Потоцкий М. В. Что изучает проективная геометрия? — М. : Просвещение, 1982. — 80 с.

М. В. ПОТОЦКИЙ

ЧТО ИЗУЧАЕТ ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ?

М. В. ПОТОЦКИЙ

ЧТО ИЗУЧАЕТ ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ?

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8—10 КЛАССОВ

МОСКВА

ПРОСВЕЩЕНИЕ 1982

ББК 22.151.3 П 64

Рукопись рецензировали проф. Ярославского пединститута З. А. Скопец и доцент МГПИ М. В. Васильева

Потоцкий М. В.

П64 Что изучает проективная геометрия?: Пособие для учащихся 8—10-х кл. — М.: Просвещение, 1982. — 80 с., ил.

Брошюра посвящена изложению основных и простейших положений проективной геометрии и их использованию в элементарной и начертательной геометрии.

Интересное и доступное изложение может способствовать выбору профессии оканчивающими среднюю школу.

4306020400-499 ББК 22.151.3.

103(03) -82 гы-** 613+515

© Издательство «Просвещение», 1982 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От автора ............ 4

Введение............. 5

Глава I. Проектирование .... 6

Глава II. Начала проективной геометрии ..............26

Глава III. Теорема Дезарга .... 42

Глава IV. Проективная геометрия кривых 2-го порядка .......49

Глава V. Аффинная и метрическая плоскости ............56

Глава VI. Проективная геометрия и другие геометрические системы . . 67

Глава VII. Заключительные замечания ...............77

ОТ АВТОРА

Существует много книг и брошюр, предназначенных для школьников — любителей математики. Эта брошюра носит несколько иной характер. Она предназначена не только для любителей математики, но и для тех школьников, которые или совершенно равнодушны к математике, или даже «не любят» ее.

Автор поставил целью так рассказать об одной из наук, принадлежащих к высшей математике (о проективной геометрии), чтобы читатель (без рассмотрения строгих и длинных выводов, которые так отпугивают многих) понял самую суть этой науки.

Одной из задач, которые при этом ставил перед собой автор, было показать, что математики занимаются проективной геометрией не ради одного лишь интереса к ней, но что она позволяет глубже понять теоремы элементарной, школьной геометрии, увидеть связь между различными геометриями, в частности между геометрией Лобачевского и школьной геометрией Евклида.

Наконец, читатель сможет оценить значение проективной геометрии для инженера, узнав, что начертательная геометрия, которую называют «языком инженера», есть своеобразная глава проективной геометрии.

Автор надеется, что, может быть, кто-нибудь из тех, кто изучал математику как «неизбежное зло», прочтя эту брошюру, заинтересуется математикой и перейдет в число ее любителей.

Рукопись настоящей книги рецензировали проф. З. А. Скопец и доц. М. В. Васильева. Их ценные замечания оказали большую помощь автору в работе. Автор выражает рецензентам искреннюю благодарность.

ВВЕДЕНИЕ

Многие, прочтя название этой брошюры и видя в нем слово «проективная», вероятно, подумают: «В проекционном черчении тоже проектируют и изучают проекции, — значит, и проективная геометрия что-то вроде проекционного черчения!» — и скажут: «Ну, это я уже все знаю». А другие добавят еще: «Это не интересно!» Но мы сразу хотим разубедить таких читателей. Во-первых, проективная геометрия не проекционное черчение, а во-вторых, это очень интересная наука.

В проективной геометрии много глубоких идей, выходящих далеко за рамки элементарной геометрии. В своих высших разделах проективная геометрия рассматривает целый ряд вопросов о свойствах и классификации уже не просто геометрических фигур, а целых наук — различных возможных геометрий. Она показывает, как из одного источника (из самой проективной геометрии!) возникают такие науки, как хорошо нам известная евклидова геометрия, изучаемая в школе, геометрия Лобачевского и другие геометрии.

Так не будем терять времени и приступим к знакомству с проективной геометрией.

Глава I

ПРОЕКТИРОВАНИЕ

Отображения. Прежде чем приступить к ознакомлению с простейшими понятиями проективной геометрии, мы постараемся выяснить, почему наряду с элементарной геометрией возникла новая, так называемая проективная геометрия. Когда это произошло? Какие задачи ставит перед собой проективная геометрия? Чем она занимается?

Мы знаем, что математика изучает в основном количественную сторону тех явлений и процессов, которые происходят в природе и которые изучают механика, физика, химия и другие науки. Так, геометрия изучает формы и свойства линий, поверхностей и тел, с которыми имеют дело естествознание и техника. Однако геометрия изучает не только линии, поверхности и их свойства, но и отображения, т. е. переходы одной из них в другую, так как именно с такими отображениями геометрических образов мы всегда сталкиваемся в природе и в жизни.

Поэтому прежде всего напомним те основные геометрические понятия, которые были введены в школьном курсе геометрии и которые мы дальше будем использовать.

В жизни мы имеем дело сдвижениями тел и с различными другими их изменениями. На языке геометрии мы имеем здесь дело с различными отображениями и преобразованиями фигур. Напомним их определения.

Отображением фигуры (множества точек) F на фигуру (множество точек) F' мы называем такое соответствие между этими фигурами, когда каждой точке М фигуры F отвечает единственная точка М' фигуры F'. Мы дальше всегда будем рассматривать обратимые отображения, т. е. такие, когда каждой точке ЛГ фигуры F' будет отвечать единственная (прежняя!) точка М фигуры F.

Мы будем иметь дело также и с преобразованиями фигур.

Преобразование пространства есть такое его отображение на себя, при котором любые две различные точки имеют различные образы.

Перемещение в плоскости есть отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Перемещение в пространстве есть отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния.

Фигуры F и F' называются конгруэнтными, если существует перемещение, отображающее F на F' (или существует отображение F на F\ сохраняющее расстояние), т. е. такое, что расстояние между любыми двумя точками М w N фигуры F равно расстоянию между соответствующими точками ЛГ и N' фигуры F\ т. е. \MN\ =

= \M'N'\. Таким образом, конгруэнтные фигуры — это фигуры, полученные одна из другой движением, или, иначе говоря, наложимые одна на другую. При этом термин «движение», который является одним из основных в механике и физике, можно рассматривать как отражающий самый процесс перехода путем отображения фигуры F в ее образ — фигуру F'.

Подобие есть такое отображение фигуры F на фигуру F', при котором отношение расстояния \XY\ между любыми двумя точками X и Y первой фигуры F к соответствующему расстоянию |ХТ'| между двумя точками X' и Yf второй фигуры F равно одному и тому же числу k > 0.

Вот несколько примеров отображений, с которыми мы имеем дело в жизни. Когда земной шар движется по своей орбите или вращается вокруг своей оси или автомобиль мчится по шоссе, во всех случаях, когда мы в механике говорим о движении тела, мы с геометрической точки зрения говорим о таких отображениях тела (одного его положения на другое), когда эти тела не изменяют ни своих размеров, ни формы, а изменяют лишь свое положение в пространстве. В этом случае речь идет о перемещениях тел.

Если мы будем равномерно нагревать или охлаждать однородный металлический шар, то он, оставаясь шаром, будет увеличиваться или уменьшаться в объеме. Здесь мы будем иметь пример отображения подобия. Но этот же пример с нагреванием и охлаждением тела может привести к отображениям гораздо более сложного вида. Так, нагревая или охлаждая неоднородный металлический шар (т. е. такой, теплоемкость которого в различных его точках различна), мы можем превратить его в эллипсоид или в тело самой сложной формы. Можно привести примеры и других сложных отображений (или преобразований). Например, телеграфный провод, висящий между столбами, зимой сжимается и укорачивается, а летом расширяется и удлиняется. Вследствие этого та линия (она называется «цепной»), по которой он провисает зимой, отображается на другую цепную линию, по которой он провисает летом. Это отображение достаточно сложное, но инженер должен его учитывать, чтобы, придав проводу соответствующую длину, обеспечить его от разрыва зимой, когда длина провода уменьшается.

Отображения в элементарной (школьной) геометрии. В курсе элементарной математики мы имеем дело только с отображениями перемещения (движения) и подобия (в частности, гомотетии).

Действительно, в школьном курсе геометрии мы изучаем свойства геометрических фигур, которые выражаются в различных теоремах, например: «Сумма углов треугольника равна 2d»; сДлина окружности равна 2яг» и т. д. При доказательствах этих теорем, при решении всевозможных задач мы всюду пользуемся отображе-

ниями перемещения (движения) и подобия. Например, доказывая признаки равенства треугольников, мы совершаем «наложение» одного треугольника на другой. Это «наложение» можно определить как «перемещение, посредством которого один треугольник перейдет в другой, ему конгруэнтный». Строя фигуру, подобную данной фигуре, мы совершаем «отображение подобия», переводящее первую фигуру во вторую фигуру, ей подобную. Совершая две основные операции элементарной геометрии — измерения отрезков и углов, мы откладываем на измеряемом отрезке (угле) единичные отрезки (углы) или их доли, т. е. снова совершаем перемещение единицы длины (и единицы угла) или ее доли. Меняя масштаб изображения фигуры, мы совершаем над ней отображение подобия. Выполняя любое построение по данным элементам (например, строя треугольник по данной стороне и двум прилежащим углам), мы выполняем перемещения данных элементов, строя конгруэнтные им образы, образующие искомую фигуру.

С самой общей точки зрения можно сказать, что без отображений и преобразований нет геометрии. Действительно, не имея права отображать фигуры друг на друга (например, двигать фигуры), мы не могли бы в элементарной геометрии сравнивать фигуры путем наложения (перемещения), т. е. не могли бы узнать, конгруэнтны они друг другу или нет, не могли бы откладывать отрезки или углы, т. е. не могли бы измерять длины и углы, не могли бы строить фигуры, подобные данным. Короче говоря, не имея в своем распоряжении отображений и преобразований, мы имели бы в плоскости или в пространстве лишь отдельные разрозненные фигуры, твердо прикрепленные к своим местам, так как мы не имели бы права ничего с ними делать, поскольку для этого надо было бы отображать их друг на друга. Иначе говоря, без отображений перемещения и подобия не было бы и элементарной геометрии.

Свойства фигур, изучаемые в (школьной) геометрии. Теперь попробуем кратко охарактеризовать те геометрические свойства фигур, которые мы изучаем в элементарной геометрии.

Можно сказать, что элементарная геометрия изучает только такие свойства геометрических образов, которые сохраняются при отображениях перемещения и подобия. Или, иначе, элементарная геометрия не изучает тех свойств геометрических образов, которые меняются при этих отображениях.

Действительно, мы уже говорили, что свойства фигур, которые мы изучаем в геометрии, выражаются в теоремах. Если мы теперь обратимся к теоремам, с которыми мы имеем дело в планиметрии или в стереометрии, то убедимся, что все эти теоремы сохраняют силу, если мы перемещаем фигуры, о которых в них идет речь, или подобно их изменяем.

Теорема: «Длина окружности радиуса г равна 2яг».

Теорема: «Площадь круга радиуса г равна лг2».

Ясно, что эти теоремы останутся справедливыми, как бы мы ни

перемещали нашу окружность и как бы ни изменяли ее радиус (что дает подобное изменение окружности). Такова же теорема: «Сторона правильного вписанного в окружность шестиугольника равна радиусу этой окружности». То же относится и к теоремам: «Сумма углов треугольника равна 180°»; «Три медианы треугольника пересекаются в одной точке» и т. д. Последние теоремы верны для всех треугольников и, следовательно, сохраняются при отображениях перемещения и подобия. То же относится и к теореме Пифагора, которая справедлива для всех прямоугольных треугольников, и т. д.

С другой стороны, мы говорили, что не изучаем таких свойств геометрических образов, которые меняются при перемещениях или подобии. Так, в геометрии нет теорем, которые изучали бы такие индивидуальные свойства окружности, как, например, свойство «иметь радиус, равный 5 сантиметрам» или «иметь радиус, равный 3 сантиметрам» или свойство треугольника «быть начерченным на краю листа бумаги» или «быть начерченным в его середине» и т. д.

Больше того, наш чертеж на школьной доске и такой же чертеж ученика в тетради мы считаем одинаковыми (разница в масштабах) именно потому, что любая, доказываемая с их помощью теорема имеет содержание, сохраняющее свою силу при перемещениях и подобиях. И наоборот, если бы какая-нибудь школьная теорема теряла силу с изменением размеров фигуры, то мы не могли бы пользоваться школьной доской для доказательства этой теоремы, так как теорема, верная на школьной доске, теряла бы силу в ученической тетради, и наоборот! Короче говоря, мы не найдем ни одной георемы в элементарной геометрии, которая была бы справедлива для данной фигуры и теряла бы силу при ее перемещении (движении) или при ее подобном изменении.

Итак, мы можем сделать следующие выводы.

1. В школьной геометрии при изучении фигур используются отображения перемещения (движения) и подобия.

2. В школьной геометрии изучаются только такие свойства фигур (они выражаются теоремами), которые сохраняют свою силу, или, как говорят, инвариантны1 при перемещениях и подобиях.

Проектирование. В естествознании и в технике, как мы видели, приходится иметь дело с рядом других, более сложных отображений, чем перемещение и подобие.

В этой книге, посвященной проективной геометрии, нам предстоит подняться на следующую, более высокую ступень по сравнению с элементарной геометрией и изучать простейшие и важнейшие из этих более сложных отображений, а именно отображения проектирования (мы будем называть их короче просто «проектированиями»).

1 «Инвариантный» значит «не изменяющийся».

Центральное проектирование состоит в следующем (рис.1). Пусть в некоторой плоскости а мы имеем произвольную фигуру ^ (или совокупность фигур — конфигурацию). Возьмем вне плоскости а произвольную точку 5 (центр проектирования) и соединим ее со всеми точками (Ау ...) нашей фигуры F. В результате мы получим совокупность (множество) прямых, проходящих через точку S и проектирующих фигуру F. В пересечении этих прямых с новой произвольной плоскостью а' (если они пересекают а', причем а! не проходит через S) образуется новая фигура которую мы и называем центральной проекцией фигуры F. Заметим, что плоскость проекций может лежать как $ том же направлении проектирующих лучей, что и плоскость а (например, плоскость а'), так и в противоположном (например, плоскость а", где проекцией фигуры F будет фигура F"). В дальнейшем мы будем иметь дело только с центральным проектированием, поэтому, говоря о проектировании, будем опускать слово «центральное».

Операцию проектирования какой-либо фигуры F можно совершать многократно и из различных центров: 5, 5', 5" и т. д. В результате мы получим цепь проектирований, определяющую переход от фигуры F к ее последовательным проекциям, фигурам Fu F", F'" и т. д., расположенным в различных плоскостях а', а", а'" и т. д. (рис. 2). При этом ни одна из точек S, S', S" и т. д. не лежит в той плоскости, из которой проектируется определенная фигура. Заметим, что мы всегда в праве рассматривать любую из фигур F, F\ F", F"f и т. д. как результат цепи проектирований любой из них.

Замечание. Выше мы проектировали плоскую фигуру F с плоскости а на плоскость а . Однако на плоскость можно проектировать и пространственную фигуру Ф (рис. 3). С этой целью мы выбираем в качестве центра проектирования точку 5, не принадлежащую нашей пространственной фигуре Ф. Все точки фигуры Ф мы «соединяем» прямыми с точкой S. В результате мы получаем связку прямых с центром в точке 5, проектирующую нашу пространственную фигуру Ф. Пересечение этой связки прямых с пересекающей их плоскостью а', не проходящей через центр S, дает проекцию Ф' пространственной фигуры Ф на плоскость а'.

Рис. 1

С такими видами проектирования, когда пространственная фигура проектируется в плоскую, приходится часто иметь дело в проекционном черчении и в различных инженерных дисциплинах. Этот вид проектирования служит предметом изучения и использования в начертательной геометрии. Задача начертательной геометрии состоит в решении пространственных задач (например, «найти линию пересечения цилиндра и конуса») путем проектирования рассматриваемых фигур на плоскость и решения соответствующих задач с помощью проекций этих фигур в данной плоскости. Инженеры для решения технических задач обычно совершают два ортогональных проектирования предмета на две плоскости, а потом совмещают обе плоскости в одну, в которой и решают свои задачи. Архитектор, который имеет обычно дело с большими сооружениями (здание, застройка улицы), выполняет так называемое перспективное проектирование сооружений, т. е. он из центра своего глаза проектирует здание на одну плоскость, считая, что мы рассматриваем предмет одним глазом.

Вот еще несколько часто встречающихся на практике процессов проектирования. Любое фотографирование есть проектирование реального предмета на плоскость фотопленки из центра объектива фотоаппарата. Здесь мы имеем дело с проектированием пространственного образа на плоскость. В кинематографе происходит проектирование изображения с кинопленки на плоскость экрана из центра, которым является источник света в кинопроекторе (мы принимаем его за точечный). Художник, изображая пейзаж, проектирует его на плоскость своей картины из центра—своего глаза (если отвлечься от того, что глаз не точка и что художник рисует предметы такими, какими он их видит двумя глазами). Один из самых важных процессов, с которым связана и от которого

Рис. 2

зависит жизнь человека, — это зрение. Но процесс зрения состоит из проектирования предмета из оптического центра хрусталика на сетчатую оболочку глаза и из последующего психофизиологического акта восприятия этого изображения в мозгу человека. (Однако здесь проектирование более сложного вида, так как сетчатка не плоскость, а кривая поверхность.)

Когда солнце освещает какой-нибудь предмет и он отбрасывает тень на землю, то тень предмета есть проекция контура предмета на поверхность земли. Это пример так называемого параллельного проектирования, так как солнечные лучи падают на землю связкой параллельных прямых. Этот случай проектирования можно рассматривать как предельный случай центрального проектирования из «бесконечно удаленного центра» S^. Последнее название связано с тем, что проектирующий цилиндр можно рассматривать как конус с вершиной, ушедшей «в бесконечность». Действительно, чем дальше уходит вершина конуса, тем ближе его образующие к взаимной параллельности (рис. 4).

Важную роль в народном хозяйстве играет аэрофотосъемка. Последняя состоит в фотографировании местности с самолета для составления ее плана. Но так как плоскость фотопленки обычно оказывается не параллельной плоскости земли, то изображение земной поверхности оказывается на фотографии не подобным истинному, а искаженным. Поэтому воссоздание уменьшенного, но подобного изображения требует знания свойств процесса проектирования. Можно было бы привести и много других примеров из инженерного дела, требующих изучения свойств проектирования.

По поводу приведенных примеров заметим, что в тех случаях, когда мы проектируем пространственную фигуру на плоскость, мы вообще имеем дело с необратимым отображением: множеству точек пространственной фигуры здесь часто соответствует всего одна точка — их проекция. Поэтому, зная одну точку — проекцию, мы можем лишь сказать, что в нее спроектировалось, быть может, несколько, а может быть, и бесчисленное множество точек пространственной фигуры. Мы здесь с таким видом проектирования встречаться не будем. Будем проектировать только плоские фигуры с одной плоскости на другую плоскость. В этом последнем случае можно сказать, что проектирования суть обратимые отображения фигуры на ее проекцию (например, кинокадра на пленке в кинокартину на экране). Что же касается цели проектирований, то она образована путем

композиций проектирований (т.е. последовательного выполнения проектирования) первоначальной фигуры (или любой из этих фигур, так как все они равноправны).

Проектирование как обобщение перемещений и подобия. В этой книге мы будем рассматривать лишь основной и простейший случай проектирования: центральное проектирование плоской фигуры F с одной произвольной плоскости а на другую произвольную плоскость а', а" и т. д. из некоторого центра S, не лежащего ни в одной из этих плоскостей (параллельное проектирование, как мы уже говорили, можно рассматривать как предельный случай центрального, когда центр S проектирования удален в бесконечность).

Рассмотрим следующее важнейшее свойство проектирования.

Проектирование обобщает известные нам отображения перемещения и подобия, т. е. движения и подобия суть частные случаи проектирования.

Действительно (рис. 5, а), проектируя, например, треугольник ABC с плоскости а на параллельную ей плоскость а' с помощью параллельного пучка лучей, мы получаем треугольник А'В'С\ конгруэнтный треугольнику ABC. Проектируя треугольник А'В'С снова параллельно на плоскость а, мы получим в ней треугольник А"В"С\ который будет конгруэнтен треугольнику ABC у но параллельно сдвинут относительно его.

Можно доказать (мы не будем этого делать, а ограничимся ссылкой на рис. 5, б), что:

а) любую симметрию плоской фигуры относительно прямой /, лежащей в ее плоскости (отражение относительно оси /)» можно выполнить с помощью двух параллельных проектирований (на чертеже треугольник ABC проектируется в треугольник А'В'С, а последний—в треугольник А"В"С")\

б) любое вращение плоской фигуры в ее плоскости можно получить с помощью двух последовательных симметрии относительно выбранных осей, лежащих в ее плоскости (рис. 5, в), т. е. вращение фигуры осуществляется путем цепи параллельных проектирований;

в) любую плоскую фигуру можно отобразить (перевести) в любую конгруэнтную ей фигуру любой плоскости с помощью двух параллельных проектирований (рис. 5, г).

Общий вывод. Любую плоскую фигуру можно перенести в любое положение в пространстве путем цепи последовательных параллельных проектирований. Точно так же подобное отображение плоской фигуры можно получить путем центрального проектирования плоской фигуры из ее плоскости на плоскость, параллельную первоначальной (рис. 5, д). Так, треугольник ABC будет подобен треугольнику А'В'С. Путем параллельного проектирования треугольника А'В'С мы можем перевести его в конгруэнтный ему треугольник А"В"С" в прежней плоскости а, который будет подобен треугольнику ABC.

Итак, отображения перемещения и подобия, изучаемые в школе, суть частные случаи проектирования.

С какой целью изучают проектирование? Проектирование очень широко используется в науке и в технике. Техническое его использование хорошо известно. Так, все чертежи, выполняемые инженерами по правилам проекционного черчения для изображения на листе бумаги пространственных фигур (машин, механизмов, зданий и т. д.), есть, как видно из самого названия, результат их проектирования из пространства на плоскость. Далее. Школьный чертеж на доске (или в тетради) на уроках по стереометрии есть не что иное, как проекция пространственной фигуры на плоскость. Школьник делает этот чертеж по интуиции, основываясь на своих пространственных представлениях; учитель делает чертеж тоже от руки, придерживаясь, однако, определенных правил проектирования, о которых он на уроке ничего не говорит, но, выполняя чертеж, их учитывает.

В чисто научном отношении значение проектирования тоже очень велико.

Проектирование позволяет обнаруживать более общие и глубокие свойства геометрических фигур, чем это позволяют делать отображения перемещения и подобия.

Именно, те свойства, которые принадлежат данной фигуре и

всем ее проекциям, более глубоко связаны с фигурой, чем те, которые сохраняются только при перемещениях и подобиях.

Пример. Возьмем окружность, проведем через ее центр перпендикуляр к ее плоскости а и примем произвольную точку S этого перпендикуляра за центр проектирования. Проектируя из точки S прямыми все точки нашей окружности, получим поверхность прямого кругового конуса, простирающуюся в обе стороны «в бесконечность»1.

Можно доказать, что: 1) рассекая этот конус произвольно расположенной плоскостью я', не параллельной ни одной из образующих, получим в сечении эллипс; 2) рассекая этот конус плоскостью а", параллельной одной из его образующих, получим в сечении параболу, 3) рассекая этот конус плоскостью а'", параллельной сразу двум образующим, получим в сечении гиперболу (рис. 6, а). Заметим, что ни одна из секущих плоскостей не должна проходить через точку 5.

Итак, все эти кривые суть проекции окружности, или, иначе говоря, любая из этих кривых есть проекция любой другой.

Меняя положение точки S на перпендикуляре к плоскости, мы можем получить проектирующий конус любой формы и, следовательно, любые по форме эллипс-, параболу и гиперболу.

Удаляя вершину конуса в «бесконечность», мы обнаружим (с. 12), что его образующие будут приближаться к положению взаимной параллельности. «В пределе» же точка S исчезнет и обратится в точку S^, а конус обратится в цилиндр (рис. 6, б). Его сечениями будут по-прежнему окружность и эллипс, но параболы и гиперболы уже не получится.

Заметим, что рассекать конус или цилиндр по образующим мы

Рис. 6

1 Ради простоты речи мы дальше под словами «цилиндр» и «конус» всегда будем понимать поверхности цилиндра и конуса, простирающиеся в бесконечность.

не имеем права, так как тогда точка S или STO оказалась бы в самой секущей плоскости а или а', что мы по условию всегда исключаем.

Поскольку, как мы видели, окружность спроектировалась в эллипс, параболу или гиперболу (или в случае цилиндра — в эллипс), то мы можем предполагать, что эти линии чем-то родственны, имеют какие-то, быть может, глубоко скрытые общие свойства, если уж одна из них (любая!) может перейти в (любую) другую из них.

Как мы дальше увидим, это наше предположение оправдается, и одной из задач проективной геометрии будет отыскание таких общих свойств у различных геометрических образов — общих свойств данной фигуры и всех ее проекций.

Итак, проектирование позволяет обнаруживать определенные связи между такими фигурами (линиями), которые (как, например, окружность и гипербола), казалось бы, не имеют между собой ничего общего.

Дело в том, что каждая геометрическая теорема говорит о свойствах некоторой геометрической фигуры или конфигурации (совокупности фигур). При различных проектированиях эти конфигурации видоизменяются, они переходят в различные другие конфигурации, но во всех случаях эти конфигурации имеют общие истоки в первоначальной и тем самым имеют с ней какие-то общие свойства. Это часто приводит к тому, что, казалось бы, чуждые друг другу теоремы (например, многие теоремы элементарной геометрии, в которых идет речь о различных фигурах, доказывающиеся совершенно различно) говорят о конфигурациях, которые оказываются проекциями одна другой. Иначе говоря, все эти теоремы имеют общие истоки в одной из них. И у них благодаря этому оказываются общие доказательства, основывающиеся на методе проектирования. Дальше мы увидим примеры этого. Но бывают примеры и иного рода.

Пример. Если мы возьмем в плоскости а треугольник ЛВС, то при проектировании его из некоторой точки S, не лежащей в его плоскости, получим, вообще говоря (рис. 7), тоже треугольник А'В'С. Однако если одна из проектирующих прямых (например, SC) окажется параллельной плоскости проекций (например, а"), то вершина С треугольника ABC не будет иметь проекции С" на плоскости а", или, иначе говоря, «уйдет в бесконечность», треугольник «разрушится» и спроектируется в часть полосы. (На рис. 7 она заштрихована.) В этом случае говорят, что треугольник АБС спроектировался «тоже в треугольник А"В"С'^ с «бесконечно удаленной» (или иногда говорят с «несобственной») вершиной С"^».

Теперь рассмотрим примеры того, как метод проектирования во многих случаях упрощает доказательства теорем. Проектируя фигуру с одной плоскости на другую, мы можем придать ей более обозримую или более удобную форму, на которой легче провести доказательство. Получив же нужные выводы, мы можем путем об-

ратного проектирования перенести их на первоначальную фигуру.

Теорема. Если даны два эллипса (рис. 8, а) с общим центром и пропорциональными полуосями (у одного а и Ьу у другого Ха, Щ, причем их большие оси лежат на одной прямой (так же, как и малые), то отрезки А В и АВ', расположенные на любой секущей между двумя этими эллипсами, конгруэнтны (\АВ\ = \А'В'\).

Элементарногеометрическое доказательство этой теоремы вряд ли можно сразу найти, так как в элементарной геометрии мы не изучаем свойств эллипса. Проще всего доказать эту теорему путем параллельного проектирования. Идея этого метода такова.

1. Если аналогичная теорема справедлива для окружности, то можно ожидать, что для окружности найти ее доказательство будет легче, чем для эллипса.

2. Если удастся доказать эту теорему для окружности, то попробуем установить ее справедливость для эллипса путем проектирования окружности в эллипс.

Совершенно очевидно, что соответствующая теорема для окружности справедлива. Именно, для двух концентрических окружностей имеем (рис. 8, б):

[ЛР] ^ [Л'Р], [BP] ^ [В'РМОР] 1 [ЛЛ']).

Рис. 7

Отсюда вычитанием находим: [ЛВ] « [А'В'].

Итак, для окружности наша теорема доказана. Спроектируем теперь наши окружности ортогонально на некоторую плоскость а (рис. 8, в). Ясно, что концентрические окружности перейдут в подобные эллипсы с общим центром (рис. 8, а и 8, в). Секущая (АВ) перейдет в секущую (АВ). Из теоремы о том, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, найдем, что если \АВ]= ]А'В'\9 то и \АВ\ = \А В'\. Теорема доказана.

В качестве следующего примера использования метода проектирования мы приведем доказательство теоремы, принадлежащей итальянскому математику Чеве (1647—1734).

Теорема Чевы (рис. 9, а). Если в плоскоссти треугольника ABC взята произвольная точка О (вне треугольника или внутри его — безразлично, но не на его сторонах) и соединена с его вершинами, то три полученные прямые (АО), (ВО), (СО) пересекают противолежащие стороны треугольника (или их продолжения) в таких точках Р, Q, R, что имеет место соотношение:

(А)

По поводу этой теоремы следует сделать два замечания.

Замечание 1. Как мы видели выше (с. 17), при проектировании треугольника его проекция может выродиться, т. е. та или иная из его вершин или сторон может «уйти в бесконечность» (см. рис. 7). Поэтому эта теорема будет рассматриваться нами только для того случая, когда треугольник при всех его проектированиях будет снова переходить в треугольник и ни один из его элементов не будет «уходить в бесконечность»1.

1 Следует заметить, что при любых параллельных проектированиях треугольник всегда будет проектироваться в треугольник и, следовательно, в этом случае теорема Чевы всегда будет иметь место.

Замечание 2. В каждом отношении в числителе и знаменателе формулы (А) стоят коллинеарные векторы, поэтому их отношение есть положительное или отрицательное число, считая, что например AQ —QA.

Справедлива и обратная теорема. Если на сторонах [_АВ~], [ВС], [СЛ] треугольника ABC (или на их продолжениях) расположены соответственно три точки R, Р, Q, причем справедливо соотношение (А), то три прямые (АР), (BQ), (CR) пересекаются в одной точке О.

Прежде чем доказывать теорему Чевы, заметим следующее. То, что в правой части соотношения Чевы стоит единица, конечно, не очевидно и требует доказательства. Но то, что в соотношении Чевы справа стоит положительная величина, почти очевидно. Именно, нетрудно заметить, что если точка О Чевы находится внутри треугольника, то все отношения, входящие в произведение, положительны. Если же точка Чевы будет находиться вне треугольника, то отрицательными будут всегда два отношения, так как две точки из трех (Р, Q, R) будут делить стороны треугольника внешним образом. Поэтому все произведение будет положительным.

Доказательство теоремы Чевы. Возьмем два треугольника A ABQ и Л BQC и два треугольника Л AOQ и Л QOC.

Составим отношения их площадей. Имеем:

(так как у них одна и та же высота). По тем же основаниям имеем:

(а)

Теперь можем записать:

Вычитая из обеих частей равенства по 1 и приводя каждую из них к общему знаменателю, находим:

или

меняя местами средние члены и используя равенство (а), имеем:

Аналогично, для двух пар других треугольников

Перемножая левые и правые части в последних трех равенствах, находим:

(А)

Теорема Чевы доказана. Нетрудно заметить, что если бы точка О лежала вне треугольника, то все доказательство протекало бы точно так же и теорема была бы справедлива и в этом случае.

Доказательство теоремы, обратной теореме Чевы (рис. 9, б), проведем методом от противного. Пусть три прямые (АР), (BQ) и (CR) не пересекаются в одной точке, но справедливо соотношение (А). Тогда, если мы отметим точку О пересечения прямых (АР) и (CR) и проведем прямую (ВО), то она пересечет сторону Л С не в точке Q, а в какой-то другой точке Q'. Докажем, что это невозможно, т. е. что точки Q и Q' должны совпадать. Имеем:

1) по условию:

(А)

2) по предположению, что три прямые (АР), (CR), (BQ') пересекаются в одной точке О, на основании прямой теоремы:

Сравнивая эти два выражения, находим:

Прибавляя 1 к обеим частям равенства, имеем:

откуда QC = Q'C, т. е. точки Q и Q' совпадают. Теорема доказана.

Справедливость теорем Чевы и обратной ей говорит нам о том, что эти теоремы характеризуют конфигурацию Чевы. Это значит, что наличию конфигурации Чевы, т. е. геометрическому факту прохождения трех трансверсалей1 треугольника через одну точку, отвечает на алгебраическом языке равенство (А).

И обратно, наличию этого алгебраического соотношения отвечает как геометрический факт конфигурация Чевы, т. е. прохождение трех трансверсалей (АР), (BQ), (CR) через одну точку О.

Теорема Чевы сохраняет силу при любом числе проектирований. Для- доказательства этого факта прежде всего заметим, что в теореме Чевы речь идет о совершенно произвольном треугольнике и совершенно произвольной точке О (лишь бы она не лежала на сторонах треугольника). Поэтому, проектируя конфигурации Чевы с одной плоскости а на любую другую плоскость а\ мы увидим, что проекцией конфигурации Чевы является снова конфигурация Чевы (рис. 9, в).

Действительно, при проектировании треугольник переходит в треугольник, а трансверсали, имеющие общую точку, переходят в трансверсали, имеющие тоже общую точку. Следовательно, для новой конфигурации будет по-прежнему справедливо то же соотношение (А) Чевы.

Следствия из теоремы Чевы. Мы знаем, что теорема Чевы справедлива для любого треугольника и для любых трех трансверсалей, проходящих через одну точку О. Отсюда следует, что это же соотношение (А) Чевы будет справедливым и для трех высот, трех медиан и трех биссектрис треугольника, так как существуют теоремы о том, что каждая из троек прямых, содержащих либо высоты, либо медианы, либо биссектрисы треугольника, есть тройка трансверсалей, пересекающихся в одной точке. Этот факт приводит нас к замечательному результату. У всех трех теорем («три биссектрисы пересекаются в одной точке», «три медианы пересекаются в одной точке», «три высоты пересекаются в одной точке») есть общее свойство — подчиняться теореме Чевы, т. е. соотношению (А).

Однако достаточно даже беглого взгляда на чертеж (рис. 9, г)9 чтобы убедиться, что при произвольном центральном проектировании не только изменяются длины отрезков, но и их отношения, т. е. середина М отрезка ([ЛС] ) не перейдет в середину N' отрезка ([Л'С']). Поэтому медиана (\_ВЩ) треугольника ABC не перейдет в медиану ffB'N ]) треугольника Л'В'С', а перейдет в свою проекцию ([В'ЛГ]). Величина угла также не сохраняется при проектировании, т. е., например, ABC ф А'В'С% и прямой угол может спроектироваться в тупой или острый. Более того, конгруэнтные

1 Трансверсалью называется всякая прямая, проходящая через вершину треугольника и пересекающая его противоположную сторону или ее продолжение.

между собой углы при проектировании перейдут в углы не конгруэнтные. А это значит, что биссектриса какого-нибудь угла в плоскости а не спроектируется в биссектрису проекции этого угла в плоскости а\ а спроектируется в какую-то вообще произвольную полупрямую в этом угле. Отсюда следует, что высоты, биссектрисы и медианы какого-нибудь треугольника ЛВС в плоскости а не спроектируются в высоты, биссектрисы и медианы треугольника-проекции Л'В'С в плоскости а', а спроектируются в какие-то, вообще говоря, произвольные отрезки треугольника Л'В'С'.

В результате, проектируя треугольник с его высотами, медианами и биссектрисами с одной плоскости на другую, мы обнаруживаем, что теоремы о медианах, биссектрисах и высотах перестают существовать, так как сами эти понятия (высота, медиана, биссектриса) при проектировании «теряют смысл» (высоты проектируются не в высоты и т. д.). Однако общее ядро этих трех теорем — теорема Чевы (т. е. соотношение (А)) —для них сохраняется. Итак, теорема Чевы определяет более общее и глубокое свойство каждой из троек прямых (удовлетворяющих теореме), чем свойство быть прямыми, содержащими медианы, высоты или биссектрисы треугольника.

Итак, теорема Чевы есть, можно сказать, то общее, что заключено во всех этих теоремах о замечательных точках треугольника. Отсюда естественно возникает идея, нельзя ли решить обратную задачу: пользуясь теоремой Чевы (соотношением (А)) или обратной ей и тем, что данная тройка прямых есть, например, тройка прямых, содержащих медианы, биссектрисы или высоты треугольника, доказать, что каждые из этих трех прямых пересекаются в одной точке. Оказывается, такой метод доказательства теорем о замечательных точках треугольника возможен.

Итак, пусть у нас есть три прямые. Мы знаем, что они содержат медианы треугольника. Но мы не знаем, пересекаются ли они в одной точке.

Докажем теорему. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть дан треугольник ABC к отрезки [ЛР], [BQ] и [СК] — его медианы (рис. 10, а). Докажем, что они пересекаются в одной

точке. По определению медиан точки Р, Q, R —середины сторон треугольника. Следовательно,

\AQ\ - \QC\, \СР\ = \РВ\, \BR\ = \RA\.

Но в этом случае соотношение Чевы (А) удовлетворено и, следовательно, по теореме, обратной теореме Чевы, три медианы пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Теорема. Три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство (рис. 10, б). Пусть [ЛР], [BQ] и [С/?] три биссектрисы треугольника. Докажем, что они пересекаются в одной точке. По известной теореме о том, что биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, имеем:

Подставляя эти значения отношений в левую часть соотношения Чевы, видим, что условие Чевы тождественно выполняется. Следовательно, по теореме, обратной теореме Чевы, три биссектрисы пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Теорема. Прямые, содержащие три высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство (рис 10, в). Пусть [ЛР], [BQ] и [С/?] высоты. Докажем, что прямые, содержащие эти три высоты, пересекаются в одной точке.

Обозначая угол РАВ через a, ABQ через ($ и РАС через у, найдем: BCR = a, RCA = Р, САР = у. Тогда имеем:

Откуда находим, что условие Чевы выполняется:

Следовательно, по теореме, обратной теореме Чевы, три прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Как видим, мы получили замечательный результат. В элементарной геометрии все эти три теоремы доказывались как различные теоремы совершенно различными, искусственно созданными приемами, не имевшими между собой ничего общего. Здесь мы доказываем эти три теоремы единым методом, и притом как частные слу-

чаи одной теоремы. В чем же внутренняя причина такого результата? Из предыдущего ответ ясен. Во всех этих трех различных теоремах было одно общее «ядро», а именно — факт пересечения каждой из этих троек прямых в одной точке, который выражался условием (А). Поэтому, когда мы отрезки каждой из троек трансверсалей, в дополнение к условию Чевы, начинаем характеризовать некоторым свойством (быть медианами, биссектрисами, высотами ит. д.), то каждый раз получаем теорему о том, что эти три прямые проходят через одну точку. Отсюда возникает мысль, что, по-видимому, рассматривая тройки трансверсалей и с другими свойствами (лишь бы выполнялось условие Чевы), мы сможем получить и другие теоремы о пересечении трех трансверсалей в одной точке как частные случаи теоремы Чевы. Это предположение оказывается справедливым.

Докажем для примера следующие теоремы.

Теорема. В произвольный треугольник ABC вписана окружность. Точки ее касания со сторонами [ЛВ], [ВС], [СМ] обозначим соответственно R, Р и Q. Тогда прямые (АР), (BQ) и (CR) пересекаются в одной точке О (точка Жергонна)1 (рис. 11, а). По свойствам касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем:

(Мы обходим треугольник в одном направлении.)

Докажем теперь, что прямые (AP)t (BQ), (CR) пересекаются в одной точке О. Принимая во внимание полученные равенства, имеем:

Следовательно, по теореме, обратной теореме Чевы, эти три прямые пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы методом проектирования сейчас же получается еще одна замечательная теорема. Пусть мы имеем в некоторой плоскости а конфигурацию доказанной теоремы. Спроектируем из некоторой произвольной точки S, не лежащей в плоскости а, всю эту конфигурацию на произвольно расположенные в пространстве плоскости а', а", а"' (рис. 11, б, в).

Тогда при проектировании окружность перейдет в одну из кривых (эллипс в плоскости а'; парабола в плоскости а"; гипербола в плоскости а'"). Касательные к окружности переходят в касательные к этим кривым (так как прямая, имеющая с кривой одну общую точку, при проектировании перейдет в прямую, тоже имеющую с кривой одну общую точку). Они образуют треугольники в плоскостях а', а", а'".

1 Ж. Жергонн (1771—1859) — французский математик.

Рис. 11

Каждые три прямые, соединяющие вершины каждого из этих треугольников с точками касания, лежащими на противоположных Сторонах, пересекаются в одной точке (0\ О", О"' (соответственно в плоскостях а', а", а'")), так как точка пересечения трех прямых проектируется в точку пересечения их проекций. Таким образом, верна следующая теорема.

Теорема. Если треугольник образован тремя касательными к эллипсу, параболе или гиперболе, то прямые (АР), (BQ), (CR)f соединяющие его вершины Aj В, С с точками Р, Q, R касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке О.

Само собою понятно, что доказать эту теорему непосредственно было бы гораздо труднее. Но доказательство ее для окружности выполняется просто. А получить эту теорему проектированием оказалось совсем не сложно. Мы видим на этом примере, каким сильным методом доказательства является метод проектирования.

Замечание. Для полноты доказательства требовалось бы установить, что любой треугольник касательных к окружности может спроектироваться в любой треугольник касательных к любой из наших кривых. Однако это мы считаем очевидным, так как, меняя любым образом положение точки S и касательных к окружности (для которой эта теорема доказана), мы можем и треугольнику касательных к любой кривой придать любую форму.

Рассмотрим еще один пример доказательства теоремы с помощью соотношения Чевы.

Теорема. Прямые, исходящие из вершин треугольника и делящие противоположные стороны пропорционально прилежащим углам, пересекаются в одной точке.

Доказательство. По условию теоремы имеем (рис. 12):

Рис. 12

Легко убеждаемся, что соотношение Чевы выполняется, а следовательно, три прямые (АР), (BQ) и (CR) пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Теорема Чевы позволила обнаружить внутреннее единство ряда теорем элементарной геометрии и общие методы их доказательств. Эта теорема убедительно говорит о смысле и пользе изучения метода проектирования.

Мы видим, что изучение проектирования не только обогащает нас знанием новых теорий и новых свойств геометрических образов, но и приводит нас к углубленному пониманию, казалось бы, хорошо известных вопросов. Мы с новых точек зрения подходим здесь к вопросам элементарной геометрии.

Глава II

НАЧАЛА ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Свойства проектирования. Рассмотрим важнейшие свойства проектирования.

Отображение проектирования является взаимно однозначным. Это значит (рис. 13, а), что точка А одной плоскости а из некоторого центра S всегда проектируется в одну точку А' плоскости а', и обратно, точка А' плоскости а' из этого же центра S проектируется в одну прежнюю точку А плоскости а.

Прямая а плоскости а проектируется из некоторого центра 5 в одну прямую а' плоскости а', и обратно, прямая а' плоскости а' проектируется (из этого же центра) в одну прежнюю прямую а плоскости а. При этом, как говорят, «сохраняется принадлежность», т. е. если точка А лежала на прямой а, то и точка А' (проекция точки А) будет лежать на прямой а' (проекция прямой а).

Если две точки А и В лежали на- прямой а, то и их проекции А' и В' будут лежать на прямой а! (проекции прямой а). И обратно.

Если две прямые а и Ъ пересекаются в точке С, то и их проекции а' и Ь' будут пересекаться в точке С (проекции точки С). И обратно. Это же свойство взаимной однозначности справедливо и для цепи проектирований. Однако во всех этих случаях возможны исключения (одно из которых мы уже видели выше, с. 17). Сейчас мы рассмотрим эти исключения с целью их устранения. Именно, плоскости а и а* и центр S проектирования могут так располагаться друг относительно друга, что точка Л, лежащая в плоскости а, не

будет иметь проекции Л' в плоскости а' (рис. 13, б). Это будет в том случае, когда проектирующая прямая (SA) будет параллельна плоскости а' (рис. 13, б). Тогда, чтобы сохранить общее выражение о взаимной однозначности проектирования, мы будем говорить, что точка А проектируется в «бесконечно удаленную», или в «несобственную», точку Л» плоскости а'. Это выражение чисто условное, но удобное, так как оно отражает суть дела. Именно, проектируя точки В, С, ... (плоскости а) (черт. 13, б) из точки S на плоскость а', мы видим, что их проекции В', С, ...на плоскости а' постепенно удаляются и «в пределе», когда луч [SA) становится параллельным плоскости а', проекция точки А перестает существовать.

Поэтому наше выражение, что точка Асо бесконечно удалена, условное, так как точки А' как не было в плоскости а , так ее и не будет в ней (несмотря на то что она обозначена как Л^). Но это выражение в то же время и удобное, так ка_к оно показывает, «куда делась» проекция точки Л, и в то же время позволяет говорить, что проектирование всегда (без исключения!) определяет взаимно однозначное соответствие точек, «точке Л отвечает либо точка Л', либо точка Л1о», и обратно.

То же может быть и с прямой (рис. 14). Проекции прямой т плоскости а может не существовать на плоскости а'. Это будет в том случае, когда плоскость (Sm) параллельна плоскости а'. Но тогда мы опять будем говорить, что проекция прямой т на плоскости а' есть «бесконечно удаленная», или «несобственная», прямая т'оо на плоскости а'.

Это тоже условное, но удобное выражение, так как фактически прямой Шоо не существует, но, с другой стороны, проекция прямой т действительно «ушла в бесконечность» (рис. 14). Мы же теперь можем говорить, что проекция прямой т существует всегда: она будет обычной т! или «несобственной» прямой т^, на плоскости а'. Рассмотрим еще один случай, где нам приходится рассматривать «бесконечно удаленные», или «несобственные», элементы.

Рассмотрим две плоскости а и а' (рис. 15), пересекающиеся по прямой /. Проведем на плоскости а прямые а и Ь, пересекающие плоскость а' в точках Л и В и пересекающиеся между собой в не-

Рис. 13

Рис. 14 Рис. 15

которой точке М. Теперь возьмем в пространстве произвольную точку S, не лежащую ни в плоскости а, ни в плоскости а', но отстоящую от плоскости а' на том же расстоянии, на котором от нее отстоит точка М.

Будем проектировать прямые а и Ь из центра S с плоскости а на плоскость а'. Точки А и В останутся при этом на месте, так как они уже лежат в плоскостях а и а'. Точку М будет проектировать на плоскость о! прямая SM. Но эта прямая, как видно из расположения точек S и Му параллельна плоскости а' и, следовательно, нигде ее не пересекает, или, можно сказать иначе, пересекает ее в «бесконечно удаленной» точке Ml.

Итак, пересекающиеся в точке М прямые а и b плоскости а проектируются в параллельные прямые а' и Ь' плоскости а', т. е. в прямые, имеющие общую «несобственную», или «бесконечно удаленную», точку Afeoi и обратно, параллельные прямые (например, а1 и Ь') могут проектироваться в пересекающиеся (например,, в а и Ь).

Свойства фигур, изучаемые в проективной геометрии. До сих пор мы рассматривали как самый процесс проектирования, так и свойства различных фигур и конфигураций, сохраняющих и не сохраняющих свой смысл (выраженный в определенных теоремах) при проектированиях.

Теперь нам предстоит сделать следующий шаг — приступить к изучению самой проективной геометрии.

Этот решающий шаг будет состоять в том, что мы с новой точки зрения будем смотреть на каждую фигуру и на все ее проекции. Как мы помним, школьная геометрия, изучает только те свойства фигур, которые сохраняются при любых перемещениях (движениях) и подобиях. Иначе говоря, те фигуры, которые получаются одна из другой перемещением и подобием, обладают для нас одними и теми же свойствами. Аналогично этому в проективной геометрии мы будем изучать те и только те свойства плоских геометрических фигур, которые сохраняются при любых проектированиях этих фигур с одной плоскости на любую другую. (Заметим, что если эти свойства сохраняются при одном произвольном проектировании

с одной плоскости на любую другую, то они будут сохраняться и при нескольких проектированиях, т. е. при любой цепи проектирований.) Мы вступим в область проективной геометрии, если будем подходить к изучению геометрических фигур со следующей основной точки зрения.

1. В проективной геометрии мы будем изучать только те свойства плоских фигур, которые сохраняются при любой цепи проектирований, т. е. те их свойства, которые общи у данной фигуры F и у всех ее последовательных проекций F\ F", F'" и т. д.

2. Никакие другие свойства этих фигур (не сохраняющиеся при проектировании) в проективной геометрии мы рассматривать не будем, как будто бы этих других свойству фигур вообще не существует.

Отсюда следует, что поскольку мы изучаем в проективной геометрии только те свойства фигур F, F', F", которые сохраняются при проектировании, т. е им о б щ и, и не изучаем других их свойств, которыми они различаются (как будто этих свойств вообще не существует), то мы должны считать, что все эти фигуры F, F', F", ... имеют одни и те же свойства. Но если они имеют одни и те же свойства, то это значит, что они в проективной геометрии ничем не отличаются друг от друга. И наоборот, если бы, например, мы решили, что фигура F чем-то отличается от ее проекции F', F", то это значило бы, что мы учитываем и те свойства этих фигур, которые отличают их друг от друга, т. е. свойства, которые не сохраняются при проектировании. Но это противоречило бы нашей исходной точке зрения. Отсюда вытекает, что все то, что мы будем говорить об одной из фигур F, F\ F", .... будем считать справедливым и в отношении всех остальных.

Таким образом, в проективной геометрии мы будем считать, что данная фигура F и все ее проекции F', F", F'", ... обладают одними и теми же свойствами. Иначе говоря, мы будем считать данную фигуру и все ее проекции геометрически тождественными, т.е. ничем не отличающимися друг от друга.

Рис 16

При этом слова «геометрически тождественные» подчеркивают, что хотя сами фигуры F, F\ F"% ... на чертеже различны, но все изучаемые нами их геометрические свойства (в данном случае — сохраняющиеся при всех проектированиях) мы считаем одинаковыми. Например (рис. 16), ААВС в плоскости а, ДЛ'В'С в плоскости а', hANB"C" в плоскости а" мы считаем геометрически тождественными, т. е. обладающими одними и теми же свойствами.

Представление о том, что данный образ и все его проекции геометрически тождественны (т. е. обладают одними и теми же свойстами), является своеобразным обобщением наших представлений в элементарной геометрии, где данная фигура ^ивсе фигуры F', F\ ... (рис. 16), полученные из нее с помощью перемещения или подобия, тоже считаются геометрически тождественными.

О проективных и непроективных понятиях. Основная точка зрения, которой мы придерживаемся в проективной геометрии, приводит нас к следующему выводу: в проективной геометрии мы имеем право пользоваться только такими понятиями, которые характеризуют свойства фигур, сохраняющиеся при проектировании. Понятия же, которые характеризуют свойства фигур, не сохраняющиеся при проектировании, мы употреблять в проективной геометрии не имеем права.

Вот как это надо понимать. Рассмотрим проектирование произвольного треугольника ABC из центра 5 с одной плоскости а на произвольно расположенную другую плоскость а! (рис. 17). Что мы обнаружим при этом проектировании?

Мы обнаружим, что один треугольник переходит, вообще говоря, в другой треугольник, однако длины их сторон, соотношения между длинами их сторон и углы треугольника могут резко меняться. Например (рис. 17, а), равносторонний треугольник мо-

жет перейти в разносторонний (равные между собой стороны (и углы) треугольника ЛВС перейдут в неравные между собой стороны (и углы) треугольника А'В'С). Далее, может случиться, что в треугольнике ЛВС сторона [ЛВ] была больше стороны [ВС1, \АВ\ > \ВС\ (рис. 17, б), но в его проекции, в треугольнике А'В'С, сторона [Л'В'] (проекция стороны [ЛВ]) может оказаться меньше стороны [В'С'1 (проекции стороны [ВС]), т.е. |Л'В'| < \В'С'\). Наконец, некоторые элементы треугольника при проектировании могут уйти в бесконечность.

Отсюда мы должны сделать следующий важный вывод: длина отрезка не сохраняется при проектировании и, следовательно, самый термин «длина отрезка» мы не имеем права употреблять в проективной геометрии. Действительно, если бы мы позволили сесе сказать, что в треугольнике ЛВС сторона [ЛВ] длиннее стороны [ВС], а в треугольнике А'В'С сторона [Л'В'] короче стороны [В'С], то этим самым мы различили бы треугольники ЛВС и А'В'С, т.е. нарушили бы наше основное условие — считать данную фигуру (ААВСУ и ее проекцию {АА'В'С) ничем не отличающимися друг от друга.

Так как вопрос об исчезновении понятия «длина отрезка» в проективной геометрии очень важен, то остановимся на нем подробнее. Дело в том, что в элементарной геометрии при гомотетии или другом подобном отображении тоже меняются длины отрезков, однако в этом случае само понятие длины отрезка сохраняется. Это объясняется тем, что при подобном отображении, т. е. при проектировании отрезка [ЛВ] с одной плоскости на другую, ей параллельную (рис. 18, а), мы всегда можем всякий новый отрезок [Л'В'] измерять такой новой единицей длины [Л'В'], что дли-

Рис. 18

на нового отрезка [Л'В'1, измеренного новой единицей [Л'В'], численно будет равна длине отрезка [ЛВ], измеренного старой единицей (рис. 18, а). Это основано на имеющей место при подобном преобразовании пропорции

Совсем иначе обстоит дело при произвольном проектировании. Проектируя, например, отрезок [ЛВ] (рис. 18, б) в отрезок [Л'В'], мы видим (даже на схематическом чертеже), что отрезок [ЛВ], равный 4 единицам [DB], спроектировался в отрезок [Л'В'], который уже совсем не равен 4 «новым единицам» [Л'В']. Более того, отрезок [Л'В'] вообще нельзя принять за новую единицу длины. Действительно, равные между собой по длине отрезки \АЕ\ = = \ЕМ\ = \MN\ = \NB\ (рис. 18, б) спроектировались в неравные между собой отрезки \А'Е'\Ф \Е'М'\Ф \М'Ы'\Ф |ЛГВ'|, что вообще исключает всякую возможность выбора новых единиц для измерения длин. Измеряя же отрезки [ЛВ] и [Л'В;] одним и тем же единичным отрезком (например, в сантиметрах), мы стали бы различать их по длинам, что снова противоречило бы нашей основной точке зрения в проективной геометрии.

Посмотрим теперь, что происходит при проектировании с углами треугольника. Как видно из рисунка 18, в, величина угла ф при проектировании тоже не сохраняется. (Можно выбирать плоскости проекций а', а" и т. д. так, чтобы величина проекции угла ср принимала различные значения. Достаточно вспомнить, что равносторонний треугольник проектируется, вообще говоря, в разносторонний.) Так, прямой угол в плоскости а после проектирования может перейти в острый или в тупой угол на плоскости а'. А отсюда следует общий вывод, что термин «величина угла» теряет в проективной геометрии право на существование.

Отсюда следует, что в проективной геометрии мы не имеем права употреблять ни одного термина, связанного с измерением отрезков и углов. Теперь у нас, в проективной геометрии, не будет ни «длинных» или «коротких» отрезков, ни «больших» или «малых» углов. В частности, такие термины, как «острый угол», «прямой угол», «равнобедренный треугольник», «прямоугольный треугольник», «параллелограмм», «высота», «биссектриса», «медиана», «площадь», теряют право на существование. Этих терминов нет и не может быть в проективной геометрии.

Действительно, если бы мы, например, рассматривая два треугольника, сказали бы, что (рис. 19) «треугольник ЛВС — прямоугольный, а его проекция — треугольник А'В'С — остроугольный», то мы тем самым различили бы эти треугольники. Но в проективной геометрии мы не имеем права этого делать. Далее, если бы мы сказали, что «отрезок [Л В] является медианой треугольника ЛВС, в то время как ее проекция — отрезок ([Л'УИ']) не является

Рис. 19

медианой треугольника Л'5'С», то мы тем самым различили бы эти треугольники, так как медиана [ЛЛ1] и ее проекция [Л'АГ] (не медиана!) играли бы нетождественные роли в этих треугольниках.

Такие теоремы, как теорема Пифагора, теорема о стороне, лежащей против тупого или острого угла, признаки конгруэнтности треугольников и т. д., теряют смысл при проектировании и поэтому отсутствуют в проективной геометрии. Действительно, при проектировании каждая из этих фигур может перейти в какую-то другую (например, квадрат в любой четырехугольник, прямоугольный треугольник в остроугольный и т. д.), где как их свойства, так и теоремы, выражающие их, теряют смысл. Мы же рассматриваем здесь только те понятия, которые сохраняют свой смысл при проектировании.

Посмотрим теперь, как подходит проективная геометрия к «бесконечно удаленным» элементам (точка, прямая).

Выше (с. 27) мы видели, что иногда точка М может проектироваться в «несобственную» («бесконечно удаленную») точку ЛС, прямая т — в «несобственную» («бесконечно удаленную») прямую т'оо, пересекающиеся прямые а и Ъ — в параллельные а' и Ъ' (имеющие общую «несобственную» точку) и т. д.

Но теперь с точки зрения проективной геометрии, отождествляющей данную фигуру и ее проекцию, мы должны считать, что обыкновенная точка М и ее проекция — «несобственная» точка М1г00, обыкновенная прямая т и ее проекция — «несобственная» прямая т'оо — решительно ничем не отличаются одна от другой. Таким образом, в проективной геометрии условные обороты речи о «бесконечно удаленной точке» или о «бесконечно удаленной прямой» приобретают, можно сказать, реальное содержание.

Действительно, если бы мы сказали, что точка М и ее проекция, точка М'оо или прямая т и ее проекция ml чем-то отличаются друг от друга (одна обычная, а другая «несобственная»), то мы этим самым различали бы точку (М) и ее проекцию (ЛГ»), прямую (т) и ее проекцию (т^), а это противоречило бы нашему основному условию в проективной геометрии.

Итак, подобно тому как точка М и прямая т ничем не отличаются от других точек и прямых плоскости а, также и точка Мао и прямая mlo ничем не отличаются от других точек и прямых плоскости ос', поэтому термины «бесконечно удаленная (или «несобственная») точка» и «бесконечно удаленная (или «несобственная») прямая» перестают существовать в проективной геометрии.

Все точки и прямые в любой плоскости а, а' и т. д. становятся равноправными. Далее, поскольку с точки зрения проективной геометрии данный образ «пересекающиеся прямые» и его проекция «параллельные прямые» ничем не должны отличаться друг от друга, то мы должны считать эти образы геометрически тождественными. Поэтому в проективной геометрии мы говорим, что всякие две прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересекаются. Но это значит, что в проективной геометрии термин «параллельные прямые» теряет право на существование, поскольку любую пару параллельных прямых мы можем спроектировать в пару пересекающихся прямых, и обратно. Поэтому всякую пару прямых, лежащих в одной плоскости (например, а' и Ъ' на рис. 15), мы будем называть парой пересекающихся прямых.

О замкнутости проективной прямой и кривых второго порядка. Проективная плоскость. Рассмотрим, как движется точка по прямой линии в проективной геометрии. В элементарной геометрии из данной точки М данной прямой / точка могла двигаться по этой прямой в двух противоположных направлениях. При этом, в

какую бы сторону точка ни двигалась по прямой, она будет неограниченно удаляться от точки М и никогда больше не вернется в эту точку.

В проективной геометрии дело обстоит иначе. Прежде всего, предполагая рассматривать движение точки М по прямой /, будем рассматривать одновременно с ней другую произвольную прямую г, лежащую с прямой / в одной плоскости. На эту прямую /' мы будем проектировать путь, проходимый точкой М по прямой / (рис. 20, я). Пусть центром проектирования будет произвольная точка 5 той плоскости, где лежат эти прямые, но не лежащая на них. Путь, который будет проходить точка М по прямой /, ничем с точки зрения проективной геометрии не будет отличаться от пути, который будет проходить точка ЛГ (проекция точки М) по прямой /', так как один путь будет проекцией другого.

Образно говоря, два «путника», идущие: один по пути /, другой — по пути — встретят оба на своем пути одно и то же, так как каждый путь есть проекция другого.

Пусть произвольная точка М начинает перемещаться из точки А вправо по прямой /. Ее проекция, точка М', выходит из точки А' и соответственно перемещается по прямой /'. Миновав точку В, точка М уходит по прямой / все дальше вправо. Ее проекция, точка ЛГ, также удаляется вправо по своей прямой Наконец наступает момент, когда прямая, проектирующая точку М, становится параллельной прямой /. Точка М исчезает, становится «бесконечно удаленной» точкой С». «Путник», идущий по этой прямой, исчезает. В это время точка ЛГ занимает положение С, if «путник», идущий по прямой /', попадая в точку С", ничего особенного не замечает в ней и продолжает двигаться по прямой /' дальше. Когда точка М' займет положение D', то ее проекция на прямую /, т. е. точка М% появится слева в точке D, и «путник», шедший по прямой / и исчезнувший справа в бесконечности, появляется теперь слева в точке D и как ни в чем не бывало продолжает свой путь вправо. Далее точка М будет двигаться все время вправо, причем в тот момент, когда она попадет в точку Е ((SE) \\ /'), исчезнет точка Наконец точка М через точку F, а точка М' через точку F' возвратятся в свои исходные положения.

Итак, наш «путник», выйдя из точки А и двигаясь по прямой / все время в одном направлении, обошел всю прямую / и вернулся в свое исходное положение. Следовательно, в проективной геометрии (в отличие от элементарной геометрии) возможен круговой обход прямой линии. Это объясняется тем, что путь точки М по прямой / мы считаем (и должны были считать) тождественным пути точки М' по прямой /', так как один из них (любой) есть проекция другого.

Рассмотрим это обстоятельство подробнее. Мы видим, что два «отрезка» прямой / — от точки А вправо (в бесконечность!) [ЛСо) и от точки D вправо (из бесконечности!) (С«Д], т. е. (ACocD'] (на эти «отрезки» нанесены штрихи) (рис 20, б) — проектируются

на прямую V в один отрезок [Л'CD']. (На этот отрезок тоже нанесены штрихи.) При этом отрезок [Л'CD'] есть, можно сказать, «рядовой отрезок» прямой /'. Он ничем по своим свойствам не отличается от других отрезков этой прямой. Но поскольку в проективной геометрии данный образ (отрезок [Л'CD']) и его проекция («отрезки» [АС^) и (C^D])1 должны считаться тождественными, т.е. обладать одними и теми же свойствами, то отсюда следует, что мы должны рассматривать оба луча ([ЛС^) и (C^D]) как «один отрезок» [_AC^D~] прямой /, ничем не отличающийся от любых других отрезков этой прямой и от отрезка [Л'CD'] прямой /'. Отсюда следует, что путь точки М по отрезку [ЛС^О] есть такой же обычный путь на прямой /, как путь точки М' по отрезку Л'CD' на прямой /'. Иными словами, «путник», шедший по прямой /, обходя отрезок [ЛС^О], так же ничего особенного не должен был заметить на своем пути, как его двойник, прошедший свой путь [Л'СО'] по прямой V без всяких приключений! Это должно казаться нам теперь тем более естественным, что отрезки [ЛС^О] и [Л'CD'] отличаются только тем, что первый содержит «бесконечно удаленную» точку (и поэтому «разорван!»), второй же не содержит ее. Между тем в проективной геометрии, как мы теперь знаем, никаких «бесконечно удаленных» точек нет и все точки равноправны. Следовательно, и это единственное возможное различие между отрезками исчезает. Итак, в проективной геометрии возможен круговой обход по прямой линии, следовательно, в проективной геометрии прямая линия должна считаться замкнутой.

Наоборот, в элементарной геометрии круговой обход по прямой невозможен (и поэтому прямая линия должна считаться незамкнутой линией) — именно в силу того, что в элементарной геометрии мы не можем отождествить путь по данной прямой / ([ЛС^Ь]) с путем по его проекции [Л'CD'], т. е., идя по пути [ЛСю), точка М в этой геометрии не может перейти на луч (C^D].

Сделаем важное замечание. Было бы ошибочно делать из предыдущего вывод, что если прямая замкнута, то она будто бы должна быть «похожа» на окружность. Прямая и в проективной геометрии, будучи замкнутой линией, остается прямой линией и обладает совсем другими свойствами, чем, например, окружность в элементарной геометрии. Так, окружность (рис. 21, а) разбивает плоскость на две области — внешнюю и внутреннюю. Для перехода из одной в другую надо пересечь окружность. Прямая в элементарной геометрии, будучи незамкнутой, тоже разбивает плоскость на две области. Наоборот, в проективной геометрии прямая, будучи замкнутой линией, не разбивает плоскость на две области. Рисунок 21, б показывает, что в проективной геометрии переход из точки Л в точку В возможен и без пересечения прямой

1 Считать ли точку находящейся справа или слева на чертеже, безразлично, так как две параллельные прямые — и справа и слева — одинаковы!

/: мы идем из точки А вверх по прямой и возвращаемся снизу в точку В. При этом обходе мы нигде не пересекаем прямой /, так как две прямые (АВ) и I пересекаются только в одной точке С и больше общих точек иметь не могут.

Свойство замкнутости прямой линии и неразбиение ею плоскости на различные области указывает на то обстоятельство, что и сама плоскость в проективной геометрии обладает иными свойствами, чем в элементарной геометрии. Так, например, три непересекающиеся в одной точке прямые /?, q, г разбивают плоскость элементарной геометрии на семь частей (рис. 22, а). Однако в проективной геометрии эти три прямые разбивают плоскость на четыре части (рис. 22, б). Так, идя (по стрелке) из точки А по прямой t вверх, мы можем попасть в точку В снизу, не пересекая ни одной из прямых /?, qt г. Действительно, прямая (А В) пересекается с каждой из этих прямых в точках Р, Q, R соответственно и, значит, больше нигде с ними пересекаться не может. Тем самым мы должны будем считать, что точки А и В принадлежат к одной области 1 плоскости. То же рассуждение относится и к областям 2 и 3. Более обстоятельным исследованием, которое мы здесь проводить не будем, можно показать, что плоскость в проективной геометрии является замкнутой, (хотя одновременно и неискривленной, плоской!) поверхностью. Построить и начертить такую плоскость в виде точной модели в нашем обычном пространстве невозможно.

Отсюда становится понятным, что те проективные чертежи, которые мы будем делать в этой книге по проективной геометрии, могут в какой-то мере не соответствовать, а иногда даже противоречить тем свойствам наших фигур, которые они имеют в проективной геометрии. Так, наша проективная прямая на чертеже всегда будет разомкнутой, две проективные прямые на чер-

Рис. 21

теже случайно могут оказаться параллельными, т. е. не пересекаться и т. д. Однако это не должно нас смущать. Дело в том, что мы чертим наши проективные образы на листе бумаги, т. е. на обычной элементарно геометрической, а не на проективной плоскости. Поэтому несоответствие чертежей будет вполне естественным. Чтобы это лучше понять, представим себе, что та школьная доска, на которой мы чертим наши фигуры, оказалась бы не плоской, а слегка искривленной (как это, кстати, иногда и бывает благодаря неудачной наклейке линолеума) и представляла бы собой кусок сферической поверхности очень большого радиуса. Естественно, что все наши чертежи на ней оказались бы искаженными. Мы не могли бы начертить на ней даже «настоящей» прямой линии. Действительно, все начерченные на ней прямые были бы на самом деле кривыми, так как настоящих прямых на сферической поверхности не существует. Поэтому мы не могли бы построить на нашей доске и настоящие параллельные прямые, а те прямые, которые мы, строя на ней, называли бы «параллельными», на самом деле не были бы таковыми. Мы не смогли бы построить на ней и настоящего эллипса, так как эллипс — плоская кривая, а сфера пересекается с плоскостью только по окружности. Примерно то же самое происходит и в проективной геометрии, когда мы проективные образы, обладающие своей особой природой, чертим на обычной, не проективной плоскости, обладающей совсем другими свойствами.

Рассмотрим теперь с точки зрения проективной геометрии так называемые «кривые 2-го порядка», т. е. окружность, эллипс, гиперболу и параболу. (Они называются «кривыми 2-го порядка», так как их уравнения 2-й степени.) Уравнение окружности: х2 + у2 = г2; уравнение эллипса: ^ + ~ «= 1; уравнение гиперболы: — —— = 1; уравнение параболы: уы = 2рх. (Заметим, что термин «кривая 1-го порядка» не употребляется, так как кривой 1-го порядка является прямая линия.)

Вернемся к рисунку. Рассмотрим полученные там в сечении конуса плоскостями кривые 2-го порядка, которые все получаются как проекции одной окружности, и будем рассматривать теперь только те свойства кривых 2-го порядка, которые сохраняются при проектировании. Мы должны будем теперь признать, что с этой точки зрения все кривые 2-го порядка обладают в проективной геометрии одними и теми же свойствами1 и, следовательно, ничем не отличаются друг от друга. (Это напоминает нам то, что окружности разных радиусов тоже по своим свойствам ничем не отличаются друг от друга в элементарной геометрии.)

Иными словами, с этой точки зрения в проективной геометрии у нас не будет ни окружности, ни эллипса, ни гиперболы, ни параболы, а будет одна «кривая 2-го порядка». Изучая в дальнейшем

1 Каковы эти свойства, мы узнаем позже.

кривые 2-го порядка в проективной геометрии, мы и будем их рассматривать как единую кривую 2-го порядка.

Теперь мы можем кратко ответить на вопросы, что такое «проективная прямая», «проективная плоскость» и о каких понятиях пойдет речь в проективной геометрии, если в ней нет понятий об измерении длин и углов.

Под проективной прямой мы будем понимать такую «прямую», которая замкнута, на которой все точки равноправны (нет ни «собственных», ни «несобственных» точек) и нет измерения длин. (Заметим, что утверждение об отсутствии «бесконечно удаленных» элементов полностью согласуется с тем, что в проективной геометрии у нас нет измерения расстояний.)

Проективная плоскость — это такая «плоскость», где нет измерения длин и углов, где нет ни «бесконечно удаленных» точек, ни «бесконечно удаленных прямых»; все точки и все прямые равноправны, каждая пара прямых всегда пересекается в одной точке («собственной» или «несобственной», безразлично), все треугольники не отличимы друг от друга, т. е. существует одно понятие «треугольник», все кривые 2-го порядка тождественны между собой, т. е. существует только единая кривая 2-го порядка, которую мы должны считать замкнутой. Это объясняется тем, что у кривых 2-го порядка теперь все точки (обычные или несобственные) равноправны и нет никаких «бесконечно удаленных» точек, где бы они «разрывались» в виде гиперболы или параболы. Разрываются же они у нас только потому, что мы их чертим на нашей, обычной евклидовой плоскости, а не на проективной.

Замечание. Все эти соображения о замкнутости прямой и плоскости, о тождестве обычных и «бесконечно удаленных» точек прямых и плоскостей, о тождестве всех треугольников и всех кривых 2-го порядка могут не сразу уложиться в сознании читателя. Поэтому мы советуем прочитать и продумать этот пункт раза два или три, прежде чем двигаться дальше. А читая следующие страницы, время от времени перечитывать и эти. Есть вещи в науке, сами по себе не трудные, но полное освоение которых просто требует времени.

Задачи проективной геометрии. Теперь ответим на вопрос: «С чем же имеет дело проективная геометрия, если измерения длин и углов в ней отсутствуют? Каковы ее задачи?» Ответ будет таким: проективная геометрия имеет дело с «взаимной принадлежностью» геометрических образов и с теми понятиями и теоремами, которые из этой «взаимной принадлежности» вытекают.

В связи с этим прежде всего заметим, что в проективной геометрии вместо двух слов: «лежать» и «проходить» (точка лежит на прямой или на плоскости, прямая или плоскость проходят через точку) — употребляется одно слово «принадлежать». Поэтому в проективной геометрии говорят: «Точка принадлежит прямой (или плоскости)», «Прямая (или плоскость) принадлежит точке» и т. д.

Так вот проективная геометрия имеет дело с понятиями, определяемыми через термин «принадлежать» или его производные. Здесь может идти речь об аксиомах, определениях, теоремах. Так, проективными утверждениями будут, например, такие: «Двум точкам принадлежит одна прямая», «Две прямые, принадлежащие одной плоскости, всегда принадлежат одной точке» (всякие две прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересекаются). Вот примеры определений: «Треугольник есть совокупность трех точек Л, В, С и прямых (АВ), (ВС), (СА), попарно принадлежащих этим точкам». «Тетраэдр (произвольная треугольная пирамида) есть совокупность четырех точек А, В, С, D, ие принадлежащих одной плоскости, попарно принадлежащих им прямых (АВ), (АС), (AD), (ВС), (BD), (СА) и четырех плоскостей (ABC), (BCD), (CDА), (ABD), объединяющих по три из этих прямых». Проективные понятия могут быть весьма сложными, но все они могут быть определены через термин «принадлежать».

Однако строгое следование такой терминологии часто приводит к громоздкости речи. Поэтому мы в дальнейшем будем выбирать такие обороты речи, которые, не искажая смысла, позволят выражать наши мысли возможно проще. Введем следующую терминологию. Все понятия, связанные с измерениями, мы будем называть метрическими (дословно «измерительными») понятиями. Школьная геометрия, в которой мы пользуемся измерениями, будет поэтому называться метрической геометрией. Понятия, которые выражают свойства фигур, сохраняющиеся при проектировании, мы будем называть проективными понятиями, а сами эти свойства — проективными свойствами.

Итак, в проективной геометрии мы имеем дело только с проективными понятиями и с проективными свойствами фигур.

Теперь мы можем сформулировать задачу проективной геометрии следующим образом.

Задача проективной геометрии состоит в изучении проективных свойств различных геометрических конфигураций.

В качестве примера проективных свойств фигур отметим следующие. Свойство точки А лежать на прямой а есть проективное свойство, так как оно сохраняется при проектировании, т. е. проекция точки А (точка А') лежит на проекции прямой а (прямая а). К проективным свойствам относится свойство фигуры «быть треугольником», так как треугольник проектируется в треугольник. (Независимо от того, будет или не будет проекция какой-нибудь из его вершин или сторон «бесконечно удаленной!».) К проективным свойствам относится свойство кривой «быть кривой 2-го порядка». (А не прямой или какой-нибудь другой кривой.)

Остановимся на одном вопросе, который может возникнуть у читателя. Как известно, основная ценность математики состоит в том, что она приносит пользу людям. С помощью арифметики мы выполняем всевозможные числовые подсчеты. Алгебра, геометрия и тригонометрия позволяют нам решать более сложные задачи,

вести расчеты в физике, химии, механике и т. д. Во всех инженерных расчетах всюду используются эти науки, так как они в обобщенном, абстрактном виде рассматривают те самые кривые (прямые, окружности и другие фигуры), с которыми мы имеем дело в жизни.

Но тут невольно должен возникнуть вопрос: какую ценность имеет проективная геометрия, если она рассматривает такие фигуры, которых заведомо нет в природе? Она говорит о замкнутой прямой, о всех треугольниках как об одном, о всех кривых 2-го порядка как об одной кривой, т. е. о том, что явно противоречит действительности, но не говорит об измерениях, на которых основана вся деятельность человека. В чем же тогда реальная ценность проективной геометрии? Как это ни покажется вначале парадоксальным, но оказывается, что «удаление от действительности», которое нам здесь демонстрирует проективная геометрия, оказывается временным. Как дальше увидит читатель, именно такой абстрактный подход, который нам демонстрирует проективная геометрия, позволяет нам проникнуть в самую сущность геометрии как науки и использовать ее в прикладных задачах.

Но об этом будет идти речь дальше.

Исторические замечания. Остановимся на том, когда и в каких исторических условиях возникла проективная геометрия.

Отдельные теоремы проективной геометрии были известны уже древним греческим геометрам, однако они не выделялись ими в отдельную отрасль знания. Истоки проективной геометрии как самостоятельной науки лежат в живописи и инженерном деле и относятся к началу эпохи Возрождения, а особенно к XVI и XVII векам.

Если до этого времени каждый художник изображал предмет на своей картине так, как это ему казалось правдоподобным (отчего многие картины старых мастеров выглядят с современной точки зрения иногда несколько необычно), то расцвет живописи в эпоху Возрождения поставил перед художниками важнейшую задачу — найти законы изображения пространственных образов на плоскости.

Но поскольку изображение предмета на картине было по существу проектированием этого предмета из глаза художника на плоскость, то законы, которые искал художник, и были законами правильного проектирования. Изображение предметов в согласии с этими законами называлось их перспективным изображением.

Одновременно те же задачи возникли перед инженерами и техниками, которые нуждались в плоских чертежах для постройки своих пространственных сооружений. Французский инженер и математик Жерар Дезарг (1591—1661) издал в Париже в 1639 году книгу под названием «Черновой набросок подхода к явлениям, происходящим при встрече конуса с плоскостью». Здесь вместе с другими вопросами он изучал свойства эллипсов, парабол и гипер-

бол, рассматривая их как проекции окружности из некоторого центра.

Однако момент возникновения проективной геометрии оказался для нее неудачным. Появившаяся одновременное работой Дезарга книга Декарта1 «Геометрия» (1637), в которой последний заложил основы аналитической геометрии, отодвинула вопросы проективной геометрии на второй план. Проблемы науки и техники того времени столь полно разрешались методами аналитической геометрии, что проективные методы не привлекали к себе особого внимания, а книга Дезарга оказалась утерянной. Ее копия случайно была найдена лишь в 1845 году.

Проективная геометрия как самостоятельная дисциплина возникла в работах Ж. Понселе (1788—1867). Последний, будучи инженером в армии Наполеона и участвуя в походе в Россию, попал в плен. Здесь, живя в Саратове, он занимался разработкой вопросов проективной геометрии. Вернувшись в Париж, он опубликовал в 1822 году «Трактат о проективных свойствах фигур», где рассматривал вопросы проективной геометрии с помощью проектирования фигур из некоторого центра. Его результаты легли в основу современной проективной геометрии.

Глава III

ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА

Предварительные замечания. Мы рассмотрим так называемую теорему Дезарга. Эта теорема говорит о взаимном расположении двух треугольников, находящихся в одной или в различных плоскостях. Теорема Дезарга будет для нас интересна с различных точек зрения. Во-первых, это будет первая проективная теорема, с которой мы познакомимся: в ней будет идти речь только о взаимной принадлежности геометрических образов. Во-вторых, эта теорема интересна тем, что она является одной из важнейших теорем начертательной геометрии, на ее основе будет решаться множество задач проекционного черчения и строиться чертежей в стереометрии. Мы на этом дальше остановимся. Но особенно велико значение теоремы Дезарга в научном построении проективной геометрии. На основе теоремы Дезарга возникают важнейшие понятия проективной геометрии. Однако на этой стороне дела мы в нашей брошюре останавливаться не можем.

Записывая условия теоремы, мы будем пользоваться следующими обозначениями: знак f| будет обозначать «пересечение», знак = будет знаком тождества. Поэтому условие, что две прямые а и b пересекаются в точке М> будет записываться в виде а П Ъ =* М (читается: «пересечение а и b есть точка Л!»).

1 Р. Декарт (1596—1650) — французский математик.

Рис. 23

Теорема Дезарга и ее доказательство. Теорема Дезарга (рис. 23, а). Если два треугольника ABC и А В'С расположены в различных плоскостях (или в одной плоскости) так, что прямые (АА')У (ВВ') и (СС), соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке S, т. е.

(АА') П (ВВ') П (СС) = S,

то их соответственные стороны (АВ) и (А'В')9 (ВС) и (В'С), (АС) и (А'С) пересекаются в трех точках М, Nt Р одной прямой (прямая Дезарга), т. е. (АВ) (] (А'В'\=М, (ВС) (] (В'С) = = .V, (АС) П (А'С) = Р и М, N, Р £ I.

Обратим внимание: 1) на то, что теорема Дезарга как проективная теорема ни в своей формулировке, ни в доказательстве не содержит измерительных понятий; 2) на способ доказательства теоремы Дезарга. Это доказательство теоремы получается только из внимательного рассмотрения чертежа. Никаких вспомогательных построений проводить не придется; 3) принципиальный интерес представляет собой то, что доказывать теорему Дезарга надо сначала для пространственного расположения треугольников, и лишь из него получается ее доказательство для плоского их расположения.

Суть дела состоит в следующем. В школе мы изучаем сначала планиметрию, а потом стереометрию, во-первых, потому, что планиметрия проще стереометрии (и стереометрия основывается на планиметрии); во-вторых, потому, что планиметрия может существовать сама по себе, независимо от стереометрии. Короче говоря, доказывая теоремы планиметрии, мы совсем не думаем (и не должны думать) о том, что «вокруг» нашей плоскости существует про-

странство, что плоскость «лежит» в пространстве. Все наши доказательства протекают в самой плоскости, в которой мы рассматриваем (в планиметрии) наши фигуры. И если бы трехмерного пространства вовсе не существовало, то это обстоятельство не повлияло бы на теоремы планиметрии. И вообще мы можем изучать планиметрию и не изучать стереометрии.

Совсем иначе обстоит дело в проективной геометрии. Плоская проективная геометрия может существовать только при том условии, что плоскость, о которой в ней идет речь, окружена трехмерным пространством. Именно теорему Дезарга в плоскости (для двух треугольников, лежащих в одной плоскости) можно доказать, только «выйдя сначала в пространство», т. е. доказав сначала теорему Дезарга для двух треугольников, расположенных в разных плоскостях.

В этой брошюре из-за громоздкости доказательства теоремы Дезарга для случая одной плоскости мы его приводить не будем.

Доказательство (для случая пространственного расположения треугольников, рис. 23, а). Прямые (АА') и (ВВ') пересекаются в точке S. Значит, они лежат в одной плоскости. Следовательно, в этой же плоскости лежат точки Л, Л', В, В'. Отсюда следует, что прямые (АВ) и (А'В') пересекаются (так как в проективной геометрии всякие две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются). Они пересекаются в точке М, лежащей на линии пересечения плоскостей а и а. Действительно, прямая (АВ) лежит в плоскости а, а прямая (А'В') лежит в плоскости а'. Поэтому они могут пересечься только в одной точке, лежащей одновременно в плоскостях ос и а, т. е. на линии их пересечения.

Точно так же доказываем, что и другие пары прямых (ВС) и (В'С)у (АС) и (А'С) пересекаются соответственно в точках N и Р, лежащих на линии пересечения плоскостей а и а', т. е. на одной прямой с точкой М. Теорема доказана.

Обратная теорема (рис. 23, а). Если два треугольника ABC и А'В'С расположены в различных плоскостях (или в одной плоскости) так, что их соответственные стороны (АВ) и (А'В'), (ВС) и (В'С), (АС) и (А'С) пересекаются в трех точках М, N, Р одной прямой, то прямые (АА'), (ВВ'), (СС), соединяющие их соответственные вершины, пересекаются в одной точке S.

Дано: (АВ) (] (А'В') = М,

(ВС) П (В'С) - N, (АС) П (А'С) - Р.

Требуется доказать:

(АА') П (ВВ') П (СС) - 5.

Прежде всего заметим, что в случае пространственного расположения треугольников ABC и А'В'С уже из того обстоятельства, что их соответственные стороны попарно пересекаются в трех точках, следует, что эти три точки лежат на одной прямой. Дей-

ствительно, пусть треугольник ЛВС лежит в плоскости а, а треугольник А'В'С лежит в плоскости а'. Тогда прямая АВ лежит в плоскости а, а прямая А'В' лежит в плоскости а'. По условию они пересекаются. Следовательно, их общая точка должна лежать на линии пересечения плоскостей а и а'. То же рассуждение имеет место и для других пар сторон. Следовательно, все три точки М9 N и Р пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой — на линии пересечения плоскостей а и а'.

Доказательство. 1. По условию прямые (АВ) и (А'В') пересекаются в точке М. Следовательно, они лежат в одной плоскости. Но тогда и точки Л, В, Л', В' лежат в этой же плоскости. Следовательно, прямые (АА') и (ВВ') тоже лежат в этой плоскости и пересекаются в некоторой точке S4 (рис. 23, в).

2. По условию прямые (ВС) и (В'С) пересекаются в точке N. Следовательно, оли лежат в одной плоскости. Поэтому точки В, С, В', С лежат в этой же плоскости. Следовательно, прямые (ВВ') и (СС) пересекаются в некоторой точке S2.

3. По условию прямые (АС) и (Л'С) пересекаются в точке Р. Следовательно, они лежат в одной плоскости. Поэтому точки Л, С, Л', С лежат в этой же плоскости. Следовательно, прямые (АА') и (СС) пересекаются в некоторой точке S3.

Теперь остается доказать, что эти три прямые (ЛЛ'), (ВВ')9 (СС) пересекаются в одной точке, т. е. что точки Slf S2, S3 совпадают.

Чтобы это доказать, заметим, что поскольку два треугольника ЛВС и А'В'С не лежат в одной плоскости, то и шесть точек Л, Л', В, В', С, С не лежат в одной плоскости, а следовательно, и три прямые (ЛЛ'), (ВВ'), (СС) не лежат в одной плоскости. И наоборот, если бы три прямые (АА'), (ВВ'), (СС) лежали в одной плоскости, то и шесть точек Л, А', В, В', С, С лежали бы в одной плоскости, а следовательно, и наши треугольники ЛВС и А'В'С лежали бы в одной плоскости. Отсюда сразу видно, что если бы три точки Si, S2 и S3 не совпадали, то они определяли бы плоскость StS2S3, в которой лежали бы три прямые (ЛЛ'), (ВВ') и (СС), а следовательно, и два наших треугольника ЛВС и А'В'С. Но последнее противоречило бы исходному положению. Итак, три точки Si, S2 и S3 совпадают, представляя собой точку S1. Теорема доказана.

Обратим внимание на принципиальную сторону доказательства теоремы Дезарга. Мы уже говорили, что все доказательства протекают без единого вспомогательного построения. Доказательство, получается только из внимательного рассмотрения чертежа и установления определенных, следующих из этого выводов. Теорема Дезарга прекрасно иллюстрирует мысль о том, что значит и как важно уметь смотреть на чертеж и видеть по возможности все

1 Заметим, что три точки 52, <S2, 53 не могут лежать и на одной прямой, так как тогда все шесть точек Л, А', J3, В\ С, С лежали бы на одной прямой и треугольники ABC и А В'С вырождались бы в отрезки одной прямой.

то, что на нем изображено. Но это сводится к умению делать из обзора чертежа возможно больше логических выводов. Следует еще отметить, что все доказательство не выходит за пределы совершенно элементарных соображений, доступных всем изучающим стереометрию.

Из предыдущего следует, что проведенные выше доказательства как прямой, так и обратной теоремы Дезарга теряют силу (доказательства, но не сама теорема!) в случае расположения заданных треугольников ABC и А'В*С в одной плоскости. Действительно, в этом случае сразу не видно, что три пары прямых (АВ) и (А'В'), (ВС) и (В'С')У (АС) и (А'С) должны пересекаться в точках одной прямой (случай прямой теоремы Дезарга) и что три прямые (АА'), (ВВ')у (СС) должны пересекаться в одной точке S и не могут пересекаться попарно в трех различных точках Si, S2, S9 (так как теперь оба треугольника лежат в одной плоскости).

Это обстоятельство и заставляет давать специальное доказательство теоремы Дезарга для случая плоского расположения треугольников ABC и А'В'С (Как уже говорилось, мы его здесь приводить не будем.)

Теорема Дезарга в стереометрии и начертательной геометрии. Интересно отметить, что пространственная теорема Дезарга является обобщением одного хорошо известного факта из школьного курса стереометрии. В нем существует теорема, что если треугольную пирамиду с основанием ABC, «стоящую» на плоскости а, рассечь плоскостью а', параллельной основанию, то в сечении получится треугольник А'В'С, подобный треугольнику ABC и гомотетичный ему.

Нетрудно убедиться, что в этом случае треугольник А'В'С находится в условиях теоремы Дезарга с треугольником ABC (рис. 24, а). Действительно, прямые, соединяющие вершины (ребра пирамиды (АА'), (ВВ'), (СС)), пересекаются в одной точке — в вершине пирамиды S, а их соответственные,стороны (АВ) и (А'В'), (ВС) и (В'С), (АС) и (А'С) взаимно параллельны или, иначе говоря, пересекаются в трех точках М^, N^, («бесконечно уда-

ленных» точках!) одной прямой («бесконечно удаленной» прямой!). Это, так сказать, «предельный случай» теоремы Дезарга. Действительно, если провести секущую плоскость а' не параллельно основанию пирамиды, то мы получим общий случай сечения пирамиды плоскостью, т. е. общий случай теоремы Дезарга. Если эту плоскость а' поворачивать так, чтобы она образовывала все меньший угол с плоскостью а, то прямая Дезарга будет постепенно удаляться и в случае параллельности этих плоскостей станет «бесконечно удаленной». В результате мы получим предельный («школьный») случай теоремы Дезарга. Если мы удалим точку S в бесконечность, то получим теорему Дезарга для случая призмы (рис. 24, б).

Особенно велико значение теоремы Дезарга в стереометрических чертежах, выполняемых по правилам начертательной геометрии, которая, в свою очередь, представляет собой одну из глав проективной геометрии. Поясним это примером. Пусть в классе учащийся на доске изобразил произвольную пирамиду SABC, «стоящую» на плоскости а, и рассек ее плоскостью а', пересекающейся с плоскостью а по прямой /. Правильно ли он начертил ее сечение с плоскостью а' в виде треугольника А'В'С' (рис. 25, а, б)? Иначе говоря, мог ли он его начертить от руки, каким хотел, на глаз, или при этом он должен был придерживаться каких-нибудь определенных правил? С первого взгляда кажется, что для правильности чертежа достаточно лишь правдоподобно для глаза изобразить треугольник А'В'С. Однако дело обстоит иначе. Из чертежа видно, что два треугольника ABC и А'В'С находятся в условиях теоремы Дезарга. Поэтому точки пересечения их соответственных сторон должны лежать на одной прямой — и эта прямая должна быть прямой / пересечения плоскостей а и а'. Если это условие на данном чертеже выполнено, то он верен (рис. 25, а), в противном случае — ошибочен (рис. 25, б).

Отсюда вытекает грамотное построение таких чертежей от руки. Чертим плоскости а и а' вместе с прямой / их пересечения и пирамиду SABC (рис. 25). Возьмем одну произвольную точку, например А' на ребре AS> в качестве вершины треугольного сечения А'В'С пирамиды с плоскостью а'. (По существу, этим мы однозначно определим положение самой секущей плоскости а! относительно плоскости а, так как прямой и течкой вне ее плоскость определяется.) Теперь строим сечение. Продолжаем ребро Л В до пересечения с прямой /. Получаем точку М. Соединяем точку М с точкой А'. В пересечении прямой МА' с ребром BS получаем точку В'. В пересечении ребра ВС с прямой / получаем точку N. В пересечении прямой В'Н с ребром CS получаем точку С. Соединяем точки А'у В' и С — получаем треугольник А'В'С.

Так же решается вопрос об отыскании сечения треугольной призмы плоскостью, так как последнюю можно рассматривать как предельный случай треугольной пирамиды, когда ее вершина ушла в бесконечность. Подобно этому, отыскивают сечения многоугольных пирамид и призм наклонной плоскостью, так как каждую из

Рис. 25

них можно разбить на треугольные пирамиды и призмы (рис. 25, в). Более того, сечение плоскостью а' конуса или цилиндра находим также на основании теоремы Дезарга, так как это сечение мы строим по точкам с помощью вписанных пирамиды и призмы, а потом эти точки соединяем плавной кривой (рис. 25, в).

Существует еще очень много проективных теорем, связанных с конфигурациями, в которые входят треугольники. Однако уже приведенные примеры показывают, как много дает знание проективных теорем даже для чисто практических целей — построения чертежей и общего их понимания.

Глава IV

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ 2-го ПОРЯДКА

Теорема Паскаля. Сейчас мы рассмотрим проективные свойства простейших плоских кривых, так называемых «кривых 2-го порядка» или «конических сечений». Мы здесь употребили множественное число, говоря о «кривых 2-го порядка». Но мы уже знаем, что в проективной геометрии такая кривая, по существу, одна, поскольку при проектировании окружность, эллипс, парабола и гипербола переходят друг в друга. При этом они в проективной геометрии ничем по своим свойствам не отличаются (однако на чертеже, в обычной евклидовой плоскости, они могут иметь различные размеры и изображаются по-разному).

Рассмотрим одну теорему, имеющую основополагающее значение. Доказывать ее мы не будем. Ее доказательство требует более глубокого знакомства с проективной геометрией, чем то, которое мы здесь можем дать. Однако некоторый намек на ее доказательство мы дадим, так что содержание теоремы не будет казаться читателю очень неожиданным. Вот эта теорема.

Теорема Паскаля. Если в кривую 2-го порядка вписан произвольный шестиугольник ABCDEF (рис. 26, а), то три пары

его противоположных сторон (АВ) и (DE), (ВС) и (EF), (CD) и (FA)1 пересекаются в трех точках М, N, Р, лежащих на одной прямой и (прямая Паскаля).

Блез Паскаль, французский математик (1623—1662), доказал эту теорему в 1639 году, когда ему было всего 16 лет. Как свидетельствуют современники, многие в то время не хотели верить, что юноша в таком возрасте мог установить столь важную теорему, и приписывали ее его отцу, тоже математику, Этьену Паскалю.

Теперь посвятим несколько слов этой теореме.

1. Прежде всего, ясно, что эта теорема проективная. Действительно, никаких измерительных понятий в ее формулировке нет, и при любых проектированиях теорема сохраняет свой смысл. Именно, кривая 2-го порядка при всех проектированиях переходит в кривую 2-го порядка. Точка переходит в точку, прямая в прямую. Три точки, лежащие на одной прямой, перейдут в три точки, лежащие на одной прямой, и т. д. (рис. 26, б). Конечно, длины сторон многоугольников и их углы при проектировании изменяются. Но это измерительные понятия, а о них в теореме ничего не говорится. Итак, наша теорема справедлива для всех кривых 2-го порядка (какой бы вид они на чертеже ни имели!).

2. Теперь сам собой появляется ответ и на общий вопрос, поднятый выше: какие могут существовать в проективной геометрии теоремы, если в ней исчезают измерительные понятия? Мы видим примеры проективных теорем: теоремы Дезарга и Паскаля. Существуют и многие другие проективные теоремы. Теперь мы видим и то, какие общие свойства могут иметь, например, такие различные линии, как окружность, эллипс, парабола и гипербола. Вот, например, их общее свойство: «подчиняться теореме Паскаля». Мы могли бы назвать много других общих свойств.

О доказательстве теоремы Паскаля. Как мы уже говорили, мы не имеем здесь возможности привести полное доказательство теоремы Паскаля, однако нижеследующие соображения, не будучи строгими, показывают, как можно получить это доказательство.

Для окружности и правильного вписанного в нее шестиугольника теорема Паскаля очевидна. Стороны (АВ) и (ED), (ВС) и (EF)9 (CD) и (FA) попарно «пересекаются» в трех точках: УИ^, Ым9 Р^, лежащих на одной «бесконечно удаленной», или «несобственной», прямой и^ (рис. 27, а). Построив, как и в предыдущих случаях, проектирующий конус, мы спроектируем окружность в эллипс, параболу и гиперболу, а вписанный шестиугольник снова во вписанный шестиугольник. Однако пары параллельных сторон шестиугольника спроектируются, вообще говоря, в пары пересекающихся прямых, и поэтому три точки М^, Л^, Р^у лежащие на одной

1 Стороны шестиугольника называются противоположными, если между ними заключено две стороны. Так, для сторон АВ, ВС, CD, DE, EF, FA парами противоположных сторон будут АВ и DE, ВС и EF, CD и FA, как это и записано в тексте теоремы.

«несобственной» прямой, перейдут в три точки М, N, Р, лежащие на одной обычной прямой и, шш в точки ЛГ, ЛГ, Р\ лежащие на прямой и1, или в точки М", N", Р"у лежащие на прямой и" (рис. 27, б), и т. д.

Проектируя конфигурацию плоскости а из новой точки 5', мы сможем получить в сечении нового конуса некоторой плоскостью F снова окружность, но вписанный в нее шестиугольник уже не будет правильным. Конфигурация же Паскаля по-прежнему будет иметь место. Иначе говоря, конфигурацию Паскаля для любой кривой 2-го порядка можно рассматривать как проекцию любой конфигурации Паскаля для окружности.

Сам Б. Паскаль доказал свою теорему для произвольного шестиугольника, вписанного в окружность, а потом проектированием распространил ее на любую кривую 2-го порядка и на любой вписанный шестиугольник. Итак, теорема Паскаля будет иметь место для любого шестиугольника, вписанного в окружность, эллипс, параболу и гиперболу (рис. 27). Но теорема Паскаля будет иметь место и для любого вписанного пяти-, четырех- и треугольника. Для этого надо предположить, что какие-то вершины его совпадают, причем соответствующая сторона шестиугольника (бывшая секущей) обращается теперь в касательную (так как касательную в точке А можно рассматривать как предельное положение секущей (АВ), когда точка В, двигаясь по кривой, стремится слиться с точкой А). Пусть, например, имеем А =В и прямая (АВ) становится касательной, тогда для вписанного пятиугольника получим рисунок 28, а. Для вписанного четырехугольника будем иметь «усиленную теорему» Паскаля (четыре точки лежат на одной прямой), пусть А = В, D = Е или В = С и £ = F. В обоих случаях имеем одну и ту же прямую и, так как она определяется точками пересечения противоположных сторон четырехугольника и они в обоих случаях остаются теми же самыми (рис. 28, б). Для треугольника будем иметь: А = В, С = D, Е = F (рис. 28, с).

Замечательным является то обстоятельство, что теорема Пас-

Рис. 27

Рис. 28

Рис. 29

каля справедлива для любых вписанных шестиугольников. Иными словами, шестиугольники не обязаны быть выпуклыми. Это значит, что вершины вписанного шестиугольника Паскаля могут выбираться в любом порядке (рис. 29, а, б). При этом порядок вершин и сторон мы во всех чертежах будем определять алфавитом. Так, порядок вершин в теореме Паскаля у нас всегда будет Л, В, С, D, В, F, и, следовательно, стороны будут иметь порядок ЛВ, ВС, CD, DE, EF, FA (как бы они ни располагались на чертеже!), и, следовательно, противоположными сторонами у нас всегда будут, как и раньше, стороны (ЛВ) и (DB), (ВС) и (В/7), (CD) и (FA).

На рисунке 29, а, б представлены некоторые случаи теоремы Паскаля для различных кривых 2-го порядка.

В заключение заметим, что справедлива и теорема, обратная теореме Паскаля. Вот она.

Обратная теорема. Если для шести произвольных точек Л, В, С, D, В, F плоскости имеет место конфигурация Паскаля, т. е. три точки М = (ЛВ) П (DB), N = (ВС) П (EF), Р= = (CD) П (FA) лежат на одной прямой, то точки А, В, С, D, В, F лежат на одной кривой 2-го порядка (см. рис. 26).

Теорема Паскаля, как мы дальше увидим, играет большую роль в геометрии.

Решение задач с помощью теоремы Паскаля. Прежде всего, рассмотрим задачу о построении кривой 2-го порядка. Она выражается в том, что если даны пять произвольных точек плоскости (но так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой), то, пользуясь конфигурацией Паскаля, по ним можно построить кривую 2-го порядка, или, точнее, сколько угодно точек кривой 2-го порядка. Иными словами, это значит, что конфигурация Паскаля — это как бы «геометрическое уравнение» кривой 2-го порядка. Подобно тому как по уравнению можно построить кривую, задавая абсциссы ее точек и вычисляя по уравнению кривой их ординаты, так же можно построить сколько угодно точек кривой 2-го порядка по пяти ее. точкам, пользуясь конфигурацией Паскаля. Одновременно это значит, что кривая 2-го порядка определяется пятью точками.

Построение кривой 2-го порядка по пяти точкам. Задача. Пусть даны пять точек Л, В, С, D, Е (по три не лежащие на одной прямой) (рис. 30). Требуется построить сколько угодно точек кривой 2-го порядка (проходящей через эти точки).

Решение задачи будет состоять в восстановлении конфигурации Паскаля, считая точку F ис-

комой точкой. Для этого построим прямые (АВ), (ВС), (CD), (DE) (рис. 30). Прямые (АВ) и (DE) пересекаются в точке М. Это будет точка прямой и Паскаля. Больше никаких точек конфигурации Паскаля мы пока построить не можем. Проведем произвольную прямую через точку М. В пересечении прямых (ВС) и (CD) с прямой и найдем точки N и Р (рис.30). Теперь, соединяя точку N с точкой Е и точку Р с точкой А, получим прямые (EN) и (АР). В их пересечении получим искомую току F кривой 2-го порядка. Проводя различные прямые и1, и", d" и т. д. через точку М, будем получать различные точки F', F", F1", принадлежащие кривой 2-го порядка. В зависимости от того, как расположены точки А, В, С, D, Е на плоскости, мы получим на чертеже различные кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Задача. Построить гиперболу (точнее, сколько угодно точек гиперболы), зная одну ее асимптоту, одну касательную с ее точкой касания и одну точку кривой (рис. 31; а).

Решение. Сразу не видно, как решать эту задачу. Поэтому обратимся к теореме Паскаля. Не поможет ли она? Требуется найти сколько угодно точек кривой, т. е. построить кривую. Будем

искать сначала одну точку. Если мы ее найдем, то аналогично построим и сколько угодно других точек. Но как теперь перенести наше задание на язык теоремы Паскаля? Обратимся к рисунку 31, б. Касательную в точке Я кривой, как мы знаем, можно рассматривать как предельное положение секущей, когда вторая точка Q пересечения с кривой стремится по кривой к точке Р (рис. 31, б).

Асимптотой гиперболы называется прямая, к которой точка гиперболы неограниченно приближается, удаляясь по кривой «в бесконечность». Но асимптоту можно рассматривать и как касательную к гиперболе в ее «бесконечно удаленной точке» (рис. 31,6). Действительно, рассмотрим секущую (PQ): пусть точка Q удаляется по гиперболе «в бесконечность», а точка Р остается на месте. В пределе секущая (PQ) обращается в прямую (PQ^), параллельную асимптоте /. Следовательно, она с асимптотой имеет одну общую «бесконечно удаленную точку». Теперь заставим точку Р скользить по кривой «в бесконечность». И пусть прямая PQ^ будет сближаться с асимптотой /, оставаясь параллельной самой себе. В пределе прямая PQTO обратится в асимптоту, а точка Р станет тоже «бесконечно удаленной» Р^, слившись с точкой Qx.

Теперь прежде всего вспомним общий чертеж теоремы Паскаля (см. рис. 26). Отметим буквами, что нам известно. Пусть асимптотой будет прямая (АВ) I с точкой А = В, которая находится в бесконечности, касательной — прямая (ED) = г (с точкой касания Е = D) и данной точкой —точка С. Ищется точка F. Как это сделать, показано на рисунке 31, е. Точку М получаем как пересечение прямых (АВ) и (DE). Через точку М проводим произвольную прямую и в качестве прямой Паскаля. Пересечением с ней прямых (ВС) и (CD) получаем на ней точки N и Р. Проводим прямые (NE) и (АР)у в их пересечении получаем искомую точку F.

Все это построение надо перенести на рисунок 31, я, где точки А и В «ушли в бесконечность» (обозначены как А^ = Вх) и там совпадают. Найдем точку М. Она образована пересечением асимптоты (А^В^) = I с касательной прямой (DE) = г (рис. 31, г). Через точку М проводим произвольную прямую и в качестве прямой Паскаля. Ищем точку ЛЛ Она образуется пересечением прямой (В^С) с прямой и. Но точка В^ —это «бесконечно удаленная» точка В^ касания асимптоты с кривой. Поэтому прямая (А^В^) —асимптота, и прямая (ВооС) имеет с ней общую «бесконечно удаленную» точку, т. е. они параллельны. Итак, проводим через точку С прямую, параллельную асимптоте. В пересечении этой прямой с прямой и находим точку N. Точка Р получается пересечением прямой (CD) с прямой и. Проводим теперь прямую (NE) и прямую (АооР)у т. е. прямую, проходящую через точку Р параллельно асимптоте. В пересечении этих прямых получим искомую точку F. Вращая прямую и вокруг точки Mf получим сколько угодно искомых точек F гиперболы. Задача решена.

Глава V

АФФИННАЯ И МЕТРИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТИ

Аффинная плоскость. Теперь мы рассмотрим наиболее любопытное использование проективной геометрии. Только что (с. 38) мы говорили, что в проективной геометрии все кривые 2-го порядка имеют одинаковые свойства, т. е. они не отличимы друг от друга, образуя единую «кривую 2-го порядка». Это объяснялось тем, что любая из этих кривых проектировалась в любую другую из них. А такие кривые мы условились не отличать друг от друга. Теперь мы покажем, что благодаря тому, что все эти кривые проектируются друг в друга, все свойства этих кривых (в том числе и все измерительные (метрические) свойства!) можно изучать с помощью любой из них, например с помощью окружности как самой простой кривой 2-го порядка.

Рассмотрим произвольную проективную плоскость р и проведем на ней совершенно произвольную прямую w (рис. 32).

Будем рассматривать на плоскости* р пары прямых и кривые 2-го порядка и классифицировать их по их расположению относительно прямой w.

Так, пары прямых сейчас же разбиваются относительно прямой w на два и только два рода.

/ род: пересекающиеся где угодно в плоскости, но не на прямой w.

II род: пересекающиеся на прямой w.

Кривые 2-го порядка (проще всего взять для чертежа окружность или эллипс) разбиваются относительно прямой w на три и только три типа.

1-й тип: кривые, не имеющие общих точек с прямой w.

2-й тип: кривые, имеющие одну (две совпадающие) общую точку с прямой w, т. е. касающиеся прямой w.

3-й тип: кривые, пересекающие прямую w в двух точках. Других типов кривых 2-го порядка быть не может.

Мы всегда можем себе представить, что наша плоскость Р (рис. 32) поставлена в положение, показанное на рисунке 33, а, и найдены такая точка S и такая плоскость V, что прямая w плоскости р проектируется из точки S на плоскость у в «бесконечно удаленную» прямую плоскости у. (Для этого надо построить плоскость у параллельно

прямой w и взять точку S так, чтобы плоскость (Sw) была параллельна плоскости у.) Это дает нам право ввести на плоскость р (рис. 32 или рис. 33, а, б, в) такую терминологию: прямые I рода на плоскости р мы можем назвать пересекающимися, так как они проектируются на плоскость у тоже в пересекающиеся прямые. Прямые II рода на плоскости {J мы можем назвать параллельными, так как они проектируются на плоскость у в виде параллельных прямых. Кривые 2-го порядка на плоскости Р 1-го типа мы можем назвать «окружностями» или «эллипасами», так как они проектируются на плоскость у в эллипсы или в окружности (и сейчас мы не имеем средств, чтобы отличить их друг относительно друга, так как те и другие по отношению к прямой w ведут себя одинаково, не пересекают прямой w). Кривые 2-го типа плоскости р мы можем назвать «параболами», так как они будут проектироваться на плоскость у в настоящие параболы. Кривые 3-го типа на плоскости р мы можем назвать «гиперболами», так как они будут проектироваться на плоскость у в настоящие гиперболы. Прямую же w мы можем назвать «несобственной» или «бесконечно удаленной», так как она проектируется в «бесконечно удаленную» прямую Woo плоскости у. Конечно, точнее было бы говорить про линии в плоскости р, что они только представляют параллельные прямые, эллипсы, параболы и гиперболы, а что настоящие эти линии находятся в плоскости у. Однако, основываясь на нашем общем условии, что данный образ и его проекция геометрически не отличимы, мы вправе употреблять введенную нами терминологию и называть их эллипсами, параболами и гиперболами и в самой плоскости р.

Таким образом, мы видим, что хотя как плоскость р (рис. 32, 33), так и прямая w на ней были взяты совершенно произвольно, однако ничего случайного в классификации линий на ней нет, так как плоскость р с прямой w на ней всегда может быть поставлена в положение плоскости р (рис. 32) так, чтобы прямая w проектировалась в прямую Woe.

В дальнейшем при желании мы можем рассматривать плоскость р как отдельно, саму по себе (рис. 32), так и в ее положении на рисунке 33.

Таким образом, взяв плоскость р (рис. 32, 33) и начертив на ней окружность, мы можем, двигая эту окружность по плоскости р, «превращать» ее в различные кривые 2-го порядка. Пока наша окружность не имеет общих точек с прямой w, она изображает окружность или эллипс, коснувшись прямой w, она превращается в параболу, пересекая прямую w, она становится гиперболой.

Проективную плоскость р с раз навсегда выделенной прямой w на ней мы будем называть аффинной плоскостью.

В этой плоскости есть понятие о параллельных прямых. Есть понятие о кривых эллиптического типа (окружности и эллипсы). Различать мы их еще не можем, так как классификация линий

велась только с помощью прямой w, а по отношению к ней и окружности, и эллипсы расположены одинаково: не пересекают ее. Есть параболы и есть гиперболы. Но это еще не та наша метрическая, измерительная евклидова плоскость, с которой мы имеем дело в элементарной, школьной геометрии, так как в евклидовой плоскости окружности и эллипсы отличаются друг от друга и там есть измере-

Рис. 33

ния длин и углов. Аффинная плоскость — это плоскость с промежуточными свойствами. Она уже не проективная плоскость, так как в ней есть параллельность и некоторая классификация кривых 2-го порядка. Но эта плоскость еще не метрическая плоскость, так как в ней окружности и эллипсы не различаются и нет измерения отрезков и углов.

Поскольку по нашему основному положению образы плоскости р и их проекции — образы на плоскости у — геометрически тождественны и решительно ничем не отличаются друг от друга, постольку, говоря об аффинной плоскости, мы всегда ее можем себе представлять в любом из двух равноправных видов Р или у (рис. 32, 33), так как один из этих видов путем проектирования всегда может быть переведен в другой. С точки зрения удобства использования этих видов аффинной плоскости и геометрии надо заметить, что каждый из этих видов имеет свои достоинства (и свои недостатки), и с каким из них удобнее иметь дело в каждом отдельном случае, зависит от характера рассматриваемой задачи. Так, рисунок 33 с аффинной плоскостью вида у удобен тем, что все образы на нем имеют хорошо нам знакомый из элементарной геометрии вид. Наоборот, изображение аффинной плоскости в виде плоскости р удобнее тогда, когда речь идет об изучении свойств кривых, связанных с «бесконечно удаленной» прямой, так как на плоскости р эта прямая w изображена на самом чертеже, она как бы приближена к нам, а на плоскости у ее нет — она «ушла в бесконечность».

Переход от плоскости р к плоскости у можно себе представлять (для наглядности) не только посредством проектирования, но и посредством постепенного удаления прямой w в плоскости р в «бесконечность». При этом плоскость р превращается в плоскость у.

Заметим, наконец, что с таким представлением аффинной плоскости, каким является плоскость р, мы, по существу, давно знакомы. Художник, изобразивший на своей картине (рис. 34) два параллельных края дороги сходящимися на линии горизонта и круговой барьер фонтана в виде эллиптического, только спроектировал плоскость у поверхности земли на плоскость р его чертежа-картины. Так, несобственная прямая w плоскости р есть проекция «бесконечно удаленной» прямой плоскости у, т. е. той прямой — линии горизонта, где «небо сливается с землей». Можно сказать, что пря-

мые 2-го рода плоскости р отождествлены с параллельными прямыми плоскости у, поскольку первые являются проекцией вторых и их изображают. Эллиптический барьер в плоскости Р также отождествляется с круговым в натуре, в плоскости у, поскольку он его проектирует и изображает. Это лишний раз подтверждает то положение аффинной геометрии, что в ней эллипс и окружность не различимы, так как, видя на чертеже эллипс, мы говорим: «Вот нарисован круглый фонтан!»

В заключение заметим, что в дальнейшем мы всегда будем обозначать через р аффинную плоскость с несобственной прямой w, а через у — проекцию плоскости р с прямой а^, «ушедшей в бесконечность».

Введение метрической (евклидовой) плоскости. Для того чтобы показать, как с помощью одной окружности можно изучить все метрические свойства всех кривых 2-го порядка, нам надо теперь ввести понятие о метрической плоскости, т. е. 1) выделить на аффинной плocкoqти р окружности из всех эллиптических кривых 2-го порядка, 2) ввести измерения длин и 3) ввести измерения углов.

Вся суть дела в том, что мы должны сделать это на аффинной плоскости р так, чтобы те кривые, которые мы будем считать на плоскости р окружностями, проектировались на плоскость у в настоящие окружности, а те, которые будут на плоскости рГ изображать эллипсы, проектировались на плоскость у в настоящие эллипсы.

Далее, введенные нами на плоскости р единицы длины и единицы измерения угла должны проектироваться на плоскость у в настоящие единицы длины и в настоящие единицы измерения углов. А сами способы измерения длин и углов, введенные на плоскости р, должны переходить в обычные способы измерения длин и углов на плоскости у.

Все это можно сделать, и тем самым удастся с помощью одной передвигаемой на плоскости р окружности (или эллипса) изучать все метрические свойства всех кривых 2-го порядка на плоскостях р и у.

Аффинная плоскость с выделенными на ней окружностями, с введенным измерением длин и углов называется метрической (евклидовой) плоскостью.

Мы не имеем возможности в этой брошюре дать полное и строгое изложение того, как вводится понятие об окружности на плоскости р.

Поэтому ограничимся здесь только общим описанием идеи, лежащей в основе этого введения понятия окружности.

Происходит это введение окружности следующим образом. Мы выбираем на плоскости р совершенно произвольную кривую эллиптического типа и называем ее «окружностью». После этого мож-

Рис. 35

но доказать, что мы можем так расположить одну относительно другой плоскости р и у и так выбрать центр проектирования S, что при проектировании из этого центра плоскости р на плоскость у (рис. 35):

1) прямая w плоскости р спроектируется в «бесконечно удаленную» прямую плоскости у;

2) принятая нами за «окружность» кривая эллиптического типа плоскости р спроектируется в настоящую окружность плоскости у;

3) как бы мы ни передвигали эту окружность по плоскости у и как бы ни меняли ее радиус, но, проектируя эту окружность (т. е., по существу, любую окружность плоскости у) из точки S обратно на плоскость р, мы получим на плоскости р всегда какую-то кривую обязательно эллиптического типа, которую тоже будем называть «окружностью» плоскости Р;

4) при этом эллипсы (настоящие эллипсы!) плоскости у спроектируются в кривые эллиптического типа плоскости р, которые мы будем называть «эллипсами плоскости р»;

5) при этом никогда ни один «эллипс плоскости р» не совпадет ни с одной «окружностью» плоскости р.

Итак, взятая наугад любая кривая эллиптического типа на плоскость р будет на ней либо «эллипсом», либо «окружностью», смотря по тому, во что она спроектируется на плоскость у.

Таким образом происходит введение понятия «окружности» на плоскости р, и все кривые эллиптического типа плоскости р разбиваются на «окружности» и «эллипсы». Теперь уже нетрудно понять, как можно ввести понятия измерений углов и отрезков на плоскости р.

Взяв на плоскости у любую настоящую окружность и проведя в ней любые два взаимно перпендикулярных диаметра, мы их спроектируем в какие-то две хорды, в «окружности» плоскости р. Эти хорды мы будем называть диаметрами «окружности» плоскости р, точку их пересечения — «центром» этой «окружности». Эга точка всегда будет лежать внутри этой «окружности», а угол между этими диаметрами будем считать «прямым». При этом все диаметры одной такой «окружности» мы будем считать «равными между собой». Этим будет введено измерение углов (в долях прямого угла) и длин. Мы не имеем здесь возможности останавливаться на том, что при этом на плоскости р мы можем считать все «прямые углы» равными друг другу и что все законы измерения углов и длин, справедливые для настоящих углов и длин в плоскости у, будут выполниться и на плоскости р (они будут как бы «проекциями» законов с плоскости у на плоскость Р). Например, два параллельных диаметра двух настоящих окружностей плоскости у спроектируются в два «диаметра окружностей» плоскости р, которые будут пересекаться на прямой w, т. е. будут там тоже «параллельными», и т. д.

Итак, мы видим, что, выбрав любую кривую эллиптического типа за окружность, мы вводим все измерительные понятия в плоскости Р и у. Иначе говоря, с принципиальной стороны мы можем теперь решать на плоскости р или у все измерительные задачи обычной евклидовой геометрии. На том, как это делать в каждом отдельном случае, мы здесь (за неимением места) не останавливаемся.

Обход гиперболы. Теперь рассмотрим некоторые геометрические вопросы, которые легко решаются при использовании проективной геометрии. Мы знаем, что можно, не сходя с окружности, обойти ее кругом. Но можно ли это сделать в отношении гиперболы? В проективной геометрии окружность и гипербола ничем не отличаются друг от друга. Поэтому в проективной геометрии ответ на поставленный вопрос должен быть положительным.

Но как осуществится этот обход в метрической плоскости, когда там гипербола «разорвана»? Мы воспользуемся методом проектирования. Будем совершать обход в плоскости р по окружности, пересекающей прямую w (т. е. по гиперболе), и проектировать этот обход в плоскость у на настоящую гиперболу. Для этого рассмотрим рисунок 36. Для наглядности рассмотрим фигурку «путника» который весь расположен в плоскости гиперболы и идет по асимптоте,

а голову держит на гиперболе (см. одновременно рис. 36, а и 36, б). Он начинает путь по асимптоте а из положения (1); удаляясь, по ней, он «уменьшается» (2), и в точке (3) рост его обращается в О (на рис. 36, а его «нет»). Он исчез «в бесконечности». Далее, «держа голову на гиперболе», он попадает в положение (4) (на рис. 36, а он будет изображен вниз головой). Ничего не поделаешь: он «идет» по той же прямой а, а голова его «скользит по гиперболе». Далее, в точке (5) он оказывается, перепрыгнув, на асимптоте 6, но головы с гиперболы не снимает. В точке (6) он снова исчезает, появляясь потом в точке (7). Между точками (7) и (1) он снова перепрыгивает на асимптоту а и далее может, — если захочет! — продолжать кружиться. Если поинтересоваться, почему на рисунке 36, а он идет часть времени головой вниз, хотя на рисунке 36, б ничего этого нет, то возможно ответить двояко. Во-первых, просто: «Так проектируется окружность с ее касательными рисунка 36, а в гиперболу с асимптотами рисунка 36, б» — и все! (что проектирование дает именно такую картину, читатель может убедиться и сам, внимательно рассмотрев рис. 33, в); во-вторых, можно ответить и иначе, более загадочно: «Таково свойство проективной плоскости (с которой, по существу, мы имеем здесь дело)». Объяснить этот ответ более обстоятельно мы не имеем здесь возможности.

Изображения на плоскостях β и γ более сложных кривых. Часто изображение кривой на аффинной (или метрической) плоскости, где за «несобственную прямую» w принята «бесконечно удаленная» прямая w'^, осложняет наглядное представление о всей кривой в целом. Поэтому ее проектирование на аффинную (или метрическую) плоскость, где «несобственная» прямая w находится в пределах чертежа, облегчает представление о кривой. Более того, одна и та же кривая в проективной плоскости часто принимает совершенно различные формы в аффинной или метрической плоскости,

когда мы вводим на проективной плоскости прямую w и проектируем ее потом в «бесконечно удаленную» прямую w'^.

Простейший пример этого мы видели в случае кривых 2-го порядка. Рассмотрим несколько более сложных примеров. Кто, например, поверит, что на рисунках 37, а, б, в изображена по сути дела одна и та же (с проективной точки зрения) кривая? Между тем это именно так.

Возьмем на проективной плоскости кривую, изображенную на рисунке 38. Рассмотрим эту же кривую в аффинной плоскости, по-разному расположенную относительно прямой w (рис. 39). Если цифрами 1 —2 —3 —4 —5 —6 —7— 8—9—10—11—12 обозначить порядок кругового обхода этой кривой начиная от точки Л, то сразу станет очевидным, что кривая рисунка 37, а и рисунка 39 одна и та же кривая, но только на рисунке 39 мы имеем четыре «изображения» асимптот, а на рисунке 37, а эти же асимптоты уже настоящие. Сдвинув кривую рисунка 40 в положение кривой рисунка 43, мы получим рисунок 37, в. Здесь кривая имеет две настоящие асимптоты и одну — «несобственную» прямую w (или w'J), как у параболы. В случае рисунка 41 кривую на плоскости у будет представлять рисунок 37, в: здесь асимптота одна —сама «несобственная» прямая w'.

Вообще наша кривая может иметь самые разнообразные расположения относительно прямой w на плоскости |J (рис. 42, 44), и каждому из них будет соответствовать свое изображение кривой на плоскости у.

Рис. 37

Рис. 42 Рис. 43

Рис. 44

Рассмотрим рисунок 45, где изображена кривая на проективной плоскости. Введя плоскость (3 с прямой до (рис. 46), мы можем получить различные расположения этой кривой на плоскости у. Одно из них изображено на рисунке 47, когда кривая пересекает прямую до в двух своих узловых точках. Рисунок 47 изображает проекцию кривой на аффинную плоскость или на метрическую плоскость у именно в этом последнем случае.

Одинаковыми числами обозначены соответственные точки обхода на рисунках 46 и 47. Асимптоты at и Ь{ параллельны между собой (имеют общую точку А на прямой до), так же как и асимптоты а2 и Ьг с общей точкой В на этой же прямой.

Рис. 45

Рис. 46

Рис. 47

Сдвигая нашу кривую в аффинной плоскости р относительно прямой до, мы можем получать различные аффинные и метрические типы наших кривых.

Рекомендуем читателю разобрать различные, возможные здесь случаи.

Подведем некоторые итоги. Мы видим, что использование плоскости р позволяет обнаруживать родство между метрически различными кривыми в плоскости у. Достаточно сдвинуть кривую в плоскости р относительно прямой до, и кривая уже меняет свой вид в аффинной или в метрической плоскости у. Таким образом, с одной стороны, одна и та же кривая плоскости р переходит в различные кривые плоскости у. и обратно, различные кривые плоскости y во многих случаях оказываются только различными проекциями одной и той же кривой в плоскости р.

Глава VI

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Геометрия Лобачевского. Сейчас мы остановимся на одном чрезвычайно важном и глубоком геометрическом вопросе, который далеко выходит за пределы самой геометрической науки и в котором сумела разобраться до конца лишь проективная геометрия во второй половине XIX века. Дело идет об установлении основных положений, на которых строится геометрия.

Из школьного курса геометрии мы знаем, что в основе евклидовой геометрии как науки лежит некоторое число аксиом, на которых в дальнейшем основываются все теоремы геометрии.

Среди этих аксиом есть одна, привлекавшая к себе с давних пор внимание геометров. Это аксиома о параллельных прямых. Чтобы понять ее роль в геометрии, напомним следующее. Исходя из ряда аксиом (например, таких, что две точки определяют един-

ственную, проходящую через них прямую, и др.), доказывается некоторое число теорем, не требующих понятия о параллельных прямых. Среди этих теорем есть теорема о том, что из точки, не лежащей на прямой, можно опустить на эту прямую только один перпендикуляр, а из точки, лежащей на прямой, можно восстановить к этой прямой тоже только один перпендикуляр. Далее, можно назвать теорему о конгруэнтности углов при основании равнобедренного треугольника и другие теоремы.

Наконец, существует теорема о том, что в данной плоскости через точку А у не лежащую на прямой а, всегда может быть проведена прямая /, не пересекающая данную прямую а, т. е. прямая, ей параллельная (рис. 48).

Возникает вопрос, — он возник еще у древних геометров, — будет ли прямая I единственной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей прямую а, т. е. ей параллельной? Иными словами, будет ли всякая другая прямая т (рис. 48), проходящая через точку А у пересекать прямую а или, может быть, среди прямых, проходящих через точку Л, существуют и другие, тоже не пересекающие прямую а, т. е. тоже «параллельные» ей? Доказанная теорема этого вопроса не решает: она говорит лишь о существовании одной прямой 1у не пересекающей прямую а, но ничего не говорит о возможности или невозможности других таких же прямых (т).

С точки зрения наглядных представлений кажется очевидным, что через точку А можно провести только одну прямую, именно прямую /, не пересекающую прямую д. Однако доказать это с виду очень простое утверждение никак не удавалось ни одному из геометров на протяжении 2000 лет, протекших со времени Евклида.

Невозможность доказать это утверждение, а с другой стороны, необходимость развивать геометрию дальше (что без теории параллельных нельзя было сделать) привела к появлению еще у Евклида аксиомы о параллельных (так называемого «пятого постулата Евклида»). В школьном учебнике аксиома о параллельных гласит: «Если в плоскости даны прямая а и вне ее точка Л, то через точку А можно провести в этой плоскости не более одной прямой by параллельной (не пересекающей ее) прямой а». На основе этой аксиомы и развертывается известная нам евклидова геометрия. Однако попытки доказательства этого утверждения не прекращались. Видя неудачи всех попыток доказать справедливость пятого постулата (в результате чего он и был принят за аксиому), гениальный русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856) построил новую геометрию, носящую с тех пор его имя. Положив в основу этой геометрии все те же аксиомы, на которых строится наша обычная геометрия Евклида, он лишь вместо пятого постулата Евклида принял свое,

Рис. 48

противоречащее этому постулату предложение («постулат Лобачевского»). Оно утверждает:

«Если в плоскости даны прямая а и не лежащая на ней точка Л, то через точку А в этой плоскости можно провести по меньшей мере две прямые р и q, не пересекающие прямую а» (рис. 49).

Исходя из этого предположения, Лобачевский и начал строить свою геометрию. Рассуждая строго логически и делая всевозможные выводы из своего предположения (постулата), Лобачевский получил множество самых удивительных теорем, которые казались с первого взгляда совершенно невероятными. Они противоречили нашим привычным представлениям и наглядности, однако непосредственно и строго вытекали из принятого им постулата о параллельности и поэтому никаких внутренних противоречий (противоречий между собой) не содержали, т. е. строго следовали из этого постулата.

Таким образом, здесь создавалась новая геометрия, геометрия Лобачевского, противоречащая геометрии Евклида, но такая же безошибочная, как и геометрия Евклида.

Вот некоторые из теорем Лобачевского. Прежде всего, из его предложения прямо следовало, что если через точку А проходят две прямые р и q, не пересекающие прямую а, то таких прямых существует бесчисленное множество. Действительно, во всяком случае все прямые, лежащие между прямыми р и q, т. е. в угле ср (рис. 49), тоже не пересекают прямую а. Отсюда следовали дальнейшие выводы. Если из точки А опустить перпендикуляр на прямую а (рис. 50) и рассматривать пучок прямых с центром в точке Л, то, вращая произвольную прямую пучка в направлении стрелок в обе стороны от перпендикуляра, мы увидим, что сначала эта прямая будет пересекать прямую а, а потом она займет некоторое предельное Положение — первой прямой, не пересекающей прямую а (это прямые т и /г), а в дальнейшем и все прямые, в том числе р и q расположенные в угле а, уже не будут пересекать прямой а. Эти две прямые тип — первые, не пересекающие прямые в нашем пучке,— Лобачевский назвал левой (п) и правой (т) параллельными прямыми в отношении прямой а.

Далее выяснилось, что если некоторая точка М, исходя из точки Л, будет двигаться по параллельным прямым т и п, удаляясь по ним в бесконечность (по стрелкам), то она будет неограниченно сближаться с прямой а, но никогда ее не пересечет. Двигаясь по этим же прямым в другую сторону, она будет неограниченно удаляться от прямой а.

Рис. 49

Таким образом, в отличие от параллельных прямых в нашей обычной, евклидовой плоскости, которые отстоят друг от друга всегда на одном и том же расстоянии, параллельные прямые у Лобачевского в одну сторону неограниченно сближаются (прямые а и т — вправо, прямые а и п — влево, вроде асимптоты и гиперболы), а в другую сторону —неограниченно удаляются друг от друга.

Если же точка будет двигаться по какой-нибудь другой прямой, лежащей внутри угла а (например, по прямым р и q), то в какую бы сторону она по этим прямым ни двигалась, она все равно в конце концов будет неограниченно удаляться от прямой а. Поэтому все прямые, лежащие внутри угла а, называются расходящимися по отношению к прямой а (рис. 51).

Такой странный вывод и рисунок 51 отражают тот факт, что прямые в геометрии Лобачевского ведут себя в некотором смысле как кривые в нашей обычной евклидовой плоскости. Это объясняется следующим. Как мы уже говорили выше, проективная плоскость по своим свойствам отличается от нашей обычной, евклидовой плоскости. Так же точно и плоскость, где развертывается геометрия Лобачевского, отличается по своим свойствам от евклидовой плоскости.

Надо ясно представлять, что в каждой из этих геометрий есть плоскости, каждая из них определяется тремя точками и т. д., но ряд свойств у них разные. Поэтому если мы захотим эти плоскости сравнивать, то проективная плоскость или плоскость Лобачевского по отношению к евклидовой плоскости будет напоминать кривую поверхность. Поэтому и прямые плоскости Лобачевского не похожи на наши обычные прямые. Будучи на плоскости Лобачевского настоящими прямыми, они определяются там двумя точками. Будучи начерчены на нашей евклидовой плоскости, они ведут себя как кривые. Поэтому на некоторых чертежах (см., например, рис. 51) их иногда чертят как кривые.

В связи с тем что через точку к прямой можно провести две параллельные прямые в двух направлениях, выяснилось, что на каждой прямой (например, а, т, п, ру q и т. д.) в геометрии Лобачевского должно существовать по две «бесконечно удаленные» точки (например, и Тж на прямой а), а не по одной, как мы принимаем в обычной геометрии Евклида (см. рис. 32). Отсюда, в свою очередь, следовало, что геометрическим местом «бесконечно удаленных»

Рис. 51

точек плоскости должна быть не «бесконечно удаленная» прямая как в геометрии Евклида, а «бесконечно удаленная» кривая (рис. 52), чтобы каждая прямая пересекалась в ней в своих двух «бесконечно удаленных» точках (точки и 7^, U^ и и т. д.).

Далее, из постулата Лобачевского следует, что сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского должна была быть всегда меньше двух прямых. При этом она оказывалась величиной переменной: чем площадь треугольника была больше, тем сумма углов должна была быть меньше. Отсюда дальше следовало, что в геометрии Лобачевского не может существовать подобных фигур и поэтому два треугольника с соответственно конгруэнтными углами оказывались не подобными, а конгруэнтными друг другу. Поэтому в геометрии Лобачевского возникал новый признак конгруэнтности треугольников, по трем углам. Как мы уже говорили, как ни казались невероятными все эти выводы (с точки зрения наших привычных представлений), но тем не менее они следовали из постулата Лобачевского и друг из друга с неумолимой логической последовательностью.

Все вместе они создавали стройную геометрическую систему — геометрию Лобачевского, внутри которой, как мы говорили, не обнаруживалось никаких противоречий. Однако всегда оставался открытым вопрос о том, что если сейчас эта система и является стройной и не содержит никаких противоречий, то можем ли мы быть уверенными в том, что и в дальнейшем, через десятки и сотни лет ее развития, в ней никогда не обнаружится каких-нибудь ошибок, которые показали бы ее логическую несостоятельность.

Лобачевский, будучи внутренне убежденным в справедливости и логической безупречности своей геометрии, так и умер, не имея возможности строго доказать ее «право на существование». И только лет через двадцать после его смерти проективная геометрия принесла доказательства правоты Лобачевского (как она это сделала, мы увидим ниже). Его геометрия оказалась хотя и «странной» и необычной (с точки зрения привычных представлений), но тем не менее столь же строгой и безупречно логичной геометрией, как и наша евклидова геометрия. Именно, приняв постулат Евклида, мы получаем нашу обычную евклидову геометрию. Приняв постулат Лобачевского, мы получаем столь же строгую и безупречную геометрию Лобачевского. Эти геометрии противоречат друг другу потому, что строятся на разных аксиомах, но каждая внутри себя не содержит противоречия.

Употребляя образное сравнение, можно сказать так: имея одну и ту же шахматную доску и приняв одни фигуры и одни правила игры, мы получим игру в шахматы, а приняв другие фигуры и другие правила игры, получим игру в шашки или в «поддавки». Каждая из игр «противоречит» другой игре по своим правилам и целям, но каждая игра сама по себе законна и никаких ошибок в самой себе не содержит. Так же обстоит дело с геометриями Евклида и Лобачевского. Однако на этом наше сравнение заканчивается. Наука

не игра. И если логически и возможны две различные геометрические системы, две геометрии, то невольно возникает вопрос о том, какая из них правильнее отображает в своих теоремах явления природы. Какая из них «существует в природе»? Какую из них мы должны использовать в наших расчетах в науке и технике? В настоящий момент ответ на этот вопрос состоит в следующем. Во всех технических расчетах мы пользуемся сейчас нашей обычной геометрией Евклида, и в технике она нас вполне удовлетворяет. Однако в теоретических работах, например по теории относительности, современные физики используют даже гораздо более сложные и необычные для нас геометрические системы, чем геометрия Лобачевского. Поэтому знакомство с геометрией Лобачевского —этим исторически первым и простейшим примером неевклидовых геометрий — для математика и физика совершенно обязательно.

Возможно, что дальнейшее проникновение в физику микромира, в глубь атомного ядра, в мир элементарных частиц, а также познание космоса, изучение отдаленных галактик приведут нас к необходимости использовать геометрию Лобачевского (или иную геометрическую систему) как геометрию, более точно передающую соотношения, существующие в природе, чем это делает геометрия Евклида. Надо сказать, что еще сам Лобачевский предвидел эту возможность. Но это дело будущего.

Сейчас мы остановимся на том, каким образом проективная геометрия сумела установить безошибочность и закономерность геометрии Лобачевского, ее право на существование наряду с геометрией Евклида.

Введение «несобственной кривой 2-го порядка». Геометрия Лобачевского. Напомним, что, переходя от проективной плоскости к аффинной, мы выделили некоторую прямую как «несобственную», после чего, классифицируя относительно нее геометрические образы, получили в дальнейшем геометрию Евклида. Однако вполне законно можно поставить вопрос о том, обязательно ли выделять именно прямую линию проективной плоскости для классификации с ее помощью геометрических образов. Нельзя ли для этой цели выделить вместо прямой какую-нибудь другую линию? И здесь обнаруживается факт огромного принципиального значения.

Выделение других линий на проективной плоскости вполне законно. Но оно приводит к другим геометриям. Рассмотрим в качестве примера следующий случай. Выделим на проективной плоскости р некоторую кривую 2-го порядка и назовем ее «несоб-

Рис. 54

Рис. 55

Рис. 56

ственной кривой 2-го порядка» (рис. 53). Поскольку кривая 2-го порядка разбивает проективную плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю, то надо заранее условиться, какую область в отношении «несобственной кривой 2-го порядка» мы будем рассматривать. Можем выбрать любую, но мы условимся рассматривать внутреннюю область. В этом случае внешней области для нас как бы не существует. Будем теперь классифицировать пары прямых по отношению к «несобственной кривой 2-го порядка». Пары прямых будут трех родов.

1-й род: прямые, пересекающиеся внутри «несобственной» кривой.

2-й род: прямые, пересекающиеся на «несобственной» кривой.

3-й род: прямые, пересекающиеся во внешней области, которой для нас теперь не существует (рис. 53), т. е. прямые, для нас совсем не пересекающиеся.

Кривые 2-го порядка будут распадаться на много типов, которые мы все перечислять тут не будем, а лишь отметим некоторые из них (рис. 53). Например, 1-й тип —кривые, не имеющие общих точек с несобственной кривой. 2-й тип — кривые, однократно касающиеся несобственной кривой. 3-й тип — кривые, двукратно касающиеся несобственной кривой, и т. д.1.

Пара прямых 1-го рода, пересекающихся внутри кривой, будет парой обычных прямых. Пара прямых 2-го рода, пересекающихся в несобственной точке (на кривой!), будет чем-то напоминать пару параллельных прямых евклидовой геометрии, пересекающихся на несобственной прямой. Пара прямых 3-го рода не будет вообще иметь общих точек (так как точек вне кривой для нас вообще не существует!). Все наши прямые, заключенные внутри несобственной кривой, точнее, ее хорды почти ничем не отличаются от обычных прямых. Каждая из них определяется двумя точками.

Проведем теперь внутри несобственной кривой некоторую прямую а и возьмем вне прямой а некоторую точку А (рис. 54). Теперь

1 Точнее говоря, вместо прямых будем рассматривать хорды без концов, вместо кривых 2-го порядка — их дуги без концов, так как эти концы лежат на нашей несобственной кривой, между тем как внешней области, так и точек самой этой кривой для нас теперь не существует.

видно, что через точку А, не лежащую на прямой а, всегда можно провести по крайней мере две прямые (р и q), не пересекающие прямую а. Действительно, рисунок 54 показывает, что прямые р и q, не пересекающие прямую а (внутри кривой!), и не будут ее пересекать вообще, так как точек за пределами несобственной кривой для нас не существует. Также очевидно, что прямые, лежащие внутри угла ф, не будут пересекать прямой а. Далее, через точку А можно провести две прямые тип, пересекающие прямую а на несобственной кривой в точках М и N (рис. 55).

Теперь мы легко обнаруживаем, что у нас создалось то положение вещей, которое было по постулату Лобачевского в его геометрии, о которой мы только что говорили. Действительно, опустим из точки А перпендикуляр на прямую а (на рис. 55 он, вообще говоря, может не быть перпендикуляром, так как изображение углов здесь искажается). Если мы будем рассматривать пучок прямых с центром в точке А и вращать прямую пучка в обе стороны от перпендикуляра АВ, то наступит момент, когда вращающаяся прямая займет положение прямых тип (рис. 55), имеющих с прямой а общие несобственные точки М и N. В дальнейшем вращающаяся прямая, занимая положение внутри угла а, совсем не будет иметь общих точек с прямой а. Далее заметим, что каждая наша прямая, расположенная внутри несобственной кривой, будет иметь с несобственной кривой две точки пересечения, т. е. будет иметь не одну, а две несобственные точки А и АВ и В1 (рис. 56), а геометрическим местом несобственных точек всех прямых будет не несобственная прямая, как в геометрии Евклида, а наша несобственная кривая 2-го порядка (рис. 56).

Предположим теперь, подобно тому как мы это сделали в случае несобственной прямой, что несобственная кривая удаляется в «бесконечность», например, безгранично расширяется (удаление несобственной кривой в «бесконечность» можно себе представить

и путем проектирования, как мы это делали раньше в евклидовой геометрии, но теперь проектировать придется уже прямыми Лобачевского, рис. 57). В этом случае мы получим следующее расположение прямых на плоскости, где несобственная кривая стала «бесконечно удаленной» кривой (рис. 58).

В пучке прямых, проходящем через точку Л, будут прямые, пересекающие прямую а. Прямые тип будут иметь с прямой а общие «бесконечно удаленные» точки Моо и М», т. е. станут параллельными прямой а. (Точнее говоря, они не будут иметь общих точек с прямой а, так же как и в геометрии Евклида, где две параллельные прямые, про которые мы говорим, что они имеют общую «бесконечно удаленную» точку, фактически не имеют общих точек.) Однако, как можно показать в направлении точек Мсо и Afoc, наши прямые будут неограниченно сближаться с прямой а (в противоположность тому, что в геометрии Евклида параллельные прямые всюду удалены на постоянное расстояние друг от друга). В противоположную сторону они будут удаляться друг от друга.

Что же касается прямых, расположенных внутри угла а, то они не только не будут иметь с прямой а «общих» «бесконечно удаленных» точек, но, имея каждая свои бесконечно удаленные точки (например, прямая а —точку М^, а прямая р—точку Роо)% будут характеризоваться тем, что эти точки будут бесконечно далеко отстоять друг от друга. Действительно, точки М^и Р^будут «бесконечно удаленными» точками прямой Ь, соединяющей их (рис. 58), т. е. сами будут бесконечно удалены друг от друга.

Мы не останавливаемся на том, как в нашей новой геометрии вводятся измерения отрезков и углов. Заметим лишь, что две параллельные прямые образуют нулевой угол и что сумма углов в треугольнике будет переменной величиной. Рассмотрим рисунок 59. Здесь мы чертим несобственную кривую 2-го порядка снова сплошной линией, так как можно сказать, что она изображает «бесконечно удаленную» кривую нашей плоскости. В этих условиях сумма углов треугольника ABC будет некоторой определенной величиной S. Треугольник А^В^С^ изображает предельный случай треугольника, когда его вершины удаляются друг от друга. В пределе этот треугольник будет образован попарно параллельными и тем самым неограниченно сближающимися прямыми, а все его углы равны нулю. Следовательно, сумма его углов равна нулю. Но совершенно очевидно, что, увеличивая непрерывно треугольник ABC до его совпадения с треугольником А^В^С^ мы будем непрерывно уменьшать сумму его углов от S до 0. Итак, сумма углов треугольника есть величина переменная, уменьшающаяся с увеличением его площади.

Мы видим, что свойства прямых и фигур, которые мы рассмотрели в нашей новой геометрии, полностью совпадают с рассмотренными нами свойствами этих же образов в геометрии Лобачевского.

Можно доказать, что и вообще все свойства фигур в нашей новой геометрии внутри несобственной кривой полностью совпадают со всеми свойствами соответствующих фигур в геометрии Лобачевского. А отсюда следует вывод решающего значения.

1. Вводя на проективной плоскости несобственную прямую (и в дальнейшем определенное измерение длин и углов), мы получим геометрию Евклида.

2. Вводя на проективной плоскости несобственную кривую 2-го порядка (и в дальнейшем определенное измерение длин и углов), мы получаем геометрию Лобачевского внутри этой кривой. (Подобно тому как мы построили здесь геометрию Лобачевского в пространстве.)

3. Когда все это было установлено, то математикам стало ясно, что геометрия Лобачевского является столь же законной и логически стройной геометрией, как и геометрия Евклида. Обе геометрии равноправно возникают из одной и той же общей для них основы — проективной геометрии, и ни одна из этих геометрий — Евклида или Лобачевского — не имеет в смысле их законности перед другой преимуществ, так как мы с одинаковым правом можем выбрать за несобственный образ прямую или кривую 2-го порядка. Более того, оказывается, что мы можем выбирать в качестве несобственного образа и другие линии, но тогда мы будем получать и другие геометрии.

Итак, выбор различных несобственных образов на проективной плоскости позволяет формировать на плоскости различные геометрии.

Решение вопроса о закономерностях и логической полноценности различных геометрий представляет собой одно из наиболее блестящих достижений проективной геометрии с общематематической точки зрения.

Здесь проективная геометрия, не замыкаясь в своих проблемах, вышла далеко за их пределы и открыла перед математиками закономерности не только между линиями или поверхностями, но и закономерности между геометрическими системами, закономерности между науками. Она выяснила, что все эти совершенно различные геометрии (Евклида, Лобачевского и другие) имеют общее проективное «ядро», общую для всех них проективную геометрию. С одной стороны, исходя из одной и той же проективной плоскости, но выбирая различные несобственные образы и вводя вследствие этого различные способы измерения отрезков и углов, мы получаем различные метрические геометрии —Евклида, Лобачевского и другие. Обратно, исходя из этих различных геометрий и отбрасывая их метрические свойства, мы приходим к одной их общей основе— проективной геометрии, в которой они все сливаются.

Мы видим, таким образом, общие глубокие связи между, казалось бы, совершенно различными геометриями, логическую полноценность каждой из этих геометрий, их логическое равноправие и их внутреннее единство.

Глава VII

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Наше знакомство с проективной геометрией закончено. Попытаемся подвести некоторые итоги. Оглянемся назад, отдадим себе отчет в том, что дало нам это знакомство, чем оно обогатило наши знания.

Наиболее общие и глубокие свойства фигур. Рассматривая свойства фигур, сохраняющиеся при всевозможных проектированиях, мы выделили более общие и более глубокие свойства этих фигур (чем известные нам из элементарной геометрии), которые позволили нам наиболее полно изучить структуру и природу геометрических образов. Теорема Чевы позволила нам обнаружить глубоко скрытое общее содержание в таких важнейших теоремах элементарной геометрии, как теоремы о трех высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Соотношение Чевы позволило дать такое доказательство для всех этих теорем, которое исходило из общих для них проективных истоков. Теорема Дезарга, будучи важнейшей теоремой начертательной геометрии, обобщает хорошо известную теорему стереометрии о сечении пирамиды плоскостью на тот случай, когда эта плоскость не параллельна плоскости основания.

Изучение кривых 2-го порядка служит снова ярким примером проникновения проективной геометрии в наиболее глубокие свойства этих кривых. В противоположность метрической геометрии, мы находим здесь те свойства кривых 2-го порядка, которые общи всем кривым 2-го порядка. Мы изучаем все эти кривые как единую кривую. Ее важнейшие свойства выражаются теоремой Паскаля. Не говоря уже о том, что эта теорема относится к пяти-, четырехугольникам и треугольникам и тем самым обладает большой общностью, она обобщает школьную теорему об окружности и вписанных многоугольниках, которые теперь «не обязаны быть правильными».

Можно сказать, что метод проектирования играет роль своего рода «решета», которое просеивает геометрические свойства. Оно «не пропускает» метрических и аффинных свойств. Но свойства, которые «прошли» сквозь это решето, которые сохранились при всех проектированиях, —это более общие и глубокие свойства фигур, их проективные свойства.

Исследование фигур методом проектирования: «приближение бесконечности». Во многих случаях метод проектирования непосредственно позволил нам обнаружить внутренние связи между такими геометрическими образами, которые ранее представлялись нам совершенно чуждыми друг другу.

В основе всех этих выводов лежит возможность путем проектирования «приблизить» к нам и сделать реальными «бесконечно удаленные» элементы плоскости. То, что в обычной метрической евклидовой плоскости ускользало от нас, путем проектирования становится «доступным глазу». Достаточно указать на то, что все кривые

2-го порядка, по существу, получаются проектированием одной из них. Все зависит от расположения кривой относительно прямой wy которая при проектировании «уходит в бесконечность».

К этой же группе задач надо отнести и ту, которая связана с построением кривой 2-го порядка по тем или иным данным; например, мы решали задачу: «Даны асимптота гиперболы, касательная к гиперболе с точкой касания и еще одна точка кривой. Построить кривую». Здесь ставилась, по существу, аффинная задача, и сразу даже не видно было, как ее решать. Но мы решали ее сначала в проективной плоскости, с помощью теоремы Паскаля, где «всякая кривая» была перед нашими глазами, а потом, удаляя те или иные элементы фигуры в «бесконечность», получали решение теоремы на нашем обычном чертеже.

Природа основных понятий. Основными понятиями метрической геометрии, в том числе и школьной, элементарной геометрии, являются понятия длины отрезка и меры угла.

Впервые с проективной точки зрения мы получаем возможность проникнуть в их природу. Оказывается, что оба эти понятия отсутствуют, когда все точки и прямые плоскости равноправны. Как только мы выделяем несобственные прямую и окружность, так сразу же возникает измерение отрезков и углов.

Таким образом, эти важнейшие понятия метрической геометрии связаны с «бесконечно удаленными» элементами плоскости, которых в евклидовой плоскости в явном виде нет. И только с точки зрения проективной геометрии мы можем понять, как и почему возникают измерения в евклидовой плоскости и почему исчезают в проективной.

Проективная геометрия и практика. Остановимся теперь на использовании проективной геометрии в практической жизни.

То, что проективная геометрия именно практически важна, ясно уже из того, что, будучи основой такой науки, как элементарная геометрия, она тем самым косвенно участвует во всех наших расчетах и построениях, с которыми мы встречаемся в механике, физике, технике и т. д. Однако можно указать и те области, где проективная геометрия непосредственно участвует в решении задач практики.

Начертательная геометрия как наука, лежащая наряду с другими в основе математического образования инженера, есть одна из глав (правда, весьма своеобразных!) проективной геометрии. Начертательная геометрия имеет целью решение задач пространственной геометрии на плоском чертеже.

Но если мы в проективной геометрии занимались проектированием плоских фигур с одной плоскости на другую, то начертательная геометрия в основном интересуется проектированием пространственных образов (различных тел) на плоскость. В этом своеобразие задач начертательной геометрии: она рассматривает двухмерные проекции трехмерных образов.

Классификация геометрий. Наконец, важнейшим достижением

проективной геометрии является классификация геометрий, которые возникают из проективной, при различных выборах выделенного несобственного образа. Здесь проективная геометрия, можно сказать, выходя за рамки одной математической науки, открывает широкие горизонты для познания математических наук в их совокупности.

Что же дальше? Мы познакомились здесь лишь с самыми первоначальными и основными понятиями проективной геометрии. Что же дальше изучает проективная геометрия? Проективная геометрия развивается в различных направлениях. Прежде всего, она более подробно изучает проективные свойства кривых 2-го порядка. Далее она изучает проективные свойства более сложных кривых, например пространственных кривых 3-го порядка. Наконец, она изучает проективные свойства различных поверхностей и образы в пространствах более чем трех измерений.

Все эти глубокие теории, которыми занимается проективная геометрия, наряду с расширением нашего кругозора дают нам более глубокое понимание основных и элементарных вопросов геометрии.

Михаил Владимирович Потоцкий

ЧТО ИЗУЧАЕТ ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ?

Редактор Г. С. Уманский Художник обл. Б. Л. Николаев Художественный редактор Е. И. Карасик Технический редактор Р. С. Еникеева Корректор Л. П. Михеева ИБ № 6099

Сдано в набор 13.09.81. Подписано к печати 19.03.82. Формат 60X907i6. Бум. газетная. Гарнит. лит. Печать высокая. Усл. печ. л. 5. Усл. кр.-отт. 5,25. Уч.-изд. л. 5,01. Тираж 100 000 экз. Заказ № 4084. Цена 15 коп.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудового Красного Знамени полиграфического комбината Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, Саратов, ул. Чернышевского, 59, в типографии им. Смирнова Смоленского облуправления издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2.