Популярные лекции по математике

Ю. И. ЛЮБИЧ и Л. А ШОР

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

ВЫПУСК 42

Ю. И. ЛЮБИЧ, Л. А. ШОР

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1966

УДК 513.0

АННОТАЦИЯ

Решая геометрическую задачу, полезно представить себе, что будет происходить с элементами рассматриваемой фигуры, если некоторые ее точки начнут двигаться. Зависимость одних элементов от других может стать при этом наглядно очевидной, и решение задачи бросится в глаза.

Связи между величинами отрезков, углов и т. п. в геометрических фигурах обычно являются более сложными, чем связи между скоростями изменения этих величин в процессах деформации фигур. Поэтому для решения геометрических задач может быть полезной «теория скоростей»— кинематика.

В этой брошюре на нескольких примерах демонстрируется применение кинематики к задачам элементарной геометрии и приводится некоторое количество задач для самостоятельного упражнения. Необходимые общие сведения из кинематики (и векторной алгебры) излагаются предварительно.

Брошюра написана на основе лекций, прочитанных в школьном математическом кружке при Харьковском государственном университете им. А. М. Горького. Она рассчитана на учащихся 9—10 классов.

ВВЕДЕНИЕ

Однажды в серьезной математической книге*) нам встретилась задача, которая, казалось, попала туда из сочинений Конан-Дойля или Стивенсона. В ней шла речь об отыскании клада. Одному человеку было известно, что в той местности, где зарыт клад, растут только три дерева: дуб, сосна и береза. Для того чтобы найти клад, надо стать под березой (рис. 1, на котором она

обозначена точкой Б) лицом к прямой линии, проходящей через дуб и сосну (на рис. 1 это точки Д и С). При этом дуб должен оказаться справа, а сосна слева. Затем надо пойти к дубу, считая шаги. Дойдя до дуба, повернуть под прямым углом направо и пройти столько же шагов, сколько было пройдено от березы до дуба. В этом месте остановиться и поставить вешку (на рис. 1 это точка В\). Затем следует вернуться к березе и пойти от нее к сосне, считая шаги. Дойдя до сосны, повер-

Рис. 1.

*) Т. Саати, Математические методы исследования операций, Воениздат, Москва, 1963.

нуть под прямым углом налево и пройти столько же шагов, сколько было пройдено от березы до сосны. В этом месте остановиться и поставить вешку (на рис. 1 это точка В2). Клад зарыт точно посредине между вешками (на рис. 1 это точка К).

При такой подробной инструкции отыскание клада не могло вызвать затруднений. Однако они все-таки возникли. Дело в том, что когда кладоискатель попал в указанную местность, он обнаружил там только дуб и сосну. Березы же не было и в помине. И все же он нашел клад. Спрашивается, как ему это удалось?

Поскольку задача была приведена в Серьезной Математической книге, следовало ожидать, что дело здесь не просто в удаче. И, действительно, задача имеет математическое решение, кстати вполне доступное школьнику.

Опустим из точек Ви Въ Б и К перпендикуляры на прямую ДС (см. рис. 2). Основания их обозначим через В/, В2> Б' и К' соответственно. Отметим равенство следующих пар прямоугольных треугольников (по стороне и острому углу):

Из равенства треугольников следует, что ß,ß/ = ДБ', ДВХ' = ББ' и В2В2' =С£', СВ2' = ББ'. Так как точка К — середина отрезка ВХВЪ то КК' — средняя линия трапеции ВХВХВ2В2 и поэтому

Рис. 2.

Далее, точка К' — середина отрезка ВХ'В* и так как Д5/ = Cß2'( = ББ'), то К' — середина отрезка ДС. Таким образом, положение точки К не зависит от положения точки Б. Чтобы найти точку /С, достаточно к отрезку ДС восставить перпендикуляр в его середине и отложить на этом перпендикуляре отрезок, равный ~ ДС, в такую сторону, чтобы точка Д оказалась справа, а точка С — слева.

Хотя приведенное решение безупречно, оно все-таки оставляет чувство некоторой неудовлетворенности. Основная идея — опустить перпендикуляры из точек Ви ß2, Б и К на прямую ДС — никак не связана с постановкой задачи и, на наш взгляд, является весьма искусственной*). Гораздо более естественно выяснить, как зависит положение точки К от положения точки Б, или, иначе, как будет двигаться точка К при движении точки Б. Эта идея подсказывается, кстати, и самой фабулой задачи. Легко себе представить, что, не увидев березы, кладоискатель начинает бродить по местности в поисках ее остатков и при этом рассуждает: «Если бы береза была здесь, то клад должен был бы быть там, а если береза была бы здесь, то ...». И тут он мог бы заметить, что положение клада не зависит от положения березы. Заметив это, он взялся бы за заступ, отложив поиски доказательства до лучших времен. Нас же, в отличие от него интересует как раз вопрос о том, как, рассуждая таким образом, не только заметить, но и доказать, что положение точки К (клада) не зависит от положения точки Б (березы).

Представим себе, что точка Б начала двигаться. Пусть V—вектор ее мгновенной скорости. Так как отрезок ДВХ получается из отрезка ДБ поворотом на угол -у, то точка Bt будет двигаться согласованно с точкой Б,

*) Подобные «искусственности» очень часто встречаются в решениях геометрических задач. Это дало повод известному французскому математику Ж. Фавару сказать, что для многих людей «геометрия остается искусством доказывать какое-нибудь свойство, рассматривая коварно выбранный круг и удачно соединяя старательно разобщенные точки».

а именно так, что вектор vt ее скорости будет получаться из вектора v поворотом на угол -у. Аналогично, вектор v2 скорости точки В2 будет получаться из v поворотом на угол*) --. Поэтому v2=—Vj.

И значит, точка К как середина отрезка ВХВ2 имеет скорость

Но если скорость точки все время равна нулю, то эта точка неподвижна! Итак, при произвольном движении точки Б точка К остается неподвижной. Следовательно, положение точки К не зависит от положения точки Б.

Чтобы найти теперь положение точки /С, достаточно выбрать одно какое-нибудь положение точки Б.

Пожалуй, проще всего совместить точку Б с точкой С и применить построение, известное кладоискателю (рис. 3).

Это решение, основанное на кинематических соображениях, при всей его естественности, может показаться трудным школьнику ввиду недостаточного знакомства его со свойствами векторов и скоростей. Поэтому в книжке, посвященной применению кинематического метода к геометрическим задачам, нам пришлось довольно много рассказать о векторах и о скоростях. Эти понятия играют важную роль в ряде разделов математики и физики. Поэтому ознакомление с ними полезно и само по себе.

В §§ 1—2 многое не доказывается, а лишь поясняется. Но, обращаясь к чертежам и размышляя само-

Рис. 3.

*) Напомним, что угол поворота считается положительным, если поворот происходит против часовой стрелки, и отрицательным, если поворот происходит по часовой стрелке.

стоятельно, читатель сможет без особого труда прийти к достаточно полным доказательствам. Сведущий читатель может ограничиться беглым ознакомлением с материалом этих параграфов.

Параграф 3 — основной в этой книге. Там разобрано некоторое число задач на применение кинематического метода и сформулированы задачи для самостоятельного упражнения.

§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

n° 1, Векторами называются направленные отрезки. На чертеже векторы изображаются отрезками, снабженными стрелками, указывающими направление (см. рис. 4). Начало вектора называется также его точкой приложения. Вектор с началом А и концом В обозначается AB (но не ВА\ ВА обозначает вектор с началом В и концом А). Часто для обозначения вектора применяют одну букву, например, АВ = =а. Эту букву принято печатать жирным шрифтом, чтобы сразу дать понять, что речь идет о векторе, а не о числе. Если вектор обозначен, например, через а, то его длина обозначается |а|, подобно абсолютной величине числа*). Длина вектора часто также называется абсолютной величиной.

Равенство двух векторов понимается не как полная тождественность, а несколько шире. Именно, два вектора называются равными, если их длины равны, а направления одинаковы. Таким образом, равные векторы обязательно параллельны или лежат на одной прямой (короче говорят: «коллинеарны»). На рис. 5

Из определения равенства вытекает, что при параллельном переносе вектор не изменяется.

Рис. 4.

*) Длина вектора AB часто обозначается просто AB.

Для дальнейшего важно рассматривать точку как отрезок, начало и конец которого совпадают. Такой «вырожденный» отрезок тоже считается вектором, но ему не приписывается никакого определенного направления*). Он называется нулевым вектором и обозначается 0. Его длина равна нулю: |0|=0.

п°2. Суммой векторов а и b называется вектор с= =а + Ь, идущий из начала вектора а в конец вектора b (рис. 6), при условии, что начало вектора b совмещено с концом вектора а (этого всегда можно добиться параллельным переносом вектора Ь).

Сложение векторов, как и сложение чисел, подчиняется переместительному и сочетательному законам. Переместительный закон выражается формулой

(1)

Его справедливость усматривается из рис. 7, на котором векторы а и b приложены в одной точке и служат сторонами параллелограмма. Диагональ этого параллелограмма, идущая из общего начала

Рис. 5.

Рис. 6. Рис. 7.

*) То есть любое направление считается направлением этого лектора.

векторов а и b, равна (как вектор) с одной стороны сумме а + Ь, с другой стороны — сумме b-h а. Сочетательный закон выражается формулой

(2)

справедливость которой усматривается из рис. 8.

Благодаря переместительному и сочетательному законам можно при сложении векторов так же, как и при сложении чисел, не обращать внимания ни на порядок слагаемых, ни на их группировку. В частности, можно писать просто а + b + с, опуская скобки.

Сложение нескольких векторов поясняется на рис. 9, на котором векторы аь а2, а3, а4, последовательно приложенные друг к другу, образуют ломаную, «замыкаемую» вектором-суммой а, 4- а2 + а3 + а4.

Очевидно, сумма нескольких векторов равна нулю тогда и только тогда, когда образованная ими ломаная замкнута, т. е. конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого (см. рис. 10).

Пусть, например,

(3)

Тогда длина вектора b должна быть равна длине вектора а, а направление прямо противоположно направлению вектора а Определенный таким образом вектор b называется противоположным вектору а и обозначается (—а). Формулы

непосредственно вытекающие из определений, играют важную роль в векторной алгебре. В частности, с

Рис. 8. Рис. 9.

их помощью можно исследовать операцию вычитания векторов, обратную к операции сложения.

п°3. Разностью a —b векторов а и b называется такой вектор с, что

(4)

Способ построения разности указан на рис. 11, а. Вместе с тем вычитание можно свести к сложению следующим образом. Прибавим к обеим частям равенства (4) вектор (—Ь):

В силу сочетательного и переместительного законов получаем:

откуда в силу формул (3)

Таким образом,

(5)

Это дает еще один способ построения разности, указанный на рис. 11,6.

Отметим еще формулы

(6)

Между прочим, поскольку согласно определению разности равенства

Рис. 10. Рис. 11.

означают одно и то же, то вектор можно переносить из одной части равенства в другую с противоположным знаком.

п 4. Нам понадобится одно важное неравенство, которое называется неравенством треугольника. Обратимся к рис. 6 (стр. 8). Согласно известной геометрической теореме имеет место неравенство

(7)

Здесь знак равенства достигается тогда и только тогда, когда векторы одинаково направлены.

Можно указать еще несколько неравенств, аналогичных неравенству треугольника, например,

(8)

п° 5. Произведением X а вектора а на вещественное число X называется вектор*) с, определяемый следующими условиями.

1) I с I—I Я| • I а I (|Х| — абсолютная величина числа X);

2) с коллинеарен вектору а;

3) при X > 0 направление вектора с совпадает с направлением вектора а, при Х<0 эти направления противоположны. На рис. 12 представлены случаи

Рис 12.

Очевидно,

*) Вектор, а не числа

Перечислим основные законы, которым подчиняется умножение вектора на число.

1) Сочетательный закон

(9)

иллюстрируется рис. 13, на котором представлены случаи Я > О, fi > 0 и X > О, fi < 0.

Рис. 13.

2) Распределительный закон относительно числового множителя

(10)

иллюстрируется рис. 14, на котором представлены случаи Я > 0 и % < 0.

Рис. 14.

3) Распределительный закон относительно векторного множителя

(11)

иллюстрируется рис. 15, на котором представлены случаи Я>0, fx > 0 и А, >0, fx < 0, k + \i>0.

Рис. 15.

Обратим еще внимание читателя на очевидные равенства:

(12)

Можно ввести и деление вектора на число. Частным от деления вектора а на число К=£0 называется произведение вектора а на число, обратное к X:

(13)

Итак, мы видим, что основные законы векторной алгебры не отличаются от основных законов алгебры чисел. Поэтому в векторной алгебре можно выполнять вычисления точно так же, как в более привычной алгебре чисел.

п°6. Начиная с этого места, мы будем считать, что все векторы лежат в одной плоскости*), т. е. будем заниматься только планиметрией.

Пусть а и b—два неколлинеарных вектора и с—какой-нибудь третий вектор. Если вектор с коллинеарен одному из векторов а или Ь, например, вектору а, то найдется такое число А,, что

(14)

*) Читатель, не знакомый со стереометрией, по-видимому, с самого начала так и считал. Он не потерял при этом ничего существенного.

В общем случае приложим все три вектора в одной точке О (рис. 16) и после этого проведем через конец С вектора с прямые, параллельные векторам а и Ь. Они пересекутся с прямыми, на которых лежат а и b в точках А и В соответственно. Очевидно,

Но так как векторы OA и а коллинеарны, то найдется такое число X, что

Аналогично найдется такое число fi, что

Следовательно,

(15)

Представление вектора с в виде (15) называется разложением этого вектора по векторам а и Ь. Любой вектор с можно разложить по двум неколлинеарным векторам а и Ь. Коэффициенты Я и ц при этом определены единственным образом.

Отметим, что равенство (14) записывается в виде (15) с коэффициентом \х=0.

п 7. Пусть Л, ß, С — три точки, лежащие на одной прямой. Говорят, что точка С делит отрезок AB в отношении т\п, если*)

(16)

Рис. 16.

*) Числа т, п — любые вещественные, не равные нулю одновременно. Если т=0, то точка С совпадает с точкой Л; если п=0, то С совпадает с В.

Очевидно, абсолютная величина отношения m :п равна отношению длин АС: СВ. Отношение т:п положительно, если точка С лежит внутри отрезка AB, и отрицательно, если она лежит вне отрезка (рис. 17).

Теорема. Пусть точка С делит отрезок AB в отношении т.п и пусть О — произвольная точка плоскости (рис. 18). Тогда

(17)

Обратно, если для какой-нибудь точки О выполнено равенство (17), то точка С делит отрезок в отношении m : л.

Доказательство. Пусть выполняется (16). Так как

то

Решая это уравнение относительно ОС, приходим к (17).

Аналогично из (17) получается (16).

п°8. Как известно, осью называется прямая, снабженная «положительным» направлением.

Пусть / — некоторая ось и AB — некоторый вектор (рис. 19). Обозначим через А{ и В{ проекции точек А и В на ось / (т. е. основания перпендикуляров к /, проведенных через А и В). Рассмотрим число, равное длине отрезка Aßh взятой со знаком плюс, если направление вектора ALBt совпадает с направлением

Рис. 17. Рис. 18.

оси /, и взятой со знаком минус в противоположном случае. Это число называется проекцией вектора AB на ось / и обозначается np^ß.

Пусть ф — угол между вектором а и осью /, заключенный между 0 и я (рис. 20). Очевидно,

(18)

В частности, если а перпендикулярен к /, то пр^а=0.

Отметим еще два свойства проекций (рис. 21, 22):

Эти свойства принято выражать следующими словами: «проектирование вектора на ось является линейной операцией над векторами». Последовательно

Рис. 19. Рис. 20.

Рис. 21. Рис. 22.

применяя свойства 1) и 2), можно написать вообще:

(19)

для любых векторов аи а2, ..., аЛ и любых чисел Хи Х2, ..., Хп.

Между прочим, умножение вектора на число Л тоже есть линейная операция (см. (9), (10)).

п°9. Еще один важный пример линейной операции дает операция поворота вектора на заданный угол а (положительный, отрицательный или нулевой— безразлично). Эту операцию мы будем обозначать через UoLy а результат ее применения к вектору а— через t/aa. Таким образом, вектор Ua а получается из вектора а поворотом на угол а. При этом, очевидно,

(20)

(рис. 23).

Очевидно, î/0a=a, т. е. операция С/0 не меняет вектора. Операция, не меняющая вектора, называется тождественной операцией.

Заметим еще, что

(21)

Как было уже сказано, операция поворота 1)а линейна:

1) (/a(a + b)=£7aa + £;ab (рис. 24),

2) (/а(Яа)=А,£7аа, где Я —любое число (рис. 25). Следовательно, подобно (19),

(22)

Рис. 23.

n° 10. Пусть S, T — две операции над векторами (например, S — проектирование вектора на некоторую ось /, Г— поворот вектора на прямой угол). Результат последовательного выполнения двух операций называется произведением операций. При этом, вообще говоря, важен порядок, в котором выполняются операции. Если в приведенном выше примере пары операций StT взять лежащий на оси / вектор а^=0 и применить к нему сначала 7, а затем S, то получается 0; если же к а применить сначала S, то получится число, а к числу попросту нельзя применить операцию Т (операция Т применяется только к векторам).

Если сначала выполняется операция Т, а затем операция S, то произведение записывается в виде ST. Таким образом, по определению

(23)

для любого вектора а.

Рис. 26 показывает, что (/&(/аа=(Уа+ра для любого вектора а, т. е. короче*):

(24)

Рис. 24.

Рис. 25. Рис 26.

*) Две операции 7\, Г2 над векторами считаются равными, если Гхв—Гга для всех векторов а.

Отсюда видно, что

(25)

хотя, вообще говоря, ST^=TS.

Если ST^TSy то говорят, что операции S и Т перестановочны. Таким образом, любые два поворота перестановочны. Любой поворот перестановочен также с умножением на число (свойство 2 операции Ua)-

Из формулы (24) следует

т. е. 6L-a6/aa=a для любого вектора а.

Свойства поворотов и других геометрических преобразований могут быть с успехом использованы для решения разнообразных задач (см. книгу И. М. Яглом, Геометрические преобразования, I, II, Гостехиздат, Москва, 1955—1956).

§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ

п°1. Возьмем на плоскости какую-нибудь точку О — полюс. Для произвольной точки M вектор г=бМ (рис. 27) называется ее радиус-вектором относительно полюса О. Точка и ее радиус-вектор взаимно определяют друг друга.

Если точка движется, описывая некоторую траекторию (рис. 28), то ее радиус-вектор изменяется в зависимости от времени; он является функцией от времени. Это обозначается так:

(1)

Рис. 27. Рис. 28.

Слово «изменяется» нельзя понимать здесь слишком буквально. Важным частным случаем движения является покой. Если точка покоится, то ее радиус-вектор во все моменты времени будет одним и тем же. Как функция от времени он является постоянной, «константой». Это записывается так:

(2)

Когда говорят, что, например, г есть функция от t, имеют в виду только тот факт, что при каждом значении / вектор г является вполне определенным: если t фиксировано, то г уже не может меняться.

п°2. Рассмотрим какой-нибудь промежуток времени [t0, tt]9 (tt > t0), начинающийся в момент t0 и кончающийся в момент tv Длительность этого промежутка равна*)

(3)

Если в момент t0 радиус-вектор движущейся точки M равен г0 (г0-г(*0)), а в момент tu он равен rt

(rt=r (/i))9 то вектор

показывает перемещение точки M за промежуток времени [t0, tx] (рис. 29).

Мы хотим теперь ввести важнейшее понятие скорости движения. Грубо говоря, скорость— это перемещение за единицу времени. При этом скорость должна описывать как абсолютную величину перемещения за единицу времени, так и направление этого перемещения, т. е. скорость должна быть вектором.

Если мы знаем, что за промежуток времени [t0, tt] точка M испытала перемещение Аг, то чтобы получить перемещение за единицу времени, есте-

Рис. 29.

*) Значок Л употребляется для обозначения приращения какой-нибудь величины, т. е. для обозначения того, на сколько изменилась величина.

ственно разделить Ar на длительность промежутка времени. При этом получится вектор, который называется средней скоростью точки за данный промежуток времени:

(4)

Этот вектор направлен так же, клк вектор перемещение Ar, но его абсолютная величина равна расстоянию M0Mlf деленному на А/, т. е. говоря грубо, — пути, проходимому точкой за единицу времени.

Что мы хотим подчеркнуть словами «грубо говоря»? Дело в том, что точка M в течение промежутка времени [t0y tt] движется, как правило, неравномерно, т. е. за равные части этого промежутка времени она проходит неравные пути. К тому же она движется, как правило, не по прямой М0Ми а по кривой, соединяющей те же точки. Вектор перемещения Ar характеризует лишь итог этого движения, но не его промежуточные стадии. То же относится и к вектору средней скорости, и это подчеркивается словом «средняя».

Легко понять, однако, что средняя скорость будет достаточно точной характеристикой движения, если длительность промежутка времени весьма мала. Поэтому для получения идеально точной характеристики нужно устремить время At к нулю, т. е. фиксируя начало t0 промежутка времени, устремить tx к t0. При этом средняя скорость vcp будет, вообще говоря, стремиться к некоторому пределу v:

(5)

В какой-то степени это иллюстрируется рис. 30.

Вектор v называется (мгновенной) скоростью движения в момент t0. Его направление является предельным для направлений векторов средних скоростей.

Вектор средней скорости за промежуток [t0, tt] лежит на секущей M0MV Если tx стремится к t0, то точка Mt стремится к точке М0, двигаясь по траектории.

При этом секущая М0Ми поворачиваясь, стремится к некоторому предельному положению М0Т. Прямая, предельная для секущей М0Ми называется касательной к траектории в точке /И0*). Вектор скорости в момент t0 лежит на касательной к траектории в точке М0.

Недостаточно подготовленного читателя могут смутить слова «стремится», «предел», «предельное

положение». К тому же мы употребляем эти слова в применении к переменным векторам (и даже к переменным прямым), а не только числам. Для переменных чисел смысл этих слов должен быть читателю известен из школьного курса математики, где излагаются элементы теории пределов. Но нам нужна более общая теория, которую мы сейчас вкратце изложим.

п 3. Пусть p(s) — функция аргумента s>0, принимающая числовые значения**). Напомним читателю точный смысл равенства

(6)

Рис 30.

*) Читателю рекомендуется сопоставить это общее определение касательной с обычным «школьным» определением касательной к окружности

**) Такие функции называют скалярными в противоположность векторным.

и соответствующей фразы: «функция p(s) стремится к нулю при s, стремящемся к нулю». Они означают, что, каким бы малым ни было число е>0, найдется столь малое число 6 > 0, что неравенство

будет выполняться при всех s < 6.

Пусть теперь a (s) — векторная функция аргумента s>0. Вектор b называется пределом для a (s) при s, стремящемся к нулю (запись: b=!ima(s)), если скалярная функция

стремится к нулю при s, стремящемся к нулю.

Основные теоремы теории пределов для векторных функций аналогичны известным читателю теоремам для скалярных функций.

Теорема 1. Двух различных пределов у одной и той же функции быть не может*).

Доказательство. Пусть

Очевидно,

Отсюда согласно неравенству треугольника

Так как оба слагаемых в правой части последнего неравенства стремятся к нулю при s-*0, а левая часть неравенства не зависит от s, то она не может быть положительной:

Но она не может быть и отрицательной (длина вектора всегда неотрицательна). Следовательно,

Это означает, что

*) Но может не быть ни одного: предел может не существовать, но, если он существует, то он единствен.

Теорема 2. Если

то

(«предел суммы равен сумме пределов»).

Теорема 3. Если

то при любом фиксированном числе % будет

(«предел произведения на число равен произведению предела на это число»).

Доказательство теорем 2 и 3 предоставляется читателю*).

Теорема 4. Если

то для любого фиксированного угла а будет

Доказательство. Имеем (см. § 1 формулу (20)):

Так как по условию

то и т. е.

п°4. Теперь мы в состоянии изложить в нужном нам виде теорию скоростей.

*) При доказательстве теоремы 2 следует воспользоваться неравенством треугольника.

Скорость точки определяется равенством (5)*).

Совершенно очевидна следующая

Теорема 5. Скорость неподвижной точки все время**) равна нулю.

Доказательство. Действительно, если точка неподвижна, то для любого промежутка времени вектор ее перемещения равен нулю, т. е. Дг=0.

Следовательно,

Но тогда и

в каждый момент времени.

Сформулируем обратную теорему.

Теорема 5'. Если скорость точки все время (в течение которого рассматривается движение этой точки) равна нулю, то точка остается неподвижной.

При всей своей физической очевидности эта теорема с математической точки зрения не так проста. Дабы не заходить слишком далеко в сторону, мы опускаем ее доказательство.

Теоремы 5 и 5' говорят о том, что равенство

г=const

равносильно равенству v=0.

Теорема 6. Пусть тх=гх(()9 г2=г2(0> г=г(/) — радиусы-векторы точек Ми М2, M соответственно. Если точки движутся так, что все время

то их скорости связаны аналогичным соотношением:

(7)

Доказательство. Вектор-перемещения точки M за промежуток времени [t, t + At] равен

*) Читатель, знакомый с дифференцированием, может сказать: «скорость точки есть производная от ее радиуса-вектора по времени». Дифференцирование является одной из важнейших операций в математике. Доступное школьнику изложение дифференцирования содержится в брошюре В. Г. Болтянского «Что такое дифференцирование?» (Гостехиздат, Москва, 1955).

**) Разумеется в течение которого эта точка неподвижна.

Отсюда

и по теореме 2

что и требовалось доказать.

Аналогичная теорема справедлива для разности.

Теорема 6'. Если скорости точек Ми М2, M все время связаны соотношением (7), то все время

(8)

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную точку Р, радиус-вектор которой все время равен

(9)

Но тогда скорость точки Р равна, по доказанному ранее, v - (v, + v2), т. е. равна нулю. Следовательно, точка Р неподвижна, т. е.

OP = const.

Отсюда и из (9) непосредственно вытекает (8).

Аналогично теоремам 6 и 6' могут быть доказаны (с помощью теорем 3, 4) следующие нары теорем.

Теорема 7. Пусть г, = г,(7), r.2-=t>(t) — радиусы-векторы точек Л4, и М2 соответственно Если точки движутся так, что все время

где X — постоянное число, то их скорости связаны аналогичным соотношением:

(10)

Теорема 7' Если скорости точек Ми М2 все время связаны соотношением (10), то все время

Теорема 8. Пусть r,«rf(f)s г2=т.,(/) — радиусы-векторы точек и М2 соответственно. Если точки движутся так. что все время

где а — постоянный угол, то их скорости связаны аналогичным соотношением

(11)

Теорема 8'. Если скорости точек Ми М2 все время связаны соотношением (11), то все время

п°5. Пусть г=г(0 - радиус-вектор движущейся точки М. Рассмотрим перемещение М0М, = Аг точки за некоторый промежуток времени [*0, tx\ (рис. 31).

Рис. 31. Рис 32.

Проведем дугу окружности с центром в полюсе О и радиусом ОМ0. Она пересечет луч 0Ми в точке M *. Очевидно,

(12)

Перемещение МЬМ* не изменяет расстояния движущейся точки M от полюса О и связано только с поворотом луча ОМ. Перемещение М*МУ связано только с изменением расстояния точки M от полюса.

Деля обе части равенства (12) на \t = tx — tu и переходя к пределу при получим:

(13)

Первый из пределов, стоящих в равенстве (13) справа, называется трансверсальной скоростью точки M и обозначается vT, второй — называется радиальной скоростью точки M и обозначается vp. Итак,

(14)

Формула (14) дает разложение вектора скорости на радиальную и трансверсальную составляющие (рис. 32). Эти составляющие взаимно перпендикулярны.

Радиальная скорость есть скорость изменения расстояния точки M от полюса О или, что то же самое,— скорость изменения длины радиуса-вектора ОМ. Она направлена вдоль этого вектора, если ОМ возрастает, и в противоположную сторону, если ОМ убывает.

Обозначим проекцию вектора скорости точки M на ось, определяемую вектором ОМ, через v0 . Очевидно,

где плюс берется в случае возрастания ОМ, а минус — в случае убывания.

Если точка M движется по окружности с центром в полюсе, то ее полная скорость, совпадает с трансверсальной:

Если же точка движется по лучу, исходящему из полюса, то ее полная скорость совпадает с радиальной:

п°6. Рассмотрим вращение луча ОМ вокруг его начальной точки О. Пусть за промежуток времени [t, t + At] луч повернулся на угол*) Дер. Средней угловой скоростью луча за промежуток времени [t, t + At] называется отношение

*) Этот угол может иметь любой знак.

Предел средней угловой скорости сосо при At->0 называется (мгновенной) угловой скоростью луча и обозначается просто со:

Угловая скорость — это не вектор, а число*). Она положительна, если вращение луча происходит в положительном направлении, и отрицательна, если луч вращается в отрицательном направлении.

Для угловых скоростей справедливы следующие теоремы, аналогичные теоремам о скоростях точек.

Теорема 9. Угловая скорость луча все время равна нулю тогда и только тогда, когда луч все время неподвижен.

Теорема 10. Угловые скорости двух лучей**) ОхМ и 02М все время равны тогда и только тогда, когда угол между лучами остается постоянным.

§ 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Теперь мы можем во всеоружии приступить к решению геометрических задач. Прежде всего мы рекомендуем повторно проанализировать кинематическое решение «задачи кладоискателя», указанное во введении. При этом необходимо проследить, как используется материал § 1—2, с тем чтобы лучше подготовиться к дальнейшим задачам.

Задача 1***). На сторонах произвольного треугольника ABC построены вне него равносторонние треугольники ABC, ВСА' и АСВГ (рис. 33). Доказать, что центры Ои 02 и 03 этих треугольников сами являются вершинами равностороннего треугольника.

*) Для неплоских движений угловая скорость вводится более сложным образом и там она оказывается векторной величиной,

**) Ои 02 — любые две (может быть, и совпадающие) неподвижные точки.

***) Эта задача, так же как и большинство приведенных ниже задач, заимствована из серии книг «Библиотека математического кружка» И. М. Яглома и др. Некоторые задачи взяты из книги Ж. Адамара «Элементарная геометрия», т. 1 (Москва, Учпедгиз, 1948).

Решение. Закрепим вершины А и В треугольника ABC и будем двигать вершину С. Пусть vc— ее скорость. При этом треугольник ABC будет оставаться неизменным, а вершины А' и В' равносторонних треугольников А'ВС и АЬ'С будут каким-то определенным образом двигаться. Рассмотрим векторы АС и А02. Очевидно,

Кроме того, угол между векторами АС и А02 равен -5-. Поэтому, если мы повернем вектор АС на угол -2- (при этом длина его не изменится) и умножим полученный вектор на то получим вектор Л03.

Это можно записать так:

По теореме 8

(Vj, — скорость точки 02).

Рис 33.

Аналогично

Отсюда

Следовательно,

(1)

Примем теперь неподвижную точку 0^ за полюс. Тогда из равенства (1) согласно теореме 8' получится

где вектор R = const, т. е. R не зависит от положения подвижной точки С. Вектор R неизвестен, но его можно найти, выбирая одно какое-нибудь положение точки С, которое мы будем кратко называть в дальнейшем определяющим положением Если окажется, что в определяющем положении точки С вектор R равен нулю, то, будучи постоянным, он равен нулю всегда, т. е. всегда

(2)

Но это как раз и означает, что треугольник 0^0209 всегда является равносторонним!

Действительно, в (2) написано, что отрезок 0Л02 получается из отрезка ОхОъ поворотом на угол, равный -J.

Остается найти подходящее определяющее положение точки С. Его целесообразно выбирать так, чтобы вся конфигурация была как можно более простой. В данной задаче конфигурация выглядит весьма просто (рис. 34), если точка С занимает такое положение, при котором треугольник ABC — равносторонний. Здесь имеет место симметрия: конфигурация совмещается сама с собой при повороте на

угол у я вокруг центра треугольника ABC. Поэтому треугольник Ох0203 оказывается равносторонним и, следовательно,

т. е. в этом положении действительно R=0.

Рис. 34.

Упражнения. 1. Доказать, что утверждение задачи 1 справедливо, если треугольники ABC, ВСА\ АСВ' заменить треугольниками ABC", ВС А", АСВ", симметричными им относительно сторон треугольника ABC (рис. 35).

Рис. 35.

2. На сторонах произвольного треугольника ABC построены равносторонние треугольники ВС А', АСВ', ABC, так что вершины А' и А, В' и В расположены соответственно по разные стороны от ВС и АС, а С и С по одну сторону от AB (рис. 36). Доказать, что если точка M есть центр треугольника ABC, то треугольник A'MB' равнобедренный и угол при его вершине M равен — я.

Рис. 36.

3. На сторонах произвольного треугольника ЛВС вне него построены равнобедренные треугольники ВС А', АСВ' и ЛВС с углами при вершинах А', В' и С, соответственно равными а, ß и y (рис 37). Доказать, что если

то углы треугольника А'В С равны

т. е. не зависят от формы треугольника ABC.

Задача 2. Дан четырехугольник A BCD. На сторонах его снаружи построены равнобедренные прямоугольные треугольники АВМ, ВСР, CDQ и DAS (рис. 38). Доказать, что отрезки MQ и SP равны и перпендикулярны.

Решение. Закрепим вершины А, В и D и начнем двигать вершину С. Так как

то

Аналогично

Перейдя от соотношения между скоростями к соотношению между радиусами-векторами, получим:

Рис. 37. Рис. 38.

Так как и

то где

Выберем определяющее положение вершины С. Например, совместим ее с вершиной А. Четырехугольник ABCD превратится при этом в две пары слившихся отрезков АВ = СВ и AD = CD (рис. 39). Треугольники А ВМ и СВР образуют квадрат, построенный на AB как на диагонали Аналогично,треугольники ADS и CDQ образуют квадрат с диагональю AD. Отсюда следует, что поворотом на -у треугольник ASP совмещает ся с треугольником AQM (при этом точка S совмещается с точкой Q, а точка Р с точкой М). Поэтому для рассматриваемого положения точки С

Таким образом здесь, а значит, и всегда R = 0, т. е. всегда

Но это равенство говорит о том, что отрезок SP всегда получается из отрезка МЦ поворотом на

Рис 39.

прямой угол. Следовательно,

Задача 3. Но сторонах произвольного параллелограмма A BCD вне него построены квадраты. Доказать, что их центры W, Р, Q и S сами являются вершинами квадрата (рис. 40).

Рис. 40.

Решение. Закрепим точки Л и D и будем двигать отрезок ВС параллельно самому себе. При этом точки В и С будут двигаться с одной и той же скоростью. Эту же скорость будет иметь точка Q — центр квадрата*), построенного на отрезке ВС.

Подсчитаем скорость точки S—центра квадрата, построенного на отрезке CD. Так как

то

Аналогично,

Так как

*) Весь квадрат будет двигаться, как говорят, поступательно.

то

Следовательно,

где

В качестве определяющего возьмем то положение отрезка ВС, в котором четырехугольник ABCD является квадратом. Тогда окажется

Таким образом, уже не только в этом положении, но и всегда

а эти равенства означают, что четырехугольник MPQS — квадрат.

Упражнения. 4. Доказать, что утверждение задачи 3 сохранится, если все квадраты заменить симметричными им относительно сторон параллелограмма ABCD.

5. Дан четырехугольник ABCD. Доказать, что если вершины Р и S равнобедренных прямоугольных треугольников A BP и CDS совпадают между собой, то совпадают также и вершины Q и Г равнобедренных прямоугольных треугольников BCQ и DAT (рис.41). Все треугольники строятся внутри четырехугольника ABCD.

Рис. 41. Рис. 42.

6. Дан четырехугольник ABCD. На сторонах ВС и DA снаружи и на сторонах AB и CD внутри четырехугольника построены равно-

бедренные прямоугольные треугольники АВР, BCQ, CDS, DAT (рис. 42). Доказать, что если вершины Р и S совпадают, то отрезок QT проходит через них и делится ими пополам.

7. Доказать, что в задаче 1 отрезки АА\ ВВ' и СС равны и, пересекаясь в одной точке, образуют углы, равные "g" я.

Задача 4. Даны четыре прямые а, Ь, с, d, попарно пересекающиеся в шести точках А, В, С, D, Е и F (рис. 43). Доказать, что середины M, Р и Q отрезков AC, BE и DF лежат на одной прямой.

Решение. Закрепим прямые Ь, с, d и будем перемещать прямую а параллельно самой себе. Точки B, С и D будут при этом двигаться по прямым Ъ, с и d. Скорости их обозначим через vß, vc и vD.

Пусть а' —смещенное положение прямой а и В\ C, U — смещенные положения точек Б, С и D (рис 44).

Начала и концы векторов ВВГ, СС, DD' лежат соответственно на параллельных прямых а и а'. Следовательно, если совместить начала этих векторов, то их концы окажутся на одной прямой, параллельной

Рис. 43.

Рис. 44.

а. Векторы ВВ', СС и DD' пропорциональны скоростям Vß, vc и v0 точек В, С и D. Поэтому если векторы va, vc и vo отложить из некоторой точки О, то их концы Ви С, и Dj будут лежать на одной прямой (параллельной прямой а). Отсюда согласно теореме из § 1, п° 7 следует, что существуют такие постоянные числа т и п, что

(3)

Точка M (см. рис. 43) является серединой отрезка АС, т. е.

Так как точка А неподвижна, то отсюда следует, что

(4)

Аналогично получаем равенства

(5)

В силу (3) —(5)

Примем теперь неподвижную точку Е за полюс. Тогда, последовательно применяя теоремы 6' и 7', будем иметь:

(6)

Пусть прямая а в определяющем положении проходит через точку Е (рис. 45). В этом положении точки D и С совмещаются с точкой Е. Точки M, Q и Р оказываются серединами отрезков АЕ, FE и BE. Так как точки A, F и В лежат на одной прямой, то точки M, Q и Р будут также лежать на одной прямой (параллельной Ь). Треугольники PEQ и ß,C,0 подобны (стороны одного параллельны сторонам другого: РЕ И а\\ ВХСХ\ PQ\\b\\OBx\ EQ\\c\\OCA).

Аналогично подобны треугольники РЕМ и BtDtO. Из подобия треугольников следует

Отсюда

т. е. точки Р и S, делят соответственно отрезки MQ и CjDj в одном и том же отношении. Но для точки ВА оно равно m : п. Следовательно, и для точки Р оно равно m : п, откуда

(7)

Сравнивая равенства (6) и (7), видим, что в определяющем положении R=^0. Но так как R = const, то R = 0 всегда. Значит, всегда имеет место равенство (7) и точки /И, Ру Q всегда лежат на одной прямой.

Упражнение 8. Доказать, что точки пересечения высот четырех треугольников BCD. ABE, DEF ACF. образованных четырьмя попарно пересекающимися прямыми а. Ь, с, d лежат на одной прямой (рис 46).

Задача 5. Пусть точка Р лежит на окружности К, описанной вокруг треугольника ABC, и Ри Р2, Р3 —

Рис. 45.

проекции точки Р на стороны А ABC (рис. 47). Доказать, что точки Ри Р2, Рг лежат но одной прямой (это — так называемая прямая Симпсона, соответствующая точке Р и треугольнику ABC).

Решение. Будем вращать стороны АС и ВС вокруг точек А и В с одной и той же угловой скоростью (о. Точка С при этом перемещается по окружности*) /С. Так как углы РРХА и РР2А прямые, то точка Р2 движется по окружности Ки проходящей через неподвижные точки А, Р, Pv При этом луч РР2, будучи все время перпендикулярен к лучу АС, вращается вокруг точки Р с той же угловой скоростью со (согласно теореме 10 § 2). Поскольку лучи РР2 и РХР2 вращаются так, что точка Р2 их пересечения движется по окружности Ки то угол между ними остается постоянным. Следовательно, по теореме 10 их угловые скорости равны. Поэтому угловая скорость луча Р\Р2 равна со. Аналогично равна со угловая скорость луча РХР3-

Итак, лучи РХР2 и РХРЪ вращаются с одной и той же угловой скоростью. Поэтому угол между ними постоянен. Чтобы обнаружить, что он равен нулю (и тем самым закончить доказательство), рассмотрим

Рис. 46.

*) В самом деле, так как угловые скорости лучей АС и ВС равны между собой, то согласно теореме 10 угол АСВ остается все время постоянным и, следовательно, точка С движется по дуге окружности К.

положение, в котором точка С совпадает с точкой Р (рис. 48). В этом положении Р2 совпадает с Р3 (и с Р и С) и рассматриваемый угол равен нулю. Значит, он равен нулю всегда.

Рис. 47. Рис. 48.

Упражнения. 9. Пусть точки Р и Q лежат на окружности К, описанной вокруг треугольника ABC. Доказать, что точка пересечения соответствующих прямых Симпсона р и q (рис. 49) описывает окружность К' при движении точки С по окружности К (точки А, В, Р и Q считаются неподвижными).

Рис. 49.

Рис. 50.

10. Пусть точка Р лежит на окружности К, описанной вокруг треугольника ABC, и Рь Я2, — точки, симметричные с точкой Р относительно сторон треугольника ABC. Доказать, что точки Яь Р2 и Р% лежат на одной прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника ABC (рис. 50).

Задача 6. Доказать, нто четыре окружности Ки К2, К 3 и КА, описанные вокруг четырех треугольников ABD, BFC, CED и AFE, образованных четырьмя попарно пересекающимися прямыми а, 6, с, d, проходят через одну точку (рис. 51).

Решение. Так как окружности и К2 имеют общую точку В, то они имеют еще одну общую точку*). Обозначим ее через М. Докажем, что M принадлежит также К3 и /<4.

Закрепим точки ß, С и D и начнем вращать вокруг них прямые 6, с и d с одной и той же угловой скоростью со. Так как угол BAD остается при этом постоянным (см. теорему 10 § 2), то точка А пересечения прямых bud будет перемещаться по окружности Kv Аналогично точка F пересечения прямых b и с будет двигаться по окружности К2, а точка Е пересечения прямых с и d — по окружности Кг.

В некоторый момент времени точка А совместится с точкой M (см. рис. 52,а) и, значит, через M пройдут прямые b и d Так как M принадлежит также К2 и прямая b пересекается на К2 с прямой с, то в этот момент через точку M пройдут все три прямые Ь% с и d. Но точка пересечения прямых cud принадлежит окружности Kg. Отсюда следует, что окружность К3 проходит через точку М.

Чтобы доказать, что через точку M проходит также окружность Kif закрепим точки ß, А и F и будем вращать вокруг них прямые о, d и с с одной и той же угловой скоростью (рис. 52,6). Аналогично предыдущему докажем, что в некоторый момент все три прямые a, d и с пройлут через точку М. Значит,

Рис. 51.

*) Если бы точка В была точкой касания окружностей К\ и /С2, то треугольники A BD и BFC были бы подобны При этом прямые AD и ЬС должны были бы быть параллельны, что противоречит условию.

через точку M проходит и окружность /С4, на которой пересекаются прямые с и d.

Рис. 52.

Упражнения. 11. На стороне А В треугольника ABC взята произвольная точка М. Доказать, что центры Ои 02 и 03 окружностей, описанных вокруг треугольников ABC, AMC и ВМС, лежат на окружности, проходящей через точку С (рис. 53).

Рис. 53.

12. Доказать, что центры окружностей К\% /Сз» #4 (см. условие задачи 6) лежат на одной окружности. Эта окружность проходит также через точку пересечения окружностей /Сь Къ /Сз и К± (рис. 54).

Рис. 54.

Задача 7. Даны две окружности К\ и К2 (рис. 55), пересекающиеся в точках А и В. Точка М, движущаяся

по окружности Ки соединена с точками А и В. Пусть N и Р есть точки пересечения прямых MA и MB с окружностью К2. Доказать, что центр О окружности К, описанной вокруг треугольника MNP, описывает окружность.

Решение. При движении точки M по окружности Kt лучи AN и BP вращаются вокруг точек А и В с одной и той же угловой скоростью со. Угловые скорости радиусов 02N и 02Р, проведенных из центра 02 окружности К2 в точки N и Р, равны*) 2оз. Отсюда следует, что угол P02N остается постоянным и треугольник P02N движется, оставаясь неизменным. Так как длина хорды PN и угол PMN, постоянны, то окружность /С, описанная вокруг треугольника MNP, движется, оставаясь неизменной. Вместе с ее центром О и хордой PN движется, оставаясь неизменным, и треугольник PON. Отсюда сле-

Рис. 55.

*) Действительно, пусть за промежуток времени [/, t 4- Ы] луч AN повернется на некоторый угол NAN', За этот же промежуток времени радиус OJV повернется на угол N02N'. который как центральный равен удвоенному вписанному углу NÂN'. Так как соотношение

имеет место при любом Д/, то угловая скорость радиуса 02N равна удвоенной угловой скорости луча AN.

дует, что движется, не изменяясь, и треугольник 020N. Так как его вершина 02 неподвижна, то точка О описывает окружность.

Покажем, что радиус этой окружности равен радиусу окружности Кх. Для этого совместим точку M с точкой В (рис. 56). При этом секущая МБР превратится в касательную к окружности Ки в точке В (см. п°2 § 2). Хорда MA совпадет с хордой AB и точка Л' совместится с точкой В. Треугольник MNP «выродится» в отрезок BP (дважды покрытый). Центр О описанной вокруг него окружности лежит в точке пересечения перпендикуляра к хорде BP, проведенного через ее середину, и перпендикуляра к хорде AB, проведенного через точку В*). Отсюда следует, что четырехугольник Ох02ОВ — параллелограмм и 020= Rv Итак, точка О описывает окружность с центром в точке 02 и радиусом Rt.

Упражнения. 13. Доказать, что сторона PN треугольника MNP (см. условие задачи 7) касается некоторой фиксированной окружности.

14. Доказать, что точка пересечения высот треугольника MNP, построенного в задаче 7, описывает окружность при движении точки М.

В заключение рассмотрим некоторые свойства эллипса, гиперболы и параболы. Определения этих кривых будут даны ниже.

Рис. 56.

*) Сторона MN треугольника MNP выродилась в точку, но направление этой вырожденной стороны определяется при переходе к пределу и совпадает с направлением хорды AB.

Эллипсом называется кривая, состоящая из всех точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек F| и F2 равна заданной постоянной величине (рис. 57). Точки Fx и F2 называются фокусами эллипса.

Задача 8. Доказать, что касательная к эллипсу образует с радиусами-векторами, идущими из фокусов в точку касания, равные углы. Обратно, если касательная к кривой в каждой точке образует равные углы с радиусами-векторами, идущими из двух фиксированных точек Fx и F2 в точку касания, то эта кривая есть эллипс с фокусами в точках Fx и F2 (или дуга указанного эллипса).

Решение. Пусть точка M движется по эллипсу со скоростью v. Проекции вектора v на радиусы-векторы*) rx=FxM и r2=F2M (рис.58) соответственно равны

(8)

где а и ß — углы между г,, г2 и касательной. Так как по определению эллипса |rt| + |г2| = const, то**)

Рис. 57. Рис. 58.

*) То есть на оси, направленные вдоль этих векторов.

**) Так как сумма |ri| 4- |г2| есть величина постоянная, то приращения длин векторов rt и г2 равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Следовательно, и скорости изменения длин векторов rt и г2 равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Согласно п° 5 à 2 эти скорости как раз и есть чх и v3.

Подставив сюда выражения для Vj и v2 из (8), получим:

или

откуда a=ß, так как а и ß — острые углы.

Обратно, пусть касательная к кривой L образует с радиусами-векторами, идущими в точку касания из фиксированных точек FA и F2, равные углы. Проектируя скорость v точки, движущейся по кривой L, на радиусы-векторы гх и г2 этой точки, получим:

где а — угол между касательной и радиусами-векторами. Складывая эти равенства, получим:

откуда следует, что сумма длин радиусов-векторов rt и г2 есть величина постоянная, т. е. кривая L является эллипсом.

Гиперболой называется кривая, состоящая из всех точек, разность расстояний которых от двух данных точек ^ и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 59).

Упражнение. 15. Доказать, что касательная к гиперболе является биссектрисой угла между радиусами-векторами, проведенными из фокусов в точку касания (рис. 60).

Рис. 59.

Обратно, если касательная к кривой в каждой точке является биссектрисой угла, образованного радиусами-векторами, идущими из двух фиксированных точек F{ и F2 в точку касания, то кривая L является гиперболой с фокусами в точках Ft и F2 (или Дугой этой гиперболы).

Параболой называется кривая, состоящая из всех точек, расстояния которых от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой d, называемой директрисой, равны между собой (рис. 61).

Рис. 60.

Рис. 61.

Упражнение. 16. Доказать, что касательная к параболе является биссектрисой угла между радиусом-вектором, проведенным из фокуса F в точку касания, и перпендикуляром, опущенным из точки касания на директрису d (рис. 62).

Рис. 62.

Обратно, пусть касательная к кривой в каждой точке является биссектрисой угла, образованного радиусом-вектором, идущим из фиксированной точки F в точку касания, и перпендикуляром, опущенным из точки касания на фиксированную прямую d. Тогда эта кривая есть парабола с фокусом F и директрисой, параллельной d (или дуга этой параболы).

УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ

1. Решение аналогично решению задачи 1. Нужно заметить, что теперь для равностороннего треугольника ABC точки Ои 02, 03 совместятся (треугольник 0,Оо03 «выродится» в точку), и векторы Oi02 и 0i03 обратятся в нуль. Тем самым из равенства

получится, что R=0.

2. Закрепить точки А, В и двигать точку С. Проследить при этом за скоростями точек А', В'. В определяющем положении совместить точку С с точкой С.

3. Решение аналогично решению задачи I. В определяющем положении точку С совместить с одной из точек А или В.

4. Решение аналогично решению задачи 3.

5. Закрепить точки А и В и двигать точки С и D. При этом движение точек С и D должно быть согласованным так, чтобы тре-

угольник CSD с неподвижной вершиной S оставался равнобедренным треугольником. Показать, что Vq =\т .

6. Аналогично предыдущему упражнению показать, что

vq=-Vr.

7. Аналогично задаче 1 доказать, что

Отсюда вывести, что прямые АА', BB't СС попарно пересекаются на окружности, описанной вокруг треугольника ABC.

8. Закрепить прямые Ь, с и d и двигать прямую а параллельно самой себе с постоянной скоростью. Далее доказать, что

где X=const, u.=const. Равенство нулю констант Rt и R2 установить, рассматривая два (!) определяющих положения: а проходит через точку Л, а проходит через точку В. Воспользоваться тем, что вектор, коллинеарный одновременно двум пересекающимся прямым, равен нулю.

9. При движении точки С угловая скорость вращения прямых Симпсона р и q равна угловой скорости вращения лучей АС и ВС.

10. Используя результат задачи 5, сначала доказать, что точки Р„ Р2, лежат на одной прямой. Затем, закрепив точки А, В и Р, вращать вокруг точек А и В прямые АС и ВС с одной и той же угловой скоростью. Рассмотреть угловые скорости прямых PiP2P3 и Pfi' Определяющее положение выбрать так же, как и в задаче 5.

11. Закрепить точки Л и С и вращать вокруг них прямые AB, СМ и СВ с одной и той же угловой скоростью. Проследить за движением точек Oi, 02 и 03. Рассмотреть положение, в котором прямые АС и AB сливаются.

12. Закрепить точки В, С и D и вращать вокруг них прямые BF, CF и DA с одной и той же угловой скоростью до тех пор, пока они не пройдут через точку М. Далее использовать результат предыдущего упражнения.

13. Воспользоваться тем, что длина хорды PN остается постоянной (см. решение задачи 7).

14. Предварительно доказать, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот равно удвоенному расстоянию от центра окружности, описанной вокруг треугольника, до соответствующей стороны. Это легко сделать без кинематики. Далее воспользоваться тем, что при движении точек M, N и Р прямые О^М и NP остаются перпендикулярными одна к другой, а расстояние от точки О до прямой NP — постоянным.

15. Решение аналогично решению задачи 8.

16. Решение аналогично решению задачи 8, но вместо скорости изменения длины второго радиуса-вектора следует рассмотреть скорость изменения расстояния движущейся точки от директрисы.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .................... 3

§ 1. Элементы векторной алгебры........... 7

§ 2. Элементы кинематики.............. 19

§ 3. Кинематический метод в геометрических задачах ... 29

Указания к упражнениям.............. 49

Юрий Ильич Любич и Леонид Абрамович Шор

Кинематический метод в геометрических задачах

Серим «Популярные лекции по математике»

М.. 1966 г.. 52 стр. с илл.

Редактор Н. В. Воскресенская Техн. редактор И. Ш. Аксельрод Корректор О. А. Бутусова

Сдано в набор 29 IV 1966 г. Подписано к печати 25 IX 1956 г. Бумага 84X108'/:«. Физ псч. л. 1.625. Условн. печ. л. 2.73. Уч.-изд л. 2.14. Тираж 28 000 чкз. Т-12740. Цена 6 коп. Заказ 870.

Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы. Москва, В-71. Ленинский проспект. 15.

Чеховский полиграфкомбинат Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. г. Чехов, Московской области.

Цена 6 коп.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ

Вып. 1. А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности.

Вып. 2. И. П. Натансон. Простейшие задачи на максимум и минимум.

Вып. 3. И. С. Соминский. Метод математической индукции.

Вып. 4. А. И. Маркушевич. Замечательные кривые.

Вып. 5. П. П. Коровкин. Неравенства.

Вып. 6. H. H. Воробьев. Числа Фибоначчи.

Вып. 7. А. Г. Курош. Алгебраические уравнения произвольных степеней.

Вып. 8. А. О. Гельфонд. Решение уравнений в целых числах.

Вып. 9. А. И. Маркушевич. Плошади и логарифмы.

Вып. 10. А. С. Смогоржевский. Метод координат.

Вып. 11. Я. С. Дубнов. Ошибки в геометрических доказательствах.

Вып. 12. И. П. Натансон. Суммирование бесконечно малых величин.

Вып. 13. А. И. маркушевич. Комплексные числа и конформные отображения.

Вып. 14. А. И. Фетисов. О доказательствах в геометрии.

Вып. 15. И. Р. Шафаревич. О решении уравнений высших степеней.

Вып. 16. В. Г. Шерватов. Гиперболические функции.

Вып. 17. В. Г. Болтянский. Что такое дифференцирование?

Вып. 18. Г. М. Миракьян. Прямой круговой цилиндр.

Вып. 19. Л. А. Люстерник. Кратчайшие линии.

Вып. 20. А. М. Лопшиц. Вычисление площадей ориентированных фигур.

Вып. 21. Л. И. Головина и И. М. Яглом. Индукция в геометрии.

Вып. 22. В. Г. Болтянский. Равновеликие и равносоставленные фигуры.

Вып. 23. А. С. Смогоржевский. О геометрии Лобачевского.

Вып. 24. Б. И. Аргунов и Л. А. Скорняков. Конфигурационные теоремы.

Вып. 25. А. С. Смогоржевский. Линейка в геометрических построениях.

Вып. 26. Б. А. Трахтенброт. Алгоритмы и машинное решение задач.

Вып. 27. В. А. Успенский. Некоторые приложения механики к математике.

Вып. 28. H. А. Архангельский и Б. И. Зайцев. Автоматические цифровые машины.

Вып. 29. А. Н. Костовский. Геометрические построения одним циркулем.

Вып. 30. Г. Е. Шилов. Как строить графики?

Вып. 31. А. Г. Дорфман. Оптика конических сечений.

Вып. 32. Е. С. Вентцель. Элементы теории игр.

Вып. 33. А. С. Барсов. Что такое линейное программирование?

Вып. 34. Б. Е. Маргулис. Системы линейных уравнений.

Вып. 35. Н. Я. Виленкин. Метод последовательных приближений.

Вып. 36. В. Г. Болтянский. Огибающая.

Вып. 37. Г. Е. Шилов. Простая гамма (Устройство музыкальной шкалы).

Вып. 38. Ю. А. Шрейдер. Что такое расстояние?

Вып. 39. Н. Н. Воробьев. Признаки делимости.

Вып. 40. С. В. Фомин. Системы счисления.

Вып. 41. Б. Ю. Коган. Приложение механики к геометрии.

Вып. 42. Ю. И. Любич и Л. А. Шор. Кинематический метод в геометрических задачах.