стороны всех основных пифагоровых треугольников (х, у, z), у которых у — четно, вычисляются по формулам:

(8)

и где k и / все пары нечетных взаимно простых чисел. Каждая основная тройка (х, у, z), где у — четно, определяется этим способом однозначно. [3]

2.7. Для определения бесконечной последовательности основных пифагоровых треугольников (х, у, z), где у — четно, следует за число k взять последовательность нечетных чисел 3, 5, 7, 9, ... , а за / — последовательность нечетных чисел, меньших k и взаимно простых с k, а затем вычислить х, у, z по формулам (8).

Приведем таблицу двадцати одного основного

k

l

X

У

z

Площадь

3

1

3

4

5

6

5

1

5

12

13

30

5

3

15

8

17

60

7

1

7

24

25

84

7

3

21

20

29

210

7

5

35

12

37

210

9

1

9

40

41

180

9

5

45

28

53

630

9

7

63

16

65

504

11

1

11

60

61

330

11

3

33

56

65

924

11

5

55

48

73

1320

11

7

77

36

85

1386

11

9

99

20

101

990

13

1

13

84

85

546

13

3

39

80

89

1560

13

5

65

72

97

2340

13

7

91

60

10,

2730

13

9

117

44

125

2574

13

11

143

24

145

1716

15

1

15

112

113

840

пифагорова треугольника, составленную по формулам (8).

Для получения всех пифагоровых треугольников следует каждую основную тройку последовательно умножить на числа натурального ряда. Таким образом мы получим пифагоровы треугольники, у которых у четно. Добавив к полученным тройкам тройки, у которых х я у переставлены, мы получим все пифагоровы треугольники. Так как в пифагоровом треугольнике (а, b, с) числа а, b, с либо все четны, либо два из них нечетны, то легко показать, что радиус круга, вписанного в пифагоров треугольник, всегда выражается натуральным числом.

Легко доказать, что если г — радиус круга, вписанного в пифагоров треугольник (а, b, с), то

2r = a+b — с.

Например, радиус круга, вписанного в треугольник (3, 4,5), равен 1. Отсюда следует, что около круга произвольного целочисленного радиуса всегда можно описать пифагоров треугольник, подобный треугольнику (3, 4, 5). [4]

Очевидно, что диаметр круга, описанного около пифагорова треугольника, равен его гипотенузе.

§ 3. ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ СО СТОРОНАМИ, МЕНЬШИМИ 100

Найдем все пифагоровы треугольники, все стороны которых меньше ста. Для этого необходимо и достаточно найти треугольники, у которых гипотенуза менее ста.

Из вышеприведенной таблицы следует, что существует только 16 таких основных пифагоровых треугольников (х, у, zz), у которых сторона у выражается четным числом.

Действительно, вне нашей таблицы нет основных пифагоровых треугольников с гипотенузой, меньшей 100, и со стороной у, выражаемой четным числом, так как для k^lb имеем:

Написав эти 16 основных треугольников в порядке возрастания их гипотенуз (в случае равенства гипотенуз в порядке возрастания площадей), получим: (3, 4, 5), (5,12,13), (15,8, 17), (7, 24,25), (21,20,29), (35,12,37), (9, 40, 41), (45, 28, 53), (11, 60, 61), (63, 16, 65), (33, 56,65),

(55, 48, 73), (13, 84, 85), (77, 36, 85), (39, 80, 89) и (65, 72, 97). Стороны первых семи треугольников можно удвоить (и их гипотенузы все еще останутся меньше 100) : (6,8, 10), (10, 24, 26), (30, 16, 34), (14, 48, 50), (42, 40, 58), (70, 24, 74). (18,80,82). Стороны первых пяти из наших 16 основных пифагоровых треугольников можно утроить и получить пять новых пифагоровых треугольников: (9, 12, 15), (15, 36, 39), (45, 24, 51), (21,72, 75), (63, 60, 87). Стороны первых трех из наших 16 треугольников можно увеличить в четыре-пять раз, что даст шесть новых пифагоровых треугольников: (12, 16, 20), (20,48,52), (60,32,68), (15,20, 25), (25, 60, 65), (75, 40, 85). Увеличив стороны первых двух из 16 треугольников в шесть и семь раз, получим четыре новых треугольника: (18, 24, 30), (30, 72, 78), (21, 28, 35) и (35, 84, 91). Стороны первого из 16 треугольников можно увеличить в 8,9,10,11,12, 13,14, 15, 16,17, 18 и 19 раз, что даст еще 12 новых треугольников: (24, 32, 40), (27, 36, 45), (30, 40, 50), (33, 44, 55), (36, 48, 60), (39, 52,65), (42,56,70), (45,60,75), (48,64,80), (51, 68, 85), (54, 72, 90) и (57, 76, 95).

Таким образом, всего получаем 50 разных пифагоровых треугольников со сторонами, меньшими ста.

Меняя местами катеты, мы получим еще 50 пифагоровых треугольников. Итак, из 16 основных пифагоровых треугольников получим 100 различных пифагоровых треугольников со сторонами, меньшими ста.

§ 4.ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ, У КОТОРЫХ ДВЕ СТОРОНЫ ВЫРАЖАЮТСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ

4. 1. Вернемся к таблице основных пифагоровых треугольников (§ 2.7). Первый из этих треугольников (3, 4, 5) обладает тем свойством, что стороны его выражаются последовательными натуральными числами. Легко доказать, что это единственный пифагоров треугольник, обладающий этим свойством. Действительно, если стороны пифагорового треугольника равны п — 1, п и п +1, где п — целое число, большее 1, то

После упрощения получаем:

искомый треугольник (3, 4, 5).

4.2. Легко найти все пифагоровы треугольники, длины сторон которых составляют арифметическую прогрессию.

Обозначив соответственно стороны через п — k, пи n+k (где k— целое число и n>k), получим:

после упрощений получаем:

Искомые треугольники (3k, 4k, 5k), где k= 1, 2, 3,..., подобны основному пифагорову треугольнику (3, 4, 5).

4.3. Займемся пифагоровыми треугольниками, две стороны которых выражаются последовательными натуральными числами.

Легко видеть, что эти треугольники — основные, так как два последовательных натуральных числа взаимно простые.

Равенство z — x=1 невозможно, так как z и х — нечетные числа.

Предположим, что z—у=\.

На основании теоремы 2 получаем, что /2 = 1, откуда 1=1. Итак,

(9)

где k — нечетно и больше единицы.

По этим формулам можно найти все пифагоровы треугольники (х, у, z), у которых z—j/=1.

Приведем десять первых таких треугольников, (3,4,5), (5,12,13), (7, 24, 25), (9, 40, 41), (11, 60,61), (13,84,85), (15, 112, 113), (17, 144, 145), (19, 180, 181), (21, 220, 221).

4.4. Такие треугольники (конечно не все) можно найти из тождества Месснера (Moessnera):

Например, для п= 1,2,3,... ,10 получаем треугольники: (5, 12, 13), (15, 112, 113), (25, 312, 313), (35, 612, 613), (45, 1012, 1013), (55, 1512, 1513), (65, 2112, 2113,), (75, 2812, 2813), (85, 3612, 3613), (95, 4512, 4513). [6]

4.5. Существует способ почти механически выписывать сколько угодно пифагоровых треугольников, у которых 2==j/+!• Если в формулах (9), где k — нечетное

число, большее единицы, положить k = 2n+ 1, то получим формулы:

[7]

Полагая n=10s, где 5 является целым числом, получаем:

Таким образом, для s = 1, 2,... получим треугольники

и т. д. Каждую следующую тройку сторон получаем из предыдущей, вписывая в числа предыдущей в соответствующие места нули. Аналогично, если в формуле (10) считать равным лг = 2-10^, получим:

Таким образом, имеем:

[8]

и т. д.1

4.6. Займемся теперь пифагоровыми треугольниками, катеты которых выражаются последовательными натуральными числами. Из таблицы основных пифагоровых

1 Por. „The American Mathematical Monthly“, 41 (1943), str. 330 (американский математический журнал).

треугольников (§ 2.7) видно, что такими треугольниками будут (3, 4, 5), (21, 20, 29). Легко доказать, что имеется бесчисленное множество таких треугольников. Отсюда следует, что если для некоторых натуральных чисел х и z получим пифагоров треугольник вида (х, х +1, z), то существует тоже пифагоров треугольник (Зх 2г +1, 3JC + 2JC + 2, 4jc + 3* + 2). Действительно,

Легко доказать, что в двух последовательно получаемых таким образом треугольниках больший катет будет

а так как

Таким образом, из каждого пифагорового треугольника вида (х, jc+I, z), катеты которого являются последовательными натуральными числами, можно получить пифагоров треугольник вида

с большими сторонами, катеты которого также выражаются натуральными числами.

Из треугольника (3, 4, 5,), пользуясь указанным способом, получим треугольник со сторонами:

из этого треугольника получим следующий со сторонами

Приведем первых шесть треугольников, полученных таким способом:

выражаться в одном треугольнике четным, а в другом — нечетным числом. [9].

4.7. Докажем теперь, что вышеприведенным методом получаем пифагоровы треугольники, у которых катеты выражаются последовательными натуральными числами.

Теорема. Каждый из пифагоровых треугольников, катеты которого выражаются последовательными натуральными числами, является одним из треугольников бесконечного ряда.

(3, 4, 5),/(3, 4, 5),//(3, 4, 5),///(3, 4, 5),... (11)

Для доказательства теоремы предварительно докажем лемму.

Лемма. Если (х, лг+1, z) является пифагоровым треугольником, где х>3, то также

(12)

является пифагоровым треугольником, где zx < z. Докажем, что

(13)

Так как л:>>3, то имеем:

Но так как

потому что (х, X +1, z) — пифагоров треугольник, то

откуда

Учитывая, что х>0, усилим неравенство 2г << 4л;+2, откуда

Далее, так как

Итак, неравенства (13) доказаны.

Остается доказать, что (х1, ^! + l>^i) — пифагоров треугольник. Имеем

а так как то имеем:

следовательно, г\ — х\ + (хг + I)2 и (х1,х1 -)- 1, — пифагоров треугольник и лемма доказана.

4.8. На основании доказанной леммы из пифагорового треугольника (х, х+\, z), катеты которого являются последовательными натуральными числами ид:>3, можно получить новый пифагоров треугольник:

катеты которого тоже являются последовательными натуральными числами, причем zt<i z. Если притом хх >> 3, то на основании леммы из полученного треугольника (х1, jcä —I— 1, zx) получим новый пифагоров треугольник:

Таким способом невозможно получить бесконечный ряд пифагоровых треугольников с уменьшающимися гипотенузами. При некотором целом п мы обязательно придем к треугольнику

Из равенства х* + +1)2 = z2n следует, что zn = 5. Следовательно, при некотором целом «выполняется равенство:

(14)

Как легко проверить, для каждого пифагорового треугольника (х, x4-l, z), где л:>3, имеем:

[10]

что дает

и в общем случае

Отсюда на основании равенства (14)

что и требовалось доказать,

§ 5. ДЕЛИМОСТЬ ОДНОЙ ИЗ СТОРОН ПИФАГОРОВОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НА 3 ИЛИ НА 5

5.1. Как нам известно из (§ 2.3), во всяком пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на 4.

Докажем, что во всяком пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на 3.

Для доказательства предположим, что в пифагоровом треугольнике (х, у, z) ни одно из чисел х и у не делится на 3. Тогда имеем:

X = 3k Чг; 1, у = 3/4^1, где k и / являются целыми числами и

Полученное выражение не может быть квадратом целого числа. Действительно, так как это число не делится на 3, то оно не может быть квадратом числа, кратного трем, оно не может быть и квадратом числа, некратного трем, так как квадрат числа 3t+ 1 равен

и при делении на три дает в остатке единицу, тогда как z2 = X2 +у2 при делении на три дает в остатке два.

Итак, предположение, что ни один из катетов не делится на три, приводит к противоречию. Следовательно, одно из чисел х или у кратно трем.

5.2. Легко показать на примерах, что катетом, делящимся на три, может быть катет, делящийся на четыре, например (5, 12, 13), либо катет, неделящийся на 4, например (3, 4, 5).

Оказывается, что числа 1, 2, 3, 4 являются единственными натуральными числами л, для которых верна теорема, что в каждом пифагоровом треугольнике хотя бы один из катетов делится на п. В самом деле, в пифагоровом треугольнике (3, 4, 5) ни один из катетов не делится на натуральное число, более 4.

5.3. Докажем, что в каждом пифагоровом треугольнике хотя бы одна из сторон делится на 5.

Для доказательства предположим, что число п не делится на 5. Тогда оно имеет вид:

n = bk±1 либо n = bk + 2,

где k — целое число.

В первом случае имеем:

во втором случае:

Отсюда следует, что квадрат целого числа, не делящегося на 5, дает при делении на 5 в остатке либо 1, либо 4.

Если бы в пифагоровом треугольнике (х, у, z) ни одно из чисел х и у не делилось на 5, то каждое из чисел X2 и у2 давало бы при делении на 5 остаток 1 либо 4, отсюда число х2А^у2 давало бы при делении на 5 остаток 2, 3 или 0. Число z2 = x2+y2 при делении на 5 не может, как мы видели, давать остаток 2 или 3. Итак, из трех возможностей остается только принять последнюю, т. е. предположить, что z2, а следовательно, и z делится на 5. Если в пифагоровом треугольнике ни один из катетов не делится на 5, то гипотенуза должна делиться на 5. Очевидно, что в основном пифагоровом треугольнике только одна из сторон делится на 5. Легко заметить, в треугольниках (5, 12, 13), (21, 20, 29) и (3, 4, 5) делится на 5 только одно из чисел, выражающих длину либо четного катета, либо нечетного, либо длину гипотенузы. [11]

Из примера пифагорового треугольника (3, 4, 5) следует, что числа 1, 2, 3, 4 и 5 — единственные натуральные числа п, для которых справедлива теорема, что во всяком пифагоровом треугольнике хотя бы одна из сторон делится на п.

§ 6. ЗНАЧЕНИЕ СТОРОН ПИФАГОРОВЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

6.1. Возникает вопрос, для каких натуральных чисел п существуют пифагоровы треугольники, у которых один из катетов равен п.

Докажем, что для существования пифагорова треугольника с катетом, равным п, необходимо и достаточно, чтобы п было целым числом, большим 2.

Для доказательства необходимости нашего условия заметим, что в пифагоровом треугольнике (а, Ьу с) имеем: а2 = с2— Ь2 = (с— b)(c+b), причем с и b являются целыми числами и с>Ьу затем bS^l, с^2у с — b^ly а также с+Ь^* 2 + 1 = 3, откуда а2 ^3, поэтому а не может быть равным единице. Не может быть а также равным двум, так как тогда бы существовало равенство: 4 = (с — Ь) (с + b). Это равенство невозможно, действительно, если с — b^l и с+Ь^Зу то с — Ь=\ и с + b = 4. Следовательно, 2с = 5 и с не может быть натуральным числом. Итак, каждый из катетов всякого пифагорового треугольника больше двух.

Если п является нечетным натуральным числом и больше 2, то

причем

являются натуральными числами.

Следовательно, имеем пифагоров треугольник

При четном п получаем пифагоров треугольник с катетом п.

Итак, наше условие достаточно.

Примеры пифагоровых треугольников с катетами 3, 4, ... , 10: (3, 4, 5), (4, 3, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (7, 24, 25), (8, 6, 10), (9, 40, 41), (10, 24, 26).

Покажем, что не для всех целых чисел п>2 существует основной пифагоров треугольник с катетом п.

Не существует, например, основного треугольника с катетом, равным 6. В самом деле, на основании теоремы 1 имеем 6 = 2/7г/г, так как одно из чисел m или п должно быть четным, то 3 = тп, что невозможно. [12]

6.2. Несколько сложнее решается вопрос о существовании таких натуральных чисел, для которых п было бы гипотенузой пифагорового треугольника. Примем без доказательства, что для существования пифагорова треугольника с гипотенузой п необходимо и достаточно, чтобы число п имело хотя бы один простой делитель вида 4&+ 1-

Итак, для п^ 100 существуют пифагоровы треугольники с гипотенузой лг = 5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, 51, 52, 53, 55, 58, 60, 61, 65, 68, 70, 73, 74, 75, 78, 80, 82, 85, 87, 90, 91, 95, 97, 100.

6.3. Можно доказать, что существует бесконечное число пар пифагоровых треугольников, гипотенузы которых определяются двумя последовательными натуральными числами: п и лг —|— 1. Это непосредственно следует из тождества:

[13]

6.4. Можно доказать (несколько сложнее), что для любого натурального числа п существует m пифагоровых треугольников, у которых гипотенузы определяются m последовательными натуральными числами п, лг —j— 1, лг —J— 2, ... , п+т — 1. Например, для т = 3 можно взять « = 39 и получить следующие пифагоровы треугольники: (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41). Для /72 — 4 можно взять п, равным 50, и получить следующие четыре пифагоровых треугольника: (30, 40, 50), (24,45, 51), (20, 48, 52), (28, 45, 53). [14]

§ 7. ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ С ОБЩИМ КАТЕТОМ ИЛИ С ОБЩЕЙ ГИПОТЕНУЗОЙ

7.1. Существует конечное число пифагоровых треугольников с данным катетом а. В каждом треугольнике (а, b, с) на основании разложения а2 = (с — b)(c+b), b+c должно быть делителем числа а2, следовательно,

b&<cf и c<a2, количество пар чисел таких, как ft и с, конечно.

7.2. Легко доказать, что для каждого натурального числа существует хотя бы п различных пифагоровых треугольников с общим катетом.

С этой целью примем:

для £ = 0,1, 2, . •., п— 1. Числа с0, с19 сп+г являются, очевидно, различными, так как при делении на Т они дают разные остатки, причем

Полагая #=2W+1, получаем п пифагоровых треугольников (af bkJ ck), £ — 0, 1, 2, ... , п—1 с общим катетом и с различными гипотенузами. Следовательно, среди всех пар треугольников нет совпадающих.

Например, для п = 2 получаем этим способом два различных пифагоровых треугольника (8, 15, 17) и (8, 6, 10) с общим катетом, равным 8, для п = 3 получаем три различных пифагоровых треугольника: (16, 63, 65), (16, 30, 34) и (16, 12, 20), с общим катетом 16. [15]

7.3. Сложнее доказать, что для каждого натурального числа п существует по крайней мере п основных различных пифагоровых треугольников с общим катетом.

Например, для п = 2 получаем треугольники (5, 12,13) и (35, 12, 27), а для п = 4 треугольники: (105, 88, 137), (105, 208, 233), (105, 608, 617) и (105, 5512, 5513). [16]

7.4. Существует конечное число пифагоровых треугольников с общей гипотенузой с, так как в треугольнике (а, b, с) должно быть о<с и b<с, a число таких пар, как а и b, при данном с, конечно. Вместе с тем для каждого натурального числа п существует хотя бы п различных пифагоровых треугольников с общей гипотенузой.

Действительно, примем для данного натурального п

Число натуральное для & = 3, 4, ... , tf+2, а потому будут натуральными и следующие числа:

(15)

где k = 3, 4, ... , п\2. На основании тождества

получаем с2 = а\ + Ь\ для k = 3, 4, ... , п + 2 и треугольники (aÄ, с) для £ = 3, 4, ... , п 2 — пифагоровы.

На основании (15) находим

для k = 3, 4, ... , /z + 2, а также

следовательно, #S<C#4<C ... ап+2.

Итак, в пифагоровых треугольниках (ak, bk, с), где k = 3, 4, ... , Az+2, катеты растут с возрастанием k, а гипотенуза остается постоянной. Мы получаем п различных треугольников с общей гипотенузой.

7.5. Сложнее было бы доказать, что существует произвольное число основных пифагоровых треугольников с общей гипотенузой.

Шедд (Ch. L. Schedd1) привел 64 основных пифагоровых треугольника с общей гипотенузой

[17]

§ 8. ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ С ОБЩИМ ПЕРИМЕТРОМ

8.1. Можно легко доказать, что для каждого натурального числа п существует хотя бы п различных не совпадающих пифагоровых треугольников с общим периметром.

1 „Scripta Mathematical 15 (1949), str. 132 (научно-популярный математический журнал).

В самом деле, среди бесконечного множества основных пифагоровых треугольников нет ни одной пары подобных (§ 1.5). (Случай тождественных треугольников исключается.)

Возьмем п различных основных пифагоровых треугольников: (akJ bk, ck), где k = 1, 2, ... , /г, и обозначим

а также

Получим ct'k+b,k+c,k = s для k = l, 2, ... , п, причем никакая пара пифагоровых треугольников (dk, Ь'к, c'k), где k = l, 2, ... , tiy не являются подобными, а тем более совпадающими. [18]

8.2. В предыдущем доказательстве вместо произведения чисел slf s2J...,sn можно было бы взять их общее наименьшее кратное. Тогда из треугольников (3, 4, 5) и (5, 12, 13) получим два треугольника (15, 20, 25) и (10, 24, 26), периметр каждого из которых равен 60. Из треугольников (3, 4, 5), (5, 12, 13) и (15, 8, 17) получим три треугольника (30, 40, 50), (20, 48, 52) и (45, 24, 51), периметр каждого из которых равен 120.

8.3. Найдем также три основных пифагоровых треугольника с равными периметрами: (3255, 5032, 5993), (7055, 168, 7057) и (119, 7080, 7081)1. Существуют основные пифагоровы треугольники, периметр которых является квадратом натурального числа. Наименьшим таким треугольником является треугольник (16, 63, 65) с периметром 12 2. Неосновной пифагоров треугольник того же периметра (36, 48, 60). Основной треугольник (252, 275, 373) имеет периметр 302, тот же периметр имеют и неосновные треугольники (150, 360, 390) и (90, 400, 410).

[19], [20]

§ 9. ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ С ОБЩЕЙ ПЛОЩАДЬЮ

9.1. Из таблицы (§ 2.7) основных пифагоровых треугольников и их площадей следует, что треугольники (21, 20, 29) и (35, 12, 37) имеют общую площадь, равную 210*

1 „Scripta Mathematical 15 (1949), str. 89.

Нет меньших основных треугольников с различными гипотенузами и равными площадями.

Учтем и неосновные пифагоровы треугольники с гипотенузами, меньшими 37:

X

У

z

Площадь

6

8

10

24

9

12

15

54

12

16

20

96

15

20

25

150

18

24

30

216

21

28

35

294

10

24

26

120

30

16

34

240

Принимая во внимание и эти треугольники, видим, что нет двух треугольников с равными площадями, с различными гипотенузами, меньшими 37 (ни треугольников с площадями, меньшими 210).

Наименьшая пара основных пифагоровых треугольников с разными гипотенузами и общей площадью есть пара (21, 20, 29) и (35, 12, 37).

Заметим, что треугольники с общей площадью и общей гипотенузой совпадают (тождественны).

В самом деле, если (а1, Ьг, сг) и (а2, Ь2, с2) являются такими треугольниками и ах^Ьх и а2&з*Ь2У то из равенства их площадей следует:

откуда

Следовательно,

Значит a1 — bl и а2 = Ь2, что и требовалось доказать.

9.2. Из таблицы (§ 2.7) следует, что пифагоров треугольник (15, 112, 113) имеет площадь, равную 840 =

— 4-210, которая в 4 раза больше площадей каждого из треугольников (21, 20, 29) и (35, 12, 37). Площадь треугольника (15, 112, 113) равна площади каждого из треугольников (42, 40, 58) и (70, 24, 74), полученных из треугольников (21, 20, 29) и (35, 12, 37).

Мы получили три пифагоровых треугольника с разными гипотенузами и с общей площадью

Не все они являются основными. Доказано, что наименьшая общая площадь для трех основных пифагоровых треугольников равна 13123110, а треугольники эти следующие:

[21]

9.3. Возникает вопрос, можно ли найти произвольное число пифагоровых треугольников с разными гипотенузами и равными площадями. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема Ферма (Fermât.).

Теорема 3. Для каждого натурального числа п существует п пифагоровых треугольников с разными гипотенузами и с общей площадью.

Эта теорема может быть доказана по индукции на основании следующей леммы:

Лемма. Если имеем п^\ пифагоровых треугольников с различными гипотенузами и с общей площадью и один из этих треугольников имеет нечетную гипотенузу, то можно найти п 1 пифагоровых треугольников с различными гипотенузами и общей площадью, из которых один имеет нечетную гипотенузу.

Доказательство. Пусть п^ 1 есть данное натуральное число и пусть дано п пифагоровых треугольников (akJ bkJ ck), где tf*<A<c*, k= 1, 2, 3,. ..,n, с разными гипотенузами и равными площадями, причем число сг нечетно. Положим

(16)

(17)

Треугольники (a'k, b'k, c'k), где k— 1, 2, ... , n, являются пифагоровыми, потому что стороны их выражаются натуральными числами, и они подобны пифагоровым треугольникам (ak, bk, ck).

Треугольник (a'n+1, b'n+1, c'n+ 1) пифагоров, что видно из формул (17) и из равенства а\+Ь\ = с\.

Действительно,

Покажем, что треугольник (a'k, b'k, c'k), где k = 1, 2, ... ,/z+ 1, отвечает требуемым условиям.

В самом деле, пусть Д (площадь) каждого из треугольников (ak, bk, ck), где /5=1, 2,..., п. Тогда имеем akbk = 2ä для k=19 2, п, а площадь треугольника (a'k> b'k, c'k) на основании равенства (16) для k = 1, 2, .. выражается следующим образом:

Площадь треугольника (я/г+1> &^+|, с'п+1) на основании равенства (17) равна

и треугольники (a'k, b'k, c'k), где k — 1, 2,..., п+\9 имеют равные площади. Гипотенузы треугольников (a'k, b'k, c'k), где k = \9 2,..., п9 различны, так как различны гипотенузы треугольников (ak, bk, ck) и каждая из гипотенуз выражается, как видно из равенств (16), четным числом.

Гипотенуза с'п+1 выражается на основании равенств (17) числом нечетным.

Числа c'k, где k — \9 29 ... 9 n+\9 все различны.

Итак, лемма доказана.

9.4. Рассмотрим простейший случай леммы, когда п = 1. Наименьший пифагоров треугольник, к которому применима лемма, — пифагоров треугольник со сторонами

аг = 3, Ьх = 4, сх = Ъ.

Получим, исходя из этого треугольника, два пифагоровых треугольника (а[9 Ь[9 с[) и (а'29 Ъ'г9 с'2) с равными площадями, где из формул (16) имеем:

Из формулы (17) получаем:

У этих двух треугольников разные гипотенузы (из которых одна нечетна) и общая площадь, равная 29400.

Если бы мы к полученным треугольникам применили доказанную лемму, мы нашли бы три пифагоровых треугольника с разными гипотенузами и общей площадью. Длина каждой стороны выражалась бы больше чем десятизначным числом.

Раньше мы нашли другим способом три таких треугольника, причем длина сторон каждого выражалась не более чем трехзначными числами. Найдены также четыре пифагоровых треугольника с разными гипотенузами и с равными площадями, причем стороны этих треугольников выражаются не более чем четырехзначными числами. Это следующие треугольники: (518, 1320, 1418), (280, 2442, 2458), (231, 2960, 2969), (111, 6160, 6161), с площадью, равной 341880.

Найдено также пять таких же треугольников со сторонами, выражаемыми не более чем пятизначными числами: (2805, 52416, 52491), (3168, 46410, 46518), (5236, 14040, 28564), (6006, 24480, 25206), (8580, 17136, 19164), с площадью, равной 73513440. [22]

9.5. Существует, очевидно, конечное число пифагоровых треугольников с площадью, равной Д, так как катеты этих треугольников должны быть делителями числа 2А. Вместе с тем из доказанной леммы следует, что, например, существует бесконечное множество различных прямоугольных треугольников с рациональными сторонами и площадью, равной 6.

В самом деле, из доказанной леммы следует, что если имеем п ^ 1 пифагоровых треугольников с разными гипотенузами, из которых одна нечетна, и с площадью А, то существует п +1 пифагоровых треугольников с разными гипотенузами, из которых одна нечетна, и с общей площадью, равной Ad2, где d — целое число.

Исходя из треугольника (3, 4, 5) и применяя доказанную лемму п—1 раз, найдем п пифагоровых треугольников с разными гипотенузами и с площадью, равной 6/7Z2, где m — целое число, зависящее от п. Уменьшая стороны каждого из треугольников в m раз, получим п

различных прямоугольных треугольников с рациональными сторонами и с площадью, равной 6.

Так как п — произвольное число, то отсюда следует, что число различных прямоугольных треугольников с рациональными сторонами и площадью, равной 6, не может быть конечным и, следовательно, таких треугольников бесконечное множество, и теорема доказана,

§ 10. ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ, У КОТОРЫХ ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ ОДНА СТОРОНА ЯВЛЯЕТСЯ КВАДРАТОМ

10.1. Можно доказать, что существует бесконечное множество пифагоровых треугольников, у которых гипотенуза — точный квадрат.

Действительно, пусть (/г, т,р), где п&<т<Ср, — произвольный основной пифагоров треугольник (как нам известно, существует бесчисленное множество таких треугольников). Известно (§ 2.5), что одно из чисел тип четно, а другое нечетно (безразлично m или п), причем числа тип взаимно простые. Затем на основании теоремы 1 составим новый основной пифагоров треугольник (x,y,z), где х, у и z находятся по формуле (6). Имеем:

следовательно, гипотенуза — квадрат натурального числа. Например, из основного треугольника (3, 4, 5) получаем основной треугольник (7, 24, 25), гипотенуза которого — квадрат натурального числа, из основного треугольника (5, 12, 13) получаем основной треугольник (119, 120, 169), где 169= 132. Существуют пифагоровы треугольники, гипотенузы которых являются кубами натуральных чисел, например треугольник (117, 44, 125), где 125 = 5*. [23]

10.2. Легко доказать существование бесконечного множества основных пифагоровых треугольников, у которых один из катетов является квадратом натурального числа.

В самом деле, пусть (q, п, т) — основной пифагоров треугольник, где п четно, a q um нечетны, причем (т, п)=11 [24]

1 (m, п) s 1 означает, что тип— взаимно простые числа.

Составим новый основной пифагоров треугольник (х, у, z), выразив л, у, Z, пользуясь на основании теоремы 1 формулами (6):

следовательно, х (нечетный катет треугольника (х, у, z))— квадрат натурального числа.

Таким образом, из основного треугольника (3, 4, 5) получаем основной треугольник (9, 40,41), где 9 = 32, а из основного треугольника (5, 12, 13) получаем основной треугольник (25, 312, 313), где 25 = 52.

10.3. Легко доказать существование бесконечного множества основных пифагоровых треугольников, четный катет каждого из которых является квадратом.

Это непосредственно следует из тождества:

где за k следует взять нечетное число, так как только в этом случае — 4 и 4k2 будут взаимно простыми. Для k = l получаем треугольник (3, 22, 5), для k = 3 — треугольник (77, 62, 85), для k = b — треугольник (621, 10а, 629).

10.4. Возникает вопрос, существуют ли пифагоровы треугольники, две стороны которых являются квадратами. Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма.

Теорема 4. Нет пифагоровых треугольников, у которых хотя бы две стороны были квадратами.

Доказательство, а) Положим, что существуют пифагоровы треугольники, у которых оба катета являются квадратами. Среди таких пифагоровых треугольников есть один (Ху у у z)y гипотенуза которого не больше гипотенузы всякого другого пифагорова треугольника, у которого оба катета — квадраты. Пусть

где а и b — натуральные числа. Покажем, что а и ft — взаимно простые числа.

В самом деле, если бы числа а и b делились на целое число d> 1, то

a = dax и b = dbx, где ах и Ьх — целые числа

Из этого равенства замечаем, что z2 делится на d4, а следовательно, z делится на d2 и z = d2z1, где zx— целое число. Равенство d4 (а\ +b*) = z2 после сокращения на d4 принимает вид:

Пифагоров треугольник (я2, £2, zj имеет гипотенузу z1 <z и оба катета этого треугольника — квадраты, что противоречит сделанному нами предположению относительно треугольника (х, у, z).

Итак, числа а и b и, следовательно, я2 и Ь2 — числа взаимно простые и пифагоров треугольник (х, у, z) =(ß2, b2, z) — основной. Применяя к этому треугольнику теорему 1, заключаем, что одно из чисел а2 или Ь2 должно быть четным (пусть Ь2 четно) и что

(18)

где m и п — взаимно простые числа, из которых одно четно и m > п.

Если бы m было четно, а п нечетно, то из первого равенства (18) a2 +п2 = т2 следовала бы нечетность числа а. Одновременно числа а и п не могут быть нечетными, так как треугольник (а, п, т) пифагоров, а в пифагоровом треугольнике (§ 2.5) хотя бы один из катетов должен быть четным.

Итак, число m нечетно, а п — четно и равняется 2k, где k — целое число. Числа тик взаимно простые, так как тип взаимно простые. На основании второго равенства (18) имеем:

Пусть Ь = 21, где / — натуральное число и l2 = mk. Учитывая, что тик взаимно простые, заключаем (см. примечание 1), что тик являются квадратами, т=г2 и k — s2,где r и s — целые числа. Далее имеем: п=2к = 2s2.

Так как m и п — числа взаимно простые, то из первого равенства (18) заключаем, что а и п — числа взаимно

простые и что пифагоров треугольник (а, п, т) — основной.

На основании теоремы 1, учитывая четность числа я, заключаем, что существуют такие взаимно простые числа тх и п19 из которых одно четно, что

(19)

Так как n = 2s\ то s2 = тгпх.

Следовательно, тх и пх каждое в отдельности является квадратом тх = а\ и пх = Ь\, где ах и Ьх — натуральные числа. Подставляя во второе равенство (19) значения т, тх и пх, получаем:

причем

У пифагорова треугольника (а\, b2XJ г) с гипотенузой г, меньшей гипотенузы г9 оба катета — квадраты, что противоречит нашему предположению о треугольнике (ху у, z).

Итак, предположение о существовании пифагорова треугольника, катеты которого квадраты, приводит к противоречию и, следовательно, таких треугольников нет.

б) Предположим теперь, что существуют пифагоровы треугольники, у которых один из катетов и гипотенуза — квадраты.

Пусть треугольник (х, у, z) является таким из этих треугольников, что его гипотенуза не больше гипотенузы всякого другого треугольника, у которого гипотенуза и один из катетов — квадраты.

Пусть х = а2 и z = c2, где а и с — натуральные числа.

Покажем, что пифагоров треугольник (х, у, z) — основной. Достаточно доказать, что х и z — взаимно простые числа. Предположим противное, т. е. что х и z имеют общего делителя, тогда а и с также имеют общего делителя d> 1.

a=zdax, c=^dcx. Числа ах и сх — натуральные числа:

откуда d^\y21), что дает d2 \ у ну = а2ух, где ух является натуральным числом.

1) Символ g\h обозначает, что g является делителем Л.

Подставляя значения x1, y1, z1 в равенство

и сокращая на d4, получаем:

причем, так как z = d2c\ и d> 1, имеем c\&<z. В пифагоровом треугольнике (а], у1, с\) гипотенуза и один из катетов — квадраты и гипотенуза меньше z, что противоречит нашему предположению относительно треугольника \х, у, z).

Покажем, что у не может быть четным. Если бы у был четным, то на основании теоремы 1 существовали бы взаимно простые числа тип, где m >> п, такие, что

откуда и

В пифагоровом треугольнике (п2, ас, т2) один из катетов — квадрат и гипотенуза т2< z, что противоречит нашему предположению.

Итак, у должно быть нечетным, а х = а2 должно быть четным числом.

Так как а*+у2 = с*, где а четно, а у нечетно, то с — нечетное число, имеем:

Покажем, что нечетные числа с2 + а2 и с2 — а2 взаимно простые. Действительно, их общий делитель является делителем чисел 2с2 и 2а2, и так как он должен быть нечетным, то он является делителем взаимно простых чисел с2 и а2. Итак, числа (с2+а2) и (с2 — а2) взаимно простые.

Так как у2 разлагается на два взаимно простых множителя, то (см. примечание [1])

откуда и

причем числа :Црр и иелые> так как s и г нечетны.

Эти числа взаимно простые, так как их сумма и разность — взаимно простые числа.

На основании теоремы 1 существуют взаимно простые числа m и п9 из которых одно четно, такие, что

Откуда в обоих случаях получаем:

Так как а четно, то а = 2а1 и имеем:

(20)

Числа m и п — взаимно простые и одно из них четно. Числа (т — п) и (т+п) также взаимно простые, а следовательно, взаимно простыми являются пары т9 m — п и т9 m+п. Итак, каждая пара чисел в правой части равенства (20) есть пара взаимно простых чисел. Из этого следует, что каждый множитель произведения в правой части равенства (20) есть квадрат: [25]

(21)

Откуда é4—/4=(/?#)2, причем &4 = m2<m2+п2 = с<Сc2=z и тем более кг < z.

В пифагоровом треугольнике (/2, pq9 k2) гипотенуза и один из катетов — квадраты, причем гипотенуза k2 &<z, что противоречит нашему допущению.

Итак, предположение о существовании пифагоровых треугольников, у которых гипотенуза и катеты — квадраты, приводит к противоречию. Следовательно, не существует таких треугольников.

Теорема 4 доказана. Из этой теоремы следует, что нет пифагоровых треугольников, у которых все стороны были бы квадратами.

Проф. К. Царанкевич поставил задачу: определить, существует ли пифагоров треугольник, у которого каждая из сторон была бы треугольным числом (n-м тре-

угольным числом называют число

где п — целое число).

Оказывается, как это легко проверить, примером такого треугольника является пифагоров треугольник

10.5. В алгебре теорема, что нет пифагоровых треугольников, у которых все стороны были бы квадратами, формулируется следующим образом: уравнение.

не может быть решено в натуральных числах.

Эта теорема—частный случай великой теоремы Ферма:

Теорема. Для целого я >> 2 уравнение

не может быть решено в натуральных числах. [26]

Эта теорема доказана для таких степеней п, что 2<><2000, а также для множества других чисел, но доказательство для всех п > 2 неизвестно.

Для наименьшего п = 3 доказательство теоремы сложно. Сложно также доказательство теоремы Ферма для л/ = 6, т. е. доказательства, что нет пифагоровых треугольников, все стороны которых были бы кубами натуральных чисел.

Для случая // = 3 из великой теоремы Ферма А. Вакулич элементарным путем доказал, что нет пифагоровых треугольников, у которых катеты — кубы целых чисел.

10.6. Из теоремы 4 следует, что не существует пифагоровых треугольников, у которых гипотенуза и один из катетов были бы катетами другого пифагорова треугольника.

В самом деле, если бы в пифагоровом треугольнике гипотенуза z и катет х были бы катетами другого пифагорова треугольника, то при некоторых натуральных у и и существовали бы равенства

откуда

и пифагоров треугольник (х2, иу, z2) имел бы две стороны, которые были бы квадратами, что противоречит теореме 4.

Из теоремы 4, как легко видеть, следует, что нет двух натуральных чисел, сумма квадратов которых и разность квадратов были бы квадратами натуральных чисел.

10.7. Из теоремы 4 непосредственно получается следующая теорема Ферма:

Теорема. Не существует пифагоровых треугольников, площади которых равны квадрату натурального числа.

Действительно, положим, что существует такой пифагоров треугольник (а, Ъ, с). Тогда имеем

Пусть s равно п2, где п — целое число:

что противоречит следствию из теоремы 4,

§ 11. ТРЕУГОЛЬНИКИ, СТОРОНЫ И ПЛОЩАДИ КОТОРЫХ ВЫРАЖАЮТСЯ НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ПЛОЩАДИ КОТОРЫХ ВЫРАЖАЮТСЯ НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ И СТОРОНЫ ВЫРАЖАЮТСЯ НАТУРАЛЬНЫМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

11.1. Всякий пифагоров треугольник имеет площадь, выражаемую натуральным числом, кратным 6. Это следует из того, что хотя бы один из катетов делится на 3 и хотя бы один делится на 4 (§ 2.3 и 5.1). Площадь треугольника, определяемая полупроизведением катетов, должна выражаться числом, кратным 6.

11.2. Существуют непрямоугольные треугольники, стороны и площади которых выражаются натуральными

числами. Такие треугольники можно получить из двух пифагоровых треугольников с общим катетом.

Например, из пифагоровых треугольников (5, 12, 13) и (9, 12, 15) можно получить (прилагая один треугольник к другому так, чтобы совпали их равные катеты) новый непрямоугольный треугольник со сторонами 13, 14, 15 и с площадью

Из пифагоровых треугольников (5, 12, 13) и (35, 12, 37) получаем косоугольный треугольник со сторонами 13, 40 и 37 и площадью, равной 240. Из двух тождественных пифагоровых треугольников со сторонами (3, 4, 5) можно составить равнобедренный треугольник со сторонами 5,6, 5 и с площадью, равной 12, либо равнобедренный треугольник со сторонами 5, 8, 5 и с той же площадью. [27] В общем случае, имея два пифагоровых треугольника (а1, Ь1, сх) и (а2, Ь2, сг), можно каждый из них увеличить в соответственное число раз так, чтобы катет одного треугольника стал равен катету другого. Для этого достаточно получить катет, равный наименьшему кратному двух данных катетов Ьх и Ь2. Из полученных треугольников с общим катетом легко составить треугольник, стороны и площадь которого выражаются натуральными числами.

11.3. Не всякий треугольник, стороны которого и площадь выражаются натуральными числами, может быть получен из двух пифагоровых треугольников с общим катетом. Например, треугольник со сторонами 65, 119, 180 имеет площадь, равную 1638. Число 1638-2 = 3276 = 22 • З2 • 7 • 13 не делится ни на одно из чисел 65 = 5 • 13, 119 = 7-17, 180 = 22-32-5. Отсюда следует, что ни одна из высот этого треугольника не выражается натуральным числом и рассматриваемый треугольник не может быть получен из двух пифагоровых треугольников с общим катетом (катет должен стать высотой рассматриваемого треугольника).

Если стороны данного треугольника увеличить в пять раз, т. е. построить подобный треугольник со сторонами 325, 595, 900, то этот треугольник можно составить из следующих двух пифагоровых треугольников (91,588,595) и (91, 312, 325) с общим катетом, равным 91.

11.4. Покажем, что если стороны треугольника выражаются последовательными натуральными числами и площадь выражается натуральным числом, то он может быть составлен из двух пифагоровых треугольников с общим катетом.

Сначала покажем, что если треугольник имеет площадь, выражаемую натуральным числом, и если его стороны выражаются последовательными натуральными числами, то наименьшая из сторон определяется нечетным числом.

Действительно, если бы наименьшая сторона была четным числом 2k, то стороны треугольника определялись бы числами 2k, 2k + 1, 2k + 2 и по известной из геометрии формуле площадь s определялась бы следующим образом:

[28]

полученное равенство невозможно, так как левая часть делится на 4, тогда как правая при делении на четыре дает в остатке 3.

В рассматриваемом треугольнике наименьшая сторона должна быть нечетным числом 2k — 1 (где k — натуральное число). Стороны треугольника определяются следующими числами: 2k—1, 2k, 2ß+ 1 и квадрат площади

Из выражения для площади видно, что s2 кратно k2 и, следовательно, число s делится на число k, s = kh, где h — целое число. Обозначая через hx высоту треугольника, перпендикулярную к стороне длиной в 2k, получим для площади s — khx.

Из сравнения двух выражений для площади заключаем, что h = hx и, следовательно, высота, перпендикулярная к стороне 2k, определяется натуральным числом.

Сравнивая формулы s2 = 3k2 (k2— 1) и s2 — k2h2, заключаем: h2 = 3(k2—l).

Легко проверить, что

Следовательно, (k — 2, h, 2k —I) и (k+2, h, 2/s+ 1)— пифагоровы треугольники, из которых можно составить треугольник со сторонами 2k — 1, 2k,

Так как 3£2 = /z2-|-3, то легко проверить, что треугольники (2k + h ± 2, ЗА -|- 2Л> 4ß + 2А 4: 1)—пифагоровы с общим катетом 3k 2h.

Из этих двух пифагоровых треугольников легко составить треугольник со сторонами 4kA^2h — 1, 4k+2/z, 4k + 2A +1 и с площадью, равной

(2k + h)(3k+2h).

Итак, из каждого треугольника, площадь которого выражается натуральным числом, а стороны натуральными последовательными числами, можно получить больший треугольник, отличающийся теми же свойствами.

Применяя найденный нами способ к треугольнику (3,4,5), где ß = 2; h = 3 и s = 6, получаем новый треугольник (уже не пифагоров) со сторонами 13, 14, 15, где k = 7, /г= 12, s = 84.

Производя аналогичные преобразования со сторонами найденного треугольника, получим новый треугольник со сторонами 51, 52, 53, где & = 26, А = 45, s = 1170. Аналогично получим треугольник со сторонами 193, 194, 195, где /г = 97, А =168, s =16296 и т. д.

Очевидно, существует бесконечное множество треугольников, площади которых выражаются натуральными числами, а стороны — натуральными последовательными числами. Можно доказать, что таким способом можно определить все такие треугольники.

11.5. Возникает вопрос, как можно найти треугольники, стороны и площади которых выражаются натуральными числами. Этот вопрос равносилен вопросу, как найти треугольники, стороны и площади которых выражаются рациональными числами.

Треугольники, стороны которых и площадь рациональны, назовем рациональными треугольниками. Увеличивая стороны рационального треугольника в целое число раз, мы снова получим рациональный треугольник.

Покажем, что всякий рациональный треугольник можно составить из двух прямоугольных треугольников с рациональными сторонами. Заметим, что во всяком треугольнике с рациональными сторонами высота, проходящая внутри треугольника, делит перпендикулярную к ней сторону на два рациональных отрезка.

В самом деле, пусть а, b, с — стороны треугольника, h — высота, лежащая внутри треугольника и перпендику-

лярная стороне с. Обозначим соответственно а1 и Ъх отрезки, которые являются проекциями сторон а и Ь на сторону с.

Числа аг и Ьх положительны, очевидно, что

Высота h делит наш треугольник на два прямоугольных треугольника (ах, А, а) и (b19 К Ь) (неизвестно, являются ли стороны треугольников рациональными). На основании теоремы Пифагора для этих треугольников имеем:

(22)

откуда Так как получаем:

(23)

а так как то

(24)

Из равенства (24) следует рациональность отрезков ax и bx.

Если данный треугольник с рациональными сторонами имеет рациональную площадь s, то каждая из высот является также рациональной.

Если h — высота треугольника, перпендикулярная стороне с. то площадь

Рациональность чисел s и с приводит к рациональности числа h. [29]

Обозначая соответственную сторону с, предполагаем, что перпендикулярная к ней высота лежит внутри треугольника.

Из доказанного следует, что рассматриваемый треугольник может быть составлен из двух прямоугольных рациональных треугольников. [30], [31]

11.6. Рассмотрим треугольники с натуральными сторонами и рациональными медианами.

Длина медианы sa (проходящей через середину стороны а) выражается по формуле:

Пользуясь этой формулой, можно проверить, что указанный Эйлером треугольник со сторонами 68, 85, 87 имеет рациональные медианы sa = 79, s^ = —, sc = -^-.

Доказано, что этот треугольник — наименьший из всех треугольников, стороны которого выражаются натуральными числами и медианы которого рациональны. Укажем еще два треугольника с рациональными медианами, это треугольники со сторонами 127, 131, 158 и 204, 255,261.

11.7. Интересна следующая теорема Куммера, данная в 1848 г. и рассматривающая четырехугольники с рациональными сторонами и рациональными диагоналями.

Теорема. В четырехугольнике с рациональными диагоналями и сторонами диагонали делятся в точке пересечения на рациональные отрезки.

При доказательстве Куммер пользуется тригонометрическими функциями и их свойствами.

Дадим элементарное геометрическое доказательство. Пусть ABCD— четырехугольник, стороны которого и диагонали— рациональны, и пусть О — точка пересечения диагоналей (чертеж 1).

Пусть BE — высота треугольника ЛВС, перпендикулярная к стороне АС. На продолжении BE отложим отрезок EG — FD, где FD \\ EG. Рассмотрим прямоугольный треугольник BGD. Так как у треугольника ABC рациональные стороны, то, как известно, проекция АЕ стороны AB на сторону АС рациональна.

Проекция FC стороны DC рационального треугольника ADC на сторону АС рациональна

Черт. 1

Из прямоугольного треугольника BGD, у которого рациональны гипотенуза BD и катет GD = EF, заключаем, что квадрат стороны BG, т. е. BG2, является рациональным числом, (ВЕ+ EG)2 тоже рациональное число. Из прямоугольного треугольника ABE, стороны которого AB и АЕ рациональны, следует, что BE2 — рациональное число.

Аналогично, из прямоугольного треугольника FDC заключаем, что FD2 и EG2 рационально, так как EG = FD.

Из рациональности (Б£'4-^°)2=^2+^02 + 2-^-^0 следует, что произведение BE-EG рационально.

Выражение

является рациональным.

Из подобия прямоугольных треугольников ВЕО и DFO имеем

Отношение OD к ВО является рациональным, а так как сумма отрезков ВО + OD = BD рациональна, то и отрезки ВО и OD рациональны. Аналогично доказывается рациональность отрезков АО и ОС. Из теоремы Куммера следует, что выпуклый четырехугольник с рациональными сторонами и рациональными диагоналями делится диагоналями на четыре рациональных треугольника.

§ 12. ПИФАГОРОВЫ ТРЕУГОЛЬНИКИ, У КОТОРЫХ ГИПОТЕНУЗА И СУММА КАТЕТОВ — КВАДРАТЫ

12.1. В 1643 г. Ферма предложил следующую задачу: Найти пифагоровы треугольники, у которых гипотенуза и сумма катетов — квадраты.

В письме к Мерсенну Ферма утверждал, что наименьшим таким треугольником является треугольник со сторонами:

(4565486027761, 1061652293520, 4687298610289). (25)

Задача Ферма и ее решение имеют более глубокий смысл, чем кажется на первый взгляд.

Ответом на такую, казалось, простую задачу являются очень большие числа, которые невозможно найти случайно или методом подбора. Возникает несколько вопросов:

1° Как найти решение задачи?

2° Показать, что числа, данные Ферма и выражающие длины сторон, действительно являются наименьшими? 3° Как найти все решения задачи? Попробуем ответить на поставленные вопросы.

12.2. Приведем кратчайшее решение задачи Ферма. Задача, поставленная Ферма, сводится к решению системы уравнений:

(26)

в натуральных числах. Достаточно найти решение системы уравнений (26) в рациональных положительных числах х, у, U, v.

Приведя полученные решения к общему знаменателю m и умножая первое из равенств (26) на m4, а второе равенство — на m2, получим решение системы уравнений (26) в натуральных числах т2х, т2у, ти, mv.

Примем за х рациональное число t:

(27)

Получаем тождество:

Чтобы числа (27) удовлетворяли системе (26), необходимо и достаточно, чтобы

или

(28) (29)

Равенство (29) преобразуем:

на основании (28) получаем:

(30)

Равенство (30) будет выполняться, если

(31)

Первое из этих равенств дает:

(32)

Для того чтобы число и2 удовлетворяло уравнению (28), необходимо и достаточно, чтобы число t удовлетворяло уравнению

(33)

или

(34)

С другой стороны, если возьмем значение t из равенства (34), а значение и и v из равенства (31), то получим равенства (32) и (33), из которых получается равенство (28); на основании второго равенства (31) получается равенство (30), из которого на основании (28) следует равенство (29). Как известно, из равенств (27), (28) и (29) следует равенство (26).

Если определить t из равенства (34), а числа х,у, ану из равенств (27) и (31), то получим решение системы уравнений (26) в рациональных положительных числах, причем знаменатель каждой из дробей у, uf v будет, как легко убедиться, /я = 7-2938, а знаменатель дроби л будет т2. Числа т2л, т2у и т2и2 выражают стороны треугольника (25), найденного Ферма. Существует, следовательно, пифагоров треугольник, гипотенуза которого и сумма катетов — квадраты целых чисел.

Если (х, у, z)— такой треугольник, а п — произвольное целое число, то, очевидно, треугольник (п2л, п2у, n2z) будет также удовлетворять условиям задачи.

12.3. С другой стороны, если (х, у, z) — пифагоров треугольник, гипотенуза которого и сумма катетов — квадраты, и если п — наибольшее натуральное число, квадрат которого является общим делителем чисел л и у, то, полагая

получим натуральные числа хг и ух, не имеющие общего делителя, квадрат которого больше единицы.

Из равенства (26), учитывая наше предположение относительно треугольника (х, у, z)9 имеем:

Из этих равенств видно, что п*\и*у n2\v29 следовательно, п I и и п IV и существуют такие натуральные числа их и vx, что

откуда

Из полученных равенств следует, что в пифагоровом треугольнике (хх, у1У zx) гипотенуза и сумма катетов являются квадратами, причем хх и ух не имеют общего делителя, который был бы квадратом и был бы больше 1.

Исследование пифагоровых треугольников, у которых гипотенуза и сумма катетов — квадраты, сводится к исследованию тех из них, у которых катеты не имеют общего делителя, который был бы квадратом и был больше единицы.

12.4. Покажем, что катеты в таких треугольниках выражаются взаимно простыми числами.

Пусть (x, y, z)— пифагоров треугольник, у которого гипотенуза и сумма катетов — квадраты и у которых катеты X и у не имеют общего квадратного делителя, большего 1. Из гипотезы относительно (x9у,z) следует существование чисел и и V, удовлетворяющих уравнениям (26). Из первого из этих равенств следует, что одно из чисел х или у, например у, делится на 4 (§ 2.3). Если бы число X было четным, то из (26) следовала бы четность числа v и 4|i/2 или 4 l^+^, а так как 4|j/, то 4 J je, что противоречит предположению, что х и у не имеют общего квадратного делителя, большего единицы.

Итак, число X должно быть нечетным. Пусть d — общий наибольший делитель чисел х пу. Тогда имеем d\x и d\y и на основании (26) d2\u* и d\v29 т. е. d — общий делитель чисел и2 и v2. Если d> 1, то числа и и v не могут быть взаимно простыми (так как тогда оба числа и2 и v2 были бы взаимно простыми и не могли бы иметь общего делителя d> 1).

Пусть Ь— наибольший общий делитель чисел и и v, тогда 8>1, Ь\а3 b\v, ê41 и4 и è2 \ v2, принимая во внимание (26), получим: Ô41 х2 + у2 и b2\x +у, откуда *41(*+.У)', т. е. ^K-x+j')2 — С*в+Л или §4|2^, а отсюда é4 J X2 +у2 — 2ху, или о41 (л;—j/)2, что дает Ь2 \ X —у, a так как Ь2 \ х +у, то получаем b2 \ 2х и ô212у. Число X нечетно, а число у четно, а потому х+у является нечетным числом. Так как Ь2\х+у, то § — нечетное число. Из того, что Ь212х и §212у, следует, что Ь2 \ X и Ь2 \у, что противоречит предположению, что х и у не имеют общего квадратного делителя, большего 1. Следовательно, d не может быть больше единицы, а должно быть равно единице и числа х и у — взаимно простые, что и требовалось доказать. Доказано также, что 8 не может быть больше единицы (так как Ь2 \ х и Ь2 \у)9 т. е. 8=1 и числа и и v также взаимно простые.

Итак, при исследовании пифагоровых треугольников, гипотенуза и сумма катетов которых квадраты, достаточно ограничиться исследованием основных треугольников. Другими словами, достаточно решить систему уравнений (26) в натуральных числах, где х и у являются взаимно простыми (а также а и v взаимно простые).

12.5. Предположим, что целые числа х, у, и и v удовлетворяют системе (26) и что х и у являются числами взаимно простыми. Так как Y2 число иррациональное, то X не может быть равным у. Имеем х=£у, затем w = \x—у\ является натуральным, причем на основании (26) имеем:

(35)

и, имея в виду (26), получаем:

и, следовательно v>u.

Итак, если натуральные числа х, у, uy v удовлетворяют системе уравнений (26) и числа х и у взаимно простые, то целые числа и и v удовлетворяют уравнению (35), где w — натуральное число, a v>u il v н и — взаимно простые.

Обратно, предположим, что натуральные числа иу v и w удовлетворяют уравнению (35), причем и и w взаимно простые и v>u. Из (35), учитывая, что v>uy имеем:

Числа

(36)

целые, положительные, так как из равенства v* +w2 = 2и4 следует, что v и w оба четны или оба нечетны. Итак, х и у— целые числа. Пусть d— их общий наибольший делитель. Тогда d X и d\y и, принимая во внимание (36), имеем d\v2 и d w, а из (35) заключаем, что d2 \2и*. Но числа и и v по предположению взаимно простые и, следовательно, и2 и v2 взаимно простые, а так как d\v2y числа d и и2 взаимно простые, то такими же являются числа d2 и и4. Из того, что d212и4у следует, что d2 \ 2 и d=\y так как число 2 не делится ни на один квадрат, больший единицы. Числа х и у взаимно простые.

Мы доказали, что если натуральные числа и, v и w удовлетворяют уравнению (35), причем v>u и числа и и v взаимно простые, то х и у, определенные равенствами (36), взаимно простые и х, у, и, v удовлетворяют системе (26).

Сравнивая полученный результат с ранее найденным, заключаем, что решение системы (26) в натуральных числах х, у, и и v, где числа х и у взаимно простые, сводится к решению уравнения (35) в натуральных числах и, v, w, где v > и и числа и и v взаимно простые.

Итак, вместо системы двух уравнений с четырьмя неизвестными имеем одно уравнение с тремя неизвестными.

12.6. Найдем теперь все решения уравнения (35) в натуральных числах иу v и w, где числа и и v являются взаимно простыми (где необязательно v>u). Одно из решений, очевидно, a = w = v=1. Каждой системе решений уравнения (35) в натуральных числах иу v и те/, где числа и и v взаимно простые и поставим

в соответствие некоторую систему решений:

где иг и vt взаимно простые иг&<и.

Предположим, что натуральные числа и, v и w удовлетворяют уравнению (35) и и числа и и v взаимно простые. Покажем, что uv^w. В самом деле, предположим, что uv = w, тогда u2fv2 — w2 и, принимая во внимание (35), получаем: 2и4 — v* — u2v2 или и2 (2а2 — v2) = v4y что дает u2\v4 и u\v2. Ввиду того, что («, v)=1, (и, v2)=\\ учитывая, что u\v2, заключаем, что и= 1, что противоречит сделанному выше предположению. Мы доказали, что uv=^w.

В случае четности числа v на основании (35) число w было бы также четно и число 2u4 = v*+w2 делилось бы на 4 и число и было бы четным, что противоречило бы предположению о том, что числа и и v взаимно простые. Таким образом, число v нечетно, а на основании (35) заключаем, что число w также нечетно.

Числа натуральные. Покажем, что второе число не равно нулю. Действительно, в случае v2=w имели бы zv2 = v4 и, учитывая (35), получили бы 2u4=2v4 и u = v, что противоречит предположению, что числа и к v взаимно простые ий^1. Число натуральное число.

Легко также показать, что числа

взаимно простые, так как их общий наибольший делитель d является делителем чисел v2 и w. Принимая во внимание равенство (35), получаем d2 \ 2и4, что вследствие нечетности числа d (как делителя нечетного числа w) дает d2\u4 и d\u2y так как d\v2y а числа и2 и v2 взаимно простые (так как числа и и v взаимно простые), то d=1, что и требовалось доказать.

Заметим еще, что и число и является нечетным. Вследствие нечетности v я w число v4 + w2 при делении на 4 дает в остатке 2, a 2u4 = v1+w2.

Равенство (35) можно преобразовать в следующее:

(37)

Натуральные числа и й2, из которых первые два взаимно простые, определяют стороны основного пифагорова треугольника (37). На основании теоремы 1

заключаем, что существуют целые взаимно простые числа тип, одно из которых четно и что

либо

^в зависимости от четности или нечетности числа

Если V2 > w, находим в обоих случаях

а если v2&<w, получаем в первом случае

а во втором

В каждом из них имеем:

(38)

где при V2 и 2тп следует выбрать знак +, если v2>w, и знаки -f“ и — > если v2 <С w и число —у— нечетно, и знаки — и —, если v2 <w и число - четно.

Равенство — v2 = m2 — п2 ± 2тп, или v2 — n2 — m2^f 2/72//, отличается от равенств v2 = m2 — п2 2тп только тем, что и m и п поменялись местами (при этой замене сохраняются свойства m и п: они взаимно простые и одно из них четно). Во всяком случае заключаем, что существуют такие натуральные числа тип взаимно простые, из которых одно четно, что при знаке плюс или минус при числе 2тп, получаем:

(39)

причем, как показано, числа m и п и знак при 2тп определяются числами u, v и w, удовлетворяющими равенству (35).

Среди чисел тип, как известно, одно четно, другое нечетно. Если бы число п было нечетным, то его квадрат п* при делении на 4 давал бы в остатке 1, а так как числа т2 и 2тп были бы тогда четными, то правая

часть второго равенства (39) давала бы при делении на 4 остаток 3, что невозможно, так как правая часть равна V2. Число п должно быть четным и, следовательно, m является нечетным.

Учитывая, что числа тип взаимно простые и число п — четно, заключаем из первого равенства (39) на основании теоремы 1 о существовании взаимно простых чисел г и s таких, что

(40)

(Одно из чисел г и s четно.)

Вторую формулу (39) можно переписать в виде

что дает

(41)

где одновременно следует взять либо верхние, либо нижние знаки.

Так как числа т-^п и v являются нечетными, то

где k и I — целые числа. Отсюда v — l — k и l>k.

Покажем, что числа k и I — взаимно простые.

Пусть k и I имеют общий делитель d > 1, тогда d\mzbn и d\v, откуда на основании (41) d2 было делителем 2я2, т. е. d212/z2, что в связи с нечетностью d (как делителя числа v) дает d2\n2 и d\n. Так как d\mz\zn и d\m, что противоречит предположению, что числа тип взаимно простые. Следовательно, k и I — взаимно простые.

Из определения чисел k и I и из равенства (41) следует, что 2kl — я2, затем, учитывая равенство (40), получаем —2rV, что говорит о четности одного и нечетности другого числа из чисел k и I (числа k и I — взаимно простые).

Если k четно, то числа 2k и I взаимно простые, а так как их произведение — квадрат (числа я), то, следовательно, каждое из них — квадрат. Итак, существуют натуральные числа а и Ьу такие, что (2k) = (2а)2 и 1 = Ь2У откуда v = l — k = b2 — 2а2. Если число / четно, то, как было показано, существуют натуральные числа а и Ь9

такие, что 21 = (2а)2 и k = b2, откуда v = l — k — Во всяком случае получаем

откуда п = 2ab, и, учитывая (40), получаем:

ab = rs. (42)

Обозначим через g общий наибольший делитель чисел г и Ь. Существуют взаимно простые числа иг и viy такие, что r = gu1 и b = gv1, откуда, учитывая (42), получаем:

ач)х = sux,

а так как числа их и vt взаимно простые, то vt \ s. Итак, существует такое натуральное число А, что s = hvly но так как av1=sul, находим a = hu1. Так как числа г и s взаимно простые и r = gaiy s = hv1, то числа g и h — взаимно простые.

На основании равенства (40), и m = m±n^fn, и полученных ранее m + п = 2я2 + b2, n = 2ab находим

(43)

Подставляя в равенство (43) следующие значения:

(44)

получаем:

(45)

что дает

Умножая обе части равенства

получаем:

(46)

Отсюда следует, что натуральное число 2и\ — v(9 отличное от нуля (так как число \~2 является иррациональным), является квадратом целого рационального числа

которое также является квадратом

целого числа wt. Имеем:

(47)

где axf vx и wx— натуральные числа, причем ах и vx— взаимно простые. Учитывая равенства (40) и (41), получаем:

Мы получили из определенной системы решений (u, v, w) уравнения (35) новую систему решений (иХ, vX, wx) = —f(u,v,w) того же уравнения в натуральных числах их, vx и wx, где и* О.

Заметим, что из равенств (46) и (47) следует равенство

(48)

Откуда

(49)

принимая во внимание, что числа h и g взаимно простые, мы видим из равенства (49), что несократимая дробь — равна рациональному числу

при определенном знаке в числителе дроби.

Каждой системе решений уравнения (35) в целых числах и, v, w, где и и v — взаимно простые и а ^ 1, мы приводим в однозначное соответствие некоторую новую систему решений

уравнения (36) в натуральных числах u1, v1, wx$ где ах и vx взаимно простые и и\&<и. Если ах^\, то системе решений (их, vX9 wx) соответствует новая система решений

где числа и% и vt взаимно простые и и\&<их. Если а2 ф 1, то получаем новую систему решений:

Так как ряд уменьшающихся целых чисел и >> их > и2... не может быть бесконечным, то при некотором целом п мы придем к системе решений (ип9 vn9 wn), где ап=\, а следовательно, и vn — wn = 1. Для каждой системы решений уравнения (35) в натуральных числах u, v, w,

где и и v — числа взаимно простые и w^l, существует определенное натуральное число пу зависящее от иу v, w, такое, что

fn(u,v,w) = (\9 1, 1).

12.7. Обозначим для данного натурального числа п через Zn совокупность всех решений уравнения (35) в натуральных числах и, V и wy где числа и и v взаимно простые и и=£\9 для которых fn(u, v, w) = (1, 1, 1).

Каждое решение уравнения (35) в натуральных числах u, v, w, где числа и и v взаимно простые и при-

надлежит к некоторой и только одной из групп Zn, где п является натуральным числом.

Пусть (u0,v0,wQ) — решение уравнения (35) в натуральных числах, где числа и0, vQ взаимно простые и а0 ^ 1, и предположим, что для некоторого натурального числа k решение это не принадлежит ни одной группе решений z1f z1f..., Zk. Следовательно, оно должно принадлежать группе решений Zn, где п — натуральное число, большее k.

Примем (и'у v\ w')—fn-k(u0, v0,w0). Так как решение (и0, v0, zvQ) принадлежит группе решений Zn, то Г К w,) = (1, 1, 1) или/У^АК,^0,^0) = (1,1,1), что дает / (и'у v'9 «;') = (1, 1, 1) и доказывает, что решение (и'у v,9 w') принадлежит группе Zk. Из того, что (и'у v'y w')=fn-k(u0, v0,w0)9 следует, что (и')2<и0.

Если (а0, v0, w0) является решением (35) в натуральных числах, где числа и0, v0 взаимно простые и я0^1 и не принадлежит ни одной из групп z19 Z2,..., Zk, то число и0 больше квадрата наименьшего среди чисел u, для которого существует решение (а9 v, w) уравнения (35), принадлежащего группе Zk.

12.8. Предположим, что нам известно решение уравнения (35) в натуральных числах uX9vx и w1, такое, что числа иг и vx взаимно простые. Поставим следующий вопрос: существует ли решение уравнения (35) в натуральных числах u, v и w, где числа и и v взаимно простые и иф\9 f(u, vy w) = (u1, v1, wx) и как его найти?

Предположим, что (и, vy w) такое решение.

Из приведенных выше рассуждений на основании определения преобразования /следует, что, определяя для u,v,w последовательно числа т9 пу ry s, ау b9h и gy придем к равенству (49) для несократимой дроби .

Так как в формуле (49) имеем знаки то, вообще говоря, имеем две возможности для определения чисел А и g“, за исключением того случая, когда w1 = ulvl, что будет только при ul=v1—wl = l.B этом случае равенство (49) имеет вид:

(так как — должно быть положительным числом).

Во всяком случае целые числа h и g будут определены одним или двумя способами.

Из равенства (49) получаем равенство (48) и, учитывая (47), получаем:

т. е. равенство (46), из которого легко получаем (45). Затем определяем числа г, s, а и b из равенства (44) и получаем равенства (45) и (43).

Так как из равенства (44) следует, что ab = rsf то равенство (43) дает

(50)

Принимаем v = | 2а2 — Ь2 \.

v — целое число (вследствие иррациональности V~2\ 2а2^Ь2) и v2 = (2a2 — b2)2, откуда на основании (50) и равенства ab = rs получаем:

(51)

где следует брать верхний знак, если в равенстве (49) выбран верхний знак, и нижний, если в равенстве (49) выбран нижний знак.

Легко проверить тождество

Полагая

(где знак при 2rs берется верхний, если в (51) взят верхний знак, и нижний знак, если в (51) взят нижний), получаем, учитывая (51), уравнение (35), причем на основании (44) имеем:

Покажем, что найденные нами числа и и v — взаимно простые.

Для доказательства заметим, что числа их и vx — взаимно простые и удовлетворяют уравнению (47), отсюда следует, что их и wx — взаимно простые.

Если у них есть общий делитель Ь, то Ь\их b\wx% откуда, на основании того что v\ = 2u\ — w\9 следует b\v\.

Так как Ь\и\ и учитывая, что Ь\иХ, а числа и\ и v\ взаимно простые (числа их и vx взаимно простые), то 0=1 и числа их и wx взаимно простые.

Пусть d — наибольший делитель чисел их и h. На основании (49) получаем h(2u\+v2x) = g \uxvxzbwi I и так как d\ux и d\h9 найдем отсюда d\gwx и, принимая во внимание, что d\h и g и h—взаимно простые числа, заключаем, что числа dug взаимно простые. Из того, что ^I ëwi> следует, что d\wx; так как d\uX, а числа их и wx взаимно простые, то d= 1 и числа их и h взаимно простые.

Пусть dx — наибольший общий делитель чисел vx и g.

Также докажем, что dx \ 2hu\. Так как dx \ g и числа g и h взаимно простые, то ^ и h взаимно простые. Так как dx как делитель нечетного числа vx — число нечетное и dx I 2hu\9 заключаем, что dx\u\. Учитывая, что d\\v\ и что числа и\9 v\ — взаимно простые, имеем dx = 1 и числа vx и g взаимно простые.

На основании (44) имеем: r = gux и s = hvv, причем доказано, что каждый из двух множителей числа г и каждый из двух множителей числа s взаимно простые. Отсюда следует, что числа г и s взаимно простые.

Из (47) и из того, что их и vx взаимно простые, следует, что их, vx и wx — числа нечетные. Число wx-±zUxvx

четно, а число 2и\ -)- v\ нечетно. А так как

где hug взаимно простые, заключаем, что h четно, а g нечетно.

Так как s = hvx, то s четно, а число г (взаимно простое с s) нечетно.

Обозначим через Ьх общий наибольший делитель чисел r2+s2 и г. Получим bx\r2+s2 и Ъх\ги тем более Ьх\г2, а потому àx\(r2+s*) — г2 или bx\s2.

Учитывая, что числа г2 и s2 взаимно простые (г и s взаимно простые), заключаем, что ^ = 1, т. е. числа

г2 s2 и г взаимно простые. Аналогично доказывается, что числа r2+s2 и s взаимно простые.

Принимая во внимание, что число r2+s2 нечетно (г — нечетно, a s — четно) и по доказанному г и s — взаимно простые числа, то г2-)-s2 и 2rs тоже взаимно простые.

Из формулы (г2 + s2) — (г 4h s)2 — hF 2rs заключаем, что числа г2 + s2 и г 4; s взаимно простые. Взаимно простыми являются числа г2+s2 и 2s(r±zs). Так как

то число г2 + s2 (иначе w) и число г2 + 2rs — s2 являются взаимно простыми, такими же будут числа r2-|-s2 и Ars и числа r2+s2 и 4rs(r24;2rs — s2). Из равенства (51)

заключаем, что и и г/2 — и2 взаимно простые, а отсюда следует, что и и v взаимно простые, что и требовалось доказать.

12.9. Легко проверить, что если натуральные числа ах, vx и wx удовлетворяют уравнению (47) и если их uvx взаимно простые, то можно определить вышеуказанным методом числа u, v и w, такие, что

Этот метод позволяет найти все решения уравнения (35) в натуральных числах u, v и w, где числа а и v взаимно простые и

/(и, v, w) = (a1, v1, wx).

Это дает возможность найти все решения, принадлежащие группе Z„+1, если известны решения, принадлежащие группе Zn.

12.10. Из вышеприведенного доказательства заключаем, что для каждого решения (их, v19wx) уравнения (47) в натуральных числах, где их и vx — взаимно простые числа, существует не менее одного и не более двух решений в натуральных числах и, v и w, где числа и и v взаимно простые и f(u, v, w) = (ux9 vX9 wx). Отсюда следует, что существуют решения уравнения (35) в числах u, v и w, где а и v взаимно простые и где а является произвольно большим числом.

12.11. Предположим, что ul = vl — wl = l. В равенстве (49) выбираем только верхний знак и получаем — =-|-, а так как — — несократимая дробь, то h = 2, g=3 и на основании равенств (44) имеем: г = 3, s = 2, а — 2, b = 3, затем

и = 32 +22 = 13.

В (51) выбираем верхний знак, так как такой знак выбран в (49), и получаем:

г/2=г 172 —288= 1, откуда 0=1, ^ = |(32 — 22 — 2.3-2)2 — 8-З2-221 = j(—7)2 — 2881 = 239.

Имеем, следовательно, единственное решение уравнения (35), принадлежащее к группе решений z1f т. е. 2-134— 14 = 2392. Мы получили и=13>1=Ф.

12.12. Примем ^ = 13, vx— 1, «^ = 239, так как ttlvl&<w1, то и (49) принимает вид:

либо при нижнем знаке, либо

при верхнем знаке.

Если — = у, то, учитывая, что hug взаимно простые, получаем /г = 2и£=3ина основании (44) получаем r = 39, s = 2, а = 26, Ь = 3, затем

а так как в (51) следует выбрать нижний знак, то

Опять получаем u>v.

Если~ = щ, то Л = 84, £=113, r=1469, s = 84, я=10,2, &=113, и=14692 + 842 = 21б5017, атак как в данном случае в (51) следует взять верхний знак, то

В данном случае v>u.

z = и2 = 4687298610289 являются сторонами пифагорова треугольника, сумма катетов которого и гипотенуза — квадраты. Этот треугольник и был найден Ферма.

Мы нашли два решения уравнения (35), принадлежащие к группе решений Z2, и убеждаемся, что все решения принадлежат этой группе. Отсюда следует, что в каждом решении (35) в натуральных числах щ v, w, где а и v взаимно простые числа и и ^= 1, не принадлежащие группе Zx и Z2, числа 15252> 225-104, т.е. больше, чем найденное число а = 2165017, полученное Ферма. Следовательно, треугольник, найденный Ферма, имеет наименьшую гипотенузу из всех пифагоровых треугольников, у которых гипотенуза и сумма катетов — квадраты.

§ 13. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПИФАГОРОВЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИ ПОМОЩИ ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ

13.1. Пусть (я, b, с) — основной пифагоров треугольник. Установим соответствие между этим треугольником

и точкой плоскости с абсциссой л = — и ординатой — .

так как а2+Ь2 = с2. Точки с координатами (х, у) лежат на окружности единичного радиуса. Каждому основному пифагорову треугольнику соответствует точка окружности X2 +у2 == 1 с рациональными положительными координатами или так называемая рациональная точка этой окружности. Обратно, если (х, у) — точка окружности X2 +у2 ==z 1 с рациональными положительными координатами, т. е. если х и у являются положительными рациональными числами, удовлетворяющими уравнению х2 ++j/2=1, то после приведениям и у к общему наименьшему знаменателю получим и У — -~ и установим соответствие между выбранной точкой и пифагоровым треугольником (а, b, с).

Итак, можно установить однозначное соответствие между пифагоровыми треугольниками и рациональными точками окружности, находящимися над осью абсцисс и справа от оси ординат.

Возьмем два произвольных натуральных числа хг и х2У таких, что 0 < хх <Сх2 <С 1 •

Покажем, что существует основной пифагоров треугольник (а, b, с), которому на окружности соответствует точка (х, у), где -Д^

Действительно, так как 0&<хх &<хг&< 1, то

откуда

Существует такое рациональное число — , которое заключено между рассматриваемыми корнями, можно предположить, что тип являются взаимно простыми, причем m нечетно, а п четно и т>«, получим:

Так как то получим:

И, принимая а = т2— п2у Ь = 2тпу с — т2+п2, получаем (на основании теоремы 1) основной пифагоров треугольник, причем

Этому треугольнику соответствует на окружности нашего круга точка (ху у)у где х = —, у =—, причем хг <л;<.а;2, что и требовалось доказать.

Отсюда следует, что если на дуге окружности х2 +y2=z = 1, лежащей между точками пересечения окружности

с положительными осями координат (на дуге, лежащей в первой четверти), возьмем две различные точки, то между ними имеется точка, которой соответствует некоторый основной пифагоров треугольник.

Приходим еще к следующему заключению: для произвольного угла а, где 0°^а^90°, существует прямоугольный треугольник с рациональными сторонами и с острым углом, сколь угодно близким к углу а. Увеличивая стороны этого треугольника в соответствующее число раз, получим пифагоров треугольник. Итак, для каждого прямоугольного треугольника существует пифагоров треугольник, углы которого сколь угодно мало отличаются от углов треугольника Г.

В частном случае существуют пифагоровы треугольники, у которых острые углы сколь угодно мало отличаются от угла в 45°. Понятно, что нет пифагоровых треугольников с острыми углами, равными 45°, так как в этом случае треугольник был бы равнобедренным и гипотенуза была бы несоизмерима с катетом. К углу в 45° стремятся острые углы пифагоровых треугольников, катеты которых выражаются последовательными натуральными числами, и если катеты этих треугольников бесконечно возрастают (такие треугольники мы рассматривали в § 4).

13.2. Существует и другой способ определения (всех) пифагоровых треугольников при помощи точек плоскости с целыми координатами (так называемых решетчатых точек). Пифагорову треугольнику (я, b, с) поставим в соответствие точку плоскости с абсциссой а и ординатой Ь. Каждому пифагорову треугольнику соответствует определенная точка плоскости с натуральными координатами и разным треугольникам соответствуют разные точки. Обратное заключение неправильно, не каждой точке плоскости с натуральными координатами соответствует пифагоров треугольник. Например, точкам (1, 1), (1, 2), (2, 3) не соответствует пифагоров треугольник. Только таким точкам (а, Ь) соответствует пифагоров треугольник, для которых а2 Ь2 является квадратом целого числа.

Легко доказать, подобным пифагоровым треугольникам соответствуют точки плоскости, лежащие на прямой, проходящей через начало координат и через точку, соответствующую одному из треугольников.

§ 14. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ, СТОРОНЫ КОТОРЫХ ВЫРАЖАЮТСЯ ЧИСЛАМИ, ОБРАТНЫМИ НАТУРАЛЬНЫМ ЧИСЛАМ

14.1. Поставим следующий вопрос: существуют ли прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются числами, обратными натуральным числам, и если они существуют, то как найти все такие треугольники.

Предположим, что Т—такой треугольник. Существуют натуральные числа х, у, z, такие, что Т= ( —, — , — ), а так как треугольник Т прямоугольный, то

(52)

Наша задача сводится к решению уравнения (52) в натуральных числах. Предположим, что натуральные числа л, у, z удовлетворяют уравнению (52). Тогда имеем z~2>x~2 и 22<л;2, x>z. Из уравнения (52) имеем:

(53)

Пусть d—общий наибольший делитель чисел х и г, тогда существуют взаимно простые числа а и с, такие, что x = da, z = dc.

Учитывая уравнение (53), имеем:

(54).

Из (54) заключаем у2 \ (dacf или у \ dac и, соответственно, существует такое целое число b, что dac=yb. Подставляя значение dac в правую часть (54), получаем:

(55)

Так как числа а и с взаимно простые, то из (55) заключаем, что числа b и с также взаимно простые. Из (55) имеем:

(56)

получаем, что треугольник (Ь, с, а) — основной пифагоров треугольник.

На оснований теоремы 1 заключаем, что существуют целые взаимно простые числа m и п, из которых одно четно, такие, что т>п и

(57)

Нам известно, что числа Ь и с взаимно простые.

Из (56) следует, что Ь и а взаимно простые, число b, будучи взаимно простым с числом а и взаимно простым с числом с, должно быть взаимно простым с числом ас. Ранее найденное равенство dac =yb говорит о делимости числа d на число Ь. Следовательно, существует такое натуральное число £, что d — bb.

Получаем x = da = bab\ у = Ьас (так как yb = dac), z = dc — bbc. Затем на основании (57) получаем:

либо

С другой стороны, легко проверить, что если мы определим х> у, z из написанных равенств при произвольных натуральных т, п, Ь и п&<т и определим b, с, а из равенств (57), то x = bab, y = èac, z = bbc. Полученные значения х, у, z удовлетворяют уравнениям (56) и (53), а следовательно, и (52).

Мы пришли к выводу, что все решения уравнения (52) в натуральных числах (и только такие решения) получаем из равенств:

(58)

либо

[32]

Причем §— произвольное натуральное число, a m и п взаимно простые числа, из которых одно четно и /я >> п. [32]

14.2. Легко заметить, что, таким образом, каждое решение уравнения (52) в натуральных числах получается только один раз, так как дробь несократима и равна дроби -J , таким образом, числа а и с определены, если известны лиг. Из равенства (55) определяется число Ь и числа ту п и число Ь = ^.

Для m = 2, /1=1, §=1 получаем л = 15, у = 20, 2= 12, что дает решение уравнения (52) в наименьших целых числах:

Для т = 3, л=1,д=1 получаем л = 80, j/ = 60, 2 = 48 (числа в четыре раза больше предыдущих).

Для т = 3, /г = 2, ô = l получаем л = 65, j/ = 156, 2 = 60, откуда

[33]

14.3. Из приведенных равенств (58) следует, что из решения уравнения (52) каждая пара из тройки чисел л, уj z не является взаимно простым числом.

14.4. Заметим, что нет прямоугольного треугольника, стороны которого были бы обратны квадратам натуральных чисел.

Действительно, если бы треугольник

был таким треугольником, то

откуда (yzf (яг)4 = (ху)А, что противоречит теореме 4 (§ 10.4).

§ 15. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЫ, РЕБРА И ДИАГОНАЛИ КОТОРЫХ ВЫРАЖАЮТСЯ НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

15.1. Из каждого пифагорового треугольника можно получить прямоугольник, стороны и диагонали которого выражаются натуральными числами, и обратно.

При переходе в трехмерное пространство следует ответить на такой вопрос: как найти прямоугольные параллелепипеды, стороны и диагонали которых — натуральные числа.

Если х, у и z— ребра параллелепипеда, t— его диагональ, то, как известно из элементарной геометрии,

(59)

Обратно, если х, у, z и t удовлетворяют уравнению (59), то числа х, у, z являются ребрами, a t диагональю прямоугольного параллелепипеда.

Отыскание всех прямоугольных параллелепипедов, ребра и диагонали которых выражаются целыми числами, сводится к решению в целых числах уравнения (59).

15.2. Предположим, что натуральные числа х, у, z и t являются решениями уравнения (59). Покажем, что хотя бы два из чисел х, у, z должны быть четными. Если бы все три рассматриваемых числа были нечетны, то квадрат каждого из них при делении на 4 давал бы в остатке единицу и левая часть уравнения (59) давала бы в остатке три, что невозможно, так как правая часть равенства (59) — квадрат. Если бы только одно из рассматриваемых чисел было четным, то левая часть уравнения (59) при делении на четыре давала в остатке два, что невозможно, так как правая часть равенства (59) — квадрат.

15.3. Легко показать, что хотя бы одно из чисел х, у, z и t делится на три.

Предположим, что ни одно из чисел х, у, z не кратно трем, докажем, что в этом случае t делится на 3. В самом деле, квадрат натурального числа, не кратного трем, при делении на 3 дает остаток, равный единице (§ 5.1). Если бы ни одно из чисел х, у, z не делилось на 3, то сумма их квадратов, т. е. число t2, делилось бы на 3 и, следовательно, t было бы кратно трем.

15.4. Можно доказать, что для каждого натурального числа X существует бесконечное число троек чисел у, z, t, удовлетворяющих уравнению (59). Легко проверить (59), что при всяком натуральном п нечетное число х и у — 2пу удовлетворяют уравнению (59) и что х, у, z, t — натуральные числа.

При всяком натуральном п четное число х и у — 2п +1, удовлетворяют уравнению (59) и х, у, z, t — натуральные числа.

15.5. Легко доказать, что для всякой пары четных чисел X и у существуют целые z и удовлетворяющие уравнению (59). Если каждое из чисел х и у четно, то число X2 +у2 делится на 4, поэтому числа z— у, ■ — 1 натуральные, удовлетворяющие уравнению (59).

15.6. Легко доказать, что если одно из чисел х или у четно, а другое нечетно, то существуют натуральные числа z и t, удовлетворяющие уравнению (59). Действительно, число х2+у2-±Л четно и числа х, у, z——- удовлетворяют уравнению (59).

15.7. Итак, если принять за число, выражающее ребра, X и у два произвольных числа, с тем условием, чтобы оба не были нечетными, то можно найти два таких натуральных числа z и t, выражающих соответственно третье ребро и диагональ прямоугольного параллелепипеда.

15.8. Покажем, что не существует параллелепипеда с диагональю, выражаемой натуральным числом и ребра которого выражались бы тремя последовательными числами.

Предположим, что ребра параллелепипеда выражаются тремя последовательными натуральными числами у — 1, у, jj+ 1, а диагональ — целым числом t.

Тогда имеем:

При нечетном у, у2 при делении на 8 дало бы в остатке единицу, а сумма 3j/2~)-2 дала бы в остатке 5. Число, дающее при делении на 8 остаток 5, не может быть точным квадратом.

При четном у сумма Зу2 + 2 при делении на 4 дала бы в остатке двойку. Такое число также не может быть квадратом.

15.9. Можно показать, что диагональ параллелепипеда, ребра которого выражаются натуральными числами, не может быть ни одним из чисел 2k, ни 2Ä-5, где k равно О, 1, 2,...

В самом деле, предположим, что существуют такие целые неотрицательные k, что при t = 2k уравнение (59) имеет решение в натуральных числах. Среди чисел k существует наименьшее число т, причем т>0. Сумма я2 +У2 ~Ь z2 в уравнении (59) для целых х, у, z должна быть не меньше трех.

Учитывая, что х2+у2+z2 = 22т и что по крайней мере два из чисел х, у, z четны, заключаем о четности третьего числа. Итак, существуют целые числа x1, y1, zx такие, что х = 2хх,у = 2ух, z = 2zx. Откуда

что противоречит сделанному нами предположению.

Следовательно, t не может быть равно ни одному из чисел 1, 2, 22, 23,...

Предположим, что существует такое целое неотрицательное k и что t = 2k • 5. Пусть уравнение (59) решается в натуральных числах. Обозначим снова через m наименьшее среди чисел k. Если бы т = О, то при некоторых целых х, у, z мы имели бы

Покажем, что это равенство невозможно при целых ху у, г, t.

Действительно, как нам известно, одно из чисел х,у, z,1 делится на 3. В данном случае t = 5 не делится на 3, следовательно, одно из чисел х, у, z делится на 3. Пусть X — кратно 3. Ввиду того, что л;2<52, следует, что х = 3 и y2+z2 = b2 — 32 = 42. Последнее равенство невозможно, так как не существует пифагорова треугольника с гипотенузой, равной 4.

Итак, т>0.

Из уравнения (59)

следует, что если из чисел х, у, z хотя бы два четны, то вследствие четности правой части уравнения четно и третье число. При четности чисел х, у, z имеем x = 2xty y = 2yXJ z = 2z1, где хх, уХ, zx являются натуральными числами.

Числа хг, у ,, zx удовлетворяют уравнению х\ + у\ + = (2т~1 -Ь)2, что противоречит предположению, что m — наименьшее число, при котором удовлетворяется уравнение jc2-f y2+z2 = (2m-b)2.

Итак, число t не может быть ни одним из чисел 5, 2-5, 22-5,...

15.10. А. Гурвиц доказал, что числа 2k и 2*-5, где ^ = 0, 1,2,3,... —единственные натуральные числа, которые не могут выражать длину диагонали параллелепипеда, у которого ребра выражаются целыми числами. Среди чисел, меньших 100, следующие числа не могут выражать длину диагонали параллелепипеда 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80.

15.11. Попытаемся теперь отыскать все параллелепипеды, ребра которых и диагональ выражаются натуральными числами. Для этого следует найти все решения уравнения (59) в натуральных числах. Предположим, что натуральные числа х,у, z, t удовлетворяют уравнению (59). Как известно, из чисел ху у, z хотя бы два четны, пусть у и z четны, т. е.

у = 21, z = 2m (60),

где / и m — натуральные числа.

Из уравнения (59) заключаем х2 &<t2 и t> х. Число

u = t — x (61)

натуральное. На основании (59), (60), (61) получаем:

после упрощения имеем

(62)

Из уравнения (62), где правая часть есть алгебраическая сумма четных чисел, следует, что и — четное число.

и=2п. (63).

Подставляя значение и в правую часть уравнения (62) и сокращая на 4, получаем:

(64)

Из последнего равенства следует, что п есть делитель суммы 12+т2; п\12А-т2. Из уравнения (64) имеем

(65).

Принимая во внимание уравнение (61) и (63), получаем:

Так как х— целое число, то из равенства (65) заключаем, что

Итак, мы доказали, что если х, у, z, t—решения уравнения (59) в натуральных числах, то существуют целые числа m, п и I, такие, что п является делителем

тогда

(66)

15.12. Справедлива и обратная теорема, если натуральные числа /, т9 п таковы, что п — делитель числа 12+т2 и я< —-—, то x,y,z, t, определяемые из равенств (66), являются решениями уравнения (59) в натуральных числах.

Из равенств (66) и из требования, наложенного на число п9 следует, что х, у, z, t — числа натуральные. Из тождества

следует, что натуральные числа х, у, z, t — решения уравнения (59).

15.13. Кроме того, легко доказать, что каждое из решений уравнения (59) в натуральных числах, где у и z — четны, получается из равенств (66) только один раз. Числа /, m, п однозначно определяются числами х, у, z, t, так как имеем:

Итак, доказана следующая теорема:

Теорема 5. Все решения x,y,z,t уравнения

в натуральных числах, где у и z четны, получаются из формул (66), причем за I и m следует взять все пары чисел, а за п все делители суммы 12~(-т2, при-

чем

Каждое решение таким способом получится только один раз.

Эта теорема дает метод последовательного получения решений уравнения (59) в целых числах.

15.14. Легко заметить, что если мы не различаем решения, отличающиеся одно от другого тем, что у и z меняются местами, то всегда можно считать m^l, а п выбирать так, чтобы х было нечетным- Таким образом, мы не получим четных решений для всех неизвестных. Четные решения уравнения (59) получим из решений, где X нечетно, умножая их на последовательные степени числа 2. [34]

Приведем в виде примера десять первых решений уравнения (59), найденных этим методом

15.15. Существуют параллелепипеды, все ребра которых — точный квадрат, а диагональ выражается натуральным числом, например параллелепипед с ребром 122, 152, 202 и с диагональю, равной 481.

Вообще легко показать, что если (а, b, с) является пифагоровым треугольником, то параллелепипед с ребрами (ab)2, (ас)2, (be)2 имеет диагональ, равную с4— а2Ь2. Из треугольника (3, 4, 5) получим, таким образом, приведенный параллелепипед. [35], [36]

15.16. Эйлер высказал предположение, что не существует параллелепипедов, у которых одновременно каждое ребро и диагональ были бы квадратами целых чисел.

M. Вард доказал (1945), что нет таких параллелепипедов среди тех, у которых диагонали <; 10\ [37]

15.17. Из пифагоровых треугольников возможно получить параллелепипеды, у которых все ребра и диагонали боковых граней выражаются целыми числами.

В самом деле, пусть (я, b, с) — пифагоров треугольник и пусть

(67)

Отсюда, так как а2+Ь2 = с2, имеем: [38]

Из этих равенств видно, что каждая из диагоналей боковых граней выражается целым числом.

Исходя из пифагорова треугольника (3, 4, 5), получим, таким образом, параллелепипед с ребрами 117,44 и 240, найденный Р. Галькего (1719).

Приведем еще некоторые параллелепипеды такого вида:

X

У

г

252

240

275

85

132

720

693

140

480

195

748

6336

429

880

2340

15.18. Легко доказать, что если в параллелепипеде все ребра и диагонали боковых граней выражаются натуральными числами, то хотя бы два из этих чисел, определяющих ребра, делятся на 3.

Если X, у, z выражаются такими натуральными числами, что

где t, и, v — натуральные числа, и, предположив, что ни одно из чисел х и у не делится на три, мы бы имели пифагоров треугольник (х, у, t), у которого ни одно из

чисел, выражающих катеты, не делились бы на три, что противоречит известному свойству пифагоровых треугольников (§ 5.1). Аналогично доказывается делимость на 4,

15.19. Можно показать, что если в параллелепипеде ребра и диагонали боковых граней выражаются натуральными числами, то по крайней мере число, выражающее одно из ребер, делится на 11.

15.20. Легко доказать, что если в параллелепипеде ребра выражаются натуральными числами х, у, z и если диагонали боковых граней выражаются натуральными числами, то и в параллелепипеде, ребра которого определяются числами ху, xz и yz, диагонали боковых граней определяются целыми числами.

15.21. Неизвестно, существует ли параллелепипед, у которого все ребра, диагонали боковых граней, выражаются натуральными числами.

Итак, существует простая, неразрешенная до сих пор задача, относящаяся к параллелепипеду, ребра которого выражаются натуральными числами.

15.22. Если Р — параллелепипед, у которого ребра и диагонали боковых граней выражаются натуральными числами, то каждое из трех ребер, выходящих из одной вершины, и каждая из трех диагоналей, соединяющих концы ребер, выражаются натуральными числами и дают тетраэдр (называемый некоторыми авторами кубоидом), у которого все ребра и объем, равный , выражаются натуральными числами. Исходя из того, что каждое из двух чисел X, у, z по крайней мере кратно 3 и каждое из двух делится на 4, заключаем, что \A4\xyz. Примерами такого тетраэдра являются следующие тетраэдры с ребрами 117, 44, 240, 125, 267, 244 и объемом 205920.

15.23. Заметим еще, как указал Литцманн1, объем тетраэдра (не кубоида), ребра которого выражаются числами 6, 7, 8, 9, 10 и 11, равен 48.

К. Шверинг приводит, в частности, следующие тетраэдры ABCD, ребра которых и объем выражаются рациональными числами.

1 W. Lietzmann, Der Pythagoreische Lehrsatz, Leipzig, 1951, str. 79.

ВС

CA

A4

DB

DC

Объем

4

3

3

4

3

4

8 3

6

6

8

9

9

9

48

7

7

4

7

7

12

12

12

12

8

9

9

9

96

19

19

12

19

19

20

300

15.24. Существуют тетраэдры (не кубоиды), ребра которых, площади боковых граней и объем выражаются натуральными числами. Е. Штарке приводит такой тетраэдр, у которого одно из ребер равно 896, противоположное 990, а каждое из остальных равно 1073. Площадь каждой из двух боковых граней равна 436800, а каждой из двух остальных равна по 471240, а объем равен 620,2800.

Примечания

Примечание 1 к 2.3

Теорема. Если произведение двух взаимно простых чисел является квадратом, то каждое из этих чисел есть также квадрат.

Доказательство. Число, являющееся квадратом, разлагается на простые множители в степени с четными показателями, например число

с2 = т2п2р*, где т, п, р — простые числа.

Пусть с2 = аЬ, где а и Ь — взаимно простые числа. Допустим, что число а — не квадрат, тогда оно должно содержать в нечетной степени хотя бы один делитель числа с2, например, а = т-п2р2. В этом случае, Ь = тр2.

Числа а и Ь имеют общего делителя m, а потому не могут быть взаимно простыми, что противоречит условию.

Примечание 2 к 2.3

Не следует думать, что автором последовательно приведены все такие треугольники от (3, 4, 5) до (79, 3120, 3121). Среди приведенных треугольников отсутствуют (29, 420, 421) и (59, 1740, 1741).

Необходимо отметить, что один из катетов каждого приведенного треугольника, за исключением (3, 4, 5), делится на 60.

Доказательство этого утверждения дано в примечании 11 к 5.3.

Примечание 3 к 2.6

Равенство (8) можно получить непосредственно из равенства (6). Действительно, положив в равенствах

(6)

где k и / — нечетные числа, получим равенства (8):

И, обратно, из равенства (8), положив k = m+n и 1 = m — я, где //г >> п и одно из этих чисел четно, получим равенство (6).

Примечание 4 к 2.7

Выразим радиусы вписанного и вневписанных кругов через стороны прямоугольного треугольника XZY (чер-

теж 2).

Черт. 2

Преобразуем полученные выражения:

Итак,

(1) (2) (3) (4)

Из равенств (1), (2), (3), (4) получим

(5)

Найдем выражение радиусов через k и /:

Итак, во всяком пифагоровом треугольнике радиусы вписанного и вневписанного кругов — натуральные числа.

Покажем, что около всякого круга целочисленного радиуса можно описать хотя бы один основной пифагоров

треугольник: один, если г = 2*, и не менее двух, если гф2\

Доказательство. Уравнению 2r = l(k— /) при нечетных k и /, при 2r = 2' + 1 удовлетворяют только 1=1 и £ = 2г+1.

Итак, получим треугольник со сторонами х = 2г+1;

Катет и гипотенуза выражены двумя последовательными натуральными числами.

Если r = 2t—1—нечетному числу, то, кроме треугольника, у которого катет и гипотенуза выражены двумя последовательными целыми числами, можно найти еще треугольник:

Треугольник, у которого катет и гипотенуза — два последовательных нечетных числа. Примеры.

Итак, треугольники (15, 112, 113) и (63, 16, 65) имеют общий радиус вписанного круга и этот радиус равен 7.

Итак, треугольники (31, 480, 481), (255, 32, 257), (55, 48, 73), (39, 80, 89) имеют общий радиус вписанного круга и этот радиус равен 15.

Примечание 5 к 4.4

Вывод тождества Месснера:

Имеем

Примечание 6 к 4.4

Приведем тождество, аналогичное тождеству Месснера, дающее все рассматриваемые треугольники:

х - 10az-[-#> где а= +1, НЬ 3, ЧЬ 5 и х^З; при а= — 5 получаем формулу Месснера:

Примечание 7 к 4.5

Найдем геометрический смысл числа п в равенствах (10)

Итак, n = r — радиусу круга, вписанного в основной пифагоров треугольник f2лг —J— 1 ; 2п(п1)]; [2я(я-|- 1) + !]• Определим для этих треугольников rx> ry, гг;

Применив формулу (см. примечание 4)

к треугольникам:

и пользуясь следующей таблицей:

г

10

11

210

231

100

101

20100

20301

1000

1001

2001000

2003001

10000

10001

200010000

200030001

получим ряд тождеств:

Примечание 8 к 4.5

Рассмотрим пифагоровы треугольники, у которых z — X = 2, т.е. треугольники, у которых катет и гипотенуза выражаются двумя последовательными нечетными числами.

Так как

Итак, если z— Обратно, если

Действительно,

Следовательно, для получения рассматриваемых треугольников необходимо и достаточно взять за k и / два произвольных последовательных нечетных числа. Например, 1=7 9 k = 9, л; = 63, у = 16, z = 65.

Стороны этих треугольников могут быть определены еще и следующим образом:

Например: при m = 10* имеем

Радиус круга, вписанного в рассматриваемый треугольник, вычисляется по формуле:

Имеем тождество:

Применяя его к вышезаписанным треугольникам, получаем:

Кроме рассмотренных нами треугольников с катетами 99, 999, 9999,..., и т. д., можно с теми же катетами получить еще следующие треугольники:

Примечание 9 к 4.6

Докажем, что в двух последовательно получаемых таким образом треугольниках больший катет выражается в одном треугольнике четным, а в следующем треугольнике— нечетным числом.

Больший катет в первом треугольнике 3x+2z+2 — число нечетное (^: = 3). Больший катет во втором треугольнике 17х -[-12z + 9 — число четное.

Примечание 10 к 4.8

Проверить, что fg(x; x+ 1; z) = (x; jc + 1; z);

Примечание 11 к 5. 3

В примечании 2 к 2.3 отмечено, что в треугольнике, у которого катет и гипотенуза — простые числа, второй катет делится на 60, за исключением треугольника (3, 4, 5).

Действительно, так как катет и гипотенуза простые числа, то второй катет должен делиться на 3, 4 и 5, т. е. должен делиться на 60.

Примечание 12 к 6.1

Покажем, что всякое нечетное число п ^ 3 может быть катетом основного пифагорова треугольника

x = n = kl, полагая /=1, получаем

Четное число, кратное четырем, может быть катетом основного пифагорова треугольника.

Примеры. (3; 4; 5), (5; 12; 13), (7; 24; 25), (9; 40; 41), (4; 3; 5), (8; 15; 17).

Примечание 13 к 6.3

Дадим вывод приведенных формул.

Возьмем два основных треугольника (3; 4; 5) и (5; 12; 13) и умножим стороны первого на 5, а стороны второго на 2, тогда получим два треугольника, у которых гипотенузы выражаются двумя последовательными числами (15; 20; 25), (10; 24; 26).

Для отыскания ряда таких треугольников, умножим соответственно стороны первого на 5+13ß, а стороны второго на 2+5&, тогда из тождеств:

получим соответственно:

или

Таких формул можно привести сколько угодно, например, из тех же основных треугольников получаем:

Если взять треугольники (3; 4; 5) и (8, 15, 17), то получим:

Стороны бесконечного множества полученных треугольников (х, у, z) и (х, у, z+1) дают системы решений в целых положительных числах системы двух квадратных уравнений с пятью неизвестными:

Ху положим, равным 30+75 £, j/ = 16+40 k, z~34+8b k, tf = 28+68 ky v = 2\ 4-51 где k—произвольное целое положительное число.

Поставим следующую задачу: найти пары пифагоровых треугольников, у которых гипотенузы —последовательные нечетные числа.

Исходим из следующей пары треугольников (возможно взять и другие пары) (5; 12; 13), (9; 12; 15):

Стороны бесконечного множества полученных нами треугольников (х, у у z) и (х, у, г-)-2) дают системы решений в целых положительных числах системы двух квадратных уравнений с пятью неизвестными:

Примечание 14 к 6.4

Приведем формулы для получения троек пифагоровых треугольников, у которых гипотенузы выражаются тремя последовательными числами.

Исходим из следующей тройки треугольников: (15; 36; 39), (24; 32; 40), (9; 40; 41):

или

Исходя из следующей тройки треугольников (60; 80; 100), (20; 99; 101), (48; 90; 102), получаем:

I

или

II

Равенства I и II являются одними из систем решений системы трех следующих уравнений с семью неизвестными:

Приведем формулы для получения четверок пифагоровых треугольников, у которых гипотенузы выражаются четырьмя последовательными числами:

1 Waclaw Sierpinski о Rozwiazywarii rôwneu w lizbach calcowitych Warszawa, 1956.

Нами получена одна из систем решений следующей системы четырех уравнений второй степени с девятью неизвестными:

Примечание 15 к 7.2

Дадим вывод и обобщение формул, приведенных в 7.2. Выберем катет а следующим образом:

На основании формул 6 (2.3) имеем:

Покажем, что

Действительно,

Это равенство справедливо при всяком ky но не при всяком k существует треугольник.

Так как Ьк > 0, то 22n~2k > 1 и п > k, при k = 0,1,2,... (п—1) треугольники существуют.

Приведенные в 7.2 формулы могут быть обобщены.

Пусть катет а = а0 = 2 (2р)п-1 (при р = \ имеем рассмотренный выше частный случай), т. е. за общий катет принимается удвоенная степень произвольного четного числа.

Для отыскания пифагоровых треугольников с общим катетом а можно воспользоваться различными формулами:

(При некоторых k>nbk может также оказаться положительным.) Итак, существует не менее An пифагоровых треугольников с общим катетом, равным 2 (2р)п.

Покажем, что общий катет может быть выражен и нечетным числом вида (2/7+ 1)п.

Выбрав а = а0 = (2р 4- 1 )п • 1, найдем bkyck.

Так как р>2, то если

безусловно, более единицы.

Из равенства 2*n-2~2k= 1, имеем:

Примеры.

Примеры.

Всего 9 пифагоровых треугольников с катетом 72. Примеры. /? = 3, п = 3, я = 2-63 = 432,

Читатель легко получит 13 треугольников с общим катетом, равным 2 (2р)п, при р = 5 и л/ = 3, т. е. а = 2000.

Примечание 16 к 7.3

Покажем, как найти два или более основных пифагоровых треугольника с общим катетом, равным нечетному числу.

Пусть 2k — 1 и 2k + 1 — два последовательных нечетных числа.

Примем x = (2k—l) - (2A-f \) = 4k2 — 1, ;/ = 4£, z = 4£2 + l.

(4ß2— 1; 4/s; 4ß2+ 1) — основной пифагоров треугольник вида (л;; ;/; * + 2).

Для получения второго основного пифагорова треугольника примем

Пример: jc = 5-7 = 35 (35, 12, 37) и (35, 612, 613).

Если один или оба делителя х составные, то можно найти более двух основных пифагоровых треугольников с общим катетом.

Примеры. jc= 15.17 = 255, (255, 32, 257);

Интересно отметить, если вместо простых множителей взять их любые степени с натуральными показателями, то число основных пифагоровых треугольников с общим катетом от этого не изменится. Например.

Задача. Найти основные пифагоровы треугольники, общий катет которых выражается числом, имеющим „т“ простых делителей.

1. Пусть катет пифагорова треугольника равен простому числу. Покажем, что не существует второго пифагорова треугольника с тем же катетом. х- а1, так как аг не разлагается на множители, то /=1, k = al,

Итак, при одном простом делителе я, = 1 = 2° (пг — число треугольников с общим катетом).

2. Пусть катет пифагорова треугольника выражается произведением двух простых чисел:

Возможны два основных треугольника

Итак, в этом случае возможны два основных треугольника:

3. Пусть х — ахагаг. Возможны четыре треугольника:

Примеры. 1. х = Ь; у=12; z — 13. Не существует других пифагоровых треугольников с катетом, равным 5, кроме (х, у, у+1).

2. к = 85 = 5-17. Существует два основных пифагоровых треугольника с общим катетом, равным 85.

1. £ = 85, /=1 (85, 3612, 3613),

2. £ = 17, / = 5 (85, 132, 157)

Возможно построить шестьдесят четыре основных пифагоровых треугольника с общим катетом равным х.

jc = 2576450045 = 5. 13.17.29-37-41-53.

От замены одного или нескольких делителей их степенями с произвольными натуральными показателями число основных пифагоровых треугольников не изменится

Примечание 17 к 7.5

В заметке Шедда дана таблица 64 основных пифагоровых треугольников. Таблица дана без вывода. Дадим обоснование приведенной таблицы.

Пусть даны два основных пифагоровых треугольника (х1У у1У zx) и (х2У угУ 22), где zx и z2 — простые числа вида Ар +1.

Покажем, что гипотенуза основного пифагорова треугольника выражается числом вида Ар + 1. Действительно, m = 2t, az = 2s+1,

Отсюда следует, что если гипотенуза — простое число, то это число вида Ар

Итак, получены два треугольника с общей гипотенузой Zxz%. Покажем, что полученные треугольники — основные. Во-первых, хх Хъ+ххУ2 и ххх%—уху2 оба четны,

оба нечетны.

Во-вторых, предположим, что катеты х1х2+у1у2 и х\Уъ — хгУ\ имеют общий делитель d. Этот делитель либо z19 либо z29 так как левая часть равенства делится только на zx или на z2;

Отсюда имеем:

Правая часть равенства делится на z19 тогда как левая не делится: xx&<z19 a z2 — простое число.

Покажем, что и z2 не может быть общим делителем катетов:

Правая часть делится на z29 тогда как левая на z2 не делится.

Итак, у катетов нет общего делителя и полученные треугольники — основные пифагоровы треугольники.

Примеры. 52 = 32 + 42

Получены два треугольника с общей гипотенузой z. Пусть 2 = 5-13.17=1105.

Получены четыре треугольника: (817, 744, 1105), (264, 1073, 1105), (576, 943, 1105), (45, 1104, 1105) с общей гипотенузой.

Так как 5-13.17.29 = 32045, то

и мы имеем два треугольника с общей гипотенузой (2277, 31964, 32045), (32037, 710, 32045).

Аналогично можно найти еще 6 треугольников с той же гипотенузой.

Если число, выражающее длину гипотенузы, простое — вида 4/7 —|— 1, то существует единственный треугольник с этой гипотенузой, т. е. п1=Т=\ (пг—число треугольников).

Если число, выражающее длину гипотенузы, равно произведению двух простых чисел (4/?+ 1) и (4#-)-1), то существует два основных пифагоровых треугольника с этой гипотенузой

Легко видеть, что если число, выражающее длину гипотенузы, равно произведению t простых множителей вида 4/7+1, то nt = 2t~1.

В случае, рассмотренном Шеддом, t = 7, #7 = 26 = 64.

Примечание 18 к 8.1

Способом автора, указанным в § 8.1, можно получить неосновные пифагоровы треугольники (a'k, ЬкУ c'k).

Действительно,

Так как s>sk, то a'k>ak; b'k>bk; ск> ск и треугольник (а'к, Ьк, с'к) — неосновной.

Примечание 19 к 8.3

Для отыскания основных пифагоровых треугольников с общим периметром найдем выражение периметра пифагорова треугольника,

На основании формул (8) имеем:

Рассмотрим несколько примеров на отыскание треугольников с общим периметром.

Начнем с примера, приведенного в тексте, где даны три треугольника, периметр каждого из которых равен 14280.

Покажем, как по периметру можно найти треугольник:

Можно построить еще примеры троек (да не только троек) пифагоровых треугольников с общим периметром.

Найдем треугольники с периметром 2/7 = 2 • 3 • 5 • 7 -11X Х13-53= 1591590:

К полученным основным пифагоровым треугольникам можно добавить несколько неосновных, например, из треугольника (5,12, 13) с периметром 30 = 2.3-5, можно получить новый с периметром 1591590, умножив стороны первого на 7.11-13.53 = 53053.

Из треугольника (21, 20, 29) с периметром 70 = 2-5-7 можно получить новые с периметром 1591590, умножив стороны основных на 3-11-13-53 = 22737, (477477,454740, 659373).

Из треугольника (33, 56, 65) можно получить новый, умножив стороны основного на 3 • 5 • 13 • 53 = 10335.

Из треугольника (117,44, 125) получим новый, умножив стороны основного на 3-5-7-53 = 5565 и т. д.

Примечание 20 к 8.3

I. Найдем основные пифагоровы треугольники, у которых периметр является квадратом. Так как 2p-~k (k+ 1) числа k и / взаимно простые и 2р — квадрат, то k и k + /

каждое в отдельности должны быть квадратами (см. примечание 1). Число k — квадрат нечетного числа, число A-f~ 4“/ — квадрат четного числа и k+ 1<i2k, так как

Можно легко найти треугольник с периметром, равным квадрату.

Для этого достаточно (но не необходимо) выбрать k — = (2t— l)2; fc-f 1 = (Щ2; l = (2ty — (2t—\y = At—\. Покажем, что k>l.

Итак, квадрат произведения двух последовательных натуральных чисел, из которых меньшее нечетно и не равно единице, является периметром основного пифагорова треугольника.

Наименьший пифагоров треугольник, у которого периметр равен квадрату, получается из равенства (1) при t = 2.

Следующий основной пифагоров треугольник получается при 1 = 3:

при t==A получаем:

Таким образом, имеется бесконечное множество основных пифагоровых треугольников, периметр которых равен квадрату. Приведем еще несколько пифагоровых треугольников, периметр которых равен квадрату и которые не могут быть получены из равенства (1).

Например: 1) 2р = (1 Ы4)2 = 1542 = 23716,

II. Аналогично найдем основные пифагоровы треугольники, у которых периметр является кубом.

Достаточно (но не необходимо) выбрать k = (2t—1)

Полагая t = 3, получим:

Полагая t = 4, получим:

Приведем еще примеры (они не получаются из равенства (2))

III. Найдем основные пифагоровы треугольники, у которых периметр равен #-ой степени натурального числа. Достаточно (но необходимо) выбрать k = (2t— 1)“,

Для того, чтобы разность k — / была положительной, достаточно выбрать t^n.

Пример. Найти наименьший пифагоров треугольник, у которого периметр равен 5-й степени натурального числа.

Покажем, что полученный треугольник — наименьший из основных пифагоровых треугольников, у которых периметр равен 5-й степени натурального числа,

Действительно, положив 2р = (7 -8)5 (t положено равным 4), получим к = Г= 16807; / = 85 — 75 = 16961, / > k, что невозможно.

Примечание 21 к 9.2

Для отыскания пифагоровых треугольников с общей площадью найдем выражение площади треугольника с катетами х = т2 — я2, у = 2тп.

Площадь S = тп (т — п) (//г—J—/г), где каждая пара множителей— взаимно простые числа, причем один множитель четный, а три другие — нечетные (так как m или п нечетно). Итак, для отыскания пифагорова треугольника данной площади следует разложить число, выражающее площадь, на четыре таких попарно взаимных простых множителей, чтобы один был равен сумме, другой — разности двух других.

Это положение можно сформулировать иначе; если число можно разложить на четыре множителя, из которых один равен разности арифметической прогрессии, а три других — трем последовательным членам этой прогрессии, множители попарно взаимно простые, а один из них четный, то это число равно площади основного пифагорова треугольника.

Если такое разложение невозможно, то не существует основного пифагорова треугольника данной площади.

Найдем два наименьших основных пифагоровых треугольника с общей площадью. Естественно положить, что разность прогрессии для чисел, выражающих площадь одного треугольника, равна единице, а для другого — двум.

Тогда имеем:

Искомая площадь равна 1 • 5 • 6 • 7 = 210 или 2 • 3 • 5 • 7 = 210.

Треугольники с площадью 210 следующие:

яе = 6, я=1, (12, 35, 37); m = 5, л = 2, (20, 21, 29).

Пример. Найти треугольники, площадь каждого из которых равна:

Примечание 22 к 9.4

Найдем треугольники с площадью 341880.

Кроме полученных основных треугольников, найдем еще два треугольника.

Так как 341880 = 4-85470, 85470= 15-22-37.7, то, принимая т1 = 22, пх = 15, найдем треугольник (259,660, 70,) с площадью 85470.

Искомый треугольник подобен треугольнику (259,660, 70,) и его стороны в два раза больше сторон последнего (518, 1320, 1418).

Кроме полученного треугольника, найдем еще один. Так как 85470 = 2-33-35-37, то m2 = 35, nz = 2 и треугольник (140, 1221, 1229) подобен искомому.

Примечание 23 к 10.1

Теорема. Из всякого основного пифагорова треугольника можно составить новый, у которого гипотенуза— куб натурального числа.

Действительно, из данного пифагорова треугольника (xi, Уху zi) составим следующим образом новый (x2,yz,z2):

Легко видеть, что полученный треугольник — основной.

Примеры. 1.(х1,у1, z1) = (3, 4, 5);

Из треугольников с равными гипотенузами можно получить новые, у которых гипотенуза равна кубу исходной гипотенузы. Например, из треугольников (63,16,65) и (33, 56, 65) можно получить (201663, 186416, 274625) и (7336, 274527, 274625). Приняв (х1, y1, z,) за первый треугольник, мы образуем новый (х2, у z2)9 который назовем вторым и у которого zz=zx . Из треугольника (х2, у29 z2) аналогично составим новый [хг9уг9 zz)9 назовем его третьим и у которого zz = z\ = z\. Таким образом, получим я-й треугольник (хп, уп9 zn), у которого zn =

Пример. Из (3, 4, 5) составляем второй треугольник (117, 44, 125), а далее третий (922077, 1721764, 1953125).

Из 64 треугольников Шедда (7, 5) можно составить 64 новых основных пифагоровых треугольника с общей гипотенузой, равной 25764500458, далее, новых 64 треугольника с гипотенузой 2576450145е и т. д.

Примечание 24 к 10. 2

Основной пифагоров треугольник, у которого число, выражающее длину нечетного катета, является квадратом, получить легко, приняв за k — квадрат нечетного числа, а за / — квадрат меньшего нечетного числа (проще всего положить / равным единице).

Например, & = 25; /=1,

Аналогично можно получить треугольник, у которого катет равен п-й степени нечетного числа, например 34 = 81, /=1 (81, 3280, 3281).

В общем виде

Примечание 25 к 10.4

Если произведение нескольких (в данном случае четырех) попарно взаимно простых чисел являются квадратом, то каждое из этих чисел — квадрат.

Пусть h2 = abed и h2 = m2n2p*q*, где m, n,p,q — простые числа.

Предположим, что а — не квадрат. Тогда можно предположить, что а = тп2, Ь = тр2, с = p2q2, d = q2.

При этом предположении а и b имеют m общим множителем, что противоречит условию.

Примечание 26 к 10.5

О теореме Ферма см. книгу А. Я. Хинчина „Великая теория Ферма“ и А. О. Гельфонда „Решение уравнений в целых числах“.

Примечание 27 к 11.2

Из двух прямоугольных треугольников с общим катетом можно получить два (а не один) треугольника, стороны которых и площадь выражаются натуральными числами (такие треугольники будем называть героновыми).

Первый треугольник получается, если два прямоугольных треугольника с общим катетом приложены друг к другу так, что один треугольник находится вне другого, второй — когда один находится внутри другого (черт. 3 и 4).

Например, из пифагоровых треугольников (5, 12, 13) и (35, 12, 37) получаем треугольник (13, 40, 37) с площадью 240 и треугольник (13, 30, 37) с площадью 180.

Черт. 3 Черт. 4

В этом случае оба треугольника — тупоугольные.

Из пифагоровых треугольников (5, 12, 13) и (9, 17, 15) можно получить два: 1) остроугольный со сторонами (13, 14, 15) и площадью 84 и 2) тупоугольный со сторонами (13, 4, 15) и площадью 24.

Из двух основных пифагоровых можно составить геронов треугольник следующим образом. Возьмем два треугольника (примечание 16): (4k2 — 1, 4k, 4k2 +1) n[4k2 — 1, 4k2 (2k2 — 1), 4k2 (2k2 — 1)+ 1] с общим катетом 4k2 — 1. Треугольники 4k2 + 1, 4k2 (2k2 — 1) ±4k, 4k2 (2k2— +1 — героновы при любом целом и положительном k. Площадь их равна [2k2 (2k2 — 1)±2k~\(4k2 — 1).

Примечание 28 к 11.4

Героновы треугольники, у которых стороны выражаются тремя последовательными числами.

Стороны, как мы видели, могут быть обозначены следующим образом: 2k — 1, 2k, 2k + 1.

Приведем некоторые свойства этих треугольников.

1) Рассматриваемые треугольники не могут быть тупоугольными. В самом деле :

Покажем, что х ^0 :

При k—l не существует треугольника. При k = 2, х = 0 и геронов треугольник обращается в основной пифагоров треугольник (3, 4, 5).

При всяком k>2, X&<0 и геронов треугольник остроугольный.

2) Высота, опущенная на среднюю сторону, делит ее на два отрезка, разность которых постоянна и равна 4.

Назовем отрезки основания, определяемые высотой х и у и пусть х>у.

Так как h2 делится на три, то и А делится на три, а поэтому h2 делится на девять и один из множителей (£+1) или (k—1) делится на три. Предположим, что £+ 1 = 3£, тогда k — 1=3/ — 2,2/е = 6£ — 2. Итак, 2£ на 3 не делится.

Так как из трех последовательных чисел одно всегда делится на три, a 2k на три не делится,то либо 2&-|-1, либо 2k — 1 делится на три.

4) Высота, опущенная на среднюю сторону, делит треугольник на два пифагоровых, из которых только один основной.

Так как h кратно трем и в одном из треугольников гипотенуза кратна трем, то этот треугольник не может быть основным. Если, допустим, что треугольник с гипотенузой 2k — 1 и катетом k — 2 не основной, то треугольник с гипотенузой 2k +1 и катетом k + 2 — основной. Действительно, k + 2, k — 1 — взаимно простые числа (тройка не может быть их делителем). Следовательно, k + 2 и 2k + 1 взаимно простые.

5) Найти cosa, если a угол, противоположный стороне 2k — 1.

6) Нельзя ли заменить 2k другим отрезком так, чтобы две стороны остались без изменения, а треугольник остался бы героновым, т. е. имел бы площадь, выраженную натуральным числом?

Обозначив искомую сторону через х, получим:

Итак, если в треугольнике со сторонами 2k — 1, 2k заменить среднюю сторону постоянной, равной 4, то новый полученный треугольник — геронов.

Найдем cos ß, где ß— наибольший угол.

7) Так как г — радиус вписанного круга, тогда имеем: 9г2 = Ж — 3, 3r2 = k2—l, k2 — 3r2 = \. (3)

Решая в целых числах последнее уравнение (см. А. И. Гельфонд, Решение уравнений в целых числах, стр. 31), получаем:

Пусть kn и hn — решения уравнения (3), покажем, что kn+ 1 = akn+bhn и hn+1 = ckn+dhn также решения и найдем а, Ь9 сj d.

Итак, ая+1 = 2ал + ая и Ä„+1 = 3£n + 2An. Можно непосредственно проверкой показать, что если k и h — решения уравнения (3), то 2& + А и 3Ä + 2Ä также решения уравнения (3).

Действительно, предположив, что

Получим: h2 = 3k2 — 3.

Доказанное свойство позволяет последовательно находить решения уравнения (3).

Легко видеть, что так как £ = 2 и Ä = 3 удовлетворяет уравнению (3), то £2 = 2-2 + 3 = 7 и /г2 = 12.

£а = 2.7 + 12 = 26, А8 = 21 +24 = 45.

Приведем таблицу, заключающую первые восемь героновых треугольников, стороны которых выражаются тремя последовательными числами.

2k -1

2k

2k+1

h

s

3

4

5

3

6

13

14

15

12

84

51

52

53

45

1170

193

194

195

168

16296

723

724

725

627

226974

2701

2702

2703

2340

3161340

10083

10084

10085

8733

44031786

37633

37634

37635

32592

613283664

И таблицу, получающуюся из первой, заменой средней стороны на постоянную величину, равную 4.

2k— 1

с

2k+1

h.

s

3

4

5

3

6

13

4

л

15

12

24

51

4

4

53

45

90

193

4

195

168

336

723

4

725

627

1254

2701

4

л

2703

2340

4680

10083

ч

4

10085

8733

17466

37633

4

37635

32592

65184

8) Некоторые из треугольников, приведенных в таблице, могут быть получены очень просто из следующих соображений.

Пусть 2k— 1, 2k\ 2k+\—стороны геронова треугольника и h = y 3 (& — 1 ) (£ + 1 ) — натуральное число.

Покажем, что треугольник со сторонами 2k! — 1, 2A', 2k' + 1 > где & = 2k2 — 1 — геронов. Действительно,

h' — натуральное число.

Итак, если треугольник со сторонами 2k—1, 2k, 2k+\ — геронов, то треугольник со сторонами 4k2 — 3, 4k2 — 2, 4k2 — 1 — геронов.

Например, из треугольника со средней стороной 4 получаем треугольник со средней стороной 42— 2=14, треугольник со сторонами 13, 14, 15. Из полученного треугольника имеем 142 — 2 = 194. Новый треугольник 193, 194, 195.

Следующий треугольник (1942 — 2 = 37634) 37633, 37634, 37635 и т. д. Таким образом, можно получить сколько угодно новых треугольников, но не все героновы треугольники, у которых стороны выражаются тремя последовательными числами.

Примечание 29 к 11.5

При разбиении рационального треугольника на два рациональных прямоугольных, требование, чтобы высота рационального треугольника проходила внутри треугольника, излишне.

Действительно, пусть дан тупоугольный рациональный треугольник ABC. Опустим из вершины С на сторону высоту CD,

Пусть cl у h, с —стороны треугольника, h — высота. Обозначив через аг и Ьг соответственно проекции сторон а и b на сторону с, имеем:

ах — Ьг = с. (1)

Мы получим два прямоугольных треугольника (а19 А, а) и (blf h, b). Покажем, что их стороны рациональны.

Для этого надо показать рациональность ал и bv

Действительно,

(2) (3)

Из равенств (3) следует рациональность отрезков ах и Ьг. Отсюда следует, что высота, проведенная из вершины рационального треугольника, делит его на два прямоугольных рациональных треугольника.

Примечание 30 к 11.5

Пусть дан катет, выражающийся числом, имеющим своими делителями простые числа.

Покажем, что из основных пифагоровых треугольниников с этим общим катетом можно составить 2п ~1 (2п ~1—1 ) рациональных треугольников, где п — число простых делителей числа, выражающего общий катет (см. примечание 16). Из этих треугольников можно составить С2п-1==-—ут-- пар пифагоровых треугольников, а так как каждой паре соответствует пара рациональных треугольников, то общее число треугольников равно

Например, при я=1, получаем нуль треугольников. При п = 2 получаем два рациональных треугольника. При /z = 3 получаем двенадцать треугольников. Примеры. Пусть л; = 85 (85, 3612, 3613) и (85, 132, 157).

Из этих двух пифагоровых треугольников получаем два рациональных: (157, 3744, 3613) и (157, 3480, 3613).

Площадь первого 159120, площадь второго 147900, а высота каждого, опущенная на среднюю сторону, равна 85.

При л =195 имеем четыре пифагоровых треугольника с общим катетом 195 (см. примечание 16): (195,19012,19013), (195, 2108, 2117), (195, 748, 773), (195, 28, 197).

Из этих треугольников можно составить 12 рациональных треугольников. Предварительно составим 6 пар прямоугольных треугольников:

Из каждой пары составим пару рациональных треугольников:

У каждого из этих треугольников одна из высот равна 195.

Примечание 31 к 11.5

Героновы треугольники, у которых разность острых углов равна 90°.

Из основного пифагорова треугольника (х, у, z), у которого х — Ы\ у — —2—J z — —f—, где k и / — нечетные числа и построим треугольник со сторонами Х, у,у *—j^—. Этот треугольник легко получается из (Х, у, z). Из вершины С прямого угла радиусом, равным катету СВ, засекаем гипотенузу в точке В' (черт. 5). Треугольник AB'С со сторонами х, у, !—j*-* — тупоугольный с разностью двух углов, равной 90°. Одна из сторон полученного треугольника не выражается натуральным числом. Треугольник со сторонами xz, yz,

I«* —У I основной целочисленный треугольник, который мы будем обозначать \xz, yz, \х2—у21). Подставив в выражения сторон треугольника, вместо х, у и z их значения, получим треугольник со сторонами:

где k и / — произвольные нечетные числа и й>/, Итак, из каждого основного пифагорова треугольника можно следующим образом получить интересующий нас треугольник: произведение числа, выражающего длину одного катета и числа, выражающего длину гипотенузы, равно длине одной стороны, аналогично получается длина второй стороны, третья сторона выражается числом, равным абсолютной величине разности квадратов чисел, выражающих длины катетов. Высота полученного треугольника численно равна удвоенной площади пифагорова треугольника; диаметр окружности описанной около треугольника, численно равен квадрату гипотенузы, а площадь

где S' — площадь пифагорова треугольника, ах и у — его катеты.

Действительно, H—высота полученного треугольника равна высоте пифагорова треугольника, умноженной на z.

H==^==xy = 2S; sina = g; sin(90° + a) = co8a=g.

Отсюда следует: 1) Из основных пифагоровых треугольников с общей площадью получаются треугольники с общей высотой, численно равной удвоенной площади, например из (21, 20, 29) и (35, 12, 37), имеющих общую площадь, равную 210, получаются (60,, 580, 41) и ( 1295, 424, 1081 ) с высотой, равной 420.

2) Из основных пифагоровых треугольников с общей гипотенузой получаются треугольники с общим радиусом описанной окружности, например из (63, 16, 65) и (33, 56, 65) получаются (40,5, 1040, 3713) и (2145, 3645, 2047) у каждого треугольника 2/? = 4225.

Черт. 5

Из 64 треугольников, указанных Шеддом (см. 7.5 и примечание 17), можно получить 64 основных целочисленных треугольника, у которых разность углов равна 90°, и диаметр описанной окружности равен 2 576 450 0452.

Из основных пифагоровых треугольников (х, х + 1, z), т. е. таких, у которых разность катетов равна единице (см. 4.6 и примечание 9), легко получаются рассматриваемые героновы треугольники (xz, yz, х+у). Например, из треугольника (3, 4, 5) получается (15, 20, 7), из (20, 21, 29) —(580, 60,, 41), из (803760, 803761, 1113689)— (91362515064, 91363651763, 1607521).

Примечание 32 к 14.1

Для треугольника Т со сторонами

введем символ

Из основного пифагорова треугольника (х, у, z) легко получить треугольник, стороны которого выражаются числами, обратными натуральным.

Легко видеть, что из пифагоровых треугольников с общей площадью, получим треугольники с общей гипотенузой.

Например, из треугольников (х, у, z) и (x1, y1, zt)f у которых ху=х1у1, получим:

Например, из треугольников (21, 20, 29), (35, 12, 37) получим

Примечание 33 к 14.2

Найдем выражение высоты, опущенной на гипотенузу треугольника Т-

Так как Т подобен (х, у, z), причем

Итак, если от пифагоровых треугольников с общей гипотенузой мы перейдем к треугольникам, у которых стороны выражаются числами, обратными натуральным, то у таких треугольников общая высота равна \ , где z — общая гипотенуза пифагоровых треугольников.

Например, из треугольников (576, 933, 1105), (744, 817, 1105), (264, 1073, 1105), (47, 1104, 1105) можно получить четыре треугольника с общей высотой, равной

Из 64 треугольников, указанных Шеддом (см. 7.5 и примечание 17) можно получить 64 треугольника с общей высотой, равной

Примечание 34 к 15.14

Покажем, что существует бесконечное множество параллелепипедов, у которых ребра, диагональ и диагональ грани — натуральные числа.

Действительно, возьмем основной пифагоров треугольник (х, у, z) и катеты (х, у) этого треугольника примем за ребра параллелепипеда. Выбор третьего ребра и диагонали параллелепипеда произведем после доказательства существования основного пифагорова треугольника, катет которого равен z— гипотенузе выбранного нами треугольника. Так как z — нечетное число, то (6.1 и примечание 12), основной пифагоров треугольник с таким катетом существует. Действительно, 2= гЛ. Обозначив второй катет треугольника через г, а его гипотенузу— через t, получим:

Так как z нечетно, то z и t — натуральные числа.

Примем z за третье ребро параллелепипеда, a t за его диагональ, a z — за диагональ грани

Итак, существует бесконечное множество параллелепипедов, у которых ребра, диагональ и диагональ боковой грани выражаются натуральными числами; одно из ребер этого параллелепипеда и диагональ выражаются двумя последовательными числами. Следует отметить, что ребра и диагонали являются сторонами основных пифагоровых треугольников.

Примеры. Исходя из треугольника (5, 12, 13), получим параллелепипед с ребрами 5, 12, 84, с диагональю 85 и диагональю грани, равной 13. Если за исходный треугольник взять треугольник (х, г)(см. 4.6), то в параллелепипеде два ребра выразятся последовательными числами, третье ребро (большее ребро) и диагональ также выразятся последовательными числами.

Например, исходя из треугольника (3, 4, 5), получим параллелепипед с ребрами 3, 4, 12, диагональю, равной 13; диагональ грани равна 5.

Исходя из треугольника (20, 21, 29), получим параллелепипед со сторонами 20, 21, 420, диагональю, равной 421, и диагональю грани, равной 29.

Треугольник (119, 120, 169) приводит к параллелепипеду с ребрами 119, 120 и 14280 и диагональю 14281; диагональ грани 169 и т. д.

Из основных пифагоровых треугольников с общей гипотенузой можно получить параллелепипеды с общим ребром и общей диагональю грани.

Исходя из 64 треугольников Шедда (7.5 примечание 17), получим 64 параллелепипеда с общим ребром

и с общей диагональю

с общей диагональю грани, равной 2 576 450045.

Примечание 35 к 15.15

Если (a, b, с) пифагоров треугольник, то параллелепипед с ребрами (ab), (ас), (be)2 имеет диагональ t = c* — a2b2.

Действительно,

Примечание 36 к 15.15

Уравнение #4 +.y4 + 24 = t2 имеет решения в натуральных числах.

Например:

Примечание 37 к 15.16

Предположение Эйлера может быть сформулировано тгк: Уравнение л;4 +у* +z* == t* не имеет решений в натуральных числах.

Примечание 38 к 15.17

Следует писать

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие редактора перевода ....... ........ 3

§ 1. Пифагоровы треугольники.................

Основные пифагоровы треугольники ........... 5

§ 2. Отыскание основных пифагоровых треугольников ... 7

§ 3. Пифагоровы треугольники со сторонами, меньшими 100 12

§ 4. Пифагоровы треугольники, у которых две стороны выражаются последовательными целыми числами..........13

§ 5. Делимость одной из сторон пифагорова треугольника на 3 или на 5..........................19

§ 6. Значение сторон пифагоровых треугольников .... .21

§ 7. Пифагоровы треугольники с общим катетом или с общей гипотенузой.......................22

§ 8. Пифагоровы треугольники с общим периметром .... 24

§ 9. Пифагоровы треугольники с общей площадью .... 25

§ 10. Пифагоровы треугольники, у которых по крайней мере одна сторона является квадратом............... 30

§ 11. Треугольники, стороны и площади которых выражаются натуральными числами. Треугольники, площади которых выражаются натуральными числами и стороны выражаются натуральными последовательными числами. Рациональные треугольники ............................37

§ 12. Пифагоровы треугольники, у которых гипотенуза и сумма катетов — квадраты.............. .... 43

§ 13. Определение пифагоровых треугольников при помощи точек плоскости.......................59

§ 14. Прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются числами, обратными натуральным числам........62

§ 15. Параллелепипеды, ребра и диагонали которых выражаются натуральными числами .................64

Примечания.......................74