Новое в жизни науке технике

СЕРИЯ

математика кибернетика

1971

10

ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ

СБОРНИК СТАТЕЙ

ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ

(МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ)

СОСТАВИТЕЛЬ И АВТОР КОММЕНТАРИЕВ

Б. В. Гнеденко

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»

Москва 1971

51 П78

Проблемы современной математики. (Математика и естественные науки).

П78 Сборник статей. Составитель и автор комментариев Б. В. Гнеденко. М., «Знание», 1971. 48 стр. Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математика, кибернетика», 10).

В сборник включены три статьи разных авторов, написанные на тему о взаимоотношениях математики и естественных наук. Две статьи ранее уже публиковались на русском языке и являются перепечаткой: Маршалл-Стоун. Математика и будущее науки. — «Математическое просвещение», вып. 4. М., Физматгиз, 1959, стр. 111—127; Е. Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных науках.—«Успехи физических наук», 1968, т. 94, вып. 3, стр. 535—546. Статья известной английской женщины-математика Мэри Л. Картрайт (M. L. Cartwright. Mathematics and Thinking Mathematicaly. — The American Mathematical Monthly, v. 77, № 1, 1970, pp. 20—28) переводится на русский язык впервые.

Сборник рассчитан на широкую аудиторию читателей.

6-2 51

Содержание

Предисловие ............ 3

Маршалл Стоун. Математика и будущее науки 4

Е. Вигнер. Непостижимая эффективность математики в естественных пауках ........ 22

М. Л. Картрайт. Математика и математическое мышление ............ 34

Вместо послесловия. Примечания составителя ... 45

Проблемы современной математики

(МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ)

Составитель и автор комментариев Б. В. ГНЕДЕНКО

Редактор В. Ю. Иваницкий. Обложка Г. Ш. Басырова. Худож. редактор В. Н. Конюхов. Техн. редактор Т. В. Самсонова. Корректор В. Каночкина.

Сдано в набор 26/VIII 1971 г. Подписано к печати 22/IX 1971 г.

Формат бумаги 60х90/16. Бумага типографская № 3. Бум. л. 1,5. Печ. л. 3,0. Уч.-изд. л. 3,40. Тираж 46 580. Издательство «Знание», Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Заказ 1882. Типография Всесоюзного общ-ва «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Цена 9 коп.

Предисловие

Хорошо известно, что математика состоит не только из понятий, теорем и их доказательств. Математика как научная дисциплина неизбежно включает в себя и ряд общих концепций, относящихся к выбору предмета исследований и формированию понятий, необходимых для этого исследования. При этом неизбежно возникает основной философский вопрос: каково отношение математики и ее понятий к окружающему нас реальному миру? Естественно, что крупнейшие представители математической мысли как в прошедшие времена, так и теперь уделяют некоторую часть своего времени решению принципиальных вопросов своей науки.

В настоящем сборнике читатель найдет статьи трех видных ученых — математиков Маршалла Стоуна и Мэри Картрайт и физика Е. Вигнера, Работы М. Стоуна и Е. Вигнера уже были опубликованы на русском языке — первая в сборнике «Математическое просвещение», а вторая — в журнале «Успехи физических наук». В разных аспектах все эти статьи нам представляются интересными, но требуют более или менее обстоятельных комментариев. В таком критическом разборе особенно нуждается работа Е. Вигнера. Если к статье М. Стоуна, перевод которой на русский вышел под редакцией профессора А. И. Маркушевича и был им снабжен краткими, но весьма полезными замечаниями, то статья Е. Вигнера была опубликована редакцией УФН без каких бы то ни было примечаний. То, что допустимо для научного журнала, не может распространяться на популярные издания. Вот почему в конце брошюры дается небольшое послесловие в виде примечаний составителя к статьям.

Для того чтобы читателя не раздражали многочисленные подстрочные примечания, все, на что составителю хотелось бы обратить внимание читателя и о чем одновременно высказать собственные взгляды, вынесено в конец сборника. Во всяком случае уже теперь хотелось бы сказать, что читателям, знакомым с основами диалектического материализма, бросится в глаза наивность и эклектичность многих утверждений, содержащихся в приводимых статьях. Одновременно читатели увидят, как крупные ученые повторяют почти в точности те же ошибки, какие были раскритикованы В. И. Лениным свыше шестидесяти лет назад в известном произведении «Материализм и эмпириокритицизм». Это обстоятельство лишний раз подчеркивает, что эта книга остается по-прежнему острым философским оружием и в наши дни.

Комментарии авторов статей, редакторов переводов и примечания переводчиков сохраняются в сборнике на тех местах, на каких они были помещены в первоначальных русских изданиях.

Ссылки на комментарии составителя сборника даны в тексте цифрами, поставленными в квадратные скобки [ ].

Б. В. ГНЕДЕНКО, академик АН УССР.

МАРШАЛЛ СТОУН

Математика и будущее науки

Предлагаемая вниманию читателя статья написана известным американским математиком Маршаллом Стоуном — автором фундаментальной монографии «Линейные преобразования в пространстве Гильберта» (Нью-Йорк, 1932). Ему принадлежит, в частности, основная теорема о спектральном представлении группы унитарных операторов в гильбертовом пространстве1. Интерес к статье усиливается тем, что это — специальный доклад, прочитанный по приглашению Американского математического общества на годичном собрании его членов2 (27—29 декабря 1956 г.). Поэтому положения и оценки, содержащиеся в статье, очевидно, должны рассматриваться как нечто большее, чем простое выражение собственных взглядов одного крупного американского математика.

Эта статья содержит немало спорных положений. Автор придает чрезвычайно большое значение процессу «математизации» науки и, увлеченный успехами этого процесса, дает, в сущности, комментарий к известным словам Канта: «Я утверждаю, что в каждой отдельной естественной науке можно найти собственно науку лишь постольку, поскольку в ней можно найти математику».

По, конечно, не этим определяется интерес статьи. Наибольшее значение, с нашей точки зрения, имеет изложение взглядов автора (и той, по-видимому, весьма значительной группы американских математиков, которую он представляет) на взаимоотношение «чистой» и «прикладной» математики, перспективы их развития и на ту роль, которая возлагается в осуществлении этих перспектив на самих математиков. Интересным представляются также общая оценка американской математики в прошлом и критика современ-

1 См., например, Ф. Рисс и Б. Секефальви—Надь. Лекции по функциональному анализу. М., 1954, стр. 408 и след.

2 Тринадцатая «гиббсоновская лекция», прочитанная на Рочестерском университете. Опубликована в Bulletin of the American Mathematical Society, 63, № 2, 1957, стр. 71—76: Marshall Stone, Mathematics and the Future of Science.

ного утилитарного направления в преподавании математики в американских средних и высших школах.

В целом статья Стоуна интересна главным образом с точки зрения той информации, которую она может дать нашему читателю о взглядах американских ученых на современное состояние и перспективы развития математики, взглядах, базирующихся в значительной мере на фактическом положении дел в американской науке.

Перевод статьи Стоуна снабжен нами немногочисленными примечаниями.

А. И. МАРКУШЕВИЧ

Мне оказали поистине большую честь, пригласив прочитать в этом году гиббсовскую лекцию, на что я дал почтительное согласие. Труды Джозайи Уилларда Гиббса1 содержат исследования в прикладной математике такой красоты и совершенства, что наиболее подходящей данью, которая могла быть отдана ему здесь, являлась бы научная статья, написанная на его уровне. Такая дань не по моим силам. Мои научные интересы лежат в области чистой математики, и я никогда не имел претензии непосредственно содействовать развитию прикладной математики, не питал иллюзий, что мог бы такое содействие оказать. Однако я никогда не принадлежал к числу тех математиков, чья радость растет от уверенности, что их исследования не будут использованы вне обетованной области чистой математики. Напротив, мое удовлетворение от занятий математикой увеличивается с сознанием того, что сделанное мною, за немногими исключениями, имеет отношение к математической физике или к какой-нибудь другой ветви прикладной математики [1]. Большую радость доставляет мне также ознакомление с путями успешного применения результатов чистой математики для разгадки секретов природы, объяснения их и в конечном счете использования. Поэтому моя дань Гиббсу примет форму выражения уверенности в растущей важности математической мысли для будущего науки. В этой связи я хочу говорить об основаниях моей веры в то, что удивительное развитие математики, свидетелями которого мы являемся в настоящее время, содержит зачатки блестящего научного прогресса в будущем.

В известном смысле все, что можно сказать на эту тему,

1 Дж. У. Гиббс (1839—1903)—американский математик и физик, один из основателей химической термодинамики и статистической механики — Прим. ред.

заключено в следующем силлогизме: наука есть рассуждение, рассуждение есть математика и, следовательно, наука есть математика. Так как мне кажется, что этот простой довод хорошо выражает сущность неразрывных связей между математикой и наукой, я хочу посвятить несколько слов пояснению и оправданию тех предпосылок, на которых он построен [2].

Меньшая посылка силлогизма ставит вопрос, являвшийся предметом спора между логиками и математиками с момента опубликования «Principia Mathematica»1. Я думаю, что обе стороны правы: логики—когда они заявляют, что математику можно формализовать в виде определенных систем формальной логики, и математики—когда они считают, что системы формальной логики сами являются особыми математическими системами, которые следует изучать математическими методами. Хотя я пытался в моих собственных математических работах (одна из которых будет упомянута на этом собрании) обосновать сторону математиков в этом споре, я уверен, что вопрос следует решить, приравняв математике формальную логику, как это сделано здесь. Для наших дальнейших рассуждений важно то, что это равенство признает за математикой охват значительно больший, чем изучение величины и числа. В самом деле, это требует от нас понимания математики как науки, изучающей общие системы, в которые входят определенные объекты и определенные соотношения между ними. При этом количественные или числовые аспекты отдельных математических систем следует считать не главными или характеризующими, а скорее второстепенными или феноменами для математики в целом. С этой точки зрения было бы, например, неверно рассматривать научную теорию как нематематическую только на том основании, что эта теория неколИчественная.

Наша большая посылка явно зависит от определения того, что следует подразумевать под термином «наука»2. Ответ, который мы намерены здесь дать, как раз подтверждает эту главную посылку, именно: наука содержит те и только те дисциплины, в которых рассуждение играет преобладающую и существенную роль.

1 Речь идет о фундаментальном труде Уайтхеда и Рассела, вышедшем в свет в 1910—1913 гг. и содержавшем обоснование математики как области логики: A. Whitehead and B. Russel. Principia Mathematica, т. 1, 1910; т. 2, 1912; т. 3, 1913.

2 Английский термин «science», помимо общего смысла, тождественного с понятием науки, имеет еще специальное значение: естественные науки. Поэтому когда автор ниже утверждает, например, что история не есть «наука», он хочет сказать, что история не есть естественная наука. — Прим. ред.

Помимо того что в обыденной американской речи и письме термин «наука» вряд ли употребляется в этом смысле, против нашего определения могут быть выдвинуты более серьезные возражения, которые заслуживают вдумчивого рассмотрения. Не следует ли определение науки построить так, чтобы выявить роль наблюдения, эксперимента и предвидения? Нет ли необходимости принять в расчет различие между индуктивным и дедуктивным мышлением? Не имеет ли содержание рассматриваемой дисциплины какого-либо отношения к вопросу квалификации ее как науки? Не является ли наше определение слишком широким в одних отношениях и слишком узким в других? Подобные вопросы, несомненно, заслуживают разъяснения, хотя обстоятельства и заставляют меня быть кратким.

Любая интеллектуальная дисциплина имеет дело с регистрируемыми наблюдениями, пытаясь найти в них известный порядок и систему и осмыслить их. Несомненно, что, пока наблюдения не становятся чем-то большим, чем случайное или систематическое собирание фактов, их нельзя принимать за характеристический признак «науки». В противном случае мы должны были бы рассматривать историю и литературу или эстетическую критику как «науки» и вскоре признали бы, что применяем критерий, не имеющий ценности. С другой стороны, если потребовалось, чтобы термин «наука» прилагался только к тем дисциплинам, основным элементом которых являются систематические, направленные и контролируемые наблюдения, одним словом— эксперименты, то мы можем тогда исключить из числа «наук» геологию или метеорологию.

Мы могли бы попытаться избегнуть этих противоречий, построив определение в терминах «направленного наблюдения». Но мне кажется, что эта попытка обречена на неудачу ввиду трудности решить, что подразумевать под «направленным наблюдением». Как можем мы различать типы наблюдений, производимых историком, ботаником, систематиком и метеорологом, пользуясь критерием «направленности»? Я бы сказал, что мы можем это сделать, только определив, в какой степени наблюдения в этих различных дисциплинах направляются логическими теоретическими структурами, которые складывались годами, и связываются с ними. Но если это так, то мы вернулись к характеристике науки, основанной на главенствующей роли мыслительного элемента.

По другому поводу1 я высказывал мысль, что в отличие от ненаучных дисциплин неотъемлемой частью «науки»

1 M. H. Stone. Science and statecraft. — Science, 105 (1947), стр. 507—510.

является предвидение. Не изменяя прежней позиции, я должен заметить, что и этот критерий возвращает нас еще раз к определению, с которого мы здесь начинали. В самом деле, возможность предвидеть как детерминистически, так и статистически непосредственно опирается на способность выводить точные заключения из общих принципов, полученных на основе предыдущих наблюдений и изучения. Чем больше мы пытаемся совершенствовать наши прогнозы, тем больше мы должны совершенствовать эти принципы и аргументы, обосновывающие их. С нашей точки зрения, сказать, что история не «наука»1, ибо она не предсказывает, значит просто привлечь внимание к тому, что в историческом исследовании рассуждение не играет ни доминирующей, ни существенной роли2.

Хотя эта дискуссия о смысле, который следует вкладывать в термин «наука», далеко не завершена, было, вероятно, сказано достаточно, чтобы квалифицировать предложенное здесь нами определение как полезный аналитический инструмент и разъяснить наше заключение, что «наука есть математика». Тем не менее всякий логический анализ взаимоотношений «науки», рассуждения и математики оставляет желать еще многого, ибо его рамки слишком узки, чтобы вместить какое-либо объяснение роста и развития дисциплин, признанных нами за «науки». Оглядываясь назад, мы видим, что науки, которые мы называем сегодня астрономией, физикой и химией, прошли различные стадии, возникнув в очень давние времена с практических ремесел, став затем предметами эрудированного изучения и рассмотрения и достигнув, наконец, положения интеллектуальных дисциплин, сконцентрированных вокруг тщательно разработанных математических теорий. Действительно, в каждом из этих трех случаев мы не встретим серьезных затруднений в определении момента, с которого началось преобразование в научную фазу. Эти моменты отмечены вкладами Евдокса, Галилея и Ньютона, Лавуазье и Пристли.

В то время как эти примеры могут служить укреплению нашего убеждения в том, что именно мыслительная компонента интеллектуальной дисциплины отождествляет ее с наукой, они также заставляют нас признать, что в каждой

1 См. примечание на стр. 6. — Прим. ред.

2 Автор, чуждый диалектического материализма, видит в истории чисто описательную дисциплину. Между тем построение истории на основе исторического материализма позволяет вскрыть закономерности исторического процесса и делать прогнозы, исполняющиеся с той же неизбежностью, как и прогнозы естествознания. — Прим. ред.

отрасли знания эта компонента должна развиваться, часто весьма медленно, из небольшого числа семян. Если мы взглянем вокруг себя, то увидим семена, дающие всходы на многих полях и зарождающиеся на многих других. Это не только те области знания, которые имеют дело с физическим и биологическим мирами, но и те, которые связаны с разумом человека и его существованием как социальным бытием. Мы, без сомнения, являемся свидетелями развития новых наук и может быть уверены, что во многих из них будем наблюдать быстрое развитие по теоретической, математической линии. В самом деле, мы имеем сильнейшие логические и исторические основания для веры в то, что эта тенденция математизации знания, которая началась с с греков, будет расширяться и ускоряться в грядущем столетии [3].

Указанная тенденция неизбежно будет вызывать и стимулировать прогресс самой математики. Как показывает история современной физики, эта тенденция, в свою очередь, будет в известной степени обусловливаться и направляться успехами, которых смогут добиться математики. Будущее науки в этом смысле тесно связано с будущим математики. Исключительно плодотворное развитие чистой математики в наше время позволяет смотреть с оптимизмом и энтузиазмом на будущее, в котором наука будет снимать обильный урожай плодов математического поля.

С точки зрения логики и уроков истории было бы весьма наивно ожидать, что математика будет в состоянии сделать полноценный вклад в развитие науки, если сами математики не проявят активного и компетентного интереса к приложениям ее в многочисленных областях науки, старой и новой. Хотя распространение математических методов мышления в большинстве различных областей знания можно считать неизбежным, оно легко может задержаться и отклоняться препятствиями, которые следует обнаруживать и устранять, для того чтобы развитие науки ускорилось. Может быть и верно, что мир проложит дорогу к дверям человека, который усовершенствует мышеловку, как однажды сказал Эмерсон, но мы — математики—должны понимать следующее: какие бы хорошие мышеловки мы ни изобретали, мир очень медленно осознает свою нужду в них и столь же медленно будет находить наиболее удобные пути к нашим дверям.

Задача привлечения внимания общества к нашему фонду мышеловок и указания некоторых подходов к нему в основном является задачей математиков. Это — трудная задача, к решению которой нельзя удовлетворительно приступить до тех пор, пока мы сами не добьемся более ясного и более глубокого понимания изменений, вызываемых мате-

матическим, естественнонаучным и техническим прогрессом в природе прикладной математики и ее взаимоотношениях как с чистой математикой, так и с наукой и техникой. Среди всех аспектов нашей центральной темы, которые могли бы быть подробнее рассмотрены, нет ни одного, который не казался бы мне столь актуальным и значительным, как эволюция, испытываемая в настоящее время прикладной математикой. Поэтому я буду в оставшееся время говорить о прикладной математике.

Эта тема вызвала в последние годы большое количество дискуссий и статей. Поэтому невозможно избежать повторения всем известных положений. Там, где возможно, я только слегка коснусь вопросов, которые уже освещены подробно в других местах. Более детальное рассмотрение этих вопросов можно найти в одной из обстоятельнейших работ последнего времени на эту тему—в отчете состоящего при Национальном исследовательском совете Комитета по обучению и исследованиям в прикладной математике1, где я имел честь работать. Вместо этого я постараюсь выделить те соображения и точки зрения, которые, как мне кажется, обладают некоторой степенью свежести, если не новизны. Я вижу нечто новое уже в том, что чистый математик предлагает откровенно обсудить насущные проблемы прикладной математики.

С тех пор как я впервые пытался выяснить свою собственную точку зрения на перспективы прикладной математики в неопубликованной речи, прочитанной по случаю празднования пятидесятой годовщины Чикагского университета, я все более осознавал известную напряженность, вызванную существованием двух различных и философски противоположных взглядов на приложения математики. Напряженность ощущается в большинстве дискуссий на эту тему, даже если эти взгляды не высказываются прямо. Я понял также, что попытки обсуждать прикладную математику без открытого выявления позиций, спорящих вызывают смятение и недобрые чувства. Поэтому я хочу начать свои замечания по этому предмету с ясного указания собственной позиции.

Прошло, пожалуй, немало времени, пока я понял сущность и истинное значение упомянутых двух различных точек зрения, хотя никогда не колебался в своем выборе между ними. Мне потребовалось бы для этого еще больше времени, не столкни меня счастливый случай с очерком

1 F. J. Weyl. «A survey of training and research in applied mathematics in the United States», a Report by National Research Council' Commitee on Training and Research in Applied Mathematics, 1955; издано как монография «Обществом индустриальной и прикладной математики».

президента Иэльского университета Уитни Грисуолда. Он исследует в этом очерке природу основного спора, ведущегося в современных американских педагогических кругах1.

Грисуолд характеризует этот конфликт как происходящий между общим и утилитарным образованием и прослеживает его истоки вплоть до давних времен. Речь идет о противоположности между точкой зрения, согласно которой целесообразно все, что развивает умственные и духовные силы личности, и точкой зрения, считающей целесообразным все, что действует и приводит к полезным результатам.

Грисуолд цитирует замечательный отрывок из Фрэнсиса Бэкона:

«Прежде всего, меня удивляет, что столь многие замечательные учебные заведения Европы посвящены подготовке к профессиям и ни одно из них не предназначается изучению наук и искусств вообще. Ибо если люди полагают, что обучение должно направляться деятельностью, то они правы, но при этом они впадают в ошибку, описанную в старой басне. Части тела сочли желудок бездеятельным, ибо он не выполняет ни двигательных функций, как конечности, ни мыслительных, как голова; тем не менее именно желудок переваривает пищу и распределяет ее для всех остальных. Точно так же, если полагают, что философия и универсальность — пустые занятия, то не принимают во внимание, что они обслуживают и поддерживают все остальные профессии. И я считаю основным препятствием прогрессу знания то, что эти фундаментальные науки изучаются только в отрывках. Ибо, если вы захотите, чтобы дерево приносило больше плодов, чем прежде, вам нечего делать с его ветвями, а нужно взрыхлить землю и подложить новую почву под корни».

Разве это не превосходно сказано? По-моему, да, и я рад, что разделяю позицию Фрэнсиса Бэкона. Вместе с ним я полагаю, что одна полезность не есть настоящая мера ценности; я готов пойти далее и сказать, что если полезность понимать прямолинейно и недальновидно, то она становится опасной и ложной мерой. Применение строго утилитарной мерки к математике, являющейся одновременно чистым и свободным творением разума2 и необходимым инструментом науки и современной техники, может привести только к катастрофе: это вызвало бы иссушение источников современного математического познания и, в конце концов, затормозило бы деятельность в области прикладной математики [4]. В математике нужно стремиться скорее к правильному соот-

1 A. W. Grisworld. What we don't know will hurt us: the power of liberal education. Harper's Magazine, июль 1954, стр. 76 и след.

2 См. ниже, примечание на стр. 13.

ношению между чистой теорией и практическими приложениями, как советует Фрэнсис Бэкон.

Особая важность, которую может иметь для нашего времени поддержание такого соотношения, не так давно была подчеркнута Аланом Уотерменом, директором Национального научного фонда, в речи, прочитанной перед нашим Обществом и Математической ассоциацией. Уотермен сказал:

«Математика в известном смысле заполняет брешь, реальную или воображаемую, существующую между естественными и гуманитарными науками. Требования современной техники свели многие науки с их первоначальных орбит в сферу натуральной философии. Математика также имеет свою практическую часть, играющую роль в современном мире, но, развиваясь, она никогда не теряет своего научного духа. Она занимает, может быть, одинаково почетное место среди гуманитарных и естественных наук»1.

Я лелею в душе заветную надежду, что математика, несмотря на изменения, вызываемые расширением ее собственных границ и потребностями современного общества, всегда будет сохранять свою цельность и, таким образом, может и далее претендовать на положение двойной славы, всегда ставя перед собой те высокие примеры интеллектуальных достижений, которые одни дают ей право достойно занимать столь почетное место!

Позвольте теперь вернуться к рассмотрению изменений в математике, побуждающих нас к пересмотру и переоценке наших суждений о взаимоотношениях чистой и прикладной математики. Для этой цели необходимо исследовать исторические факторы, которые в совокупности создали настоящее положение.

Приблизительно к началу нашего столетия математика вступила в новую фазу своего развития, предназначенную свершить глубокие преобразования ее сущности и структуры. Изменения, произведенные за короткий период, менее чем в шестьдесят лет, поразительны как по многообразию, так и по значимости. Их степень можно оценить совершенно точно, если сравнить университетские учебные планы 1900—1920 гг. с современными или привести длинный перечень новых математических концепций, методов и дисциплин, едва ли известных пятьдесят лет назад, а ныне составляющих существенную часть интеллектуального багажа любого математика, претендующего на общее знание своего предмета. Этот расцвет чистой математики в двадцатом столетии вызвал специализацию, неотделимую от интенсивного исследования новых возможностей, непрерывное испытание

1 A. T. Waterman. The National Science Foundation program in mathematics. Bull. Amer. Math. Soc., 60 (1954), стр. 207—214.

жизненности новых идей и непрестанные усилия охватить общими понятиями быстро накапливающиеся продукты плодотворных исследований. Необходимым условием этого расцвета было то, что в своей деятельности математики исходили из следующего осознанного ими факта: математика не находится в тесной связи с материальным миром или физической действительностью [5], если только вообще эта связь существует1.

Как следствие такого понимания, чистые математики нашего столетия ищут будущее математики не в одной только технической виртуозности, но также в абстракции и обобщении. На протяжении всего своего длительного исторического развития западная математика, сознательно или бессознательно, имела дело с математическими сторонами реального мира: свойствами чисел, геометрией пространства, в котором мы движемся, динамикой движущихся вокруг нас тел. Математики полагали, что создаваемые ими теории этих объектов позволят дать философское понимание природы, а также некоторую практическую власть над ней. Все это ясно проявилось в достижениях таких великих математиков, как Архимед, семейство Бернулли, Эйлер, Лаплас, Гаусс и Коши, чьи вклады в науку почитаются сегодня как прикладными, так и чистыми математиками. Это проявилось также и в трудности, к которой привело открытие неевклидовой геометрии в первой половине девятнадцатого столетия, когда начали понимать, что математика впредь должна будет иметь дело с двумя геометриями, лишь одна из которых может представлять пространство, в котором мы существуем, и, более того, что искусные измерения, вроде тех, которые производил Гаусс, могут быть недостаточными, чтобы решить, которая из двух геометрий применима к физическому миру.

Полное значение этого глубокого нового проникновения в свободу математической теории от физической необходимости осознавалось исключительно медленно отчасти из-за того, что девятнадцатое столетие еще имело перед собой огромную задачу, заключавшуюся, главным образом, в

1 Автор, философские позиции которого представляются эклектическими, повторяет здесь излюбленный идеалистами тезис. Достаточно, например, следующих высказываний А. Гейтинга — автора «Обзора исследований по основаниям математики»:

«В одном отношении они (представители ведущих современных направлений. — Ред.) согласны между собой, — и это сейчас можно считать почти единодушным мнением всех математиков, — что положения чистой математики не говорят ничего о действительности...». (А. Гейтинг. Обзор исследований по основаниям математики. Перев. с нем. А. П. Юшкевича. М.—Л., 1936, стр. 84).

Однако ниже сам автор будет приводить многочисленные доводы, опровергающие этот тезис. — Прим. ред.

обосновании уже построенных теорий, отчасти же потому, что математическая техника, находившаяся на ранней стадии своего развития, неотложно нуждалась в пересмотре и совершенствовании до уровня, достаточного для предстоящей работы.

Таким образом, на долю двадцатого столетия выпала участь проникнуть в такие глубины, куда предыдущее столетие лишь заглянуло. Инструментом, использованным для выполнения этой задачи, был аксиоматический, или постулативный, метод, в настоящее время столь хорошо известный, что мне нет нужды описывать его здесь.

Находятся люди, которые заявляют, что в использовании постулативного метода они видят главную черту современной чистой математики. По моему мнению, ошибочно полагать или допускать, что простой инструмент, хотя и могущественный и характерный, может составлять сам по себе сущность интеллектуального движения, влекущего математиков этого поколения вперед к достижениям, которые наложат неизгладимую печать на математику будущего. Скорее всего, лучшим выражением духа современной чистой математики является именно то, что этот инструмент сделал возможным, а именно — расчленение математических концепций на их элементарные компоненты, комбинирование этих компонент в новые конструкции существенного значения, критическое развитие различных подходов к важным математическим теориям, унификация до сих пор оторванных ветвей математики. Хотя отдельные частности на первый взгляд противоречат этому, чистая математика фактически продолжает вращаться вокруг великих центральных проблем теории чисел, геометрии и анализа, которые имеют дело с объектами столь же реальными, как и абстракции атомного или ядерного физика. Чистая математика, несмотря на вполне естественную занятость самостоятельным, весьма плодотворным и успешным развитием, никогда не прекращает, по словам Фрэнсиса Бэкона, «направлять познание к деятельности». Действительно, она продолжает черпать вдохновение у оракула природы и по-прежнему всегда сознает роль, которую она играет в возрастающих средствах прикладного математика для понимания мира, в котором мы живем. Интересные свидетельства этого помещены в упомянутом выше отчете Национального исследовательского совета, где отмечается, что «в той мере, в которой связи с современной физикой в нашей стране [США. — Л. М.] вообще поддерживаются математической деятельностью, ряду факультетов чистой математики удается заботиться об этом лучше, чем любому центру прикладной математики». Но — повторяю то, на чем настаивал выше — чистая математика не может принять «направленность к

деятельности за единственный критерий, которым оценивается ее работа.

В то время как чистая математика росла таким быстрым и замечательным образом более полувека, прикладная математика также испытала весьма сильные изменения: с одной стороны, это радикальная переориентация, с другой — значительное расширение ее поля деятельности. Наиболее эффектное развитие, поистине революционный характер которого всеми признан, захватило основы физики. Отказ в динамике от классических взглядов, ведущих начало от Галилея и Ньютона, в пользу теории относительности и теории квантов доставил математическому анализу огромную массу материалов, который с трудом поддавался исследованию классическими методами математической физики. Поистине неизбежно теоретическая физика должна была переместить центр своих основных интересов в увлекательные новые области, которые напрашивались на разработку, оставив как бы на втором плане исследование многих традиционных областей науки, в частности гидродинамику, теорию упругости и другие направления механики сплошных сред. С тех пор эти области стали интересовать больше инженеров и некоторых математиков, чем физиков. В то же время химия, которая, естественно, до сих пор была только слегка затронута математикой и то, главным образом, через посредство термодинамики и статистической механики, теперь испытала сильное столкновение с новыми атомистическими теориями. Несмотря на серьезные пробелы, которые с тех пор были обнаружены благодаря накоплению новых данных относительно элементарных частиц и нуклонов, эта теоретическая эволюция, несомненно, определяет полный успех прикладной математики.

Этот успех был бы невозможен без использования математических инструментов, таких, как тензорное исчисление, теория непрерывных или топологических групп. И хотя большая часть этих инструментов уже имелась в фонде, созданном ранее математиками, физик 1900 года, вероятно, рассматривал бы их еще как простые математические курьезы. Одной из причин, почему чистая математика стремится, как отмечалось выше, поддерживать некоторый контакт с современной теоретической физикой, является тот факт, что новые применения этих инструментов ставят новые, интересные сами по себе, трудные вопросы для традиционно важных ветвей математики. Многие плодотворные математические исследования последних лет были посвящены как раз таким вопросам, в особенности вопросам, относящимся к представлениям топологических групп и теории операторов в гильбертовом пространстве. С другой стороны, теоретическая физика, уже в высокой степени математическая по форме,

использовала абстракции и теории более или менее умозрительного характера для исследования, в котором аксиоматический или постулативный метод, характерный для современной чистой математики, показал себя наиболее мощным инструментом. Можно привести много примеров, но наиболее замечательны, вероятно, статьи Дирака1 и Юкавы2, в которых позитрон и мезон постулировались и подвергались математическому исследованию еще до того, как было доказано физическое существование той и другой частицы. В настоящее время математические и идейные трудности теории полей, очевидно, создали новый кризис теоретической физики, что требует, по-видимому, дальнейшего проникновения в физическую сущность явления, а также новых математических инструментов. С точки зрения математика, не лишено вероятности, что часть этих затруднений физиков происходит из-за недостаточного владения ими современными математическими методами и концепциями. Действительно, большинство достижений современной теоретической физики базируется на математике девятнадцатого столетия, что, понятно, становится недостаточным для дальнейшего прогресса.

Хотя математические успехи в области физики являются наиболее эффектными и поразительными, двадцатое столетие явилось свидетелем многих других достижений прикладной математики. Как и в случае квантовой теории, многие из этих достижений тем или иным образом зависят от использования математической статистики. Мы знаем, что многие из основных процессов природы представляются неподдающимися никакой точной детерминистской характеристике и должны рассматриваться в терминах математической статистики. Это справедливо не только для поведения элементарных частиц в физике, но и для механизмов, управляющих наследственностью. Современная теория генетики, вероятно, наиболее высоко развитая, и математическая часть теоретической биологии, таким образом, основана на статистических принципах.

Благодаря громадному диапазону своих применений, начиная с теоретической физики и кончая социальными науками, математическая статистика испытала быстрое и экстенсивное развитие и приобрела теперь положение независимой дисциплины. В настоящее время мы знаем, что математически она является ветвью теории меры, которая связана с

1 P. A. Dirac. Proc. Roy. Soc, London. Серия А, 126 (1926—1930), стр. 360—365; 133 (1931), стр. 60—71.

2 H. Yukawa. Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 17 (1935), стр. 48—57.

реальным миром простыми принципами, выражающими сущность индуктивного мышления.

Существуют, конечно, известные расхождения по поводу того, как эти принципы формулировать. Мне всегда казалось, что в первом приближении они должны базироваться на простом правиле: «достаточно маловероятный случай может игнорироваться». Если рассуждать по этому правилу, то роль математики должна сводиться к основанному на теории меры подсчету взаимосвязанных вероятностей, а роль практического познания — к выявлению в каждом конкретном положении того, какие вероятности достаточно малы. Почему реальный мир обязан подчиняться такому правилу — это, я думаю, философский вопрос, не более и не менее загадочный, чем проблема, почему этот мир должен подчиняться логике. Тот факт, что эти вопросы являются лишь двумя аспектами основной проблемы об отношении между разумом и материей, приводит меня к мысли, что различие между индуктивным и дедуктивным мышлением может несколько помочь в определении того, что мы подразумеваем под «наукой». Во всяком случае, насколько это касается технических приемов, развитие математической статистики в ее новейшей форме показало, что фактически все процессы индуктивного мышления, подвергнутые расчленению, имеют дедуктивный характер.

Если бы я имел время и знания, то в качестве иллюстрации можно было бы детально описать тот путь, по которому прикладная математика развивалась в течение настоящего столетия. Помимо того, что происходило в естественных науках, отличных от физики и химии, следовало бы рассмотреть в известной мере опыт формирования математических теорий некоторых биологических явлений. К упомянутым выше работам в генетике тесно примыкает математическое изучение роста популяции и борьбы видов; практическое значение этого очевидно. Следовало бы также упомянуть о математическом исследовании различных физиологических проблем, включая теорию нервной системы и мозга. Затем мы должны были бы пойти дальше и исследовать возникновение новых математических теорий различных физиологических и социальных явлений, как, например: вывод наблюдаемых статистических закономерностей в языке исходя из теории информации, интерпретации некоторых ситуаций, возникающих при конкуренции, в терминах теории игр, или приложение линейного программирования к проблеме управления.

Длинным был бы уже перечень подобных теорий. Мне кажется, что главное здесь в новых и многообещающих применениях математики к областям некогда считавшимся недоступными математическому исследованию либо по прин-

ципиальным соображениям, либо потому, что они не поддавались подобному исследованию. Чаще всего добиться некоторого успеха в этих направлениях позволяет именно возможность использования новых математических инструментов, каковы, например, современные методы статистики или теории игр.

Я уверен, что имеются все основания ожидать в ближайшем будущем значительных достижений, связанных как с развитием новых математических методов, так и с непосредственными применениями уже существующих. Однако оптимизм относительно успехов такого характера следует умерить некоторой долей осторожности. Несмотря на то что, как кажется, существуют весьма достаточные основания для оптимизма, мы должны признать, что достижения математики еще далеко не упрочили ее положения вне сферы точных наук, исключая, возможно, область генетики. Более того, распространены взгляды, особенно в социальных науках, согласно которым жизненно важные стороны поведения живого организма никогда не поддадутся математическому исследованию и в некоторых случаях вообще научному исследованию в самом широком значении этого слова. Некоторые из наиболее привлекательных и значительных интеллектуальных событий ближайших десятилетий, вероятно, будут связаны с попытками определить границы возможного математического проникновения и в такие неизведанные области.

Требования техники нашего времени стали оказывать все возрастающее давление на развитие прикладной математики, так что появляется необходимость отвечать все точнее и точнее на все более многообразные и трудные вопросы, возникающие в связи с проектированием, конструированием новых сложных или универсальных машин и их управлением. Вторая мировая война предъявила некоторые из этих требований с особенной резкостью и настойчивостью, которые с тех пор, пожалуй, были еще усилены последующей «холодной войной». Представляется очевидным, что в конце концов эти требования будут нам предъявляться одинаково настойчиво как соревнованием между человеком и природой, так и соревнованием между людьми.

Технические требования сыграли особенно значительную роль в возрождении одной из ветвей прикладной математики— динамики непрерывных сред, которой, как мы уже отмечали ранее, пренебрегали как математики, так и физики. Тот факт, что эта область нуждалась в новых математических и физических идеях, наводит на мысль, что прошлое пренебрежение происходило из убеждения, что в тот момент наука еще не была готова преодолеть осознанные ею препятствия к дальнейшему развитию. Конечно, такое убеж-

дение могло только увеличить тяготение к другим областям знания, тяготение, само по себе достаточно сильное, чтобы оторвать большинство математиков от этой весьма важной классической области. Технические применения математики, естественно, требуют числовых ответов и, таким образом, и поощряют вычислительные схемы и математическое искусство их создавания. Автоматизация этих схем, сама зависящая от высокой степени математического мастерства, была успешно предпринята, отвечая этим нуждам; она имеет важное значение для будущего. При этом существенно расширилась не только сфера применений прикладной математики, так как необходимые вычисления могут теперь производиться с высокой скоростью и относительно небольшой затратой сил, но и само математическое искусство вычисления поднялось до более высокого уровня и стало намного более интересным. Нелегко представить себе, как повлияет введение современных быстродействующих счетных машин на математику или на взаимоотношения математики и промышленности. Имеется определенная вероятность, что промышленность, руководствуясь только утилитарными взглядами, будет в целом стремиться ограничить свой интерес к прикладной математике организацией работающих групп из прикладных математиков и вычислителей, которым дана задача с максимально возможной степенью мастерства давать конкретные ответы на ограниченный круг конкретных вопросов. По-видимому, в Соединенных Штатах возникает сейчас настоятельная потребность в такого рода деятельности. Если бы эта тенденция не уравновешивалась параллельным развитием глубокого интереса к математике в целом, подобного тому, который постоянно оказывал в прошлом ряд ведущих индустрий здесь и за границей, то имелись бы основания смотреть на будущее с некоторым опасением.

Мне кажется, что отклик американской математики на те широкие течения и события, которые мы пытались здесь описать, был в значительной мере обусловлен некоторыми специфическими условиями американской жизни. Эти условия, я думаю, можно отчасти объяснить, рассматривая их как продукт опыта Америки — нации пионеров, отрезанной на время от исторических центров своей культуры. Вероятно, другим фактором, как предполагает президент Иэльского университета Грисуолд в цитированной выше статье, является недавняя иммиграция большого числа мужчин и женщин из тех элементов европейского общества, которые имели наиболее слабые контакты с интеллектуальными центрами континента. В Америке восемнадцатого и девятнадцатого века создание центров исследования и подготовки специалистов в области высшей математики далеко отставало от Европы. Несмотря на передовое влияние таких, в сущности,

одиноких фигур, как Сильвестр и Бенджамен Пирс, вплоть до последнего десятилетия прошлого века сколько-нибудь устойчивый интерес к высшей математике не характерен для развития американских университетов. Таким образом, огромные математические центры, усеивающие теперь всю страну, получили полное свое развитие за промежуток времени, лишь немногим больший шестидесяти лет. Для этого развития характерно не только то, что оно почти совпало с великим расцветом чистой математики, описанным нами выше, но и почти полное освобождение американских математиков от только что упомянутого культурного отставания. Они не были связаны строгими академическими традициями, им не препятствовали могущественные научные течения в их проложении пути, по которому должна следовать высшая математика в Америке. В то же время в высшей степени прагматические взгляды американского промышленника и бизнесмена — также продукт пионерского опыта — не позволяли им требовать от математики иной роли, кроме самой скромной, утилитарной. В результате математики нашей страны были свободны направлять свои усилия на великие центральные проблемы современной математики, и как преподаватели, так и исследователи включились в захватывающий прогресс чистой математики двадцатого столетия. Действительно, в американской математике ясно наметилась тенденция к абстракции и обобщению, что должно казаться странным всем, кто уверен в утилитарной направленности американской культуры. Если американская математика получила исключительную независимость от утилитарных требований и, таким образом, смогла добиться важного интеллектуального прогресса, то она в то же время была поставлена в ложное положение как в интеллектуальном, так и профессиональном отношениях. Утилитарная философия никоим образом не является уделом одних Соединенных Штатов, хотя здесь она, вероятно, так же сильна, как и везде в мире. Она имеет влияние не только на промышленные применения науки, в том числе и математики, но также и на взаимоотношение отдельных ветвей науки и, наверное, сильнее всего в Соединенных Штатах.

Выяснить, как влияют утилитарные взгляды на математику, особенно важно, ибо все науки, как мы пытались здесь показать, проявляют общую тенденцию к росту зависимости от математического мышления и, таким образом, нуждаются во все более глубокой и разумной оценке природы и ресурсов современной математики. Едва ли нужно указывать, что в эту эпоху специализации многие из лучших работ в прикладной математике выполнены людьми, которые вовсе не считали себя математиками, а физиками, химиками, биологами, И это, добавим, должно быть связано прежде всего с тем

обстоятельством, что хорошая работа в прикладной математике в равной степени относится к природе, как и к математике. Большинство ученых, во всяком случае в нашей стране, легко становятся на строго прагматическую и утилитарную точку зрения на математику. Они, в конце концов, рассматривают ее просто как более или менее полезный инструмент, относительно которого вовсе не обязательно знать намного больше, чем его непосредственно используемые основные характеристики. Ученый, который соскользнул на эту позицию, признает истинным в математике только то, что работает. На таком пути весьма серьезно разрушаются связи между чистой математикой и многими ветвями прикладной математики. Если истинное положение математики должно быть восстановлено и ей будет позволено, таким образом, сыграть свою интеллектуальную и профессиональную роль, то эти связи должны быть восстановлены внутри научного мира и расширены на весь технический мир.

Хотя вопрос о способах восстановления и сохранения равновесия между чистым и прикладным направлениями в математике выходит за рамки моей речи, как и вообще всякое детальное рассмотрение, я направляю свои заключительные замечания на то, чтобы подчеркнуть еще раз, что мы, математики, в первую очередь обязаны находить эти способы и применять их. Это тем более верно, что наиболее важным способом влияния на взаимоотношения математики с интеллектуальной и индустриальной деятельностью человека является математическое образование. Несомненно, что и материальные средства имеют для нас значение, но если индустрия будущего будет жертвовать на поощрение математики столь же щедро, как это делают теперь частные лица и правительства, то наши тревоги на этот счет скоро прекратятся.

Но прежде всего следует осознать, что математическое образование прошлого потерпело решительную неудачу в установлении таких связей между математикой, различными науками и техникой, которые представляются нам теперь совершенно необходимыми. В целом математические достижения этого столетия мало затронули математическое образование, исключая подготовку к ученой степени. Пока это остается так, все усовершенствования обучения будут, главным образом, технического или педагогического характера. Наиболее серьезным препятствием модернизации математической программы является утилитарный дух, пропитывающий среднюю школу и определяющий характер преподавания учеными приложений математики в различных областях, где она используется [6]. Так как учащихся в средней школе научили представлять математику скорее в аспекте ее применений, чем в ее формальной и логической полноте,

то они приходят в колледж с математическими способностями, скорее притупленными, чем обостренными и усиленными, как следовало бы. Их и далее поощряют к усвоению утилитарного взгляда на математику, в частности, трактовкой, временами ошибочной, с которой они встречаются в почти каждом избираемом ими техническом или научном курсе. Вследствие этого попытки преподавать должным образом математический анализ или ввести в программу элементы современной алгебры часто возмущают студентов и вызывают критику других кафедр.

Несмотря на эти трудности, некоторый прогресс достигнут. Тем не менее необходимо добиться гораздо большего, прежде чем можно будет считать, что американская математика находится на прочных и здоровых позициях. Ибо слова Фрэнсиса Бэкона, цитированные выше, несомненно, применимы к данному случаю: «Если вы захотите, чтобы дерево приносило больше плодов, чем обычно, вам нечего делать с его ветвями, а нужно взрыхлить землю и подложить новую почву под корни»!

(Перевод с английского Л. А. Маркушевич, под редакцией А. И. Маркушевича)

И совсем не исключено, что здесь еще кроется какая-то тайна, которую нам предстоит раскрыть.

Ч. Пирс

Е. ВИГНЕР

Непостижимая эффективность математики в естественных науках

Рассказывают историю о двух бывших однокурсниках, обсуждавших свою деятельность. Один занимается статистикой и обрабатывает данные о населении. Он показывает приятелю оттиск своей работы, которая начинается, как водится, с гауссова распределения. Статистик поясняет, какие символы обозначают наблюдаемые величины, какие — средние и т. д. Но его другу, который был отчасти скептиком, показалось, что его разыгрывают «Как ты только все это выучил?— спросил он статистика. — Кстати, что это такое?» — «Ах, это?— отвечал статистик. — Это π». — «А что это значит?» — «Это отношение длины окружности к ее диаметру». — «Ну, знаешь, брось эти шутки,—

1 Е. Wigner. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960). Лекция в честь Рихарда Куранта, прочитанная 11 мая 1959 г. в Нью-Йоркском университете. Перевод В. А. Белоконя и В. А. Угарова.

ответил скептик, — к чему-к чему, но к окружности данные о населении не имеют никакого отношения».

Мы, естественно, склонны улыбаться, видя такую непосредственность. Но когда я слушал эту историю, мною, признаться, овладело чувство ужаса. В самом деле: ведь реакция молодого человека была проявлением обычного здравого смысла. Такое же чувство я испытал с еще большей силой несколько позже, когда ко мне зашел студент, выразивший свое удивление ограниченным выбором фактов, на основе которых мы устанавливаем справедливость своих теорий, так: «Откуда известно» что нельзя — если обратить внимание на явления, которыми мы пренебрегали, и игнорировать те явления, которые сейчас являются для нас определяющими, — построить другую теорию, мало похожую на существующую, но объясняющую столько же явлений, сколько объясняет современная теория»1. Следует признать очевидным, что никто не может доказать невозможность такой теории.

Эти две истории подчеркивают две главные идеи, которым посвящена статья. Первая идея: математические представления могут оказаться в совершенно неожиданной связи. Более того, они часто приводят к неожиданно удачному и точному описанию явлений в этой связи. Вторая идея: именно благодаря упомянутой широте применения математических представлений и тому факту, что мы не понимаем причин такой широты, мы ниоткуда не можем узнать, единственна ли теория, сформулированная на языке наших математических представлений. Мы похожи на человека со связкой ключей, который, пытаясь открывать одну дверь за другой, всегда находит правильный ключ с первой или второй попытки. Это заставляет его сомневаться относительно взаимнооднозначного соответствия между ключами и замками.

Большая часть того, что здесь будет сказано по этому поводу, отнюдь не нова. Сходные мысли в том или ином виде, вероятно, приходили в голову многим ученым. Моя главная цель — осветить этот вопрос с нескольких сторон. С одной стороны, невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет. С другой стороны, именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий. Для того чтобы обосновать утверждение о невероятно важной роли математики в физике, полезно для начала сказать кое-что по поводу того, что такое математика, затем выяснить, что такое физика. После этого следует рассмотреть роль математики в физической теории и, наконец, понять, почему успехи математики в физике оказываются столь потрясающими. Совсем кратко мы остановимся на вопросе о единственности теорий в физике. Исчерпывающий ответ на этот вопрос потребовал бы тщательной экспериментальной и теоретической работы, которая к настоящему времени еще не проделана.

Что такое математика?

Кто-то сказал однажды, что философия — это просто злоупотребление терминологией, придуманной как раз для этой цели2. В этом же духе я бы сказал, что математика является наукой изощренного манипулирования понятиями и правилами, придуманными как раз для этой цели [1]. Главное ударение стоит именно на изобретении понятий. Математики очень скоро исчерпали бы все нетривиальные теоремы, если бы их теоремы всегда формулировались на языке понятий, уже содержав-

1 Высказано Ф. Вернером в студенческие годы (Принстонский ун-т).

2 Из кн.: W. Dubislav. Die Philosophie der Mathematik in der Gegenwart. Berlin, 1932.

шихся в аксиомах. Далее, хотя нет сомнений в том, что понятия элементарной математики, в особенности элементарной геометрии, были сформулированы для описания предметов окружающего мира, такое утверждение уже явно несправедливо для более абстрактных понятий, в частности понятий, играющих столь важную роль в физике. Таким же образом правила операций с парами чисел, очевидно, построены так, что приводят к тем же результатам, что и операции с дробями, причем правила для дробей мы учим без ссылок на «пары чисел». Правила обращения с последовательностями, например с иррациональными числами, все еще принадлежат к категории правил, установленных по аналогии с правилами действия над величинами, которые уже были нам известны. Гораздо более абстрактные математические понятия, такие, как комплексные числа, алгебры, линейные операторы, борелевы множества (подобный список можно продолжить почти до бесконечности), были построены как объекты, на которых математик мог проявить свое остроумие и чувство формальной красоты. Фактически именно определение этих понятий вместе с установлением того, что к ним можно применить интересные и остроумные соображения, является первым признаком изобретательности математика, определившего их. Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются. Выдающийся математик до предела, почти что не щадя ничего, использует всю область возможных рассуждений и даже скользит по самому краю возможного. То, что такая смелость не приводит математика в болото противоречий, уже само по себе чудо, в самом деле, трудно поверить, что могущество нашего ума доведено дарвиновским естественным отбором до такого совершенства, которым наш ум, судя по всему, обладает. Однако не это интересует нас здесь. Глазным пунктом, который мы еще подчеркнем далее, является то, что математик может сформулировать лишь ограниченное число теорем, не определяя никаких понятий, кроме тех, которые входят в математические аксиомы. Не входящие в аксиоматику понятия определены в математике лишь постольку, поскольку эти определения допускают остроумные логические операции, апеллирующие к нашему чувству прекрасного и приводящие к результатам большой общности и простоты1.

Особенно ярким примером высказанного утверждения являются комплексные числа. Конечно, ничто в нашем повседневном опыте не вынуждает нас вводить такие числа. С другой стороны, если у математика попросить объяснить его интерес к комплексным числам, то он не без негодования укажет вам на прекрасные теоремы, касающиеся алгебраических уравнений, степенных рядов и вообще аналитических функций, доказательство которых стало возможным только благодаря введению комплексных чисел. Математиков никогда не перестанет интересовать это прекрасное достижение их гения2.

Что такое физика?

Физик интересуется законами неживой природы. Но для понимания такого утверждения следует проанализировать понятие «законы природы».

1 «Все эти трудности — только следствия нашего нежелания увидеть, что нельзя дать определение математики, не признав ее самой очевидной особенности — того, что она интересна» (М. Polanyi. Personal Knowledge. Univ. Chicago Press, 1958).

2 Ср. высказывание Гильберта об интуиционизме, который «старается развалить и изуродовать математику» (Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 157 (1922) или Gesammelte Werke. Springer, Berlin, 1935, стр. 188).

Окружающий нас мир ужасающе сложен, и наиболее очевидным фактом является наша неспособность предсказывать будущее. Хотя в анекдотах уверенность в неопределенности будущего приписывают только оптимистам, оптимисты в данном случае и в самом деле правы: будущее непредсказуемо. По замечанию Шредингера [1], чудом является уже то, что, несмотря на всю сложность мира, можно все-таки открывать определенные закономерности событий. Одна из таких закономерностей, открытая Галилеем, заключается в том, что два камня, брошенные одновременно с одной и той же высоты, одновременно достигают земли. Законы природы относятся именно к таким закономерностям. Закономерность, открытая Галилеем, является прототипом обширного класса закономерностей. И эта закономерность удивительна по трем причинам.

Во-первых, эта закономерность удивительна тем, что она оказывается справедливой не только в Пизе и не только во времена Галилея; она справедлива повсюду на Земле, она всегда была и будет справедливой. Другими словами, была осознана инвариантность такой закономерности, и я уже имел случай отметить, что без принципа инвариантности, подобного принципу, примененному при обобщении наблюдений Галилея, физика было бы просто невозможна. Вторая удивительная особенность заключается в том, что обсуждаемая нами закономерность независима от многих условий, которые могли бы влиять на нее. Она справедлива, несмотря на погоду, независимо от того, проводится ли опыт в комнате или с падающей Пизанской башни и является ли экспериментатор, бросающий камни, мужчиной или женщиной. Она справедливо, даже если два камня одновременно бросают (с той же высоты) два разных человека. Существует, очевидно, бесчисленное множество других условий, которыми можно пренебречь, оставляя справедливой закономерность, открытую Галилеем. Безразличие ко многим обстоятельствам, которые могли бы играть роль в наблюдаемом явлении, также должно называться инвариантностью. Эта инвариантность, однако, имеет характер, отличный от уже упомянутой инвариантности, поскольку ее нельзя сформулировать в виде общего принципа. Выяснение того, какие условия влияют на данное явление, а какие нет, составляет существенную часть любого предварительного экспериментального исследования. Выбирать явления, которые зависят от относительно небольшого числа легко реализуемых и воспроизводимых условий, — дело искусства и изобретательности экспериментатора1. В этом смысле тот факт, что Галилей ограничил свои наблюдения относительно тяжелыми телами, было наиболее важным ограничением. Опять-таки справедливо то, что, если бы не было явлений, зависящих только от небольшого контролируемого набора условий, физика была бы невозможна.

Хотя два обстоятельства, которые мы упомянули, весьма существенны с точки зрения философа, более всего удивили Галилея совсем не они, и не они составляют существо открытого им закона природы. Этот закон состоит в утверждении, что длительность падения тяжелого объекта с данной высоты не зависит от размера, материала и формы падающего тела. С точки зрения второго закона Ньютона это сводится к утверждению, что сила тяготения, действующая на падающее тело, пропорциональна массе тела, но не зависит от его размера, состава и формы.

Все, о чем говорилось до сих пор, должно было прежде всего напомнить о том, что вовсе не очевидно, что «законы природы» должны существовать; возможность их существования куда менее очевидна, чем

1 Ср. графические наброски М. Дойча в «Daedalus», 87, 86 (1958). А. Симони обратил мое внимание на нечто подобное у Пирса (С. S. Peirce. Essays in the Philosophy of Science, 1957, стр. 237).

способность человека обнаруживать такие законы1. Автор уже имел случай привлечь внимание к так называемой последовательности слоев «законов природы», причем каждый слой состоит из более общих и всеобъемлющих законов, нежели предыдущий; открытие каждого следующего слоя означает более глубокое проникновение в структуру Вселенной. Однако наиболее значительным утверждением в этой связи является то, что все законы природы даже в самых далеко идущих следствиях содержат лишь небольшую долю того, что содержит в себе неживая природа. Все законы природы являются лишь условными утверждениями [2], позволяющими предсказывать некоторые будущие события на основе знания состояния природы в данный момент, исключая некоторые аспекты этого состояния, пренебрежимые с точки зрения этого предсказания (хотя практически при этом игнорируется подавляющее большинство характеристик подлинного состояния природы). Упомянутое пренебрежение подразумевается в смысле второго пункта обсуждения теоремы Галилея2.

Что же касается объяснения современного состояния природы, т. е. самого существования Земли, на которой мы живем и на которой были проведены опыты Галилея, а также существования Солнца и всего того, что нас окружает, то в этом случае законы природы безмолвствуют. Это их «молчание» согласуется, во-первых, с тем, что законы природы можно использовать для предсказания будущего только в исключительных обстоятельствах, когда известны все существенные характеристики современного состояния мира. Также согласуется с этим «молчанием» и тот факт, что устройства, действие которых мы можем предвидеть, — это самое блестящее достижение физики. В этих устройствах физик создает условия, где все существенные координаты известны. Именно поэтому поведение устройства можно предсказывать. Таковы, например, радары и ядерные реакторы.

Главная цель этих рассуждений — подчеркнуть, что все законы природы — это весьма условные утверждения, имеющие поэтому отношение лишь к весьма малой части того, из чего состоит природа. Так, классическая механика — наиболее известный образец физической теории — позволяет определить вторые производные от координат всех тел (ускорения), если известны положения (координаты) и импульсы этих тел. Классическая механика не дает никакой информации о существовании этих тел, их расположении и скоростях в начальный момент. Строго говоря, следовало бы упомянуть о сделанном около тридцати лет назад открытии3, что даже эти условные (упомянутые выше) утверждения не могут быть абсолютно точными: условные утверждения являются лишь вероятностными законами, которые позволяют нам заключать лишь мысленные пари относительно будущих свойств неживой природы на основе знания «начального» состояния. Эти законы запрещают не только категорические утверждения о будущем, но даже и категорические утверждения о начальных условиях, т. е. о современном состоянии мира. И даже машины проявляют свойства, обусловленные вероятностной природой законов природы; это особенно легко показать в случае ядерного реактора, работающего в режиме очень малой мощности. Впрочем, дополнительные ограничения, налагаемые на законы природы (см., например [1], их вероятностной природой, не играют никакой роли в нашей дальнейшей дискуссии.

1 Э. Шредингер в книге «Что такое жизнь с точки зрения физики?» говорит, что сущность этой способности человека вообще лежит, возможно, за пределами человеческого понимания (М., Изд-во иностр. лит., 1947, стр. 50).

2 Автор убежден, что нет необходимости специально упоминать о том, что теорема Галилея, сформулированная в тексте, не исчерпывает сути его открытия законов падения тел.

3 Квантовой механики. — Прим. перев.

Роль математики в физических теориях

Освежив в памяти сущность математики и физики, нам уже легче выяснить роль математики в физике.

Вполне естественно, что мы пользуемся математикой в «повседневной» физике для количественной оценки эффектов, обусловленных законами природы: математика позволяет применять эти условные утверждения к данным конкретным условиям, которые оказались определяющими или просто заинтересовали нас. Сама возможность таких оценок подразумевает, что законы природы должны быть уже сформулированы на математическом языке. Впрочем, наиболее важная роль математики в физике состоит не в оценке следствий уже установленных теорий. Математика, точнее, прикладная математика, в этой роли совсем не определяет физическую ситуацию, здесь она выступает лишь в роли инструмента.

Но математика может занимать в физике куда более определяющее положение. Уже в наших замечаниях о роли прикладной математики подразумевалось, что законы природы должны быть уже сформулированы на математическом языке, иначе они не были бы вообще объектами прикладной математики. Утверждение, что законы природы пишутся на языке математики, было ясно сформулировано уже лет триста назад, по-видимому, Галилеем1. Теперь это еще более справедливо, чем когда-либо раньше. Для того чтобы продемонстрировать важность математических понятий для построения законов физики, напомним в качестве примера аксиомы квантовой механики, явно сформулированные великим математиком фон Нейманом и неявно великим физиком Дираком [4], [5]. Два понятия в квантовой механике являются основными: состояния и наблюдаемые. Состояния представляются векторами в гильбертовом пространстве, а наблюдаемые — самосопряженными операторами, действующими на эти векторы. Возможные значения наблюдаемых — это собственные значения операторов, но нам лучше здесь остановиться: мы рискуем углубиться в перечисление математических понятий теории линейных операторов.

Конечно, физикам приходится отбирать определенные математические понятия для формулировки законов природы, ибо в физике может быть использована лишь часть известных математических понятий. Верно также, что эти понятия не отбирались физиками произвольно из понятий, введенных математиками; во многих случаях, если не в большинстве из них, эти понятия были разработаны физиками независимо, и лишь впоследствии оказывалось, что математики уже давно ввели эти понятия. Однако совсем неверно, хотя это часто и утверждают, что это случается из-за того, что математики всегда используют наиболее простые возможные представления, которые неизбежно появляются в любом формальном описании. Как мы уже замечали, свои понятия математики выбирают не из-за их простоты — даже последовательности пар чисел далеки от того, чтобы быть простейшими, — а из-за удобства манипулирования с ними [3], четкости и ясности аргументации на языке этих понятий. Не стоит забывать, что гильбертово пространство квантовой механики является комплексным гильбертовым пространством, скалярное произведение в котором эрмитово. Неискушенному уму комплексные числа не покажутся естественными или простыми, а результаты физических наблюдений сами по себе не могут содержать комплексные числа. Более

1 Еще Пифагор утверждал, что природа устроена по математическим законам: «Все вещи суть числа» (ср. В. Гейзенберг. Физика и философия. М., Изд-во иностр. лит., 1963, стр. 48—50 и др.; Философский словарь. (Перевод с немецкого). М., Изд-во иностр. лит., 1961, стр. 448—449; Б. Рассел. История западной философии, гл. III. М., Изд-во иностр. лит., 1959. — Прим. перев.

того, использование комплексных чисел в квантовой механике не является вычислительным трюком прикладной математики; они входят в самую суть формулировки основных законов квантовой механики. Наконец, в последнее время стало ясно, что не только комплексным числам, но и так называемым аналитическим функциям суждено играть решающую роль в формулировке квантовой теории. Я имею в виду быстро развивающуюся теорию дисперсионных соотношений.

Трудно отделаться от впечатления, что чудо1, представшее перед нами, не менее поразительно, чем то, что разум человека смог связать воедино и без противоречий тысячи аргументов. Это чудо можно сравнить еще с двумя чудесами: существованием законов природы и способностью человеческого мышления раскрывать их. Наиболее правдоподобным объяснением независимого формирования математических понятий в физике, как мне кажется, служит утверждение Эйнштейна, что единственным критерием для принятия физических теорий должна быть их красота2. Математические понятия, которые стимулируют мысль, бесспорно, обладают красотой. Однако высказывание Эйнштейна в лучшем случае относится к характеру теорий, в которые мы хотим верить, но не имеет отношения к точности, присущей той или иной теории. Поэтому мы займемся именно последним вопросом.

Так ли уж удивителен успех физических теорий?

Возможное объяснение того факта, что физики используют математику для формулировки законов природы, состоит в том, что физики — довольно безответственные люди. Именно поэтому, когда физик обнаруживает взаимосвязь между двумя физическими величинами, которая напоминает связь, хорошо известную из математики, он немедленно приходит к заключению, что найденная им связь тождественна связи, рассмотренной в математике, просто потому, что он не знает никакой другой. Цель приведенного рассуждения состоит отнюдь не в том, чтобы опровергнуть обвинение физиков в известной безответственности. Не исключено, что это обвинение и справедливо. Тем не менее важно подчеркнуть, что математическая формулировка результатов наблюдений физика, часто довольно грубых, приводит в неправдоподобно многочисленных случаях к удивительно точному описанию большого класса явлений. Это обстоятельство показывает, что математический язык следует рассматривать как нечто большее, чем просто язык, на котором мы должны говорить; оно показывает, что математика на самом деле является правильным (подходящим) языком. Рассмотрим несколько примеров.

Первый из них — это часто приводимый случай движения планет. Законы движения падающих тел были довольно хорошо подтверждены опытами, выполненными главным образом в Италии. Эти опыты были в современном понимании не очень точными: частично из-за влияния сопротивления воздуха, частично из-за невозможности измерять в ту эпоху достаточно малые интервалы времени. Тем не менее не вызывает никакого удивления тот факт, что в результате этих исследований итальянский естествоиспытатель выяснил, что движутся тела в атмосфере. И только

1 «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм, причем определенные аспекты реальности как будто бы в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм» (Н. Бурбаки). — Прим. перев.

2 Ср. с мнением П. А. М. Дирака в его статье «Эволюция физической картины природы», опубликованной в майском номере «Scientific American», 1960 (сокращенный перевод см. в сб.: «Над чем думают физики», вып. 3. Элементарные частицы. М., «Наука», 1965). — Прим. перев.

Ньютон связал закон свободного падения объектов на Земле с движением Луны, заметив, что параболическая траектория камня, брошенного на Земле, и круговая орбита Луны на небе — частные случаи одного и того же математического образа — эллипса. На основе одиночного численного совпадения, установленного в то время весьма приближенно, Ньютон постулировал закон всемирного тяготения. С философской точки зрения закон тяготения, как он был сформулирован Ньютоном, не соответствовал ни тому времени, ни самому Ньютону. С эмпирической точки зрения этот закон был основан на очень ненадежных результатах наблюдения. Математический язык, при помощи которого закон был сформулирован, содержал понятие второй производной. Но те из нас, кто пытался хоть раз в жизни построить соприкасающуюся окружность к некоторой кривой, хорошо знают, что вторая производная — отнюдь не примитивное понятие. Закон тяготения, очень ненадежно установленный Ньютоном (он мог быть проверен Ньютоном на опыте с точностью около 4%), оказался правильным с погрешностью менее одной десятитысячной процента и почти что воплотил в себе идею абсолютной точности, так что лишь в самое последнее время физики пытаются новыми средствами выяснить границы применимости этого закона1. Безусловно, пример с законом Ньютона, на который не перестают ссылаться, должен стоять первым в списке фундаментальных законов, сформулированных, с точки зрения математика, наиболее просто и оказавшихся по своей точности превосходящими всякие разумные ожидания. Повторим наше утверждение в связи с этим примером. Во-первых, этот закон — поскольку в нем появляется вторая производная — прост лишь для математика, но не для здравого смысла и даже не для первокурсника, у которого нет математического склада мышления; во-вторых, он представляет собой условный закон с очень ограниченной областью применимости. В нем не содержится никакого объяснения притяжения камней к Земле, которое наблюдал Галилей, ни причин того, что орбита Луны круговая, а не иная, ни причин, по которым Солнце имеет планеты. Объяснение этих начальных условий оставлено геологам и астрономам, у которых осталось, над чем поломать голову.

Вторым примером является обычная, элементарная квантовая механика. Начало ей положил Макс Борн, заметив, что некоторые вычислительные приемы Гейзенберга формально совпадают с правилами матричного исчисления, давно известными математикам. Тогда Борн, Иордан и Гейзенберг предложили заменить значения координат и импульсов классической механики матрицами. Пользуясь правилами матричной механики, они решили несколько в высшей степени идеализированных задач, и их результаты оказались вполне удовлетворительными. Однако в то время нельзя было привести никаких разумных аргументов в пользу того, что разработанная ими матричная механика может оказаться корректной и в более реалистических условиях. Они писали в то время так: «Если бы предложенная здесь механика оказалась правильной в своих существенных чертах, то...». Фактически первым применением их механики к реальной задаче — атому водорода была, спустя несколько месяцев, работа Паули. И это приложение дало результат, согласующийся с опытом. Это было неплохо, но все это еще можно было понять, поскольку правила вычисления Гейзенберга были непосредственным обобщением правил старой теории водородного атома. Чудо произошло лишь тогда, когда матричная механика или математически эквивалентная ей теория (Шредингера) была применена к задачам, для которых вычислительные правила Гейзенберга не имели смысла. Правила Гейзенберга предполагали существование решений классических уравнений движения, обладающих определенными свойствами периодичности; однако эти уравнения движения для двух электронов в атоме гелия и тем более для большего числа электронов в более тяжелых атомах попросту не обладают такими

1 См., например; R. H. Dicke. «American Scientist», 25 (1959).

свойствами, и правила Гейзенберга к этим случаям не применимы. Тем не менее расчет низшего (основного) уровня гелия, выполненный несколько месяцев спустя Киношитой и Бейсли, согласовался с экспериментальными данными в пределах погрешности наблюдений, которая составляет менее одной десятимиллионной. В этом случае мы воистину «извлекли из этих уравнений нечто такое», чего мы в них «не закладывали».

Это же оказалось справедливым для качественных характеристик «сложных спектров», т. е. спектров более тяжелых атомов. Мне вспоминается разговор с Йорданом, сказавшим мне в то время, когда эти качественные характеристики спектров были получены, что отличие правил, полученных из квантовой теории, от эмпирических было бы последним шансом внести изменения в структуру матричной механики. Иными словами, Иордан чувствовал, что, если бы мы неожиданно получили несогласие теории атома гелия с опытом, мы оказались бы по крайней мере на время совершенно бессильными. Теория атома гелия была в то время разработана Келлнером и Хиллераасом. Математический аппарат их теории был достаточно четким и не подлежал изменению; поэтому не произойди упомянутое чудо с гелием, физика оказалась бы перед лицом кризиса. Разумеется, тем или иным путем физика преодолела бы этот кризис. С другой стороны, ясно, что физика, как она предстает перед нами сегодня, была бы невозможна без непрерывного повторения чудес, подобных чуду с гелием, — наиболее поразительному чуду в истории развития элементарной квантовой механики, но, бесспорно, не единственному. Список таких чудес при желании можно было бы продолжить, но нам нужно двигаться дальше. Заметим, впрочем, что квантовая механика не раз достигала почти столь же поразительного триумфа, и это убедило нас в том, что она, как принято говорить, корректна.

В качестве последнего примера напомним квантовую электродинамику — теорию лэмбовского сдвига. В то время как ньютоновская теория тяготения еще имела очевидную связь с опытом, при формулировке матричной квантовой механики опыт был использован лишь в «очищенной», или сублимированной, форме рецептов Гейзенберга. Квантовая теория лэмбовского сдвига, придуманная Бете и разработанная Швингером, была чисто математической теорией, и единственным вкладом эксперимента была проверка существования измеримого эффекта. Согласие с расчетом оказалось лучше одной тысячной.

Предыдущие три примера, число которых можно было бы продолжать почти до бесконечности, должны были продемонстрировать эффективность и точность математической формулировки законов природы на языке таких понятий, с которыми удобно проводить различные манипуляции; при этом законы природы, как оказывается, обладают почти фантастической точностью, хотя и в узко ограниченном диапазоне условий. Я предлагаю называть закономерность, которую иллюстрируют эти примеры, эмпирическим законом эпистемологии (т. е. науки об основах теории познания). Этот закон вместе с принципами инвариантности представляет собой неотъемлемую часть теоретической физики. Без законов инвариантности утверждения теоретической физики не могли бы служить основой для объяснения явлений; но если бы не был верен закон эмпирической эпистемологии, то у нас просто не хватило бы духу совершать открытия, т. е. не было бы достаточных эмоциональных стимулов для успешного изучения законов природы. Д-р Р. Г. Сакс, с которым я обсуждал эмпирический закон эпистемологии, назвал этот закон догматом веры физиков-теоретиков. Это так и есть на самом деле1. Этот догмат веры, однако, хорошо подкрепляется примерами из практики, куда более многочисленными, чем те три примера, о которых шла речь выше.

1 В этом месте идеи Вигнера в особенности перекликаются с идеями Эддингтона (A. Eddington. Philosophy of Physical Sciences. Cambridge, Univ. Press, 1939 или Ann. Arbor, 1959).

О единственности теории в физике

Эмпирическая природа предыдущих заключений представляется мне очевидной. Они, несомненно, не являются «логически неизбежными», и нет никакой необходимости для доказательства этого ссылаться на их применимость только к весьма незначительной части нашего знания неживого мира. Но было бы абсурдным верить в очевидность того, что существует математически простое выражение для второй производной от координаты, поскольку не существует простых выражений для самой координаты и скорости. Тем более удивительна готовность верить в чудесный дар, содержащийся в эмпирическом законе эпистемологии. Ведь способность человеческого разума «нанизывать» одно за другим 1000 умозаключений и не запутываться в противоречиях, о чем я говорил выше, — столь же чудесный дар.

Каждый эмпирический закон обладает беспокоящим свойством неизвестности границ его применимости. Мы видели, что в окружающем нас мире существуют закономерности событий, которые можно с непостижимой точностью сформулировать на языке математических понятий. С другой стороны, существуют такие аспекты природы, относительно которых мы не допускаем существования строгих закономерностей. Мы называем эти аспекты начальными условиями. Но тогда возникает вопрос: не сольются ли эти различные закономерности, т. е. различные (в том числе и еще не открытые) законы природы, в нечто единое целое или по крайней мере асимптоматически будут приближаться к такому слиянию? Альтернативной возможностью является то, что найдутся такие законы природы, которые не имеют ничего общего с другими. Сейчас это справедливо, например, применительно к взаимоотношению законов наследственности и законов физики. Более того, не исключено, что некоторый законы природы будут приводить к противоречивым утверждениям, хотя каждый из них будет вполне справедлив внутри своей ограниченной области применимости. Мы не можем примириться с таким положением дел: иначе наш интерес к разрешению конфликта между теориями может просто угаснуть. Мы можем тогда утратить интерес к «конечной истине», т. е. к картине, которая явилась бы гармоничным слиянием многочисленных картинок, отображающих различные аспекты природы, в нечто целое.

Быть может, полезно проиллюстрировать на примере эти возможности. Сейчас мы имеем в физике две теории поразительной мощи и захватывающего интереса: теорию квантовых явлений и теорию относительности. Эти теории уходят своими корнями в две группы явлений, не имеющих между собой никакой связи. Теория относительности применима к макроскопическим телам, например к звездам. Событие, состоящее в совпадении, т. е. в конечном счете в столкновении, является элементарным событием теории относительности, оно определяет точку в пространстве — времени либо по крайней мере определяло бы такую точку, если бы сталкивающиеся частицы были бесконечно малыми. Квантовая теория вытекает из явлений микроскопического мира, и с ее точки зрения совпадение или столкновение, даже если оно происходит между частицами точечными, не является элементарным событием и не очень точно локализовано в пространстве — времени. Эти две теории оперируют с различными математическими понятиями — с четырехмерным римановым пространством и с бесконечномерным гильбертовым пространством соответственно. Пока эти две теории не удалось объединить, т. е. не существует такой математической формулировки теории, по отношению к которой обе эти теории являются приближенными. Все физики верят в принципиальную возможность объединения этих двух теорий и в то, что мы рано или поздно придем к этому. Тем не менее вполне возможно себе представить, что никакого объединения этих двух теорий найдено не будет. Приведенный пример иллюстрирует две возможности, о которых шла речь выше: слияния и неразрешимого противо-

речия; мыслимы оба варианта. Чтобы получить хотя бы намек на то, какую из этих двух возможностей мы должны ожидать в конечном итоге, можно попробовать отказаться от некоторой небольшой части нынешних знаний и мысленно перенестись на более низкий уровень знания. Если мы обнаружим при этом слияние наших теорий на более низком уровне развития науки, то можно с некоторой уверенностью ожидать, что и на нашем реальном уровне знаний наступит также слияние физических теорий. Если же этот прием приведет нас к взаимно противоречивым теориям, то нельзя ручаться за невозможность устойчивого сохранения противоречивых теорий. Уровень знаний и степень нашего интеллектуального развития изменяются непрерывно, и едва ли относительно малая вариация этих непрерывных переменных может изменить возможную картину мира от несогласованной к гармоничной1.

Этим рассуждениям противоречит тот факт, что некоторые теории, ошибочность которых нам уже известна, дают удивительно точные предсказания. Знай мы немного меньше, множество явлений, которые объясняются этими «ложными» теориями, казалось бы нам достаточно большим для «подтверждения» таких теорий. Однако эти теории оказываются для нас «ложными» только потому, что окончательный анализ показывает их несовместимость с более всеобъемлющей (экспериментальной) картиной мира. К тому же, если существует достаточно много таких «ложных» теорий, то в конце концов должна быть обнаружена их взаимная противоречивость. Аналогично вполне возможно, что теории, которые мы считаем «доказанными» численными опытными проверками, достаточно многочисленными, с нашей точки зрения, все-таки ложны, ибо противоречат более общей теории, которой пока еще у нас нет. Если бы это было верно, то мы должны были бы ожидать противоречия между нашими теориями, когда число их начинает превосходить определенный предел и когда они начинают захватывать достаточно обширный круг явлений. Совсем наперекор догмату веры физика-теоретика, о котором шла речь выше, это обстоятельство не может не вызывать у физика «бредовый кошмар».

Рассмотрим несколько примеров «ложных» теорий, которые дают пугающе (в силу их ложности) точное описание некоторых групп явлений. Если не быть излишне строгим, можно забыть некоторые экспериментальные частности, связанные с предлагаемыми примерами. Успех первой примитивной теории атома Бора был довольно ограничен; то же самое можно сказать и о птолемеевых эпициклах. Теперь мы находимся в лучшем положении и имеем возможность получить точное описание всех явлений, которые могли описываться уже этими примитивными теориями. Но это уже совсем несправедливо для так называемой теории свободных электронов, которая дает загадочно точное описание многих, если не большинства, свойств металлов, полупроводников и изоляторов. Она объясняет, в частности, тот факт (который никогда не удавалось понять на основе «настоящей теории»), что изоляторы обнаруживают удельное электрическое сопротивление, иногда в 1026 раз превосходящее сопротивление металлов. Фактически нельзя найти каких-либо опытных опровержений того, что сопротивление изоляторов в некоторых условиях бесконечно, как это предсказывается теорией свободных электронов. Тем не менее мы убеждены, что теория свободных элек-

1 Последний абзац был автором написан после больших колебаний. Автор убежден во всяком случае в том, что для дискуссии об эпистемологии он полезен; следует отказаться от идеализированного представления о том, что уровень развития человеческого разума особенно высок но абсолютной шкале. В некоторых случаях может оказаться даже полезным рассматривать достижения, которые оказались бы возможными на интеллектуальном уровне других видов животных. Однако автор понимает, что эти идеи лишь вскользь упомянуты, и поэтому их едва ли можно подвергать серьезному критическому обсуждению.

тронов представляет собою лишь грубое приближение, которое рано или поздно будет заменено на более подходящий способ описания явлений в твердом теле.

Достигнутые нами успехи позволяют сказать, что положение с теорией свободных электронов тревожное, однако оно вряд ли свидетельствует о непреодолимых противоречиях современных представлений. И все же теория свободных электронов внушает нам сомнения относительно того, должны ли мы безоговорочно принимать численное согласие между теорией и экспериментом как доказательство корректности теории. Мы уже привыкли к таким сомнениям1.

Гораздо больше трудностей и сомнений возникло бы, если бы нам удалось в один прекрасный день разработать теорию сознания, или теоретическую биологию, с той же последовательностью и убедительностью, какой обладают наши теории неживой природы. Менделевские законы наследственности и развитие генетики могут оказаться предвестниками такой биологической теории. Более того, вполне возможно, что удастся найти достаточно абстрактный аргумент, который укажет на существование противоречия между такой теорией и известными принципами физики. Аргумент этот может оказаться столь абстрактным, что будет невозможно разрешить упомянутое противоречие в пользу той или иной теории даже экспериментально. В такой ситуации наша вера в наши теории была бы сильно подорвана; возникло бы сомнение в реалистичности принимаемых нами понятий. Тогда мы испытали бы глубокое чувство крушения в наших попытках найти то, что я называю «конечной истиной». Довод в пользу принципиальной допустимости такой ситуации сводится к тому, что мы не знаем, почему так хорошо работают наши теории. Ибо их точность не может служить доказательством ни их истинности, ни взаимной согласованности. Автор данной статьи убежден в том, что ситуация, аналогичная этой, имеет место при сопоставлении современных законов наследственности и физики.

Позвольте мне все же закончить более оптимистически. Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны [4]. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас и в будущих исследованиях и что он будет — хорошо это или плохо — развиваться к нашему большому удовлетворению, а быть может, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1. E. Schrödinger. Ober Indeterminismus in der Physik. J. A. Barth, Leipzig, 1932; W. Dubislav. Naturphilosophie. Junker und Dünnhaupt. Berlin, 1933, Teil 4.

2. E. P. Wigner. Invariance in Physical Theory. Proc. American Philos. Soc. 93, 521 (1949).

3. E. P. Wigner. The Limits of Science. Proc. Amer. Philos. Soc. 94, 422 (1950); H. Margenau. The Nature of Physical Realitv. McGraw-Hill, N. Y., 1950, Ch. 8.

4. П. А. М. Дирак. Принципы квантовой механики. М., Физматгиз, 1960. (пер. 4-го изд.).

5. И. фон Нейман. Математические основы квантовой механики. М., «Наука», 1964.

6. М. Born, P. Jordan. Über der Quantum Mechanik. Zs. Phys. 34, 858 (1925);

M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan. Ober der Quantum Mechanik (Teil 2). Zs Phys. 35, 557 (1926) (см. особенно стр. 558).

1 Л. Д. Ландау однажды очень четко сказал: «По принципу Бора согласие теории с экспериментом само по себе ничего не означает». — Прим. перев.

М. Л. КАРТРАЙТ

Математика и математическое мышление

Этот год1 застал меня в Отделении прикладной математики Броунского университета. Конечно, и сегодня не каждый университет или колледж располагает специальным отделом прикладной математики. Около тридцати лет назад в Кембридже (Англия) меня причисляли к чистым математикам, а те, кто занимался прикладными вопросами, предпочитали называть себя физиками-теоретиками. Более того, однажды я слышала, как геофизик, имевший математическое образование, говорил, что термин «прикладная математика» носит оскорбительный оттенок, обозначая занятие, слишком низкое для настоящего математика и в то же время не имеющее отношения к каким-либо физическим проблемам. Все это заставило меня задуматься над тем, где же проходит граница между собственно математикой и прикладной математикой не только в смысле приложений более или менее традиционного типа в физике, но и в смысле приложений в статистике, экономике и технике.

Хорошо известно, что многие наиболее абстрактные проблемы математики через теорию рядов Фурье ведут свое начало от изучения колебаний струны, или через теории иррациональных чисел восходят к греческой геометрии или же к египетским методам измерения прямых углов. Однако в последние 100 или 150 лет «чистые» математики изучают проблемы этой науки, уже не размышляя о колеблющихся струнах. С другой стороны, многие важные разделы современной математики были созданы специально для прикладного использования.

Так, совершенно бесспорно, что такое происхождение имеют работы Ньютона в области математического анализа, а также теория вероятностей; то же самое можно сказать об исследовании операций и теории управления. При попытке различать чистую математику от прикладной возникают два вопроса: является ли истинное математическое исследование абстрактным и должно ли оно быть лишенным всякого прикладного значения? Является ли оно более математическим, если оно более абстрактно, и имеет целью решение лишь собственных проблем математики?

Если мы углубимся в изучение зачатков математического мышления у детей или у народов, стоящих на ранних

1 Статья помещена в январском номере 1970 г. «Американского математического ежемесячника» и представляет собой изложение лекции, прочитанной 30 января 1969 г. — Прим. перев.

ступенях развития, то получим множество подтверждений того, что абстрагирование приходит к человеку не сразу и многие овладевают им лишь в весьма ограниченной степени. Ряд выдающихся исследователей считали, что мышление начинается тогда, когда в сознании сформировывается идея действий, операций. Согласно Пиаже, средний ребенок к двухлетнему возрасту уже представляет себе свои будущие действия до того, как совершит их, если только эти действия не сложны и освоены ребенком. Но для того чтобы усвоить абстрактные математические понятия, такие, как натуральные числа 1, 2, 3, ребенку необходимо отвлечься от восприятия окружающего мира и от своих действий, а это — долгий и постепенный процесс. Много работ Пиаже и Инельдер посвятили изучению пространственного восприятия ребенка, например, его способности различать разные типы фигур, такие, как окружность, квадрат и окружность с маленькой окружностью внутри или вне ее. Их исследования пролили свет на развитие у маленьких детей численных, пространственных и физических понятий самого простого рода, однако мне представляется сомнительным, что исследованные ими способности всегда имеют отношение к математическому мышлению. Птенцы дроздов раскрывают рты при виде вырезанного из черного картона круга с двумя приделанным к нему маленькими кругами, но только в том случае, если выдержано определенное соотношение между размерами кругов. Это указывает на то, что способность различать геометрические формы может иметь психологическую основу.

Г. Франкфорт и Г. А. Франкфорт в своей работе о мифе и реальности отмечают, что древний человек умел рассуждать о причинах явлений, но находил причины совсем не там, где находим их мы. Он искал персонифицированную причину, спрашивал «кто?» и не мог достаточно далеко отойти от чувственно воспринимаемой реальности. Если река не разливалась, значит она «отказывалась» разливаться, и река или боги намеревались таким способом возвестить свою волю людям. Как и мы, древний человек широко использовал символы, но в его представлении символы хотя и обозначали богов и стихии (не будучи им тождественны), однако связь и различия между символами и богами он воспринимал точно так же, как связь и различие между двумя схожими предметами. Таким образом, для него отождествление символа и обозначаемого им объекта имело ту же основу, что подстановка одного объекта вместо другого, на него похожего.

Франкфорт затем приводит пример такого отождествления: древние египтяне, совершая торжественный ритуал, разбивали глиняный сосуд с начертанными на нем именами

враждебных племен, веря, что уничтожение имен нанесет реальный ущерб тем, кого они обозначают. Может показаться, что это слишком отдалено от современной математики, но Бохнер подметил сходство между математикой и мифом; он заменил в некоторых предложениях Франкфорта мифологические понятия математическими. Я не хочу заходить так далеко, чтобы, подобно Бохнеру, отождествлять словесный миф с математикой и таким способом доказывать, будто математика выходит за рамки строгого рассуждения и стремится преподнести свои истины в определенном свете. Тем не менее в ритуале можно найти два фундаментальных свойства математики: замену предметов символами и замену операций над предметами операциями над символами. Символика и обозначения (нотация) составляют существенную часть математики, и я убеждена, что развитие и стандартизация удобных обозначений чрезвычайно важны для математики.

Если мы подойдем к проблеме с другой стороны, то встретимся с иного рода трудностями — отделения математики от ее приложений. Некоторые «чистые» математики, видимо, могли размышлять над предметами своих исследований, представляя их себе в виде идеализированных физических и геометрических понятий. Мой покойный учитель Г. Х. Харди относился к прикладной математике весьма неодобрительно, но в сноске к статье, написанной им совместно с Дж. Литлвудом и напечатанной в Швеции, он указывал, что некоторые математические идеи постигаются с большой легкостью, если подойти к ним с точки зрения игры в крикет. Норберт Винер переводил проблемы математики на язык броуновского движения, но я полагаю, что его мышление при этом оставалось совершенно абстрактным, хотя я не могу с уверенностью утверждать, чтобы он это сам говорил. Адамар описал, как он наглядно представляет доказательство теоремы о существовании простого числа, превосходящего 11. Он воображал себе множество простых чисел от 2 до 11, то есть 2, 3, 5, 7, 11, в виде некоей бесформенной массы. Произведение 2×3×5×7×1и поскольку N велико, он видел его как точку, отстоящую довольно далеко от этой массы. Прибавление к N единицы приводило к возникновению в его воображении новой точки, расположенной чуть дальше первоначальной. Число N+1, если оно не является простым, делится на некоторое простое число, превосходящее 11; Адамар представлял это себе как появление пятна между массой и первой точкой. Мне такое мышление представляется как своего рода математическое сокращение, которое должно переводиться обратно на язык чисел перед тем как результат сообщается кому-либо.

Как я уже сказала, до последнего времени меня причис-

ляли к «чистым» математикам, но мы с профессором Дж. Литлвудом немало работали над проблемами обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих в радиотехнике. Литлвуд занимался исследованиями во многих направлениях «чистой» математики, но во время первой мировой войны он разрабатывал также теорию стрельбы зенитных орудий и поэтому переводил наши проблемы из области радиотехники на язык механики и называл решения наших уравнений «траекториями», как будто бы это были траектории снарядов, вылетающих из зенитных орудий. В радиотехнике существует понятие колебаний с отрицательным затуханием. Мы имели дело с периодическими траекториями, возрастающими и снова убывающими, и я убеждена, что аналогия Литлвуда была в этом случае вполне точной, хотя иногда возникала некоторая неясность аргументации, наподобие той, которая содержалась в описанном ранее представлении Адамара. Значительное число людей, использующих сложный аппарат математики, в частности физики и инженеры, всегда или почти всегда думают над проблемами, обращаясь к физическим представлениям. Инженеры часто консультировали меня по различным радиотехническим проблемам, теории управления, теории колебаний, теории длинных линий и т. д., и они всегда давали очень мало пояснений к уравнениям. Мне приходилось задавать им массу вопросов, прежде чем они «выкладывали» мне все, что имеет отношение к математической проблеме. Казалось, им очень трудно мыслить в абстрактных математических терминах; символы, видимо, означали для них токи, константы цепей, реактивные сопротивления, индуктивности и другие чисто инженерные понятия. Это важно в двух смыслах. Инженеры довольно легко могут проверять правильность выкладок, поскольку они всегда видят за формулами действие физических систем. С другой стороны, они испытывают затруднения, когда нужно математические операции, используемые в одной области, перенести в другую область, даже знакомую им. Несколько лет назад на технической конференции меня попросили рассказать о теории устойчивости Ляпунова. Я описала основные принципы этой теории настолько просто, насколько это можно было сделать. После меня профессор Паркс прочел лекцию о приложениях метода Ляпунова. И большинство присутствующих заметило потом, что наши выступления нужно было переставить местами, так как все было бы им намного понятней, если бы они сразу знали, что я рассказываю о фазовой плоскости. Возможно, что тут частично играет роль привычная терминология, знакомые обозначения, но мне думается, что инженеры могут наиболее успешно работать в математике, если они мыслят при этом в терминах своих специальных про-

блем. Метод Ляпунова возник главным образом из техники управления, что видно хотя бы из принятой в нем терминологии, но чтобы была разработана его математическая часть и могла быть применена к другим сферам, ей необходимо придать абстрактную форму. Проблемы обыкновенных дифференциальных уравнений возникли в связи с астрономией, радиотехникой, баллистикой, теорией управления, теорией колебаний и теорией механизмов; каждая из этих областей имеет свою специфику, и теория часто развивалась в конкретной логической форме много лет, прежде чем превратилась в общую теорию дифференциальных уравнений и стала частью математики. В моем представлении человек, формулирующий задачу на языке уравнений и стремящийся найти ее решение, мыслит математически, но математиком он становится лишь тогда, когда начинает оперировать символами. Заметьте, что я говорю «решение задачи», а не «решение уравнения», потому что если даже он думает, что решает уравнение, все же на самом деле он пытается найти ответ на более общий вопрос. Его интересует, существуют ли периодические решения, устойчиво ли решение, сохранится ли устойчивость при изменении определенного параметра, станет ли при этом период длиннее или короче. Чтобы найти решение, он может воспользоваться литературой или разобраться во всем самостоятельно. Он может также прибегнуть к помощи математика [1]. Но что касается меня, то, хотя я участвовала в разработке общей теории и решила некоторые теоретические проблемы, я не уверена, что смогла бы решать конкретные задачи, возникающие в области практики. Вскоре после того как мы с Литлвудом начали совместную работу над этой проблемой, стало ясно, что индивидуальные различия электронных ламп столь велики, что нет никакого смысла применять строгий математический расчет, а гораздо проще провести эксперимент и получить нужные данные [2]. В прежние времена человек, формулировавший проблему физики или другой естественной науки на языке математики, как правило, не вносил никакого вклада в «чистую» математику, хотя интересные чисто математические работы, скажем, по теории матриц можно было встретить не в математических журналах, а в журналах, посвященных вычислительным прикладным проблемам экономики.

Подытоживая сказанное, я хочу подчеркнуть, что не вижу четкой границы между математическим мышлением и мышлением конкретными образами и считаю, что многие важные области математики, например анализ, обязаны своим развитием именно конкретному методу мышления, связанному с реальным физическим миром. Возрастание абстрактности не всегда улучшает математику. Вавилонские учителя давали своим ученикам огромные списки ис-

кусственных, лишенных всякого содержания формул (до 200 на таблице) для упрощения умственных операций. Для учебников эти формулы были вершиной абстрактности, поскольку было совершенно неважно, складываются ли люди или дни. В наше время это выглядело бы как абстракция в своем худшем виде, но в древности, конечно, это был шаг вперед. Прежде чем создать эти сложные упражнения, вавилоняне должны были долгое время развивать арифметику в прикладных целях — для чисто практических потребностей и для астрономии.

Теперь обратимся к тем, кто создавал математику ради математики. Нам следует начать с Индуса, который около 1200 г. до н. э. писал: «Как гребешки на головах павлинов, как драгоценные камни на уборе змей, так над всеми науками Веданги возвышается ганита, математика». Ганита — буквально означает искусство вычисления; она состояла из арифметических действий на пальцах, устных арифметических действий и высшей арифметики вообще. Первоначально ганита включала в себя и астрономию, но геометрия в нее не входила. Разделы математики, находившиеся на одну ступеньку выше, назывались «пыльной работой», так как при их изучении чертили на земле или на посыпанной песком доске. Индийцы создали так называемую арабскую нумерацию и значительно раньше других получили важные результаты в алгебре.

Многие считают, что математику для математики первыми начали развивать древние греки и что они первыми осознали необходимость доказательства. Слово «матема» первоначально означало «знание», «наука», но потом приобрело более узкий смысл. Пифагор включал в математику геометрию, теорию чисел, сферику (или сферическую тригонометрию, используемую в астрономии) и музыку. Греки разделяли числа не только на четные и нечетные, но и на четно-четные, 2m; четно-нечетные, 2(2n+1); нечетно-четные, 2m+1 (2n + 1), а также доказывали, что простых чисел имеется бесконечно много. Я сомневаюсь, что они умели вычислять так же хорошо, как древние вавилоняне, поскольку вычисления, вероятно, не очень их привлекали; кроме того, у них не было такой побудительной причины к развитию техники вычислений, как управление большим государством. Мне кажется, что я должна также упомянуть о трудностях, связанных с отсутствием удобной символики. Сэр Томас Хис писал об арифметике Никомаха следующее: «Если удалить словесную часть, то математическое содержание может быть выражено очень кратко». Но Хис пользовался современными обозначениями и арабской нумерацией. В «Осах» Аристофана один из персонажей просит отца подсчитать какую-то сумму «не на камушках, а на пальцах». Геродот пишет, что,

производя вычисления на камушках, греки перекладывали их слева направо, а египтяне — справа налево. Таким образом, перед вычислителем образовывались вертикальные ряды.

Греки также развили теорию геометрии, которая сохранила свое значение в течение почти 2000 лет и которая представляла собой первую строго развитую логическую систему в математике. В III в. н. э. неизвестный автор шутливо относил к ней слова Гомера:

Малой она родилась, но, взрослея, росла с каждым часом,

Ныне, идя по земле, сотрясает вокруг целый мир.

Это означает, говорит Лаодакийский епископ Анатолий, цитируя эти строки, что математики начали с точки и линии, а пришли к таким вещам, которые управляют поднебесным миром. Но если такова была точка зрения древних греков в эпоху поздней античности, то можно ли говорить, что их геометрия была не по-настоящему абстрактной и что символы, обозначавшие у них точку и линию, лишь частично отражали абстрактные понятия точки и линии?

Смысл геометрической, или, говоря более общо, пространственной, концепции в математике остается для меня не совсем ясным. За последнее время все типы геометрий были поставлены на аналитическую основу и тем самым освобождены от логических трудностей, возникающих, например, у школьного учителя, доказывающего теорему о конгруентности треугольников совмещением одного треугольника с другим. Я поэтому спрашиваю себя: действительно ли геометрия и пространственная концепция составляют часть основ математики или же они относятся к приложениям, подобно земной и небесной механике или теории вероятностей? Причиной традиционного особого положения геометрии может быть то, что символы в ней не просто сами по себе обозначают объекты (абстрактные точка, линия, треугольник представляются соответственно точкой же, линией, треугольником), но более того, если речь идет о планиметрии, то они могут быть изображены на плоской поверхности карандашом, ручкой или начертаны на земле или на песке. Когда начала развиваться древнегреческая геометрия, не существовало удобных обозначений для чисел, и даже в XV столетии решение кубического уравнения описывалось в геометрических терминах и пояснялось рисунком из-за отсутствия алгебраических обозначений. В механике сравнительно наглядные реальные объекты невозможно было использовать непосредственно для пояснения теории; для описания результатов здесь были необходимы символы и рисунки. Но если задать вопрос, возрос ли со времен древних греков вклад пространственных представлений в современную математику по сравнению с вкладом других идей,

взятых из реальной жизни, то ответить на него очень трудно. Пространственное мышление привело к высокоабстрактной теории иррациональных чисел, созданной Кантором и Дедекиндом, и пронизывает математическую мысль почти во всех ее областях; теоретическая физика вызвала к жизни анализ (не без помощи геометрии), а теория вероятностей и математическая статистика основываются на многочисленных проблемах практики.

Пфейффер хорошо пояснил ситуацию, относящуюся к теории вероятностей. Основные его тезисы таковы: теория вероятностей развивалась, с одной стороны, благодаря блестящим интуитивным открытиям, а с другой стороны, благодаря нелепостям и противоречиям. Пока не заложен фундамент теории, математик не может обдумывать ее, направляя свою мысль лишь законами логики.

Я слышала от многих, что квантовая теория пока еще не достигла этой стадии, но, конечно, я недостаточно компетентна в этой области, чтобы делать суждения о ней.

Пфейффер говорит далее, что, хотя для создания удовлетворительной теории требуется длительное экспериментирование, нам теперь нет надобности повторять все те блуждения, которые предшествовали созданию адекватной математической модели. Мы имеем теперь математическую структуру, отношения элементов которой соответствуют определенным отношениям реальных объектов. Как только такая модель создана, изучена и усовершенствована, обычный человек может легко за весьма короткое время понять такие вещи, которые потребовали десятилетий напряженных умственных усилий гениев. Замечу, что Пфейффер утверждает следующее: наиболее эффективная современная математическая модель теории вероятностей характеризуется высокой абстрактностью.

Дж. Уиллард Гиббс писал: «Одна из главных целей теоретического исследования в любой области знания состоит в том, чтобы найти точку зрения, с которой предмет представляется наиболее простым». По мнению Бушоу, одно из наиболее важных отличий современной математики состоит в том, что математика берет старые математические идеи, разбирает их как часы, изучает части отдельно, затем соединяет в новых интересных комбинациях и смотрит, что может при этом получиться. Я уверена, что этот процесс чрезвычайно помогает упрощать теорию и тем самым служит превращению ее в более эффективный инструмент исследования практических проблем. Цитируя Гиббса, Мандельбройт добавляет: «Интегрирование в функциональных пространствах распространяет эту точку зрения на все новые и новые области знания и дает не только новый подход к проблемам, но и новые способы размышления над этими проблемами».

Можно упомянуть еще Фреше, основоположника теории абстрактных пространств, который в предисловии к своей книге приводит выдержку из изданного в 1971 году Адамаром обзора по функциональному анализу: «Функциональный континуум не является примером простой идеи для нашего воображения. Геометрическая интуиция ничего не говорит нам о нем априори. Мы вынуждены преодолевать здесь свое невежество и можем сделать это только аналитически, создавая раздел теории множеств, посвященный функциональному континууму». В другом месте Адамар писал, что вариационное исчисление есть не что иное, как первая глава функционального анализа; о своих же работах в области вариационного исчисления, гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных и в некоторых других областях он говорил, что созданием их он в значительной степени обязан контактам с физиком Дюгемом — работам Дюгема по гидродинамике, теории упругости и акустике и многочисленным беседам с ним, имевшим место в Бордо. Таким образом, перед нами здесь полный цикл, ведущий от физических основ через вариационное исчисление к функциональному анализу и абстрактным пространствам, а оттуда — к многочисленным приложениям, подготовленным процессом алгебраизации геометрических идей и соединения их вместе в наиболее абстрактном новом направлении теории функциональных пространств.

Дальнейшее видоизменение этой тенденции определилось в последние годы, и состоит оно в использовании вспомогательных графических и механических моделей, позволяющих сделать математическую модель наглядной, хорошо запоминающейся и более легкой для дальнейшего изучения. Наглядность образов Адамара, крикетная игра Харди и траектория Литлвуда могут также рассматриваться как примеры таких вспомогательных моделей. Но более универсальное значение имеют аналоговые компьютеры с электронными устройствами для моделирования процессов, например, поведения жидкостей, или того, что описывается в математической модели. Итак, мы имеем следующее:

(А). Мир реальных явлений, известный нам благодаря опыту.

(Б). Абстрактный мир математической модели, использующей символы, чтобы представить соотношения и факты с предельной строгостью и лаконичностью.

(В). Вспомогательную модель.

Переход от А к Б есть представление явлений реального мира в математических терминах; переход от Б к А есть дедуктивная интерпретация этих математических представлений. И то и другое я рассматриваю как математическое мышление, но математика есть только дедукция внутри Б.

Можно также мыслить математически, переходя от Б к В, то есть осуществляя вторичную интерпретацию, а затем переходить обратно к Б, подтверждая некоторые свойства математической модели, или от В прямо к А.

Как указывает Пфейффер, ценность как математической, так и вспомогательной моделей зависит от того, насколько успешно свойства модели могут быть соотнесены с реальной ситуацией. Модели не могут быть использованы для доказательства каких-либо свойств реального мира, хотя изучение их может помочь нам в исследовании явлений реального мира. Модель не может быть истинной или ложной, она может быть пригодной или непригодной. Она не удовлетворяет нас, если (1) решения, даваемые моделью, не поддаются реальной интерпретации (например, возникают произвольно большие значения величин или произвольно малое различие между величинами) или если (2) модель неполна или противоречива, так что в ней возникают математические парадоксы. Многие модели до удивления хороши. Карл Пирсон писал: «Математика, оперируя со строчками своих символов, имея дело с формальными истинами, тем не менее, может получить бесконечно важные результаты, относящиеся к описанию физической Вселенной».

Еще сто лет назад ученые и математики знали понемногу обо всем, и каждый, кто в достаточной степени владел математикой — я особенно отнесла бы это к Ньютону, — мог сформулировать реальную проблему математически. Но и сегодня, в эпоху специализации, естествоиспытатели, экономисты или техники, соприкасающиеся с реальным миром, должны уметь переходить от А к Б. Сэр Сирил Хиншелвуд, бывший президент Королевского Общества, сказал: «Ученые должны знать математику как родной язык. Для ученого очень важно, хотя это и трудно, овладеть искусством, формулировать проблемы в терминах математики. Прежде чем делать это, следует обдумать проблему с большой аккуратностью и тщательностью. Нужна большая практика, чтобы пользоваться языком математики. Не обязательно быть специалистом по дифференциальным уравнениям, вы можете пойти на консультацию к такому специалисту. Но вы не должны надеяться, что математик переведет вашу проблему на математический язык. Необходимо с ранних лет развивать умение мыслить о реальных вещах, применяя математическую символику». Далее он развивает параллель между изучением французского языка в детском возрасте и обучением ребенка формулировать физические идеи на языке математики на том уровне, когда и физические и математические познания его еще достаточно просты. Ребенок при этом постепенно привыкает к такому представлению. Хотя Хиншелвуд, так же как и я, проповедует, чтобы уче-

ные сами формулировали свои проблемы в математической форме, он, видимо, подразумевает при этом неполную абстракцию. Математические символы у него все еще представляют физические понятия, им соответствующие, то есть не то, что относится к «чистой» математике. Однако, как ясно из замечания Мандельбройта о функциональных пространствах и из высказывания Адамара по поводу функционального континуума, без полной абстракции, осуществляемой некоторыми математиками, мы лишились бы некоторых наиболее выразительных средств математического языка, используемого учеными.

□ Уже после того как я прочла эту лекцию, мне встретился следующий отрывок из «Размышлений об истории математики» А. Робинсона:

«Геометрия Евклида считалась наукой, имеющей дело с реальными объектами — неважно, физического или идеального мира. Определения, которыми предваряются несколько книг «Начал», имеют целью показать читателю, с какими объектами он будет иметь дело, даже если эти определения потом оказываются неиспользованными, как знаменитые определения точки и линии. Фундаментальное значение неевклидовой геометрии состоит в том, что, отбрасывая аксиому о параллельных линиях, она отрицает единственность трактовки геометрических понятий, а значит и их реальность. К концу девятнадцатого столетия прежние интерпретации основных понятий геометрии стали уже непригодными. Это тем более важно, что геометрия долгое время считалась основой математики. Однако независимое развитие оснований арифметики, связанное с попытками преодоления сложностей в анализе, в какой-то мере может, по-видимому, лишить геометрию ее высокого положения».

Хотя в основном сказанное здесь согласуется с моей точкой зрения на евклидову геометрию, А. Робинсон, как мне кажется, не признает геометрического происхождения теории иррациональных чисел.

Я обнаружила также следующее высказывание Аабое в «Эпизодах из ранней истории математики»: «Даже беспрерывно повторяемое утверждение, что египтяне знали прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, не имеет никаких документальных подтверждений и было выдумано около 80 лет назад».

Перевод с английского В. Н. Тростникова

ЛИТЕРАТУРА

1. S. Bochner. The role of mathematics in the rise of science. Princeton, 1966.

2. D. Bushaw. Elements of General Topology, Wiley, New York, 1963.

3. B. Datta and A. N. Singh. A History of Hindu Mathematics. Lahore, 1935.

4. H. and H. A. Frankfort. The intellectual adventures of ancient man. Chicago, 1946.

5. T. L. Heath. A history of Greek mathematics. Vol. 2, Oxford, 1921.

6. S. Mande1broit. Les tauberiens généraux de Norbert Wiener. Bull. Amer. Math. Soc, 72 (1966), 48—51.

7. O. Neugebauer. The exact sciences in antiquity. Acta. Hist, Sci. Nat Medicinalium, Copenhagen, 9 (1951).

8. P. E. Pfeiffer. Concepts of Probability Theory. McGraw-Hill, New York, 1965.

9. J. Piaget, B. Innhelder, and A. Sjeminska. A child's conception of geometry. Trans, by E. A. Lunzer. Basic Books, New York, 1960.

10. N. Tinbergen. The Herring Gull's World. Basic Books, New York, 1961.

Вместо послесловия

ПРИМЕЧАНИЯ СОСТАВИТЕЛЯ

К статье М. Стоуна

[1] М. Стоун систематически подчеркивает не только свое внутреннее удовлетворение от сознания того, что его результаты находят использование в вопросах естествознания или же в иных областях практики, но и значение практики для развития математики. Это роднит его взгляды с нашими. Однако следует подчеркнуть, что его взгляды ограничены, и ему неизвестны ленинские концепции в теории познания.

[2] Читателю ясно, что силлогизм, которому М. Стоун придает столь большое значение, представляет собой либо недоразумение, либо он дан в столь неопределенной форме, что ему можно придать любое смысловое значение. Хорошо известно, что рассуждения присущи не только математике и не только естественным наукам. Людям приходится рассуждать, делая при этом строгие логические заключения, при определении медицинского диагноза, в политике, при поиске неисправности в сложной технической системе и т. д. Без рассуждений не может быть какого бы то ни было общего знания. Считать, что с рассуждением связано только математическое знание,—по меньшей мере наивно. Ведь часто рассуждают — и притом логически полноценно — и при рассмотрении обычных житейских ситуацией, которые не имеют никакого отношения ни к математике, ни к каким-либо другим областям науки.

Точку зрения диалектического материализма на процесс познания ярко выразил В. И. Ленин следующими словами: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» (Полн. собр. соч., т. 29, стр. 152—153).

[3] Автор правильно подчеркивает возрастание роли математики в совершенствовании наших знаний. Процесс математизации знаний вызывается глубокими и важными закономерностями общественного развития, в силу которых, раз начавшись, он уже не может закончиться. Развитие массового производства неизбежно приводит к необходимости поиска оптимального расходования материалов, машинного времени, людского труда, максимального сокращения транспортных расходов. До тех пор пока все эти задачи не получат точную математическую формулировку, не может быть и речи о разыскании оптимального решения. Исследование космоса, начатое нашей страной, не может быть осуществлено без широкого привлечения математических методов, без предварительного расчета

возможных вариантов, их сравнения и выбора оптимального в том или ином смысле. Проникновение в мир атома также требует непременного использования математических методов. На очереди стоят многочисленные новые задачи в самых различных областях человеческой деятельности, нуждающиеся в использовании математического аппарата и привлечении математического метода рассуждений. Но расширение поля применений математики неизбежно влечет за собой появление новых задач, а вместе с ними необходимость создания новых методов исследования. М. Стоун безусловно прав, когда высказывает уверенность в том, что математизация науки «неизбежно будет вызывать и стимулировать прогресс самой математики». В сущности, эту мысль отстаивал всей своей научной деятельностью П. Л. Чебышев, высказавший еще в 1856 году следующую мысль: «Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитии ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике» (П. Л. Чебышев. Полн. собр. соч., т. V. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1951, стр. 150).

[4] Нет нужды опровергать здесь тезис М. Стоуна о математике, «являющейся чистым и свободным творением разума», поскольку в советской литературе этому уделено достаточное внимание. Однако следует высказать полное согласие с другим его тезисом о нецелесообразности применения к математике чисто утилитарной мерки, поскольку это «может привести только к катастрофе: это вызвало бы иссушение источников современного математического познания и, в конце концов, затормозило бы деятельность в области прикладной математики». Диалектический материализм подчеркивает важность развития теоретического, абстрактного мышления. В частности, в приведенной цитате В. И. Ленина теоретическому этапу развития науки отводится важное и почетное место.

[5] Автор многократно повторяет идеалистический тезис о свободе математики от физической необходимости. Материалистическое понимание процесса развития математики, формирования ее понятий можно найти в превосходной статье А. Н. Колмогорова «Математика» (БСЭ, т. 26, изд. 2-е), а также в небольшой статье Б. В. Гнеденко «Об образовании математических понятий». (В кн.: Математика в современном мире. М.» «Знание», 1969. Серия «Математика, кибернетика», № 9).

М. Стоун чувствует неудачность приведенных им формулировок я позднее сам говорит о том, что математика «продолжает черпать вдохновение у оракула природы и по-прежнему всегда сознает роль, которую она играет ...для понимания мира, в котором мы живем». Далее он говорит о заинтересованности математики в поддержании контактов с физикой, поскольку при этом возникают новые для математики задачи, «интересные сами по себе». Здесь автор подходит к точкам зрения советских математиков, воспитанных на философии диалектического материализма.

[6] Трудно согласиться с этим утверждением М. Стоуна, поскольку во многих странах преподавание математики в средней школе грешит как раз обратным: не дает учащимся представления об истинной роли математического метода в современной жизни, а стремится излагать начала с сугубо абстрактных позиций, не связывая понятия и результаты с явлениями окружающего нас мира.

К статье Е. Вигнера

[1] К шутливым определениям философии и математики не следует относиться всерьез. Автор их привел, по-видимому, лишь для красного словца и для того, чтобы можно было начать изложение более серьезных точек зрения. Впрочем, эти точки зрения не так новы и сводятся к утверждению, что математик придумывает вводимые им научные понятия по своему желанию, основываясь лишь на чувстве формальной красоты. В действительности, научные понятия таким путем не возникают и в этом отношении математика не является исключением. Введе-

нию нового понятия предшествует длительный процесс наблюдений и сопоставлений, выявления тех свойств, которыми обладают ранее введенные понятия данной области исследований и в какой мере предлагаемое новое понятие охватывает ранее изучавшиеся объекты исследования. Остроумие математика проявляется не в том, чтобы придумать что-то такое, чего раньше не было, а в том, чтобы ввести в рассмотрение то, что действительно необходимо для развития науки. Ведь если бы понятия математики придумывались лишь для доказательства поразительного остроумия и изобретательности создателя и никак не были бы связаны с тем, что уже изучала наука раньше, то наука прекратила бы свое существование. И это случилось бы хотя бы потому, что математики перестали бы понимать друг друга и была бы не одна математика, а столько математик (и даже больше), сколько существует математиков.

[2] Утверждение автора о том, что «все законы природы являются лишь условными утверждениями...», требует некоторого дополнительного обсуждения. Нет сомнений в том, что на каждом этапе познания нам удается узнать лишь часть первопричин и последствий вечно движущейся и развивающейся природы. Явления природы исключительно сложны, и для того чтобы приблизиться к пониманию присущих им закономерностей, мы вынуждены упрощать явления, отбрасывать многие свойственные им особенности и в этой упрощенной модели находить присущие ей закономерности. В этом смысле познаваемые нами закономерности природы условны. Об этом прекрасно сказано В. И. Лениным (Полн. собр. соч., т. 29, стр. 163—164). Но модели явлений природы создаются не по нашему произволу, а на основе того, что мы наблюдаем. Вот почему В. И. Ленин имел возможность сказать, что «...человеческое мышление по природе своей способно давать и дает нам абсолютную истину, которая складывается из суммы относительных истин. Каждая ступень в развитии науки прибавляет новые зерна в эту сумму абсолютной истины...» (Полн. собр. соч., т. 18, стр. 137).

[3] Представление о том, что «свои понятия математики выбирают не из-за их простоты.., а из-за удобства манипулирования с ними» по меньшей мере наивны. Несомненно, что простота понятий и удобство манипулирования с ними являются существенными обстоятельствами и, конечно, из нескольких понятий, способных достаточно хорошо описать интересующий нас круг явлений, мы выберем то, которое проще, доступнее и удобнее для рассуждений и выкладок. Но если простота понятия и удобство манипулирования с ним не позволяют нам описывать основные характерные свойства явления, которое мы изучаем, то мы готовы поступиться и простотой понятия, и удобством манипулирования с ним. В науке сохраняются лишь те понятия, которые позволяют достаточно адекватно описывать изучаемые нами явления.

[4] Два высказывания Вигнера не хотелось бы обойти молчанием. Во-первых, это почти заключительные его слова о «чудесной загадке соответствия математического языка законам физики, являющегося чудесным даром, которого мы не в состоянии понять...». Во-вторых, его слова, которыми он кончает вводную часть статьи: «...невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому нет».

Все разговоры о «чудесном даре» и мистике должны быть признаны либо недоразумением, либо заблуждением. В действительности математика является не даром свыше, а результатом длительной напряженной работы человечества. Понятия и методы математики создавались (и создаются) и совершенствовались (и продолжают совершенствоваться) под благотворным воздействием практики. Для каждой ступени познания удовлетворительно действуют какой-то математический аппарат исследования и какие-то понятия для описания изучаемых явлений. Но как эти понятия, так и математический аппарат имеют лишь ограниченное поле действия. Нередко переход на новую ступень нашего знания с очевидностью показывает нам недостаточность использованных ранее математических средств, Они ока-

вываются неприспособленными для более детального, полного и разностороннего описания. Появляется необходимость в создании нового математического аппарата, способного дать более точное описание, более точное знание предмета исследования. И такой аппарат создается — создается под влиянием заказа естествознания. Постепенно он оттачивается и дает поразительные совпадения математической теории с результатами наблюдений. Но проходит какой-то срок и человечество в своем стремлении к познанию природы делает новый шаг. Прежнее описание интересующего нас явления оказывается слишком грубым и недостаточным, столь же грубой и недостаточной оказывается и ранее существовавшая математическая теория его. Вновь наука оказывается в состоянии напряженного поиска понятий и математических средств для описания этого явления на новом этапе нашего познания.

В результате естествознание (а также любая другая дисциплина) использует не какую-то сложившуюся и закостенелую математику, а математику, вечно развивающуюся, вечно обновляющуюся и приспосабливающуюся к потребностям достигнутой ступени знания и очередным его задачам.

Как ни чудесен аппарат арифметики и как он ни любим многими, он неспособен описать все разнообразие явлений природы, производственных и экономических процессов. Требуется создавать новые математические средства, способные удовлетворительно описывать и прогнозировать течение процессов. История математики убедительно показывает, что она шла именно этим путем и именно на этом пути накопила «мистическую» способность с невероятной точностью и эффективностью описывать течение разнообразных явлений и процессов.

К статье Мэри Картрайт

[1] М. Картрайт затрагивает очень важный вопрос современности — об особенностях математического мышления. Теперь в связи с математизацией знаний и практической деятельности особое внимание следует обратить на процесс обучения и воспитания у молодого поколения тех принципов, которые потребуются его представителям в будущей жизни, в практической работе. В наши дни все большее число педагогов и практических работников приходят к мысли, что математическое образование должно развивать строгое логическое мышление, прививать привычку к выяснению тех предпосылок, на базе которых проводится рассуждение, и строгому следованию этим предпосылкам. Очень важно одновременное развитие представлений об опытном происхождении математических понятий и знаний. М. Картрайт воспитывалась не в обстановке идей диалектического материализма, но легко усмотреть из статьи, что она разделяет основной принцип советского образования, который можно изложить следующими словами В. И. Ленина: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике» (Полн. собр. соч., т. 29, стр. 152—153). Она отмечает, что понятия математики возникали из практических потребностей людей, и одновременно подчеркивает то обстоятельство, что она и профессор Литлвуд исследовали вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений исходя из некоторых запросов радиотехники.

[2] Здесь следовало бы добавить слова: «или отказаться от классического детерминистского подхода и обратиться к теоретико-вероятностным концепциям».

9 коп.

Индекс 70096

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»

МОСКВА 1971