Д.Ю.ПАНОВ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

ОГИЗ- ГОСТЕХИЗДАТ-1946

Д. Ю. ПАНОВ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

ОГИЗ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1946 ЛЕНИНГРАД

Редактор С. И. Новосёлов. Техн. редактор Н. А. Тумаркина.

Подписано к печати 16 октября 1946 г. Печ. л. 4, авт. л. 3, уч.-изд. л. 3,15. 34000 тип. зн. в печ. л. Тираж 25000 экз. А05390. Цена 1 руб. Заказ № 1569

3-я тип. «Красный пролетарий» треста «Полиграфкнига» Огиза при Совете Министров СССР. Москва, Краснопролетарская, 16.

I. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ФИГУРЫ

1. Площади простейших фигур

Измерить площадь комнаты, изображённой на фиг. 1, сумеет каждый. Это и в самом деле нетрудно: надо только измерить длину и ширину, перемножить полученные числа, и величина площади будет найдена.

Фиг. 1.

Фиг. 2.

Иначе говоря, для вычисления площади S прямоугольника со сторонами а и b (фиг. 2) применяется формула

S = ab

Формула эта настолько проста, что доказывать её каким-либо особым образом не приходится; достаточно сосчитать число принятых за единицу площади квадратиков, помещающихся внутри рассматриваемого прямоугольника, и формула становится ясной.

Немногим труднее и вычисление площади параллелограмма, треугольника и трапеции.

Чтобы найти площадь параллелограмма, мы преобразуем его в равновеликий (т. е. имеющий ту же площадь) прямоугольник. На фиг. 3 показано, как это делается: от параллелограмма отрезают прямоугольный треугольник А'В'С и приставляют его с другой стороны (треугольник ABC); получается прямоугольник, площадь которого мы уже умеем вычислить. Она равна произведению основания а на высоту h. Такова же будет и площадь исходного параллелограмма. Итак, для параллелограмма

S=ah.

Площадь треугольника мы найдём, если приложим к данному нам треугольнику ещё один такой же треугольник (к треугольнику ABC на фиг. 4 приложим треугольник А'СВ); получится параллелограмм. Но площадь параллелограмма мы уже умеем вычислять, а площадь треугольника, очевидно, будет равна поло-

Фиг. 3

Фиг. 4.

вине её. Таким образом, площадь треугольника S равна половине произведения основания на высоту:

S=1/2ah.

Умея вычислять площадь треугольника, мы сумеем вычислить и площадь трапеции. Для этого разделим трапецию диагональю на два треугольника так, как это сделано на фиг. 5. Оба эти треугольника имеют одну и ту же высоту h (такую же высоту имеет и трапеция), а основания у них разные: у треугольника ABC основание а, а у треугольника ACD — основание b. Площадь первого треугольника S1 равна половине произведения а на h, а площадь второго S2 —половине произведения b на h. Площадь всей трапеции S равна, очевидно, сумме этих площадей:

или

S=1/2(a + b)h.

Словами эту формулу можно передать так: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Таким же способом, каким мы вычислили площадь трапеции, можно вычислить площадь любой фигуры, ограниченной прямыми линиями. Разбивая её на части, площади которых мы умеем вычислять (на треуголь-

Фиг. 5

ники, прямоугольники, трапеции), и беря затем сумму этих площадей, мы, очевидно, получим площадь рассматриваемой фигуры.

Вот пример: комнаты далеко не всегда имеют такой простой план, как изображённая на фиг. 1. Очень часто они имеют более сложные очертания. Изображённая на фиг. 6 комната немного косая; кроме того, в неё вдаётся дымоход (наверху) и заходит коридор (внизу).

Чтобы вычислить площадь этой комнаты, надо разбить ограничивающий её многоугольник на составные части более простого очертания. Это можно сделать по-разному; можно, например, разбить площадь на три трапеции S1 и S2 (см. фиг. 6) и один треугольник S4. Однако, легко сообразить, что этот способ разбивки не слишком удачен: чтобы измерить отрезки CG, ВН, ВК, JH, нужно предварительно разметить точки В, H и G. На плане это легко, а в комнате не так просто. Поэтому практически удобнее такая разбивка, как на фиг. 7. Можно легко вычислить пло-

Фиг. 6.

Фиг. 7.

щади T1 и T2 треугольников АСЕ и AG'E, воспользовавшись тем, что углы АСЕ и AG'E — прямые, и затем вычесть из них площади S1 и S2 прямоугольников BC'DC и FG'HG. Таким образом, искомая площадь S равна

Если подставить в эту формулу размер каждого отрезка в натуре и произвести указанные действия, то мы получим величину площади этой комнаты. Читатель может проделать это вычисление.

2. Египетские формулы

Все рассмотренные формулы для вычисления площадей простейших фигур очень древнего происхождения.

Уже за 300 лет до н. э. эти формулы были известны. Именно к этому времени относится сочинение знаменитого греческого математика Евклида «Начала», представляющее собой настолько ясное и точное изложение элементарной геометрии, что до сих пор в некоторых странах (например, в Англии) им пользуются в школах в качестве учебника. Уже во времена Евклида способы вычисления площадей простейших фигур были известны (они содержатся в его «Началах»); следовательно, их возраст во всяком случае больше 2200 лет.

Поэтому если мы захотим добраться до тех времён, когда эти формулы ещё не были известны и когда для вычисления площадей применялись другие правила, то нам придётся обратиться к весьма раннему периоду существования человеческой культуры,—мы посмотрим, как вычисляли площади в древнем Египте.

За две-три тысячи лет до н. э. Египет представлял собой сильное рабовладельческое государство с достаточно развитой общественной жизнью, большим государственным аппаратом (чиновники, жрецы священнослужители и т. п.), хорошо (по тому времени) органи-

зованным войском и т. д. Территория, занимаемая Египетским государством, представляла собой довольно узкую полосу земли по берегам реки Нила, одной из крупнейших рек земного шара. Прибрежная полоса земли, орошаемая водами Нила, была исключительно плодородна и здесь собирали по нескольку урожаев в год.

Но по мере удаления от берегов реки картина резко менялась: очень скоро цветущие сады и поля исчезали, уступая своё место раскалённой песчаной пустыне. Ясно, что в плодородной, зелёной прибрежной полосе концентрировалась вся жизнь. Здесь каждый клочок земли был на учёте, и вот здесь-то и зародилась геометрия («геометрия» в буквальном переводе с греческого значит «землемерие»).

Много хлопот доставляли египтянам ежегодные разливы Нила, Разливаясь весной, Нил затоплял огромные пространства, население которых на время разлива спасалось в других местах, а после возвращалось на свои участки. Водворить каждого в точности на его участке и было задачей египетских землемеров, задачей зачастую нелёгкой, так как затапливаемые земли, покрывавшиеся после разлива плодородным нильским илом, расценивались очень высоко, и самые маленькие ошибки в размещении могли иметь весьма неприятные последствия. Однако, это была лишь одна из практических задач, побуждавших египтян заниматься геометрией. Кроме вычисления площадей, они должны были решать также ряд задач на построение, связанных как с землемерным делом, так и с их строительными работами.

Какие же формулы для вычисления площадей употреблялись в древнем Египте? Для вычисления площади четырёхугольника (фиг. 8) египетские землемеры пользовались формулой

Фиг. 8.

Формула эта, вообще говоря, неверна; величина даваемой ею ошибки различна для различных типов четырёхугольников. Существует один тип четырёхугольников, для которых она верна, и если вы подумаете над этим вопросом, то наверное сообразите, какие это четырёхугольники. Египетские землемеры применяли эту формулу для вычисления площади таких четырёхугольников, у которых углы близки к прямым углам; в этом случае формула даёт очень небольшую ошибку, и надо отдать должное египетским геометрам: для такого случая они подобрали чрезвычайно удобную формулу; никакой другой формулы такого же простого вида для площади четырёхугольника не существует. Однако, применять эту формулу всюду (для всяких четырёхугольников), конечно, нельзя.

Если попробовать при помощи египетской формулы вычислить площадь параллелограмма, можно сильно ошибиться. На фиг. 9 показана ошибка, какая получается для параллелограмма ABCD. По египетской формуле

Фиг. 9.

Но в параллелограмме AD = СВ и AB = DC. Следовательно,

Таким образом, по египетской формуле площадь параллелограмма оказывается равной площади прямоугольника, у которого стороны имеют ту же длину, что и у параллелограмма. Иначе говоря, чтобы получить прямоугольник, равновеликий параллелограмму, надо, по мнению египтян, просто «распрямить» этот параллелограмм, т. е., не меняя его сторон, превратить все его углы в прямые. На фиг. 9 показан этот распрямлённый параллелограмм: он займёт положение

AEFB. При взгляде на чертёж сразу же делается ясной ошибка египетской формулы. Мы уже знаем, что прямоугольник, в действительности равновеликий нашему параллелограмму, — это прямоугольник AD1C1B, а не AEFB (ср. фиг. 3). Поэтому заштрихованная на чертеже полоска D1EFC1 и есть ошибка египетской формулы. Она довольно заметна и будет увеличиваться по мере уменьшения высоты нашего параллелограмма. Если взять параллелограмм, высота которого очень мала, то нетрудно получить «ошибку» в 200 — 300%1) (см., например, фиг. 10, где S1 — площадь параллелограмма, а S2 —ошибка при вычислении его площади по египетской формуле).

Для вычисления площади треугольника египтяне также пользовались формулой, непохожей на нашу. При вычислении площади S равнобедренного треугольника (фиг. 11) со сторонами a, а и b они считали, что

Формула эта, так же как и формула для площади четырёхугольника, — неверна, однако, египтяне пользовались ею опять-таки только тогда, когда она даёт незначительную ошибку: в случае вытянутого треугольника, имеющего между равными сторонами очень небольшой угол.

Фиг. 10. Фиг. 11.

1) Следует заметить, однако, что ни египтяне, ни греки, повидимому, этой формулы для таких сомнительных случаев не употребляли. Значительно менее осторожными были в этом отношении древние римляне.. Римские землемеры широко пользовались египетскими правилами, очень мало заботясь о том, можно ли их в данном случае применять или нет.

Чтобы выяснить, какова ошибка этой формулы, рассмотрим фиг. 12. Формула

дала бы площадь треугольника без всякой ошибки, если бы сторона ВС = b была бы высотой, т. е. угол ВСА был бы прямой. Иначе говоря, эта формула даёт площадь треугольника AOC, который получается из ABC при выпрямлении угла ВСА. Но площадь этого треугольника больше площади треугольника ABC. Это легко обнаружить, если заметить, что треугольник АВ'С равновелик треугольнику ABC (у них общее основание и одинаковая высота). Таким образом, заштрихованная на чертеже площадка ADB' и есть ошибка египетской формулы.

3. Формулы Герона и Брахмагупты

Из других формул древних математиков для вычисления площадей треугольников и четырёхугольников следует отметить формулу Герона1) для вычисления площади треугольника

(1)

(здесь р — полупериметр, а a, b и с — стороны треугольника) и формулу Брахмагупты, индусского математика VII в. н. э., для вычисления площади четырёхугольника

(2)

(р — полупериметр, а, b, с и d — стороны четырёхугольника).

Фиг. 12.

1) Формула эта носит имя Герона, повидимому, не совсем заслуженно. Герон — греческий землемер, живший во II—I в. до н. э., — поместил её в своём сочинении по измерительному искусству; однако, по свидетельству арабских авторов эта формула была открыта Архимедом, величайшим греческим геометром и одним из крупнейших математиков всех времён и народов.

В то время как формула Герона действительно верна (её доказательство можно найти в большинстве учебников геометрии), формула Брахмагупты (2), вообще говоря, неверна, в чём легко убедиться, хотя бы на следующем простом примере.

Применяя формулу (2) к ромбу, мы будем иметь a = b = c — d и р = 2а, а потому площадь ромба по этой формуле выразится величиной

т. е. получается, что площадь ромба со стороной а всегда равна а2, независимо от величины углов ромба. Между тем совершенно ясно, что если уменьшать, например, угол BAD ромба (фиг. 13), то и площадь будет уменьшаться и может быть сделана сколь угодно малой.

Правда, сам Брахмагупта применял эту формулу только в двух случаях, когда она действительно верна:

для вписанных в окружность четырёхугольников с пересекающимися под прямым углом диагоналями и равнобочных трапеций. Эти четырёхугольники изображены на фиг. 14.

4. Римская формула

Римские землемеры пользовались египетскими формулами. Однако, кое-что они изобретали и сами. Одним из таких изобретений (не особенно удачным) является

Фиг. 13.

Фиг. 14.

вычисление площади равностороннего треугольника со стороной а по формуле

Легко видеть, что эта формула хуже египетской. В самом деле, правильная величина площади равностороннего треугольника, как мы увидим в дальнейшем, выражается формулой

(это вычисление приведено ниже, см. стр. 21). По египетской формуле мы получаем для этой площади величину

что несколько больше правильной величины 0,432а2. По римской же формуле

т. е. площадь получается даже ещё больше, чем в случае египетской формулы. Из каких же соображений исходили римляне, вводя такую неудачную формулу? Возможно, что к этой неверной формуле их привело следующее рассуждение: если внутри прямоугольника со сторонами а и b (предположим, что оба эти числа целые) разместить на равных расстояниях друг от друга точки так, чтобы на каждую единицу длины стороны прямоугольника пришлось по одной точке (т. е. а точек на одну сторону и b — на другую), то число всех точек ab как раз и будет выражать собой площадь прямоугольника (фиг. 15). Если применить это рассуждение к равностороннему треугольнику и разместить внутри него на равных расстояниях друг от друга точки, считая по одной точке на единицу длины каждой стороны треугольника, то число всех точек должно, казалось бы, давать площадь

Фиг. 15.

треугольника. Подсчитать число таких точек внутри треугольника со стороной а очень легко. Прибавим к рассматриваемому треугольнику ещё один такой же, как это показано на фиг. 16. Оба треугольника вместе составляют параллелограмм, внутри которого будет заключено а(а+1) точек. Значит, внутри нашего треугольника а(а+ 1) заключено a(a+1)/2 точек, и площадь его должна быть равна

Разумеется, это рассуждение совершенно неправильно. Число точек подсчитано верно, но оно никоим образом не соответствует числу единиц площади, заключённых в данном треугольнике. Подумайте сами над этим вопросом и постарайтесь разобраться в ошибке римских землемеров.

Фиг. 16.

II. КРУГ

1. Площади подобных фигур

Вычисление площади, ограниченной контуром, составленным из прямых линий, как мы видели, задача не столь сложная. Совсем иначе обстоит дело с вычислением площади криволинейных фигур. Даже для простейшей из них —окружности —эта задача оказывается довольно сложной. Прежде чем её решать, мы коснёмся вопроса о площадях подобных фигур.

Если у нас есть два квадрата разной величины со сторонами a1 и a2, то их площади S1 и S2 таковы:

Очевидно, что

Если вместо квадратов у нас имеются подобные треугольники с основаниями a1 и a2 и высотами h1 и h2 (фиг. 17), причём ввиду подобия

то для их площадей мы будем иметь

Фиг. 17.

откуда следует, что

Имея в виду, что

мы получаем, что

В первом случае (с квадратами) мы могли бы также написать

где через d1 и d2 обозначены диагонали наших квадратов. Эти примеры —частные случаи чрезвычайно важного общего правила: площади подобных треугольников, четырёх угольников (и вообще многоугольников)относятся как квадраты соответствующих линейных элементов (сторон, диагоналей, вообще любых сходственных отрезков).

В частности, например, для вписанных и описанных многоугольников таким линейным элементом может служить радиус описанного или вписанного круга (фиг. 18), и можно сказать, что площади вписанных (или описанных) подобных многоугольников относятся как квадраты радиусов соответствующих кругов:

Важность этого правила в том, что оно даёт непосредственно строение формулы для вычисления площади любого типа вписанных или описанных многоугольников (когда мы при этом говорим о многоугольниках одного и того же типа, мы имеем в виду как раз подобные

Фиг. 18.

многоугольники, т. е. такие многоугольники, которые отличаются друг от друга только размерами). Для каждого типа таких многоугольников будет справедлива формула

где k — некоторый числовой коэффициент, зависящий от вида многоугольника.

Чтобы доказать правильность этой формулы, достаточно переписать отношение

в виде

Так как для любых двух многоугольников одного и того же типа можно написать такое равенство, то это означает, что для всех них отношение р имеет постоянную величину. Обозначив её через k, получим

или

S=kr2.

Коэффициент k будет, конечно, меняться в зависимости от того, какой многоугольник мы рассматриваем. Для описанного квадрата k = 4 и площадь квадрата S будет выражаться формулой

S=4r2.

В самом деле, сторона квадрата, описанного вокруг круга радиуса r, равна, очевидно, диаметру круга, т. е. удвоенному радиусу, и значит,

S = (2r)2 = 4r2.

Для вписанного квадрата k = 2, так как диагональ такого квадрата равна диаметру:

а, с другой стороны, диагональ выражается через сторону квадрата формулой

Поэтому

а значит,

Ниже мы дадим ещё другие примеры формул такого рода.

Таким образом, теорема об отношении площадей подобных фигур позволяет установить вид формулы для вычисления этих площадей.

2. Площадь круга

Нельзя ли таким же способом получить формулу и для площади круга? Ведь круги — подобные фигуры (фиг. 19), и если бы удалось доказать для них теорему, аналогичную установленной выше теореме для подобных многоугольников, то мы знали бы, что формула для вычисления площади круга имеет вид

S = kr2,

и всё дело свелось бы к вычислению значения коэффициента k.

Именно таким путём мы и пойдём при отыскании площади круга. Теорема— площади кругов относятся, как квадраты их радиусов — оказывается действительно справедливой и, следовательно, исходя из таких же соображений, как в случае подоб-

Фиг. 19.

ных многоугольников, для площади круга должна быть справедлива формула

Вся задача сводится, таким образом, к нахождению коэффициента k.

Некоторые границы для этого коэффициента мы можем установить довольно легко. Ясно, например, что площадь круга больше площади вписанного в него равностороннего треугольника и меньше площади такого же описанного треугольника.

Если обозначить площадь вписанного треугольника через s3, площадь описанного через S3, а для площади круга оставить обозначение S, то

s3<S<S3.

Но для всех трёх рассматриваемых фигур площади выражаются формулами одного и того же вида:

S = kr2,

только коэффициенты k будут разные. Если обозначить коэффициент в формуле для вписанного треугольника через k3, для коэффициента в формуле площади круга сохранить обозначение k, а для коэффициента в формуле площади описанного треугольника ввести обозначение K3, то

Подставляя значения s3, S и S3 в написанное выше неравенство, получаем

откуда, так как r2 —величина положительная,

Коэффициенты k3 и K3 легко можно найти. В равностороннем треугольнике ABC (фиг. 20) со стороной а высота BE равна a√3/2. Действительно,

Но АВ = а, AE = a/2 и, значит,

Отсюда и получается

Если этот треугольник вписан в окружность радиуса ОА = r, то его сторона а может быть выражена через радиус так: угол АВО равен 30°, в прямоугольном треугольнике BOD катет OD равен половине гипотенузы, т. е. BD = r/2. По теореме Пифагора получим

откуда

Фиг. 20.

Фиг. 21.

Но тогда

Значит,

Найти площадь S3 уже много проще. Действительно, треугольники ABC и ABD (фиг. 21) равны, площадь же треугольника EDF равна учетверённой площади ABD, T.e. S3 = 4s3.

Таким образом,

Итак,

и мы получаем, что

С таким же основанием всё это рассуждение могло быть проведено не только для вписанного и описанного равносторонних треугольников, а также и для вписанного и описанного квадратов. Обозначая площадь первого через

а площадь второго — через

мы опять получили бы

откуда для k получились бы новые границы

или, так как

(см. выше, стр. 17 — 18), мы получили бы, что

Очевидно, такое же рассуждение можно провести вообще для любого вписанного многоугольника, который удобно выбрать каким-нибудь определённым образом, например, полагая его правильным. Каждый раз мы будем получать новые границы для нашего коэффициента k, и притом более тесные, если мы будем увеличивать число сторон многоугольника (фиг. 22 и 23). Если для правильного вписанного я-угольника площадь будет

а для такого же описанного

то опять мы будем иметь

Беря, например, n = 6, без труда получим

Фиг. 22.

Фиг. 23.

Действительно, из рассмотрения фиг. 24 легко вывести, что

s6 = 2s3.

Так как треугольники АОС и АСВ равны, то равны также и треугольники AOD и ABD, а это значит, что площадь, заключённая между шестиугольником и треугольником, в точности равна площади треугольника. Но тогда, очевидно, площадь шестиугольника вдвое больше площади треугольника. С другой стороны (фиг. 25), очевидно, треугольники ABC и ВСО равны. Но тогда

т. е. разность площадей описанных треугольника и шестиугольника составляет ровно половину площади этого шестиугольника. Таким образом

Значит,

Фиг. 24. Фиг. 25.

и, следовательно,

До сих пор мы ещё не доказали, что при увеличении числа сторон границы kn и Kn будут сближаться. Это нетрудно сделать. Мы легко можем указать такие правильные многоугольники, для которых это видно непосредственно. Это—правильные многоугольники, получающиеся при последовательном удвоении числа сторон. Непосредственно видно например (см. фиг. 26), что площадь правильного вписанного восьмиугольника больше, чем площадь вписанного квадрата, а площадь правильного описанного восьмиугольника меньше площади описанного квадрата. Это значит, что

Фиг. 26.

Точно так же обстоит дело и дальше:

Вообще

Если подсчитать первые значения kn и Kn, то получается следующая табличка:

Таблица 1

n

kn

Kn

n

kn

Kn

4

2,00000

4,00000

64

3,13655

3,14412

8

2,82841

3,31371

128

3,14033

3,14222

16

3,06149

3,18260

256

3,14125

3,14175

32

3,12145

3,15172

Всматриваясь в неё, вы видите, как для величины коэффициента k получаются всё более тесные границы. При n = 256 мы получаем уже, что

3,14125 < k < 3,14175.

Если продолжать такое вычисление всё дальше и дальше, мы будем получать всё более тесные границы для k и можем получить его значение с любой степенью точности (фиг. 27). Число, которым выражается коэффициент k в формуле для площади круга, обозначают греческой буквой π («пи»). Первые его цифры таковы:

π = 3,1415926536...

Таким образом, площадь круга вычисляется по формуле

Фиг. 27.

Задача о площади круга с древнейших времён занимала геометров. Египтяне считали, что площадь круга определяется формулой

где —диаметр круга. Так как d = 2r, то

Таким образом, египтяне считали коэффициент k равным не π, а числу 256/81 = 3,16. Допущенная ошибка была сравнительно небольшой.

Чрезвычайно много работали над задачей о площади круга греческие геометры. Тот путь, которым шли греки при решении этой задачи, был весьма близок к тому, который проделали и мы в этом параграфе. У Евклида, жившего примерно в III в. до н. э., уже дано строгое доказательство теоремы об отношении площадей двух кругов. Таким образом, можно считать, что задача вычисления площади круга уже в то время была сведена просто к вычислению π, Однако, в вычислениях греки были не особенно сильны, и возможно, что в известной мере из-за этого греческие математики настойчиво искали «квадратуру круга при помощи построения», т. е. старались построить квадрат, равновеликий данному кругу.

Здесь следует сказать, кстати, два слова о «квадратуре круга». Возможно, что вам приходилось слышать об этой задаче; часто её приводят как пример неразрешимой проблемы. В современной математике «квадратурой» называют любое вычисление площади, и в этом смысле «квадратура круга» не только вполне разрешимая, но и уже давно решённая задача; как она решается, вы видели. Совсем другое дело, если под «квадратурой» понимать построение при помощи обычных средств (циркуля и линейки) квадрата равновеликого кругу. Такая «квадратура круга» при помощи циркуля и линейки представляет собой, действительно, задачу неразрешимую (такого построения сделать нельзя); однако, доказательство этого обстоятельства, данное сравнительно недавно (Линдеманном в 1882 г.), слишком сложно, чтобы о нём здесь говорить.

3. Вычисление π

Мы видели, что, в сущности говоря, задача о площади круга уже очень давно была сведена к вычислению числа тт. Вычисление это, однако, достаточно сложно потому, что число π «иррациональное», т. е.

не может быть представлено в виде дроби p/q , где р и q — целые числа, даже если взять очень большой знаменатель. Дробная часть этого числа — бесконечная десятичная дробь и притом непериодическая.

Мы не можем, следовательно, узнать π совершенно точно; невозможно найти все цифры этого числа. Его можно вычислять лишь приближённо, с большей или меньшей точностью.

Одним из древнейших приближённых значений π является, вероятно, указанное выше число 256/81, входящее в египетскую формулу. Согласно этой формуле

(знак читается «приблизительно равно»).

Такого же порядка приближение имеется у упомянутого уже выше индусского математика Брахмагупты, который считает

Греческим математикам довольно рано стало известно, что

однако, более точные границы для π получил лишь Архимед, доказавший, что

Если написать это в виде десятичных дробей, то получится

3,1408 < π < 3,1428,

Один из крупных греческих геометров — Аполлоний Пергейский, живший после Архимеда, дал для тс ещё более точное значение:

Несмотря на наличие очень хорошего приближения Аполлония, в средние века о нём забыли и пользовались почти исключительно приближением Архимеда:

которое к тому же многие учёные считали точным значением π. Однако, уже в XVI в. мы встречаемся со значительно более точным значением π.

Землемер Андриан Меций, живший в Нидерландах в XVI в. н. э., дал для π приближение

совершенно исключительной точности. Число Меция отличается от π лишь в седьмом знаке после запятой. Ещё точнее так называемое «лудольфово число». На надгробном камне немецкого учёного Лудольфа были помещены следующие две строчки цифр

3,14159265358979323846264338327950

3,14159265358979323846264338327951

Нетрудно сообразить, что это — верхняя и нижняя границы для π. Как видите, здесь мы имеем дело с приближённым значением π, верным до 31-го знака после запятой.

Казалось бы, что дальше вычислять π не стоит. Для случаев, требующих исключительной точности — для астрономических вычислений — большего количества десятичных знаков π потребоваться не может. Но любопытству математиков это казалось мало. И в 1873 г. в одном из математических журналов появилась работа английского математика Шанкса, вычислившего 707 знаков π после запятой. Надо думать, однако, что не скоро найдутся любители, которые во что бы то ни стало пожелают узнать 708-й десятичный знак π.

Интересно, между прочим, отметить, что приближение Архимеда π ≈ 22/7 точнее часто употребляемого приближения π ≈ 3,14. В самом деле,

4. Луночки Гиппократа

Одной из чрезвычайно интересных задач, разрешённых греческими геометрами, является квадратура некоторых так называемых «круговых луночек», выполненная Гиппократом Хиосским. Круговой луночкой называется криволинейная фигура, ограниченная дугами двух пересекающихся кругов с различными центрами (см., например, фиг. 28). Результаты, полученные Гиппократом, интересны сами по себе, однако, в древности им придавалось ещё большее значение, так как квадратуры эти могут быть выполнены построением.

Греческие геометры считали, что раз поддаются квадратуре при помощи циркуля и линейки такие фигуры, как луночки, то подавно это должно иметь место для более простой фигуры —окружности. Сейчас мы знаем, что это не так.

Чтобы понять рассуждения Гиппократа, нам нужно предварительно доказать теорему о том, что площади подобных круговых сегментов относятся, как квадраты радиусов. (Подобными сегментами мы называем сегменты, у которых равны центральные углы.) Теорема эта почти очевидна. В самом деле, для подобных секторов АСВО и A1C1B1O1 (фиг. 29) она ясна непосредственно; для подобных треугольников АВО и A1B1O1— также. Значит,

Фиг. 28.

или

Вычитая эти равенства одно из другого, мы получим

откуда и следует нужное нам отношение

Очевидно, что эту теорему можно, кроме того, сформулировать и так: площади подобных круговых сегментов относятся как квадраты соответствующих хорд, так как хорды пропорциональны радиусам кругов.

Теперь мы легко можем разобраться в построениях Гиппократа. На фиг. 30 показано построение первой из этих луночек, заключённой между окружностью ABD и окружностью АСВ, имеющей диаметром гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника АВО. Легко сообразить, что радиус малой окружности r связан с радиусом большой R соотношением

Фиг. 29. Фиг. 30.

В самом деле,

по теореме Пифагора, приложенной к треугольнику АБО. Но тогда

и по только что доказанной теореме площадь сегмента S вдвое больше площади сегмента Т. Отнимая от площади полукруга ABC площадь сегмента S, мы получаем площадь луночки ACB, а отнимая равную этому сегменту площадь двух сегментов Г, получим площадь треугольника АБО. Значит, площадь луночки АСВ равна площади треугольника ABO:

Чтобы получить вторую квадрируемую (доступную квадратуре) луночку, Гиппократ поступает так: он строит трапецию (фиг. 31), три стороны которой равны а, а четвёртая а√3 (самое построение мы не приводим), затем описывает вокруг трапеции окружность и на большой стороне трапеции АО строит сегмент, подобный сегментам AB, ВС и CD. Тогда, очевидно, площадь S сегмента АО втрое больше площади Т каждого из сегментов AB, ВС и CD.

Действительно,

и, значит, площадь луночки ABCD равна площади трапеции, так как луночка получается из трапеции вычитанием сегмента АО и добавлением взамен него трёх сегментов AB, ВС и CD, дающих в сумме ту же площадь.

Фиг. 31.

III. ПАРАБОЛА

1. Квадратура криволинейных фигур

Мы видели в предыдущих параграфах этой книжки, насколько сложной задачей является вычисление площади круга. Эту задачу не удаётся решить так просто, как решался, например, вопрос о площади трапеции. Трапецию мы просто разбивали на части (треугольники), площади которых мы могли вычислять. С кругом этого нельзя было сделать. Пришлось итти длинным обходным путём: устанавливать сначала вид формулы, затем искать численное значение входящего в неё коэффициента. Численное значение это мы притом точно найти не могли — не из-за недостатка уменья, а потому, что этого вообще сделать нельзя. Этот коэффициент — число иррациональное, относительно которого нам известно, что его первые цифры (правда, довольно много — 707) такие-то; что дальше — неизвестно.

Может быть, и все вопросы, касающиеся площадей криволинейных фигур, имеют такой же сложный характер? Это предположение законно, и, однако, оно неверно. Существуют такие кривые, для которых площадь ограниченных ими фигур вычисляется весьма легко. Одной из наиболее замечательных задач этого рода является вычисление площади сегмента параболы (кривой линии, с которой мы познакомимся ниже), выполненное Архимедом, величайшим греческим геометром, жившим в III в. до н. э. (287—212 гг.). Архимед жил в Сиракузах — большом и богатом приморском городе на самом крупном из островов Средиземного моря, который теперь называется Сицилией. Мы не знаем всего, что сделал Архимед, но и то, что нам известно, вызывает почтительное удивление перед глубиной его мысли и

широтой его интересов. В области физики ему принадлежит известный «закон Архимеда» и другие открытия, положившие начало гидростатике; механика обязана ему законами рычага; в области техники ему принадлежит огромное количество различных изобретений и остроумнейших механических приспособлений.

Фиг. 32 Архимед.

Математические работы Архимеда поражают читателя остроумием и изяществом доказательств в соединении с изумительной глубиной и тонкостью мысли, точностью и строгостью суждений. Ещё и сейчас —через 2000 лет после их написания — многие из них могут служить образцом научного исследования. Решение задачи о квадратуре сегмента параболы принадлежит к числу

изящнейших результатов Архимеда. Оно известно нам из одного письма, написанного им к своему другу.

Архимед погиб в 212 г. до н. э. в возрасте 75 лет при осаде римлянами Сиракуз. Он принимал живейшее участие в обороне родного города. О военных его изобретениях рассказывают чудеса: здесь были и гигантские катапульты, уничтожавшие римские корабли огромными глыбами камня, и зажигательные бомбы, и какие-то необыкновенные крюки, захватывавшие корабли и топившие их, и многое другое. Несмотря на энергичную оборону, Сиракузы были взяты. Какой-то римский солдат убил старика, сидевшего на скамейке и сердито крикнувшего ему: «Не наступай на мои фигуры», — фигуры были нарисованы тростью на песке. Это был Архимед.

2. Парабола

Что же это за кривая — парабола?

Чтобы подойти к её определению, мы должны вспомнить кое-что относительно так называемых геометрических мест. Геометрическим местом называется совокупность всех точек, обладающих каким-нибудь определённым свойством. Эти точки, расположенные на плоскости, образуют обычно некоторую линию. Так например, геометрическим местом точек, находящихся на равных расстояниях от двух заданных пересекающихся прямых, является биссектриса угла между ними;

Фиг. 33.

каждая точка этой биссектрисы обладает нужным свойством—расстояния от неё до данных прямых равны (фиг. 33, а). Другой пример — геометрическое место точек М, таких, что отношение отрезков AM и ВМ, проведённых из точки M к заданным пересекающимся прямым, параллельно этим прямым (фиг. 33,b), сохраняет постоянную величину:

Это тоже будет некоторая прямая; на фиг. 33, b изображён случай k = 1/2, т. е. когда отрезок AM вдвое меньше ВМ. Легко сообразить, между прочим, что случай, изображённый на фиг. 33, а (биссектриса), соответствует k = 1, если угол между данными прямыми равен 90°.

Подобным образом мы можем определить и параболу. Возьмём опять две пересекающиеся прямые OX и OY (фиг. 34) и рассмотрим геометрическое место точек М, таких, что для отрезков AM и ВМ, проведённых параллельно данным прямым, имеет место соотношение

т. е. отношение квадрата AM к ВМ сохраняет постоянную величину. У нас получится некоторая кривая, и эта кривая и называется параболой. Меняя величину k, мы будем получать разные параболы, более или менее сжатые. На фиг. 35 показано, как влияет на вид параболы изменение k (фиг. 35, а). Кроме того, мы можем брать исходные прямые ОХ и OY под разными углами. От этого тоже будет зависеть вид кривой. На фиг. 35, b показано, как выглядит парабола при одном и том же значении k, но отнесённая к разным прямым. Таким образом, параболой называется не какая-нибудь единственная кривая, а любая из целого

Фиг. 34.

класса кривых, получающихся при разных k и различных углах между основными прямыми ОХ и OY.

На первый взгляд может показаться, что парабола — какая-то искусственная кривая, весьма сложно образующаяся, и что в природе такой кривой нет. Это, конечно, не так —параболы мы с вами встречаем почти так же часто, как окружности. Положите тяжёлый шарик на край стола и, ударив по нему, в горизонтальном направлении сбросьте его на пол. Путь AB (фиг. 36), который он опишет при своём падении, — дуга параболы. Струя воды, текущая в бассейн из отверстия в стенке (фиг. 37), тоже имеет вид дуги параболы.

Фиг. 35.

Фиг. 36.

Фиг. 37.

Можно было бы привести много и других примеров, ибо парабола— кривая чрезвычайно распространённая и очень важная. Она обладает многими интересными свойствами, из которых мы укажем только одно, которое потребуется нам в дальнейшем.

Свойство это заключается в следующем. Пересечём параболу какой-нибудь прямой AB (фиг. 38) или A1B1. Проведём касательную к параболе, параллельно этой прямой. Проведём, далее, прямую через точку касания С (или C1) и середину D отрезка AB (соответственно D1 в случае отрезка A1B1). Тогда отрезки AD и CD (или A1D1 и C1D1) будут связаны соотношением

или

при любом положении точек A и A1 на кривой. Может показаться, что здесь мы, в сущности, не говорим ничего нового: ведь эти же соотношения служили для самого определения параболы. Это верно, но там мы имели соотношение

для одной, вполне определённой пары прямых, через которую парабола и определялась; теперь же мы утверждаем, что оно имеет место для всякой пары прямых, выбранной указанным выше образом.

Фиг. 38.

Величина постоянной k в правой части этого соотношения будет, конечно, своя собственная для каждой пары прямых.

3. Квадратура Архимеда

Архимед вычислил площадь сегмента параболы — фигуры, ограниченной дугой параболы и прямой (фиг. 39). Пусть у нас имеется сегмент параболы ADBEC (фиг. 40). Проведём касательную к параболе параллельно хорде АС и прямую BF через точку касания В и середину F хорды АС. Введём некоторые обозначения. Пусть CF = a, BF = b. Тогда по основному свойству параболы, указанному в предыдущем параграфе, имеем

(1)

Отметим точку H — середину FC, и постараемся вычислить величину отрезка FC, проведённого до пересечения с параболой параллельно BF. Проведём EL параллельно FC. Очевидно,

Обозначив BL через x, имеем по основному свойству параболы

(2)

Фиг. 39.

Фиг. 40.

где k — то же самое, что и в соотношении (1), так как в обоих случаях мы берём отрезки параллельно тем же самым прямым BF и CF. Но если так, то, сравнивая (1) и (2), получаем

откуда легко найти, что

Но тогда

Отметим ещё точку G — середину отрезка AF — и точку D, соответствующую точке Е, Очевидно,

Впишем теперь в наш сегмент три треугольника: ABC, ADB и ВЕС, и покажем, что сумма площадей треугольников ADB и ВЕС составляет четверть площади треугольника ABC. Прежде всего очевидно, что треугольники ADB и ВЕС равновелики. В самом деле,

откуда следует, что равны и их высоты (фиг. 41) как отрезки секущей между двумя параллельными, равноудалёнными от третьей. Аналогично

Фиг. 41.

так как, кроме того, и

Раз треугольники ADB и ВЕС равновелики, будем рассматривать только один из них, например, треугольник ВЕС, и покажем, что его площадь равна четверти площади △ BFC = 1/2 пл. △ ABC. Это показать очень легко. В самом деле,

так как высота Ed у них общая, а основания равны:

Но

В самом деле, высота у них общая, а что касается оснований, то

Таким образом,

и значит,

Но, кроме того,

и значит,

а тогда

Это нам и требовалось доказать.

Таким образом, мы установили следующее: если в параболический сегмент вписать треугольник по определённому правилу (так, чтобы вершина его пришлась в точку, в которой касается параболы касательная, параллельная основанию), а затем проделать то же самое с оставшимися двумя сегментами (фиг. 42), то площади этих двух новых маленьких треугольников составляют вместе четверть площади большого.

Очевидно, что такое вписывание в остающиеся сегменты новых треугольников можно продолжать и дальше, причём будет справедливо то же самое правило. Если мы обозначим через S1 площадь первого треугольника (фиг. 43), через S2 — общую площадь двух следующих, через S3 — общую площадь четырёх следующих за этими и т. д., то

Фиг. 42.

Фиг. 43.

— одним словом площади

будут образовывать геометрическую прогрессию со знаменателем 1/4. Если мы обозначим площадь параболического сегмента через S, то очевидно, что

а найти эту сумму очень легко, воспользовавшись известной формулой для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Эта формула, как известно, гласит, что

где а — первый член прогрессии, а q — её знаменатель. У нас a = S1, а q = 1/4.

Поэтому

Таким образом, площадь параболического сегмента найдена. Полученный результат можно сформулировать так: площадь параболического сегмента составляет 2/3 площади описанного вокруг него параллелограмма (фиг. 44), так как ясно, что площадь треугольника ABC составляет половину площади параллелограмма. Если хорда сегмента AC, служащая основанием параллелограмма,

Фиг. 44.

равна a, a высота сегмента BD (являющаяся в то же время и высотою параллелограмма) есть h, то

Заметим ещё, что квадратура Архимеда является не только вычислением площади сегмента параболы, но и квадратурой в греческом смысле. Полученная формула легко позволяет построить при помощи циркуля и линейки квадрат, равновеликий данному сегменту.

IV. ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР

1. Формулы прямоугольников и трапеций

Для вычисления площадей сложных фигур у нас есть, в сущности говоря, только одно средство: попытаться выразить эти сложные площади через более простые, нам уже известные. Иногда это удаётся сделать точно; так, например, обстояло дело при вычислении площади любого многоугольника: площадь его легко вычислялась после разбиения на треугольники. Иногда это можно сделать только приближённо — так обстояло дело при вычислении площади круга и сегмента параболы; и в том, и в другом случае площадь не могла быть вычислена точно ни при каком разбиении на конечное число треугольников, прямоугольников или других прямолинейных фигур, что и понятно, так как в этих случаях площадь была ограничена кривой линией. Чтобы вычислить площадь точно в этом случае, нам пришлось и в той, и в другой задаче применять некоторый бесконечный процесс: при вычислении площади круга смотреть, как изменяется коэффициент при r2, когда увеличивается число сторон вписанного или описанного многоугольника, а при вычислении площади параболического сегмента суммировать бесконечную геометрическую прогрессию. Однако, если бы мы не преследовали цель получить точное выражение площади, а удовольствовались приближённым (что обычно только и бывает нужно на практике), то задача могла быть решена проще. Сейчас мы увидим, каким образом можно вычислять приближённо площади криволинейных фигур при помощи самых простых прямолинейных фигур — прямоугольников, трапеций и т. п.

Мы начнём с вычисления площади фигуры, называемой криволинейной трапецией. Представим себе обыкновенную трапецию, у которой основания перпендикулярны к одной из боковых сторон. Заменив другую боковую сторону кривой линией (фиг. 45, а), мы и получим «криволинейную трапецию».

На фиг. 45, b и 45, с изображены ещё два типа криволинейных фигур, которые можно считать простыми (в смысле вычисления площади); к этим фигурам можно будет приложить всё, что будет сказано ниже о вычислении площади криволинейной трапеции, так как их, в сущности, можно рассматривать как частные случаи первой (фиг. 45, а). Фиг. 45, b получается из фиг. 45, a, если, постепенно уменьшая левую сторону этой фигуры, стянуть её в точку, а фиг. 45, с — если проделать то же самое ещё и с правой стороной. Всякую более сложную фигуру, ограниченную кривыми линиями, можно разбить на части такого вида, как на фиг. 45; поэтому, если мы научимся вычислять площади этих простейших фигур, мы сможем находить также и площади фигур более сложных. На фиг. 46 показан пример такого разбиения; части S1 S3 и S4 относятся к типу фиг. 45, b, часть S4 — к типу фиг. 45, а, часть S5— к типу фиг. 45, с.

Итак, начнём вычисление площади криволинейной трапеции. Первый и наиболее простой способ приближённого отыскания этой площади заключается в том, что фигура разбивается на узенькие полоски прямыми, параллельными основаниям трапеции, и площадь каж-

Фиг. 45.

Фиг. 46.

дой такой полоски заменяется просто площадью прямоугольника (фиг. 47).

Можно легко написать формулу, которая будет давать это приближённое выражение для площади нашей фигуры. Разделим нижнюю сторону её на n равных частей; пусть длина каждой части будет h. Измерим затем длины перпендикуляров, восставленных в точках деления до пересечения с кривой. Пусть эти длины по порядку будут:

(первая и последняя из этих величин будут длинами оснований нашей криволинейной трапеции). Эти же отрезки уи уп будут высотами тех прямоугольников, площади которых мы будем брать вместо площадей полосок. Тогда площадь S1 первого из них, очевидно, будет равна

площадь второго

и т. д. Выпишем все эти площади в такую табличку:

и сложим их. Сумма S и будет, очевидно, давать приближённую величину площади нашей криволинейной фигуры. В её выражении, написанном выше, А вынесено за скобки, так как оно входит в каждый член. Ясно, что величина S даёт лишь приближённое значение для площади, так как при её составлении оста-

Фиг. 47.

лись неучтёнными маленькие площадочки, заштрихованные на фиг. 47. Сумма площадей этих кусочков составляет ошибку нашей формулы:

Ошибка будет тем меньше, чем меньше h. Сама формула называется формулой прямоугольников.

Чтобы получить более точное выражение площади нашей фигуры, можно заменять каждую маленькую полоску не прямоугольником, а трапецией (фиг. 48). Если мы сохраним все прежние обозначения, то площадь S1 первой трапеции будет, очевидно, равна

— полусумме оснований, умноженной на высоту; площадь второй

и т. д. Площадь последней Sn будет

Сложим опять все эти площади, выписав их табличкой:

Фиг. 48.

Когда мы производили сложение, то вынесли всюду h за скобки и объединили подобные члены. При этом величины y2, y3 ..., уn-1 вошли с коэффициентом 1, так как каждая из них входит в выражения площадей двух соседних трапеций с коэффициентом 1/2. Первый и последний члены выражения S имеют коэффициенты 1/2, так как для них не нашлось подобных и они остались в том же виде, в каком входили в выражения S1 и Sn. Получившаяся формула

называется формулой трапеций. Она значительно точнее формулы прямоугольников, что видно из фиг. 48; на ней заштрихованы площадочки, составляющие ошибку этой формулы, и ясно, что они меньше, чем в случае формулы прямоугольников. И здесь чем меньше h, тем формула точнее.

Мы вывели обе эти формулы для случая криволинейной трапеции. Нетрудно сообразить, однако, что они годятся и в других случаях. Рассмотрим, например, фигуру, ограниченную кривыми линиями и сверху и снизу (фиг. 49). Эту фигуру легко можно разбить на две криволинейные трапеции S1 и S2 и затем к каждой из них приложить формулу прямоугольников (или трапеций). Если обозначить через y1, y2, ... yn высоты прямоугольников для площади S1, а через у'1, у'2, ... , y'n высоты соответствующих прямоугольников для S2, то

откуда для всей площади S получается

Фиг. 49.

Но y1+y'1, y2+y'2 и т. д.—не что иное, как высоты прямоугольников, получающихся, если прилагать формулу непосредственно к площади S без предварительной разбивки её на две криволинейные трапеции. Обозначая эти высоты через Y1, Y2, ... Yn, получаем, что

т. е. ту же самую формулу прямоугольников, справедливую, оказывается, и для этого случая. Таким же образом можно разобрать и другие случаи.

2. Формула Симпсона

Формула трапеций значительно точнее формулы прямоугольников, однако, иногда и она оказывается недостаточно точной. Каким же образом можно притти к ещё более точной формуле? Очевидно, надо постараться заменить площадь каждой маленькой полоски, на которые разбита вся фигура, такой площадью, которая отличалась бы от неё меньше, чем площадь обычной трапеции. Этого можно достигнуть, применяя вместо обычной прямолинейной трапеции так называемую параболическую трапецию (фиг. 50). Так называется фигура, ограниченная с трёх сторон прямыми, а с четвёртой—параболой. Ясно, что такая трапеция при замене нашей полоски даст меньшую ошибку, чем прямолинейная (фиг. 51, а и 51, b). Нашей первой задачей, следова-

Фиг. 50.

Фиг. 51.

Фиг. 52.

тельно, является вычисление площади параболической трапеции. Когда это будет сделано, дальше можно будет итти тем же путём, что и раньше.

Формула для площади параболической трапеции будет несколько сложнее формулы для площади обычной трапеции: в неё придётся включить не только длины оснований а и b и высоту h трапеции, но ещё и длину средней линии с (фиг. 53), так как ясно, что могут быть параболические трапеции с одинаковыми основаниями и высотами и различными средними линиями в зависимости от того, будет ли дуга параболы более вытянутой или более плоской (фиг. 52).

Итак, пусть у нас имеется параболическая трапеция с основаниями а и b, средней линией с и высотою h (фиг. 53). Чтобы найти её площадь, мы разобьём её на две части: обычную трапецию AEBCD и параболический сегмент AEBFA. Площадь обычной трапеции S1 найдётся по известной формуле:

площадь S2 параболического сегмента мы также можем найти, зная, что она равна двум третям площади описанного вокруг него параллелограмма. Площадь S'2 этого описанного параллелограмма ABHG, очевидно, равна AG-h. Но так как

то она может быть записана в виде

Фиг. 53.

откуда для площади параболического сегмента получается

Но тогда площадь S всей параболической трапеции будет равна

Итак, мы вычислили площадь параболической трапеции; она даётся формулой

Теперь мы без труда можем получить формулу для приближённого вычисления площади любой криволинейной трапеции, которая даст нам результат с гораздо большей точностью, чем формула трапеций, не говоря уже о формуле прямоугольников. Мы начнём опять с разбиения нашей площади на узенькие полоски (фиг. 54), но теперь обязательно так, чтобы их было чётное число (две, или четыре, или шесть и т. д.); это нужно потому, что две соседние полоски будут заменяться параболической трапецией. Будем опять обозначать длины перпендикуляров, восставленных в точках деле-

Фиг. 54.

ния до пересечения с кривой, по порядку через y1, y2,... Ширина каждой полоски пусть опять будет h. Заменим каждую пару соседних полосок (первую и вторую, третью и четвёртую и т. д.) одной параболической трапецией (на фиг. 54 эти трапеции обведены жирной чертой). Площадь первой из них S1 будет по выведенной нами формуле равна

так как основания нашей трапеции равны y1 и y2, средняя линия— y2, а высота —2h. Аналогично для второй трапеции найдём

для третьей

и т. д.

Складывая все эти площади, получим

В этом выражении множители 1/3 и h, входящие в каждую сумму, вынесены за скобку, в скобках же сделано приведение подобных членов. Самый первый и самый последний члены имеют коэффициент 1, так как им не нашлось подобных; остальные члены с нечётными номерами (y3, y5...) имеют коэффициент 2, так как каждый из них встречается два раза (в двух соседних

трапециях) и, наконец, все чётные члены имеют коэффициент 4. Формула

известна под названием формулы Симпсона. Она названа именем английского математика Томаса Симпсона (1710 — 1761 гг.), профессора математики в Вульвичском университете, впервые её получившего. Эта формула, как уже было сказано, весьма точна и много точнее формулы трапеций.

Все выведенные здесь формулы для приближённого вычисления площадей имеют большое практическое значение. Они чрезвычайно часто употребляются в технике; там обычно довольствуются приближёнными результатами, а эти формулы дают их весьма легко и быстро.

В качестве примера применения этих формул рассмотрим такую задачу: требуется вычислить площадь острова (фиг. 55).

Прежде всего разобьём наш остров на полоски, число которых может быть тем или иным в зависимости от желаемой точности; чем больше полосок, тем выше точность. Мы возьмём 12 полосок (чётное число берём для того, чтобы можно было применять формулу Симпсона). Разбив на 12 частей длину острова, мы измеряем его ширину в намеченных таким образом точках. В приведённой ниже таблице (табл. 2) даны результаты этих измерений; через y1 обозначено изме-

Фиг. 55.

ренне по линии, отмеченной цифрой 1 на фиг. 55, через y2 — по линии с цифрой 2 и т. д.

Таблица 2

Ширина каждой полоски h равна 5,1 м. Имея эти цифры, вы легко можете найти площадь острова, применяя выведенные формулы. Проделайте вычисление по всем трём формулам и сравните результаты. Ближе всех к истине будет вычисление по формуле Симпсона.

Фиг. 56. Фиг. 57.

Применяя наши формулы для приближённого вычисления площадей, приходится прежде всего делить измеряемую площадь на полоски. Чтобы облегчить эту операцию, имеется специальный прибор в виде шарнирного параллелограмма с поперечными палочками (фиг. 56). Его можно сдвигать или раздвигать в зависимости от длины фигуры, которую надо разделить на полоски, и, подогнав его раствор под данную фигуру, весьма легко производить деление, просто проводя карандашом линии вдоль поперечных линеек (фиг. 57, а и b).

3. Механическое вычисление площадей

Выведенные формулы для приближённого определения площади криволинейной фигуры дают возможность довольно быстро и легко решить вопрос. Однако, иногда в тех случаях, когда приходится вычислять очень много площадей, эти формулы всё же оказываются несколько громоздкими, требующими слишком много работы. В этих случаях применяют приборы и даже сложные машины, которые механически выполняют работу по вычислению площадей и дают сразу готовый результат. Из большого количества этих приборов мы упомянем планиметр и машину для измерения кожи, употребляемую в кожевенной промышленности.

Планиметр—это небольшой прибор (фиг. 58), состоящий из двух металлических стержней, соединённых

Фиг. 58.

так, что они могут складываться, как рука в локте, и счетчика со специальным колесиком, катящимся по бумаге, на которой изображена измеряемая фигура. Один из стержней имеет на конце штифт, который вкладывается в отверстие, сделанное в тяжёлой, неподвижно лежащей на бумаге подставке Р и может в ней вращаться; другой стержень снабжён на конце вертикальным остриём F, которое берут рукою и обводят им контур измеряемой площади. Когда остриё, обойдя контур, возвращается в ту точку, с которой был начат обход, на счётчике можно прочесть площадь обведённой фигуры. Вы видите таким образом, что работа с этим прибором очень проста, и он даёт возможность легко и быстро получить площадь любой криволинейной фигуры. К сожалению, рассказать, почему получается площадь на счётчике, здесь трудно: теория этого прибора настолько же сложна, насколько просты его конструкция и обращение с ним.

Совсем иначе выглядит машина для измерения площади кожи, употребляемая в кожевенной промышленности, или «футомерка», как её зовут кожевники, так как раньше кожа мерилась на квадратные футы. Уже очень давно для измерения площади кожи стали пользоваться различными приспособлениями (в частности, были в ходу, да кое-где есть и сейчас, специальные кожевенные планиметры, см. фиг. 59).

Фиг. 59.

«Футомерка» — это большая, тяжёлая машина, приводимая в действие электромотором (фиг. 60). Она содержит в себе целый ряд тонких колёс, сидящих рядом друг с другом так, как будто они сидят на одной оси, и устроенных, однако, таким образом, что каждое из них может приподниматься и вертеться независимо от других. Если посмотреть на эти колёса сбоку (точнее говоря, разрезать машину поперёк), мы увидим то, что изображено на фиг. 61. Наши колёса отмечены здесь буквой с. Под ними буквой d отмечен большой вал, который всё время вращается, приводимый в движение электромотором. Измеряемую кожу а подводят к вращающемуся валу, и она, будучи захвачена им, начинает проходить между валом d и колёсами с, заставляя их также вращаться. Каждое из колёс с вертится до тех пор, пока под ним есть кожа, и поворачивается, следовательно, большее или меньшее количество раз в зависимости от длины той линии, по которой оно кати-

Фиг. 60.

Фиг. 61.

лось, когда кожа шла через машину. Так как кожа идёт прямо, то все эти линии— прямые, и они как бы делят нашу кожу на полоски, подобные тем, какие мы имели при применении формул приближённого вычисления площадей (фиг. 62). Когда кожа прошла через машину, легко узнать длину каждой линии, отделяющей две соседние полоски. Достаточно умножить число оборотов соответствующего колеса на длину его окружности (величина, известная и одинаковая для всех колёс, так как все они одинакового радиуса). Если, например, какое-нибудь колесо сделало 1,62 оборота, то при радиусе колеса 10 см это даст длину соответствующей линии:

На машине имеется приспособление, которое прямо складывает повороты всех отдельных колёс. Ясно, что эта сумма будет пропорциональна сумме длин всех линий или, имея в виду формулу прямоугольников:

пропорциональна площади нашей кожи. Эта площадь и указывается в определённых мерах стрелкою на циферблате, видном вверху машины. Кожевенные машины работают чрезвычайно быстро, позволяя измерять по 80 — 100 кож в час.

Фиг. 62.

V. ТОЧНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ФИГУР

1. Площадь криволинейной трапеции

Мы видели, как можно найти приближённо площадь криволинейной трапеции. Формула прямоугольников, или формула трапеций, или, наконец, формула Симпсона позволяли это сделать с желаемой степенью точности. Степень точности зависела от ширины h тех полосок, на которые была разбита наша трапеция. Это обстоятельство, на которое мы тогда не обращали большого внимания, является очень существенным и даёт возможность подойти к точному определению площади криволинейной трапеции. Дело обстоит так: допустим, что мы выбрали какую-то определённую ширину полосок h1 и отыскали соответствующую приближённую величину площади S1, пользуясь формулой прямоугольников. Пусть мы сумели это сделать также для какого-нибудь другого значения h2, меньшего h1, ещё какого-нибудь значения h3, меньшего, чем h2, и т. д. Мы получим тогда ряд приближённых значений для площади нашей трапеции, притом таких, что ошибки их будут делаться всё меньше и меньше (фиг. 63). Если мы можем подобрать h1, h2,..., hn ... так, что соответствующие ошибки будут стремиться к нулю, то, очевидно, точным значением площади нашей криволинейной трапеции будет величина S, к которой будут стремиться приближённые значения:

представляющие её всё более точно по мере уменьшения hn. Мы можем убедиться в том, что этот способ действи-

тельно приводит к цели, на примере какой-нибудь простой фигуры. Вычислим этим способом площадь прямоугольного треугольника; величина её нам известна, и потому мы сможем проверить новый способ. То обстоятельство, что мы собираемся применить его к прямолинейной фигуре, а не к криволинейной трапеции, не должно нас смущать. Прямолинейную фигуру можно рассматривать как частный наиболее простой случай криволинейной. Итак, займёмся вычислением площади треугольника. Пусть высота нашего треугольника будет H (фиг. 64), а основание а. Разделим основание на п частей и, проведя вертикальные прямые, отделяющие полоски друг от друга, вычислим сумму площадей прямоугольников, вписанных в эти полоски. Для этого сначала найдём площадь sk прямоугольника номера

Фиг. 63.

Фиг. 64. Фиг. 65.

отстоящего от левого конца основания на величину kh, т. е., иначе говоря, вписанного в (k+1)-ю полоску. Очевидно,

где bk — высота этого прямоугольника. Чтобы её найти, рассмотрим фиг. 65. Из подобия треугольников ABC и ADE мы сразу получаем

откуда

Чтобы найти bk, мы должны положить x = kh. Тогда

Вычислим сумму

Мы берём здесь (n — 1) член, так как последней полоске направо соответствует прямоугольник sn-1. Написанная сумма будет представлять собой приближённое значение площади нашего треугольника, которое мы обозначим через Sn, чтобы помнить, что мы делили основание на n частей и взяли h = a/n, Вынесем из членов этой суммы за скобки общий множитель. Мы получим тогда

Но в скобках стоит сумма членов арифметической прогрессии. Её первый член — единица, последний — (n — 1), число членов — (n —1). По известной формуле для сум-

мы n членов арифметической прогрессии, первый член которой a, a последний l, имеем

В нашем случае это даёт

В это выражение входят и h и n. Но они связаны соотношением h = a/n или n = a/h. Заменим в этой формуле n его выражением через h. Тогда

Когда мы будем уменьшать h, величина Sn, очевидно, будет меняться. Заставим h стремиться к нулю (т. е. будем рассматривать величины Sn, получающиеся при разбиении на полоски, всё более и более узкие). При этих условиях разность a — h будет, очевидно, стремиться к а. В табл.3 записано несколько значений h и разности a — h.

Таблица 3

Что же касается величины

то она, очевидно, будет стремиться при этих условиях к величине

которая, согласно сказанному выше, и является точной величиной площади нашего треугольника. Мы пришли к уже известной нам формуле и тем самым обнаружили, что новый способ дал в этом случае правильный результат. Это обстоятельство чрезвычайно существенно, так как новый способ может быть применён в весьма широком классе случаев, не только тогда, когда наша фигура прямолинейна, но и тогда, когда она ограничена сверху кривой линией. Мы не можем здесь, к сожалению, касаться общей задачи о площади криволинейной трапеции для случая произвольной кривой линии, ограничивающей её сверху. Решение этой задачи, весьма сложной, составляет предмет обширного отдела высшей математики, известного под названием интегрального исчисления.

СОДЕРЖАНИЕ

I. Прямолинейные фигуры

1. Площади простейших фигур............. 3

2. Египетские формулы................ 7

3. Формулы Герона и Брахмагупты.......... 11

4. Римская формула.................. 12

II. Круг

1. Площади подобных фигур.............. 15

2. Площадь круга................... 18

3. Вычисление π................. . . 26

4. Луночки Гиппократа................. 29

III. Парабола

1. Квадратура криволинейных фигур.......... 32

2. Парабола...................... 34

3. Квадратура Архимеда................ 38

IV. Приближённое вычисление площадей криволинейных фигур

1. Формулы прямоугольников и трапеций........ 44

2. Формула Симпсона................. 49

3. Механическое вычисление площадей......... 55

V. Точное вычисление площадей криволинейных фигур

1. Площадь криволинейной трапеции.......... 59