СЕРИЯ

новое в науке жизни технике

математика кибернетика

1970

11

З.А.КУЗИЧЕВА

ВЕКТОРЫ, АЛГЕБРЫ, ПРОСТРАНСТВА

З. А. Кузичева

ВЕКТОРЫ, АЛГЕБРЫ, ПРОСТРАНСТВА

Издательство «Знание»

Москва 1970

517.3 К 89

2-2-3

Т. п. 1970 г. № 63

ВВЕДЕНИЕ

Читатель, бесспорно, сталкивался, с понятием вектора еще в школе и знает, что так называют в геометрии направленный отрезок. Так как направленный отрезок определяется двумя точками, одна из которых считается первой, а другая— второй (начало и конец вектора), то можно, очевидно, с таким же успехом считать, что вектор есть упорядоченная пара точек; так часто и считают. Если читатель к тому же знаком хотя бы с началами аналитической геометрии, то ему известно, что вектор в пространстве вполне определяется тремя числами — своими проекциями на оси координатной системы; если же ограничиваться отрезками, лежащими в одной плоскости, то достаточно даже двух чисел. Общеизвестно также, что векторы применяются в физике для описания величин, характеризующихся не только численной мерой, но и направлением, в первую очередь силы, скорости и ускорения.

Но читатель может не знать, что векторы в современном смысле слова появились в математике только в 40-х годах прошлого столетия, а первый трактат по собственно векторному исчислению появился только в 80-х годах XIX в. (его автором был знаменитый американский физик, один из создателей статистической механики Дж. У. Гиббс). Между тем теоретическая механика — как раз та наука, где фигурируют силы, скорости и ускорения — приняла вполне законченную форму еще в конце XVIII в., если не раньше. Знаменитый трактат Ж. Л. Лагранжа по аналитической механике, который часто называют поэмой за его исключительное изящество и законченность, не знает никаких векторов. Естественно возникает вопрос, нельзя ли обойтись без векторов?

Обойтись без них, конечно, можно. Но именно потому, что мы говорим об этом в самом начале книжки, которая собирается рассказывать о векторах, алгебрах и пространствах, можно догадываться, что есть какие-то основания, по которым поступать так не следует. Основания эти прежде всего заключены в понятии векторное исчисление.

Вдумаемся в то, что такое исчисление. Каждый умеет складывать, вычитать, умножать и делить числа. Оперирова-

ние с числами есть пример исчисления—это исчисление арифметическое. В векторном исчислении мы оперируем с отрезками, т. е. с геометрическими объектами. Оперируем с ними прямо, а не обходным путем, через координаты (т. е. через числа). Вот эта-то возможность прямого оперирования с геометрическими объектами и есть сильная сторона векторного исчисления.

Еще Г. В. Лейбниц высказывал пожелание о создании геометрического исчисления. Объектами оперирования в таком исчислении должны быть геометрические объекты: точки, прямые, плоскости, отрезки, площадки: параллелограммы или треугольники и т. п. Но если мы начнем именно с того, что займемся этими объектами и спросим, что же именно с ними можно делать, то, очевидно, мы окажемся в затруднении.

Возьмем, допустим, точки. Какие операции можно производить над точками и что при этом можно получать? Правда, напрашивается мысль, что через любые две точки можно провести прямую и что, может быть, действие над двумя точками будет заключаться в порождении прямой, через них проходящей. Мы увидим потом, что, действительно, немецкий математик Г. Грасман определил таким образом «произведение» двух точек: произведение двух точек есть прямая (мы, впрочем, довольно приближенно излагаем его мысль). А вот как немецкий математик А. Ф. Мёбиус определил операцию сложения двух точек: если представить себе, что наши точки — не просто точки, а точки, в которых находятся единичные массы, то сумма двух точек А и В есть точка, делящая отрезок AB пополам, но уже не простая, а содержащая массу, равную сумме двух единичных. Значит, приходится, кроме «простых» точек, вводить еще и «кратные», что конечно, усложняет дело. Таким образом, уже отсюда можно заключить, что построить исчисление, оперирующее с геометрическими объектами, весьма не просто. Для такого построения понадобятся некоторые предварительные рассмотрения.

Векторы

ПЕРЕНОСЫ НА ПЛОСКОСТИ. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Начнем с очевидного утверждения: окружающие нас предметы мы можем перемещать с места на место, причем такая смена положения в пространстве никак не сказывается на самом предмете. Например, можно передвинуть книгу с края стола на середину или взять стоящий у стены стул и перенести его к столу, стоящему у противоположной стены комнаты. При этом, конечно, изменилось отношение книги к краям стола и стула к стенам комнаты; но мы склонны считать это отношение чем-то внешним по сравнению с такими внутренними свойствами, как форма и размеры, а эти последите как раз и остались прежними.

Впрочем, наше утверждение, несмотря на всю его очевидность, является с физической точки зрения лишь приближенным. Действительные перемещения реальных тел всегда сопровождаются деформациями. Кроме того, для тел на поверхности Земли вовсе не безразлично, где они находятся: сила тяжести, влияние эффектов вращения Земли вокруг оси, величина напряженности магнитного поля Земли различны, например, для полюса и экватора. Но и эти деформации, и влияние положения на земной поверхности на свойства тела очень малы, поэтому в физике, особенно в механике, начинают с того, что совершенно от них отвлекаются и описывают движение тел, абсолютно не меняющихся при перемещении в пространстве. Такие тела называются абсолютно твердыми. Ясно, что это — идеализация, но столь же очевидно, что такая идеализация является, во-первых, хорошим приближением к действительности, а, во-вторых, там, где такого приближения уже недостаточно, мы можем получить действительное движение посредством внесения поправок в описание движения тела абсолютно твердого. Собственно, только такой подход и дает нам возможность разобраться в действительном движении. Особенно подходит идеализация, рассматривающая тела как абсолютно твердые, для случая тела, свободно движущегося в мировом пространстве на большом расстоянии от других тел, скажем, где-то на полпути между соседними галактиками.

Итак, допустим, что мы имеем дело с абсолютно тверды-

ми телами и рассмотрим более внимательно перемещение этих тел. Начнем с более простого случая, а именно с движения плоских фигур в плоскости. В качестве наглядного примера можно взять, скажем, книгу и рассмотреть ее перемещения в плоскости стола, отвлекаясь при этом от толщины книги, т. е. считая ее прямоугольником (что также является идеализацией).

С движением фигур в плоскости читатель встречался в шестом классе на уроках геометрии, когда доказывались признаки равенства треугольников. При доказательстве теорем о признаках равенства треугольников совмещают один треугольник с другим; это означает, что треугольникам разрешается перемещаться в плоскости без изменения их размеров и формы; если сторона AB равнялась стороне А'В' до перемещения, то это равенство сохранится и тогда, когда треугольник А'В'С' совместится с треугольником ABC (рис. 1).

Итак, присмотримся к движению плоской фигуры. Можно начать с нескольких экспериментов. При этом в качестве модели плоскости можно принять уже не плоскость стола, а лист бумаги, прикрепленный кнопками к поверхности стола; далее, вырежем из бумаги какую-нибудь фигуру, например, треугольник (или прямоугольник) и наложим эту фигуру на нашу «плоскость». Первое, что нам нужно уметь — фиксировать положение фигуры в плоскости. В самом деле, перемещение — есть перемена места. Значит, надо начать с того, как место задается. Иными словами, надо указать, как говорят физики, систему отсчета. У нас это, конечно, просто: естественной системой отсчета являются края листа бумаги (или края стола). Но геометр рассматривает плоскость как неограниченно распространяющуюся во все стороны, где нет никаких естественных ориентиров. Поэтому приходится вводить некое подобие нашего края: две пересекающиеся под прямым углом прямые. Мы получаем обычную систему декартовых координат на плоскости, с которой читатель, несомненно, знаком.

Рис. 1

Как теперь фиксировать положение нашей фигуры относительно координатной системы? Предположим, мы знаем координаты одной из точек треугольника, т. е. нам известны расстояния от этой точки до координатных прямых, взятые с соответствующими знаками. Закрепим наш бумажный треугольник в одной точке, приколов его булавкой в этой точке к листу бумаги, изображающему плоскость. При этом положение треугольника еще не определено до конца, так как его можно вращать вокруг булавки. Но если воткнуть в него еще одну булавку, вращение станет невозможно и положение треугольника будет фиксировано. Ясно, что совершенно все равно, где эти точки брать: указанием их положения положение треугольника фиксируется однозначно.

Итак, положение треугольника (и, очевидно, любой фигуры, ибо говоря о треугольнике, мы не использовали здесь никаких свойств, специфичных для треугольника, и все сказанное поэтому справедливо для любой фигуры) определяется положением двух ее точек А, В (см. рис. 1) относительно некоторой системы отсчета, например, относительно двух прямых, пересекающихся под прямым углом. При перемещении фигуры положение этих точек изменится, и если мы знаем, в какие точки А' и В' перешли соответственно точки А и B, то мы знаем перемещение. При этом мы отвлекаемся от промежуточных положений фигуры, а рассматриваем только начальное и конечное положения фигуры последовательно. Такая упорядоченная пара положений называется конечным перемещением. В геометрии мы интересуемся конечными перемещениями.

Кроме того, в геометрии поступают обычно так: вместо того, чтобы ограничиться рассмотрением конечных перемещений одной фигуры, представляют себе, что фигура увлекает за собой всю плоскость, в которой она расположена, так что плоскость как бы перемещается сама в себе. В упомянутой выше модели плоскости это будет выглядеть так: вместо того чтобы вырезать треугольник, мы нарисуем его на листе бумаги и наложим этот лист на первый, изображающий плоскость; теперь второй лист будет двигаться по первому. Чтобы фиксировать его положение, по-прежнему надо закрепить его в двух точках; но теперь, очевидно, эти точки не обязательно должны лежать внутри фигуры, они могут находиться и вне ее.

На последнем варианте мы и остановимся. Мы будем рассматривать конечные перемещения как движения плоскости в самой себе (математики говорят: движение есть преобразование плоскости); такое движение определяется указанием, в какие две точки А' и В' перешли две произвольные точки А и B, т. е. тем, как перемещается отрезок AB.

На первый взгляд представляется, что возможны весьма

разнообразные движения. Естественно попытаться выделить особенно простые виды движений и посмотреть, нельзя ли построить произвольное движение из них. Так как движение определяется тем, как ведет себя отрезок AB, мы и проследим за его поведением.

Первым простым, но фундаментальным типом движения отрезка будет такое: отрезок AB переходит в параллельный ему (и, очевидно, равный, так как мы условились, что при движении не меняются ни форма, ни размеры фигуры) отрезок А'В' (рис. 2, а). При таком перемещении каждая сторона любой фигуры переходит в параллельную (и равную). На рис. 2, б показано перемещение треугольника ABC при таком движении.

Движение, при котором каждый отрезок AB переходит в параллельный (и равный) отрезок А'В', называется переносом, или трансляцией.

Вторым фундаментальным типом движения отрезка АB будет поворот его вокруг некоторой произвольной точки О на угол φ (рис. 3, а). Поворот треугольника показан на рис. 3, б. Оказывается, однако, что любое движение может

Рис. 2

Рис. 3 а Рис. 3 б

быть получено посредством комбинации этих двух основных типов движения.

Пусть надо перевести отрезок AB в А'В'. Можно просто переместить AB в А'В' в один шаг. Сделаем это в два этапа; сначала перенесем отрезок AB так, чтобы он занял положение А'В" (рис. 4), нам остается только повернуть его вокруг точки А' на угол φ, чтобы он занял интересующее нас положение А'В'. Итак, мы переместили AB в А'В' посредством комбинации переноса и поворота.

Мы совершили друг за другом два движения — перенос и поворот; факт объединения двух движений называется их композицией. Можно рассматривать и композицию переносов или поворотов. Между прочим, можно было бы показать, что всякое движение плоскости является либо только переносом, либо только поворотом, а не просто композицией переноса и поворота, но нам это не понадобится.

Обратимся теперь к более внимательному рассмотрению первого типа движения — переноса. При переносе, переводящем отрезок AB в А'В', отрезок АА', который описывает перемещение точки A, параллелен и равен отрезку ВВ', описывающему перемещение точки В. Ясно, что если С — любая точка плоскости, то соответствующий отрезок СС (где С — точка, в которую перемещается С) при данном переносе будет равен и параллелен отрезку АА'. Действительно, AC =А'С, АС||А'С', поэтому СС'||АА', СС'=АА' (см. рис. 2, б).

Таким образом, при переносе отрезки, на которые перемещаются произвольные точки плоскости, будут равны и параллельны для всех точек плоскости. Поэтому достаточно знать, в какую точку А' переходит точка A, и перенос будет определен однозначно. Другими словами, достаточно знать, какой надо сделать «шаг» и в каком направлении его сделать, чтобы перейти из A в А', и мы будем знать перенос. Поэтому перенос можно обозначать просто через АА'. Заметим, кстати, что А' называется образом точки А при данном преобразовании плоскости; говорят также, что плоскость отображается на себя.

Рис. 4

Шаги, которые надо сделать из каждой точки, чтобы получить ее образ, как мы видели, все одинаковы для данного переноса. Это можно сформулировать еще и так: для того чтобы задать перенос, надо задать длину шага и, естественно, направление, в котором мы должны двигаться.

Теперь предположим, что мы совершаем последовательно два переноса. Пусть первый перенос переводит точку A в A'; он полностью определится этой парой точек. Второй перенос также определяется парой точек, причем, как мы видели, любой парой точек; поэтому все равно, из какой точки плоскости исходить. Нам удобно взять в качестве первого члена пары, задающей второй перенос, точку A', образ точки A при первом переносе. Второй перенос переводит точку А' в А" (рис. 5, а).

Возьмем теперь какую-нибудь точку B плоскости, отличную от A, и проследим за ее перемещением при данных двух переносах. При первом переносе точка В переходит в В', при этом отрезок ВВ' равен и параллелен отрезку AA', это следует из свойств переноса; второй перенос переводит точку В' в В" и тогда отрезок В'В" параллелен отрезку А'А" и равен ему, поэтому отрезок ВВ" параллелен и равен отрезку AA".

Получается, что в результате двух последовательных преобразований плоскости (переносов), т. е. в результате их

Рис. 5 а Рис. 5 б

Рис. 5 в

композиции, перемещения любых двух точек плоскости будут равны и параллельны. Следовательно, результирующее преобразование также является переносом, т. е. композиция двух переносов есть перенос. Принято говорить: множество переносов замкнуто относительно операции композиции.

Результирующий перенос можно получить, если перевести точку А прямо в А" без захода в А'. Новый перенос определяется отрезком AA". Другими словами, два последовательных переноса можно заменить одним переносом, т. е. вместо шагов сначала AA', затем A'Л", сделать сразу шаг AA". Отрезок AA", определяющий этот результирующий перенос, является замыкающим звеном для ломаной АА'А" (см. рис. 5, а).

А если мы захотим сделать подряд три переноса? Перенесем А в А', А' в А" и, наконец, А" в А'", Ясно, что в результате мы снова получим перенос, который будет определяться отрезком AA'", замыкающим звеном ломаной АА'А"А'" (рис. 5, б). Аналогично композиция четырех переносов— снова перенос, который определяется отрезком AA"". И вообще, композиция n переносов (n— любое натуральное число) есть снова перенос; отрезок, который определяет указанный перенос, будет замыкающим звеном для ломаной АA1A2...An (рис. 5, в).

Условимся композицию переносов АА' и А'А" обозначать через АА'+А'А"; АА'+А'А" = АА" (см. рис. 5, а).

А что получится, если произвести сначала перенос АА", а затем A'A"? Образом точки А при первом переносе будет точка A1 (рис. 6), образом A1', при последующем преобразовании будет точка A2'. Что это за точка? Отрезок AA1' равен и параллелен отрезку А'А", отрезок А1'A2' равен и параллелен АА'1, следовательно, получим параллелограмм, и точка A2' совпадает с точкой А". Имеем: АА'+А'А"=АА", следовательно,

Рис. 6

Таким образом, мы показали, что композиция переносов обладает свойством коммутативности: АА'+А'А"=А'А"+АА'.

Рассмотрим теперь композицию трех переносов АА', А'А'', А"А'" (рис. 7). Композиция переносов АА' и А'А" дает перенос AA", т. е. Композиция переносов АА" и А"А'" дает перенос

с другой стороны, композиция АА' и А'А"' дает

Следовательно,

А это означает, что композиция переносов обладает свойством ассоциативности:

Рис. 7

Подведем теперь некоторые итоги. Мы получили, что на множестве переносов можно определить операцию композиции и что композиция двух (а в силу ассоциативности и любого числа) переносов есть снова перенос, т. е. множество переносов замкнуто относительно операции композиции. Кроме того, очевидно, что если после преобразования, переводящего А в А', сделать, так сказать, обратный ход, то снова получим A, т. е. перенос обладает обратным преобразованием. Тождественное преобразование, по определению, есть преобразование, оставляющее все точки плоскости на месте, т. е. оно ничего не меняет. Кроме того, композиция переносов коммутативна. Запомним эти важные для дальнейшего выводы и продолжим подведение предварительных итогов. А именно, посмотрим, что получили мы в результате таких рассмотрений для нашей основной задачи — построения исчисления векторов.

Мы заметили, что перемещение в плоскости может быть однозначно определено заданием направления, в котором надо двигаться исходя из некоторой точки A, и длины шага, т. е. надо знать длину, начало и конец отрезка АА', чтобы знать перенос. А что такое отрезок, имеющий определенное направление, ориентацию и фиксированную длину? Такой отрезок и есть, по определению, вектор. Следовательно, преобразование плоскости, называемое переносом, однозначно определяется соответствующим вектором.

Далее, шаги, которые надо сделать из произвольных точек плоскости при данном преобразовании, все одинаковы, т. е. соответствующие отрезки равны, параллельны и одинаково направлены. Это обстоятельство позволяет естественным образом определить равенство векторов: векторы, задающие один и тот же перенос, равны.

Итак, два вектора а и b считаются равными тогда и только тогда, когда длины их равны, они параллельны и одинаково направлены.

Заметим, кстати, что в этом определении ничего не сказано относительно начала вектора. Это означает, что вектор не зависит от того, в какую точку плоскости поместить его начало, т. е. вектор не изменится, если его перенести параллельно самому себе. Такие векторы принято называть свободными. Это обстоятельство позволяет нам условиться, что все векторы исходят из одной точки, которую мы примем за начало координатной системы.

Обратимся снова к композиции переносов. Композиция двух переносов есть перенос, но переносы задаются векторами. Тем самым мы получаем возможность ввести естественным образом и операцию с векторами. Эта операция называется сложением векторов. Композиция переносов АА' и и А'А" есть перенос АА" (см. рис. 5, а), поэтому вектор, соответствующий этой композиции, естественно считать суммой векторов

Итак, для любых двух векторов а и b всегда существует третий вектор с, называемый их суммой и обозначаемый с = а + b. Правило сложения двух движений (т. е. двух отрезков) показано на рас. 5, а. Такое правило называют правилом треугольника. При доказательстве коммутативности композиций переносов мы получили попутно другое правило для отыскания вектора — суммы. Это так называемое правило параллелограмма (см. рис. 6).

В силу сказанного выше, свойства операции сложения векторов вытекают из свойств операции композиции переносов, т. е. операция сложения векторов коммутативна и ассоциативна.

Рассмотрим еще одно преобразование плоскости, называемое гомотетией. Гомотетия есть взаимно однозначное преобразование плоскости на себя, в котором каждой точке А плоскости ставится в соответствие точка А\ такая, что отрезку OA соответствует отрезок аОA':

Точка О называется центром гомотетии, а — отличное от нуля вещественное число, называется коэффициентом гомотетии.

Если а>0, точки А и А' расположены на прямой АА' по одну сторону от 0, если а<0, то по разные стороны (рис. 8).

Другими словами, при гомотетии меняется длина векторов, она увеличивается (при а>1) или уменьшается (при а<1) в а раз. При отрицательных а векторы меняют ориентацию на противоположную, т. е. вектор а преобразуется в вектор а' таким образом: а' = аа.

Данное преобразование позволяет ввести умножение вектора на число: для всякого вектора а и всякого вещественного числа а существует вектор а', такой, что а' = аа.

При этом выполняются очевидные свойства: (aß)a = a(ßa); (a + ß)a = aa + ßa; cc(a + fc)=aa + ab (для любых векторов а, b и любых действительных а, ß). Эти свойства иллюстрируются на рис. 9. При а = 0, очевидно, всякий вектор преобразуется в нулевой вектор.

Рис. 8

Рис. 9

ПОВОРОТЫ НА ПЛОСКОСТИ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Итак, мы определили операцию сложения векторов. Однако в арифметическом исчислении наряду со сложением чисел имеется еще операция умножения чисел. Естественно и в исчислении векторов по аналогии с арифметикой и алгеброй попытаться ввести операцию умножения векторов. Каковы еще побудительные причины, заставляющие нас ввести умножение векторов?

Ввести умножение, значит, ввести еще одну операцию в наше исчисление. Термин «умножение» пока означает только вторая операция. Пока это всего лишь этикетка, которую надо к чему-то приклеить. Однако термин этот вызывает у нас определенные ассоциации с обычным умножением чисел. Такие ассоциации выражаются в таком пожелании: мы хотели бы, чтобы операция, которую мы собираемся определить, обладала по возможности теми же структурными свойствами, что и обычное умножение чисел, в частности, была бы так же связана со сложением векторов, как умножение чисел связано со сложением, т. е. нам хотелось бы сохранить законы ассоциативный (а(bс) = (ab) с), дистрибутивный (a(b + c) =ab + ac; (a + b)c = ac + bc), коммутативный (ab = bа). Но прежде всего ответим на вопрос: нужна ли вообще вторая операция?

Дело в том, что векторное исчисление с одной операцией— операцией уже определенного нами сложения — вещь очень слабая. Весь его аппарат сводится к проведению диагонали параллелограмма, а геометрический смысл его состоит в том, что оно описывает перенос. Но мы уже отмечали, что в плоскости возможны еще и повороты, т. е. вторая операция нужна нам для усиления нашего исчисления, для расширения его возможностей. При этом необходимо, чтобы вторая операция не только обладала свойствами, сходными с обычным умножением, но и имела бы ясный геометрический смысл, скажем, описывала бы повороты.

Вспомним, что в теории комплексных чисел умножение комплексных чисел имеет вполне четкий геометрический смысл. Как известно, каждое комплексное число имеет вид а+bi, где a, b — вещественные числа, i — так называемая мнимая единица. Каждую точку плоскости с координатами a, b можно рассматривать как образ комплексного числа а + bi, и, наоборот, каждое комплексное число а + bi — как образ точки плоскости с координатами а, b. Этим устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством комплексных чисел. Но, с другой стороны, каждой точке А плоскости однозначно соответствует вектор, идущий в нее из начала координат OA (радиус-вектор точки А). Следовательно, и каждому комплексному числу а + bi однозначно соответствует вектор OA, радиус-вектор точки A, имеющей координаты а, b. В таком случае длина вектора |OА| соответствует модулю комплексного числа |a + bi|=√ a2 + b2, угол φ между положительным направлением действительной оси и вектором OA (при А≠0)—аргументу комплексного числа. Легко установить связь между сложением комплексных чисел и сложением векторов. Действительно, как известно, суммой двух комп-

лексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число e+fi, определяемое равенствами: е = а + с, f = b + d, т. е. (а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i. Но числа а, b; с, d можно интерпретировать как координаты векторов OA и ОС соответственно (рис. 10), а вектор ОЕ есть не что иное, как сумма векторов OA и ОС. Итак, сложению комплексных чисел соответствует сложение векторов в плоскости, причем имеет место следующее обстоятельство: a + bi → OA; c+di → OС; (а + bi) + (c + di)→ OА + ОС. (Стрелками обозначено соответствие между комплексными числами и векторами). Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством векторов на плоскости можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее сумму. Такое соответствие называется изоморфизмом. Итак, множества комплексных чисел и векторов на плоскости изоморфны.

Геометрически умножение комплексных чисел состоит в том, что перемножаются их модули и складываются аргументы. Что происходит при этом с соответствующими векторами? Вектор OC2 под действием вектора OC1 как оператора поворачивается на угол φ1 и растягивается в отношении — (рис. 11). Поворот без растяжения получится, если модуль комплексного числа C1 равен 1, т. е. если подействовать на вектор OC2 вектором единичной длины. Тогда вектор OC2 повернется на угол φ1 (угол наклона вектора ОС1).

Как отмечено выше, повороты являются вторым фундаментальным видом движения в плоскости. При этом, как не трудно видеть, если после поворота вокруг начала координат на угол φ1 вектор повернуть далее на угол φ2, то в результате получится поворот на угол φ1+φ2, т. е. композиция двух поворотов есть снова поворот. Поворот на угол φ = 0 означает

Рис. 10

тождественное преобразование; для поворота на угол φ обратным является поворот на угол —φ, т. е. на угол φ в противоположном направлении. Композиция поворотов в плоскости обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, что следует из соответствующих свойств умножения комплексных чисел. Следует отметить также наличие несобственного поворота (рис. 12).

Итак, умножение комплексных чисел геометрически означает поворот и растяжение, сложение комплексных чисел — перенос. В силу изоморфизма между множествами векторов и комплексных чисел то же самое можно сказать и об операциях с двумерными векторами. Можно выразиться иначе: сложение и умножение комплексных чисел описывают преобразование плоскости, называемое преобразованием подобия. Преобразование подобия есть композиция гомотетии и движения (поворота и переноса).

Таким образом, векторное исчисление в плоскости имеет объектами оперирования двумерные векторы, к которым применяются две операции: сложение векторов и умножение, причем вектор OC1, которым действуем на вектор OC2, играет роль оператора, осуществляющего поворот на некоторый угол φ.

Рис. 11 а Рис. 11 б

Рис. 12

ДВИЖЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ. КВАТЕРНИОНЫ

Обратимся теперь к векторам в трехмерном пространстве. Естественно попытаться и здесь сложение и умножение векторов ввести аналогичным образом, т. е. так, чтобы они давали те же геометрические результаты — описывали переносы и повороты в трехмерном пространстве. Сдвиги (переносы) в трехмерном пространстве ничем не отличаются от сдвигов в плоскости. Поэтому сложение векторов в пространстве отличается от сложения векторов в плоскости только количественно— вместо двух координат здесь складываются три координаты: а=(a1, a2, a3); b=(b1, b2, b3), a + b=(a1 + b1, a2+ b2, a3 + b3). Не будем поэтому задерживаться на операции сложения трехмерных векторов, а посмотрим, как обстоит дело с умножением. Здесь мы немедленно сталкиваемся с трудностями, источник которых — глубокое отличие геометрии пространства от геометрии плоскости.

Поворот вокруг точки в трехмерном пространстве всегда сводится к повороту вокруг некоторой оси. Повороты вокруг разных осей дают в итоге новый поворот вокруг некоторой новой оси, но этот результирующий поворот зависит от порядка выполнения соответствующих поворотов, т. е. поворот в трехмерном пространстве операция некоммутативная. Поэтому если умножение векторов в пространстве как-то должно соответствовать композиции поворотов, это умножение не может быть коммутативным.

Далее спросим себя: сколько необходимо данных (параметров), чтобы задать в пространстве поворот с растяжением? На плоскости требовалось два параметра: достаточно было задать угол и коэффициент растяжения; эти два параметра однозначно определяют комплексное число как вектор с плоскости. А в пространстве? Мы должны фиксировать ось поворота, угол, на который осуществляется поворот, и коэффициент растяжения. Ось, т. е. прямую, проходящую через фиксированную точку, мы определим, если зададим два параметра. Например, таким образом: посредством углов φ и в (рис. 13) или посредством трех направляющих косинусов l, m, n (косинусов углов, которые прямая образует с осями координат). Но эти три числа, как известно, связаны соотношением l2 + m2 + n2= 1, т. е. фактически нам нужны два параметра для задания прямой в пространстве. Таким образом, хотя вектор в пространстве определяется тремя параметрами, но для задания поворота и растяжения в пространстве мало трех параметров, нужны четыре.

У. Р. Гамильтону (1805—1865 гг.), английскому математику, творцу теории кватернионов (и тем самым векторного исчисления в полном его объеме) удалось преодолеть в этом

пункте инерцию мышления: раз мы рассматриваем трехмерное пространство, нам достаточно трех единиц. Он догадался, что можно минимальным образом расширить набор единиц, увеличив его на одну — введя в качестве истинных объектов исчисления комбинацию вектора и числа. Такая комбинация вектора и числа получила название кватернион, что буквально означает совокупность четырех, или «четверица». Другими словами, кватернион — это выражение вида q=x +yi+zj + wk, где X, у, z, w— вещественные числа, i, j, к — базисные векторы трехмерного пространства, т. е. единичные векторы, направленные по координатным осям, 1—вещественная единица.

Но оказалось, что мало ввести кватернионы, ибо не всякое вращение может быть представлено умножением на кватернион, а лишь вращение таких векторов, которые лежат в плоскости вращения, иначе говоря, перпендикулярны оси вращения. Для остальных же векторов получается более сложная операция, хотя тоже выразимая с помощью умножения кватернионов.

Таким образом, получается, что наша идея ввести умножение векторов так, чтобы оно изображало вращение в пространстве, приводит нас к необходимости расширить область рассмотрения, превратив вектор в частный случай некоторой более сложной величины. Посмотрим теперь, как это делается.

Гамильтон обнаружил, что с помощью векторов можно описать движение в плоскости. Важно подчеркнуть, что при этом ему не пришлось изобретать умножения. Оно уже существовало в виде умножения комплексных чисел. Комплексные же числа возникли из чисто алгебраических потребностей, и ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность их умножения были постулированы еще до того, как они оказались, скажем, векторами на плоскости.

Рис. 13

К открытию кватернионов и операций над ними Гамильтон пришел, руководствуясь в значительной степени наводящими соображениями. Разумеется, какие-то факты всегда приходится предполагать. Например, можно с самого начала потребовать, чтобы была дистрибутивность, но это сильно ограничит наши возможности. Естественно начать с того, чтобы фиксировать действие вектора в качестве множителя, причем начать с базисных векторов.

Выберем некоторую тройку взаимно перпендикулярных векторов единичной длины: i, l, к, причем ориентируем ее таким образом: вращение вокруг оси к считается положительным, если оно переводит i в j, когда этот вектор вращается против часовой стрелки. Рассмотрим векторы, лежащие в плоскости базисных векторов i, j: a = a1i+a2j; плоскость ij, конечно, похожа на обычную комплексную плоскость. Поворот на против часовой стрелки в комплексной плоскости можно получить, умножив комплексное число a1+a2i на i: i(a1+a2i) = —a2+a1i. Что будет соответствовать этому у нас? Мы предположим, что умножение вектора а слева на вектор к будет давать то же самое. Это естественно, так как для указания поворота вокруг оси в пространстве надо указать эту ось; но поворот в плоскости ij пространственно есть вращение вокруг оси к.

Итак, пусть поворот на π/2 вокруг оси к для векторов вида а = a1i + a2j осуществляется посредством умножения такого вектора а слеза на к. В частности, чтобы повернуть на π/2 вектор i, мы умножаем его слева на к, но поворот на π/2 против часовой стрелки переведет i в j. Итак, должно быть ki = j; j перейдет при таком повороте в —i, поэтому kj = —i. В общем же случае k(a1i + a2j) =a2i + a1j; но то же самое мы получим, если будем предполагать, что умножение подчиняется закону дистрибутивности: k(a1i+a2j) =а1кi+ a2kj = a1j—a2i = —a2i+a1j. Таким образом, по крайней мере в этом случае естественно предполагать дистрибутивность.

Если мы два раза повернем i на π/2 , то i перейдет в —i, т. е. k(ki)=—i; если бы у нас была ассоциативность, то мы имели бы к(ki) = (кк)i = —i, т. е. нужно положить k2 = — 1, чтобы получить желаемое равенство. (На самом деле это означает, что мы трактуем к как оператор. Применив два раза один и тот же оператор, мы получим, таким образом,

тот же результат, что дает и применение оператора, умноженного на —1, или поворота на π).

Очевидно, следует считать, что i и j действуют таким же образом — вращают в плоскостях jк и ki на угол — в положительном направлении. Следовательно, ij = k; ji = — k; jk = i; kj = —i; ki = j; ik = —j, и, конечно, i2=j2=k2= 1. Мы получили полную «таблицу умножения» для базисных векторов:

Мы видим, что уже здесь появляется четвертая единица - обычная числовая единица. Принимая ассоциативность и дистрибутивность и воспользовавшись таблицей умножения кватернионных единиц, получим

Видим, что произведение двух кватернионов есть кватернион.

Рассмотрим кватернион q = x + yi + zj + wk; он, как и всякий кватернион, состоит из двух частей: скалярной и векторной. Скалярным слагаемым для q является x1, векторным слагаемым -yi + zj + wk. Если y = z = w, кватернион превращается в скаляр, если же х=0, то в вектор. Векторное слагаемое кватерниона можно интерпретировать как вектор в трехмерном пространстве, a i, j, к — как базисные векторы этого пространства. Если рассматривать сами по себе слагаемые x + yi, х+zj, x+wk, то они совершенно аналогичны комплексным числам. Эта аналогия и делает обоснованным то, что кватернионы иначе называют гиперкомплексными числами.

Кватернион q = x—yi—zj—wk называется сопряженным с кватернионом q=x+yi+zj+wk. Сумма квадратов x2+у2+z2+w2 коэффициентов кватерниона q называется нормой кватерниона и обозначается через |q|2, qq=х2+у2 + z2+w)2 — = |q|2, т. е. произведение кватерниона q на сопряженный ему кватернион равно норме кватерниона q. Читатель без труда проверит, что и q-q=|q|2.

Кватернион

называется обратным кватерниону q.

Решим теперь задачу деления кватернионов. Рассмотрим уравнение q1q = q2- Умножим обе части этого уравнения слева на

Получим

Обратимся теперь к уравнению qq1 = q2. Оно отличается от первого только тем, что сомножители q и q1 стоят в другом порядке, q занимает первое место. Решим это уравнение, умножив обе его части справа на

Решение этого уравнения

вообще говоря, отлично от решения первого уравнения, в силу некоммутативности умножения кватернионов.

Рассмотрим далее кватернион вида

Этот кватернион имеет нормой единицу:

Обратный ему поэтому совпадает с сопряженным

Посмотрим, что даст нам умножение на этот кватернион вектора

лежащего в плоскости ij:

Но это формулы для вектора, повернутого на угол φ против часовой стрелки! Действительно, пусть а — угол между вектором а и положительным направлением оси i, тогда

Повернем вектор а на угол φ против часовой стрелки (рис. 11, а). В новом положении вектор а имеет координаты:

Воспользуемся формулами для синуса и косинуса суммы, тогда

в чем мы и хотели убедиться

Таким образом, для векторов, лежащих в плоскости ij, поворот на угол φ можно осуществить умножением на кватернион cos φ + sin φ ⋅k. (Кстати, он очень напоминает комплексное число, поэтому не удивительно, что умножение на него равносильно повороту на угол φ). Важно, что это — кватернион, а не вектор; его скалярная часть очень существенна! Поворот на π/2 дает, как мы видели выше, q = = к. Если мы умножим на р (cos φ+sin φk), то поворот сопроводится еще и растяжением в р раз.

Чтобы перейти к оси поворота, не совпадающей ни с одной из координатных осей, сделаем такие простые, но важ-

ные наблюдения: пусть a и b имеют единичную длину и взаимно перпендикулярны. Тогда угол ® = π/2, sin 0=1, cose = 0; поэтому ab —с, где с — единичный вектор, направленный по перпендикуляру к плоскости, в которой лежат а и b, и такой, что а, b, с образуют тройку векторов, ориентированную таким же образом, что и i, j, к. Легко проверить (сделав чертежи для наглядности), что b с = а, са = b; очевидно, что ab — —b а. Таким образом, для взаимно перпендикулярных векторов их произведение является вектором, причем меняет знак при перестановке сомножителей: ab — —ba или ab + b а = 0. (Говорят, что а и b антикоммутируют).

Кроме того, для любого вектора d dd = —|d|. Значит, в нашем случaе, a2 = b2 = c2 = — 1.

Что же получилось? Наша тройка векторов имеет таблицу умножения, в точности подобную таблице умножения для i, j, к. С другой стороны, любой вектор может быть разложен по а, b, с как по базису с таким же успехом, что и по i, j, к (в силу того, что мы выбираем систему координат произвольно). Раз так, то все выводы, которые мы делали, опираясь на таблицу умножения для i, j, к, переносятся на a, b, с; любая тройка таких векторов, следовательно, ничем не отличается от базисной.

Направим теперь с по оси вращения, а а и b возьмем сказанным образом. Очевидно, что с будет играть для векторов, лежащих в плоскости, определенной векторами а и b (т. е. для векторов вида aa + ßb) такую же роль, что и к для векторов вида a1i + a2j; поэтому умножение вектора аа +ßb слева на кватернион cosφ + sinφi вызывает поворот на угол φ в плоскости векторов а и b.

Тот факт, что любая тройка единичных взаимно перпендикулярных векторов подчиняется одной и той же таблице умножения, освобождает нас от исходного базиса i, j, к; мы вольны теперь выбирать базис так, как нам будет удобно в тех или иных конкретных задачах. И мы этим только что воспользовались.

Итак, мы можем с помощью кватерниона cos cp + sin φ ⋅ с описать поворот на угол φ в плоскости, перпендикулярной оси. Но как описать поворот векторов, которые не будут перпендикулярны к оси?

Рассмотрим поворот вокруг оси к (мы уже знаем, что в качестве к может быть взята любая ось!). Произвольный вектор а представляется так:

поворот на угол φ вокруг оси к переводит его в

b1 и b2 взаимно перпендикулярны, причем b1j_ k, b2||к. Мы помним, что

С другой стороны,

Наконец, мы только что показали, что

Таким образом,

А так как любое вращение в пространстве сводится к повороту вокруг некоторой оси, то любое вращение может быть представлено в виде af — qaq~x.

Следовательно, для описания поворотов в пространстве нам потребовался существенно более сложный аппарат, чем просто векторы, а произвольное вращение может быть представлено в виде af~qaq~\ что существенно сложнее, чем просто a' = qa. Но тогда очень важно, что повороты записываются все же посредством кватернионного умножения, т. е. множество кватернионов оказывается замкнутым относительно умножения, описывающего самые общие повороты в пространстве.

Кватернионы можно рассматривать и в ином аспекте. Мы сделаем это несколько дальше. А теперь остановимся па сравнении кватернионных, если так можно выразиться, и векторных операций. А именно, рассмотрим кватернионное произведение векторов а и b, лежащих в плоскости, скажем, i, j: a = a1i + a2j, b = b1i + b2j. Запишем их в виде а =

и перемножим как кватернионы

Видим, что кватернионное произведение двух векторов в плоскости состоит из двух частей: скалярной и векторной.

Скалярная часть есть произведение длин векторов а и b и косинуса угла между ними a1—a2: |a||b|cos(a1—а2). Она получила наззание скалярного произведения векторов а и b| в кватернионное произведение она входит со знаком минус. Векторная часть есть вектор, длина которого равна произведению длин векторов а и b и синуса угла между ними |a||b|sin(a1—а2); вектор этот направлен в ту же сторону ,что и единичный вектор к, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы a и b и так, что вращение вокруг него от а к b происходит против часовой стрелки. Эта часть получила название векторного произведения векторов а и b, Другими словами, кватернионное произведение векторов а и b есть не вектор, а кватернион.

Если расписать векторы а и b в координатах, то их кватернионное произведение выглядит так

Отсюда

т. е. скалярное произведение векторов а и b равно сумме произведении соответствующих координат этих векторов в базисе i, j; векторное произведение a и b в координатах расписывается по формуле

Аналогично кватернионное произведение трехмерных векторов

Снова в результате получаем кватернион, у которого скалярная часть есть

т. е. скалярное произведение а и b (с минусом), а векторная часть есть векторное произведение векторов а и b, расписанное через координаты этих векторов в базисе i, j, к.

Если использовать отдельно скалярное и векторное произведения как самостоятельные операции (и сложение векторов и умножение вектора на число), то получим как раз векторное исчисление (векторный анализ), принадлежащее Гиббсу (об этом упомянуто во введении). Эти два вида умножения векторов — скалярное и векторное — являются, так сказать, обломками кватернионного умножения векторов. Если их вводить просто по определению, то тогда теряются их истоки, и они могут производить впечатление неестественных.

Остановимся коротко на этих двух операциях и сравним их с кватернионным произведением векторов. Сначала вы-

ясним свойства скалярного произведения векторов. Будем обозначать скалярное произведение векторов а и b так: а b.

Геометрические свойства скалярного произведения векторов

а. Если векторы а и b перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Действительно, скалярное произведение векторов есть произведение их длин и косинуса угла между ними, в данном случае φ = π/2, из условия, следовательно, cosφ = 0, ab = 0.

Наоборот, если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то векторы a, b взаимно перпендикулярны. Если хотя бы один из векторов равен нулю, то его можно считать перпендикулярным к другому, так как направление нулевого вектора не определено. Если же оба вектора а и b отличны от нуля, то |a| ≠ 0 и |b|≠0, и из а*b = 0 следует, что cosφ = 0, т. е. φ = π/2.

Следовательно, скалярное произведение двух векторов а и b равно нулю тогда и только тогда, когда а и b взаимно перпендикулярны.

б. Можно заметить, кстати, что если векторы а и b отличны от нуля и угол φ между ними острый, то скалярное произведение |a||b|cosφ положительно. Если же угол φ тупой, то |a||b|cos φ отрицательно.

в. Умножим вектор а скалярно на себя, имеем |a||a|cos0, но cos 0=1, поэтому аа = [а]2. Другими словами, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Алгебраические свойства скалярного произведения векторов

а. Скалярное произведение векторов а и b коммутативно:

б. Для любых векторов a, b и вещественного числа а: а(а b) =а a b = a а b.

в. Для любых трех векторов а, b, с имеют место равенства:

г. Из определения скалярного произведения следует, что скалярное произведение двух векторов — это число, значит не имеет смысла говорить о скалярном произведении трех (и более) векторов. Иначе говоря, скалярное произведение векторов не обладает свойством ассоциативности.

Можно отметить «механический смысл» скалярного произведения векторов а, b. Если вектор а изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала вектора b в его конец, то работа этой силы есть скалярное произведение векторов а, b: w = |a||b|cos φ.

Перейдем теперь к выяснению свойств векторного произведения векторов. Будем обозначать векторное произведение векторов a, b через а X b.

Геометрические свойства векторного произведения векторов

а. Если векторы а и b параллельны, то их векторное произведение равно нулю. Пусть сначала а, b одинаково направлены, тогда φ = 0, sinφ = 0, аxb = 0; если же а и b противоположно направлены, то φ = π и снова sinπ = 0, axb = 0.

Наоборот, если векторное произведение векторов a, b равно нулю, то векторы a, b паралелльны. Пусть сначала ни один из векторов а, b не равен нулю. Тогда |a||b|sin φ = 0, но так как a≠0 и b≠0, то |а|≠0 и |b|≠0, следовательно, sinφ = 0, и векторы а и b параллельны. Если один из векторов равен нулю, то его можно считать параллельным любому вектору.

Следовательно, векторное произведение векторов а, b равно нулю тогда и только тогда, когда векторы параллельны.

б. Векторное произведение векторов a, b есть вектор, длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах а, b, приведенных к общему началу. Из элементарной геометрии читатель знает, что площадь параллелограмма равна произведению его сторон и синуса угла между ними; сторонами параллелограмма в нашем случае являются векторы а, b.

Алгебраические свойства векторного произведения

а. Векторное произведение векторов a, b антикоммутативно: axb =—bxа. Действительно, если векторы a, b параллельны, то а X b = b X а = 0. Если векторы а и b не параллельны, то по определению векторного произведения длины векторов аxb и b X а равны, кроме того, векторы аХ b, b Х а параллельны. Но поворот от а к b противоположен повороту от b к a, поэтому векторы а X b и b X а противоположно направлены.

в. Для любых векторов a, b и вещественного а имеют место равенства:

е. Для любых трех векторов а, b, с справедливы равенства:

г. Посмотрим, как обстоит дело с ассоциативностью векторного произведения:

Следовательно, векторное произведение векторов также неассоциативно.

Отметим, «механический смысл» векторного произведения. Пусть в точке А приложена сила, изображаемая вектором b, пусть вектор а направлен из некоторой точки В, отличной от A, в точку А. В таком случае вектор а X b есть момент силы b относительно точки В.

Что же мы имеем в итоге? Скалярное и векторное произведения векторов, являясь составными частями кватернионного произведения векторов, частью своих свойств совпадают с этим последним, частью — отличаются. Так, все три произведения обладают свойством дистрибутивности относительно сложения векторов. Между тем скалярное и векторное произведения утрачивают весьма существенное свойство — ассоциативность.

Итак, мы начали с того, что попытались описать движение в плоскости и пространстве. При этом выяснилось, что для описания движения в плоскости, по существу, не потребовалось создавать нового аппарата. А вот в трехмерном пространстве дело обстоит значительно сложнее, и там пришлось ввести и новые, более общие, чем комплексные числа, объекты и усложнить умножение для описания поворотов в са-

мом общем виде. При этом мы касались в основном геометрической стороны дела. Теперь на те же объекты посмотрим с иной точки зрения, что позволит нам сделать дальнейшие обобщения.

Алгебры. Пространства

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Как уже отмечалось, вектор можно трактовать тремя способами (каждый из которых можно было бы принять за определение) :

а) вектор — направленный отрезок;

б) вектор —упорядоченная пара точек, первая из которых есть начало вектора, вторая — его конец;

в) вектор — тройка (или пара в плоском случае) чисел его проекций на оси координат или коэффициентов его разложения по базисным векторам.

Рассмотрим последний случай, т. е. задание вектора упорядоченной тройкой чисел. Математик в своих исследованиях стремится к наибольшей возможной общности. Что заставляет нас выделить именно три числа для задания некоего объекта (в данном случае — вектора)? А что если задать его посредством n чисел? Задание нового объекта посредством n чисел — это один из путей к обобщению. Если мы подчиним этот новый объект некоторым операциям, то получим предпосылки для начала построения нового теоретического исследования.

А как обстоит дело, например, в физике? Состояние физической системы характеризуется заданием нескольких чисел, которые обычно называются параметрами. Если мы рассматриваем какие-либо процессы, то состояние системы меняется с течением времени, и эти числа, характеризующие состояние системы, являются функциями от времени.

Параметров, характеризующих систему, не обязательно три. Пусть наша система состоит из одной точки. Тогда для задания ее положения в пространстве в фиксированный момент времени необходимо задать ее координаты в пространстве— три числа, три параметра. Ну а если система состоит из n точек? Каждая точка задается тремя параметрами; следовательно, положение л-точечной системы задается посредством Зп параметров: x1, y1, z1; ...; xn , yn , zn (или xk, ук, zk, k=1, n).

Однако положение системы не исчерпывает ее состояния. Надо знать и то, как изменится состояние системы в непосредственном будущем, надо знать скорость изменения этого

состояния, т. е. производные от координат xk , yk , zk (к=1, ,.., n). Следовательно, нужно задать еще 3n величин. Таким образом, состояние системы из n точек полностью может быть охарактеризовано с помощью 6n функций от времени.

В физике обыкновенно рассматривают не скорости, а величины, выражаемые через скорость, — импульсы. Импульс— произведение массы на скорость. Состояние механической системы из n точек принято рассматривать в виде точки в фиктивном пространстве с 6/г координатами (или рассматривать траекторию точки в этом пространстве, если нас интересует изменение состояния системы во времени). Такое пространство называется фазовым. История нашей системы будет описываться траекторией точки в 6n-мерном фазовом пространстве. Это удобно, ибо позволяет пользоваться геометрической интуицией.

В специальной теории относительности рассматривают особое четырехмерное пространство, называемое миром Минковского, координатами которого являются х, у, z, ct; особенность его состоит в том, что квадрат длины вектора в нем равняется не x2 + y2 + z2 + c2t2 (обычное скалярное произведение вектора на себя), а x2 + y2+z2—с2t2 (иногда пишут наоборот c2t2—x2—у2—z2). Основанием для введения такого пространства служит то, что в преобразованиях Лоренца при переходе от одной инерциальной системы к другой эта величина x2 + y2+z2—с2t2 не меняется, т. е. ведет себя подобно квадрату длины вектора в обычном пространстве.

Итак, мы указали путь возможного обобщения вектора посредством увеличения его размерности; попытались подкрепить такое чисто математическое стремление к обобщениям рассмотрением способов задания n-мерных точечных систем в физике.

Но обобщения можно продвинуть значительно дальше. А именно, попытаться построить систему, объектом изучения которой будут элементы некоего множества, о природе и свойствах которого мы предварительно будем знать весьма мало. Мы подчиним элементы этого множества операциям, но предварительно мы ничего не будем знать об операциях— каковы они конкретно, как их осуществлять? О чем же тогда будет теория? Мы будем считать, что такие операции, несмотря на всю свою неопределенность, удовлетворяют некоторым условиям. Множество с определенными на нем операциями, подчиненными некоторым условиям, мы назовем линейным пространством. Дадим строгое определение.

Множество А с элементами а, b, с, которые принято называть векторами, называется линейным пространством, если: имеется правило, по которому для всяких элементов а и b из А однозначно находится элемент с из A, называемый их суммой и обозначаемый с — а + b; имеется правило, кото-

рое для всякого вектора а и всякого вещественного числа а позволяет построить элемент b, называемый произведением элемента а на число а и обозначаемый b = аа; правила образования суммы двух элементов и произведения элемента на число удовлетворяют условиям:

g) для всякого а ∈ A и всякого b ∈ A: a + b = b + a;

б) для всяких а, b, с ∈ A; а+ (b + с) = (а + b) +с;

в) существует элемент нуль (0) такой, что а + 0 = а для всякого a ∈ A;

г) для всякого a ∈ A существует b ∈ A такой, что a + b = 0 (b называют противоположным элементом а);

д) для любого элемента а ∈ A: 1-а = а, где 1 — обычная числовая единица;

е) для любого a ∈ A и любых вещественных а и ß

ж) для любого а ∈ A и любых вещественных а, ß

Исходя из этого определения можно показать (но мы не будем останавливаться на доказательстве), что в любом линейном пространстве существует единственный нуль, в любом линейном пространстве для каждого элемента a ∈ A существует единственный противоположный элемент, для всякого элемента а в любом линейном пространстве имеет место равенство 0«а = 0 (в правой части равенства 0 означает нулевой элемент данного линейного пространства, нуль-вектор, в левой — число нуль).

Для всякого элемента а в любом линейном пространстве противоположным элементом служит b=(—1)а. Действительно, составим сумму a + b, используя аксиомы и последнюю теорему, находим a + b = l-a+(—1)а+ (1 — 1)а = 0⋅ а = 0.

Теперь мы можем обозначать элемент, противоположный данному элементу а, через —а. Так мы и будем поступать. Наличие противоположного элемента позволяет ввести операцию вычитания. Определим разность элементов а и b как сумму а и —b: а+(—b)=а—b. Легко видеть, что это определение согласуется с определением вычитания в арифметике.

Мы ввели абстрактную алгебраическую систему, не конкретизируя природы элементов и не уточняя операций. Если же указать природу элементов и правила действий над ними, то говорят, что указана модель или конкретное линейное пространство.

Посмотрим, не найдем ли мы примеров линейных пространств среди известных нам множеств.

1) Начнем с множества свободных векторов в трехмерном пространстве. Каждый вектор задается тройкой своих

координат. Определим сложение векторов так: суммой а и b является вектор с:. Умножение вектора на число введено нами при описании гомотетии; расписать его можно так: aa = aaii + aa2j + aa2К. В качестве нуля рассмотрим вектор с координатами 0, 0, 0. Он удовлетворяет условиям, наложенным на нуль в линейном пространстве: . Читатель легко проверит выполнение остальных аксиом линейного пространства.

Для элемента а из нашего множества противоположным является элемент, координаты которого имеют противоположенные знаки —а= . Будем обозначать линейное пространство трехмерных векторов через V3.

2) Примеры линейных пространств можно найти среди значительно более знакомых множеств. Рассмотрим множество D вещественных чисел. Из свойств обычного сложения и умножения вещественных чисел следует выполнение аксиом линейного пространства. Здесь D играет двоякую роль, оно поставляет и «векторы» и числа, причем и те и другие есть просто вещественные числа.

3) Пусть Z — множество комплексных чисел. Очень легко проверить, что Z — линейное пространство.

4) Рассмотрим множество кватернионов. Оно состоит из элементов вида: q=l⋅ x + yi + zj + wk, для которых мы определили сложение q1+q2=1 (х1 + x2) + (y1+y2)i+ (z1 + z2)j + (w1 + w2)k и умножение на число aq, где а — вещественное число: aq= 1 ⋅ ax + ayi + azj+ aw ⋅ к. Из этих определений ясно, что множество кватернионов Q — также линейное пространство.

5) Приведем еще один пример линейного пространства, который нам понадобится в дальнейшем. Пусть элементами нашего множества являются упорядоченные наборы из n вещественных чисел: а1, ..., an. Эти числа a1, ..., an будем называть координатами элементов а,b, .... Определим для элементов нашего множества операции. Сложение: а=(а1, ..., an); b=(b1, ..., bn); a + b= (a1 + b1, ..., bn +an). Умножение на число: aa= (aa1, ..., aan).

Читателю рекомендуется убедиться в том, что множество (обозначим его Vn) является линейным пространством; нулем является элемент с координатами 0, 0; для любого элемента a=(a1, ... an) противоположным будет — а = (—а1, ... — аn).

Мы привели так много примеров линейных пространств, что может возникнуть подозрение, не является ли всякое мно-

жество линейным пространством? Поэтому приведем пример множества, не являющегося линейным пространством. На множестве натуральных чисел естественным образом определено сложение. Операция же умножения натурального числа на вещественное не может быть определена, так как произведение, скажем, иррационального числа на натуральное есть число иррациональное, т. е. множество натуральных чисел не является замкнутым относительно операции умножения на вещественное число. В дальнейшем нам полезно будет знакомство с матрицами.

Матрицей называют прямоугольную таблицу. Элементами этой таблицы чаще всего являются числа, но это вовсе не обязательно; элементами матрицы могут быть, например, функции.

На число строк и столбцов матрицы не накладывается никаких ограничений. Примеры матриц: 1) а — одно число — это матрица, у которой число строк и число столбцов равны 1; 2) строка a1, ..., an, где n — произвольное натуральное число; 3) столбец произвольной конечной высоты; 5) таблицы не являются матрицами. Матрицу в общем виде обозначаем: A = (aij), где i, j=1, 2, n. Две матрицы A и B, имеющие одинаковое число строк и столбцов, считаются равными тогда и только тогда, когда совпадают их соответствующие элементы: aij = bij; i=1, ... m; j=1, ..., n. Первый индекс в обозначении некоторого элемента матрицы указывает номер строки, второй — столбца.

Введем операции с матрицами.

1) Сложение матриц. Под суммой двух матриц А и В с одинаковым числом строк и одинаковым числом столбцов будем понимать матрицу С, элементами которой являются

Поскольку мы условились, что элементами матриц являются числа, то сложение матриц заключается в сложении соответствующих элементов и из свойств сложения чисел непосредственно следует, что сложение матриц ассоциативно и коммутативно: A + (B + C) = (А + В) +С; А + В = В+А.

Нулем в нашем множестве является нуль-матрица, элементами которой являются нули:

2) Умножение матрицы на число. Результатом умножения матрицы А = (aij) на число а будем считать матрицу аА: aА = (aaij ).

Нетрудно проверить (и поэтому мы опускаем эту проверку), что сложение матриц и умножение на число удовлетворяют системе аксиом, введенной выше, т. е. мы получили еще один важный пример линейного пространства.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. ПОНЯТИЕ РАЗМЕРНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Обратимся теперь к некоторым фактам, общим для всех линейных пространств. Пусть А — некоторое линейное пространство, a1, ..., an —элементы этого пространства. Выражение a1a1+ ... +aпап, где a1, ..., an —вещественные числа, называется линейной комбинацией элементов a1 an.

Если можно найти n вещественных чисел a1, ..., an таких, что хотя бы одно из них было отлично от нуля, и при этом a1a1+... +аnan = Σaiai =0, то элементы a1, ..., an называются линейно зависимыми. Если же соотношение Σa1a1 =0 имеет место тогда и только тогда, когда все аi =0, то элементы a1, ..., an называются линейно-независимыми.

Например, в пространстве V3 векторы (2, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3) линейно независимы: (2-a1, 0, 0) + (0, a2, 0) + (0, 0, 3а3) = (2а1, a2, 3а3)=0; это равенство возможно тогда и только тогда, когда a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0. Векторы (5, 2, 1), (—1, 3, 3), (9, 7, 5) линейно зависимы, действительно, 4а1—а2—3а3 +2а4=0. В пространстве матриц одинакового порядка матрицы

линейно независимы, а матрицы

линейно зависимы. Мы не станем проводить здесь доказательство этих утверждений.

Пусть в некотором линейном пространстве А элементы b1, ..., bn линейно независимы. Говорят, что система элементов e1, ..., еп образует базис пространства A, если для всякого элемента а из А существует разложение

Коэффициенты такого разложения определяются единственным образом. Действительно, предположим, что существует два разложения a = a1e1 + ... + anen и а = ß1e1 + ... + ßпеn. Вычтем второе выражение из первого почленно, имеем (a1—ß1)e1+ ... + (an—ßn)en=0. Но векторы e1, ..., еп—линейно независимы, поэтому a1—ß1 = 0, an—ßn = 0; a1 = ß1.

Коэффициенты разложения (1) называются координатами элемента а относительно базиса e1, ..., еп.

Примеры.

1) В пространстве V3 векторы i, j, к — векторы единичной длины, взаимно ортогональные и образующие правую систему. Координаты вектора а из V3 относительно этого базиса есть проекции вектора а на координатные оси. В частности, координаты векторов i, j, к в базисе i, j, к таковы: i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1). Отсюда и из свойств сложения и умножения на число в V3 легко следует, что i, j, k линейно независимы, т. е. действительно образуют базис

2) В множестве Q кватернионов примером базиса является система 1, i, j, к. Любой кватернион разлагается по этому базису: q = x 1 +yi+zj+wk.

3) В пространстве Vn примером базиса может служить система элементов e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), еn = (0..... 0, 1). Для любого элемента из Vn , очевидно, имеет место равенство a = a1e1 + a2e2 +... + anen , а так как векторы e1, e2, ..., еп линейно независимы (в чем читатель без особого труда может убедиться самостоятельно), то система e1, ..., eп образует базис в Vn , а числа a1, ..., an суть координаты элемента а∈Vn относительно базиса e1, ..., еп.

Линейные операции в пространстве — сложение и умножение на число введены были совершенно абстрактно. При задании базиса эти операции сводятся к обычным операциям над числами — координатами элементов относительно базиса. Это выражается в следующем утверждении: при сложении двух элементов некоторого линейного пространства А их координаты относительно любого базиса складываются, при умножении элемента из А на число каждая из координат этого элемента умножается на это число:

Определим понятие размерности линейного пространства.

Если в линейном пространстве А существует n линейно независимых элементов, а всякие n+1 элементов из А линейно зависимы, то n называется размерностью A, само А называется n-мерным. Линейное пространство, в котором можно указать сколь угодно большое число линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.

В пространстве А размерности n любая совокупность из n линейно независимых элементов является базисом этого пространства. Наоборот, если в пространстве n имеется базис, то размерность такого пространства равна числу базисных векторов. Доказательства этих предложений можно найти в соответствующих учебниках по теории линейных пространств.

Каковы размерности линейных пространств из приведенных нами примеров? Очевидно, каждое вещественное число можно представить в виде а = а-1, 1—базис нашего пространства. D — одномерное пространство. Пространство г — двумерно, 1, i — его базис, каждое комплексное число относительно данного базиса имеет всем хорошо известное разложение: z = a + bi. Пространство V3, очевидно, трехмерно, а линейное пространство кватернионов четырехмерное. Линейное пространство Vn является примером n-мерного пространства. Примеры бесконечно мерных пространств встретятся нам позже.

ВАЖНЕЙШИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ: ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ТЕЛА, ПОЛЯ

На множестве матриц мы определили операцию сложения матриц и умножения матрицы на число. Определим теперь умножение матрицы А на матрицу В: под произведением матриц А и В будем понимать матрицу С, элементы, которой определяются следующим образом:

В качестве мнемонического правила можно предложить такое: элемент cij матрицы С = АВ есть скалярное произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В. (Это правило может служить и определением произведения матриц). Из определения ясно, что о произведении матриц А и В имеет смысл говорить тогда и только тогда, когда число строк матрицы А равно числу столбцов матрицы В.

Примеры.

Рассмотрим матрицу Е порядка n, т. е. имеющую n строк и n столбцов, по главной диагонали Е расположены единицы, все остальные элементы — нули:

Матрица Е играет роль единицы при умножении матриц, т. е. АЕ=А и ЕА=А. Действительно, пусть А — произвольная матрица порядка n. Рассмотрим произведения АЕ = В; ЕА = В'; B= (bij); B'=(b'ij) и рассмотрим произвольные элементы этих произведений:

Следовательно, матрица Е перестановочна с любой матрицей порядка n.

Так как умножение матриц сводится к умножению и сложению соответствующих элементов матриц-сомножителей, то из свойств операций с числами мы можем заключить, что произведение матриц ассоциативно: А (ВС) = (AB) С.

Обладает ли матричное умножение свойством коммутативности, т. е. верно ли для матриц равенство: AB = BA? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим два примера.

1) Перемножим матрицы А и В

Итак, примеры показывают, что для умножения матриц возможны случаи, когда произведение матриц коммутативно,

а также возможны случаи, когда произведение матриц некоммутативно, т. е. вообще говоря, произведение матриц некоммутативно.

Как обстоит дело с существованием обратной матрицы для данной матрицы А? Обратимся снова к примерам.

Для матрицы А

обратной является матрица

Для матрицы А обратной является она сама.

3) Построим матрицу, обратную для А = ( ). Произведение этой матрицы на искомую должно равняться Е. Используя определение равенства матриц, получаем систему уравнений:

Видим, что эта система противоречива, т. е. не имеет решения, значит, попытка найти обратную матрицу для А оказалась безуспешной, т. е. матрица А = ( ) не имеет обратной.

Итак, возможны матрицы, для которых существуют обратные, и возможны матрицы, для которых нет обратных. Другими словами, существование обратного элемента для матриц не гарантировано. Заметим, кстати, что для матриц не обязателен и закон сокращения. Для чисел такой закон выглядит так: из ab = ac следует b=с, или, если а + b = а + с, то b = с.

Рассмотрим произведение матриц А и B, где

С другой стороны, произведение матрицы E на B равно B, т. е. ЕВ = В. Сравним результаты этих двух умножений: АВ = В, ЕВ = В, но A ≠ E, следовательно, для матриц из AB = СВ не следует A = С.

Надо сказать, что во всех наших выкладках до сих пор и в дальнейшем тоже мы пользуемся интуитивно ясными свойствами равенства. Мы так привыкли к закону сокращения в арифметическом исчислении, что можем принять его за один из законов равенства. Наш пример показывает, что закон сокращения не следует из законов равенства, что существуют такие системы и такие операции над элементами в этих системах, для которых закон сокращения не имеет места; т. е. закон сокращения является свойством операций, а не свойством

равенства. Существуют операции, подчиняющиеся закону сокращения, например, сложение и умножение чисел или сложение в линейном пространстве, и существуют операции, не подчиняющиеся этому закону. Так, на множестве матриц сложение их подчиняется закону сокращения, а умножение не подчиняется.

Мы убедились, что существуют очень важные алгебраические системы, частью своих свойств совпадающие со свойствами сложения и умножения чисел, а частью свойств от них отличающиеся. Можно построить целую теорию таких систем.

Системы, в которых операция подчиняется одному лишь закону ассоциативности, называются полугруппами. Более строго: множество g такое, что для всякого a ∈ g и всякого b ∈ g существует c = a + b (или то же можно выразить через умножение мультипликативно c = ab); для всяких а, b, с из А : а + (b + с) = (а + b) +с (или мультипликативно а(bс) = (ab)с) называется полугруппой.

Вот некоторые примеры.

1) Обратимся снова к множеству матриц. Рассмотрим множество квадратных матриц порядка n, т. е. имеющих n строк и n столбцов, и операцию умножения матриц. Мы видели, что операция эта определена, т. е. для всяких матриц А и В существует однозначно определенная матрица С, такая, что С = АВ, и при этом умножение ассоциативно: А(ВС) = (АВ)С, т. е. множество квадратных матриц поряда n относительно умножения является полугруппой. Эта полугруппа обладает единицей, что вовсе не обязательно для произвольной полугруппы.

2) Множество четных положительных чисел 2, 4, 6, 8, относительно умножения. Умножение определено и ассоциативно, следовательно, такое множество — полугруппа. Но единицы в этой полугруппе нет.

Мыслимы и такие системы, где операция определена, по не подчинена никаким условиям. Такие системы называются группоидами. Например, рассмотрим множество свободных векторов и операцию — векторное произведение векторов. Мы знаем, что векторное произведение векторов не обладает ни коммутативностью, ни ассоциативностью, т. е. в этом смысле множество свободных векторов является группоидом.

Большой интерес для математиков представляют системы, подобные линейным пространствам, т. е. такие, для которых операции подчиняются достаточно многим законам, привычным нам по опыту оперирования с числами. Обобщим это понятие.

Пусть для множества А известно, что а, b, с, ... ∈ А и

(1) для всяких двух его элементов задана операция (закон композиции): ab = c;

(2) для любых элементов а,b, с, из А верно a(bc) = (ab)c;

(3) существует элемент е такой, что для всякого a ∈ А: ае = а;

(4) для всякого а ∈ A существует элемент b из А такой, что аb = е.

Множество, на котором можно задать операцию (закон композиции), удовлетворяющую свойствам (1) — (4), называется группой.

Если операция, кроме того, обладает еще и свойством коммутативности, то группа называется коммутативной, или абелевой.

Обратимся за примерами к множествам, уже рассмотренным ранее.

1) Множество вещественных чисел D является группой по сложению: для любых чисел а и b определена сумма а + b и, очевидно, все свойства (1) — (4) выполнены. Множество D (за исключением нуля) образует группу и по умножению. Из свойств сложения и умножения чисел следует, что и аддитивная (т. е. по сложению) и мультипликативная (по умножению) группы вещественных чисел являются абелевыми.

2) Множество комплексных чисел Z также образует группу как по сложению, так и по умножению (без нуля).

3) Множество кватернионов. По сложению кватернионы образуют абелеву группу (мы не проводим соответствующих проверок, предоставляя их читателю). В силу того что умножение кватернионов не коммутативно, мультипликативная группа множества кватернионов не является абелевой.

4) Множество V3 свободных векторов в пространстве образует по сложению группу. И вообще, любое линейное пространство относительно сложения элементов образует группу и даже абелеву группу.

5) Вспомним замечания, сделанные нами выше в связи со свойствами переносов и поворотов. Используя эти замечания, мы можем сказать, что множество переносов на плоскости образует абелеву группу.

Определим понятие движения в трехмерном пространстве так: движение есть такое преобразование пространства в себя, что оно сохраняет расстояние между любыми двумя точками, т. е. если А' — образ точки A, В'— образ В, то отрезок AB равен отрезку А'В'; сохраняет ориентацию пространственных фигур.

Движение на плоскости есть преобразование, сохраняющее расстояние между двумя точками. Мы познакомились с таким движением на плоскости, которое может быть представлено как композиция переноса и поворота (и заметили, что такое движение может быть сведено либо к переносу, либо к повороту); такое движение иногда называют движением первого рода, оно не меняет ориентацию фигур в плоскости

и не выводит из плоскости. Отметили, что существует в плоскости и движение, которое изображено на рис. 12. Это движение является композицией симметрии относительно некоторой прямой и переноса или поворота. Чтобы совместить ABC с А'В'С (см. рис. 12), необходимо плоскость, на которой изображен ΔА'В'С, перевернуть в пространстве и лишь потом его можно совместить с ΔАВС. Движение, меняющее ориентацию плоских фигур, называют движением второго рода. Как множество движений в пространстве, так и множество движений в плоскости составляют группы.

Наряду с понятием группы важнейшим понятием в алгебре является понятие кольца. Кольцо А — это множество, на котором определены две операции (два закона композиции): сложение и умножение, записываемые соответственно как сумма и произведение и такие, что по сложению А — абелева группа (аддитивная группа кольца), а по умножению— группоид (мультипликативный группоид кольца). Сложение и умножение связаны законами дистрибутивности: а, b, с ∈ А; a(b + c) =ab+ac; (b + c)a = ba + ca.

Примеры.

1) Множество D в силу сказанного в примерах, иллюстрирующих группы (пример 1), является кольцом.

2) Множество Z комплексных чисел также является кольцом, так как оно является группой как по сложению, так и по умножению.

3) Из тех же соображений множество кватернионов — кольцо. Однако это кольцо некоммутативное.

4) Пусть С — множество целых чисел. Относительно операции сложения это множество является группой (нейтральным элементом является нуль), каждое целое число — r является противоположным элементом целому числу r. Свойства (1) — (4) выполнены в силу свойств операций с целыми числами. Что касается умножения, то множество целых чисел не образует группу относительно такой операции, так как, скажем, для целого числа 5 в множество С нет элемента r такого, что 5 ⋅ r = 1. Однако умножение на множестве целых чисел верны законы дистрибутивности: p(q+r) —pq+pr; (q+r)p — qp+rp. Следовательно, множество целых чисел образует кольцо.

5) Множество квадратных матриц порядка n с действительными элементами, как отмечено выше, является линейным пространством, и, следовательно, по сложению образует абелеву группу. По умножению это множество является полугруппой, причем умножение не коммутативно; это — пример ассоциативного, но не коммутативного кольца.

6) Множество V3, как всякое линейное пространство, по сложению является группой. Векторное умножение векторов

из V3 определено; однако оно не является ни коммутативным, ни ассоциативным. Выше было отмечено, что V3 относительно векторного умножения — группоид. Следовательно V3 — кольцо. Это пример не коммутативного и не ассоциативного кольца.

Мы видели, что существуют множества (например, множество D), которые образуют группу по сложению и, кроме того, их отличные от нуля элементы образуют группу по умножению.

Кольцо, отличные от нуля элементы которого образуют группу по умножению, называется телом. Если мультипликативная группа, кроме того, коммутативна, то такое тело называется полем.

Примеры.

1) Множество вещественных чисел D, очевидно, является телом, так как оно составляет группу по сложению, а отличные от нуля элементы являются группой по умножению, а так как умножение вещественных чисел коммутативно, то множество вещественных чисел есть поле. Впредь мы так и будем говорить: поле вещественных чисел.

2) Множество комплексных чисел Z также является полем.

3) Множество кватернионов является телом, так как умножение кватернионов не коммутативно.

АЛГЕБРЫ

Теперь у нас достаточно средств для определения понятия алгебры.

Пусть множество А есть кольцо; кроме того, пусть мы имеем некоторое поле Р.

Если аддитивная группа кольца А есть линейное пространство над полем Р и если умножение в А связано с умножением на элементы из Р соотношениями: а(аb) = (аа)b — =a(ab) (a, А; а ∈Р), (2) то А называется алгеброй над полем Р. Если линейное пространство имеет размерность n, то говорят, что А имеет ранг n.

Примеры.

1) Множество вещественных чисел, как мы отмечали, является полем, а кроме того, его можно считать и линейным пространством. Оно фигурировало у нас и в качестве примера кольца. Поэтому кольцо вещественных чисел таково, что его аддитивная группа является линейным пространством. Если в качестве поля Р взять само множество D, то окажется, что множество вещественных чисел образует алгебру ранга 1.

2) Множество комплексных чисел Z, как мы уже выяснили, является, в частности, кольцом, причем аддитивная группа этого кольца является двумерным линейным пространством. Множество комплексных чисел над полем вещественных чисел образует алгебру ранга 2.

3) Множество V3 образует алгебру ранга 3. И вообще, я-мерное линейное пространство образует алгебру ранга n.

4) Множество кватернионов Q над полем вещественных чисел также является алгеброй (алгебра ранга 4).

Если e1, ... еп является базисом линейного пространства, достаточно знать, чему равны произведения базисных элементов друг на друга, т. е. достаточно знать «таблицу умножения» базисных элементов, для того чтобы знать, чему равно произведение произвольного элемента алгебры на любой другой ее элемент.

Например, в алгебре комплексных чисел Z произведение (а + bi) (с+di) — (ас—bd) + (ad + bc)i, получено с учетом того, что 1—1 = 1; 1 ⋅ i = i; i ⋅ 1 = i; ii =— 1, и, разумеется, соотношения (2), фигурирующего в определении понятия алгебры.

АЛГЕБРА ГРАСМАНА

Примерно в то же время, когда Гамильтон работал над построением теории кватернионов, в Германии было опубликовано сочинение Германа Грасмана «Учение о протяженных величинах» («Ausdehnungslehre») (1844 г.) Г. Грасман (1809—1877 гг.) был преподавателем гимназии в Штеттине. Известен как исключительно оригинальный математик и физик (в физике ему принадлежит учение об электрическом токе, учение о цветах и теория гласных звуков). Второе издание «Учения о протяженных величинах» вышло в 1866 г.

Исходным пунктом для Г. Грасмана послужила операция сложения отрезков. Он, как и Гамильтон, усмотрел, что можно складывать не только числа, но и отрезки. По сути дела, он вводит понятие вектора, разумеется, не употребляя этого термина, и первым и важным шагом было понимание того, что можно подразумевать под суммой двух отрезков (векторов, в нашей терминолгии). В этом пункте Грасман и Гамильтон практически поступают одинаково. Обнаружив, что отрезки можно складывать, Грасман стал думать над тем, какой смысл можно было бы придать умножению отрезков. Под произведением отрезков Грасман предложил площадку. Здесь Гамильтон и Грасман расходятся. Другими словами, произведение величин одного порядка для Грасмана есть величина более высокого порядка. Геометрия рассматривается им как приложение общих принципов этого

учения к эмпирически данному нам пространству. Учение о протяженности, по существу, является, как бы мы теперь сказали, теорией многомерного линейного пространства, причем эту теорию он развивает совершенно абстрактно.

Он исходит из единиц e1, ..., еn (это его обозначения, как видим, даже они удержались) и линейных комбинаций этих единиц с вещественными коэффициентами. Исходные единицы он называет экстенсивными единицами 1-й ступени. Линейные комбинации экстенсивных единиц 1-й ступени он называет экстенсивными величинами 1-й ступени, или простыми величинами. Сумма двух экстенсивных величин 1-й ступени определяется так:

т. е. снова величина 1-й ступени. Аналогично определяется и разность величин 1-й ступени:

Ясно, что, с нашей точки зрения, совокупность экстенсивных величин 1-й ступени есть линейное пространство с базисом e1 .... еn . Затем Грасман определяет несколько видов умножения, из которых для нас существенно комбинаторное, иначе называемое внешним. Это умножение подчинено условию ejеi =—еiej ассоциативно и дистрибутивно.

Из условия eiej = —еjei следует, что ei 2 = 0. Действительно, ei ei =—ei ei (если переставить сомножители!), а такое равенство возможно лишь в случае, когда ei ei =0. Произведения вида ei ej Грасман называет единицами 2-й ступени, для краткости ei ej =еij. Таких единиц существует Cn 2 (Сп2 — число сочетаний из n по 2). Линейные комбинации единиц 2-й ступени A2 =a12ei12 + a13e13 + ... он называет экстенсивными величинами 2-й ступени. Постулируется дистрибутивность.

В современных терминах единицы 2-й ступени суть простые бивекторы, а экстенсивные величины второй ступени — бивекторы — линейные комбинации простых бивекторов. Далее он образует произведения вида eiejek =eijk и называет их единицами 3-й ступени. Таких единиц существует Сn3 — число сочетаний из n по 3. Линейные комбинации единиц 3-й ступени с вещественными коэффициентами A3 = a123e123 +a234e234+ ... он называет экстенсивными величинами 3-й ступени. В современных терминах — это простые тривекторы и тривекторы соответственно.

Таким же образом определяются единицы 4-й, 5-й и так далее ступеней. Каждая единица k-й ступени есть произведение к единиц 1-й ступени.

Рассмотрим теперь сложение. Пусть A1 —величина r-й ступени, Bs —величина s-й ступени, причем r+s <Cn. Ar Bs есть а,- Er Es . Er Es —величина r + s ступени. Если r+s четное произведение, то ArBs коммутативно, ~ArBs=BsAr ;если r + s— нечетно, то ArBs =—BsAr.

Если имеется несколько величин ступеней r, s, t, ... и r + s + t + ... < n, то таким же способом можно рассмотреть ArBsCt.... Но если r+s>n, то должно быть ArBs = 0. Однако Грасман здесь переопределяет умножение. Мы не будем на этом останавливаться, так как это сильно усложнило бы изложение. Мы отметим лишь понятие дополнения и еще один вид умножения — внутреннее умножение.

Пусть Е какая-то базисная единица к-й ступени. Ее дополнением называется базисная единица £', обладающая тем свойством, что ЕЕ' = е1e2...en , причем Грасман полагает, что е1e2... еn =1. Единица E1 единственна, называется дополнением к E и обозначается через /E. Например, при n = 3 вектору a1e1 + a2e2 + a3e3 отвечает бивектор a1е23+а2e13+ a3e12.

С помощью операции дополнения он веодит внутреннее умножение. Умножаются две величины одной и той же ступени. Внутреннее произведение А и В — обычное внешнее произведение А на дополнение к B. В нашем случае умножить внутренне вектор а1е1 + a2е2 + a3e3 на вектор b1e1 + b2е2 + b3e3: . Обратим внимание на коэффициент при е1е2е3. Это обычное скалярное произведение!

Это общая идея конструкции Грасмана. В современных терминах такая система может быть охарактеризована как ассоциативная алгебра над полем вещественных чисел, порожденная системой образующих еь еп и определяющими соотношениями ejei = —eiej.

Таким образом, в системе всего Сn0 + Сn1 + ... +Сnn = 2n базисных единиц, линейные комбинации которых с вещественными коэффициентами позволяют строить величины соответствующей ступени, причем единицей нулевой ступени считается обычная числовая единица, а величины нулевой ступени — скаляры, числа. Для того чтобы получить в качестве частного случая геометрию трехмерного пространства, Грасман берет внешнюю алгебру для n = 4 и интерпретирует ее таким образом: величины 1-й ступени есть кратные точки, т. е. точки, которым приписаны некоторые веса (в настоящее время говорят «точечные массы»). Точка веса 1 есть обычная геометрическая точка. Сложить две точки А и В — значит, взять их центр тяжести. Если А имеет вес m1, В — вес m2, то А+В есть точка С, являющаяся центром тяжести А и В с весом m1 + m2. Для общности приходится приписывать и от-

рицательные, и нулевые веса. Точка с нулевым весом — бесконечно удаленная точка.

Разность двух точек А и В с весами, равными единице, есть отрезок, идущий из А в В. Сумма отрезка и отрезка есть точка.

Произведение двух точек — это прямая, проходящая через эти точки. Произведение двух векторов (отрезков) есть ориентированная площадка, параллелограмм в плоскости, проходящей через векторы а и b и через начало координат. Например, произведение e1e2 есть параллелограмм (см. рис. 6). Ориентация означает, что задается определенное направление обхода. При этом идти от e2 к e1, значит, идти в противоположном направлении по сравнению с обходом от e1 к e2. Отсюда антикоммутативность умножения e1е2 = —е2e1, т. е. закон eiej =—ejei означает лишь, что ориентация произведения меняется при перестановке сомножителей.

Произведение трех отрезков (векторов) e1, e2, e3 есть параллелепипед, на них построенный, причем снова ориентированный. В трехмерном пространстве сумма двух параллелограммов есть снова параллелограмм (чего нет в пространствах больших размерностей, в этом смысле трехмерное пространство является выделенным пространством), т. е. плоские площадки можно складывать так же просто, как и отрезки. Величины более высоких ступеней не имеют таких четких геометрических аналогов.

АЛГЕБРА КЛИФФОРДА

Обобщением алгебры кватернионов можно считать алгебру Клиффорда. Вильям Клиффорд (1845—1879 гг.), профессор математики в Лондонском университете (с 1871 г.), член Королевского общества (с 1874 г.).

Алгебра Клиффорда строится следующим образом. Пусть Е — некоторое линейное пространство, е1, ..., еn —базис Е. Базисом алгебры Клиффорда будут 2n элементов: 1, е1, е2, ..., еn , е1е2, ..., еi1 ei2 ... еir , ... (r=1, 2, ... n, индексы идут в возрастающем порядке).

Всякий элемент алгебры Клиффорда представляется в виде линейной комбинации этих базисных единиц с коэффициентами из некоторого поля скаляров (например, из поля вещественных чисел). Алгебра характеризуется, как мы отмечали, законами умножения базисных элементов. В общем виде их можно записать следующим образом:

(1)

(2)

Бросается в глаза сходство алгебры Клиффорда с алгеброй Грасмана. Для n-мерного линейного пространства обе

алгебры будут иметь одно и то же число базисных элементов, а именно 2n . Можно также, как и в алгебре Грасмана, различать элементы разных ступеней: скаляры — элементы нулевой ступени; векторы — элементы 1-й ступени; элементами 2-й ступени считаем линейные комбинации базисных единиц 2-й ступени с коэффициентами из выбранного поля скаляров ... . Их можно называть бивекторами и т. д. Все это в точности соответствует Грасману. Отличие только в том, что у Грасмана ei2 = 0, а у Клиффорда еi2 =— 1.

Например, пусть n = 2. Базисными элементами будут 1, e1, е2, e1е2. Законы умножения таковы:

Это первоначальная алгебра Клиффорда. Введем следующие обозначения: . Тогда , т. е. первоначальная алгебра Клиффорда для n = 2 есть не что иное, как алгебра кватернионов. И в этом смысле можно считать, что алгебра Клиффорда является обобщением алгебры кватернионов.

Мы отметили структурное сходство алгебр Клиффорда и Грасмана. В силу этого сходства ясно, что и истолкование элементов будет похожее. Каков в алгебре Клиффорда геометрический смысл операций, в частности, умножения? Закон умножения, согласно которому eiei = — 1, может рассматриваться как следствие нашего стремления получить алгебру, описывающую вращение. Пусть хотим повернуть в плоскости, скажем е1, e2, на угол φ. Надо найти элемент Г алгебры Клиффорда, осуществляющий поворот. По аналогии с кватернионами он задается так: Г = . Вместо k, которое фигурирует в кватернионах, используется бивектор в плоскости, в которой мы хотим осуществить поворот.

Это обстоятельство очень интересно: в выражении того элемента, который осуществляет поворот на угол φ в плоскости ей e2 фигурирует бивектор этой самой плоскости. Он играет роль соответствующей кватернионной единицы, которая перпендикулярна плоскости. В теории кватернионов ki = j, т. е. к работает как оператор, поворачивающий i на — против часовой стрелки. Так как место к занимает е12, то, видимо, нужно, чтобы еij, примененное к ei, давало еj: eijei = ej. Для того чтобы это можно было получить, нужно постулировать ассоциативность: с другой стороны, что такое eijk? Это некоторый базисный параллелепипед. Его можно получить с

помощью i и площадки jk, или ij и вектора тс, т. е. геометрически ассоциативность базисных единиц в алгебре Клиффорда осмыслена и понятна. Так же естественна и антикоммутативность умножения базисных единиц, ибо она связана с переменой ориентации.

Итак, мы ознакомились, хотя и не очень подробно, с двумя очень интересными и очень общими способами построения алгебраических систем: с алгебрами (так как фактически их много в зависимости от n) Грасмана и Клиффорда. Теперь нам необходимо снова вернуться к рассмотрению пространств, так как мы, в сущности, привели только определение линейного пространства и проиллюстрировали это определение соответствующими примерами.

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Обратимся к пространству V3 и спросим себя, в чем отличие линейного пространства V3 от реального трехмерного пространства? Мы помним, что свободные векторы определяются лишь своей длиной, направлением и ориентацией, т. е. два свободных вектора, приложенных в разных точках, имеющих одинаковую длину, параллельных и одинаково ориентированных, не могут быть нами различимы, для нас это один и тот же вектор. Другими словами, в линейном пространстве нет параллельных векторов, все векторы исходят из одной точки. Поэтому, если осуществить перенос в таком пространстве, то координаты векторов не изменятся, т. е. в линейном пространстве имеет смысл говорить лишь о поворотах. При этом важно, что повороты без растяжения не меняют длины векторов.

Другим важным отличием является то, что в реальном пространстве мы умеем измерять длины и углы. Нельзя ли научиться производить такие измерения и в линейных пространствах? Как известно, длина вектора а с координатами a1, a2 равна √a12 + a22 (это следует из теоремы Пифагора), а в трехмерном пространстве —√a12+a22 + a32.

Вспомним определение скалярного произведения двух векторов а и b: a b = |a||b]cos φ, с другой стороны, ab = a1b1 + a2b2 + a3b3 (3). Это позволяет нам надеяться, что и в линейном пространстве мы сможем ввести метрику, т. е. ввести понятие длины вектора и понятие угла между двумя векторами. При этом естественно воспользоваться формулой для скалярного произведения, выраженного через координаты векторов в ортогональном базисе, а затем использовать ее для определения длины вектора и угла между векторами. В каждом отдельном случае понятие скалярного произведе-

ния придется вводить особо, т. е. мы не будем претендовать на определение, пригодное для всех линейных пространств.

В линейном пространстве V3 скалярное произведение двух векторов фактически уже определено формулой (3), Каковы его свойства?

1) ab = ba (коммутативность);

2) a(b + c) =ab+ac (дистрибутивность);

3) (аху) = а(ху) для любого вещественного а;

4) х-х>0 при x≠0 xx = 0 при х = 0.

Попытаемся ввести скалярное произведение в линейном пространстве Vn. Для векторов а1e1 + ... + anen и b = b1e1 + ... bnen скалярным произведением назовем выражение ab = a1b1 + a2b2+ ... +anbn. (4)

Видим, что это определение является обобщением формулы (3), выражающей скалярное произведение в трехмерном пространстве через координаты вкторов-сомножителей в ортогональной системе координат. Используя определение пространства Vn , мы легко можем убедиться, что так определенное скалярное произведение удовлетворяет свойствам (1) — (4). Линейное пространство, в котором мы определили скалярное произведение, удовлетворяющее условиям (1) — (3), будем называть евклидовым пространством. Линейное пространство без заданного в нем скалярного произведения, играющего роль «масштаба», будем называть афинным пространством*

Итак, пусть мы имеем некоторое евклидово пространство, это значит, что мы имеем линейное пространство с определенным в нем скалярным произведением. В таком случае мы можем дать определение основных метрических понятий — длины вектора и угла между векторами.

Длиной вектора а в евклидовом пространстве А будем называть величину |a| = +√ аа. Например, в пространстве Vп это определение длины вектора совпадает с обычным определением длины вектора; в пространстве Vn для вектора a = a1e1 + ... + anen , используя определение скалярного произведения и определение длины вектора, получаем |a| =

В свое время мы приводили много примеров линейных пространств, в частности, убедились, что множество вещественных чисел может рассматриваться как линейное пространство. Какова длина «вектора» (т. е. некоторого вещественного числа), соответствующая нашим определениям? Очевидно, что понятию скалярного произведения двух вещественных чисел соответствует обычное их умножение, а длиной а будет |a| = √а2, т. е. модуль этого числа. Пространства комплексных чисел и кватернионов можно рассматривать как частные случаи линейного пространства Vn для n = 2 и n = 4

соответственно, поэтому для них понятие длины вектора можно считать определенным.

А теперь определим понятие угла между векторами в произвольном евклидовом пространстве.

Углом между двумя векторами а и b будем называть угол (в пределах 0<а<180°), косинус которого определяется отношением —— . Для векторов пространства V3 это определение согласуется с обычным выражением косинуса угла между ними через скалярное произведение. А в самом общем евклидовом пространстве будет ли наше определени корректным, будет ли это отношение по абсолютной величине не превосходить единицы?

Для того чтобы убедиться в корректности нашего определения, рассмотрим вектор аа—b в некотором евклидовом пространстве, a, b — произвольные векторы этого пространства, а — вещественное число. В силу того что пространство евклидово, имеем (аа—6) (аа—b)⩾0. Используя свойства скалярного произведения (2) и (3), распишем это выражение так: (аа — b) (аа — b) = аа(аа — b) —b(аа — b) = a2аа — —2aab + bb; a2аа—2aab + bb⩾0. Видим, что в левой части полученного неравенства стоит квадратный трехчлен относительно а с постоянными коэффициентами аа, ab, bb. Неравенство показывает, что этот трехчлен сохраняет знак для всех значений, а это значит, что он не может иметь различных вещественных корней, т. е. его дискриминант (ab)2—(аа) (bb) не может быть положительным, поэтому (5): (ab)2⩽ (аа) (bb). Извлечем квадратный корень из последнего неравенства |ab|-<|а||b|, поделим обе части этого неравенства на |а||b| и получим то, что хотели показать : —. Неравенство (5) называют неравенством Коши-Буняковского.

Имея определение угла между векторами произвольного евклидова пространства, мы без труда можем обобщить и понятие ортогональности. Векторы а и b называются ортогональными, если ab = 0. При а≠0 и b≠0 это определение означает, что векторы а и b образуют угол, косинус которого равен нулю, т. е. перпендикулярны, если же а = 0 или b = 0, то ab = 0 и нулевой вектор оказывается ортогональным к любому вектору в евклидовом пространстве.

Посмотрим, можно ли перенести на евклидово пространство основные геометрические факты из обычной элементарной геометрии. Пусть векторы а и b взаимно ортогональны, назовем вектор а + b гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на векторах а и b. Умножим а + b скалярно на себя: |a + b|2 = aa + 2ab + bb; аb = 0, так как векторы ортогональны, поэтому |a + b|2 = |a|2 + |b|2, тем самым мы доказали, что в общем евклидовом пространстве квадрат гипоте-

нузы равен сумме квадратов катетов, т. е. верна теорема Пифагора.

Пусть далее векторы а, b — произвольные векторы некоторого евклидова пространства, по аналогии с элементарной геометрией (и по аналогии с правилом треугольника) вектор а + b можно считать третьей стороной треугольника, построенного на векторах а и b. Запишем квадрат длины стороны |a + b|: |а + b|2= (а + b) (а + b) = aa + 2ab + bb, используем неравенство Коши-Буняковского:

(6)

Получили, что длина любой стороны всякого треугольника в общем евклидовом пространстве не больше, чем сумма длин двух других его сторон, и не меньше, чем абсолютная величина разности длин этих сторон. Неравенства (6) принято называть неравенствами треугольника. Более того, можно показать (но мы не будем здесь на этом задерживаться), что в евклидовом пространстве верны все теоремы элементарной геометрии.

Пусть e1, ..., еп взаимно ортогональные ненулевые векторы некоторого евклидова пространства, покажем, что такие векторы линейно независимы. Если допустить, что эти векторы линейно зависимы, то будет справедливо равенство a1e1 + ... + anen =0. в котором не все ai равны нулю. Допустим, что a1 ≠ 0. Умножим это равенство скалярно на вектор e1, так как векторы ортогональны друг другу, то - = 0, поэтому ae1e1=0, e1e1=0, откуда следует, что вектор e1 нулевой, что противоречит предположению.

ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР. РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРЫ

В теории линейных пространств доказывается, что в любом n-мерном евклидовом пространстве существует базис из ненулевых взаимно ортогональных векторов f1, f2, .... fn.

Если имеется такой базис, то, разделив каждый его вектор на длину этого вектора, можно получить нормированный базис, т. е. базис, состоящий из n взаимно ортогональных векторов единичной длины. Произвольный вектор а можно разложить по векторам такого базиса: а = a1е1+ ... +anеn , Умножим это равенство скалярно на e1, получим ае1 = a1е1е1; так как e1e1 = 1, то a1 = аae1, повторяя эту операцию n раз, можем найти все коэффициенты разложения. Коэффициенты ai =aei, i=1, ..., n называют часто коэффициентами Фурье вектора а относительно ортогонального и нормированного базиса e1, .... еn.

В самом начале книжки мы столкнулись с преобразованиями плоскости. Понятие преобразования обобщается на случай произвольного линейного пространства. Для дальнейшего нам придется обобщить и понятие функции. Читатель, разумеется, сталкивался с понятием функции и знает, что функции бывают одного и нескольких вещественных переменных. Например, пусть z = f(x, у) функция двух переменных. Пару x, у, как мы теперь хорошо знаем, можно интерпретировать как двумерный вектор. Поэтому можно считать, что аргументом z = f(x, у) является вектор двумерного пространства. Совершенно аналогично можно считать, что аргументом функции трех вещественных переменных является вектор линейного пространства В более общих случаях можно рассматривать функции, аргументом которых являются векторы произвольного линейного пространства. Если значениями такой функции векторного аргумента являются числа, то говорят, что имеется числовая функция векторного аргумента. Если же значениями функции векторного аргумента являются векторы, то говорят, что задана векторная функция векторного аргумента.

Остановимся на одном очень важном случае, а именно, рассмотрим векторную функцию векторного аргумента, аргументом которой являются векторы некоторого линейного пространства и значениями ее также являются векторы этого пространства. Говорят, что в линейном пространстве А задан оператор Т, если задана функция, которая каждому элементу a ∈ А ставит в соответствие элемент b = Та этого же пространства.

Оператор Т называется линейным, если Т(а + b) = Та + Тb для любых а и b из А, Т(аа) =аТа для любого а ∈ А и любого числа а.

Примеры.

1) Перенос в плоскости каждой точке А плоскости ставит в соответствие точку A, тогда все отрезки, соединяющие исходные точки с их образами, равны и параллельны. Это следует из свойств переноса. Каждый отрезок (т. е. вектор) перемещается параллельно самому себе, без изменения длины и ориентации. Поэтому если А'В' есть образ AB, А'С' — образ АС, то очевидно, что образ суммы AB и АС равен сумме образов А'В' и А'С (рис. 14).

Итак, оператор переноса является линейным оператором.

2) Рассмотрим преобразование плоскости — поворот. Мы отмечали, что это преобразование также не меняет длины отрезков. Убедимся, что условия (1) и (2) выполнены для оператора поворота. Действительно, на рис. 3, б изображен поворот треугольника ABС. Сторона АС по правилу треугольника есть сумма отрезков (векторов) AB и ВС. Совершенно очевидно, что и в данном случае образ суммы отрезков AB

и ВС, т. е. АС равен сумме образов А'В' + В'С = А'С', АС = А'С'. Другими словами, оператор поворота, который каждому вектору а ставит в соответствие вектор, имеющий ту же длину, и угол наклона φ+φ0, где φ0 — угол, постоянный для всех векторов при данном преобразовании, φ — угол наклона вектора а, является линейным оператором.

3) Оператор, который каждому вектору а ставит в соответствие вектор аа, называется оператором подобия, а — фиксированное число. Оператор подобия также является линейным оператором.

4) Тождественный оператор Е, который каждому элементу ставит в соответствие сам этот элемент — линейный оператор.

5) Пусть оператор Т0 ставит каждому вектору а в соответствие нуль-вектор. Такой оператор также является частным случаем оператора подобия (при а = 0), поэтому является линейным оператором. Его называют нулевым оператором. Теперь используем все сказанное для того, чтобы познакомиться с двумя примерами регулярного представления алгебры.

Регулярное представление алгебры есть рассмотрение каждого ее элемента как линейного оператора, действующего на самой алгебре, рассматриваемой как векторное пространство.

Регулярное представление комплексных чисел. Каждое комплексное число есть вектор линейного пространства размерности два с базисом 1, i. Для однородности удобно базис переобозначить так: e1, e2. Комплексное число z = a + bi тогда запишется в виде z = ae1+be2. Надо показать, что z есть линейный оператор, действующий на множестве комплексных чисел. Для этого сначала нужно показать, что базисные век-

Рис. 14

торы являются линейными операторами. Вектор 1 есть обычная единица в примере (4), мы рассмотрели действие единичного оператора, убедились, что он является линейным. Теперь надо показать, что базисный вектор e2 есть линейный оператор, т. е. e2(z1+z2) =e2z1 + e2z2; e2(az) =ae2z. Первое из этих равенств является следствием дистрибутивности комплексных чисел, второе — следствием ассоциативности. Более того, каждому комплексному числу можно сопоставить матрицу особого вида, которая будет изображать действие этого числа на другое комплексное число, рассматриваемое как вектор.

Коэффициенты вектора e1 в базисе e1, e2 есть 1, 0, вектора e2: 0, 1. Сопоставим вектору e1 матрицу ( ) , вектору е2 — матрицу ( ).

Проверим правильность сопоставления, т. е. проверим правильность таблицы умножения векторов е1, e2: e1e1 = e1, e1e2 = e2, e2e2 = —e1. Матрица ( ) единичная, поэтому умножение на нее любой матрицы равно этой последней; остается проверить действие матрицы ( ):

Отсюда следует, что мы правильно сопоставили матрицы базисным векторам и легко найти матрицу, которую можно сопоставить произвольному комплексному числу z=a+bi:

Убедимся в правильности сопоставления, для этого на комплексное число v = c+di подействуем матрицей, сопоставленной числу z = a + bi, как на вектор:

Таким образом, каждое комплексное число можно представить как линейный оператор, действующий в двумерном линейном пространстве комплексных чисел.

Регулярное представление кватернионов. 1, i, j, к — базисные векторы пространства кватернионов переобозначим для однородности так: 1=е0, i = e1, j = e2, k = e3.

Сопоставим каждому из этих базисных векторов матрицу, которая будет изображать действие этого вектора как оператора:

Проверим правильность сопоставления, используя таблицу умножения кватернионных единиц. Вектору e0 сопоставлена единичная матрица, поэтому для нее, очевидно, выполнены правила умножения, соответствующие умножению на e0. Проверим действие остальных матриц.

Кватерниону q1 = x1+y1i+z1j+w1k сопоставим матрицу таким образом:

Подействуем этой матрицей на кватернион

как на вектор

получили вектор-столбец, элементами которого являются коэффициенты произведения кватернионов q1 = x1 + y1i + z1j + w1k и q2 = x2 + y2i + z2j + w2k.

Итак, каждый кватернион можно представить как линейный оператор, действующий в линейном пространстве кватернионов.

ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ

Обратимся теперь снова к понятию евклидова пространства и посмотрим, какие возможны здесь обобщения.

Рассмотрим бесконечные последовательности вещественных чисел а = a1, a2, an, ... такие, что ряды, составленные из их квадратов, сходятся,

Определим сложение наших объектов так:

и умножение на число

Из условия следует, что сходятся ряды

и, следовательно, введенные таким образом операции не выводят из нашего множества.

Легко проверить, что выполняются аксиомы линейного пространства. Более того, можно ввести и понятие скалярного произведения

и проверить как его корректность (т. е. сходимость соответствующих рядов), так и выполнение аксиом скалярного произведения.

Существует ли базис в полученном нами линейном пространстве? Линейно независимыми будут, например, элементы 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0 но, очевидно, что любое число таких элементов линейно независимо. Другими словами, наше пространство — бесконечномерное.

Итак, пространство последовательностей вещественных чисел со сходящимся квадратом, с одной стороны, является евклидовым, а с другой стороны — бесконечномерным. Бесконечномерные евклидовы пространства принято называть гильбертовыми.

Рассмотрим множество функций с суммируемым квадратом на отрезке [а, b], т. е. таких, для которых существует конечный интеграл

Для фиксированной точки t этого отрезка суммой функций x(t) и y(t) назовем функцию x+y, которая ставит в соответствие данной фиксированной

точке t сумму значений функций х и у; аналогично умножить функцию на число — это значит умножить ее значение в каждой точке на это число.

Легко проверить, что множество непрерывных функций на отрезке [а, b] с так определенными операциями сложения двух функций и умножения функции на число есть еще один пример линейного пространства, будем обозначать это пространство через С (а, b).

Рассмотрим функции 1, t2, ..., tn , где n — натуральное число. Эти функции линейно независимы. В силу того что n — произвольное натуральное число, заключаем, что система i, t, t2, tn , состоящая из любого конечного числа функций, является линейно независимой, т. е. в линейном пространстве С(а,b) нет конечного базиса, следовательно, это пространство является бесконечномерным.

Можно ли в линейном пространстве С(а, b) ввести понятие длины и понятие угла между элементами? Для этого сначала нужно ввести скалярное произведение функций. Введем скалярное произведение функций x(t) и у (i) по формуле

Мы не станем проверять, что требования, наложенные нами на скалярное произведение, выполнены. Значит, пространство С (а, b) можно снабдить метрикой. Длиной вектора x(t) из С (а, b) оказывается величина

ее чаще обозначают ||x(t)|| и называют нормой функции x(t).

Итак, пространство С (a, b), с одной стороны, является бесконечномерным, а с другой стороны, оно таково, что в нем можно ввести метрику, т. е. оно устроено подобно евклидову пространству. Итак, С (а, b) является гильбертовым пространством, а, в свою очередь, гильбертово пространство является обобщением n-мерного евклидова пространства на бесконечномерный случай.

Укажем, какие существуют еще пути к обобщениям и затем подведем итоги всему сказанному.

Мы познакомились с евклидовыми пространствами, т. е. с пространствами, устроенными наподобие нашего реального трехмерного пространства. В чем же отличительная особенность этого пространства? Одним из замечательных свойств нашего пространства является его изотропность, т. е. то, что оно устроено одинаково во всех своих точках и по всем направлениям. У него нет никакой выделенной системы координат именно в силу однородности. Изотропностью объясняется и возможность переносов и поворотов, а следовательно, и возможность ввести вектор так, как это мы сделали.

Можно отказаться от предложения изотропности прост-

ранства, т. е. рассматривать пространства, анизотропные. Такие пространства получили название римановых пространств. Грубо говоря, риманово пространство — такое пространство, в каждой точке которого можно выбрать систему координат, и в окрестности этой точки пространство окажется евклидовым. В целом же оно не будет евклидово, т. е. в нем нельзя ввести единой метрики. В таком пространстве нельзя ввести вектора в привычном нам смысле, там возможны лишь бесконечно малые сдвиги.

В силу того что риманово пространство рассматривает бесконечно малые окрестности точек, оно является одним из дифференциально геометрических пространств. Если отказаться от «евклидовости» таких окрестностей, то можно изучать их аффинные свойства, т. е. дальнейшим обобщением на этом пути будут дифференциально-аффинные пространства. Возможны обобщения и еще большие; они приведут к рассмотрению дифференциально-проектных, дифференциально-конформных и других пространств.

Заключение

Итак, мы начали с простого и на первый взгляд очевидного факта, что всякий предмет в повседневной жизни мы можем перемещать в пространстве. Наблюдения за перемещениями геометрических фигур (идеализаций реальных тел) привели нас к важному геометрическому понятию — к понятию вектора.

Кстати, термин вектор был также введен Гамильтоном, правда, первоначально в ином смысле, чем стало общепринятым позднее. Термин этот в переводе с латинского означает «везущий» или «несущий».

Оказалось, что векторы легко приспособить для описания движения на плоскости. Попытка сделать то же самое для пространства сталкивается с затруднениями, преодолеть которые удается, лишь обобщив понятие вектора, т. е. введя в рассмотрение кватернионы — величины, более общие, чем векторы. Но и с помощью простого умножения на кватернион самое общее вращение в пространстве описать не удается, для этого нужны два кватерниона q и q-1.

Возможность трактовать векторы как упорядоченные тройки чисел наталкивает на мысль обобщить понятие трехмерного вектора, т. е. назвать вектором упорядоченный набор из n чисел, и ввести n-мерные линейные пространства. Мы рассмотрели многочисленные примеры линейных пространств.

Возможность ввести метрику позволяет некоторые линейные пространства рассматривать с точки зрения геометрических метрических свойств, т. е. изучить евклидовы пространства.

Обобщением евклидовых пространств на случай бесконечномерных линейных пространств являются гильбертовы пространства—важнейший раздел функционального анализа.

Обобщения понятия метрики приводят к понятиям римановых и еще более общих пространств.

Мы проследили связь между векторами и пространствами, а также связь между пространствами и алгебрами. Познакомились с очень интересными алгебрами — Грасмана и Клиффорда.

В заключение можно отметить еще, что алгебра Грасмана

описывает n-мерные аффинные пространства, в то время как алгебра Клиффорда — n-мерные евклидовы пространства. Если в качестве поля скаляров для таких алгебр брать не поле вещественных чисел, а произвольные поля, то будем получать более общие алгебры; меняя условие eiei = q(eiei), определяющее такую алгебру, мы также будем получать различные алгебры.

ЛИТЕРАТУРА

Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М., «Наука», 1968.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Ч. 3. М., «Наука», 1970. Шилов Г. Е. Введение в теорию линейных пространств. М., Гостехиздат, 1956.

Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 3, ч. 1—2. М., Гостехиздат, 1953.

Для более углубленного изучения вопросов, затронутых в брошюре, можно рекомендовать:

Hamilton W. R. Lectures on Quaternions, 1853.

Hamilton W. R. Elements of Quaternions, 1866.

Grassman G. Ausdehnungsrehre, 1844; 2 изд., 1861.

Клиффорд В. Здравый смысл точных наук. Петроград, 1922.

Артин Э. Геометрическая алгебра. М., «Наука», 1969.

Ленг С. Алегебра. М., «Мир», 1968.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ................ 3

Векторы................ 5

Переносы на плоскости. Сложение векторов..... 5

Повороты на плоскости. Умножение векторов .... 14

Движение в пространстве. Кватернионы...... 18

Алгебры. Пространства............ 30

Линейные пространства.......... 30

Линейная зависимость векторов. Понятие размерности линейного пространства............ 35

Важнейшие алгебраические структуры: группы, кольца, тела, поля............... 37

Алгебры.............. 43

Алгебра Грасмана............ 44

Алгебра Клиффорда........... 47

Евклидовы пространства.......... 49

Линейный оператор. Регулярное представление алгебры . 52

Дальнейшие обобщения........... 57

Заключение............... 60

Литература............... 62

ЗИНАИДА АНДРЕЕВНА КУЗИЧЕВА

ВЕКТОРЫ, АЛГЕБРЫ, ПРОСТРАНСТВА

Редактор Р. Г. Базурин Художник Л. П. Ромасенко Худож. редактор В. Н. Конюхов Техн. редактор Г. И. Качалова Корректор Г. П. Ефименко

А 05031, Сдано в набор 13/VIII 1970 г. Подписано к печати 15/Х 1970 г. Формат бумаги 60 × 90/16. Бумага типографская № 3. Бум. л. 2,0. Печ. л. 4,0. Уч.-изд. л. 3,36. Тираж 79 800 экз. Издательство «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Заказ 1919. Типография изд-ва «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Цена 12 коп.

Уважаемые читатели серии «Математика, кибернетика»!

Познакомьтесь с тем, что выйдет в серии «Техника» в будущем, 1971 году. Среди 12 брошюр к выпуску запланированы следующие работы:

БОДЯКО М. М., доктор технических наук. СВЕРХТВЕРДЫЕ МЕТАЛЛЫ В ТЕХНИКЕ.

ГРИНБЕРГ Б. Г., доктор технических наук. ПРОБЛЕМЫ ПРОЧНОСТИ.

ГМОШИНСКИЙ Б. И., кандидат технических наук. ИНЖЕНЕРНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ.

КОНОВАЛОВ Е. Г., академик АН БССР. РОТАЦИОННОЕ РЕЗАНИЕ.

ЛИНЦ В. К., кандидат технических наук. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН.

НОВИК А. М., кандидат технических наук. ВАКУУМНАЯ ОБРАБОТКА МЕТАЛЛОВ.

ПОПКОВ В. И., академик и ЛИБКИНД М. С, доктор технических наук. ПЕРЕДАЧА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ НА СВЕРХДАЛЬНИЕ РАССТОЯНИЯ.

Стоимость подписки на год — 1 руб. 08 коп. Индекс в каталоге «Союзпечати» — 70067.

Выписывайте и читайте научно-популярные брошюры нашего издательства!

Издательство «Знание»

12 коп.

Индекс

70096

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»

Москва 1970