СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА

Г.А.КОВРИЖЕНКО

От счета на пальцах до ЭВМ

Г.А.КОВРИЖЕНКО

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА

ОТ СЧЕТА НА ПАЛЬЦАХ ДО ЭВМ

Киев

«Радянська школа» 1984

22.12 К56

КОВРИЖЕНКО Г. А. Системы счисления и двоичная арифметика: От счета на пальцах до ЭВМ.— К.: Рад. шк., 1984.— 79 с—15 к, 30 000 экз.

В книге просто и доступно повествуется о возникновении, свойствах и возможных применениях, в частности в вычислительной технике, основных позиционных систем счисления. Подробно рассматриваются арифметические операции с целыми и дробными числами. Особое внимание уделяется двоичной системе, которую «предпочитают» ЭВМ. Все теоретические положения снабжены занимательными историческими справками и раскрываются с помощью системы примеров и упражнений творческого характера. Предназначается школьникам, учащимся ПТУ и всем, кто интересуется математикой.

Рукопись рецензировали: доцент Киевского педагогического института, кандидат педагогических наук 3. И. Слепкань, доцент Бердянского педагогического института, кандидат физико-математических наук Н. В. Корчинский, заведующая кабинетом математики Запорожского областного ИУУ Л. П. Канакина.

Художественное оформление и рисунки Л. А. Дикарева.

Предисловие и исторический комментарий кандидата педагогических наук А. Г. Конфоровича.

© Издательство «Радянська школа», 1984

ЛЮДИ И ЧИСЛА

Число, возможно, самое удивительное творение человеческого гения. Уже мыслители Древней Греции удивлялись неисчерпаемости его свойств и многообразию применений. Честь открытия числа приписывали мифологическим героям или богам. Выдающийся древнегреческий драматург Эсхил (525—456 гг. до н. э.) написал драму «Прометей прикованный», где герой, перечисляя главнейшие открытия, которые он передал людям, говорит:

Я всходы и закаты звезд

Им первый показал.

Для них я выдумал

Науку чисел, из наук важнейшую.

Считали даже, что числа вечны, были всегда — столь трудно представить жизнь без этих постоянных спутников и помощников в делах человека. Много красивых и занимательных легенд сложили люди о числах. Но только длительное изучение культуры разных народов, первых математических текстов, математических знаний людей древнекаменного века (палеолита) раскрыло еще более удивительную, но уже не мифическую, а действительную историю возникновения и развития понятия числа. Конечно же, числа, как и другие изобретения человека, не вечны и не подарены ему кем-то, а создавались самим человеком на определенном уровне обобщения огромного опыта решения задач практического характера. Более ста лет тому назад Ф. Энгельс опроверг идеалистические измышления об истоках возникновения и движущих силах развития понятия числа. В своей гениальной книге «Анти-Дюринг» он писал: «Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума» (Маркс К.. Энгельс Ф. Соч., т. 20, с. 37).

Итак, понятие натурального числа создавалось как модель количественной характеристики конечных и равночисленных совокупностей объектов действительного мира независимо от их физической природы. Сегодня это очевидная истина. Но так было не всегда. Не всегда были и числа. В 1973 г. ученые встретили в джунглях острова Минданао (Филиппины) неизвестное ранее племя людей — тасадаев. Когда у них спросили, сколько человек насчитывает их племя, тасадаи не только не могли ответить на поставленный вопрос, они даже не знали, о чем у них спрашивают. Тасадаи

катастрофически отстали в своем математическом развитии, их математика еще оставалась на дочисловом уровне. Они не знали даже первых натуральных чисел 1, 2, 3, 4. Поистине ошеломляющий марафон должна была пройти человеческая мысль, чтобы от математики тасадаев достичь высот, на которые приглашает читателей эта книга.

В ней уже сняты леса огромной стройки и творение поколений безымянных и известных нам Колумбов математики предстает перед читателями во всем своем блеске и великолепии. Некоторым читателям книга эта может показаться несколько утомительной. Изучение азбуки или музыкальных гамм — тоже не развлечение. Но только овладев ими, мы можем насладиться поэзией А. С. Пушкина и Т. Г. Шевченко, музыкой Моцарта и П. И. Чайковского.

В науке чисел есть своя особенность, не сразу постижимая красота — логическое совершенство построения числовых систем.

Различные системы счисления и строгие правила действий над числами — это не свободные творения разума. Они обладают теми свойствами математических понятий и отношений между ними, которые превращают эти понятия в наиболее совершенные модели количеств и количественных отношений объектов окружающего человека мира. Именно поэтому числа завоевали огромный авторитет надежного и мощного инструмента в познании тайн природы, безотказного в практической и хозяйственной деятельности и самых тонких теоретических исследованиях.

Интересно и весьма полезно знать хотя бы главные этапы на пути восхождения человека к вершинам числа от счета на пальцах до ЭВМ. Гениальный математик, создатель одной из первых вычислительных машин Г. В. Лейбниц (1646— 1716) предупреждал: «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет...».

Чтобы раскрыть читателям глубину результатов, связанных с овладением счетом и системами счисления, изложение теоретического материала книги сопровождается краткими повествованиями о наиболее впечатляющих открытиях тайн числа и его важнейших применениях.

А. Г. Конфорович

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Под системой счисления обычно понимают совокупность приемов записи и наименования чисел.

Системы счисления подразделяются на непозиционные и позиционные.

Примером непозиционной системы счисления, достаточно широко применяющейся в настоящее время, может служить так называемая римская нумерация (римские цифры). В этой системе значение цифры не зависит от ее положения в записи числа. Например, в записи числа XXX (тридцать) цифра X в любом месте означает число десять.

Примером позиционной системы является хорошо известная нам десятичная система счисления. В позиционной системе счисления значение каждой цифры изменяется с изменением ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в записи числа 555,5 цифра пять повторяется четыре раза, но при этом самая левая означает количество сотен, стоящая рядом с ней справа — количество десятков, еще правее, перед запятой,— количество единиц, а цифра, стоящая после запятой,— количество десятых долей единицы.

Последовательность цифр 555,5 представляет собой сокращенную запись выражения:

5- 102 + 5 • 1045 • 10° + 5 • КГ1 ,

где

102= 100, 10'= 10, 10°= 1,

В десятичной позиционной системе счисления для записи любых чисел используются только десять различных знаков (цифр):

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Эти знаки введены для обозначения десяти последовательных чисел, начиная с нуля и кончая девятью. Число десять мы обозначаем уже символом «10». Для записи этого числа мы не вводим новых знаков, а пользуемся уже имеющимися.

Запись чисел в этой системе основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, старшего разряда. В связи с этим саму систему называют десятичной, число десять — основанием системы,

а знаки (цифры) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 — базисными числами системы (они служат для обозначения некоторых различных целых и дробных чисел).

Итак, в позиционной системе счисления значение каждой цифры поставлено в зависимость от того места, где она стоит в изображении числа.

Позиционные системы нашли широкое применение в практической деятельности людей.

К непозиционным, как уже отмечалось, относится римская система.

Историческая справка

Тасадаи — племя людей, так и не открывших числа, не дошедших даже до счета на пальцах, все же умели получать информацию о количестве предметов, имевших важное значение в их практической деятельности Они сравнивали количества таких предметов с некоторыми наиболее часто встречающимися совокупностями однородных и наиболее важных объектов. Если надо было сообщить, что поймана одна рыба, убит один зверь и т. д., вспоминали Луну или Солнце, если же речь шла о двух предметах, им соответствовали слова «губы», «глаза», «уши», «крылья» и т. д., если о четырех — «стороны света», о пяти — «рука», о десяти — «обе руки». Таким образом, численность предметов сравнивалась с численностью некоторой совокупности-эталона. Полученная количественная характеристика была еще неотделима от конкретных качественных свойств пересчитываемых предметов. Однако, не зная еще чисел, человек все же научился устанавливать отношения «равно», «больше» и «меньше». Открытие совокупностей-эталонов, каждая из которых как бы представляла бесконечный класс равночисленных конечных совокупностей, стало очень важным шагом на пути формирования понятия числа. Со временем числа-качества начали постепенно отделяться от конкретных объектов. Так, у аборигенов Флориды «на-куа» — это 10 яиц, «на-ба-нар» — 10 корзин и т. д. И хотя самого слова «на» («десять»), отделенного от конкретных объектов, еще нет, но человеческая мысль уже зафиксировала, что это «на» есть чем-то общим в различных совокупностях и зависит не от конкретного содержания составляющих их предметов, а лишь от их количества. Усложнение практической деятельности и огромная умственная работа по обобщению ее результатов с неизбежностью привели человека к формированию первых натуральных чисел, вначале только 1 и 2. Но это было огромное завоевание теоретической мысли. К. Маркс писал: «...Первой теоретической деятельностью рассудка, который еще колеблется между чувственностью и мышлением, является счет» (Маркс К., Энгельс Ф. Соч., т. 1, с. 31). На берегах Амазонки, в Южной Америке в прошлом веке было обнаружено племя индейцев, которые знали только три натуральных числа: 1, 2 и 3. Причем число 3 называлось необычайно громоздким словом поэттаррарароринкоароак, что свидетельствовало о непостижимости и таинственности для них этого числа 3. Один из ученых, открывших это племя, писал: «К счастью для этого народа, их арифметика редко доходит до такого числа». Другие народы проделали подобную работу в глубокой древности. Со-

«Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств, кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт исторического развития»

Ф. Энгельс

Двенадцатеричная система счисления существовала некогда у разных народов, о чем свидетельствует употребляемый до сих пор на Западе счет некоторых предметов, например карандашей, тарелок, предметов белья, дюжинами.

Обозначения чисел индейцами племени ацтеков (Мексика), принятые в XI-XVI вв.

Единицу обозначали точкой, двойку — двумя точками и т. д. до пяти. В запись числа «шесть» входила вертикальная черта, отделявшая пять первых точек от шестой. Ясно, что счет велся группами по пять предметов. Черта отделяла одну такую группу от другой, причем сама черта числа не обозначала.

Римские знаки — I, V, X, L, С, D, М; их значения— 1, 5, 10, 50,100,500,1000.

Пользуясь римскими знаками, запишем числа натурального ряда от 1 до 10 включительно:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X.

Замечаем, что знак I, поставленный слева от другого (старшего) знака, уменьшает на единицу значение старшего знака (IV, IX), а поставленный справа — увеличивает на единицу его значение (VI, VII, VIII).

На таком же основании проводится запись чисел.

Историческая справка

хранились каменные орудия труда, изготовленные человеком около 2,5 миллиона лет тому назад. Анализ этих орудий показал, что их нельзя было изготовить без умения считать и без элементарных представлений о простейших геометрических формах.

Археологические памятники свидетельствуют о том, что люди, жившие в эпоху древнекаменного века (палеолита), 25—35 тысяч лет назад, уже далеко продвинулись в технике счета. Они выделили некоторые часто встречающиеся числовые закономерности, определили длительность таких важных естественных ритмов, как год и лунный месяц. Практическая деятельность ставила перед человеком все более сложные задачи, которые нельзя было решать без дальнейшего овладения сложной математикой. Необходимо было не только определять количественные характеристики совокупностей различных предметов, но и хранить длительное время полученную числовую информацию, передавать ее другим. Для этого человеку служили наборы камешков, черепашек, зерен, палочек, засечки на дереве, узелки на веревке. Раньше люди носили с собой специальный прибор, который назывался — «нос» (от слова «носить»), где засечками обозначали важную числовую информацию. Деревянные палочки или дощечки с такими засечками были распространены и в других странах. Наши предки их называли бирками. Отсюда известные поговорки «Завяжи узелок на память», «Заруби на носу». Неудобство таких способов хранения числовой информации в том, что ее носители (зерна, камешки, бирки) годились и для других целей. Камешками можно было в случае необходимости воспользоваться как оружием, зернами — как пищей, а бирками — как топливом. Требовалось найти более надежный и универсальный способ хранения числовой информации. Такой способ был найден — числовую информацию стали фиксировать с помощью цифр. У разных народов они были разными, но объединяло их то, что обозначали ими числа и только числа. Введение цифр явилось огромным завоеванием человеческой мысли, положившим начало не только развитию математики, но и, как считают многие ученые, письменности вообще.

Заметим, что числа не только задают количество элементов в различных совокупностях, но и помогают определенным образом упорядочивать их. Это находит свое отражение в языке: числа в первом его смысле характеризуют количественные (один два, три и т. д.), а во втором — порядковые (первый, второй, третий и т. д.) числительные.

Римские числа — XL, LX, ХС, СХ. СМ, MC; их значения— 40, 60, 90, ПО, 900, 1100.

Продолжим запись чисел натурального ряда: XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX; XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXIX, XXX;

XXXI, XXXII, XXXIII, XXXIV, XXXV, XXXVI, XXXVII, XXXVIII, XXXIX, XL;

XLI, XLII, XLIII, XLIV, XLV, XLVI, XLVII. XLVIII, XLIX, L.

Напишем число 88 римскими знаками: LXXXVIII.

В этой записи смысл каждого знака (символа) не зависит от того места, на котором он стоит. Здесь, например, цифра X повторяется три раза и каждый раз означает одну и ту же величину — десять единиц.

ДЕСЯТИЧНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Что же представляет собой наша обычная десятичная система счисления, которой все мы пользуемся?

Число пятнадцать сокращенно мы записываем так: 15.

Такая запись означает, что это число содержит 1 десяток и 5 единиц. Иными словами, 15 — это сумма 1 • 10 + 5 • 1.

Число двести двадцать два сокращенно мы записываем так: 222.

Такая запись означает, что это число содержит 2 сотни, 2 десятка и 2 единицы. Иными словами, 222 — сокращенное обозначение суммы 2* 100 + 2« 10+2« 1.

Историческая справка

Вначале ряд натуральных чисел был очень коротким. Так, у племен островов Торресового пролива (северная часть Австралии) единственными числами были: 1 — урапун, 2 — окоза. Число 3 называли окоза-урапун, 4 — окоза-окоза, 5 — окоза-окоза-урапун, 6 — окоза-окоза-окоза. Как видим, уже с первых шагов натуральный ряд формировался не как хаотическое нагромождение все новых и новых чисел, а как результат практических потребностей людей. Оказавшись в лабиринте свойств конкретных предметов, люди с помощью совокупностей-эталонов, как с нитью Ариадны, пришли к гениальному открытию — построению ряда натуральных чисел. Где бы люди его не создавали, он везде начинался с единицы. За каждым натуральным числом непосредственно следовало одно и только одно натуральное число, на единицу большее предыдущего. Каждому натуральному числу, кроме единицы, непосредственно предшествовало одно и только одно натуральное число, на единицу меньшее последующего Если сегодня это кажется очевидным и простым, то только потому, что гениальное совершенство конструкции натурального ряда сделало это изобретение вечным инструментом, неисчерпаемым по своему применению во всей человеческой деятельности, и по количеству свойств, которые находили в нем поколения математиков в прошлом и будут находить в будущем. Конечно, разные народы вложили в формирование натурального ряда и некоторые свои характерные черты. Но это были второстепенные детали. Главные же математические характеристики люди открывали и клали в основание единой конструкции числового ряда, хотя занимались этим на разных континентах и в разные эпохи. И это тоже закономерно. Хотя люди решали разные практические задачи, но они описывали их одинаковыми математическими моделями. А главное, у них всегда были в действии одни и те же совокупности-эталоны, прообразы или действительные основания для создания понятий первых натуральных чисел. Человек скоро обнаружил, что счет единицами не самый лучший. И уже с первых шагов нашлись рационализаторы счетного мастерства. Жители островов Торресового пролива, владея только двумя числами, по сути уже использовали двоичную систему счисления: они считали, не просто слагая единицы, а, если их было достаточно много, представляли число суммой двоек, а если же оно было нечетным, то еще прибавляли единицу. Двоичная система была очень распространена на первых

Цифры индейцев племени майя, которые жили на полуострове Юкатан (Центральная Америка). Их система была позиционной с основанием 20, причем в ней уже был знак для нуля. Он напоминал по своей форме полузакрытый глаз. Например, число 20 индейцы майя записывали при помощи знака для единицы и внизу знака для нуля.

Первой известной нам позиционной системой счисления была шестидесятеричная система вавилонян, возникшая примерно за 2500—2000 лет до н. э. Вавилоняне записывали все числа от I до 59 по десятичной системе, применяя принцип сложения и используя два знака: прямой клин для обозначения 1 (а также 60) и лежачий клин для обозначения 10.

Вверху слева изображена запись числа 92.

Цифры в Древнем Египте. Вверху справа записано число 444. Мы видим, что древнеегипетская нумерация похожа на римскую, только при записи чисел не употребляется вычитание. Как же считали древние египтяне? Оказывается, умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел. Заметим, что при этом они пользовались фактически двоичной системой.

Этой последней записи придают более удобную форму: 222 = 2 - 1042 - 1042 • 10°. Читать эту строку следует так: 222 равно 2, умноженное на 10 в квадрате, плюс 2, умноженное на 10 в первой степени, плюс 2, умноженное на 10 в нулевой степени.

Заметим, что любое отличное от нуля число в нулевой степени принято считать равным единице.

Следовательно, 10°= 1 и единицу можно заменить на 10°, а 102 = 10 - 10=100.

Итак, 222 = 2 • 102 + 2 . 1042 • 10°.

Аналогично: 548 = 5 • 1044 • 1048 • 10°; 85 287 = 8 . 1045 • 1042 • 1048 • 1047 • 10°;

Историческая справка

этапах овладения техникой счета. Но математическая мысль, начав свое движение, уже не могла остановиться. Количество пальцев на руке человека подсказало идею пятеричной системы счисления. Счет в пятеричной системе так же был довольно распространен. Его интересно описал в своей книге «На Чукотке» писатель Т. Семушкин. Чукчи пятеричной системой счета владели довольно уверенно в пределах тысячи, хотя для этого приходилось пользоваться пальцами рук и ног нескольких человек. Например, чтобы подсчитать 128 оленей в стаде, чукча использовал пальцы всех пятерых членов своей семьи, а поскольку их оказалось недостаточно, то пригласили еще двух человек из соседней яранги.

На этот подсчет ушло около трех часов. Таким способом много не насчитаешь. Другие народы поняли это еще несколько тысячелетий назад и нашли выход из, казалось бы, безнадежного положения, в котором они оказались перед безконечной шеренгой чисел. Люди научились при помощи немногих слов называть, а при помощи немногих знаков записывать результаты счета, т. е. создали более совершенную устную и письменную нумерации. Наибольшее распространение получила десятичная нумерация (по количеству пальцев на обеих руках человека). Те народы, которые считали по количеству пальцев на обеих руках и ногах человека, создали 20-ричную систему. Некоторые народы использовали 12-ричную систему. Своеобразным синтезом 5-ричной и 12-ричной нумерации стала 60-ричная нумерация, созданная шумеро-вавилонянами.

В XXX в. до н. э. в Древнем Египте была создана иероглифическая непозиционная система счисления. Она не имела знака нуля. Каждый иероглиф (от греческ. священная резьба) изображал слово или слог. Иероглифическое письмо использовалось только для важных, торжественных текстов. Оно было сложным для использования, поэтому его со временем заменили иератическим, в котором от каждого иероглифа остались только характерные черты. Еще более упрощенным стало демотическое (общедоступное) письмо. Числа от 1 до 9 — это вертикальные черточки (знак засечки или зарубки), 10 — путо для стреноживания животных, 100—мерная веревка, которой пользовались египетские землемеры, 1 000 — цветок лотоса, 10 000 — указательный палец, 100 000 — головастик, 1 000 000 — удивленный человек, 10 000 000 — лучи восходящего солнца. Древние египтяне использовали от-

222 780 = 2 • 105 + 2 • 104 + 2 • 103 + 7 • 102 + 8 • 10'+0 • 10°.

Итак, в десятичной системе счисления каждое целое положительное число представляется в виде суммы единиц, десятков, сотен и т. д., т. е. в виде суммы различных степеней числа 10 с коэффициентами, которые могут принимать значения от 0 до 9 включительно.

В общем виде:

^' = an10n + an-,10n-, + ...+ a|10, +а010°,

где 10—основание десятичной системы счисления, а каждый из коэффициентов a0, au Дл-i, а п может принимать любое целое значение от 0 до 9 включительно.

Историческая справка

дельные иероглифы, только для некоторых дробей: 1/2, 1/4, 2/3, 3/4. Они еще не знали дробей вида т/п и пользовались только дробями вида 1/п — так называемыми аликвотными дробями. Существенный шаг вперед наблюдаем в шумеро-вавилонской системе счисления. Для записи чисел они использовали только два знака — вертикальный и горизонтальный клинья. Числа до девяти записывали соответствующим количеством горизонтальных клиньев. Их получали при надавливании по сырой глиняной табличке острием трехугольной палочки. При записи числа 10 на нее надавливали не вертикально, а горизонтально и получали горизонтальный клин. Число 59 изображали пятью горизонтальными и девятью вертикальными клиньями. Но самое удивительное наблюдается в том, что число 60 шумеро-вавилонские писцы записывали тоже одним вертикальным клином (как и число 1!).

Шумеро-вавилонские математики открыли позиционный принцип в нумерации и создали первую из известных нам позиционных систем счисления. Счет в пределах разрядов они вели по десятичной системе, а при переходе от одного разряда к последующему — по 60-ричной. У шумеро-вавилонских математиков вначале не было знака для нуля, а когда он появился, его ставили лишь при отсутствии разрядов внутри числа и никогда не писали, если не было единиц в первом, втором и т. д. разрядах в конце числа. Только из условия задачи или другим каким-либо образом можно было отличить числа 12, 120, 12 000, потому что все они записывались одинаково — один горизонтальный и два вертикальных клина. Поэтому вавилонская система счисления и называется позиционной, но непоследовательной. Она была разработана в XXX — XXVIII вв. до н. э. Мы и сейчас пользуемся 60-ричной вавилонской системой счисления при измерении углов и времени.

В V—XII вв. на полуострове Юкатан (Центральная Америка) племена майя создали двадцатеричную позиционную систему счисления. В ней использовались три числовых знака: единицы обозначались точками, пятерки — горизонтальными чертами и нуль — в форме стилизованной ракушки. Памятники письменности, как и весь народ майя, постигла трагическая участь. Завоевав в 1527—1597 гг. территорию, где жили майя, испанские инквизиторы огнем и мечом насаждали среди туземцев католицизм. Все, что расходилось с духом этой религии, уничтожалось. Сжигали непокорных людей, в пламени костров погибли так же бесценные творения удивительной культуры майя.

Чтобы записать цифрами число, надо выделить в нем классы (единиц, тысяч, миллионов, миллиардов и т. д.) и выписать последовательно числа каждого класса, начиная с высшего. При этом нужно помнить, что в каждом классе, кроме, быть может, высшего, должно быть три цифры; поэтому недостающие значащие цифры следует заменять нулями, а если нет целого класса, то на его место ставить три нуля.

С введением десятичных дробей десятичная позиционная система стала универсальным средством для записи всех действительных чисел.

Целые положительные числа, у которых все цифры, кроме цифры старшего разряда, нули, называются круглыми. Например, 10, 70, 200, 400, 5000 и т. д.

Круглое число можно записать как однозначное, указывая наименование единиц его старшего разряда, или как произведение однозначного числа на соответствующую степень десяти, например: 90 — это 9 десятков, или 9 • 10; 4000 — это 4 тысячи, или 4 . 103 (103= 1000) ; 5000000 — 5 миллионов, или 5 . 106 (106= 1 000000).

Вообще, число, изображаемое единицей с нулями, представляет собой такую степень десяти, сколько у него нулей. Это можно записать так:

Каждые десять единиц любого разряда образуют единицу следующего высшего разряда, например: десять сотен — единицу четвертого разряда — тысячу; десять тысяч — единицу пятого разряда — десяток тысяч; десять единиц пятого разряда — единицу шестого разряда — сотню тысяч и т. д.

ПЯТЕРИЧНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

В десятичной позиционной системе счисления каждое положительное целое число представляется в виде суммы единиц, десятков, сотен и т. д., т. е. в виде суммы различных степеней числа 10, например:

где а, Ь, с, d — строго меньше 10 (10 — основание системы счисления).

Но с таким же успехом можно представить каждое целое число в виде комбинации степеней не числа 10, а числа 5. Тогда в новой системе, пятеричной, или в системе счисления с основанием 5 мы должны вести счет от 0 до 4 включительно обычным способом, а число 5 принять за единицу следующего разряда, обозначить в новой пятеричной системе символом 10. и читать: «1 пятерка, нет единиц».

Чтобы не путать такое обозначение с десятичным числом 10, ставим возле него справа внизу значок (индекс), указывающий основание системы счисления.

Имеем для первого десятка чисел:

Упражнение 1. По такому же образцу запишите самостоятельно числа второго десятка, т. е. одиннадцать, двенадцать и т. д.

Числа третьего десятка будут иметь вид:

Историческая справка

К VI в до н. э. относятся древнейшие памятники греческой культуры с использованием в Древней Греции аттической, или геродиановой, нумерации. Но уже с V в. до н. э. ее начала вытеснять алфавитная ионийская нумерация. Первые девять букв а. ß, Y,... обозначали числа 1, 2, 3, ... следующие девять букв — от 10 до 90 и остальные буквы — от 100 до 900. При помощи дополнительных значков в этой нумерации можно записывать числа до 107. Именно поэтому для записи больших чисел Архимед, а потом Аполлоний Пергский разработали позиционные нумерации, которые, однако, не получили распространения. В V в. до н. э. алфавитная нумерация использовалась в малоазиатских (ионийских) греческих поселениях. В IV в. до н. э. она распространилась и в метрополии.

Алфавитной была также нумерация Древней Руси. Чтобы отличить, когда буквы выступали в роли чисел, над ними ставили специальный знак — титло. Для записи тысяч использовали те же буквы, что и для единиц, но перед ними ставили специальный значок — дважды перечеркнутую наклонную черту. Для записи десятков тысяч опять использовали те же буквы, но без знаков титла и тысяч, а обведенные сплошной линией — окружностью; для сотен тысяч вокруг букв ставили точки, а для миллионов — буквы обводили венчиком из лучей. Алфавитной является так же все еще широко используемая римская нумерация.

Иероглифические и алфавитные нумерации имеют много недостатков. Для обозначения больших чисел надо было бы вводить все новые и новые знаки. Очень сложно выполнять вычисления с числами, записанными в этих нумерациях. Вавилонская нумерация устраняет алгоритмические недостатки иероглифических и алфавитных нумераций, но ее большое основание (число 60) очень усложняет умножение и тем более деление. Таблица умножения содержит 1770 произведений: от 1 • I до 60 • 60. Не случайно вавилонские писцы, чтобы обойти эти неудобства, составили и использовали целую систему числовых таблиц, без которых умножение и деление 60-ричных чисел было бы головоломной работой.

Мы уже видели, что счет десятками присутствует во всех системах нумераций. И это не удивительно, ведь на обеих руках человека 10 пальцев. Блестяще использовали это индийцы. Они создали последовательную десятичную систему счисления и разработали основанную на ней арифметику. Основной предпосыл-

Современные цифры возникли примерно 1500 лет назад в Индии. Арабы заимствовали у индийцев цифры и позиционную десятичную систему, которую европейцы, в свою очередь, заимствовали у арабов. Поэтому наши цифры, в отличие от римских, стали называть арабскими. Заметим, что с индийской нумерацией знакомят арабов среднеазиатские ученые, в первую очередь ал-Хорезми (783 —ок. 850).

Около 500 г. до н. э. в Милете (в греческой малоазиатской колонии Ионии) возникла система нумерации, использовавшая все буквы алфавита и некоторые старые, вышедшие из употребления буквы, сохранившиеся как дополнительные знаки. Эта система нумерации называлась ионической. С ее помощью можно было довольно просто записать все числа до 10е— 1.

Первой, самой древней «счетной машиной» были пальцы рук и ног. На них человек научился отсчитывать довольно большие числа. Различными загибами пальцев рук изображали не только единицы и десятки, но сотни и тысячи.

Изображение пальцевого счета в старой испанской рукописи XIII в. В верхнем ряду числа 100, 200, 300, 1000, 2000, 3000.

Упражнение 2. а) Запишите числа четвертого и пятого десятков по следующему образцу: 31,о соответствует 1115; 32,0 - П25;

50,о - 2005.

б) Объясните, как получили последнее число 2005. Какие рассуждения этому предшествовали?

в) Прочитайте запись в десятичной системе счисления.

В нашем кружке 125 человек. Мы занимались изучением позиционных систем счисления с 145 часов до 21ь часа.

Историческая справка

кой создания индийской позиционной десятичной нумерации послужили цифры «брахма», которые были распространены в Индии с VI в. до н. э. и содержали уже отдельные знаки для первых девяти последовательных натуральных чисел. Первая известная нам запись числами брахма с использованием позиционного принципа относится к 595 г.: записанным было число 346. Нуля еще не было. Первая достоверная запись с использованием нуля относится к 876 г., тогда было записано число 270. Первое свидетельство об индийской системе счисления относится к 662 г.

Арабские купцы вывозили много экзотических товаров из далекой сказочной Индии, но они и не подозревали, что самым драгоценным багажом, который был вывезен караванными путями, а потом распространился тысячами дорог по всей земле, была именно индийская десятичная позиционная нумерация и построенная на ее основе арифметика. Поэтому цифры, которыми мы пользуемся теперь, называются арабскими, хотя подлинными первооткрывателями их были индийские ученые. Сами арабы называли индийские цифры и основанную на их основе арифметику «Хисаб ал-Хинд», т. е индийский счет.

Наиболее распространенным названием нуля в Индии было «шунья» (пустое, в смысле отсутствия единиц в каком-то из разрядов числа). Слово «шунья» по-арабски «сифр», что тоже означает «пустое». Когда же переводили арабские математические книги на латинский язык, слово «сифр» оставили без перевода в виде «ciffra», и вначале оно обозначало нуль, а потом распространилось на все десять знаков индийской нумерации, которые стали называться цифрами. Огромное значение для распространения в средневековой Европе десятичной нумерации и арифметики имел трактат выдающегося среднеазиатского математика Мухаммеда ал-Хорезми «Об индийском счете».

Все новое в средневековой Европе встречали в штыки. Индийские цифры не были исключением. Против них особенно упорно выступали служители церкви. Даже римский папа Сильвестр II (ок. 940—1003) потерпел трагическое поражение из-за своей приверженности к индийской нумерации. Среди других обвинений, выдвинутых против него, было и то, что он может делить любые числа. В глазах церковной братии это было неопровержимым свидетельством того, что он «продался сатане».

Действия над числами в пятеричной позиционной системе счисления

Действия над числами в пятеричной позиционной системе счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, но при этом пользуются таблицами сложения и умножения однозначных пятеричных чисел.

Сложение и вычитание. Сложение любых чисел можно свести к сложению однозначных чисел и к сложению круглых чисел.

Результаты сложения любых двух однозначных чисел показаны в таблице, где в каждой клетке записана сумма числа, стоящего в той же строчке слева, и числа, находящегося в этом же столбце сверху.

Таблица сложения.

Сложение и вычитание многозначных чисел производится поразрядно, начиная с младшего.

(1 пятерка с показателем 4, 3 пятерки в кубе, 1 пятерка в квадрате, 1 пятерка, единиц

(4 пятерки в кубе, 2 пятерки в квадрате, 1 единица).

Умножение. Умножение любых многозначных чисел выполняется без особого труда, если научиться умножать однозначные числа, а также круглые числа.

Таблица умножения. В таблице даны произведения любых двух однозначных чисел. Множители указаны в верхней строке и в левом столбце, а произведения поставлены на пересечении соответствующих множителям строк и столбцов.

Умножение круглых чисел. Легко найти и запомнить следующие произведения разрядных единиц:

Умножение любых двух круглых чисел сводится, в силу свойств произведения (переместительного: а • Ь = Ь • а, сочетательного: а • Ь • с=а • (Ь • с); (а- Ь)- с = а-(Ь • с) и распределительного: (а + Ь) - с=а • с+ Ь • с), к умножению однозначных чисел и разрядных единиц.

Чтобы перемножить круглые числа, надо написать произведение первых цифр этих чисел и приписать справа столько нулей, сколько их в обоих сомножителях вместе.

Пример.

Упражнение 3. Выполните умножение и сделайте проверку:

а) 2005 . 3005; б) 4005 • 3005.

Умножение многозначного числа на однозначное.

Умножаем множитель на каждый разряд множимого, начиная с низшего. Рассуждаем: 4 единицы повторим три раза, будет 2 пятерки, 2 единицы; 2 единицы записываем под единицами, а 2 пятерки запоминаем, чтобы сложить их с произведением множителя на число пятерок, находящихся во втором разряде множимого.

2 пятерки повторим 3 раза, будет 1 пятерка в квадрате, 1 пятерка; 1 пятерка да две замеченных, всего 3 пятерки. Их записываем в разряд пятерок, а пятерку в квадрате запоминаем, чтобы ее сложить с произведением множителя на число пятерок в квадрате, имеющихся в третьем разряде множимого.

3 пятерки в квадрате повторим 3 раза, будет 1 пятерка в кубе, 4 пятерки в квадрате. Присоединяя еще одну замеченную

Цифры в Древнем Риме. Внизу крупными цифрами записано число 444. Эта форма записи менее удобна, чем та, которой мы теперь пользуемся. Здесь четыре единицы записываются одними символами (IV), четыре десятка—другими (XL), четыре сотни — третьими (CD).

Памятник Петру I, установленный в 1782 г. (на одной из его сторон эта дата высечена в римском счислении) и воспетый А. С. Пушкиным в поэме «Медный всадник»:

Какая дума на челе!

Какая сила в нем

сокрыта! А в сем коне какой

огонь! Куда ты скачешь,

гордый конь? И где опустишь ты

копыта?

Индийский математик Бхаскара (XII в.) написал книгу под названием «Лилавати», т. е. «Прекрасная» (наука арифметика). Вид одной из копий (XIII в.) рукописи «Лилавати», написанной на полосках пальмовых листьев до того, как бумага стала общеупотребительной.

пятерку в квадрате, записываем в разряде пятерок в квадрате 0 и в разряде пятерок в кубе 2.

Читаем результат: 2 пятерки в кубе, 3 пятерки, 2 единицы.

Упражнение 4. Выполните умножение и запишите словами прочитанный результат: 3245 • 4.

Умножение многозначных чисел. При письменном умножении двух многозначных чисел умножаем первый множитель на однозначные числа каждого разряда второго множителя по правилу умножения многозначного числа на однозначное. Получаем столько частичных произведений, сколько цифр во множителе. Начиная со второго частичного произведения, единицы частичных произведений подписываем на одну цифру левее единиц предшествующего частичного произведения.

Если сомножители имеют нули справа, их мысленно отбрасываем, умножаем обычным способом числа, выраженные оставшимися цифрами, а затем приписываем к полученному произведению справа все отброшенные нули.

Если множитель содержит нули в середине, то первую по-

Историческая справка

Отделившись от своих материальных носителей — объектов реальной действительности, натуральные числа стали математическими абстракциями и начали жить своей самостоятельной математической жизнью, содержательной, разнообразной и неспокойной.

Оказалось, что числа не только считают, но и наводят порядок, измеряют. Числа можно складывать и вычитать, умножать и делить. И именно здесь открылось еще одно ошеломляющее волшебное свойство чисел. Если сами числа моделировали количественные характеристики конечных совокупностей каких-то предметов, то действия над числами были уже моделями операций над этими совокупностями. А это открывало необозримое поле применений чисел, прогнозировало возможные результаты действий, которые без чисел просто невозможно было бы предвидеть. Действительно, если в одном стаде было 5 слонов, а в другом 10, то нет надобности пересчитывать, сколько будет слонов в обоих стадах. Достаточно сложить числа 5 и 10, и полученная сумма даст искомое число.

Практическая деятельность человека постоянно подтверждает, что числа не ошибаются, они правильно предсказывают, объясняют, направляют, опознают. Надо только уметь с ними обращаться. Но это было исключительно трудным, даже таинственным искусством. Не случайно древнеегипетский математический текст — папирус Райнда, переписанный около 1800 г. до н. э. из более раннего источника писцом Ахмесом, начинается громким обещанием научить читателя «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн. .». Вот чем было для писца того времени искусство счета и вычислений, связанных с натуральными числами и дробями.

Пальцы человека были первым не только счетным, но и вычислитель-

Среднеазиатский город Самарканд (ныне Узбекская ССР) был в XV в. крупным культурным центром. В 20-х годах XV в. там работал выдающийся ученый того времени — Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях. Страница из «Ключа арифметики» ал-Каши.

Число 10 легло в основу подразделений метра (одна десятимиллионная часть четверти земного меридиана). Вот почему метрическая система мер оказалась тесно связанной с десятичной системой счисления: отношение двух ближайших единиц длины в ней постоянно и равняется именно десяти.

Через 150 лет после ал-Каши в Европе учение о десятичных дробях впервые изложил фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548— 1620). В 1585 г. он написал небольшую книгу под названием «Десятая». Эта книга состояла всего лишь из 7 страниц, однако содержала всю теорию десятичных дробей.

лученную цифру частичного произведения ставим левее на одну, на две и более цифр в зависимости от числа нулей. Пример. 3245 - 4035 - 2431325.

(2 пятерки в пятой степени, 4 пятерки в четвертой степени, 3 пятерки в кубе, 1 пятерка в квадрате, 3 пятерки, 2 единицы).

Запишем каждый множитель и произведение в десятичной системе и проверим правильность полученного результата.

Историческая справка

ным прибором. Приемы пальцевого счета излагались еще в учебниках XVI в. Появление письменности способствовало изобретению многочисленных операций над числами. В Индии выполнение вычислений иногда называли «дхули кармо» (работа с пылью), так как вычисления производились сначала прямо на земле, а потом на счетной доске (абаке), покрытой песком или пылью. Числа писались заостренной палочкой. Теперь абаком называют любой счетный прибор, на котором отмечены места (колонки, строчки) для отдельных разрядов чисел. Камешки, косточки, жетоны или другие мелкие предметы, помещенные в разных колонках, имели различное числовое значение. Вычисления на абаке сводятся к выкладыванию вычислительных элементов (по определенным правилам). Поскольку камешек по латыни calculus, то отсюда и известный термин calculation (калькуляция) — подсчет, или вычисление.

Абак сыграл существенную роль в истории математики. Благодаря абаку в Китае возникло понятие дроби как числа. При решении на абаке систем линейных уравнений естественным образом появились (вошли в математику) отрицательные числа. На абаке были сделаны и многие другие открытия. Домеханический период развития вычислительных машин называют иногда периодом абака.

В десятичной системе все математические действия выполнять проще на бумаге, чем на абаке. Поэтому абак превратился в прибор для вспомогательных вычислений (в России как счеты, в Китае — «суан-пан», в Японии — «соробан»). В России наиболее распространенным были два приема инструментального счета — счет костьми и дощаный счет. Ими пользовались уже в XVI в. Существует мнение, что счет костьми уходит своими корнями в глубокую древность. Почти во всех списках «Счетной мудрости» (XVII в.) имеются статьи о «дощаном счете» — самобытном русском инструментальном способе счисления. В списке 1691 г. впервые наряду с выражением «дощаный счет» появилось слово «счеты».

Загибая и разгибая пальцы, складывая и вытягивая руки,люди не только считали до десятков и сотен тысяч, но и производили некоторые арифметические действия. Пальцевой счет. (Из «Арифметики» Л. Пачоли (1454—1514)).

Известный хорезмский математик и астроном Мухаммед ибн Муса алхорезми (783—ок. 850) — автор первого на арабском языке труда, содержащего изложение десятичной позиционной нумерации и сыгравшего огромную роль в распространении новой нумерации в Европе. Таблица умножения из книги ал-Хорезми.

В средние века очень распространенным был способ умножения «решеткой», названный в Италии «Джелозия» (оконные жалюзи). На рисунке показаны виды умножения этим способом числа 934 на 314.

Сравнивая полученные результаты, убеждаемся в правильности наших вычислений в пятеричной системе счисления.

Деление «углом». Такое деление так же, как и в десятичной, можно выполнять в пятеричной системе счисления.

Упражнение 5. Разделите число 30135 на 215 и убедитесь в правильности полученного результата.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в пятеричную позиционную систему

Рассмотрим число 3287,0.

Выясним сначала, сколько в этом числе пятерок, т. е. единиц второго разряда, и сколько простых единиц. Чтобы это узнать, разделим его на 5.

2 (количество единиц)

Следовательно, в пятеричной записи числа последняя цифра будет равна 2 (2 единицы).

Умножение чисел 9876 и 6789 «решеткой». (Из итальянской книги XVI в.).

На этом способе умножения был основан простой и удобный прибор для умножения чисел — так называемые палочки Непера, описанные впервые в 1617 г. шотландским математиком Джоном Непером.

Отдельные знаки для некоторых математических понятий появились еще в древности. Однако до XV в. почти не было общепринятых арифметических знаков. Знаки « + » и « — » встречаются уже в начале 80-х годов XV в. в рукописях, но в печати впервые появляются в арифметике Видмана (1460 — I пол. XVI в.). изданной в Лейпциге в 1489 г. под названием «Быстрый и красивый счет для всего купечества».

Треугольная и квадратная таблица умножения из книги Видмана.

Для нахождения предпоследней цифры разделим найденное нами частное 657 снова на 5.

Получили частное 131 и остаток 2.

Следовательно, предпоследней цифрой в пятеричной записи числа будет цифра 2 (2 пятерки).

Зная, что каждые пять единиц третьего разряда составляют одну единицу четвертого разряда, делим число 131 на 5:

Получили частное 26 и остаток 1. Этот остаток и представляет собой третью с конца цифру в пятеричной записи числа. А разделив число 26 на 5, получаем:

Имеем в частном 5 и в остатке 1.

Остаток 1 представляет собой четвертую с конца цифру в пятеричной записи числа.

И, наконец, разделив последнее частное на 5, получаем остаток 0 и частное 1, которое уже делить на 5 не можем.

Остаток 0 дает нам пятую с конца цифру в пятеричной записи числа, а частное 1 представляет собой шестую с конца цифру, т. е. цифру наивысшего разряда пятеричного числа.

Таким образом, числу 328710 соответствует число 1011226.

Выкладки, выполненные для перехода от десятичной записи числа 328710 к его представлению в пятеричной системе, удобно записать так:

Запись дробей в Египте. В столбце 1 представлено иероглифическое, в столбце 2 — иератическое, а в столбце 3 — демотическое письмо.

Египтяне, как и некоторые другие народы древности, выражали любую дробь в виде суммы только так называемых основных дробей, числитель которых равен единице.

Египтяне писали на папирусах, т. е. на свитках, изготовленных из стебля крупных тропических растений, носивших то же название. Важнейшим по содержанию является папирус Ахмеса, названный так по имени одного из древнеегипетских писцов, рукою которого он был написан. На рисунке представлен обрывок папируса Ахмеса.

Отрывок древнеегипетского инвентаря стад. Сверху число 223 000, ниже 232 413 (надпись на могиле фараона).

Проверка.

Упражнение 6. а) Переведите числа из десятичной системы счисления в пятеричную позиционную систему: 8910; Ю310; 197810.

б) Запишите дату выполнения работы в пятеричной позиционной системе счисления.

в) Составьте таблицу первых десяти степеней числа 5.

ДВОИЧНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Позиционная система счисления с основанием 2 называется двоичной. Примечательна она тем, что именно ее предпочитает ЭВМ.

Для записи чисел в двоичной системе используются только две цифры; 0 и 1. Число два, т. е. основание системы, записывается как 102.

Если прибавить к числу 102 единицу, то получим двоичную запись числа 3 : 112.

Для получения в двоичной системе числа 4 надо к числу 3 (112) прибавить единицу. Такое прибавление напоминает нам переход от числа 9910 к числу 10010. В числе 112 разряд единиц и следующий высший разряд уже заполнены, поэтому прибавление единицы приводит к переполнению сначала разряда единиц, сбросу единиц и переносу в разряд двоек,затем переполнение разряда двоек ведет к переносу единицы в следующий высший разряд, т. е. двоек в квадрате. Следовательно, число 4 будет записано как 1002. Его следует читать так: 1 раз по четыре единицы, или 1 раз по два в квадрате.

Следующие дальше в порядке возрастания целые числа запишутся:

(1 раз по четыре единицы, нет по две единицы, есть одна единица); (1 раз по четыре единицы, 1 раз по две единицы);

(1 раз по четыре единицы, 1 раз по две единицы, есть одна единица); (1 раз по восемь единиц, или 1 раз по два в кубе);

(1 раз по восемь единиц, нет по четыре единицы, нет по две единицы, есть одна единица).

Упражнение 7. Записать последовательные целые числа от единицы до тридцати двух в двоичной и пятеричной системах счисления по следующему образцу:

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную и обратно

abcd = a- \03 + b - 102 + с- 10l+d- 10°,

где а, с, d — строго меньше 10 (10 — основание системы счисления).

Имеем:

Перевод из двоичной системы в десятичную легко выполняется на основе нумерации в двоичной системе. Например: 111012=16-r-8-r-4-r-0-r-l=29,0.

Чтобы выполнить обратный перевод, т. е. перевести число из десятичной системы счисления в двоичную, необходимо последовательно делить десятичное число и его десятичные частные на основание двоичной системы, т. е. на число 2. Деление производится до тех пор, пока полученное частное не будет меньше основания новой системы счисления, т. е. меньше числа 2. Например:

Объясним записанное более подробно.

1) Разделили число 2510 на 2, чтобы узнать, сколько в нем двоек; их оказалось 12, остаток 1; это значит, что на последнем месте в разряде простых единиц должна быть 1.

2) Полученное число двоек, т. е. 12, делим на 2, чтобы узнать, сколько в этом числе четверок: 12 : 2 = 6, остатка нет. Это значит, что в разряде двоек, т. е. на предпоследнем месте, должен быть 0.

3) Далее делим число 6 на 2, чтобы узнать, сколько в нашем числе восьмерок: 6:2 = 3. Остатка нет. Значит, на месте четверок стоит 0.

4) Наконец, разделив число 3 на 2, получим 1; узнали, что в разряде восьмерок 1, а в следующем старшем разряде 1. Этот разряд соответствует шестнадцати.

В дальнейшей работе деление будем производить устно, а в записи оставлять только частные и остатки от деления.

Форма записи может иметь такой вид:

Числу 81,о соответствует число 10100012.

Упражнение 8. Пользуясь общим правилом и последней формой записи перевода, переведите в двоичную систему счисления следующие числа десятичной системы: 102; 221; 38; 60; 82.

ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА

Арифметические действия в двоичной системе (двоичной арифметике) производятся по обычным для позиционных систем правилам (алгоритмам), которые нам известны из десятичной арифметики, но, конечно, при этом используются таблицы сложения и умножения двоичной системы.

Таблица сложения.

Таблица сложения в двоичной системе очень проста. Надо только помнить, что прибавление нуля не меняет числа, а один плюс один, будет два.

Таблица умножения.

Таблица умножения еще проще. Здесь нужно твердо знать, что любое число, умноженное на нуль, есть нуль и что умножение на 1 не меняет числа.

Сложение. Сложение многозначных чисел производится точно так же, как и в десятичной системе, т. е. поразрядно, начиная с младшего. Например: 1011012 — первое слагаемое 10100g — второе слагаемое I 0000012 — сумма

Проверим правильность наших вычислений. Для этого данные числа запишем в десятичной системе и сложим их. Имеем:

Вычитание. Вычитание в двоичной системе выполняется по таким правилам:

Старейшим арифметическим памятником Киевской Руси является сочинение о календаре, написанное на славянском языке в 1136 году и названное «Наставление, как человеку познать, счисление лет». Автором его считается Кирик Новгородец.

На рисунке — страница из «Наставления».

Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки-славяне, находившиеся в культурном общении с Византией, пользовались десятичной алфавитной славянской нумерацией, сходной с ионийской. Над буквами-числами ставился особый знак, названный титло.

В русских рукописных арифметиках XVII в. употребляются следующие наименования чисел: 10 000 —тьма, 100 000 — легеон, 1000 000 леодр. Эта система наименований называлась «малым числом». В тех же рукописях встречается и другая система, так называемое «великое число», в которой большие числа назывались так: 103 — тысяща, 10е—тьма, 1012 —легеон, 1024 - леодр, 1048 — ворон.

Пример.

Точки, поставленные над некоторыми разрядами уменьшаемого, показывают, что в двоичной системе единица помеченного разряда раздробляется на две единицы низшего разряда.

Проверка.

Разность этих чисел должна равняться:

Упражнение 9. Выполнить действия и проверить правильность полученных ответов в следующих примерах:

Умножение. При умножении двоичных чисел столбиком целесообразно оставлять место для записи единиц перенесения в высшие разряды.

Пример. 111012 - 11012-

Решение.

Проверка.

Книга Л. Ф. Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная» была напечатана в 1703 г. на славянском языке. В то время она стала энциклопедией математики. Интересно заметить, что в «Арифметике» выделено как особое действие «нумерацию, или счисление».

Цифры, знаки арифметических действий и другие математические символы вырабатывались людьми на протяжении веков в тесной связи с развитием самой арифметики. Постепенно изменяясь, индийские цифры приняли форму, близкую к современной.

В материалах записных книжек А. С. Пушкина имеется заметка: «Форма цифр арабских составлена из следующей фигуры: AD (1), ABCD (2); A BE CD (3), ABD + AC (4)». Интересно, что начертанные поэтом цифры очень похожи на цифры почтовых индексов.

Как видим, в двоичной арифметике при умножении не нужна таблица умножения. Не приходится находить произведения первого множителя на значения последовательных разрядов второго множителя, так как значения этих разрядов или 1 или 0. Достаточно записать значения первого множителя друг под другом со сдвигом на один разряд; в случае равенства какого-нибудь разряда второго множителя нулю, его сдвигают на два разряда.

Пример. 1101H 12 • 1011012.

Проверку решения сделайте самостоятельно. Упражнение 10. Прочитайте и убедитесь в правильности записанных равенств:

Деление.

Разделим число 1111002 на число 10102.

Проверка.

Упражнение 11.

Выполните деление и проверьте правильность полученных ответов:

ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Каждое натуральное число является либо составным, либо простым независимо от той системы счисления, в которой оно записано. Например:

3610= 1001002= 1215 =... — составное,

3710= 1001012= 1225 = ... — простое.

Всякое составное число выражается через произведение простых чисел, причем их число одинаковое в любой системе. Например:

3610 = 22 - 32; 36|0= 1001002== 10| • 11 §; 20,о = 22 • 5; 2010= 101002= 10?, • 1012.

Теория и техника нахождения наибольшего общего делителя — НОД одинакова во всех системах счисления. Например:

Вспомним правило нахождения НОД двух натуральных чисел.

Для получения НОД двух натуральных чисел достаточно:

1) разделить большее число на меньшее;

2) разделить меньшее число на первый остаток;

3) разделить остаток на второй остаток и т. д. до тех пор, пока не получится частное без остатка;

4) тот первый делитель, при котором осуществится деление без остатка, и будет НОД данных чисел.

Пусть надо найти НОД двух чисел 35 и 21.

В десятичной системе: В двоичной системе:

Теория и техника нахождения наименьшего общего кратного — НОК одинакова во всех системах счисления. Например, пусть требуется найти НОК чисел 36,0 и 20,0, т. е. найти такое число, которое делилось бы на 3610 и на 2010 и было бы наименьшим среди остальных чисел, которые делятся на 36,0 и на 20,0.

В десятичной системе: В двоичной системе:

Вспомним способ нахождения НОК на основе взаимной связи НОК и НОД.

Известно, что произведение НОК и НОД двух чисел равно произведению этих чисел. Например, НОК (10; 15) =30; НОД (10; 15) =5.

НОК (10; 15) • НОД (10; 15) =30 • 5= 150.

Произведение данных чисел: 10 • 15= 150.

Отсюда следует правило нахождения НОК.

Для получения НОК двух чисел достаточно:

1) найти НОД данных чисел;

2) произведение двух данных чисел разделить на найденный их НОД.

Пример. Найти НОК (36; 20) на основе взаимной связи НОК и НОД.

1) Сначала находим последовательным делением НОД (36; 20):

В десятичной системе: В двоичной системе:

2) Находим произведение чисел 36 и 20 и делим его на НОД (36; 20), т. е. на число 4.

В десятичной системе: В двоичной системе:

Упражнение 12. Найдите двумя способами:

а) НОК (96; 144); б) НОК (101002; 11112); в) НОК (100002; 1 1002).

ВОСЬМЕРИЧНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Позиционная система счисления с основанием 8 называется восьмеричной. Она важна как переходная от десятичной системы к двоичной.

Для записи чисел в восьмеричной системе используется восемь цифр: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7.

Число 8 в восьмеричной позиционной системе записывается как 10g (1 восьмерка, нет единиц). Это число образуется прибавлением 1 к предыдущему числу 7, но 7 в восьмеричной системе наибольшее число единиц, которое может быть записано в одном разряде числа. Поэтому прибавление 1 к 7 влечет за собой переполнение разряда единиц и перенос единицы в следующий разряд (это похоже на то, когда прибавляют 1 к 9 в десятичной системе счисления).

Число 9 в восьмеричной позиционной системе запишется как 118 (1 восьмерка, 1 единица). Индекс 8 показывает, в какой позиционной системе записано число.

Число 10 запишется как 128 (1 восьмерка, 2 единицы). Далее идут числа в следующем порядке:

138 (1 восьмерка, 3 единицы)

148 (1 восьмерка, 4 единицы)

178 (1 восьмерка, 7 единиц) 208 (2 восьмерки, нет единиц) 218 (2 восьмерки, 1 единица) 228 (2 восьмерки, 2 единицы)

278 (2 восьмерки, 7 единиц)

308 (3 восьмерки, нет единиц) и т. д.

Наибольшим двузначным числом в этой системе будет

778 ( 7 восьмерок, 7 единиц), а дальше — 1008 (1 восьмерка в квадрате, т. е. 6410). Это похоже на переход от 9910 к 10010 в десятичной системе счисления.

Запишем несколько трехзначных чисел в восьмеричной системе и научимся их читать. Например:

1348 — 1 раз по восемь в квадрате, 3 раза по восемь и четыре единицы.

6258 — 6 раз по восемь в квадрате, 2 раза по восемь и 5 единиц.

Запишем число 6258 в развернутом виде, т. е. в виде abc = = а • \02 + Ь • \01 + с • 10°, где а, Ь, с — строго меньше 10 (10 — основание системы счисления).

Так совершается переход от чисел, записанных в восьмеричной позиционной системе, к числам, записанным в десятичной системе.

Упражнение 13. Запишите в развернутом виде следующие восьмеричные числа и найдите значения их в десятичной системе счисления:

а) 1348; б) 1258; в) 3518; г) 2228.

Получить значение десятичного числа 405,0 в восьмеричной системе — значит решить вопрос о том, сколько раз в числе 405 содержится по восемь в квадрате, т. е. по 64, затем — по восемь в первой степени и, наконец, по восемь в нулевой степени (т. е. сколько в нем единиц первого разряда).

Решить такой вопрос можно, очевидно, только последовательным делением.

Числу 405,0 соответствует число 6258.

Упражнение 14. Переведите числа, представленные в десятичной системе счисления, в восьмеричную позиционную систему:

а) 92,0; б) 100,0; в) 221,0; г) 853,0.

Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную и обратно

Цифры восьмеричной системы

Запись в двоичной системе счисления

7

111

6

110

5

101

4

100

3

011

2

010

1

001

0

000

Разместим в левом столбце восьмеричные цифры (в убывающем порядке), а в правом — соответственно значения их в двоичной системе счисления.

Эти соответствующие восьмеричным числам значения называют двоичными триадами (от греч. слова xpiâs — тройственность).

А теперь рассмотрим на конкретных примерах соответствие между восьмеричными числами и значениями их, записанными в виде двоичных триад в двоичной системе счисления.

Рассмотренные примеры могут служить основанием для таких выводов.

1) При переводе чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную можно пользоваться более простым способом, а именно: достаточно каждую цифру восьмеричного числа подать соответственно трехразрядным двоичным числом, т. е. триадой. Например: числу 1458 соответствует число 11001012; числу 1608 соответствует число 11100002 и т. д.

2) При переводе двоичного числа в восьмеричное можно разбить двоичное число справа налево на триады (на группы по три разряда в каждой) и каждую двоичную триаду заменить соответственно восьмеричной цифрой.

Если в группе, куда входят старшие разряды числа, не окажется трех разрядов, то недостающие цифры подразумеваются равными нулю.

Например:

числу 11011012 = 001 101 1012 соответствует 1558;

числу 101101002 = 010 110 1 002 соответствует 2648.

Упражнение 15. Запишите в двоичной системе следующие восьмеричные числа:

а) 3358; б) 1508; в) 1718; г) 2008; д) 15258.

Упражнение 16. Запишите в восьмеричной системе следующие двоичные числа:

а) 11101002; б) 11110102; в) 11111012; г) 1111011112.

Использование восьмеричной системы счисления как переходной от десятичной к двоичной и обратно

Для упрощения перевода чисел из десятичной системы в двоичную целесообразно сначала перевести число в восьмеричную систему, а затем цифры полученного восьмеричного числа заменить двоичными триадами.

В древности торговцы (финикийские, вавилонские и других городов) производили расчеты при помощи зерен, камешков, раковин, которые впоследствии стали выкладывать на специальной доске, названной затем абаком.

Абак у греков и римлян подвергся дальнейшему усовершенствованию и стал счетной доской, счетным прибором, вроде наших нынешних счетов. На первом рисунке изображен древнегреческий мраморный абак, найденный в XIX в. на о. Саламин.

На втором рисунке изображен древнеримский бронзовый абак.

В X в. видный европейский математик Герберт усовершенствовал абак. Вместо счетных камешков он употреблял жетоны с надписанными на них, им же изобретенными, цифрами. От них, как считают некоторые ученые, происходит начертание современных цифр.

Пример.

Перевести число 395|0 в двоичную систему: Решение. а)

Числу 39510 соответствует в восьмеричной системе число 6138.

б) Числу 6138 соответствует в двоичной системе число 1100010112.

Итак, числу 395,0 соответствует число двоичной системы 1100010112.

Проверка.

Числу 395,о соответствует 1100010112.

Обратный перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную с использованием восьмеричной системы счисления производим в следующем порядке:

1 ) разбиваем двоичное число на триады, начиная справа;

2) заменяем двоичные триады соответствующими цифрами восьмеричной системы;

3) переводим полученное восьмеричное число в десятичную систему.

Пример.

Перевести двоичное число 10110101012 в десятичную систему счисления (с использованием восьмеричной):

1) 10110101012 = 001 011 010 1012;

2) числу 001 011 010 1012 соответствует число 13258;

3) 13258=1 • 83 + 3 • 82 + 2 • 845 • 8° = 1 • 512 + + 3 . 64 + 2 • 8 + 5 • 1=512+192+16 + 5 = 725,0-

Итак, двоичному числу 10110101012 соответствует число десятичной системы счисления 725,0.

Упражнение 17. Используя восьмеричную систему как промежуточную, переведите из десятичной системы счисления в двоичную следующие числа:

а) 56; б) 62; в) 84; г) 120; д) 128.

Одним из древнейших счетных приборов являются китайские счеты «суан-пан», и поныне употребляемые в Китае. «Суан-пан» имеет на каждой проволоке по 7 косточек — 5 по одну и 2 по другую сторону от перегородки. Одна косточка правой половины означает 5 косточек левой.

Другой старинный счетный прибор—японский «соробан», который был завезен в Японию из Китая в XV—XVI веках. Устройство японских счетов отличается от китайских тем, что в верхней половине имеется только одна косточка на каждой проволоке.

Русские счеты применяются нашим народом, вероятно, начиная с XVI в. С давних пор употребляются такие выражения, как «сбрасывать со счета», «прикидывать», «скидка» и т. п. Большое преимущество русских счетов заключается в том, что они основаны на десятичной системе счисления.

Упражнение 18. Используя восьмеричную систему как промежуточную, переведите из двоичной системы счисления в десятичную следующие числа:

Действия над числами восьмеричной системы счисления

Действия над числами восьмеричной позиционной системы счисления выполняются по тем же правилам,что и в десятичной системе счисления, но при этом пользуются таблицами сложения и умножения однозначных восьмеричных чисел.

Таблица умножения.

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

10

2

3

4

5

6

7

10

11

3

4

5

6

7

10

11

12

4

5

6

7

10

11

12

13

5

6

7

10

11

12

13

14

6

7

10

11

12

13

14

15

7

10

11

12

13

14

15

16

Таблица сложения.

1

2

3

4

5

6

7

1

1

2

3

4

5

6

7

2

2

4

6

10

12

14

16

3

3

6

11

14

17

22

25

4

4

10

14

20

24

30

34

5

5

12

17

24

31

36

43

6

6

14

22

30

36

44

52

7

7

16

25

34

43

52

61

Как в десятичной, так и в любой другой позиционной системе счисления, складываем сначала единицы, затем переходим к следующему разряду и т. д. до тех пор, пока не дойдем до самого старшего разряда. Всякий раз, когда при сложении в предыдущем разряде получается сумма, большая, чем основание той системы счисления, в которой ведется запись, или равная ему, делаем перенос в следующий разряд.

Примеры.

Сложение.

(4 восьмерки с показателем 4, 2 восьмерки в кубе, 7 восьмерок в квадрате, 1 восьмерка, 4 единицы).

Вычитание.

(4 восьмерки в кубе, 6 восьмерок в квадрате, 1 восьмерка, 7 единиц)

Пользуясь таблицей умножения восьмеричных чисел, выполняем действие умножения столбиком. При этом рассуждаем примерно так: 48 • 58 = = 248 (2 восьмерки, 4 единицы), 4 единицы пишем, 2 восьмерки — в старший разряд (их замечаем в уме); 48 • 48 = 20 (2 восьмерки); 2 восьмерки в квадрате плюс 2 восьмерки перенесенные, всего

Далее, 58 • 58 = 318 (3 восьмерки, 1 единица); 1 единицу пишем, а 3 восьмерки переносим в старший разряд (их замечаем в уме); 58 • 48 = 248; 248 + 38 = 278. Всего 2718.

Окончательный результат (после сложения) 31348 читается так: 3 восьмерки в кубе, 1 восьмерка в квадрате, 3 восьмерки, 4 единицы.

Деление.

Проверка. I способ.

II способ.

Упражнение 19.

ОБЩАЯ ФОРМА ИЗОБРАЖЕНИЯ ЦЕЛЫХ И ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ

Всякое рациональное число ~- можно представить в виде десятичной дроби конечной, если знаменатель q не имеет простых делителей, кроме 2 и 5, и бесконечной в других случаях. Тогда десятичные знаки дроби, начиная с некоторого места, будут периодически повторяться, образуя периодическую десятичную дробь, например: -i- = 0,333...; -j- = 0,142857142857... = 0,(142857). Рассмотрим число 382,1274. В развернутом виде его можно представить так:

(1)

Это же число можно записать иначе:

(2)

Таким образом, для целых и дробных чисел найдена одна общая форма их изображения.

Такая система записи чисел основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего, более старшего разряда. Последовательность цифр 382,1274 представляет собой сокращенную запись выражения, записанного в правой части равенства (2).

Число единиц какого-либо разряда, объединенных в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления (в десятичной системе — число десять), а десять различных знаков (цифр) 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которые служат для обозначения некоторых различных целых чисел,— базисными (базисом десятичной системы).

Упражнение 20. Записать в общей форме (в виде многочлена по степеням основания десятичной системы счисления) следующие числа:

а) 142,857; б) 0,0195; в) 75,1482.

Упражнение 21. Числа, представленные в виде многочлена по степеням основания системы счисления, записать в десятичной системе счисления сокращенно:

Произвольное десятичное число х можно представить в виде многочлена

Xl0~4...+a_m • КГ“..., (1)

где каждый из коэффициентов а, может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки. На основании такого представления это же число х можно записать в виде последовательности цифр

апап-\...а\а0, a_i...a_«. (2)

Эта запись представляет собой просто перечисление всех коэффициентов многочлена Запятая, отделяющая целую часть от дробной, служит по существу началом отсчета.

Упражнение 22. Заполнить таблицу:

Позиционная система счисления

Основание системы

Базисные числа системы

Запись основания

Десятичная

10

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

1010

Восьмеричная

Четверичная

Двоичная

Троичная

Шестнадцатеричная

р-ичная

р (р>1)

Используется р различных цифр ак 2.....р)

10р

Запись произвольного числа х в позиционной системе счисления с данным основанием р основывается на представлении этого числа в виде многочлена (полинома):

хр-Ч (3)

каждый коэффициент а\ которого может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. Как и в десятичной системе счисления, правую часть равенства (3) можно кратко записать перечислением всех коэффициентов многочлена с указанием положения запятой:

х = ап ап-\ ... а0у аха2 ... .

Последовательность цифр, стоя щая в правой части равенства, и будет изображением числа х в р-ичной системе счисления. Основание системы р при любом его конкретном изображении записывается в виде 10.

Упражнение 23. Записать в двоичной, четверичной и восьмеричной системах счислении последовательные целые числа от 1 до 32.

ДРОБНЫЕ ЧИСЛА В ДВОИЧНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

Условные обозначения

Чтение чисел в двоичной позиционной системе счисления

Двоичное число 101, 10112 можно читать поразрядно, выделяя целую часть, например: двойка в квадрате и единица целых (или проще, где можно) пять целых, одна вторая доля единицы, одна восьмая и одна шестнадцатая доля единицы; число 0,000012 — нуль целых одна тридцать вторая доля единицы и т. д.

Упражнение 24. Прочитайте и запишите числа словами.

а) 11,112; б) 100,0012; в) 1001,012; г) 111,1112 д) 0,0000012; е) 0,0001012.

Целые и дробные числа в двоичной позиционной системе счисления записываются в виде последовательности цифр 0 и 1, в которой целая и дробная части разделяются запятой. Каждый старший разряд числа больше соседнего младшего (стоящего справа) в два раза.

В двоичной позиционной системе счисления для целых и дробных чисел найдена одна общая форма их изображения, которая в каждом отдельном случае заполняется соответствующими цифрами, например:

Перевод двоичной дроби в десятичную систему осуществляется простым суммированием развернутой двоичной строки по уже известной нам формуле:

строго меньше 10 (10 — основание системы счисления).

Пример.

I способ.

II способ (с помощью восьмеричной системы).

Итак, числу 101,10112 соответствует число десятичной системы счисления 5,6875.

Упражнение 25. Перевести следующие двоичные числа в десятичную систему счисления (двумя способами):

Перевод десятичной дроби в двоичную систему счисления

Перевод десятичной дроби в двоичную систему счисления осуществляется в два этапа: сначала переводится целая часть, затем дробная часть, после чего к целой части справа от запятой дописывается дробная часть.

Перевод дробной части десятичного числа в двоичную систему счисления производится в такой последовательности:

1) Выясняется, будет ли данная дробная часть больше или меньше -i-. Сделать это нетрудно, стоит только умножить ее (дробную часть) на 2. Если она окажется больше половины, то после умножения на 2 появится в целой части 1, если же меньше половины, то появится 0. Содержание целой части дает нам первую цифру после запятой.

2) Остальные цифры двоичной записи дроби определяются аналогично. Запомним, что в удваивании должны участвовать

Историческая справка

С появлением числа человек окунулся в океан вычислений, становилось очевидным, что вручную и даже при помощи модернизированных абаков их не одолеть. Шотландский математик Джон Непер (1550—1617) для рационализации письменных вычислений изобрел логарифмы. Его работы составили существенный этап и в истории инструментального счета. Он изобрел счетные палочки, идея которых оказалась весьма плодотворной и послужила источником многих усовершенствований и изобретений, предлагавшихся в течении трех столетий со времени их появления. Вслед за изобретением логарифмов поиск механизации логарифмических вычислений привел к созданию первых логарифмических линеек.

Немецкий математик В. Шиккард (1592—1635) в 1623 г. сконструировал первую вычислительную машину, которая могла автоматически выполнять 4 арифметических действия. Созданная кропотливым трудом машина Шиккарда погибла во время пожара, а события Тридцатилетней войны отвлекли внимание современников от этого выдающегося изобретения. Более 300 лет изобретение Шиккарда оставалось неизвестным. О нем узнали только в наше время, когда среди рукописей И. Кеплера, хранящихся в нашей стране, нашли письма Шиккарда и чертежи его машины. Она, безусловно, была первой и, возможно, слишком ранней ласточкой на пути к ЭВМ. Блестящий успех выпал на долю вычислительной машины, изобретенной и построенной гениальным французским математиком и разносторонним ученым Блезом Паскалем (1623— 1662). Он построил свыше пятидесяти моделей, прежде чем добился удовлетворительного результата. Его машина была суммирующей, т. е. осуществляла сложение и вычитание. Существенным элементом машины Паскаля были зубчатые колеса, благодаря которым поступательное движение было заменено более удобным вращательным. Машина Паскаля — родоначальница сумматоров. Уже в XVII в. у Паскаля появились преемники: С. Морлэнд (1662), К. Перро (1675), Р. Грийе (1678).

Палочки Непера (см. выше).

В целом прибор представляет собой обыкновенную таблицу умножения, расположенную на десяти подвижных линейках. В верхней части каждой клетки, разделенной косой чертой, записаны десятки, а в правой — единицы.

«Я назвал свою машину «рабдологический абак», потому что древние называли абаком небольшую доску, на которой написаны цифры, а рабдологией — науку выполнения арифметических операций с помощью маленьких палочек с цифрами...» — так начинает описание своего изобретения Клод Перро — французский естествоиспытатель, живший в конце XVII в.

В 1645 году выдающийся французский математик и физик Паскаль сконструировал первую в истории машину, с помощью которой даже незнакомый с правилами арифметики мог производить сложение и вычитание.

только дробные части от удвоенного перед этим дробного числа. Покажем это на примере.

Пример. Перевести в двоичную систему десятичное число 5,6875.

1) Сначала переводим целую часть числа.

5,о= Ю12.

2) Для перевода правильной дроби 0,6875 выполним следующие действия:

а) записываем дробь 0,6875 и отделяем целую часть от дробной вертикальной чертой;

б) умножая на 2 дробную часть, получим 1,3750; получили первую после запятой цифру 1, которую записываем под 0 целых;

в) умножая полученную новую дробную часть на 2, имеем 0,750; получили вторую цифру двоичной дроби 0;

г) умножая следующую дробную часть на 2, имеем 1,50; получили третью цифру двоичной дроби 1;

д) умножая последнюю дробную часть на 2, имеем четвертую цифру двоичной дроби 1. Справа от вертикальной черты оказался нуль. Работа закончена.

Результатом перевода будет число, полученное слева от вертикальной черты при чтении сверху вниз (отмечено стрелкой): 0,10112.

Имеем: 0,687510 = 0,10112.

Итак, числу 5,687510 в двоичной системе соответствует число 101,10112.

Упражнение 26. Перевести в двоичную позиционную систему следующие десятичные числа:

а) 0,5; б) 0,625; в) 4,125; г) 46,75; д) 21,625; е) 7,3; ж) 10,2; з) 0,99 (е), ж), з) с точностью до шести значащих цифр).

Действия над числами в двоичной позиционной системе счисления

При сложении двух чисел, записанных в двоичной позиционной системе счисления, пользуемся таблицами сложения и умножения.

Действия выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Примеры.

Проверка.

Проверка.

Проверка.

Проверка.

Историческая справка

Гениальный немецкий математик и ученый Г. В. Лейбниц (1646—1716) положил начало другому направлению в механизации счета, предложив конструкцию сумматорно-множительной машины. В ней он реализовал принципиально новую идею, ввел так называемый ступенчатый валик Лейбница, который позволил переносить из ввода в вывод любую цифру одним стандартизированным и безошибочным движением — полным оборотом рукоятки. Все же машина Лейбница не получила распространения, несмотря на то. что в ней были удачные идеи, использованные при конструировании арифмометров. Из них наиболее распространенным оказался арифмометр русского инженера, главного механика Петербургского монетного двора В. Т. Однера (1845—1905), почти ничем не отличавшийся от современных арифмометров. В первой половине XIX в. английский математик и инженер Чарлз Бэббидж (1791 — 1871) разработал полностью автоматизированную вычислительную машину с программным управлением и назвал ее аналитической. Машина имела устройство с элементами, характерными для современных ЭВМ: программным управлением, памятью, вводом данных с помощью перфокарт.

Ученый сформулировал основные принципы программирования, развил идеи о логической структуре вычислительных машин и их математическом обеспечении. Большой вклад в развитие и популяризацию идей Бэббиджа внесла А. А. Лавлейс (1815—1852), дочь гениального английского поэта Дж. Байрона. Она разработала первые программы для аналитической машины Бэббиджа, и ее заслуженно называют первой программисткой. Все же идеи Бэббиджа были восприняты не многими. Они на целое столетие опередили науку и технику своего времени. Их стали реально осуществлять в 1939—1941 гг., когда по проекту Дж. Атанасова в США началась постройка первого в мире электронного вычислительного устройства. В связи с вступлением США во вторую мировую войну работа над машиной была прекращена

Первой до конца построенной ЭВМ была ЭНИАК. Она предназначалась для баллистических расчетов при стрельбе, содержала 1800 электронных ламп, 1500 реле, потребляла около 150 кВт электроэнергии — мощность, достаточную для небольшого завода. ЭНИАК выполняла операции сложения за 0,0002 с, умножение — за 0,0028 с.

В России в связи с общим оживлением экономической жизни уже в первой половине XIX в ученые, мастера и военные изобретают ряд машин и приборов для механического выполнения арифметических действий. Массовое распространение получил арифмометр, изобретенный инженером Однером в 1874 г. в Петербурге.

Машину Паскаля усовершенствовал в 1671 году знаменитый немецкий математик Г. В. Лейбниц. Несмотря на то, что на ней можно было производить все 4 арифметических действия, она тоже не нашла применения из-за технического ее несовершенства.

Впервые идею создания счетно-аналитической машины высказал английский ученый Чарлз Бэббидж. Эта машина, согласно проекту, была громадным арифмометром с арифметическим и запоминающим устройством и программным управлением. Однако низкий технический уровень того времени не позволил осуществить создание этой аналитической машины

Правило округления двоичных чисел

К младшему разряду округляемого числа добавляется единица, если цифра старшего из отбрасываемых разрядов равна единице.

Пример. Округлить до шести знаков после запятой числа:

0,1001101010102... «0,1001 П2;

0,01100110Ю2...« 0,0110102.

Упражнение 27. Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в двоичную (дробную часть получить с десятью знаками):

а) 18,36; б) 3,4567.

Упражнение 28. Умножить двоичные числа (результат округлить до шести знаков после запятой):

ДРОБНЫЕ ЧИСЛА В ВОСЬМЕРИЧНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

С помощью запятой в десятичной позиционной системе счисления мы записывали не только целые числа, но и десятичные дроби.

Например,

С таким же успехом с помощью запятой в восьмеричной позиционной системе счисления можно записывать любое число, например:

0,3458; 41,28; 100,338 и т. д.

В такой записи цифры, стоящие слева от запятой, означают число целых единиц, первая справа после запятой цифра — число восьмых долей, вторая — число восьмых долей в квадрате, третья — число восьмых долей в кубе.

Например,

Дробное восьмеричное число 134,258 в развернутом виде запишется так:

Итак, числу 134,288 соответствует число 92— =92,328125 в десятичной системе.

Запись восьмеричного числа в развернутом виде используется для перевода чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную.

Упражнение 29. Переведите следующие восьмеричные числа в десятичную систему счисления:

а) 2558; б) 0,3458; в) 41,28; г) 100,338.

Упражнение 30. Переведите следующие восьмеричные числа в двоичную систему счисления:

а) 2458; б) 17778; в) 0,3468;.

г) 41,28; д) 22,28; е) 126,338.

Действия над дробными числами, записанными в восьме-

ричной позиционной системе счисления,выполняются на основе таблиц сложения и умножения одноразрядных восьмеричных чисел по тем же правилам (алгоритмам), что и в десятичной системе счисления.

Упражнение 31. Выполните самостоятельно действия над числами в восьмеричной системе и сделайте проверку:

а) 234,158+101,738; б) 127,128 • 32,58; в) 351,78 - 23,18; г) 301,38 : 218.

Упражнение 32. Выполните умножение следующих восьмеричных чисел в двоичной системе: а) 478 и 128; б) 4,78 и 1,28; в) 378 и 2,48; г) 6,48 и 1,58.

Проверить двоичное умножение можно с помощью двоичного деления.

Пусть имеем два восьмеричных числа: 4,78 и 1,28. Тогда 4,78 = 100,1112; 1,28 = 001,0102.

Перевод правильных дробей из одной системы счисления в другую

Пусть требуется перевести число 0,15,0 в восьмеричную систему счисления.

1) Отделяем вертикальной чертой дробную часть от целой.

2) Умножаем дробную часть на основание новой системы счисления (в данном случае на 8); записываем результат строго под исходным числом, начиная с младшего разряда.

Аналитическая машина Бэббиджа.

Она отличалась от предшествовавших тем, что в процессе вычислений не требовала вмешательства человека. Эта машина, пользуясь современной терминологией, представляла собой специализированное вычислительное устройство с фиксированной программой действий.

Особое внимание Бэббидж уделял конструированию арифметического устройства. Здесь ему удалось сделать одно из наиболее выдающихся своих изобретений: систему предварительного переноса (по современной терминологии — систему сквозного переноса).

В 1854 г. шведские изобретатели отец и сын Шютцы закончили работу над своим вариантом разностной машины. В 1855 году она демонстрировалась на Всемирной выставке в Париже.

Если получится перенос в целую часть, записываем его слева от вертикальной черты.

3) Дробную часть полученного числа снова умножаем на основание новой системы счисления.

4) Умножение выполняем до тех пор, пока либо будет получено число с заданной точностью, либо справа от вертикальной черты окажется нуль.

5) Результатом перевода будет число, полученное слева от вертикальной черты при чтении сверху вниз.

Имеем: 0,15 = 0,114631463... = 0,1 (1463)8. Получена периодическая дробь, период показан фигурной скобкой.

Заметим, что умножение при выполнении перевода числа из одной системы счисления в другую производится в исходной системе счисления, основание новой системы счисления тоже представляется в исходной системе.

Пример. Перевести число 0,578125,0 в восьмеричную систему счисления.

Ответ. Числу 0,578125,0 в восьмеричной позиционной системе счисления соответствует число 0,458. Проверка.

Упражнение 39. Перевести следующие правильные дроби из десятичной системы счисления в восьмеричную (дробную часть числа получить с тремя знаками):

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Такой перевод чисел обычно выполняется в два этапа: сначала переводится целая часть, а затем — дробная часть; после этого к переведенной целой части справа от запятой дописывается дробная часть. Например, десятичное число 195,6875 переводим в восьмеричную систему следующим образом:

Числу 195t687510 соответствует число 303,548.

Правило округления восьмеричных чисел

Если старшая из отбрасываемых цифр больше или равна четырем, то к младшему разряду округляемого числа прибавляется единица. Например, при округлении дроби 0,114638 до трех значащих цифр пишем 0,1158, а при округлении до четырех значащих цифр запишем 0,11468.

Упражнение 34. Перевести следующие числа из десятичной системы счисления в восьмеричную (дробную часть числа получить с четырьмя знаками):

а) 32,48; в) 2020,832; д) 937,739;

б) 91,35; г) 29,397; е) 505,909.

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную удобнее пользоваться более экономной схемой записи вычислений (если деление и умножение на восемь производить в уме). Например, число 92,687510 разбиваем на две группы 92,0 + 0,6875,0 и выполняем вычисления так:

Числу 92,6875,0 в восьмеричной позиционной системе счисления соответствует число 134,548.

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Шестнадцатеричная система счисления отличается от всех ранее рассмотренных тем, что здесь общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения базисных чисел этой системы, а потому приходится вводить в употребление новые символы. Для обозначения первых целых чисел от нуля до девяти включительно используются арабские цифры, а для следующих целых чисел от десяти до пятнадцати включительно используются буквенные обозначения:

Таким образом, числа

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а, Ь, с, d, е, f

или

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5 в этой системе — базисные, а ее основание — число 16, которое изображается как 10|6. Например, в развернутом виде число 2/, 8|6 запишется так:

Упражнение 35. Переведите следующие числа из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную:

а) а/,81в; б) (19а) |6; в) 2е816; г) (5Ьс)1Ь.

Арифметические действия над числами шестнадцатеричной системы счисления выполняются согласно таблицам сложения и умножения этих чисел.

Пример. Пример.

Таблица сложения шестнадцатеричных чисел

Таблица умножения шестнадцатеричных чисел

СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Двоично-десятичная система записи чисел

Двоично-десятичная система записи чисел относится к группе так называемых смешанных систем счисления.

С двоично-восьмеричной системой записи чисел мы уже знакомы, знаем, что такое двоичные триады, а также то, что двоично-восьмеричная запись числа совпадает с его двоичной записью, т. е. потому любое число в восьмеричной системе счисления можно рассматривать как сокращенную запись изображения этого же числа в двоичной системе. Например,

Проверка.

Для записи десятичного числа в двоично-десятичной форме каждая цифра десятичного числа записывается в виде четырехразрядного двоичного числа. Каждая такая четверка называется тетрадой (от греческого слова tetpa — приставка в сложных словах, означающая «четыре»).

Цифры десятичной системы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Двоичные тетрады

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

Каждой десятичной цифре отводится четыре двоичных разряда

Переход от десятичной записи к двоично-десятичной производится простой заменой десятичной цифры двоичной тетрадой и не связан с какими-либо вычислениями. Например, число 327,510 запишется в виде

Здесь тетрады изображают цифры 3, 2, 7, 5 записи числа в десятичной системе счисления. Двоично-десятичная запись числа отличается от двоичного

изображения данного числа. Например, запись

не совпадает с двоичными изображениями числа 327,5,0 = = 101000111,12.

Число 327,4, записанное двоично-десятичным кодом 00110010 0111,01012_10, изображает число 807,3125!0, а не число 327,510.

Действительно,

При решении задач на ЭВМ исходные данные обычно задаются в десятичной системе счисления. В этой же системе счисления ЭВМ выдает и окончательный результат вычислений. Но ввиду того, что большинство цифровых ЭВМ способны непосредственно воспринимать только двоичные числа, возникает необходимость осуществлять переводы чисел из десятичной системы счисления в двоичную и обратно. Эта работа в современных ЭВМ выполняется автоматами.

При вводе в машину исходных данных десятичные числа предварительно с помощью специальных устройств преобразуются в двоично-десятичные. Затем по специальной программе сама машина переводит двоично-десятичные числа в двоичные. После окончания вычислений машина автоматически по особой программе переводит результаты вычислений в двоично-десятичные числа, а дальше — специальное устройство осуществляет окончательную выдачу на печать результата в десятичной системе.

О свойствах некоторых смешанных систем

Десятичное число 42,5 имеет двоичное изображение 101010,102. Его можно записать короче с использованием цифр других систем (например, четверичной, восьмеричной и т. д., т. е. систем, основание которых представляет собой какую-то степень основания исходной системы. Тогда эта сокращенная запись одновременно будет изображением данного числа в соответствующей системе счисления.

Пример.

Пусть исходная запись такова:

Объединим разряды исходной записи в группы влево и вправо от запятой по два разряда в каждую такую группу и запишем их цифрами другой системы, например четверичной. Тогда получим:

Теперь объединим разряды той же исходной записи числа в группы по три разряда. Знакомые уже нам триады дают:

Историческая справка

Первая советская ЭВМ — МЭСМ (малая электронная счетная машина) создана в Киеве под руководством Героя Социалистического Труда, лауреата Государственных премий СССР, академика Сергея Алексеевича Лебедева (1902—1974). Она вошла в строй в 1951 г. На МЭСМ был решен ряд весьма сложных и важных для народного хозяйства задач. Например, выполнены расчеты, обеспечивающие устойчивость параллельной работы агрегатов Куйбышевской гидроэлектростанции и определены условия, при которых максимально возможная мощность может передаваться в Москву.

В 1952 г. под руководством С. А. Лебедева была создана «Быстродействующая электронная счетная машина Академии наук СССР» (БЭСМ). В то время она была самой быстродействующей ЭВМ в мире и выполняла до 10 000 операций в секунду. В последующие годы ЭВМ, или, как их еще называют, компьютеры (от лат. computo— считаю, вычисляю), пережили ошеломляющую по темпам развития и новым конструктивным решениям историю. Она напоминает взрыв теоретической и инженерной мысли, которая при всей своей мощности и динамичности едва успевала за все наростающими запросами науки и техники. Выдающиеся заслуги в развитии отечественной кибернетики и ее материального воплощения — поколений ЭВМ принадлежат выдающемуся советскому математику, основателю Института кибернетики АН УССР, Герою Социалистического Труда, лауреату Ленинской и Государственных премий СССР и УССР, академику Виктору Михайловичу Глушкову (1923—1982).

За прошедшие годы сменились три поколения ЭВМ. В первом поколении были ламповые машины — громоздкие и дорогие великаны. МЭСМ выполняла 50 операций в секунду. Ее оперативная память хранила 31 число и 63 команды. «Стрела» (1953 г.) уже выполняла до 2000 операций в секунду, выполняла 15 арифметических и логических операций, 512 команд, имела емкость 2048 чисел по 43 разряда каждое.

Аэродинамические расчеты первого пассажирского реактивного самолета Ту-104 «Стрела» выполнила за 17 часов непрерывной работы. Раньше на выполнение такого объема вычислений ушли бы месяцы. Революцию в конструкции ЭВМ совершили полупроводниковые материалы. Они дали возможность удешевить ЭВМ второго поколения и довести их быстродействие до сотен тысяч операций в секунду.

Электронно-вычислительная машина — ЭНИАК («Электронный цифровой интегратор и вычислитель» — Electronic Numerical Integrator and Computer), сооруженная в США в 1945 г., занимала зал площадью 150 м2.

В машинах третьего поколения используются микроэлектронные схемы, содержащие в одной ячейке десятки транзисторов, резисторов и диодов, так называемые интегральные схемы. Применение интегральных схем позволило уменьшить размеры (габариты) ЭВМ в десятки раз, увеличить скорость их действия и экономить расходуемую электроэнергию

В начале восьмидесятых годов текущего столетия в нашей стране начат выпуск нескольких типов портативных клавишных машин — микрокалькуляторов «Электроника». Такой микрокалькулятор может выполнять не только все четыре арифметических действия с восьмиразрядными числами, но и вычислять различные функции. Масса прибора меньше 200 г.

Объединяя разряды исходной записи числа в группы по четыре разряда в каждой (тетрады), получаем:

Историческая справка

ЭВМ третьего поколения изготовляют уже на интегральных схемах. Интегральная схема не превосходит по размерам транзистор, но в ней все необходимые элементы содержатся в одном кристалле. ЭВМ двух первых поколений были все-таки быстрыми арифмометрами. На них решались в основном инженерные задачи. ЭВМ третьего поколения помогают человеку практически во всех областях его деятельности. Они перерабатывают не только числа, но и слова, фразы, т. е. оперируют с алфавитно-цифровой информацией. На очереди ЭВМ четвертого поколения, которые одновременно параллельно смогут выполнять 108—109 операций в секунду. Их элементной базой являются большие интегральные схемы (БИС), позволяющие существенно уменьшить размеры машины, что очень важно для быстродействия. Например, одна БИС могла бы заменить арифметическое устройство ламповой машины первого поколения. Даже сегодня это кажется фантастикой. ЭВМ вдохнули новую жизнь в древнюю двоичную систему счисления. Она и раньше привлекала внимание многих ученых. Г. В. Лейбниц, например, восторгался ее экономичностью. Ведь всего двух цифр достаточно, чтобы записать в ней любое число. Один из сложных конфликтов, порожденных ЭВМ, связан с разными уровнями языка человека и машины. Язык машины предельно прост: есть импульс — нет импульса, включение — выключение. Всего два слова. Но их удобно записать символами «0» и «1». Оказывается, что единицами и нулями, т. е. двоичными числами можно записывать для ЭВМ не только числа, но и команды, операции над этими числами. Так двоичная система счисления стала удобным языком, на котором человек пока разговаривает с ЭВМ, хотя ведутся большие работы, чтобы научить электронных помощников понимать обыкновенную человеческую речь. Двоичную систему предлагают использовать для диалога с внеземными цивилизациями. Наши соседи по разуму, если таковые будут найдены, вероятно, лучше всего поймут нас, если передаваемую информацию закодировать в двоичной системе как наиболее простой.

Современная электронно-вычислительная машина — быстрый, надежный, безотказный исполнитель и помощник. Поэтому естественно, что математика и вычислительные машины проникли во все области человеческой деятельности. Возникновение и бурное развитие электронно-вычислительных машин обусловили настоящую революцию в науке и технике. ЭВМ помогают врачам определить диагноз и лечить больных, постоянно контролируют их состояние и ход лечения. ЭВМ выполняют работу кассиров, управляют движением поездов и автотранспорта, обслуживают спортивные соревнования. Без ЭВМ был бы невозможен выход человека в космос, полеты на Луну, расчеты стойкости атомных реакторов, решение многих задач современной физики, бионики, экономики. Изложенные факты не история, а только приглашение в историю удивительных приключений человеческого разума на пути к созданию и расширению числа, к усовершенствованию искусства оперирования с числами.

Рассмотренное свойство некоторых смешанных систем широко используется на практике для сокращенной записи чисел, заданных в системе счисления с небольшим основанием. Для этого в исходной записи числа разряды объединяются влево и вправо от запятой в группы некоторой длины (в случае необходимости добавляем левее старшей и правее младшей цифр соответствующее количество нулей) и каждая такая группа записывается одной цифрой другой системы, основание которой равно соответствующей степени основания исходной системы.

Упражнение 36. Записать в двоично-десятичной системе следующие десятичные числа:

а) 201; б) -989; в) 17,085.

Упражнение 37. Какие десятичные числа имеют следующую двоично-десятичную запись:

а) 0,001010010111; б) 10001010,01111011?

Упражнение 38. Перевести в двоичную систему следующие двоично-десятичные числа:

а) 1000 0010; б) 00110001,0010 0101;

в) 0,0011 0001 00100101.

Упражнение 39. Перевести в четверичную и восьмеричную системы двоичное число 1011011,0110011.

Упражнение 40. Перевести в двоичную систему приближенные десятичные числа:

а) 46,19; б) -89,001; в) 0,01; г) 0,122; д) 0,1207.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ

I. Числа второго десятка:

2. а) Числа четвертого и пятого десятков:

б) Прибавление единицы к предыдущему числу 1445 повлекло за собой переполнение разряда единиц и перенос новой единицы в старший разряд, во втором разряде после прибавления еще одной единицы получилось переполнение единиц второго разряда, которое повлекло за собой перенос единицы в третий разряд.

в) В нашем кружке 7 человек. Мы занимались изучением позиционных систем счисления с 9 до 11 часов.

24. а) три целых, одна вторая и одна четвертая доля единицы; б) четыре целых, одна восьмая доля единицы; в) девять целых, одна четвертая доля единицы; г) семь целых, одна вторая, одна четвертая и одна восьмая доля единицы.

27. а) 10010,010111 000 12 с точностью до десяти знаков после запятой; б) 11.01110111002 с точностью до десяти знаков после запятой.

28. а) 0,1000002 с точностью до шести знаков после запятой; б) 0,1001002 с точностью до шести знаков после запятой.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЯМИ 10, 5, 2, 8

10

5

2

8

10

5

2

8

0

0

0

0

52

202

110100

64

1

1

1

1

53

203

110101

65

2

2

10

2

54

204

110110

66

3

3

11

3

55

210

110111

67

4

4

100

4

56

211

111000

70

5

10

101

5

57

212

111001

71

6

11

110

6

58

213

111010

72

7

12

111

7

59

214

111011

73

8

13

1000

10

60

220

111100

74

9

14

1001

11

61

221

111101

75

10

20

1010

12

62

222

111110

76

11

21

1011

13

63

223

111111

77

12

22

1100

14

64

224

1000000

100

13

23

1101

15

65

230

1000001

101

14

24

1110

16

66

231

1000010

102

15

30

1111

17

67

232

1000011

103

16

31

10000

20

68

233

1000100

104

17

32

10001

21

69

234

1000101

105

18

33

10010

22

70

240

1000110

106

19

34

10011

23

71

241

1000111

107

20

40

10100

24

72

242

1001000

110

21

41

10101

25

73

243

1001001

111

22

42

10110

26

74

244

1001010

112

23

43

10111

27

75

300

1001011

113

24

44

11000

30

76

301

1001100

114

25

100

11001

31

77

302

1001101

115

26

101

11010

32

78

303

1001110

116

27

102

11011

33

79

304

1001111

117

28

103

11100

34

80

310

1010000

120

29

104

11101

35

81

311

1010001

121

30

110

11110

36

82

312

1010010

122

31

111

11111

37

83

313

1010011

123

32

112

100000

40

84

314

1010100

124

33

113

100001

41

85

320

1010101

125

34

114

100010

42

86

321

1010110

126

35

120

100011

43

87

322

1010111

127

36

121

100100

44

88

323

1011000

130

37

122

100101

45

89

324

1011001

131

38

123

100110

46

90

330

1011010

132

39

124

100111

47

91

331

1011011

133

40

130

101000

50

92

332

1011100

134

41

131

101001

51

93

333

1011101

135

42

132

101010

52

94

334

1011110

136

43

133

101011

53

95

340

1011111

137

44

134

101100

54

96

341

1100000

140

45

140

101101

55

97

342

1100001

141

46

141

101110

56

98

343

1100010

142

47

142

101111

57

99

344

1100011

143

48

143

110000

60

100

400

1100100

144

49

144

110001

61

101

401

1100101

145

50

200

110010

62

102

402

1100110

146

51

201

110011

63

103

403

1100111

147

10

5

2

8

10

5

2

8

104

404

1101000

150

117

432

1110101

165

105

410

1101001

151

118

433

1110110

166

106

411

1101010

152

119

434

1110111

167

107

412

1101011

153

120

440

1111000

170

108

413

1101100

154

121

441

1111001

171

109

414

1101101

155

122

442

1111010

172

110

420

1101110

156

123

443

1111011

173

111

421

1101111

157

124

444

1111100

174

112

422

110000

160

125

1000

1111101

175

113

423

1110001

161

126

1001

1111110

176

114

424

1110010

162

127

1002

1111111

177

115

430

1110011

163

128

1003

10000000

200

116

431

1110100

164

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ И РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Берман Г. Н. Число и наука о нем. М.: Физматгиз, 1966. 192 с.

2. Бородін О. І. Історія розвитку поняття про число і системи числення. 3-е вид., перероб. і доп. К.: Рад. шк., 1978. 103 с.

3. Валах В. Я. Подорож у світ цілих чисел. К.: Рад. шк., 1978. 102 с.

4. Детская энциклопедия. Т. 2. М.: Педагогика, 1972.

5. Кофлер Е. Від числа до нескінченності К.: Рад. шк., 1968, 296 с.

6. Касаткин В. Н. Новое о системах счисления. К.: Вища шк., 1982. 94 с.

7. Кужель О. В. Розвиток поняття про число. Ознаки подільності. Досконалі числа. К.: Вища шк., 1974.

8. Математика. Посібник для факультативних занять у 7 класі (За ред. Г. П. Бевза). К.: Рад. шк., 1982. 152 с.

9. Оре О. Приглашение в теорию чисел. М.: Наука, 1980. 127 с.

10. Фомин С. В. Системы счисления. М.: Наука, 1980. 47 с.

11. Яглом И. М. Системы счисления.—Квант, 1970, № 6, с. 15—25.

СОДЕРЖАНИЕ

Люди и числа.................... 3

Общие сведения о системах счисления........... 5

Десятичная позиционная система счисления ......... 10

Пятеричная позиционная система счисления ......... 15

Двоичная позиционная система счисления.......... 31

Двоичная арифметика................. 34

Делимость натуральных чисел.............. 39

Восьмеричная позиционная система счисления ........ 42

Общая форма изображения целых и дробных чисел....... 50

Дробные числа в двоичной позиционной системе счисления..... 52

Дробные числа в восьмеричной позиционной системе счисления. . . 61

Шестнадцатеричная позиционная система счисления....... 66

Смешанные системы счисления............... 68

Ответы к упражнениям................. 74

Последовательность целых чисел в позиционных системах счисления с основаниями 10, 5, 2, 8................. 76

Использованная и рекомендованная литература ....... 78

ГЕОРГИЙ

АНДРЕЕВИЧ КОВРИЖЕНКО

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

И ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА

ОТ СЧЕТА НА ПАЛЬЦАХ ДО ЭВМ

Зав. редакцией математики О. П. Бондаренко Редактор H И. Литвиненко Литредактор О. В Коваль. Художеств редактор И А. Савчук. Технич. редактор Л Б. Ланцман. Корректоры А П Наказнюк, Т Ю. Яремчук.

Информ. бланк № 3817.

Сдано в набор 12.08.83. Подписано к печати 11.03.84. БФ 10600. Формат 84х 100/32. Бумага офсетная 2. Гарнитура литературная. Способ печати офсетный. Условн. лист. 3.9. Усл. кр.-отт. 7,58. Уч.-изд. лист. 4,75. Тираж 30 000 экз. Изд Ni 27700. Зак. № 1613-3. Цена 15 к.

Издательство «Радянська школа»

252053. Киев. Ю Коцюбинского. 5.

Диапозитивы текста изготовлены на Головном предприятии РПО «Полиграфкнига» Львовская книжная фабрика «Атлас», 290005. Львов, Зеленая, 20

15 к.

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ДВОИЧНАЯ АРИФМЕТИКА

Трудно назвать такую отрасль человеческой деятельности, где не приходилось бы ставить и решать вопросы о количестве предметов, то есть осуществлять счет, или шире — вычисления. Люди учились считать в течение многих веков, передавая и обогащая из поколения в поколение свой опыт и достижения, увенчавшиеся одним из величайших чудес научно-технической революции — электронно-вычислительной машиной — ЭВМ. О том, как был преодолен путь от счета на пальцах до ЭВМ, и о секретах счетного мастерства в различных арифметиках повествует эта книга.