ЗНАНИЕ

Мацуо Комацу

МНОГООБРАЗИЕ ГЕОМЕТРИИ

Мацуо Комацу

МНОГООБРАЗИЕ ГЕОМЕТРИИ

Мацуо Комацу

МНОГООБРАЗИЕ

ГЕОМЕТРИИ

Издательство «Знание» Москва 1981

ББК22.151 К63

Перевод с японского M И. Коновалова

Мацуо Комацу

К63 Многообразие геометрии: Пер. с япон.— М.: Знание, 1981.—208 с, ил. 45 к. 50000 экз.

Книга японского профессора М. Комацу «Многообразие геометрии», вылущенная издательством «Иванами Синсиё» в 1977 году, представляет собой популярный историко-обзорный очерк о развитии геометрии.

Книга предназначена широкому кругу читателей.

ББК 22.151 513

© Перевод на русский тык, издательство «Знание», 1981 г.

Оглавление

Предисловие / 7

Введение /10

§ 1. Термин «геометрия»/10

§ 2. О содержании термина «геометрия»/11

Часть первая

ГЛАВА 1

Классическая геометрия 19

§ 1. Различные представления о геометрии 20

§ 2. Евклидова геометрия 23

§ 3. Множества 27

ГЛАВА 2

Аффинная геометрия 37

§ 1. Аффинные преобразования 37

§ 2. Содержание аффинной геометрии 44

§ 3. Векторы 49

§ 4. Теорема о треугольниках 51

ГЛАВА 3

Проективная геометрия 60

§ 1. Бесконечно удаленные точки 63

§ 2. Проективная геометрия 66

§ 3. Проективные преобразования 70

ГЛАВА 4

О неевклидовой геометрии 91

§ 1. Исторический очерк 91

§ 2. О содержании гиперболической геометрии 101

§ 3. Эрлангенская программа Клейна 108

Часть вторая

ГЛАВА 5

История возникновения топологии 111

§ 1. О термине «топология» 111

§ 2. Содержание топологии 112

ГЛАВА 6

Топология и теория поверхностей 122

§ 1. Топология 122

§ 2. Кривые линии 132

§ 3. Кривые поверхности 140

ГЛАВА 7

Топологические инварианты 149

§ 1. Группы гомологий 152

§ 2. Топологический характер групп гомологий 164

§ 3. Фундаментальные группы и гомотопия 166

ГЛАВА 8

Лекция о многообразиях 179

§ 1. О понятии «многообразие» 179

§ 2. Гипотеза Пуанкаре 181

§ 3. Различные направления топологии 184

Послесловие 195

От редакции 206

Предисловие

Математику считают трудной наукой. Одна из причин этого состоит в том, что для нее характерны чисто логические построения, не допускающие ни малейшей ошибки. Не случайно говорят, что математика — наука точная. Однако, по-моему, сложность математики также и в своеобразии и даже некотором величии объекта исследований — того мира, который возникает в нашем сознании. Без знания математической теории нелегко понять, что именно является предметом ее исследования. Поэтому распространено мнение, что среди учебных лекций самые непонятные — лекции по математике.

Кроме вышеуказанных, есть еще одна причина возникающих трудностей — громоздкие формулы. Для точной передачи содержания математической теории недостаточно одних только слов. Здесь совершенно необходима специальная символика — особый язык, создающий препятствие при общении с неспециалистами. Из-за этого иногда и сами математики испытывают затруднения, сталкиваясь с вопросами, которые выходят за пределы их специальности.

Вследствие всего этого создается впечатление, будто для неспециалистов невозможно с достаточной ясностью изложить вопросы, связанные с историей развития математики, рассказать о современном состоянии этой науки.

В настоящей книге я попытался, ограничиваясь только геометрией, хоть в какой-то степени рассеять подобное представление о математике. Причем я решил по возможности

отказаться от использования формул, которые, как уже отмечалось, сами по себе создают дополнительные трудности для читателя. Казалось бы, вести разговор о математике, не прибегая к формулам, — едва ли не бесполезное дело: без них не получишь необходимых сведений. Однако в рамках геометрии, используя большое число простых рисунков, все же, по-моему, можно добиться определенных успехов в понимании предмета. Причем в данном случае и сам объект исследования не представит для читателя тех трудностей, какие встречаются, скажем, при изучении дифференциального и интегрального исчислений.

В этой книге я касаюсь разных разделов геометрии. И если я поставил перед собой такую цель, то только потому, что, как мне кажется, различия и особенности разделов этой науки не столь значительны и могут быть объяснены начинающим даже при субъективном подходе к изложению. Изложение теорий — задача сложная, и лучше всего идти по пути постепенного и последовательного рассмотрения объекта исследования.

Таковы были соображения, способствовавшие принятию решения написать эту книгу, которой я хочу предпослать еще несколько замечаний.

Нужно отметить, что для усвоения предмета математики требуется «точное знание», необходимо четкое овладение основными понятиями, глубокое понимание доказательств. Направленность настоящей книги иная — она дает лишь общее представление о предмете. Поэтому, дорогие читатели, не считайте, что, познакомившись с книгой, вы в общем постигли геометрию. Мое пожелание вам — продол-

жайте изучать предмет. Значение этой книги заключается в том, что здесь намечаются лишь общие пути развития геометрии. И я считаю, что в свое время Эрлангенская программа Ф. Клейна была весьма полезна в этом отношении. Очевидно, нельзя называть «точным знанием» одно лишь копание в длинных доказательствах отдельных теорем.

Ясно, что для тех целей, которые я перед собой поставил, размеры книги слишком незначительны. Но я хотел бы, чтобы эта книга заинтересовала читателя и стимулировала его дальнейшую работу.

В конце книги я написал послесловие, где разъяснены цели каждой главы и каждого параграфа. Это, как мне кажется, может помочь в усвоении материала. Чтобы легче было разобраться в содержании книги, возможно, следует сначала прочитать послесловие.

В переводе с иностранных языков мне помогал Юкио Мицумура. Большую помощь, несмотря на свою занятость, оказали мне также Масахиса Макино и Хофу Накамура. Всем им я приношу глубокую благодарность.

Введение

§ 1. Термин «геометрия»

Геометрия («geometria») —это греческое слово. Оно происходит от слов «geo» — Земля и «metron» — измерение. Таким образом, само слово показывает, что возникновение геометрии связано с землемерием. В японском языке это слово читается как «кикагаку». Оно появилось в эпоху Мэйдзи (1867—1912). Этот термин китайского происхождения. Употребляется он, видимо, примерно с 1860 года. До этого — около 1850 года — Нагахидэ Такано (1804—1850) и Гокэн Утида (1805—1882) употребляли термин «догаку» («досугаку»).

В 1872 году Каньити Хасидзумэ при издании книги «Краткий комментарий к западному исчислению» перевел термин «геометрия» как «землемерие». Почему был взят именно этот перевод термина, точно сказать трудно: то ли узнали от иностранцев о его значении в греческом или голландском языке, то ли сами без понимания теоретической системы геометрии просто усмотрели в ней связь с землемерным искусством. По крайней мере еще до эпохи Мэйдзи (до 1867 года) Гокэн Утида, Эцу Янагинара (1832—1891) и другие при проведении важных для Японии гидрографических измерений использовали этот термин.

В 1877 году было основано Токийское математическое общество (президент Козэй Канда (1830—1898). На заседании этого общества было принято решение о переводе на японский язык математических терминов. Работа Об-

щества по переводу велась очень энергично. Были определены многие новые переводные термины, и в то же время многие термины, такие, как «функция», «алгебра», «геометрия», были взяты прямо из китайского языка.

Работа по переводу терминов сопряжена с большими трудностями, многие термины вызывают споры. В переводе терминов с энтузиазмом участвовали десятки известных членов математического общества. В те годы издавалось много работ и переводов западных математиков. Нередко они представляли собой не отобранные Обществом переводы с подлинника, а переводы с других языков. В 1889 году Рикитаро Фудзисава (1861 — 1933) опубликовал свой труд «Иероглифический словарь для перевода с английского языка на японский математических терминов». После этого в 1902 году был издан «Новый англояпонский иероглифический словарь» Токити Миямото, в 1905 году — «Математический словарь» Камэносукэ Нагадзава. В этих изданиях «геометрия» обозначалась японским термином «кикагаку» (геометрия).

§ 2. О содержании термина «геометрия»

Каково же содержание той области математики, которую называют геометрией? В наше время это, разумеется, никак не землемерие. Невозможно дать краткое определение интенсивно развивающимся сейчас областям математики, но вполне реально дать представление об изменениях, происшедших в геометрии, начиная с греческой эпохи и до наших дней.

В греческую эпоху были накоплены и обобщены многочисленные знания, полученные в процессе развития землемерного искусства. Именно в Древней Греции появились знаменитые «Начала» Евклида (Евклид жил приблизительно две тысячи двести лет назад), где отдельные осмысленные факты были объединены в общую логическую систему.

Безусловно, Евклид был выдающейся личностью. Помимо «Начал» у этого оригинального мыслителя имеется много других трудов, но все же самым крупным вкладом в математику были, несомненно, его «Начала». Впрочем, и до Евклида занимались подбором и обобщением фактов. Наиболее ранним сочинением такого рода считается книга Гиппократа Хиосского (VI в. до н. э.). Однако основы теории Евклида по своему содержанию, по глубине мысли заметно отличались, и книга Гиппократа, как, впрочем, труды других мыслителей прошлого, не шла ни в какое сравнение с «Началами». Как писал Прокл (V в.), Евклид многое взял от Евдокса (408— 350 гг. до н. э.; ученик Платона), многое усовершенствовал в трудах Теэтета (415—369 гг. до н. э.; группа Платона) и затем, проанализировав труды своих предшественников, возвысился до создания невиданной по тем временам точно обоснованной теории.

Теория Евклида удивляет и сложным построением, и четкостью мысли, и живостью изложения. Это, несомненно, первый образец построения научной системы. Впоследствии теория Евклида оказала большое влияние на формирование науки в Греции, став фундаментом развития таких областей знания, как математика, философия и другие, тем культур-

ным наследием, которое считается гордостью греческой нации. «Начала» Евклида не потеряли своей ценности и поныне, несмотря на то, что со дня их появления прошло более 2000 лет.

В последнее время нередко можно услышать, что изучение евклидовой геометрии необязательно. При этом имеется в виду не только евклидова геометрия как таковая, в рамках созданной Евклидом системы, но и евклидова геометрия в математически обоснованном изложении Д. Гильберта (1862—1943). Но это не означает, что мнение о евклидовой геометрии как «плохой» геометрии широко распространено. Мы знаем, что именно от евклидовой геометрии человечество получило дедуктивный метод — общий научный метод. Польза от изучения теории Евклида в процессе математического образования несомненна.

Тем не менее мы не ставили перед собой задачу обсуждать евклидовы «Начала». Наша цель — выяснение содержания геометрии. Вообще говоря, основным объектом математики является внешний мир, непосредственное восприятие и отражение его. Евклидова геометрия также возникла из стремления понять и объяснить окружающий человека мир. Она, как известно, развилась из искусства топографических измерений в Египте.

Египтяне, например Пифагор (ок. 600 — 500 гг. до н. э.)*, использовали, в частности, свойства прямоугольных треугольников (например, треугольника со сторонами 3, 4, 5).

* По дошедшим до нас скудным сведениям, Пифагор, покинув родной остров Самос, некоторое время жил в Египте. (Здесь и далее примеч. научн. ред.)

На самом деле эти факты были известны еще за 2400 лет до Пифагора и соответственно за 2700 лет до Евклида. Что касается параллельных прямых, то сведения о них, как, впрочем, и о некоторых других интересных геометрических фигурах, относятся к четвертому тысячелетию до н. э.

Таким образом, уже в то далекое время люди владели различными познаниями в области геометрии, но они не были в состоянии свести их в единую всеобъемлющую систему. Фалес (примерно 600 г. до н. э.), путешествуя по Египту, познакомился с местными методами измерений и, вернувшись в Грецию, рассказал о них своим соотечественникам. У него были и собственные исследования: в современных школьных курсах математики имеется теорема Фалеса. Однако только Пифагор, дав доказательство своей теоремы, тем самым в интеллектуальном смысле отделил геометрию от искусства измерения. Известная теорема Пифагора о том, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, как мы знаем, является одной из основных теорем в системе обязательного образования. К возникшей впоследствии школе Пифагора принадлежали многие ученые, среди которых выделялся уже упоминавшийся нами Гиппократ Хиосский. Именно он составил систематическое изложение основ геометрии, которое можно считать одним из первых подлинно научных сочинений.

Затем наступила эпоха многочисленных геометрических исследований знаменитой платоновской Академии. Платон (427—347 гг. до н. э.) наряду с философией серьезное внимание уделял геометрии. Не ограничиваясь толь-

ко собственными исследованиями, он создал целую школу своих учеников и последователей, оказавшую большое влияние также и на Евклида.

Евклид при написании «Начал» не использовал слова «геометрия», но оно, как известно, в то время применялось довольно широко. Примечателен следующий разговор Евклида с царем Птолемеем. Когда царь спросил: «А нет ли пути более быстрого, чем «Начала»?» — Евклид ответил: «В геометрии нет царских дорог». Прокл, о котором мы уже упоминали, говорил: «Евклид создал основы геометрии».

Как нам представляется, теоретическое значение «Начал» Евклида заключается не только в том, что в них наряду с основами геометрии рассматриваются другие области античной математики. В «Началах» мы видим, как из простых определений, аксиом и постулатов выводятся утверждения, теоремы, которые составляют цельную научную систему.

В эллинскую эпоху геометрия наравне с философией была областью чистого знания, но в то же время она, по-моему, могла быть отнесена и к естественным наукам. Хотя Евклид и заложил ее теоретический фундамент, он, надо полагать, рассматривал ее и как науку, объясняющую природу Вселенной. Опираясь на практический опыт, он путем систематизации и обобщений построил научную систему.

Из определений Евклида приведем следующие:

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же — длина без ширины.

3. Границы линии суть точки.

4. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

Эти понятия, лежащие в основе дальнейших научных выводов, представляют собой некие абстракции и являются теми единицами, которые можно называть элементами нашей Вселенной. Они являются фундаментальными и в рассуждениях Евклида. Поэтому более поздняя критика евклидовых определений, состоявшая в том, что эти определения объявлялись не имеющими смысла, не совсем справедлива. В действительности обоснование Евклидом своей теории — это образец такого научного подхода, которого следует придерживаться при создании любой дедуктивной системы.

Ученые Древней Греции, не говоря уже о Платоне, как в философии, так и в геометрии развили рациональную сторону духовной культуры, продемонстрировав при этом единство науки. Древнегреческим философам был известен афоризм: «Не знающий геометрии не допускается», который, как говорят, принадлежал знаменитому Платону, повесившему его на дверях своей школы.

На протяжении многих веков образ мышления Евклида, его стиль являлись для всех ученых примером научного мышления, по словам Паскаля (1623—1662), образцом «геометрического духа».

Если вспомнить здесь о японских математиках, то с сожалением приходится признать, что они не обладали подобным научным «духом». В своих сочинениях они приводили замысловатые чертежи, делая выводы на полуинтуитивном уровне, не предлагая строгих доказательств. Таким образом, можно сказать,

что в японской математике геометрии в научном смысле не было. Даже в начальный период эпохи Мэйдзи большинство математиков японской школы, видимо, не постигли значения геометрических выводов, которые можно сделать из простых геометрических построений. Упоминавшиеся ранее Нагахидэ Такано и Гокэн Утида провозглашали, что нужно сосредоточить внимание лишь в направлении математической логики как методической основы науки. Утида, известный японский математик, по голландским источникам изучил западную математику, и в свое время он был, пожалуй, единственным человеком в Японии, обладавшим математической эрудицией.

Ближе к нашему времени параллельно с развитием других наук развивалась и математика, в том числе алгебра и аналитическая геометрия. Геометрия, в сути своей оставаясь неизменной, расширяла свои методы и предмет исследований. Наряду с евклидовой развивались проективная геометрия, неевклидовы геометрии. Так, в неевклидовых геометриях сумма углов треугольника не равна сумме двух прямых углов. Почти уже в наши дни Гильберт чисто математически доказал непротиворечивость аксиом евклидовой геометрии*.

* В своих исследованиях по основаниям геометрии, «которые представляют собой попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом», Гильберт свел вопрос о непротиворечивости геометрии к другому вопросу — проблеме непротиворечивости арифметики. Другими словами, Гильберт показал, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива арифметика (см. Гильберт Д. Основания геометрии).

Гильберту принадлежит широко известная теперь мысль о том, что «геометрия конструируется из столов, стульев и пивных кружек». Так, евклидова геометрия, исходя из наглядных представлений реально существующего мира и затем абстрагируясь от последнего, в результате превратилась в науку, ведущую абстрактные и в то же время конкретные исследования. В наше время стремительно развивается новое геометрическое направление— топология, которая исследует множества точек, наделенные так называемой топологической структурой. Топология представляет собой ту область, методы которой имеют приложение во всех разделах математики. Современная геометрия, несмотря на свой абстрактный характер, имеет дело с геометрическими фигурами и использует в качестве инструмента исследования различные построения.

Часть первая

Глава 1

Классическая геометрия

Название «классическая геометрия» — это отнюдь не математический термин. Под «классической геометрией» понимают один из главных разделов «старой» математики. Исследования и достижения классической геометрии великолепны и лежат в основе современной математики. Однако в настоящее время сама по себе классическая геометрия уже не является той областью, которую можно было бы рассматривать как объект особо важных исследований.

Здесь мы в классическую геометрию включаем евклидову и неевклидову геометрии, а также аффинную и проективную. Уместно сказать, что в Японии вплоть до эпохи Тайсё (1912—1925) проективная геометрия включалась в разделы так называемой современной геометрии. В то время все геометрии, кроме евклидовой, входили в рамки современной геометрии. С другой стороны, как известно, многие математики критически относились к включению проективной геометрии в современную. В тех разделах, где применялся синтетический подход, уже чувствовалось «прошлое», и их нельзя было считать современными.

Когда говорят о современной геометрии, прежде всего имеют в виду топологию и дифференциальную геометрию. Говоря о геометрии, можно вспомнить алгебраическую геометрию, но в наши дни этот раздел относится к

сфере алгебры. Кроме того, термин «геометрия» фигурирует в названиях некоторых других областей математики, которые, вероятно, не стоит относить ни к классической, ни к основным разделам современной геометрии.

§ 1. Различные представления о геометрии

Прежде чем приступить к подробному рассмотрению геометрии, отметим, что в зависимости от вида геометрии одно и то же утверждение, высказанное в отношении некоторой фигуры, может быть как верным, так и ошибочным.

Возьмем фигуры, приведенные на рис. 1. Эти фигуры расположены в плоскости. Фигуры 1 и 6 имеют одинаковую форму, 4 — прямая линия. Рассматривая рис. 1, можно высказать различные суждения, например:

1. Поскольку фигуры 1 и 6 занимают разное положение, то они не одинаковы.

2. Четырехугольник нарисован третьим слева.

3. Фигуры 1 и 6 одинаковы.

4. Сумма трех внутренних углов фигуры 1 составляет два прямых угла.

Рис. 1

5. Фигуры 1 и 2 различны.

6. Фигуры 2 и 5, а также 2 и 5 различны.

7. Каждая из фигур (1—6) разбивает плоскость на две части.

Все вышеприведенные суждения имеют смысл и выражают правильные отношения. Однако в зависимости от вида геометрии некоторые из них в конечном счете становятся неверными. Почему это происходит, должно стать понятным в дальнейшем при объяснении разных геометрических подходов. Здесь же мы только вскользь наметим границу между различными точками зрения.

Возьмем сначала суждение 1. Фигуры 1 и 6, единственные из всех шести, которые, очевидно, в некотором роде равны. И если находиться на той точке зрения, что фигуры, имеющие между собой хоть какие-нибудь различия, обязательно неодинаковы, то невозможно ни сравнивать фигуры между собой, ни делать те или иные выводы. При этом совершенно невозможно даже измерение, которое сводится, как известно, в конечном счете к совмещению прямолинейных отрезков. В такой ситуации нельзя получить универсальные общие положения, а значит, невозможно и возникновение науки. Таким образом, суждение 1 относится к категории суждений, которые существовали еще до возникновения геометрии как науки.

Суждение 2 также относится к суждениям догеометрического периода. В евклидовой геометрии, как известно из школьных учебников математики, свойства фигур при перемещении не изменяются. И ни в какой из геометрий не имеет значения, где находится та или иная фигура — на третьем месте или на пятом.

В суждении 3 слово «одинаковы» использовано в смысле «равны» или «конгруэнтны». Вообще две фигуры, которые можно наложить одну на другую посредством перемещения, называются равными, или, как еще говорят, конгруэнтными. Так вот, фигуры 1 и 6 равны.

В евклидовой геометрии фигуры сравнивают между собой и выявляют их общие свойства посредством именно перемещений. Перемещение иначе называют движением, однако считать, что это означает перемещение и наложение фигур руками, было бы слишком упрощенно. Ниже, говоря о евклидовой геометрии, мы приведем математически строгое определение.

Суждение 4 верно для треугольных фигур лишь на евклидовой плоскости. Если же начертить треугольник на неевклидовой плоскости (плоскости Лобачевского), то сумма его трех внутренних углов всегда будет меньше двух прямых углов и суждение 4 неверно.

Суждение 5 неверно в аффинной геометрии. Аффинная геометрия будет объяснена в нижеследующих разделах. Здесь же скажем только, что она не рассматривает такие конкретные величины, как длина отрезков, величина углов и т. п. На этом мы остановимся подробнее ниже, сейчас же только еще отметим, что в аффинной геометрии все треугольники одинаковые фигуры.

Суждение 6 верно и в аффинной геометрии, так как треугольники и четырехугольники в аффинной геометрии представляют собой различные фигуры. Однако если суждение 6 рассматривать в рамках топологии, то оно оказывается неверным. С топологической точки зрения эти три фигуры одинаковы.

Суждение 7 верно и в евклидовой, и в аффинной геометрии, и в топологии. Однако если прямая 4 расположена на проективной плоскости, то суждение 7 неверно. О проективной плоскости мы также расскажем ниже, но кратко можно сказать, что в отличие от евклидовой и аффинной плоскости она конечна и прямая на ней не может быть продолжена бесконечно: идя по проективной прямой, мы вернемся в исходную точку. Другими словами, она подобна замкнутой кривой, хотя при этом она все же в определенном смысле представляет собой прямую линию.

§ 2. Евклидова геометрия

В предыдущем параграфе говорилось, что в евклидовой геометрии взаимно совмещаемые посредством движения фигуры считаются равными и при рассмотрении мы их не различаем. Иначе говоря, в евклидовой геометрии именно при помощи движения фигуры сравниваются между собой, выясняется, одинаковы они или нет. Теорема о центральных углах, например, гласит, что в одной и той же окружности два центральных угла, стягивающих равные дуги, равны, т. е. представляют собой углы, которые можно совместить движением. Доказательство такой теоремы опирается на свойства движений.

В «Началах» Евклида прежде всего предполагается как само собой разумеющееся, что любой отрезок прямой имеет длину, а у каждого угла есть своя величина. Перемещение фигуры, при котором ни длина, ни какая-либо

связанная с длиной характеристика не меняется, является движением. Далее считается, что совпадающие при движении фигуры равны и вся фигура больше ее части. На основании этого стало возможным сравнение между собой различных фигур, что было совершенно естественно для геометрии как науки, выросшей из искусства землемерия.

Евклидово совмещение фигур — весьма абстрактное явление, поскольку предполагает существование некоего идеального движения. Ответ на вопрос, равны ли между собой те или иные фигуры, не простой. Так, например, о совмещаемости при помощи движения двух треугольников судят по тому, равны ли между собой соответственно их стороны и углы. Это не что иное, как известные признаки равенства треугольников.

Хотя Евклид сам и не прибегал к перемещениям слишком сложных фигур, но он, естественно, распространял понятие движения на все фигуры.

Совместим фигуру F1 с фигурой F2 при помощи движения 1/ (рис. 2). При этом точки фигуры F\ перейдут в точки фигуры F2. Две разные точки А\ и В\ фигуры F1 перемещают-

Рис. 2

ся движением / в разные точки А2 и В2 фигуры F2. Действительно, так как при движении длина отрезка АХВХ d(AxBx), которая больше нуля, равна длине отрезка А2В2

то А2 Ф В2.

Мы видим, что движение / устанавливает между точками фигур F\ и F2 соответствие, при котором сохраняется расстояние между соответствующими точками. Точечное соответствие между фигурами записывают в виде следующей формулы:

Здесь под фигурой понимается состоящее из точек множество. При определении движения / каждой точке Рх фигуры Fx ставится в соответствие вполне определенная точка P2=f{P\) фигуры F2 и, обратно, каждой точке Q2 фигуры F2 соответствует единственная точка Qx фигуры Fu такая, что / (Q,)=Q2. Нетрудно видеть, что посредством движения / между равными фигурами устанавливается взаимно однозначное соответствие. (Сначала я думал, что лучше было бы рассмотреть все это после следующего параграфа, который посвящен теории множеств, но, вероятно, и здесь все изложенное нетрудно понять, поскольку объяснение предельно просто.)

Таким образом с помощью движения устанавливается соответствие, при котором сохраняется расстояние d (AxBx)=d (А2В2). Можно сказать иначе: движение есть соответствие, при котором не изменяется расстояние между каждыми двумя точками фигуры.

Итак, суть совмещения фигур в евклидовой геометрии сводится к следующему:

1. Существует взаимно однозначное соответствие между точками.

2. Отрезки прямых переходят при этом соответствии опять же в отрезки прямых.

3. Соответствие сохраняет расстояние.

Такие преобразования иначе называют конгруэнтными преобразованиями (мы к ним еще вернемся при объяснении Эрлангенской программы Ф. Клейна (1849—1925).

Итак, в евклидовой геометрии фигуры сравниваются при помощи движений плоскости и именно в евклидовой геометрии рассматривается вопрос о равенстве тех или иных фигур, а также условия, при которых эти фигуры являются или не являются равными. Довольно трудно сразу осознать, что исследование инвариантных относительно движений свойств фигур составляет содержание евклидовой геометрии.

В предыдущем параграфе говорилось, что в аффинной геометрии не рассматриваются ни расстояние, ни величина угла, ни некоторые другие связанные с ними евклидовы характеристики. И это «пренебрежение» расстоянием и ему подобными величинами является отличительной чертой аффинной геометрии. Подробнее мы расскажем о ней в специальной главе. Однако уже сейчас можно отметить, что если из трех условий движений отбросить третье, то мы получим класс как раз тех преобразований (удовлетворяющих 1-му и 2-му условиям), которые рассматриваются в аффинной геометрии. Эти преобразования называются аффинными. Поскольку аффинная эквивалентность фигур устанавливается при по-

мощи аффинных преобразований, то в этом виде геометрии при сравнении фигур в конечном счете появляется значительно больше эквивалентных между собой фигур, нежели в евклидовой геометрии. Как отмечалось выше, все треугольники являются аффинно эквивалентными фигурами. Аффинную геометрию, видимо, нельзя считать столь же непосредственным отражением реально существующего мира, как евклидову геометрию. Она в большей степени представляет собой математическую теорию.

§ 3. Множества

Для более глубокого изучения таких понятий, как «соответствие», «преобразование» (в частности, движение), необходимо сначала усвоить, что такое множество. Я думаю, что читателям известно, что множество— одно из основных понятий в математике. Не случайно многие математические спецкурсы начинаются со знакомства с теорией множеств.

Важность понятия множества, особенностью которого является, в частности, то, что оно не требует вычислений, осознается в процессе размышления над логическими основами математики, над ее структурой. Создавая теорию множеств, Г. Кантор (1845—1918) понимал, какое важное значение для математики имеет развитие этой общей идеи. Впоследствии значение теории множеств было оценено и другими математиками. Я думаю, что и мои читатели в некоторой степени смогут представить себе, какое значение имеет понятие множества.

Каждая фигура является совокупностью точек, или, иначе, множеством точек. Уже во времена Евклида, говоря о точке на прямой или же, к примеру, о точке пересечения двух прямых, интуитивно рассматривали плоскость как множество точек.

В начальный период развития теории множеств различали такие множества, как множество прямых (в качестве элементов последнего берутся прямые линии) и, положим, множество функций /, непрерывных на единичном отрезке [0,1]. Позднее теория множеств стала применяться к любым множествам, независимо от того, из чего они состоят: из прямых, функций и т. д. Хотя и до появления теории множеств случалось, что собирали воедино те или иные функции, прямые и т. д., но только впоследствии стали изучать общие свойства множеств независимо от природы составляющих их элементов.

Если говорить о свойствах фигур, приведенных на рис. 1, то можно отметить, что с точки зрения теории множеств все они равнозначны: и прямая, и отрезок прямой, и окружность в конце концов одинаковы. Теория множеств, являясь основой как геометрии, так и алгебры, не ограничена рамками каждой из них. С другой стороны, я думаю, возникают сомнения: можно ли прийти хоть к сколько-нибудь содержательным выводам, теоремам, если столь разные фигуры, как приведенные на рис. 1, с точки зрения теории множеств не различаются. Ниже мы постараемся несколько рассеять эти сомнения.

В основе теории множеств лежит понятие взаимно однозначного соответствия. Выясним, что это такое.

Рассмотрим сначала два множества, каждое из которых состоит из пяти чисел, первое — из целых, второе — из дробных:

Между элементами, составляющими эти два множества, можно установить следующее соответствие:

Каждому элементу из множества Fx соответствует единственный элемент из множества F2 и, обратно, каждому элементу из F2 соответствует один и только один элемент из F\. Так между элементами обоих множеств устанавливается взаимно однозначное соответствие. Считая, что это соответствие направлено от Fi к F2, можно записать его в виде

Например, число 7з как элемент из F2 соответствует при / числу 3— элементу множества Fi. С другой стороны, если в F2 взять элемент Уз, то единственным соответствующим ему значением из Fi будет 3. Иначе, каждому элементу из F2 соответствует единственный элемент из Fi, и мы получаем обратное соответствие. Символически это записывают следующим образом:

Отображение /_| могло быть определено только потому, что отображение / удовлетворяет условию взаимной однозначности (т. е. одному элементу множества соответствует один и только один элемент из другого множества и разным элементам — разные).

Пусть множество Fu например, состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, а множество F2={\, V2, 7з. 'Л, Vs}; соответствие f определено следующим образом: 1—1, 2—►'/г, 3—►Va» 4—►Vh, 5-—►Vs, 6—►Vs- В этом случае двум разным элементам 5 и 6 из Fx соответствует один и тот же элемент Vs из F2 и значение /_| (Vs) определяется не однозначно; обратное соответствие /-1 тем самым невозможно.

Следует сказать, что соответствия между множествами

не ограничиваются вышеприведенным /. Например, соответствие g:F{—>F2f при котором 1—П/з, 2—►Vs, 3—►"/а. 4—>1, 5—также является взаимно однозначным соответствием. Другими словами, взаимно однозначное соответствие между двумя множествами не единственно.

В вышеприведенном примере взяты множества, состоящие из целых и дробных чисел, но результат будет одинаков, если в качестве элементов множеств взяты точки на прямой, отстоящие от исходной точки на расстояние 1, 2, 3, 4, 5 и соответственно 1, V2, Va, lU> Vs-

Если взять другие какие-нибудь пять точек, то и тогда все будет обстоять так же. Например, если взять множество, состоящее из пяти вершин пятиугольника ABC ДЕ—F2 = = {At В, С, Д, Е}—и Fi={l, 2, 3, 4, 5}, то со-

ответствие 1—2—►ß, 3—>-С, 4—>-Д, 5— опять-таки будет взаимно однозначным соответствием. Вообще любое множество, образованное из пяти элементов, может быть приведено во взаимно однозначное соответствие со множеством F\ = {1, 2, 3, 4, 5}. Вопрос лишь в количестве элементов множества F2 — в данном случае в том, что их тоже пять.

Считая вообще любые два множества, которые можно привести во взаимно однозначное соответствие, эквивалентными, теория множеств не принимает во внимание природу элементов этих множеств.

Как сказано выше, множество, которое состоит из конечного числа, например п элементов, является множеством, эквивалентным множеству {1, 2, ri).

Таким образом, конечные множества, т. е. те, что состоят из конечного числа элементов, с теоретико-множественной точки зрения различаются только по числу элементов. Множества, состоящие из одинакового числа элементов, сколько бы их ни было, эквивалентны между собой.

Однако в случае бесконечных множеств дело обстоит несколько сложнее. Но и при этом главный признак сравнения или различия бесконечных множеств состоит в том, чтобы выяснить, имеется ли между ними взаимно однозначное соответствие или нет. Например, между точками треугольника и окружности такое соответствие, как видно на рис. 3, существует.

Для этого из общей внутренней точки О проведем радиус; он пересечет треугольник (имеется в виду его граница) и окружность в единственных точках Р\ и Р2. Соответствие /

устанавливается по формуле / (Л) =^2- Так как радиус можно провести через каждую точку Р2 треугольника и каждую точку Q2 окружности, то соответствие / будет взаимно однозначным соответствием между границей треугольника и окружностью. Отсюда вытекает также существование обратного соответствия: / 1

Если фигуры F\ и F2 расположены так, что не имеют общей внутренней точки (рис. 4), то параллельным переносом на вектор h мы не-

Рис. 3

Рис. 4

реводим треугольник Fх в уже знакомое нам положение F\. Параллельный перенос h является конгруэнтным преобразованием, т. е. заведомо взаимно однозначным соответствием. Таким образом, имеем:

Ясно, что между фигурами F\ и F2 в итоге устанавливается взаимно однозначное соответствие, задающееся формулой f(h(P\)). Таким образом, согласно теории множеств треугольник и окружность эквивалентны.

Также эквивалентны между собой множество точек прямой и множество точек окружности. Построение взаимно однозначного соответствия между ними в этом случае несколько труднее.

Далее, с точки зрения теории множеств отнюдь не требуется, чтобы точки были расположены в линейном или еще в каком-то порядке. Просто считается, что если между точками двух фигур можно установить взаимно однозначное соответствие, то такие фигуры количественно эквивалентны или равномощны. Кантор, рассматривая равномощные бесконечные множества, по аналогии с конечными приписывал им одинаковую количественную характеристику. Но поскольку бесконечных чисел не существует, он назвал такую характеристику кардинальным числом, желая подчеркнуть тем самым, что мы имеем дело с необычными числами. Говоря иначе, одинаковость кардинальных чисел двух множеств

и наличие между ними взаимно однозначного соответствия выражают одно и то же явление.

С другой стороны, если бы все бесконечные множества были равномощны, то введение кардинальных чисел не имело бы никакого значения. Главное достижение Кантора как раз в том и состоит, что он показал: среди бесконечных множеств непременно встречаются такие, между которыми нет взаимно однозначного соответствия, следовательно, существуют различные кардинальные числа.

Возьмем в качестве примера множество натуральных чисел

и множество R всех вообще действительных чисел — рациональных и иррациональных. Так вот, между множествами N и R нельзя установить, даже игнорируя при этом их расположение в порядке возрастания величины, ни одного взаимно однозначного соответствия. В геометрическом отношении это означает, что множество всех точек числовой оси и множество точек с целыми положительными координатами количественно неэквивалентны. Доказательство этого факта методом от противного состоит в том, что предполагается вначале, что взаимно однозначное соответствие между ними имеется, и затем из этого предположения косвенными приемами приходят к противоречию. Это доказательство можно найти в любой книге по теории множеств. Кардинальное число множества всех натуральных чисел обозначают через Jjtt, а соответствующее число для множества действительных чисел — через с. Из вышесказанного следует, что с. Множество мощности называется

счетным множеством; оно среди бесконечных множеств является наиболее простым.

Кардинальное число множества точек отрезка прямой также есть с, т. е. между ним и множеством всех точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие. Кантор также доказал, что такое соответствие существует и между множеством точек обычной плоской фигуры и множеством всех точек отрезка. С другой стороны, он показал, что кардинальных чисел бесконечно много, т. е. с точки зрения теории множеств существует неограниченно много количественно неэквивалентных между собой бесконечных множеств. Тем не менее фигуры, изображенные на рис. 5, как множества точек эквивалентны. Более того, множество всех точек евклидовой плоскости имеет то же кардинальное число с, что и множество всех точек одной-единственной прямой. Но помимо точечных множеств, на евклидовой плоскости существует бесконечно много множеств элементов совершенно другой природы. Например, кардинальное число множества всех, а не только непрерывных функций, определенных на отрезке, не равно кардинальному числу с. Доказательство этого несколько затруднительно, но то, что имеется много разных бесконечных множеств,— важное математическое достижение.

Что мы способны осознать явно, так это ко-

Рис. 5

нечность. Но между тем самые замечательные достижения в теории множеств относятся к бесконечным множествам, когда независимо от характера элементов, из которых состоят множества, выявляются принципиальные различия между ними только из-за возможности или невозможности установления взаимно однозначного соответствия.

Как отмечалось выше, в теории множеств другие различия между фигурами на плоскости не признаются. Так, множества точек отрезка, или треугольника, или четырехугольника все равно в конце концов оказываются количественно эквивалентными. Поэтому теория множеств, можно сказать, не имеет особого значения в геометрии, цель которой изучение свойств фигур.

Движения в евклидовой геометрии удовлетворяют, как мы говорили выше, трем условиям, и первое из них — взаимно однозначное соответствие. Следовательно, две равные фигуры F\ и F2, разумеется, с точки зрения теории множеств, также являются одинаковыми (равномощными) фигурами. Однако, обратно, если фигуры Fi и F2 являются одинаковыми с точки зрения теории множеств, то в евклидовой геометрии они не обязательно связаны движением. Причина этого в двух других условиях движения — 2 и 3.

В теории множеств совершенно не учитывается ни прямолинейность фигур, ни длины отрезков, в то время как в евклидовой геометрии эти условия — условия 2, 3 — очень важны. Иначе говоря, геометрия Евклида наряду с общей идеей плоского точечного множества обращает внимание также на его линейную и метрическую структуры.

Совокупность особенностей, которые характерны для прямолинейных множеств точек, составляет линейную структуру, а задание длин прямолинейных отрезков в свою очередь порождает метрическую структуру. Эти две структуры, если рассматривать их в совокупности, составляют в математике структуру евклидовой геометрии.

Упоминая об аффинной геометрии, мы отмечали, что аффинные преобразования, вообще говоря, третьему (метрическому) условию конгруэнтных преобразований не удовлетворяют. Следовательно, аффинная геометрия представляет собой ту геометрию, которая в мир теории множеств вводит лишь линейную структуру.

Эти положения малопонятны без детального изучения связей между этими тремя областями. Точно так же нельзя понять суть различных геометрий без понимания конкретной, как линейной, так и метрической, структуры.

Глава 2

Аффинная геометрия

§ 1. Аффинные преобразования

Термин «аффинное преобразование» относится к временам Л. Эйлера (1707— 1783). Сам ли Эйлер ввел термин «аффинное преобразование»—я не буду останавливаться на истории этого вопроса. Впоследствии для выяснения свойств аффинных преобразований очень многое сделал А. Ф. Мёбиус (1790—

1868). В 1827 году появилась его книга «Барицентрическое исчисление», ставшая основополагающей в аффинной геометрии. Название «аффинная геометрия» разделу геометрии, в котором рассматриваются свойства, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях, дал, видимо, Клейн. В 1872 году в Эрлангенской программе (подробней об этом см. ниже) он высказал идею о том, что различным видам преобразований соответствуют различные виды геометрии. Позднее он писал: «Теория инвариантов аффинных преобразований (Invariantentheorie der affinen Transformationen), или аффинная геометрия,— это особый вид геометрии» («Элементарная математика с точки зрения высшей»).

Сейчас постараемся подробней и более понятно рассказать об аффинных преобразованиях.

Возьмем евклидову плоскость R2— основной объект евклидовой геометрии. Она представляет собой множество точек. Известно, что движение плоскости — взаимно однозначное отображение множества точек плоскости на себя с вполне определенными свойствами. Символически преобразование плоскости записывают так:

Очевидно, что движений плоскости бесконечно много. Например, любой параллельный перенос (всей плоскости) или вращение (опять же всей плоскости). Преобразования, при которых прямолинейно расположенные точечные множества переходят обязательно также в прямолинейные множества, называются аффинными преобразованиями плоскости R2.

Мёбиус такие преобразования называл коллинеациями. Вообще говоря, коллинеация и аффинное преобразование в общей аффинной геометрии несколько различны по содержанию, но в области рациональных или вещественных чисел значения этих терминов совпадают.

Обозначим какое-нибудь аффинное преобразование через /

Точки прямой I переходят в точки прямой /(/) (последняя прямая обычно не совпадает с прямой /). Ясно, что при этом точка Р прямой / переходит в точку f(P) прямой f(l):P—Ч(Р)-

Вращение плоскости, как мы уже упоминали, является частным случаем аффинного преобразования. В самом деле при вращении любая прямая переходит в прямую.

Я знаю, что многие считают обременительным введение различных символов, таких, как f, I и т. п. Однако символы издавна использовались для того, чтобы сжато и точно передать тот или иной смысл вместо выражения его длинным предложением, и поэтому они имеют значение в математике. Мы тоже будем использовать различные символы, хотя все же постараемся не злоупотреблять ими.

Рис. 6

Приступая к описанию свойств аффинных преобразований, мы остановимся на их связи с движениями в евклидовой геометрии.

При евклидовом движении достаточно рассматривать лишь то, как перемещаются фигуры ограниченного размера, и этим уже движение плоскости определяется полностью.

Так, при определении равенства двух треугольников особое внимание обращается лишь на стороны этих треугольников. Если / — движение, переводящее ААВС в равный АА'В'С, т. е. f:AABC^AA'B'C\ то это означает, что произвольная точка M на стороне, скажем, AB при движении f переходит в соответствующую точку М' на стороне А'В'\

В действительности же под движением / понимают конгруэнтное преобразование f:R2—*R2 всей плоскости /?2, и, в частности, это касается треугольника ABC, расположенного на ней.

Основная теорема о движениях евклидовой плоскости утверждает, что любое евклидово движение можно представить как некоторый параллельный перенос с последующим опре-

Рис. 7

деленным поворотом и, быть может, отражением плоскости в прямой. Заметим, что параллельный перенос и поворот можно получить непрерывным перемещением плоскости по себе.

На евклидовой плоскости два равных по длине отрезка AB и А'В' совмещаются друг с другом посредством движения / : AB—+А'В'. Если взять какую-нибудь третью точку Р, то посредством этого движения / она переместится в точку Р' (или же в точку Р", если привлечь отражение плоскости в прямой).

Действительно, поскольку при движении расстояние не меняется, то точка Р' определяется равенствами РА = Р'А\ РВ = Р,В'. Поэтому если две вершины А' и В' заданы и известны длины прилегающих к ним сторон, то третья вершина может занимать одно из двух положений: Р' или Р". Другими словами, для задания того или иного движения плоскости достаточно знать лишь судьбу образов трех ее точек (не лежащих на одной прямой).

Как указывалось выше, движение евклидовой плоскости — это прежде всего взаимно однозначное преобразование плоскости R2. Кроме того, во всех случаях, будь то параллельный перенос, или же поворот, или же отражение в прямой, все равно прямолинейные ряды точек обязательно переходят в прямолинейные ряды. Кроме того, при любом движении длины отрезков не меняются. Действительно, в § 2 главы 1 мы приводили следующие свойства, характеризующие евклидовы движения:

1. Все точки плоскости R2 преобразуются взаимно однозначно,

2. Каждая прямая переходит в прямую.

3. Расстояние не меняется.

Для аффинных преобразований, которые мы сейчас будем рассматривать, третье условие лишнее. Аффинные преобразования удовлетворяют лишь 1-му и 2-му условиям.

Например, рассмотрим на евклидовой плоскости преобразования, при которых фигуры растягиваются или сжимаются подобным образом. Эти преобразования являются примером аффинных преобразований. На рис. 8 точка О остается на месте, но любая другая точка А переходит в соответствующую точку А\ а каждая прямая AB переходит в соответствующую прямую А'В\

При аффинных преобразованиях длина соответствующего отрезка, как правило, меняется (на рис. 8 ОАфОА'). Как евклидовы движения, так и аффинные преобразования представляют собой особый вид преобразований. В евклидовой геометрии фигуры, соответствующие друг другу при конгруэнтных преобразованиях, равны, а фигуры, которые совместить невозможно, считаются неравными,

Рис. 8

неодинаковыми. Поэтому фигуры можно сравнивать, классифицировать, определять их вид. В аффинной геометрии две фигуры, соответствующие друг другу при аффинных преобразованиях, также определяются как равные (в аффинном смысле). И с новой точки зрения фигуры также можно сравнивать между собой и определять их вид. В аффинной геометрии, как видно из вышеприведенного примера, фигуры разной длины, например отрезки OA и ОА\ вообще говоря, могут оказаться эквивалентными. Другими словами, в аффинной геометрии длина не имеет существенного значения. Это же относится и к величине угла. В то время как отбрасываются длина и вся связанная с ней система мер, в аффинной геометрии, как и в евклидовой, сохраняются прямые, точки их пересечения, т. е. линейная структура. Плоскость, рассматриваемая в этой геометрии, получает новое название — аффинной плоскости. Но при всем при том аффинная плоскость как множество точек совпадает с евклидовой плоскостью. Только на ней не рассматривается расстояние.

Такие понятия, как равносторонний и общий треугольники, показанные на рис. 1, существуют лишь на евклидовой плоскости. В аффинной геометрии все они эквивалентны. На аффинной плоскости в рамках аффинной геометрии таких понятий, как равносторонний или прямоугольный треугольник, нет. Там есть просто треугольник.

Выше мы изложили, может быть, несколько с общематематическим уклоном общие взгляды относительно конгруэнтных и аффинных преобразований евклидовой геометрии и аффинной геометрии. Для их осмысления не

нужны были ни предварительные специальные знания, ни вычислительные навыки. Мы рассмотрели вопрос о том, какое место в геометрии занимает аффинная геометрия. Но этого совершенно недостаточно, для того чтобы понять подлинное содержание аффинной геометрии.

§ 2. Содержание аффинной геометрии

В аффинной геометрии в основном выясняется, какие фигуры на евклидовой плоскости преобразуются друг в друга аффинными преобразованиями, т. е. являются аффинно эквивалентными фигурами. У евклидовых движений условия более жесткие, чем у аффинных преобразований. В силу условия инвариантности длины имеется относительно «большое количество» различных фигур. При аффинных преобразованиях условия не столь жесткие, преобразований относительно больше, критерии различия фигур мягче и «количество» различных видов фигур «уменьшается». Например, как уже отмечалось, в евклидовой геометрии хотя и говорят «треугольники», но среди них имеется бесконечно много различных треугольников — равносторонние, прямоугольные, тупоугольные и др. В аффинной же геометрии все они вместе подвержены взаимным преобразованиям и поэтому существует одно-единственное понятие «треугольник».

В этом реально отражается суть аффинной геометрии, и сейчас давайте исследуем наиболее простые свойства аффинных преобразова-

нии. Разумеется, у нас нет возможности привести здесь последовательно одну за другой все теоремы с доказательствами, которые составляют предмет аффинной геометрии, но мы познакомим вас с ее основными особенностями.

Свойство I. Аффинное преобразование j:R2—*R2, переводя любую прямую а в некоторую прямую /(а), отображает множество точек прямой а на множество точек прямой fia).

Смысл выражения «отображает на» состоит в том, что при преобразовании /, во-первых, любой точке Р прямой а соответствует точка f(P) прямой f(a) и, во-вторых, обратно, каждая точка Q' прямой f(a) соответствует некоторой точке Q прямой a: f(Q) = Q'. Символически это можно записать так:

Я думаю, выяснению сути аффинной геометрии не помешает то обстоятельство, что

Рис. 9

приведенное здесь в качестве исходного свойство 1 ранее вошло в определение аффинного преобразования. Аффинное преобразование плоскости, устанавливая взаимно однозначное соответствие между точками плоскости, порождает также взаимно однозначное соответствие между прямыми на плоскости.

Отсюда сразу следует, что в аффинной геометрии треугольник и четырехугольник — неэквивалентные фигуры.

Действительно, возьмем три прямые a, ft, с\ образующие три стороны треугольника. При аффинном преобразовании / прямые а, Ь, с переходят в прямые /(а), f(b), f(c). В четырехугольнике же есть еще одна сторона. При преобразовании / ей должна была бы соответствовать, помимо прямых /(a), f(fe), /(с), еще

Рис. 10

Рис 11

одна прямая. Следовательно, треугольник и четырехугольник между собой аффинно не эквивалентны.

Свойство 2. Если прямые а и Ь параллельны а II Ь, то и их образы при аффинном преобразовании / f(a) и f(b) также параллельны.

Иначе говоря, в аффинной геометрии параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Доказательство проведем от противного. Предположим, что прямые f(a) и f(b) непараллельны, т. е. пересекаются в некоторой точке X (рис. 12). Поскольку каждая точка прямой / (а) является образом некоторой точки прямой а (свойство 1), то на прямой а найдется точка Р, такая, что f(P) = X. Но X в свою очередь лежит и на прямой /(&), поэтому точно так же на прямой b имеется точка Q, для которой f{Q) = X.

Но поскольку / : R2—>R2 представляет собой взаимно однозначное соответствие между всеми точками плоскости, то точка, перемещающаяся в точку X, единственна. Следовательно, точка Р непременно должна совпадать с Q.

Это значит, что прямая а и прямая b имеют общую точку Р = Q, а это противоречит

Рис. 12

предположению, что а || b (основное предположение). Противоречие проистекает из предположения, что f(a) и f(b) пересекаются, и свидетельствует об ошибочности предположения. Следовательно, f(a) \\f(b).

Думаю, что из свойства 2 и рис. 13 сразу понятно преобразование параллелограмма. Иначе говоря, в аффинной геометрии параллелограмм представляет собой особую фигуру, отличающуюся от общего четырехугольника, который не является параллелограммом. Оче-

Рис 14

видно, что аналогичное можно сказать и о трапециях.

Следствие. Два параллельных и равных по длине (в евклидовой геометрии) отрезка AB и CD с помощью аффинного преобразования превращаются в параллельные и равные по длине отрезки А'В' и CD', где А' = /(Л), ..., D' = f(D). Разумеется, что при этом, как правило, d(AB) Ф d(A'B').

Это вытекает из того, что по свойству 2 две противоположные стороны параллелограмма переходят в две противоположные стороны опять же параллелограмма. Абсолютные длины отрезков подвергаются изменению, однако инвариантность отношения двух параллельных отрезков составляет особенность аффинной геометрии. Заметим, что отношение двух отрезков AB и DC можно определить без использования понятия длины, лишь бы они были параллельны. Итак, сохранение параллельности и взаимного равенства преобразуемых отрезков AB = DC — особенность аффинной геометрии.

§ 3. Векторы

Понятие вектора входит в школьную программу. Геометрическим вектором называют отрезок AB на евклидовой плоскости с заданным направлением. Вектор, как известно, обозначается через AB. Два геометрических вектора AB и DC, имеющие одинаковое направление и длину, считаются равными: AB = DC. В аффинной геометрии равенство AB = DC означает, что четырехугольник

ABCD является параллелограммом. Сгруппировав все геометрические векторы, равные AB, в одно множество, можно определить это множество как один вектор: а = {AB, DC, ...}. Векторы AB, DC и т. д.— это геометрические представители вектора а.

Аффинное преобразование f переводит каждый вектор а в некоторый другой вектор b = {А'В', D'C' ...}. Действительно, взяв любой представитель вектора а, например DC, получим DC—►D/C/ = /(DC). В силу следствия остальные представители вектора а перейдут в равные D'C геометрические векторы. Таким образом, классу геометрических представителей вектора а соответствует другой класс равных геометрических векторов: а—+а' = f(a).

Возьмем другой вектор b = (ВС, AD ...), который отображается (см. рис. 14) при / в вектор Ь' = (В'С, АТУ ...). Определив при помощи обычных сумм геометрических векторов AB + ВС = АС, А'В' + В'С = А'С соответствующие суммы векторов а и Ь, легко видеть, что

т. е. образ суммы векторов при аффинном преобразовании равен сумме образов векторов.

Если умножить векторы а и b на действительные числа К и ja, то при аффинном преобразовании / получим соответствие:

Таким образом, аффинное преобразование /

порождает на совокупности векторов a, b и

т. д. новое преобразование, которое удовлетворяет указанным условиям и называется линейным. При этом различным аффинным преобразованиям соответствуют, как правило, различные линейные преобразования множества векторов.

Подведем итог: опираясь лишь на то, что «параллелограмм при аффинном преобразовании / переходит в параллелограмм», можно построить линейное преобразование множества векторов {а, Ь, с...} на аффинной плоскости (последнее означает, что евклидова метрика не учитывается).

§ 4. Теорема о треугольниках

Следующая важная теорема аффинной геометрии — это теорема о треугольниках. Мы воздержимся от строго обоснованного ее изложения, поскольку оно слишком длинно, и постараемся в какой-то степени объяснить эту теорему наглядно, выделив три основных, легко доступных момента.

(i). Два аффинных преобразования, выпол-

Рис. 15

ненные одно за другим, порождают третье преобразование, которое, как легко видеть, тоже аффинное.

В самом деле, во-первых, соответствие, возникшее в результате сначала аффинного преобразования f\, а затем преобразования /2 — /20 /1 —< очевидно, является взаимно однозначным. Во-вторых, прямая а сначала переходит в прямую /1 (а), которая в свою очередь посредством аффинного преобразования /2 переходит в прямую f2 (fi(a)). Таким образом

(ii). Построим такое аффинное преобразование, при котором находящиеся на некоторой прямой точки остаются неподвижными, а совокупность прямых с некоторым определенным направлением, пересекающим данную прямую, сжимается или растягивается в одном и том же отношении. Для определенности будем строить преобразование сжатия.

На числовой оси / (рис. 16) устанавливаем соответствие следующим образом: каждой точке с координатой а ставим в соответствие точку V2 Д- Это соответствие, переводящее прямую I в саму себя, является взаимно однозначным:

Рис. 16

Затем возьмем на плоскости вторую прямую m, пересекающую / под прямым для простоты углом. Условимся, что точки на прямой m остаются на месте, а во множестве точек каждой прямой, перпендикулярной к m, устанавливается, как и на прямой /, соответствие а—►'/гя. Таким образом, получается взаимно однозначное соответствие между точками евклидовой плоскости / : R2—*R2.

При этом соответствии любая прямая, например прямая ОР, переходит в прямую, в данном случае в Of(P). Следовательно, преобразование / является частным случаем аффинного преобразования плоскости R2.

Клейн советовал при изучении математики искать удобные и простые пути. Если это наглядное изложение вам показалось трудным, мы предлагаем другой — координатный — метод задания такого аффинного преобразования.

Рис. 17

Возьмем на плоскости, как делается в школьных учебниках математики, взаимно перпендикулярные числовые оси Ох и Oy. Тогда точки плоскости можно задавать парами действительных чисел (х, у). Давайте зададим взаимно однозначное соответствие / точек плоскости следующим образом:

При соответствии / точки на оси Oy остаются на месте

Координаты точек на прямых, пересекающих ось Oy под прямым углом, уменьшаются наполовину. Посредством преобразования / каждая прямая переводится также в прямую

Рис. 18

и поэтому / представляет собой аффинное преобразование.

(iii). Построим теперь аффинное преобразование /, переводящее некоторый угол АО В в другой произвольной величины угол АО f(B). Например, если рассматривать не только сжатия к некоторой прямой, но и соответственно растяжения, то угол между прямой f(OP) = Of(P) и осью Ох будет изменяться в широких пределах (см. рис. 17).

Аффинное преобразование, изменяющее угол, разумеется, можно не только описать таким наглядным способом, но и точно задать при помощи координат.

Рассмотрим аффинное преобразование (рис. 20)

Точка А (а, а) отображается в точку f(A) с координатами (та, па). Угол, образованный осью Ох и прямой OA, составляет половину прямого, а угол между осью Ох и прямой Of (А) зависит от того, какие взяты числа т, п. При этом аффинном преобразовании только

Рис. 19

начало координат О является неподвижной точкой*.

Как видно из (ii) и (iii), длины отрезков, величины углов и другие метрические величины евклидовой геометрии весьма свободно изменяются при аффинных преобразованиях. Поэтому абсолютные их значения не играют роли.

Учитывая замечание (i) и применяя преобразования вида (ii) и (iii), можно установить, что все треугольники между собой аффинно эквивалентны. Это можно показать конкретно, последовательно выполняя промежуточные преобразования. Сначала переносом совместим вершину взятого наугад треугольника PQR с вершиной равностороннего треугольника ABC и затем при помощи аффинного преобразования проведем совмещение (рис. 21).

1. Посредством подходящего параллельного переноса точку Р совмещаем с точкой А.

Рис. 20

* При условии тп ф 1.

Вспомним, что параллельный перенос евклидовой плоскости является аффинным преобразованием. Л PQR перемещается при этом в AAQR (рис. 22).

2. Вращением вокруг центра А прямую AQ наложим на AB.

3. Посредством преобразования вида (U) отрезок AQ совместим с AB (рис. 23).

4. Посредством преобразования вида (Hi) угол Z-BAR совмещаем с углом А.ВАС.

5. При помощи преобразования опять вида (iii) отрезок AR совмещаем с АС. Точки на прямой AB при этом неподвижны. И следовательно, в итоге получаем совмещение с Л ABC.

Таким образом, проведя одно за другим аффинные преобразования, указанные в пунктах /—5, добиваемся совмещения нашего

Рис. 21

Рис. 22

треугольника с равносторонним треугольником. Как было отмечено в пункте (/), если проводить одно за другим несколько аффинных преобразований, то в результате получится также аффинное преобразование. Иначе говоря, произвольно взятый по нашему усмотрению треугольник совместился с равносторонним треугольником посредством некоторого аффинного преобразования.

Мы так подробно рассказали о теореме, утверждающей, что все треугольники между собой аффинно эквивалентны, потому что она является основной теоремой, непосредственно показывающей различие между евклидовой и аффинной геометриями.

В реальном мире у каждого из отрезков есть своя длина, которую можно измерить, если выбрать среди них единицу масштаба (например, эталон метра). И как бы мы отрезок ни перемещали, длина его будет одна и та же. Поэтому в основе евклидовой геометрии лежит положение о том, что длина отрезка при произвольном перемещении в пространстве сохраняется (конгруэнтность фигур). В аффинной геометрии, поскольку два любых отрезка можно совместить, единицы масштаба нет. Однако такие свойства, как прямолиней-

Рис. 23

ное расположение трех точек или параллельность двух прямых, инвариантны не только в евклидовой, но и в аффинной геометрии.

Очень важно отметить, что в аффинной геометрии хотя и не рассматривается длина отрезка, но тем не менее сравнивают между собой параллельные отрезки. Немного остановимся на этом.

Если построить два параллелограмма, как на рис. 24, то имеем: AB = DC = BE. Складывая векторы, получаем, что AB + BE = AB + AB = 2AB = AE, т. е. что отрезок АЕ вдвое больше отрезка AB.

Можно получить и более общее сравнение, а именно для любых двух отрезков AB и АС, лежащих на одной прямой, можно определить такое действительное число А,, что АС = ХАВ. Хотя это число определяется без привлечения длины, но если бы она рассматривалась, то, очевидно, длина отрезка АС была бы в А, раз больше длины отрезка AB. С отношением А связано известное в геометрии так называемое ангармоническое отношение, кото-

Рис. 24

Рис. 25

рое фигурирует в метрике Кэли в неевклидовой геометрии. При определении ангармонического отношения длина несущественна, и это, с математической точки зрения, является очень важным обстоятельством. К сожалению, мы не можем остановиться на этом подробнее.

Глава 3

Проективная геометрия

Проективная геометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур при помощи так называемых проективных преобразований. Иначе говоря, это геометрия, изучающая только проективные свойства фигур. Появление термина «проективная геометрия» относится, по-видимому, к XVIII веку.

Основы проективной геометрии были заложены знаменитыми математиками Ж. Дезаргом (1593—1662) и Б. Паскалем (1623—1662), которые изучали проективные свойства фигур на евклидовой плоскости.

Дезарг в своих исследованиях не прибегал к помощи координат или каких-либо других аналитических методов. Геометрические особенности проективных свойств он изучал чисто геометрическим, или, как еще говорят, синтетическим методом. Теоремы, установленные Дезаргом, производят сильное впечатление. Ныне эти теоремы часто включают в учебники в качестве задач. Напротив, современник Дезарга Р. Декарт (1596—1650) создал аналитический метод изучения евклидовой геомет-

рии посредством введения системы координат. Эта область геометрии получила название аналитической геометрии.

При синтетическом подходе, как это можно видеть на примере доказательств теорем евклидовой геометрии, логические построения ведутся с самого начала и до конца при помощи геометрических рассуждений, и для всех этапов доказательства характерна наглядность. В этом отношении синтетическая геометрия, можно сказать, стоит выше аналитической, но, с другой стороны, часто бывает весьма трудно одолеть ту или иную задачу лишь при помощи наглядности и интуиции. В аналитической же геометрии Декарта, где сначала вводится система координат и затем проводится цепочка алгебраических операций, все задачи исследуются единообразным методом, т. е. аналитически выраженные соотношения фигур получаются путем вычислений, и тем самым, как хорошо известно, снимается ряд трудностей при решении. И все же в XVII—XVIII веках исследования в области аналитической геометрии носили весьма общий характер. Сказывалось, по-видимому, сильное в то время влияние синтетического подхода. Действительно, среди проблем есть немало таких, для которых не удается найти ясного решения только лишь аналитическими средствами, и тогда становится необходим синтетический в своей основе подход. Но эти же задачи, с другой стороны, неподвластны одному только синтетическому методу. Другими словами, никакой вообще метод сам по себе не является универсальным.

Однако еще в XIX веке активно велась дискуссия, какому из методов — синтетиче-

скому (чисто геометрическому) или аналитическому—отдать предпочтение в геометрии. Одни геометры настойчиво отвергали алгебраические вычисления, другие же, напротив, были горячими сторонниками координатного метода. Клейну была не по душе подобная ортодоксальность в отношении того или иного метода, и он утверждал, что основная проблема заключается в изучении самой геометрии и что преимущество каждого из методов он видит в их взаимодействии. Поскольку для большинства читателей вычисления представляют определенные трудности, я, исходя из общих соображений, в этой книге применял в основном синтетический способ изложения.

Надо сказать, что предвестницей возрождения синтетического метода явилась вышедшая в конце XVIII века книга Г. Монжа (1746—1818) о начертательной геометрии. Начертательная геометрия — это та область геометрии, которая исследует методы изображения пространственных фигур на плоскости.

Затем в первой половине XIX века, благодаря исследованиям в то время молодых ученых — М. Шаля (1793—1880), Д. Понселе (1788—1867), Я. Штейнера (1796—1863). X. Штаудта (1798—1867) и других,— настала эпоха блистательного расцвета синтетической геометрии. Но аналитический метод, в отличие от методов синтетической геометрии, был более универсальным, и это преимущество имело огромное значение.

В наши дни проективная геометрия развивается не только как проективная непрерывная геометрия, но и в направлении проективной конечной геометрии, которая является одной из ветвей современной математики. То,

что изучает современная проективная геометрия, весьма далеко от того, что свойственно классической геометрии, тем не менее в данной книге мы будем иметь дело только с вещественной проективной плоскостью, геометрия которой относится к числу классических.

§ 1. Бесконечно удаленные точки

Прежде всего отметим, что проективная плоскость в отличие от евклидовой плоскости не имеет бесконечной протяженности. Давайте выясним, в чем же различие между ними, а с другой стороны, как они между собой связаны? Для этого давайте уточним, какие положения евклидовой плоскости используются в проективной геометрии. В основе проективной геометрии лежит своя система аксиом. И хотя логические построения на аксиоматическом фундаменте являются замечательной иллюстрацией математического метода, однако, будучи при этом оторванным от евклидовой геометрии, такое изложение проективной геометрии излишне абстрактно. Поэтому для большей конкретности и наглядности целесообразно исходить из модели евклидовой плоскости.

Известно, что прямая на евклидовой плоскости продолжается в обе стороны бесконечно и что между точками прямой и всеми действительными числами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором естественной упорядоченности точек на прямой отвечает упорядоченность чисел по их величине.

Дополним теперь прямую «слева и справа» одной и той же условной точкой Роо, которую назовем бесконечно удаленной точкой.

Понятно, что возникает сомнение — а можно ли говорить о реальности несуществующих точек? Однако в современных теориях это встречается часто. Так, например, хотя среди действительных чисел нет бесконечно больших чисел, в математическом анализе применяется символ со, правда не в качестве числа, а для обозначения неограниченного роста. (В этом же смысле символ оо употребляется по отношению к тригонометрическим функциям.) После добавления к обычной прямой бесконечно удаленной точки «пополненная» прямая становится замкнутой. Давайте теперь прибавим к каждой обычной прямой по бесконечно удаленной точке, причем условимся, что когда прямые а и b параллельны, то добавляемые к ним точки совпадают, когда же прямые не параллельны, то их бесконечно удаленные точки различны.

Две пересекающиеся на евклидовой плоскости прямые пересекаются в обычной точке, причем бесконечно удаленные точки этих прямых не совпадают. Следовательно, в этой новой геометрии параллельных прямых не существует, каждые две прямые обязательно

Рис. 26

пересекаются в одной точке. Семейство параллельных между собой в обычной геометрии прямых имеет одну общую бесконечно удаленную точку, разнонаправленные же прямые имеют разные бесконечно удаленные точки. В связи с этим бесконечно удаленных точек бесконечно много.

Множество этих бесконечно удаленных точек, опять-таки по определению, составляет одну так называемую бесконечно удаленную прямую /оо. Таким образом мы получаем геометрию, в которой к евклидовой плоскости R2 добавляется одна бесконечно удаленная прямая.

По существу, эта геометрия пока не очень отличается от евклидовой геометрии. Вместо положения о параллельности двух прямых вводится положение об их пересечении в бесконечно удаленной точке.

Основные аксиомы, принятые в проективной геометрии, утверждают, что две точки определяют одну прямую (если обе точки — бесконечно удаленные, то они определяют бесконечно удаленную прямую /оо) и что две прямые всегда пересекаются в одной точке. И хотя положения этих двух аксиом весьма важны, но до тех пор пока мы выделяем некото-

Рис. 27

рые точки в одну бесконечно удаленную прямую, мы практически не меняем сути евклидовой геометрии и не привносим в геометрию ничего нового.

§ 2. Проективная геометрия

Важнейший шаг в становлении проективной геометрии был сделан тогда, когда бесконечно удаленную прямую уравняли в правах с обычной прямой и термин «бесконечно удаленная прямая» тем самым оказался ненужным. А это было равносильно принятию двух вышеупомянутых основных аксиом об отношениях между точками и прямыми.

Итак, в проективной геометрии бесконечно удаленная точка не является чем-то особенным: с ней обращаются как с обычной точкой. Далее, поскольку не существует параллельных прямых, проективная геометрия представляет собой логическую систему, принципиально отличную от аффинной геометрии.

Между проективной плоскостью Р2, где бесконечно удаленная прямая не отличается от обычной прямой, и аффинной плоскостью существует связь, правда, несколько абстрактного характера.

Возьмем для этого на проективной плоскости какую-нибудь прямую в качестве бесконечно удаленной прямой / оо. Пусть она в точке Р пересекается с прямыми а и Ь. Так как Р — единственная точка пересечения, притом бесконечно удаленная, то прямые а и ft, если рассматривать их на аффинной плоскости, параллельны.

Если из проективной плоскости исключить бесконечно удаленную прямую, то оставшееся множество точек является аффинной плоскостью.

Возьмем прямую а на рис. 28. Она неограниченно продолжается в обе стороны от точки Р и, вернувшись из бесконечности, замыкается. То же самое происходит и с прямой Ь. И тем не менее прямые а и b пересекаются лишь в единственной точке Р. Если бы они пересекались еще в одной точке Q, то, так как две точки Р и Q определяют единственную прямую, отсюда следовало бы, что а = ft, т. е. получилось бы противоречие.

Наглядно трудно представить себе странное поведение прямых на проективной плоскости. Это связано с тем, что проективная и аффинная плоскости отличаются друг от друга по своей структуре настолько, что проективную плоскость нельзя адекватно изобразить в евклидовом пространстве. В связи с

Рис. 28

этим мы рассмотрим здесь одну модель проективной плоскости, на которой можно провести некоторые аналогии.

В евклидовом пространстве /?3 возьмем сферическую поверхность S2 с центром О. Интерпретируем эту сферическую поверхность как плоскость, на которой условливаются в качестве прямых рассматривать большие окружности (большая окружность — это окружность, по которой сфера пересекается с плоскостью, проходящей через центр О). Все это из области сферической геометрии.

Предвижу недоумение: как же так, большая окружность изгибается и вдруг прямая? То, что окружность изогнута, так это верно с точки зрения геометрии евклидова пространства, в котором расположена сфера. С точки же зрения сферической геометрии такую окружность вполне можно рассматривать как прямую.

В сферической геометрии отношения между точками и прямыми удовлетворяют следующим свойствам.

Свойство 1. Две точки определяют един-

Рис. 29

ственную прямую, за исключением того случая, когда эти точки антиподальные, т. е. диаметрально противоположные.

Свойство 2. Любые две прямые пересекаются в двух точках (антиподальные точки).

Все прямые замкнутые, длина их равна 2nR (где R — радиус сферы). Величина угла между прямыми определяется как величина угла между пересекающимися кривыми в евклидовом пространстве. В сферической геометрии сумма внутренних углов треугольника больше двух прямых углов. Это наиболее известное свойство сферического треугольника.

Давайте отождествим на сфере антиподальные точки так, как, например, на рис. 29 точки Р = Р' и Q = Q'. При таком отождествлении точек свойства 1 и 2 изменяются надлежащим образом в те, что приняты в качестве основных положений, определяющих структуру проективной плоскости.

Свойство 1. Две точки определяют одну-единственную прямую.

Свойство 2. Любые две прямые пересекаются в одной точке.

Поскольку точки-антиподы отождествлены между собой, то для модели проективной пло-

Рис. 30

скости Р2 нижняя полусфера не нужна. Как видно из рис. 30, вполне достаточно точки X на верхней полусфере, а точка X' не нужна. Однако на окружности разреза имеются также точки-антиподы Р и Р\ Q и Q', R и R' и т. д. Построение модели проективной плоскости завершается тогда, когда точки полуокружности PQR мы отождествим с их антиподами на полуокружности P'Q'R'. Однако эту модель проективной плоскости, которая является, кстати, очень интересной с топологической точки зрения поверхностью, расположить без самопересечений в обычном пространстве невозможно. Ниже мы остановимся на этом подробней.

Модель проективной плоскости наряду с понятием проективного преобразования играет фундаментальную роль в изучении свойств проективной геометрии.

§ 3. Проективные преобразования

Как и в аффинном случае, дадим вначале определение проективного преобразования на проективной плоскости Р2. Оно напоминает определение аффинного преобразования: взаимно однозначное отображение / проективной плоскости Р2 на себя / : Р2—>-Р2, при котором любая прямая переходит в прямую, называют проективным преобразованием.

В действительности проективное преобразование обычно задается иначе. Проективная геометрия выросла из теории перспективы — системы методов построения перспективных

соответствий, т. е. того, чем занимаются, например, при топографических аэрофотосъемках.

Возьмем в евклидовом пространстве /?3 две плоскости а и а7 и некоторую точку О, не лежащую на этих плоскостях.

Спроектируем из точки О фигуру в плоскости а (на рис. 31 Л ABC) на плоскость а' и получим соответствующую фигуру (на рис. 31 АА'В'С). Такое соответствие между точками двух фигур называют перспективным. Точку О называют центром проектирования. Записывается это соответствие символически так:

Это можно определить также следующим образом: проекция из О фигуры ABC, расположенной на плоскости а, на плоскость а' есть

Рис. 31

сечение плоскостью а пучка прямых с центром в О и проходящих через точки фигуры ABC. Точно так же можно взять следующую плоскость а" и на нее спроектировать полученную фигуру А'В'С\ вообще говоря, из другого центра О':

Как мы видим, перспективное соответствие представляет собой взаимно однозначное соответствие между точками фигур, разумеется, если плоскость а' на рис. 31 не занимает положение, параллельное какой-нибудь прямой из пучка. Но это особый случай, и мы пока оставляем его в стороне. Если вслед за одним построить другое перспективное соответствие, то получим также взаимно однозначное соответствие

Если осуществить последовательно, как говорят математики, суперпозицию перспективных соответствий конечное число раз а ••• д" Xß, то точки плоскости а будут находиться во взаимно однозначном соответствии с точками плоскости ß. Соответствие А, : а—*-ß, являющееся суперпозицией конечного числа перспективных соответствий, называют проективным преобразованием и обозначают а~д ß.

В вышеприведенных определениях соответствий не используются такие понятия, как длина. Следовательно, определение такого соответствия допустимо и в аффинном пространстве. Но в аффинном пространстве имеется па-

раллельность, и операцию проектирования в нем определить в полной мере невозможно, там имеются исключительные случаи, когда прямая, проходящая через точку О, параллельна то одной, то другой плоскости. В проективном же пространстве не существует параллельности между прямой и плоскостью, эти особые случаи отсутствуют, и проективное соответствие строится автоматически. Тот факт, что мы, рассказывая о реальном мире при помощи проективных образов, исходим из евклидовой плоскости, свидетельствует о том, что в основе геометрии лежит евклидово пространство.

Проективный способ перенесения фигур с плоскости а на плоскость а' сохраняет их общую конструкцию. Так, прямая переносится как прямая, круг, поскольку длина меняется при этом соответствии, становится овалом. Сам объект перспективной съемки следует рассматривать в трехмерном проективном пространстве, которого мы до сих пор не касались.

Здесь есть большая аналогия с двумерной проективной плоскостью. Предполагается, что все параллельные между собой прямые в аффинном пространстве в проективном пространстве пересекаются в одной бесконечно удаленной точке. Множество таких бесконечно удаленных точек образует бесконечно удаленную плоскость. Эта плоскость является частью проективного пространства и обращаются с ней не как с бесконечно удаленной, а как с обычной плоскостью. В проективном пространстве, таким образом, нет параллельных прямых, и любые две плоскости обязательно пересекаются по прямой. Далее, в случае, если

прямая не принадлежит плоскости, то она обязательно пересекается с ней в одной точке. По этой причине в проективном пространстве вышеприведенное определение проективного соответствия, естественно, в рассмотрении особых случаев не нуждается.

Сейчас мы выясним особенности проективного соответствия между прямыми на проективной плоскости.

Возьмем две прямые / и m на проективной плоскости Р2 и точку Оь которая не принадлежит ни прямой /, ни прямой т. Проведем через Oi и каждую точку А прямой I прямую, которая обязательно пересечет прямую m в некоторой точке А' (рис. 32). Поскольку на проективной плоскости любые две прямые обязательно пересекаются, то так устанавливаемое соответствие А—>А', В—*В' и т. д. будет при каждой фиксированной точке Oi взаимно однозначным соответствием между точками прямой / и точками прямой т.

Задание точки Oi однозначно определяет

Рис. 32

это соответствие, которое называют перспективным соответствием с центром 0\. Символически это соответствие обозначим через

Аналогично можно построить перспективное соответствие прямой m на какую-нибудь третью прямую п из некоторого, вообще говоря, другого центра 02

Взаимно однозначное соответствие между точками прямых / и м, которое получается в результате последовательного выполнения сначала соответствия ль а затем яг, называется проективным соответствием между / им. И вообще, проективным соответствием между прямыми 1\ и 1п называют суперпозицию любого конечного числа перспективных соответствий

Записывают перспективное соответствие так:

Перспективное соответствие 1\ л h является частным случаем проективного соответствия. Особого внимания заслуживает случай /, = 1П, т. е. когда мы имеем проективное преобразование прямой 1\ в себя

Проективное преобразование прямой в себя — это не просто взаимно однозначное соот-

ветствие; оно обладает рядом характерных особенностей. Правда, одно и то же проективное преобразование можно задать в виде суперпозиции перспективных соответствий многими способами.

Сейчас на примере нескольких теорем мы постараемся проиллюстрировать особенности проективных соответствий.

Теорема 1. Пусть / и V — произвольные прямые, и Л, 5, С и А', В', С— произвольные две тройки точек на них. Тогда существует такое проективное соответствие, что

Доказательство. Пусть Вх — точка пересечения прямых А'В и АВ\ С\ — точка пересечения А'С и АС (рис. 33). Проведем через точки В\С\ прямую 1\ и обозначим через А\ точку пересечения 1\ с прямой АА'. Тогда

Таким образом, искомое проективное соот-

Рис 33

ветствие I (Л,В,С) TT/' (А',В\С) получается в итоге двух перспективных соответствий.

Доказательство, как мы видим, сводится к подбору двух перспективных соответствий специального вида. И на первый взгляд не исключено, что, подобрав другие перспективные соответствия, можно получить другое проективное соответствие, удовлетворяющее тем же условиям теоремы. Другими словами, можно предположить, что найдутся проективные соответствия л и л' и такая точка X на прямой /, что

(1)

где X' Ф X".

Заметим, условие X' ф X" указывает на различие проективных соответствий я и лЛ

Основная теорема проективной геометрии утверждает, что в формуле (1) для любой точки X ее образы X' и X" совпадают, т. е. проективное соответствие, при котором три заданные точки Ау В, С прямой I переходят в три заданные точки А\ В'у С прямой /', единственно.

Следующее утверждение является, очевидно, частным случаем основной теоремы.

Если при проективном преобразовании л прямой / на себя три точки А, Ву С остаются на месте

то я—тождественное преобразование (каждая точка X прямой / переходит в себя).

С другой стороны, из этого специального случая очень легко вывести основную теорему в общем виде. То есть основная теорема и ее

специальный случай равноценны, и поэтому в курсах проективной геометрии часто такую специальную формулировку представляют как основную теорему.

Ниже мы должны были бы приступить к доказательству основной теоремы, однако это непросто. В любой книге о проективной геометрии можно найти доказательство этой теоремы, и мы здесь его приводить не будем. Изложению основной теоремы обычно предшествует важная теорема, принадлежащая основоположнику проективной геометрии Дезаргу.

Теорема Дезарга. Если прямые АА\ ВВ\ СС\ соединяющие соответствующие вершины двух треугольников ABC и А'В'С, пересекаются в одной точке О, то точки пересечения соответствующих сторон AB и А'В\ ВС и В'С\ CA и C'A' расположены на одной прямой.

Хотя формулировка этой теоремы длинновата, смысл ее простой. Многие читали о теореме Дезарга в книгах по евклидовой геометрии. Это не очень естественно, поскольку на евклидовой плоскости есть параллельные пря-

Рис. 34

мые и в связи с этим необходимо учитывать специальные случаи, когда прямые, скажем, AB и А'В' на приведенном рисунке параллельны и, следовательно, не имеют точки пересечения.

Расскажем теперь о проективных отображениях не только прямых, но и плоскостей.

Преобразование плоскости в себя называется коллинеацией, если коллинеарные, т. е. лежащие на одной прямой, точки переходят в коллинеарные же точки*. Коллинеация плоскости называется перспективной, если все точки некоторой прямой / на плоскости остаются неподвижными, а все прямые, проходящие через точку О,— инвариантными (при этом допускается перемещение точек вдоль самой прямой). Прямую / называют осью, а точку О — центром перспективной коллинеации.

Рис. 35

* На вещественной проективной плоскости любая коллинеация является проективным преобразованием (см.: Делоне Б. Н. и Райков Д. А. Аналитическая геометрия. Ефимов Н. В. Высшая геометрия).

При перспективной коллинеации различают два случая: первый, когда центр О находится вне прямой /, и второй, когда он принадлежит прямой /. В первом случае коллинеацию называют гомологией, во втором — особой гомологией.

Перспективная коллинеация / вполне задана, если указаны ее центр О, ось I и образ какой-нибудь точки А. Действительно, возьмем произвольную прямую га, проходящую через А (рис. 35). Прямая га пересекается с осью / в точке С. Так как f (С) = С, а образ / (А) задан, то тем самым предопределены и прямая f (га), проходящая через точки f (С), /(Л), и отображение /:га—*f (га), которое является перспективным соответствием с центром в О.

Такого рода рассуждения характерны для синтетического метода в проективной геометрии. Рис. 35 прост и понятен, однако, хотя метод проектирования и сечений сам по себе лаконичен, в теоремах, где теорема Дезарга применяется несколько раз, чертежи довольно сложны. Проективную коллинеацию плоскости можно определить как суперпозицию конечного числа перспективных коллинеации.

Сформулируем теперь основную теорему для проективной плоскости.

Пусть А, В, С, Е — точки проективной плоскости в общем положении (т. е. не лежат на одной прямой). Всякое проективное преобразование плоскости, оставляющее их неподвижными, оставляет и все остальные точки плоскости на месте, другими словами, является тождественным преобразованием.

Действительно, поскольку при таком проективном преобразовании точки А к Е прямой

АЕ неподвижны, то прямая АЕ переходит в себя (рис. 36). Прямая ВС по этой же причине опять же переходит в себя. Следовательно, точка Е\ пересечения прямых АЕ и ВС остается на месте. Таким образом, если на прямой ВС три точки — В, С, Е\ — при данном проективном преобразовании неподвижны, то по основной теореме для прямой прямая ВС тождественно отображается на себя. Отсюда уже легко получить неподвижность при указанном проективном соответствии любой точки плоскости.

Заметим, что эту теорему называют основной, потому что хотят этим подчеркнуть ее решающую роль в вещественной проективной геометрии. Используя основную теорему, можно, введя так называемую систему проективных координат, построить аналитическую проективную геометрию.

Принцип двойственности в проективной геометрии. При рассмотрении роли точек и прямых можно заметить, что на проективной плоскости в отличие от аффинной геометрии имеет место принцип двойственности.

Рассмотрим две аксиомы проективной плоскости:

Рис. 36

две точки определяют прямую (через две точки проходит единственная прямая);

две прямые определяют точку (две прямые пересекаются в единственной точке).

Если в одной из этих аксиом заменить слова точка на прямую и прямая на точку, а проходить на пересекать, то она (аксиома) переходит в другую аксиому. Поскольку в геометрии все выводится из аксиом, а в число аксиом проективной геометрии включены суждения, получающиеся друг из друга в результате такой замены, то все теоремы этой геометрии также должны допускать двойственную замену терминов. Иначе говоря, принцип двойственности состоит в том, что если удалось доказать какую-то теорему, то это означает, что утверждение, порожденное указанной заменой слов, также справедливо*. Рассмотрим, например, теорему Дезарга.

Возьмем треугольник ABC, т. е. три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, и прямые, соединяющие эти точки попарно.

Определение двойственной треугольнику фигуры — трехсторонника — получается из

Рис. 37

* Доказательство двойственной теоремы получается из доказательства исходной теоремы автоматической заменой в нем понятий и суждений на двойственные им.

первого заменой слов точка — прямая, прямая — точка с соответствующей заменой соединяет — пересекает. Другими словами, берутся три прямые a, ft, с, не проходящие через одну точку, которые попарно пересекаются между собой в трех точках Л, ß, С. Подобным же образом можно определить двойственные четырехугольникам, пятиугольникам соответственно четырехсторонники, пятисторонники и т. д.*.

Вспомним теорему Дезарга: если для треугольников ABC и AfB'Cf три прямые, соединяющие попарно две соответствующие точки А и А', В и В', С и C', пересекаются в одной точке O, то три точки — точка L пересечения соответствующих сторон AB и А'В', точка M пересечения ВС и В'С и точка N пересечения CA и C'A' — лежат на одной прямой (рис. 38).

Рис. 38

* Использование слов «трехсторонник», «четырехсторонник» и т. д. для фигур, которые являются треугольниками, четырехугольниками, связано в данном случае с двойственностью, при которой углам (точнее, вершинам углов) треугольников, четырехугольников соответствуют стороны трехсторонников, четырехсторонников.

Двойственное к теореме Дезарга утверждение гласит: если в двух трехсторонниках авс и а'Ъ'с' точки попарных пересечений соответствующих сторон а и а', Ъ и Ь\ с и с' лежат на одной прямой, то три прямые — /, m, п, соединяющие соответственные вершины трехсторонников, сходятся в одной точке.

Это двойственное положение уже не нуждается в доказательстве. Легко видеть, что это утверждение является обратным к теореме Дезарга.

В проективном пространстве принцип двойственности проявляется в том смысле, что каждая аксиома проективной геометрии пространства допускает трансформацию путем замены слов точка — прямая — плоскость на плоскость — прямая — точка и проходить — пересекать на пересекать — проходить.

На аффинной плоскости две прямые, если они параллельны, не пересекаются, хотя, с другой стороны, две точки всегда определяют прямую. Поэтому в аффинном случае принцип двойственности не имеет места.

Кривые второго порядка и пучки второго класса. Рассказ о кривых второго порядка мы свяжем с программой Клейна.

Кривые второго порядка на евклидовой плоскости — это эллипс, гипербола, парабола, распадающаяся пара прямых — представляют собой геометрическое место решений квадратного уравнения

На проективной плоскости, введя систему координат, также можно определить местоположение решений квадратного уравнения. Но установить эквивалентность кривых второго

порядка можно и не прибегая к координатам, чисто синтетически.

Линия первого порядка — это прямолинейный ряд точек. Двойственная прямолинейному ряду точек фигура является пучком прямых, проходящих через одну точку (пучок 1-го класса).

Пучок прямых с центром в точке О обозначим символом — 0(1). Возьмем два пучка проективных прямых — О (/) и О' (/') (О Ф О') и произвольную прямую m, не проходящую через центры О и О'. Так как в каждой точке А прямой m пересекается пара прямых из этих пучков, то получаем взаимно однозначное соответствие между прямыми пучков f:0 (/)—(/'), которое называется перспективным соответствием между пучками, а прямая m является осью перспективного соответствия. Символически это выражается следующим образом:

Определение перспективного соответствия между пучками, таким образом, двойственно

Рис. 39

перспективному соответствию прямолинейных рядов. Результат неоднократного выполнения перспективных соответствий называют проективным соответствием между пучками и записывают следующим образом:

Пусть л : О(l)~/\0'(I') — отдельно взятое проективное соответствие. В этом случае множество точек пересечения соответствующих прямых будет представлять собой кривую второго порядка. В частности, когда л—перспективное соответствие, то точки пересечения А, ß, С и т. д. выстраиваются на прямой, являющейся осью перспективы. Разумеется, эта прямая как кривая второго порядка нетипична. Однако в общем случае проективного соответствия

Рис. 40

множество точек Л, В, С... представляет собой типичную кривую второго порядка (рис. 40).

Данная кривая второго порядка при введении координат, как можно доказать, превращается в фигуру, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют квадратному уравнению.

Изучению свойств кривых второго порядка было посвящено исследование Б. Паскаля*. Как известно, на евклидовой и аффинной плоскости имеются три типичных вида кривых второго порядка — эллипс, гипербола, парабола. На проективной же плоскости различия между ними нет. Кривая второго порядка на проективной плоскости всегда является замкнутой линией. Посмотрим, как этот вид проективной кривой второго порядка в аффинной геометрии распадается на три различных типа. Действительно, на проективной плоскости любая прямая может быть принята за бесконечно удаленную прямую / оо, которая исклю-

Рис. 41

* Свой трактат «Опыт теории конических сечений» Паскаль написал в 16-летнем возрасте. В частности, в трактат вошла открытая гениальным юношей знаменитая теперь теорема Паскаля — одна из основных теорем проективной геометрии.

чается из аффинной плоскости. Поэтому в случае, указанном на рис. 41 (слева), когда / оо пересекает кривую, получаются две разорванные ветви — это соответствует гиперболе. Когда прямая I оо является касательной, то замкнутая кривая разрывается в одной точке и ее концы уходят в бесконечность — это парабола. Если же I оо не задевает кривой второго порядка — это эллипс.

Связь с аффинными преобразованиями. Некоторую прямую на проективной плоскости а примем за бесконечно удаленную прямую / оо. Как уже говорилось, множество а — / оо совпадает с аффинной плоскостью. Если на плоскости а взять преобразование, при котором прямая / оо отображается в себя, то оно является аффинным преобразованием аффинной плоскости а — / оо.

Рассмотрим в качестве примера проективного преобразования перспективную коллинеацию с центром О, лежащим на оси I оо. Точки любой проходящей через О прямой OA перемещаются при этом по ней самой же. Исключим I оо, тогда прямые, пересекающие-

Рис. 42

ся в точке О прямой / со (бесконечно удаленной точке) на аффинной плоскости а — / оо, между собой параллельны. Этому специальному случаю проективного преобразования на проективной плоскости соответствует параллельный перенос на аффинной плоскости*.

Как уже говорилось, при аффинных преобразованиях параллельные прямые переходят в параллельные. Это условие можно получить исходя из того, что аффинное преобразование определяется на базе проективного, относительно которого прямая / оо инвариантна. В самом деле, точка А прямой / оо переходит в точку В на I оо. Следовательно, проективные прямые, проходящие через точку А (на аффинной плоскости эти прямые параллельны), переходят в прямые, проходящие через В (также параллельные прямые).

Рис. 43

* Действительно, так как каждая точка прямой /оо остается неподвижной, то любая прямая аффинной плоскости а — /оо переходит в параллельную себе. Любая же прямая, проходящая через О, при этом переходит в себя. Следовательно, речь идет о параллельном переносе в направлении, соответствующем пучку 0(/).

Таким образом, если ограничиться рассмотрением только тех проективных преобразований, относительно которых фиксированная прямая инвариантна, то мы получим класс аффинных преобразований. В этом смысле множество всех аффинных преобразований является подмножеством, т. е. частью множества всех проективных преобразований.

Это важное положение можно представить в виде диаграммы:

Здесь уместно вспомнить, что движения — это те из аффинных преобразований, которые сохраняют расстояния. Поэтому множество всех движений является подмножеством множества всех аффинных преобразований, что и отражено на этой диаграмме.

Это положение является одной из причин того, почему евклидову и аффинную геометрии можно считать как бы подвидами проективной геометрии, т. е. в некотором смысле проективная геометрия — это вся геометрия.

Глава 4

О неевклидовой геометрии

§ 1. Исторический очерк

Неевклидова геометрия оформилась в XIX веке, однако период ее становления был длительным. В течение более 2000 лет после Евклида многие математики вели напряженный научный поиск. Мы сможем упомянуть здесь лишь основные этапы этого долгого исторического процесса.

Теория Евклида опирается на ряд определений и аксиом. Исходной точкой его логической системы является положение о том, что выдвигаемые им постулаты очевидны, их справедливость признается всеми несомненной. Имеются пять постулатов:

1. Через две точки проходит единственная прямая.

2. Ограниченную прямую линию можно непрерывно продолжить.

3. Из любой точки как из центра можно описать окружность любого радиуса.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых углов, эти прямые пересекаются и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Последний, пятый, постулат известен как постулат о параллельных.

Евклид приводит также девять аксиом, представляющих собой общие положения, на-

пример: «Если к равным величинам прибавляются равные, то и суммы будут равными».

Постулат о параллельных по сравнению с другими постулатами гораздо сложнее, смысл его глубже. Хотя и к нему должно быть применимо условие самоочевидности, однако формулировка постулата такова, что не поддается восприятию сразу по прочтении. Правда, это обстоятельство было осознано позже. Вопрос заключается в том, можно ли этот постулат считать не самим по себе верным, а выводимым из других постулатов и аксиом. Если утверждение может быть доказано, то тогда нет никакой необходимости выдвигать его в качестве постулата. А если так, то это свидетельствует, по словам Даламбера, о «подводных камнях и капризном характере геометрии...»

Многие комментаторы Евклида, находившиеся во власти этого евклидова положения, пытались найти доказательство постулата о параллельных, однако все попытки такого рода исследований не имели результата. Не исключено, что сам Евклид пришел к мысли о выдвижении этого положения в качестве постулата лишь после неудачных попыток найти его доказательство. По-видимому, его исследования в этом направлении были скорее безуспешными, чем незавершенными.

Этот опыт в настоящее время породил целое направление сложнейших интенсивных исследований в основаниях не только геометрии, но и всей теоретической математики.

Относительно геометрии можно сказать, что в результате продолжительных исследований были получены равноценные постулату о параллельных формулировки.

Например, через точку, находящуюся вне данной прямой линии, можно провести только одну прямую линию, параллельную данной.

Или — сумма внутренних углов треугольника равна сумме двух прямых.

Эти и подобные им утверждения можно доказать, если исходить из предположения о справедливости постулата о параллельных и, наоборот, допустив, что любое одно из вышеприведенных суждений правильно, можно доказать справедливость постулата о параллельных. В этом смысле приведенные утверждения равносильны, или, как еще говорят, эквивалентны.

Среди попыток доказательства постулата о параллельных заслуживают особого внимания исследования Дж. Саккери (1677—1733) и Лежандра (1752—1833).

Саккери, проведя к горизонтальной прямой AB вертикальные и равные отрезки АС и BD, соединил точки С и D. То, что углы С и D равны, можно доказать и без использования постулата о параллельных, однако при доказательстве того, что угол С равен прямому, постулат становится необходим. Напротив, предполагая, что угол С — прямой, можно вывести постулат о параллельных.

Рис. 44

Саккери, проявляя достаточную широту подхода к этому вопросу, рассмотрел три возможных случая:

1) когда угол С — прямой;

2) когда угол С — тупой;

3) когда угол С — острый.

Затем он пытался доказать осуществимость только первого случая. И хотя в конечном счете он потерпел неудачу, результаты, полученные им, позволили глубже вникнуть в суть рассматриваемого вопроса. Среди важных результатов, полученных Саккери, имеется следующая теорема: если предположить, что для какой-либо построенной таким образом фигуры справедливо одно из трех вышеупомянутых положений, то такое же условие будет иметь место и для любой другой фигуры, построенной аналогичным образом.

Исходя из какого-нибудь одного из трех допущений, можно вывести, что сумма внутренних углов треугольника либо равна двум прямым, либо больше, либо меньше суммы двух прямых.

Так, из первого допущения о прямом угле можно вывести, что если при пересечении двух прямых третьей прямой величины соответственных углов одинаковы, то в этом случае (и только в этом случае) эти две прямые не пересекутся при их продолжении.

Рис. 45

Далее, из второго допущения следует, что эти две прямые, напротив, пересекутся.

И наконец, из третьего допущения вытекает, что существует неограниченное число прямых, которые не пересекутся с данной прямой, если проводить их через точку, расположенную вне этой прямой.

Вероятно, в конечном счете Саккери, подобно другим исследователям, потерял основную нить в «безграничном болоте» рассуждений. Вполне возможно, что если бы Саккери в какой-то момент отказался от привычной мысли о том, что «евклидова геометрия — это единственная истина», то, как знать, он, может быть, стал бы первооткрывателем другой, неевклидовой геометрии.

Много усилий для доказательства постулата о параллельных линиях приложил также Лежандр. Благодаря его усилиям этой проблемой заинтересовались многие математики Франции и Англии. Основным результатом исследований Лежандра были, по-видимому, следующие выводы:

из допущения, что длина прямых линий неограниченна, следует, что сумма внутренних углов треугольника не может быть больше суммы двух прямых углов; если в одном треугольнике сумма внутренних углов равна двум прямым, то и во всяком любом другом треугольнике эта сумма равна двум прямым.

Считая евклидову геометрию «единственно истинной», он направил все свои силы на доказательство существования треугольника, сумма внутренних углов которого равна сумме двух прямых, но цели не достиг.

В это же время Гаусс (1777—1855) и некоторые из его учеников — Швейкарт (1780—

1859), Тауринус (1794—1874) и другие — вступали в «эпоху неевклидовой геометрии».

Первоначально Гаусс испытывал большое влияние Канта (1724—1804) и придерживался воззрений предшественников, считавших евклидову геометрию единственно истинной. Однако постепенно он пришел к мысли о невозможности доказательства постулата о параллельных линиях. Гаусс, по существу, был первым, кто поверил в возможность существования другой геометрии, помимо геометрии Евклида. Название «неевклидова геометрия» принадлежит ему (письмо Тауринусу от 8 ноября 1824 года).

Хотя из писем и заметок Гаусса явствует, какое значение он придавал новой геометрии, однако Гаусс не напечатал трудов по неевклидовой геометрии. Считают, что это произошло потому, что Гаусс боялся шумных скандалов со стороны невежд и ретроградов, «мудрецов из Готама», которые могли вспыхнуть из-за исключительной новизны его идей. Говорят, что у него была мысль опубликовать «в элегантной манере» положения неевклидовой геометрии вплоть до деталей.

В 1832 году Гаусс прочел приложение к книге по геометрии, изданной в том же году его другом Фаркашем Бойяи (1775—1856).

В нем сын Фаркаша......Янош Бойяи (1802—1860)—изложил основы неевклидовой геометрии.

Пока кратко остановимся на достижениях учеников и последователей Гаусса.

Швейкарт, профессор права в Марбургском университете, в 1818 году передал Гауссу свои геометрические исследования, содержание которых сводилось к новой системе геометриче-

ских представлений, в основе которых лежало положение о том, что сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Сам он дал этому название «Небесная или звездная геометрия».

Племянник Швейкарта Тауринус, который также интересовался проблемой параллельных линий, написал сочинение под названием «Основные элементы геометрии», в приложении к которому была приведена важная формула для углов треугольника в неевклидовой геометрии. Этот труд тогда не привлек внимания ученого мира, и от разочарования основную часть своих «Элементов» Тауринус сжег.

В 1826 году профессор математики Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) в Казанском университете, где он в то время преподавал, обнародовал свое знаменитое сочинение. В развиваемой им «воображаемой» геометрии утверждалось, что «через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые линии, параллельные ей», а также, что «сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов».

Позднее, в 1840 году*, им была опублико-

* Здесь имеется в виду обзорная работа Лобачевского на немецком языке, опубликованная им в Берлине с целью привлечь внимание математической общественности к своим исследованиям по неевклидовой геометрии. В эту работу входила статья «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», которая была прочитана Лобачевским еще 12 февраля 1826 года на заседании физико-математического отделения Казанского университета. Однако в то время она не была опубликована. Позднее статья вошла в напечатанную в 1829—1830 годах большую работу «О началах геометрии», которая считается первой публикацией по неевклидовой геометрии.

вана работа «Геометрические исследования по теории параллельных линий». А незадолго до смерти им была написана работа, подводившая итог его исследованиям, — «Пангеометрия».

Фаркаш Бойяи был другом Гаусса еще по Геттингену, и можно полагать, что они обсуждали проблему параллельных линий. Более того, два раза, в 1804 и 1808 году, Бойяи писал Гауссу о трудностях в поиске доказательства постулата о параллельных. Гаусс, обнаружив у него ошибки, ничего не ответил. Ф. Бойяи, устав от безрезультатных поисков ответа на этот трудный вопрос, впал в меланхолию, занялся сочинением стихов и пьес. Его сын, Янош Бойяи, унаследовал от отца интерес к проблеме параллельных линий. Сначала он продолжил исследования отца, но постепенно стал склоняться к мысли о недоказуемости аксиомы параллельных линий. В 1823 году он сформулировал основную идею неевклидовой геометрии и 23 ноября сообщил отцу о намерении опубликовать результаты своих исследований по проблеме параллельных линий: «Я сделал изумительные открытия. Отказаться от них я считал бы невосполнимой утратой. Когда ты прочтешь, дорогой отец, ты безусловно согласишься со мной. Пока я могу сказать только следующее: из ничего я сотворил новый мир», — писал он. Фаркаш Бойяи советовал сыну: «Если исследования действительно завершены, то они должны быть напечатаны как можно скорее. Ибо новые идеи, новые открытия могут произойти одновременно и независимо в разных местах». Его мысль, так это и произошло в действительности, оказалась верной. Именно

в это время Лобачевский в Казани, Гаусс в Геттингене, Тауринус в Кельне также находились у самого порога великого открытия. Однако работа Я. Бойяи не была опубликована до 1832 года. Результаты работы Я. Бойяи увидели свет, когда они были напечатаны в конце книги отца «Тентамен» в качестве «приложения, в котором излагается абсолютно истинное учение о пространстве» (Appendix; scientiam absolute veram exhibens).

Сочинение Лобачевского «Геометрические исследования...» 1840 года стало известно Бойяи в 1848 году. И тогда он предпринял своего рода рывок, стремясь завершить большую работу по теории пространства, задуманную им ранее*. Однако значительная часть этой работы представляла собой нагромождение различных черновых набросков, не до конца осознанных и отработанных мыслей и идей. Его стремление превзойти своего русского соперника осталось неосуществленным.

Истории возникновения неевклидовой геометрии посвящена большая литература. Сегодня является общепризнанным, что Бойяи, Лобачевский и Гаусс одновременно и совершенно независимо друг от друга открыли неевклидову геометрию. Но, поскольку благодаря убежденности и смелости мысли Бойяи и Лобачевский сочли возможным опубликовать свои труды, честь открытия принадлежит в первую очередь им.

Вспомним, Саккери в своих построениях рассматривал три отдельных случая в зависи-

* Мысль о большой работе, посвященной переработке основ математики, появилась у Я. Бойяи еще в период публикации его Appendix's.

мости от величины угла. Между тем Бойяи, Лобачевский и Гаусс рассматривали в неевклидовой геометрии только случай острого угла. Вызывает лишь чувство удивления, что они не рассматривали случай тупого угла, когда сумма внутренних углов треугольника становится больше суммы двух прямых углов и длина прямых линий становится конечной.

Это было рассмотрено Риманом (1826— 1866). О его новой геометрии на сферической поверхности, где любые две прямые линии пересекаются, стало известно в 1854 году. Труды Римана были опубликованы после его смерти, в 1866 году*.

Часто встречающиеся в литературе названия геометрии Лобачевского — «гиперболическая», геометрии Римана — «эллиптическая», а евклидовой геометрии — «параболическая» принадлежат Клейну.

Остановимся вкратце на опытах, которые проводил Гаусс. Согласно основному положению гиперболической геометрии сумма внутренних углов треугольника меньше суммы двух прямых углов. Поэтому, чтобы выяснить, какова геометрия реального пространства, Вселенной — гиперболическая, эллиптическая или параболическая, следовало бы ответить на вопрос, какова сумма внутренних углов треугольника. Тем самым вопрос о том, какова геометрия Вселенной, ставится на естественнонаучную основу. Известно, что Гаусс, будучи научным руководителем астрономиче-

* Первое сообщение об эллиптической геометрии Б. Риман сделал в своей знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854), которая была напечатана через год после его смерти (1867).

ской обсерватории, проводил измерения углов треугольников, поднимаясь на три горные вершины*. Однако он не в полной мере отдавал себе отчет в том, сколь значительны неизбежные погрешности этих измерений.

История неевклидовой геометрии здесь изложена достаточно подробно. Трудно тем не менее переоценить то воздействие, которое оказала она во всем мире на расширение научных горизонтов, углубление взглядов на основания математики, на естественнонаучное мировоззрение.

Излагая историю вопроса, мы придерживались главным образом книги Соммервилля «Элементы неевклидовой геометрии» (Лондон, 1914 г.).

§ 2. О содержании гиперболической геометрии

Гиперболическая геометрия (или геометрия Лобачевского) обладает известными особенностями, о которых уже говорилось выше. Как и евклидова геометрия, она строится на аксиоматическом фундаменте. Система аксиом гиперболической геометрии отличается от евклидовой аксиоматики в одном: в качестве аксиомы о параллельных берется положение о том, что «через точку, находящуюся

* Так как в неевклидовых геометриях отклонение суммы углов треугольника от 180° тем заметнее, чем больше его размеры, то Гаусс пытался уловить это отклонение, проводя при помощи световых лучей измерения очень больших треугольников, образованных вершинами соседних гор.

вне прямой, можно провести две прямые линии, параллельные ей». Из этой аксиомы шаг за шагом геометрически (синтетически) выводятся другие свойства этой геометрии.

Гиперболическая геометрия в отличие от проективной геометрии рассматривает фигуры вместе с их мероопределением и, подобно евклидовой геометрии, имеет абсолютную единицу измерения углов в виде развернутого угла, равного двум прямым углам. Математическое определение параллельных линий на гиперболической плоскости формулируется следующим образом: прямые АА' и ВВ' (рис. 46) считаются параллельными, если они удовлетворяют трем условиям:

1) прямые АА' и ВВ' находятся в одной плоскости;

2) прямые АА' и ВВ' не пересекаются;

3) если внутри угла АВВГ провести прямую через точку ß, то она обязательно пересечется с прямой АА'.

Затем формулируется аксиома: через точку О, находящуюся вне прямой линии /, можно провести две прямые OL и ОМ, параллельные прямой I.

Опустим из точки О на прямую / перпендикуляр ON (это можно сделать, не применяя постулат о параллельных прямых). Если поло-

Рис. 46

жить, что ON = р, то величина угла NOL, оказывается, зависит от величины р. Назовем этот угол углом параллельности и обозначим его через л (р). л (р) непрерывно меняется в в зависимости от изменения величины р. Если р стремится к бесконечности, то я (р) стремится к нулю, если же р стремится к нулю, то я (р) стремится к прямому углу. При этом я (р) остается всегда меньше прямого угла. Параллельные прямой линии / прямые OL и ОМ разбивают семейство прямых, проходящих через точку О, на следующие две группы: на группу прямых, пересекающихся с / = АА\ и на группу расходящихся с ней прямых.

Давайте постараемся эти необычные (или, вернее, считающиеся необычными) построения понять на другом рисунке, более доступном для непосредственного восприятия. Возьмем на проективной плоскости кривую линию Г второго порядка. Находящиеся внутри кривой Г точки назовем действительными, а находящиеся вне — идеальными. Далее, в качестве гиперболической плоскости будем рассматривать множество лишь действительных точек.

Рис. 47

Идеальные точки в этом случае не рассматриваются. Кривую Г второго порядка называют абсолютом, а ее точки—бесконечно удаленными. Прямые AQ и AQ' (рис. 48) не пересекаются с прямой QQ' в действительной точке, но пересекаются в точках абсолюта. В конструируемой нами модели неевклидовой плоскости прямые Ail и AiY играют роль параллельных к QQ' прямых, проходящих через точку А. Прямая же AB пересекается с ÙQ' в идеальной точке, и в гиперболической геометрии она представляет прямую, расходящуюся с QQ'.

Среди проективных преобразований проективной плоскости выделим те, при которых абсолют переходит в себя. Вообще говоря, при проективных преобразованиях овальная линия Г переходит в другую овальную линию второго порядка, однако мы выбираем только те преобразования, при которых Г—>Г. Область внутри Г переводится в себя, и дело, таким образом, можно свести к проективному преобразованию в себя ограниченной части плоскости. В проективной модели гиперболической

Рис. 48

геометрии эти преобразования играют роль движений. Напомним здесь, что аффинное преобразование представимо проективным, при котором преобразуется в себя некоторая прямая на проективной плоскости.

Обозначим преобразование, сохраняющее кривую Г, через /, точку на Г — через Й, а две прямые линии, пересекающиеся в точке Q, — через / и m, и пусть / (il) = Q'. Тогда прямым / и m соответствуют прямые /' и т\ которые пересекаются в точке S.2', т. е. параллельные прямые переходят в параллельные.

Общая идея параллельности на проективной модели ясна из рис. 49, но гиперболическая геометрия — это геометрия, в которой присутствует также и расстояние. Как определить расстояние между точками так, чтобы при проективном соответствии фигур оно сохранялось. Это было сделано Ф. Клейном, который определил расстояние между точками А и В (рис. 50) по формуле

Эта формула, известная под названием «мет-

Рис. 49

рика Кэли», была введена в математику английским ученым А. Кэли (1821—1895). Клейну же, который знал эту формулу, пришла в голову идея применить ее в качестве определения расстояния в проективной модели неевклидовой геометрии*.

На проективной плоскости отсутствует такое мероопределение, как длина, и так называемое ангармоническое, или сложное, отношение четырех точек вводится при помощи понятия отношения отрезков. Понятие ангармонического отношения встречается в. работах по евклидовой геометрии, но в евклидовом случае оно определяется при помощи длин отрезков. Естественно, введение такого отношения в проективной геометрии имеет свои

Рис. 50

* Ангармоническое отношение четырех точек положительно, если обе точки Р, Q лежат внутри или (как в нашем случае) вне отрезка AB. Заметим, что в случае проективной прямой, так как она замкнута, следует говорить вместо «внутри или вне отрезка AB* «пары AB и PQ друг друга не разделяют на этой прямой».

особенности. К сожалению, из-за недостатка места мы вынуждены отказаться от подробного изложения этого материала.

Ангармоническое отношение четырех точек замечательно тем, что оно не меняет своей величины при проективных преобразованиях. Следовательно, если при проективном преобразовании / : Г—*Г точки Л, В, Р, Q преобразуются в А', В', Р', Q', то

Таким образом, при преобразовании / сохраняется расстояние, введенное на модели гиперболической плоскости. В соответствии с этим определением длины dis (Л, Р) = оо.

И все же точкам, лежащим на абсолюте, несмотря на их бесконечную удаленность, в гиперболической геометрии уделяется особое внимание.

Можно показать, что данное определение длины удовлетворяет обычным условиям расстояния. Например, для трех точек Л, ß, С, расположенных на одной прямой, справедливо

Аналогично этому Клейн также доказал существование эллиптической геометрии — другого варианта неевклидовой геометрии.

Рис. 51

§ 3. Эрлангенская программа Клейна

В октябре 1872 года Клейн в возрасте всего лишь 23 лет был приглашен на работу в должности профессора университета в городе Эрлангене. Если предоставить слово самому Клейну, он мог бы сказать следующее: «Кроме публичных лекций, которыми вступающий в профессорскую должность как бы представляется своим коллегам, я, следуя установившейся традиции, к моменту вступления подготовил программу (Клейн действительно подготовил программу, в которую он включил план исследований и изложил взгляды на те разделы науки, которые он выбрал для предстоящей работы). Эта традиция хороша, даже если она не преследует других целей, кроме той, как показать, с какими идеями вступает в новую должность молодой профессор. В этот момент необходимо поделиться своими мыслями, взглядами, пусть даже не совсем зрелыми. Что касается меня, то я с публичной лекцией выступил 7 декабря. В ней я рассказал об основных идеях, составляющих канву моих исследований; текст своей программы я передал аудитории».

Клейн написал эту программу в октябре 1872 года, однако ее основные идеи были подготовлены еще в 1871 году. Здесь мы попытаемся дать краткое изложение основных положений программы. В программе Клейна обсуждался вопрос о значении групп не только тех геометрических преобразований, которые затронуты в этой книге, но и наиболее общие взгляды на важность теории групп преобразований вообще.

Рассмотрим множество всех проективных преобразований проективной плоскости Р2. Это множество есть группа — группа проективных преобразований. Из этой группы можно выделить те или иные специальные преобразования. Например, все те проективные преобразования, при которых остается инвариантной некоторая фиксированная прямая линия. Множество этих преобразований также является группой — группой аффинных преобразований. Эта группа есть часть, или, как еще говорят, подгруппа группы всех проективных преобразований. Другим примером может служить подгруппа проективных преобразований, переводящих в себя некоторую кривую второго порядка. Это группа либо гиперболических, либо эллиптических преобразований.

Евклидова геометрия, с клейновской точки зрения, — это та геометрия, которая располагает группой конгруэнтных преобразований, что соответствует всем тем проективным преобразованиям, относительно которых инвариантна кроме прямой некоторая пара (комплексных) точек на ней. Клейн называл эту геометрию также параболической.

Координаты точки на проективной плоскости определяются тремя числами (хи х2у хъ). Любая тройка чисел за исключением случая (О, 0, 0) представляет собой однородные координаты, то есть две тройки чисел, такие, что Х\ : х2 : хъ = х'\ : х'2 : *'3, задают одну и ту же точку на проективной плоскости.

Аналитический метод описания имеет свои преимущества: введя систему координат, можно написать уравнения инвариантных кривых второго порядка (абсолютов):

в случае гиперболической геометрии —

в случае эллиптической геометрии —

в случае параболической геометрии —

Следует особо подчеркнуть, что в каждом из этих трех случаев можно подобрать такую метрику, которая инвариантна относительно преобразований из соответствующей группы. Таким образом, геометрия разветвляется на отдельные виды в соответствии с той или иной группой преобразований. Задача каждой области геометрии состоит в изучении свойств, инвариантных относительно соответствующей группы преобразований. В этом заключена основная мысль программы Клейна.

Если для каждой из групп преобразований, которые соответствуют вышеупомянутым видам геометрии, обозначить условным знаком ZD факт включения ее как подгруппы в группу проективных преобразований, то схематично это выглядит следующим образом:

группа проективных преобразований

группа аффинных преобразований

группа гиперболических преобразований

группа эллиптических преобразований

группа конгруэнтных преобразований

В этом смысле можно сказать, что «проективная геометрия — это вся геометрия».

Часть вторая

Глава 5

История возникновения топологии

§ 1. О термине «топология»

Термин «топология» происходит от греческих слов «топос» (расположение) и «логос» (учение, наука). Введением этого слова математика обязана Листингу (1808— 1882), который результаты своих исследований собрал в работе «Начальные исследования по топологии» (1847 г.). Листинг определял топологию как область математики, в которой изучается расположение в пространстве точек, линий, плоскостей, а также развиваются методы исследования фигур, их формы и взаимное расположение.

Следует сказать, что некоторые идеи, относившиеся к новой области геометрического анализа, были высказаны еще Лейбницем (1646—1716) в его работе «Analysis Situs».

Этот термин употреблялся на протяжении длительного периода, и вплоть до XX века выходили труды под названием «Analysis Situs», например, книга Веблена (1880— 1960).

Общепризнано, что создателем топологии является Анри Пуанкаре (1854—1912). На рубеже XIX—XX веков он опубликовал большой цикл работ, заложивших основу топологии. Одна из них озаглавлена «Analysis Situs».

Кстати, и у Гаусса в цикле его геометрических исследований также есть работа «Geometry Situs» («Геометрия положения»).

§ 2. Содержание топологии

Как уже отмечалось, зарождение топологии связано с идеей Лейбница о существовании новой геометрии, которую он называл геометрией положения. Однако в настоящее время трудно точно определить, каково было конкретное содержание этой идеи. В письме Гюйгенсу (1629—1695) осенью 1679 года Лейбниц писал: «Я полагаю, что в отличие от алгебры, имеющей дело с величинами, необходима какая-то новая дисциплина, непосредственно исследующая задачи геометрии положения». В дальнейшем он стал называть этот раздел «Analysis Situs».

Гюйгенс, получив письмо, не мог понять новой идеи и в ответном письме Лейбницу писал: «В твоих рассуждениях я не вижу ничего особенного, что заслуживало бы внимания». Однако, поскольку Лейбниц не отказался от своих взглядов и по-прежнему настаивал на правомерности и необходимости существования науки Analysis Situs, Гюйгенс в конце концов в другом письме ответил ему: «... необходимы реальные примеры, которые могли бы развеять мое недоверие к новой области науки». Лейбниц не привел каких-либо конкретных примеров и, высказавшись в сократовском духе: «Он еще зелен», прекратил исследования в analysis situs. Несомненно, что не случайно Лейбниц верил в существование гео-

метрии положения, однако эта идея у него была еще не вполне определенной и ясной.

Только у Эйлера analysis situs получил свое первое конкретное воплощение в виде известной задачи о кенигсбергских мостах и теоремы Эйлера о многогранниках.

В 1736 году Эйлер решил задачу о кенигсбергских мостах. Представляя ее читателю, он писал: «Задача, подобная этой, видимо, относится к «геометрии положения», о которой говорил Лейбниц». Она заключается в следующем. В Кенигсберге было семь мостов.

Можно ли было пройти по всем этим мостам, причем по каждому из них лишь один раз, и вернуться в начало пути. Эйлер установил невозможность положительного решения этой довольно простой задачи.

В другой известной работе Эйлера содержится найденная им в 1752 году формула для многогранника (формула Эйлера). Эта формула часто применяется в математике: ао — — ai + а2 = 2, где ао обозначает число вершин, ai — число ребер и а2 — число граней многогранника. Формула по своей сути никак не связана с величинами таких параметров

Рис. 52

многогранника, как длина ребер или величина углов. Она устанавливает вполне определенное соотношение между числами вершин, ребер и граней в произвольном многограннике. Именно тем и замечательна теорема Эйлера, что она устанавливает такое свойство многогранников, которое никак не зависит от их метрики. Эта идея, пронизанная мыслью Лейбница, впоследствии была воспринята и развита такими математиками, как Кэли, Мёбиус и другие.

Заметим, что это соотношение Эйлера было известно еще Декарту, который, однако, при доказательстве использовал такие метрические элементы, как величина углов многоугольников. Доказательство же Эйлера замечательно тем, что в нем метрические величины оказались ненужными.

Через сто лет после Эйлера Листинг и другие математики обобщили содержание этой теоремы. Например, была получена аналогичная формула не только для многогранника, но и для тора, который показан на рис. 53.

Если число вершин равно а0, число ребер аь a число граней и2, то в случае тора формула имеет вид осо — ai -\-а2 = 0. Затем спустя еще 60 лет, уже в XX веке, эта теорема была обобщена до так называемой формулы

Рис. 53

Эйлера — Пуанкаре, относящейся к сложным многогранным фигурам общего вида.

В топологии XVIII века хотя и можно перечислить несколько работ, заслуживающих внимания, трудов, имеющих принципиальное значение и относящихся к этому периоду, нет. Среди тех, кто внес вклад в развитие топологии в начале XIX века, выделяется Гаусс. Гаусс был крупнейшей фигурой не только в области математики, но и в области физики. Он получил фундаментальные результаты в различных областях математики—алгебре, теории чисел, геометрии. Как мы уже отмечали, он был одним из первооткрывателей неевклидовой геометрии. В то же время у Гаусса есть несколько работ, которые можно отнести к топологии. Наиболее ранняя из них — это работа 1794 года, посвященная вопросу о пересечении кривых линий. Другие его более поздние исследования касаются таких вопросов, как форма кривых линий, их строение и взаимное расположение. О том, какое важное значение он придавал геометрии положения и какие большие надежды на нее возлагал, можно судить по некоторым его высказываниям. В 1799 году Гаусс представил докторскую диссертацию, в которой излагалось доказательство основной теоремы алгебры. Касаясь в ней вопроса о взаимном расположении кривых линий на плоскости, он заметил, в частности, что «доказательства, которые строятся на основе геометрии положения, более сжаты и ясны, чем доказательства, вытекающие из положений геометрии величин».

В одном из писем от 1802 года Гаусс писал, что при дальнейшем исследовании «на этом малоизведанном направлении могут от-

крыться перспективы развития исключительно интересного раздела великой науки математики», из чего, безусловно, видно, какие большие надежды он возлагал на эту область геометрии. Во вступлении к своему сочинению «Вычисление коэффициентов зацепления кривых линий», которое датировано 1833 годом и является весьма характерным для его исследований по топологии, Гаусс, в частности, писал: «В области геометрии положения, основные черты которой были предугаданы Лейбницем и где только нескольким геометрам, таким, как Эйлер и Вандермонд (1735—1796), удалось завершить несколько достойных внимания работ, на протяжении почти полутора веков мы не имеем по существу никаких достижений. В этой области, где пути геометрии положения и геометрии величин идут рядом, одной из существенных проблем является, вероятно, проблема вычисления коэффициентов зацепления двух кривых линий». В проблеме коэффициентов зацепления речь идет о взаимном расположении двух замкнутых кривых в пространстве, как это, например, показано на рис. 54.

Рис. 54

Коэффициент зацепления кривых с и с\ расположенных слева, равен 0, а кривых справа, с, с',— равен 1. На правом рисунке любая кривая поверхность F, ограниченная контуром с, обязательно пересечет с'. Гаусс вычислил коэффициенты для этого случая, используя систему координат и методы аналитической геометрии. Однако здесь можно вычислить коэффициент зацепления и не прибегая к аналитическим средствам, а только с помощью топологических методов. Можно сказать, что если теорема Эйлера относится к выявлению свойств фигур, то результат, полученный Гауссом, имеет отношение к их взаимному расположению.

Под влиянием Гаусса активные исследования в области топологии вели Мёбиус, Листинг, Риман.

Мёбиус, переехав в Геттинген в 1813 году, долгое время работал под руководством Гаусса в астрономической обсерватории. Исследования Мёбиуса в основном относятся к теории поверхностей. Например, он определил, чем замкнутые кривые линии на поверхности тора отличаются от замкнутых кривых на сферической поверхности. Он первым исследовал знаменитый, так называемый «лист Мёбиуса»

Рис. 55

и занимался изучением свойств ориентируемых поверхностей.

Поверхность сферы и поверхность тора, будучи ориентируемыми поверхностями, имеют «лицевую» и «оборотную» стороны, однако у «листа Мёбиуса» нельзя провести различие между сторонами, поэтому такие поверхности стали называть односторонними. Насекомое, ползущее по такой кривой поверхности и «считающее» данную сторону лицевой, продолжая свой путь, приползет в исходную точку, но с обратной стороны. Помимо «листа Мёбиуса», неориентируемой поверхностью является также проективная плоскость.

Листинг в 1836 году писал, что он, «стремясь изучить геометрию расположения, многое узнал и открыл в период практических исследований в геттингенской обсерватории благодаря общению с Гауссом». Листингу принадлежит постановка задачи о расположении в пространстве замкнутой кривой линии (проблема узлов). Замкнутую кривую, расположенную в пространстве, так, как это изображено на рис. 56, невозможно распутать в окружность, поскольку ее положение в пространстве существенно отличается от расположения окружности. Проблема узлов — это топологиче-

Рис. 56

екая задача, она чрезвычайно сложна, и сейчас еще далеко до ее полного решения.

Листинг, как и Мёбиус, начиная примерно с 1858 года, приступил к исследованию кривых поверхностей и, так же, как и Мёбиус, открыл неориентируемые кривые поверхности. В дальнейшем исследования привели его к более широкому аналогу теоремы Эйлера для любых поверхностей. А вместе с Гауссом он пришел к открытию общего понятия связности кривых поверхностей.

Таким образом, математики, группировавшиеся вокруг Гаусса, занимаясь систематическими исследованиями по теории поверхностей, внесли значительный вклад в эту область геометрии. В 1851 году Риман в своей диссертации изложил собственные исследования по так называемым римановым поверхностям. По словам Штеккеля (1862—1919), «мысли Римана были абсолютно оригинальны и самобытны, даже у Гаусса не намечалось столь общей идеи многолистной поверхности». Теория римановых поверхностей явилась важным этапом в разработке общей теории функций. И в настоящее время продолжаются начатые им геометрические и аналитические исследования топологического характера.

Систематические исследования по теории поверхностей продолжались и во второй половине XIX века, пока, наконец, в топологии замкнутых кривых поверхностей не были определены все виды кривых поверхностей. Исследования в этом направлении следом за Риманом и Мёбиусом вели Жордан (1838— 1922), Шлефли (1814—1895) и другие. О классификации кривых поверхностей будет говориться ниже, в главе 6.

Одновременно с развитием теории поверхностей возникло и более общее понятие — многообразие любого числа переменных. Теория многообразий в настоящее время — это не только топологический вопрос; с ней тесно связаны многие вопросы других областей математики. В этом направлении было получено немало фундаментальных теорем топологического характера. О некоторых из них мы расскажем в главе 8. Достижения в исследовании многообразий в XIX веке наиболее заметны в работах Шлефли — 1852 год, Римана — 1854 год, Бетти (1823—1892) — 1870 год. Например, Бетти, который использовал в своей работе аналитические средства, принадлежит введение известной числовой характеристики многообразия (число Бетти).

Наконец, уже совсем недавно вновь заговорили о знаменитой так называемой задаче о четырех красках, на которой мы сейчас остановимся.

Эта задача была поставлена еще в 1850 году Газри*. Суть ее состоит в следующем: условимся при раскраске географической карты соседние страны окрашивать в разные цвета. Страны считаются соседними, если они имеют общую разделяющую их границу; две страны, которые имеют лишь одну общую вершину, соседними не считаются. Вопрос в том, какое количество цветов необходимо и достаточно иметь для такой раскраски.

На до сих пор известных картах, как на

* Первое печатное упоминание (в «Трудах Лондонского математического общества») об этой проблеме, поставленной где-то между 1850 и 1852 годами лондонским бакалавром Френсисом Газри, относится к 1878 году.

плоских, так и на сферических, всегда достаточно было четырех цветов. Однако доказать, что это верно для любой карты, не удавалось. Это обстоятельство приобрело еще более интригующий характер, когда обнаружилось, что аналогичную задачу для карт, нарисованных на более сложных поверхностях (торе и вообще поверхности любого рода, речь о которых будет идти ниже), напротив, удалось решить.

Для произвольной карты, нарисованной на поверхности тора, как правило, необходимо и всегда достаточно семи цветов. Довольно просто доказывается, что для сферы всегда достаточно пяти цветов. После того как задача о четырех красках была представлена для обсуждения А. Кэли, который отметил при этом вероятную сложность ее решения, она стала всемирно известной.

Задача сама по себе проста и доступна, и в прошлом попытки ее решить предпринимались многими. Тем не менее на протяжении ста лет приходилось признавать, что задача все еще не решена. Однако в 1976 году американский журнал «Nature» сообщил, что два математика из Иллинойсского университета— К. Аппель и В. Хэйкен, заставив ЭВМ работать над решением указанной задачи около 1200 часов, получили положительное ее решение*. Ими были опубликованы данные о методе решения этой задачи. Некоторые математики, правда, высказывают сомнение в том, что задача действительно решена. По-видимому,

* Предварительно математики свели решение задачи к перебору большого, но все же конечного числа комбинаций, что и было «поручено» сделать ЭВМ.

убедиться в этом можно лишь постепенно, с течением времени, тем более что практическая проверка правильности решения требует исключительных затрат времени и средств. Решение этой проблемы, которую можно в определенном смысле как труднейшую из самых трудных поставить в один ряд со знаменитой проблемой Ферма (1601 —1665), стало настоящей сенсацией в математической жизни. Однако следует отметить, что задача о четырех красках интересна лишь сама по себе и в теоретическом отношении заметного влияния на топологию оказать, по-видимому, не может*. С другой стороны, предположение Пуанкаре, о котором пойдет речь в главе 8, явилось и серьезной топологической задачей и вместе с тем оказало своим решением большое влияние на теорию в целом.

Глава 6

Топология и теория поверхностей

§ 1. Топология

Можно со всей определенностью сказать, что хотя в XIX веке топология и добилась замечательных результатов в теории поверхностей, на самом деле это был всего лишь период ее зарождения, ее предыстория.

* Справедливости ради надо сказать, что поиски решения проблемы четырех красок стимулировали развитие важной области комбинаторной геометрии — теории графов.

О топологии часто говорят как о геометрии резиновой пленки. Исследования Листинга и об узлах, и о поверхностях — все это геометрия в одном случае замкнутой узкой резинки, в другом—тонкой резиновой пленки. При деформации резина рвется не сразу, она свободно растягивается, сжимается, она эластична. И при таком растяжении или сжатии сохраняются существенные особенности кривых линий и поверхностей. Иначе говоря, в топологии при рассмотрении кривых линий и поверхностей совершенно не учитывается ни длина линий, ни величина углов. Ответ на вопрос о том, какие поверхности топологически эквивалентны между собой, а какие нет, зависит от более глубоких их свойств.

На рубеже XIX—XX веков топология наряду с исследованием поверхностей добилась благодаря усилиям Кантора и главным образом Пуанкаре серьезных успехов в создании теоретического фундамента. Правда, теория Кантора, как мы знаем, изучает множество лишь с точки зрения возможности приведения их во взаимно однозначное соответствие. В его теории единственным отличительным признаком множества в безграничном мире множеств является его мощность. Канторовская классификация множеств довольно грубая, до познания истинных свойств фигур здесь далеко, и геометрия не может быть построена только на ней. С канторовской точки зрения, оказываются эквивалентными между собой, например, множества точек отрезка прямой и квадрата, и поэтому невозможно провести различие между множествами даже относительно их размерности.

Напомним, что множество всех точек целых

чисел N = {1, 2, ..., м, ... } и множество всех чисел l/n M = {1, 72, ••• > 4ni } с теоретикомножественной точки зрения эквивалентны, поскольку между ними, как мы уже говорили раньше, существует взаимно однозначное соответствие / : п—>1/п. Однако если посмотреть на расположение точек на прямой линии, то здесь мы имеем совершенно разные картины. Так, когда п принимает сколь угодно большие целочисленные значения, то соответствующие точки в M сколь угодно близки к 0. Последовательность M = {1, 7г> Vtt} сходится к 0, а точка 0 является предельной точкой, или, как еще говорят, точкой накопления множества М.

Понятие предельной для множества M точки 0 можно сформулировать иначе: в любой сколь угодно маленькой окрестности точки 0 всегда содержится бесконечная часть множества М. В нашем примере сама точка 0 не принадлежит М. Между тем у множества N предельных точек нет. Это пример того, как два множества, эквивалентные в общей теории множеств, с геометрической точки зрения неодинаковы. Различие между M и N в их

Рис. 57

расположении на прямой находит свое выражение в топологии, хотя и здесь имеются свои особенности. Продолжая эту мысль дальше, нам следовало бы понять, как устроено множество, у которого имеются предельные точки. Пусть множество M есть диск (рис. 58). Любая его граничная точка Р, а также любая внутренняя точка Q являются предельными точками этого множества. Во множестве M можно указать последовательности точек Рь ..., РПУ ... и Qu ..., Qny ..., соответственно сходящиеся к Р и Q.

Сходится ли та или иная последовательность точек? Если да, то к какой точке? Принадлежит ли множеству предельная точка? Все это вопросы топологии, и подобные отношения между точками множества составляют его топологическую структуру. Топологическое различие двух множеств есть не что иное, как различие их топологических структур.

Говоря подробнее о различных топологических структурах точечных множеств, следует

Рис. 58

в качестве примера отметить, что множество дробных чисел M = {1, 1/2, ... , 'М, ... } и образованное путем добавления к M точки О (предельной точки) множество точек Мх = = M U{0} топологически будут отличаться друг от друга. Причина состоит в том, что множеству M его предельная точка не принадлежит, в то время как в множестве Mi эта точка содержится.

Рассматриваемые в топологии множества точек обычно называют пространством. Под пространством здесь понимают не только трехмерное пространство, то есть пространство с тремя координатами; множество точек только с одной координатой тоже является пространством— одномерным. Множество всех точек прямой R\ как, впрочем, и множество N всех натуральных чисел 1, 2, 3, ... , содержащееся в но рассматриваемое само по себе, независимо от /?',— это примеры пространств. Если же принимать во внимание, что N содержится в /?', то о N говорят как о подпространстве пространства /?'. Если в пространстве так или иначе выявлена топологическая структура, то такое пространство называют топологическим.

Рассматривая в связи с топологическими вопросами понятие предельной точки, мы использовали (без объяснения) понятие окрестности, хотя логичнее было бы сначала дать определение этого термина. Популярная интерпретация понятия окрестности сводится к тому, что это множество точек, близко расположенных к данной точке.

Так, на евклидовой плоскости R2 можно определить е-окрестность точки О, где е — положительное число как множество всех точек

плоскости /?2, расстояние которых до О меньше е. Варьируя значение е, можно получить много вариантов е-окрестности для каждой точки. В действительности понятие окрестности является фундаментальным в топологии. Так, для того чтобы множество А можно было рассматривать как топологическое пространство, необходимо определить для каждой точки Р множества А систему окрестностей, которая, разумеется, должна удовлетворять нескольким условиям. Если в евклидовом пространстве выбрать множество А точек, то в качестве системы окрестностей точки Р достаточно взять систему (Р)}> где г пробегает положительные рациональные и иррациональные числа. Теперь, когда имеется представление об окрестностях, данное ранее определение предельной точки становится ясным.

Исходная идея всей топологии заключается прежде всего в концепции непрерывности. Непрерывность является абсолютно необходимым теоретическим фактором математического анализа, который рассматривает функции /(*), непрерывно зависящие от х. Здесь уместно подчеркнуть, что о непрерывности функции f(x) можно говорить лишь на основании

Рис. 59

того, что числовая прямая R1 рассматривается в конечном счете как пространство, наделенное топологической структурой.

Рассмотрим понятие непрерывного отображения.

Направленное из топологического пространства А в топологическое пространство В непрерывное отображение / должно по определению удовлетворять следующим двум условиям:

1. Каждой точке х пространства А соответствует одна и только одна точка у в пространстве В: у = f (х) (условие отображения).

2. Если в пространстве А последовательность точек хи *2> ••• , Хп ... сходится к точке я, то соответствующая в пространстве последовательность точек / (xi), f (х2), f (*„), ... сходится к точке / (х), которая соответствует точке X пространства А при отображении /.

Поясним это несколькими примерами.

А). Для упоминавшихся выше числовые множеств рациональных чисел M = {1/п \ п = = 1,2, ...} и M' = M U {0} можно построить соответствие / : M—*М' следующим образом: / (1/п) = 1/п. Такое отображение является непрерывным. И хотя пространство M не содержит предельную точку 0, которая содержится

Рис. 60

в М\ в данном случае это не имеет значения Если же строить обратное соответствие М'—*М по формуле g : 1/п—*l/nt то нужно попытаться найти в M точку g (0), соответствующую 0, которая содержится в М'. Так как M не содержит 0, то какое бы в качестве g (0) число г (г Ф 0) ни взять, отображение g не будет удовлетворять указанному выше условию (2).

Б). Действительная функция f (х) представляет собой отображение некоторого подмножества числовой прямой пространства /?' в пространство опять же R1:

Если на оси координат Ох откладывать значения ху а на оси Oy — значения f(x)y то мы получим множество точек (jc, f(x)) — график функции f(x) (рис. 61 и 62).

Если график f{x)y как это показано на рис. 62, претерпевает разрыв при значении jc, то соответствующая сходящейся к х последо-

Рис. 61 Рис. 62

вательности точек Х\у ... , х п (см. рис. 62) последовательность f(x\)> ... , f(xn) на оси Oy также является сходящейся, однако ее предельная точка не совпадает с f(x). Здесь нарушено условие (2) непрерывности. Другими словами, функция f(x) в точке х не является непрерывной.

Такой важный момент, как формулировка условия непрерывности, на протяжении продолжительного периода являлся предметом многочисленных математических исследований. Но если говорить о непрерывном отображении попросту, то можно сказать, что точка, близкая к точке Ху преобразуется в точку, близкую к соответствующей точке f(x). В топологии идея непрерывности непосредственно трансформируется в имеющий фундаментальное значение вопрос о топологическом отображении.

Два топологических пространства А и В называются гомеоморфными, если для некоторого точечного отображения / : А—*В выполняются следующие два условия:

1. / представляет собой взаимно однозначное соответствие (A и В эквивалентны как множества).

2. Как соответствие /, так и обратное соответствие f~l непрерывны (условие взаимной непрерывности).

Способ выбора соответствия / при этом не является единственным. Но даже если известно только одно такое соответствие, то мы все равно имеем дело с топологической эквивалентностью пространств Л и В, или, как еще иначе говорят, гомеоморфизмом пространств.

К примеру, поверхность тетраэдра и сферы гомеоморфны. Точки Р и Р' этих поверхно-

стей можно привести в соответствие, как показано на рис. 63. Совершенно ясно, что при этом взаимно однозначном соответствии точке, близкой к Р, соответствует точка, близкая к Р\ и обратно.

В топологии гомеоморфные фигуры (пространства) считаются равными. В связи с этой новой точкой зрения нет различия между сферой и поверхностью тетраэдра. Основной проблемой топологии является вопрос о том, какие фигуры между собой гомеоморфны, а какие — нет. В этом заключена проблема топологической классификации. Следуя идеям Клейна, высказанным в его Эрлангенской программе, можно сказать, что топология является той областью геометрии, которая исследует геометрические свойства фигур, инвариантные при топологических преобразованиях.

Слова «геометрия резинки или резиновой пленки» выражают суть топологии, так как растяжение резиновой пленки без разрывов и есть как раз взаимно однозначное соответ-

Рис. 63

ствие, при котором близкие точки переходят в близкие точки. Ну а раз это соответствие топологическое, то деформирующаяся пленка остается в том же классе топологически эквивалентных фигур.

§ 2. Кривые линии

В предыдущих главах отмечалось, что в XIX веке был полностью исследован вопрос о формах кривых поверхностей в том смысле, что были получены все типы поверхностей, не гомеоморфных между собой. Например, сферическая поверхность не гомеоморфна поверхности тора. Как это доказать? Заметим, что вопрос о существовании соответствия, удовлетворяющего лишь условию взаимной однозначности, целиком лежит в рамках общей теории множеств. И хотя взаимная однозначность непременно сопутствует взаимной непрерывности, однако последнее условие никак не вытекает из первого. Как было отмечено Гауссом и Мёбиусом, между замкнутыми кривыми линиями на сфере и на поверхности

Рис. 64

тора имеются удивительные характерные раз личия. Замкнутая кривая линия с на сферической поверхности S2 разбивает ее на две «части»*, а замкнутая линия с на торе Т2, напротив, не делит эту поверхность на две части, оставляя ее в виде одного связного куска (см. рис. 64). Говоря здесь о связности, мы имеем в виду, что какие бы две точки Я и Q ни взять, их можно соединить линией, которая не пересечется с кривой с. Из этого различия следует, что гомеоморфизм в данном случае, т. е. между поверхностями сферы и тора, не имеет места. Вообще говоря, вопрос о наличии связности или отсутствии таковой по сути своей является топологическим, т. е. не меняющим своего характера при топологическом преобразовании. Топологическая инвариантность свойства связности понятна из интуитивных соображений. Сформулируем ее в виде теоремы.

Теорема 1. Пусть топологические пространства А и В гомеоморфны, т. е. существует топологическое отображение / : А—+В. Если некоторая замкнутая линия с в пространстве А разбивает А на две части, то замкнутая кривая линия f(c) в пространстве В также разбивает В на две части. (Доказательство можно вывести из теоремы 1 в начале главы 7.)

Теперь можно вспомнить о том, что выше, когда говорили о листе Мёбиуса и о проективной плоскости, мы отмечали, что они являются неориентируемыми поверхностями. Это свойство поверхности — быть ориентируемой или.

* «Части» здесь — это компоненты линейной связности.

напротив, неориентируемой — также относится к числу топологических инвариантов.

Теорема 2. Если две замкнутые кривые поверхности F\ и F2 гомеоморфны и одна из них, скажем Fu является неориентируемой поверхностью, то и другая поверхность F2 также является неориентируемой.

Из этой теоремы можно сразу получить, что сферическая поверхность и проективная плоскость негомеоморфны.

Таким образом, чтобы выяснить вопрос о том, являются ли какие-либо две геометрические фигуры гомеоморфными или нет, вовсе не обязательно рассматривать неограниченное число всевозможных вариантов точечных соответствий и выискивать среди них взаимно непрерывные.

Хотя мы весьма легко употребляем здесь слова «кривая поверхность», «кривая линия», следует, однако, отметить, что с математической точки зрения они требуют четкого определения. Строгое определение кривой линии было дано Жорданом в его «Курсе анализа». Впоследствии свойства кривой линии изучались в многочисленных работах. Мы не будем касаться подробностей этих теоретических исследований, а лишь дадим наиболее часто встречающееся определение кривой линии.

Возьмем на числовой оси отрезок, т. е. множество всех чисел, расположенных между двумя какими-то числами, для определенности О и 1. Если обозначить этот отрезок через /, то его образ f(I) при любом непрерывном отображении / называется кривой линией. Благодаря непрерывности две близкие точки отрезка / переходят в две близкие точки кривой /(/). Обозначим образы /(0) и /(1)

концов отрезка через Р и Q. Говорят, что точки Р и Q связаны криволинейным путем. Если f(0)=f(i), то мы получим замкнутую кривую линию.

Приведенное определение кривой линии является чрезвычайно широким: ему удовлетворяют и такие геометрические фигуры, которые с общепринятой точки зрения не считаются линиями. Например, существует кривая линия, которой можно заполнить весь квадрат. Ее называют кривой Пеано (1858—1932)*. Выделим более узкий класс кривых линий, так называемых кривых Жордана. Кривая Жордана — это образ отрезка / при взаимно однозначном и взаимно непрерывном отображении. Другими словами, кривая Жордана — это топологический образ отрезка. Замкнутая кривая линия Жордана, или, как еще говорят, простая замкнутая кривая,— это фигура, гомеоморфная окружности.

Любая окружность на евклидовой плоскости R2 делит ее на две части — внутреннюю и внешнюю. Если взять две точки Р — внутри

Рис. 65

* Часто в топологии кривой линией называют отображение / отрезка в некоторое топологическое пространство, а не его образ. В этом смысле кривая Пеано есть некоторое специальное отображение отрезка на квадрат.

окружности и Q — вне ее, то соединяющий их путь (кривая линия) обязательно по крайней мере в одной точке пересечется с окружностью. Это основано на положении о непрерывности действительных чисел, которое является фундаментальным принципом таких разделов математики, как геометрия, анализ и др.

Жордан установил, что это свойство верно не только для окружности, но и вообще для любой замкнутой кривой Жордана.

Теорема Жордана. Замкнутая кривая Жордана на плоскости делит плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю с общей границей — данной кривой.

Рис. 66

Рис. 67

Доказательство этой теоремы дано в курсе анализа Жордана. Поначалу кажется, что фактическая сторона теоремы Жордана очевидна. В самом деле, рассмотрим произвольную замкнутую жорданову кривую, например, такую, как на рис. 68, и мы видим, что это чрезвычайно просто, ясно... Нет, кажется, эта теорема нуждается в доказательстве. Мы здесь обращаем внимание читателя на то, что теорема безусловно нуждается в доказательстве, более того, это доказательство чрезвычайно сложно.

Имеется много работ, в которых детально рассматриваются свойства замкнутых жордановых кривых. Например, в теореме Шенфлиса (1853—1928) рассматриваются на плоскости R2 окружность С, замкнутая жорданова кривая / и топологическое отображение f : С—Теорема утверждает, что это отображение может быть расширено до топологиче-

Рис. 68

ского преобразования F : R2—*R2 всей плоскости R2. Говоря другими словами, существует топологическое преобразование F : R2—*R2, которое на подмножестве С совпадает с исходным отображением / : С—к/.

Разумеется, интересно знать, какие свойства замкнутых жордановых кривых можно распространить на случай поверхностей. Например, рассмотрим сферическую поверхность S2 в пространстве R3 и гомеоморфную ей поверхность М2. Можно доказать, что поверхность Af2, так же как и сфера, делит пространство R3 на две части — внутреннюю и внешнюю. Однако теорема, аналогичная теореме Шенфлиса, в случае поверхностей не верна. Это можно установить при помощи аналитических средств.

В порядке отступления от темы можно сказать, что теорема Жордана, являющаяся одной из основных теорем математики, довольно часто находит приложения. Однако в университетских курсах доказательство теоремы Жордана обычно опускается. Изложение ее весьма сложного доказательства требует значительного времени; тем, кто интересуется им, советуем обратиться к соответствующим пособиям по математике.

В качестве примера теоремы Жордана можно привести задачу о проведении коммуникаций для газа, электричества и воды.

Расположенные на плоскости (на земной поверхности) три дома Л, fî, С необходимо соединить с тремя центрами снабжения их газом, электричеством и водой так, чтобы коммуникации не пересекались. Как бы три дома ни были расположены, проведение на плоскости коммуникаций указанным образом невоз-

можно. Этот факт, т. е. что соединение неизбежно приводит к пересечению коммуникационных линий, следует из теоремы Жордана.

В трехмерном пространстве R3 указанное соединение трех домов с тремя произвольными точками, как хорошо известно из опыта, возможно. Указанная конфигурация связей представляет собой вложенную в пространство /?3

конструкцию, составленную из отрезков. В топологии существует задача о вложении, частным случаем которой является задача о вложении систем одномерных отрезков в евклидово пространство. Имеется теорема, которая утверждает, что конечная система, состоящая из точек и связывающих их одномерных отрезков, сколь бы сложным строением она ни обладала, всегда может быть вложена в пространство /?3, т. е. размещена без дополнительных пересечений отрезков. Таким образом, это пример того, что может быть реализовано в пространстве и не может быть осуществлено на плоской поверхности.

Рис. 69

§ 3. Кривые поверхности

Головной убор (берет, шляпа) представляет собой кривую поверхность, имеющую край. Поверхность строительной колонны, неограниченно продолженной, не имеет края. Евклидова плоскость R2 не имеет края и представляет собой неограниченную поверхность. Ограниченные, но не имеющие края кривые поверхности, например сферическая поверхность, поверхность тора, проективная плоскость, являются замкнутыми поверхностями.

Замкнутая поверхность — это топологическое подпространство M в евклидовом пространстве, которое, во-первых, ограничено и, во-вторых, любая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной евклидовой плоскости.

Смысл первого условия состоит в том, что исключаются из рассмотрения бесконечно продолжаемые поверхности. Здесь, конечно, следовало бы использовать топологический термин компактность, и условие ограниченности в определении мы употребили для наглядности.

Рис 70

Второе условие отражает основное свойство, присущее любой кривой поверхности. Рассмотрим множество точек плоскости R2, расположенных внутри окружности единичного радиуса.

Топологический образ внутренней части круга называют открытым 2-диском (двумерным диском). Нетрудно показать, что открытый 2-диск гомеоморфен евклидовой плоскости R2. Применяя слово «диск», второе условие можно выразить так:

некоторая окрестность U (х) любой точки X пространства M есть открытый 2-диск.

Ясно, в частности, что множество точек, достаточно близких к точке х, как на сферической поверхности, так и на поверхности тора является открытым 2-диском.

Рассмотрим топологическое устройство проективной плоскости Р2. Как уже отмечалось, проективная плоскость представляет со-

Рис. 71

Рис. 72

бой поверхность, которая получается из сферы отождествлением каждой пары ее антиподальных точек. Поэтому если взять точки верхней полусферы, то необходимость в точках нижней полусферы отпадает. Действительно, поскольку пара антиподальных точек Р и Р' представляет одну точку проективной плоскости, то с тем же успехом ее можно представить одной точкой, например, верхней полусферы. Поэтому вся проективная плоскость может быть представлена только полусферой («котелком»), у которой антиподальные точки экваториальной окружности необходимо отождествить: Q = Q'.

Спроектируем верхнюю полусферу, как это показано на рис. 74, на круг. Очевидно, что точечное соответствие /, устанавливаемое при этой проекции, является гомеоморфизмом. Таким образом, проективная плоскость Р2 гомеоморфна кругу, у которого одна половина а граничной окружности отождествлена с другой полуокружностью. Эта полуокружность

Рис. 73 Рис. 74

является замкнутой жордановой кривой в проективной плоскости. Проективная плоскость удовлетворяет второму условию замкнутой поверхности. Действительно, если два полудиска в окрестности одной точки R (= R') «склеить» по граничной дуге, то получится целый открытый диск (рис. 75).

Объяснение того, что в данном случае мы имеем дело с неориентируемой поверхностью, отняло бы много времени, поэтому мы ограничимся рассмотрением конкретного примера (рис. 76).

Если при помощи стрелки задать ориентацию полудиска в окрестности точки R в направлении, указанном на рис. 76, то и весь диск можно сориентировать в том же направлении. В «полудиске» точки R' это направление согласовано с дугой а. При отождествлении антиподальных точек, в том числе R с /?', при переходе из полудиска /?' в полудиск R направление ориентации меняется на противоположное.

Если на проективной плоскости (рис. 76)

Рис. 75 Рис. 76

взять во внимание только область, ограниченную пунктирными линиями, то легко понять, что это «лист Мёбиуса», являющийся неориентируемой поверхностью. Остальная часть проективной плоскости — это открытый диск. Если вырезать круг из бумаги и попытаться склеить попарно противоположные точки граничной окружности, то мы увидим, что сделать это не удается. Дело в том, что проективную плоскость нельзя расположить без самопересечения в трехмерном евклидовом пространстве. С другой стороны, в топологии существует теорема о том, что любая поверхность может быть помещена без самопересечения в четырехмерном евклидовом пространстве R4. На этом основании можно утверждать, что и проективная плоскость может быть реализована в четырехмерном пространстве.

Рассмотрим теперь устройство тора. Если в прямоугольнике ABCD его противоположные стороны отождествить так, как это показано на рис. 77, то получим замкнутую поверхность, которая и есть тор. Тор можно сделать в пространстве /?3, вырезав для этого прямоугольник из бумаги и склеив его проти-

Рис. 77 Рис. 78

воположные стороны в соответствии с направлением стрелок*. Стороны AD и AB превращаются в замкнутые кривые линии. Точки Л, В, С, D на поверхности тора преобразуются в одну. В то время как замкнутая кривая на сфере по теореме Жордана делит сферическую поверхность на две части, на торе не каждая замкнутая кривая делит его поверхность на части. Это указывает на топологическое различие этих поверхностей. Тот факт, что у разных поверхностей кривые имеют разные свойства, отмечал еще Гаусс. На этом основана классификация замкнутых поверхностей.

В качестве следующего примера возьмем восьмиугольник, попарно отождествив его одинаково обозначенные, как это показано на рис. 79, стороны. В результате получим поверхность кренделя. Это замкнутая поверхность рода 2. Заметим, что тор является поверхностью рода 1, а сфера — поверхностью рода 0. На поверхности рода 2 выделим канонические (см. рис. 80) замкнутые кривые fli» bu #2» b2. В общем случае можно взять ^-сторонник и отождествить по определенному закону его 4#-стороны попарно — au bu ..., ag, bg в соответствующие им канонические 2g замкнутые линии. В результате такого отождествления получается замкнутая ориентируемая поверхность рода g, а отожде-

* Совет клеить тор из прямоугольного листа бумаги, а не из какого-нибудь эластичного материала нельзя признать удачным. Опыт и здравый смысл говорят, что изогнуть в обычном пространстве прямоугольный лист бумаги в поверхность тора невозможно. В то же время методами дифференциальной геометрии установлена возможность склейки тора из прямоугольника с сохранением евклидовой метрики в четырехмерном пространстве.

ствляемым сторонам соответствуют канонические 2g замкнутые кривые. Доказано, что таким образом могут быть исчерпаны все топологические типы замкнутых ориентируемых поверхностей.

Что касается неориентируемых замкнутых поверхностей, то также известно, что существует бесконечно много топологически различных видов. Кроме проективной плоскости, можно привести в качестве примера так называемую «бутылку Клейна». Для этого отождествим попарно стороны четырехугольника, как это показано на рис. 81. Получающаяся фигура представляет собой неориентируемую замкнутую поверхность, которая не может быть реализована в пространстве /?3. Если все

Рис. 79 Рис. 80

Рис. 81

же вопреки, так сказать, логике попытаться построить ее в обычном пространстве, то мы получим нечто с самопересечением, напоминающее по форме бутылку, отсюда и название «бутылка Клейна».

Итак, чтобы получить замкнутую поверхность, нужно взять многоугольник с определенным числом сторон и затем эти стороны по некоторому правилу попарно отождествить. При отождествлении сторон необходимо учитывать взаимное направление сторон. Для замкнутой ориентируемой поверхности рода g обход сторон многоугольника по контуру приводит к такой последовательности:

(2)

где аГ1—это показатель того, что направление обхода противоположно направлению стороны а\.

Рис. 82

При таком способе задания проективной плоскости будет соответствовать двухугольник аа\ «бутылке Клейна» — aba ЛЬ. Мы видим, что для неориентируемых поверхностей некоторые отождествляемые стороны берутся в одинаковом порядке: аа или Ь ... Ь.

Вообще замкнутую неориентируемую поверхность можно представить посредством многоугольника в следующем виде:

а\ а\ а2 а2 ... agag , (3)

где g — род поверхности.

При помощи последовательностей (2) и (3) можно выразить все виды замкнутых поверхностей. Такое представление называют нормальной формой замкнутой поверхности.

Возьмем на поверхности тора замкнутые линии а и ft. С их помощью можно описать все существенно различающиеся между собой замкнутые кривые линии. Например, линия с будет выражена как с = а + Ь (знак плюс не означает обычной суммы).

Объяснить это можно, обратившись к очень важной и общей идее в топологии, именно к теории групп гомологий, речь о которых пойдет в следующей главе. А сейчас мы только заметим, что знак плюс означает операцию сложения в группе гомологий, а равенство а + b = с или а + Ь — с = О означает, что кривая а + b — с ограничивает часть поверхности. Любую кривую на поверхности тора можно представить при помощи а и b формулой

та + nby

где m, п — произвольные целые числа.

Обратившись к проективной плоскости,

можно вспомнить, что линия аа является границей круга. В то же время а хотя и замкнутая кривая, но не является границей какой-либо части проективной плоскости. Поэтому если взять а -f- а = 2а, то получим край проективной плоскости, т. е. 2а = О, хотя а ф 0.

Глава 7

Топологические инварианты

Первостепенной задачей топологии является поиск общих методов, направленных на решение вопроса о том, гомеоморфны ли между собой или нет те или иные топологические пространства. Конечно, вопрос о существовании гомеоморфизма в некоторых конкретных случаях, например, когда в качестве топологического пространства взята последовательность точек M = {\/п\п = 1,2...} или в столь же простом примере с двумерным диском, можно исследовать непосредственно. Однако нетрудно понять, что в общем случае поиск гомеоморфизма двух пространств в процессе последовательного изучения бесконечной цепи непрерывных отображений вряд ли увенчается успехом, даже если на это будет затрачена жизнь. Для того чтобы действительно сделать какой-нибудь вывод, необходимо исследование соответствующих инвариантных свойств с последующим выяснением, обладают ли топологические пространства M и N указанными свойствами. Одним из таких свойств является связность топологического пространства, о чем мы уже упоминали. Если про-

странство M связно, а пространство /V этим свойством не обладает, то сразу можно сказать, что M и N негомеоморфны. Правомерность этого вывода основана на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть пространства M и ЛГ гомеоморфны. Тогда из связности M следует связность пространства ЛГ.

Перевернув утверждение теоремы, можно сказать, что если одно из двух пространств M и ЛР, скажем М, связно, а другое — ЛГ— нет, то Л! и ЛГ негомеоморфны. Свойства, которые неотъемлемо присущи всем гомеоморфным между собой топологическим пространствам, как, например, свойство связности, называются топологическими инвариантами. Выступая с позиций Клейна, можно сказать, что в топологии изучаются те геометрические свойства, которые неизменны при топологических преобразованиях, т. е. топологически инвариантны.

Развитие идей Пуанкаре, относящихся к исследованию сложных геометрических тел— комплексов, привело к созданию особого раздела топологии — теории групп гомологий, которые определяются из геометрических свойств комплексов и являются топологическим инвариантом. Исчерпывающее доказательство того, что эти группы действительно топологически инвариантны, было получено лишь впоследствии. Пуанкаре ввел также фундаментальные группы и установил их топологическую инвариантность. Доказательство того, что эти группы представляют собой топологический инвариант, довольно простое. Об этих группах речь пойдет ниже, в § 1 настоящей главы, здесь мы остановимся лишь

на доказательстве теоремы j о топологической инвариантности линейной связности.

Линейная связность топологического пространства M состоит в том, что для двух произвольно взятых в нем точек Я и Q существует связывающий их путь. Топологическое пространство, содержащее хотя бы две точки, которые нельзя соединить путем, является линейно несвязным.

Доказательство теоремы 1. Чтобы доказать линейную связность пространства ЛГ, нужно для любых двух его точек Р' и Q' установить существование в ЛГ связывающего их пути. M и Л1'-- топологически эквивалентные пространства, т. е. между ними существует гомеоморфизм f : M—>-ЛГ. Ввиду взаимной однозначности отображения / пространства M на все пространство ЛГ точки Р' и Q' имеют в пространстве M по одному прообразу Р и Q:

Предполагая, что пространство M связно, мы тем самым допускаем, что для точек Р и

Рис. 83

Q существует непрерывное отображение g отрезка / = [0,1] = {t | 0 < f < 1} (т. е. множества всех — рациональных и иррациональных— чисел между 0 и 1) в пространство M: g : I—+М, для которого g (0) = Р. g(l) = Q.

Если вслед за отображением g проделать непрерывное отображение /, то в результате получится естественно непрерывное отображение, которое имеет вид:

причем

Это и будет путь, соединяющий Р' с Q'.

При несколько более внимательном рассмотрении этого несложного доказательства, в котором используются определения пути и связности, ясно, что в данной теореме достаточно только непрерывности отображения без требования топологичности. В качестве Р и Q можно взять любые прообразы точек Р' и Q'.

Соответствующая теорема гласит: непрерывный образ связного топологического пространства также связен. Так называемый образ здесь — это преобразованная отображением геометрическая фигура.

§ 1. Группы гомологий

Пуанкаре с целью изучения геометрических свойств фигур рассматривал их как объединение очень простых элементарных

фигур — симплексов. Сложные фигуры, построенные из симплексов, называются комплексами. В евклидовом пространстве /?3 симплексом, имеющим нулевую размерность, является точка, одномерным симплексом — прямолинейный отрезок, двумерным — треугольник (включая его внутренние точки), трехмерным — тетраэдр (включая внутренние точки). Симплексы в пространстве R3 однозначно определяются своими вершинами. Так, например, двумерный симплекс представляется тройкой точек (a0aia2), в то время как трехмерный симплекс — четверкой своих вершин (а0аха2а?).

В случае двух измерений три вершины не должны располагаться на одной прямой, поскольку тогда не получается двумерного симплекса, а в трехмерном случае четверка вершин не должна принадлежать одной плоскости.

Как мы уже говорили, сложная фигура, или комплекс, подобная той, что изображена на рис. 85, представляет собой объединение составляющих ее симплексов, однако она не является чем-то беспорядочно «сваленным в кучу» без каких-либо условий.

Рис. 84

Прежде чем привести это объединение симплексов в систему, обозначим их через х\ (где г — размерность симплекса, a i — номер г-мерного симплекса, поскольку их, вообще говоря, много). Рассмотрим в этих обозначениях приведенный двумерный симплекс: х = = (а0а,а2), тогда х\= (a0ai), xl— (аха2), х\ = = (а2ао) — это одномерные симплексы. Принадлежность каждого из этих симплексов симплексу X2 обозначают через х2 > х\у далее

Условия построения комплекса К следующие:

1) если симплекс хг принадлежит комплексу /С, то комплексу К принадлежит каждый соседний с ним симплекс;

2) если X] и X2 — симплексы, одновременно принадлежащие комплексу /(, то множество их общих точек пересечения также является симплексом, принадлежащим К.

Множество симплексов, удовлетворяющих этим двум условиям, называют комплексом, или геометрическим комплексом. Фигура, изображенная на рис. 86, не является комплексом.

Тетраэдр является симплексом. В то же время множество симплексов на его поверхности, которое наряду с каждым симплексом со-

Рис. 85

держит и соседние с ним симплексы, представляет собой комплекс. Разные симплексы входят в это множество как составные элементы*.

Множество точек всех симплексов, входящих в комплекс, называют полиэдром. Комплекс, состоящий из симплексов, размерность которых не превышает двух, — это по существу дела многогранник. Симплекс с его прямолинейными ребрами и гранями является линейной фигурой. Взять в качестве объекта изучения лишь многоугольники и многогранники — это значит ограничиться рассмотрением весьма узкого класса фигур. Поскольку в топологии гомеоморфные фигуры считаются одинаковыми, то и фигуры — симплексы, — изображенные на рис. 87, можно рассматривать как равные фигуры. Вторая из этих гомеоморфных фигур не является линейной и называется клеткой**. Множество клеток, от-

Рис. 86

* Здесь уместно подчеркнуть, что комплекс — это множество симплексов, а не точек, из которых они состоят.

** В современной литературе часто приводится более общее определение клетки и клеточного комплекса. Под г-мерной клеткой понимают образ г-мерного симплекса при отображении, которое является непрерывным на границе и топологическим внутри симплекса.

вечающее упомянутым выше условиям комплексов (1) и (2), называют клеточным комплексом. Таким образом, наряду с симплициальным комплексом, который состоит из симплексов, при изучении криволинейных фигур рассматривают клеточные комплексы, образованные из клеток. Например, сферическая поверхность гомеоморфна поверхности тетраэдра, которая, как мы видели, является симплициальным комплексом. Благодаря топологическому соответствию этому комплексу соответствует на сфере клеточный, или криволинейный, комплекс.

Хотя клеточные комплексы — комплексы, тем не менее эти геометрические фигуры принадлежат довольно узкому кругу, и в определенном смысле можно сказать, что это простые фигуры. В общем случае топологическое пространство может быть устроено исключительно сложно для восприятия. Можно сказать, что чересчур сложные фигуры возникают в основном в бесконечных конструкциях, исследование которых относится порой уже к области патологии. Мы коснемся этого позже. Теорию же комплексов можно считать доста-

Рис. 87

точно доступной, поскольку составляющие их элементы — это симплексы. Тем не менее их геометрические свойства имеют глобальный характер, структура комплексов достаточно сложна, и их исследованию в настоящее время посвящена специальная область топологии.

Для изучения комплексов Пуанкаре ввел группы гомологий, определение которых основано на так называемом отношении инцидентности, т. е. на знании того, входит или нет какой-нибудь один симплекс в состав границы другого симплекса. Как отмечалось, граница двумерного симплекса (а0аха2) состоит из трех одномерных симплексов (аха2), (ä2a0), (а0а{). Переходя к трехмерным симплексам, прежде всего необходимо задать ориентацию симплекса, которая определяется очередностью (порядком указания) их вершин, например, (а0а\а2аг).

Если изменить порядок вершин следующим образом: (а\а0а2а^), то в результате получим симплекс с противоположной ориентацией (противоположного знака): (а\а0а2а^) — = — (а0а\а2аз).

Рис. 88

Если же изменить порядок еще раз, то знак меняется на прежний: (аха2а0а3) = = — (аха0а2а3) = (ДоД^Дз).

В качестве границы ориентированного тетраэдра (а0аха2а3), по определению, берется следующая комбинация четырех ориентированных двумерных симплексов: д(а0аха2аъ) = — (я^Дз) — {аоа2аъ) + (а0аха3) — (а0аха2).

Знак суммы (или разности) здесь, разумеется, не является знаком обычной суммы (или разности) чисел. В данном случае он означает ориентацию, с которой входит в границу тетраэдра та или иная его двумерная грань. Дальше мы увидим, что этот знак будет символизировать операцию сложения в группе.

Определение границы д несколько облегчается, если ввести следующее выражение:

где âi означает, что вершина ai исключена, т. е. (—1)' (a0...ât ... а3) означает двумерный граничный симплекс, лежащий против вершины ai с ориентацией, зависящей от того, на каком (четном или нечетном) месте находится ai.

Теперь, опираясь на понятие границы д, можно определить группу гомологий комплекса К. Мы видим, что определение границы д симплекса по своему содержанию формально: в нем не рассматриваются множества точек, из которых состоят симплексы, речь идет только о последовательностях (а0... аз) с поочередно выкинутыми вершинами.

Говоря о комплексе как о множестве симплексов, из которых он состоит, мы учитыва-

ем одновременно и их инцидентности, полагая при этом хг> хг;-\ если (г— 1)-мерный симплекс х\~х входит в состав границы симплекса х\. Отношение инцидентности порождает во множестве симплексов упорядоченность. Следует отметить, что на этом пути были построены абстрактные структуры, в частности, структуры, состоящие из абстрактных симплексов с абстрактным отношением инцидентности. Останавливаться на этом сейчас мы не будем. Прежде чем исходя из комбинаций входящих в комплекс симплексов строить группы гомологий, следовало бы сначала познакомиться с общематематическим понятием группы, в частности с понятием коммутативной (абелевой) группы. Однако детальное знакомство с группой в рамках этой книжки довольно затруднительно, и представление об этом важном математическом понятии, которое является, по мнению многих, трудным для понимания, здесь будет дано на конкретном примере.

Рассмотрим (рис. 89) замкнутую ломаную из семи прямолинейных звеньев: сх = (a0ûi) + + (ûia2) + ... + Ka0).

Придадим каждому одномерному симплексу направление при помощи вершин и определим его границу.

Мы имеем: де1 = ä(a0al)-f...-)-(?(а6а0) = = (аО — (а0) + (а2) — (ах) + ... + (а0) — - (а6) = 0.

Разумеется, что в данном случае знак сложения и знак вычитания не означают обычных операций сложения и вычитания. Ранее в § 2 главы 6, говоря о замкнутых кривых линиях на торе и упоминая при этом о сложении, мы также вкладывали в это смысл опе-

рации в некоторой абелевой группе. Формальная сумма симплексов одной и той же размерности называется цепью. Символ 0 в формуле: (а0) — (а0) =0 — это тоже не обычный ноль в числовом ряду. Он представляет собой нулевой элемент абелевой группы.

Цепь, граница которой равна 0, называется циклом. Так, выше упоминавшаяся одномерная цепь с] является циклом. Если цикл сх в то же время является границей некоторой двумерной цепи, то говорят, что он гомологичен нулю и обозначают с1 « 0. Хотя в нашем случае цикл с] гомологичен нулю, сам по себе он не является нулевым элементом. Поэтому здесь используется знак приближенного равенства.

Напишем для комплекса на рис. 89 двумерную цепь следующего вида:

Вычислим его границу:

Рис. 89

Отсюда заключаем, что цикл сх является границей де2 цепи с2, т. е. ив самом деле сх « 0. Если говорить более наглядно, то замкнутая кривая линия сх гомологична нулю (с1 « 0), когда она ограничивает часть поверхности комплекса с2 (ограниченная часть не обязательно диск). Далее, если две замкнутые кривые линии с\ и сх2 удовлетворяют условию: с1! — сх2 « 0, то о них говорят, что они гомологичны друг другу: сх\ « сх2 и считаются эквивалентными элементами.

Если сх представляет собой цикл, т. е. де* = 0, то и д (2сх) = д (сх + с1) = 0, т. е. 2сх представляет собой цикл. Внешний вид удвоенной кривой 2 сх совпадает с исходной кривой с1, и представление кривой как суммы двух таких же кривых вызывает сомнение: имеет ли это хоть какой-нибудь геометрический смысл. Однако приведенный ниже пример кривой на проективной плоскости должен развеять это сомнение.

Проиллюстрируем вышесказанное на примерах сферы, поверхности тора и проективной плоскости. Согласно теореме Жордана любая простая замкнутая кривая линия сх на сферической поверхности является границей двух областей поверхности. Поэтому с1 « 0. Отсюда можно получить, что одномерная группа гомологий Н\ (S2)* на сфере S2 тривиальна— Нх (S2) = 0. Равенство группы Нх (S2) нулю означает, что она состоит из единственного — (нулевого) элемента.

* Определение группы гомологий приведено автором в послесловии.

Однако на поверхности тора взятые кривые сх\ и сх2 не являются границей части поверхности. Поэтому c!i^0, с!2^0. Помимо них на торе существует много других замкнутых кривых (рис. 90), не гомологичных нулю. Например, кривая с, для которой, заметим, справедливо С — С\ — С{2 « 0 или С ä Сх\ + Сх2.

Вообще для любой замкнутой кривой линии с на поверхности тора можно доказать

Поэтому, взяв два цикла с1и с12, через них можно выразить всю одномерную группу гомологий Я, (Г2) = Z@Z. Здесь через Z обозначена группа всех целых чисел (относительно сложения), а знак 0использован для выражения прямой суммы групп. Количество экземпляров Z, входящих в Ни в случае тора Т2 оно равно 2, называется одномерным числом Бетти. Для сферической поверхности одномерное число Бетти равно 0.

На проективной плоскости Р2 цикл а не является границей. Однако полная окруж-

Рис. 90

ность, соответствующая циклу 2а, ограничивает всю «внутреннюю» часть проективной плоскости. По этой причине, как мы уже упоминали об этом, а^О, но 2а « 0. Рассмотрим другую замкнутую кривую, например кривую Ь (рис. 91). Кривая а+Ь ограничивает половину плоскости. Поэтому а + b ä 0, или Ь ж — а « а. Можно также сказать, что вообще любой негомологичный нулю цикл на проективной плоскости гомологичен а. Поэтому одномерная группа гомологий проективной плоскости состоит из двух элементов НХ(Р2) = {0, 1}, где нулевому элементу группы соответствуют одномерные циклы, гомологичные нулю, а единице—все остальные циклы, которые, напомним, гомологичны а. Эта группа не содержит подгруппы, изоморфной группе целых чисел, и поэтому одномерное число Бетти для проективной плоскости равно 0.

Рис. 91

§ 2. Топологический характер групп гомологий

Две структуры, приведенные на рис. 92, как точечные множества одинаковы. Мы сейчас не будем касаться трехмерной области внутренних точек, а рассмотрим лишь точки на поверхности этих фигур. К одной из фигур добавлена вершина. Как комплексы К\ и /С2 эти фигуры отличаются, поскольку состоят из неодинакового числа симплексов. Однако как множества точек они равны \К\ \ = = |*,|.

Очевидно, что одно и то же множество точек может быть разбито в комплексы различными способами. Разбиение фигуры на составляющие ее симплексы называют триангуляцией, а саму фигуру, которая допускает триангуляцию, называют полиэдром. Группа гомологий полиэдра хотя и строится на базе линейных комбинаций симплексов конкретной триангуляции, однако устройство группы не зависит от вида данной триангуляции. Группа гомологий однозначно определяется самим полиэдром. Группы гомологий можно

Рис. 92

определить и для фигур, не являющихся полиэдрами, при помощи более абстрактных методов, но в данной работе мы этих вопросов не касаемся.

Для того чтобы установить топологическую инвариантность группы гомологий, необходимо доказать, что если два комплекса К\ и /С2 гомеоморфны, то их группы гомологий Н(К\) и Н(К2) изоморфны. Это довольно сложно, тем не менее Александер привел общее доказательство этого факта. Из этой теоремы следует, что так как число Бетти определяется из группы гомологий, то оно также является топологическим инвариантом.

Группы гомологий для сферы, поверхности тора, а также для проективной плоскости, отражая их принципиально различные геометрические свойства, не изоморфны. Вообще, обнаружив для каких-нибудь двух фигур в результате вычислений, что их группы гомологий различны, мы сразу можем сделать вывод, что между рассматриваемыми фигурами не существует гомеоморфизма. С другой стороны, вообще говоря, группы гомологий часто могут совпадать и тогда, когда гомеоморфизм отсутствует. Поэтому нельзя делать окончательные выводы о полиэдрах только на основании совпадения их групп гомологий. Однако если рассматривать только поверхности, можно отметить одну особенность их групп гомологий. Если группы гомологий одинаковы, то мы имеем дело с гомеоморфными поверхностями. Мы уже говорили, что топологические виды поверхностей были определены в XIX веке. В то время группа гомологий еще не была определена, но уже было известно понятие так называемого числа связности. Впоследствии

были разработаны весьма специальные топологические методы. Были определены такие алгебраические структуры, как гомотопическая группа и уже знакомая нам группа гомологий. Раздел математики, занимающийся теорией алгебраических структур, которые инвариантны при гомеоморфизмах, выделился в особую область топологии — так называемую алгебраическую топологию. Исследование алгебраических свойств групп гомологий привело к созданию в рамках алгебры нового раздела — гомологической алгебры.

§ 3. Фундаментальные группы и гомотопия

Пуанкаре ввел в круг исследований, помимо группы гомологий, также фундаментальную группу. Это являющееся топологическим инвариантом понятие наглядно и вместе с тем имеет глубокий смысл. Мы постараемся пояснить этот вопрос доступным образом на конкретных примерах.

Если замкнутая кривая линия а ограничивает на поверхности двумерный диск, т. е. гомеоморфную кругу область, то говорят, что эта кривая гомотопна нулю: а ~ 0. Любая простая замкнутая кривая а на сфере, как мы уже говорили в связи с группами гомологий, ограничивает двумерный диск. Эта кривая а таким образом не только гомологична нулю (а « 0), но также и гомотопна нулю (а ~ 0).

Между тем на поверхности F (в правой части рис. 93) замкнутые кривые а и & не ограничивают двумерных дисков. Следователь-

но, они не гомотопны нулю, и это условно обозначают как а Л* О, Ь^гО. Замкнутая линия Ь ограничивает «половину» поверхности F. Поверхность по этой линии разрезается на две части, из которых ни одна не гомеоморфна диску. Таким образом замкнутая линия Ь, являясь границей куска поверхности, гомологична нулю Ь ä 0. На этом примере проявилось различие между группами гомологий и фундаментальными группами.

Выясним теперь, гомотопна ли нулю замкнутая кривая а на сфере с «дыркой», т. е. на сфере, из которой вырезан открытый двумерный диск с границей d (см. фигуру в левой части рис. 93). Рассмотрим сначала ограниченную кривой ту часть сферы а, из которой вырезан диск. Граница этой части сферы состоит не только из линии а, но и из линии d. Поэтому на основании теории гомологий имеем а—ûf«0 или a«d, т. е. афО. Противоположная же часть сферической поверхности гомеоморфна двумерному диску. В самом деле, нетрудно представить резиновую пленку, растянутую по сфере. Таким образом,

Рис. 93

мы видим, что на поверхности сферы с «дыркой» замкнутая кривая а гомотопна нулю: а~0, и уж, безусловно, а«0. Здесь уместно сказать, что поверхность, на которой любая замкнутая кривая гомотопна нулю, называется односвязной. Приведенная на рис. 93 поверхность F не является односвязной. Евклидова плоскость /?2, напротив, односвязна.

Нетрудно видеть, что наличие односвязности или ее отсутствие является свойством топологически инвариантным. Доказательство этого достаточно длинно, но основная его идея совпадает с идеей доказательства топологической инвариантности линейной связности пространства. Топологическая инвариантность свойства односвязности играет важную роль как в геометрии, так и в анализе.

Определение фундаментальной группы основано на классификации всех замкнутых кривых линий, при которой в один класс попадают все так называемые гомотопные между собой линии. Фундаментальная группа может быть определена не только для кривых поверхностей, но и для произвольного связного топологического пространства.

Рис. 94

Пусть точка О — произвольная фиксированная точка в топологическом пространстве М. Если взять теперь две замкнутые кривые линии а и ft, исходящие из точки О, то линия (путь), проведенная сначала по кривой а и затем продолженная по кривой ft, представляет собой также замкнутую кривую, которую обозначают через ab. Хотя кривая aft, подобно кривой с на рис. 94, может иметь промежуточные точки самопересечения, она все равно представляет собой кривую линию, которая, заметим, замыкается в точке О. Представим себе еще одну (особую) замкнутую кривую линию, проходящую через единственную точку О. Для только что введенной операции умножения кривых эта кривая е играет роль единицы:

ае=а=еа, be=b = eb и т. д.

Конечно, с чисто математической точки зрения об этом следовало говорить несколько строже. Не вдаваясь здесь во все подробности вопроса, постараемся дать математическое определение гомотопического произведения и нуля. Это сделать довольно непросто, но при упрощенном кратком изложении есть риск упустить нечто существенное, и, очевидно, у нас другого пути нет.

Рассмотрим окружность S1 и возьмем на ней некоторую точку 0\. Зафиксируем соответственно некоторую точку О в топологическом пространстве M и рассмотрим все возможные непрерывные отображения S1 в М: f, g, h и т. д., при которых точка 0\ переходит в О. При этих отображениях окружность принимает в пространстве M вид замкнутых кривых линий. Роль единичного элемента играет

непрерывное отображение, при котором вся окружность S1 переходит в точку О е : S1—+0.

Обозначим замкнутую кривую линию S1 через а. В таком обозначении е(а) = О.

Определим теперь исходя из непрерывных отображений f и g окружности а в M произведение замкнутых кривых линий f(a) • • g (а). Для этого окружность а разделим точками 0| и О7 на две полуокружности (рис. 96). Непрерывное отображение, соответ-

Рис 95

Рис. 96

ствующее произведению кривых f(a) • g(a), строится так: первая полуокружность отображается в f(a) (при этом Oi и О' переходят в О), а вторая полуокружность — в g (а). Говоря попросту, чтобы получить произведение путей f(a) . g(a), нужно первую полуокружность намотать на путь /(a), a вторую — на путь g(а).

Далее, говорят, что замкнутая кривая линия f(a) гомотопна нулю, если отображение / : а—+f(a) можно расширить до непрерывного отображения в пространство M всего диска D, описанного окружностью а*. Здесь мы имеем в виду, что в то время как замкнутая кривая линия а описывает двумерный диск D, ее образ — замкнутая кривая линия f(a) описывает непрерывный образ диска — фигуру f(D).

Рассмотрим теперь тор Т, который образован из прямоугольника ABCD посредством склеивания противоположных сторон: AD =

Рис. 97

* Точное определение гомотопической эквивалентности двух путей можно получить из определения гомотопической эквивалентности двух отображений, которое дано в следующем разделе.

= ВС, AB = DC (рис. 98), и замкнутые на нем линии а и Ь.

В соответствии с вышеприведенным определением замкнутой кривой линии а и b можно выразить при помощи непрерывных отображений / и g окружности S1—при которых О—+А = В = С = D

Если вдоль границы прямоугольника задать направление обхода, например, как это показано на рис. 98, против часовой стрелки, то замкнутая кривая линия, соответствующая этому обходу, определится как aba~lb~l. Это выражение есть произведение замкнутых кривых, причем а-1 и б"1 — это замкнутые кривые линии с противоположными а и b направлениями. Замкнутая кривая aba~lb~l ограничивает на поверхности четырехугольную фигуру, являющуюся двумерным диском. Следовательно, этот путь гомотопен нулю: aba~lb~l ~ 0. Отсюда следует, что в фундаментальной группе тора ab (Ьа)~л = е и ab = = Ьа. Если говорить здесь несколько подробнее, то необходимо, например, было доказать, что для любой произвольно взятой замкнутой кривой линии а в фундаментальной группе выполняется аа~] = е, т. е. что путь аа~х го-

Рис. 98

мотопически эквивалентен нулю. Об этом можно прочитать в соответствующем разделе учебника по топологии.

Устройство фундаментальных групп замкнутых кривых зависит от пространства. Например, на замкнутой поверхности рода 2 (рис. 99) достаточно взять четыре замкнутые линии au bu Д2, b2, чтобы произвольно взятую замкнутую кривую можно было выразить посредством умножения этих четырех замкнутых кривых линий.

Фундаментальная группа является топологическим инвариантом. Обозначается фундаментальная группа, с фиксированной в пространстве M точкой О, через п\ (М, О). Выберем в линейносвязных пространствах M и N по точке О и О'. Если их фундаментальные

группы щ (Af, О) и Я1 (N, О') различные, в силу топологической инвариантности фундаментальной группы можно сказать, что пространства M и N не гомеоморфны.

Фундаментальные группы играют первостепенную роль в проблеме узлов, которой, после того как ее поставил Листинг, было уделено много внимания и усилий.

Выше мы дали определение кривой, гомотопной нулю. Это основное понятие в теории

Рис. 99

гомотопии имеет исключительно важное значение в топологии в целом. Теория гомотопии наряду с теорией гомологий, представлявшие собой два основных направления в алгебраической топологии довоенного периода, сохранили свое значение и в настоящее время.

В проблеме классификации геометрических фигур, навеянной программой Клейна, основной вопрос состоит в том, имеет ли место в каждом отдельном случае гомеоморфизм пространств или нет. Гомеоморфные пространства рассматриваются как одинаковые пространства. Параллельно по мере дальнейшего развития теории гомотопий возникла другая важная проблема — вопрос о том, какие пространства гомотопически одинаковы, а какие нет. Гомотопически эквивалентные пространства объединяют в один гомотопический класс. Говорить об особенностях гомотопической классификации в целом — дело весьма сложное. Мы постараемся дать здесь лишь в общих чертах характеристику того, что называется гомотопическим классом. Этот довольно сложный вопрос попытаемся объяснить на наглядных примерах.

Гомотопия непрерывных отображений. Два непрерывных отображения /0 и f\ пространства M в пространство N считаются гомотопными /о ~ fu если существует семейство непрерывных отображений // : M—mV, которые непрерывно меняются в зависимости от параметра ty пробегающего отрезок [0,1], причем при крайних значениях t = 0, 1 они совпадают с /о и fx.

Обратимся к рисунку. Введем пространство MX I — так называемое прямое произведение пространства M и отрезка / = [0

^ t ^1]. Координаты точек такого пространства представляют собой пары (Л, t), где Л — точка пространства M, t — число между 0 и /. Таким образом, если в M X / рассматривать подпространство точек (Л, t) при фиксированном t, то оно гомеоморфно М. Говорят, что пространство MX I «заметается» пространством M с течением времени t.

Более формально можно сказать, что отображения /о : M X 0—и f\ : M X 1—гомотопны, если существует непрерывное отображение F : M X I—►JV, такое; что F : M X

Рис. 100

Рис. 101

X 0—►Л/ совпадает с /0. a F : M X 1—►Л/ совпадает с f\.

После определения гомотопных отображений можно сформулировать гомотопическую эквивалентность двух топологических пространств M и N. Предположим, что существуют два непрерывных отображения / : M—*N и g : N —► Af, суперпозиции которых go / : : M—►Af и fog : N—>N гомотопны отображениям idм и соответственно idyv, где id м означает тождественное преобразование пространства M на себя, a idw—соответственно тождественное преобразование пространства N.

В этом случае говорят, что пространства M и N гомотопически эквивалентны или, иначе, одинакового гомотопического типа. Напомним, что отображение go f получается в результате последовательного выполнения двух отображений сначала f, а затем g:

На рис. 103 это проиллюстрировано в соответствии с определением гомотопных отображений. Здесь F — непрерывное отображе-

Рис 102

иие M X 1 в M, причем на M X О F совпадает с отображением go/, а на MX 1 — с id ж.

В проблеме гомотопической эквивалентности топологических пространств можно использовать упоминавшиеся ранее группы гомологий и фундаментальные группы, которые являются гомотопическими инвариантами. Следовательно, аналогично тому, как это было с топологическим отображением, можно сказать, что если фундаментальные группы или группы гомологий пространств M и N различны, то M и N гомотопически не эквивалентны. Если между M я N имеется топологическое соответствие /, то с его помощью легко установить гомотопическую эквивалентность

Таким образом, гомеоморфные пространства гомотопически эквивалентны. Обратно, треугольник и прямолинейный отрезок хотя и гомотопически эквивалентны, однако не гомео-

Рис. 103

морфны. Размерность пространства есть топологический инвариант, поэтому пространства разной размерности топологически не эквивалентны. Однако размерность не является гомотопическим инвариантом. В связи с этим гомотопическая классификация по сравнению с топологической классификацией геометрических фигур является более грубой и примитивной. И если отсутствуют признаки гомотопической эквивалентности, то, естественно, не может быть и речи о топологическом соответствии.

На рис. 104 схематично показано, что в пределах одного гомотопического класса располагается несколько различных топологических типов; это поясняется подписями к рисунку.

В заключение затронем вопрос о гомотопических группах.

В 1935 и 1936 годах в трудах Голландской академии наук Гуревич (1904—1956) опубликовал работы, в которых впервые ввел гомо-

Рис. 104

топические группы m (M) топологического пространства M и подчеркнул их принципиальное значение. Следует иметь в виду, что i— это размерность группы; при i= 1 гомотопическая группа я\(М) является фундаментальной группой. Гомотопические группы являются также гомотопическим инвариантом. В устройстве гомотопической группы находят отражение геометрические свойства фигур данного гомотопического типа.

Изучение гомотопических групп интенсивно продолжается и в настоящее время, весьма широко оно ведется и в Японии, но рассказать об этом здесь не представляется возможным.

Глава 8

Лекция о многообразиях

§ 1. О понятии «многообразие»

Термин «многообразие» (по-английски manifold), насколько нам известно, был введен в 1935 году, когда многие еще употребляли термин «множество».

Наиболее ранние работы, в которых встречается идея многообразия, — это исследования Лагранжа (1736—1813) по динамике. Однако непосредственно идея многообразия была рассмотрена Грассманом (1809—1877) в 1840 году в его исследованиях по п-мерным евклидовым пространствам Rn, непосредственное восприятие которых при п > 3 исключено. Под точкой n-мерного пространства понимают

набор из п отдельных чисел (хь х2, ..., хп), а под n-мерным пространством — множество всех таких точек, когда числа jc, пробегают независимо все возможные значения. В евклидовом пространстве к тому же между любыми двумя точками х = (Х\у х2, ... , хп) и у = (*/ь У2у • , Уп) вводится расстояние по формуле:

Рассмотрим в пространстве Rn множество точек, которые удовлетворяют условию хп=0, и пусть из остальных чисел (хь jc2, ..., хп \) каждое число xi меняется независимо от других. Это множество составляет (п—1)-мерное евклидово пространство Rn~\ которое называется гиперплоскостью в пространстве Rn .

Другим интересным примером в п-мерном евклидовом пространстве является множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Это множество точек представляет собой (п — 1)-мерную сферу единичного радиуса с центром в начальной точке 0= (О, 0, ... ,0). Множество же точек с координатами, удовлетворяющими неравенству

является n-мерным единичным шаром, или, как еще говорят, n-мерным диском.

Евклидово пространство Rn — это лишь частный случай n-мерного многообразия. Представление об n-мерном многообразии как обобщение понятия кривой поверхности впервые появилось в работах Римана. Риман

в своей лекции в Геттингенском университете в 1854 году «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» выдвинул общую идею /г-мерного многообразия (риманово пространство). Впоследствии Пуанкаре дал определение, основанное на общем требовании однородности окрестностей. Конкретно он определял я-мерное многообразие как связное топологическое пространство, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной диску в n-мерном евклидовом пространстве. Сферическая поверхность Sn~\ задаваемая уравнением

представляет собой замкнутое (п—1)-мерное многообразие. В настоящее время определенное таким образом многообразие называют топологическим многообразием. Наряду с ним существуют определения многообразий других типов, таких, как комбинаторное многообразие, PL-многообразие, дифференцируемое многообразие и др. Эти определения отражают особенности структур многообразий, а также специфику методов исследования. Между тем остается еще много старых нерешенных вопросов.

§ 2. Гипотеза Пуанкаре

Существует известная гипотеза Пуанкаре: если трехмерное замкнутое многообразие M односвязно (т. е. его фундаментальная группа состоит только из единичного элемента), то оно гомеоморфно трехмерной сфере.

Отметим, что если фундаментальная группа л\(М) равна 0, то и одномерная группа гомологий НХ(М) также равна 0.

Трехмерная сфера S3 определяется как множество точек в четырехмерном евклидовом пространстве /?4, координаты которых удовлетворяют условию: х\ + х\-\-х\ + х|= = 1. Легко видеть, что лi (S3) = 0. Предположение Пуанкаре состоит, собственно, в том, что условие п\(М) =0 является определяющим свойством именно трехмерной сферы S3*. Несмотря на многочисленные исследования в области геометрии, эта задача остается нерешенной. Если в конце концов эта задача получит свое положительное решение, в проблеме изучения трехмерных многообразий будет найден ряд кратких и четких ответов и, по-видимому, параллельно будут решены многие другие вопросы. С другой стороны, ясно также, что если решение этой задачи будет отрицательным, то изучение вопроса о геометрических свойствах трехмерных многообразий пойдет по исключительно сложному пути. В отличие от задачи о четырех красках решение данной задачи имеет большое значение для развития математики.

Рассмотрим полиэдр M = |/(|, разбиение которого на симплексы дает комплекс К. Если теперь в этом комплексе К взять произвольно вершину je0, то все симплексы комплекса, содержащие эту вершину je0, вместе с их гранями образуют множество, которое называется звездой комплекса в точке х° и обозначается через St (а*0). Звезда представ-

* Разумеется, если M — трехмерное замкнутое многообразие.

ляет собой подкомплекс комплекса К. Если подвергнуть звезду дальнейшему подразделению, то как множество точек она останется прежней. Но как комплекс звезда имеет после подразделения другой вид. Этот новый комплекс обозначим через Sd(St(x0)); Sd — от английского слова subdivision — подразделение. Если для любой вершины х° можно выбрать такие подразделения звезды Sd(St(x0)) и м-мерного симплекса Sd(xn), что полученные комплексы равны, то комплекс К называют комбинаторным n-мерным многообразием. (По определению два комплекса равны, если множество всех симплексов одного из них можно привести во взаимно однозначное соответствие с множеством симплексов другого, при котором сохраняется размерность симплексов и не нарушается инцидентность. Полиэдры равных комплексов (или комплексов, которые можно сделать равными после подразделений), безусловно, гомеоморфны между собой; справедливость обратного

Рис. 105

утверждения совершенно неясна.) Пусть комбинаторное n-мерное многообразие M входит в гомотопический класс n-мерной сферы т. е. гомотопически эквивалентно п-мерной сфере. Известная гипотеза Пуанкаре гласит: гомотопически эквивалентное n-мерной сфере Sn многообразие должно быть и гомеоморфным Sn. Если будет доказано, что гомотопический тип n-мерной сферы Sn действительно совпадает с топологическим типом, то тогда отпадет необходимость в рассмотрении гомотопически эквивалентных сфере многообразий. Эта гипотеза Пуанкаре была доказана для случая п^5 (Столлингс. Полиэдральные гомотопические сферы. Бюллетень американского математического общества, 1960 г.).

Как это ни удивительно, но для случаев малых размерностей п = 3,4 проблема попрежнему пока не решена.

Смейл (р. 1930) — известный математик, несколько раз, кстати, бывавший в Японии, также дал решение гипотезы Пуанкаре для случая n ^ 5. Однако его доказательство справедливо для дифференцируемых многообразий.

§ 3. Различные направления топологии

1. Общая топология. Общая топология существует с тех пор, когда в процессе развития канторовской теории множеств была создана теория точечных множеств в евклидовом пространстве. Евклидово пространство — это пространство, в котором введено расстояние, поэтому оно как множество точек приобре-

тает свою топологию. Благодаря этому были разработаны понятия замкнутого и открытого множеств, окрестности, точки накопления. Эти понятия являются фундаментальными в разных областях математики, в частности в анализе.

Теория точечных множеств в евклидовом пространстве послужила исходным пунктом в развитии общей идеи топологического пространства. Это началось с работ Фреше (1878— 1973) 1907 года, посвященных /.-пространствам. Фреше, занимаясь исследованиями в области функционального анализа, определил пространство при помощи понятия сходимости, которое составляет ядро всей топологии. Заслуга Фреше в том, что он выдвинул основные положения абстрактного пространства. Это был отход от привычных рассмотрений в евклидовом пространстве. Точка абстрактного пространства — это уже не точка в том смысле, как это понимают в евклидовой геометрии. Если речь идет о множестве, в котором определено понятие сходимости, то это уже топологическое пространство. Абстрактная теория пространства постепенно слилась с тем, что определяется сейчас как теория топологических пространств. Абстрактизация идеи пространства открыла путь формированию многих важных понятий в различных разделах математики.

Мы приведем имена лишь нескольких математиков, которые внесли принципиальный вклад в разработку фундаментальных положений топологии.

В 1909 году Рис (1880—1956) исследовал предельные точки множества. В 1914 году Хаусдорф (1868—1942) пришел к понятию

системы окрестностей. В 1922 году Куратовский (р. 1896) ввел аксиоматику замыкания, в 1925 году Александров (р. 1896) построил теорию открытых множеств, а в 1927 году Серпиньский (1882—1969) —теорию замкнутых множеств.

Около сорока лет назад в противоположность нынешнему состоянию алгебраической топологии алгебраический аппарат использовался робко. В то время для изучения геометрических фигур применялись весьма наглядные методы, которые составляли геометрическую топологию теории множеств. Исследования велись в теории кривых линий, теории размерности, что в настоящее время включается в общую топологию.

2. Комбинаторная топология. При исследовании геометрических свойств многообразий Пуанкаре пользовался разбиением многообразия на элементарные симплексы и, обратно, создавал из симплексов сложные комбинаторные структуры. При этом Пуанкаре применял аппарат введенных им групп гомологий. Дальнейший прогресс комбинаторной топологии связан с такими значительными результатами, как результаты Хопфа (1895—1971), теоремы о неподвижных точках отображения Лефшеца (1884—1972), теоремы двойственности Пуанкаре и Александера. Эти геометрические теории, представляя собой часть комбинаторной топологии, являются ветвью алгебраической топологии. Примерно с 1940 года она получила значительное развитие в связи с исследованиями линейных образов комбинаторных структур, где Уайтхедом (1904—1960) были получены замечательные результаты. Эта дисциплина стала называться PL-топологией.

О положительном решении общего предположения Пуанкаре уже говорилось выше. Затрагивая вопрос определения комбинаторных многообразий, мы не говорили об известном основном предположении комбинаторной топологии, которое в 1961 году Мазуром и Милнором (р. 1931) было опровергнуто.

Основное предположение комбинаторной топологии (Hauptvermutung). В начале XX века комбинаторная топология особенно сильное развитие получила в Германии, и подавляющее большинство работ публиковалось на немецком языке. Упоминаемая здесь основная гипотеза также впервые была сформулирована на немецком языке. И по сей день в различных трудах ее часто называют по-немецки Hauptvermutung. Формулировка этого предположения такова: если полиэдры двух комплексов К и К' гомеоморфны, то можно подразделить их таким образом, что полученные в результате этого комплексы SdK и SdK' являются равными комплексами.

Комплексы К и К\ некоторые подразделения SdK и SdK' которых равны, называются комбинаторно эквивалентными. При определении комбинаторного многообразия, казалось бы, естественно потребовать, чтобы полиэдр звезды St (х°) и n-мерный симплекс хп были гомеоморфны. Однако в общем случае остается неизвестным, можно ли считать равными Sd(St(x0)) и Sd(xn). Поэтому удобнее требовать, чтобы St(JC°) и хп были комбинаторно эквивалентны.

3. Алгебраическая топология. Алгебраическая топология представляет собой область геометрии, цель которой состоит в установлении топологических инвариантов на основе

применения теории групп. Алгебраическая топология считается ведущей областью топологии. Упоминавшаяся выше теория гомологий также относится к этой области геометрии. К числу других достижений алгебраической топологии относятся введенные в работах Александера и Колмогорова (р. 1903) группы когомологий.

В более позднее время алгебраическая топология сделала резкий скачок вперед благодаря работам Стинрода (1910—1971) по теории когомологий, опубликованным в 1947 году, и исследованию Серром (р. 1926) в 1951 году спектральных последовательностей.

4. Дифференциальная топология. Есть область топологии, объектом исследований которой являются дифференцируемые многообразия. Суть дифференцируемого многообразия состоит в возможности рассмотрения дифференцируемых функций, заданных на этом многообразии. Если о дифференцируемых многообразиях говорить конкретнее, то нужно прежде всего вспомнить, что каждая точка х многообразия обладает окрестностью U(x), гомеоморфной открытому диску (или, что все равно, всему евклидову пространству). Координаты, заданные в евклидовом пространстве, посредством гомеоморфизмов переносятся в окрестность U(x) каждой точки многообразия. Это так называемые локальные координаты. Так как точка многообразия принадлежит одновременно многим окрестностям U, то ей соответствует столько же различных систем локальных координат. Многообразие дифференцируемо, если функции преобразования от одной локальной системы координат к другой являются дифференцируемыми. Веро-

ятно, следовало привести конкретные формулы, однако суть, думается, может быть ясна и без этого.

Непосредственное впечатление от дифференцируемого многообразия отражено в том, что часто применяется термин «гладкое многообразие». Гладкость состоит, собственно, в том, что окрестность каждой точки можно расширить дифференцируемым образом. Гладкие кривые поверхности, такие, как сфера S2 или поверхность тора Г2, представляют собой дифференцируемые многообразия. В дифференциальной топологии, таким образом, можно рассматривать не только непрерывные относительно точек многообразия отображения, но и дифференцируемые отображения. Если к общим условиям гомеоморфизма одного многообразия на другое добавить условия дифференцируемости, то получим изоморфизм их гладких структур, или так называемый диффеоморфизм.

Другими словами, гладкие структуры диффеоморфных между собой дифференцируемых

Рис. 106

многообразий равны. Такие многообразия являются главным объектом исследования дифференциальной топологии. Этот раздел геометрии связан с изучением глобальных свойств многообразий, и мы здесь не будем специально рассматривать такие вопросы дифференциальной геометрии, как кривизна и т. п.

Фундаментальные исследования в дифференциальной топологии были проведены Уитни (р. 1907) в 1930 году. Затем активность исследований в этой области несколько снизилась.

В 1952 году Том (р. 1923), лауреат филдсовской премии 1958 года, опираясь на теорию когомологий и гомотопических групп, построил теорию кобордизмов. Недавно он разработал ставшую широко известной теорию катастроф.

В 1956 году Милнором были обнаружены удивительные особенности дифференциальной структуры, присущие семимерной сфере S7. Суть открытия Милнора, которое явилось совершенно неожиданным не только с геометрической точки зрения, но и с точки зрения анализа, в двух словах заключается в том, что существуют гладкие семимерные сферы S7, которые между собой гомеоморфны, но не диффеоморфны. Доказательство этого факта основано на предварительном изучении свойств и величин, сохраняющихся при диффеоморфизмах, последующее сравнение которых привело к выводу о том, что на семимерной сфере есть различные дифференциальные структуры.

В дифференциальной топологии был получен ряд глубоких теорем, которые составили ей славу одной из самых замечательных об-

ластей всей математики*. Ряд достижений дифференциальной топологии связан с комбинаторной топологией. Подтверждением этого является, например, теорема о том, что любое дифференцируемое многообразие есть комбинаторное многообразие.

5. Геометрическая топология. Это название, да и сам раздел топологии отнюдь не является общепризнанным. В исследовании топологических свойств геометрических фигур существует направление, в котором не применяется алгебраический метод, как это было при исследовании комбинаторных и гладких структур, и изучение геометрических свойств проводится непосредственно. Этим и объясняется название «геометрическая топология». Основной объект изучения геометрической топологии— это необычные геометрические фигуры в евклидовом пространстве Rn. Слова «необычные геометрические фигуры» употреблены здесь потому, что, с одной стороны, речь идет о необычных фигурах, применить к которым алгебраические методы особенно трудно, а с другой стороны, эти фигуры достаточно геометричны, чтобы иметь о них наглядное представление. Направление, которое исследует необычные фигуры, можно было бы назвать геометрической патологией фигур.

Инструмент исследования в данном случае не представляет собой методически разработанную теорию. Изучение тех или иных геометрических фигур состоит в непосредствен-

* Ряд фундаментальных результатов в области дифференциальной топологии был получен советскими математиками Л. С. Понтрягиным, С. П. Новиковым и другими.

ном наглядном восприятии с последующим проведением цепочки строго обоснованных рассуждений. Поэтому здесь необходимы острота восприятия и правильность логического вывода. Из последних достижений в изучении патологических (диких) геометрических фигур можно, например, отметить исследования трехмерных многообразий. Проблема топологической классификации трехмерных многообразий, как это явствует уже из рассуждений относительно гипотезы Пуанкаре, далека от своего решения и представляется крайне сложной. Именно со стороны гипотезы Пуанкаре к задаче классификации подошли вплотную многие исследователи, получив значительные результаты. Хорошо известны исследования Папакирьякопулоса (1914—1976), в результате которых этот «уважаемый Пап» решил в 1957 году проблему Дэна (1878—1952) о сфере. Теорема о сфере формулируется следующим образом: если M — трехмерное ориентируемое многообразие с Я2(М) Ф 0 (двумерная гомотопическая группа), то существует вложенная в M нестягиваемая (в М) двумерная сфера S2. Эта сфера S2 как раз и обеспечивает нетривиальность двумерной гомотопической группы лг(М). Эта теорема вскрывает еще одну связь между комбинаторной и алгебраической топологией. Надо сказать, что многие результаты одной области могут быть в определенной степени взаимно использованы в смежной области, хотя в каждом конкретном случае существо вопроса подлежит непосредственной проверке.

Что касается только что упомянутой проблемы, то о ее решении, которое опиралось на ряд вспомогательных лемм, Дэн заявил еще

в 1910 году, когда он занимался изучением геометрии трехмерных многообразий. Однако вскоре Кнезер (р. 1898) и другие указали на пробелы в приведенном доказательстве. И только гораздо позже, в 1957 году, было получено окончательное доказательство.

В вопросах построения трехмерных многообразий из более простых многообразий Кнезером была предложена важная теорема, которая в 1962 году была улучшена Милнором. Упоминая об этих теоремах, мы, однако, из-за их сложности не приводим здесь даже формулировок.

Из работ, посвященных изучению «диких» многообразий, следует также отметить последовавшую за работами Антуана 1921 года работу Александера 1924 года, в которой он предложил конструкцию так называемой рогатой сферы. Рогатая сфера Александера, которая изображена на рис. 107, непривычная, сложная для восприятия дикая фигура*. В дальнейшем исследования в этом направлении продолжены Столлингсом, Бингом (р. 1914) и другими.

Итак, мы дали общий обзор основных областей топологии. Эти области, безусловно, не имеют между собой резких границ. Так, комбинаторная топология очень тесно связана как с геометрической, так и с дифференциальной топологией. В каждой из указанных областей применяется аппарат алгебраической

* Точнее было бы говорить не о диких фигурах, а о диком вложении фигур в пространство. Так, рогатая сфера Александера гомеоморфна обычной сфере, но гомеоморфизм фигур в данном случае нельзя распространить до гомеоморфизма всего пространства.

топологии. Далее следует подчеркнуть, что топологические методы находят применение в разных областях математики. Так, хотя мы почти не затрагивали проблемы классификации геометрических фигур, заметим, что здесь имеется много вопросов топологического характера. Достаточно вспомнить о проблеме узлов, которая является частным случаем более общей проблемы вложения многообразий в евклидово пространство или в какое-нибудь другое многообразие. В качестве простого примера можно указать на топологическую задачу размещения замкнутой кривой линии — окружности—на замкнутых кривых поверхностях рода 1, 2 и т. д.

Топология — это современная ветвь математики, и изложение содержания любой из ее областей неизбежно приводит к обсуждению острых проблем, касающихся современного состояния математики и перспектив ее развития. Однако поскольку мы вынуждены ограничиться кратким описанием лишь некоторых самых общих математических принципов и идей, то очень многое пришлось сократить до минимума или опустить вообще.

Рис. 107

Послесловие

В заключении книги мы считаем уместным сделать ряд дополнительных замечаний. Прежде всего несколько слов о цели данной книги. В процессе размышлений над тем, как строить изложение начальных глав этого курса, автор пришел к мысли дать комментарий истории развития геометрии. Не чувствуя себя специалистом в вопросах истории в настоящем смысле этого слова, автор поэтому и не углублялся в подобные проблемы. Что касается недавнего прошлого, то при малейшей возможности автор стремился к тому, чтобы более или менее новые исследования нашли хотя бы частичное отражение в данной работе.

В Японии написано много трудов, посвященных истории геометрии, особенно периоду ее расцвета в Англии. Среди них недавно совместно изданный труд Накамуры, Терахамы и Икэды о началах Евклида. В этой книге следует выделить весьма ценный, по нашему мнению, комментарий о развитии геометрии в Англии, включающий в себя материал о современных исследованиях.

В начальных главах книги излагались главным образом вопросы евклидовой, аффинной, проективной и неевклидовой геометрий. Это как раз те области геометрии, которые наиболее полно соответствуют системе взглядов, изложенных в Эрлангенской программе Клейна. Хотя содержание Эрлангенской программы рассматривается в главе 4, мы старались придерживаться такой формы изложения каждого раздела геометрии, которая в целом отвечала бы этой программе. В этом ра-

курсе понятие группы является фундаментальным. Тем не менее мы считаем, что в данном случае достаточно получить не общее представление о ней, из аксиом, а конкретное, на примере групп преобразований. Проведение более тонкого логического анализа относительно того, каким образом алгебраические свойства групп связаны с геометрическими свойствами, представлялось нам здесь слишком трудным.

Поскольку было решено не применять много математических формул, то, соответственно нам пришлось отказаться и от аналитического подхода, ограничившись лишь геометрическим подходом к рассмотрению ряда вопросов.

Поэтому все обычно сводилось к изложению нескольких исходных, основных теорем и к пояснениям общего характера, рассчитанным на непосредственное восприятие. Естественно, трудно ожидать, что могло быть достигнуто полное понимание тех или иных положений геометрии, потому что обоснованное доказательство истинности многих из них опирается очень часто на аналитический (алгебраический) метод. Но нам важно было оптимальным образом выразить, подчеркнуть особенности изучения объектов в различных областях геометрии. Именно в этом состояла одна из основных целей данной работы.

Первая глава, посвященная старой геометрии, является подготовительной, так сказать, вводной главой книги. В частности, в § 3 мы ввели понятие множества, хотя при этом и не ставили перед собой цели подробно изложить эту теорию. При изложении евклидовой гео-

метрии в § 2 мы говорили лишь о тех идеях и точках зрения, которые в обычных школьных курсах не рассматриваются. В основном же содержание геометрии евклидовой плоскости, как мы полагаем, общеизвестно. В частности, именно поэтому не рассматривали вопрос об устройстве евклидовой плоскости. Вместо этого мы дали комментарий, подводящий к тезисам Эрлангенской программы.

Во второй главе, посвященной вопросам аффинной геометрии, был затронут вопрос о связи евклидовых движений и аффинных преобразований.

Говоря о множествах в § 3, мы обращали особое внимание на то, что это не только множества точек на плоскости, но множества, состоящие из элементов произвольной природы. Отмечалась также несомненная важность исследования бесконечных множеств. Следует отметить, правда, что не было дано конкретных примеров множеств, за исключением точечных множеств.

Мы старались как можно лучше осветить вопрос о взаимно однозначном соответствии между элементами двух множеств. Введение кардинальных чисел, на наш взгляд, должно содействовать лучшему пониманию этого вопроса.

В главе 2 мы остановились на геометрических свойствах, связанных с длиной. Мы привели также и определение вектора на аффинной плоскости, на которой задана лишь линейная структура. Что касается аффинных преобразований, то можно было обратиться к простому и обычному в таком случае аналитическому изложению, основанному на введении системы декартовых координат. В этих

координатах аффинное преобразование определяется выражениями первой степени:

где через а, Ьу с, dy е> f обозначены вещественные числа, причем ad — be Ф 0. Из формул преобразования (де, у)—► (*', у') можно легко вывести основные свойства аффинного преобразования, о которых упоминалось в книге:

1) это точечное соответствие взаимно однозначно;

2) прямой линии соответствует прямая же.

Аналитический метод упрощает рассуждения, а получаемые посредством математических выкладок выводы бесспорны, т. е. представляют собой точное знание в отличие от тех, которые иногда получаются из наглядных соображений. Клейн считал, что для достижения достоверных результатов необходимо применять разные методы, а не избирать один-единственный. Заметим, что сам он широко применял аналитический аппарат как средство описания геометрических свойств. Мы же, заявив, что будем избегать математических формул, тем самым предопределили ограниченность используемых средств. Предоставляя читателю право решать вопрос о правомерности и обоснованности такого подхода, мы со своей стороны полагаем, что подобный подход к сжатому изложению общего характера, рассчитанному на интуицию, вполне оправдан. В этой книге у нас также не было намерения останавливаться на полемике, имевшей место в XIX веке, относительно того,

какой метод более обоснован — аналитический или синтетический. Но подчеркнем только, что геометрический подход по своей сути равносилен аналитическому.

В разделе, посвященном аффинной геометрии, точнее в § 3, мы вводим понятие вектора, исходя из геометрического образа направленного отрезка прямой. Разбивая совокупность всех таких отрезков на классы эквивалентных, мы приходим к определению вектора как класса эквивалентных между собой, направленных отрезков. Это обычный в математике способ. При определении параллелограмма мы не пользовались понятием длины, а брали в качестве условия «попарную параллельность противоположных сторон».

В разделе о проективной геометрии в главе 3 мы попытались довести до сведения читателя вопрос о связи между аффинной и проективной плоскостями. При этом мы определяли проективное преобразование плоскости Р2 как преобразование, при котором выполняются следующие условия:

1) это взаимно однозначное преобразование точек проективной плоскости Я2;

2) любая прямая на плоскости Р2 отображается в прямую.

Приведя основную теорему, мы тем самым подготовили все необходимое для введения проективных координат. Однако от дальнейшего подробного изложения мы отказались вследствие того, что оно оказалось бы чрезмерно длинным. Важным, на наш взгляд, является общее геометрическое определение кривой линии второго порядка, что, как мы полагаем, было несложным для понимания.

Изложение в главе 4 неевклидовой геомет-

рии построено в соответствии с программой Клейна. Параграф 1 этой главы был посвящен краткому изложению истории следовавших друг за другом открытий в этой области математики. Более подробное изложение истории потребовало бы большого объема.

В очерке о гиперболической геометрии (§ 2) была изложена интерпретация взглядов школы Клейна.

Геометрический цикл завершается комментарием к Эрлангенской программе Клейна, изложенным в § 3.

При рассмотрении топологических вопросов мы исходили из того, что топология представляет собой ветвь геометрии, которая принципиально отличается от тех областей геометрии, которые были изложены выше. Глава 5 представляет собой исторический очерк развития топологии.

В главе 6, по нашему мнению, было возможно объединить две в основе своей отдельные темы — общие вопросы топологии с теорией линий и поверхностей. Изложение существа топологических проблем связано с необходимостью введения абстрактных математических понятий. Поэтому мы старались объяснить суть вопроса на конкретных примерах. Как одно из основных топологических понятий было введено понятие непрерывности. А поскольку обычно встречающееся в математике определение непрерывности опирается на понятие окрестности, то мы, естественно, должны были дать разъяснение и этого понятия.

Определение. Пусть / — отображение топологического пространства Af, в котором задано расстояние (М — метрическое пространство), в метрическое же пространство N, при

котором точка а пространства M переходит в точку / (а) пространства N. Отображение / : M—*N называется непрерывным в точке а пространства М, если для любого числа 8 > 0 найдется число 6 > О, такое, что 6-окрестность Ub(a) точки а отображается ве-окрестность Ue(f (а)) точки f (а) пространства N:

Если условие непрерывности выполняется для всех точек пространства М, то говорят что / : M—►Л/— непрерывное отображение.

Естественно, величина б-окрестности зависит от значения к. Доказательство непрерывности конкретного отображения сводится к нахождению для произвольно взятой е-окрестности Ut(f(a)) fi-окрестности точки а, удовлетворяющей оговоренным условиям. Это и есть обычно применяемый в математическом анализе метод доказательства на языке «f — о».

Нами было дано удовлетворительное, на наш взгляд, определение топологического отображения, в котором к взаимной однозначно-

Рис. 108

сти добавляется условие взаимной непрерывности. При выяснении вопроса о гомеоморфизме топологических пространств, т. е. при выяснении вопроса о существовании между ними топологического соответствия, возникает очень важная проблема относительно того, какие геометрические свойства (и каким образом, если это так) переносятся при непрерывном отображении пространства. Топология есть геометрия непрерывности (П. С. Александров).

В § 2, рассказывая о кривых линиях, мы вскользь коснулись одной теоремы, которую пока удается доказать только для одномерного случая. Для случая нескольких переменных она представляет проблему и в настоящее время. В частности, здесь имеется в виду теорема Шенфлиса.

В § 3, касающемся теории поверхностей, мы говорили о нормальных формах лишь замкнутых поверхностей. Например, при рассмотрении поверхности тора мы не затрагивали вопроса о том, что будет, если из него вырезать маленький кружок. Обозначив гра-

Рис. 109

ницу кружка через w, получим поверхность aba~xb~xw (рис. 109) с краем w. Аналогично, если вырезать из проективной плоскости маленький кружок, то получим поверхность aaw с краем w, которая есть не что иное, как лист Мёбиуса.

Рассмотрение топологически инвариантных свойств в главе 7 было проиллюстрировано лишь на примере групп гомологий (малой размерности) и фундаментальных групп. Знакомство с группами гомологий осуществлялось на простых конкретных примерах. Однако, поскольку эта тема сложна, дадим дополнительные пояснения общего характера. Рассмотрим в комплексе К t-мерные (î = 0, 1, 2, ... , п) ориентированные симплексы х/, -*2' ... Выберем в комплексе К конечное число 1-мерных симплексов. Формально составленная сумма ориентированных симплексов

где все коэффициенты m* — целые числа, называется i-мерной цепью*. Множество всех цепей с произвольными целыми коэффициентами гпъ составляет группу цепей по сложению

* Точнее, i-мерная цепь — это функция, которая каждому i-мерном у симплексу х1к ставит в соответствие целое число тк, причем ткф0 лишь для конечного числа симплексов хк и тк (—хк) = — тк (х1к). А формальная линейная сумма — это лишь удобный вид записи цепи. Сумма двух цепей определяется как сумма двух линейных форм.

Граница де1 цепи с' определяется следующим образом:

Цепь с1, граница которой раина 0 : de* = О, называется /-мерным никлом*. Множество циклов (обозначим его через Zi(K)) содержится в группе Ci(K). Множество Zi(K) является группой (/-мерной группой циклов) относительно той же операции сложения. Если цикл с1 таков, что существует (/+ 1)-мерная цепь d'4"1, для которой с1 является границей: с1= ddi+l , то говорят, что с1 гомологичен нулю: 0. Этот момент мы разбирали в нашей книге на простом примере.

Объединим все циклы, гомологичные нулю, в один класс Zl0. Все остальные циклы, не гомологичные нулю, можно распределить по классам так, что в один класс попадают все циклы, гомологичные друг другу. Множество таких классов составляет /-мерную группу гомологий Н*(К) комплекса К**.

То, что цепь, с} является границей (i + 1)-мерной цепи выражается алгебраически.

* Можно показать, что если цепь с1' — граница цепи = drf'+i, то она является циклом a(dd*+l) =0.

** Операция в группе — сложение классов *' + *2 гомологичных циклов — определяется при помощи суммы циклов, представляющих эти классы. Легко показать, что, если.

Особенно важно, что несмотря на то, что группы гомологий конструируются на базе комплекса К, для всех триангуляций данного полиэдра их î-мерные группы гомологий между собой изоморфны.

Геометрически это, однако, означает, что с1 является границей некоторой (t+1)-мерной части комплекса К.

Следует сказать, что в отличие от групп гомологий фундаментальные группы, которые рассматривались в § 3, некоммутативны, т. е. операция умножения в них не перестановочна (есть случаи, когда ab ф Ьа), в то время как в группе гомологий операция сложения перестановочна: Zx -f Z2 = Z2 -f- Z\.

При объяснении на конкретных примерах значения фундаментальных групп потребовались дополнительные сведения, и все, что, по нашему мнению, в данном случае было необходимо, было разъяснено. Очень важным в этом разделе является понятие гомотопического типа. Связанная с этим классификация топологических пространств по гомотопическим типам — одна из главных задач современной топологии.

Глава 8, посвященная теме многообразия, представляет собой часть лекционного курса и наиболее тесно связана с современной топологией. Эта глава в большей степени требует предварительной подготовки и наиболее трудна для изложения. Теория многообразий, по нашему мнению,— самая современная область геометрии.

Итак, мы в какой-то степени осветили развитие некоторых основных направлений в топологии. Тем, кто питает серьезный интерес к обсуждавшимся вопросам, рекомендуем обратиться к соответствующей литературе.

От редакции

В конце этой небольшой книги М. Комацу приводит достаточно обширную библиографию, куда включена в основном литература на японском и западноевропейских языках. Однако имеется много интересных, полезных книг по геометрии и топологии на русском языке, и редакция решила предложить свой список рекомендуемой литературы.

Необходимо сказать несколько слов о самой книге. Она представляет собой попытку изложить основные идеи геометрии с единой точки зрения, которая была четко высказана Клейном в его Эрлангенской программе. Это концепция, объединяющая разные ветви геометрии в единую геометрию, за истекшие сто лет была существенно дополнена новыми научными фактами и тщательно отшлифована в методическом отношении.

Автор, вероятно, сознательно не включал такие традиционно изящные геометрические темы, как шары Данделена, геометрические построения и т. п., так как это могло бы увести читателя в сторону от основной линии. Своеобразие этой книги состоит в том, что читатель может из нее узнать о деталях, которые подчеркивают самобытность развития математической мысли в Японии. В то же время вполне возможно, что эта книга не во всем может удовлетворить требовательного читателя. Автор порой несколько свободно обращается с терминами, вследствие чего затруднено, например, понимание темы гомологических и фундаментальных групп. Кстати, нам представляется, что в подобной книге следовало бы познакомить читателя с основами теории

групп. И наконец, книга, безусловно, выиграла бы, если бы автор шире отразил достижения русских и советских математиков, особенно в области топологии. Надеемся, что предложенный нами список литературы будет полезен.

Литература

Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и функций. М.-Л., Гостехиздат, 1948.

Александров П. С. Что такое неевклидова геометрия. М., Учпедгиз, 1950.

Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Очерк основных идей топологии. Математическое просвещение (новая серия). Вып. 2—4, 6. М., Гостехиздат — Физматгиз, 1957, 1958, 1959, 1961.

Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. с нем. М.-Л., Гостехиздат, 1948.

Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. Пер. с нем. М., Наука, 1981.

Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. М., Гостехиздат, 1956.

Ефимов Н. В. Высшая геометрия. М., Наука, 1978.

Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. М., Наука, 1966.

Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Пер. с англ. М., Мир, 1972.

Об основаниях геометрии. Сборник. М., Гостехиздат, 1956 (работы Гаусса, Лобачевского, Клейна, Римана, Пуанкаре и др.)

Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии. М., Наука, 1976.

Стинрод Н., Чинн У. Первые понятия топологии. Пер. с англ. М., Мир, 1967.

Яглом И. М. Геометрические преобразования. Т. 1, 2. М., Гостехиздат, 1955—1956.

Мацуо Комацу

МНОГООБРАЗИЕ ГЕОМЕТРИИ

Главный отраслевой редактор В. Демьянов Редактор В. Климачева Мл. редактор Н. Терехина Оформление Э. Ипполитовой Худож. редактор Л. Бабичева Техн. редактор Т. Луговская Корректор С. Ткаченко

ИБ № 1374

Сдано в набор 22.01.81. Подписано к печати 17.09.81. Формат бумаги 75Х90'/з2- Бумага офсет. № 1. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 8.12. Усл. кр.-отт. 16,55 Уч.-изд. л. 7,41. Тираж 50000 экз. Заказ Д-41. Цена 45 коп. Издательство «Знание». 101835, ГСП, Москва, Центр, проезд Серова, д. 4. Индекс заказа 817723. Типография издательства Тат. OK КПСС, г. Казань, ул. Декабристов, 2.

45 коп.

Книга "Многообразие геометрии" написана профессором промышленного факультета Токийского института естественных наук Мацуо Комацу. Он родился в 1909 г. в городе Осаке. В 1932 г. окончил математическое отделение факультета естественных наук Токийского университета. Мацуо Комацу специализируется в области топологии.