Д. А. КРЫЖАНОВСКИЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕРАВЕНСТВ

ОНТИ ● НКТП ● СССР ● 1936

Д. А. КРЫЖАНОВСКИЙ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕРАВЕНСТВ

ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП СССР

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИИ

Москва 1936 Ленинград

АННОТАЦИЯ

Аннотируемая книга является первой в математической литературе, специально посвященной систематическому изложению элементарной теории неравенств. В ней излагаются алгебраические и геометрические методы решения неравенств первой и высших степеней, представленные автором в новой форме, одновременно обобщающей и упрощающей обычные приемы. В „добавлении“ приведен вывод ряда „замечательных неравенств“, с которыми читатель встретится при изучении высшей математики. Кроме того, там изложен ряд методических замечаний, которые, безусловно, будут полезны педагогу средней школы и техникумов. Книга предполагает у читателя знание основ элементарной математики, а также элементов аналитической геометрии в объеме сведений, включенных в программу старших классов средней школы. Ее приобретут ученики и преподаватели математики старших классов средней школы, студенты техникумов и первого курса втузов.

СВЕТЛОЙ ПАМЯТИ МОЕЙ ЖЕНЫ ЕКАТЕРИНЫ АНТОНОВНЫ КРЫЖАНОВСКОЙ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Неравенства в курсе алгебры нашей средней школы оказались почему-то, до составления последних программ, на положении нелюбимых пасынков; преподаватели ограничивались объяснением ученикам знаков > и <, да и оно не слишком крепко усваивалось ими, судя по тому, как часто даже студенты сбиваются в их употреблении. А между тем в курсе анализа (даже самом элементарном) неравенствами приходится пользоваться очень часто, куда чаще, чем, например, решать квадратные уравнения; и не просто писать знаки неравенств вместо слов „больше“ и „меньше“, но и решать вопросы, с неравенствами связанные. Да и в пределах элементарной математики, при надлежащей постановке ее преподавания, неравенства должны играть далеко не последнюю роль. Без них немыслимо исследование решений задач, — еще один пасынок нашей школьной математики, — на них основана вся теория приближений, теория иррациональных чисел, непрерывных дробей. Наконец, и сама по себе теория неравенств представляет немалый интерес, содействуя развитию у учащегося четкости мышления и логической осмотрительности.

В практике занятий с начинающими студентами по избранным вопросам элементарной математики у меня выработалась более широкая, чем обычная, трактовка теории неравенств, связывающая ее в одно целое с теорией уравнений, для чего мне понадобилось ввести в употребление два новых символа (∨ и ∧) (см. § 1). Это нововведение, которое покажется, быть может, иному математику дерзостью по отношению к веками освященной алгебраической символике (год рождения знака — 1556, > и < 1631), оправдывало себя не раз в моей работе не только со студентами-математиками, но и со втузовцами, и легко и охотно ими воспринималось. Я рад представившемуся теперь случаю поделиться им с более широкой аудиторией1).

В этой книжке я, кроме того, широко пользуюсь некоторыми графическими приемами истолкования и решения неравенств и их систем; понимание их возможно при наличии у читателя самых элементарных сведений из аналитической геометрии, входящих в теперешний курс алгебры. Вообще же о содержании этой книжки можно получить достаточное представление из оглавления, поэтому не буду входить здесь в детали.

Кого я имел в виду, когда писал эту книжку? — 1) Любознательных учеников (8—10 классов) средней школы; 2) преподавателей математики в средней школе, особенно начинающих; 3) начинающих студентов-мате-

1) Читателям, знакомым с традиционной теорией неравенств, можно посоветовать просмотреть § 7, чтобы получить представление о пользе этих новых символов.

матиков (и отчасти студентов-техников), в особенности тех, кому не довелось в школе ознакомиться с неравенствами. Думаю, что этот материал подойдет и для математических кружков, особенно в педвузах. Ради первой категории читателей я не поскупился на повторения и усиленное подчеркивание принципиально важных моментов и выполняю в тексте такие переделки, которые, конечно, излишни для более зрелых читателей. Надеюсь, что критика не поставит мне в вину сравнительно большой объем, посвященный такой, казалось бы, несложной теме. Думается, что такой простор в изложении скорее может поддержать и укрепить у юных читателей интерес и любовь к математике, чем поневоле сжатое, сухое изложение учебников. В конце некоторых параграфов дано только по два-три примерных упражнения. Настоятельно рекомендую молодым читателям наряду с чтением этой книжки решать побольше задач из разных сборников (много интересных задач с решениями имеется в томе II „Элементарной алгебры“ Маракуева, 2-е изд., Москва, 1903).

Буду очень благодарен тем из читателей, которые не откажутся поделиться со мной своими мнениями по затронутым в книжке вопросам1).

Д. Крыжановский

Одесса, 1 мая 1935.

1) Писать на адрес „Главной редакции общетехнических дисциплин и номографии, секция математики“ (Москва, Б. Комсомольский пер., 6, пом. 5) или мой личный (Одесса, Отрадная 12, кв. 4).

ВВЕДЕНИЕ

Перелистывая любой учебник алгебры, мы всюду встречаем знак равенства = , тогда как знаки неравенства > и < встречаются почти исключительно в одной небольшой главе „о неравенствах“, да еще в главе „исследование уравнений“, которых, кстати, в последнее время часто совсем не проходили в наших школах; а в школьных учебниках арифметики эти знаки почти и вовсе не фигурируют. Однако было бы ошибочно заключить отсюда, что школьная арифметика и алгебра имеют дело исключительно с понятием равенства. В словесном тексте названных учебников нередко (а в арифметике даже очень часто) встречаем слова и выражения: „увеличивается“, „уменьшается“, „больше (или „превосходит“) во столько-то раз", „меньше на такое-то число“ и т. д.

Таким образом сопоставление неравных чисел производится постоянно. Однако в результате точной оценки различия двух чисел (в форме их разности или частного) их неравенство друг другу превращается как бы в свою противоположность — в равенство некоторых других чисел; например, сравнительно мало определенное утверждение: 5 больше 3 (5 > 3) заменяют таким, более точным: 5 = 3 + 2, или 5 — 3 = 2, и говорят: 5 больше 3 ровно на 2; вместо: 12 больше 4 говорят: 12 ровно в 3 раза больше 4 и пишут: 12 = 4×3, или 12:4 = 3.

Таким образом многие формулы арифметики и алгебры, содержащие знак равенства, в действительности представляют точную оценку неравенства некоторых чисел между собою.

Но во многих случаях практической жизни и в научных вопросах такая точная оценка неравенств не требуется (а иногда и невозможна!). Например, требуется найти предел возможных ошибок при некоторых измерениях или вычислениях, т. е. такое число, которое заведомо больше всех возможных ошибок, но не точные значения самих ошибок. Либо требуется все числовые значения, какие только могут принимать буквы, входящие в некоторое алгебраическое выражение А, разбить на три класса или группы: 1) на значения, для которых выражение А превосходит данное число (скажем 5), 2) значения, при которых А равно 5, и 3) значения, при которых А оказывается меньше 5.

Дать общие принципы решения этих и подобных им задач, требующих только как бы „качественного“ сравнения (хотя речь идет о числах, о величинах), другими словами, требующих ответа на вопрос: больше или меньше? — и является целью теории неравенств.

Собственно говоря, в практической жизни человека почти точное равенство тех или иных количеств является сравнительно редким явлением, чаще — искусственно создаваемым (при взвешивании и т. д.), а

абсолютно точное равенство и совсем редким или даже не поддающимся констатированию, кроме равенства целых чисел как результатов счета, тогда как с четко выраженным неравенством мы встречаемся постоянно. Ведь всякий процесс, всякое изменение выражается в переходе от одного значения величины (признаков вообще) к другому, неравному ему, отличному от него значению. Неудивительно поэтому, что в формулах и доказательствах анализа бесконечно малых — этого математического орудия изучения всякого рода процессов — постоянно встречаются знаки неравенств (особенно в теориях пределов, экстрема, рядов).

Учитывая отмеченную выше тесную внутреннюю связь соотношений равенства и неравенства, сходство многих основных свойств формул, содержащих знаки тех или других, и важность вопросов, в которых одновременно идет речь об условиях наступления как равенства, так и неравенства (вроде приведенного выше), — я буду в дальнейшем везде, где это возможно, рассматривать одновременно как равенства, так и неравенства в строгом смысле, объединяя те и другие общим термином „неравенства“. Собственно говоря, было бы правильнее заменить его словом „сравнение“, однако во избежание недоразумений пришлось от этого отказаться1).

В связи с отмеченной более широкой постановкой вопроса о неравенствах оказывается удобным ввести два новых „символа сравнения“ (∨, ∧), позволяющих значительно упростить (и обобщить) решение многих задач. Объяснение смысла и употребления этих символов будет дано в § 1.

1) В русской математической литературе термин „сравнение“ имеет другое значение: в теории чисел говорят, что целые числа а и b „сравнимы между собою по модулю р“, если их разность а — b делится без остатка на целое число р.

§ 1. Основное определение. Знаки неравенства. Символы сравнения

Понятия „равного“, „большего“ и „меньшего“ настолько привычны нам с раннего детства, что требование: дать определение большего числа, когда речь идет об арифметических (абсолютных) числах, представляется каждому из нас излишним, чтобы не сказать пустым. Но если бы кто-нибудь все же настаивал на этом требовании, то мы могли бы ответить хотя бы так: из чисел 3 и 5 второе называем большим, а первое меньшим потому, что в ряду последовательных натуральных чисел 1, 2, 3, . . . число 5 стоит дальше (позже, правее), чем число 3. Или, если угодно, потому, что 5 = 3 + 2, так что в группе из 5 предметов как целом группа из 3 предметов составляет часть, а ведь целое всегда „больше“ всякой своей части. Так же точно 3,7 больше чем 1,23 (или 3/4 больше 1/3), так как в величине, например длине, выражаемой первым числом, можно выделить часть, выражаемую вторым. И хотя это уже — не натуральные числа, однако можно представить себе на масштабной линейке точки, соответствующие и этим дробным числам; если слева от нас находится 0 (точка отсчета), а вправо от 0 идут положительные деления линейки, то и теперь большая дробь соответствует точке, лежащей правее точки, изображающей меньшую дробь. На той же линейке мы мыслим себе также точки, изображающие любые иррациональные числа (например, √2, ∛5, π, √100, ...). Для всех этих арифметических (абсолютных) чисел1), — целых, дробных, иррациональных, — и для изображающих их точек остается в силе подмеченное нами свойство:

Чем больше число, тем правее лежит соответствующая ему точка, а также и такое свойство:

Большее (абсолютное) число равно меньшему плюс некоторое (абсолютное) число. Заменяя слово „большее“ символом >, пишем:

и вообще пишем:

(здесь а, b, р — любые арифметические, т. е. положительные числа).

Однако, наше требование дать определение слов „больше“ и „меньше“ становится уже отнюдь не тривиальным, если речь идет о сравнении чисел относительных (положительных и отрицательных). Какое из

1) Называем так числа без знака + или — в отличие от алгебраических или относительных чисел, имеющих один из этих знаков.

двух чисел + 3 и —5 или из чисел —7 и —5 следует считать большим? Тут уж понятие целого и его части непригодно. Что больше: положительный электрический заряд в 3 единицы или отрицательный в 5 единиц? Заряд — 7 или заряд — 5? Можно, конечно, условиться сравнивать только абсолютные величины данных чисел. Но такое сравнение не учитывало бы знаков этих чисел! Желая установить целесообразное правило сравнения относительных чисел — или, говоря иначе, определение понятий „больше“ и „меньше“ и в этом случае, — обратимся к некоторым привычным для нас словоупотреблениям. Когда воздух в комнате нагревается, говорят, что его температура растет, переходя, например, от — 10° через — 8°, — 5°, 0° к + 3°, потом к + 7°, + 12° и т. д. Когда сальдо (кассовый итог) в результате денежных поступлений переходит от — 1000 руб. (т. е. 1000 руб. долга) к — 500 руб., — 200 руб., 0 руб.; + 400 руб., + 1000 руб., мы говорим, что капитал увеличивается, или возрастает. При непрерывном движении точки по числовой прямой слева направо точка последовательно проходит, например, через положения, отмеченные числами —7, —4, —1, 0, + 2, + 5,..., причем расстояние ее от какой-нибудь достаточно далекой точки, лежащей слева, например, от точки —100, все время возрастает.

Во всех этих случаях последовательный переход от значений, которые мы привыкли называть „меньшими“, к „большим“ значениям происходит наряду с нагреванием, т. е. с прибавлением тепла, или с поступлением денег в кассу, или с увеличением расстояния от точки — 100; т. е. алгебраически все эти переходы от меньшего к большему выражаются в прибавлении каждый раз к меньшему числу некоторого положительного числа; так, в первом примере (с температурой):

Таким образом анализ (разбор) обычного употребления слов „больше“ и „меньше“ приводит нас к установлению такого общего правила или определения:

Из любых двух вещественных чисел а и b (положительных, равных нулю или отрицательных) считаем (и называем) число а большим, чем число b, в том и только в том случае, если а = b + р, где р — некоторое положительное число.

Но соотношение: а = b + р равносильно такому: а — b = р. Поэтому нашему определению даем такую окончательную формулировку:

Основное определение:

Число а больше, чем число b:

в том и только в том случае, если разность а — b есть число положительное.

Когда из двух чисел а и b (и вообще из двух значений какой-нибудь величины) одно число (или значение), например а, больше другого (a > b), то о втором числе (b) говорим, что оно меньше первого, и пишем: b < а.

Таким образом соотношения „больше“ и „меньше“ всегда неразрывно связаны между собою. Поэтому устанавливаем такое

Дополнительное определение:

Одновременно с соотношением:

только в этом случае, всегда имеет место соотношение

так что и обратно:

Замечая, что всегда (т. е. для всяких чисел а, b):

так что при положительном значении разности а — b разность b — а имеет отрицательное значение, и обратно, — приходим к такому непосредственному следствию из наших определений:

b < а (b меньше а) тогда и только тогда, когда разность b — а равна отрицательному числу.

В результате этих определений и замечаний приходим к следующим положениям, которые в сущности только детализируют наши определения:

Поэтому четыре утверждения:

а > b,

b < а,

а — b = положительному числу,

b — а = отрицательному числу

одновременно истинны или одновременно ложны.

Например:

Из определения числа нуль следует:

Если разность а — b = 0, то b — а = 0, а = b и b = а; обратно: если a —b, то b = а и а — b = 0 (а также b — а = 0).

Сопоставляя это замечание с предыдущими положениями, можем высказать такое правило:

Если

(1)

то соответственно

или в символической записи:

(2)

в то же время

(3)

Обратно: из (2) вытекают (1) и (3), а из (3) вытекают (1) и (2).

Другими словами, всегда имеют место (справедливы) одновременно либо первые (верхние) случаи всех трех соотношений (1), (2) и (3), либо вторые (средние) случаи, либо третьи (нижние).

Полезно привыкнуть, глядя на соотношения (2), читать их и как соотношения (3) (справа налево), не переписывая их в виде (3).

Для любых двух действительных чисел а и b всегда существует их разность а — b, которая является либо положительным числом, либо нулем, либо отрицательным числом (иного случая быть не может!); поэтому имеет место такая дизъюнкция (различение всех возможных, но взаимно исключающих случаев):

Для любых двух действительных чисел а и b обязательно имеет место (истинно, удовлетворяется) одно и только одно из трех соотношений: либо а > b, либо а = b, либо а < b, и одновременно с ним будет соответственно: либо b < а, либо b = а, либо b > а.

Все эти три соотношения — больше, равно, меньше — согласно сказанному во введении мы объединим общим наименованием соотношений неравенства, рассматривая таким образом равенство как частный случай неравенства. В соответствии с этим мы будем иногда называть соотношения больше и меньше, в отличие от равенства, строгими неравенствами.

Два (строгих) неравенства с одинаковым знаком (> или < в обоих) мы будем называть неравенствами одинакового смысла, а два (строгих) неравенства с разными знаками (> в одном и < в другом) — неравенствами противоположного смысла. Два равенства мы будем считать безразлично неравенствами как одинакового, так и противоположного смысла.

Если мы почему-либо не желаем или не в состоянии в данный момент указать, какое именно из трех соотношений (больше, равно

или меньше) имеет место между двумя данными числами или выражениями А и В (при данных числовых значениях всех букв, входящих в эти выражения), то будем новым символом ∨ или ∧ обозначать в условной форме это именно (действительно имеющее место) соотношение. Таким образом

Если в одном и том же рассуждении или исследовании желательно несколько раз применить эти новые символы, то будем строго соблюдать такое правило:

Символ ∨ во всех формулах одного рассуждения заменяет один и тот же из трех знаков >, =, <, а символ ∧ всюду, где он встречается, заменяет знак, противоположный первому (т. е. соответственно <, = или >); все это — при данных значениях букв, входящих в формулы.

Таким образом, если в неравенствах вида a∨b, с∨d, . . . символ ∨ окажется в дальнейшем имеющим, например, значение <, то в неравенствах вида р ∧ q, r ∧ s, . . ., встречающихся в том же рассуждении, символ ∧ будет иметь значение >.

Поэтому фраза: „Если А ∨ В, то С∨D и Е ∧F“ означает следующее: Неравенства А∨В и С∨D имеют одинаковый смысл, а неравенство Е ∧F имеет противоположный смысл.

На основании дополнительного определения (стр. 11) имеем право писать в пределах одного и того же рассуждения:

Неравенства вида А∨В и С ∧ D будем называть общими неравенствами, в отличие от частных неравенств вида: К > L, M = N, Р < Q. Неравенства с одним и тем же знаком ∨ (или ∧) называем неравенствами одного типа (или смысла), а неравенства с разными знаками (∨ и ∧) — неравенствами разных (противоположных) типов (или разного смысла).

Нередко употребляют еще символы 3 >, ≠ , и представляющие перечеркнутые знаки равенства и неравенств. Они означают логическое отрицание тех соотношений, которые выражаются соответствующими неперечеркнутыми знаками; следовательно,

§ 2. Сравнение относительных чисел. Абсолютная величина

Произведем теперь сравнение положительных и отрицательных чисел между собою и с нулем.

1. Чтобы сравнить данное число а с нулем, надо установить знак разности а — 0. Но а—0 = а. Поэтому:

a > 0 в том а только в том случае, когда число а положительно, а < 0 в том и только в том случае, когда а отрицательно. Другими словами:

Всякое положительное число больше нуля, и обратно; всякое отрицательное число меньше нуля, и обратно.

Это следствие из основного определения позволяет всегда заменять слова: „положительно“ и „отрицательно“ записями: > 0 и < 0.

Например, наше правило сравнения чисел (стр. 12) можно высказать так:

или так:

Или, пользуясь новыми знаками:

2. Сравним теперь любое положительное число а с любым отрицательным числом b. Имеем: а > 0, b < 0. Надо узнать знак разности а—b. Но а — b = а + (—b). В последней сумме оба слагаемых положительны, поэтому их сумма а + (—b), или равная ей разность а — b, тоже положительна:

Итак:

Всякое положительное число больше всякого отрицательного.

3. Сравним, наконец, два отрицательных числа: а < 0, b < 0. Снова пишем: а — b — а + (—b). Здесь а отрицательно, — b положительно. Согласно правилу сложения относительных чисел знак суммы двух чисел разного знака одинаков со знаком того слагаемого, которое имеет большую абсолютную величину. Абсолютную величину любого числа х обозначают символом |x|, т. е. помещая это число между двумя вертикальными черточками или так называемыми прямыми или абсолютными скобками.

Пусть |a| > |b|. Но |—b| = |b| (например | + 3)| = |3| = 3 и |—3| = 3); следовательно, |а| > |—b|. Поэтому знак a + (—b) или знак а — b будет одинаков со знаком числа а, которое отрицательно; следовательно, а < b или b > а. Например: —7 < — 4, так как |—7| > |—4| (т. е. 7 > 4).

Итак:

Из двух отрицательных чисел больше то, которое имеет меньшую абсолютную величину.

Все это, вместе взятое, можно записать так:

Иначе говоря:

Отрицательное число при возрастании его абсолютной величины становится меньше.

Например —1 > — 3 > —10 > —100 ... (Такая слитная запись заменяет целый ряд отдельных неравенств: —1 > — 3 > —10; —10 > —100;...)

§ 3. Немного истории

Скажем теперь несколько слов об истории возникновения современных знаков сравнения (=, >, <), а также абсолютных скобок.

Древнегреческие и арабские математики (Эвклид, Архимед и др.) не употребляли никаких специальных знаков (символов) для обозначения понятий „равно“, „больше“ и „меньше“, как и вообще не имели сокращенных обозначений для действий сложения, вычитания, умножения и деления. Западноевропейские математики (итальянцы, французы, англичане, немцы, голландцы, бельгийцы, швейцарцы) в первое время возрождения античных наук и их дальнейшего развития (XV—XVI вв.) тоже долгое время обозначали в своих сочинениях равенство двух величин словами (иногда немного сокращенными). Так, например, писали в формулах: aequ., или aequalis, или aequaliter (латинское „равный“, „равно“; произносится: „эквалис“, „эквалитер“), или facit („делает“, „составляет“) и т. д.

Символическое обозначение равенства, и притом сразу в его теперешней форме = , впервые встречается, повидимому, в сочинении по алгебре английского лейбмедика (придворного врача) Рекорда (Robert Record, 1510—1558). В этой книге, написанной по-английски в форме беседы учителя с учеником и изданной в 1556 г. под названием „Оселок остроумия“, автор говорит: „Чтобы избежать скучного повторения слов is equalle to (старинное, вместо теперешнего is equal to, т. е. равно), я буду, как я часто это практикую в своих работах, ставить пару параллельных линий-близнецов одинаковой длины, так: = , так как никакие две вещи не могут быть более равными“.

Однако это обозначение равенства далеко не сразу вошло во всеобщее употребление. Так, почти 20 лет спустя профессор аристотелевой логики в Гейдельберге (Германия) Ксиландер (Xylander, он же Wilhelm Holzmann, 1532—1576) употребляет в своем латинском переводе (изданном в 1575 г.) знаменитого сочинения „Арифметика“ греческого математика Диофанта для обозначения равенства символ || . Возможно, что в греческой рукописи, которую имел в руках Ксиландер, слово toot („равные“) было сокращено в и (две буквы „йота“), и это дало ему повод к созданию символа || . С другой стороны, еще позднее, в 1591 г., творец алгебраической символики француз Виета (Vieta, 1540—1603) в своем сочинении по алгебре под названием „Введение в аналитическое искусство“ употребляет знак = для обозначения не равенства, а абсолютной величины разности двух чисел, т. е. запись А = В означает у него разность между большим из чисел A, В и меньшим, в современных обозначениях |А — В| (в то же время Виета употребляет знаки + и — в их теперешнем смысле).

Проходит еще около 40 лет, и другой француз, Жирар (Girard? —1633), в написанном на французском языке сочинении по алгебре, изданном в

1629 г., сохраняя за знаком = тот же смысл, как у Виеты, обозначает равенство в формулах французским словом égale (равный).

В этой же книге впервые, повидимому, встречаются символические обозначения неравенств, а именно, Жирар пишет:

Еще два года спустя, в 1631 г., выходит в свет, через 10 лет после смерти его автора, написанное по-латыни сочинение англичанина Гэрриота (Thomas Harriot, 1560—1621) „Практика аналитического искусства“, представляющее тоже трактат по алгебре. В нем впервые встречаем наши символы неравенств (>, <), употребляемые в их теперешнем смысле.

В том же 1631 г. другой соотечественник Рекорда, Оутред (William Oughtred, 1574—1660), в латинской книге „Ключ к математике“ (несколько раз потом переиздававшейся) наряду с впервые введенным знаком умножения X обозначает равенство знаком Рекорда = , а „больше“ и „меньше“ — знаками

Таким образом к 1631 г. были уже придуманы наши знаки =, >, <. Однако они все еще не входили во всеобщее употребление. Так, знаменитый математик и философ Декарт (René Descartes, 1596—1650) в своей „Геометрии“, изданной сперва на французском языке в 1637 г., а потом на латинском, обозначает равенство символом ∞ (перевернутая слитно написанная двугласная зе слова aequalis).

Другой французский математик, Эригон (Pierre Hérigone) в своем шеститомном „Курсе математики“, изданном в 1634 г., вводит такие, столь же оригинальные, сколь и неудобные, обозначения:

Буква π у него обозначает „относится к“ (π — первая буква слова „пропорция“). Таким образом запись: 4π6 2|2 10 π 15 означает у Эригона: 4 относится к 6 так, как 10 относится к 15, или, в наших обозначениях, 4:6 = 10:15.

Упомянем также, что еще позже в рукописях 1673—1675 гг. другого знаменитого математика и философа Лейбница (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 — 1716) встречаем троякое обозначение равенства: наряду с рекордовым = также символ П и сокращенное слово aequ.

Прибавим еще несколько слов об истории знаков абсолютной величины.

„Прямые скобки“ |а| для обозначения абсолютной величины относительного числа а впервые ввел знаменитый немецкий математик Вейерштрасс (Karl Weierstrass, 1815—1897) в 1876 г. Постепенно с тех пор это обозначение стало проникать в научную математическую литературу, а в последнее время вошло во всеобщее употребление и в учебной литературе, особенно в анализе (в диференциальном и интегральном исчислениях). До этого нововведения Вейерштрасса (да и долгое время после него) вместо „абсолютная величина“ (это выражение — по-немецки „ab-

soluter Betrag“—тоже впервые стал употреблять Вейерштрасс еще в 1856 г.) говорили „модуль“ и писали: „mod. а“ („модуль числа a“); особенно способствовали употреблению этого обозначения многочисленные труды знаменитого французского математика Коши (Augustin Cauchy, 1789—1857), начиная с 1829 г. В своих более ранних работах, например, в классическом „Алгебраическом анализе“ (1821), Коши употреблял выражение „числовое значение“ (valeur numérique) и писал в формулах сокращенно эти слова, например:

Впрочем, Арган (Argand) уже в 1814 г. писал mod. а. А Лейбниц больше чем на сто лет раньше писал mol. а — сокращение латинского слова moles (= масса, громада).

§ 4. Геометрический эквивалент сравнения чисел. Транзитивность неравенств. Интервал

Отметим на масштабной линейке или, выражаясь отвлеченно, на числовой прямой точки A, B, С, D, Е, соответствующие числам:

Согласно предыдущему эти числа удовлетворяют таким неравенствам:

в то же время точки

расположены „подряд“, а именно слева направо. Итак, в этом примере возрастанию числа соответствует перемещение слева направо (в положительном направлении) соответственной точки на числовой прямой. Таким образом осуществляется то соответствие, которое побудило нас (в начале § 1) принять наше основное определение.

Для дальнейшего нам очень важно доказать общность подмеченного здесь закона и установить еще соотношение между длиной и направлением любого отрезка AB числовой оси, с одной стороны, и разностью чисел, соответствующих его концам А и В, — с другой.

Займемся этим. При этом нам придется говорить о вещах, отчасти, наверное, знакомых читателю, но ради связности, полноты и доказательности наших рассуждений приходится рисковать несколько утомить читателя повторением известных ему вещей.

Числовую прямую будем называть просто осью, точку, отмеченную О (нулем), — началом, направление на оси вправо — положительным, а числа, соответствующие точкам оси, — их абсциссами.

Таким образом абсцисса точки А (см. черт. 1) есть положительное число а, равное длине отрезка OA (измеренной определенной единицей длины ОЕ), а абсцисса точки В есть отрицательное число b, равное по абсолютной величине длине отрезка OВ. Абсцисса точки О есть нуль (0), абсцисса точки Е равна + 1.

Черт. 1.

Вообще абсциссу любой точки Р нашей оси абсцисс будем обозначать буквой Хр или просто х; таким образом |xP| = длине отрезка ОР, само же число хр положительно, если Р лежит справа от О, и отрицательно, если Р лежит слева от О.

Точку Р будем называть аффиксом ее абсциссы х.

Читатель знает, что не всякий отрезок ОР соизмерим с единицей длины ОЕ; если он соизмерим с ней, то абсцисса хр точки Р есть число рациональное (целое или дробное); если же отрезок ОР несоизмерим с ОЕ, то абсциссой хр будет служить некоторое иррациональное число, которое можно представить себе хотя бы в виде бесконечной непериодической десятичной дроби (например, π = 3,14159.. .).

Следовательно, всякая точка оси имеет определенную абсциссу, рациональную либо иррациональную.

Обратное утверждение: „всякому числу, как рациональному, так и иррациональному, соответствует определенная точка оси — его аффикс“, — в случае иррациональных чисел не может быть доказано, но принимается в математике в качестве постулата (требования, гипотезы) или аксиомы (недоказываемого принципа), которую называют аксиомой (Дедекинда) непрерывности прямой. [Подробности читатель может найти в книге Александрова и Колмогорова, Введение в теорию функций действительного переменного, гл. II, стр. 41, либо в брошюре Дедекинда, Непрерывность и иррациональные числа (есть русский перевод).] Принимая эту аксиому, можем сказать:

Всякой точке оси соответствует некоторое действительное число — ее абсцисса, и всякому действительному числу соответствует определенная точка на оси — его аффикс.

Рассмотрим на оси точки А, В, С с абсциссами: а = — 4, b = — 1, с = 3 (черт. 2).

Представим себе, что вся ось (как твердое тело, т. е. без растяжений, сжатий и разрывов) сдвинута вдоль себя самой вправо на 2 единицы; при этом начало О перейдет в точку О', имевшую раньше абсциссу 2, точки А, В, С перейдут (сместятся) в точки А', В', С' с абсциссами а', b', с' на 2 единицы большими:

Следовательно,

Таким образом длина любого отрезка, имеющего положительное направление, равна абсциссе его конца без абсциссы его начала.

Черт. 2.

Если бы мы стали вычитать, наоборот, из абсциссы а точки А абсциссу а' точки А', и точно так же b' из b, с' из с, то получили бы в результате отрицательное число — 2, например, а — а' = ( — 4) — ( — 2) — = — 2. Таким образом разность между абсциссой конца и абсциссой начала отрезка с отрицательным направлением (например А'А) равна длине этого отрезка, взятой со знаком минус.

Вывод:

Если точки Р1 и Р2 имеют абсциссы x1 и x2, то абсолютная величина их разности, т. е. число |х2—х1| или равное ему числа |х1—х2|, дает длину отрезка Р1Р2 (или Р2Р1), а знак разности x2 — x1 соответствует направлению от Р1 к Р2, а именно:

Но при x2 — x1 > 0 имеем: x2 > x1, а при x2 — x1 < 0 будет: x2 < x1. Отсюда заключаем, что:

Аффикс большего числа всегда лежит правее, чем аффикс меньшего числа, и обратно.

Уточняя, скажем так:

Если а > b, то аффикс А числа а лежит правее аффикса В числа b, и именно правее на отрезок, длина которого равна а — b.

В этом и состоит эквивалентность (равноправность) действительных чисел и их геометрических образов — аффиксов на оси. Благодаря этой эквивалентности мы не только получаем во взаимном расположении точек оси наглядную иллюстрацию (или интерпретацию, истолкование) соотношений по величине между числами, но и приобретаем вполне обоснованное право устанавливать интересующие нас соотношения неравенства между числами при помощи соотношений расположения аффиксов этих чисел на числовой оси. Дадим несколько примеров применения этого метода.

Пример 1. Известно, что на оси нет ни самой левой, ни самой правой точки. Этим доказано такое утверждение: среди относительных чисел нет ни наименьшего, ни наибольшего числа. Поэтому условно говорят, что действительные числа изменяются от — со (отрицательной бесконечности) до + ∞ (положительной бесконечности). Говорят также, что действительные числа заполняют интервал (промежуток) (—∞, + ∞).

Упражнение. Доказать это утверждение алгебраически.

Пример 2. Все точки с положительными абсциссами лежат правее начала и правее всех точек с отрицательными абсциссами; последние лежат левее начала. Из двух точек с отрицательными абсциссами правее лежит та, у которой абсолютная величина абсциссы меньше (ср. § 2).

Пример 3. Для точек оси имеет силу такое утверждение (транзитивное свойство расположения точек на прямой):

Если точка А лежит на оси справа от точки В, а точка В справа от точки С, то А лежит справа от С.

Для чисел это дает такой закон транзитивности соотношений „больше“ и „меньше“:

Если а > b > с (это, как мы знаем, сокращенная запись двух неравенств: a > b; b > с), то всегда а > с.

Ввиду чрезвычайной важности этого закона докажем его еще и алгебраическим способом (хотя предыдущее геометрическое доказательство вполне строго, поскольку мы не сомневаемся в истинности приведенного транзитивного свойства расположения точек на прямой).

Так как

то

Сумма двух положительных чисел тоже положительна:

или

отсюда

Этот закон допускает такое обобщение: Если

то

(1)

Доказательства, а) (геометрическое). Если аффикс числа ai есть точка Аi (при i = l, 2, 3, n), то

Следовательно, A1 лежит справа от An; поэтому

б) (алгебраическое). Из условий (1) имеем: a1—а2 > 0, a2 — a3 > 0,..., an-1—аn > 0. Сумма этих положительных чисел тоже положительна:

раскрывая скобки и сокращая, находим:

Аналогично имеем для равенства:

Если а = b = с (это сокращенная запись двух равенств: а = b и b = с), то а —b = 0, b — с = 0, следовательно, и сумма (а — b) + (b —с) = 0; сокращая, получаем а — с = 0, и, значит, а = с — закон транзитивности для равенства. Геометрически это звучит совсем тривиально;

Если точка А совпадает с точкой В, а точка В совпадает с точкой С, то А и С совпадают друг с другом (так как равенству абсцисс соответствует совпадение их аффиксов).

Обобщение: Если

Комбинируя эти два предложения, получаем: Если в ряду неравенств

— где знаки ⩾ читаются как „больше или равно“ (см. стр. 13, конец § 1),—хотя бы в одном неравенстве имеет место наверное знак >, а не = , то

В самом деле: если в ряду из n точек A1, A2,..., An каждая лежит справа от последующей, либо совпадает с нею, причем хотя бы для одной пары соседних точек совпадение не имеет места, то A1 лежит справа от Ап.

Читая теорему (1) справа налево и меняя обозначения, находим: Если

то

(3)

Все три теоремы (1), (2), (3) можно охватить такой общей формулировкой:

Действительно, при любом из трех возможных смыслов символа ∨ это утверждение оказывается верным (согласно нашему условию символ ∨ во всех местах этой записи должен иметь один и тот же смысл).

Заметим, что в случае, если а < b < с (или а > b > с), говорят, что число b находится (лежит) „между“ числами а и с.

Если в формуле

а < x < b (4)

под а и b понимать определенные числа (например 2 < x < 7), а под x—любое число, удовлетворяющее этому двойному неравенству, то говорят, что неравенство (4) определяет интервал (промежуток) (а, b), т. е. под интервалом (а, b) понимают совокупность всех действительных чисел x, yдовлетворяющих неравенствам (4). Если к этой совокупности хотят отнести также числа а и b, то пишут вместо (4) так:

и называют новую совокупность закрытым или замкнутым интервалом, в отличие от прежней совокупности — открытого интервала.

(2)

Формулы:

определяют полузакрытые (или полуоткрытые) интервалы.

Приведенные примеры в достаточной степени обнаруживают как эвристическую (т. е. облегчающую открытие новых свойств), так и доказательную ценность установленной выше полной адэкватности (равноправия) сравнения чисел по величине и сравнения точек прямой по их расположению на ней.

§ 5. Решение неравенств: постановка вопроса. Равносильность неравенств

Решить неравенство общего вида: A∨В— значит определить, какое именно из трех единственно возможных соотношений (частных неравенств)

A > B, А = В, А < В (1)

действительно имеет место (истинно).

Если А и В—данные числа, то вопрос решается до конца определением знака разности А — В, либо установлением факта равенства ее нулю. Например, чтобы решить неравенство: 22/7∨3,14, вычисляем разность:

откуда заключаем, что

Для решения неравенства: π ∨ √10 рассматриваем приближенные значения π и √10:

так что

Итак, π < 3,15 < 3,16 < √10, откуда на основании транзитивного свойства неравенств (стр. 20) заключаем, что π < √10.

Но часто А и В представляют собой не данные числа, а более или менее сложные выражения, содержащие числа или буквы, или те и другие, соединенные знаками действий над ними (понимая под последними не только знаки четырех арифметических действий, но и знаки степени, корня, логарифма, тригонометрических функций и т. п.). Тогда приходится строго различать два случая:

1. Оба выражения A и В — числовые, т. е. содержат только определенные числа и знаки действий над ними (числа могут быть, конечно, условно заменены буквами, например е, π). В этом случае из трех соотношений (1) всегда одно какое-нибудь истинно, а оба другие ложны.

Требуется определить, какое именно из них истинно. Например, требуется решить неравенство: 10 — 4√3 ∨ 3. Конечно, и в этом случае вычисление разности левой и правой частей неравенства решает вопрос. Но представляется интересным по возможности упростить требуемые для этого выкладки.

2. Выражения А и В (или по крайней мере одно из них) содержат по одной или по несколько букв, могущих по условию принимать ряд различных числовых значений. В этом случае для каждой конкретной комбинации (или, как говорят, „системы“) возможных числовых значений всех фигурирующих в неравенстве букв (или просто для каждого возможного значения единственной буквы) тоже имеет место одно какое-нибудь из соотношений (1), но при этом разным таким комбинациям могут, вообще говоря, отвечать, как истинные, разные соотношения (1). Задача заключается в том, чтобы произвести соответствующую дизъюнкцию среди всех таких мыслимых (и допустимых) комбинаций, т. е. установить, при каких из них справедливо неравенство А > В, при каких имеет место равенство А = В и когда (это будут все остальные случаи) будем иметь неравенство А < В.

Каждую (допустимую) комбинацию числовых значений входящих в А и В букв (или просто каждое допустимое значение единственной входящей в них буквы) будем называть решением того из трех частных неравенств (1), которое справедливо при этой именно комбинации. Таким образом задача сводится к нахождению всех решений каждого из неравенств: А > В, А = В, А < В.

Вот примеры неравенств второго рода (т. е. буквенных):

а) 5х— 4y + 1∨0. Здесь буквы х и у могут обозначать любые действительные числа. Требуется установить, для каких пар значений букв x и у будет 5х — 4у + 1 > 0, для каких будет 5х — 4у 1 = 0 и когда будет 5х — 4у + 1 < 0.

б) Сравнить арифметическую и геометрическую среднюю двух положительных чисел:

Здесь буквы а и b могут принимать любые положительные значения. Все такие буквенные неравенства распадаются на следующие три класса:

1. Неравенства, обладающие решениями всех трех частных типов: A > B, А = В, А < В. Пример: lg10x∨1. Действительно, при любом x > 10 имеем lg10x > 1, при x = 10 будет lgl0x = 1 и при всяком положительном x < 10 будет lg10х < 1.

2. Неравенства, допускающие решения только двух из трех возможных типов (1). Пример: неравенство sin x ∨ 1. При х = π/2 + 2kπ, где k = 0, ±1, ±2, оно обращается в sinx = 1, а при всех прочих значениях х верным будет только неравенство sinx < 1; третий же тип неравенства: sinx > 1 не удовлетворяется ни одним действительным значением x.

3. Неравенства, которые при всех допустимых комбинациях числовых значений букв сводятся к какому-нибудь одному из типов (1). Пример: неравенство x2 + у2 ∨ — 1. Оно принадлежит к этому третьему классу,

так как всегда, т. е. при всех возможных значениях букв х и у, имеем x2 + у2 > — 1, но никогда не будет ни x2 + у2 = — 1 ни x2 + у2 < — 1.

Упражнение. К какому классу принадлежат неравенства в примерах а) и б)?

В случае неравенств последнего класса единственно возможное частное неравенство (равенство А —В или одно из неравенств: А > В или А < В) называем тождественным, или просто тождеством; говорят также, что оно тождественно удовлетворяется всеми возможными значениями букв; оба же другие частные неравенства называем невозможными. В случае неравенств первых двух классов каждое из соотношений (1), допускающих решения, называем условным равенством или неравенством. В частности условное равенство (т. е. такое равенство, которое удовлетворяется некоторыми, но не всеми допустимыми значениями букв) называют уравнением. Условные же неравенства следовало бы называть „неуравнениями“, но такой термин неупотребителен1).

Рассмотренную нами задачу решения общего неравенства можно назвать полной, в отличие от частных задач, требующих решения одного какого-нибудь определенного из трех частных неравенств: А > В, либо А = В, либо А < В. Если такое частное неравенство — числовое, то требуется либо доказать его правильность (истинность, справедливость), либо опровергнуть его (доказать неправильность). Буквенное же частное неравенство надо решить, т. е. найти все такие комбинации числовых значений его букв, при которых оно обращается в правильное числовое частное неравенство (того же смысла).

Выяснив, в чем должно заключаться решение неравенства А∨B, обратимся к приемам нахождения этого решения. Непосредственный прием состоит, как было отмечено (стр. 22), в определении знака разности А — В, но этот прием не всегда бывает пригоден по своей сложности. Общий же метод решения неравенств основан на идее равносильных неравенств, к выяснению которой мы и обратимся.

Два частных числовых неравенства будем называть равносильными, если известно, что они оба истинны или оба ложны. Тогда из истинности или ложности одного из них можно заключить об истинности или ложности другого.

Два буквенных частных неравенства будем называть равносильными, если при всех числовых значениях букв, для которых удовлетворяется (не удовлетворяется) первое, будет удовлетворяться (соответственно не удовлетворяться) второе. Тогда и обратно: из истинности или ложности второго имеем право заключить при тех же значениях букв о таком же характере первого. Таким образом два равносильных буквенных частных неравенства имеют одни и те же решения. Примером равносильных неравенств могут служить: a > b и b < a, так как, на основании дополнительного определения (стр. 11), при любых значениях букв а и b оба они одновременно истинны, либо одновременно ложны. С ними равносильны также неравенства: а — b > 0 и b — а < 0.

1) Французы иногда говорят в этом случае inéquation по аналогии со словом équation (уравнение); украинцы говорят „рівність“ (равенство) и „нерівність“ (неравенство), „рівняння“ (уравнение) и „нерівняння“ (условное неравенство).

Равносильность двух неравенств будем обозначать, помещая между ними знак тождествам; таким образом пишем:

Можно также обозначать равносильность знаком ↔; например:

Этот двойной знак указывает, что из первого утверждения следует второе и обратно: из второго следует первое.

Два общих неравенства одинакового смысла (A ∨ В и C∨D, либо А∧В и C∧D) называем равносильными, если попарно равносильны охватываемые ими частные неравенства одинакового смысла:

Тогда пишем:

Равносильность же общих неравенств противоположного смысла:

заключается в равносильности соответствующих трех пар частных неравенств:

Заметим следующее: для доказательства равносильности двух общих неравенств одинакового смысла: A∨В и C∨D (или А ∧В и С ∧ D) достаточно показать, что из истинности частных неравенств А > В, А —В и А < В вытекает соответственно истинность частных неравенств C > D, C = D и С < D. Действительно, отсюда следует, что и, обратно, из истинности каждого из неравенств С > D, C = D и С < D вытекает истинность соответствующего неравенства А > В, А = В и А < В, так как первые три взаимно исключают друг друга, а вторые три единственно возможны. Например, если (при некоторых значениях букв) С < А то не может быть (при тех же значениях) ни А — В, ни А > В, так как это повлекло бы за собою истинность C = D либо С > D, а между тем ни то ни другое несовместимо с истинностью C < D; но тогда остается одна возможность: А < В. Итак, частные неравенства каждой из наших трех пар либо одновременно истинны, либо одновременно ложны (последнее будет, если истинны неравенства одной из двух других пар). А в этом и состоит равносильность наших общих неравенств.

Аналогичное замечание справедливо и в случае общих неравенств противоположного смысла (А ∨ В и C∧D).

Пример равносильных общих неравенств:

Не следует, однако, думать, что и для равносильности двух частных неравенств достаточно, чтобы из первого вытекало второе. Например, если А —В, то A2 = B2; однако из истинности второго равенства не

следует истинность первого, так как равенство А = — В тоже приводит ко второму равенству.

Будем называть замену какого-нибудь неравенства (частного или общего) другим неравенством, ему равносильным, тождественным преобразованием первого неравенства.

Если в результате ряда последовательных тождественных преобразований некоторого неравенства мы придем к неравенству, которое в состоянии решить, то его решение будет одновременно и решением первого неравенства. В этом и состоит общий метод решения неравенств. Отсюда очевидно громадное значение признаков равносильности двух неравенств. К изложению их мы и перейдем в следующем параграфе.

Заметим в заключение, что равносильность двух неравенств можно определить еще и так: истинность каждого из этих неравенств является необходимым и достаточным условием истинности другого; или так: одно имеет место тогда и только тогда, когда имеет место другое.

Упражнение. Доказать, что два неравенства равносильны, если первое является необходимым условием второго и второе — необходимым условием первого; либо если, наоборот, истинность первого является достаточным условием истинности второго, а истинность второго — достаточным условием истинности первого. Как назвать условие, которое обеспечивает наступление некоторого явления? Как назвать условие, несоблюдение которого делает невозможным наступление некоторого явления?

§ 6. Тождественные преобразования неравенств общего вида

Приступая к перечислению основных признаков равносильности неравенств, начнем для полноты с уже известных нам:

I)

Напомним смысл этого преобразования:

Таким образом оно является просто сжатой записью нашего дополнительного определения понятий больше и меньше (стр. 11):

II)

Это преобразование выражает основное определение неравенств. Оно показывает, что всякое неравенство можно привести к виду: M∨ 0.

III)

(A, В, С—любые числа или буквенные выражения). Доказательство:

(дважды применяем преобразование II).

Алгебраические истолкования этого преобразования:

1. Смысл неравенства (A ∨ В) не изменяется от прибавления к обеим его частям или отнятия от них по одинаковому числу или выражению (С).

Отнятие получается при чтении преобразования справа налево, либо путем прибавления по — С:

2. Сумма (А + С) двух чисел или выражений увеличивается (уменьшается) в результате замены одного из слагаемых (А) большим (меньшим) числом или выражением (В).

Это так называемый закон монотонности для сложения.

Геометрическое истолкование:

При смещении двух точек прямой вправо (или влево) на одинаковое расстояние их относительное положение не меняется.

Это истолкование могло бы служить, обратно, средством установления нашего тождественного преобразования III.

IV)

Здесь А, В, Р — любые числа или выражения; одновременно берутся либо верхние либо нижние знаки.

Словами: любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя знак этого члена на обратный.

Доказывается путем прибавления (на основании преобразования III) справа и слева по —Р или по + Р.

V)

Первое преобразование доказываем путем перенесения членов А и В в другую часть с обратным знаком (на основании преобразования IV); второе является просто применением преобразования I.

Переход от первого неравенства к третьему выражаем так:

От перемены знаков обоих членов неравенства его смысл изменяется на противоположный.

Геометрически это преобразование означает поворот всей оси (в плоскости чертежа) на 180° около точки О, вследствие чего точки с абсциссами А и В переходят в точки с абсциссами — А и — В, симметричные с первыми относительно начала О; при этом, конечно, взаимное расположение точек меняется на обратное. Опять-таки это геометрическое наблюдение может служить вполне строгим обоснованием нашего преобразования V.

Следствие. При любом Z будет

Действительно :

Словами: разность (Z — А) возрастает при уменьшении вычитаемого (А > В) и уменьшается при увеличении вычитаемого (А < В).

VIa) VIб)

Справедливость этих преобразований вытекает из того, что при умножении относительного числа на положительное знак не изменяется, а при умножении на отрицательное число знак меняется на обратный.

Геометрическое истолкование:

Умножение абсциссы точки на положительное число К удаляет (при К > 1) или приближает (при К < 1) точку к началу О в отношении К: 1 ; умножение на отрицательное число кроме этого производит еще поворот на 180°.

VII а) VII б)

Доказательство.

Итак, при умножении обеих частей неравенства на положительное (отрицательное) число или выражение смысл его сохраняется (переходит в ротивоположный).

Отсюда: произведение двух сомножителей увеличивается с увеличением одного из них, если другой (неизменный) сомножитель положителен.

Геометрически это означает так называемое подобное преобразование оси (или преобразование подобия) относительно начала, т. е. растяжение или сжатие, сопровождаемое поворотом на 180° в случае отрицательного знака множителя К. При этом при положительном К взаимное расположение точек не меняется, а при отрицательном К оно переходит в противоположное.

Читая последние два преобразования справа налево, либо заменяя множитель К множителем 1/K, получаем такие преобразования:

VIIв)

VIIг)

Далее, VIII)

Для доказательства делим данное неравенство почленно на произведение AB:

IX)

(Делим почленно на В.)

Это преобразование дает нам новый критерий для сравнения двух чисел, если второе из них заведомо положительно: если отношение двух чисел больше единицы и второе число положительно, то первое число больше второго, и обратно. (Конечно, этот критерий предполагает, что мы знаем смысл слов: „больше единицы“). Разность A — В (по старинной терминологии „арифметическое отношение“) показывает, на сколько первое число больше второго, а отношение А:В (прежде его называли „геометрическим отношением“) показывает, во сколько раз первое число больше второго.

Ха)

(n — натуральное число).

Доказательства. 1) Сперва докажем лемму:

Теперь докажем преобразование Ха. Имеем:

Хб)

Доказательства. 1) Читаем Ха справа налево, рассматривая А как

(корни в этом преобразовании Хб везде берем арифметические, т. е. с плюсом). 2) Согласно Ха:

Итак,

Хв). Если А > 0, В > 0, p и q—любые натуральные числа, то:

Доказательство.

Хг) Если А > 0, B > 0, то

Действительно,

Аналогично для показателя — p/q.

Итак, неравенства с положительными частями можно, не нарушая их смысла, возводить в любые положительные (целые или дробные) степени; возведение в отрицательные степени изменяет смысл неравенства на противоположный.

Хд) Если A < 0, B < 0, то:

Доказательство.

Пример применения преобразований VIIa, VIIб и IV:

итак,

При x = 0, у = 0 второе неравенство обращается в такое: (0∧4}; следовательно, символ ∧ означает в нем <; поэтому в первом неравенстве символ ∨ (при х = у = 0) означает >; действительно, оно обращается в такое: {2∨0}.

§ 7. Примеры решения неравенств

Дадим несколько примеров применения установленных в последнем параграфе преобразований к решению неравенств. Начнем с числовых неравенств.

Пример 1.

(1)

Решить это неравенство — значит установить его смысл, т. е. значение символа ∨.

Перенося член 10 из левой части в правую (преобр. IV, § 6), превращаем неравенство (1) в следующее равносильное с ним неравенство:

(2)

которое в свою очередь равносильно (преобр. VIIб) с таким:

(3)

Последнее заменяем (преобр. Ха) неравенством:

(4)

Но 48 < 49, следовательно, символ ∧ означает в (4) и вообще в нашем исследовании < (меньше), поэтому символ ∨ означает > (больше). Итак,

Замечание. В дальнейшем, ради краткости речи, мы будем выражение „переходит в равносильное с ним неравенство“ (т. е.: „имеет одинаковый смысл с неравенством“ в случае сохранения знака ∨ или Д, и „имеет противоположный смысл“ в случае перемены знака ∨ на ∧ или ∧ на ∨) заменять словами: „переходит в“, или „обращается в“, или „наряду с этим будет“, или „это равносильно“, или „то-есть“ и т.д.

Пример 2.

(5)

Это равносильно

[преобр. Ха]

или

что переходит в

[преобр. IV]

т. е.

[преобр. VIIв]

или

[преобр. Ха]

Но

(6)

следовательно, ∨ означает здесь > ; поэтому

Как видим, применяемый нами способ решения заданного неравенства заключается в нахождении, путем ряда тождественных преобразований, такого неравенства, которое, будучи равносильным данному, в то же время легко позволяет установить смысл входящего в него символа ∨ (или ∧), т. е. легко может быть решено.

Пример 3.

Выполняем ряд тождественных преобразований:

Следовательно, ∧ означает >, а ∨ означает < . Поэтому

Пример 4.

Возводим в куб:

далее,

Теперь вычисляем обе части неравенства с точностью, достаточной для того, чтобы убедиться, какая из них больше; оказывается, что достаточно вычислить по два десятичных знака (даже по одному); имеем:

(точное вычисление дает: 10,067929 ∨ 10,3058). Итак, ∨ означает <, что и служит ответом.

Пример 5. Решим теперь неравенство, содержащее переменное (букву, могущую принимать любое числовое значение):

(7)

Напомним, что здесь требуется определить, при каких числовых значениях буквы X левая часть будет больше правой, когда она будет равна ей и когда будет меньше.

Умножаем обе части (7) на 3:

переносим постоянные члены в левую часть, а переменные члены в правую:

Делим на 4:

Итак, данное неравенство равносильно неравенству x∧3; это означает следующее:

(8) (9) (10)

Истолкуем наши результаты графически (черт. 3): неравенству (8) удовлетворяют абсциссы всех точек, лежащих вправо от точки 3, и только эти абсциссы; уравнение (9) имеет единственный корень х = 3; неравенство (10) удовлетворяется абсциссами всех точек, лежащих слева от точки 3, и только ими.

Обращаю внимание читателя на то, что изложенный здесь метод позволяет одновременно решить два неравенства и одно уравнение столь же просто, как обычными приемами решается каждое из них порознь. Достигается эта экономия сил и времени благодаря применению наших общих символов сравнения ∨ и ∧. Преимущество этих символов еще убедительнее выступает в решении следующих вопросов.

Пример 6. Какое влияние оказывает на величину дроби a/b с положительными числителем и знаменателем прибавление к каждому из них по одному и тому же положительному числу р?

В наших символах этот вопрос записываем так:

Умножая на положительное (при всех допустимых, т. е. положительных, значениях букв b, р) выражение b(b + p), находим неравенство, равносильное с данным (преобр. VIIa):

или откуда

деление на заведомо положительное р (преобр. VIIв) дает b∨а.

Итак, данное неравенство равносильно с неравенством b ∨ а, т. е.

если b > а (другими словами, если предложенная дробь a/b — правильная), то новая дробь будет больше старой; в случае если b = а (т. е. если данная дробь равна 1), то новая дробь равна старой; наконец, при b < а (когда дана неправильная дробь) новая дробь оказывается меньше старой. Короче говоря, правильные дроби от прибавления к их членам поровну возрастают, а неправильные — убывают.

Черт. 3.

При обычном методе, ограничивающемся решением частных неравенств (со знаком > или <), предлагается доказать справедливость готовых (найденных уже как-то) результатов, тогда как употребление общих неравенств (с символами ∨ и ∧ ) позволило нам открыть, найти эти неизвестные нам дотоле свойства дробей.

Примечание. Можно решить наше общее неравенство также и путем непосредственного определения знака разности между левой и правой его частью, не пользуясь тождественными преобразованиями неравенств.

Именно:

Констатируем, что знак последнего выражения одинаков со знаком разности b — а (так как прочие сомножители и делители положительны).

Таким образом при b = ^ а будет соответственно — = a/b.

В случае примера 1 берем разность (10 — 4 √3) — 3 = 7 — 4√3и умножаем ее на положительное количество (7 + 4√3), отчего знак разности не изменится; получаем 49 — 48 = 1 —число положительное; следовательно, наша разность тоже положительна, а потому 10 — 4√3 > 3.

Как видим, применение непосредственного способа решения неравенств (путем изучения знака соответствующей разности) требует иногда искусственных преобразований, тогда как пользование тождественными преобразованиями неравенств имеет более методический, алгоритмический характер.

Пример 7. Сравнить между собой арифметическое и геометрическое средние двух положительных чисел а и b.

Вопрос сводится к решению неравенства:

Освобождаемся от знаменателя:

возводим обе части в квадрат (они положительны!):

переносим все члены налево:

или

Но при афЬ будет: (а — b)2 > 0, следовательно, ∨ означает > а при а — b будет: (а— b)2 = 0, следовательно, ∨ означает = .

Выяснив смысл символа ∨ при различных комбинациях числовых значений букв а и b, приходим к такому ответу на поставленный вопрос:

Если положительные числа а и b различны, то их арифметическое среднее больше их геометрического среднего; при совпадении чисел а и b оба средние тоже совпадают.

И в этом примере наш метод позволил очень легко найти искомое соотношение между обоими средними, а не просто убедиться в правильности кем-то высказанного утверждения о характере этого соотношения.

Приведем еще два аналогичных примера.

Пример 8. Сравнить арифметическое среднее любых двух относительных чисел с каждым из них.

Записываем вопрос символически:

Решаем :

Итак,

Так как выражение — симметрично относительно а и b (т. е. не меняет своей величины при перестановке этих букв), то заключаем отсюда следующее :

Арифметическое среднее двух неравных чисел всегда больше меньшего из них и меньше большего; арифметическое среднее двух равных чисел равно каждому из них.

В случае а > b можем поэтому написать:

Пример 9. Сравнить геометрическое среднее двух положительных чисел с каждым из них:

или

Итак:

Поэтому, если а > b, то

Замечание. Равносильность двух неравенств общего вида заключается, по определению, в равносильности соответствующих частных неравенств. Поэтому формулы тождественных преобразований I—X можно применять и к преобразованию частных неравенств, сохраняя их смысл (т. е. знаки >, = , <), если в соответствующей общей формуле знак ∨ переходит сам в себя, и меняя их смысл на противоположный, если в общей формуле ∨ переходит в ∧. Вот пример таких преобразований:

Когда 2 —√x < √1 + x?

Во-первых, ради вещественности √х требуем, чтобы было x ⩾ 0. Во-вторых, различаем два случая:

а) 2 < √x, или 4 < x; тогда 2 —√x < 0, a √1 + х > 0, так что 2 — √х < √1 + х; таким образом все значения x, превосходящие 4, удовлетворяют нашему неравенству.

б) 0 ⩽ x ⩽ 4; тогда 2 — √х ⩾ 0, √1 + х > 0, поэтому можно обе части неравенства возвести в квадрат, сохраняя смысл неравенства; получаем:

или (делим на отрицательное — 4)

Итак, если 9/16 < x ⩽ 4, то неравенство тоже справедливо. Но мы уже видели, что при x > 4 неравенство справедливо. Поэтому наше неравенство верно при всех значениях x > 9/16 и только при них.

§ 8. Неравенства первой степени с одной переменной

Ознакомившись на примерах последнего параграфа со способами применения общих принципов к решению различных неравенств, переходим к систематическому изучению неравенств, содержащих переменные (неизвестные), а также систем таких неравенств. Попутно мы изложим графические приемы решения неравенств и их систем, имеющие в известных случаях большие преимущества перед приемами алгебраическими.

Начнем с неравенств, содержащих только одну переменную и притом в первой степени. Производя приведение членов в обеих частях неравенства к общему знаменателю, освобождаясь от него (умножением на этот знаменатель, причем смысл неравенства сохраняется либо меняется на противоположный, в зависимости от знака знаменателя) и перенося члены с переменной налево, а постоянные направо, можем всякому неравенству первой степени придать такой вид:

(a, b — определенные числа, х — переменная). Ввиду равноправности обоих символов ∨ и ∧, взятых в отдельности, достаточно будет изучить решение неравенства только первого типа:

(1)

При a > 0 оно равносильно с таким неравенством:

(2а)

а при а < 0 оно превращается в неравенство:

(2б)

В итоге получаем:

Уравнение ах = b имеет единственное решение (корень)

Число b/a называют высшим пределом неизвестного х, если все значения х < b/a, и низшим пределом, если все значения

Истолкуем эти результаты графически (ср. пример 5, стр. 32 — 33). Корню уравнения х = b/a соответствует точка Р0 с абсциссой х0 = b/a (черт. 4). Эта точка делит числовую ось на две полупрямые,— влево от Р0 и вправо от Р0. Абсциссы всех точек левой полупрямой меньше x0, а у правой полупрямой больше x0. Поэтому при а > 0 совокупность всех решений неравенства ах > b изобразится точками правой полупрямой, а для неравенства ах < b — точками левой полупрямой. Если же а < 0, то будет наоборот: правая полупрямая дает все решения для ax < b, a левая — для ах > b.

Пример:

Общий наименьший знаменатель всех дробей равен 24. Умножая на него все члены неравенства, сразу избавляемся от дробей; получаем:

или откуда

Черт. 4.

Следовательно,

Иногда неравенство первой степени кажущимся образом содержит высшие (чем первую) степени неизвестного, которые в процессе преобразований неравенства выпадают. Вот пример такого неравенства:

Раскрыв скобки и сократив по x2 слева и справа, получаем.

или

Следовательно, при любом значении x, превосходящем б, в данном неравенстве надо поставить знак < (вместо ∨); значение x = 6 дает единственный корень уравнения, которое получим, заменяя ∨ знаком = ; при всяком же значении x, меньшем чем 6, наше неравенство будет истинным, если вместо ∨ поставим > .

Часто приходится рассматривать вопрос о всех решениях неравенства такого смешанного типа: А ⩾ В (или А ⩽ В), т. е. требуется определить все значения х, при которых будет либо А > В либо А = В (соответственно А < В или А = В). В случае неравенств первой степени такого типа искомые значения, выражаясь геометрически, заполняют на оси правую или левую полупрямую, включая крайнюю точку Р0. Например:

Решаем:

Итак, заданное неравенство удовлетворяется абсциссами всех точек, лежащих справа от точки 4, а также и самой этой абсциссой 4.

Познакомимся теперь с одним геометрическим способом решения (а не только истолкования готового решения) неравенства первой степени с одной переменной.

Для этого заменяем данное неравенство

таким:

Обозначая левую часть одной буквой у, так что

(А)

сводим нашу задачу к решению неравенства: у∨0.

Но рассматривая любое значение х как абсциссу некоторой точки на плоскости, а соответствующее ему по формуле (А) значение у как ординату той же точки, получим бесконечное множество точек, которые заполняют, как известно, целую прямую, определяемую уравнением (А) (черт. 5). Теперь вопрос решается просто. Наша прямая, которую нетрудно построить, зная ее уравнение (А), пересекает в некоторой точке x0 (если а ≠ 0) ось абсцисс. В этой точке, т. е. при x, равном абсциссе этой точки, ордината у равна нулю, так что это значение X дает решение уравнения у = 0 или ах = b.

По одну сторону от этой точки прямая лежит над осью абсцисс, ординаты у ее точек здесь положительны; по другую сторону от точки x0 прямая лежит под осью абсцисс, и ординаты ее точек отрицательны. Следовательно, точка пересечения производит как раз требуемое разбиение всех абсцисс: 1) абсцисса, дающая решение (корень) уравнения у = 0, и 2) абсциссы, дающие решения неравенств: у > 0 и у < 0.

Черт. 5.

Примеры для упражнения;

6. Определить знак выражения

7. Определить знак выражения:

§ 9. Неравенства первой степени с двумя переменными

Начнем с примера. Требуется решить неравенство:

(1)

Задача состоит, как мы знаем, в том, чтобы все мыслимые комбинации числовых значений букв х и у распределить по таким трем классам, чтобы для значений одного класса символ ∨ получил смысл знака >, для другого класса — смысл знака = и для третьего — смысл знака < .

Разрешим наше неравенство относительно переменной у (как если бы значение х было постоянно):

или откуда

(2)

Неравенство (2) равносильно с (1), т. е. для каждой пары числовых значений х и у символ ∨ обозначает как в (1), так и в (2) одно и то же (>, = или <). Дадим букве х произвольное значение x0 (например 4). Тогда все значения буквы у, превосходящие число 0,5x0 + 1 (при x0 = 4 это будет число 3), вместе с этим значением x0 буквы х обратят неравенство (1) в неравенство 3x—у — 4 > 4х—3у— 2; все значения у, меньшие этого числа, вместе с x0 дадут: 3х—у — 4 < 4x — 3у—2; наконец, пара значений: х = x0, у = 0,5x0—1 является решением уравнения

Можно было бы поступить и наоборот: решить (1) относительно х (а не у), что дает:

или откуда

(3)

Припишем букве у какое-либо значение y0. Тогда, если взять х > 2у0 — 2, то вместе с y0 оно обратит символ ∨ в (1) в < ; если дать х любое значение < 2у0 — 2, то в (1) оно вместе с y0 даст > ; наконец, пара значений х = 2у0 — 2, у = y0 есть решение уравнения:

Возьмем теперь наудачу два значения: x0 = 4 и y0 = 5. Подстановка их в (2) дает 5∨3, следовательно, ∨ означает в данном случае > ; подстановка же их в (3) дает 4∧8, так что ∧ означает <, а потому ∨

означает >, что совпадает с предыдущим результатом. Поэтому и в (1) ∨ должно при х = 4,у = 5 давать > ; действительно,

или

Обобщим результаты нашего исследования. Всякое неравенство первой степени с двумя переменными можно путем тождественных преобразований привести к такому виду:

Если коэфициент А ≠ 0, то оно равносильно неравенству:

если же B ≠ 0, то его можно заменить таким неравенством:

Каждое из последних четырех неравенств показывает, что (строгие) неравенства первой степени с двумя переменными обладают при любом значении одной переменной (например x) бесконечным множеством решений, отличающихся значениями другой переменной (у); а уравнение первой степени с двумя неизвестными имеет, при каждом значении одной неизвестной, по одному (и только по одному) значению другой неизвестной, которое вместе с первым дает решение уравнения. Таким образом уравнения рассматриваемого типа обладают бесконечным множеством решений и носят поэтому название неопределенных уравнений.

Обратимся к графическому методу истолкования и решения неравенств рассматриваемого здесь типа. Он окажет нам в дальнейшем при решении систем неравенств неоценимую услугу.

Всякой паре числовых значений букв х и у соответствует определенная точка на плоскости, имеющая эти числа своими декартовыми координатами (по отношению к некоторой прямоугольной системе осей). Из элементов аналитической геометрии известно, что все точки, координаты X и у которых удовлетворяют уравнению

(2')

заполняют целиком некоторую прямую L, которая изображает, как говорят, это уравнение. Следовательно, все точки этой прямой L — и никакие другие точки плоскости — удовлетворяют вместе с тем и уравнению

(1')

Выражение: „точка удовлетворяет (такому-то) уравнению“ означает, что этому уравнению удовлетворяют координаты точки. Возьмем теперь наудачу какую-нибудь точку Я, лежащую на плоскости над нашей прямой (черт. 6); прямая, проходящая через нее параллельно оси ординат, пересечет нашу прямую L в некоторой точке S с координатами, которые мы обозначим через xs, ys. Последние, как сказано, удовлетворяют уравнениям (2') и (1'). Ордината ур точки P > ys, так как на прямой PS положительное направление берется кверху (как на оси ординат), а абсцисса xp = xs, так что:

Поэтому

(2")

тем самым точка Р удовлетворяет неравенству:

(1")

Координаты же любой точки Г, лежащей на нашей плоскости под прямой L, удовлетворяют неравенству

(2"')

так как уT < yQ, где Q — точка прямой L, лежащая на одной вертикали с точкой Т; тем самым координаты точки Т удовлетворяют неравенству:

(1'")

Итак, вся полуплоскость, лежащая кверху от прямой L, удовлетворяет (координатами всех своих точек) неравенству (2") и вместе с тем неравенству (1"); полуплоскость, расположенная книзу от прямой, удовлетворяет неравенствам (2)'" и (1"'); а сама прямая удовлетворяет уравнениям (2') и (1'). Вместе с тем мы получаем полное решение неравенства (1), так как всякому решению каждого из частных неравенств (1'), (1") и (1'") отвечает некоторая точка на плоскости, лежащая либо над прямой L, либо на самой L, либо под нею.

Сформулируем наши результаты в общем виде. Всякое неравенство первой степени с двумя переменными можно (если после приведения подобных членов коэфициент при у не окажется равным нулю) привести к такому виду:

Тогда прямая, изображающая уравнение

Черт. 6.

производит в геометрической форме искомую дизъюнкцию: координаты всех точек, лежащих над этой прямой, удовлетворяют неравенству

координаты точек, лежащих под нею, доставляют все решения неравенства

наконец, координаты всех точек самой этой прямой дают всю совокупность решений уравнения

Если бы после приведения членов оказалось, что член с у исчез, то мы имели бы неравенство с одной, а не с двумя переменными, типа: Ax + С∨ 0. Его решениями являются, как мы знаем, две полупрямые и разделяющая их точка x0 = C/A на числовой оси. Однако при изучении систем неравенств оказывается полезной другая точка зрения на такие неравенства; а именно, рассматриваем в качестве решений частного неравенства с одной переменной х пары значений двух переменных x0 и у, где x0 — какое-нибудь число, удовлетворяющее данному неравенству, а у — совершенно произвольное число. Геометрически это означает следующее: проводим прямую, параллельную оси OY, изображающую уравнение х = —C/A; тогда при А > 0 неравенству Ax + С < 0 удовлетворяют все точки плоскости, лежащие слева от этой прямой, неравенству Ax + С > 0 — все точки справа от нее, а уравнению Ax + С = 0 — все точки самой этой прямой. При A < 0 будет х∧—C/A, так что левая и правая полуплоскости меняются ролями. Если неравенство приведено к виду

(А)

то можно и не разрешая его относительно х или у сразу сказать, в какой части плоскости ∨ обращается в где ∨ переходит в = и где в < ; покажем, как это делается1).

Заменяя ∨ знаком равенства, превращаем неравенство общего вида (А) в уравнение

(В)

которое удовлетворяется координатами всех точек некоторой прямой L (и только этих точек). Прямая L может проходить по плоскости как наклонно к осям координат (при А ≠ 0 и B ≠ 0), так и параллельно оси ОХ (при А = 0) или оси OY (при В = 0). Если С = 0, то прямая проходит через начало координат. Предположим сперва, что С ≠ 0, так что прямая не проходит через начало. Если бы мы разрешили как неравенство (А), так и уравнение (В) относительно х или у, то новое уравнение (В') выражало бы ту же прямую, а новое неравенство (А*), будучи равносильно со старым, либо совпадало бы с ним по смыслу

1) Ср. статью автора в „Записках Одеського IНО“ за 1927 г.

(в случае символа ∨ в нем), либо имело бы при любых значениях букв противоположный ему смысл (в случае символа ∧). Но мы знаем, что для неравенства (А') дизъюнкцию всех решений дают прямая L и обе полуплоскости (над и под нею или слева и справа от нее). Поэтому и для неравенства (А) дизъюнкцию всех решений производит распределение точек плоскости на точки прямой L и на точки двух полуплоскостей, лежащих по обе стороны от нее. Знак неравенства (А) в каждой из них определяем так: в начале координат выражение Ax + By + С обращается в С; поэтому, если С > 0, то и во всех точках полуплоскости, лежащей по ту же сторону от прямой L, что и начало, будет Ax + By + C > 0, а по другую сторону от прямой L будет Ax + By + C < 0; если же C < 0, то всюду со стороны начала будет Ax + Bу + С < 0, а со стороны, противоположной началу, — наоборот1).

Если С = 0 (а также при желании и в случае, если С ≠ 0), поступаем так. Пусть A ≠ 0. Через произвольно взятую точку Р на плоскости проводим горизонтальную прямую (т. е. прямую, параллельную оси ОХ), которая пересечет прямую L в некоторой точке S, имеющей координаты x0, y0 (черт. 7). Тогда точка Р будет иметь координаты (x0 + h, y0), где h = h' < 0, если Р лежит слева от прямой L, и h = h" > 0, если Р лежит справа от L. Левая часть неравенства (А) обращается в точке Р в

так как координаты (x0, y0) обращают наш трехчлен Ax + Bу + Съ нуль. Следовательно, если точка Р лежит справа от L (h > 0), то знак трехчлена, одинаковый со знаком Ah, совпадает в ней со знаком коэфициента А; а для точек, взятых слева от L (h < 0), этот знак противоположен знаку A.

Черт. 7.

1) Сохранение трехчленом Ax + By + C постоянного знака по каждую сторону от прямой L можно обосновать и иначе, например, тем, что числовое значение выражения Ax + By + С, деленного на √A2 + B2, взятое со знаком, обратным знаку С, в любой точке плоскости дает расстояние этой точки от прямой L с его знаком; следовательно, знак этого выражения во всех точках, лежащих по одну и ту же сторону от прямой L, одинаков (так как и расстояния этих точек от прямой L берутся с одним и тем же знаком). Другое доказательство основано на непрерывности выражения Ax + Bу + С как функции двух переменных х и у и на свойстве непрерывных функций при перемене знака обязательно принимать по дороге нулевое значение; если бы это выражение в каких-нибудь двух точках M и N, лежащих по одну сторону от прямой L, принимало значения разных знаков, то хотя бы в одной точке К отрезка MN оно обращалось бы в нуль, а между тем эта точка К не лежала бы на самой прямой L, точки которой обладают исключительной способностью обращать наше выражение в нуль.

Итак,

При А > 0 всюду справа от прямой Ax + Bу + С = 0 будет Ax + By + С ⩾ 0, а слева от нее Ax + By + С < 0. Если же A < 0, то, наоборот, справа будет Ax + By + С < 0, а слева Ax + By + C > 0.

Если В ≠ 0, то, сравнивая точку P", лежащую над прямой L, и точку Q, лежащую под нею, с точкой Т, которая при той же абсциссе лежит на самой прямой, придем к такому выводу:

При В > 0 всюду сверху от прямой Ax + By + С = 0 будет : Ax + Bу + С > 0, а снизу будет: Ax + By + С < 0; если же B < 0, то трехчлен будет, наоборот, < 0 сверху и > 0 снизу.

Применим этот прием к изученному нами неравенству:

(1)

Перенося все члены влево, получаем:

(3)

Строим прямую L:

Проще всего это сделать, превратив наше уравнение прямой в уравнение „в отрезках“ (переносим член—2 направо и делим на 2 обе части уравнения):

и откладывая на осях от начала отрезки —2 и 1 (равные знаменателям при x и у) (черт. 8). Соединяя концы отрезков прямою, получаем, конечно, ту самую прямую, которая в нашем исследовании изображала уравнение у = 0,5x + 1, так как оба уравнения равносильны уравнению (1') (стр. 41).

Применим теперь наши критерии к неравенству (4). Свободный член С = — 2 < 0; поэтому в той из двух частей, на которые разбивает плоскость прямая L, где находится начало, всюду

(3')

и одновременно

а по другую сторону от прямой L имеет место неравенство

(3")

Коэфициент А (при х) = —1 < 0; поэтому слева от прямой имеем неравенство (3"), а справа — неравенство (3 ). Но в данном случае (черт. 8) левая сторона не содержит начала, а правая его содержит, так что оба критерия определения смысла неравенства (1) или (3) (по знаку A и по знаку С) дают одинаковые результаты, как и должно, конечно, быть.

Проверим еще третий критерий. Коэфициента (при у) = 2 > 0. Следовательно, неравенство (3') должно иметь место в нижней полуплоскости

Черт. 8.

(относительно прямой L), а неравенство (3") — в верхней. Но для нашей прямой нижняя часть содержит начало, а верхняя его не содержит; снова имеем совпадение результатов.

Скажем несколько слов о неравенствах первой степени с тремя переменными. Их всегда можно привести к виду:

Приписывая двум переменным, например х и у, произвольные значения, находим для третьей переменной (г) одно определенное значение (z0), обращающее наше общее неравенство в равенство (z0 — корень уравнения Ax + By + Сz + D = 0). Это значение z0 служит верхней границей для всех значений той же переменной z, при которых наше общее неравенство обращается в неравенство со знаком < (>), если коэфициент С при переменной z будет > 0 ( < 0), и нижней границей для значений, дающих неравенство со знаком > (<).

Для читателей, знакомых с элементами аналитической геометрии трех измерений, укажем, что, рассматривая значения х, у, z как координаты точки в пространстве, получаем такое геометрическое решение нашего неравенства: все точки пространства, удовлетворяющие своими координатами уравнению

заполняют некоторую плоскость; если С > 0, то все точки, лежащие над этой плоскостью, удовлетворяют неравенству

(I)

а все точки, лежащие под этой плоскостью, удовлетворяют неравенству

(II)

В случае С < 0 роли нижней и верхней частей пространства обмениваются. Можно определять смысл неравенства и по знаку А или В, а также D. Так, если D > 0, то неравенство (I) имеет место во всех точках той части пространства, в которой находится начало координат.

Упражнения. Решить разными способами неравенства:

§ 10. Системы неравенств

Под системой неравенств понимают совокупность нескольких (двух, трех или большего числа) буквенных частных неравенств (т. е. неравенств определенного смысла). Каждая комбинация числовых значений букв, входящих в эти неравенства, называется решением системы, если эти числовые значения удовлетворяют всем неравенствам системы.

При решении систем, т. е. при нахождении всех решений данной системы, применяют ряд правил, установлением которых мы и займемся в этом параграфе. Эти правила дают возможность получать, исходя из

данной системы, новые неравенства, которые наверное удовлетворяются каждым решением данной системы. Однако здесь мы не имеем равносильности между данной системой и новым неравенством. Последнее может обладать решениями, которые не удовлетворяют данной системе. Впрочем, если данная система состоит исключительно из уравнений, то каждое новое, выводное уравнение может в ряде случаев заменить одно из уравнений системы, так что это новое уравнение вместе со всеми прочими старыми уравнениями образует систему, равносильную данной, т. е. имеющую одинаковые с нею решения. Но если система содержит хотя бы одно строгое неравенство, то такая равносильность не имеет места (кроме тех случаев, когда новое, выводное неравенство получено из одного только какого-нибудь неравенства системы путем известных нам тождественных преобразований).

В качестве первого правила приведем известное уже нам свойство транзитивности системы неравенств одинакового смысла:

Правило I (свойство транзитивности): Если

то

(Напомним, что здесь символ ∨ всюду имеет один и тот же смысл: >, = или < .) (См. стр. 21).

Применим это правило к исследованию такого вопроса: допускает ли решения следующая система неравенств первой степени с одним неизвестным:

(А)

Если существует хотя бы одно значение х = x0, удовлетворяющее системе (А), то из справедливости числовых неравенств: а < х0; x0 < β вытекает на основании первого правила, что α < ß.

Следовательно, если данные числа а, ß не удовлетворяют этому соотношению, то система (А) не может иметь ни одного решения. Тогда говорят, что неравенства, составляющие систему (А), несовместны. Таким образом неравенство α < ß представляет необходимое условие разрешимости системы (А) (или совместности составляющих ее неравенств). Покажем, что это условие является в то же время и достаточным для разрешимости системы (А), а именно, что при его соблюдении существует бесконечно много решений этой системы (А).

Обозначим положительную разность ß— α (α < ß) через h (> 0), а любое число из интервала (0,1) через q (таких чисел q существует бесконечно много). Тогда число a + hq будет (при любом выборе q) решением системы (А); действительно:

Итак,

Геометрически все это представляется до крайности очевидным. Ведь всякому решению х системы (А) отвечает некоторая точка Р на оси, лежащая правее точки M с абсциссой α и левее точки N с абсциссой ß. Это возможно только в том случае, если точка N лежит правее точки М. При соблюдении же этого необходимого условия все внутренние точки отрезка MN, т. е. все точки, абсциссы которых больше α, но меньше ß, удовлетворяют системе (А). В выражении a + hq буква h обозначает длину отрезка MN, a q — отношение отрезков MP:MN.

Правило I'. Если a1 ⩽ a2 ⩽ a3 ⩽ ... ⩽ an, то a1 ⩽ an; если хотя бы в одном месте стоит наверно < (а не =), то a1 < аn.

Правило II. Если

то или

[буква Σ („сигма“) обозначает суммирование величин, получаемых из выражения, стоящего рядом с нею, заменою в нем индекса i последовательно значениями 1, 2, 3, ... до значения n, подразумеваемого или явно написанного над буквой Σ|.

Словами это правило выражаем так:

Почленное сложение любого числа неравенств одинакового смысла дает неравенство того же смысла.

Доказательство. Данные неравенства равносильны таким:

Следовательно, все разности, стоящие слева, одного знака либо все равны нулю. Поэтому и их сумма будет того же знака либо равна нулю:

или

Комбинируя это правило с тождественным преобразованием III (стр. 26), получаем такое

Правило II'. Если дан ряд неравенств вида

причем хотя бы в одном из них имеет место знак <, а не = , то

В самом деле, сложим сперва почленно те из данных неравенств, в которых стоит знак < ; получим неравенство вида А < В; теперь прибавим к А и к В левые и соответственно правые части оставшихся равенств. Тогда, в силу упомянутого преобразования III, знак неравенства < сохранится, и слева будет стоять сумма левых частей всех данных неравенств, а справа — сумма всех правых частей.

Правило III. Если

то

Словами:

Два неравенства противоположного смысла можно почленно вычесть, поставив знак первого неравенства.

Доказательство. Заменяем второе неравенство равносильным ему неравенством — с ∨ — d и к новой системе

применяем правило II: или

Примеры.

Правило III'. Если то

Доказательство. Имеем: а = b, — с ∧ — d; по II' или формуле III § 6: а + (— с) ∧b + (- d) или а — с ∧b — d. Словами:

Вычитая из равных по неравному, получаем неравенство противоположного смысла. Или:

При увеличении вычитаемого разность уменьшается.

Правило IV. Если

причем

то

Словами:

Перемножая почленно любое число неравенств одинакового смысла, составленных из положительных чисел, получим неравенство того же смысла.

Доказательство. Пусть ai > bi (i = 1, 2, . . .n), тогда ai = bi + hi, где все hi' > 0. Имеем:

Все слагаемые, стоящие в правой части, положительны. Следовательно,

где

Отсюда :

Если ai < dbp то bt > ai% и тогда по только что доказанному

Если, наконец, ai = bi, то a1а2⋅⋅⋅an = b1b2⋅⋅⋅bn, так как произведение нескольких чисел не изменяется от замены сомножителей равными им числами. Итак, при всех трех возможных значениях символа ∨ правило IV оправдывается.

В качестве упражнений в пользовании свойствами неравенств приведем еще два варианта доказательства этого правила:

а) Неравенства ai > bi равносильны таким: ai/bi > 1 (ибо bi > 0). Последние равносильны равенствам: ai/bi = 1 + xi, где xi обозначают некоторые положительные числа. Поэтому:

где r > 0. Следовательно,

или

Остальное — как в первом доказательстве.

6) Из a1∨b1, a2∨b2 выводим (умножая почленно первое неравенство на a2, а второе на b1):

или

Отсюда (по первому правилу):

Итак, для двух неравенств наше правило доказано.

Поэтому из a1а2 ∨ b1b2 и a3 ∨ b3 имеем право заключить, что a1a2a3∨b1b2b3. Умножая это на a4∨b4 и т. д., приходим к неравенству:

Наконец, как образчик искусственного способа доказательства, основанного на остроумном комбинировании алгебраических выражений, приведем доказательство нашего правила, данное французским математиком Коши в его знаменитом „Алгебраическом анализе“, напечатанном в 1821 г. (существует русский перевод, изданный в Лейпциге в 1864 г.). Вот оно:

Если ai > bi, то ai—bi > 0; следовательно:

Почленное сложение разностей дает:

(прочие члены сокращаются) или

Если в этом доказательстве везде вместо > написать ∨, то (применяя правило II) получим сразу правило IV в его общей форме. Следствие:

Доказываем посредством почленного перемножения одинаковых неравенств A∨В. Так как каждому из трех смыслов символа ∨ в неравенстве A∨В отвечает такой же смысл его в неравенстве An ∨ Вn, то оба эти неравенства равносильны (ср. замечание на стр. 25). Это правило

мы уже имели раньше (формула Ха, стр. 29). Поэтому и обратно из А ∨ В (при А > 0, В > 0) следует √А ∨ √В (формула Хб, там же).

Правило V. Если

(где a, b, с, d > 0), то

Словами:

Разделив почленно два неравенства противоположного смысла с положительными членами, надо в результате поставить знак первого неравенства.

Доказательство. Неравенство с ∧d равносильно такому (делим почленно на cd > 0):

Умножая его почленно на неравенство того же смысла a∨ b, находим (правило IV):

Правило V. Если

то

Словами:

Частное двух положительных чисел убывает при увеличении знаменателя.

Доказательство.

Правило VI. Если все части двух неравенств одинакового (противоположного) смысла отрицательны, то их можно почленно перемножить (разделить), изменив смысл первого из них на противоположный:

Доказательство. Заменяем данные неравенства такими, им равносильными:

1)

и

2)

откуда на основании правила IV (V) выводим:

1)

2)

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

§ 11. Решение систем неравенств первой степени с одной переменной. Неравенства с абсолютной величиной

В этом параграфе мы рассмотрим сперва системы из неравенств первой степени с одной переменной, а затем неравенства, содержащие переменную внутри абсолютных скобок.

А. Система из двух неравенств первой степени с одной переменной может быть приведена путем тождественных преобразований (каждого неравенства в отдельности) к одному из следующих видов:

Третий вид систем нами уже рассмотрен (стр. 47): если α < ß, то неравенства совместны и решениями служат все числа интервала (α, ß); если же α ⩾ β, то неравенства системы несовместны и система не имеет ни одного решения.

В случае системы 1) или 2) одно из неравенств оказывается излишним, так как оно является следствием другого. А именно, если α < ß, то из x < α, α < β следует по свойству транзитивности, что x < β; а из x > ß, ß > α следует x > α. Таким образом системы 1) и 2) сводятся каждая к одному неравенству; если это последнее неравенство удовлетворено, то и вся система удовлетворена (теми же значениями х).

Заметим, что числа α, ß, являющиеся в неравенствах x > α, x > ß низшими, a в неравенствах x < α, x < ß высшими пределами для допустимых значений x, называются, по отношению к системам 1) и 2), совпадающими пределами, а для системы 3) ограничивающими, если α < ß, и противоречивыми, если α ⩾ ß.

Если дана система из n (> 2) неравенств первой степени с одной переменной, то приводим ее к системе неравенств, разрешенных относительно x. При этом возможны такие случаи:

1. Все неравенства одного смысла:

(А)

либо

(В)

Обозначим через α наибольшее из чисел αi и через ß — наименьшее из чисел ßi. Тогда α даст низший предел для значений х, удовлетворяющих всем неравенствам системы (A), a ß даст высший предел для системы (В).

2. Часть неравенств, имея вид x > αi, дает для х низший предел α, a остальные неравенства, будучи вида x < βk, дают высший предел ß. Тогда если α < ß, то решения данной системы определяются интервалом (α, ß); если же α ⩾ ß, то система решений не имеет.

Б. Неравенства, содержащие абсолютные скобки с переменной внутри них.

Вот типичное неравенство рассматриваемого вида:

Напрасно читатель стал бы искать в тонких или толстых курсах алгебры решения подобных неравенств. Он их там не найдет. А между тем в курсах анализа и теории функций они встречаются буквально на каждом шагу. Впрочем, и в пределах элементарной математики такие неравенства должны были бы играть заметную роль, если бы не традиционная косность курсов элементарной математики. Ведь абсолютная величина разности между данным числом а и переменным числом х означает просто отличие одного числа от другого, независимо от того, которое из них больше и которое меньше. А с фактом большего или меньшего отличия двух величин связано множество практических вопросов. Например: „допуск“ в 0,2 мм означает, что некоторый размер (например диаметр цилиндра) не должен отличаться от нормы (стандарта) больше чем на 0,2 мм в ту или другую сторону; вычисление значения какого-нибудь выражения с точностью до 0,001 означает нахождение значений, отличающихся от „истинного“ значения меньше чем на 0,001, — опять-таки в любую сторону; стрельба с горизонтальным рассеянием в 20 см означает отклонение попадания от центра мишени вправо или влево, не превосходящее 20 см, и т. д. и т. п. Все эти условия могут быть записаны посредством неравенств упомянутого типа.

Итак, займемся решением нашего неравенства. Требуется установить, при каких значениях х будет |х — 2 | < 5, при каких будет | х — 2 | = 5 и когда |x — 2 | > 5 (это будут все остальные значения х). Легче всего получить полное решение вопроса, если обратиться к графическому его истолкованию.

Начнем с неравенства |х—2| < 5. Оно означает, как мы знаем, что расстояние аффикса Р числа х от аффикса А числа 2 должно быть меньше пяти. Обозначим через В и С аффиксы чисел 2 — 5 и 2 + 5, т. е. точки с абсциссами — 3 и + 7, отстоящие ровно на 5 единиц длины от точки А (черт. 9). Требуемому условию удовлетворяют все внутренние точки отрезка ВС и никакие другие точки. В переводе на язык формул это означает, что искомыми решениями будут все числа, удовлетворяющие неравенствам: —3 < x < 7, и только эти числа.

Уравнению | х — 2| = 5 удовлетворяют как раз точки — 3 и 7 (и только). А неравенству |x — 2| > 5 удовлетворяют все прочие точки; все они находятся от точки А на расстояниях, превосходящих 5 единиц, т. е. вне отрезка ВС. Их абсциссы х удовлетворяют либо неравенству х < — 3, либо неравенству х > 7.

Обобщая результаты решения этого конкретного неравенства, приходим к следующим выводам:

Неравенство вида |х — а|∨d (где d > 0) производит среди всех действительных чисел такую дизъюнкцию (черт. 10):

а) значения x, удовлетворяющие неравенствам

иначе говоря — взятые из интервала (а — d, a + d), удовлетворяют неравенству:

б) значения х = а — d и x — a + d удовлетворяют уравнению:

в) все прочие значения, определяемые либо неравенством:

либо неравенством:

удовлетворяют неравенству:

Покажем, как можно получить эти же результаты алгебраическим путем. Если для некоторого решения х неравенства |х — a| < d разность x — а ⩾ 0, то для него

Черт. 9.

Черт. 10.

следовательно, для такого решения х имеем:

или (прибавляем по а):

(1)

обратно: из (1) следует, что |х—a| < d.

Если же x — a < 0, то |х — а| = —(x — а), так что для этих решений x всегда

или (умножаем на — 1 и прибавляем по а):

(2)

обратно: из (2) следует, что | x — a| < d.

Таким образом совокупность всех решений неравенства |х — а | < d выражается записью а — d < х < а + d, что совпадает с результатом графического решения.

Далее, уравнение |х—a| = d при х—а ⩾ 0 сводится к такому: х — a = d; его единственным корнем будет x = a + d; если же X — а < 0, то имеем уравнение — (х — a) = d с корнем х = а — d.

Наконец, неравенство |х — а | > d в первом случае (x — а ⩾ 0) дает: х — a > d и приводит к решению x > a + d, а во втором (x — а < 0) — к решению х < а — d.

Эти результаты тоже, конечно, совпадают с прежними.

Очень часто встречающимся частным случаем неравенств рассматриваемого типа является следующее: |х||/ d (здесь а = 0). Для него полное решение получает такой вид:

а) неравенство |х| < d имеет решениями все числа интервала (—d, + d); они удовлетворяют системе: — d < x < d;

б) уравнение |x| = d имеет два решения: х = — d, x = + d;

в) неравенство | х | > d имеет решениями все числа, большие d, а также все числа, меньшие — d: х < — d, x > d.

Заметим, что интервал (а — d, a + d) называют окрестностью числа (или точки) а, числом d — радиусом этой окрестности, число же 2d — ее диаметром. Эта терминология возникла при изучении неравенств вида |z — с| |∨ r, где с — данное комплексное число, r — данное положительное число, a z—комплексное переменное. Если с = a + bi, z = х + yi, то изображениями (аффиксами) этих чисел с и z на координатной плоскости будут точки С (а, b) и Р (х,у) (черт. 11). Разность z — с изобразится вектором CP, а модуль |z — с| этой разности — длиной этого вектора. Таким образом требование или условие, выражаемое неравенством |z — с| < r, равносильно такому: расстояние CP должно быть меньше числа г. Этому условию удовлетворяют все точки, лежащие внутри

Черт. 11.

окружности К радиуса r с центром в точке С. Уравнению | z — с | = r удовлетворяют все точки самой окружности К (и только эти точки). Наконец, неравенству |z — с| > r удовлетворяют остальные точки; они лежат вне окружности К.

Совокупность всех точек, внутренних относительно окружности К, называют окрестностью радиуса r точки С или числа с. Как видит читатель, здесь это название вполне естественно; отсюда, из комплексной области, оно перенесено и на вещественную область.

Дадим пример применения неравенств изученного нами типа, взятый из теории пределов.

О числах некоторой бесконечной последовательности y1, y2, y3, ..., yn, ... (например, 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...) говорят, что они стремятся к пределу А (lim уn = А), если абсолютная величина разности между этими числами yn и числом А, начиная с некоторого значения N индекса n, все время остается меньше любого положительного наперед заданного числа ε (греческое „э“, читается „эпсилон“). Выразим это определение предела при помощи формул: если указано (произвольно малое) число ε > 0, то найдется такое целое (положительное) число N, что при всяком значении индекса л, которое удовлетворяет условию:

(3)

будет наверное:

(4)

Неравенство (4) мы умеем записать иначе:

(5)

так что можем наше определение предела сформулировать так:

Как бы мал ни был радиус е окрестности точки А, в нее попадут все члены последовательности y1, y2, ... ,yn, ... , начиная с некоторого номера N (величина которого зависит от величины радиуса ε).

Пример. Доказать, что последовательность 5/2, 7/4, 13/6, 15/8, ... имеет пределом число 2. Чтобы выяснить закон образования последовательных членов данной последовательности, перепишем их в таком виде:

так что вообще, при четном n, yn = 2 — 1/2n, а при нечетном n, yn = 2 + 1/2n. Итак, по данному положительному числу s требуется найти такое число N, чтобы при всяком значении п ⩾ N было:

(где + берем при нечетном n, а — при четном). Но

следовательно, надо, чтобы 1/2n < ε (как при четном, так и при нечетном n).

Это равносильно требованию: 1 < 2nε или n > 1/2ε, откуда находим, что условие N > 1/2ε гарантирует выполнение нашего требования. Например,

При определении предела функций понятие окрестности оказывается еще плодотворнее. А именно говорят, что функция f(x) стремится при приближении x к а к пределу А, если всякому положительному числу е отвечает такое положительное число 8 (греческое „д“, читается „дельта“), что неравенство |f(x) — А| < ε будет удовлетворено всяким значением аргумента х ≠ a, которое удовлетворяет условию: |x — а| < δ.. Тогда пишут: lim f(x) = A.

Заменяя неравенства |f(x)—A| < ε и |х — а| < δ условиями: f(х) принадлежит окрестности радиуса ε числа А и X принадлежит окрестности радиуса δ числа а, — можем так перефразировать это определение:

Запись lim f(x) = A означает, что всякой окрестности (сколь угодно малого радиуса s) числа А отвечает такая окрестность числа а (радиуса 8), что значение функции f(x) попадает в первую окрестность, всякий раз как значение числа x ≠ a взято где угодно во второй.

Это же определение, выраженное в неравенствах без абсолютных скобок, звучит так: limf(x) = А тогда и только тогда, когда всякому ε > 0 отвечает такое δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих условиям

удовлетворяется также двойное неравенство:

(черт. 12).

В случае комплексной функции от комплексного переменного w = f(z) = u + vi (черт. 13) определение предела: limf(z) = A, выра-

Черт. 12.

Черт. 13.

женное в терминах окрестности, совершенно одинаково с приведенным выше определением предела вещественной функции от вещественного переменного. Определение предела, свободное от абсолютных скобок, в случае комплексных величин не годится, так как к последним величинам наша теория неравенств неприменима; она применима лишь к модулю комплексного числа, являющемуся числом вещественным (и положительным).

Примеры для упражнения:

1. Решить неравенство:

Указание. Решить отдельно неравенства найти общие точки областей, дающих решения этих двух неравенств, изобразив их графически. Ответ: интервалы (—4; —1) и (3; 6).

Проверить ответ помощью геометрических соображений: точки х должны находиться от точки 1 ближе чем на 5 единиц, но дальше чем на 2 единицы

Примечание. Решить примеры 1—4 также в комплексной области.

5. Доказать, проверяя применимость определения предела, что lim (9—2x) = 7 и определить значения δ, соответствующие значениям ε = 1/2; 0,1; 0,001.

§ 12. Решение систем неравенств первой степени со многими переменными

Пусть требуется решить систему неравенств:

(А)

Умножая первое неравенство почленно на 2, заменяем эту систему такой:

(А')

равносильной системе (А) [в самом деле, всякая пара значений х и у, которая удовлетворяет (А), удовлетворит и (А'), так как первые неравенства обеих систем равносильны, а вторые—одинаковы; и обратно: всякое решение системы (А') годится и для (А) по тем же основаниям].

Почленное сложение обоих неравенств системы (А') дает такое следствие, верное для всякого решения системы (А') (или А) (по правилу II, стр. 48):

(В)

Это следствие, полученное нами по методу уравнивания коэфициентов или методу сложения и вычитания, показывает, что пара числовых значений x0, y0 только в том случае может служить решением системы (А), если число x0 > 2. Однако ничто пока не позволяет нам утверждать, что при всяком x0 > 2 наверное существуют значения y0, которые вместе с x0 дают решение системы (А). Чтобы решить этот вопрос, воспользуемся другим методом решения систем, а именно методом

сравнения: решаем оба неравенства (А) относительно у и заменяем (А) такой равносильной с ней системою:

(А")

Отсюда, на основании правила I (транзитивность), заключаем, что всякое значение x, которое, вместе с некоторым значением у, дает решение систем (А") и (А), должно удовлетворять условию:

или

Это — уже известное нам условие. Но система (А") показывает, что при соблюдении этого условия каким-нибудь значением x0 все значения у, принадлежащие интервалу (2 — 1/2 ×0, x0—1) (в котором первое число меньше второго), удовлетворяют вместе с x0 системе (А"), а, следовательно, и системе (А).

По мере увеличения значения x0 границы интервала все более раздвигаются, а именно его левый конец 2 — 1/2 ×0 неограниченно уменьшается, а правый конец x0—1 неограниченно возрастает. Поэтому совокупность всех значений y, могущих при подходяще выбранных значениях х служить решениями системы (А), оказывается неограниченной ни слева ни справа.

Применяя метод сравнения не к у, а к x, мы получили бы равносильную систему:

(А'")

из которой видно, что, давая у любое значение y0, а затем сообщая х какое-нибудь значение x0, одновременно удовлетворяющее обоим неравенствам системы: х > 1 + y0, x > 4 — 2у0, получим некоторое решение системы (А'"). Чтобы определить, какое из чисел 1 + у0 или 4 — 2у0 больше, решим неравенство

Оно дает: 3у0 ∨ 3 или y0 ∨ 1. Итак: если y0 > 1, то выражение 1 + у0 больше чем 4 — 2у0; оно дает низший предел для допустимых значений х. Если же y0 < 1, то надо брать x0 > 4—2у0, так как 4 — 2у0 теперь больше чем 1 + y0. Наконец, при y0 = 1 оба выражения 1 + у0 и 4 — 2у0 равны 2, так что в качестве х можно брать любое число > 2.

Все эти результаты, в совокупности дающие полную картину решения данной системы неравенств, потребовавшие от нас ряда преобразований и исследований, правда, очень элементарного характера, можно сразу получить в чрезвычайно наглядной форме, если воспользоваться знакомым нам геометрическим истолкованием неравенств с двумя переменными.

Графический способ. Заменив в неравенствах системы (А) знаки неравенств знаком равенства, составляем систему уравнений:

(C)

Вычерчиваем графики обоих уравнений этой системы (черт. 14). Это — прямые l1 и l2, пересекающиеся в точке (2, 1). Переписав систему (С) в виде

(С')

устанавливаем, что неравенство х — у — 1 > 0 или х — у > 1 имеет решениями координаты всех точек плоскости, лежащих справа от прямой l1, так как коэфициент 1 при х положителен (или лежащих со стороны l1, не содержащей начала, так как свободный член — 1 < 0). Неравенство же х + 2у — 4 > 0 или x + 2у > 4 удовлетворяется всеми точками, лежащими справа от прямой l2 (и в то же время со стороны l2, не содержащей начала). Поэтому оба неравенства системы (А) удовлетворяются одновременно координатами всех точек части плоскости, лежащей справа от обеих прямых l1 и l2, т. е. внутри угла I (черт. 14), — и только этих точек. Из чертежа видно, что абсциссы всех точек этой области больше 2, т. е. больше абсциссы точки пересечения прямых l1 и l2, служащей вершиной угла I. Итак, у всех решений (х, у) число x > 2. Далее, всякому значению x0 > 2 соответствует множество значений у, которые, вместе с этим x0, дают решения системы; именно, — ординаты всех точек заключенного между прямыми l1 и l2 отрезка PQ вертикали, проходящей через точку x0 на оси ОХ; следовательно, эти значения у заключены между числами 2 — 1/2 x0 и x0 — 1, ординатами точек Р и Q. Наконец, чертеж показывает, что эти пределы возможных значений у неограниченно раздвигаются в обе стороны при бесконечном возрастании x0. Это — результаты, полученные нами выше алгебраическим путем. Помимо прочего графический метод гарантирует нас от всегда возможных промахов при алгебраических переделках.

Тот же чертеж показывает (не требуя ни новых построений, ни выкладок), что полным решением системы

служат координаты всех точек, лежащих в угле II

III IV.

Черт. 14.

Если заданные неравенства — смешанного типа, например:

то решениями служат, кроме координат всех точек, лежащих внутри угла I, также и координаты всех точек, лежащих на верхней его стороне (вдоль прямой l1).

Замечание. Если читатель знаком только с уравнением прямой, решенным относительно у (вида у = ах + b, с угловым коэфициентом), то вместо системы (С) надо взять равносильную ей систему

и применить правило знаков для ординат точек, лежащих над и под данной прямой (стр. 42—43).

Еще ярче обнаруживается полезность графического способа решения систем неравенств на следующем примере:

(I)

Здесь метод сложения и вычитания неприменим, т. е. не дает возможности исключить одно из неизвестных. Что даст метод сравнения? Разрешаем систему сперва относительно X, а затем относительно у. Находим:

(I')

(I")

Но ни одна из этих систем ничем не ограничивает ни допустимых значений х, ни допустимых значений у. Курсы алгебры называют в подобных случаях заданную систему неразрешимой ни относительно x, ни относительно у.

У пытливого учащегося это утверждение должно вызвать чувство неудовлетворенности. Перепробовав несколько комбинаций и преобразований данных неравенств, он либо будет думать, что ему просто не посчастливилось напасть на то, которое приводит к цели (т. е. дает для х или у или для обоих предельные значения), либо, если и поверит в невозможность установления таких границ, все же будет недоумевать, почему одни системы неравенств приводят к таким пределам, а другие — нет.

Черт. 15.

Обратимся к помощи графического способа. Строим прямые g1 и g2 по уравнениям:

Система (I) или равносильная с нею система:

удовлетворяется координатами всех точек, лежащих вправо от обеих прямых, т. е. внутри угла I, —и только этих точек. Чертеж показывает, что ни абсциссы, ни ординаты точек этой области не ограничены, т. е. могут изменяться каждая в пределах (—∞, + ∞). Если же как-либо фиксировать (закрепить) значение одной из них (например x, приписав ей значение x0), то другая координата (в нашем случае у) оказывается уже ограниченной в своем изменении (в нашем случае у может изменяться от —∞ до некоторого y0, равного ординате точки, лежащей на прямой g1 или g2; при фиксировании значения ординаты y0, х может изменяться до + ∞, от некоторого x0, зависящего от выбора y0 и равного абсциссе точки, лежащей на g1 или g2).

Если в одном из неравенств системы (I) переменить знак > на <, то новая система будет иметь своими решениями координаты всех внутренних точек угла II либо угла IV. В каждом из них как значения х, так и значения у уже ограничены (снизу или слева в угле II и сверху или справа в угле IV), а именно, числом 1, равным абсциссе и ординате точки S пересечения прямых g1 и g2.

Наконец, система

соответствует области III, в которой снова ни х, ни у не имеют границ.

Рассмотренные нами примеры систем неравенств (А) и (I), с указанными вариантами их при замене знаков > знаками < и наоборот, исчерпывают все возможные типы подобных систем. А именно, первый тип систем соответствует тому случаю, когда прямые, уравнения которых получаем из данных неравенств заменой знака > или < знаком = , имеют угловые коэфициенты разных знаков, так что одна из них поднимается, а другая опускается (слева направо), а второй тип соответствует тому случаю, когда угловые коэфициенты обеих прямых имеют одинаковый знак, так что обе они либо поднимаются либо опускаются. В случае систем первого типа (при любой комбинации знаков > и <) всегда одна из переменных имеет низший или высший предел возможных для нее значений, а в случае систем второго типа либо обе переменные имеют по пределу, либо ни одна из них ничем не ограничена, — смотря по комбинации знаков > и < .

Еще полезнее оказывается графический способ при решении систем, состоящих из трех, четырех, . . . неравенств с двумя переменными, алгебраическое решение и исследование которых становится все более и более затруднительным и запутанным по мере увеличения их числа. А ме-

жду тем графическое истолкование таких систем неравенств делает решение их столь же простым и ясным, как и систем из двух неравенств.

Ограничимся одним примером :

Построив соответствующие прямые (черт. 16), видим, что данной системе удовлетворяют координаты всех точек внутри заштрихованного треугольника и никакие другие, так как эти и только эти точки находятся одновременно

В случае систем неравенств, содержащих три переменные, требуется рассмотрение нескольких плоскостей.

Упражнения

1. Решить систему:

2. Решить систему:

3. Решить систему:

4. Решить систему:

§ 13. Решение неравенств высших степеней

Начнем с решения неравенств второй степени с одной переменной. Перенеся все члены влево, можем такому неравенству всегда придать следующий вид:

Вопрос сводится к определению знака выражения А. Различаем три случая:

В этом случае корни α и ß уравнения A = 0 вещественны и неравны; А разлагается на вещественные множители первой степени:

Черт. 16.

Пусть α < β. Тогда при х < α, т. е. в интервале (—∞, α), выражение А имеет знак числа а, так как тогда х — α < 0, х — ß < 0. В „корневом“ интервале (α, ß), т. е. когда α < x < ß > А имеет знак числа — а, так как теперь х — α > 0, х — ß < 0. Наконец, при х > ß, т. е. в интервале (ß, + ∞) > A имеет снова знак числа а, ибо здесь

Геометрически эти результаты означают следующее. Графиком функции

служит параболасосью, параллельной оси ординат. В точках х = α, x = ß парабола пересекает ось абсцисс. При а > 0 вершина параболы лежит под ОХ, при a < 0 над ОХ. Знак выражения А есть знак ординаты у. Черт. 17 показывает, что внутри корневого интервала (α, ß) все ординаты отрицательны, если а > 0, и положительны, если а < 0; а вне этого интервала — наоборот. Это совпадает с предыдущими результатами, которые можно свести в такую схему:

б) b2 = 4ас.

В этом случае корни вещественны и равны. Обозначим их общую величину ( = —b/2a) через α. Тогда А = а(х— α)2. При x ≠ α знак А одинаков со знаком а; при х = α, А = 0. Итак, имеем схему:

Геометрически это соответствует тому, что уравнение y = ах2 + bx + с или у = а(х — α)2 имеет графиком параболу, касающуюся оси абсцисс в точке х = α, служащей вершиною параболы (черт. 18).

Черт. 17.

в) b2 < 4ac.

Корни уравнения А = 0 мнимые. Теперь в тождестве

в справедливости которого нетрудно убедиться, выражение в квадратных скобках при всех значениях х положительно; следовательно, знак А всегда совпадает со знаком а, т. е.

График функции у = ах2 + bx + с (т. е. парабола) теперь вовсе не встречает оси абсцисс, так что ординаты всех ее точек имеют один и

тот же знак (черт. 19).

Пример 1.

Здесь b2 — 4ас = ( — 5)2 — 4⋅1⋅6 = 1 > 0, следовательно, корни вещественны и неравны. Имеем: α = 2, ß = 3. Поэтому (а — 1)

Пример 2.

Здесь b2 — 4ас = — 3 < 0; корни мнимые. Знак А одинаков со знаком коэфициента при x2, т. е. 1. Итак, постоянно А > 0.

Пример 3.

Здесь b2—4ac = 0; оба корня равны единице. А ≡ 2(х—1)2 > 0 при x ≠ 1 u = 0 при x = 1.

Пример 4. При каких значениях параметра x неравенство

является тождеством (т. е. справедливо при всех значениях x)?

Решение. Данное неравенство равносильно такому:

Черт. 18.

Черт. 19.

Чтобы квадратный трехчлен, стоящий в левой части, сохранял знак + , необходимо и достаточно, как показывает сопоставление результатов предыдущего исследования, чтобы:

1) корни его были мнимые, что имеет место в том и только в том случае, если

т. е. если

2) коэфициент а при x2 был больше нуля 0; в данном случае, действительно, а = 1 > 0.

Итак, при любом значении параметра λ, превосходящем 11, наш трехчлен будет всегда иметь положительную числовую величину.

Вопросы. Что можно сказать о знаке этого трехчлена при λ = 11; при λ < 11?

Пример 5. При каких значениях x выражение

сохраняет знак + для любого значения x?

Решение. Имеем

Поэтому для постоянства знака А необходимо, чтобы было

Но этот новый квадратный трехчлен имеет корни λ2 = 2, λ2 = 4, а коэфициент при λ2 равен 1 > 0; поэтому он имеет знак минус в корневом интервале (2, 4). Итак, данное выражение будет сохранять знак + , если

Обратимся теперь к вопросу о решении неравенств, содержащих высшие степени переменной (неизвестной) х, но не в знаменателе и не под знаком корня. Такое неравенство после перенесения всех его членов в левую часть приводится к виду W∨0, где W—некоторый целый многочлен (полином) относительно х.

Решение неравенства W ∨ 0 сводится к определению знака полинома W при различных числовых значениях х. С этой целью разлагаем выражение W на такие множители, знаки которых определяются без труда.

Пусть

и мы в состоянии решить неравенства

Если для некоторого значения х = x0 хотя бы один из множителей A, В, С,..., К обращается в нуль, то и W = 0; в противном случае W ≠ 0, и знак его определяется числом отрицательных множителей, имеющихся среди A, B, С, . .., К (для х = x0).

Для определения знаков этих множителей достаточно найти их корни; тогда каждый множитель будет сохранять определенный знак при изменении X в интервале между двумя соседними его корнями, т. е. в каждом так называемом „корневом интервале“.

Однако не следует думать, что при переходе х через какой-нибудь корень данного множителя последний обязательно меняет знак. Так, мы видели, что квадратный трехчлен меняет знак при переходе х через каждый из неравных вещественных корней, но при переходе через единственный корень знак его не изменяется.

Если какой-нибудь множитель D выражения W сохраняет всегда один и тот же знак ( + или —), никогда не обращаясь в нуль, то знак W всегда одинаков со знаком частного W:D (или — W:D); поэтому достаточно исследовать произведение лишь тех множителей, которые при изменении х хотя бы один раз меняют знак.

Отметим еще, что линейный двучлен вида ах + b всегда меняет знак при переходе через свой корень x0 = —b/a. В самом деле, при а > 0

а при а < 0

В том и другом случае при переходе х через значение — знак ах + b меняется на обратный.

Итак, предположим, что мы нашли корни всех множителей A, В, С,. .., К и определили знак каждого из них во всех его корневых интервалах. Располагаем все корни в один возрастающий ряд:

и составляем такую примерно схему (для случая четырех множителей A, В. С, D):

Здесь выражения А и В имеют общий корень х = γ, выражения А и D — общий корень ß. Все корни α, β, γ, δ, λ являются корнями W; знак W определяем по правилу знака произведения, подсчитывая число минусов в соответственном столбце, изображающем интервал от одного корня W до ближайшего большего.

Пример.

Введем обозначения:

Исследование знака этих выражений дает (ср. стр. 64—66):

Располагаем все корни в один ряд:

и составляем схему:

Итак,

Скажем еще несколько слов о неравенствах высших степеней с двумя переменными.

Возьмем для примера неравенство:

Решим его относительно у:

а) Сперва ищем все решения уравнения

Если то

Итак, при соблюдении условия x2 ⩽ 25 или равносильного ему |x| ⩽ 5 (стр. 29, Хб), т. е. —5 ⩽ х ⩽ 5 (стр. 56), имеем для каждого х по два корня уравнения y2 = 25— x2, которые сливаются в один, когда 25 — x = 0, т. е. при x = ±5.

б) Обратимся теперь к неравенству y2 < 25 — x2. Так как всегда y2 ⩾ 0, то это неравенство возможно только при условии 25 — x2 > 0 (в силу транзитивности) или x2 < 25; это—наше прежнее условие — 5 < x < 5 (причем равенство на концах теперь исключено). При его соблюдении можно предложенное неравенство, которое переписываем так:

преобразовать по формуле Хб (стр. 29) в равносильное с ним неравенство

или

в) Наконец, в случае неравенства

ограничение 25—x2 > 0 отпадает, и мы различаем два подслучая:

в1) 25 — x2 ⩾ 0; тогда наше неравенство равносильно, по Хб, такому;

в2) 25 — x2 < 0; тогда при любом значении у будет y2 > 25 — x2 (так как y2 ⩾ 0).

Все эти результаты сразу получаются геометрическим путем. Мы исходим из того, что x2 + y2 = r2, где r—расстояние ОР точки Р(х, у) от начала координат О. Поэтому уравнение x2 + у2 = 25 удовлетворяется координатами всех точек, лежащих на расстоянии, равном √25 или 5 от начала, и только этих точек, т. е. всех точек окружности радиуса 5 с центром в начале (черт. 20). Неравенству x2 + y2 < 25 удовлетво-

ряют все точки, лежащие внутри этой окружности; их абсциссы принадлежат интервалу (— 5, + 5) (горизонтальный диаметр), а ординаты при данной абсциссе могут произвольно изменяться в интервале от — √25 — x2 до + √25 — x2. Наконец, неравенству x2 + у2 > 25 удовлетворяют все точки, расположенные вне нашей окружности. Предлагаем читателю убедиться, что совокупность всех таких точек действительно совпадает с теми парами значений x и у, которые удовлетворяют полученным выше неравенствам (случаи „в1“ и „в2“). Аналогично этому решаются неравенства:

(1)

(2)

В случае неравенства (1) левая часть имеет знак минус (соответственно плюс) во всех внутренних (соответственно внешних) точках эллипса, уравнение которого получаем из (1) заменой ∨ знаком = (черт. 21). В случае неравенства (2) такую же роль играет гипербола (черт. 21): между ее ветвями знак левой части (2) есть минус, а внутри обеих ветвей — плюс.

В случае неравенств высших степеней с тремя переменными приходится оперировать с поверхностями. Например, неравенство

удовлетворяется во всех точках (x, у, z) пространства, лежащих вне эллипсоида

§ 14. Решение неравенств, содержащих дробные и иррациональные выражения

1. Всякое неравенство, содержащее алгебраические дроби, можно

привести к равносильному с ним неравенству вида: A/B ∨ 0, где A и В— целые многочлены. Охватываемые им частные неравенства равносильны

Черт. 20.

Черт. 21.

двум системам из двух неравенств каждая, не содержащим дробных выражений. В самом деле: неравенство A/B > 0 верно в том и только в том случае, если одновременно А > 0 и В > 0, либо одновременно A < 0, B < 0. Неравенство A/B < 0 верно, если А > 0 и B < 0, либо А < 0 и B > 0.

Что касается уравнения A/B = 0, то оно удовлетворяется в том случае, когда одновременно A = 0, В ≠ 0. Случай A = 0, B = 0 требует специального исследования значения lim A/B при заданных условиях изменения переменных.

К этому же заключению можно притти еще и таким образом: A/B = A⋅B/B2, но B2 > 0 (так как предполагается, что B ≠ 0); следовательно, знак дроби A/B одинаков со знаком произведения AB, а знак этого последнего определяется в зависимости от знаков А и В точно так же, как и при первом способе. Впрочем, здесь можно применить и общий прием § 13.

Пример 1.

Преобразовываем :

Заметим, что последнее неравенство не вполне равносильно со всеми предыдущими, так как в них предполагается, что (х — 3)(х — 1) ≠ 0, т. е. что x ≠ 3 и x ≠ 1.

Ищем все корни уравнения W = 0:

Располагаем их по их относительной величине:

и составляем схему:

Все эти результаты, кроме обращения в нуль при x = 1 и х — 3, справедливы и для заданного неравенства, так что в нем символ ∨ означает:

При приближении х к 1 или 3 значение одной из дробей в данном неравенстве бесконечно возрастает по абсолютной величине, сохраняя знак + или —, смотря по тому, с какой стороны от 1 или 3 лежат рассматриваемые значения х.

Пример 2.

Применим сначала графический прием; он в данном случае сложнее алгебраического, но делает более наглядным характер поведения выражения, стоящего в левой части неравенства, при изменении х от —∞ до + ∞.

Строим график функции

(черт. 22). Это — равносторонняя гипербола; асимптотами ее служат прямые х = —2; у = 1. Чертеж показывает, что:

При приближении абсциссы х к — 2 от меньших значений (т. е. слева) ордината у→ + ∞, а при приближении х к —2 справа (от больших значений) у→b —∞.

Вот алгебраическое решение:

Знак последней дроби одинаков со знаком ее числителя (кроме значения X = — 2, когда дробь теряет смысл). А последний есть плюс вне интервала (— 2, — 1) и минус внутри него; это совпадает с установленным выше знаком ординаты графика.

2. Обращаемся к неравенствам, содержащим иррациональные выражения. Здесь прежде всего надо определить совокупность всех значений переменных, при которых выражения, стоящие под знаками корней четной степени, получают неотрицательные значения; иначе появятся мнимые количества, к которым наше основное определение термина „больше“ неприложимо. Это уже само по себе представляет задачу на решение неравенств. Затем уединяют радикальное выражение (или одно из них, если их несколько) и, соблюдая предосторожности (касающиеся знаков выражений), возводят обе части неравенства в степень, равную показателю этого корня. Если после этого в неравенстве останутся еще радикальные выражения, то описанную операцию (уединения одного из радикалов и возведения в степень) повторяют, пока не исчезнут все знаки корня (из буквенных выражений). После этого заканчивают исследование неравенства по обычному методу.

Эти общие указания мы поясним на конкретном примере (заимствую его из классической „Алгебры“ Ж. Бертрана, но при решении применяю символы ∨ и ∧).

Требуется решить неравенство:

(1)

Корень надо понимать в арифметическом смысле (т. е. как + √, а не как — √или ± √), так что он не может быть меньше отрицательного числа или нуля. Отсюда — первое требование или необходимое условие разрешимости неравенства (1): а— 1 > 0 или а > 1. Далее, квадратный корень будет иметь вещественное значение тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно. Отсюда второе требование или необходимое условие разрешимости (1):

(2)

Черт. 22.

Это условие равносильно с таким:

(3)

кроме значения х = а, которое удовлетворяет неравенству (3), но не (2). Решения неравенства (3), взятого со знаком >, лежат вне корневого интервала (—a/3, а), так как при раскрытии скобок получается квадратный трехчлен с коэфициентом 3 при x2 и корнями -a/3 и а, обращающими линейные множители 3х + а и х — а в нуль; при этом а > -a/3, ибо a > 1 > 0. Знаку = в (3) отвечают корни — -a/3 и а, но второй, как указано, для (2) не годен.

Итак, все решения неравенства (1) должны содержаться среди значений x, принадлежащих интервалам

(4)

Здесь квадратная скобка ] после —a/3 показывает, что число —a/3 причисляется к интервалу [так как значение х = — -a/3 тоже удовлетворяет неравенству (2); нетрудно видеть, что оно дает одно из решений (1) при всяком а > 1].

Возводим теперь (1) почленно в квадрат:

(5)

Это неравенство для значений х, лежащих в указанных выше интервалах, равносильно (1), так как в этих интервалах обе части неравенства (1) неотрицательны.

Заменяя (5) равносильным неравенством:

(6)

умножаем в последнем числитель и знаменатель на х — а и сводим неравенство (6) к равносильному с ним неравенству

(7)

[значение х = а согласно условию (4) исключается]. После небольших алгебраических преобразований получаем:

(8)

Прежде чем действовать дальше, изучим множитель 2 + 2a1, a2. Имеем:

и, наконец, Итак:

Изучим в отдельности эти случаи.

(9)

Поэтому x не может содержаться в интервале (а, + ∞); следовательно, [в силу условия (4)] x < — a/3.

Итак, неравенство (1) при а = 1 + √3 удовлетворяется значениями

б) Если

Вынесем этот множитель в (8) за скобки:

(10)

(мы взяли знаменатель с обратным знаком, чтобы иметь в скобках разность, а не сумму). Здесь первый (постоянный) сомножитель 2 + 2а — a2 > 0. Произведение двух других линейных сомножителей (равное некоторому квадратному трехчлену с положительным коэфициентом при x2) будет < 0 внутри корневого интервала, т. е. между числами а и —. Но которое из них больше? Во втором знаменатель < 0, так как он = — (2 + 2а — a2), a теперь (см. выше) 2 + 2а — a2 > 0; числитель же, как мы видели, равен (а—1)2 + 1 > 0; поэтому второе число < 0; так как первое (а) > 0, то

Итак, неравенство (10) равносильно двойному неравенству:

С другой стороны, если x < a, то в силу условий (4), x ⩽ —a/3. Но совместимо ли это последнее неравенство с полученным только что неравенством

Имеем:

(11)

отсюда

Но a > 1 следовательно, (а—1)2 > 0, поэтому ∧ означает >, а ∨означает в (11) < ; в результате неравенства оказываются совместными, и окончательно имеем:

в) Пусть, наконец, а > 1 + √3. Тогда 2 + 2а — a2 < 0. Поэтому неравенство (10) требует (и будет тогда удовлетворено), чтобы х лежал вне корневого интервала а, — ^ последней дроби числитель и знаменатель положительны, кроме того числитель больше знаменателя (на 4); следовательно, эта дробь > 1, так что первый корень (а) меньше второго; поэтому надо брать либо x < а либо х > —. В сочетании с условием (4) это дает (так как —a/3 < а, а правая часть последнего неравенства > а ) :

Сведем теперь воедино найденные результаты, вводя для дроби — сокращенное обозначение M/N. Имеем: если а ⩽ 1, то неравенство (1) имеет решений; если 1 < а < 1 + √3, то неравенство (1) удовлетворяется при M/N a < x ⩽ — a/3-; если а = 1 + √3, то неравенство (1) удовлетворяется при х ⩽ a/3 ; если a > 1 + √3, то неравенство (1) удовлетворяется при х ⩽ -a/3 и при х > а.

Если рассматривать а как абсциссу, а х как ординату точки Р(а, x), то совокупность решений неравенства (1), т. е. удовлетворяющих ему значений а и х, заполнит две части плоскости, расположенные справа от вертикальной прямой а = 1 : первая из них ограничена сверху прямою х = — a/3, а снизу частью кривой третьего порядка x = , вторая ограничена снизу другой частью той же кривой. Рекомендуем читателю начертить эти графики и заштриховать область решений неравенства (1).

Разберем еще такой пример: решить неравенство

(А)

Дано, что а > 0. Ради вещественности корней требуем, чтобы было:

или

или, наконец,

Эти требования будут выполнены, если х принадлежит одновременно двум корневым интервалам: [—а, а] и [0, 2а] (концы интервалов не исключаются). Общая их часть выразится так:

Уединяем в (А) второй радикал:

Правая часть этого неравенства неотрицательна, так как √a2 — x2 ⩽ < √a2 = a. Поэтому возведение обеих частей в квадрат дает равносильное неравенство:

или (по разделении на 2а > 0)

или

Здесь снова обе части ⩾ 0. Возводя в квадрат, получаем неравенство:

равносильное с предыдущим (и следовательно, с заданным). Оно дает:

Значение х = 0 неравенству (А) не удовлетворяет; поэтому условие 0 ⩽ х ⩽ а заменяется таким: 0 <x ⩽ а.

Теперь мы можем разделить полученное неравенство x2 < ах почленно на х; получаем:

что равносильно (А). Так как вместе с тем все значения интервала (0, а) допустимы, то полным решением неравенства (А) служат все значения

§ 15. Системы неравенств высших степеней

Ограничимся разбором одного примера. Требуется решить полностью систему:

(А)

Построим графики функций: y = 2x2, у = х. Первый — парабола, второй— прямая (черт. 23). Неравенству у > х удовлетворяют все точки плоскости, лежащие над прямой у = х, а неравенству у < 2x2— все точки, расположенные ниже параболы у = 2х2. Поэтому системе (А) удовлетворяют координаты всех точек, лежащих одновременно над прямой и под параболою (заштрихованная часть плоскости). Точки О, S пересечений этих линий имеют координаты (0, 0), (1/2, 1/2), которые находим, решая систему уравнений у = 2х2, у = х методом сравнения: x = 2x2; x —2x2 = 0; x(1 — 2x) = 0; x1 = 0, x2 = 1/2 ; y1 = 0, y2 = 1/2. Чертеж показывает, что абсциссы точек, дающих решения неравенства (А), лежат в интервалах: (—∞, 0) и (1/2, + ∞). Ординаты же этих точек заполняют весь интервал (—∞, + ∞). Но если фиксировать какое-нибудь допустимое значение x = x0, то у может при этом значении х принимать любое значение от ординаты у'0 = x0 точки Р на прямой до ординаты y"0 = 2x02 точки Q на параболе, т. е.

Если же фиксировать (произвольно) значение у = у0, то для х получаем различные по форме интервалы в зависимости от величины y0. А именно (черт. 24):

а) Если y0 ⩽ 0, то —∞ < х < y0; это дает полупрямую, имеющую правый конец на прямой у = х.

б) Если 0 < у0 ⩽ 1/2, то точки, дающие решения, заполняют горизонтальную полупрямую, правый конец которой лежит на левой поло-

Черт. 23. Черт. 24.

вине параболы, так что его абсцисса x0 удовлетворяет условию: y0 = 2х2, откуда x0 = — √у0/2. Итак, теперь

в) Если y0 > 1/2, то соответствующие точки заштрихованной области заполняют: 1) такую же полупрямую, как в случае „б“, и 2) отрезок вида RT от правой половины параболы до прямой. Следовательно, в этом случае (А) удовлетворяется значениями х из двух интервалов:

Проведем алгебраическое исследование. Систему (А) переписываем так:

(A')

откуда следует (транзитивность!), что всякое решение (x0, y0) системы (А) должно удовлетворять такому необходимому условию разрешимости системы:

(В)

Из этого условия делаем такие заключения:

1. Значение x0 = 0 не может (ни с каким значением у = у0) дать решения неравенства (А).

2. Если x0 < 0, то условие (В) выполняется, так как слева стоит положительная величина, а справа — по предположению — отрицательная. Поэтому условию (В) удовлетворяют все отрицательные значения x.

3. Если x0 > 0, то из (В) выводим:

Следовательно, не все положительные значения х (вместе с подходяще выбранными значениями у) могут дать решение неравенства (А), а только значения, превосходящие 1/2.

Итак, значения 0 ⩽ х ⩽ 1/2 следует отбросить. Остаются —∞ < x < 0 и 1/2 < х < + ∞.

Приписывая X какое-нибудь из этих допустимых значений, получаем для у, в системе (А) или (А'), два совместных условия (так как 2х2 > х). Поэтому (А) (при взятом x = x0) будет удовлетворено всеми значениями у из интервала

Поступим теперь наоборот: выберем как-нибудь определенное значение у = у0 и станем искать значения х, которые вместе с этим у удовлетворяют неравенству (А).

а) Если y0 < 0, то условие y0 < 2х2 не накладывает на х никаких ограничений, так как всегда 2×2 ⩾ 0, следовательно, и подавно 2×2 больше отрицательного y0. Остается второе неравенство: y0 > х или х < у0; это — единственное в этом случае ограничение для х и всякое такое значение X, вместе с у = у0, удовлетворяет неравенству (А).

б) Если y0 ⩾ 0, то из y0 < 2х2 находим : x2 > y0/2 или |х|2 > y0/2, откуда что удовлетворяется при

(стр. 56). Но, с другой стороны, должно быть y0 > х. Все значения будучи отрицательными, удовлетворяют этому условию

(ведь теперь y0 ⩾ 0). Значения же

могут удовлетворить второму неравенству системы (А) только в том случае, если

При выполнении этого условия все значения X из интервала

дадут решения неравенства (А).

Все эти результаты были получены выше геометрическим путем гораздо нагляднее, а главное — с меньшим риском совершения ошибки.

Система

имеет решениями координаты всех точек сегмента параболы, отсекаемого прямою у = х.

Системе

удовлетворяют все остальные (т. е. лежащие над прямой у = х) внутренние точки параболы.

Рекомендуем читателю ради упражнения установить для этих, систем, а также и для четвертой комбинации знаков > и < интервалы всех решений при данном x0 или y0 сперва алгебраически (не глядя на чертеж), а затем, для контроля, геометрически.

ДОБАВЛЕНИЕ

На протяжении предыдущих страниц нами изложены основные положения и методы теории сравнения действительных чисел и буквенных выражений (рассматриваемых как функции входящих в них букв — переменных) по величине. В этом последнем разделе должны найти себе место, с одной стороны, некоторые из так называемых „замечательных неравенств“, с другой — ряд соображений и замечаний общего характера, относящихся к неравенствам вообще.

§ 1. Некоторые „замечательные неравенства“

1. Начнем с 25-й (заключительной) теоремы V книги евклидовых „Начал“ (вся V книга посвящена учению об отношениях величин):

Если четыре величины пропорциональны, то наибольшая и наименьшая (из них) больше (вместе взятые) двух остальных (вместе взятых).

Докажем это свойство пропорций. Наибольший член пропорции всегда можно путем перестановок ее членов поместить на первое место; таким образом можем считать, что в пропорции

a:b = c:d

член а больше остальных трех [все четыре числа предполагаем положительными, так как они служат мерой величин, которые у Евклида имеют абсолютный (ненаправленный) характер, каковы, например, длины отрезков прямой]. В таком случае последний член d будет наименьшим из всех.

А именно:

следовательно,

Составляем производную пропорцию:

Но а > с, следовательно, откуда (так как с — d > 0)

или

ч. и тр. д.

2. Теорема и неравенство Бернулли.

Теорема. Если первые два члена a1 и a2 арифметической прогрессии a1, a2, a3, ... положительны, не равны между собой и совпадают

с первыми двумя членами b1 и b2 геометрической прогрессии b1, b2, b3, ..., то все следующие члены арифметической прогрессии меньше соответствующих членов геометрической прогрессии.

Итак, дано, что a1 = b1 > 0, a2 = b2 > О, a1 φ a2; теорема утверждает, что an < bn при всяком n > 2. Заметим, что в силу условия b1 > 0, b2 > 0 все члены bn геометрической прогрессии положительны.

Если индексы 1, 2, 3, .. . изобразить равноотстоящими точками оси абсцисс, то концы A1, A2, A3, . .. восставленных в этих точках ординат величиною в a1, a2, a3, ... будут расположены по одной прямой, а концы B1, B2, B3, . .. ординат b1, b2, b3, ... (восставленных в тех же точках оси абсцисс) — по кривой, которую Лейбниц и Бернулли называли „логарифмикой“, а теперь называют графиком показательной функции, так

Наша теорема утверждает, что точки B3, B4, ... лежат над прямой A1A2, если A1 и A2 совпадают с B1 и B2 и лежат над осью ОХ (a1 > 0, a2 > 0) (черт. 25). При a1 < a2 прямая поднимается вверх (вправо), при а > а2— опускается книзу, что соответствует возрастающей, соответственно убывающей арифметической прогрессии. В пропорции

выражающей определение геометрической прогрессии, либо b1 наименьший, а bn + 1 — наибольший из ее четырех членов (в случае возрастающей прогрессии), либо наоборот (если прогрессия убывающая). Поэтому в обоих случаях согласно предыдущей теореме Евклида имеем:

откуда

При n = 2, 3, ... это дает такой ряд неравенств:

Черт. 25а. Черт. 25б.

Почленное сложение дает:

В частности при a1 = b1 = 1, a2 = b2 = 1 + h > 0, h ≠ 0, имеем:

так что теорема Бернулли дает неравенство:

справедливое для всякого n > 1, при условии, что 1 + h > 0. Это последнее неравенство и носит название неравенства Бернулли.

Замечание. Вышеприведенная теорема содержится в сочинении Якова Бернулли (Jacob Bernoulli, 1654—1705), изданном (на латинском языке) в 1689 г. в Базеле (Швейцария) под названием: „Арифметические предложения относительно бесконечных рядов и их конечных сумм“ (часть 1, предложение IV). Сам Бернулли тоже опирается в доказательстве своей теоремы на упомянутую теорему Евклида, но ведет доказательство несколько иначе, чем приведенное выше. Наша форма доказательства заимствована из книги: Kowalewski, Die klassische Probleme der Analysis des Unendlichen.

Неравенства (1 + h)n > 1 + nh мы у Бернулли не находим, но по сути на нем основано у него доказательство следующей за предыдущей теоремы V: „В возрастающей геометрической прогрессии А, В, С, D, Е можно в конце концов притти к члену Е, который больше любого данного Z“. Вот доказательство этой теоремы, принадлежащее Бернулли: „Пусть арифметическая прогрессия А, В, F, G, H начинается с тех же членов и продолжена настолько далеко, пока ее последний член H не превзойдет Z (что это возможно, представляется очевидным) [скобки Бернулли —Д. К.]. Теперь продолжим геометрическую прогрессию на столько же членов. Тогда по предыдущему предложению последний член Е будет больше H и, следовательно, больше Z, что и требовалось доказать.

Мы теперь изложили бы мысль Бернулли так: пусть b, bq, bq2, ... — прогрессия со знаменателем q > 1, так что q = 1 + h, h > 0; составим арифметическую прогрессию b, bq (=b + bh), b + 2bh, b + 3bh, ... Если b > 0, то, по теореме Бернулли, bqn > b + nbh [отсюда можно получить неравенство Бернулли:

Как видим, в этом доказательстве предполагается, что h > 0, тогда как в вышеприведенном изложении требуется только, чтобы 1 + h > 0 (или h > —1) и h ≠ 0, т. е. прогрессия может быть и убывающей.

3. Неравенство Шварца. Решим такие неравенства:

или вообще:

Пользуясь символом суммирования, перепишем последнее неравенство так:

Выполняя в левой части умножение, разобьем произведение на два слагаемых:

во второй сумме значки (индексы) r и s получают, независимо один от другого, все значения от 1 до n, с тем ограничением, что в каждом произведении ar2b2s буквам r и s даем только неравные между собою значения: r ≠ s. Например, в случае первого из наших неравенств левая часть дает:

Выполняя в правой части нашего неравенства возведение в квадрат, находим :

Здесь во второй сумме справа соблюдаем условие: r < s. Например, правую часть первого неравенства запишем так:

а второго неравенства так:

Таким образом наше неравенство (в общем случае) перепишется так:

Первые слагаемые справа и слева сокращаются; второе же слагаемое слева можно переписать так:

Например:

Действительно, члены суммы

распадаются на такие две группы:

но члены второй группы можно, изменяя обозначения, записать еще и так:

Получаем две группы.

которые соединяются в одну такую:

Перенося теперь в нашем неравенстве оставшуюся справа сумму налево, находим:

или

Но сумма квадратов всегда больше нуля, кроме случая обращения всех квадратов в нуль. Таким образом

если хотя бы одна разность

т. е. если

хотя бы для одной пары неравных значений r и s (от 1 до n). В противном случае, т. е. когда

знак ∨ означает знак равенства.

Таким образом доказано так называемое тождественное неравенство Шварца (Schwarz):

причем знак равенства имеет место в случае пропорциональности всех чисел аr числам br, и только в этом случае.

4. Неравенство: n! > √nn. Это неравенство верно при всяком натуральном п > 1 (по определению, n! = 1⋅2⋅3⋅⋅⋅n).

Докажем сперва, что при 1 < k < n всегда

Действительно, из k < n умножением на k—1 (> 0) выводим:

ч. и тр. д.

Полагая здесь k = 2, 3, .,., n — 1, получаем (дописывая два равенства):

Перемножая, находим п!п! > пп или n! > √nn. Например, 3! > √33 или 6 > √27.

5. 8abc < (a + b) (b + c) (с + а), если a, b, с положительны и не все между собою равны.

Доказательство. При указанных условиях имеют место неравенства:

(стр. 34), причем по крайней мере в одном из них стоит знак < . Почленное перемножение их и дает требуемое неравенство.

6. Если а и b положительны и не равны друг другу, то

т. е. сумма любой (отличной от 1) дроби с положительными членами и обратной дроби всегда больше двух (если оба члена дроби отрицательны, то неравенство тоже верно).

Доказательство. Умножая предполагаемое неравенство на а (> 0), получаем:

Но это неравенство при а ≠ b справедливо, ибо a2 + b2 — 2ab — (а — b)2 > 0. Следовательно, имеет место и равносильное ему доказываемое неравенство. При а < 0, b < 0 имеем: —a > 0, —b > 0; по доказанному

Замечание. Метод этого доказательства—„аналитический“: подлежащее доказательству предложение мы преобразовываем в новое, равносильное ему предложение, доказанное раньше. Если бы даже новое предложение не было равносильно данному, но во всяком случае данное являлось бы его следствием, то этого тоже было бы достаточно для доказательства справедливости данного суждения (стр. 103 и сл.).

7. Мы знаем уже (стр. 34), что арифметическое среднее m = — двух неравных положительных чисел больше их геометрического среднего g = √ab. Покажем, что геометрическое среднее больше гармонического среднего.

Гармоническим средним чисел a, b называют такое число h, что

(т. е. число, обратное среднему арифметическому чисел, обратных числам а и b).

Имеем: откуда

Но при a ≠ b имеем m > g или m/g > 1; следовательно, g/h > 1 или g > h, ч. и тр. д.

Или так: g2 = mh, g = √mh, т. е. g является геометрическим средним m и h; но g < m, поэтому m > g > h (стр. 35—36).

8. Неравенство: „геометрическое среднее меньше арифметического среднего“ обобщается на случай любого количества положительных чисел: если a1 > 0, a2 > 0, ..., an > 0 и не все ai между собой равны, то

(А)

т. е. геометрическое среднее чисел ai меньше их арифметического среднего. Если же a1 = а.2 = ... = an, то вместо < надо написать = .

При доказательстве применим метод заключения от р к р — 1 (а не к p + 1!), идея которого принадлежит Коши.

Заметим, что неравенство (А) равносильно такому:

(В)

Если четыре положительные числа a1, a2, a3, a4 не все равны между собою и расположены в порядке возрастания, то имеем (стр. 34):

(знак = исключен, так как сомножители не равны), следовательно:

Если числа a1, a2, ..., a8 положительны, не все одинаковы и расположены в порядке возрастания, то поэтому1)

Вообще, применяя переход от n к n + 1, получаем неравенства:

(в предположении, что числа at не все равны между собою).

Итак, неравенства (В) и (А) доказаны для всякого n = 2k, т. е. для n = 2, 4, 8, 16, ... Переходим к доказательству их для любого п ⩾ 2.

Предположим, что (А) верно для n = р + 1, где р — какое-то натуральное число. Докажем, что тогда (А) верно для n = р. Так как всякое число n меньше некоторой степени двух: n < 2k, то, уменьшая числа 2k последовательно на 1, мы придем к любому числу n.

Введем обозначения:

Числа a1, a2, ..., ар, √Р не могут быть все равны между собой, так как даже числа a1, a2, ..., ар не все равны между собою [иначе мы не стали бы доказывать для них неравенство (А)). Поэтому по предположению имеет силу неравенство:

Но левая часть равна

поэтому

1) Ставим после a1а2⋅⋅⋅а8 знак ⩽ , так как возможно, что a1 = a2 = a3 = a4 и a5 = a6 = a7 = a8 (но a4 < a5).

Коши ведет доказательство („Алгебраический анализ“, примечание II) несколько иначе. Пусть дано какое-то натуральное n (> 2). Если n не равно степени двух, то берем настолько большое k, чтобы было 2k > n. Обозначим через M арифметическое среднее чисел a1, a2, ..., an:

Дополним ряд из n чисел a1, ..., an еще 2к — n числами М, М, . .., М, так что новый ряд:

будет состоять из 2к членов, причем равенство их всех между собой исключено (так как a1, a2, . .., an не все равны между собой). Но для 2к чисел неравенство (А) или (В) доказано:

Здесь a1 + a2 + ... + an = пМ, так что числитель = пМ + (2к — n) M = 2kM, а вся дробь — М (этим мы доказали такое предложение: если в конце ряда нескольких чисел прибавить любое число раз их арифметическое среднее, то при переходе к новому ряду арифметическое среднее не изменится). Поэтому имеем:

или

(В)

В частности,

лишь бы не имело места равенство всех чисел между собой).

9. При всяком x ≠ 0

(С)

где е — основание натуральных логарифмов, равное

Доказательство. Если 1 + x ⩽ О, то неравенство (С) очевидно, так как всегда ех > 0. Если же 1 + х > 0, то замечаем сперва, что отсюда 1/n + x/n > 0 (при любом натуральном n) и далее:

(здесь мы „усилили“ неравенство 1/n + x/n > 0; см. об этом дальше, стр. 102—103). Теперь воспользуемся известным разложением ех в бесконечный ряд:

(Это равенство означает, что еx является тем пределом, к которому стремится сумма первых n членов ряда при неограниченном возрастании числа n.)

Соединяя по два соседних члена ряда (от этого его „сумма“, т. е. предел сумм первых n членов, не изменится), получим:

По только что доказанному, все выражения в скобках > 0, если 1 + x > 0. Поэтому все члены ряда положительны, сумма n первых его членов больше первого члена 1 + x и предел ее, т. е. сумма всего ряда еx, тоже > 1 + x, ч. и тр. д.

Следствие. Если

10. О средних. Мы знакомы уже с тремя „средними“ данных n чисел: арифметическим, геометрическим и гармоническим (для n — 2). Было доказано, что арифметическое среднее всяких двух неравных чисел a, b лежит между ними и что геометрическое среднее двух неравных положительных чисел тоже заключено между ними. Нетрудно то же обнаружить и для гармонического среднего двух положительных чисел, что рекомендуем доказать читателю [но, например, гармоническое среднее чисел разного знака а = 1/2 , b = —1 равно 2, т. е. лежит вне интервала (а, b)!]. Таким образом эти три величины (при указанных ограничениях) действительно заслуживают названия „средних“.

Вообще же „средним“ h = M (a1, a2, ... , an) нескольких чисел a1, a2, . . . , an называют любое число h, заключенное между наименьшим и наибольшим из этих чисел (либо равное одному из них). Если a1 = а2 = ... = an, то существует единственное среднее h, равное общему значению этих чисел. Если же среди ai есть неравные числа, то, очевидно, существует бесконечное множество средних (все числа „закрытого“ интервала [k, g], где k — наименьшее, g—наибольшее из ai, т. е. считая и концы его). Относительно определенных таким образом средних Коши („Алгебраический анализ“, примечание II) установил ряд важных свойств. Некоторые из них приведены ниже. Нам понадобятся при выводе этих свойств такие четыре леммы:

а) Если все члены монотонно возрастающей последовательности

умножить на какое-нибудь число r, то получим новую, также монотонную последовательность, возрастающую при r > 0 и убывающую при r < 0:

(На доказательствах не останавливаемся, так как иначе нам пришлось бы говорить об иррациональных степенях, что вывело бы нас за рамки этой книги.)

Опираясь на эти леммы, можно доказать следующие теоремы Коши:

1) Если h = M (a1, a2, ... , an), то rh = M (ra1, ra2, ... , гап) при любом r.

Доказательство. Если k и g—наименьшее и наибольшее из ai, то, по лемме a), rk и rg будут крайними среди чисел гаi. По условию k ⩽ h ⩽ g; поэтому rk ⩽ rh ⩽ rg либо rk ⩾ rh ⩾ rg (смотря по знаку r), т. е. rh заключено между наибольшим и наименьшим из rai и является, следовательно, одним из их средних.

2) Если все ai > О и h = M(a1, a2, ... , an), то при любом b

По лемме б) числа kb и gb, где k и g—наименьшее и наибольшее среди ai, являются крайними среди aib. Из k ⩽ h ⩽ g следует (на основании обобщения формул Хв и Хг, стр. 30, на любой вещественный положительный показатель):

либо

смотря по знаку b.

Следовательно, hb заключено между наименьшим и наибольшим из aib, ч. и тр. д. Полагая b = 1/2, находим:

[Доказываем на основании леммы в) аналогично предыдущему.]

[Доказываем, опираясь на лемму г).]

Содержание этих четырех теорем запишем для памяти в таком виде:

Здесь, например, M (ai} означает в левых частях какое-либо произвольно выбранное среднее чисел ai9 а в правых — некоторое определенное среднее чисел, стоящих в { }; другими словами, знак = следует понимать так: „равно одному из (средних)“.

Далее имеем следующие теоремы.

если все b, одного знака; или, более сжато:

Доказательство. Если g, k—наибольшая и наименьшая из дробей

Но Σbi > 0; поэтому

Следовательно,

Если же все bi < 0, то

Но

следовательно,

как и в первом случае.

Замечание. Здесь, как и выше, если k < g, то знак равенства может стоять вместо < только слева или только справа; если же k = g, то вместо < обязательно стоит = .

6) Следствие. Если все bi = 1, то последняя формула обращается в такую:

т. е. арифметическое среднее любого количества любых чисел есть одно из средних этих чисел.

Это — обобщение известного нам для n = 2 свойства арифметического среднего (стр. 35).

7) Следствие. Если a1/b1 = a2/b2 = ... = an/bn и все bi одного знака, то

(Вытекает из того, что единственное среднее равных между собой дробей ai/bi совпадает с их общим значением.)

Надо заметить, что это равенство справедливо и при наличии среди bi как положительных, так и отрицательных чисел. Действительно, если

откуда

8) Следствие. Если все ki одного знака и знаки всех bi тоже совпадают, то

В силу соотношения 5°

так как все kibi одного знака.

Но

ч. и тр. д.

9) Следствие. Если все ki одною знака, то

(Получаем из 8° при bi = 1.) Это тождество можно рассматривать как своеобразное обобщение теоремы 6°, которая получается отсюда при

ki = i.

10)

Доказательство. Берем логарифмы положительных чисел

при некотором основании а > 0; обозначая такой логарифм буквой L, имеем:

Согласно теореме 5° Применяя теорему 3°, понимая под а основание L, получаем:

11) Следствие. Если все bi = 1, то 10° дает:

т. е. геометрическое среднее n положительных чисел есть некоторое среднее этих чисел.

Переходим к отысканию средних не самих данных чисел ai (разных знаков), а их абсолютных величин |ai|. Так как |ai| = √ai2, то

Но мы имели

Подставляя сюда ai2, вместо ai, получаем:

Беря в качестве M {ai2} арифметическое среднее всех a2i, получаем:

Итак, квадратный корень из арифметического среднего квадратов данных чисел представляет собой одно из средних всех абсолютных величин этих чисел. Эту величину √Σai2/n называют квадратическим средним величин ai. Она играет большую роль в теории ошибок (измерений или наблюдений). Величину же √Σai2 можно назвать „модулем“ системы чисел a1, a2, ..., an. В случае комплексного числа x + iy модуль системы (х, у) равен так называемому модулю √х2 + у2 самого числа х + iу и обозначается через |x + iу| (Вейерштрасс это выражение √х2 + у2 называет также „абсолютной величиной“ комплексного числа x + iy; стр. 16). В случае вектора (в пространстве) с компонентами а, b, с модуль компонент √а2 + b2 + с2 дает длину вектора. Во многих других вопросах геометрии и алгебры модуль тоже играет большую роль.

13) Арифметическое среднее n чисел (любых знаков) меньше по абсолютной величине их квадратического среднего, если среди них есть неравные числа:

Доказательство. Вычислим выражение:

или, записывая сжато, выражение

(D)

Первое слагаемое в (D) равно

а второе содержит: 1) квадрат каждого числа ai по n—1 раз, т. е. (n—1)Σаi2, так как ai входит в разности ai — aj со всеми остальными n — 1 числами aj системы, и 2) все удвоенные попарные произведения, взятые с минусом, т. е. —2Σaiaj. Итак, все выражение равно:

Поэтому, отбрасывая все слагаемые выражения (D), кроме первого (их сумма положительна, так как хоть одна разность ai — aj. ≠ 0), получаем неравенство:

или, извлекая квадратный корень и деля на п:

что и тр. д.

Если a1 = a2 = ... = an, то

Таким образом в случае равенства всех чисел ai абсолютные величины их арифметического среднего и их квадратического среднего совпадают. Впрочем, это вытекает из единственности среднего равных величин.

Ограничимся этими свойствами средних как примерами применения неравенств.

11. Абсолютные величины суммы и разности. В анализе постоянно приходится иметь дело с такими неравенствами:

(I)

(II)

справедливыми для любых чисел — как вещественных, так и мнимых. Докажем их для вещественных чисел.

Значение |a + b| согласно правилу сложения относительных чисел а и b равно либо |a| + |b|, если а и b одного знака, либо |а| — |b|, если знаки a и b разные и |а| ⩾ |b|, либо |b| — |а|, если знаки а и b разные и |а| ⩽ |b|. С другой стороны, прибавляя к неравенству — | b | ⩽ | b | по | а |, получим |а | — |b| ⩽ |а| + |b|; аналогично имеем |b| — |а| ⩽ |b| + |а|. Но ||а| — |b|| равно либо |а| — |b|, либо |b | — | а |. Следовательно, всегда

Итак, при одинаковых знаках а и b

(1)

а при разных знаках а и b

(2)

Сопоставляя (1) и (2), приходим к неравенству

С другой стороны,

поэтому из доказанных неравенств следует:

Таким образом (I) доказано полностью:

Абсолютная величина суммы или разности двух чисел не больше суммы их абсолютных величин и не меньше абсолютной величины разности их абсолютных величин.

В левой части (I) можно вместо ||а| — |b| | написать ||b| — |а||, так как обе величины совпадают. Формулу (II) доказываем по методу полной индукции. Пусть (II) верно при n = k слагаемых, где k — какое-то определенное натуральное число. Тогда в силу неравенства (1)

и по предположению

Складывая почленно эти два неравенства, имеем

т. е. (II) верно и при n = k + 1 слагаемых. Будучи уже доказана для n = 2 [неравенство (I)], эта формула оказывается поэтому верной для n = 3, 4, ... , т. е. вообще для любого натурального n. Упражнение. Доказать неравенство:

Каков геометрический смысл его при n = 2 и n = 3?

Указание. Умножить почленно на (√Σai2 + √Sbi2) и доказать справедливость полученного неравенства, пользуясь тем, что

так что

§ 2. О методах, применяемых при доказательстве неравенств

Накопившийся в предыдущих параграфах материал дает повод сделать несколько общих замечаний о методах, применяемых при решении задач на неравенства, и пополнить их указаниями на некоторые приемы, до сих пор еще не встречавшиеся.

1. Решение неравенства A∨В в силу самого смысла математических понятий „больше“ и „меньше“ сводится к определению знака разности А — В. Для облегчения этой задачи служат преобразования заданного неравенства А ∨ В в равносильное ему неравенство C∨D или Е ∧F, т. е. в такое неравенство, что либо знак С—D или F—Е одинаков со знаком А — В, либо обе разности А — В и С—D или А — В и F—Е одновременно равны нулю (стр. 24—25).

2. Необходимость различать случаи равенства и неравенства нулю известного выражения (здесь — разностей) делает целесообразным пользо-

вание понятием и термином „сигнум“ и выражающим его символом sgn (сокращение латинского слова Signum = знак).

Этот символ, введенный в употребление немецким математиком Кронекером (Leopold Kronecker, 1823—1891), поставленный перед числом х, означает следующую функцию от х:

так что, обратно, по величине sgnx; можно судить о знаке или равенстве нулю аргумента х.

В частности два числа х и у тогда и только тогда имеют одинаковый знак либо оба равны нулю, когда sgnx = sgny.

Примеры, sgn π = + 1 ; sgn(—3) = —1; sgn cos 90° = sgn ln 1 = 0.

Теперь можем сказать кратко: Запись

(знак = заменяет, как мы знаем, слово „равносильно“), означает, что

Отметим такое свойство символа sgn:

которое легко проверить, рассматривая все возможные случаи:

3. Иногда оказывается более удобным определять смысл данного неравенства A∨В не по знаку разности А — В, а по величине отношения при В > 0) на основании тождественного преобразования IX (стр. 29)

иначе говоря, по величине

Вот примеры:

Это неравенство равносильно такому (так как cosx > 0 в указанном интервале значений х): sinx/cosx ∨ 1 или tg x ∨1 ; последнее же равносильно (в том же интервале) неравенству:

Итак, при

будем иметь:

При х = π/2 это соотношение тоже справедливо.

Пользуясь функцией sgn, можно это рассуждение записать так:

Это равносильно неравенству sin2x/2cosx∨1 или sinx∨1. Но во всем указанном интервале sinx < 1.

Итак, во всем интервале 0 ⩽ х < π/2 знак ∨ в заданном неравенстве имеет смысл <, т. е. sin 2х < 2 cos х.

Упражнение. Начертить графики функций sin x, cos x, sin 2х, 2 cos x, x5, x3 и проверить решения неравенств а), б), в), г).

4. При обобщении известной формулы, доказанной для некоторого числа (обыкновенно для двух) членов (слагаемых, сомножителей,...), на любое их число n, обыкновенно пользуются методом полной или математической индукции, иначе называемым методом доказательства от n к n + 1 ; но в некоторых случаях приходится вместо этого отдельно дать доказательство справедливости формулы для некоторого ряда беспредельно (но не подряд, т. е. не по всем натуральным значениям) растущих значений n, и затем применить доказательство от n к n — 1 или же сразу от n к меньшему числу n — k, где k может быть и > 1, т. е. доказать, что, будучи справедлива для некоторого значения n, формула тем самым верна и для всех меньших значений n.

Выше (стр. 88—89, 98) мы имели примеры применения обоих видов полной индукции (я бы назвал их прогрессивной и регрессивной

формами полной индукции). Докажем еще по методу прогрессивной индукции неравенство Бернулли, уже доказанное нами выше (стр. 82—84) на основании более общей теоремы того же математика.

Неравенство (1 + h)2 = 1 + 2h + h2 > 1 + 2h, верное при условии h ≠ 0, показывает, что неравенство Бернулли

(Б)

верно при n = 2 и h ≠ 0. Предположим, что (Б) верно при n, равном некоторому определенному целому положительному числу k и h ≠ 0 и при еще одном ограничительном условии: 1 + h > 0. Считая, что h подчинено этому последнему неравенству, имеем право умножить (Б), написанное для n — k, почленно на 1 + h. Новое неравенство

или тем более неравенство, которое получим, отбросив справа

будет тоже верно. Но это — неравенство (Б) для n = k + 1. Итак, будучи верно при n = k, (Б) верно тем самым и при n = k + 1, если h ≠ 0 и 1 + h > 0. Но (Б) при этих условиях (даже без второго) верно для n = 2. Поэтому (Б) верно при тех же двух условиях для n = 3, а значит, и для n = 4 и т. д.

Упражнение. При каких ограничениях относительно величины h справедливо неравенство Бернулли для n = 3? для n = 4?

5. То обстоятельство, что заданный многочлен не принимает отрицательных значений, иногда можно доказать путем преобразования его в сумму квадратов. Вот простой пример применения этого метода.

Доказать, что

Нетрудно видеть, что левая часть этого неравенства равна

или

Но это выражение действительно > 0, так как квадраты вещественных чисел ^ 0. Вместе с тем верно и заданное неравенство, так как наши преобразования его левой части суть тождественные, т. е. не изменяют ее числовой величины ни при каких числовых значениях входящих в нее букв.

§ 3. Об условиях достаточных и условиях необходимых. Усиление и ослабление неравенств. Анализ и синтез

Теперь нам предстоит поговорить о вещах, тоже тесно связанных с доказательствами неравенств, но имеющих в то же время принципиальное значение для всей математики и для научного мышления вообще.

В предыдущем, желая определить характер (смысл) данного неравенства, мы старались преобразовать его в другое неравенство, заведомо того же характера, смысл которого, однако, легче поддается выяснению. Это — „тождественное“ преобразование данного неравенства в „равносильное“ ему неравенство 1). Но во многих вопросах бывает достаточно пользоваться и не столь совершенным методом.

Так, правила § 10 позволяют получить на основании двух или большего числа верных неравенств новое верное неравенство. Однако из справедливости этого нового неравенства нельзя, вообще говоря (без специального исследования), заключить о справедливости всех исходных.

Таким образом мы имеем здесь вывод следствия из данных суждений, называемых в логике посылками. Следствие верно, поскольку верны все его посылки. Если следствие не оправдывается, то это значит, что хотя бы одна из посылок ложна. Поэтому всякое следствие является необходимым условием истинности совокупности всех его посылок (или „оснований“), т. е. условием, нарушение которого делает невозможным соблюдение всех посылок. Но из истинности следствия нельзя заключать об истинности всех его посылок. Например, если 0 <x < π/2 > то sin x > 0; но из того, что sin x > 0, не следует, что 0 < x < π/2.

Примеры применения этого метода получения следствий мы имели, между прочим, в §§ 11, 12,15.

Часто приходится пользоваться следующим приемом получения нового неравенства из данного неравенства или равенства. Дано: А > В, так что А — В > 0. Если заменить большее число А еще большим числом А', так что А' — A > 0, то будет:

1) Пусть читатель выяснит себе разницу между тождественным преобразованием неравенства и тождественным преобразованием алгебраического выражения.

2) Если бы нас не интересовало это явление, то проще было бы рассуждать так: А' > А; A > В; отсюда по транзитивности А' > В.

или

Если заменить меньшее число В еще меньшим числом В', то снова

так что

Итак, заменяя в справедливом неравенстве большее число еще большим, либо меньшее еще меньшим, получим неравенство того же смысла.

При этом, как видно из предыдущего, разность между обоими числами увеличивается, числа раздвигаются, удаляются одно от другого 2). В этом смысле и надо понимать выражение: „усиление неравенства“, которым обозначают описанное его преобразование.

Геометрически это преобразование выражается смещением у пары точек А и В правой точки (А) еще дальше вправо (в положение А')

либо левой (В) еще дальше влево (в положение В'); от того и от другого длина интервала (отрезка ВА) увеличивается. Поэтому о полученном неравенстве (А' > В или А > В') говорят, что оно „тем более“ справедливо; иногда употребляют в этих случаях французско-латинское выражение à fortiori, что означает „с тем большим“ (подразумевается: правом или основанием).

Пример применения этого приема мы имели на стр. 90; из 1/n + x/n > 0 мы вывели: 1 + x/n > 0, заменив 1/n большим числом 1 и этим увеличив все выражение 1/n + x/n.

Еще более элементарным способом получения неравенств является прибавление к какому-нибудь числу другого положительного числа, либо отбрасывание в сумме какого-нибудь положительного слагаемого, либо увеличение или уменьшение в сумме одного из слагаемых. Вспомним пример из второго доказательства неравенства Бернулли: 1 + 2h + h2 > 1 + 2h, при h ≠ 0.

Итак, мы всегда можем усилить всякое справедливое неравенство.

Обратный процесс сближения чисел (или изображающих их точек) путем уменьшения большего из двух чисел либо увеличения меньшего из них называется „ослаблением“ неравенства. Ослабляя наугад данное неравенство, можно получить либо неравенство того же смысла, либо равенство, либо неравенство противоположного смысла, — в зависимости от величины произведенного изменения. Но если в результате ослабления некоторого неравенства предполагаемого нами смысла (A > В) получается справедливое неравенство того же смысла (C > D), то наше предположение тем самым оправдывается. В самом деле, обратный переход (от С > D к А > В) представляет усиление верного неравенства (C > D); поэтому из истинности этого последнего следует истинность предположенного неравенства (А > В). Например, требуется доказать, что 1 + x/n > 0; пробуем ослабить это предполагаемое неравенство, заменяя 1 через 1/n (n > 1), и этим, как мы знаем, уменьшая большее (по предположению) выражение.

Получаем: 1/n + x/n > 0 или равносильное ему 1 + x > 0; это неравенство может быть верным или неверным, смотря по величине х; но если дать x значение x0, удовлетворяющее ему (т. е. взять x0 > —1), то для этого значения x0 предложенное неравенство 1 + x0/n > 0 также будет справедливо, ибо обратный переход к нему происходит путем усиления (заменой 1/n через 1) верного неравенства 1/n + x0/n > 0.

Этот прием ослабления неравенства представляет пример обратной логической операции (по сравнению с операцией вывода следствий из данных посылок), состоящей в отыскивании „достаточных“ оснований (посылок) для данного суждения S. Такое новое суждение Р (или система новых суждений), из истинности которого (которых) вытекает истинность данного суждения, называют достаточным условием (или системой достаточных в своей совокупности условий) истинности данного суждения

Если мы как-либо убедились в истинности S, то отсюда еще не следует истинность суждения (или системы суждений) Р; другими словами, достаточность не есть необходимость. Только в случае равносильности S и Р каждое из них является одновременно достаточным и необходимым условием для другого. Но зато можно утверждать, что S является необходимым условием для Р, если Р есть достаточное условие для S, так как тогда из Р следует Обратно: если Q есть необходимое условие для суждения R (т. е. вытекает из R), то R является достаточным условием для Q.

Пример. Рассмотрим следующие суждения. Суждение R: „некоторое (вполне определенное) число N делится (без остатка) на 6“; суждение Q1 : „N делится на 3“; суждение Q2 : „N делится на 2“; суждение Т1 : „N делится на 12“; суждение Т2 : „N делится на 4 и на 9“.

Для R суждения Q, и Q2, каждое, взятое в отдельности, дают необходимые условия (истинности R), a R является достаточным условием как для Q1, так и для Q2. Суждения Т1 и Т2 дают достаточные условия (признаки) для R, a R есть их необходимое условие. Совокупность (система) суждений Q1 и Q2 представляет как необходимое, так и достаточное условие для R; другими словами, R равносильно системе {Q1 и Q2}.

Пусть читатель не посетует на нас за напоминание таких общеизвестных вещей: в работе с неравенствами очень легко впасть в грубейшие ошибки, если не отдавать себе в этих вещах самого ясного отчета. Разберем для примера детально доказательство теоремы:

Утверждение, выражаемое этой записью, заключается в следующем (ср. стр. 58; роль чисел х и а теперь играют h и 0): всякому ε > 0 отвечает такое b > 0, что из неравенства

(1)

следует неравенство

(2)

В данном случае при h = 0 неравенство (2) обращается в 0 < ε и, следовательно, справедливо при любом положительном е. Поэтому в (1) можно откинуть первое неравенство (0 < |h|), оставив только второе:

(1')

Неравенство (2) равносильно (при любых такому:

(3)

Оно должно вытекать из неравенства | h | < δ при подходяще выбранном

δ(> 0).

Полное решение неравенства (3), т. е. определение всех значений h, какие ему удовлетворяют, затрудняется наличием абсолютных скобок. Можно было бы попытаться рассмотреть различные мыслимые комбинации значений а и h: а > 0, h > 0;а > 0, h < 0, а + h > 0; a > 0, h < 0, а + h < 0 и т. д., позволяющие удалить эти скобки (с введением знака минус перед отрицательным количеством), далее, решить полученные неравенства первой степени (относительно h) и затем отобрать из числа всех решений такую группу, которая выражается неравенством вида (1'). Но это был бы крайне длинный и сложный путь. Мы поступим иначе, дважды применив метод ослабления неравенства. Идея такова: заменить правую часть (3) меньшим выражением A, не содержащим А; тогда, если | h | будет < A, то выполнение неравенства (3) будет обеспечено. Вспоминаем, что |a + h| ⩾ ||a| — |h|| (стр. 97). Если подчинить А еще более суровому условию

(4)

типа (1'), то будет

Если подчинить А еще условию (5)

того же типа (1'), то будет (стр. 49, правило III'):

Заменяя | а + h | в (3) сперва через | а | — | h |, потом через 1/2 | а |, мы ослабляем (3), превращая его в неравенство:

(6)

Если |h| подчинить всем трем условиям (одного смысла) (4), (5) и (6), то такое значение h удовлетворит и неравенству (3), так как тогда будет

или

(3)

Но условие (5) гарантирует соблюдение условия (4). Поэтому достаточно соблюдения условия: |h| < δ, где δ означает меньшее из положительных чисел 1/2 | а | и 1/2а2ε, для того чтобы такое h удовлетворяло неравенству (3), а следовательно, и (2). Таким образом, нам удалось констатировать существование при всяком ε > 0 нужного нам числа δ > 0, при котором из (1) следует (2), и, следовательно, теорема доказана.

Метод отыскания для доказываемого неравенства (2) достаточного основания в форме неравенства (1'), которым мы пользовались в последнем рассуждении, представляет собою так называемый аналитический метод доказательства (или вообще исследования). В противоположность

ему при синтетическом методе исходят из данных в качестве истинных суждений (выраженных, например, неравенствами) и шаг за шагом делают выводы из них, пока не приходят к доказываемому утверждению. Это — обычный прием доказательства теорем, принятый со времен Эвклида во всех учебниках геометрии. В качестве примера решим тем и другим методом такую задачу.

Доказать, что среди всех прямоугольников с одним и тем же периметром 4а квадрат имеет наибольшую площадь.

Обозначим одну из сторон прямоугольника с периметром 4а буквой х; тогда соседняя сторона равна — = 2а — x, a площадь прямоугольника равна (2а — х)х. Площадь же изопериметрического квадрата (т. е. квадрата с тем же периметром 4а) равна a2. Требуется доказать, что при x ≠ а будет всегда

(1)

(1')

Доказательство по аналитическому методу. Исходим из доказываемого неравенства (1) или (1').

Если мы найдем какое-нибудь достаточное условие истинности (1) и докажем, что это условие выполняется, то тем самым будет доказано и (1). Если найдем какое-нибудь необходимое условие для (1), т. е. выведем из (1) какое-нибудь следствие, то, если бы это следствие оказалось ложным, тем самым было бы опровергнуто утверждение (1). Но мы знаем, что, перенеся все члены (1') в левую часть, получим неравенство

или

(2)

равносильное с (1), т. е. такое, которое само вытекает из (1), если (1) справедливо, и обратно. Другими словами, (2) является как необходимым, так и достаточным условием для (1). Но (2) в свою очередь равносильно неравенству

(3)

а это последнее равносильно неравенству

которое дано, как справедливое, в качестве условия теоремы. Поэтому справедливы и неравенства (3), (2) и (1), что и доказывает теорему.

Доказательство по синтетическому методу. Исходим из условия (из „данных“) теоремы:

Выводим из него (как необходимое условие его истинности или как следствие): х — а ≠ 0, из чего снова заключаем, что (х — а)2 > 0 или x2 — 2ах + а2 > 0, откуда a2 > 2аx — x2 (это последнее неравенство

равносильно предыдущему, но нам важно знать только то, что оно вытекает из него), или a2 > (2а — х)х, но это и есть подлежащее доказательству неравенство (1).

Пусть теперь вместо готовой теоремы нам задан такой вопрос: В каких соотношениях находятся площади всевозможных прямоугольников (не-квадратов) с периметром 4а с площадью квадрата того же периметра!

При заданных сторонах х и 2а — х прямоугольника должно иметь место одно из трех соотношений [Sx = x(2а — х)]:

(4)

но при разных значениях х, вообще говоря, могут (пока мы не докажем противного) иметь место разные из этих трех соотношений. Таким образом логически допустимы такие ответы (понимая под „не-квадратом“ прямоугольник с неравными сторонами):

Следуя аналитическому методу, пришлось бы пытаться доказать или опровергнуть одно за другим эти предположения, пока не наткнемся на такое, которое на самом деле в процессе последовательного подбирания достаточных условий, его обеспечивающих, либо, если возможно, равносильных ему, привело бы нас к несомненно справедливому утверждению. При этом порядок такого испробования семи возможностей может быть принят какой угодно, и дело случая — привести нас поскорее к единственно справедливому из этих семи утверждений.

Применение общих неравенств и символов ∨ и ∧ освобождает нас от этой зависимости от слепого случая. Неравенство

(5)

охватывает для каждого конкретного значения х все три возможности (4). Преобразовывая его, мы тем самым как бы производим одновременное исследование этих трех случаев. Решим неравенство (5): имеем:

Но по условию x ≠ а, так что | а — х | > 0, т. е. неравенство (6) для каждого допустимого значения х оказывается верным в том и только в том случае, если символ ∧ понимают в смысле знака > . Поэтому (5) справедливо при всяком допустимом х при замене |J знаком < . Итак, доказано, что всегда Sx < a2, т. е. имеет место третий (из семи возможных) случай:

Замечание. Формулировку и самое название „аналитического метода“ (или просто „анализа“) приписывают древнегреческому философу и математику Платону (IV в. до н. э.); ему же некоторые приписывают и идею „синтеза“. Однако надо сказать, что в сохранившихся отрывках из произведений древнегреческих писателей-математиков (Паппа, Прокла, Эвклида) и в толкованиях их современными им математиками нет полного единогласия в определении этих двух методов. Но на одном все сходятся: „анализ“ исходит из утверждения, которое требуется доказать (или из фигуры, которую надо построить), а „синтез“ — из уже раньше установленных истин (например свойств фигур). Но в то время как одни полагают, что при анализе ищут следствия из доказываемого положения, другие указывают, что надо отыскивать достаточные основания (причины) для него. Только при этом последнем его понимании анализ становится действительно надежным методом доказательства.

§ 4. Применение неравенств общего вида при исследовании решений задач

Если условия задачи (алгебраической или геометрической) содержат большую или меньшую долю произвола (иначе говоря, допускают варьирование в известных пределах), то и ответ (решение) может меняться при допустимом изменении этих условий. В этих случаях часто возникает потребность так классифицировать все допустимые варианты условий, чтобы каждому классу или типу этих вариантов отвечал особый тип ответа на данную задачу. Это составляет предмет „исследования решения“ данной задачи. Такое исследование решений (геометрических задач) осуществлялось уже в сочинениях древнегреческих математиков. При исследовании решений, выражаемых в алгебраической форме, нередко приходится иметь дело с решением неравенств; например, относительно двух выражений А и В, входящих в состав ответа, возникает вопрос, равны ли они между собой, и если не равны, то которое из них больше. При этом в курсах алгебры выражаются обычно так: „Посмотрим, не будет ли А < В (или А = В, или А > В)“ и доказывают, что это предположение действительно имеет место. Но, не зная заранее результата, невозможно наверняка угадать, какое именно из трех частных неравенств (А < В, А = В, А > В) следует подвергнуть проверке. Приходится наудачу пробовать доказать сперва какое-нибудь одно; если доказательство не удается, то какое-нибудь из двух оставшихся. Метод общих неравенств избавляет от этого риска лишней затраты времени и внимания. Решаем общее неравенство А ∨ В и приходим сразу к искомому истинному частному неравенству.

Поясним это на конкретном примере, проведя решение и частичное его исследование для такой задачи:

Черт. 26.

Даны две окружности К и К' радиусов R и r в одной плоскости, с расстоянием d между их центрами. Найти (на этой же плоскости) такую точку Р, чтобы касательные, проведенные из нее к обеим окружностям, имели одинаковую длину.

Решение. Примем центр О круга К за начало прямоугольных координат, а линию центров ОО' — за ось ОХ (черт. 26).

Квадраты длин касательных PS и PS' выразятся так:

(заметим, что O'Q2 = (d — х)2 при любом положении точки Q(x, 0) на оси ОХ).

Требование равенства длин касательных равносильно уравнению:

(1)

Итак, для абсциссы х искомой точки Р найдено вполне определенное значение (1), а ордината у этой точки остается произвольной, так как при любом значении у, если х удовлетворяет (1), получаем: PS2 — PS'2. Впрочем, произвол у ограничен тем требованием, чтобы точка Р(х, у) не лежала ни внутри K, ни внутри К1. Но точки с абсциссой (1) и произвольной ординатой лежат на прямой, проходящей параллельно оси OY через точку Q(x0, 0) оси ОХ, где x0 равно значению (1). Итак, задаче отвечает не одна точка, а бесчисленное множество — геометрическое место искомых точек, — заполняющее прямую QP (кроме той ее части, которая могла бы оказаться внутри К или К'). Эту прямую называют радикальной осью кругов К и К'.

Исследование решения. Условия задачи ничего не говорят об относительной величине длин R, r и d. [Абсолютные их размеры не играют роли, так как при одновременном увеличении всех этих трех длин в k раз вся фигура (вместе с касательными) превращается в подобную ей фигуру, причем новые касательные тоже будут равны между собой; таким образом решение по существу не зависит от величины k.] Но от отношений длин R, r и d между собой зависит характер, тип всей фигуры; в самом деле, если I) R ≠ r, то круги разных размеров, если II) R = r, то круги равных размеров. Детальнее (предполагая для определенности R > r):

I1) если d > R + r, то К и К' лежат один вне другого;

I2) если d = R + r, то К к К' касаются один другого внешним образом;

I3) если R— r < d < R + r, то круги пересекаются; I4) если d = R— r, то имеем внутреннее касание кругов; I5) если 0 < d < R — r, то К' лежит целиком внутри К (не имея с ним общих точек);

I6) если d = 0, то К и К' концентричны.

Ограничимся исследованием случая I1). А именно, поставим следующие вопросы: пересекает ли в этом случае радикальная ось К или K'? Если не пересекает ни того ни другого, то к какому из кругов она ближе расположена?

а) Пересечение, касание и непересечение радикальной оси с окружностью К получаются соответственно при | х | < R, | х | = R и | х | > R. Но из формулы (1) видим, что при R > r всегда х > 0, так что |х| = х. Поэтому вопрос о пересечении сводится к решению неравенства общего вида:

Решаем его:

Итак, вопрос сведен к неравенству

Так как опять-таки d > R + r, то ∨ означает > и

Итак, радикальная ось в этом случае I2) окружности К не встречает, б) Вопрос о пересечении радикальной оси с окружностью К приводит к неравенству:

Действительно, d — r есть абсцисса точки N; поэтому при

точка Q оказывается соответственно правее точки N, совпадает с N или левее N.

Переписываем х∨ d — r так:

и решаем:

Ho R + r < d, следовательно, ∨ означает < и

т. е. точка Q лежит левее N. Итак, в случае I1) радикальная ось не встречает и круга К'. Следовательно, она проходит между К и К'.

в) К какой окружности ближе проходит радикальная ось? Иными словами, что больше: LQ или QN?

Но LQ = x— R, QN = d— x — r. Итак, вопрос выражается так:

Решаем:

По условию R > r или R— r > 0; поэтому мы можем разделить на R — r и получаем

Но

следовательно, ∨ означает < и

Радикальная ось проходит ближе к большему кругу. (То обстоятельство, что на нашем чертеже больший круг находится слева от меньшего, не имеет, конечно, никакого значения для общности этого заключения.)

Как видит читатель, мы трижды решали здесь общие неравенства, вместо того чтобы поступать наугад. В соответствующих местах в „Элементарной алгебре“ Маракуева (2-е изд., Москва 1903, т. I, „Теория“, стр. 355—356), приводящего исследование решения этой же задачи, читаем:

„I) d > R + r... Сравним х с R: не будет ли, например, x > R? Ответ найдем, испытав, верно ли будет неравенство

... Сравним теперь х с отрезком ON, или d — r, и посмотрим, не будет ли x < d — r, т. е. испытаем неравенство... Остается рассмотреть... Не будет ли, например, х — R < d — х — r,...".

Эта цитата как нельзя более красноречиво свидетельствует о преимуществах метода неравенств общего вида.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие.............................. 5

Введение ................................ 7

§ 1. Основное определение. Знаки неравенства. Символы сравнения ... 9

§ 2. Сравнение относительных чисел. Абсолютная величина....... 14

§ 3. Немного истории........................ 15

§ 4. Геометрический эквивалент сравнения чисел. Транзитивность неравенств. Интервал.......................... 17

§ 5. Решение неравенств: постановка вопроса. Равносильность неравенств 22

§ 6. Тождественные преобразования неравенств общего вида...... 26

§ 7. Примеры решения неравенств................... 30

§ 8. Неравенства первой степени с одной переменной.......... 36

§ 9. Неравенства первой степени с двумя переменными......... 40

§ 10. Системы неравенств........................ 46

§ 11. Решение систем неравенств первой степени с одной переменной.

Неравенства с абсолютной величиной.............. 53

§ 12. Решение систем неравенств первой степени со многими переменными 59

§ 13. Решение неравенств высших степеней............... 64

§ 14. Решение неравенств, содержащих дробные и иррациональные выражения ............................ . . . 71

§ 15. Системы неравенств высших степеней............... 79

Добавление

§ 1. Некоторые „замечательные неравенства“.............. 82

§ 2. О методах, применяемых при доказательстве неравенств...... 98

§ 3. Об условиях достаточных и условиях необходимых. Усиление и ослабление неравенств. Анализ и синтез............... 101

§ 4. Применение неравенств общего вида при исследовании решений

задач............................... 108

Редакция Д. А. Райкова. Оформление Е. Г. Шпак. Корректура M. Х. Артюховой. Наблюдал за выпуском Я. Я. Вигонт.

Подписано к печати с матриц 19/III 1936 г. Листов п. 7. Бум. листов 31/2. Тираж 8 000. Формат 62×941/16. Количество печ. знаков в 1 бум. лисге 101184. Заказ № 355.

Главн. ред. общетехнич. литературы и номографии № 108. Уч.-авт. 7,95 л.

Уполномоченный Главлита № В-32236.

4-я типография ОНТИ НКТП СССР «Красный Печатник», Ленинград, Международный, 75а

Цена 2 p.