Новое в жизни, науке, технике

Подписная научно-популярная серия

Издается ежемесячно с 1967 г.

МАТЕМАТИКА

КИБЕРНЕТИКА

А. Д. Милка

Что такое геометрия „в целом“

1986/12

Новое в жизни, науке, технике

Подписная научно-популярная серия

Издается ежемесячно с 1967 г.

МАТЕМАТИКА, КИБЕРНЕТИКА

А. Д. Милка

ЧТО ТАКОЕ ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ»

12/1986

СОДЕРЖАНИЕ

1. Деформации простых геометрических фигур 4

1.1. Общие определения 4

1.2. Леммы Коши и Александрова 5

1.3. Многоугольники на сфере 8

1.4. Доказательства 10

1.5. Лемма Погорелова 12

2. Теоремы единственности 13

2.1. Теорема Лежандра и Коши 13

2.2. Теорема Минковского 19

2.3. Аналогия для сферического пространства 23

2.4. Реализация разверток 26

2.5. Аксиома Евклида 28

3. Метрика выпуклого многогранника 29

3.1. С. Ф. Кон-Фоссен 29

3.2. Свойства выпуклости метрики 29

3.3. Изгибания куска сферы 30

Рекомендуемая литература 31

Издательство «Знание» Москва 1986

ББК 22.151 М60

МИЛКА Анатолий Дмитриевич — доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Физико-технического института низких температур АН УССР. Круг научных интересов — геометрия «в целом» многомерных нерегулярных поверхностей и нерегулярных метрик.

Рецензент: Шикин Е. В. — доктор физико-математических наук.

Милка А. Д.

М 60 Что такое геометрия «в целом». — М.: Знание, 1986. — 32 с. — (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 12).

11 к.

Геометрия «в целом» — область математических исследований, в которой геометрические фигуры (кривые линии, поверхности и др.) изучаются на всем их протяжении и при допущении нерегулярности и локальных особенностей. На примере выпуклых многогранников рассказывается о некоторых узловых задачах и теоремах теории общих выпуклых поверхностей. Именно в этой теории были получены решающие достижения геометрии «в целом» — одного из важнейших направлений современной математики. Ее проблематика и первоначальные результаты связаны с именами Коши, Минковского, С. Ф. Кон-Фоссена. В последовательное построение и глубокое развитие этой теории внесли большой вклад многие советские ученые, и прежде всего А. Д. Александров и А. В. Погорелов.

Выпуск рассчитан на лекторов, слушателей и преподавателей народных университетов.

1702040000 ББК 22.151

© Издательство «Знание», 1986 г.

Геометрия, как известно, — часть математики, в которой изучаются пространственные формы и отношения между ними. Появившись вначале для практических потребностей, геометрия превращается затем в научную дисциплину — в ней уже устанавливаются и исследуются общие свойства простых форм, геометрических фигур, связанные с измерениями, отвлеченные от всех других, не существенных для этих фигур свойств (материал, вес, цвет и т. п.). Развиваясь как и вся математика, геометрия обогащается новыми и новыми разделами; на определенных исторических этапах появляются начертательная, аналитическая, дифференциальная геометрии и другие. Разделом геометрии — современным, большим и важным — является и геометрия «в целом»; мы будем рассматривать часть этого раздела, в котором изучается традиционный предмет геометрии — поверхность. В геометрии поверхностей исследуют два вида проблем — локальные, когда поверхность изучается в малой окрестности точки, и «в целом», когда поверхность изучается на всем ее протяжении. При этом различают внутренне геометрические задачи, связанные с измерениями на самой поверхности, и внешне геометрические, связанные с изучением пространственной формы поверхности и ее частей.

Типичная задача геометрии «в целом» такая. Даны две изометричные поверхности, т. е. поверхности с одинаковой внутренней геометрией. Равны, или однозначно определены внутренней метрикой эти поверхности? Если рассматриваемые поверхности регулярны, т. е. задаются достаточно хорошими уравнениями, то названные проблемы решаются в рамках дифференциальной геометрии. Становление и развитие дифференциальной геометрии «в целом» определили своими работами такие выдающиеся математики, как Дарбу, Гильберт, Минковский, Вейль, Кон-Фоссен и другие.

Мы будем рассматривать вопросы геометрии «в целом» нерегулярных поверхностей — общих выпуклых поверхностей. Именно в этой теории были получены наиболее впечатляющие достижения всей геометрии «в целом». Она отличается сочетанием наглядно-геометрических и современных математических методов исследования. Общая выпуклая поверхность — это граница произвольного выпуклого тела. А выпуклое тело — множество в пространстве, которое не лежит в одной плоскости и содержит вместе с любыми двумя своими точками весь соединяющий их отрезок.

Первый результат здесь был получен в 1813 г. Коши, доказавшим теорему об однозначной определенности метрикой выпуклых многогранников. Другая теорема единственности была доказана в 1897 г. Минковским. Но только с работ Кон-Фоссена (1927—1937 гг.) начались глубокие исследования. В 1941—1948 гг. А. Д. Александров разрабатывает внутреннюю геометрию общих выпуклых поверхностей. В 1948—1969 гг. А. В. Погорелов строит их внешнюю геометрию и решает ряд крупнейших геометрических проблем; в 1948 г. он доказывает одну из центральных теорем теории — об однозначной определенности метрикой произвольных выпуклых поверхностей.

Далее на примере выпуклых многогранников излагаются начальные результаты этой теории.

1. ДЕФОРМАЦИИ ПРОСТЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

... в новом облике моей старой книги сохранена ее прежняя форма, поскольку она следует простому ходу мысли, который идет от древних греков...

В. БЛЯШКЕ. Круг и шар

Этот параграф вспомогательный. В нем рассматриваются полезные для дальнейшего изложения свойства простых фигур и устанавливаются зависимости между этими свойствами. Речь идет о специальных деформациях выпуклых многоугольников и выпуклых многогранных углов.

С понятием деформации мы хорошо знакомы из практического опыта, и некоторые утверждения о деформациях фигур воспринимаем как очевидные, не требующие доказательств. Проанализировав эти очевидные утверждения, разберем наглядные доказательства, которые им дает наша интуиция, попытаемся затем провести аналогии, найти обобщения — и мы получим содержательные теоремы.

1.1. Общие определения. Мы рассматриваем в плоскости два вида нетривиальных, т. е. не являющихся движениями, деформаций выпуклых многоугольников — преобразований с сохранением длин сторон или с сохранением величин углов. Изложим результаты О. Коши и А. Д. Александрова, в которых устанавливается качественная геометрическая характеристика этих преобразований. Соответствующие предложения обычно представляются как подготовительные для решения важных проблем теории многогранников. Это их применение будет показано. Но они не менее интересны и как самостоятельные результаты планиметрии.

Суть ожидаемых результатов легко выясняется на примерах четырехугольников. При нетривиальной деформации выпуклого четырехугольника с сохранением длин сторон одна из его диагоналей, положим, увеличивается. Тогда оба угла четырехугольника, противолежащих этой диагонали, увеличиваются, а, значит, один из оставшихся двух углов уменьшается. Одновременно уменьшается вторая диагональ четырехугольника, следовательно, уменьшается и другой противолежащий ей угол. Таким образом, на контуре четырехугольника пара углов увеличивается, пара углов уменьшается и две эти пары углов взаимно разделяются. Рассматривая нетривиальную деформацию выпуклого четырехугольника с сохранением величин углов при дополнительном требовании сохранения его площади, приходим к подобному же заключению — с той лишь разницей, что оно относится к изменениям длин сторон этого четырехугольника.

Выделенные свойства деформаций четырехугольников распространяются и на произвольные, отличные от треугольников, выпуклые многоугольники в плоскости.

Аналогично мы будем рассматривать и изометрические деформации, или изгибания, выпуклых многогранных углов — их преобразования в пространстве, при которых плоские углы не изменяются. Устанавливается первая основная лемма Коши о поведении двугранных углов при этих преобразованиях. С целью сравнения для выпуклых многогранных углов приводится лемма А. В. Погорелова, дающая количественную геометрическую характеристику их изгибаний.

Наконец, мы также рассматриваем нетривиальные деформации с сохранением длин сторон или величин углов выпуклых многоугольников на сфере. Находятся аналоги утверждений, справедливых для плоских многоугольников. При этом обнаруживается прямая связь между результатами Коши и А. Д. Александрова, которая оказывается простым следствием геометрической двойственности.

Чтобы наши формулировки и доказательства были достаточно строгими и понятными, введем необходимые определения.

Замкнутую ломаную в плоскости, не имеющую самопересечений, называют многоугольником.

Многоугольники P=AB...CD и Р'=A'B'...C'D' называются изометричными, если у них все соответствующие стороны равны: АВ=А'В'..... CD= C'D', DA = D'A'.

Многоугольник называется выпуклым, если для каждой его стороны и прямой линии, содержащей эту сторону, он це-

ликом располагается в одной замкнутой полуплоскости относительно прямой. Общая часть этих замкнутых полуплоскостей определяет многоугольную область, которую также называют выпуклым многоугольником.

Область является выпуклым множеством: области вместе с любыми двумя ее точками принадлежит весь соединяющий их отрезок.

Выпуклые многоугольники Р и Р' называются равными, если у них все соответствующие стороны равны и все соответствующие углы равны: АВ = А' В' ∠А=∠А', ... Равные выпуклые многоугольники изометричны. Они совмещаются движением, т. е. преобразованием плоскости, сохраняющим расстояния между точками. В связи с этим изометричные многоугольники, которые не переводятся один в другой движением, называются нетривиально изометричными.

Деформацию многоугольника мы определяем как некоторое точечное преобразование фигуры в плоскости. Это — переход от начального к конечному положению фигуры без обязательного указания о существовании промежуточных фигур. Если при таком преобразовании длины сторон не изменяются, то говорят об изометрической деформации; ее примером является движение.

Переход от одного многоугольника к другому через непрерывное семейство изометричных многоугольников называется непрерывной изометрической деформацией. Непрерывные изометрические деформации выпуклых многоугольников обычно рассматриваются в классе выпуклых — с помощью семейства также выпуклых многоугольников.

Любая связная часть выпуклого многоугольника называется выпуклой ломаной. Приведенные определения изометрии, равенства и нетривиальной изометрии, изометрической и непрерывной изометрической деформаций полностью переносятся на выпуклые ломаные.

В случае многогранных углов все необходимые определения, относящиеся, в частности, и к их деформациям, вводятся по аналогии с определениями для выпуклых многоугольников. Изменяются только начальные понятия. Вместо термина «многоугольник» нужно употреблять термин «многогранный угол»; естественно заменяются и другие термины: вершина — ребро, сторона — грань или плоский угол, угол многоугольника — двугранный угол многогранного угла. Так, выпуклый многогранный угол определяется тем, что он целиком располагается в пространстве по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Многогранные углы V=OAB...CD и V'=O'А'В'...C'D' считаются изометричными, если у них все соответствующие плоские углы равны: ∠АОВ= ∠А'О'В'',...; они считаются равными, если они изометричны и у них все соответствующие двугранные углы равны: ∠(A)=∠(A'), ∠(B)=∠(B'),...; для ребер углов V и V мы употребляем обозначения OA = (A), ... и О'A'=(A'),...

Плоскость, которая проходит через вершину выпуклого многогранного угла и оставляет весь этот угол в одном замкнутом полупространстве, называется опорной, а вектор, ортогональный этой плоскости, направленный в дополнительное полупространство, — внешней нормалью.

Концы единичных внешних нормалей, отложенных от фиксированной точки пространства, при изменении опорных плоскостей описывают на единичной сфере с центром в этой точке некоторое множество. Это множество называется сферическим изображением выпуклого многогранного угла.

Кривизной многогранного угла с плоскими углами ai называется разность

ω=2π—2аi.

Она численно характеризует внутренне геометрическое отклонение от плоскости многогранного угла; известно и элементарно доказывается, что для выпуклого многогранного угла разность со положительная.

1.2. Леммы Коши и Александрова. Пусть P=AB...C...D и P'=A'B'...C'...D' нетривиально изометричные выпуклые многоугольники. Сопоставим знаки « + » и «—» неравным соответствующим углам многоугольников Р и Р' по следующему правилу: для соответствующих вершин С и С' вершину С отметим знаком « + » или «—» в зависимости от выполнения неравенства ∠С>∠С' или ∠С<∠С', а вершину С' — соответственно

противоположным знаком. Нетрудно убедиться, что у многоугольников Р и Р' будет не меньше чем по четыре отмеченные вершины, иначе эти многоугольники окажутся равными. Коши установлена

Лемма 2.1. При обходе вдоль сторон каждого из многоугольников в порядке следования вершин насчитывается не менее четырех перемен знаков.

Доказательство. Для четырехугольников утверждение доказано. Докажем лемму для многоугольников с числом вершин, большим четырех. Число вершин, отмеченных знаками на каждом из многоугольников, будем обозначать n.

Если n=4, то применим лемму Коши к нетривиально изометричным выпуклым четырехугольникам, вписанным в многоугольники Р и Р'. с вершинами, совпадающими с отмеченными вершинами многоугольников.

На рис. 1а пунктирной линией обозначен многоугольник Р, Е, R, Н, Т — его отмеченные вершины. Отмеченные вершины делят многоугольники Р и Р' на соответственно равные, без отмеченных внутренних вершин выпуклые ломаные. Замыкающие хорды этих ломаных, они же — стороны вписанных четырехугольников, соответственно равны: ER=E'R', ... Также равны и соответствующие части углов многоугольников, примыкающие к этим хордам, например для угла Т:а=а', у=у'. Следовательно, соответствующие углы многоугольников отличаются от углов четырехугольников лишь одинаковыми слагаемыми. Отсюда заключаем, что при обходе вдоль сторон каждого из многоугольников имеется точно по четыре перемены знаков.

Считая теперь n⩾5, предположим, что число перемен знаков на многоугольниках Р и Р' меньше четырех. Тогда на одном из многоугольников, пусть на P, найдутся четыре вершины Е, R, Н, Т с такой расстановкой знаков, которая указана на рис. 16. Эти вершины заведомо подбираются из пяти произвольных отмеченных вершин многоугольника или соответствующих им пяти вершин многоугольника Р', если необходимая нам расстановка знаков обнаруживается у последнего многоугольника.

Рассмотрим преобразование многоугольника Р — непрерывную изометрическую деформацию, в процессе которой «противоположные» углы R и Т уменьшаются, «противоположные» углы Е и H увеличиваются, все остальные углы не изменяются (на рис. 1б направление деформации показано стрелками). При таком преобразовании каждая из четырых ломаных, на которые разбивается многоугольник выделенными вершинами, подвергается движению. С этой целью изометрически деформируем выпуклый четырехугольник ERHT, непрерывно уменьшая его диагональ НЕ. За вершинами преобразующегося многоугольника мы закрепляем те же знаки, которые имели соответствующие им вершины многоугольника Р. Деформацию заканчиваем, когда один из углов ∠E, или ∠Н, или же ∠R, если он был вначале отмечен знаком « + », оказывается равным соответствующему углу многоугольника Р'; вершина такого угла и соответствующая ей вершина Р' становятся в этот момент неотмеченными.

Полученный из многоугольника Р выпуклый многоугольник Р" изометричен, но не равен Р', так как угол Т, в процессе деформации уменьшается. У нового многоугольника Р" и у многоугольника Р' количество неравных соответствующих углов, или отмеченных вершин, меньше n. Число перемен знаков при обходе каждого из этих многоугольников Р' и Р" меньше четырех; оно не больше, чем число перемен знаков у исходных многоугольников Р и Р'.

Повторяя описанную операцию преобразования многоугольников в случае необходимости многократно — от пары Р, Р' к паре Р', Р", от пары Р', Р" к новой паре и т. д., — мы можем получить изометричные выпуклые многоугольники, у которых точно по четыре отмеченные вершины, а число перемен знаков меньше четырех. Это противоречит уже установленному утверждению леммы для n=4. Значит, наше предположение для многоугольников с было неверным.

Лемма доказана.

Следствие. В условиях леммы любой из многоугольников непрерывно изометрически деформируется в выпуклый многоугольник, равный другому. Можно сделать так, чтобы при этой деформации углы деформируемого многоугольника изменялись монотонно, причем большие

Рис. 1

углы не увеличивались, меньшие углы не уменьшались.

На втором этапе доказательства леммы с целью понижения числа отмеченных вершин осуществлялась непрерывная изометрическая деформация многоугольника: P→P". Прием, который для этого использовался, имеет название «метод шарнирного четырехугольника». Как способ математического рассуждения он был впервые введен в геометрию Я. Штейнером в 1841 г. Предпосылкой к возникновению этого метода, возможно, послужила лемма Коши, хотя сам Коши дал своей лемме иное доказательство. Двойственный прием в 1914 г. был применен В. Бляшке. Интересно, что и до последнего времени эти наглядные геометрические методы находили приложение только в исследованиях вопросов изопериметрии.

Будем считать, что многоугольники, фигурирующие в лемме 2.1, расположены в пространстве. Построим на них бесконечные цилиндры, ортогональные плоскостям этих многоугольников. Тогда лемма 2.1 характеризует изменения двугранных углов деформирующихся цилиндров, и ее можно обобщить, рассматривая изгибания выпуклых многогранных углов.

Пусть V=OAB...C...D и V'=O'А'В'... ...C...D' — выпуклые многогранные углы, которые мы считаем нетривиально изометричными. Сопоставим знаки «+» и «—» неравным соответствующим двугранным углам V и V', как это уже делалось для неравных углов нетривиально изометричных выпуклых многоугольников. На каждом из многогранных углов будут тогда отмеченными не менее чем по четверке ребер. Следующий результат в теории выпуклых многогранников известен как первая основная лемма Коши.

Лемма 2.2. При обходе вокруг вершины каждого из многогранных углов в порядке расположения их ребер насчитывается не менее четырех перемен знаков.

В принципе эта лемма с учетом терминологии, соответствующей пространственному случаю, допускает буквально то же доказательство, что и лемма 2.1; теперь роль «шарнирного четырехугольника» выполняет четырехгранный «шарнирный угол». Правда, остается необоснованным первое утверждение — лемма. 2.2 для четырехгранных углов V и V'. Но и это утверждение устанавливается тем же способом, что и лемма 2.1 для четырехугольников в п. 1.

Приведем доказательство леммы 2.2 для четырехгранных углов V=OABCD и V'=O'A'B'C'D'.

Не нарушая общности, можно принять, что при переходе V→V' один из диагональных углов V увеличивается, например ∠BOD<∠B'O'D'. Уточним расположение на ребрах многогранных углов точек А, В,.. и А', В', ... Рассечем плоскостью угол V и примем, что полученное сечение — четырехугольник P=ABCD, это выпуклый четырехугольник. Потребуем еще выполнения равенств ОА = O'А', ОВ=O'В', ОС=O'С, OD=O'D' и введем, вообще говоря, неплоский четырехугольник P'=A'B'C'D' (см. рисунок на первой странице обложки, где изображен угол V). Эти два четырехугольника — с попарно равными сторонами, сравним их соответствующие углы.

При переходе Р→Р' диагональ BD четырехугольника Р увеличивается: BD<B'D'. Тогда углы четырехугольника, противолежащие этой диагонали, оба увеличиваются, т. е. ∠A = ∠BAD< <∠A' = ∠B'A'D', ∠C=∠BCD<∠C' = ∠B'С'D'. Поэтому углы треугольников △ABD и △CBD, примыкающие к одной из оставшихся двух вершин С и D четырехугольника P, при переходе к треугольникам AA'B'D' и AC'B'D' в сумме уменьшаются. Но ∠ABD+ ∠CBD = ∠АВС=∠В, ∠A'B'D' + ∠C'B'D'⩾ ∠А'В'С'=∠В' и аналогично ∠ADB +∠CDB = ∠ADC = ∠D, ∠A'D'B'+ ∠C'D'B'⩾∠A'D'C = ∠D'; лишь только в этом месте наши рассуждения несколько отличаются от изложенных для четырехугольников в плоскости в п. 1. Значит, один из оставшихся двух углов четырехугольника P, AB или ∠D уменьшается. Одновременно уменьшается вторая диагональ четырехугольника (AC>A'С'), следовательно, уменьшается и другой противолежащий ей угол ∠B>∠B', ∠D>∠D'.

Полученные неравенства для углов четырехугольников Р и Р', очевидно, эквивалентны таким же соотношениям и для соответствующих двугранных углов: ∠(A)<(A'), ∠(C)<∠(С'), ∠(B)>∠(B'), ∠(D)>∠(D'). Лемма 2.2 для четырехгранных углов доказана.

Коши доказывал лемму 2.2, получая ее как следствие аналога леммы 2.1 для многоугольников на сфере.

Сформулируем утверждение, двойственное к лемме 2.1; в более общих условиях оно установлено А. Д. Александровым.

Пусть P=A...BC...D и P'=A'...В'С'... ...D' — выпуклые многоугольники, у которых все соответствующие углы равны: ∠A=∠A', ..., ∠D= ∠D', а среди соответствующих сторон есть неравные (например, BC≠B'C'). Предположим дополнительно, что площади многоугольников также равны. Отнесем знаки « + » и «—» неравным соответствующим сторонам многоугольников по следующему правилу. Сторону ВС отметим знаком « + » или «—», судя по тому, ВС>В'С' или ВС<В'С'; сторону В'С' в зависимости от ВС отметим противоположным знаком « — » или « + ». У многоугольников Р и Р' окажутся отмеченными не менее чем по четыре стороны.

Лемма 2.3. При обходе вдоль каждого из многоугольников в порядке следования сторон насчитывается не менее четырех перемен знаков.

В справедливости леммы нетрудно убедиться, перефразировав в двойственном плане доказательство леммы 2.1. Путь этот не короткий. Но он и не столь формальный, так как знакомит нас с новыми геометрическими утверждениями и потому заслуживает самостоятельного исследования. Мы дадим в п. 4 другое доказательство, в духе Коши и А. Д. Александрова. Для установления реальных связей между полученными результатами перенесем сначала леммы 2.1 и 2.3 на сферические многоугольники.

1.3. Многоугольники на сфере. Элементарная геометрия на сфере в начальной части ее построения мало отличается от геометрии плоскости. Роль прямых линий здесь выполняют большие окружности. Их дуги, меньшие полуокружностей, называются отрезками. Из этих отрезков и составляются сферические многоугольники. Роль полуплоскости играет полусфера, лежащая по одну сторону от большой окружности, поэтому вполне ясно, что означает для многоугольника на сфере термин «выпуклость». Угол между сторонами многоугольника — это угол между полупрямыми-полукасательными

к этим сторонам; в то же время естественно рассматривать в роли полупрямых на сфере большие полуокружности. Движение на сфере определяется через вращения ее вокруг центра. Семейство этих движений так же богато, как и семейство движений в плоскости, и для любого сферического треугольника существует равный ему сферический треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой. В сферической геометрии справедлива теорема о равенстве двух треугольников при равенстве их сторон. Подобная теорема как один из признаков равенства треугольников на сфере в сущности нам известна. В стереометрии часто рассматривается задача об определении двугранных углов трехгранного угла с заданными плоскими углами; факт однозначной разрешимости этой задачи прямо эквивалентен этой теореме. Геометрия сферического треугольника в значительной степени повторяет элементарную геометрию треугольника в плоскости. Интересующие нас деформации фигур на сфере определяются, как и в плоскости, на основе понятия движения.

Различие геометрий сферы и плоскости наблюдается на этапе более детальных и глубоких исследований, связанных, например, с топологией сферы. Изучение этого различия путем анализа аксиом обычной планиметрии приводит к новым, неевклидовым геометриям — эллиптической, или геометрии Римана, и гиперболической, или геометрии Лобачевского. Моделью эллиптической плоскости служит сфера, если на ней принимаются любые две диаметральные точки за одну, а расстояния между близкими точками определяются с помощью непосредственного измерения на самой сфере. Таким образом, сфера является своеобразной реализацией в пространстве эллиптической плоскости. В строгом выражении, вполне согласующимся, однако, с нашими наглядными представлениями, для эллиптической плоскости сфера является двулистной накрывающей.

Модели гиперболической плоскости более абстрактны, хотя в другом, близком к обычному, пространстве, называемом псевдоевклидовым, гиперболическая плоскость также интерпретируется как некоторая сфера. Различие геометрий обнаруживается и при изучении более простых понятий, когда проявляется такая особенность, как искривленность в пространстве сферической поверхности. Одним из этих понятий является площадь.

Площадь n-угольника на единичной сфере с углами а, определяется по формуле:

σ=Σаi — (n — 2)π.

Правая часть формулы выражает избыток суммы углов сферического многоугольника над суммой углов n-угольника в плоскости. Эта формула не имеет аналога в планиметрии. То, что функция о удовлетворяет всем требованиям, которые предъявляются к площади — положительность, аддитивность, равенство значений о для равных многоугольников, — проверяется непосредственно. Положительность избытка, или, как говорят, дефекта, сферического треугольника вытекает из сравнения полярных треугольников; понятие полярного соответствия многоугольников на сфере мы обсудим позже.

Будем рассматривать сферу единичного радиуса. Возьмем многогранный угол с вершиной в центре сферы. Его пересечение со сферой — это сферический многоугольник; обратно, каждый сферический многоугольник интерпретируется как сечение сферой некоторого многогранного угла. И многогранный угол, и отвечающий ему многоугольник на сфере если и являются выпуклыми, то одновременно. Плоский угол многогранного угла высекает на сфере равную ему по длине сторону, а двугранный угол — равный его линейному углу угол сферического многоугольника. Все сказанное позволяет просто перефразировать результаты о деформациях многогранных углов в некоторые предложения о деформациях многоугольников на сфере. В частности, на основании леммы 2.2 формулируется следующее утверждение, доказанное Коши.

Лемма 3.1. Для выпуклых многоугольников на сфере справедлива лемма 2.1.

Принадлежащее Коши внутренне геометрическое доказательство этой леммы, имеющее большое самостоятельное значение, излагается в п. 4; таким же способом им устанавливалась лемма 2.1.

Чтобы получить и другие результаты,

воспользуемся понятием полярного соответствия для многогранных углов и многоугольников на сфере.

Выпуклые многогранные углы V и V называются полярными, или двойственными, если каждое ребро угла V внешне ортогонально некоторой грани угла V и каждое ребро угла V внешне ортогонально некоторой грани угла V. Каждый плоский угол многогранного угла V и соответствующий ему двугранный угол многогранного угла V по численному их значению составляют в сумме угол я. Поэтому если, например, угол V подвергается изгибанию, то ему полярный угол V одновременно деформируется с сохранением двугранных углов.

Теперь можно привести утверждение, двойственное к лемме 2.2, являющееся эквивалентной формулировкой этой леммы.

Лемма 3.2. Если выпуклый многогранный угол нетривиально деформируется с сохранением величин двугранных углов и остается при этом выпуклым, то в результате деформации два его плоских угла увеличиваются, два уменьшаются, а при обходе вокруг его вершины эти увеличивающиеся и уменьшающиеся плоские углы перемежаются.

Поместим вершины полярных углов V и V в центр единичной сферы. Выпуклые многоугольники P и P на сфере, которые определяются этими многогранными углами, называются двойственными, или полярными. Каждая вершина одного из таких многоугольников является центром, или полюсом, большой окружности, содержащей некоторую сторону другого многоугольника. Угол многоугольника в этой вершине и длина соответствующей стороны полярного многоугольника по величине в сумме равны π — это следует из свойств полярных углов V и V. Многоугольник Р ограничивает на сфере многоугольную выпуклую область, которая является сферическим изображением угла V. Площадь области, очевидно, равняется кривизне этого многогранного угла:

σ(P)=ω(V).

Следующее утверждение также будем называть леммой А. Д. Александрова. Если сравнивать полярные многоугольники, то это утверждение двойственно к лемме 3.1. Это утверждение непосредственно получается и из леммы 3.2, точнее, является перефразировкой леммы для многоугольников на сфере.

Лемма 3.3. Для выпуклых сферических многоугольников справедлива лемма 2.3. В новых условиях дополнительное требование о равенстве площадей многоугольников выполняется автоматически. Оно является непосредственным следствием равенства у многоугольников соответствующих углов.

Леммы 2.1 и 2.3 можно рассматривать в качестве предельных случаев лемм 3.1 и 3.3, представляя плоскость как сферу бесконечного радиуса. При переходе 3.3→2.3 условия леммы 3.3, естественно, видоизменяются. Но ее основное геометрическое содержание остается прежним.

1.4. Доказательства. Изложим доказательство леммы 3.1, данное Коши. Оно доступно и совершенно. Но вовсе не просто, так как не содержит информации об исходных идеях; мы обсуждаем эту проблему в разделе 2. Доказательство состоит в следующем.

Прежде всего решается такая задача для незамкнутых ломаных: как деформируется выпуклая ломаная, если при сохранении длин сторон углы ее возрастают? Здесь Коши замечает, что замыкающая хорда ломаной удлиняется. На практике с этим обстоятельством постоянно встречаются, когда, например, выпрямляют изогнутую проволоку. Коши формулирует и строго доказывает соответствующую вспомогательную лемму об изометрических деформациях выпуклых ломаных в выпуклые ломаные.

На втором шаге рассматривается изометрическая деформация многоугольника. Если лемма 3.1 неверна, то многоугольник разбивается на две выпуклые ломаные с общей замыкающей хордой, у одной из которых все углы возрастают, у другой — убывают. Согласно вспомогательной лемме замыкающая хорда первой ломаной удлиняется, замыкающая хорда второй укорачивается — и получается противоречие, поскольку оба утверждения относятся к одной и той же хорде.

Приведем эту вспомогательную лемму, мы только дадим ей иное доказатель-

ство, отличное от предложенного Коши, но более приспособленное к случаю сферического многоугольника.

Лемма 4.1. Если при изометрической деформации на сфере все углы выпуклой ломаной не уменьшаются и хотя бы один из ее углов увеличивается, то расстояние между концами ломаной возрастает.

Доказательство. Рассмотрим для наглядности четырехзвенные ломаные (рис. 2), так как наши рассуждения полностью применимы к ломаным с любым числом звеньев. Пусть P=ABCDK и P'=A'B'C'D'K' — ломаные на сфере, у которых все соответствующие стороны равны: АВ=А'В',..., DK=D'K', все соответствующие углы связаны одинаковыми неравенствами, например ∠C⩽∠C'; среди соответствующих углов есть неравные, допустим, ∠C< ∠С'. Покажем, что если ломаная Р выпуклая, то для замыкающих хорд ломаных АК<А'К''.

Продолжим, как это сделано на рисунке, хорду АК и звенья AB, ВС, CD ломаной Р. Здесь А и B1 — диаметрально противоположные точки сферы, АВB1 и АКB1 — большие полуокружности, точки пересечения C1 и D1 принадлежат дуге КB1. На ту же длину, что у ломаной P, продолжим каждое соответствующее звено ломаной P', соединим последовательно отрезками концы продолжений звеньев и построим большую полуокружность А'К'В'1. Таким образом, А'В'В'1 — большая полуокружность, А' и В'1 — диаметрально противоположные точки, В'В'1 = ВB1, С'С'1=СC1, D'D'1=DD1.

Сравнивая треугольники △KDD1 и △KD'D'1, △D1CC1 и △D'1C'C'1, △C1BB1, и △C'1B'B'1, находим, что KD1⩾K'D'1, D1C1>D'1C'1, C1B1⩾С'1В'1. Так как КB1 = KD1+D1C1 + C1B1, K'D'1+D'1C'1 + С'1В'1⩾K'В'1, то KB1>K1B'1. Но АК+КB1=А'К'+К'В'и значит, АК<А'К'.

Лемма доказана.

Подход Коши в сочетании с идеей полярного преобразования позволяет найти простое доказательство лемм 2.3 и 3.3. Оно двойственно к только что изложенному доказательству леммы 3.1. Дадим доказательство леммы 2.3.

Как и в случае леммы Коши, рассмотрим сначала вспомогательную лемму. Пусть A...BC...D и A'...В'С'...D' — выпуклые ломаные, лежащие соответственно в углах AOD и A'O'D', обращенные к вершинам этих углов обе выпуклостью или обе вогнутостью и составляющие с отрезками сторон углов многоугольники P=OA...BC...D и Р'=O'А'...В'С...D'. Будем считать, что у многоугольников P и P' на участках A...BCD и A'...B'C'...D' все соответствующие углы равны: ∠А = ∠А',..., ∠D=∠D'; все соответствующие стороны связаны одинаковыми неравенствами: ...,ВС⩾В'С', ...; среди соответствующих сторон есть неравные, например ВС>В'С'. Многоугольники P и P' ограничивают в указанных углах области, площади которых мы обозначим σ(P) и σ(P').

Лемма 4.2. Справедливо неравенство σ(Р)>σ(Р').

Доказательство. Рассмотрим для наглядности многоугольники с трехзвенными участками ABCD и A'B'C'D', так как предлагаемые рассуждения полностью применимы к многоугольникам с любым числом звеньев. Разобьем многоугольник P на треугольники, соединив вершину О отрезками со всеми вершинами ломаной ABCD. На каждом из

Рис. 2

Рис. 3

звеньев ломаной A'B'C'D' построим треугольник, подобный и расположенный подобно соответствующему ему треугольнику у многоугольника Р (рис. 3а). Утверждается, что совокупность Σ построенных треугольников покрывает многоугольник Р'.

Действительно, сторона В'В'1 крайнего из системы треугольников, △А'В'B1, разбивает многоугольник Р' на две подобласти — совпадающую с этим треугольником и подобласть, покрывающуюся новой фигурой B'2B'C'D'. Сторона С'С'1 другого крайнего треугольника, △C'D'C'1, тоже разбивает многоугольник Р' на две подобласти — покрывающуюся этим треугольником и подобласть, являющуюся некоторой новой фигурой С'2С'В'А'. Новые фигуры B'2B'C'D' и С'2С'В'А' по сравнению с соответствующими фигурами OBCD и ОСВА устроены точно так же, как многоугольник Р', по сравнению с многоугольником Р. Поэтому мы можем повторить операцию подразделения, рассматривая вместо многоугольников Р' и Р новые, им соответствующие фигуры. Таким образом, многоугольник Р' разбивается на подобласти, каждая из которых либо совпадает с одним из треугольников, либо покрывается одним из треугольников системы Σ.

Из условий леммы следует, что площадь каждого из треугольников, на которые разбивается многоугольник P, не меньше площади соответствующего ему треугольника системы Σ; площадь одного из треугольников, именно — со стороной ВС, больше площади соответствующего треугольника — со стороной В'С. Кроме того, площадь многоугольника Р равна сумме площадей разбивающих его треугольников, а сумма площадей треугольников системы Σ не меньше площади многоугольника Р'. Значит, σ(Р)> σ(Р').

Лемма доказана.

Доказательство леммы 2.3. Предположим, что число перемен знаков на каждом из многоугольников меньше четырех, т. е. что число перемен две или что перемен знаков совсем нет.

Если перемен знаков две, то многоугольник Р разбивается на две ломаные, А...ВС и AD...С, одной из которых принадлежат все стороны, отмеченные знаком «+», другой — все стороны, отмеченные знаком «—» (рис. 3б). Пусть A и С — общие вершины ломаных, OA и ОС — некоторые прямые, опорные к многоугольнику Р в точках A и С; S и σ — соответственно площади многоугольников Р и OAD...С. Пусть О'А' и О'С — опорные прямые к P', образующие со сторонами этого многоугольника в вершинах А' и С точно такие же углы, как и соответствующие им опорные прямые со сторонами P. Пусть σ'— площадь многоугольника ОA'D'...С.

Сравнивая многоугольники OA...ВС и O'А'...В'С', по лемме 4.2 находим: S + σ>S + σ'. для многоугольников OAD...C и О'A'D'...С по той же лемме: σ<σ'. Получили противоречие.

Если у многоугольников P и P' нет перемен знаков, то приходим к противоречию, применяя лемму 4.2 к самим этим многоугольникам.

Таким образом, наше исходное предположение неверно. Лемма 2.3 доказана.

1.5. Лемма Погорелова. Теперь сформулируем один общий результат о количественной геометрической характери-

стике рассматриваемых деформаций. Это — лемма А. В. Погорелова об изгибаниях выпуклых многогранных углов. Для теории выпуклых многогранников она имеет такое же принципиальное значение, как и соответствующий результат Коши — первая основная лемма.

Пусть V=OA1A2...An и V'=OA1'A2'... ..А'n — нетривиально изометричные выпуклые многогранные углы; ei и е'i — единичные векторы направлений их ребер OAi и О'A'i; θ, и θ' — их двугранные углы при этих ребрах; введем вектор

Лемма 5.1. Вектор й отличен от нуля и направлен в сферическое изображение угла V.

Доказательство неэлементарно, мы его приводить не будем.

С помощью леммы А. В. Погорелова устанавливается неожиданная связь между задачами изгибаний и классическими задачами изопериметрии. Точнее — неожиданное направление связи, когда изопериметрическая теорема оказывается следствием результата из теории изгибаний. Иллюстрация этой связи, а вместе с тем новых возможностей леммы А. В. Погорелова будет логичным и полезным завершением результатов, рассмотренных нами.

Имеется в виду следующее утверждение для многоугольников на сфере.

Среди изометричных многоугольников на сфере вписанный в окружность выпуклый многоугольник ограничивает наибольшую площадь.

Докажем это утверждение.

Пусть Р=A1A2...An и Р'=А'1А'2...А'n — нетривиально изометричные многоугольники на сфере с центром в О. Для упрощения предположим, что оба многоугольника выпуклые, многоугольник Р вписан в окружность и центр окружности лежит внутри выпуклой области, которую ограничивает многоугольник Р. Обозначим через е вектор направления из точки О в центр этой окружности.

Построим нетривиально изометричные выпуклые многогранные углы V= OA1A2..An и V'=O'A'1A'2...A'n и введем вектор Q. Двугранные углы θ этих многогранных углов равны соответствующим углам многоугольников, поэтому площади многоугольников Р и Р' выражаются формулами

Вектор е образует с каждым из векторов ei один и тот же угол, меньший π/2, так что e-ei=const>0.

По лемме 5.1 вектор й отличен от нуля; так как он направлен в сферическое изображение угла V, то этот вектор образует с вектором е тупой угол. Значит,

Отсюда, поскольку сомножитель const положительный,

Утверждение доказано.

2. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ

Почему это делалось так, а не иначе, и каким путем достигались подобные открытия, они не могли объяснить моему уму удовлетворительно.

Р. ДЕКАРТ. Правила для руководства ума

В этом параграфе мы приступаем к изучению многогранников.

Важнейшие из теорем, которые здесь вначале рассматриваются, являются основными в теории выпуклых многогранников. Это теоремы единственности для многогранников Коши и Минковского. Мы устанавливаем связь между этими теоремами, далее пытаемся перенести полученные результаты на сферическое пространство, знакомимся с первыми метрическими обобщениями теоремы Коши. Рассматривается и теорема существования, также основная для теории выпуклых многогранников, — теорема А. Д. Александрова о реализации разверток, показывается ее применение к задачам изгибаний.

Излагается предыстория теоремы Коши, связанная с именами Евклида и Лежандра.

2.1. Теорема Лежандра и Коши. Не много найдется результатов в геометрии, которые, появившись неожиданно, сразу

же определили новую, перспективную область для теоретического исследования. К числу таких результатов относится теорема Лежандра и Коши о равенстве двух выпуклых многогранников, одинаково составленных из равных граней, а область исследования, открывающаяся этим результатом, — геометрия «в целом». Можно утверждать, что и все главное в этой теореме — постановка проблемы, идейное и техническое ее решение — оказалось совершенно новым, не подготовленным и не находящим удовлетворительного объяснения в работах предшествующих геометров; оно было проявлением нового мышления, столь характерного для эпохи в математике, начавшейся с Декарта.

Предыстория этой теоремы, опубликованной Коши в 1813 г. в «Журнале политехнической школы», удивительная.

До середины XVIII столетия единственным руководством, по которому изучали геометрию, служили «Начала» Евклида. Затем появились облегченные, школьные варианты «Начал», более доступные для учащихся как общеобразовательные книги. В 1794 г. Лежандр издает свои «Начала», существенно переработав труд Евклида, превратив его в современный на тот период и получивший мировое признание учебник элементарной геометрии. Ставя задачей серьезную реорганизацию преподавания геометрии, он, однако, сохраняет общую структуру изложения, принятую Евклидом в его «Началах». Насколько это решение было продуманным и правильным, свидетельствует обоснование самого Лежандра, приведенное им в предисловии к своей книге:

«Методу древних обыкновенно считают наиболее целесообразной, наиболее приспособленной для отчетливого выяснения геометрических истин. Она не только приучает учащихся к большой точности рассуждения, что представляет драгоценное преимущество, но и дает в то же время своеобразный тип упражнения мысли, по своему характеру отличный от анализа. Это может в важных математических изысканиях сильно содействовать получению наиболее простых и наиболее изящных решений».

Такое весьма убедительное обоснование мог выдвинуть только математик, глубоко изучивший всю систему геометрии Евклида еще и в научном отношении. Действительно, например, аксиоме о параллельных линиях Лежандр посвятил замечательные исследования. Он нашел важные связи между этой аксиомой и суммой углов треугольника.

Сейчас нас интересует отношение Лежандра к другой аксиоме, об основном свойстве объемов тел — ею является Определение 10 из вводной части книги XI «Начал» Евклида; формулировка приводится и обсуждается в п. 5 настоящего раздела. Как известно, аксиомами называются исходные утверждения о свойствах геометрических фигур, которые нами принимаются без доказательства. Все остальные утверждения устанавливаются путем логических заключений на базе принятых аксиом. В качестве одной из аксиом в системе Евклида и принимается Определение 10, необходимое для построения теории объемов. В Определении 10 утверждается равенство объемов тех многогранников, которые имеет в виду Евклид, при дополнительном условии равенства их соответствующих граней.

Многие комментаторы «Начал» не понимали сути и значения Определения 10. Одни считали, что его нужно доказывать. Другие комментаторы толковали его превратно, подменяя в нем равенство по Евклиду современной версией — равенством как совмещаемостью фигур движением. Идея движения в «Началах», по крайней мере в стереометрии, отсутствует, так что по существу Определение 10 переводилось в новое определение, к оригинальному тексту «Начал» не имеющее отношения. Наконец, третьи (напоминаем нашу оговорку: «тех многогранников, которые имеет в виду Евклид»; подробнее см. п. 5) расширяли область действия Определения 10 и тогда вообще ставили под сомнение его справедливость.

Размышлял об Определении и Лежандр. Он, безусловно, анализировал ошибки комментаторов. И, будучи выдающимся геометром, там, где бесплодно спорили некоторые математики, рядом с Определением Евклида увидел теорему. Это была совсем новая теорема, ее даже в принципе не мог знать Евклид, хотя формально она и напоминала его

Определение. Мы изложили эту теорему в начале пункта.

Лежандр доказал открытую им теорему только для отдельных примеров многогранников, после он предложил ее как проблему своему ученику Коши. Коши тщательно исследовал рассуждения Лежандра; он развил идеи Лежандра в некоторый общий принцип, с помощью которого и нашел полное доказательство теоремы. В публикации Коши теорема излагается как «заключающаяся в Определении 10 из книги XI «Начал» Евклида». Это, конечно, дань великому греческому ученому, аксиома которого спустя два тысячелетия послужила источником для неожиданного открытия. Какой же идейный принцип был положен в основу доказательства рассматриваемой теоремы? В статье Коши он явно не формулируется. Но он усматривается в тактике его доказательства теоремы и прослеживается, поскольку имеет общематематическое значение, также в других, негеометрических, работах Коши. Сущность этого принципа мы можем выразить в следующем частном утверждении. Свойства «в целом» выпуклого многогранника в главном определяются его локальными свойствами. Общий принцип, к которому пришел Коши, является идейной основой геометрии «в целом». Его успешно и независимо применяли и другие математики. Коши был первым.

С тех пор все математики называют рассматриваемую теорему именем Коши. Хотя справедливо было бы упоминать при этом и имя Лежандра. Мы будем придерживаться общепринятого названия.

Приведем наглядное пояснение теоремы Коши.

Возьмем некоторый выпуклый многогранник Р. Построим плоские многоугольники — точные копии всех его граней, имея в виду склеить затем из набора этих копий новый выпуклый многогранник. Чтобы указать правило, по которому мы собираемся склеивать плоские многоугольники, поступим следующим образом. Вершины каждой копии-многоугольника обозначим теми же буквами (для отличия — со штрихами), какими обозначены соответствующие им вершины на оригинале-грани. Тогда склеиванию будут подлежать стороны, а также вершины копий-многоугольников, обозначенные одинаковыми буквами. Пользуясь данным правилом, будем последовательно подклеивать друг к другу плоские многоугольники, стараясь получить с помощью этой операции выпуклый многогранник. Чтобы это конструирование завершилось успешно, двугранные углы возникающего нового многогранника жестко не фиксируем.

В нашем опыте мы часто применяем это построение. Но при этом вовсе не задумываемся, почему получающийся в результате построения новый выпуклый многогранник Р' — точная копия выпуклого многогранника Р. Коши дает этому факту в доказанной им теореме математическое обоснование. Доказательство, придуманное Коши, действительно является одним из «наиболее изящных решений», какие вообще знает геометрия. Оно основывается на принципе Коши.

В применении к многогранникам Р и Р' — их можно рассматривать как получающиеся один из другого изгибанием — доказательство строится по следующей схеме. Сначала решается задача о локальном описании изгибания Р→Р': выясняются возможные особенности этого преобразования в окрестности каждой вершины многогранника. В этом плане устанавливается качественная характеристика нетривиальных изгибаний выпуклого многогранного угла. На втором шаге доказывается равенство многогранников Р, Р'. Если теорема неверна, то при переходе Р→Р' некоторые двугранные углы Р изменяются, значит, нетривиально изгибаются и некоторые многогранные углы Р. На многограннике Р возникающие при этом локальные качественные особенности оказываются «в целом» зависимыми. Они как бы суммируются и задают некоторое весьма общее распределение изменений двугранных углов этого многогранника. Здесь чисто техническим приемом показывается, что в силу самого топологического строения выпуклого многогранника такое распределение на многограннике Р невозможно. Полученное противоречие доказывает теорему.

Проверим действие этой схемы на ха-

Рис. 4

рактерном примере правильного выпуклого многогранника (рис. 4а). Если октаэдр Р нежесткий, т. е. он допускает нетривиальное изгибание в новый выпуклый многогранник Р', то некоторые двугранные углы Р изменяются. Положим, изменяются углы, примыкающие к вершине А; пусть при ребре AB двугранный угол уменьшается. Тогда по первой основной лемме 1.2.2* двугранные углы при ребрах ВС, CD, DA также уменьшаются, эти ребра вместе с ребром AB мы обозначаем на рисунке знаком « + ». Далее. Замкнутая ломаная ABCD разбивает октаэдр Р на две части. По той же основной лемме в каждую из частей из вершин ломаной исходят ребра, которые следует обозначать знаком «—» — двугранные углы при этих ребрах увеличиваются. Но тогда в вершине О, принадлежащей одной из этих частей, сходятся ребра, отмеченные только знаками «—», а это противоречит первой основной лемме. Значит, октаэдр Р жесткий, и выпуклый многогранник Р' должен быть равен октаэдру Р.

Дадим строгие формулировки и приведем полное доказательство теоремы Коши.

Многогранники Р и Р' называются комбинаторно-эквивалентными, или изоморфными, если между их элементами — вершинами, ребрами, гранями — установлено взаимно однозначное соответствие, сохраняющее принадлежность. Поясним это определение. Пусть С⊂Р и С'⊂Р' — соответствующие вершины, q⊂P и q'⊂P' — соответствующие ребра, Δ⊂Р и Δ'⊂Р' — соответствующие грани многогранников Р и Р'. Тогда, если, например, С — конец ребра q, то С' — конец ребра q'; если, например, q — сторона грани А, то q' — сторона грани Δ'. В теореме Коши рассматриваются выпуклые многогранники Р и Р', у которых соответствующие элементы — ребра и плоские углы — равны. Теоремой утверждается, что при этом условии сами многогранники равны, т. е. что существует движение, которое переводит Р в Р' и совмещает при этом соответствующие элементы многогранников. Для нас в дальнейшем окажется полезной такая подробная формулировка этой теоремы.

Теорема 1.1. Пусть Р и Р' — комбинаторно эквивалентные выпуклые многогранники, у которых соответствующие элементы — ребра и плоские углы — равны. Тогда многогранники равны. В частности, соответствующие двугранные углы многогранников Р и Р' равны.

Доказательство. В сущности здесь технически обобщается простое ре-

* Здесь и далее первая цифра в трехзначном номере леммы (теоремы) означает номер раздела, в котором она сформулирована.

шение, найденное при исследовании октаэдра. Предположим, что многогранники Р и Р' неравные. Отметим ребра многогранника Р знаками «+» или «—», как это делалось в случае октаэдра, в зависимости от характера изменения двугранных углов при переходе Р→Р'.

Пусть A⊂P — вершина, в которой сходятся отмеченные ребра. Согласно лемме 1.2.2 в вершине A имеется четверка ребер, знаки которых при обходе вокруг вершины чередуются. «Плюсовые» ребра четверки составляют вместе двухзвенную ломаную, в разные стороны от которой исходят ребра из вершины А со знаками «—». Продолжим двухзвенную ломаную новыми ребрами со знаками « + », выбрав в ее конечных вершинах четверки отмеченных ребер, аналогичные взятой в вершине А. Получим уже четырехзвенную ломаную, в разные стороны от которой из всех внутренних ее вершин исходят ребра, отмеченные знаками «—». Затем повторяем описанную операцию: сначала продолжаем эту четырехзвенную ломаную, присоединяя к ней надлежащим образом, пользуясь леммой 1.2.2, новые ребра, отмеченные знаками « + », после продолжаем полученную шестизвенную ломаную и т. д. На каком-то шаге строящаяся ломаная сама с собой пересечется в некоторой вершине К. При этом образуется замкнутая ломаная, все ребра которой отмечены плюсами; на рис. 4б замкнутая ломаная, обозначаемая нами L, изображается жирной линией, ей не обязательно будет принадлежать вершина А.

Ломаная L делит многогранник Р на две области, одну из которых обозначим G. В область G из каждой вершины этой ломаной, за исключением, быть может, вершины K, выходят выделенные нами ребра со знаками «—». Утверждается, что внутри области G имеется вершина многогранника с отмеченными ребрами. Если это не так, то все выделенные ребра оканчиваются только в вершинах L. Эти ребра делят область G на части, подобно тому, как плоский многоугольник делится на части непересекающимися диагоналями. И, как для многоугольника, у области G найдутся на L две вершины — одна из них, конечно, отлична от К, из которой не выходят в область G выделенные отмеченные ребра. Получаем противоречие.

Суть и цель дальнейшего доказательства заключаются в следующем. Пусть Ä⊂G — вершина многогранника, из которой исходят отмеченные ребра. Учитывая лемму 1.2.2., мы строим проходящую через A вспомогательную ломаную, все звенья которой отмечены «плюсами» и в разные стороны от которой исходят ребра со знаками «—». При участии этой ломаной в пределах области G строится некоторая новая область G, внутренности которой не принадлежит вершина Л. Область G, ее граница L и выделенная вершина на этой границе K обладают теми же характерными свойствами, которыми обладают область G, ее граница L и выделенная на ней вершина К. Тогда в области G находится новая вершина многогранника, из которой также исходят отмеченные ребра. Снова применяем лемму 1.2.2. Таким образом, процесс построения новых областей и все новых вершин с отмеченными ребрами может продолжаться неограниченно. Но у многогранника Р — конечное число вершин, и мы приходим к противоречию. Чтобы увидеть аналогию с исследованием октаэдра, здесь можно провести завершающее рассуждение немного иначе. Процесс нахождения все новых вершин должен окончиться выделением последней вершины О, из которой исходят отмеченные ребра, но для которой не имеет места утверждение леммы 1.2.2 — противоречие.

Итак, внутри области G имеется вершина A с отмеченными ребрами. Для завершения доказательства теоремы нужно указать только способ построения области С. На рис. 4б представлены три возможных случая построения такой области в зависимости от характера той вспомогательной ломаной, которую мы проводим через вершину A. В соответствующем случае роль вершины A играет вершина Ai, а области G — область Gi (i= 1, 2, 3). В первом случае вспомогательная ломаная с «плюсовыми» ребрами пересекается сама с собой в пределах области G; образуется замкнутая ломаная L1, ограничивающая область G1. Следующие случаи — когда вспомогательная ломаная до возникновения самопересечений подходит в раз-

ных вершинах к ломаной L. Случай A2: вспомогательная ломаная — К..A2.В. Эта вспомогательная ломаная делит область G на две подобласти. В качестве области G2 берем подобласть, в которую исходит ребро со знаком «—», выделенное ранее для ломаной L в вершине В. Случай A3: ни один из концов С или D вспомогательной ломаной C...A2...D не совпадает с вершиной К. Эта ломаная также делит область G на две подобласти. Если одно из ребер, отмеченных знаками «—», выделенных ранее для ломаной L в вершинах С и D, направлено в подобласть, границе которой не принадлежит точка К, то в качестве области G3 берем именно эту подобласть; здесь в соответствии с рисунком роль точки R играет точка D. В противном случае в качестве области G3 берется вторая, дополнительная подобласть. Теорема доказана.

В процессе доказательства Коши устанавливает факты, имеющие самостоятельное значение. Выделим эти факты, проследив узловые моменты его доказательства. Они будут нужны в дальнейшем.

Пусть S — некоторая сфера, а Р — некоторая конечная система точек, линий и областей на S, которые мы условимся называть соответственно вершинами, ребрами и гранями, обладающая следующими свойствами. В каждой вершине сходится не менее трех ребер; любое ребро есть общая сторона точно двух граней; каждая грань имеет не менее трех сторон. Требуется, чтобы каждая грань ограничивалась одним связным «многоугольником», составленным из ребер, и чтобы совокупность всех граней без взаимных пересечений во внутренних точках однократно покрывала всю сферу S. Будем называть Р условным выпуклым многогранником. Для простоты под ребрами условного многогранника можно понимать ломаные, составленные из дуг больших окружностей на сфере.

Между прочим, понятие условного выпуклого многогранника не столь абстрактно. Каждый такой многогранник комбинаторно эквивалентен некоторому реально существующему выпуклому многограннику. Этот топологический результат получен Штейницем в 1915 г.

Вторая основная лемма Коши:

Лемма 1.2. На ребрах условного выпуклого многогранника нельзя расставить знаки «+» и «—» таким образом, чтобы при обходе вокруг любой вершины, из которой исходят отмеченные ребра, имелось не менее четырех перемен знаков. На ребрах условного выпуклого многогранника нельзя расставить знаки « + » и «—» таким образом, чтобы при обходе вокруг любой грани, у которой есть отмеченные стороны, имелось не менее четырех перемен знаков. Допускается, что некоторые ребра рассматриваемого условного многогранника остаются неотмеченными.

Еще раз обратим внимание на принципиальную особенность изложенного доказательства теоремы. Оно объемно, но легко обозримо, так как всего лишь развивает идею, наметившуюся при исследовании октаэдра. Строится система вложенных одна в другую замкнутых ломаных без самопересечений, составленных из «плюсовых» ребер на многограннике Р. В области на многограннике, ограниченной последней из этих ломаных, улавливается некоторая нехарактерная вершина О. Она с отмеченными ребрами, но при обходе вокруг этой вершины насчитывается менее четырех перемен знаков.

Собственно, здесь одновременно приведена схема доказательства леммы 1.2. Надо отметить, что в этом доказательстве была использована весьма важная и интуитивно очевидная теорема: замкнутая ломаная без самопересечений разделяет выпуклый многогранник на две области. Это — топологическая теорема, открытая К. Жорданом. Коши доказывал лемму 1.2 иначе, алгебраическим способом, также основывающимся на топологической теореме — знаменитой теореме Эйлера о соотношении между числом вершин е, числом ребер к и числом граней f произвольного выпуклого многогранника:

e-k+f=2.

Точнее, он применял некоторое обобщение этой теоремы. Доказательство Коши коротко и эффектно, но оно не проясняет качественных геометрических причин жесткости выпуклого многогранника; следует еще иметь в виду, что строгое

доказательство теоремы Эйлера и ее обобщения также основывается на теореме Жордана.

С помощью второй основной леммы в условиях теоремы 1.1 устанавливается равенство двугранных углов при соответствующих ребрах многогранников Р и Р'. Здесь еще не используется равенство соответствующих ребер многогранников. Сформулируем этот геометрический результат как

Следствие. Пусть Р и Р' — выпуклые комбинаторно эквивалентные многогранники, у которых соответствующие плоские углы равны; тогда соответствующие двугранные углы этих многогранников также равны.

Пользуясь этим следствием и учитывая еще одно условие — равенство ребер многогранников Р и Р', мы и завершаем доказательство теоремы 1.1.

Теорема Коши носит название теоремы об однозначной определенности выпуклых многогранников. В теории выпуклых многогранников она находит приложение для доказательства и других теорем об однозначной определенности. Сформулируем один результат такого рода. Введем необходимые определения.

Выпуклым многогранником с краем называется любая связная часть выпуклого многогранника. Шапочкой называется выпуклый многогранник с плоским краем, проекция которого на плоскость края не выходит за пределы многоугольной области, ограниченной краем.

Теорема 1.3. Две выпуклые шапочки, одинаково составленные из равных граней, равны.

Для доказательства достаточно сравнить многогранники, полученные из двух экземпляров каждой шапочки — исходной и ее зеркального отражения в плоскости края.

В течение более чем столетия теорема Коши не привлекала серьезного внимания геометров — по существу вплоть до построения теории выпуклых многогранников А. Д. Александровым. На то были глубокие причины. Математики занимались важными проблемами, связанными с развитием локальной дифференциальной геометрии, геометрии неевклидовых пространств, римановой геометрии. Этому способствовало возникновение новых научных математических методов и стремительное восхождение новых направлений — современной теории групп, топологии, функционального анализа. Строилась геометрия «в целом» регулярных поверхностей и римановых пространств.

Революционные преобразования происходили в области оснований математики. Тщательно анализировались многие математические понятия, например понятие числа, меры, преобразования: они получали новые, строгие формулировки, развивалась математическая логика, утверждался аксиоматематический метод. Математика становилась вполне строгой, и не избежал ее скрупулезной проверки даже Евклид. Триумфом в геометрии за этот период были открытия Лобачевского, Римана, Минковского. В частности, Минковский построил математическую теорию специальной теории относительности Эйнштейна, удивительным образом соединив физику и геометрию. Это один из ярчайших примеров характерной тенденции развития математики в рассматриваемый период — проникновение ее при взаимной пользе в естественные науки. На такой основе создавались обобщенные математические методы.

Не удивительно, что теорема Коши оставалась в стороне от этого всеобщего движения в математике. Она ждала своего часа. Это ведь теорема из теории общих выпуклых поверхностей. И дифференциальной геометрии надо было пройти долгий и трудный путь, чтобы в начале этого столетия приблизиться вплотную к этой теории.

2.2. Теорема Минковского. Мы уже упоминали о замечательных результатах по теории многогранников — теоремах Эйлера и Штейница. Были и другие результаты, предшествовавшие общему становлению теории. Усилиями Штейнера, Шварца, Брунна и Минковского развился большой раздел этой теории, связанный с проблемами изопериметрии, геометрической теории чисел, кристаллографии. Из накопленных результатов, непосредственно связанных с произвольными выпуклыми поверхностями, следует здесь выделить одну общую теорему единственности Минковского. Это — теорема о равенстве двух выпуклых многогранников с равными пло-

щадями параллельных граней, установленная им в 1897 г. Вместе с теоремой Коши эта теорема в настоящее время является одной из основных в теории многогранников и общих выпуклых поверхностей. Ее мы и рассмотрим в этом пункте.

Как ни странно, мы начнем изложение с теоремы Коши, хотя ни сам Минковский, ни другие математики вовсе не связывали две эти теоремы. Связь, оказывается, существует. Теорема Минковского является некоторым естественным обобщением теоремы Коши.

Возвратимся к теореме 1.1 и следствию, которое было получено при анализе доказательства этой теоремы.

В теореме 1.1 мы рассматриваем комбинаторно эквивалентные выпуклые многогранники Р и P'. Предъявляются два требования к этим многогранникам — равенство соответствующих плоских углов и равенство соответствующих ребер, это вместе эквивалентно равенству соответствующих граней. Если считать выполненным только первое требование, то свойства многогранников Р и Р' выражаются следствием — их соответствующие двугранные углы равны. Не будем спешить с доказательством теоремы и добавлять второе требование. Разберем внешне геометрически, что за многогранники Р и Р' у нас получаются, если выполняется только условие на плоские углы.

Очевидно, эти многогранники, применяя непрерывное движение и, если понадобится, зеркальную симметрию, можно разместить в пространстве таким образом, чтобы внешние нормали их соответствующих граней оказались параллельными. Будем пока считать, что с самого начала они именно так и расположены, тогда, в частности, оказываются параллельными их соответствующие ребра и грани. Проведем, весьма приближенно, подсчет параметров, определяющих положение многогранника Р' по отношению к многограннику Р. Так как грани Р' параллельны соответствующим граням Р, то положение граней первого из этих многогранников должно определяться f числами — расстояниями плоскостей граней от некоторой фиксированной точки пространства; f — число граней. Потребуем теперь выполнения дополнительного, второго условия теоремы 1.1 — зададим длины ребер многогранника Р', т. е. зададим к чисел; k — число ребер. Но

То есть условие равенства соответствующих ребер многогранников, которое содержится в теореме Коши, предъявляет к многограннику Р' существенно больше требований, чем это необходимо для его полного определения.

Попробуем исправить это положение разумным выбором числа условий — f; эти условия должны быть выполнены для f пар соответствующих граней, поэтому естественно потребовать вместо равенства соответствующих ребер, чтобы значения какой-нибудь функции многоугольника для соответствующих граней многогранников были равны. Одной из известных нам подобных функций является площадь грани. Итак, трансформировав условия теоремы 1.1, мы пришли к некоторой новой теореме, справедливость или несправедливость которой имеет смысл проверить.

Теорема 2.1. Пусть Р и Р' — комбинаторно эквивалентные выпуклые многогранники, у которых соответствующие плоские углы равны и площади соответствующих граней равны, тогда многогранники равны.

Доказательство. Согласно следствию из п. 1 нам достаточно убедиться, что соответствующие ребра многогранников равны. Если это не так, то отметим ребра многогранника Р, которые больше соответствующих ребер многогранника Р', знаками « + », а которые меньше — знаками «—». По лемме А. Д. Александрова 1.2.3 при обходе вокруг любой грани Р, имеющей отмеченные ребра, насчитывается не менее четырех перемен знаков. А по второй основной лемме Коши 1.2 такая расстановка знаков на многограннике Р невозможна. Следовательно, все соответствующие ребра многогранников Р и Р' должны быть равны. Теорема доказана.

Продолжим трансформацию условий теоремы 1.1. Условия теоремы 2.1 попрежнему внутренне геометрические. Попробуем изменить их частично во внешне геометрические условия, заменив те-

перь требование равенства плоских углов. Соответствующее исследование нами уже проведено. Мы обнаружили, что при выполнении только первого условия можно считать, что у многогранников Р и P' внешние нормали соответствующих граней параллельны. Примем утверждение о внешних нормалях как новое требование. Тогда мы получаем следующую теорему — назовем ее частной теоремой Минковского, которая вытекает из теоремы 2.1.

Теорема 2.2. Пусть Р и Р' — комбинаторно эквивалентные выпуклые многогранники, у которых внешние нормали соответствующих граней параллельны; тогда многогранники равны и совмещаются параллельным переносом.

Мы вплотную приблизились к теореме, которую открыл Минковский; частным, но характерным и важным случаем этой теоремы является теорема 2.2.

К своему результату Минковский пришел, рассматривая одну задачу о заполнении пространства равными и параллельно расположенными выпуклыми многогранниками — параллелоэдрами. Она появилась при исследовании некоторых проблем геометрической теории чисел и кристаллографии; с ней был знаком великий русский кристаллограф Е. С. Федоров. Решение этой задачи было опубликовано Минковским в работе, предшествовавшей созданию его общей теории объемов и площадей поверхностей выпуклых тел. В предисловии к этой работе он пишет:

«Предлагаемая статья возникла в связи с попытками доказательства следующей теоремы, справедливость которой я уже давно предполагал и элементарность формулировки которой, по-видимому, не давала оснований ожидать, что трудность ее доказательства будет столь велика, как она оказалась на самом деле. Если совокупность конечного числа центрально-симметричных тел, соприкасающихся друг с другом лишь своими границами, образует выпуклое тело, то это последнее тоже является центрально-симметричным... Я докажу некоторые теоремы об однозначном определении таких многогранников путем задания площадей их граней, заслуживающие внимания как вследствие своей ясности, так и по методам, применяемым при их доказательстве».

Об одной из важнейших из этих теорем, которую далее мы и будем рассматривать, известный советский геометр Б. Н. Делоне высказался так: «Вообще этой теоремой о многограннике Минковский стал в один ряд с Коши, давшим другой классический результат теории многогранников — единственность выпуклого многогранника, имеющего сетку данного топологического типа с данными гранями». Можно только высказать сожаление, что в этом ряду из двух великих математиков не оказалось в промежутке других геометров.

Как уже отмечалось, в течение длительного времени теорема Коши оставалась в геометрии изолированной. Не была подготовлена почва для ее приложения, хотя эта теорема косвенно способствовала появлению ряда результатов «в целом» по дифференциальной геометрии. Кроме того, она воспринималась многими математиками как теорема Евклида, которую доказал Коши, и связанная с нею тематика психологически, видимо, представлялась древней и завершенной. Однако все изложенные нами результаты, начиная с раздела 1 и вплоть до теоремы 2.2, все же могли быть установлены до Минковского. Тогда нужно было бы сделать только один шаг к его знаменитой теореме. Во всяком случае это ускорило бы исследования самого Минковского, за теоремой 2.2 он тотчас увидел бы свою теорему. Оставалось бы только «снять» «сетку данного топологического типа» с многогранников, а все необходимое у Минковского было уже готово для доказательства.

Мы проведем доказательство теоремы Минковского, следуя методу А. Д. Александрова. Предварительно мы ознакомимся с некоторыми начальными результатами об операции векторного суммирования выпуклых тел, введенной и изученной Брунном и Минковским; доказательства здесь просты, но для экономии места опускаются. До конца пункта будут рассматриваться только телесные выпуклые многогранники, т. е. выпуклые фигуры, ограниченные многогранниками как поверхностями.

Будем отождествлять точку простран-

Рис. 5

ства с концом вектора, направленного в эту точку из некоторой фиксированной точки о. Точка rk= (1—λ)r0+λr1, где 0<λ<1, принадлежит отрезку с концами r0 и r1 и делит этот отрезок в отношении λ:(1—λ). Это устанавливается с помощью правила параллелограмма, примененного к векторам (1—λ)r0 и λr1, а также теоремы Фалеса, примененной к треугольнику с вершинами о, ro и r1. Если точки r0 и r1 описывают независимо телесные выпуклые многогранники Р0 и P1, то при фиксированном λ точка rλ описывает некоторый выпуклый многогранник Рλ, который называется линейной комбинацией с коэффициентом λ многогранников Р0 и P1 и обозначается

Понятие линейной комбинации с коэффициентом к вводится аналогично для любых геометрических фигур; очевидно, что при фиксированном λ при параллельном переносе одной из фигур их линейная комбинация также подвергается параллельному переносу.

Выпуклые многогранники Р1 и P1 называются поставленными в соответствие по параллельности нормалей, если между их гранями установлено взаимно однозначное соответствие, при котором внешние нормали соответствующих граней равны. Для таких многогранников каждая грань многогранника Рλ является либо линейной комбинацией с коэффициентом λ граней Р0 и P1 с теми же внешними нормалями, что и у грани Рλ, либо линейной комбинацией двух непараллельных ребер Р0 и Р1. В последнем случае через эти ребра проходят опорные плоскости к многогранникам Р0 и P1 с теми же внешними нормалями, что и у грани Рλ. При μ≠ν (0<μ, ν<l) многогранники Рμ и Pν комбинаторно эквивалентны, и внешние нормали их соответствующих граней равны.

Пусть M0 и M1 — выпуклые многоугольники, плоскости которых параллельны (рис. 5). Тогда Мλ=(1—λ)×M0+λM1 — выпуклый многоугольник. Обозначим σ0, σ1 и σλ площади многоугольников M0, M1 и Мλ. Справедлива формула

где σ(M0, M1) не зависит от λ. Из этой формулы следует, что если многоугольники M0 и M1 — равной площади, то равной площади будут и многоугольники Мλ и M1-λ.

Теперь мы в состоянии доказать теорему Минковского.

Теорема 2.3. Пусть Р и Р' — выпуклые многогранники, поставленные в соответствие по параллельности внешних нормалей. Предположим, что площади соответствующих граней многогранников равны. Тогда многогранники Р и Р' равны и совмещаются параллельным переносом.

Доказательство. Рассмотрим линейные комбинации многогранников:

Эти многогранники также поставлены в соответствие по параллельности внешних нормалей. Площади их соответствующих граней равны. Действительно, если эти грани параллельны граням многогранников Р0 и P1 с одинаковыми внешними нормалями, то утверждение о равенстве их площадей нам уже известно. Необходимо рассмотреть только те грани, которые получаются как линейные комбинации непараллельных ребер Р0 и P1. Пусть q0⊂P0 и q1⊂P1 — такие ребра, а s0 и S1 — их соответствующие длины. Соответствующие грани многогранников Рλ и

Их площади действительно равны, так как выражаются одним и тем же числом

где a — угол между ребрами q0, q1. Таким образом, многогранники Рλ и Р1-λ

удовлетворяют условиям теоремы 2.2. Следовательно, многогранники равны и совмещаются параллельным переносом. Но тогда по непрерывности это утверждение также справедливо и для многогранников Р0 и P1, так как при λ→0 многогранник Рλ переходит в многогранник Р0, а многогранник Р1-λ — в P1. Теорема доказана.

Приведем некоторые следствия этой теоремы для центрально-симметричных выпуклых тел, чтобы показать, какие результаты извлек из нее Минковский.

Теорема 2.4. Выпуклый многогранник с четным числом попарно-параллельных и равновеликих граней всегда является центрально-симметричным.

Доказательство. Равновеликих — означает с равными площадями граней. Построим для данного многогранника Р ему центрально-симметричный Р'. Тогда по теореме 2.3 эти два многогранника равны и совмещаются параллельным переносом. Легко усматривается следующее утверждение. При параллельном переносе одной из центрально-симметричных фигур их центральная симметрия сохраняется, центр симметрии смещается в том же направлении, причем вектор смещения центра равен половине вектора смещения фигуры. Отсюда вытекает, так как многогранник Р' совмещается параллельным переносом с центрально-симметричным ему многогранником Р, что многогранник Р имеет центр симметрии. Теорема доказана.

Теорема 2.5. Если конечное количество центрально-симметричных (не обязательно выпуклых) многогранников, соприкасающихся друг с другом только вдоль своих поверхностей, образует в совокупности выпуклый многогранник, то этот последний также будет центрально-симметричным.

Это — тот результат, который «давно предполагал» и к которому стремился Минковский; он очевидным образом вытекает из теоремы 2.4.

Изложим в заключение пункта еще одну теорему Минковского, существенно дополняющую теорему 2.3. Ее называют теоремой существования. В п. 4 мы будем говорить более подробно об аналогичного рода теореме А. Д. Александрова, в свою очередь, дополняющей теорему Коши. Эти четыре теоремы и их обобщения являются основой всей современной теории выпуклых поверхностей. До сих пор они служат плодотворным источником все новых проблем и результатов.

Вот формулировка названной теоремы Минковского.

Если n1,n2,...,nm — не параллельные одной плоскости единичные векторы и σ1,σ2,..,σт — такие положительные числа, что

то существует выпуклый многогранник, у которого ni и σi, суть внешние нормали и площади его граней.

Векторное условие, содержащееся в теореме, называется условием замкнутости. Оно выполняется для каждого выпуклого многогранника. Действительно, для любого вектора n скалярное произведение

представляет собой ориентированную площадь проекции поверхности многогранника на плоскость, ортогональную вектору n. При этом площадь проекции части поверхности многогранника, обращенной к плоскости, берется с одним знаком, а части поверхности, обращенной от плоскости, — с противоположным. Проекции этих частей поверхности — совпадающие многоугольники. Значит, ориентированная площадь проекции всей поверхности многогранника равна нулю. А так как вектор n произвольный, то рассматриваемая векторная сумма, которую еще называют векторной площадью многогранника, равна нулю.

Доказательство этой теоремы Минковского не элементарно.

2.3. Аналогия для сферического пространства. Теорема Минковского была получена как обобщение теоремы 2.2; в этой последней теореме мы освободились от топологического требования к многогранникам — их комбинаторной эквивалентности. Найдем такое же метрическое обобщение и теоремы Коши. При этом сначала попытаемся перенести теорему Коши на трехмерное сферическое пространство. Результат, который

мы получим, обоснует нам и необходимость такого метрического обобщения.

В популярной литературе можно встретить выражение: «теорема Коши верна также в пространствах сферическом и Лобачевского». Это выражение несколько неточно, так как на самом деле имеется в виду другая теорема, в случае евклидова пространства эквивалентная теореме Коши. Приведем некоторые пояснения, связанные с новым понятием «сферическое пространство», основанные на аналогиях.

Трехмерное евклидово пространство мы рассматриваем как совокупность упорядоченных троек вещественных чисел (х, у, z), называемых точками, в которой введена известная функция пары точек, называемая расстоянием. Подобно этому, мы определяем четырехмерное евклидово пространство E4 как совокупность четверок вещественных чисел (х, у, z, w). Расстояние между двумя точками задаем формулой

Как и в трехмерном случае, плоскость в E4 представляется линейным уравнением

Плоскость имеет размерность три, и если с помощью функции d измерять расстояние между точками в плоскости, то мы обнаружим, что она представляет трехмерное евклидово пространство. Эта плоскость называется гиперплоскостью, потому что в E4 имеются и двухмерные плоскости, они получаются как пересечения пар гиперплоскостей. Три гиперплоскости пересекаются в общем случае по прямой линии, четыре — в одной точке. Если есть гиперплоскости, то есть и выпуклые многогранные углы, и выпуклые многогранники. Нас будут интересовать выпуклые многогранные углы.

Сфера, точнее гиперсфера, в E4 с радиусом R определяется, как и в трехмерном евклидовом пространстве. Только, конечно, расстояние между точками измеряется с помощью функции d. Уравнение гиперсферы с центром в начале координат:

Выпуклый многогранник на гиперсфере — это пересечение с гиперсферой многогранного выпуклого угла с вершиной в ее центре. Если провести гиперплоскость, касающуюся гиперсферы в некоторой точке, и взять пересечение многогранного угла с этой гиперплоскостью, то мы получим обычный трехмерный выпуклый многогранник. Трехмерный выпуклый многогранник — проекция из центра гиперсферы на гиперплоскость, т. е. на трехмерное пространство, выпуклого сферического многогранника; это дает нам представление о топологической структуре последнего.

Теперь можно понять, что плоскость в сферическом пространстве — это двухмерная сфера, получающаяся от пересечения гиперсферы с гиперплоскостью, проходящей через центр гиперсферы, что грани выпуклого сферического многогранника — это обычные сферические выпуклые многоугольники на двухмерной сфере. Прямая в сферическом пространстве есть пересечение двухмерной плоскости, проходящей через центр гиперсферы, с гиперсферой, т. е. это большая окружность; ребра сферического многогранника — дуги таких окружностей. Ясно, что для выпуклого сферического многогранника имеют смысл такие понятия, как длина ребра, плоский и двугранный угол, площадь грани. Движение в сферическом пространстве определяется как такое преобразование гиперсферы в себя, при котором сохраняются расстояния между ее точками, измеряемые с помощью функции d. Оно обладает многими обычными свойствами движения в евклидовом пространстве. На этом основании можно говорить об изометрических, тривиальных или нетривиальных, деформациях выпуклых многогранников на гиперсфере.

Пусть Р и Р' — выпуклые и одинаково составленные из равных граней многогранники на гиперсфере. Тогда для изменений двугранных углов многогранников при переходе Р→Р' для каждой вершины имеет место первая основ-

ная лемма Коши. Следовательно, для многогранников Р и Р' справедлива и теорема Коши, так как, очевидно, на этот случай полностью переносится ее «евклидовское» доказательство.

Но пересмотрим это доказательство по пунктам.

Используем условие равенства плоских углов многогранников. Получаем следствие — соответствующие двугранные углы многогранников равны. Обратим сразу же внимание на важное обстоятельство: так как у соответствующих граней многогранников плоские углы равны, а грани — сферические многоугольники, то для них выполняется лемма А. Д. Александрова 1.3.3. Будем сравнивать длины ребер многогранников и на ребрах многогранника Р расставим знаки, как это делалось в доказательстве теоремы 2.1. Учитывая лемму 1.3.3, получаем, что для Р и Р' справедлива вторая основная лемма Коши. На этом основании соответствующие ребра многогранников равны. Значит, многогранники Р и Р' также равны. Таким образом, при перенесении теоремы Коши в сферическое пространство нет необходимости требовать выполнения равенства длин ребер. Выходит, что в этом случае, формулируя теорему Коши, мы высказываем хотя и правильное утверждение, но с лишними исходными требованиями. Это уже не теорема, так же как не является теоремой, например, следующий «четвертый признак» равенства треугольников: треугольники равны, если у них все соответствующие стороны и по одному соответствующему углу равны. Итак, справедлива

Теорема 3.1. Пусть Р и Р' — выпуклые комбинаторно эквивалентные многогранники в сферическом пространстве, у которых соответствующие плоские углы равны; тогда многогранники равны.

Метрическое обобщение теоремы Коши, в котором отсутствует топологическое требование на многогранники, справедливое для сферического пространства и пространства Лобачевского, было найдено в 1941 г. А. Д. Александровым. Это было сделано с помощью нового понятия — развертки. Чтобы ввести соответствующее определение, возвратимся к началу обсуждения теоремы Коши, именно к п. 1, где было дано наглядное объяснение этой теоремы.

Для конкретного многогранника Р мы построили набор копий его граней с указанным в этом наборе правилом склеивания, определяемым строением многогранника. Это и есть развертка многогранника Р. Копии граней естественно называть гранями развертки, ребра этих граней с учетом их отождествления при склеивании — ребрами развертки, вершины этих граней, также с учетом отождествления — вершинами развертки. Понятие развертки можно рассматривать и абстрактно, не связывая ее с конкретным многогранником.

Абстрактной разверткой называется конечный набор плоских многоугольников, в котором указано правило метрического склеивания ее граней по соответствующим равным ребрам.

Чтобы сохранить аналогию с поверхностью многогранника, от абстрактной развертки требуется, чтобы каждое ребро развертки принадлежало не более двум граням; грани развертки в ее вершине образовывали циклическую последовательность, подобно граням многогранного угла; развертка была связна — от любой грани развертки к любой другой ее грани можно перейти по последовательности граней, имеющих общие ребра.

Мы будем допускать следующие преобразования абстрактной развертки, переводящие ее в новую развертку и называемые операциями разрезания и склеивания: разрезание грани развертки на два многоугольника; склеивание из двух граней развертки одного многоугольника путем реального отождествления их ребер, эквивалентных по заданному в развертке правилу склеивания. Новые многоугольники, возникающие в результате применения этих операций, называются гранями новой развертки. К числу граней новой развертки относятся и грани старой, не подвергнувшиеся одной из указанных операций. Очевидно, в новой абстрактной развертке естественно определено правило склеивания граней. Далее в названии развертки слово «абстрактная» опускается.

Две развертки будем называть равными, или изометричными, если они получаются одна из другой с помощью

конечной последовательности разрезаний и склеиваний.

Здесь слово «изометричные» присутствует не случайно. В каждой развертке любые две точки можно соединить «ломаной», составленной из прямолинейных звеньев в гранях; точки перехода этой линии из грани в грань — это точки на ребрах граней, соответствующие по правилу склеивания. Между точками равных разверток естественно установлено взаимно-однозначное соответствие, которое определяет также соответствие и между линиями, проведенными в развертках. Соответствующие линии имеют одинаковую длину. Самая короткая из этих линий называется кратчайшей. Ее длина называется расстоянием между точками в развертке. Таким образом, в развертке определена функция пары точек — расстояние. Эта функция еще называется метрикой. Очевидно, у равных разверток расстояния между парами соответствующих точек равны, говорят еще — развертки изометричны или что они имеют равные метрические функции.

Многогранники, имеющие изометричные развертки, называются изометричными многогранниками. Нетрудно заметить, что из числа разверток двух изометричных многогранников можно выбрать такие, у которых составляющие их грани будут попарно равны, а на самих многогранниках будут представляться многоугольниками — частями граней многогранников. Иными словами, изометричные многогранники можно «разрезать» на новые грани, и они станут одинаково составленными из соответственно равных граней.

Основываясь на изложенных геометрических конструкциях, А. Д. Александров так переизложил теорему Коши:

изометричные выпуклые многогранники равны, т. е. они переводятся один в другой движением, совмещающим точки многогранников, соответствующие по изометрии.

Этим был сделан качественно новый шаг в исследовании выпуклых многогранников. Теореме Коши была придана форма, пригодная для серьезного применения этой теоремы. Открывался путь к изучению общих выпуклых поверхностей; следующим принципиальным результатом на этом пути была теорема, доказанная в 1941 г. С. П. Оловянишниковым:

Теорема 3.2. Общая выпуклая поверхность, изометричная выпуклому многограннику, равна этому многограннику.

В 1948 г. проблема обобщения теоремы Коши была решена полностью — А. В. Погорелов доказал теорему об однозначной определенности метрикой произвольных выпуклых поверхностей.

Теорема 3.3. Общие выпуклые изометричные поверхности равны.

Это — очень важная теорема. Последующие ее приложения и многочисленные результаты, полученные на основе этой теоремы А. В. Погореловым, привели к окончательному оформлению обширного раздела современной математики — геометрии «в целом» выпуклых поверхностей и связали этот раздел с классическими областями геометрии.

2.4. Реализация разверток. Доказательство общей теоремы об однозначной определенности, других теорем теории выпуклых поверхностей существенно основывается на принципиально новых методах и результатах, разработанных А. Д. Александровым. В их числе — теорема существования для выпуклых многогранников, естественно дополняющая теорему Коши. Чтобы ее сформулировать, приведем еще некоторые дополнительные сведения о развертках.

Развертку мы задавали с помощью набора плоских многоугольников. Существует и другой способ ее задания, более удобный для теоретического исследования. Развертка задается с помощью системы точек, линий и областей на некоторой поверхности, например плоскости или сфере, изображающих соответственно вершины, ребра и грани развертки; каждой линии приписывается определенное число — длина ребра. На рис. 6 изображена естественная развертка некоторого многогранника. Он образован из треугольников, и символы на ребрах развертки — это длины их сторон. Поскольку эта развертка представлена на плоскости, то изобразить ее замкнутой системой линий, чтобы не было самопересечений, невозможно. Линии на рисунке, идущие от «шестиугольника», — это стороны треугольников развертки, все сходящиеся в одной вершине. Не-

которые типы разверток удобно изображать на сфере. Рассматривая лемму 1.2, мы ввели понятие условного выпуклого многогранника как системы точек, линий, областей на сфере; припишем ребрам системы определенные длины — это и будет заданная на сфере развертка. В предыдущем параграфе мы определили кривизну многогранного угла и убедились, что кривизна в вершине выпуклого многогранного угла положительная. Естественно вводится и кривизна в вершине многогранника, кривизна в вершине его развертки. Кривизна в вершине развертки любого выпуклого многогранника неотрицательная. В связи с этим абстрактная развертка, кривизна в каждой вершине которой неотрицательная, называется разверткой с неотрицательной кривизной.

В той же работе, где была найдена новая интерпретация теоремы Коши, А. Д. Александровым была установлена следующая теорема.

Теорема 4.1. Любая развертка с неотрицательной кривизной, заданная на сфере, реализуется, причем единственным способом, выпуклым многогранником.

Здесь же была получена и общая теорема — о реализации выпуклой поверхностью заданной на сфере так называемой метрики с неотрицательной кривизной. Эта общая теорема существования имеет в теории выпуклых поверхностей столь же большое значение, как и теорема об однозначной определенности. Дадим простые применения теоремы 4.1 к непрерывным изгибаниям выпуклых многогранников с краем, развертки которых представляются абстрактно как разбиения плоских выпуклых многоугольников.

Для многогранника с краем понятие развертки вводится так же, как и для замкнутых многогранников; аналогично определяется изометрия разверток и многогранников. Изгибания многогранников рассматриваются в классе выпуклых многогранников как такие их деформации, при которых развертки многогранников сохраняются. Таким образом, при изгибании многогранника допускается переламывание граней и появление новых ребер. Будем говорить, что многогранник с выпуклым или с вогнутым краем, если в каждой вершине края многогранника сумма величин подходящих к ней плоских углов граней соответственно не больше или не меньше л.

Теорема 4.2. Выпуклый многогранник с вогнутым краем непрерывно изгибается в любой изометричный ему выпуклый многогранник.

Доказательство изложим схематически. Пусть Р и Р' — выпуклые многогранники, о которых говорится в теореме. Тогда, как оказывается, каждый из этих многогранников дополняется до выпуклого многогранника «крышкой», изометричной выпуклому многоугольнику. Таким образом, мы имеем два выпуклых многоугольника с соответственно равными сторонами; их можно непрерывно деформировать один в другой, как это говорится в следствии леммы 1.2.1. Будем рассматривать изменяющуюся развертку, полученную путем склеивания развертки Р и переменного многоугольника. По теореме 4.1 эта развертка реализуется непрерывно изменяющимся выпуклым многогранником. Он содержит как часть многогранник с краем, изометричный Р. В процессе деформации этот многогранник деформируется от равного Р до равного Р' многогранника.

Теорема доказана.

Теорема 4.3. Выпуклый многогранник с выпуклым краем непрерывно изгибается в любой изометричный ему выпуклый многогранник.

Рис. 6

Рис. 7

Идея доказательства этой теоремы иллюстрируется рис. 7. «Крышки» Ф и Ф в этом случае слишком неудобные, чтобы их можно было деформировать одна в другую. Говоря условно — речь-то должна идти о развертках и их реализациях — «крышки» удаляются в бесконечность. Многогранники Р и Р' оказываются изометрически преобразованными в части изометричных выпуклых бесконечных многогранников. Далее бесконечные многогранники изометрически непрерывно деформируются один в другой. В итоге всех построений и реализуется изометрическая деформация рассматриваемых многогранников одного в другой.

2.5. Аксиома Евклида. Обратимся снова к предыстории теоремы Коши. Как уже подчеркивалось, Евклид не знал этой теоремы. Приведем обоснование.

Изложение стереометрии Евклид предваряет рядом определений. В их числе и следующие Определения 9 и 10. Цитируем по изданию: «Начала Евклида» в переводе с греческого Д. Д. Мордухай-Болтовского, Гостехиздат, М.—Л., 1950 г.

Определение 9. Подобными телесными фигурами будут заключенные между равными по количеству подобными плоскостями.

Определение 10. Равные же и подобные телесные фигуры будут заключенные между равными по количеству и по величине подобными плоскостями.

Ввиду недостатка места мы ограничимся только необходимыми замечаниями. Наше обоснование опирается на обращение к тексту самого Евклида. Желательно знакомство с текстом, чтобы принять это обоснование.

Следует отметить, что у Евклида многие определения, постулаты, аксиомы формулируются общо, а на самом деле, что следует из текста его сочинения, относятся к более узкому классу объектов. Специалисты объясняют этот факт тем обстоятельством, что труд Евклида был предназначен аудитории, хорошо знакомой с истинным смыслом этих определений, постулатов и аксиом. Эта ситуация имеет место и по отношению к Определениям 9 и 10.

О терминологии Евклида. Плоскостями Евклид называет многоугольники. Обычным образом определяется подобие многоугольников. Но уже «равенство» понимается Евклидом иначе — как равенство площадей. Таким образом, современное выражение «равные многоугольники» на языке Евклида звучит дольше: «равные и подобные плоскости»; заметим, что из равенства площадей и подобия многоугольников следует обычное равенство. По Евклиду, «равные телесные фигуры» — это многогранники равного объема, не больше.

В тексте «Начал» Определение 9 применяется по назначению, т. е. как действительно определение. Оно используется только для доказательства утверждений типа «объемы подобных тел относятся как кубы сходственных размеров». Не так обстоит дело с Определением 10, это уже аксиома.

Аксиоматическую нагрузку несет первое слово «равные»; слово «подобные» здесь могло бы и не присутствовать, оно для согласовывания с Определением 9. Таким образом, без доказательства Евклидом принимается утверждение, которое в переводе на наш язык звучит следующим образом:

Многогранники, одинаково составленные из равных граней, имеют равные объемы.

Но какие многогранники имеет в виду Евклид? Оказывается (это следует из текста «Начал»), параллелепипед, треугольную призму, треугольную пирамиду. Таким образом, Определение 10 нам следует читать:

Два параллелепипеда, или две треугольные призмы, или две треугольные

пирамиды, одинаково составленные из равных граней, имеют равные объемы.

К теореме Коши это утверждение, принимаемое Евклидом за аксиому, конечно, не имеет никакого отношения. Между прочим, в популярной литературе иногда можно встретить и такую интерпретацию Определения 10: если многогранники конгруэнтны, то их объемы равны. Теперь ясно, насколько ошибочна эта интерпретация..

3. МЕТРИКА ВЫПУКЛОГО МНОГОГРАННИКА

Создается впечатление, что здесь мы еще не имеем чего-то законченного и что за всеми до сих пор примененными методами исследования скрывается какой-то еще неизвестный простой общий принцип.

С. Ф. КОН-ФОССЕН. Изгибаемость поверхностей «в целом»

Мы изучили различные обобщения теоремы Коши и убедились в большом успехе этой теоремы, который был достигнут за очень короткий период. Этот успех не случайный. Он был логически подготовлен развитием дифференциальной геометрии, разработкой обобщенных подходов и методов в изучении поверхностей, появлением качественно новых геометрических результатов и постановкой качественно новых геометрических проблем. Путь от дифференциальной геометрии к геометрии общих выпуклых поверхностей проложил С. Ф. Кон-Фоссен. Его новаторские идеи были подхвачены и обогащены выдающимися геометрами. Началось плодотворное и стремительное восхождение геометрии общих выпуклых поверхностей. В этом параграфе мы приводим аппаратного значения результаты для выпуклых многогранников.

3.1. С. Ф. Кон-Фоссен. Творческая биография этого выдающегося ученого занимает всего лишь десятилетний период — 1927—1937 гг. Но работы, выполненные им за это время, составили поистине золотой фонд и на годы определили развитие геометрии «в целом». Им были выделены важнейшие направления исследований — изгибание поверхностей «в целом», геодезические линии и полная кривизна поверхностей, топологическое строение абстрактных метрик.

В 1927 г. С. Ф. Кон-Фоссен впервые формулирует и доказывает для регулярных выпуклых поверхностей теорему об однозначной определенности внутренней метрикой; им применяется метод Коши. По существу, эта работа положила начало построению теории общих выпуклых поверхностей. В 1936 г. в программной статье «Изгибаемость поверхностей в целом» С. Ф. Кон-Фоссен анализирует достижения дифференциальной геометрии и на этой базе намечает широкую перспективу исследований общих выпуклых поверхностей.

Но чтобы материализовать замыслы С. Ф. Кон-Фоссена, требовались новые методы, так как дифференциально-геометрические подходы были недостаточными. Такие методы были найдены А. Д. Александровым, и с 1941 г. началось последовательное изучение общих выпуклых поверхностей. Один из них — метод приближения общей выпуклой поверхности выпуклыми многогранниками. Выпуклые многогранники как поверхности оказались предметом глубокого исследования. Приведем важнейшие результаты для выпуклых многогранников, полученные различными геометрами, которые распространяются также и на произвольные выпуклые поверхности и играют роль аппарата при получении всех основных теорем.

3.2. Свойства выпуклости метрики. Эти результаты просты и наглядны. Они характеризуют внутренние и внешние свойства метрики выпуклого многогранника. Их доказательства проводятся элементарно-геометрическими средствами.

При изучении разверток было отмечено, что любые две точки в развертке соединяются кратчайшей. Кратчайшая состоит из прямолинейных отрезков в гранях развертки и не проходит через ее вершины с положительной кривизной. Этот результат лежит в основе свойств внутренней метрики выпуклого многогранника. На выпуклом многограннике кратчайшая не проходит через его вершины.

Пусть Р — выпуклый многогранник, L — ломаная линия, расположенная

Рис. 8 Рис. 9

вне P, L — проекция L на многогранник P. Проекция находится путем построения для каждой точки L ближайшей к ней точки на многограннике. Множество этих точек-проекций, оказывается, представляет ломаную линию.

Лемма 2.1. (Буземан и Феллер, 1935). Длина L не больше длины L.

Пусть А...В — кратчайшая на некотором выпуклом многограннике. Спроектируем эту кратчайшую конусом из точки, произвольно выбранной внутри многогранника.

Лемма 2.2. (И. М. Либерман, 1941 ). При разворачивании конуса на плоскость кратчайшая переходит в выпуклую ломаную.

Характер выпуклости получающейся ломаной поясняется следующим соотношением, связанным с кратчайшей, которая изображена на рис. 8: a+ß⩽π.

Треугольником на выпуклом многограннике называется фигура, составленная из трех точек и трех соединяющих их кратчайших. На многограннике естественно определяются углы как углы на поверхности в вершинах треугольника (рис. 9). Пусть a, ß, у — эти углы, а а, ß, y — соответствующие им углы плоского треугольника с теми же сторонами, что и треугольник на поверхности.

Лемма 2.3 (А. Д. Александров, 1945). Справедливы неравенства а, ß⩾ß, y⩾y и a+ß+y⩾π.

Пусть АС — отрезок, равный по длине кратчайшей на многограннике, являющийся продолжением ее звена с началом в А (рис. 8).

Лемма 2.4 (А. В. Погорелов, 1948). Вектор ВС направлен в выпуклую оболочку сферического изображения кратчайшей, т. е. вектор ВС представляется как линейная комбинация с неотрицательными коэффициентами внешних нормалей к тем граням многогранника, по которым проходит кратчайшая.

Следующая лемма естественно дополняет сформулированные результаты и объединяет на общей основе леммы 2.1, 2.2, 2.3. Она не применялась в построении общей теории выпуклых поверхностей, так как была получена позже. С ее помощью решены некоторые интересные и трудные вопросы этой теории.

Лемма 2.5 (автор, 1979). В условиях леммы 2.4 расстояние от точки С до любой точки D многогранника, измеряемое вне многогранника, не меньше, чем длина кратчайшей на многограннике B...D.

3.3. Изгибания куска сферы. В заключение опишем результат, иллюстрирующий одну проблему для общих выпуклых поверхностей, отличающихся от многогранников. Это результат о характере изгибания части регулярной поверхности с положительной кривизной в другую выпуклую поверхность. Общее утверждение принадлежит А. Д. Александрову; мы рассматриваем частный случай.

Может ли кусок сферы при изгибании потерять строгую выпуклость? Пусть О — точка на выпуклой поверх-

Рис. 10

ности, изометричной куску сферы, в которой нет строгой выпуклости. Тогда О принадлежит отрезку, лежащему на поверхности; можно считать, что О — внутренняя точка отрезка (рис. 10). Выберем точки Х1, Х2 на этом отрезке и точку Z на поверхности, как указано на рисунке. Сравнивая длины медиан z и z треугольников на поверхности и в пространстве, с помощью леммы 2.3 находим, что при малых а, а (а>а) справедливо неравенство z/z>const>l. Но в этих условиях для любой выпуклой поверхности z/z~1 — противоречие. Значит, потери строгой выпуклости при изгибании куска сферы быть не может.

С помощью двойственного рассуждения, основанного на лемме 2.5, показывается, что при изгибании куска сферы в другую выпуклую поверхность не может произойти и потери гладкости.

* * *

Еще в 1766 г. Эйлер предположил, что «замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока она не рвется». Для регулярных поверхностей до сих пор эта гипотеза о неизгибаемости остается нерешенной. В 1974 г. неожиданный результат получил Коннелли — нашел непрерывно изгибаемые (не выпуклые, без самопересечений) многогранники; заодно этим давалось подтверждение необходимости требования выпуклости многогранников в теореме Коши. По его методике Штеффен построил весьма простой изгибаемый многогранник, развертка которого указана на рис. 6. Здесь надо положить а=12, в=10, с=5, d= 11, е= 17 и для определения длин всех ребер воспользоваться симметрией рисунка; при склеивании надо проследить, чтобы вершины, отмеченные белыми кружочками или же темными кружочками, были вдавлены внутрь многогранника.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Александров А. Д. Выпуклые многогранники. — М.: Гостехиздат, 1950.

2. Бляшке В. Круг и шар. — М.: Наука, 1967.

3. Кон-Фоссен С. Э. Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. — М.: ГИФМЛ, 1959.

4. Люстерник Л. А. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Гостехиздат, 1956.

5. Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. — М.: Гостехиздат, 1951.

Научно-популярное издание

МИЛКА Анатолий Дмитриевич

ЧТО ТАКОЕ ГЕОМЕТРИЯ «В ЦЕЛОМ»

Гл. отраслевой редактор Л. А. Ерлыкин Редактор Г. Г. Карвовский Мл. редактор Л. В. Бурханова Обложка художника Л. П. Ромасенко Худож. редактор М. А. Бабичева Техн. редактор И. Е. Жаворонкова Корректор В. В. Каночкина

ИБ № 7798

Сдано в набор 24.10.86. Подписано к печати 28.11.86. Т-19371. Формат бумаги 70Х 1001/16. Бумага тип. № 3. Гарнитура «Литературная». Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,60. Усл. кр.-отт. 5,52. Уч.-изд. л. 2,90. Тираж 34 780 экз. Заказ 2943. Цена 11 коп. Издательство «Знание». 101835, ГСП, Москва, Центр, проезд Серова, д. 4. Индекс заказа 864312. Ордена Трудового Красного Знамени Чеховский полиграфический комбинат ВО «Союзполиграфпром» Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 142300, г. Чехов Московской области

В 1986 г. издательством «Знание» выпущены следующие брошюры серии «Математика, кибернетика»:

1. В. П. Коробейников. Математическое моделирование катастрофических явлений природы.

2. Е. П. Липатов. Теория графов и ее применения.

3. И. А. Бахарев, А. И. Горлин. Операционные системы.

4. В. П. Пархоменко, Г. Л. Стенчиков. Математическое моделирование климата.

5. Л. Н. Королев. Микропроцессоры и персональные компьютеры.

6. Р. Г. Бухараев. Вероятностные автоматы и процессоры.

7. Ю. Н. Карамзин, А. П. Сухорукое, В. А. Трофимов. Оптимальное управление световыми пучками в нелинейных средах.

8. В. И. Кринский, А. Б. Медвинский, А. В. Панфилов. Эволюция автоволновых вихрей.

9. Н. С. Кукушкин, О. Р. Меньшикова, И. С. Меньшиков. Конфликты и компромиссы.

10. П. С. Краснощеков, А. А. Петров, В. В. Федоров. Информатика и проектирование.

11. В. Б. Андреев, Л. А. Руховец. Проекционные методы.

12. А. Д. Милка. Что такое геометрия «в целом».

11 коп.

Индекс 70096

Издательство «Знание» — крупнейшее в стране издательство по выпуску научно-популярной литературы.

Издательство выпускает 37 серий подписных научно-популярных брошюр

Подписная научно-популярная серия

МАТЕМАТИКА

КИБЕРНЕТИКА

Брошюры этой серпы в розничную продажу не поступают, поэтому своевременно оформляйте подписку.

Подписка на брошюры издательства «Знание» ежеквартальная, принимается в любом отделении «Союзпечати».

Напоминаем Вам, что сведения о подписке Вы можете найти в «Каталоге советских галет и журналов» в разделе «Центральные журналы», рубрика «Брошюры издательства «Знание»

Цена подписки на год 1 р. 32 к.

Наш адрес: СССР, Москва, Центр, проезд Серова, 4