Популярные лекции

ПО МАТЕМАТИКЕ

А.И.МАРКУШЕВИЧ

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ВЫПУСК 4

А. И. МАРКУШЕВИЧ

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ДОПОЛНЕННОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1978

513 M 26

УДК 513

Алексей Иванович Маркушевич

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

М., 1978 г., 48 стр. с илл.

Редактор В. В. Донченко

Техн. редактор Е. В. Морозова Корректор Н. Д. Дорохова

ИБ № 11178

Сдано в набор 26/IX 1977 г. Подписано к печати 20/1 1978 г. Бумага 84X1087» тип. №3. Физ. печ. л. 1,5. Условн. печ. л. 2,52. Уч.-изд. л 2,11. Тираж 200 000 экз. Цена книги 5 коп. Заказ № 763

Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, B-71, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. J98052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29,

© Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука» 1978, с изменениями.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие к третьему изданию . .......... 4

1. След движущейся точки............. 5

2. Прямая и окружность.............. 5

3. Эллипс.................... 7

4. Фокусы эллипса................ 9

5. Эллипс — сплюснутая окружность......... 10

6. Эллипсы в быту и природе............ 11

7. Парабола.................... 13

8. Параболическое зеркало............. 14

9. Полет камня и снаряда............. 15

10. Гипербола................... 16

11. Оси и асимптоты гиперболы............ 17

12. Равнобочная гипербола............. 19

13. Сечения конуса................ 21

14. Теорема Паскаля................ 23

15. Теорема Брианшона............... 26

16. Лемниската Бернулли.............. 27

17. Лемниската с двумя фокусами.......... 29

18. Лемниската с любым числом фокусов........ 30

19. Циклоида................... 32

20. Кривая кратчайшего спуска............ 33

21. Спираль Архимеда............... 35

22. Задачи Архимеда................ 37

23. Цепочка Галилея................ 38

24. Цепная линия................. 39

25. График показательной функции.......... 40

26. Подбор длины цепочки............. 41

27. А если длина не та?.............. 42

28. Все цепные линии подобны............ 43

29. Логарифмическая спираль ............ 45

30. Развертка окружности.......... 46

31. Заключение ... . 48

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Эта книжка предназначается главным образом для школьников, а также для занимающихся самообразованием взрослых читателей, математическое образование которых ограничивается средней школой. В основу книжки положена лекция, прочитанная в свое время автором для московских школьников седьмых и восьмых классов.

При подготовке лекции к изданию автор немного расширил ее, стараясь, однако, не уменьшать доступности изложения. Самым существенным добавлением является п. 13 — об эллипсе, гиперболе и параболе как сечениях конической поверхности.

Чтобы не увеличивать объема книжки, большинство сведений о кривых излагается без доказательств, хотя во многих случаях доказательства можно было бы дать в доступной для читателя форме.

Настоящее, третье, издание книжки пополнено сведениями о теоремах Паскаля и Брианшона (о вписанных и описанных шестиугольниках), спирали Архимеда, цепной линии, логарифмической спирали и развертке окружности.

Автор

1. СЛЕД ДВИЖУЩЕЙСЯ ТОЧКИ

В разговорном языке слова «кривой», «кривая», «кривое» употребляются как прилагательные, обозначающие то, что отклоняется от прямого, от правильного, от справедливого. Говорят о кривой палке, о кривой дороге, о кривом зеркале; «богат, да крив; беден, да прям», — гласит пословица.

Математики употребляют слово «кривая» обычно в смысле существительного; они разумеют под этим словом кривую линию. Что же такое кривая линия? Как охватить в одном определении все кривые, которые рисуются на бумаге карандашом или пером, на доске мелом, вычерчиваются на ночном небе «падающей звездой» или ракетой?

Мы примем следующее определение: кривая (подразумевается линия) есть след движущейся точки. Такой точкой в наших примерах является острие карандаша, острый край куска мела, раскаленный метеор, пронизывающий верхние слои атмосферы, или ракета. С точки зрения этого определения прямая линия есть частный случай кривой. В самом деле, почему бы движущейся точке не оставлять прямолинейный след?

2. ПРЯМАЯ И ОКРУЖНОСТЬ

Движущаяся точка и на самом деле описывает прямую, когда она переходит из одного своего положения в любое другое по кратчайшему пути. Для вычерчивания прямой пользуются линейкой; если карандаш скользит вдоль края линейки, то его острие оставляет на бумаге прямолинейный след.

Если точка движется на плоскости, сохраняя неизменное расстояние от некоторой неподвижной точки той же плоскости, то она описывает окружность; на этом свойстве окружности основано ее вычерчивание посредством циркуля.

Прямая и окружность — две наиболее простые и вместе с тем наиболее замечательные по своим свойствам кривые. Читатель знаком с прямой и окружностью больше, чем с другими кривыми. Но пусть он не думает, что ему хорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей. Знает ли он, например, что если вершины двух треугольников ABC и А'В'С лежат на трех прямых, пересекающихся в одной точке S (рис. 1), то тогда три точки М, /С, L пересечения соответственных сторон треугольников AB с А'В\ ВС с В/С/ и ЛС с А'С должны находиться на одной и той же прямой?

Читателю, конечно, известно, что точка Af, которая движется по плоскости, оставаясь на равных расстояниях от двух неподвижных точек F\ и F2 той же плоскости, т. е. так, что MF\ = MF2, описывает прямую (рис. 2). Но, вероятно, он затруднится ответить, ка-

Рис. 1.

Рис. 2.

кую кривую опишет точка М, если ее расстояние до точки F\ будет в определенное число раз превосходить расстояние до точки F2 (например, вдвое, как на рис. 3). Оказывается, что этой кривой является окружность. Следовательно, если точка M движется по плоскости так, что ее расстояние до одной из двух неподвижных точек F\ и F2 плоскости будет изменяться пропорционально расстоянию до другой точки:

MF{ = k • MF2f

то M будет описывать либо прямую (когда коэффициент пропорциональности k равен единице), либо окружность (когда коэффициент пропорциональности отличен от единицы).

3. ЭЛЛИПС

Рассмотрим кривую, описываемую точкой M так, что сумма расстояний этой точки до двух неподвижных точек F\ и F2 остается неизменной. Возьмем нить, концы ее привяжем к двум булавкам и воткнем эти булавки в лист бумаги, оставляя сначала нить ненатянутой. Если оттянуть теперь нить с помощью вертикально поставленного карандаша и затем передвигать карандаш, слегка придавливая его к бумаге и следя за тем, чтобы нить была натянутой (рис. 4), то острие M карандаша опишет кривую овальной формы

Рис. 3.

(похожую на сплющенный круг); она называется эллипсом.

Чтобы получить полный эллипс, придется перекинуть нить на другую сторону от булавок, после того как будет описана одна половина эллипса. Очевидно, что сумма расстояний от острия M карандаша до булавочных проколов Fi и F2 остается неизменной во все время движения; эта сумма равна длине нити.

Проколы булавок отмечают на бумаге две точки, называемые фокусами эллипса. Слово фокус в переводе с латинского означает «очаг», «огонь»; оно оправдывается следующим замечательным свойством эллипса.

Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге эллипса и поместить точечный источник света («огонь») в одном фокусе, то лучи света, отразившись от полоски, соберутся в другом фокусе; поэтому и во втором фокусе будет также виден «огонь» — изображение первого (рис. 5).

Рис 4.

Рис. 5.

4. ФОКУСЫ ЭЛЛИПСА

Если соединить фокусы эллипса отрезком прямой и продолжить этот отрезок до встречи с эллипсом, то получится большая ось эллипса: А\А2 (рис. 6). Эллипс симметричен относительно своей большой оси. Если разделить отрезок F\F2 пополам и в середине восставить перпендикуляр к нему, продолжая этот перпендикуляр до встречи с эллипсом, то получим малую ось эллипса: В[В2. Она также является осью симметрии

эллипса. Концы осей: Аи А2) В{ и В2 называются вершинами эллипса.

Расстояния точки А\ до фокусов F\ и F2 в сумме должны давать длину нити:

A{FX + AXF2 = L

Но

AXFX = A2F2

в силу симметрии эллипса; поэтому A\F\ можно заменить A2F2t и мы получаем:

A2F2 + AXF2 = L

Очевидно, что в левой части этого равенства стоит длина большой оси эллипса. Итак, длина большой оси эллипса равна длине нити; иными словами, сумма расстояний любой точки эллипса до фокусов равна большой оси этого эллипса. Отсюда следует в силу симметрии эллипса, что расстояние от вершины В2 (или В\)

Рис. 6.

до каждого из фокусов равно половине длины большой оси. Поэтому, зная вершины эллипса, легко построить его фокусы: нужно засечь большую ось дугой окружности с центром в точке В2 и радиусом, равным половине А\А2.

5. ЭЛЛИПС — СПЛЮСНУТАЯ ОКРУЖНОСТЬ

На большой оси эллипса как на диаметре построим окружность (рис. 7). Из какой-либо точки N окружности опустим на большую ось перпендикуляр NP, который пересечет эллипс в точке М. Очевидно, что NP больше MP в некоторое число раз. Оказывается, если взять любую другую точку N' окружности и проделать такое же построение, то N'P' будет больше соответствующего отрезка М'Р' в то же самое число раз;

Иными словами, эллипс можно получить из описанной около него окружности, если все точки окружности приблизить к большой оси эллипса, сократив

Рис. 7.

расстояния точек до большой оси в одно и то же число раз. На этом свойстве основан простой способ построения эллипса по точкам. Строим окружность, проводим какой-либо ее диаметр, а затем заменяем точки окружности другими, лежащими на перпендикулярах к диаметру, на расстояниях, в несколько раз (в 1~, 2, 3 и т. д.) более близких к нему. Получим точки эллипса, большая ось которого совпадает с диаметром окружности, а малая ось в соответствующее число раз (1 y» 2, 3 и т. д.) меньше диаметра.

6. ЭЛЛИПСЫ В БЫТУ И ПРИРОДЕ

Эллипсы мы часто наблюдаем в жизни. Если, например, наклонить стакан с водой, то очертание верхнего слоя воды будет эллипсом (рис. 8); точно так же, если от цилиндрического куска колбасы отрезать ломтики, ставя нож косо, то ломтики эти будут иметь очертания эллипсов (рис. 9). Вообще, если прямой цилиндр (или конус) разрезать наискось (так, чтобы не затронуть при этом оснований), то в разрезе получится эллипс (рис. 10).

Еще Кеплер (1571—1630) обнаружил, что планеты движутся вокруг Солнца не по кругам, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в фокусе каждого эллипса (рис. 11). Один раз за время оборота планета бывает в вершине эллипса Аи

Рис. 8.

Рис. 9.

ближайшей к Солнцу,— это так называемый перигелий, и один раз — в вершине Л2, наиболее удаленной от Солнца, в афелии. Земля, например, бывает в перигелии, когда в нашем полушарии зима, а в афелии — когда в нашем полушарии лето. Эллипс, по которому движется Земля, мало сплюснут; по виду он похож на окружность.

Рис. 10.

Рис. 11.

7. ПАРАБОЛА

На листе бумаги проведем какую-либо прямую D\D2, возьмем точку F вне ее и заставим острие карандаша M двигаться так, чтобы его расстояние до прямой было в любой момент таким же, как и расстояние до точки F (рис 12). Для этого достаточно к вершине 5 чертежного треугольника прикрепить кнопкой нить, по длине равную катету SN, и свободный конец нити привязать к булавке, воткнутой в точку F. Если теперь другой катет треугольника будет скользить по линейке, приложенной к DiD2, то острие карандаша М, натягивающее нитку и прижимающее ее к свободному катету треугольника, будет находиться на одинаковых расстояниях от линейки и от булавки:

Это острие опишет на бумаге часть линии, называемой параболой. Чтобы получить большую часть этой

Рис 12

кривой, нужно взять треугольник с более длинным катетом, а при необходимости — и более длинную линейку. Парабола состоит из одной ветви, простирающейся в бесконечность.

Точка F называется фокусом параболы; перпендикуляр, опущенный из фокуса на прямую D\D2 (называемую директрисой) и продолженный, есть ось симметрии параболы; он называется просто осью параболы.

8. ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ ЗЕРКАЛО

Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге параболы, то лучи точечного источника света, помещенного в фокусе, отразившись от полоски, пойдут параллельно оси (рис. 13). Обратно, если на нашу полоску будет падать пучок лучей, параллельный оси параболы, то после отражения лучи соберутся в ее фокусе.

На этом свойстве параболы основано устройство параболических зеркал, употребляемых в автомобильных фарах (рис. 14) и вообще в прожекторах. Они, однако, шлифуются не по полоске, а по так называемому параболоиду вращения. Получить поверхность такого зеркала можно, заставив вращаться параболу вокруг ее оси.

Рис. 13.

Рис. 14.

9. ПОЛЕТ КАМНЯ И СНАРЯДА

Камень, брошенный не строго вертикально, летит по параболе (рис. 15); то же можно сказать и об орудийном снаряде. Правда, сопротивление воздуха как в том, так и в другом случае искажает форму параболы и фактически получается другая кривая. Но, наблюдая движение в пустоте, мы получили бы настоящую параболу.

Если при одной и той же скорости v вылета снаряда из канала ствола орудия придавать стволу различные углы наклона к горизонту, то будут получаться различные параболы, описываемые снарядом, и различная дальность полета. Наибольшая дальность получится при наклоне ствола, равном 45°. Эта дальность равна —, где g — ускорение силы тяжести.

Если выстрелить вертикально вверх, то снаряд поднимется на высоту, в два раза меньшую, чем наибольшая дальность:-от . Как бы мы ни поворачивали

Рис. 15.

Рис. 16.

ствол (оставляя его в одной и той же вертикальной плоскости), всегда при заданной скорости вылета снаряда останутся места на земле и в воздухе, в которые снаряд не может проникнуть — не долетит. Оказывается, что эти места отделяются от тех мест, куда снаряд может попасть при соответствующем прицеливании, также параболой (рис. 16), которая называется параболой безопасности.

10. ГИПЕРБОЛА

По аналогии с эллипсом можно строить кривые, описываемые точкой M так, что остается неизменной не сумма, а разность расстояний до двух определенных точек Fi и F2 или произведение, или, наконец, частное таких расстояний (в последнем случае получается окружность).

Рассмотрим случай разности. Чтобы заставить карандаш двигаться нужным образом, закрепим в точках F\ и F2 по булавке и к одной из них прикрепим линейку так, чтобы линейка могла вращаться по бумаге вокруг булавки (рис. 17), К концу S линейки прикрепим один конец нити (нить эта должна быть короче линейки), а второй ее конец закрепим в F2 и затем натянем нить, прижав ее к линейке острием M карандаша. Тогда разность расстояний MFX и MF2 будет равна

(MFг + MS) - (MF2 + MS) = FXS — (MF2 + MS),

т. е. равна разности между длиной линейки и длиной нити. Если поворачивать линейку вокруг Fu по-прежнему прижимая к ней карандаш и оставляя нить натянутой, то карандаш опишет на бумаге кривую, для каждой точки которой разность расстояний до F\ и F2 будет одной и той же, равной разности m между дли-

Рис. 17.

ной линейки и длиной нити. Так получится лишь верхняя половина изображенной справа на рис. 17 кривой. Чтобы получить нижнюю половину, нужно прикрепить линейку так, чтобы она находилась не выше, а ниже булавок. Наконец, если линейку прикрепить к булавке F2, а конец нити — к булавке Fi, то получится часть кривой, изображенная слева на том же рисунке. Построенная пара кривых рассматривается как одна кривая, называемая гиперболой; точки F\,F2— ее фокусы. Впрочем, изображенные дуги кривых не исчерпывают всей гиперболы. Заменяя линейку более длинной и вместе с тем удлиняя нить (но так, чтобы разность их длин не изменялась), мы можем неограниченно продолжать нашу гиперболу, подобно тому, как, например, можно неограниченно продолжать отрезок прямой.

11. ОСИ И АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ

Проведем прямую через фокусы гиперболы. Эта прямая является осью симметрии гиперболы. Другая ось симметрии перпендикулярна к первой и проходит через середину отрезка F\F2. Точка О пересечения осей является центром симметрии; она называется просто центром гиперболы. Первая ось пересекает гиперболу в двух точках Ах и Л2, называемых вершинами гиперболы; отрезок А\А2 называется действительной осью гиперболы. Разность расстояний точки гиперболы А\ до фокусов F2 и F\ должна равняться m:

AXF2 — A{Fi = m.

Но

AiFi = A2F2

в силу симметрии гиперболы; поэтому A\F\ можно заменить A2F2y и мы получим

A\F2 — A2F2 = m.

Очевидно, что разность A\F2 — A2F2 равна А\А2, т. е. равна длине действительной оси гиперболы. Итак, разность m расстояний любой точки гиперболы до ее фокусов (при этом из большего расстояния следует

вычитать меньшее) равна длине действительной оси гиперболы.

Засечем из вершины А\ (или из А2) вторую ось симметрии гиперболы дугой окружности, радиус которой равен половине F\F2. Найдем две точки ßi и В2 (рис. 18); отрезок ВХВ2 называется мнимой осью гиперболы. Построим далее прямоугольник PQRS, стороны которого параллельны осям гиперболы и проходят через точки Ль Л2, В\ и В2, и проведем его диагонали PR и QS. Продолжая их неограниченно, получим две прямые, называемые асимптотами гиперболы. Они обладают тем замечательным свойством, что нигде не пересекаются с гиперболой, хотя точки гиперболы приближаются к асимптотам сколь угодно близко и тем ближе, чем дальше эти точки отстоят от центра гиперболы. Дуги гиперболы, заключенные между двумя точками, далекими от центра, выглядят на рисунке почти как отрезок прямой (см. лугу М\М2 на рис. 18), хотя на самом деле они нигде не прямолинейны; просто искривление их незначительно и потому едва заметно.

Чтобы изобразить приблизительно гиперболу на рисунке, не прибегая к точному построению с помощью линейки и нити, следует поступать так. Сначала изображаем оси симметрии гиперболы; затем отмечаем на первой из них фокусы Fx и F2 на равных расстояниях от центра, далее откладываем по обе стороны от центра на той же первой оси отрезки, равные половине m, т. е. половине заданной разности расстояний точек гиперболы до ее фокусов, и получаем вершины А\ и А2 гиперболы; потом наносим на второй оси засечками точки Вх и В2, строим прямоугольник PQRS и, наконец, проводим и продолжаем его диагонали. Получается фигура, изображенная на

Рис. 18.

рис. 19. Теперь остается провести от руки две дуги, симметричные относительно осей, проходящие через точки А\ и д2, плавно изгибающиеся и все теснее и теснее прилегающие к асимптотам PR и QS.

Рис. 19.

12. РАВНОБОЧНАЯ ГИПЕРБОЛА

В частном случае прямоугольник PQRS может быть квадратом. Это будет тогда и только тогда, когда асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны. Такая гипербола называется равнобочной. Именно этот случай и изображен на рис. 19. Для удобства повернем весь рисунок около точки О на угол 45° в направлении, указанном стрелкой; получим гиперболу, изображенную на рис. 20. Отложим на асимптоте OQ какой-либо отрезок ON = х и в точке N восставим перпендикуляр NM = у до пересечения с гиперболой. Между у и X существует простая зависимость: оказывается, что если увеличить х в несколько раз, то во столько же раз уменьшится у; точно так же, если уменьшить X в несколько раз, то во столько же раз увеличится и у. Иными словами, длина NM = у обратно пропорциональна длине ON = х:

Благодаря этому свойству равнобочная гипербола оказывается графиком обратной пропорциональности. Чтобы выяснить, как связан коэффициент обратной пропорциональности k с размерами гиперболы, рассмотрим вершину А2. Для нее

х = ОК, у = КА2;

отрезки OK и КА2 являются катетами равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой

поэтому

откуда 2x2 — -j-, или х2 — -^-. С другой стороны, из соотношения обратной пропорциональности у = ^-

Рис. 20.

следует, что ху = k, или в данном случае (где у = — х): X2 — k. Сравнивая два результата: *2 = -§- и X2 = k, находим: k = — .Иными словами, коэффициент обратной пропорциональности k равен одной восьмой от квадрата длины действительной оси гиперболы.

13. СЕЧЕНИЯ КОНУСА

Мы уже говорили о том, что если конус разрезать ножом, т. е., выражаясь геометрически, рассечь плоскостью, не пересекая при этом основания конуса, то очертанием сечения будет эллипс (см. рис. 10). Оказывается, что, рассекая конус плоскостью так, чтобы разрез проходил через основание конуса, можно получить в сечении дугу параболы (рис. 21,а), или дугу гиперболы (рис. 21,6). Таким образом, все три кривые — эллипс, гипербола и парабола — являются коническими сечениями.

Конус, который мы рассекали, имеет тот недостаток, что только эллипс может уместиться на нем полностью (см. рис. 10), тогда как парабола и гипербола— кривые, простирающиеся в бесконечность,— умещаются на нем лишь частично. На рис. 21,6 не

Рис. 21.

видно даже, откуда берется вторая ветвь гиперболы. Чтобы устранить этот недостаток, заменим конус простирающейся в бесконечность конической поверхностью. с этой целью неограниченно продолжим в обе стороны все образующие конуса, т. е. прямолинейные отрезки AS, BS, CS, DS, ES и т. д., соединяющие точки окружности основания конуса с его вершиной (рис. 22; естественно, что на нашем рисунке нельзя изобразить неограниченно продолженные образующие, поэтому здесь нарисованы по-прежнему отрезки прямых, только более длинные, чем первоначальные отрезки). В результате получается нужная коническая поверхность, состоящая из двух связанных между собой в точке S простирающихся в бесконечность половин, или, как говорят, пол (от слова «пола»). Всю коническую поверхность можно рассматривать как след движущейся прямой, а именно, прямой, проходящей через точку S и поворачивающейся так, что угол ее с прямой OS — осью конической поверхности — остается неизменным. Эта движущаяся прямая называется образующей конической поверхности; очевидно, что каждая из образующих первоначально взятого конуса путем продолжения дает образующую конической поверхности.

Будем теперь рассекать плоскостью всю коническую поверхность. Если плоскость рассечет все образующие в пределах одной полы поверхности, то в сечении получится эллипс (а в частном случае — окружность, рис. 23,а); если она рассечет все образующие,

Рис. 22.

за исключением одной (которой будет параллельна), то в сечении получится парабола (рис. 23,6); наконец, если плоскость рассечет часть образующих в пределах одной полы, а другую часть в пределах другой полы, то в сечении получится гипербола (рис. 23, в).

Рис. 23.

Мы видим, что и эллипс, и парабола целиком умещаются на одной поле конической поверхности. Для гиперболы же нужна вся коническая поверхность: одна ветвь гиперболы лежит на одной поле, а другая ветвь — на другой поле поверхности.

14. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ

Б. Паскалю (1623—1662) не было еще и 17 лет, когда он открыл замечательное общее свойство конических сечений. Об его открытии математикам поведала афиша, отпечатанная в количестве 50 экземпляров; только два из них дошли до нашего времени. Несколько таких афиш были расклеены на стенах домов и церквей Парижа. Пусть читатель не удивляется

этому. Ведь тогда (1640 г.) еще не было научных журналов, на страницах которых можно было бы рассказывать другим ученым о своем открытии. Такие журналы появились лишь четверть века спустя, почти одновременно во Франции и Англии. Но вернемся к Паскалю.

Хотя его афиша и была напечатана на французском языке, а не на латинском, как это было тогда принято, парижане, глазея на нее, вряд ли могли понять, о чем там идет речь. Настолько сжато, без доказательств и пояснений излагал молодой гениальный автор свои мысли.

В начале афиши после трех определений шла под названием «леммы 1» теорема, которую мы перескажем здесь другими словами. Отметим на окружности какие-либо шесть точек, перенумеруем в любом порядке (не обязательно в том, в каком они расположены на окружности) и соединим их отрезками прямых; последний из них свяжет шестую точку с первой (рис. 24). Теорема Паскаля утверждает, что три точки пересечения прямых, полученных продолжением этих шести отрезков, взятых через две: первой с четвертой, второй с пятой и третьей с шестой, будут лежать на одной и той же прямой.

Попробуйте сами сделать несколько опытов, разбрасывая по-разному точки на окружности (рис. 25). При этом может случиться, что какие-либо прямые, пересечение которых мы ищем, например, первая и четвертая, окажутся параллельными. В этом случае теорему Паскаля нужно понимать так, что прямая, соединяющая две другие точки пересечения, парал-

Рис. 24.

лельна указанным прямым (рис. 26). Наконец, если вдобавок окажутся параллельными между собой и вторая прямая с пятой, то в этом специальном случае теорема Паскаля утверждает, что и прямые последней пары — третья и шестая — окажутся параллельными. с таким случаем мы встретимся, например, когда точки на окружности являются вершинами правильного вписанного шестиугольника, перенумерованными в порядке следования на окружности (рис. 27).

Паскаль не ограничился тем, что сформулировал свою теорему для окружности. Он заметил, что она должна оставаться верной, если вместо окружности взять любое коническое сечение: эллипс, параболу или гиперболу. На рис. 28 дается иллюстрация к теореме Паскаля для случая параболы.

Рис. 25.

Рис. 26.

Рис. 27.

Рис. 28.

15. ТЕОРЕМА БРИАНШОНА

Французский математик Шарль Брианшон (1783— 1864) обнаружил в 1806 г., что верна следующая теорема, которая, как мы увидим, является своего рода перевертышем по отношению к теореме Паскаля.

Проведем 6 касательных к окружности (или к любому коническому сечению), перенумеруем их в каком-либо порядке и найдем последовательные точки пересечения (рис. 29). Теорема Брианшона утверждает, что три прямых, соединяющих шесть точек пересечения, взятых через две: первой с четвертой, второй с пятой, третьей с шестой, пересекаются в одной точке.

Чтобы подчеркнуть тесную связь между формулировками двух теорем, Брианшон записал обе формулировки в двух столбцах, одну против другой (следите за рис. 30, где слева пояснена теорема Паскаля, а справа — Брианшона);

Рис. 29.

Рис. 30.

Теорема Паскаля

Пусть /, 2, 3, 4, 5, б — шесть каких-либо точек на коническом сечении.

Соединим их по порядку прямыми /, //, ///, IV, V и VI и найдем три точки пересечения этих шести прямых, взятых через две: I с IV, II с V и III с VI.

Тогда эти три точки будут лежать на одной прямой.

Теорема Брианшона

Пусть /, 2, 3, 4,5,6 — шесть каких-либо касательных к коническому сечению.

Найдем по порядку точки их пересечения /, II, III, IV, V и VI и соединим прямыми эти шесть точек, взятых через две: / с IV, II с V, III с VI.

Тогда эти три прямые будут пересекаться в одной точке.

Очевидно, что для перехода от одной формулировки к другой достаточно произвести такие замены одних слов и выражений на другие: вместо точек — касательные, вместо «соединять точки прямыми» —• «находить точки пересечения прямых», вместо «три точки лежат на одной прямой» — «три прямые пересекаются в одной точке». Короче можно сказать, что при этом переходе прямые и точки меняются между собой ролями. В проективной геометрии указываются условия, при которых в результате подобной замены из одной верной теоремы (не обязательно теоремы Паскаля) получается другая теорема, также верная. Это так называемый принцип двойственности, позволяющий доказывать из двух геометрических теорем только одну. Другая будет верной, так сказать, автоматически.

16. ЛЕМНИСКАТА БЕРНУЛЛИ

Обратимся к кривой, описываемой точкой M на плоскости так, что остается неизменным произведение р расстояний этой точки до двух определенных точек F\ и F2 той же плоскости. Такая кривая называется лемнискатой (лемниската по-гречески значит «ленточная»). Если длина отрезка FiF2 есть с, то расстояния

от середины О отрезка F\F2 до Fi и F2 равны -~ и произведение этих расстояний равно-j-. Потребуем сначала, чтобы величина р неизменного произведения равнялась как раз —, т. е. MFX • MF2 = 4-; тогда точка О будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид «лежащей восьмерки» (рис. 31). Если продолжить отрезок F\F2 в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А\ и А2.

Легко выразить расстояние между ними АхА2-=х че* рез известное нам расстояние FXF2 = с. Для этого заметим, что расстояние точки Л2 до F2 равно4 — ■§"•

Рис. 31.

Рис. 32.

а расстояние той же точки А2 до Fi равно поэтому произведение расстояний есть

Но это произведение по условию должно равняться —, поэтому -4---- = —, откуда х2 = 2с2 и х = л/2с« 1,414с.

Существует замечательная связь между такой лемнискатой и равнобочной гиперболой. Будем проводить из точки О различные прямолинейные лучи (рис. 32) и отмечать на них точки пересечения с лемнискатой. Оказывается, что пока угол наклона луча к OF2 (или к OF\) будет меньше 45°, луч этот будет пересекать лемнискату еще в одной точке, помимо О; если же угол наклона будет 45° или больше, то второй точки пересечения не будет. Возьмем какой-либо луч первой группы, и пусть он встречает лемнискату в точке M (отличной от О); отложим на этом луче от точки О отрезок ON = -щ^. Если это построение проделать для каждого луча первой группы, то точки N, соответствующие точкам M лемнискаты, все расположатся на равнобочной гиперболе с фокусами в точках F[ и F2 таких, что OF[ = и OF2 = -ç~-~.

17. ЛЕМНИСКАТА С ДВУМЯ ФОКУСАМИ

Если величину неизменного произведения р взять не равной -j-, то лемниската изменит свой вид. В случае, когда р меньше -т-, лемниската состоит из двух овалов, один из которых содержит внутри точку Fu а другой — точку F2 (рис. 33). В случае, когда произ-

Рис. 33.

ведение р больше —, но меньше -у, лемниската имеет вид бисквита (рис. 34). Если р мало отличается от -J-, то «талия бисквита» К\К2 очень узка и вид кривой близок к «лежащей восьмерке». Если же р мало отличается от -у, то бисквит почти не имеет «талии», а при р, равном или большем, чем -у, «талия» совсем исчезает, и лемниската принимает вид овала (рис. 35; здесь для сравнения изображены также другие лемнискаты).

18. ЛЕМНИСКАТА С ЛЮБЫМ ЧИСЛОМ ФОКУСОВ

Возьмем теперь на плоскости любое количество точек Fi, F2i ..., Fn и заставим точку M двигаться так, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек, Полу-

Рис. 34.

Рис. 35.

чим кривую, форма которой будет зависеть от того, как расположены точки Л»/*2, Fn друг относительно друга и какова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с п фокусами.

Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний. Будем вести острие карандаша из некоторой точки Л, не отрывая от бумаги, так, чтобы оно в конце вернулось в исходную точку А. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала самое себя. Очевидно, что таким путем могут получиться кривые, имеющие, например, очертания человеческой головы или птицы (рис. 36). Оказывается, что, имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов

^2, • • •, Fn

и назначить такую величину для неизменного произведения расстояний

MF{ • MF2 ... MFn — р,

что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, возможные

Рис. 36.

отклонения точки Af, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень узким). Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии и богатстве форм лемнискат с многими фокусами, доказывается совершенно строго, но очень сложно, при помощи высшей математики.

19. ЦИКЛОИДА

Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис. 37), называемую циклоидой (что по-гречески значит «кругообразная»). Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды MM'M"N\ если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.

Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча диаметром, равным, например, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный

3-3,14 = 9,42 см.

Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е. длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами;

Ö, /, 2, 3, 4, 5, 6.

Рис. 37.

Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота (так как расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0, то в положении / он будет лежать в точке М{ — на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 — в точке М2— на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки М и М2, Мъ и т. д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания, радиусом, равным 1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2— две засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 — три засечки и т. д. Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки М0, Ми М2, М3, Af4, Af5, Mô плавной кривой (на глаз).

20. КРИВАЯ КРАТЧАЙШЕГО СПУСКА

Среди многих замечательных свойств циклоиды отметим одно, из-за которого она заслужила громко звучащее мудреное название: «брахистохрона». Это название составлено из двух греческих слов, означающих «кратчайший» и «время».

Рассмотрим такой вопрос: какую форму следует придать хорошо отшлифованному металлическому желобу, соединяющему две заданные точки А и В (рис. 39), чтобы полированный металлический шарик скатывался по этому желобу из точки А в точку В в кратчайшее время? На первый взгляд кажется, что

Рис. 38.

нужно остановиться на прямолинейном желобе, так как только вдоль него шарик пройдет кратчайший путь от Л до В. Однако речь идет не о кратчайшем пути, а о кратчайшем времени; время же зависит не только от длины пути, но и от скорости, с которой бежит шарик. Если желоб прогнуть вниз, то его часть, начиная от точки Л, будет круче опускаться вниз, чем в случае прямолинейного желоба, и шарик, падая по нему, приобретет скорость большую, чем на участке такой же длины прямолинейного желоба. Но если сделать начальную часть очень крутой и сравнительно длинной, то тогда часть, примыкающая к точке Ö, будет очень пологой и также сравнительно длинной; первую часть шарик пройдет быстро, вторую очень медленно и шарик может запоздать с приходом в точку В. Итак, желобу, по-видимому, нужно придавать вогнутую форму, но делать выгиб не слишком значительным.

Итальянский физик и астроном Галилей (1564— 1642) думал, что желоб кратчайшего времени нужно выгибать по дуге окружности. Но швейцарские математики братья Бернулли около трехсот лет тому назад доказали точным расчетом, что это не так и что

Рис. 39.

Рис. 40.

желоб нужно выгибать по дуге циклоиды (опрокинутой вниз, рис. 40). С тех пор циклоида и заслужила прозвище брахистохроны, а доказательства Бернулли послужили началом новой отрасли математики — вариационного исчисления. Последнее занимается отысканием вида кривых, для которых та или иная интересующая нас величина достигает своего наименьшего (а в некоторых вопросах — наибольшего) значения.

21. СПИРАЛЬ АРХИМЕДА

Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью V —. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две—120 v и т. д. Вообще, через / секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6/° (ведь за одну секунду она успевает повернуться' на угол 360°: 60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6f\ и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние г = vt см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 41).

Очевидно, что соотношение между углом поворота ос стрелки (в градусах) и пройденным расстоянием г (в сантиметрах) будет такое:

Иными словами, г прямо пропорционально а, причем коэффициент пропорциональности k = ~.

Рис. 41.

Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку с черной краской и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом (287—212 до н.э.). В его честь она называется спиралью Архимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни о жучке. Мы ввели их здесь для наглядности.

Рис. 42. Рис. 43.

Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. На рис. 42 изображены первый виток и часть второго.

Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когда угол содержит, например, 180°, 135° или 90°, эта задача легко решается). А вот если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей.

Разделим, например, угол АОВ на три равные части (рис. 43). Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок будет находиться в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был

втрое меньше, то и жучок был втрое ближе к центру О. Чтобы найти это его положение, разделим сначала отрезок ON на три равные части. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки. Получим отрезок ON\9 длина которого втрое меньше, чем ON. Чтобы вернуть жучка на спираль, нужно сделать засечку этой кривой радиусом ON\ (снова циркуль!). Получим точку М< Угол АО M и будет втрое меньше угла AON.

22. ЗАДАЧИ АРХИМЕДА

Самого Архимеда занимали, однако, другие, более трудные задачи, которые он сам поставил и решил: 1) найти площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали (на рис. 42 она заштрихована); 2) получить способ построения касательной к спирали в какой-либо ее точке N.

Замечательно, что обе задачи представляют собой самые ранние примеры задач, относящихся к математическому анализу. Начиная с XVII в., площади фигур вычисляются математиками с помощью интеграла, а касательные проводятся с помощью производных. Поэтому Архимеда можно назвать предшественником математического анализа.

Для первой из названных задач мы просто укажем результат, полученный Архимедом: площадь фигуры составляет точно площади круга радиуса OA. Для второй задачи можно показать ход ее решения, несколько упростив при этом рассуждения самого Архимеда. Все дело в том, что скорость, с которой жучок описывает спираль, в каждой точке N направлена по касательной к спирали в этой точке. Если будем знать, как направлена эта скорость, то и касательную построим.

Но движение жучка в точке N складывается из двух различных движений (рис. 44): одно — по направлению стрелки со скоростью v-~, а другое — вращательное по окружности с центром в О и радиусом ON. Чтобы представить последнее, допустим, что жучок замер на мгновенье в точке N. Тогда он будет уноситься вместе со стрелкой по окружности радиуса

ON. Скорость последнего вращательного движения направлена по касательной к окружности. А какова ее величина? Если бы жучок мог описать полную окружность радиуса ON, то за 60 секунд он проделал бы путь, равный 2я ON [см]. Так как скорость при этом оставалась бы постоянной по величине, то для ее отыскания нужно разделить путь на время. Получим —6Ö~" = 30 I — I » т. е. немногим более, чем

0.1^[-^](^«#«0,Ю5).

Теперь, когда мы знаем обе составляющие скорости в точке N: одну по направлению ON, равную v и другую, к ней перпендикулярную, равную --—, остается сложить их по правилу параллелограмма. Диагональ представит скорость составного движения и вместе с тем определит направление касательной NT к спирали в данной точке.

Рис. 44.

23. ЦЕПОЧКА ГАЛИЛЕЯ

В книге Галилея «Беседы и математические доказательства...», напечатанной впервые на итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638 г., предлагался между прочим такой способ построения параболы: «Вобьем в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине

прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздем подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка ее находилась от уровня гвоздя на расстоянии, равном высоте прямоугольника (рис. 45). Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы, так что, отметив ее след на стене пунктиром, мы получим параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведенным через середину линии, соединяющей оба гвоздя».

Способ этот прост и нагляден, но не точен. Это понимал и сам Галилей. На самом деле, если параболу построить по всем правилам, то между нею и цепочкой обнаружатся зазоры. Они видны на том же рис. 45, где соответствующая парабола обозначена пунктиром.

Рис. 45.

24. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ

Только через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли — Якоб нашел чисто теоретическим путем точную формулу, определяющую форму провисающей цепочки. Не спеша сообщать свое решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Попробуйте, мол, сами сделать то, что сделал я. Было это в 1690 г. Правильное решение опубликовали уже в следующем 1691 г., помимо самого Я. Бернулли, Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц и младший брат Якоба — Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа — производной и интегралом.

Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепной линией.

Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг

от друга — то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много. Но все они подобны между собой, как например, подобны между собой любые окружности.

25. ГРАФИК ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Оказалось, что разгадка секрета цепной линии лежит в показательной функции. В XVIII веке она была еще новинкой, а теперь ее должен знать каждый восьмиклассник. Это функция вида у — а*, где а — какое-либо положительное число, не равное 1. Вычисления показали, что для построения цепной линии удобнее всего принять а равным так называемому неперову числу, обозначаемому буквой е. Оно получило свое имя в честь шотландского математика Джона Непера (1550— 1617) — одного из изобретателей логарифмов. Число это почти столь же знаменито, как и число я; его приближенное значение, взятое с точностью до 0,0005 : е « 2,718.

На рис. 46 сплошной линией изображен график показательной функции у = ех, а пунктиром — график другой показательной функции, тесно связанной с предыдущей: у = (jjY ( j « 0,368).

Если воспользоваться отрицательными показателями степеней, то последнюю функцию можно представить в виде у = е~х. Теперь ясно, что оба графика симметричны друг другу относительно оси ординат, что и обнаруживает рисунок.

Образуем теперь две новые функции, беря для каждого X либо полусумму значений наших показательных функций — получим у = у {е* + £""*), либо их полуразность: у — у (ех — е~х). Графики этих новых функций приведены на рис 47 и рис. 48. Оказывается,

Рис. 46.

что первый из них это и есть одна из цепных линий. Из него путем простых преобразований, о которых пойдет речь ниже, можно получить любую цепную линию, симметричную относительно оси ординат. Что касается графика, представленного на рис. 48, то он будет нами использован как вспомогательное средство при переходе от цепной линии рис. 47 к более общему случаю цепной линии.

26. ПОДБОР ДЛИНЫ ЦЕПОЧКИ

Рассмотрим подробнее связь между кривой, изображенной на рис. 47, и формой висящей цепочки. Представим себе, что эта кривая вычерчена на строго вертикальной и совершенно гладкой стене и что нам разрешено забивать гвозди в разные точки кривой. Забьем их, как советовал Галилей, в точках А и В на. одной горизонтали (впрочем, это условие несущественно). Подберем теперь тонкую цепочку, длина которой точно равна 21 — длине дуги AB—-и концы ее закрепим в А и ß. Тогда цепочка провиснет строго по дуге, которую мы заранее вычертили. Никаких зазоров между ней и этой кривой не будет наблюдаться.

Подбор цепочки нужной длины можно производить путем проб. Взять цепочку подлиннее — с запасом, а потом подвешивать ее за разные звенья в точках А и ß, по мере надобности увеличивая или

Рис. 47. Рис. 48

уменьшая длину провисающей части, пока не произойдет совпадения (рис. 49). Но можно поступать и иначе: зная d (половину расстояния между гвоздями), найти путем вычисления / (половину длины дуги AB) и тогда уже брать цепочку, длина которой точно равна 21. Такой подсчет удается с помощью интеграла. Укажем здесь результат: l—^(ed—e"d).

Отсюда следует, что если взять на графике функции

У = ^(ех-е~х) (рис 48) x=rf,

то соответствующая ордината у точки Е этого графика будет равна /.

Рис. 49.

Так как

(см. рис.49), то получается любопытное заключение: длина дуги СВ цепной линии, представленной на рис. 49 (половина длины всей цепочки), короче, чем ордината точки подвеса. С другой стороны, имеем: l> d, т. е. эта длина больше, чем абсцисса точки подвеса.

27. А ЕСЛИ ДЛИНА НЕ ТА?

Как отыскать уравнение цепной линии в случае, когда для данных точек подвеса А и В длина цепочки 2/' не совпадает с длиной 21 дуги AB, принадлежащей кривой у = ^(ех + е~х)? В поисках ответа мы будем опираться на отмеченный выше факт, что все цепные линии подобны между собой.

Пусть, например, V > I. Тогда цепочка провиснет по некоторой дуге АС В, расположенной под дугой АС В (рис. 49). Мы покажем, что нужное уравнение цепной линии, который принадлежит дуга АС В, можно найти в два приема. Сначала перейти от кривой (1): у == y (ех + е~х) к некоторой кривой (2):

эта кривая получается из (/) посредством преобразования подобия с центром в точке О и коэффициентом подобия k (k — число положительное). Затем перейти от кривой (2) к кривой (3) : у = k ( Л __£Л — b + -2\ek+e к) посредством сдвига предыдущей в направлении оси ординат (вверх или вниз в зависимости от того, будет ли b > 0 или b < 0).

Вся хитрость заключается в том, чтобы определить коэффициент подобия £. С этой целью отметим в плоскости вспомогательной кривой, изображенной на рис. 48, точку F с координатами х = d и у = /'. В силу того, что V > /, она не попадает на кривую, а окажется выше нее.

Продолжим OF до пересечения с кривой в некоторой точке G (можно доказать, что точка пересечения найдется, помимо точки О, и притом только одна).

Положим -(xf — k (в нашем случае 0<&<1); тогда координатами точки G будут числа * = у» У = -£- (покажите это!). Поэтому они будут связаны уравнением кривой: "^- = y\ßft —£ к /• Отсюда следует, что если на кривой (/) (рис 47) взять точки Л' и В7 с абсциссами —и то длина дуги А'В\ их соединяющей, будет равна — (вспомните, что говорилось в п. 26),

28. ВСЕ ЦЕПНЫЕ ЛИНИИ ПОДОБНЫ

Найденное число k используем как коэффициент подобия в преобразовании кривой (/); в качестве центра подобия возьмем начало координат О. Тогда каждой точке Р(х,у) кривой (/) будет соответствовать точка Q(kx,ky) преобразованной кривой (2) (рис 50). Если ввести обозначения: X = kx, Y = ky, то X = 1 y = — . Последние числа должны удовлетворять уравнению (/), так как точка Р(х,у) лежит

на ней. Получаем: -£- = ~2\ек +е к). Это и есть уравнение кривой (2), полученной в результате преобразования. Большие буквы для обозначения координат можно здесь заменить маленькими, помня, что теперь это координаты любой точки кривой (2).

Заметим, что точкам А' и В' кривой (/) с абсциссами — т и + ~ будут соответствовать точки А" и В" кривой (2) с абсциссами —d и +d (рис. 51). В силу подобия дуг А'В' и А"В" длина А"В" будет равна — *k — 2l\ т. е. равна заданной длине цепочки. В этом и состоит преимущество кривой (2) перед исходной кривой (/). Недостаток ее, однако, в том, что кривая (1) проходила через заданные точки подвеса А и ß, а кривая (2) может через них и не проходить. Но этот недостаток легко устранить. Если ордината точки В" (или A"): yve* +е k ) не равна г, т. е. в" не совпадает с ß, то положим г —

Рис. 50. Рис. 51.

В результате сдвига кривой (2) в направлении оси ординат на величину ь она перейдет в кривую (5):

Последняя кривая, во-первых, подобна кривой (1) и, следовательно, является сама цепной линией. Во-вторых, она проходит через заданные точки подвеса: А(—d, г) и ß(rf, г). И, в-третьих, длина дуги AB равна длине данной цепочки 2/'. Эти условия и обеспечивают, как это было показано Бернулли, Гюйгенсом и Лейбницем, что цепочка провиснет как раз по дуге AB.

29. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ

Кривую эту можно было бы назвать по имени Декарта, так как впервые о ней говорится в одном из его писем (1638 г.). Однако подробное изучение ее свойств было проведено только полвека спустя Якобом Бернулли. На современных ему математиков эти свойства произвели сильное впечатление. На каменной плите, водруженной на могиле этого знаменитого математика, изображены витки логарифмической спирали (рис. 52).

Мы видели (п. 21), что архимедову спираль описывает точка, движущаяся вдоль луча («бесконечной стрелки») так, что расстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота: г = ka. Логарифмическая спираль получится, если потребовать, чтобы не само расстояние, а его логарифм возрастал прямо пропорционально углу поворота. Обычно уравнение логарифмической спирали записывают, пользуясь в качестве основания системы логарифмов неперовым числом е (п. 25). Такой логарифм числа г называют натуральным логарифмом и обозначают In г. Итак, уравнение логарифмической спирали записывается в виде

In г == ka

или, что то же самое,

г = ека.

Конечно, угол поворота а можно измерять по-прежнему в градусах. Но математики предпочитают изме-

рять его в радианах, т. е. принимать за меру угла отношение длины дуги окружности между сторонами центрального угла к радиусу этой окружности. Тогда поворот стрелки на прямой угол будет измеряться числом -у « 1,57, поворот на величину развернутого угла — числом я ~ 3,14, а полный поворот, измеряемый в градусах числом 360, в радианах будет измеряться числом 2я ^ 6,28.

Из многих свойств логарифмической спирали отметим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Величина этого угла зависит только от числа k в уравнении спирали. При этом под углом между лучом и спиралью понимается угол между этим лучом и касательной к спирали, проведенной в точке пересечения (рис. 53).

30. РАЗВЕРТКА ОКРУЖНОСТИ

Представьте себе козу, пасущуюся на лугу. Она привязана на длинной веревке к круглому колу с круглым поперечным сечением. Натянув веревку, коза пощипывает травку и не замечает, что привязь, наматываясь на кол, становится все короче. Наконец, коза вплотную подтягивается к колу. Ей невдомек, что выбраться из неприятного положения можно теперь,

Рис. 52. Рис. 53.

только пустившись в обратном направлении так, чтобы веревка стала разматываться. Какую кривую опишет она при этом? Чтобы не затруднять себя изображением козы, мы заменили ее на рис. 54 маленьким кружочком. Считайте, что это схематический рисунок ошейника, к которому прикреплен конец веревки. Теперь знайте, что дуга, по которой коза начнет удаляться от колышка (раньше она по этой же дуге к нему приближалась), принадлежит бесконечной кривой, называемой разверткой или эвольвентой окружности (одно из значений латинского глагола эвольвере — evolvere — развертывать). Впервые математики встретились с ней в XVIII в. Французский философ и писатель Дени Дидро (1713—1784) изучал ее свойства в 1748 г.

А теперь дадим более точное определение развертки окружности. Вообразим, что на некоторую окружность намотана бесконечно длинная, бесконечно тонкая и нерастяжимая нить, один из концов которой остается свободным. Прикрепим к нему острие карандаша или пера. Если начать разматывать эту нить так, чтобы освободившаяся часть оставалась все время натянутой, то наше острие будет описывать в плоскости окружности спиралевидную кривую, которая и называется разверткой окружности (рис. 55). Из определения следует, что для любого положения точки ß на кривой длина освободившейся части нити ВС точно равна длине дуги окружности АС.

Рис. 54.

Рис. 55.

Рис. 56.

Если нить сматывается не с окружности, а с какой-либо другой кривой, например с эллипса, то конец ее опишет развертку этой кривой, в частности развертку эллипса (рис. 56).

31. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы заканчиваем на этом очерк о замечательных кривых. Мы рассмотрели здесь лишь немногие из них и ни в какой мере не исчерпали их свойств. Наша цель заключалась в том, чтобы заинтересовать читателя, знакомого только с начатками математики, некоторыми любопытными фактами из необъятной сокровищницы математических знаний. При этом, как правило, выкладки и доказательства опускались.

Если прибегнуть к сравнению с экскурсией по зоологическому саду, то можно, пожалуй, сказать, что автор этой книжки водил за собой читателя по своеобразному «саду кривых», ненадолго задерживаясь перед отдельными клетками, чтобы показать, какая кривая там обитает, и ограничиваясь самой простой характеристикой ее «нрава». Читатель, который захочет расширить приобретенные сведения, может обратиться к книжке польского математика Г. Штейнгауза «Математический калейдоскоп», Гостехиздат, 1949 г. (впрочем, в ней доказательства также отсутствуют) или к более обстоятельной книжке советского популяризатора математической науки Г. Н. Бермана «Циклоида», Гостехиздат, 1954 г. Интересные очерки о кривых и их свойствах можно найти в отдельных номерах журнала «Квант». Заметим, что более детальное изучение свойств кривых требует более основательных математических знаний, в частности знакомства с дифференциальным и интегральным исчислением.

Цена 5 коп.

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

Вып. I. А. и. Маркушевич. Возвратные последовательности.

Вып. 2. и. П. Натансон. Простейшие задачи на максимум и минимум.

Вып. 3. и. С. Соминский. Метод математической индукции.

Вып. 4. Л. и. Маркушевич. Замечательные кривые.

Вып. 5. П. П. Коровкин. Неравенства.

Вып. 6. Н. Н. Воробьев. Числа Фибоначчи.

Вып. 7. А. Г. Курош. Алгебраические уравнения произвольных степеней.

Вып. 8. А. О. Гельфонд. Решение уравнений в. целых числах.

Вып. 9. А. и. Маркушевич. Площади и логарифмы.

Вып. 10. А. С. Смогоржевский. Метод координат.

Вып. 11. Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказательствах.

Вып. 12. и. П. Натансон. Суммирование бесконечно малых величин.

Вып. 13. А. и. Маркушевич. Комплексные числа и конформные отображения.

Вып. 14. А. И. Фетисов. О доказательствах в геометрии.

Вып. 15. и. Р. Шафаревич. О решении уравнении высших степеней.

Вып. 16. в. Г. Шерватов. Гиперболические функции.

Вып. 17. в. Г. Болтянский. Что такое дифференцирование?

Вып. 18. Г. М. .Миракьян. Прямой круговой цилиндр.

Выи. 19. Л. А. Люстерник. Кратчайшие линии.

Вып. 2Ü. А. М. Лопшиц. Вычисление площадей ориентированных фигур

Вып. 21. Л. и. Головина и и. М. Яглом. Индукция в геометрии.

Вып. 22. в. Г. Болтянский. Равновеликие и равносоставленные фигуры

Вып. 23. А. С. Смогоржевский. О геометрии Лобачевского.

Вып. 24. Б. и. Аргунов и Л. А. Скорняков. Конфигурационные теоремы

Вып. 25. А. С. Смогоржевский. Линейка в геометрических построениях

Вып. 26. Б. А. Трахтенброт. Алгоритмы и машинное решение задач.

Вып. 27. в. А. Успенский. Некоторые приложения механики к матема тике.

Вып. 28. Н. А. Архангельский и Б. И. Зайцев. Автоматические цифровые машины.

Вып. 29. А. Н. Костовский. Геометрические построения одним циркулем

Вып. 30. Г. Б. Шилов. Как строить графики.

Вып. 31. А. Г. Дорфман. Оптика конических сечений.

Вып. 32. Б. С. Вентцель. Элементы теории игр.

Вып. 33. А. С. Барсов. Что такое, линейное программирование.

Вып. 34. Б. Е. Маргулис. Системы линейных уравнений.

Выи. 35. Н. Я. Виленкин. Метод последовательных приближений.

Вып. 36. в. Г. Болтянский. Огибающая.

Вып. 37 Г. Б. Шилов. Простая гамма (устройство музыкальной шкалы).

Вып. 38. Ю. А. Шрейдер. Что такое расстояние?

Вып. 39. Н. Н. Воробьев. Признаки делимости.

Вып. 40. С. в. Фомин. Системы счисления.

Вып. 41. Б. Ю. Коган. Приложение механики к геометрии.

Вып. 42. Ю. и. Любич и Л. А. Шор. Кинематический метол в геометрических задачах.

Вып. 43. в. А. Успенский. Треугольник Паскаля.

Вып. 44. и. Я. Бакельман. Инверсия.

Вып. 45. и. М. Яглом. Необыкновенная алгебра.

Вып. 46. и. М. Соболь. Метод Монте-Карло.

Вып. 47. Л. А. Калужнин. Основная теорема арифметики.

Вып. 48. А. С Солодовников. Системы линейных неравенств.

Вып. 49. Г. Е. Шилов. Математический анализ в области рациональных функций.

Выи. 50. в. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части.

Вып. 51. Н. М. Бескин. Изображения пространственных фигур.

Вып. 52. Н. М. Бескин. Деление отрезка в данном отношении.

Вып. 53. Б. А. Розенфельд и Н. Д. Сергеева. Стереографическая проекция.