СЕРИЯ XIX

математика кибернетика

1967

8

МАТЕМАТИКИ О МАТЕМАТИКЕ

МАТЕМАТИКИ О МАТЕМАТИКЕ

Сборник статей.

Перевод с английского

Переводчик и составитель В. Н. ТРОСТНИКОВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ» Москва 1967

51

М 34

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Предисловие............ 3

Годфри Гарольд Харди. Исповедь математика ... 4

Тобиас Данциг. Символы.........16

Анри Пуанкаре. Математические открытия .... 24

МАТЕМАТИКИ О МАТЕМАТИКЕ

Редактор В. Ю. Иваницкий Худож. редактор Е. Е. Соколов Техн. редактор М. Т. Перегудова Корректор С. И. Ткаченко Художник Л. П. Ромасенко

Сдано в набор 22/V 1967 г. Подписано к печати 14/VII 1967 г.

Формат бумаги 60×90/16. Бумага типографская № 3. Бум. л. 1,0. Печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 2,02. Тираж 51 200 экз. Издательство «Знание». Москва, Центр. Новая пл.. д. 3/4. Заказ 1841, Типография изд-ва «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Цена 6 коп.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Три статьи, составляющие содержание этого сборника переводов, объединены одной общей целью — раскрыть перед широким кругом читателей некоторые фундаментальные аспекты математики. Мы не можем жаловаться на недостаток отечественной литературы (книг и брошюр, статей в периодической печати), пропагандирующей математические знания, но тем не менее и настоящий сборник найдет свое место среди других популярных изданий. Его материал не относится к новым этапам развития математики, н нем ярко освещены основные стороны самой сути математики как науки, ее роли в формировании человеческого мышления, показан характер математического творчества.

В сборнике опубликованы не статьи в собственном смысле этого слова, а отрывки из книг, и притом книг разного характера и назначения (что не мешает определенному единству этих отрывков). Первая из статей — выдержка из автобиографии одного из крупнейших английских математиков Годфри Гарольда Харди (1877—1947). Харди был очень яркой фигурой, последним представителем большого классического анализа, исключительным мастером преодоления головоломных аналитических трудностей. Его математическое мировоззрение формировалось в самом начале века, когда в Англии анализ и теория функций рассматривались почти исключительно с позиций прикладной математики. Увлеченный филигранной строгостью французских аналитиков конца XIX века, Харди был первым, кто ввел на английской почве «культ чистой математики». По замечанию его ученика и долголетнего сотрудника, другого знаменитого английского математика Джона Идензора Литлвуда (род. в 1885 г.), Харди в одной из своих ранних книг «Курс чистой математики» выступил в роли «проповедника перед каннибалами». Так у Харди выработалась установка на отстаивание самодовлеющей роли теоретического начала в математике и несколько пренебрежительное отношение к ее прикладным возможностям. Он без энтузиазма относился и к новым сугубо абстрактным построениям современной математики, в частности к проникновению в анализ топологических понятий и методов, хотя и признавал их силу и общность. Он предпочитал теоремы, утверждения которых легко сформулировать, но трудно доказать, тем математическим предложениям, формулировке которых должна предшествовать длинная цепочка определений, и доказательства которых состоят в тривиальном комбинировании этих определений. Харди был интересным собеседником, готовым обсуждать любые вопросы, причем он почти всегда обнаруживал исключительную эрудированность в самых неожиданных областях. Несомненно, что точка зрения Харди на суть математических теорий представляет значительный интерес для самых широких кругов читателей, интересующихся математикой.

Вторая статья взята из книги менее известного американского математика Тобиаса Данцига «Числа — язык науки». В ней убедительно показывается, что математическая символика не только стенографирует рассуждения, но — если она адекватна — существенно стимулирует прогресс математической мысли. Это положение, конечно, хорошо известно в марксистско-ленинской философии науки. Наконец, третья статья принадлежит перу математика мировой известности — французу Анри Пуанкаре (1854—1912). Это—отрывок из книги «Наука и метод», книги в целом спорной и вызвавшей в свое время большую полемику. Однако те несколько страниц из нее, которые мы приводим, обошли мировую печать (имеются они и в недоступных теперь изданиях на русском языке). В частности, эпизод с посадкой в карету стал уже классическим, но можно полагать, что многим из читателей этого сборника он неизвестен. Мысли Пуанкаре о математическом творчестве представляют определенный интерес и сегодня.

Профессор В. И. Левин

ИСПОВЕДЬ МАТЕМАТИКА

Годфри Гарольд Харди

Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, — совокупность идей, подобно совокупности красок или слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике. Говоря все это, я предчувствую, что могу натолкнуться на все еще широко распространенное (хотя сейчас, вероятно, менее широко, чем двадцать лет назад) заблуждение, которое Уайтхед назвал «литературным предрассудком», будто бы любовь к математике и способность воспринимать эту науку эстетически есть редкое врожденное свойство, присущее лишь немногочисленным чудакам.

На самом же деле трудно найти столь «популярный» предмет, как математика. Способность к восприятию математики распространена в человечестве, пожалуй, в большей степени, чем способность получать удовольствие от приятной мелодии, она присуща огромному большинству. На первый взгляд такое утверждение выглядит парадоксально, но его кажущееся несоответствие фактам легко объясняется. Музыка используется как средство вызывать массовые эмоции (в то время как математика не служит этим целям), и поэтому отсутствие музыкальности считается слегка дискредитирующим свойством; с другой стороны, большинство людей страшатся самого названия «математика» и, не боясь общественного осуждения, готовы сколь угодно преувеличивать свою математическую тупость.

При первом же серьезном размышлении абсурдность «литературного предрассудка» становится очевидной. В каждой цивилизованной стране имеется масса людей, играющих в шахматы; в России они составляют почти все образованное население. Но каждый шахматист обладает способностью оценить «красивый» ход или «красивую» партию. В то же

время решение проблем шахматной игры есть не что иное» как математическое упражнение (вся игра в целом — нет, ибо в ней присутствует еще психологический аспект), и каждый, кто называет эти проблемы «красивыми», апеллирует к подсознательному представлению (хотя и сравнительно низкого уровня) об эстетической стороне математики. Игра в шахматы есть как бы насвистывание математических мелодий.

Другой пример такого рода, только более низкого класса, дает игра в бридж; еще ниже располагаются на этой лестнице полосы популярных газет с занимательными задачами. Популярность этих полос почти целиком базируется на притягательной силе упражнений рудиментарного математического мышления, а самые лучшие составители задач, как Дюбеней или «Калибан»* не используют ничего, кроме этой силы. Они хорошо знают свое дело и понимают свои обязанности: все, что нужно публике — это небольшая интеллектуальная встряска, а она означает встряску математическую.

Я могу добавить, что нет ничего другого, что доставляет такое наслаждение даже великим людям (в том числе и таким, которые высмеивали математику), как доказательство и «предсказательство» теорем чистой математики. Герберт Спенсер приводит в своей автобиографии одну теорему об окружностях, которую он доказал в возрасте двадцати лет, не зная, что она была уже доказана более чем две тысячи лег тому назад Платоном. Такой же, даже более яркий пример любителя представляет собой наш современник, профессор Содди, однако его теоремы на самом деле принадлежат ему самому.

Шахматные проблемы есть истинная математика, но эта математика в некотором смысле «тривиальна». Какими бы изобретательными и хитроумными ни были ходы в партии, сколько бы в них ни заключалось оригинальности и неожиданности, здесь всегда имеется один существенный дефект — проблемы шахматной игры не являются важными. Настоящая же математика является столь же серьезной, сколь и прекрасной («важные», если хотите, есть довольно неясное определение, и мне будет значительно проще объяснить значение слова «серьезный»).

Я не имею в виду практических выводов математики. Если говорить о «бесполезности» шахмат в грубом смысле, то то же самое можно сказать и о большинстве ветвей современной математики, ибо очень малая часть математического знания пря-

* Дюбеней и «Калибан» — известные в Англии составители популярных задач и шарад («Калибан» — псевдоним), публиковавшиеся в английских газетах и журналах. — Ред.

мо используется в практике, а то, что используется, является сравнительно мало интересным. «Серьезность» математической теоремы заключается не в ее утилитарном потенциале (последний обычно пренебрежимо мал), а в значительности математических идей, с которыми она связана. Несколько упрощая дело, можно сказать, что математическая идея является тем более значительной, чем с более широким комплексом других математических идей она связана естественным и явным способом. Таким образом, серьезная математическая теорема —теорема, которая соединяет значительные идеи, как правило, неизбежно приводит к важным результатам как в самой математике, так и в других науках. Ни одна шахматная проблема никогда не оказывала никакого влияния на развитие научного мышления, тогда как Пифагор, Ньютон, Эйнштейн в свое время изменили само направление этого развития.

Серьезность теоремы не заключена, конечно, в многочисленности ее следствий; эта многочисленность лишь служит подтверждением серьезности. Шекспир оказал огромное влияние на развитие английского языка, а Отвей — нет, но вовсе не вследствие этого Шекспир является более крупным поэтом. Он был выше потому, что писал лучшие стихи. Недостатки шахматных проблем, так же как и стихов Отвея, лежат не в отсутствии вытекающих из них следствий, а в самом содержании.

Имеется еще один пункт, которого я коснусь лишь вскользь, но не потому, что он мало интересен, а из-за его большой трудности и еще из-за того, что я не обладаю достаточной квалификацией для споров об эстетике. Красота математической теоремы в существенной степени зависит от ее серьезности, так же как в поэзии красота строки часто в какой-то мере зависит от значительности заключенных в ней мыслей. Содержание влияет на форму даже в поэзии, а тем более в математике; однако я не буду пытаться серьезно обсуждать здесь этот вопрос.

Ясно, что для того, чтобы двинуться дальше, нам пора, наконец, рассмотреть какой-нибудь конкретный пример «настоящей» математической теоремы — такой, которую каждый математик признает первоклассной. Но те цели, которые я ставлю перед собой в настоящей статье, накладывают в данном случае очень жесткие ограничения. С одной стороны, пример должен быть весьма простым и доступным пониманию читателя, не обладающего специальными знаниями в области математики, — необходимо обойтись без длинного подготовив тельного объяснения; нужно, чтобы читатель мог следить за всеми тонкостями доказательства с полным пониманием. Эти

требования сразу исключают, например, большинство прекрасных теорем из области теории чисел. С другой стороны, наш пример должен принадлежать к «математике чистой воды», к той сфере, в которой работает профессиональный математик, и это требование исключает большое количество теорем, сравнительно легко объяснимых неспециалисту, но связанных с логикой и философией математики.

Вряд ли в таком положении можно придумать нечто луч-, шее, чем обратиться к древним грекам. Я сформулирую и докажу две знаменитые теоремы античной математики. Они являются «простыми», — простыми как по идее, так и по доказательству,— но ученые не имеют ни малейшего сомнения в том, что эти теоремы относятся к рассуждениям самого высокого класса. Каждая из них сегодня столь же свежа и значительна, как в те времена, когда они были открыты, — две тысячи лет бессильны состарить их. И оба утверждения могут быть постигнуты, а их доказательства прослежены внимательным читателем менее чем за час, независимо от его математической подготовки.

1. Первое утверждение есть теорема Эвклида о бесконечности множества простых чисел.

Простыми числами называются числа

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,...

которые нельзя представить в виде произведения меньших чисел. Так, 37 или 317 суть простые числа. Простые числа являются материалом, из которого создаются все остальные числа с помощью умножения; так, 666 есть произведение простых чисел 2, 3, 3 и 37. Всякое число, не являющееся простым (оно называется составным. — Ред.), делится по крайней мере на одно простое число (обычно, конечно, на несколько). Мы должны доказать, что существует бесконечно много простых чисел, т. е., что написанный выше ряд чисел не имеет конца.

Допустим обратное — что этот ряд конечен, т. е. выглядит так;

2, 3, 5... Р,

Здесь Р есть самое большое из всех простых чисел. Рассмотрим далее число

Q= (2-3.5.... Р) + 1;

Очевидно, что Q не делится ни на одно из чисел 2, 3, 5, Р, так как при делении на любое из них в остатке получается единица. Значит, это число, если оно само не является простым, делится на какие-то простые числа помимо наших. Следовательно, существуют простые числа, не стоящие в нашем ряду, — или само число Q, или те простые числа, на которые

оно делится. Выходит, предположение о том, что написанный ряд включает все простые числа, неправильно.

Доказательство такого типа называется доказательством от противного. Этот способ доказательства, который так любил Эвклид, является одним из наиболее мощных орудий математики. В нем пожертвование идет гораздо дальше, чем в любом шахматном гамбите — шахматист отдает пешку или фигуру, в то время как математик жертвует всей игрой.

2. Вторым примером является доказательство «иррациональности» числа √2, принадлежащее Пифагору.

Рациональным числом называется число, представимое дробью где а и b — целые числа. Мы можем предположить, что а и b не имеют общих делителей, ибо в противном случае мы могли бы предварительно произвести сокращение дроби на эти делители. Утверждать, что √2 есть число иррациональное, означает утверждать, что 2 не может быть выражено в форме (—)2 или, что то же самое, не может быть выполнено равенство

а2 = 2b2.

Доказываемая нами теорема является чисто арифметической и в принципе не требует знания теории иррациональных чисел.

Мы снова будем действовать по методу доказательства «от противного». Предположим, что равенство а2 = 2b2 выполняется, причем а и b не имеют общих делителей. Тогда, очевидно, а2 есть число четное, но, следовательно, и а есть тоже число четное, ибо квадрат нечетного числа снова будет числом нечетным. Поэтому можно записать а = 2с, где с — некоторое целое число. Подставляя это выражение для а в наше равенство, получим 2b2 = 4с2, или b2 =2с2. Теперь уже становится очевидным, что b2, а следовательно, и b — числа четные. Но если и а и b оба четные числа, то они имеют общий делитель— двойку. Это противоречит нашему предположению я доказывает теорему.

Из этой теоремы вытекает, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (что их отношение не есть рациональное число, т. е., что не существует единицы длины, которая укладывалась бы целое число раз и в стороне и в диагонали). Если мы возьмем длину стороны за единицу, а длину диагонали обозначим через d, то, применяя знаменитую геометрическую теорему того же Пифагора, мы получим:

d2 = 12 + 12 = 2.

Но, как мы только что убедились, при таком соотношении d не может быть рациональным числом.

Я мог бы привести множество других теорем из теории чисел, смысл которых понятен всякому. Например, существует так называемая «основная теорема арифметики», согласно которой каждое целое число представляется в виде произведения простых чисел единственным способом. Так, 666 = 2»3* ⋅3-37 и не допускает никаких лерекомпозиций. Это значит, что невозможно выполнение равенств, скажем 666 = 2-11- 29 или 13 ⋅ 83 = 17-83 (это можно увидеть не производя вычислений). Эта теорема, как следует из ее названия, лежит в основании высшей арифметики, но доказательство ее, хотя и не особенно «трудное», требует установления предварительных положений и покажется слишком длинным для нематематика.

Еще одна знаменитая «и изящная теорема — это теорема Ферма «о двух квадратах». Все простые числа (если исключить из рассмотрения особое простое число 2) могут быть разделены на два класса: те, которые дают при делении на 4 остаток единицу

5, 13, 17, 29, 37, 41, ...

и те, которые дают при этом делении остаток 3

3, 7, 11, 19, 23, ...

Каждое число первого класса (но никакое число второго класса) может быть разложено в сумму двух квадратов, как, например:

но ни 3, ни 7, ни 11, ни 19 не могут быть представлены таким способом, как читатель легко может в этом убедиться прямой проверкой. Это утверждение и есть теорема Ферма, которая считается (и -совершенно справедливо) одной из тончайших во всей арифметике. К сожалению, ее доказательство может быть постигнуто лишь специалистом-математиком.

Имеются изящнейшие теоремы также в «теории множеств» — такие, как теорема Кантора о неисчислимости континуума. Но здесь у нас возникают трудности, противоположные тем, с которыми мы сталкивались выше: доказательство теоремы весьма просто, если только понять его язык, но необходимы длинные объяснения для того, чтобы стал ясным смысл проблемы. Поэтому я не буду пытаться приводить еще какие-либо примеры. Те, которые я уже привел, являются как бы своего рода проверкой, и читатель, не понявший их, вряд ли сможет понять что-либо в математике.

Я говорил уже, что математик воплощает идеи в определенные формы и что красота и серьезность являются критерием совершенства этих форм. Я уверен, что тот, кто понял

две вышеприведенные теоремы, не может возражать против утверждения, что они удовлетворяют этим критериям. Если мы сравним их с самыми изобретательными загадками Дюбенея, с шахматными этюдами или задачами лучших мастеров этого дела, превосходство теорем по обоим признакам будет несомненным: они явно относятся к более высокому классу интеллектуальной деятельности. Они и более серьезны и более красивы, и нам есть смысл проследить несколько подробнее, в чем именно заключается их превосходство.

Прежде всего, превосходство математических теорем в серьезности является очевидным и подавляющим. Шахматные проблемы есть продукт весьма сложного, но в то же время весьма ограниченного круга идей, причем идеи эти не отличаются друг от друга в своей основе и не имеют внешних коммуникаций. Мы мыслили бы так же, как сейчас, и в том случае, если бы шахматы не были вообще изобретены, в то время как теоремы Эвклида и Пифагора глубоко повлияли на образ мышления не только математиков.

Теорема Эвклида является жизненно важным положением всей арифметики. Простые числа есть «сырой материал», из которого формируется арифметика, и теорема Эвклида гарантирует нам, что существуют неограниченные запасы этого материала. Но теорема Пифагора имеет значительно более широкие применения.

Легко заметить, что рассуждения Пифагора можно распространить на очень многие числа, не изменяя самого принципа этих рассуждений. Таким же способом нетрудно доказать (первым это сделал, по-видимому, Тететус), что иррациональными являются числа

Тем же самым методом мы докажем, что иррациональны ∛2 или ∛17 (этого Тететус еще не знал).

Теорема Эвклида говорит о том, что для построения арифметики целых чисел имеется в запасе достаточно много материала. Теорема Пифагора и ее следствия утверждают, что, построив такую арифметику, мы не удовлетворим полностью наших нужд, так как останется множество величин, для которых не будет способа измерения; простейшим примером такой величины является диагональ квадрата. Глубочайшее значение этого открытия было сразу же оценено греческими математиками. Раньше они предполагали (я думаю, что им подсказывал «здравый смысл»), что все величины одного и того же сорта соизмеримы, т. е., что любые две длины, например, могут быть получены последовательным откладыванием одной и той же соответственно выбранной единицы. Вся греческая теория пропорций того периода была основана на этом пред-

положении. Открытие Пифагора показало его несостоятельность и привело к построению значительно более глубокой теории, принадлежащей Эвдоксу, которая изложена в пятой книге «Начал» и которая многими современными математиками считается высшим достижением античной математики. Эта теория поразительно «модернистская» по своему духу и ее можно рассматривать как начало сегодняшней теории иррациональных чисел, революционизировавшей математический анализ и оказавшей огромное воздействие на философию.

Итак, нет никаких сомнений в «серьезности» обеих теорем. Но мне хочется сейчас обратить внимание на то, что ни одна из них не имеет даже самых ничтожных прямых практических применений. В повседневной жизни мы имеем дело со сравнительно небольшими числами; разве только звездная астрономия сталкивается с огромными числами, но она имеет не на много больше применений, чем абстрактная математика. Я не знаю, какова наибольшая степень точности, которая когда-либо была нужна инженеру, но мы заведомо удовлетворим его потребности с лихвой, если введем в рассмотрение десять значащих цифр. В этом случае число 3,14159265 (значение «пи» до восьмого знака после запятой) есть отношение двух девятизначных целых чисел

Количество простых чисел, меньших миллиарда, выражается цифрой в 50847478. Их вполне достаточно для инженера: он благополучно обойдется без остальных, поэтому от теоремы Эвклида ему нет никакого проку. Что касается теоремы Пифагора, то она тоже не представляет интереса для практики, ибо в окружающем нас реальном мире нет таких явлений, которые не поддавались бы описанию или анализу с помощью приблизительных величин, а всякое приближение рационально.

«Серьезная» теорема есть теорема, содержащая «значительные» идеи. Я думаю, нам необходимо рассмотреть несколько пристальнее вопрос о том, какие качества делают математическую идею значительной. Сделать это очень трудно и вряд ли мой анализ проблемы будет полным. Мы можем оценивать «значительность», когда видим ее воочию, как это было при разборе двух древнегреческих теорем, но обычно это требует проведения логических рассуждений довольно высокого уровня и знакомства со многими математическими идеями. Другими словами, способность понять значительность положений математики вырабатывается лишь после многих лет занятий этой наукой. Поэтому мне придется применить особый сорт анализа, который может быть доступным любому мыс-

лящему человеку, независимо от его специальной подготовки. Есть два существенных, хотя и трудно определимых признака: общность и глубина. Они нам сейчас и понадобятся.

Значительная математическая идея, серьезная математическая теорема должны обладать определенной общностью в следующем смысле. Идея должна быть такой, чтобы ее можно было использовать во многих математических построениях, чтобы она была пригодной для разработки методов доказательства теорем многих различных типов. Теорема должна быть такой, чтобы, будучи доказанной первоначально для какого-то специального случая (как, скажем, теорема Пифагора), она допускала широкое приложение и могла явиться образцом для целой серии теорем, подобных ей. Соотношения, развиваемые в доказательстве, должны объединять собою множество различных математических идей. Все сказанное сейчас нуждается, конечно, в уточнениях и оговорках. Но каждому станет очевидно, что теорема вряд ли может быть серьезной, не обладая указанным свойством, если рассмотреть пример из одной забавной, но изолированной отрасли арифметики, Я приведу даже два примера, которые выбраны наугад из книги Роуза Болла «Математические досуги».

1. Кроме 8712 и 9801 не существует ни одного целого числа, которое делилось бы на число, написанное теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке.

2. Существуют только четыре числа (кроме единицы), которые представляют собою сумму кубов своих цифр;

Приведенные примеры являются удивительными фактами, весьма подходящими для раздела занимательных задач в газете и способными немало развлечь любителей, но в них нет ничего такого, что нужно математику. Доказательства их не являются ни трудными, ни интересными — они лишь несколько утомительны. Теоремы эти не серьезны, и одна из причин этого совершенно ясна (хотя она, возможно, не является самой важной) — они слишком специальны и по смыслу, и по доказательству и не допускают сколь-нибудь существенного обобщения.

Надо сказать, что «общность» — очень расплывчатое понятие и употреблять его нужно с большой осторожностью. Поэтому необходимо следить, чтобы проводимый нами анализ не уводил в сторону. Слово «общность» фигурирует как в самой математике, так и в разговорах о математике, к тому же свой особый смысл, совершенно неприемлемый для нас, оно имеет в логике, ибо в этом смысле абсолютно все математические теоремы обладают одинаковой и полной общностью.

«Ценность утверждений математики, — говорит Уайтхед,— заключается в их абстрактности и общности». Когда мы утверждаем, что 2 + 3 = 5, мы устанавливаем соотношение между тремя группами «вещей», и эти «вещи» не обязаны быть яблоками, монетами или другими предметами какого-либо определенного сорта. Они есть просто «вещи». Смысл нашего установления совершенно не зависит от индивидуальных качеств членов групп. Все объекты математики и все соотношения этой науки, например «2», «3», «5», «+», или « = », все математические высказывания обладают крайней степенью общности и являются совершенно абстрактными. Строго говоря, во фразе Уайтхеда имеется словесное излишество: в нашем смысле абстрактность и есть общность.

Смысл слова очень важен, и логики правы, когда подчеркивают это, напоминая тем самым об элементарной истине, которую большинство людей склонны забывать. В среде, например, астрономов или физиков часто можно слышать утверждения, что кто-то нашел «математическое доказательство» определенных свойств или черт поведения реальных объектов. Все эти утверждения, если подходить строго, лишены смысла. Невозможно доказать математически, что завтра будет затмение, ибо затмения, как и все другие физические явления, не относятся к абстрактному миру математики и это, я думаю, должны под нажимом логики признать даже астрономы, сколько бы затмений они ни предсказывали с высокой точностью.

Очевидно, что нас не интересует такой аспект понятия «общности». Мы исследуем различие в общности между двумя математическими теоремами, в то время как в смысле Уайтхеда они одинаково общи. Точно так же «тривиальные» теоремы о странных свойствах чисел, приведенные выше, являются по этому критерию столь же «абстрактными» и «общими», как теоремы Эвклида и Пифагора и как шахматные задачи. На самом деле в этих задачах не важно, являются ли фигуры белыми и черными или красными и зелеными и существуют ли эти фигуры вообще как физические тела: хороший знаток шахматной игры может решить задачу в уме не менее легко, чем мы делаем это с помощью доски. Доска и фигуры есть не что иное, как вспомогательные инструменты, стимулирующие наше слабое воображение, и они имеют не большее отношение

К сущности задачи, чем грифельная доска и мел к содержанию лекции по математике.

Не об этом значении слова «общность», присущем всем математическим теоремам, мы ведем речь в данный момент, а о гораздо более тонком его значении, которое я приблизительно пытался объяснить. Мы не должны также слишком уж сильно акцентировать даже на строгости значения (что, мне кажется, логики типа Уайтхеда склонны делать всегда). Достижения современной математики состоят не в простом нагромождении одного уровня общности над другим. Некоторая доля общности может присутствовать в любой из теорем высшего класса, но слишком большая общность ведет к безликости. «Каждая вещь есть то, что она есть», и различия между вещами так же интересны, как и их сходство. Мы любим своих друзей не потому, что они олицетворяют какие-то приятные общечеловеческие качества, а потому, что они обладают индивидуальными чертами. Точно так же в математике—свойства, присущие слишком многим объектам, слабо вдохновляют исследователя, и математическая идея становится расплывчатой, если она не несет печати индивидуальности. Здесь я снова могу процитировать Уайтхеда: «Наиболее плодотворная концепция — это высокая степень общности, в удачном сочетании с частностью».

Второе свойство, которое я приписал значительной идее, есть глубина, и ее определить еще труднее. Она имеет нечто общее с трудностью: чем глубже идея, тем обычно труднее ее постигнуть, но все-таки здесь нет тождества. Идеи, заключенные в теореме Пифагора и в ее обобщении, являются достаточно глубокими, но ни один математик не признает их трудными. С другой стороны, теорема может быть весьма трудной по доказательству, но довольно поверхностной по смыслу (как многие Диофантовы теоремы, т. е. теоремы, касающиеся решения уравнений в целых числах).

Мир математики представляет собою как бы многоэтажное здание, причем идеи каждого этажа связаны как между собою, так и с теми, которые находятся выше и ниже. Чем ниже этаж, тем глубже (и, вообще говоря, труднее) идеи. Так, например, идея иррационального числа является более глубокой, чем идея целого числа, и теорема Пифагора поэтому глубже теоремы Эвклида.

Сосредоточим наше внимание на отношениях между целыми числами или какими-то другими объектами, расположенными на определенном этаже этого здания. Может случиться, что некоторые из этих отношений могут быть поняты полностью и что мы можем их постигнуть и доказать (например, некоторые свойства целых чисел) без знания чего-либо о со-

держании нижнего этажа. Так, мы доказываем теорему Эвклида, используя свойства лишь целых чисел. Но есть также множество теорем, которые мы не можем понять и тем более доказать без экскурса вглубь, без погружения в нижележащие области.

В теории чисел легко найти примеры, поясняющие сказанное. Теорема Эвклида очень важна, но не очень глубока — мы можем доказать, что существует бесконечное количество простых чисел без использования чего-либо более глубокого, чем понятие «делимости». Но когда мы докажем это, сами собой возникнут новые вопросы. Хорошо, простых чисел бесконечно много, но как они распределены? Если дано большое число N, например, 1080 или 101010, то можно ли узнать, сколько простых чисел, меньших этого числа, существует в природе? Когда мы поставим эти вопросы, мы окажемся в принципиально новой позиции. Мы сможем ответить на них (и даже с большой обстоятельностью), но только после углубления з гораздо более низкие этажи математического здания — туда, откуда целые числа представляются лежащими высоко наверху— и употребляя самые мощные орудия исследования современной теории функций. Поэтому теорема, отвечающая на поставленные вопросы, является гораздо более глубокой, чем теоремы Эвклида и Пифагора.

Я мог бы умножить число примеров, но представление о «глубине» не является совершенно незыблемым и четким даже для математика, который им владеет. Поэтому я сомневаюсь, что сумею добавить нечто такое, что сделает для читателя эту проблему более ясной.

СИМВОЛЫ

Тобиас Данциг

Под алгеброй в самом общем смысле в современной математике понимается наука, которая имеет дело с операциями, записанными в символической форме. Рассматриваемая в столь широком плане алгебра не только пронизывает своими идеями всю математику, но и распространяет их на логику и даже философию. Определенная таким образом алгебра является столь же древней, как и способность человека к отвлеченному мышлению, как его умение различать понятия «некоторый» и «каждый».

В данной статье, однако, нас будет интересовать алгебра в гораздо более ограниченном смысле — та часть алгебры, которая носит очень точное название теории уравнений. Название «алгебра» впервые было применено именно в этом узком смысле. Слово это пришло из арабского языка. Ал — это определенный артикль; гебар—глагол «устанавливать». До сих пор слово алгебриста сохранило в испанском языке (на который оказал влияние арабский язык мавров) значение «костоправ».

Почти в каждой стране алгебра последовательно проходила в своем развитии три стадии: риторики, сокращений и символов. Риторическая ал» гебра характеризуется полным отсутствием каких бы то ни было символов, если, конечно, не иметь в виду, что сами слова могут использоваться в их символическом значении. До сих пор риторическая алгебра проявляется в таких утверждениях, как «сумма не зависит от порядка слагаемых», которое в символической форме может быть записано а + b = b + а.

Алгебра сокращений, типичным примером которой является древнеегипетская алгебра, представляет собой дальнейшее развитие риторической. Некоторые слова из-за частого употребления постепенно стали подвергаться сокращениям. Со временем эти сокращения достигли такой формы, когда уже трудно было установить их забытое первоначальное значение, и они потеряли всякую видимую связь с названиями обозначаемых ими математических действий. Так сокращение превратилось в условный знак.

Это можно проиллюстрировать историей математических знаков «+» или «—». В средневековой Европе последняя операция сперва обозначалась написанным полностью словом «minus», затем его первой буквой «m» над которой ставилась черточка. Наконец, сама буква исчезла и осталась одна только черточка. Знак «+» тоже возник в результате аналогичных метаморфоз.

Поворотным пунктом в истории алгебры явилась работа, написанная в конце шестнадцатого столетия французом Виетом, который подписывался латинизированным именем Францискус Виета. Его великое открытие представляется нам сегодня совсем простым. Оно описывается самим автором в следующих словах:

«Здесь мы будем придерживаться правила, которое позволит нам отличать данные величины от неизвестных или искомых: введем символику

очень простую по своей природе и легко постижимую, заключающуюся, например, в обозначении неизвестной величины через А или другую гласную, а данные величины через В, С, G или другие согласные».

Такая система гласных — согласных продержалась очень недолго. Менее, чем через полстолетие после смерти Виета была опубликована «Геометрия» Декарта, в которой для известных величин употреблялись первые буквы алфавита, а для неизвестных — его последние буквы. Картезианская нотация (т. е. способ обозначения чисел, предложенный Декартом.—Ред.) не только вытеснила нотацию Виета, но и дожила до сегодняшнего дня.

Несмотря на то, что принцип выбора букв, который использовался Виета, не привился, основная идея его предложения была принята. Введение букв для обозначения чисел в математике, — «логистика специоза», как он сам назвал ее, и которая сыграла столь значительную роль в развитии математики, является величайшей заслугой Виета.

Нам сейчас даже трудно себе представить истинную ценность идеи Виета. Разве буквенная нотация не представляет собой простую формальность, в лучшем случае удобный способ сокращения? Действительно, есть определенная экономия в записи:

но дает ли эта запись нам нечто такое, чего бы не было в словесном утверждении «квадрат суммы двух слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых и их удвоенного произведения»?

Буквенную нотацию постигла судьба всех чрезвычайно удачных нововведений. Повсеместное ее использование привело к тому, что сейчас трудно себе представить время, когда прибегали к менее удобным методам. Сегодня формулы, в которых фигурируют буквы, обозначающие числа и другие величины, стали самым обычным делом, и возможность оперировать символами кажется большинству людей почти врожденным свойством мыслящего человека. Но она стала столь естественной только благодаря постоянному упражнению. Во времена Виета эта нотация воспринималась как коренным образом противоречащая вековым традициям.

В чем же сила такой символики?

Прежде всего, буквы освободили алгебру от подчиненности слову. Не только в том смысле, что без буквенной нотации всякое обладающее некоторой общностью алгебраическое утверждение превращается в длинный поток слов со всей присущей человеческой речи неточностью и многозначностью смысла. Это, конечно, очень важное обстоятельство, но еще важнее, что буква свободна от ограничений, наложенных на слова. «A» Виета или наш «х» существуют независимо от того, какой конкретный объект скрывается за ними, в то время как сокращенный условный знак переносит свой первоначальный смысл на то, что он обозначает. Поэтому буквенная символика не есть простая формальность.

Во-вторых, над буквенными выражениями очень удобно производить действия и с их помощью преобразовывать одну формулу в другую, эквивалентную ей. Преобразования соотношений для алгебры важнее, чем сокращение записи.

До появления буквенной символики можно было говорить лишь об индивидуальных выражениях. Каждое из выражений (как, например, 2x + 3; 3x —5; x2+4x + 7; 3x2—4х + 5) имело свои особенности и к каждому нужен был свой подход. Буквенная нотация позволила перейти от индивидуального к коллективному, от «некоторого» ко «всякому». Линейная функция ах+b. квадратичная функция ах2 + bх+с стали рассматриваться теперь с единой точки зрения. Это позволило построить общую теорию функций, которая является базисом всей прикладной математики.

Но самое важное из того, что дала «логистика специоза» — и это нас будет интересовать в данной статье — роль, которую она сыграла в формировании обобщенной концепции числа.

Имея дело с серией численных уравнений типа

можно ограничиться заявлением (как это и делали средневековые алгебраисты), что первую группу уравнений решить возможно, а вторую — невозможно.

Но когда мы рассматриваем буквенные уравнения такого же типа:

то сама неопределенность коэффициентов заставляет писать символические решения уравнений;

После этого уже невозможно настаивать, что выражение а — b имеет смысл только,если а больше, чем b, что —не существует, если b не является делителем а, и что у/ а не есть число, если а не представляет точную n-ую степень. Сам акт написания бессмыслицы придает ей смысл и трудно становится отрицать существование того, что получило какое-то название. Более того, если а > b, а — кратное b; а — точная n-ая степень какого-то числа, то для действий, обозначаемых символами существуют твердые правила. Поэтому рано или поздно, благодаря тому факту, что во внешнем виде этих выражений нет ничего такого, что указывало бы на их законность или незаконность, мы приходим к выводу — ничего не случится, если мы будем считать эти символы нормальными числами. А отсюда всего один шаг до признания этих символических выражений существующими вообще всегда. Современную арифметику отличает от довиетовской именно разница представлений о «невозможности». До семнадцатого столетия алгебраисты вкладывали в это слово абсолютный смысл. Имея дело лишь с нормальными числами при выполнении арифметических операций, они считали возможность или ограниченную возможность существенным свойством этих операций.

Так, прямые действия арифметики — сложение (a + b), умножение (ab) и возведение в степень аb —были всегда возможными, в то время как обратные действия — вычитание (а — b), деление — и извлечение корня (V~â) — были возможными лишь при определенных ограничениях. Довиетовские алгебраисты удовлетворялись констатацией этих фактов и не отваживались на более глубокий анализ проблемы.

Сегодня нам известно, что возможность и невозможность — понятия

весьма относительные, что они возникают не как проявление фундаментальных свойств действий, а просто как следствие ограничений, наложенных традицией. Устранив эти ограничения, мы устраним и невозможность той или иной операции. Прямые действия арифметики производят впечатление всегда возможных потому, что они требуют от нас сделать лишь несколько дополнительных шагов в последовательность натуральных чисел, которая априорно предполагается бесконечной. Отбросьте это предположение, ограничьте множество натуральных чисел тем или иным пределом (например, числом 1000), и такие действия как 925+ 125 или 67 × 15 станут невозможными, а соответствующие выражения бессмысленными.

Или представим себе, что мы ограничились рассмотрением только нечетных чисел. Умножение в этом случае будет возможно всегда, ибо произведение двух нечетных чисел есть число нечетное. Однако сложение в таком ограниченном множестве окажется вообще невозможным, ибо сумма двух нечетных чисел никогда не бывает нечетным числом.

В случае, если рассматривать одни лишь простые числа, умножение будет вообще невозможно по той очевидной причине, что произведение двух простых чисел никогда не бывает простым, в то время как сложение возможно будет лишь для таких редких случаев, когда одно из слагаемых есть простое число 2, а второе является меньшим в паре «близнецов» (соседних простых чисел, различающихся на 2 — Ред.), как это имеет место в случае 2+11 = 13.

Количество примеров можно было бы увеличить, но даже приведенных здесь достаточно, чтобы вскрыть относительную природу слов «возможный», «невозможный» и «бессмысленный». Но коль скоро мы признаем эту относительность, то естественным становится желание выяснить — нельзя ли так расширить область обратных действий, чтобы они, подобно прямым, стали всегда возможными.

В такую расширенную область операций вычитания достаточно включить кроме натуральных чисел отрицательные числа и нуль; называется эта область полем целых чисел.

Точно так же добавление положительных и отрицательных дробей делает всегда возможной операцию деления.

Все эти числа — целые числа, дроби, положительные и отрицательные, нуль — составляют область рациональных чисел. Как часть в нее входит совокупность натуральных чисел арифметики. Четыре основных арифметических действия, которые раньше производились над целыми числами, по аналогии оказывается возможным распространить и на эти обобщенные числа.

Это обобщение проходит совершенно гладко, без всяких противоречий, и если пока исключить единственный случай, который мы сейчас рассмотрим, можно утверждать, что сумма, разность, дробь от деления и степень всякого рационального числа есть также число рациональное. Этот чрезвычайно важный факт выражается обычно в следующей форме — множество рациональных чисел замкнуто по отношению к основным действиям арифметики.

Единственное и весьма существенное исключение состоит в невозможности деления на нуль. Такое деление равносильно решению уравнения х — 0 = а. Если а не есть нуль, то решение невозможно, ибо мы вынуждены, определяя число нуль, приписать ему следующее свойство: а ⋅ 0 = 0. Поэтому не существует рационального числа, для которого х ⋅ 0 = а.

С другой стороны, уравнение х ⋅ 0 = 0 удовлетворяется при любом рациональном значении х. Следовательно, х есть в данном случае неопределенная величина. И если у нас нет никакой другой информации по этому вопросу, мы должны рассматривать -^- как символ, обозначающий всякое рациональное число, а символ — как символ, не обозначающий никакого рационального числа.

Подводя итог сказанному, мы можем выдвинуть следующее краткое утверждение: если a, b и с — рациональные числа, и а не есть нуль, то всегда существует рациональное число х, причем только одно, которое удовлетворяет уравнению;

Это уравнение, называемое «линейным», представляет собой простейший тип уравнений. Следующим по сложности является квадратное уравнение, затем кубическое, четвертой степени и т. д. Общее алгебраическое уравнение степени n, где под n понимается наивысшая степень неизвестного, есть

Но и оно не исчерпывает бесконечного многообразия уравнений, которые могут быть также экспоненциальными, тригонометрическими, логарифмическими, эллиптическими и т. д. Все последние типы уравнений охватываются весьма емким термином «трансцендентные».

Пригодно ли поле рациональных чисел для того, чтобы придать смысл всем этим уравнениям? Абсолютно непригодно. Мы можем ожидать все большего и большего усложнения множества чисел по мере включения в рассмотрение новых уравнений. Однако это усложнение не является произвольным, в природе заложен некий механизм расширения числового поля, фундаментальная идея, дающая общую его схему.

Эта идея иногда носит название принципа перманентности. Впервые она была ясно сформулирована в 1867 г. немецким математиком Германом Ханкелем, но ее зачатки содержались уже в работах сэра Уильяма Гамильтона — одного из оригинальнейших и продуктивнейших умов девятнадцатого столетия.

Я сформулирую этот принцип в форме определения: Бесконечное множество символов называется числовым полем, и каждый элемент этого множества называется числом при условиях:

— если среди элементов множества содержится последовательность натуральных чисел;

— если мы можем установить некий критерий, с помощью которого мы получаем возможность всегда установить, равны ли два элемента между собою, а если не равны, то какой из них больше, а какой меньше; в случае, когда элементы являются натуральными числами, этот критерий превращается в известное правило сравнения натуральных чисел;

— если для любых двух элементов множества мы можем дать схему сложения и умножения, которая подчиняется перестановочному, сочетательному и распределительному законам, и которая превращается в схему этих действий над натуральными числами, когда символы являются таковыми.

Эти очень общие положения оставляют открытым вопрос о том, как принцип перманентности применяется в конкретных случаях. Гамильтон указал для этого метод, который он назвал методом алгебраических пар. Мы можем проиллюстрировать его на рациональных числах.

Если а кратно b, то символ — обозначает операцию деления а на b.

Так, — = 3 означает, что частное от данного деления есть 3. Можно ли для любых двух таких операций устанавливать, являются ли их результаты равными, а если нет, то какой из них больше, а какой меньше; причем устанавливать без выполнения самих операций? Да, мы имеем следующий критерий:

критерии сравнения

Мы можем пойти даже дальше и, не выполняя указанных операций, установить правила манипуляций для данных отношений:

сложение; умножение;

Теперь нам уже не нужно ставить условие, что а должно быть кратным b. Будем рассматривать как символ нового поля определенным образом расположенных математических объектов. Эти символические объекты зависят от двух целых чисел а и b, поставленных друг по отношению к другу в определенном порядке. В этом множестве пар мы можем ввести критерий сравнения, упомянутый выше, т. е. мы можем утверждать, например, что

Определим действия над этими парами в согласии с правилами, которые, как было показано, удовлетворяют нас в случае, когда а кратно b, и с кратно d, т. е. будем утверждать, например, что

Мы удовлетворим, таким образом, всем требованиям принципа перманентности, а именно:

— новое поле содержит натуральные числа как подполе, так как мы можем записать всякое натуральное число в виде пары:

— новое поле имеет критерий сравнения, который сводится к критерию сравнения натуральных чисел, когда— и — есть натуральные числа;

— существуют две операции над новым полем, которые обладают

свойствами сложения и умножения и сводятся к ним в случае, когда — и — есть натуральные числа.

Это и означает, что наши новые объекты удовлетворяют всем новым требованиям принципа. Они доказали свое право получить почетный титул «чисел». Они, таким образом, получили признание, и поле чисел, старых и новых, получило название поля рациональных чисел.

На первый взгляд может показаться, что принцип перманентности оставляет такую свободу в выборе операций, определяющих обобщенные числа, что этот слишком уж широкий охват не имеет особой практической ценности. Однако предположение, что натуральные числа входят как часть в новое поле и что операции над всеми числами должны подчиняться одинаковым законам (таким же, как и для натуральных чисел), накладывают в действительности столь серьезные ограничения, удовлетворять которым могут лишь весьма специальные поля.

Позицию арифметики, в которой сформулирован принцип перманентности, можно сравнить с политикой государства, склонного к экспансии, но желающего всюду соблюдать те фундаментальные законы, на которых оно зиждется. Эти две различных цели — экспансия, с одной стороны, и сохранение порядков и унификация, с другой, определяют условия присоединения новых стран к союзу.

Первый пункт принципа перманентности соответствует положению, что центральное государство союза задает тон всему союзу. Для каждого гражданина этого государства существует некий «табель о рангах», и этот табель распространяется на всех граждан вновь присоединенных стран. Это соответствует второму пункту принципа перманентности.

Наконец, предполагается, что законы, определяющие взаимоотношения между гражданами каждой отдельной страны, входящей в союз, строятся по типу отношений, установленных в ведущем государстве этого союза.

Разумеется, я не хочу, чтобы читатель воспринимал эту аналогию буквально. Она приведена лишь потому, что может вызвать ассоциации из более знакомой всем сферы и убедить в том, что принцип перманентности не является надуманным и искусственным.

Рассуждения, которые помогли нам сконструировать область рациональных чисел, были характерны для первых этапов того исторического процесса, который получил название арифметизации математики. Это движение, начатое Вейерштрассом в шестидесятых годах прошлого века, имело своей целью принципиальное отделение чисто математической концепции таких терминов, как «число», «соответствие» и «множество», от интуитивных представлений, связанных с ними и родившихся в результате долгого использования этих понятий в геометрии и механике.

В частности, механика, по мнению сторонников формальной школы, наложила такой сильный отпечаток на математическое мышление, что даже при самом тщательном выборе слов, в формулировках все равно чувствуется механическое значение, скрытое в глубине, и это оказывает влияние на наши рассуждения. Беда в том, что слова человеческой речи суть нечто, связанное с определенным содержанием, в то время как целью математики является «очищенное» мышление.

Но как можно избежать употребления человеческой речи? Ответ заключен в слове «символ». Только используя символический язык, не захваченный еще влиянием расплывчатых идей о времени, пространстве, непрерывности, господствующих в нашем подсознании и затуманивающих рассуждение, — только так мы можем надеяться поставить математику на крепкое логическое основание.

В этом заключается платформа школы, заложенной итальянцем Пеано и такими представителями современной математики, как Бертран Рассел

и Альфред Норт Уайтхед. В фундаментальном труде этих ученых «Principia Mathematica» авторы попытались сконструировать весь базис математики, отталкиваясь лишь от наиболее глубоких, фундаментальных предпосылок и опираясь исключительно на строгие принципы логики. Использование символики не оставило места в этой книге для тех расплывчатых ассоциаций, которые всегда связаны со словами людской речи.

Признаюсь, что мне лично не импонирует крайний формализм школы Пеано — Рассела, что я никогда не чувствовал вкуса к их методам символической логики и что все мои многократные попытки усвоить их символизм всегда кончались неудачей, смущением и отчаянием. Это индивидуальное мое качество, разумеется, оказывало влияние на мое мнение, и это — важная причина, по которой я не излагаю здесь своих предубеждений.

Тем не менее, эти предубеждения не заставили меня недооценивать роли математической символики. Я считаю, что колоссальное значение этой символики заключается не в создании стерильности и полном запрещении интуиции человеческого мышления, а в неограниченной возможности использовать эту интуицию для создания новых форм мышления.

Чтобы убедиться в этом, нет необходимости обращаться к сложным техническим терминам современной математики. Достаточно более известной, но и более тонкой символики языка. Ибо, поскольку наш язык пригоден для формулировки точных высказываний, он является не чем иным, как системой символов, риторической алгеброй высшего ранга. Существительные есть не что иное, как символы классов объектов, глаголы символизируют отношения, а предложения являются утверждениями, связывающими эти классы. Но будучи абстрактными символами классов, слова обладают способностью пробуждать в воображении картину конкретного элемента, представляющего класс. Именно в этой двойственности функции слов и заключено зерно конфликта, который возникает между логикой и интуицией.

То, что верно по отношению к словам вообще, верно, в частности, и по отношению к тем словам, которые обозначают натуральные числа. Благодаря тому, что они способны вызывать в нашем воображении конкретные множества, они кажутся нам настолько глубоко связанными с реальностью, что приобретают как бы абсолютное значение. Тем не менее, в том смысле, в каком они употребляются в арифметике, они есть не более, как символы, подчиняющиеся определенным правилам действий.

Но как только мы приходим к признанию символической природы натуральных чисел, они сразу же теряют свой абсолютный характер. Их внутреннее родство и сходство с более обширным классом объектов, ядром которого они являются, становятся совершенно очевидным. Наряду с этим в новом освещении последовательное расширение концепции числа начинает выглядеть не как некий искусственный и условный трюк, а как необходимый и неизбежный процесс, шаг за шагом углубляющий наше познание.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОТКРЫТИЯ

Анри Пуанкаре

Происхождение математического открытия — проблема, способная вдохновить пытливого психолога, ибо в этом открытии человеческий ум, по-видимому, очень слабо опирается на внешнюю реальность, в которой мы живем и действуем, и извлекает истину как бы из самого себя, так что, изучая процесс развития геометрического мышления, мы можем надеяться установить то, что является наиболее существенным свойством человеческого мышления вообще.

Первое, что удивляет нас или, скорее, должно было бы удивить нас, если бы мы так не привыкли к нему, это следующий вопрос — почему существуют люди, не понимающие математики? Если наука придерживается четких правил логики, доступных всякому здравомыслящему человеку, если ее доказательства основаны на принципах, которые никто, кроме сумасшедшего, не может не принять, то как может случиться, что имеется все же довольно много индивидуумов, абсолютно не воспринимающих эту науку?

Нет ничего удивительного в том, что не каждый способен сделать открытие. Также можно допустить, что не всякий способен удержать в своей памяти то, что он однажды выучил. Но кажется наиболее странным, когда думаешь об этом всерьез, что никто не умеет понять математические доводы в тот самый момент, когда они перед ним выдвигаются. И даже те, кто успевают следить за этими доводами, составляют явное меньшинство. Сказанное мной является твердо установленным фактом — опыт учителей, преподающих в старших классах, подтверждает это.

Пойдем дальше — как могут возникать математические ошибки? Нормальный разум не должен ошибаться в логике, и тем не менее существуют очень проницательные люди, не делающие никаких ложных шагов в повседневных рассуждениях, но в то же время совершенно не способные повторить без

ошибки математическую мысль, которая, хотя и бывает длинной, есть не что иное, как концентрированное выражение той аргументации, которую все мы легко понимаем в быту. Следует ли напоминать, что даже сами математики не являются здесь безгрешными?

Для меня ответ на все эти вопросы является очевидным. Представим себе длинную серию силлогизмов, в которой вывод каждого предыдущего является посылкой для последующего. Мы, как правило, способны усвоить каждый из силлогизмов и не подвергаемся опасности сбиться на пути от посылки к выводу. Но между моментом, когда мы впервые приходим к некоторому утверждению, являющемуся выводом определенного силлогизма, и моментом, когда мы вновь возвращаемся к нему как в посылке следующего силлогизма, проходит обычно много времени и здесь мы теряем многие звенья цепи — попросту забываем их или, что еще серьезнее, забываем их смысл. Поэтому случается, что мы заменяем их другими, несколько отличными от них предложениями, или сохраняем то же самое предложение, но придаем ему слегка другой смысл, и таким образом впадаем в ошибку.

Математик часто должен знать какие-то правила и, естественно, он начинает освоение с демонстрации этих правил. В момент, когда демонстрация еще довольно свежа в его уме, он полностью понимает смысл и значение правил, и в это время нет опасности, что он их забудет. Но позже он просто надеется на память и применяет их уже механически, и тогда память может подвести его, и он может применить правила неверно. Это приблизительно можно сравнить с тем, если бы мы забыли таблицу умножения — ошибки в вычислении стала бы неизбежными.

В свете только что сказанного вывод по отношению к математике должен быть таким — для ее усвоения необходима либо очень хорошая память, либо сильнейшая способность к концентрации внимания. Эти качества аналогичны тем, которые необходимы игроку в вист, которому необходимо запоминать вышедшие карты, или, если прибегнуть к примеру более высокого класса, шахматисту, воспроизводящему в сознании будущее развитие игры на много ходов вперед. Всякий хороший математик должен быть хорошим шахматистом и наоборот; кроме того, математик должен быть и хорошим вычислителем. Так и происходит в некоторых случаях. Гаусс, например, будучи гением в геометрии, в то же время обладал способностью быстро и безошибочно производить сложные вычисления.

Но существуют и исключения, а может быть я и неправ, называя их исключениями, ибо они, возможно, более многочисленны, чем случаи, подтверждающие правило. Скорее всего Гаусс был исключением. Что касается меня лично, то я дол-

жен признаться: я абсолютно не способен сложить два числа без того, чтобы не ошибиться. Кроме того, я очень плохо играю в шахматы. Я обычно легко могу рассчитать, что сыграв определенным образом, я навлеку на себя такие-то неприятности. После этого я рассматриваю другие варианты хода и отвергаю их по разным причинам. В конце концов я делаю тот самый ход, который был отброшен мною вначале, так как к тому времени я уже забываю об опасности, которую предвидел тогда.

Словом, моя память не то, чтобы плоха, но недостаточна для того, чтобы сделать меня сильным игроком в шахматы. Почему же, в таком случае, она не подводит меня в сложных математических рассуждениях, в которых запуталось бы большинство шахматистов? Бесспорно потому, что она руководствуется определенной нитью, проходящей через аргументацию. Математическая мысль не есть простая совокупность силлогизмов; эти силлогизмы расположены в ней в определенном порядке, и порядок, в котором элементы следуют друг за другом, гораздо важнее самих элементов. Коль скоро я чувствую этот порядок, так сказать, интуитивно настолько, что могу уловить общую идею всей аргументации, я могу не бояться того, что один из элементов выпадет из моей памяти — каждый из них в этом случае естественным образом ляжет на свое место без особых усилий памяти.

Когда я повторяю чье-то математическое рассуждение, мне всегда кажется, что я сам мог бы его придумать. Это только иллюзия, но даже в тех случаях, когда я не оказался достаточно умным, чтобы создать какую-то мысль сам. я воссоздаю ее при повторении за другим.

Понятно, что это чувство, эта интуиция, делающая возможным постижение скрытой гармонии отношений, расположения математических элементов, имеется не у каждого. Некоторые не обладают ни этим тонким чувством, которому даже трудно дать определение, ни силой памяти, ни концентрацией внимания, превышающей обычную, и поэтому они совершенно не способны усвоить даже простейшие понятия высшей математики. К этой группе относится большинство людей. Другие обладают интуицией в небольшой степени, но зато одарены незаурядной памятью и способностью сильно напрягать внимание. Они выучивают элементы один за одним наизусть и могут овладеть высшей математикой и некоторыми ее применениями, но никогда не станут в этой науке творцами. Наконец, иные имеют особую интуицию, о которой я говорил, и они способны не только понимать математику, даже если их память не является очень хорошей, но и стать создателями нового и с большим или меньшим успехом — в зависимости от степени развития интуиции — попытаться сделать математические открытия.

Что же представляет собой математическое открытие? Оно

не заключается просто в новой комбинации тех понятий, которые уже известны. Это может быть сделано каждым, а создаваемые комбинации могут быть бесконечно разнообразными, однако подавляющее большинство из них не представляет никакого интереса. Открытие в математике совершенно определенно состоит не в конструировании бесполезных комбинаций, а в отыскании того меньшинства из них, которое приносит пользу. Таким образом, открытие есть отбор, селекция.

Как эта селекция должна производиться, я уже говорил. Математическими фактами, достойными изучения, являются такие, которые, благодаря их аналогии с другими фактами, способны привести нас к познанию законов математики — точно так же, как экспериментальные факты ведут нас к познанию законов физики. Это — такие факты, которые раскрывают глубокие связи между другими фактами, давно известными науке, но ошибочно считавшимися не имеющими друг к другу никакого отношения.

Среди отбираемых нами комбинаций наиболее плодотворными часто бывают те, которые упорядочивают элементы, взятые из самых разных областей. Я не хочу сказать, что, чтобы сделать открытие, достаточно связать между собою объекты настолько далекие друг от друга, насколько это возможно. Огромное большинство таких соединений будет абсолютно бесплодным, но некоторые из них, правда очень редкие, оказываются исключительно плодотворными.

Я сказал, что открытие есть отбор. Но это, вероятно, не совсем правильное слово. Оно подразумевает покупателя, которому показывают громадное количество образцов и который рассматривает их один за другим для того, чтобы выбрать нужный ему. В нашем случае образцы образуют такое множество, что жизни человека не хватит для испытания каждого из них. Дело обстоит по-другому. Бесполезные комбинации не столь навязчивы, чтобы пробиваться в сознание открывателя. В сфере его мышления не проявляется ничего, кроме полезных комбинаций; даже те, которые он отвергает, имеют характер до некоторой степени полезных комбинаций. Все происходит так, как если бы у открывателя был некий предварительный экзаменатор, допускающий к окончательному испытанию лишь тех кандидатов, которые справились с определенным экзаменом.

То, что я говорил до сих пор, основано лишь на знакомстве с работами геометров, знакомстве, которое, конечно, сопровождалось анализом.

Теперь пора пойти дальше и заглянуть в самую душу математика. Здесь, я думаю, мне трудно сделать что-либо большее, чем поделиться собственными воспоминаниями. Я ограничусь рассказом о том, как я написал свой первый трактат по фуксовским функциям. Я хочу принести извинения за то,

что мне придется иногда употреблять некоторые термины, но это не должно тревожить читателя, так как ему не обязательно вникать в их смысл. Я буду говорить, например, как я нашел применения такой-то теоремы в таких-то случаях; сама теорема будет иметь варварское название, неизвестное большинству, но это не имеет никакого значения. Что интересует психолога — это не теорема, а обстоятельства.

В течение двух недель я пытался доказать, что не может существовать функция, аналогичная тем, которые я с тех пор называю фуксовскими функциями. В то время я был крайне невежественным. Каждый день в течение часа или двух я сидел за столом, изучая множество всяких комбинаций, но дело не двигалось с места. Однажды вечером я, против обычного, выпил черного кофе и почувствовал, что не могу заснуть. Вихрь идей завертелся в моей голове, я будто даже почувствовал, как они оттесняют друг друга, пока две из них не соединились, так сказать, в устойчивую комбинацию. Когда настало утро, я установил существование одного класса фуксовских функций, связанных с гипергеометрическими рядами. Мне осталось только проверить результат, что потребовало всего нескольких часов.

Затем я захотел представить эти функции в виде частного от деления двух рядов. Эта идея была совершенно сознательной и целенаправленной — я руководствовался аналогией с эллиптическими функциями. Я спросил себя, какими должны быть свойства этих рядов, если последние существуют, и без труда нашел ряды, названные мной тэта-фуксовскими.

В это время я покинул Каэну, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической конференции, организованной Горным училищем. Путешествие заставило меня забыть мою математическую работу. Когда мы прибыли в Кутанс, нам подали карету для прогулки. В тот самый момент, когда я поставил ногу на ступеньку, мне пришла идея, хотя в предшествующих моих мыслях не было ничего такого, что могло бы подготовить ее появление, что преобразования, использованные мной для определения фуксовских функций, были идентичными с преобразованиями неэвклидовой геометрии. Я не сделал проверки, не имея времени для этого, так как, сев в карету, я должен был продолжать беседу, но я уже был абсолютно уверен в своей правоте. Вернувшись в Каэну, я произвел в спокойной обстановке необходимые выкладки и убедился для успокоения своей совести, что идея была совершенно правильной.

Затем я начал изучать некоторые арифметические проблемы — без каких-либо явных результатов и совершенно не предполагая, что они имеют какую-то связь с моими предыдущими исследованиями. Устав от попыток добиться успеха, я поехал, провести несколько дней у моря, где думал совер-

шенно о других вещах. Однажды, когда я бродил в скалах, меня снова озарила идея, столь же ясная, внезапная и несомненная, что определенные арифметические преобразовании квадратичных форм тождественны преобразованиям неэвклидовой геометрии.

По возвращении домой я проанализировал результат и вывел из него следствия. Квадратичные формы натолкнули меня на мысль, что существуют фуксовские группы, отличные от тех, которые соответствуют гипергеометрическим рядам; я увидел, что к ним можно применить теорию тэта-фуксовских рядов и что, соответственно, существуют фуксовские функции, не совпадающие с теми, — единственными, известными мне в то время, которые происходят от гипергеометрических рядов. Естественно, я захотел установить все эти функции. Я начал их систематическую осаду и взял в плен одну за другой. Оставалась, однако, еще одна, по-прежнему недоступная, захват которой означал бы падение всей крепости. Но первое время все мои усилия оказывались тщетными, если не считать, что установление степени трудности проблемы само по себе все же имеет определенное значение. Вся эта поисковая работа велась уже абсолютно сознательно.

Затем по делам армейской службы я вынужден был уехать в Монт-Валерьен, где мои мысли оказались занятыми опять-таки совершенно другими вещами. Как-то я переходил улицу и вдруг понял, как решается мучившая меня задача. Я не попытался развить идею в тот же момент и сделал это только после окончания служебного задания, когда вернулся к своим научным занятиям. У меня в руках были теперь все элементы и оставалось только соединить их и упорядочить. Соответственно, я закончил весь свой трактат без всякого труда, не встав ни разу со стула.

Нет смысла увеличивать число примеров, и я ограничусь теми, которые привел. Если бы я начал рассказывать о других своих работах, то это лишь подтвердило бы сказанное. Еще ряд подтверждений можно найти, изучая биографии других математиков.

Случаи внезапного озарения, мгновенного завершения длительной подсознательной работы мозга, конечно, поразительны. Роль этой подсознательной деятельности интеллекта в математическом открытии можно считать, по-видимому, бесспорной. Мы попытаемся обнаружить ее и оценить ее значение и в таких случаях, когда она не столь очевидна.

Часто бывает так: человек работает над трудной проблемой, но ничего не может добиться сразу же, с первого приема. После безуспешных попыток он оставляет эту работу и некоторое время отдыхает, а затем снова садится за стол, В течение первых тридцати минут он все еще не может ничего добиться, а затем внезапно ему в голову приходит решающая

идея. Можно сказать, что в этом случае подсознание работало более эффективно потому, что был сделан перерыв, и отдых восстановил силу и свежесть мозга. Но более вероятно, что во время отдыха подсознание продолжало работать как и прежде, и результат этой работы проявился позже в найденной математиком формулировке подобно тому, как это происходило в описанных мною случаях, с той только разницей, что озарение пришло не во время прогулки, а в период сознательной работы мозга, но независимо от этой работы. Иными словами, мы наблюдаем здесь процесс, похожий на то, как если бы некий толчок пробудил к сознательной форме идею, созревшую во время отдыха, но остававшуюся до этого неосознанной.

Следует сделать еще одно замечание, касающееся условий подсознательной умственной работы, — она невозможна или, во всяком случае, бесполезна без предыдущего и последующего периодов сознательного мышления. Внезапное вдохновение никогда не могло бы прийти (и это уже достаточно веско подтверждено приведенными примерами) без многих дней предшествующих целенаправленных усилий, казавшихся в то время совершенно бесплодными и направленными по абсолютно неправильному пути. Эти усилия, однако, как выясняется, были не такими уж напрасными, какими они представлялись— их роль заключается в том, что они включили машину подсознания, которая без них не начала бы свое действие и не принесла бы плодов своего труда.

Таковы факты. Они наталкивают на целый ряд размышлений.

Прежде всего скажу, что моей целью было убедить читателя в том, что существует некое «подсознательное я» и что именно оно играет чрезвычайно важную роль в математическом открытии. Сейчас мы выяснили, что точка зрения тех, кто считает это «я» работающим совершенно автоматически, не является правильной. Мы убедились, что математическое мышление нельзя рассматривать как простой и однородный процесс, что его очень трудно сопоставлять с какой-нибудь машиной, пусть даже очень сложной и совершенной. Это — не просто применение определенных правил, перебор всех возможных комбинаций, удовлетворяющих некоторым заранее поставленным требованиям. Такие комбинации в своем подавляющем большинстве совершенно бесполезны. Истинная работа открывателя состоит в выборе из гораздо более узкого круга комбинаций, оставшихся после исключения явно бесплодных; последние даже не приходят математику в голову. Правила, которые могут обеспечить такого рода предварительную сортировку, являются настолько тонкими и сложными, что точно и однозначно сформулировать их практически невозможно; их скорее нужно чувствовать, чем описывать

словами. Но в таком случае разве можно говорить об их механическом применении?

Все, что я буду говорить дальше, является предварительной гипотезой, требующей проверки. «Подсознательное я» не является ни в каком смысле низшим по сравнению с «сознательным я»; его нельзя рассматривать как чисто автоматический механизм; оно способно к различению идей; ему присущи даже вкус и определенная тонкость чутья; оно может производить селекцию; оно способно восхищаться совершенной формой, и более того, оно способно к этому чуть ли не в большей степени, чем «сознательное я», ибо срабатывает и в тех случаях, когда последнее отказывает. Учитывая все это, можно поставить вопрос — не является ли подсознание высшей формой мышления по сравнению с сознанием?* Важность такого вопроса нетрудно понять. В недавней лекции М. Бутро показал, почему этот вопрос возникает и какие следствия вытекали бы из положительного ответа на него.

Должны ли мы дать положительный ответ, исходя из всех рассмотренных фактов? Признаться, я совсем не склонен этого делать. Давайте снова вернемся к фактам и посмотрим, нельзя ли дать им другое объяснение.

Совершенно очевидно, что комбинации, которые приходят в голову в виде внезапного озарения после относительно долгого периода подсознательной работы мозга, являются обычно полезными и плодотворными комбинациями, они представляются результатом предшествующего фильтрования. Следует ли отсюда, что подсознание, руководствуясь тонким чутьем ценности комбинаций, не формирует ни одной из них, кроме полезных? А может быть оно формирует и огромное количество всех остальных, но затем только те из комбинаций, которые представляют интерес, выходят в сознание, а бесполезные остаются в подсознании?

С этой второй точки зрения в результате автоматического действия подсознания формируются все комбинации, но лишь те из них, которые представляют интерес, получают выход в область сознания. Это тоже, конечно, загадочно. Как объяснить, что из тысяч продуктов нашего подсознательного мышления лишь некоторым дано перейти определенный порог, в то время как другие остаются за порогом? Простой ли случаи обусловливает такую привилегию для части комбинаций? Очевидно, нет. Мы знаем из других примеров, что из всех видов возбуждения наших органов чувств лишь самые интенсивные привлекают наше внимание, если, конечно, последнее не концентрируется на каком-то определенном восприятии по сознательным причинам. Обобщая это, можно предположить,

* О критике В. И. Лениным философских взглядов А. Пуанкаре см. в работе В. И. Ленина «Материализм и эмпириокритицизм». — Ред.

что привилегированными подсознательными явлениями, способными превратиться в сознательные, являются такие, которые прямо или косвенно оказывают наиболее глубокое воздействие на наши чувства.

Таким образом, неожиданно может оказаться, что наше восприятие находится в прямой связи с математическим мышлением, всегда считавшимся не эмоциональной, а интеллектуальной категорией. Но ведь мы определенно носим в себе ощущение математической красоты, гармонии чисел и формы, геометрического изящества. Все эти чувства — настоящие эстетические чувства, и они хорошо знакомы всем настоящим математикам. С другой стороны, они, безусловно, связаны с нашим общим восприятием.

Но принадлежат ли математические понятия, к которым мы применяем эпитеты «красота» и «изящество», к области истинной эмоциональной эстетики? Да, но только такие из них, элементы которых расположены в столь гармоническом порядке, что ум без всякого усилия, не вникая в детали, может постигнуть их сущность. Такая гармония одновременно удовлетворяет и нашим чисто эстетическим критериям. Она помогает разуму, направляет его по верному пути, служит ориентиром в поиске. Кроме того, представляя перед нашим интеллектом хорошо организованное целое, гармония осуществляет реализацию математического закона. Но, как я уже говорил выше, только факты, которые достойны нашего внимания и способны принести пользу, являются фактами, открывающими для нас возможность познания математической закономерности. Следовательно, мы приходим к такому заключению: полезные комбинации являются в то же время и наиболее красивыми, то есть такими, которые способны возбуждать знакомое всем математикам особое эстетическое чувство, хотя невежды могут относиться к существованию такого чувства весьма скептически.

6 коп.

Индекс 70096

ДОРОГИЕ ТОВАРИЩИ!

Не забудьте выписать на 1968 год серию научно-популярных брошюр «Математика, кибернетика»

Индекс 70096

Серия рассказывает о важнейших проблемах современной математики и кибернетики, о том, как абстрактные математические формулы приобретают материальную силу, как математика позволяет разрешать самые разнообразные задачи в практической деятельности людей.

В 1968 году подписчики получат следующие брошюры:

Бонгард М. М., канд. техн. наук.

Современная теория узнавания.

Брудно А. Л., докт. физ.-мат. наук.

Задача о коммивояжоре.

Канторович Л. В., академик.

Что такое оптимальное математическое программирование.

Кронрод А. С, докт. техн. наук.

Эвристическое программирование.

Кунин П. Е., канд. техн. наук.

Кибернетика и медицинская диагностика.

Левин В. И., докт. физ.-мат. наук.

Рамануджан.

Ляпунов А. А., чл.-корр. АН СССР.

Математика и биология.

Полетаев И. А., канд. техн. наук.

Математические модели кибернетики.

Тихонов А. Н., академик.

Роль математики в развитии естествознания.

Резерв — 3 брошюры.

Всего 12 брошюр в год средним объемом 48 стр.

Подписная плата на 12 мес. — 1 руб. 08 коп.

» 6 » — 54 коп.

» 3 » — 27 коп.

В каталоге «Союзпечати» серия «Математика, кибернетика» расположена в разделе «Научно-популярные журналы» под рубрикой «Брошюры издательства «Знание».

Издательство «Знание».