М. В. ПОТОЦКИЙ

ЧТО ИЗУЧАЕТСЯ В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

М. В. ПОТОЦКИЙ

ЧТО ИЗУЧАЕТСЯ В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ИЗДАТЕЛЬСТВО „ПРОСВЕЩЕНИЕ“ МОСКВА-1965

Рукопись рекомендована к изданию Ученой комиссией по математике ГУВУЗа Министерства просвещения РСФСР.

ОТ АВТОРА

Основная цель этой брошюры состоит в том, чтобы с самого начала изучения курса математического анализа учащийся ясно видел перед собой план курса, его цели и задачи и отчетливо понимал, что и почему он будет в нем изучать и что этот курс даст ему как учителю средней школы.

Думаю, что эта брошюра окажется полезной и студентам технических и других вузов, где изучается математика, школьникам старших классов и всем тем, кто, не будучи знаком с высшей математикой, хотел бы узнать, что изучает эта наука.

Автор искренне благодарен рецензентам рукописи доценту А. Я. Маргулису и доценту Н. Н. Шоластеру, сделавшим ряд ценных замечаний, а также рецензентам доценту И. П. Макарову (Рязань) и Т. К. Шабашову (Ногинск), которые оказали автору большую помощь при окончательной обработке рукописи.

МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ

Для чего существует высшая математика? Зачем она нужна людям? Да и нужна ли она? Нельзя ли обойтись без нее, ограничившись одной элементарной математикой? Оказывается, нельзя.

Основная цель всякой науки — служить людям для улучшения условий жизни человека.

История общества показывает, что наука рождается лишь тогда, когда возникает в ней потребность. И нет ни одной науки, которая возникла бы только потому, что какой-то ученый ее придумал. Впрочем, бывает, что те или иные разделы науки возникают без всяких видимых практических потребностей (например, геометрия Лобачевского). Однако и здесь при ближайшем рассмотрении оказывается, что их появление было обусловлено развитием всей науки в целом, которое в конечном счете обусловлено материальными потребностями общества. Это же относится и к высшей математике. Высшая математика появилась в тот исторический момент, когда она понадобилась людям, когда без нее нельзя было обойтись.

Развитие земледелия и строительного искусства обусловили появление геометрических знаний. Так во время разливов Нила в Египте каждый раз смывались границы между земельными участками. Необходимо было измерять эти участки, чтобы потом вновь распределять землю между ее владельцами. Строительство дамб и бассейнов для воды, пирамид и других сооружений привело к необходимости измерения их объемов и площадей их поверхностей. В результате появилась геометрия, изучавшая простейшие плоские геометрические фигуры и геометрические тела (треугольники, параллелограммы, прямоугольники, трапеции, многоугольники, круг, плоскость, цилиндр, конус, шар). Известные людям свойства этих геометрических образов выражались в раз-

личных формулах* и в теоремах (например, в теореме Пифагора и других)**.

Одновременно с геометрией' возникли арифметика и алгебра , имевшие целью дать правила действий с величинами, которые могли войти в различные расчеты.

Все эти знания и составляли содержание элементарной алгебры и элементарной геометрии, которые мы все изучали в школе.

Самым характерным в элементарной математике было то, что все величины, с которыми в ней велись расчеты, — это всегда были постоянные величины. Одни из этих величин могли быть в задаче известными, а другие — неизвестными. Теперь мы обычно обозначаем известные величины первыми буквами латинского алфавита (a, ft, с,...), a неизвестные — последними (х, у, z,...), но всегда каждая из этих величин имела определенное числовое значение. Вот типичная, хотя и простая, по содержанию задача элементарной геометрии.

Задача. Дана правильная пирамида с квадратным основанием. Известна полная ее поверхность S и апофема h. Найти сторону ее основания (рис 1.).

Решение.

Обозначим сторону квадрата, лежащего в основании, буквой х.

Тогда

Имеем квадратное уравнение:

Решаем его:

Рис. 1

* В то время формулы записывались словами.

** Свод геометрических знаний древнего мира, приведенных в систему, представляют собой «Начала» древнегреческого геометра Евклида (330 г. до н. э.), содержание которых охватывает также и вопросы арифметики.

Мы видим, что в этой задаче все величины, как известные (S, h), так и неизвестные (ле),—постоянные.

Если в древности можно было возводить сооружения, выбирая их размеры на глаз, то с развитием и усложнением техники потребовался предварительный их расчет, чтобы заранее знать, что они будут служить тем целям, для которых предназначены.

Если мы хотим осветить город электричеством, то, прежде чем строить гидроэлектростанцию, мы должны рассчитать, какую мощность она даст, достаточен ли для этого поток воды в реке и т. д. Желая построить дом, мы должны будем рассчитать линейные размеры и сечения балок или железобетонных плит и подобрать такие из них, которые выдержали бы определенную нагрузку. Строя мост, мы заинтересованы в том, чтобы этот мост не обрушился под поездом, который пройдет по нему; чтобы корабль плыл, а не тонул, едва сойдя со стапелей; чтобы самолет поднялся с аэродрома и был устойчив в воздухе; а космическая ракета, приобретя необходимую скорость, вышла на заданную орбиту.

Оказалось, что математика постоянных величин не могла справиться с поставленными перед ней задачами. Чтобы убедиться в этом, достаточно принять во внимание, что, например, работа постоянной силы Р на данном пути S легко находится перемножением: Но работу все время меняющейся силы Р (например, работу поршня паровой машины) на этом же пути S уже нельзя найти простым перемножением Р на S, да и вообще средствами элементарной математики эта задача не решается. Задачи, подобные этой и перечисленным выше, и привели к созданию высшей математики как математики переменных величин. Одним из ее важнейших разделов является математический анализ.

Теперь естественно поставить вопрос: что собой представляет математика переменных величин? Как она решает возникающие перед ней задачи, каковы эти задачи? Все дальнейшее изложение и будет служить ответом на эти вопросы.

физика и философия говорят нам, что все в мире состоит в самом широком смысле слова из движущейся материи.

Мы наблюдаем это, начиная с самых больших объектов мира и кончая элементарными частицами. Движение галактик и звезд в галактиках, движение плазмы в звездных

недрах и элементарных частиц в межзвездной среде, взрывы сверхновых звезд и бушующие протуберанцы на Солнце, движение планет по их орбитам вокруг Солнца и вокруг своей оси, движение атмосферы и гидросферы на планетах, движение молекул и атомов, электронов и элементарных частиц, тепловое движение молекул—всюду в природе мы видим движение материи в различных ее формах.

Любая химическая реакция связана с движением материи. Мы видим движение материи не только в таких его явных формах, о которых здесь шла речь, но и в таких, как рост растения, обусловленный движением соков в его корнях и сосудах и т, д.

Даже рождение мысли в головном мозгу человека обусловлено движением. Оно связано с дыхательными движениями его легких, с током крови в его сосудах, с химическими процессами самого мозга, с электромагнитными явлениями в его клетках.

Но самое важное, что мы должны здесь отметить, это то, что все эти движения не являются «беспричинными» движениями, где каждая частица, каждое тело движется «как попало». Наоборот, все движения—все явления природы выливаются в форму определенных закономерных процессов, где одно явление обусловливает другое, где одно движение совершается в зависимости от другого, где изменение одной величины обусловливает изменение другой.

Эта зависимость между величинами не случайна. Она является характерным свойством природы и находит свое отражение в законах философии диалектического материализма, один из которых говорит, что все явления в природе взаимосвязаны и всякое явление имеет свою причину и свои следствия.

Основной задачей естественных наук и является наблюдение за этими зависимостями, установление закономерностей, существующих между меняющимися при этом величинами, установление их количественного характера и запись количественной стороны этих зависимостей на точном языке математических формул. Подобные расчеты должны служить средством активного вмешательства человека в естественные процессы природы с целью их усовершенствования или перестройки.

Так, математические расчеты позволяют химикам создавать новые сплавы с новыми свойствами, которых до сих

пор в природе не существовало, а инженерам, физикам и астрономам—создавать и запускать с помощью космических ракет искусственные спутники Земли.

Во всех этих расчетах всегда участвуют различные меняющиеся величины, которые в математике называются переменными величинами.

Множество таких зависимостей между переменными величинами уже известно читателю из школьного курса физики. Мы напомним здесь лишь некоторые из них.

Закон свободного падения тел, открытый Галилеем, записывается в механике формулой

где g- = 9,81 м/сек2 — ускорение силы тяжести, 5 — путь, пройденный падающим телом за время t.

Эта формула дает количественную зависимость между значениями переменного времени t

и значениями переменного пути S. График этой зависимости дан на рисунке 2.

Количественная зависимость скорости V движения тела в равноускоренном движении от времени t, в течение которого тело движется, дается формулой:

Здесь t — переменное время, протекшее от начала движения, а — ускорение движения, V0 — начальная скорость движения (скорость V в момент начала движения при / = 0), V — скорость тела в момент времени / (рис. 3). И здесь снова мы видим количественную зависимость между меняющимся временем t и меняющейся в зависимости от него скоростью V. Закон Ньютона

показывает количественную зависимость силы F взаимодействия двух масс тх и т2 от расстояния г между этими массами.

Рис. 2

(f есть коэффициент пропорциональности). Здесь снова изменение г обусловливает изменение силы F. График зависимости изображен на рисунке 4, где сила F быстро убывает с увеличением г. Этот закон определяет движение звезд и планет во вселенной, в частности эллиптическую форму планетных орбит. Причем расстояния планет от Солнца являются переменными величинами. Это обстоятельство обусловливает их переменные скорости, так как планета движется быстрее вблизи Солнца и медленнее вдали от него. Приведенное утверждение служит содержанием одного из законов Кеплера.

Закон Бойля—Мариотта характеризует количественную зависимость давления р газа от занимаемого им объема V при постоянной температуре.

Закон Ома связывает силу тока / с напряжением V в цепи и сопротивлением R в ней:

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

Здесь мы видим пример, где одна переменная величина— сила тока / зависит сразу от двух величин: напряжения V и сопротивления R. Это значит, что, создавая в цепи различные напряжения или сопротивления, мы будем получать в ней различную силу тока. С помощью системы координат на плоскости изобразить эту формулу мы не можем, так как в нее входят три переменные величины, а на плоскости мы можем провести только две координатные оси.

Известно, что с поднятием в верхние слои атмосферы давление воздуха в ней уменьшается. Количественная зависимость между давлением р атмосферы и высотой Л, на которой мы его измеряем, записывается формулой

Здесь k > О — множитель пропорциональности, р0—давление атмосферы при h = О (на уровне моря). Число е есть так называемое неперово число. Оно иррациональное и может быть выражено только приближенно. Мы принимаем обычно 2,718. Итак, эта формула связывает переменные значения высоты h над земной поверхностью с меняющимся на них давлением р.

Не только в явлениях природы мы видим всевозможные переменные величины, движения и процессы. Все, что создано искусственно—руками человека, тоже движется и меняется.

Так, строя плотину на реке, мы используем движение: скорость и силу потока воды для вращения лопаток турбин гидроэлектростанции. Турбина передает вращение на вал генератора. Генератор создает электрический ток (движение электронов!), который обеспечивает работу станков, машин и т. д.

Так же точно процесс горения топлива, т. е. тоже движение материи (в химическом смысле), преобразуется в процесс движения поезда, в работу электростанции и т. д.

И даже такие, казалось бы, предельно неподвижные сооружения, как здания, на самом деле претерпевают в процессе своего существования всевозможные изменения (например, расширение и сжатие при изменениях температуры). Балки и плиты, из которых выполняются потолочные перекрытия, под влиянием нагрузки меняют свои формы: они прогибаются, из прямолинейных и плоских они становятся кривыми. Их частицы сдвигаются друг относи-

тельно друга: одни слои сжимаются, другие растягиваются. Со временем здание стареет, деформируется и постепенно разрушается.

Рассмотренные выше процессы очень сложны и связывают между собой множество самых разнообразных переменных величин. Так, например, зависимость мощности тока электростанции от мощности потока воды в реке или от теплотворной способности топлива (в тепловой электростанции) очень сложная. Здесь надо учитывать множество привходящих факторов: характер всевозможных установок, коэффициент их полезного действия, качество используемых материалов и т. д. Поэтому необходимые здесь расчеты всегда распадаются на множество отдельных расчетов, каждый из которых использует определенные формулы. Последние обычно связывают несколько, а иногда только две или три переменные величины.

Как мы видели выше, зависимости между этими переменными величинами записывают в виде формул. Таковы формулы, употребляемые в физике и характеризующие закон Ома, закон Бойля—Мариотта, закон свободного падения тел и др.

Но теперь нас интересует самое важное: существуют ли и можно ли их назвать и перечислить наиболее важные физические объекты и понятия, самые основные переменные величины и зависимости между ними, самые основные процессы в природе, к которым в конечном счете сводятся или на основе которых возникают все остальные, более сложные?

Что собой представляют на языке математики эти основные процессы?

Каковы те конкретные математические расчеты, которые приходится с ними выполнять? Почему они связаны с переменными величинами?

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРОЦЕССЫ

Мы можем назвать несколько самых основных понятий естествознания (физики, механики, химии и т. д.) и два важнейших процесса, являющихся основой, если не всех, то почти всех понятий и процессов естествознания, к которым сводятся почти все остальные.

Если мы говорили, что все в мире создается в конечном

счете движением материи, то, рассматривая ради упрощения нашей задачи две стороны этого процесса, мы можем говорить о понятиях, связанных с движением (материальной точки), и о понятиях, связанных с материей (веществом).

Начнем с движения.

Всякое движение есть изменение положения частиц движущейся материи с изменением времени. Если речь идет о перемещении в пространстве некоторого определенного элемента материи (молекулы, атома и т. д.), то это перемещение всегда совершается по некоторой линии (траектории).

Простейшее и самое основное понятие, связанное с движением частицы, есть понятие скорости движения. Оно характеризует то, как быстро со временем меняет свое положение в пространстве движущаяся частица.

Проблема определения скорости движущейся частицы и есть одна из самых основных (можно сказать универсальных) проблем движения, с которой в той или иной мере связаны все остальные проблемы движения.

Можно сказать, что эта проблема определения скорости тем самым есть одна из самых основных проблем естествознания вообще. Действительно, все движения характеризуются скоростью. Движется ли планета по своей орбите, бегут ли электроны по проводнику, образуя электрический ток, вытекает ли жидкость из сосуда, движется ли кровь в сосудах человеческого тела, распространяется ли нервное возбуждение по нерву—всюду мы говорим о скорости этого движения. Без знания скорости наше представление об этих процессах не будет сколько-нибудь полным. Так, скорость теплового движения молекул определяет температуру тела, скорость парохода, поезда или самолета, определяет длительность нашего путешествия и т.д.

При этом самым характерным для скорости будет то, что во всех реальных процессах она сама меняется со временем, т. е. скорость есть величина переменная.

Достаточно сказать, что всякое тело, которое от покоя переходит к движению и потом снова останавливается, уже тем самым движется с переменной скоростью, которая меняется от нуля до некоторой определенной величины и затем снова обращается в нуль. Согласно законам Кеплера Земля движется по своей орбите неравномерно, а именно быстрее вблизи Солнца и ее движение замедляется с уда-

лением от него. Снаряд, сначала покоившийся в стволе орудия (его скорость равна нулю), вылетает из его дула с определенной скоростью. Потом эта скорость уменьшается и в момент удара о препятствие (если снаряд не взорвался) снова обращается в нуль. Скорость вытекания жидкости из сосуда зависит от уровня жидкости в нем. Чем этот уровень становится ниже, тем меньше становится и скорость ее истечения.

Нам надо уметь вычислять величину переменной скорости в любой момент движения частицы или тела.

Действительно, для составления астрономических таблиц, определяющих положение планет на их орбите в разные моменты времени (это нужно для целей морской и воздушной навигации), приходится учитывать их переменные скорости на орбитах.

Любая точка любого механизма, описывающая определенную траекторию, движется по ней обычно с переменной скоростью. Эти скорости необходимо учитывать не только для характеристики работы механизма, но и для расчета механизма на прочность, так как скорости различных движущихся частей (маховиков и других) определяют центробежные силы инерции, стремящиеся разрушить механизм и т. д.

Напомним, что в школьном курсе физики мы имели дело с переменной скоростью главным образом в случае свободного падения тел.

Мы знаем, что изменение скорости обусловливает появление новой характеристики движения — ускорения.

Любые изменения скоростей и направлений движений осуществляются посредством сил. Сила определяется через ускорение по формуле:

т.е. сила равна произведению массы на ускорение. Итак, ускорение является характеристикой и показателем действия силы. Понятия силы и ускорения важны и потому, что только наличие сил и ускорений обеспечивает разнообразный и сложный характер движения материальных частиц, существование всевозможных процессов, обусловливающих развитие природы и жизнь в ней.

Именно поэтому понятие ускорения мы также должны отнести к самым основным понятиям естествознания.

Теперь перед нами снова возникает задача—уметь вычислять ускорения, поскольку все расчеты, связанные с рабо-

той сил, мощностью и т. д., связаны с действием силы на данном пути, за данный промежуток времени, т.е. с ускорениями.

С другой стороны, во всяком движении участвует некоторое количество материи, некоторое количество вещества, и нам приходится подсчитывать это количество вещества, кратко говоря, его массу.

Остановимся на том, как выполняется и к чему сводится этот подсчет. Особенность его состоит в том, что форма того объема, в котором заключена масса, может быть весьма сложной, и сама эта масса может быть распределена по этому объему неравномерно. Ее распространение в нем может определяться различными сложными закономерностями.

Предположим сначала для простоты, что масса тела распределена по объему равномерно. Это значит, что если тело представляет собой проволочку, пластинку или занимает объем какой-то другой формы, то, найдя длину проволочки, площадь пластинки, или объем тела и умножив их на массу единицы (длины, площади или объема) тела, мы найдем всю массу тела. В этом случае определение массы сводится к определению длины проволочки, площади пластинки или объема тела, в котором эта масса заключена. Напомним, что из школьного курса геометрии мы умеем вычислять только длины отрезков прямых и дуг окружностей, площади многоугольников, круга и его частей, а объемы— призм, пирамид, цилиндров, конусов и шара.

Но нам могут встретиться линии и тела любой сложной и неправильной формы. Например, эллипс, эллипсоид, параболоид и др. (рис. 7).

Итак, в случае равномерного распределения массы в теле определение этой массы зависит лишь от определения объемов тел различной формы.

Трудности определения массы тела возрастают, если масса распределена в теле неравномерно. Именно этот случай чаще всего встречается на практике.

В этом случае даже если бы мы умели вычислять

Рис, 7.

объемы тел, то и это мало облегчило бы положение, так как для вычисления массы в данном объеме мы не можем теперь умножить количество массы, находящееся, например, в одном кубическом сантиметре тела, на объем тела, выраженный в кубических сантиметрах. В этом случае для подсчета массы нам придется учитывать переменную плотность вещества.

Следовательно, понятие плотности вещества мы должны причислить к важнейшим понятиям естествознания.

Итак, мы познакомились с важнейшими и основными понятиями естествознания. Ими будут: время, длина пройденного пути, траектория движущейся частицы, скорость, ускорение, плотность, масса.

Теперь мы должны ответить на вопросы: как и чем эти величины задаются? Как их вычислять? Как они используются в расчетах?

ЛИНИЯ И ЕЕ УРАВНЕНИЕ

Мы уже говорили, что все движущиеся тела описывают во время своего движения некоторые траектории, т. е. линии.

Планета движется вокруг Солнца по эллипсу, камень, брошенный под углом к горизонту, летит по параболе, космическая ракета описывает сложную линию во время своего полета. Проволока между телеграфными столбами провисает по некоторой линии, которая называется цепной. Точки любого движущегося механизма описывают различные траектории и т. д.

Все расчеты, связанные в практике с использованием этих линий, требуют от нас того, чтобы мы как-то умели включить эти линии в расчеты. Дело в том, что только одна окружность определяется сравнительно просто как геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной точки на данное постоянное расстояние (радиус). Но уже другие линии, например цепная, определяются сложнее.

Но как вести расчеты с такими линиями, определенными более сложными условиями, чем, например, окружность? А с этими линиями подчас приходится решать различные задачи, требующие расчетов и иногда весьма сложных. Вот, например, одна из таких задач.

«Сколько метров провода потребуется для линии элек-

тропередачи длиной в 200 км, если учесть, что между каждыми двумя столбами провод провисает по цепной линии?» (Провод не может иметь прямолинейной формы, так как, во-первых, он всегда провисает под влиянием собственного веса, а во-вторых, он не может быть туго натянутым между опорами, так так изменения температуры заставляют его то удлиняться, то укорачиваться).

Подобный этому вопрос возникает при расчетах балок в потолочных перекрытиях: как численно охарактеризовать линию, по которой прогнется балка, чтобы заранее рассчитать ее прогиб?

Итак, перед нами стоит основной вопрос, как можно так охарактеризовать линию, так задать ее, чтобы с ней можно было вести всевозможные расчеты?

Оказывается, почти все, что нужно для этого, у нас уже есть, все это нам уж ивзестно из элементарной математики.

Так, мы знаем, что графиком прямой пропорциональности, который можем построить по уравнению у= kx, связывающему две переменные величины х и у, где k — множитель пропорциональности, будет прямая линия, проходящая через начало координат, причем тангенсом угла а ее наклона к оси ОХ будет коэффициент k (рис. 8).

Действительно, из треугольника О AM, построенного для любой точки M нашей прямой, где OA = х, AM = у, имеем:

Нам известно, что графиком обратной пропорциональности

является гипербола (рис. 9).

График уравнения у = ах2 (рис. 10) можно построить с помощью таблицы, считая, например, а = 2.

Рис. 8

Построенная кривая называется параболой. Эта кривая определяет, например, функциональную зависимость площади S круга от его радиуса г:

если считать, что здесь у = S, х = г, а = тт.

Заметим, что иногда зависимость между переменными величинами х и у записывают в общем виде:

Здесь запись у = f(x) означает, что справа стоит «какая-то функция от х». В наших примерах это были:

Итак, мы видим, что по заданному уравнению у = f(x), связывающему х и у, мы можем построить его график.

Но, оказывается, мы можем решить и обратную задачу: составить уравнение линии. Ведь уравнение определяет некоторую линию, которую мы по нему можем построить. Но каждая такая линия обладает определенными свойствами и можно сказать, что эти свойства заключены, т.е. записаны уже в уравнении этой линии, поскольку она строится по этому уравнению. Следовательно, зная свойства линии, мы можем их записать в виде уравнения линии, а по уравнению мы сумеем построить и самое линию.

Рис. 9 Рис. 10

Вот простейший пример, показывающий, как составляются такие уравнения.

Пример. Требуется найти линию, которая состоит из точек, каждая из которых находится втрое ближе к оси OY, чем к оси ОХ (рис. 11).

По условию задачи имеем: МХМ = ЗМ2М. Из чертежа видно, что для точки M имеем:

М2М = х, МХМ = у. Следовательно, имеем уравнение: у = 3х.

Полученное уравнение определяет прямую линию. Ее можно построить по двум точкам по таблице:

Итак, по свойствам линии мы составили здесь ее уравнение, а по уравнению построили самое линию как график этого уравнения.

Вот еще один, уже несколько более сложный пример из механики: «Найти траекторию точки, которая во время своего движения в любой момент времени одинаково удалена от данной точки и от данной прямой.»

По свойствам траектории, которые были сформулированы выше, мы: 1) составим уравнение этой траектории и 2) по уравнению построим и самое траекторию.

Для этого введем систему координат XOY (рис.. 12) и примем ось ОХ за ту прямую, о которой говорится в зада-

Рис. 11

че, а заданную точку поместим на оси OY в точке F с координатами F (0,2). (Координата 2 выбрана для простоты вычислений.)

Запишем теперь алгебраически то свойство, которое характеризует траекторию нашей подвижной точки M (х, у). Оно будет записываться так:

МгМ = MF. (1)

Но МХМ есть расстояние движущейся точки M от неподвижной прямой ОХ. Оно равно у. Итак, имеем:

МХМ = у.

Расстояние MF есть расстояние M от неподвижной точки F. Его мы найдем из треугольника MF А. Имеем:

Итак, имеем:

Из уравнения (1), найдем:

Это уравнение определяет искомую траекторию. Упростим его:

Это уравнение и будет уравнением нашей траектории. Построим его график по точкам. Составим таблицу.

Полученная нами кривая (рис. 13) есть по существу та же самая парабола, что и кривая чертежа 10 (которую мы строили по уравнению у = 2л:2), только здесь коэффициент

Рис. 12

при X2 не 2, а — и кривая сдвинута на 1 вверх вдоль оси OY.

Нетрудно проверить, что, находясь на полученной кривой, точка M всегда одинаково удалена от оси ОХ и от точки F. Например, находясь в точке M (0, 1), мы имеем:

Для точки М' (х = 3) имеем:

Таким образом снова имеем:

Итак, в этой задаче мы с самого начала ничего не могли сказать о траектории подвижной точки M и, лишь составив уравнение траектории и построив по нему самое линию, мы могли определить ее вид.

Важно отметить, что уравнение, по которому строится линия, в алгебраической записи содержит все свойства линии. Более того, чертеж линии может быть неточен, уравнение же всегда точно передает все свойства линии. Поэтому обычно предпочтительно задавать линию уравнением, а не чертежом.

Таким образом, можно сказать, что все закономерности и явления природы, связанные с линиями, записываются с помощью уравнений этих линий. Эти уравнения служат как бы «представителями» линий во всех теоретических исследованиях. В частности, благодаря уравнениям, линии «входят» во все инженерные расчеты.

Заметим, что в рассмотренном выше примере уравнение траектории подвижной точки M находилось сравнительно

Рис. 13

легко, так как сама траектория точки определялась чисто геометрическими условиями.

Если бы мы поставили себе задачу, о которой говорили выше, «Найти линию, по которой провисает провод между двумя столбами», или, как говорят математики, «Найти линию, по которой провисает тяжелая (т. е. весомая) нить, подвешенная в двух точках» (рис. 14), то ее решение заключалось бы в следующем. Введя систему координат XOY и записав с помощью формул, что нить весомая и что каждый ее кусочек удерживается в равновесии воздействием соседних ее кусочков, мы, исходя из этих физических условий, получили бы уравнение нити в виде:

где а — численный коэффициент, зависящий от веса нити и ее свойств, а е — уже упоминавшееся нами неперово число, приближенно равное 2,718.

По этому уравнению мы можем построить график цепной линии и решить задачу о длине провода, необходимого для электропередачи длиной в 200 км. На вопрос о том, как именно составляется это уравнение цепной линии и как вычисляется длина дуги, мы сразу ответить не можем. Ответ на эти вопросы дает курс математического анализа.

Далее, если инженер хочет рассчитать величину прогиба балки под действием ее веса и действующей на нее нагрузки, то он поступит так. Зная нагрузку и пользуясь приема-

Рис. 14

ми математического анализа, он прежде всего найдет уравнение линии, по которой прогнется эта балка. И уже по этому уравнению подсчитает величину прогиба балки в любой ее точке.

Для так называемой консольной балки (рис. 15) уравнение ее изогнутой оси будет иметь вид:

Здесь х означает абсциссу, а у — ординату произвольной точки прогнувшейся балки; / — длина балки, q — нагрузка на 1 ж ее длины, Е и J—коэффициенты, зависящие от материала балки и ее поперечного сечения. Теперь нетрудно сосчитать, что в конце балки при X = / ее прогиб будет иметь величину

Это будет ее наибольший прогиб. Вот эта-то величина и представляет интерес для инженера.

Все расчеты, связанные с движением тел по тем или иным траекториям, расчеты связанные с линиями, которые описывают движущиеся части тех или иных механизмов, выполняются фактически не с самими линиями, а с уравнениями этих линий. Точно так же все расчеты линий, которые непосредственно представляют формы реально существующих тел (например, провисающий провод или прогнувшаяся балка), снова будут выполняться с их уравнениями.

Итак, мы видим, что для решения важнейших задач практики знания уравнений линий, умение их составлять и исследовать совершенно необходимо. Без них не может обойтись ни один расчет.

Стоит заметить, что и те закономерности, которые мы записывали выше, например выражение давления р атмосферы на высоте h по формуле

Рис. 15

можно рассматривать как уравнения линий (графики их представлены на рисунках 4, 5, 6 и др.)

Действительно, заменяя в последней формуле h через х, а р через у и имея уравнение у = р0е~кх, мы уже фактически не будем знать, что обозначает приведенное уравнение, если нам заранее ничего не будет сказано о физическом значении х и у. Оно для нас просто будет определять линию.

Итак, всюду, где нам дальше придется говорить о расчетах, связанных с линиями, мы будем помнить, что эти расчеты ведутся с уравнениями линий у = /(*).

Раздел высшей математики—аналитическая геометрия — рассматривает вопрос о том, как по свойствам линии составляется ее уравнение, как ведется изучение свойств линии с помощью ее уравнения, как решаются геометрические задачи с помощью уравнений линий.

Аналитическая геометрия является важнейшей вспомогательной наукой для математического анализа.

Читатель будет ее изучать в самом начале курса высшей математики, одновременно с началом математического анализа. Задачей же математического анализа будет изучение (как мы дальше увидим) того, как решать различные задачи математики переменных величин, пользуясь уравнениями линий и другими понятиями аналитической геометрии.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СКОРОСТИ, УСКОРЕНИЯ И ПЛОТНОСТИ

Скорость. Мы уже говорили, что все движения в природе характеризуются переменными скоростями.

Скорости движения планеты по орбите, космической ракеты, спутника, любой движущейся части механизма все время меняются. Даже когда мы говорим, что «поезд идет с постоянной скоростью», то и этого на самом деле почти никогда не бывает.

Малейшая неровность дороги то увеличивает скорость, то уменьшает. Поэтому движение с постоянной скоростью есть лишь теоретическая идеализация действительности. Только скорость света в пустоте является абсолютно постоянной.

Во всех расчетах, связанных с движениями, приходится иметь дело с переменными скоростями.

Поэтому в математике, физике и в других науках возникает понятие о значении переменной скорости в каждый данный момент времени. Как вычислить такую, как ее называют мгновенную, скорость в момент времени / ?

Вычисление скорости, когда движение совершается с постоянной скоростью, нам хорошо известно.

Если какая-нибудь частица, двигаясь все время с постоянной скоростью V, прошла S метров (например, S = 100) за время / секунд (например, t = 5), то ее скорость V равна

Но нас теперь интересует способ вычисления значения переменной скорости в каждый данный момент времени. Предположим, что мы рассматриваем простейший случай: точка или материальная частица движется прямолинейно с переменной скоростью.

Для того чтобы задача по определению скорости вообще могла быть поставлена и потом решена, необходимо, чтобы само движение было как-то определенно задано. Движение обычно задается с помощью так называемого закона движения, т. е. зависимости пути S от времени t, в течение которого этот путь проходится.

Мы знаем уже такие зависимости из курса физики средней школы. Например, в случае равномерного движения мы имеем зависимость пути от времени S = Vt (здесь V — обозначает скорость, a t — время). Свободное падение тела определяет зависимость S = —. Могут быть и другие зависимости пути S от времени t. Например, S = at3, где а — множитель пропорциональности.

Закон движения может быть представлен графически. На оси абсцисс откладывается время /, а на оси ординат— путь 5. Тогда для закона движения S = Vt график изображен на рисунке 16; для закона движения S = ^—•— на рисунке 2; для закона движения S = at3 —на рисунке 17.

При этом тангенсом угла наклона графика S = Vt равномерного движения к оси ОТ является скорость V этого движения. Для этого вывода достаточно сравнить уравнение S = VY с уравнением у = kx или непосредственно переписать его в виде

Закон движения S = a sin / (рис. 18) определяет колебательное движение.

Зависимость пути S от времени t в общем случае можно записать в виде S = f (t), т. е. S есть «функция от аргумента /».

В наших примерах эти функции были:

Рис. 16 Рис. 17

Рис. 18

В общем случае, имея запись S = /(Y), мы можем считать, что график закона движения имеет вид, изображенный, например, на рисунке 19.

При этом мы должны твердо помнить, что этот график дает зависимость пути S, пройденного частицей, от прошедшего времени t, но ничего не говорит о форме пути, который мы сейчас во всех случаях считаем для простоты прямолинейным!

Пусть теперь мы хотим найти скорость нашей движущейся частицы в момент времени /.

Мы знаем, как находить скорость за определенный промежуток времени, если считать скорость в течение него постоянной. Для этого предположим, что мы рассматриваем наше движение за промежуток времени, начавшийся в момент времени t и длящийся некоторое время At. (Здесь буква А — не множитель, а обозначение. Оно указывает, что речь идет о некотором, вообще говоря, небольшом промежутке времени, как говорят, о «приращении» времени А /.) (Рис. 19).

Путь, пройденный частицей за время А/, обозначим AS. Всего от начала движения за время t+At пройденный путь будет равен S+AS. Все это можно изобразить графически следующим образом. Время t, протекшее от начала движения, обозначено на рисунке 19 через OAv т. е. t = 0AV

Соответствующий путь, пройденный к моменту времени равен АгА, т. е. S = АХА. За время At = А1В1 будет пройден путь AS = CS, а всего за время t~\- At = = ОАх АгВг = ОВг будет пройден путь

В случае закона свободного падения мы будем иметь

За время A t = А1В1 пройден путь A S = СВ.

Рис. 19

А за все время движения будет пройден путь

причем

Для того, чтобы найти мгновенную скорость в момент времени t, будем рассуждать следующим образом. Хотя скорость частицы все время меняется, но для удобства вычисления этой переменной скорости временно предположим, что за время Â t скорость будет оставаться постоянной. Как найти эту постоянную скорость на протяжении промежутка времени A t? Мы знаем, что постоянная скорость определяется как отношение пути A S, пройденного за данное время к этому времени A t: -.

Эту постоянную скорость мы называем «средней скоростью» за промежуток времени A t.

Итак, имеем

Таким образом, мы должны себе ясно представить следующее. Частица, тело (или материальная точка) движется все время с переменной скоростью. Однако для вычисления этой переменной скорости в каждый данный момент времени сначала надо найти некоторую так называемую «среднюю скорость» Vcp, с которой точка прошла бы за это же время А/ тот же путь AS, если бы двигалась на этом участке с этой «средней» постоянной скоростью.

Как же фактически подсчитывается эта средняя скорость?

Рис. 20

Найдем ее сначала для рассматриваемого нами примера свободного падения тела. Мы получили: значение пути S + A S, пройденного от начала падения за время / + А /. Оно равно:

Найдем теперь приращение A S пути, пройденного за время A t. Имеем:

или, раскрывая скобки и вычитая, имеем:

Выражение для Vcp будет иметь вид:

где / — тот момент времени, в который мы хотим определить мгновенное значение переменной скорости. Величина же А / — приращение времени, за которое мы определяем среднюю скорость Vcp.

Рассмотрим, что представляет собой с геометрической точки зрения средняя скорость Vcp. Если мы соединим на рисунках 19 и 20 точки А и ß прямой линией, то увидим, что А / и AS будут катетами (А / = АС и AS == СВ) прямоугольного треугольника АСВ. Средняя же скорость

будет тангенсом угла наклона секущей, проходящей через точки А и В графика, к оси ОТ.

Однако нашей основной задачей является не определение средней скорости Vcpt а определение мгновенной скорости V в момент времени t. С этой целью поступим следующим образом: будем предполагать, что мы уменьшаем тот промежуток времени А/, за который мы вычисляем среднюю скорость Vc?.

Ясно, что если промежуток времени уменьшается, то и промежуток пути AS, пройденный за это время, тоже уменьшается, а следовательно, и измерен-

ная за это время и их средняя скорость

вообще тоже как-то изменяется. Она может и уменьшаться, и увеличиваться, и даже, в частном случае, оставаться постоянной. Все зависит от соотношения между величинами А/ и AS. В нашем частном случае из правой части записанного равенства видно, что при уменьшении А/ величина Vcp будет уменьшаться. Надо помнить, что само значение времени при котором мы хотим определить мгновенное значение переменной скорости, остается при этом постоянным.

С геометрической точки зрения картина будет теперь такой. Меняя приращения времени M и пути AS, мы будем приближать точку В по графику к точке Л, т. е. будем менять секущие AB. Тем самым будут меняться углы <р наклона к оси 07, а следовательно, и их тангенсы (рис 21),

Следует предполагать, что средняя скорость Уср, измеренная на меньшем промежутке времени А/, будет ближе к той мгновенной скорости, которую имеет точка в момент /, чем средняя скорость Vcp , измеренная на большем промежутке времени АЛ

Поэтому истинной скоростью частицы (или точки) в момент времени t мы будем называть тот предел, к ко-

Рис. 21

торому стремится ее средняя скорость Кср, когда промежуток времени àt (за который происходит измерение средней скорости) стремится к 0. Это мы можем записать, пользуясь общими обозначениями в виде:

Само собой разумеется, что если Д/->0, то и AS-*0, поэтому мы здесь этой второй записи не делаем. В нашем частном случае мы видим, что предыдущая формула дает

так как при A t-*0 предел самого Д^ будет равен 0, следовательно, и предел S9^~ тоже равен 0. Этот результат, кстати, мы знаем уже из школьного курса физики. Скорость свободного падения тела в момент времени t равна V = gt. Например, в конце первой секунды V1 = g*\9 в конце пятой секунды V5 = g". 5 и т. д.

Посмотрим, каков будет геометрический смысл мгновенного значения скорости? Опять вернувшись к рисунку 21, мы увидим, что когда Д/ стремится к 0, то и в общем, и в частном случае AS тоже стремится к 0. Что же касается их отношения

равного тангенсу угла наклона секущей к оси ОТ, то этот тангенс вообще не стремится к 0, а изменяется как-то иначе, стремясь к некоторой вполне определенной величине. Именно, когда Д/-*0 и Д5-»0, то точка В по кривой стремится к точке Л. Секущая прямая AB по мере приближения точки В (ее пересечения с кривой) к точке А стремится вообще к некоторому предельному положению. Это предельное положение секущей прямой называется касательной прямой в точке А. Поэтому тангенс угла ср наклона секущей прямой к оси ОТ стремится к своему пределу — тангенсу угла а наклона касательной прямой в точке А к оси ОТ.

Иными словами, когда приращение времени Д ?-*0, а следовательно, и приращение пути Д S-+0, то средняя ско-

рость, равная tgcp угла ср наклона секущей, стремится к мгновенной скорости частицы в точке Л, равной тангенсу угла а наклона касательной к графику закона движения в этой точке А.

Во избежание недоразумений подчеркнем, что хотя в выражении и А/ и AS стремятся к 0, однако их отношение —вообще не стремится к 0, а стремится к некоторой, в каждом частном случае вполне определенной величине: tga.

Это объясняется тем, что отношение ^ по сравнению с А/ и AS есть новая величина — средняя скорость и эта новая величина имеет свой, вполне определенный предел — мгновенную скорость (или тангенс угла наклона касательной), вообще не равную 0.

Ускорение. Рассмотрим второе важнейшее понятие естествознания, связанное с движением частицы и с действующими на нее силами. Это понятие — ускорение. Мы снова, ради простоты, как и в случае определения скорости, будем считать движение прямолинейным. Итак, пусть частица движется по прямой и пусть ее скорость V в любой момент времени /, найденная нами по общему правилу, равна

Найдем ускорение а этой частицы в момент времени t. Ускорение частицы за какой-нибудь промежуток времени At (так называемое среднее ускорение за время At) есть приращение скорости AV за этот промежуток времени At, деленное на величину At этого промежутка времени, т. е,

Чтобы найти это среднее ускорение аср, надо воспользоваться зависимостью скорости V от времени t, протекшего от начала движения. В нашем примере свободного падения тела эта зависимость имеет вид:

Графиком ее в системе координат TOV будет прямая линия, проходящая через начало координат (рис. 22). В общем случае зависимость V = f (/) графически может изображаться кривой самого различного вида (рис. 23).

Чтобы найти истинное ускорение а частицы в момент времени t, мы должны предположить, что тот промежуток времени At, на котором мы ищем приращение скорости, становится как угодно малым. Но тогда если Д/-*0, то явно и ДУ-*0,так как за малое время At и скорость V могла получить лишь малое приращение AV. Пределом этого среднего ускорения аср = — за время At при At, стремящемся к 0, и будет истинное ускорение а в момент времени t (рис. 23). Итак, имеем:

Еще раз подчеркнем, что хотя в нашем выражении для аср и Д/-+0 и AV-+0, т. е. в числителе и знаменателе мы имеем величины, одновременно стремящиеся к 0, но их отношение есть уже новая величина—среднее ускорение, а ее предел (а именно его-то мы ищем!) есть вполне определенная величина, так называемое истинное ускорение а в момент времени t. С геометрической стороны среднее ускорение аср будет тангенсом угла ф наклона прямой AB к оси ОТ, а ускорение а будет тангенсом угла а наклона касательной к кривой с осью ОТ.

В нашем примере при зависимости V = gt мы найдем ускорение а по общему правилу следующим образом. Пусть

Рис. 22 Рис. 23

время t получает приращение ДЛ Тогда скорость V получит приращение Д1Л При этом будем иметь

откуда

Ищем среднее ускорение аср. Оно равно

Но g — это постоянная величина, равная 9,81 .

Следовательно, и истинное ускорение в любой момент времени в нашем примере будет постоянным. Именно

Заметим, что в других задачах это ускорение а будет, вообще говоря, переменной величиной, т. е. будет зависеть от

Мы видим чрезвычайно важный факт, что ускорение по своей структуре и по методу определения получается совершенно аналогично скорости.

Плотность. Мы знаем, что основной и важнейшей характеристикой распределения массы m вещества в данном его объеме W является плотность. Дело в том, что если вещество всюду в данном объеме распределено равномерно, т. е. в каждой его кубической единице заключено одинаковое количество вещества, то его плотность рср, равная массе вещества в 1 единице объема, будет постоянной. В этом случае подсчет всей его массы очень прост. Вся масса вещества равна произведению плотности вещества р на его объем W:

Если же в различных частях данного объема вещество распределено не равномерно, причем его количество непрерывно меняется с величиной объема, то в механике вводят понятие плотность р вещества в данной точке. Она вычисляется так. Берется некоторый объем kW и подсчитывается количество массы Дт, находящееся в нем. Отношение

— называется средней плотностью рср вещества в объеме (SW. Если мы теперь будем предполагать, что объем kW будет стремиться к 0, то и количество Am вещества в нем тоже будет стремиться к 0. Но их отношение

будет уже новой величиной, — средней плотностью. Она будет различной в различных объемах вещества, т. е. будет в этих условиях каким-то образом изменяться. Плотностью р в данной точке называется предел отношения

когда kW -» 0, Am -> 0. Итак, имеем:

Вычисление этой величины происходит так же, как вычисление скорости и ускорения. Для простоты положим, что мы имеем дело с неоднородной проволокой, сечение которой будем считать равным 1. Найдем ее плотность р в какой-нибудь ее точке.

Для этого нам должен быть известен закон изменения массы m в зависимости от изменения ее длины /, который в общем случае можно записать в виде m = /(/).

Пусть наш стержень длиной а расположен вдоль оси ОХ от точки X = 0 до точки X = а. Пусть зависимость массы m стержня от его длины задается формулой m = /3. Это значит, что для каждого значения / масса части стержня, лежащая от точки О до точки / равна /3. Так, масса стержня от точки О до точки 1 = 2 равна m = 23 = 8 (г). Масса стержня от точки О до точки / = 3 равна m = З3 = 27 (г) и т. д., а масса всего стержня равна а3.

Из формулы т = Is видно, что в отрезке проволоки длиной / заключена масса m = /3, а в отрезке длиной / + А/ заключена масса m + Am = (/ + А/)3. Найдем приращение Am массы m. Имеем:

Средняя плотность рср будет:

Плотность в данной точке р примет вид:

Мы видим, что структура формулы для плотности такая же, как и для скорости и ускорения. Отсюда нетрудно заключить, что если бы мы построили график зависимости т г= /3, то плотностью в данной точке стержня был бы тангенс угла наклона касательной к оси OL, проведенной в точке (/, т) нашего графика. Таким образом, основные понятия естествознания, связанные с движением частицы, с ее массой и с силами, действующими на нее, т. е.

скорость V,

ускорение а,

плотность S,

вычисляются единообразно. Отсюда вывод: поскольку все основные задачи естествознания и техники используют эти понятия, то это их использование всегда будет связано с теми вычислительными процессами, о которых здесь шла речь.

Ввиду такого их важного и решающего значения остановимся еще раз на формулировке чисто математической стороны совершаемых здесь вычислений.

1-я операция состоит в отыскании нового, наращенного значения функций: пути, скорости или массы по новому, наращенному значению ее аргумента, т. е. отыскание величины пути S + AS по величине времени t + At в случае определения скорости V; отыскание скорости V+AV по величине времени t + At при определении ускорения а\ отыскание массы m + Am по величине W + AU? объема при определении плотности р.

Переводя все эти действия на общий математический язык, мы можем сказать, что здесь мы ищем новое значение функции у + Ау по новому значению аргумента X + А* (рис. 24).

2-я операция состоит в отыскании приращения AS пути, скорости àV или массы Am по приращению времени At или объема AW.

Рис. 24

В чисто математических терминах можно сказать, что мы ищем приращение Ду функции у по приращению Ar аргумента х.

3-я операция состоит в отыскании отношения приращений (приращения пути AS к приращению времени At)

приращения скорости AV к приращению времени At приращения массы Am к приращению объема AW

Эта третья операция дала нам соответственно среднюю скорость, среднее ускорение, среднюю плотность. В общем же математическом выражении это можно записать так: мы ищем отношение приращения Ду функции у к приращению Ах аргумента х, т. е. —.

4-я и последняя операция состояла в отыскании истинной, мгновенной скорости V в момент времени t, мгновенного ускорения а в момент времени /, плотности р в данной точке. Эта операция состояла в отыскании предела средней скорости, среднего ускорения, средней плотности при стремлении приращения времени At или объема AW к 0.

Записывая это же в общематематических обозначениях, мы находим предел отношения приращения Ду функции у к приращению Ах аргумента х. Этот предел мы обозначаем обычно через у'. Поэтому пишем:

С точки зрения геометрического чертежа мы во всех этих задачах от тангенса угла наклона секущей переходили к тангенсу угла наклона касательной.

Выражение у' называют «производной от функции у по аргументу х».

Таким образом, часто говорят, что скорость V есть производная от пути S по времени t\ ускорение а есть произ-

водная от скорости V но времени t; плотность р есть производная от массы m по объему W.

Геометрически отыскание скорости, ускорения или плотности, или производной сводится к отысканию касательных к соответствующим графикам. Говоря точнее, отыскивая производную, мы ищем тангенс угла а наклона касательной к линии у = f(x) с осью ОХ.

Отметим как очень важное обстоятельство возможность несколько иного подхода к введенным понятиям. А именно все рассмотренные задачи по определению скорости, ускорения и плотности можно выразить единообразно через одно понятие скорости. Именно, характеризуя производную

мы можем в самой общей форме сказать, что она определяет или

1) тангенс угла а наклона касательной к графику с осью ОХ или

2) скорость изменения функции у в зависимости от изменения аргумента х.

Действительно, когда мы имели скорость

то она была скоростью изменения пути S, проходимого телом в зависимости от времени t. Ускорение

определяло, можно сказать, «скорость изменения скорости V» в зависимости от времени /. Действительно, при большем ускорении скорость быстрее меняется со временем, чем при меньшем. Плотность р записываемая в виде

определяла скорость изменения массы с изменением объема W или длины / тела. Действительно, большая плотность вещества обозначает, что с увеличением взятого объема заключенная в нем масса вещества растет быстрее, чем в теле с меньшей плотностью. Например, плотность воды 1, а плотность железа 7,8. Это значит, что 1 куб. см

воды весит 1 г, а 1 куб. см железа весит 7, 8 г. Увеличивая объем воды вдвое, мы получаем вес 2 г, а увеличивая вдвое объем железа, мы найдем, что вес двойного объема будет равен 15,6 г. Подобно весу и масса железа при увеличении его объема растет с большей скоростью, чем масса воды, так как плотность железа больше, чем плотность воды.

Мы видим, что понятие производной, тангенса угла наклона касательной к графику и способ их отыскания, что выражено в формуле

имеют в полном смысле слова универсальный характер. Они используются во всех основных задачах естествознания и техники, которые решаются математическими методами.

Одновременно отметим, что приращения Ах и Ау, которые играют основную роль во всех этих расчетах, являются важнейшими понятиями, связанными с переменными величинами. Именно наличие приращений отличает переменные величины от постоянных.

О РАСПОЛОЖЕНИИ КАСАТЕЛЬНОЙ

Рассматривая скорость и ускорение, мы предполагали в обоих случаях, что имеем дело только с прямолинейными движениями. Однако большинство движений, существующих в природе, криволинейные. Так, планеты движутся по эллипсам, само Солнце со всей планетной системой вместе движется вокруг центра галактики по кривой. Космическая ракета или спутник описывают кривые.

Частицы струи фонтана описывают параболы. Электрически заряженные частицы в электромагнитном поле движутся по кривым. Точки различных движущихся механизмов тоже описывают самые разнообразные и сложные кривые. Снаряд орудия, направленный под углом к горизонту, описывает кривую и притом весьма сложную, если принять во внимание сопротивление воздуха и другие причины.

Из механики известно, что если траектория движущейся частицы — кривая линия, то скорость частицы всегда направлена по касательной.

Поэтому при всевозможных расчетах, связанных с движением, всюду, где мы имеем дело с траекториями дви-

жущихся частиц и с их скоростями, нам приходится вычислять расположение касательных к их траекториям, чтобы знать направления их скоростей.

Таким образом, задача об отыскании касательной к кривой линии становится важнейшей математической задачей, связанной с изучением действительных движений материи в природе. При этом здесь, в криволинейном движении, мы ищем уже не «касательную к графику», как это было до сих пор, а ищем касательную к траектории частицы, т. е. к той самой настоящей кривой, которую описывает частица.

Что же касается отыскания численной величины скорости, то оно и в случае криволинейного движения остается таким же, каким мы его только что рассматривали.

Итак, два процесса, по существу самым тесном образом связанные друг с другом, имеют, можно сказать, всеобщий характер в математическом изучении природы и в технических науках, использующих явления и законы природы.

1. Это процесс определения численного значения скорости частицы в прямолинейном и криволинейном движениях. Он сводится к подсчету производной

2. Процесс отыскания направления скорости.

Итак, скорость тела направлена вдоль траектории его движения, если это движение прямолинейное, и она направлена по касательной к траектории, если движение криволинейное.

Мы видели, как вычисляются скорость, ускорение, плотность. Но теперь перед нами стоит задача о том, как вычислить расположение касательной к траектории движения частицы, предполагая, что траектория задана своим уравнением у = f(x), по которому мы всегда можем построить ее как график этого уравнения.

Мы знаем, что касательную легко провести на чертеже только к окружности, где она перпендикулярна к радиусу в его конце. Проведение же касательной к любой другой кривой основано на использовании ее уравнения у = f(x), или требует знания определенных ее свойств.

Покажем на примере, как строится касательная (рис. 25).

Траектория частицы имеет уравнение (это уравнение было нами рассмотрено выше):

Найдем положение касательной к этой кривой в какой-нибудь точке M с координатами (л:, у). Для этого сначала проведем секущую через данную точку M и некоторую другую точку N и найдем тангенс угла ср ее наклона к оси ОХ.

Пусть точка N имеет координаты (х+Ах, y+Ду). На рисунке 25 имеем: х = OMv у = MVM, х+ Ах = ONlt

Так как точка N лежит на кривой у = — х2 + 1, то мы получим у + Ду, если вместо х вставим в это уравнение его новое значение х+Ах. Имеем:

Найдем Ду. Получим:

или

Раскрывая скобки, найдем

Рис. 25

Тангенс угла ф наклона секущей MN к оси ОХ получим, разделив Ау на А*. Имеем:

Чтобы найти тангенс угла а наклона касательной в точке M к оси ОХ, надо предположить, что Ах стремится к О, и найти предел отношения

Имеем:

Итак, имеем:

Это равенство говорит нам, что для каждой точки M траектории с абсциссой X тангенс угла наклона касательной к кривой, проведенной в этой точке, равен — х.

Например, пусть мы хотим провести касательную к кривой в точке M с абсциссой х = 6. Тогда tga = — . 6 = 3.

Теперь, если мы хотим, то можем совершенно точно построить касательную к нашей кривой в этой точке М.

Вот как мы можем это сделать. Прежде всего найдем ординату точки М, имеющей абсциссу х = 6. Для этого подставляем X = 6 в уравнение кривой. Находим

Итак, координаты точки M будут (6, 10).

Тангенс угла a ее наклона к оси ОХ известен. Этим касательная опреде-

Рис. 26

ляется. Построим этот тангенс на чертеже. Для этого поступим так (рис. 26). Мы знаем, что tg а = 3. Он есть отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике с острым углом а. Так как tg а = 3, то мы можем считать, что противолежащий катет в треугольнике, заключающем угол а, равен 3, а прилежащий равен 1, т. е. имеем: tga = 3 = = —. Построим этот треугольник. Отложим от точки M вниз по вертикали отрезок MP = 3. Влево от точки Р по горизонтали отложим отрезок PQ = 1. Тогда в треугольнике MPQ при точке Q будем иметь угол a = </ MQP, при этом

но угол a = Z MQP равен углу Z MRMV т. е. tg a = tg MRMl, т. е. прямая MQ проходит через точку M и наклонена к оси ОХ под искомым углом а. Итак, искомая касательная построена. Теперь нетрудно найти координаты точки Q, через которую проходит касательная в точке М. Как нетрудно заметить по чертежу, координаты точки Q будут: х = 6— 1, у = 10 — 3 или Q(5,7).

Но если координаты двух точек M (6,10) и Q (5,7) прямой MQ известны, то мы можем считать прямую тоже известной.

Итак, задача о проведении касательной решена. По этой касательной и будет расположен вектор скорости в точке М.

Если бы мы захотели определить самое скорость не только по ее направлению, но и по численной величине, то нам надо было бы задать закон движения точки M по ее траектории, т. е. зависимость проходимого по ней пути S от времени t. Но здесь на этом вопросе мы не будем останавливаться.

Что касается расположения ускорения, то последнее построить сложнее. Мы не будем об этом говорить здесь подробно, укажем лишь, что ускорение обычно раскладывают на две составляющих. Одну из них направляют по касательной, другую — по перпендикуляру к касательной (рис 27).

Мы уже видели, что скорости всех движений направлены по касательным к траекториям движения. Это одно

уже показывает, что отыскание касательной неразрывно связано с отысканием скорости, а следовательно, и ускорения. Следовательно, ни один расчет ни одного механизма не обходится без построения касательной.

Но множество других вопросов, также чрезвычайно важных, связано с проведением касательных. Вот один из них. Сейчас огромную роль играет развитие оптических инструментов: телескопов, микроскопов, биноклей, проекционных фонарей, прожекторов и т. д. Их проектирование требует использования законов геометрической оптики, которая изучает ход лучей в оптических системах, например, преломление лучей в различных линзах (телескопы и микроскопы) и в призмах (спектроскоп, призматический бинокль), отражение от зеркал (телескоп — рефлектор) и т. д.

Но ни один вопрос отражения или преломления лучей не может быть решен без понятия касательной. Вот в чем здесь дело. Два закона определяют поведение отраженного и преломленного луча относительно плоской поверхности:

1. Закон отражения: угол падения равен углу отражения (рис. 28).

2. Закон преломления на границе двух сред: отношение синуса угла падения луча к синусу угла преломления равно отношению скоростей света в этих средах (рис. 28):

Но как быть, если поверхность кривая? Оказывается, что здесь справедливы те же законы отражения и прелом-

Рис. 27 Рис. 28

ления, но в каждой точке приходится теперь кривую поверхность заменять касательной к ней плоскостью и вместо перпендикуляра к плоскости (от которого раньше отсчитывались углы) рассматривать в каждой точке перпендикуляр к соответствующей касательной плоскости к поверхности (рис. 29).

Однако так как в огромном большинстве случаев поверхности стекол и зеркал в оптических приборах представляют собой поверхности вращения, то во всех расчетах рассматривают их в разрезе и говорят, что углы падения, отражения и преломления отсчитываются от перпендикуляра к касательной к профильной кривой в данной точке.

На рисунках 29 показан ход лучей при преломлении в линзе и при отражении от параболического зеркала.

Большую роль играет касательная в вопросах строительства. Мы уже говорили о прогибе балок. Расчеты балок всегда приходится вести приближенно, так как полное и точное решение требовало бы очень больших вычислений. Возникает вопрос о том, с какой степенью точности необходимо вести расчет, чем можно пренебречь? Это в большой мере определяется тангенсом угла наклона касательной к балке (рис 30). Если тангенсы этих углов а в различных точках балки по абсолютной величине не велики (tgai)» расчеты упрощаются, так как мы можем пренебречь квадратами этих тангенсов (они входят в расчет). Если же

Рис. 29

эти тангенсы (tga2) велики, то расчет усложняется, так как квадратами этих тангенсов пренебрегать уже нельзя.

О ТРУДНОСТЯХ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

После рассмотренных примеров на определение скорости, ускорения и плотности может показаться, что все совершаемые при этом вычисления очень просты и никаких принципиальных трудностей не представляют.

Действительно, мы вычисляли скорость по закону движения

плотность по уравнению m = /3; тангенс угла наклона касательной по уравнению у = —х2+1.

Все эти уравнения очень просты.

Вот один из важных в практике примеров (рис. 31), где мы встречаемся с вычислением, которое нам сразу вообще не удается довести до конца.

Мы рассматривали так называемую барометрическую формулу

которая дает зависимость давления р атмосферы от высоты h над уровнем моря.

В метеорологических подсчетах большую роль играет скорость изменения давления (в физике эта величина называется падением давления) в зависимости от высоты, подсчитанная при любом значении высоты h. Она определяется так. Рассматривают приращение высоты ДА и выз-

Рис. 30 Рис. 31

ванное ею приращение давления Ар (здесь оно будет отрицательным!). Их отношение — называется средней скоростью падения давления при изменении высоты на АЛ. Она характеризует то, как быстро изменяется давление при изменении высоты над уровнем моря.

Если, например, при АЛ = 100 м величина Ар будет равна 10 мм ртутного столба, то

Если же при АЛ = 100 м величина Ар будет 20 мм, то

Скорость изменения давления

оказывается вдвое больше.

Скоростью изменения давления в данной точке высоты называется предел средней скорости при АЛ 0, т. е.

Находят эту скорость тем же путем, что и обычную скорость, пользуясь зависимостью давления р от высоты Л. Попробуем подсчитать скорость V. Сначала найдем давление на высоте Л + АЛ. Получим:

Приращение давления Ар будет:

или

Средняя скорость изменения давления будет:

Мгновенная скорость V будет:

Так как множитель р0е kh при изменении АЛ не меняется, то его можно вынести за знак предела и мы получаем:

Стоящий здесь предел вычислить не так-то просто. Действительно, непосредственно разделить все на АЛ, как это мы раньше делали, здесь нельзя. Предположив же, что АЛ -* 0, мы видим, что в этом случае выражение £-лдл J (так как go а следовательно, числитель, так же как и знаменатель, стремится к 0, т. е. наше выражение приобретает, как иногда условно говорят, неопределенный вид типа ~. Но как найти предел нашего выражения или, как иногда условно говорят, как раскрыть неопределенность вида —, мы сейчас не знаем. Однако этот пример далеко не самый сложный.

Вот еще один пример, чрезвычайно важный в практике. Теория колебаний изучает всевозможные колебания и на основе этого изучения дает методы расчета колеблющихся частей машин, различных сооружений и других систем (рессор автомобиля, шасси самолета, вращающихся валов турбин, силы тока в цепи и т. д.),

В одной из простейших задач теории колебаний рассматривается так называемое затухающее периодическое колебание

здесь k и m — некоторые положительные числа, А и В — некоторые постоянные, зависящие от условий, в которых находится колеблющаяся система (рис. 32), 2,718, t—время, a S — путь, проходимый точкой колеблющейся системы в процессе колебания (например, рессоры автомобиля или шасси самолета). Если бы множителя e"kt не было, то колебание, определяемое уравнением

было бы чисто гармоническим. Но множитель ë~ktt уменьшаю-

Рис. 32

шийся со временем

уменьшает амплитуду колебаний. При расчетах колеблющихся систем на прочность приходится учитывать скорость колебаний, так как быстрые и медленные колебания по-разному влияют на износ системы.

Но как определить скорость колебаний? Применим общий метод.

Дадим времени / приращение àt и найдем новое значение S+àS пути S. Имеем:

Найдем приращение AS пути S. Получаем

или

Разделим теперь AS на А/, получим среднюю скорость колебаний. Имеем:

Вынесем множитель е ы за скобки. Найдем:

Мы получили среднюю скорость Vcp колеблющейся точки системы. Эта средняя скорость зависит от времени /, т. е. все время меняется. Между тем для расчетов нам надо знать, как именно меняется скорость колеблющейся точки, когда она становится максимальной, какова эта максимальная скорость и т. д.

Иными словами, мы не можем остановиться на этом сложном выражении средней скорости, а должны искать истинную, мгновенную скорость V. Итак, мы предполагаем,

что А/ -+ 0, т. е. знаменатель стремится к 0. В числителе при А/ 0 первый множитель е~ы не изменяется, а е-ш стремится к 1. Значение выражения, стоящего в первой скобке, стремится к значению выражения, стоящего во второй, и в результате числитель тоже стремится к 0. Итак, мы вновь встречаемся с неопределенностью вида —. Но как ее раскрыть, мы снова не знаем. Во всяком случае, можно сказать, что никакие действия с синусом и косинусом сразу ни к чему не приведут, так как при sin m(t + At) и cos m (t + Ы) стоит множитель e~kAt, a при cos mt и sin mt этого множителя нет.

Итак, мы видим, что как только мы встречаемся с более сложными функциональными зависимостями, так сейчас же переход к пределу осложняется, причем мы (уже во второй раз!) получаем «неопределенность вида — ».

При этом надо сказать, что сложные выражения (подобные рассмотренному или еще более сложные) в практических задачах встречаются почти всегда, а такие простые, с которыми мы имели дело в самом начале, лишь как редкие исключения.

Итак, мы видим, что единственным, но решающим препятствием, которое стоит на пути отыскания скоростей, ускорений, плотностей, касательных, т. е. производных и других величин подобного рода, является отыскание пределов вполне определенного вида, а именно пределов отношения приращения функции к приращению аргумента, когда они оба стремятся к 0.

Отсюда можно сформулировать стоящую уже теперь перед нами математическую задачу: требуется найти общий метод вычисления производных

т. е. пределов отношений приращений Ду функций у к приращениям ах аргументов х, когда те и другие приращения стремятся к 0.

Переменные величины, стремящиеся по абсолютному значению к 0, называются бесконечно уменьшающимися или бесконечно малыми. Поэтому Ах и Ау называют бесконечно малыми. Мы можем сформулировать нашу задачу и так: требуется найти правило перехода к пределу в тех случаях

когда мы встречаемся с неопределенностью вида —. Или, иначе говоря, требуется найти правило отыскания предела отношения двух бесконечно малых друг к другу. Это правило должно быть таким, чтобы единообразное его применение во всех случаях позволяло быстро и безошибочно находить производные. Методам отыскания производных посвящен специальный раздел математического анализа, называемый дифференциальным исчислением. (Слово дифференциальный в переводе обозначает «разностный»: приращение Ах и Ду представляют собой разности значений координат.)

Однако, прежде чем более глубоко исследовать возникший перед нами математический вопрос и наметить конкретные пути к его решению, мы рассмотрим метод вычисления длины дуги произвольной кривой линии и массы тела.

Тут мы встретимся с задачами, имеющими много общего с уже рассмотренными.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ КРИВОЙ ЛИНИИ

В числе важнейших и основных понятий, с которыми приходится иметь дело при любом движении в физике, астрономии, технике, мы называли траекторию движущейся частицы. Определение длины дуги траектории есть одна из основных и важнейших задач во всех вопросах, где рассматривается движение. Решение этой задачи обычно достаточно сложно.

Из элементарной математики мы знаем только то, как определяется длина дуги окружности. В окружность вписывают правильную ломаную линию из п звеньев (правильный л-угольник), определяют ее периметр. Потом предполагают, что число п звеньев ломаной неограниченно увеличивается, а длина каждого звена стремится к 0. Предел периметров замкнутых ломаных линий с бесконечно увеличивающимся числом звеньев, где каждое звено стремится к 0, называется длиной окружности.

Как вычислять длины дуг других линий, например эллипсов, парабол и т. д., мы не знаем.

Попытаемся и в общем случае, имея любую кривую линию с уравнением у = / (х), поступить так же, как мы поступали, отыскивая длину окружности. Пусть нам дана

некоторая линия своим уравнением у = /(*). По этому уравнению мы можем построить самое линию, как его график (рис. 33). Пусть нам требуется определить длину дуги AB этой линии. Разобьем дугу AB на какое-то число п частей точками деления А = Av А2, Л3, ... , Ап. Соединяя точки деления отрезками прямых, получим отрезки А^А^ АгА3, ... , АпВ. (Эти отрезки не обязательно равны между собой.) Периметр нашей ломаной, состоящей из п звеньев, будет:

Будем теперь неограниченно увеличивать число п делящих точек, а следовательно, и число звеньев нашей ломаной с тем, чтобы длина каждого звена стремилась к 0.

Предел периметров ломаных и будет длиной дуги AB кривой:

При этом надо иметь в виду, что с увеличением числа п делений точки Л2, А3, ... , Ап не остаются на месте, а все время смещаются, так как их число (п) на дуге AB все время неограниченно увеличивается.

Рис. 33

Теперь нам важно выяснить, как фактически, зная уравнение линии, вычисляют длину ее дуги.

Здесь поступают так. Пусть точка Ах имеет координаты (*i»yi)» точка А2 имеет координаты (х2, у2) и т. д., причем

Так как нам надо найти длины отрезков

то рассмотрим треугольники:

В них имеем:

Из этих треугольников находим:

Следовательно, периметр ломаной, состоящей из п звеньев будет

Длина дуги кривой AB будет

Что представляет собой эта сумма и каков может быть ее предел?

Каждый ее член как угодно мал, точнее, стремится к О, т. е. он есть бесконечно малая величина. Действительно, при

неограниченном увеличении числа звеньев ломаной каждое ее звено стремится к 0, имеем: Ajq-^Ay^O, Ал:2—►О, Ау2-»0, ...

так как при

Однако число этих слагаемых неограниченно растет и поэтому предел их суммы оказывается вполне определенной конечной величиной. Это не должно нас удивлять. Вот пример. Пусть мы имеем сумму п слагаемых, каждое из которых равно —. Пусть теперь п стремится к оо. Каждое слагаемое теперь будет стремиться к 0, так как при /2—оо найдем, что--»0.

Но число этих слагаемых неограниченно растет. Поэтому имеем:

Рис. 34

Итак, предел их суммы — вполне определенная величина, равная 1. Рассмотрим пример: определить длину пути частицы, двигающейся по линии, имеющей уравнение у = — л:2 + 1 от точки Ах до точки В (рис. 34). Точка Аг имеет координаты

Точка В пусть имеет координаты

Разобьем дугу AB на п частей точками Av А2> Л3, ... , Ап, В. Пусть координаты этих точек будут:

Таким образом, мы имеем приращения аргумента:

и соответствующие приращения функции:

Итак, окончательно длина пути движущейся точки между точками А и В по кривой, имеющей уравнение

будет

Мы видим, что полученное нами выражение весьма громоздко.

Пока лишь ограничимся общим соображением, что здесь идет речь о нахождении предела суммы бесконечно возрастающего числа бесконечно малых слагаемых.

Этот предел будет найден нами в курсе математического анализа, одной из задач которого является вычисление таких пределов.

МАССА И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

Перейдем ко второй основной задаче, связанной с расчетами движущейся материи.

Эта задача, как мы говорили, состоит в вычислении количества вещества, заключенного в данном объеме. Предположим для простоты, что мы имеем дело с твердым телом, имеющим определенную форму.

Чтобы выяснить, какие математические действия требуется совершить для определения массы тела, рассмотрим наиболее типичную из таких задач в наиболее упрощенной форме.

Таковой будет задача о вычислении массы плоской пластинки, ограниченной, вообще говоря, некоторой кривой линией. Предположим, что эта пластинка однородная, т. е. на каждый квадратный сантиметр ее площади приходится одна и та же масса. (Плотность пластинки одинакова во всех ее частях.) Тогда вычисление массы этой пластинки сведется к вычислению ее площади и к умножению последней на массу, соответствующую 1 кв. единице. Определение площади произвольной пластинки можно свести к определению площади так называемой криволинейной трапеции.

Пусть мы имеем пластинку произвольной формы с заданным контуром (рис. 35). Прежде всего разобьем ее произвольной прямой AB на две части. Выбрав на прямой AB несколько, вообще произвольных точек М, N, Р, Q, восставим из них

Рис. 35

перпендикуляры к прямой и проведем их до пересечения с контуром пластинки. В результате мы получим ряд площадок.

Площадка (например, MPRS), имеющая прямолинейное основание (MP) и две прямолинейные боковые стороны (MS) и (PR), а третью сторону (SR) криволинейную, называется криволинейной трапецией.

Если мы будем знать, как вычислить площадь криволинейной трапеции, то сумеем вычислить площадь и любой криволинейной пластинки.

Вычисление площади криволинейной трапеции

Пусть мы имеем криволинейную трапецию MP RS (рис. 36). Три границы ее — прямые—нам известны. Мы можем считать, что эта трапеция расположена относительно системы координат XOY так, что ее основание MP лежит на оси ОХ, причем точка M имеет координаты (а, 0), а точка Р имеет координаты (Ь, 0). Две другие прямые MS и PR расположены вертикально, т. е. параллельны оси OY. Четвертая граница — кривая линия. Будем считать, что эта линия задана уравнением у = f(x), по которому она может быть построена. Как подсчитать площадь нашей трапеции? Мы знаем, что единственная площадь, ограниченная кривой линией, которую мы умеем вычислять, — площадь круга, была подсчитана нами следующим образом. Сначала мы вписали в круг правильный многоугольник с п звеньями. Потом подсчитали его площадь. Затем предположили, что число его сторон неограниченно увеличивается, а длина каждой стороны стремится к 0. Предел площадей таких многоугольников и был назван площадью круга.

Метод вписывания многоугольников можно применить и при решении этой задачи. Разобьем отрезок MP на п частей (рис 37). Эти части могут быть равны друг другу, но это не обязательно. Получим точки: М1 — она же точка М, далее M2, М3, ... , Мп, Р. Проведем через эти точки верти-

Рис. 36

кальные прямые до их пересечения с кривой у = f (х). На ней мы получим точки: Ах— она же точка S, далее А** А» • • • » Ар Соединяя эти точки отрезками прямых, мы получим ломаную А1А2А3 ... Ап R. Таким образом, мы получим многоугольник, ограниченный прямолинейными отрезками MtAv МХР, PR и ломаной А1А2 ... AnR. Площадь этого многоугольника, обозначим Уп, можно рассматривать как сумму площадей полос:

Предположим теперь, что мы будем увеличивать число отрезков п, на которые разбито основание MP нашей трапеции. Тогда и число полос, на которые разбита площадь многоугольника, тоже будет увеличиваться, а полученная ломаная будет все больше приближаться к нашей кривой.

Если теперь перейти к пределу и искать предел суммы этих полосок при бесконечном увеличении их числа п и бесконечном уменьшении площади каждой из них, то мы и получим то, что называется площадью криволинейной трапеции, т. е.

Рис. 37

Однако можно провести вычисление и проще. Для этого эту же самую площадь вычисляем с помощью несколько иначе составленных полосок. Разбив, как и раньше, основание (рис. 38) трапеции на п частей (равных или неравных— безразлично), восставляют в них перпендикуляры до пересечения с кривой у = / (х) в точках Av А2, А3, ... . Теперь из каждой точки А19А2,АВ, ... мы проводим горизонтальные прямые до пересечения с соседней прямой справа в точках Bv B2i B3t ...

В результате получаем прямоугольные площадки

Составляем теперь сумму площадей этих п прямоугольных площадок. Имеем:

Конечно, эта сумма Sn не равна сумме 2л- Далее поступаем так. Увеличиваем число частей, на которые мы делим основание MP криволинейной трапеции, с тем чтобы длина каждой такой части с каждым новым разбиением уменьшалась, и снова проводим из концов левых ординат горизонтальные прямые до их пересечения с правыми ординатами каждой полоски. В результате мы получаем новую сумму Sn наших п площадок, но уже вообще более узких и более точно представляющих искомую площадь криволинейной

Рис. 38

трапеции (см. рис. 39), где зачернены площадки добавившихся прямоугольничков.

Если мы теперь будем неограниченно увеличивать число п наших площадок, с тем чтобы основание каждой из них стремилось по длине к 0, и найдем предел S их суммы Sn, то, как можно доказать, этот предел существует. Он называется площадью криволинейной трапеции. Итак, имеем:

Оказывается, что этот предел Snf т. е. S, равен пределу 2Л« Но вычислять предел Sn проще, чем вычислять предел 2л» так как здесь (для Sn) речь идет о прямоугольных площадках, а для 2« Речь шла о трапециях.

Покажем, как надо в принципе вычислять искомое 5, т. е. предел Sn при п-юо. Для этого запишем сумму S несколько иначе.

Здесь в каждом слагаемом первый множитель обозначает высоту прямоугольной площадки, а второй — ее основание.

Но откуда мы знаем эти высоты?

Здесь мы должны вспомнить, что кривая, ограничивающая нашу криволинейную трапецию, нам дана своим уравнением: у = /(*). Следовательно, разбивая основание тра-

Рис. 39

пеции на п частей (рис. 40), мы можем обозначить координаты делящих точек МХМ2, ... ,МпР, лежащих в основании так:

М1(х1 = а,% М2(*2,0), М3(х3,% ... 9Мп{хп90)9 Р(Ь90).

Тогда основание каждой площадки запишется разностью:

(Если все ах равны друг другу, то мы будем иметь:

так как весь отрезок МХР = Ъ — а разделен на п равных частей.) Значки при Ал: поставлены так, чтобы показывать, к какому X они прибавляются. Именно к х1 добавляется A*x и получается х2. Действительно, из записи х2 — х1 = ахг видно, что х2 = х1 + Ал^. Запись х3 — х2 = Д*2 дает х3 = х2 + А*2 и т. д.

Что касается каждой высоты, то она есть ордината у кривой y = f(x) при соответствующем значении абсциссы х. Итак, имеем:

Рис. 40

абсциссе х1 по уравнению у = f(x) соответствует ордината yv

Таким образом, сумма п площадок может быть записана так:

а вся криволинейная трапеция будет иметь площадь S, равную:

Итак, для вычисления площади S криволинейной трапеции надо:

1) Разбить ее основание на п каких-либо частей.

2) Найти ординаты кривой в точках деления.

3) Вычислить площади п полосок и подсчитать их сумму Sn, которая, естественно, будет зависеть от числа этих полосок.

4) Найти предел этой суммы, когда число п полосок неограниченно увеличивается, а площадь каждой из них стремится к 0.

Рассмотрим более подробно, как мы совершаем переход к пределу в сумме Sn = уг&хг-f -у2~г +Упкеп. Переходя к пределу, мы начинаем рассматривать п как переменную величину. Она неограниченно увеличивается, как говорят, бесконечно растет, или стремится к бесконечности.

Таким образом, число слагаемых в сумме Sn бесконечно возрастает, а величина каждого слагаемого стремится к 0. Действительно, в первом слагаемом величина, равная уг, есть величина конечная, а величина Дл^ стремится к 0. Следовательно, и вся площадь первой полоски ухАхх стремится к 0, т. е. становится бесконечно малой величиной. Что касается величины площади второй полоски, то ее высота, равная у2, отодвигаясь влево, поскольку Дл;-»>0, остается конечной величиной, а ее основание Дл:2 стремится к 0. Следовательно, и вся площадь второй полоски у2Д*2 становится бесконечно малой. Это же касается площадей и всех остальных полосок.

Итак, все слагаемые суммы Sn, т. е. площади всех полосок, бесконечно малы, но число полосок бесконечно велико

и в результате предел суммы Sn получается вполне определенной конечной величиной — площадью криволинейной трапеции. Ее масса равна произведению ее площади на ее плотность.

Рассмотрим пример. Пусть мы хотим найти площадь, ограниченную отрезком МХР оси ОХ, двумя вертикальными ординатами и сверху дугой тангенсоиды у = tg* (рис. 41).

Пусть точка Мх имеет координаты (а, 0), a точка Р имеет координаты (Ь, 0).

Разобьем отрезок MLP на п частей, и пусть координаты соответствующих точек деления будут:

Тогда значения соответствующих ординат будут:

Рис. 41

Вся площадь, состоящая из п площадок, будет

Теперь надо найти предел этого выражения, при неограниченном возрастании числа этих полосок. Тогда площадь S всей криволинейной трапеции будет равна

Как теперь отыскивать предел этой суммы п полосок при П—ос?

Отыскание этого предела, как и в предыдущем примере,— задача весьма сложная и поэтому мы ее здесь решать не будем. Сейчас мы лишь заметим, что предел такой суммы называется определенным интегралом, а отыскание пределов этих сумм называется интегрированием. Отысканием таких пределов занимается раздел математического анализа, называемый интегральным исчислением. Определенный интеграл записывается в сокращенном виде так:

Здесь буквы а и Ь называют пределами интегрирования. Они обозначают наименьшее и наибольшее значения аргумента де, которые определяют левую и правую ординату нашей криволинейной трапеции. Под знаком интеграла \ записан общий вид функции, а обозначение dx показывает, что мы имеем дело с приращениями Ах.

Для нашего последнего примера эта запись имеет вид

Заметим, что само слово интеграл в переводе на русский язык обозначает объединение.

В предыдущем примере, когда мы определяли длину дуги, мы тоже имели дело с определенным интегралом и могли его записать в виде:

Здесь а и Ь были тоже абсциссами крайней левой и крайней правой ординат, определявшими точки А и В — начало и конец вычисляемой дуги кривой. Записи dx и dy показывали, что мы имели дело с Ах и Ду.

Нетрудно заметить, что под знаком интеграла мы записываем как бы общий член вычисляемой суммы.

Расчет веса или массы, который мы провели выше, выполняется при условии однородности пластинки. Если пластинка неоднородная и, значит, ее плотность (количество массы в как угодно малой ее части) при изменении положения этой малой площадки меняется, то вычисление усложняется. Здесь приходится поступать так. Рассматривая каждую полоску, например M1i41ß1M2, М2А2В2М3, . .. , мы умножаем площадь угАл:, у2-Дл;2, ... каждой из них на плотности plt р2, ... , определенные в какой-нибудь точке полоски, считая, что во всей полоске они как бы одинаковы и равны: рг— в первой, р2 — во второй, ... Тогда масса п площадок будет приближенно равна

Теперь, когда мы будем предполагать, что число п подразделений площади будет неограниченно расти, а плошадь каждой полоски будет стремиться к 0, то с уменьшением площадей полосок плотности pv р2, ... будут также меняться. В результате мы все точнее будем определять массы площадок.

Если же мы перейдем к пределу при стремлении числа п площадок к бесконечности и площади каждой из них к О, то окажется (это все доказывается в курсе математического анализа), что этот предел и будет массой всей площади криволинейной трапеции, т. е. получим

Итак мы рассмотрели все основные понятия, с которыми приходится иметь дело при математическом исследовании законов природы и их использовании в технических расчетах. Эти понятия: скорость, ускорение, плотность, длина дуги, масса.

УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Мы говорили, что математический анализ возник как математика переменных величин.

Мы знаем также, что в задачах элементарной математики все величины — известные и неизвестные — всегда по-

стоянны, а при решении таких задач мы обычно имеем дело с уравнениями.

Выше мы видели, какие задачи приходится решать математике переменных величин: находить производные и определенные интегралы.

Покажем, как решаются такие задачи математического анализа, которые сводятся к решению уравнений с участием в них переменных величин.

Для сравнения рассмотрим две похожие друг на друга задачи только одну с постоянными, а другую — с переменными величинами.

Задача 1. Точка движется прямолинейно с постоянной скоростью V, равной 5 см/сек. Найти зависимость пройденного пути S (от начала движения) от времени t движения и определить, какой путь пройдет точка за 10 секунд.

Решение. Так как скорость V равна отношению пройденного пути S к затраченному на этот путь времени t, то имеем V = — или S = Vt. Это и есть искомая (и известная нам из физики) зависимость пройденного пути 5 от затраченного на него времени t.

Теперь нетрудно подсчитать, что при скорости V = 5 см/сек за время t = 10 сек будет пройден путь 5 = 5.10 = 50 (см). Задача решена.

Рассмотрим теперь подобную же задачу с переменными величинами.

Задача 2. Точка движется прямолинейно с переменной скоростью V, пропорциональной квадрату времени t, протекшего от начала движения (множитель пропорциональности с известен). Найти зависимость пройденного пути S от времени / и определить путь 5, пройденный точкой за время 10 секунд.

Решение По условиям задачи записываем уравнение, связывающее скорость V со временем /: V = et2. Мы видим, что в этой задаче нам дан закон изменения скорости в зависимости от изменения времени.

Проанализируем записанное уравнение. В уравнение входят: известная постоянная величина с—множитель пропорциональности, и переменные величины: время t и скорость V. Требуется найти путь 5, т. е., точнее, зависимость пути S от времени /, или, иначе говоря, требуется найти функцию 5 = f(t) или закон движения.

Но как из уравнения V = et2 найти путь S через время /, когда явно буквы 5 даже нет в уравнении? Записать, как в предыдущей задаче, что V = —, мы не можем, так как это соотношение имеет место только для постоянной скорости. Однако здесь имеет место типичное положение, с которым мы очень часто встречаемся в уравнениях, содержащих переменные величины.

Переменный путь S явно не входит в уравнение, но не явно он там участвует! Чтобы это стало ясно, достаточно вспомнить, что

Итак, чтобы все переменные в нем участвовали, наше уравнение по сути дела должно быть переписано в виде:

Из этого уравнения надо найти зависимость S = f(t).

Но как решить это уравнение с переменными величинами, которые включают в себя и бесконечно малые величины и предельный переход?

Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями и способы их решения изучаются в курсе математического анализа. Существует много разных типов таких уравнений. В математике они имеют громадное значение.

К решению дифференциальных уравнений в основном сводятся все расчеты с переменными величинами, которые приходится выполнять в физике, в естествознании, в технике.

Сейчас мы не знаем, как решить это уравнение. Поэтому лишь запишем ответ этой задачи и проверим его справедливость.

Зависимость пути S от времени t будет иметь вид:

(рис. 42), т. е. путь S, проходимый точкой, про-

Рис. 42

порционален кубу времени t, протекшего от начала движения. Множитель пропорциональности равен —, Чтобы проверить справедливость нашего решения, найдем по этой формуле скорость V нашей точки и убедимся, что она удовлетворяет нашему уравнению. Имеем:

или

Раскрывая скобки, найдем

Делим обе части равенства на Ы. Имеем:

Переходим к пределу при А^, стремящемся к 0, находим скорость V:

Итак,

Но, подставляя вместо V в левую часть нашего уравнения полученное значение V, т. е. et2, убеждаемся, что наше уравнение обращается в тождество et2 = V = et2. Итак, ответ был верен.

Теперь мы можем ответить и на второй вопрос нашей задачи: вычислить путь S, пройденный точкой за время / = 10 сек.

Мы имеем закон движения

Подставляя сюда / = 10, найдем

Если считать множитель пропорциональности о = 1, то найдем

Задача решена.

ЧТО ПРЕДСТОИТ ИЗУЧАТЬ В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА?

Мы видим, что основные проблемы естествознания — физики, механики, астрономии и техники — привели нас к определению двух основных понятий, к двум основным процессам (действиям).

Первое понятие. Производная (скорость, ускорение, плотность) есть предел отношения приращения функции Ду к приращению аргумента Длс, когда оба они стремятся к О, т. е.

Второе понятие. Интеграл (длина дуги, масса, площадь, объем) есть предел суммы бесконечно возрастающего числа бесконечно уменьшающихся слагаемых.

Или короче: в первом случае требуется найти предел отношения двух бесконечно малых:

во втором — требуется найти предел суммы бесконечно большого числа бесконечно малых.

Применение этих двух процессов (по отдельности или вместе) требуется, можно сказать, в каждой задаче математики переменных величин, так как любое из понятий, с которыми в ней имеют дело, есть либо скорости, либо ускорение, либо плотность, либо длина дуги, либо масса вещества (площадь, объем), либо какая-то величина, в конечном счете сводящаяся к одной из этих или построенная на их основе.

Иными словами, две основные математические задачи естествознания и техники — вычисление скоростей, ускорений и плотностей и вычисление длин дуг, площадей и объемов масс — дали истоки двум математическим действиям: дифференцированию и интегрированию.

С первого взгляда может показаться, что в этих новых понятиях — производная и интеграл — с математической стороны нет ничего принципиально нового.

Действительно, отыскивая производную, мы 1) прежде всего по значению аргумента х (времени t, объема Wut. д.) находим значение функции у (пройденного пути S, массы m и т. д.). Далее, по новому значению аргумента x+kx находим новое значение функции у + ^У» Все эти действия для нас не новы.

2) Вычитая из нового значения функции у + Ау ее прежнее значение у, мы находили значение приращения функции Ay (AS, Am).

Здесь совершилось хорошо известное в алгебре действие вычитания.

3) Далее, мы делили приращение функции Ау на приращение аргумента А* и получили отношение приращений.

Но это действие деления на одночлен принципиально ровно ничего нового для нас не представляет. Мы его много раз совершали в школе.

4) Наконец, имея отношение приращений, мы переходили к пределу, считая, что приращение Ал: аргумента х (а следовательно, и приращение Ау функции у) стремится к 0, в результате чего получали производную

И снова — переход к пределу не новое для нас действие, так как мы его уже совершали, отыскивая в геометрии длину окружности (или площадь круга) как предел периметров (площадей) вписанных многоугольников, когда число их звеньев неограниченно росло, а длина каждого звена стремилась к нулю. И тем не менее хотя каждое из этих действий ничего нового в себе не содержит, однако выполненные все вместе они дают нам качественно новое исключительно важное понятие — производной. Тот факт, что вся совокупность этих простых действий является практически

столь важной и столь часто употребляется и дает нам основание считать отыскание производной единым новым действием, которое мы называем дифференцированием.

Поскольку отыскивать производные в задачах механики, физики, астрономии, техники и т. д. приходится буквально на каждом шагу, а выполнять все описанные действия, как мы уже убедились, в огромном большинстве случаев далеко не просто, то перед математическим анализом, точнее перед его разделом — дифференциальным исчислением, стоит основная задача: дать простые и удобные способы отыскания производных от любых функций. Решить эту задачу — значит обеспечить возможность нахождения скоростей, ускорений, плотностей и т. д. в естественных и технических науках во всех встречающихся в них случаях.

Теперь посмотрим, как обстоит дело с отысканием интеграла.

Первое действие, которое мы здесь совершаем, состоит в отыскании значений функций yv у2, . . ., уп при заданных значениях аргументов хъ х2, . . ., хп.

Это действие мы совершали уже в школе при построении графиков. Далее происходит перемножение значений функций на соответствующие значения приращений аргумента:

Это действие умножения тоже известно из элементарной математики. То же самое представляет собой сложение

Наконец, мы ищем предел этой суммы при

Отыскание предела тоже действие нам известное, так как с пределами мы уже встречались в школе. И тем не менее все эти действия, снова взятые все вместе, дают качественно новое и чрезвычайно важное понятие определенного интеграла.

То обстоятельство, что отыскание определенных интегралов приходится выполнять почти в каждой задаче физики, механики, техники и т. д., имеющей дело с переменными величинами, и дает нам основание рассматривать эту операцию как единое новое действие — интегрирование. Как мы уже говорили, интегрирование связано вообще с большими трудностями.

Поэтому задачей интегрального исчисления является отыскание способов вычисления интегралов.

Итак, мы видим, что вычисление скоростей, ускорений и плотностей, или, говоря общим математическим языком, вычисление производных, а также площадей, или интегралов, являются, можно сказать, универсальными математическими операциями. В конечном счете к вычислению производных и интегралов по данным функциям или к оперированию с производными и интегралами сводятся все математические вычисления, связанные с расчетами всевозможных процессов, совершающихся в природе или осуществляемых в технике.

Теперь перед нами стоит вопрос о методах вычисления производных и интегралов.

Мы уже говорили о больших трудностях, связанных с их вычислением. Теперь нам надо выяснить, как можно преодолеть эти трудности. Но для этого надо конкретно и точно установить, в чем заключается природа этих трудностей.

Еще раз напомним, что для отыскания производной, найдя приращение ах и Ду, мы должны:

1) поделить их друг на друга, т. е. найти частное

2) найти предел их отношения

И вот именно в этих операциях мы и встретили затруднение, когда нам пришлось иметь дело с более сложными функциями. В чем эти затруднения? Мы знаем, что ах и Ду — переменные и стремящиеся к 0. Такие величины мы назвали «бесконечно малыми». При этом ясно, что если А*-0, то обязательно и Ду-0. Иначе говоря, как угодно малому приращению Ах отвечает как угодно малое приращение Ау. Функции, обладающие этим свойством, называются непрерывными. Далее нам надо было найти предел отношения —. И вот тут-то и встретилась нам основная трудность.

Числитель и знаменатель стремились к 0, а к чему стремилось их отношение, т. е. каков был предел этого отношения, этого-то мы и не могли установить. Что надо сделать, чтобы найти lim — ?

Заметим, что этот предел будет всецело зависеть от того, как именно числитель Ау и знаменатель А* стремятся к О, и в различных случаях этот предел будет различным. Поэтому заранее, без подробного исследования числителя и знаменателя в отдельности, мы ничего не можем сказать о пределе их отношения. Вот несколько примеров, поясняющих нашу мысль.

Рассмотрим выражения

и пусть во всех них а:-0, тогда у, г, и, V, W тоже все стремятся к 0. Итак, все они будут бесконечно малыми. Но отношения их друг к другу и их пределы будут различными. Действительно, мы найдем

Итак, во всех случаях числители и знаменатели стремились к 0, но их отношения и пределы их отношений всюду были различными. Следовательно, как мы выше сказали, без анализа самих величин, стремящихся к 0, мы ничего не сможем сказать о пределах их отношений.

В нашем первом примере с функцией S =— мы справились с этими трудностями сравнительно легко, так как

там в числителе у нас стоял многочлен и мы просто поделили его почленно на Ах, а потом перешли к пределу (стр. 37). В последних же наших примерах (стр. 45), как мы видели, в числителе стояло сложное выражение, которое поделить непосредственно на Длс нельзя было и потому о том, как переходить в нем к пределу, мы вообще ничего сказать не могли. Значит, надо было либо преобразовать числитель, либо поступить как-то еще иначе. Отсюда вывод: поскольку, как мы уже говорили, с отысканием производных приходится на практике иметь дело очень часто, а пользоваться каждый раз догадкой при решении таких задач невозможно, так как это очень замедляло бы работу, то необходимо создание общих методов расчета производных. Но, как мы видим из предыдущего, для установления общих методов отыскания производных требуется:

1) Изучение самой функциональной зависимости, у = /(*), изучение типов функций, классификацию функций, изучение их свойств. Действительно, величина Ду всецело зависит от того, с какими функциями мы имеем дело. Так, существуют функции непрерывные: у = х2 (рис. 2) и разрывные: у = — (рис. 9), у = tgx, возрастающие у = х2 при X > 0 и убывающие у = х2 при х < 0, у = — при х > О, колеблющиеся у = sin* (рис. 18) и т. д. Очень часто нам приходится иметь дело со сложными функциями, например

Здесь возникает важная задача: зная свойства простых функций axt lg (x+b), tgmx (а мы их будем специально изучать), составить себе по ним представление о сложной функции. От вида и свойств этой сложной функции и будет зависеть ее Ду, а следовательно, в дальнейшем и отношение — и предел этого отношения lim — , т. е. ее производная.

2) Изучение свойств бесконечно малых, т. е. А*-О, Ду-0. Надо выяснить, что будет если мы будем складывать, вычитать, умножать и делить бесконечно малые на

разные величины или друг на друга и т. д., так как это приходится делать при вычислении производных.

3) Изучение пределов, т. е. предельного перехода и его свойств. Здесь требуется установить способы отыскания пределов различных функций в различных случаях. Например, надо найти предел некоторой сложной функции. Но она состоит из более простых (см. пример на предыдущей странице). Пределы этих простых функций мы находить умеем. Спрашивается, нельзя ли с их помощью найти предел и нашей сложной функции?

Часто встречаются и другие сложные, но важные в науке выражения, пределы которых требуется найти. Например, как найти

Этот предел имеет обширные приложения в физике, математике и в технике. Здесь значение величины, стоящей в скобках, убывает, стремясь к единице, но зато неограниченно растет показатель степени. Каков будет предел? Как найти этот предел? Сразу не видно. Но этот предел — его изучают в математическом анализе—равен как раз тому самому числу ^ = 2,718 . . ., с которым мы выше уже имели дело.

4) Исследование непрерывных функций. Поскольку непрерывные функции особенно часто встречаются в науке, приходится отдельно изучать свойства непрерывных функций. Здесь важны такие вопросы. Мы имеем дело с весьма сложной функцией. Спрашивается, как непрерывность или разрывность составляющих ее простых функций скажется на непрерывности сложной функции? Вот пример:

Все функции

составляющие нашу функцию, — непрерывны. Будет ли непрерывно изменяться вся дробь, т. е. у?

Особенно важен вопрос, возникший у нас в связи с отысканием производной. Он состоит в том, чтобы выяснить, при каких условиях из того, что Ад: -> 0, следует, что и Ду -» 0. Иначе говоря, каковы свойства и признаки непрерывных функций.

Основная наша задача во всех этих вопросах состоит в том, чтобы на основании изучения типов функций, теории бесконечно малых и теории пределов создать методы наиболее быстрого отыскания производных от любых заданных функций, т. е. найти «правила дифференцирования функций». В частности, мы увидим, что, умея находить произ-

водные простых функций, мы сумеем отыскивать по ним производные более сложных функций, которые составлены из этих простых.

Теперь посмотрим, какие трудности возникают перед нами при вычислении определенных интегралов

или пределов бесконечно большого числа, бесконечно малых слагаемых и что надо сделать, чтобы их преодолеть. Прежде всего подчеркнем, что предел суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых всецело зависит от того, каковы те бесконечно малые слагаемые, предел суммы которых мы ищем. Вот простейшие примеры, поясняющие сказанное:

Здесь все слагаемые тоже бесконечно малые, даже последнее, так как, деля его числитель и знаменатель на /г, получаем:

Найдем теперь предел всей суммы. Имеем:

Мы видим, что всюду мы имели дело с пределами сумм бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых и всюду этот предел всецело зависел от вида самих этих слагаемых. А отсюда следует, что для отыскания указанных пределов нам снова требуется изучение свойств функций (так как yv у2, уп — это и есть значения функций в промежуточных точках), изучение бесконечно малых, пределов, непрерывности, т. е. в основном изучение тех же самых понятий, какие нам были нужны для отыскания производных.

При этом в случае отыскания определенных интегралов особое внимание придется уделить именно отысканию не пределов, вообще, а пределов сумм бесконечно малых слагаемых.

Итак, математические задачи, стоящие перед нами, решение которых необходимо для отыскания определенных интегралов, следующие.

Необходимо изучить: 1) свойства различных функций;

2) переменные величины и их свойства;

3) свойства бесконечно малых величин и действия с ними;

4) отыскание пределов различных величин, свойства этих пределов и действий с ними;

5) способы отыскания пределов суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых.

Но этого мало. Оказывается, что есть еще одно важное понятие, которое лежит в основе всех перечисленных и которое мы тоже должны изучить. Это понятие о множестве действительных чисел. Дело в том, что все наши задачи, о которых мы здесь говорили, связаны с реальными объектами, а именно с движением частиц материи по линиям, с их скоростями, с ускорениями, с силами, с определением массы вещества и т. д.

Из наших представлений ясно, что каждая частица двигается по непрерывной линии, при этом движется по ней непрерывно, с непрерывно меняющейся (или постоянной) скоростью и т. д.

Действительно, мы не представляем себе такого положения, чтобы частица, двигаясь из одной точки пространства в другую, двигалась скачками, так сказать, «разрывно», т. е. так, чтобы она была в одной точке, потом вдруг вообще куда-то исчезла, потом сразу появилась в другой точке и т. д. Двигаясь по линии из точки А в точку В (рис. 43), частица непрерывно переходит из точки А через

все промежуточные точки, пока не дойдет до точки В. Так же точно ее скорость может меняться, возрастать или убывать, но это происходит постепенно, а не скачками. Мы не представляем себе, чтобы точка, имеющая в данный момент скорость, равную, например, 10 см/сек, вдруг мгновенно сразу приобрела скорость, равную, например, 100 см/сек, не приобретая промежуточных значений скорости.

Итак, все наши понятия и процессы связаны с непрерывностью. Но изучаем мы все эти непрерывные процессы и непрерывные геометрические образы — линии, площади, объемы с помощью чисел, координат точек и т. д., т. е.

с помощью вычислительного математического аппарата—функций, переменных величин, в частности бесконечно малых, пределов и т. д. Причем все эти переменные величины, изменяясь, принимают различные численные значения. Спрашивается, насколько непрерывным геометрическим образам, с которыми мы имеем дело, отвечают числа, с помощью которых мы изучаем эти образы? Иначе говоря, следуют ли числа друг за другом так же непрерывно, как непрерывно следуют друг за другом точки линии? Ведь если числа не будут образовывать непрерывного множества, то ясно, что с их помощью, т. е. с помощью функций и т. д., нельзя будет изучать линии, скорости и т. д. Короче говоря, обладают ли действительные числа (точнее, все множество действительных чисел) такой же непрерывностью, какой ею обладают линии, площади, объемы, скорости, массы? Иначе говоря, можем ли мы вообще изучать непрерывные геометрические образы с помощью чисел? И что такое вообще непрерывность для множества чисел? То, что этот вопрос не так прост, как может показаться с первого взгляда, видно из следующих соображений. Ведя карандашом по бумаге, мы чертим сплошную линию, без разрывов. Так, например, ведя острие карандаша из точки M (1,0) оси ОХ системы координат вправо и непрерывно описывая им ось ОХ, мы проводим его последовательно через все точки этой оси (рис. 44).

Но попробуем, исходя из той же точки M (1,0), идти непрерывно вдоль оси ОХ, «по числам», т. е. по координатам ее точек, проходя последовательно все числа (коорди-

Рис. 43

наты точек) этой оси. Удастся ли нам это? Какое будет то «ближайшее», «непрерывно следующее» за 1 число, которое мы должны будем тогда называть? Оказывается, что назвать такое число мы вообще не можем. Такого числа вообще нет. Действительно, какое бы близкое к 1 число мы ни назвали, например 1,000 ООО ООО 01, всегда можно найти число, еще более близкое к 1, например 1,000 000 000001 и т. д. Но тогда спрашивается, как же изучать непрерывные линии с помощью таких чисел? Далее, перед нами возникает вопрос о том, какие вообще виды чисел существуют? Мы знаем, что существуют целые числа, рациональные числа (целые числа и все простые дроби). Существуют такие числа, как, например,

и т. д., т. е. всевозможные корни из целых чисел и дробей. Охватывают ли они все возможные действительные числа? Оказывается, нет. Так, есть хорошо нам известное число я =3,141... . Доказано, что это число более сложной природы, чем все те числа, которые мы упоминали. Оно не может быть точно выражено никакими радикалами, какой бы степени мы их ни брали из рациональных чисел, взятых в конечном числе. Оно иррациональное число особого вида, так называемое трансцендентное число.

Итак, перед нами стоит вопрос первостепенной важности: каковы же все возможные действительные числа, с помощью которых мы собираемся и должны изучать непрерывные геометрические образы и непрерывно меняющиеся объекты природы, механики, физики (скорости, массы и т. д.). Образуют ли они непрерывное множество чисел и что оно из себя представляет. Можем ли мы вообще с помощью чисел, например координат точек линии у = /(*), охватить действительно все точки линии или нет?

Только после утвердительного ответа на этот вопрос (который дает математический анализ) мы сможем решать задачи геометрии и естествознания — физики и техники — вычислительными, т. е. числовыми методами. Поэтому прежде всего нам надо изучить, что из себя представляет система действительных чисел, т. е. нам надо изучить теорию действительного числа и лишь на ее основе мы

Рис. 44

сможем приступить к строгому изучению остальных понятий, о которых мы говорили выше. Таким образом, порядок изучения основных понятий математического анализа предстает перед нами в таком виде.

1. Прежде всего должна быть построена и изучена теория действительного числа.

Пользуясь действительными числами, мы сможем рассматривать и изучать функции, записывать их в виде соотношений между X и у, т. е. у = /(де), исследовать и чертить кривые и т. д.

2. Далее пойдет общее изучение различных классов функций.

3. Изучение теории пределов и предельных переходов.

4. Изучение бесконечно малых величин, их отношений, пределов этих отношений и пределов их сумм.

5. Изучение свойства непрерывных и разрывных функций.

Только после изучения всех этих предварительных понятий мы сможем приступить к решению основных задач:

1. Дать методы вычисления производных во всех случаях, для функций любой сложности (с некоторыми ограничениями).

2. Дать способы точного и приближенного отыскания определенных интегралов для различных функций.

3. Дать методы решения (говорят: интегрирования) дифференциальных уравнений.

4. Освоить методы математического анализа, его подход к решению задач математики переменных величин, которые перед ним ставят естествознание и техника.

Подведем итоги.

На предыдущих страницах мы показали, какие задачи возникают перед естествознанием и техникой, и отметили ее проблемы, которые эти задачи ставят перед математикой.

Эти проблемы состоят в изучении переменных величин, функций, в отыскании производных и интегралов, так как на языке переменных величин формулируются в математике все закономерности, связанные с процессами, совершающимися в природе.

Достаточно напомнить, что все расчеты, связанные с техникой, например, автомобилестроения или авиации, будут связаны с учетом переменных величин: переменных скоростей и ускорений автомобиля или самолета, с процессами,

происходящими в двигателях, с изменением массы горючего при его постепенном использовании путем взрывания в цилиндрах моторов, где мы снова рассматриваем переменные скорости поршня, переменную плотность горючей смеси, переменную температуру ее в процессе взрыва.

Всевозможные технологические расчеты, связанные с химическими производствами, приведут нас к расчетам, связанным с переменной температурой среды и реагирующих веществ, с переменными скоростями реакций, с переменными количествами веществ, переходящих из одного состояния в другое, и т. д.

Именно при решении таких вопросов и используется в технике математика переменных величин, о которой выше у нас все время шла речь.

ЧТО ДАЕТ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УЧИТЕЛЮ?

Что может и должно дать изучение математического анализа учителю?

Ответ наш на этот вопрос будет состоять из нескольких пунктов.

1. Чтобы глубоко понимать математику, учитель математики должен знать, как возникла и как используется математика в современном естествознании и в современной технике.

Это требование совершенно необходимо для учителя. Только тот учитель, который знает, как используется математика, как она возникла из потребностей практики, может сказать, что он достаточно глубоко понимает математику, овладел ее идеями, смыслом ее формул.

Дело в том, что одно знание формул самих по себе без понимания, откуда они взялись и для чего служат, не будет ни глубоким, ни осмысленным.

Действительно, основная задача математики (элементарной и высшей) — дать методы количественного, вычислительного решения тех задач, которые перед ней ставят наука и практика. Поэтому только понимание этих задач делает понятными методы, которые используются для их решения, т. е. методы математики. Таким образом, лишь задачи науки и техники придают смысл тем математическим формулам, которые мы изучаем в курсе математики и которые возникли под их влиянием. И наоборот,

изучая одни только голые математические формулы и, не задумываясь над тем, для чего они были созданы и для чего они служат, мы как бы обессмысливаем эти формулы, делаем непонятными их появление, их цели, лишаем себя возможности понять, почему эти формулы именно таковы, какими мы их видим, а не какие-нибудь другие и т. д.

Вывод из одних формул других формул — различные преобразования формул друг в друга, без понимания их целей и внутреннего смысла — имеет не большую ценность, чем, например, любая гимнастика ума: решение кроссвордов, головоломок, игра в шахматы и т. д. Конечно, и эти занятия имеют свою ценность, но приравнивать изучение науки к головоломкам или к шахматной игре — нет никаких оснований.

Современная математика — это математика постоянных и переменных величин. Эта математика есть по существу нечто единое, и только знание основных идей и методов этой единой математики способно обеспечить глубокое и всестороннее понимание каждого из ее разделов в отдельности.

Напомним историческую картину.

Математика постоянных величин удовлетворяла потребности человечества до XVI века. С начала XVII века в связи с развитием мореплавания, необходимостью ориентироваться в море по положению светил возник вопрос об изучении их траекторий, вопрос о движении планет по эллиптическим орбитам, об определении их переменных скоростей, направленных по касательным к их орбитам, и т. д.

Формулировка законов Ньютона поставила вопрос о силах в природе, т. е. о массах и ускорениях. Развитие военного дела снова было связано с расчетами траектории снарядов с их переменными скоростями, с их ускорениями, с их массами, с переменной плотностью воздуха, который оказывал сопротивление их полету и т. д.

Все эти требования развивавшейся техники и привели к появлению математики переменных величин, к появлению понятия «производной» и «интеграла» в трудах И. Ньютона и В. Лейбница.

С тех пор физика и техника все время развивались и это развитие идет все более быстрыми темпами. Математика развивалась вместе с ними, то непосредственно следуя за требованиями практики, то несколько их опережая, но

всегда обеспечивая возможность решения практических задач, которые возникали перед человечеством.

И хотя за последние триста лет рамки математики необычайно расширились, но тем не менее в основе большинства современных расчетов лежит тот классический математический анализ, который начинается с понятий «производная» и «интеграл» и их использует.

Поэтому глубокое понимание современных математических методов требует знания математического анализа как фундамента современной математики.

А осознание всей глубины вложенных в него идей, наиболее полное понимание его формул возникает из знания и понимания того, как ими пользуются, для чего они служат, какие задачи они позволяют решить.

А это значит, что учитель должен знать основы математического анализа и основы его приложений в физике и технике.

2. Учитель математики, помимо знания математики, должен быть культурным человеком своего времени.

Для того чтобы успешно преподавать математику, надо пользоваться заслуженным авторитетом учащихся. Учитель, не видящий в своей жизни и в своей работе ничего, кроме формулы, не сможет скрыть это от учащегося, интересующегося физикой, химией, астрономией, биологией, техникой, авиацией, телевидением, космонавтикой и т. д. Конечно, учитель математики не может знать «всех наук». Да это от него и не требуется. Но он должен знать, хотя бы весьма приближенно, чем эти науки занимаются и какую роль в них играет математика.

Перед учителем, изучившим основы курса математического анализа, все пути в этом направлении будут открыты. Действительно, знание математического анализа делает доступным учителю книги по физике, механике, астрономии и другим наукам, излагающим эти области знания на современном научном уровне. Поэтому, даже не собираясь разъяснять этих наук учащимся, он сумеет вдохновить их на изучение школьной математики, обрисовав им, когда это понадобится, перспективы приложения ее высших разделов к проблемам естествознания и техники, объяснив им, как эти науки используют математику.

3. Этот пункт особенно важен. Дело в том, что в школьном курсе математики затрагивается много таких вопросов, полное решение которых выходит за рамки самой

элементарной математики. Эти вопросы находят свое завершение и разрешение на современном научном уровне лишь в математическом анализе. Но учитель, само собой разумеется, должен разбираться в этих вопросах до конца.

Первый важный вопрос, который возникает в элементарной математике, но не находит в ней своего полного решения, — это теория действительного числа. В школе изучаются действия с целыми числами, с простыми и десятичными дробями, извлекаются корни из чисел и т. д., рассматриваются периодические и непериодические дроби. И здесь сейчас же возникают вопросы: какие числа определяют эти последние дроби? Что такое иррациональное число? Что такое действия с иррациональными числами? Какова природа таких чисел, как число гс = 3,141, откуда берутся правила действий с отрицательными числами? Что такое формула (— а) (— Ь) = + ab, аксиома это или теорема?

Все эти вопросы должны получить для учителя свое полное и окончательное решение на уровне современной науки. Без этого учитель не может преподавать в школе.

Эти вопросы и находят свое предварительное и краткое решение в курсе математического анализа, а более полное и с несколько другой точки зрения в курсах теории функций действительного переменного и в теоретической арифметике.

Второй вопрос — изучение функций — имеет самое непосредственное отношение к школьному курсу математики.

Во-первых, в школе большую роль играет построение графиков функций и, следовательно, по уравнению у = f(x), определяющему функциональную зависимость, надо уметь исследовать функцию и построить ее график.

Во-вторых, в алгебре и тригонометрии рассматриваются функции

и другие.

Учитель должен знать на основе теории действительного числа, как обосновываются свойства этих функций, какие значения они принимают, как решается вопрос об их непрерывности и т. д.

Далее. Уже в школьном курсе рассматривается вопрос о переменных величинах, стремящихся к 0 (бесконечно малых), о переменных величинах, неограниченно растущих

(бесконечно больших), о пределах переменных величин и, в частности, о пределах сумм.

Вот пример. Когда мы имеем длину окружности, площадь круга, поверхность и объем шара, мы уже встречаемся со всеми этими понятиями. Так, определяя площадь круга, мы составляем вписанный многоугольник. Его площадь зависит от числа п его сторон. Потом мы неограниченно увеличиваем число п его сторон, делая каждую его сторону бесконечно малой. Тогда каждый многоугольник, составленный из п треугольников, будет меняться, и чтобы найти площадь круга, нам надо найти предел суммы бесконечно большого числа, бесконечно малых, составляющих его треугольников.

Конечно, в школе все эти вопросы о пределах решались лишь для простейших случаев и далеко не полно. Но учитель должен знать их строгое и современное обоснование и понимать их так, как их понимает современная математика. Но это строгое и современное их решение учитель и получит, как мы уже видели, в курсе математического анализа.

Отсюда следует важный вывод:

Те вопросы математического анализа, которые были порождены естествознанием и техникой и о которых мы говорили выше (учение о функциях, бесконечно малые и бесконечно большие величины, пределы и т. д.), одновременно являются важнейшими вопросами и для школьного преподавания, так как они на современном уровне решают те проблемы, которые возникли уже в недрах элементарной математики.

Следующий важный вопрос алгебры и тригонометрии — это решение уравнений.

Уравнения, о которых здесь идет речь, могут быть самыми разнообразными. Прежде всего нам знакомы алгебраические уравнения первых двух ступеней:

Однако существуют еще уравнения других типов (их решают приближенно): например, 2* = *-[-3 и 21g х = = X — 4. В тригонометрии рассматриваются тригонометрические уравнения, например

Решения всех этих уравнений всецело зависят от свойств функций, о которых в них идет речь, т. е. от свойств показательных, логарифмических и тригонометрических функций. А изучение этих функций является, как мы уже говорили, одной из важнейших задач математического анализа.

Следующая важная проблема, которая возникает в элементарной математике, состоит в составлении и использовании таблиц тригонометрических функций и таблиц логарифмов.

Почему вообще существуют эти таблицы? Нельзя ли обойтись без них?

Мы знаем, что существуют таблицы, например, квадратных корней из чисел или их квадратов и кубов. Но существование этих таблиц объясняется тем, что они призваны экономить время учащегося, который и сам мог бы по известным ему правилам извлечь квадратный корень из числа или возвести его в степень, но это просто заняло бы у него слишком много времени.

Совсем другие причины обусловливают наличие таблиц тригонометрических функций или логарифмов.

Действительно, зададим себе вопрос: как подсчитать, например,

Задумавшись над этим, мы должны будем ответить, что никаких правил на этот счет мы не имеем. Так, например, подсчитывать синусы путем вписывания в окружность многоугольников и деления половин их сторон на радиус — бессмысленно. На каждый такой подсчет ушло бы громадное количество времени.

А как найти ответ во втором примере? Ведь это значит, что надо найти у из уравнения 10У = 385,427.

Мы даже не знаем, как приступить к решению этого уравнения. Если не пользоваться уже готовыми таблицами логарифмов.

Чтобы глубже понять, в чем здесь дело, заметим, что если бы мы имели обычный многочлен, например,

и надо было бы подсчитать его значение при том же значении X = 385,427, то мы сразу знали бы, что нам надле-

жит сделать. Мы подставили бы в многочлен вместо х его значение х = 385,427, т. е. получили бы выражение у= = 5 (385,427)4 + 2 (385,427)3 — 7 (385,427)2+4(385,427)—1 и хотя вычисления были бы длинными, но мы их все-таки довели бы до конца. Не надо забывать, что все вычисления мы можем делать приближенно, так как и все таблицы тоже составлены с определенной степенью точности. Таким образом, когда мы имеем дело с многочленом, то нам сразу видно, как подсчитать его значение при данном значении X. Но когда мы имеем дело с синусом или логарифмом, то нам совсем не видно, что надо делать с ху чтобы найти значение логарифма или синуса.

Так, оттого, что мы запишем у = sin 7°32'46", мы ничуть не приблизимся к вычислению синуса. Итак, все дело в том, что многочлен непосредственно выражен через х и через действия, которые надо совершить над ле, чтобы найти значение многочлена. Между тем в записях функции sin х, Igx, tgx и т. д. действия над х не выражены, а только символически обозначены. Естественно возникает вопрос, как же составляются таблицы логарифмов, синусов и т. д.? И далее: нельзя ли и такие функции, как sinx, lgx и т. д., тоже как-то выразить через х и действия над ним совершаемые, хотя бы с помощью приближенных формул, например с помощью многочленов, так как последние обеспечивают наиболее простой способ подсчета их значений?

Короче говоря, нельзя ли хотя бы приближенно записать, например, такие равенства:

или

Если такие приближенные равенства можно было бы найти, то это означало бы, что поставленный нами вопрос был бы разрешен, т. е. по таким формулам мы могли бы приближенно вычислить логарифмы чисел или синусы их углов и т. д., т. е. составлять их таблицы. Оказывается, что такие формулы в математическом анализе действительно существуют. Их находят в результате тщательного изучения свойств таких функций, как у = sinx, у = lgx, и других. А этим, как мы видим, как раз и занимается математический анализ. В математическом анализе выводятся подобные формулы, по которым и составляются таблицы логарифмов, тригонометрических величин и т. д.

Более того, кроме приближенных равенств указанного типа в математическом анализе выводятся и точные равенства, но уже более сложного вида. Например, оказывается, что можно записать точное равенство

причем справа стоит «бесконечный ряд членов». В математическом анализе подробно разъясняется, как надо понимать само по себе написанное выше равенство, как надо понимать правую часть, состоящую из бесконечного множества членов, и что называть их суммой.

4. Значение математического анализа определяется для учителя не только тем, что математический анализ позволяет решить ряд конкретных вопросов, возникающих в элементарной математике.

Элементарная математика возникла более 2000 лет назад и понятия и образы, с которыми она имеет дело: линия, поверхность, длина, площадь, объем, пространство и т. д. — возникли давно.

Но современная математика понимает эти термины часто совсем не так, как их понимали раньше. И математический анализ раскрывает перед учителем современное понимание этих важнейших понятий математики.

Так, учитель должен знать, что теперь понятие линии значительно расширилось и углубилось по сравнению с тем, что в него вкладывалось раньше во времена Евклида. Если раньше под «линией» понималось нечто «длинное», «кривое», «не имеющее толщины», то теперь под понятие линии подпадают и такие линии, которые «несут на себе площадь», линии, которые полностью могут заполнить всю площадь квадрата, не пропустив в нем ни одной точки, линии, которые имеют бесконечно много изгибов на как угодно малом протяжении своей дуги, линии, которые определяются с помощью предельных переходов.

Если раньше понятие «пространство» охватывало только наше обычное пространство, то теперь существует «кривое пространство», «многомерное пространство», «векторное пространство» и т. д. Таким образом, термин «пространство» теперь понимается гораздо шире. В связи с этим выросла точность математического языка, строго определяющего те или иные понятия во избежание их смешения, путаницы, непонимания.

Следовательно, изучение математического анализа содействует также выработке у учителя точности его математической речи.

Таким образом, математический анализ:

а) знакомит учителя с современными математическими методами изучения явлений природы и их использования в технике;

б) отвечает на вопросы, возникающие в элементарной математике и не находящие в ней ответа;

в) знакомит с проблемами современной математики;

г) приучает к точности речи, расширяет общий математический кругозор, повышает общую математическую культуру, обеспечивает глубокое понимание математических понятий и методов.

А это, в частности, значит, что учитель, изучив в вузе курс математического анализа, настолько разовьет свое мышление, что с успехом сумеет решать и самые замысловатые задачи элементарной математики, даже если их решением он в вузе специально и не занимался.

5, Изучение математического анализа рассчитано и на будущее. Со временем школьная программа, да и сама математика как наука в целом претерпят большие изменения. Но учитель должен получить уже сейчас такие основы математических знаний, чтобы путем самостоятельных занятий он в любой момент своей жизни мог бы быть в курсе тех математических требований, которые перед ним может поставить его профессия.

Курс математического анализа как раз и является той базой, на которой учитель с успехом сможет строить свое дальнейшее математическое образование.

СОДЕРЖАНИЕ

От автора...................... 2

Математика и естествознание............. 3

Основные понятия и процессы............ 10

Линия и ее уравнение................ 14

Вычисление скорости, ускорения и плотности..... 22

О расположении касательной............. 37

О трудностях вычисления производной ........ 44

Определение длины дуги кривой линии........ 49

Масса и ее вычисление................ 54

Уравнения с переменными величинами......... 63

Что предстоит изучать в курсе математического анализа? 67

Что дает математический анализ учителю?...... 79

Михаил Владимирович Потоцкий

ЧТО ИЗУЧАЕТСЯ В КУРСЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Редактор Н. И. Никитина. Художественный редактор В. С. Эрденко Технический редактор Т. А. Семейкина. Корректор Р. Б. Берман

Сдано в набор 15/Х 1964 г. Подписано к печати 5/Ш 1965 p. 84Х1081/,,. Печ. л. 2,75 (4,62). Уч.-изд. л. 4,04. Тираж 26 тыс. экз. А 00088. Т. п. 1965 г. № 31.

Издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по печати. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский полиграфический комбинат Росглавполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров РСФСР по печати. Саратов, ул. Чернышевского, 59. Заказ № 171.

Цена 12 коп.