В.С. ЛЮТИКАС

ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

9—11

В.С ЛЮТИКАС

ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие для 9—11 классов средней школы

Рекомендовано Главным учебно-методическим управлением общего среднего образования Госкомитета СССР по народному образованию

3-Е ИЗДАНИЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1990

ББК 22.171я72 Л96

Рецензенты:

академик АН УССР, профессор МГУ Б. В. Гнеденко; доктор физико-математических наук, профессор МГЗПИ Н. Я. Виленкин

Лютикас В. С.

Л96 Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учеб. пособие для 9—11 кл. сред. шк. — 3-е изд., перераб. — М.: Просвещение, 1990. — 160 с. : ил. — ISBN 5-09-001289-Х

Цель данного пособия — понятно изложить самые элементарные сведения из теории вероятностей, научить юного читателя применять их при решении практических задач.

ББК 22.171я72

ISBN 5-09-001289-Х

© Издательство «Просвещение», 1976

© Лютикас В. С., 1990, переработанное

СЛОВО К ЧИТАТЕЛЮ

Эта небольшая книга раскроет перед вами, если вы проявите достаточно желания и упорства, мир случайного. Собственно, мир остается таким, каков он есть, но показывается он не совсем с обычной стороны.

Оказывается, только пользуясь языком науки о случае — теории вероятностей, можно описать многие явления и ситуации.

Постепенно при чтении этой книги вы углубите свои знания в теории и сможете с ее помощью решать задачи занимательного и практического содержания, к которым недавно не знали, как и подступиться. На этом этапе задачи объясняют, иллюстрируют теорию.

Понятно изложить самые элементарные сведения из теории вероятностей, научить юного читателя применять их при решении практических задач — такова основная цель, которую преследовал автор. А для того чтобы эта цель была достигнута, автор, не претендуя на оригинальность в математических рассуждениях, старался исходить из возможностей и интересов школьников.

Настоящее издание представляет собой переработанный вариант книги автора «Школьнику о теории вероятностей», выпущенной издательством «Просвещение» в 1976 г. Оно лучше приспособлено к современным определениям вероятностных понятий, дополнено доказательствами ряда законов, по структуре ближе к школьному учебнику, дополнено примерами программирования решений вероятностных задач на языке Бейсик.

Теория вероятностей, изложенная здесь, доступна ученику IX—XI классов, учащемуся техникума и каждому читателю, уже получившему среднее образование, но еще не успевшему забыть школьную математику.

Книга написана так, чтобы старшеклассник мог ею пользоваться как материалом для внеклассного чтения по математике и для подготовки к факультативным занятиям, а учитель — как конспектом для проведения факультативных занятий по теории вероятностей.

Книга также может быть применена в качестве учебника по теории вероятностей для средних специальных учебных заведений.

Термин «Упражнения» здесь означает большее, чем просто набор учебных примеров для тренировки по усвоению прочитанного материала. В действительности здесь содержатся и некоторые задачи для размышлений, самостоятельного поиска.

Автор выражает глубокую благодарность рецензентам рукописи академику Б. В. Гнеденко, профессору Н. Я. Виленкину за ценные замечания, которые способствовали значительному усовершенствованию пособия.

I. КОЕ-ЧТО ИЗ ПРОШЛОГО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.

Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей.

Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Вот простейший опыт — подбрасывают монету. Выпадение герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но при многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление герба происходит примерно в половине случаев.

Кто и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно. Французский естествоиспытатель Ж. Л. Л. Бюффон (1707—1788) в восемнадцатом столетии 4040 раз подбрасывал монету — герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале нынешнего столетия подбрасывал ее 24 000 раз — герб выпал 12 012 раз. Лет 20 назад американские экспериментаторы повторили опыт. При 10 000 подбрасываний герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

Рассмотрим другой, более сложный пример — эксперимент с так называемой доской Гальтона (рис. 1). Доска размещена вертикально. Из верхнего резервуара стальные шарики катятся (на отдельных участках падают) вниз и накапливаются в нижних гнездах. Каждый шарик, встретив на своем пути оче-

Рис. 1

редное препятствие, отклоняется или влево или вправо, а затем падает вниз. Шарик, конечно, может попасть в любое из гнезд. Между тем правильное расположение шариков (симметричное, при котором в центральных гнездах их много, а в крайних мало), повторяющееся от эксперимента к эксперименту, убедительно свидетельствует о существовании объективного закона их распределения.

Итак, случайности могут подчиняться относительно простым и более сложным закономерностям. Но, спрашивается, где же математика, где математические задачи?

Наиболее интересные для начинающих задачи теории вероятностей возникли в области азартных игр. Этому, по-видимому, способствовало наличие таких «наглядных пособий», как монета или игральная кость. Формированию основ теории вероятностей способствовали также выяснение длительности жизни, подсчет населения, практика страхования. Мы начнем, естественно, с простых задач.

К азартным играм относили бросание шестигранных игральных костей (рис. 2). Слово «азар» по-арабски означает «трудный». Так, арабы называли азартной игрой комбинацию очков,

Рис. 2

которая при бросании нескольких костей могла появиться лишь единственным способом. Например, при бросании двух костей трудным («азар») считалось появление в сумме двух или двенадцати очков.

В 1494 году итальянский математик Л. Пачиоли (1454—1514) опубликовал

энциклопедический труд по математике, где разбирал следующую ситуацию.

Два игрока договорились играть в кости до момента, когда одному из них удастся выиграть m партий. Но игра была прервана после того, как первый выиграл а (а < m), а второй b (b<m) партий. Как справедливо разделить ставку?

Сам Пачиоли верного решения не нашел. Он предлагал разделить ставку в отношении а : b, не учитывая числа партий, которые нужно еще выиграть, чтобы получить свою ставку.

Спустя без малого 50 лет другой итальянский математик Д. Кардано (1501—1576) поверг рассуждения Пачиоли справедливой критике, но и сам предложил ошибочное решение.

Прошло еще 100 с лишним лет, и в 1654 году задача была наконец решена в ходе переписки между двумя выдающимися французскими математиками Б. Паскалем (1623—1662) и П. Ферма (1601—1665).

Посмотрим, как решил Б. Паскаль задачу в случае m = 3, а = 2 и b = 1.

Допустим, что игра прервана, когда у игрока А две выигранные партии, а у игрока В одна. Как делить ставку, пока неясно. Но все упростилось бы, если бы игроки сыграли еще одну партию. В самом деле:

1) если эту партию выигрывает игрок А, то он как набравший заветное число m = 3 выигрышей получает всю ставку;

2) если партию выиграет игрок Б, то справедливо разделить всю ставку пополам, так как у каждого по две выигрышные партии.

Возможности у каждого из этих исходов одинаковы.

Таким образом, А может выиграть всю ставку или 1/2 ставки, т. е. в среднем

ставки.

У В возможности поскромнее: он может или ничего не выиграть, или выиграть 1/2 ставки, т. е. в среднем

ставки. Поэтому ставка должна быть разделена в отношении 3:1 (а не 2:1, как предлагал Пачиоли).

Здесь мы сталкиваемся впервые с математическим ожиданием случайной величины. О том, что это такое, рассказывается в конце книги.

В 1718 году в Лондоне вышла в свет книга со странным по тем временам названием «Учение о случаях». Ее автор — французский математик А. Муавр (1667—1754). Самое большое его достижение — открытие закономерности, которая очень часто наблюдается в случайных явлениях. Он впервые заметил и теоретически обосновал роль распределения, которое позднее было названо нормальным. А. Муавру также принадлежит слава введения понятия независимости событий, открытия теоремы умножения вероятностей.

Муавр измерил рост у 1375 случайно выбранных женщин. Результат схематически изображен на рисунке 3. Колоколообразная кривая, которая приближенно «накрывает» диаграмму распределения роста, похожа на смещенный направо график функции

(1.1)

где

(1.2)

Закон нормального распределения имеет важное практическое значение. Оказывается, что так распределяется скорость га-

Рис. 3

зовых молекул, вес новорожденных и много других случайных событий физической и биологической природы.

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П. Лапласом (1749—1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей».

В предисловии автор писал: «Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания... Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами теории вероятностей».

П. Лаплас не мог предусмотреть, что пройдет несколько десятилетий и интерес к теории вероятностей снизится. А так на деле и случилось. Во второй половине XIX века и в начале XX века некоторые математики перестали интересоваться теорией вероятностей как математической дисциплиной.

Чем объясняется такое безразличие некоторых математиков к теории вероятностей? Причин много. Но здесь мы раскроем только некоторые.

Вероятность события была определена Лапласом так:

(1.3)

где n — общее число равновозможных событий, a m — число тех событий, когда происходит нужный исход («благоприятствующее событие»). Например, пусть следует вычислить вероятность события А — «при бросании двух костей выпало 8 очков».

При бросании двух костей могут получиться следующие равновозможные результаты :

I

II

I

II

I

II

I

II

I

II

I

II

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2

2

1

3

2

3

3

3

4

3

5

3

6

3

1

4

2

4

3

4

4

4

5

4

6

4

1

5

2

5

3

5|

4

5

5

5

6

5

1

6

2

6

3

6

4

6

5

6

6

6

Как видно, всего возможных вариантов 36. Специально выделяются те случаи, когда произошло событие А. Таких случаев 5 — все они равновозможны. Если договориться вероятность события А обозначить Р (А), то, следуя Лапласу, будем иметь:

Кажется, что все в порядке — к лапласовскому определению вероятности события никак не придраться. Но вот вопрос: когда и какие случайные события можно считать равновозможными?

Рождается ребенок. Мальчик или девочка, кажется, равновозможные события (одно из двух, как и при бросании монеты). Но оказывается, что статистика рождений не вполне согласуется с нашим «кажется».

Она может быть, например, такой:

Год

Число родившихся детей

Число родившихся мальчиков

Число родившихся девочек

Частота рождения мальчиков

Польша

1927

958 733

496 544

462 189

0,518

Швеция

1935

88 273

45 682

42 591

0,517

Если в разное время в разных странах мальчиков рождается больше, чем девочек, значит, вероятности рождения мальчика или девочки неодинаковые: вероятность события «родился мальчик» больше 1/2.

Вспомним о подбрасывании монеты (см. об этом на с. 5). Откуда у нас уверенность, что вероятность выпадения герба равна 1/2 ?

Факты, обнаруживающие, что объективная реальность необязательно совпадает с человеческим «кажется», послужили причиной сомнений в правомерности понятия «равновозможные события». Возникла потребность «перепроверять» вероятности, которые вычислялись по лапласовской формуле Р (А)=m/n, экспериментами.

Эта «перепроверка» привела к следующей статистической оценке возможности появления события. Пусть в результате некоторого опыта может произойти или не произойти событие А. В ходе l опытов событие А произошло k раз. Тогда частотой события А называется

(1.4)

За вероятность события А принимается постоянная величина, около которой группируются наблюдаемые значения частоты. Это определение вероятности называют статистическим.

В 1846 году Петербургская академия наук издала книгу В. Я. Буняковского (1804—1889) под названием «Основания математической теории вероятностей». Это был первый русский

учебник по теории вероятностей. По нему учился и выдающийся русский математик П. Л. Чебышев (1821—1894). Хотя он по теории вероятностей написал не так уж много трудов, но все они сохраняют первостепенное значение вплоть до наших дней. Так называемое неравенство П. Л. Чебышева на веки веков вошло в сокровищницу математической науки.

Ученик П. Л. Чебышева А. А. Марков (1856—1922) развил труды своего учителя. Ему принадлежит слава открывателя важной области применения теории вероятностей — теории вероятностных, или стохастических, процессов.

Наследие русских математиков получило развитие в работах советских математиков Е. Е. Слуцкого (1880—1948), С. Н. Бернштейна (1880—1968), А. Я. Хинчина (1894—1959), Ю. В. Линника (1904—1972) и особенно академика А. Н. Колмогорова (1903—1987). Созданная А. Н. Колмогоровым советская школа теории вероятностей, среди представителей которой следовало бы отметить академика АН СССР Ю. В. Прохорова, академика АН Украинской ССР Б. В. Гнеденко, академика АН Узбекской ССР С. Х. Сираждинова, академиков АН Литовской ССР И. П. Кубилюса и В. А. Статулявичуса, профессоров А. А. Боровкова, В. Н. Золотарева, Ю. А. Розанова, В. С. Королюка, А. Н. Ширяева, И. Н. Коваленко, В. И. Романовского и многих других, завоевала всеобщее признание и сегодня занимает ведущие позиции в мировой науке.

II. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

1. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ

Человека окружает мир событий. Он часто замечает такой факт: одни события при реализации данного комплекса условий непременно происходят, другие же могут произойти, а могут и не произойти. Рассмотрим группу таких событий:

Событие

Реализация комплекса условий

Исход

A1

При нагревании проволоки

Ее длина увеличилась

A2

При бросании игральной кости

Выпали четыре очка

A3

При бросании монеты

Выпал герб

A4

При осмотре почтового ящика

Найдены три письма

A5

При низкой температуре

Вода превратилась в лед

Про события A1 и А5 мы вынуждены сказать, что они произойдут закономерно, а про события A2, A3, A4 — что они могли произойти, но могло быть и иначе. Сравнение данных примеров позволяет ощутить случайность событий A2, A3 и A4.

Мы можем рассуждать так. Нас окружают события. Мы замечаем:

Событие — исход наблюдения или эксперимента

когда оно при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти

Случайное событие

Отсюда непосредственно следует определение понятия: Случайным событием называется такой исход наблюдения или эксперимента, который при реализации данного комплекса условий может произойти, а может и не произойти.

2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Представим, что некоторый прямоугольник Е мы разрезали (рис. 4) на n прямоугольных пронумерованных карточек ei (i = 1, 2, 3, .. ., n). Допустим, после хорошей перетасовки одну карточку наугад вытаскиваем из всей стопки. При такой операции:

1) одно из событий «вытащена одна карточка» непременно произойдет;

2) при одном испытании вытаскивание любой из карточек проявляется в одном и только в одном исходе; скажем, если была вытащена карточка 17, т. е. произошло событие e17, то в это же время не могло произойти событие e5, состоящее в вытаскивании карточки с номером 5.

Рис. 4

Рис. 5

События ei, состоящие в появлении карточки с номером i (i=1, 2, 3, ..., n), могут послужить примером элементарных событий, а прямоугольник Е — примером пространства элементарных событий, связанного с реализацией испытания S — вытаскиванием одной карточки после разреза прямоугольника Е на маленькие прямоугольники и вытаскивания случайной карточки после тщательной перетасовки. Этот пример позволяет геометрически иллюстрировать пространство Е и его элементы.

Пространство элементарных событий Е, определенное бросанием игральной кости, представляет события, где ei — «выпало i очков» (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6).

Рассмотрим события (рис. 5):

А — «выпало четное число очков»;

В — «выпало не меньше 2 очков»;

С — «выпало не больше 2 очков».

А произошло, если произошло одно из элементарных событий e2, e4, e6.. Естественно e2, e4, e6 назвать элементарными событиями, благоприятствующими событию А. Этот факт выразим символом

Тогда выходит, что

Поскольку e2, e4, e6 есть некоторые из элементов пространства E{e1; e2; e3; e4; e5; e6}, эту тройку удобно называть подпространством (частью) пространства Е. Значит, событие А можно рассматривать как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий {e2; e4; e6}, событие В — как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий {e2; e3; e4; e5; e6}, событие С — как подпространство ему благоприятствующих элементарных событий {e1; e2}. Если ei не благоприятствует событию А, то пишем: ei∈А.

Рис. 6

Рис. 7

Реализация испытания S однозначно определяет пространство элементарных событий Е. Любое случайное событие Н, связанное с испытанием S, можно рассматривать как подпространство благоприятствующих этому событию элементарных событий пространства Е. Изобразить его можно некоторой фигурой, построенной из клеточек, символизирующих элементарные события, благоприятствующие событию Н.

Например, событие Н1 — «выпало меньше 3 очков» — может быть изображено одной заштрихованной фигурой (рис. 6), а событие Н2 — «выпало не больше 2 или не меньше 5 очков» — двумя фигурами (рис. 7).

3. ДОСТОВЕРНОЕ И НЕВОЗМОЖНОЕ СОБЫТИЕ

Рассмотрим следующий пример.

На трех карточках проставлены цифры 1, 2, 3. После перетасовки карточек по очереди выстраиваем их в один ряд. Получается трехзначное число а.

Пространство элементарных событий Е представляют события

Рассмотрим в аспекте пространства Е такие события:

Как складывается у нас представление о событии V?

1. Мы интуитивно догадываемся, что событие V в аспекте данного испытания невозможно.

2. Мы можем наглядно убедиться в том, что среди элементарных событий пространства Е нет ни одного события, благоприятствующего событию V.

Как складывается у нас представление о событии U?

1. Мы интуитивно догадываемся, что событие U в аспекте данного испытания достоверное.

2. Мы можем наглядно убедиться в том, что все элементарные события пространства Е благоприятствуют событию U.

Следовательно, невозможное событие V и достоверное событие U как бы крайние варианты случайного события вообще. Наши рассуждения можем обобщить таким графом:

Случайное событие по отношению к испытанию S

когда среди элементарных событий пространства Е, определяемого испытанием S, нет ни одного элементарного события, благоприятствующего событию V

V — невозможное событие по отношению к испытанию S

когда все элементарные события пространства Е, определяемого испытанием S, благоприятствуют событию U

U — достоверное событие по отношению к испытанию S

Таким образом, невозможное и достоверное события — это не абсолютные категории событий, а категории, связанные с некоторым конкретным испытанием S.

Упражнения

1. Какие из следующих событий достоверные:

А — «два попадания при трех выстрелах»,

В — «выплата рубля семью монетами»,

D — «наугад выбранное трехзначное число не больше 1000»,

Е — «наугад выбранное число, составленное из цифр 1, 2, 3 без повторений, меньше 400»?

2. Какие из следующих событий невозможные:

А — «опаздывание ленинградского экспресса в субботние дни»,

В — «появление 17 очков при бросании 3 игральных костей»,

С — «появление слова «мама» при случайном наборе букв а, а, м, м»,

D — «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 9 числа при случайном однократном наборе указанных цифр»,

Е — «появление составленного из цифр 1, 2, 3, 7, 8 и кратного 3 числа при произвольном однократном наборе указанных цифр»?

3. Укажите достоверные и невозможные события:

А — «выплата 10 рублей четырьмя купюрами»,

В — «появление сразу 3 лайнеров над аэропортом»,

С — «попадание в мишень при 3 выстрелах»,

D — «появление в окошке счетчика трехзначного числа, составленного из цифр 1, 2, 3 и кратного 5».

4. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СОБЫТИЯМИ

Сравним следующие события:

А — «появление двух очков при бросании игральной кости»,

В — «появление четного числа очков при бросании игральной кости».

Замечаем следующее соотношение между событиями: если произошло А, то тем самым произошло и В. Тот факт, что «А влечет за собой B» (или «В является следствием А»), запишем:

А⊂В или B⊃A. (2.1)

Событие А является частью события B, поскольку событие В состоит в осуществлении трех элементарных событий: «появление 2 очков», «появление 4 очков», «появление 6 очков», а событие А — одним из них — «появлением 2 очков». Возможность представить события как подпространства пространства Е помогает геометрически проиллюстрировать соотношения А и В (рис. 8).

Сопоставим события:

А — «появление герба при подбрасывании монеты»,

В — «непоявление цифры при подбрасывании монеты».

Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола

Рис. 8 Рис. 9

или встать на ребро, тогда если произошло А, то произошло и Б, и в то же время если произошло В, то произошло и А. Символическая запись: А⊂В и В⊂А. Тогда запишем А=В и будем говорить, что события А и В равносильны.

Еще раз подчеркнем, что А будет частью события В только в том случае, когда элементарные события, представляющие событие A, принадлежат подпространству элементарных событий, представляющих событие В.

Упражнения

4. Какие из событий являются частью другого события:

а) А — «попадание в мишень первым выстрелом»,

В — «попадание в мишень по меньшей мере одним из 4 выстрелов»,

С — «попадание точно в мишень одним из 2 выстрелов»,

D — «попадание в мишень не более чем 5 выстрелами»;

б) мишень изображена на рисунке 9:

А — «попадание в круг»,

В — «попадание в треугольник»,

С — «попадание в квадрат»?

5. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ

Мы уже убедились в том, что между событиями соблюдаются отношения, аналогичные отношениям «больше», «меньше» или «равно», как и между числами.

Теперь естественно ввести и операции над событиями.

Объединение

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) e1, e2, e3, e4, e5, e6 и e7, а событию В — элементарные события e8, e9, e10, e11, e12 (рис. 10).

Рис. 10

Рис. 11

Пусть событию С благоприятствуют все элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки.

Логично событие С называть объединением событий А и В. Оно означает, что произошло или А, или B.

Пусть теперь событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) e1, e2, e3, e4, e5, а событию В — элементарные события e4, e5, e6, e7, e8 (рис. 11).

Пусть опять событию С благоприятствуют элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки (рис. 11).

И на этот раз логично событие С считать объединением событий А и В. Но поскольку e5 и e4 благоприятствуют и А и B, то на этот раз С означает, что произошло или А, или В, или и то и другое вместе.

Оба случая (рис. 10 и 11) можно обобщить так:

Объединением событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А и В.

Такое соотношение принято обозначать символом ∪:

С = А∪B.

В общем случае:

Объединением событий A1, A2, A3, ..., An называется событие А, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A1, A2, A3, ..., An (или A1, или A2, ..., или Аn, или нескольких из них, или всех).

Символически:

(2.2)

Оперируя диаграммами подобного рода (см. рис. 11 и 10), можем убедиться, что для случайных событий имеют место закономерности:

Упражнения

5. Событие А — «попадание в мишень первым выстрелом»,

событие В — «попадание в мишень вторым выстрелом».

В чем состоит событие А∪В?

6. Событие А — «ученик учится без троек»,

событие В — «ученик учится без двоек»,

событие С — «ученик не отличник».

Сформулируйте: А∪В∪С.

7. Событие А — «лотерейный выигрыш 1р.»,

событие В — «лотерейный выигрыш 2р.»,

событие С — «лотерейный выигрыш 3 р.»,

событие D — «лотерейный выигрыш 4р.»,

В чем состоит событие A∪B∪C∪D?

8. Событие А — «появление двух гербов при подбрасывании двух монет»,

событие В — «появление герба и цифры при подбрасывании двух монет».

В чем состоит событие A∪В?

9. Событие A1 — «поражение мишени одним выстрелом»,

событие A2 — «поражение мишени двумя выстрелами»,

событие A3 — «поражение мишени тремя выстрелами»,

событие A100 — «поражение мишени сотней выстрелов».

В чем состоит событие A1∪A2∪A3∪ ... ∪A100?

10. Событие А — «появление 6 очков при бросании игральной кости»,

событие В — «появление 5 очков при бросании игральной кости»,

событие С — «появление 4 очков при бросании игральной кости».

В чем состоит событие A∪B∪C?

11. Выясните смысл событий U∪U, V∪V, U∪V.

Пересечение

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) e1, e2, e3, e4, e5, а событию В — элементарные события e3, e4, e5, e6 и e7 (рис. 12).

Пусть событию С благоприятствуют элементарные события, которые представлены заштрихованными клетками (рис. 12).

Логично событие С называть пересечением событий А и В.

Оно означает, что произошло и А, и В.

В таком случае применяется символ

С = А⋂В. (2.3)

В общем случае пересечение событий определяется так:

Рис. 12

Пересечением событий A1, A2, A3, ..., An называется событие А, состоящее в одновременном исполнении всех (и A1, и A2, и A3, ..., и Аn) событий A1, A2, A3, ..., Ап. Символически :

A=A1⋂A2⋂...⋂An. (2.4)

Рассмотрим такой пример:

А — «входящий в подъезд человек — мужчина»,

В — «входящий в подъезд человек светловолосый»,

С — «входящий в подъезд человек — светловолосый мужчина».

Событие С происходит только при одновременном исполнении событий А и B, поэтому С = А⋂В. Еще пример.

Произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем события :

А — «выбранные числа кратны 2»,

В — «выбранные числа кратны 3»,

С — «выбранные числа кратны 6».

Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет и С.

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) e1, e2, eз, e4, а событию В — e5, e6, e7 (рис. 13).

Рис. 13

Ясно, что совместное осуществление А и В невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет.

Два события А и В, пересечение которых — невозможное событие (А ⋂ В = V), называются несовместимыми событиями.

Как уже мы упомянули ранее, для таких событий определение объединения формулируется так:

Объединением двух несовместимых событий А и В называется событие С, осуществляющееся в появлении либо события А, либо события В.

Два события А и В называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее и событию А, и событию В.

Рассмотрим следующие пары событий:

A1 — «выпадение герба при подбрасывании монеты»,

A2—«невыпадение герба при подбрасывании монеты»;

B1 — «выздоровление больного»,

B2 — «невыздоровление больного»,

C1 — «появление новой кометы в текущем году»,

C2 — «непоявление новой кометы в текущем году».

Естественно события в каждой из пар считать противоположными.

Установим два свойства, которым удовлетворяет любая из пар событий:

1. Объединение событий каждой пары — достоверное событие:

2. Пересечение событий каждой пары — невозможное событие:

Теперь можно ввести определение:

Если объединение событий А и В — достоверное событие, а пересечение — невозможное событие, то события А и В называются противоположными.

Если А и В — противоположные события, то символически записываем это так:

(2.5)

Разумеется, на языке пространства элементарных событий противоположное событие А представляется дополнением события А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис. 14).

Рис. 14

Упражнения

12. Событие А — «попадание первым выстрелом»,

событие В — «попадание вторым выстрелом».

В чем состоит событие A⋂B?

13. Событие А — «появление нечетного числа очков при бросании игральной кости»,

событие В — «непоявление 3 очков при бросании игральной кости»,

событие С — «непоявление 5 очков при бросании игральной кости».

В чем состоят события

А⋂B⋂С, A⋂B, А⋂С, В⋂С?

14. Справедливо ли равенство U⋂V = V?

15. Турист из пункта А в пункт В может попасть двумя дорогами. Обозначим события:

A1 — «он пошел первой дорогой»,

A2 — «он пошел второй дорогой».

Из пункта В в пункт С ведут три дороги. Обозначим события :

B1 — «он пошел первой дорогой»,

B2 — «он пошел второй дорогой»,

B3 — «он пошел третьей дорогой».

Применяя понятия объединения и пересечения, а также противоположного события, постройте события, состоящие в том, что:

— от А до В он выбрал дорогу наугад, а от B до С пошел третьей дорогой;

— от А до В он пошел первой дорогой, а от В до С — дорогой, выбранной наугад;

— от А до B он пошел не первой дорогой, а от В до С — не третьей;

— он дошел от А до С.

16. Докажите: А⋂А = А.

17. Рассмотрев конкретные события А, B, С, убедитесь в том, что

При решении пользуйтесь геометрическим представлением событий и их соотношений.

18. Наугад отобранная деталь может оказаться или первого сорта (событие А), или второго (событие B), или третьего (событие С).

В чем состоят события

19. При каких условиях имеют место равенства:

20. Справедливы ли равенства:

(При решении пользуйтесь геометрическим представлением событий и их соотношений.) 21. Упростите выражения:

(При решении пользуйтесь геометрическим представлением событий и их соотношений, применяя цветные карандаши.)

22. Пусть А, B и С — случайные события, выраженные элементарными событиями одного и того же пространства элементарных событий. Запишите такие события:

а) произошло только А;

б) произошло одно и только одно из данных событий;

в) произошли два и только два из данных событий;

г) произошли все три события;

д) произошло хотя бы одно из данных событий;

е) произошло не более двух событий.

23. Событие А — «попадание в мишень»,

событие B — «попадание в мишень первым выстрелом».

В чем состоит событие А⋂B?

24. Событие А — «получение достаточной для сдачи экзамена оценки»,

событие В — «получение пятерки».

В чем состоят события 25. Докажите, что

(2.6)

26. В ящике имеются шары трех цветов: белые, черные и красные. Обозначим события:

А — «наугад выбранный шар белый»,

В — «наугад выбранный шар черный»,

С — «наугад выбранный шар красный».

Используя понятия объединения, пересечения и противоположного события, проверьте правильность равенств:

27. Докажите, что

III. НАУКА О ПОДСЧЕТЕ ЧИСЛА КОМБИНАЦИЙ — КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству. Иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики очень помогают в теории вероятностей осуществить подсчет числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в разных конкретных случаях.

В теории вероятностей принято говорить не о комбинациях, а о выборках. Поэтому мы будем придерживаться термина «выборка».

В комбинаторике рассматриваются виды выборок — перестановки, размещения, сочетания.

1. ОБЩИЕ ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ

Рассмотрим два общих правила, с помощью которых решается большинство задач комбинаторики, — правило суммы и правило произведения.

Допустим, в ящике имеется n разноцветных шариков. Произвольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами можно это сделать? Конечно, n способами. Теперь эти n

шариков распределим по двум ящикам: в первом m шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вынимаем один шарик. Сколькими разными способами можно это сделать? Из первого ящика шарик можно вынуть m разными способами, из второго — k разными способами. Всего способами

n = m+k. (3.1)

Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а объект В — k способами (не такими, как А), то объект «либо А, либо В» можно выбрать m+k способами.

Это так называемое правило суммы.

Перейдем к правилу произведения. Рассмотрим следующую задачу:

Задача. Сколько можно записать двузначных чисел в десятичной системе счисления?

Поскольку число двузначное, число десятков может принимать одно из девяти значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число единиц может принимать те же значения и может, кроме того, быть равным нулю.

Если цифра десятков 1, цифра единиц может быть 0, 1, 2, 9 — всего 10 значений. Если цифра десятков 2, то вновь цифра единиц может быть равна 0, 1, 2, 9. Всего получаем 90 двузначных чисел.

Обобщим полученный результат. Пусть данное множество из n= m + k элементов разбито на два подмножества, состоящие соответственно из m и k элементов. Пусть из подмножества, содержащего m элементов, выбирается один элемент и независимо из подмножества, содержащего k элементов, выбирается один элемент. Спрашивается: сколько различных пар элементов при этом образуется?

Ответ на поставленный вопрос дает таблица:

Таким образом, если общее число всевозможных пар обозначим N, то

N = mk. (3.2)

Сформулируем теперь правило произведений: Если объект А можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта A) k способами, то пары объектов А и В можно выбрать mk способами.

2. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ И ВЫБОРКИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

Генеральная совокупность без повторений — это набор некоторого конечного числа различных элементов: a1, a2, a3, ..., an.

Наглядному представлению такой генеральной совокупности может послужить набор из n разноцветных квадратов.

Выборкой объема m (m⩽п) будем называть произвольную группу из m элементов данной генеральной совокупности. Наглядному представлению такой выборки может служить пестрая лента, построенная из m квадратов различной окраски.

Каким минимальным признаком может отличиться одна выборка объема m от другой выборки такого же объема? Это равносильно вопросу: каким минимальным признаком могут отличаться узоры двух пестрых лент, построенных из одинакового количества квадратов?

Иной окраской по крайней мере одного квадрата

или

порядком расположения квадратов в линейном строю.

Таким образом, минимальным признаком, отличающим одну выборку объема m от другой выборки такого же объема, может быть:

их различие по крайней мере одним элементом (а)

или

их различие порядком расположения элементов. (б)

Назовем такие выборки размещениями без повторений из n элементов по m.

Можно построить такой наглядный граф наших рассуждений:

Выборки объема m из генеральной совокупности без повторений объема n

когда одна от другой отличаются по крайней мере одним элементом или порядком расположения элементов

Размещения без повторений из n элементов по m

Отсюда следует определение понятия:

Размещениями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые, имея по m элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Характерный пример размещений без повторений — вся совокупность трехзначных номеров, в каждом из которых нет повторения цифр.

Число размещений из n элементов по m договоримся обозначать Аmn. Попробуем определить это число.

Пусть имеем n элементов. Первый элемент можно выбрать n способами. Второй приходится выбирать из оставшихся n — 1 элементов, поэтому второй элемент можно выбрать n — 1 способом. Тогда по формуле (3.2) пары двух элементов можно образовать n (n — 1) способами. Третий элемент придется отбирать из числа оставшихся n — 2 элементов. Это можно сделать n — 2 способами. Тогда опять по формуле (3.2) тройки элементов можно образовать n (n — 1) (n — 2) способами. Аналогично четверки можно образовать n (n — 1) (n — 2) (n — 3) способами, а размещения по m элементов n (n — 1) (n — 2)...(n — (m — 1)) способами. Таким образом,

(3.3)

Формулу (3.3) преобразуем, умножая и деля правую часть на произведение (n — m) (n — m — 1) (n — m — 2)...3 ⋅ 2 ⋅ 1. Получаем:

Математики ввели специальное название для произведения

Такое произведение называется факториалом числа n и обозначается символом п! Причем принято считать 0! = 1.

Формула (3.3) теперь приобретает удобную для запоминания форму:

(3.4)

В случае, когда m = n, одно размещение от другого отличается только порядком расположения элементов. Такие размещения называются перестановками без повторений. Мы можем продолжать наши рассуждения по такой схеме:

Выборки объема m из генеральной совокупности без повторений объема n

когда обладают или признаком (а), или (б)

Размещения без повторений из n элементов по m

когда m = n и обладают признаком (б) и только (б)

Перестановки без повторений из n элементов

Отсюда определение:

Перестановками без повторений из n элементов называются размещения без повторений из n элементов по n, т. е. размещения, отличающиеся одно от другого только порядком расположения элементов.

Характерный пример перестановок без повторений — вся совокупность всех десятизначных номеров, в каждом из которых нет повторения цифр.

Обозначим число перестановок объема n символом Рп. Тогда по определению и формуле (3.3)

(3.5)

Среди размещений без повторений из n элементов по m (m<n) можно выделить такие, которые отличаются одно от другого (а) и только (а) признаком. Такие размещения называются сочетаниями без повторений. Свои рассуждения можем продолжать по такой схеме:

Выборки объема m из генеральной совокупности без повторений объема n

когда обладают или признаком (а), или (б)

Размещения без повторений из n элементов по m

когда m < n и обладают признаком (а) и только (а)

Сочетания без повторений из n элементов по m

Определение:

Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются такие размещения без повторений из n элементов по m, которые одно от другого отличаются хотя бы одним элементом.

Число таких сочетаний обозначается символом Сmn. Разумеется, при m = n Cnn = 1.

Характерный пример сочетаний без повторений — всевозможные варианты состава делегации в количестве, например, трех человек от коллектива, в котором 10 человек.

В каждом из Сmn сочетаний имеется m различных элементов, поэтому на базе каждого сочетания можно получить Рт перестановок. Совокупность всех выборок, полученных путем построения всех перестановок на базе каждого из Сmn сочетаний, представляет собой число размещений Аmn, т. е.

откуда

(3.6)

Все нами рассмотренное в параграфе 2 можно привести к такой обобщающей схеме:

Выборки объема m из совокупности n различных элементов

если одна от другой отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения

Размещения без повторений объема m из n данных элементов. Их число

если одно от другого отличаются только порядком расположения элементов

Перестановки без повторений объема m. Их число

если одно от другого отличаются хотя бы одним элементом

Сочетания без повторений объема m из данных n элементов. Их число

Примеры

1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?

Так как при составлении стартовой пятерки тренера интересует только состав пятерки, то достаточно определить число сочетаний из 12 элементов по 5:

Рис. 15

2. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей (рис. 15) так, чтобы они не могли взять друг друга?

Ясно, что в этом случае на каждой горизонтали и каждой вертикали шахматной доски может быть расположено только по одной ладье. Число возможных позиций — число перестановок из 8 элементов:

Р8 = 8! =8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 40 320.

3. Для полета на Марс необходимо укомплектовать следующий экипаж космического корабля: командир корабля, первый его помощник, второй помощник, два бортинженера и один врач. Командующая тройка может быть отобрана из числа 25 готовящихся к полету летчиков, два бортинженера — из числа 20 специалистов, в совершенстве знающих устройство космического корабля, и врач — из числа 8 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж исследователей космоса?

При выборе командира и его помощников важно определить, какой из военных летчиков лучше других справляется с теми или иными функциями в управлении кораблем. Значит, здесь важен не только персональный состав командующей тройки, но и соответствующая расстановка подобранных людей. Поэтому ясно, что командующая тройка может быть укомплектована A325 способами.

Обязанности у обоих бортинженеров примерно одинаковые. Они могут выполнять их по очереди. Следовательно, пара бортинженеров может быть укомплектована C220 способами. Аналогичное положение и с врачом — его можно подобрать C18 способами.

В силу формулы (3.2) весь экипаж может быть укомплектован A325∙C220∙C18 = 20 976 000 способами.

Упражнения

28. В классе 30 учеников. Необходимо избрать старосту, комсорга и культорга класса. Сколькими способами можно образовать эту руководящую тройку, если одно лицо может занимать только один пост?

29. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

30. Игрок сначала бросает белую игральную кость, потом черную. Сколько может быть случаев, когда число очков, появившихся на белой кости, больше числа очков, появившихся на черной?

31. Сколько разных стартовых шестерок можно образовать из числа 10 волейболистов?

32. В кружке юных математиков 25 членов. Необходимо из-

брать председателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и секретаря. Сколькими способами можно образовать эту руководящую четверку, если одно лицо может занимать только один пост?

33. Школьная комсомольская организация, в которой насчитывается 150 членов, выбирает 6 делегатов на районную конференцию. Сколькими способами может быть избрана эта шестерка?

34. Сколько разных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

35. В одной арабской сказке речь идет о такой задаче. Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выделить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распрей?

36. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?

37. В пионерского отряде 4 звена по 8 пионеров. Выбираются 4 делегата на дружинный сбор. Что можно сказать о числе случаев избрания в делегаты хотя бы одного представителя первого отряда?

38. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, если цифры могут повторяться?

39. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1 и 2?

40. На книжной полке плотно уставлено n книг. Сколькими способами можно взять с полки k книг при условии, что ни разу не будут вынуты рядом стоящие книги?

41. Докажите, что

42. Докажите равенство Паскаля:

Программа на языке Бейсик для вычисления Аmn:

3. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ С ПОВТОРЕНИЯМИ И ВЫБОРКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Генеральная совокупность с повторениями — это набор элементов n различных классов, когда элементы, принадлежащие одному классу, считаются одинаковыми:

Наглядному представлению генеральной совокупности с повторениями может послужить набор квадратов n различных окрасок.

Разумеется, число элементов в каждом из этих n классов неограниченное.

Выборкой с повторениями объема m будем называть произвольную группу m элементов генеральной совокупности с повторениями.

Наглядному представлению выборки с повторениями может послужить лента, построенная из m квадратов. На этот раз лента может быть не только пестрая. Независимо от m она может быть и одноцветной — любой из имеющихся n окрасок.

Каким минимальным признаком может отличаться одна такая выборка объема m от другой выборки такого же объема? Это равносильно вопросу: каким минимальным признаком могут отличаться узоры лент, построенных из одинакового количества квадратов?

Иной окраской по крайней мере одного квадрата

или

порядком расположения квадратов в линейном строю.

Таким образом, минимальным признаком отличия одной выборки от другой может быть:

их различие по крайней мере одним элементом (а)

или

их различие порядком расположения элементов. (б)

Как видно, эти признаки совпадают с признаками (а) и (б), о которых шла речь в параграфе 2, поэтому выборки, о которых идет речь сейчас, следует называть размещениями с повторениями из элементов n классов по m. Строим соответствующую нашим рассуждениям схему:

Выборки объема m из генеральной совокупности элементов n классов

когда одна от другой отличаются или признаком (а), или (б)

Определение:

Размещениями с повторениями из элементов n классов по m называются такие выборки, которые, имея по m элементов, выбранных из числа элементов данных n классов генеральной совокупности с повторениями, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число таких размещений обозначим символом Аmn.

Характерный пример таких размещений — совокупность n-значных номеров автомашин.

Первый элемент какого-нибудь из упомянутых размещений мы можем выбрать n различными способами: некоторый элемент любого из n классов. Второй элемент тоже n различными способами: опять некоторый элемент любого из n классов. Тогда в силу формулы (3.2) размещения объема 2 можно образовать n∙n = n2 различными способами. Третий элемент можем выбрать тоже n способами: опять некоторый элемент любого из n классов. Тогда в силу формулы (3.2) размещения объема 3 можно образовать n2∙n = n3 различными способами. Читатель, вероятно, уже почувствовал аналогию: размещения объема m можно построить nm различными способами, поэтому

Размещения с повторениями из элементов n классов по m

(3.7)

Из совокупности размещений с повторениями можно выделить группу выборок с повторениями, которые одна от другой отличаются по крайней мере одним элементом. Порядок расположения элементов во внимание не принимается. Такие размещения по аналогии названию, принятому в параграфе 2, будем называть сочетаниями с повторениями. Поразмышляем по схеме:

Выборки объема m из генеральной совокупности элементов n классов

когда одна от другой отличаются или (а), или (б) признаком

Размещения с повторениями из элементов n различных классов по m

когда одно от другого отличаются (а) и только (а) признаком

Сочетания с повторениями из элементов n классов по m

Определение:

Сочетаниями с повторениями из элементов n классов по m называются такие размещения с повторениями из элементов n классов по m, которые одно от другого отличаются хотя бы одним элементом.

Число таких сочетаний обозначим Сmn.

Характерный пример таких сочетаний — всевозможные различные комплекты m предметов, составленные из предметов n различных видов.

Поскольку при построении сочетаний с повторениями порядок расположения элементов не принимается во внимание, любое сочетание объема m из элементов n классов мы можем представить так:

(3.8)

Читатель, думаем, догадался, что X — это символ границы между двумя различными классами. Передвижения границ X означают факты замены элементов одних классов элементами других классов, т. е. факты образования новых сочетаний с повторениями.

В совокупности (3.8) мы имеем n — 1 символ Х и m символов «не Х», которые обозначим α. Тогда наша совокупность будет выглядеть так:

Теперь ясно, что Сmn — это число перестановок с повторениями из n —1 элементов X и m элементов α. Поэтому

Что собой представляют эти перестановки? Рассмотрим размещения с повторениями объема k, которые удовлетворяют такому условию: в каждой выборке должно быть ki элементов (i = l, 2, 3, n) i-го класса, причем k =Σki. Очевидно, что такие выборки одна от другой будут отличаться только порядком расположения элементов. Целесообразно их называть перестановками с повторениями. Опять поможем себе такой схемой:

Выборки объема k из генеральной совокупности элементов, которые принадлежат n различным классам

когда они отличаются или (а), или (б) признаком

Размещения с повторениями из элементов n различных классов по k

когда одно от другого отличаются признаком (б) и только (б)

Перестановки с повторениями из элементов n различных классов по k, когда от i-го класса в каждой выборке участвует ki элементов

Определение:

Перестановками с повторениями по k элементов из n различных классов называются размещения с повторениями объема ft, которые одно от другого отличаются только порядком расположения элементов, когда от i-го класса в каждой выборке участвует ki элементов.

Число таких перестановок обозначим Pk1; k2;.... ki.

Если k1 = k2 = ... = kn = 1, то мы имели бы дело с перестановками без повторений и по формуле (3.5) число таких перестановок было бы k!

При взаимной перестановке элементов одного класса новые перестановки не получаются, поэтому число различных перестановок с повторениями, получаемых из перестановок (3.5), будет в определенное число раз меньше k!. Но во сколько раз?

Элементы а можно взаимно переставить местами k1! раз.

Элементы b можно взаимно переставить местами k2! раз.

Элементы l можно взаимно переставить местами knl раз.

Значит, число различных перестановок с повторениями меньше k! в k1!k2!...kn! раз. Поэтому число перестановок с повторениями

(3.9)

где, как раньше отмечалось, k = k1 +k2 + ... + kn.

Все нами рассмотренное в параграфе 3 можно привести к такой обобщающей схеме:

Выборки объема m из совокупности повторяющихся элементов n различных классов

если одна от другой отличаются либо составом элементов» либо порядком их расположения

Размещения с повторениями объема m из повторяющихся элементов n различных классов. Их число

если одно от другого отличаются только порядком расположения элементов

Перестановки с повторениями. Когда элемент i-го класса (i = l, 2, n) повторяется в перестановке ki, раз, то число таких перестановок

если одно от другого отличаются хотя бы одним элементом

Сочетания с повторениями объема m из повторяющихся элементов n различных классов. Их число

Примеры

1. Мать купила 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Девять дней подряд она каждый день предлагает сыну по одному фрукту. Сколькими способами она может выдать сыну фрукты?

Обозначим: яблоко — я, грушу — г, апельсин — а. Напишем одну из возможных выборок:

ггягааяаа

Все остальные выборки можно получить перестановкой ее элементов. Следовательно, приходится вычислять перестановки с повторениями. В нашей задаче k = 9, k1 = 2, k2 = 3, k3 = 4. Поэтому число всевозможных способов раздачи фруктов

2. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать набор из 12 открыток? из 8 открыток?

В данном случае нам приходится считать сочетания с повторениями:

3, Сколько разных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, если та же самая цифра может повторяться несколько раз?

Из цифр 0, 1, 2 можно составить A43 = 34 четырехзначных числа. Но числа, записанные четырьмя цифрами, первая из которых нуль, не являются четырехзначными. Значит, из числа размещений с повторениями надо вычесть число таких выборок, которые начинаются нулем. Последних столько, сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2 при повторении цифр. Таких чисел будет A33 = 33.

Поэтому ответ:

Упражнения

43. Сколько разных слов можно образовать при перестановке букв слова «математика»?

44. Сколько разных слов можно образовать при перестановке букв слова «соединение»?

45. Для несения почетного караула из 10 человек могут быть приглашены офицеры пехотных войск, авиации, погран-

войск, артиллерии, офицеры морского флота и ракетных войск. Сколькими способами можно избрать состав почетного караула?

46. Докажите:

47. На школьный вечер танцев собрались ребята IX, X и XI классов. Вести хоровод приглашаются 10 школьников. Сколькими способами можно составить хоровод при условии участия в нем хотя бы одного одиннадцатиклассника?

48. На студенческий вечер собрались юноши и девушки 8 факультетов университета (в том числе математического и филологического). Для исполнения народных танцев приглашаются 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать эту десятку при условии участия в ней хотя бы одного студента математического и хотя бы одного студента филологического факультета?

49. На Всемирный фестиваль молодежи прибыла молодежь пяти континентов мира. Возникла необходимость организовать делегацию из восьми представителей разных стран для оглашения клятвы борцов за мир. Сколькими способами можно было образовать делегацию при условии участия в ней представителей всех континентов?

50. В гастрономе имеются конфеты трех наименований. Конфеты упакованы в коробки трех видов — для каждого наименования своя коробка. Сколькими способами можно заказать набор из пяти коробок?

51. Сколько автомашин можно обеспечить 6-значными номерами?

52. Сколько 5-значных чисел можно образовать из цифр 0 и 1?

53. В одном государстве (сказочном) не найдется двух человек, у которых оказался бы одинаковый состав зубов: либо у них разное число зубов, либо зубов нет в разных местах. Оцените наибольшую численность населения в этом государстве, если максимальное число зубов у одного человека 32.

54. Сколькими способами можно отослать 6 писем разным адресатам, если их будут разносить 3 курьера и заранее известно, какому курьеру какое достанется письмо?

55. Четыре студента сдают экзамен. Сколько может быть вариантов распределения оценок, если известно, что так или иначе все они экзамены сдали?

56. Три парня и три девушки решили после окончания школы поступить на работу в своем родном городе. В городе имеются 3 завода, на которые берут только мужчин, 2 — где нужны женщины и 2 — которые принимают на работу и муж-

чин, и женщин. Сколькими способами пять выпускников могут распределиться по заводам города?

57. Выпускнику средней школы, поступающему в вуз, нужно сдать экзамены и набрать на них не менее 17 баллов (двойки при этом получать нельзя). Сколько существует разных наборов экзаменационных оценок, дающих ему право поступления?

58. Сколько разных по стоимости браслетов может составить ювелир из набора в 18 камней, если у него имеются 5 одинаковых по стоимости рубинов, 6 одинаковых по стоимости алмазов и 7 одинаковых по стоимости кусков янтаря?

59. У мужа 12 сослуживцев: 5 женщин и 7 мужчин. У жены тоже 12: 7 женщин и 5 мужчин. За семейным столом помещаются 14 человек. Сколько разных компаний из 6 женщин и 6 мужчин могут они пригласить при условии участия 6 знакомых мужа и 6 знакомых жены?

60. Все участники туристической поездки владеют по крайней мере одним иностранным языком. 6 из них владеют английским языком, 6 — немецким, 7 — французским, 4 — английским и немецким, 3 — немецким и французским, 2 — французским и английским. Один турист владеет английским, французским и немецким языками. Других туристов в группе нет. Сколько туристов владеет только английским языком, только французским? Сколько туристов в группе?

61. Отряд из 92 школьников собрался в поход. Из них 47 приготовили бутерброды с колбасой, 38 — с сыром, 42 — с ветчиной, 28 — с колбасой и сыром, 31 — с колбасой и ветчиной, 26 — с сыром и ветчиной. Взяли с собой бутерброды всех сортов 25 школьников, а некоторые взяли только по бутылке молока. Сколько было таких, которые взяли только молоко?

62. Найдите сумму всех четырехзначных чисел, которые получаются при перестановке цифр 1, 2, 3, 4.

63. Сколько чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?

64. Найдите сумму трехзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 и 4?

65. Города А и В соединяются двумя шоссейными дорогами, которые пересечены десятью проселочными. Сколькими разными способами можно добраться от А до Б, чтобы ни разу не пересекать пройденный путь?

66. Имеется неограниченное количество монет по 10, 15 и 20 к. Сколькими способами можно образовать набор из 20 монет?

67. На заседании научного студенческого общества присутствовало 52 студента: по 13 студентов от 4 факультетов. Сколькими способами можно избрать правление общества в составе 4 лиц так, чтобы в состав правления вошли представители 3 факультетов?

68. По линейке расположено n предметов. Сколькими способами можно убрать 3 из них так, чтобы не были убраны рядом стоящие предметы?

69. 5 белых шариков, 5 черных и 5 красных надо разложить по 3 ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось по 5 шариков. Сколькими способами это можно осуществить?

70. При закрытии пионерского фестиваля Прибалтийских республик в первый ряд президиума (из 9 мест) были приглашены 3 литовских, 3 латышских и 3 эстонских пионера. Сколькими способами их можно рассадить так, чтобы ни одна тройка представителей из одной республики не занимала трех соседних мест?

71. Сколько цифр понадобится для записи всех чисел от 1 до 999 999 включительно?

IV. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

1. КЛАССИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

Бросаем игральную кость. Выпасть могут или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют пространство элементарных событий. Но будут ли эти элементарные события равновозможными? Какие обстоятельства могут это обеспечить? Это довольно сложный вопрос. Мы, конечно, можем прикинуть, что эти элементарные события будут равновозможными, когда кость будет предельно правильным кубом с центром тяжести в своем геометрическом центре, когда она сделана из идеально однородного материала, когда она подбрасывается наугад одинаковым способом. Этих «когда» так много, что трудно их все учесть. А может, нам обойтись без

Обозначение события

Содержание события

Количество элементарных событий, благоприятствующих данному событию

А

Выпало четное число очков

3

В

Выпало меньше 3 очков

2

С

Выпало менее 5 очков

4

D

Выпало не более 5 очков

5

G

Выпало не менее 3 очков

4

V

Выпало больше 6 очков

0

U

Выпало не более 6 очков

6

особых хитростей и послушаться собственной интуиции: равновозможными элементарными событиями считать такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом появляться чаще другого при многократных испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.

В таблице на с. 41 рассматриваем случайные события, представляющие подпространства пространства равновозможных элементарных событий, определяемых испытанием с игральной костью.

Эта таблица показывает неодинаковые возможности появления этих событий при одном испытании: более возможно то событие, которому благоприятствует большее число равновозможных элементарных событий данного пространства. Эти числа и могли бы быть численной мерой возможностей появления различных событий, связанных с данным испытанием.

А как сравнить возможности появления событий A1 и B1, которые связаны с различными пространствами элементарных событий?

Пусть в одном ящике 10 черных шаров, пронумерованных четными числами 2, 4, 6, 18, 20, а в другом — 8 белых шаров, пронумерованных числами 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Наугад вынимаем из каждого ящика по одному шару. Пусть

событие A1 — «номер черного шара, кратный 3»,

событие B1 — «номер белого шара не больше 5».

Какое из этих событий более возможно?

Событию A1 благоприятствуют 3 равновозможных события (6; 12; 18), событию B1 тоже 3 (1; 3; 5). Может быть, A1 и B1 равновозможные события? Ответить на заданный вопрос можно, только зная количество всех равновозможных элементарных событий пространства, связанного с выниманием черного шара, и пространства, связанного с выниманием белого шара.

Полная информация об этих событиях может быть представлена в форме сводной таблицы:

Событие

Содержание события

Число элементарных событий всего пространства

Число элементарных событий, благоприятствующих данному событию

Отношение

A1

Появление числа, кратного 3, на черном шаре

10

3

0,300

B1

Появление числа, не большего 5, на белом шаре

8

3

0,375

По такой сводке нетрудно прийти к выводам: а) событие B1 более возможное, чем событие A1;

Рис. 16

б) возможность появления некоторого события H удобно измерять отношением m/n, где n — число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания, a m — число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию Н.

Эту удобную меру возможности появления события H принято называть вероятностью этого события и обозначать символом

(4.1)

Определение:

Вероятностью случайного события H называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Это — классическое определение вероятности случайного события.

Полезно формуле (4.1) придать наглядную иллюстрацию (рис. 16).

2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ

При классическом подходе определение понятия вероятности сводится к более простому понятию — равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.

Каким путем следует подойти к понятию, например, вероятности выпадения шестерки при бросании такой кости? Через воспоминания о правильной кости?

Как известно, вероятность выпадения шестерки при бросании правильной игральной кости 1/6.

Допустим, провели n бросаний такой игральной кости и определили, что шестерка выпала m раз. Отношение m/n назовем статистической частотой появления шестерки. При проведении серии таких испытаний может случиться, что

при подбрасывании кости n раз шестерка выпала m1 раз:

статистическая частота

при подбрасывании кости n +1 раз шестерка выпала m2 раз:

статистическая частота

при подбрасывании кости N раз шестерка выпала mN раз:

статистическая частота

Что мы непременно заметим? Для статистических частот p1, p2, p3, ..., pN будет характерна устойчивость: они будут с возрастанием числа испытаний сколь угодно близко сосредоточиваться около вероятности p = 1/6.

Подбрасывая неправильную кость и определяя статистические частоты появления, например, шестерки, заметим такую же устойчивость этих частот, но эти частоты с возрастанием числа испытаний устойчиво будут сосредоточиваться около некоторого в результате неправильности игральной кости нам неизвестного числа р. Это неизвестное число в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании неправильной игральной кости выступает как бы в роли — в отношении статистических частот появления шестерки при подбрасывании правильной игральной кости. Логично это неизвестное число р считать вероятностью выпадения шестерки при бросании неправильной игральной кости. Конечно, для каждой своеобразно неправильной игральной кости это р будет разное.

Пусть — ; — ; ... ; mN/N — статистические частоты наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты).

Вероятностью события А называется то неизвестное число р, около которого сосредоточиваются значения статистических частот наступления события А при возрастании числа испытаний.

Это — статистическое определение вероятности случайного события.

Вероятность события можно приближенно определить принципиально со сколько угодной высокой точностью, осуществив достаточно большое число испытаний и подсчитав частоту наступления события в этой совокупности испытаний. Несколько примеров.

Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить вероятность попадания? Если события «попадание» и «промах» равновозможны, то ответ получаем сразу:

Р («попадание») = 1/2.

Но они могут быть не равновозможны. Скажем, Алеша постоянно посещает тренировки по стрельбе и каждый раз из сотни выстрелов попадает в мишень 80—90 раз, а Сережа на стрельбище бывает редко, поэтому из сотни выстрелов попадает только 30—40 раз. Ясно, что у Алеши возможность попадания больше, чем у Сережи. Как оценить эти разные возможности? Из практики, так, как определяется число появлений герба при подбрасывании монеты.

Произведено выстрелов

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Число попаданий Алеши

8

17

26

33

41

49

56

65

72

81

Число попаданий Сережи

3

5

8

12

15

19

22

25

28

31

Из таблицы видно, что как у Алеши, так и у Сережи отношение числа попаданий к числу произведенных выстрелов меняется. Эти отношения в какой-то мере зависят от числа произведенных выстрелов. Но вместе с тем заметно, что упомянутое отношение для каждого стрелка колеблется около определенного числа: у Алеши около 4/5, у Сережи около 3/10. Эти числа логично принять за оценку вероятности попадания. Эта оценка тем более надежна, чем больше проведено опытов с целью установления ее значения.

Пусть l — число испытаний, при проведении которых могло произойти или не произойти событие A, a k — число испытаний, при проведении которых событие А произошло. Отношение k/l называем статистической частотой события А и обозначаем

(4.2)

Индекс l специально ставим для того, чтобы подчеркнуть зависимость статистической частоты от числа испытаний. Практика показывает, что в случаях, когда точно знаем вероят-

ность Р (А) в классическом понимании, при достаточно большом числе испытаний l

Это приближенное равенство получило теоретическое обоснование, как увидим далее, в законе больших чисел, открытом Яковом Бернулли. Непосредственно из формулы (4.1) следуют такие важные выводы:

1. Вероятность достоверного события равна 1, т. е.

2. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е.

Замечание. Если Р (А) = 0, то это не значит, что событие А невозможно.

3. Вероятность любого события А подчиняется неравенству

Примеры

1. Как приближенно установить число рыб в озере?

Пусть в озере х рыб. Забрасываем сеть и, допустим, находим в ней n рыб. Каждую из них метим и выпускаем обратно в царство Нептуна. Через несколько дней в такую же погоду и в том же месте забрасываем ту же самую сеть. Допустим, что находим в ней m рыб, среди которых k меченых. Пусть событие А — «пойманная рыба мечена». Тогда по формуле (4.2)

Но если в озере х рыб и мы в него выпустили n меченых, то согласно формуле (4.1)

Так как

2. Из 1000 произвольно выбранных деталей примерно 4 бракуются. Сколько бракованных окажется среди 2400 деталей (приближенно)?

Обозначим события:

А — «наугад выбранная деталь бракованная». Тогда Р (А) = 0,004.

Если среди 2400 деталей х бракованных, то

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Формирование геометрического понятия вероятности можно начать с такого примера.

Пусть на плоскости задан круг и в нем треугольник В. В круг наудачу «бросается точка». Как определить вероятность события А, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?

Предлагаем при подходе к решению этой задачи руководствоваться следующим исходным положением: вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорциональна площади этой части.

Интуитивное соображение логичности такого подхода не вызывает никаких осложнений.

Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности

(4.3)

На этот раз следует добавить, что m/n в данной ситуации не обязано быть рациональным числом, хотя формально результат записывается так же, как формула (4.1). Смысл он имеет несколько иной.

Можно на конкретном примере показать, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий Е и подпространство, представляющее событие А, были бы одинакового вида и одинаковых измерений.

С этой целью можно рассмотреть такой пример.

Пусть на плоскости задан круг и определен его сектор ВОС (рис. 17). ∠ВОС = α. Рассмотрим вероятности трех событий A1, A2 и A3, состоящих в следующем.

В круг наудачу бросается точка М.

A1 — «попадание M в сектор BОС». На дугу окружности наугад бросается точка N.

A2 — «попадание N на дугу BDC». На рисунок наудачу бросается вектор OS, начало которого закреплено в точке О.

A3 — «попадание OS в угол α». Пусть ОС = r — радиус круга. Тогда

Рис. 17

Рис. 18

Рис. 19

Тот факт, что Р (A1) = Р (A2) = Р (A3), подтверждает вышеизложенное суждение и позволяет обобщить формулу (4.3):

если событие А состоит в попадании точки M на отрезок [α; ß] при ее бросании наугад на отрезок [а; b] (рис. 18), то

(4.4)

если событие А состоит в попадании вектором ОМ в угол а при бросании наугад, когда начало вектора закреплено в точке О (рис. 19), то

если событие А состоит в попадании точки M в пространство Т при бросании ее наугад в пространство S, то

Геометрическая интерпретация вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.

Рисунок 16 способствует запоминанию формулы вероятности.

При том или ином подходе к понятию вероятности вырисовывается единое ядро: вероятность — это специальная мера.

Определение:

Вероятностью случайного события А называется численная мера возможности наступления этого события при некотором испытании.

Мера

когда она выражается числом

Численная мера

когда ею измеряется возможность наступления события А при некотором испытании

Вероятность события А

Примеры

1. В ящике имеются 4 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым?

В этом случае m = 4, n = 11. Поэтому Р («наудачу вынутый шар белый ») = 4/11.

2. Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд, которые путем жеребьевки распределяются на две группы, по 9 команд в каждой; 5 команд обычно занимают первые места. Какова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну группу? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трех — в другую?

Обозначим события:

А — «все 5 лидирующих команд попали в одну группу», В — «2 лидирующие команды попали в одну группу, 3 — в другую».

Из 18 команд группы по 9 команд могут быть образованы С,18 способами. Таким образом, n = С,18. Событию А благоприятствует столько событий, сколькими способами 5 лидирующих команд могут образовывать девятки с четырьмя командами из числа остальных 13 команд. Поэтому как первая, так и вторая девятка может быть образована C413 способами. Следовательно, m = 2C413.

Аналогичные рассуждения подсказывают нам, что число событий, благоприятствующих событию B, равно:

Поэтому

Наличие лидирующих команд в обеих группах более вероятно, чем их отсутствие в одной из групп. Любители баскетбола в этом убеждаются на практике: слабых групп нет!

3. Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из 10 человек. Они оба очень хотели сидеть за праздничным столом рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если среди их друзей принято места распределять путем жребия?

10 человек могут усесться за стол 10! разными способами. Сколько же из этих n = 10! равновозможных способов благоприятны для Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут занять 20 разных позиций. В то же время восьмерка их друзей может сесть за стол 8! разными способами, поэтому m = 20 «8! Следовательно, Р («исполнение желания Тани и Вани») =

Упражнения

72. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово «книга»?

73. На первом этаже семиэтажного дома в лифт зашли 3 человека. Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найдите вероятности событий:

А — «все вышли из лифта на четвертом этаже»,

В—«все вышли из лифта на одном и том же этаже»,

С — «все выходили из лифта на разных этажах».

74. 10 шаров произвольно раскладываются по 4 ящикам. Чему равна вероятность того, что в первом ящике окажется 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3 и в четвертом — 4 шара?

75. 4 зенитных пулемета ведут огонь по 3 самолетам. Каждый пулемет выбирает объект обстрела наугад. Какова вероятность того, что все 4 пулемета ведут огонь по одному и тому же самолету?

76. На 5 карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4 и 5. Наугад выбираются одна за другой две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на первой?

77. В одном ящике 6 белых и 4 черных шарика, в другом —

7 белых и 3 черных. Из каждого ящика наугад вынимается по одному шарику. Чему равна вероятность того, что оба шарика окажутся белыми?

78. Условие задачи 77. Чему равна вероятность того, что вынутые шарики разных цветов?

79. Четырем игрокам раздается поровну колода из 32 карт. Определите вероятность того, что каждый игрок получил карты только одной масти.

80. Какова вероятность того, что при случайном распределении n шариков по n гнездам одно гнездо окажется пустым?

81. На стоянке автомобилей можно поместить 12 машин в один ряд. Однажды оказались свободны 4 места подряд. Является ли это событием исключительным или столь же часто бывают свободны 4 не соседних места?

82. В ящике 90 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова вероятность того, что среди 10 наугад вынутых деталей бракованных не окажется?

83. В одной семье 4 сестры по очереди моют посуду. Из каждых 4 разбитых тарелок 3 разбито младшей, и потому ее называют неуклюжей. Справедливо ли это?

84. Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры наугад набранного номера разные?

85. Замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 6 секторов, отмеченных цифрами. Замок может быть открыт только в том случае, если все диски занимают определенные положения относительно корпуса замка, их цифры образуют определенное число, составляющее «секрет» замка. Какова вероятность открыть замок, установив произвольную комбинацию цифр?

86. Два друга условились встретиться в Москве у памятника А. С. Пушкину между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго в течение α минут (α<60), после чего уходит. Чему равна вероятность встречи?

До сих пор мы использовали для подсчета вероятностей только определение вероятности. Со следующего параграфа начнем использовать некоторые простейшие формулы.

V. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕРОЯТНОСТЯМИ

1. ВЕРОЯТНОСТЬ ОБЪЕДИНЕНИЯ НЕСОВМЕСТИМЫХ СОБЫТИЙ

Пусть m — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, k — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В, несовместимому по отношению к событию А. Пусть n — общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий.

Рис. 20

В силу формулы (4.1)

Согласно определению объединения несовместимых событий А∪В означает: «имеет место или А, или В». Но число событий, благоприятствующих такому событию, равно m + k, поэтому согласно формуле (4.1)

(5.1)

На рисунке 20 дана геометрическая интерпретация формулы (5.1), если m, k и n здесь величины площадей нарисованных фигур.

Последнее равенство выражает следующее правило, которое последовательным применением формулы (5.1) может быть распространено на любое конечное число событий:

Вероятность объединения попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

С помощью этого правила мы можем справиться со многими задачами.

Примеры

1. В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлено: 10 выигрышей по 200 р., 100 — по 100 р., 500 — по 25 р. и 1000 выигрышей по 5 р. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25 р.?

Обозначим события:

А — «выигрыш не менее 25 р.»,

A1 — «выигрыш равен 25 р.»,

A2 — «выигрыш равен 100 р.»,

A3 — «выигрыш равен 200 р.».

Поскольку куплен только один билет, то A=A1∪A2∪A3, где события A1, A2, A3 попарно несовместимы, поэтому

2. На военных учениях летчик получил задание « уничтожить» 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй — 0,008, в третий — 0,025.

Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

Обозначим события:

А — «склады уничтожены»,

A1 — «попадание в первый склад»,

A2 — «попадание во второй склад»,

A3 — «попадание в третий склад».

Для уничтожения складов достаточно попадания в один из упомянутых трех складов. Поэтому

3. Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба? Обозначим события:

А — «появление герба при подбрасывании первой монеты»,

В — «появление герба при подбрасывании второй монеты».

Снова предстоит найти вероятность события С = А∪В. Но в этом случае Р (С)≠Р (А)+Р (В), ибо события А и В совместимы. Поэтому формула (5.1) не применима. Приходится избрать другой путь решения.

Пусть событие С — «выпадение герба не состоялось». Ясно, что P(C) = 1/4, ибо при бросании двух монет могут произойти только следующие события:

Событие C∪C представляет собой достоверное событие, поэтому C∪С = U.

отсюда

2. ВЕРОЯТНОСТЬ ОБЪЕДИНЕНИЯ СОВМЕСТИМЫХ СОБЫТИЙ

Пусть m — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, k — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В. Допустим, что среди упомянутых m+k событий содержится l таких, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Если n — общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий, то согласно формуле (4.1)

Запись А∪В означает: «произойдет или событие А, или событие B, или то и другое вместе». Но такому событию благоприятствуют (m+k — l) элементарных событий. Поэтому по формуле (4.1) находим:

Подставляя значение, получим:

(5.2)

Ясно, что эта формула представляет собой обобщение формулы (5.1). На основании равенства (5.2) формулируем правило:

Вероятность объединения двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.

Геометрическая интерпретация формулы (5.2) дается на рисунке 21, где m, k, l, n представляют величины площадей изображенных фигур.

Примеры

1. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

Рис. 21

Обозначим события: А — «появление герба при подбрасывании первой монеты», Б — «появление герба при подбрасывании второй монеты». Нам надо определить вероятность события С = А∪В. Так как А и В — совместимые события, то

Ясно, что

Отсюда

2. А, B, С — совместимые события. Доказать:

3. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Из ящика, в котором а белых и b черных шаров, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Рассмотрим события:

А — «первый шар белый», B — «второй шар белый». Понятно, что Р (А) = ^ . Какова же вероятность события B?

Если событие А произошло, то среди оставшихся а + b — 1 шаров только а — 1 белых, поэтому вероятность того, что второй шар белый. Если же А не произошло, то среди оставшихся шаров белых а, поэтому вероятность того, что второй шар белый, . Мы столкнулись с ситуацией, когда вероятность появления события B зависит от того, произошло или не произошло событие А. В таком случае говорим, что событие Б зависит от события А, а вероятность появления события Б условная.

Найдем способ вычисления таких вероятностей.

Условную вероятность появления события B, если событие А произошло, будем обозначать Р (B/А).

Пусть из n равновозможных событий A1, A2, ..., Аn, составляющих пространство Е всех элементарных событий,

Рис. 22

событию А благоприятствуют m событий, событию В благоприятствуют k событий, событию А⋂В благоприятствуют r событий (понятно, что r⩽k, r⩽m). Если событие А произошло, то это означает, что наступило одно из событий Аj, благоприятствующих событию А. При этом условии событию В благоприятствуют r и только г событий Аj,, благоприятствующих А⋂В (рис. 22). Таким образом,

(5.3)

Точно так же

На основании этих формул находим:

(5.3')

На основании (5.3) формулируем правило умножения вероятностей:

Вероятность пересечения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Замечание. Формулы (5.3) имеют смысл в том случае, если имеют смысл события А/В и В/А. А они имеют смысл тогда, когда события А и В совместимы.

Примеры

1. В ящике а белых и b черных шаров. Последовательно вынимаем два шара. Какова вероятность того, что оба они белые?

Обозначим события:

А — «первый шар белый»,

В — «второй шар белый».

Нам надлежит найти P(A⋂B). Имеем:

Согласно формуле (5.3) находим:

2. Из колоды в 32 карты наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вероятность того, что:

а) вынуты два валета;

б) вынуты две карты пиковой масти;

в) вынуты валет и дама. Обозначим события:

А — «первая карта — валет»,

В — «вторая карта — валет»,

С — «первая карта пиковой масти»,

D — «вторая карта пиковой масти»,

Е — «вторая карта — дама».

Нам следует найти Р(А⋂В), P(C⋂D) и P(A⋂E). По формуле (5.3)

3. Доказать:

4. НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ И ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

К понятию независимости случайных событий есть несколько подходов.

Событие В называется независимым от А, если его вероятность не зависит от того, произошло или не произошло событие А, т. е.

В случае независимости события В от события А из формулы (5.3) получим:

(5.4)

Сопоставляя формулы (5.3) и (5.4), убеждаемся, что свойство независимости взаимно. Если событие В не зависит от осуществления А, то и А не зависит от осуществления В.

На основании (5.4) формулируем правило:

Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

На практике, как мы убедимся при рассмотрении примеров, для установления независимости событий обычно пользуются соображениями, основанными на опыте обращения с данными объектами, а не анализом формул.

Доказательство правила (5.4) проводилось на основе соотношений

(5.5)

т. е. у нас получилось так: если имеет место (5.5), то имеет место и (5.4). Но читателя может интересовать и обратное: следует ли (5.5) из (5.4)? Пусть

Тогда на основании формул

и (5.4) получаем:

т. е. из (5.4) следует (5.5). Таким образом, исходной точкой определения независимости А и В может быть и формула (5.4), т. е. мы можем сказать и так:

События А и В называются независимыми тогда и только тогда, когда имеет место условие

(5.6)

Однако определение независимости событий на основе (5.5) более близкое к интуитивному воображению.

Важно запомнить: независимые события с положительными вероятностями не являются несовместимыми. Пусть

(5.7)

Рис. 23

Как известно, пересечение несовместимых событий А⋂В = V — невозможное событие. Следовательно, для несовместимых событий

Но тогда в силу (5.6) по крайней мере одно из вероятностей Р (А) или Р (В) должно быть равно нулю. Это противоречит (5.7), а значит, подтверждает факт, что независимые события могут быть совместимы.

Приведем любопытный пример, когда интуитивное понимание независимости событий тоже приводит к формальному соотношению (5.4).

Пусть точка M наудачу бросается в прямоугольник с размерами X и У, стороны которого параллельны координатным осям. Какова вероятность того, что M попадет в прямоугольник с размерами х и у, стороны которого тоже параллельны координатным осям (рис. 23)? Пусть события:

А — «М попала в полосу шириной x». Разумеется, Р(А) =

В— «М попала в полосу шириной у». Разумеется, Р(В)=

По формуле (4.3) Р («М попала в маленький прямоугольник») =Р (А⋂В), но Р(«М попала в маленький прямоугольник») = Р(А)-Р(В). Следовательно,

что и требовалось доказать.

5. НЕЗАВИСИМОСТЬ В СОВОКУПНОСТИ

Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных. Для независимости событий в их совокупности недостаточно, чтобы они были попарно независимы.

Приведем такой пример.

Пусть в ящике 4 шара: черный, красный, белый и один пестрый — окрашенный в полоску всеми этими тремя цветами.

Обозначим события: после изъятия одного шара видим

А — «черный цвет»,

В — «красный цвет»,

С — «белый цвет», тогда

Отсюда

Это значит, что А, В, С попарно независимы. Тем не менее Р(А/В⋂С)=1/4. Значит, в совокупности А, В и С не являются независимыми.

Для независимых в совокупности имеет место

(5.8)

Примеры

1. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления на первой кости нечетного числа очков и на второй пяти очков?

Обозначим события:

А — «появление нечетного числа очков при бросании первой кости»,

В — «появление пяти очков при бросании второй кости».

Нам нужно найти Р (A⋂B). Так как события А и В совместимы и независимы, то

2. А, В и С — совместимые и независимые в совокупности события. Доказать, что Р (А ⋂ В ⋂ С) = Р (А) ⋅ Р (В) ⋅ Р (С).

3. Зашедший в магазин мужчина что-нибудь покупает с ве-

роятностью 0,1, зашедшая женщина — с вероятностью 0,6. У прилавка один мужчина и две женщины. Какова вероятность того, что по крайней мере одно лицо что-нибудь купит?

Обозначим события:

А — «покупку сделает мужчина»,

B1 — «покупку сделает первая женщина»,

B2 — «покупку сделает вторая женщина».

Если событие С — «по крайней мере одно лицо что-нибудь купит», то С=А∪B1∪B2. По формуле, построенной в примере 2 параграфа 2,

Допуская, что покупатели между собой незнакомы, можем принимать, что А, B1 и B2 — события независимы. Тогда в силу (5.6)

4. Если события А и В независимы, то события А и В также независимы.

Действительно, поскольку А и В независимы, то Р(В/А) =

Аналогично убеждаемся, что в случае независимости событий А и В независимыми будут события В и А.

Предлагаем вам самостоятельно установить, что в этом случае независимыми будут также события А и В.

6. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из независимых событий B1, B2, B3, . .., Bn (рис. 24).

Рис. 24

Если А произошло вместе с одним из событий B1, B2, B3, ..., Вn, значит, произошло одно из несовместимых событий

Таким образом, событие А представляет или событие A⋂B1, или A⋂B2, или А⋂B3, . .., или А⋂Вп, а это означает, что

Поскольку события B1, B2, B3, ..., Bn взаимно несовместимы, то и события

обладают тем же свойством. Поэтому

По формуле (5.3')

Поэтому

(5.9)

Равенство (5.9) носит название формулы полной вероятности. С помощью этой формулы легко находим так называемую формулу Бейеса:

(5.10)

при i = 1, 2, .. ., n.

Особенно широко она применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез.

Докажем справедливость формулы Бейеса.

По формуле (5.3')

Из последнего равенства находим:

Подставляя значение Р (А) из формулы полной вероятности (5.9), получаем формулу Бейеса.

Примеры

1. Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания первым выстрелом примерно равна 0,4, вторым — 0,5,

третьим — 0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью, примерно равной 0,2, двумя попаданиями — с вероятностью 0,6, а тремя наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит.

Рассмотрим несовместимые события A0, A1, А 2, A3:

A0 — «промах»,

A1 — «одно попадание»,

A2 — «два попадания»,

A3 — «три попадания».

Пусть

B1 — «попадание с первого выстрела»,

B2 — «попадание со второго выстрела»,

B3 — «попадание с третьего выстрела»,

А — «кабан убит».

Согласно формуле полной вероятности

Вспомнив, что события, противоположные событиям B1, B2, B3, обозначаются соответственно B1, B2, B3, имеем:

Поскольку B1, B2, B3 независимы в совокупности и B1, B2, B3 независимы, то

Из условия задачи известно, что

отсюда находим

Поэтому

Из условия следует:

Подставляя эти результаты в формулу полной вероятности, получим :

2. Строительная бригада получает железобетонные перекрытия от трех домостроительных комбинатов (ДСК): от I ДСК — 30%, от II ДСК — 55% и от III ДСК — 15% перекрытий. Известно, что брак продукции I ДСК составляет 5%, II ДСК — 6%, а III ДСК — 10%. Полученные перекрытия хранятся в общем складе. Наугад для контроля проверенное перекрытие оказалось браком. Какова вероятность того, что бракованное перекрытие изготовлено на I ДСК?

Обозначим события:

А — «наугад проверенное перекрытие — брак»,

B1 — «наугад проверенное перекрытие изготовлено на I ДСК»,

B2 — «наугад проверенное перекрытие изготовлено на II ДСК»,

B3 — «наугад проверенное перекрытие изготовлено на III ДСК».

Нам следует найти Р(B1/А) по формуле (5.10):

Но по условию задачи

поэтому

3. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо — хорошо, двое — удовлетворительно, а один совсем не готовился — понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо — на 16 вопросов, удовлетворительно — на 10, и неподготовившийся — на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все 3 вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?

Обозначим события:

A1 — «приглашен ученик, подготовившийся отлично»,

A2 — «приглашен ученик, подготовившийся хорошо»,

A3 — «приглашен ученик, подготовившийся удовлетворительно»,

A4 — «приглашенный ученик к экзаменам не готов»,

А — «приглашенный ученик ответил на 3 вопроса».

Согласно условию задачи

Кроме того, ясно:

Следует найти Р(A1/А).

По формуле Бейеса (5.10)

Как видно, искомая вероятность сравнительно невелика. Поэтому учителю придется предложить ученику еще несколько дополнительных вопросов.

Упражнения

87. В ящике 10 белых и 8 красных шариков. Одновременно наугад вынимают 2 шарика. Какова вероятность того, что они разных цветов?

88. В ящике 7 белых и 9 черных шариков. Наугад вынимают один шарик, рассматривают его на свету и кладут обратно в ящик. Опять наугад вынимают один шарик. Какова вероятность, что оба шарика белые?

89. (Задача-шутка.) 10 участников собрания носят галоши одинакового размера. Уходя с собрания домой, они вынуждены галоши надевать в темном коридоре, поэтому не могут отличить своих галош от чужих галош того же размера. Чему равна вероятность того, что каждый из участников собрания вернется домой в своих галошах?

90. Из N выпускаемых с конвейера деталей допускаются M нестандартных. С целью контроля качества наугад отобраны n деталей. Получено указание: если среди них не меньше m окажутся нестандартными, то следует забраковать всю партию. Какова вероятность того, что партия деталей будет забракована?

91. Вероятность обнаружения туберкулезного заболевания при одной рентгеноскопии примерно равна 3/4. Чему равна вероятность, что заболевание будет раскрыто при трех рентгеноскопиях?

92. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из купленных билетов выигрышный?

93. Из колоды, содержащей 52 карты, наугад вынимают

4 карты. Найдите вероятность того, что все эти карты разных мастей.

94. Вероятность, что при нажиме стартера мотор машины заработает, равна примерно 5/6. Чему равна вероятность, что при повторном нажиме стартера включают мотор?

95. Корабль-мишень обстреливается ракетами. Вероятность попадания каждой ракетой примерно равна 9/10. Корректировки стрельбы нет, и поэтому попадания — независимые события. Вероятность того, что попавшая в цель ракета потопит корабль, примерно равна 2/3. Обстрел ведется до тех пор, пока корабль потоплен или пока не исчерпаны запасы ракет. Ракетный катер (атакующий корабль) вооружен 5 ракетами. Чему равна вероятность того, что корабль будет потоплен до того момента, когда катер использует весь запас ракет?

96. У рыбака есть 3 излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в первом месте, близка к 1/3, во втором — 1/2, в третьем - 1/4. Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза, а вытащил только одну рыбу. Какова вероятность того, что он рыбачил в первом из излюбленных мест?

97. Путешественник может купить билет в одной из трех касс железнодорожного вокзала. Вероятность того, что он направится к первой кассе, примерно равна 1/2, ко второй — 1/3, к третьей - 1/6. Вероятности того, что билетов уже нет в кассах, примерно такие: в первой кассе 1/5, во второй — 1/6, в третьей — 1/8. Путешественник обратился в одну из касс и получил билет. Определите вероятность того, что он направился к первой кассе.

98. В одном из ящиков 10 белых и 6 черных шариков, во втором — 7 белых и 9 черных. Произвольно выбирают ящик и из него наугад вынимают шарик. Он белый. Чему равна вероятность того, что и второй шарик, наугад вынутый из этого ящика, окажется белым?

99. При взрыве снаряда образуются оскольки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0,1; 0,3; 0,6 общего числа осколков.

При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью около 0,9, средний — с вероятностью, близкой к 0,2,

и мелкий — с вероятностью, близкой к 0,05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятности того, что эта пробоина причинена: крупным, средним и мелким осколком.

100. Рабочий обслуживает 5 станков. 20% времени он уделяет первому станку, 10% — второму, 18% — третьему, 25% — четвертому, 30% — пятому. Какова вероятность того, что случайно заглянувший в цех мастер найдет рабочего:

а) у первого или третьего станка;

б) у первого или пятого станка;

в) у первого или четвертого станка;

г) у первого, второго или третьего станка?

101. Группе студентов для прохождения производственной лрактики выделено 30 мест: 15 — в Туле, 8 — во Владимире, 7 — в Калуге. Какова вероятность того, что студент и студентка, которые в скором времени собираются справить свадьбу, будут посланы для прохождения практики в один и тот же город, если декан ничего не знает об их семейных делах?

102. Вероятность улучшения спортсменом личного достижения по прыжку с шестом равна р. Чему равна вероятность того, что он улучшит свой результат, если ему представлена возможность прыгать 2 раза?

103. Два зенитных орудия ведут огонь по одному и тому же самолету. Вероятность попадания выстрелом из первого орудия примерно равна 0,2, из второго — 0,6. Первым залпом в самолет попали только из одного орудия. Какова вероятность того, что промахнулся расчет первого орудия?

104. Турист, заблудившись в лесу, вышел на полянку, от которой в разные стороны ведут пять дорог. Если турист пойдет по первой дороге, то вероятность выхода туриста из леса в течение часа составляет около 0,6; если по второй — 0,3; если по третьей — 0,2; если по четвертой — 0,1; если по пятой — 0,1. Какова вероятность того, что турист пошел по первой дороге, если через час он вышел из леса?

105. Какова вероятность того, что при n бросаниях игральной кости хотя бы один раз появится шестерка? хотя бы два раза пятерка?

VI. НЕЗАВИСИМЫЕ ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ

1. ФОРМУЛА Я. БЕРНУЛЛИ

Несколько раз бросаем монету. Появление герба, скажем, при четвертом бросании не зависит от того, каковы были результаты при первом, при втором и при третьем бросаниях. Мы имеем дело с независимыми испытаниями. Решим теперь такую задачу.

При проведении некоторого однократного испытания вероятность появления события А равна р, а непоявления q = 1 — р.

Рис. 25

Какова вероятность того, что при n повторных испытаниях событие А произойдет m раз? Это событие запишем так: «Sn = m».

Станем искать P(Sn = m).

Событие, состоящее в том, что при n независимых испытаниях А происходило m раз, а не происходило n — m раз, можем себе представить в виде n клеток, m из которых заполнены буквой А, а n — m — буквой А. Например, одно из таких представлений, которое назовем событием B1, может быть таким, как на рисунке 25.

Таких событий,_когда m клеток заполнено буквой А, а n — m клеток — буквой A, может произойти столько, сколько перестановок с повторениями можно построить из m букв А и n — m букв А. Если число таких событий обозначим N, то по формулам (3.6) и (3.9)

(6.1)

Нас интересующее событие «Sn = m» представляет собой объединение N событий B1, B2, B3, ..., BN. Они равновозможны и попарно несовместимы, поэтому в силу (5.1)

(6.2)

Но

Поскольку испытания независимы в совокупности и Р(А)=р, P(A)=q, то в силу (5.8)

(6.3)

Подставляя результаты (6.1) и (6.3) в формулу (6.2), находим :

(6.4)

Это так называемое биноминальное распределение вероятностей. Рассуждения, которые к нему привели, часто называют схемой Я. Бернулли, по имени математика, который первым ее рассмотрел.

С помощью формулы (6.4) можно найти значение Sn = m0, которому соответствует наибольшая вероятность.

Поскольку

если (n + 1)р — целое число.

Поэтому вероятнейшее значение Sn = m0 должно удовлетворить условию

Поскольку р = 1 — q, то

Примеры

1. Подбрасываем монету 10 раз. Какова вероятность двукратного появления герба?

В этом случае

тогда

2. Вероятность того, что изделие не пройдет контроля, равна 0,125. Какова вероятность того, что среди 12 изделий не будет ни одного забракованного контролером?

1 7

Имеем n = 12, m = 0, р = 1/8, q=7/8. По формуле (6.4)

3. Подводная лодка атакует крейсер, выпуская по нему одну за другой 4 торпеды. Вероятность попадания каждой торпедой примерно равна 3/4. Любая из торпед с одинаковой вероятностью может пробить один из 10 отсеков крейсера, которые в результате попадания наполняются водой. При заполнении хотя бы двух отсеков крейсер тонет. Вычислить вероятность гибели крейсера.

Обозначим события:

A1 — «попадание одной торпедой»,

A2 — «попадание двумя торпедами»,

A3 — «попадание тремя торпедами»,

A4 — «попадание четырьмя торпедами»,

А — «крейсер потоплен».

Согласно формуле (6.4)

По формуле полной вероятности

У крейсера противника мало шансов на спасение!

Упражнения

106. В телевизоре 10 ламп. Для любой из ламп вероятность, что она останется исправной в течение года, равна р. Какова вероятность того, что:

а) в течение года хотя бы одна лампа выйдет из строя;

б) в течение года выйдет из строя ровно одна лампа;

в) в течение года выйдут из строя 2 лампы?

107. Юноша, желающий поступать во втуз, должен пройти 4 испытания. Вероятность успешного выполнения им заданий первого испытания примерно 0,9, второго — 0,95, третьего — 0,8 и четвертого — 0,85. Какова вероятность того, что:

а) юноша с успехом пройдет все испытания;

б) юноша успешно пройдет 2 испытания;

в) юноша с успехом пройдет не менее двух испытаний?

108. С разных позиций по мишени выпускают 4 выстрела. Вероятность попадания первым выстрелом примерно 0,1, вторым — 0,2, третьим — 0,3 и четвертым — 0,4. Какова вероятность того, что все 4 выстрела — промахи?

109. В квартире 4 электролампочки. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, примерно равна 5/6. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не меньше половины лампочек?

110. Проводятся 3 испытания, каждое из которых может завершиться результатом A1 —с вероятностями p11, p12, p13,

результатом A2 — с вероятностями p21, p22, p23, результатом A3 — с вероятностями p31, pз2, p33 и результатом A4 — с вероятностями p41, p42, p43. Какова вероятность того, что при проведении трех испытаний событие A1 произойдет один раз, событие A2 — два раза, а события A3 и A4 совсем не произойдут?

111. Вы играете в шахматы с равным по силе партнером. Чего следует больше ожидать : трех побед в 4 партиях или пяти побед в 8 партиях?

112. Случайно встреченное лицо с вероятностью, близкой к 0,2, может оказаться брюнетом, с вероятностью 0,3 — шатеном, с вероятностью 0,4 — блондином и с вероятностью 0,1 — рыжим. Какова вероятность того, что среди шести случайно встреченных лиц:

а) не меньше 4 блондинов;

б) хотя бы один рыжий;

в) 3 блондина и 3 шатена?

113. Мишень в тире состоит из яблочка и двух концентрических колец. Вероятность попадания в яблочко одним выстрелом примерно 1/10, в первое кольцо — 1/5, во второе — 2/5, вероятность промахнуться 3/10. По мишени выпущено выстрелов. Какова вероятность двух попаданий в яблочко и одного попадания во второе кольцо?

114. В лагере m пионеров. Они зажгли n костров и случайным образом распределились около них. Какова вероятность того, что у первого костра сели k пионеров?

115. При проведении некоторого испытания вероятность появления ожидаемого результата 0,01. Сколько раз его нужно провести, чтобы с вероятностью 0,5 можно было ожидать хотя бы одного появления этого результата?

116. Рабочий обслуживает 12 одинаковых станков. Вероятность того, что в течение часа станок потребует регулировки, равна примерно 1/3. Какова вероятность того, что в течение часа рабочему придется регулировать 4 станка?

117. (Задача шевалье де Мере.) Какова вероятность того, что при 24-кратном бросании двух игральных костей хотя бы один раз появятся две шестерки?

118. В учреждении 10 служащих, которые одновременно обедают в одном из двух кафе, расположенных недалеко от места их работы. Сколько мест необходимо резервировать в каждом кафе для сотрудников этого учреждения, чтобы заведующие кафе с гарантией 95% могли быть уверены, что мест в кафе во время обеда для сотрудников упомянутого учреждения хватит?

119. В магазин зашли n лиц. Найдите вероятность события, состоящего в том, что m из них будут что-нибудь покупать. Ве-

роятность, что любой из посетителей не уйдет без покупки, равна р. Вычислите значение искомой вероятности, если:

120. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы вероятнейшее число появления шестерки было бы 32?

121. Испытание с вероятностью 0,2 монет окончится результатом А, с вероятностью 0,3 — результатом B и с вероятностью 0,5 — результатом С. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях результат А появится 3 раза, В — 5 раз, С — 2 раза?

122. Из всей продукции обувной фабрики 31% составляют изделия высшего сорта. Сколько пар ботинок высшего сорта можно надеяться найти среди 75 пар, поступивших с этой фабрики в магазин?

123. С помощью автоматического станка изготовлено 90 деталей. Какова вероятность того, что изготовленная деталь первого сорта, если в упомянутой партии изготовленных деталей вероятнейшее число деталей первого сорта 82?

Программа на языке Бейсик для вычисления

2. ФОРМУЛА МУАВРА — ЛАПЛАСА

Познакомимся с наиболее важным открытием замечательного французского математика А. Муавра в теории вероятностей. Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделаны прививки против туберкулеза, приобретают иммунитет против этого заболевания. Какова вероятность того, что среди 100 000 граждан, получивших прививки, 5800 не защищены от заболевания туберкулезом?

Эту задачу можно было бы решить с помощью формулы (6.4).

В нашем случае n = 100 000, m = 5800, р = 0,06, q = 0,94. Если интересующие нас события обозначим А, то

Нетрудно убедиться в том, что попытка получить окончательный результат непосредственным вычислением — изнурительный труд, даже если воспользоваться логарифмами или ЭВМ. Как быть?

Аналогичную проблему рассматривали Муавр и Лаплас. Нет надобности раскрывать перед читателем всю сложность их рассуждений, но маленькое окошко в эту тайну откроем.

Математики того времени знали формулу

(6.5)

Называлась она формулой Стирлинга, хотя имеются данные, что раньше этого шотландца данную формулу знал Муавр.

Теперь приступим к доказательству локальной теоремы Муавра — Лапласа, особенно не тревожа читателя строгостью самой процедуры доказательства. Нам хотелось бы, чтобы читатель только почувствовал, как часто говорит Д. Пойа (см. [10]), правдоподобность наших рассуждений. Теорема гласит:

Пусть:

1) событие А при отдельном испытании может произойти

с вероятностью р, а не произойти с вероятностью q = 1— р; 2) проведено n независимых испытаний.

Если n и m таковы, что

есть ограниченная величина при n, стремящемся к бесконечности, то

(6.6)

Доказательство.

Известно, что в случае |х| <1 по формуле суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии

Когда X близко к нулю, можно, например, пользоваться приближенным соотношением

(6.7)

Скажем, при x = 0,1 левая часть равенства (6.7) дает результат 0,90909..., а правая — 0,9. При х= — 0,1 левая часть (6.7) даст 1,111..., а правая — 1,1.

Когда X близко к нулю, погрешность будет незначительна, т. е.

(6.8)

Из формулы (6.4), применяя формулу (6.5), легко получаем:

Введем обозначение ßm = m — пр. Разумеется, из условия теоремы m/n —р → 0 следует, что с возрастанием n βm/n →- 0. Значит,

Заменяя m и n — m полученными аналогами, находим:

(6.9)

Знаменатель дроби в скобках обозначаем

(6.10)

Тогда

Поскольку при возрастании n 0, то в силу (6.8) в формуле (6.10) — заменяем их приближенными выражениями:

Приводим подобные члены и группируем по степеням

Получаем:

Поскольку р+q = 1, то

Но из условий теоремы следует:

Таким образом,

Подставляя полученный результат в (6.10), получаем (6.6). Обозначим

(6.11)

Тогда

(6.12)

Значения функции φ (х) представлены в таблице 2 в конце книги. С графиком этой функции читатель уже знаком (см. рис. 3).

Примеры

1. Решить задачу, условие которой дано в начале этого пункта.

По формуле (6.12)

Отыскивая значение φ (х) по таблице 2, не обращаем внимания на знак х, так как φ ( — х) = φ (х). Находим φ (2,7) = 0,0104. Тогда

2. Вероятность встретить на улице своего учителя, допустим, 0,002. Какова вероятность того, что среди 1200 случайных прохожих вы встретите не более трех своих учителей?

Пусть A0 — событие, состоящее в том, что вы своих учителей не встретите, Ai — событие, состоящее в том, что вы встретите ровно i своих учителей. Тогда событие А, состоящее в том, что вы встретите не больше трех учителей, равно объединению вышеупомянутых событий, т. е.

Но события A0, A1, A2, A3 несовместимы, поэтому

По формуле (6.12)

Тогда Р (А) = 0,0775 + 0,1719 + 0,2505 + 0,2389 = 0,7388.

Таким образом, гарантия того, что вы встретите не более трех своих учителей, составляет приблизительно 74%.

Упражнения

124. Чему равна вероятность того, что среди 100 случайных прохожих окажутся 32 женщины (предполагаем, что количество мужчин в городе равно количеству женщин)?

125. Допустим, что с вероятностью 0,6 изготовленная деталь будет забракована. Сколько бракованных деталей из 1000 можно ожидать с вероятностью 0,01?

126. Предполагаем, что вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,8. Сколько вылечившихся из 100 больных можно ожидать с вероятностью 0,75?

127. Баскетболист А забрасывает штрафной примерно с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что все 20 его бросков будут удачные?

128. Бросаем монету. Какова вероятность того, что при 10 бросаниях ни разу не появится герб?

Найдите ответ с помощью формулы Бернулли и формулы Муавра — Лапласа. Определите погрешность, которая получается, применяя формулу (6,11).

129. Два мальчика играют в кости. Каждый бросает 2 кости. Мальчик А выигрывает партию, если при 20 бросках 2 раза появляется в сумме 11 очков, мальчик В — если при 10 бросках 2 раза появляется в сумме 9 очков. Чья удача более вероятна?

130. Бросаем монету 40 раз. Чему равна вероятность того, что герб появится 25 раз?

131. По данным телевизионного ателье, в течение гарантийного срока выходит из строя в среднем 12% кинескопов. Какова вероятность того, что из 46 наугад выбранных кинескопов 36 проработают гарантийный срок?

132. Вероятность рождения мальчика 0,515. Чему равна вероятность того, что среди 80 новорожденных 42 мальчика?

133. Вероятность попадания в мишень примерно 0,3. Какова вероятность того, что при 30 выстрелах произойдет 8 попаданий?

134. При проведении некоторого испытания вероятность появления события А равна 0,5. Сколько раз предполагается ожидать появление А с вероятностью 0,048 при 100 испытаниях?

3. ФОРМУЛА ПУАССОНА

Когда р близко к 0 или 1, формула Муавра — Лапласа дает результаты, которые значительно отклоняются от результатов, полученных по формуле (6.4). Рассмотрим случай, когда при возрастании n вероятность р появления интересующего нас события убывает, a np = k — постоянное число.

Именно такая ситуация возникает, когда имеем дело с редко происходящими событиями.

По формуле (6.4) и условию q = 1 — р имеем:

Поскольку р = k/n, то

Если обозначим

(6.13)

Установим предельные значения αn и ßn при неограниченном возрастании n. Ясно, что

Обозначим h=—n/k. Тогда

Поскольку k ⩾ 0, то при n→ ∞ , h→ — ∞

Пусть h+1 = —x, тогда при h→— со, x→∞. Получаем:

Значит, если n велико, то

Подставляя эти значения в (6.13), находим формулу Пуассона:

(6.14)

Примеры

1. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных человек двое родилось 1 мая?

Естественно считать, что день рождения незнакомого человека может быть с равной вероятностью любым днем года.

Нам предстоит вычислить P(S500 = 2). Так как n = 500, m = 2,

По формуле (6.14)

При вычислении этого и подобных выражений полезно пользоваться таблицей 3. Полезно также запомнить, что

2. Среди 1000 человек приблизительно 8 левшей. Какова вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек не окажется ни одного левши?

В этом случае n = 100, m = 0, р = 0,008. Отсюда k = 0,8.

Упражнения

135. Какова вероятность того, что среди 500 наугад выбранных лиц:

а) пятеро родились 8 марта;

б) трое родились 10 июня;

в) ни один не родился 17 сентября?

136. В городе 1900 жителей. Какова вероятность того, что в году есть 4 дня, когда ни один житель города не отмечает свой день рождения?

137. Вероятность попадания в мишень примерно 0,001. Какова вероятность того, что при 5000 выстрелов будет не меньше двух попаданий?

138. Прядильщица обслуживает 800 веретен. Вероятность обрыва нитки на одном веретене в течение часа примерно 0,005. Какова вероятность того, что в течение часа нитка оборвется не больше чем на 10 веретенах?

139. Некачественные сверла составляют 2% всей продукции фабрики. Изготовленные сверла упаковывают в ящики по 100 штук. Какова вероятность того, что:

а) в ящике не окажется некачественных сверл;

б) в ящике окажется не больше 3 некачественных сверл?

Сколько сверл необходимо упаковать в ящик, чтобы с вероятностью не меньше 0,9 в ящике было 100 доброкачественных сверл?

140. Частные конторы страхования жизни в капиталистических странах заинтересованы в получении прибыли за счет своих клиентов. В одной такой конторе застраховано 10 000 клиентов одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти клиента в течение года примерно 0,006. Каждый клиент 1 января вносит 12 долларов. Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить его родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что:

а) контора разорится;

б) контора получит не менее 40 000 долларов прибыли?

4. ФОРМУЛА ЛАПЛАСА

Решим следующую задачу:

Задача. Какова вероятность того, что при n испытаниях событие А произойдет не менее а и не более b раз? Используя правило сложения вероятностей, имеем:

(6.15)

Отсюда приступаем к доказательству интегральной теоремы Лапласа, которая гласит: Пусть:

1) событие А при отдельном испытании может произойти с вероятностью р, а не произойти с вероятностью q = 1 — р;

2) проведено n независимых испытаний.

Если n и m таковы, что при n, стремящемся к бесконечности:

есть ограниченная величина, то

(6.16)

где Ф (х) — первообразная функция от φ (х), которая задана формулой (6.11).

Доказательство.

По определению первообразной функции Ф (х) имеет место равенство

Пусть

Условия теоремы а) и б) позволяют воспользоваться формулами (6.11) и (6.12). По этим формулам

Тогда

(6.17)

Но поскольку Ф'(x) = φ (х), то по формуле конечных приращений

(6.18)

Подставляя (6.18) в соотношение (6.17), получаем:

Читатель понимает, что после сокращения подобных членов получим:

Но поскольку Δх→0,

что и требовалось доказать.

В таблице 4 приводится значение функции

Примеры

1. Какова вероятность того, что при 200-кратном бросании монеты число появления герба S200 удовлетворяет неравенству

В этом случае

Поэтому

Теперь, используя формулу (6.16) и таблицу 4, находим:

2. Вероятность получения по лотерее проигрышного билета равна 0,1. Какова вероятность того, что среди 500 наугад купленных билетов не менее 48 и не более 55 безвыигрышных?

Здесь n = 500, а = 48, 6 = 55, р = 0,1, q = 0,9. Тогда

3. Как установить вероятность того, что наугад выбранный десятиклассник собирает марки? Можно опросить некоторое число произвольно выбранных десятиклассников. Если среди n опрошенных окажется Sn коллекционеров марок, то искомая вероятность р ≈ Sn/n. Сколько десятиклассников необходимо опросить, чтобы погрешность вычисления вероятности не превосходила бы 0,005, если желаем получить правильный результат с вероятностью 0,95? Согласно условию задачи

В силу (6.16) получаем:

Поэтому 2Ф (x) = 0,95, и по таблице 4, которая на сей раз применяется в обратном порядке, находим х = 1,96. Тогда

Приближенно n⩾160 000pq. Так как 0⩽р⩽1 и 0⩽q⩽1, то pq⩽1/4. Поэтому n ⩾ 40 000.

Упражнения

141. Телефонная станция А, обслуживающая 2000 абонентов, соединяет их со станцией В. Устанавливать 2000 проводов от А до В нерационально. Сколько линий проводов необходимо провести от А до В, чтобы только один из сотни абонентов станции А, наугад выбравший момент разговора с абонентом станции В, нашел бы все линии занятыми? Вероятность того, что при случайном звонке линия занята, равна 1/30.

142. 10 000 деталей произвольно распределяются по 9 ящикам. Какова вероятность того, что в первом ящике не менее 1100 и не более 1200 деталей?

143. Игральную кость бросаем 12 000 раз. Какова вероятность того, что шестерка появится не менее 1900 и не более 2100 раз?

144. Найдите такое число kб чтобы при 1000-кратном бросании монеты число появлений герба S1000 удовлетворяло условию 470⩽S1000⩽k с вероятностью 0,9.

145. Из 10 винтовок 4 не проверены в прицельной стрельбе. Вероятность попадания в мишень из проверенной винтовки приближенно 0,9, из непроверенной 0,3. Из наугад выбранной винтовки выпущено по мишени 200 выстрелов. Какова вероятность того, что число попаданий S200 удовлетворяет неравенству 120⩽S200⩽150?

146. Найдите такое число k, чтобы с вероятностью 0,9 можно было бы утверждать, что среди 900 новорожденных более k мальчиков. Вероятность рождения мальчика 0,515.

147. 80% изделий, поступающих в магазин со склада, высшего сорта. Сколько изделий придется наугад взять со склада для контрольной проверки, чтобы с вероятностью 0,99 можно было бы утверждать: в магазине изделий высшего сорта от 75% до 85%?

148. В каждом из 1000 ящиков 5000 белых и столько же черных пуговиц. Из каждого ящика наугад вынимаются по 3 пуговицы. Какова вероятность, что число ящиков, из которых вынуты 3 пуговицы одного цвета, не меньше чем 220 и не больше чем 260?

149. 70% продукции объединения «Вилия» высшего сорта. Какова вероятность того, что среди 1000 изделий этого объединения высшего сорта будет не менее 682 и не более 760 изделий?

150. Вероятность рождения мальчика 0,515. Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных не меньше 480 и не больше 540 мальчиков?

151. Вероятность того, что саженец ели прижился и будет успешно расти, примерно равна 0,8. Посажено 400 саженцев ели. Какова вероятность того, что нормально вырастут не меньше 250 деревьев?

152. При 10 000-кратном бросании монеты герб появился 6000 раз. Можно ли считать монету симметричной? С какой вероятностью?

153. В научно-исследовательском институте земледелия проверяется всхожесть кукурузы. Сколько семян необходимо посеять с вероятностью всхожести 0,99, чтобы частота всхожести отличалась бы от 0,95 меньше чем на 0,01?

154. Вероятность того, что смерть человека произойдет на 21-м году жизни, примерно 0,006. Застраховано 1000 двадцатилетних. Годовой взнос 15 р. с каждого. В случае смерти застрахованного его родственникам выплачивается 1200 р. Какова вероятность того, что в конце года выплата по страховкам превысит сумму страховых взносов?

VII. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Одно из самых важных понятий в теории вероятностей — случайная величина. Рассмотрим следующие примеры:

1. При наблюдении движения городского транспорта заметили, что число машин, проезжающих за 1 ч через некоторый перекресток, под влиянием случайных обстоятельств принимает случайные значения.

2. Наблюдая стрельбу из одного и того же орудия при одном и том же прицеле, заметили, что расстояние места разрыва снаряда от орудия по неизвестным причинам принимает различные случайные значения.

3. Учет числа писем, поступающих в некоторое почтовое отделение, показывает, что ежедневное количество писем принимает различные случайные значения.

Эти примеры отличаются по конкретному содержанию, но у них есть общие черты:

1. В каждом примере речь идет о величине, которая характеризует случайное событие.

2. Каждая из этих величин может принимать соответствующее значение в зависимости от случайного исхода испытания.

Чтобы можно было представить себе, какое место занимает случайная величина во всем роду величин, полезно ознакомиться с такой схемой:

Величина

Постоянная

Переменная

когда принимает значение по какому-то закону или правилу

Детерминированная

когда принимает значение, зависящее от случайного исхода испытания

Случайная

Из схемы следует определение понятия:

Случайной величиной называется переменная величина, значения которой зависят от случайного исхода некоторого испытания.

Это понятие можно истолковать и наглядно.

Пусть мишень (рис. 26) установлена так, что может вращаться вокруг оси (О).

При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различить секторы мишени. Он вынужден стрелять наугад.

Пусть событие Ai представляет попадание в i-й сектор (i=1, 2, 3, 4, 5) и приносит стрелку xi очков. Значит, число очков, которые стрелок может выбить одним выстрелом, есть случайная величина ξ, зависящая от того, какое из случайных событий Ai (2 = 1, 2, 3, 4, 5) произошло, ξ может принимать значения x1, x2, x3, x4, x5.

Пусть случайная величина ξ зависит от последовательности событий A1, A2, A3, ..., которые заданы на пространстве элементарных событий Е. Это пространство можно рассматривать как область тех элементарных событий, которые обусловливают появление некоторого значения случайной величины ξ. Поэтому верно утверждение:

Случайная величина ξ есть функция на пространстве элементарных событий.

Рис. 26

2. ДИСКРЕТНОСТЬ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Из традиционного курса математики учащиеся знают конечные и бесконечные числовые последовательности и реальные числа, поэтому можно развить схему из параграфа 1.

Величина

Постоянная

Переменная

когда она принимает значения некоторой числовой последовательности

Дискретная

когда она принимает значения всех реальных чисел некоторого отрезка

Непрерывная

Из схемы следует определение понятия:

Дискретной называется случайная величина, которая может принимать значения некоторой конечной или бесконечной числовой последовательности.

Примеры 1, 3 и пример с мишенью именно и представляют дискретные случайные величины, которые могут принимать значения последовательности натуральных чисел. Практически эти последовательности можно считать ограниченными, хотя установить число, ограничивающее, например, число машин, которые пересекают данный перекресток, не так уж просто.

Полезно ознакомиться с примерами дискретных случайных величин, принимающих значения бесконечных числовых последовательностей. Вот один из таких примеров.

Импровизированная игра состоит в подбрасывании монеты. Если герб впервые выпадает при k-м бросании, игрок получает k призовых очков. Пусть ξ — количество призовых очков, возможных заполучить игроком, ξ может принимать значения 1, 2, 3, ... бесконечной последовательности, если игроку хватит сил и времени все-таки добиться выигрыша.

Из вышеуказанной схемы также следует определение непрерывной случайной величины:

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать значения всех действительных чисел некоторого промежутка.

Рис. 27

Рис. 28

Пример 2 из параграфа 1 служит примером такой случайной величины. Примером непрерывной случайной величины также будет координата точки, наудачу брошенной на числовую ось или на некоторый отрезок этой оси. Дополнительные сведения о непрерывной случайной величине читатель найдет на с. 112.

3. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Рассмотрим такой пример.

Мишени А (рис. 27) и В (рис. 28) установлены так, что могут вращаться вокруг осей (О и О'). При достаточно больших скоростях вращения стрелки не могут различать секторы мишеней. Они вынуждены стрелять наугад. При попадании в i-й сектор мишени А стрелок получает 2i призовых очка, а при попадании в i-й сектор мишени В — Si очка. Пусть возможным выигрышем при попадании одним выстрелом в мишень А будет случайная величина X, а в мишень В — случайная величина У. Чем отличаются эти случайные величины? Во-первых, совокупностью тех значений, которые в результате выстрела они могут принимать. Так, например, X может принимать значения 2, 4, 8, 16, 32, a Y — 3, 6, 9, 12, 15. Во-вторых, совокупностью вероятностей, с которыми эти значения принимаются.

Это значит, что для однозначного определения закона распределения дискретной случайной величины необходима двоякая информация об этой величине: необходимо знать, какие значения и с какими вероятностями эта величина может принимать.

Про величину X имеющаяся информация может быть представлена таблицей

Возможные значения X

2

4

8

16

32

Вероятности Р

0,5

0,25

0,125

0,0625

0,0625

Рис. 29

и отображена графиком (рис. 29), который назовем полигоном распределения случайной величины X.

Про величину Y имеющаяся информация может быть представлена таблицей

Возможные значения У

3

6

9

12

15

Вероятности Р

0,25

0,25

0,25

0,125

0,125

и отображена графиком (рис. 30), который представляет полигон распределения случайной величины Y.

Закон распределения дискретной случайной величины ξ представляет таблица, показывающая, какие численные значения и с какими вероятностями может при данном испытании принимать случайная величина ξ:

Возможные значения ξ

x1

х2

x3

...

xk

Вероятности Р

p1

p2

p3

...

pk

Ясно, что

Рис. 30

4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Формирование этого понятия начнем с наглядного примера.

Мишень установлена так (рис. 31), что может вращаться вокруг оси (О). При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не может различить секторы мишени. Он вынужден стрелять наугад. При попадании в i-й сектор он выигрывает xi рублей. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право на выстрел он должен платить в кассу тира а рублей и уверен, что непопадание в мишень вообще исключено?

Если все xi < а, то, разумеется, не стоит. Если все xi > а, то непременно стоит. Но как быть, если некоторые из этих xi больше а, некоторые меньше, a вероятности попадания в соответствующие секторы неодинаковые? В этих сложных условиях возникает необходимость определить, какого среднего выигрыша, соответствующего одному выстрелу, следует ожидать при многократном участии в игре. Как подступиться к решению этой задачи?

Пусть S (i) — площадь i-го сектора, a S (Е) — площадь всей мишени. Тогда

pi = S(i)/S(E) — вероятность попадания в i-й сектор.

Представим себе, что после n выстрелов получились такие результаты :

Величина выигрыша

x1

х2

x3

...

xk

Количество попаданий

m1n

m2n

m3n

...

mkn

Значит, общий выигрыш, соответствующий n выстрелам, равен x1m1n+x2m2n + ... + xkmkn, а арифметическое среднее выигрыша, соответствующее одному выстрелу, равно:

где (i = l, 2, 3, k) — статистическая частота события «X=xi» при n испытаниях.

Известно, что при возрастании n статистические частоты

Рис. 31

сосредоточиваются около соответствующих вероятностей, т. е. с возрастанием числа выстрелов n:

частоты сосредоточиваются около вероятности p1,

частоты сосредоточиваются около вероятности p2,

частоты сосредоточиваются около вероятности Pk.

Следовательно, арифметические средние выигрыша xn с возрастанием n сосредоточиваются около постоянного числа

х1р1 + х2р2 +... + xkpk = M (X).

Это число представляет средний выигрыш, соответствующий одному выстрелу в бесконечно долгой игре, и может быть названо математическим ожиданием выигрыша.

Теперь ясно, что если а>М(X), то в данной игре участвовать не стоит: если же а<М (X) — стоит.

Подходим к абстрактному определению понятия.

Пусть ξ — дискретная случайная величина распределена по закону

При проведении n испытаний арифметическое среднее значений x1, x2, x3, ..., xk, которые принимала случайная величина ξ соответственно m1n, m2n, m3n, ..., mkn раз, равно:

При возрастании n статистические частоты наступления событий «ξ = xi» (i = 1, 2, 3, ..., k) сосредоточиваются около соответствующих вероятностей P(ξ = xi) = pi, а значения xn — около постоянной величины

Получается такой граф. Рассуждаем так:

1. Проводятся n испытаний, результаты которых позволяют определить арифметическое среднее наступивших значений случайной величины ξ:

2. При возрастании n статистические частоты сосредоточиваются около соответствующих вероятностей pi.

3. В результате этого значения xn сосредоточиваются около постоянного числа

(7.1)

которое назовем математическим ожиданием.

Из условия Σрi = 1 непосредственно следует, что математическое ожидание постоянной величины а равно этой величине, т. е. М(а) = а.

Пусть дискретная случайная величина ξ = х + у, где хи у тоже случайные величины. Случайная величина х принимает значения a1, a2, ..., an соответственно с вероятностями p1, p2, ..., pn, a случайная величина у — значения b1, b2, ..., bm соответственно с вероятностями q1, q2, ..., qm. Тогда по формуле (7.1)

(7.2)

Случайная величина ξ = х + у может принимать значения

соответственно с вероятностями

где Pij — вероятность того, что X принимает значение ai, а у — значение bj. По формуле (7.1)

По формуле полной вероятности

Тогда

или в силу равенств (7.1) и (7.2)

(7.3)

Получили правило:

Математическое ожидание суммы случайных величин равняется сумме математических ожиданий этих величин.

Условимся называть случайные величины х и у независимыми, если они являются численными характеристиками независимых случайных событий. Если величины х и у взаимно независимы, то pij=piqj, где piqj — вероятность совместного появления событий x = xi и у = bi, pi — вероятность события x=xi, qj — вероятность появления события у=уj.

Пусть случайная величина η представляет произведение двух независимых случайных величин х и у. Величина η=ху примет значения

вследствие независимости х и у соответственно с вероятностями

Поэтому по формуле (7.1)

т. е. получаем:

М(ху)=М(х)-М(у), (7.4)

иначе говоря:

математическое ожидание произведения независимых случайных величин равняется произведению математических ожиданий этих величин.

В силу формулы (7.4) и того, что М(а)=а,

M(aξ)=aM(ξ) (7.5)

что означает:

постоянный множитель случайной величины можно вынести перед знаком математического ожидания.

Примеры

1. Мишень (рис. 32) установлена так, что может вращаться вокруг оси (О). При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различать цифры, выписанные по одной на секторах. Он вынужден стрелять наугад. При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает 1 р., в сектор 2 — 2 р., в сектор 3 — 3 р. и т. д., в сектор 8 — 8 р. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 5 р.?

Рис. 32

Поскольку мишень вращается, то способности стрелка здесь не имеют никакого значения: попадание — чистая случайность. Случайная величина ξ выражает возможные выигрыши. Она может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Так как все секторы одинаковые, то каждое из этих значений — случайная величина — принимает с одинаковой вероятностью 1/8. Значит, по формуле (7.1)

Итак, математическое ожидание выигрыша 4,5 р., а стоимость выстрела 5 р. Стрелять много раз явно невыгодно. На основании подобных расчетов в капиталистических странах организуются разнообразные азартные игры, приводящие игроков к разорению.

2. Найти математическое ожидание случайной величины, распределенной по биноминальному закону распределения.

Непосредственное применение формулы (7.1) приводит к большим осложнениям. Поэтому задачу мы будем решать иначе.

Случайная величина ξ, распределенная по биноминальному закону, определяется числом появлений события А при n испытаниях. Вероятность появления такого события — р, непоявления — q = 1—p.

Пусть ξi — число появлений события А при i испытании. Ясно, что ξi может принять только 2 значения: 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью q. Тогда

По формуле (7.3)

3. Случайная величина ξ распределена по закону:

Найти M (ξ).

Согласно формуле (7.1)

Упражнения

155. Вероятность того, что с конвейера сойдет k бракованных деталей, равна 0,3k. Тогда закон распределения случайной величины таков:

k

1

2

3

...

x

...

р

0,3

0,32

0,33

...

0,3х

...

Найдите математическое ожидание k.

156. У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадет или пока не кончатся патроны. Найдите математическое ожидание количества выстрелов, если вероятность попадания примерно 0,25.

157. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует регулировки, примерно 0,9, второй — 0,8, третий — 0,75, четвертый — 0,7. Найдите математическое ожидание числа станков, которые в течение часа не потребуют регулировки.

158. Монету подбрасываем 7 раз. Сколько раз в среднем может появиться герб?

159. Игральная кость бросается 12 раз. Сколько раз в среднем может появиться шестерка?

160. У дежурного гостиницы в кармане 8 разных ключей от разных комнат. Вынув наугад ключ, он пробует открыть дверь ближайшей комнаты. Сколько раз в среднем ему придется пробовать открывать эту комнату, если:

1) проверенный ключ кладется обратно в карман;

2) проверенный ключ не кладется обратно в карман?

161. Стрельба по мишени ведется до второго попадания. Найдите математическое ожидание числа выстрелов, если вероятность попадания одним выстрелом близка к 0,2.

162. Автомобиль встретит 4 светофора, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,5. Найдите математическое ожидание числа светофоров до первой остановки машины.

163. Стрельба по мишени ведется до k-го попадания. Запасы патронов не ограничены. Вероятность попадания р. Вычислите, сколько в среднем патронов будет израсходовано.

164. Закон распределения случайной величины х такой:

x

0

1

2

3

4

5

6

7

р

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

а величины у такой:

y

1

2

3

4

5

6

7

8

р

1/4

1/8

1/16

1/16

1/16

1/16

1/8

1/4

Найдите математическое ожидание случайных величин ξ = х+у, η = х — у, λ = ху, где х и у — независимые случайные величины.

165. Мишень (рис. 33) установлена так, что может вращаться вокруг оси (О). При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не может различить секторы мишени. Он вынужден стрелять наугад. При попадании в первый сектор стрелок выигрывает 1 р., во второй — проигрывает 2 р., в третий — выигрывает 3 р., в четвертый — проигрывает 4 р., а в пятый — выигрывает 5 р. Стоит ли участвовать в такой игре? Почему?

166. Мишени (рис. 34 и 35) установлены так, что могут вращаться вокруг оси (О). Стрелок вынужден стрелять наугад.

При попадании в первый сектор первой мишени стрелок выигрывает 1 р., во второй сектор — проигрывает 2 р., в третий — выигрывает 3 р., а в четвертый — проигрывает 4 р. При попадании в первый сектор второй мишени стрелок проигрывает 1 р., во второй — проигрывает 2 р., а в третий — проигрывает 3 р., в четвертый — выигрывает 4 р., в пятый — не

Рис. 33 Рис. 34 Рис. 35

выигрывает и не проигрывает. Стоит ли участвовать в такой игре? Почему?

167. Пусть ξ — сумма очков, получаемая при бросании двух игральных костей. Постройте закон распределения ξ и найдите

168. Пусть ξ — число гербов, выпавших при бросании 10 монет. Постройте закон распределения ξ и найдите M (ξ).

169. Баскетболист забрасывает штрафной мяч в корзину с вероятностью, близкой к 0,5. Сколько в среднем штрафных он может забросить подряд?

5. ДИСПЕРСИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

К понятию дисперсии подойдем от сравнения геометрической интерпретации распределения двух случайных величин, у которых одинаковые математические ожидания. Например, таких: распределенного по закону:

ξ

— 10

—6

— 2

1

3

5

8

10

р

1/16

1/8

1/4

1/16

1/4

1/16

1/8

1/16

и η, распределенного по закону:

η

— 2

— 1

0

1

2

3

4

5

р

1/4

1/4

1/16

0

1/16

1/8

1/8

1/8

Можно непосредственно убедиться, что

Обратите внимание на любопытный результат: распределения случайных величин ξ и η различные, а математические ожидания одинаковые. В чем же скрывается причина их различия?

Геометрическая интерпретация этих распределений, построенная по единому масштабу (рис. 36), дает ответ на поставленный вопрос: различие скрывается в неодинаковом разбросе значений случайной величины около ее математического ожидания. Характер этого разброса очень важная информация о случайной величине: чем меньше этот разброс, тем теснее арифметические средние xn возможных значений случайной величи-

Рис. 36

ны ξ, о которых шла речь в предыдущем параграфе, сосредоточиваются около математического ожидания M (ξ).

Как измерить этот разброс? Если M (ξ)=а, то отклонение случайной величины ξ от этого а есть тоже случайная величина x = ξ — a. Так может разброс измерить математическим ожиданием этой случайной величины? Наши знания уже позволяют убедиться в непригодности такой меры. Из результата M(ξ — a) = M(ξ) — M(а) = а— а = 0 это видно.

Удобной мерой разброса возможных значений случайной величины оказалось математическое ожидание случайной величины, представляющей квадрат отклонения ξ — M (ξ), т. е.

D(ξ)=M(ξ — M(ξ))2.

Такая мера разброса называется дисперсией случайной величины.

Все вышеизложенное можно обобщить такой схемой:

1. На основании закона распределения случайной величины

определяем математическое ожидание

2. Строим закон распределения случайной величины (ξ — а)2 :

3. По формуле (7.1) определяем меру разброса значений случайной величины ξ около M(ξ)=a:

(7.6)

Можно получить и более удобную формулу:

Применяя правило математического ожидания суммы и постоянного, получаем:

Итак,

(7.7)

По этой формуле удобнее всего вычислять значения дисперсии.

Если D (ξ) — сравнительно малое число, то в этом случае значения случайной величины ξ близки к ее математическому ожиданию M (ξ). Если же D (ξ) — большое число, то значения ξ сильно рассредоточены около M (ξ).

По формуле (7.7) получаем:

(7.8)

откуда следует, что дисперсия постоянной величины равняется нулю.

Применяя формулу (7.7), нетрудно также найти дисперсию случайной величины сξ, где с — постоянный сомножитель. Действительно,

Если ξ и η — независимые случайные величины, то по формуле (7.7) M(ξη)=М(ξ)-М (η).

(7.9)

что означает:

дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме их дисперсий.

Заметим также, что

(7.10)

ибо

Примеры

1. Случайная величина ξ распределена по закону:

ξ

2

4

6

8

10

р

1/4

1/8

1/4

1/8

1/4

Найти D (ξ).

Сначала находим M (ξ). Согласно формуле (7.1)

Теперь можно выразить закон распределения случайной величины (ξ —M (ξ))2=(ξ — 6)2:

(ξ—M(ξ))2

16

4

0

4

16

р

1/4

1/8

1/4

1/8

1/4

Наконец, используя формулу (7.6),

Эту же задачу можно решать другим путем. Используя формулу D(ξ) = M (ξ2) — M2 (ξ), представим распределение случайной величины ξ2 с помощью таблицы:

ξ2

4

16

36

64

100

р

1/4

1/8

1/4

1/8

1/4

По формуле (7.1)

Тогда

Сравните, какой способ требует меньше вычислительной работы.

2. Случайная величина ξ распределена так:

ξ

1

2

3

4

5

6

7

8

р

0,01

0,1

0,2

0,3

0,08

0,2

0,1

0,01

Случайная величина η распределена так:

η

1

2

3

4

5

6

7

8

р

0,3

0,2

0,1

0,1

0,2

0,01

0,08

0,01

Найти дисперсию случайной величины х = ξ + η, где η — независимые случайные величины.

Согласно формуле (7.9) D(x) = D (ξ) + D (η). Так как

то распределение случайной величины (ξ— 4,39)2 имеет вид:

(ξ — 4,39)2

11,4921

5,7121

1,9321

0,1521

0,3721

2,5921

6,8121

21,0321

Р

0,01

0,1

0,2

0,3

0,08

0,2

0,1

0,01

Поэтому

Поскольку

то распределение случайной величины (η — 3,1)2 можно записать:

(η — 3,1)2

4,41

1,21

0,01

0,81

3,61

8,41

15,21

24,01

р

0,3

0,2

0,1

0,1

0,2

0,01

0,08

0,01

Находим :

Значит, D (х) = 2,47789 + 3,91 = 6,38789.

3. Найти дисперсию случайной величины, распределенной по биноминальному закону.

Случайная величина ξ, распределенная по биноминальному закону, представляет число событий А при n независимых

испытаниях, когда вероятность появления события А есть р, а непоявления — q = 2—p.

Пусть — число событий А при i-м испытании. ξi может принять два значения: 1 с вероятностью р (А произошло) и О с вероятностью q (А не произошло). Тогда M(ξi2) = 12.p + O2.q=p.

По формуле (7.10) находим:

Поскольку ξ = ξ1 + ξ2 + ξn и ξi— независимые случайные величины, то

Программа на языке Бейсик для вычисления математического ожидания и дисперсии:

6. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА И ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Пусть математическое ожидание случайной величины ξ равно а. Распределение ξ выразится с помощью таблицы:

Дисперсия случайной величины ξ определяется из формулы

(7.11)

Вычислим теперь вероятность события |ξ — а| ⩾ ε, где ε > 0— наперед заданное число. Пусть xk1, xk2, ..., xkn — те значения ξ, для которых имеет место |xk1 — а| ⩾ ε, i = 1, 2, m. Тогда ясно, что D (ξ) ⩾ (xki — a)2 pki + (xk2 — a)2 pk2 +... + (xkm — a)2 pkn, ибо это неравенство получается путем отбрасывания из правой части неравенства (7.11) тех слагаемых, для которых |ξ — а | ⩽ ε. Тем более

Но

поэтому

(7.12)

Это — знаменитое неравенство Чебышева. Оно позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины ξ от ее математического ожидания. С помощью неравенства Чебышева выведем закон больших чисел, который впервые был сформулирован Я. Бернулли.

Допустим, что ξ = Sn/n, где Sn — число появления события А при n независимых испытаниях. Обозначим Р(А) = р. Нами доказано, что M (Sn) = np и D (Sn) = npq. Используя эти результаты, находим:

Теперь в силу неравенства (7.12)

При n → ∞ pq/nε2 → 0, поэтому при любом ε ⩾ 0

Этому равносильно

(7.13)

где Sn/n — частота появления события А при n независимых испытаниях, р — вероятность события А в отдельном испытании. (7.13) — не что иное, как запись закона больших чисел:

С вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе независимых испытаний статистическая частота появления наблюдаемого события как угодно мало отличается от его вероятности при отдельном испытании.

То, о чем догадывались интуитивно, теперь стало для нас оформленным научно.

Примеры

1. М(ξ) = а, D(ξ) = σ2. Применяя неравенство Чебышева, оценить Р ( |ξ — а | < 3σ).

Согласно формуле (7.12) при ε = 3σ имеем:

Поскольку

Это значит, что независимо от закона распределения случайной величины ξ не меньше восьми шансов из девяти, что случайная величина ξ не появится за пределами промежутка

2. Доказать, что

Согласно неравенству

имеем:

Поскольку при условии р + q = 1 max pq = 0,25, то

Упражнения

170. Распределение случайной величины ξ имеет вид:

ξ

1

2

3

4

5

6

7

8

р

0,15

0,2

0,15

0,1

0,15

0,05

0,15

0,05

а распределение величины η:

η

9

8

7

6

5

4

3

2

р

0,15

0,1

0,15

0,1

0,15

0,1

0,15

0,1

Найдите дисперсии случайных величин ξ и η. Найдите дисперсию х = ξ + η и убедитесь в существовании закона D (ξ+η)=D(ξ)+D(η).

171. Закон распределения случайной величины ξ имеет вид:

ξ

x1

x2

x3

р

0,5

0,3

0,2

Найдите x1, x2, x3, если известно, что M (ξ) = 1,7, D (ξ) = 0,61, a x1, x2, x3 представляют возрастающую арифметическую прогрессию.

172. Взвешивание одной и той же детали прибором А дало такие результаты (в мг):

7,88; 7,89; 8,01; 8,02; 8,04; 8,01; 8,03; 7,95; 7,96; 8,21, а взвешивание той же самой детали прибором В:

7,91; 7,89; 8,01; 8,01; 8,02; 8,01; 8,03; 7,97; 7,97; 8,18.

Который из приборов более точный?

173. Импровизированная игра состоит в следующем: игрок получает m выигрышных очков, когда при подбрасывании игральной кости шестерка впервые выпадает при m-м бросании. Пусть ξ — ожидаемый выигрыш. Найдите M (ξ), D (ξ) и, применяя неравенство Чебышева, оцените Р(ξ<15).

174. Пусть ξ — число белых шаров среди трех наугад вынутых из ящика, в котором 5 белых и 7 черных шаров. Найдите

175. Случайная величина ξ принимает значения 1, 2, 3, ..., n, каждое с вероятностью 1/n. Докажите, что

176. Производятся 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания примерно 0,4. Пусть ξ — число попаданий. Найдите D(ξ).

177. Рабочий подбирает ключ из набора ключей разных размеров. Вероятность сразу найти нужный ключ примерно 0,6. Пусть ξ — число проб подбора ключа до нужного размера. Найдите среднее стандартное отклонение σ (ξ).

178. Найдите дисперсию случайной величины X, представляющей собой число появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что M (Х)=1,2.

179. Из всей выпускаемой заводом продукции 95% составляют стандартные изделия. Наугад отобрано 6 деталей. Пусть ξ — число стандартных деталей среди шести отобранных. Найдите D (ξ).

180. Человек находится в начале системы координат. Он подбрасывает монету. При появлении герба делает шаг направо, при появлении цифры — шаг налево. Пусть ξ — абсцисса положения человека после n бросаний. Какой вид имеет распределение случайной величины ξ? Найдите M (ξ) и D (ξ).

181. Пронумерованы n одинаковых карточек. Затем эти карточки наугад поменяли местами. Пусть Sn — число карточек, которые и после перестановки остались на своих местах (например, карточка с номером 7 осталась на седьмом месте от начала). Найдите M (Sn) и D (Sn).

182. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x2>x1. Вероятность того, что «X = x1», равна 0,6. Постройте закон распределения величины X, если M (Х) = 1,4 и D(X) = 0,24.

183. Дети затеяли интересную игру. В одной из трех совершенно одинаковых шкатулок спрятан красивый значок. Желающий отгадать наугад выбирает шкатулку и проверяет, есть ли в ней значок. Если значка в ней не оказалось, он должен отвернуться. За его спиной шкатулки переставляются местами. Ему предлагают попытать счастье еще раз. Игра продолжается до обнаружения значка. Пусть ξ — число попыток до отгадывания. Найдите M (ξ) и D (ξ). Применяя неравенство Чебышева, оцените Р (ξ < 6).

184. Дискретная случайная величина X принимает только три возможных значения: x1 = 1, x2 и x3, причем x1<x2<x3. Вероятности того, что X примет значения x1 и x2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Постройте закон распределения величины X, зная, что M (X) = 2,2 и D(X) = 0,76.

185. Пусть событие А — появление двух гербов при бросании трех монет. Производится n-кратное бросание трех монет. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин ξ, и η, где ξ — число появления события А при n испытаниях, E, = ξ/n частота события А.

186. Пара противоположных граней куба красного цвета отмечена цифрами 1, другая пара — цифрами 6, третья — циф-

рами 8. Противоположные грани куба голубого цвета отмечены цифрами 3, 5, 7. Оба куба бросают одновременно. Пусть ξ — число случаев, когда подряд выигрывает красный куб. Найдите M (ξ) и D(ξ).

187. В ящике а белых и b черных шариков. Наугад вынимают k шариков (k ⩽ а + b). Найдите математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шариков.

7. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Формула Пуассона (6.14) служила удобным приближением для биноминального распределения в случае большого n и малого р. Существуют также и другие распределения вероятностей, которые приводят в пределе к формуле Пуассона. Мы сталкиваемся здесь с проявлением того факта, что существует несколько распределений большой общности, встречающихся в разнообразных задачах. Тремя чаще всего встречающимися распределениями являются биноминальное (оно нами рассмотрено в главе VI), нормальное и распределение Пуассона, которое мы теперь рассмотрим более основательно.

Будем говорить, что случайная величина ξ распределена по закону Пуассона, если она принимает значения m (m = 0,1, 2, 3, ...) с вероятностями

(7.14)

Рассмотрим такие последовательности случайных событий, примерами которых могут служить вызовы, поступающие на телефонную станцию, заходы судов в порт, испускание α-частиц радиоактивным веществом и т. д. Каждое событие можно изобразить точкой на оси времени, тогда получаем случайное распределение точек. Покажем, что на величину

можно смотреть, как на вероятность иметь m точек (m событий) внутри интервала определенной длины.

Пусть условия опыта остаются неизменными во времени и неперекрещивающиеся промежутки времени независимы в том смысле, что число событий на одном промежутке не зависит от числа событий на других промежутках.

Представим единичный промежуток времени, разделенный на n промежутков (n — большое число), длина каждого из которых 1/n. Пусть любой из промежутков либо пуст, либо содержит по крайней мере одну случайную точку, т. е. промежуток не пуст. Пусть событие А — «промежуток не пуст». Поскольку длина всех промежутков одинакова, то для любого

из промежутков вероятность события А должна быть одной и той же. Обозначим Р(А) = pn. Пусть npn→k при неограниченном возрастании гс. Тогда по формуле (6.6) вероятность того, что среди n неперекрещивающихся промежутков непустых

(7.15)

Здесь, конечно, m не означает число случайных точек на единичном промежутке, либо в любом из непустых промежутков мы можем иметь несколько случайных точек. Однако естественно ввести дополнительно допущение, что вероятностью появления двух или более событий в течение очень короткого промежутка времени можно в пределе пренебречь. Таким образом, вероятность иметь в единичном промежутке времени m случайных точек получается как предел Р (Sn = m) при n→∞, Если эту вероятность обозначим р (m; k), то

(7.16)

Если вместо единичного промежутка мы возьмем произвольный промежуток длиной t и снова воспользуемся разбиением на промежутки длиной 1/n, то получим испытания Бернулли с той же самой вероятностью pn, но количество испытаний будет равно уже не n, а ближайшему к nt целому числу. Переход к пределу такой же, только вместо k мы получим kt. Это приводит к истолкованию величины

(7.17)

как вероятности иметь m случайных точек на фиксированном промежутке длиной t. В частности, вероятность того, что на промежутке длиной t не будет ни одной точки, равна

(7.18)

Параметр k определяет плотность точек на оси t. Из формулы (7.17) видно, что, чем больше k, тем меньше вероятность события, состоящего в том, что промежуток (0; t) пуст. Формула (7.18) может быть применена при решении различных задач.

Примеры

1. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 540 вызовов. Какова вероятность того, что в данную минуту она получит ровно 20 вызовов?

Так как вызовы независимы друг от друга, число вызовов за промежуток времени Δt = 1 мин распределяется по закону Пуассона. Произведение kt мы можем рассматривать как сред-

нее число точек, приходящееся на интервал времени длиной t. Таким образом, по условию задачи

По формуле (7.17), зная, что m=20, находим:

По таблице 3

2. В аэропорту производят посадку в среднем 3 самолета в минуту. Какова вероятность того, что в течение 2 мин произведут посадку не меньше 4 самолетов?

Пусть событие А — «произвели посадку не меньше 4 самолетов». Противоположное ему событие А — «произвели посадку меньше 4 самолетов». Обозначим события:

A0 — «не было ни одной посадки»,

A1 — «состоялась одна посадка»,

A2 — «состоялось две посадки»,

A3 — «состоялось три посадки». Понятно, что

Поскольку события A0, A1, A2, A3 несовместимы, то

Соответственно условию задачи t = 2, k = 3, m = 0, 1, 2, 3. Поэтому по формуле (7.17) и таблице 3

Получаем Р (А) = 0,151205. Поскольку

3. На прядильной фабрике работница обслуживает по нескольку сотен внешне практически ничем не отличимых веретен. При вращении веретена пряжа из-за неравномерности натяжения и по другим причинам рвется в случайные моменты времени. Для производства важно знать, как часто могут происходить обрывы пряжи в зависимости от тех или иных условий (сорт пряжи, скорость вращения веретен и т. д.).

Пусть работница обслуживает 800 веретен и вероятность обрыва пряжи в течение одной минуты примерно 0,0005. Най-

ти вероятность того, что в течение 10 мин произойдет не более 2 обрывов.

Пусть событие А — «произойдет не более 2 обрывов». Обозначим события:

A0 — «обрывов не произошло»,

A1 — «произошел один обрыв»,

A2 — «произошли два обрыва».

Ясно, что A=A0∪A1∪A2. Согласно условию задачи t = 10,

По формуле (7.17) и таблице 3

Поскольку

VIII. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В разделе VII мы уже коснулись понятия непрерывной случайной величины. Здесь продолжим о ней разговор.

Как было подчеркнуто в предыдущем разделе, дискретная случайная величина может принимать значения некоторой числовой последовательности — конечной или бесконечной.

Дискретность случайной величины, принимающей эти значения, будет состоять в том, что между любыми значениями xi, и xj будет только конечное число членов этой последовательности, и в случае необходимости мы можем все эти промежуточные значения записать.

Это позволит строить закон распределения дискретной случайной величины в форме таблицы, в которой по порядку перечислены все или сколько угодно много возможных значений этой случайной величины.

В случае непрерывной случайной величины ξ, которая принимает все реальные значения некоторого промежутка реальных чисел, между любыми двумя такими значениями х' и х" имеется бесконечно много реальных чисел, и все эти числа записать не представляется возможным. Как ни пробовать, например, эти числа пронумеровать, между любыми из них опять существует бесконечно много реальных чисел. Так что процесс нумерования окажется бесконечным, а это и обусловливает отсутствие возможности закон распределения непрерывной случайной величины представить в форме, аналогичной той, которая применяется в случае дискретной случайной величины.

1. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим величину Р(ξ<х).

Поскольку каждому значению х соответствует один и только один промежуток (—∞; х], а каждому такому промежутку — одно и только одно событие «—∞<ξ<x», вероятность которого Р (ξ<x), то выходит, что каждому значению х соответствует одно и только одно значение Р (ξ < х).

Значит, между х и Р (ξ<x) существует функциональная зависимость в том смысле, как это изложено в традиционном курсе математики. Логично Р(ξ<х) обозначить привычным для нас символом F (х) и назвать функцией распределения непрерывной случайной величины. Итак:

Функция

когда она определяет Р (ξ < х)

Функция распределения непрерывной случайной величины

Определение:

Функцией распределения непрерывной случайной величины называется вероятность того, что ξ примет значение меньше х. Очевидны следующие свойства F (х): 1. F (х) — неубывающая функция. Действительно, пусть x1<x2.

Событие «ξ<x2» представляет собой объединение событий «ξ<x1» и «x1⩽ξ<x2». Поэтому в силу несовместимости их

Поскольку

2. F (х) — непрерывная слева функция.

Выберем какую-нибудь возрастающую последовательность x1 < x2 < x3 <... < xn < ..., сходящуюся к x. Пусть An — событие «хп⩽ξ<х». Тогда в силу свойства 1

что и требовалось доказать.

Событие «ξ< ∞ » достоверное, поэтому

(8.1)

4. F(—∞) = 0.

Событие «ξ< —∞ » невозможное, поэтому

Примечание. Когда известно, что случайная величина может принимать только значения промежутка [а; b), то достоверным событием является событие «ξ<b», а невозможным — «ξ<а». В таком случае

(8.2)

Когда известна функция распределения F (х), можно найти вероятность попадания случайной величины на заданный интервал. Именно:

Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал равна приращению функции распределения на этом интервале, т. е.

(8.3)

Доказать это нетрудно. В результате несовместимости событий «ξ<а» и «а ⩽ ξ < b

откуда и следует (8.3).

Примеры

1. Функция распределения случайной величины ξ (рис. 37)

Найти вероятность того, что в результате испытания ξ примет значение, заключенное в промежутке [0; 1).

Рис. 37 Рис. 38

По формуле (8.3)

2. Функция распределения случайной величины ξ (рис. 38)

Найти вероятность того, что в результате испытания ξ примет значение в промежутке [0; π/4).

По формуле (8.3)

3. Доказать, что

поэтому

Также Р (ξ = b) = 0, поэтому

Наконец,

Равенство вероятностей (8.4) полезно запомнить для изучения следующих разделов книги.

2. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

У читателя, возможно, мог возникнуть вопрос : каким путем, наблюдая случайные значения построить функцию распределения F (х)? Оказывается, что к этой функции практически проще подходить через другую функцию.

Исходной точкой наших дальнейших рассуждений мы примем понятие производной.

По формуле (8.3)

(8.5)

Из школьного курса математики известна формула

(8.6)

Рис. 39

Она и поможет нам дальнейшие рассуждения провести так, чтобы само понятие «плотность» имело смысл, адекватный смыслу плотности вообще. Действительно,

это доля вероятности Р (x0 ⩽ ξ < x0 + Δx), соответствующая единице измерения длины отрезка Δх (рис. 39), т. е. плотность этой вероятности на Δx. Но в силу (8.6)

Тогда плотность этой вероятности в точке x0 будет равна:

Для произвольной точки

(8.7)

Итак:

Плотностью вероятностей р (х) называется производная функции распределения F (х) непрерывной случайной величины.

Следовательно, функция распределения F (х) представляет собой первообразную от плотности р (х). Поэтому содержание формулы (8.3) может быть расширено:

(8.8)

Из этой формулы следует:

1. Если все возможные значения ξ принадлежат промежутку [а; b), то «а⩽ξ<b»—достоверное событие, и поэтому

Это значит: площадь, ограниченная кривой плотности и осью Ох при всех значениях, которые может принимать случайная величина ξ, равна единице. Следовательно,

(8.9)

так как известно, что

(8.10)

В тех случаях, когда имеем дело с определенными интегралами типа

первообразная от f(x), то будем их понимать в таком смысле:

(8.11)

Очень важно подчеркнуть, что плотность вероятностей непрерывной случайной величины — это исходная точка для получения всех ее характеристик. А к самой плотности и ее геометрической интерпретации можно подойти от практических наблюдений случайной величины.

Допустим, ξ∈[a; b). Разделим этот промежуток на m равных частей длиной h = b-а/m.

Пусть в результате n наблюдений мы установили, что:

в промежуток [а; x1) ξ попала k1n раз;

в промежуток [x1; x2) ξ попала k2n раз;

в промежуток [km-i; b) ξ попала kmn раз.

Статистические частоты попадания в соответствующий интервал будут

Рис. 40

а плотности этих статистических частот

Строим диаграмму распределения этих плотностей частот (рис. 40). Такая диаграмма называется гистограммой. На ее основании будем подходить к геометрической интерпретации плотности вероятностей р(х), аналитическое выражение которой нам неизвестно.

Можно рассуждать так.

Для каждого i = 1, 2, 3, m:

1. — площадь i-го прямоугольника гистограммы, представляющая статистическую частоту попадания значений ξ в i-й интервал.

2. С возрастанием n эти статистические частоты сосредоточиваются около вероятности

3. В силу формулы (8.6) эта вероятность приближенно должна быть равна

где р (х) — предполагаемая плотность.

Поскольку это выражение представляет площадь прямоугольника с основанием h, то значение предполагаемой плотности представляет высоту некоторого прямоугольника, у которого то же самое основание и площадь которого близка к kin/n.

Вывод:

Последовательность значений предполагаемого р (х)

представляет высоты прямоугольников, по площади близких к значениям статистических частот

Следовательно, предполагаемая плотность представляет собой некоторую кривую, которая огибает гистограмму статистических частот.

Примеры

1. Плотность распределения случайной величины ξ

Найти вероятность попадания ξ, на промежуток По формуле (8.9)

2. Плотность распределения случайной величины ξ

Найти вероятность того, что

По формуле (8.9)

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

Пусть непрерывная случайная величина ξ распределена на интервале [а; b) с плотностью р (х). Разделим промежуток а; b) на n необязательно равных частей [а; x1); [х1; x2); b).

Случайная величина ξ принимает:

значения из промежутка [а; x1) с вероятностью

значения из промежутка [х1; x2) » »

значения из промежутка [х2; x3) » »

значения из промежутка [xn—1; b) с вероятностью

Тогда по аналогии с формулой (7.1) математическое ожидание случайной величины ξ приближенно равно:

Разумеется, что

при n→∞. Обозначим Тогда

В силу формулы (8.3)

По известной формуле приращения функции

следовательно,

(8.12)

В случаях, когда область распределения ξ не указана,

(8.13)

где интеграл понимается в смысле определений (8.11).

Примеры

1. Случайная величина ξ распределена на промежутке [0; 2) с плотностью р (х) = 1—x/2 Найти M (ξ).

По формуле (8.12)

2. Случайная величина ξ распределена с плотностью

Найти M (ξ).

По формуле (8.13)

Непосредственно убедимся, что первообразная от f(x) = х sin x есть F (х)= — х cos x + sin x.

Действительно, F' (x) = ( — х cos x + sin x)' = xsin x. Поэтому по формуле Ньютона — Лейбница

4. ДИСПЕРСИЯ

Согласно формулам (7.7) и (8.12), когда все возможные значения ξ принадлежат промежутку [а; b),

(8.14)

В случаях, когда область возможных значений ξ не указана,

(8.15)

где эти интегралы понимаются в смысле понятий (8.11).

Примеры

1. Плотность распределения случайной величины

Найти D (ξ).

По формуле (8.15)

2. Случайная величина ξ распределена на промежутке [0; 2) по закону Симпсона:

(рис. 41).

Доказать, что

Рис. 41

Для достижения выдвинутой нами цели будем применять неравенство Чебышева. Следовательно, нам необходимо знать M (ξ) и D(ξ).

По формуле (8.12)

По формуле (8.14)

По неравенству Чебышева

5. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

В формулировках теорем Муавра — Лапласа мы уже ознакомили читателя с функцией

(8.16)

и ее первообразной

(8.17)

Значения этих функций представлены в таблицах 2 и 4. График у = φ (х) представлен на рисунке 3. Нам также известно, что вероятность

представляет собой площадь фигуры, образованной кривой у = р (х), прямыми х = α и x = ß и осью Ох. Когда всевозможные значения принадлежат некоторому промежутку [а; b), то, разумеется,

Имеет место и обратное: если площадь фигуры, образованной кривой y = f (х), прямыми х = α и x = ß и осью Ох, равна 1, то f (х) можно считать плотностью вероятностей некоторой непрерывной случайной величины.

Методами, пока для нашего читателя недоступными, Пуассоном доказано, что

Следовательно,

и поэтому φ(х) представляет плотность распределения некоторой непрерывной случайной величины.

Поскольку функция у = φ (х) максимальное значение 1/√2π принимает в точке x = 0, причем в результате четности функции ее график симметричен относительно оси у, то, разумеется,

M (ξ) = 0.

По формуле (8.15) при условии M (ξ) = 0

(8.18)

Поскольку

то первообразная отх^е 2 равна первообразной от

Следовательно,

Как известно,

Тогда

(8.19)

Подставляя (8.19) в (8.18), получаем D(ξ) = 1.

В результате четности функции у = φ (х) ее колоколообразным график будет симметричен. Поэтому точкой максимума является М(ξ) = 0. Естественными, т. е. нормальными, особенностями интуитивно нам кажутся такие:

а) равные вероятности одинаковых отклонений ξ в обе стороны от M (ξ) = 0;

б) убывание вероятности по мере увеличения отклонения от M (ξ) = 0.

Это как бы подводит к мысли сам закон распределения ξ называть нормальным. Поскольку числовые характеристики ξ стандартные: M (ξ)=0, D (ξ)= 1, то данный нормальный закон распределения можно называть стандартным. Итак, будем считать, что случайная величина ξ распределена по стандартному нормальному закону, когда ее плотность распределения вероятностей φ (х) = —, и, следовательно, M (ξ) = 0, D(ξ)=1.

Попробуем построить плотность распределения случайной величины η = σξ + а, где ξ — случайная величина распределена по стандартному нормальному закону, σ и а — некоторые константы, причем σ>0.

Пусть Ф (х) — первообразная от φ (х), т. е. функция нормального стандартного распределения.

Поскольку Ф (х)=Р (ξ< х), то

(8.20)

Такой функции распределения соответствует плотность распределения

(8.21)

Выясним, что собой представляют константы

Значит, (8.21) представляет собой плотность вероятностей случайной величины, распределенной по нормальному закону, когда ее M (η) = а, D(η) = σ2.

Из (8.20) следует, что для такой случайной величины имеет место

(8.22)

Поскольку значения функции у = Ф (х) заданы в таблице 4, то вычисление таких вероятностей не вызывает никаких затруднений.

График плотности такого нормального распределения также представляет собой колоколообразную кривую.

Точкой максимума плотности является М(η) = а, высота «колокола» равна 1/σ√2π. Полезно запомнить следующие зависимости:

1. Если при равных дисперсиях M (х) = а < M (у) = b, то графики плотностей распределения случайных величин х и у по форме и высоте одинаковые, но график плотности распределения у правее (рис. 42).

2. Если при равных математических ожиданиях D(x)<D(y), то графики плотностей максимумов достигают в одной и той же точке, но график плотности распределения одной из них будет и ниже и шире (рис. 43).

Рис. 42

Рис. 43

Примеры

1. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону. M (ξ) = 40, D (ξ) = 100. Найти вероятность того, что ξ примет значение, принадлежащее промежутку [20; 60).

По формуле (8.22)

По таблице 4 Ф (2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность

2. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону. M (ξ) = а, D = σ2. Найти вероятность того, что ξ примет значение, принадлежащее промежутку [а — 3σ; a + 3σ).

По формуле (8.22)

По таблице 4 Ф (3) = 0,49865. Отсюда

Нами доказано так называемое правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего стандартного отклонения. Такое событие происходит почти наверняка.

6. ПОНЯТИЕ О ТЕОРЕМЕ ЛЯПУНОВА

Мы уже упомянули, что нормально распределенные случайные величины широко встречаются на практике. Чем это объяснить? Выдающимся русским математиком А. М. Ляпуновым была доказана центральная предельная теорема теории вероятностей, из которой вытекает следующее следствие: если случайная величина ξ представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то ξ имеет распределение, близкое к нормальному.

Примеры

1. Производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения оказывают влияние многие независимые между собой факторы (влажность, слой пыли на приборе, температура, вибрация

прибора и т. д.). В результате влияния каждого из этих факторов рождается ничтожная случайная ошибка. Поскольку число этих факторов велико, совокупное их действие порождает уже заметную суммарную ошибку. Эту суммарную ошибку мы можем рассматривать как сумму большого числа взаимно независимых ошибок, т. е. суммарную ошибку ξ можем рассматривать как случайную величину, которая распределена по закону, близкому к нормальному. Практически это значит, что

Примером практического применения вышеизложенного следствия теоремы Ляпунова может служить такая задача:

Известно, что среднее значение случайной погрешности весов x = 0,03 кг, дисперсия σ2 = 0,0016.

1. Какова вероятность того, что при очередном взвешивании погрешность показания весов |α|⩽0,04?

Пусть ξ — случайная погрешность. Можно считать, что ξ распределена по закону, близкому к нормальному. Поэтому

По таблице 4

Поэтому

Пусть нам дана случайная величина ξ, математическое ожидание которой M (ξ)=а. Рассмотрим соотношение

Это выражение можно изложить словами так: вероятность того, что ξ не выйдет за пределы промежутка [а — ε; а+ε], равна γ. Принято этот интервал называть доверительным интервалом случайной величины ξ с уровнем достоверности у.

Пример построения доверительного интервала приводим на основе условия вышеизложенной задачи.

2. Найти доверительный интервал погрешности этих весов с гарантией 95%.

На второй вопрос ответ находим так:

Поскольку а и b симметричны в отношении

Значит,

Отсюда Ф(ε/0,04) = 0,475. Такому значению Ф (х) в таблице 4 соответствует x = 1,96. Таким образом, ε/0,04 = 1,96 и ε = 0,0784. Тогда а = 0,03 — 0,0784=— 0,0484, b = 0,03 + 0,0784 = 0,1084. Значит, с гарантией 95% доверительный интервал случайной погрешности весов [ — 0,0484; 0,1084].

Упомянутое следствие теоремы Ляпунова позволяет также оценить вероятность события по экспериментальным данным.

Пусть исследователь при проведении n независимых испытаний обнаружил, что его интересующий факт А имел место в m случаях. Он фиксирует, что статистическая частота появления факта А равна m/n. Но исследователя интересует сама вероятность появления факта А при одном испытании. Он знает, что p ≈ m/n. Но какая тут степень приближенности?

Частота m/n есть случайная величина ξ, математическое ожидание которой M (ξ)=р, а дисперсия D (ξ) = a2.

При достаточно большом n (n ⩾ 30) ξ распределено по закону, близкому к нормальному, поэтому согласно формуле (8.22)

(8.23)

Последняя формула может быть использована для решения ряда практических задач. Несколько из них представляем читателю.

1. 15% продукции фабрики представляют изделия второго сорта. Магазин получил 1000 изделий. Какова вероятность того, что в полученной партии продукция второго сорта составит 15% ±2%?

По условию задачи р = 0,15, е = 0,02, n = 1000. Пусть а — ожидаемая доля продукции второго сорта. Находим

Следовательно,

По таблице 4 Ф (1,77) = 0,4616, поэтому

Ответ можно сформулировать и так: с гарантией 92% в полученной партии изделия второго сорта составят 15% ±2%.

2. Исследованиями установлено, что 20% школьников не знают правил уличного движения. В случайной выборке 1600 учеников. Сколько учеников знают правила уличного движения с гарантией 95%?

По условию задачи n = 1600, р = 0,8. Пусть α — доля учащихся этой «выборки», знающих правила уличного движения.

Тогда

По таблице 4 значению 0,475 соответствует x = 1,96, т. е.

или приближенно 0,78 ⩽ α ⩽ 0,82. Но 0,78 от 1600 составляет 1248, а 0,82 от 1600 — 1312. Значит, с гарантией 95% число учеников, знающих правила уличного движения, принадлежит промежутку [1248; 1312].

Пример 2 — это задача на определение доверительного интервала выборочной числовой характеристики случайной величины ξ, которая представляет собой долю случайно обследованных объектов, обладающих некоторым признаком.

3. При массовом производстве обуви брак составляет 4% выпускаемой продукции. Сколько изделий нужно отобрать для проверки качества продукции, чтобы с вероятностью 0,9 можно было бы утверждать, что в случайном наборе обуви доля брака по абсолютной величине отличается от 4% не более чем на 1%?

По условию задачи р = 0,04, ε = 0,02, n неизвестно. Пусть α — доля брака в случайной партии изделий. Случайная величина α распределена по закону, близкому к нормальному, поэтому

Отсюда

Подстановкой σ в предыдущее уравнение находим

Упражнения

188. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины ξ равно 10, а дисперсия 4. Найдите вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение из промежутка [12; 14).

189. Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления. Средняя дальность полета снаряда 10 000 м. Предполагая, что дальность полета d распределена по нормальному закону с дисперсией 1600 м2, найдите, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 100 до 200 м.

190. При средней длине некоторой детали в 20 см найдено, что отклонения, превосходящие ±0,5 см, встречаются в среднем 4 раза на 100 деталей. Считая, что длина детали распределена по нормальному закону, определите ее среднее стандартное отклонение.

191. Для замера напряжений используются специальные тензодатчики. Определите среднюю стандартную ошибку тензодатчика, если он систематических ошибок не имеет, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2 мк.

192. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом : если шарик не проходит через отверстие диаметром d1, но проходит через отверстие диаметром d2>d1, то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика ξ есть случайная величина с такими числовыми характеристиками: M(ξ) = d1 + d2 / 2, D (ξ) = (d2-d1)2/16. Определите вероятность р того, что шарик будет забракован.

193. При массовом производстве 5% выпускаемой продукции выходит в брак. Сколько изделий нужно отобрать для проверки качества, чтобы с вероятностью 0,95 можно было бы утверждать, что в случайной партии изделий брак составляет 5% ±2%?

194. Какой величины должно быть поле допуска зубчатого колеса, чтобы с вероятностью не более 0,003 изготовленное колесо с контролируемым размером оказалось вне поля допуска? Случайные отклонения размера ξ от середины поля допуска подчинены закону нормального распределения с характеристиками M (ξ) = 0 и D(ξ) = 25 мк2.

7. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Допустим, в момент времени х = 0 включается мотор сложного механизма. В результате износа его узлов по истечению времени x вероятность исправности механизма следует считать монотонно убывающей. Как известно, для х⩾0 удобной мо-

дельго убывающей плотности вероятностей может служить показательная функция

(8.24)

где k, а и b — положительные константы, причем а>1.

Выясним суть этих констант, используя в данном случае известное свойство плотности

Итак, k, а и b должны быть такими, чтобы

Нетрудно показать, что

представляет собой первообразную от

Действительно,

Значит,

Из условия k/blna = 1 следует lnа = k/b, откуда

Подставляя полученное значение а в формулу (8.24), получаем:

(8.25)

Это есть плотность показательного распределения вероятностей.

Напоминаем, что с возрастанием х плотность р (х) убывает. Это значит, что х можно представить как время, а р (х) — как вероятность безотказной работы какого-нибудь устройства : со временем эта вероятность в результате износа устройства постепенно убывает.

Согласно формуле (8.8) вероятность того, что случайная величина ξ, распределенная по показательному закону, примет значение из интервала [а; b), равна:

(8.26)

где F (х) — первообразная от функции Покажем, что

(8.27)

Действительно, F' (х) = , откуда следует (8.27). Значит,

(8.28)

По этой формуле

(8.29)

означает, что отказ наступит до момента времени Т. Поскольку

Последняя формула означает вероятность того, что отказ до момента Т не наступит, поэтому логично Р (ξ⩾Т) = е-kТ называть функцией надежности. Итак,

(8.30)

Какой смысл константы k?

Чем k больше, тем надежности меньше. Поэтому k и называется интенсивностью отказов.

Примеры

1. Вероятность того, что некий прибор проработает 1 ч, равна 0,9. Какова вероятность того, что прибор безотказно проработает сутки?

Мы сразу могли бы дать ответ по формуле (8.30), если бы знали k. Как определить значение этого параметра? Очень просто!

По условию задачи

Тогда из уравнения е-k = 0,9 получаем:

Опять по формуле (8.30)

2. 98% топливных насосов дизельных тракторов выходит из строя после 3000 моточасов. Какова вероятность того, что насос выйдет из строя в интервале времени от 2000 до 2500 моточасов?

Пусть ξ — время безотказной работы насоса. По условию задачи Р (ξ⩾ 3000)=R (3000) = е-3000k = 0,98.

Из этого уравнения находим k = 0,0000067. Значит, плотность распределения равна р (х) = 0,0000067е-0,0000067х. По формуле (8.28) P(2000⩽ξ⩽ 2500) = 0,0033.

Упражнения

195. Вероятность того, что радиолампа безотказно проработает сутки, равна 0,99. Какова вероятность того, что она проработает год (364 дня)?

196. Опытами установлено, что в течение года выходит из строя 0,02% электрических лампочек типа «α». Человек купил 3 лампочки. Какова вероятность того, что в течение 5 лет ему не понадобится новая лампочка?

197. Вероятность того, что фотоэлемент не выйдет из строя 100 ч, р = 0,135. Какова вероятность, что он проработает 1 ч после первого включения?

198. Блок прибора построен из трех независимо действующих элементов: основного и двух вспомогательных. Плотность распределения времени исправности элементов одинакова: Р(х) = . Какова вероятность того, что блок безотказно проработает 600 ч?

199. Вероятность того, что топливный насос трактора проработает до 2500 моточасов, равна 0,9. Какова вероятность того, что насос проработает 6000 моточасов?

200. По данным страховых агентств некоторого государства, вероятность того, что гражданин этой страны доживет до 70 лет, равна 0,87. Какова вероятность того, что случайный новорожденный этой страны доживет до свадьбы (до 22 лет)?

IX. НЕМНОЖКО СТРАННО, НО ИНТЕРЕСНО

1. УМНАЯ ИГЛА (ЗАДАЧА БЮФФОНА)

Читателю, конечно, известна формула длины окружности С = 2πR, где π — трансцендентное число, значение которого с точностью до сотых равно 3,14. Известны многие способы определения числа л с большой точностью. Один из этих способов использует обыкновенную швейную иглу.

Проведем на листе бумаги ряд параллельных прямых, соблюдая следующие правила:

1) расстояние между этими параллельными одинаковое;

2) расстояние между двумя соседними параллельными больше длины иглы;

3) построенный чертеж, похожий на бумагу в линейку, достаточно большой, чтобы случайно брошенная игла не упала за пределы чертежа (рис. 44).

Пусть расстояние между параллельными прямыми равно а и длина иглы l (l < а). Положение случайным образом бро-

Рис. 44

шенной иглы на чертеж определяется расстоянием х от ее середины до ближайшей прямой и углом φ, который игла образует с перпендикуляром, опущенным из середины иглы на ближайшую прямую (рис. 45).

Ясно, что

Изобразим графически функцию х= — 1/2 l cos φ (рис. 46).

Определим вероятность события А — «брошенная случайно на чертеж игла пересекает одну из параллельных прямых»:

где m — общее «число» возможных положений брошенной иглы, а г — «число» тех возможных положений, когда игла пересекает одну из параллельных прямых. Ни m, ни г непосредственно сосчитать не можем: таких положений бесконечно много. Но в случае пересечения иглой одной из параллелей должно иметь место неравенство

Такому условию удовлетворяют координаты тех точек, которые принадлежат фигуре BEА. Вместе с тем всевозможные

Рис. 45

Рис. 46

расположения иглы характеризуются точками, которые принадлежат прямоугольнику ABCD (рис. 46).

Таким образом, вспомнив, как вычисляют геометрические вероятности, находим, что

Тогда

откуда

Но вероятность Р (А) можно приблизительно определить многократным бросанием иглы. Если, например, иглу бросали на чертеж s раз и k раз она упала, пересекая одну из параллелей, то при достаточно большом s

откуда

Мы нашли формулу, позволяющую определить число л. Известны такие опыты:

Ученый-испытатель

Год проведения испытаний

Число бросаний иглы

Полученное значение

Вольф

1850

5000

3,1596

Фокс

1895

1120

3,1419

Лазаринни

1901

3408

3,1416

Предлагаем читателю самому убедиться в «мудрости» иглы.

Способ определения значений различных величин с помощью испытаний носит название метода Монте-Карло (от игрального казино Монте-Карло). Суть метода формулируется

так: метод, когда значение некоторой величины, которая представляет собой компоненту формулы, применяемой для вычисления вероятности некоторого случайного события, приближенно определяется путем замены этой вероятности статистической частотой события, получаемой при серии испытаний.

2. ЗАДАЧА ШЕВАЛЬЕ ДЕ МЕРЕ

В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем азартных игр был француз шевалье де Мере, которому посчастливилось дружить с замечательным математиком Б. Паскалем. Де Мере не только играл в кости, но и подмечал некоторые закономерности, объяснить которые не мог, и в таких случаях обращался к Б. Паскалю.

Де Мере предлагал партнерам следующие условия игры: он будет бросать 2 кости 24 раза и выиграет, если хоть один раз появятся 2 шестерки. Его соперник бросает 4 кости один раз и выиграет, если появится хотя бы одна шестерка.

С первого взгляда кажется, что шевалье де Мере схитрил, избрав себе более благоприятные условия: все-таки бросает 24 раза, а его соперник только один раз. Но он чаще проигрывал, нежели выигрывал. Удивленный де Мере обратился к Б. Паскалю.

Разберемся и мы с вами в том, что ответил Б. Паскаль.

Пусть событие А — «одновременное появление хотя бы од ной пары шестерок при 24-кратном бросании 2 костей».

Пусть событие В — «появление хотя бы одной шестерки при однократном бросании 4 костей».

Событию А противоположно событие А — «ни разу не появилась пара шестерок при 24-кратном бросании 2 костей».

Обозначим событие Аi — «не появилась пара шестерок при i-м бросании». Ясно, что

Поскольку события A1, A2, ..., A24 независимы в совокупности, то

Также ясно, что

поэтому вероятность Р (А) может быть выражена так:

Вычислим Р(A1). При бросании двух костей может произойти

n = 36 разных событий. Событию A1 благоприятствуют m = 35 событий. Поэтому

Вероятность удачи шевалье де Мере:

Вычислим вероятность удачи соперника. Пусть событию В противоположно событие В — «не появилась ни одна шестерка при однократном бросании 4 костей».

Пусть событие B, — «не появилась шестерка на i-й кости». Тогда В = B1⋂B2⋂B3⋂B4.

Поскольку события B1, B2, B3, B4 независимы в совокупности, то

Ясно, что Р (B1)=Р (B2)=Р (B3)=Р (B4), Р (В) = (Р (B1))4. При бросании одной кости может произойти n = 6 разных событий. Событию В1 благоприятствуют m = 5 событий. Тогда

Таким образом, вероятность удачи соперника

Оказывается, что Р (А)<Р (В). Действительно, наблюдение получило научное объяснение.

3. ОТДАЙТЕ МОЮ ШАПКУ

В один из январских вечеров члены общества охотников собрались обсудить итоги прошедшего сезона. В помещении было прохладно, и они заходили в зал в пальто, а шапки оставляли в гардеробе.

Собрание длилось до сумерек, и вдруг погас свет. Пришлось расходиться, но в темноте трудно узнать свою шапку. Председатель собрания предложил каждому надеть наугад любую шапку, а на завтра каждому вернуться за своей шапкой. Все с этим предложением согласились, а один охотник в утешение собравшимся сказал: «Надеюсь, одному из нас и сегодня досталась своя шапка». Разберемся, насколько обоснованным является его предположение.

Пронумеруем участников собрания: 1, 2, 3, n. Пусть событие Ai — «i-й участник собрания надел свою шапку». Тогда событие

означает — «по крайней мере один участник надел свою шапку». Поскольку события A1, A2, ..., An не являются несовместимыми, то вычисление Р (А) осложняется.

Пусть A1 и A2 — совместимые события, тогда по формуле (5.2)

Если A1, A2 и A3 — совместимые события, то

Сравнение Р(А1∪A2) и Р(A1∪A2∪A3) подсказывает, что

(9.1)

Проверим истинность предположения методом математической индукции. Допустим, что формула (9.1) справедлива, и определим:

Пусть событие В=A1∪A2∪...∪An. Тогда

что и доказывает справедливость формулы (9.1).

Поскольку n шапок могут быть надеты на n голов n! способами, то в случае, если i-й участник надевает свою шапку, остальные n — 1 шапки могут быть надеты на n — 1 голову (n — 1)! способами. Поэтому

Если же два участника (i-й и j-й) надевают свои шапки, то остальные шапки могут быть переставлены (n — 2)! способами. Следовательно,

Соответственно

Сумма S1n имеет n членов, поэтому

Сумма S2n имеет C2n членов, поэтому

Аналогично

Подставляя полученные значения в формулу (9.1), находим:

Какова зависимость Р (А) от n?

n

3

4

5

6

7

100

Р(A)

0,66667

0,62500

0,63333

0,63196

0,63214

0,63212

Результаты неожиданные; вероятность, что свою шапку получил хотя бы один из 3, почти такая же, как и вероятность, что свою шапку получит хотя бы один из 100. И в том и в другом случае вероятность около 2/3. Так что надеяться, что хотя бы одному охотнику досталась его собственная шапка, действительно можно было.

4. ЧТОБЫ ПОКУПАТЕЛИ БЫЛИ ДОВОЛЬНЫ

Колхоз продает огурцы в ящиках, по 100 огурцов в каждом ящике. Выяснилось, что в каждой партии из 1000 огурцов приблизительно 15 некачественных: гнилые, лопнувшие и т. д.

Перед правлением колхоза встал вопрос, сколько огурцов надо положить в каждый ящик, чтобы с вероятностью 0,8 удовлетворить запросы покупателя, иначе говоря, чтобы в ящике было не менее 100 хороших огурцов с вероятностью 0,8.

По условию вероятность того, что купленный наудачу огурец окажется некачественным, 0,015. Находим постоянную Пуассона:

k = 100—0,015 = 1,5.

По формуле (6.14) вероятность, что среди 100 наугад отобранных некачественных огурцов не встретится, равна e-1,5≈ 0,22313. Допустим, что 100 +х является тем числом огурцов, при котором покупатель с вероятностью 0,8 получит 100 хороших. Пусть событие А — «среди 100+ x огурцов 100 качественных». Пусть событие Ак — «среди 100 +k огурцов ни одного не качественного». Тогда

По формуле Пуассона (6.14)

Поскольку

то

Переменная х должна удовлетворять неравенству

Ясно, что левая часть неравенства возрастает с ростом х. Испытаем некоторые конкретные значения х.

Поскольку 0,809 > 0,8 для х = 2, покупатели останутся удовлетворены, если в каждый ящик упакованы 102 огурца.

Принцип решения данной задачи может широко использоваться для расчета запасов промышленных товаров, продуктов питания и т. д.

5. ПАРАДОКС БЕРТРАНА

Начертим окружность. Положив лист с чертежом на стол, бросим на него достаточно длинный стержень так, чтобы дуга окружности отсекла от стержня хорду (рис. 47).

Рис. 47—48

Вычислим вероятность того, что отсеченная хорда окажется длиннее стороны вписанного правильного треугольника. Парадокс Бертрана проявится в том, что при разных способах решения получим разные ответы.

Первый способ решения.

Допустим, дуга окружности отсекает от стержня хорду AВ. Построим диаметр CD, перпендикулярный к этой хорде. Построим также параллельно хорде сторону правильного вписанного треугольника |MN| (рис. 48). Те хорды, которые пройдут через точки отрезка диаметра КК', длиннее |MN|:

Следовательно, вероятность, что случайная хорда длиннее стороны вписанного треугольника, равна —. Это первый ответ.

Второй способ решения.

Допустим, что один конец стержня прикреплен к точке M окружности. Те хорды, которые дуга отсекает при попадании во внутреннюю область угла α (рис. 49), будут длиннее стороны MN правильного треугольника.

Можно предположить, что все хорды, которые можно провести через точку М, одинаково «плотно» распределены по углу QMP = π. Поскольку α=π/3, то вероятность, что случайная хорда превышает по длине сторону вписанного правильного треугольника, равна 1/3.

Как видите, второй ответ не совпадает с первым.

Третий способ решения. Чтобы установить положение хорды, достаточно знать положение ее середины. Понятно, что хорды, середины которых расположены в круге, вписанном в данный треугольник, пре-

Рис. 49—50

вышают по длине сторону вписанного правильного треугольника (рис. 50).

Если случайно брошенный стержень упадет так, что середина С хорды AB окажется внутри меньшего круга, то хорда оказывается больше MN. Таким образом множество хорд, длина которых больше MN, может быть представлено площадью меньшего круга, а множество всех хорд, пересекающих данный круг, — площадью большего круга.

Поскольку ОР = 1/2 ОМ, то площадь меньшего круга составляет 1/4 площади большего круга. При этом способе решения находим: вероятность, что случайная хорда длиннее стороны правильного вписанного треугольника, равна 1/4.

Три разных способа решения одной задачи и три разных ответа.

Вот вам и парадокс!

Казалось бы, во всех случаях мы рассуждали правильно, а все-таки вероятность одного и того же события оказывалась каждый раз иной!

Как объяснить этот парадокс?

Разные результаты мы получили потому, что по-разному конкретизировали понятие проведения хорды наудачу. Фактически мы решали каждый раз новую задачу. Нам только казалось, что это прежняя задача.

6. СЛУЧАЙНОСТЬ ИЛИ СИСТЕМА?

Некий рассеянный гражданин N был оштрафован за переход улицы в неположенном месте 12 раз. Известно, что это всегда происходит либо во вторник, либо в четверг. Объясняется ли это случайностью или в эти дни милиция усиливает контроль уличного движения?

Пусть событие А — «гражданин N был оштрафован 12 раз по вторникам или четвергам случайно». Если событие Аk —

«гражданин N случайно оштрафован во вторник или четверг k-й раз» (k = 1, 2, 3, 12), то

Но P(Ak) = 2/7, ибо 2 дня из 7 для гражданина неудачные. Поскольку

Теперь сформулируем событие В — «гражданина N случайно оштрафовали повторно в одни и те же 2 дня недели 12 раз». Это событие является суммой таких событий: «гражданин N случайно был оштрафован 12 раз по понедельникам или по вторникам», «гражданин N случайно был оштрафован 12 раз по понедельникам и по средам», «гражданин N был случайно оштрафован 12 раз по субботам или по воскресеньям».

Вероятности всех этих событий, так же как и вероятность Р (А), равны 0,0000003. Поскольку таких событий может быть C27 = 21, то Р(В) = 21 0,0000003 ≈ 0,000006. Видно, что обе вероятности Р (А) = 0,0000003 и Р (В) = 0,000006 очень незначительны. Это показывает, что как в одном, так и в другом случае вероятность быть оштрафованным случайно ничтожно мала. Видимо, в эти дни работники милиции с большей требовательностью следят за соблюдением правил уличного движения.

7. ПРЕСТУПЛЕНИЕ РАСКРЫТО

В отдел уголовного розыска поступило сообщение о том, что 5 неизвестных лиц взломали сейф кассы колхоза и похитили крупную сумму денег. Свидетели успели заметить, что грабители сели в автобус, следующий по маршруту в соседний город. Об этом сразу же была поставлена в известность милиция. Как только автобус остановился на автовокзале, к его дверям подошел инспектор уголовного розыска и запретил кондуктору открывать дверь автобуса. Тот сообщил инспектору, что в автобусе 40 пассажиров. Обыск может привести к значительной задержке автобуса. Инспектор успокоил кондуктора: «Мне достаточно проверить человек 6 пассажиров, и сможете ехать дальше». Он предложил шестерым наугад выбранным пассажирам зайти в кабинет начальника вокзала.

Один преступник был сразу обнаружен — в его кармане нашли пачку денег. Он назвал сообщников, и дело было закончено.

Что руководило инспектором: риск или трезвый расчет? К этому вопросу мы вернемся после решения следующей задачи.

Пусть в ящике имеется n шаров: m белых и n —m черных. Какова вероятность того, что среди r наудачу вынутых шаров окажется k белых?

Среди r шаров окажется k белых и r — k черных. Поскольку белых шаров m, то k белых наугад может быть отобрано Ckm способами. Соответственно из n — m черных r —k черных шаров может быть отобрано Crn-km способами. Число выборок, благоприятствующих исследуемому событию, равно CkmCrkn-m. Поскольку из n элементов группы по r элементов могут быть образованы Сгп способами, то по формуле (4.1)

(9.2)

Это так называемое гипергеометрическое распределение. Использование его поможет объяснить действия инспектора по раскрытию преступления. Пусть событие А — «среди случайно вызванных 6 пассажиров есть хотя бы один преступник». Пусть событие Аi — «среди случайно вызванных 6 пассажиров есть i преступников» (i = l, 2, 3, 4, 5). Тогда

Ясно, что

По формуле (9.2)

Значит, Р (А) ≈ 0,5734. Вероятность, что среди 6 пассажиров окажется по крайней мере один преступник, оказывается больше 1/2.

По-видимому, инспектор умел пользоваться в необходимых случаях теорией вероятностей.

Гипергеометрическое распределение может с успехом использоваться во многих практических ситуациях : при исследовании распространения инфекционных заболеваний, при контроле качества изделий и т. д.

8. «СРАЖЕНИЕ»

Два мальчика играют в «сражение». У каждого из них 40 спичек. Бросается монета. При появлении герба откладывает в сторону спичку Толя — погиб первый солдат, при появлении цифры то же самое делает Боря — погиб его солдат. Игра продолжается до тех пор, пока у одного из них не погибнет последний солдат.

Какова вероятность того, что при поражении одного из мальчиков у второго останется 20 спичек?

Это так называемая конкретизированная задача Банаха, которую для широкого круга читателей в свое время опубликовал известный польский математик Штейнгауз. Решим эту задачу Банаха в общем виде.

Пусть в двух коробках имеется по n спичек. Бросаем монету. При появлении герба удаляем одну спичку из 1-й коробки, при появлении цифры — одну спичку из 2-й коробки. Какова вероятность того, что при полном опустошении 1-й коробки во 2-й останется m спичек?

Пусть событие А — «при опустошении 1-й коробки во 2-й осталось m спичек».

Обозначим события::

В1 — «спичка удалена из 1-й коробки»,

B2 — «спичка удалена из 2-й коробки».

Поскольку подбрасываемая монета симметричная, Р(B1) =Р(B2)= 1/2. Если при опустошении 1-й коробки во 2-й осталось m спичек, то при 2n — m бросаниях монеты n раз появился герб, n — m раз цифра. Значит, событие B1 произошло n раз при 2n — m испытаниях. По формуле (6.4)

По условиям игры мальчиков

Как видно, шансов выиграть сражение с меньшими, чем у противника, потерями немного. Кстати, история не спичечных, а настоящих войн это подтверждает.

9. В ГОСТИ К ДЕДУШКЕ

В городе имеется 24 квартала (рис. 51). Вводим буквенные обозначения:

S — вокзал, В — студенческое общежитие и D — дом дедушки. Из вагона вышел выпускник средней школы, мечтающий стать студентом вуза. Город ему незнаком, но он знает,

Рис. 51

что следует идти только вперед и повернуть можно только направо, тогда он попадет либо в общежитие, либо в дом дедушки. И в том и в другом случае ночлег обеспечен.

Какова вероятность того, что по пути к дедушке он пройдет и мимо общежития, если с одинаковой вероятностью может пойти прямо либо направо?

Решим задачу в общем виде.

Пусть в городе nk кварталов. Общежитие в плане города находится на перекрестке m-й горизонтали и l-й вертикали. Если событие А — «юноша нашел общежитие», то

где b — число всевозможных маршрутов, по которым юноша может добраться до дедушкиного дома, а — число тех маршрутов, которые проходят мимо общежития.

Какой бы путь ни избрал наш знакомый, все равно ему придется пройти n + k перекрестков (включая точку S, но не включая D). На каждом перекрестке он решает, идти ему прямо или повернуть направо. Те перекрестки, от которых он идет прямо, закодируем цифрой 1, а те, от которых направо, — цифрой 0. Тогда любой из маршрутов будущего студента будет закодирован выборкой из k единиц и n нулей. Указанному маршруту соответствует выборка

0110001100.

Число маршрутов от S до D — число перестановок с повторениями

Число маршрутов, проходящих мимо общежития, равно произведению числа маршрутов от S до В и числа маршрутов от В до D.

Тогда

Поэтому

В нашем случае n = 4, k = 6, l = 3, m = 3. Следовательно, искомая вероятность

10. КАК СТАТЬ РЕКОРДСМЕНОМ?

Чтобы стать рекордсменом, велогонщику необходимо сложную трассу, состоящую из k этапов, преодолеть за время t < Т.

Поскольку отдельные этапы трассы неодинаковой трудности, то ему придется придерживаться такой тактики:

Δt1 часов идти со скоростью v1,

Δt2 часов идти со скоростью v2,

Δt3 часов идти со скоростью v3,

Δtk часов идти со скоростью vk.

Возникает вопрос: какие значения должны принимать v1, v2, ..., vk, чтобы велогонщик стал рекордсменом?

Пусть v1, v2, ..., vk — реализации случайной величины v. Согласно формуле (4.4) и ее геометрической интерпретации (рис. 52) вероятность того, что случайная величина v принимает значение vi,

(9.3)

Поскольку длина всей гоночной трассы S = ΣviΔti, то средняя скорость велогонщика согласно формуле (9.3)

(9.4)

Рис. 52

Из формулы (9.4) читатель, конечно, узнал математическое ожидание случайной величины. Итак:

1) гонщик знает, что длина всей гоночной трассы S;

2) он принял решение i-й этап преодолеть за время Δti;

3) всю трассу ему надо преодолеть за время t<T, т. е. он может, подобрав конкретное значение t чуть меньше Т, определить численные значения

Из соотношения (9.4) следует, что v1, v2, ..., vk должны быть такими, чтобы

(9.5)

Соотношение (9.5) позволяет ему составить такой план распределения скоростей, который обеспечит рекордный пробег.

11. ИСПРАВНА ЛИ АВТОМАТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ?

Автоматическая линия производит детали, номинальная длина которых должна быть 50 см, а дисперсия длин σ2 = 0,64.

Контролер, измерив длину сотни случайно попавших деталей, установил, что среднее арифметическое длин этих деталей x0 = 50,8 см. Это случайность или линия стала выпускать детали длиннее номинала?

Чтобы ответить на этот вопрос, нам необходимо знать, в каких пределах может меняться среднее арифметическое длин сотни деталей по причине случайности, скажем, с вероятностью 0,95.

Пусть x — среднее арифметическое длин достаточно большого числа n случайно выбранных деталей, т. е.

(9.6)

Разумеется, х — случайная величина: для одной выборки объема n она может принимать одно значение, для другой — другое и т. д. Поскольку эта случайная величина х сама является суммой достаточно большого числа независимых случайных величин

то согласно теореме Ляпунова она распределена по закону, близкому к нормальному. Иными словами, если M (х) — математическое ожидание, а σ(х) — среднее квадратическое отклонение этой случайной величины, то согласно формуле (8.13)

(9.7)

Согласно формулам (7.3) и (7.5)

(9.8)

но M(xi) = x — номинальная длина, поэтому из (9.8) следует

(9.9)

Согласно формуле (7.7) и соотношению

(9.10)

Но D (xi) = σ2 — номинальная дисперсия длин деталей, поэтому из (9.10) следует:

откуда

(9.11)

Подставляя результаты формул (9.9) и (9.11) в формулу (9.7), получаем:

(9.12)

С применением последней формулы теперь рассмотрим вероятность события «х — ε⩽х⩽x + ε». Согласно (9.12)

(9.13)

В нашем случае х = 50 см, n = 100, σ=√0,64 = 0,8, поэтому

Мы также условились, что желаем определить доверительный интервал случайного х с достоверностью 0,95, поэтому потребуем, чтобы

Отсюда Ф (12,5ε) = 0,475. По таблице 4 значению Ф(x) = 0,475 соответствует x = 1,96, т. е. 12,5е = 1,96, откуда ε = 0,16 см.

Таким образом установлено, что с достоверностью 0,95 (с гарантией 95%) случайный х должен попасть в промежуток

[50 — 0,16; 50 + 0,16], т. е. [49,84; 50,16]. Поскольку x0 = 50,8 см выходит за рамки этого интервала, имеем право заявить с достоверностью 0,95: автоматическая линия неисправна!

12. ЧТОБЫ ОЧЕРЕДИ БЫЛИ КОРОЧЕ

Посетители магазина, случайно подходящие к прилавку, за которым их обслуживают, обычно выстраиваются в очередь. Возникают вопросы: как определить время, которое затратит в среднем один покупатель в очереди, если известны данные о частоте появления новых покупателей, о времени обслуживания одного покупателя; в течение какого времени очередь будет состоять более чем из 10 человек; какой эффект даст добавление еще одного продавца; какой процент покупателей останется необслуженным, если в определенный момент прекратить работу магазина?

Различные аналоги такой задачи возникают при исследовании эксплуатационных признаков комплекса станков, при решении вопроса о количестве контрольных автоматов, которые следует установить на станции метро, при проектировании оборудования, необходимого для телефонных линий или ЭВМ, и даже при проектировании портовых причалов и посадочных полос аэродромов. Подобные примеры — задачи теории массового обслуживания. Это сложная теория, но мы попробуем ознакомить читателя хотя бы с ее азбукой.

Директор универмага рассуждал так: «Аппарат продавщиц универмага может в среднем за час обслужить μ посетителей; в среднем в течение 1 ч обслуживания может быть не больше λ посетителей. Поскольку λ<μ, то все в порядке: в магазине очередей не будет».

Люди, знающие теорию вероятностей, определили: при условии λ < μ, вероятность того, что в данный момент времени в очереди стоят и ожидают обслуживания n посетителей, Равна:

(9.14)

Рассмотрим два случая:

Р («в очереди более 4 посетителей») = 1 — Р («в очереди не более 4 посетителей » ) = 1 — (p0 + p1 + p2 + p3 + p4) = 1 — (0,75 + 0,1875 + 0,0469 + 0,0117 + 0,0029) = 0,001.

Таким образом, когда пропускная способность системы обслуживания в 4 раза превышает потребности, вероятность появления длинной очереди небольшая.

В случае б):

Р («в очереди более 4 посетителей» ) = 1 — Р («в очереди не более 4 посетителей») = 1 — (p0 + p1 + p2 + p3 + p4) = 1 — (0,05+ 0,0475+ 0,0451+ 0,0429+ 0,0407) = 0,7738, почти 8 шансов из 10, что в очереди будет более чем 4 посетителя.

Обращаем внимание на факт: соотношение λ/μ увеличилось только на 0,95/0,25 = 3,8 раза, а вероятность того, что в очереди будет более 4 посетителей, увеличилась на 0,7738/0,001 =773,8 раза.

Рассмотрим наш пример еще с другой точки зрения. За основу рассуждений возьмем вариант б). Допустим, в ситуации б) дирекция универмага на 10% увеличила число продавцов и поэтому пропускная способность системы обслуживания стала μ + 0,1μ = 1,1μ. Тогда соотношение λ/μ будет λ/1,1μ ≈ 0,86. В этой ситуации

Поэтому

Р («в очереди более 4 посетителей») = 1 — Р («в очереди не более 4 посетителей») = 1 — (0,14 + 0,1204 + 0,1035 + 0,0890 + 0,0766) = 0,4705.

Любопытный факт: увеличение числа продавцов только на 10% привело к снижению вероятности появления длинной очереди почти в 2 раза.

Мы надеемся, что этот рассказ поможет еще раз понять: теория вероятностей может во многом послужить на благо человека.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица 1

n

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

2

1

3

6

10

15

21

28

36

45

55

66

78

91

105

120

3

1

4

10

20

35

56

84

120

165

220

286

364

455

560

4

1

5

15

35

70

126

210

330

495

715

1001

1365

1820

5

1

6

21

56

126

252

462

792

1287

2002

3003

4368

6

1

7

28

84

210

462

924

1716

3003

5005

8008

7

1

8

36

120

330

792

1716

3432

6435

11 440

8

1

9

45

165

495

1287

3003

6435

12 870

9

1

10

55

220

715

2002

5005

10

1

11

66

286

1001

3003

11

1

12

78

364

1365

12

1

13

91

455

13

1

14

105

14

1

15

15

1

n

N

17

18

19

20

21

22

23

24

25

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

17

18

19

20

21

22

23

24

25

2

136

153

171

190

210

231

253

276

300

3

680

816

969

1140

1330

1540

1771

2024

2300

4

2380

3060

3876

4845

5985

7315

8855

10626

12650

5

6188

8568

11628

15504

20349

26334

33649

42504

53130

6

12376

18564

27132

38760

54264

74613

100947

134596

177100

7

19448

31824

50388

77520

116280

170544

245157

346104

480700

8

24 310

43758

75582

125970

203490

319770

490314

735471

1081575

9

48620

92378

167960

293930

497420

817190

1307504

2042975

10

184756

352716

646646

1144066

1961256

3268760

11

705432

1352078

2496144

4457400

12

2704156

5200300

n

N

26

27

28

29

30

31

32

0

1

1

1

1

1

1

1

1

26

27

28

29

30

31

32

2

321

351

378

406

435

465

469

3

2600

2925

3276

3654

4060

4495

4960

4

14950

17 550

20475

23751

27 405

31465

35960

5

65 780

80730

98 280

118755

142 506

169911

201376

6

230 230

296010

376740

475020

593 775

736 281

906192

7

657 800

888030

1184040

1560780

2035800

2629575

3 365856

8

1562 275

2220075

3108105

4292145

5852925

7888 725

10518300

9

3124550

4686825

6906900

10015005

14307150

20160075

28048800

10

5311735

8436285

13123110

20030010

30045015

44 352165

64 512 240

11

7 726160

13 037 895

21474180

34597 290

54627 300

84672315

129024480

12

9657 700

17 383 860

30421755

51895935

86493 225

141120 525

225 792840

13

10400600

20058300

37 442160

67863915

119759850

206 253075

347 373600

14

40116600

77558760

145422675

265182 525

471435600

15

155117 520

300540195

565 722720

16

601080390

n

N

33

34

35

36

37

0

1

1

1

1

1

1

33

34

35

36

37

2

528

561

595

630

666

3

5456

5984

6545

7140

7770

4

40920

46376

52360

58905

66045

5

237336

278256

324632

376992

435897

6

1107568

1344904

1623160

1947792

2324784

7

4272048

5379616

6724520

8347680

10295472

8

13884156

18156204

23535820

30260340

38608020

9

38567100

52451256

70607460

94143280

124403620

10

92561040

131128140

183579396

254186856

348330136

11

193536720

286097 760

417 225900

600805296

854992152

12

354317320

548354040

834451800

1251677 700

1852482996

13

573166440

927 983760

1476337800

2310789600

3562467300

14

818809200

1391975640

2319959400

3796297 200

6107086800

15

1037158320

1855967 520

3247943160

5567902560

9364199760

16

1166803110

2203961430

4059928950

7307872110

12875774670

17

2333606220

4537 567650

8597496600

15905368710

18

9075135300

17672631900

n

N

38

39

40

41

42

0

1

1

1

1

1

1

38

39

40

41

42

2

703

741

780

820

862

3

8436

9139

9880

10660

11480

4

73815

82251

91390

101270

111930

5

501942

575757

658008

749 398

850668

6

2760681

3 262623

3838 380

4 496 388

5245786

7

12620256

15380937

18643560

22481940

26978 328

8

48903492

61523 748

76904685

95 548245

118030185

9

163011640

211915132

273438880

350343565

445 891810

10

472733756

635 745 396

847660528

1121099408

1471442973

11

1203322288

1676056044

2 311801440

3159461968

4280561376

12

2 707475148

3910797436

5 586853480

7898654920

11058116888

13

5414950296

8122425 444

12033 222880

17620076360

25518731280

14

9660554100

15084504 396

23 206929840

35240152720

52860229080

15

15471286560

25140840 660

40225345056

63432274896

98672427616

16

22239974430

37711260990

62852101650

103077446706

166509721602

17

28 781143 380

51021117810

88732 378800

151584480450

254661927156

18

33 578000610

62 359143990

113380261800

202112640600

353697121050

19

35 345 263800

68923 264410

131282 408400

244662670200

446 775 310800

20

137 846 528 820

269128937220

513791607420

21

538257 874440

n

N

43

44

45

46

0

1

1

1

1

1

43

44

45

46

2

903

946

990

1035

3

12341

13244

14190

15180

4

123410

135751

148995

163185

5

962598

1086008

1221759

1370754

6

6096454

7059052

8145060

9366819

7

32224114

38320568

45379620

53524680

8

145008513

177232627

215553195

260932815

9

563921995

708930508

886163135

1101716330

10

1917334783

2481256778

3190187286

4076350481

11

5752004349

7669339132

10150595910

13340783196

12

15 338678264

21090682613

28760021745

38910617655

13

36576848168

51915526432

73006209045

101766230790

14

78378960360

114955808528

166871334960

239877544005

15

151532656696

229911617056

344867425584

511738760544

16

265182149218

416714805914

646626422970

991493848554

17

421171648 758

686353797976

1103068603890

1749695026860

18

608359048206

1029 530696964

1715884494940

2818953098830

19

800472431850

1408831480056

2438362177020

4154246671960

20

960566918220

1761039350070

3169870830126

5608233007140

21

1052049481860

2012616400080

3773655750150

6943526580276

22

2104098963720

4116715363800

7890371113950

23

8233430727600

n

N

47

48

49

50

0

1

1

1

1

1

47

48

49

50

2

1081

1128

1176

1225

3

16215

17296

18424

19600

4

178365

194580

211876

230300

5

1533739

1712304

1906884

2118760

6

10737573

12271512

13983816

15890700

7

62891499

73629072

85900584

99884400

8

314457495

377348994

450978066

536878650

9

1362649145

1677106640

2054455634

2505433700

10

5178066751

6540715896

8217822536

10272278170

11

17417133617

22595200368

29135916264

37353738800

12

52251400851

69668534468

92263 734836

121399651100

13

140676848445

192928249296

262596783764

354860518600

14

341643774795

482320623240

675248872536

937845656300

15

751616304549

1093260079344

1575580702584

2250829575120

16

1503232609098

2254848913647

3348108992991

4923689695575

17

2741188875414

4244421484512

6499270398159

9847379391150

18

4568648125690

7 309837001104

11554258485616

18053528883775

19

6973199770790

11541847896480

18851684897 584

30405943383200

20

9762479679106

16735679449896

28277527346376

47129212243960

21

12551759587422

22314239266528

39049918716424

67 327446062800

22

14833897694226

27 385657281648

49699896548176

88749815264600

23

16123801841550

30957699535776

58343356817424

108043253365600

24

32247603683100

63205303218876

121548660036300

25

126410606437572

Таблица 2

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,3989

3989

3989

3988

3986

3984

3982

3980

3977

3973

0,1

3970

3965

3961

3956

3951

3945

3939

3932

3925

3918

0,2

3910

3902

3894

3885

3876

3867

3857

3847

3836

3825

0,3

3814

3802

3790

3778

3765

3752

3739

3726

3712

3697

0,4

3683

3668

3653

3637

3621

3605

3589

3572

3555

3538

0,5

3521

3503

3485

3467

3448

3429

3410

3391

3372

3352

0,6

3332

3312

3292

3271

3251

3230

3209

3187

3166

3144

0,7

3123

3101

3079

3056

3034

3011

2989

2966

2943

2920

0,8

2897

2874

2850

2827

2803

2780

2756

2732

2709

2685

0,9

2661

2637

2613

2589

2565

2541

2516

2492

2468

2444

1,0

0,2420

2396

2371

2347

2323

2299

2275

2251

2227

2203

1,1

2179

2155

2131

2107

2083

2069

2036

2012

1989

1965

1,2

1942

1919

1895

1872

1849

1826

1804

1781

1758

1736

1,3

1714

1691

1669

1647

1626

1604

1582

1561

1539

1518

1,4

1497

1476

1456

1435

1415

1394

1374

1354

1334

1315

1,5

1295

1276

1257

1238

1219

1200

1182

1163

1145

1127

1,6

1109

1092

1074

1057

1040

1023

1006

0989

0973

0957

1,7

0940

0925

0909

0893

0878

0863

0848

0833

0818

0804

1,8

0790

0775

0761

0748

0734

0721

0707

0694

0681

0669

1,9

0656

0644

0632

0620

0608

0596

0584

0573

0562

0551

2,0

0,0540

0529

0519

0508

0498

0488

0478

0468

0459

0449

2,1

0440

0431

0422

0413

0404

0396

0387

0379

0371

0363

2,2

0355

0347

0339

0332

0325

0317

0310

0303

0297

0290

2,3

0283

0277

0270

0264

0258

0252

0246

0241

0235

0229

2,4

0224

0219

0213

0208

0203

0198

0194

0189

0184

0180

2,5

0175

0171

0167

0163

0158

0154

0151

0147

0143

0139

2,6

0136

0132

0129

0126

0122

0119

0116

0113

0110

0107

2,7

0104

0101

0099

0096

0093

0091

0088

0086

0084

0081

2,8

0079

0077

0075

0073

0071

0069

0067

0065

0063

0061

2,9

0060

0058

0056

0055

0053

0051

0050

0048

0047

0046

3,0

0,0044

0043

0042

0040

0039

0038

0037

0036

0035

0034

3,1

0033

0032

0031

0030

0029

0028

0027

0026

0025

0025

3,2

0024

0023

0022

0022

0021

0020

0020

0019

0018

0018

3,3

0017

0017

0016

0016

0015

0015

0014

0014

0013

0013

3,4

0012

0012

0012

0011

0011

0010

0010

0010

0009

0009

3,5

0009

0008

0008

0008

0008

0007

0007

0007

0007

0006

3,6

0006

0006

0006

0005

0005

0005

0005

0005

0005

0004

3,7

0004

0004

0004

0004

0004

0004

0003

0003

0003

0003

3,8

0003

0003

0003

0003

0003

0002

0002

0002

0002

0002

3,9

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0001

0001

Таблица 3

m

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

0,904837

0,818731

0,740818

0,670320

0,606531

0,548812

0,496585

0,449329

0,406570

1

0,09484

0,163746

0,222245

0,268128

0,303265

0,329287

0,347610

0,359463

0,365913

2

0,004524

0,016375

0,033337

0,053626

0,075816

0,098786

0,121663

0,143785

0,164661

3

0,000151

0,001091

0,003334

0,007150

0,012636

0,019757

0,028388

0,038343

0,049398

4

0,000004

0,000055

0,000250

0,000715

0,001580

0,002964

0,004968

0,007669

0,011115

5

0,000002

0,000015

0,000057

0,000158

0,000356

0,000695

0,001227

0,002001

6

0,000001

0,000004

0,000013

0,000035

0,000081

0,000164

0,000300

7

0,000001

0,000003

0,000008

0,000019

0,000039

8

0,000002

0,000004

m

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

0

0,367879

0,135335

0,049787

0,018316

0,006738

0,002479

0,000912

0,000335

0,000123

1

0,367879

0,270671

0,149361

0,073263

0,033690

0,014873

0,006383

0,002684

0,001111

2

0,183940

0,270671

0,224042

0,146525

0,084224

0,044618

0,022341

0,010735

0,004998

3

0,061313

0,180447

0,224042

0,195367

0,140374

0,089235

0,052129

0,028626

0,014994

4

0,015328

0,090224

0,168031

0,195367

0,175467

0,133853

0,091226

0,057252

0,033737

5

0,003066

0,036089

0,100819

0,156293

0,175467 0,146223

0,160623

0,127717

0,091604

0,060727

6

0,000511

0,012030

0,050409

0,104194

0,160623

0,149003

0,122138

0,091090

7

0,000073

0,003437

0,021604

0,059540

0,104445

0,137677

0,149003

0,139587

0,117116

8

0,000009

0,000859

0,008101

0,029770

0,065278

0,103258

0,130377

0,139587

0,131756

9

0,000001

0,000191

0,002701

0,013231

0,036266

0,068838

0,101405

0,124007

0,131756

10

0,000038

0,000810

0,005292

0,018133

0,041303

0,070983

0,099262

0,118580

11

0,000007

0,000221

0,001925

0,008242

0,022529

0,045171

0,072190

0,097020

12

0,000001

0,000055

0,000642

0,003434

0,011262

0,026350

0,048127

0,072765

13

0,000013

0,000197

0,001321

0,005199

0,014188

0,029616

0,050376

14

0,000003

0,000056

0,000472 0,000157

0,002228

0,007094

0,016924 0,009026

0,032384

15

0,000001

0,000015

0,000891

0,003311

0,019431

16

0,000004

0,000049

0,000334

0,001448

0,004513

0,010930

17

0,000001

0,000014

0,000118

0,000596

0,002124

0,005786

18

0,000004

0,000039

0,000232

0,000944

0,002893

19

0,000001

0,000012

0,000085

0,000397

0,001370

20

0,000004

0,000030

0,000159

0,000617

21

0,000001

0,000010

0,000061

0,000264

22

0,000003

0,000022

0,000108

23

0,000001

0,000008

0,000042

24

0,000003

0,000016

25

0,000001

0,000006

26

0,000002

27

0,000001

Таблица 4

y = Ф(x)

X

Ф(х)

X

Ф(х)

X

Ф(х)

X

Ф(х)

0,00

0,0000

0,51

0,1950

1,02

0,3461

1,53

0,4370

0,01

0,0040

0,52

0,1985

1,03

0,3485

1,54

0,4382

0,02

0,0080

0,53

0,2019

1,04

0,3508

1,55

0,4394

0,03

0,0120

0,54

0,2054

1,05

0,3531

1,56

0,4406

0,04

0,0160

0,55

0,2088

1,06

0,3554

1,57

0,4418

0,05

0,0199

0,56

0,2123

1,07

0,3577

1,58

0,4429

0,06

0,0239

0,57

0,2157

1,08

0,3599

1,59

0,4441

0,07

0,0279

0,58

0,2190

1,09

0,3621

1,60

0,4452

0,08

0,0319

0,59

0,2224

1,10

0,3643

1,61

0,4463

0,09

0,0359

0,60

0,2257

1.11

0,3665

1,62

0,4474

0,10

0,0398

0,61

0,2291

1,12

0,3686

1,63

0,4484

0,11

0,0438

0,62

0,2324

1,13

0,3708

1,64

0,4495

0,12

0,0478

0,63

0,2357

1,14

0,3729

1,65

0,4505

0,13

0,0517

0,64

0,2389

1,15

0,3749

1,66

0,4515

0,14

0,0557

0,65

0,2422

1,16

0,3770

1,67

0,4525

0,15

0,0596

0,66

0,2454

1.17

0,3790

1,68

0,4535

0,16

0,0636

0,67

0,2486

1,18

0,3810

1,69

0,4545

0,17

0,0675

0,68

0,2517

1,19

0,3830

1,70

0,4554

0,18

0,0714

0,69

0,2549

1,20

0,3849

1,71

0,4564

0,19

0,0753

0,70

0,2580

1,21

0,3860

1,72

0,4573

0,20

0,0793

0,71

0,2611

1,22

0,3888

1,73

0,4582

0,21

0,0832

0,72

0,2642

1,23

0,3907

1,74

0,4591

0,22

0,0871

0,73

0,2673

1,24

0,3925

1,75

0,4599

0,23

0,0910

0,74

0,2703

1,25

0,3914

1,76

0,4608

0,24

0,0948

0,75

0,2734

1,26

0,3962

1,77

0,4616

0,25

0,0987

0,76

0,2764

1,27

0,3980

1,78

0,4625

0,26

0,1026

0,77

0,2794

1,28

0,3997

1,79

0,4633

0,27

0,1064

0,78

0,2823

1,29

0,4015

1,80

0,4641

0,28

0,1103

0,79

0,2852

1,30

0,4032

1,81

0,4649

0,29

0,1141

0,80

0,2881

1,31

0,4049

1,82

0,4656

0,30

0,1179

0,81

0,2919

1,32

0,4066

1,83

0,4664

0,31

0,1217

0,82

0,2939

1,33

0,4082

1,84

0,4671

0,32

0,1255

0,83

0,2967

1,34

0,4099

1,85

0,4678

0,33

0,1293

0,84

0,2995

1,35

0,4115

1,86

0,4686

0,34

0,1331

0,85

0,3023

1,36

0,4131

1,87

0,4693

0,35

0,1368

0,86

0,3051

1,37

0,4147

1,88

0,4699

0,36

0,1406

0,87

0,3078

1,38

0,4162

1,89

0,4706

0,37

0,1443

0,88

0,3106

1,39

0,4177

1,90

0,4713

0,38

0,1480

0,89

0,3133

1,40

0,4192

1,91

0,4719

0,39

0,1517

0,90

0,3159

1,41

0,4207

1,92

0,4726

0,40

0,1554

0,91

0,3186

1,42

0,4222

1,93

0,4732

0,41

0,1591

0,92

0,3112

1,43

0,4236

1,94

0,4738

0,42

0,1628

0,93

0,3238

1,44

0,4251

1,95

0,4744

0,43

0,1664

0,94

0,3264

1,45

0,4265

1,96

0,4750

0,44

0,1700

0,95

0,3289

1,46

0,4279

1,97

0,4756

0,45

0,1736

0,96

0,3315

1,47

0,4292

1,98

0,4761

0,46

0,1772

0,97

0,3340

1,48

0,4306

1,99

0,4767

0,47

0,1808

0,98

0,3365

1,49

0,4319

2,00

0,4772

0,48

0,1844

0,99

0,3389

1,50

0,4332

2,02

0,4783

0,49

0,1879

1,00

0,3413

1,51

0,4345

2,04

0,4793

0,50

0,1915

1,01

0,3438

1,52

0,4357

2,06

0,4803

Продолжение

X

Ф(х)

X

Ф(х)

X

Ф(х)

X

Ф(х)

2,08

0,4812

2,36

0,4908

2,64

0,4959

2,92

0,4982

2,10

0,4821

2,38

0,4913

2,66

0,4961

2,94

0,4984

2,12

0,4830

2,40

0,4918

2,68

0,4963

2,96

0,4985

2,14

0,4838

2,42

0,4922

2,70

0,4965

2,98

0,4986

2,16

0,4846

2,44

0,4927

2,72

0,4967

3,00

0,49865

2,18

0,4854

2,46

0,4931

2,74

0,4969

3,20

0,49931

2,20

0,4861

2,48

0,4934

2,76

0,4971

3,40

0,49966

2,22

0,4868

2,50

0,4938

2,78

0,4973

3,60

0,499841

2,24

0,4875

2,52

0,4941

2,80

0,4974

3,80

0,499928

2,26

0,4881

2,54

0,4945

2,82

0,4976

4,00

0,499968

2,28

0,4887

2,56

0,4948

2,84

0,4977

4,50

0,499997

2,30

0,4893

2,58

0,4951

2,86

0,4979

5,00

0,49999997

2,32

0,4898

2,60

0,4953

2,88

0,4980

2,34

0,4904

2,62

0,4956

2,90

0,4981

ОТВЕТЫ

1. В, D и Е. 2. D. 3, А — достоверное событие, D — невозможное событие. 4. а) A⊂C⊂B⊂D; б) A⊂B⊂C. 5. «Попадание двумя выстрелами». 7. «Не больше 4р.». 8. «Появление хотя бы одного герба при подбрасывании двух монет». 9. «Мишень поражена не больше чем 100 выстрелами». 10. «Появилось не меньше 4 очков». 11. U; V; U, 12. «Попадание первыми двумя выстрелами». 13. A⋂B⋂C—«появление 1 очка», A⋂B— «появление либо 1, либо 5 очков», А⋂С—«появление либо 1, либо 3 очков», В⋂С — «появление либо 1, либо 2, либо 4, либо 6 очков». 18. А∪В—«деталь либо I, либо II сорта», A∪C — «деталь II сорта», A⋂C = V, (А⋂В)∪С = С. 19. а) А =В; б) A = V;

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — 4-е изд. — М.: Наука, 1969.

2. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. — М.: Наука, 1969.

3. Гнеденко Б. В. Математика в современном мире. — М.: Просвещение, 1980.

4. Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. — 6-е изд. — М.: Наука, 1964.

5. Ивашов-Мусатов О. С. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Наука, 1979.

6. Кордемский Б. А. Математика изучает случайности. — М.: Просвещение, 1975.

7. Математика в современном мире: Сб. статей/Пер. с англ. Н. Г. Рычковой. — М.: Мир, 1967.

8. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. — М.: Наука, 1975.

9. Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. — М.: Мир, 1969.

10. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М.: Наука, 1975.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Слово к читателю................ 3

I. Кое-что из прошлого теории вероятностей........ 5

II. Случайные события и операции над ними........ 11

1. Случайное событие............. —

2. Элементарные случайные события......... 12

3. Достоверное и невозможное событие........ 14

4. Отношения между событиями.......... 16

5. Операции над событиями............ 17

III. Наука о подсчете числа комбинаций — комбинаторика ... 24

1. Общие правила комбинаторики......... 24

2. Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений ................. 26

3. Генеральная совокупность с повторениями и выборки с повторениями ................. 33

IV. Вероятность события............. 41

1. Классическое понятие вероятности события...... 41

2. Статистическое понятие вероятности события...... 43

3. Геометрическое понятие вероятности........ 47

V. Операции над вероятностями........... 51

1. Вероятность объединения несовместимых событий .... 51

2. Вероятность объединения совместимых событий..... 54

3. Условные вероятности............ 55

4. Независимость случайных событий и правило произведения вероятностей............... 57

5. Независимость в совокупности.......... 60

6. Формула полной вероятности.......... 61

VI. Независимые повторные испытания......... 67

1. Формула Я. Бернулли............ 67

2. Формула Муавра — Лапласа.......... 73

3. Формула Пуассона............. 78

4. Формула Лапласа.............. 80

VII. Дискретные случайные величины и их характеристики .... 84

1. Случайная величина............. 84

2. Дискретность и непрерывность случайной величины .... 86

3. Закон распределения дискретной случайной величины ... 87

4. Математическое ожидание дискретной случайной величины . 89

5. Дисперсия дискретной случайной величины...... 96

6. Неравенство Чебышева и закон больших чисел..... 102

7. Распределение Пуассона............ 106

VIII. Непрерывные случайные величины и их характеристики . . . 109

1. Функция распределения............ 110

2. Плотность распределения........... 112

3. Математическое ожидание........... 116

4. Дисперсия................ 118

5. Нормальное распределение........... 119

6. Понятие о теореме Ляпунова........... 123

7. Показательное распределение.......... 127

IХ. Немножко странно, но интересно.......... 130

1. Умная игла (задача Бюффона)......... —

2. Задача шевалье де Мере............ 133

3. Отдайте мою шапку............. 134

4. Чтобы покупатели были довольны......... 136

5. Парадокс Бертрана............. 137

6. Случайность или система?........... 139

7. Преступление раскрыто............ 140

8. «Сражение»............... 142

9. В гости к дедушке.............. 142

10. Как стать рекордсменом?........... 144

11. Исправна ли автоматическая линия?........ 145

12. Чтобы очереди были короче........... 147

Приложение................ 149

Ответы.................. 158

Рекомендуемая литература............ 159

Учебное издание

Лютикас Витаутас Стяпонович

ФАКУЛЬТАТИВНЫЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Пособие для учащихся 9—11 классов

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Л. В. Туркестанская

Младший редактор Л. И. Заседателева Художник Е. П. Титков Художественный редактор Е. Р. Дашук Технический редактор Р. С. Невретдинова Корректор Е. Г. Чапюк

ИБ № 11761

Сдано с набор 21.08.89. Подписано к печати 13.03.90. Формат 60×901/16. Бум. типогр. № 2. Гарнитура школьная. Печать высокая. Усл. печ. л. 10. Усл. кр. отт. 10,32. Уч.-изд. л. 8,55. Тираж 262 000 экз. Заказ № 610. Цена 25 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.