Маркушевич А. И. Действительные числа и основные принципы теории пределов / Акад. пед. наук РСФСР, Ин-т пед. образования. — М. ; Л. : изд-во Акад. пед. наук РСФСР, 1948. — 100 с. — (Пед. б-ка учителя).

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ

А. И. Маркушевич

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

1948

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ

А. И. МАРКУШЕВИЧ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Москва 1948 Ленинград

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой книжке объединены в виде трех очерков несколько лекций из цикла, посвященного основным понятиям анализа, читанного автором в Московском городском институте усовершенствования учителей в 1946/47 уч. г. Назначение книжки—содействовать углубленному пониманию тех начальных глав математического анализа, которые ближе всего лежат к кругу повседневных математических занятий преподавателя средней школы. Мы ограничились вопросами, связанными с понятиями множества, действительного числа, функции (в частности, последовательности) и предела. Другие понятия анализа (производная и интеграл, ряд), которые, повидимому, в самом скором времени будут играть в преподавании в средней школе существенную роль, мы откладываем до другого случая. Мы считаем необходимым рекомендовать здесь читателю превосходную книгу А. Я. Хинчина „Восемь лекций по математическому анализу" (Огиз, Гостехиздат, 1946, 2-е издание), охватывающую также и те вопросы, которые опущены в нашей книжке.

В основу нашего изложения мы положили теорию действительных чисел, по Г. Кантору и Ш. Мере. Эта теория излагается в нашей литературе реже, чем теория Р. Дедекинда. Мы избрали ее потому, что она стоит, по нашему убеждению, гораздо ближе к школьному курсу, чем теория Р. Дедекинда. Мы подробно останавливаемся также на сравнительном анализе основных принципов теории пределов. Один из них (прин-

цип К. Вейерштрасса или принцип Г. Кантора, но не принципы О. Коши и Р. Дедекинда) должен найти себе место в преподавании.

В заключение, мы хотим подчеркнуть еще раз, что наше изложение ориентировано на учителя, а не на учащегося. Оно претендует на то, чтобы дать научные основы теории действительных чисел и пределов. Остается еще весьма серьезная, чисто педагогическая задача, разрешить которую—дело новых учебников по математике для средней школы.

Автор

Очерк первый

ПРЕДМЕТ АНАЛИЗА. МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ. СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПОНЯТИЕ ЧИСЛА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПОТРЕБНОСТЕЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА

1. Термин математический анализ употребляется по меньшей мере в двух смыслах. В узком смысле слова— это дифференциальное и интегральное исчисление. Именно в этом смысле термин „математический анализ" фигурирует в учебных планах и программах наших учебных заведений. В широком же смысле слова—это обширный комплекс дисциплин, исторически сложившихся на основе дифференциального и интегрального исчисления. Сюда, помимо дифференциального и интегрального исчисления, относятся также: теория множеств и теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного, теория рядов, ряды Фурье (тригонометрические) и их обобщения, ряды полиномов, специальные функции (гамма-функция, дзэта-функция, гипергеометрические функции, функции Лежандра, бесселевы, эллиптические и др.), дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, вариационное исчисление, функциональный анализ, теория вероятностей, математическая статистика и т. д.

В этом смысле математический анализ охватывает почти все математические дисциплины, в которых нуждаются естественные науки и техника. В соответствии с этим, математический анализ занимает центральное место в современной математической науке. Не менее половины научных статей и книг по математике, появляющихся ежегодно во всех странах мира1, посвя-

1 Общее число названий, падающих на год, держится последние годы на уровне двух тысяч.

щается математическому анализу (в широком смысле слова), тогда как другая половина падает на алгебру, теорию чисел, теорию групп, топологию, геометрию, числовые и графические методы математики, вопросы истории и общие принципиальные вопросы математики.

2. Различные математические дисциплины, образующие математический анализ, объединяются не только исторической общностью происхождения. Их роднит между собой также и фундаментальное математическое понятие, которое с разной степенью общности в различных аспектах изучается в них, а именно понятие функции. Чтобы формулировать его во всем его объеме, мы должны сначала остановиться на другом основоположном для всей математики понятии-понятии множества.

Это понятие относится к числу первоначальных, не подлежащих определению. Синонимами его служат понятия совокупности, собрания, семейства, объединения и т. п. В русской математической литературе три-четыре десятилетия назад употреблялся для этого же понятия термин, заимствованный из французского языка,—ансамбль. В настоящее время термин этот вытеснен коренными русскими словами. Отметим некоторые общие черты понятия множества и поясним примерами.

Каждое множество состоит из элементов, образующих в совокупности это множество. Природа элементов множества может быть произвольной. Так, можно говорить о множестве, элементами которого служат: цифра 5, Сократ и Луна. Элементы множества часто обозначают малыми буквами латинского алфавита, сами множества—большими буквами. Относительно элементов, образующих некоторое множество, говорят, что они входят в это множество, содержатся в нем, или что они принадлежат ему. Для того чтобы коротко выразить, что а есть элемент множества М, пишут:

и читают: а есть элемент М, или а принадлежит Л1, содержится в М. Для того чтобы выразить, что элементы а, 6, с принадлежат УИ, пишут также:

M {а, Ь, с,...}.

Здесь между фигурными скобками ведется перечень элементов множества М. Многоточие после с обозначает в данном случае, что указанные элементы не исчерпывают всего множества.

3. Относительно произвольного множества естественно возникает вопрос о количестве его элементов. В случае конечных множеств ответ на этот вопрос выражается натуральным числом, быть мажет, весьма большим. В виде примера можно взять множество зернышек риса, составляющих награду изобретателю шахматной доски в общеизвестной легенде, или, например, количество мельчайших песчинок, умещающихся в шаре чрезвычайно большого радиуса1.

В случае, когда любое натуральное число оказывается недостаточно большим, для того чтобы счесть все элементы множества, множество это является бесконечным, и тогда сам вопрос о количестве элементов повисает в воздухе. Его удалось сделать осмысленным основателю теории множеств Георгу Кантору (1845 — 1920 гг.), установившему тот замечательный факт, что среди различных бесконечных множеств могут быть, так сказать, иногда одинаково, иногда по-разному бесконечные множества.

Основная идея Г. Кантора весьма проста и основана на том, что установить равенство количеств элементов двух множеств можно и не прибегая к счету элементов каждого множества. В самом деле, если на складе, например, имеется большое количество лежащих навалом сапог, то установить, что левых среди них ровно столько же, сколько и правых, можно и не определяя количества тех и других. Достаточно разобрать их по парам: левый с правым, и если в результате этого не останется несколько только левых, или только правых сапог, для которых не подберется парных, то оба (остающиеся неизвестными) количества одинаковы. Подобным же образом можно поступать и с произвольными множествами M и N.

Совершим мысленно эксперимент, заключающийся в образовании пар, состоящих каждая из одного эле-

1 Смотрите, по поводу такого примера, любопытное маленькое сочинение Архимеда .Исчисление песчинок" (Псаммит). Русский перевод под ред. Г. Н. Попова, ГТТИ, 1932.

мента множества M и одного элемента множества N, причем элементы, вошедшие в одну пару, не должны входить ни в какую другую пару. Если это удастся сделать так, что у нас не останется ни одного элемента ни из множества УИ, ни из множества /V, не попавшего в одну из пар, то мы скажем, что M и N содержат поровну элементов, или, по предложению Г. Кантора, что множества M и N имеют одинаковую мощность. Если наши множества конечны, то утверждение, что они имеют одинаковую мощность, равносильно тому, что количества их элементов выражаются одним и тем же натуральным числом.

В случае, когда множества бесконечны, тот факт, что они имеют одинаковую мощность, также обозначает, что элементов в них поровну. Однако в этом случае не существует натурального числа, выражающего количество элементов в том и другом множестве.

В виде иллюстрации сравним множество всех натуральных чисел N {1, 2, 3,...} с множеством всех четных чисел M {2, 4, 6,...}. Мы легко можем разбить элементы этих множеств на пары, объединив каждое число из N с числом из М, вдвое большим первого: 1 с 2, 2 с 4, 3 с 6 и т. д. Очевидно, что ни один элемент множества N или M не останется без пары. Отсюда и следует, что элементов в M и N поровну, т. е. что наши множества имеют одну и ту же мощность.

Пример этот обнаруживает парадоксальное обстоятельство. С одной стороны, множество M составляет лишь часть (или, как говорят, подмножество) множества ЛГ. Последнее содержит ведь все четные натуральные числа и, кроме них, все нечетные. С другой же стороны, как мы установили, элементов в M и N поровну. С этим парадоксом необходимо помириться. Из него вытекает только, что, переходя от конечных множеств к бесконечным, мы не можем рассчитывать на сохранение закономерности, установленной для конечных множеств (целое содержит больше элементов, чем часть).

4. Мы не имеем в виду входить здесь в дальнейшие подробности по поводу множеств. Впрочем, понятием мощности мы еще будем пользоваться в отдельных случаях. Теперь же обратимся к понятию функции, имеющему нечто родственное с изложенным выше. А именно здесь, как и при количественном сравнении двух мно-

жеств, мы сопоставляем между собой элементы двух множеств.

Итак, пусть M и N—два какие-либо множества, причем каждому элементу х^М поставлен в соответствие некоторый элемент ус N. Подобно предыдущему г мы могли бы вместо слов „поставлен в соответствие" сказать, например, что у отнесен в одну пару с х. Однако, в отличие от того, как мы поступали ранее, мы не будем требовать, чтобы определенный элемент yçN, поставленный в соответствие некоторому элементу т. е. вошедший в одну пару с х, не мог быть поставлен в соответствие также и с другим элементом х'^М, т. е. войти в пару с элементом х'г вместе с тем, мы не будем также требовать и того, чтобы каждый элемент y^N обязательно вошел в пару с каким-либо М.

Рассмотрим в виде примера множество учеников восьмого класса определенной школы (множество М) и множество всех возможных отметок—1, 2, 3, 4 и S (множество iV). В конце второй четверти в классном журнале против фамилий учеников выводятся четвертные оценки по алгебре. Этим устанавливается определенное соответствие между учениками (элементами М) и отметками (элементами N): каждому школьнику поставлена в соответствие определенная отметка1. Здесь пары состоят из школьников и отметок. При этом один и тот же элемент jV, например, четверка, может входить в пару с различными элементами М: четверку может иметь и Иванов, и Петров, и Сидоров. С другой стороны, в данном примере могут иметься такие элементы Ni например, 1, которые не войдут ни в одну из пар: никто из школьников не будет иметь четвертной отметкой единицу.

Но вернемся к общему случаю. Всякий раз, когда любому элементу х£ M поставлен в соответствие определенный элемент j/£ N (А), в математике говорят, что на множестве M определена функция, значения которой принадлежат множествуЛГ(Б)2.

1 Мы предполагаем, что все школьники аттестованы.

2 А также говорят, что множество M отображено в множество N. Понятие отображения, вводимое этим определением, ничем не отличается от понятия функции.

Важно усвоить себе, что в силу самого определения, предложение, выделенное нами знаком (Б), имеет совершенно тот же смысл, что и предложение (А). Установить соответствие и задать функцию означает одно и то же. В нашем примере со школьниками проставление определенных отметок в журнале означает вместе с тем и определенное задание функции.

Введем далее следующие термины: говоря о функции, определенной на множестве М, мы будем называть элементы х £ M—значениями аргумента, а соответствующие элементы у £ N—значениями функции. В нашем примере школьники представляют значения аргумента, а соответствующие отметки—значения функции.

Самый факт задания функции со значениями аргумента X и значениями функции у будем записывать, например, так:

y=f(x).

В частном случае, когда значениями функции являются числа, вместо термина функция употребляют иногда термин функционал. Впрочем, в наиболее простом и вместе с тем наиболее важном случае, когда значениями аргумента также являются числа, этим последним термином никогда не пользуются, но возвращаются снова к общему термину—функция.

5. Выяснив в предыдущем пункте общее понятие функции, лежащее в основе всего математического анализа (в широком смысле слова), мы обратимся теперь к тому частному и наиболее важному случаю, когда элементами множеств Ж и ЛГ являются только числа. Мы будем предполагать в дальнейшем, что множество N, из которого черпаются значения функции, есть множество всех действительных чисел Что касается М—множества значений аргумента, то оно может быть различным в различных вопросах. Мы начнем со случая, когда M есть множество всех натуральных чисел:

M {1, 2, 3,...}.

В этом частном случае вместо термина функция употребляется обычно термин последовательность.

Итак, последовательностью называется функция, определенная на множестве всех натуральных чисел.

Наряду с общим способом обозначения функции: у = f(x), для последовательности употребляется и другой, менее краткий, но зато более выразительный. Он заключается в том, что последовательность задают, выписывая одно за другим значения этой функции, причем на первом месте пишут значение, соответствующее х—\, на втором месте—значение функции, соответствующее X — 2, и т. д. Если мы эти значения функции будем обозначать через уи у2,..., то мы и получим обычную запись последовательности:

Уи У*> Л.-1 Уп >•••>

или, короче:

Значения функции: ух, у2, j/3,..., каждое в отдельности, называются членами последовательности; значение уп , соответствующее произвольному натуральному числу /7,—общим членом последовательности.

С последовательностями мы встречаемся уже в самом начале изучения математики, а именно в арифметике. Сам натуральный ряд

1, 2, 3,..., л,..

можно рассматривать как последовательность, для которой значения функции совпадают со значениями аргумента: х = 1 соответствует у = 1, х = 2 соответствует у = 2 и т. д.

Приведем еще несколько простых примеров последовательностей :

1) 1, 1, 1....Л...;

здесь уп = 1 (//=1, 2, 3,...);

2) последовательность четных натуральных чисел:

2, 4, 6, 8,...;

здесь у = 2/7;

3) последовательность нечетных чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11,...;

здесь уп = 2л — 1 ;

4) последовательность цифр после запятой, в десятичном разложении дроби -j-:

5) последовательность квадратных корней из натуральных чисел:

здесь ^л =

6) последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...;

здесь, в отличие от предыдущих примеров, мы не можем указать с помощью нескольких (конечного числа) формул, какие именно операции, употребляемые в алгебре и анализе, нужно произвести над я, чтобы получить уп% т. е. я-ое простое число. Это обстоятельство ни в какой мере не может помешать нам употреблять и в этом случае понятие последовательности (т. е функции). Для нас имеет значение лишь то, что каждому п поставлено в соответствие определенное число уп, а именно л-ое, по порядку, простое число.

Найти его можно хотя бы с помощью известного приема эратосфенова решета.

6. Все последовательности разделяются на два класса: сходящиеся и расходящиеся последовательности. Последовательность \уп } называется сходящейся, если для нее существует такое число Л, что для любого е>0 неравенство \уп — Л|<е выполняется для всех значений я, начиная с некоторого п >N (N, вообще, зависит от е). Это число А называется тогда пределом последовательности, причем пишут:

А = lim у или у ->А при п-+оо. „ fn п г

Обе записи имеют один и тот же смысл. Они выражают, что последовательность {уп\ сходится и что предел ее есть А.

Примером сходящейся последовательности является последовательность

здесь уп = — и А = О, так как очевидно, что неравенство |у — А | = —<е выполняется при п > — = Л/7е).

Из определения следует, что одна и та же сходящаяся последовательность не может обладать двумя различными пределами.

В самом деле, если допустить, что

lim v = А' и lim у =Л", п-+оо п-+оо

где, например, Л">Л', то, выбирая е=---, мы должны будем иметь:

Следовательно, при п, превышающем ЛГ и должно выполняться и то и другое неравенство, откуда для таких значений п:

Мы получили таким образом, что

Из этого противоречия вытекает, что допущение существования двух различных пределов для одной и той же последовательности неверно.

Отметим еще, что каждая сходящаяся последовательность необходимо ограничена, т. е. для сходящейся последовательности {у п) существует число Л1>0 такое, что \уп\<^М при всех п. В самом деле, пусть lim у —А. Тогда, выбирая, например, е=1, мы

можем утверждать, что \у — А\< 1 при n>Nlf откуда следует, что

\уп\=\А + (уп -А)\<\А\ + \уп _Л|<И|+1

для всех п > М1.

Рассмотрим теперь числа уп для л< N1 и, кроме того, число |Л| + 1 и обозначим через M наибольшее из этих чисел. Тогда для каждого п (л=1, 2, 3, ...) будет выполняться соотношение:

\Уп\<М9

что и требовалось доказать.

Столь же просто доказываются и следующие свойства последовательностей:

I. Пусть \уп \ и \zn \ — две сходящиеся последовательности; тогда последовательности {у ± z ) и {у -z \ также сходящиеся и

II. Пусть {уп } и \zn } — две сходящиеся последовательности, причем zn Ф 0(п= 1, 2, 3, ...) и lim zn фО;

тогда последовательность \ g \ также сходящаяся и

За доказательством мы отсылаем читателя к любому учебнику анализа. Впрочем, лучше всего попытаться самостоятельно воспроизвести доказательства1.

Расходящиеся последовательности определяются как последовательности, не являющиеся сходящимися. По

1 Мы имеем в виду, что в свое время читатель знакомился с ними.

точному смыслу этого определения для того, чтобы установить, что некоторая последовательность расходится, необходимо убедиться в том, что никакое число А не может быть ее пределом. Но во многих случаях задача упрощается. Если, например, последовательность является неограниченной, т. е. если для любого числа M в ней найдутся члены, превышающие по абсолютной величине число М, то такая последовательность, по предыдущему, не может быть сходящейся и, следовательно, расходится.

Среди расходящихся и притом неограниченных последовательностей выделяется класс последовательностей, расходящихся к бесконечности Говорят, что последовательность {уп} расходится к +со (положительной бесконечности), если для любого числа М>0 неравенства уп> M выполняются при всех значениях п, начиная с некоторого п > ЛГ (N зависит от Ж). В таком случае пишут:

Hm у = + оо, или у -* + оо при п ->оо.

Пользуясь этими записями, следует помнить, что они не выражают собой факт сходимости последовательности \уп }, но, напротив, расходимость этой последовательности.

Аналогично этому говорят, что последовательность {уп \ расходится к —оо (отрицательной бесконечности), если для любого M < О неравенства уп < M выполняются при всех значениях п, начиная с некоторого n^>N. Соответственно пишут:

lim у = — оо, или уп -> —со при Я ->оо.

Приведем примеры последовательностей, расходящихся к бесконечности:

1) {я}; здесь lim /7 = + °°»

2) {—я}; здесь lim (— п)= — со.

Последовательность

1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, 0,

в которой

J>2/t- 1 = л» =0 (Л=Ь 2, 3,...)

неограниченная и, следовательно, расходящаяся. Очевидно, что она не расходится к бесконечности, так как в ней имеются члены со сколь угодно высокими номерами, равные нулю.

Наконец, рассмотрим еще последовательность 1, О, 1, 0, 1, 0,... Здесь уп = 1 или 0, в зависимости от того, нечетное п или четное. Это — ограниченная последовательность. Однако она расходится. В самом деле, допустим, что некоторое число А является пределом этой последовательности. Тогда для е = -i- должны иметь:

\Уп ~~ А| <4" при n>N> т. е. для четного л> N будем иметь:

|А|<4--

Но тогда

|1_А|>1_|Л|>Л,

тогда как наши неравенства для нечетного n>N дают:

Итак, мы получили противоречие:

|1-Л|>4 и Ц-Л|<4-,

откуда следует, что наша последовательность не имеет предела, т. е. расходится.

7. Следующим по простоте и вместе с тем наиболее важным для анализа случаем функции является тот, когда множество M значений аргумента представляет все множества действительных чисел или часть его. Конечно, этот случай охватывает собой и случай последовательности, ибо множество натуральных чисел есть часть множества всех действительных чисел.

В различных примерах самого элементарного характера встречаются различные множества М.

Так, формулы:

определяют собой функции на множестве всех действительных чисел; формула j; = lg л: определяет функцию на множестве всех действительных положительных чисел, у = \gx — на множестве всех действительных чисел, за исключением чисел вида (2я+ 0~5~» где п~~ произвольное число, и т. п.

Изучение функций, определенных на различных множествах действительных чисел, предполагает, конечно, знание структуры самого множества действительных чисел, т. е. знание теории действительных чисел. Вот почему эта теория должна предшествовать изложению основ анализа.

8. Различные этапы обобщения понятия числа и исторически и логически мотивируются потребностями арифметики и алгебры, геометрии и анализа. Так как нас интересует здесь только построение теории действительных чисел, то мы не будем рассматривать все эти этапы, а предположим, что теория рациональных чисел уже построена. Весь вопрос будет заключаться в том, чтобы построить теорию действительных чисел на основании теории рациональных чисел. Мы встанем сначала на точку зрения арифметики и алгебры, впрочем, только для того, чтобы убедиться в недостаточности этой точки зрения.

Напомним, что переход от чисел натуральных к числам целым (множество их состоит из нуля и положительных и отрицательных целых чисел) алгебраически мотивируется необходимостью решения уравнения а + х= Ь(аиЬ натуральные) во всех случаях. Если целые числа уже введены, то это уравнение обладает одним и только одним корнем для любых целых а и Ь. Таким образом, рассмотрение этого уравнения не понуждает нас к дальнейшему обобщению понятия числа. Однако импульс такого рода появляется, если мы начинаем рассматривать уравнение а-х = Ь, где а и b целые числа, причем а Ф 0. Присоединяя к

целым числам всевозможные дроби ~% мы приходим к множеству всех рациональных чисел, среди которых уравнение а*х — Ь (афО) имеет один и только один корень для любых рациональных чисел а и Ь (афО). Необходимость нового расширения понятия числа появляется при рассмотрении уравнений высших степеней и, в частности, уравнений вида хп = А (п > 1), приводящих к извлечению корня степени п из числа А. Открывающийся здесь путь введения иррациональных чисел весьма привычен в преподавании. Выяснить недостаточность этого способа, внушающего учащимся мысль, что иррациональные числа—это различные корни из чисел, не являющихся соответствующими степенями рациональных чисел, и составляет нашу ближайшую задачу.

9. Для лучшего понимания дальнейшего убедимся сначала, что множества всех рациональных чисел и всех натуральных чисел обладают одинаковой мощностью, т. е. что тех и других чисел „поровну44. Для этого расположим рациональные числа в одну последовательность, в которую войдут все они без пропусков и повторений. Ясно, что мы не сможем расположить их при этом по величине, например в порядке возрастающей величины. В самом деле, при любой попытке такого рода мы должны будем, записав рядом два каких-либо рациональных числа ^например, -g- и отказаться от записи чисел, по величине заключающихся между ними. Однако то, что не удается сделать, если желать располагать числа по их величине, легко достигается, если располагать рациональные числа по их „высоте". Будем записывать рациональные числа г в виде несократимых дробей: г = —, причем знаменатель п будем выбирать положительным. Если мы условимся при этом число нуль писать в виде -у-, то каждое рациональное число единственным образом представится в виде дроби —, где m—целое, п—натуральное и m и п — взаимно простые числа. „Высотой" рационального числа г мы назовем натуральное число А=/! + |/я|^

Очевидно, при нашем условии высота Л = 1 будет наименьшей. Ею обладает только число нуль.

Каждому натуральному числу А > 1 соответствует несколько различных чисел, высота которых есть А. Так, высоте А = 2 соответствуют числа: -^у- и ~9 высоте А = 3 — числа — , , , — , высоте А = 4— числа: -р, -тр —, — и т. д. Выпишем рациональные числа в порядке неубывающей высоты, причем, для определенности, для чисел с одинаковой высотой примем расположение в порядке возрастания. Получим:

В этой записи, которую предполагаем неограниченно продолженной, каждое рациональное число встретится по одному и только по одному разу. Теперь уже очевидно, что рациональных чисел столько же, сколько и натуральных чисел. В самом деле, мы можем составить пары, отнеся в одну пару рациональное число и то натуральное число, которое указывает место, занимаемое данным рациональным числом в полученном списке всех рациональных чисел. Получим пары: (0 и 1),

и т. д.

Рассмотрим теперь произвольное алгебраическое уравнение с одним неизвестным х и с рациональными коэффициентами :

а0 + агх + а2х2 + ... + ап х = 0. (*)

Приведя все коэффициенты к общему знаменателю, а затем отбросив его, мы получим уравнение с целыми коэффициентами, эквивалентное исходному:

А0 + Ахх + Л2х> + ...+ Ап хп = 0. (**)

Постараемся выяснить, каким запасом чисел нужно располагать для того, чтобы в этом запасе можно было отыскать корни для любого уравнения указанного вида. Как известно, общий ответ на этот вопрос дается в высшей алгебре, где выясняется, что запас всех ком-

плексных чисел, включая и действительные числа как рациональные, так и иррациональные, достаточен для нашей цели.

Однако если так называемая основная теорема высшей алгебры утверждает, что каждое уравнение вида (*), при а Ф О и п> 1, имеет, по крайней мере, один корень среди множества всех возможных комплексных чисел, то она отнюдь не утверждает обратного: из нее не следует, что каждое комплексное число является корнем какого-либо уравнения вида (*). В связи с этим и возникает вопрос о выделении из множества всех комплексных чисел лишь тех, которые являются корнями уравнений вида (**) с целыми коэффициентами (или, что сводится к тому же, уравнений (*) с рациональными коэффициентами).

Такого рода числа называются алгебраическими числами. К ним относятся, прежде всего, числа рациональные, так как любое число вида х = можно рассматривать как корень уравнения первой степени с целыми коэффициентами:

qx — р = 0.

Сюда относятся также и все иррациональные числа вида: х= I/ —, так как каждое такое число также является корнем уравнения с целыми коэффициентами: qx — р = 0.

Легко убедиться, что, выполняя над рациональными числами и над корнями любой степени из них операции сложения, вычитания, умножения и деления, извлекая корни из результатов и снова выполняя указанные операции в любом числе и любом порядке (как всегда, запрещается деление на нуль), мы будем получать алгебраические числа. Покажем это на примере, из которого будет ясно, как следует поступать и в общем случае.

Пусть нам дано число

Имеем:

Возвышая обе части последнего равенства в квадрат, получаем:

Отсюда: и, наконец:

Мы получили, таким образом, что а удовлетворяет уравнению шестой степени вида (**) с целыми коэффициентами. Отсюда и следует, что а — алгебраическое число. Прием, который позволяет приходить к такому же заключению во всех других, быть может, более сложных случаях, заключается в систематическом освобождении от радикалов.

Для того чтобы укрепить у читателя убеждение в чрезвычайной общности и полноте, с точки зрения алгебры и ее задач, множества алгебраических чисел, нам остается еще привести, без обоснования, следующие факты.

Рассмотрим какие угодно алгебраические числа аи a2i a3i • • •> ат и будем производить над ними в любом количестве и в любом порядке операции сложения, вычитания, умножения, деления (исключая деление на нуль) и извлечение корня. Оказывается, что в результате мы будем получать также алгебраические числа. Более того: составим алгебраическое уравнение, коэффициентами которого являются произвольные алгебраические числа. Тогда все корни этого уравнения будут также алгебраическими числами (действительными или мнимыми).

Замечательно, что запас алгебраических чисел не исчерпывается такими, которые могут быть получены из рациональных чисел путем каких бы то ни было комбинаций рациональных операций с извлечением корней с любыми показателями.

В особом разделе высшей алгебры, а именно в теории Галуа1, устанавливается, что среди уравнений степени выше четвертой с целыми коэффициентами встречаются такие уравнения, коряи которых не могут быть получены из рациональных чисел никакими комбинациями рациональных операций и извлечений радикалов.

В виде примеров подобных уравнений укажем такие:

хь + 5х + 5 = О, X5 - р2х + р = О,

где р — произвольное простое число, и т. д.

Корни этих уравнений, которые, конечно, можно вычислить с любой степенью точности, например, при помощи общего метода Лобачевского — Греффе, дают примеры алгебраических чисел, не выражаемых с помощью радикалов.

Из сказанного следует, что множество алгебраических чисел представляет собой запас чисел, с одной стороны, не содержащий ни одного лишнего числа с точки зрения задач, требующих выполнения алгебраических операций или решения алгебраических уравнений любой степени, а с другой — настолько богатый числами, что любая из указанных задач может быть решена с помощью этого запаса. Алгебраические числа, действительно, обеспечивают запросы алгебры и, исходя только из этих запросов и обобщая понятие числа, начиная от чисел рациональных, мы естественным образом должны притти именно к понятию алгебраического числа.

Частично алгебраических чисел достаточно и для решения геометрических задач, а именно классических задач на построение с помощью циркуля и линейки, которые можно произвести, отправляясь от некоторого отрезка прямой, принятого за единицу длины. Эти построения приводят только к таким длинам, которые могут быть представлены как результат конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения в степень и извлечения квадратного корня, выполненных над рациональными числами. Все числа такого рода, как указано выше, являются алгебраическими.

1 Смотрите превосходный курс Н. Г. Чеботарева, Основы теории Галуа, ч. I. ОНТИ. ГТТИ, 1934. а также книгу Л. Я. Окунева, Основы современной алгебры, Учпедгиз, 1941.

11. Убедимся теперь, что и запас алгебраических чисел, несмотря на кажущееся его изобилие, не более велик, чем запас натуральных чисел, т. е. что множество А всех алгебраических чисел и множество N всех натуральных чисел обладают одинаковой мощностью.

Заметим сначала, что одно и то же алгебраическое число является корнем бесчисленного множества различных алгебраических уравнений. Так, например,

jc = ~K2 удовлетворяет уравнениям:

х2-2 = 0, — X2 + 2 = 0, 5х2 — 10 = 0, л4 —4 = 0 и т. д,

Можно, однако, выбрать из всех этих уравнений одно наиболее простое, подобно тому, как из бесконечного множества дробей:-у, ^-g-, 3-^, представляющих одно и то же рациональное число, мы выше выбирали одну, потребовав, чтобы числитель и знаменатель были взаимно простыми и, кроме того, чтобы знаменатель был числом положительным. В данном случае мы потребуем, во-первых, чтобы уравнение, которому удовлетворяет х = У~2, было неприводимым, т. е. чтобы его левая часть не разлагалась на произведение многочленов более низкой степени с целыми коэффициентами, во-вторых, чтобы коэффициенты уравнения не имели других общих множителей, кроме ± 1, и, наконец, чтобы коэффициент ап при старшей степени Xх (п>\) был положительным числом. Тогда для числа x — Y^2 получим только одно уравнение: X1 — 2 = 0.

Введем теперь понятие высоты алгебраического числа, аналогичное введенному выше понятию высоты рационального числа.

Пусть

неприводимое алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, не имеющими общих делителей, помимо ± 1, причем ап >0. Назовем высотой алгебраи-

ческого числа а, удовлетворяющего этому уравнению, натуральное число

h = ( п - 1 ) + ап + I ап j I + ... + I а01.

Это определение, в применении к рациональному числу, дает в качестве его высоты ту же величину, которую мы вводили раньше. А именно: если а = -^-, где g — натуральное число и р — целое число, то а удовлетворяет уравнению:

qcL—p = О,

откуда для высоты числа а находим:

k = (\-l) + q+\-p\=q4-\p\.

Для а = / соответствующее уравнение есть х1 + 1 = = 0, ^угкуда высота равна (2 —■ 1) -f- 1 + 1 = 3; для а = = "|/"2 уравнение есть х2 — 2 = О, откуда высота равна (2 — 1)4- 1 + I - 2| = 4 и т. п.

Мы расположим теперь все алгебраические числа, начиная с нуля, в один ряд, по неубывающей высоте, причем для группы чисел, обладающих одинаковой высотой, допустим произвольный порядок. Впрочем, для того чтобы получить вполне определенное расположение, мы можем договориться из двух чисел" о! — а' 4- ib' и а" = a" -\- ib" (а', Ь', а", Ь" — действительные числа, а i = У — 1) с одной и той же высотой писать раньше то, у которого действительная часть меньше, а в случае равенства действительных частей (а = а") писать раньше то, у которого мнимая часть меньше1.

Таким образом, мы получим расположение:

1 Напомним, что мнимой частью комплексного числа а + Ы называется действительное число Ь.

здесь 0 имеет высоту 1; — 1 и 1—высоту 2; числа от — 2 до 2 — высоту 3; от — 3 до 3 — высоту 4 и т. д.

Теперь очевидно, что всех алгебраических чисел столько же, сколько и натуральных: пары из тех и других можно образовать, присоединив к первому по порядку алгебраическому числу 1, ко второму — 2, к третьему — 3 и т. д.

12. Мы убедились выше, что, действуя в интересах алгебры, мы могли бы успокоиться, введя понятие алгебраического числа. При этом сразу были бы введены и алгебраические иррациональности и мнимые числа, ибо с развитой выше точки зрения, с точки зрения заботы о наделении корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, уравнение X2 — 2 = 0, приводящее к введению числа V~%> ничем не хуже и не лучше уравнения х2 + 1 = 0, приводящего к введению числа i.

Однако уже внутри элементарной математики имеются задачи, и притом задачи весьма насущные, которые требуют расширения понятия числа в одном отношении более узкого, так как для них не нужны мнимые числа, в другом же отношении — несравненно более обширного, ибо запас одних лишь алгебраических иррациональностей для этих задач совершенно не достаточен. Речь идет прежде всего о задаче измерения длин прямолинейных отрезков.

Задача эта, в полном объеме осознанная еще греческими геометрами, приводит к понятию соизмеримых и несоизмеримых отрезков. В первом случае существует рациональное (положительное) число, дающее окончательный результат измерения одного отрезка с помощью другого, принятого за единицу, во втором случае такого рационального числа не существует. Доказывая эти факты и обнаруживая, например, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, греки не делали следующего шага: расширить понятие числа в таком смысле и в таком направлении, чтобы результат измерения любого отрезка посредством любого другого всегда выражался некоторым числом. Шаг этот был сделан в науке до конца лишь через два тысячелетия после того, как Эвклид написал свои „На-

чала", пятая книга которых посвящена глубокому анализу вопроса об измерении отрезков.

В примере несоизмеримых отрезков, приводимом Эвклидом (диагональ и сторона квадрата), результат измерения может_быть выражен алгебраическим числом, а именно V 2 . Однако уже в древности были выдвинуты задачи измерения, ответ на которые нельзя найти среди алгебраических чисел. К таким задачам принадлежит, прежде всего, знаменитая задача о квадратуре круга, приводящая к построению, по заданному радиусу окружности, прямолинейного отрезка, равного длине окружности. Для того чтобы констатировать невозможность решения этой задачи с помощью циркуля и линейки, достаточно показать, что длина искомого отрезка не может быть получена путем операций сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения в степень и извлечения квадратного корня, примененных к любым рациональным числам. В конце XIX в., как известно, было обнаружено, что вообще не существует никакого алгебраического числа, при помощи которого можно выразить длину искомого отрезка через радиус (доказательство трансцендентности числа те).

13. Задачу измерения можно рассматривать как классическую задачу, через которую исторически впервые анализ заявил свои требования к числу. Выражаясь таким образом, мы относим общую теорию измерения величин к области математического анализа. И в самом деле, в современной математике теория измерения (меры) представляет собой главу анализа, тесно связанную с общей теорией интеграла. В настоящий момент нас, однако, интересует не эта теория, а теория действительного числа, лежащая в основе не только теории меры, но и всего математического анализа. Для того чтобы лучше уяснить принципы построения теории действительного числа, мы должны будем вернуться к понятию сходящейся последовательности.

Мы уже указывали, что установление факта сходимости некоторой последовательности \ип } требует, по точному смыслу определения, сопоставления членов этой последовательности с одним и тем же, a priori заданным числом А. Если при этом окажется, что для любого е> 0, неравенство \ип — А |<е будет выполнять-

ся для всех значений ип , начиная с некоторого п> т е., выражаясь иначе, если члены последовательности дают сколько угодно точные приближения Л, при достаточно высоких номерах этих членов, то последовательность сходится, и предел ее есть А. В противном же случае можно утверждать только, что А не может являться пределом последовательности \ип }; вопрос о том, сходится или расходится наша последовательность, будет оставаться открытым. Затруднения, связанные с выяснением сходимости некоторой последовательности, были бы устранены, по крайней мере в значительной своей части, если бы удалось найти критерий (признак), позволяющий устанавливать сходимость из рассмотрения одних лишь чисел ип , без привлечения числа А (предполагаемого предела последовательности). Такой критерий действительно существует и носит название критерия Коши. Притти к нему совсем нетрудно.

В основе этого критерия лежит то простое обстоятельство, что если числа ип дают сколько угодно хорошие приближения к Л, то их же следует рассматривать как хорошие приближения друг к другу. Выразимся точнее. Пусть е>0; тогда если последовательность {и } сходится и А = lim ип , то мы можем утверждать, что \и —А |< е при всех n>N(e). Возьмем два члена последовательности с номерами, превышающими N (е). Если меньший из этих номеров есть п, то больший можно представить в виде п + р, где р — натуральное число. Итак, мы берем члены ип и ип_^р

Для абсолютной величины их разности получаем:

Следовательно, если последовательность {ип } сходится, то для любого е>0 можно указать такое N(е), что при всех n>N(e) и для любых натуральных р будет выполняться неравенство:

Мы получили критерий сходимости, в котором не фигурирует предел последовательности; члены последовательности сравниваются здесь только друг с другом, число же е служит для оценки близости их между собой. Важно понять, что найденный критерий появился у нас лишь как необходимый признак сходимости. Если он не выполнен, то последовательность не может сходиться, так как для каждой сходящейся последовательности, как мы показали, признак этот Должен иметь место. Если же он выполнен, то мы, без дальнейшего доказательства, не будем иметь права сказать, что последовательность сходится.

Для применения критерия (пока понимаемого только как необходимый) нужно научиться формулировать его отрицание. (Заметим, кстати, что умение формулировать предложение, являющееся точным отрицанием некоторого другого предложения, является весьма важным для успешного усвоения математики, и в этом умении необходимо возможно больше упражняться.) Итак, что должно обозначать невыполнение нашего критерия? Критерий требует, чтобы для -любого е>0 существовало такое N (е), что \ип + р~ ип I < 6 при n>N(e) и любом натуральном р. Невыполнение критерия должно означать, что не любое е > 0 обладает требуемым свойством, т. е. найдется такое е = е0 > О, для которого неравенство \ип^ — ип |<<8 не может выполняться для всех п, достаточно больших и для любых натуральных р. Но это значит, в свою очередь, что существуют сколь угодно большие значения п и соответствующие им значения р, для которых неравенство \ип_^р — ип |< е заменяется противоположным: \ип +р — ип \ > е- Обозначим эти значения п через ki9 k29...,k , ... (lim k =00), а соответствующие значения р — через р,, /?2, р3.... Итак, отрицать выполнение критерия сходимости — это значит утверждать существование такого числа е0>0и двух последовательностей натуральных чисел \kn } и \р }, из которых первая расходится к бесконечности, таких, что

Найденное нами отрицание дает, очевидно, критерий расходимости последовательности, и притом достаточный критерий. В самом деле, если оно выполнено, то это означает, что не выполнен критерий сходимости (необходимый) и, следовательно, последовательность \ип } не может сходиться, т. е. расходится.

Иллюстрируем сказанное примером. Рассмотрим последовательность :

Здесь

В частности, при р = п имеем: Итак, неравенство

выполняется при всех значениях п. Отсюда и следует, что последовательность \ип \ расходится. Здесь е0 числа kn образуют последовательность всех натуральных чисел: 1, 2, 3, 4,..., наконец, рп = kn , так что

k п + рп = 2/г п г п п •

14. Является ли критерий сходимости, рассмотренный в п. 13, также и достаточным? Иными словами, если этот критерий выполнен и числа ип отличаются друг от друга попарно сколь угодно мало при достаточно больших номерах членов каждой пары (/г и п + р), то можно ли утверждать, что существует одно и то же число Л, от которого все они отличаются сколь угодно мало, при достаточно больших значениях номеров? Ответ на этот вопрос существенно зависит от того запаса чисел, которым мы располагаем.

Будем исходить сначала из запаса всех рациональных чисел. Этим запасом располагала, например, классическая математика греков, ограничивавшаяся, впрочем, одними лишь положительными числами. Этим же запасом располагают и учащиеся средней школы, когда их с помощью примеров подводят к понятию иррационального числа.

Мы и начнем с простейшего примера: задачи извлечения квадратного корня из двух. Известное рассуждение показывает, что рационального числа, обладающего требуемым свойством, не существует, и, следовательно, задача не имеет решения в области рациональных чисел.

Рассмотрение этой задачи (и других подобных ей) может служить, таким образом, импульсом для обобщения понятия числа. Вот тут-то и полезно проследить различие между алгебраическим и аналитическим подходом к делу.

С точки зрения алгебры речь идет лишь о наделении корнями алгебраического уравнения х2 — 2 = 0, задачи, составляющей частный случай общей задачи: наделения корнями любого алгебраического уравнения. Последний вопрос решается посредством построения множества алгебраических чисел, включающего в себя множество чисел рациональных и подчиняющегося тем же законам действий, что и множество чисел рациональных, с учетом того условия, что для алгебраического числа 6, введенного в связи с уравнением а X + а лх + ... -+- а0 = 0 (в качестве его корня), выражение ап 6 +an__j6 +... + % должно заменяться через нуль. Этот алгебраический подход, в основе которого лежат законы операций над числами (сложение, вычитание, умножение, деление и алгебраический символизм), как мы уже говорили, не усматривает никакого принципиального различия между уравнениями х2—2=0 их2 + 1 = 0. В первом случае мы имеем дело с символом 1/1Г, для которого (У2 f — — 2 = 0, во втором случае — с символом У — 1 или i, для которого (if + 1 = 0.

Для аналитического подхода характерно то, что здесь операции над числами отходят на задний план.

уступая место основному вопросу: возможно ли данную задачу, не имеющую решения среди рациональных чисел, формулировать так, чтобы имело смысл говорить о ее приближенном решении с произвольно высокой степенью точности? Если возможно и мы получаем последовательность приближений, удовлетворяющую критерию сходимости, то нам останется только наделить нашу последовательность пределом. Иррациональное число появится, в конечном счете, именно как предел некоторой последовательности рациональных чисел, удовлетворяющей критерию Коши Такого рода подход, который мы сейчас проследим во всех деталях, применим далеко не во всех алгебраических задачах. Например, мы не можем применить его к решению уравнения х2 + 1 = 0. Но зато этот подход является незаменимым в бесконечном множестве других задач, задачи измерения, в частности, и задач анализа, вообще.

Очерк второй

ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

15. Итак, можно ли говорить о приближенном решении уравнения х2 — 2 =: 0, или х1 = 2, и в каком именно смысле? Рассмотрение функции х2 показывает, что для X > О она растет (вместе с возрастанием х) и что среди ее значений существуют как меньшие, так и большие двух, притом сколь угодно мало отличающиеся от двух. В самом деле, если х2 > хх > О, то х\ — х\ = (х2 — х1)(х2 + х1) > 0. Далее, 1,12 < 2 < 1,92 и, следовательно, если рассматривать, например, рациональные числа вида —-ь , то мы среди чисел этого вида, заключающихся между 1 и 2:

найдем наибольшее, квадрат которого меньше двух (равенство, как мы знаем, исключено). Пусть

это будет

Тогда

Для разности квадратов чисел

получаем:

(так как каждое из чисел в круглых скобках меньше двух). Мы видим таким образом, что разность между числами 1 -\--и 1-{--- , одно из которых превышает два, а другое меньше двух, может быть сделана сколь угодно малой при достаточно большом k. Это и позволяет рассматривать числа и как приближенные решения задачи извлечения квадратного корня из двух, притом приближенные, соответственно, по избытку и недостатку. Полагая k — 0, 1, 2, 3,... и выполняя выкладки, находим в качестве приближений по недостатку: 1; 1,4; 1,41; 1,414;...,

а по избытку:

2; 1,5; 1,42; 1,415;...

Таким образом, новая формулировка задачи как отыскания ее приближенных решений приводит нас к последовательностям чисел. Убедимся в том, что каждая из этих последовательностей удовлетворяет критерию сходимости. Достаточно привести рассуждение для первой из них 1; 1,4; 1,41; 1,414;...

Обозначая члены этой последовательности через ии и2, иг,ип ,..., а члены последовательности 1; 1,5, 1,42; 1,415; ... через vlt vî9 v8,..., vn ,.. ., имеем:

для любых натуральных р и //; кроме того,

Отсюда

Следовательно, для любого е>0 неравенство

будет выполнено при

Мы видим, что критерий сходимости для последовательности \ип \ выполняется. Точно так же убедимся, что критерий сходимости выполняется и для последовательности {v }. Так как 0 < 2 — и2п< v^~~u2n <—- « (см. выше), то для любого е >0 неравенство 12 — н!,1<е будет выполняться при -, <е, т. е. при я> lg—+ 1. Это означает, что последовательность \ ип \ сходится и предел ее равен 2: lim и2 =2. Точно так же убеждаемся в том, что и последовательность \v2n\ сходится и предел ее равен 2: limt;2 =2. Но сходятся ли сами последовательности \и ) и \v }? Легко видеть, что среди рациональных чисел ни та, ни другая не обладает пределом. Действительно, если бы существовал рациональный предел lim ип — А, то мы имели бы:

Но, с другой стороны, lim и2 = 2. Отсюда А2 = 2, что невозможно, так как квадрат рационального числа не может равняться двум. Аналогично убеждаемся и в том, что lim V не существует среди рациональных чисел. Итак, если мы хотим, чтобы всякая последовательность, удовлетворяющая критерию сходимости, фактически сходилась, т. е. имела предел, если мы хотим, в частности, чтобы имели предел последовательности \ип \ и \vn j, появившиеся в только что рассмотренной задаче, то мы должны расширить понятие рационального числа, присоединив к множеству рациональных чисел новые объекты—иррациональные числа.

16. Когда, отправляясь от целых чисел, вводят дробные в связи с задачами на деление, то на первых же порах сталкиваются с тем обстоятельством, что одна и та же дробь появляется как ответ на задачи с раз-

личными числовыми данными. Так, например, дробь j- дает ответ на задачу как в том случае, когда 3 м проволоки делятся на 4 части равной длины, так и в том случае, когда 6 м ее делятся на 8 частей, 9 лена 12 частей и т. д. Точно так же, отправляясь от рациональных чисел и вводя иррациональные числа, в связи с задачами на пределы последовательностей1, мы должны приготовиться к тому, что одно и то же число появится как предел различных последовательностей.

Так, в предыдущем примере иррациональное число 1^2 может быть введено как предел любой из двух последовательностей :

1; 1,4; 1,41; 1,414;... (приближения по недостатку) или

2; 1,5; 1,42; 1,415;... (приближения по избытку).

Мы могли бы указать и другие последовательности рациональных чисел, приводящие к Y% - Для этого достаточно взять вообще какую-либо последовательность натуральных чисел, расходящуюся к бесконечности: л„ л2, ..., nk ,. • , и затем отыскивать приближения по избытку или по недостатку с точностью до— , —,...,-— ,... Выше мы полагали пи = 10 , но могли бы, например, брать nk = 2k~~~*9 или nk = 3**~\ или nk — k и т. п.

Заметив это, мы должны установить, когда именно две последовательности рациональных чисел, удовлетворяющие критерию сходимости, будут определять одно и то же число и когда разные числа. Для сокращения дальнейших формулировок условимся, вслед за Г. Кантором, называть последовательности, удовлетворяющие критерию сходимости,—фундаментальными.

Допустим, что наша последовательность \ип \ имеет пределом рациональное число А и пусть №п\~какая-

1 Подразумеваются последовательности, удовлетворяющие критерию сходимости.

либо другая последовательность, имеющая пределом рациональное число В. Тогда, как мы указывали выше (п. 6), последовательность \ип — vn \ будет иметь пределом А— В и, следовательно, пределы А и В будут одинаковы или различны, в зависимости от того, будет ли последовательность lu —v \ сходящейся к нулю или нет. Условимся, вообще, называть две какие-либо фундаментальные последовательности \un \ и \vn \ (независимо от того, обладают ли они рациональными пределами или не обладают) эквивалентными, если последовательность \ип — v I сходится к нулю. Тогда можно сказать, что если последовательность \ип\ имеет рациональный предел, то и все эквивалентные ей последовательности имеют тот же рациональный предел, а если \ип \ не имеет рационального предела, то и ни одна из эквивалентных ей последовательностей не будет иметь рационального предела.

Принятое нами определение эквивалентности последовательностей удовлетворяет всем требованиям, которые в математике предъявляются к понятию равенства. А именно:

а) требование рефлексивности: каждая последовательность \ип \ эквивалентна себе самой (ибо для двух одинаковых последовательностей \ип \ и \ип \ последовательность разностей имеет вид {0 ) и, следовательно, сходится к нулю);

б) требование симметрии: свойство эквивалентности взаимно, т. е. если последовательность \ип \ эквивалентна последовательности \ъп\, то и последовательность {vп\ эквивалентна последовательности \ ип \. Это следует из того, что две последовательности разностей \и — vn }и \vn — ип\ одновременно либо сходятся, либо не сходятся к нулю;

в) требование транзитивности: если \ип\ эквивалентна'^ \ и \v \ эквивалентна]^}, то \и \ эквивалентна \w \. В самом деле, имеем, что \и —v \ и

{v — w ) сходятся к нулю. Но тогда и {(и — v ) + +(г>л — ^Я)Ь т. е. {и^ — w \ сходится к нулю, откуда и вытекает эквивалентность последовательностей \ип \ и \wn\.

Указанные свойства позволяют разбить все фундаментальные последовательности на классы эквивалентных между собой последовательностей.

Две последовательности будут относиться к одному и тому же классу тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Таким образом, все эквивалентные между собой последовательности будут иметь между собой то общее, что они принадлежат к одному и тому же классу.

Если в этот класс входит хотя бы одна последовательность \ип \у сходящаяся к рациональному числу Л, то и все другие последовательности того же класса будут сходиться к тому же числу А. При этом никакой другой класс не будет содержать ни одной из последовательностей, сходящихся к А (если бы такие существовали, то они были бы эквивалентными \ип) и, следовательно, входили бы в исходный класс).

Если же хотя бы одна из последовательностей данного класса не сходится ни к какому рациональному числу, то и все другие последовательности того же класса не сходятся ни к какому рациональному числу. Однако по отношению друг к другу последовательности этого класса ведут себя совершенно так же, как и последовательности, обладающие одним и тем же рациональным пределом: последовательности разностей их членов сходятся к нулю. Это обстоятельство мы положим в основу расширения понятия числа и будем называть иррациональным числом любой класс всех эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей рациональных чисел, не имеющих предела среди чисел рациональных.

С точки зрения этого определения, мы получим иррациональное число, рассматривая, например, класс, в который входят последовательности:

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;

2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422, . . .

и вообще все возможные последовательности, эквивалентные указанным. Для обозначения этого иррационального числа, т. е. этого класса последовательностей, можно пользоваться любым символом. Целесообразно, однако, ввести символ, напоминающий о задаче, попытка решения которой привела к рассмотрению данного класса. Такого рода символ и представляет У 2 .

Читателю может показаться надуманным то, что мы называем иррациональным числом класс последовательностей рациональных чисел. Но если рассмотреть вопрос ближе, натянутость нашего определения становится только кажущейся. В самом деле, мы должны построить иррациональное число на основе чисел рациональных. Если нужно получить математический объект, которому мы присвоим имя иррационального числа, то мы должны, следовательно, образовать этот объект с помощью рациональных чисел. Беря какую-либо определенную последовательность рациональных чисел, удовлетворяющую критерию сходимости и не имеющую предела (среди рациональных чисел), мы уже близки к тому, чтобы получить нужный объект. Однако было бы нецелесообразно назвать иррациональным числом такую последовательность (хотя в этом и не будет прямой ошибки), потому что использование той или иной определенной последовательности для введения иррационального числа носит случайный характер, и только класс всех эквивалентных между собой последовательностей дает исчерпывающее представление о всех нитях, ведущих из области рациональных чисел к данному иррациональному числу. Правда, к этому пояснению можно придраться и сказать, что, называя иррациональным числом совокупность всех, так сказать, рациональных путей, к нему ведущих, мы поступаем так же, как поступил бы тот, кто называет Римом совокупность всех дорог, к нему ведущих. Однако comparaison n'est pas raison! Нужно все время помнить, что в нашем случае мы поставили целью образовать понятие иррационального числа при помощи чисел рациональных и в этом отношении связали себя по рукам и ногам самими условиями задачи.

Заметим еще, что в нашем положении можно было, конечно, сказать, что иррациональное число не есть сам класс эквивалентных между собой последова-

тельностей рациональных чисел, но есть „нечто вполне характеризуемое" этим классом, привязанное к этому классу, но с ним не совпадающее. Такого рода выход сообщает понятию иррационального числа еще более абстрактный характер.

Не развивая далее этого замечания, удовлетворимся найденным решением и для того, чтобы смягчить различие в концепциях рационального и иррационального числа, условимся также отождествлять класс эквивалентных последовательностей, сходящихся к некоторому рациональному числу, с этим самым числом. Так, например, класс последовательностей

AAA А 3' 3' з ' • • • 9 3 9 • • • 9 0,6; 0,66; 0,666;... ; 0,66 ... 66;... , 0,7; 0,67; 0,667;. ..; 0,666 . ..67;...

и всех прочих, им эквивалентных, мы будем отождествлять с числом . Будем называть, наконец, действительным числом любой класс эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Действительное число будет рациональным или иррациональным, в зависимости от того, обладают ли последовательности рациональным пределом или нет

Последнее требование можно формально заменить другим, смысл которого ясен из последнего приведенного нами примера. А именно, действительное число (т. е. класс) является рациональным тогда и только тогда, когда этот класс содержит последовательность, образованную равными между собой числами:

г, г, г9 . . . 9 г,. . .

Такого рода класс будем обозначать через г, отождествляя его именно с этим рациональным числом.

В частности, класс, содержащий все сходящиеся к нулю последовательности (такие последовательности, очевидно, эквивалентны между собой), содержит также последовательность: 0, 0, 0, . . 0, . . . и отождествляется с числом 0.

17. Введя понятие действительного числа, мы должны будем заняться построением арифметики действительных чисел, куда мы включаем два основных вопроса:

а) рациональные операции над числами,

б) сравнение чисел между собой (равно, больше, меньше).

Для того чтобы решить эти вопросы, мы проведем дополнительное изучение фундаментальных последовательностей. Пусть \и \ — такая последовательность.

Покажем сначала, что она ограниченная, т. е., что существует число M такое, что \ип | <М для всех значений л. Выше (п. 6) мы доказывали аналогичное предложение, опираясь на существование предела последовательности. Теперь мы будем опираться только на критерий сходимости.

Возьмем е = 1 ; тогда неравенство | ип — ип _^ | < 1 должно иметь место при л > N и любом натуральном р. Фиксируя какое-либо п = п0^>N, будем иметь:

откуда:

Обозначим через M наибольшее из чисел:

Тогда при любом п будем иметь:

откуда и следует справедливость нашего утверждения.

Пусть теперь \ип \ и \vn [—две фундаментальные последовательности. Покажем, что \un±vn\ и \ и *v ) также будут фундаментальными. В самом деле, пусть

Тогда.

Отсюда и следует, что последовательность \ип ± v \ — фундаментальная. Если, далее, \и | < M и \v \ < M для всех значений п (число M в обоих случаях можно считать одним и тем же, если, например, \и \ < Мг и \vn |<Л12, то можно взять в качестве M наибольшее из чисел Мг и Ж2), то. предполагая, что при п>№ получим:

при /!>ЛГ, откуда снова вытекает, что и последовательность \ип •vfg \ — фундаментальная.

Пусть теперь некоторая фундаментальная последовательность \v \ удовлетворяет дополнительному условию: она не сходится к нулю. Покажем, что все члены последовательности, начиная с некоторого из них, имеют один и тот же знак, и далее, что существует такое положительное число kt что в случае, когда знак v есть +, то выполняется неравенство п > k>0, а в случае, когда знак v есть—, то выполняется неравенство v < —0 (вобоих случаях, начиная с некоторого ri). Пусть, в самом деле, \v \ не сходится к нулю. Сходимость к нулю обозначала бы, что для любого е >0 неравенства \ vn — О1 = | v |< е удовлетворяются для всех п достаточно больших. Отрицание сходимости к нулю обозначает, что для некоторого е = е0 неравенства |vn |<е0 заменяются противоположными неравенствами: \*оп\>г0, имеющими место для сколь угодно больших значений п:

Иными словами:

Используя критерий сходимости для последовательности \vn }, утверждаем, что неравенства \vn_^ — V I < е0 выполняются для всех п> N0 и любых р.

Выберем п = п , где m достаточно велико для того, чтобы было п >ЛГ0, тогда имеем:

Если V > 0, то отсюда выводим, что

(р = 1, 2, 3, .. .) и, полагая k = -у-, получаем в этом случае, что г> > k при всех л > п . Если же i> < О,

то

(р = 1, 2, 3, . . .) и, снова полагая >0, получаем, что vn < — k при всех /г > л . Наше утверждение доказано полностью.

Пусть, наконец, Ып\ и } — две фундаментальные последовательности, причем \vn \ не сходится к нулю, и все числа {v } отличны от нуля. Покажем, что j^pj — также фундаментальная последовательность.

В самом деле, | ип | < M при всех п и | v | > а, при достаточно больших значениях п > Л^. Так как для любого е>0 мы имеем неравенства:

при п < Л/"2, то для * +р — -~ получаем, считая, что п превышает наибольшее из чисел и N2t которое мы обозначим через А[:

Итак, -f±±*--- < е при п > N и любом /?, откуда и следует наше утверждение.

18. Изучив свойства фундаментальных последовательностей, остановимся еще на понятии эквивалентности, введенном выше. Пусть \ап \ — какая-либо последовательность; тогда \unj^p\ или, подробнее, и, ^р, и2-\- р> из + р> ■ • ■ 1 т. е. последовательность, состоящая из всех членов \ип \, следующих за и , эквивалентна данной. Действительно, составим последовательность \и . — и \. Так как для любого е>0 имеем: Iипр — I < e при п> N(е), то последовательность ^ип_1_р — ип \ сходится к нулю, что и выражает эквивалентность \ип \ и \unj^ \.

Мы можем сказать теперь, что, отбрасывая в последовательности \ип \ любое число начальных членов, получаем последовательность, эквивалентную первоначальной. В частности, если {vn \ — фундаментальная последовательность, не сходящаяся к нулю, то все ее члены, начиная с некоторого из них, будут отличны от нуля:*, +р Ф О, v2+p Ф О, v3 + p Ф 09...9vk+p Ф О, . . . (см. п. 17). Поэтому, отбрасывая в любой несходящейся

к нулю последовательности некоторое количество начальных членов, мы можем получить эквивалентную ей последовательность, все члены которой отличны от нуля.

Пусть \ип \ и \vn \ — две каких-либо последовательности и {wn ) — последовательность, полученная из данных путем операции сложения, вычитания, умножения или деления (последнее только в случае, когда {v } не сходится к нулю и все числа v отличны от нуля).

Покажем, что, заменяя {и \ n {v \ соответственно эквивалентными последовательностями {и'п\ и \v ) и выполняя те же операции, мы получим в результате новую последовательность {w'n\* эквивалентную \ivn ',.

Приведем рассуждение для какой-либо определенной операции, например, для умножения.

Имеем:

нужно показать, что

Замечая, что последовательности \ип\ и \v'n\ ограничены:

выберем для заданного е > 0 число N столь большим, чтобы при /7>>У выполнялись неравенства:

Тогда будем иметь, при п>Л[:

Итак, lim (w — w ) — О, т. е. последовательности \wn \ и \w \ эквивалентны. Предоставляем читателю доказать аналогичные предложения для случая суммы (разности) и частного.

Итак, имея два действительных числа а и ß, т. е. два класса последовательностей, и производя определенную арифметическую операцию над последовательностями этих классов, мы будем получать эквивалентные между собой последовательности. Они все будут принадлежать к одному классу, определяющему некоторое действительное число \. Это число мы и будем называть, по определению, результатом соответствующей арифметической операции, выполненной над числами а и ß, т. е. суммой, разностью, произведением или частным чисел аир. Итак, суммой, разностью, произведением или частным действительных чисел а н ß называется действительное число f (класс эквивалентных между собой последовательностей), которому принадлежат сумма, разность, произведение или частное каких угодно последовательностей, извлекаемых по одной из классов anß. Чтобы принять окончательно это определение, следует проверить еще, что в том случае, когда аир рациональные числа, наше определение приводит к тому же результату, что и непосредственное выполнение операции по правилам арифметики рациональных чисел. Но в нашем случае класс а содержит последовательность а, а, а, . . класс ß — последовательность р, Р, р, . . и, следовательно, сумму, разность, произведение и частное (при ß Ф 0) классов аир получим, беря класс содержащий, соответственно, последовательности:

Все члены каждой из этих последовательностей равны между собой. Поэтому наш класс определяет рациональное число, равное соответственно а ± ß, aß и р , где операции совершаются по обычным правилам арифметики.

Из всего сказанного следует, что определенные выше операции над действительными числами удовлетворяют основным законам арифметики (ассоциативность и коммутативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения, выполнимость вычитания и деления во всех случаях, исключая деление на нуль).

В виде примера приведем здесь проверку закона дистрибутивности. Нужно доказать, что (а + ß) 7 = orç -f-+ ßf, где а, ß и 1 — произвольные действительные числа,, а действия над ними понимаются в смысле, установлен ном в этом пункте. При доказательстве мы будем опираться, разумеется, на то, что для рациональных чисел закон дистрибутивности имеет место. Пусть \ип \, {vn \ и \wn [ — какие-либо последовательности рациональных чисел, соответственно принадлежащие классам а, ß и т.

Тогда \ип + v \ g а + ß и, следовательно,

С другой стороны,

и, следовательно,

Остается заметить, что последовательности {(ип -f-+ vn )*wn } и \ип wn +vnwn) совпадают между собой, так как (и +v )*w =и -w +v -w (и vn , w — числа рациона л ьные^; поэтому и классы (а + ßi Т и аТ + fa также совпадают, т. е. (а + ß)f = a-j + fa, что и требовалось доказать.

Что касается выполнимости вычитания или деления (исключая деление на нуль), то здесь особой проверки не нужно, так как уже само определение указанных операций обеспечивает их выполнимость (всё сводится к вычитанию и делению рациональных чисел, являющихся членами соответствующих последовательностей). Из этого же определения вытекает также, что вычита-

ние есть операция, обратная сложению, а деление — умножению.

В алгебре совокупность элементов любой природы, для которых определены операции сложения и умножения и обратные им операции вычитания и деления, удовлетворяющие упомянутым выше основным законам, называется полем. Мы можем сказать поэтому, что множество всех действительных чисел является полем. Оно называется полем действительных чисел.

19. Чтобы закончить построение арифметики действительных чисел, необходимо еще упорядочить множество этих чисел, установив между любыми двумя из них соотношения: = ,> и <. Что касается равенства, то это уже сделано нами выше: a = ß тогда и только тогда, когда аир представляют один и тот же класс. Узнать об этом можно, убедившись в эквивалентности двух последовательностей, одна из которых принадлежит а, а другая — ß. Чтобы судить о соотношении а и р в случае, когда a=£ß, удобнее ввести сначала понятия положительного и отрицательного числа. Пусть \ип \ — какая-либо последовательность, принадлежащая классу а#0. Так как а^О, то \ип \ не сходится к нулю и, следовательно, по п. 17, все члены этой последовательности будут удовлетворять либо условию un>k, либо условию:

где k>0 (неравенства выполняются, начиная с некоторого достаточно высокого номера п). Условимся последовательности первого типа называть плюс-последовательностями, а последовательности второго типа минус-последовательностями и покажем, что если какая-либо фундаментальная последовательность \ип \ является плюс-последовательностью, то и все эквивалентные ей также являются плюс-последовательностями, а если \ип \ минус-последовательность, то и все эквивалентные ей также минус-последовательности. Короче говоря, каждый класс эквивалентных последовательностей, отличный от нуля, состоит из одних только плюс-или одних только минус-последовательностей.

Соответственно этому мы и будем называть действительное число, представляемое этим классом, положительным или отрицательным. Докажем высказанное выше утверждение. Пусть, например, ил>£>0при n>Nx.

Если {и \ — последовательность того же класса, то lim (и — и ) = 0; беря е= мы можем утверждать, что при n^>N2

но тогда при n^>N, где ЛГ— наибольшее из двух чисел Ых и Af2, получаем:

Полагая -~ = к' > 0, будем иметь и > К при я > ЛГ. Итак, из того, что \ип \ есть плюс-последовательность, следует, что и эквивалентная ей последовательность \и'п) также есть плюс-последовательность. Совершенно так же можно доказать, что если \ип \ есть минус-последовательность, то и любая эквивалентная ей последовательность \и'п\ также является минус-последовательностью.

Введя понятие положительных и отрицательных чисел, мы легко определим соотношения > и < для любых двух чисел аир. Именно в зависимости от того, будет ли разность а — ß положительной или отрицательной, мы будем говорить, что а > ß или а < ß. В случае, когда а и ß рациональные числа, все эти определения совпадают с обычными, ибо из соответствующих классов мы можем брать в этом случае последовательности:

а, а, а, а, ...

р. Р, р. Р,. •.

Покажем, что множество действительных чисел, больших нуля, полностью совпадает с множеством положительных чисел, и множество чисел, меньших нуля, совпадает с множеством отрицательных чисел.

В самом деле, если а положительно и \ип \ £а, то J ип \ есть плюс - последовательность и, следовательно, ип > k > 0 при п > N. Но тогда un—0 = un>k>0 при n>N,T. е. \ ип —0\ есть плюс-последовательность, и так как эта последовательность принадлежит классу ä — 0, то a — 0 > 0, т. е. a > 0. Совершенно так же доказываем, что каждое отрицательное число ß удовлетворяет неравенству ß < 0. Если 7 — какое угодно действительное число и 7>0, то 7 не может быть ни нулем, ни отрицательным, так как неравенство 7>0 несовместимо ни с тем, что 7 = 0, ни с тем, что 7 <0. Поэтому каждое 7 > 0 есть число положительное. Точно так же убеждаемся, что каждое 7< 0 есть число отрицательное. В дальнейшем можно употреблять термины положительный и больший нуля как синонимы, точно так же, как синонимами будут термины: отрицательный и меньший нуля.

Основные свойства неравенств легко проверяются. Именно:

а) для двух действительных чисел a и ß имеет место всегда одно из трех соотношений: либо a = ß, либо a> ß, либо a < ß, при этом a;> ß обозначает то же самое, что и ß<a;

б) если a> ß и ß> 7, то а > 7;

в) п ß> Т. то а + ß>a + 7;

г) п Р> Т и а>0, то aß >аТ;

д) , ß> Y » а <0, то aß< аТ.

Проверку этих свойств со ссылкой на определения и на то, что в арифметике рациональных чисел указанные свойства выполняются, предоставляем читателю.

20. Докажем лемму, полезную для дальнейшего. Пусть a — действительное число и { ип \ — какая-либо последовательность рациональных чисел, входящая в класс а. Если для всех ип , начиная с некоторого из них, выполняется неравенство ип < M (где М— рациональное число), то и для a выполняется неравенство: a < M. В самом деле, последовательность i и — M\ в

силу того, что ù — М<0, не может быть плюс-последовательностью. Следовательно, она представляет собой либо минус-последовательность, либо сходится к нулю. Но она принадлежит классу а —Ж. Поэтому а — M < 0, т. е. а< Ж, что и требовалось доказать.

Аналогично, из неравенства ип> M следует, что а>М.

Введем теперь понятие числа противоположного a, a именно, числом, противоположным а, мы будем называть 0 — а. Если последовательность \ ип ! принадлежит классу а, то класс 0 — а определяется последовательностью {0— и„\, т. е. {— и }. Но той же последовательностью определяется, очевидно, число—1-а. Следовательно, число, противоположное а, можно определять так же, как—1 - а. Мы будем обозначать 0—а= — 1 - а через — а. Если а ф О, то переход от а к — а, соответствующий переходу от последовательности \ ип\ к последовательности {— ип }, приводит либо к минус-последовательности, если \ ип \ была плюс-последовательностью, либо к плюс-последовательности, если \ ип \ была минус-последовательностью. Поэтому число— а является отрицательным, когда а положительно, и положительным, когда а отрицательно, иначе говоря, а и — а числа разных знаков (если а ф 0).

Абсолютной величиной а мы назовем само число а в том случае, когда а>0 и число —а, когда а<0. Таким образом, абсолютная величина а, которая обозначается через |<х|, всегда неотрицательна. Пусть для последовательности {ип \, принадлежащей классу а, начиная с некоторого п^> N, выполняются неравенства \ип\<М, где M — положительное рациональное число, иными словами: — M < ип < M при л > N. Тогда, по сказанному выше, имеем: — М<а<М, или: а< M и — а < М. Отсюда следует, что и | а | < M.

Для абсолютной величины легко проверить следующие основные свойства:

Остановимся на следующем, необходимом для дальнейшего, предложении: если |а|<е, где е произвольное положительное число, то а =z 0.

В самом деле, если а ф 0, то оно либо положительное, либо отрицательное, Пусть, для определенности,. а> 0. Тогда каждая последовательность \ ип \ класса а является плюс-последовательностью, и мы будем иметь для какой-либо фиксированной последовательности \ ип J неравенства:

0</г<идпри л>ЛГ.

Но отсюда, по доказанному выше, следует, что

0<А<аи, следовательно, | а | = а > ß> тогда как по условию, при г — мы должны иметь: |а| < -у.

Из этого противоречия и вытекает справедливость нашего предложения.

21. Докажем теперь следующую важную теорему, устанавливающую соотношение между действительным числом а и любой последовательностью {ип }, входящей в класс а. Последовательность \ ип \ рациональных чисел тогда и только тогда принадлежит классу а, когда для любого рационального ип , начиная с некоторого п >ЛГ(е), выполняются неравенства:

\*~ип К е-

Доказательство. Пусть сначала \ип \ принадлежит классу а. В силу того, что {ип \ фунадаментальная последовательность, мы можем потребовать, чтобы было: \и —и |<4-пРи п > N(e) и любом натуральном р.

Фиксируя натуральное число л, удовлетворяющее этому неравенству, найдем, что разность а — ип определяется последовательностью:

Так как члены ее удовлетворяют неравенству

то для определяемого ею числа а — ип мы должны иметь

Обратно, пусть для любого е > 0 (рационального) для некоторого а и для последовательности рациональных чисел { ип \ выполняется последнее условие. Тогда прежде всего заключаем, что \ип \ — фундаментальная последовательность, так как из | а — ип \ < -у при п > следует, что

при п > Л/(е).

Пусть { ип \ принадлежит к классу ß. По доказанному \ип — ß| < 2 ПРИ п > Aflfe), а с другой стороны I ип — а|< — при /; > Ms). Отсюда заключаем, что | ß — — а| < I ß — ип I + |а — ип | <-|- -i- = е» каково бы ни было положительное число s. Но тогда, на основании замечания, сделанного в конце п. 20, ß — а = 0, или ß = а Теорема доказана полностью.

Теорема эта позволяет рассматривать каждую последовательность \ и }, принадлежащую классу а, как сходящуюся к а, и писать: lim и = а.

22. Наконец, приведем еще одну лемму, которая позволит перейти к десятичному разложению действительного числа а.

Для каждого действительного числа а можно указать такое целое число М> что Ж<а<М+1.

Это целое число называется целой частью а и обозначается через [а].

Для доказательства рассмотрим какую-либо последовательность ] ип }, принадлежащую классу а. Так как это—фундаментельная последовательность, то по п. 17 существует рациональное число С такое, что | ип ] < С.

Заменяя С целым числом N > С, мы можем только усилить это неравенство. Получим

i«.i<*.

Отсюда, на основании п. 20, следует, что — N < а < N-

Рассмотрим, наконец, целые числа — N, — N + 1. - • •> N + Ii из которых первое не превосходит a, a последнее больше чем а, и пусть М+1— первое из этих чисел, большее чем а. Тогда M < а, и мы получаем

M < а < M + 1,

что и требовалось доказать.

23. Так как все сведения о действительном числе a, a также все необходимое для выполнения операций над а, можно извлечь из рассмотрения одной какой-либо последовательности рациональных чисел, принадлежащей классу а, то целесообразно уметь выделять из каждого класса одну определенную, возможно более простую последовательность, которая будет служить как бы „полномочным представителем" всего класса, т. е. действительного числа, во всех вопросах, в которых это число встречается. В случае рационального числа а, такой последовательностью является, например,

а, а, а,..а,...

Но в случае иррационального числа а, мы не имеем в составе класса такой простой последовательности. Ее легко заменить другой, которая приведет нас к бесконечному десятичному разложению а. Покажем сначала,

что для любого действительного числа а и любого натурального числа N {А[ = 1, 2, 3,...) можно разыскать такое целое число М, что будут выполняться неравенства < а < —^—. Рациональные числа и - называются приближениями а, соответственно по недостатку и по избытку, с точностью до-^-.

Чтобы убедиться в существовании этих приближений, применим лемму, доказанную в п. 21, к действительному числу Л/а; получим:

M<Na<M+\,

где М— целое число следовательно,-^- <а< —^—, что и требовалось доказать.

Легко видеть, что при заданном А[ число , дающее приближение а с точностью до -jj по недостатку, единственным образом определено. В самом деле, если M ф М9 то либо M <М и тогда-^J- < М~ 1 , либо M > Ni итогда-др>—^—. В каждом из этих случаев неравенства < а и —^— > а не могут быть выполнены одновременно.

Заметим, что приближение по недостатку является наибольшим из чисел вида — (т — целое), не превосходящих a, a приближение по избытку является наименьшим из чисел того же вида, превышающих а.

24. Беря последовательно Л[> = 1, jV, = 10, N2 = 10*, N3 = 103,..., I\[n = юл ,..., мы будем получать приближения по недостатку вида : г0 = М0, гг = г2 =— юг V • гп = —— и т. д. Очевидно, последовательность |гл = J является фундаментальной и притом сходящейся к а.

В самом деле

что может быть сделано менее любого е > 0 при достаточно больших значениях я. Таким образом, последовательность \-1 входит в класс а (см. п. 21).

Будем теперь считать а положительным числом. Тогда и числа Mk ^о. Запишем число—г- по десятичной системе счисления:

где а. и ф. — целые числа, заключающиеся между 0 и 9 (включительно), т. е. цифры, и вся запись обозначает, что

Покажем, что число будет записываться при помощи тех же самых цифр с присоединением еще одной цифры, а именно $k_^_y на k + l месте после запятой:

Действительно,

я так как гъ < a, a с другой стороны,

— наибольшее из чисел вида ■ Ä + [, не превосходящих я, то

Но далее:

и так как-.—--наименьшее из чисел вида

10* + 1

превосходящих а, то

Итак, Поэтому

Но из того, что

следует, что целое число Mk+l — \0Mk неотрицательно и не превосходит 9. Поэтому оно выражается некоторой цифрой ß. -, т. е.

или

что и требовалось доказать.

Итак, мы нашли, что в классе, определяющем любое действительное число а (иррациональное или рациональное), существует последовательность \г.\ вида:

Для краткости такую последовательность записывают символически так:

и называют десятичным разложением числа а.

Таким образом, исходя из понятия действительного числа, как класса эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей рациональных чисел, мы пришли к десятичному разложению а. Последнее полностью определяет собой а, так как представляет собой фундаментальную последовательность рациональных чисел, которая принадлежит классу а и только этому классу. Обратно, по заданному а десятичное разложение его определяется указанным выше приемом единственным образом.

25. Заметим, что десятичное разложение числа а, как мы его выше определили, должно удовлетворять следующему условию: цифры разложения не должны быть все девятками (начиная с некоторой из них). Действительно, пусть какая-либо из цифр = 9, и соответствующее приближение к а с точностью до —по избытку есть:

Если и следующая цифра (^ + 1 = 9, то приближение а с точностью до —^—г- по избытку равно

Итак, в том случае, когда §k = + j=...= 9, все приближения а по избытку с точностью до —^т~, —т—г,... равны одному и тому же числу

где TV—целое число. Но тогда последовательность г, г, г,... входит в класс а и, следовательно, а совпадает с г = —- . В этом случае приближение к а с точностью до—т- по недостатку должно равняться —г- = г , т. е. самому числу а. Но это противоречит тому, что приближением числа а с точностью до —г по недостатку является число а ...а0, ß, ...ß = г--Ц- . Мы видим таким образом, что десятичное разложение числа а (получаемое так, как мы указывали выше) не может иметь периодом цифру 9. Покажем, что всякое, a priori написанное, разложение вида а ...а0, ß^.-.ß, не имеющее цифру 9 периодом, является десятичным разложением определенного действительного числа а. В самом деле, последовательность

является фундаментальной, так как:

и, следовательно,

Пусть а —класс, содержащий данную последовательность. Так как при всех m > п9 то и

С другой стороны, если

откуда

Мы видим таким образом, что при любом п:

Но это и значит, что а ...а0, ß1...ß/J представляет приближение а с точностью до —— по недостатку, т. е.

является десятичным разложением числа а.

Возвращаясь к случаю, когда цифра 9 является периодом десятичного разложения, заметим, что разложение такого рода, конечно, также представляет фундаментальную последовательность и, следовательно, определяет собой некоторое действительное число а. Добавляя к каждому из чисел а... a0^t... ßn число —J- (ß = 9 при n>k), мы получим последовательность, эквивалентную исходной и, следовательно, определяющую то же самое число а. Но рассуждения, приведенные выше, показывают, что последовательность, полученная таким образом, имеет вид:

где

Поэтому

Итак, в этом случае имеем последовательность:

которую можно символически записать так:

Она представляет собой число а, так как принадлежит классу а. Однако она не совпадает с той последовательностью, которую мы называли десятичным разложением числа а и которая имеет здесь вид:

В самом деле,

Мы должны еще остановиться на вопросе о том, как сказывается рациональность или иррациональность числа а на виде его десятичного разложения. Ответ на него дают следующие факты из арифметики рациональных чисел:

1) Если г рациональное число, то его десятичное разложение необходимо периодическое, т. е. оно имеет вид:

ар...а09 Ьх...bk_x сг...сд ct...cq...

2) Каждое, a priori заданное периодическое десятичное разложение есть разложение некоторого рационального числа, а именно:

Отсюда немедленно вытекает, что десятичное разложение действительного числа а будет периодическим или непериодическим, в зависимости от того, будет ли а рациональным или иррациональным. Первая половина этого утверждения следует из факта 1); вторая половина — из факта 2).

26. В предшествующем изложении мы нашли, что, вводя действительные числа как классы эквивалентных между собой фундаментальных последовательностей, мы можем в любом из этих классов обнаружить специальную последовательность, которую мы условились записывать так:

Последовательность эта полностью характеризуется тем, что ее члены:

представляют приближения числа а по недостатку с точностью до -i-, т^2, ..., —\, ... Иными словами:

Эта специальная последовательность и есть десятичное разложение числа а.

Мы уже указывали, что все сведения о действительном числе а можно получить из рассмотрения любой последовательности, принадлежащей классу а, в частности, из рассмотрения десятичного разложения. Вот почему десятичное разложение числа а может заменять собой весь класс и даже лежать в основе определения действительного числа. Десятичное разложение на деле принимают за отправной пункт определения понятия действительного числа в школьном преподавании.

Учащийся еще в курсе арифметики знакомится с десятичными разложениями положительных рациональных чисел. Здесь его внимание обращается на то, что, обрывая бесконечное десятичное разложение на том или ином знаке, мы получаем числа меньшие, чем заданное, но все более и более близкие к заданному.

Это выясняется, разумеется, на примерах. Например, если

то получаем:

причем

и т. д.

Позднее, при решении арифметических и геометрических задач, учащийся привыкает к тому, что, обрывая десятичные разложения заданных чисел на каком-нибудь знаке и выполняя затем арифметические действия, он находит лишь приближение к искомому результату, тем более точное, чем больше цифр десятичного разложения было принято во внимание.

Первоначальным источником знакомства учащегося с иррациональными числами являются две задачи. Одна — алгебраическая: извлечение корней и раньше всего квадратных корней, другая — геометрическая: измерение длин отрезков.

В первой из них он встречается с тем, что в некоторых случаях не существует числа (рационального), представляющего квадратный корень из данного положительного числа, во второй — с тем, что в некоторых случаях не существует числа, представляющего длину данного отрезка, если другой данный отрезок принят за единицу длины. Способы решения той и другой задачи обладают, однако, столь большой степенью общности, что позволяют, с присущим математическим операциям автоматизмом, получать одну за другой цифры десятичного разложения искомого результата, совершенно независимо от того, выражается ли он (т. е. квадратный корень или длина отрезка) рациональным числом или не выражается.

Некоторую аналогию с этим обстоятельством обнаруживает операция получения десятичной дроби, равной данному рациональному числу г = — (тип — целые числа). Деля m на п и снося к остатку каждый

раз по нулю (после того как исчерпались все цифры делимого), мы получаем одну за другой цифры десятичного разложения, совершенно независимо от того, существует ли десятичная дробь конечная, равная , или же такой дроби не существует. Именно эта операция и дает первый повод для введения бесконечного десятичного разложения рационального числа г как выражения, заменяющего собой конечную десятичную дробь в том случае, когда такой дроби (равной г) не существует. Но указав на сходство прежней арифметической и новых — алгебраической и геометрической — задач, необходимо ясно осознать и их различие. В арифметической задаче речь шла о том, чтобы дать иное выражение, иную запись для вполне определенного, заранее известного объекта г = т- . В наших новых задачах речь идет о том, чтобы, на основании постепенно развертывающейся записи решения задачи, записи, внешне не отличимой от уже допущенных ранее бесконечных десятичных разложений (периодических), притти к представлению об этом решении, заранее неизвестном и не определявшемся.

Прибегая к первому попавшемуся сравнению из области естественных наук, можно сказать, что в первом случае мы, отправляясь от веществ нам знакомых, получаем для каждого из них его спектр поглощения, полностью его характеризующий, а во втором случае, по спектру поглощения, обнаруженному с помощью спектрального анализа некоторого излучения, составляем представление о веществе, обусловившем этот спектр, хотя бы оно и не входило в число ранее известных. Не будем, однако, углубляться в детали этого сравнения —ни одно сравнение не сможет выдержать серьезного испытания — и вернемся к нашему предмету.

Чтобы извлечь из десятичных разложений все, что они могут дать для введения иррациональных чисел, примем во внимание следующие факты.

а) Все арифметические операции над рациональными числами и сравнение рациональных чисел между собой по величине можно осуществлять, пользуясь одними

только десятичными разложениями этих чисел. Эти десятичные разложения можно считать во всех случаях бесконечными, что, однако, не мешает нам при фактических выкладках пользоваться лишь конечным числом цифр каждого разложения, отбрасывая все цифры, начиная с некоторого места и, таким образом, оперировать лишь над конечными десятичными дробями, представляющими приближения к данным числам Такой образ действий приводит нас к взгляду на десятичное разложение числа как на своего рода склад, где в величайшем порядке хранятся приближения этого числа по недостатку, с точностью до 1, то' То* ' ю~з ' • • •

б) То обстоятельство, что бесконечное разложение числа (рационального) является всегда периодическим, не играет существенной роли в использовании этих разложений. Это значит, прежде всего, что сами правила арифметических операций над десятичными разложениями не требуют знания периода и не используют^ факта периодичности разложений. Значение этого обстоятельства вытекает из того, что если среди рациональных чисел встречаются числа, разложения которых обладают малой длиной периода j-~ = 0,(3), = 0,(1) , ур = 0,(09) ,...], то среди них же встречаются и такие, для которых длина периода десятичного разложения может быть сколь угодно большой

Существуют рациональные числа, периоды которых содержат сотни, тысячи и миллионы цифр. Отсюда ясно, что, производя выкладки над бесконечными десятичными разложениями действительных чисел, мы во многих случаях не сможем (или не захотим) разыскивать период разложения — настолько длинным он сможет оказаться.

в) Числа, получаемое в естественных науках и технике, представляются в виде десятичных разложений с большим или меньшим количеством знаков, и явля-

ются, как правило, лишь некоторыми приближенными выводами из результатов ряда опытов и измерений.

За исключением отдельных случаев (вроде закона простых отношений в химии), мы не получаем никаких сведений о том, обладают ли десятичные разложения искомых чисел периодом и каков этот период. В большинстве случаев даже сам вопрос о рациональности или иррациональности, т. е. о наличии периода или его отсутствии, в применении к данным опыта не имеет никакого смысла.

г) Получая десятичные разложения чисел, являющихся искомыми в математических задачах, мы часто также лишены возможности судить о наличии периода разложения. Характерен в этом отношении пример знаменитой задачи о квадратуре круга. Известно, что Лудольф в XVI в. вычислил 35 знаков десятичного разложения числа те, в 1706 г. английский математик Мешин дал 100 знаков того же разложения, а француз Ланьи в 1719 г.—127 знаков. Однако никто из них не смог судить о том, рационально ли число тс или нет. Вопрос о том, обладает ли разложение числа тс периодом, был решен в отрицательном смысле во второй половине XVIII в. Ламбертом и Лежандром1. Что касается другого, менее знаменитого в истории числа — эйлеровой постоянной С:

С = 0,57721 56649 01532 86060

то вопрос о рациональности этого числа, т. е. о наличии периода в его разложении, и по сей день остается открытым, хотя вычислено оно с громадной точностью (подсчитаны сотни знаков числа С).

Резюмируя все эти соображения, мы можем сказать, что задачи теории и практики постоянно приводят нас к десятичным разложениям чисел, судить о наличии периода в которых мы иногда не в состоянии, и иногда, хотя и знаем о его существовании, но не заботимся о его вычислении, ввиду возможной громоздкости его. Во всех случаях мы, не задумываясь, производим выкладки, сохраняя в данных разложениях определенное число цифр, зависящее от требуемой степени точности решения задачи.

1 Значительно позднее Шанкс вычислил число к с 707 знаками — пример малопроизводительной затраты времени.

Выражая сказанное иными словами, мы заключаем, что во многих вопросах математики, естествознания и техники мы судим о числе по его десятичному разложению, дающему возможность находить приближения к нему, оперировать над этим числом, сравнивать его по величине с другими числами, не задумываясь о том, периодично или нет его разложение.

Таким образом, десятичное разложение, появляясь сначала лишь как форма записи рационального числа, как его представитель, и в этом виде, будучи всегда периодическим, затем как бы стряхивает с себя тягостное ограничение периодичности, не играющее роли в весьма многих вопросах, и с этого момента выступает уже не как нечто вторичное, не самостоятельное, но как основное и самостоятельное, как действительное число, которое может быть рациональным, но может и не быть им и тогда представляет иррациональное число.

Очерк третий

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ

27. Теоремы о пределах в курсе математики средней школы имеют условный характер, который не всегда отчетливо отражается в их формулировке. Так, например, мы коротко говорим, что предел суммы или произведения переменных величин равен сумме или произведению пределов этих величин там, где подробная формулировка звучала бы, примерно, так:

„Если последовательности \ип \ и \vn \ сходятся и

то последовательности

также сходятся, причем

Эта и ей подобные теоремы позволяют судить о сходимости одних последовательностей +v \ и \un—vn \) на основании сходимости других последовательностей (\ип \ и {vn \). Но ни одна из них не дает признаков сходимости какой-нибудь, взятой самой по себе, последовательности \ип \. Такого рода признаки существуют и носят название основных принципов теории пределов. Они лежат в основе построения всего анализа, и, с точки зрения анализа, сама теория действительных чисел имеет значение прежде всего потому, что она дает средства для обоснования основных принципов теории пределов. Важнейшие из них суть: принцип Коши, принцип Вейерштрасса, принцип Кантора и принцип Дедекинда.

Прежде чем мы займемся подробным их изложением, подведем итог свойствам действительных чисел, установленным в предшествующем очерке. Итог этот приводит к следующему списку свойств.

Основные свойства действительных чисел

1. Каждое рациональное число является действительным числом.

2. Для двух чисел а и ß выполняется одно и только одно из трех соотношений: а = ß, aß, ß>a.

3. №a>ßnß>T следует, что a>f

4. Для любых чис^л а и ß существует определенное число f, называемое их суммой: f — a + ß.

5. Сложение подчиняется коммутативному закону:

a + ß = ß + a.

6. Сложение подчиняется ассоциативному закону:

« + (P + ï) = (« + Р) + т-

7. Если a > a', то a -f ß > a' + ß

8. Для любых двух чисел a и ß существует числом такое, что a = ß-|-f Это число называется разностью чисел a и ß и обозначается чер*з a — ß.

9. Для любых двух чисел a и ß существует определенное число f. называемое их произведением: f = a-ß.

10. Умножение подчиняется коммутативному закону:

a-ß = ß-a

11. Умножение подчиняется ассоциативному закону:

a-iß-f) = (a-ßi-if.

12. Умножение подчиняется дистрибутивному закону:

a.(ß-fT) = a.ß + a.T.

13. Если а>0 и ß>0, то и a-ß>0.

14. Если ß-рО и а произвольное число, то существует число т такое, что a=zß-f. Оно называется частным чисел a и ß и обозначается через jj- , или a :ß.

Мы видим, что список этих свойств только заголовком отличается от списка свойств рациональных чисел. Напротив, свойства, выражаемые в принципах Коши,

Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда, которые мы установим в настоящем очерке, будут специальными свойствами всего множества действительных чисел. Они перестают быть верными, если ограничиваться одними только рациональными числами или, например, только алгебраическими (действительными) числами. Мы обнаружим в этом очерке своего рода равнозначность, или эквивалентность, указанных четырех принципов. Она выражается в том, что если один из этих принципов (например, принцип Коши) уже доказан на основе теории действительных чисел, используемой в полном объеме, то любой другой принцип может быть выведен из этого принципа с помощью свойств, включенных в наш список. А так как свойства эти являются распространением известных свойств рациональных чисел на числа действительные, то отсюда можно будет вывести заключение, что все то специфическое и новое, к чему удается притти, расширяя множество рациональных чисел до множества всех действительных чисел, заложено в одной и той же мере в каждом из четырех принципов: Коши, Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда.

Именно в этом смысле они равносильны между собой и если все же имеет смысл пользоваться четырьмя, а не одним принципом, то это потому, что в одних вопросах и задачах быстрее всего приходим к цели с помощью одного, а в других—с помощью другого принципа.

28. Мы начнем с принципа Коши. Дадим прежде всего определение. Последовательность действительных чисел \ап \ называется фундаментальной, если для каждого е>0 существует такое число N(e), что \ап — ап+р\<Се при п > N(е) и любом натуральном р. Это определение представляет собой распространение уже известного нам понятия фундаментальной последовательности рациональных чисел на более общий случай последовательности действительных чисел. Очевидно, что каждая сходящаяся последовательность {а>п} является фундаментальной, ибо из того, что |а — а к при п > (е), (а Hm а ), следует, что

Принцип Коши. Каждая фундаментальная последовательность действительных чисел Wn \ сходится.

Доказательство. Для случая, когда все рациональные числа, эта теорема была уже установлена нами при построении теории действительных чисел. Именно, мы установили там (п. 21), что сам класс а, в который входит последовательность {&п \, представляет собой предел этой последовательности. Переходя к общему случаю, постараемся заменить последовательность \а \ некоторой последовательностью рациональных чисел \ип \, подобранных так, что ^ап~~ип) будет сходиться к нулю. Благодаря этому, как мы увидим, \ип \ будет также фундаментальной последовательностью, и ее предел а будет также пределом и для последовательности \ьп ).

Выберем в качестве ип приближение к , по недостатку, с точностью до —!—. Мы получим и , если в десятичном разложении отбросим все цифры, следующие за л-ой цифрой после запятой. Очевидно, что

т. е. последовательность \а —и \ сходится к нулю.

Такого рода последовательности, для краткости, будем называть нуль-последовательностями. Отсюда заключаем прежде всего, что \ип J—также фундаментальная последовательность, ибо, если —- < 4- и \л — а , 1<-4~ при fl>Af(e), то при тех же значениях п имеем:

Но ип — рациональные числа, поэтому последовательность \ип \ входит в некоторый класс а и, следовательно, сходится к действительному числу а:

Покажем, что к тому же самому числу сходится и последовательность \ап\. В самом деле, для любого г>0 мы можем указать такое Л^(е), что при я>Л^(в) будет:

а также такое Af2(e), что при л>УУ2(г) будет

Тогда, при я>УУ= max [Л^(е), УУ2 (е)] будем иметь:

откуда и следует, что последовательность \ап ) сходится, причем lima = a.

Принцип Коши доказан полностью.

29. Так как мы ставим себе целью не только полное обоснование принципов теории пределов на основе развитой ранее теории действительных чисел, но также и доказательство того, что принципы равносильны между собой в смысле, разъясненном в п. 27, то, переходя сейчас к принципу Вейерштрасса, мы попробуем его вывести из принципа Коши. Если в дальнейшем изложении нам удастся вывести принцип Кан-

тора из принципа Вейерштрасса, а принцип Дедекинда из принципа Кантора, то нам останется только показать, что начальное звено этой цепи принципов—принцип Коши —может быть выведено из конечного—принципа Дедекинда. Тогда вся цепь замкнется, и можно будет утверждать, что любой из четырех принципов в указанном смысле следует из любого другого.

Все это наглядно иллюстрируется прилагаемой схемой, где стрелка обозначает: „выводится" или „следует" (черт. 1).

Черт. 1

Обратимся теперь к формулировке принципа Вейерштрасса.

Принцип Вейерштрасса. Если для последовательности действительных чисел {а \ выполняются следующие два условия:

а) ап <ап+\ (л = 1, 2, 3, . . . ),

б) *п<М (л=1, 2, 3, . . . ),

то последовательность {а \ сходится, причем ее предел а удовлетворяет неравенствам:

ап <а<Ж (л = 1, 2, 3, . . . ).

Чтобы доказать эту теорему, установим прежде всего, что \ап }— фундаментальная последовательность.

Тогда по принципу Коши, заключим, что последовательность \а \ сходится. Доказательство будем вести от

противного. Итак, предположим, что {а^ } не есть фундаментальная последовательность. Тогда должно существовать такое е = е0>0, для которого неравенства I &п — a/i-f-pKeo не будут выполняться для всех п (достаточно больших) и для любых натуральных р. Но это значит, что для некоторых, сколь угодно больших значений п и соответствующих им значений р будут выполняться противоположные неравенства: |а —~~ ап+р ' ^ 8°* Пусть /7j одно из таких значений п и Pi—соответствующее ему значение р. Тогда l0^-"~ am + pi I ^ 8°; сРеди натуральных чисел, больших, чем ^î+Pi» должно встретится такое я2, что для соответствующего ему р2 будет выполняться неравенство: 1ал2—ап2+Р21 >е°' Продолжая рассуждать таким образом, мы найдем последовательность неограниченно возрастающих натуральных чисел nk и соответствующих им натуральных чисел р. таких, что

Имеем тождество:

Здесь каждая скобка не отрицательна, в силу условия а) теоремы; скобки же, стоящие на нечетных местах, — первая, третья, пятая и т. д., не меньше, чем е0, по сделанному предположению. Следовательно,

Но по условию б) теоремы, &п < M при любом к. Поэтому и a -\- * ео < M при любом к, что невоз-

можно, так как при k большем, чем -- , левая часть последнего неравенства будет больше, чем правая часть. Полученное противоречие, возникшее из-за того, что мы предположили, что \*п\ не есть фундаментальная последовательность, убеждает нас в ошибочности этого предположения. Итак {а^ \ есть фундаментальная последовательность и, следовательно, сходится.

Пусть lim а = а. Тогда а не может быть меньше, чем какое-либо из а , потому что при а<а мы имели бы для всех п^>п0: а^—а>а^ — а>0 и, следовательно, абсолютная величина la —al не могла бы быть сделана менее положительного числа a — a ни для одного из л>л0. Но это противоречит тому, что lim a — a. Итак, всегда a < a. Точно так же a не может быть больше, чем Ж, потому что, при а>М мы имели бы для всех п: а —а^>а — М>0, что снова противоречит тому, что lim a = a. Итак, а^М. Приндип Вейерштрасса обоснован полностью.

30. Обращаясь к принципу Кантора, введем некоторые новые определения. Если аир действительные числа и a<ß, то мы назовем совокупность всех действительных чисел X, удовлетворяющих условиям: а < X < ß, сегментом (числовым), числа a и ß — концами сегмента (левым и правым), а соответственную разность ß — a — длиной сегмента; сегмент с концами a и ß будем обозначать так: [а, ß]. Относительно сегмента К, ßj такого, что a<a1<ß1<ß, мы будем говорить, что он принадлежит сегменту [a, ß], или, что он вложен в сегмент [а, ß,] и записывать так: [a, ß] ) [ар ßj. Очевидно, что каждое число х, принадлежащее [a,, ßj, вместе с тем принадлежит и [a, ß], (Из того, что аг < X < ß, и а < а1 < ßi < ß следует, что а < х < ß.) Относительно последовательности вложенных сегментов

будем говорить, что это — стягивающаяся система сегментов в том случае, когда последовательность длин сегментов {[ßn — ]} сходится к нулю. На черт. 2 стягивающаяся система сегментов изображена на числовой прямой геометрически.

Черт. 2

После этих определений сформулируем и, опираясь на принцип Вейерштрасса, докажем следующую теорему.

Принцип Кантора. Для любой стягивающейся последовательности сегментов (числовых) {[а^ , ß^]} существует одно и только одно действительное число 7, принадлежащее каждому из сегментов этой последовательности; оно является общим пределом последовательностей левых концов сегментов — {а^ } и правых концов сегментов — {ß };7 = lim а = lim ß .

Доказательство. Так как, по условию, сегмент lan + \> ß„ + il вл°жен в сегмент [ад, рл ], то < Ол j < ß^ \^С$п ПРИ любом я. Отсюда следует, что ai<a2<- • -<ап <ап + 1 < • • • и> кроме того, что < < ßn < ßn _1_ !<...< ßi, т. е. последовательность {а^} удовлетворяет условиям а) и б) принципа Вейерштрасса, причем роль M играет число ßr Поэтому последовательность {ап \ сходится к некоторому пределу f.

Hm а = f, причем f > а (п = 1, 2, 3, . . .).

Покажем, что i < ß (п = 1, 2, 3, . ..); отсюда и бу-

дет следовать, что 7 принадлежит каждому из сегментов [ап , рл ].

Допустим противное, т. е. пусть Т>РЛ- Тогда для всех /г>л0 будем иметь: 7 — a — р >у — р >0.

Но это противоречит тому, что lim а^ = Итак T<ßn (п = 1, 2, 3, . . .) и так как, кроме того, 7 > ал (я — = 1, 2, 3, . . .), то у принадлежит каждому из сегментов [а , в 1. Заметим далее, что 0< в — 7<ß — а и так как последовательность {фп — а^ j. есть нуль-последовательность, то и 1РЛ — 7} есть нуль-последовательность, т. е, lim р =7. Итак, 7 есть общий предел последовательностей {а 1 и {р }.

Остается заметить, что у — единственное число, принадлежащее каждому из сегментов [а^ , ßn ].

Если допустить, что существует 7'¥=7, также принадлежащее каждому из этих сегментов, то из того, что I7' — 7 I < рл — 0Ln и \фп — ап \ есть нуль-последовательность, будет следовать, что | 7' — 7i = 0, т. е. 7' = = 7, вопреки сделанному допущению. Принцип Кантора полностью обоснован.

Докажем для дальнейшего, несколько более общее предложение:пусть \ [ап , Рл][ произвольная последовательность вложенных сегментов действительных чисел: [а,, р,] э [а2, Ы Э . . . D [оя # ря J Э . . . Тогда существует, по крайней мере, одно действительное число, принадлежащее каждому из этих сегментов.

Доказательство. Повторяя для последовательности сегментов \[ап , рл ] ) рассуждения, приведенные в начале доказательства принципа Кантора, найдем число 7=lim ап , удовлетворяющее неравенствам: &п < <7<Рл, т. е. принадлежащее любому из сегментов fa , в ]. Это и есть искомое число. Так как мы не предполагаем теперь, что Uan > Рл ] \ стягивающаяся

система, то мы не можем утверждать, что i = Hm В и что f есть единственное число, принадлежащее всем сегментам последовательности. Важно, однако, что, по крайней мере, одно число, принадлежащее всем сегментам [ап , ßrt ], всегда существует.

31. Введем понятие сечения в смысле Дедекинда. Какое-либо разделение (или разбиение) множества всех действительных чисел на два класса А и В, называется сечением (в смысле Дедекинда), произведенным на множестве всех действительных чисел, если выполняются следующие условия:

1 ) Каждое действительное число принадлежит одному и только одному из классов А и В, причем каждый из этих классов содержит, по крайней мере, по одному числу (т. е. не является пустым),

2) Каждое число, принадлежащее одному определенному классу (например, А) меньше, чем любое число другого класса (В).

Тот класс, числа которого меньше, называется нижним классом, другой — верхним.

Сечение можно образовать с помощью любого действительного числа. Отнесем, например, к классу А все действительные числа, не превосходящие а, а к классу В — все действительные числа, большие а. Тогда получим сечение, для которого а будет принадлежать нижнему классу и притом будет являться наибольшим числом этого класса. Что касается верхнего класса, то ни одно число не будет наименьшим в нем, но для каждого ßf В можно будет указать другое число, например, —тр , также принадлежащее В (так как —^-><х) и меньшее, чем ß.

С помощью того же а можно образовать и другое сечение, отнеся к нижнему классу А все действительные числа, меньшие, чем а, а к верхнему классу В—числа, не меньшие а. Тогда а войдет в верхний класс, причем будет наименьшим числом этого класса. Что касается нижнего класса А, то ни одно число не будет наибольшим в нем, но для каждого тб А можно будет указать большее число, также принадлежащее А

(например, -"-т-р). В обоих случаях мы будем говорить, что сечение производится посредством числа а. Принцип Дедекинда утверждает, что для всякого сечения на множестве действительных чисел существует действительное число а, производящее именно это сечение. Мы докажем этот принцип, опираясь непосредственна на вышедоказанный принцип Кантора.

Принцип Дедекинда. Каково бы ни было сечение на множестве всех действительных чисел, существует действительное число 7, производящее это сечение; оно принадлежит либо нижнему классу и является тогда наибольшим в нем, либо верхнему классу и является тогда наименьшим в нем.

Доказательство. Пусть а и &—действительные числа, из которых а принадлежит нижнему классу Л сечения, a ft—верхнему классу В. Тогда [а] <а—целое число из класса А и [Ь] +1>6—целое число из класса £. Рассмотрим возрастающие целые числа:

[а], [а] + 1,..., [Ь} + \.

Первое из них принадлежит Л, последнее ß; следовательно, среди них должно существовать последнее,, принадлежащее классу А целое число а, > [#] такое, что следующее за ним целое число $г = а, +1 < [Ь] 4-1 принадлежит классу В.

Рассмотрим теперь числа, которые идут, возрастая через 0,1, начиная с aj и кончая f^:

i 1 . 2 1 9 j_ 10 — ft

Среди них найдется последнее, принадлежащее классу Л, число а2 = а, + > а, такое, что следующее за ним число ß2 = a, + < ß, будет принадлежать классу В. Следующий этап рассуждений будем вести, отправляясь от чисел а2 и ß2 и рассматривая числа, которые идут, возрастая через 0,01, начиная с а2 и кончая ßt. Получим числа: а3 = а2 + >а2 и ß3 =а2 -J-*2^1 < < ß2, из которых первое принадлежит классу Л, а второе—классу 5. Заметим, что пары чисел а, и ß„ а2

и ?2> аз и Ре можно рассматривать как концы сегментов с длинами, равными 1, и и с левыми концами, принадлежащими классу А, а с правыми концами, принадлежащими классу ß, причем сегмент [а2, ß2] вложен в [alf ß,], a сегмент [а3, ß3] вложен в [а2, ß2j. Продолжая эти рассуждения дальше, получим бесконечную последовательность сегментов ßn]} таких, что:

и ß^ — ап = "* 0» при я->оо. Следовательно, это— стягивающаяся система сегментов, и на основании принципа Кантора мы можем утверждать, что существует число т, принадлежащее любому из этих сегментов: Т = Hm а = lim ß .

Покажем, что оно-то и производит данное сечение. Предположим сначала, что оно принадлежит нижнему классу: f £ А. Тогда убедимся, что оно является наибольшим в этом классе, т. е. что каждое число ß>T не принадлежит А, т. е. принадлежит классу В.

В самом деле, допуская противное, предположим, что ߣ А. Тогда ß < ß^, так как ß^ ç В и, следовательно, ßn — T>ß — 1 >0. Но это противоречит тому, что X = lim ß , Итак, если чсА, то оно является наибольшим в классе А и вместе с тем производит данное сечение. Совершенно так же покажем, что в случае, когда т £ В, оно является наименьшим в этом классе и, следовательно, и в этом случае производит данное сечение. Теорема доказана полностью.

32. Докажем, наконец, что из принципа Дедекинда может быть выведен как следствие принцип Коши, с которого мы начали. Этим доказательством завершится установление эквивалентности четырех принципов: Коши, Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда. Итак, опираясь непосредственно на принцип Дедекинда, установим принцип Коши:

Каждая фундаментальная последовательность {ап \ действительных чисел сходится.

Для доказательства заметим сначала, что каждая фундаментальная последовательность действительных чисел ограничена. Рассуждение здесь совершенно такое же, как и при доказательстве ограниченности фундаментальной последовательности рациональных чисел. Именно, положив е= 1, мы можем утверждать, что \*п+р -~v< Ь при л>Л^. Пусть л =:л0> Аффиксированное натуральное число. Тогда

|а 1 = 1 а + (а —а )|<а | + |а —а |<|а 1+1 1 яо + Р 1 п0 1 v nQ+p п0п 1 п0] 1 1 п0+р Ло1^1 «о1 ^

(р=\, 2, 3,...), т. е. абсолютные величины всех членов последовательности, следующих за а , меньше, чем |а 1+1. Обозначим наибольшее из чисел: la,!,..., Ja I, Joe 1+1 через M; тогда, при любом я, будем иметь; Ja | < M, что и выражает собой ограниченность последовательности {а^}. Произведем теперь сечение на множестве всех действительных чисел, отнеся к нижнему классу А все числа, меньшие бесконечно-многих членов последовательности, а к верхнему классу ß—все остальные действительные числа. Иными словами, А тогда и только тогда, когда существует бесконечное множество натуральных чисел пг, п2,.. ., nk,..., для каждого из которых выполняется неравенство: a<a^ .

Число bçB характеризуется тем, что среди членов последовательности {а^} либо нет ни одного члена, превосходящего Ь, либо имеется лишь конечное число таких членов. Убедимся сначала, что классы А и В действительно образуют сечение. Очевидно, что каждое действительное число войдет в один и только один из классов А и В. Далее, ни один из этих классов не является пустым; например, число—Ж—1, которое меньше каждого из a , принадлежит классу А, а число М+\, большее каждого a , принадлежит классу В (|aJ<Af). Таким образом, условие 1), входящее

в определение сечения, выполнено. Но выполнено также и условие 2), так как если а £ А, то существуют бесконечно-многие члены последовательности а , ап2' ' • " ап превосходящие а. Если, следовательно, а' — какое-либо действительное число, не большее, чем а, то для него должны выполняться неравенства: а'<ал {k — 1,2,3,...), откуда вытекает, что и a' ç А. k

Таким образом, для любого о, не принадлежащего А, т. е. для bç В, должно выполняться неравенство Ь^>а, каково бы ни было ас А. Итак, условие 2) также выполнено, и классы А я В образуют сечение. Но тогда, по принципу Дедекинда, существует действительное число f, производящее сечение.

Покажем, что оно-то и является пределом последовательности {ап }. В самом деле, пусть е —какое-либо положительное число. Тогда существует такое Af, что при п > jy и любом р выполняется неравенство: 1ал+р —- ccj < (так как {ап } — фундаментальная последовательность). С другой стороны, полуинтервалу1 (черт. 3) должны принадлежать бесконечно-многие члены последовательности 1*п)-

Черт. 3

Действительно, допустим, что здесь их содержится только конечное число: так как f<T+ \> то 7 + - ç В, и, следовательно, лишь конечное число членов последовательности \ап } может превосходить Tf + 4-. Отсюда вытекает, что только конечное число

1 Полуинтервалом (а, Ь] называется множество всех действительных чисел л, удовлетворяющих соотношению: а < х < Ь.

членов последовательности {а} может превосходить Y—ибо каждое <*Л>Т--1- должно принадлежать либо полуинтервалу U— ?-f -Vb либо должно превосходить

Но это означает, что f — у- g £, тогда как число •j—будучи меньше f, должно принадлежать классу А. На основании этого противоречия заключаем, что полуинтервалу (if--j"*T+ "5"] принадлежат бесконечно-многие члены последовательности \а \. Среди них найдутся такие, номера которых превосходят Пусть

причем лв >iy. Тогда для всех п > п0 будем иметь:

Отсюда и следует, что последовательность {ап \ сходится, причем lim а = f. Доказательство закончено.

33. Для доказательства общих теорем анализа все четыре принципа одинаково пригодны. Для решения же задач на пределы последовательностей принципы Коши, Вейерштрасса и Кантора приспособлены лучше, чем принцип Дедекинда, прежде всего потому, что в последнем непосредственно не говорится ни о какой последовательности .

Что же касается сравнения между собой принципов Коши, Вейерштрасса и Кантора, то из них более простыми, в применениях, являются принцип Вейерштрасса и, в сущности, мало от него отличающийся принцип Кантора. Однако условия применения принципа Вейерштрасса довольно стеснительны. Нужно, чтобы последовательность {ап \ была монотонной, т. е.

чтобы члены ее изменялись в одну сторону. В принципе Кантора речь идет о двух монотонных последовательностях \ап\ и {$п\: одну цз ких составляют левые концы сегментов, другую — правые. Можно, однако, рассматривать а^и §п как члены одной, немонотонной последовательности :

а1» ßl> а2> а8>

Здесь члены, стоящие на нечетных местах, идут не убывая [Оц < а2 < а8 < ...), a члены, стоящие на четных местах, — не^ возрастая (ßj > ß, > ß3 > ...). Для применимости принципа достаточно, чтобы было а <; 6 (п = 1, 2,...) и чтобы, {ß^ — ап }-0 при л-оо. При этих условиях последовательности \а ) и \§п) будут иметь общий предел т и тот же предел будет иметь Последовательность аи ß,, а2, ß2,.. ., , ßn ,. ..

Применение принципа Коши к решению задач оказывается, как мы уже сказали, нередко более сложным, чем применение принципов Вейерштрасса и Кантора. Но принцип этот имеет преимущество общности формулировки—здесь не требуется каких-либо специальных условий, налагаемых на члены последовательности, подобных условию монотонности (принцип Вейерштрасса) или условию вложенности сегментов, с концами соответственно в нечетных и четных членах последовательности (принцип Кантора).

Иллюстрируем все эти замечания на примерах.

I. Установить, что последовательность

сходится и найти ее предел (все корни берутся в арифметическом смысле).

Решение. Замечаем сначала, что наша последовательность монотонна, а именно, что а ,>а

л + 1 ft

(/1=1,2,...). В самом деле, переход от &п к &п связан с увеличением подкоренного выражения:"j/2 , стоящий в выражении для ап на последнем месте, заменяется через ]/~2 + У^.С другой стороны, последовательность \&п \ ограничена. В самом деле, a, =Vr2<2; если мы предположим, что уже доказано, что ал<2, то тогда заметив, что а^_^ j =у"2 + , будем иметь:

ап + 1 ^ +2 = 2.

Итак, \<хп} — монотонная и ограниченная последовательность, откуда, по принципу Вейерштрасса, следует, что эта последовательность сходится.

Пусть а = lim ; тогда 0 < а < а < 2 (п = 1, 2,...).

Переписывая соотношение + ^ = |^2 + в виде:

а2 . = 2 + а и применяя к последовательностям {а?п j} и {2 + ал} теоремы о пределе произведения (степени) и суммы —такое применение стало возможным, ибо мы доказали, что lim а существует,—находим: а2 = 2 + а. Отсюда получаем:

и, наконец (отбрасывая отрицательное значение), а = 2. Очевидно, что из всех известных нам принципов теории пределов, принцип Вейерштрасса был наиболее удобным для решения этой задачи.

II. Пусть а и Ъ два положительных числа, причем а<&. Образуем их среднее геометрическое: аг = Y а • b и среднее арифметическое: ßjzz^-i^. Известно, что

Образуем теперь среднее геометрическое и среднее арифметическое чисел ^ и ^; получим:

причем будем иметь неравенства:

Продолжая этот процесс, мы будем по найденным на каком-либо этапе числам а и В вводить числа

Тогда при любом п будут выполняться неравенства:

Иными словами, сегмент [ая + ^ Ря + |] будет вложен в сегмент [а^, ß^]. Чтобы применить к последовательностям \ап \ и \§п\ принцип Кантора, остается убедиться в том, что длина сегмента [а^, ß^ ] стремится к нулю при я->оо. Но

и так как вторая дробь меньше единицы, то

Это означает, что длина сегмента fa , В„ t Л меньше половины длины сегмента [а » Ря ] и, следовательно, стремится к нулю при п оо1.

Итак, последовательность сегментов {[an, является стягивающейся системой сегментов, и, следовательно, по принципу Кантора, последовательности {а^} и {ßnK получаемые путем последовательного образования средних геометрических и средних арифметических, имеют общий предел Этот предел удовлетворяет неравенствам:

и называется арифметико-геометрическим средним чисел а и Ь.

Мы видим, что принцип Кантора дает наиболее естественное средство для установления существования арифметико-геометрического среднего.

III. Пусть х-произвольное действительное число; доказать, что последовательность

сходится.

Здесь не существует простых неравенств между величинами членов, которые позволили бы применить принцип Вейерштрасса (как в случае монотонности последовательности) или принцип Кантора (как в том случае, когда данная последовательность составлена из

1 Выписывая неравенства

и перемножая их почленно, находим, после сокращений:

откуда и следует наше утверждение.

двух чередующихся монотонных последовательностей). Поэтому обращаемся к принципу Коши. Для этого рассматриваем абсолютную величину разности ап_^_р — ап и начинаем с предварительных упрощений, позволяющих убедиться, что при достаточно больших п и любых р эта величина будет меньше любого наперед заданного е>0. Имеем:

Если взять

то будет:

и, следовательно,

Итак, последовательность {ап \ — фундаментальная последовательность и, следовательно, по принципу Коши, она сходится.

Приведенные примеры показывают, насколько важно уметь пользоваться различными принципами теории пределов, применяя в каждой задаче тот из них, который лучше приспособлен к ее условиям.

34. Применим принцип Кантора к вопросу о выяснении места, занимаемого алгебраическими действительными числами среди всех действительных чисел. Мы уже доказали (п. 11), что множество алгебраических чисел обладает такой же мощностью, как и множество чисел натуральных, т. е. что тех и других

одинаково много. Если мы вслед за Г. Кантором назовем всякое множество, имеющее ту же мощность, что и множество всех натуральных чисел, счетным множеством, то можно будет сказать, что множество алгебраических чисел (действительных и мнимых) является счетным. Покажем теперь, что действительных чисел существенно больше, чем натуральных, а следовательно, и алгебраических, т. е, что множество всех действительных чисел является несчетным. Более того, мы покажем, что несчетным является и множество действительных чисел, заключенных между любыми двумя неравными между собой действительными числами а и ß (а <С ß).

Точнее говоря, будет установлено, что при любом способе составления пар, в каждую из которых входит по одному действительному числу х из сегмента [а, ß] и по одному натуральному числу п(в различных парах — различные х и различные ri), никогда не удастся добиться того, чтобы все действительные числа указанного интервала были заняты в этих парах. А именно, все натуральные числа будут уже использованы так, что нельзя будет образовать никакой новой пары, а между тем, найдутся еще такие действительные числа, которым не нашлось места ни в одной из пар.

Будем вести доказательство от противного. Пусть нам удалось составить пары, вводя в каждую из них по одному действительному числу х из ceiмента [а, ß] и по одному натуральному числу п. Обозначим число, входящее в одну пару с п, через хп. Тогда наше предположение будет обозначать, что все действительные числа сегмента [а, ß] удалось представить в виде некоторой последовательности:

Хх, Х2, х3,. .., хп, . . •

Рассмотрим числа хх и лу, они являются концами некоторого сегмента ои принадлежащего сегменту [а, ß]. Этот сегмент содержит действительные числа, отличающиеся от хх и х2 (например, Х*~^Х2 ). По сделанному предположению, все они находятся среди членов последовательности \хп \ и, следовательно, обладают определенными номерами. Пусть х (л8 > 3) то из них,

которое обладает наименьшим номером. Тогда хг и хп^ являются концами некоторого сегмента <з2, принадлежащего сегменту ог\ все числа сегмента а2 имеют номера, не меньшие двух, а те из них, которые заключены между х2 и X , т. е. отличны от концов сегмента <з2, обладают номерами большими, чем л3 > 3* Пусть х (п4 > п2, пА > 4)—число, лежащее между.х2 и X п^ и обладающее наименьшим номером, по сравнению со всеми другими числами из того же интервала. Тогда х п3 и хп4 являются концами некоторого сегмента <з3, принадлежащего а2; все числа этого сегмента имеют номера, не меньшие трех , а те из них, которые заключены между л: и л: (т. е. отличны от концов сегмента о3), обладают номерами большими, чем п4 > 4. Продолжая это рассуждение, мы получим последовательность вложенных сегментов:

1 2 3 m т-\-\ 1

таких, что сегмент содержит только такие действительные числа (члены последовательности \хп}), которым соответствуют номера не меньше т. Рассмотрим число х\ принадлежащее каждому из этих сегментов: х\ о (т = 1, 2, 3,...). Такое число существует в силу предложения, доказанного в конце п. 29. Так как число х' принадлежит сегменту а,, тол:' принадлежит также и сегменту [а, ß], т. е. по сделанному предположению должно входить в последовательность \*п\. Пусть ТУ обозначает номер этого числа, т. е. x' = xN. Так

Черт. 4

как xN принадлежит каждому сегменту о то мы, по предыдущему, должны иметь: N>m, при любом натуральном т, что, очевидно, невозможно (достаточно взять m — N-\- 1, чтобы обнаружить противоречие). Противоречие получилось только потому, что мы предположили счетность множества всех действительных чисел, принадлежащих сегменту [а, 0]. Следовательно, это бесконечное множество не является счетным: оно несчетное.

Пусть аъ а2, а8,..., а ,... обозначает множество всех вообще алгебраических чисел (действительных и мнимых); мы воспользовались счетностью этого множества, когда расположили его элементы в виде некоторой последовательности. Запишем те из них, которые принадлежат сегменту [а, ß], в порядке возрастающих номеров:

Убедимся в том, что их бесконечное множество. Для этого достаточно показать, что сегмент [а, ß] содержит бесконечное множество рациональных чисел (среди чисел а , а ,..., а ,... должны содержаться и все рациональные числа сегмента [а, ß].)

В самом деле, пусть г и R — десятичные приближения чисел а и ß, соответственно по избытку и по недостатку, удовлетворяющие неравенствам:

тогда будем иметь:

Рассмотрим теперь последовательность рациональных чисел:

Все они, очевидно, различны между собой, и каждое из них принадлежит сегменту fa, ß]. Итак, сегмент [а, ß] содержит бесконечное множество алгебраических

(действительных) чисел, которые могут быть представлены в виде некоторой последовательности:

По доказанному выше, алгебраическими числами {а^} не могут исчерпываться все числа сегмента [а, ßj (допустив противное, мы пришли бы к выводу, что множество всех чисел сегмента [а, ß] счетное). Следовательно, в любом сегменте [а, ß] должны содержаться, наряду с алгебраическими числами, также и неалгебраические действительные числа. Такого рода числа называются трансцендентными. Заметим, что из приведенного определения вытекает, что каждое число должна быть либо алгебраическим, либо трансцендентным.

Вспоминая определение алгебраического числа (п. 10),, мы можем выразить определение трансцендентного числа (действительного или комплексного) в следующем виде: число х0 называется трансцендентным, если не существует ни одного алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:

А0 + Ахх + А2х* + ... + Апхп = 0 (Ап ф 0, п ^ 1), которому удовлетворяло бы это число.

Это определение имеет чисто отрицательный характер и приобретает интерес только после того, как доказано существование трансцендентных чисел. Такое доказательство мы только что получили. Более того, мы установили, что любой сегмент [а, ß] содержит трансцендентные (действительные) числа. Докажем, что их бесконечно много в каждом сегменте [а, ß]. Допустим противное, и пусть сегмент [а, ß] содержит только конечное число N трансцендентных чисел. Разделив этот сегмент на N+2 сегмента:

найдем в каждом из них, по предыдущему, по крайней мере, по одному трансцендентному числу. Допуская даже, что одно и то же трансцендентное число является общим для двух смежных сегментов, мы все

же получим, по крайней мере, W + 1 трансцендентных чисел в сегменте [а, ß], что противоречит предположению. Из этого противоречия следует, что каждый числовой сегмент содержит бесконечное множество трансцендентных чисел. Докажем, что это множество несчетное, т. е. что каждый сегмент [a,ß] содержит существенно больше трансцендентных, чем алгебраических чисел. В самом деле, если допустить, что множество всех трансцендентных чисел сегмента [а, ß] счетное, т. е. может быть записано в виде:

^з, . . • » t , . . • ,

то множество всех действительных чисел сегмента [а, ß] как алгебраических, так и трансцендентных, может быть представлено в виде:

а1' ^1» а2) ^2> аз> ^з> • • • > ап у > • • •

Очевидно, что это счетное множество (чтобы убедиться в этом, достаточно составить пары, объединяя алгебраические числа ап с нечетными числами 2/г—1, а трансцендентные числа tn — £ четными числами 2я); следовательно, мы пришли к противоречию, так как выше было показано, что множество всех действительных чисел сегмента несчетно.

Установленные нами факты имеют весьма большое принципиальное значение. Они обнаруживают, что множество всех алгебраических чисел произвольного сегмента [а, ß], т. е. таких чисел, которые можно получить, отправляясь от рациональных чисел путем основных алгебраических операций, включая сюда также и операцию решения алгебраических уравнений с рациональными (или целыми) коэффициентами, является только счетным множеством, тогда как множество трансцендентных чисел (которые нельзя получить указанным путем) — несчетное и, следовательно, составляет, так сказать, основное, подавляющее большинство чисел любого числового сегмента.

Из чисел, с которыми приходится встречаться в курсе средней школы, трансцендентными являются, например

Сравнительно недавно (1936 г.) советским математиком А. О. Гельфондом было установлено, что если а есть какое-либо алгебраическое число, отличное от 0 и от 1, и b — какое-либо иррациональное алгебраическое число, то а^есть число трансцендентное. Отсюда следует, например, что числа 2V2, 2^3 , З^2 , . . . все являются трансцендентными. Далее, отсюда следует, что десятичные логарифмы всех целых чисел, за исключением логарифмов чисел, представляющих „точные" степени 10 (I, 10, 102, 103, . . .), все являются трансцендентными числами. В самом деле, пусть натуральное число \0k (k — целое число) и lg jY= а; тогда 10" = =jY. Убедимся прежде всего, что а есть иррациональное число. Допуская противное, положим, что а=:-~ > где р и # —натуральные числа. Тогда будем иметь: \(f = Л^,т. е. 2Р -bp = Nq, что может быть только в том случае, когда N имеет вид: Л/=2г-55, откуда 2Р • 5^ = 2rq-5sq и р = rq = sq. Следовательно, г — s и Л/=2 -5Г = 10г, что противоречит предположению, сделанному относительно N. Итак, десятичный логарифм любого натурального числа, не являющегося точной •степенью 10, есть число иррациональное. Остается выяснить, является ли он алгебраическим или трансцендентным числом. Но, если допустить, что а есть алгебраическое число, то, в силу его иррациональности, из теоремы А. О. Гельфонда будет следовать, что JV=10a есть число трансцендентное, что, очевидно, неверно. Поэтому а является трансцендентным числом, что мы и утверждали. Аналогично, читатель может проверить, что, например, логарифмы натуральных чисел по основаниям 2 или 3 являются трансцендентными числами всякий раз, когда натуральное число не есть „точная степень" двух или, соответственно, трех.

Из приведенных примеров вытекает, что в курсе элементарной математики, в ее задачах, с трансцендентным 1 числами приходится встречаться весьма часто. Разумеется, это обстоятельство никак не отражается на выполнении числовых выкладок, так как при этом все действительные числа (рациональные или иррациональ-

ные, алгебраические или трансцендентные) обычно заменяются их десятичными приближениями по избытку или недостатку, с которыми и производятся все выкладки (см. об этом очерк второй, п. 2Ь).

35. Основные принципы теории пределов, изученные нами в этом очерке, характеризуют, каждый в отдельности, одно и то же свойство множества действительных чисел, а именно свойство непрерывности. Первым, кто обратил внимание на это свойство и четко его формулировал, был Р. Дедекинд (1831 —1916 гг.), автор одной из наиболее распространенных1 теорий действительных чисел. Сравнивая множество рациональных чисел со множеством всех точек прямой. Дедекинд отметил в первом из них изъяны, неполноту или разрывность, „между тем как прямой мы приписываем полноту, отсутствие пробелов, или непрерывность"2. Сущность последней (для множества точек прямой) Дедекинд усматривал в следующем:

„Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два куска".

Присоединяя к рациональным числам иррациональные числа, определяемые им посредством сечений, производимых на множестве рациональных чисел, Дедекинд доказал, что расширенное таким образом множество чисел — множество действительных чисел — уже обладает свойством, вполне аналогичным указанному только что свойству непрерывности прямой. А именно:

„Если система R всех действительных чисел распадается на два класса Ах и А2 такого рода, что каждое число <Xj класса Аг меньше каждого числа а2 класса А2, то существует одно и только одно число а, производящее разделение"3.

Читатель видит здесь уже знакомый ему принцип

1 См. Рихард Дедекинд, Непрерывность и иррациональные числа. Перевел с немецкого проф. С. О. Шатуновский, 4-е исправленное издание, Одесса, 1923.

2 Мы цитируем здесь Дедекинда по переводу, указанному в предыдущей сноске.

3 Мы снова цитируем Дедекинда.

Дедекинда (п. 31; наша формулировка, очевидно, отличается от формулировки самого Дедекинда лишь несущественным образом). Свойство множества действительных чисел, выражаемое в этом принципе, Дедекинд называет непрерывностью этого множества. Мы видели выше, что принцип Дедекинда, в известном смысле, равносилен трем другим принципам: Кантора, Коши и Вейерштрасса. Следовательно, можно утверждать, как мы это сделали в начале настоящего пункта, что каждый из основных принципов теории пределов выражает свойство непрерывности множества всех действительных чисел.

Остановимся несколько на сравнении свойства непрерывности прямой со свойством непрерывности множества действительных чисел. При построении геометрии прямая и точка относятся к основным понятиям, которые не сводятся одно к другому, хотя и могут находиться в определенных отношениях друг к другу (например, точка может лежать на некоторой прямой, прямая может проходить или не проходить через некоторую точку). Во всяком случае, хотя и можно говорить о множестве всех точек некоторой прямой, мы не рассматриваем в геометрии прямую только как множество точек. В самом деле, для того, чтобы выделить множество точек прямой среди всех других возможных множеств точек, нужно уже владеть понятием прямой. Свойства множества всех точек, принадлежащих одной и той же прямой, устанавливаются в специальных аксиомах геометрии. К числу их принадлежат аксиомы непрерывности, составляющие пятую группу аксиом в системе, предложенной Д. Гильбертом1. Отступим здесь от изложения Гильберта, заменив эти аксиомы одной аксиомой непрерывности прямой Дедекинда, которую мы уже приводили выше в формулировке самого Дедекинда. В более полной формулировке, где подчеркивается непустота каждою из двух классов и где недостаточно определенное понятие „влево" заменено более точными понятиями, смысл кото-

1 Д. Гильберт, Основания геометрии, перевод с пятого немецкого издания, под редакцией засл. проф. А. В. Васильева, 1923. В настоящее время в Гостехиздате выходит из печати новый перевод, выполненный с седьмого немецкого издания И. С. Градштейном, под редакцией П. К. Рашевского.

рых устанавливается при систематическом изложении? основ геометрии, аксиома эта формулируется так:

Если на прямой установлено определенное направление и произведено разделение всех точек на два класса Л и В так, что каждая точка принадлежит одному из классов А и By ни один из этих классов не является пустым и, наконец, каждая точка. класса А предшествует каждой точке класса В, то на прямой существует определенная точка С, производящая это разделение, в том смысле, что каждая точка прямой, предшествующая С, принадлежит классу Л, и каждая точка, следующая за С, принадлежит классу В (сама точка С может принадлежать либо классу Л, либо классу В).

Можно доказать1, что эта аксиома эквивалентна группе следующих двух аксиом:

1. Аксиома Архимеда. Пусть А и В — произвольные точки прямой и Ах — какая-либо точка, лежащая между ними. Тогда на той же прямой можно последовательно отложить в направлении от А к S отрезки, конгруентные АА1 : ААХ = Ах Л2=. .. = Ап _ ^Ап столь большое число раз, что точка В окажется лежащей между Л и Ап (т. е. точка Ап выйдет за пределы отрезка AB).

2. Аксиома непрерывности Кантора. Пусть \Ап Вп [ — стягивающаяся последовательность вложенных отрезков, т. е. таких, что каждый последующий отрезок Ап j принадлежит предыдущему отрезку Ап Вп , причем не существует ни одного отрезка АВ> общего всем отрезкам Ап Вп ; тогда на прямой существует одна и только одна точка С> принадлежащая каждому из отрезков Ап Вп .

Эквивалентность эту нужно понимать в том смысле, что из аксиомы Дедекинда и предшествующих ей аксиом геометрии (не относящихся непосредственно к

1 Мы пользуемся здесь изложением Д. Виталли из сб. .Вопросы элементарной геометрии" под редакцией Ф. Энриквеса (есть русское издание 1912 г.). Читатель найдет подробное изложение относящихся сюда вопросов в книге Н. В. Ефимова, Высшая геометрия, Гостехиздат, 1945 (см. стр. 54—56).

непрерывности) можно вывести, как следствия, аксиомы Архимеда и Кантора. Обратно, из последних двух аксиом (и предшествующих им геометрических аксиом) вытекает, как следствие, аксиома Дедекинда1.

Мы видим, что аксиомы непрерывности прямой Дедекинда и Кантора звучат совершенно аналогично принципам теории пределов Дедекинда и Кантора. Однако между теми и другими есть существенное различие, ибо речь идет в них о различных объектах: о прямой и о множестве точек на ней в геометрии и о множестве действительных чисел в анализе. Это различие проявляется и внешним образом в положении, которое указанные предложения занимают в геометрии или в анализе. А именно, в геометрии одно из предложений Дедекинда или Кантора должно приниматься в качестве аксиомы, тогда как в анализе принципы Дедекинда и Кантора являются теоремами, вытекающими из самого построения понятия действительного числа, положенного в основу теории действительных чисел, и не нуждаются для своего обоснования в других аксиомах, кроме тех, на которых основывается теория рациональных (в конечном счете, натуральных) чисел.

Заметим, для большей точности, что аксиомы непрерывности геометрии можно формулировать так, чтобы ни аксиома Дедекинда, ни аксиома Кантора не входили в эту группу аксиом (явным образом). Так, например, поступает Д. Гильберт в „Основаниях геометрии", и при таком построении обе аксиомы — Дедекинда и Кантора — превращаются в теоремы. Однако возможность подобного изложения не может изменить основного факта. Свойства непрерывности в геометрии вводятся посредством специальной группы аксиом (которые можно выбирать различными способами), тогда как свойство непрерывности множества действительных чисел следует из самого построения понятия действительного числа (независимо от того, пользуемся ли мы теорией Кантора, Дедекинда, Вейерштрасса или какой либо другой) и в специальных аксиомах не нуждается. Читатель лучше уяснит себе отмеченное раз-

1 Доказательства смотрите в цитированной книге Н. В. Ефимова. Впрочем, мы рекомендуем читателю попробовать сначала самостоятельно доказать указанные предложения.

личие, если заметит, что научная система геометрии исходит из a priori заданных объектов (точек, прямых и плоскостей), все основные свойства которых (в том числе и непрерывность) даются в системе аксиом, тогда как научное построение арифметики (и в дальнейшем, анализа) проводится конструктивно. В нем действительные числа появляются на определенной ступени (после рациональных чисел), определенные через рациональные числа, и все их свойства, в частности, свойства непрерывности, устанавливаются, как следствия из их определения и из свойств рациональных чисел (к последним свойство непрерывности не принадлежит).

Сравнение основных принципов теории пределов с аналогичными аксиомами непрерывности лишний раз подчеркивает условность провозглашенной нами ранее эквивалентности этих принципов. Действительно, в геометрии из аксиомы Дедекинда (и всех прочих аксиом геометрии, исключая аксиому параллельности, которая остается во всей этой теории без применения) вытекают и аксиома Архимеда и аксиома Кантора. Если же желать вывести из аксиомы Кантора аксиому Дедекинда, то к первой из них нужно будет присоединить, кроме тех аксиом, которые предшествуют аксиомам непрерывности, еще и аксиому Архимеда. Таким образом, аксиомы Кантора и Дедекинда не эквивалентны между собой в системе оснований геометрии. В такой же мере не эквивалентны и принципы Дедекинда и Кантора, и если в предшествующем изложении это не было явно обнаружено, то это потому, что мы не ставили себе целью дать аксиоматическое построение теории действительных чисел.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие....................... 3

Очерк первый

Предмет анализа. Множества и функции. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Понятие числа с точки зрения потребностей алгебры и анализа ........ 6

Очерк второй

Теория действительных чисел............... 31

Очерк третий

Основные принципы теории пределов........... 67

Редактор А. В. Зансохов Техн.редактор Я. Л Ислентьева

А(К,6*5 Сдано в производство 17/VII 1948 г. Подписано к печати 15/Х1 1948 г. 6,25 п. л. Уч.-изд. 4,65 В 1 п. л. 27ô5b зн. Тираж НЮ» »0__Цена 2 р. Л) к._Заказ 1067

Типография Изд-ва АПН. Москва, Лобковский, 5/16