В. ЛИТЦМАН

ВЕЛИКАНЫ И КАРЛИКИ В МИРЕ ЧИСЕЛ

В. ЛИТЦМАН

ВЕЛИКАНЫ И КАРЛИКИ В МИРЕ ЧИСЕЛ

ПЕРЕВОД С ПЯТОГО НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ Л. С. ТОВАЛЕВОЙ

Под редакцией И. М. ЯГЛОМА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1959

MATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE BIBLIOTHEK,

REIHE I

He rausgegeben von Prof.Dr. W Heitmann

25

RIESEN UND ZWERGE IM ZAHLENREICH

von Dr.W. Lietzmann

Professor an der Universität Gottingen

Fünfte Auflage Mit 9 Abbildungen

В, G. TEUBNER

VERLAGSGESELLSCHAFTLEIPZIG

1953

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора перевода . ,.................. 4

1. О счете.......................... 5

2. Числовая система...................... 10

3. Наглядное представление больших чисел с помощью мер длины и времени, площадей и объемов............... 14

4. Кое-что о вычислениях с большими числами........ 21

5. Наибольшее число, которое можно записать тремя цифрами . 26

6. О числах простых и совершенных.............. 33

7. Еще несколько примеров числовых великанов....... 45

8. Числовые карлики..................... 53

9. В мире великанов и карликов также считают обыкновенными числами.......................... 65

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Эта маленькая книжка принадлежит перу известного немецкого популяризатора математики Вальтера Литцмана. Она рассчитана на широкий круг читателей и вполне может быть рекомендована школьникам средних классов, так как для ее понимания требуется знакомство в основном лишь с элементами арифметики. Однако в конце книги автор переходит к более сложным вопросам, с которыми интересно будет познакомиться и более подготовленному читателю. Книга может быть полезной также и педагогам, которые найдут здесь обширный материал как для классных занятий, так и для работы школьного математического кружка.

Настоящий перевод выполнен с .пятого немецкого издания 1953 года, заметно отличающегося от предыдущих. Несмотря на то, что со времени выхода этого издания прошло не так много времени, возможно, что некоторые из приведенных в книге сведений могут уже сейчас считаться устаревшими. Редакция не ставила целью привести все имеющиеся здесь данные в полное соответствие с самыми последними достижениями науки, поскольку задача книжки состоит лишь в том, чтобы проиллюстрировать некоторые из тех разделов математики и естествознания, в которых встречаются очень большие и очень маленькие числа. Книжка снабжена небольшим числом примечаний редактора (обозначенных звездочками в отличие от нумерованных подстрочных сносок автора), в которых, в частности, даны ссылки на другую доступную читателю книги литературу и отмечены некоторые последние результаты, полученные с использованием современных вычислительных машин.

И. М. Яглом

1. О СЧЕТЕ

Нарисуй на листке бумаги несколько маленьких кружочков примерно так, как изображено на рис. 1. Затем предложи своему приятелю закрыть глаза и положи перед ним этот листок; пусть он быстро откроет глаза и тотчас опять закроет их. А теперь спроси у него, сколько кружочков было нарисовано на бумаге. Он почти наверняка ошибется — если, конечно, не схитрил, но в этом мы его подозревать не станем. «Значит приятель даже не умеет быстро сосчитать до девяти»,— подумаешь ты, если нарисовано было именно девять кружков.

Теперь повтори этот опыт. Нарисуй только четыре кружка примерно так, как показано на рис. 2. В этом случае твой приятель определенно правильно укажет число кружков. Следовательно, мы можем одновременно охватить глазом лишь сравнительно небольшое число предметов. Возможно, ты теперь попробуешь установить, где проходит граница между числом предметов, которые ты сам сможешь или не сможешь сразу воспринять.

В этой связи можно вспомнить о следующей игре. Один из играющих отворачивается, а остальные кладут на стол в один ряд несколько оказавшихся под рукой различных предметов: перочинный нож, ножницы, карандаш, листок бумаги, пуговицу, почтовую марку ит. д. Теперь водящему разрешается повернуться и недолго,— скажем, минуты две,— рассматривать лежащие на столе предметы. Затем он должен снова отвернуться и назвать предметы, которые запомнил. Удивительно, как мало их окажется. И здесь

Рис. 1.

Рис. 2.

встает благодарная задача — определить степень восприимчивости каждого участника игры.

Однако совсем нетрудно при помощи специального приема увеличить число запоминаемых предметов. Если расположить изображенные на рис. 1 девять кружков так, как это показано на рис. 3, то твой приятель с одного взгляда сумеет правильно определить их число. И в приведенной выше игре можно увеличить свои шансы запомнить не только число и вид отдельных предметов, но, возможно, даже и порядок, в котором они лежат, оа то время, пока ты осматриваешь предметы, быстро придумай какую-нибудь историю, и чем более нелепую, тем лучше. Например: одноногий ножи двуногие ножницы, прогуливаясь, встретили карандаш. Ножницы говорят ножу: «Очини карандаш, а я тем временем отрежу кусочек бумаги, и карандаш нам напишет письмо. За неимением другого, мы запечатаем его пуговицей и наклеим марку» и т. д. «История», правда, довольно глупая, но тем легче ее запомнить. Фокус заключается лишь в том, чтобы придумать ее за две минуты.

Если твой приятель, которому ты показал нарисованные на рис. 1 кружки, захочет все же узнать, сколько их нарисовано, то он их попросту сосчитает. Можно сосчитать предметы и по памяти; один окажется при этом более искусным, другой — менее. Если тебя спросят, сколько окон твоего дома или твоей школы смотрят на улицу, то ты, наверно, не сумеешь быстро ответить, хотя и видишь эти дома постоянно. Но ты сможешь мысленно представить себе эти дома и попробовать сосчитать их окна. Или же ты вспомнишь, сколько классов школы выходят на улицу и сколько окон в каждом из них. В сущности, это — тот же самый прием, что и в опыте с девятью кружками, расположенными на рис. 3, где тоже достаточно представить себе кружки — и ты определишь их число: ведь расположение этих кружков тебе знакомо так же хорошо, как, скажем, расположение кружков на костяшке домино. В описанной выше игре тебе на помощь пришло воображение точно так же, как и при подсчете окон дома.

Посмотрим, какие еще условия необходимы, чтобы можно было сосчитать какие-то предметы. Для этого, прежде всего, нужно, чтобы число предметов во время счета оста-

Рис. 3.

валось неизменным. Ты скажешь, что это само собой разумеется. Не совсем! Вспомни сказку о пастушонке, который должен был ответить царю на три вопроса. Один из них гласил: сколько капель в море? Мальчик не растерялся; он воспользовался тем, что число это все время меняется, и уклонился от прямого ответа: «Останови все реки и ручьи, которые вливаются в море, и тогда я отвечу на твой вопрос!».

Следующее условие: считающий должен уметь считать. И это тоже не само собой разумеется! Маленькие дети не умеют считать; для того чтобы научиться счету, они должны несколько подрасти. Не умеют считать и некоторые первобытные народы. Есть такие народы, которые обозначают числа свыше четырех просто словом «много». У племени янкосов на Амазонке число 3 называется «поэттаррароринкоароак». «К счастью, на этом их арифметика кончается»,— сказал тот, от кого я это узнал.

Но и взрослые культурные люди тоже не всегда имеют навыки к счету. Мы ведь хотим считать быстро и не задумываясь. Если мы после каждого числа будем думать, как называется следующее, то, значит, мы плохо считаем. Однако, если мы будем считать быстро и машинально, то нам легко ошибиться. Заставь кого-нибудь считать: 1090, 1091, 1092 и т. д.; часто после 1099 назовут 2000. В немецком языке источником многих ошибок при быстром счете является неудобная перестановка порядка единиц и десятков в названиях чисел: здесь говорят, например, «шесть и пятьдесят» (sechsundfünfzig) вместо «пятьдесят шесть». Изменение этого порядка приветствовали бы вое, кто в силу своей профессии связан со счетом.

С другим затруднением мы встречаемся в том случае, когда, наоборот, счет приходится вести слишком медленно. Как считает угольщик мешки, которые он один за другим вносит а подвал? Как считает ученик дни, остающиеся до начала школьных каникул? То, что в последнем случае счет ведется назад, а не вперед, существенного значения не имеет. В обоих случаях трудно все время держать в памяти нужное число. Поэтому приходится прибегать к значкам или отметкам. Угольщик одну за другой ставит черточки каждый раз, когда вносит в подвал мешок; мальчик же, наоборот, зачеркивает каждый раз черточку, когда проходит еще один день. Таким образом, здесь пересчитываются не сами предметы, а черточки.

Мы достаточно много говорили о счете и о том, как следует поступать в различных случаях; пора уже заняться этим делом на практике.

Сосчитай спички в спичечной коробке! Наполни стакан горошинами и определи их число! Сосчитай буквы на одной странице этой книги! Эти три примера покажут тебе, что не так уж легко подсчитать точно число предметов, если оно достаточно велико. Считать придется внимательно и для проверки пересчитывать несколько раз.

Впрочем, в счете можно совершенствоваться — если только достаточно практиковаться в нем. Кассир в банке, постоянно считающий денежные знаки, или почтовый служащий, отсчитывающий открытки, более искусны в счете этих предметов, чем все другие люди.

Не думай, однако, что всегда можно сосчитать все предметы, число которых нам хочется узнать. Можно потратить лучшие годы своей жизни на подобные подсчеты и все же не сосчитать многого. Ведь если считать со скоростью одного числа в секунду, то за минуту мы сможем насчитать 60 чисел, за час — 3600, а за десятичасовой «рабочий день»— 36 000. И если посвятить такой работе 50 лет, проводя за этим остроумным занятием 300 рабочих дней в году, то мы досчитали бы до 540 000 000, т. е. примерно до полумиллиарда. Все, что превосходит это число,— а такого в нашей жизни имеется немало,— не может быть сосчитано никаким сколь угодно добросовестным счетчиком.

Тут нам на помощь приходят считающие машины. Мы все знакомы, например, с газовым и электрическим счетчиками. Что бы мы стали делать, если бы нам самим приходилось подсчитывать расход газа и электричества? Но даже и там, где мы могли бы сами справиться, мы часто привлекаем на помощь приборы, например секундомер или шагомер. В тех же случаях, когда требуемая быстрота счета превосходит возможности человека, единственным нашим спасением является машина. Отсчитывающее устройство ротационной машины, например, отсчитывает в час 20 000 газет пачками по 50 штук в каждой.

Так как не все можно подсчитать (а иногда нам просто не хочется тратить на это силы), то даже в тех случаях, когда было бы интересно знать точное количество предметов, часто довольствуются приблизительной оценкой их числа. Организм человека состоит из 18 000 000 000 000 000 клеток; у слона их даже 700 000 000 000 000 000. Говорят,

что самка термита (белого муравья) в течение 10 лет откладывает каждые две секунды по яйцу, что составляет 15 552 000 яиц в год. Никто, однако, не вообразит, что эти числа точны —ясно, что они представляют собой лишь примерные оценки действительных чисел. Подобные оценки для практики необычайно важны. Однако и здесь сноровка не приходит сама!

Попробуй-ка оценить какое-либо большое количество предметов. Например, пусть в праздник на площади собралась большая толпа людей; сколько их: 200, 1000 или 5000? Или еще: покажи компании банку с горошинами; кто точнее всех оценит их число, тот получит приз. Трудно себе представить, насколько велик бывает разрыв между оценками, которые дают различные люди (а также между всеми этими оценками и действительным числом). Однако часто беспомощность в оценках является недопустимой.

Как можно упражняться в оценках? Прежде всего, нужно заняться точным счетом и измерением величин. При этом мы научимся представлять себе, скажем, толпу в 100, 500, 1000 человек или расстояние в 100, 200, 300, 400, 500 метров. Если же случается иметь дело с предметами, не поддающимися непосредственному подсчету, то приходится призывать на помощь оценки. Приведем простой пример. В одном немецком городе пришлось всем семьям, имеющим детей, выдать карточки на получение молока. Город насчитывал 50 000 жителей. Для выдачи карточек были назначены 2 дня, по 5 часов в день. Требовалось отдельно заполнить карточки на каждую семью; при этом нужно было предъявлять метрические свидетельства детей, для того чтобы можно было занести их имена в специальные списки. Однако, когда наступили дни выдачи карточек, то, ко всеобщему неудовольствию, оказалось, что выдававшие карточки лица никак не могут справиться с этим делом. Долгое и для многих бесплодное ожидание! А ведь предварительный расчет и примерная оценка могли бы помочь делу. Если на каждого человека тратить только по 2 минуты, то за час можно отпустить 30 человек, а за 10 часов — 300. Ясно поэтому, что если посадить за эту работу только 5 человек, то они никак не смогут справиться с нею.

Но здесь мы уже вышли за рамки, намеченные для этой главы. Мы вычисляли, а не считали. Прежде чем вернуться к этой теме, следует решить один вопрос, от которого

мы отклонились выше. Как овладеть большими числами, как справиться с числовыми великанами, до которых мы никак не можем дойти при фактическом счете?

2. ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА

Если требуется сосчитать большое число предметов, то не мешает повторить счет несколько раз. Почтальон приносит вам 832 рубля; пока он их вам отсчитывает, вы следите за счетом; затем он их еще раз пересчитывает, а вы, прежде чем взять деньги, вероятно, еще раз проверите их. Но даже и после всего этого вы не были бы уверены в правильности счета, если бы он не производился особым образом. Предположим, что почтальон принес вам эту сумму рублями (на самом деле этого, конечно, не бывает). При этом он не положит все рубли на стол беспорядочной кучей, а сгруппирует их определенным образом, например, отсчитает по 10 штук и положит отдельные десятки рублей маленькими кучками, причем еще позаботится, чтобы в одном ряду лежало по 10 таких кучек. Таким образом, получится 8 рядов, 3 пачки и еще 2 отдельные бумажки.

Прием, которым мы пользовались здесь, применяют всегда, когда нужно сосчитать очень много предметов. Товары, поступающие в продажу в большом количестве, например булавки, пуговицы, перья и т. д., считают дюжинами и гроссами*). Угольщик, о котором мы говорили выше (стр. 7), не просто ставит черточку за черточкой; каждой пятой он перечеркивает предыдущие четыре. Поэтому, например, число 13унего имеет следующий вид: 1111 11111JÏ. Также и при приближенной оценке больших чисел прибегают к подобной группировке. Из всех способов группировки важнейшим является тот, который связан с нашими правилами образования чисел, с их написанием и наименованиями. Мы, как и почтальон, о котором рассказывалось выше, объединяем десять предметов в десяток, десять десятков — в сотню и т. д. Такое объединение удобно для наглядной иллюстрации больших чисел. Так, учитель счета Буссе, живший около 1800 года, представлял число 2326 так, как это изображено на рис. 4: шесть точек в конце — это единицы, следующие за ними два бумажных куль-

*) Гросс — двенадцать дюжин.

ка — десятки, три мешочка — сотни, а два ящика, изображенных прямоугольниками,— тысячи.

Насколько десятичная система облегчает овладение большими числами, видно по системам записи чисел, целиком игнорирующим связанное с этим преимущество или не использующим его полностью. Числа, написанные римскими цифрами, как MDCCLIX или MMDCCCLXXIV не прочтешь так быстро, как, например, 1888 или 1797.

Рис. 4.

Если же иметь дело с очень большими числами, то даже и наша простая система их изображения не слишком практична, ни в смысле чтения, нив смысле записи. Вот пример из книги «Математические развлечения», вышедшей в 1636 году: «Астрономы вычислили, что длина окружности небесного свода равна 508781250 милям..., поверхность же его — 82364023748224431 уд квадратным милям... Из этого следует, что объем шара такого же радиуса равен примерно 3596299963139791266979190761957504 кубическим милям». Сможешь ли ты без затруднения прочесть эти числа, в особенности последнее из них?

Как сделать запись таких больших чисел более наглядной? Для этого группируют цифры по три, начиная справа. Другими словами, в нашу десятичную систему дополнительно вводят еще группировку по тысячам. Числа

508781 250 миль 82 364 023 748 224 431 кв. миля 3596299963 139 791 266979 190761 957504 куб. мили

уже гораздо более наглядны. Правда, для того чтобы читать такие числа, нужно хорошо знать их названия. Для чисел до тысячи их знает каждый школьник, даже младших классов. До миллиона дело тоже еще идет легко. Следовательно, мы владеем уже всеми названиями чисел до числа 999 999 999 999 включительно; словами «девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять миллионов

девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять». Число наверху в первом ряду — 508 миллионов 781 тысяча 250.

При этом мы обошли число, которое употребляется весьма часто: миллиард. Это широко распространенное сейчас слово, означающее тысячу миллионов, в Германии вошло в употребление лишь с XIX века.

Однако продолжим наш разговор о числовой системе! Миллион миллионов называют биллионом*). Второе из выписанных выше чисел читается так: 82 тысячи 364 биллиона 23 тысячи 748 миллионов 224 тысячи 431. Далее, миллион биллионов называется триллионом, миллион триллионов — квадриллионом и т. д. Третье из наших чисел начинается с 3 тысяч 596 квинтиллионов. Дальше прочти его сам.

Если мы продолжим ряд названий: биллион, триллион, квадриллион и т. д. достаточно далеко, то мы сможем не только написать, но и прочесть любое число, как бы велико оно ни было. Тебе кажется, что это само собой разумеется. Однако не всегда это было так. Греческий ученый Архимед, замечательнейший математик древнего мира, написал по этому вопросу очень поучительное сочинение под названием «Исчисление песчинок», которое сохранилось до нашего времени**). Он ставит целью определить количество песчинок, вмещающихся в шар величиной во всю вселенную. Что Архимед понимает под вселенной, мы уточнять не станем, как бы важно это ни было для истории астрономии. Да Архимед, в сущности, и не стремился указать точное число песчинок, помещающихся в его вселенной. Ему важно было показать, что можно образовать числа большие, чем невероятно боль-

*) Автор описывает принятую в Германии систему наименований чисел, отличную от общепринятой в СССР, да и в ряде других стран (США, Франция). У нас обычно биллионом называют то число, которое автор называет миллиардом (тысяча миллионов, а не миллион миллионов), соответственно этому триллионом называется тысяча биллионов (немецкий биллион), квадриллионом — тысяча триллионов и т. д.

Мы не стали менять здесь текст автора, тем более, что вопрос о наименованиях чисел не имеет большого значения: названия чисел свыше биллиона употребляются крайне редко; вместо этого обычно используют записи больших чисел в виде произведений некоторых множителей на степени числа 10 (см. ниже, стр. 28). Также и далее все названия чисел понимаются в том смысле, который объяснен в тексте.

**) См. Архимед, Исчисление песчинок (Псаммит), М.— Л., ГТТИ, 1932.

шое число — число песчинок во вселенной. Стоящая перед ним задача относилась не к астрономии, а к арифметике!

Архимед предположил, что в объеме одного макового зернышка могут поместиться около 10 000 песчинок (что с лихвой покрывает истинное значение!) и что сорок маковых зерен, положенных рядом, достигают ширины пальца1). Если знать радиус вселенной, то легко можно вычислить, какое число песчинок может в ней поместиться. Для подобных вычислений существуют формулы, которые Архимед хорошо знал. Задача была бы сравнительно проста, если бы существовала такая система счисления, какую мы имеем теперь. Однако тогда ее нужно было еще создать. Это и было истинной целью работы Архимеда.

Проследим немного за этой работой. Наибольшим числом, для которого греки имели специальное наименование, было 10 000 Это число они называли мириадой. Числа до мириады мириад (т. е. до 10 000 х 10 000 = 100 000 000) Архимед назвал числами первого порядка; числа от мириады мириад до 100 000 000 X 100 000 000 — числами второго порядка; от этого числа и до 100 000 000 х 100000 000 х X 100 000 000 — числами третьего порядка и т. д. до числа 100 000 000-го или мириад-мириадного порядка. Последнее число — единицу с 800 000 000 нулями — обозначим через Р. Числа от 1 до Р Архимед назвал числами первого периода. Числа от Р до 100 000 000 Р образуют первый порядок второго периода; затем Архимед переходит ко второму порядку второго периода, к третьему порядку и т. д. до 100 000 000-го порядка второго периода, после которого начинается третий период. Таким же образом можно образовать четвертый, пятый период и т. д. Архимед доводит эту систему до 100000000-го, т. е. мириад-мириадного периода, и находит, наконец, ее последнее число: мириада мириад единиц мириад-мириадного порядка мириад-мириадного периода.

Изображается это число единицей с 80 000 биллионов нулей. Это поистине числовой исполин, превосходящий всякое воображение!

1) Мне сообщили, что несколько школьников действительно терпеливо сосчитали число песчинок в 1 см3 песка, чтобы проверить предположение Архимеда. Они получили совершенно другой результат. Сочинение Архимеда следовало бы назвать «Исчисление пылинок»,— настолько малы его песчинки.

Если бы Архимеда не привлекало само создание числовой системы, ему бы вовсе не нужен был такой огромный числовой аппарат. Для решения его задачи достаточно сравнительно небольшого числа. Ему не нужно забираться даже во второй период, не говоря уже о высших. Число песчинок меньше 10 000 000 единиц восьмого порядка первого периода.

Эти соображения Архимеда больше/чем что-либо другое, показывают важность приемов, которые позволяют сделать числовые исполины более наглядными.

3. НАГЛЯДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ МЕР ДЛИНЫ И ВРЕМЕНИ, ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ

Ты, вероятно, уже встречался с числовыми исполинами, о которых говорил себе: «Я не могу их себе представить!». Ты знаешь, что в газетах, книгах и таблицах иногда прибегают к различного рода сравнениям, позволяющим сделать большие числа более доступными пониманию. В популярных книгах по астрономии, например, где все время приходится иметь дело с величинами, превосходящими наши представления, часто прибегают к подобному наглядному изображению больших чисел.

Рис. 5.

Чтобы лучше представить себе числа, их последовательность, величину и действия над ними, их изображают точками луча, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 5). Этот луч называется числовым лучом. Понятно, что на рисунке мы можем показать лишь часть числового луча. Представим себе этот луч с нанесенными на нем на одинаковом расстоянии друг от друга числовыми отметками, неограниченно продолженным в направлении стрелки. На нашем рисунке начальная точка луча, обозначенная числом 0, расположена слева. При таком способе изображения чисел, прежде всего, надо установить длину отрезка, служащего единицей измерения, т. е. рас-

стояние между точками 0 и 1 числового луча. Если мы примем за единицу измерения 1 см, то расстояние между начальной точкой и точкой, обозначенной числом 7, составит 7 см\ расстояние от 0 до числа 817 составит 8 м 17 см, до числа 233 588—2 км 335 м 88 см. О числах порядка миллиона таким способом еще можно получить довольно четкое представление. (Как велико расстояние между начальной точкой и числом 1 000 000 при единице измерения в 1 см? в 1 мм?) Числа же, доходящие до биллионов, уже трудно вообразить себе с помощью числового луча, так как отрезки получаются слишком длинные. Если принять за единицу 1 мм, то для изображения 1 миллиарда уже потребуется отрезок в 1000 км. Если составить 1 миллиард рублей 20-копеечными монетами, положенными друг на друга, то, принимая толщину монеты за 1 мм, мы получим «столбик» высотой 5000 кн.

Другой пример. В Германии перед последней войной выкуривали примерно 80 миллиардов папирос в год. Если их положить цепочкой, то при длине одной папиросы в 6,5 см они составят «отрезок» в 5 200 000 км. Километр — это (примерно) одна сорокатысячная часть земного экватора. Следовательно, цепочка из папирос обовьет экватор 130 раз!

Вот еще пример изображения чисел с помощью длин. Кто-то вычислил, что объем знаменитой пирамиды Хеопса в Египте равен 2 678 257 м3; отсюда можно вывести, что ее вес составляет 7 231 294 т. Последние цифры этого числа сомнительны, первые же, по-видимому, точны. Чтобы представить себе наглядно этот громадный вес, заметим, что грузоподъемность обычного товарного вагона равна 16 m (грузоподъемность написана на каждом вагоне!). Значит, поезд, состоящий из 50 вагонов, может перевезти 800 т. Следовательно, чтобы доставить материал для постройки пирамиды Хеопса, потребовалось бы около 9000 товарных составов. Это поистине грандиозное количество. Сколько же несчастных людей должны были отдать свои силы этой стройке!

Для наглядного изображения больших чисел часто используется и время. Мы все хорошо знаем, что такое секунда, минута, сутки, год. Старые люди могут представить себе несколько десятилетий. Но о столетиях и тысячелетиях тоже можно составить себе представление, если только связать их с определенными историческими событиями. В вопросе о продолжительности геологических фор-

маций (известной в настоящее время довольно достоверно) мы попадаем в область миллионов лет. Из приведенной здесь таблицы, составленной палеонтологом Марбле (J. В. Marble), видно, что от начала Третичного периода нас отделяют примерно 60 миллионов лет, от Кембрийского — около 540 миллионов, от начала Прекембрийского — 1900 миллионов лет. Согласно современной теории возникновения Земли ее возраст исчисляют примерно в 5 миллиардов лет.

Чтобы дать представление об объеме земного шара, принято указывать время, необходимое для кругосветного путешествия. В восьмидесятые годы прошлого столетия в Германии большой известностью пользовалась пьеса «Путешествие вокруг света в 80 дней», поставленная по одноименному роману Жюля Верна. Сейчас на такое путешествие самолетом потребуется около 80 часов. Наше представление об охвате земного шара будет более точным, если исходить из какого-либо определенного вида транспорта, например курьерского поезда, делающего 75 км в час. Сколько времени потребуется для кругосветного путешествия по экватору в курьерском поезде? Такие же путешествия можно совершить и по вселенной. Сколько времени длилось бы путешествие в курьерском поезде на Луну, на Солнце? Здесь получатся уже довольно значительные числа. Луна, даже когда она находится на самом близком расстоянии от Земли, удалена от нас на 357 000 км; поездка курьерским поездом на Луну, следовательно, потребует около 200 дней. Пу-

Геологическая формация

Продолжительность

Возраст

(в миллионах лет)

Четвертичный период. . .

0,6

0,6

Третичный » ...

60

60

Меловой » ...

80

140

Юрский » ...

35

175

Триазойский » ...

25

200

Пермский » ...

40

240

Каменноугольный » ...

70

310

Девонский » ...

40

350

Силурийский » ...

100

450

Кембрийский » ...

90

540

Прекембрийский » ...

1360

1900

тешествие до Солнца, удаленного от нас на 150 000 000 км, продлится 2 000 000 часов, а так как год содержит меньше 10 000 часов, то эта поездка займет свыше 200 лет, т. е. она значительно превосходит продолжительность человеческой жизни.

Поэт Гебель в своей «Сокровищнице» воспользовался другим наглядным образом: артиллерист, находясь на Солнце, направляет орудийный снаряд как раз на тебя. Ты в испуге убегаешь. Но поэт успокаивает тебя: нечего спешить; ты имеешь еще много времени, чтобы избежать снаряда. Посмотрим, почему это так. Скорость современного снаряда составляет около 5000 км в час. Путь, который он должен пройти, равен 150 000 000 км. Следовательно, снаряду потребуется около трех с половиной лет. Однако расстояния, подобные указанным выше, в астрономии считаются совсем небольшими. Так, например, планета Нептун удалена от Солнца на расстояние, в 30 раз большее, чем Земля, а последняя открытая планета Плутон — еще дальше. Эти тридцать единиц — можно ведь принять расстояние от Солнца до Земли за единицу длины для измерения межпланетных расстояний — читаются очень легко, но лишь потому, что сама единица длины столь велика.

Если же мы захотим добраться до ближайшей неподвижной звезды, то нам предстоит пройти путь, равный примерно 206 000 радиусов земной орбиты. Это расстояние доходит уже до биллионов километров. Чтобы не оперировать с подобными числовыми величинами, мы вынуждены ввести новую единицу длины. За такую единицу принимают световой год. В одну секунду луч света проходит расстояние в 300 000 кн. От Солнца до нас он доходит примерно за 8 минут (проверь это!). Какой путь проходит луч света за час, за день, за год, ты тоже сможешь подсчитать; труднее тебе будет составить правильное представление об этих колоссальных расстояниях. Во всяком случае, мы приходим таким образом к новой единице длины, использование которой приводит к вполне приемлемым числам для расстояний до неподвижных звезд; так, ближайшая неподвижная звезда удалена от нас (всего!) на 4 световых года.

Мы подошли уже к числовым великанам, и лишь при помощи искусного приема нам удалось создать видимость наглядного их представления: выбирая большой масштаб, мы как бы остались в мире небольших чисел. Существуют, однако, такие числовые гиганты, по отношению к которым

оказывается бессильным и подобный прием. Так, мы не сможем сладить с упомянутым во второй главе числом Р Архимеда и, тем более, с его самым большим числом, изображаем мым единицей с 80 000 биллионов нулей. Чтобы сделать это колоссальное число хотя бы немного более доступным нашему пониманию, попытаемся изобразить наглядно не его значение, а лишь место, которое оно заняло бы, если его записать в нашей числовой системе. Положим, что две рядом написанные цифры занимают 1 см. Какой длины будет все число? Ты подсчитаешь, что оно составит 40 000 биллионов сантиметров или 400 миллиардов километров — расстояние, равное примерно 3000 радиусов земной орбиты. Теперь ты видишь, что написание этого числа на самом деле натолкнется на непреодолимые трудности. Предположим, что кто-либо смог бы написать за минуту 100 нулей (здесь учитываются и перерывы, во время которых пишущий отдыхает). С начала нашего летоисчисления прошло немногим более 1 миллиарда минут; за это время можно было бы написать одну десятую часть биллиона нулей. Следовательно, 800 000 человек должны были бы от начала нашего летоисчисления непрерывно писать нули! Только таким путем удалось бы действительно написать придуманное Архимедом число.

Возьмем отрезок длиной 10 см, квадрат со стороной в 10 см, куб с ребром в 10 см и удвоим все эти длины; при этом мы получим отрезок, в 2 раза больший исходного, квадрат — в 4 и куб в 8 раз большие исходного. Это различие является источником многочисленных ошибок в оценке площадей и объемов.

Сколько человек могут поместиться на льду Боденского озера? Ты, вероятно, ответишь, что очень много, возможно— целый миллион. Поместим на площади в один квадратный метр трех человек; они смогут разместиться довольно удобно (в толпе люди стоят гораздо теснее). Площадь Боденского озера равна 539 км2. А 1 ао*2= 1 000 000 м2, следовательно, на поле площадью 1 км2 можно поместить 3 миллиона человек. На льду Боденского озера, значит, хватит места больше чем для полутора миллиардов человек, т. е. более чем для половины населения земного шара.

Еще чаще встречаются ошибки при оценке объемов. Как правило, не представляют себе, что, например, увеличив длину, ширину и высоту обыкновенной сигары в 2 раза,

мы получим сигару, в 8 раз (по объему) большую, курить которую можно будет в 8 раз дольше. По договору Гулливера с лилипутами он должен был получать столько же еды и питья, сколько получают 1728 лилипутов. Маленькие люди определили, что ростом Гулливер больше их в 12 раз,— а теперь сообрази-ка сам, откуда в этом договоре появилось число 1728?

Если тебя спросят, сколько кирпичей или спичечных коробков можно уместить в кубическом километре, то ты, наверное, назовешь числа, гораздо меньшие действительных. Вычисли-ка их; для этого достаточно измерить ребра этих тел, перемножить длины трех ребер и подсчитать, сколько раз полученный таким образом объем содержится в 1 км3. Диаметр Солнца в 109 раз больше диаметра Земли. Отсюда следует, что поверхность Солнца в 11 900 раз, а объем — даже в 1 300 000 раз больше соответственно поверхности и объема Земли.

Мне вспоминается интересное вычисление Леберехта Хюнхена (герой рассказов Генриха Зайделя). Лежа на своем земельном участке, Хюнхен размышлял над вопросом, являются ли земля под ним и воздух и эфир над ним его собственностью. Пользуясь теоремой, согласно которой площадь поперечного разреза пирамиды увеличивается пропорционально квадрату его расстояния от вершины, Хюнхен прикидывает, что его участок на Земле, равный 1300 м2, на Солнце (удаленном от центра Земли на расстояние, близкое к 24 000 радиусов Земли) окажется больше всей территории Германии. Эти размышления о величине своего участка он затем распространил и на расстояния от Земли до неподвижных звезд; что при этом получается, можно прочесть у Зайделя,— ты же вычисли это сам.

Вес тела получается, если умножить его объем на специальный множитель, называемый удельным весом. Удельный вес показывает, во сколько раз больше весит тело (или часть его), чем вода, занимающая тот же объем. Следовательно, вес теснейшим образом связан с объемом. И здесь очень часты грубые ошибки в оценке величин. Сколько весит пробковый шар радиусом в 1 л*? Ты вряд ли предположишь, что он весит больше чем 5—10 кг — пробка ведь очень легка. Удельный вес пробки — 0,24, т. е. она в 4 раза легче воды того же объема. Для определения объема шара имеется простая формула: ттг*, где г — радиус, а тг— число,

которым мы еще займемся подробнее в дальнейшем. Здесь мы только скажем, что оно примерно равно 3,14. Литр воды весит 1 кг. Литр — это то же самое, что кубический дециметр. Один кубический метр содержит 1000 литров. Следовательно, вес кубического метра воды составляет 1000 кг или 1 т. Отсюда следует, что пробковый шар весит 4-тг-0,24 m, т. е. примерно тонну, так как тт лишь очень немногим больше 3. Значит, пробковый шар весит не 10 кг, а в 100 раз больше.

Я предложу тебе еще несколько задач с тем, чтобы ты их сам разобрал и увидел разницу между поверхностной оценкой и результатом более или менее точного подсчета. Можешь затем предложить эти задачи твоим товарищам,— они, наверное, тоже оконфузятся.

Как велико ребро золотого куба, который весит столько же, сколько все население земного шара? Средний вес каждого из 2,5 миллиардов людей можно принять равным одному центнеру; удельный вес золота немногим более 19. Сколько весит воздух в зале шириной 12 м, длиной 30 м и высотой 8 м. Удельный вес воздуха — 0,001293.

Увеличение площадей и объемов можно использовать для наглядного изображения больших чисел. Мы уже видели, что затруднительно использовать отрезки для наглядного представления чисел порядка миллиарда. Иначе обстоит дело, если привлечь для этой цели объемы. Пусть число 1 изображается кубиком с ребром, в 1 мм\ в таком случае столбик в 1 см высотой, состоящий из 10 таких кубиков, представит число 10; слой в 1 см длины и 1 см ширины — число 100; 10 таких слоев, образующих куб с ребром в 1 см, будут изображать уже число 1000. Из кубических сантиметров можно построить кубический дециметр; он будет изображать число 1 000 000. Кубический метр будет представлять миллиард, а кубический километр (чтобы представить себе такую величину, нужно уже вспомнить о горах) — триллион. Пользуясь пространственными образами, можно с легкостью перейти в область еще больших чисел, особенно, если привлечь к рассмотрению не только обычные на Земле величины, но и астрономические. Объемы Земли (сколько это будет кубических километров?), Солнца (а это сколько?), пространства, занимаемого нашей планетной системой, и т. д. могут служить для наглядного изображения несравненно больших чисел, чем триллион.

Но все же и здесь пока имеется предел; его намечает тот факт, что самые отдаленные объекты звездного неба, обозримые с помощью современных средств наблюдения, удалены от нас на несколько миллионов световых лет.

4. КОЕ-ЧТО О ВЫЧИСЛЕНИЯХ С БОЛЬШИМИ ЧИСЛАМИ

В школе учат, что сложение есть сокращенное продолжение счета. 7+3 означает, что, начиная от 7, нужно продолжить счет еще на 3 шага, т. е. считать: 8, 9, 10. Сложение небольших чисел нередко фактически выполняют таким образом. Многие, например, будут складывать десятые доли, указанные в задаче 1, так:

Задача 1 Задача 2

1 (эта единица образована тремя .пятерками на втором месте после запятой), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Цифры, напечатанные жирным шрифтом, при счете произносятся несколько громче и указывают промежуточные результаты.

Как сложение является сокращенной записью процесса продолжения счета, так и вычитание указывает на продолжение обратного счета, т. е. счета от больших чисел к меньшим. Умножение же представляет собой сокращенную запись сложения одинаковых слагаемых; так, например, в задаче 2 можно просто подсчитать количество пятерок в самом правом столбце и заключить, что этот столбец даст 7-5 = 35. Наконец, деление является сокращенной записью многократного вычитания. Четырем арифметическим действиям можно дать и другие определения (ведь наши определения относятся только к целым числам),— но я не собираюсь писать учебник арифметики.

Необходимо, прежде всего, объяснить слово «сокращенное». Каждому, конечно, понятно, что если бы я действительно стал вычислять сумму 7388 -f- 5149, продолжая счет от 7388 еще на 5149 шагов, то это было бы довольно скучным занятием; кроме того, я легко мог бы просчитаться. Я должен был бы быть очень внимательным, ибо, как нетрудно заметить, здесь мне пришлось бы одновременно производить два счета. Если же имеешь дело с еще большими числами, например, с миллионами или биллионами, то, как мы видели выше, при подобном порядке счета понадобились бы годы, а может быть, и такой срок был бы мал. По этому поводу существует очаровательная история. Карлуше задали в школе задачу: сколько раз можно вычесть из миллиона число 3? Он в обычное время садится за работу, однако дело идет очень медленно. Тогда на помощь приходит мать, а когда возвращается с работы отец, то начинает считать и он. Сестры, братья, тети и дяди тоже были мобилизованы на помощь и работали, пока у них от усталости не стали смыкаться глаза, а на завтра все они ругали неразумного учителя, задающего маленьким детям такие задачи!

Гамбургский математик Г. Шуберт вычислил, что 29 апреля 1902 года в 10 часов 40 минут истек ровно один миллиард минут с начала нашего летоисчисления. Это может служить хорошим примером (уже использованным нами однажды) наглядного представления числа 1 000 000 000 Один юмористический журнал сострил по этому поводу: «Сколько же тысяч минут затратил почтенный ученый на это вычисление?». Журнал, видимо, считал, что этот результат является плодом длительных и трудных подсчетов. Однако здесь он так же заблуждался, как и упомянутое выше милое семейство: для того чтобы получить результат, достаточно разделить один миллиард на число минут в году и перевести остаток в месяцы и часы1). То, что Шуберт дал наглядное представление о величине миллиарда,— этого насмешник из журнала не понял.

Не станем вдаваться в дальнейшие подробности относительно четырех арифметических действий над большими числами. Хотя они и требуют много времени и большого внимания, но ты не встретишь серьезных затруднений при

1) Конечно, Шуберт должен был учесть также и високосные годы. Впрочем, как я узнал впоследствии от В. Аренса, Шуберт написал в журнал письмо, в котором сообщил, что потратил на вычисление всего 15 минут.

их выполнении. На практике часто прибегают к различным средствам вычислений, из которых наиболее важными являются вычислительные машины, начиная от счетных палочек, кассовых аппаратов (применяемых в магазинах)*) и «малых вычислительных машин», выполняющих умножение, до больших современных электронных счетных машин, таких, как ЭНИАК и другие**).

Нередко удается сравнительно сложные вычисления, приводящие к большим числам, значительно упростить при помощи удачной догадки. Я хочу привести здесь хотя бы два примера; далее нам встретятся еще и другие. Расскажем одну историю из детства великого математика Карла. Фридриха Гаусса. В юности он посещал Екатерининскую школу в Брауншвейге. Чтобы занять часть своих учеников,— а их было 100, и притом различного возраста,— учитель предложил однажды сложить все числа от 1 до 100. Едва он успел дать это задание, как маленький Гаусс вышел вперед и положил свою грифельную доску на стол учителя: «Готово!». Учитель не знал, что и подумать — шалость ли это или лень. Однако результат был верен: маленький математик сообразил, что 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т. д. составляют в каждом случае в сумме 101; так как таких пар будет 50, то результат равен 50*101 = 5050.

Легко убедиться, что так можно суммировать не только ряд чисел, начинающийся с единицы, но и ряд, начинающийся любым другим числом. Да и числа ряда не обязательно должны непосредственно следовать одно за другим.

*) Кассовые аппараты, имеющиеся во всех магазинах, автоматически складывают суммы, выбиваемые на чеках.

**) ЭНИАК (ENIАС) — сокращенное наименование универсальной вычислительной машины Пенсильванского университета в Филадельфии (США) — одной из первых больших электронных счетных машин. В то время, когда подобных машин было еще не много, их названия и индивидуальные особенности (и возможности) каждой машины были хорошо известны всем работающим в этой области. Ниже нам еще встретится электронная вычислительная машина СВАК (SWAC), принадлежащая Калифорнийскому университету (США); первая советская машина такого рода сокращенно называется БЭСМ (Большая электронная счетная машина Академии наук СССР); позже появились у нас меньшие машины типа «Стрела», «Урал» и др.

Первоначальные сведения о современных электронных вычислительных машинах можно найти, например, в последнем издании «Занимательной алгебры» Я- И. Перельмана, М., 1959. Более серьезной является книжка Н. А. Архангельского и Б. И. Зайцева «Автоматические цифровые машины», М., 1958 (серия «Популярные лекции по математике», вып. 28).

Например, я ставлю задачу: сложить все нечетные числа от 1001 до 1999. Здесь имеется 250 пар чисел, сумма которых равна 3000, поэтому искомый результат будет равен 750 000. Этот прием всегда приводит к цели, если числа образуют так называемый арифметический ряд, т. е. такой ряд, в котором каждое число больше предшествующего на одну и ту же величину. (Определи, например, сумму всех четных чисел от 1200 до 1500!)

Вот еще один пример. Одному человеку предложили определить сумму цифр всех чисел от единицы до миллиарда. Он рассуждал таким образом: сумма цифр числа 999 999 999 равна 81. Числа 1 и 999 999 998 в сумме также дают 81, сумма цифр чисел 2 и 999 999 997 — тоже равна 81 и т. д. Всего мы будем иметь 500 000 000 подобных пар чисел. Следовательно, сумма цифр чисел от 1 до 999 999 999 плюс сумма цифр числа миллиард равна

500 000 000 81 + 1=40 500 000 001.

До сих пор мы говорили о точном выполнении действий с большими числами. Однако в практической жизни гораздо чаще встречаются вычисления приближенные. Обыкновенно довольствуются приближенным результатом, имеющим верными лишь первые три, четыре или пять цифр. Иногда при приближенных вычислениях ограничиваются нахождением только первой верной цифры числа или лишь определяют место, занимаемое этой цифрой,— в таких случаях говорят об определении порядка величины. Приведу пример: представь себе, что Земля по экватору опоясана веревкой. Если эту веревку туго натянуть, то останется свободный конец в 10 м\ теперь ослабим веревку настолько, чтобы концы ее сошлись. Спрашивается: сможет ли между Землей и слабо натянутой веревкой пролезть муха? Исходя из здравого смысла, ты будешь, конечно, решительно отрицать это,— ведь по сравнению с длиной экватора (составляющей, как мы уже отмечали на стр. 15, 40000 000 м), излишек в 10 л* будет столь незначительным, что им, по-видимому, свободно можно пренебречь.

Исследуем внимательнее этот вопрос. Пусть расстояние между экватором и слабо натянутой веревкой будет- х. Длина окружности экватора равна 2тг-/?, где R — радиус Земли, а я — уже знакомое нам число, выражающее отно-

шение длины окружности к диаметру; оно равно приблизительно 3,14. Радиус большего круга, образованного веревкой, равен R -f х, следовательно, длина его окружности равна 2tï-(R -f х). Отсюда следует, что разность между длинами этих окружностей равна 2тг• (R -f х)—2тг-/?, то есть 2-к-х. С другой стороны, эта разность и составляет наши 10 м. Так как 2тт лишь немногим более б, отсюда получаем, что х приблизительно равно 1,5 м. Видишь, как обманула тебя способность представлять себе порядок чисел.

Дадим эту задачу и в несколько иной форме; теперь ты, конечно, легче с ней справишься. Человек идет по экватору вокруг Земли (практически это, конечно, также невыполнимо, как и задача — обтянуть земной шар веревкой). Насколько путь, пройденный головой человека, больше пути, пройденного его ногами? По существу, эта задача совпадает с предыдущей, с той лишь разницей, что искомая в первой задаче величина х здесь дана, а заданная там величина 10 м здесь является искомой. Ясно, что голова человека не может описать путь, на несколько тысяч метров больший, чем пройденное его ногами расстояние.

В предыдущих примерах мы все же вычисляли, хотя и приближенно. Рассмотрим теперь пример, в котором придется не вычислять, а соображать. Рассказывают, что когда философ Кант был еще мальчиком, то однажды, вовремя прогулки по лесу, ему был задан вопрос — найдутся ли в этом большом лесу два дерева с одинаковым числом листьев? Аналогично можно спросить, существуют ли на свете два человека, имеющие одинаковое число волос на голове? Чтобы ответить на эти вопросы, вовсе не нужно считать листья на каждом дереве или волосы на голове у каждого человека. Достаточно знать наибольшее число листьев на дереве или наибольшее число волос на голове человека; при этом и в том, и в другом случае нам достаточно знать лишь порядок величины этих чисел. Так как число волос на голове человека не превосходит 200 000, то можно быть уверенным, что из 200 001 человека по меньшей мере двое имеют одинаковое число волос. Уже этого приблизительного подсчета достаточно, чтобы ответить на поставленный вопрос. Попытайся теперь сам ответить на вопрос, относящийся к деревьям. Конечно, для этого ты должен знать примерное число листьев на деревьях и деревьев в большом лесу.

5. НАИБОЛЬШЕЕ ЧИСЛО, КОТОРОЕ МОЖНО ЗАПИСАТЬ ТРЕМЯ ЦИФРАМИ

Ты, вероятно, слышал рассказ о том, как изобретатель шахматной игры потребовал себе в награду столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую клетку— 2 зерна, на третью — 4, на четвертую — 8 и т. д., т. е. на каждую клетку доски класть зерен вдвое больше, чем на предыдущую. Это число кажется довольно скромным, и король, к которому была обращена просьба, не подозревал, о каком громадном количестве пшеницы идет речь. На последней клетке должно лежать число зерен, равное произведению 63 множителей, каждый из которых равен 2. Однако записывать это число таким образом очень скучно; вместо этого пишут сокращенно 263 (что читается: 2 в 63-й степени). Сомножитель — в данном случае 2 — называют основанием степени, а число сомножителей — здесь 63 — показателем степени. Все выражение 263 называется степенью. Таким способом можно довольно легко записывать весьма большие числа. Для примера я привожу здесь таблицу, содержащую первые сорок степеней числа 2. Хотя таблица и не доведена до 63-й степени, ты теперь легко сможешь ответить на вопрос о том, сколько зерен должно было лежать на последней клетке; для этого достаточно сороковую степень двух (1 099 511 627 776) умножить на двадцать третью (8 388 608). К какому огромному количеству пшеницы мы при этом придем, ты увидишь, если подсчитаешь, сколько примерно пшеничных зерен помещается в одном мешке, в железнодорожном вагоне и т. д.

Возьмем достаточно большой лист бумаги толщиной, скажем, в */1в мм. Сложим его пополам, затем снова пополам, затем еще раз пополам и т. д.— всего сорок раз. Какой толщины будет теперь слой бумаги? Как видно из таблицы, его толщина составит 109 951 162 777,6 мм, т. е. более 100 000 км.

Степени числа 2 до 2400 включительно вычислил Мольтерер1). Приведу здесь число 2400; оно лучше всяких слов убедит тебя, с какими числовыми великанами приходится иметь дело, когда возводишь в степень число, кажущееся

1) I. Molterer, Tabellen zur Zahlentheorie, Wels, Weisermühl, 1937.

Таблица степеней числа 2

Показатель

Степень

Показатель

Степень

1

2

21

2 097 152

2

4

22

4 194 304

3

8

23

8 388608

4

16

24

16 777 216

5

32

25

33 554 432

6

64

26

67 108 864

7

128

27

134 217 728

8

256

28

268435 456

9

512

29

536 870 912

10

1024

30

1 073 741 824

11

2 048

31

2 147 483 648

12

4 096

32

4 294 967 296

13

8192

33

8 589 934 592

14

16 384

34

17 179 869 184

15

32 768

35

34 359 738 368

16

65 536

36

68 719 476 736

17

131 072

37

137 438 953 472

18

262 144

38

274 877 906 944

19

524288

39

549 755 813 888

20

1 048 576

40

1 099 511 627 776

вполне безобидным. Представь себе занимающее здесь несколько строчек число написанным в одну строку: 2 582 249 878 086 908 589 655 919 172 003 011 874 329 705 792 829 223 512 830 659 356 540 647 622 016 841 194 629 645 353 280 137 831 435 903 171 972 747 493 376.

Быстрое возрастание степени с увеличением показателя было использовано уже в древности для составления забавных задач. В самом древнем из известных нам математических руководств (которое составил Ахмес около 1700 года до нашей эры*)) находим следующую задачу: 7 человек имеют по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь съедает 7 колосьев ячменя, из каждого колоса вырастает 7 мер зерна. Сколько всех мер зерна? Ответ можно написать в форме степени: 75; вычислить это число нетрудно.

*) Речь идет о так называемом «папирусе Ринда», хранящемся в Британском музее в Лондоне и являющемся замечательным памятником египетской математики. [Писец Ахмес (переписавший этот папирус около 1700 года до нашей эры), по-видимому, не был его составителем; оригинал, с которого переписывал Ахмес, восходит, надо думать, к еще большей древности.]

Чтобы указать порядок величины, чаще всего используют степени числа 10. Так, например, масса Земли равна приблизительно 6-Ю27 г, а масса Солнца — 2-1033 г. Массу нашей Галактики (Млечного Пути) принимают равной примерно 1010 масс Солнца. Предполагают, что подобных галактик имеется около 1012. Повторяю: все эти числа приближенные. Если принять число протонов (т. е. самых маленьких материальных частиц) в одном грамме массы равным 6-Ю23, то общее число протонов во вселенной составит:

6-10"-2-1035-1010-1012.

Если вспомнить определение понятия «степень», то мы поймем, что общее число сомножителей 10 здесь равно 23+33+104-12 = 78, а если вместо 6-2 = 12 написать еще десятку,— в этом весьма проблематичном приближенном вычислении мы не будем мелочны,— то мы придем к числу протонов, равному 1079.

Удивительно, что Архимед в своих вычислениях (стр. 12 и след.) пришел к такому же числу песчинок, а именно:

10 000 000 1 000 000 0008 = 107 - ( 109)8 = 107 - 1072 = 1079.

Как мы подсчитывали степени в последней строчке, ты, вероятно, сумеешь объяснить сам.

Приведу еще интересную историю, которая покажет, сколь осторожным нужно быть в своих выводах, а кроме того, продемонстрирует значение понятия степени в применении к живым существам. Каждый человек имеет 2 родителей, 4 прародителей, 8 прапрародителей и т. д. Если вернуться на 40 поколений назад, т. е. примерно на 1200 лет, то окажется, что у каждого человека было 240 или, согласно нашей таблице, 1 099 511 627 776 предков. Следовательно, не верно, что в то время, т. е. примерно в эпоху Карла Великого, жило меньше людей, чем сейчас; напротив того, выходит, что на каждого современного человека приходится свыше биллиона живших в те времена людей. Значит, тогда было в биллион раз больше людей, чем теперь. Так ли это? Ты, конечно, сразу догадаешься, в чем тут дело.

Можно также заменить предков потомками. Существуют грибки, бактерии, которые при благоприятных условиях подрастают так быстро, что уже через два часа делятся на две части. Каждая из этих частей размножается таким же

образом. Следовательно, из одного грибка в течение 24 часов образуется уже 212 грибка, а через двое суток — 22\ Число грибков растет с колоссальной быстротой. Имея под рукой приведенную на стр. 27 таблицу, совсем нетрудно вычислить, сколько потребуется времени для того, чтобы число бактерий оказалось настолько большим, что, несмотря на их микроскопические размеры, они могли бы покрыть равномерным слоем всю Землю.

Растение курослеп трижды в год дает по 15 000 семян; следовательно, от одного растения могло бы в год произойти более 15 0003 = 3375 миллиардов растений. Сельдь откладывает 30 000 икринок, карп — свыше миллиона, треска от 4 до б миллионов, солитер — около 42 миллионов, аскарида — приблизительно 64 миллиона. Какие же по сравнению с ними ленивые существа зайцы!

Даже при медленном размножении какого-либо вида животных определенная территория могла бы быть в сравнительно короткое время буквально наводнена им, если бы борьба за существование между видами не ставила предела этому распространению. Если бы это препятствие на какое-то время исчезло, мы наблюдали бы неслыханное размножение животных. Ты, конечно, слыхал об опустошениях, которые производят тучи саранчи, затемняющие при полете солнце, и массы гусениц, сплошным ковром покрывающие огромные пространства. Гибельное распространение эпидемии также объясняется колоссальным размножением определенных видов бактерий.

Возможно, ты уже встречался с задачей, которая на первый взгляд не имеет ничего общего с понятием степени: в какую сумму обратилась бы одна копейка, отданная на проценты в начале нашей эры? Если бы эта копейка была внесена в одну из современных сберегательных касс, то на нее бы не начисляли процентов — они начисляются только на рубли. Но предположим, что за копейку платят проценты, скажем, 5% в год. Тогда положенная сумма ежегодно возрастала бы на -щ коп., и, значит, за 1950 лет она увеличится на щ коп. х 1950 или на 97,50 коп. На большую сумму вкладчик (или, вернее, его наследники) не может притязать, если речь идет о так называемых простых процентах. Другое дело, когда проценты сложные, т. е. когда процентные деньги за каждый год присоединяются к основ-

ному капиталу; тогда уже на следующий год и на них начисляются проценты. Так делают, например, в сберегательных кассах. Ты, наверное, возразишь: «Ну что ж, если даже и так, то сложные проценты вряд ли дадут намного больше денег, чем простые». Посмотрим! В конце первого года мы будем иметь 1 коп. + 0,05 коп. = 1,05 коп. Проценты за второй год составят 1,05 коп. х 0,05, так что к концу второго года наша копейка превратится в 1,05 коп. +1,05 коп. х х0,05, или 1,05 (1+0,05) коп., или 1,052 коп. Следовательно, к началу третьего года наш капитал будет составлять 1,052 коп. К концу же этого года капитал вместе с процентными деньгами превратится в 1,053 коп., к концу четвертого года — в 1,054 коп., а к концу 1950 года — в 1,051950 коп.

Теперь ты видишь, что мы здесь имеем дело с задачей на возведение в степень. При решении таких задач обычно употребляют логарифмы. Но здесь мы не будем пользоваться этим удобным методом, так как в нескольких словах изложить его сущность невозможно. Поэтому прибегнем к другому способу, который даст нам возможность приближенно вычислить результат. Нетрудно убедиться, что 1,0514 уже больше 2. Следовательно, отданная на проценты копейка удваивается Менее, чем за 14 лет. Для определенности предположим, что она удвоится ровно через 14 лет. Значит, через 28 лет копейка превратится уже в 4 копейки, через 3 X 14, или 42 года,— в 8 коп. Но частное от деления 1950 на 14 равно 139 (а остаток равен 4). Следовательно, одна копейка за 1950 лет превратится в более чем в 2139 копеек. Эта сумма неимоверно превосходит ту, в которую превращается копейка, отданная на простые проценты. Десять миллиардов рублей, т. е. 1 биллион копеек, Составляют, как видно из таблицы на стр. 27, приблизительно 240 копеек. Наша сумма, однако, в 29Э раз больше; точнее, она выражается числом, состоящим из 47 цифр. Значит, речь идет о сумме, которая намного превосходит все денежные запасы земного шара. Попытайся-ка представить эту сумму в более наглядной форме.

Наши вычисления, конечно, беспочвенны. В нулевом году не существовало копеек! Не было и сберегательных касс; кроме того, в более близкое к нам время были инфляции и денежные реформы. Но это не играет для нас роли. Нам важно было показать, что даже в том случае, когда основание степени лишь немногим более единицы, степень

с возрастанием ее показателя увеличивается до колоссальных размеров.

После всего сказанного ты вряд ли станешь утверждать, что наибольшее число, которое можно написать тремя цифрами, есть 999 (как может показаться на первый взгляд). По всей вероятности, ты теперь ответишь, что число равно 9". Тремя девятками можно записать и число 999, но ты, конечно, понимаешь, что 9" гораздо больше, чем 999.

Однако и этим ответом нельзя удовлетвориться. Число 99 безусловно больше 99 и может быть точно вычислено; это число равно 387 420 489. Отсюда ясно, что если возвысить 9 в 99-ю степень, то получится число, написанное также тремя цифрами, но значительно большее 9". Это число принято записывать так: 998. Точнее была бы запись 9(99), чтобы не смешивать его с числом (99)9. Последнее означает произведение 9 множителей, каждый из которых в свою очередь состоит из 9 множителей, равных девяти. Следовательно, это число есть произведение, содержащее только 9x9 или 81 множитель, каждый из которых равен 9. Но такое число, конечно, меньше даже, чем 9"; оно содержит «только» 78 цифр.

Я приведу здесь еще некоторые сведения о числе 9991). Это число имеет 369 693 100 цифр, т. е. около одной трети миллиарда цифр; начинается оно следующими цифрами: 428 124 773 175 747 048 036 987 115 930 563 521 339 055 482 241 443 514 174 753; последние его цифры 24 178 799 359 681 422 627 177 289. Какие цифры стоят в промежутке между выписанными — неизвестно. Если бы это число напечатать более или менее четко на полоске бумаги, то эта полоска оказалась бы длиной 1200—1800 км. Если же напечатать это число в книге так, чтобы на каждой странице имелось 14 000 цифр, то из такой книги можно было бы составить 33 тома по 800 страниц в каждом.

В одной изданной в 1874 году книге под названием «Бытие бога» (автор книги — Крёниг) рассматривается ряд чисел: 22, 33\ 444\ О последнем из этих чисел автор говорит: «Представьте себе отрезок такой длины, что световому лучу понадобился бы квинтиллион лет, чтобы пройти этот путь.

1) Сами результаты и объяснение, как они были получены приведены в статье X. Вейсс (Chr. Weiss), «Hu», Tallet 9(99)og Endecifrene i Potenser of 9, Matematisk Tidsskrift, сер. А, 1941 г., стр. 63 и след.

Затем представьте себе шар с диаметром, равным этому отрезку, наполненный типографской краской. Всей этой краски не хватило бы, чтобы четко напечатать это число даже самыми мелкими цифрами, какие только существуют».

X. Маурер исследовал эти числа с точки зрения теории чисел. Обозначив для простоты число Xх? через Зх и введя затем общее обозначение nx=x{n~ix) (где х и п — целые положительные числа), он показал, как можно найти последние цифры этих числовых великановл Так, например, 29 (т. е. 99) оканчивается на 89, 39 — на 289, 49 — на 5289, 59 — на 45 289 и т. д., наконец, 109 — на 9 392 745 289. Таким образом, последние п цифр числа "9 повторяются во всех последующих числах п+19, "+29, и т. д. Аналогичными свойствами обладает и любой другой ряд гх=х, 2х, Зх, и т. д., где X — целое.

После этого короткого путешествия в мир гигантов пх вернемся к нашему исходному пункту — к степеням числа 2. Изобретатель шахматной игры просил у царя не столько зерен, сколько их будет лежать на последней клетке шахматной доски, а все зерна, лежащие на всех 64 клетках. Следовательно, для определения числа зерен нельзя довольствоваться только лишь вычислением 263; необходимо найти все степени числа 2, до 263 включительно, и подсчитать сумму этих чисел. Это очень длительная работа. Посмотрим, не может ли нам здесь помочь какой-либо удачный прием, вроде того, который применил маленький Гаусс, когда он имел дело с арифметическим рядом чисел? Оказывается, может. Нетрудно подметить, что 1+2=2*—1, 1 +2+4=23—1, 1 -f-2 + 4-f-8=24—1. Исходя из этого, мы полагаем, что

1+2 + 4+...+2в8=264 — 1.

Для доказательства допустим, что наше предположение выполняется для суммы степеней двойки, кончающейся 2""1, т. е. что

l+2+3+...+2"-l=2rt —1.

В таком случае оно будет справедливо и для суммы, следующей за этой суммой степеней. Действительно, для того чтобы образовать такую сумму, надо к левой части последнего равенства только прибавить 2"; тогда справа получим (2П—1) -f-+2" , т. е. 2-2"—1 или 2п+1— 1.Этим наше предположение доказано для любого значения п\ так как оно вер-

но при я=4, то отсюда следует справедливость его и при п=5, а поэтому и при п = 6 и т. д., какое бы значение п мы ни взяли. Такой метод доказательства математики называют методом полной (или математической) индукции*).

6. О ЧИСЛАХ ПРОСТЫХ И СОВЕРШЕННЫХ

Одни числа, как, например, 6=2-3 или 18=2-З2, можно разложить на множители, другие, как 5 или 11, не разлагаются (при этом мы, конечно, не принимаем во внимание, что всякое число может быть представлено в виде произведения 1 на самого себя). Такие числа, как 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т. д., которые нельзя разложить на множители, называют простыми числами, остальные — составными.

Выписывая одно за другим все простые числа, мы заметим, что в ряду натуральных чисел они встречаются все реже и реже; другими словами, в промежутке от 1 до 100 простых чисел больше,чем в промежутке от 101 до 200, и т. д. Приведенная ниже (стр. 37) таблица подтверждает это. Естественно возникает вопрос: существует ли граница, далее которой простые числа более не встречаются, т. е. существует ли последнее, самое большое простое число? Еще греческий математик Евклид доказал, что последнего простого числа нет. Действительно, предположим, что самое последнее простое число существует, и обозначим его через р. Образуем произведение Рр всех простых чисел 2, 3, 5 и т. д. до р включительно. Так как р, по-видимому, уже довольно большое число, то тем более это относится к числу Р р\ однако нам, к счастью, нет необходимости подсчитывать его. Прибавим теперь к полученному произведению Рр еще 1. Мы утверждаем, что число Рр+1 не делится ни на одно из существующих простых чисел от 2 до р включительно. В самом деле, легко убедиться, что при делении числа Рр+1 на каждое из этих простых чисел получится остаток 1. Если, например, разделить это число на 2, то, так как произведение Рр всех простых чисел нацело делится на 2, а прибавленная к этому произведению единица не делится на 2, то в остатке получится 1. Тот же результат получается и при делении Рр+1 на 3, на 5 и т. д., наконец,

*) Про этот метод можно прочитать в книжке: И. С. Соминский, Метод математической индукции, М., 1959 (серия «Популярные лекции по математике», вып. 3).

на р. Итак, нам приходится признать, что это вновь образованное число либо само является простым (и, конечно, большим, чем р), либо разлагается на множители, каждый из которых является простым числом, большим, чем р. И в том, и в другом случае мы приходим к простым числам, превосходящим р. Таким образом, наше предположение о том, что р есть наибольшее простое число, оказывается ложным: наибольшего простого числа вообще не существует, т. е. число простых чисел «бесконечно велико».

Не все вопросы, возникающие в связи с простыми числами, разрешаются так легко. Напротив, существует немало вопросов, ответ на которые до сих пор еще не получен. Нам известны пары простых чисел, отличающиеся друг от друга на 2: 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и т. д. Английский математик Глэшер (Glaisher) непосредственным подсчетом установил, что между 1 и 100 000 имеется 1125 таких пар; между 1 000 000 и 1 100 000 — только 725, а между 8 000 000 и 8 100 000 — всего лишь 518. Словом, таких пар становится все меньше и меньше1). Перестают ли когда-либо они встречаться вовсе, другими словами, есть ли последняя, наибольшая из таких пар, или число их бесконечно? Ответ на этот вопрос до сих пор неизвестен.

Один из читавших эти строки в предыдущем издании книги написал мне, что, по его мнению, ответить на последний вопрос очень легко. Все сказанное выше о числе Рр-\-\ можно с небольшими изменениями перенести и на число Рр—1. Таким образом, оба эти числа не делятся на меньшие простые числа 2, 3, 5 и т. д. до р, т. е. являются простыми. Вот мы и получили пару простых чисел искомого вида! А так как ряд простых чисел р бесконечен, то бесконечен и ряд таких чисел, как Р„+1 и Рр—1; поэтому и число таких пар простых чисел бесконечно велико. Читатель сможет самостоятельно обнаружить ошибку в этом рассуждении.

Пары простых чисел, отличающихся на 2, называют близнецами. Определение близнецов можно еще обобщить; при этом мы придем к числам, о которых известно еще меньше, чем о близнецах. Назовем 2q-числами такие два простых числа, разность между которыми равна 2q\ если q= 1, мы приходим к случаю близнецов. Неизвест-

1) Таблицу пар близнецов, не превосходящих 300 000, опубликовал Тице (H. Tietze) в Sitzungsberichten der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Math.-naturw. Klasse, 1947, стр. 57 и далее.

но, для каждого ли q имеется хотя бы одна такая пара; неизвестно также, будет ли количество 2с-чисел бесконечным хоть при каком-нибудь q.

Можно ли найти два последовательных простых числа, промежуток между которыми превосходит любое число, например 100, 1000 и т. д.? Чтобы убедиться в этом, образуем, скажем, произведение простых чисел.

Рш=2-3.5.7.....101.

Тогда из 100 следующих друг за другом чисел Р101+2, Р101+3, Р101+4,Р101+101 ни одно не является простым.

Если заменить в этом рассуждении первое превосходящее 100 простое число 101 числом 1009 — первым простым числом, большим 1000,— то мы придем к ряду из 1000 чисел

Рхооэ+2, Р1009+3,..., Р1009+Ю01

(где Р1009=2-3«5-7-...« 1009), каждое из которых наверное можно разложить на множители. Читателю, конечно, понятно, что так же можно доказать существование в ряду простых чисел промежутков любой длины.

Раньше полагали, что для того, чтобы раскрыть тайны простых чисел, надо отыскать их как можно больше. Так появились таблицы, содержащие все известные простые числа, а также разложения больших чисел на простые множители. Естественно, что при составлении подобных таблиц стремились сделать их не слишком объемистыми, поэтому в них не включали числа, которые имеют легко распознаваемые делители, вроде 2, 3, 5 и т. д. Кроме того, в этих таблицах выписывались только наименьшие делители больших составных чисел. Разделив составное число на этот наименьший делитель, мы получим новое число, отыскав которое в таблице, мы можем удостовериться, является ли оно простым или разлагается на множители дальше*).

Уже к началу XIX столетия существовали такие таблицы, простирающиеся до 3 000 000 (таблицы Буркхарта).

*) Подобные таблицы, позволяющие разложить на простые множители любое число, не превосходящее 108 000, приложены, например, к старой книге: Д. Граве, Элементарный курс теории чисел, Киев, 1913; предполагается, что они будут воспроизведены в новой книге: А. А. Бухштаб, Курс теории чисел, подготовляемой к печати Учпедгизом.

По инициативе Гаусса гамбургский вычислитель Захария Дазе составил таблицы для чисел от 6 000 000 до 8 000 000; впоследствии они были доведены Розенбергом до 9 000 000 и опубликованы им. Уже упоминавшийся выше англичанин Глэшер заполнил промежуток Между 3 000 000 и б 000 000 В 1909 году появилась таблица, доходящая до 10 миллионов; в 1914 году вышла продолженная еще немного далее таблица простых чисел Лемера, в которой, в частности, были исправлены ошибки всех ранее опубликованных таблиц. В архивах Венской Академии наук хранится рукопись Кулика, 4212 страниц которой составляют 8 томов; содержащаяся в рукописи таблица простых чисел и разложений на множители доведена до 100 000 000 (впрочем, второй том этого сочинения, кажется, утерян). Правда, Лемер, который сличил результаты Кулика, относящиеся к 10-му миллиону, со своей таблицей, нашел здесь у Кулика 226 ошибок; он считал поэтому, что работа Кулика может иметь значение для дальнейших вычислений лишь как первый опыт.

Рис. 6.

Было бы очень важно найти такое выражение А, зависящее от п (или, как говорят математики, функцию Л(п)), которое указывало бы число простых чисел, не превосходящих п. Над этой «проблемой простых чисел» билось много замечательных математиков, так и не решив ее до конца. Пока известны лишь приближенные выражения для функции А(п). Непосредственный подсчет показывает, что процентное отношение числа простых чисел к числу всех натуральных чисел убывает с возрастанием я. Начальные значения «теоретико-числовой» функции А(п),

имеющей смысл лишь для целых значений п, показаны на рис. 6. Убывание отношения числа простых чисел к числу всех целых можно, согласно Лешмайеру, непосредственно усмотреть из следующей таблицы, левый столбец которой растет гораздо быстрее правого. При этом в таблице, как и на рис. 6, 1 принимается за простое число.

п

А(п)

10

5

100

26

1 000

169

10 000

1230

100 000

9 593

1 000 000

78 499

10 000 000

664 580

100 000 000

5 761 456

1 000 000 000

60 847 479

В некоторых случаях приходится иметь дело с числами, которые далеко превосходят пределы упомянутых выше таблиц и о которых важно знать, являются ли они простыми или составными. В геометрии большую роль играют числа вида 22"+1. Если п здесь равно нулю, то мы получим 3 (ибо считают,что 2°= 1); если вместо п подставить 1, то получим 5; при п=2 имеем 17; при п=3 — уже 257, а при п=4 — даже 65 537, как следует из таблицы, приведенной на стр. 27. Гаусс доказал, что правильный многоугольник, число сторон которого выражается простым числом вида 22"-{-1, может быть построен с помощью циркуля и линейки. Он был первым, кто доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника. Построением 257-угольника занимался математик Ришело (1832 год); позднее Майвальдом было указано более простое построение правильного 514-угольника. Ставший впоследствии директором реальной гимназии Гермес, ученик Ришело, занимался даже задачей построения 65 537-угольника. Свои рассуждения относительно построения 17-угольника Гаусс сумел уместить на грифельной доске, которую подарил своему товарищу по университету Фаркашу Больяи; тот сохранил ее до старости, как самое дорогое воспомина-

ние. Сочинение Ришело занимает уже 80 страниц. Вычисления же Гермеса, над которыми он работал 10 лет, заполняют довольно вместительный чемодан, который хранится в Математическом институте Геттингенского университета. Впрочем, эти работы не имеют большого значения, поскольку еще Гаусс исследовал вопрос о построении правильных многоугольников в самом общем виде.. Результаты, к которым он пришел, таковы: правильный т-угольник может быть в том и только в том случае построен циркулем и линейкой, если m представляет собой произведение числа 2 в любой степени и (различных) простых чисел Fn вида 22"+1. Это заключение справедливо и тогда, когда число m нечетно, т. е. показатель степени числа 2 равен 0.

Теперь возникает новый, очень интересный вопрос: все ли числа вида Fn являются простыми или нет? Замечательный французский математик, юрист Ферма, ответил на этот вопрос утвердительно. Однако Лендри, который в 1867 году исследовал, как разлагаются на множители все числа вида 2п+1 и 2"—1, где п не превосходит 64 (при этом он перешел далеко за пределы упомянутых выше таблиц), показал на примерах, что Ферма ошибся. Так, например, число /г6=232-|-1 делится на 641*). Наибольшее простое число, найденное Лендри, есть

261 — 1 =2 305 843 009 213 693 951.

Заметим, между прочим, что самым трудным числом, с которым Лендри пришлось иметь дело было 258+1. Это число содержало множитель 57 646 075 230 342 349, который нужно было исследовать дальше. Вначале Лендри предполагал, что это число — простое, но затем выяснилось, что оно является произведением двух девятизначных чисел. Этот пример дает нам некоторое представление о том, с какими трудностями приходится сталкиваться при разложении больших чисел на простые множители1).

*) Впервые это показал еще в 1732 году знаменитый математик Леонард Эйлер, швейцарец по национальности, большую часть своей жизни живший и работавший в Петербурге.

1) К. Френцель (Fränzel) обратил мое внимание на следующие формулы:

Вернемся, однако, обратно к числам вида 22"+1. После того как предположение Ферма было опровергнуто, возник вопрос: имеется ли в ряду таких чисел бесконечное множество простых или их число конечно? Если верно последнее предположение, то какое же из простых чисел, выражаемых формулой 22"+1, является наибольшим? Ответы на эти вопросы не получены до сих пор. Приходится довольствоваться исследованием каждого числа в отдельности.

При п = 5 получается, как уже было сказано выше, составное число:

4294967 297=641.6700417.

Число, получающееся при п = 6, также является составным; его наименьший делитель равен 274 177:

F ,=274 177-67 280421 310 721,

где второй сомножитель также является простым числом. Т7, и Fs— тоже не простые числа; F9 содержит множитель 37-2164_1, Fti—не простое число, Fl2 содержит множители?.214+1, 397-216+1 и 7-139216+1. F18 имеет множитель 13 . 220+1, F„ делится на 5.225+1, FiQ— на 5- 239+1, FSB—на 3-241+1, F1S—на 5-275+1. Это, вероятно, наибольшее число, которое когда-либо разлагали на множители. Если его, как заметил Кармихаэль, напечатать в ряде томов по 400 страниц в каждом, то общее число томов оказалось бы столь большим, что на каждого жителя земного шара пришлось по библиотеке в 2 миллиона томов. Само собой разумеется, что этот числовой великан, да него довольно большие делители были определены не обычным путем — возведением двойки в нужную

и вообще

Пользуясь этим, Лендри мог бы разложить число 258+1 на множители совсем легко.

степень 273 и последующим делением числа F7S=22 +1 на последовательные простые числа, начиная с 2*).

Одно исполинское число исследовал несколько лет тому назад с помощью непосредственных вычислений ученик одной из берлинских гимназий. На основании чисто теоретических рассуждений можно доказать, что число 2364—1 делится на 10932 (это обстоятельство находится в тесной связи с одной весьма важной проблемой теории чисел). Упомянутый ученик произвел все вычисления до конца — речь здесь шла о делении 110-значного числа, причем в частном получалось 104-значное число,— и убедился, что этот результат действительно имеет место. Если бы этот ученик воспользовался таблицей Мольтерера, о которой говорится на стр. 26, он мог бы ограничиться в своих вычислениях лишь этим сложным делением.

Число 6 обладает замечательным свойством: сумма всех его делителей равна самому числу. Действительно,

6=1+2+3.

Говоря здесь о всех делителях какого-либо числа, мы включаем в их число и 1, но исключаем само число, иначе указанное свойство никак не могло бы иметь места. Ближайшее к 6 число, обладающее тем же свойством, есть 28:

28=1+2+4+7+14. Подобные числа называют совершенными числами. В древности были известны еще два совершенных числа, следующих за 28,— 496 и 8128. (Проверь, так ли это!). Следующее совершенное число 33 550 336 впервые было вычислено в одной мюнхенской рукописи, относящейся к 1461 году. Затем, в XVI столетии были найдены три дальнейших совершенных числа: 8 589 869 056, 137, 438 691 328 и 2 305 843 008 139 952 128. Лишь в конце XIX столетия два

*) Все указанные здесь результаты были получены довольно давно — еще в то время, когда отсутствовали столь совершенные средства вычислений, как современные электронные счетные машины. В 1956 году американский математик Сельфридж (J. L. Selfridge) применил для решения вопроса о природе чисел FN электронную вычислительную машину Калифорнийского университета СВАК. С помощью этой машины он обнаружил, что числа Fi9, F55, Fe„ F117, F125, Fl44, F150, F207t F226, ^228» ^2«8» ^284. ^316 и ^452 — составные. Таким образом наибольшим из известных на сегодняшний день составных чисел такого вида является число F452=22 э +1, которое состоит не менее чем из 10185 цифр. Один из его делителей равен 27-2455+1 и состоит из 139 цифр.

математика (Зеельгоф и Первушин) присоединили к найденным ранее девятое совершенное число. Вот этот числовой великан:

2658455991 569831 744 654 692615953842 176.

Совершенные числа, как доказал еще Евклид (около 300 лет до нашей эры), получаются от перемножения чисел 2п-,и 2"—1, если только 2п—1 —простое. Давайте убедимся в этом. Прежде всего, следует установить, какие делители имеет число N=2n~l(2n—1). Простое число 2п —1 для сокращения обозначим через р. Тогда мы имеем две группы делителей:

1, 2, 22,..., 2"-1 (1)

р, 2р. Гр,..., 2и-'р (2)

(напоминаем, что число 2п~хр мы условились не учитывать!); все эти делители следует сложить. Но согласно формуле, выведенной на стр. 32,

Отсюда видно, что сумма двух рядов делителей дает:

что и доказывает утверждение Евклида.

Теперь все зависит от того, какие из чисел вида 2"—1, т. е. так называемых чисел Мерсенна*), являются простыми. При исследовании этого вопроса можно ограничиться теми случаями, когда п — число простое. Ведь если п, к примеру, равно произведению р- q. где р — простое число, a q — множитель, больший единицы, то 2Р 9—1 = —(2p)q—I9 делится на 2Р —1 и, значит, не является простым числом. С другой стороны, одного требования о том, чтобы п было простым числом, оказывается недостаточно. Так, например, 211—1=23-89. Лукас составил список чи-

*) Мерсенн (Mersenne) — французский математик XVII века, занимавшийся вопросом о совершенных числах,

сел Мерсенна 2Р—1 (где р — простое), простирающийся от р—11 до р=251, и указал для каждого из этих чисел его наименьшие делители d. Следующая таблица воспроизводит этот список:

Не вошедшие в эту таблицу простые числа р, большие 11, приведены во второй таблице, где буква «с» под простым числом означает, что число Мерсенна 2Р—1 является составным, буква «п» — что оно является простым, а буква «н» — что результат неизвестен:

Самым большим простым числом вида 2Р—1, фигурирующим в этой таблице, является число 2127—1. (Хочу еще раз подчеркнуть, что общее число простых чисел бесконечно велико.) Поэтому совершенные числа получаются по нашей формуле при

р=1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127.

Укажу здесь еще одну любопытную деталь. Долгое время предполагали, что число 267—1—простое. Однако оказалось, что

287 — 1 = 193 707 721.761 838 257 287,

где оба множителя, стоящие справа,— простые числа. При р=71 число вида 2Р—1 имеет множитель 228 479, при р = = 163 — множитель 150 287, при р—173—множитель 730 753, прир= 181 —множитель43441, при р= 197 — множитель 7487. Известны также множители чисел 2Р—1, где р=317, 337 и даже 5011.

Так как 289—1, 2107—1 и 2127—1 — простые числа, то мы можем получить три следующих совершенных числа. Вот эти числа, которые вычислил Мольтерер*):

191 651 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 331 548

169 216,

131 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386943117 783 728 128

и

14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 853889 066 354 349 131 199152128.

Все перечисленные совершенные числа — четные; они оканчиваются либо на 6, либо на 28. Конечно ли или бесконечно число таких совершенных чисел — неизвестно. Эйлер доказал, что не существует иных законов образования четных совершенных чисел, кроме того, который был указан Евклидом.

Любое четное совершенное число, за исключением 6, можно, как доказал Хэт (R. V. Heath), представить в виде суммы полных кубов (причем кубов нечетных чисел); так, например,

*) Данные Литцмана (и приведенная на предыдущей странице табличка) относятся к «доэлектронному» периоду развития теории чисел, когда математики не обладали еще таким мощным средством вычислений, как современные электронные вычислительные машины (ср. со сноской на стр. 40). Незадолго до появления немецкого оригинала этой книги летом 1952 года, американский математик Робинсон с помощью упоминавшейся выше электронной машины СВАК, показал, что следующими за 2127—1 простыми числами Мерсенна являются числа 2Ш—1 и 2е07—1; все числа между 2127—1 и 2521—1 — составные,

Затем с помощью той же машины было обнаружено, что число 2«7»—J является простым; отвечающее этому числу Мерсенна совершенное число записывается 770 цифрами. Следующие простые числа Мерсенна, найденные с помощью машины СВАК, таковы: 22203—1 и 22281—J Наконец, в 1957 года шведский математик Ризель с помощью электронной счетной машины Б ECK (В ES К, Стокгольм) установил простоту числа 28217—1. Это число состоит из 969 цифр и является, по-видимому, самым большим из известных в настоящее время простых чисел; соответствующее совершенное число 23216(23217—1) содержит около 2000 цифр.

Чтобы доказать это в общем виде, воспользуемся формулами*)

Отсюда получаем:

Следовательно,

Если здесь положить k=2 2 , то получим

Но такой вид имеет любое четное совершенное число.

Более сложен вопрос о том, не существуют ли еще и нечетные совершенные числа. До сих пор не известно ни одного такого числа; однако у нас нет уверенности в том, что таких чисел не существует. Этот вопрос исследовал, например, Канольд (H. J. Kanold)1). Во всяком случае, твердо установлено, что если нечетные совершенные числа и имеются, то они чрезвычайно велики; ни одно из них не может быть, например, меньше 1036.

Противоположностью простым числам, «бедным делителями» (они делятся только на 1 и самого себя), являются «богатые делителями» числа. Ими часто пользуются как единицами измерения. Такое применение находят, напри-

*) Их можно доказать, например, с помощью метода математической индукции (ср. выше, стр. 33).

1) Ср. Bericht über die Mathematiker — Tagung in Tübingen vom 23. bis 27. September 1946. Laupp, Tübingen, стр. 84 и след. [Один из первых результатов в этом направлении принадлежит советскому математику И. С. Градштейну, в то время студенту Одесского университета. См. И. С. Градштейн, О нечетных совершенных числах, Математический сборник 32, 1925, стр. 476—510. Прим. ред.]

мер, 12—дюжина, 144 — гросс; можно вспомнить также день с его 24 часами, 1440 минутами и 86 4Ö0 секундами; полный угол, содержащий 360 градусов, 21 600 минут, 1 896 000 секунд.

Существует формула, позволяющая определить число делителей любого числа:

(где р, <7, г, ... — простые числа). Эта формула такова:

TN=(m+l)(n+l)(o+\)...— 1

(здесь, как и выше, 1 влючается в число делителей числа N, но зато исключается из допустимых значений самого числа N). Таким образом, мы, например, получаем:

для 12=223 Тх% = (2+1)(1 + 1) —1=5;

для 24=2^-3 7\4=(3+1)(1 + 1)-1=7;

для 60=22.3.5 7\0 = (2+1)(1 + 1)(1 + 1)-1 = 11;

для 144 = 2*.З2 7\44=(4+1) (2+1) —1 = 14.

Приведенное выше число 86 400=27-33-52 имеет 95 делителей, число 1 896 000=27-34-53 имеет 159 делителей. Таблицу таких чисел TNсоставил Маурер. Так, например, число 21 621 600 имеет Ь7Ь делителей. Мерсенн установил1), что наименьшее число, имеющее миллион делителей, есть

#=(1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376)вв.

.(847 288609 443)4. Это число записывается 2028 цифрами. Первое из стоящих в скобках чисел имеет 100 делителей. С увеличением числа одновременно увеличивается и число его делителей, однако простые числа, встречающиеся сколь угодно далеко, не позволяют числам TN расти очень быстро.

7. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ ЧИСЛОВЫХ ВЕЛИКАНОВ

Прежде всего, возьмем какие-либо два предмета, или понятия, например точку (•) и тире (—). Сколькими способами можно их расположить в последовательность друг

1) Согласно математическому бюллетеню Буэнос-Айреса в Cogitaeta physico-matematica, Париж, 1644. На вопрос в Bolletino di Маtematica (4-я серия, т. II, стр. 28), было ли доказано это утверждение, до сих пор, насколько мне известно, ответ не получен,,

за другом? Вы, конечно, сразу ответите, что таких способов два, а именно: —или —. Возможных расположений трех предметов будет уже больше. Если взять нож, вилку и ложку, то их можно расположить в последовательность шестью различными способами:

нож — вилка — ложка, нож — ложка — вилка, вилка — нож — ложка, вилка — ложка — нож, ложка — нож — вилка, ложка — вилка — нож;

других вариантов здесь, очевидно, не существует. Присоединив сюда еще и четвертый предмет, например карандаш, мы в каждом из этих шести расположений трех предметов сможем поместить карандаш на четырех различных местах: перед ножом, перед вилкой, перед ложкой и позади всех трех предметов. Следовательно, каждое из шести расположений приводит к четырем новым, т. е. четыре предмета можно расположить уже 6-4 различными способами. Число 6, показывающее число возможных расположений трех предметов, также можно изобразить в виде произведения двух множителей 2-3; при этом число расположений четырех предметов запишется как 2-3-4. Если к четырем предметам присоединить пятый, то число возможных расположений выразится уже произведением 2-3-4-5 и т. д. Для произведения ряда последовательных целых чисел, начинающихся с 1, введен сокращенный знак ! (читается: факториал). Например, 3! = 6, 4! =24, 5! = 120, 6!=720, 7! = 5040 и т. д. Вы видите, как быстро возрастает число п\ (эн факториал) с ростом п.

Существует игра (ее часто называют «игра в пятнадцать»), которая была изобретена одним американцем в 1878 году и одно время пользовалась очень большой популярностью. Для этой игры нужно иметь квадрат, разделенный на 16 равных квадратиков, и 15 пронумерованных шашек, имеющих одинаковый размер с маленькими квадратиками. Шашки расположены произвольным образом, однако так, что крайняя справа клетка нижнего ряда остается свободной. Задача состоит в том, чтобы, передвигая шашки по доске, перевести их из любого другого в «основное» расположение, изображенное на рис. 7. При этом изменять расположение

Рис 7.

шашек можно только, передвигая одну из соседних с пустым местом шашку на это пустое место. Сколько в этой игре может быть разных исходных положений? На этот вопрос нетрудно ответить, если воспользоваться нашим новым символом: 15! Это составляет 1 307 674 368 000 различных случаев, т. е. заметно больше биллиона случаев. Если же еще отбросить требование, согласно которому свободной должна оставаться именно нижняя клетка справа, то исходных расположений костей будет 16! Это число в шестнадцать раз больше выписанного выше и равно 20 922 789 888 000

Один из читателей этой книжечки предложил использовать факториал для получения еще большего числа, которое можно записать тремя цифрами, чем то, о котором говорилось в главе 5. Здесь мы можем выбирать между [999]! 9!91<п или даже[9!9'91]! Однако это значило бы зайти слишком далеко в нашей игре с колоссальными числами!

Чтобы продемонстрировать на конкретном примере быстроту роста числа п\ при возрастании п, приведу здесь значение 100!, вычисленное Мольтерером*):

93326215443944 152 681 699238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286253697 920827 223758251 185210916864 000 000 000 000000000 000000.

Может быть, ты сообразишь, почему у этого числа в конце стоит ровно 24 нуля?

Следующий пример снова приведет нас к уже знакомым вычислениям. Тебе, наверное, знакома игра в кегли. Девять кеглей расставляются на площадке так, как показано на рис. 8. Расставленные как-то на площадке кегли образуют «фигуру», задача состоит в том, чтобы шарами, которые играющий катит по направлению к кеглям, сбить все входящие в «фигуру» кегли, не задев при этом остальные. «Фигуры» могут быть разными; так, например, на рис. 9, показана «фигура», которая называется «веревочкой» (черные

*) Можно доказать, что для каждого п число п\ больше т. е. п\ растет быстрее, чем ( ) . При этом такая оценка роста п\ является довольно точной, ибо (по крайней мере при п>6) п\< См., например, Д. О. Шклярский и др., Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч. 1, М., 1959, задача 148.

кружки означают входящие в «фигуру» кегли). Названия отдельных «фигур», если таковые вообще существуют, меняются. Когда требуется сбить все кегли, то говорят о «девятке»; если же надо оставить кеглю в центре, сбив все остальные, то мы имеем другую «фигуру», выбить которую гораздо труднее, чем «девятку». Очевидно, что всего имеется девять групп «фигур». К первой группе относятся «фигуры», содержащие только одну кеглю, ко второй группе — две кегли и т. д. Ясно, что в первую группу входят девять различных «фигур»; сколько же их насчитывает вторая группа? Возьмем одну кеглю и поставим ее на любое место. Тогда для второй кегли остается 8 свободных мест, что дает нам 8 «фигур». А так как для первой кегли можно выбирать любое из девяти мест, то можно решить, что общее число «фигур» второй группы равно 8-9. Однако этот вывод слишком поспешен. Дело в том, что в образованных таким образом 8-9 «фигурах» каждая повторяется дважды. «Фигуру», показанную на рис. 10, можно получить, поставив сперва правую, а затем левую кеглю; но можно сделать и наоборот: поставить сначала левую, а потом правую кеглю; точно так же дело обстоит в каждом из 72 случаев. Следовательно, имеется всего лишь 72 : 2=36 различных «фигур», относящихся ко второй группе.

Рассмотрим теперь «фигуры», образованные тремя кеглями. Будем образовывать их из «фигур», содержащих по две кегли. Рассмотрим какую-либо из таких «фигур», при этом останется 7 свободных мест, и на каждое из них можно поставить третью кеглю. Следовательно, всех «фигур» третьей группы будет 36-7. Но и здесь нужно проследить, не встречаются ли среди этих 36-7 «фигур» одинаковые. И действительно, так оно и есть. Рассмотрим, например, «веревочку» на рис. 9. Ее можно образовать присоединением третьей кегли из трех различных «фигур» второй

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

группы. Именно, две первые кегли могли занимать либо оба передние места, либо оба задние, либо, наконец, одна — переднее, а другая — заднее. Поэтому полученное выше число 36-7 нужно еще разделить на 3. Так же придется рассуждать и дальше, когда мы перейдем от «фигур» третьей группы к «фигурам» четвертой группы. Снова сначала мы получим в 6 раз большее число «фигур», так как четвертую кеглю можно поставить на любое из шести свободных мест. Однако каждая образованная таким образом «фигура» четвертой группы может получиться из четырех различных «фигур» третьей группы; поэтому результат нужно разделить на 4. Переходя к «фигурам» пятой группы, следует умножить число «фигур» четвертой группы на 5, но одновременно и разделить на 5 и т. д. В следующей таблице приводятся подсчеты числа различных «фигур»:

Число фигур первой группы

В итоге это составит 510 «фигур». Прибавив сюда еще «фигуру», образованную всеми девятью кеглями, и «пустую фигуру» (когда сбиты все кегли), получим 512 «фигур». Это число равно как раз 29. Случайное ли это совпадение?

Из нашей таблички можно сделать еще некоторые замечательные выводы. Во всяком случае, число «фигур» оказалось намного больше, чем можно было предположить заранее. Если бы в той же игре участвовали 10 кеглей и наши рассуждения были верны, то число возможных «фигур» было бы равно 1024 (т. е. 210), при 12 кеглях — 4096 (т. е. 212), и т. д.

Можно было бы привести еще целый ряд подобных задач. Многие из них связаны с различного рода играми, например, задача об определении возможного числа различных

партий в какой-либо карточной игре, хотя бы в игре в «пьяницу», К подобного рода задачам относится и задача из совсем уже другой области, а именно, определение числа мелодий, какие можно образовать из семи звуков октавы. Во всех этих задачах получаются огромные числа. Особенно велики они в последней задаче, где следует еще учесть возможность использования не одной, а ряда последовательных октав.

Курт Лассвитц много лет тому назад рассказал историю, которая связана с очень поучительным подсчетом. Приведем здесь лишь задачу, о которой идет речь в этой истории, и окончательный результат, опуская вычисления, которые ты сможешь восстановить самостоятельно. Курт Лассвитц говорил о замечательном книгохранилище — универсальной библиотеке, в которой имелись бы все книги вообще, не только написанные, но и те, которым еще только предстоит быть написанными. В каждой книге должно быть 500 страниц, на каждой странице 40 строчек, в каждой строчке 50 букв. Понятно, что для того, чтобы напечатать все книги, достаточно иметь обычный шрифт с особыми литерами для знаков препинания: , ; : и т. д., и еще некоторыми другими специальными литерами, например для цифр или математических символов. Более ста литер наборщику во всяком случае не понадобится. Теперь достаточно перепробовать только все возможные расположения всех этих различных литер, и тогда наряду со всякого рода чушью и бессмыслицей будет напечатано в этих книгах и все разумное*).

Число томов такой «универсальной библиотеки» оказывается равным «только» 102 000 00°. Представим себе, что эти книги, каждая толщиной в 2 см, поставлены рядом друг с другом в этом огромном книгохранилище и что мимо них скользит луч света со скоростью 300 000 км в секунду. Сколько «световых лет» понадобится лучу на это путешествие? Лассвитц произвел этот подсчет. Число лет изображается 1 с 1 999 982 нулями,— его почти также трудно себе представить, как и количество томов.

*) Разумеется, эта «универсальная библиотека» в силу ограниченного объема томов, никак не может вместить всю совокупность доступных человеку знаний (этого не сможет достигнуть никакая библиотека, ибо как бы колоссален ни был ее объем, он все-таки всегда остается конечным). Так, например, никакая библиотека не сможет исчерпать наших знаний о числе 7t, разложение которого в десятичную дробь может быть продолжено неограниченно далеко (ср. ниже, стр. 62 и след.).

Вернемся, однако, к математике. В предыдущем разделе мы говорили о разложимости чисел на множители. Но их можно разлагать и на слагаемые. Число 4 равно 3+1, или 2+2 или 2+1+1, или 1+1+1+1. Следовательно, это число можно представить четырьмя различными способами в виде суммы целых чисел. Обозначим число, которое мы хотим представить в виде суммы нескольких слагаемых, через п\ а число способов, которыми можно представить это число в виде суммы целых слагаемых (включая сюда и представление п—п), через р (п)1). Тогда р(1)=1, р (2)=2, р (3)=3, р(4)=5, р(5)=7 и т.д. Далее, например, р(22) = 1002, р(33)=10143, р(46)=105 558, р(61) = 1 121 505 и т. д. Согласно таблице, составленной Мак Магоном, имеем:

р (Ю0)= 190 569 292,

р (200) = 3972 999 029 388.

Для приближенного вычисления р (п) можно воспользоваться формулой, которая, правда, передает значение pin) не совсем точно, но с очень хорошей степенью точности; для небольших же п она дает даже истинные значения р (п). Пользуясь этой формулой, Лемер установил, что приблизительно

р (599)=435 350 207 840 317 348 270 000, р (721 )= 161 061 755 750 279 477 635 534 762.

А вот еще несколько числовых великанов, которые появляются в таких задачах, где никакой математик не ожидает с ними встретиться. Под диофантовыми уравнениями понимаются такие уравнения, в которых число неизвестных больше общего числа уравнений (уравнение может быть и только одно); при этом ищутся лишь такие решения уравнений, которые выражаются целыми числами. Самым известным примером подобного уравнения является «уравнение Пифагора»: x2-\-y2=z2, имеющее бесконечное множество целочисленных решений, например: х=3, # = 4, z = 5 или х=5, у=12, z=13. Ферма поставил задачу о нахождении решений «уравнений Пифагора», удовлетворяющих еще двум дополнительным условиям,— сумма х+у и число г должны быть квадратами целых чисел; другими словами, требуется отыскать такие прямоугольные

1) Я следую здесь статье H. D. Kloosterman, Partities, Euclides 21, 1945/46 г,, стр. 67 и след.

треугольники, все стороны которых выражаются целыми числами, причем гипотенуза и сумма катетов являются даже квадратами целых чисел*). Наименьшими числами, удовлетворяющими этому уравнению, будут, как он указывает,

х= 1061 652 293 520, (/=4 565486 027 761, 2=4 687 298 610289.

Ближайшее по величине решение,— а решений у этой задачи бесконечно много,— содержит уже значительно больше цифр.

Наименьшие целые числа, являющиеся решением довольно безобидного с виду диофантова уравнения х2—109*/= 1, суть1)

х= 158070671 986249 и у= 15 140424455 100.

Эйлер поставил задачу о решении в целых числах системы уравнений

х-\-у+г—и, xy+xz+zy=v2, ху, Z=W*,

т. е.,иными словами, об отыскании кубических уравнений

X3 — ux2+v2x— w' = 0

(где и, v, w — целые числа), имеющих целые корни. Наименьшее решение этой системы имеет вид

х= 1 633 780814 400, у=252 782 198 228, 2=3474 741 085 973.

Архимед составил следующую «задачу о коровах»: обозначим через Б число белых быков, через Ч — черных, через П — пестрых и через Р — рыжих; через б число белых коров, ч— черных, п — пестрых и р— рыжих, и пусть

*) В этой задаче требуется найти решения системы диофантовых уравнений: x2+y2=z2, z—t2, х+у—и2. Относительно ее решения см. В. Серпинский, Пифагоровы треугольники, § 12, Учпедгиз, 1959; в этой интересной книге читатель может найти и другие примеры числовых великанов.

1) Ср. H. Dörriе, Quadratische Gleichungen, Oldenbourg, München, 1943, стр. 358.

Кроме того, пусть Б +4 является квадратом(т. е. Б +4 = я2), а П+Р — так называемым «треугольным числом», т. е. имеет вид ULi^Ltll t Если не учитывать этих дополнительных условий, то нетрудно получить, что (х — произвольный целочисленный множитель)

Наименьшее решение, учитывающее дополнительные условия, приводит к очень большим числам. Так, например, Б представляется числом, имеющим 206 545 цифр; это число начинается цифрами 1598...1).

8. ЧИСЛОВЫЕ КАРЛИКИ

До сих пор мы оставались в пределах ряда натуральных чисел 1, 2, 3, из которых наименьшее — единица. Если считать числом также и нуль, то он еще меньше единицы. Нуль — это самое меньшее число, потому что ведь не может же существовать что-то меньшее, чем «ничего»,— так думают люди, незнакомые с математикой. Математик же говорит этим людям: можно, однако, иметь долги, а термометр может показывать температуру и ниже нуля. Но мы не будем здесь касаться отрицательных чисел, которые имеет в виду математик; к ним мы обратимся позже в других целях.

К числовым карликам мы сможем прийти лишь тогда, когда введем в круг нашего рассмотрения, кроме натуральных чисел, еще и дроби. Вопрос о числовых карликах, в сущности, уже был исчерпан нашим разбором числовых великанов. Ведь если число п — числовой великан, то -—

1) По этому поводу см. A. Amthоr, Das Problema bovinum des Archwnedes, Zeitschr. f. Math. u. Phys. №25(1880), Hist.-lit Abt., стр. 153 и дальше; Euclides, № 20 (1943), стр. 58, H. Dörrie, Triumph der Mathematik, 3. Aufl., Breslau, 1940, стр. 1 и дальше.

Числовой карлик; так, большому числу 1 000 000 соответствует «обратное» ему малое число t qqq qqq • В самом деле, при неизменном числителе чем больше будет знаменатель дроби, тем меньше ее значение и тем больше приближается она к нулю.

Давайте поищем вокруг нас подобные числовые карлики. В свое время для наглядного изображения больших, хотя и не чрезмерно больших, чисел мы пользовались временем и расстоянием. Теперь познакомимся с малыми промежутками времени и малыми расстояниями; попытаемся создать себе о них наглядное представление.

Секунда — достаточно малая единица времени. В кино отдельные кадры быстро сменяются один другим. Первый кадр, изображающий определенную картину, проектируется на экран; затем он сразу заменяется вторым кадром и т. д. В обычных фильмах в секунду сменяется от 16 до 24 таких кадров. Почему же, несмотря на это, глядя на экран, мы видим непрерывно происходящее движение? Причина кроется в том, что впечатление, которое производит какая-либо картина на наш глаз, не является мгновенным — оно сохраняется на определенное время, примерно на секунды.

Доказательством этого может служить тот факт, что при быстром вращении перед нашими глазами раскаленного тела, скажем уголька, мы видим не движущуюся точку, а огненный круг. Если закрепить один конец вязальной спицы, а другой отвести в сторону и затем отпустить, то мы видим не отдельные положения свободного конца спицы, а одну блестящую полосу.

Эти опыты показывают, что наш глаз не в состоянии раздельно воспринимать явления, длящиеся менее ^ секунды1). Вот еще один поучительный пример. До появления моментальной фотографии все представляли себе положение на скачущей лошади неправильно. На всех картинах старых художников ноги лошадей изображены в таком положении, в каком они в действительности никогда не бывают, а именно: передние ноги вынесены вперед, а задние отведены назад. Лишь с тех пор, как фотография раскрыла нам глаза, художники тоже стали правильно видеть. Мно-

1) Существуют животные, глаза которых способны воспринимать явления, длящиеся значительно менее 0,1 секунды.

гие фокусы, в том числе и карточные, основываются исключительно на быстроте движений. Поэтому понятно, что при наблюдении явлений, происходящих в малые отрезки времени, глаз приходится заменять фотографической пластинкой.

Во всех тех случаях, когда мы имеем дело с движением, измерение времени связано с измерением расстояний. Для измерения малых величин наименьшую из общеупотребительных единиц длины — 1 мм — делят на 1000 частей и называют одну такую часть 1 ja (читается: один микрон). Микрон в свою очередь делится на 1000 mjx (миллимикронов). Миллимикрон, разумеется, уже чрезвычайно малая единица длины. В миллиметре содержится столько же миллимикронов, сколько в километре содержится миллиметров. Миллиметр составляет миллионную часть километра, а, значит, миллимикрон составляет такую же долю миллиметра. За метр первоначально была принята одна сорокамиллионная часть земного меридиана. Теперь же метром называют расстояние между двумя штрихами на платино-иридиевом стержне (эталоне метра), хранящемся в Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа. Это расстояние оказалось не совсем точно равным 40 000 000 длины меридиана. Считается, что точность, с которой можно измерить длину эталона метра, достигает 200 mil. Недавно было решено определить метр, исходя из длины волны определенных световых лучей; точность здесь достигает 20 три Если обозначить через \ длину волны красной линии спектра кадмия, а через \k длину волны желто-зеленой линии спектра криптона, то

1 л* = 1555164,13Х,

и

1 лс=1 769 557,93 \к.

Каковы же величины \с и \к?

Возникает вопрос: имеют ли какое-либо практическое значение столь малые единицы длины? В самый сильный микроскоп невозможно обнаружить объект размером в 1 миллимикрон — в микроскоп можно увидеть лишь предметы, поперечник которых не менее 200 mji. Появление ультрамикроскопа, изобретенного на рубеже прошлого и нынешнего столетий, означало значительный шаг вперед в этом отношении. Еще лучшие результаты дает применение элект-

ронного микроскопа и, особенно, появившегося совсем недавно электронного микроскопа — проектора.

При цветных съемках по методу, предложенному фирмой Агфа (Agfa), кинопленку покрывают тремя различными светочувствительными слоями толщиной от 4 до 5 ц. Здесь требуется точность в 1 jjl.

В настоящее время механическим молотом удается расплющить кусок золота в чрезвычайно тонкую пластинку. Так, один кубический миллиметр (1 мм3) расплющивается в пластинку, поверхность которой равна примерно одному квадратному дециметру (1 дм2). Обозначим толщину такого листочка через х\ тогда если х выразится в миллиметрах, то 1 мм3=х • 10 000 мм2, так как 1 дж2=10 000 мм2.

Отсюда получаем, что толщина пластинки равна qqq мм или 100 mji.

Еще тоньше бывают некоторые масляные пленки, которые получаются, если капнуть жидким маслом на воду. Масло тотчас же расплывается по поверхности воды, и слой его становится все более тонким. Если известно количество масла на поверхности воды и площадь масляного пятна, то легко вычислить толщину слоя. При этом наблюдается следующее явление: по мере того как масляный слой становится все тоньше и тоньше, он начинает разрываться на отдельные части; это происходит тогда,- когда толщина пленки достигает примерно 100 mji. Но среди отдельных, различимых глазом пленок имеются значительно более тонкие, толщина которых доходит до 20 mji и меньше. При последующем уменьшении толщины масляной пленки существенно меняются и ее физические свойства, особенно, когда толщина пленки доходит до 1 mji. Эти изменения лучше всего объяснить, исходя из предположения о зернистой структуре масла. При этом тонкий слой уже не имеет свойств однородной жидкости; скорее он имеет свойства вещества, состоящего из отдельных, не связанных друг с другом зерен.

Уже давно ученые интересовались вопросом о том, можно ли материю бесконечно делить на все меньшие и меньшие доли. Различные факты привели к мысли, что это не так, что материя, как твердая, так и жидкая и газообразная, состоит из мельчайших «неделимых» частичек — молекул и атомов. Величину этих частичек можно определить различными способами; при этом получаются значения

порядка y mji. Опыты с масляными пленками, описанные выше, подтверждают это заключение. В 1912 году Лауэ проложил путь в мир этих мельчайших частиц; с помощью рентгеновских лучей удалось получить картину расположения атомов в кристаллах, которой можно воспользоваться для измерений и вычислений. Открытие Лауэ, а также и дальнейшие исследования, привели к созданию нового большого раздела физики, изучающего строение атомов, в тайны которых современная наука далеко проникла.

Замечу еще, что с помощью электронного микроскопа удалось сфотографировать отдельные молекулы, например вирус «табачной мозаики», и тем самым получить о них наглядное представление. Электронный микроскоп — проектор позволяет различить четыре бензольных кольца в молекуле галоцианина меди, напоминающей по форме четырехлистный клевер.

Чтобы получить представление о величине подобных мельчайших частиц микромира, нам надо будет познакомиться с самыми малыми единицами веса. Единицы веса тесно связаны с единицами объема, а именно: вес одного кубического дециметра (одного литра) воды при определенных, тщательно оговоренных условиях и есть 1 кг. В свою очередь 1 кг= 1000 г, а 1 г равен 1000 миллиграммам (мг). Более мелкие весовые единицы физики обычно изображают степенями с отрицательными показателями. Например, ^=10-", в частности, у^-^Ю"3.

Потребность человеческого организма в витаминах в весовом выражении определяется следующими числами: человеку требуется в день от 2 до 3 мг витамина А, от 1 до 2 мг витаминов В j и В2, от 50 до 60 мг витамина С и около 10~3лсг витамина D. Однако существуют вещества, потребность организма в которых выражается еще меньшими числами. Так, биотин, играющий существенную роль в процессе деления клеток, обнаружен в некоторых микроорганизмах в количестве, составляющем одну четырехсотбиллионную от общего веса клетки. 2,5 m сухого желтка утиных яиц содержат 1,1 лег этого вещества — здесь отношение количества биотина ко всему весу равно 1 : 2,3 миллиарда. Ауксин, вещество, обнаруженное в ростках овса и стимулирующее его рост, обнаружен в растворе, в котором 1 г вещества приходится на миллион литров воды. Существует одно

вещество—краситель Safranfarbstoff, необходимый морским водорослям для процесса размножения; потребность в этом красителе настолько мала, что одной капли раствора, в котором на 250 миллиардов литров воды (т. е. на массу воды, которая может образовать большое озеро) приходится 10 г вещества, может хватить на тысячи клеток водорослей1). Встречаясь со столь малыми, однако эффективными количествами вещества, мы приближаемся к величинам, близким к молекулярным.

Число Лошмидта 6,022-1023 указывает количество молекул в одном моле (т. е. в 18 г*)) воды. Если бы удалось пометить все молекулы двух столовых ложек воды, вылить эту воду в мировой океан и хорошенько перемешать все 1370 кубических километров воды, чтобы молекулы распределились равномерно, то, зачерпнув затем из какого то места мирового океана один литр воды, мы обнаружили бы в нем примерно 440 меченых молекул.

Диаметр молекулы водорода равен приблизительно 0,4mjJi. Если собрать воедино все молекулы, содержащиеся водном кубическом сантиметре этого газа, то их объем окажется гораздо меньше одного кубического сантиметра, так как расстояния между отдельными молекулами весьма значительны. А что получится, если расположить все эти молекулы в одну линию, скажем, нанизать их, как бусы, на одну нитку? Длина этой нитки была бы близка к 11 миллионам километров. Такой цепочкой молекул можно было бы почти триста раз обхватить земной шар. Попробуем теперь расположить все эти молекулы на плоскости. Возьмем доску шириной в 0,5 м\ какой длины она должна быть, чтобы на ней уместились все молекулы? Выложим столько рядов, сколько раз по 0,5 м содержится в 11 миллионах километров. Получим 22 миллиарда. Каждый из этих 22 миллиардов рядов имеет ширину в 0,4 mji,— ведь такова ширина одной молекулы. Следовательно, длина доски будет равна 0,4 mjji-22 000 000 000, что составит 8,8 м. Значит, молекулы можно уместить на доске, по размерам подобной той, из каких состоит пол довольно обширной залы. Впрочем, для этого было бы достаточно и большого стола.

1) Все эти данные заимствованы из книги О. Westрhа1, Th. Wiе1and und H. Huebscfrmann, I ebensregler, Sozietàtsverlag, Frankfurt a. M.

*) 1 моль вещества, молекулярный вес которого равен m, содержит m г вещества.

Урок, который можно извлечь из этого мысленного эксперимента, учитывается в несколько измененном виде природой. Вот пример этого: решающее значение для дыхания и кровообращения имеет поверхность легочных пузырьков, красных кровяных телец и кровеносных сосудов, в особенности капилляров. При дыхании человек использует почти 100 м2 поверхности легких, приблизительно 130 м2 поверхности красных кровяных телец и около 80 м2 поверхности капилляров.

Атом не является однородной частицей; это скорее система, образованная атомным ядром, вокруг которого вращаются электроны. Если радиус атома водорода имеет величину порядка 10"8 см, то радиус атомного ядра равен лишь 10"13 см, а радиус электрона приблизительно 3-10"13 см. Денк дал этому следующее «наглядное» пояснение: радиус видимой вселенной равен приблизительно 3-Ю28 см. Сколько электронов можно уместить рядом друг с другом в одну линию поперек всей вселенной? Простой подсчет дает число 1041. Если расположить эти электроны в виде квадрата, то сторона квадрата будет близка к 100 км, длина же ребра куба, сплошь заполненного этими электронами, составит всего лишь около 30 см.

В то время как колесо довольно быстро едущего автомобиля делает в секунду приблизительно 10 оборотов, пропеллер самолета — 25, гирокомпас — около 300, а подшипники в таком компасе примерно 1000 оборотов, электрон совершает вокруг атома водорода за одну секунду около 7-1015 оборотов.

Вот еще одно следствие этого своеобразного строения атома: кубический метр свинца весит 11,34 т. Однако если бы отсутствовали межатомные пустоты, то данный свинец занимал бы весьма небольшой объем — всего лишь около одного кубического миллиметра. И в этом кубическом миллиметре вещества был бы сконцентрирован вес в 11,34 т. Какие перспективы открылись бы технике, если бы люди нашли возможность получать атомы в чистом виде*)!

*) Современная техника не имеет возможностей получать тела, «сплошь» заполненные атомами; однако возможно, что вне нашей планеты они и существуют. Известно, что плотность вещества, из которого состоят звезды определенного типа (так называемые «белые карлики»), колоссальна»: она может в сотни тысяч раз превосходить плотность воды (спичечный коробок этого вещества уравновесит полный вагон вместимостью в 50 m). В самое последнее время появились сообщения об

При измерении углов градус подразделяют на 60 минут, минуту — на 60 секунд. Так, например, в полнолуние поперечник луны виден с Земли под углом примерно в 30 минут. У астрономов существует специальная «астрономическая» единица длины — 1 парсек. Так называют расстояние, с которого диаметр земной орбиты виден под углом в 1 секунду; это расстояние составляет 3,26 светового года (ср. стр. 17). Известны звездные скопления, удаленные от нас на 70 000 парсек и на еще большие расстояния. Из этих скоплений земная орбита видна под углом зрения в Q секунды или даже менее того. Приведу еще пример практического измерения углов. При определении силы земного притяжения Этвеш пользовался такими точными приборами, которые позволяли учитывать столь незначительное изменение направления силы тяжести, как отклонение на 2оо qqq ооо секунды. Это — угол, под которым мы увидели бы на поверхности Луны маленькую монетку диаметром ~ см.

Мы убедились, как далеко заводят нас в мир крошечных промежутков времени, ничтожных расстояний, углов и масс современные научные теории и эксперименты. Вернемся, однако, в мир «чистых» чисел, не связанных ни с какими измерениями.

В математике малые числа играют особую роль там, где приходится иметь дело с величинами, которые в нашей десятичной системе счисления невозможно выразить точно, и потому приходится заменять их приближенными значениями. Простой пример пояснит, что мы имеем в виду. При обращении обыкновенной дроби ~ в десятичную получается так называемая бесконечная десятичная дробь 0,3333..., которую невозможно записать до конца. На каком бы знаке мы ни оборвали данную дробь, всегда допустим некоторую ошибку. Однако эту ошибку можно сделать меньше любого наперед заданного числа, как бы мало оно ни было. Можно оборвать дробь на таком знаке, чтобы ошибка была меньше 0,0001, меньше 0,0000001 и т. д. Для этого лишь нужно

открытии звезд (так называемые «нейтронные звезды»), плотность которых в миллионы и большее число раз превосходит плотность «белых карликов» (!). Если эти сообщения подтвердятся, то из них будет следовать существование во вселенной материи, в которой межатомные пустоты почти полностью отсутствуют.

нашу бесконечную десятичную дробь продолжить достаточно далеко: в первом случае до 0,3333, а во втором — до 0,3333333.

В нашем примере, где в десятичную дробь обращалось число -i-, мы получили периодическую дробь с очень коротким периодом. Этот период состоит всего из одного знака. Нетрудно понять, что период дроби 1/р, где р — простое число, не равное 2 и 5, не может иметь более р—1 знаков. Действительно, ведь если реально выполнять деление, то в качестве остатков у нас могут встретиться лишь р—1 различных чисел (от 1 до р—1); поэтому не позже, чем на р-м шаге, мы придем к остатку, который уже встречался раньше. С появлением такого остатка все дальнейшее будет повторяться в той же последовательности. Однако, как видно на примере у=0,3333 или ^=0,090909..., наличие точно р—1 знаков в периоде дроби \1р совершенно не обязательно, их может быть и значительно меньше. При обращении в десятичную дробь числа у мы получаем в периоде всего лишь один знак вместо двух; при обращении числа ту — лишь два знака вместо 10.

Периоды «полной длины» (т. е. периоды из р— 1 цифр)

.111111111 1 имеют дроби т , _ , _ , - , - , - , - , ^ , - , _ и т. д.

При этом справа от запятой получится значительное число цифр, прежде чем они повторятся в той же последовательности. Возьмем, к примеру, дробь Ее вид

0,009 174 311 926 605 504 587 155 963 302 752 293 577 981 651 376 146 788 990 825 688 073 394 495 412 844 036 697 247 706 422 018 348 623853211...

Здесь второй период начинается лишь со 109-го знака.

Теория чисел раскрывает нам удивительные закономерности в строении таких периодов. Если, например, обратить обыкновенные дроби щ , , ... , в десятичные, то в каждом случае мы получим те же цифры и в той же последовательности, что и раньше, но с той лишь разницей, что теперь период будет начинаться с другой цифры.

Так, например, дробь г имеет период, начинающийся с

018 348 623 853 211, это — последние 15 цифр периода дроби щ. Обычно эту закономерность демонстрируют на примере обращения у в десятичную дробь; получается 0,142 857... Задача ставится следующим образом: число 142 857 требуется умножить на 2, на 3 и т. д. Любитель числовых великанов может применить эту процедуру и к периоду дроби ^.

Обратимся теперь к уже знакомому нам числу, с которым мы встречались в этой книжечке, когда объясняли, как вычисляется длина окружности (стр. 19). Буква тг есть сокращенное обозначение числа, на которое надо умножить диаметр круга, чтобы получить длину окружности. Это число имеет очень интересную историю*). Если взять новый пятак и определить тг опытным путем, то мы получим значение, немного большее 3. На практике часто пользуются значением Зу или, переходя к десятичной дроби, 3,14.

Но и это значение не вполне точно. Архимед, заслуги которого в вычислении числа тг очень велики, показал, что тг заключено между 3^ и Зур С течением времени научились вычислять это число с большей точностью. Первые цифры числа тг таковы: 3,141 592 653... Для запоминания их придумано много стишков — немецких, французских, английских и других, довольно далеких от всякой поэзии, но зато таких, что число букв каждого слова дает соответствующую цифру числа тг**).

Число тг раньше часто называли лудольфовым числом, по имени жившего на рубеже XV и XVI столетий математика Лудольфа ван Койлена, который первым вычислил большое число первых знаков тг: сначала 20, затем 32 и, наконец, 35. Вега, таблицы логарифмов которого широко известны, вычислил 140 знаков числа тг; замечательный вычислитель Захария Дазе — 200 десятичных знаков, Резерфорд (1833)— 440, профессор Рихтер из Эльбинга (1853) — 500 и, нако-

*) См. Ф. Рудио, О квадратуре круга, М.—Л., ОНТИ, 1936.

**) В русской дореволюционной литературе имелся «стих»:

Кто и шутя и скоро пожелает(ъ)

3 14 15 9

Пи узнать, число уж(ъ) знает(ъ).

2 6 5 3 6

нец, англичанин Шенкс (1873) — 707 знаков. Но его постигла неудача. Долгое время никто не проверял полученного им результата, упоминание о котором, в силу его рекордного характера, проникло даже в школьные учебники. Лишь в 1948году Фергюсон и Уренч1), пользуясь различными формулами2), вновь принялись, независимо друг от друга, за вычисление числа тг и получили 808 знаков. При этом они установили, что у Шенкса при вычислении 528-го знака допущена ошибка и все дальнейшие полученные им цифры не верны. Вот найденное ими значение числа тг:

1) Ср. Intermédiaire des Recherches Mathématiques 4, № 15, (июль 1948).

2) Для математиков замечу, что Фергюсон использовал известную формулу

в то время как Уренч исходил из того, что

Это число дает повод к различного рода исследованиям. Так, например, можно установить частоты, с которыми повторяются в полученном значении числа тг отдельные цифры. Если ни одна цифра не имеет преимущества перед другой, то среди 800 знаков каждая из них должна встречаться около 80 раз. Когда было проверено, так ли обстоит дело для числа, полученного Шенксом, то оказалось, что цифра 7 нарушает эту закономерность: как указывалось в сообщении Гофмана о числе Шенкса, среди 707 знаков эта цифра встречается всего 53 раза вместо 70. Было много споров о том, является ли причиной этого строение числа тг или же мы обязаны этим «случаю» и при вычислении тг с большей точностью подобное явление уже не будет иметь места. Однако выяснилось, что отклонение от общей закономерности произошло благодаря сделанной ошибке; если рассмотреть полученное в наши дни значение числа тг, то можно убедиться, что цифра 7 повторяется в нем приблизительно столько же раз, как и всякая иная1). Другие «вероятностные» (или «частотные») проблемы, связанные с числом тг, читатель легко сможет указать самостоятельно.

Воспользуемся числом тг, чтобы выяснить величину ошибок, допускаемых при замене какого-либо числа его приближенным значением. Если мы возьмем для я приближенное значение с четырьмя знаками после запятой, т. е. примем тг—3,1416, то допущенная при этом ошибка не будет превосходить 0,001. Значит, если бы можно было точно измерить диаметр D круга, то, приняв за приближенное значение тг число 3,1416, а длину окружности соответственно равной 3,1416 D, мы сделали бы ошибку, меньшую 1Q 0QQ длины диаметра. Например, если диаметр равен 100 му то длина окружности будет вычислена с точностью до 1Q qQQ от 100 м, т. е. до 1 см. Ясно, что это уже довольно большая точность, которая далеко превосходит достигаемую, например, в современной архитектуре.

Однако, продолжим. Возьмем тг с 26 цифрами после запятой. В этом случае ошибка не будет превосходить одной стоквадриллионной. Представим себе круге радиусом в 50

1) Это подтверждается и первыми 2040 знаками (!) числа к, вычисленными недавно на электронной счетной машине ЭНИАК за 96 часов.

биллионов километров: это есть расстояние, равное пяти световым годам; оно несколько больше расстояния до ближайшей неподвижной звезды. Точность, с которой мы можем вычислить длину этой гигантской окружности, взяв тт с 26 знаками, составляет одну стоквадриллионную часть диаметра, равного ста биллионам километров. Это значит, что ошибка не превзойдет одной биллионной части километра или, что то же самое, одного миллимикрона. Сравните эту исполинскую окружность, простирающуюся до неподвижных звезд, с маленькой ошибкой, имеющей порядок величины молекулы! А ведь мы взяли тг только с 26 десятичными знаками, а не с 808, выписанными выше!

Наряду с числом тг математиков очень занимает число е— основание системы натуральных логарифмов. Эйлер получил для г значение е=2,718 281 828 459 04... В конце XIX века было вычислено 346 десятичных знаков числа е\ счетная машина ЭНИАК за 36 часов вычислила 2016 знаков этого числа*).

Заслуживает внимания также число /' (где / — мнимая единица). Оно — действительно (!) и имеет значение**). В 1921 году это число было вычислено с 55 знаками. Первые цифры его таковы: /;=с0,207 879 57 ...

9. В МИРЕ ВЕЛИКАНОВ И КАРЛИКОВ ТАКЖЕ СЧИТАЮТ ОБЫКНОВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ

Вообрази себе страну великанов. Средний рост жителей этой страны достигает, скажем, 10 м (дети, конечно, будут ниже). Ты думаешь, эти люди в своей стране чувствуют себя великанами? Или вообрази страну карликов, рост которых не превосходит 10 см. Ты полагаешь, что подобный «мальчик с пальчик» считает себя в своей стране карликом? Это, безусловно, не так. Но если бы ты, как некогда Гулливер, приехал к ним! Великаны, завидев тебя, воскликнули бы: «Какой карлик!» А посети ты карликов, они сказали бы: «Какой великан!»

*) 2500 первых цифр (!) десятичного разложения числа е приведены, например, в 3-м издании «Задачника по алгебре» В. А. Кречмара (Физматгиз, 1959). Первые 16 знаков е очень легко запомнить: е = 2, 7 18 28 18 28 45 90 45 ...

**) См., например, Р. О. Кузьмин и Д. К. Фаддеев, «Арифметика и алгебра комплексных чисел», Л., 1939.

Понятно, конечно, что все зависит от выбора единицы измерения. Ты исходишь из своего роста, великаны—из своих 10 м, а карлики — из своих 10 см. Однако продолжим наши фантастические мысли. Вообрази, что электроны, вращающиеся вокруг атомного ядра, обитаемы: на них, как мы на Земле, живут маленькие человечки, которые так же, как и мы, занимаются математикой. Расстояния и промежутки времени, с нашей точки зрения, выражающиеся числовыми карликами, им будут казаться огромными числовыми великанами. Вот обратный пример. Представь себе, что Земля, планеты, Солнце и звезды — это электроны и атомы, из которых построены некие исполинские существа. Что для этих сверхлюдей наши числовые великаны, часто недоступные даже воображению?

Все, что здесь сказано, относится к числам, выражающим длины, площади, объемы, промежутки времени, а также и веса, скорости и все остальное, связанное с перечисленными величинами. Система единиц человека, размером с молекулу, отлична от нашей; совсем другая система единиц будет у «сверхчеловека». Но все вычисления этих «людей» будут сходны с нашими. У них не будет какой-то особой «карликовой» или «великаньей» таблицы умножения — она будет иметь в точности тот же вид, что и у нас. Их повседневные расчеты будут совершенно такими же, как и наши.

Расстояния сами по себе не отвечают никаким определенным числам. Их «величины», т. е. числовые значения, всецело зависят от выбранной единицы измерения. Понятно, конечно, что так же обстоит дело с интервалами времени, весами, скоростями и т. п.

Мы пришли к концу нашего странствования по обширной стране чисел, простирающейся от нуля (0) до бесконечности (оо). В отличие от школьной математики и повседневных расчетов мы стремились держаться поближе к пограничным областям этой страны — и все же границ ее не достигли. Мы часто думали о «бесконечности», говоря о числах, по сравнению с которыми «конечные» числа, например те, к которым пришел в свое время Архимед, являются числовыми карликами. Бесконечное великолепие красок, бесконечное многообразие событий, бесконечная глубина чувств и мыслей окружают человека повсюду. Так мы часто говорим. И все же! Число всех мыслей, приходивших когда-либо кому-нибудь в голову, конечно. Ибо на каждую мысль требуется

определенное время, и, следовательно, каждый человек за свою жизнь может продумать лишь конечное число мыслей. А так как число людей, живших когда-либо на Земле, конечно, то конечно и число всех возникавших у них мыслей. Так же обстоит дело с глубиной чувств, впечатлениями, красками, звуками.

Одним из величайших достижений математики является то, что она преодолела «конечность» окружения человека и перенесла понятие «бесконечного» из области туманных представлений в мир точной науки.

Вальтер Литцман

Великаны и карлики в мире чисел

Редактор И. Б. Морозова Техн. редактор Е. А. Ермакова Корректор С. А. Мозгалевская

Сдано в набор 9/IX 1959 г. Подписано к печати ШХ1 1959 г. Бумага 84X108/«. Физ. печ. л. 2,125. Условн. печ. л. 3,47. Уч.-изд. л. 3,68. Тираж 50 000 экз. Т-11052, Цена книги 1 p. lu к. Заказ 3544.

Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.

Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Московского городского Совнархоза. Москва, Ж-54, Валовая, 28.

Цена 1 p. 10 к.

ФИЗМАТГИЗ • 1959