А.Н. КОЛМОГОРОВ

Избранные труды

Том 4

МАТЕМАТИКА

и

МАТЕМАТИКИ

Книга 1

О МАТЕМАТИКЕ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А. СТЕКЛОВА

А.Н. КОЛМОГОРОВ

Избранные труды в шести томах

Том 4

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКИ

Книга 1

О МАТЕМАТИКЕ

МОСКВА НАУКА 2007

УДК 51 ББК 22.1 КбО

Серия основана в 1932 г.

Редакционная коллегия:

Ю.С. ОСИПОВ (главный редактор), А.А. ГОНЧАР, В.В. КОЗЛОВ, С.М. НИКОЛЬСКИЙ, Ю.В. ПРОХОРОВ, В. А. САДОВНИЧИЙ, В.М. ТИХОМИРОВ, А.Н. ШИРЯЕВ

Ответственный редактор и составитель А.Н. ШИРЯЕВ

Подготовка текста Т. Б. ТОЛОЗОВА, Н. Г. ХИМЧЕНКО

Колмогоров А. Н. Избранные труды : в 6 т. /А. Н. Колмогоров ; Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН. - М. : Наука, 2005- . - ISBN 5-02-033939-3.

Т. 4 : Математика и математики : в 2 кн., кн. 1 : О математике. / [сост. и отв. ред. А.Н. Ширяев]. - 2007. - 455 с. - ISBN 978-5-02-034080-0 (в нер.).

В четвертый том шеститомника Избранных трудов академика Андрея Николаевича Колмогорова вошли его разнообразные статьи, объединенные общим названием “Математика и математики”. Открывает книгу “О математике” известная статья Колмогорова “Математика”, вошедшая во все три издания Большой Советской энциклопедии (1938, 1954, 1974). В настоящую книгу включены 80 его математических статей из энциклопедических изданий, а также 19 статей, написанных им в 1929-1965 гг. по разным вопросам математики.

Для научных работников, преподавателей, аспирантов, студентов и всех тех, кто интересуется историей математики.

Темплан 2006 - 1-124

ISBN 5-02-033939-3

ISBN 978-5-02-034080-0(Т.4, кн.1)

© Российская академия наук и Издательство “Наука”, серия “Избранные труды” (разработка, оформление), 1932 (год основания), 2007

© Редакционно-издательское оформление. Издательство “Наука”, 2007

ОТ РЕДАКЦИИ

В принципе, более или менее вся математика меня интересует.

А. Колмогоров

Настоящий том, следующий за первыми тремя томами избранных работ А. Н. Колмогорова — по математике и механике (т. 1), по теории вероятностей и математической статистике (т. 2), по теории информации и теории алгоритмов (т. 3), — содержит разнообразные его статьи, которые могут быть объединены общим названием

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКИ.

Для трех изданий Большой Советской Энциклопедии:

1-е изд.: тт. 1-65, том «СССР» / Гл. ред. О. Ю. Шмидт; 1926-1947;

2-е изд.: тт. 1-51 / Гл. ред. С. И. Вавилов (тт. 1-7), Б. А. Введенский (тт. 8-51); 1949-1958;

3-е изд.: тт. 1-30 / Гл. ред. А. М. Прохоров; 1970-1978,

Колмогоровым написано в общей сложности более ста (!) статей. Все они и, особенно, его знаменитая статья «Математика» (впервые опубликованная в томе 38 первого издания БСЭ, 1938, с. 359-402), а также статьи о математиках, увидевшие свет в разнообразных специальных математических и других изданиях, подтверждают, что Колмогорова интересовала именно вся математика, а огромное количество таких публикаций (многие из которых вошли в настоящую книгу) свидетельствует о том, что он рассматривал работу над такого рода статьями как свой, говоря его же словами, «особенно ответственный долг».

Особенно активно Колмогоров работал во втором издании БСЭ, где он с 1949 г. возглавлял Отдел математики, составляя словник, подбирая авторов, редактируя, а иногда и переделывая представленные рукописи и одновременно готовя свои собственные — большие и малые — статьи.

Помимо энциклопедических изданий, Колмогоров публикует статьи и в других изданиях (примером может служить статья Теория вероятностей, написанная для сборника «Математика, ее содержание, методы и значение» [М., Изд-во АН СССР, 1956] и воспроизводимая в настоящем томе).

В настоящее издание вошла также большая часть написанных А.Н.Колмогоровым статей о математиках, включая два больших эссе о классиках науки — Исааке Ньютоне и Николае Ивановиче Лобачевском, содержащих не только детальное описание, но и глубокий анализ их научного творчества.

Несколько статей Андрей Николаевич посвятил другу всей его жизни, выдающемуся геометру и топологу Павлу Сергеевичу Александрову. Статьи, посвященные С. Н. Бернштейну, И. Г. Петровскому, Дж. фон Нейману, А. Я. Хинчину, П. С. Урысону, М. Г. Крейну, его ученикам И. М. Гельфанду, С. М. Никольскому, Б. В. Гнеденко и многим современным ему математикам, дают представление об их математических достижениях, а главное, позволяют почувствовать, с каким глубоким уважением он относился к своим учителям, коллегам и ученикам.

Из статей, где Колмогоров значится как один из коллектива авторов, отобраны были лишь те, в которых видна его «рука» и явственно чувствуется «стиль» Андрея Николаевича.

Многие из публикуемых в этом томе статей были написаны А. Н. Колмогоровым более полувека назад. За это время в математике многое изменилось. Изменились взгляды на содержание и системы преподавания математики. Публикуемые статьи воспроизводятся в их оригинальным виде без каких-либо комментариев, давая тем самым возможность ознакомиться с состоянием многих разделов математики, как они виделись Колмогорову, и самостоятельно оценить произошедшие со временем изменения во взглядах.

I

Статья «Математика»

(Большая Советская Энциклопедия, 2-е изд., т. 26, 1954 г., с. 464-483)

Содержание

I.

Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой

8

II.

История математики до 19 в.

12

1. Зарождение математики (Египет, Вавилония)

13

2. Период элементарной математики (Древняя Греция, эллинистическая и римская эпоха, Китай, Индия, Средняя Азия и Ближний Восток, Западная Европа до 16 в., Западная Европа в 16 в., Россия до 18 в.)

15

3. Период создания математики переменных величин (17 век, 18 век)

29

III.

Современная математика

39

1. Расширение предмета математики

39

2. Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств и математической логики

43

3. История математики в 19 и 20 вв. (Начало и середина 19 в. Конец 19 в. и 20 в. Математика в СССР)

48

Комментарий (отв. ред.). Настоящая статья воспроизводится по второму изданию Большой Советской Энциклопедии (т. 26, 1954 г.). В первой редакции статья была опубликована в БСЭ, изд. 1, 1938, т. 38, с. 359-402. Последующие переиздания: БСЭ, изд. 3, 1974, т. 15, с. 467-478; Математическая энциклопедия, 1982, т. 3, с. 560-564 (по материалам статьи в БСЭ-2).

I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ, СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ И ТЕХНИКОЙ

Математика (греч. μαφεματικα, от μάφεμα — знание, наука) — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1953, стр. 37). Абстрактность математики, однако, не означает ее отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение математики наполняется все более богатым содержанием (см. об этом ниже, особенно раздел III — Современная математика).

Математика и другие науки. Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математического метода не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математического метода в различных случаях различны. Никакая определенная математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных явлений; поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления. Если все трудности изучения какого-либо круга явлений состоят в осуществлении второй тенденции, если каждый новый шаг исследования связан с привлечением к рассмотрению качественно новых сторон явлений, то математический метод отступает на задний план; в этом случае диалектический анализ всей конкретности явления может быть лишь затемнен математической схематизацией. Если, наоборот, сравнительно простые и устойчивые основные формы изучаемых явлений охватывают эти явления с большой точностью и полнотой, но зато уже в пределах этих зафиксированных форм возникают достаточно трудные и сложные проблемы, требующие специального математического исследования, в частности создания специальной символической записи и специаль-

ного алгоритма для своего решения, то мы попадаем в сферу господства математического метода.

Типичным примером полного господства математического метода является небесная механика (см.)а, в частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математическое выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет собой изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел — замена их «материальными точками». Но решение возникающей здесь задачи движения п материальных точек под действием сил тяготения уже в случае п = 3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математического анализа принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности заключаются в извлечении математических следствий из принятой схемы.

С переходом от механики к физике еще не происходит заметного уменьшения роли математического метода, однако значительно возрастают трудности его применения. Почти не существует области физики, не требующей употребления весьма развитого математического аппарата, но часто основная трудность исследования заключается не в развитии математической теории, а в выборе предпосылок для математической обработки и в истолковании результатов, полученных математическим путем. В этом смысле современная квантовая физика (см. Квантовая механика, Квантовая электродинамика), несмотря на употребление глубокого и своеобразного математического аппарата, в меньшей степени может рассматриваться как сфера господства математического метода, чем некоторые отделы классической физики (классическая термодинамика, теория электричества и т. п.).

На примере ряда физических теорий можно наблюдать способность математического метода охватывать и самый процесс перехода познания действительности с одной ступени на следующую, более высокую и качественно новую.

Классическим образцом может служить соотношение между макроскопической теорией диффузии, предполагающей диффундирующее вещество распределенным непрерывно, и статистической теорией диффузии, исходящей из рассмотрения движения отдельных частиц диффундирующего вещества. В первой теории

а Здесь и далее мы сохранили выделение курсивом ссылок на статьи энциклопедии, пометка «(см.*)» со звездочкой будет означать, что статья воспроизведена в настоящем томе. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.

плотность диффундирующего вещества удовлетворяет определенному уравнению с частными производными. К нахождению решений этого дифференциального уравнения при надлежащих краевых и начальных условиях и сводится изучение различных проблем, относящихся к диффузии. Непрерывная теория диффузии с очень большой точностью передает действительный ход явлений, поскольку дело идет об обычных для нас (макроскопических) пространственных и временных масштабах. Однако для малых частей пространства (вмещающих лишь небольшое число частиц диффундирующего вещества) само понятие плотности теряет определенный смысл. Статистическая теория диффузии исходит из рассмотрения микроскопических случайных перемещений диффундирующих частиц под действием толчков молекул растворяющего вещества. Точные количественные закономерности этих микроскопических перемещений нам неизвестны. Однако математическая теория вероятностей позволяет (из общих предпосылок о малости перемещений за малые промежутки времени и независимости перемещений частицы за два последовательных промежутка времени) получить определенные количественные следствия: определить (приближенно) законы распределения вероятностей для перемещений частиц за большие (макроскопические) промежутки времени. Так как число отдельных частиц диффундирующего вещества очень велико, то законы распределения вероятностей для перемещений отдельных частиц приводят, в предположении независимости перемещений каждой частицы от других, к вполне определенным, уже не случайным закономерностям для перемещения диффундирующего вещества в целом: к тем самым дифференциальным уравнениям, на которых построена непрерывная теория. Приведенный пример достаточно типичен в том смысле, что очень часто на почве одного круга закономерностей (в примере — законов движения отдельных частиц диффундирующего вещества) происходит образование другого, качественно нового рода закономерностей (в примере — дифференциальных уравнений непрерывной теории диффузии) через посредство статистики случайных явлений.

В биологических науках математический метод играет более подчиненную роль. Если и удается описать течение биологических явлений математическими формулами, то область пригодности этих формул остается весьма ограниченной, а соответствие их реальному ходу явлений грубо приближенным. Объясняется это не принципиальной невозможностью математического изучения биологических явлений, а их большим качественным разнообразием.

В еще большей степени, чем в биологии, математический метод уступает свое место непосредственному анализу явлений во всей их конкретной сложности в социальных науках. Здесь особенно велика опасность, абстрагировав форму течения явлений, пренебречь накоплением качественно новых моментов, дающих всему процессу существенно иное направление. Существенным остается значение математики для социальных дисциплин (как и для биологических наук) в форме подсобной науки — математической статистики. В окончательном же анализе социальных явлений моменты качественного своеобразия каждого исторического этапа приобретают

столь доминирующее положение, что математический метод отступает на задний план.

Математика и техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из исторического очерка, возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математических методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своем развитии на те же запросы практики математического естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи математики с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математических теорий к техническим проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математических теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезическими работами; изучение многих новых типов уравнений с частными производными впервые начинается с решения технических проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений развиваются на почве электротехники и т. д. В новейшее время из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей — теория передачи информации. Задачи синтеза регулирующих и счетно-решающих устройств привели к развитию новых разделов алгебры. По преимуществу под непосредственным воздействием технических нужд возникли начертательная геометрия и номография. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближенного решения дифференциальных уравнений играли технические задачи. Целиком на технической почве были созданы многие методы приближенного решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактического получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технических проблем. Все большие требования к вычислительной технике предъявляют, впрочем, и теоретические научные исследования, даже в таких молодых областях естествознания, как, например, геофизика. Поэтому все большее значение приобретает механизация численного решения математических проблем. Техника сама приходит теперь на помощь математике; вслед за простейшими счетными машинами, планиметрами и интеграфами появляются гармонические анализаторы, интегрирующие машины для решения дифференциальных уравнений, машины для решения систем линейных уравнений и другие машины для решения разнообразных математических задач. Каждая из таких машин предназначена для решения отдельного строго определенного класса задач, и создание новых машин для решения новых типов задач возможно лишь в результате сознательной работы ученого. Машинная вычислительная техника является мощным вспомогательным средством научного исследования.

II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 в.

Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6-5 вв. до н. э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6-5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математические исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счету предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчетам и т. п. Первые шаги механики и физики [за исключением отдельных исследований греческого ученого Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых] могли еще удовлетвориться этим же запасом основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17-18 вв. систематически предъявляла математике свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии. Запас понятий, с которым имела дело математика до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.

В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить свое внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании и т. п.). С употребления переменных величин в аналитической геометрии французского ученого Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин, который можно условно назвать также периодом «высшей математики». Естественно, впрочем, что ни в этот, ни в следующий период не прекращалось и дальнейшее развитие элементарной математики.

Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, привело в начале 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание русским математиком

H.И. Лобачевским его «воображаемой геометрии», получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные новые черты, что математику в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики.

1. Зарождение математики

Счет предметов на самых ранних ступенях развития культуры привел к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления (см.) возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы выполнения над натуральными числами четырех арифметических действий (из которых только деление еще долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приемов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику (см.). Измерение площадей и объемов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии (см.). Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии.

Египет. Сохранившиеся математические тексты Древнего Египта состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удается понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, так как математической теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. Об этом свидетельствует, например, то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближенных. Тем не менее, самый запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й половины 2-го тысячелетия до н. э. состояние египетской математики того времени может быть охарактеризовано в следующих чертах. Преодолев все трудности действий с целыми числами на основе системы счисления, понятной из примера

египтяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, которые были бы теперь записаны в виде уравнений с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объемов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объемы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объема усеченной пирамиды с квадратным основанием, соответствующего формуле

Правила вычисления площади круга и объемов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближенному значению 7г = 3, иногда же значительно более точному 7Г = (~) = 3.16... См. также Папирусы математические.

Вавилония. Математических текстов, позволяющих судить о математике в Вавилонии, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математические тексты (см.) охватывают период от 2-го тысячелетия до н. э. (эпоха династии Хаммурапи и касситов) до возникновения и развития греческой математики. Однако уже первые из этих текстов относятся к периоду расцвета вавилонской математики; дальнейшие тексты, несмотря на наличие некоторых новых моментов, свидетельствуют в целом скорее о ее застое. Вавилония времен династии Хаммурапи получила еще от шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятиричную систему нумерации, заключавшую уже в себе позиционный принцип (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятиричных разрядов). Например:

Аналогично обозначались и шестидесятиричные дроби. Это позволяло совершать действия с целыми числами и с шестидесятиричными дробями по единообразным правилам. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. В более поздних текстах вычисление обратных чисел доводится до восьмого шестидесятиричного знака. Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубичных корней. Большое количество хозяйственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной хозяйственной дворцовой и храмовой деятельности. Широкое развитие получили также расчеты процентов по долгам. Имеется также ряд текстов времен династии Хаммурапи, посвященных решению задач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям первой, второй и даже третьей степени. Существует предположение, что такие более отвлеченные научные интересы, не ограничивавшиеся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводившие к созданию общих алгебраических методов решения задач, возникли в «школах писцов», где ученики готовились к счетно-хозяйственной деятельности. Тексты такого рода позднее исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в 1-м тысячелетии до н. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают первые обширные таблицы

эмпирически найденных зависимостей, в которых можно видеть прообраз идеи функции. Вавилонская клинописная математическая традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистическую эпоху вплоть до 1 в. до н. э. Из достижений вавилонской математики в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и некоторые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии. Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.

2. Период элементарной математики

Только после накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений, способов определения площадей и объемов и т. п. возникает математика как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости систематического развития ее основных понятий и предложений в достаточно общей форме. В применении к арифметике и алгебре возможно, что этот процесс начался уже в Вавилонии. Однако вполне определилось это новое течение, заключавшееся в систематическом и логически последовательном построении основ математической науки, в Древней Греции. Созданная древними греками система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории. Из арифметики постепенно вырастает теория чисел (см. Чисел теория). Создается систематическое учение о величинах (см.) и измерении. Процесс формирования (в связи с задачей измерения величин) понятия действительного числа (см. Число) оказывается, как будет видно из дальнейшего, весьма длительным. Дело в том, что понятия иррационального и отрицательного числа относятся к тем более сложным математическим абстракциям, которые, в отличие от понятий натурального числа, дроби или геометрической фигуры, не имеют достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. Даже в наше время, когда их реальное содержание и практическая польза общепризнаны, эти математические понятия воспринимаются начинающими не без труда и обычно только в результате систематического школьного обучения. Естественно, что их формирование потребовало от человечества больших усилий.

Создание алгебры (см.) как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у греческого математика Диофанта (вероятно, 3 в.) и более систематически — в Индии в 7 в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. французским математиком Ф. Виетом.

Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии (см.) как плоской, так и сферической.

Период элементарной математики заканчивается (в Западной Европе в начале 17 в.), когда центр тяжести математических интересов переносится в область математики переменных величин. Естественно, что этот переход был подготовлен предшествующим развитием математики. Еще в математике древнего мира на материале изучения тригонометрических функций и при составлении их таблиц формируются представления о функциональной зависимости. Но, например, представление об угловом аргументе, изменяющемся от 0 до +00, и тригонометрических функциях от такого аргумента возникает только в 16 в. (у Виета). Греческие математики (особенно Архимед) подходят к идеям анализа бесконечно малых, но это течение не получает развития; интерес к нему после неясных попыток английского математика Т. Брадвардина (14 в.) и итальянского математика Николая Кузанского (15 в.) возобновляется лишь в конце 16 в. (фламандский ученый С. Стевин). Таким образом, весь период до 17 в. остается в основном периодом элементарной математики.

Начало рассматриваемого периода развития математики (греческая, эллинистическая и римская математика) относится к эпохе рабовладельческого общества, вторая же половина — к эпохе феодального (в Китае, Индии, Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Западной Европе). После бурного расцвета, греческая и эллинистическая математика, все более отрываясь от практики в условиях господства рабовладельческих отношений и подчиняясь ограничительным тенденциям идеалистической философии, приходит к окончательному упадку. В средние века в странах Востока с их большими гидротехническими сооружениями, развитием мировых торговых центров, возросшими потребностями в крупных геодезических работах и более практическими тенденциями чиновничьей бюрократии, тесно сращивающейся с купечеством, особенное развитие получает вычислительная сторона математики.

В конце рассматриваемого периода на темпы роста западноевропейской математики оказывает влияние процесс зарождения в недрах феодализма нового буржуазного общества. В эпоху Возрождения (15-16 вв.) быстро возрастают запросы к математике со стороны инженеров, строителей, художников, военных, мореплавателей и географов. Вместе с тем создание в университетах возможности более свободной научной критики и научной конкуренции стимулирует решение трудных, казавшихся ранее неразрешимыми задач и более смелое развитие теории.

Древняя Греция. Развитие математики в Древней Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении вычислительной техники, искусства решения задач алгебраического характера и разработки ма-

тематических средств астрономии лишь в эллинистическую эпоху был достигнут и превзойден уровень вавилонской математики, то уже гораздо раньше математика в Древней Греции вступила в совершенно новый этап логического развития. Появилась потребность в отчетливых математического доказательствах, были сделаны первые попытки систематического построения математической теории. Математика, как и все научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Древнего Востока; она создается теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математические сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохраненных позднейшими комментаторами). Это изменение характера математической науки объясняется более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. Возникновение независимой от религии философской мысли привело к потребности в рациональном объяснении явлений природы, что поставило перед математикой новые задачи.

Греки считали себя в области арифметики учениками финикиян, объясняя высокое развитие арифметики у них потребностями их обширной торговли; начало же греческой геометрии традиция связывает с путешествиями в Египет первых греческих геометров и философов Фалеса Милетского (конец 7 в. — 1-я половина б в. до н. э.) и Пифагора Самосского (6 в. до н. э.). В школе Пифагора арифметика из простого искусства счисления перерастает в теорию чисел. Суммируются простейшие арифметические прогрессии [в частности, 14-3+5H-----h(2n—1) = n2], изучаются делимость чисел, различные виды средних (арифметическое, геометрическое и гармоническое). Более изысканные вопросы теории чисел (например, разыскание так называемых совершенных чисел) связываются в школе Пифагора с мистическим магическим значением, приписываемым числовым соотношениям. В связи с геометрической теоремой Пифагора был найден метод получения неограниченного ряда троек «пифагоровых чисел», т. е. троек чисел, удовлетворяющих соотношению а2 + Ь2 = с2. В области геометрии задачи, которыми занимались греческие геометры 6-5 вв. до н. э. после усвоения египетского наследства, также естественно возникают из простейших запросов строительного искусства, землемерия и навигации. Таковы, например, вопросы о соотношении между длинами катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника (выражаемом «теоремой Пифагора»), соотношении между площадями подобных фигур, квадратуре круга, трисекции угла и удвоении куба (см.). Новым, однако, является подход к этим задачам, ставший необходимым с усложнением предмета исследования. Не ограничиваясь приближенными, эмпирически найденными решениями, греческие геометры ищут точных доказательств и логически исчерпывающих решений проблемы. Ярким примером этой новой тенденции может служить доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной. Во 2-й половине 5 в. до н. э. философская и научная жизнь Греции сосредоточивается в Афинах, куда собираются ученые из различных концов греческого мира. Здесь протекает основная деятельность Гиппия Элитского и Гиппократа Хиосского. Испробовав элементарные средства решения задачи о трисекции угла, Гиппий Элитский около 420 до н. э. решает эти задачи при помощи построения специальной трансцендентной кривой — квадратрисы (см.), которую Динострат (4 в. до н. э.) затем применяет

к решению задачи о квадратуре круга. Первый систематический учебник геометрии приписывается Гиппократу Хиосскому (2-я половина 5 в. до н. э.). К этому времени, несомненно, уже была создана разработанная система геометрии, не пренебрегавшая такими логическими тонкостями, как доказательство случаев равенства треугольников и т. п. Отражением в математике первых, хотя бы и чисто умозрительных, попыток рационального объяснения строения материи явилось едва ли не самое замечательное достижение геометрии 5 в. до н. э. — разыскание всех пяти правильных многогранников — результат поисков идеальных простейших тел, могущих служить основными камнями мироздания. На границе 5 и 4 вв. до н. э. знаменитый философ-материалист Демокрит, исходя из атомистических представлений, создает способ определения объемов, послуживший позднее для Архимеда исходным пунктом разработки метода бесконечно малых. В 4 в. до н. э. в обстановке политической реакции и упадка могущества Афин наступает эпоха известного подчинения математики ограничениям, выдвинутым идеалистической философией. Наука о числах строго отделяется здесь от «искусства счисления», а геометрия — от «искусства измерения». Опираясь на существование несоизмеримых отрезков, площадей и объемов, Аристотель налагает общий запрет на применение арифметики к геометрии. В самой геометрии проводится строгое ограничение построениями, осуществимыми при помощи циркуля и линейки; найденные в эту же эпоху решения так называемой делийской задачи об удвоении куба объявляются лежащими вне геометрии, так как они прибегают к более сложным конструктивным средствам. Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 в. до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логическому анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского (1-я половина 4 в. до н. э.), разработавшего теорию пропорций и давшего первое доказательство теоремы об объеме пирамиды, известной в качестве эмпирического факта египтянам с начала 2-го тысячелетия до н. э., см. выше). По поводу этого доказательства им было сформулировано общее допущение (называемое часто аксиомой Архимеда), лежащее в основе метода исчерпывания (см. Исчерпывания метод). В стороне от главного течения математики 4 в. до н. э. следует отметить начало математической разработки механики у Архита Тарентского (2-я половина 5 в. — 1-я половина 4 в. до н. э.) — полководца и автора одного из упоминавшихся решений задачи об удвоении куба.

Эллинистическая и римская эпоха. С 3 в. до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно математических исследований являлась Александрия. Здесь, в обстановке объединения различных мировых культур, больших государственных и строительных задач и невиданного ранее по своей широте государственного покровительства науке, греческая математика достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греческой образованности и научных интересов во всем эллинистическом и римском мире, Александрия с ее «музеем», являвшимся первым научно-исследовательским институтом в современном смысле слова, и библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие ученые стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. Наибольшей напряженностью математического творчества отличается первый век Александрийской эпохи (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат

Эвклид, Архимед (см.), Эратосфен и Аполлоний Пергский. Сложные гидротехнические сооружения (например, архимедов винт), требования военной техники (метательные машины Архимеда), запросы мореплавания (исследования Архимеда о равновесии и устойчивости плавающих тел), развитие геодезии и картографии (определение Эратосфеном размеров земного шара), а также разработка точных астрономических измерений и вычислений (Юлианское приближение к длине года, равное 365^ дней), наконец, развитие механики и оптики — все это поставило перед математикой множество новых задач. 3 в. до н. э. явился веком плодотворного соединения соответствующего этим требованиям стремительного развития математики вширь с глубиной теоретической мысли. В частности, возникший из прикладных нужд интерес к приближенному измерению величин и приближенным вычислениям не привел математиков 3 в. до н. э. к отказу от математической строгости. Все многочисленные приближенные извлечения корней и даже все астрономические вычисления производились ими с точным указанием границ погрешности, по типу знаменитого архимедова определения длины окружности в форме безукоризненно доказанных неравенств

где р — длина окружности с диаметром d. Это отчетливое понимание того, что приближенная математика не есть «нестрогая» математика, было позднее надолго забыто.

В своих «Началах» Эвклид собрал и подверг окончательной логической переработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. «Начала» Эвклида). Вместе с тем в «Началах» же Эвклид впервые заложил основы систематической теории чисел, доказывая бесконечность ряда простых чисел и строя законченную теорию делимости. Наконец, «Начала» содержат во второй, шестой и десятой книгах своеобразную геометрическую замену алгебры, позволившую в геометрической форме не только решать квадратные уравнения, но и производить сложные преобразования квадратичных иррациональных выражений. В стиле этой же «геометрической алгебры» Архимед сформулирован свою теорему о сумме квадратов членов арифметической прогрессии. Из геометрических работ Эвклида, не вошедших в «Начала», и работ Аполлония Пергского наибольшее значение для дальнейшего развития математики имело создание законченной теории конических сечений (см.). Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объемов (в том числе площадей параболического сегмента и поверхности шара, объемов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (например, шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль (см.) является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кривых. После Архимеда, хотя и продолжался рост объема научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины. В астрономии это выразилось в том, что, несмотря на возросшую точность наблюдений и усовершенствование математического аппарата, вполне усвоенные лучшими умами предшествующих поколений идеи Аристарха Самосского (конец 4 в. — 1-я половина 3 в. до н. э.) о движении Земли вокруг Солнца и о расстояниях до неподвижных звезд были отвергнуты. В математике зачатки анализа бесконечно малых, содержавшиеся в эвристиче-

ских приемах Архимеда (сообщенных им в специальном сочинении «О методе» с указанием на их нестрогость; в окончательном изложении он считал нужным заменять их методом исчерпывания), не получили дальнейшего развития.

Существенным недостатком всей математики древнего мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального числа. Как уже было указано, это обстоятельство привело философию 4 в. до н. э. к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрических величин. В действительности, в теории пропорций и в методе исчерпывания математикам 4 и 3 вв. до н. э. все же удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разрешение проблемы путем создания фундаментального нового понятия (иррационального числа), а постепенное ее забвение, ставшее возможным с постепенной утратой представлений о математической строгости. На этом этапе истории математики временный отказ от математической строгости оказался, однако, полезным, открыв возможность беспрепятственного развития алгебры, допускавшейся в рамках строгих концепций эвклидовых «Начал» лишь в чрезвычайно стеснительной форме «геометрической алгебры» отрезков, площадей и объемов.

Значительные успехи в этом направлении можно отметить в «Метрике» Герона (см.) (вероятно, 1 в.), известного особенно своими работами по геодезии, составившими основу грандиозной практической деятельности римских геодезистов. Это замечательное сочинение, являющееся первым самостоятельным изложением приемов вычислительной геометрии, содержит, между прочим, так называемую формулу Герона (известную, впрочем, еще Архимеду)

для площади треугольника (под знаком корня произведение четырех отрезков — выражение, геометрически бессмысленное). Однако самостоятельное и широкое развитие настоящего алгебраического исчисления встречается лишь в «Арифметике» Диофанта (см.), посвященной в основном решению уравнений. Здесь формулируется правило перенесения членов из одной части уравнения в другую, производится умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение, даются общие приемы решения квадратных уравнений, решаются также некоторые задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, и задачи на неопределенные уравнения с несколькими неизвестными. Диофант ищет всегда положительные решения; однако при умножении алгебраических выражений употребляет правило для умножения «отнимаемых» чисел, предваряющее позднейшие правила действий с отрицательными числами. Относя свои исследования к чистой арифметике, Диофант, естественно, ограничивается, в отличие от практика Герона, рациональными решениями, исключая тем самым возможность геометрических или механических приложений своей алгебры. Тригонометрия воспринимается в древнем мире в большой мере как часть астрономии, а не как часть математики. К ней так же, как и к вычислительной геометрии Герона, не предъявляется требований полной строгости формулировок и доказательств; Гиппарх (2 в. до н. э) первый составил таблицы хорд, исполнявшие роль наших таблиц синусов. Начала сферической тригонометрии создаются Менелаем (1 в.) и Клавдием Птолемеем (2 в.). Птолемею же принадлежит инициатива систематического употребления

широт и долгот для обозначения географических мест, что явилось, по-видимому, первой формой употребления системы координат.

В области чистой математики деятельность ученых последних веков древнего мира (кроме Диофанта) все более сосредоточивается на комментировании старых авторов. Впрочем, Паппу (вероятно, конец 3 в.) среди обширных комментариев на «Начала» Эвклида удалось установить теорему (позднее названную теоремой Гюльдена) об объеме произвольного тела вращения. Труды ученых-комментаторов этого времени [Паппа, Прокла (5 в.) и др.], при всей их универсальности, не могли уже в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта, включенной в астрономию тригонометрии и откровенно нестрогой вычислительной геометрии Герона, популярной у геодезистов, в единую, способную к большому развитию науку.

Китай. С окончательным упадком культуры греко-римского мира центр научного прогресса на долгое время переносится на Восток. На дальнейшее развитие математики в Европе наибольшее влияние оказали работы математиков Индии, Средней Азии и Ближнего Востока. Однако хронологически во многих вопросах первенство принадлежит математикам Китая. Уже «Арифметика в девяти главах», составленная по более ранним источникам во 2-1 вв. до н. э. Чжан Цаном и Цзин Чоу-чаном, обнаруживает наличие у китайских математиков высоко разработанной вычислительной техники и интерес к общим алгебраическим методам. В этом сочинении впервые описывается способ извлечения квадратного и кубичного корня из целых чисел, совпадающий в существенном с современным школьным способом.

Большое число задач формулируется так, что их можно понять только как примеры, служившие для разъяснения отчетливо воспринятой схемы исключения неизвестных в системах линейных уравнений. Например, система уравнений, которая в современной записи имела бы вид:

вводится при помощи условий «три пачки зерна первого сорта вместе с двумя пачками второго и одной третьего составляют 39 мер» (и точно так же для второго и третьего уравнений).

Система записывается в виде таблицы

1

2

3

1-й сорт

2

3

2

2-й сорт

3

1

1

3-й сорт

26

34

39

меры

Числа второго столбца умножаются на «число первого сорта» третьего столбца, т. е. на 3, и из них вычитаются дважды числа третьего столбца. Затем числа третьего столбца вычитаются из умноженных на 3 чисел первого столбца. В ре-

зультате этих двух операций получается таблица

4

5

2-й сорт

8

1

3-й сорт

39

24

меры

Тем же способом, в котором без труда можно узнать способ исключения неизвестных при помощи «уравнивания коэффициентов», решается полученная система уравнений с двумя неизвестными, что дает таблицу

36

3-й сорт

99

меры

откуда: г = || = 2|ит. д. В тех случаях, когда описанный алгоритм приводит, в современной терминологии, к отрицательным числам, в «Арифметике в девяти главах» рекомендуется метод «чжэн-фу» («чжэн» означает «прибавляемый», «фу» — «вычитаемый»; такие числа изображались различными цветами: чжэн — красным, фу — черным). Отрицательных решений уравнений в китайских источниках не имеется, но с отрицательными коэффициентами китайские математики обращаются с большой свободой. В последнем отделе «Арифметики в девяти главах» формулируется чисто арифметически теорема Пифагора и решается ряд задач на ее применение.

В связи с календарными расчетами в Китае возник интерес к задачам такого типа: при делении числа на 3 остаток есть 2, при делении на 5 остаток есть 3, а при делении на 7 остаток есть 2, каково это число? Сунь-цзы (между 2 и 6 вв.) и более полно Цинь Цзю-шао (13 в.) дают изложенное на примерах описание регулярного алгоритма для решения таких задач, найденного много позднее немецким математиком К. Гауссом (1801). Примером высокого развития вычислительных методов в геометрии может служить результат Цзу Чун-чжи (2-я половина 5 в.), который показал, что отношение длины окружности к диаметру лежит в пределах

3.1415926 < 7г < 3.1415927.

Особенно замечательны работы китайцев по численному решению уравнений. Геометрические задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяо-туна (1-я половина 7 в.). Изложение методов решения уравнений четвертой и высших степеней было дано в работах математиков 13-14 вв. Цинь Цзю-шао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Ши-цзе. Употребляемый ими «метод небесного элемента» в существенном совпадает с методом, известным ныне под названием метода Горнера (по имени английского ученого, вновь открывшего его в 1819). Любопытным следствием высокого развития именно приближенных вычислительных методов является то, что в трактате Цинь Цзю-шао «Девять отделов математики» (1247) биквадратное уравнение решается по общей схеме, причем в промежуточных вычислениях фигурирует полное уравнение четвертой степени. К 14 в. средневековая китайская математика достигла своего высшего развития. Связи ее с греко-римской, индийской, среднеазиатской и средневековой западноевропейской математикой мало изучены, однако их наличие доказывается тем, что ряд задач повторяется в математических рукописях

различных стран с точным совпадением числовых данных. Например, указанная выше китайская задача на решение системы сравнений

точно повторяется в «Книге об абаке» итальянского математика Леонардо Пизанского (1202).

Индия. Расцвет индийской математики относится к 5-12 вв. [наиболее известны индийские математики Ариабхата (конец 5 в.), Брамагупта (7 в.), Бхаскара (12 в.)]. Индийцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение в широкое употребление современной десятичной системы нумерации и систематическое употребление нуля для обозначения отсутствия единиц данного разряда (лишь в некоторых случаях аналогичный знак в шестидесятиричной системе встречается в поздних вавилонских текстах) и разработка на этой основе более совершенной вычислительной техники, включая близкие к современным приемы деления многозначных чисел (эта операция не представляла, конечно, для математиков древнего мира принципиальной трудности, но осуществлялась более сложным образом). Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь «арабскими», не вполне выяснено. Второй, еще более важной основной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. «Вычитаемые» числа (обозначаемые точкой наверху) у индийцев (в отличие от Диофанта и подобно китайцам) получают право стоять отдельно. Например, уравнение

может быть преобразовано (по Брамагупта) в

О реальном истолковании отрицательных чисел (с противоположностью имущества и долга) у индийцев встречаются лишь отдельные упоминания, обычно же при истолковании решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в то время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее (в полной мере в 17 в.) получают самостоятельное значение.

Брамагупта дал общее правило решения квадратных уравнений (объединяя при помощи употребления отрицательных чисел различные случаи, рассматривавшиеся Диофантом, в один). Бхаскара указал на двузначность квадратного корня, занимался исследованием иррациональных выражений вида л/а H- л/Ь, делая преобразования типа:

владел приемами освобождения дроби от иррациональности в знаменателе, решал некоторые частные случаи уравнений высших степеней. Наконец, Брамагупта и Бхаскара дали общие методы решения в целых числах неопределенного уравнения первой степени с двумя неизвестными, а также уравнений вида: ах2 + Ь = су2 и ху = ах + by 4- с.

В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.

Средняя Азия и Ближний Восток. Арабские завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели к тому, что в течение 9-15 вв. ученые Средней Азии, Ближнего Востока и Пиренейского полуострова пользовались арабским языком. Наука здесь развивается в мировых торговых городах, в обстановке широкого международного общения и государственной поддержки больших научных начинаний [например, точное измерение дуги меридиана по повелению халифа аль-Мамуна в начале 9 в., строительство в 13 в. обсерватории в Мараге для азербайджанского ученого Насирэддина Туси внуком Чингисхана Хулагу-ханом, учреждение библиотек (библиотека в Кордове содержала в 9 в. 600 тыс. томов)]. Блестящим завершением этой эпохи явилась в 15 в. деятельность узбекского астронома Улуг-бека, который при своем дворе и обсерватории в Самарканде собрал более ста ученых и организовал долго остававшиеся непревзойденными астрономические наблюдения, вычисление математических таблиц и т. п.

До недавнего времени в западноевропейской науке господствовало мнение, что роль «арабской культуры» в области математики сводится в основном к сохранению и передаче математикам Западной Европы математических открытий древнего мира и Индии. Действительно, сочинения греческих математиков впервые стали известны в Западной Европе по арабским переводам. Однако все более выясняется, что в действительности вклад математиков, писавших на арабском языке, и в частности математиков, принадлежавших к народам современной советской Средней Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских), в развитие науки значительно больше.

В 1-й половине 9 в. среднеазиатский ученый Мухаммед бен-Муса Хорезми впервые дал изложение алгебры как самостоятельной науки. Термин «алгебра» производят от названия сочинения Хорезми «Ал-джебр», по которому европейские математики раннего средневековья познакомились с решением квадратных уравнений. Вскоре после Хорезми впервые начинают систематически рассматриваться задачи, приводящие к уравнениям третьей степени. Среднеазиатский ученый Бируни (конец 9 в. — 1-я половина 10 в.) привел задачу о нахождении стороны правильного девятиугольника к решению уравнения х3 + 1 = Зх и получил приближенное решение этого уравнения в виде шестидесятиричной дроби. Задача о построении правильного семиугольника была сведена к решению уравнения Xs + 1 = 2х + X2. Ибн-аль-Хайтам из Ирака (конец 10 в. — начало 11 в.) свел одну из задач геометрическоой оптики к решению уравнения четвертой степени. Таджикский математик Хайям (см.) (конец 11 в. — начало 12 в.) систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своем алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками

точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как геометрические (при помощи конических сечений), так и приближенные численные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, математики Средней Азии и Ближнего Востока применяли в больших научных вычислениях по преимуществу шестидесятиричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятиричным делением углов в астрономии). На этой основе ими была создана и единая система обозначения шестидесятиричных целых и дробных чисел: запись

(знак -f здесь отделяет целые разряды от дробных) обозначала число

Иранский ученый Абу-ль-Вефа (10 в.), уже пользовавшийся этой системой, написал сочинение о способах извлечения корней третьей, четвертой и пятой степеней. Омар Хайям в недошедшем до нас сочинении изложил способы извлечения корней с любым натуральным показателем.

В связи с астрономическими и геодезическими работами большое развитие получила тригонометрия. Сириец аль-Батани (2-я половина 9 в. — начало 10 в.) ввел в употребление тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс, Абу-ль-Вефа — все шесть тригонометрических функций, он же выразил словесно алгебраические зависимости между ними, вычислил таблицы синусов через 10х с точностью до 1/604 и таблицы тангенсов и установил теорему синусов для сферических треугольников. Азербайджанский ученый Насирэддин Туси (13 в.) (см. Насирэддин) достиг известного завершения разработки сферической тригонометрии, систематически рассмотрев все шесть случаев решения сферических треугольников; сам он впервые нашел решение двух труднейших случаев (определение углов по трем сторонам и сторон по трем углам). Насирэддин перевел на арабский язык и комментировал «Начала» Эвклида; комментарии к «Началам» составил также Хайям. Их занимает принципиальный вопрос о доказуемости постулата о параллельных. Собственные их сочинения написаны с большим вниманием к изложению строгих доказательств теорем. Принципиальное значение имеет возникновение у Хайяма и Насирэддина ясной концепции действительного (положительного) числа. Например, о произвольном отношении величин (соизмеримых или несоизмеримых) Насирэддин писал: «каждое из этих отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов».

В заключение следует специально остановиться на достижениях сотрудника Улуг-бека самаркандского математика Гиясэддина Джемшида ибн-Масуда аль-Каши (см.) (начало 15 в.). Он дал систематическое изложение арифметики десятичных дробей, которые справедливо считал более доступными, чем шестидесятиричные. В Европе аналогичного совершенства приемы вычислений с десятичными дробями достигли только у фламандского ученого С. Стевина в конце 16 в. В связи с вопросами извлечения корней Джемшид сформулировал словесно формулу бинома Ньютона, указал правило образования коэффициентов

В «Трактате об окружности» (около 1427) Джемшид, определяя периметры вписанного и описанного 3 • 228-угольников, нашел 7г с семнадцатью десятичными знаками. В связи с построением обширных таблиц синусов Джемшид дал весьма совершенный итерационный метод численного решения уравнений.

Западная Европа до 16 в. 12-15 вв. являются для западноевропейской математики по преимуществу периодом усвоения наследства древнего мира и Востока. Тем не менее уже в этот период, не приведший еще к открытию особенно значительных новых математических фактов, общий характер европейской математической культуры отличается рядом существенных прогрессивных черт, обусловивших возможность стремительного развития математики в последующие века. Высокий уровень требований быстро богатеющей и политически независимой буржуазии итальянских городов привел к созданию и широкому распространению учебников, соединяющих практическое общее направление с большой обстоятельностью и научностью. Меньше чем через 100 лет после появления в 12 в. первых латинских переводов греческих и арабских математических сочинений итальянский математик Леонардо Пизанский (Фибоначчи) выпускает в свет свои «Книгу об абаке» (1202) и «Практику геометрии» (1220), излагающие арифметику, коммерческую арифметику, алгебру и геометрию. Эти книги имели большой успех; «Книга об абаке» распространяется с 1228 в новом переработанном варианте. К концу рассматриваемой эпохи (с изобретением книгопечатания) учебники, вроде изданного в 1494 курса арифметики, геометрии, пропорций и пропорциональности итальянского математика Луки Пачоли, получают еще более широкое распространение. Наряду с этим практическим направлением, основными центрами теоретической научной мысли становятся университеты. Прогресс алгебры как теоретической дисциплины, а не только собрания практических правил для решения задач, сказывается в ясном понимании природы иррациональных чисел как отношений несоизмеримых величин [английский математик Т. Брадвардин (1-я половина 14 в.) и французский математик Н. Оресм (середина 14 в.)] и особенно во введении дробных (Н. Оресм), отрицательных и нулевых [французский математик Н. Шюке (конец 15 в.)] показателей степеней. Здесь же возникают первые, предваряющие следующую эпоху идеи о бесконечно больших и бесконечно малых величинах [Т. Брадвардин и итальянский математик Николай Кузанский (1-я половина 15 в.)], о характере изменения функций вблизи максимумов и минимумов (Н. Оресм) и т. п. Широкий размах научных исследований этой эпохи нашел отражение не только в многочисленных переводах и изданиях греческих и арабских авторов, но и в таких начинаниях, как составление обширных тригонометрических таблиц, вычисленных с точностью до седьмого знака немецким математиком И. Региомонтаном (И. Мюллером), являющимся также автором руководства по тригонометрии «Пять книг о всевозможных треугольниках» (1461, опубликовано в 1533). Значительно совершенствуется математическая символика; например, записи Шюке в конце 15 в., будучи отличными по форме, мало отличаются от современных по своей лаконичности:

Еще более существенным является развитие научной критики и полемики, вследствие чего, например, предложенный Николаем Кузанским в качестве точного, в действительности же лишь приближенный метод спрямления окружности немедленно нашел опровержение в специальном сочинении Региомонтана. Следует отметить также, что сосредоточенные поиски решения трудных задач, поощряемые обычаем публичных состязаний в их решении, приводят к первым доказательствам неразрешимости. Уже Леонардо Пизанский в сочинении «Цветок» (около 1225), в котором собраны предложенные ему и блестяще решенные им задачи, доказал неразрешимость уравнения: х3 + 2х2 + 10х = 20 не только в рациональных числах, но и при помощи простейших квадратических иррациональностей (вида

Западная Европа в 16 в. Этот век был первым веком превосходства Западной Европы над древним миром и Востоком. Так было в астрономии (открытие польского астронома Н. Коперника) и в механике (к концу этого столетия уже появляются первые исследования итальянского ученого Г. Галилея), так в целом обстоит дело и в математике, несмотря на то, что в некоторых направлениях европейская наука еще отстает от достижений среднеазиатских математиков 15 в. и что в действительности большие новые идеи, определившие дальнейшее развитие новой европейской математики, возникают лишь в следующем, 17 в. В 16 же веке казалось, что новая эра в математики начинается с открытием алгебраического решения уравнений третьей (итальянским математиком С. Ферро, около 1515, и позднее и независимо итальянским математиком Н. Тартальей, около 1530) и четвертой (итальянским математиком Л. Феррари, 1545) степени, которое считалось в течение столетий неосуществимым (подробнее об истории этих открытий см. Алгебра, Кардано формула). Итальянский математик Дж. Кардано исследовал уравнения третьей степени, открыв так называемый неприводимый случай, в котором действительные корни уравнения выражаются комплексно. Это заставило Кардано, хотя и очень неуверенно, признать пользу вычислений с комплексными числами. Он же предложил общие методы приближенного решения уравнений любой степени. Дальнейшее развитие алгебра получила у французского математика Ф. Виета (см.), указавшего, например, способ составления уравнения п-й степени по его корням. Виет является основателем настоящего алгебраического буквенного исчисления (1591) (до него буквами обозначались лишь неизвестные). Из других достижений 16 в. следует указать разложение квадратных корней в непрерывную дробь (итальянский математик Р. Бомбелли, 1572), первое точное аналитическое выражение для 7г в виде бесконечного произведения (Виет, 1593), определение тригонометрических функций для аргумента, изменяющегося до -Ьоо (Виет, 1594). Учение о перспективе, развивавшееся в геометрии еще ранее 16 в., излагается знаменитым немецким художником А. Дюрером (1525). Виет применил алгебраические методы к исследованию возможности геометрических построений, являясь также тонким мастером в синтетическом решении задач на построение [он восстановил (1600), например, утерянное решение задачи Аполлония о построении окружности, касающейся трех данных]. Независимо от Джемшида немецкий математик М. Штифель (1544) открыл закон образования биномиальных коэффициентов, а фламандский ученый С. Стевин разработал (1585) правила арифметических действий с десятичными дробями.

Россия до 18 в. Математическое образование в России находилось в 9-13 вв. на уровне наиболее культурных стран Восточной и Западной Европы. Затем оно было надолго задержано монгольским нашествием. В 15-16 вв. в связи с укреплением русского государства и экономическим ростом страны значительно выросли потребности общества в математических знаниях. В конце 16 в. и особенно в 17 в. появляются многочисленные рукописные руководства по арифметике, геометрии, в которых излагались довольно обширные сведения, необходимые для практической деятельности (торговли, налогового дела, артиллерийского дела, строительства и пр.).

В Древней Руси получила распространение сходная с греко-византийской система числовых знаков, основанная на славянском алфавите. Каждая буква, независимо от ее местоположения, обозначала одно и то же число, при этом над буквой ставили знак (титло). Буквы от ä до 6 обозначали единицы (персты), от I до У — десятки, от f до 1| - сотни. Те же буквы обозначали также числа высших разрядов, но для этого употреблялись особые знаки. Так, для обозначения тысяч перед соответствующей буквой ставился знак jf. Славянская нумерация в русской математической литературе встречается до начала 18 в., но уже с конца 16 в. эту нумерацию все более вытесняет принятая ныне десятичная позиционная система.

Наиболее древнее известное нам математическое произведение относится к 1136 и принадлежит новгородскому монаху Кирику. Оно посвящено арифметико-хронологическим расчетам, которые показывают, что в то время на Руси умели решать сложную задачу вычисления пасхалий (определения на каждый год дня наступления праздника пасхи), сводящуюся в своей математической части к решению в целых числах неопределенных уравнений первой степени. Арифметические рукописи конца 16-17 вв. содержат, помимо изложения славянской и арабской нумерации, арифметических операций с целыми положительными числами, также подробное изложение правил действия с дробями, тройное правило и решение уравнений первой степени с одним неизвестным посредством правила ложного положения. Для целей практического использования общих правил в рукописях рассматривалось много примеров реального содержания и излагался так называемый дощаный счет — прототип русских счётов (см.). Подобным же образом была построена и первая арифметическая часть знаменитой «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (1703). В геометрических рукописях, в большинстве своем преследовавших также практические цели, содержалось изложение правил определения площадей фигур и объемов тел, часто приближенных, использовались свойства подобных треугольников и теорема Пифагора.

Необходимо отметить, что русские математические рукописи до сих пор еще недостаточно изучены. В последние годы (1950) удалось обнаружить ряд важных документов, которые показывают, что в 15-17 вв. в России интересовались философскими проблемами математики — определением основных геометрических понятий (точки, линии, сферы и др.), вопросами, связанными с понятиями бесконечности, непрерывности и пр.

3. Период создания математики переменных величин

С 17 в. начинается существенно новый период развития математики. Ф. Энгельс по этому поводу писал: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление» (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1952, стр. 206). Круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых теперь математикой, уже не исчерпывается числами, величинами и геометрическими фигурами. В основном это было обусловлено явным введением в математику идей движения и изменения. Уже в алгебре в скрытом виде содержится идея зависимости между величинами (значение суммы зависит от значений слагаемых и т. д.). Однако, чтобы охватить количественные отношения в процессе их изменения, надо было самые зависимости между величинами сделать самостоятельным предметом изучения. Поэтому на первый план выдвигается понятие функции (см.), играющее в дальнейшем такую же роль основного и самостоятельного предмета изучения, как ранее понятия величины или числа. Изучение переменных величин и функциональных зависимостей приводит далее к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла (см.). Создается анализ бесконечно малых, в первую очередь в виде дифференциального исчисления и интегрального исчисления (см.), позволяющий связывать конечные изменения переменных величин с их поведением в непосредственной близости отдельных принимаемых ими значений. Основные законы механики и физики записываются в форме дифференциальных уравнений (см.), и задача интегрирования этих уравнений выдвигается в качестве одной из важнейших задач математики. Разыскание неизвестных функций, определенных другого рода условиями, составляет предмет вариационного исчисления (см.). Таким образом, наряду с уравнениями, в которых неизвестными являются числа, появляются уравнения, в которых неизвестны и подлежат определению функции.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур (см. Движение в геометрии, Преобразования геометрические). Одно и то же движение или одно и то же преобразование может перемещать или преобразовывать самые различные фигуры. Поэтому геометрия начинает изучать движение и преобразования сами по себе. Например, в проективной геометрии (см.) одним из основных предметов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к концу 18 в. и началу 19 в.

Гораздо раньше, с созданием в 17 в. аналитической геометрии (см.), принципиально изменилось отношение геометрии к остальной математике: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраическими и аналитическими методами, а с другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраических и аналитических фактов геометрически, например, при графическом изображении функциональных зависимостей (см. Координаты). Эта обратная возможность была, однако, ограничена трехмерностью пространства. Такое положение привело к склонности рассматривать арифметику, алгебру и анализ с теорией функций как части «чистой» математики, определяемой в качестве науки о числах, величинах и зависимостях между изменяющимися величинами, геометрию же считать первой частью (предшествующей, например, механике) «прикладной» математики, применяющей результаты «чистой» математики и вырабатывающей свои методы для специального изучения геометрических фигур и геометрических преобразований. На следующем этапе развития такое подчиненное положение геометрии было вновь устранено.

Алгебра 17 и 18 вв. в значительной мере посвящена следствиям, вытекающим из возможности изучать левую часть уравнения F(x) = 0 как функцию переменного х. Этот подход к делу позволил изучить вопрос о числе действительных корней, дать методы их отделения и приближенного вычисления, в комплексной же области привел французского математика Ж. Д'Аламбера к не вполне строгому, но для математиков 18 в. достаточно убедительному доказательству «основной теоремы алгебры» о существовании у любого алгебраического уравнения хотя бы одного корня. Достижения «чистой» алгебры, не нуждающейся в заимствованных из анализа понятиях о непрерывном изменении величин, в 17-18 вв. были тоже значительны (достаточно указать здесь на решение произвольных систем линейных уравнений при помощи определителей, разработку теории делимости многочленов, исключения неизвестных и т. д.), однако сознательное отделение собственно алгебраических фактов и методов от фактов и методов математического анализа типично лишь для более позднего времени (2-я половина 19 в. - 20 в.). В 17-18 вв. алгебра в значительной мере воспринималась как первая глава анализа, в которой вместо исследования произвольных зависимостей между величинами и решения произвольных уравнений ограничиваются зависимостями и уравнениями алгебраическими.

Создание новой математики переменных величин в 17 в. было делом ученых передовых стран Западной Европы. В 18 в. одним из основных центров научных математических исследований становится также Петербургская академия наук, где работал ряд крупнейших математиков того времени иностранного происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли), и посте-

пенно складывается русская математическая школа, блестяще развернувшая свои исследования с начала 19 в.

17 век. Охарактеризованный выше новый этап развития математики органически связан с созданием в 17 в. математического естествознания, имеющего целью объяснение течения отдельных природных явлений действием общих, математически формулированных законов природы. На протяжении 17 в. действительно глубокие и обширные математические исследования относятся лишь к двум областям естественных наук — к механике [итальянский ученый Г. Галилей открывает законы падения тел (1632, 1638), немецкий астроном И. Кеплер — законы движения планет (1609, 1619), английский ученый И. Ньютон устанавливает закон всемирного тяготения (1687)] и к оптике [Галилей (1609) и Кеплер (1611) сооружают зрительные трубы, Ньютон развивает оптику на основе теории истечения, голландский ученый X. Гюйгенс и английский ученый Р. Гук — на основе волновой теории]. В других областях естествознания применение математики ограничивается пока установлением первых и простейших количественных закономерностей [например, закон Бойля для зависимости объема газа от давления (1662), закон Гука в теории упругости (1660) и т. п.]. Тем не менее рационалистическая философия 17 в. уже выдвигает идею универсальности математического метода (Р. Декарт, Б. Спиноза, Г. Лейбниц), придающую особенную яркость устремлениям этой, по преимуществу философской, эпохи в развитии математики.

Хотя применение новых возникающих в 17 в. математических методов к проблемам техники широко развилось лишь в течение следующих двух веков, «очень важную роль сыграло спорадическое применение машин в XVII столетии, так как оно дало великим математикам того времени практические опорные пункты и стимулы для создания современной механики» (Маркс К., Капитал, т. 1, 1953, стр. 356).

Серьезные новые математические проблемы в 17 в. выдвигает усовершенствование часового дела и необходимость создания точных хронометров для целей навигации. Одним из изобретателей маятниковых часов является Гюйгенс (1657). Через 16 лет после своего изобретения Гюйгенс опубликовал книгу «Маятниковые часы» (1673), являющуюся образцом органического слияния конструкторской технической мысли с наиболее тонкими для того времени математическими методами исследования. Актуальные задачи ставились перед математикой 17 в. также картографией, баллистикой, гидравликой. Авторы 17 в. понимают и любят подчеркивать большое практическое значение математики. В 17 в. рост буржуазного общества позволил ему выдвинуть перед наукой задачи на несколько веков вперед с полным сознанием их практической ценности. Опираясь на свою тесную связь с естествознанием, математика 17 в. смогла поднять-

ся на новый этап развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логические категории математики, получали свое оправдание в соответствии реальным соотношениям действительного мира. Так, например, реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать.

Математические достижения 17 в. начинаются открытием логарифмов (см.). Шотландский математик Дж. Непер, опубликовавший свои таблицы в 1614, обосновывает их построение не ссылкой на давно известные свойства арифметических и геометрических прогрессий, а рассматривает непрерывное «течение» логарифма при изменении числа, т. е. впервые вводит представление о непрерывной функции, не заданной никаким алгебраическим выражением или геометрическим построением. В 1637 французский ученый Р. Декарт (см.) публикует свою «Геометрию», содержащую основы координатного метода в геометрии, классификацию кривых с подразделением их на алгебраические и трансцендентные, а алгебраических — по «родам» (к роду га он относит в современной терминологии кривые порядков 2га — 1 и 2га). В тесной связи с возможностью представить корни уравнения Р{х) = 0 точками пересечения кривой у = Р{х) с осью абсцисс в алгебре исследуются действительные корни уравнения любой степени (Р. Декарт, И. Ньютон, французский математик М. Ролль). Исследования французского математика П. Ферма о максимумах и минимумах и разыскании касательных к кривым уже содержат в себе, по существу, приемы дифференциального исчисления, но самые эти приемы еще не выделены и не развиты, и слова «производная» или «дифференциал» остаются еще не произнесенными. Другим источником анализа бесконечно малых является развитый немецким астрономом И. Кеплером (1615) и итальянским математиком Б. Кавальери (1635) «метод неделимых», примененный ими к определению объемов тел вращения и ряду других задач. В этом методе действительная принципиальная новизна основных понятий анализа бесконечно малых представляется в мистической форме неразрешенного противоречия (например, между объемом тела и совокупностью не имеющих объема плоских сечений, при помощи которых этот объем должен быть определен). Неудивительно поэтому, что приемы Кеплера и Кавальери подверглись критике (1635-41) со стороны швейцарского математика П. Гюльдена, предпочитавшего пользоваться строгим классическим методом исчерпывания. Однако свободное употребление бесконечно малых одерживает окончательную победу в работах по определению площадей («квадратур») французских математиков П. Ферма, Б. Паскаля и английского математика Дж. Валлиса. Так, в геометрической форме были, по

существу, созданы начала дифференциального и интегрального исчисления.

Параллельно развивается учение о бесконечных рядах (см. Ряды). Свойства простейших рядов, начиная с геометрических прогрессий, возникающих из представления обыкновенных дробей в виде периодических десятичных, изучил Валлис (1685). Немецкий ученый Н. Меркатор (1668), интегрируя по X разложение = 1 — х + х2 — • • •, получил разложение в степенной ряд 1п(1 + х). И. Ньютон получил (1665-69) формулу бинома для любого показателя, интегрируя разложение (1 — х2)-1/2, получил разложение aresin я; и, наконец, нашел степенные ряды обратных к у = 1п(1 + х) и у = aresin X функций:

и, соответственно,

В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах приняли участие почти все математики 17 в. (Дж. Валлис, X. Гюйгенс, Г. Лейбниц, Я. Бернулли и др.)- Следует отметить, что авторы 17 в. имели достаточно ясные представления о понятии предела последовательности и сходимости ряда и считали нужным доказывать сходимость употребляемых ими рядов. С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механических величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, по-прежнему оставаясь побочным продуктом алгебраического аппарата, продолжают быть по преимуществу лишь предметом бесплодных споров. С наибольшей определенностью их признавал голландский математик А. Жирар, впервые (1629) заявивший, что каждое уравнение п-й степени имеет п корней (что, как известно, справедливо лишь в комплексной области и при надлежащем учете кратности корней).

К последней трети 17 в. относится открытие дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле слова. В отношении публикации приоритет этого открытия принадлежит Г. Лейбницу (см.), давшему развернутое изложение основных идей нового исчисления в статьях, опубликованных в 1682-86. Наоборот, в отношении времени фактического получения основных результатов имеются все основания считать приоритет принадлежащим И. Ньютону (см.), который к основным идеям дифференциального и интегрального исчисления пришел в течение 1665-66. «Анализ с помощью уравнений» Ньютона в 1669 был передан им в рукописи англий-

ским математикам И. Барроу и Дж. Коллинзу и получил широкую известность среди английских математиков. «Метод флюксий» — сочинение, в котором Ньютон дал вполне законченное систематическое изложение своей теории, — был написан в 1670-71 (издан в 1736). Лейбниц же начал свои исследования по анализу бесконечно малых лишь в 1673. Ньютон и Лейбниц впервые в общем виде рассмотрели основные для нового исчисления операции дифференцирования и интегрирования функций, установили связь между этими операциями (так называемая формула Ньютона-Лейбница) и разработали для них общий единообразный алгоритм. Подход к делу у Ньютона и Лейбница, однако, различен. Для Ньютона исходными понятиями являются понятия «флюенты» (переменной величины) и ее «флюксии» (скорости ее изменения). Прямой задаче нахождения флюксий и соотношений между флюксиями по заданным флюентам (дифференцирование и составление дифференциальных уравнений) Ньютон противопоставлял обратную задачу нахождения флюент по заданным соотношениям между флюксиями, т. е. сразу общую задачу интегрирования дифференциальных уравнений; задача нахождения первообразной появляется здесь как частный случай интегрирования дифференциального уравнения gj£ = f(x). Такая точка зрения была вполне естественна для Ньютона, как создателя математического естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования (см. Флюксий исчисление). Для Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчисления являлись дифференциалы — бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, Ньютон, вводя соответствующее понятие «момента», стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрическими приложениями анализа, в которой принимали участие, кроме самого Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли (см.), французский математик Г. Лопиталь и др. Здесь создается современный стиль математической работы, при котором полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других ученых.

Кроме аналитической геометрии, развивается в тесной связи с алгеброй и анализом дифференциальная геометрия (см.) [в области последней еле-

дует отметить, в частности, введение понятия радиуса кривизны у Кеплера (1604), изучение эволют и эвольвент у Гюйгенса (1673) и т. п.], в 17 в. закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии, главным образом в направлении создания основных понятий проективной геометрии. Французский математик Ж. Дезарг, занимаясь теорией перспективы (1636), развил целую систему представлений о бесконечно удаленных элементах, ввел понятие инволюции и т. д. Теория конических сечений разрабатывается с проективной точки зрения французскими математиками Ж. Дезаргом (1639), Б. Паскалем (1640), Ф. Лагиром (1685). Из других открытий 17 в. следует отметить: в теории чисел — формулировку принципа математической индукции (Б. Паскаль, 1665) и глубокие исследования П. Ферма, в значительной мере определившие дальнейшее развитие этой науки; разработку основных понятий комбинаторики (П. Ферма, Б. Паскаль, Г. Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (П. Ферма, Б. Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом принципиального значения — открытием простейшей формы закона больших чисел (Я. Бернулли, опубликовано в 1713); теорию непрерывных дробей [итальянский математик П. Катальди (1613), немецкий математик Д. Швентер (1617, 1618), Дж. Валлис (1656), X. Гюйгенс (1703)]; метод неопределенных коэффициентов (Р. Декарт, 1637); формулировку так называемой теоремы Эйлера о многогранниках (Р. Декарт, около 1620). Необходимо указать еще на построение Б. Паскалем (1641) и Г. Лейбницем (1673-74) первых счетных машин, оставшееся надолго, впрочем, без практических последствий.

18 век. В начале 18 в. еще продолжает работать поколение создателей анализа (И. Ньютон, Г. Лейбниц). Однако общий стиль математических исследований постепенно меняется. Успех 17 в., обусловленный в основном новизной метода, создавался главным образом смелостью и глубиной общих идей, что сближало математику с философией. К началу 18 в. развитие новых областей математики, созданных в 17 в., достигло того уровня, при котором дальнейшее продвижение вперед стало требовать в первую очередь искусства в овладении математическим аппаратом и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений трудных задач. Из двух величайших математиков 18 в. петербургский академик Л. Эйлер (см.) является наиболее ярким представителем этой виртуозной тенденции, а французский математик Ж. Лагранж (см.), быть может уступая Эйлеру в количестве и разнообразии решенных задач, соединил блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, типичными для французской школы 2-й половины 18 в., тесно связанной с большим философским движением французских просветителей и материалистов. Увлечение необычайной силой аппарата математического анализа приводит, естественно, к вере в возможность его чисто автоматиче-

ского развития, в безошибочность математических выкладок даже тогда, когда в них входят символы, лишенные смысла. Если при создании анализа бесконечно малых сказывалось неумение логически справиться с идеями, имевшими полную наглядную убедительность, то теперь открыто проповедуется право вычислять по обычным правилам с лишенными непосредственного смысла математическими выражениями, не опираясь ни на наглядность, ни на какое-либо логическое оправдание законности таких операций. Из старшего поколения в эту сторону все больше склоняется Лейбниц, который в 1702 по поводу интегрирования рациональных дробей при помощи их разложения на мнимые выражения говорит о «чудесном вмешательстве идеального мира» и т. п. Более реалистически настроенный Эйлер не говорит о чудесах, но воспринимает законность операций с мнимыми числами и с расходящимися рядами [например, по Эйлеру, +1 -1 + 2- 6 + 24- 120 Ч-----h (-l)nn! H----= О, 5963475922...] как эмпирический факт, подтверждаемый правильностью получаемых при помощи подобных преобразований следствий. Л. Эйлер и шотландский математик К. Маклорен начинают все же работу по рациональному уяснению основ анализа бесконечно малых. Наиболее последовательным в стремлении к логической строгости и отчетливости из математиков 18 в. представителем этой тенденции является французский энциклопедист Ж. Д'Аламбер (см.). В частности, по вопросу о логических основах анализа Д'Аламбер сформулировал в общих чертах вполне современные взгляды о переменных бесконечно больших и бесконечно малых величинах, о производной как конечном пределе отношения двух бесконечно малых и т. д. Замечательно по серьезной критике различных способов обоснования анализа сочинение русского математика С.Е. Гурьева «Опыт об усовершении елементов геометрии» (1798). Однако систематическое проведение логического обоснования анализа было осуществлено лишь в 19 в. Поэтому Лагранж, не удовлетворенный незаконченными концепциями своих современников, сделал попытку освободиться сразу от всех трудностей, связанных как с самим понятием функции, так и с обоснованием анализа бесконечно малых, став на чисто алгебраическую точку зрения: он заменил непосредственное рассмотрение функций вычислениями с их рядами Тейлора и свел, таким образом, дифференцирование и интегрирование и все дальнейшие операции анализа к алгебраическим действиям с коэффициентами рядов.

Если виднейшие математики 17 в. очень часто были в то же время философами или физиками-экспериментаторами, то в 18 в. научная работа математика становится самостоятельной профессией. Математики 18 в. — это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математическими способностями, с быстро развивающейся академической карьерой (Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, 20-и лет был при-

глашен адъюнктом в Петербургскую академию наук, 23-х лет становится там же профессором, 37-и лет — председателем физико-математического класса Берлинской академии наук; Лагранж — сын французского офицера, 18-и лет — профессор в Турине, 30-и лет — председатель физико-математического класса Берлинской академии наук; Лаплас — сын французского крестьянина, 18-и лет — преподаватель математики в военной школе в Бомоне, 20-и лет — профессор военной школы в Париже, 37-и лет — член Парижской академии наук). При этом, однако, математическое естествознание (механика, математическая физика) и технические применения математики остаются в сфере деятельности математиков. Эйлер занимается вопросами кораблестроения и оптики, Лагранж создает основы аналитической механики. Лаплас, считавший себя в основном математиком, также является крупнейшим астрономом и физиком своего времени и т. д.

Переходя к обзору достижений математики 18 в. по отдельным областям, начнем с теории чисел. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и французского математика А. Лежандра, теория чисел впервые приобретает характер систематической науки. Лагранж дал (1769, опубликовано в 1771) общее решение неопределенных уравнений второй степени. Эйлер установил (1772, опубликовано в 1783) закон взаимности для квадратичных вычетов (см.). Он же привлек (1737, 1748, 1749) для изучения простых чисел дзета-функцию (см.), чем положил начало аналитической теории чисел.

При помощи разложений в непрерывные дроби Л. Эйлер доказал (1737, опубликовано в 1744) иррациональность е и е2, а немецкий ученый И. Ламберт (1766, опубликовано в 1768) — иррациональность 7Г. В алгебре швейцарский математик Г. Крамер (1750) ввел для решения систем линейных уравнений определители (известные ранее Лейбницу, не опубликовавшему своего открытия). Дальнейшей разработкой линейной алгебры занимались П. Лаплас и французский математик А. Вандермонд. И. Ньютон, Л. Эйлер и французский математик Э. Безу развивали теорию делимости многочленов и теорию исключения. Эйлер рассматривал как эмпирически установленный факт существование у каждого алгебраического уравнения корня вида А + Ву/^Л, Постепенно укореняется убеждение, что вообще мнимые выражения (не только в алгебре, но и в анализе) всегда приводимы к виду А + Ву/^Л. Д'Аламбер доказал (1748), что модуль многочлена не может иметь минимума, отличного от нуля (так называемая лемма Д'Аламбера), считая это за доказательство существования корня у любого алгебраического уравнения. Формулы английского математика А. Муавра и Л. Эйлера, связывающие показательную и тригонометрическую функции комплексных аргументов, привели к дальнейшему расшире-

нию применений комплексных чисел в анализе. И. Ньютон, шотландский математик Дж. Стирлинг и Л. Эйлер заложили основы исчисления конечных разностей (см. Конечных разностей нечисление). Лагранж развивал символическое исчисление, рассматривая положительные и отрицательные степени операторов Л и с?; Лаплас дал общие методы решения разностных уравнений. Английский математик Б. Тейлор открыл (1715) свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд. У исследователей 18 в., особенно Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гибких орудий анализа. С Д'Аламбера начинается серьезное изучение условий сходимости рядов. Эйлер, Лагранж и особенно Лежандр заложили основы исследования эллиптических интегралов — первого вида неэлементарных функций, подвергнутого глубокому специальному изучению. И. Бернулли, итальянский математик Дж. Риккати, Д. Бернулли (см.), Л. Эйлер и французский математик А. Клеро интегрируют новые типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Эйлер дал (1739, опубликовано в 1743) первый метод решения линейного дифференциального уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами. Д'Аламбер рассматривал системы дифференциальных уравнений. Лагранж и Лаплас развивали общую теорию линейных дифференциальных уравнений любого порядка. Эйлер, французский математик Г. Монж и Лагранж заложили основы общей теории дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка, а Эйлер, Монж и Лаплас — второго порядка. Специальный интерес представляет уравнение колебания струны и связанное с ним введение в анализ разложения функций в тригонометрические ряды, так как в связи с этой задачей между Эйлером, Д. Бернулли, Д'Аламбером, Монжем и Лагранжем развернулась полемика по вопросу о понятии функции (подробнее см. Функция), подготовившая фундаментальные результаты 19 в. о соотношении между аналитическим выражением и произвольным заданием функции. Наконец, новым отделом анализа, возникшим в 18 в., является вариационное исчисление, созданное Эйлером и Лагранжем. А. Муавр, Я. Бернулли, П. Лаплас и английский математик Т. Байес на основе отдельных достижений 17-18 вв. заложили начала теории вероятностей (см.).

В области геометрии Эйлер привел к завершению систему элементарной аналитической геометрии. Начиная с Ньютона, систематически изучаются кривые третьего порядка. Английский математик Э. Варинг установил ряд свойств алгебраических кривых любого порядка. В работах Эйлера, Клеро, Монжа и французского математика Ж. Менье были заложены основы дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. Проблемы дифференциальной геометрии явились одним из основных источников упомянутого выше развития теории дифференциальных урав-

нений с частными производными. Ламберт развил теорию перспективы, а Монж придал окончательную форму начертательной геометрии (см.).

Из приведенного обзора видно, что математика 18 в., основываясь на идеях 17 в., по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. чЭтот расцвет математики был связан по преимуществу с деятельностью академий; университеты играли меньшую роль. Отдаленность крупнейших математиков от университетского преподавания возмещалась той энергией, с которой все они, начиная с Эйлера и Лагранжа, писали учебники и обширные, включающие отдельные исследования, трактаты. Новую струю в организацию науки внесла в конце 18 в. французская буржуазная революция. Крупнейшие ученые (Лагранж, Лаплас, Лежандр, Монж) привлекаются к созданию метрической системы мер, связанному с ней измерению меридиана, организованному на государственные средства вычислению новых тригонометрических таблиц и т. д. Наиболее важным для дальнейшего развития математики оказалось учреждение в 1794 Политехнической школы в Париже, возглавленной Монжем и сделавшейся для Франции в начале 19 в. основным рассадником математической культуры.

III. СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математического анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за эти века и круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием и техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 в. и в начале 19 в. в развитии математики наблюдается и ряд существенно новых черт.

1. Расширение предмета математики

Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрической интерпретации комплексных чисел [датский землемер К. Вессель, 1799, и французский математик Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени (итальянский математик П. Руффини, 1799, и более строго — норвежский математик Н. Абель, 1824), создание французским математиком О. Коши основ теории функций комплексного переменного, работы Коши по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание русским математиком Н.И. Лобачевским (см.) (1826, опубликовано в 1829-30) и венгерским математиком Я. Больяй (1832) неэвклидовой геометрии, работы немецкого математика К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — вот типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 вв. новых тенденций в развитии математики.

Связь математики с естествознанием, оставаясь по существу не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают не только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, а также из внутренних потребностей самой математики. Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в начале и середине 19 в. центральное положение во всем математическом анализе. Главная линия развития заключалась здесь в том, что переход в комплексную область делал более ясными и обозримыми свойства подлежащих изучению функций. Широкий интерес к непосредственному реальному применению функций комплексного переменного, например как функций, задающих конформное отображение, развился позднее, хотя возможности таких применений были намечены еще Эйлером.

Еще более замечательным примером теории, возникшей в результате внутреннего развития самой математики, явилась «воображаемая геометрия» Лобачевского (см. Лобачевского геометрия). Возможность этой новой системы геометрии была усмотрена Лобачевским на основе выяснения происхождения основных геометрических понятий из материальной действительности и логического анализа строения обычной эвклидовой геометрии. Самому Лобачевскому удалось применить свою геометрию лишь к вычислению некоторых интегралов. Позднее были обнаружены связи его геометрии с теорией поверхностей и с теорией групп преобразований, геометрия эта нашла применения при исследовании важных классов аналитических функций и т. д. Только в 20 в. с созданием теории относительности получило осуществление предположение Лобачевского о возможности применения его геометрических идей к исследованию реального физического пространства.

Можно привести еще один пример того, как начавшийся в конце 18 в. и 1-й половине 19 в. пересмотр с более общих точек зрения добытых ранее конкретных математических фактов нашел во 2-й половине 19 в. и в 20 в. мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория групп (см. Группы) ведет свое начало с рассмотрения Лагранжем групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраических уравнений высших степеней. Именно на этой почве были получены уже упоминавшиеся результаты Руффини и Абеля, завершившиеся несколько позднее тем, что французский математик Э. Галуа (1830-32, опубликовано в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраических уравнений любой степени. В середине 19 в. английский математик А. Кэли дал общее «абстрактное» определение группы. Норвежский математик С. Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию

непрерывных групп (см.). И лишь после этого русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров (1890) и немецкий математик А. Шёнфлис (1891) установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов (см. Кристаллография)] еще позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой физике.

В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного и тензорного анализа. Постепенно все более обнаруживалось, что именно с точки зрения механики и физики «скалярные» величины, послужившие исходным материалом для формирования понятия действительного числа, являются лишь частным случаем величин многомерных. Рассмотрение функциональных зависимостей между такими величинами и составляет содержание векторного исчисления и тензорного исчисления (см.). Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа (см.) и тесно связывается с потребностями квантовой физики.

Таким образом, как в результате внутренних потребностей математики, так и новых запросов естествознания круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, чрезвычайно расширяется: в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п. При таком широком понимании терминов «количественные отношения» и «пространственные формы» приведенное в начале статьи определение математики применимо и на новом современном этапе ее развития.

Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития математики состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, например, введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие математики потребовало выработки приемов сознательного и планомерного создания новых геометрических систем, новых «алгебр» с «некоммутативным» или даже «неассоциативным» умножением и т. д. по мере возникновения в них потребности. В настоящее время вопрос о том, не следует ли, например, ради анализа и синтеза того или иного типа релейно-контактных схем создать новую «алгебру» с новыми правилами действий, является не вызывающим особого удивления делом повседневной научно-технической практики. Но трудно переоценить важность той перестройки всего склада математического мышления, которая для этого должна была произойти в течение 19 в. С этой идейной сторо-

ны наиболее значительным среди открытий начала 19 в. явилось открытие неэвклидовой геометрии Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была преодолена вера в незыблемость освященных тысячелетним развитием математики аксиом, была понята возможность создания существенно новых математических теорий путем правильно выполненной абстракции от налагавшихся ранее ограничений, не имеющих внутренней логической необходимости, и, наконец, было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем все более широкие, вполне конкретные применения.

В дополнение к сказанному об определении предмета математики следует заметить, что пространственные формы можно рассматривать как частный вид количественных отношений, если этому последнему термину придать достаточно широкое толкование, так что с этой точки зрения включение в определение математики особого упоминания «пространственных форм» является лишь указанием на относительную самостоятельность геометрических отделов математики. Количественные отношения (в общем философском понимании этого термина) характеризуются, в отличие от качественных, лишь своим безразличным отношением к конкретной природе тех предметов, которые они связывают. Поэтому они и могут быть совершенно отделены от их содержания как от чего-то безразличного для дела (ср. указание Энгельса, приведенное в начале статьи). Так, число остается одним и тем же, независимо от того, численность какого рода предметов оно выражает; линейная зависимость у = ах + b остается одной и той же, независимо от того, что обозначают х и у, и т. д. Можно сказать, что количественные отношения суть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от которой они отвлечены, только то, что предусмотрено в их определении. Из этих общих свойств количественных отношений легко объясняются основные особенности математики как науки о такого рода отношениях. Ее по преимуществу дедуктивный характер объясняется тем, что все свойства чистых отношений должны содержаться в самом их определении. Широкая применимость каждой математической теории в различных по конкретному содержанию областях естествознания и техники объясняется тем, что математика изучает только отношения, безразличные к конкретной природе связываемых ими объектов. В создании методов, достаточно гибких, чтобы изучать весьма общие и разнообразные количественные отношения (в указанном выше широком понимании), и заключается принципиальная новизна современного периода развития математики. Сказанному лишь кажущимся образом противоречит частое употребление в математике термина качественные методы (см.). В указанном широком понимании изучаемые математикой отношения всегда являются количественными. Но когда в какой-либо области математики, наряду с количественными отношениями, уже получившими стандартное выражение и подчиненными определенным вычислительным правилам, требуется ввести в рассмотрение существенно новые стороны исследуемых явлений, то говорят, что происходит переход от количественных рассмотрений к качественным. Так, в теории дифференциальных уравнений к области качественных методов относят методы исследования поведения интегральных кривых «в целом», не требующие фактического интегрирования самих дифференциальных

уравнений, а основанные на общих топологических соображениях. Однако при их полном развитии сами эти топологические методы подчиняются определенному алгоритму, сводящему вопрос к вычислению некоторых числовых характеристик (степень отображения и т. п.), что уже явно указывает на количественный характер вновь привлеченных отношений. Большой удельный вес в современной математике качественных (в таком относительном смысле) методов объясняется сложностью строения математики, когда постоянно на основе одних математических теорий возникают новые теории, имеющие дело с новыми объектами (вопрос о разрешимости уравнений в радикалах сводится к строению соответствующих групп подстановок и т. п.).

Что касается термина «пространственные формы», то в литературе по философии математики нет установившегося отношения к вопросу о границах, до которых разумно расширять его понимание. Геометрия обычного трехмерного эвклидова пространства является лишь частным случаем разнообразных геометрических систем, созданных современной геометрией, а из числа этих геометрических систем далеко не все созданы с целью изучения именно пространственных форм действительного мира в непосредственном смысле этого слова. Поэтому, например, в статье Геометрия (см.) сказано, что геометрия является наукой о пространственных отношениях и формах, «а также о других отношениях и формах действительности, сходных с пространственными по своей структуре». Последовательно проводя это различие между собственно пространственными формами и формами, лишь «сходными» с пространственными, следовало бы и сам термин «пространство» применять лишь к единственному реальному пространству, полное изучение всех свойств которого по современным представлениям относится к физике и которое в математике изучается лишь в том или ином приближении (например, в достаточном для практических целей — эвклидовском).

Однако в математической литературе более распространено широкое понимание термина «пространство», объясненное подробно в разделах III и VII статьи Геометрия. С таким пониманием термина «пространство» естественно связывается и широкое понимание термина «пространственные формы», охватывающее все формы, названные в статье Геометрия лишь «пространственно-подобными». На примере фазовых пространств (см.) любого числа измерений в механике и физике видно, что пространственные формы в этом широком смысле слова являются тоже реальными формами действительного мира (а не произвольными построениями геометров), как и пространственные формы в узком смысле слова. Только при этом широком понимании терминов в настоящее время остается верным утверждение, что геометрия является наукой о пространственных отношениях и формах действительности.

2. Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств и математической логики

Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в 19 в. усиленное внимание к вопросам ее «обоснования», т. е. критического пересмотра ее исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических при-

емов, употребляемых при этих доказательствах. Важность такого рода работы становится особенно понятной, если учесть то, что было выше сказано об изменившемся характере взаимоотношений между развитием математической теории и ее проверкой на практическом материале, доставляемом естествознанием и техникой. При построении обширных и иногда весьма абстрактных теорий, охватывающих, помимо тех частных случаев, которые привели к их созданию, огромный материал, получающий конкретные применения лишь в перспективе десятилетий, ждать непосредственных сигналов о недостаточной корректности теории в форме зарегистрированных ошибок уже нельзя. Вместо этого приходится обратиться ко всему накопленному опыту работы человеческой мысли, который как раз и суммируется в вырабатываемых постепенно наукой требованиях к «строгости» доказательств. В соответствии с этим работы по строгому обоснованию тех или иных отделов математики справедливо занимают значительное место в математике 19 и 20 вв. В применении к основам анализа (теория действительных чисел, теория пределов и строгое обоснование всех приемов дифференциального и интегрального исчисления) результаты этой работы с большей или меньшей полнотой излагаются в настоящее время в большинстве учебников (даже чисто практического характера). Однако до последнего времени встречаются случаи, когда строгое обоснование возникшей из практических потребностей математической теории запаздывает. Так в течение долгого времени уже на рубеже 19 и 20 вв. было с операционным исчислением (см.), получившим весьма широкие применения в механике и электротехнике. Лишь с большим запозданием было построено логически безупречное изложение математической теории вероятностей (см.). И в настоящее время еще отсутствует строгое обоснование многих математических методов, широко применяемых в современной теоретической физике, где много ценных результатов получается при помощи незаконных математических приемов, дающих, например, иногда правильный ответ лишь «с точностью» до заведомо ошибочного множителя, поправляемого из посторонних данному «математическому выводу» соображений, или при помощи отбрасывания в сумме слагаемых, обращающихся в бесконечность, и т. п.

Только к концу 19 в. сложился стандарт требований к логической строгости, остающийся и до настоящего времени господствующим в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математической теории (см. Множеств теория, Аксиома, раздел III статьи Алгебра, раздел VII статьи Геометрия). С этой точки зрения любая математическая теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой некоторыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория применима

к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющей положенной в ее основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться логически строго построенной только в том случае, если при ее развитии не используется никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах, свойств изучаемых объектов и отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются через эти последние.

Из указанных требований, в частности, вытекает, что математическая теория, применимая к какой-либо системе объектов, применима автоматически и к любой «изоморфной» системе (см. Изоморфизм). Заметим по этому поводу, что кажущееся иногда весьма абстрактным понятие изоморфизма является просто математическим выражением идеи «моделирования» физических явлений из какой-либо одной области (например, тепловых) физическими явлениями иной природы (например, электрическими) (см. Моделирование и Моделирование математическое) .

Изложенная концепция строения математической теории является по существу лишь некоторой конкретизацией определения математики как науки о количественных отношениях в разъясненном выше широком понимании термина «количественные отношения». «Безразличие» количественных отношений к конкретной природе тех предметов, которые они связывают, находит здесь свое выражение в возможности свободно переходить от одной системы объектов к любой, ей изоморфной.

Теоретико-множественная концепция не только доставила основной в настоящее время стандарт математической «строгости», но и позволила в значительной мере разобраться в разнообразии возможных математических теорий и их систематизировать. Так, чистая алгебра определяется как наука о системах объектов, в которых задано конечное число операций, применимых (каждая) к определенному конечному числу объектов системы и производящих из них новый объект системы [например, в случае алгебраического поля — две операции (сложение и умножение) над двумя элементами каждая]. Этим чистая алгебра отделяется от анализа и геометрии (в собственном смысле слова, предполагающем известную «непрерывность» изучаемых пространств), которые существенно требуют введения «предельных» отношений, связывающих бесконечное число объектов.

Естественно, что аксиоматическое изложение какой-либо специальной математической теории (например, теории вероятностей) не начинают на пустом месте, а пользуются понятиями ранее построенных теорий (например, понятиями натурального или действительного числа). В результате этого безукоризненное проведение аксиоматического изложения математических теорий перестало быть чем-либо особенно обременительным и все больше входит во всеобщее употребление. При изучении таких сложных и в то же время общих образований, как, например, непрерывные группы (см.), различные виды линейных пространств (см.), этот способ изложения и исследования необходим для достижения полной ясности и избежания ошибок.

Во всех конкретных, хотя бы и весьма общих, математических теориях (от теории действительных чисел до общей теории топологических пространств и т. п.) точка зрения теории множеств себя вполне оправдала в том смысле, что благо-

даря ее проведению из конкретных математических исследований практически исчезли случаи длительных неясностей и разногласий по вопросу о корректности определений и достаточной убедительности доказательств отдельных теорем. Возникшие в самой теории множеств неясности и даже прямые противоречия (см. Парадоксы математические) связаны главным образом с теми ее областями, где понятию бесконечного множества придается общность, излишняя для каких-либо приложений. С принципиальной стороны, однако, следует иметь в виду, что теоретико-множественное построение всех основных математических теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных чисел, требует обращения к теории именно бесконечных множеств, а их теория сама требует логического обоснования (см. Бесконечность в математике), так как абстракция, приводящая к понятию бесконечного множества, законна и осмысленна лишь при определенных условиях, которые еще далеко не выяснены.

Другую сторону строения любой математической теории освещает математическая логика. Система аксиом в изложенном выше (теоретико-множественном) понимании лишь ограничивает извне область применений данной математической теории, указывая свойства подлежащей изучению системы объектов с отношениями, но не дает никаких указаний относительно логических средств, при помощи которых эту математическую теорию придется развивать. Например, свойства системы натуральных чисел с точностью до изоморфизма задаются при помощи очень простой системы аксиом. Тем не менее, решение вопросов, ответ на которые в принципе однозначно предопределен принятием этой системы аксиом, оказывается часто очень сложным: именно теория чисел изобилует давно поставленными и очень простыми по формулировке проблемами, не нашедшими и до настоящего времени решения. Возникает, естественно, вопрос о том, происходит ли это только потому, что решение некоторых просто формулируемых проблем теории чисел требует очень длинной цепи рассуждений, составленной из известных и уже вошедших в употребление элементарных звеньев, или же потому, что для решения некоторых проблем теории чисел необходимы существенно новые, не употреблявшиеся ранее приемы логического вывода.

Современная логика математическая (см.) дала на этот вопрос определенный ответ: никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия проблем теории чисел. Точнее: уже в пределах теории натуральных чисел можно сформулировать последовательность проблем р\,р2, ■ • • ,Рп, • • • такого рода, что для любой дедуктивной теории среди этих проблем найдется неразрешимая в пределах данной теории. При этом под «дедуктивной теорией» понимается теория, которая развивается из конечного числа аксиом при помощи построения сколь угодно длинных цепей рассуждений, составленных из звеньев, принадлежащих к конечному числу фиксированных для данной теории элементарных способов логического вывода.

Таким образом было обнаружено, что понятие математической теории в смысле теории, охватываемой единой системой аксиом теоретико-множественного типа, существенно шире, чем логическое понятие дедуктивной теории: даже при развитии арифметики натуральных чисел неизбежно неограниченное обращение к существенно новым способам логического рассуждения, выходящим за пределы любого конечного набора стандартизированных приемов.

Все те результаты, которые могут быть получены в пределах одной дедуктивной теории, могут быть также получены вычислением, производимым по данным раз навсегда правилам. Если для решения некоторого класса проблем дается строго определенный рецепт их вычислительного решения, то говорят о математическом алгоритме (см.). С самого создания достаточно разработанной системы знаков математических (см.) проблемы построения достаточно общих и в то же время кратких алгоритмов занимали большое место в истории математики. Но только в последние десятилетия в результате развития математической логики начала создаваться общая теория алгоритмов и «алгоритмической разрешимости» математических проблем. Практические перспективы этих теорий, по-видимому, весьма велики, особенно в связи с современным развитием вычислительной техники, позволяющей заменить сложные математические алгоритмы работой машин.

Отмеченной выше ограниченности возможностей любой фиксированной дедуктивной теории в теории алгоритмов соответствуют теоремы о невозможности «универсальных» алгоритмов для достаточно общих классов математических проблем. Эти теоремы дали философии математики наиболее интересную и острую конкретизацию общего положения о том, что живое мышление принципиально отличается от работы любого вида вычисляющих автоматов.

Теория множеств, успешное построение большинства математических теорий на основе теоретико-множественной аксиоматики и успехи математической логики (с входящей в нее теорией алгоритмов) являются весьма важными предпосылками для разрешения многих философских проблем современной математики. Благодаря теоретико-множественной переработке всех отделов математики, решение проблем, связанных с понятием бесконечности в математике, сведено к обоснованию и критическому выяснению содержания понятия бесконечного множества. Теоретико-множественная аксиоматика, как уже было указано, дает средства для достаточно общей трактовки вопроса о количественном характере изучаемых математикой отношений. Она же позволяет с единой точки зрения рассмотреть строение специальных математических теорий, предметное содержание которых закрепляется при помощи соответствующей системы аксиом, и, таким образом, до известной степени осветить как вопрос об отношении математической теории к действительности, так и вопрос о своеобразии математического метода исследования. Мы видели, что возникающее таким образом понятие математической теории существенно шире, чем понятие дедуктивной теории в смысле формальной логики. Относящиеся к этому вопросу результаты современной математической логики позволяют с полной конкретностью проследить диалектический процесс создания дедуктивных теорий и алгоритмов, которые доставляют нам формально-логические и вычислительные средства для решения все более широкого круга проблем математической теории.

В 20 в., когда перечисленные общие вопросы могли быть поставлены с достаточной широтой, в науке капиталистических стран уже сделались преобладающими реакционные идеалистические течения. Логисты (об этом течении буржуазной философии математики см. в статье Логистика) использовали достижения теоретико-множественной аксиоматики, которые на самом деле вскрывали большую, чем ранее предполагалось, широту связей математической теории

с действительностью (возможность изучать в пределах одной теории много различных реальных кругов явлений), для провозглашения прямо противоположного тезиса о полной независимости математики от задач изучения материального мира. Позднее интуиционисты (см. Интуиционизм) воспользовались логическими трудностями обоснования теории бесконечных множеств для того, чтобы объявить математику вообще не наукой, изучающей лежащие вне нас объекты, а своеобразной творческой «деятельностью» по созданию не отвечающих никакой внешней реальности мысленных конструкций. Наконец, достижения математической логики используются формалистами (см. Формализм) для того, чтобы свести все содержание математики к построению символических «исчислений», символы которых вообще ничего не обозначают.

Исследование философских проблем математики на основе сознательной материалистической диалектики было начато К. Марксом (см. Математические рукописи Маркса), который дал глубокий анализ исторического развития математики в 17 и 18 вв. и осветил диалектический процесс возникновения на почве алгебры конечных величин анализа бесконечно малых (см. об этом также в статье Бесконечно малые). Особенно детально К. Маркс разработал вопрос о содержаний понятия дифференциала. Выдвинутая им концепция дифференциала, как «оперативного символа», предвосхитила идеи, возрожденные только в 20 в., а его понимание дифференциала как главной части приращения вполне соответствует тому, которое излагается в современных учебниках и отсутствовало в руководствах, изучавшихся К. Марксом (работы математиков по обоснованию анализа, начиная с работ французского математика О. Коши, К. Марксу оставались неизвестными) .

3. История математики в 19 и 20 вв.

Начало и середина 19 в. В начале 19 в. происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана еще в 18 в. Д. Бернулли, Эйлером, Д'Аламбером и Лагранжем. Быстро растут и математические запросы техники. В начале 19 в. — это вопросы термодинамики паровых машин, технической механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала (см. Потенциала теория). В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины века [немецкий математик К. Гаусс (см.), французские математики Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши (см.), немецкий

математик П. Дирихле, английский математик Дж. Грин, русский математик М.В. Остроградский (см.)]. Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных, нашел (1828, опубликовано в 1831) знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные и ее n-мерное обобщение (1834, опубликовано в 1838), усовершенствовал теорию замены переменных в кратных интегралах (1836, опубликовано в 1838), получив по существу те результаты, которые были для общего n-мерного случая компактно формулированы позднее (1841) немецким математиком К. Якоби (см. Якобиан). В результате исследований по уравнениям математической физики в работах английских математиков Дж. Стокса и др. возникает векторный анализ (одной из основных формул которого, впрочем, являлась по существу и упомянутая формула Остроградского).

Несмотря на господствовавшее в естествознании начала 19 в. механистическое убеждение в возможности описать все природные явления дифференциальными уравнениями, под давлением запросов практики получает значительное дальнейшее развитие теория вероятностей. Лаплас и Пуассон создают с этой целью новый мощный аналитический аппарат. В России применением теории вероятностей к приемочному контролю и статистике занимаются М.В. Остроградский и В. Я. Буняковский; П. Л. Чебышев дает строгое обоснование элементов теории вероятностей и доказывает свою знаменитую теорему (1867), объединившую в одной общей формулировке известные ранее формы больших чисел закона (см.).

Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала 19 в. привлекают вопросы строгого обоснования анализа. Коши опубликовал в 1821 и 1823 читанные в Политехнической школе лекции, содержащие строгое изложение теории пределов, теории рядов, определение понятия непрерывности функции и основанное на теории пределов изложение дифференциального и интегрального исчисления (в частности, теорему о существовании интеграла от непрерывной функции). Некоторые дополнения к этому изложению, а также теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений были опубликованы позднее. Лобачевский (1834) и, позднее, Дирихле (1837) отчетливо сформулировали определение функции, как совершенно произвольного соответствия. Дирихле доказал (1829, 1837) изобразимость любой функции с конечным числом максимумов и минимумов рядом Фурье; перекрывающиеся (в смысле общности) условия сходимости рядов Фурье дал Лобачевский (1834-35).

Выше уже отмечалась работа датского землемера Весселя, содержавшая геометрическую интерпретацию комплексных чисел, но она осталась

незамеченной. В 1799 Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно позже (1831) Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел. Тем временем Арган опубликовал в 1806 теорию комплексных чисел с их геометрической интерпретацией и доказательством леммы Д'Аламбера, а в 1815 — доказательство основной теоремы алгебры, близкое по идее к доказательству Коши (1821).

На основе ясного понимания природы комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. Гаусс очень много знал в этой области, но почти ничего не опубликовал. Общие основы теории были заложены Коши, теория эллиптических функций была развита Абелем и Якоби. Уже на этом этапе характерно, в отличие от чисто алгоритмического подхода 18 в., сосредоточение внимания на выяснении своеобразия поведения функций в комплексной области и основных господствующих здесь геометрических закономерностей (начиная с зависимости радиуса сходимости ряда Тейлора от расположения особых точек, открытой Коши). Этот в известном смысле слова «качественный» и геометрический характер теории функций комплексного переменного еще усиливается в середине 19 в. у немецкого математика Б. Римана (см.). Здесь оказывается, что естественным геометрическим носителем аналитической функции в случае ее многозначности является не плоскость комплексного переменного, а соответствующая «риманова поверхность» — образование, природа которого может быть понята лишь в рамках нового понимания геометрии, о котором говорилось выше. Хотя немецкий математик К. Вейерштрасс достигает той же общности, что и Риман, оставаясь на почве чистого анализа, геометрические идеи Римана оказываются в дальнейшем все более определяющими весь стиль мышления в области теории функций комплексного переменного.

В период увлечения теорией функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области является П. Л. Чебышев (см.). Наиболее ярким выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) Чебышевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений (см.).

В алгебре после уже упомянутого доказательства неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени (Руффини и Абель) французский математик Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа теория). Задача общего абстрактного изучения групп ставится Кэли. Сле-

дует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ французского математика К. Жордана в 70-х гг. От работ Галуа и Абеля берет свое начало также понятие поля алгебраических чисел, приведшее к созданию новой науки — алгебраической теории чисел.

На существенно новую ступень поднимается в 19 в. и разработка старых задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами обычных целых чисел. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, Чебышев получает (1848, 1850) основные результаты о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел, Дирихле доказывает (1837) теорему о существовании бесконечного числа простых чисел в арифметических прогрессиях, и т. д.

Дифференциальная геометрия поверхностей создается К. Гауссом (1827) и русским математиком К.М. Петерсоном (1853). Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было указано, имело создание Лобачевским неэвклидовой геометрии. Построив неэвклидову тригонометрию и аналитическую геометрию, он дал по существу все необходимое для установления совместности и полноты системы аксиом этой новой геометрии. Параллельно развивалась, долгое время независимо от неэвклидовой геометрии, проективная геометрия (французский математик Ж. Понселе, швейцарский математик Я. Штейнер, немецкий математик X. Штаудт и др.), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Немецкий математик Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, немецкий математик Г. Грасман создает аффинную и метрическую геометрию n-мерного векторного пространства.

Уже в гауссовской внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия по существу также освобождается от неразрывной связи с геометрией Эвклида: то, что поверхность лежит в трехмерном эвклидовом пространстве, является для этой теории случайным обстоятельством. Исходя из этого, Риман создает (1854, опубликовано 1866) концепцию п-мерного многообразия с метрической геометрией, определяемой дифференциальной квадратичной формой ds2 = Y2aikdxidxk. Этим было положено начало общей дифференциальной геометрии n-мерных многообразий. Риману же принадлежат и первые идеи в области топологии многомерных многообразий.

Конец 19 в. и 20 в. Математика в СССР. Лишь в начале 70-х гг. 19 в. немецкий математик Ф. Клейн находит модель неэвклидовой геометрии Лобачевского, которая окончательно устраняет сомнения в ее непротиворечивости. Клейн подчиняет (1872) все разнообразие построенных к этому времени «геометрий» пространств различного числа измерений идее

изучения инвариантов той или иной группы преобразований. В это же время (1872) работы по обоснованию анализа получают необходимый фундамент в виде строгой теории иррациональных чисел (немецкие математики Р. Дедекинд, Г. Кантор и К. Вейерштрасс). В 1879-84 публикуются основные работы Кантора по общей теории бесконечных множеств. Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете математики, строении математических теорий, роли аксиоматики и т. д. Широкое их распространение потребовало еще несколько десятилетий (общее признание современной концепции строения геометрии обычно связывается с выходом в свет в 1899 «Оснований геометрии» немецкого математика Д. Гильберта).

Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики сосредоточивается на преодолении логических трудностей, возникших в общей теории множеств, и на исследовании строения математических теорий и приемов конструктивного решения математических задач средствами математической логики. Эти исследования вырастают в большой самостоятельный отдел математики (см. Логика математическая). Основы математической логики создаются в 19 в. английским логиком Дж. Булем, русским математиком П.С. Порецким, немецкими математиками Э. Шредером и Г. Фреге, итальянским математиком Дж. Пеано и др. В 20 в. математики Западной Европы и Америки также имеют в этой области большие достижения [теория доказательств Гильберта; конструктивная логика, созданная голландским математиком Л. Брауэром и его последователями (под связанным с их ошибочными философскими взглядами названием «интуиционистской логики»); установление австрийским математиком К. Геделем принципиальной неполноты формальных дедуктивных теорий; разработка концепции алгоритмической «вычислимости» числовых функций и т. д.], однако в буржуазном мире работы по основаниям математики все более подпадают под влияние реакционной философии и часто служат для пропаганды агностицизма и полного отрыва математической теории от практики. Ряд крупных фактических открытий в области принципиальных проблем теории множеств и математической логики принадлежит советским исследователям [работы Н.Н. Лузина по проективным множествам; данное А. Н. Колмогоровым конструктивное истолкование «интуиционистской логики»; работы П. С. Новикова о непротиворечивости некоторых предложений теории множеств; развитие А.А. Марковым (младшим) теории алгоритмов и алгоритмической разрешимости математических проблем]. Исследования по основаниям математики в СССР и в странах народной демократии сознательно исходят из положений философии диалектического материализма.

Во 2-й половине 19 в. начинается интенсивная разработка вопросов истории математики [М. Кантор (Германия), Г. Цейтен (Дания), В. В. Бобынин (Россия)]. Большие успехи достигнуты в СССР группой ученых (М.Я. Выгодский, А.П. Юшкевич, С. А. Яновская и др.), изучающей на основе марксистско-ленинской методологии различные проблемы истории математики.

Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды не только по количеству работ, но также по совершенству и силе методов и окончательности результатов, получают в конце 19 в. и в 20 в. все разделы математики, начиная с самого старого из них — теории чисел. Немецкие математики Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, русский математик Е. И. Золотарев и немецкий математик Д. Гильберт закладывают основы современной алгебраической теории чисел. Французский математик Ш. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность числа е, немецкий математик Ф. Линдеман в 1882 — числа 7г, французский математик Ж. Адамар (1896) и бельгийский математик Ш. Ла Валле-Пуссен (1896) завершают исследования Чебышева о законе убывания плотности расположения простых чисел в натуральном ряду. Немецкий математик Г. Минковский вводит в теоретико-числовые исследования геометрические методы. В России работы по теории чисел после Чебышева блестяще развивают, кроме уже упомянутого Золотарева, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков (старший). Достигнутое благодаря их работам ведущее положение русской науки в области теории чисел еще более закрепляется в советский период благодаря работам И.М. Виноградова, решившего (1937) знаменитую проблему Гольдбаха для нечетных чисел (см. Гольдбаха проблема) и создавшего наиболее сильный метод решения разнообразных других проблем, аддитивной теории чисел. Большое значение имеют также работы по теории чисел советских математиков Л. Г. Шнирельмана, Б.Н. Делоне, А. О. Гельфонда и др. Продолжают развиваться классические отделы алгебры. В частности, подробно исследуются различные возможности сведения решения уравнений высших степеней (не разрешимых в радикалах) к решению уравнений возможно более простого вида — так называемая проблема резольвент (см.) (Ф. Клейн, Д. Гильберт, в СССР — Н.Г. Чеботарев). В связи с запросами теории колебаний (устойчивость, автоматическое регулирование) широко исследуется вопрос о критериях того или иного расположения корней уравнения на плоскости (см., например, Гурвица критерий). Вопросы линейной алгебры, получающей все более широкие применения в механике и физике, освещаются с совершенно новой стороны благодаря привлечению геометрических идей теории n-мерных векторных пространств (см.). Однако центр тяжести теоретических алгебраических исследований переносится в ее новые области: теорию групп, полей, колец, структур и т. д.

Многие из этих отделов алгебры получают глубокие применения в естествознании: в частности, теория групп — в кристаллографии (в работах Е. С. Федорова и А. Шёнфлиса), а позднее — в вопросах квантовой физики (см. Представления групп). Над общими вопросами современной алгебры (особенно теории групп) в СССР работает первоклассная научная школа (О.Ю. Шмидт, А. Г. Курош, А. И. Мальцев и др.).

На границе между алгеброй и геометрией норвежский математик С. Ли создает (начиная с 1873) теорию непрерывных групп, методы которой позднее проникают во все новые области математики и естествознания. Весьма значительные результаты по теории непрерывных групп в СССР получены Л. С. Понтрягиным и др.

Элементарная и проективная геометрии привлекают внимание математиков конца 19 в. и 20 в. главным образом под углом зрения изучения их логических и аксиоматических основ (см. Геометрия, раздел V — Основания геометрии). Большое развитие, кроме уже упоминавшейся начертательной геометрии, получают некоторые новые прикладные геометрические дисциплины: номография (см.), методы графических вычислений, графическая статика (см.) и т. п. Но основными отделами геометрии, привлекающими наиболее значительные научные силы, делаются дифференциальная геометрия и, в несколько меньшей степени, алгебраическая геометрия (см.). Дифференциальная геометрия эвклидова трехмерного пространства получает полное систематическое развитие в работах итальянского математика Е. Бельтрами, французского математика Г. Дарбу и др. Позднее бурно развивается дифференциальная геометрия различных более широких (чем группа эвклидовых движений) групп преобразований (см., например, Конформно-дифференциальная геометрия, Проективно-дифференциальная геометрия) и особенно дифференциальная геометрия многомерных пространств, как метрическая (см. Римановы геометрии), так и различных других «связностей» (аффинной, конформной, проективной). Это направление геометрических исследований, получившее мощный импульс к развитию с возникновением общей теории относительности (см. Относительности теория), создано прежде всего работами итальянского математика Т. Леви-Чивита, французского математика Э. Картана и немецкого математика Г. Вейля. Во всех основных направлениях дифференциальной геометрии важные работы принадлежат советским математикам (Д. Ф. Егоров, С.П. Фиников, Н.Н. Лузин). Большую школу исследователей, работающих тензорными методами, создал в СССР В. Ф. Каган. Особенно большие достижения имеют советские исследователи в области изучения дифференциально-геометрических образований «в целом» (работы о существовании замкнутых геодезических Л. А. Люстерника и Л. Г. Шни-

рельмана, работы об изгибании поверхностей «в целом» А. Д. Александрова, и др.).

В связи с развитием более общих точек зрения теории множеств и теории функций действительного переменного (см. ниже) теория аналитических функций в конце 19 в. лишается того исключительного положения ядра всего математического анализа, которое намечалось для нее в начале и середине 19 в. Однако она продолжает не менее интенсивно развиваться как в соответствии со своими внутренними потребностями, так и из-за обнаруживающихся новых связей ее с другими отделами анализа и непосредственно с естествознанием. Особенно существенным в этом последнем направлении было выяснение роли конформных отображений при решении краевых задач для уравнений с частными производными (например, задачи Дирихле для уравнения Лапласа), при изучении плоских течений идеальной жидкости и в задачах теории упругости.

Немецкий математик Ф. Клейн и французский математик А. Пуанкаре создают теорию автоморфных функций (см.), в которой находит замечательные применения геометрия Лобачевского. Французские математики Э. Пикар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций, что позволяет, в частности, получить уже упоминавшуюся теорему о плотности расположения простых чисел. Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей (см.) развивают А. Пуанкаре, Д. Гильберт, Г. Вейль, немецкий математик К. Каратеодори, теорию конформных отображений (см.) — советские математики И. И. Привалов, М. А. Лаврентьев, Г. М. Голузин и др. Наиболее широкие применения в аэромеханике и теории упругости конформные отображения (и их обобщение — квазиконформные отображения) находят в работах Н.Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, Н.И. Мусхелишвили, М.А. Лаврентьева и других советских исследователей.

В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль математики — теория функций действительного переменного (см. Функций теория). Под этим несколько условным названием понимают по преимуществу исследование основных понятий анализа (например, понятий функции, производной, интеграла) и основных операций анализа [например, разложения функций в тригонометрические ряды (см.)] с достаточно общей точки зрения. Если ранее систематически изучались лишь функции, возникающие «естественно» из тех или иных специальных задач, то для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объема общих определений (в самом начале ее развития чешским математиком Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, например, обнару-

жено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке) и к обобщению основных понятий анализа в тех случаях, когда в первоначальной форме они не дают исчерпывающего ответа на ту задачу, из решения которой они возникли [например, создание такого процесса интегрирования, который позволил бы восстановить с точностью до постоянной любую функцию F(x), имеющую в каждой точке х производную f(x) = F'(x), по этой производной]. Основы современной теории функций действительного переменного заложили математики французской школы (К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр). Позднее руководящая роль переходит к русской и советской школе, созданной Д. Ф. Егоровым и особенно Н. Н. Лузиным. К виднейшим представителям этой школы принадлежат Д. Е. Меньшов, А. Я. Хинчин, П. С. Александров, М. Я. Суслин, И. И. Привалов (работавший главным образом в областях, пограничных между теорией функций действительного переменного и теорией аналитических функций), Н.К. Бари и др. Интенсивно разрабатывается теория функций действительного переменного и теория множеств польской школой, возглавляемой В. Серпинским.

Исследование функций действительного переменного велось, однако, и с другой, примыкающей к Чебышеву, классической точки зрения. Именно, было обнаружено, что более узкие классы функций, имеющие основной практический интерес (классы функций, данное число раз дифференцируемых, или аналитических функций), могут быть охарактеризованы тем, насколько быстро убывают с возрастанием п отклонения от функции наилучшим образом аппроксимирующих ее многочленов степени п. Наиболее значительные результаты были получены в начале 20 в. С. H. Бернштейном, возглавившим затем большое направление конструктивной теории функций (см.), в которой ведущее место принадлежит советским исследователям (см. Приближение и интерполирование функций). Теория приближений функций многочленами в комплексной области тоже с наибольшим успехом разрабатывается советскими исследователями (М. А. Лаврентьев, М.В. Келдыш и др.).

Помимо своего непосредственного интереса, теория функций действительного переменного оказала большое влияние на развитие многих других отделов математики. Выработанные в ее пределах методы оказались особенно необходимыми при построении основ функционального анализа. Если в отношении методов функциональный анализ развивался под влиянием теории функций действительного переменного и теории множеств, то по своему содержанию и характеру решаемых в нем задач он примыкает непосредственно к классическому анализу и математической физике, становясь особенно необходимым [главным образом в форме теории операторов (см. Операторное исчисление)] в квантовой физике. Впервые со-

знательное выделение функционального анализа как особой ветви математики было произведено итальянским математиком В. Вольтерра в конце 19 в. В качестве частей функционального анализа воспринимаются теперь возникшее много ранее вариационное исчисление (см.), задачей которого является разыскание максимумов и минимумов функционалов, и теория интегральных уравнений (см.), систематическое построение которой было начато тем же Вольтерра и продолжено шведским математиком Э. Фредгольмом, закончившим в общих чертах теорию важного класса линейных интегральных уравнений, названных его именем. С более общей точки зрения центральное положение в функциональном анализе занимает теория бесконечномерных линейных пространств (см.) (разработанная в наиболее употребительной ныне форме польским математиком С. Банахом) и операторов в них. Наиболее важный специальный случай операторов в гильбертовом пространстве (см.), основная роль которого выяснилась из работ Гильберта по интегральным уравнениям, разрабатывается особенно интенсивно. Значительные работы по общим вопросам функционального анализа принадлежат венгерскому математику Ф. Рису, американскому математику Дж. Нейману, советскому математику И. М. Гельфанду и др. Советским математиком Н. И. Мусхелишвили и его школой разработана теория сингулярных интегральных уравнений (см.), имеющая большое значение в вопросах теории упругости. Важные работы по вариационному исчислению выполнены в СССР М.А. Лаврентьевым, Л.А. Люстерником, Н.Н. Боголюбовым. Методы функционального анализа нашли широкое применение к решению конкретных задач математической физики также в работах С.Л. Соболева и других советских аналитиков.

Развитие общих идей функционального анализа не изменяет, однако, того положения, что наибольшее число задач, выдвигаемых перед математикой естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных (при изучении систем с конечным числом степеней свободы), так и с частными производными (при изучении непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления исследования дифференциальных уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируются. Для решения сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления (см.), возникновение которого не вполне правильно связывается с именем английского инженера О. Хевисайда [ряд основных фактов этого исчисления был, например, указан ранее (1862) русским математиком М.Е. Ващенко-Захарченко]. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяется метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений (французские математики А. Пуанкаре, П. Пенлеве, советский математик И. А. Лаппо-

Данилевский и др.)- Однако наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (Пуанкаре и др.), вопросы устойчивости (см.), особенно глубоко изученные русским математиком А.М. Ляпуновым, отыскание предельных циклов и другие вопросы топологического расположения интегральных кривых, вопросы о поведении интегральных кривых «в среднем» [в форме так называемой эргодической теории (см.)]. Все эти исследования получают широкое развитие в СССР (Л.И. Мандельштам, А.А. Андронов, В.В. Степанов, Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов, И. Г. Петровский и др.).

Качественная теория дифференциальных уравнений (см.) послужила для Пуанкаре отправным пунктом для широкого продолжения лишь едва намеченных Риманом исследований по топологии (см.) многообразий, особенно в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отображений на самих себя. Здесь получили свое начало «комбинаторные», «гомологические» и «гомотопические» методы современной топологии, разработанные голландским математиком Л. Брауэром, американскими математиками О. Вебленом, Дж. Александером и С. Лефшетцем и немецким математиком Г. Гопфом. Другое направление в топологии возникло на почве теории множеств и функционального анализа и привело к систематическому построению теории общих топологических пространств (французский математик М. Фреше, немецкий математик Ф. Хаусдорф, советские математики П. С. Урысон, П. С. Александров, А. Н. Тихонов), в частности теории их размерности (Урысон). Объединение этих направлений, придавшее полную общность алгебраическим «комбинаторным методам», было осуществлено советской топологической школой (П. С. Александров, Л. С. Понтрягин), работы которой лежат в основе современного этапа развития топологии. Применения топологических методов в анализе разрабатывались американскими математиками Г. Биркгофом, М. Морсом, польским математиком Ю. Шаудером, советским математиком Л. А. Люстерником и др.

Теория дифференциальных уравнений с частными производными еще в конце 19 в. получает существенно новый вид благодаря сосредоточению основного внимания на краевых задачах (см.) и отказу от ограничения аналитическими краевыми условиями. Аналитическая теория, восходящая к Коши, Вейерштрассу и русскому математику С. В. Ковалевской, не теряет при этом своего значения, но отступает несколько на задний план, т. к. обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует «корректности», т. е. возможности приближенно найти решение, зная граничные условия тоже лишь приближенно, в то время как без этой возможности теоретическое решение не имеет практической ценности. Картина

более сложна, чем представлялось с точки зрения аналитической теории: краевые задачи, которые можно «корректно» ставить для разных типов дифференциальных уравнений, оказываются различными. Наиболее надежным путеводителем в выборе для каждого типа уравнений надлежащих краевых задач становится непосредственное обращение к соответствующим физическим представлениям (о распространении волн, течении тепла, диффузии и т. п.). Связанное с этим превращение теории дифференциальных уравнений с частными производными главным образом в теорию уравнений математической физики (см.), имея большое положительное значение в смысле накопления огромного конкретного материала, в то же время служит и признаком недостаточного развития общей теории краевых задач, которая позволила бы систематически изучать все теоретически возможные «корректные» краевые задачи. Существенный прогресс в этом направлении намечается лишь в последнее время в работах И. Г. Петровского, С.Л. Соболева и ряда других советских математиков.

Работы по отдельным типам уравнений математической физики справедливо составляют значительную часть всей современной математической продукции. После немецких математиков П. Дирихле и Б. Римана уравнениями математической физики занимались французские математики А. Пуанкаре, Э. Пикар, Э. Гурса, Ж. Адамар, английские физики Дж. Рэлей и У. Томсон, немецкие математики К. Нейман, Г. Шварц, Д. Гильберт, Р. Курант и многие другие. Для эллиптических уравнений фундаментальный вопрос об аналитичности их решений был решен в начале 20 в. в России С.Н. Бернштейном. Основателями систематически работающей отечественной школы в области уравнений математической физики являются А. М. Ляпунов, В. А. Стеклов, H. М. Гюнтер, А. Н. Крылов. В настоящее время эта школа возглавляется В. И. Смирновым, И. Г. Петровским, С.Л. Соболевым, А.Н. Тихоновым и рядом других ученых, доставивших советской науке во многих разделах этой области математики ведущее положение.

Существенным дополнением к методам теории дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технических задач являются методы теории вероятностей (см.). Если в начале 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в конце 19 в. и в начале 20 в. теория вероятностей получает много новых применений благодаря развитию статистической физики и механики и разработке аппарата математической статистики (см.). Наиболее глубокие теоретические исследования по общим вопросам теории вероятностей в конце 19 в. и в начале 20 в. принадлежат русской школе [П.Л. Чебышев, А.А. Марков (старший), А.М. Ляпунов]. Они сосредоточиваются вокруг вопроса об условиях применимости центральной

предельной теоремы (см.) теории вероятностей. В 20 в. происходит общий подъем интереса к теории вероятностей во всех странах (Р. Мизес в Германии, Э. Борель, П. Леви во Франции, В. Феллер в США и многие другие). В СССР фундаментальное значение имеют работы С. Н. Бернштейна, завершившего работы чебышевской школы и начавшего целый ряд новых теоретических и прикладных направлений. Советскими исследователями (А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров и др.) создаются основы теории «случайных», или вероятностных, процессов и дается окончательная форма аксиоматического изложения теории вероятностей, исходящая из усмотренных впервые Борелем аналогий между понятием вероятности и понятием меры в теории функций действительного переменного.

Практическое использование результатов теоретического математического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. Между тем, даже после исчерпывающего теоретического разбора задачи это часто оказывается совсем не легким делом. В конце 19 в. и в 20 в. численные методы (см.) анализа вырастают в большую самостоятельную ветвь математики. Особенно большое внимание уделяется при этом методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (см. Приближенное интегрирование). Для обыкновенных дифференциальных уравнений получает широкое распространение метод, открытый английским астрономом Дж. Адамсом еще в 1855 и развитый далее норвежским математиком К. Штёрмером. Другого типа метод предложил немецкий математик К. Рунге. Кроме многочисленных найденных позднее вариантов этих двух типов методов и давно известного метода последовательных приближений (см. Последовательных приближений метод), теоретически обоснованного Пикаром, советским математиком С. А. Чаплыгиным предложен (1919) метод интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на существенно иных принципах. Для уравнений с частными производными разностные методы, разработка которых была начата немецким математиком Г. Либманом, были усовершенствованы в СССР С. А. Гершгориным и рядом других исследователей. Другой метод, предложенный немецким математиком В. Ритцем (1908) (см. Ритца метод), получил замечательное развитие в работах русского ученого Б. Г. Галеркина (1915). Условия применимости метода Галеркина были исследованы М.В. Келдышем и др. На развитие в СССР всех направлений исследований в области численных методов анализа оказали большое влияние труды А.Н. Крылова. Замечательные связи численных методов анализа с функциональным анализом обнаружены исследованиями Л. В. Канторовича.

Широкое развитие работ, требующих численных расчетов, приводит к необходимости вычисления и публикации все возрастающего количества

таблиц математических (см.). Ряд вопросов, связанных с рациональным составлением таблиц и интерполированием в них, особенно в случае таблиц функций нескольких переменных, стимулирует и развитие соответствующих теоретических исследований («теория табулирования»).

В последнее время все большее значение приобретает использование при вычислениях больших скоростных вычислительных машин. С этим связано возникновение нового отдела математики — теории программирования (см.), т. е. теории приведения математических задач к форме, позволяющей их решать наиболее рациональным способом на математических машинах. О технической стороне «машинной» математики см. Счетная машинная техника, Математические машины, Математические приборы, Вычислительные машины, Счетные машины, Универсальные вычислительные машины, Электронные вычислительные машины.

Лит.: История и философия математики — Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936; Александров А. Д., Ленинская диалектика и математика, «Природа», 1951, №1; его же, Об идеализме в математике, там же, 1951, №7-8; Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века, пер. с франц., 2 изд., М.-Л., 1938; его же, История математики в XVI и XVII веках, пер. с нем., 2 изд., М.-Л., 1938; Выгодский М. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, М.-Л., 1941; Беллюстин В., Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940; Шереметевский В. П., Очерки по истории математики, М., 1940; Васильев А. В., Математика, вып. 1 (1725-1826-1863), П., 1921; Гнеденко Б. В., Очерки по истории математики в России, М.-Л., 1946; Кэджори Ф., История элементарной математики с указанием на методы преподавания, пер. с англ., 2 изд., Одесса, 1917; Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М.-Л., 1937; Историко-математические исследования, вып. 1-6, М.-Л., 1948-53; Вилейтнер Г., Хрестоматия по истории математики, составленная по первоисточникам. Арифметика и алгебра. Геометрия и тригонометрия. .., пер. с нем., 2 изд., М.-Л., 1935; Cantor M., Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd 1-4, 3 Aufl., Lpz., 1907-13; Wieleitner H., Geschichte der Mathematik. Neue Bearbeitung, Bd 1-2, В., 1922-23; Cajori F., A history of mathematics, 2 ed., N. Y., 1931; Loria G., Storia délie matematiche dell'alba délia civiltà al secolo XIX, 2 ed., Milano, 1950; его же, Guida alio studio délia storia délie matematiche, 2 ed., Milano, 1946; Tropfke J., Geschichte der Elementar-Mathematik. In systematischer Darstellung mit besonderer Berücksichtigung der Fachwörter, Bd 1-4, 3 Aufl., B.-Lpz., 1930-40; Bd 5-7, 2 Aufl., B.-Lpz., 1923-24.

Математические энциклопедии и обзоры — Математика. [Сб. статей], под ред. П. С. Александрова [и др.], М.-Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917-1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. Сб. статей, под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.-Л., 1948; Труды Всероссийского съезда математиков в Москве 27 апреля - 4 мая 1927, М.-Л., 1928; Труды первого Всесоюзного съезда математиков (Харьков, 1930), М.-Л., 1936; Труды второго Всесоюзного математического съезда. Ленинград 24-30 июня 1934, т. 1-2, Л.-М., 1935-36; «Успехи математических наук», М.-Л., 1936-44, вып. 1-10, 1946-53, т. 1-8; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 1-3, М.-Л., 1951-52; Ве-

бер Г. и Вельштейн И., Энциклопедия элементарной математики, пер. с нем., т. 1-3, 2 изд., Одесса, 1911-14; Enzyclopädie der mathematischen Wissenschaften, mit Einschluß ihrer Anwendungen, Bd 1-6, Lpz., 1898-1934, то же, Bd 1, 2 Aufl., Lpz., 1952; Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, t. 1-7, P.-Lpz., 1904-14; Pascal E., Repertorium der höheren Mathematik, 2 Aufl., Lpz.-В., 1910-29; Berzolari L. [e. a.], Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi con estensione alle principali teorie analitiche, geometriche e fisiche. Loro applicazioni e notizie storico-bibliografice, v. 1-3, Milano, 1930-50.

II

Статьи о математике в энциклопедических изданиях

АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА1 действительного числа равна этому числу, если оно положительно, равна противоположному числу, если оно отрицательно, и равна нулю, если число равно нулю. Таким образом, А.в. положительного числа р и отрицательного числа — р совпадают. А. в. числа а обозначается \а\. Например, | + 5| = | — 5| = 5; |0| = 0.

На чертеже изображен график функции у = f(x) = \х\. Абсолютная величина (или модуль) комплексного числа (см.) а + Ы (где а и b действительны) равна + у/а2 + Ь2. Например,

АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ2 - геометрия, построенная независимо от постулата о параллельных и содержащая поэтому предложения, общие для эвклидовой геометрии и для геометрии Лобачевского (см.).

АДДИТИВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ3 (лат. additivus - прибавленный) -величины, связанные с геометрическим объектами (телами, поверхностями, линиями) или физическими телами таким образом, что величина, соответствующая целому объекту, всегда равна сумме величин, соответствующих его частям, каким бы образом мы этот объект ни разбивали на части. Объем тела, площадь поверхности, длина линии, масса и вес физического тела суть А.в. Аддитивные величины в общей, абстрактной форме изучаются в математике как аддитивные функции множеств (см.). Например, двойной интеграл

является аддитивной функцией области G, по которой он берется: если области Gi и G2 не пересекаются (g1g2 = 0) и в сумме дают область G

1 БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 32.

2 БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 33.

3 БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 394.

АКСИОМА4 (греч. αξίομα) — отправное, исходное положение, лежащее в основе доказательств других положений (теорем) научной теории, которое в пределах этой научной теории не доказывается. Распространенное в старых учебниках формальной логики определение, по которому А. «не нуждаются в доказательстве в силу их очевидности», неудовлетворительно, так как требование «очевидности» имеет субъективный характер; к тому же среди теорем, доказываемых на основе Α., часто встречаются предложения более очевидные, чем сами А. Аксиомы не являются непреложными и неизменными: они в процессе исторического развития знания подлежат проверке, уточнению на опыте и обоснованию. Поэтому характерный для многих течений идеалистической философии взгляд на А. как на вечные, «априорные» истины, не связанные с опытом, — ложен.

Полное выяснение роли и подлинного значения А. в науке сделалось возможным только с позиций диалектического материализма. Диалектический материализм доказал опытное происхождение всех Α., как и всего человеческого знания вообще. По поводу происхождения аксиом Ленин писал: «практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» (Ленин, Философские тетради, 1947, с. 164). Вместе с тем диалектический материализм доказал также относительный характер Α., на каждой ступени исторического развития познания выражающих достигнутый предел приближения наших знаний к объективной, абсолютной истине.

Практика, включающая в себя производственно-техническую деятельность и эксперимент, служит критерием всякого истинного познания природы и, в частности, вопроса об истинности А.

Четкое разграничение между А. и доказываемыми на их основе теоремами свойственно наукам, в которых преобладает дедуктивная система изложения, т. е. в первую очередь математике и в меньшей степени — математическому естествознанию (механике, теоретической физике).

Аксиомы геометрии. Первое представление о роли А. в построении дедуктивной научной теории проще всего получить из обычного школьного курса геометрии. Это соответствует историческому порядку развития науки, так как именно на примере геометрии древнегреческими математиками было впервые с известным приближением осуществлено строго логическое дедуктивное построение обширной науки на основе небольшого числа четко сформулированных в самом начале исходных предложений. Создание логического курса геометрии, построенного на определенной системе Α., было, несомненно, делом нескольких поколений греческих математиков (известны упоминания о «Началах геометрии» Гиппократа Хиосского, жившего во

4 БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 613-616.

2-й половине 5 в. до н. э., Эвдокса и некоторых других авторов). Сохранилось и оказало решающее влияние на развитие математики в дальнейшие эпохи изложение геометрии, данное в «Началах» Эвклида (начало 3 в. до н. э.). С современной точки зрения аксиомами следует считать как предложения, которые сам Эвклид называл «общими понятиями», так и предложения, называемые у Эвклида «постулатами». Среди А., положенных Эвклидом в основу геометрии, некоторые относятся, по существу, к общему учению о величинах. Таковы А.: 1) «равные порознь третьему равны между собой»; 2) «и если к равным придадим равные, то получим равные»;

3) «и если от равных отнимем равные, то получим равные».

Под названием «постулатов» Эвклид вводит следующие собственно геометрические А.: 1) нужно потребовать, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию; 2) и чтобы каждую ограниченную прямую можно было продолжить неопределенно; 3) и чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом;

4) и чтобы все прямые углы были равны; 5) и чтобы всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Эвклидовы А. геометрии много раз пересматривались и дополнялись, но все же они являются прообразом систем А., с которых начинается большинство современных курсов элементарной геометрии. Например, А., помещающаяся обычно на первой месте: «Через любые две точки можно провести прямую линию и притом только одну», соответствует частью первым двум постулатам Эвклида, частью же А., добавленной в качестве девятой еще древними комментаторами Эвклида: «И две прямые не могут заключать пространства».

Со строго научной точки зрения не только А. (и постулаты) Эвклида, но и обычный для современных элементарных учебников набор А. геометрии нельзя признать вполне удовлетворительным. Как у Эвклида, так и в современных элементарных учебниках, дальнейшее изложение, помимо А. и правил логики, использует некоторые не высказываемые явно и не доказываемые дополнительные геометрические допущения. Свободное от этого недостатка изложение всей системы теорем эвклидовой геометрии было создано лишь на границе 19 и 20 вв. Оно обычно преподается в наших университетах и педагогических институтах в виде особого курса под названием «Основания геометрии». Наиболее известное изложение оснований геометрии, созданное Гильбертом (см.*)а, опирается на двадцать А.

а Звездочка означает, что соответствующая статья воспроизводится в настоящем томе. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.

Некоторые из них воспроизводят в измененной и иногда уточненной форме аксиомы Эвклида, некоторые же другие отражают значительно возросшие современные требования логической строгости и показались бы греческим математикам не заслуживающими упоминания. Например Гильберт вводит специальную А., утверждающую, что «среди трех точек прямой существует только одна, лежащая между двумя другими» (т. е. если А лежит между В и С, то В не может лежать между А и С, а С не может лежать между А и В). Зато из системы аксиом Гильберта все здание эвклидовой (элементарной) геометрии действительно может быть выведено чисто логической дедукцией, без всякого добавления неявно подразумеваемых предположений и наглядно-геометрических представлений.

При любой системе построения геометрические А. должны быть выбраны так, чтобы из них чисто логическими средствами можно было вывести всю совокупность геометрических теорем. Кроме того, обычно стремятся, чтобы среди них не было излишних для достижения этой цели и чтобы ни одна из А. не была следствием остальных (если это последнее требование выполнено, то говорят, что А. «независимы» друг от друга).

Помимо указанных сейчас формально-логических требований, обычно при изложении элементарной геометрии стремятся к возможно большей наглядной «очевидности» А. Не менее существенным требованием является такой выбор А., при котором все дальнейшее развитие теории делается наиболее последовательным и простым. Однако соблюдение всех этих требований не определяет еще выбора системы А. единственным образом. Особенно широко с давних пор изучались возможности замены пятого постулата Эвклида различными другими предположениями. Например, из этого постулата и из других обычных А. можно вывести, что: а) через точку А, лежащую вне прямой а, в соединяющей их плоскости можно провести только одну прямую, которая не пересекает а; б) сумма углов треугольника равна двум прямым; в) существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна двум прямым; г) существуют два подобных, но не равных треугольника. Обратно, каждое из этих предположений (а-г) в соединении с другими обычными А. геометрии (не включая пятый постулат) дает возможность вывести пятый постулат. Иначе говоря, если одно из предложений принять за А., то пятый постулат и остальные предложения (а-г) превратятся в доказуемые теоремы.

Решающее значение имеет лишь сама система геометрических истин, вопрос же о том, какие из них следует принять за А. с тем, чтобы из них вывести все другие в качестве теорем, — является второстепенным. Замечательна, тем не менее, сама возможность построить все богатое содержанием здание эвклидовой геометрии на основе очень небольшого числа крайне элементарных исходных положений, действительно обладающих

очень большой наглядной убедительностью и даже представляющихся нашему геометрическому воображению совершенно неизбежными.

Это обстоятельство еще у древнегреческих математиков и философов идеалистического направления, особенно в школе Платона (см.), использовалось для подтверждения идеалистических представлений. По мнению Платона, непреложное убеждение в абсолютной истинности основных положений геометрии присуще человеческому разуму совершенно независимо от опыта. Более того, по Платону, мировой разум, вложивший в человека убеждение в истинности геометрических законов, подчинил им же и материальные тела. Это идеалистическое измышление приняло у Лейбница форму учения о предустановленной гармонии между свойствами человеческого разума и свойствами материальных тел. Новый вариант идеалистической теории внеопытного происхождения геометрических А. был выдвинут Кантом (см.). Для философии Канта убеждение во внеопытном происхождении и абсолютной достоверности А. эвклидовой геометрии является одним из основных исходных пунктов.

Однако реальное развитие науки опровергло идеалистическое учение об априорной истинности эвклидовой геометрии. В действительности А. эвклидовой геометрии, подобно основным положениям естествознания, установлены путем наблюдения и опыта. Их большая принудительность для нашего воображения (нашей геометрической «интуиции») объясняется просто тем, что они являются продуктом чрезвычайно длительного повседневного опыта, ставшего уже бессознательным. Утверждением этого нового взгляда наука обязана прежде всего Н. И. Лобачевскому (см.). До Лобачевского мнение об опытном происхождении А. геометрии, высказывавшееся в философской литературе, например, еще Фр. Бэконом (см.), находилось в кажущемся противоречии с существованием одной единственной разработанной системы геометрии (эвклидовой). Лобачевским была создана новая, неэвклидова геометрия (см.), система А. которой противоречит эвклидовой. Эта геометрия оказалась, тем не менее, логически состоятельной и математически весьма содержательной. Создание Лобачевским неэвклидовой геометрии нанесло сокрушительный удар по идеалистическим кантианским воззрениям на априорность геометрических А.

Следует ясно представлять себе, что опытным путем может быть установлена только приближенная, а не абсолютно точная применимость А. той или иной геометрии (эвклидовой или неэвклидовой — безразлично) к действительным пространственным отношениям. За пределами точности доступных нам способов измерения те или иные утверждения о геометрических свойствах реальных тел могут быть только гипотезами. Это значит, что их отрицание не является бессмысленным, т. е. с чисто логической точки зрения мыслима не одна единственная геометрия, а много различных.

Выбор между ними может быть сделан только на основе опыта; в силу же приближенности последнего этот выбор ни на каком этапе увеличения наших знаний не может привести к окончательной, раз навсегда данной, единственной абсолютно истинной системе геометрии. Таков окончательный взгляд на отношения, существующие между различными системами геометрии, разрабатываемыми в чистой математике, и опытным изучением реального физического пространства, который был введен в науку Лобачевским и получил свое полное философское обоснование в философии диалектического материализма.

В настоящее время установлено, что «геометрий», в смысле абстрактных математических схем, имеется много. Каждая из них может быть основана на своей системе А. Вопрос о том, какая из них лучше соответствует свойствам реального пространства, является вопросом не чистой математики, а физики (см. Пространство). В каждой из этих «геометрий» выводы теорем из А. совершенно точны, но в применении к реальному пространству теоремы должны оправдываться, естественно, лишь с той степенью точности, которая соответствует точности осуществления в реальном пространстве А. Это положение не меняется тем обстоятельством, что в масштабах нашего обычного геометрического опыта эвклидова геометрия, как уже говорилось, осуществляется с очень большой точностью.

О дальнейшем развитии геометрии как науки о различных эвклидовых и неэвклидовых «пространствах» различного числа измерений — см. соответствующие разделы статьи Геометрия и других специальных геометрических статей. Заметим только, что исследование этих абстрактных математических «пространств» вовсе не имеет своей единственной целью создание запаса гипотетических систем отражения свойств реального пространства. Практические применения современной геометрии чрезвычайно широки. Например состояние механической системы из п материальных точек изображается точкой фазового пространства системы, которое, вообще говоря, 6п-мерно (точка фазового пространства определяется Зп декартовыми координатами п материальных точек и Зп компонентами их скоростей), и т. п.

Аксиоматический метод в математике вообще. Возможность, исходя из различных систем А., построить различные «геометрии», многие из которых оказываются не только логически свободными от внутренних противоречий, но и допускают важные реальные применения, приводит нас вплотную к современному аксиоматическому методу в математике. Именно, с развитием математики все более выяснялось, что система А. является по существу неявным определением свойств системы объектов, которые изучаются какой-либо математической дисциплиной. Особенно легко в этом убедиться на примере теории групп (см.): так называемые аксио-

мы теории групп являются просто определением понятия группы. Подобно этому система А. теории действительных чисел может рассматриваться как определение системы действительных чисел (см. Число). Еще один простой пример представляют А., определяющие понятие величины (см.*).

Правда, таким неявным образом, при помощи А., система объектов, изучаемых математической теорией, может быть определена лишь с точностью до изоморфизма (см.*). Но такое рассмотрение, при котором изоморфные системы объектов совершенно равноправны, вообще свойственно математике. Например, различные построения действительных чисел приводят, строго говоря, к различным системам объектов, лишь изоморфным друг другу (по Дедекинду действительное число есть сечение в системе рациональных чисел, по Кантору — класс последовательностей рациональных чисел, и т. д.); но после того как построение осуществлено, любая из этих систем с одинаковым правом может быть положена в основу теории.

Система А., определяющая соответствующую систему объектов с точностью до изоморфизма, называется полной. Система А., которой вообще соответствует хотя бы одна система объектов, называется совместной. Вместе с указанным ранее понятием независимости, понятия полноты и совместности являются основными характеристиками системы А. Естественно, что положительный интерес могут иметь только совместные системы А. Требование независимости не столь безусловно: к ней естественно стремиться, но в тех случаях, когда достижение независимости возможно лишь за счет больших усложнений, от нее иногда отказываются, особенно в изложении, рассчитанном на начинающих. Впрочем, хотя фактически построить для какой-либо теории систему из взаимно независимых А. мы не всегда умеем, можно доказать, что такая система А. существует: любая система А. эквивалентна некоторой системе А. взаимно независимых. Иначе дело обстоит с полнотой системы А.: система А., равносильная полной, всегда полна, а система, равносильная неполной, — неполна. Одни математические теории допускают полную систему А., а другие не допускают. Например, система А. теории групп принципиально неполна (потому что существуют не изоморфные группы); наоборот, всякая система А., определяющая систему действительных чисел или пригодная служить основой эвклидовой геометрии, — полна.

Можно говорить лишь о системах А. отдельных математических теорий, а не о системе А. всей математики в целом. Математика в целом не может быть до конца аксиоматизирована, т. е. выведена из раз навсегда данной конечной системы А. Решающей причиной этого является все более глубокое, никогда не останавливающееся изучение свойств объектов реального мира.

Изложенная выше общая концепция аксиоматического построения математической теории не вызывает никаких сомнений в случае, когда рассматриваемые системы объектов конечны, как это имеет место, например, в теории конечных групп. Этот простой случай, однако, совсем не типичен для математики в целом: уже система всех натуральных чисел бесконечна, и, вообще, основное значение в математике имеет аксиоматическое изложение теорий, относящихся к бесконечным системам объектов. Хотя в свете философии диалектического материализма несомненно, что сама возможность построения и изучения в математике бесконечных систем объектов (бесконечной системы чисел, геометрий с бесконечным числом точек, прямых и плоскостей) является лишь отражением в математике бесконечности действительного материального мира, вопрос о характере и, так сказать, механизме этого отражения недостаточно разработан (см.* Бесконечность в математике, Множеств теория и Математика). Возникающие здесь трудности привели к тому, что весьма авторитетное в буржуазной науке течение формалистов (Гильберт) пришло к отрицанию за математическими теориями, относящимися к бесконечным системам объектов (т. е., собственно говоря, за всей классической математикой), права на реальное предметное содержание. Вместо этого формалисты предлагают рассматривать такие теории как чисто формальные «символические исчисления». Ошибочные, ликвидаторские общие установки формалистов убедительно опровергаются повседневной практикой математической работы, на которой их построения никак не отразились. На советских математиках лежит несомненная обязанность дать развернутое положительное материалистическое разрешение тех трудностей в понимании математического бесконечного, которые испугали формалистов. Далеко еще не достаточные достижения советских исследователей в этом направлении освещаются в статье математика (см.*).

Что касается изучения строения математических теорий при помощи аппарата математической логики, то ему советскими математиками придается совершенно не связанный с формализмом положительный смысл. Принятое в математической логике другое, алгоритмическое понимание А., совместности, полноты системы аксиом и т. д. будет рассмотрено в статье логика математическая (см.).

Аксиоматический метод за пределами математики. Делались попытки аксиоматического построения, по образцу геометрии, самых различных дисциплин, вплоть до этики включительно (Спиноза, см.). Положительное значение аксиоматический метод изложения приобрел в механике и в теоретической физике. Аксиоматическое построение статики восходит еще к Архимеду, всей классической механики — к Ньютону. Классическим примером аксиоматического изложения раздела физики может служить

термодинамика. На примере термодинамики можно с особенной убедительностью обнаружить, что аксиоматическое построение физической теории вовсе не является ее завершением: формальная термодинамика, отвлекающаяся от молекулярного строения материи, при всей ее формальной законченности, получает более глубокое обоснование в кинетической теории материи.

Особенно велико значение аксиоматического метода в случае необходимости сравнения двух или многих различных концепций какой-либо большой области математического естествознания. Например при сопоставлении классической и релятивистской механики положение логически сходно с сопоставлением эвклидовой геометрии и неэвклидовой геометрии Лобачевского (см. Принцип относительности). И там, и здесь важно убедиться во внутренней непротиворечивости каждой из сравниваемых систем, развить каждую из них строго логически из небольшого числа исходных предложений и исследовать, не упущены ли при этом еще какие-либо дальнейшие мыслимые варианты теории.

В отношении к А. механики, подобно аксиомам геометрии, до возникновения теории относительности существовало метафизическое представление об их априорной абсолютной достоверности и общеобязательности. Возникновение теории относительности с ее новой механикой положило конец идеалистической концепции априорной достоверности принципов классической механики — концепции, которая не выдвигалась в философской литературе так настойчиво, как соответствующая априористическая концепция происхождения А. эвклидовой геометрии, но, по существу, руководила многими учеными на более ранних этапах развития механики.

Лит.: Наиболее доступная литература по современной форме аксиоматики и различных областей математики: Теория чисел — Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939; Алгебра, векторы — Александров П. С, Введение в теорию групп, М., 1938; Курош А. Г., Курс высшей алгебры. М.-Л., 1946; Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, М.-Л., 1948; Геометрия — Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 2 изд., М.-Л., 1949; Теория вероятностей — Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, М.-Л., 1936.

Развитие аксиоматики геометрии — Начала Евклида, пер. с греч. и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, М.-Л., 1948; Каган В. Ф., Основания геометрии, т. 1-2, Одесса, 1905-07; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем. (с вводной статьей Н.К. Рашевского), М.-Л., 1948.

Философское освещение роли аксиоматики в различных областях математики — Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936; Яновская С. А., Основания математики и математическая логика, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет, 1917-1947, под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.-Л., 1948.

Об аксиоматике в смысле формальной математической логики — Гильберт Д. и Аккерман Д., Основы теоретической логики (со вступительной статьей и комментариями С. А. Яновской), М., 1947.

АКСОНОМЕТРИЯ5 — особый способ изображения пространственных фигур на плоскости.

Аксонометрия по существу представляет собой обыкновенную параллельную проекцию, отличающуюся, однако, тем, что на плоскость чертежа одновременно с изображаемой фигурой проектируется выбранная в пространстве система координат (см. Аналитическая геометрия) вместе с проекцией фигуры на одну из координатных плоскостей (на чертеже — на плоскость XOY).

Аксонометрическое изображение пространственной фигуры позволяет полностью восстановить ее форму и расположение относительно системы координат (см. Начертательная геометрия).

АЛГЕБРА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ.b

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ6 (в элементарной алгебре)-выражение, составленное из букв и цифр, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня целой степени (показатели степени должны быть фиксированными числами). А.в. рационально относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня. А.в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то рациональное А.в. выражает рациональную алгебраическую функцию от этих переменных. Обратно: рациональная алгебраическая функция всегда (по самому определению) может быть записана в виде рационального алгебраического выражения. Соотношение между А.в. общего вида и общими алгебраическими функциями сложнее: всякое А. в. представляет алгебраическую функцию от входящих в него букв, но не всякая алгебраическая функция (см.) изображается при помощи А. в. в описанном выше элементарном смысле.

АЛГОРИТМ7, алгорифм, — всякая система вычислений, выполняемых по строго определенным правилам, которая после какого-либо числа шагов заведомо приводит к решению поставленной задачи. Задача определенного типа считается решенной, если для ее решения установлен опреде-

5 БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 617.

b Статья (см. БСЭ-2, 1950, т. 2, — с. 61-62) является частью IV статьи Алгебра (первые три части — Общие сведения, Исторический очерк и Современное состояние алгебры — написаны О. Ю. Шмидтом и А. Г. Курошем). Включена в том 6 настоящего издания.

6 БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 64.

7 БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 65.

ленный А. Так, для разыскания общего наибольшего делителя двух чисел служит так называемый алгоритм Эвклида (см.*), т. е. последовательное деление; для определения числа действительных корней алгебраического уравнения служит алгоритм Штурма (см. Штурма правило). В средние века А. называли правило, по которому выполняется то или другое из четырех арифметических действий по десятичной системе счисления. В 9 в. такие правила были даны узбекским математиком Хорезми (по-арабски: Аль-Хорезми); по его имени совокупность этих правил стали называть в Европе словом «алгоризм»; затем (по-видимому, вследствие смешения с греческим словом άριθμόζ — число) это название было переделано в А.

Понятие А. принадлежит к числу основных математических понятий. Точное общее его определение дано лишь в последние годы. После этого получила определенный смысл проблема об алгоритмической разрешимости какого-либо типа математических задач, т. е. проблема существования определенной системы формальных правил, позволяющая автоматическим вычислением решать все задачи данного тина. Во всех случаях, где это возможно, нахождение таких А. является естественной целью математики. Например, если алгебра учит, что каждое алгебраическое уравнение п-й степени имеет не менее одного и не более η различных корней, то естественно возникает проблема нахождения такого Α., который по заданным коэффициентам уравнения позволял бы совершенно автоматически определять, сколько именно данное уравнение имеет различных корней (и какой кратности), и вычислять эти корни с любой наперед заданной точностью. В случае алгебраических уравнений такой А. имеется. В более сложных случаях (например, для тех или иных классов дифференциальных уравнений) математика сегодняшнего дня часто может только сказать, что все задачи данного типа имеют решение (иногда даже указать, сколько именно решений), но не в состоянии указать регулярный А. для получения этого решения. Наконец, существуют столь общие и широкие типы математических задач, для которых доказано, что одного общего А. для решения всех задач данного типа вообще не может существовать. В этих случаях целью математических исследований может быть лишь последовательное создание все более и более широких Α., позволяющих сводить к автоматическому вычислению все более и более обширные классы задач данного типа. Это одно из проявлений невозможности до конца «формализировать» математику. Подробнее об этом, а также указания на литературу, см. в статье Логика математическая. Естественно, что с практической точки зрения особенную ценность имеют Α., приводящие к решению задачи возможно более коротким путем. А. для решения какой-либо практической задачи, который требовал бы совершения, например, нескольких сотен тысяч элементарных операций, до недавнего времени пришлось бы считать лишенным практи-

ческой ценности. Нахождение наиболее коротких и простых А. и теперь не утратило значения; однако с созданием скоростных вычислительных машин (см.), которые могут производить много сотен операций в секунду, мы значительно приблизились к такому положению, что почти любой теоретически построенный А. может быть практически осуществлен. Поэтому принципиальные исследования об алгоритмической разрешимости различных классов математических задач приобрели в новейшее время и непосредственно практическое значение. Несмотря на большое значение А. в математике, последняя отнюдь не «сводится» к построению алгоритмов, хотя некоторые буржуазные ученые и пытаются рассматривать всю математику как совокупность А. (см. Формализм в философии математики).

АЛГОРИТМ ЭВКЛИДА8 — способ нахождения наибольшего общего делителя. Был предложен сначала в геометрической форме для нахождения наибольшей общей меры двух отрезков, или, вообще, двух геометрических величин. В этой форме он имеется в «Началах» Эвклида (см.). Тот же, по существу, алгоритм применяется для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел или наибольшего общего делителя двух многочленов.

Только в современной алгебре эти разновидности А. Э. были отчетливо восприняты как частные случаи одной общей теории (см. Эвклидовы кольца в статье Кольцо алгебраическое). Чтобы охватить А. Э. для геометрических величин, общую теорию надо строить при еще более широких предпосылках, чем это делается в теории Эвклидовых колец; в статье «Кольцо алгебраическое» поясняется самый принцип объединения различных случаев А. Э. в одну общую теорию.

1. Пусть даны два отрезка а и Ъ. Они называются соизмеримыми, если существует такой отрезок с, который укладывается какое-либо целое число п раз в отрезке а и какое-либо целое число га раз в отрезке Ъ. Любой такой отрезок с называется общей мерой отрезков а и ft. Если у отрезков а и Ь общей меры нет, то они называются несоизмеримыми. Среди общих мер двух отрезков а и b всегда существует наибольшая общая мера со; любая другая общая мера тех же отрезков укладывается в наибольшей мере некоторое целое число раз. Например, наибольшей общей мерой отрезков длины 1000 м и 375 м является отрезок длины 125 м, укладывающийся в первом восемь раз, а во втором — три раза. Отрезки в 5 м или 1 м тоже будут общими мерами указанных отрезков, но уже не наибольшими.

А. Э. позволяет найти для любых двух соизмеримых отрезков именно их наибольшую общую меру. Состоит он в следующем. Если отрезки а и b равны, то любой из них может быть принят за отрезок со-

8 БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 65-67.

Если отрезки не равны, то пусть а обозначает больший отрезок, a b — меньший. В таком случае откладывают вдоль по отрезку а, начиная, скажем, от левого его конца (рис. 1), отрезок b столько раз, сколько он уложится. Если при этом не получается никакого остатка, то отрезок b и является наибольшей общей мерой

(сам в себе он укладывается один раз). Если остается некоторый остаточный отрезок bi (который, очевидно, должен быть короче 6), то он откладывается вдоль отрезка b столько раз, сколько он уложится. Если при этом не получается остатка, то Ь\ и есть наибольшая общая мера со. В случае, когда вновь получается остаточный отрезок &2> он откладывается вдоль отрезка Ь\ и т. д. Если отрезки а и b соизмеримы, то процесс этот непременно кончится на каком-то шаге с номером к тем, что отрезок Ь^ уложится целое число раз в отрезке Ь^-\ (на рис. 1 это случается при к = 2). Отрезок bk и есть в этом случае общая наибольшая мера отрезков а и Ь.

А. Э. употребляется не только для нахождения общей меры двух отрезков, но и для доказательства существования среди общих мер наибольшей, а также для доказательства того, что любая другая их общая мера содержится некоторое целое число раз в наибольшей. Это теоретическое назначение А. Э. в геометрии является основным, так как в конкретной измерительной практике указанный способ нахождения наибольшей общей меры отрезков мог бы найти лишь очень ограниченное применение.

2. Пусть а и b — два положительных целых числа, причем а ^ Ь. Деление (см.*) с остатком числа а на число b всегда приводит к результату а = = nb+b\, где (неполное) частное п является положительным целым числом, а остаток Ъ\ — либо 0, либо положительное целое число, меньшее Ь:

Будем производить последовательное деление:

(1)

(где все время щ — положительные целые числа и 0 ^ Ъ{ < fti-i), до тех пор, пока не получится остаток, равный нулю. Этот равный нулю остаток

Рис. 1

bk+i можно не писать, так что ряд равенств (1) закончится так:

В курсах арифметики доказывается, что последний положительный остаток bk в этом процессе и является наибольшим общим делителем чисел а и Ъ. При этом А. Э. служит не только для нахождения общего наибольшего делителя, но и для доказательства самого его существования.

3. Пусть теперь А(х) и В(х) — два многочлена. Если степень многочлена А(х) не меньше степени многочлена В(х), то рассматриваемое во всех элементарных учебниках алгебры действие «деления с остатком» заключается в том, что находятся многочлен «частное» N(x) и многочлен «остаток» В\(х), обладающие тем свойством, что

причем степень остатка B\(x) меньше степени В(х). Процесс последовательного деления,

в случае многочленов всегда кончается получением остатка Вк+\{х) (не написанного у нас), равного нулю. Последний отличный от нуля остаток Bk{x) и есть наибольший общий делитель многочленов А(х) и В(х).

А. Э. для отрезков (см. раздел 1) может оказаться и бесконечным. Это будет в том (и только в том) случае, если взятые отрезки а и b несоизмеримы. Таков, например, случай диагонали и стороны квадрата. На рис. 2 изображен квадрат (ABCD) с диагональю АС = а и стороной DC = b. Мы строим отрезок AD' = AD = Ь, а на отрезке D'C = Ъ\ — квадрат {А'В'CD'). На диагонали меньшего квадрата откладываем A'D" = A'D' = b\. Легко доказать, что углы, отмеченные на рисунке двумя дужками, равны \ прямого угла. Поэтому DA' = A'D' = b\. Первые шаги А. Э. в рассматриваемом случае будут таковы:

В силу подобия фигур (ABCDD') и {A' B'CD' D“) при откладывании отрезка D”C = 62 вдоль отрезка D'C = Ь\ повторится точно та же картина, какая наблюдалась при откладывании отрезка D'C = Ъ\ вдоль отрезка DC = b. Поэтому дальнейшие шаги А.Э. будут таковы:

и т. д., до бесконечности. Именно на этом пути греческие математики впервые открыли существование несоизмеримых отрезков (см. Геометрия).

Так как отношение диагонали квадрата к стороне равно у/2, то приведенное геометрическое доказательство несоизмеримости диагонали и стороны квадрата вместе с тем является и доказательством иррациональности числа v2. О применении А. Э. к вопросам, связанным с иррациональными числами, см. Непрерывные дроби. Здесь мы ограничимся лишь указанием, что, в силу сказанного выше, у/2 разлагается в бесконечную непрерывную дробь следующего вида:

Лит.: А.Э. в геометрии — см.: Киселев А., Геометрия, 9 изд., М., 1948; А.Э. в арифметике и алгебре — Маркушевич А. И., Деление с остатком в арифметике и алгебре, М.-Л., 1949; А.Э. с точки зрения теории колец — Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., ч. 1-2, [2 изд.], М.-Л., 1947.

АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ9 - совокупность разделов математики, опирающихся существенно на понятие функции и на идеи исчисления бесконечно-малых. Трудно логически провести границу между А. м. и другими разделами математики: по исторической традиции под названием А.м. объединяются основы теории функций, дифференциального исчисления и интегрального исчисления (см.), теории дифференциальных

Рис. 2

9 БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 325-326.

уравнений (см.*) и ряд других разделов математики, возникших — в систематической форме — в результате работ Ньютона, Лейбница, Эйлера и других математиков 17-18 вв. Естественным продолжением классического А.м. является функциональный анализ (см.), в который входят в качестве специальных глав возникшие раньше общего функционального анализа вариационное исчисление (см.) и теория интегральных уравнений (см.).

АСИМПТОТА10 кривой с бесконечной ветвью — прямая, являющаяся предельным положением касательной при удалении точки касания в бесконечность. Например, гипербола (см.), определенная в декартовых координатах уравнением ху = 1, имеет координатные оси х = 0 и у = 0 своими А. Иногда понимают термин А. в более общем смысле, называя А. прямую, к которой точка кривой неограниченно Второе определение (оно принадлежит Аполлонию Пергскому, см.) шире первого: А. в первом смысле всегда является и А. во втором смысле. А. же по втором смысле может и не быть А. в первом смысле. Например, гиперболическая спираль (рис. 1)

(9 — параметр) имеет асимптотой (в первом смысле) прямую у — 1 =0; кривая у = (рис. 2) имеет А. (также в первом смысле) у = 0; а кривая у — ' (рис. 3) имеет прямую у = 0 асимптотой во втором смысле, в первом же смысле А. не имеет. С точки зрения проективной и алгебраической геометрии основным и естественным определением является первое (на языке проективной геометрии оно означает: А. есть касательная к кривой в бесконечно удаленной ее точке). Второе определение может быть полезным в некоторых вопросах анализа.

Рис. 1

10 БСЭ-2. - 1950. - Т. 3. - С. 238-239.

Рис. 2

Рис. 3

Лит.: Бюшгенс С. С, Дифференциальная геометрия. М.-Л., 1940.

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ11 функции - приближенные ее выражения со сколь угодно малой относительной ошибкой. Точнее, функция А(х) является А. в. для функции f{x) при х —» а, если предел отношения f(x) : А(х) при х —► а равен единице. Этот факт записывают иногда в виде асимптотического равенства: f(x) ~ А(х) при х —> а (читается: f(x) асимптотически равна А(х) при я, стремящемся к а). Например:

Замечательный пример А. в. представляет формула Стирлинга (см. Стирлинга формула):

А.в. иногда можно сделать более точными, добавляя к ним дополнительные члены. Таким образом приходят к разложениям функций в конечные или бесконечные асимптотические ряды (см. Ряды). Точнее: говорят, что функция f(x) при X —> а разлагается в асимптотический ряд

если для остаточных членов этого ряда, т. е. для

11 БСЭ-2. - 1950. - Т. 3. - С. 239.

справедливы соотношения:

Очевидно, что из этих соотношений вытекают следующие:

т. е. каждый следующий член асимптотического ряда бесконечно мал по сравнению с предыдущими.

Примером асимптотических рядов может служить любое разложение функции в ряд Тейлора. Например:

Но, вообще говоря, асимптотические ряды не обязаны сходиться к функции. Например, указанная выше формула Стирлинга получается из следующего асимптотического ряда для 1п(п!) при п —> оо:

(*)

где jE?i, i?2> • • • СУТЬ Бернуллиевы числа (см.):

Ряд (*) является асимптотическим для 1п(п!), так как, остановившись в нем на члене Bk/((2k — \)2кп2к~1), мы получим при п —> оо остаточный член порядка 1/(п2к). Однако при любом фиксированном п члены этого ряда с возрастанием номера к неограниченно возрастают по абсолютной величине, что, естественно, влечет за собой расходимость ряда.

Тем не менее, из асимптотических рядов, обрывая их на надлежащем месте, во многих случаях можно получить очень ценные приближенные формулы (см.), служащие для фактического приближенного вычисления функции f(x). Естественно, что для получения на этом пути надежных результатов надо уметь оценивать соответствующие остаточные члены.

БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ12 (в математике) - переменные величины, которые в данном процессе их изменения, начиная с некоторого

12 БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 66-67.

момента, становятся больше любого наперед заданного числа. Точнее: величина у, рассматриваемая в некотором определенном процессе ее изменения, называется Б. б., если для сколь угодно большого положительного H можно указать такой момент процесса, что в этот момент и во все следующие моменты процесса абсолютное значение величины |у| больше Я. Например: если п пробегает последовательно целые значения 1, 2,3,..., то функция

является Б. б. величиной, так как

и т. д.

Изучение Б. б. величин может быть сведено к изучению бесконечно малых (см.*) величин, так как для того, чтобы величина у была Б. б., необходимо и достаточно, чтобы обратная ей величина

была бесконечно малой.

В теории пределов (см.) тот факт, что величина у является Б. б., записывают в виде

(1)

Символ со (читаемый «бесконечность») в этом равенстве вовсе не является обозначением Б. б. величины. Наиболее простая точна зрения на него заключается в том, что сам по себе он не имеет смысла, а в равенстве (1) является лишь условным обозначением того, что величина у является Б. б. Такой подход к делу вполне достаточен при изложении вопросов теории пределов, дифференциального и интегрального исчислений, входящих, например, в обычный курс математики высших технических учебных заведений в СССР. Однако возможна и другая точка зрения, в силу которой оо является «несобственным элементом», присоединяемым к обычной числовой системе и подчиненным определенным правилам действий с ним типа ^ = 0, ^ = оо и т. п. (см.* Бесконечность в математике, раздел 2, пункт а).

Историческое развитие представлений о Б. б. величинах шло параллельно развитию представлений о бесконечно малых величинах. В восходящих еще к Демокриту и культивировавшихся вплоть до 18 в. атомистических представлениях о возможности статически разлагать конечные величины на Б. б. число бесконечно малых «неделимых» заключались в неразделенном виде зародыши двух больших течений дальнейшего развития математики: а) современного учения о Б. б. и бесконечно малых величинах, как специального рода переменных величинах, и их употребления в дифференциальном и интегральном исчислении; б) современного представления о возможности рассматривать геометрические фигуры (отрезки прямой, кривые, поверхности, тела) как бесконечные множества точек (см.* Бесконечность в математике и Множеств теория).

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ13 (в математике) — переменные величины, стремящиеся к пределу, равному нулю. Из общего определения предела (см.) в применении к рассматриваемому частному случаю вытекает такое развернутое определение: переменная величина у называется Б. м., если для любого фиксированного положительного числа е в процессе изменения величины у наступает такой момент, что, начиная с этого момента, величина у остается по своему абсолютному значению меньше е. Например, если п пробегает последовательно все натуральные числа 1,2,3,..., то величина

является Б. м., так как

и, вообще,

Если предел а переменной величины у конечен, то предельное соотношение limy = а равносильно соотношению \\т(у — а) = О, т. е. бесконечной малости разности (у— а). Поэтому можно поступить и наоборот: положить в основу общего определения предела (конечного) его частный случай — определение Б. м., т. е. считать, по определению, постоянное а пределом переменного у в том случае, когда разность у — а бесконечно мала.

13 БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 67-71 (совм. с В. Ф. Каганом).

Для того, чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится Б. м. Например, величина у = j является Б. м. при аргументе х, стремящемся к бесконечности, а при х, стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой (см.*). Часто рассматривается совместное изменение нескольких величин в одном и том же процессе. Например, при х, стремящемся к бесконечности, все величины

являются Б. м., но скорость их приближения к нулю при увеличении х существенно различна: г/2 убывает несравненно скорее, чем уь а уз — несравненно скорее, чем j/2, так как отношения

сами при x —► оо являются Б. м. Такого рода примеры приводят, естественно, к следующему определению: переменная величина z называется Б. м. по сравнению с переменной величиной у, если отношение | есть Б. м., т. е.

(*)

Если сама величина у является при этом Б. м., то говорят, что величина z есть Б. м. более высокого порядка, чем у. В современной математической литературе соотношение (*) часто записывается в виде z = о(у) (читается «о малое от у»).

Если среди нескольких совместно изменяющихся Б. м. величин какая-либо Б. м. величина у может быть принята за «главную», с которой сравниваются все остальные, тогда про Б. м. величину z говорят, что она является Б. м. /с-го порядка, если предел üm^- существует и равен конечному числу, отличному от нуля. При изучении поведения какой-либо функции f(x) вблизи точки x = хо за главную Б. м. принимают приращение независимого переменного Ах = х — xq. Тогда в случае п раз дифференцируемой функции f(x) ее приращение представляется по формуле Тейлора (см. Тейлора формула):

Здесь /'(яо), /"(хо),... обозначают последовательные производные функции f(x) в точке хо. Формула Тейлора показывает, что приращение каждой n-кратно дифференцируемой функции складывается из членов

которые (в случае, когда они не обращаются тождественно в нуль из-за равенства нулю соответствующей производной) имеют первый, второй и т. д. до п-го порядок малости, и из остатка о(Ах)п — Б. м. по сравнению с (Ах)п. Это обстоятельство объясняет, почему в математическом анализе так часто встречаются Б. м. величины последовательных целых порядков малости (1,2,3,...). Однако в более сложных вопросах могут появиться как Б. м. различных дробных порядков, так и Б. м., которым совсем нельзя приписать никакого определенного порядка малости по сравнению с заданной главной Б. м.

С Б. м. величинами связаны дифференциалы (см.*). На простейшем примере обнаруживается как тесная связь между двумя понятиями, так и их глубокое различие. Формула Тейлора при п = 1 дает

(1)

что является просто другой записью самого определения производной

(2)

В то же время формула (1) показывает, что приращение Ау, с точностью до Б. м. более высокого порядка, чем Дж, совпадает с дифференциалом

(3)

Это обстоятельство выражают словами, говоря, что дифференциал dy есть главная часть приращения Ау.

Так как формула (3) служит определением дифференциала любой функции у = /(ж), то ее можно применить и к функции f(x) = х, что дает

(4)

Из (3) и (4) вытекает

(5)

Сравнивая (5) и (2), мы видим, что равенство, верное для приращений Ау и Ах лишь в пределе при Ах —» 0, — верно для дифференциалов в качестве элементарного точного равенства, не требующего никакого перехода к пределу. Таково же положение и в более сложных случаях; при соблюдении известных условий, которые строго указываются в учебниках анализа, вычисления с дифференциалами можно производить по простым алгебраическим правилам и приходить таким путем непосредственно к результатам, которые, исходя из приращений, можно получить только предельным переходом, делая эти приращения Б. м.

Это — классический пример диалектического развития математических понятий, разобранный в математических рукописях Маркса. Задача определения производной выходит за пределы элементарной алгебры: при любом значении Ах ф 0 отношение Ay/Ах еще не есть производная, а при Ах = О получается бессмысленное выражение ^. Такое положение преодолевается обращением к переменным величинам и переходом к пределу. С созданием понятия дифференциала на новом, более высоком этапе развития теории возникает возможность выразить производную в виде простого отношения dy/dx и возвратиться, таким образом, к алгоритму, качественно новому по содержанию, но по форме вновь элементарному — алгебраическому.

В математическом естествознании непосредственное обращение к Б. м. является обычным способом составления дифференциальных уравнений данной задачи. Допуская, например, что уменьшение температуры Т тела за промежуток времени At пропорционально At и разности Т — То, где То обозначает температуру окружающей среды, получают соотношение:

Дополнительный член o(At) возникает потому, что пропорциональность между AT и (T-To)At выполняется лишь приближенно и тем точнее, чем меньше At. Поправка o(At) считается Б. м. по сравнению с At, что и приводит к известному дифференциальному уравнению

решение которого имеет вид:

Этот элементарный пример типичен: почти все основные закономерности механики и классической физики выражаются простыми формулами, связывающими между собой Б. м. приращения. Это обстоятельство и привело к тому, что метод Б. м. сделался основным методом классического математического естествознания.

Исторический обзор развития учения о Б. м. Изложенные выше точные определения основных понятий теории Б. м. величии сложились только в 19 веке. Для того, чтобы понять историю вопроса, следует ясно представить себе, что практический интерес имеют не Б. м. сами по себе, а те случаи, в которых рассмотрение Б. м. приводит к величинам конечным (подобно тому, как из отношения двух Б. м. в пределе получается конечное значение производной). В истории математики основное значение имели три типа такого рода задач.

1) Простейшие задачи древнегреческих математиков на метод исчерпывания (см.* Исчерпывания метод), в которых Б. м. используются лишь для доказательства равенства двух заранее заданных величии (или двух отношений заранее заданных величин).

2) Более сложные задачи на метод исчерпывания, в которых искомая конечная величина получается в виде предела суммы

неограниченно возрастающего числа Б. м. величин. Эти задачи впоследствии привели к созданию интегрального исчисления (см.).

3) Задачи, в которых конечная величина получается в виде предела отношения Б. м. величин. Они послужили материалом для создания дифференциального исчисления (см.).

Изобретение метода исчерпывания приписывается Евдоксу Книдскому (см.). Во всяком случае, он проходит в качестве основного приема доказательства через всю 12-ю книгу «Начал» Эвклида. В современной форме логическая схема рассуждений Эвклида может быть записана так: если все отношения

равны между собой и имеют постоянное значение к и если при п —> оо обе разности а — аП) b — bn Б. м., то

Например, для сравнения площадей двух кругов Эвклид вписывает в каждый из них по квадрату и доказывает, что площадь этого квадрата превосходит половину площади круга: остающиеся четыре сегмента (рис. 1)

составляют вместе меньше половины площади круга; дополнив квадрат до правильного восьмиугольника, он обнаруживает, что остаток составляет уже меньше четверти круга, затем восьмиугольник дополняется до правильного шестнадцатиугольника, причем оставшиеся шестнадцать сегментов составляют в сумме уже меньше одной восьмой доли площади круга и т. д. Таким образом, площадь круга постепенно «исчерпывается» при переходе к вписанным многоугольникам со все большим числом сторон. Так как в двух кругах площади соответствующих многоугольников

Рис. 1

относятся, как квадраты радиусов, то Эвклид заключает отсюда, при помощи доказательства от противного, что то же самое отношение имеют и площади кругов.

Более широкое и свободное употребление Б. м. наблюдается у Архимеда (см.). В своих сочинениях «О коноидах и сфероидах» и «О спиралях» Архимед систематически пользуется при вычислении площадей и объемов методом, который но своей идее вполне аналогичен современному определению интеграла. Вот как, например, Архимед определяет площадь первого витка спирали (рис. 2), которая называется теперь «архимедовой» и которая в полярных координатах имеет уравнение

В рассматриваемую фигуру S вписывается фигура, состоящая из п — 1 круговых секторов с углом при вершине 27г/п (эти секторы а вокруг S описывается фигура, состоящая из п аналогичных круговых секторов (на рис. 3 изображены без штриховки). Легко видеть, что в обоих случаях площадь к-го сектора

Из построения ясно, что площадь S заключена в пределах

(6)

Рис. 2 Рис. 3

Так как

то при любом п

Архимед выражает последнее соотношение в геометрической форме: при любом п

(7)

где К — площадь круга, изображенного на рис. 2. Из сопоставления (6) и (7) и того обстоятельства, что разность S'^ — S'n = Дп при п —> оо является Б. м., Архимед делает вывод, что

Конец изложенного рассуждения показывает, каким образом Архимедом был развит и усовершенствован евдоксов метод исчерпывания. Начало же этого рассуждения показывает, что Архимед владел и приемами, которые были отнесены выше ко второй группе и которые по своему идейному замыслу соответствуют современному интегральному исчислению.

При помощи интегрального исчисления рассматриваемая площадь вычисляется как

Входящий в эту формулу интеграл по определению есть предел сумм вида

где

В частном случае, когда

(8)

при Vk = ®k-\ получается архимедова сумма S'n, а при = — архимедова сумма S'^. Следует специально отметить, что при выборе (8) точек деления 0& архимедовы суммы S'n и 5^ совпадают с так называемыми суммами Дарбу (см.* Интеграл), для которых и в общем случае гарантировано выполнение неравенств (6). Таким образом, Архимед для своей частной задачи проделывает весь ряд рассуждений, свойственных интегральному исчислению, и притом в его логически законченной форме (точные оценки сверху и снизу при помощи сумм Дарбу), разработанной в качестве общей теории лишь во второй половине 19 в. Аналогично Архимед поступает и в ряде других задач на вычисление площадей и объемов.

Отсюда следует, что к концу своего развития древнегреческая математика вполне овладела и задачами второй из намеченных выше групп. Следует, однако, здесь же отметить и принципиальное отличие всего характера мышления даже таких гениальных математиков древности, каким был Архимед, от стиля мышления математиков нового времени. В рассмотренной выше в виде примера задаче Архимед не вычисляет

а берет, не указывая откуда, величину у и доказывает равенство S = у от противного, устанавливая, что, в силу (6), (7) и бесконечной малости разности S'n — S'n, неравенство S Ф у привело бы к противоречию. Греческие математики не только не разработали каких-либо общих правил вычисления пределов (с чего начинается всякий современный учебник высшей математики), но и вообще не сформулировали лежащего по существу в основе их приемов понятия предела (даже общее название «метод исчерпывания» для их приемов возникло лишь в новое время). Тем более, древняя наука не создала ничего подобного современному алгоритму интегрального исчисления, благодаря которому теперь совсем не обращаются при вычислении нового интеграла к определению интеграла в качестве предела сумм, а пользуются значительно более простыми в практическом употреблении правилами интегрирования функций различных специальных классов. Из сочинений Архимеда (особенно из «Послания Эратосфену») можно усмотреть, что его логически отточенному методу оценки площадей и объемов при помощи сумм возрастающего числа неограниченно убывающих (т. е. Б. м. в современном смысле слова) слагаемых предшествовал более примитивный, но более наглядный метод, восходящий, по утверждению Архимеда, к знаменитому философу-материалисту Демокриту (см.). Архимед указывает, в частности, что Демокрит раньше Евдокса определил (хотя и без строгого обоснования своих результатов) объем пирамиды.

Для Эвклида и Евдокса основную трудность при выводе объема пирамиды представляло доказательство того факта, что объемы двух пирамид с равными высотами и равновеликими (т. е. равными по площади) основаниями равны. Трудность эта преодолевалась в «Началах» Эвклида применением метода исчерпывания. В современных учебниках элементарной геометрии проводится доказательство того же утверждения, построенное ближе к архимедовой форме употребления методов исчерпывания.

Судя по указаниям Архимеда, демокритов «атомистический» метод доказательства равенства объемов двух пирамид с равными высотами и равновеликими основаниями можно представить себе так (рис. 4): из соображений подобия вытекает, что площади сечений, проведенных на равной высоте в наших пирамидах, равны; объемы пирамид воспринимаются просто как «суммы» этих площадей, что и позволяет сразу, исходя из равенства соответствующих членов двух сумм, заключить о равенстве самих сумм. В сочинениях Архимеда дается много примеров применения этого метода к решению более сложных задач. Архимед считал такой метод нестрогим, но очень ценным с эвристической стороны (т. е. для первоначального получения новых результатов, которые потом должны быть обоснованы более строго) и был в этом с современной точки зрения, конечно, прав, так как метод Демокрита является лишь не выдерживающей строгой критики попыткой заменить процесс предельного перехода

несостоятельной метафизической гипотезой о возможности получения объемов суммированием площадей.

Послание Архимеда к Эратосфену, получившее краткое название «Эфодикон» (руководство), много комментировалось и цитировалось авторами эллинистической эпохи, но не дошло до европейских математиков эпохи создания современной высшей математики, которые в отношении необычайно простого атомистического метода рассуждений Демокрита в лучшем случае должны были довольствоваться довольно смутными литературными указаниями других источников (текст «Эфодикона» был вновь открыт лишь в 1906). Тем не менее этот метод получил блестящее развитие в работах Кеплера и Кавальери (см.). Кеплер в своей «Стереометрии винных бочек» (1615) определяет объем 92 тел вращения. Если бы он следовал педантично методу изложения Архимеда при каждом из этих определений,

Рис. 4

то его труд разросся бы до необъятных размеров. Метод Кеплера можно пояснить на простом примере. Определение площади круга Кеплер основывает на следующем рассуждении (фигурирующем и в настоящее время в некоторых учебниках геометрии, требующих по своему назначению наибольшего упрощения). Круг разбивается на секторы с общей вершиной в центре (рис. 5); чем меньше каждый сектор, тем ближе он подходит к треугольнику, основанием которого можно считать дугу сектора; его площадь, следовательно, равна длине его дуги, умноженной на половину радиуса; если суммировать эти площади, то получится, что площадь круга равна длине его окружности, умноженной на половину радиуса. С такой же простотой Кеплер вычисляет объем шара и других тел вращения; но эта простота порождает сомнения (которых он не скрывает) и иногда приводит его к ошибкам. Чтобы заглушить эти сомнения, Кеплер подтверждает свое рассуждение относительно площади круга такого рода соображениями: составляющие секторы можно сделать настолько малыми, что их основаниями становятся точки, и число секторов тогда становится бесконечным; каждый из этих Б. м. секторов уже вовсе не отличается от такого же треугольника. Конечно, это рассуждение ничего не спасает, потому что со сведением основания к точке исчезает сектор, и треугольник превращается просто в радиус. Его существенная особенность заключается в том, что здесь Кеплер более или менее сознательно склоняется к статическому разложению круга на бесконечно большое число актуально Б. м. секторов — радиусов, а не к потенциальной бесконечности непрерывно возрастающего числа непрерывно убывающих слагаемых; в этом виде неограниченно продолжающийся процесс исчезает. Было бы неправильно сказать, что Кеплер твердо стоял на точке зрения актуальной бесконечности: он слишком находился еще под влиянием Архимеда, основные сочинения которого ему были хорошо известны; но его позиция не тверда, его воззрения в этой области эклектичны. Они представляют собой переходную ступень к взглядам Кавальери. В 1635 Кавальери опубликовал трактат «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного».

Задача сочинения та же, которую ставил себе Архимед: вычисление площадей и объемов геометрических фигур произвольной формы. С этой целью Кавальери рассматривает плоскую фигуру как совокупность парал-

Рис. 5

лельных прямолинейных отрезков от одной крайней касательной до другой (рис. 6), тело — как совокупность его параллельных плоских сечений. Эти отрезки и плоские сечения суть те «неделимые», по которым назван метод Кавальери (см. «Неделимых» метод). Измерение площадей, объемов совершается путем сравнения неделимых двух фигур. Например площадь эллипса Кавальери вычисляет с помощью следующего рассуждения (рис. 7). На малой оси эллипса (ft) описываем окружность и проводим хорды (неделимые), параллельные большой оси (а). Из определения эллипса нетрудно вывести, что каждый неделимый элемент эллипса относится к соответствующему неделимому круга, как а относится к ft, т. е. АА! : ВВ' — а : ft. Следовательно, совокупность всех неделимых эллипса (т. е. площадь эллипса) относится к совокупности неделимых круга (к площади круга 7rft2), как а : ft; поэтому площадь эллипса равна тхаЬ. Те же приемы Кавальери применяет к сравнению объемов; доказательство равновеликости пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты, у Кавальери заканчивается там, где у Архимеда оно только начинается. Общность и простота применения приемов привели Кавальери к результатам, до которых не дошел Архимед. Но упрощенность его методов не давала гарантии правильности всех полученных результатов; поэтому он старается каждое вычисление провести несколькими различными путями.

Если в отношении строгости логического обоснования своих результатов Кавальери стоит несравненно ниже Архимеда, то зато он превзошел Архимеда, а с ним и всех математиков древнего мира не только в отношении числа решенных им специальных задач на определение площадей и объемов, но и в отношении понимания дальнейших перспектив развития учения о Б. м. Не ограничиваясь решением отдельных задач, он в геометрической и нестрогой форме получает, по существу, ряд общих формул инте-

Рис. 6 Рис. 7

трального исчисления. Например, его утверждение, что сумма квадратов неделимых, на которые разбит параллелограмм на рис. 8, равна утроенной сумме квадратов неделимых, из которых состоит на том же чертеже каждый из двух составляющих параллелограмм треугольников, есть по существу не что иное, как формула

В аналогичной форме Кавальери выражает равенство

для степеней п до девятой включительно. Переход от метода неделимых Кавальери к настоящему интегральному исчислению Лейбница и Ньютона освещен в статье Интегральное исчисление (см.).

В том же 17 в. внимание математиков привлекает и третья из перечисленных выше групп задач. После создания Декартом аналитической геометрии естественно возникла задача определения углового коэффициента касательной к кривой у = /(х), т. е. определения производной. Приблизительно одновременно развитие механики привело к необходимости определять мгновенную скорость произвольного движения точки, т. е. к той же задаче определения производной. Так как теории пределов и даже отчетливого наглядного понимания предельного перехода еще не было, то производную

пытались получить как отношение

статических актуально Б. м. приращений dy и dx. Подробнее о дальнейшей истории развития дифференциального исчисления см. Дифференциальное исчисление.

Современная концепция Б. м. как переменных величин, стремящихся к нулю, а производной как предела отношения Б. м. приращений, была намечена (правда, не вполне последовательно) Ньютоном, но укрепилась только после Коши (см.). Современное понимание дифференциала как главной части приращения по существу восходит к Лагранжу и было

Рис. 8

окончательно закреплено Коши. Коши же принадлежит и точное определение интеграла как предела суммы.

Для развитого дифференциального или интегрального исчисления характерно, что после строгого обоснования своих основных понятий при помощи предельного перехода они дают возможность решать разнообразнейшие задачи при помощи простого алгоритма чисто алгебраического характера (в том смысле, что сам этот алгоритм уже не содержит в явном виде предельных переходов). Например, пользуясь формулой интегрирования по частям

не обязательно каждый раз писать соответствующую формулу для сумм:

а затем осуществлять предельный переход от сумм к интегралам. Благодаря этому современные способы вычисления с дифференциалами и интегралами успешно соединяют в себе строгую логическую обоснованность с простотой и наглядностью, к которой стремились сторонники «метода неделимых».

Лит.: Привалов И. И. и Гальперн С. А., Основы анализа бесконечно малых, 2 изд., М.-Л., 1949; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М.-Л., 1948; Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века, пер. с франц., М.-Л., 1932; Гейберг И., Новое сочинение Архимеда. Послание Архимеда к Эратосфену о некоторых теоремах механики, пер. с нем., Одесса, 1909; Кеплер И., Новая стереометрия винных бочек, пер. с нем., М.-Л., 1935; Кавальери Б., Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного, пер. с итал. т. 1, М.-Л., 1940; Archimedes, The works, ed. by L. T. Heath, Cambridge, 1912.

БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ14 в геометрии - элементы (точки, прямые, плоскости), которыми пополняется эвклидова плоскость или пространство при изучении вопросов проективной геометрии.

Происхождение Б. у. э. плоскости проще всего понять, рассмотрев операцию центрального проектирования одной плоскости на другую, ей не параллельную. При таком проектировании плоскости а на плоскость ß из центра S (см. рис. 1), вообще говоря, каждой точке (А, Л', Л“, А'”,...) на плоскости а соответствует определенная точка (В, В', В", В'п\ ...) плоскости ß. Это правило, однако, имеет исключения; например, на рис. 2 видно,

14 БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 71-72 (совм. с Б.Н. Делоне).

что точка С плоскости а не проектируется ни в какую точку плоскости ß. Такие исключительные точки плоскости а, которым не находится соответствующих точек на плоскости /?, заполняют прямую /, являющуюся пересечением плоскости а с плоскостью 7, проходящей через S и параллельной плоскости ß.

Рис. 1

Рис. 2

Пучок прямых на плоскости а, проходящих через точку С (рис. 2), проектируется в пучок параллельных прямых на плоскости ß. Возникает вполне естественная мысль о том, что следует считать этот пучок параллельных прямых сходящимся в некоторой «несобственной» точке В плоскости /3, в которую и «проектируется» точка С. Так как все точки плоскости а, которые проектируются в несобственные точки плоскости лежат на одной прямой /, то естественно считать, что эти несобственные точки лежат на «несобственной» прямой плоскости /?, в которую и проектируется прямая I. Эти идеи впервые были введены в математику создателем проективной геометрии Дезаргом (см.). Впрочем, художникам и до Дезарга, конечно, был известен тот факт, что при перспективном изображении плоскости изображения параллельных прямых сходятся в точках, лежащих на прямой, называемой «горизонтом» (см. Перспектива).

В соответствии с изложенным считают, что на плоскости существует одна единственная несобственная, или бесконечно удаленная, прямая, которая проходит через все несобственные, или бесконечно удаленные, точки плоскости, точки же эти существуют в бесконечном числе — по одной на каждый пучок параллельных прямых, лежащий в плоскости. В дополненной таким образом плоскости имеют место без всяких исключений такие предложения:

1) каждые две прямые пересекаются в одной и только одной точке;

2) через каждые две точки проходит одна и только одна прямая. Эти предложения и лежат в основе проективной геометрии плоскости.

Когда проективную геометрию развивают абстрактно, аксиоматически, то предложения первое и второе обычно вводятся в число аксиом. Тогда все точки плоскости делаются равноправными между собой, так же как и все прямые. Поэтому в проективной геометрии никаких бесконечно удаленных точек и прямых нет. Понятия бесконечно удаленной точки и бесконечно удаленной прямой возникают лишь тогда, когда проективная геометрия «интерпретируется» на дополненной Б. у. э. обычной (эвклидовой) плоскости.

В трехмерном пространство каждой совокупности всех параллельных между собой прямых (связке параллельных прямых) соответствует по одной бесконечно удаленной точке, каждой совокупности всех параллельных плоскостей (пучку параллельных плоскостей) — по одной бесконечно удаленной прямой, все же бесконечно удаленные точки и бесконечно удаленные прямые пространства считаются лежащими на одной единственной бесконечно удаленной плоскости (см. подробнее Проективная геометрия).

Лит.: Делоне Б. Н. и Райков Д. А., Аналитическая геометрия, т. 2, М.-Л., 1949; Мусхелишвили Н. И., Курс аналитической геометрии, 3 изд., М.-Л., 1947; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 2 изд., М.-Л., 1949.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ в математике.15 «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1950, стр. 354). Материальная основа математического бесконечного может быть понята только при условии, что оно рассматривается в диалектическом единстве с конечным. Каждая математическая теория связана обязательным для нее требованием внутренней формальной непротиворечивости. Поэтому возникает вопрос о том, как соединить это требование с существенно противоречивым характером действительной Б. «Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1950, стр. 49). Ответ на этот вопрос заключается в следующем. Когда в теории пределов рассматриваются бесконечные пределы liman = оо, или в теории множеств — бесконечные мощности Но, Mi,..., то это не приводит к внутренним формальным противоречиям в указанных теориях лишь потому, что эти различные специальные виды математической Б. являются лишь крайне упрощенными, схематизированными образами различных сторон Б. действительного мира. Задачи настоящей статьи ограничиваются указанием на различные подходы к Б. в математике, освещаемые подробнее в других статьях.

1) Представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных величинах является одним из основных в математическом анализе. В статье Бесконечно малые (см.*) можно познакомиться с предшествовавшей современному подходу к делу концепцией, по которой конечные величины составлялись из бесконечно большого числа бесконечно малых «неделимых», трактовавшихся не как переменные, а как постоянные и меньшие любой конечной величины. Эта несовершенная концепция может служить одним из примеров незаконного отрыва бесконечного от конечного: реальный смысл имеет только разложение конечных величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых.

2) Совсем в другой логической обстановке Б. появляется в математике в виде «несобственных» бесконечно удаленных геометрических образов (см.* Бесконечно удаленные элементы). Здесь, например, бесконечно удаленная точка на прямой / рассматривается как особый постоянный объект, «присоединенный» к обычным конечным точкам. Однако неразрывная связь бесконечного с конечным обнаруживается и здесь, хотя бы при проектировании из центра, лежащего вне прямой, при котором бесконечно удаленной точке оказывается соответствующей прямая, проходящая через центр проектирования и параллельная основной прямой /.

15 БСЭ-2. — 1950. — Т. 5. — С. 73-74. Другой вариант этой статьи А.Н. Колмогорова см.: Математическая энциклопедия. — 1977. — Т. 1. — Стлб. 455-458.

Аналогичный характер имеет пополнение системы действительных чисел двумя «несобственными» числами +оо и — оо, соответствующее многим запросам анализа и теории функций действительного переменного. Можно подойти с такой же точки зрения и к пополнению ряда натуральных чисел 1,2,3,... трансфинитными числами (см.) и>,ш +1,..., 2а;, 2а;+1,... В связи с различием между переменными бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, с одной стороны, и «несобственными» бесконечно большими числами, рассматриваемыми как постоянные, — с другой, возникли термины «потенциальная» Б. (для первых) и «актуальная» Б. (для вторых). В этом первоначальном понимании (о другом, современном понимании см. ниже) спор между сторонниками актуальной и потенциальной Б. можно считать законченным. Бесконечно малые и бесконечно большие, лежащие в основе определения производной (как отношения бесконечно малых) и интеграла (как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых) и примыкающих сюда концепций математического анализа, должны восприниматься как «потенциальные». Наряду с этим в надлежащей логической обстановке в математику вполне закономерно входят и «актуальные» бесконечно большие «несобственные» числа (и даже во многих различных аспектах: как количественные и порядковые трансфинитные числа в теории множеств, как несобственные элементы +оо и —оо системы действительных чисел и т. д.).

При изучении элементов математического анализа, теории функций действительного переменного, теории функций комплексного переменного и проективной геометрии в том объеме, как это может встретиться в программах втузов или педагогических институтов, приходится иметь дело с двумя способами присоединения к числовой системе бесконечных «несобственных» элементов. Поэтому целесообразно несколько подробнее осветить здесь формальную сторону этих двух способов пополнения числовой системы.

а) Как указано в статье Бесконечно удаленные элементы (см.*), с проективной точки зрения на прямой находится одна «бесконечно удаленная точка». В обычной метрической системе координат этой точке естественно приписать абсциссу оо. Такое же присоединение к числовой системе одной бесконечности без знака употребляется в теории функций комплексного переменного (см. Аналитические функции). В элементарном анализе при изучении рациональных функций

где Р{х) и Q(x) многочлены, в тех точках, где Q(x) имеет нуль более высокого порядка, чем Р(х), естественно положить f(x) = оо.

Для несобственного элемента оо устанавливаются такие правила действий:

Неравенства с участием оо не рассматриваются: бессмысленно спрашивать, больше, или меньше оо, чем конечное а.

б) При изучении действительных функций действительного переменного систему действительных чисел чаще дополняют двумя несобственными элементами +оо и —оо. При рассмотрении вопросов, связанных с неравенствами, этот второй подход предпочтительнее, так как при нем можно положить, что для любого конечного а

и сохранить основные свойства неравенства в расширенной числовой системе. Для -Ноо и —оо устанавливаются такие правила действий:

В каждом математическом рассуждении следует отдавать себе отчет, пользуемся мы в нем настоящей (не расширенной) числовой системой или расширенной, и в каком именно из двух указанных смыслов.

3) Основной интерес, но и основные трудности математического учения о Б. сосредоточиваются сейчас на вопросе о природе бесконечных множеств математических объектов. Следует, в частности, иметь в виду, что достигнутая в настоящее время полная отчетливость и законченность теории бесконечно больших и бесконечно малых переменных величин заключается лишь в сведении всех трудностей этой теории к вопросу обоснования учения о числе, в которое существенно входит представление о Б. системы чисел. Утверждение о том, что у бесконечно мало, имеет смысл только при указании характера изменения у в зависимости от какого-либо другого переменного х: например, говорят, что у бесконечно мало при х —* а,

если при любом е > О существует такое ö > О, что из \х — а\ < 6 вытекает \у\ < е. В самое это определение уже входит предположение, что функция у = f(x) определена для бесконечного множества значений х (например, для всех действительных х, достаточно близких к а).

О бесконечных множествах в математике подробнее см. Множеств теория. В теории множеств терминам «актуальная» и «потенциальная» Б. придают обычно в настоящее время глубокий смысл, не имеющий ничего общего с наименованием каждой бесконечной мощности «актуально бесконечным числом». Дело в том, что бесконечные системы математических объектов (например, натуральных или действительных чисел) никогда не задаются простым перечислением, как это возможно для конечных систем объектов. Было бы очевидным абсурдом предполагать, что кто-либо «образовал» множество натуральных чисел, перечислив их фактически «все» одно за другим. На самом деле множество натуральных чисел изучается, исходя из процесса образования его элементов переходом от п к п+1. В случае континуума (см.*) действительных чисел уже рассмотрение одного его элемента — действительного числа — приводит к изучению процесса образования его последовательных приближенных значений, а рассмотрение всего множества действительных чисел приводит к изучению общих свойств такого рода процессов образования его элементов. В этом именно смысле сама Б. натурального ряда, или системы всех действительных чисел (континуумы), может характеризоваться как Б. лишь «потенциальная». Точке зрения потенциальной Б. противополагается взгляд на бесконечные множества как «актуально» заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным. См. Множеств теория*, Парадоксы математические, Логика математическая, Математика *.

БИГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ16 - функции и = и{хъх2, . ..., хп), удовлетворяющие уравнению Au — О, где

— оператор Лапласа (см. Лапласа оператор). Имеют большое значение в теории упругости.

БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА17 — однородный многочлен второй степени (форма) от двух групп переменных a?i,#2,...,хп и 2/1,2/2» • • • >2/п вида

16 БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 159.

17 БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 167.

]СГ=1 X^j=i aijxiVj' Например, аху (Б. ф. от переменных х и у), ацх\у\ + +а\2Х\у2 + а2\Х2У\ + û22#2Î/2 (Б. ф. от переменных хь х2 и уь у2)« Б- Ф-является частным видом квадратичной формы (см.).

БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН18 - общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая. Точная формулировка и условия применимости Б.ч.з. даются в теории вероятностей. Б.ч.з. является одним из выражений диалектической связи между случайностью и необходимостью. Первая точно доказанная теорема, представляющая собой частный случай Б.ч.з., принадлежит Я. Бернулли (опубликована после его смерти в 1713). Теорема Бернулли была обобщена Пуассоном, в сочинении которого «Исследование о вероятности суждений» (1837) впервые появился термин «закон больших чисел». Значительно более общее понимание этого термина основано на работе П. Л. Чебышева «О средних величинах» (1867). В этом современном понимании Б.ч.з. утверждает, что при некоторых, подлежащих точному указанию, условиях среднее арифметическое

достаточно большого числа п случайных величин хь с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, сколь угодно мало отличается от своего математического ожидания а = М(х) (см. Ожидание математическое).

Точная формулировка теоремы, доказанной Чебышевым, такова: если случайные величины последовательности a?i, #2, • • • » #п, • • • попарно независимы и имеют ограниченные дисперсии (см.*), т. е.

то при любом положительном е > О вероятность неравенства \х — а\ < е стремится к единице при п —> оо.

Более точно характер отклонений среднего арифметического х или самой суммы

от соответствующих математических ожиданий а и

18 БСЭ-2. — 1950. — Т. 5. — С. 538-540. Перепечатано в кн.: Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. — М.: Большая Российская Энциклопедия, 1999. — С. 881-882.

указывается предельными теоремами теории вероятностей. Наиболее типичен случай, когда отклонения х — а имеют порядок 1/у/п, а отклонения X — А, в соответствии с этим, — порядок ^/п, в то время как сами математические ожидания а и А имеют порядок 1 и гг. В упрощенных популярных изложениях вопроса эти соотношения иногда называют «законом квадратного корня из п» : при накоплении независимых случайных слагаемых их сумма растет пропорционально n, а случайные отклонения от этого закономерного среднего роста возрастают лишь пропорционально у/п. Хотя для более полного понимания вопроса необходимо обращаться к более точным формулировкам, все же это грубое представление о характере действия Б.ч.з. может помочь разобраться в том, насколько велико должно быть число слагаемых, чтобы Б.ч.з. действовал с той или иной степенью точности.

В частности, когда каждое слагаемое принимает только два значения 1 и 0, причем Xk = 1 с вероятностью рь и х^ = 0 с вероятностью 1 — легко подсчитать, что

а X превращается в частоту ^, где m обозначает число тех с номерами к ^ п, которые равны 1. Б.ч.з. означает в этом случае, что при больших п частота ^ близка к среднему арифметическому из вероятностей. Это и есть Б.ч.з. Пуассона. Точная формулировка теоремы Пуассона такова: если случайные события Ai, а2,..., Ап,... взаимно независимы, то для частот ^, — где m обозначает число тех из событий А& с номерами к ^ п, которые произойдут в действительности, — при любом е > 0 вероятность неравенства

стремится к единице при п —» оо. Строгое доказательство теоремы Пуассона было дано П. Л. Чебышевым в статье «Элементарное доказательство одного общего предложения теории вероятностей» (1843). Теорема Бернулли является частным случаем теоремы Пуассона, который получается, если положить все рь равными одному и тому же числу р (0 < р < 1). В этом случае а = р, Б.ч.з. утверждает, что при больших п, с вероятностью, как угодно близкой к единице, частота ^ будет как угодно близка к вероятности р.

Наглядное представление о смысле и значении Б.ч.з. дает следующий пример. Пусть в замкнутом сосуде заключены N молекул газа. В соответствии с кинетической теорией каждая молекула беспорядочно движется

внутри сосуда, испытывая множество столкновений с другими молекулами и стенками сосуда. Ударяясь о какую-либо площадку а стенки в течение выбранного промежутка времени в t секунд, отдельная молекула сообщает этой площадке импульс Д. Импульс Д является типичной случайной величиной, так как состояние рассматриваемого газа определяет лишь математическое ожидание

этого импульса, фактическое же значение импульса данной молекулы за данный промежуток времени может быть самым различным (начиная от нуля — в случае, если за данный промежуток времени данная молекула не ударялась о площадку сг). Сумма

импульсов всех молекул, сообщаемых площадке а за данный промежуток времени, является также случайной величиной с математическим ожиданием, равным А = Na. Однако в силу Б. ч. з. (который проявляется здесь с исключительной точностью благодаря тому, что число N очень велико) F в действительности оказывается почти независимым от случайных обстоятельств движения отдельных молекул, а именно — почти точно равным своему математическому ожиданию А. Этим, с точки зрения кинетической теории, и объясняется тот факт, что давление газа на площадку а является практически строго постоянным, а не колеблется беспорядочно.

Часто приходится применять Б.ч.з. и в такой обстановке, когда количество случайных слагаемых не столь велико, как в примере с газовыми молекулами; тогда отклонения суммы случайных величин от ее математического ожидания могут быть значительными. В этом случае крайне важно уметь оценивать размеры этих отклонений. Пусть, например, из 1000 партий каких-либо изделий по 100 штук в каждой, взято для испытания наудачу по 10 штук из каждой партии и среди испытанных 10 000 штук обнаружено 125 дефектных. Если обозначить щ число дефектных изделий в к-й партии, то общее число дефектных изделий равно

математическое ожидание числа дефектных изделий среди тех десяти, которые взяты для испытания из к-й партии, равно

а математическое ожидание общего числа дефектных изделий в 1000 пробах по 10 штук —

В силу Б.ч.з. естественно считать, что n/10 ~ 125, т. е. среди 100 000 изделий во всех партиях имеется приблизительно 1250 дефектных. Более точное исследование с помощью теории вероятностей приводит к такому результату: если выборка изделий из каждой партии была действительно случайной, то можно с достаточной уверенностью утверждать, что фактически 1000 < п < 1500, но уже оценка 1100 < п < 1400 не была бы достаточно надежной, а для оценки 1200 < п < 1300 совсем не имеется серьезных оснований. Получить более точную оценку для п можно, лишь испытав большее число изделий.

Условие независимости слагаемых, в большинстве применений Б.ч.з., если и выполняется, то лишь с тем или иным приближением. Так, уже в первом примере движения отдельных молекул газа нельзя, строго говоря, считать независимыми. Поэтому имеет большое значение достаточно полное исследование условий применимости Б. ч. з. к случаю зависимых слагаемых. Основные математические работы в этом направлении принадлежат А.А. Маркову, С. Н. Бернштейну и А. Я. Хинчину. Качественно результаты их исследований сводятся к тому, что Б.ч.з. применим, если значительная зависимость имеется лишь между смежными или близкими (по их номерам) слагаемыми, а между слагаемыми с далекими номерами зависимость достаточно слаба. Таково, например, положение в рядах метеорологических наблюдений над температурой или давлением воздуха. Поэтому многолетние средние значения температур и давлений в данном пункте и в данное время года оказываются близкими к своим математическим ожиданиям, которые являются объективными характеристиками климата данной местности.

Математическая сторона вопросов, связанных с Б.ч.з., более подробно освещена в статьях Предельные теоремы теории вероятностей и Теория вероятностей (см.*). В применениях Б.ч.з. обычно достаточно бывает пользоваться сравнительно простыми математическими формулировками условий его применимости, имеющимися во многих учебниках по теории вероятностей, но необходимо тщательно проверять их соответствие реальной обстановке.

Лит.: Чебышев П. Л., О средних величинах, Полное собр. соч., т. 2, М.-Л., 1947; Бернштейн С. Н., О работах П. Л. Чебышева по теории вероятностей, в кн.: Научное наследие П. Л. Чебышева. [Сб. статей], в. 1, М.-Л., 1945; его же, Теория вероятностей, 4-е изд., М.-Л., 1946; Колмогоров А. Н., Роль русской науки в

развитии теории вероятностей, «Ученые записки Московского гос. ун-та», 1947, в. 91, с. 53-64; Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947. Сб. статей под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.-Л., 1948; Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, М.-Л., 2-е изд., 1950.

ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД19 — совокупность каких-либо величин, расположенных в порядке их возрастания. Пусть, например, размеры десяти деталей, измеренных при выборочном контроле производства, оказались следующими:

Деталь №

1

2

3

4

5

б

7

8

9

10

Разм. в мм

8,4

8,1

8,4

8,5

8,6

8,3

8,4

8,4

8,3

8,5

Соответствующий В. р. имеет вид:

8,1; 8,3; 8,3; 8,4; 8,4; 8,4; 8,4; 8,5; 8,5; 8,6.

В. р. полностью определяется указанием различных значений входящих в него величин и числа членов ряда, имеющих каждое из этих значений. В приведенном примере В. р. по этому способу записывается в виде таблички:

Размер

8,1

8,2

8,3

8,4

8,5

8,6

Число деталей

1

2

4

2

1

Вместо таблички можно нарисовать соответствующую гистограмму (см.*) или полигон распределения. Для данного примера гистограмма изображена на рис. 1, а полигон распределения — на рис. 2.

Рис. 1 Рис. 2

Простейшими характеристиками, которые дают общее представление о данном В. р. из п величин

19 БСЭ-2. - 1951. - Т. 6. - С. 641.

являются: 1) минимальный член xm\n=xi] 2) максимальный член хта,х=хп] 3) размах (называемый иногда широтой) R=xmax—xm\n; 4) медиана тп—х^\ при п = 2к+1 (нечетном), m = ^(x^+x^i) при п = 2к (четном); 5) среднее значение х=^(х\ +Х2H-----Hzn); 6) дисперсия £>=^ Y^k=\^~xk)2\ 7) среднее квадратичное отклонение 5 = \fü. В данном примере:

Если число различных значений величин, образующих В. р., очень велико, то обычно ограничиваются указанием числа его членов, попадающих в те или иные интервалы (см.* Математическая статистика).

Принципиальное значение В. р. заключается в том, что В. р., составленные на основании измерения достаточно большого числа правильно отобранных объектов, позволяют определить характер изменчивости исследуемого признака.

Наиболее простым и хорошо изученным с математической стороны является тот случай, когда В. р. получается в результате расположения в порядке возрастания независимых случайных величин

подчиненных одному и тому же распределению вероятностей: F(x) = вероятности неравенства £ < х.

Теорема, наиболее наглядно и полно характеризующая с качественной стороны связь, существующую в этом случае между теоретической функцией распределения F(x) и В. р., была доказана советским математиком В. И. Гливенко. По В. р. строится эмпирическая функция распределения Fn(%) — где тх обозначает число членов ряда, меньших х. Теорема В. И. Гливенко утверждает, что при любом е > 0 вероятность неравенства \Fn(x) — F(x)\ < £ стремится к единице при возрастании п.

В последнее время эмпирическая функция распределения начинает входить в употребление в качестве способа изображения В. р. и в практические статистические работы. На рис. 3 эмпирическая функция распределения для В. р. ста средних июльских температур в Стокгольме за 1841-1940 сопоставлена с теоретической нормальной кривой вида

Рис. 3

Много исследований посвящено предельному поведению членов вариационного ряда, полученного в результате п независимых испытаний с заданной функцией распределения F(x) при п —> оо. Особенно существенна в этом направлении работа советских математиков Н. В. Смирнова и Б. В. Гнеденко.

О связи В. р. с теоретическим распределением см. также Распределения и Теория вероятностей.

Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, М.-Л., 1950; Смирнов Н. В., Предельные законы распределения для членов вариационного ряда, Труды Математического ин-та им. В. А. Стеклова, 1949, вып. 25; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948. О приемах обработки В. р. — Митропольский А. К., Техника статистического исчисления, М.-Л., 1931.

ВЕЛИЧИНА20 — одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.

I. Еще в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчетливо сформулированы свойства В., называемых теперь, для отличия от дальнейших обобщений, положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие В. является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объема, массы и т. п. Каждый конкретный род B. связан с определенным способом сравнения физических тел или других объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи на-

20 Печатается по изданию: Математическая энциклопедия. — 1977. — Т. 1. — Стлб. 651-653. Другие издания: Большая Советская энциклопедия. — Изд. 2. — 1951. — Т. 7. — C. 340-341; - Изд. 3. - 1971. - Т. 4. - С. 456-457.

ложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приемы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объему.

В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных В. (т. е. в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объемов) устанавливается отношение неравенства: две В. а и Ъ одного и того же рода или совпадают (а = Ь), или первая меньше второй (а < Ь), или вторая меньше первой (Ь < а). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объемов и то, каким образом устанавливается для каждого рода В. смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных В. отношение а < b и операция а + Ь = с обладают следующими свойствами:

1) каковы бы ни были а и Ь, имеет место одно и только одно из трех соотношений: или а = Ь, или а < b или b < а;

2) если а < Ь и 6 < с, то а < с (транзитивность отношений «меньше», «больше»);

3) для любых двух В. а и b существует однозначно определенная В. с = а + Ь]

4) а + b = b + а (коммутативность сложения);

5) а + (Ь + с) = (а + Ь) + с (ассоциативность сложения;

6) а + Ь > а (монотонность сложения);

7) если а > Ь, то существует одна и только одна В. с, для которой b + с = а (возможность вычитания);

8) каковы бы ни были В. а и натуральное число п, существует такая В. Ь, что пЬ = а (возможность деления);

9) каковы бы ни были В. а и Ь, существует такое натуральное число ri, что а < пЬ. Это свойство называется аксиомой Евдокса или аксиомой Архимеда. На нем вместе с более элементарными свойствами 1)-8) основана теория измерения В., развитая древнегреческими математиками.

Если взять какую-либо длину I за единичную, то система s' всех длин, находящихся в рациональном отношении к /, удовлетворяет требованиям 1)-9). Существование несоизмеримых отрезков (открытие которых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система sf еще не охватывает системы s всех вообще длин.

Чтобы получить вполне законченную теорию В., к требованиям 1)-9) надо присоединить еще ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:

10) если последовательности величин ai < а2 < • • • < &2 < Ь\ обладают тем свойством, что Ьп — ап < с для любой В. с при достаточно большом но-

мере п, то существует единственная В. х, которая больше всех ап и меньше всех Ьп.

Свойства 1)—10) и определяют полностью современное понятие системы положительных скалярных В. Если в такой системе выбрать какую-либо В. / за единицу измерения, то все остальные В. системы однозначно представляются в виде а = al, где а — положительное действительное число.

II. Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, могущих иметь два противоположных направления, и тому подобных В. естественно приводит к тому обобщению понятия скалярной В., которое является основным в механике и физике. Система скалярных В. в этом понимании включает в себя, кроме положительной В., нуль и отрицательную В. Выбирая в такой системе какую-либо положительную величину / за единицу измерения, выражают все остальные В. системы в виде а = al, где а — действительное число, положительное, отрицательное или равное нулю. Конечно, систему скалярных В. в этом понимании можно охарактеризовать и аксиоматически, не опираясь на понятие числа. Для этого пришлось бы несколько изменить требования 1)—10), которыми выше охарактеризовано понятие положительной скалярной В.

III. В более общем смысле слова величинами называются векторы, тензоры и другие «нескалярные величины». Такие В. можно складывать, но отношение неравенства (а < Ь) для них теряет смысл.

IV. В некоторых более отвлеченных математических исследованиях играют известную роль «неархимедовы» В., которые имеют с обычными скалярными В. то общее, что для них сохраняются обычные свойства неравенств, но аксиома 9) не выполняется (для скалярных В. в смысле пункта II она сохраняется с оговоркой, что b > 0).

V. Так как система действительных положительных чисел удовлетворяет перечисленным выше свойствам 1)—10), а система всех действительных чисел обладает всеми свойствами скалярных В., то вполне законно сами действительные числа называть величинами. Это особенно принято при рассмотрении переменных В. Если какая-либо конкретная В., например, длина / нагреваемого металлического стержня, изменяется во времени, то меняется и измеряющее ее число х = l/lo (при постоянной единице измерения /о)- Само это меняющееся во времени число х принято называть переменной В. и говорить, что х принимает в какие-либо последовательные моменты времени t\, £2, • • • «числовые значения» Х\,Х2,... В традиционной математической терминологии говорить о «переменных числах» не принято. Однако логичнее такая точка зрения: числа, как и длины, объемы и т. п., являются частными случаями В. и, как всякие В., могут быть и переменными, и постоянными. Столь же законно и рассмотрение переменных векторов, тензоров и т. п.

ВЕРОЯТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ21 - 1) одна из мер рассеяния случайных величин (см.). Если а есть математическое ожидание случайной величины £ и распределение вероятностей этой случайной величины непрерывно, то В. о. Eç определяется требованием,чтобы вероятность отклонений £ от а, больших по абсолютной величине, чем Е^ равнялась вероятности отклонений, меньших по абсолютной величине, чем Eç. Если величина £ имеет нормальное распределение (см.) с дисперсией а2, то Eç = 0.6745а или, округляя этот результат, величина срединного (вероятного) отклонения (ошибки) равна 2/3 величины среднего квадратического отклонения (ошибки).

2) Единица относительного измерения (£*), принятая в артиллерийской и стрелковой практике, а также при бомбометании с самолетов, как мера рассеивания снарядов (пуль) при стрельбе и авиабомб при сбрасывании с самолетов, иначе называемая срединным отклонением или срединной ошибкой.

Благодаря влиянию на полет снаряда (пули) случайных причин при стрельбе происходит рассеивание снарядов (пуль), которые, описывая различные траектории, имеют и различные точки падения. Теоретическое и экспериментальное исследование влияния случайностей на полет группы снарядов указывает на закономерность действия случайных причин, причем эта закономерность тем более убедительна, чем большее количество выстрелов произведено. При значительном их числе снаряды всегда располагаются на ограниченной площади (не беспредельно), неравномерно и симметрично. Эту закономерность принято называть законом рассеивания.

Рис. 1. Эллипс рассеивания снарядов на местности

21 БСЭ-2. - 1951. - Т. 7. - С. 507-508.

Рис. 2. Измерение вероятных отклонений: а — по дальности (Вд); б — в боковом направлении (В6)\ в — по высоте (Be)

Площадь рассеивания, образующая эллипс, называется эллипсом рассеивания. Точка, около которой с наибольшей вероятностью можно ожидать падения снарядов, совпадает обычно с центром эллипса и носит название средней точки падения, от которой и исходят все исчисления В. о.

При графическом способе определения В. о. проводят в эллипсе рассеивания две оси — продольную и поперечную; каждая из них делится на 8 равных частей. Через точки деления проводятся перпендикуляры к осям, и в результате получается 8 полос в каждом направлении. Ширина каждой из 8 полос является В. о. по данному направлению. Измерение В. о. ведется от центра попадания (средней точки падения) и обозначается при ударной стрельбе (например, гранатой): по дальности — Вд, по высоте — Вв и в боковом направлении — Вб. При дистанционной стрельбе (например, шрапнелью) В. о. обозначается: по дальности — Врд, по высоте — Врв и боковые — Врб, причем Врб по своей величине равно Вб, так как боковое рассеивание воздушных разрывов зависит от того же рассеивания траекторий, как и при ударной стрельбе. Практика показывает, что в указанных полосах процент попаданий остается неизменным и две полосы, ближайшие к средней точке падения, вмещающие каждая по 25%, составляют полосу, вмещающую 50% всех попаданий. В этом случае принято считать,

что В. о. равно половине ширины полосы, вмещающей лучшую половину попаданий.

При аналитическом способе принимают за начало координат нижний левый угол мишени, за ось «х» нижний край мишени, за ось «у» — ее левый край, измеряют координаты всех попаданий в любых единицах; средняя арифметическая величина всех попаданий по каждому направлению в отдельности дает координаты средней точки падения. Для определения какого-либо В. о., например, в боковом направлении, определяют разницу между абсциссами всех точек попадания и абсциссой средней точки падения; полученные величины будут отклонениями всех попаданий от центра падения. Полученные абсолютные величины боковых отклонений выписываются в один ряд по возрастающей величине, средняя по месту (в середине ряда при нечетном числе величин) величина, или сумма двух средних величин, деленная пополам (при четном числе величин) и будет В. о. в боковом направлении. Таким же способом определяются В. о. и в других направлениях.

Бомбометание в авиации опирается на те же самые законы В. о. Вероятное отклонение учитывается как показатель при характеристике баллистического качества орудия.

Лит.: Стрельба наземной артиллерии, ч. 1, М., 1946; Учебник по стрельбе артиллерии, под ред. В. Г. Дьяконова, ч. 1-3, 3 изд., М., 1938-39; Курс артиллерии, под ред. А. Д. Блинова, кн. 1, 3 изд., М., 1948.

ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД22 — метод статистического наблюдения, при котором для определения сводных характеристик какой-либо совокупности изучаются не все единицы совокупности, а лишь часть их, взятая на выборку. Например, для определения среднего срока службы большой партии электрических лампочек отбирается сравнительно небольшая часть их и испытывается; средний срок службы испытанных лампочек принимается за приближенное значение среднего срока службы лампочек во всей партии. Выбор п единиц из совокупности объема N должен быть «репрезентативным», т. е. должен производиться с таким расчетом, чтобы свойства единиц, попавших в «выборку», правильно отражали соответствующие свойства всей совокупности. По закону больших чисел (см.* Больших чисел закон) достаточно обширная выборка будет репрезентативной, если ее произвести случайно, т. е. так, чтобы любая из возможных выборок заданного объема п из совокупности объема N (число таких выборок равно С]у = N^N~ll.2^~n^) имела одинаковые шансы (одинаковую вероятность) быть фактически выбранной. Если все единицы обследуемой совокупности занумерованы, то такую в строгом смысле случайную выборку

22 БСЭ-2. - 1951. - Т. 9. - С. 417-418; совм. с Т. И. Козловым.

можно осуществить при помощи жеребьевки, подобно тому как производятся тиражи выигрышных займов, или при помощи заранее составленных таблиц «случайных чисел». Часто оказывается достаточным для получения правильных результатов применять несколько более простые приемы. Например, при выборе для испытания электрических лампочек, уложенных в ящики, берут их наудачу из разных мест ящика. Если обследуемая совокупность, по имеющимся заранее данным, может быть разбита на группы известного объема, обладающие (по отношению к интересующему нас признаку) большей однородностью, чем вся совокупность, то выгодно установить, сколько единиц из каждой группы включается в выборку, не случайным, а заранее обдуманным образом (проще всего — пропорционально объему групп). Такая выборка называется типической. Однако и в типической выборке следует стремиться к тому, чтобы внутри каждой группы отбор назначенного на ее долю числа единиц производился случайно. Только при этом условии точность результата может быть оцениваема по приведенным ниже формулам. Типическая выборка применяется, например, при бюджетных обследованиях, в статистике урожайности и т. п.

Впервые широкое применение выборочные обследования получили в русской земской статистике в конце 19 в. Известны также случаи применения В. м. в России в 17 и 18 вв. Указания о применении примитивных форм В. м. при учете урожая имеются в сохранившемся документе, относящемся к 1648 («Акты хозяйства боярина Б. И. Морозова», ч. 1 изд. в 1940). Описание В. м. содержит изданный в 1733 «Регламент или Устав конюшенный». Большая заслуга в разработке вопросов проведения и организации выборочных обследований принадлежит известному русскому статистику А. И. Чупрову. Общие теоретические обоснования В. м. даны знаменитым русским математиком П. Л. Чебышевым. Доказанная им теорема о предельном значении среднего дает прочную основу для решения всех основных вопросов выборочных обследований.

В. м. широко применяется в практике советской статистики. Кроме контрольных выборочных обходов, проводимых при переписях скота, В. м. также применяется при измерении урожайности, регистрации цен на колхозных рынках, определении качества продукции и пр. Выборочно организовано изучение бюджетов рабочих, колхозников и служащих (см. Бюджетные обследования). В широких масштабах применяется В. м. в практике производственного контроля. Выборочное наблюдение обходится дешевле, и его можно провести быстрее сплошного, что имеет важное значение для успешного осуществления основной задачи советской статистики — действенного повседневного контроля за ходом выполнения народнохозяйственных планов. При выборочных обследованиях представляется возможным осуществить более глубокое и всестороннее, по более обширной программе,

исследование, чем при сплошном наблюдении. Кроме того, к выборочным обследованиям приходится прибегать во всех случаях, когда сплошное наблюдение практически не может быть осуществлено или не имеет смысла его проводить. Нельзя, например, проводить сплошное обследование качества изделий, если это связано с их уничтожением (испытание ткани на разрыв, электрических лампочек на продолжительность горения и т. д.).

Математическая теория выборочного метода. В математической теории В. м. имеют дело с определением по выборке доли единиц совокупности, обладающих каким-либо признаком (М обозначает число единиц, обладающих этим признаком, a N — общую численность — объем совокупности), или среднего из значений Х{ какого-либо количественного признака единиц совокупности. Оценкой для доли с служит доля единиц выборки, обладающих данным признаком, а оценкой среднего х — среднее в выборке.

Однако возможности В. м. не ограничены изучением средних величин. По выборке можно оценить также изменчивость и статистическое распределение (см. Распределения) количественного признака в совокупности. В математической теории В. м. оценка средних занимает центральное место лишь потому, что к ней в известной степени сводится и изучение изменчивости. Например, простейшая характеристика изменчивости — статистическая дисперсия

сама является средним из квадратов отклонений х\ — х.

Основной задачей классической теории В. м. (об одном из более новых разделов теории В. м. см. Малые выборки) является определение дисперсий а2 и сг|, т. е. математических ожиданий

Так как 7 и £ при достаточно больших п (практически при п ^ 20) хорошо подчиняются нормальному закону распределения (см. Нормальнее распределение), то по дисперсиям может быть оценена и вероятность того или иного размера отклонений: например, отклонения (7 — с) и (£ — х), превышающие соответственно 3<77 и Зо|, могут при п ^ 20 появиться, примерно, лишь с вероятностью в 0.27%.

а) Случайная бесповторная выборка. Любая группа из п единиц совокупности выбирается с вероятностью <4г. Название «бесповторная» возникло в виде противоположения «повторной выборке» (термин, употребляемый лишь в учебниках теории вероятностей), которая, однако, практически не применяется. Для случайной бесповторной выборки

(1)

(2)

Из (1) вытекает, что всегда для среднего квадратичного отклонения о1 имеет место неравенство

Если N достаточно велико по сравнению с п, то формулы (1) и (2) приближенно совпадают с формулами

действующими в случае «повторной» выборки.

Дальнейшее изложение ведется только для задачи оценки среднего х. Формулы в случае оценки доли с аналогичны.

б) Выборка по группам. Пусть совокупность объема

разбита на к групп, причем объем группы с номером j равен Nj. Тогда статистическая дисперсия S2 может быть разбита на два слагаемых

где

есть «дисперсия между группами», а

— средняя из дисперсии «внутри групп»

(xj обозначает среднее в j-й группе).

Произведя случайные выборки объема rij из каждой группы, вычисляют выборочные средние ^ по группам и из них составляют среднее (с весами Nj):

Тогда

(3)

В частном случае, когда все группы имеют одинаковый объем (Nj = const) и объем выборок из групп постоянен (rij = const), формула (3) приобретает простой вид:

(4)

Из сравнения (4) и (2) видно, что выборка по группам приводит при том же суммарном объеме выборки п к значительно лучшему результату, чем простая случайная выборка, в том случае, если средняя дисперсия «внутри групп» S2 значительно меньше, чем суммарная дисперсия S2. Это и соответствует положению при типической выборке, о которой говорилось выше. Можно показать, что таково же будет положение и при неравных группах, если взять rij пропорциональные Nj. Отметим еще случай, когда все группы имеют одинаковый объем, а все rij равны единице, т. е. из каждой группы выбирается для наблюдения по единице. В этом случае из (4) вытекает, что

Выборка такого рода называется «механической выборкой» и особенно удобна для практического осуществления.

Лит. см. при статьях Статистика и Математическая статистика.

ГАУССА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ23 - важный в теоретическом и практическом отношении закон распределения вероятностей; выражается формулой:

(см. Нормальное распределение).

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА24 - мера искривления кривой на поверхности, подобно тому как обычная кривизна (см.) служит мерой искривления кривой в ее плоскости; Г. к. равна кривизне проекции данной кривой на плоскость, касающуюся поверхности в данной точке. Линии на поверхности с Г. к., равной нулю, называются геодезическими линиями. При изгибании поверхности Г. к. всех линий на ней не меняется (теорема Миндинга). В соответствии с этим Г. к. допускает и «внутреннее» определение. При этом втором подходе сначала вводят понятие геодезической линии (см.), а потом Г. к. Именно — если с есть кривая на поверхности, a g и g' — две геодезические линии на этой поверхности, касающиеся кривой с в двух бесконечно близких точках Р и Р' (Р' —» Р), то Г. к. кривой с в точке Р есть частное где dr — бесконечно малый угол между линиями g и g'\ a ds — длина дуги РР'.

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ25 - географические широта и долгота точки земной поверхности, определенные не из астрономических наблюдений в данном месте, а путем геодезического измерения расстояния (главным образом методом триангуляции, см.) и направления (азимута) от некоторой другой точки, для которой географические координаты известны. Г. к. отличаются от широт и долгот, измеренных астрономическими методами, на малые величины, зависящие от неточности элементов, принятых при вычислении земного эллипсоида, и от отклонений отвеса.

ГИСТОГРАММА26 (столбчатая диаграмма) — один из видов графического изображения статистических распределений (см.) каких-либо величин по количественному признаку. Г. представляет собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой линии. Площадь

23 БСЭ-2. - 1952. - Т. 10. - С. 275.

24 БСЭ-2. - 1952. - Т. 10. - С. 481.

25 БСЭ-2. - 1952. - Т. 10. - С. 486.

26 БСЭ-2. - 1952. - Т. 11. - С. 447.

каждого прямоугольника пропорциональна частоте нахождения данной величины в изучаемой совокупности. Пусть, например, измерение диаметров стволов 624 сосен дало следующие результаты:

Диаметр в см

14-22

22-30

30-38

38-62

Число стволов

57

232

212

123

На горизонтальной оси откладываются границы групп, на которые стволы разбиты по их диаметру, и на отрезке, соответствующем каждой группе, строится как на основании прямоугольник с площадью, пропорциональной числу стволов, попавших в данную группу. Полученная таким образом Г. изображена на рис. 1. На рис. 2 изображена Г. распределения по диаметру стволов тех же 624 сосен при более дробной группировке.

Рис. 1

Рис. 2

В виде Г. часто изображают результаты гранулометрии (см.) рыхлых материалов или некоторых горных пород.

В этом случае на вертикальной оси откладывают процентное содержание полученных групп частиц (так называемых фракций), а на горизонтальной оси — логарифмы их граничных размеров. Использование логарифмов вызвано тем, что при гранулометрическом анализе частицы подразделяются на фракции, размеры которых убывают в геометрической прогрессии (см.). В этом случае разность между логарифмами граничных размеров фракций, а следовательно, и размеров оснований прямоугольников Г. будут равны между собой (рис. 3).

Рис. 3. Гистограмма гранулометрического состава образца песка

ГОМЕОМОРФИЗМ27 (от греч. ομοιοσ — подобный и μορφή — образ, форма) — одно из основных понятий топологии (см.). Две фигуры (точнее — два множества точек) называются гомеоморфными, если их можно взаимно-однозначно и непрерывно отобразить друг на друга.

ГОМОТОПИЯ28 (матем.) — важное понятие топологии (см.). Два непрерывных отображения у = f(x) и у = д(х) фигуры А в пространство R называются гомотопными, если их можно посредством непрерывного изменения (в этом пространстве) перевести одно в другое, т. е. если можно построить непрерывную функцию у = φ(χ, t), где χ принадлежит A, t пробегает сегмент 0 ^ t ^ 1, у принадлежит R и φ(χ,0) = /(χ), φ(χ, 1) = д(х)-Особенно большое значение имеет Г. «путей», т. е. непрерывных отображений в данное пространство R ориентированной окружности.

ГРАФИК29 — геометрическое изображение функциональной зависимости при помощи линии на плоскости. Например, на рис. 1 изображен Г. изменения атмосферного давления со временем. Г. применяются как для наглядного изображения функциональных зависимостей и придания наглядности их исследованию, так и для быстрого фактического нахождения значений функций по значениям аргументов. Виды Г. очень разнообразны и зависят то того, какая система координат (см.*) на плоскости положена в их основу. Если система координат выбрана, то Г. функции f(x) есть

27 БСЭ-2. - 1952. - Т. 12. - С. 21.

28 БСЭ-2. - 1952. - Т. 12. - С. 35.

29 БСЭ-2. - 1952. - Т. 12. - С. 453-454.

не что иное, как множество (или, как иначе говорят, «геометрическое место») тех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению у = f(x). В большинстве случаев Г. строится в декартовых прямоугольных координатах. На рис. 2 изображен Г. функции у = х2 — парабола, а на рис. 3 — Г. функции у = — ж2, представляющий полуокружность, начинающуюся в точке с координатами (—1,0) и кончающуюся в точке с координатами (+1,0).

В прямоугольной системе координат масштабы по осям одинаковы; от этого неудобного ограничения в большинстве практических Г. отказываются, выбирая разные масштабы по осям координат так, чтобы наилучшим образом использовать площадь листа бумаги, отводимую для Г. Употребляются также Г., основанные на других системах координат, например полярной; последняя особенно удобна для изображения функций углового аргумента. На рис. 4 даны Г. распределения силы света, испускаемого по различными направлениям тремя типами дуговых фонарей. Иногда для упрощения вида Г. целесообразно принимать за координаты точки те или иные функции от переменных х и у. Возникающий отсюда способ графического изображения функций называется способом функциональных шкал (см. Номография). Например, если значениям аргумента и функции — значениям (х, у) — ставить в соответствие точку с декартовыми координатами (lg X, lg у), то Г. функции у = хп при любом показателе п оказывается прямолинейными (рис. 5). Для быстрого вычерчивания подобных Г. служит логарифмическая бумага (см.), а также полулогарифмическая бумага.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Если Г. является прямой линией или дугой окружности, то его можно строить с помощью линейки или циркуля по двум, соответственно трем, точкам. В остальных случаях для вычерчивания Г. приходится наносить на бумагу достаточно большое число принадлежащих ему точек, а затем проводить через эти точки линию Г. «на глаз». Эта операция, всегда несколько произвольная, во всяком случае имеет смысл лишь в предположении непрерывности функции (см. Непрерывные функции).

Если функция не только непрерывная, но и достаточно «гладкая» (т. е. ее производные первых двух-трех порядков меняются с изменением аргумента не слишком быстро), то при некотором навыке проведение Г. по точкам делается очень точно (см.* Интерполяция). Существует большое число самопишущих приборов, автоматически наносящих на бумагу Г. наблюдаемой функциональной зависимости, минуя ее аналитическое выражение [например, барограф (см.), строящий Г. давления атмосферы в функции времени].

Во многих вопросах целесообразно одновременно рассматривать Г. нескольких различных функций, изображая их на одном и том же чертеже.

Типичным примером таких Г. являются железнодорожные графики движения поездов (см.). Если Г. функций у = /(х,а), зависящих от некоторого параметра а, образуют достаточно частую сетку для того, чтобы определять по ней приближенно значения функций при промежуточных значениях параметра, то получается так называемая сетчатая номограмма. Нанеся на один чертеж Г. двух функций у = f(x) и у = д(х), по точкам их пересечения можно определить корни уравнения f(x) = д{х).

В школьном преподавании ознакомление с графическим способом изображения функциональных зависимостей должно составлять неотъемлемую часть изучения математики. Очень важно, чтобы «графики» не представляли изолированной главы курса алгебры, а систематически использовались при решении задач и изложении теоретических вопросов школьной алгебры, геометрии и тригонометрии.

ДВИЖЕНИЕ30 (в геометрии) — преобразование пространства самого в себя, при котором сохраняются расстояния между точками (длины отрезков) и ориентация (см.*) пространственных фигур. Геометрическое понятие Д. возникает в результате абстракции из механических представлений о Д. как перемещении твердых тел в пространстве. Абстракция эта заключается в следующем: а) отвлекаются от конкретной формы движущегося тела, считая, что перемещению подвергаются все точки пространства; б) отвлекаются от процесса перемещения, рассматривая только его конечный результат. Это и приводит к представлению о том, что Д. есть преобразование

(1)

которое каждую точку Р пространства переводит в определенную точку Р' того же пространства (см. Преобразования геометрические).

Изучение Д. как процесса непрерывного перемещения точек пространства по определенным траекториям тоже может быть включено в геометрию. Такой подход к делу свойственен кинематической геометрии (см.).

Среди преобразований вида (1) Д. выделяются, как было уже сказано, требованиями: 1) сохранения расстояний {P^Pq, = Р1Р2) и 2) сохранения ориентации пространственных фигур. Ограничиваясь только первым из этих двух требований, приходят к понятию общего ортогонального преобразования (см.) пространства.

Примером ортогонального преобразования, изменяющего ориентацию (т. е. не являющегося Д.), может служить преобразование симметрии (см.) относительно плоскости, наглядное представление о котором дает отражение предметов в зеркале (правая рука человека в зеркале выглядит левой).

30 БСЭ-2. - 1952. - Т. 13. - С. 447-448.

Движение на плоскости. При изучении геометрии плоскости естественно рассматривать только Д., совмещающие данную плоскость с самой собой. Такие Д. бывают двух родов: Д. первого рода, которые можно произвести непрерывно, не выходя из плоскости (эти Д. не меняют ориентации плоских фигур); Д. второго рода, которые можно производить непрерывно только посредством переворачивания плоскости в пространстве (эти Д. меняют ориентацию плоских фигур). С точки зрения «внутренней» геометрии плоскости следовало бы признать за настоящие Д. только Д. первого рода; Д. второго рода в планиметрии играют ту же роль, как ортогональные преобразования, не являющиеся Д., в геометрии пространства.

Всякое Д. первого рода на плоскости есть или параллельный перенос, или вращение (см.) вокруг некоторого центра. Всякое Д. второго рода есть результат параллельного переноса и последующей симметрии относительно прямой, в направлении которой производится перенос.

Если на плоскости ввести прямоугольную систему координат хОу, то Д. первого рода можно выразить аналитически при помощи формул:

(2)

здесь а, Ъ — координаты точки, в которую в результате Д. переходит начало координат; х, у — координаты произвольной точки (прообраза), х', у' — координаты соответствующей ей точки (образа); ip — угол между положительным лучом оси Ох и его образом.

Аналогично Д. второго рода выразятся соотношениями:

При надлежащем выборе осей координат Д. первого рода можно представить в виде:

(параллельный перенос вдоль оси Ох), или в виде

(вращение вокруг начала координат), а всякое Д. второго рода в виде:

Движение в пространстве. Всякое Д., имеющее хотя бы одну неподвижную точку, имеет целую неподвижную ось и является вращением вокруг этой оси. Любое Д. в пространстве есть или вращение вокруг оси, или параллельный перенос, или винтовое Д., заключающееся во вращении вокруг некоторой оси с последующим параллельным переносом вдоль этой оси.

Ортогональные преобразования «второго рода» в пространстве, не являющиеся Д., в общем случае могут быть получены как симметрия относительно плоскости с последующим вращением вокруг оси, перпендикулярной плоскости симметрии, или параллельным переносом вдоль этой плоскости.

В прямоугольной системе координат Д. в пространстве изображается формулами:

где коэффициенты удовлетворяют условиям ортогональности

а определитель из них равен единице:

Последнее условие отличает Д. от ортогональных преобразований, меняющих ориентацию, для которых этот определитель равен —1.

Группа движений. Множество всех Д. пространства образует группу (см.), элементы которой определяются шестью параметрами [за эти параметры можно принять, например, координаты а, 6, с точки, в которую переходит начало координат, и три эйлеровых угла (см.)]. Группа Д. первого рода на плоскости определяется тремя параметрами [а, 6 и (р в формулах (2)]. В статье геометрия (см.) объяснено, в каком смысле эвклидова геометрия пространства (или плоскости) «определяется» своей группой Д. При аксиоматическом построении геометрии возможен двоякий подход к Д.: или Д. принимается за одно из основных понятий и его свойства косвенным образом описываются аксиомами, или Д. определяется через другие понятия. В обычном школьном изложении геометрии придерживаются

по существу первой из этих точек зрения, так как употребляют понятие «наложения» фигур без определения его смысла.

Изучение группы Д. играет очень большую роль и в других геометрических системах, отличных от эвклидовой. С точки зрения теории метрических пространств (см.) Д. является частным случаем так называемых изометрических (т. е. сохраняющих расстояния) преобразований пространства на самого себя. Д. выделяются среди других изометрий тем, что они могут быть произведены в известном, подлежащем точному определению, смысле слова «непрерывно».

Лит.: Делоне Б. Н. и Райков Д. А., Аналитическая геометрия, т. 1, М.-Л., 1948; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 2 изд., М.-Л., 1949; Адамар Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., ч. 1, 3 изд., М., 1948, ч. 2, М., 1950; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948.

ДВУЧЛЕН31 (в элементарной алгебре) — алгебраическая сумма двух одночленов (см.). Д. называют также биномом. Однако биномом часто называют и любую сумму или разность двух алгебраических выражений. Например, (а + Ь + с)2 = [(а + Ь) + с]2 можно разложить по формуле бинома Ньютона: (а + Ь)2 + 2(а + Ъ)с + с2.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА32 - общее название для положительных, отрицательных чисел и нуля. Д. ч. делятся на рациональные (которые выражаются в виде дроби где п — натуральное число, ат^О-целое) и иррациональные (которые могут быть выражены в виде дроби лишь приближенно, но с любой степенью точности). Хотя существование иррациональных Д. ч. было известно еще в древности, строго обоснованное введение их на базе рациональных чисел было дано только во 2-й половине 19 в. (см., например, Дедекиндово сечение). Только с этого времени учение о Д. ч. получило полную логическую определенность. Д. ч. часто называют вещественными числами; самое название Д. ч. противопоставляет их мнимым числам (например, у/—1 = г). Подробнее см. Число.

ДЕЛЕНИЕ33 — действие, обратное умножению; заключается в нахождении одного из двух сомножителей, если известны произведение их и другой сомножитель. Таким образом, разделить а на b — это значит найти такое X, что Ъх = а или хЬ — а. Результат Д. х называется частным или отношением а и Ъ. Заданное произведение а называется делимым, а заданный множитель b — делителем. Для Д. употребляют знаки двоеточия (а : Ь) или горизонтальной черты (|).

В пределах системы целых чисел Д. не всегда возможно (6 делится на 2 и 3, но не делится на 5), но в тех случаях, когда оно возможно, резуль-

31 БСЭ-2. - 1952. - Т. 13. - С. 518.

32 БСЭ-2. - 1952. - Т. 13. - С. 570-571.

33 БСЭ-2. - 1952. - Т. 13. - С. 628.

тат его всегда определен однозначно. В системе всех рациональных чисел (т. е. чисел целых и дробных) Д. не только однозначно, но и всегда осуществимо, за единственным исключением — Д. на нуль. Если исходить из данного выше определения Д., то легко видеть, что Д. числа, отличного от нуля, на нуль невозможно. Результатом Д. нуля на нуль, по определению, может быть любое число (так как всегда С • 0 = 0). Обычно в алгебре предпочитают (чтобы не нарушать однозначности Д.) считать, что Д. на нуль невозможно во всех случаях.

При Д. величины (например, площади) на однородную с ней величину получается отвлеченное число (Д. по содержанию). При Д. величины на отвлеченное число получается величина, однородная с делимым (Д. на равные части).

От точного Д., которое до сих пор рассматривалось, отличается Д. с остатком. Это, по существу, совершенно особая операция, отличная от Д. в определенном выше смысле. Если а и b — целые неотрицательные числа, то операция Д. с остатком числа а на число b состоит в определении целых неотрицательных числе х и у, удовлетворяющих требованиям:

При этом а называется делимым, b — делителем, х — частным, у — остатком. Эта операция всегда осуществима и всегда однозначна. Если у = 0, то говорят, что а делится на b «без остатка». В этом случае частное получается то же самое, что и при точном Д.

Аналогично определяется операция Д. с остатком для многочленов вида

Она состоит в нахождении по двум многочленам Р(х) и Q(x) двух многочленов S(x) и i?(x), удовлетворяющих требованиям:

1) Р(х) = S(x)Q(x) + R(x)i

2) степень R(x) меньше степени Q(x).

В алгебре доказывается, что эта операция тоже всегда осуществима и однозначна. Если R(x) = 0, то Р{х) делится на Q(x) без остатка.

В некоторых обобщенных числовых системах (см., например, Кватернионы) и некоммутативных группах (см.) результат умножения зависит от порядка множителей. Тогда естественно возникает два Д.: левое (по а = xb и b найти х) и правое (по а = by и 6 найти у).

Психологически самым простым представляется Д. конкретных величин на равные части. У первобытных народов и у детей оно появляется не только раньше Д. по содержанию, но и раньше умножения (которое на

первых этапах развития мышления заменяется последовательным сложением). Однако с первыми же шагами развития техники выполнения арифметических действий обнаруживается, что Д. конкретных величин сводится к Д. отвлеченных чисел, а для отвлеченных чисел существует только одна операция Д., к которой сводится и деление по содержанию и Д. на равные части. Большие психологические трудности для школьников представляет Д. на дробное число; трудность эта, впрочем, общая с трудностью понимания умножения на дробное число. Техника Д. многозначных чисел долго оставалась несовершенной. Принятые сейчас в школе способы Д. многозначных чисел и десятичных дробей сложились только в 16-17 вв.

Лит.: Популярное изложение вопроса — Беллюстин Б., Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, М., 1940. Исторические сведения — Арнольд И. В., Теория чисел, М., 1939. О делении многочленов — Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 3 изд., М.-Л., 1952.

ДИСКРЕТНОСТЬ34 (от лат. discret us — разделенный, прерывистый) — прерывность. В физике и химии Д. означает прерывистость, зернистость строения материи, ее атомистичность (см. Атомистика). См. также Прерывность и непрерывность.

В математике Д. — термин, не имеющий вполне установленного общего значения. Множество точек на прямой можно назвать дискретным, если оно не имеет предельных точек (например, любое конечное множество, или множество всех точек с целочисленной абсциссой). В современной алгебре дискретными группами называют группы, в которых не введено никаких предельных соотношений (в отличие от «непрерывных» топологических групп). Вообще Д. противополагается непрерывности. См. Непрерывные функции, Непрерывности аксиома.

ДИСПЕРСИЯ35 (от лат. dispersio — рассеяние) в математической статистике и теории вероятностей — наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. В статистическом понимании Д. есть среднее арифметическое из квадратов отклонений величин х\ от их среднего арифметического

В теории вероятностей Д. случайной величины £ называется математическое ожидание (см. Ожидание математическое) Е(£ — т^)2 квадрата

34 БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 425.

35 БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 438-439.

отклонения £ от ее математического ожидания = Е(£). Д. случайной величины £ обозначается через D(£) или через сг|. Квадратный корень из Д. (т. е. а, если Д. есть а2) называется средним квадратичным отклонением (см. Квадратичное отклонение).

Для случайной величины £ с непрерывным распределением вероятностей, характеризуемым плотностью вероятностей р(х), Д. вычисляется по формуле

где

Если п независимых случайных величин £ь£2» • • • »£п имеют одно и то же математическое ожидание и одну и ту же Д. <т|, то оценкой сг| по наблюденным значениям £i,£2> • • • »£п считают выражение

т. е. статистическую Д. с множителем Указанный выбор множителя при сумме квадратов отклонений & от £ в оценке s2 необходим, если желают, чтобы эта оценка была «несмещенной», т. е. чтобы ее математическое ожидание равнялось <т|.

В теории вероятностей большое значение имеет теорема: Д. суммы независимых слагаемых равна сумме их Д. Не менее существенна лемма Чебышева, позволяющая оценивать вероятность больших отклонений случайной величины £ от ее математического ожидания тс по формуле

Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, М.-Л., 1950.

ДИСТРИБУТИВНОСТЬ36 (от лат. distribute - распределение), распределительность, — в первоначальном смысле свойство действий сложения и умножения, выражаемое тождеством:

36 БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 479.

В более общем смысле при рассмотрении двух операций Д и V, производящих из двух элементов а и b новые элементы а Д b и а V 6 той же природы, операция Д называется дистрибутивной слева относительно операции V, если

и дистрибутивной справа, если

Оба эти свойства выполняются, например, для умножения по отношению к сложению в произвольных алгебраических кольцах и полях (см.). В случае коммутативной (т. е. удовлетворяющей тождественно требованию а Д 6 = b Д а) операции Д из левой Д. автоматически следует правая и наоборот. Интересным примером двух коммутативных операций, из которых каждая дистрибутивна по отношению к другой, являются операции соединения двух множеств (обозначается A u В) и пересечения множеств (обозначается АПВ) (см.* Множеств теория). Для этих операций всегда:

(дистрибутивность п относительно u) и

(дистрибутивность u относительно п).

ДИСТРИБУТИВНЫЙ ОПЕРАТОР37 - оператор Я, производящий из элементов я, которые можно складывать между собой, элементы у = Rx (вообще говоря, другой природы), которые также можно складывать между собой, и обладающий тем свойством, что всегда

Такова, например, операция умножения чисел х на постоянное число R. Тем же свойством обладают операция интегрирования

и операция взятия градиента (см.)

(в последнем примере оператор из скалярной функции производит вектор-функцию). В функциональном анализе дистрибутивные непрерывные операторы называются линейными операторами (см.).

37 БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 479.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ38 (от лат. differentia — разность) в математике — главная линейная часть приращения функции. Если функция у = f(x) одного переменного х имеет при х = хо производную, т. е. если существует предел

то приращение

функции f(x) можно представить в виде

(1)

где член R бесконечно мал по сравнению с Дх, т. е. Первый член в разложении (1)

(2)

и называется дифференциалом функции f(x) в точке хо- Из формулы (2) видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Ах, а равенство

показывает, в каком смысле Д. является «главной» частью приращения Ау: дополнительный член R бесконечно мал по сравнению с Ах (и по сравнению с dy, если f'(xo) ф 0).

Так как для функции f(x) = х производная равна f'(x) = 1, то

(3)

т. е. Д. независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому, в соответствии с (2), получают

(4)

Формула (4) хотя и является непосредственным алгебраическим следствием равенств (2) и (3), но имеет глубокий смысл: отношение Д. точно равно пределу отношения приращений, когда эти последние стремятся к нулю:

Подробнее о Д. функций одного и нескольких переменных см. Дифференциальное исчисление.

38 БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 497.

Обобщение понятия дифференциала

Здесь дается изложение современной концепции Д., созданной в начале 20 в. работами французских математиков М. Фреше и Р. Гато, для функций от векторного аргумента; она позволяет лучше выяснить смысл понятия «Д.» для функций нескольких переменных, а в применении к функционалам, т. е. функциям от элемента бесконечномерного векторного пространства (см.), приводит непосредственно к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления (см.).

Простейшими функциями f(x) векторного аргумента х являются линейные, т. е. непрерывные, функции L(x), удовлетворяющие при любых х' и х" равенству

В случае n-мерного вектора х = ..., хп} линейная функция всегда имеет вид

где oi,... ,ап — постоянные. Линейные функции бесконечномерного вектора называют обычно линейными функционалами (см. Функциональный анализ). Легко видеть, что приращение

линейной функции имеет вид

т. е. зависит только от векторного приращения h и притом линейно. Произвольная функция f(x) называется дифференцируемой при значении аргумента х, если ее приращение Д/ = f(x + h) — f{x)y рассматриваемое как функция Л, имеет линейную главную часть L(h), т. е. выражается в виде

где остаток R(h) при h —► 0 бесконечно мал по сравнению с h. Линейная главная часть L(h) приращения Д/ и называется дифференциалом df функции / в точке x. Это определение Д. нуждается еще в некотором уточнении; в нем не сказано, в каком смысле понимается бесконечная малость R(x) по сравнению с h. Последняя обычно понимается одним из следующих двух способов:

1) Рассматривают h вида h = fc/io, где ho фиксировано, а к — положительный действительный множитель, и требуют, чтобы при любом ho имело место соотношение lim^-^o R{h)/k = 0. В этом случае приходят к понятию слабого дифференциала.

2) Предполагают, что в пространстве значений х и в пространстве значений у функции f(x) (которые тоже могут быть векторами) введены так называемые нормы (см.) \\х\\ и \\у\\, и требуют, чтобы при любом способе изменения Л, при котором норма \\h\\ ф 0 стремится к нулю, отношение стремилось к

нулю. Таким образом приходят к понятию сильного дифференциала. Легко доказывается, что в случае существования сильного Д. существует и слабый, причем он равен сильному. Слабый Д. может существовать и тогда, когда сильный не существует.

Очевидно, что в случае f(x) = х из общего определения получается df = h, т. е. приращение h можно считать Д. аргумента х и обозначать dx. Далее, однако, будет сохранено обозначение h.

Если сделать теперь переменной точку х, в которой определяется дифференциал df, то его придется считать функцией двух векторных переменных х и h. Полное его обозначение будет поэтому df(x;h). Далее, считая h = h\ постоянным, можно найти Д. от дифференциала df(x\ h) как главную часть приращения df(x + /12; hi) - df(x; hi), где /12 — некоторое второе, не связанное с hi приращение x. Получаемый таким образом второй дифференциал d2f = d2f(x; hi, /12) является функцией трех векторных аргументов х, hi, и /12, линейной по каждому из двух последних аргументов. Если d2f непрерывно зависит от х, то он симметричен относительно hi и /12-* d2f(x\ hi, /12) = d2f(x; /12, hi). Аналогично определяется дифференциал dnf — dnf(x; hi,..., hn) любого порядка п.

Можно, однако, считать Д. высших порядков и функциями двух векторных переменных, положив dnf{x\ h) = dnf(x\ h,..., h). Это приводит к формуле Тейлора:

где остаток Rn случае существования сильного непрерывного (п H- 1)-го Д. имеет порядок малости ||A||n+1. Формула Тейлора является основой исследования действительных функций f(x) векторного аргумента на максимум и минимум. Предполагая достаточную дифференцируемость (в сильном смысле) функции f(x), легко доказывают, что условие тождественного по h обращения в нуль df необходимо для наличия в точке х максимума или минимума. Если это условие выполнено, то условие d2f>0 при всех h ф 0 достаточно для минимума, а условие d2f<0 при всех h ф 0 достаточно для максимума. Если df — 0, но d2f принимает при различных h как положительные, так и отрицательные значения, то в рассматриваемой точке х нет ни максимума, ни минимума.

В вариационном исчислении сам векторный аргумент х является функцией x(t), а дифференциалы df и d2f функционала f[x(t)] называются его первой и второй вариациями и обозначаются Sf и ö2f.

Лит. см. при статье Дифференциальное исчисление, а также: Люстерник Л. А. и Соболев В. И., Элементы функционального анализа, М.-Л., 1951.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.39

Содержание:

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения 137

II. Способы решения и специальные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений 148

III. Дифференциальные уравнения с частными производными 151

39 БСЭ-2. — 1952 - Т. 14. — С. 520-526 (совм. с Б. П. Демидовичем и В. В. Немыцким).

Дифференциальные уравнения — уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественно-научных дисциплин, по существу одновременно с интегральным исчислением и дифференциальным исчислением (см.). Простейшие Д. у. встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница (см.).

Сам термин «Д. у.» принадлежит Лейбницу. Что касается Ньютона, то он ставил своему исчислению «флюксий» и «флюент» две основные задачи: 1) по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями, 2) по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных Д. у. Задача нахождения неопределенного интеграла F(x) функции f(x) рассматривалась Ньютоном просто как частный случай его второй задачи. Такой подход к делу был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме Д. у., а расчет течения этих процессов сводится к решению Д. у. Собственно говоря, именно к этому методу решения задач математического естествознания относится известное указание Ф. Энгельса: «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение» (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1952, стр. 218).

Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к сказанному:

1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, температура которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение AT (отрицательное в случае Т > 0) его температуры за малый промежуток времени At с достаточной точностью выражается формулой

где к — постоянный коэффициент. При математической обработке этой физической задачи считают, что выполняется точно соответствующее предельное соотношение между дифференциалами

т. е. имеет место Д. у.

(1)

где Т' обозначает производную по t. Решить полученное Д. у. или, как выражаются иначе, проинтегрировать его, значит найти функции, обращающие его в тождество. Для уравнения (1) все такие функции (т. е. все его частные решения) имеют вид

(2)

где С — постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С называется общим решением уравнения (1).

2) Пусть, например, груз Р массы m подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 1, а). Отклоняя его от положения равновесия с помощью растяжения пружины (см. рис. 1,5), приводят груз в движение. Если x(t) обозначает величину отклонения тела от положения равновесия в момент времени t, то ускорение тела выражается 2-й производной x“(t). Сила mx”(t), действующая на тело, при небольших растяжениях пружины, по законам теории упругости, пропорциональна отклонению x(t). Таким образом, получается Д. у.

(3)

Его решение имеет вид (см. рис. 1, в)

и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания (см.).

Выделение теории Д. у. в самостоятельную детально разработанную научную дисциплину относится к 18 в. и было осуществлено Д. Бернулли, Ж. Д'Аламбером (см.) и, в особенности, Л. Эйлером (см.).

Рис. 1

Д. у. делятся на «обыкновенные», содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого переменного, и «уравнения с частными производными», содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у. называется наибольший порядок входящих в него производных. Так, например, есть Д. у. с частными производными 2 го порядка.

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) называется соотношение

(А)

между независимым переменным я, искомой функцией у(х) и ее производной у' = fa- Если уравнение (А) может быть разрешено относительно производной, то получается уравнение вида

(Б)

Многие вопросы теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешенных относительно производной уравнений, предполагая функцию f{x,y) однозначной.

Уравнение (Б) можно записать в виде соотношения между дифференциалами

тогда оно становится частным случаем уравнений

(В)

В уравнениях вида (В) естественно считать переменные х и у равноправными, т. е. не интересоваться тем, какое из них является независимым. Несколько обобщая первоначальное определение, уравнение (В) тоже называют обыкновенным Д. у. 1-го порядка. При Р(х, у) ф 0 оно равносильно уравнению

которое теряет смысл при Р(х,у) = 0. При Q(x,y) ф 0 уравнение (В) равносильно уравнению

которое теряет смысл при Q(x,y) = 0. Часто, однако, считают обе эти записи просто условным обозначением соотношения (В) независимо от ограничений Р(х, у) = 0 и Q(x, у) = 0.

По поводу третьей из перечисленных форм обыкновенных Д. у. 1-го порядка следует указать, что «решить» уравнение (В) — это значит найти все кривые на плоскости (х, у), вдоль которых выполняется соотношение (В). Кривые при этом естественно представлять себе заданными параметрически:

где cp(t) и ip(t) — дифференцируемые функции. Так как вдоль кривой

то уравнение (В) равносильно уравнению

Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Пусть у = у{х) есть решение уравнения (Б). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой у — у(х) имеет в каждой лежащей на ней точке М(х,у) угловой коэффициент к = f(x,y). Таким образом, нахождение решений у = у(х) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке некоторой области на плоскости задано «направление», требуется найти все кривые, которые в любой своей точке M имеют направление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция f(x,y) непрерывна, то это направление меняется при перемещении точки M непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей рассматриваемой области точек короткие черточки с заданным для этих точек направлением. На рис. 2 это выполнено для уравнения у' = у2. Рисунок позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решений, т. е. так называемые интегральные кривые Д. у. Вычисление показывает, что общее решение данного уравнения есть у — 1/(С — х). На рис. 2 вычерчены интегральные кривые, соответствующие значениям параметра С = 0 и С = 1.

График любой однозначной функции у = у(х) пересекает каждую прямую, параллельную оси Oy, только один раз. Таковы, следовательно, будут интегральные кривые любого уравнения (Б) с однозначной непрерывной функцией в правой части. Новые возможности для вида интегральных кривых открываются при переходе к уравнениям (В). Считая, что в некоторой области плоскости хОу функции Р{х,у) и Q(x,y) непрерывны, проводят через точку (хо,уо) этой области прямую с уравнением

(4)

Рис. 2

Геометрический смысл уравнения (В) заключается в том, что интегральная кривая, проходящая через точку (хо, 2/о)5 должна иметь в этой точке направление, совпадающее с направлением прямой (4), т. е. касаться ее. При помощи пары непрерывных функций Р(х,у) и Q(x,y) можно задать любое непрерывное «поле направлений». Таким образом, задача интегрирования уравнений (В) совпадает с чисто геометрической (не зависящей от выбора осей координат) задачей разыскания интегральных кривых по заданному на плоскости полю направлений. Следует только заметить, что в тех точках (хо,уо)? в которых обе функции Р(х,у) и Q(x,y) обращаются в нуль, уравнение (4) перестает определять прямую, т. е. задавать какое-либо определенное направление. Такие точки называются особыми точками уравнения (В).

Пусть, например, задано уравнение

которое можно записать также в виде

хотя, строго говоря, правая часть этого последнего уравнения теряет смысл при X = 0 и у = 0. Соответствующие поле направлений и семейство интегральных кривых, являющихся в этом случае окружностями х2 + у2 = С, изображены на рис. 3. Начало координат (х = 0, у = 0) является особой точкой данного уравнения. Интегральными кривыми уравнения

изображенными на рис. 4, являются всевозможные прямолинейные лучи, выходящие из начала координат; начало координат является особой точкой и этого уравнения.

Следует отметить еще, что два уравнения

определяют одно и то же поле направлений, если существует такая функция /х(х,у), не обращающаяся в рассматриваемой области в нуль, что во всех точках этой области

Очевидно, что два таких уравнения равносильны, т. е. имеют общие интегральные кривые, и таким образом задача интегрирования одного из них сводится к интегрированию другого.

Рис. 3 Рис. 4

Начальные условия. Геометрическая интерпретация Д. у. 1-го порядка приводит к мысли, что через каждую внутреннюю точку M области G с заданным непрерывным полем направлений можно провести одну вполне определенную интегральную кривую, которая при движении по ней в какую-либо определенную сторону от точки M или продолжается неограниченно, или доходит на конечном расстоянии до границы области G (на рис. 4 граница этой области состоит из единственной точки — начала координат), или, наконец, замыкается внутри области G в замкнутую кривую (подобно окружностям на рис. 3).

В отношении существования интегральной кривой сформулированная гипотеза оказывается правильной. Доказательство этого предложения принадлежит итальянскому математику Дж. Пеано. В отношении же единственности интегральной кривой, проходящей через заданную точку, высказанная выше гипотеза оказывается, вообще говоря, ошибочной. Уже для такого простого уравнения, как

(5)

у которого правая часть непрерывна во всей плоскости, интегральные кривые имеют вид, изображенный на рис. 5. Единственность интегральной кривой, проходящей через заданную точку, нарушается здесь во всех точках, лежащих на оси Ох (см. ниже).

Советский математик М. А. Лаврентьев (см.) показал, что, несмотря на непрерывность правой части уравнения (Б), единственность интегральной кривой

может нарушаться не только в некоторых исключительных точках [например, вдоль какой-либо линии, как в случае уравнения (5)], но во всех точках плоскости.

Единственность, т. е. однозначное определение интегральной кривой условием ее прохождения через заданную точку, имеет место для уравнений (Б) с непрерывной правой частью при том дополнительном условии, что функция имеет в рассматриваемой области ограниченную производную по у.

Это требование является частным случаем следующего, несколько более широкого «условия Липшица». Существует такая постоянная L, что в рассматриваемой области всегда

Это условие чаще всего приводится в учебниках как достаточное условие единственности.

С аналитической стороны теоремы существования и единственности для уравнения вида (Б) обозначают следующее: если выполнены надлежащие условия [например, функция /(гс, у) непрерывна и имеет ограниченную производную по у], то задание для «начального» значения хо независимого переменного х «начального» значения уо = у(хо) функции у(х) выделяет из семейства всех решений у(х) одно определенное решение. Например, если для рассмотренного выше уравнения (1) потребовать, чтобы в начальный момент времени to = 0 температура тела была равна «начальному» значению То, то из бесконечного семейства решений (2) выделится одно определенное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

Этот пример типичен: в механике и физике Д. у. обычно определяют общие законы течения какого-либо явления; однако, чтобы получить из этих законов определенные количественные результаты, надо присоединить к ним сведения о начальном состоянии изучаемой физической системы в некоторый определенный выбранный в качестве «начального» момент времени to-

Если условия единственности выполнены, то решение у(х), удовлетворяющее условию у(хо) = уо, можно записать в виде

(6)

Рис. 5

где хо и уо входят как параметры, функция же Ф(х;хо,уо) трех переменных ж, хо и уо однозначно определяется самим уравнением (Б). Важно отметить, что при достаточно малом изменении поля (правой части Д. у.) функция Ф(х;хо,Уо) меняется сколь угодно мало на конечном промежутке изменения переменного х — имеется непрерывная зависимость решения от правой части Д. у. Большое значение имеет также вопрос о непрерывности зависимости решения от начальных данных хо, Уо'- в реальных физических и технических задачах они бывают известны лишь приближенно, и в случае, если бы малые изменения хо и уо приводили к большим изменениям вида функции у (ж), решение Д. у. было бы лишено практического интереса. Если правая часть /(ж, у) Д. у. непрерывна и имеет ограниченную производную по у (или удовлетворяет условию Липшица), то такая непрерывность Ф(ж;жо,уо) по хо и уо имеет место.

Придавая в соотношении (6) всевозможные значения параметрам хо и уо, получают каждое решение бесконечно много раз. Если в окрестности точки (хо,уо) для уравнения (Б) выполнены условия единственности, то все интегральные кривые, проходящие через достаточно малую окрестность точки (хо,уо), пересекают вертикальную прямую x = хо и определяются ординатой у — С своей точки пересечения с этой прямой (см. рис. 6). Таким образом, все эти решения содержатся в семействе с одним параметром С:

которое является общим решением Д. У- (Б).

В окрестности точек, в которых нарушаются условия единственности, картина может быть сложнее. Весьма сложен и вопрос о поведении интегральных кривых «в целом», а не в окрестности точки (жо,уо)-

Общий интеграл. Особые решения. Естественно поставить обратную задачу: задано семейство кривых, зависящих от параметра С, требуется найти Д. у., для которого кривые заданного семейства служили бы интегральными кривыми. Общий метод для решения этой задачи заключается в следующем: считая семейство кривых на плоскости хОу заданным при помощи соотношения

(7)

Рис. 6

дифференцируют (7) при постоянном С и получают

(8)

или в симметричной записи

(9)

и из двух уравнений (7) и (8) или (7) и (9) исключают параметр С Если данное Д. у. получается таким образом из соотношения (7), то это соотношение называется общим интегралом заданного Д. у. Одно и то же Д. у. может иметь много различных общих интегралов. После нахождения для заданного Д. у. общего интеграла оказывается необходимым, вообще говоря, еще исследовать, не имеет ли Д. у. дополнительных решений, не содержащихся в семействе интегральных кривых (7). Пусть, например, задано семейство кривых

(10)

Дифференцируя (10) при постоянном С, получают

после же исключения С приходят к Д. у.

(11)

равносильному уравнению (5). Легко видеть, что, кроме решений (10), уравнение (11) имеет решение

(12)

Решение уравнения (11) самого общего вида таково:

где -оо ^ Ci < С2 ^ +00 (см. рис. 7). Оно зависит от двух параметров Ci и С2, но составляется из кусков кривых однопараметрического семейства (10) и куска особого решения (12).

Рис. 7 Рис. 8

Решение (12) уравнения (11) может служить примером особого решения Д. у. В качестве другого примера можно рассмотреть семейство прямых

(13)

Эти прямые являются интегральными кривыми Д. у.

Особой же интегральной кривой этого Д. у. служит парабола

огибающая прямые (13) (см. рис. 8). Картина, наблюдавшаяся в рассмотренном примере, типична; особые интегральные кривые обычно являются огибающими (см.) семейства интегральных кривых, получаемых из общего решения.

Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения п-го порядка с одной неизвестной функцией у(х) независимого переменного х записываются в виде

(14)

Если ввести дополнительные неизвестные функции

(15)

то уравнение (14) можно заменить системой из п уравнений с п неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к п — 1 уравнениям (15) присоединить уравнение

Аналогичным образом сводятся к системам уравнений 1-го порядка и системы уравнений высших порядков. В механике сведение систем уравнений 2-го порядка к системе из удвоенного числа уравнений 1-го порядка имеет простой механический смысл. Например, система трех уравнений движения материальной точки

где X, у, z являются координатами точки, зависящими от времени £, сводится к системе шести уравнений

при помощи введения в качестве новых переменных составляющих и, v, w скорости.

Наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных функций. Система из п уравнений 1-го порядка с п неизвестными функциями, разрешенная относительно производных, имеет вид

(а)

Решением системы Д. у. (а) называется система функций x\(t), X2(t), • • • ...,хп(£), которая при подстановке в уравнения (а) обращает их в тождества. Часто встречаются системы вида (а), в которых правые части не зависят от t. В этом случае изучение системы (а) в основном сводится к изучению системы из (п — 1)-го уравнения, которую целесообразно записывать в симметричной форме

(б)

не предрешая вопроса о том, от какого из переменных Х\,Х2,..., хп мыслятся зависящими остающиеся п — 1 переменных. Считая X = (х\9 Ж2,..., хп) вектором, можно записать систему (а) в виде одного векторного уравнения

что позволяет широко пользоваться при изучении систем (а) аналогией с теорией одного уравнения 1-го порядка вида (Б). В частности, оказывается, что для систем (а) сохраняют силу основные результаты относительно существования и единственности решения задачи с начальными условиями: если в окрестности точки (*0j#i>#2». •. , я^) все функции F{ непрерывны по совокупности переменных £, х\} хг,..., хп и имеют ограниченные производные по переменным xi, £2, • • • > хп, то задание начальных значений Xi(to) = % = 1,2,... ,п, определяет одно, вполне определенное, решение системы (а). Этим объясняется то, что, вообще говоря, решения систем из п уравнений 1-го порядка с п неизвестными функциями зависят от п параметров (см., однако, те оговорки, которые по этому поводу сделаны для случая одного уравнения).

Если вспомнить указанное выше сведение одного уравнения п-го порядка к системе из п уравнений 1-го порядка, то становится понятным, что решение одного уравнения п-го порядка с одной неизвестной функцией, вообще говоря, зависит от п параметров. Наиболее простым способом эта зависимость от п параметров обнаруживается при решении «задачи с начальными условиями» для уравнения, разрешенного относительно старшей производной

(16)

Если функция F непрерывна и имеет ограниченные производные, то начальные условия

определяют одно, вполне определенное, решение уравнения (16). Например, чтобы однозначно определить решение уравнения (3), надо задать для какого-либо начального момента времени to начальное положение хо = x(to) груза Р и его начальную скорость vq = v(to) = x'(to).

При изложении теории систем обыкновенных Д. у. полезно употребление представлений многомерной геометрии. Подобно тому, как решения одного уравнения 1-го порядка представляются интегральными кривыми на плоскости хОу, естественно интерпретировать решения системы (б) как «интегральные кривые» в n-мерном пространстве, в котором координатами точки служат п чисел х\,х2,... ..., хп. С этой точки зрения можно изложить основы очень важной теории первых интегралов системы (б).

Уравнение

при каждом фиксированном С определяет в рассматриваемом n-мерном пространстве (п — 1)-мерную «гиперповерхность». Если считать С переменным, то

получают однопараметрическое семейство гиперповерхностей. Если задать п — 1 таких семейств

(17)

и взять по одной гиперповерхности из каждого семейства, то, вообще говоря, они будут пересекаться по некоторой кривой. Таким образом, получится семейство кривых, зависящих от п — 1 параметров Ci, С2,..., Cn-\. Естественно поставить вопрос о том, при каких условиях это семейство будет семейством интегральных кривых системы (б). Ясно, что для этого необходимо, чтобы каждая интегральная кривая полностью лежала на одной определенной гиперповерхности каждого из семейств (17), т. е. чтобы вдоль интегральной кривой левые части соотношений (17) оставались постоянными.

Функция H(xii Х2,... ,#п)) постоянная вдоль всех интегральных кривых системы (б), называется первым интегралом этой системы. В предположении, что H имеет полный дифференциал, необходимым и достаточным условием для того, чтобы она была первым интегралом системы (б), является тождественное выполнение соотношения

Этому условию и должны удовлетворять все функции г = 1,2,..., п—1. Таким образом, знание п — 1 первых интегралов системы (б) позволяет, вообще говоря, найти ее интегральные кривые. «Вообще говоря» здесь обозначает, что рассматривается общий случай, в котором п — 1 первых интегралов «независимы» и п — 1 уравнений (17) при любых фиксированных Ci,С2,..., Сп-\ в самом деле определяют гладкую (дифференцируемую) кривую.

Если известно не п — 1 первых интегралов Hi, а только к < п — 1, то, фиксируя в соотношениях

постоянные Ci, получают, вообще говоря, многообразие п — к измерений. Задача нахождения интегральных кривых, лежащих на этом многообразии, есть задача интегрирования системы из п—к-1 Д. у. 1-го порядка. Поэтому говорят, что знание к первых интегралов позволяет свести интегрирование системы из m = п — 1 Д. у. 1-го порядка к интегрированию системы из m — к Д. у. 1-го порядка.

Этим обстоятельством широко пользуются в механике. Например, известная задача трех тел (см.), т. е. определение законов движения трех точечных масс под влиянием сил всемирного тяготения, приводится к восемнадцати уравнениям 1-го порядка (независимое переменное — время, девять координат и девять компонент скорости — зависимые переменные). При помощи двенадцати первых интегралов эта задача сводится к интегрированию шести уравнений 1-го порядка.

II. Способы решения и специальные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Для приведенных выше конкретных примеров Д. у. их общее решение удается выразить при помощи элементарных функций. Типы Д. у., допускающие такого рода решение, детально изучаются. Часто придерживаются более общей точки зрения, считая Д. у. «решенным», если искомая зависимость между переменными (и входящими в общее решение параметрами Ci,C2,...) может быть выражена при помощи элементарных функций и одной или нескольких операций взятия неопределенного интеграла («решение выражено в квадратурах») (см. Интегрируемость дифференциального уравнения в квадратурах). Например, в уравнении

можно «разделить переменные», переписав его в виде

и записать искомую зависимость между х и у в виде

Слева здесь стоит эллиптический интеграл (см. Эллиптические функции), не выражающийся в элементарных функциях, однако уравнение считается решенным. В этом примере решение достаточно эффективно и с практической точки зрения, так как для эллиптических интегралов существуют таблицы. Однако в более сложных случаях подобное «решение» Д. у. иногда бывает так мало пригодно для действительного определения искомой зависимости (например, для вычисления значений зависимых переменных при заданных начальных условиях и заданных значениях независимого переменного), что все равно приходится прибегать к приближенным методам. Класс Д. у., не допускающих решения в смысле сведения к квадратурам, еще шире.

Большой общностью обладают способы нахождения решений при помощи разложения их в степенные ряды. Например, если правые части уравнений (а) в окрестности точки {iP,x\,x\,... ,х^) голоморфны (см. Аналитические функции), то решение соответствующей начальной задачи выражается функциями Xi(t), разлагающимися в степенные ряды

(18)

коэффициенты которых можно найти последовательным дифференцированием правых частей Д. у. (а) и сопоставлением коэффициентов при одинаковых степенях в левых и правых частях этих уравнений. Однако степенные ряды (18) обычно быстро сходятся только при малых разностях t — to, так что при численном решении Д. у. этот метод имеет обычно лишь вспомогательное значение.

Реальную возможность фактически вычислить, например, решение любой могущей представить практический интерес системы вида (а) с заданными начальными условиями доставляют прежде всего численные методы интегрирования Д. у. (см. Приближенное интегрирование). Простейший из — них метод «ломанных Эйлера», основанный на приближенном соотношении

имеет лишь теоретический интерес (для доказательства теорем существования и единственности). Но более точные соотношения между производными и разностями (см. Конечных разностей исчисление) такого типа, как

служат основой действительно эффективных методов. Современная машинная вычислительная техника делает эти методы весьма продуктивными; так, например, траектория артиллерийского снаряда может быть рассчитана за время, равное длительности его полета (выражающееся секундами или десятками секунд). В задачах, не требующих большой точности, применяются графические методы интегрирования Д. у. (см. Графические вычисления) и интеграторы (см.), основанные на механических или электрических принципах «непрерывного действия».

Из специальных типов Д. у. особенно хорошо разработана теория линейных Д. у. и систем линейных Д. у. (см. Линейные дифференциальные уравнения). Они имеют очень большое прикладное значение; так, например, на них основана вся теория «малых» колебаний (см.), называемая обычно «линейной», в противоположность развившейся значительно позднее «нелинейной» теории колебаний.

Для линейных Д. у. сравнительно просто решаются также вопросы «качественного» поведения интегральных кривых, т. е. их поведение во всей области задания Д. у. Для нелинейных Д. у., где нахождение общего решения особенно сложно, вопросы качественной теории Д. у. приобретают ино-

гда даже доминирующее значение. После классических работ А. М. Ляпунова (см.) ведущую роль в качественной теории дифференциальных уравнений (см.) играют работы советских математиков, механиков и физиков. В связи с этой теорией см. еще Динамическая система, Особые точки, Устойчивость, Предельный цикл.

Большое значение имеет аналитическая теория Д. у., изучающая решения Д. у. с точки зрения теории аналитических функций, т. е. интересующаяся, например, расположением их особых точек в комплексной плоскости и т. п. Несмотря на, казалось бы, отвлеченный характер перехода в комплексную область, выводы аналитической теории имеют значение в механике. На ней, например, основаны классические работы по движению твердого тела С. В. Ковалевской (см.) и ее продолжателей. Замечательное развитие получила аналитическая теория Д. у. в работах советского математика И. А. Лаппо-Данилевского (см.).

Наряду с рассмотренной выше начальной задачей, в которой задаются значения искомых функций (а в случае уравнений старших порядков и их производных) в одной точке (при одном значении независимого переменного), находят широкое применение различные другие краевые задачи (см.). Здесь появляются качественно новые явления. Пусть, например, требуется найти решение уравнения

(19)

удовлетворяющее условиям

(20)

Так как решение

уравнения (19) зависит от двух параметров С и в, то можно было бы думать, что задание двух условий (20) позволит определить значение этих параметров, т. е. что условия (20) выделяют из семейства всех решений одно определенное решение. Это так и будет, если \/Л не является целым числом. В этом случае единственное решение задачи есть у(х) = 0. Но в случае, когда — целое, задача получает бесконечно много решений, зависящих от параметра С:

Числа Ai = 1, À2 = 4,...,АП = п2,... называются собственными значениями задачи. См. в связи с краевыми задачами Собственные значения и собственные функции, Штурма-Лиувилля задача.

III. Дифференциальные уравнения с частными производными

Типичной особенностью Д. у. с частными производными и систем Д. у. с частными производными является то, что для однозначного определения частного решения здесь требуется задание не значений того или иного конечного числа параметров, а некоторых функций. Например, общим решением уравнения

(21)

является выражение

где / и д — произвольные функции. Таким образом, Д. у. (21) лишь в той мере ограничивает произвол в выборе функции двух переменных и(х,у), что ее удается выразить через две функции f(z) и g(v) от одного переменного, которые остаются [если в дополнение к уравнению (21) не дано каких-либо «начальных» или «краевых» условий] произвольными.

Типичной задачей с начальными условиями для системы Д. у. с частными производными 1-го порядка

(22)

где независимыми переменными являются t;a?i,... ,жп, a ui,...,txm суть функции от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным при каком-либо t = to значениям

найти функции х\,..., хп).

Если правые части уравнений (22) и функции </?г(#ъ • • ч хп) голоморфны, то, как было окончательно установлено С. В. Ковалевской, система имеет при достаточно малых t — to голоморфное решение, однозначно определенное начальными условиями.

Теорема Ковалевской обобщается и на уравнения высших порядков. Однако аналогия с обыкновенными Д. у. в действительности здесь не так глубока, как может казаться, так как, вообще говоря, в случае уравнений с частными производными отсутствует непрерывность зависимости решения задачи Коши от начальных условий. Указанного затруднения не возникает в случае одного Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией. Решение таких уравнений сводится к решению системы обыкновенных Д. у.

Оставляя в стороне общий случай уравнения

где ищется функция u(xi,... ,хп), рассмотрим линейное уравнение

(23)

где Р = Р(х, y,z),Q — Q(x, у, z), R = Д(я, y, z) — заданные (непрерывные) функции. Д. у. (23) относит каждой точке трехмерного пространства вектор (Р, Q, R)-Поле этих векторов непрерывно во всех точках, за исключением тех, где Р2 + Q2 + R2 = 0 (особые точки Д. у.). Решение уравнения z = z(x,y) — интегральная поверхность — в каждой своей точке касается вектора (Р, Q, Д), отнесенного к этой точке, и обратно: всякая поверхность, обладающая таким свойством, является интегральной. Кривые, которые в каждой своей точке касаются соответствующего вектора (Р, Q,P), называются характеристиками. Каждая интегральная поверхность составляется из характеристик. Характеристики определяются системой обыкновенных Д. у.

Пусть </?(х,у, z) = а и т/>(я,у, z) = 6 — два независимых первых интеграла этой системы. Общее решение Д. у. (23) имеет вид

где Ф — произвольная функция.

Задача Коши для уравнения (23) может быть сформулирована так: найти интегральную поверхность, проходящую через заданную кривую. Искомая поверхность составляется из характеристик, проходящих через точки заданной кривой. Если сама заданная кривая является характеристикой, то задача становится неопределенной.

В теории Д. у. с частными производными порядка выше первого и систем Д. у. с частными производными рассматриваются как задачи типа Коши, к которым относится, например, теорема Ковалевской, так и ряд краевых задач (см.).

При постановке и решении краевых задач для Д. у. с частными производными порядка выше первого существенное значение имеет тип уравнения. Здесь будет проведена классификация лишь для Д. у. с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией z(x, у) от двух переменных:

(24)

то (24) есть эллиптическое уравнение. Примером может служить уравнение Лапласа:

Если D < О, то (24) есть гиперболическое уравнение. Примером может служить уравнение колебания струны

Если D = О, то (24) есть параболическое уравнение. Примером может служить уравнение распространения тепла

О краевых задачах для этих различных типов уравнений см. Уравнения математической физики.

В направлении уравнений математической физики весьма большое место занимают работы русской школы, основанной А. М. Ляпуновым, В. А. Стекловым, Н. М. Гюнтером (см.), продолженные в исследованиях советской математической школы [В. И. Смирнов, С.Л. Соболев, А. Н. Тихонов (см.) и др.]. Это направление исследований имеет особенно большое практическое значение, так как теория краевых задач для Д. у. с частными производными является основным математическим аппаратом механики и физики непрерывных сред (гидро- и аэродинамики, теории упругости, электродинамики и т. д.).

Для решения задач типа Коши в общей теории систем Д. у. с частными производными основное значение имеют исследования И. Г. Петровского (см.).

О другом направлении теории Д. у. с частными производными см. Пфаффа уравнения.

Лит.: Обыкновенные Д. у. — Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 5 изд., М.-Л., 1950; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 3 изд., М.-Л., 1949; Стеклов В. А., Основы теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, М.-Л., 1927; Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Лм 1950; Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949; Андронов А. А. и Хайкин С. Э., Теория колебаний, ч. 1, М.-Л., 1937; Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., М., 1951.

Д. у. с частными производными — Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, М.-Л., 1950; Соболев С.Л., Уравнения математической физики, 2 изд., М.-Л., 1950; Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математической физики, М.-Л., 1951; Гюнтер Н. М., Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных, Л.-М., 1934; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, 2 изд., М.-Л., 1951; Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М.-Л., 1947; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближенные методы высшего анализа, 4 изд., М.-Л., 1952; Курант Р. и Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., т. 1, 3 изд., т. 2, 2 изд., М.-Л., 1951; Франк Ф. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, пер. с нем., ч. 2, М.-Л., 1937.

ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ40 - понятие, при помощи которого английский статистик P.A. Фишер пытался освободить теорию статистической проверки гипотез и оценки параметров от употребления теоремы Байеса и входящих в формулировку этой теоремы «априорных» распределений вероятностей.

Например, если результат измерения £ величины а имеет нормальное распределение (см.) вероятностей

(1)

то, по Фишеру, после того как результат измерения становится известным, величина а получает «доверительное» (фидуциальное) распределение вероятностей

Концепция Фишера основана на принципиальной ошибке: на самом деле результат отдельного измерения или вообще данной группы наблюдений никогда не может быть полностью оторван от предшествующего запаса наших знаний; теорема Байеса дает правильное математическое выражение влияния на оценку результата наблюдений этих предварительных сведений (см. по этому поводу статью С. Н. Бернштейна «О “доверительных” вероятностях Фишера» в «Известиях Академии наук СССР. Серия математическая», 1941, т. 5, стр. 85-94). От понятия «Д. в.» данного конкретного статистического вывода следует отличать понятие уровня значимости (см.) статистического правила. Например, в предположении (1) правило, в силу которого каждый раз, когда получают результат измерения, принимают, что а лежит в пределах

(2)

имеет уровень значимости а = 0.0035, так как, каково бы ни было а, безусловная (до измерения) вероятность того, что после измерения окажутся выполненными неравенства (2), равна а. Дополнительную величину 1 — а к уровню значимости

40 БСЭ-2, т. 14. - С. 616-617.

называют иногда «коэффициентом надежности» или «коэффициентом доверия» статистического правила.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ГРАНИЦЫ41 для величины 0, соответствующие данному уровню значимости а, — такие функции 0i(£i,£2, • • • >£п) и 02(£ъ £г>..., £п) от наблюдаемых величин Çi, • • • i £п> чт0 ПРИ любом «допустимом» распределении вероятностей неравенства

нарушаются с вероятностью а (и, следовательно, выполняются с вероятностью 1 — а). Подробнее см. Математическая статистика и Уровень значимости.

ДОСТАТОЧНАЯ СТАТИСТИКА42 (в математической статистике) — такая функция от наблюденных величин, которая содержит в себе всю информацию (см., т. 51) о подлежащих оценке параметрах, содержащуюся в этих величинах. Пусть, например, для оценки величины а производится п наблюдений и г-е наблюдение дает результат

где ошибки öi независимы и нормально распределены (см. Нормальное распределение) с математическим ожиданием

и дисперсией

причем а предполагается известным. В этом случае достаточной статистикой является среднее арифметическое

т. е. вся информация относительно неизвестной величины а, содержащаяся в совокупности результатов наблюдений Х\,Х2,... ,#п, содержится уже в указании одного числа х. Если дисперсия а2 не известна заранее, то вся информация относительно двух параметров а и а2, содержащаяся в совокупности наблюдений Х\,Х2, • • • ,#п> содержится в совокупности двух «статистик» X и

41 БСЭ-2. - 1952. - Т. 14. - С. 617.

42 БСЭ-2. - 1958. - Т. 51. - С. 106.

Понятие Д. с. было введено в науку в явной форме английским статистиком Р. Фишером (1921).

Лит.: Дунин-Барковский И. В., Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика в технике (Общая часть), М., 1955 (гл. 5, §3); Колмогоров А. Н., Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений, «Известия Академии наук СССР. Серия математическая», 1943, т. 6, стр. 3-32; Дынкин Е. Б., Необходимые и достаточные статистики для семейства распределений вероятностей, «Успехи математических наук», 1951, т. 6, вып. 1, стр. 68-90.

ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ43 служат для записи математических понятий, предложений и выкладок. Например, понятие «квадратный корень из числа, равного отношению длины окружности к ее диаметру» обозначается кратко у/тг, а предложение «отношение длины окружности к ее диаметру больше, чем три и десять семьдесят первых, и меньше, чем три и одна седьмая» записывается в виде:

О роли З. м. и важности точного определения их смысла русский математик Н. И. Лобачевский писал: «Подобно тому, как дар слова обогащает нас мнениями других, так язык математических знаков служит средством еще более совершенным, более точным и ясным, чтобы один передавал другому понятия, которые он приобрел, истину, которую он постигнул, и зависимость между всеми частями, которую он открыл. Но так же, как мнения могут казаться ложно от того, что разумеют иначе слова, так всякое суждение в математике останавливается, как скоро перестаем понимать под знаком то, что оно собственно представляет» (Лобачевский Н. И., Наставления учителям математики в гимназиях, см. Труды Института истории естествознания, т. 2, 1948, с. 555-556).

Роль употребления З. м. отнюдь не сводится к большей краткости символической записи математических предложений по сравнению с их словесным выражением. Только на основе разработанной системы З. м. стало возможным создание математических «исчислений», в которых математические умозаключения заменяются производимыми по определенным формальным правилам выкладками. Ф. Энгельс подчеркивал различие между математическими исчислениями и обычными логическими умозаключениями, говоря о «забавном смешении» «математических действий, допускающих материальное доказательство, проверку, — так как они основаны на непосредственном материальном созерцании, хотя и абстрактном, — с такими чисто логическими действиями, которые допускают лишь доказательство путем умозаключения» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1951, с. 318).

43 БСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 115-119 (совм. с И. Г. Башмаковой и А. П. Юшкевичем).

Приобретая известную самостоятельность в качестве материальных объектов, доступных непосредственному созерцанию, З. м. становятся незаменимым орудием также и творческого математического исследования. Справедливо говорят о важности развития своеобразной интуиции, направляющей выкладки к скорейшему получению решения поставленной задачи (в школьной практике — разложение на множители, решение систем уравнений и т. п.). С другой стороны, в тех случаях, когда исчисление предписывает для решения данной задачи строго определенную последовательность выкладок, т. е. является математическим алгоритмом (см.*), эти выкладки могут быть частично или полностью автоматизированы. Таким образом, создание разработанной системы З. м. является необходимой предпосылкой для возникновения «машинной математики», начавшейся с употребления приборов, подобных обыкновенным русским счетам, и получившей огромное развитие в последние годы.

Развитие математической символики было тесно связано с общим развитием понятий и методов математики. Первыми З. м. были знаки для изображения чисел — цифры (см.), возникновение которых, по-видимому, предшествовало введению письменности. Наиболее древние системы нумерации — вавилонская и египетская — возникли еще за 3^ тысячелетия до н. э.

Первые З. м. для произвольных величин появились много позднее (начиная с 5-4 вв. до н. э.) в Греции. Произвольные величины (площади, объемы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух произвольных однородных величин — в виде прямоугольника, построенного на соответствующих отрезках. В «Началах» Эвклида величины обозначаются двумя буквами — начальной и конечной буквами соответствующего отрезка AB и АГ и т. п., а иногда и одной. У Архимеда последний способ обозначения становится обычным. Подобное обозначение содержало в себе возможности развития буквенного исчисления. Однако в классической античной математике над буквами никакие операции не производились, а буквенное исчисление создано не было.

Начатки буквенного обозначения и исчисления возникают в позднеэллинистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометрической формы. Александрийский математик Диофант (вероятно, 3 в.) обозначал неизвестную (х) и ее степени следующими знаками:

(δν — от греч. термина δύναμισ, обозначавшего квадрат неизвестной, ну — от греч. κύβοσ. Справа от неизвестной или ее степеней Диофант писал

коэффициенты, например Зх5 обозначалось ôxirj (где 7 = 3). Для обозначения сложения Диофант приписывал слагаемые друг к другу, для обозначения вычитания употреблял специальный знак Д ; равенство Диофант обозначал буквой i (от греч. igog — равный). Например, уравнение

в обозначениях Диофанта запишется так:

(здесь (2 = 1,7/ = 8, ё = 5, а pfä означает, что единица а не имеет множителя в виде степени неизвестного).

Несколько веков спустя индийцы, разрабатывавшие числовую алгебру, ввели различные З. м. для обозначения нескольких неизвестных (сокращения наименований цветов, обозначавших неизвестные), квадрата, квадратного корня, вычитаемого числа. Так, запись Брамагупты (7 в.)

(уа — от yavattâvat — неизвестное, va — от varga — квадратное число, ги — от rûpa — данное число, точка над числом означает вычитаемое число) соответствует нашей

Алгебраическая символика индийцев, впрочем, не оказала непосредственного влияния на наши З. м.

Создание современной алгебраической символики относится к 14-17 вв.; оно определялось успехами практической арифметики и учения об уравнениях. В различных странах стихийно появляются З. м. для некоторых действий и для степеней неизвестной величины. Иногда проходят многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удобный для исчисления символ. В конце 15 в. француз Н. Шюке и итальянец Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания р и m (от лат. plus и minus), немецкие математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и —. Еще в 17 в. можно насчитать около десятка З. м. для действия умножения:

Поучительна история знака радикала. Вслед за итальянцем Леонардо Пизанским (1220) многие обозначали (вплоть до 17 в.) квадратный корень знаком R (от лат. radix — корень). Шюке обозначал квадратный, кубический и т. д. корни знаками R2, R3 и т. д. В немецкой рукописи ок.

1480 квадратный корень обозначается точкой перед числом, кубический корень — тремя точками, а корень четвертой степени — двумя точками. У немецкого математика X. Рудольфа в 1525 корень уже обозначается у/. Для обозначения корней высших степеней различные ученые то пишут этот знак несколько раз подряд, то ставят после него букву — сокращение наименования показателя, то соответствующую цифру в кружке или с круглой или квадратной скобкой, чтобы отделить ее от подрадикального числа (горизонтальную черту над подрадикальным выражением ввел в 1637 французский ученый Р. Декарт), и лишь в начале 18 в. входит в обиход запись показателя корня вверху над отверстием знака радикала, встречающаяся ранее у голландского математика А. Жирара (1629). Таким образом, эволюция знака радикала растянулась почти на пятьсот лет.

Весьма различны были З. м. неизвестной и ее степеней. В 16 и начале 17 вв. конкурировало более десяти обозначений для одного только квадрата неизвестной, например, се (от census — лат. термин, служивший переводом греч. δύναμισ), Q (от quadratum), Ъ, τ , А(2), Α11, αα, α2 и т. д. Наше уравнение

имело бы у итальянского математика Дж. Кардано (1545) вид:

(cubus — куб, positio — неизвестная, œquantur — равно); у немецкого математика М. Штифеля (1544):

— куб неизвестной,

неизвестная; у итальянского математика Р. Бомбелли (1572):

куб неизвестной,

неизвестная;

- равно) ; у французского математика Ф. Виета (1591):

(С — cubus — куб, N — numerus — число); у английского математика Т. Гарриота (1631):

В 16 и начале 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли, 1550), круглые (Н. Тарталья, 1556), фигурные (Ф. Виет, 1593).

Крупнейшим шагом вперед в развитии математической символики явилось введение Виетом (1591) З. м. для произвольных постоянных величин в виде прописных согласных букв латинского алфавита В, D, что дало ему возможность впервые записывать алгебраические уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать с ними. Неизвестные Виет обозначал гласными прописными буквами А, Е,.. .Так, например, запись Виета

[cubus — куб, planus — плоский, т. е. В — двумерная величина; solidus — телесный (трехмерный), размерность отмечалась для того, чтобы все члены были однородны] в наших символах выглядит так:

Виет явился творцом алгебраических формул. Декарт в 1637 придал знакам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними буквами латинского алфавита я, у, z, а произвольные данные величины — начальными буквами а, Ь, с. Ему же принадлежит нынешнее обозначение степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.

Дальнейшее развитие З. м. было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого почва была уже в большой мере подготовлена в алгебре.

Английский ученый И. Ньютон в своем методе флюксий и флюент (1666 и следующие годы) ввел знаки для последовательных флюксий (производных) величины x в виде £, ж, х и для бесконечно малого приращения о. Несколько ранее английский математик Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности оо.

Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является немецкий ученый Г. Лейбниц. Он первый ясно понял огромное значение З. м. и старался найти наиболее удобные символы для понятий математики: здесь мы видим переход от более или менее стихийного введения З. м. к их сознательному и планомерному созданию. «Общее искусство знаков, или искусство обозначения, — писал Лейбниц, — представляет чудесное пособие, так как оно разгружает воображение... Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это большей частью бывает, когда обозначения коротко выражают и как бы отображают интимнейшую сущность вещей. Тогда поразительным

образом сокращается работа мысли... » (цит. по журналу «Успехи математических наук», т. 3, вып. 1, 1948, с. 155-156). Лейбницу, в частности, принадлежат употребляемые ныне З. м. дифференциалов

и интеграла

Следует подчеркнуть принципиальное преимущество знака интеграла, данного Лейбницем, перед предложенным Ньютоном знаком 'х. В знаке Лейбница f ydx, отражающем самый процесс построения интегральной суммы (см. Интегральное исчисление), явно указана и интегрируемая функция и переменная интегрирования. Благодаря этому знак fydx годится и для записи формул замены переменных и легко может быть использован для записи кратных и криволинейных интегралов. Знак Ньютона 'х таких возможностей непосредственно не предоставляет. Аналогично обстоит дело с лейбницевыми знаками дифференциалов и ньютоновыми знаками флюксий и бесконечно малого приращения.

Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежит русскому академику Л. Эйлеру. Он ввел в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f(x) (от лат. functio — функция, 1734). Несколько ранее знак φχ был применен И. Бернулли (1718). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание натуральных логарифмов, 1736), π (вероятно, от греч. περιφέρεια — окружность, периферия, 1736), мнимой единицы г = у/—\ (от франц. imaginaire — мнимый, 1777, опубликовано в 1794), которые стали общеупотребительны.

В 19 в. роль символики еще более возрастает и, наряду с созданием новых З. м., математики стремятся к стандартизации основных символов. Некоторые широко употребительные ныне З. м. появляются лишь в это время: знак абсолютной величины \х\ (К. Вейерштрасс, 1841), вектора г (О. Коши, 1853), определителя | Ц Ц | (А. Кэли, 1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., например, тензорное исчисление (см.), не могли быть развиты без подходящей символики. Характерно при этом увеличение удельного веса З. м. для отношений, например, сравнимости = (К. Гаусс, 1801), принадлежности g, изоморфизма =, эквивалентности ~ и т. д. Знаки переменных отношений появляются с развитием математической логики, особенно широко применяющей З. м.

Наряду с указанным процессом стандартизации З. м. в современной литературе весьма часто можно встретить З. м., используемые отдельными авторами только в пределах данного исследования.

С точки зрения современной математической логики среди З. м. можно наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание лишь тогда, когда указано, какие числа складываются: запись 1 + 3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определенное содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. Такого рода комбинация знаков называется формулой. Формулы выражают суждения (утверждения), которые могут быть истинными или ложными. Например, неравенство 1 + 1 < 3 истинно, а неравенство 1 + 3 < 4 ложно.

К указанным трем основным группам З. м. примыкает еще четвертая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства арифметических действий.

Знаки каждой из трех групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определенных объектов, операций и отношений, 2) общие знаки «переменных», или «неизвестных», объектов, операций и отношений. Примерами знаков первого рода могут служить (см. также таблицу на с. 163):

Ai) Обозначения натуральных чисел

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

трансцендентных чисел е и 7г; мнимой единицы i = \/^Л и т. п.

Бх) Знаки арифметических действий +,—,-, х, :, извлечения корня >/“"”, дифференцирования gg, оператора Лапласа

Сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т. п.

Bi) Знаки равенства и неравенства = ,>,<, ф, знаки параллельности || и перпендикулярности 1 и т. п.

Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определенного класса или объекты, операции и отношения, подчиненные каким-либо заранее оговоренным условиям. Например, при записи тождества

Таблица

Даты возникновения некоторых математических знаков

Знак

Значение

Кто ввел

Когда введен

Знаки индивидуальных объектов

00

бесконечность

Дж. Валлис

1655

е

основание натуральных логарифмов

Л. Эйлер

1736

отношение длины окружности к диаметру

У. Джонс Л. Эйлер

1706 1736

г

корень квадратный из —1

Л. Эйлер

1777 (в печати 1794)

h 3, к

единичные векторы, орты

У. Гамильтон

1853

Що)

угол параллельности

Н. И. Лобачевский

1835

Знаки переменных объектов

X, у, z

неизвестные или переменные величины

Р. Декарт

1637

г

вектор

О. Коши

1853

Знаки индивидуальных операций

+

сложение

немецкие

конец 15 в.

-

вычитание

математики

X

умножение

У. Оутред

1631

умножение

Г. Лейбниц

1698

деление

Г. Лейбниц

1684

а2, а3,... ап

степени

Р. Декарт

1637

И. Ньютон

1676

\[ä, у/а

корни

X. Рудольф А. Жирар

1525 1629

Log

логарифм

И. Кеплер

1624

log

логарифм

Б. Кавальери

1632

sin

синус

Л. Эйлер

1748

cos

косинус

Л. Эйлер

1748

tg

тангенс

Л. Эйлер

1753

arc. sin

арксинус

Ж. Лагранж

1772

Sh

гиперболический синус

В. Риккати

1757

Ch

гиперболический косинус

В. Риккати

1757

Таблица (продолжение)

Знак

Значение

Кто ввел

Когда введен

dx,ddx d2x, d3x

дифференциалы

Г. Лейбниц

1675 (в печати 1684)

fydx

интеграл

Г. Лейбниц

1675 (в печати 1686)

j_

dx

fx

y'

fix)

производная производная

Г. Лейбниц Ж. Лагранж

1675 1770,1779

Ax

разность

Л. Эйлер

1755

д

частная производная

А. Лежандр

1786

b

la fix)

определенный интеграл

Ж. Фурье

1819-22

£

сумма

Л. Эйлер

1755

П

произведение

К. Гаусс

1812

!

факториал

X. Крамп

1808

M

модуль

К. Вейерштрасс С. Люилье

1841 1786

lim limn=oo

предел

У. Гамильтон многие математики

1853 начало 20 в.

С

дзета-функция

Б. Риман

1857

Г

гамма-функция

А. Лежандр

1808

В

бета-функция

Ж. Бине

1839

д

дельта (оператор Лапласа)

Р. Мёрфи

1833

V

набла (оператор Гамильтона)

У. Гамильтон

1853

Знаки переменных операций

<рх

функция

И. Бернулли

1718

fix)

функция

Л. Эйлер

1734

Знаки индивидуальных отношений

=

равенство

Р. Рекорд

1557

>

больше

Т. Гарриот

1631

<

меньше

Т. Гарриот

1631

ЕЕ

сравнимость

К. Гаусс

1801

II

параллельность

У. Оутред

1677 (в посмертном издании)

перпендикулярность

П. Эригон

1634

буквы а и Ъ обозначают произвольные числа; при изучении функциональной зависимости

буквы X и у изображают произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения

X обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаем, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и —1).

С логической точки зрения вполне законно все такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математической логике, не пугаясь того обстоятельства, что «область изменения» переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже «пустой» (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:

а2) Обозначение точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии.

б2) Обозначения /, F, <р для функций и обозначения операторного исчисления (см.), когда одной буквой L обозначают, например, произвольный оператор вида:

Что касается обозначений для «переменных отношений», то они менее распространены, находя применение лишь в математической логике и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических математических исследованиях.

В математической логике для обозначения индивидуальных отношений употребляют знаки, похожие на знаки функций от нескольких переменных. Например, вместо X = у пишут Е(х,у)\ вместо х + у = z пишут S(x,y,z). Такие знаки называют знаками «логических функций». Логические функции одного аргумента обозначают свойство этого объекта. Например, чтобы сказать, что «х есть натуральное число», пишут N(x).

Общие знаки для переменных отношений появляются поэтому в математической логике в виде знаков «функциональных переменных». Например, рассматривая F(x, у) как общий знак отношения между двумя объектами х и у («логической функции двух переменных»), говорят, что отношение F(x,y) «транзитивно», если для любых х, у, z, для которых F(x, у) и F (у, z), имеет место и отношение F(x, z). В символах это определение транзитивности отношения F можно записать так:

здесь знак (х) обозначает «для всех х».

Там, где речь идет об автоматическом применении для решения задачи определенного типа точно установленного алгоритма, в современной вычислительной практике, как правило, совсем или почти совсем избегают употребления слов обычного языка, так как они лишь напрасно загромождали бы вычисления. Принципиальная возможность путем введения надлежащих знаков логических операций записывать чисто символически содержание целых математических теорий имеет большое значение при логическом анализе строения этих теорий (см. по этому поводу Логика математическая). Однако при изложении математической теории для выражения хода своих умозаключений математики широко пользуются обычным языком. Комбинирование хорошо построенных предложений обычного языка с символическими обозначениями и формулами является основной проблемой стиля изложения математических сочинений. Только при такой комбинации краткость изложения удается соединить с отчетливым выделением существенных, руководящих идей математических доказательств. Широко пропагандировавшийся на границе 19 и 20 вв. представителями так называемой логистики (см.) перевод всего изложения конкретных математических теорий на «язык» математических и логических символов без употребления обычных слов успеха не имел.

Лит.: Cajori F., A history of mathematical notations, v. 1-2, Chicago, 1928-29.

ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ44 в приближенных вычислениях — все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Например, если измерение произведено с точностью до 0.0001 и дало результат 0.0320, то 3. ц. будут 3, 2 и 0. Подробнее см. Приближенные вычисления.

ИЗМЕРЕНИЕ.45 В математической теории И. отвлекаются от ограниченной точности физических И. Задача И. величины Q при помощи единицы меры U состоит в нахождении числового множителя q в равенстве

(1)

при этом Q и U считаются положительными скалярными величинами одного и того же рода (см.* Величина), а множитель q — положительное действительное число, которое может быть как рациональным, так и иррациональным. Для рационального q = т/п {тип — натуральные числа) равенство (1) имеет весьма простой смысл: оно означает, что существует такая величина V (n-я доля от С/), которая, будучи взята слагаемым п раз, дает U, будучи же взята слагаемым m раз, дает Q:

44 БСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 135.

45 А. Н. Колмогоровым написана часть статьи, касающаяся измерений в математической теории: БСЭ-3. - 1972. - Т. 10. - Стлб. 221-222.

В этом случае величины Q и U называются соизмеримыми. Для несоизмеримых величин U и Q множитель q иррационален (например, равен числу 7г, если Q есть длина окружности, a U — ее диаметр). В этом случае самое определение смысла равенства (1) несколько сложнее. Можно определить его так: равенство (1) обозначает, что для любого рационального числа г

(2)

Достаточно потребовать, чтобы условие (2) выполнялось для всех десятичных приближений к g по недостатку и по избытку. Следует отметить, что исторически само понятие иррационального числа возникло из задачи И., так что первоначальная задача в случае несоизмеримых величин заключалась собственно не в том, чтобы определить смысл равенства (1), исходя из готовой теории действительных чисел, а в том, чтобы установить смысл символа q, отображающего результат сравнения величины Q с единицей меры U. Например, по определению немецкого математика Р. Дедекинда, иррациональное число есть «сечение» в системе рациональных чисел. Такое сечение и появляется естественно при сравнении двух несоизмеримых величин Q и U. По отношению к этим величинам все рациональные числа разделяются на два класса: класс R\ рациональных чисел г, для которых Q > rU, и класс i?2 рациональных чисел г, для которых Q < rU.

Большое значение имеет приближенное И. величин при помощи рациональных чисел. Ошибка приближенного равенства Q w rU равна Д = (г — q)U. Естественно искать такие г = т/п, для которых ошибка меньше, чем при любом числе г' = т!/п' с знаменателем п' < п. Такого рода приближения доставляются подходящими дробями гх,Г2,гз,... к числу g, которые находятся при помощи теории непрерывных дробей. Например, для длины окружности 5, измеряемой диаметром С/, приближения таковы:

и т. д.; для длины года Q, измеряемой сутками С/, приближения таковы:

ИЗОМОРФИЗМ46 [от изо... (см.) и греч. μορφέ — форма] — одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы, кольца, поля (см.) и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения и области возможных применений каждого раздела математики.

46 БСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 478-479; совм. с В. И. Битюцковым.

Понятие «И.» относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему R всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения х = х\ + Х2 и систему Р положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения у = 2/12/2-Можно показать, что внутреннее «устройство» этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для этого достаточно систему R отобразить на систему Р, поставив в соответствие числу х из R число у = ах (а > 1) из Р. Тогда сумме х = х\+Х2 будет соответствовать произведение у = у\у2 чисел 2/1 = aXl и 2/2 = аХ2> соответствующих х\ и Х2. Обратное отображение Р на R имеет при этом вид х = loga у. Из любого предложения, относящегося к сложению чисел системы Я, можно извлечь соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы Р. Например, если в R сумма

членов арифметической прогрессии выражается формулой

то в Р произведение

членов геометрической прогрессии выражается формулой

(умножению на п в системе R соответствует при переходе к системе Р возведение в n-ю степень, а делению на два — извлечение квадратного корня).

Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (а с абстрактно-математической точки зрения, как будет видно далее, — полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов

изоморфную системе 5, можно рассматривать как «модель» системы S и сводить изучение самых разнообразных свойств системы S к изучению свойств «модели» S'. Полезно сравнить употребление в математике кажущегося несколько отвлеченным понятия И. с методом «моделирования» физических явлений, широко применяемым в физике, механике и технике.

В виде дополнительного примера И. рассмотрим группу (см.) G вращений трехмерного пространства вокруг неподвижной точки О, понимая под произведением и = ш\и)2 двух вращений ш\ и о>2 результат их последовательного осуществления: сначала вращения о>2> а потом вращения ui, и группу G' ортогональных

матриц (см.) третьего порядка

с определителем \А\, равным +1, и обычным законом умножения матриц. «Устройство» этих групп одинаково, так как, введя в пространстве прямоугольную систему координат с началом в точке О, любое вращение и) можно записать в виде

с ортогональной матрицей коэффициентов Ца^Ц и определителем |а^| = +1. Если вращению и поставить в соответствие матрицу Ца^-Ц, то для трех вращений, связанных соотношением и = Ш\и2, соответствующие им матрицы связаны соотношением А = А1А2. При этом соответствии каждому свойству элементов группы G отвечает некоторое свойство элементов группы С, например, подгруппе группы G, содержащей вращения вокруг оси Ог, соответствует подгруппа матриц третьего порядка, имеющих вид

Общее определение И. систем объектов с заданными на них в конечном числе отношениями между постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две системы объектов S и S", причем в первой определены отношения

а во второй — отношения

Системы S и S' с указанными в них отношениями называются изоморфными, если их можно поставить в такое взаимно-однозначное соответствие

(где x — произвольный элемент 5, а х' — произвольный элемент S'), что из наличия Fk(x\)X2) - •.) вытекает F^x^x^ •. .)> и наоборот. Само указанное соответствие называется при этом изоморфным отображением или изоморфизмом. [В приведенном выше примере в системе R определено отношение

F{x,x\,x2), где X = x\ + x2, в системе P — отношение F;(y,yi,y2)j где У = 2/12/2) взаимно-однозначное соответствие устанавливается по формулам у = ах, x = logay.]

Понятие «И.» возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу. Это обстоятельство выражают, говоря, что теория групп изучает группы «с точностью до изоморфизма». Это в такой мере правильно, что в «абстрактной» теории групп две изоморфные группы часто считают просто тождественными. Например, когда говорят, что для любого простого р существует «только одна» группа порядка р, то это значит, что все группы порядка р изоморфны.

Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: построенная аксиоматически математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима и к другой (см. об этом в статьях Аксиома*, Математика*). Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много «интерпретаций», или «моделей» [см. по этому поводу, например, в статье Геометрия раздел VI (истолкования геометрии)].

Понятие «И.» включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма (см.*), играющее основную роль в топологии (см.).

Частным случаем И. является автоморфизм — взаимно-однозначное отображение

системы объектов с заданными отношениями Fk(xi, Х2, · · ·) на самое себя, при котором из Fk(xi,X2, · · ·) вытекает F^x'^x^ · · ·)> и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 3 изд., М.-Л., 1952; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М.-Л., 1951.

ИЗОТРОПНЫЕ ПРЯМЫЕ47 [от изо... (см.) и греч. τρόποσ - поворот, направление] (на плоскости) — прямые, уравнение которых имеет в прямоугольной системе координат вид

где г = у/—1. Очевидно, что рассмотрение таких прямых имеет смысл только в геометрии комплексной плоскости, в которой координаты точки (я, у) могут принимать комплексные значения. И. п. характеризуются тем, что расстояние между двумя точками, принадлежащими одной и той же И. п.,

47 БСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 509.

равно нулю. Через каждую точку (хо,уо) проходят две И. п., имеющие уравнения

Эти две прямые являются асимптотами всех окружностей, имеющих точку (хо, уо) своим центром. Если комплексную плоскость дополнить бесконечно удаленными элементами, то среди ее бесконечно удаленных точек появляются две круговые точки (см.). И. п. можно определить как прямую, проходящую через одну из круговых точек.

В трехмерном пространстве через каждую точку проходит бесконечно много И. п.; их можно определить как прямые, проходящие через точки, лежащие на сферической (или изотропной) окружности, определяемой в однородных координатах уравнениями

ИМЕНОВАННОЕ ЧИСЛО48 - выражение величины (см.*) А в виде

(1)

где Ai, Аг,..., Ат — величины (того же рода, что и А), выбранные в качестве единиц измерения. Например, если длина А равна 3 м 67 см, то, обозначая длину в один метр через Ai, а длину в один сантиметр через л2, имеем

И. ч. называется простым, если в него входит только одна единица измерения, и составным, если в него входят несколько единиц измерения. Например, И. ч. «3 м 67 см» является составным, но равное ему И. ч. «367 см» — простым.

В школьном курсе арифметики занимают некоторое место упражнения в преобразовании И. ч. в другие равные им И. ч. Обычно система единиц измерения выбирается так, что отношения

являются целыми числами. Преобразование составного И. ч. (1) в простое И. ч. аАт называется раздроблением. Например, И. ч. «3 суток 17 часов

48 БСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 557.

37 минут» преобразуется раздроблением в простое И. ч. «5 377 минут». Обратное преобразование называется превращением.

Множители щ, П2,..., пт в выражении (1) являются обычными отвлеченными числами. Таким образом, по существу во всем вышеизложенном мы имели дело только с двумя видами объектов: величинами какого-либо определенного рода (с длинами в первом примере и с промежутками времени во втором примере) и отвлеченными числами. Термин «И. ч.» является лишь удобным для школьной практики наименованием определенного способа выражения величин в той или иной системе мер.

ИНДУКЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ49 - весьма общий способ математических доказательств и определений.

Индуктивные доказательства основаны на так называемом принципе И. м., являющемся одной из основных математических аксиом. Пусть, например, требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа п формулу:

(1)

При п = 1 эта формула дает: 1 = I2. Чтобы доказать правильность формулы при любом п, допускают, что ее уже удалось доказать для некоторого определенного числа 7V, т. е. предполагают, что

(2)

Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, т. е. для п = N + 1. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) еще одно слагаемое: (2N + 1); тогда и правая часть равенства должна тоже увеличиться на (2N + 1) и, следовательно,

Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить п на Я + 1.

Итак, из справедливости формулы (1) при п = N вытекает (каково бы ни было N) ее правильность и при п = N + 1. Но при п = 1 формула (1) верна, следовательно, она верна также и при п = 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1 ит. д. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе п. Как ни очевидна заключительная часть приведенного рассуждения, она опирается на некоторую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но

49 БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 146-147.

выражающую одно из основных свойств натуральных чисел. Общая формулировка этой аксиомы такова.

Принцип И. м. Пусть: 1) число единица обладает свойством Л; 2) из того, что какое-либо натуральное число п обладает свойством Д вытекает, что и число п + 1 обладает свойством А. При этих условиях любое натуральное число обладает свойством А.

В разобранном выше примере свойство А числа п выражается так: «для числа п справедливо равенство (1)». Если принцип И. м. принят в качестве аксиомы, то каждое отдельное доказательство, опирающееся на этот принцип, следует уже рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [например, формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, так как одна из посылок (сам принцип И. м.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.

Принцип И. м., сформулированный выше, служит, как было показано, для доказательства математических теорем. Помимо этого, в математике употребляются еще так называемые индуктивные определения. Таково, например, следующее определение членов ип геометрической прогрессии с первым членом а и знаменателем q:

1)

2)

Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии ип для всех натуральных чисел п. Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на принципе И. м.; в данном случае можно, однако, непосредственно получить выражение ип через п: ип = aqn~l.

Принцип И. м. можно заменить равносильными ему предложениями, например, таким: если подмножество 971 множества всех натуральных чисел 91 содержит 1 и вместе с любым своим элементом m содержит и m + 1, то Ш = 91.

Обобщением принципа И. м. является принцип трансфинитной индукции (см. Трансфинитные числа). Интересный аналог принципа И. м. для свойств А(х) действительных чисел дан советским математиком А. Я. Хинчиным. Пусть про свойство А(х) известно, что: 1) А(х) верно для всех достаточно малых х: 0^х<5; 2) если А(х) верно для всех х < X (х > 0), то А(х) верно и для всех х < X 4- е (х ^ 0), где € — положительное число, зависящее от Л.

В силу принципа, установленного Хинчиным, из 1) и 2) вытекает, что свойством А(х) обладают все действительные числа х ^ 0.

Лит.: Соминский И. С, Метод математической индукции, M.-Л., 1950; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 1, М.-Л., 1951.

ИНТЕГРАЛ50 (от лат. integer — целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определенные И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Неопределенный интеграл. Первообразная функции f(x) одного действительного переменного — функция F(x), производная которой при каждом значении х равна f(x). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F(x) функции /(х), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F(x) + С. Это общее выражение первообразных называют неопределенным интегралом:

функции f(x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f(x) действительного переменного имеет неопределенный И.

Определенный интеграл. Определенный И. функции f(x) с нижним пределом а и верхним пределом Ь можно определить как разность

(1)

где F(x) есть первообразная функции f(x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определенного И. Если функция f{x) непрерывна, то приведенное определение в случае а < Ъ равносильно следующему определению, данному О. Коши (1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [а, Ь] точками

(2)

в каждом отрезке [xi-b^i] (i = 1,2,...,п) берут произвольную точку & (xi-i ^ £ ^ xi) и образуют сумму

(3)

50 Печатается по изданию: БСЭ-3. - 1972. - Т. 10. - С. 300-302. - Стлб. 887-892. См. также: БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 250-253 (совм. с В. И. Гливенко).

Сумма Sn зависит от выбора точек и ^. Однако в случае непрерывной функции f(x) суммы Sn, получающиеся при различном выборе точек х\ и стремятся к вполне определенному пределу, если максимальная из разностей Х{ — Х{-\ стремится к нулю при п —► оо. Этот предел и является определенным интегралом

По определению,

Определенный И., как указано выше, выражается через любую первообразную F(x). Обратно, первообразная F(x) может быть записана в виде

(4)

где а — произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в виде

(5)

О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определенных И. см. Интегральное исчисление.

Обобщение понятия интеграла

Интеграл Римана. О. Коши применял свое определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом

(6)

предел сумм Sn при тах(х{ — —» 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определен, предложил Б. Риман (1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введенным им понятием меры множества (см. Меры теория). Для интегрируемости в смысле Римана функции f(x) на [а, Ь] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f(x) ограничена на [a, ft], множество помещающихся на [a, ft] точек разрыва функции f(x) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [а, Ь] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.

Неопределенный И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная F{x) не обязана иметь подынтегральную функцию f(x) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности /(я), т.е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет

(7)

Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)

где Мк — верхняя грань функции f(x) отрезке [rrfc_i,Xfc], а — нижняя грань /(#) на том же отрезке. Если / — нижняя грань сумм 5, а / — верхняя грань сумм 5, то для существования интеграла Римана необходимо и достаточно условие J = /. Общее значение I = I = £ величин / и/ и является интегралом Римана (6). Сами величины 7 и J называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу.

Интеграл Лебега. Введенное Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (6), Лебег делит точками

область возможных значений переменного у = f(x) и обозначает Mi множество тех точек х из отрезка [а, Ь], для которых

Сумма S определяется равенством

где гц берется из отрезка у{-\ < гц < у*, a fi(Mi) обозначает меру множества М{. Функция f(x) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [a, ft], если ряды, определяющие суммы 5, абсолютно сходятся при тах(уг — Уг-i) —* 0. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функцию F(x),

удовлетворяющую равенству (4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.

Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.

Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида

После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов.

Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера-Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд

для которого

представляет функцию /(ж), порождающую коэффициенты ап и Ъп по формулам

где И. понимаются в смысле Лебега.

Интеграл Стилтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (1894). Пусть f(x) — непрерывная функция действительного переменного X, определенная на отрезке [а, Ь], и U(x) — определенная на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2) отрезка [а, Ь] и составляют сумму

где £ь£2> • • • >£п — произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [хо, [xi, а?2], • • -î [^п-ъ хп\- Пусть S — наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой ö стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определенный, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки £ь£2> • • • >£п на соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функции f(x) относительно функции U(x) и обозначают символом

(9)

Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функция U(х), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций U\[x) и U2(x):

т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции).

Если интегрирующая функция U(x) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную U'(x), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле

В частности, когда U(x) = х + С, интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).

Дальнейшие обобщения. Концепции И., розданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование

по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамических систем, привели к еще более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. Пусть X — пространство, в котором выделена определенная система В его подмножеств, называемых «измеримыми», причем эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счетном числе. Пусть // — конечная мера, заданная на В. Для В-измеримой функции у = /(#), xGl, принимающей конечное или счетное число значений yi, да,..., Уп> • • •) соответственно на попарно непересекающихся множествах Ai,..., An,..., сумма которых есть X, интеграл функции f(x) по мере \х, обозначаемый

определяется как сумма ряда

в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для других / интегрируемость и И. определяются путем некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций.

Пусть А — измеримое множество и </?л(х) = 1 для х, принадлежащих А, и ipa(x) = 0 для X, не принадлежащих А. Тогда интеграл от f(x) по множеству А определяют, полагая

При фиксированных \i и А И. в зависимости от / может рассматриваться как линейный функционал; при фиксированном / И., как функция множества А, есть счетно аддитивная функция.

Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлеченность, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным ее аналогам используют в статистической физике (здесь в качестве X фигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся

до сих пор обобщения понятия И. были такими, что / и |/| оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.

Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Еще Коши в случае функции /(я), неограниченной в точке х = с, определил интеграл

когда а < с < Ь, как предел выражения

при ei —> 0, 62 —> 0. Аналогично И. с бесконечными пределами определяется как предел И.

при а —> —оо и b —> +00. Если при этом не требуется интегрируемости т.е. f(x) интегрируема «не абсолютно», то это определение Коши не поглощается лебеговским.

Еще более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным (1915).

Лит.: Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.-Л., 1934; Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега-Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer H., Geometric measure theory, Berlin-Heidelberg-New York, 1969.

ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТИ51 - интеграл

дающий в случае нормального распределения (см.) вероятность неравенства £ < а + ta, где а — среднее, а а2 — дисперсия случайной величины £.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ52 (в математике) — нахождение значений функции f(x) в точках х, лежащих между точками Х{, если относительно этой

51 БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 253.

52 БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 304-305.

функции известны лишь ее значения yi = f(xi) (г = 0,1,2,..., п) в точках хо < х\ < • • • < хп. В случае, если х лежит вне интервала, заключенного между хо и хп, аналогичная задача называется задачей экстраполяции (см.). При простейшей линейной И. значение f(x) в точке х, удовлетворяющей неравенствам хо < х < х\, принимают равным значению

(1)

линейной функции, совпадающей с f(x) в точках х = #о и х = х\. Задача И. со строго математической точки зрения является неопределенной: если про функцию f(x) ничего не известно, кроме ее значений в точках хо, xi,..., хп, то ее значение в точке я, отличной от всех этих точек, остается совершенно произвольным. Не помогают при этом и общего характера качественные допущения, вроде непрерывности или аналитичности функции f(x). Задача И. приобретает определенный смысл, если функция f(x) или ее производные подчинены некоторым неравенствам. Если, например, заданы значения f(xo) и f(x\) и известно, что при хо < х < х\ выполняется неравенство \ f'{x)\ ^ М, то ошибка формулы (1) может быть оценена при помощи неравенства

Более сложные интерполяционные формулы имеет смысл применять лишь в том случае, если есть уверенность в достаточной «гладкости» функции, т. е. в том, что она обладает достаточным числом не слишком быстро возрастающих производных. Наиболее известна интерполяционная формула Лагранжа:

Ошибка, совершаемая при замене функции f(x) выражением Pn{x), не превышает

где M — максимум абсолютной величины (п + 1)-й производной f^n+1\x) функции f(x) на сегменте [хп,а;п]. Выражение Рп(х) есть не что иное, как единственный многочлен n-й степени, принимающий вп + 1 точках xi заданные значения yi = f(xi). Чаще всего имеют дело с тем случаем, когда

точки Xi расположены на равных расстояниях (xi = хо + ih). В этом случае многочлен Рп(х) можно записать, положив х = хо + th, так (формула Ньютона):

где Ак обозначает разность к-го порядка: Akyi — Ak~~lyi+\ — Ak~lyi. В тех случаях, когда нет возможности оценить остаточный член, не следует увлекаться употреблением интерполяционных многочленов очень высокой степени; если число точек Xi очень велико, то лучше разбить интервал (хо, хп) на части и интерполировать в каждой части отдельно. Если значения yi = f{xi) получены в результате наблюдений и включают в себя ошибки наблюдений, то следует вместо точной И. определить по данным yi многочлен Pk(x) не слишком высокой степени (к < п), мало уклоняющийся в точках Xi от заданных значений, по способу наименьших квадратов (см. Наименьших квадратов способ).

Если в таблице даны значения f(xi) в точках Xi = хо + ih и при определении f(x) предполагается использовать п 4- 1 табличных значений, то целесообразно выбрать для этой цели значения f(x) в точках х^, ..., £fc+n> расположенных так, чтобы X лежало вблизи середины

Формула Ньютона

может быть при отнесении к началу отсчета а записана в более симметричном виде. Это делается по-разному в зависимости от четности п. Если п = 2т, то а = Xfc+m, и, полагая к + m = г, приходят к формуле Стирлинга:

Если п = 2т + 1, то а = хь+т + j/i, и, полагая по-прежнему fc 4- га = г, приходят к формуле Бесселя:

Формулы Стирлинга и Бесселя записываются проще, если пользоваться принятыми в астрономических вычислениях обозначениями центральных разностей (см. Конечных разностей исчисление).

К практической задаче И. примыкает чисто математическая теория сходимости интерполяционных формул к заданной функции при неограниченном увеличении числа точек Х{. См. Приближение и интерполирование функций.

Лит.: Крылов А. Н., Лекции о приближенных вычислениях, 4 изд., Л.-М., 1950; Милн В. Э., Численный анализ, пер. с англ., М., 1951; Стеффенсен Д. Ф., Теория интерполяции, пер. с англ., М.-Л., 1935.

ИНТУИЦИОНИЗМ53 — реакционное субъективно-идеалистическое направление буржуазной философии математики, возглавляемое голландским математиком Л. Брауэром (см.*). И. полностью отрицает познавательную ценность математики, объявляя, что математика будто бы вообще не является наукой, а своеобразной «деятельностью», в основе которой лежит акт воли отдельного человека или «группы людей», направленный на самосохранение и подавление воли других людей. Эта «деятельность» якобы осуществляется при помощи чистой математической «интуиции», ни в какой мере не опирающейся на опыт. Исходя из этих совершенно ложных предпосылок, И. в своих конкретных выводах, относящихся к отдельным разделам математики, приводит к отрицанию лучших достижений математического анализа или к замене простых и ясных классических результатов значительно более сложными и запутанными построениями. Несостоятельной, по Брауэру, оказывается даже обычная элементарная геометрия (статья о противоречивости элементарной геометрии написана Брауэром в 1949).

В 1908 Брауэр получил некоторые результаты, явившиеся одним из исходных пунктов развития конструктивной логики (см. о ней Логика математическая).

53 БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 319.

Так как предложения конструктивной логики настойчиво, хотя и не закономерно, используется Брауэром и его последователями для обоснования философских положений И., то в буржуазной литературе конструктивная логика часто неправильно называется интуиционистской.

ИНФОРМАЦИЯ54 — основное понятие кибернетики (см.*). Можно считать общепонятным представление о том, что наше мышление способно перерабатывать И., содержащуюся в тех или иных «данных», в выводы относительно интересующих нас величин или явлений (например, И., содержащуюся в уравнении х2 = 1, в вывод о том, что х = ±1, или результаты наблюдений сети метеорологических станций за данный день в прогноз погоды на следующий день). В кибернетике такого рода представления обобщаются и принимается, что при любом процессе управления или регулирования, осуществляемом живым организмом (сознательно или бессознательно) или автоматически действующей машиной, происходит переработка содержащейся во «входных сигналах» И. в «выходные сигналы». Теория И. (см. статью Информации теория, 51 т.), возникшая из нужд техники связи, рассматривает электрические импульсы, тире и точки на телеграфной ленте и т. п. объекты как носителей И. Во всех этих случаях можно говорить о количестве И., ее большей или меньшей полноте, надежности и т. п. Вопрос о точном определении самого понятия и смысла различных высказываний об И. возникал и благополучно решался в применении к различным частным случаям с давних пор. Но во всей широте такого рода логические проблемы возникают лишь в кибернетике и теории И.

И. можно рассматривать с точки зрения ее 1) количества, 2) содержания, 3) способа задания.

Пример 1. При задании пятизначного числа в указании его тысяч и сотен содержится столько же И., как и в указании его десятков и единиц, и вдвое больше, чем при указании одних единиц. И., содержащаяся в указании одних единиц, содержится в И., доставляемой указанием единиц и десятков, и составляет по количеству ее половину.

Пример 2. И. относительно неизвестных х и у, доставляемая соотношением

(1)

содержится в И., доставляемой соотношением

(2)

54 БСЭ-2. — 1958. — Т. 51. — С. 129-130. Перепеч.: Вероятность и математическая статистика: энциклопедия. — 1999. — С. 882-883.

[так как из (2) вытекает (1)], но не совпадает с ней [так как уравнения (1) и (2) не равносильны]. И., содержащаяся в соотношениях (2) и

(3)

совпадает с информацией, даваемой равенствами

(4)

[так как система уравнений (2)-(3) равносильна системе (4)]. И., содержащиеся в системах (2)-(3) и (4), отличаются только по форме задания.

Более сложные вопросы относительно условий совпадения по содержанию И., доставляемой различными данными, возникли в математической статистике и были в основном решены английским статистиком Р. Фишером (1921). Статистика имеет дело с большим числом результатов наблюдений и обычно заменяет их полное перечисление указанием некоторых «свободных характеристик». Иногда при такой замене происходит «потеря И.», но при некоторых условиях сводные характеристики содержат всю И., содержащуюся в полных данных. В этом случае сводные характеристики образуют систему достаточных статистик (см.* т. 51) задачи.

Первые отчетливые предложения об общих способах измерения количества И. принадлежат, по-видимому, Р. Фишеру (в связи с вопросами математической статистики) и Р. Хартли (в связи с вопросами хранения И. в запоминающих устройствах и передачей И. по каналам связи). Свое окончательное выражение эти предложения нашли в теории И., созданной американским ученым К. Шенноном (1948).

Пусть заранее известно, что явление а может произойти в одном из вариантов

сообщение же b о нем может иметь один из видов

В теории И. предполагается, что а и b имеют совместное распределение вероятностей

оно определяет распределения а и b в отдельности:

По Шеннону, количество И., содержащееся в b относительно а, равно

(5)

(в теории И. логарифмы берутся по основанию 2). Если каждому bj соответствует одно единственное а*, для которого вероятность р(а*, bj) положительна, т. е. если а* однозначно определяется заданием bj, то, как легко вычислить:

(6)

Величина Н(а) есть энтропия распределения р(щ)] она равна полному количеству И., необходимому, чтобы точно указать, какой вариант а{ явления а осуществился. Во всех остальных случаях, когда задание bj еще не определяет однозначно а*,

Всегда

равенство

имеет место в том и только в том случае, когда а и b независимы, т. е.

Количество И. при однозначном указании осуществившегося варианта явления а

достигает максимума

в случае

Этот результат соответствует другому возможному представлению о количестве И., свободному от представления теории вероятностей. Если

то приближенно

число же п есть число двоичных знаков (0 или 1), достаточное для записи по двоичной системе счисления любого целого числа в пределах 1 < г ^ m, т.е. номера любого из возможных значений aj.

ИСКЛЮЧЕНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ55 - операция нахождения по системе уравнений с несколькими неизвестными системы уравнений (или одного уравнения), содержащей только часть из неизвестных. Например, из двух уравнений

можно исключить z и получить уравнение

содержащее только х и у. Об общих методах И. н. см. Результант.

ИСПЫТАНИЕ56 — понятие теории вероятностей. И., рассматриваемые в [элементарной — Ред. 4-го тома Избр. трудов] теории вероятностей (см.), могут иметь один (и только один) из исходов Ai,..., Ап. Каждый исход И. рассматривается как «событие», имеющее определенную вероятность P(Afc). При этом всегда ]Cfc=l P(Ak) — 1-

ИСЧЕРПЫВАНИЯ МЕТОД57, метод доказательства, применявшийся математиками древности при нахождении площадей и объемов. Название «метод исчерпывания» введено в 17 в.

Типичная схема доказательства при помощи И. м. может быть изложена в современных обозначениях так: для определения величины А строится некоторая последовательность величин СьСг,..., С7П,... так, что

(1)

55 БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 483.

56 БСЭ-2. - 1953. - Т. 18. - С. 604.

57 БСЭ-3. - 1972. - Т. 10. - С. 586. Стлб. 1745-1746. См. также: БСЭ-2. - 1953. -Т. 19. - С. 50-51.

предполагают также известным такое В, что

(2)

и при любом целом К для достаточно больших п удовлетворяются неравенства

(3)

где D — постоянно. С современной точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству

(4)

достаточно заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует

Математики древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств А < В, В < А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса-Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для R = В — А существует такое К, что KR > D, и в силу условия (1) получали

что противоречит второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение. После этого оставалось принять только равенство (4).

Введение И. м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием — Архимед. Например, для определения площади сегмента А параболы Архимед строит площади Ci, с2,..., «исчерпывающие» при их постепенном нарастании площадь А сегмента, по схеме, ясной из чертежа. При этом

Вместо того чтобы прибегнуть к предельному переходу,

Архимед геометрически

Вводя площадь

Архимед получает, что

и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что

КВАДРАНТ58 (от лат. quadrans — 4-я часть) — 1) К. плоскости — любая из четырех областей (углов), на которые плоскость делится двумя взаимно перпендикулярными прямыми, принятыми в качестве осей координат. 2) К. круга — сектор с центральным углом в 90°, \ часть круга.

КИБЕРНЕТИКА59 [от греч. κυβερνητικαη (τέηνε) — искусство управления, от κυβερνάω — правлю рулем, управляю] — научное направление, задачи которого были сформулированы в работах американского ученого Н. Винера, опубликованных в 1948: по Винеру и его последователям, К. есть наука о «связи», «управлении» и «контроле» в машинах и живых организмах. Не исключаются из рассмотрения и случаи, когда указанные функции (связи, управления и контроля) осуществляются коллективами людей или людьми при помощи машин. Для уточнения и ограничения приведенного определения следует указать более отчетливо, что именно К. понимает под связью, управлением и контролем. К. изучает машины, живые организмы и их объединения исключительно с точки зрения их способности воспринимать определенную «информацию», сохранять эту информацию в «памяти», передавать ее по «каналам связи» и перерабатывать ее в «сигналы», направляющие их деятельность в соответствующую сторону. Процессы восприятия информации, ее хранения и передачи называются в К. связью, переработка воспринятой информации в сигналы, направляющие деятельность машин и организмов, — управлением. Если машина или организм способны воспринимать и использовать информацию

58 БСЭ-2. - 1953. - Т. 20. - С. 434.

59 БСЭ-2. - 1958. - Т. 51. - С. 149-151.

о результатах своей деятельности, то говорят, что они обладают органами обратной связи (см.); переработка такого рода информации в сигналы, корректирующие деятельность машины или организма, называется в К. контролем или регулированием. Поэтому К. определяют также как науку о способах восприятия, хранения, переработки и использования информации в машинах, живых организмах и их объединениях.

Второе определение более отчетливо подчеркивает своеобразие К. и центральное значение для К. понятия информации (см.*, 51 т.). В литературе по К. обычно подчеркивается, что осуществляющие связь, управление или контроль искусственные устройства или естественные органы рассматриваются в К. исключительно как носители или преобразователи информации. Большое значение в К. имеет понятие «количества информации», введенное в явной форме американским ученым К. Шенноном (1948). Роль этого понятия в К. сравнивают иногда с ролью понятия энергии в физике. Наоборот, конкретная материальная природа хранящих, передающих или перерабатывающих информацию устройств и органов, как и количество затрачиваемой на их работу энергии, являются с точки зрения К. подчиненными обстоятельствами. В процессе эволюции живых организмов возникли тончайшие механизмы хранения огромного количества информации в ничтожных объемах (например, механизм наследственности, сохраняющий в одной клетке весь запас видовых признаков взрослого организма), а также механизмы, способные воспринимать и перерабатывать огромное количество новой информации с ничтожной затратой энергии (например, механизмы памяти и мышления в коре головного мозга). В этом же направлении идет и развитие техники при сооружении средств связи, управляющих и регулирующих автоматических устройств и вычислительных машин.

Много дискутировавшийся вопрос о праве К. на существование в качестве самостоятельной научной дисциплины сводится к вопросу о том, насколько существенны общие черты всех процессов связи, управления и контроля, т. е. могут ли общие свойства этих процессов в машинах, живых организмах и их объединениях быть предметом достаточно содержательной единой теории. На этот вопрос следует ответить с полной определенностью утвердительно, хотя в направлении систематического построения К. сделаны лишь первые шаги.

Наиболее сложившимся разделом К. является теория информации (см. статью Информации теория, 51 т.), посвященная способам вычисления и оценки количества информации и исследованию на этой основе процессов хранения и передачи информации. Преобразование информации рассматривается здесь лишь в той мере, в какой оно необходимо для при-

способления информации к хранению в данном запоминающем устройстве или для передачи по данному каналу связи (в терминологии теории информации — «кодирование» на входе канала связи и «декодирование» на выходе). Вводимые в теории информации понятия «емкости» запоминающего устройства и «пропускной способности» канала связи и общие выводы теории информации, относящиеся к способам осуществления надежного хранения и передачи информации при наличии «помех» (или в акустической терминологии — «шумов»), имеют весьма разнообразные применения как в технике, так и для понимания устройства органов чувств, нервной системы и аппарата фиксации наследственных свойств живых организмов.

Другие отделы К. посвящены различным видам более глубокого преобразования информации. Контуры общей теории, охватывающей все разнообразные применения, здесь пока менее ясны, но уже сейчас несомненна плодотворность сравнительного изучения процессов преобразования информации в нервной системе (при рефлекторной, условно-рефлекторной ее деятельности и в процессах мышления), в процессе эволюции видов (при накоплении полезных в борьбе за существование наследственных признаков), в приборах автоматического управления и регулирования, в современных вычислительных машинах и т. п. Автоматические управляющие, регулирующие и вычислительные устройства, впрочем, и возникли из стремления переложить на них некоторые функции, выполнявшиеся ранее человеком; поэтому вполне естественно, что процессы преобразования информации в этих устройствах имитируют процессы преобразования информации в нервной системе человека, в простейших случаях процессы рефлекторной деятельности, а в более сложных — работу мышления. Новейшее развитие автоматов и вычислительных машин зашло так далеко, что приобретенный при их проектировании и эксплуатации опыт часто теперь способен давать руководящие указания при попытках рационального объяснения работы нервной системы.

Из имеющих общий интерес выводов К. отметим все более укрепляющееся убеждение в существенных преимуществах: 1) фиксации больших количеств информации в дискретной форме, т. е. в виде большого числа отдельных знаков, каждый из которых способен принимать лишь малое число значений — лучше всего только два, 2) разложения любых сложных преобразований информации на отдельные шаги, каждый из которых затрагивает только небольшое число знаков. Одним из преимуществ дискретной записи информации является ее устойчивость по отношению к «помехам» и возможность сохранять ее даже при значительных помехах практически неограниченно долго. Простые и гибкие способы разложения любого преобразования информации, записанной в форме большого числа двоичных знаков, на простейшие операции разработаны логикой матема-

тической (см.). На этих принципах построены все современные большие универсальные вычислительные машины. В процессе естественной эволюции живых организмов устройство наследственного аппарата животных и растений и нервной системы животных и человека, по-видимому, тоже пришло если не к полному осуществлению этих принципов в наиболее чистом виде, то к широкому их использованию.

Из других общих идей кибернетических исследований отметим разработку представлений об «ультраустойчивости», или «мультиустойчивости». Дело идет здесь о регулирующих механизмах второго порядка, которые, накапливая информацию о результатах деятельности того или иного управляющего или регулирующего механизма первого порядка, способны использовать эту информацию для целесообразного изменения устройства и способа действий этого механизма первого порядка. Классическим образцом такого регулирования второго порядка является механизм выработки условных рефлексов (см.). Над системой уже установившихся, выработанных рефлексов, т. е. связей между внешними раздражителями и реакциями организма, здесь господствует механизм выработки новых рефлексов. Входными сигналами для этого механизма являются «подкрепления», получаемые в случае соответствия реакции нуждам организма, и «торможения» — в случае несоответствия. В недавнее время были построены экспериментальные «самообучающиеся» машины, работа которых имитирует процессы выработки условных рефлексов, так что в подобном регулировании второго порядка нельзя усматривать какой-либо специфической особенности живых организмов.

К. использует большой и часто своеобразный математический аппарат, который может быть назван «математической К.» (по аналогии с «математической физикой»). Работа управляющих и регулирующих систем поддается схематическому изучению, при котором конкретная природа «множества возможных состояний системы», «множества возможных воздействий» и «множества возможных реакций» оказывается несущественной. Излагаемая таким абстрактным образом теория автоматов превращается в теорию чисто математического характера. В случае автоматов дискретного действия она очень близка к теории конечных алгоритмов (см.*). В К. входит, однако, также сравнительное изучение конкретных систем хранения, передачи и переработки информации и обсуждение особенностей и возможностей различных принципов осуществления (механических, электромагнитных, химических и т. п.), которые существенно опираются на данные механики, физики, химии и биологии. Совокупность этих вопросов можно объединить под названием «технической К.».

Материальной основой возникновения К. и возрастающего к ней интереса является создание и распространение машин и всевозможных тех-

нических устройств, специально предназначенных для переработки (или хранения и передачи) информации. К. возникла, когда приборы автоматического управления и регулирования стали включать в себя специальные счетно-решающие устройства и управляться кодированными сигналами, когда при конструировании вычислительных машин остро встали вопросы об объеме их «памяти» или о доступных им логических операциях и т. д. Не следует, однако, считать всю теорию автоматического управления и регулирования частью К.; например, изучение конкретного устройства исполнительных органов автоматов или их расчет с точки зрения минимальных затрат энергии при воздействии на регулируемую систему не являются вопросами К. Аналогично отношение К. к исследованию операций и теории игр (см. статьи Операций исследование и Игр теория, 51 т.): экстремальные задачи выбора рациональной с той или иной точки зрения «стратегии» не являются сами по себе задачами К., но К. находит применение при исследовании операций и в теории игр в вопросах оценки, необходимой для решения задач из этих областей информации и выбора рациональных способов преобразования информации.

Наиболее дискуссионным вопросом К. является вопрос о пределах возможной замены функций человеческого мышления работой машин. Уже созданные машины, играющие в шахматы (пока на уровне не сильного игрока), или машины для автоматического перевода с одного языка на другой, разработанные методы автоматического составления программ для универсальных вычислительных машин, включающие выполнение сложных рядов разнообразных логических операций, показывают, что возможности современной техники в этом отношении очень велики. В принципе следует считать, что любая строго ограниченная и формально описанная область мыслительной деятельности может быть передана машинам. Принципиальное отличие работы машины от человеческого мышления состоит не в существовании каких-либо особенно тонких и сложных отдельных операций, выполняемых человеческим мозгом и не могущих быть автоматизированными и переданными машинами, а в том, что машины выполняют лишь вспомогательные операции в соответствии с целями, поставленными человеком.

Лит.: Wiener N., Cybernetics or control and communication in the animal and the machine, [6 print], N. Y.-R, [1949]; его же, The human use of human beings. Cybernetics and society, 2 ed., N. Y., 1956; Соболев С. Л., Китов А. И. и Ляпунов А. А., Основные черты кибернетики, «Вопросы философии», 1955, №4; Цянь Сюэ-сэнь, Техническая кибернетика, пер. с англ., М., 1956; La cybernétique. Théorie du signal et de l'information. Réunions d'études et de mises au point tenues sous la présidence de Louis de Broglie, P., 1951; Bush R. R. and Mosteller F., Stochastic models for learning, N. Y.-L., 1955; Ashby W. R., An introduction to cybernetics, L., 1956; его же, Design for a brain, Reprint, N. Y., 1954.

КОМПАКТ60 — компактное метрическое пространство; в частности, любое компактное в себе множество эвклидова пространства любого числа измерений. См. компактность.

КОНСТАНТА61 (от лат. constans — постоянный, неизменный) — постоянная величина в математических, физических и химических исследованиях. Постоянство величины х символически записывают х = const. Константы часто обозначают буквами С и К.

КОНТИНУУМ62 (от лат. continuum — непрерывное) в математике, термин, употребляемый для обозначения образований, обладающих известными свойствами непрерывности (полные формулировки см. в 1 и 2), и для обозначения определенной мощности (см. Мощность множества), а именно, мощности множества действительных чисел (см. 3).

1) Наиболее изученным непрерывным образованием в математике является система действительных чисел, или так называемый числовой К. Свойства непрерывности системы действительных чисел могут быть охарактеризованы различными способами (при помощи различных «аксиом непрерывности»). Если основным понятием считать понятие неравенства (а < Ь), то непрерывность числового К. можно, например, охарактеризовать следующими двумя положениями: а) между любыми двумя числами а < b лежит по крайней мере еще одно число с (для которого а < с < Ь); б) если все числа разбиты на два класса А и В так, что каждое число а класса А меньше любого числа b класса В, то либо в классе А есть наибольшее число, либо в классе В есть наименьшее число (аксиома непрерывности Дедекинда).

2) В топологии, являющейся не чем иным, как геометрией непрерывности, свойства непрерывности пространства или любого множества формулируются при помощи понятия предельной точки. Основное понятие связности множества, лежащего в топологическом пространстве (или всего пространства), определяется так: множество M называется связным, если при любом разбиении его на два непересекающихся непустых подмножества А и В найдется хотя бы одна точка, принадлежащая одному из них и предельная для другого. К. в топологии называется любой связный компакт (см. Компактность). Среди множеств, лежащих на прямой или в п-мерном евклидовом пространстве, компактами являются замкнутые ограниченные множества. Таким образом, в евклидовых пространствах К. можно определить как связные замкнутые ограниченные множества. Единственными

60 БСЭ-2. - 1953. - Т. 22. - С. 282.

61 БСЭ-2. - 1953. - Т. 22. - С. 416.

62 Печатается по изданию: БСЭ-3. — 1973. — Т. 13. — С. 64. — Стлб. 179-180. См. также: БСЭ. - 1937. - Т. 34. - С. 139-140; БСЭ-2. - 1953. - Т. 22. - С. 454-455.

К. в этом смысле, лежащими на числовой прямой, являются отрезки (т. е. множества чисел, удовлетворяющих неравенствам а ^ х ^ Ь). По строгому смыслу этого принятого в топологии определения множество всех действительных чисел не есть К.

3) Мощность множества действительных чисел называют мощностью К. и обозначают готической буквой с или древнееврейской буквой H («алеф») (в отличие от других мощностей — без индекса). Каждый топологический К. имеет ту же мощность с. Известно, что мощность с больше мощности No счетных множеств. В решении вопроса, является ли мощность К. ближайшей следующей за No мощностью, заключается так называемая континуума проблема.

Лит. см. при статье Множеств теория.

КООРДИНАТЫ63 [от лат. со (cum) — приставка, означающая — совместно, и ordinatus — упорядоченный, определенный] — числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности или в пространстве. Первыми вошедшими в систематическое употребление К. являются астрономические и географические К. — широта и долгота, определяющие положение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара (см. Координаты небесные. Координаты географические). В 14 в. французский математик Н. Оресм пользовался К. на плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то, что теперь называют абсциссой и ординатой. Более систематически К. стали применяться к вопросам геометрии на плоскости в 17 в. Заслуга выяснения всего значения метода К., позволяющего систематически переводить задачи геометрии на язык математического анализа и, обратно, истолковывать геометрически факты анализа, принадлежит французскому ученому Р. Декарту (см. об этом в статье Аналитическая геометрия). Кроме К. точки, рассматривают также К. прямой, плоскости и других геометрических объектов (см. ниже раздел Координаты прямой, плоскости и т. п.). В теоретической механике употребляют К. механических систем — числа, определяющие положение механической системы (например, некоторого твердого тела) в каждый момент времени.

Координаты точки на плоскости. Аффинные, или общие декартовы, К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (начало К.) и два не лежащие на одной прямой вектора OA и OB, исходящие из точки О. Положение точки Р определяется (в выбранной системе К.) двумя К.: абсциссой

63 БСЭ-2. - 1953. - Т. 22. - С. 524-525.

и ординатой

где ХР параллельно ОБ и YP параллельно OA (см. рис. 1, где х = 2, у = -1)- -+ —>

В частном случае, когда векторы О Л и ОБ перпендикулярны и имеют одну и ту же длину, получают наиболее употребительные прямоугольные К. Если угол между OA и OB произволен, но длины этих векторов одинаковы, то получают те косоугольные К., рассмотрением которых ограничивался сам Декарт (часто только их и называют декартовыми, сохраняя для общих декартовых К. лишь название — аффинные К.).

Полярные К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (полюс), выходящий из нее луч ON (см. рис. 2) и единицу измерения длин. Координатами точки Р служат расстояние р — ОР и угол (р — /.NOP. Чтобы получить возможность поставить в соответствие каждой точке плоскости Р пару чисел (р, у?), достаточно рассматривать ри<р, подчиненные неравенствам 0 < р < оо, 0 ^ (р < 2тг. За исключением точки О, для которой р = О, а угол (р не определен, соответствие между точками Р, отличными от О, и парами (/?, </?), подчиненными указанным условиям, — взаимно-однозначно. Из других специальных систем К. на плоскости следует отметить также эллиптические координаты (см.).

В случае аффинных К. линии х — const образуют пучок прямых, параллельных оси Oy, а линии у = const — другой пучок прямых, параллельных оси Ох\ через каждую точку плоскости Р (#о>2/о) проходит одна прямая первого пучка (х = хо) и одна прямая второго пучка (у = уо). В случае полярных К., линии р = const являются окружностями, а линии (р = const — лучами, выходящими из начальной точки О; через каждую точку Р, отличную от О, проходит ровно по одной линии каждого из двух семейств;

Рис. 1 Рис. 2

отметки ро и (ро этих двух линий и являются К. точки Р. В более общем случае можно рассмотреть в какой-либо области G плоскости две функции точки и(Р) и v{P) такого рода, что каждая линия и(Р) = const пересекается с каждой линией семейства v(P) = const в пределах области G не более чем в одной точке. Очевидно, что в этом случае числа и(Р) и v(P) однозначно определяют положение точки Р в области G, т. е. являются К. точки Р в этой области; линии, определяемые уравнениями и = const или у = const, называют при этом координатными линиями.

Криволинейные координаты на поверхности. Изложенная идея применима без всяких изменений и к введению криволинейных К. на произвольной поверхности. Например, для случая долготы tp и широты в на сфере линиями tp = const являются меридианы, а линиями в = const — широтные круги, расположение которых всем хорошо известно из элементов географии. Криволинейные, или, как их иначе называют, гауссовы, К. на произвольной поверхности являются основным аппаратом дифференциальной геометрии поверхностей.

Следует иметь в виду, что даже на «гладких» поверхностях криволинейные К., подчиненные требованию непрерывного и взаимно-однозначного соответствия между точками Р и парами чисел (и, v), могут, вообще говоря, быть введены только «локально» в окрестности произвольно заданной точки Ро- При выходе из области G, где определена данная система К. (и, v), приходится переходить к другой системе К. Уже обычные географические К. на сфере в окрестности полюсов (так как долгота полюса неопределенна) должны быть заменены (при желании сохранить взаимную однозначность и непрерывность соответствия) какой-либо другой системой.

Однородные координаты на плоскости. Эвклидова плоскость, дополненная бесконечно удаленными элементами (см.*), может рассматриваться с проективной точки зрения как замкнутая поверхность (см. Проективная плоскость), на которой бесконечно удаленные точки не играют какой-либо особой роли. Как и на всякой поверхности, на проективной плоскости можно «локально» ввести многими способами К., характеризующие положение точки парой чисел (u,v). На проективной плоскости с исключенными бесконечно удаленными точками для этого могут служить прямоугольные К. (х,у). Но на всей проективной плоскости введение такого рода К. с сохранением взаимной однозначности и непрерывности соответствия невозможно. Вместо этого пользуются однородными К. При этом каждой точке ставятся в соответствие не пары, а тройки чисел (жьХ2»#з)? причем двум тройкам (х\,х2, х$) и (х[, х'2, £3) соответствует одна и та же точка тогда и только тогда, когда входящие в них числа пропорциональны, т. е. существует такой множитель Л, что

простейшая система однородных К. легко получается из прямоугольной: для конечных точек (х, у) полагают

где t ф О — произвольно; тройки (х\,Х2,0) соответствуют при этом бесконечно удаленным точкам, лежащим на прямых

Другие системы однородных К. (щ, 1x2,^3) получаются преобразованиями

из системы (х1,Х2,хз). Однородные К. играют большую роль в геометрии, не только ввиду их естественности с проективной точки зрения, но и потому, что многие формулы приобретают в них особенно симметричный вид; например, уравнение произвольной линии второго порядка записывается в однородных К. так:

т. е. является однородным (все его члены имеют одну и ту же степень, равную двум).

Координаты точки в пространстве. Аффинные, или общие декартовы, К. в трехмерном пространстве вводятся заданием точки О и трех векторов ех = OA, еу = OB, ez = ОС, не лежащих в одной плоскости. Для получения К. х, у, z точки Р вектор ОР представляют в виде

В простейшем случае прямоугольных К. векторы ех, еу, ez имеют единичную длину. В пространстве возможны два существенно различных типа систем прямоугольных К.: правая система (см. рис. 3, где еу и ez лежат в плоскости чертежа, а ех направлен вперед, к читателю) и левая система (см. рис. 4, где ех и ez лежат в плоскости чертежа, а еу направлен к читателю).

В пространстве пользуются также системами криволинейных К., общая схема которых такова: в какой-либо области G пространства рассматриваются три функции точки и(Р), v(P), w(P), подчиненные условию, чтобы через каждую точку Р области G проходила одна поверхность семейства и = const, одна поверхность семейства v = const и одна поверхность семейства w = const. Тем самым каждой точке ставятся в соответствие три числа (и, v,w) — ее К. Поверхности, определяемые уравнениями и = const или v = const, или w = const, называют координатными.

В приложениях (к механике, математической физике и пр.) наиболее употребительны следующие системы криволинейных К.:

а) Сферические К.; вводятся заданием плоскости П, лежащей на ней точки О (полюса), луча Ох, лежащего в П, и луча Oz, перпендикулярного к П. Если M — какая-нибудь точка пространства, N — ее проекция (ортогональная)

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5

на плоскость П, то сферическими К. (r, ip, в) точки M служат

(см. рис. 5). Для того, чтобы охватить все точки пространства, достаточно рассматривать эти К. в пределах:

Координатная поверхность г = const есть сфера.

б) Цилиндрические К. (р, </?, z); вводятся так же, как и сферические К. Здесь

(+ или — в зависимости от того, совпадают ли направления NM и Oz или противоположны). Границы изменения:

Координатная поверхность р = const является цилиндром. См. также Эллипсоидальные координаты.

Введение однородных координат в пространстве аналогично плоскому случаю.

Координаты прямой, плоскости и т. п. Принцип двойственности (см. Двойственности принцип), устанавливающий равноправность точек и прямых в геометрии двух измерений и равноправность точек и плоскостей в геометрии трех измерений, подсказывает ту мысль, что с помощью особых К. могут быть определены положения прямых и плоскостей. Действительно, если, например, в прямоугольных К. уравнение прямой (не проходящей через начало К.) приведено к виду их + vy 4- 1 = 0, то числами и и v (и = — v = —где а и b суть «отрезки», отсекаемые прямой на осях) вполне определяется положение прямой; можно принять (и, v) за К. (тангенциальные координаты, см.) прямой линии. Симметричность уравнения ux+vy+1 = 0 относительно пар (х, у) и (и, v) является аналитическим выражением принципа двойственности. Если уравнение прямой написано в однородных К. (хь^г^з) в форме u\Xi 4- U2X2 4- U3X3 = 0, то три числа, пропорциональные коэффициентам и\, U2, и$, принимают за однородные тангенциальные К. этой прямой. В геометрии пространства, исходя из уравнения их + vy 4- wz + 1 = 0 или щх\ + U2X2 4- ^3X3 4- U4X4 = 0 плоскости, аналогичным образом определяют неоднородные (u,v,w) или однородные (щ : U2 : щ : щ) тангенциальные К. плоскости.

Дальнейшие обобщения. Вполне аналогично случаям п = 2 (плоскость, поверхность) и п = 3 (трехмерное пространство) употребление К. для определения положения точки в n-мерном пространстве. Необходимое для определения положения точки в n-мерном пространстве число К. равно числу измерений п, но иногда употребляются «избыточные» К. в числе т> п, подобные рассмотренным выше однородным К.

Например, в качестве К. прямых в четырехмерном многообразии прямых обычного четырехмерного пространства можно употреблять шестерки (01,^2,03, » 62,63 ) коэффициентов параметрического представления прямой

и т. п. См. также Плюккеровы координаты, Тетрациклические координаты, Пентасферические координаты.

Лит. см. при статье Аналитическая геометрия.

КОРРЕЛЯЦИЯ64 (мат.), связь между явлениями. Понятие К. более обще, чем понятие функциональной зависимости (см. Функция). Например, известно, что у родителей большого роста чаще родятся дети большого роста, чем у родителей малого роста. Однако, зная рост отца и матери, нельзя еще в каждом отдельном случае вычислить рост ребенка. К. между двумя явлениями возникает: или если одно из них входит в число причин, определяющих другое, или если имеются общие причины, воздействующие на оба явления. Для того, чтобы суждение о К. между двумя явлениями имело определенный объективный смысл, необходимо (за исключением частного случая функциональной зависимости), чтобы рассматриваемые

64 БСЭ-2. — 1958. — Т. 51. — С. 129-130. Перепеч.: Вероятность и математическая статистика. — 1999. — С. 883-884.

явления могли повторяться неограниченное число раз и можно было говорить о вероятностях (см.), могущих возникнуть при этом комбинаций.

К. между двумя событиями. Рассмотрим два события А и В. Будем обозначать через А событие, противоположное А (т. е. заключающееся в том, что событие А не происходит), и через В — событие, противоположное В. Если каждый раз, как происходит событие А, происходит и В, и, наоборот, каждый раз, как происходит В, происходит и А, то события А и В связаны между собой прямой функциональной зависимостью. Если же событие А происходит тогда и только тогда, когда событие В не происходит, то А и В связаны обратной функциональной зависимостью. За исключением этих двух крайних случаев, для оценки связи между событиями А и В неизбежно воспользоваться понятием вероятности. Пусть Ра(В) есть вероятность события В при условии, что событие А произошло, a Pâ(B) — вероятность события В, при условии, что событие А не произошло. Если Ра(В) = Рд(5), то событие В независимо от события А. Разность рв = Pa(B) — Pä{B) называется коэффициентом регрессии события В относительно события А.

Рассмотрим такой пример: при лечении дифтерии применяется противодифтерийная сыворотка. Обозначим применение сыворотки через А, выздоровление больного через В. Если бы при применении сыворотки все больные выздоравливали, а без ее применения — умирали, то мы имели бы прямую функциональную зависимость; если бы Ра{В) = Рд(Б), т.е. если бы количества случаев выздоровления были бы одинаковы как при применении сыворотки, так и без нее, то, очевидно, применение сыворотки было бы бесцельно, так как, в соответствии с данным выше определением, событие В (выздоровление) было бы независимо от события А (применения сыворотки). Если же, например, Ра(В) = 0,97, а -Рд(-В) = 0,85, то коэффициент рв = 0,12 показывал бы наличие положительной связи между применением сыворотки и выздоровлением.

Коэффициент регрессии рв равен +1 при положительной функциональной связи, нулю — при независимости В от А и —1 — при отрицательной функциональной связи; в остальных случаях он принимает значения между — 1 и +1, не равные нулю. Во многих вопросах нет никаких оснований измерять связь между A vi В непременно при помощи коэффициента рв, а не при помощи аналогичного коэффициента регрессии ра = Рв(А) — Рв(А) события А относительно В. В этом случае может быть удобен коэффициент К. между событиями А и В: R = ±у^рлРв- Знак R должен совпадать со знаком обоих коэффициентов регрессии (они имеют всегда одинаковый знак). Коэффициент К. обращается в нуль тогда и только тогда, когда события А и В независимы (если событие В независимо от Л,

то, как легко доказывается, и событие А независимо от В), и равняется ±1 в случае функциональной зависимости и только в этом случае.

К. между двумя величинами. Величина у зависит функционально от величины гс, если каждому значению х соответствует вполне определенная величина у = f{x). Если такой зависимости нет, то в случае статистических (неограниченно повторяющихся с определенными вероятностями) явлений мы можем определить для каждого возможного значения х соответствующее математическое ожидание (см.) Ех(у) = f(x) величины у при условии заданного значения х (мы оставляем в стороне имеющие чисто теоретический интерес случаи, в которых математическое ожидание бесконечно или неопределенно). Уравнение у = f(x) называется уравнением регрессии величины у относительно я, а линия у = f(x) на плоскости (х, у) — линией регрессии у относительно х. Обозначим ау = Е(у) математическое ожидание у (безусловное математическое ожидание). В случае, если величины х и у независимы, уравнение регрессии имеет вид у = ау [так как тогда Ех(у) = Е(у) = ау]. Заметим, что из того, что уравнение регрессии есть у = ау, еще не следует независимости х и у; например, с изменением х математическое ожидание у может оставаться неизменным, но средняя колеблемость у, измеряемая хотя бы при помощи Ех(у — ау)2, может зависеть от х. Естественно желание определить, насколько хорошо уравнение регрессии передает изменение у, иначе говоря, в какой мере зависимость между x и у близка к функциональной. На этот вопрос дает ответ корреляционное отношение у к х [введено Пирсоном (см.)]:

Ру = 0 тогда и только тогда, когда уравнение регрессии имеет вид у = ау, т.е. математическое ожидание у не зависит от х\ Ру = +1 в случае функциональной зависимости у от х. В остальных случаях Ру принимает промежуточное значение между 0 и +1.

Практически приходится вычислять уравнение регрессии по ограниченному числу наблюдений, имеющих ограниченную точность. Данные опыта непосредственно выражаются корреляционной таблицей, в которой указывается, в каком числе наблюдений получилась данная комбинация значений величин x и у (см. схематический пример на табл. 1).

Таблица 1.

У

X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

-

1

-

-

-

-

-

1

1

2

1

1

2

-

-

-

1

2

-

2

3

-

2

1

3

1

1

-

4

2

-

4

-

-

-

1

4

3

4

1

-

-

5

-

-

-

-

2

3

-

-

-

-

Если на каждое отдельное значение х приходится достаточно много отдельных наблюдений, то линия регрессии у = f(x) может быть приближенно определена очень просто: для каждого значения х = Х{ определяется среднее значение у{ величины у в наблюдениях с данным значением Xi = XiïJi = f(xi) и представляет приближенно линию регрессии. Однако, если число наблюдений, соответствующих каждому значению х = х\, недостаточно велико, то такой метод может привести к совершенно случайным результатам.

Таблица 2 дает у{, соответствующие данным табл. 1. Уже простой здравый смысл подсказывает, что линия регрессии у = f(x) должна, начинаясь примерно с 1,5 при х = 1, подниматься примерно до 4 около х = 5 или 6 и вновь спускаться при дальнейшем возрастании х. Однако такие обстоятельства, как, например, дополнительный максимум yi при х = 2 с последующим уменьшением у{ при х — 3, могут при данном числе наблюдений считаться чисто случайными.

Таблица 2.

Xi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Vi

1,5

2,7

2,0

3,2

4,1

4,4

3,4

2,8

2,2

1,7

Нормальная К. между двумя величинами. В силу ряда оснований, которые с наибольшей полнотой были теоретически изучены акад. С.Н. Бернштейном, корреляционная зависимость между двумя величинами x и у в очень многих случаях с известным приближением является нормальной, т. е. вероятность того, что точка с координатами х и у попадает в какую-либо область g плоскости (х,у), приближенно изобразится интегралом

где

математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины г/, ах — Е(х) и

ах = = + \/Е(х — ах)2 — математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины х и, наконец, R — коэффициент К. величин х и у:

В случае нормальной К. уравнение регрессии у = f(x) имеет вид:

где

т. е. линия регрессии в случае нормальной К. есть прямая. Корреляционное отношение Пирсона Ру равно в случае нормальной К. коэффициенту корреляции R. Употребление коэффициента К. в качестве меры зависимости между а: и у в случае связей, сильно отличающихся от нормальной, приводит иногда к ошибочным выводам, так как коэффициент К. может равняться нулю даже в случае, когда у функционально зависит от х. Таблица 1 также представляет пример довольно сильной связи у с х, при которой, однако, коэффициент К. близок к нулю. Заметим еще, что в случае нормальной К. уравнение регрессии х относительно у есть

где

Коэффициенты ру и рх называются коэффициентами регрессии у относительно X и X относительно у. Знак рх и ру всегда одинаков (и совпадает с знаком R). Очевидно, R = +у/рх Ру Фактическое вычисление коэффициента К. производится по формуле

где

п — число наблюдений, а Х{ и у\ — значения х и у при г-м наблюдении. Эта формула дает непосредственно так называемый эмпирический коэффициент К. R* данного ряда наблюдений. При большом числе п отдельных наблюдений R* близок к истинному коэффициенту К. R.

Таблица 3 дает пример корреляционной связи, хорошо согласующейся с гипотезой нормальной К. Эмпирический коэффициент К. R* здесь равен 0,6279. Число наблюдений вполне достаточно, чтобы считать, что R достаточно близко к R*.

Таблица 3.

Корреляционная связь между ростом и весом призывников

Вес в кг

Рост в см

До 154

154-158

158-162

162 166

166-170

170-174

174-178

178-182

Более 182

До 45

32

42

29

9

1

2

-

-

-

45-49

63

304

421

233

60

9

3

-

-

49-53

40

273

952

1050

433

91

13

2

53-57

13

174

874

1730

1288

482

60

12

1

57-61

7

43

317

1175

1543

947

219

29

-

61-65

-

7

87

381

903

866

360

61

7

65-69

-

1

4

61

245

377

231

80

8

69-73

-

-

1

13

43

86

91

48

9

73-77

-

-

2

2

6

27

31

14

13

Более 77

-

-

-

5

10

9

11

3

Множественная К. Аналогичными способами изучается связь между многими событиями и величинами. Большое значение имеет во многих приложениях (например, предсказание урожаев, разливов рек) составление уравнений регрессии, связывающих неизвестную величину с рядом известных. В случае множественной К. особенно опасно делать выводы из данных недостаточно большого числа наблюдений. Одной из основных проблем теории К. и является выяснение числа наблюдений, достаточных, при тех или иных обстоятельствах, для составления надежных уравнений регрессии.

Лит.: Определения и основные понятия, см. — Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 3 изд., М.-Л., 1934; Слуцкий Е. Е., Теория корреляции и элементы учения о кривых распределения, Киев, 1912; Чупров А. А., Основные проблемы теории корреляции. О статистическом исследовании связи между явлениями, [M.J, 1926; Tschuprow А. А., Grundbegriffe und Grundprobleme der Korrelationstheorie, Lpz., 1925.

ЛИНИЯ65 (лат. linea) — геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее, определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии различно.

1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Л., отрезки прямых, ломаные Л., составленные из отрезков, и некоторые кривые Л. Каждый вид кривых Л. определяется тем или иным специальным способом [например, окружность определяется как геометрическое место (см.) точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О — центра окружности]. Иногда в учебниках дают общее определение Л. как границы куска

65 БСЭ-2. - 1954. - Т. 25. - С. 167-170.

поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как геометрического места последовательных положений непрерывно перемещающейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчетливой формулировки.

2) Представление о Л. как геометрическом месте последовательных положений движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Л. Например, вводя на плоскости прямоугольные координаты (х,у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями

Когда параметр t пробегает отрезок 0 ^ t ^ 27г, точка (х,у) описывает окружность. Вообще Л. на плоскости задают параметрически уравнениями вида

(*)

где (p(t)j — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь конечном или бесконечном интервале А числовой оси t. С каждым значением параметра t (из интервала Д) уравнения (*) сопоставляют некоторую точку М, координаты которой определяются этими уравнениями. Л., заданная параметрически уравнениями (*), есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из А, при условии, что эти точки рассматриваются в определенном порядке, именно: если точка М\ соответствует значению параметра ti, а точка — значению £2, то М\ считается предшествующей М2, если t\ < t2. При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.

Аналогично, в трехмерном пространстве Л. задается параметрически тремя уравнениями вида

где <p(t), ip(t), x(t) ~ произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь интервале. В произвольном топологическом пространстве (см.) Т (которое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трехмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Л. параметрически задают уравнением вида:

где (р — функция от действительного переменного £, непрерывная на каком-либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают,

что два параметрических представления задают одну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования ее точек (в смысле, указанном выше).

В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а ^ t ^ 6. В этом случае условие для того, чтобы два параметрических представления

изображали одну и ту же Л., заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции

для которой

Такое понимание термина «Л.» наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает ее точки переменная точка M при возрастании £, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Л. через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Л. может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие разным значениям параметра).

Например, при изменении t в пределах —оо < t < +00 точка с координатами

описывает строфоиду (см. табл., рис. 4), попадая в положение х = О, у = О два раза при t = — 1 и t = +1.

3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости уравнением

в пространстве — двумя уравнениями

В тех вопросах математики, где этот способ задания Л. является основным, само понятие Л. приспособляется к нему, несколько отклоняясь от первоначального наглядного представления о Л.

Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь (дополняя изложение, данное в статье Алгебраическая геометрия), как строится понятие алгебраической Л. (кривой), т. е. Л., определяемой уравнением

где F(x,y) — целая алгебраическая функция (см.), т. е. многочлен какой-либо степени п ^ 1. В этом случае считают, что два многочлена F\(x,y) и i<2(x,y) определяют одну и ту же алгебраическую Л. в том и только в том случае, когда существует такая постоянная С ф О, что выполняется тождественно соотношение

Таким образом, все многочлены, определяют одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень п, называемую порядком соответствующей Л. Например, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение

определяет Л. второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х — у = 0.

В связи с последним примером необходимо отметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраических Л., т. е. таких Л., для которых многочлен допускает представления F = GH, где G и H — отличные от постоянных многочлены. Далее, в п. 4 имеется в виду только этот случай.

Точка (хо,уо) кривой F(x,y) = 0 имеет кратность т, если разложение F(x,y) по степеням £ = х — xq,ï] = у — уо начинается с членов степени га (по совокупности переменных £ и 77). В случае m = 2, т. е. в случае двойной точки,

где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта S = 011022 — ^12 можно определить тип двойной точки. Если 5 > 0, то точка — изолированная (см. рис. 1), если S < 0, то точка является узловой (см. рис. 2), если 6 = 0, то, вообще говоря, получается точка возврата (см. рис. 3), но вопрос требует дополнительного исследования по членам третьей степени.

4) Часто, особенно при изучении алгебраических Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками эвклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удаленные и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учете кратности пересечений) становится верным, например, утверждение, что две Л. порядков пит пересекаются в тп точках. В случае m = 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число п точек ее пересечения с прямой.

Рис. 1. Изолированная точка

Рис. 2. Узловая точка

Рис. 3. Точка возврата: а — первого рода, б — второго рода

С проективной точки зрения естественно задавать Л. на плоскости однородным уравнением

между однородными координатами (#1,£2,#з) ее точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Л. уравнением

связывающим однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком Л. (степенью уравнения F = 0), естественно возникает понятие класса Л. — степени уравнения Ф = 0. Класс алгебраических Л. можно также определить как число касательных, которые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрическом представлении Л. с точки зрения алгебраической геометрии см. Уникурсальные кривые.

5) Рассмотренные выше (в пунктах 2-4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим алгебраическим и аналитическим аппаратом. В отличие от этого, современная топология (см.) выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо от алгебраических или аналитических способов задания этого множества.

Если исходить из параметрического задания Л. в виде непрерывной функции Р = (fit), где t пробегает отрезок а ^ t ^ 6, но интересоваться только полученным множеством точек без учета порядка их следования, то приходят к понятию Л., сформулированному французским математиком К. Жорданом (в 80-х гг. 19 в.). Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая). Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смысле Жордана, а о локально связных, или жордановых, континуумах. Взаимнооднозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой или жордановой дугой. Взаимно-однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Л.

Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Л., в современной топологии пользуются понятием Л., введенным в 1921 советским математиком П. С. Урысоном, который определяет Л. (кривую) как произвольный континуум (см.*) размерности единица.

Континуум имеет размерность единица, если при любом е > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего £, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости, немецкий математик Г. Кантор. Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости, иногда и общие Л. в смысле Урысона называют «канторовыми кривыми».

6) Еще математиками древности были систематически изучены плоские Л. второго порядка (эллипс, гипербола, парабола, см.). Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Л. более высокого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Л. Систематическое изучение Л. и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р. Декарт). Четкое разграничение различных описанных выше подходов к точному логическому определению Л. явилось лишь в результате накопления большого конкретного материала. Из Л. третьего порядка наиболее известны: строфоида (выше было дано ее параметрическое уравнение): у2(а — х) — х2(а + х) = 0 (рис. 4), циссоида Диоклеса (ж2 + у2)х — ау2 = 0 (рис. 5), декартов лист х3 + у3 — Заху = 0 (рис. 6), полукубическая парабола ж3 — ау2 — 0 (рис. 7), локон Аньези у (а2 + x2) — а3 = 0 (рис. 8). Наиболее важными Л. четвертого порядка являются: кардиоида (х2 + у2 — 2ах)2 — 4а2(ж2 + у2) = 0 (рис. 9), кривая «каппа» а2х2 — (х2 + у2)у2 = 0 (рис. 10) (имеет в начале координат точку «самосоприкосновения»), конхоида Никомеда (х — а)2(х2 + у2) — 12х2 — 0 (рис. 11) [при / < а (рис. 11, а) начало координат принадлежит конхоиде, являясь ее изолированной точкой, при I = а в начале координат — точка возврата (рис. 11, б), а при Z > а узловая точка (рис. 11, в)], овалы Кассини (ж2 + у2)2 — 2а2(х2 — у2) + а4 — с4 = 0 [при различных отношениях а : с они выглядят весьма различно (рис. 12), в частности при с = а овал Кассини превращается в лемнискату Бернулли (рис. 12, в)].

Примеры трансцендентных кривых дают различные спирали, уравнения которых удобно записываются в полярных координатах: спираль Архимеда р = aip (рис. 13), гиперболическая спираль р = ^(рис. 14) логарифмическая спираль р = аек{р (рис. 15). Начало координат у двух последних спиралей является особой точкой. Типы особых точек трансцендентных кривых весьма разнообразны. Кривая у = е-1/х имеет в начале координат

«точку перерыва» (рис. 16), а кривая у = х(1 +е) 1/х — «точку перелома» (рис. 17).

Рис. 4. Строфоида

Рис. 5. Циссоида Диолклеса

Рис. 6. Декартов лист

Рис. 7. Полукубическая парабола

Рис. 8. Локон Аньези

Рис. 9. Кардиоида

Рис. 10. Кривая «каппа»

Рис. 11. Конхоида Никомеда

Если рассмотреть график функции

для 0<х^и прибавить (для х = 0) к множеству точек этого графика все точки оси ординат, удовлетворяющие условию — 1 < у ^ 1, то получит-

ся Л. в смысле Урысона, не обладающая локальной связностью (рис. 18). Примером локально связной Л. в смысле Урысона (т. е. одномерного жорданова континуума) может служить кривая Серпинского. Она определяется как множество точек (х, у) с координатами, представимыми в виде

где a,k и bk принимают лишь значения 0, 1, 2 и ни при одном к не появляется одновременно = bk = 1. Геометрически кривая Серпинского получается из квадрата 0^х^1,0^у^1 выбрасыванием (открытых) квадратиков по схеме, показанной на рис. 19 (но продолженной до бесконечности).

Рис. 12. Овалы Кассини

Рис. 13. Спираль Архимеда

Рис. 14. Гиперболическая спираль

Рис. 15. Логарифмическая спираль

Рис. 16. Кривая с «точкой перерыва»

Рис. 17. Кривая с «точкой перелома»

Рис. 18. Кривая, не обладающая локальной связностью

Рис. 19. Построение кривой Серпинского

Лит.: Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М.-Л., 1952; Немыцкий В. [и др.], Курс математического анализа, т. 1, 2 изд., М.-Л., 1944; Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М.-Л., 1950; Александров А. Д., Об основах дифференциальной геометрии и их изложении, «Успехи математических наук», 1949, т. 4, вып. 3; Урысон П. С, Труды по топологии и другим областям математики, т. 1-2, М.-Л., 1951; Уокер Р., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, Bd 1-2, 2 Aufl., Lpz.-B., 1910-11.

МАЛЫХ ЧИСЕЛ ЗАКОН66 (матем.) — устаревшее название предельной теоремы Пуассона, устанавливающей, что при N независимых испытаниях с малой вероятностью р положительного исхода в каждом отдельном испытании число положительных исходов п подчиняется приближенно закону распределения Пуассона

где а = Np. См. Пуассона распределение.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА67.

Содержание:

I. Предмет математической статистики 214

II. Связь математической статистики с теорией вероятностей 215

III. Простейшие приемы статистического описания 216

IV. Связь статистических распределений с вероятностными. Оценка параметров. Проверка вероятностных гипотез 220

66 БСЭ-2. - 1954. - Т. 26. - С. 169.

67 Печатается по изданию: БСЭ-2. - 1954. - Т. 26. - С. 485-490. Другие издания: БСЭ-3. — 1974. - Т. 15. — С. 480-484 (совм. с Ю.В. Прохоровым); Математическая энциклопедия. - 1982. - Т. 3. - С. 576-581.

V. Выборочный метод 223

VI. Дальнейшие задачи математической статистики 224

VII. Историческая справка 225

Математическая статистика — раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками (таковы, например, данные табл. 1а и 2а).

I. Предмет математической статистики

Статистическое описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по ее общим свойствам, совсем не требующим ее расчленения на отдельные объекты, — с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (например, учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, посредственных и неудовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности, статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела.

Например, данные гранулометрического анализа породы (т. е. данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнительную информацию по сравнению с испытанием нерасчлененных образцов породы, позволяя в некоторой мере объяснить свойства породы, условия ее образования и пр. (см. Гранулометрия).

Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистических данных о тех или иных совокупностях объектов, называется статистическим. Статистический метод применяется в самых различных областях знания. Однако черты статистического метода в применении к объектам различной природы столь своеобразны, что было бы бессмысленно объединять, например, социально-экономическую статистику [именуемую статистикой (см.) в собственном смысле слова], физическую статистику (см. Статистическая физика), звездную статистику (см. Звездная астрономия) и т. п. в одну науку.

Общие черты статистического метода в различных областях знания сводятся к подсчету числа объектов, входящих в те или иные группы, рас-

смотрению распределения количественных признаков, применению выборочного метода (в случаях, когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности затруднительно), использованию теории вероятностей при оценке достаточности числа наблюдений для тех или иных выводов и т. п. Эта формальная математическая сторона статистических методов исследования, безразличная к специфической природе изучаемых объектов, и составляет предмет М. с.

II. Связь математической статистики с теорией вероятностей

Связь М. с. с теорией вероятностей имеет в разных случаях различный характер. Теория вероятностей (см.)а изучает не любые массовые явления, а явления случайные и именно «вероятностно случайные», т. е. такие, для которых имеет смысл говорить о соответствующих им распределениях вероятностей. Тем не менее, теория вероятностей играет определенную роль и при статистическом изучении массовых явлений любой природы, могущих не относиться к категории вероятностно случайных. Это осуществляется через основанные на теории вероятностей теорию выборочного метода (см.*) и теорию ошибок измерений (см. Ошибок теория). В этих случаях вероятностным закономерностям подчинены не сами изучаемые явления, а приемы их исследования.

Более важную роль играет теория вероятностей при статистическом исследовании вероятностных явлений. Здесь в полной мере находят применение такие основанные на теории вероятностей разделы М. с, как теория статистической проверки вероятностных гипотез, теория статистической оценки распределений вероятностей и входящих в них параметров и т. д. Область же применения этих более глубоких статистических методов значительно уже, так как здесь требуется, чтобы сами изучаемые явления были подчинены достаточно определенным вероятностным закономерностям. Например, статистическое изучение режима турбулентных водных потоков или флюктуации в радиоприемных устройствах производится на основе теории стационарных вероятностных процессов (см.). Однако применение той же теории к анализу экономических временных рядов может привести к грубым ошибкам ввиду того, что входящее в определение стационарного процесса допущение наличия сохраняющихся в течение длительного времени неизменных распределений вероятностей в этом случае, как правило, совершенно неприемлемо.

а См. с. 397 наст. изд. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.

Вероятностные закономерности получают статистическое выражение (вероятности осуществляются приближенно в виде частот, а математические ожидания — в виде средних) в силу закона больших чисел (см.* Больших чисел закон).

III. Простейшие приемы статистического описания

Изучаемая совокупность из п объектов может по какому-либо качественному признаку А разбиваться на классы Ai, л2,..., Аг. Соответствующее этому разбиению статистическое распределение задается при помощи указания численностей (частот) ni, П2,..., Пт (Xw=i пг = п) отдельных классов. Вместо численностей щ часто указывают соответствующие относительные частоты (частости) hi = щ/п (удовлетворяющие, очевидно, соотношению X)i=i h* = Если изучению подлежит некоторый количественный признак, то его распределение в совокупности из п объектов можно задать, перечислив непосредственно наблюденные значения признака: #1, а?2, • • • j Хпу например, в порядке их возрастания. Однако при больших п такой способ громоздок и в то же время не выявляет отчетливо существенных свойств распределения (подробнее о способах изображения и простейших характеристиках распределения одного количественного признака см. Вариационный ряд, Распределения). При сколько-либо больших п на практике обычно совсем не составляют полных таблиц наблюденных значений Xi, а исходят во всей дальнейшей работе из таблиц, содержащих лишь численности классов, получающихся при группировке наблюденных значений по надлежаще выбранным интервалам.

Например, в первом столбце табл. 1а даны результаты измерения 200 диаметров деталей, сгруппированные по интервалам длины 0,05 мм. Основная выборка соответствует нормальному ходу технологического процесса, 1-я, 2-я и 3-я выборки сделаны через некоторые промежутки времени для проверки устойчивости этого нормального хода производства. В табл. 16 результаты измерения деталей основной выборки даны при группировке по интервалам длины 0,25 мм.

Обычно группировка по 10-20 интервалам, в каждый из которых попадает не более 15-20% значений Xi, оказывается достаточной для довольно полного выявления всех существенных свойств распределения и надежного вычисления по групповым численностям основных характеристик распределения (см. о них ниже).

Составленная по таким группированным данным гистограмма (см.*) наглядно изображает распределение. Гистограмма, составленная на основе слишком мелкой группировки, обычно многовершинная, и не отражает наглядно существенных свойств распределения.

В качестве примера на рис. 1 дана гистограмма распределения 200 диаметров, соответствующая данным первого столбца табл. la, а на рис. 3 — гистограмма того

же распределения (соответствующая таблица не приводится ввиду ее громоздкости) при интервале 0,01 мм. С другой стороны, группировка по слишком крупным интервалам может привести к потере ясного представления о характере распределения и к грубым ошибкам при вычислении среднего и других характеристик распределения (см. табл. 16 и соответствующую гистограмму на рис. 2).

Таблица 1а.

Распределение диаметра детали в мм, обнаруженное при статистическом исследовании массовой продукции

(объяснение обозначений х, S, 5 см. с. 219-221)

Диаметр

Основная выборка

1-я выборка

2-я выборка

3-я выборка

13,05-13,09

_

_

1

1

13,10-13,14

2

-

1

1

13,15-13,19

1

-

1

1

13,20-13,24

8

-

-

-

13,25-13,29

17

1

2

1

13,30-13,34

27

1

1

2

13,35-13,39

30

2

3

1

13,40-13,44

37

2

1

1

13,45-13,49

27

1

-

-

13,50-13,54

25

2

1

-

13,55-13,59

17

-

-

-

13,60-13,64

7

1

-

2

13,65-13,69

2

-

-

1

Всего

200

10

10

10

x

13,416

13,430

13,315

13,385

s2

2,3910

0,0990

0,1472

0,3602

s

0,110

0,105

0,128

0,200

Таблица 16.

Распределение диаметра детали основной выборки (из табл. 1а) при более крупных интервалах группировки.

Диаметр

13,00-13,24

13,25-13,49

13,50-13,74

Всего

Число деталей

11

138

51

200

В пределах М. с. вопрос об интервалах группировки может быть рассмотрен только с этой формальной стороны: полноты математического описания распределения, точности вычисления средних по сгруппированным данным и т. д. О группировке, имеющей целью выделить качественно

различные группы в изучаемой совокупности, см. Группировка в статистике.

При изучении совместного распределения двух признаков пользуются таблицами с двумя входами. Примером совместного распределения двух качественных признаков может служить таблица 2а. В общем случае, когда по признаку А материал разбит на классы Ai, А2,..., Ar, а по признаку В — на классы J5i, JB2,... ,В8, таблица состоит из численностей иц объектов, принадлежащих одновременно классам А{ и Bj. Суммируя их по формулам щ. = 5Zj=inû'î n'j = ZH=inu> получают численности самих классов Ai и Bj (очевидно, что 5Zj=i nij = DI=i nî- = Hj=i n-j = n> где n — численность всей изучаемой совокупности). В зависимости от целей дальнейшего исследования вычисляют те или иные из относительных частот

Таблица 2а.

Распределение заболевших и не заболевших гриппом среди работников Центрального универмага в Москве, вдыхавших и не вдыхавших противогриппозную сыворотку (1939)

Не заболевшие

Заболевшие

Всего

Не вдыхавшие

1675

150

1825

Вдыхавшие

497

4

501

Всего

2172

154

2 326

Рис. 1. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,05 мм

Рис. 2. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,25 мм

Рис. 3. Гистограмма распределения диаметров 200 деталей. Длина интервала группировки 0,01 мм

Например, при изучении влияния вдыхания сыворотки на заболевание гриппом по табл. 2а естественно вычислить относительные частоты, данные в табл. 26. Пример таблицы для совместного распределения двух количественных признаков см. в статье Корреляция. Табл. 1а служит примером смешанного случая: материал группируется по одному качественному признаку (принадлежность к основной выборке, произведенной для определения среднего уровня производственного процесса, и к трем выборкам, произведенным в различные моменты времени для проверки сохранения этого нормального среднего уровня) и по одному количественному признаку (диаметр деталей).

Таблица 26.

Относительные частоты (соответствующие данным табл. 2а)

Не заболевшие

Заболевшие

Всего

Не вдыхавшие Вдыхавшие

0,918 0,992

0,082 0,008

1,000 1,000

Простейшими сводными характеристиками распределения одного количественного признака являются среднее

и среднее квадратичное отклонение

где

При вычислении х, 52 и D по группированным данным пользуются формулами

или

где г — число интервалов группировки, — их середины (в случае табл. 1а — 13,07; 13,12; 13,17; 13,22 и т. д.). Если материал сгруппирован по слишком крупным интервалам, то такой подсчет дает слишком грубые результаты. Иногда в таких случаях полезно прибегать к специальным поправкам на группировку. Однако эти поправки имеет смысл вводить лишь при условии выполнения определенных вероятностных предположений.

О различных типах распределений и других их характеристиках см. Вариационный ряд, Распределения. О совместных распределениях двух и большего числа признаков см. Корреляция, Регрессия.

IV. Связь статистических распределений с вероятностными. Оценка параметров. Проверка вероятностных гипотез

Выше были изложены лишь некоторые избранные простейшие приемы статистического описания, представляющего собой в настоящее время довольно обширную дисциплину с хорошо разработанной системой понятий и техникой вычислений. Приемы статистического описания интересны, однако, не сами по себе, а в качестве средства для получения из статистического материала выводов о закономерностях, которым подчиняются изучаемые явления, и о причинах, приводящих в каждом отдельном случае к тем или иным наблюденным статистическим распределениям.

Например, данные, приведенные в табл. 2а, естественно связать с такой теоретической схемой. Заболевание гриппом каждого отдельного работника универмага следует считать случайным событием, так как общие условия работы и жизни обследованных работников универмага могут определять не сам факт заболевания такого-то и такого-то работника, а лишь некоторую вероятность (см.) заболевания. Вероятности заболевания для вдыхавших сыворотку (р\) и для не

вдыхавших (ро)> судя по статистическим данным, различны: эти данные дают основания предполагать, что pi существенно меньше ро. Перед М. с. возникает задача: по наблюденным частотам hi = ^ % 0,008 и Л0 = « 0,082 оценить вероятности pi и ро и проверить, достаточен ли статистический материал для того, чтобы считать установленным, что pi < ро (т. е. что вдыхание сыворотки действительно уменьшает вероятность заболевания). Утвердительный ответ на поставленный вопрос в случае данных табл. 2 а достаточно убедителен и без тонких средств М. с. Но в более сомнительных случаях необходимо прибегать к разработанным М. с. специальным критериям.

Данные первого столбца табл. 1а собраны с целью установления точности изготовления деталей, расчетный диаметр которых равен 13,40 лш, при нормальном ходе производства. Простейшим допущением, которое может быть в этом случае обосновано некоторыми теоретическими соображениями, является предположение, что диаметры отдельных деталей можно рассматривать как случайные величины, подчиненные нормальному распределению вероятностей

Если это допущение верно, то параметры а и а2 — среднее и дисперсию вероятностного распределения — можно с достаточной точностью оценить по соответствующим характеристикам статистического распределения (так как число наблюдений п = 200 достаточно велико). В качестве оценки для теоретической дисперсии а2 предпочитают не статистическую дисперсию D2 = 52/п, а несмещенную оценку (см.)

Для теоретического среднего квадратичного отклонения не существует общего (пригодного при любом распределении вероятностей) выражения несмещенной оценки. В качестве оценки (вообще говоря, смещенной) для а чаще всего употребляют s. Точность оценок х и s для а и а указывается соответствующими дисперсиями, которые в случае нормального распределения (1) имеют вид

где знак ~ обозначает приближенное равенство при больших п. Таким образом, уславливаясь к оценкам прибавлять со знаком ± их среднее квадратичное отклонение, имеем при больших п в предположении нормального

распределения (1):

(2)

В случае данных первого столбца табл. 1а, формулы (2) дают

Объем выборки п = 200 достаточен для законности пользования этими формулами теории «больших выборок».

Дальнейшие сведения об оценке параметров теоретических распределений вероятностей см. в статьях Оценки статистические, Доверительные границы. О способах, при помощи которых по данным первого столбца табл. 1а можно было бы проверить исходные гипотезы нормальности распределения и независимости наблюдений, см. в статьях Распределения, Непараметрические методы, Статистическая проверка гипотез.

При рассмотрении данных следующих столбцов табл. 1а, каждый из которых составлен на основе 10 измерений, употребление формул теории больших выборок, установленных лишь в качестве предельных формул при п —> оо, может служить только для первой ориентировки. В качестве приближенных оценок параметров а и а по-прежнему употребляются величины X и s, но для оценки точности и надежности таких оценок необходимо применять теорию малых выборок (см.). При сравнении по правилам М. с. выписанных в последних строках табл. 1а значений х и s для трех выборок с нормальными значениями а и а, оцененными по первому столбцу таблицы, можно сделать следующие выводы: первая выборка не дает оснований предполагать существенного изменения хода производственного процесса, вторая выборка дает основание к заключению об уменьшении среднего диаметра а (см. Стьюдента критерий), третья выборка — к заключению об увеличении дисперсии (см. «Xu-квадрат» критерий).

Все основанные на теории вероятностей правила статистической оценки параметров и проверки гипотез действуют лишь с определенным уровнем значимости (см.) ш < 1, т. е. могут приводить к ошибочным результатам с вероятностью а = 1 — и. Например, если в предположении нормального распределения и известной теоретической дисперсии сг2 производить оценку а по X по правилу

то вероятность ошибки будет равна а, связанному с к соотношением (см. табл. 3):

Вопрос о рациональном выборе уровня значимости в данных конкретных условиях (например, при разработке правил статистического контроля массовой продукции) является весьма существенным. При этом желанию применять правила лишь с высоким (близким к единице) уровнем значимости противостоит то обстоятельство, что при ограниченном числе наблюдений такие правила позволяют сделать лишь очень бедные выводы (не дают возможности установить неравенство вероятностей даже при заметном неравенстве частот и т. д.).

Таблица 3.

Зависимость а и и; = 1 — а от А:

к

1,96

2,58

3,00

3,29

а

0,050

0,010

0,003

0,001

ш

0,950

0,990

0,997

0,999

V. Выборочный метод

В разделе IV результаты п наблюдений, используемых для оценки распределения вероятностей или его параметров, подразумевались (хотя это и не оговаривалось) независимыми (см. Теория вероятностей и, особенно, Независимость). Хороша изученным примером использования зависимых наблюдений может служить оценка статистического распределения или его параметров в «генеральной совокупности» из N объектов по произведенной из нее «выборке», содержащей п < N объектов.

Терминологическое замечание. Часто совокупность и наблюдений, сделанных для оценки распределения вероятностей, также называют «выборкой». Этим объясняется, например, происхождение употребленного в разделе IV термина «теория малых выборок». Эта терминология связана с тем, что часто распределение вероятностей представляют себе в виде статистического распределения в воображаемой бесконечной «генеральной совокупности» и условно считают, что наблюдаемые п объектов «выбираются» из этой совокупности. Эти представления не имеют отчетливого содержания. В собственном смысле слова, выборочный метод всегда предполагает исходную конечную генеральную совокупность.

Примером применения выборочного метода может служить следующий. Пусть в партии из N изделий имеется X дефектных. Из партии отбирается случайным образом выборка из п < N изделий (например, п = 100

при N = 10000). Вероятность того, что число х дефектных изделий в выборке будет равно m, равна

Таким образом, х и соответствующая относительная частота h = ^ оказываются случайными величинами, распределение которых зависит от параметра X или, что то же самое, от параметра H = j^. Задача оценки относительной частоты H по выборочной относительной частоте h очень похожа на задачу оценки вероятности р по относительной частоте h при п независимых испытаниях. При больших п с вероятностью, близкой к единице, в задаче об оценке вероятности имеет место приближенное равенство

а в задаче об оценке относительной частоты — приближенное равенство

Однако в задаче об оценке H формулы сложнее, а отклонения h от H в среднем несколько меньше, чем отклонения h от р в задаче об оценке вероятности (при том же п). Таким образом, оценка доли H дефектных изделий в партии по доле h дефектных изделий в выборке при данном объеме выборки п производится всегда (при любом N) несколько точнее, чем оценка вероятности р по относительной частоте h при п независимых испытаниях. Когда ~ —► оо, формулы задачи о выборке переходят асимптотически в формулы задачи об оценке вероятности р. См.* также Выборочный метод.

VI. Дальнейшие задачи математической статистики

Теория оценок и вообще статистических выводов, построенных на использовании результатов заданного числа п независимых наблюдений с постоянным распределением вероятностей, и теория выборочного метода для случая выборок фиксированного объема п остаются наиболее разработанными разделами М. с.

Классическая теория корреляции изучает зависимость между величинами на основе совокупности независимых наблюдений. Например, зависимость между величинами £ и rj исследуется при помощи п независимых между собой наблюдений, каждое из которых дает пару значений (я^Уг)? подчиненных исследуемому совместному распределению величин £ и г). По аналогичной схеме изучается зависимость между качественными признаками при помощи дисперсионного анализа (см.).

Методы исследования зависимых наблюдений подверглись в М. с. глубокой разработке лишь в теории временных рядов, главным образом при сильно ограничивающем условии их стационарности (см. Стационарные вероятностные процессы). Большое значение имеют также вопросы планирования статистического эксперимента. В простейшем случае — это вопрос определения числа испытаний п, необходимого для получения с заданным уровнем значимости выводов требуемой точности и полноты. Однако часто априорное определение числа наблюдений невозможно (или нецелесообразно, так как, не фиксируя число наблюдений заранее, а определяя его в ходе эксперимента, можно уменьшить его математическое ожидание). Методы статистического эксперимента, в которых число наблюдений не фиксируется заранее, а устанавливается в ходе эксперимента, объединяют в настоящее время под общим названием последовательного анализа (см.). Впрочем, простейшие приемы такого рода были разработаны давно (см., например, о методе двойной выборки в статье Приемочный статистический контроль*). Строго говоря, статистические методы контроля массовой продукции являются областью применения еще несложившегося раздела М. с, посвященного проблемам регулирования процессов по выборочным статистическим данным, где выбор статистических правил диктуется не задачей получения выводов с заданным уровнем значимости, а задачей достижения определенного хода регулируемого процесса (например, установления режима производства, гарантирующего заданный уровень качества продукции).

VII. Историческая справка

Первые начала М. с. можно найти уже в сочинениях создателей теории вероятностей — швейцарского математика Я. Бернулли (конец 17 - начало 18 вв.), французских математиков П. Лапласа (2-я половина 18 - начало 19 вв.) и С. Пуассона (1-я половина 19 в.). В России методы М. с. в применении к демографии и страховому делу развивал на основе теории вероятностей В. Я. Буняковский (1846). Решающее значение для всего дальнейшего развития М. с. имели работы русской классической школы теории вероятностей 2-й половины 19 - начала 20 вв. (П.Л. Чебышев, А.А. Марков, А.М. Ляпунов, С.Н. Бернштейн). Многие вопросы теории статистических оценок были по существу разработаны на основе теории ошибок и метода наименьших квадратов [нем. математик К. Гаусс (1-я половина 19 в.) и русский математик А.А. Марков (конец 19 - начало 20 вв.)]. Работы А. Кетле(19 в., Бельгия), Ф. Гальтона(19 в., Англия) и К. Пирсона (конец 19 — начало 20 вв., Англия), которых в буржуазной литературе чаще всего выдвигают как основателей М. с, имели большое значение, но по

уровню использования достижений теории вероятностей отставали от работ русской школы, а в части использования методов М. с. в социальных и биологических науках имели реакционную направленность. К. Пирсоном была широко развернута работа по составлению таблиц функций, необходимых для применения методов М. с. В создании теории малых выборок, общей теории статистических оценок и проверки гипотез, последовательного анализа весьма значительна роль более молодых представителей англо-американской школы [Стьюдент (псевдоним В. Госсета), Р. Фишер, Э. Пирсон — Англия, Ю. Нейман, А. Вальд — США], деятельность которых началась в 20-х гг. 20 в. В СССР значительные результаты в области М. с. получены В. И. Романовским, Е. Е. Слуцким, которому принадлежат важные работы по статистике связанных стационарных рядов, Н. В. Смирновым, заложившим основы теории непараметрических методов М. с; на основе М. с. особенно интенсивно разрабатываются статистические методы исследования и контроля массового производства, статистические методы в области гидрологии (см. Гидрологические расчеты), климатологии, звездной астрономии и многие другие. Советские ученые подвергают критике ошибочные методологические установки, формализм и упрощенчество буржуазных научных школ в области М. с. Полному пересмотру подвергнуты в советской науке вопросы применения М. с. в биологических и социальных науках, где формальные методы М. с. особенно часто используются буржуазными учеными в антинаучных целях (см. Статистика, Биометрия).

Лит.: Романовский В. И., Элементарный курс математической статистики, М.-Л., 1939; Митропольский А. К., Техника статистического исчисления, М.-Л., 1931; его же, Статистическое исчисление, т. 1-2, Л., 1952; Длин А. М., Математическая статистика в технике, 2 изд., М., 1951; Бородачев Н. А. и Журавлев А. Н., Статистические методы анализа и контроля качества продукции, хода технологического процесса и состояния производственного оборудования, в кн.: Машиностроение. Энциклопедический справочник, т. 15, М., 1950 (с. 597-647); Романовский В. И., Математическая статистика, М.-Л., 1938; Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1948; Арлей Н. и Бух К. Р., Введение в теорию вероятностей и математическую статистику, пер. с англ., М., 1951; Pearson К., Tables for statisticians and biometricians, p. 1-2, L., 1930-31; Kendall M. G., The advanced theory of statistics, v. 1-2, L., 1948; Haid A., Statistical theory with engineering applications, N. Y.-L., 1952; его же, Statistical tables and formulas, N. Y., 1952.

Обзор работ советских ученых в области математической статистики — Смирнов Н. В., Математическая статистика, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. Сб. статей, под ред. А. Г. Куроша [и др.], М.-Л., 1948.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА68 - термин, не имеющий четко установленного значения; под этим названием объединяют главным об-

68 БСЭ-2. - 1954. - Т. 26. - С. 490.

разом математические методы исследования и решения встречающихся в физике дифференциальных уравнений. См. Уравнения математической физики.

МЕРА69 (матем.), понятие, обобщающее на точечные множества (см.* Множеств теория) понятия длины отрезка, площади (см.) плоской фигуры и объема (см.) тел. Рассмотрим в виде примера плоскую М., т. е. М. точечных множеств на плоскости. При определении обыкновенных площадей мы исходим из площадей прямоугольников, определяющихся элементарно (см. Площадь). Для определения площади фигуры F, ограниченной кривой линией, мы подразделяем плоскость на равные квадраты со стороною е и рассматриваем предел суммы площадей тех квадратов, которые покрывают фигуру F, при £, стремящемся к нулю, как площадь этой фигуры F. Если вместо элементарной фигуры F рассматривать произвольные точечные множества, то указанный метод оказывается пригодным лишь в случае замкнутых множеств. В более общих случаях употребляется определение меры Лебега: мерой множества Е называется нижний предел (см.)

площадей V(An) прямоугольников Ап, взятый по всем системам прямоугольников Дп, покрывающим каждая целиком множество Е. Аналогично определяется линейная М. точечных множеств на прямой, только вместо прямоугольников рассматриваются интервалы, а вместо площадей прямоугольников — длины интервалов. Для фигур, встречающихся в элементарной геометрии, понятие плоской М. совпадает с понятием площади. Аналогично линейная мера интервала совпадает с длиной. Своеобразное понятие М. в более сложных случаях можно понять из следующего примера: М. интервала (0,1) на числовой прямой равна единице, М. множества рациональных точек этого интервала равна нулю, хотя это множество всюду плотно, М. же множества иррациональных точек того же интервала равна единице. Понятие М. лежит в основе определения интеграла Лебега (см.* Интеграл) и вообще принадлежит к числу основных понятий современной теории множеств и теории функций.

Лит.: Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию функций действительного переменного, 2 изд., М.-Л., 1933; Валле Пуссен де ла, Ш. Ж., Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. I—II, Л.-М., 1933. О дальнейших обобщениях см. Carathéodory С, Vorlesungen über reelle Funktionen, Lpz., 1918, 2 Aufl., Lpz., 1927.

69 БСЭ. - 1938. - T. 38. - С. 831-832.

МНОГОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО70 - пространство, имеющее число измерений (размерность, см.) более трех. Обычное эвклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трехмерно.

Через каждую его точку можно провести три взаимно перпендикулярные прямые, но уже нельзя провести четырех. Если принять указанные три прямые за оси координат (см.*), то положение каждой точки пространства определится заданием трех действительных чисел — ее прямоугольных координат, которые могут изменяться независимо друг от друга. Заданием же двух чисел (и тем более одного) положение точки в пространстве определить нельзя, если желать, чтобы эти числа непрерывно зависели от положения точки.

Когда математики говорят о М. п., они отнюдь не оспаривают трехмерность окружающего нас реального пространства (см.). Возникновение понятия М. п. связано с процессом обобщения самого предмета геометрии. В основе этого процесса лежит открытие отношений и форм, сходных с пространственными, для многочисленных классов математических объектов (зачастую не имеющих сами по себе геометрического характера). В ходе этого процесса постепенно выкристаллизовалась идея абстрактного математического пространства как системы элементов любой природы, между которыми установлены отношения, сходные с теми или иными важными отношениями между точками обычного пространства. Наиболее общее в настоящее время выражение эта идея нашла в таких понятиях, как топологическое пространство (см.) и, в частности, метрическое пространство (см.).

Простейшими М. п. являются n-мерные эвклидовы пространства, где п может быть любым натуральным числом. Подобно тому, как положение точки обычного эвклидова пространства определяется заданием трех ее прямоугольных координат, «точка» n-мерного эвклидова пространства задается п «координатами» Х\)Х2,.. • ,хп (которые могут принимать любые действительные значения). Подобно тому, как расстояние между точками M'(z', у', z') и Mn(z“, у”, z") обычного эвклидова пространства выражается формулой

за «расстояние» между «точками» М'(х[, х'2)..., х'п) и Мп(х'{, х^,..., х„) n-мерного эвклидова пространства принимают выражение

Так определенное «расстояние» обладает всеми основными свойствами обычного расстояния; в частности, и в n-мерном эвклидовом пространстве

70 Печатается по изданию: БСЭ-2. - 1954. - Т. 27. - С. 660-661. См. также: БСЭ. -1938. - Т. 39. - С. 577-578; БСЭ-3. - 1974. - Т. 16. - С. 372.

сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Понятие расстояния дает возможность ввести понятие «прямолинейного отрезка» (как совокупности всех «точек» М, для которых М'М + ММ“ = М'М”, где М' и М" — «концы отрезка»), «прямой», «двумерной плоскости» и вообще «fc-мерной плоскости» для любого натурального к < п. При этом, как и в обычном эвклидовом пространстве, «плоскости» выражаются линейными уравнениями (или системой таких уравнений).

Понятие n-мерного эвклидова пространства имеет важные применения в теории функций многих переменных, позволяя трактовать функцию п переменных как функцию точки этого пространства и тем самым применять геометрические представления и методы к изучению функций любого числа переменных (а не только одного, двух или трех). Это и было главным стимулом к оформлению понятия n-мерного эвклидова пространства.

Важную роль играют и другие М. п. Так, при изложении физического принципа относительности пользуются четырехмерным пространством, элементами которого являются так называемые мировые точки. При этом в понятии «мировой точки» (в отличие от точки обычного пространства) объединяется определенное положение в пространстве с определенным положением во времени (поэтому «мировые точки» и задаются четырьмя координатами вместо трех). Квадратом «расстояния» между «мировыми точками» М'(х'\у',z1,t') и М“(х” ,у“ ,zn ,t”) (где первые три «координаты» — пространственные, а четвертая — временная) естественно считать здесь выражение

где с — скорость света. Отрицательность последнего члена делает это пространство «псевдоэвклидовым».

Вообще n-мерным пространством называют топологическое пространство, которое в каждой своей точке имеет размерность п. В наиболее важных случаях это означает, что каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфной открытому шару n-мерного эвклидова пространства.

Подробнее о развитии понятия М. п., геометрии М. п., а также литературу см. в статье Геометрия.

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ71 (матем.) - учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий и может быть пояснено только при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Книги

71 БСЭ-2. - 1954. - Т. 28. - С. 14-17 (совм. с П. С. Александровым).

данной библиотеки, точки данной линии, решения данного уравнения являются элементами соответствующего множества. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристическое свойство элементов, т. е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они. Может случиться, что данным свойством не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество. То, что данный предмет х есть элемент множества М, записывают так: x е М.

Подмножества. Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А называют подмножеством, или частью, множества В. Это записывают так: А С В или В D А. Таким образом, в число подмножеств данного множества В включают и само это множество В. Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества. Всякое непустое подмножество А данного множества В, отличное от всего множества В, называют правильной частью последнего.

Мощность множеств. Первым вопросом, возникшим в применении к бесконечным множествам, был вопрос о возможности их количественного сравнения между собой. Является ли бесконечность множества чисто отрицательным свойством, не допускающим дальнейшего расчленения, или же существуют различные ступени математической бесконечности, бесконечные множества различной количественной силы, различной «мощности»? Эти и подобные вопросы волновали философскую мысль еще задолго до создания М. т. [см., например, Больцано Б., «Парадоксы бесконечного» (1851, рус. пер. 1911) и содержащиеся в этом сочинении ссылки на работы более ранних авторов]. Ответ на эти вопросы дал в конце 70-х гг. 19 в. немецкий математик Г. Кантор, основавший М. т. как математическую науку. Возможность сравнительной количественной оценки множеств опирается на понятие взаимно-однозначного соответствия между двумя множествами. Пусть каждому элементу множества А соответствует в силу какого бы то ни было правила, или закона, некоторый определенный элемент множества В] если при этом каждый элемент множества В оказывается поставленным в соответствие одному и только одному элементу множества Л, то говорят, что между множествами А и В установлено взаимно-однозначное, или одно-однозначное, соответствие [сокращенно: (1-1)-соответствие]. Очевидно, между двумя конечными множествами можно установить (1-1)-соответствие тогда и только тогда, когда оба множества состоят из одного и того же числа элементов. В обобщение этого факта определяют количественную эквивалентность, или равномощность, двух бесконечных множеств, как возможность установить между ними (1-1)-соответствие.

Еще до создания М. т. чешский математик Б. Больцано владел, с одной стороны, вполне точно формулированным понятием (Несоответствия, а с другой стороны, считал несомненным существование бесконечностей различных ступеней; однако он не только не сделал (Несоответствие основой установления количественной равносильности множеств, но решительно возражал против этого. Больцано останавливало то, что бесконечное множество может находиться в (Несоответствии со своей правильной частью. Один из простейших примеров этого заключается в возможности установить (1-1)-соответствие между множеством всех натуральных чисел и множеством всех четных натуральных чисел; это соответствие можно получить, если каждому натуральному числу п поставить в соответствие натуральное число 2п. Вместо того, чтобы в применении к бесконечным множествам отказаться от аксиомы: часть меньше целого, Больцано отказался от взаимной однозначности как критерия равномощности и, таким образом, остался вне основной линии развития М. т. В каждом бесконечном множестве M имеется (как легко доказывается) правильная часть, равномощная всему М, тогда как ни в одном конечном множестве такой правильной части найти нельзя. Поэтому наличие правильной части, равномощной целому, можно принять за определение бесконечного множества (немецкий математик Р. Дедекинд).

Для двух бесконечных множеств Ayl В возможны лишь следующие три случая: либо в А есть правильная часть, равномощная В, но в В нет правильной части, равномощной А\ либо, наоборот, в В есть правильная часть, равномощная А, а в А нет правильной части, равномощной В; либо, наконец, в А есть правильная часть, равномощная В, и в В есть правильная часть, равномощная А. Доказывается, что в третьем случае множества А и В равномощны (теорема Кантора-Бернштейна). В первом случае говорят, что мощность множества А больше мощности множества В, во втором — что мощность множества В больше мощности множества A. A priori возможный четвертый случай — в А нет правильной части, равномощной В, а, в В нет правильной части, равномощной А, в действительности не может осуществиться (для бесконечных множеств), что доказывается, однако, лишь при помощи так называемой аксиомы Цермело (см. ниже).

Ценность понятия мощности множества определяется существованием неравномощных бесконечных множеств. Основной относящийся сюда результат доказан впервые Кантором, а именно: множество всех подмножеств данного множества M имеет мощность большую, чем множество М. Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называют счетным множеством. Мощность счетных множеств есть наименьшая мощность, которую может иметь бесконечное множество; всякое бесконечное множество содержит счетную правильную часть. Кантор доказал, что множество всех рациональных и даже всех алгебраических чисел счетно, тогда как множество всех действительных чисел несчетно. Тем самым было да-

но новое доказательство существования так называемых трансцендентных чисел, т. е. действительных чисел, не являющихся корнями никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (и даже несчетность множества таких чисел). Мощность множества всех действительных чисел называют мощностью континуума. Множеству всех действительных чисел равномощны: множество всех подмножеств счетного множества, множество всех комплексных чисел и, следовательно, множество всех точек плоскости, а также множество всех точек трех- и вообще n-мерного пространства при любом п. Кантор высказал гипотезу (так называемую континуум-гипотезу): всякое множество, состоящее из действительных чисел, либо конечно, либо счетно, либо равномощно множеству всех действительных чисел; эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута. См.* Континуум.

Отображения множеств. В М. т. аналитическое понятие функции, геометрическое понятие отображения или преобразования фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества X и У, пусть каждому элементу х € X поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у = f(x) множества У; тогда говорят, что имеется отображение множества X в множество У или что имеется функция, аргумент х которой пробегает множество X, а значения у принадлежат множеству У; при этом для каждого данного х g X элемент у = f(x) множества Y называют образом элемента x g X при данном отображении, или значением данной функции для данного значения ее аргумента х. Примеры: 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0;0), (0; 1), (1;0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, например, на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множества X всех точек квадрата на множество Y всех точек его основания; точке с координатами (х, у) соответствует точка (х;0). 2) Пусть X — множество всех действительных чисел; если для каждого действительного числа x £ X положить у = f(x) = х3, то тем самым будет установлено отображение множества X в себя. 3) Пусть X — множество всех действительных чисел; если для каждого х G X положить у — f(x) = arctgx, то этим будет установлено отображение множества X на интервал (§,§)• (Ы)-соответствие между двумя множествами X и Y есть такое отображение множества X в множество У, при котором каждый элемент множества У является образом одного и только одного элемента множества X. Отображения примеров 2) и 3) — взаимно-однозначны, примера 1) — нет.

Операции над множествами. Суммой, или объединением, двух, трех, вообще произвольного конечного или бесконечного множества множеств называют множество всех тех предметов, каждый из которых есть элемент хотя бы одного из данных множеств-слагаемых. Пересечением двух, трех, вообще любого конечного или бесконечного множества множеств называют множество всех элементов, общих всем данным множествам. Пересечение даже двух непустых множеств может быть пустым. Разностью между множеством В и множеством А называют множество всех элементов из В, не являющихся элементами из А: разность между множеством В и его частью А называют дополнением множества А в множестве В.

Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см. Ассоциативность, Коммутативность). Операция пересечения, кроме того, распределительна по отношению к сложению и вычитанию. Эти действия обладают тем общим свойством, что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множества М, то и результат будет подмножеством множества М. Указанным свойством не обладает так называемое внешнее умножение множеств: внешним произведением множеств X и Y называют множество X х Y всевозможных пар (х, у), где X € X, у £ Y. Другим в этом смысле «внешним» действием является «возведение в степень»: степенью Yx называют множество всех отображений множества X в множество Y. Можно определить внешнее умножение любого множества множеств так, что в случае совпадения множителей оно перейдет в возведение в степень. Если £ и rj суть мощности множеств X и У, то £ • п и rfi определяются соответственно как мощности множеств X х Y и Yx, что в случае конечных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.

Упорядоченные множества. Установить в данном множестве X порядок — значит установить для элементов этого множества некоторое правило предшествования (следования) (утверждения: «элемент х' предшествует элементу я“», х' < х”, и «я“ следует за х'», х” > х', выражают одно и то же). При этом предполагаются выполненными следующие требования: 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух различных элементов х' G X и х“ € X один предшествует другому (т. е. или х' < х”, или х“ < х'); 3) условие транзитивности: если х < х' и х' < х”, то х < х". Множество, рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нем порядком, называют упорядоченным множеством. Пример: множество всех действительных чисел, в котором меньшее из любых двух чисел считается предшествующим большему, есть упорядоченное множество. Два упорядоченных множества называют подобными, если между ними можно установить (1-1)-соответствие, сохраняющее порядок. Про подобные упорядоченные множества говорят также, что они имеют один и тот же порядковый тип. Таким образом, порядковый тип данного упорядоченного множества есть то общее, что имеют между собой все подобные ему множества. Всякое подмножество упорядоченного множества есть упорядоченное множество. Элемент упорядоченного множества называют первым, если он предшествует в этом упорядоченном множестве всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент. Примеры: в упорядоченном множестве всех действительных чисел нет ни первого, ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном множестве всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а ^ X ^ 6, число а есть первый элемент, а число b — последний.

Упорядоченное множество называют вполне упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеют первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называют порядковыми, или ординальными, числами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число есть обычное порядковое число элементарной арифметики. Порядковые типы бес-

конечных вполне упорядоченных множеств называют трансфинитными числами (см.). Немецкий математик Э. Цермело впервые доказал, что всякое множество может быть вполне упорядочено. Его доказательство опирается на аксиому, известную под названием аксиомы Цермело, или принципа произвольного выбора. Аксиома гласит: пусть дано некоторое множество множеств, попарно непересекающихся и непустых; тогда можно из всех этих множеств сразу выбрать по элементу. Эта аксиома вызвала большие возражения со стороны ряда математиков, которые поэтому не считают установленной и теорему Цермело.

Общая теория мощностей, отображений множеств и операций над ними, а также теория упорядоченных и вполне упорядоченных множеств составляют содержание так называемой абстрактной теории множеств. Основные составляющие ее факты были установлены Кантором. В России вопросы теории трансфинитных чисел разрабатывал И. И. Жегалкин (его книга «Трансфинитные числа» вышла в 1907). Из понятий, обогативших этот отдел М. т. в более поздние годы, уместно указать в первую очередь на понятие частично упорядоченного множества. См. Упорядоченные и частично упорядоченные множества.

Точечные множества. Теория точечных множеств, т. е. в первоначальном понимании слова — теория множеств, элементами которых являются действительные числа (точки числовой прямой), а также точки двух-, трех- и вообще n-мерного пространства, основана Кантором, установившим понятие предельной точки (см.) множества и примыкающие к нему понятия замкнутого множества (см.), и др. Дальнейшее развитие теории точечных множеств шло по нескольким направлениям. Метрическая теория множеств (работы французских математиков Э. Бореля и А. Лебега 1898-1902), основанная на понятии меры множества (см.), развивалась как фундамент общей теории интегрирования и смежных отделов математического анализа и теории функций действительного переменного (тригонометрические ряды, интегральные уравнения и т. д.) и далее привела к возникновению общей теории длин, площадей и объемов разного числа измерений (А. Лебег, К. Каратеодори, Ф. Хаусдорф). Топологическая теория множеств, отправляясь от элементарных понятий замкнутых и открытых множеств, связности (см. Связное множество) и др., установленных Кантором, развилась после работ французского математика М. Фреше (1906) и немецкого математика Ф. Хаусдорфа (1914) в теорию множеств, лежащих в общих метрических пространствах и топологических пространствах (см.), и стала, таким образом, частью топологии (см.). Наиболее самостоятельное существование ведет дескриптивная теория множеств. Основанная французским математиком Р. Бэром и А. Лебегом в связи с классификацией разрывных функций (1905), дескриптивная М. т. началась с изучения и классификации так называемых борелевских множеств (В-множеств). Борелевские множества определяются как множества, могущие быть построенными, отправляясь от замкнутых множеств, применением операций сложения и пересечения в любых комбинациях, но каждый раз к конечному или к счетному множеству множеств. Лебег показал, что те же множества — и только они — могут быть получены как множества точек, в которых некоторая входящая в классификацию Бэра (см.) действительная функция f(x) обращается в нуль или, более общо, удовлетворяет условию вида а < f(x) ^ 6. Дальнейшее развитие дескриптивной М. т. было осуществлено по преимуществу русскими и польскими математика-

ми, особенно московской школой, созданной Н. Н. Лузиным (П. С. Александров, М. Я. Суслин, М. А. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков). Александров доказал теорему (1916) о том, что всякое несчетное борелевское множество имеет мощность континуума. Аппарат этого доказательства был применен Суслиным для построения теории А-множеств, охватывающих, как частный случай, борелевские множества (считавшиеся до того единственными множествами, принципиально могущими встретиться в анализе). Суслин показал, что множество, дополнительное к А-множеству М, является само А-множеством только в том случае, когда множество M — борелевское (дополнение к борелевскому множеству есть всегда борелевское множество). При этом А-множества оказались совпадающими с непрерывными образами множества всех иррациональных чисел. Теория А-множеств в течение нескольких лет оставалась в центре дескриптивной М. т. до того, как Лузин пришел к общему определению проективных множеств, которые могут быть получены, отправляясь от множества всех иррациональных чисел при помощи повторного применения операций вычитания и непрерывного отображения. К теории А-множеств и проективных множеств относятся также работы Новикова и др. Дескриптивная М. т. тесно связана с исследованиями по основаниям математики (с вопросами эффективной определимости математических объектов и разрешимости математических проблем).

Влияние М. т. на развитие современной математики очень велико. Прежде всего, М. т. явилась фундаментом ряда новых математических дисциплин (теории функций действительного переменного, современной общей топологии, общей алгебры, включая теорию бесконечных и топологических групп, функционального анализа и др.). Эти дисциплины, которые без М. т. были бы невозможны, вместе с М. т. занимают все большее место в математике не только по объему математической продукции, посвященной этим дисциплинам, но и по возрастающему удельному весу совокупности этих дисциплин в системе математического познания.

Постепенно теоретико-множественные методы находят все большее применение и в классических частях математики. Например, в области математического анализа они широко используются в качественной теории дифференциальных уравнений и вариационном исчислении (см.). На основе теоретико-множественных построений развивается современный функциональный анализ (см.). Теоретико-множественная аксиоматика теории вероятностей (см.) оказалась наиболее гибкой и охватывающей все имеющие практическое значение части этой науки (например, теорию «случайных функций», т. е. учение о распределениях вероятностей в функциональных пространствах).

Наконец, М. т. оказала глубокое влияние на понимание самого предмета математики (см.*) или таких ее больших отделов, как геометрия (см.). Только М. т. позволила отчетливо сформулировать понятие изоморфизма (см.*) систем объектов, заданных вместе со связывающими их отношениями, и привела к пониманию того обстоятельства, что каждая математиче-

екая теория в ее чистой абстрактной форме изучает ту или иную систему объектов лишь «с точностью до изоморфизма», т. е. может быть без всяких изменений перенесена на любую систему объектов, изоморфную той, для изучения которой теория была первоначально создана. См.* по этому поводу также статью Аксиома.

К настоящему времени (середина 20 в.) математики вполне овладели приемами построения любой математической теории на основе соответствующей теоретико-множественной аксиоматики. В ней точно указываются в форме аксиом свойства основных рассматриваемых в данной теории объектов (например, точек, прямых и плоскостей в геометрии) и основных отношений между ними, достаточные, чтобы все дальнейшее построение теории могло осуществляться без обращения к каким-либо новым специальным свойствам этих объектов и отношений. Однако было бы в корне ошибочно считать (как это делали представители логистики, см.), что таким образом достигается полное сведение содержания всей математики к М. т. и окончательное логическое обоснование математики.

Что касается роли М. т. в вопросах обоснования математики, т. е. создания строгого, логически безупречного построения математических теорий, то следует иметь в виду, что сама М. т. нуждается в обосновании применяемых в ней методов рассуждения. Более того, все логические трудности, связанные с обоснованием математического учения о бесконечности (см.* Бесконечность в математике), при переходе на точку зрения общей М. т. приобретают лишь большую остроту (см. Парадоксы математические). Таким образом, М. т. помогает лишь концентрировать внимание на основных трудностях обоснования математики бесконечного в их общей форме, а не дает универсального их разрешения. Трудности, встретившиеся при развитии самой М. т., привели даже к тому, что некоторые буржуазные направления в философии математики (см. Формализм, Интуиционизм*) пришли к отрицанию наличия содержательного смысла у всей теории бесконечных множеств или у ее значительных частей, уже сложившихся и с успехом применяемых в конкретных исследованиях. Советской науке чужды эти ликвидаторские настроения; однако проблему вполне отчетливого выяснения реального содержания, стоящего за всеми оправдавшими себя в практической работе математиков теоретико-множественными построениями, нельзя считать окончательно решенной. Критическая обработка с точки зрения диалектического материализма всего громадного фактического материала, накопленного М. т., которая продолжает оставаться одной из областей математики, осуществляющих наиболее глубокое взаимное проникновение математических и философских проблем, является важной задачей советской математики.

Лит.: Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948; Александров П. С, Введение в общую теорию множеств и функций, М.-Л., 1948; Сборник статей по философии математики, под ред. С. А. Яновской, М., 1936; Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.-Л., 1937.

ОРИЕНТАЦИЯ72, одно из основных понятий геометрии.

1) О. на прямой. Точка может двигаться по прямой в двух противоположных направлениях. Например, на горизонтальной прямой AB (рис., 1) возможно или движение справа налево или движение слева направо. Прямая вместе с указанием определенного направления на ней называется ориентированной прямой. Значит, каждой обыкновенной (неориентированной) прямой соответствуют две различные ориентированные прямые.

2) О. на кривой. То же самое, что было сказано относительно прямой, относится и к кривым. Например, окружность можно ориентировать или по часовой стрелке (как указано на рис., 2), или против часовой стрелки.

3) О. на плоскости. Рассмотрим какой-либо кусок плоскости, ограниченный простой замкнутой кривой (т. е. замкнутой кривой без кратных точек). Эту кривую можно ориентировать двумя разными способами. Мы будем считать, что, ориентируя кривую, мы тем самым ориентируем и ограниченный ею кусок плоскости. Две простые замкнутые кривые на плоскости считаются ориентированными одинаково, если при обходе этих кривых по указанному направлению ограниченные ими куски плоскости остаются с одной и той же стороны (в обоих случаях или справа, или слева). Например, на рисунке кривые 3 и 4 ориентированы одинаково, а кривая 5 — противоположно первым двум. Достаточно выбрать на плоскости О.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

72 Печатается по изданию: БСЭ. - 1939. - Т. 43. - Стлб. 342-344. См. также: БСЭ-2. -1955. - Т. 31. - С. 188-189; БСЭ-3. - 1974. - Т. 18. - С. 509-510.

одной простой замкнутой кривой, чтобы тем самым определилась соответствующая О. всех остальных таких кривых, лежащих на той же плоскости. Плоскость вместе с определенным выбором О. лежащих на ней простых замкнутых кривых называется ориентированной плоскостью. Ясно, что каждая плоскость может быть ориентирована двумя способами. [В отличие от замкнутых кривых для задания О. плоскости нельзя воспользоваться О. лежащих на ней прямых. Происходит это потому, что простым вращением в пределах плоскости ориентированную прямую можно перевести в самое себя с противоположной О. (рис., 6)]. О. плоскости может также быть задана при помощи выбора системы Декартовых координат. Если на плоскости выбраны оси координат X и Y с определенными положительными направлениями на них, то этому выбору соответствует О. плоскости, при которой окружность с центром в начале координат пробегается в направлении от положительного направления оси X к положительному направлению оси Y. Например, системы координат 7 и 8 (рис.) определяют одну и ту же О. плоскости. Система же координат 9 ориентирована противоположным образом.

4) О. поверхности. Подобно тому, как была выше определена О. плоскости, может быть определена О. любой поверхности, делящей пространство на две части (например, сферы). Для этого рассматриваются куски поверхности, ограниченные простыми замкнутыми линиями. Ориентировать такой кусок поверхности — это значит выбрать определенную О. ограничивающей его кривой. Два куска поверхности называются ориентированными одинаково, если при обходе ограничивающих эти куски поверхности кривых в указанном направлении сами куски поверхности остаются с одной и той же стороны. Например, поверхности 10 и 11 (рис.) двух кубов ориентированы одинаково, а поверхность третьего (12) — противоположным обра-

Рис. 6

Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9

зом. Поверхность вместе с определенной О. кусков, ограниченных простыми замкнутыми кривыми, и называется ориентированной поверхностью. Поверхности, не делящие пространство на две части (см. Односторонние поверхности), могут быть неориентируемыми.

5) О. пространства. Будем рассматривать в пространстве замкнутые поверхности, ограничивающие определенный кусок пространства. Будем говорить, что такая поверхность ориентирована правым образом, если куски этой поверхности при рассматривании снаружи ориентированы против часовой стрелки, подобно кубам 10 и 11 (рис.). Наоборот, будем считать О. замкнутой поверхности, ограничивающей кусок пространства, левой, если ее куски ориентированы при рассматривании снаружи по часовой стрелке подобно кубу 12 (рис.). Выбор определенной ориентации замкнутых поверхностей без самопересечений называется ориентацией самого трехмерного пространства. Таким образом, существуют две О. трехмерного пространства: правая и левая. О. пространства можно установить также при помощи выбора системы Декартовых координат. Если выбраны оси координат ОХ, OY и OZ с определенными положительными направлениями на

Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12

Рис. 13 Рис. 14

них, то соответствующая О. пространства определяется следующим условием: рассматривается тетраэдр О AB С с вершиной О в начале и вершинами А, В, С соответственно на положительных лучах осей ОХ, OY и OZ (рис., 13); треугольник ABC, лежащий на поверхности этого тетраэдра, ориентируется в порядке ABC (т. е. от оси X к оси Y и затем к оси Z) этим определяется О. поверхности тетраэдра, а следовательно, и всего пространства. Мы видим, что выбор осей на рис., 13, соответствует правой О. пространства, выбор же осей на рис., 14, — левой О. пространства. По указанному принципу сами системы координат в пространстве разделяются на правые и левые. Французские геометры и физики обычно пользуются левой системой пространственных координат, а английские — правой. В СССР в чисто математических сочинениях (в частности, в курсах аналитической геометрии) распространено употребление левой системы, в сочинениях же по механике и физике — правой. Понятие О. распространяется также и на многомерные пространства (см.*).

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ73 - математическая дисциплина, исследующая различные системы геометрии с точки зрения их дедуктивного построения на основе той или иной системы аксиом, вопросы полноты систем аксиом геометрии, взаимной независимости геометрических аксиом и т. д. Подобные исследования имеют значение для всех ветвей математики, однако исторически они получили широкое развитие впервые именно в применении к геометрии [после открытия Н. И. Лобачевским основанной на отрицании V постулата Эвклида неэвклидовой геометрии (см.)]. Поэтому в университетском преподавании и при подготовке преподавателей математики в педагогических институтах курс О. г., помимо своего места в специально геометрическом преподавании, служит для ознакомления студентов с аксиоматическим методом в математике вообще. См. также Геометрия, Аксиома*, Лобачевского геометрия и т. д.

ПОВЕРХНОСТЬ74 — одно из основных геометрических понятий. При логическом уточнении этого понятия в разных отделах геометрии ему придается различный смысл.

1) В элементарной геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые П. Каждая из кривых П. определяется специальным способом, чаще всего как геометрическое место точек или линий. Например, П. шара определяется как геометрическое место точек, отстоящих на заданном расстоянии от данной точки; цилиндрическая П. — как геометрическое место параллельных прямых, проходящих через все

73 БСЭ-2. - 1955. - Т. 31. - С. 296-297.

74 Печатается по изданию: БСЭ-2. - 1955. — Т. 33. - С. 346-347 (совм. с Л. А. Скорняковым). См. также: БСЭ. - 1940. - Т. 45. - С. 746-748.

точки данной кривой линии. Общее понятие «П.» в элементарной геометрии лишь поясняется, а не определяется. Говорят, что П. есть граница тела или след движущейся линии и т. п. Эти пояснения правильны в смысле указания на материальное и наглядное происхождение понятия «П.», но они не доводятся в элементарной геометрии до той отчетливости, которая требуется в научных определениях.

2) П. в обычном, наглядном понимании этого слова, вблизи отдельных своих точек, весьма похожа на кусок плоскости. Довольно обширный класс П. можно получить при помощи непрерывного деформирования куска плоскости. Подвергая его различным непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям), можно получить новые П. Все такие П. называют простыми П. или двумерными элементами. Математически строгое определение простой П. таково: простая П. есть непрерывный взаимнооднозначный образ квадрата. Пользуясь средствами аналитической геометрии, можно дать аналитическое выражение этому определению. Для этого рассмотрим на плоскости с прямоугольной системой координат (и, у) квадрат, состоящий из точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам 0^îz^1,0^v<1. Непрерывный взаимно-однозначный образ этого квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат (x,y,z) задается формулами х = <p(u,v), у = ф(и,у), z = x(iz,v) (параметрические уравнения П.). При этом от функций ip(u,v), ф(и,у) и x(uiv) требуется, чтобы они были непрерывны и чтобы для двух различных точек (и, у) и (и', у') соответствующие точки (x,y,z) и (x',yf,z') были различны. Половина П. шара, ограниченная каким-либо из больших кругов (например, П. Северного полушария, ограниченная экватором на глобусе), может служить примером простой П. Однако уже полная П. шара не является простой П. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности. П., которые устроены вблизи каждой своей точки подобно простым П., называются правильными П. или двумерными многообразиями (об обобщении этого понятия на любое число измерений см. статью Многообразие). Многообразиями являются, например, П. шара (рис., 1) или цилиндрическая П. (рис., 2); коническая П. (рис., 3) не является многообразием, так как вблизи своей вершины она устроена существенно иначе, чем простая П. Не является многообразием и самопересекающаяся П., изображенная на рис. 4. Такие П. с особенностями широко изучаются в геометрии.

В дифференциальной геометрии обычно суживают понятия простой П. и многообразия, вводя дополнительные требования «гладкости» П., т. е. существования в каждой точке П. определенной касательной плоскости, кривизны и т. п. Эти требования сводятся к тому, что функции ip(u,y), i/>(u)V)i x(uiv) предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некото-

рых вопросах — неограниченно дифференцируемыми или даже аналитическими. Кроме того, требуется, чтобы в каждой точке хотя бы один из определителей

был отличен от нуля.

3) П. часто задается уравнением вида

(*)

как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют такому уравнению. Если функция Ф(х,у, z) непрерывна и имеет непрерывные производные ^, щ, из которых хотя бы одна не обращается в нуль в некоторой точке П., то в окрестности этой точки П., заданная уравнением (*), будет правильной в смысле приведенного выше определения.

Однако в аналитической и алгебраической геометрии, где задание П. уравнениями вида (*) играет основную роль, самое определение П. приспособляют к этому способу задания. Например, считают, что любая целая алгебраическая функция (т. е. любой многочлен) от х, у, z определяет алгебраическую П. и две алгебраические П. совпадают в том и только в том случае, когда соответствующие функции отличаются лишь постоянным множителем. Алгебраическая П. может не иметь наглядно-геометрического смысла; например, уже в обычном курсе аналитической геометрии говорят, что уравнение

определяет мнимую сферу, хотя в вещественном пространстве нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют такому уравнению.

4) Сказанное в предыдущих двух пунктах о П., лежащих в трехмерном евклидовом пространстве, с небольшими изменениями переносится и на П. в п-мерных пространствах. Возможно также изучение П. с точки зрения их внутренней геометрии (см.) без предположения о том, что они помещены в какое-либо объемлющее пространство. В частности, в топологии (см.) подробно изучаются двумерные многообразия. При этом двумерное топологическое многообразие определяется как топологическое пространство, подчиненное некоторым топологическим условиям (локальная бикомпактность, связность, счетный вес). Кроме того, требуется, чтобы всякая точка имела окрестность, гомеоморфную простой П. или, что то же самое, единичному квадрату. Существуют двумерные многообразия, которые не могут быть топологически (т. е. при помощи непрерывного взаимно-однозначного отображения) вмещены в евклидово трехмерное пространство. Одной из таких П. является проективная плоскость (см.). Компактное двумерное топологическое многообразие называется замкнутой П. Всякая замкнутая П. гомеоморфна полиэдру (см.). Топологически различных замкнутых П. бесконечно много. Однако все они легко обозримы; в частности, всякая замкнутая П., помещающаяся без самопересечений в трехмерное пространство, гомеоморфна П. шара или П. шара с определенным числом «ручек». Число ручек называется родом П. На рис. 5 и б изображены П. рода 1, на рис. 7 и 8 — рода 2.

Лит.: Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М.-Л., 1950; Александров А. Д., Об основах дифференциальной геометрии и их изложении, Успехи матем. наук, 1949, т. 4, вып. 3; Александров П. С, Комбинаторная топология, М.-Л., 1947.

ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА75 (матем.). Натуральные числа 1,2,... ,п,... могут служить или для обозначения числа элементов в некотором множестве (совокупности) объектов, или для обозначения места, которое занимает в упорядоченной последовательности какой-либо объект. В первом случае говорят о «количественных» числах, а во втором — о П. ч. Несмотря на эту двоякую функцию натуральных чисел, существует только одна арифметика натуральных чисел, так что в применении к натуральным числам различие между количественными и П. ч. является лишь указанием на различные пути, по которым происходит образование одного абстрактного математического понятия «натуральное число».

При рассмотрении бесконечных множеств (см.* Множеств теория) дело обстоит иначе, и эти два различных пути абстракции приводят к двум различным теориям: теории порядковых (ординальных) трансфинитных чисел (см.) и теории количественных (кардинальных) трансфинитных чисел. Эти две системы трансфинитных чисел обладают различными свойствами. Например, во второй

75 БСЭ-2. - 1955. - Т. 34. - С. 227.

из них всегда а + ß = ß 4- а (как и в обычной арифметике), в первой же иногда a + ß^ ß + а.

ПРИЕМОЧНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ76, совокупность статистических методов контроля массовой продукции с целью выявления ее соответствия заданным требованиям. П. с. к. — действенное средство обеспечения доброкачественности массовой продукции.

П. с. к. проводится на основе системы (стандарта) правил контроля, предписывающих использование определенного плана контроля в зависимости от количества изделий в контролируемой партии, результатов контроля предыдущих партий, трудоемкости контроля и т. д. Основным методом отбора изделий для контроля является случайных выбор (без возвращения), при котором изделия наудачу отбираются для контроля, причем любой из возможных составов выборки имеет одинаковую вероятность. Иногда используются другие методы выбора.

Если по результатам контроля изделия классифицируются на годные и дефектные, то говорят, что контроль проводится по альтернативному признаку. В практике П. с. к. широко используются одноступенчатые планы контроля по альтернативному признаку, определяемые заданием числа п отбираемых для контроля изделий (п — объем выборки) и так называемого приемочного числа с, смысл которого в следующем: если d — число обнаруженных в выборке дефектных изделий — больше с, то партия бракуется, если же d ^ с, то принимается. Иногда выгодно использовать двухступенчатые планы П. с. к. по альтернативному признаку, определяемые объемами п\ и П2 первой и второй выборок. Если d\ — число дефектных изделий, обнаруженных в первой выборке, — не более ci, то партия принимается, если же d\ ^ т\ {т\ > ci), то бракуется. В тех случаях, когда ci < di < ri, берется вторая выборка, включающая П2 изделий. Если общее число di + d2 дефектных объектов, обнаруженных в первой и второй выборках, не более С2, то партия принимается, если же di + cfe > 02, то бракуется. В некоторых случаях рекомендуется использовать многоступенчатые планы контроля, последовательные планы (см. Последовательный анализ) и др.

Для одних условий производства браковка партии влечет за собой сплошную проверку всех изделий партии с целью устранения из нее всех дефектных изделий, для других означает уничтожение изделий или их использование в качестве сырья для повторного производства (металлические изделия идут в переплавку) и т. д. При использовании П. с. к. решение о приемке или браковке принимается на основе контроля лишь части слу-

76 БСЭ-3. - 1975. - Т. 20. - С. 572-573, стлб. 1703-1706 (совм. с Ю. К. Беляевым). Первое изд.: БСЭ-2. - 1955. - Т. 34. - С. 498-499.

чайно отбираемых изделий. Поэтому всегда имеется не равная нулю вероятность приемки партий, содержащих дефектные изделия. Когда контроль изделий носит разрушительный характер (испытания на разрыв и т. п.), П. с. к. является единственно возможным способом приемочного контроля. Если при контроле свойства изделий не меняются, то в принципе возможен сплошной контроль. Тщательная выборочная проверка изделий может дать более объективные результаты, чем неизбежно менее тщательная (из-за увеличения объема работы) сплошная проверка.

Если изделия отбираются для контроля на основе случайного выбора, то можно вычислить оперативную характеристику плана контроля, равную вероятности P{D) приемки партии, содержащей D дефектных изделий. На рисунке показаны оперативные характеристики одноступенчатого плана контроля для п = 35, с = 2 (рис., а), двухступенчатого плана для п\ = 23, П2 = 56, ci = 0, г\ = 4, С2 = 3 (рис., б) и некоторого последовательного плана (рис., в), для которых среднее число контролируемых изделий с учетом сплошной проверки при решении о браковке приблизительно одинаково, когда контролируется партия из N = 1000 изделий, среди которых имеется п — 10 дефектных.

Оперативные характеристики для приемочного статистического контроля: а — одноступенчатый план, б — двухступенчатый план, в — последовательный план

В стандартах П. с. к. указывается, какие типы планов целесообразно использовать для контроля массовой продукции. Переход от контроля с одноступенчатыми планами к более сложным может уменьшить вероятность ошибочного принятия партий, содержащих большое число дефектных объектов (рис.). Однако планы, отличные от одноступечатых, сложнее как с точки зрения их реализации, так и по методам получения на их основе статистических оценок для уровня качества массовой продукции.

Пусть D — число дефектных изделия в партии, a d — число дефектных изделий, обнаруженных при выборочном контроле. Максимальное значение q математического ожидания — доли принимаемых дефектных изделий — называется предельным средним уровнем выходного качества. Для одноступенчатого плана с объемом выборки п и приемочным числом с при случайном выборе изделий на контроль

где

вероятность обнаружить d дефектных изделий

в выборке объема п из партии, содержащей N изделий,

Если п и D много меньше N, а с много меньше п, то приближенно q « Рс/п, где, например, ро = 0,37, р\ = 0,85, р2 = 1,40.

Для отбора планов контроля серии партий можно исходить из стоимостных показателей контроля. Расходы, связанные с проведением П. с. к., представляют в виде суммы расходов на контроль изделий, составляющих выборку, и ущерба от напрасной забраковки годных изделий. В сумму расходов можно включать и ущерб от принятых дефектных изделий.

В стандартах П. с. к. приводятся правила корректировки, определяющие переход от нормального хода контроля к более жесткому и обратно. Например, при браковке двух из десяти последних проконтролированных партий в некоторых стандартах рекомендуется переход к планам с меньшими значениями оперативной характеристики. Такой переход может быть осуществлен уменьшением значений приемочных чисел или увеличением объемов выборок.

На основе результатов контроля можно получить так называемые последующие оценки для числа предъявленных и принятых дефектных изделий, а также для других показателей эффективности П. с. к. Методы построения последующих оценок были даны А. Н. Колмогоровым.

Если в результате контроля изделий измеряемая величина (размер, вес и т. п.) принимает числовые значения, то говорят, что контроль ведется по количественному признаку. Измеренные значения количественного признака содержат больше информации, чем данные только о количестве де-

фектных изделий, выявляемых при П. с. к. по альтернативному признаку. Можно ожидать, что методы П. с. к. по количественному признаку будут эффективнее П. с. к. по альтернативному признаку.

В 70-е годы 20 в. разработаны основы теории П. с. к. по количественному признаку в предположении, что измеряемые значения — взаимно независимые одинаково распределенные случайные величины, законы распределения которых принадлежат некоторому семейству, например семейству нормальных распределений. Выполнение этих предположений в конкретных условиях требует тщательной проверки. Поэтому к выводам теории П. с. к. по количественному признаку надо относиться с осторожностью.

Контроль по количественному признаку можно проиллюстрировать следующим примером. Допустим, что годность изделия определяется тем, что некоторый размер z не превышает значения а. Из партии случайно выбираются 4 изделия, для которых значения размеров z равны z\, z*i, z%, z\. Партия принимается, если а — z ^ 2,5s, где z = (z\ + Z2 + z% + z^/i, s2 = \ Ylt=i(zi ~~ ^)2> в противном случае — бракуется.

Правила приемки по выборочным данным используются давно. Вопросами теоретического обоснования П. с. к. занимался еще М.В. Остроградский. Однако систематическое развитие теория П. с. к. получила лишь во 2-й половине 20 в.

Лит.: Остроградский М. В., Поли. собр. тр., т. 3, К., 1961, с. 215-238; Колмогоров А. Н., Несмещенные оценки, «Изв. АН СССР. Сер. математическая», 1950, т. 14, №4; Коуден Д., Статистические методы контроля качества, пер. с англ., М., 1961; Беляев Ю. К., Приемочный контроль по альтернативному признаку, в. 1-2, М., 1973; Dodge H. F., Romig H. G., Sampling inspection tables, 2 ed., N. Y. -L., 1959; Haid A., The compound hypergeometric distribution and a system of single sampling inspection plans based on prior distributions and costs, «Technometrics», 1960, v. 2, № 3.

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ В СССР.77 Развитие математики в советский период органически опирается на лучшие достижения дореволюционного периода, но вместе с тем характеризуется и многими новыми чертами. Первой отличительной чертой советского периода является значительно более широкая и плановая организация научных исследований и подготовки научных кадров. В этом направлении крупные заслуги принадлежат В. А. Стеклову; в частности, он создал (1920) при Академии наук научно-исследовательский Физико-математический институт. В первые годы после Великой Октябрьской социалистической революции наиболее бурный рост математической науки наблюдается в Москве. Па-

77 БСЭ. - 1947. - Т. «СССР». Стлб. 1318-1323. Текст является второй частью раздела «Математика» в статье Наука; первая часть — Русская математика до 1918 г. — написана П. С. Александровым.

раллельно с работами Лузина и его учеников по теории функций действительного переменного и теории множеств развиваются исследования по теории функций комплексного переменного (В. В. Голубев, И. И. Привалов, 1891-1941). В то время как часть учеников Лузина продолжает работать над проблемами теории функций действительного переменного (Д. Е. Меньшов, Н.К. Бари), другие берутся за новые области математики: П. С. Урысон (1898-1924) и П. С. Александров делаются основателями и руководителями московской топологической школы, Л. Г. Шнирельман (1905-38) и Л. А. Люстерник разрабатывают топологические методы анализа, А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров создают новое направление в теории вероятностей. В основанном в 1922 Математическом институте Московского университета находится место и для ряда других научных направлений; например, рядом с московским направлением работ по дифференциальной геометрии (Д. Ф. Егоров, С.П. Фиников, С. С. Бюшгенс) чрезвычайно широко и планомерно развивается в школе В. Ф. Кагана многомерная тензорная дифференциальная геометрия, столь важная для современной физики. Под руководством О.Ю. Шмидта создается школа алгебраистов, в которой в дальнейшем особенно выделяется деятельность А. Г. Куроша и многочисленных его учеников. В области теории чисел значительные результаты получены А. О. Гельфондом (р. 1906) — о трансцендентных числах — и Л. Г. Шнирельманом.

Математический институт Московского университета, руководимый (с 1939) В. В. Степановым (собственные работы которого относятся к теории функций действительного переменного и к качественной теории дифференциальных уравнений), остается и в настоящее время самым значительным в СССР центром подготовки математических научных кадров. Выработанные в нем распорядок и традиции подготовки аспирантов оказали некоторое влияние и на постановку этого дела за пределами математики. Из аспирантуры этого института вышла значительная часть советских математиков младшего поколения, работающих в Москве и в других городах СССР.

В Ленинграде в советский период развивались получившие мировую известность работы И.М. Виноградова по аналитической теории чисел. Б.Н. Делоне и Р. О. Кузьмин блестяще продолжали традиции дореволюционной петербургской школы в других разделах теории чисел. Еще более широко в смысле вовлечения большого количества одаренных молодых исследователей развернулась в Ленинграде работа по уравнениям математической физики. Организаторами этой работы явились Н. М. Гюнтер и В. И. Смирнов. Заслуги последнего особенно велики в деле создания совет-

ской школы в этой основной для всего естествознания области математики. Ученики Смирнова и ученики его учеников [академики С. Л. Соболев, Н.Е. Кочин (1895-1945) и С. А. Христианович, член-корреспондент Академии наук СССР И. А. Кибель и многие другие] составляют значительную часть кадров советских исследователей не только в самой теории уравнений математической физики, но и непосредственно в гидродинамике, сейсмологии и метеорологии. Примыкая к ленинградской школе, под руководством Н. И. Мусхелишвили в Тбилиси выросла сильная грузинская школа уравнений математической физики и специально теории упругости (значительные результаты по вариационному исчислению были получены Размадзе). Под некоторым влиянием Москвы развивались в Ленинграде области математики, опирающиеся на теорию множеств и теорию функций действительного переменного. Это в первую очередь заслуга Г. М. Фихтенгольца (теория функций действительного переменного), А.А. Маркова (топология) и Л. В. Канторовича (функциональный анализ). С организационной стороны деятельность ленинградских математиков сосредоточивалась в двух математических институтах: Академии наук СССР (после 1935 — в Ленинградском филиале Математического института Академии наук СССР) и Ленинградского университета.

Следующим по размаху работы научным математическим центром явился Украинский математический институт, учрежденный в Харькове в 1928. В нем получили большое развитие работы Бернштейна и его учеников (В. Л. Гончаров, Н. Д. Ахиезер и др.) по теории аппроксимаций и теории вероятностей. Специальные научные математические институты были учреждены также в Киеве, Тбилиси, Казани, Томске. Эти институты явились организационной основой для планового развития научных математических школ на периферии Советского Союза. Кроме уже упомянутой грузинской школы, среди них необходимо отметить деятельность казанской школы алгебраистов (вопросы классической алгебры и непрерывные группы), возглавлявшейся Чеботаревым, работы казанских геометров — П. А. Широкова (1895-1944) и др., продолжавших традиции Лобачевского, и киевскую школу в области анализа с применениями к нелинейной механике (Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов). Долголетняя деятельность В. И. Романовского (по преимуществу в области математической статистики) и других ташкентских математиков получила прочную организационную базу с учреждением Академии наук Узбекской ССР. Энергично ведется научная работа по математике также в Одессе (М. Г. Крейном и его учениками — в области функционального анализа), в Саратове (где эта работа возглавляется представителем московской тензорной школы В. В. Ва-

гнером, p. 1908) и в ряде других городов Советского Союза. С переездом в 1935 Академии наук СССР в Москву, крупнейшим центром научных исследований в СССР сделался Математический институт имени В. А. Стеклова, возглавляемый И. М. Виноградовым.

В настоящее время советские математики с успехом разрабатывают на высоком теоретическом уровне почти все актуальные разделы математики, в некоторых же из них занимают ведущее положение в мировой науке. Несмотря на такую широту охвата, второй отличительной чертой советской математики является ее единство, преимущественный интерес к узловым проблемам, связывающим различные ветви математического исследования, и стремление к ясному пониманию роли каждого отдельного направления для самой математики, математического естествознания и техники. Благодаря этим устремлениям замкнутость традиционных научных школ все более уступает место их продуктивному взаимодействию. Многие представители «теоретико-множественной» школы учеников Н.Н. Лузина сделались первоклассными исследователями в «классических» областях математики. Например, самым значительным продолжением исследований С. Н. Бернштейна об аналитическом характере решений эллиптических уравнений следует считать глубокие работы И. Г. Петровского по системам уравнений с частными производными. М. А. Лаврентьев и М. В. Келдыш стали одними из замечательных представителей советской механики. Тополог, ученик П. С. Александрова, А. Н. Тихонов приобрел не меньшую известность работами по математической геофизике. В то же время новые работы ленинградской школы в области уравнений математической физики часто проникнуты широкими общими идеями современного функционального анализа (например, многие исследования Соболева). Естественно, что это не означает полного обезличивания отдельных научных школ. Например, в теории вероятностей произошло тесное переплетение тематики исследований Бернштейна, продолжающего традиции Чебышева, Маркова и Ляпунова, и московской школы: представители московской школы дали результаты, относящиеся к уточнению и обобщению классических предельных теорем, а Бернштейн в своеобразной и глубокой форме продолжил московские исследования по стохастическим дифференциальным уравнениям. Тем не менее обе школы остаются во многом различными и, по-видимому, с пользой для науки дополняют друг друга.

С отвлеченной, логической стороны все развитие математики идет из двух основных источников: алгебры и топологии. Их скрещение в простейшей и наиболее общей форме приводит к теории коммутативных групп. В этой области математики, значение которой в математическом естество-

знании становится тоже все более определяющим, основные продвижения принадлежат ученику П. С. Александрова Л. С. Понтрягину, известному также и в качестве одного из самых сильных представителей чистой топологии. Трудные проблемы теории непрерывных групп решены в казанской школе Чеботарева, а также А. И. Мальцевым в Москве. В порядке дальнейшего усложнения объединяющих общих идей современной математики, мы приходим к уже неоднократно упоминавшемуся в этой статье функциональному анализу, который подчиняет решение проблем классического анализа общим алгебраическим и топологическим методам. Идеями функционального анализа глубоко проникнуты очень многие работы советских ученых разных направлений. В области специфических собственных проблем функционального анализа наиболее замечательные результаты принадлежат молодому московскому математику И. М. Гельфанду (р. 1912).

Этот путь конкретизации самых общих отвлеченных идей современной абстрактной математики находит свое естественное продолжение в дальнейшем пути от проблем самой математики — к ее применениям. Третьей особенностью советского периода развития русской математики является организованная и широкая работа советских математиков над наиболее актуальными задачами, выдвигаемыми не только потребностями механики и физики, но и непосредственно техникой и, в частности, нуждами обороны страны. Эта последняя черта проявилась особенно ярко во время Великой Отечественной войны с Германией и Японией.

Доведение математических прикладных исследований до конкретных числовых результатов в настоящее время часто требует огромных усилий. Благодаря этому во всех странах энергично ведутся работы по созданию новых методов математических расчетов. Вычисление математических таблиц делается серьезной государственной задачей, требующей специальной организации. Особенно растет внимание к механизации математических вычислений, для чего создаются сложные математические машины (для решения дифференциальных уравнений, гармонического анализа и т. п.). Первые шаги советской математики в этом направлении возглавлялись А. Н. Крыловым, о деятельности которого уже говорилось в первой части статьи78. Новый метод решения дифференциальных уравнений был предложен С. А. Чаплыгиным. Важные исследования о численных решениях уравнений математической физики были проведены Л. В. Канторовичем. Незаменимая при более грубых быстрых расчетах номография разрабатывалась в СССР Н.А. Глаголевым. В последние годы ра-

78 См. сноску на с. 247.

Среднее арифметическое и среднее гармоническое являются частными случаями степенного среднего

боты по вычислительной математике сосредоточиваются в специальном отделе Математического института Академии наук СССР, возглавляемом Л. А. Люстерником. Сложные машины для решения дифференциальных уравнений сконструированы в Энергетическом институте Академии наук СССР И. С. Бруком и Л. И. Гутенмахером.

Наиболее замечательные работы советских математиков отмечены присуждением за них Сталинских премий: И. М. Виноградову — за решение проблемы Гольбаха в теории чисел, проблемы, которая дожидалась своего решения почти двести лет; Н. И. Мусхелишвили — за исследование дифференциальных уравнений теории упругости; С.Н. Бернштейну — за работы по теории вероятностей; П. С. Александрову — за работы по топологии; М. А. Лаврентьеву — за применение общих методов теории функций к задачам механики; И. Г. Петровскому — за исследования систем дифференциальных уравнений в частных производных; СЛ. Соболеву — за работы по дифференциальным уравнениям, имеющие применения к сейсмологии и к другим задачам распространения колебаний; Л. С. Понтрягину — за работы по теории топологических групп; А. Н. Колмогорову и А. Я. Хинчину — за работы по теории вероятностей; А. Д. Александрову — за исследования о геометрических свойствах выпуклых тел; Л. А. Люстернику — за работы по топологическим методам анализа; А. И. Мальцеву — за исследования по теории непрерывных групп, Ю.В. Линнику — за работы по теории чисел.

Ряд Сталинских премий был присужден математикам за исследования в области физики (Н.Н. Боголюбову), технических наук (А.Н. Крылову, CA. Христиановичу и М. В. Келдышу) и за участие их в изобретательской технической работе (М. А. Крейнес).

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ79, средние. Для п чисел Х\,х2,... ,хп арифметическая средняя (см.) равна числу s = xi+xz+"'+хп ? геометрическая средняя (см.)

гармоническая средняя

79 БСЭ. - 1947. - Т. 52. - С. 508-509.

определяемого для положительных Х{ при любом действительном показателе а^О. Если а = 1, то Sa = s, если а — — 1, то Sa — д. При а —> О степенное среднее Sa стремится к геометрическому среднему га. Поэтому можно считать, что So = т. Важную роль играет неравенство Sa ^ S/?, если а ^ ß. В частности, g ^ m ^ s.

Наряду с этими средними рассматриваются взвешенные средние

в частности,

которые переходят в простые средние при р\ = Р2 = 'ш • = Рп — 1. О С. в. в статистике см. Математическая статистика.

Лит.: Hardy G. H.f Littlewood J. E., Pölya G., Inequalities, London, 1934, chapter 2.

УРАВНЕНИЕ80, равенство между двумя функциями того или иного числа «неизвестных» величин; например в случае трех неизвестных х, у, z общий вид У.: у?(х,у, z) = ф(х)у^). У. справедливо лишь при некоторых значениях неизвестных. Например, У. х2 + у2 = z2 справедливо, если х = 3, y = 4 и г = 5, и не верно, если х = 3, у = 4 и z = 7. У., справедливое при любых значениях неизвестных, называется тождеством; например, (х+у)2 = х2 + 2ху + у2 есть тождество. Каждая комбинация значений неизвестных, для которой У. справедливо, называется решением У. Например, тройки чисел (х = 3, у = 4, z = 5), (х = 0, у = 0, z = 0) или (х = 1, у = 1, г = \/2) суть решения уравнения ж2 + у2 = z2. Решить У. значит найти все его решения. Например, У. х2 — Зх + 2 = 0 имеет два решения — х = 2 и X = 1 — и не имеет больше никаких других решений. Задача решения У. приобретает различный смысл в зависимости от того, среди какого запаса чисел ищется решение. Например, У. ху = 2 допускает ровно четыре решения в целых числах (х = 1, у = 2), (х = 2, у = 1), (х = —1, у = —2), (х = —2, у = — 1); если же допускать и дробные числа, то появляется бесконечное множество новых решений, как например (х = 3, у = 2/3) и т. д. Точно так же У. х2 = — 1 не имеет действительных решений, но имеет два мнимых решения х = г и х = —г.

80 БСЭ. - 1936. - Т. 56. - Стлб. 163-165.

Решением системы У. называется любая комбинация значений неизвестных, для которой все У. системы справедливы. Например, система x2 + у2 = 8, x + у = 0 имеет два решения (х = 2, у = —2) и (х = —2, у = 2). Две системы У. (или два У.) называются равносильными, если каждое решение одной системы (уравнения) является решением другой системы (уравнения) и наоборот. Например, система х2 + у2 = 8, х + у = О равносильна системе х + у = 0, ху + 4 = 0; точно так же У. 2х + 1 = Зх + 5 равносильно У. х + 4 = 0. В случае одного У. известны следующие элементарные правила: 1) если прибавить к обеим сторонам У. одно и то же выражение, то получится У., равносильное первоначальному, 2) если умножить обе стороны У. на одно и то же выражение, которое ни при каких значениях неизвестных не теряет смысла (иногда говорят — не обращается в бесконечность) и не обращается в нуль, то получится У., равносильное первоначальному. При умножении обеих сторон У. на выражение, которое может обращаться в нуль, у нового У. могут получиться лишние решения, отсутствовавшие у первоначального. Например, У. х — 2 = 0 имеет единственное решение х = 2; умножая У. на (х — 1), получаем другое уравнение x2 — Зх + 2 = 0, которое имеет уже два решения: х = 2 и х = 1.

У. называется алгебраическим, если обе его стороны выражаются через неизвестные при помощи четырех арифметических действий или извлечение корня целой степени. Решение алгебраического У. с одним неизвестным может быть сведено к решению У. вида

(1)

Здесь число п называется степенью У. (предполагая an ф 0). У. первой степени аох + а\ = 0 имеет единственное решение х = —ai/ao- Решение У. второй степени (см. Квадратное уравнение) по новейшим исследованиям Нейгебауэра было известно в Вавилонии ранее 1800 лет до хр. э., древнегреческие геометры владели им в геометрической форме; алгебраическое решение квадратных У. стало известным в Европе от арабов. Решение У. третьей степени было получено в Италии в 16 в. (см. Кардано формула). Тогда же ученик Кардано Феррари решил общее У. четвертой степени. У. вида (1) любой степени п ^ 1 всегда имеет хотя бы одно решение, или, как обычно говорят, один корень, действительный или комплексный (см. Комплексные числа)] это составляет так называемую основную теорему алгебры, доказанную Гауссом (1799). Число различных корней У. n-й степени не превосходит п, а если каждый корень считать с его «кратностью», — всегда точно равно п. Если ai,a2,... ,an корни У. (1) (при этом каждый

кратный корень берется число раз, равное его кратности), то

Долго безуспешно пытались выразить корни общего У. пятой степени clqx5 + ai я4 + • • • + as = 0 через коэффициенты ao, ai, а2, аз, а4, as при помощи арифметических действий и извлечения квадратного корня, пока Абель в 1826 не доказал, что это невозможно. Вопрос о разрешимости алгебраических У. в радикалах привел в 1830 Галуа к общей теории (см. Теория Галуа), охватывающей важнейшие свойства алгебраических У. и так называемых полей алгебраических чисел.

Среди систем У. простейшими являются системы линейных У. Система из п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

Такая система имеет одно единственное решение, если определитель (см.), образованный из коэффициентов а^, отличен от нуля. Решение это дается формулами xi = Ai/Д, г = 1,2,3,..., п, где Л есть определитель из коэффициентов ay, а тот же определитель, но с заменой г-го столбца столбцом правых частей У., т.е. столбцом из Ь*. Вообще говоря, решение системы У. (не обязательно линейных) сводится к решению одного У. при помощи так называемого исключения неизвестных (см.*).

Кроме алгебраических У. часто приходится иметь дело с трансцендентными У., как например sin а; — Хх = 0. При практическом числовом решении трансцендентных У., так же как и при числовом решении алгебраических У. высших степеней, чаще всего приходится применять приближенные методы решения. Среди них наиболее просты метод Ньютона и метод ложного положения (Regula falsi). Метод Ньютона заключается в следующем: ищется корень У. f(x) = 0. Пусть известно приближенное значение (практически первое приближение часто удобно находить графически) х\ корня хо. Дальнейшие приближения определяются формулами х2 = xi- f{x\)lf{xi), вообще xn+i = хп - f(xn)/f'(xn), где f'(x) обозначает производную от функции f(x). Если первое приближение х\ близко к а?о, то [если только производная f'(x) непрерывна] последовательные приближения хп сходятся к xq. В случае алгебраических У. одним из самых совершенных является метод Греффе.

В аналитической геометрии (см.) одно У. с двумя неизвестными интерпретируется при помощи кривой на плоскости, а одно У. с тремя неизвестными — при помощи поверхности в трехмерном пространстве. Решения системы двух У. с двумя неизвестными интерпретируются точками пересечения соответствующих двух кривых, а решения системы трех У. с тремя неизвестными — точками пересечения трех соответствующих поверхностей.

Лит.: Шапиро Г. М., Высшая алгебра, М., 1935; Граве Д., Элементы высшей алгебры, Киев, 1914; Сушкевич А. К., Основы высшей алгебры, 2 изд., М.-Л., 1932; Чеботарев Н., Основы теории Галуа, ч. 1, М.-Л., 1934.

III

Статьи о математике в других изданиях

СОВРЕМЕННЫЕ СПОРЫ О ПРИРОДЕ МАТЕМАТИКИ

I

Никогда еще претензия математики на незыблемость и общезначимость ее выводов не подвергалась столь суровым испытаниям, как в настоящее время. Недаром французский математик Адамар по поводу некоторых математических споров выставил недавно гипотезу, что причина несогласий кроется в разности осмотического давления в клеточках мозга, или еще каком-либо различии, столь же мало поддающемся устранению посредством логических доказательств. Если эта гипотеза и носит несколько шуточный характер, то самая безнадежность придти к соглашению по некоторым вопросам очень остро ощущается многими. Так, еще в 1905 г. в «пяти письмах о теории множеств» несколько французских математиков, в том числе Адамар и Борель, высказали прямо противоположные мнения по поводу, незадолго до этого предложенного Цермело, так называемого «принципа произвольного выбора». То, что казалось Адамару совершенно очевидным и не требующим никаких доказательств, Борелю представлялось отнюдь не очевидным и даже лишенным всякого смысла. Лебег и Бэр в своих письмах высказали еще новые оттенки взглядов на тот же вопрос. Все эти различные мнения остаются непримиренными до настоящего времени.

Правда, исчисление бесконечно малых в первый период своего развития вызывало также много споров и несогласий. Но там дело шло только об отсутствии достаточно точных определений; недостаток этот сознавался и самими сторонниками новых методов и в течение XIX века был устранен. В настоящее время исчисление бесконечно малых обосновано столь же прочно, как и более старые отрасли математики, и по поводу смысла его основных понятий не возникает никаких недоразумений1. Для этого было

Научное слово. - 1929. — № 6. — С. 41-54.

1 Правильнее было бы сказать так: когда исчисление бесконечно малых удалось как будто обосновать столь же прочно, как и самое элементарную математику, в строгости и точности которой до тех пор никто не сомневался, обнаружилось, что эта элементарная математика сама нуждается в таком обосновании, и была сделана следующая попытка обосновать самое элементарную математику (в первую очередь арифметику в связи с канторовским учением о множествах) на специально для этого расширенной формальной логике (Фреге, Рессель [имеется в виду Бертран Рассел. — Прим. ред. тома Избранных трудов.]), для чего уже тут пришлось выйти, собственно говоря, за пределы специально математической области. Как известно, попытка эта окончилась неудачей, приведя к целому ряду характерных для формальной логики антиномий, на которых подробнее автор останавливается в дальнейшем. Ред. изд. 1929 г.

достаточно проделать чисто математическую работу: дать хорошие определения и формулировать исчерпывающую систему допущений, на которые опираются последующие логические построения. Разрешения же современных разногласий приходится искать вне математики. Когда часть математиков формулирует достаточно простой принцип теории множеств, кажущийся им очевидным, другая же часть находит этот принцип лишенным какой бы то ни было убедительности, неизбежным становится теоретико-познавательный анализ смысла основных терминов, ими употребляемых. Дело идет собственно о понятиях множества, его элемента и, особенно, о понятии существования. Довольно ясно, что формальное математическое определение этих понятий было бы пустой тавтологией.

Эта и многие другие трудности, возникшие на окраинах современной математики, по поводу недавно возникших крайне абстрактных теорий, не мешают, конечно, продолжать текущую работу в классических областях математики. При этом имеется довольно обоснованная уверенность, что наиболее ценные конкретные достижения современной математики устоят против ведущейся разрушительной критики. Однако с чисто логической точки зрения дело обстоит так, что при исследовании весьма конкретных вопросов классического анализа применяются те же самые методы, которые в более общих теориях приводят к затруднениям и даже противоречиям. На этом обстоятельстве особенно настаивает Вейль. Например, он убедительно показывает, что доказательство существования верхнего предела числовой последовательности обосновывается рассуждениями совершенно такого же рода, как те, которые в общей теории множеств приводят к противоречиям (антиномиям), открытым Ресселем и другими.

Естественен поэтому повышенный интерес, который проявляют сейчас математики к углубленному исследованию оснований своей науки. При этом им неизбежно приходится выходить за пределы собственно математических рассуждений и опираться на ту или иную теорию математического познания. К сожалению, часто теория познания математиков, занимающихся исследованием оснований, имеет несколько кустарный, доморощенный характер.

Две теории в настоящее время обещают разрешить все затруднения, волнующие математиков, обе, правда, довольно дорогой ценой.

Возглавляемый Гильбертом формализм предполагает сделать это посредством превращения математики в чистую игру символами, в которой все позволено под единственным условием уметь доказать отсутствие в этой игре противоречий. Интуиционизм Брауэра, напротив, предлагает изгнать из математики все, что не имеет твердого основания в общей всем ин-

туиции2. Большинство математиков, внимательно присматриваясь к обоим течениям, занимает выжидательную позицию.

Основной трудностью при изложении содержания этих двух теорий для неспециалистов является то обстоятельство, что обе они возникли в виде реакции против теоретико-множественной концепции математики, которая сама имеет не столь древнее происхождение и еще недостаточно хорошо известна нематематикам. Поэтому нам придется сначала напомнить ее развитие, в основном закончившееся к началу нашего столетия, затем рассмотреть те затруднения, к которым она привела, и лишь после этого наметить попытки их преодоления, предлагаемые Гильбертом и Брауэром.

II

Наибольшей известностью пользуется изложение нового взгляда на структуру математической теории, данное на границе нашего и прошлого века в «Основаниях геометрии» Гильберта. Здесь объявляется, что геометрия имеет дело с системой вещей, условно называемых «точками», «прямыми», «плоскостями», связанных отношениями тоже совершенно неизвестной природы, отношениями, условно описываемыми терминами «прямая проходит через точку» и т. д. Отнюдь не природа этих вещей и отношений определяет содержание геометрии. Для развития геометрии важно только то, что эти отношения удовлетворяют известным аксиомам, например такой: «существует одна и только одна прямая, проходящая через две данных точки». Гильбертом дана система из двадцати двух аксиом геометрии; всякая система вещей и отношений, которая удовлетворяет этим двадцати двум аксиомам, по мнению Гильберта с одинаковым правом может быть названа «пространством». В ряде приложений к «Основаниям геометрии»

2 Интуиция или созерцание, которое здесь, однако, нужно понимать не как чувственное или эмпирическое созерцание, но лишь «как род непосредственной достоверности», в которой нам даны (именно «даны», т. е. установлены, а не обоснованы, или, что было бы еще больше, доказаны) основные логические и математические предметы и положения. Эти основные математические «факты» интуиционисты рассматривают как действительные логически-математические основоположения, а не как целесообразные или совсем произвольные допущения, с которых начинается рассуждение. Именно в этом смысле они и говорят о предметной математике в противоположность беспредметной «шахматной игре» формалистов. Однако поскольку они хотят иметь этот предмет математики исключительно внутри ее самой, из внутренней логической интуиции, а не из материальной человеческой деятельности и опыта, — эта их, хотя и соблазнительная своей видимой «предметностью», установка свидетельствует с самого же начала об их идеализме, переносящем нас из мира реальных материальных вещей и отношений в царство идей старика Платона, где сам «предмет» оказывается лишь бесплотной тенью. Оставаясь на почве идеализма, нельзя в действительности преодолеть беспредметности формализма. Ред. изд. 1929 г.

показывается, что и другие математические теории могут быть изложены подобным образом. Рессель формулировал этот взгляд на истинный смысл математической теории в виде широко известного парадокса: «математика — это наука, которая не знает, о чем она говорит и что она говорит».

Первой теорией, которая получила строгое абстрактное изложение, т. е. изложение, ничего не предлагающее относительно природы элементов, образующих изучаемую систему, была теория групп.

Именно, Кэли в 1854 г. было предложено называть «группой» всякую систему элементов, для каждых двух из которых определен третий элемент, называемый их «произведением», если только это произведение удовлетворяет известным перечисленным им условиям, например условию (АВ)С = А(ВС). Приведем два примера групп. Группой будет совокупность тех вращений куба вокруг его центра, которые совмещают его с самим собой3. Число различных таких вращений равно 24. Группой же будет совокупность всевозможных перестановок четырех символов. Число таких перестановок тоже равно 24. Больше того, внутренняя структура этих двух групп, на первый взгляд не имеющих между собой ничего общего, совершенно тождественна. С точки зрения абстрактной теории это одна и та же группа. Именно в возможности абстрактную теорию применять в самых различных случаях, придавая основным ее терминам то или иное конкретное значение, и заключается одно из основных преимуществ новой точки зрения.

Отчетливое понимание абстрактной природы геометрии мы встречаем впервые в 1871 г. у Клейна, который показал, что каждая из трех разработанных к тому времени систем геометрии допускает много различных применений. Так, например, сферы и окружности, ортогональные к одной данной сфере в эвклидовом пространстве, обладают всеми свойствами плоскостей и прямых геометрии Лобачевского. Поэтому из каждой теоремы геометрии Лобачевского мы может одним изменением терминов получать теорему о сферах и окружностях эвклидова пространства.

Абстрактное изложение теории чисел было дано Пеано, для чего ему понадобились только три аксиомы. Но целые числа сохраняют и в современной математике особое положение. В самом деле, математика изучает системы предметов, отвлекаясь от природы каждого из них. Но сама система, если она конечна, состоит из определенного числа предметов. Так, абстрактные группы классифицируются по их «порядку», числу элементов. Здесь число фигурирует не как нечто, удовлетворяющее аксиомам Пеано, а как понятие с вполне определенным содержанием.

Отстаивая такое особое положение в математике целого числа, Пуанкаре безусловно высказывал мнение большинства математиков.

3 При этом произведением двух вращений А и В называют тот поворот куба, который получается, если к кубу, повернутому при помощи вращения А, применить вращение В.

Зато теорию действительных чисел (дробных и иррациональных) современная математика склонна рассматривать как абстрактную теорию, так как конкретное их осуществление достаточно разнообразно4. Система аксиом, определяющая действительное число, дана в одном из приложений к «Основаниям» Гильберта.

Для того чтобы абстрактная теория имела смысл, необходимо существование хотя бы одной системы предметов и отношений, удовлетворяющей выставленным аксиомам. Когда дело идет о системах из конечного числа элементов, вопрос решается крайне просто, так как такая система может быть непосредственно материально осуществлена. Так и поступают в теории конечных групп: группу задают таблицей ее элементов и их произведений.

Много сложнее вопрос об абстрактных системах геометрии. Первоначальной моделью математического пространства было физическое пространство нашего внешнего опыта. Но, во-первых, геометрия идеализирует данные непосредственного опыта, что разрушает однозначность связи между элементами математического пространства и наблюдаемыми элементами пространства физического. Во-вторых, теперь мы имеем уже не одно математическое пространство, а бесчисленное их множество, причем неизвестно, которое из них является наиболее точной моделью пространства физической действительности. Поэтому приходится конструировать образцы различных пространств аналитическим путем. Так, для доказательства реальности5 данной им системы аксиом эвклидова пространства Гильберт рассматривает пространство, в котором точки являются просто тройками действительных чисел — их координат. Точно так же и другие виды пространств легко строятся при помощи чисел. Но и сами действительные числа нуждаются в конструкции.

Обычно при конструктивном определении числа предполагают уже данными целые числа, как определенные их реальным значением. Правда, логисты (Пеано, Рессель) пытались обойтись без этого, но мы увидим дальше, что действительные тенденции логистики оказались очень далеким от рассматриваемой сейчас концепции.

4 Раньше всего они появились как мера, т. е. как отношение двух величин; но с чисто арифметической точки зрения дробные числа получаются как результат деления, не осуществимого в пределах целых чисел, иррациональные же — в виде пределов последовательностей рациональных чисел; можно также называть действительным числом просто всякую бесконечную десятичную дробь.

5 Для Гильберта «реальностью» является здесь фактически именно непротиворечивость, ибо критерием реальности служит не человеческая практика (включая в нее и естествознание, пользующееся математикой), а возможность отображения (интерпретации) на некоторую непротиворечивую систему (причем молча постулируется, что ничто существующее в природе не может быть противоречивым). Ред. изд. 1929 г.

Рациональные числа строятся без труда посредством пар целых чисел, изображающих их в виде дроби. Существенно новый принцип пришлось ввести Дедекинду для определения произвольного действительного числа. Дедекинд определяет действительное число как сечение в ряду рациональных чисел, т. е. использует для определения одного действительного числа разбиение рациональных чисел на два бесконечных множества. Это приводит нас к одному из основных конструктивных принципов теории множеств — переходу от данного множества к множеству его частей.

Теперь часто предпочитают построение действительного числа, отправляясь непосредственно от целых чисел. Так, можно объявить действительным числом просто всякую последовательность натуральных чисел, рассматриваемую как последовательность неполных частных непрерывной дроби. Последовательность натуральных чисел, в которой каждому номеру места в последовательности соответствует определенное число, есть не что иное, как целочисленная функция от целочисленного аргумента. Аналогично, имея два множества, строят множество всех функций, ставящих в соответствие каждому элементу первого множества некоторый элемент второго множества.

Если к этим принципам присоединить еще сложение множеств, то мы получаем возможность, исходя от натурального ряда целых чисел, построить запас элементов достаточной мощности, чтобы составить из них системы, удовлетворяющие самым разнообразным требованиям.

III

Предыдущие краткие указания были направлены, главным образом, к тому, чтобы сделать ясным, насколько теоретико-множественная точка зрения глубоко проникла всю современную математику. Общая теория множеств с ее специальными проблемами, правда, остается несколько изолированной, но ее методы получают все большее преобладание в изложении классических отраслей математики и постепенно проникают в элементарные учебники.

Мы могли различить в этой концепции математики две стороны: с одной стороны имеются теории, постулирующие существование бесконечных систем объектов, удовлетворяющих известным аксиомам, и формально извлекающие из этих аксиом свойства изучаемой системы; с другой стороны признается необходимой еще конструкция соответствующих объектов, исходя из натурального ряда или еще какого-либо запаса элементарных объектов. Последние годы показали, что устойчивого равновесия между этими двумя сторонами достигнуто не было. С известным приближением можно формулировать выдвинутые в новейшее время точки зрения так: Гильберт

предлагает сохранить только первую формальную часть математики, освободив нас от необходимости конструкции посредством своей теории непротиворечивости; Брауэр, напротив, ценит по преимуществу конструктивную часть, но думает, что конструкция не в состоянии дать нам то законченное существование бесконечных совокупностей, которое требуется для свободного применения ставших обычными в математике способов рассуждений, и поэтому требует коренного пересмотра приемов математического доказательства.

Появление этих крайних точек зрения объясняется тем, что соединение обеих сторон теоретико-множественной математики привело к большим затруднениям и даже противоречиям. Общим источником этих затруднений является следующее. Математики привыкли обращаться с числами, функциями, множествами так, как будто бы это были вещи реального мира, во всем подобные материальным.

Уже самое предпочтение термина «вещь» (Ding) термину «предмет» (Gegenstand) достаточно характерно в этом отношении; а именно о системе «вещей» говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», так же как и большинство математиков. Между тем такой взгляд в общей теории множеств приводит к противоречиям.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим известный парадокс Ресселя. Предположим при этом, что все логические классы существуют наподобие столбов, к которым протянуты проволоки от всех входящих в них вещей. Если сам класс является элементом самого себя, то столб наш должен выступать в двойной роли: элемента класса и столба, этот класс отображающего. Исходящая от него как от элемента проволока должна возвращаться к нему же как к столбу, отображающему весь класс элементов. Выделим теперь все те столбы, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом, это те классы, которые не содержат сами себя в качестве элемента. Среди них, например, не будет класса всех классов. Выделенные столбы образуют вполне определенный класс вещей. Следовательно, должен уже существовать столб, к которому сходятся проволоки от всех выделенных столбов. Когда мы спросим себя, принадлежит ли последний столб к числу выделенных, мы и получаем без труда противоречие. Если он принадлежит к их числу, то от него должна исходить проволока, возвращающаяся к нему же, что невозможно, ибо слова «принадлежит к их числу» означают, что он сам есть один из таких столбов, к которым каждая проволока прикреплена только одним концом; если же он не принадлежит к их числу, то такой проволоки не должно быть, что опять приводит к противоречию, ибо в таком случае, не имея проволоки, прикрепленной к нему двумя концами, он сам должен принадлежать к числу выделенных нами столбов.

Существует много объяснений этого парадокса, но все они сводятся к тому, что запрещается рассматривать совокупность всех классов в виде законченной совокупности, иначе говоря — к отрицанию законности нашей аналогии с действительными вещами6.

Вне общей теории множеств «совокупность всех классов» не нужна математикам. Если более осторожно ограничиваться множествами «вещей», действительно необходимых, то прямых противоречий не получается. Еще до сих пор наиболее популярным среди избегающих философии математиков выходом из создавшегося затруднительного положения и является ограничение области «существующего». Так, почти общим мнением является, что трансфинитные числа третьего класса «не существуют»; относительно трансфинитных чисел второго класса, не изобразимых аналитически функций и некоторых других пограничных предметов мнения расходятся; наконец целые и действительные числа, непрерывные и другие «приличные» функции большинством признаются за существующие. Само собой разумеется, что принимаются за существующие и конечные комбинации существующих предметов, например комплексные числа, рассматриваемые как пара действительных.

Такая позиция, хотя и является наиболее спокойной, страдает беспринципностью, которая особенно наглядно выражается в том, что границы области «признаваемого» тем или иным математиком стоят в явной зависимости от его личных интересов: не заинтересованные в сохранении каких-нибудь трансфинитных чисел с легким сердцем выбрасывают их за борт, занимающиеся их исследованием противятся этому.

Так как не было выработано никакого разумного критерия для разграничения «математически существующего» и «несуществующего», то математики, ставшие на описанную точку зрения, оказываются беззащитными против угроз лишить их на тех же основаниях, на которых они добровольно отказались от роскоши общей теории множеств, и многих предметов первой необходимости. Так, Вейлем было запрещено говорить о верхнем пределе числовой последовательности, были объявлены неимеющими смысла вопросы о существовании целого числа, обладающего тем или иным свойством, наконец был совсем изгнан непрерывный континуум, вместо которого было предложено счетное множество точек, включающее все алгебра-

6 3десь, по-видимому, речь идет не о «действительных вещах», а о конечных совокупностях некоторых неиз