Игнатьев Е. И. В царстве смекалки, или арифметика для всех. — Кн. 3. — 2-е изд. — М. ; Л. : Госиздат, 1925. — 272 с.

Е. И. ИГНАТЬЕВ

В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ

ИЛИ

АРИФМЕТИКА ДЛЯ ВСЕХ

КНИГА ТРЕТЬЯ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Е. И. ИГНАТЬЕВ

В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ

ИЛИ

АРИФМЕТИКА ДЛЯ ВСЕХ

КНИГА ТРЕТЬЯ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ

НАУЧНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИЕЙ ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧЕНОГО СОВЕТА ДОПУЩЕНО КАК ПОСОБИЕ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ.

11 —17 тысяча

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА 1925 ЛЕНИНГРАД

Гиз № 7463. Главлит № 28639. Напеч. 7000 экз.

1-я Образцовая типография Госиздата, Москва, Пятницкая, 71.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Борьба с удручающей схоластикой школьного и внешкольного преподавания математики вызвала появление первого издания этой книги в 1908 году. Книга, как и следовало ожидать, была весьма неприветливо встречена Ученым Комитетом царского министерства народного просвещения. Однако официальная немилость не помешала все возрастающему успеху «Смекалки» в школе и семье. С 1908 года до начала всемирной войны появилось б изданий 1-й книги «В царстве смекалки», и вышедшие вслед за ней 2-я и 3-я книги пользовались тем же успехом.

Под первыми ударами вихря наступившей великой социальной революции пало и рассыпалось громоздкое, но неладно скроенное и некрепко сшитое здание нашей старой школы. Жалеть об этом не приходится. Туда ей и дорога. И что бы там ни говорили и ни делали иные нынешние любители и строители просвещения, старая школа умерла и ей не воскреснуть.

Но на хрупких обломках этой старой школы приходится воздвигать здание новой. Весьма длительная, тяжелая и мучительная работа, особенно в необъятной нашей провинциальной глуши, на местах.

Нет сомнения, что эта пробивающая себе дорогу в грозе и буре революции новая школа должна расти прежде всего на началах самого широкого развития методов самодеятельности и инициативы, питающихся из жизненных источников производственно-трудовых отношений. Всякие отступления и уклоны в сторону от такого строительства школы заранее обречены за никчемностью на новую ломку и перестройку, как это приходится постоянно наблюдать с первых же шагов. Сплошь и рядом под видом нового незаметно переходят к старому, которое естественно рушится само собой опять... и опять приходится начинать все сначала.

Впрочем, это понятно. В год и даже в пять лет новой школы не построишь, особенно при отсутствии подходящих учительских кадров, научно-учебных пособий и средств.

Необходимо запастись настойчивостью и терпением на большее время, необходимо заготовить материал, необходимо также учесть наличность всего имеющегося пригодного для стройки новой социалистической трудовой школы. Кое-что готовое в этом отношении у нас все же есть. Конечно, имеющееся, это — капля в море нужды, но тем более необходимо выловить эту уже готовую каплю и не дать ей пропасть в океане общей школьной разрухи.

Чуждая схоластики и постоянно наталкивающая на диалектические приемы мышления и рассуждений, эта книга, смею думать, принесет некоторую пользу в деле выработки методов преподавания в новой школе. Более того, полагаю, что «В царстве смекалки», как попытка самой широкой популяризации математических знаний и самодеятельности только теперь, наконец, найдет своего настоящего читателя и проникнет в страстно стремящуюся к самообразованию рабоче-крестьянскую среду.

Естественной поэтому была мысль о многих дополнениях с целью ввести сюда вопросы и задачи, связанные с современностью, отвечающие, так сказать, на текущую злобу дня.

Практическое выполнение этого задания встретило, однако, сейчас весьма серьезные, почти непреодолимые в некоторых отношениях затруднения. Слишком переходное, калейдоскопически меняющееся и в самых различных направлениях развертывающееся время мы переживаем.

Чуть не каждый новый день выдвигает новые вопросы и задания как в экономических, технических, так и всяких иных сторонах жизни. Интересное и поражающее сегодня отходит в область ненужного на завтра, и наоборот. Для всякого рода экономической и социальной «смекалки» набирается такая масса сырого материала, что необходимо в нем разобраться и более или менее сносно оформить. На такую работу нужно не только время, но к ней необходимо привлечь сколь возможно большее количество людей, сделать ее по возможности коллективной.

Вот почему, нисколько не отказываясь от мысли ввести соответствующее дополнение в будущее издание «смекалки» или даже посвятить им особую книжку, приходится пока ограничиться пересмотром и выпуском только прежнего материала.

Г. Тула, май 1923 г.

Некоторые исторические задачи.

Задача 1-я.

Одно из древнейших математических развлечений.

В знаменитом Британском музее среди «коллекции Райнда» находится египетский папирус, который считается теперь чуть ли не самым древним из известных ныне людям руководством по математике. Папирус этот переведен Эйзенлором на немецкий язык в 1877 г., при чем оказалось, что он написан египтянином Ахмесом во время между 1730 и 2000 годами до нашей эры.

Подлинное заглавие папируса таково:

«Наставление к приобретению знания всех тайных вещей».

Ахмес, в свою очередь, упоминает о том, что его книга написана на основании еще более древних сочинений. Таким образом мы имеем возможность судить о состоянии математических знаний у древних египтян, быть может, за время не менее 5000 лет до наших дней. Почтенная давность!

«Египетская задача» и заметка «Начатки математики на Ниле», данные во второй книге «В царстве смекалки» (стр. 22 и 24), основаны именно на египетском папирусе Ахмеса из коллекции Райнда. Но есть в этом папирусе еще одно весьма любопытное место, над разгадкой которого останавливалось не мало историков математики. Вот в чем дело:

Ахмес дает лестницу таких 5-ти чисел:

7, 49, 343, 2 401, 16 807.

Рядом же с этими числами стоят соответственно слова: картина, кошка, мышь, ячмень, мера.

И все! Никаких дальнейших пояснений, никакого ключа к раскрытию смысла этой задачи папирус не дает. Что же это за задача?

Прежде всего заметим, что написанные выше числа, составляющие лестницу, суть последовательные степени числа 7. В самом деле, помножая последовательно 7 само на себя один, два, три, четыре и пять раз и ставя рядом соответствующие слова, как в рукописи Ахмеса, находим:

7 . . картина

7x7 = 7*= 49 . . кошка

7 X 7 X 7 = 7s = 343 . . мышь

7x7x7x7 = 74 = 2 401 . . ячмень 7 V 7 X 7 X 7 X 7 = 75 = 16807 . . мера

Основываясь на таком сопоставлении чисел и слов, а также на некоторых позднейших математических сочинениях, ученый ориенталист Родэ и известный историк математики Кантор с весьма большой вероятностью решают, что данное место папируса Ахмеса представляет такую задачу:

У некоторых семи лиц есть по семи кошек. Каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя, из каждого колоса может вырасти по семи мер зерна. Сколько всего предметов?

Складывая числа, составляющие лестницу, получаем в ответ на вопрос задачи число 19607. Число мер зерна (16807), спасаемых всего 49-ю кошками, также весьма велико. Если догадки ученых верны, то не даром, пожалуй, у египтян кошка, потребительница мышей, считалась священным животным.

Задачи подобного рода могли предлагаться для забавы и для развития сметки. Следовательно, можно думать, что история математических развлечений также имеет за собой почтенную давность, по меньшей мере, в 50 веков.

Только что приведенная древняя задача в различных вариантах повторяется в разные времена и у разных народов. Некоторые из этих вариантов, замечательнейшие в историческом отношении, следуют сейчас ниже.

Задача 2-я. Семь старух.

Приблизительно через 3000 лет после появления папируса Ахмеса, а именно в 1202 году нашей эры, Леонард из Пизы (он же Фибоначчи, или Фибоначи) издал на латинском языке сочинение Liber abaci, содержащее в себе всю совокупность тогдашних арифметических и алгебраических знаний.

В этой книге содержится, между прочим, такая задача:

Семь старух отправляются в Рим. У каждой старухи по семи мулов, каждый мул несет по семи мешков, в каждом мешке по семи хлебов, в каждом хлебе по семи ножей, каждый нож в семи ножнах. Сколько всего предметов?

Решение.

Задача отличается от Ахмесовой только тем, что к пяти числам лестницы Ахмеса надо прибавить еще шестое число, равное семи, повторенному множителем 6 раз, т.-е. 7в=117649.

Всего получится 7+72+73+74+75+7в=137256_предметов.

Задача 3-я. По дороге в St.-Ives.

В 1801 году в Соединенных Штатах Америки вышло 1-е издание Школьной арифметики (Scholar's Arithmetic) Даниила Адамса, пользовавшейся там большим распространением в начале XIX века. Вариант Ахмесовой задачи изложен в этой арифметике уже в таких английских стихах:

As I was going to St.-Ives, I met seven wives; Every wife had seven sacks; Every sack had seven cats; Every cat had seven kits: Kits, cats, sacks and wives, How many were going to St.-Ives?

То-есть, если попробовать это же передать «школьными стихами» по-русски, получим:

В Сент-Айвз как-то я шагал; Я семь женщин повстречал; И у каждой семь мешков, А в мешках по семь котов; У котов по семь котят. Сколько всех притти хотят В Сент-Айвз: женщин и мешков, И котяток, и котов?

Решение задачи предоставляем читателю. После двух предыдущих задач оно очевидно.

Задача 4-я. Русская народная задача.

Для нашего читателя, быть может, интересно будет узнать, что из мрака отдаленнейших времен отголоски задачи Ахмеса перешли также и в русский народный эпос. Существует русская народная задача о нищих (или старцах), о которой упоминает И. А. Износков в своем докладе «О памятниках народной математики», прочитанном в 1884 г. в казанском обществе естествоиспытателей. Задачу эту автор сообщения слышал в Казанской губ. И. Ю. Тимченко в своих примечаниях к русскому переводу «Истории элементарной математики» проф. Ф. Кэджори приводит эту задачу так, как она распространена среди населения Орловской губ.:

Шли семь старцев. У каждого старца по семи костылей, На всяком костыле по семи сучков, На каждом сучке по семи кошелей, В каждом кошеле по семи пирогов, А в каждом пироге по семи воробьев. Сколько всего?

Решение.

Задача требует определения числа всех предметов, т.-е. старцев, костылей, сучков, кошелей, пирогов и воробьев. Решение, очевидно, дается числом 7+72+78+74+7б+7в,- приведенным нами уже в задаче 2-й.

Интересно отметить, что во всех четырех предыдущих задачах главную роль играет число семь. В главе «о числовых суевериях» мы увидим, что число это имело у различных народов особое символическое, священное значение. Быть может, раньше, чем сделаться предметом простого развлечения или развития народной смекалки, задачи подобного рода носили мифологический или религиозный характер.

Задача 5-я. Жизнеописание Диофанта.

Прохожий! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в преклонных годах. 7в часть своей продолжительной жизни он провел в детстве, Via в юности. Следующую затем У? своей жизни он был холостым. Через пять лет после его женитьбы у него родился сын, доживший до возраста вдвое меньшего, чем лета его отца. Через четыре года после смерти сына умер и Диофант, оплакиваемый родными.—Скажи, если умеешь считать, в каком возрасте он умер?

Высчитать, что Диофант дожил до 84-летнего возраста, не составляет особого труда. Но задача эта имеет специальный исторический интерес. Существуют свидетельства, что она служила действительно надгробной эпитафией над прахом одного из замечательнейших математиков древности, о жизни которого только почти и имеется сведений, что эта задача.

Диофант был совершенно исключительный математик последнего периода знаменитой александрийской школы. О времени и месте его рождения, а также о его происхождении мы ничего не знаем. Предполагают с некоторой долей вероятности, что он умер около 330 года нашей эры. Другие для времени его жизни дают дату 325—409 г. нашей эры. Диофант считается родоначальником современной алгебры и занимает в ряду великих греческих математиков совершенно исключительное место. Вот что говорит о нем проф. Ф. Кэджори (Cajori) в своей «Истории элементарной математики»: «Если бы сочинения его не были написаны по-гречески, никто и не подозревал бы, что они— произведения греческого ума. Его главное образцовое произведение, «Арифметика» (написанное, как говорят, в 13-ти книгах, из коих только шесть дошли до нас), проникнуто духом, настолько отличным от духа

великих классических сочинений, написанных во времена Эвклида, насколько чистая геометрия отличается от чистого анализа. Между греками у Диофанта не было ни одного выдающегося предшественника, ни одного выдающегося последователя. Не будь его сочинений, нам пришлось бы сказать, что греческий ум не создал в области алгебры ничего замечательного. До открытия папируса Ахмеса Арифметика Диофанта была древнейшим известным нам трудом по алгебре».

Задача 6-я (Архимеда). О числе песчинок.

Задача эта, предложенная и разрешенная Архимедом (287—212 г. до нашей эры), изложена им в форме обращения к Гелону, сыну Гиерона, тирану города Сиракуз. Главнейший интерес ее состоит в том, что знаменитый философ древности показал, как расширить несовершенную греческую систему счисления, распространив ее на сколь угодно большие числа. Вот как излагает свою задачу Архимед:

Многие полагают, о царь Гелон, что число песчинок бесконечно,—не тех только песчинок, что находятся около Сиракуз и на всей Сицилии, но всех тех, которые рассеяны на всех обитаемых и необитаемых странах земли. Другие не считают этого числа бесконечным, но думают, что нет такой величины,—что невозможно определить словом количество, превышающее совокупность этих песчинок. Отсюда очевидно, что подобным образом мыслящие люди, если бы даже вообразили себе груду песку, способную заполнить и уравнять все глубины моря и впадины земли вплоть до верхушек высочайших гор, еще более настойчиво утверждали бы, что невозможно обозначить число, большее числа песчинок такой груды. Но я хочу попытаться показать обратное с помощью неопровержимых доказательств, благодаря которым ты можешь убедиться, что некоторые числа, упомянутые мной в книгах, обращенных к Зевксиппу1), превышают не только число песчинок, способных заполнить собою всю землю, но даже число всей массы песка, равной по объему всей вселенной.

1) Эти книги Архимеда не дошли до нас.

Решение.

Под словом «вселенная» Архимед понимает солнечную систему, ограничивавшуюся в его время орбитой планеты Сатурна, за которой предполагалась в древности уже область неподвижных звезд. Исчисление объема вселенной Архимед основывает на предположении древнего астронома Аристарха Самосского относительно удаления неподвижных звезд от земли. Именно: он допускает, что это расстояние равно не более, чем 100 миллионов раз взятый радиус земли, а окружность земли Архимед принимает в 300 мириад греческих стадий, т.-е. в 460 000 километров и, следовательно, в 11 слишком раз больше настоящего, так как окружность нашей землп равна 40 000 километрам.

Великий сиракузский геометр предполагает также, что в объем макового зерна входит не более 10 000 песчинок, а диаметр макового зерна принимает не менее хДо дюйма (греческий дюйм считают около ZU нашего дюйма), или 0,468 миллиметра.

Таким образом, все элементы для дальнейших вычислений готовы.

Архимед доказывает прежде всего, что объемы двух сфер (шаров) относятся, как кубы их диаметров, и получает вслед за тем отношение объемов всей сферы вселенной и макового зерна. Умножая это отношение на 10 000, он получает число песчинок, наполняющее его «вселенную»: Остается теперь выразишь полученное огромное число. Вот как Архимед решает эту задачу.

Греки, как и другие народы древности, знали устное десятичное исчисление и для названия первых последовательных разрядов имели пять слов: единица, десяток, сотня, тысяча и мириада (10 000). Единицы следующих высших порядков назывались уже так: десять мириад, сто мириад, тысяча мириад, мириада мириад и т. д., постоянно повторяя одни и те же слова.

Для выражения и изучения очень больших чисел подобная система оказывалась, конечно, слишком недостаточной.

Чтобы обойти затруднения, Архимед рассматривает так называемую геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Не употребляя ни нуля, ни показателя степени, он рассматривает группы, расположенных по восемь в ряд, чисел.

Каждую последовательную группу из восьми чисел в этом бесконечном ряду Архимед называет октадой; и дальнейшие вычисления приводят его к заключению, что искомое им число песчинок, могущее наполнить всю вселенную, не превышает последнего члена восьмой октады, т.-е. оно меньше 1063, или единицы с 63-мя нулями справа по нашему обозначению.

«Знаю хорошо, о царь Гелон,—говорит Архимед, заканчивая свое рассуждение,—что эти результаты могут показаться невероятными толпе,—всем тем, кто несведущ в математических науках. Но все это покажется, ввиду доказательств, достаточно вероятным тем, кто занимался этими науками и делал изыскания относительно расстояний небесных тел, о величине земли, солнца, луны и всей вселенной. Вот почему я нашел возможным посвятить несколько размышлений этому предмету».

В ряду других работ великого геометра Сиракуз рассуждение о числе песчинок («Псаммит» — по-гречески) занимает сравнительно второстепенное место. Но и эта небольшая его работа — «несколько размышлений», как он сам говорит,—дает достаточное понятие о мощи гения этого человека. Пред нами в простой и наглядной форме лежит в сущности изложение десятичной системы. Введи только Архимед систему поместного значения цифр да... нуль, и дальше некуда итти!.. Представляется удивительным, что это открытие ускользнуло от его проницательности. Или же этот гений величественно пренебрегал всем тем, что так упрощает и облегчает работу нам, обыкновенным смертным?

Задача 7-я. Юридический вопрос.

Древние римляне ничего или почти ничего не сделали для развития математических наук. Они известны более в области законодательства. Дошедшие до нас римские математические сочинения носят преимущественно чисто практический, утилитарный характер. Так, например, повод к составлению арифметических задач давали римские законы о наследстве. Вот одна из таких дошедших до нас задач.

Некто, умирая, оставил жену в ожидании ребенка и сделал такое завещание: в случае рождения сына отдать ему 2/3 оставленного имущества, а х/з матери. В случае же рождения дочери, она должна получить */з, а мать 2/8 имущества.

Вдова завещателя родила близнецов—мальчика и девочку. Как разделить имущество, чтобы удовлетворить условиям завещания?

Решение.

Задачу эту, представляющую так называемый «юридический казус», решил, между прочим, знаменитый римский юрист Сальвиан Юлиан. Решение его состоит в том, что имущество должно быть разделено на семь равных частей. Четыре из этих частей должны перейти к сыну, две — к жене и одна — к дочери. Предлагаем читателю решить эту задачу на основании не юридических, а математических соображений.

Индусские задачи.

Индусам мы обязаны нашей системой письменного счисления и введением нуля, т.-е. открытиями, имеющими величайшее значение в истории развития математических наук. Вообще, в свое время индусы искусство вычислений довели до такой степени совершенства, до которой не достигал ни один из ранее их живших народов. Особенности национального склада этого народа отразились и на дошедших до нас его математических сочинениях. Последние обыкновенно написаны стихами и часто полны темных и мистических выражений, непонятных непосвященным. С другой стороны, задачи, составленные в легкой и приятной стихотворной форме и предлагаемые в качестве загадок, были любимым развлечением индусов. «Эти задачи,— говорит индусский астроном Брахмагупта (конец VI и начало VII века нашей эры), — предлагаются просто для забавы. Мудрый человек может придумать тысячу других или может решать задачи, предложенные ему другими, по изложенным здесь правилам. Как солнце затмевает звезды своим блеском, так и ученый человек может затмить славу других в народных собраниях, предлагая алгебраические задачи и, тем более, решая их».

В сочинении Сиддхантасиромани («Венец астрономической системы»), написанном индусским ученым Бхаскара Ачарья в 1160 году, есть две главы, посвященные специально математике. Одна глава носит заглавие Лилавати, т.-е. «прекрасная» (в смысле благородная наука), а другая — Виджа-Ганита, т.-е. «извлечение корней». Вот пример задач, взятых из этих глав,

Задача 8-я.

Прекрасная дева с блестящими очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на ZU этого произведения, разделено на 7, уменьшено на 1/з частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10, дает число 2?

Решение.

Указание на способ решения заключается в самом условии задачи. Предполагается, что девушка умеет «правильно применять метод инверсии». Инверсией называется такой способ решения задачи, при котором начинают с последнего числа задачи, так сказать, «с конца», и идут в обратном порядке, производя действия также обратные названным в задаче.

Так, например, в данной задаче отправляемся от числа два и идем к искомому числу следующим путем:

2 множим на 10, получаем 20;

От 20 отнимаем 8 » 12;

12 умножаем на 121) » 144;

К 144 прибавляем 62 » 196;

Из 1964 извлекаем квадратный корень > 14;

От 14 берем ц » 21;

21 множим на 7 » 147;

От 147 берем ~ » 84;

84 делим на 3 » 28.

28 и есть искомое число. То же решение при системе наших обозначений можно написать в одной строке:

Древнейший из известных нам индусских математиков (V век нашей эры) Арьябхатта объясняет способ инверсии с такой характерной краткостью:

1) Т.-е. возвышаем в квадрат (12x12 = 12*). Действие, обратное извлечению квадратного корня.

«Умножение становится делением, деление становится умножением. Прибыль обращается в убыток, убыток—в прибыль; инверсия».

Тот же Арьябхатта предлагает в ряду прочих и нижеследующую «практическую» для индусов задачу:

Задача 9-я. Цена рабыни.

Шестнадцатилетняя девушка рабыня стоит 32 никша (индусская монета). Что стоит рабыня 20-ти лет?

Решение.

Решение этой любопытной для нас по условию задачи не отличается само по себе ничем особенным. Но исторически оно доказывает, что индусы уже не позже V века были хорошо знакомы с так называемым у нас «тройным правилом», равно как, кстати сказать, были знакомы и со многими другими «правилами» решений задач, до сих пор еще часто без нужды обременяющими наши учебные курсы.

В частности, при решении задачи о цене рабыни, Арьябхатта руководствуется началом «обратной пропорции», потому что,—говорит он,—«стоимость живых существ (рабов и скота) устанавливается сообразно их возрастр: чем старше, тем дешевле.

На таком основании выходит, что если 16-летняя рабыня стоит 32 никша (индусская монета), то однолетняя будет стоить в 16 раз больше, т.-е. 32x16 никша, а 20-летняя в 20 раз меньше последней суммы, т.-е. - = 26 — никша.

Приведем еще две индусские задачи, в которых говорится о более веселых и безобидных вещах, чем о продаже человека человеком. Обе задачи взяты из сочинений уже упомянутого нами Бхаскары. Решение их, особенно для лиц, знакомых с квадратными уравнениями, не представляет ни малейшего затруднения. Поэтому приводим только ответы.

Задача 10-я. Пчелы.

Пчелы в числе, равном корню квадратному из половины роя, слетели на куст жасмина. 8/» всего роя осталось дома. Одна пчела-самка летает вокруг цветка лотоса. Там жужжит

неосторожный самец, привлеченный сладким запахом цветка и теперь заключенный внутри его. Скажи мне число пчел.

Ответ: 72.

Задача 11-я. Обезьяны.

Стая обезьян забавлялась. Одна восьмая часть их в квадрате бегала по лесу. Остальные 12 кричали на верхушке холма. Скажи мне число обезьян,

Ответ: 16 или 48.

Задачи Ньютона.

Выше приведены некоторые задачи, по тем или иным причинам известные в истории развития математических знаний. Было бы несколько странным обойти при этом молчанием некоторые задачи великого Ньютона, хотя они далеко не носят характера общедоступности.

В первые девять лет своей профессуры в Кембриджском университете Ньютон читал лекции по алгебре. Лекции эти под заглавием «Arithmetica Universalis» («Всеобщая Арифметика») были опубликованы Уистоном (Whiston) в 1707 году. По многочисленности входящих в них задач можно судить, что великий теоретик и пролагатель новых путей в математике прекрасно сознавал развивательное значение чисто практических задач. Об этом он и сам говорит в своей «Арифметике»: «Я показал выше решение нескольких задач, так как при изучении наук примеры полезнее правил» («In scientiis enim addiscendis prosunt exempla magis quam praecepta»).

Следующие сейчас две задачи можно считать самыми известными из Ньютоновских задач. Для решения их мало одной, хотя бы и самой быстрой, сообразительности, а необходима еще некоторая математическая подготовка, охватывающая, впрочем, только знание квадратных уравнений и первые ступени неопределенного анализа. Предполагая, что только такой читатель заинтересуется этими задачами серьезно, мы даем их решение, не входя в подробности.

Задача 12-я. Быки на лугу.

На лугу, площадь которого равна 3V3 акрам, пасутся в продолжение 4 недель 12 быков и за это время съедают как

ту траву, что была раньше, так и ту, что подрастала во все это время равномерно. На другом лугу, площадь которого равна 10 акрам, пасутся в продолжение 9 недель 21 бык и также съедают как ту траву, что была раньше, так и ту, что подрастала во все это время равномерно. Сколько нужно пустить быков на третий луг, площадь которого равна 24 акрам, чтобы они в продолжение 18 недель съели как ту траву, что на нем есть, так и ту, которая будет подрастать во все это время равномерно?

Примечание. Предполагается, что высота травы на всех трех лугах до выгона на них быков одинакова и что подрастание травы на всех трех лугах за один день одно и то же.

Решение.

Решение, наиболее быстро приводящее к цели, требует введения новых вспомогательных неизвестных. Поэтому обозначим искомое число быков через х; пусть у есть первоначальная высота травы на лугах, и пусть на всех трех лугах трава подрастает ежедневно на г. Тогда количества травы (по объему), съеденные быками на трех лугах, выразятся соответственно через:

Следовательно, один бык съедал за один день на каждом лугу соответственно травы (по объему):

Отсюда имеем два уравнения:

или

Из уравнения

имеем: у~Ъ±г.

Подставив это значение у в уравнение

б (у + 2Sz) 12 (у + 126s) 16 2х '

находим, что ж=36.

Итак, на третий луг нужно пустить 36 быков.

Задача 13-я. Глубина колодца.

Камень падает в колодезь. Определить глубину колодца по звуку, происходящему от удара камня о дно.

Решение.

Если обозначить через х глубину колодца и затем условиться, что камень проходит пространство а во время b, а звук то же пространство во время d, что время от начала падения камня до получаемого ухом звука от его удара о дно есть t, то решение задачи приводит к квадратному уравнению

Для нахождения ответа для каждого частного случая необходимо знать законы свободного падения тел и скорость распространения звука.

К приведенным задачам прибавим еще следующую, взятую из английского сборника за 1742 год («Miscellany cf Mathematical Problems»).

Задача остроумна по условию и решается сравнительно просто. Из вышеуказанного сборника она перешла во многие задачники и руководства.

Задача 14-я.

Кто на ком женат.

Трое крестьян, Иван, Петр и Алексей, пришли на рынок со своими женами: Марьей, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Узнать это на основании таких сообра-

жений: каждое из этих 6-ти лиц заплатило за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов оно купило. Каждый мужчина истратил на 63 копейки больше своей жены. Кроме того, Иван купил 23-мя предметами больше Катерины, а Петр—11-ю предметами больше Марьи.

Решение.

Если один из мужчин купил, скажем, х предметов, то по условию задачи он заплатил за них х2 коп. Если его жена купила у предметов, то она заплатила за них у2 коп. Разница х2—у2 = 63, но х2—у2 = = (я + 2/) (х — у), т.-е. (х + у) (х — у) = 63.

Числа х+у и X—у найдем, разложив 63 па два целых множителя; но 63=32.7, и разложение возможно на трп манеры: 63x1, 21x3, 9x7, откуда уравнения

+ 2/1 = 63 х2 + у2 = 21 х3 + г/з = 9 ^1— 2/i=l х2 — 2/2=3 х3 — у3 = 7.

Их решения:

^1=32, 2/1 = 31, ж2 = 12, 2/2 = 9; х3 = 8, у3 = 1.

Отыскиваем те значения х и у, разность которых=23, и находим Sji и у2\ следовательно, 32 предмета куплено Иваном, а 9 — Катериною и т. д. Таким образом имеем следующие комбинации:

Иван 321 Петр 12\ Алексей 81 Анна 31J Катерина 9] Марья 1]

Русские задачи.

О состоянии и развитии математических знаний на Руси в ее древнейший период неизвестно почти ничего. В «Русской Правде» Ярослава есть, положим, статья с таким расчислением: «А от 20 овец и от двою приплода на 12 лет—90 000 овец» и т. д. Вычисление стоимости приплода, или прибытка, и получаемых от скота продуктов верны и доказывают, что составители «Русской Правды» были знакомы, по крайней мере, с умножением и делением. Но в общем есть все основания думать, что о каких бы то ни было самостоятельных шагах в любой области математики в России говорить не приходится чуть ли не до XVIII или даже XIX века. Немногочисленные дошедшие до настоящих дней математические рукописи служат тому убедительным доказательством.

Так, в своих известных примечаниях в «Истории Государства Российского» Карамзин говорит, что в его распоряжении была рукопись геометрии XVII века под заглавием: «Книга, именуемая геометрия или землемерия радиксом и циркулем». За геометрией следует: «Книга о сошном и вытном письме»; потом—рукописная арифметика, озаглавленная: «Книга рекома по-гречески Арифметика, а по-немецки — Алгоризма, а по-русски — цифирная счетная мудрость». В предисловии книги говорится:

«Сир, сын Синоров, муж мудр бысть: сий же написа численную сию философию финическими письмены, яко же он мудрый глаголет, яко бесплотна сущи начала телеса же преминующая. Без сея книги ни един философ, ни дохтур не может быти; по сей мудрости гости (купцы) по государствам торгуют, и во всяких товарех и в торгех силу знают, и во всяких весех и в мерах и в земном верстании и в морском течении зело искусны, и счет из всякого числа перечню знают».

Из памятников русской старинной математической литературы в настоящее время имеются шесть математических рукописей в бывшей публичной библиотеке, шесть в Румянцевском музее, одна в книгохранилищах Чудова монастыря, одна в библиотеке общества любителей древней письменности. Вот, напр., содержание рукописной арифметики (рукопись № 681) Румянцевского музея:

Рукопись имеет следующее заглавие: «Пятая мудрость в семи великих мудростех нарицается Арифметика». Изложение арифметики разделено па статьи, а статьи распадаются на нумерованные отделения, называемые строками, отвечающими нашим делениям на главы и параграфы. Вот содержание: первая статья от числа.—Нюмерасия или считание словесем и начертание числом цыфирным. Другая статья—адитсие или считание—наше сложение; статья именуется сюбстраксие по-нашему, вычитание; статья мултипликасие, или умножение числу всякому; статья дивизие или деловая; указ како костьми считати; статья адитие или счетная костьми или пенязи; статья костьми мултипликасие или умножальная; статья сюбстраксие костьми или вынимание; статья деловая костьми, дивизие или росчитание; указ о дощаном счете; указ како класти костьми сошную кладь; статья о весех и о мерах московского государства русские земли; статья о весех и о мерах немецкие земли; статья французские земли о денежном счете ливонском, виницейском и Флоренском.

Потом идет сложение, вычитание, умножение и деление в весах и в мерах и в деньгах, или, по современному: сложение, вычитание, умножение и деление именованных чисел. «Статья численная о всяких долях»; уменьшение долям: сложение, вычитание, умножение и деле-

ние дробей; потом статья стройная в целых и в долях всяких; статья тройная в долях; статья деловая; статья торговая; статья о прикупах; о накладех счет; статья спрашиваемая в тройной строке; статья спрашиваемая во времени; статья ростовая и добычная; статья о нечисти во всяких овощах и в товарах; статия фальшивая или сбойливая; статия меновая в торгу; статия торговая складная; статия торговая складная с прикащики и др., о деньгах в куче уведати; о плотникех (задача); о яйцах (задача); о хождении юношей трех зерньщиков.

Способ изложения в рукописи строго догматический. Правила предлагаются в форме предписания или рецепта, не содержащего даже и намека на указание мотивов и оснований. Примеры идут: одни тотчас за изложением правила, другие наоборот. Вот образчик преподания правила сокращения дробей:

«Уменьшения долям». Когда оставляются в деловой великие доли в числах, ибо надобе их сводить в невеликие числа. Смотри возьму остатков в долях 40, а деловой перечень (делитель) 60, и ты поставь еще 40/б0 и преж оными у обеих чисел 0 ино станет 4/6; да смотри льзяли оба числа верхние и нижние во един дел разделити и ты дели как на два придет 2/3 т.-е. две трети».

Относительно употребляемых в рукописи знаков должно заметить, что употребление цифр не вытеснило церковно-славянских знаков, так статья о «нюмерасии или счисление числом цыфирным» начинается с перевода первых девяти церковно-славянских знаков па употребляемые нами цифры. В примерах с отвлеченными числами исключительно употребляются цифры; в именованных—употребляются смешанно церковно-славянские знаки и ныфры.

В публичной библиотеке есть рукописная арифметика, где упомянут год, когда писалась рукопись. Она озаглавлена так: «Книга, глаголемая арифметика, пятая из седьми мудростей наука. Начата бысть писати от создания мира в лето 7199 года1), индикта 14, круга солнечного 3, лунного 17; справного лунного слова 0, а ключевого пасхального Ф, месяца 1униа 28 дня».

«Увещевание» и предисловие в этой рукописи написаны стихами, часть которых посвящена восхвалению счета и нуля, называемою «оном»:

Да увестся о сем, яко арифметика Девяти чисол, девяти статей наука Десятое же место. оном исполняет Своего числа место просто сохраняет.

1) По нашему в 1691 г.

Кому либо в счете необретатися

Ту есть станет Он ему жз не считатися,

Разумей, иде же Он место трозже есть.

Тако в статьях десятья пауки несть! Точию место того поставки различны. В строках считание славяпом не обычны: Тех поставок подробно и счести! Кто их навыкнет, может вся под солнцем счести.

Итак, в то время как в Западной Европе создавались «Principia mathematica» и «Arithmetica universalis» Ньютона, когда блестящая плеяда математиков раздвигала все далее и далее все области естествознания, российские «цыфирные грамотеи» все еще перебивались пережитками отдаленного средневековья. Математические курсы и сочинения, стоящие на более высоком уровне знаний, начинают появляться на Руси только после Петра I. Одним из первых и замечательнейших учебников арифметики, по которому учились наши прапрадеды, был учебник Л. Магницкого, изданный в 1703 г. Здесь мы находим, между прочим, такие задачи:

Задача 15-я. Ответ учителя.

Вопроси некто учителя некоего глаголя: повеждь ми колико имаши учеников у себе во училищи, понеже имам сына отдати во училище: и хощу уведати о числе учеников твоих. Учитель же отвещав рече ему: аще придет ми учеников толико же, елико имам, и полтолика, и четвертая часть, еще же и твой сын, и тогда будет у мене учеников 100. Вопросивый же удивлен ответу его отиде и начат изобретати.

Решение.

Задача представляет, очевидно, вариант известной задачи о стаде гусей, данной памп в 1 части нашей книги. Ответом на задачу служит число 36.

Некоторые старорусские меры и выражения.

В условиях следующих задач встречаются слова, вряд ли понятные многим из. современных читателей. Приводим их здесь для удобства в особой табличке:

1 алтын=3 копейки=6 депег

1 копейка=2 деньги=4 полушки=х/г гроша

1 гривна=10 копеек.

пенязь (польская монета)=копейка

полтаражды значит 1г/2

полтретья » 21/2

полчетвертажды » 37а

поднята » 4Va и т. д.

Задача 16-я. Недогадливый купец.

Некий человек продаде коня за 156 рублев, раскаявся же купец нача отдавати продавцу глаголя: яко несть мне леть взяти сицевого коня недостойного таковые высокие цены: продавец же предложи ему иную куплю глаголя: аще ти мнится велика цена сему коню быти, убо купи токмо гвоздие ихже сей конь имать в подковах своих ног, коня же возми за тою куплею в дар себе. А гвоздей во всяком подкове по шести и за един гвоздь даждь ми едину полушку, за другий же две полущки, а за третий копейку, и тако все гвозди купи. Купец же видя толь малу цену и коня хотя в дар себе взяти: обещася тако цену ему платит, чая не болше 10 рублев за гвоздие дата. И ведателно есть: коликим купец он проторговался?

Решение.

Купец, действительно, «проторговался» очень сильно, так как за гвозди ему приходится заплатить

1+2+22+23+2€ +....... 223 полушек,

что составит 41 787 руб. 33/4 коп.!

Задача опять-таки принадлежит к типу уже известных нам задач, решающихся прогрессией (см., напр., «В Царстве смекалки» книга 1-я, стр. 114; книга 2-я, стр. 67 и след Л.

• Вообще же говоря, все почти задачи в руководстве Магницкого носят характер простых переводов с иностранных руководств. Большую самостоятельность в обработке материала проявил артиллерии штык-юнкер Ефим Войтяховский, издавший курс математики в 1820 году.

Вот полный заголовок этой книги: «Полный курс чистой математики, сочиненный артиллерии штык-юнкером и математики партикулярным учителем Ефимом Войтяховским, в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике». 4 тома, изд. 1820 г.

Задачи курса Войтяховского более переработаны и приспособлены к русскому кругозору, а некоторые из них положительно остроумны, иногда, впрочем, до игривости, сбивающейся на «раешник». Не обходится в иных из них и без сатиры, предметом которой обыкновенно избираются в силу условий времени французы. Вот несколько задач из курса Войтяховского. Решения их незамысловаты, так что даем только ответы.

Задача 17-я. Богатство мадамы.

Нововыезжей в Россию Французской Мадаме вздумалось ценить свое богатство в чемодане: новой выдумки нарядное фуро и праздничный чепец а ла фигаро; оценщик был Русак, сказал Мадаме так: богатства твоего первая вещь фуро вполчетверта дороже чепца фигаро; вообщеж стоют не с половиною четыре алтына, но настоящая им цена только сего половина; спрашивается каждой вещи цена, с чем Француженка к Россам привезена.

Ответ. Чепец «а ла фигаро» стоит коп., а нарядное фуро 574 коп.

Задача 18-я. Богатство гасконца.

У приезжего Гасконца оценили богатство: модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета; спрашивается каждой вещи цена?

Ответ. Цена фрака 61/* коп., жилета 21/2 коп.

Задача 19-я. Веселый француз.

Веселый Француз, пришед в трактир с неизвестною суммою своего богатства, занял у содержателя столько денег, сколько у себя имел; из сей суммы издержал 1 рубль. С остат-

ком пришел в другой трактир, где опять, занявши столько сколько имел, издержал в оном также 1 рубль; потом пришед в третий и четвертый трактир учинил то же, наконец, по выходе из четвертого трактира не имел ничего; спрашивается количество его денег.

Ответ. 933/4 коп.

Задача 20-я.

Куплено сукна полторажды полтретья аршина, заплачено полчетвертажды полпята рубли; спрашивается, сколько должно заплатить за полсемажды полдевята аршина того же сукна?

Ответ. 232 руб. 5 коп.

Задача 21-я. Дележ.

4 путешественника: купец с дочерью, да крестьянин с женою нашли без полушки 9 алтын да лапти, из коих крестьянке дали грош без полушки да лапти, а остальные деньги разделили между собой так: купеческая дочь взяла вполтора больше крестьянина, а купец вполтретья больше крестьянина; спрашивается, сколько которому досталось?

Ответ. Крестьянин получил 5 коп., дочь купца 77г коп. купец 12Va коп.

Задача 22-я. Мена.

Крестьянин менял зайцев на домашних куриц, брал за всяких двух зайцев по три курицы; каждая курица снесла яиц третью часть против числа всех куриц. Крестьянин, продавая яйцы, брал за каждые девять яиц по стольку копеек, сколько каждая курица яиц снесла, за которые выручил он 24 алтына; спрашивается число кур и зайцев?

Ответ. 12 зайцев и 18 кур.

Следующие составители наших арифметических учебников и задачников не развивали идеи Войтяховского — предлагать задачи и примеры в легкой, доступной и даже забавной форме. Об этом надо пожалеть.

Новые иллюзии зрения.

Большая часть так называемых иллюзий (обманов) зрения известны в течение многих столетий, и многие из них остаются необъяснимыми еще по сей день. Новые типы зрительных обманов так редки, что можно, пожалуй, считать эту любопытную область исчерпанной. Лишь изредка случается наталкиваться па совершенно новый род зрительных иллюзий, неизвестный нашим предкам. К числу их, между прочим, принадлежит та, которую мы описали во втором томе (стр. 34 и сл.) настоящей хрестоматии, это — кажущаяся непараллельность букв в слове Life и мнимая спираль на клетчатом фоне.

Объяснить, в силу каких причин получаются подобные обманы зрения, мы не можем. Вот почему тем интереснее будет подробно проследить за процессом, с помощью которого рисовальщик достигает этих удивительных иллюзий зрения. Берем то же слово «Life».

Фиг. 1. Фиг. 2.

Фиг. 1 дает буквы, поставленные совершенно прямо; но очертания их выведены зубчатой линией, при чем вершины зубцов лежат на линиях, строго параллельных горизонтальному и вертикальному краям бумаги.

На фиг. 2 часть промежуточных звеньев зубчатых линий удалена, остальные же штрихи оставлены на своих местах. Уже здесь замечается легкий наклон букв.

На фиг. 3 каждый штрих удлинен вдвое.

На фиг. 4 к концам каждого штриха пририсован черный треугольник. Здесь иллюзия выступает уже с полной отчетливостью.

Фиг. з.

Фиг. 4.

На фиг. 5 все свободное поле между литерами заполнено черными квадратиками, расположенными косыми рядами.

Фиг. 5,

На фиг. 6 промежутки между черными квадратиками заполнены серыми квадратиками, и иллюзия достигает наибольшей разительности.

Фиг. б.

Фиг. 7.

Фиг. 7 наглядно показывает, насколько ослабляется иллюзия с удалением клетчатого черно-серо-белого фона.

Иллюзии с концентрическими кругами построены приблизительно по тому же типу. Разница в том, что косые прямолинейные штрихи заменяют здесь эксцентричными дугами окружностей большего радиуса. От направления этих маленьких дуг и зависит окончательный эффект, —то впечатление, которое производят на нас концентрические

Фиг. 8. Фиг. 9.

Фиг. 10. Фиг. 11.

окружности. Какие необычайные метаморфозы могут при этом происходить с ними, лучше всего доказывают приложенные здесь рисунки.

На фиг. 8 вы отчетливо видите серию вложенных друг в друга сплющенных окружностей, как это изображено на фиг. 9. А между тем при помощи циркуля легко убедиться, что перед вами ряд строго концентрических окружностей, как это начерчено на фиг. 10.

Фиг. 12,

Фиг. 13.

На фиг. 11 концентрические круги кажутся спиралью, с концентрическими завитками. На фиг. 12 эти завитки как будто становятся с каждым оборотом все шире и шире, чего на самом деле, конечно, нет.

Фиг. 14.

Фиг. 15.

Еще оригинальнее спираль фиг. 13: она то разжимается, то суживается, и, глядя па нее, никак не можешь себе представить, чтобы это были строго концентрические окружности.

Самый поразительный эффект производит фиг. 14: перед вами совершенно ясно вырисовывается ряд квадратов с закругленными углами! А между тем это опять-таки совершенно правильные окружности.

На фиг. 15 концентрические окружности принимают облик какой-то совершенно неправильной, запутанной кривой.

Любопытно отметить две особенности описанных здесь оптических иллюзий. В противоположность всем остальным типам иллюзий, эффект здесь не только не ослабляется при продолжительном рассматривании, но, напротив, еще усиливается. Вы можете смотреть на рисунки целые часы, и спирали все же не превратятся для вас в концентрические круги.

Другая особенность, это—усиление эффекта с приближением рисунка к глазу. При удалении от глаза отдельные косые штрихи начинают расплываться, уклон их стушевывается, и основная причина иллюзии отпадает.

Очень забавно производить следующий опыт: показав кому-нибудь один из этих рисунков, попросить обвести контуры фигуры на прозрачной бумаге. Рассматривая потом отдельно свой собственный чертеж, рисовавший положительно не верит своим глазам.

Задачи-шутки.

Есть не мало задач-шуток, основанных на так называемом «гипнозе» слов или обозначений, вернее же говоря, на том или ином «отводе глаз». Постановка вопроса, а затем «разрешение» его бывают иногда столь искусно рассчитаны на отвлечение внимания слушателя в другую сторону, что последнему часто трудно бывает не поддаться, а хладнокровно сообразить, в чем секрет. В дополнение к разным задачам-шуткам, приведенным нами в предыдущих томах настоящей книги, даем здесь для образца несколько «гипнотических» задач.

Задача 23-я. Искусное размещение.

Можно ли разместить 11 лошадей в 10-ти стойлах так, чтобы в каждом стойле было всего по одной лошади?

Всякий скажет, что невозможно: для одиннадцатой лошади недостанет стойла. Но не угодно ли убедиться, что при некотором искусстве это «вполне возможно».

В самом деле, поместим временно одиннадцатую лошадь в первое стойло:

и затем станем размещать остальных лошадей по одной в каждое стойло. Тогда в первом стойле окажутся две лошади, третью лошадь мы поместим во второе стойло, четвертую — в третье и т. д. Десятая лошадь займет девятое стойло, и останется лишь перевести 11-ю лошадь из первого стойла в свободное десятое.

Решение. Весь прямо ошеломляющий иных эффект этой задачи-шутки зиждется па гипнозе слов, которому почти невозможно не поддаться. Мы так увлеклись поисками места для одиннадцатой лошади, что совершенно не замечаем отсутствия второй лошади. У нас есть 1-я, 11-я, 3-я, 4-я, 5-я, 6-я, 7-я, 8-я, 9-я и 10-я лошадь, но где же 2-я? Ее отсутствие замаскировано цифрой 2 в первом стойле.

Задача 24-я. Расплатился без денег.

В ресторан заходит посетитель и требует пива. Официант приносит бутылку и готов уже раскупорить, как вдруг посетитель передумывает.

— Дайте мне лучше лимонаду.

— Извольте-с. Нам все единственно. И цена та же, -отвечает официант и, унеся пиво, является с лимонадом.

Посетитель выпивает лимонад и собирается уходить. Его догоняет официант.

— Забыли заплатить-с!..

- За что?—изумляется посетитель.

- За бутылку лимонаду-с.

— Вы же взяли за нее пиво.

— Тогда извольте заплатить за пиво. Вы и за пиво не заплатили-с...

— Но ведь я не пил пива. Вы унесли бутылку нераскупоренной,—невозмутимо отвечает посетитель, оставляя официанта в полном недоумении.

Задача 25-я. Дешевая покупка.

В часовой магазин заходит покупатель и просит показать ему дорогие часы. Он долго выбирает и, наконец, останавливает выбор на солидных дорогих часах. — Что стоят?

— Двести рублей.

— Хорошо, я беру их. Заверните.

Покупатель собирается уже платить, но вдруг взгляд его надает на изящные серебряные часы.

— А эти сколько у вас стоят?

— Эти подешевле будут: сто рублей.

— Право, они мне больше нравятся. Заверните. Покупатель платит 100 рублей, берет часы и направляется к выходу. Но затем снова возвращается.

— Нет, я передумал: решил-таки купить те золотые.

— Как угодно. Прикажете завернуть?

— Пожалуйста. Они стоят двести? - Да.

— Сто рублей я уже дал вам?

— Да. С вас причитается еще сто.

— Возьмите вместо них эти серебряные часы: ведь я купил их у вас за сто рублей..,

Решение.

Обе задачи, как уже сказано, основаны на гипнозе слов. В первом случае слова «Я не пил пива» кажутся достаточным аргументом, чтобы не платить за напиток. На самом же деле продавцу совершенно безразлично, какое употребление выделаете из вещи,— уничтожаете ее или Даете ее в уплату за другую вещь: вы ее так или иначе употребили, значит, должны за нее платить.

В задаче с часами одни и те же сто рублей идут в уплату два раза: раз — за серебряные часы, и вторично — за золотые.

Задача 26 я. Загадочное исчезновение.

Начертите на прямоугольном куске картона 13 одинаковых палочек на равном расстоянии друг от друга так, как показано на фиг. 16-й. Теперь разрежьте прямоугольник по косой линии MNj проходящей через верхний конец первой палочки и через нижний конец последней. Если затем вы сдвинете обе половины так, как показано на фиг. 17, то заметите

Фиг. 16.

Фиг. 17.

любопытное явление: вместо 13 палочек перед вами окажется всего 12! Одна палочка исчезла бесследно. Куда же она девалась?

Решение.

Идея задач подобного рода для наших читателей не нова. С ней мы уже встречались во II книге «В царстве смекалки» при рассмотрении геометрических софизмов.

Если вы внимательно рассмотрите оба чертежа и дадите себе труд сопоставить длину старых и новых палочек, то заметите, что новые чуть длиннее старых. Тщательное измерение убедит вас, а то можно показать и вычислением, что разница в длине = ^ доле старой палочки, и что, следовательно, исчезнувшая 13-я палочка улетучилась не бесследно: она словно растворилась в 12 остальных, удлинив каждую из них на Vi2 своей длины.

Понять геометрическую причину того, что при этом произошло, очень нетрудно. Прямая MN и та прямая, которая проходит через верхние концы всех палочек, образуют стороны угла, пересеченные рядом параллельных на равных расстояниях друг от друга. Вспомнив соответствующую геометрическую теорему, мы поймем, что линия MN отсекает от второй палочки V12 ее длины, от третьей 2/12, от четвертой 3/l2 И Т. Д.

Когда же мы сдвигаем обе части картона, мы приставляем отсеченный отрезок каждой палочки (начиная со второй) к нижней части предыдущей. А так как каждый отсеченный отрезок больше предыдущего на Via» то каждая палочка вследствие этой операции должна удлиниться па V12 своей длины, и всех палочек должно получиться 12.

На-глаз это удлинение незаметно, так что исчезновение 13-й палочки на первый взгляд представляется довольно загадочным.

Чтобы усилить эффект, можно расположить палочки по кругу, как показано па фиг. 18-й. Если вырезать внутренний круг и укрепить его в центре так, чтобы он мог вращаться, то поворотом круга на небольшой угол мы опять достигаем исчезновения одной палочки (фиг. 19).

Фиг. 18.

Фиг. 19.

Фиг. 20.

Задача 27-я. Куда девался китаец.

На только что рассмотренном принципе основана остроумная игрушка-задача, изображенная на фиг. 20-й. Вы видите земной шар, по краям которого художник разместил 13 китайцев в весьма воинственных позах. Внутренний диск вырезан и может вращаться вокруг своего центра. И вот, слегка повернув этот круг, вы уничтожаете одного китайца (фиг. 21): вместо прежних 13 перед вами уже 12. Тот китаец, который находился внутри круга и так воинственно наступал на своего компатриота, бесследно улетучился!..

Исчезновение китайца заставило бы вас долго ломать голову, если бы вы не познакомились с рассмотренными выше схематическими примерами. А теперь дело ясно: он «растворился» в дюжине своих

Фиг. 21.

соотечественников, как раньше «растворялась» у нас простая палочка.

Надо отдать справедливость рисовальщику: немало потребовалось остроумия и терпения, чтобы достичь такого эффекта!

Задача 28-я. Разрубить подкову.

Двумя ударами топора разрубить подкову на шесть частей, не перемещая частей после удара.

Решение.

Если вы начертите подкову в виде одиночной дугообразной линии, как это обыкновенно и делают, то сколько бы вы ни ломали голову, вам не удастся разрезать ее двумя прямыми больше, чем на 5 частей (фиг. 22).

Другое дело, если вы начертите подкову в виде двух параллельных кривых, т.-е. дадите фигуре ширину, как оно и есть на самом деле. Тогда, после нескольких проб, вы нападете на верное решение задачи—разрежете подкову двумя прямыми на 6 частей (фиг. 23).

Фиг. 22. Фиг. 23.

Задача 29-я. 7 роз.

На ковре (фиг. 24) изображено 7 роз. Требуется тремя прямыми линиями разрезать ковер на семь частей, каждая из которых содержала бы по одной розе.

Фиг. 24.

Решение.

См. фиг. 25.

Фиг. 25.

Задача 30-я. Разрезать шахматную доску.

Даны две шахматных доски: обыкновенная в 64 клетки и другая в 36 клеток (фиг. 26). Требуется каждую из них разрезать на две части так, чтобы из всех полученных 4 частей составить новую шахматную доску, содержащую на каждой стороне по 10 клеток.

Фиг. 26.

Фиг. 26 а.

Решение.

См. фиг. 26а

Задача 31-я. Из креста квадрат.

Нам уже дважды случалось предлагать эту задачу в различных вариантах (см. «В царстве смекалки» книга I, стр. 106, и книга II стр. 18). Вот третий, весьма остроумный ее вариант:

Разрезать бумажный греческий крест (прямой и равноконечный) одним взмахом ножниц на четыре таких одинаковых части, чтобы из них можно было сложить квадрат.

Решение.

Задача решается посредством маленькой, но вполне позволительной уловки: крест необходимо предварительно перегнуть два раза и лишь затем произвести разрез. Линии перегиба обозначены на при-

лагаемых чертежах (фиг. 27) пунктиром: перегибают сначала по ВВ, потом еще раз по CD. Разрез производят по EG, при чем получают четыре одинаковых фигуры, из которых складывается квадрат.

Фиг. 27.

Подыскать доказательство правильности полученного решения предоставляем читателю. Это не трудно.

Задача 32-я. Устроить хозяйственный уровень.

Из трех тонких, прямых, хорошо выструганных и с параллельными краями досок можно легко построить прибор, полезный при многих домашних столярных, плотничьих и сельско-хозяйственных работах. Прибор носит название уровня и служит для определения горизонтальности поверхности в случаях, когда не требуется слишком большой точности, например, при нивелировке почвы на полях и огородах и т. д. Прибор устраивается так:

Полосы из тонких дощечек скрепляются вместе, как указано на фигуре, образуя треугольник с двумя равными сторонами (равнобедренный). Средняя точка основания отмечена чертой, а с противоположной верхушки спускается отвес (нить с грузом).

Если прибор помещен так, что нить отвеса совпадает со средней отметкой, то, следовательно, полоса основания лежит горизонтально, будучи перпендикулярной к линии отвеса. Весь прибор, следователь-

Фиг. 28.

но, основан на том, что линия, выходящая из вершины и делящая пополам основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна этому основанию.

В зависимости от длины сторон треугольника можно вычислить (или прямо определить опытным путем), как можно провести на основании треугольника деления вправо и влево от среднего так, чтобы линия отвеса, совпадая с ними, указывала уклоны от горизонтальности в отношениях 1 на 200, 1 на 100 и т. д.

Синус.

Изучающие тригонометрию, задают часто такой вопрос: «Из понятия о значении линии, или, точнее, геометрического представления тригонометрических отношений легко понять, откуда произошли названия «тангенса» или «секанса», а также соответственных им функций дополнительного угла («котангенс» и «косеканс»). Но откуда взялось слово синус?» На этот вопрос историки математики Кантор. Финк и Кэджори отвечают так (хотя Кантор считает такое решение вопроса все-таки сомнительным):

Греки всегда брали полную хорду удвоенной дуги. Индусы, хотя и употребляли в вычислениях половину хорды удвоенной дуги (то, что мы называем теперь синусом), но сохранили для этой линии название полной хорды, Ziva (джийа), что в буквальном переводе означает тетива, — самое естественное название для хорды.

Произведения индусов дошли вначале до нас через арабов. Эти последние из санскритского джийа сделали джиба—слово, ничего не значащее по-арабски. Но так как арабы пишут без гласных букв, а только одни согласные (гласные у них обозначаются особыми значками, которые часто опускаются), то с течением времени они слово джиба переделали в арабское джаиб, писавшееся теми же согласными и значившее по-арабски «пазуха» (разрез платья на груди). В таком виде это слово встречается в сочинении древнейшего арабского астронома Аль-Батани (IX столетие нашей эры), написавшего книгу о движении небесных тел.

В двенадцатом столетии этот труд был переведен на латинский язык Платоном Тибуртинским, передавшим арабское слово dschaib дословно латинским синус (Sinus — грудь). Так это совершенно не соответствующее геометрическому представлению слово и удержалось в математике до наших дней.

Задача 33-я.

Построить прибор, наглядно поясняющий тригонометрические линии.

Желающий может заняться на досуге устройством прибора, наглядно иллюстрирующего тригонометрические линии, представляющие тригонометрические отношения. При устройстве такого прибора можно руководствоваться нижеследующей общей схемой (см. фиг. 29).

В центре О круга укреплен тонкий стержень (прут) Ой, который может вращаться. Прут, изображающий касательную,_ привинчен к диску в точке А. Вдоль этого последнего легко скользит маленький блок, помеченный буквой Т. Этот блочек соединен со стержнем OR так, что Т обозначает пересечение двух линий. Точно так же еще маленький блок R может скользить вдоль другого касательного тонкого стержня BR.

В месте Р на единице расстояния от О (т.-е. на расстоянии радиуса круга) ввинчен или укреплен как-либо иначе другой тоненький стержень РМ. Тяжесть на нижнем конце этого стержня держит его постоянно в вертикальном положении. В свою очередь он свободно проходит через блочек, свободно скользящий вдоль OA и который обозначен на фиг. 29 буквой М.

Пусть теперь стержень OR вращается в положительном направлении (обратном движению часовой стрелки); тогда угол при О увеличивается, а" вместе с тем:

MP представит соответственное увеличение синуса,

ОМ » » уменьшение косинуса,

AT » » увеличение тангенса,

BR представит соответственное уменьшение котангенса,

ОТ » » увеличение секанса,

OR » » уменьшение косеканса.

Преодолевший небольшие, сравнительно технические трудности и внесший возможные усовершенствования в предлагаемую схему, может, мы думаем, составить себе имя и даже заработать, введя в школу полезное учебное пособие.

Фиг. 29.

Задача 34-я.

Устроить прибор для обращения кругового движения в прямолинейное.

Положим, что мы ведем карандашом, касаясь края какого-либо кружка, и таким образом получаем окружность. В данном случае мы пользуемся, значит, одним кругом для получения другого. Но для получения окружности и кругов у нас есть ч другой инструмент, не круглый сам по себе, а именно — циркуль.

Если необходимо провести прямую линию, то известный геометрический постулат допускает употребление линейки, что требует прямого края для проведения прямой линии, т.-е. прямая линия получается, как копия.

Возможно ли устроить прибор не прямой сам по себе, который мог бы вычерчивать прямую линию? Такой прибор впервые был изобретен офицером инженерного корпуса французской армии Поселье (Peaucellier) в 1864 году. С тех пор изобретались и другие подобные приборы, дающие прямолинейное движение, и притом_приборы более простого устройства, чем изобретенный Поселье. Но так как последний изобретен первым, его следует считать за тип. Заметим также, что независимо от Поселье тот же прибор был изобретен русским математиком Липкиным в 1868 году.

Фиг. 30. Фиг. 31.

Прежде чем рассмотреть устройство всего инструмента, рассмотрим одно его звено (фиг. 30), вращающееся на штифтике с одного конца и с прикрепленным карандашом на другом. Карандаш в этом случае описывает окружность.

Если два таких звена (фиг. 31) скреплены в точке H, а в точке Е прикреплены к плоскости, точка Р может двигаться всячески, ее путь неопределенен. Число звеньев должно быть нечетное, чтобы дать определенное движение. Если систему из трех звеньев прикрепить в двух концах, конец среднего звена опишет определенную кривую — скажем, петлю. Система из пяти звеньев уже может дать искомое прямолинейное движение. Но аппарат Поселье имеет семь звеньев.

Такой прибор, какой-угодно величины, может быть сделан каждым. Звенья можно вырезать из картона и скрепить их толстыми булавками (см. фиг. 32). Концы F и О (фиг. 32) можно прикрепить к классной доске, а в Р укрепить кусок карандаша. Таким образом можно получить полезное и интересное приспособление к уроку геометрии. Фигура 33-я дает диаграмму аппарата, изображенного на фиг. 32. Здесь FA=FB. Во всех положениях АРВС есть, очевидно, ромб. F и О прикреплены в точках, расстояние между которыми равно ОС. В таком случае С двигается по дуге круга, центр которого есть О. А я В двигаются по дуге, имеющей центром F. Остается показать, что Р двигается по прямой линии.

Фиг. 32. Фиг. 33.

Проведем прямую Р'Р перпендикулярно к FO. Угол FCC, вписанный в полукруг, есть прямой. Значит, треугольники FP'P и FCC, имеющие общий угол Р, подобны.

Следователно, FP : FP' = FC : FC

и FP • FC = FP' • FC.......(1)

Точки jF, С и P, каждая в отдельности, находятся на равном расстоянии от А и В, а потому, значит, лежат на одной и той же прямой линии. Диагонали ромба АРВС, как известно, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Отсюда

Из (1) и (2)) заключаем, что FP' • FC'=FB2—PB2.

Но при движении прибора FC, FB и BP все остаются постоянными; следовательно, FP' тоже постоянно. Это значит, что Р, проекция точки Р на jFO, есть всегда одна и та же точка. Или, другими словами, Р двигается по прямой линии (перпендикулярной к FO).

Если расстояние между двумя означенными точками, F и О, сделать меньше длины звена ОС, Р будет двигаться по дуге круга, вогнутой по направлению к О (фиг. 34). Так как ОС—OF приближается к нулю, как к пределу, радиус дуги, вычерчиваемой Р, увеличивается беспредельно. Если OF сделать больше, чем ОС, то Р будет описывать дугу, выгнутую относительно О (фиг. 36). Чем меньше OF — ОС, тем более радиус дуги, означенной Р.

Фиг. 34. Фиг. 35.

Отсюда видно, что этот небольшой прибор может быть употреблен для описания дуги круга с огромным радиусом и с центром дуги на противоположной стороне от инструмента.

Прямая линия — «простейшая кривая» математиков — лежит, так сказать, между двумя такими, означенными выше, дугами и есть предельная форма каждой из них.

Приборы подобного рода обладают многими интересными особенностями. Дальнейшей разработкой идеи Поселье занимался известный математик Сильвестер. А. В. Кемпе (Kempe) в 1877 году издал небольшую книгу, посвященную этому предмету, под заглавием «How to draw a straight line» («Как провести прямую линию»). Он же доказывает, что с помощью подобных сочленений звеньев можно вообще вычертить любую так называемую алгебраическую кривую.

Читатель, наверное, не посетует на нас, если займется устройством описанного прибора, имеющего связь с существеннейшими основами геометрии.

Задача 35-я. О пауке и пухе.

На потолке комнаты в углу С (фиг. 36) сидит паук, а на полу в противоположном углу К—муха. Какой путь должен избрать паук, чтобы добраться до мухи по кратчайшему расстоянию.

Фиг. 36.

Решение.

О первого взгляда кажется ясным, что паук должен пробежать потолок по диагонали СЕ и затем спуститься к мухе по ребру ЕК (1-й путь).

Поразмысливши, мы найдем для паука и другой «кратчайший» путь: он может пробежать боковую стену по диагонали CF и подобраться к жертве вдоль FE (2-й путь).

И, наконец,—паук мог бы пойти по "CG и по диагонали GK (3-й путь).

Какой же из этих трех путей является, действительно, кратчайшим?

Оказывается, что ни тот, ни другой, ни третий. Есть еще более короткие пути, и мы займемся их разысканием.

Для этого развернем параллелепипед, изображающий нашу комнату, на плоскость. Получим чертеж, изображенный фиг. 37-й. Паук сидит в точке С, а муха в точке К.

Теперь мы ясно видим, что путь СЕК, который в неразвернутом чертеже казался нам кратчайшим, на самом деле не является таковым. Стоит соединить точки С и К прямой линией, чтобы получить заметно более короткий путь. Этот новый путь будет также короче и пути СОК, как видно из чертежа.

Далее, если предположить, что паук сидит в точке С2 (также отвечающей углу С нашего параллелепипеда), то CFK будет путь, обозначенный нами выше, как «2-й путь». Ясно, что он больше прямого пути С2К.

Мы узнали, следовательно, уже два «кратчайших» пути CK и С2К.

Фиг. 37.

Но это еще не все: есть и третий. Чтобы найти его, развернем комнату, как показано на фиг. 38-й. Поместив мысленно паука в точку С3) мы увидим, что путь C3FK (отвечающий пути CFK на нашем параллелепипеде) длиннее прямого пути КС3.

Остается теперь решить вопрос: какой же из этих трех новых путей будет самым коротким: КС, КС2 или КС3?

Оказывается, что это зависит от относительных размеров комнаты в длину, ширину и высоту, как легко видеть из следующего.

Обозначим длину комнаты AB через а, высоту AB через Ъ и ширину АК через с. Тогда из черт. 37 и 38 имеем:

Сравнивая между собой подрадикальные количества, мы увидим по раскрытии скобок, что они отличаются друг от друга лишь членами

2bc, 2ab и 2ас

от соотношения этих произведений и зависят сравнительные длины линий КС, КС2 и КС3.

Деля все три произведения на 2аЪс, получим

Отсюда видно, что если а>Ь и а>с, то кратчайшим путем будет КС.

Если Ь>а и а>с, кратчайший путь КС2, и если с>Ь и с>а, кратчайший путь КС3.

Фиг. 38.

Мы видим, что задача о пауке и мухе оказалась гораздо сложнее, чем можно было думать с первого взгляда. Читатель, может быть, полюбопытствует узнать, как сами пауки решают эту задачу. К сожалению, нам никогда не приходилось наблюдать пауков при таких обстоятельствах, да и более чем сомнительно, чтобы паук мог заметить муху из одного угла комнаты в другом.

Объяснение симметрии посредством сложения бумаги.

Простое приспособление дает возможность начинающим получить понятие о симметрии с верностью и правильностью, каких не даст никакое словесное объяснение.

Предложите каждому взять лист вощеной (так называемая калька) или проклеенной бумаги, сложить ее один раз, затем снова выпрямить, быстро начертить чернилами на одной половине какую-нибудь фигуру и быстро, чтобы чернила не успели просохнуть, сложить опять вместе. Рисунок на одной стороне и отпечаток его на другой будут симметричны до мельчайших подробностей, при чем сгиб бумаги и есть так называемая ось симметрии.

Еще: сложите бумагу в две перпендикулярные складки (вчетверо— вдоль и поперек). В одной из полученных «четвертей» куска бумаги нарисуйте фигуру так, чтобы два конца ее упирались каждый в один сгиб. Быстро вновь сложите бумагу так, чтобы получился отпечаток в каждом из остальных квадратов. Полученная замкнутая фигура будет симметрична по отношению к пересечению сгибов, как ее центру.

Вместо простых чернил еще лучше чертить так называемыми «копировальными» чернилами или копировальным карандашом и, перегнув бумагу, смочить ее.

Т. Сундара Роу, в своем труде «Геометрические упражнения с куском бумаги»1), указал, как можно строить очень много фигур плоской геометрии с помощью перегибания бумаги. Здесь же находятся прекрасные изображения некоторых правильных многоугольников, а также даются способы определения точек некоторых кривых высшего порядка на плоскостях.

1) Есть в переводе на русский язык в издании б. одесского книгоиздательства «Mathesis».

О пространстве четырех измерений.

Редакции научного американского журнала «Scientific American» пришла в голову счастливая мысль объявить всемирный конкурс на соискание премии в 500 долларов (около 1000 руб. зол. на наши деньги). Эта довольно значительная премия выдавалась за наилучшую представленную редакции статью о четвертом измерении, при чем такая статья, не теряя в научности, должна была быть по возможности общедоступна по изложению и невелика по размерам (не более обыкновенного печатного листа). В качестве судей представляемых работ были приглашены известные ученые и профессора. В результате конкурса— в июле 1909 г. «Scientific American» были напечатаны о четвертом измерении три замечательных, увенчанных премиями и почетными отзывами статьи, принадлежащие Грагаму Демби Фичу (Graham Demby Fitch), Ф. К. Ферри (Р. С. Perry) и Карлу А. Ричмонду (Carl A. Richmond). Приводим ниже перевод этих трех статей, нисколько не сомневаясь, что чтение их доставит живейшее удовольствие каждому, кто «В царстве смекалки» ищет не одного только забавного «препровождения времени».

Статьи эти, взаимно дополняющие и освещающие одна другую, точно так же прекрасно развивают и дополняют то, что сказано уже нами о четвертом измерении во второй нашей книге. Читатель легко убедится сам, что для чтения их не требуется никакой особой математической подготовки, кроме понимания самых элементарных основ геометрии. Можно сказать, пожалуй, что приступить к чтению этих статей и вполне овладеть их содержанием можно, уяснив себе только, что такое точка, прямая линия, квадрат и куб, и запомнив принятые в геометрии названия элементов, входящих в эти фигуры. Рассуждение К. А. Ричмонда требует также понятия об уравнениях. Вот и все, что требуется для того, чтобы преодолеть нижеследующие стра-

ницы и вместе с тем сразу поразительно раздвинуть и углубить свое понимание геометрических основ и взглядов на учение о пространстве вообще. В самой доступной и, можно сказать, наглядной форме математика соприкасается здесь с тончайшими отвлечениями философии и с теорией познания в частности. Приводим также два параграфа из трактата H. Н. Шиллера Значение понятий о «силе» и о «массе». Это небольшое глубоко ученое сочинение, появившееся первоначально в «Киевских Университетских Известиях» в 1898 году, мы настойчиво рекомендовали бы для прочтения всякому, желающему расширить свой естественно-научный кругозор. Почтем себя удовлетворенными, если приведенные отрывки побудят кого-либо к чтению полных сочинений.

В заключение этого небольшого вступления в настоящий отдел прибавим, что о «четвертом измерении» и о «пространстве четвертого измерения» рассеяно в нашем обществе довольно много и довольно-таки смутных, а часто мистических и просто нелепых толков и представлений. Появляющиеся на этот счет книги и брошюрки обыкновенно еще более сбивают читателя с толку... Задача истинного знания состоит прежде всего в том, чтобы в область мрака и тумана внести лучи света и во все вникающей трезвой мысли. Выть может, многие вещи теряют при этом значительную часть своей мистической «прелести» и «таинственности», но несомненно, что они выигрывают в смысле остроумия, ясности и простоты.

О четвертом измерении.

(F. Е. Ferry.)

Ученик обыкновенно знакомится с линейными мерами, затем с квадратными и, наконец, с кубическими мерами, или мерами тел. Он усваивает их себе соответственно, как «измерения длины», затем «меры площадей, или поверхностей, которые зависят от длины и ширины, взятых вместе» и, наконец, «меры объемов, или тел, которые зависят от длины, ширины и высоты, взятых вместе». Первое заключает в себе одно измерение — длину; второе — два взаимно перпендикулярных измерения — длину и ширину, перемноженные одно на другое, и третье — три измерения, каждое перпендикулярное двум другим— длину, ширину и высоту, все взаимно перемноженные. Пусть единицы этих трех родов измерения (например, фут, квадратный фут и кубический фут) будут изображены линией AB, квадратом ABCD с той же линией, как стороной, и кубом ABCD-G с той же линией

(ребром) и тем же квадратом, как основанием (фиг. 39). Единица AB может быть рассматриваема, как составленная из бесконечно большого числа M точек, непрерывно следующих одна за другой от А к В. Квадрат ABCD в таком случае содержит МхМ=М2 точек, а куб ABCD-G содержит МхМхМ=М* точек. Можно итти от одной точки на AB ко всякой другой точке в ней, придерживаясь только одного принятого направления по AB. Точно так же, от одной какой-нибудь точки ко всякой другой в ABCD можно достичь, придерживаясь двух направлений, определенных линиями, ограничивающими квадрат. Точно так же в ABCD-G любая точка достигается из начальной движением в трех направлениях, определяемых 3-мя ребрами куба, выходящими из одной точки (вершины куба). Отсюда, в зависимости от движения от одной точки до другой, первая единица будет одномерная, вторая—двухмерная, третья—трехмерная.

Фиг. 39.

Человек не может сделать движения, которое не могло бы разложиться по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Он не может достигнуть никакого места иначе, как идя на север или на юг, запад или восток, а также вверх или вниз. Он не может найти ни одной точки в комнате, которой не мог бы достигнуть движением в направлениях длины, ширины и высоты комнаты. Зрение различает правильно два измерения, ширину и высоту видимого предмета, между тем как третье измерение, расстояние от предмета, определяется посредством мускульного поворота глаз для сосредоточения их на нем. Нет, казалось бы, смысла требовать четвертого направления, перпендикулярного к тем упомянутым. Фактически весь человеческий опыт заставляет нас удовлетворяться тремя измерениями.

Оставляя опыт в стороне и размышляя всецело по аналогии, четвертое измерение вводится с помощью такого рассуждения: четырехмерное измерение зависит от длины, ширины, высоты и четвертого измерения, взаимно перемноженных. Оно заключает в себе четыре линейных измерения, каждое из которых перпендикулярно к трем осталь-

ным. Следовательно, четвертое измерение составляет прямой угол с .каждым из трех измерений трехмерного пространства. Его единица должна иметь AB, как ребро, квадрат ABCD, как грань,и куб ABCD-G, как основание. Он содержит ЖхМхМхМ=М4 точек. Переход от одной точки ко всякой другой точке в этом пространстве 4-х измерений возможен при движении в четырех направлениях, определяемых этими четырьмя линиями.

Квадрат ABCD (фиг. 39) может быть образовав линией AB—передвижением AB с ее M точками па расстояние в один фут в направлении, перпендикулярном к одному измерению AB. Всякая точка AB в этом движении описывает линию, и ABCD содержит, следовательно, M линий, так же, как М2 точек. Куб ABCD-G образуется квадратом ABCD при движении его на расстояние в один фут в направлении, перпендикулярном к его двум измерениям. M линий и Ж2 точек квадрата описывают соответственно M квадратов и М2 линий. Согласно этому ABCD-G содержит M квадратов Ж2 линий и М3 точек. Подобным же образом четырехмерная единица получается из куба ABCD-G при движении его на расстояние одного фута в направлении, перпендикулярном к каждому из его трех измерений, т.-е. «в направлении четвертого измерения». Его M квадратов, М2 линий и М3 точек описывают при этом соответственно M кубов, М2 квадратов и М3 линий.

Согласно с таким определением единица четвертого измерения содержит M кубов, М2 квадратов, М3 линий и М4 точек.

Рассматривая пределы единиц, мы видим, что AB имеет пределами две точки. ABCD имеет таких предельных точек (вершин квадрата) четыре; ABCD-G имеет таких точек (вершин куба) восемь — четыре от начального и 4 от конечного положений двигающегося квадрата. Наконец, для четырехмерной единицы таких предельных точек должно получиться 16 (из них 8 от начального и 8 от конечного положения переместившегося куба).

Для предельных линий мер получим: AB имеет одну линию (или— она сама по себе одна), ABCD ограничен четырьмя линиями (стороны квадрата), ABCD-G ограничен двенадцатью ребрами (по четыре от каждого начального и окончательного положений двигающегося квадрата и четыре, описанные четырьмя вершинами переместившегося квадрата).

Наконец, для четырехмерной единицы число ограничивающих ее линий (ребер) равно 32, а именно: по 12 ребер дает каждое начальное и конечное положение переместившегося куба, да еще 8 ребер опишут 8 точек (вершин) переместившегося в 4-е измерение куба.

Точно так же для числа ограничивающих меры квадратных граней имеем: АВСВ сам по себе составляет один квадрат. Куб ABCD-G имеет 6 таких квадратов-граней (2 квадрата от начального и конечного положений переместившегося квадрата и 4 квадрата описаны его сторонами при перемещении). Наконец, четырехмерная единица таких квадратных граней имеет 24 (12 квадратов от начального и конечного положений куба, да его 12 ребер опишут еще 12 квадратов)'.

Фиг. 40.

В конце концов, для числа ограничивающих меры кубов имеем: ABCB-G сам по себе один куб, а четырехмерная единица имеет восемь предельных кубов (по одному от начального и конечного положений движущегося куба да 6 кубов, описанных гранями движущегося по направлению 4-го измерения ку£а).

Фиг. 41.

Если линии, ограничивающие квадрат АВСВ. предположить сделанными из сплошной проволоки, и разрезать эту проволоку в В, то эти линии можно, очевидно, тогда разогнуть все вдоль по направлению AB, образуя, таким образом, одномерную фигуру (фиг. 40), равную четырем линейным единицам. Получится по линейной единице по обе стороны AB, да еще вне их линейная единица СВ с какой-либо стороны (у нас справа).

Если в кубе ABCB-G предположить квадратные его грани сделанными из пластинок олова, и эти пластинки обрезать вдоль линий EF, GH, НЕ, АЕ, BF, CG и BE, то квадратные грани их могут

быть сложены так, чтобы образовать одну двухмерную фигуру из шести квадратов. Квадрат ABCD имеет по квадрату на каждой своей стороне да, кроме того, один, EFGH, вне этих с какой-либо стороны (фиг. 41). Точно так же, если в четырехмерной единице представить ее предельные кубы сделанными из сплошного дерева, и это дерево обрезать затем в соответствующих плоскостях, то кубы могут быть сложены так, чтобы образовать, по аналогии с предыдущими, трехмерную фигуру из восьми кубов. Куб ABCD-G (центральный) имеет по кубу на каждой своей стороне и, кроме того, один куб сбоку, вне его сторон (фиг. 42). Эти восемь кубов, образуя теперь трехмерную фигуру, составляли, как мы предполагаем, какую-то поверхность, ограничивающую четырехмерную единицу.

В следующих табличках сделана сводка результатов, полученных выше для объема и границ четырех рассматриваемых здесь единиц:

Фиг. 42.

Объемы.

Точек.

Линий.

Квадратов.

Кубов.

Одномерная единица

. м

1

0

0

Двухмерная единица

. M2

M

1

0

Трехмерная единица

. M3

M2

M

1

Четырехмерная единица

. M4

M3

M2

M

Границы.

Точек.

Линий.

Квадра- к бов тов. J

Одномерная единица . . Двухмерная единица . . Трехмерная единица . . Четырехмерная единица

2 4 8 6

1

4 12 32

0 0

1 0 6 1

24 8

Рассуждая совершенно подобно предыдущему, можно перейти от рассмотренных единиц к единицам пяти и более измерений.

Если одномерную единицу продолжить бесконечно вправо от В и влево от А так, что ее длина сделается больше, чем можно обозначить каким угодно числом,— она будет представлять одномерное пространство вообще. Таким же образом, бесконечно большое продолжение по всем измерениям других единиц даст соответственное представление о двухмерном, трехмерном и четырехмерном пространствах.

Одномерная единица выделена из остального одномерного пространства, в котором она лежит, двумя точками. Двухмерная единица — от остального ее двухмерного пространства отделена четырьмя линиями. Трехмерная единица выделяется из остального ее трехмерного пространства шестью площадями-квадратами; и, наконец, четырехмерная единица выделяется из остального четырехмерного пространства (сверхпространства), в котором она лежит, восемью кубами.

Чтобы получить замкнутую фигуру какого-либо измерения в пространстве того же измерения, требуется: в одномерном пространстве две точки, в двухмерном — по крайней мере три линии, в трехмерном — по крайней мере четыре плоскости, в четырехмерном — по крайней мере пять трехмерных пространств.

То, что говорилось о единицах различных измерений, относится и к соответствующим пространствам. От каждой точки можно перейти к другой точке в том же пространстве движением в стольких определенных направлениях, перпендикулярных каждое к остальным, сколько измерений имеет данное пространство. Время представляет одномерное пространство, так как оно продолжается только в одном направлении от бесконечного отдаления прошедшего к бесконечному расстоянию будущего (фиг. 43). Настоящее есть точка, текущая по времени (или допускающая время скользить мимо себя), с равномерной скоростью; и каждая точка во времени может быть достигнута движением через определенное пространство (в годах, месяцах и т. д.), исходя от наперед избранной известной точки (напр., от начала летосчисления).

Каждая часть земной поверхности, рассматриваемая как плоскость, представляет часть двухмерного пространства, а два принятых здесь направления суть широта и долгота. Иллюстрацией трехмерного пространства служит то пространство (по понятиям человеческим), в котором находится вселенная. Для четырехмерного пространства у человека никаких иллюстраций^ наглядных представлений нет.

Фиг. 43.

Если две линии, AB и В'Л', в том же самом одномерном пространстве симметричны относительно точки О того же пространства (фиг. 44), то AB не может передвинуться в этом же пространстве так, чтобы соответствующие точки совпали {А с А\ В с В' и т. д.). Чтобы достигнуть такого совпадения, необходимо вращать AB через двухмерное пространство около О, как центра; или, говоря грубо, AB должна быть взята в двухмерное пространство, перевернута и опущена вниз на В' А*.

Фиг. 44.

Если два треугольника в двухмерном пространстве симметричны относительно некоторой линии (фиг. 45), то полное совпадение соответственных точек и линий этих треугольников может быть достигнуто только при вращении одного треугольника через трехмерное пространство около линии (оси) симметрии; или, говоря грубо, один треугольник должен быть взят в трехмерное пространство, перевернут и опущен вниз на другой. Опять, если две многогранные фигуры в одном и том же трехмерном пространстве симметричны относительно

Фиг. 45

некоторой плоскости (фиг. 46), то совпадение соответственных точек, линий и плоскостей может быть достигнуто только при вращении одной многогранной фигуры через четырехмерное пространство около плоскости симметрии; или, говоря грубо, одна из многогранных фигур должна быть взята в четырехмерное пространство, перевернута там и положена на другую.

Правая рука и ее отражение (левая рука) в зеркале симметричны относительно плоскости зеркала, и только вращением около этой плоскости будет достигнуто их совпадение. Подобное же вращение может сделать правую перчатку левой; или, говоря грубо, правая перчатка, брошенная по направлению четвертого измерения и там перевернутая, упадет к нам назад левой перчаткой.

Фиг. 46.

Неспособность человека уместить в своем представлении четвертое измерение или обнаружить существование четырехмерного пространства можно сравнить с подобной же неспособностью «двухмерного человека», живущего в двухмерном пространстве, понять третье измерение или обнаружить трехмерное пространство, хотя его собственное пространство может быть только частью того, как плоскость—часть тела. Предположим двухмерное пространство, изображаемое этой страницей книги, обитаемым двухмерными существами. Они имеют длину и ширину, могут двигаться в этих двух измерениях и, предполагается, сознают их. Они не имеют объема, не могут подняться от бумаги или опуститься под нее и не сознают измерений в таком направлении, они не знают «низа» и «верха». Пусть они интеллигентны в пределах их пространства, как человек интеллигентен в пределах своей вселенной; пусть у них есть дома и житницы, вообще, пусть их жизнь богата, насколько может быть. Их дома и житницы не будут иметь ни потолка ни пола, потому что трех линий достаточно в этом

мире, чтобы замкнуть каждый предмет; и человек плоскости сам по себе также расположен только в своем многоугольном плоском контуре. Внутрь этого многоугольника (его собственная внутренность), по мнению существа плоскости, можно пройти только через его контур, так как нет верха и нет низа в его сознании. Было бы безнадежной попыткой убедить его, что существует третье измерение «верха», касающееся даже внутренности его многоугольного плоского «тела»,— его собственных внутренних частей. Если бы даже он принял доказательства аналогии об особенностях такого измерения, то возмутился бы против мысли заглянуть в самого себя, чтобы найти там такое измерение. Если кто-нибудь объяснит человеку плоскости, что существо третьего измерения, приближаясь от направления этого неизвестного ему третьего измерения, может проникнуть в хорошо запертую житницу и взять ее содержимое, не отпирая замка и не ломая стены, человек плоскости все же не будет ближе к понятию этого третьего измерения. Не поймет он также его и в том случае, если кто-нибудь скажет ему, что трехмерное существо может коснуться его собственного сердца, не проникая через кожу. Совершенно так же невозможно для человека понять, из какого направления четырехмерный грабитель должен притти, чтобы украсть сокровища из его крепчайшего подвала, не открывая и не ломая ничего; или, каким путем может приблизиться четырехмерный врач и коснуться сокровеннейшего места человеческого сердца, не нарушая целости кожи, тела и даже стенок сердца. А путь как подобного грабителя, так и врача лежит вдоль четвертого измерения. Таким же путем четырехмерное существо может притти и удалить содержимое яйца без повреждения скорлупы или выпить ликер, не открывая бутылки. Такие четырехмерные существа, обитающие в пространстве, заключающем в себе наше трехмерное пространство, могут представляться людям в виде более совершенных духов. Но отсутствие подобных духов более всего говорит против существования четырехмерного пространства. Алгебра требует, чтобы геометрия изображала все ее задачи. Раз алгебраическая задача может содержать четыре, пять или более неизвестных чисел, равно как и меньшее количество их, алгебра требует четырехмерного, пятимерного или еще высшего пространства. Они ей нужны для использования так же, как и пространства низших измерений.

Быть может, некоторые явления молекулярной физики или механических принципов электрического тока могут быть вполне объяснены только введением четвертого измерения. Может быть, четвертое измерение ускользает от человеческого наблюдения только потому,

что измерения в этом направлении всегда слишком незначительны в сравнении с мерами в трех других измерениях.

До сих пор, как бы то ни было, пространство четырех или еще большего числа измерений могло быть только «фиктивным геометрическим изображением алгебраического тождества».

Опыт рассуждения о четвертом измерении.

(Carl A. Richmond.)

Рой пчел, помещенный в стеклянном улье так, что можно наблюдать движение каждой пчелы, представляет весьма поучительное зрелище для исследователя природы. Такой же стеклянный улей может служить хорошим пособием для рассмотрения четвертого измерения.

Вообразим улей с полом и потолком из горизонтальных и параллельных стекол, помещенных на таком близком расстоянии, что пчелы могут двигаться только в узком пространстве между ними. Вообразим также в целях наглядности, что пчелы обладают разумом людей. Живущим в таких условиях пчелам могут быть знакомы только представления о движении взад и вперед, вправо и влево. Их мир был бы только двухмерный. Лишенные движения вверх и вниз тесно сложенными стеклами, они не могут понимать слов «верх» и «низ», потому что у них нет опыта, на котором они могли бы основывать эти представления. Как ни мало достаточен, вообще говоря, взятый нами пример, он дает все же представление о мире только двух измерений— длины и ширины.

Планиметрия (геометрия на плоскости) есть наука, имеющая дело с такими фигурами, как треугольники, четыреугольники и круги. Интересно, что она зародилась в Египте, где развивалась в целях облегчения измерения страны. От этого происхождения науки произошло и ее название — геометрия, что значит измерение земли, Со времени ее египетской эры наука под именем геометрии тел (геометрия в пространстве) развилась до изучения таких фигур, как сфера (шар), куб, конус и т. д.

Пчелы во взятом стеклянном улье могут двигаться по квадрату, могут делать треугольники и круги, и для них планиметрия может быть практической наукой, но при незнании направления вверх и вниз, куб и шар будут для них непонятны. Третье измерение будет для них таким же абсурдом, каким является для нас четвертое.

Предположим, что мы положили на стол два пера так, чтобы они одно с другим образовали прямой угол; затем, приставим к ним третье перо так, чтобы оно образовало с двумя другими тоже прямой угол. Это ясно и возможно сделать для нас, но это было бы невозможно для пчел с их незнанием 3-го измерения высоты. Они, без сомнения, могут положить два тонких пера в своем улье так, что, пересекаясь, они образуют прямой угол, но третьего пера для образования прямого угла с двумя первыми они поставить не могут. Мы можем рассматривать эти два пера, как представляющие два измерения мира пчел, а три взаимно перпендикулярных пера, как изображение трех измерений нашего мира. Предположим дальше, что кто-нибудь предлагает нам к этим перьям приставить четвертое так, чтобы составить прямой угол с каждым из прежних трех. В нашем поле опыта мы не можем найти места для него так же, как пчелы в их поле опыта не могут найти места для третьего пера. Это четвертое перо представляет так называемое четвертое измерение. Но, хотя для нас нет возможности поставить четвертое перо требуемым образом, пример отношения к третьему измерению пчел указывает нам, что ограничение опыта не дает еще права окончательно утверждать, сколько измерений имеет пространство.

Рассуждения о том, что такое пространство четырех измерений само по себе, как и относительно существ, разум которых проявляется в этих четырех измерениях,—дело чисто умозрительное. Но ни в каком случае не дело математиков упорно отклонять представляющуюся им задачу, а, наоборот, они должны итти во главе и изучать с возможной добросовестностью и с необходимыми ограничениями все особенности четырехмерного пространства, если бы таковое существовало.

Основное руководящее начало их рассуждений состоит в следующем: если существуют взаимоотношения геометрии 2-х измерений к геометрии трех измерений, значит можно предполагать подобные же (аналогичные) отношения между геометрией трех измерений и некоторой геометрией четырех измерений. Как круг находится в известных соотношениях к шару, так и шар, быть может, имеет связь с некоторым известным телом, существующим в пространстве 4-х измерений. Как относится квадрат к кубу, так может относиться куб к какой-либо фигуре четвертого измерения, которую мы можем назвать хотя «кубоидом» (или «сверхкубом»).

Без сомнения, четвертое измерение, так сказать, неосязаемо. Математики не просят нас представлять себе четвертое измерение, еще менее они просят верить в него. Нельзя предполагать, чтобы наиболее даже изучающий эту область мог представить себе, хотя

умственно, изображение четырехмерного пространства. Тем не менее особенности и отношения фигур, предполагаемых в четырехмерном пространстве, могут быть исследованы и установлены.

Алгебра есть наука о числах вообще. Она оказывает существенную помощь при изучении геометрии. Алгебра широко оперирует с такими уравнениями, как ху=12, которое означает, что х и у суть два таких переменных числа, которые, будучи помножены друг на друга, дадут 12; как, наприм., 3 и 4 или 5 и —. Все простейшие геометрические фигуры, как прямая линия и круг, могут быть изображены уравнениями, другими словами, уравнения это—сокращенные описания соответствующих геометрических фигур. Математики показывают, что особенности соответствующих геометрических фигур могут быть изучаемы гораздо скорее посредством их уравнения, чем посредством прямого изучения самих фигур. Математик, понимающий этот способ изучения, может, смотря па уравнение кривой, определить все роды интересных и полезных особенностей ее, не только не видя самой кривой, но не имея даже представления о ее изображении.

Не входя в подробности, скажем, что одно уравнение с двумя переменными представляет плоскую фигуру: так: х2+у2=1Ь изображает круг. Одно уравнение с тремя переменными представляет фигуру в пространстве; так уравнение х2+у2—г2=0 изображает конус. Что же изображает одно уравнение с четырьмя переменными числами, скажем, например, x2+y2+z2+u2=20? По аналогии мы доляшы бы сказать, что оно изображает фигуру в пространстве четырех измерений. Хотя мы и не можем вообразить такой фигуры, мы можем, однако, продолжить аналогию и изучить эту несуществующую фигуру посредством ее уравнения, и, таким образом, мы можем вывести многие из ее особенностей.

Разница в данном случае просто такова: изучая уравнение конуса, мы всегда можем иметь дело с реальным конусом и толковать наши результаты на нем самом. Изучая же уравнение четырехмерной фигуры, мы должны обойтись без такого реального толкования. Другими словами, хотя наша геометрия держится на трех измерениях, наша алгебра может иметь дело со всяким числом измерений и может побуждать нас воображать геометрию с большим количеством, чем три измерения.

Набросаем коротко путь, которым алгебра может помочь составить хотя слабое представление о фигуре, имеющей четыре измерения.

Фигуру, имеющую три измерения, изучают обыкновенно посредством ее равноотстоящих друг от друга параллельных сечений. Напри-

мер, если натуралисту нужно исследовать под микроскопом клеточку зародыша, он разрезывает ее тщательно на тончайшие пластинки и укладывает их последовательно на гладком стекле. Рассматривая затем последовательно эти сечения, он может представить себе все строение клеточки зародыша.

Математики имеют правила, по которым подобные же сечения всякой трехмерной фигуры могут быть представлены посредством уравнений. Они начинают с уравнения, которое представляет твердое тело, например, с уравнения x2+y2+z2=9, представляющего шар. Затем они выполняют ряд некоторых действий, в результате которых получают ряды уравнений, представляющих последовательные сечения этого трехмерного тела. Остается затем только начертить изображения сечений, данных этими уравнениями,и из совместного рассмотрения всех этих изображений можно составить себе ясное представление о форме взятого начального тела. В случае шара, сечения будут круги разных величин.

Как мы уже сказали раньше, уравнение, имеющее четыре переменных числа, может по аналогии представлять фигуру в пространстве четырех измерений. Предположим, что имеем такое уравнение:

x2+y2+z2+u2=20.

Мы можем применить здесь те же, упомянутые выше, правила и выполнить те же операции, чтобы получить сечения фигуры, представленной этим уравнением. Любопытно, но вполне логично, что эти сечения представляют собой трехмерные фигуры. По данным, доставленным результатами уравнений, математики могут сделать себе модели полученных тел из глины и положить эти твердые тела в ряды на столе перед собой. Как натуралист, рассматривая в микроскоп последовательный ряд плоских сечений клетки, получает представление о строении всей клетки зародыша, так и математик может рассматривать ряды глиняных моделей перед ним и по возможности «чувствовать», что он имеет хотя некоторое понятие о природе четырехмерной фигуры, представленной уравнением, из которого он исходил.

Таким образом мы видим теперь, как четвертое измерение может быть изучаемо посредством уравнений, доставляемых алгеброй.

Есть другой, более смелый путь. Мы уже видели, что можно расположить в пространстве три пера так, что каждое из них образует прямой угол с каждым из остальных. Вместо утверждений, что бессмысленно, мол, предполагать, что четвертое перо может быть поставлено так, чтобы образовать прямые углы с каждым из первых трех, предположим, что это может быть сделано. Вслед затем уже без

дальнейших предположений может быть построена на чистом рассуждении полная геометрия четырех измерений. Многие из заключений такой геометрии будут не более очевидны для смысла, чем основное предположение, из которого она исходит. Следует помнить, однако, что это есть только допущение, и что все остальное может быть выведено из этого единственного допущения и из принципов нашей хорошо известной планиметрии и геометрии тел.

Все сказанное выше о специальном способе изучения пространства четырех измерений может служить примером того, как математики рассуждают о некоторых вещах, не имея возможности действительно вообразить их. Мы начинаем с установления отношений между двумя и тремя измерениями, а затем устанавливаем подобные же отношения уже по аналогии между тремя измерениями и четырьмя измерениями. Преположим, что перед нами стоит на столе стеклянный куб. Закроем один глаз и устремим другой прямо вниз куба. Он представится нам приблизительно так, как на прилагаемом рисунке (фиг. 47). Рисунок этот в действительности есть плоская фигура (двух измерений) и может быть начерчена следующим образом: вычерчивается один квадрат внутри другого, и затем проводятся линии, соединяющие соответствующие углы. Все это может быть сделано без всякой мысли о трех измерениях.

Пчелы в стеклянном улье могут начертить такую же фигуру (фиг. 47), какая здесь перед нами на бумаге, и на основании этой фигуры могут быть изучены многие из особенностей куба. Считая четырехсторонние фигуры (ABCD, EFGH, AEFB, BFGC, CGHD, DHE А), которых шесть, мы узнаем, сколько граней имеет куб. Считая точки верхних углов, которых восемь, мы узнаем, сколько имеет куб вершин. Считая линии, которых двенадцать, узнаем, сколько в кубе ребер.

Итак, исходя из квадрата, мы в состоянии построить двухмерную фигуру, которую в целях исследования можем рассматривать, как

Фиг. 47. Трехмерная фигура в плоском изображении. Вид стеклянного куба, если смотреть на него одним глазом сверху.

представляющую куб. Не можем ли мы точно так же, исходя от куба, построить такую трехмерную фигуру, которая могла бы служить изображением той четырехмерной фигуры, которую мы зовем кубоидом, или сверхкубом? И вот, точно так же как мы рисовали меньший квадрат внутри большего, так можем думать о меньшем кубе внутри большего куба, и как чертили линии, соединяющие соответствующие углы квадратов, так можем провести плоскости, соединяющие соответственные ребра (края) кубов. Фигура, так образованная, несколько несовершенно изображена здесь фигурой 48, и для ясности предположим, что у нас есть действительно такое твердое тело.

В случае квадратов, выше, чтобы найти, сколько квадратных граней имеет куб, мы считали большой наружный квадрат, маленький внутренний, четыре его окружающие четыреугольные фигуры, и получили таким образом в результате шесть. Точно так же в случае кубов, чтобы найти здесь число кубических граней в кубоиде (сверхкубе), считаем большой наружный куб, маленький внутренний куб и шесть окружающих его твердых тел и таким образом получаем в результате восемь. Это показывает, что кубоид, или сверхкуб, имеет восемь ограничивающих его кубических граней. Дальнейшее изучение представленной здесь фигуры обнаруживает, что кубоид имеет 24 плоских квадратных грани, 32 ребра и 16 вершин. Так можем мы получить род изображения четырехмерного тела и по этому изображению изучать его некоторые особенности. Есть много соображений, подтверждающих точность вышеизложенных выводов, для которых у нас нет места.

Какая же польза от этих обобщений, отвлечений и рассуждений? Приблизительно та же, что и от знания того, вертится ли Земля вокруг Солнца, или, наоборот, Солнце вокруг Земли. Пространство собственно такой же предмет науки, как планеты или геологические наслоения.

Фиг. 48. Аналогичное изображение „кубоида" (или сверхкуба) 4-х измерений посредством фигуры 3-х измерений.

Кроме того, изучение подобных основных вопросов геометрии бросает свет на наш собственный природный мыслительный запас. Мы узнаем таким путем лучше природу мыслительного процесса, и как развивается наука из простых основных элементов. Такие размышления ведут иногда к очень полезным результатам.

Если вы держите пять шариков в руке и говорите, что отняли из них восемь, то подобное уверение покажется .немыслимым так же, как понятие о четвертом измерении. Но, когда люди стали изображать через—3 (отрицательное число), результат вычитания 8 из 5 вместо того, чтобы говорить, что это невозможно, то было положено основание огромнейшей и плодотворной науки—алгебры.

Допущение четвертого измерения не привело еще ни к каким существенным практическим результатам. Но во всяком случае нельзя утверждать, что наука о четырехмерной геометрии не может иметь полезных применений.

Проф. Карл Пирсон как-то сказал, что, быть может, атом и есть место, откуда эфир проникает в наше пространство из пространства 4-х измерений. Можно показать математически, что подобное допущение объясняло бы многие явления материи. При настоящем состоянии наших знаний такое предположение кажется фантастичным даже самому высказавшему его. Впрочем, оно гораздо менее фантастично, чем предположения германских спиритов, смотрящих на 4-е измерение, как на местопребывание каких-то бесплотных духов.

Четвертое измерение в доступном изложении.

(Graham Demby Fitch.)

Нарисовать, хотя бы умственно, картину пространства четырех измерений невозможно. Между тем четвертое измерение не есть нелепость, а полезное математическое понятие, не стоящее в противоречии с правильным развитием геометрии. Чтобы выяснить его особое и символическое значение, необходимо прибегнуть к сопоставлениям с измерениями низшего порядка.

О какой-либо данной совокупности говорят, что она одного, двух или трех измерений, смотря по тому,—одно, два или три числа необходимы для определения какого-либо из ее элементов.

Если рассматривать пространство, как совокупность точек, то линия есть пространство одного измерения, так как, чтобы определить на ней положение какой-либо точки, достаточно одного числа, дающего расстояние этой точки от другой наперед назначенной точки.

Подобным же образом плоскость есть двухмерное пространство, а окружающее нас «обыкновенное» пространство трехмерно.

В самом деле, точное положение какого-нибудь пункта на земле делается известным, когда даны его географическая широта, долгота и высота над уровнем моря.

Значит, если мы имеем некоторые четыре переменных количества и связанные так, что каждое способно независимо от других принимать всякую возможную числовую величину, то мы получаем некоторую четырехмерную совокупность. Если такую совокупность принять состоящей из точек, то она и составляет какое-то четырехмерное пространство (сверх-пространство), или пространство четырех измерений, как говорят.

Если мы соединим все точки нашего обыкновенного трехмерного пространства с какой-то подразумеваемой точкой где-то вне его, то совокупность всех точек соединяющих линий и составит четырехмерное пространство (сверхпространство).

С другой стороны, как движение точки образует линию, движение (не по собственному следу, а в новом измерении) линии образует плоскость, а движущаяся в новом измерении плоскость образует трехмерное тело, так и это тело, движением еще в новом направлении уже вне нашего пространства, образовало бы сверхтело или часть сверхпространства. Иначе говоря, сверхпространство (пространство четырех измерений) может произойти, как следствие движения всего нашего пространства параллельно самому себе по какому-то направлению вне себя, совершенно так же, как наше пространство может быть образовано движением неограниченной плоскости, которая, в свою очередь, сама образуется неограниченной прямой линией.

Всякое пространство есть то, что образует границу (сечение) между двумя частями другого высшего пространства. Как каждая неограниченная плоскость разделяет наше пространство на две равных бесконечных части, точно так каждое трехмерное пространство должно разделять сверхпространство на две равные бесконечные области, между которыми это трехмерное пространство образует границу бесконечно-малой толщины в четвертом измерении.

В сверхпространстве мы должны иметь следующие возможные пересечения: сверхтело и трехмерное пространство в пересечении дают тело; два трехмерных пространства пересекаются по плоскости; три трехмерных пространства пересекаются по прямой линии, четыре трехмерных пространства пересекаются в одной точке, трехмерное пространство и плоскость пересекаются по прямой линии; трехмерное

пространство в пересечении с прямой линией дает точку; две плоскости пересекаются в одной точке.

Если пересечения имеют место на бесконечном расстоянии, то пересекающиеся элементы, как говорят, параллельны; и если два трехмерных пространства параллельны, все фигуры или тела в одном трехмерном пространстве находятся на равных расстояниях от другого трехмерного пространства. Что касается плоскостей, то в сверхпространстве существует два ряда параллелизма. Параллельные плоскости вполне или не вполне параллельны, смотря по тому, находятся ли они в одном и том же или различных трехмерных пространствах, или же представляется ли пересечение их в бесконечности прямой линией или точкой.

В одной и той же плоскости к данной прямой линии из данной на ней точки можно восстановить только один перпендикуляр; между тем в трехмерном пространстве можно провести бесконечное число перпендикуляров, образующих вместе одну перпендикулярную плоскость к данной прямой. Значит, в сверхпространстве можно провести бесконечное количество перпендикулярных плоскостей, образующих вместе трехмерное пространство, перпендикулярное к данной прямой линии. Трехмерное пространство может быть здесь, следовательно, перпендикулярно к плоскости или другому трехмерному пространству. Плоскости могут быть перпендикулярны двояко, вполне или не вполне перпендикулярны, согласно тому, находятся ли они в одном и том же трехмерном пространстве или нет. В последнем случае всякая прямая линия одного трехмерного пространства перпендикулярна ко всякой прямой линии другого.

Положение точки на плоскости может быть определено ее расстоянием от каждой из двух взаимно перпендикулярных прямых линий1). В нашем трехмерном пространстве положение точки может быть определено ее расстоянием от каждой из трех взаимно перпендикулярных плоскостей (координатные плоскости), а в сверхпространстве это положение определится ее расстояниями от каждого из четырех взаимно перпендикулярных трехмерных пространств. В сверхпространстве эти расстояния измеряются соответственно по четырем взаимно перпендикулярным прямым, которые, взятые по две, определяют шесть взаимно перпендикулярных плоскостей, а взятые по три определяют вышеупомянутые четыре взаимно перпендикулярные трехмерные пространства.

1) Эти прямые носят название координат. Для выяснения понятия о координатах см. «В царстве смекалки», книга вторая: глава «Графики» (стр. 101—109).

Как в нашем пространстве требуются по меньшей мере три точки, чтобы определить плоскость, так в сверхпространстве требуются по меньшей мере четыре точки, чтобы определить трехмерное пространство. Трехмерное пространство, таким образом, может быть определено двумя непересекающимися прямыми линиями или одной плоскостью и точкой вне ее.

Как части нашего пространства ограничены поверхностями плоскими или кривыми, так части сверх пространства ограничиваются сверхповерхностями (трехмерными), т.-е. плоскими или изогнутыми трехмерными пространствами.

Сверхпространство содержит не только бесконечное число плоских трехмерных пространств, подобных нашему, но также бесконечное число кривых трехмерных пространств или сверхповерхностей различного типа. Сверхсфера или сверхшар, например, есть замкнутая сверхповерхность, все точки которой находятся на равном расстоянии от их центра. Пять точек, не лежащих в одном и том же трехмерном пространстве, определяют сверхсферу так же, как четыре точки, не лежащие на одной и той же плоскости, определяют сферу, а три точки не лежащие на одной прямой, определяют окружность. Все ее (сверхсферы) плоские сечения — круги, и все ее пространственные сечения суть сферы.

Сверхсфера радиуса R, проходящая через наше пространство, казалась бы сферой с радиусом, постепенно увеличивающимся от нуля до R и затем постепенно уменьшающимся от R до нуля.

В то время как в нашем пространстве только пять правильных многогранников (тела, ограниченные равными правильными многоугольниками), а именно четырехгранник (тетраэдр), шестигранник (куб), осьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр) и двадцатигранник (икосаэдр), в сверхпространстве шесть правильных сверхтел, ограниченных равными правильными многогранниками. Это С5 (ограничен пятью четырехгранниками), С8 (восемью кубами), С16 (шестнадцатью четырехгранниками), С24 (24 восьмигранниками), С120 (120 двенадцатигранниками), С600 (600 четырехгранниками).

Все эти тела основательно изучены математиками, и модели их изображений в нашем пространстве были построены. Из них С8 (или сверхкуб)—простейший, потому что, хотя он ограничен и большим числом многоугольников, чем С6, зато он прямоугольный со всех сторон и, следовательно, может служить готовой мерой для измерения сверхпространства. Сверхкуб получается движением куба по

какому-то направлению, перпендикулярному к нашему пространству, на расстояние, равное одной из его сторон.

На фиг. 50, где все линии, обозначенные точками, предполагаются находящимися в сверхпространстве, первоначальный куб обозначен буквами ABGDEFCH, а конечный куб буквами A'B'G' D'E'F'C'H', направление АА' предполагается перпендикулярным к нашему пространству. Проектируя ребра сверхкуба на наше пространство, мы получаем сетчатую модель, плоская проекция которой изображена на фиг. 49. Восемь ограничивающих кубов изображены на модели следующими знаками: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12), (9, 10, 11, 12,13,14,15,16), (13, 14, 15, 16, 1, 2, 3, 4), (1, 5, 9, 13, 2, 6, 10, 14), (2, 6, 10, 14, 3, 7, 11, 15), (3, 7, 11, 15, 4, 8, 12, 16), (4, 8, 12, 16, 5, 9, 13, 1).

Фиг. 49. Фиг. 50.

Форма сверхкуба находится в зависимости от взаимного отношения этих кубов. Они только ограничивают его. Сам же сверхкуб содержит бесконечное количество кубов, подобно тому, как куб содержит бесконечное количество квадратов.

При образовании сверхкуба движением куба, вершины последнего образуют ребра сверхкуба, ребра куба производят квадратные грани сверхкуба, а грани куба образуют кубы. Число элементов сверхкуба, следовательно, таково (для ясности даем табличку его образования):

Начальный куб.

Образуется движением.

Конечный куб.

Сверхкуб.

Вершины

8

8

16

Ребра

12

8

12

32

Грани (квадраты)

6

12

6

24

Кубы

1

6

1

8

Каждая вершина сверхкуба есть общая четырем взаимно перпендикулярным ребрам, шести граням и четырем кубам; каждое ребро

принадлежит трем граням и трем кубам, и каждая грань принадлежит двум кубам. Всякий куб, следовательно, имеет одну грань общую с 6 из 7 других.

Мы должны, следовательно, воображать сверхкуб, как составленный из кубов, начинающихся от параллельных граней куба, и из этих кубов все, существующие в нашем пространстве, параллельны квадратам, из которых они начинаются.

Единственный возможный род вращения в плоскости, это — вращение вокруг точки; в трехмерном пространстве вращение может совершаться вокруг осевой линии, а в сверхпространстве — и вокруг осевой плоскости.

Две симметрические плоские фигуры, как треугольники А и В (фиг. 51), не могут быть приведены к совпадению при каком угодно движении в одной их собственной плоскости, но при повороте па 180 градусов одной из них, в третьем измерении, одна совпадает с другой. Подобным образом два симметрических тела (с гранями равными, но в обратном порядке), таких, как, напр., пирамиды С и D (фиг. 52), не могут совпадать при движении в пашем пространстве, но при повороте одной из них на 180 градусов в сверхпространстве обе пирамиды совпадут.

Вращающаяся пирамида при этом должна исчезнуть из нашего пространства и по ее возвращении, после вращения на 180 градусов, она уже может совпасть с другой. В нашем пространстве два движения вращения слагаются в одно окончательное вращение, подобное составляющим его вращениям, исключая случай, когда направление оси различно. В сверхпространстве—наоборот: здесь вообще нет движения, слагающегося из двух вращений. Отсюда два различные типа движения в сверхпространстве, и тело, подчиненное двум вращениям, находится там в совершенно различном условии от того, когда оно подчинено только одному. При подчинении одному вращению вся плоскость тела неподвижна. При подчинении двойному вращению ни одна часть тела не остается неподвижной, исключая точки, содержащей две плоскости движения. Если же оба вращения равны, всякая точка в теле, за исключением одной, описывает круг.

Фиг. 51. Фиг. 52.

Свобод движения в сверхпространстве более, чем в нашем. Степеней свободы твердого тела в пространстве 6, а именно: 3 перемещения вдоль и 3 вращения около 3 осей. В то же время прикрепление трех из точек тела может предупредить всякое его движение. В сверхпространстве, однако, тело с закрепленными тремя точками может все еще вращаться около плоскости, проходящей через эти точки. В сверхпространстве твердое тело имеет десять возможных различных движений (10 степеней свободы), а именно: 4 перемещения вдоль 4 осей и 6 вращений около шести плоскостей; и по меньшей мере четыре из его точек должны быть закреплены, чтобы предупредить всякое движение.

Материальная точка в нашем пространстве будет неподвижной, если связать ее с тремя неподвижными точками вне ее. В сверхпространстве такая точка должна быть твердо связана по крайней мере с шестью точками вне.

В сверхпространстве упругая сфера может быть без вытягиванья или разрыва вывернута на другую сторону. Два кольца цепи могут быть разделены без разрыва. Наши узлы там бесполезны. Так, узел, показанный на фиг. 53, может быть развязан без передвижения скрепленных концов. Как в нашем пространстве точка может войти в круг и выйти из него (через 3-е измерение), не прикасаясь к окружности, так в сверхпространстве тело может пройти в сферу и из нее (или другое замкнутое пространство), не проходя через поверхность, окружающую ее. Словом, все ограниченное и закрытое в нашем пространстве, всякая внутренность плотного тела открыты для наблюдения или действия из четвертого измерения, которое распространяется по совершенно неведомому нам направлению от всякой точки пространства.

Имеет ли сверхпространство реальное, физическое существование? Если да, то наша вселенная должна иметь чрезвычайно малую толщину в четвертом измерении, иначе говоря, она подобна в нем геометрической плоскости, которую мы принимаем совсем не имеющей толщины. Наш мир в таком случае представляется только абстракцией (как и думали некоторые идеалисты-философы), т.-е, не чем иным, как «только тенью, бросаемой более реальным четырехмерным миром».

Реальное существование тончайшего протяжения в четвертом измерении может упростить некоторые научные теории. Например, в нашем пространстве 4 есть наибольшее число точек, взаимные рас-

Фиг. 53.

стояния которых (числом 6) все независимы друг от друга. Но в сверхпространстве 10 расстояний между каждыми 2 из б точек геометрически независимы. Если эту большую свободу положения признать допустимой для атомов, то это помогло бы объяснить такое химическое явление, как изомеризм, где молекулы одинакового состава имеют различные свойства. С другой стороны, вращение в сверхпространстве могло бы объяснить перемену в теле, происходящую справа, в то время как слева происходит поляризация света. Далее, проф. Макэндрик в заседании Британского научного общества сказал: «Можно думать, что жизнь есть не что иное, как переход к мертвой материи... в форме движения своего рода (sui generis)».

Мысль о сверхпространстве была несколько опошлена спиритуалистами, которые населили его измышлениями собственной фантазии. Тем не менее, возможность его существования никогда еще не была несовместима с научными фактами. Следовательно, ограничение пространства тремя измерениями, хотя, быть может, и правильное, есть чисто опытное (эмпирическое).

К чему же нужно понятие сверхпространства? Хотя бы для одного: оно дает более глубокий взгляд на геометрию. Так, круг, рассматриваемый только в одном измерении, как совокупность ряда точек, имеет очень мало особенностей. Между тем, рассматриваемый в плоскости, он уже имеет центр, радиус, касательные и т. д., а в трехмерном пространстве он имеет еще дальнейшие числовые и геометрические соотношения с сферой, конусом и т. д.

Подобным же образом свойства какой-нибудь данной линии или поверхности увеличиваются в числе, когда исследуются в сверхпространстве.

Итак, стоит только нам включить в трехмерное пространство какие-нибудь одномерные совокупности (спираль, например), как до сих пор неизвестные линии и поверхности делаются математически возможными и в сверхпространстве. Низшие пространства содержатся в высших, и как наши понятия о геометрии плоскости расширяются рассмотрением плоских фигур в трехмерном пространстве, так и геометрия тел еще более освещается геометрией сверхпространства. Математические области, до сих пор недоступные геометрии, освещаются теперь геометрическими представлениями. Наконец, понятие о сверхпространстве вносит полное различие между геометрическим пространством и действительным (реальным) окружающим нас пространством. Оба эти пространства не считаются более необходимо одинаковыми, и таким образом опять-таки расширяются наши умственные горизонты.

Субъективно или объективно понятие пространства.

И. Кант считал восприятие пространства не эмпирическим, «отвлеченным от опыта». Наоборот, это понятие предшествует опыту, оно есть необходимое условие опыта. В основе всех понятий о нем лежит созерцание a priori. Все геометрические положения, например, что сумма углов треугольника равна двум прямым, никогда не могут быть выведены из общих понятий о линии и треугольнике, а выводятся из созерцания, притом a priori с аподиктической достоверностью.

Эволюция математики в XIX столетии опровергнула взгляды Канта. Болэ и Лобачевский показали возможность существования геометрии, в которой сумма углов треугольника меньше двух прямых углов, а впоследствии Риман показал возможность геометрии, в которой сумма углов треугольника больше двух прямых. Чем отличаются эти геометрии? Тем, что у них различно звучит аксиома о параллельности. Аксиомы определяют соотношения между основными понятиями геометрии, точками, прямыми и т. д. Таким образом сумма углов треугольника вытекает, в противоположность мнению Канта, из понятий прямой и треугольника (и еще некоторых других понятий).

Работа, начатая Лобачевским и Болэ, продолжается в математике до сих пор. Были тщательно изучены все аксиомы, лежащие в основе обычной Евклидовой геометрии, было исследовано, какой характер примет геометрия при замене одной аксиомы другой. Исключительная роль в этой работе принадлежит величайшему математику современности Д. Гильберту1). Мы можем положить в основание геометрии любую систему аксиом, лишь бы только они не противоречили друг другу.

Но если так, то какая геометрия истинна? Какая из них описывает наше пространство? Ответ на это может дать только опыт. Уже Лобачевский пытался, наблюдая параллаксы звезд, опытно определить, какая геометрия соответствует реальному миру.

Откуда произошли основные понятия математики? Это—отвлечения от опыта. Прямая линия — путь светового луча. Вопрос о том, какая геометрия истинная, сводится к вопросу — каковы свойства тех физических объектов, которые дают нам модели геометрических понятий.

1) Его фундаментальная книга «Grundlagen der Geometrie» переведена на русский язык: Д. Гильберт. «Основание геометрии». Перевод под редакцией проф. Васильева. Из-во «Сеятель» 1923 г.

Что же говорит опыт? Он говорит, что в малом наше пространство очень мало отличается от Евклидова пространства. Если вы возьмете три точки, находящиеся не слишком далеко друг от друга, то сумма углов, образованных прямыми их соединяющими (т.-е. лучами света, идущими от точки к точке), исчезающе мало отличается от 2d, и Лобачевский и другие основатели Евклидовой геометрии могли справедливо надеяться, что дальнейшая эволюция физики решит вопрос о характере нашего физического пространства. И действительно, экспедиции для наблюдения солнечного затмения в 1919 и 1922 годах установили предсказанный Эйнштейном факт искривления луча света вблизи тяжелого тела (солнца) — таким образом, луч света не есть Евклидова прямая.

Стройное здание кантовской теории рухнуло под напором фактов. В геометрии нет аподиктической достоверности (т.-е. достоверность такого рода, что противоположные факты непредставимы), в ней нет познания a priori — вопросы геометрии решаются опытом. Наши интуитивные геометрические представления есть результат долголетнего опыта нашего и всех предшествующих поколений. Не сознание определяет бытие, а бытие определяет сознание.

Очень долго занимал мыслителей вопрос: а трехмерность нашего пространства есть ли это результат специфических свойств нашего способа его восприятия или здесь кроется объективность? Если бы был верен первый ответ, то можно было себе представить существо другой психической организации, которые воспринимали бы пространство, как двухмерное. Ведь, как сказал известный математик Георг Кантор, можно установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и плоскости, так что каждой точке пространства отвечает точка плоскости и обратно. Таким образом эти существа могли бы воспринимать все точки нашего пространства, как расположенные в плоскости. Но на это можно возразить, сославшись на теорему, недавно доказанную Brower'ом1). Невозможно взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие всех точек пространств различного числа измерений, т.-е. при таком соответствии точки, составлявшие непрерывную линию, рассыпаются. Таким образом то, что мы воспринимаем как непрерывное движение, не воспринималось бы как таковая нашими мифическими существами. Именно существование движения заставляет нас предполагать объективность трехмерности нашего пространства.

Таким образом эволюция математики нанесла смертельные удары субъективно-идеалистическому взгляду в вопросе о пространстве

1) Для частных случаев она была доказана впервые Кенигом.

О числовых суевериях.

Число зверя.

«Здесь мудрость. Кто имеет ум, тот сочти число зверя, ибо это число человеческое. Число его шестьсот шестьдесят шесть».

Приведенный текст из Апокалипсиса всегда производил сильное впечатление на древних и средневековых толкователей, занимавшихся апокалиптической литературой. Особенно занимало оно последователей Пифагорейской школы, всегда придававшей числам особый скрытый и мистический смысл. Над выяснением этой загадки трудились многие в продолжение веков. Толкователи позднейших времен (1835 г.), Бенари, Фритче, Хитциг и Реусс, связывали число 666 со словами «император (Цезарь) Нерон», написанными по-еврейски: ]ГП ПСр

По древнееврейской системе обозначений чисел находящиеся в этих словах буквы означают:

р = 100, D = 60, 1 = 200, : = 50, 1 = 200, 1 = 6, ] = 50.

Складывая эти числа (100+60+200+50+200+6+50), получаем, действительно, 666.

Такое скрытое обозначение имени Нерона писатели объясняют естественной боязнью современников этого полусумасшедшего человека-зверя. Когда же с его смертью мало-по-малу страх, возбуждаемый его именем, прошел, то забылось и значение числа, принятого для обозначения этого имени, и только спустя много времени опять вспомнили о нем. Во всяком случае представляется странным, что одному из первых отцов церкви—Иринею, жившему, по предположению, всего около 100 лет после того, как был написан Апокалипсис, была, очевидно, неизвестна связь числа 666 с именем Нерона, так как для объяснения этого числа он сам предлагал различные комбинации слов.

В средние века и позднее католики начали считать это число еретическим и означающим еретиков, в частности протестантов. Протестанты, наоборот, находили несомненную связь между этим числом и именем, или символом, папы. Так, напр., принимая во внимание, что в латинском языке буквы M, D, С, L, X, 7, I употребляются в виде числовых знаков (М=1000, D=500, С=100, L=50, Х=10, F=5, 1=1), протестанты из титула папы «наместник сына бога», написанного по-латыни (vicarius filii dei), выводили также звериное число, как видно из нижеследующего.

V I С ABI V SF I L II D EI

5 + 1 + 100 + 1 + 5 + 1 + 50 + 1 + 1 + 500 + 1 = 666.

Католики, в свою очередь, производили подобные же выкладки с именем Мартина Лютера и т. д. Число подобных пояснений звериного числа очень велико, и часто эти пояснения настолько противоречивы, что взаимно исключают друг друга. Словом, из факта, что некоторый ключ подходит к замку, нельзя ничего вывести, если замок такого рода, что в нем можно повернуть почти каждый ключ.

Всякие каббалистические изыскания подобного рода, пожалуй, могут представлять известный интерес, как предмет шутки или с точки зрения изобретательности и приемов счета, употребляемых толкователями. Но когда подобные числовые выдумки употребляются как средства религиозной борьбы и возбуждения одной церкви против другой, то, конечно, мы должны видеть здесь лишь «покушение с негодными средствами».

Числовая мистика.

Приобревшее всеобщую известность и рассмотренное в предъидущей заметке «звериное число» принадлежит к одному из весьма многочисленных остатков той числовой мистики или просто числовых суеверий, которые ведут свое начало с древнейших времен. Изучение древнейших дошедших до нас памятников халдейской, египетской, индусской и китайской культур доказывает, что древняя наука всегда была связана с суеверием даже в области «точных» математических знаний. Суеверие заключалось обыкновенно в том, что числам или геометрическим фигурам приписывались известные таинственные свойства, устанавливались некоторые символические соотношения между числами, с одной стороны, и божествами, личностями или событиями—с другой. На основании этих соотношений делались обыкновенно различные выводы, гадания и предсказания. Числовая

мистика подобного рода проходит чрез всю историю человеческой культуры вплоть до наших дней. В самом деле, разве и в настоящее время вы не встречаетесь с разговорами о «чортовой дюжине», о нежелании сидеть за столом в числе 13-ти человек, о счастливых и несчастливых числах и днях в месяце и неделе, о той или иной роли, которую какое-либо число играет в жизни какого-либо (обыкновенно «знаменитого») человека и т. д.?..

Человеческому духу свойственно стремление к чему-то более общему и таинственному, чем то, что дается одним опытом (эмпиризмом) и наглядным представлением. Отвлекаясь в область обобщения и «чистого разума», этот бедный человеческий разум на первых порах часто впадает в слишком широкие обобщения, подсказываемые только одним «маленьким допущением» в область «сверхзнания».

В отделе о пространстве 4-х измерений нам уже приходилось упоминать, как даже в наше время чисто алгебрическое и аналитическое допущение «спириты» поспешили обратить в какой-то «действительный» мир, населенный какими-то «духами» и т. д.... Что же удивительного в том, что из начала человеческой культуры в науку просто чисел вошел было элемент таинственности и мистицизма, кажущийся теперь, пожалуй, смешным, но в свое время способствовавший разработке познания чисел. Так в свое время мистические бредни алхимии и астрологии способствовали появлению наук химии и астрономии. Так в настоящее время запутанные толки разных «спиритов» и «теософов» «об области духов 4-х измерений» вызывают людей трезвой науки дать свои заключения и продолжить свои исследования хотя бы в той же области геометрии 4-х измерений. Математика не должна бояться вопросов, а итти впереди их.

Вот почему хотя бы беглый обзор мистики чисел в истории развития математических знаний полон глубокой поучительности. С одной стороны, мы видим, как из общей массы всяких мистических бредней и суеверий, словно зерно от шелухи, отделяется, в конце концов, истинное знание. С другой—интересно проследить, как чрез века и тысячелетия доходят до наших времен известные суеверия и предрассудки.

История обыкновенно такова: вымирают ученые касты, разрушаются и гибнут культуры. Но тем или иным путем какое-либо мистическое учение проникает в широкие народные массы и передается от народа к народу, бог весть, какими неуловимыми путями, и перерабатывается каждой народностью в своеобразные и причудливые формы. Так, напр., в задаче 4-й настоящей книги можно с большой

долей вероятности видеть отголоски древнейших суеверий, связан ных с числом 7.

Помимо египетского папируса Ахмеса, к самым древнейшим памятникам математики принадлежат дошедшие до нас таблички клинообразных письмен халдейской или вавилоно-ассирийской культуры. По взгляду большинства ученых, халдейская культура есть наслоение двух культур: древнейшей—сумерийской и другой, более поздней,— семитической.

Сумерийской культуре принадлежит единственная в своем роде система клинообразного письма. Каждая буква в этом письме составлена из собрания черт, имеющих вид клина или гвоздя. Материалом для писания служили квадратные плитки из обожженной глины. Древнейшие поселения сумеров были на нижнем Евфрате: там находились их города Ур и Сенкере. В Сенкере при раскопке целой громадной библиотеки найдены были в 1854 г. две глиняные таблички, имеющие не более 15 миллиметров в длину и ширину. Ученый Раулинсон указал, что одна из этих глиняных табличек есть таблица квадратов целых чисел. Впоследствии Ленорман показал, что вторая табличка есть табличка кубов.

Эти две таблички, по мнению Сэйса, известного ассириолога, составлены между 2300 г. и 1600 г. до нашей эры. По мнению же других, их следует отнести к еще более раннему времени, а именно за 4500 лет до нашей эры. Если последние предположения верны, то найденным табличкам не менее 6000 лет. Можно думать, что таблички имеют связь с халдейской мистикой чисел. Вот что говорит по этому поводу проф. А. В. Васильев в своей интересной публичной лекции, прочитанной в пользу высших женских курсов в Казани в 1886 году. Приводим из этой лекции обширную выдержку:

В одной из табличек Ниневийской библиотеки царя Ассурбанипала сохранились имена главных богов, и против каждого имени бога стоит известное мистическое число, ему соответствующее. Напротив, злым демонам соответствует ряд дробных чисел.

Встречаются и заклинания, основанные на силе чисел. Тайна, которую божество сумеров Эа поверяет своему сыну, называется числом.

В собрании рифмованных пословиц и старых народных сумерийских песен мы встречаем два куплета, которые, повидимому, должны были петься на сельском празднике:

«Злак, поднимающийся прямо, достигнет благополучного конца роста; число для этого мы знаем.

«Злак изобилия достигнет благополучного конца роста; число для этого мы знаем».

К сожалению, хотя в сохранившихся памятниках магии часто упоминаются заговоры числами, хотя мы и знаем, что число 7 играло при этом особенно таинственную роль, но, однако, ни один из заговоров не достиг до нас.

Такова роль чисел в халдейской цивилизации.

Мы имеем поэтому право предполагать, что наши (сенкерейские) таблички столько же могли служить для целей практической жизни, сколько и для составления комбинаций, основанных на свойствах чисел и имеющих мистическое значение, употреблявшихся, может быть, при гаданиях.

Нельзя не поставить, напр., табличку кубов в связь с числом 36, равным сумме кубов, первых трех чисел 1, 2, 3 и вместе с тем равным сумме первых четырех четных и первых четырех нечетных чисел.

Это число тридцать шесть имело весьма важное значение на двух почти противоположных концах старого континента: в Греции у пифагорейцев и в Китае. У пифагорейцев высшая, самая страшная клятва была клятва числом тридцать шесть. Весь мир, по их мнению, был составлен, из четырех первых четных и четырех первых нечетных чисел. У китайцев четыре первые четные числа представляют чистые и небесные элементы мироздания, четыре первые нечетные числа—нечистые и земные, и сумма их, т.-е. число тридцать шесть символизирует мир.

Такая поразительная аналогия всего легче может быть объяснена допущением, что идея о таинственном значении числа тридцать шесть возродилась еще на халдейской почве и влиянием халдейских идей, с одной стороны, на крайний Восток, с другой стороны—на Грецию. Такое влияние халдейской культуры нисколько не удивительно, если мы припомним ту степень развития, которой она достигла, например, во времена Ассурбанипала (721—666 г.г. до нашей эры), когда в его дворце находилась громадная библиотека, открытая для всеобщего употребления, содержавшая трактаты по грамматике, истории, законоведению, мифологии, естествознанию, астрономии, астрологии (содержание всей этой библиотеки заняло бы, по словам Смита, бо лее 500 томов in 4 по 500 стр. в каждом), когда существовали уже археологи, по приказанию царя переводившие сумерийские надписи на язык, бывший в то время в употреблении.

Есть еще другие основания думать, что именно халдейские идеи о таинственном соотношении между числами и явлениями приводившие халдеев только к заговорам и заклинаниям, обратились

у даровитого и одаренного философским духом греческого народа в важное философское учение Пифагора, положившее в основание объяснения природы числа. Учение было создано Пифагором, который, как говорят его жизнеописатели, совершил длинное путешествие на Восток и, между прочим, посвятил продолжительное время изучению халдейской магии. Мы имеем, кроме того, свидетельство Ямблиха, который прямо указывает на халдейское происхождение многих математических теорем. Сущность Пифагорейского учения заключается в следующих словах их учения: «Вещи суть копии чисел, числа—начала вещей».

Они почитали числа не только как основание всякого познания, не только как причину всякого порядка и всякой определенности, не только как управляющую миром божественную силу, но и прямо объявили, что мир состоит из чисел.

Если один толчок к этому философскому учению был дан халдейским взглядом на числа, то другой, несомненно, был дан подмеченною великим умом Пифагора математическою определенностью многих явлений. Современная наука и положительная философия ставят целью познания—раскрывать во всех явлениях эту математическую определенность. Припомним, например, слова Канта: «В каждом знании есть столько науки, сколько математики». Но мы не отожествляем теперь эту математическую определенность явлений с самими явлениями, как это сделала Пифагорейская школа. С ее точки зрения, объявившей все вещи числами, естественно было затем заняться решением вопросов, какие числа соответствуют каким вещам; и здесь открылся широкий простор их фантазии.

Прежде всего они объявили различие между четными и нечетными числами соответствующим различию между ограниченным и неограниченным, между мужским и женским. Затем они пошли далее. Справедливость, например, которая отдает равным равное, отожествлялась с квадратными числами, в которых оба множителя равны, например, с числом 4 или с числом 9. Число 5, как сумма первого мужского числа (3) и женского (2) (единица у пифагорейцев не считалась сама числом, а только началом всех чисел), называлось браком.

Особенно важное таинственное значение придавалось двум числам: числу 7, которое играло такую важную роль в халдейской мифологии, и числу 36, которое известно было под названием Tetractys. Я уже говорил о значении этого числа и о том, что это число, вероятно, также вавилонского происхождения. Его особенности носят чисто математический характер, и вообще пифагорейцы, устанавливая аналогии между числами и вещами, должны были вдумываться в мате-

матические свойства целых чисел,—те свойства, которыми теперь занимается теория чисел. Вот почему Пифагор и его школа могут считаться основателями этой науки. Школа Пифагора первая рассматривала ряд чисел треугольных. Так называются числа, которые получаются, складывая под-ряд, начиная с первого, несколько целых чисел; таковы числа: 3, 6, 10... Они же рассматривали числа «совершенные», в которых сумма делителей равна самому числу, и числа «дружественные», т.-е. пары чисел, из которых первое равно сумме делителей второго, и второе равно сумме делителей первого. Таковы, напр., 220 и 284. Ямблих, жизнеописатель Пифагора, рассказывает, что Пифагора спросили однажды, что такое друг. Ответ был: «Тот, кто есть другой я, вот как числа 220 и 284».

Все эти вопросы о треугольных, совершенных, дружественных числах занимали затем наиболее известных математиков, напр., Эйлера.

Основная идея Пифагорейской школы имела большое влияние и на философию Платона, великого почитателя математики, на стенах Академии начертавшего: «Пусть никто не входит сюда, кто не занимается геометриею». Платон и некоторые из его учеников не были свободны от числовой мистики. Но с особенною силою возродилась эта числовая мистика в учениях неоплатоников и неопифагорейцев—философских школ, образовавшихся в то время, когда влияние Востока, и в том числе халдейской религии, халдейской магии, сделалось особенно сильным. У неопифагорейцев, напр., число есть прототип мира, первоначальная мысль божества, властитель над формами и идеями, посредствующий член между богом и миром. Понятно, что при таком взгляде на первый план должно было выступить теологическое, метафизическое и натурфилософское значение чисел. Понятным делается появление сочинений, имеющих заглавием: «Арифметические исследования о боге и божественных вещах, или Арифметические теологии». В этой «Арифметической теологии», автор которой есть неопифагореец язычник Никомах, следующим образом рассматриваются числа от 1 до 10:

Единица есть божество, разум, добро, гармония, счастье; она называется Аполлон, Гелиос; но она может рассматриваться и как материя, тьма, хаос.

Два есть принцип неравенства, предположения; оно есть материя, природа, вещество, основание всякой множественности; оно должно носить имя матери богов Изиды; оно есть источник всякой гармонии, храбрость, потому что из него развиваются смело все остальные числа... и т. д. в том же роде.

Послушаем еще еврея Филона. Вот как он объясняет, почему люди после потопа жили 120 лет. Число 120 есть сумма 15 первых чисел, 15 есть число света, ибо после новолуния в 15 дней является полная луна; притом 120 есть 15-е треугольное число, имеет пятнадцать различных делителей, и все частные суть весьма важные числа, притом сумма их равняется 240, т.-е. вдвое больше 120, что имеет несомненное отношение к двойной жизни, духовной и телесной, и т. д. и т. д. в том же роде.

Подобные же числовые мистические соотношения находим мы у других философов того же времени—Платона, Ямблиха и других.

Если такие соотношения занимали выдающихся философов, то можно себе вообразить, как вообще были развиты числовые бредни, предсказания посредством чисел и т. п. и т. п. среди массы общества. К этому-то времени относится известный эдикт Юстиниана, изгонявший из столиц, вместе с астрологами, магами, и математиков; тогда-то математики и были объявлены злодеями—mathematici-malefici.

Но на-ряду с числовыми бреднями шло изучение математических свойств целых чисел. Тот же Никомах написал «Введение в арифметику»—сочинение чисто научное, в котором в первый раз дано полное учение о фигурных числах, изложено арифметически учение о пропорциях и т. п.

Каббала.

Из древности перешло в средние века и здесь пышным цветом развилось целое полурелигиозное, полуфилософское учение, носящее название каббалы. Это мистическое учение развивалось преимущественно евреями. В нем на-ряду с мистикой пифагорейцев, приписывавшей особенно таинственное значение самому числу, придавалось еще значение составлению чисел из букв слова. Буквам азбуки приписываются по порядку числа:

1, 2, 3... 10, 20, 30...

В таком случае каждому слову будет соответствовать известное число. Соотношения же, существующие между такими числами, указывают, мол, на соотношение между лицами или событиями. Такое суеверие носило имя «каббалистики», и оно играло важную роль в учении каббалы.

В истории философии учение это сыграло довольно важную роль. Сущность его—пантеизм. Вот почему в учении великого философа-еврея Спинозы многие не без основания видят влияние каббалы.

Под ее же влиянием сложилась та числовая тарабарщина, которая играла известную роль в заклинаниях алхимиков и магиков средних веков, между которыми встречаем время от времени такие почтенные в науке имена, как Реймонда Луллиуса, гуманиста Рейхлина, Рожера Бэкона, врача Парацельса и мн. др.

Не раз в одной и той же личности совмещалось страстное увлечение каббалистикою с не менее страстною любовью к науке. Одним из таких людей был известный математик XVI столетия Михаил Стифель. Ему, например, обязана алгебра введением знаков + и —, знака для корня и пр. И в то же время склад его ума постоянно увлекал его к числовой мистике.

Из текста Videbunt in quem transfixerunt (воззрят на того, которого пронзили), придавая буквам числовые значения, он вывел предсказание о погибели мира в 1533 году, и крестьяне его прихода (Стифель был протестантский пастор), расточившие в ожидании близкой кончины мира все свое имущество, когда кончины мира не последовало, под ударами прогнали его в Виттенберг, где он был спасен только благодаря личному заступничеству Лютера. Другой раз, сидя в ванне, он составил сумму чисел, приходящихся на фразу Vae tibi, Papa, vae tibi (Горе тебе, папа, горе тебе!), и восторг его, когда получилось число 1260, мистическое число, был так велик, что, подобно Архимеду, он выскочил из ванны, провозглашая «великое открытие».

Но вскоре после Стифеля наука теории чисел делается уже независимой от числовой мистики, и последняя становится достоянием только массы или мистиков, имеющих весьма мало общего с наукою.

Тайнопись.

Настоящая глава может служить как дополнением предыдущего, так и полезным введением в излагаемую дальше «Теорию соединений». С одной стороны, мы увидим, что комбинациями чисел и букв можно пользоваться не для мистических, а чисто практических целей секретного письма. С другой—искусство тайнописи, как увидим ниже, многими сторонами примыкает и связывается с так называемыми перестановками, размещениями и сочетаниями.

Потребность в таком способе письма, который скрывал бы смысл написанного от постороннего глаза и делал бы его доступным лишь для немногих посвященных, существует у людей с древних пор. Отсюда и возникло искусство секретного письма, разросшееся в наши дни чуть не до размеров целой пауки—криптографии. О тайнописи упоминает еще Геродот и даже приводит образцы таких писем, кото-

рые понятны лишь адресату. По свидетельству Плутарха, у спартанцев были в употреблении специальные механические приборы для записывания и прочтения тайных посланий. Для записывания религиозных тайн жрецы пользовались особыми письменами, непонятными для непосвященных.

У Юлия Цезаря была своя система тайнописи, при помощи которой он записывал свои тайны; она была основана на замене одних букв другими, — прием употребительный и в наше время.

В средние века над изобретением и усовершенствованием криптографических систем работали многие выдающиеся умы, как, напр., философ Бэкон Веруламский, математик Виета, историк Гуго Гроций и др.

Но высшего своего развития криптография достигла лишь в новое время, с развитием дипломатических сношений и сложных торговых оборотов, требующих соблюдения строжайшей тайны. В наши дни ежедневно по всему миру циркулируют сотни и тысячи так называемых шифрованных, т.-е. тайнописных телеграмм. Важнейшие административные меры во всех почти странах передаются шифрованными телеграммами. Точно так же шифруется и большая часть военных депеш. В Германии каждый офицер должен знать криптографию. Мы не говорим уже о дипломатах, которым «язык дан для того, чтобы скрывать свои мысли»: они не останавливаются ни перед какими затратами денег и времени, чтобы, полно и точно передавая депешу по назначению, сохранить в то же время и строжайшую тайну. Тайнопись находит себе обширное применение и в торговом мире, при разного рода биржевых и т. п. спекуляциях. Корреспонденты больших заграничных газет, желая, чтобы ни одна газета не предупредила их орган в опубликовании какого-нибудь сенсационного известия, также шифруют свои телеграммы.

В дальнейшем мы знакомим с некоторыми приемами тайнописи. Читатель сам сможет рассудить, насколько много в криптографии «математики». Но если математике, собственно говоря, принадлежит здесь довольно скромная роль, то, во всяком случае, легко убедиться, что свободное пользование тайнописью требует все же запаса сообразительности и остроумия,— словом, в обширном царстве смекалки и этому отделу должно быть уделено известное внимание.

Простая замена.

Казалось бы, самой простой системой тайнописи была бы простая замена общепринятых букв какими-нибудь условными знаками или числами. Но это, как оказывается, далеко не надежная тайнопись,

и при известном навыке очень легко доискаться до истинного смысла подобной криптограммы.

Пусть, например, в наши руки попала следующая криптограмма, написанная по способу простой замены букв какими-нибудь числами (так что одинаковые буквы заменялись одинаковыми же числами). Отдельные слова разделены тире, а буквы — запятыми.

1, 2, 3—2, 3—5, 6, 7, 8, 5, 9—2, 3, 8, —11, 12, 2, 9,

13, 6, 14, 15, 16—1, 17, 18, 19, —7—5, 11, 2, —15, 11, 19, 16, 20, 2, 21, 22,

23, 11, 15, -20, 18, 5, 11, 13, —24, 7, 25, 26—11, 15, 2, 11, 27, 13, 16, 20, 2, 21, 22.

17, 18, 27, 15, 18, 3, 8, 5, 9-28, 24, 7, 27, —1, 3, 2, 9.

С самого начала видно, что перед нами стихи: — тождество концов строк обличает рифмы.

Вот один из многих возможных путей дешифрирования заданной криптограммы.

Обращаем внимание на второе слово первой строки — 2,3. Слово, состоящее из двух букв, может быть бы, ли, не, на... Сопоставляя первые два слова криптограммы:

1, 2, 3,-2,3

и принимая во внимание, что в последнем слове четвертой строки (1,3,2,9) цифры и 1 и 3 стоят рядом (след., если 3 гласная, то 1, скорее всего, согласная), убеждаемся рядом проб, что слова

1, 2, 3—2,3

суть: мне не.

Подставив во всех словах вместе 1, 2 и 3 буквы м, и, е, обращаем внимание на четвертое слово первой строки 2,3,8=«в 8. Очевидно, перед нами слова нет.

Точно так же выясняется, что последнее слово четвертой строки 1, 3, 2, д=меп 9=меня.

Сделав подстановку, обращаем внимание на первое слово четвертой строки:

17, 18, 27,. 15, 18, е, m, 5, л.

Подозреваем глагольную рифму тся. Испытывая 5=с, убеждаемся, что третье слово первой строки: с, 6, 7> тся и четвертое второй строки: с, 11, н, суть спится и сон,

(Слово сын отвергаем, ибо число 11, как стоящее в начале последнего слова первой строки, не может быть ы.)

Подставив найденные буквы в остальные слова криптограммы, поступают далее по тому же методу, т.-е. обращают прежде всего внимание на те слова, в которых либо больше всего известных букв, либо получается характерное их размещение. При этом, уловив размер стиха, можно пользоваться правилами стихосложения, угадывая число слогов в слове (а следовательно, и гласных букв). Не следует пренебрегать и указаниями, которые дает рифма.

В результате всех поисков, проб, подстановок и т. п. получаем следующее четверостишие (А. С. Пушкина):

Мне не спится, нет огня, Всюду мрак и сон докучный; Ход часов лишь однозвучный Раздается близ меня.

В общем, весь ход дешифрирования сходен до известной степени с методом решения неопределенного уравнения рядом испытаний.

Между прочим, как известно, древне-египетские иероглифы были «дешифрированы» именно таким путем.

Что такое „тарабарская грамота"?

Мы часто употребляем это выражение, но мало кто знает его точный смысл. А между тем это просто определенный вид тайнописи, бывший в употреблении в древней Руси. Согласные буквы располагались в два ряда, как показано ниже:

бвгджзклмн щшчцхфшсрп

и при писании употребляли вместо верхних согласных нижние, и наоборот. Гласные же оставались без замены.

Так слово человек по «тарабарской грамоте» получало начертание: гесошет.

Само собой разумеется, что такая тайнопись легко дешифрируется и не гарантирует тайны.

Другое название для «тарабарской грамоты»—«простая литорея», в отличие от «мудрой литореи», представлявшей более сложную систему древне-русской тайнописи.

Системы перестановок.

Мы видели, что простая замена обычного алфавита другими условными знаками нисколько не гарантирует тайны написанного: при известном навыке и остроумии нетрудно восстановить полностью весь шифрованный текст, не зная условного алфавита. Поэтому простой заменой для серьезных целей никогда и не пользуются. Гораздо надежнее шифровать по методу так наз. транспозиции (перестановки). Вот один из простейших способов.

Положим требуется передать такую фразу:

Приеду завтра вечером.

Располагают буквы этой фразы в клетке прямоугольника в каком-нибудь определенном порядке, например, снизу вверх:

е

а

а

е

z

и

з

р

ч

м

р

у

m

е

0

п

д

в

в

р

(Буква z поставлена лишь для заполнения пустого квадратика и не должна приниматься во внимание при дешифрировании.) Теперь пишут буквы нашей таблички слева направо в одну строку:

еааепзрчмрутеопдввр

и эту «тарабарщину» посылают адресату. Последнему остается лишь разместить буквы в решетке и читать написанное колоннами снизу вверх. Само собою разумеется, что форма решетки (5 х 4) и порядок чтения (снизу вверх) составляют секрет, известный лишь отправителю и адресату. А так как решетка может быть самой разнообразной формы, точно так же, как и порядок чтения (сверху вниз, по диагоналям и т. п.), то непосвященному довольно трудно дешифрировать такое послание.

Одно время в военных ведомствах всех стран была весьма употребительна система тайнописи, близкая к только что описанной. Объясним эту систему на примере. Подлежит передаче фраза:

Главнокомандующий прибудет в семь вечера.

Принят определенный числовой «ключ» шифра, составляющий, конечно, тайну для непосвященных. Пусть таким «ключом» служит 23154.

Располагаем буквы депеши следующим образом:

1.

2.

3.

4.

5.

г

л

а

в

п

0

к

0

м

а

и

д

У

ю

щ

и

й

п

V

и

б

У

д

е

m

в

с

е

м

ь

в

е

ч

е

V

а

z

z

z

z

Затем переставляем колонны букв в порядке нашего ключа:

2.

3.

1.

5.

4.

л

а

г

и

в

к

0

0

а

м

д

У

н

щ

ю

й

п

и

и

V

У

д

б

ш

е

с

е

в

ь

м

е

ч

в

V

е

z

z

а

z

z

Остается написать теперь все буквы в обычном порядке слева направо:

лагпвкооамдупщюйпиирудбпье ceebMe4epezzazz.

Знающий «ключ» легко прочтет такую телеграмму, но попробуйте прочесть ее без «ключа»! Разумеется, если перебрать все возможные перестановки из 40 элементов, то успех обеспечен, но для такой работы, как мы убедимся далее, нужны целые годы.

К тому же, мы применили эту систему пока лишь в самом простом ее виде. Нет ничего легче еще более затруднить дешифрирование, почти нисколько не затрудняя адресата. Так, в предыдущем примере можно было условиться телеграфировать строки не в их естественном порядке—сверху вниз,—а в любом ином: сначала все нечетные строки, затем четные; или в алфавитном порядке букв крайней колонны и т. п. Наконец, для вящшего сохранения тайны можно каждую букву заменить другой, отстоящей от нее в алфавите на определенное число букв.

Квадратный шифр.

Самая остроумная система этой категории тайнописи — употребление так наз. квадратного шифра. Суть его в следующем: буквы алфавита располагают в вертикальные и горизонтальные ряды, как показано в прилагаемой схеме:

абвгдежз. . . . э ю я ф

а б в г д е ою з и . . . . ю я ф а

бвгдежзик . . . . я ф а б

вгдежзик..... ф а б в

и т. д. до конца алфавита.

Условный ключ — слово «пушка». Чтобы зашифровать по этому способу ту же фразу «главнокомандующий прибудет в семь вечера», производим следующие манипуляции: пишем буквы нашего ключа над буквами депеши:

пушка пушка пушка пушка пушка пушка главн окома ндующ ийпри будет всемь

пушкап.

вечера.

Каждая буква нашей депеши вместе с соответствующей буквой ключа послужат нам теперь координатами для избрания букв вышеприведенной таблицы. В вертикальной колонне г и горизонтальном ряду п найдем букву у. Это и будет первая буква шифрованного текста. Далее, на пересечении колонны л и ряда у находим л, это — вторая буква и т. д.

Слово «главнокомандующий» изобразится при этом так: уящноююжшбэшкиъщэ.

Легко усмотреть на этом примере одно серьезное преимущество квадратного шифра: в нем одни и те же буквы (ю, ю; щ, щ; э, э) обозначают на самом деле совершенно различные звуки; и, наоборот,— одинаковые звуки (а, о) получают различное начертание (а=щ=б; о=ю=эю). Это создает неимоверные трудности для всякого, кто пожелал бы разгадать смысл депеши, не зная «ключа», А между тем

адресат, имеющий ключ («пушка»), без больших хлопот прочтет эту тарабарщину. Стоит ему лишь написать ключ над текстом:

пушкапушкапушкапу уящпоююжшбэшкиъщэ

и затем при разыскании истинных букв задаваться каждый раз вопросом: какая буква помещена в первом ряду таблицы над такой-то буквой такого-то ряда? Напр., для разыскания первой буквы спрашиваем: что стоит над у в горизонтальном ряде п? Оказывается г, и т. д., пока не получим в результате все слово «главнокомандующий».

Словари для шифрования.

Как ни остроумна система квадратного шифра, как ни затрудняет она чтение криптограммы непосвященным,—все же дипломаты не считают ее достаточно надежной. В самом деле, допустим, что любопытствующий член дипломатического корпуса соседней державы раздобылся текстом шифрованного послания и каким-либо путем раскрыл смысл одного лишь слова—напр., в вышеприведенной телеграмме ему посчастливилось заподозрить в первой длинной группе букв слово «главнокомандующий»,—уже этого ему достаточно, чтобы рядом проб и испытаний добраться до «ключа» и, следовательно, дешифрировать все послание.

Вот почему в дипломатических сферах употребляются совершенно иные способы тайнописи, именно так называемая система словарей.

Словари для шифрования бывают двух родов: численные и буквенные. В первом случае каждая группа цифр, во втором — группа букв—обозначают какое-нибудь слово. Пользуясь таким словарем, отправитель пишет послание на этом условном языке, а получатель, при помощи словаря же, переводит его снова на общеупотребительный язык.

Само собою разумеется, что в дипломатическом корпусе каждой страны есть свой словарь, который держится в строжайшей тайне и экземпляры которого выдаются немногим, вполне надежным и непосредственно заинтересованным лицам. Случайная утрата словаря в таких случаях может иногда повлечь за собой серьезные последствия, так как послание остается непрочитанным.

Счетные машины

В настоящем отделе мы предполагаем ознакомить читателя с одной из наиболее интересных областей арифметики, а именно—с историей и отчасти практикой счетных машин. Думаем, что эта глава будет интересна для всех. Быть может, для иных она не останется даже без практической пользы. Счетные машины совершенствуются с каждым днем и все более входят в практику. Недалеко, пожалуй, то время, когда счетная машина завоюет в культурном обиходе такое же место, какое уже завоевала пишущая машина.

Более подробные сведения по истории вопроса желающий найдет в классическом труде Кантора «История математики» и отчасти в «Истории элементарной математики» Кэджори. Последняя есть в русском переводе (издание «Mathesis»).

Обстоятельный очерк тому же вопросу посвящает Э. Люка (Lucas) в III томе своих знаменитых «Récréations Mathematiques». См. также брошюру Л. А. Золотарева: «Как люди научились считать», изд. 1910 года. Москва.—«Публичная лекция о Цифраре диаграммометре В. С. Козлова», читанная Эдуардом Люка в 1890 году. (Перевод с франц. под редакцией проф. А. В. Васильева. Казань 1895.) Наконец, обращаем особенное внимание читателя на ученые исследования по истории математики (в древности и в средние века) профессора H. М. Бубнова. Изучая произведения знаменитого ученого и деятеля средних веков (X—XI в.в.) Герберта, впоследствии папы Сильвестра II (-J- 1003 г.), проф. Бубнов обратил особенное внимание на математические сочинения этого замечательного человека. Жупел математики не испугал филолога, а, наоборот, подвинул его к энергичному труду овладеть предметом. Результатом неустанной работы талантливого ученого, помимо полного и обстоятельно комментированного издания математических произведений Герберта (на латинском языке, издание Фридлендера и сына в Берлине: «Gerberti Opera

Mathematica», Berolini 1899, Rob. Friedländer und Sohn, p.p. XIX+620) явились русские книги: «Арифметическая самостоятельность европейской культуры» (Киев, 1908, стр. Х+408), «Происхождение и история наших цифр» (Киев, 1908, стр. 196), «Абак и Боэций» (Журн. Мин. Нар. Просв. 1907—1910 и отдельно, Спб. 1912, стр. 311), «Подлинное сочинение Герберта об абаке» (Киев, 1911), «Древний абак —колыбель современной арифметики» (Киев, вып. I, 1912) и др.

Нет сомнения, что эти труды сыграют важную роль в истории нашей науки и прежде всего потому, что в них наглядно указано, как историк математики должен отнестись к историческому документу или сочинению, попавшему ему в руки, прежде чем делать из него какие-либо заключения. Вслед затем выводы, к которым приходит проф. Бубнов в результате своих огромных и часто кропотливых исследований, проливают новый свет на чрезвычайно важные и интересные вопросы. как-то: о так называемых абацистах и абаке древнего мира, о происхождении и выработке наших цифр, о состоянии элементарной арифметики в средние века и, наконец, едва ли не самой важной и смелой (но обстоятельной) в научном отношении является попытка проф. Бубнова воссоздать систему элементарной математики классической древности из отысканных им же ее обломков среди средневекового хлама1).

Счет и число.

Понятия о счете и числе представляются на первый взгляд столь элементарными, что едва ли кто затруднится ответить утвердительно на вопрос, знает ли он, что такое число?

Однако дать точное определение понятий о счете и числе вовсе не так просто; ибо если число возникло в результате счета, то и сознательный, приведенный в систему счет немыслим без ясного представления о бесконечной изменяемости чисел и о числе, как о выражении конкретного множества.

Рассуждения о том, когда именно возникли у людей представления о числе, как о выражении множества, совершенно праздны. Есть наблюдения, показывающие, что и животные не лишены некоторой способности к подсчету, а между тем не могут выразить результат его ни звуком, ни движением, ни начертанием. Исключительные случаи, достигнутые дрессировкой, не могут считаться доказательными.

1) Отрывки из исследований проф, Бубнова читатель найдет в нашей «Математической Хрестоматии». Кн. 1-я.

А раз человек еще раньше полного обособления от животного таил в себе зачатки понятии о числе, он не может, конечно, помнить о процессе их возникновения, как не помнит о своей утробной жизни.

Безусловно важны в истории числа и счета лишь процессы, с помощью которых люди научились схватывать и удерживать в памяти, выражать, передавать другим и развивать врожденные им несложные числовые представления.

Исследования в области языкознания, наблюдения над числовыми представлениями дикарей, пережитки в языках культурных представителей человечества показывают, что «реализация числа», т.-е. отвлечение от частных случаев множества к общим, обособление определенного множества от неопределенного, началось с сопоставления самого элементарного свойства: множественность выражалась описательно, речениями и оборотами: «столько, сколько я да ты»; «столько, сколько у меня глаз»; «столько, сколько у животного ног»; «столько, сколько у меня пальцев».

Действительно, даже у наиболее культурных народов, числительные: «два, deux, duo, two, zwei», в несомненном родстве с «ты, tu, du, toi, thou»; «vier» — с «Vieh (скотина)»; «пять, пент, fifth, fünf, five» — с «пясть, пята, пента, fist, Faust»; «zehn»—с «Zehen (пальцы на ноге)»; английское «digits (единицы счета)» — с «digiti (пальцы)».

Рамки примеров можно бы значительно расширить использованием всех языков живых и мертвых. Все они подтверждают возникновение представлений о числе с самых названий чисел именно таким конкретным, а не умозрительным путем.

Орудие счета.—Босоногая машина.

Части тела человека и животных, явясь, таким образом, первоначальными критериями множественности, косвенно легли впоследствии в основание систем счисления. С усложнением быта и взаимоотношений между представителями человечества, с развитием культуры и расширением торговых сношений, выражение «множества» при посредстве глаз, ушей, конечностей и т. п. становилось все менее и менее удобным, и мало-по-малу первенствующая роль в ряду простейших орудий счета перешла к пальцам. Пальцы же послужили образцом для некоторых примитивных числовых знаков, а счет на них лег в основание всех получивших сколько-нибудь широкую известность и распространение систем счисления.

Естественно, что рука, в качестве элементарнейшего счетного прибора, должна была повести к счету пятками: пяток яблок,

пяток кур, пяток яиц существуют до сих пор как ходячие выражения предметного счисления. Такой «пяток», отсчитанный на пальцах одной руки, положим, правой, и отложенный на другой загибанием одного пальца, являлся первой единицей высшего порядка. По мере нарастания пятков получались отсчеты: «один пяток и два» (т.-е. 7); «два пятка и три» (т.-е. 13); «три пятка и четыре» (т.-е. 19); «четыре пятка и палец» (т.-е. 21) и т. д. Пять пятков на левой руке давали вторую единицу высшего порядка (т.-е. 25), которая отмечалась, положим, загибанием мизинца левой ноги. Все пять пальцев левой ноги составляли одну единицу третьего порядка (т.-е. 125), которая отмечалась одним из пальцев правой ноги и т. д. Таким образом выражение «четыре пальца правой ноги, да два пальца левой ноги, да три пальца левой руки, да один палец правой руки» значило бы на наш счет:

4.125 + 2.25 + 3.5 + 1 = 566.

Судя по сохранившимся остаткам, такой счет нигде не сложился в прочную и законченную систему.

Родиной его следует считать Америку, где обрывки его в ходу от крайнего севера до крайнего юга. Изолированно он встречается также у некоторых африканских племен и у сибирских инородцев.

Однако отсутствие отдельных названий для 25, 125, 625 и т. д. лишает счет последовательности. Для выражения больших чисел приходится прибегать к степеням чисел 10-ти и 20-ти.

В глубокой древности пятеричный счет принадлежал, вероятно, к наиболее распространенным: следы его находятся в гомеровском диалекте Илиады и Одиссеи. Римские цифры также носят явный отпечаток пятеричности. Так, отдельные обозначения существуют для единицы, для пяти, пятидесяти, пятисот, пяти и пятидесяти тысяч. Самая цифра X представляет две пятерки, сложенные основаниями. Очертания первых пяти цифр, несомненно, получились из очертаний пальцев руки (фиг. 54). Пятеричные цифры пережили пятеричный счет и наложили своеобразный оттенок на римскую нумерацию.

Конечно, счет пятками был счетом босоногого человечества, с подвижными пальцами ступни; потому он ранее других частью забылся, частью усовершенствовался, дав начало счету двадцатеричному. С другой же стороны, наиболее культурноспособные человеческие расы раньше других стали обуваться и терять подвижность ножных пальцев. Пока же все ходили босиком, было совершенно естественно не останавливаться на пятеричном счете, а продолжать

счисление на пальцах ног, вплоть до двадцати. Новая единица счета т.-е. «двадцатка» называлась, вероятно, либо «человек», либо «шкура», по числу пальцевых отростков на шкурах пятипалых животных.

На позднейшее происхождение двадцатеричной счета указывает малое распространение его среди теперешних дикарей, параллельно с многочисленными пережитками в языках наиболее цивилизованных народов.

Так, до сих пор во французском языке в ходу числительные quatre-vingts, quatre-vingts dix, six-vingts, quinze-vingts; англичане сплошь и рядом считают на «scores of pounds» (двадцатки фунтов стерлингов); они же говорят «three score» (60), «three score and ten» (70), «four score» (80) вместо sixty, seventy и eighty; в живой датской речи не только сохранились числительные «tresindstyve» (3.20=60), «firesindstyve» (4.20=80), но и более сложные выражения, соответствующие древнерусским «полтретьядвадцата», «полчетвертадвадцата», «полпятадвадцата», вместо 50, 70 и 90.

Как отсчитывались на пальцах рук и ног высшие единицы двадцатеричной системы, т.-е. «двадцатью-двадцать», «двадцатью-четыреста», «двадцатью-восемь тысяч»,—сказать довольно трудно. Вернее всего, что в счете участвовало несколько человек, из которых первый отсчитывал единицы, второй — двадцатки, третий — четырехсотой, четвертый— восьмерки тысяч и т. д., подобно тому, как поступают современные полудикие американские кочевники при десятичном счете.

Отдельные названия для высших единиц двадцатеричного счета сохранились в памятниках доисторических народов Центральной

Фиг. 54.

Америки. Так, например, у майев (Юкатан) существовали непроизводные названия для 20, для 400 (202), для 8 000 (203) и для 160 000 (204); у ацтеков —для 20, для 400 и для 8 000.

Таким образом майи с помощью пальцев рук и ног могли отсчитывать до двадцати раз по 160 000, т.-е. до 3 200 000.

Этим, вероятно, и ограничивалась у них потребность в счете, так как нет указаний, чтобы они считали дальше.

На языке майев паши, например, 7 095 выразились бы, как семнадцать четырехсоток, четырнадцать двадцаток и пятнадцать единиц.

Там же, на предполагаемой родине двадцатеричной счета, т.-е. в Америке, где он достиг наивысшего развития, естественная двуногая и двурукая босая человеческая счетная машина была впервые дополнена механическими приспособлениями. Есть достоверные исторические свидетельства, что перуанцами употреблялись для этой цели разноцветные шкуры с завязанными на них узлами (квиппосы).

Такими же механическими дополнениями к человеческому телу надо считать общеевропейские «бирки» и на них «резы».

В классической стране несообразностей,—консервативно-прогрессивной Англии,—счет бирками и резами, на «scores of pounds», просуществовал до конца семнадцатого столетия при взимании государственных налогов и повинностей. Один «score» вмещал в себе двадцать фунтов стерлингов, один фунт стерлингов — двадцать шиллингов.

Сопоставление слов «skin» — кожа, древне-английского «core» — тело и «score» — двадцать, невольно ассоциируется со «шкурой», в смысле двадцатипалой единицы. Бирки, на которых резами наносились «scores of pounds», были оструганные палки (tally, tallies). По заключении расчета, их раскалывали пополам, и одна половина вручалась плательщику, другая сохранялась в казначействе.

Таким образом пережитки двадцатеричного счета, с его примитивнейшими механическими приспособлениями, бирками и резами, еще в семнадцатом столетии напоминали человеку, что было время, когда он сам, своей особой, играл роль босоногой счетной машины.

Орудия счета.—Обутая машина.

Когда культурные представители человечества обулись и оделись в долгополые одежды, ноги перестали служить им орудиями счета. Остались только руки с десятью пальцами и тремя суставами на каждом, за исключением больших.

Очень вероятно, что, только достигнув известного культурного уровня, человек заметил, какое удобное счетное приспособление представляют суставы пальцев. Иначе двенадцатеричная система опередила бы десятичную, и, как более удобная, не уступила бы ей первенства.

Отсчет ногтем большого пальца правой руки суставов остальных четырех пальцев давал основание двенадцать, или дюжину (фиг. 55).

Аналогичное отсчитывание дюжин на суставах пальцев левой руки дало дюжину дюжин, или «гросс». Дальнейшего развития система, повидимому, не получила. Интересна она своей живучестью, а также тем, что легла в основание шестидесятичной системы, употреблявшейся в Вавилоне.

Ключ к последней был найден на двух плитках из обожженной глины, открытых во время раскопок в древнем Вавилоне. Первая содержала равенства вида:

1.4=82, 1.21 = 92; 1.40=102; 2.1 = 112 и др.

На второй находились числовые коэффициенты освещенной части лунного диска, в 240-х долях лунного диаметра, в период от новолуния до полнолуния, выраженные в такой форме:

5, 10, 20, 40, 1.20, 1.36, 1.52, 2.8 и т. д.,

при чем всем числам, меньшим шестидесяти, соответствовали самостоятельные знаки. Формулы эти понятны и возможны лишь при условии, что каждая единица влево, отделенная: от предыдущей точкой, равна шестидесяти. Тогда действительно:

1.4 = 60 + 4 = 82; 1.21 = 60 + 21 = 81 = 92 1.40 = 60 + 40 = 102; 2.1 = 120 + 1 = II2 1.20 = 60 + 20 = 80; 1.52 = 60 + 52 = 112

2.8 = 2.60 + 8 = 120 + 8 = 128.

Шестьдесят называлось на языке вавилонян «сосс»; а шестьдесят соссов, или 3 600, называлось «cap». Таким образом число 192 924 читалось и писалось у них как «53 cap 35 сосс 24 единицы».

По мнению Кантора и Кэджори, вавилонский способ счисления «не мог находиться в связи с устройством человеческого тела».

Фиг. 55.

Ошибка обоих кроется в том, что ни один из них, повидимому, не наблюдал, как действует счетная машина человеческого тела в тех местностях земного шара, в которых по сю пору уцелели остатки шестидесятичного счета: мы говорим о широкой полосе на границе германского и славянского миров, захватывающей часть северозападных, западных и юго-западных губерний, от Киева на юге и на севере до Риги, и простирающейся на запад через Галицию, Саксонию, Бранденбург и Померанию до Данцига. В этой полосе, вдалеке от главных центров, счет продолжается на копы (60 штук), «полукопы» (30 штук) и «мандели» (15 штук). А лет 30—40 тому назад даже в таком торгово-культурном центре, как Рига, яйца и раки продавались на рынках не иначе, как на мандели и копы (Schok).

Механизм счета был чрезвычайно прост: загибая пальцы левой руки, и продавцы и покупатели отсчитывали пятки: каждый пяток отмечался ногтем большого пальца правой руки на суставах остальных четырех пальцев, начиная с мизинца.

Мизинец давал первый манд ель копы: безымянный— второй; средний — третий и указательный— четвертый. Самое немецкое слово «Schok» звучит несколько похоже на «зосс» и могло быть занесено с Востока во время великого переселения народов. Этимология и происхождение слова «Mandel» неизвестны. Русская «копа» одного корня с «совокупность», «накопление», «копить».

Фиг. 56.

Живая счетная машина человека дала начало и еще одной системе счисления, весьма редкой, от которой остались лишь жалкие обрывки.

«Сорок сороков церквей» в Белокаменной, да уплата ясака «сороками соболей» инородческим населением Сибири, сорок фунтов в пуде суть единственные пережитки некогда весьма распространенного счета.

Начатки его опять-таки в пальцах и руке.

Грубая, заскорузлая, короткопалая рука сибирского зверолова и кочевника не годилась для счета дюжинами, потому что укороченный большой палец, и то с трудом, нащупывал на остальных по два сустава вместо трех. Целая рука давала, таким образом, восемь единиц (фиг. 56), а пять пальцев другой руки позволяли отсчитать пять восьмерок, или сорок.

Для «сорока сороков» требовалось, конечно, двое счетчиков.

Наивысшего расцвета счет на пальцах достиг в Китае уже в период полного торжества десятичной системы счисления.

Холеная, гибкая рука, с длинными пальцами и ногтями, культурного китайца позволяла нащупывать на каждом суставе по три мышечных утолщений: два боковых и среднее, итого на целом пальце— девять. Девять утолщений, соответственно девяти цифрам, восемь разрядов, соответственно восьми трехсуставным пальцам, позволяли отмечать прикосновением ногтя большого пальца все числа от 1 и до 99 999 999 (фиг. 67).

Путешественники удостоверяют, будто китайцы с большим уменьем сообщают друг другу с помощью пальцев биржевые цены и коммерческие тайны. Они торгуются и совершают сделки молча, на глазах многочисленных свидетелей, спрятав руки под полами длинных одеяний.

В прежние времена русские купцы также при сделках ударяли рука об руку под полой кафтанов. Обычай этот был перенят, вероятно, у китайцев, но с утратой его внутреннего, практического смысла.

На фиг. 58 соответствующими цифрами обозначено, каким порядком прикосновений могло бы быть отмечено и прочитано на одной руке число 3 074.

Нашествие обутых варваров и торжество десятичной системы счета.

Расцвет двенадцатеричной и шестидесятеричной систем счисления предполагается около 2000 л. до нашей эры в халдейском Уре. Предел дальнейшему его развитию и распростра-

Фиг. 57. Фиг. 58.

пению был положен разрушением Урской и Ассиро-Вавилонской цивилизаций.

Поток народов, стерший с лица земли древнейшие культурные царства, стоял ца перепутьи от варварства к культуре. Покорители Халдейского Востока сравнительно недавно обулись и перешли от пятеричного или двадцатеричного счета к десятичному.

Кто они были — в точности неизвестно. Но их было много, и они были победителями.

После временного понижения уровня культуры наступил снова подъем умственной жизни, и явились новые запросы духа. Тогда известная живая счетная машина человеческого тела вскоре оказалась недостаточной. Невозможность производить на пальцах сложные выкладки заставила искать вспомогательных средств сначала только для облегчения памяти, а потом и для выполнения операций с числами.

Счетные пособия —графические и предметные

Выше мы уже говорили о бирках и узлах, как о средствах облегчить память, а также закрепить и сообщить другим результаты счета. Но ранее, чем бирки и узлы сделались общим достоянием и счетными пособиями, искусство счета прошло через более элементарные фазы. Так, несомненно, что замена ограниченного числа пальцев камешками, раковинами, зернами, предшествовала узлам и биркам. Кучки однородных подвижных предметов облегчали счет и позволяли ощупью производить четыре основных действия над числами не исключительно в уме.

Результаты стали изображать условными знаками, число которых первоначально было очень велико. Потребовалось много веков, пока люди убедились, что при десятичной системе счисления достаточно десяти знаков для выражения любых чисел.

Условные знаки писались на песке, на глине или иной пластичной массе, отмечались узлами, бирками, нестираемыми надписями. Камешков, раковин, зерен бралось первоначально столько, сколько было объектов счета, и лишь впоследствии стали приписывать им поместное значение, в зависимости от взаимного их положения.

Ни история, ни предание не сохранили имен тех, которые стали считать камешек или раковину, положенные левее или правее, в несколько раз больше или меньше своих ближайших соседа или соседки. Вероятнее всего, что таким изобретателем явилось все человечество, додумавшееся сообща до счета: по пальцам, на пятки, десятки, дюжины, двадцатки, сорока и копы, приглашавшее отдельных счетчи-

ков для единиц, отдельных для десятков, отдельных для сотен; приписывавшее пальцам на ногах числовое значение в 25 и в 125 раз больше, чем пальцам на руках.

Отсюда уже один шаг к графическому изображению полосками, клетками или кружками полей, для помещения в них предметов или знаков, имеющих поместно-возрастающее или убывающее значение. Но человеческий ум затратил много времени прежде, чем додумался до этого шага.

Первый намек на такое счетное приспособление находим у Геродота. Он пишет:

«Египтяне считают камешками, водя рукой справа налево, между тем как эллины водят рукой слева направо».

Фиг. 59.

В чем состоял египетский «счет камешками», достоверно неизвестно. Одно несомненно, что столбцы, графы, клетки или поля, на которые клались камешки, были расположены в горизонтальной последовательности, иначе приходилось бы водить рукой снизу вверх или сверху вниз, а не справа налево (или наоборот). Значит столбцы, или графы, по отношению к считавшему, были вертикальные.

Из последующих форм, которые принял счет в Греции, в Риме и далее на запад, можно лишь догадаться, что у современных Геродоту греков значение камешков возрастало справа налево, у египтян же наоборот. Так, на прилагаемой фиг. 59 сочетание камешков в графиках означало бы в греческом чтении 1 035 207, а в египетском— 7 025 301.

Правильность такой догадки подтверждается всей дальнейшей историей развития искусства счета в древние и средние века. Ибо

только из таких, как выше, графиков, могла возникнуть основная идея счетной машины древности, так называемого «абака»1).

Абак и римские счеты.

Название «абак», по мнению некоторых, стоит в связи с семитическим корнем «бак», что значит «прах», в смысле «пыль» или «песок». Другие же видят в нем коренное греческое слово «abax» — стол.

Словопроизводство от «бак — прах» неправдоподобно, хотя иные и доказывают, что в первичной форме абак представлял собою доску, покрытую тонким слоем пыли или песка, на котором чертили числовые знаки, буквы или геометрические, фигуры, и что в таком виде абак сохранился до последних времен древней культуры, в качестве пособия при изучений геометрии. Песок употреблялся синий, крашеный или естественный; вернее — мелкорастертая голубая глина, ложащаяся довольно плотным, нелегко сдуваемым слоем.

В школах абак исполнял роль грифельной доски, на которой писались и вновь стирались числовые знаки и геометрические фигуры. На фиг. 60 представлены написанные на абаке числа; греческим шрифтом 2 014 903; латинским—50 817 и арабским—100 622.

Вернее всего то, что для практических целей счетоводства, абак очень рано принял вид разграфленной доски, на которой считали камешками, а впоследствии—марками или жетонами. Графы вначале не имели наименований, так что один и тот же абак мог служить и для денежных расчетов и для мер длины, емкости и веса. Поместные значения камешков или жетонов менялись в зависимости от существовавших отношений между последовательными единицами веса, ценности и меры. Известному греческому мудрецу Солону приписывается изречение, что «человек, который дружит с тиранами, подобен камешку при вычислении, значение которого бывает иногда большое, а иногда малое». А у историка Полибия находим упоминание о марках на абаке, которые «обозначают, по желанию считающего, то таланты то халкосы».

Фиг. 60.

1) Абак, греческое «абаке»; к латинской транскрипции «abacus».

Встречались и такие абаки, которые были приспособлены исключительно для денежных расчетов.

Так, в 1846 году, при раскопках на Саламине, был найден мраморный абак огромных размеров—до 150 см в длину, при 70 см в ширину—одинаково приспособленный для счета и жа вавилонские и на аттические таланты. Он имел пять главных столбцов и четыре дополнительных. Главные столбцы предназначались, при счете на вавилонские таланты, для талантов, тысяч, сотен, десятков и единиц драхм1); при счете на аттические таланты—для талантов, десятков мин, единиц мин, десятков драхм и единиц драхм2). На дополнительных столбцах откладывались половины, трети и шестые доли драхмы, или оболы3); на последнем—халкосы4).

Ближе к верхнему краю, через все столбцы, проходила поперечная черта, о значении которой поговорим ниже.

Вернее всего, что найденный абак употреблялся для расчетов в большой меняльной лавке или слуяшл в притоне для азартных игр. В последнем случае на столбцы могли ставиться и не жетоны, а звонкая монета, или же метаться кости, по месту падения которых на те или иные столбцы определялись размеры выигрыша или проигрыша.

Жетоны или марки назывались у греков «псефы (псефой)», т.-е. «камешки»; римляне, заимствовав абак, стали называть их «calculi», т.-е. «счетчики». Марки эти вначале были бесписьменные, гладкие.

Вслед затем появляются жетоны меченые, т.-е. с обозначениями первых десяти знаков или чисел греческим или римским письмом. Изобретение их приписывается новопифагорейцам, почему и самый абак с числовыми жетонами стал называться у римлян «mensa pythagoreana», т.-е. «пифагоров стол». Эти «пифагоровы столы» не пользовались вначале особенным распространением, вследствие мешкотности процесса при переходе от числа, написанного римскими цифрами, к изображению его на абаке и обратно.

Так, напр., число 2 973 римскими цифрами писалось так:

MMDCCCCLXXIII. Для перевода на язык столбцов его требовалось предварительно расчленить, что, применительно к теперешнему знакоположению, могло бы быть изображено как

ММ + DCCCC + LXX + III.

1) Вавилонский талант равнялся 10 000 драхм.

2) Аттический талант составлял 60 мин; мина—100 драхм.

3) Драхма = 6 оболам.

4) Обол = 8 халкосам.

После того, написанное жетонами на столбцах абака, или пифагорова стола, оно представлялось бы, как на фиг. 61 (внизу).

На том же рисунке сверху, отделенное от нижнего пунктиром изображено жетонами число

40 587 = XLDLXXXVII.

Фиг. 61.

Интересною разновидностью пифагорова стола был абак с отверстиями и колышками (или втулками). В каждом столбце имелось по десяти отверстий, с нумерациею слева; в отверстия вставлялись втулки. Образца подобного абака не сохранилось, и рисунок 62 восстановлен по описанию. Число, отложенное на нем колышками или втулками, очевидно, 86 704, или, по римскому написанию, LXXXVIDCCIV.

Несомненно, что десятые отверстия в каждом из столбцов, при изображении чисел, являлись лишними; но они могли сослужить хорошую службу при сложении и вычитании, выполнявшихся на абаках с жетонами и колышками так же, как на наших счетах.

Что касается умножения и деления, то о приемах их выполнения у древних ничего достоверного неизвестно, так как у математиков даются одни лишь результаты без указания способов их получения.

Что древние не только множили и делили, но и извлекали корни на своих абаках, не отступая перед дробями, явствует из сохранившихся сборников задач и их решений. Приемы были, по мнению иных, чрезвычайно длительные, требовавшие большого напряжения памяти. Едва ли обходились без одновременного пользования двумя абаками одним с жетонами или колышками, для закрепления результатов, другим песочным, для выкладок по ходу действия. Дроби употре-

блялись двенадцатеричные и шестидесятеричные1), вполне отвечавшие конкретным случаям подразделения денежных, весовых и прочих единиц у древних.

Последним словом римской техники по устройству счетных приборов был, повидимому, абак, хранящийся в музее древностей в Неаполе.

Фиг. 62.

Он представляет металлическую доску с прорезами, или пазами, вдоль которых ходят пуговки. Прорезов восемь длинных и одиннадцать коротких, из которых восемь составляют как бы продолжение длинных, а три расположены дополнительно по одной линии (фиг. 63).

Во всех коротких прорезах по одной пуговке, за исключением самого нижнего, в котором их две. Длинные прорезы имеют по четыре пуговки, а крайний правый пять; над ним точка; а над прочими, в после-

1) Т.-е. со знаменателями, кратными 12 или 60.

довательном порядке, справа влево, римские цифры для обозначения единиц, десятков, сотен и т. д. Боковые прорезы снабжены условными знаками для половины (L), четверти (3) и шестой (о).

Значение каждой верхней пуговки в пять раз более поместного значения соответствующей нижней—за исключением последней пары столбцов, обозначенных точкой, для которых верхняя пуговка имеет значение в шесть раз больше каждой из нижних. Прорез с точкой давал возможность отсчитывать двенадцатые доли единицы, а короткие прорезы сбоку—половины, четверти и шестые двенадцатых долей.

Устройство неаполитанского абака уясняет, между прочим, назначение поперечной черты абака, найденного при раскопках в Саламине: над нею ставились на поля столбцов жетоны, имевшие значение тождественное, по смыслу, с верхними пуговками неаполитанского абака. Этим достигалось сокращение числа жетонов, облегчалась память, но зато страдала наглядность и ясность хода вычислений. При игре же в кости поперечная черта давала один лишний шанс азарта.

Итак, фактически римский абак с прорезами и пуговками был ничем иным как счетами. Он мог служить для весовых единиц: фунтов, унций (Vi2 Фунта), семунций (V24 Ф-), силициев (V48 Ф-) и секстул (1/72 ф.), денежных: ассов и унций, и отвлеченных—с подразделениями на двенадцатые, двадцать четвертые, сорок восьмые и семьдесят вторые доли.

Приспособленность этих римских счетов к потребностям повседневного жизненного обихода в древнем Риме заслуживает полного внимания. Простою переменою условного значения пуговок на коротких

Фиг. 63.

дополнительных столбцах прибор в одинаковой мере мог быть пригоден и для единиц площади, и для жидких, и для сыпучих тел.

На фиг. 63 он изображен с пуговками в положении покоя, т.-е. до начала счетных операций. На фиг. 64 отложено число

74601+é+ê=74601f

Сложение и вычитание производились на приборе легко и быстро; им обучали в римских школах, как у нас преподается счисление на счетах.

Умножение представлялось уже гораздо более затруднительным, и едва ли было удобовыполнимо без вспомогательной доски, главным образом, вследствие неуклюжего изображения чисел помощью громоздких римских цифр. Простой, на наш взгляд, случай умножения 10572 на 245/i2 требовал ряда очень сложных выкладов, изобразимых такою последовательностью формул:

Фиг. 64.

Как промежуточные, так и окончательный результат вполне укладываются в рамки удобопредставляемых на римских счетах чисел.

Как поступали в случае дробей, неудобоприводимых к двенадцатичным или шестидесятичным, сказать довольно трудно. Вернее всего, что прибегали к упрощениям не всегда безупречного, с нашей точки зрения, характера.

Весьма интересной, с точки зрения исторических «совпадений», является почти полная тождественность абака вышеописанного типа (т.-е. римских счетов) с китайским суан-паном, одним из древнейших счетных приспособлений, который развился из еще более древнего, узлового счета.

Римский абак почти до мелочей повторил китайское изобретение в условиях, повидимому, исключающих заимствование или перенос.

Суан-пан представляет рамку, как у наших счетов, разделенную продольной перекладиной на две неравные части. Сквозь перекладину и продольные рейки рамы продето от 9 до 15 жестких прутьев или проволок с шариками или костяшками, как на русских счетах.

В верхнем отсеке шариков по два, в нижнем по пяти на каждой проволоке. Таким образом костяшки дают возможность отсчитывать единицы и пятки последовательных разрядов. На каждую единицу высшего разряда приходится по два пятка, или по десяти единиц низшего разряда. До начала счета костяшки отодвигаются к внешним краям рамы, как на фиг. 65.

Китайский суан-пан и русские счеты.

Для придания костяшкам числовых значений, их сдвигают, в том или ином порядке, к средней поперечине.

Фиг. 65.

На фиг 66 отложено на суан-пане число 1 083 097. Главное отличие суан-пана не в прутьях, вместо пазов, и не в отсутствии укороченных разрядов для изображения дробей, а в лишних шариках: римляне надели бы на короткие проволоки по одному, на длинные—по четыре шарика. Конечно, соответственно четырех и одного шарика было бы достаточно для изображения на суан-пане всевозможных чисел, но при выполнении действий не хватало бы по одному

Фиг. 66.

шарику на длинных прутьях для полного раздробления единиц высших разрядов в низшие.

В некоторых математических сборниках встречается анекдот о суан-пане, касающийся лишних шариков, имеющий, однако, несомненно, европейское, а не китайское происхождение.

Мифический изобретатель суан-пана послал будто другу своему модель прибора с золотыми шариками на серебряных проволоках, предлагая угадать, в чем дело. Друг, в доказательство своей понятливости, снял с каждой проволоки по шарику, а серебряные прутья заменил стальными, обратив таким образом суан-пан в подобие римских счетов.

Анекдот имеет фактическую подкладку в проектах усовершенствования русских счетов, возникавших в умах некоторых западных ученых, смешивавших русские счеты ссуан-паном. В действительности же русские счеты построены по образцу древнейших абаков с камешками или гладкими жетонами.

Так, если на столбцах того примитивного абака, который изображен на фиг. 69, в верхней или нижней части их постоянно держать наготове по десятку камешков, шариков или костяшек, вместо того, чтобы, по мере надобности, брать из общей кучи; затем, чтобы костяшки не терялись, нанизать их на шнурок или на проволоку, то получатся типичнейшие русские счеты.

Все поползновения к усовершенствованию русских счетов сводились к удалению по одной лишней костяшке с каждой проволоки. Усовершенствования не привились по той простой причине, что счеты предназначены вовсе не для изощрения сообразительности, а для облегчения механизма вычислений, наглядность которых значительно теряла при неполном числе шариков.

Из всех простейших числительных приборов русские счеты—единственный, удержавшийся до наших дней, благодаря чрезвычайной незатейливости своего устройства, приспособленности к десятичной системе счисления, а также осязательности и наглядности счетных операций.

Апексы Боэция. — Захудание абака.

Римский абак с пуговками (римские счеты) имел одну особенность, свидетельствовавшую о постепенном укреплении в сознании грамотных людей важности поместного значения числовых символов. Так, в обозначениях I, X, С, I, X, С, II, XX и т. д. совершенно недвусмыс-

ленно выражены классы единиц, тысяч и миллионов1). Хотя аналогичный (но не тождественный) принцип разделения был установлен еще Архимедом, в его задаче о «псаммите» (см. стр. 10 настоящей книги).

Потребовалось несколько столетий работы на абаке, пока, наконец, на заре средних веков, последний римский математик из школы древних геометров, Боэций (умер в 624 г.), а, по более обоснованному мнению проф. Бубнова, некто, выдавший себя за Боэция (Лжебоэций), в своем сочинении «De institutione Arithmetica», не предложил пользоваться, для вычислений на абаке, только девятью знаками, которые он назвал apices (apex, icis), по-русски «апексы».

Самые апексы были шашечки или боченочки, вроде употребляющихся при игре в лото, а начертания на них, заимствованные из Индии, долгим путем перекочевок и случайных переделок явились родоначальниками наших цифр.

Что касается названия этих цифр «арабскими», то вопрос о их происхождении довольно-таки запутан массой материала легендарного характера. Во всяком случае, современные их формы выработались продолжительным взаимодействием культур греко-римской и восточной, чему имеются весьма веские свидетельства. Укрепилось же за цифрами название «арабских» потому, что в апексах Боэция нет знака, соответствующего нулю; нуль же действительно заимствован у арабов, вместе с названием его «сифр», что по-арабски значит «пустой».

Отсюда и латинское «zephirum» и французское «zéro» и английское «cipher» в смысле нуль; а равно и общеевропейское «цифра» в различных произношениях и изменениях, в смысле любого из десяти числовых знаков.

История превращения апексов Боэция в современные «цифры» представлена на прилагаемых (фиг. 67 и 68) табличках и важна нам лишь постольку, поскольку повлияла на изменения формы счетных приборов. Первым и главным делом, употребление апексов уничтожило разницу между числом, отложенным на абаке и написанным, а эта разница, как мы выше видели, была очень велика. После Боэция, даже ранее изобретения нуля и введения его во всеобщее употребление, достаточно было нарисовать клетки и заполнить их соответствующими апексами, чтобы прочесть число, и в таком же виде перенести его для вычислений на абак. Смысл начертаний:

был понятен всем обучавшимся счислению на абаке.

1) Слово «миллион» или «большая тысяча» впервые вошло в употребление в XI веке, Итальянского происхождения.

Санскритские буквы II века нашей эры.............

Apices Боэция и средних веков .

Числовые знаки Губар западных арабов ...........

Числовые знаки восточных арабов.............

Числовые знаки Максима Плануда.

Числовые знаки Деванаари . . .

Из сочинения Mirrour of the Word, напечатанного Кастоном в 1480 г...........

Из Бомбергской арифметики Вагнера (?). 1443........

Из De Arte Supputandi Тонсталля, 1521.........

Фиг. 67.

Несмотря, однако, на явные преимущества новых знаков, многие предпочитали употреблять их в перемежку со старыми, во всех случаях, когда получались пустые клетки. Так, вместо

писали 2XXX7L98. Встречались и другие способы начертания 38 и 47 вместо 308 и 4 007 (смотрите выше).

Фиг. 68.

Путаница в начертании сохранила на некоторое время жизнь абаку, но он захудал, и из роли действительной машины, т.-е. предмета материального прибора, обратился в машину нарисованную—разграфку с обозначенными на ней разрядами и классами.

Процесс перерождения абака длился долго—не менее 500 лет, и только в конце X столетия французский математик Герберт, известный в истории католичества под именем папы Сильвестра II (умер в 1002 г.), написал два посвященные абаку сочинения: «Правила вычисления с помощью абака» и «Небольшую книгу о делении чисел», которыми упразднил абак-машину и ввел в употребление абак-разграфку.

27-колонный абак Герберта, восстановленный проф. Бубновым по различным рукописям.

Пояснение к рисунку абака.—Абак представляет доску (поверхность стола, таблицу, вообще плоскость), обыкновенно разделенную на несколько вертикальных колонн (в данном случае на 27). Счисление на абаке отличается от нашего только тем, что необходимый нам нуль заменяется здесь пустой колонной абака, а значащие цифры не пишутся, а раскладываются, будучи раз навсегда изображены на жетоне. Значит, наши десятичные разряды изображаются колоннами абака в восходящем порядке справа налево, а жетоны со значками— цифрами первых десяти целых чисел (S и S) играют роль коэффициентов числа, изображенного по нашей десятичной системе. Большие дуги соединяют колонны—разряды в группы по 3 (классы), как у нас. В каждом классе различаются единицы (S = singularis), десятки (D = decenus) и сотни (С = centenus). Начиная с 1 000 при знаке S наверху ставится еще М, т.-е. далее идут тысячи единиц, затем тысячи тысяч единиц и т. д. Под самыми дужками помещены девять тогдашних цифр, а рядом их таинственные, известные только абацистам, названия: igin, andras, crmis, arbas, quimas, zenis, temenias, calotis, celentis. На самом верху приведен стих: Gerbertus Latio numeros abacique figuras, т.-е. Герберт дает Лацию (латинской Европе) фигуры и числа абака. На данном рисунке проведены и горизонтальные линии. В первой сверху горизонтальной колонне (направо) изображено (нужно подразумевать, положенными жетонами) число 405, во второй—30 408, в третьей—980 600 и 33, в четвертой—75. На крайних колоннах слева показано, как, по мнению проф. Бубнова, образовались цифры абацистов, a из них наши. На самом низу стоят знаки дробей у абацистов.

Гербертов абак. — Введение нуля и торжество письменного счисления.

Итак, Гербертов абак представлял разграфку, которая в полном виде имела 27 столбцов для девяти классов единиц и три столбца для двенадцатичных дробей.

Счисление производилось письменно; все ненужное или использованное зачеркивалось. Сложение, вычитание и умножение производились весьма близко к современному, хотя выкладки при умножении, по Герберту, представляют, на наш взгляд, несколько хаотическую картину. Разобраться в них все-таки возможно, не прибегая к тексту его «Правил вычисления».

Так, на прилагаемой таблице (фиг. 69) изображено умножение 7 300 (вверху) на 85 (внизу). У нас подчеркнутыми напечатаны цифры, по ходу действия зачеркиваемые.

Для ясности, столбцы и строчки пронумерованы у нас буквами латинского и греческого алфавитов, о чем, конечно, в Гербертовых правилах ничего не говорится. Порядок выкладок был следующий:

1) произведение 300 х 5 вписывалось в клетки ab и ау;

2) 700 X 5; в Ьу и ag;

3) 300 X 8; в ср и

4) 700 X 8; в cß и аа.

5) Получилась фигурная запись такого вида:

5 3 15 2 5 6 4

6) Суммировались и зачеркивались цифры столбца 1+6+4=10; единица высшего порядка выписывалась dji;

7) суммирование столбца ß давало: 3+2+6+1=12; единица высшего порядка вписывалась в Ъа, а 2 в еВ;

Фиг. 69.

8) суммировался столбец 5+1=6 и результат вписывался в заполученное произведение оказывалось разбросанным по клеткам са , с$ и а§, читалось так же, как читаем его мы, а затем выписывалось, куда следует, в одной из следующих трех транскрипций:

либо

либо 625, либо 6XXD.

Процесс деления значительно разнится от современного. На фиг. 70 изображен ход действий на простом примере 4 087 : 6.

Фиг. 70.

Обыкновенным шрифтом напечатаны все зачеркивавшиеся, по ходу вычислений, цифры. Над единицами делимого стоит делитель 6; выше его дополнение до 10, т.-е. 4. Под чертою ряд последовательных наращений частного. Единица крупным шрифтом в середине крайнего правого столбца есть остаток от деления

Разобраться в нарисованной под номером 70 таблице без объяснений невозможно.

Применявшееся Гербертом деление было так называемое «дополнительное». Зачатки его встречаются еще у римских математиков, но индусы и арабы им не пользовались. Существовало двоякого рода дополнительное деление: «с избытком», когда делитель дополнялся до ближайшего полного числа единиц высшего порядка (напр., 6 до 10, 18 до 20 и т. п.) или же «с недостатком», когда делитель округлялся отбрасыванием некоторого избытка (напр., 43 округлялось в 40, 105 в 100 и т. п.). Разнообразие в приемах было бесконечное: существовали отдельные правила для делителей двузначных, трехзначных, четырехзначных. Общего в них было только следующее: при делении «с избытком» к каждому последовательному остатку прибавлялось произведение найденной цифры частного на дополнение делителя. При делении «с недостатком» делимое уменьшалось на одну единицу наивысшего разряда, и из этой единицы вычитались произведения найденных последовательных частных на отброшенное, для округления, число.

Приведенному, на фиг. 70, ходу выкладок соответствовал бы, применительно к теперешнему знакоположению, такой ряд формул:

Все последовательные наращения частного набраны курсивом как в вышеданных формулах, так и в выкладках на фиг. 70 под нижнею

горизонтальною чертой. Суммирование курсивов дает частное 681, набранное на фиг. 70 жирным шрифтом.

Окончательный удар абаку был нанесен, однако, не профессиональным ученым или математиком, а человеком практической сметки — итальянским купцом и дельцом Леонардом Пизанским, по прозванию «Фибоначчи», жившим в конце XII — начале XIII века. В 1202 году он издал книжку под названием «Liber abaci», «Книжка об абаке», начинающуюся так:

«Девять индусских знаков суть следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,2,1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски сифр, можно написать какое угодно число».

В 1228 г. книжка вышла вторым изданием.

Автор, составляя «Liber abaci», наверное, не думал, что убьет абак. Случилось это, конечно, не сразу, а постепенно. Еще три столетия Гербертова разграфка влачила жалкое существование, меняя по временам внешнее обличье. Введение нуля сделало абак излишним для наиболее трудного из действий — деления, так как давало возможность использовать индусский и арабский приемы, весьма близкие к теперешним. Арабский способ стал даже вскоре называться «divisio aurea» (золотое деление), в отличие от Гербертовского «divisio ferrea» (железное деление).

Можно только удивляться, как народы Запада, более двух тысяч лет работавшие на абаке, не пришли давно к заключению о полезности особого знака для пустых мест, пустых столбцов1). Может быть, случилось это именно благодаря абаку, облегчавшему наглядное чтение числа. О неудобствах начертания числа тогда не думали, так как письменное счисление играло очень незначительную роль в жизни древних и первой половины средневековья.

Нуль — ничто — дал, временно, полную победу письменному счету над механическим и устным.

Рецидив бесписьменности. — Счетная скамья (Rechenbank) около-реформационного периода.

В то время как абак медленно умирал, а представители ученых — светских и духовных — корпораций увлекались письменным счислением и математическими откровениями, шедшими с Востока, грамотный и полуграмотный деловой мир незаметно выработал для своих узких целей счетную машину нового типа, образцом которой послу-

1) Сравни древнерусское «бесчисл» в смысле «нуля».

жил тот же абак, но видоизмененный и, в главной сути, возвращенный к своей первообразной простоте: исчезли не только апексы и надписи, но даже римские цифры, и водворились вновь бесписьменные марки. Притом верхняя сторона абака повернулась влево, столбцы легли горизонтально, и каждый разделился пополам па две продольные графы или полоски. Справа же получилось поле для запасных марок (фиг. 71).

Встречались разные варианты описанного устройства; из них главные— английские и немецкие. В английском жетоны ставились на поля клеток, в немецком передвигались вдоль линий, почему самый счет назывался «линейным» (Linienrechnung; nach Linien rechnen).

В английских досках широкая клетка слева каждой горизонтальной полосы предназначалась для десятков; нижняя узкая—для единиц; верхняя узкая — для пятков. Отношение единиц любого из столбцов к единицам близлежащих верхнего и нижнего было совершенно произвольно и зависело исключительно от системы ценностей и мер, с которыми приходилось иметь дело.

Так, на фиг. 72 и 73 — на первой отложены 29 фунтов 11 унций 7 драхм 1 скрупул 18 гранов нюрнбергского или аптекарского веса; на второй — 574 фунта 17 шиллингов 8 пенсов в английской валюте.

В качестве общепринятого в деловых кругах числительного прибора, счетная скамья вошла во всеобщее употребление в первой половине XV века: следовательно, к этому времени окончилось официальное существование абака.

Несмотря на примитивность, а может быть, благодаря ей, новое счетное приспособление проявило большую жизненность, продержавшись в романских государствах около полутораста лет, в Германии свыше двухсот, а в Англии без малого триста. Последние расчеты помощью счетной скамьи и бирок встречаются в английском государственном казначействе в документах, относящихся к 1676 году.

Такая живучесть именно в Германии и Англии объясняется чрезвычайной запутанностью меро-весного обихода обоих государств

Фиг. 71.

на рубеже средних и новых веков: раздробленность Германии и консервативность Англии представляли удобную почву для нарождения и сохранения самых фантастичных систем мер, веса и денег, а счетная скамья чрезвычайно легко приспособлялась к каждой. Так, напр., в Англии сравнительно еще недавно шерсть в работе учитывалась

Фунты . . Унции . . Драхмы . Скрупулы Граны . .

Фиг. 72.

Scores of pounds (Двадцатки фунтов)......

Фунты стерлингов. . . .

Шиллинги.......

Пенсы.........

Фиг. 73.

«мешками», «тодами» и «фунтами». Один мешок составлял 13 тодов (tods), один тод — 28 фунтов.

Любой безграмотный прядильщик на ткацкой фабрике мог сообразить по выданному ярлычку (фиг. 74), что за ним числилось 7 мешков 11 тодов 23 фунта отпущенной для обработки шерсти, или же, что ему причиталось именно столько-то задельной платы.

И в Германии и в Англии счетная скамья оставила надолго неизгладимые следы.

В первой это была действительно «скамья» (Bank, Rechenbank) — непременная принадлежность всякой конторы, торгового дома и меняльной лавки.

Мешки . . .

Тоды. .

Фунты . . .

Фиг. 74.

Отсюда — завоевавшее себе всемирное распространение слово «банк», в значении учреждения, торгующего деньгами и производящего расчетные операции с валютой.

В более практичной Англии доску или скамью заменили клеенчатые и кожаные салфетки или скатертки: их можно было свернуть, убрать и снова разложить; спрятать в портфель или карман.

Соответствующим образом разрисованные в клетку (chequered) скатертки напоминали шашечницу. По их же образцу графили небольших размеров бланки для расчетов с плательщиками и клиентами. А так как в XVI и XVII столетиях почти весь денежный обмен страны сосредоточивался в казне, то естественно, что от «chequered» самое Государственное Казначейство стало называться «Exchequer (Эксчекер)», а расчетный бланк для платежей наличными — «чеком (cheque)».

Однако, несмотря на отсталость Германии и консерватизм Англии, всеобщая грамотность и письменность не только добили к концу

XVII столетия счетную скамью, но и породили своеобразное презрение к механическим приемам вычисления. Так что, когда Западная Европа познакомилась в начале XIX столетия с русскими счетами и китайским суан-паном, большинство было склонно видеть в них остатки варварства.

Это и неудивительно, так как никто не придавал тогда серьезного значения даже тем, сравнительно очень совершенным, прототипам современных счетных машин, которые были созданы еще в XVII столетии Паскалем и Лейбницем.

Люди не могли себе представить, чтобы человек со своею сметкою, сообразительностью и умом когда-либо являлся в роли только силы, все же счетные операции производились бы самостоятельно машиной. Главными двигателями прогресса и единственными законными пособниками математического мышления считались бумага и перо, от веры в исключительную непогрешимость и всемогущество которых не так-то легко было отрешиться.

Заря и расцвет механического счета.

Когда в Англии еще процветали счетная скамья и бирки, во Франции уже занималась заря механического счета.

В середине тридцатых годов XVII века известный французский философ и математик Блез Паскаль (Blaise Pascal), будучи пятнадцатилетним юношей, задался целью облегчить счетные операции механическим откладыванием и подведением итогов.

Если принять в соображение, что римский абак с передвижными пуговками (римские счеты) был уже заброшен, что апексами Боэция никто не пользовался, а употреблялись гладкие бесписьменные марки, что с русскими счетами Западная Европа не была знакома, то следует признать, что Паскаль задался действительно смелой и гениальной идеей.

Он проработал над ней не менее десяти лет, построил свыше пятидесяти пробных моделей, прежде чем остановился на определенном типе.

В числе моделей были с рейками и с зубчатками, прямыми и криволинейными, с передаточными цепями и бесконечными ремнями, с движением прямолинейным и круговым, с коническими и цилиндрическими валами, с дисками, лентами и шестернями. Одним словом, Паскалем был испробован весь арсенал приспособлений, из которого черпали позднейшие изобретатели машин.

Наконец, в 1646 году Паскаль придал своей машине окончательный вид, приспособив ее к специальной цели подсчета денежных сборов и налогов по городу Руану и окрестностям, где отец его занимал место «интенданта», т.-е. агента государственного обложения и фиска.

Фиг. 75.

Счет велся тогда во Франции на «динарии» (déniers), «су» (sols) и «ливры» (livres); на один су приходилось двенадцать динариев и на один ливр двадцать су1). В соответствии с денежной системой, на крышке ящика, в котором помещался механизм, было восемь вращающихся дисков с рукоятками и циферблатами. На первом, считая справа, было 12 подразделений для отсчета динариев, или «денье» (deniers); на втором двадцать—для «су» (sols), а на остальных по десяти, для ливров и десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и т. д. ливров (фиг. 75).

Фиг. 76.

1) Сравни английское 12 пенс. на 1 шилл. и 20 шилл. на 1 ф. с.

Вращение дисков, помощью системы зубчатых колес, передавалось валикам, с нанесенными на них цифрами (фиг. 76).

Полному обороту каждого из дисков соответствовало автоматическое перемещение ближайшего слева валика на одно деление. Таким образом, двенадцать денье сами собой отмечали на соответствующем валике приращение на один су; 20 су немедленно переводились в ливры; каждые 10 ливров — в десятки ливров и т. д.

Механизм приводился в движение вращением рукояток по направлению часовой стрелки; обратное служило для приведения всех показаний к нулю.

В верхней половине крышки было 8 окошечек, по числу дисков. Первое из них, считая справа влево, показывало денье, второе — су, третье — ливры, четвертое — десятки ливров и т. д.

Высший возможный итог, даваемый машиной, был, следовательно, 999 999 ливров 19 су и 11 денье.

Для уяснения процесса работы на машине Паскаля, покажем, как сложить на ней 19 ливров 16 су 7 денье и 27 ливров 14 су 15 денье.

По приведении всех рукояток и показаний окошечек к нулю, четвертая рукоятка справа ставится на 1, третья на 9, вторая на 16 и первая на 7. В окошечках немедленно выскакивают соответствующие цифры и числа, после чего все рукоятки опять приводятся к нулю.

Затем ставим четвертую рукоятку на 2 — в соответственном оконце появляется цифра 3 (1+2=3). Третью рукоятку ставим на 7—в третьем оконце мелькает ряд цифр, и устанавливается цифра 6, и в то же время цифра 3 четвертого оконца меняется на 4.

Переводим рукоятку на 14 — во втором оконце выскакивает 10, а цифра третьего меняется с 6 на 7. В самом деле, 16 + 14 = 30; 30 = 20 + 10; 20 су дают полный оборот, отмечающийся единицей на валике ливров (6+1=7), а 10 су остаются во втором оконце.

Наконец, ставим первую рукоятку на 5 — в первом оконце цифра 7 меняется на 0, а во втором 10 на 11.

Окончательные показания дадут: 47 ливров 11 су 10 денье.

Следует отметить чрезвычайно остроумное приспособление, придуманное Паскалем для действия вычитания: на валиках, на двух параллельных лентах, имелся двойной ряд цифр и чисел — один восходящий, другой нисходящий. Самые оконца были снабжены общим для всех скользящим затвором, открывавшим, по желанию, то восходящую, то нисходящую ленту валиков. Достаточно было открыть нижнюю половину всех оконцев и закрыть верхнюю, чтобы вращение рукояток перемещало данные в убывающем порядке.

Работа на машине Паскаля шла, относительно, крайне медленно. Процессы умножения и деления протекали едва ли не еще медленнее, чем на русских счетах, так как каждократное приведение к нулю перед повторным сложением и вычитанием, которыми заменялись умножение и деление, отнимало много времени.

Ныне машина Паскаля — антикварная редкость, имеющаяся только в музеях; известны всего четыре сохранившиеся экземпляра.

Лучший из них — с которого сделаны прилагаемые рисунки,— собственность частного коллекционера, г-на Богуэна (Baugouin) в Бордо.

Предполагается, что бордосский экземпляр — собственноручной работы Паскаля. Изготовлен в 1647 году для великого канцлера Франции Сегюе (le grand chancelier Seguier) по случаю испрошения привилегии и патента на изобретение.

На внутренней стороне крышки ящика надпись:

«Illustrissimo et integerrimo Franciae cancellario D. D. Petro Seguier Blasius Pascal patricius overnus inventor L. D. D. Pascal».

T.-e.:

«Достославнейшему и безупречнейшему канцлеру Франции Д. Д. Петру Сегюе — овернский дворянин Д. Д. Паскаль, изобретатель».

Паскалева машина — прототип всех существующих, даже наиболее усовершенствованных машин. Кто хорошо понял механизм прототипа, легко усвоит особенности всякой другой конструкции.

Друг Паскаля, богослов Арно (Arnaud), говорит в своих воспоминаниях, что Паскаль предполагал приспособить свою машину также к извлечению корней и четырем действиям над дробями; но смерть помешала ему осуществить свои планы.

Последователи Паскаля.

Новейшие машины.

Усилия всех последователей Паскаля были направлены к двум главным целям: во-первых, к устранению медлительного процесса поочередного вращения ряда отдельных рукояток; и во-вторых, к ускорению действий умножения и деления.

Побочными усовершенствованиями явились уже впоследствии: отпечатывание результатов на карточках, бумажных лентах, листах или книгах, приспособление особых механизмов для возведения в степень, извлечения корня, логарифмирования; устройство звонков, предупреждающих о неправильном манипулировании, электрических двигателей взамен работы вручную, клавишей вместо рукояток и пр. Некоторые из типов новейших сложных машин представлены на фиг. 77, 78, 79.

Заменить ряд отдельных рукояток одною общею удалось еще при жизни Паскаля немецкому ученому Лейбницу, создавшему в 1671—1673 г.г. тип машины, усовершенствованный впоследствии Томасом. Задача — одним оборотом рукоятки не только поворачивать цифровые валики, каждый на различные доли оборота, но и вовсе выключать некоторые из общего всем прочим вращательного движения — была разрешена Лейбницем путем введения в систему так называемых «дифференциальных зубчатых колес», или цилиндров, с наискось срезанными зубцами. Таким образом, каждое «дифференциальное колесо» являлось, по отношению к приводимым им в движение шестерням, как бы имеющим переменное число зубцов (от 0 и до 10) в зависимости от того, какою частью своей зубчатой поверхности оно входило в соприкосновение с шестернями. Внесенное Томасом усовершенствование состояло главным образом в том, что дифференциальные колеса Лейбница он заменил такими же валами. Разница между теми и другими наглядно усматривается на фиг. 80 и 81.

На фигуре 81 ясно видно, как с помощью кнопок, скользящих вдоль прорезов в крышке аппарата, перемещаются скользящие вдоль осей под крышками шестерни, которые, в зависимости от установки, либо вовсе не входят в соприкосновение с зубчиками вала, либо, по желанию работающего, — с одним, двумя, тремя, пятью и пр.; все же валы приводятся в движение одной общей рукоятью Ь.

Фиг. 77.

На фиг. 82 изображена типичная для всех построенных по системе Томаса машин рабочая: доска арифмометра Буркхарда. Под буквой О обозначены на ней щели с цифрами, вдоль которых движутся салазки с указателем, помощью которого шестерни устанавливаются на соприкосновение с любым числом зубчиков дифференциального вала. Понятно, что каждой щели соответствует отдельный вал; а К — общая всем им рукоятка.

Чрезвычайно остроумную разновидность машины Томаса встречаем в круглой машинке «Гаусс», представленной на фиг. 83 (общий вид), 84 (разрез вдоль оси) и 85 (разрез перпендикулярно оси). Все томасовские валы заменены в «Гауссе» одним диском с рельефно выдаю-

щимися зубцами. Оси шестерней расположены лучеобразно; самые шестерни, свободно скользящие вдоль осей по желобкам, устанавливаются на соответствующее заданию число зубцов помощью кнопок S (фиг. 84 и 85). Тогда один полный оборот рукоятки Е приводит зубцы диска -по очереди в соприкосновение со всеми шестернями, которые,

Фиг. 78.

Фиг. 79.

в свою очередь, перемещают на соответствующее число делений цифрованные валики.

Результаты выскакивают в оконцах вдоль внешнего горизонтального обвода цилиндрической коробки, в которую заключен механизм.

Фиг. 80.

Машинка «Гаусс» весьма интересна по мысли и по выполнению, но не имеет серьезного значения, вследствие неудобного размещения частей, так как круговое и лучеобразное расположение заданий и ответов не соответствует общепринятому способу нашего письма, а потому дает повод к опискам и ошибкам. К тому же регистр действия машинки очень ограничен, как следствие ее незначительных размеров. Увеличение же размеров сделало бы машинку громоздкой, а результаты—неудобоохватываемыми одним взглядом.

Фиг. 81.

Достойными соперницами томасовских машин и, бесспорно, лучшими из всех счетных аппаратов, доступных по цене и безупречных но выполнению, являются ныне машины однеровского типа по имени петроградского механика Однера. Из них наиболее совершенной конструкцией обладают так называемые «Брунсвиги» (Гримм, Наталис и К-о, Брауншвейг).

Фиг. 82.

Фиг. 83.

Главную особенность однеровского типа составляет устройство зубчатых колес и весьма остроумное приспособление для быстрого умножения и деления, действующее помощью скользящего механизма

Фиг. 84.

нижней части машины, благодаря которому вращение рукоятки и зубчатых колес переводится, по воле работающего, из нижних регистров в верхние.

Зубцы колес в машинах однеровского типа и, в частности, в «Брунсвигах» как бы временные и, пока машина не работает, скрыты

Фиг. 85.

в толще колеса. По воле работающего на машине, из числа зубцов выдвигаются установкой особого рода рычагов или «спиц» лишь столько, сколько соответствует заданной цифре. Благодаря такому остроумному устройству весь промежуточный механизм машин томасовского типа — дифференциальные колеса и валы, диски с зубчатками — отпадает, и колеса, соединенные с общей рукоятью, непосредственно действуют на цифрованные валики (фиг. 86).

Фиг. 86.

Фиг. 87.

На фиг. 87 мы видим нормального типа «Брунсвигу», с рычагами или спицами, обозначенными пунктиром Ъ. Значительно лучше рукоятки спиц видны на «арифмотипе» Тринка (фиг. 78), построенном по типу «Брунсвиги».

Скользящая часть нижнего затвора с оконцами для результатов действий обозначена у «Брунсвиги» буквами //; у «арифмотипа» буквами FF. Кроме скользящего затвора или салазок, новейшие «Брунсвиги» снабжены отдельной рукоятью (рис. 88 и 89) для моментальной установки всех спиц и показаний на ноль.

Фиг. 88.

Обратимся теперь к подробностям работы с помощью «Брунсвиги».

Положим, надо найти сумму чисел 48 175 и 29 801. Приводим все показания аппарата к нулю и устанавливаем белые рукоятки спиц (рис. 88) на цифры 5, 7, 1, 8, 4, считая справа налево.

Фиг. 89.

Один оборот главной рукояти—и в нижнем ряду отверстий появляется число 48 175. Затем устанавливаем спицы на другое слагаемое 29 801, и, после нового оборота главной рукояти, в нижнем ряде отверстий выскакивает сумма 77 976.

При вычитапии вращаем главную рукоятку в обратную сторону. По есть машины, в которых рукоятка всегда вращается в одну и ту же сторону, действия же вычитания и деления производятся надавлива-

нием на кнопку для обратного вращения колес — подобно тому, как это делается в паровых машинах помощью приспособления, называемого «кулиссой».

Умножение на однозначные множители производится «Брунсвигой» так же, как и машиною Паскаля: повторением сложения 2, 3, 4 и т. д. до 9 раз. Для множителей многозначных имеется скользящее приспособление в нижней части машины, о котором уже упоминалось выше.

Так, положим, что мы задались умножить на «Брунсвиге» 12 753 на 8 049. Как известно, процесс умножения разлагается математически на ряд последовательных умножений, по формуле:

(12 753 X 8000) + (12 753 X40) + (12 753 X 9).

То же делает и «Брунсвига»: устанавливают спицами число 12 753; перемещают скользящее приспособление (салазки) с нижним рядом оконцев слева вправо так, чтобы цифра 3 множимого пришлась против тысячного (четвертого) оконца (считая справа влево) названного ряда, и делают восемь оборотов главной рукоятью. Таким образом зубчатые колеса, соединенные с главной осью, работают в тысячах и выше, а полученное произведение 102 024 имеет справа три невведенных в оборот оконца, т.-е. три нуля.

Затем передвигают салазки справа влево так, чтобы цифра 3 множимого пришлась против второго (десяткового) оконца скользящей части машины, и поворачивают рукоятку четыре раза. Полученное в десятках произведение 12 753x4 = 51 012 автоматически суммируется с предыдущим и дает:

Наконец, устанавливают салазки в нормальное положение, т.-е. так, чтобы цифра 3 множимого пришлась против первого (единичного) оконца салазок, и поворачивают рукоятку 9 раз.

Последнее частное произведение немедленно, по мере возникновения, суммируется с приведенным выше и дает окончательный результат как бы в такой форме:

«Брунсвига» не дает, конечно, промежуточных произведений 510 120 и 114 777, а лишь первое, сумму первого и второго и окончательное, в такой последовательности: 1) 102 024 000; 2) 102 534 120 И 3) 102 648 897.

Процесс деления сводится на «Брунсвиге» к процессу вычитания, повторенному столько раз, сколько единиц оказывается в частном. Для сокращения медлительного процесса пользуются опять салазками, заставляя зубчатые колеса оси работать последовательно, от высших разрядов к низшим. Но установка салазок на высшую цифру частного не может быть произведена самой машиною, автоматически, а требует знакомства работающего с математическим процессом. Так он сам должен, например, сообразить, что при делении 8 147 255 на 6 375 можно заставить машину работать, начиная с тысяч; но при делении 4 875 111 на 5 037 следует начать с сотен. Т.-е., иначе говоря, в первом случае, прежде чем вращать рукоятку, надо установить неподвижную часть машины в такое взаимное положение:

6375

8147255,-

а во втором в такое:

5037 4875111.

Ибо машина сама по себе отнюдь не мыслит и не соображает, а лишь безупречно, с недоступной для человека точностью, складывает, вычитает и передает влево нарастающие единицы высших порядков (при сложении и умножении).

Работа деления на «Брунсвиге» идет в такой последовательности: после установки, как выше, вращают рукоятку до тех пор, пока часть делимого, стоящая непосредственно под делителем, не станет меньше делителя. В оконце, показывающем число оборотов рукоятки, получаем первую цифру частного, после чего передвигаем салазки влево так, чтобы под делителем стояла опять часть делимого, большая делителя, но не свыше одной лишней цифры.

Так, в первом примере:

6375 8147255

после первого же оборота получается:

6375 1772255

и в контрольном оконце числа оборотов цифра 1.

Перемещаем салазки в положение:

6376 1772255

После двух новых оборотов устанавливаются числа:

6375 497255

а в контрольном оконце цифра 2.

Фиг. 90.

Перемещаем салазки в положение:

6375 497255,

делаем семь оборотов рукоятью; читаем на машине:

6375 51005,

Перемещаем салазки влево так:

6375 51005

и, после восьми оборотов рукоятки, получаем:

6375 б.

Контрольные оконца дают готовое частное 1 278, а салазки—остаток б.

Быстрота самых сложных вычислений на «Брунсвиге» изумительна; в машинах, не имеющих контрольных оконцев для числа оборотов, надо вести им счет отдельно, записями на бумажке или матовом стекле.

Впрочем, человеческая изобретательность пошла еще дальше. Существуют машины, обеспечивающие вперед необходимое для производимого действия число оборотов механизма, при одном лишь обороте рукояти. Так, в машине «Миллионер», построенной по типу томасовских машин (фиг. 90 и 91), имеется для этой цели особый рычаг (фиг. 91, В верхнем углу слева), установкой которого на

ту или на другую цифру обеспечивается соответствующее число оборотов механизма при каждом обороте рукояти. Очевидно, что для сложения и вычитания рычаг должен устанавливаться на 1.

Из машин с клавишами вместо спиц лучшие — машины Пайка («Pike», фиг. 92), в основе которых, как и «Брунсвиги», лежит однеровский принцип.

Они чрезвычайно напоминают общераспространенные пишущие машины и, подобно им, отпечатывают на бумаге наигранные на клавишах и переданные рукоятью печатающему механизму цифры и итоги действий.

Но без одухотворенной разумной мыслью работы человека все подобные машины все-таки не более, как мертвый набор колес и рычагов: они не в состоянии сами решать хотя бы наиболее простые арифметические задачи. Назначение их — облегчать и выполнять механическую долю труда.

Фиг. 92.

Охватить сразу, хотя бы беглым взглядом, все творчество, проявленное человечеством с целью ускорения и облегчения механизма одних только точных вычислений, не легко; и на предыдущих страницах мы пока остановили внимание читателя преимущественно на тех счетных

аппаратах, которые пользовались или пользуются теперь наибольшим распространением для практических приложений. Но, с одной стороны, все эти машины еще далеко не составляют последнего слова в области достижимого, а с другой—читатель справедливо мог бы посетовать на то, что в истории (хотя бы беглой) изобретения счетных машин нами опущены имена и попытки, заслуживающие самого серьезного внимания. Поэтому к изложенному сделаем еще кое-какие дополнения.

Заметим прежде всего, что основная задача точных вычислений разрешается по преимуществу четырьмя главными способами: графическим (геометрическим), динамическим, кинематическим и электрическим.

Графический метод. —Палочки Непера.

Из счетных аппаратов, основанных на графическом методе, прежде всего необходимо вспомнить о Неперовских палочках. Джон Непер, знаменитый изобретатель логарифмов, носящих его имя, предложил остроумный способ механического умножения и деления. Способ этот описан в его сочинении «Рабдология», изданном в 1617 году,— год смерти самого Непера.

Цифровая таблица, изображенная на фиг. 93, представляет таблицу Пифагора, помещенную на десяти палочках или дощечках. Левая пластинка неподвижна, все же остальные могут передвигаться и перемещаться всячески. Каждый из квадратиков таблицы разделен диагональю на два треугольника. В нижнем треугольнике находится цифра единиц произведений таблицы умножения, а в верхнем, налево,— цифра десятков. Предположим теперь, что рядом с неподвижной левой линеечкой помещены последовательно линеечки, имеющие сверху цифры 7, 5 и 8. В таком случае нетрудно почти моментально получить произведение из 758 на всякое число от 1 до 9.

Так, например, желая умножить это число 758 на 6, мы смотрим на неподвижную линейку и в данном случае против числа 6 по горизонтальному направлению находим:

Сложим числа параллельно диагоналям треугольничков, находим

4, 2+3, 0+4, 8,

т.-е. число 4 548, которое и есть произведение числа 758 на 6.

Таким образом Неперовы палочки позволяют очень быстро находить частные произведения любого числа на любую из первых девяти цифр, при чем не требуется знания таблицы умножения. Действие умножения сводится к сложению, а деление к вычитанию, при чем не требуется делать никаких проб. Очевидно, что чем более числа, тем более ускоряется работа при помощи Неперовых палочек или линеек, хотя следует признать, что описанный счетный аппарат Непера сам по себе далеко уступает другому его великому открытию — логарифмам.

Из последователей и усовершенствователей системы Непера следует упомянуть о счетчике Тронсета, о счетчике Прюво Ле Гюэ (Pruvost Le Guay) и о Неперовских кругах Кинемана (Quinemant). Графический способ счисления в последнее время в особенности усовершенствован Женайлем (Genaille), который по авторитетному свидетельству Люка, вполне разрешил задачу устройства прибора для точных вычислений посредством геометрического метода.

Фиг. 93.

Динамический метод.

Начало приложения к счислению динамического метода было положено Паскалем. Как видно из предыдущего, этот способ механического точного счета имеет пока наибольшее число последователей и изобретателей. Наибольшей известностью в деле устройства машин этого типа пользуются имена Рота, Томаса, Однера, Барбура, Мореля, Жайе, Гранта и многих других, упомянутых уже нами в своем месте. Имена же англичанина Баббэджа и шведа Шейца знатоками вопроса произносятся с особым уважением. Чарльз Баббэдж всю свою жизнь и все свое состояние посвятил на устройство универсального счетчика, дающего последовательные члены арифметических прогрессий каких угодно порядков. Устройством своей машины он успел заинтересовать английское правительство, которое выдало Баббэджу денежную помощь, но изобретатель умер, не закончив устройства своей машины.

Георг Шейц, издатель технического журнала в Стокгольме в середине прошлого столетия, и сын его Эдуард Шейц осуществили замысел Баббэджа. Они устроили счетную машину, служившую предметом удивления самого Баббэджа на парижской выставке 1855 года. Машина эта была приобретена американцем Ратбоном (Rathbone) и отдана им в дар обсерватории Дюдлея в Альбани. Другой экземпляр был сделан для английского правительства и облегчает вычисления английского «Морского календаря» (Nautical Almanac).

Машина имеет вид небольшого пианино, и операции с ней не более сложны, чем на шарманке. Простым поворотом рукоятки получаются последовательные члены арифметических прогрессий первого, второго, третьего и даже четвертого порядка. Кроме того, полученные результаты стереотипируются и могут быть отданы в печать. С помощью этой машины чрезвычайно удобно издавать таблицы логарифмов, синусов и синус-логарифмов, не содержащие в себе никаких арифметических или типографских ошибок. Машина высчитывает и стереотипирует в час 120 строк, готовых к печати. Сравнительные опыты доказали, что машина дает две с половиной страницы в то время, которое потребно опытному составителю, чтобы заполнить цифрами одну только страницу.

Кинематический метод.

Кинематическое решение задачи предложено нашим знаменитым соотечественником, ныне покойным академиком Чебышевым. Во всех вышеописанных машинах динамического типа движения неровны

и прерывчаты. Во время поворота рукоятки каждая шестерня движется по-своему: одни останавливаются в то время, как другие еще продолжают движение и т. д... Наш знаменитый ученый устроил машину с непрерывными и однообразными движениями. В его арифметической машине действие, заключающееся в прибавлении 1 к 999 999, не сложнее действия прибавления 1 к 000 000. Кроме того, в ней нет никаких пружин, а потому исключается возможность ошибок при вы числении. В настоящее время существует всего один экземпляр этой машины. Между тем при некоторых поправках она может быть наилучшей из всех существующих ныне счетных машин.

Электрический метод.

Мысль об устройстве электрической счетной машины принадлежит уже упомянутому нами Женайлю (Genaille). Но труды этого несомненно гениального изобретателя, к сожалению, не нашли достойной оценки и поддержки в свое время как со стороны ученых и общественных учреждений, так и со стороны частных лиц.

Цифрарь-диаграммометр В. С. Козлова.

В числе новейших изобретателей счетных машин необходимо указать и на аппарат нашего соотечественника В. С. Козлова, о котором безвременно скончавшийся Э. Люка прочел публичную лекцию в 1890 году в парижском национальном музее искусств и ремесл. Изображения цифраря-диаграммометра т. Козлова даны у нас на фиг. 94 и 95.

Известные до сего времени счетные аппараты и так называемые интеграторы обыкновенно служат для одного какого-либо определенного действия или для одних каких-либо вычислений. Основная же идея изобретения т. Козлова состоит в том, что позволяет удобно одновременно получать разрешение различных проблем, относящихся к измерению различных элементов кривой или диаграммы. Изобретение это состоит из двух частей: диаграммографа и диаграммометра.

Диаграммограф представляет собою расположенную на вертикальной плоскости таблицу, на которой начерчены горизонтальные равноотстоящие друг от друга линии. Перед таблицей находятся свободно двигающиеся вертикально шнуры с кольцами, в которых ходят цветные шнуры. (Можно употреблять вместо шнуров металлические кулисы или скользящие застежки.) Подымая и опуская кольца, можно

изобразить на таблице любую кривую,— соответственно системе координат аналитической геометрии Декарта.

Фиг. 94.—Вид цифраря-диаграммометра В. С. Козлова спереди.

Нити, занумерованные слева направо, представляют абсциссы 1, 2, 3,... п, а различные высоты колец, по отношению их к любой горизонтальной линии на таблице, представляют ординаты, которые мы обозначим уъ т/2, у3,... уп. Шнурок, предварительно проведенный

во все кольца, позволяет изображать мгновенно диаграмму, соответствующую данным наблюдениям.

Таким образом можно по желанию воспроизводить чертежи и диаграммы всякого рода. Если мы примем за абсциссы время, измеряемое минутами и секундами, то ординаты могут изобразить траекторию метательного снаряда, движения светил, расширения и температуры тел и вообще все явления, зависящие от времени. Принимая же для выражения абсциссами часы дня, мы можем изобразить ординатами температуру, барометрическое давление, гигрометрическое

Фиг. 95.—Вид механизма цифраря-диаграммометра.

состояние, быстроту ветра и его направление, пульс и температуру больных и пр. Если же принять за абсциссы дни месяца, месяцы года, годы столетия, то мы можем ординатами изобразить курсы биржи и финансовых ценностей, приходы и расходы негоциантов, ежедневные температуры и средние давления, урожай, цены на хлеб и различные статистические сведения о рождаемости, смертности и т. д. Словом, диаграммограф дает возможность быстро изображать графически различные цифровые наблюдения, относящиеся к изучению явлений в области физических наук или в статистике.

Это собственно феноменограф, т.-е. настоящий наглядный выразитель явлений.

Диаграммометр есть измерительный аппарат, дающий возможность при помощи взвешивания быстро вычислять различные элементы диаграммы или кривой, отвечающей каким-либо цифровым наблюдениям.

Описываемый аппарат представляет собою лишь попытку совместить разнообразные пособия, которые могут быть выделены и приспособлены к специальным требованиям. Тем не менее, этот аппарат при его весьма остроумном основном принципе дает возможность исчислить быстро и одновременно очень значительное количество интегралов. Аппарат этот является всеобщим счетным инструментом для инженера, физика, химика, статистика, банкира и промышленника1).

Общее заключение, которое Э. Люка высказал об аппарате Козлова, таково:

«Теперешняя модель диаграммометра, или, точнее, феноменометра, не вошла еще в область обыденной практики, но мы думаем, что этот аппарат может быть утилизирован, и им будут пользоваться в разных формах, приспособленных к тем или другим требованиям экспериментаторов. Стоимость изготовления диаграммометра, с его цепями и весами, может быть доступна всем. Настоящая модель диаграммометра есть только временная оболочка (enveloppe temporaire) гениальной идеи г. Козлова. Я полагаю также, что удобнее было бы заменить рычажные весы пружинными (des dynamometres). Наконец, следовало бы изменить способы расположения циферблатов-измерителей так, чтобы получать одновременно измерения разных кривых для одной и той же диаграммы. Необходимо, чтобы стрелки циферблатов

1) До сих пор известны были только два счетных аппарата, действующие при помощи взвешивания. Один из них—арифметические весы (Balance Arithmétique) Кассини (Cassini), описанные в «Собрании машин академии (парижской) наук» (до 1699), и другой—подъемный мост, построенный по системе генерала Понселе, который можно видеть в укреплении Mont Valérien, возле Парижа.

могли показывать в каждый момент не только различные средние соответствующие всей серии ординат, но также и различные средние, или их суммы, для любого числа начальных ординат. При этом способе можно было бы изображать на нижнем диаграммографе результаты по мере их получения (или записывать их на бумаге), образуя потом из них новые диаграммы, получать новые определения и последовательные интегралы, — двойные, тройные и кратные.

«Мы не можем определить заранее степени приближения вычислений, которые дает диаграммометр; но при применении его можно достигнуть последовательных приближений.

«На этом аппарате можно получать формулы Симпсона (Simpson), Понселе (Poncelet) и Пармантье (Parmentier) и вообще все формулы квадратуры. О значении аппарата можно легко судить из того, что дает нам каждый из пяти измерителей относительно точности вычисления. Чтобы проверить вычисления, для этого достаточно повторить тот же пример в противоположном направлении, т.-е. поставив ряды ординат справа налево после того, как они были поставлены слева направо. Тогда, при точном действии аппарата, первые четыре измерителя должны будут показать те же результату, что и ранее, а пятый — результаты дополнительные.

«По совету г. Марея (Marey), г. Козлов полагает применить свой аппарат еще для измерения кривых в пространстве».

Пожелаем же нашим соотечественникам-изобретателям полного успеха в деле, начатом столь блистательно.

Приближенные вычисления.

Пособиями для приближенных вычислений служат, с одной стороны, логарифмические таблицы, а с другой,—графические методы. Линейка для вычислений, изобретенная Гюнтером в 1624 году, была с течением времени значительно усовершенствована. В настоящее время она употребляется при занятиях почти постоянно. Наибольшего внимания из таких линеек заслуживают Лаланна (Laianne) и Маннгейма (Mannheim), изготовляемые Тавернье-Граве (Tavernié-Gravet). Пользуются также для вычислений кругами, подобными кругам Буше (Bouché), Рено-Таше (Renaud-Tachet) и Кинемана (Quinemant) и др...

Существуют также абаки, треугольники, прямоугольники и лекалы для вычислений. Из русских изданий подобного рода назовем хотя бы Д. Левитуса: «Счетный масштаб» — графическая таблица для умножения, деления, возведения в степень, извлечения корней и для тригонометрических вычислений.

Комбинации.

Ниже приведено несколько простых задач, на решение которых мы советовали бы читателю обратить особое внимание. Несмотря на свою видимую простоту, задачи эти могут служить полезным введением в новую весьма обширную и чрезвычайно интересную область необъятного «Царства смекалки». Мы говорим о так называемой Теории Соединений или Анализе Соединений (Analyse combinatoire). Над разработкой вопросов, связанных с этими областями математики, трудились еще древние индусы. Но только после бессмертных исследований европейцев Галилея, Паскаля, Ферма и их продолжателей выяснилось, какое тонкое, остроумное и вместе могущественное оружие для ума дает Теория Соединений. Прежде всего очевидно, что всякого рода комбинации — соединения и сочетания — постоянно встречаются в различных играх. И действительно, о Теории Соединений, как и о Теории Вероятностей, не без основания говорят, что они родились и выросли за игорным столом. Мы убедимся потом, однако, что, удовлетворив малоценное иногда любопытство игроков, теории эти обогатили человечество уже не «игроцкими», а совсем серьезными и полезными для всех знаниями и методами.

Задача 36-я. Размещение пассажиров.

Четверо пассажиров входят в вагон, в котором есть 6 свободных мест. Сколькими способами они могут разместиться?

Решение.

Первый пассажир может занять любое из 6-ти мест. Значит, второй— любое из 5-ти мест; третий — любое из 4-х мест, и четвертый —

любое из трех. Каждое из таких размещений можно сочетать с каждым из остальных; и искомое число, следовательно, будет:

6. 5 4. 3 - 360.

Задача 37-я. Разнообразие костюмов.

Если бы у кого-нибудь было 5 пар брюк, 8 жилетов и 7 сюртуков, то в скольких различных костюмах он мог бы появляться?

Решение.

Каждая из частей костюма может всеми способами сочетаться с каждыми из остальных. Всего же получится 5.8. 7=280 различных комбинаций.

Задача 38-я. Выбор предметов.

Сколькими способами можно сделать выбор, если брать по нескольку или все из п данных предметов?

Решение.

С каждым предметом можно поступить двояко: или брать его, или не брать. Каждый подобный способ обращения с одним предметом можно сочетать с каждым способом обращения с каждым из остальных предметов. Значит, искомое число было бы 2.2.2. . . . 2 (п множителей) =2Л. Но отсюда надо исключить случай, когда не берут все предметы. Итак, искомое число есть 2П—1.

Задача 39-я.

Имея 6 приятелей, сколькими способами можно пригласить их на обед, приглашая или всех или некоторых?

Решение. Задача, очевидно, есть частный случай предыдущей, искомое число есть 2 е—1 = 63.

Задача 40-я.

Сколькими способами п предметов могут быть розданы р лицам, если относительно числа вещей, которое может получить каждый, нет никаких ограничений?

Решение.

Каждая вещь имеет р назначений. Следовательно, искомое число есть рм.

Задача 41-я.

Сколькими способами 5 вещей могут быть распределены между 2-мя лицами?

Решение.

I* Первая вещь может быть дана либо одному, либо другому лицу, вторая также и т. д. Значит, получается 25 способа. Но из этого числа надо исключить 2 случая, когда только то или другое лицо получает все б вещей. Исключая эти 2 случая, находим, что число способов есть 25—2=30.

Задача 42-я.

Имеется 3 ореха, 4 яблока и 2 апельсина. Сколько будет комбинаций для выбора, если предлагают взять, по меньшей мере, по одной штуке каждого лакомства?

Решение.

Предлагается взять один или более орехов, одно или более яблок, один или более апельсинов. Из предыдущих задач мы уже знаем, что выбор каждого рода соответственно будет 23—1=7, 24—1=15, 22—1=3. Каждый выбор одного рода комбинируется с каждым выбором других родов. Искомое число, значит, равно 7.15.3=315.

Задача 43-я.

Сколько слов о четырех буквах можно составить из 17-ти согласных и 5-ти гласных, если в середине должны находиться две различные гласные, а по краям —по одной согласной, которые могут быть или одинаковы, или различны?

Решение.

Ясно, что первое место в требуемых словах замещается 17-ю различными способами. Столькими же способами замещается и последнее место, ибо согласные, по условию задачи, могут повторяться. С другой стороны, можно рассчитать, что из 5-ти гласных, беря их по две различных, можно получить 5.4—20 различных комбинаций. Таким образом искомое число требуемых слов=17.17.20=5 780.

Задача 44-я. На улицах города.

Улицы города расположены наподобие линий шахматной доски, при этом ж улиц идет с севера на юг, а п—с востока на запад. Сколькими путями можно пройти от северо-западного угла на юго-восточный, идя возможно кратчайшим путем?

Решение.

Нужно пройти т+п— 2 участка, именно: m — 1 участок с запада на восток, и п—1 участок с севера на юг. Различных путей получится столько, сколькими способами можно m—1 предмет выбрать из числа т + п— 2 предметов. Значит, искомое число равно

Теория соединений.

Перестановки, размещения и сочетания. Анаграммы.

Напишем какое-нибудь слово и станем всячески переставлять составляющие его буквы. Если при таких перестановках получится новое слово (состоящее, конечно, из тех же букв, что и первоначальное, только в другом порядке), то, значит, мы получим анаграмму. Так, напр., возьмем слово жар, состоящее из трех букв. Переставляя всеми возможными способами составляющие это слово буквы, мы получим 6 следующих комбинаций:

жар раж ржа жра арж ажр

Рассматривая 6 полученных перестановок из 3-х букв, мы видим, что из слова жар получается анаграмма ржа. Можно, пожалуй, прибавить сюда и раж, так как это слово в выражении «вошел в раж» получило большое распространение в нашем обиходном языке. Остальные же три перестановки (ажр, жра, арж) букв надо отбросить, как ничего не говорящие нашему слуху и сознанию.

Точно так же, напр., из слова лиса путем перестановки букв можно получить слово сила. Из слова кипа составляются анаграммы пика и паки; из слова Москва получается смоква. Весьма употребительные в математике слова логарифм и алгорифм тоже анаграмматичны, т.-е. состоят из тех же букв, только переставленных в ином порядке; и т. д... Примеров можно подобрать сколько угодно. Развлечения с анаграммами принадлежат к самым общеизвестным и распространенным, и вряд ли любой из наших читателей так или иначе не встречался с ними, хотя, быть может, не каждый давал себе отчет в том, что в этом слу-

чае он приходил в соприкосновение с обширной математической областью, имеющей огромное теоретическое и практическое значение.

Само собой разумеется, что вместо отдельных слов можно брать целые фразы и получать из них анаграммы, т.-е. новые слова и выражения, состоящие из тех же букв, только переставленных в другом порядке. Величайшие математические умы, особенно в прежнее время, охотно составляли различного рода анаграммы.

Таковы, напр., Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Валлис, Бернулли и многие другие. С одной стороны, эти анаграммы служили интересными примерами развиваемого этими учеными анализа соединений и сочетаний, а с другой, чтобы сохранить за собой первенство открытия, не сообщая его раньше во всеобщее сведение, ученые часто выражали свое открытие в виде анаграммы, т.-е. в виде фразы или просто собрания букв, и при иной надлежащей перестановке открывали секрет изобретателя. Таким образом анаграммы обращались в род скрытого письма, в тайнопись или криптограммы, о которых в настоящей книге читатель имеет отдельную главу.

Точно так же многие анаграммы обязаны своим происхождением тем последователям мистики и каббалы, которые в именах иных людей или названиях событий искали особого скрытого значения.

Есть анаграммы, которые приобрели даже историческую известность.

Некоторые известные анаграммы.

Великий математик и философ Паскаль (1623—1662) задал было своим читателям и истолкователям довольно тяжелую работу. В его знаменитых «Pensées» («Мысли») находится между прочим такое место:

«La manière d'ecrire d'Epictète,de Montaigne et de Salomon de Tultie est la plus d'usage» etc. т.-е.: слог Эпиктета, Монтеня и Саломона де-Тюльти наиболее употребителен и т. д.

Имена Эпиктета и Монтеня известны всем, но кто такой Саломон де-Тюлъти? Это, очевидно, какой-то псевдоним, изобретенный Паскалем,— догадывается комментатор. Но кто же скрывается под этим псевдонимом?

Ответ на этот вопрос дает анаграмма. Если в имени Salomon de Tultie (Саломон де-Тюльти) сделать перестановку букв, то получится Louis de Montalte (Луи де-Монтальт), т.-е., тот псевдоним, которым Паскаль подписывал свои знаменитые «Lettres Provinciales» («Письма Провинциала»).

Христиан Гюйгенс (1629—1695) был первым, который открыл, что планета Сатурн окружена плоским кольцом, свободно висящим на уровне экватора планеты. Открытие это им сделано в 1655 году, а сочинение о «Системе Сатурна» он издал только в 1659 году. Но, чтобы удержать за собой первенство открытия. Гюйгенс тотчас же записал его анаграммой из следующих букв:

ааааааа, ссссс, d, еееее, g, h, iiiiiii, III, mm, ппппппппп, оооо, рр, q,

rr, S, ttttt, иииии.

Если из этих букв сделать соответственные перестановки, то получится такая латинская фраза:

Annulo cingitur tenui, plano, nusquam cohaerente, ad eclipticam inclinato, т.-е. он окружен кольцом тонким, плоским, нигде не подвешенным, наклоненным к эклиптике.

В том же 1655 году Гюйгенс открыл первого спутника Сатурна (Титана) и нашел время его обращения около планеты равным 15-ти дням. Открытие это он тоже облек в форму анаграммы, копию которой послал, между прочим, знаменитому своему современнику, английскому математику Валлису (Wallis). Но здесь получилась довольно забавная шутка: Валлис был мастер в деле истолкования (дешифрирования) анаграмм. Получив анаграмму Гюйгенса, он быстро истолковал ее и составил по этому поводу свою анаграмму, несколько длиннее Гюйгенсовой. Но в своем ответе последнему Валлис ничего не говорит о своей дешифровке, а просто благодарит Гюйгенса за внимание и пишет, что имеет тоже нечто передать ему в своей прилагаемой анаграмме. Гюйгенс послал Валлису истолкование своей анаграммы. Каково же было его изумление, когда в ответ он получил решение анаграммы Валлиса, из которого вытекало, что последний чуть не раньше будто бы сделал то же самое открытие, что и Гюйгенс.

Скоро выяснилось, что Валлис хотел пошутить и кстати показать бесполезность анаграммы в деле скрытого письма. Гюйгенс, однако, не оценил этой шутки и рассердился... Великие люди также имеют свои маленькие слабости.

Из других анаграмм отметим еще следующие: В словах Revolution française (французская революция) можно переставить буквы так, что получится:

Un veto corse la finira,

т.-е., «ее закончит вето (запрещение) корсиканца» (указание на Наполеона Бонапарта).

Из имени монаха, убийцы короля Генриха III,— frère Jacques Clement (брат Жак Клемант) можно перестановкой букв получит:

C'est Venfer qui m'a crée,

т.-е. «меня создал ад».

Из имен короля Генриха III Валуа — Henri de Valois (Анри де Валуа) современники сделали Vilain Herode's, т.-е. «Мерзкий Ирод».

Польский писатель Яблонский взял латинское название дома вель мож Лещинских — Domus Lescinia и составил из этих слов такие анаграммы:

Ades incolumis, т.-е. гряди невредимый.

Omnis es lucida, » весь светозарный.

Mane sidus loci » пребывай светилом края.

Sis columna Dei » да будешь защитой бога.

L. scande solimn » Л. (ещинский) взойди на престол.

Последняя анаграмма оказалась даже «пророческой»: Лещинский Станислав сделался действительно польским королем. Надо признать во всяком случае, что сочетание букв в словах Domus Lescinia дает, действительно, богатый материал для составления льстивых и угодливых анаграмм. О том, сколько те же слова при перестановке букв могут дать материала для шутки и сатиры, Яблонский, видимо затративший: большой запас времени для перестановки 13 букв, совершенно умалчивает.

И в самом деле, предположим, что все вышеприведенные анаграммы Яблонский нашел благодаря не счастливой случайности или особым каким-либо приемам, а путем действительных перестановок, т.-е., написав 13 букв, составляющих слова

DOMUS LESCINIA;

он методически переставлял всеми возможными способами эти 13 букв и прочитывал каждую перестановку, чтобы убедиться, получилась ли фраза, имеющая смысл, или нет. Сколько всего в таком случае Яблонский получил бы перестановок, и сколько, приблизительно, времени он затратил бы на эту работу?

Поставим вопрос несколько шире и спросим так: сколькими способами можно переставить 13 букв, стоящих в ряд? При чем для простоты допустим сначала, что все буквы различны.

Само собой разумеется, что вместо букв можно взять всякие иные предметы. Можно, например, задать себе вопрос, сколькими способами

можно разложить в ряд известное число различных карт, разноцветных камешков, картинок или книг и вообще каких угодно предметов или,^как говорят в данном случае, элементов.

Вопрос сводится, следовательно, к определению числа линейных перестановок (или перемещений) из данного количества элементов.

Далее мы дадим общее решение этого интересного вопроса, а пока рассмотрим следующие две задачи.

Задача 45-я. Церемонный обед семи.

Во втором издании Récréations mathématiques et physiques par M. Ozanam («Математические и физические развлечения» M. Озанама), вышедшем в Париже в 1778 году, находится следующая интересная задача:

Семь лиц должны были обедать, но между ними зашел церемонный спор относительно мест, где кому сесть (это было, без сомнения, в каком-либо отдаленном от столицы провинциальном городе, —замечает здесь Озанам). Наконец, кто-то, чтобы прекратить пререкания, предложил всем сесть за стол как попало, но с тем, чтобы опять собраться завтра и в следующие дни обедать вместе и каждый раз садиться по-иному, до тех пор, пока не будут исчерпаны все возможные перемещения. Спрашивается, сколько раз для этого придется им вместе обедать?

Решение.

Решение задачи сводится, очевидно, к отыскиванию числа перестановок из семи элементов. В главе «о числе перестановок» несколько дальше мы покажем, как это делается, а пока скажем просто, и попросим читателя на минуту поверить, что число таких перестановок из 7 элементов равно 5 040. Таким образом выходит, что упомянутым в задаче семи лицам придется обедать 5 040 раз, или 5 040 дней, вместе. Переводя на годы, получим изрядный промежуток времени в 14 лет! Принять на себя обязательство четырнадцать лет изо дня в день обедать в одной и той же компании... Вот к чему иногда могут привести церемонные препирательства.

Если вместо семи лиц церемонным спором займется большее общество, то дело грозит еще большими осложнениями. В своих Initiations mathématiques» Ш. Лэзан разбирает задачу, совершенно подобную предыдущей, но на обед собралось не 7, а 12 особ.

Задача-сказка 46-я. Церемонный обед 12-ти.

В один прекрасный вечер сошлось двенадцать человек, чтобы пообедать вместе. Но так как места за столом не были назначены заранее, между ними возник церемонный спор в то время, когда нужно было садиться за стол, — спор, не приведший, впрочем, ни к какому результату. Кто-то, чтобы выйти из затруднения, предложил испробовать последовательно все возможные способы размещения. Чтобы разрешить вопрос, оставалось только выбрать перемещение, кажущееся наиболее удачным. Попробовали было пересаживаться в течение нескольких минут, но смешались, и дело, казалось, никак не могло благополучно разрешиться само собою. К счастью, между приглашенными находился учитель городского колледжа, имевший кой-какие познания в математике.

— Друзья мои,—сказал он,—суп простынет. Давайте тянуть жребий, скорее дело будет.

Последовали благоразумному совету и, обед закончился самым радушным образом.

Является вопрос, почему учитель не нашел возможным испробовать все возможные перемещения на самом деле?

Решение.

Разъяснение и решение задачи последовало уже за десертом, когда, получив слово, учитель сказал:

— Знаете ли вы, сколько времени понадобилось бы нам, чтобы испробовать все возможные перемещения, которые мы могли сделать за этим столом, полагая только по секунде для перехода от одного перемещения к другому?

И так как все молчали, он добавил:

— Продолжая такую маленькую игру день и ночь, мы должны были бы употребить на это более 15 лет и 2-х месяцев, не считая при этом, сколько бы нам встретилось високосных годов. Вы видите, если жаркому угрожало высохнуть, то мы могли бы быть уверены, что погибнем все от голода и лишения сна. Будемте церемонны, если сердце нам подсказывает, но не слишком...

И это правда. Точное число различных способов перемещений, которое 12 человек могли бы принять за столом, накрытым на 12 кувертов, равняется, как ниже увидим, 479 001 600, более 479 миллио-

нов, а 15 лет и 2 месяца содержат, приблизительно, такое же число секунд.

Можно было бы еще заметить, что каждое перемещение 12-ти человек требует гораздо более времени, чем одна секунда, и что, следовательно, на отыскание удачного для всех положения за столом понадобилось бы гораздо более 15-ти лет. Это, впрочем, не меняет существа вопроса. Но что было бы, если бы собравшиеся обедать господа поступили по примеру обедавших в предыдущей (45-й) задаче? Чтобы испробовать все возможные перемещения, им пришлось бы обедать вместе более, чем 479 миллионов дней! Переведя на годы, получим миллионы лет...

О числе перестановок.

Из двух предыдущих задач мы узнали и приняли пока на веру, что если произвести все перестановки из 7-ми элементов, то таких перестановок получается 5 040, а из 12-ти элементов таких перестановок получается уже 479 001 600. Число элементов возросло всего на 5, а в какой огромной пропорции возросло число перестановок!

Впрочем, вышеуказанные числа были приняты нами пока на веру. Здесь мы попробуем получить их на самом деле и показать, как вообще найти число перестановок из любого числа элементов.

Возьмем сначала два различных элемента а и Ъ. Ясно, что здесь единственно возможны только две перестановки.

ab и Ъа.

Значит число перестановок из 2-х элементов равно

1X2-2.

Возьмем три элемента: а, Ь и с. Чтобы получить из них все возможные перестановки без повторений и пропусков, поступаем так:

Берем сначала перестановки из двух элементов, т.-е. ab и Ъа и приставляем к каждой из них третий элемент: в конце, в середине и в начале. Значит, из каждой двух-элементной перестановки получим по три перестановки, именно:

abc bac acb Ъса cab cba

Всего 6 перестановок. Итак, число всех перестановок из 3-х элементов получится от перемножения чисел 1x2x3=6 или, принимая

за знак умножения точку, напишем, что число всех перестановок из трех элементов будет:

1.2.3=6.

Берем затем 4 элемента а, Ь, с и d. Сколько всех возможных перестановок дадут эти буквы? Чтобы получить все эти перестановки без пропусков и повторений, сам собой напрашивается следующий способ. Берем сначала все 6 найденных выше перестановок из 3-х букв:

abc, асЪ, cab, bac, Ъса, сЪа.

В каждую из этих перестановок вводим четвертый элемент d, приставляя его последовательно: к концу, между 2-й и 3-й буквой, между 1-й и 2-й буквой и в начале. Так что каждая из этих 6 перестановок из 3-х элементов даст 4 перестановки из четырех элементов. А именно:

перестановка abc

дает

abed

abdc

adbc

dabc

» асЪ

»

aebd

aedb

adeb

dacb

» саЪ

»

cabd

cadb

cdab

dcab

» Ъас

»

baed

bade

bdac

dbac

» Ъса

»

bead

beda

bdea

dbca

» сЪа

»

chad

cbda

cdba

deba

Всего из 4-х различных элементов получаем 4.6=24 перестановки, или

1 • 2 • 3 • 4=24.

Итак, чтобы получить число всех линейных перестановок из 4-х различных элементов, надо перемножить между собой четыре первых последовательных числа.

Прибавим еще пятый элемент е и посмотрим, сколько всего получится перестановок из пяти элементов а, Ъ, с, d, е. Получить все эти перестановки без пропусков и повторений можно, опять-таки поступая совершенно подобно предыдущему. Т.-е. возьмем каждую из 24-х вышенаписанных перестановок из 4-х букв и будем приставлять к ним пятую букву е в конце, между буквами и в начале, тогда первая, напр., перестановка abed, дает пять перестановок:

abede, abced, àbecd, aebed, eabed.

Точно так же получим по пять перестановок в 5 букв из каждой из остальных 23-х перестановок 4-х букв. Следовательно, всего перестановок из 5 элементов можно сделать 24.5=120, или

1-2-3-4-5=120.

Значит, число всех перестановок из пяти элементов равно произведению первых пяти последовательных чисел.

Введем шестой элемент/. Рассуждая по, предыдущему, мы найдем, что каждая из 120 перестановок в 5 букв даст шесть перестановок из 6-ти букв. Всего, значит, таких перестановок из 6-ти элементов будет 120.6=720, или

1.2.3.4.5.6=720,

т.-е. число всех перестановок из 6 элементов равно произведению шести первых последовательных чисел.

Рассуждая точно так же, как выше, найдем, что число перестановок из семи элементов будет 720.7=5 040, или

1-2-3-4-5-6 - 7=5 040.

Это число и есть как раз то, которое мы привели в задаче о церемонном обеде семи особ. Читатель теперь, думаем, убедился, что оно нисколько не преувеличено.

Идя указанным выше путем еще дальше, мы найдем, что число перестановок из восьми различных элементов будет равно произведению восьми последовательных чисел 1 • 2 • 3 • 4 • б • 6 • 7 • 8=40 320. Число перестановок. из 9 элементов будет равно произведению 9-ти чисел:

1/ 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9=362 880 и т. д.

Попробуем указанным путем составить таблицу числа перестановок от 1 до 25 элементов. Получается (См табл. стр. 160).

В этой таблице мы находим, между прочим, число перестановок из 12-ти элементов, равное 479 001 600, о котором нам приходилось говорить в задаче о церемонном обеде 12-ти особ.

Беглый взгляд на эту таблицу показывает нам, с какой огромной быстротой возрастает число перестановок при последовательном возрастании перемещаемых предметов. Уже при 25 элементах получается число из 26 цифр,— головокружительное число, о котором мы не можем составить себе никакого реального представления, если не прибегнем к какому-либо описательному сравнению.

Возвратимся к главе об исторических анаграммах и пересчитаем, сколько перестановок из 13-ти букв пришлось бы сделать Яблонскому в словах Domus Lescinia для получения своих анаграмм, если бы он действительно делал все перестановки. Таблица показывает, что число перестановок из 13 элементов равно 6 227 020 800.

Если бы допустить даже такую невероятную скорость, что для получения каждой перестановки и ее прочтения Яблонский употреблял

Число перестановок.

Число элементов.

всего одну секунду, то и тогда, безостановочно работая по 12 часов в сутки, понадобилось бы на выполнение всех этих перестановок около 395 лет! Ясно, что, отыскивая свои «пророческие» анаграммы, Яблонский, проживший обыкновенную человеческую жизнь, шел не этим путем.

Обозначения и вывод общей формулы.

Условимся в обозначениях. Обыкновенно число перестановок из п элементов обозначают символом Рп, т.-е. ставят французскую букву Р (по-французски перестановка: permutation) и внизу справа от нее маленькое п. Следовательно, символ Р2 означает число перестановок из 2-х элементов, Р3—число перестановок из трех элементов, Р4— число перестановок из 4-х элементов и т. д. И мы нашли уже, что

Рх=1 Ра=1.2 Р3=1.2.3 Р4=1.2.3.4. Р5=1.2.3.4.5

Вообще Ря=1.2.3.4.5...п.

Эту последнюю общую формулу мы сейчас выведем со всей строгостью, а не просто путем того последовательного наведения, которого держались до сих пор. Итак, докажем теорему:

Число перестановок из п элементов равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до п, т.-е.

РЛ=1.2.3.4... (п—1).п

В самом деле, пусть составлены перестановки из п—1 букв а, Ь, с, d,... /г, г, к, и пусть число перестановок будет Pn_t. Чтобы составить перестановки из п букв, берем каждую перестановку из п—1 букв и вводим в нее п-ую букву Z, помещая последовательно слева и справа этой перестановки и во все промежутки между ее буквами. Таким образом мы составим все перестановки из п букв, без повторений и без пропусков. Вез повторений потому, что одна перестановки будет отличаться от другой «или порядком п—1 первоначально взятых букв, или местом, которое занимает новая буква I. Без пропусков,— ибо, взяв перестановку able... fc, напр., замечаем, что она произошла из перестановки abc... fc, составленной из п—1 первоначальных элементов, в которую буква I введена на 3-е место; след., такая перестановка была получена.

Итак, указанным способом^получим все перестановки из п букв. Определим их число. Каждая перестановка из п—1 букв дает п пере-

становок из п букв, ибо буква I может занять в первой п различных мест; следовательно,

Такова связь между и РЛ. Формула эта справедлива для всякого п, будучи совершенно общею: давая в ней п последовательно все значения от 2 до п, находим:

Р2=р!.2; Р3=Р2.3; Р4=Р3.4. . . ;Рп=Р^.п

Перемножив эти равенства, уничтожив общие множители в обеих частях и замечая, что Pi=l, находим:

Рп=1.2.3.4. . . (п—1).п

Произведение п последовательных чисел, т.-е. 1.2.3 . . . п, встречается в многочисленных формулах математического анализа и носит специальное название факториала п. Весьма часто для факториала п употребляют более короткое и, пожалуй, даже более изящное обозначение, а именно: вместо длинного иногда ряда цифр последовательных натуральных чисел ставят последнее число и после него восклицательный знак, так что

1.2=2! 1.2.3=31 1.2.3.4=41

1.2.3.4 . . . (п— 1).п=п!

Следовательно, общая формула числа перестановок из п элементов может быть написана и в таком кратком и изящном виде:

Ря=п!

Задача 47-я. Спор кучера с пассажиром.

На станции дилижансов нетерпеливый проезжий, увидя кучера, спросил:

— Не пора ли запрягать?

— Что вы!—ответил кучер,—еще полчаса до отхода дилижанса. За это время я успею двадцать раз и запрячь, и отпрячь, и опять запрячь. Нам не впервой...

— А сколько в дилижанс впрягается лошадей?

— Пять.

— Сколько времени полагается на запряжку лошадей?

— Да при аккуратности минуты две—не больше!

— Ой-ли?—усомнился пассажир.—Пять лошадей запрячь в 2 минуты!.. Что-то очень скоро...

— И очень просто, господин,—отвечал кучер.—Выведут лошадей в сбруе, постромках с вальками, в вожжах, как есть. Остается только накинуть кольца вальков на крюки, приструнить «в секунд» двух средних лошадей к дышлу, взял вожжи в руки, сел на козлы, и готово... Поезжай! Дело знакомое...

— Ну, хорошо!—заметил пассажир.—Допустим, что таким образом ты можешь запрячь и отпрячь лошадей хоть двадцать раз в час, как говоришь. Но если их придется перепрягать одну на место другой, да еще всех, то уж этого ты никогда не сделаешь не только в час, но и в два.

— Тоже пустячное дело, господин!—расхвастался кучер.— Разве нам не приходится перепрягать! Да какими угодно вам манерами я их всех вам перепрягу в час, а то и меньше. Одну лошадь поставил на место другой, и готово! Минутное дело!

— Нет, ты перепряги их не теми «манерами», которые мне угодны,—сказал господин,— а всеми способами, какими только можно перепрягать 5 лошадей, считая на перепряжку уже одну минуту, как ты хвастаешь.

Самолюбие кучера было несколько задето.

— Конечно, всех лошадей и всеми способами перепрягу не больше, как в час.

— Я дал бы сто рублей, чтобы посмотреть, как ты сделаешь это в час!—сказал пассажир.

— А я, при своей бедности, заплатил бы за ваш проезд в дилижансе, если этого не сделаю,—отвечал кучер.

Так и. условились: кучер обязался в час перепрягать дилижанс 5-ю лошадьми всеми способами, какими только возможно. Если он это сделает, то получает с пассажира 100 руб., если же нет, то пассажир едет дальше на счет кучера. Каков был результат спора?

Решение.

Пострадал кучер, который, очевидно, не отличался сильной сообразительностью. Число запряжек, которые он должен был по уело-

вию сделать, равно числу всех перестановок из 5-ти элементов. Но из предыдущего мы уже знаем, что

Р6=5! = 120.

Следовательно, кучеру пришлось сделать 120 перепряжек. Считая на такую перепряжку только минуту времени, выходит, что надо затратить на все 2 часа. Остановившись на 60-й перепряжке, кучер должен был уже ехать, заплатив за проезд пассажира.

Задача 48-я.

Сколькими способами могут разместиться в классе 30 учеников?

Решение.

Приходится вычислять число перестановок из 30 элементов, т.-е. Р30. Его нет в нашей таблице на стр. 160, доведенной только до п=25. Советовать кому-либо тратить время на бесцельный ряд умножений не решаемся, а потому просто приводим это огромное число.

Р30 = 1.2.3 . . . 30 = 30! = =265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000.

Желающий поупражняться в умножении может, впрочем, нас проверить. Но сумеете ли вы сказать словами это написанное число?

Задача 49-я.

Сколько различных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 так, чтобы каждая цифра находилась в каждом числе только по одному разу, а числа, начинающиеся нулем, не считать?

Решение.

Искомые числа, очевидно, будут все десятизначные. Берем сначала 9 значащих цифр. Число перестановок из них будет Р9=9! (оно есть в таблице на стр. 160). Если теперь в каждую полученную перестановку будем приставлять нуль к концу и во все промежутки между цифрами, но к началу не будем его приставлять, то каждая перестановка из 9 цифр даст еще 9 перестановок из 10 цифр. Итак, искомое число есть

91\ = 9.9Ь= 3 265 920.

Задача 50-я.

Сколько чисел больших 23 000 получится, если всеми возможными способами переставлять цифры 1, 2, 3, 4, 5?

Решение.

Всех перестановок из данных пяти цифр можно сделать Рб=120. Но из полученных таким образом чисел надо отбросить, очевидно, все начинающиеся единицей, а таких чисел 24 (ибо Р4=24); кроме того, необходимо еще отбросить все числа, начинающиеся цифрами 21, а таких чисел 6. Итак, требуемых чисел получается 120—30=90.

Задача 51-я.

Сколько групп можно составить из букв слова «склеить» так, чтобы гласные не были разъединены?

Решение.

Гласные не разъединяются, поэтому считаем их за одну букву и находим число перестановок из шести букв. Число их Р6. Но гласные можно переставить одну на место другой. Значит, для числа искомых групп имеем 2Рв=1440.

Фигуральные или наглядные перестановки.

Перестановки нескольких предметов можно представить рисунком (графически). Эта, можно сказать, гениальная идея, сделавшаяся достоянием последнего времени благодаря французскому математику Эдуарду Люка (1842 — 1891), нужно думать, поведет еще к весьма многим интересным и важным открытиям или усовершенствованиям математических методов.

Покажем здесь, как графически изобразить Р4, т.-е. все перестановки из 4-х элементов. Таких перестановок можно сделать, как знаем, 24. Так, напр., выпишем все перестановки из 4-х цифр: 1, 2, 3, 4.

Чтобы графически изобразить, напр., первую перестановку (1 2 3 4), берем квадрат, состоящий из 16 равных клеток (4х 4=16), и условимся, что каждый вертикальный столбец клеток, считая слева направо и сверху вниз, будет соответствовать месту элемента в перестановке, а каждая горизонтальная строка — числу, означающему элемент. В таком случае, беря перестановку 12 3 4, находим, что числу I соответствует первая клеточка (сверху) первой строки и первого столбца; зачерним ее; числу 2 соответствует вторая клеточка второго столбца и второй строки; зачерним ее; числу 3 соответствует третья клеточка 3-го столбца и третьей строки; зачерним ее; и, наконец, числу 4 соответствует четвертая клеточка четвертого столбца и четвертой строки; зачерним ее. В таком случае перестановка 12 3 4 графически изобразится фиг. 96-й.

Подобно же следующая перестановка 12 4 3 изобразится фигурой 97-й.

Фиг. 96. Фиг. 97. Фиг. 98.

Перестановка, напр., 4 2 3 ! изобразится фиг. 98-й. На фиг. 99-й в последовательном порядке представлены графически все 24 перестановки из четырех элементов. Если бы вместо цифр элементами перестановки служили, напр., буквы, жетоны, шашки и вообще любые предметы, то, обозначив каждый предмет соответствующим числом, мы опять-таки графически изобразим все перестановки из этих предметов, как указано выше.

Чтобы получить фигуральные перестановки из б элементов, надо взять квадрат, состоящий из 5x5=25 клеток. Способом, совершенно подобным предыдущему, на этой 25-клеточной квадратной доске мы можем графически представить все 120 (Рб=5!«120) перестановок из 5 элементов.

Для получения фигуральных перестановок из 6 элементов (Рв=б!=720) надо взять квадрат в 6x6=36 клеток и т. д... Вообще, для получения всех фигуральных перестановок нужен квадрат, состоящий из n.n=n2 клеток.

Наша общераспространенная шахматная (или шашечная) доска может, следовательно, служить для практического получения фигу-

Фиг. 99.

ральных перестановок из 8-ми элементов, т.-е. для Р8=8!=40320. И само собой разумеется, что, прикрывая полосками бумаги ненужные нам клетки, мы на этой же шахматной доске можем получить квадраты в 7.7=49, в 6.6=36, в 5.5=25, в 4.4=16 и в 3.3=9 клеток, на которых можем практически осуществлять фигуральные перестановки Р7, Рб, Р5, Р4 и Р3.

Задача 52-я. Шахматный вопрос.

Шахматная фигура тура (или ладья), как известно, может «брать» всякую фигуру, стоящую с ней на одном столбце клеток или на одной горизонтальной линии.

Всмотритесь в квадраты на фиг. 99: каждый из них представляет тоже шахматную доску, но только из 16 клеток. И каждая фигуральная перестановка на этой доске представляет такое положение 4-х тур, при котором ни одна не может взять другой. Значит, на доске в 16 клеток 4 туры можно расставить 24-мя способами так, что ни одна не может взять другой. На доске из 52=25 клеток можно, как

уже указано, получить 120 фигуральных перестановок, другими словами, это значит, что на такой доске можно расставить 120-ю способами 5 тур так, что ни одна не будет брать другой и т. д. Итак, мы приходим к заключению, что каждая фигуральная перестановка из любого числа элементов на соответствующей доске дает такое расположение шахматных тур, при котором они не могут брать одна другой. Теперь будет нетрудно решить вопрос, относящийся к нашей обыкновенной шахматной доске:

Сколькими способами на шахматной доске можно расставить 8 тур так, чтобы ни одна из них не могла брать другой?

Решение ясно из предыдущего: число таких способов равно числу перестановок из 8 элементов.

Р8=8\ = 40 320.

Вряд ли у кого хватит терпения и времени 40 320 раз переставлять 8 тур на шахматной доске, чтобы разрешить поставленный вопрос практическим путем. Между тем с помощью теории графического изображения перестановок, данной Э. Люка, вопрос решается чуть не «в двух словах». Вообще, теория соединений имеет большое приложение к разного рода играм. Она, как и теория вероятностей, по остроумному выражению иных, родилась и выросла за игорным столом.

Перестановки с повторениями.

Мы умеем пока определять число перестановок в том случае, когда все взятые для перестановки элементы различны. Но весьма обыкновенны случаи, когда предлагается поставить в ряд всеми возможными способами п элементов, при чем не все элементы различны между собой. Так, напр., возьмем слова Сила и Анна. То и другое слово состоит из 4-х букв; и относительно первого мы уже знаем, что, переставляя в нем буквы всеми возможными способами, мы получим 24 различных перестановки (Р4=4!=24). Не то будет в слове Анна. Здесь буква а повторяется два раза, буква н тоже повторяется 2 раза, и если в этом слове вы попробуете перемещать буквы всеми возможными способами, то различных перестановок вы получите только 6, а именно:

анна, апаи, аапп, нпаа, наап.

В самом деле, припишите одинаковым буквам в слове анна различные значки; тогда получите 4 различных элемента. Выпишите все 24 перестановки из этих элементов и затем уничтожьте значки. Вы убедитесь, что в сущности получается только 6 написанных выше различных перестановок.

Следовательно, необходимо различать линейные перестановки без повторений и перестановки с повторениями. Число перестановок из п различных элементов мы умеем найти, но как определить число перестановок из п элементов с повторениями?

Задача эта не представляет особых трудностей, и мы разрешим ее сразу для общего случая.

Пусть дано п элементов, или предметов

а, Ь, с, d, . . . . . m, из которых не все различны, но некоторые повторяются, и пусть

а повторяется р раз

Ь » g »

с » г »

m » s »

Само собой разумеется, что некоторые из элементов могут и не повторяться, т.-е. они входят только по одному разу. В таком случае в ряду чисел р, g, г, . .s некоторые будут равны 1. Все же эти числа связаны, очевидно, условием

p+q+r+. . . .+s=n.

Мы не знаем пока числа перестановок из п элементов с повторениями, поэтому просто означим его буквой х. Если теперь мы найдем, в каком отношении находится это число х к известному нам числу перестановок из п элементов без повторений, Рп, то и решим вопрос.

Итак, представим, что перестановки с повторениями из п элементов у нас все выписаны, и что их х. Возьмем теперь первый повторяющийся р раз элемент а и приставим к нему внизу значки 1,2,3,4. . .р. Таким приемом мы р одинаковых элементов как бы обратим в различные и затем переставим эти р элементов всеми возможными способами. Так как из р элементов получается Рр перестановок, и мы делаем эти перестановки во всех х перестановках, то теперь мы получим, очевидно, вместо X перестановок с повторениями большее число их,

а именно, всех ж.Рр различных (что не трудно доказать) перестановок, где теперь буква Ъ повторяется q раз, буква с— г раз, . . . буква m-ж-s раз.

Подобно предыдущему, приставим значки 1, 2, 3 . . . , q к одинаковым элементам Ь, сделаем их таким образом различными и, переставив всеми способами, найдем, что из каждой перестановки (число которых теперь х.Рр) получим Pq новых различных перестановок; и число всех таким образом полученных перестановок будет, очевидно,

X • Рр • Pq.

Поступая совершенно подобно предыдущему с элементом с, мы увеличим еще число различных перестановок, которых теперь станет уже

X ■ Рр * Pq • Рг

и т. д. Когда, наконец, мы придем к последнему элементу m, повторяющемуся s раз, и поступим с ним точно так же, как с предыдущими, то получим. X* Рр- Рд- Рг. . . . Р8 перестановок. Но каких и сколько именно?

Ясное дело, что путем введения значков мы п элементов с повторениями обратили в п различных элементов и описанным выше процессом получили, следовательно, все возможные перемещения из п элементов без повторений, т.-е. Рп. Другими словами, мы нашли, что

X • Рр • Рд • РГ...Р8 • =Р„.

Чтобы определить х, надо обе части этого равенства разделить на Рр • Pq- РГ....Р8. Следовательно,

Такова общая формула для нахождения числа перестановок с повторениями из п элементов, если различные элементы повторяются р q, г,...s раз. Так как

го формулу эту можно написать так:

или в еще более изящном и кратком виде

Таким образом мы видим, что на практике определение числа перестановок с повторениями не представляет никаких затруднений.

Возьмем, например, название известной горы Арарат. Сколько различных перестановок можно получить из составляющих это слово букв? Решение сводится к определению числа перестановок с повторениями.

Имеется 6 букв, из которых а повторяется 3 раза, р повторяется 2 раза. Следовательно, всего различных перестановок с повторениями получается

Задача 53-я.

Зал украшается 14-ю флагами, из которых 2 синих, 3 красных, 2 белых, 3 зеленых, 2 желтых и 2 фиолетовых. Сколькими способами можно их расположить?

Решение.

Ответ находится прямо по выведенной выше формуле для перестановок с повторениями. Он есть

За круглым столом.

Возвратимся к задаче 45-й о церемонном обеде 7 лиц. Задача эта, как упомянуто, решена еще в XVII веке Озанамом, и он нашел, что церемонные гости должны были бы сделать б 040 пересадок, чтобы найти одну, наиболее удовлетворяющую всех. При более внимательном рассмотрении оказывается, однако, что задача эта нуждается в существенных замечаниях.

Если все места за столом принять, как совершенно различные, то решение Озанама верно. Но если принимать в расчет не соседство того или иного стула с окном, печкой, дверью и т. д., а только взаимное расположение собеседников, то дело меняется.

Положим, что 7 лиц обедают за круглым столом. Ясно, что относительное положение всех обедающих не изменится, если по данному знаку все они встанут, и затем каждый сядет на место своего соседа справа, и так повторят 7 раз, пока каждый не возвратится на свое первоначальное место. При таком положении дела выходит, что Озанам принимает за различные такие семь прямолинейных перестановок, которые в сущности равны одной так называемой круговой перестановке. Следовательно, найденное Озанамом число совместных обедов семи лиц 5 040 надо в данном случае уменьшить в 7 раз. Получится 720.

С другой стороны, надо обратить внимание и на то, что взаимное расположение гостей не изменится, если они сядут так, что каждый сосед справа окажется соседом слева. Значит, найденное число 720 нужно еще уменьшить в 2 раза, т.-е. получается всего 360 обедов, которыми собеседники могут расчесться друг с другом в течение одного лишь года.

К тому же результату мы пришли бы, если бы один из обедающих сидел на одном и том же месте, а остальные шесть перемещались всеми возможными способами.

Сделанные здесь замечания относятся и к задаче 46-й.

Таким образом к понятиям о простых или линейных перестановках и о перестановках с повторениями мы должны присоединить еще понятие о круговых перестановках. Предлагаем читателю ознакомиться с ними по другим руководствам.

Задача 54-я. Письма и адреса.

Имеется п писем, и для них заготовлено п конвертов с адресами. Сколькими способами можно разместить письма так, чтобы ни одно из них не находилось в назначенном для него конверте?

Решение.

Задача сводится к определению числа таких перестановок из п букв с различными значками, как Ъ2, с3, . . . . Zn, в которых ни одна буква не находилась бы на том месте, которое указано ее значком-номером. Известно несколько решений этой задачи. Вот одно из простейших:

Обозначим письма буквами а, Ь, с,...; конверты буквами а', Ъ\ с... Пусть требуемое число будет F(n).

а можно положить в любой из п — 1 конвертов bf, с',... Пусть а положено в 7с'; к можно положить в а', и тогда все остальные письма можно разместить не в надлежащие конверты F(n — 2) способами. Также, если а положить в к\ то остальные письма можно разместить так, чтобы к не попало в а', Ъ не попало вЬ'ит. д. F(n — 1) способами.

Итак, если а положено в к\ то можно удовлетворить задаче F(n — 1)+F(n —2) способами. То же самое будет, если а будет по мешено в г кой угодно из пакетов Ъ\ с',... Следовательно,

или

Подобным образом

Но, очевидно,

поэтому

Откуда

Подобно этому

Отсюда, складывая, находим:

Размещения.

Задача 55-я.

Зададим себе такой простой вопрос:

Сколько различных двузначных чисел можно составить из трех цифр 1, 3, 5?

Решение.

Вопрос можно выразить другими словами так: из трех различных цифр составить все возможные группы по две цифры так, чтобы все эти группы отличались или самими цифрами или только порядком их.

Чтобы получить все нужные нам группы без пропусков и повторений, поступаем так: берем поочередно каждую из данных цифр 1, 3, б и приставим к ним справа каждую из остальных двух цифр. Получим

13 3 1 6 1 1 6 3 6 6 3

т.-е. всего 3.2=6 групп.

Мы условились выше приставлять к каждой цифре остальные цифры справа. Само собой разумеется, что дело не изменилось бы, если бы приставляли к каждой цифре остальные не справа, а слева. Следует только, во избежание путаницы помнить раз поставленное условие и приставлять элементы или только справа, или только слева.

Заметим также, что если бы в данной задаче мы задались вопросом получить из 3-х цифр все возможные группы по 3, то пришли бы к известным уже нам линейным перестановкам из трех элементов.

Прибавим еще один элемент, т.-е. возьмем четыре нечетных цифры 1, 3, 5, 7 и спросим себя, сколько можно получить из этих четырех цифр различных групп по две цифры, отличающихся или самими цифрами, или порядком их. Другими словами: из четырех различных цифр сколько можно составить различных двузначных чисел?

Чтобы получить все искомые нами группы по две цифры без пропусков и повторений, опять, подобно предыдущему, берем каждую

цифру по очереди и приставляем к пей справа все остальные цифры. Получаем

1

3

3 1

5 1

7 1

1

б

3 б

5 3

7 3

1

7

3 7

б 7

7 б

Всего 4X3=12 различных двузначных чисел

Сколько из тех лее элементов 1, 3, б, 7 можно составить различных групп по 3 цифры в каждой группе?

Чтобы получить их все без пропусков и повторений, мы, очевидно, должны взять все вышенаписанные двузначные группы и к каждой из них приписать недостающие элементы справа.

Таким образом получаем:

1

3

5

3

1

5

5

1

3

7

1

3

1

3

7

3

1

7

б

1

7

7

1

5

1

б

3

3

5

1

б

3

1

7

3

1

1

5

7

3

б

7

б

3

7

7

3

б

1

7

3

3

7

1

б

7

1

7

5

1

1

7

б

3

7

5

б

7

3

7

5

3

Всего 4X0X2=24 группы.

Если задаться целью найти все подобные группы из всех четырех данных элементов, то придем опять к известным нам линейным перестановкам.

Соединения, о которых мы сейчас говорили, носят название простых размещений.

Следовательно, выше мы находили: 1) число простых размещений из 3-х элементов по 2; 2) из 4-х элементов по 2 и 3) из 4-х элементов по 3. Обозначают число размещений обыкновенно буквой А (по-французски размещение — arrangement) с двумя указателями: справа—внизу и вверху.

Нижний указатель показывает число всех элементов, взятых для размещений, а верхний, по скольку таких элементов берется для каждой группы. Значит, выше мы нашли, что

А*=3 • 2=6; А^=4 - 3=12; Aj=4 • 3 ■ 2 — 24. Вообще:

Если взято п элементов а, Ь, с, d, е, .....m, и из этих элементов

составлены всевозможные группы по h элементов, отличающихся или

самими элементами или только порядком их, то такие соединения называются размещениями.

Число размещении из п элементов но к обозначается, согласно предыдущему, символом А%. Каждое же подобное размещение носит также название размещения к-го порядка. Размещения во многих вопросах математики имеют важное значение. Покажем общий прием, как найти число размещений из п элементов по к\ другими словами,— чему равно А„.

Число размещений.

Пусть дано п элементов: а, &, d, е,....т. Сколько можно из этих элементов составить размещений &-го порядка (или размещений из п элементов по к)?

Прежде всего заметим, что число размещений из п элементов а, Ъ, с, d,.....m по одному (или 1-го порядка) равно, очевидно, самому числу элементов, т.-е.

А\ = п.

Составим теперь все размещения 2-го порядка. Для этого, по предыдущему, чтобы получить их все без пропусков и повторений, берем каждый элемент поочередно и приставляем к нему последовательно по одному справа все остальные п—1 элементов. Получим таблицу

Рассматривая эту таблицу, легко показать, что в ней находятся действительно все размещения 2-го порядка, ни одно не опущено и не повторено. В самом деле, для получения столбцов таблицы брались поочередно все п элементов а, Ъ, с,....m, и к каждому прибавлялись

справа по одному остальные п—1 элементов. Значит, ни одно размещение не могло быть опущено. Но ни одно и не повторено, потому что сравнивая любые два размещения таблицы, мы находим, по закону ее составления, что если эти размещения находятся в одном и том же столбце, то они должны различаться последними буквами, а если в разных столбцах, то они различаются первыми буквами. Итак, в таблице нет ни пропусков, ни повторений. Для подсчета же содержащихся в ней размещений 2-го порядка достаточно заметить, что в таблице п столбцов, а каждый столбец содержит п—1 членов, (т.-е, в таблице п—1 строк). Следовательно,

а;=п(п-1).

Составим, далее, таблицу всех возможных размещений из п элементов по 3, или размещения 3-го порядка. Для этого берем нашу таблицу размещений 2-го порядка и к каждому из размещений этой таблицы приставим справа поочередно по одному все остальные п—2 элемента. Получается новая таблица:

Рассуждениями, подобными приведенным относительно таблицы размещений второго порядка, можно показать, что в этой таблице действительно содержатся все размещения из п элементов 3-го порядка без пропусков и повторений. а так как из п(п—1) двойных размещений каждое дало п—2 размещения третьего порядка, то число всех размещений 3-го порядка из п элементов будет:

A*=n(n— 1) (и—2).

Для числа размещений из п элементов по 4 рассуждениями, подобными предыдущим, получим

Точно так же

A^=n(n—1) (71—2) (n—S) (п— 4) и т. д.

Как видим, числа, выражающие число размещений из п элементов по 1, по 2, по 3, по 4 и т. д..., составляются все по одному закону: каждое такое число состоит из множителей, первый из которых есть п, а каждый следующий на единицу меньше. Число множителей равно числу порядка размещений, т.-е. для размещений из п элементов 2-го порядка, имеем, как видели, два множителя п, (п—1); для размещений 3-го порядка—3 множителя: п, (п—1),(п—2) и т.д... Можно сказать и так, что первый множитель будет n, а последний (для размещения порядка к) будет п—к+1.

Остальные множители составят ряд промежуточных последовательных натуральных чисел между

п и п—fc+1.

Таким образом для числа размещений из п элементов по к будем иметь общую формулу

Aj=n(n— 1) (п—2)......(п—fe+1),

т#-е. число размещений из п элементов по к равно произведению к множителей, из которых первый равен n, а остальные уменьшаются последовательно на 1.

Общность приведенной формулы, необходимо, впрочем, доказать более строго, что желающий может сделать сам, руководствуясь предыдущим или обратись к любому хорошему учебнику.

Полные размещения или размещения с повторениями.

Возьмем п элементов

а, с, d......t, I, т.

Читатель помнит, что при составлении простых размещений 2-го, 3-го, 4-го и т. д. порядка мы руководились следующим правилом: для получения таблицы размещений 2-го порядка брали каждую из букв и приставляли к ней справа все остальные. Для получения таблицы размещений 3-го порядка мы брали таблицу размещений из п элементов по 2 и к каждому такому размещению приставляли справа по одной остальные п—2 буквы (элемента) и т. д. Таким образом хчы получали группы из п букв по 2, по 3 и т. д., которые разнились

или порядком расположения, или выбором элементов, но повторений одного и того же элемента в таких группах не было.

Возьмем теперь те же п букв а, Ъ, с,......I, m и будем составлять

из них таблицы размещений 2-го, 3-го, 4-го и т. д. порядка по более общему закону, а именно: к каждой букве для получения по 2 будем приписывать не остальные п—1 букв, а все буквы без исключения.

Таким образом мы получим таблицу двойных полных размещений, или размещений с повторениями, ибо буквы в размещениях могут повторяться.

Число этих полных размещений из п элементов по 2 найти легко. Ясно, что каждая из п букв дает также и п размещений, а потому всех размещений с повторениями из п элементов по два будет п.п=п2. Или, обозначая число размещений с повторениями из п элементов по 2 символом Bl, напишем, что

' К- п\

Составляем, далее, таблицу размещений с повторениями из п элементов по 3. Для этого берем предыдущую таблицу полных размещений пo 2 и к каждому размещению этой таблицы приписываем по одному справа все без исключения элементы. Так что двойное размещение а а даст п тройных:

àa а ааЪ а ас........а ai aal а а т.

Двойное размещение а Ъ даст опять п тройных;

ab a abb abc........abi ab l ab m

и т. д. Путем рассуждений, знакомых нам из предыдущей главы, легко доказать, что в полученных нами таблицах сочетаний нет ни пропусков, ни повторений одних и тех же размещений.

Каждое двойное размещение дает, как видим, п тройных, но всех двойных размещений п2, следовательно, получается всего n2xn=n3 тройных полных размещений, или:

Точно так же легко вывести, что

В*=п\ В*=пб, в;=явит. д...

Вообще

Задача 56-я.

Бросают три игральных кости. Сколькими способами они могут вскрыться?

Решение.

Игральная кость представляет собой костяной кубик, на каждой стороне (грани) которого обозначено известное число «очков» (цифрой или точками). Так как в кубике шесть граней, то и числа очков будут на гранях кубика 1, 2, 3, 4, б и 6. Зная это, легко решить вопрос. Каждая кость может, упав, показать любую из 6-ти граней. Берется три таких кости. Число соединений каждой с каждой находится, очевидно, как число размещений с повторениями из 6-ти элементов по 3, т.-е., подбросив 3 кости, мы можем получить одну из 63=216 комбинаций.

Задача.

Сколько можно написать трехзначных чисел из девяти цифр 1, 2, 3,......9?

Решение.

Очевидно столько, сколько можно сделать полных (с повторениями) размещений из 9 элементов по три, то-есть

£3=93=729.

Сочетания.

Рассмотрим еще виды соединений, имеющих постоянное приложение в различных отделах математики.

Из п элементов а, Ь, с, d,......m требуется составить, сколько возможно, таких групп по к элементов, чтобы каждая отличалась от остальных по крайней мере одним элементом.

Соединения подобного рода носят в математике название простых сочетаний. Как видим, здесь группы отличаются одна от другой не порядком, а выбором элементов.

Число сочетаний из п элементов по к обозначается обыкновенно буквой О со значками справа п и к (вверху и внизу) следующим образом: С*.

Раньше, чем итти далее и показывать, как составлять таблицы и находить число их, сделаем краткое замечание о всех видах соединений, с которыми мы познакомились.

Итак, мы знаем перестановки, размещения и сочетания и должны всегда помнить, что перестановки Рп отличаются только порядком элементов, сочетания С* » » выбором » размещения А* отличны или порядком или выбором элементов.

Составление сочетаний.

Берется п элементов: а, Ъ, с, d,......i, Z, т. Это и будут, очевидно, сочетания из п элементов по одному. Чтобы получить таблицу парных сочетаний из тех же элементов, мы должны помнить, что каждое сочетание должно отличаться от другого хоть одной буквой. Для получения подобных групп, берем каждую данную нам букву по порядку, кроме последней, и к каждой такой взятой букве приписываем только по одной все следующие за ней. Получается таблица

Легко разобраться, что эту же таблицу мы получили бы, если бы взяли таблицу парных размещений из п элементов и выбросили бы из нее размещения, отличающиеся только порядком букв.

Для получения тройных сочетаний из п элементов берем каждое из вышеописанных двойных сочетаний, кроме последнего столбца, содержащего последнюю букву (а т,Ъ т, с m........Im), и приписываем к каждому такому сочетанию последовательно по одной каждую из следующих букв. Получается таблица

Словом, способ последовательного получения таблиц сочетаний из п элементов 2-го, 3-го, 4-го и т. д... порядков уяснить и усвоить пе трудно. Но как подсчитать число полученных при этом групп?

Число сочетаний.

Если взять п элементов, то между числом сочетаний из этих п элементов по fc, (Cj), числом размещений из тех же п элементов по &, (А„), и числом простых перестановок из к элементов, (Pfc), можно установить следующее соотношение:

A h __ пк р Än—^пл Ja

т.-е.: число размещений из п элементов по к равно числу сочетаний из п элементов по fc, умноженному на число перестановок из к элементов.

Чтобы установить это весьма важное соотношение, рассуждаем так:

Представим, что способом, описанным только что выше, у нас составлена таблица всех сочетаний из п элементов по к. Число их означаем символом С£. Вспомним затем, что все эти сочетания отличаются друг от друга не порядком расстановки элементов, но самими элементами (хоть одним из них). Между тем размещения из п элементов по к могут отличаться одно от другого и порядком размещения и самыми элементами. Зная это, мы из таблицы всех сочетаний из п элементов по к можем получить таблицу всех размещений из п элементов по к.

Для этого из нашей воображаемой таблицы сочетаний берем каждое сочетание (содержащее по к букв) и делаем в нем всевозможные перестановки. Число таких перестановок, полученных из каждого сочетания, будет, как знаем, РЛ, а так как всех сочетаний С*, то, значит, мы получим всего С*.Р£ групп соединений.

Покажем теперь, что таким путем мы получили именно таблицу всех размещений из п элементов по к без пропусков и повторений. (Число таких размещений, как знаем, обозначается А*.)

В самом деле, если взять из составленной таблицы два члена, то: или они происходят от двух разных сочетаний и в таком случае различаются буквами; или же происходят из одного и того же сочетания и в таком случае разнятся порядком букв. Следовательно, и таблица не содержит повторений. В ней нет и пропусков. В самом деле, вообразим некоторый член группы А*, не обращая внимания

па порядок букв в нем. Этот член представляет некоторое сочетание из п букв по к и, следовательно, если не обращать внимания на порядок его букв, он находится в группе С*. Так как буквы этого сочетания были перемещены всеми возможными способами, то любой рассматриваемый член необходимо содержится в числе полученных размещений.

Из всего вышесказанного ясно, что мы в праве написать соотношение:

Ап=С£ . P/f,

которое для числа сочетаний из п элементов по к дает выражение

или

что словами можно выразить так: число сочетаний из п элементов по к равно произведению к целых чисел, последовательно убывающих на 1 и первое из которых есть п, деленному на произведение натуральных чисел от 1 до к.

Задача 57-я. Выборы в комиссию.

Из 7 русских и 4 немцев нужно составить комиссию в 6 лиц. Сколькими способами можно это сделать, если в состав комиссии должно войти не более и не менее, как 2 немца?

Решение.

Выбор русских может быть сделан С\ способами, а выбор немцев С\ способами. Каждую группу первых можно сочетать с каждой группой вторых. Для искомого числа, значит, имеем:

С*. С* = 210.

Задача 58-я.

Из 4 мужчин и 8 женщин должна быть составлена комиссия в 6 человек. Сколькими способами может быть сделан

выбор, если: 1) в состав комиссии должен входить только один мужчина: 2) если в нее должен войти по меньшей мере один мужчина?

Решение.

Ответ на первый вопрос есть, очевидно (см. предыдущую задачу),

4 . С\ = 224.

Во втором случае дело несколько сложнее: необходимо принять во внимание все возможные комбинации, так как комиссия может состоять: из 1-го мужчины и б женщин, или из двух мужчин и 4 женщин, или из 3 мужчин и 3 женщин, либо, наконец, из 4 мужчин и 2 женщин. Совокупность всех возможных при этом сочетаний даст

4 .С8 + С\ .С\ + С\ .CJ+ С28 = 896. Задача 59-я.

Сколькими способами 7 мужчин и 7 женщин могут разместиться за столом так, чтобы не оказывалось двух женщин рядом?

Решение.

Если один из мужчин, напр., будет постоянно сидеть на одном и том же месте, то остальные мужчины могут перемещаться столькими способами, сколько можно сделать перестановок из 6-ти элементов, т.-е. Рв способами. Каждой такой их рассадке будет соответствовать 7 мест, которые могут быть заняты женщинами Р7 способами. Значит, искомое нами число будет

X Рв . Р7 = 3 628 800.

Задача 60-я.

Замок с секретом состоит из трех колец с 15-ю различными буквами каждое. Сколько безуспешных попыток возможно сделать раньше, чем отпереть замок?

Решение.

Первому кольцу можно дать 15 различных положений, столько же второму и столько же третьему. Все эти положения комбинируются каждое с каждым. Следовательно, число различных возможных попыток открыть замок есть 15.15.15 = 3 375. Но из них удачной может быть только одна. Значит, число неудачных равно 3 374.

Способ шахматной доски.

С шахматной доской на протяжении трех книг «В царстве смекалки» мы встречались уже не раз. Очень многие, с виду сложные, вопросы арифметики и алгебры решаются весьма просто употреблением шахматной доски. Следует только помнить, что под шахматной доской мы понимаем не одну обыкновенную шашечницу из 64-х клеток, но каждую квадратную или прямолинейную фигуру, разделенную на квадратные клетки. Пользуясь такой доской, можно, напр., быстро решить следующие интересные задачи.

Задача 61-я.

Найти сумму п первых целых натуральных чисел по способу шахматной доски.

Решение.

Для решения вопроса берем доску в виде прямоугольника; высоту его делим на п равных частей, а основание— на п + 1 частей, т.-е. наша фигура состоит из п горизонталей (линий) и п+1]вертикалей (колонн). На нашей фиг. 100-й имеем 9 клеток по линии и 8—в колонне. (Всего 8.9=72 клетки.) Заштрихуем первую слева клетку 1-й линии, 2 первых—второй, 3 первых—третьей и т. д. Тогда все число заштрихованных клеток выразится суммой

Фиг. 100.

Но и число белых клеток, если его считать снизу вверх, тоже будет 1+2+3+4+...+п. Все же число клеток нашей доски равно п (п+1). Следовательно,

2 (1 + 2+3+4+. . ,+n)=n(n+l). Отсюда для суммы п первых натуральных чисел имеем

Задача 62-я.

Способом шахматной доски показать, что

8 (1 + 2+3 + 4+. . .+п)+1=(2?г+1)2.

Решение.

Берем квадратную доску, на которой каждая линия и каждая колонна состояли бы из 2п+1 клеток. Оставив центральную клетку белой, затемним некоторые из остальных так, как показано на фигуре 101. Каждая затемненная часть содержит, очевидно, l+2+...+n клеток. Вне центральной клетки имеем 4 одинаковых белых части. След., все число клеток фигуры, равное (2п+1)2, слагается из четырех заштрихованных частей четырех таких же белых и из центральной клетки, т.-е

Фиг. 101.

Задачи 63, 64, 65, 66 и 67-я.

Некоторые замечательные результаты, получаемые способом шахматной доски.

Кто пожелает основательно убедиться, какое существенное пособие доставляет шахматная доска при решении иных задач, тот пусть внимательно ознакомится с приводимыми сейчас ниже 5-ю задачами или теоремами — назовите их, как хотите. Лист бумаги, разграфленный па квадратные клетки, доставит нам сколько угодно требуемых шахматных досок, — квадратных в данном случае. Допустим, что нами

взят квадрат из п2 клеток, и все эти клетки заполнены какими-либо заданными числами. Найти сумму всех этих чисел можно двояко.

Можно сначала сложить отдельно числа каждой линии (или колонны) и затем сложить все полученные результаты. Назовем это сложением по прямым.

Но можно сложить все числа и по ломаным линиям, придерживаясь, напр., такого порядка: берем число 1-й линии и 1-й колонны (т.-е. клетку наверху слева), затем берем числа 2-й линии и 2-й колонны до их общей клетки, затем складываем числа 3-й линии и 3-й колонны, доходя до клетки, общей обеим этим полосам и т. д. Вообще складываем числа, стоящие в клетках р-й колонны и р-й горизонтальной полосы, начиная от наперед условленных сторон и доходя до клетки, общей этим двум полосам. Складывая результаты счета для каждой такой ломаной, найдем сумму всех чисел таблицы.

Приравнивая один другому результаты счета этими двумя способами, можно притти к замечательным результатам, выбирая надлежащим образом вносимые числа. Так можно доказать этим способом следующие предложения.

I. Если в каждой клетке шахматной доски написать по единице, то легко установить тождественное равенство

1 + 3 + 5+. . .+(2п—1)=п2,

т.-е. что сумма п первых последовательных нечетных чисел равна квадрату числа этих чисел.

П. Если в клетки каждой горизонтальной линии внести натуральные числа от 1 до п, то найдем результат

SSl-^nXn+l),

откуда легко найти сумму квадратов первых п чисел, S2n.

III. Если числа, написанные в клетках, образуют Пифагорову таблицу, дающую произведения п первых чисел по два, то найдем тождество

IV. Если числа, написанные в клетках, будут квадраты чисел Пифагоровой таблицы, то найдем соотношение

2S5 + Sl = 3(Sl)\

V. Этим же методом Longchamps нашел простой способ суммирования одинаковых степеней натуральных чисел, показав, что если в каждой горизонтальной полосе написать числа 1Р, 2Р, Зр . . . , тгр, то получим тождество

посредством которого можно последовательно находить SJ,

ОЗ 04 ^_

оп, оп . . . -

Замечание 1. Символом S% мы обозначаем сумму fc-x степеней п первых последовательных натуральных чисел.

Замечание 2. Если бы кому-либо разбор настоящих предложений показался бы на первых порах слишком сложным или непонятным, то можно его опустить. Но рекомендуем все же возвратиться к нему впоследствии. Задачи подобного рода всегда с избытком вознаграждают за занятия ими.

Решения.

I. Так как во всех клетках шахматной доски вписаны 1, то в каждой строке (линии) [сумма [равна l+l+l+l+...+l=n. А сумма чисел всей доски равна пхп=п2. С другой стороны, считая число тех же единиц по ломаным линиям, имеем п сумм:

1; 2+1=3; 3+2=5; ... ; n+(n—l)=2n—1,

образующих общую сумму 1+3+б+...+2п—1. Приравнивая одну сумму другой, находим тождество:

1+3+6..+2П—1=п2.

II. Сумма чисел каждой горизонтальной строки равна

след., сумма чисел таблицы равна---—. С другой стороны, сумма чисел п-й ломаной Н равна

Полагая n=l, 2, 3,. . . п, имеем

Сложив, имеем:

откуда получаем искомое соотношение.

III. Сложение по горизонтальным строкам даст

С другой стороны, суммируя по п-й ломаной, имеем:

Полагая n=l,2,3,...n, имеем: l3+23+33+...+n3=S^. Приравнивая результаты суммирований, найдем искомое соотношение.

IV. Сложение по строкам дает:

В 1-й строке I2. Si; во"2-й строке 22. Si; в 3-й строкечЗ2. Si;. . . ; в п-й n2. S2; откуда сумма чисел всей таблицы равна

С другой стороны, п-я ломаная дает

подставляя, найдем — п6+ —• w3- Полагая п=1, 2 ...п, имеем:

а общая сумма = - S^-f - S3. Приравнивая результаты счета, 3 3

найдем:

V. Счет но строкам даст п. Svn. Счет по крайней ломаной даст

Полагая п = 1, 2, 3 . . . п, находим

откуда общая сумма

Сравнение дает

Чтобы показать, как отсюда вывести последовательно служат следующие теоремы.

Теорема. Сумма есть целая функция от п, степени (р+2)-й, но не содержащая члена, независящего от п.

Во-первых, для р = 1 известно, что S; = —--- = —+ — и теорема доказана. Далее, допустив, что закон верен для S)v SJ,..., Sf,, докажем, что он остается в силе и для S£ . Итак, пусть

Подставляя п—1, п—2, . . . , 2, 1 вместо п, находим отсюда

Складывая, получим

С другой стороны, тождество (а), придав к обеим частям но Spn , можно написать так:

или, заменяя сумму в скобках найденным выражением, так:

или

î5-J-1

Отсюда видно: 1) что Sn есть целая функция от п; 2) так как, по предположению, есть функция (р+1)-й степени относительно и, то умножение на п даст члены (р+2)-й степени п; 3)что эта функция не содержит постоянного. Теорема доказана.

Из нее легко вывести следующие свойства.

Теорема. В разложении 8^ по степеням п коэффициент при пРг] равен ——.

Закон верен для ибо коэффициент при п2 в этом разложении = —. Допустив, что закон верен для Sn , докажем, что он верен для S^1. Имеем:

По допущению А = ; доказать, что

Тождество (у) дает

откуда, приравнивая коэффициенты при п^2, имеем:

и теорема доказана. Найдем 2-й коэффициент.

Теорема. В разложении второй коэффициент при пр, всегда =

Тождество (у) можно написать в виде

или

Приравнивая коэффициенты при пр_и, находим

Эта формула показывает, что если В= — , то и В'= Но в разложении имеем В = след., теорема доказана,

Нахождение следующих коэффициентов выходит из рамок элементарных знаний, но сказанного достаточно для последовательного вывода 82п, 81,. . .

р = 1. — Положим в (о) р = 1, имеем:

а отсюда

р = 2. — Положив в (§) р=2, имеем

Равенство (ß) при р=2 дает

п 1

откуда С = —, и, следовательно,

r

откуда

р=3.— Подстановка р=3 в ({$) дает

Затем (о) дает

откуда

р = 4. — Подстановка р = 4 в ((J) дает

откуда Затем

Многочлен в скобках, при п = — 1, обращается в О, след., делится на п + 1 и разлагается в (п + 1) (2п2+ 2п—1); окончательно

Продолжая таким образом, найдем

Отрывки из теории вероятностей.

«...Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению: она заставляет оценивать с точностью то, что справедливые умы чувствуют как бы инстинктом, часто не умея отдать себе в этом отчета. Если принять во внимание аналитические методы, которые возникли из этой теории, истинность принципов, служащих ей основанием, утонченную и изящную логику, которой требует применение их к решению задач, учреждения общественной пользы, опирающиеся на нее, и распространение, которое она получила и может еще получить при применении ее к важнейшим вопросам натуральной философии и нравственных наук; если затем заметить, что даже в таких областях, которые не могут быть подчинены исчислению, она дает самые верные взгляды, которые могут нами руководить в наших суждениях, и что она нас учит предохранять себя от иллюзий, которые нас часто сбивают с верного пути, — мы увидим, что нет науки, более достойной наших размышлений, и что было бы очень полезно ввести ее в систему народного просвещения».

Такими словами великий Лаплас заканчивает свою знаменитую книгу «Опыт философии теории вероятностей», которую рекомендуем вниманию каждого. Никто для теории вероятностей не сделал до сих пор столько, сколько Лаплас, и никто с большим правом, чем он, не может настаивать на необходимости самого широкого распространения этой области математических знаний. Впрочем, все более и более развивающаяся культурная жизнь народов лучше всего доказывает справедливость заключений и требований Лапласа. Развитие всякого рода систематической статистики, вычисления, связанные с самыми тщательными измерениями, биометрия, различного рода страхования, сделавшиеся важным фактором экономической и социальной жизни широких народных масс, — все это основано на ма-

тематической теории вероятностей и лучше всего свидетельствует о том значении, которое может иметь эта наука даже в повседневном обиходе каждого образованного человека. Мы не сомневаемся, что не так далеко время, когда теория вероятностей из стен только некоторых высших и специальных школ перейдет во все средние наши школы. Сделать это тем более легко, что изложение элементов учения о теории вероятностей не требует введения так называемой «высшей» математики. Блестящим подтверждением этого служит попытка (к сожалению, не вполне законченная) проф. В. П. Ермакова. В 1884—1885 г.г. в издававшемся им тогда «Журнале элементарной математики» почтенный профессор поместил две статьи из теории вероятностей в элементарном изложении. Ниже мы даем целиком вторую из них, нисколько не сомневаясь, что подобное чтение доставит любителям математики, помимо пользы, и живейшее удовольствие.

Русским популяризаторам математических знаний давно уже пора бы пойти по пути, указанному в этом отношении нашим талантливым ученым, а педагогам заняться составлением элементарного курса теории вероятностей, приноровленного к школьным требованиям. Сделать это следовало бы тем более, что русская наука в праве гордиться если не количеством, то качеством своих трудов в области исчисления вероятностей. Имена наших академиков Буняковского, Чебышева и Маркова известны всему ученому миру. Недавно умерший академик А. А. Марков создал, между прочим, курс «Исчисления вероятностей», равного которому не найдется теперь во всей математической литературе (мы исключаем, конечно, из сравнения такие классические труды по теории вероятностей, как Лапласа). Сжатый и меткий, но слишком специальный язык хотя бы того же А. А. Маркова остается только во многих случаях упростить (не в ущерб, конечно, смыслу), таинственные (с виду) символы и формулы переложить на обыкновенный арифметический язык, чтобы получить требуемое.

В нашем дальнейшем изложении мы не преследуем, впрочем, систематически ни одной из изложенных выше задач. Да не в этом сущность и цель настоящей книги. Если рядом легких и интересных задач, историческими справками и отрывками из ценных сочинений по предмету мы дадим читателю истинное понятие о предмете и подвинем его к чтению и изучению предмета по оригинальным сочинениям, то наша цель будет вполне и совершенно достигнута. Хорошо будет даже и то, если многие из читателей дадут себе ясный отчет в том, что же это за столь употребительное слово... «Вероятность» ...

Задача 68-я (Кавалера де-Мере). Недоконченная игра.

Два игрока, поставивши поровну, начали игру, условившись, что тот, кто раньше выиграет известное число партий, получит всю ставку. По некоторым обстоятельствам игра не могла быть окончена и прекратилась в тот момент, когда первому игроку не хватало до конца одной, а второму—двух партий. Спрашивается, как игроки должны поделить ставку между собою?

Решение.

Знаменитый Паскаль, о котором мы не раз уже упоминали, решил эту задачу следующим рассуждением.

Первый игрок говорит второму: «Половина ставки принадлежит мне бесспорно, так как даже в том случае, если бы ты выиграл следующую партию, наши шансы на получение целой ставки были бы одинаковы. Что касается второй половины, то шансы наши на ее получение одинаковы, а потому разделим ее пополам».

Значит, первый игрок получает три четверти, а второй—одну четверть всей ставки.

Само собой разумеется, что оба игрока считаются совершенно равносильными друг другу, что в костях или картах, или в чем бы и чем бы они ни играли, нет никакой фальши, — словом, окончательный результат игры зависит, от случая, равновозможного для того и другого игрока, и на этом-то зиждается все решение задачи.

Что же такое случай и как понимать это слово?... Впрочем, об этом придется говорить особо.

Игра в кости и зачатки математической теории вероятностей.

Только что решенная 68-я задача весьма знаменита в летописях науки. Задачу эту в 1654 году кавалер де-Мере предложил для разрешения своему другу, знаменитому Паскалю. Последний решил ее и для более общего случая, когда до конца первому игроку не хватает, вообще говоря, m, а второму—п партий. Решив задачу сам, Паскаль предложил решить ее и своему не менее знаменитому современнику Ферма. Этот также не замедлил найти решение задачи, но способом, отличным от способа Паскаля (при помощи теории сочетаний) и притом уже не для двух только, а для любого числа игроков. По поводу ка-

ждого из решений между великими математиками завязалась переписка и...

Таким образом были положены основания математической теории вероятностей, которая с этого времени делает весьма быстрые успехи.

Страстный игрок в кости, кавалер де-Мере, как видим, поэтому также должен быть отнесен к числу «основателей» теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Ниже мы приведем еще одну из задач де-Мере, предложенную тому же Паскалю и относящуюся тоже к игре в кости, а потому необходимо несколько ознакомиться с понятием об этой игре.

«Кость» в данном случае есть не что иное, как костяной кубик, на гранях- которого отмечены кружочки — очки: на одной грани — одно очко, на другой — два, на третьей — три и т. д. до шести (в кубе 6 граней). Игра обыкновенно состоит в выбрасывании одной или нескольких костей и затем в подсчете суммы выпавшего числа очков. Самый простой способ игры тот, что выбросивший наибольшее число очков получает всю ставку, но ясно, что игру можно разнообразить до бесконечности. При каждом новом условии, вводимом в игру, является вопрос: для кого теперь из игроков существует наиболее шансов выиграть? Таким образом возникали и создавались задачи, делавшиеся достоянием математиков, при чем обыкновенно практика игроков сплошь и рядом обгоняла теоретические выводы математиков.

Страстному игроку, но плохому математику, кавалеру де-Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. Интересно отметить здесь же, что за 50 лет до описанного, нечто подобное имело место и с Галилеем: один из его приятелей также задавал ему задачи из практики игры в кости, и гениальный ученый разрешал их совершенно верно. Вообще следует заметить, что всеобщее увлечение игрой в кости в Западной Европе в XVI и XVII столетиях привело задолго до Паскаля и Ферма к решению некоторых задач, имеющих связь с теорией игр, но только гению этих ученых удалось установить общие методы и принципы для подчинения этого предмета исчислению.

О законности и случайности.

Обратимся еще раз к задаче кавалера де-Мере (зад. 68) и припомним, что уже там нам пришлось остановиться на слове «случай». Слово это вообще играет большую роль как в практике, так и в теории

всякой игры, а потому над его выяснением основатели математической теории вероятностей остановились прежде всего. Чтобы показать, к чему привели исследования в этом направлении, лучше всего привести следующие страницы из «Опыта философии теории вероятностей» Лапласа:

«Все явления, даже те, которые по своей незначительности как будто не зависят от великих законов природы, суть следствия столь же неизбежные этих законов, как обращение солнца. Не зная уз, соединяющих их с системой мира в ее целом, их приписывают конечным причинам или случаю, в зависимости от того, происходили ли и следовали ли они одно за другим с известною правильностью или же без видимого порядка; но эти мнимые причины отбрасывались по мере того, как расширялись границы нашего знания, и совершенно исчезли перед здравой философией, которая видит в них лишь проявление неведения, истинная причина которого — мы сами.

«Всякое имеющее место явление связано с предшествующим на основании того очевидного принципа, что какое-либо явление не может возникнуть без производящей его причины. Эта аксиома, известная под именем «принципа достаточного основания», распространяется даже на действия, считаемые безразличными. Воля, самая свободная, не может породить эти действия без побуждающей причины, потому что, если бы она действовала в одном случае и воздерживалась от действия в другом, при полном подобии всех обстоятельств обоих положений, то выбор ее был бы действием без причины: она была бы, как сказал Лейбниц, слепым случаем эпикурейцев. Противоположное мнение есть иллюзия ума, который, теряя из виду мелкие причины того или другого выбора воли в безразличных поступках, убеждается, что она определяется сама собою и беспричинна.

«Таким образом мы должны рассматривать настоящее состояние вселенной, как следствие ее предыдущего состояния и как причину последующего.

«Ум, которому были бы известны для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле движения величайших тел вселенной наравне с движением легчайших атомов: не осталось бы ничего, что было бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстало бы перед его взором. Ум человеческий в совершенстве, которое он сумел придать астрономии, дает нам представление о слабом наброске подобного разума. Его открытия в механике и геометрии в соединении с откры-

тием всемирного тяготения сделали его способным понимать под одними и теми же аналитическими выражениями прошедшие и будущие состояния мировой системы. Применяя тот же метод к некоторым другим объектам знания, нашему разуму удалось подвести наблюдаемые явления под общие законы и предвидеть явления, которые будут вызваны данными условиями. Все усилия духа в поисках истины постоянно стремятся приблизить его к Разуму, о котором мы только что упоминали, но от которого он останется всегда бесконечно далеким. Это стремление, свойственное роду человеческому, возвышает его над животными, и успехи его в этом направлении различают нации и века и составляют их истинную славу.

«Припомним, что в былое время, в эпоху не очень от нас отдаленную, на дождь или на чрезвычайную засуху, на комету с сильно растянутым хвостом, на солнечное затмение, на северное сияние и вообще на необычайные явления смотрели, как на знак небесного гнева. Взывали к небу, чтобы отвратить их пагубное влияние. Небо не молили остановить движение планет или солнца: наблюдение скоро дало бы почувствовать всю бесполезность таких молений. Но, так как те явления, наступающие и исчезающие через длинные промежутки времени, казалось, противоречили порядку, установившемуся в природе, то люди предположили, что небо порождало и изменяло их по своему усмотрению в наказание земных грехов. Так, длинный хвост кометы 1456 года произвел панику в Европе, уже приведенной в ужас быстрыми победами турок, от которых только что пала Византийская империя. После того как это небесное светило совершило четыре своих обращения, оно возбудило среди нас очень различный интерес. Знакомство с законами системы мира, приобретенное за этот промежуток времени, рассеяло страх, порожденный незнанием истинных отношений человека ко вселенной; и Галлей (Halley), признав тождество этой кометы с кометою 1531, 1607 и 1682 годов, предсказал следующее ее возвращение в конце 1758 или в начале 1759 года. Ученый мир ждал с нетерпением этого возвращения, долженствовавшего подтвердить одно из самых великих открытий, сделанных в науке, и исполнить предсказание Сенеки, сказавшего об обращении небесных светил, которые спускаются из громадных расстояний: «Наступит день, когда, благодаря длившемуся несколько столетий изучению, вещи, ныне скрытые, явятся со всею своею очевидностью; и потомки наши изумятся, что столь очевидные истины ускользали от нас». Тогда Клэро (Clairaut) взялся подвергнуть анализу те возмущения, которые комета испытала под влиянием двух самых больших планет — Юпитера и Сатурна: после громадных вы-

числений он назначил ее ближайшее прохождение через перигелий на начало апреля 1759 года, и наблюдение не замедлило подтвердить это. Правильность, которую обнаруживает нам астрономия, без всякого сомнения, имеет место во всех явлениях. Кривая, описанная простою молекулою воздуха или пара, определена так же точно, как и орбиты планет: разницу меж ними делает только наше незнание».

На-ряду с приведенными выше рассуждениями Лапласа полезно привести дополняющий их отрывок из сочинения О. Либмана (Liebmann) «Zur Analysis.der Wirklichkeit».

Логика фактов, или причинность и временная последовательность.

Основная аксиома причинности, этот источник и руководящая нить всякой рациональной науки, формулируется, в своем наиболее отвлеченном виде, следующим образом: с одной и тою же причиной а раз навсегда связано одно и то же действие Ъ так, что, в каком бы пункте бесконечного протяжения вселенной и в какой бы момент бесконечного времени ее существования ни возникло состояние или явление а, из него должно последовать состояние или явление Ъ. Другими словами: все в мире совершается по неизменным законам с реальною необходимостью. Поэтому принцип причинности можно также назвать принципом полной закономерности всего происходящего. Но как бы мы его ни формулировали, он составляет наиболее достоверное основное предположение всех реальных наук, которые, все без различия, от механики и физической астрономии до физиологии и патологии, имеют целью открывать законы соответственной специальной области явлений,—все равно, делается ли это индуктивным путем, т.-е. посредством наблюдения, опыта и обобщения, либо дедуктивным путем, т.-е. логическим выводом из гипотез и аксиом. Но так как все происходящее в этом мире—от постоянного кругообращения звезд, совершающегося с незапамятных времен с грандиозною правильностью, до пляски пылинки, которая, повидимому, прихотливо плавает в солнечном луче, от гигантских воздушных течений земной атмосферы до ощущений и мыслей человеческой личности,— совершается по известным законам; так как, далее, мировой процесс, в общем и целом, есть лишь сумма единичных процессов и равнодействующая всех единичных причин, то отсюда вытекает следующее многознаменательное космополитическое положение:

«Из настоящего состояния вселенной неминуемо и необходимо вытекает непосредственно следующее состояние, из последнего — новое, и так далее до бес конечности. Каждое состояние мира есть эмпирическая суммированная причин последующего его состояния и суммированный результат его предыдущего состояния. В нынешнем дне неизменно предопределены завтрашний и послезав-

трашний дни, подобно тому, как во вчерашнем и позавчерашнем дне предопределен нынешний. Поэтому весь мировой процесс должен именно так протекать, как он в действительности протекает. Все фактическое необходимо, и цепь необходимости, которою связаны ряды мировых состояний именно в таком, а не в каком-нибудь ином порядке, заключается в системе законов природы, которым подчиняется как все в отдельности, так и весь мир в своей совокупности».

Таким образом строго и безусловно исключается всякая «случайность» в абсолютном значении этого слова, т.-е. всякое событие, которое поэтическая и мечтательная, управляемая желаниями, фантазия, в противоречие с мыслящим рассудком, считает возможным вне закономерной необходимости. Остается, таким образом, лишь та относительная случайность, которая состоит в неожиданном для нас совпадении двух причинных рядов, до сих пор протекавших отдельно. Если, напр., я иду по улице, и передо мною неожиданно падает тяжелый камень, то я, как решительный рационалист, называю это «случайностью». Почему? Потому что падение камня в данное время и в данном месте не было ни причиной, ни следствием моего пребывания в данное время в данном месте, а результатом ряда причин, которые с причинами, приведшими меня сюда, не имеют ничего общего. Я называю это случайностью в относительном смысле. В абсолютном же смысле это, разумеется, не случайность, но, как и все прочее, причинно-необходимо, потому что совпадение моего появления в этом месте с обвалом камня неминуемо должно было произойти, как результат двух различных рядов причин. То и другое явилось одновременно необходимым следствием непосредственно предшествовавшего состояния вещей...

Строгая закономерность мирового процесса как в общем, так и в частностях, совпадает с его объяснимостью: если бы эта закономерность прекратилась, то и наш разум был бы бессилен. Откуда происходит это убеждение, и насколько безгранична сфера его объективного применения, здесь не место обсуждать. Но несомненно его существование во всех мыслящих умах. Там, где происходит какое-нибудь, повидимому, беспричинное или незакономерное событие —словно гром среди ясного неба, —разум принимает, что причина и закон неизвестны. но не допускает, чтобы их совсем не было. И он с полною уверенностью стремится к нахождению этой неизвестной причины или этого еще не открытого закона, из которых с реальною необходимостью проистекало это, повидимому, случайное явление. Если бы, напр., наперед вычисленное затмение или сочетание звезд не наступило, то астроном никогда не предположил бы, что здесь, в виде исключения, закон инерции или тяготения не оказал своего действия; он сказал бы, что в его вычисление вкралась ошибка, или что какой-нибудь неизвестный, но закономерно действующий фактор, напр., темное невидимое тело, послужил причиною ненаступления предвиденного факта. Таким безошибочным путем, напр., указан был a priori большой спутник Сириуса, ранее невидимый и замеченный лишь в последнее время. То же было и с планетой Нептуном. Короче говоря,

это убеждение, эта аксиома, эта гипотеза, если угодно,—неискоренима и составляет надежную руководящую нить науки.

Итак, «случая» и случайных явлений, в сущности говоря, нет. Все зависит только от меры и степени нашего знания. И некоторые, совершающиеся на наших глазах, явления мы называем случайными только потому, что всех причин и законов, вызывающих непременное появление именно этого, а не другого события, мы не в состоянии изучить и учесть. Другими словами:

Явления, которых мы с точностью предусмотреть или предсказать не можем— потому ли, что еще не знаем их причин, или потому, что эти причины слишком сложны и разнообразны,—мы называем явлениями случайными.

Положим, например, что мы бросаем монету. Может выпасть «серп», может выпасть и «решетка». То и другое из этих двух явлений произойдет на основании общих физических законов и будет зависеть от толчка, который мы дадим монете при бросании, веса и формы монеты, сопротивления воздуха и прочих условий. Все эти условия, однако, столь разнообразны, многочисленны и сложны, что нет возможности обращаться к их исследованию для того, чтобы предсказать, чем закончится процесс бросания монет: «серпом» или «решеткой». Мы и говорим, что вскрытие «серпа» или вскрытие «решетки» суть явления случайные.

Выть может, ничто так не свидетельствует о незначительности человеческих знаний, несмотря на все завоевания науки, как то, что нам чаще всего и обыкновеннее всего приходится иметь дело с случайными явлениями. И поговорка «жизнь человека состоит из случайностей» имеет, как видим, под собой не одну только житейскую почву.

Определение математической вероятности события.

Мы не в состоянии ничего точно предсказать наперед о появлении того или иного случайного события. Однако появление многих из таких событий (напр., рождение, смерть, болезни, увечья, преступления, пожары, град, засуха, дождь и т. д., и т. д...) часто сопровождается для нас такими материальными или моральными выгодами или ущербом, что знать о том, случится ли некоторое событие или нет, для нас весьма важно.

Не имея возможности судить о появлении ожидаемого события достоверно, мы стараемся все же найти какие-либо (в большинстве

случаев опытные) данные, которые позволили бы нам с некоторыми бесспорными основаниями утверждать, что одни из этих событий более, а другие менее вероятны. Из области гаданий, выражающихся в насмешливой, всем известной поговорке «либо дождик, либо снег,— либо будет, либо нет», мы переходим в область вероятности, составляющей нечто среднее между абсолютным случаем и полной достоверностью. Знать степень вероятности случайного события уже много значит. Известно, напр., что для предотвращения случайных материальных убытков устраиваются разного рода страховые общества, как-то: общества страхования от пожара, от кораблекрушения, от градобития, страхования пожизненных капиталов и доходов. Эти общества за незначительную ежегодную плату обязуются возмещать убытки, происшедшие от несчастных случаев. Все страховые общества основывают свои расчеты также на вероятности тех или других событий и сообразно с вероятностью их берут страховую премию. Данные, на основании которых определяются вероятности случайных событий, берутся из наблюдений над появлением этих событий в действительной жизни, для чего обыкновенно собираются статистические сведения за более или менее продолжительное время.

Теперь сам собою напрашивается вопрос: как же математически учесть вероятность, как условиться в том, какими числами мы будем выражать вероятности событий или явлений?

Условимся прежде всего в словах и терминах.

Два слова в первоначальной теории вероятности встречаются наиболее часто, а именно: событие и случай. Всякое отдельное явление при каком-либо опыте или наблюдении мы будем называть случаем, но заметим при этом, что во многих сочинениях по теории вероятностей вместо этого слова употребляют также термины статочность или шанс.

В представляющемся нам целом ряде случаев (статочностей, шансов) могут быть случаи однородные и разнородные,—это надо всегда иметь в виду.

Появление каждого из однородных случаев будем называть событием.

Напр., возьмем урну, в которой заключаются десять белых, пять черных и три красных шара. Вынимаем наудачу один шар из этой урны. При этом мы ожидаем 18 случаев (статочностей) — это появление каждого шара в отдельности — и только одного из трех событий: появления белого, черного или красного шара.

Для большей простоты делаем ограничения: во-первых, мы будем рассматривать только равновозможные случаи. Мы называем случаи равновозможными, когда нет никакой причины отдать предпочтение появлению одного случая перед другим. Во-вторых, будем полагать, что в каждом отдельном случае не может появиться более одного события. Кроме того, предполагаем, что случаи (статочности) несовместимы, т.-е., если имеет место один случай, то одновременно не может быть другого.

Теперь не трудно прийти к заключению, что вероятность события зависит как от числа случаев, благоприятных появлению ожидаемого события, так и от числа случаев, неблагоприятных этому событию; с возрастанием первого числа вероятность события увеличивается, с возрастанием второго —она уменьшается. Определение вероятности сводится, значит, к точному подсчету всех случаев, при которых событие может наступить.

Пусть m означает полное число равновозможных случаев при данном наблюдении, а п — число тех из них, которые благоприятны появлению ожидаемого события. Легко видеть, что вероятность события увеличивается и уменьшается при тех же самых обстоятельствах, как и дробь —. Отсюда вытекает следующее наиболее простое определение математической вероятности:

Вероятность события измеряется дробью, числитель которой равен числу случаев, благоприятных появлению события, а знаменатель—числу всех случаев, могущих появиться при данном наблюдении.

Некоторые следствия, вытекающие из определения математической вероятности. — Вероятность и достоверность.

Из данного только что выше определения математической вероятности появления какого-либо события следует, что вероятность эта увеличивается и уменьшается одновременно с увеличением и уменьшением дроби ~, где m означает число всех равновозможных случаев, а п — число случаев, благоприятных появлению ожидаемого события. Но при этом необходимо всегда помнить, что если две величины одновременно увеличиваются и уменьшаются, то отсюда еще не следует, чтобы эти величины были равны или даже пропорцио-

нальны. Итак, данное выше определение вероятности есть совершенно произвольное. Молшо было бы дать много других определений: напр., вероятность можно определить как отношение числа благоприятных к числу неблагоприятных случаев. Нужно, однако же, заметить, что данное определение есть простейшее из всех возможных. Само собою разумеется, что при другом определении вероятности все формулы теории вероятности были бы иные.

Дробь —, которую мы приняли, как меру математической вероятности, может принимать все значения между нулем и единицей.

Вероятность равна единице, когда п=т, т.-е. когда все случаи благоприятны появлению ожидаемого события, и тогда событие достоверно, т.-е. оно должно непременно случиться. Отсюда следует, что за единицу меры вероятностей мы принимаем вероятность достоверного события.

Вероятность обращается в нуль, когда п=0, т.-е. когда совсем нет случаев, благоприятных для появления события. В таком случае событие не появится вовсе. Следовательно, если вероятность равна нулю, то событие вовсе не появится.

Пусть п означает число случаев, благоприятных появлению ожидаемого события, a m—число всех возможных случаев. Вероятность появления ожидаемого события выразится, как мы знаем, дробью —.

Вероятность пепоявления того же события выразится дробью т п.

Означим первую вероятность через р, тогда вторая будет 1—р. Отсюда заключаем следующее:

Если вероятность появления события есть р, то вероятность непоявления того же события есть 1—-р.

Для надлежащего усвоения теории вероятностей необходимо прежде всего уменье вычислять вероятность различных событий. При этом учет шансов (случаев, статочностей) должен делаться со всей возможной осторожностью и внимательностью: 1) Следует сосчитать все возможные случаи, ни один случай не должен быть пропущен; 2) случаи должны быть равновозможны; 3) они должны быть несовместимы. Надо заметить, однако, что вычисление вероятности различных событий не так легко и просто, как может показаться иному

на первый взгляд. Теория соединений и сочетаний часто оказывает здесь могущественную помощь. Но сложность условий, при которых может появиться ожидаемое событие, а иногда просто невозможность определить число благоприятных или даже всех случаев часто создают для точного решения задачи неодолимые трудности. Но самые эти трудности, сложность и тонкость вопросов всегда привлекали к теории вероятностей все выдающиеся умы. И, быть может, ни одна область в математике не вызывала таких оживленных споров и глубоко интересных рассуждений среди ученых всех народов, начиная с Паскаля и Ферма, как именно эта теория вероятностей.

Теперь мы можем приступить к решению некоторых простых, но, надеемся, интересных задач, относящихся к исчислению случаев и определению вероятности некоторых событий. Остановимся также на некоторых таких вопросах, где скрытая малейшая поточность в задании влечет за собой двусмысленные решения,—получается род софизмов из теории вероятностей.

Задача 69-я. Игра в монету.

Подбрасывается монета один раз. Какова вероятность, что выпадет «серп»?

Решение.

В этой задаче, как и во всех дальнейших, предполагается, что монета совершенно однородна, стороны ее совершенно подобны и что вообще в ней самой нет никаких физических причин, заставляющих ее падать на одну сторону предпочтительнее, чем на другую. Тогда мы имеем здесь всего два равновозможных случая: либо «серп», либо «решетка»; а за выпадение «серпа» имеется, значит, один благоприятный шанс. Итак, по определению математической вероятности, вероятность появления «серпа» есть --=0,5.

Напомним еще раз, что математическую вероятность наступления ожидаемого события мы определили, как дробь, в знаменателе которой стоит число всех равновозможных случаев, а в числителе — число случаев, благоприятных появлению события.

Задача 70-я. Двукратное бросание монеты.

Монета подбрасывается вверх 2 раза. Какова вероятность, что при этом двукратном подбрасывании хотя один раз появится «серп»?

Решение.

Подсчитываем все возможные случаи. Может случиться, что: 1) «серп» появится при 1-м и 2-м бросании; 2) «серп» при первом и «решетка; при втором бросании; 3) «решетка» при первом и «серп» при втором бросании; 4) «решетка» при 1-м и 2-м бросании. Всего 4 случая и случая равновозможных. В трех из них может появляться «серп». Значит, благоприятных появлению «серпа»-случаев 3, а потому, по определению для искомой вероятности, имеем

Отыскать число всех случаев можно было бы, исходя и из такого соображения. При первом бросании монеты имеем 2 равновозможных случая, при втором — также 2. И каждый из этих двух случаев всячески сочетается с 2-мя другими. Значит, число всех случаев есть 2X2=4. Находим, затем, число случаев, благоприятных появлению «серпа», и приходим опять к найденному уже решению задачи.

Задача 71-я. N-кратное бросание монеты.

Монету подбрасывают последовательно п раз. Какова вероятность, что «серп» и «решетка» будут появляться в известном, наперед заданном, порядке?

Решение.

Появление «серпа» или «решетки» равновозможно при каждом бросании, т.-е. при каждом бросании имеем 2 равновозможных случая. Но всех бросаний п,—значит, при каждом новом бросании каждые новые два случая будут сочетаться со всеми предыдущими.

Так: при 1-м бросании имеем 2 случая.

Итак всех, случаев 2П.

Сколько же случаев, благоприятствующих наступлению спрашиваемого события? Один.

Итак, искомая вероятность есть ^.

Приложение к рулетке.

Совершенно такая же, как в предыдущей задаче, вероятность получается для появления в известном порядке красного и черного на рулетке (rouge et noire).

Например: какова вероятность, что, показав в 1-й раз красное, рулетка вслед затем следующие 29 ударов будет каждый раз последовательно менять цвет?

По предыдущему, для такой вероятности, находим:

Если принять, что последовательный ряд появления красного и черного может начаться все равно с какого, красного или черного, цвета, то данное число для вероятности надо помножить на 2.

Задача 72-я. Бросание одной кости.

Бросается игральная кость. Определить величину вероятности, что выпадет 4 очка.

Решение.

В игральной кости (кубике) шесть граней, и на них отмечены очки от 1 до 6.

Подброшенная кость может лечь вверх любой из этих шести граней и показать любое число очков от 1 до 6. Итак, имеем всего 6 равно-

возможных случаев. Появлению же 4-х очков благоприятствует только 1. Следовательно, вероятность того, что выпадет именно 4 очка, равна — .

В случае метания одной кости та же вероятность,-^-, будет и для выпадения всех остальных очков кости.

Если же мы станем одновременно подбрасывать 2 кости, то вопрос, как сейчас увидим, получает несколько более сложный характер.

Задача 73-я. Две кости.

Как велика вероятность получить 8 очков, бросив две кости один раз?

Решение.

Подсчитать число всех равновозможных случаев, могущих получиться при бросании двух костей нетрудно, исходя из таких соображений: каждая из костей при бросании дает один из 6 равновозможных для нее случаев. Шесть таких случаев для одной кости сочетаются всеми способами с 6-ю же случаями для другой кости, и, таким образом, получается всего для двух костей бхб=62=36 равновозможных случаев. Остается подсчитать число всех равновозможных случаев, благоприятствующих появлению суммы 8. Здесь дело уже несколько осложняется.

Мы должны сообразить, что при двух костях сумма 8 может выброситься только следующими способами:

1) первая кость 4 очк., вторая кость 4 очка.

2) » » 6 » » » 2 »

3) » » 2 » » » 6 »

4) » » 5 » » » 3 »

5) » » 3 » » » 5 »

Итого, случаев, благоприятных ожидаемому событию, имеем 5. Следовательно, искомая вероятность, что кости выбросят в сумме 5

8 очков, равна

Замечание. Для полного уяснения дела полезно составить табличку всех 36 комбинаций, которые могут получиться при бросании двух костей, и разобраться в ней. Для ясности изобразим очки первой кости

римскими цифрами, а очки второй—арабскими. Тогда все 36 случаев, которые могут получиться при бросании двух костей, могут быть представлены следующей квадратной табличкой (фиг. 102).

1,1

I, 2

I, 3

I, 4

I, 5

I, 6

II, 1

II, 2

II, 3

II, 4

II, 5

II, 6

III, 1

III, 2

111,3

III, 4

III, 5

III, 6

IV, 1

IV, 2

IV, 3 1 IV, 4

IV, 5

IV, 6

V, 1

V, 2

V, 3

V, 4

V, 5

V, 6

VI, -1

VI, 2

VI, 3

VI, 4

VI, 5

VI, 6

Фиг. 102.

Сумма чисел каждой клетки этой фигуры дает сумму очков двух костей при каждом из 36 равновозможных случаев, как они могут выпасть.

Рассматривая эти суммы по всем диагоналям справа налево и сверху вниз, мы тотчас убеждаемся, насколько разнятся числа случаев, благоприятных для выпадения той или другой суммы очков. Главная диагональ справа налево тотчас показывает нам, что наиболее шансов для выпада при двух костях имеет число 7, а именно число это может составиться 6-ю различными комбинациями двух костей:

1+6, И+5, Ш+4, IV+3, V+2, VI+1.

Следовательно, вероятность выпада этого числа очков при бросании двух костей равна — = —.

Из таблицы тотчас видно, что для выпада 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, и 12 очков соответственные вероятности будут:

По главной диагонали слева направо в табличке идут дублеты, т.-е. случаи, когда обе кости одновременно показывают одно и то же число очков. Ясно, что вероятность получения любого из дублетов равна — -

Задача 74-я.

Какова вероятность, что, бросая п раз одну шестигранную кость, мы получим п раз под-ряд очко 3?

Решение.

6 случаев равновозможных при каждом бросании. Следовательно, при 1-м бросании имеем 6 случаев

Итак, всего при п последовательных бросаниях получается 6П случаев.

Спрашивается же наступление такого события, появлению которого каждый раз благоприятствует только один случай.

Искомая вероятность есть f

Задача 75-я.

Бросают две кости три раза. Какова вероятность, что хотя один раз выпадет дублет (т.-е. на обеих костях будет одинаковое количество очков).

Решение.

Всех равновозможных случаев будет 36^ = 46 656. Дублетов при двух костях шесть: 1 и 1, 2 и 2,3 и 3,4 и 4, 5 и 5, 6 и 6, и при каждом ударе возможно появление какого-либо из них. Итак, из 36 случаев при каждом ударе 30 ни в коем случае не дают дублета. При трех же бросаниях получается 303=27 000 недублетных случаев. Случаев же, благоприятствующих появлению дублета, будет, значит, 363—303 = 19 656. Искомая вероятность есть

Задача 76 я.

Бросают п раз две кости. Какова вероятность, что получится п раз сумма по 7 очков?

Решение.

При п бросаниях равновозможных 36п случаев. При каждом бросании появлению требуемого события благоприятствует 6 случаев. Всего при п бросаниях благоприятствующих случаев будет, следовательно, 6П.

Вероятность искомого события:

6n 1 36" = 6"'

Замечание. Полученная вероятность одинакова с вероятностью выбрасыванья одной и той же грани при п бросаниях одной кости.

Задача 77-я. Карты.

Из колоды карт вынимается одна карта. Определить вероятность появления: 1) пиковой дамы, 2) какого-либо туза, 3) карты червонной масти, 4) какой-либо фигуры?

Решение.

Заметив, что в колоде 52 карты, и что среди этих карт находятся: 1 пиковая дама, 4 туза, 13 карт червонной масти и 12 фигур, находим для искомых вероятностей соответственно:

Задача 78-я. Еще одна задача кавалера де-Мере.

Определить вероятность, при которой, бросив п раз подряд две кости, получим хотя раз 12 очков («Sonnez»).

Решение.

При каждом бросании двух костей возможно 36 расположений их, но 36 m них дадут непременно иное число очков, чем 12,

Число всех возможных сочетаний при п бросаниях костей есть 36п, число же таких, из которых сумму очков 12 необходимо исключить, будет, очевидно, 35п. Следовательно, число таких сочетаний, в которых 12 («Sonnez») может заключаться один или несколько раз, равно 36п—35п. Поэтому для искомой вероятности находим:

Если пожелать, чтобы эта вероятность была равна —, то необходимо определить п из уравнения:

Это есть так называемое показательное уравнение, и решение его с помощью логарифмов дает

Отсюда видим, что если кто берется выбросить 12 очков в 24 удара, то он имеет более шансов проиграть, чем выиграть. При 25 ударах получается обратное.

Из переписки Паскаля с Ферма.

Вышеприведенная задача, как и задача 68-я этой книги, была предложена Паскалю также кавалером де-Мере и также послужила толчком для разработки первых основ теории вероятностей.

«У меня нет времени,—писал по этому поводу Паскаль к Ферма,— чтобы переслать вам разъяснение одного затруднения, которое очень удивляло г. де-Мере, потому что он обладает очень здравым умом, но он не геометр. А это, как знаете, большой недостаток. Так, он сообщил мне, что нашел противоречие в числах по следующему поводу: если браться выбросить 6 очков одной костью, то он имеет шансы сделать это в 4 удара, но если взяться выкинуть 12 («Sonnez») с помощью двух костей, то он не имеет полных шансов сделать это в 24 удара, а между тем отношение 24 к 36, которое есть число всех граней, получаемых из двух костей, равно отношению 4 к 6 числу граней одной кости.

Такова приключившаяся с ним большая неприятность, которая заставляет его презрительно утверждать, что математические теоремы неустойчивы, и что арифметика противоречит сама себе,,.»

Ответ на сомнения де-Мере не мог затруднить ни Паскаля, ни Ферма.

Пока дело идет об одной кости—в области небольших чисел,—рассуждения де-Мере правильны: при 4-х ударах он действительно имеет шансы выкинуть одной костью наперед заданное число очков (6). Но, как мы уже знаем, если увеличивается число костей и число их выбрасываний, то число всевозможных случаев, равно как и случаев, благоприятных появлению события, увеличивается, вообще, совсем не пропорционально ни числу получаемых сочетаний из граней костей, ни числу их выбрасываний. Убедиться в этом можно либо путем непосредственного опыта над простейшими случаями, либо путем вывода общей формулы. Кавалер де-Мере постиг только первый путь. Паскаль хотел вывести его на второй, но тотчас увидел большой недостаток своего приятеля; он не был, при всем своем уме, математиком,

Задача 79-я. В чем дело?

Имеются три шкатулки, совершенно одинаковых по внешнему виду, в каждой из них по два ящичка, а в каждом ящичке по монете. В одной шкатулке только золотые монеты, в другой—только серебряные, а в третьей—в одном ящичке золотая, а в Другом серебряная монета. Берут одну из шкатулок (все равно какую). Какова вероятность найти в ней в одном из ящиков золотую, а в другом—серебряную монету?

Можно подходить к решению задачи двояко:

1.—Шкатулки тождественны. Значит равновозможны 3 случая. Благоприятствует появлению события один. Следовательно, искомая вероятность равна -г*.

2.—Взята наугад какая-либо из шкатулок, и в ней выдвинули ящик. Какова бы ни была найденная там монета, но теперь оказываются возможными только два шанса (случая): во втором закрытом ящичке шкатулки находится монета такого же металла, что и в открытом, или другого. Из этих двух случаев один благоприятный ожидаемому нами событию, т.-е., что у нас в руках шкатулка с разными монетами. Таким образом вероятность взять сразу в руки требуемую шкатулку оказывается равной —,

Как же это так? Выходит, что достаточно в одной из шкатулок только открыть ящик, чтобы вероятность из ~- обратилась в —.

В наших рассуждениях, очевидно, должна быть ошибка; и она действительно в них есть.

Когда мы открываем первый ящик в шкатулке, то остаются возможными два случая, и один только благоприятствует появлению ожидаемого события,— это верно; но дело в том, что два получающихся случая неравновозможны. Допустим, что, открыв первый ящик, мы нашли там золотую монету; в другом, конечно, может быть серебряная, но есть больше оснований утверждать, что в этом закрытом ящике находится тоже золотая монета.

Чтобы сделать наше рассуждение более ясным, предположим, что у нас не три, а триста совершенно одинаковых с двумя ящичками шкатулок. Сто из них в обоих ящичках содержат по золотой монете, сто — по серебряной, а в третьей сотне шкатулок—в одном ящичке находится одна золотая, а в другом — одна серебряная монета. Откроем по одному ящичку в каждой из шкатулок, и мы увидим 300 медалей. Сто из них должно быть золотых и сто серебряных, это мы можем утверждать вперед наверняка. Но относительно ста остальных ничего наперед сказать нельзя: они находятся в шкатулках с разными монетами, а какие и в каком числе при выдвигании ящичков откроются монеты, зависит только от случая.

Открыв триста ящичков, следует ожидать во всяком случае, что увидим менее двухсот золотых монет. Следовательно, вероятность, что в первой взятой наудачу шкатулке другая монета (в закрытом ящичке) золотая, превышает -т.

Настоящая задача может служить примером того, какую осторожность и точность в суждениях нужно соблюдать при определении равновозможности случаев.

Необходимое замечание.

Во избежание неточностей и ошибок следует постоянно помнить, что бесконечность не есть число. Поэтому нельзя вводить это понятие в рассуждения без соответствующих пояснений. Кажущаяся только точность иных слов может также вести к противоречиям. Выражение: «выбрать наудачу из бесконечного числа возможных случаев» не может, напр., считаться достаточным указанием.

Вот еще пример неудачного задания, ведущего к противоречию:

Требуется определить вероятность того, что некоторое число, целое или дробное, соизмеримое или несоизмеримое, взятое наудачу между 0 и 100, будет более 50-ти.

Ответ, повидимому, ясен: число случаев (статочностей), благоприятствующих появлению события, равно половине числа всех возможных случаев. Искомая вероятность равна, следовательно,-g.

Но вместо самого числа, нисколько не меняя условий вопроса, можно взять его квадрат. Если число заключается между 50 и 100, то его квадрат заключается между 2 500 и 10 000. Вероятность, чтобы взятое наудачу между 0 и 10 000 число превышало 2 500, тоже представляется очевидной: число случаев, благоприятствующих появлению события, равно трем четвертям всех равновозможных случаев.

Искомая вероятность, значит, равна

Обе задачи тождественны: Почему же получается такая разница в ответах? Потому, что в самом задании нет надлежащей точности. Противоречий подобного рода можно подобрать сколько угодно и получать, таким образом, новые виды математических софизмов.

Еще следствие из определения математической вероятности.

Припомним опять принятое нами определение математической вероятности и выведем из этого определения одно важное следствие. Положим, что при каком-нибудь опыте могут появиться несколько событий. Пусть п, п\ п" , . ... будут числа случаев, благоприятных соответственно каждому из них, a m—число всех возможных случаев. Так как, по сделанному нами ограничению, в каждом случае не могут появиться два или более события, то т=п-\-п'+п"+ . . . Вероятности каждого события выразятся дробями:

п п' п" , га ' m ' m '

Но легко видеть, что сумма этих дробей равна единице. Отсюда следует, что сумма вероятностей всех событий, могущих появиться при данном опыте, равна единицы.

Задача 80-я.

В урне заключается m белых и п черных шаров. Из этой урны вынимаем наудачу два шара. При этом опыте могут по-

явиться три события: 1) два белых, 2) белый и черный, 3) два черных шара. Как велика вероятность каждого из этих событий?

Решение.

Число возмолшых случаев при нашем опыте равно числу сочетаний из m+n шаров по два:---—--'. Число случаев, благоприятных появлению первого события, равно числу сочетаний из m белых шаров по два:----. Случаи, благоприятные появлению второго события, получаются комбинированием каждого белого с каждым черным шаром; число этих случаев равно тп. Число случаев, благоприятных появлению третьего события, равно числу сочетаний из п черных шаров по два: —-i. Разделив числа, благоприятные появлению каждого события, на число всех возможных случаев, получим искомые вероятности:

Сумма этих вероятностей, как и должно быть по нашей теории, равна единице1).

1) Мы могли бы при нашем опыте рассматривать только два события: появление белого или черного шара. При этом только некоторые случаи благоприятны появлению обоих событии. Легко найти, что вероятности выхода белого и черного шара выражаются дробями:

Сумма этих вероятностей уже не равна единице,

Вероятности сложных событий.

Статья проф. В. П. Ермакова из «Журнала элементарной математики» за 1884—1885 г.г.

Появление нескольких событий будем называть сложным событием.

Каждое из составных событий, в свою очередь, может быть сложным, т.-е. может состоять из нескольких простых событий.

Несколько событий будем называть независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, случились ли другие события или нет.

События будем называть зависимыми, если появление или непоявление некоторых из них оказывает влияние на вероятности появления других событий.

Покажем прежде всего, как вычисляется вероятность сложного события, состоящего из нескольких независимых событий.

Положим, мы производим несколько опытов, из которых при первом может появиться событие А, при втором А', при третьем Л" и т. д. Означим чрез m число всех равновозможных случаев, могущих появиться при первом опыте, и чрез п—число тех из этих случаев, которые благоприятны появлению события А; соответственные числа при втором, третьем и т. д. опытах означим чрез m' и п', т" и п" и т. д. Как велика вероятность, что появятся события: А, А', А" и т. д.?

Если мы производим опыты одновременно или один за другим, то каждый случай при первом опыте может комбинироваться с каждым случаем при втором опыте, с каждым случаем при третьем опыте и т. д. Отсюда следует, что число всех возможных случаев при нескольких опытах равно произведению нескольких множителей, из которых каждый выражает число всех равновозможных случаев при каждом опыте в отдельности. Итак, число всех случаев (как легко видеть, равновозможных) при наших опытах равно ттт"...

Так как каждый случай, благоприятный появлению события А, может комбинироваться с каждым случаем, благоприятным событию А', с каждым случаем, благоприятным А" и т. д., то число всех случаев, благоприятных сложному событию АА'А"равно произведению nn'n".., нескольких множителей, из которых каждый выражает число случаев, благоприятных каждому событию в отдельности.

Согласно определению вероятности (см. стр. 205 настоящей книги), вероятность сложного события АА'А". . . выразится дробью:

Но эта дробь может быть разложена на произведение нескольких дробей:

Легко видеть, что дробные множители во второй части выражают вероятности появления каждого из событий Л, А\ А",.,, в отдельности.

Отсюда вытекает следующее правило:

Вероятность появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Задача 81-я.

Имеется несколько урн с шарами: в первой m белых и п черных шаров, во второй—m' белых и п' черных, в третьей т" и п" и т. д. Как велика вероятность, что, если вынуть по одному шару из каждой урны, все появившиеся шары будут белые?

Решение.

Для решения этой задачи, согласно приведенному выше правилу, нужно вычислить вероятность выхода белого шара из каждой урны и полученные вероятности перемножить. Таким образом искомая вероятность получится равною произведению:

Покажем теперь, как вычисляется вероятность появления нескольких зависимых событий. Начнем с решения частной задачи,

Задача 82-я.

Из урны, содержащей m белых и п черных шаров, вынимаем по одному шару и каждый раз вынутый шар откладываем в сторону. Как велика вероятность выхода под-ряд двух белых шаров?

Решение.

Задача эта, как и вообще многие задачи на вычисление вероятностей, может быть решена непосредственным вычислением как числа всех возможных случаев, так и числа случаев, благоприятных ожидаемому событию. Но такое непосредственное определение для многих задач бывает в высшей степени затруднительно. Число всех возможных случаев при вынимании двух шаров из урны равно числу размещений (если обращаем внимание на порядок, в котором появляются шары) из всех m+n шаров по два, т.-е. равно (т+п)(т+п—1). Число случаев, благоприятных выходу два раза под-ряд двух белых шаров, равно числу размещений из m белых шаров по два, т.-е. равно ж (m—1). Следовательно вероятность выхода два раза под-ряд двух белых шаров равна

Эта задача решается также другим приемом, который может быть применен к решению многих более сложных задач. Просим читателей сосредоточить все внимание на этом способе решения.

Когда мы вынем один шар (белый или черный) из урны, то второй шар придется вынимать из урны, содержащей т—1 белых и п черных шаров, или из урны, содержащей m'белых и п<— 1 черных шаров. В первом случае вероятность выхода белого шара за вторым разом равна п_^ ; во втором случае вероятность того же события равна ш^_п_2 • Таким образом условия, при которых совершается второй опыт (выход второго шара), изменяются в зависимости от появления белого или черного шара при первом опыте; поэтому изменяется также и вероятность второго события (выход белого шара за вторым разом).

Из приведенных рассуждений легко заключить, что наша задача тождественна следующей.

Задача. Даны три урны с шарами; в первой m белых и п черных шаров, во второй—m—1 белых и п черных, в третьей— m белых и п—1 черных шаров. Вынимаем один шар из первой урны и один шар или из второй, или из третьей урны. При этом второй шар вынимаем из второй урны только в том случае, если из первой урны появится белый шар; в случае же выхода черного шара из первой урны, второй шар вынимаем из третьей урны. Как велика вероятность, что при соблюдении сказанных условий появятся два белых шара?

Если мы желаем вычислить появление двух белых шаров, то на третью урну мы можем не обращать внимания (ее отбросить), так как, сообразно условиям задачи, с этой урной мы только тогда имеем дело, когда из первой урны появляется черный шар. Отсюда заключаем, что последняя задача равносильна следующей.

Задача 83-я.

Из двух урн, содержащих первая m белых и п черных, вторая—m—1 белых и п черных шаров, вынимаем по одному шару. Как велика вероятность появления двух белых шаров?

Решение.

При решении этой последней задачи мы имеем дело с независимыми событиями; поэтому искомая вероятность сложного события равна произведению вероятностей простых событий:

Рассмотренная нами задача может быть обобщена следующим образом.

Задача 84-я.

Предстоит произвести один за другим два опыта,—назовем их чрез Р и Q; при первом опыте может появиться событие А, при втором—В. При первом опыте число всех равновозможных случаев m, из которых п благоприятны появлению события А. Условия второго опыта меняются в зависимости от появления или непоявления события А: если событие А появилось, то при втором опыте число всех возможных случаев равно m', а число случаев, благоприятных событию В, равно

п'; если же событие А не появилось, то при втором опыте всех возможных случаев будет m", из которых п" благоприятны событию В. Как велика вероятность появления двух событий А и В?

Решение.

Вероятность первого события А равна —. Что касается вероятности второго события В, то она равна —, если первое событие появилось, или — , если событие А не появилось.

Подобно тому как и в прежней задаче, мы можем опыт Q заменить двумя самостоятельными опытами R и S, при каждом из которых может появиться событие В. При опыте В число всех равновозможных случаев равно m', а число случаев, благоприятных событию В, равно п'; при опыте S соответственные числа равны т" ип".

Опыт Р мы производим обязательно. Что касается остальных двух опытов и и S, то из них мы производим только один, а именно опыт В, если событие А появилось, в противном случае - опыт S.

Но если мы желаем определить вероятность появления двух событий, то на опыт S мы можем не обращать внимания, как бы его и вовсе не было, так как, по условию задачи, с этим опытом мы только тогда имеем дело, когда событие А не появляется.

Итак, задача наша приводится к определению вероятности появления двух событий А и В при двух независимых опытах Р п В. Но в таком случае мы имеем дело с двумя независимыми событиями, и вероятность появления таких событий, согласно данному раньше правилу, равна произведению:

Это и будет ответ на нашу 84-ю задачу. Рассматривая полученный результат, мы заметим, что первый множитель — есть вероятность первого события; второй множитель — есть вероятность второго события, вычисленного в том предположений, что первое событие А уже случилось. Таким образом мы приходим к следующему правилу:

Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности первого события на вероятность второго события, вычисленную в том предположении, что первое событие уже случилось.

Поясним это правило примером.

Задача 85-я.

Даны две урны с шарами; в одной п белых и т—п черных, в другой—п'. белых и m'—п' черных шаров. Вынимаем один шар из первой урны, остальные же шары пересыпаем во вторую урну; после этого, перемешавши шары, вынимаем один шар из второй урны. Как велика вероятность появления два раза под-ряд двух белых шаров?

Вероятность первого события — выхода белого шара из первой урны, равна —, Предполагая, что первое событие случилось и, как сказано в задаче, остальные шары всыпаны во вторую урну, в этой последней будем иметь всех m + m'—1 шаров, в том числе п + п—1 белых; вероятность выхода белого шара из такой урны равна п + п' — 1 тт

Искомая вероятность сложного события равна произведению:

Наше последнее правило может быть обобщено на несколько событий. Положим, нам нужно вычислить вероятность появления трех зависимых событий: А, В я С. Если мы появление двух первых событий А и В примем за одно (сложное) событие и назовем его чрез D, то вопрос приводится к определению вероятности появления двух зависимых событий D и С Эта вероятность равна произведению двух множителей: sxr, из которых первый есть вероятность первого события D, а второй — вероятность второго события С, вычисленная в том предположении, что событие D уже случилось. В свою очередь, вероятность события D, как вероятность сложного события, состоящего из двух зависимых событий А я В, разлагается на произведение двух множителей, s = р х j; первый из этих множителей' есть вероятность события А, второй — вероятность события В, вычисленная

в том предположении, что событие А уже появилось. Итак, вероятность появления трех зависимых событий равна

sXr = pXqXr.

Отсюда вытекает следующее общее правило:

Вероятность появления нескольких зависимых событий равна произведению нескольких множителей, из которых первый есть вероятность первого события, а каждый следующий множитель выражает вероятность следующего события, вычисленную в том предположении, что предыдущие события уже появились.

Приложим это правило к решению некоторых задач.

Задача 86-я.

Из полной колоды карт вынимаем три карты. Как велика вероятность, что все вынутые карты будут фигуры?

Решение.

В полной колоде 40 простых карт и 12 фигур. Результат будет один и тот же, вынимаем ли мы три карты разом или одну за другою. Предположим, что мы вынимаем одну карту за другою и каждый раз вынутую карту откладываем в сторону; в таком случае мы имеем дело с тремя зависимыми событиями. Вероятность выхода фигуры за первым разом равна 12/52. Предполагая, что одна фигура уже вынута, вероятность выхода второй фигуры равна и/51. Если мы предположим, что вынуты две фигуры, то вероятность выхода третьей фигуры равна 10/50. Искомая вероятность появления трех фигур получится перемножением найденных вероятностей:

Задача 87-я.

Из урны, содержащей а белых и Ъ черных шаров, вынимаем по одному шару (каждый раз вынутый шар откладываем в сторону) до тех пор, пока появится белый шар. Как велика вероятность, что белый шар появится за п-ым разом?

Решение.

Мы ищем вероятность выхода п—1 черных шаров и одного белого шара. Здесь мы имеем дело с п зависимыми событиями. Вероятность выхода черного шара за первым разом равна г . Предположим, что черный шар появился за первым разом: вероятность выхода черного шара за вторым разом равна а_^^ у Точно.так же вероятность выхода черного шара за третьим разом равна т g_- и т. д. Вероятность выхода черного шара за п— 1 разом, предполагая, что прежде появившиеся шары — черные, равна —rz-—. Если предположим, что вынуты п—1 черных шаров, вероятность выхода белого шара за п-м разом равна —, : ——. Искомая вероятность сложного события получится перемножением найденных вероятностей

Под эту общую формулу не походит только вероятность выхода белого шара за первым разом (так как здесь идет речь о простом событии), которая равна В частном случае вероятности выхода белого шара за вторым, за третьим и т. д. разом выражаются дробями:

Из последней задачи можно вывести некоторое интересное следствие. При нашем опыте белый шар может появиться или за первым, или за вторым, или за третьим разом и т. д.; других событий не может быть, так как белый шар должен непременно появиться. На странице 218 настоящей книги было показано, что сумма вероятностей всех событий, могущих появиться при каком-нибудь опыте, равна единице. Применим это правило к нашему опыту. Сложив вероятности выхода

белого шара за первым, вторым, третьим и т. д. разом, мы должны получить в сумме единицу:

Разделив обе части на а, получим следующее тождество:

Легко проверить это тождество на частных примерах; можно дать также независимое доказательство (и обобщить на тот случай, когда а и Ъ не суть целые числа), что мы предоставляем самим читателям.

Примечание. Легко видеть, что последнее общее правило одинаково приложимо к вычислению вероятности появления как зависимых, так и независимых событий; поэтому им можно пользоваться во всех тех случаях, когда имеем дело с вычислением вероятности сложного события.

Задача 88-я.

В урне п шаров, из которых m белых. Вы m раз под-ряд извлекете шары, при чем каждый раз вынутый шар кладется в сторону. Какова вероятность, что все m вынутых шаров окажутся белыми?

Решение.

Из п шаров можно составить С™ различных сочетаний по ж. Одно из этих сочетаний будет состоять из всех белых шаров. Вынутые из урны ж шаров составят одно из этих С™ сочетаний, вероятность того, чтобы они составили единственное сочетание из всех белых шаров равна

Другое решение той же задачи. Вероятность извлечь белый шар из ящика равна —. Если белый шар извлечен, и в урне осталось п—1

шаров, из которых m—1 белых, вероятность извлечь белый шар во второй раз -.Если белый шар извлечен под-ряд 2,3,4.... m—1раз, то вероятность извлечь белый шар в 3-й, 4-й, 5-й... т-й разы равна

Вероятность извлечь все m раз по белому шару равна произведению вероятностей извлечь его в первый, 2-й, 3-й, 4-й, т-й разы, (в числителе произведение m первых целых чисел, в знаменателе — произведение m целых чисел от п—т+1 до п).

Мы получили два решения одной и той же задачи, два выражения для вероятности одного и того же события. Очевидно эти выражения равны между собою:

откуда

таким образом, пользуясь умножением вероятностей, можно получить выражение для С™, Точно также можно получить и другие формулы комбинаторики.

Математическое ожидание.

Вопрос об участи, ожидающей игроков при тех или иных условиях игры, и связанные с этим вопросы о так называемой безобидности игры были первыми, которыми занимались творцы теории вероятностей. При разработке этих вопросов пришлось тотчас внести новое понятие, определяемое словами математическое ожидание.

Математическое ожидание того, кто имеет вероятность р получить сумму 5, измеряется произведением p.s.

Если эта ожидаемая сумма заранее известна, то определение математического ожидания сводится, в сущности, к отысканию вероятности. Не то бывает, когда условия игры, или предприятия, допускают возможность как выигрыша, так и проигрыша нескольких различных сумм, смотря по тем или иным случайным обстоятельствам. Если же события, вероятности которых соответственно суть

Р2> Рз> • • • > рп» дают право на осуществление различных сумм соответственных прибылей или убытков sx, s2, s4, • • • sm то математическое ожидание определяется, как сумма произведений

Pi*i + ï>2*2 + Рз5з + ... + pnsn.

Отсюда видно, что математическое ожидание делается известным, если вычислить все различные возможные случаи. Но иногда удобнее искать его непосредственно, не вычисляя всех составляющих его членов.

Для примера решим задачу о математическом ожидании выигрыша для владельца одного билета благотворительной (в пользу голодающих) лотереи, устроенной в 1891 году.

Задача 89-я.

Математическое ожидание выигрыша в лотерею.

Выпущено 1200000 билетов с 2928 выигрышами, размеры которых определены следующим образом:

1 выигрыш в 100000 руб.;

1 » » 50000 »

1 » » 25000 »

10 выигрышей по 10000 »

15 » » 5000 »

100 » » 1000 »

200 » » 500 »

2600 » » 250 »

Определить математическое ожидание выигрыша для владельца одного билета.

Решение.

Величина выигрыша владельца одного билета рассматриваемой лотереи могла иметь значения 100 000р., 60 000 р., 25 000 р., 10 000 р., 5 000 р., 1 000 р., 500 р., 250 р. и 0, а вероятность событий, при коих величина выигрыша получала указанные значения, на основании приведенного выше распределения выигрышных сумм, определится следующими дробями:

Умножая каждую вероятность на соответствующую сумму и складывая все, найдем, что математическое ожидание выигрыша было, следовательно, равно

Условие безобидности игр.

Возьмем какую-либо игру, состоящую из ряда партий, из которых каждая кончается выигрышем или проигрышем одного из двух игроков.

Предположим, для общности рассуждения, что математическое ожидание выигрыша или проигрыша для игрока изменяется от одной партии к другой. Допустим также при этом, что математическое ожидание выигрыша (или проигрыша) не может быть величиной бесконечно-малой, т.-е. оно остается все время не меньше некоторой конечной величины, отличной от нуля. С другой стороны, допустим, что математическое ожидание квадрата выигрыша не может быть бесконечно-большим. При этих условиях можно доказать, что:

Если математическое ожидание выигрыша для одного из игроков есть величина положительная, то с вероятностью, сколько угодно близкой к достоверности, можно рассчитывать, что при достаточно большом числе партий выигрыш его превзойдет всякую наперед заданную величину.

На этой теореме, доказательство которой читатель может найти в соответствующих курсах (см., напр., С. К. Савич «Элементарная теория страхования» и др.), основывается понятие о безобидности игр. Пусть два лица А я В предприняли некоторую игру, состоящую из ряда отдельных партий, из которых каждая кончается выигрышем или проигрышем одного из них. Составим математическое ожидание выигрыша игрока А. Если эта величина окажется положительной, то на основании предшествующей теоремы можно с вероятностью как угодно близкой к достоверности (к единице) рассчитывать, что при достаточно большом числе партий выигрыш А превзойдет всякую величину, наперед заданную.

Если, наоборот, математическое ожидание выигрыша для игрока А окажется отрицательным, то математическое ожидание выигрыша для игрока В будет положительно, и при достаточно большом числе партий можно с достоверностью рассчитывать, что выигрыш В будет столь велик, сколь угодно. На этом основании безобидными играми называются такие игры, в которых математическое ожидание выигрыша для каждого игрока есть нуль.

Понятие о безобидности применяется не только к собственно азартным играм, но и вообще ко всякого рода операциям, где уплата различных сумм или получение их обусловлены наступлением некоторых событий случайного характера; так, напр., понятие о безобидности

игр применяется к страховым операциям, где уплаты обеих сторон — страховщика и страхователя—обусловлены наступлением различных событий, связанных с жизнью человека.

Задача 90-я.

В мешке находится 10 белых и 15 черных шаров. Определить вероятность, что, взяв зараз оттуда 5 шаров, мы вытащим 2 белых и 3 черных?

Решение.

Всего в мешке 26 шаров. Если берется сразу б шаров, то число всех равновозможных и несовместимых случаев равно, очевидно, числу сочетаний из 25 элементов по 5, т.-е.

Число всех равновозможных и несовместимых случаев, благоприятствующих появлению 2-х белых шаров, есть

а число таких же случаев, благоприятных появлению 3-х черных, есть

Эти последние могут комбинироваться каждое с каждым, т.-е. числителем дроби, выражающей искомую вероятность ожидаемого события, надо взять произведение С210. С\ъ. Знаменателем же искомой дроби будет с\ь. Итак, для искомой вероятности имеем

Общий случай. Вообще, если в мешке находится р белых и q черных шаров, то вероятность вытянутых за один раз а белых и Ь черных шаров равна дроби

Задача 91-я. Итальянская лотерея.

Эта лотерея, до сих пор процветающая в Италии, в прежнее время имела также обширное распространение во Франции и во многих областях Германии. Она состоит из 90 нумеров, и при каждом ее розыгрыше выходит по 5 нумеров. По условию лотереи, можно ставить ту или иную сумму на любой из 90 нумеров или на любую совокупность двух, трех, четырех и, наконец, 5-ти нумеров, что соответственно называется: простая одиночка, амбо, терно, кватерно и квинтерно.

Если в числе вышедших нумеров находится совокупность тех, на которые игрок ставил сумму, то администрация лотереи выдавала этому игроку условленную сумму, находящуюся в определенном отношении к величине ставки. Это отношение равно:

для простой одиночки........... 15

» амбо................ 270

» терно............... 5 500

» кватерно.............. 75 000

» квинтерно............. 1 000 000

После этих предварительных пояснений задачу об Итальянской лотерее мы можем формулировать так:

В сосуде содержится 90 билетов с нумерами 1,2, 3, 4,......, 89, 90. Вынимают сразу или последовательно 5 билетов, при чем, в случае последовательного изъятия, ни один из вынутых билетов не возвращают обратно в сосуд и новых туда также не подкладывают. Определить вероятность выигрыша на заранее выбранные: простую одиночку, на амбо, терно, кватерно, и наконец, на квинтерно?

Решение.

Читатель, решивший общий случай предыдущей задачи, тотчас сообразит, что настоящая задача есть частный случай ее.

Число всех равновозможных случаев в задаче равно, очевидно, числу сочетаний из 90 элементов по пяти, т.-е.

Теперь остается только определить число случаев, благоприятных соответственно появлению наперед указанных простых одиночек или амбо, или терно, или кватерно, или квинтерно.

1) Для случая простой наперед взятой одиночки задача сводится к такой: в сосуде находятся 1 белый и 89 черных шаров. Вытаскиваются сразу 5 шаров. Какова вероятность, что при этом окажется один белый и 4 черных шара? Число всех равновозможных случаев, как знаем, равно С90. Число таких же-случаев, благоприятных появлению 1 белого и 4 черных шаров, будет, по предыдущей задаче, Cgg.Ci . или просто С89, так как Ct = 1.

2) Для амбо наша задача обращается в такую: в сосуде—2 белых и 88 черных шаров; определить вероятность, что, взяв сразу 5 шаров, мы вытянем эти 2 белых шара и 3 черных.

Число всех равновозможных случаев есть Ç90. Число же благоприятных появлению события равновозможных случаев есть по предыдущему С88. С\ , или просто С88, так как С\ = 1. Итак, вероятность получения наперед взятого амбо выражается дробью

Подобным же образом для математической вероятности терно, кватерно и квинтерно найдем соответственно дроби:

Вычисляя на самом деле, получаем, что вероятность появления наперед взятой простой одиночки равна:

амбо:

терно:

кватерно:

квинтерно:

Допустим, далее, что ставка игрока в эту лотерею равна M ; тогда математическое ожидание его прибыли от участия в лотерее соответственно выражается числами (см. выше: условия лотереи и выдачи администрации):

в случае простой одиночки.

амбо. терно

и т. д.

Математическое ожидание выражается отрицательным числом. Значит, эта лотерея представляет не безобидную для публики игру, Она приносит пользу только ее устроителям.

Теорема Якова Бернулли.

В 1713 году в Базеле появилось посмертное сочинение знаменитого математика Якова Бернулли под заглавием «Ars Conjectandi» («Искусство предположений»), снимок с заглавного листа которого дан на предыдущей странице. Сочинение это можно считать краеугольным камнем, на котором мало-по-малу было воздвигнуто все современное здание теории вероятностей. В четвертой части этой книги формулирована и доказана знаменитая теорема Я. Бернулли, положившая начало так называемому закону больших чисел, играющему в современном естествознании огромную роль. Теорема излагается (элементарно) в IV и V главах 4-й части книги Я. Бернулли. Мы приводим эти главы в переводе приват-доцента Я. В. Успенского, сделанном под редакцией академика А. А. Маркова и изданном нашей Академией Наук в ознаменование 200-летия (в 1913 г.) со времени появления «Ars Conjectandi» в свет. Я. В. Успенским переведена вся четвертая часть книги, и она имеется в отдельной продаже под заглавием «Часть четвертая сочинения Якова Бернулли «Ars Conjectandi».

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.

О двояком способе определения числа случаев. Что следует думать о том способе, который опирается на опыт. Особенная задача, представляющаяся по этому поводу и проч.

...По числу случаев, в которых доводы для каких-либо вещей могут существовать или не существовать, доказывать или не доказывать или даже доказывать противное, могут быть подвергнуты вычислению и изменены доказательные силы их и соответствующие вероятности. Все дело сводится к тому, чтобы для правильного составления предположений о какой-либо вещи были точно

исчислены как числа тех случаев, так равно было бы определено, насколько одни могут легче встретиться, чем другие. Но здесь мы, повидимому, встречаем препятствие, так как только крайне редко это возможно сделать и почти нигде не удается, кроме игр, зависящих от случая, которые первые изобретатели, постаравшись сделать безобидными, устроили так, чтобы были совершенно известны числа случаев, влекущих выигрыш или проигрыш, а сами случаи могли бы встретиться одинаково легко. В большинстве же других явлений, зависящих или от действий сил естественных, или от свободной воли людей, не имеет места ни то, ни другое. Так, напр., известное число случаев при игре в кости. Для каждой кости их, очевидно, столько, сколько граней, и все они равновозможны, так как вследствие подобия граней и равномерной плотности кости нет никакого основания, почему одна грань могла бы легче открыться, чем другая. Так было бы, если бы грани были различной формы или кость в одной части состояла из более тяжелого материала, чем в другой. Так, равным образом, известно число случаев при извлечении из урны билетика белого или черного, и известно, что все они одинаково возможны: именно потому, что определено и известно число билетов обеих категорий и не видно никакого основания выйти одному из них легче, чем всякому другому. Но, спрашивается, кто из смертных когда-либо определит, как такое же число случаев, число, напр., болезней, которые во всяком возрасте поражают бесчисленное множество частей человеческого тела и могут нам причинить смерть, и насколько одна болезнь легче погубит человека, чем другая: напр., чума, чем водобоязнь, водобоязнь, чем лихорадка, чтобы отсюда можно было составить предположение о жизни или смерти в будущем? Кто также сочтет бесчисленные случаи перемен, которым ежедневно подвергается воздух, чтобы отсюда можно было сделать предположение, каково будет его состояние через месяц или, тем паче, через год? Опять, кто достаточно знает природу человеческого ума или удивительное устройство нашего тела, чтобы в играх, зависящих вполне или отчасти от остроты ума или ловкости тела, дерзнуть определить случаи, когда тот или другой из участников игры может одержать победу или потерпеть поражение? Так как это и подобное зависит от причин совершенно скрытых и, сверх того, вследствие бесконечного разнообразия из сочетаний, всегда ускользающих от нашего познания, то было бы совершенно безумно желать что-либо узнать таким путем. Но здесь нам открывается другая дорога для достижения искомого. И что не дано вывести a priori, то, по крайней мере, можно получить a posteriori, т.-е. из многократного наблюдения результатов в подобных примерах.

Потому, что должно предполагать, что некоторое явление впоследствии в стольких же случаях может случиться или не случиться, в скольких при подобном же положении вещей раньше оно было отмечено случившимся или не случившимся. Ибо, если, напр., при наблюдениях, сделанных над тремястами людей того же возраста и сложения, как теперь Тит, было замечено, что из них двести

до истечения десяти лет умерли, а остальные остались в живых и дольше, то моможно заключить с достаточным основанием, что вдвое больше случаев и Титу умереть в течение ближайшего десятилетия, чем остаться в живых по истечении этого срока. Также, если кто-либо будет рассматривать состояние погоды за очень большое число истекших годов и будет отмечать, сколько раз она была ясной или дождливой, или кто-либо очень часто будет присутствовать при игре двоих и наблюдать, сколько раз тот или другой оказывается в игре победителем, то тем самым откроет отношение, в котором, вероятно, находится числа случаев, когда то же событие при обстоятельствах, подобных прежним, и в будущем может случиться или не случиться. Этот опытный способ определения числа случаев по наблюдениям не нов и не необычен. Ибо и знаменитый автор «L'art de penser», муж большого ума и проницательности, в гл. 12 и след. последней части предписывает подобное же, и то же все постоянно соблюдают в повседневной практике. Далее, всякому ясно и То, что для такого рассуждения о каком-либо явлении недостаточно взять одно или другое наблюдение, но требуется большой запас наблюдений. Потому-то даже самый ограниченный человек но какому-то природному инстинкту сам собой и без всякого предварительного обучения (что очень удивительно) знает, что чем больше принято во внимание таких наблюдений, тем менее опасность не достичь цели. Хотя это естественным обра-

Яков Бернулли (1654—1705).

зом всем известно, однако доказательство, извлекаемое из научных оснований — вовсе не так обычно, и потому нам предстоит его здесь изложить. При чем я счел бы для себя малой заслугой, если бы остановился на доказательстве только того, что все знают. Здесь для рассмотрения остается нечто, о чем до сих пор, может быть, никто и не подумал. Именно, остается исследовать, будет ли при таком увеличении числа наблюдений вероятность достичь действительного отношения между числами случаев, при которых какое-либо событие может случиться или не случиться, постоянно возрастать так, чтобы, наконец, превзойти всякую степень достоверности, или же задача, так сказать, имеет свою асимптоту, т.-е. имеется такая степень достоверности, которую никогда нельзя превзойти, как бы ни умножались наблюдения; так что, напр., никогда нельзя иметь уверенность более половины или-g, или -т достоверности в том, что мы нашли истинное отношение случаев. Чтобы на примере было ясно, чего я хочу, я предполагаю, что в некоторой урне без твоего ведома скрыты три тысячи белых и две тысячи черных камешков и что ты, для определения числа их опытом, извлекаешь один камешек за другим (однако, каждый раз кладя обратно извлеченный до вынутия следующего, дабы не уменьшалось число камешков в урне) и замечаешь, сколько раз выходит белый и сколько раз —черный. Требуется узнать, можешь ли ты это проделать столько раз, чтобы в десять, сто, в тысячу раз и т. д. было вероятнее (т.-е. оказалось бы, наконец, нравственно достоверным), что числа появлений белых и черных будут находиться в том же отношении 3 к 2, в каком находятся самые числа камешков, чем в каком-либо другом отношении, от этого отличном? Если бы этого не случилось, то, признаюсь, следовало бы усомниться в нашей попытке определять числа случаев из опытов. Но если это достигается и таким путем, наконец, получается нравственная достоверность (а что это на самом деле так,—я покажу в следующей главе), то находим числа случаев a posteriori почти с тою же точностью, как если бы они были нам известны a priori, что в общественной жизни, где нравственно достоверное принимается за вполне достоверное, без сомнения, вполне достаточно, дабы направить наши предположения в каком угодно предмете случайном не менее научно, чем в играх. Ибо если мы урну заменим воздухом, напр., или человеческим телом, которые содержат в себе источники разных перемен или болезней, подобно тому как урна — камешки, то мы будем в состоянии совершенно так же наблюдениями определить, насколько легче в этих вещах может получиться то или другое явление. Чтобы не понимать этого превратно, следует заметить, что отношение между числами случаев, которые мы желаем определить опытом, понимается не в смысле точного отношения (ибо при таком воззрении случилось бы как раз обратное, и вероятность найти истинное отношение была бы тем меньше, чем более было взято наблюдений), но до известной степени приближенного, т.-е. заключенного в двух границах, которые можно взять сколь угодно тесными. Именно, если

в только что приведенном примере камешков возьмем два отношения 2ÔÔ и ^00 3 001 2 999 или 2~qqq и и т. д., из которых одно весьма близко, но больше, а другое .«» в«„о, » шшш о_ I m будет щщт. т, задав какую угодно вероятность, можно сделать более вероятными, что найденное из многих наблюдений отношение будет заключено в этих пределах полуторного отношения, а не вне их.

Вот, следовательно, какова задача, которую я здесь решил обнародовать после того, как уже в течение двадцати лет владел ее решением. Новизна этой задачи и величайшая польза, сопряженная с такою же трудностью, могут придать вес и цену всем другим главам этого учения. Но прежде изложения ее решения, я в кратких словах защищусь от возражений, которые выставили некоторые ученые мужи против этих положений.

1) Во-первых, возражают, что одно — отношение камешков, а другое —отношение болезней или перемен воздуха. Именно, число первых определенное, а вторых —неопределенное. На это я возражаю, что и то, и другое в отношении к нашему познанию одинаково может считаться неопределенным и неясным. Но все, что само по себе и по своей природе таково, мы можем представить себе не лучше, чем вещь.

2) Во-вторых, возражают, что число камешков конечно, а болезней и проч. бесконечно. Ответ: Скорее невообразимо большое, чем бесконечное. Но допустим, что на самом деле — бесконечо большое. Известно, что даже между двумя бесконечностями может существовать определенное отношение, выразимое конечными числами или точно, или, по крайней мере, с каким угодно приближением. Так, отношение каждой окружности к диаметру определенное, которое, правда, точно не выражается иначе, как круговым числом Лудольфа, бесконечно продолженным1); однако Архимедом, Мецием и самим Лудольфом заключено в пределы, весьма удовлетворительно близкие для практики. Поэтому, ничто не препятствует, чтобы отношение двух бесконечностей, приближенно выраженное конечными числами, также могло быть определено конечным числом опытов.

3) Говорят, в-третьих, что число болезней не остается постоянным, но каждый день возникают новые. Ответ: Что с течением времени болезни могут умножаться,—этого мы не можем отвергать, и несомненно, что тот, кто пожелает из теперешних наблюдений сделать заключения о временах до-дилювианских предков, весьма сильно отклонится от истины. Но отсюда ничего не следует, кроме

1) Число я...

того, что иногда нужно возобновлять наблюдения подобно тому, как следовало бы возобновлять наблюдения и с камешками, если бы предполагать число их в урне изменяющимся.

ГЛАВА ПЯТАЯ. РЕШЕНИЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ.

Чтобы наложить длинное доказательство с возможною краткостью и ясностью, я попытаюсь свести все к чистой математике, извлекая из нее следующие леммы, после доказательства которых все остальное сведется только к их применению.

Лемма I. Пусть дан ряд скольких угодно чисел 0,1, 2, 3, 4 и т. д., следующих, начиная от нуля, в естественном порядке, из которых крайнее и наибольшее пусть будет r+s, какое-либо среднее г и два ближайших к нему числа с обеих сторон г+1 и г—1. Пусть, далее, этот ряд будет продолжен до тех пор, пока крайний член не сделается равным какому-нибудь кратному числа r+s, т.-е. пока не сделается равным nr+ns. В том же отношении увеличатся среднее число г и рядом с ним стоящие г+1 иг—1, так что вместо них получается nr, nr+n, пг—п, и первоначальный ряд

0,1, 2, 3, 4, . . . г-1, г, г+1, . . . r+s

обратится в такой:

О, 1, 2, 3, 4, . . . пг—71, . . . nr. . . nr+n, . . . nr+ns.

С возрастанием п, таким образом, будет увеличиваться как число членов, которые лежат между средним пг и одним из предельных пг+п или пг—п, так и число тех, которые идут от этих пределов до крайних членов nr+ns или О. Но, однако, никогда (как бы велико ни было взято п) число членов за большим пределом пг+п не будет более, чем в 5—1 раз, и число членов перед меньшим пределом nr—п не будет более, чем в г—1 раз, превышать число заключенных между средним пг и одним из пределов пг+п или пг—п. Ибо после вычитания ясно, что между большим пределом и крайним членом nr+ns имеется ns—п промежуточных членов, и между меньшим пределом и крайним 0 имеется пг—п промежуточных членов, между средним и каждым из пределов п промежуточных членов. Но всегда (ns—п) : n=(s—1) : 1 и (n : n=(r—1) : 1. Откуда следует и т. д.

Лемма 2. Всякая целая степень какого-либо двучлена r+s выражается числом членов на единицу большим числа единиц в показателе степени. Ибо квадрат содержит 3 члена, куб—4, биквадрат—5 и т. д., как известно.

Лемма 3. В любой степени этого двучлена (по крайней мере, такой, которой показатель равен двучлену r+s=i или его кратному,— напр., nr+ns—nt)

некоторый член M будет наибольшим, если числа предшествующих ему и следующих за ним членов находятся в отношении s к г или, что то же, если в этом члене показатели букв г и s находятся в отношении самих количеств г и s\ более близкий к нему член с той и с другой стороны больше более удаленного с той жз стороны; го тот же член M имеет к более близкому меньшее отношение, чем более близкий к более удаленному при равном числе промежуточных членов.

Док. 1). Геометрам хорошо известно, что степень nt двучлена r + s, т.-е. (r+s)n\ выражается таким рядом

В этом ряду степени г постепенно уменьшаются, а степени $ увеличиваются, при чем коэффициенты второго и предпоследнего члена у, 3-го с начала и 3-го nt(nt—1) . . nt (nt—l)(n*—2) m с конца —j—— -, 4-го с начала и 4-го с конца 4 .-- и т. д. Так как число всех членов, кроме ikf, по лемме 2, есть nt=nr+ns, а по предположению, числа членов, предшествующих этому и за ним следующих, относятся как 5 к г, то число тех членов, которые предшествуют M, будет ns, а тех, которые за ним следуют,—nr. Откуда, по закону образования ряда, член M будет

или

и подобным же образом ближайший к нему член

слева

справа

и равным образом следующий

слева

справа

Откуда, после предварительного сокращения общих множителей, станет ясным, что член M относится к ближайшему слева, как (nr+1) s к ns. г, этот к следующему, как (пг+2) 5 к(пз—1) г и проч., и также, что член M относится

к ближайшему справа, как (ns+1) г к nr.s, а этот к следующему, как (ns+2) г к (nr—1) s и проч. Но

И

Также

и

Следовательно, член M больше ближайшего с обеих сторон, этот —больше более удаленного с той же стороны и проч. Что и требовалось доказать.

2) Отношение--меньше отношения---, что ясно; поэтому, после умножения на одно и то же отношение ^- будет

Подобно этому, отношение--<---; следовательно, по умножении на отношение — также s

Но отношение

равно отношению члена M к ближайшему слева, и отношение

равно отношению этого члена к следующему. Также отношение

равно отношению члена M к ближайшему справа, и

равно отношению этого члена к следующему. То, что только что показано, можно равным образом применить и ко всем прочим членам.

Вследствие этого наибольший член M имеет меньшее отношение к более близким членам с обеих сторон, чем (при равном числе промежуточных членов) более близкий к более удаленному с той же стороны. Что и требовалось доказать.

Лемма 4. В степени двучлена с показателем nt число п может быть взято столь большим, чтобы отношение наибольшего члена M к двум другим L и А, отстоящим от него налево и направо на п членов, превзошло всякое данное отношение.

Док. Так как в предыдущей лемме наибольший член M был найден равным,

или

то, по закону, образования ряда члены L и А будут

L слева

А справа

откуда получается после приличных сокращений на общие множители

или

Но эти отношения будут бесконечно большими, когда п полагается бесконечным, ибо тогда исчезают числа 1, 2, 3 и проч. по сравнению с п, и сами числа nrztzn^Fl, nrzkn*F2, nr±п-н13 и проч., и nszbn^Fl, ns2kn^F2, nsdznWS и проч. будут иметь то же значение, какпг=Ьп ип$±п, так что по разделении на п получится:

Эти отношения составляются, как ясно, из стольких отношений или ^îtr, сколько есть множителей; а их число п, т.-е. бесконечное, так как между первыми множителями пг+п или ns+n и последними пг+1 и ns+1 разность

TS -f- s

есть п—1. Вследствие чего эти отношения будут бесконечными степенями и — и потому бесконечно большими. Если ты сомневаешься в этом заключении, то представь себе бесконечное число чисел в непрерывной пропорции с отношением rs+s к rs—r или rs+r к rs-—s. Отношение первого числа к третьему будет квадратом, первого к 4-му — кубом, первого к 5-му — четвертой степенью, и т. д.; наконец, первого к последнему — бесконечной степенью отношения --или-; но известно, что отношение первого члена к последнему бесконечно большое, так как последний член=0. Поэтому ясно, что бесконечные степени отношения —if или —— бесконечно велики. Таким образом показано, что в бесконечно высокой степени двучлена отношение члена наибольшего члена к двум другим L и А превосходит всякое заданное отношение. Что и требовалось доказать.

Лемма 5. Предположив то же, что выше, можно представить такое большое число п, чтобы сумма всех членов от среднего и наибольшего M до обоих членов L и А включительно имела к сумме всех других вне пределов L и А, взятых в каком угодно числе, отношение большее всякого заданного.

Док. Члены между наибольшим M и предельным слева L пусть обозначаются: второй от наибольшего —F, третий —G, четвертый—Я и т. д., и за пределом L: второй от него —Р, третий —Ç, четвертый — R и т. д. Так как по второй части леммы 3 отношения

то также будет

Так как по лемме 4, при п бесконечно большом отношение — бесконечно, то тем более будут бесконечными отношения -р i 7p . . ., и потому

отношение

также бесконечно, т.-е. сумма членов между наибольшим M и пределом L бесконечно больше суммы такого же числа за пределом L и наиболее к нему близких. И так как число всех членов за пределом L превышает, по лемме 1, не более-чем в 5—-1 раз (т.-е. конечное число раз) число членов между этим пределом и наибольшим членом M, а сами члены делаются тем меньше, чем дальше они отстоят от предела, по 1-й части 3-й леммы, то сумма всех членов между M и L (даже не считая М) будет бесконечно больше суммы всех членов за пределом L. С другой стороны, подобным же образом доказывается, что сумма всех членов между M и А бесконечно больше суммы всех членов за пределом А (число которых превышает число первых не более, чем в г—1 раз по лемме 1). Поэтому, наконец, сумма всех членов, заключенных между пределами L и А (за исключением наибольшего), будет бесконечно больше суммы всех членов, расположенных за этими пределами; и тем паче, следовательно, вместе с наибольшим. Что и требовалось доказать.

Пояснение. Теми, кто не привык к рассуждениям с бесконечным, может быть сделано против 4-й и 5-й лемм возражение, что хотя в случае бесконечного п множители количеств, выражающих отношения

M M , —л ,_ _п ,' —4

— и —-, т.-е. пг±пЧ~1, nràzn^i,____ и ns±n4-l,

имеют то же значение, как nnkn и ns±n, так как числа 1,2, 3. . . . исчезают по сравнению с каждым из множителей; однако возможно, что собранные вместе и перемноженные между собой (вследствие бесконечного числа их) эти числа бесконечно уменьшат, т.-е. сделают конечными, бесконечные степени отношений--или--. Этому сомнению я не могу лучше удовлетворить, как показав теперь способ на самом деле найти конечное число п или конечную степень двучлена, в которой сумма членов между пределами L и А имеет к сумме членов вне их отношение, большее какого угодно большого данного отношения, которое обозначу буквою с. Когда это будет показано, возражение необходимо падет.

Для этого я беру какое-либо отношение, большее единицы, но. однако, меньшее отношения--(для членов слева), напр., отношение--или —, и умножаю его на самого себя столько раз (m раз), пока произведение не будет

равно или не превзойдет отношения с (s—1) к 1; т.-е. пока не будет:

Когда это должно случиться, можно быстро высчитать по логарифмам; ибо взяв логарифмы, получим

и по разделении сразу найдем

Найдя это, я продолжаю так: относительно ряда дробей или множителей через умножение которых, по лемме 4, получается отношение —, следует заметить, что отдельные дроби меньше дроби--, однако тем более к ней приближаются, чем большее берется п. Поэтому, какая-либо из них когда-нибудь станет равной самому отношению —~ =-. Ввиду этого следует посмотреть, какое надлежит взять п, чтобы дробь, порядок которой есть m, стала равной г+1—. Но (что явствует из закона составления ряда) дробь порядка m такая

Г+1

приравнивая ее получаем

и отсюда

Я утверждаю, что при таком показателе степени двучлена r+ s наибольший член будет более, чем в с (5—1) раз превосходить предел L. Ибо так как дробь порядка m при таком значении п будет равна-, а дробь —, умноженная на себя m раз, т.-е. —^—, равна или больше с (5—1) (по положению), то эта дробь (порядка m), умноженная на все предыдущие, тем более превзойдет с (5—1), в силу того, что все предыдущие дроби больше ——. Следовательно, произведение

после умножения на все последующие еще более превзойдет -с (5—1), ибо все последующие дроби по крайней мере больше единицы. Но произведение всех дробей выражает отношение члена M к L, поэтому совершенно достоверно, что член M превосходит L более, чем с с (s-A) раз. Но как показано; отсюда следует, что второй член за M превзойдет второй член за L более, чем в с (5—1) раз, и т. д.—Поэтому, наконец, сумма всех членов между наибольшим M и пределом L превзойдет более, чем в с (5—1) раз, сумму такого же числа наибольших членов за этим пределом, и более, чем в с раз, эту сумму, взятую 5—1 раз. Следовательно, тем очевиднее она превзойдет более, чем в с раз, сумму всех членов за пределом L, число коих превосходит не более, чем в 5—1 раз число членов между M и L. — Относительно членов справа поступаю подобным же образом. Беру отношение - <*--, полагаю

(5-fl)m__

--^ с (г—1) и нахожу

Затем в ряду дробей

входящих в отношение —, полагаю дробь порядка m, именно

равной

отсюда извлекаю и потому

После чего подобным же образом, как раньше, будет показано, что в двучлене г+5, возвышенном в эту степень, наибольший член M превзойдет предел А более, чем в с (г—1) [раз; и, следовательно, также, что сумма членов

между наибольшим M и пределом L превзойдет сумму всех членов вне этого предела (число которых превосходит число членов между M и А не более, чем в г—1 раз) более, чем в с раз. Итак, наконец, заключаем, что по возведении двучлена г+s в степень, показатель которой равен большему из двух чисел сумма членов, заключенных между пределами L и А более, чем в с раз, превзойдет сумму всех остальных, расположенных по обе стороны от этих пределов. Найдена, следовательно, конечная степень, имеющая желаемое свойство. Что и требовалось доказать.

Главное предложение. Наконец, следует само предложение, ради которого сказано все предыдущее и которого доказательство вытекает из одного лишь применения предварительных лемм к настоящей цели. Чтобы избежать утомительного многословия, я назову случаи, когда какое-либо событие появляется, плодовитыми (благоприятными); а бесплодными (неблагоприятными) те, когда то же событие не появляется. Равным образом назову те опыты благоприятными, когда обнаруживается один из благоприятных случаев, и неблагоприятными—те, когда наблюдается один из неблагоприятных случаев. Пусть число благоприятных случаев относится к числу неблагоприятных точно или приближенно, как г к s или к числу всех случаев —как г к r + s или г кг, каковое отношение заключается в пределах —-— и ——. Требуется доказать, что можно взять столько опытов, чтобы в какое угодно данное число раз (с раз) было вероятнее, что число благоприятных наблюдений попадет в эти пределы, а не вне их, т.-е. что отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех будет не более, чем ——, и не менее, чем ——.

Доказательство. Положим число необходимых наблюдений, равным nt\ требуется определить, каково будет ожидание или вероятность, что все они будут благоприятными, без исключения, затем за исключением 1, 2, 3, 4 и т. д. неблагоприятных. Так как при каждом наблюдении имеется, по положению, t случаев, из них г благоприятных, отдельные случаи одного наблюдения могут сочетаться с отдельными случаями другого, после чего опять сочетаться с отдельными случаями 3-го, 4-го и т. д., то легко видеть, что для этого годится правило, присоединенное к примечаниям предложения XIII первой части1) и

1) Ссылка на первую часть «Ars Conjectandi», содержащую мемуар Гюйгенса об азартных играх, с дополнениями и примечаниями Я. Бернулли.

его второе следствие, содержащее общую формулу, с помощью коей находится вероятность отсутствия неблагоприятных наблюдений вероятность одного неблагоприятного наблюдения

двух трех

Поэтому (по отбрасывании общего делителя tnt) ясно, что степени вероятностей или числа случаев, при которых может статься, что все опыты благоприятны или все за исключением одного, двух, трех, четырех и т. д. неблагоприятных, по порядку, выражаются через

т.-е. как раз теми самыми членами степени ni двучлена, которые только что исследованы в наших леммах; откуда уже все остальное ясно.

Именно, из природы ряда явствует, что число случаев, которые с ns неблагоприятными наблюдениями дают пг благоприятных, есть сам наибольший член М, так как ему предшествует ns членов, а за ним следует пг, по лемме 3. Равным образом ясно, что числа случаев, при которых оказалось или пг+п или пг—п благоприятных наблюдений, при чем остальные неблагоприятны, выражаются членами L и А, отстоящими на п членов по обе стороны от наибольшего. Следовательно, также ясно, что общее число случаев, при которых оказывается не более пг+п и не менее пг—п благоприятных наблюдений, выражается суммою членов, заключенных между пределами L и А; общее число остальных случаев, при которых оказывается или больше или меньше благоприятных наблюдений, выражается суммой остальных членов вне пределов L и А. Так как степень двучлена может быть взята столь большою, чтобы сумма членов, заключенных между обоими пределами L и А, превосходила более, чем в с раз, сумму всех остальных, из этих пределов выходящих, по леммам 4-й и 5-й, то, следовательно, можно взять столь большое число наблюдений, чтобы число случаев, при которых отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех оказывается не выходящим из пределов —■— и —-— или —-— и ——, превышало

более, чем в с раз, число остальных случаев; т.-е. сделалось более, чем в с раз, вероятнее, что отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех заключается в пределах —-— и —-—, а не вне этих пределов. Что и нужно было доказать.

В применении этого к отдельным численным примерам достаточно ясно само собою, что чем большие берутся в одном и том же отношении числа

г-4-1 г — 1 г

г, s и t, тем уже могут быть сделаны границы —■— и--отношения -.

На этом основании, если отношение числа случаев —, которое должно определить из наблюдений, есть, напр., полуторное, т.-е. —, то за г и s я не беру 3 и 2, но 30 и 20 или 300 и 200 и проч. Достаточно положить г = 30, s = 20 и г + ! 31 г —1 29 „ t = 50, .чтобы пределы оказались —-— = ^ и —= . Пусть, сверх того, положено с=1 000. Тогда, по предписанному в разъяснении, будет для членов

Откуда, по доказанному там, выводится заключение, что при 25 550 опытах будет более, чем в тысячу раз вероятнее, что отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех будет заключено в пределах — и а не вне их. И таким же образом, положив с=10 000 или £=100 000 и т. д., найдем, что тоже будет более, чем в 10 000 раз, вероятнее, если будет сделано 31 258 опытов; и более, чем в 100 000 раз вероятнее, если будет взято 36 966 опытов; и так далее до бесконечности, прибавляя именно постоянно к 25 550 опытам 5 708 других.

Откуда, наконец, вытекает то удивительное, повидимому, следствие, что, если бы наблюдения над всеми событиями продолжать всю вечность (при чем вероятность, наконец, перешла бы в полную достоверность), то было бы замечено, что все в мире управляется точными отношениями и постоянным законом изменений, так что даже в вещах, в высшей степени случайных, мы принуждены были бы признать как бы некоторую необходимость и, скажу я, рок. Не знаю, не это ли имел в виду уже сам Платон в своем учении о восстановлении всех вещей, согласно которому все по истечении несметного числа веков возвратится в прежнее состояние.

Законы случайного и Математическая статистика.

Под таким заголовком в журнале «Вестник Европы» (1892 год, октябрь) напечатал статью профессор Казанского университета А. В. Васильев. В общедоступной и живой форме высокоученый профессор настолько наглядно рисует всю важность изучения математической вероятности и перспективы ее будущего в приложениях к различным областям общественно-политических наук, что считаем необходимым и сообразным с целями наших отрывков из теории вероятностей привести в заключение обширное извлечение из этой статьи.

«Может показаться, что подобные вычисления (т.-е. вычисления математических вероятностей) имеют очень мало значения. Какая польза знать, что вероятность падения кости на грань, обозначенную цифрою 1. равна 1/6, если мы знаем, что непременно случится одно из двух событий: или она падет на эту грань, или нет. Какое отношение имеют все эти вычисления—иногда с большою затратою времени — вероятности к действительности? Не замешана ли тут только дурная привычка математиков—всюду требовать чисел и всюду вводить их?

Я постараюсь показать теперь, что вычисления математической вероятности имеют очень большое значение, и что математическая вероятность может и должна проявиться в действительности. В самом деле, при вычислении математической вероятности, напр., падения кости, мы принимаем во внимание главную и постоянную причину, действующую при каждом падении кости — ее форму, но не принимаем во внимание все остальные причины, действующие при падении, причины, изменяющиеся от одного падения до другого. Мы должны поэтому a priori предвидеть, что математическая вероятность должна проявиться при весьма большом числе испытаний, как выражение причины неизменной среди множества переменных, действующих то в ту, то в другую сторону и потому взаимно уравновешевающихся. Но как именно проявится матоматическая вероятность при большем числе испытаний—вот задача, которая

в течение двадцати лет под-ряд была предметом неустанной работы мысли знаменитого Якова Бернулли. Настойчивость великого ума привела к доказательству знаменитой теоремы, составляющей важнейший результат теории вероятностей и носящей название теоремы Якова Бернулли, или закона больших чисел.

На основании этой теоремы мы можем указать с вероятностью, которую можем сделать сколь угодно близкою к единице, те пределы, между которыми должно заключаться число повторений известного случайного события при большем числе испытаний. Теорема говорит, что число повторений события не может значительно отклониться от произведения числа всех испытаний на вероятность события, и указывает пределы отклонения.

Для выяснения теоремы Бернулли необходимо привести по крайней мере один численный пример. Мы возьмем самый простой пример случайного события: падение монеты на орел или на плату. Бросаем монету 100 раз; по теореме Бернулли, весьма вероятно, что число падений на орел, напр., будет заключаться между числами 33 и 67; отклонение действительного числа падений от половины 100 не превышает 17. Вероятность такого предсказания так же велика, как вероятность предсказания, что лицо, имеющее один билет выигрышного займа, не выиграет ничего в предстоящий тираж. Предсказание может не осуществиться: лицо может выиграть, число падений монеты на орел может быть больше 67

Проф. Александр Васильевич Васильев.

и меньше 33. Но как ни один здравомыслящий человек не станет изменять своей жизни или делать какие-нибудь распоряжения и лишние траты в предвидении выигрыша, так и мы можем считать почти несомненным и основывать наши расчеты на убеждении, что число падений монеты на орел будет заключаться в пределах 67 и 33.

Если мы увеличим число бросаний монеты в 100 раз, т.-е. будем бросать ее 10 000 раз, то опять с тою же самою вероятностью — не выиграть, имея один билет, мы можем утверждать, что число падений на орел будет заключаться между пределами 5175 и 4 825, т.-е. отклоняться от половины 10 000 на 175.

Увеличим число бросаний еще в 100 раз, т.-е. сделаем миллион бросаний, и теорема говорит нам, что при той же вероятности число будет заключаться между пределами 501 750 и 498 250, т.-е. будет отклоняться от половины 1 000 000 не более, чем на 1 750. Наконец, при ста миллионах бросания отклонение от половины будет не больше 17 500.

Сопоставим теперь два ряда полученных нами чисел. Числа бросаний монеты у нас были: 100, 10 000, 1 000 000, 100 000 000, т.-е. увеличивались последовательно в 100 раз. Наибольшие же отклонения, допустимые с вероятностью не выиграть в тираж, были 17,175,1 750, 17 500v т.-е. хотя и возрастали, но возрастали гораздо медленнее, увеличиваясь последовательно в 10 раз. Это обстоятельство имеет громадное значение. Ясно, что если мы будем рассматривать не абсолютные цифры отклонений, а отношения к общему числу испытаний, то мы будем получать все меньшие и меньшие дроби. Наибольшее отклонение при 100 испытаниях не превышает 17% общего числа испытаний; при 10 000 оно уже не превышает 1,7°/0; при 1 000 0(ХЫ),17°/о, и, наконец, при 100 000 000 — 0,0177с

По мере увеличения числа бросаний монеты, отношение числа падений монеты на орел к общему числу падений стремится к дроби х/2, т.-е. к вероятности падения на орел, а отношения отклонения числа падений на орел от точной половины числа падений к общему числу падений делается все меньше и меньше и может быть сделано менее сколь угодно малой дроби.

Отсюда вытекает такое замечательное следствие.

Если мы будем производить последовательно два ряда бросаний монеты, заключающих каждый весьма большое число таких бросаний, то мы можем ожидать поразительной правильности. Отношения числа падений на орел к общему числу падений будут почти равны, и чем больше будут числа испытаний, тем ближе к равенству будут эти отношения.

Во всех случайных явлениях, происходящих от совокупности многих причин как постоянных, так и переменных, мы замечаем именно эту правильность, которая и составляет закон случайных явлений, a priori посредством математического анализа доказываемый в математической теории вероятностей.

Большие числа поправляют случай и наблюдения над большим числом явлений; массовые наблюдения, как часто говорят, открывают нам правильность там, где с первого взгляда ее быть не может.

Закон больших чисел иногда иллюстрируют следующим прекрасным сравнением. Дождь, падая на горизонтальную полированную поверхность, смочит все плиты равномерно. Каждая капля падает самостоятельно от других и случайно. Могло бы, казалось, случиться, что на ту или на другую из плит не попадает ни одной капли или очень мало; однако этого никогда не случится. Такова сила больших чисел.

Экспериментальная проверка закона больших чисел занимала, между прочим, знаменитого натуралиста Бюффона. Взявши монету, он бросал ее 4 040 раз, и получил 2 048 раз орел и 1 992 —плату. Бюффону же принадлежит осуществление квадратурного круга посредством бросания иголки на ряд параллельных линий. В выражение математической вероятности пересечения при падении иглою одной из параллельных линий входит Архимедово число тт (отношение окружности к диаметру). При большом числе испытаний отношение числа повторений случайного события к общему числу испытаний стремится к вероятности. Следовательно, стоит с терпением бросать большое число раз иголку, отмечая сколько раз она пересечется с одною из параллельных линий, и можно будет найти приближенное значение числа тт.

Значение теоремы Бернулли не ограничивается тем, что она доказывает a priori необходимость правильности в повторении случайных событий. Она, дает, кроме того, возможность проверять верность наших предположений относительно вероятности случайного события. Понятие о математической вероятности всякого случайного события заключает в себе субъективный элемент. Говоря, напр., об определении математической вероятности падения кости на ту или другую грань, мы выразились: «Мы верим, что при работе над костью были употреблены все усилия, чтобы сделать ее симметричною и однородною». Но как бы ни был искусен мастер, никогда нельзя утверждать, что кость сделана действительно из абсолютно-однородного материала, и что ее центр тяжести совпадает с геометрическим центром. Поэтому, считая вероятность падения кости на ту или другую грань равною х/а, мы несомненно делаем ошибку и вычисляем только первое приближение. На деле кость всегда несколько нессимметрична и неоднородна и, вследствие этого, имеет большую наклонность падать на одну грань, чем на другую, что и проявляется на опыте, так как действительные падения кости, конечно, не могут зависеть от нашей веры в ее симметричность и однородность. Поэтому, если при 60 000 бросаниях кости отклонение от одной шестой для известной грани будет больше, чем то, которое допускается теоремою Бернулли, то мы имеем право с известною вероятностью заключить, что наша математическая вероятность неточна, и заменить ее другою — объективною вероятностью или возможностью.

В случае падения кубической кости можно a priori вычислить хотя бы приближенную величину математической вероятности. В гораздо большем числе случаев такая вероятность не может быть вычислена; но, производя опыты или наблюдения,, мы по числу повторений случайного события можем вычислить его объективную* вероятность. Вероятность для 18-летней девушки выйти замуж в течение двух лег за 25-летнего не может быть, конечно, вычислена a priori. Но если мы припомним, что по теореме Бернулли: «при весьма большом числе испытаний отношение числа повторений к числу испытаний стремится к вероятности события»,—то для определения искомой вероятности должны получить список весьма большого числа 18-летних девушек и число тех из них, которые в течение двух лет вышли замуж за 25-летних. Частное от разделения этого последнего числа на число всех 18-летних девушек и будет искомая вероятность. Данные хорошо разработанной итальянской статистики отвечают нам на этот вопрос, как и на многие другие. Они говорят, что искомая вероятность равна 0,0099. Какую бы комбинацию возраста жениха и невесты ни взяли, по данным статистики можно определять соответствующую вероятность. Подобным же образом могут быть определяемы объективные вероятности и других событий.

Возьмем, например, несколько страниц какого-нибудь писателя, сосчитаем число всех букв и число встретившихся а. Отношение между числом встретившихся букв а и общим числом всех будет объективная вероятность того, что первая попавшаяся случайно на странице буква будет именно а. Возьмем другие страницы того же или другого русского писателя, и, на основании закона больших чисел, мы найдем почти те же дроби для объективной вероятности появления той же буквы. И литературное произведение, и газетная статья, и научный трактат., если они написаны на одном и том же языке, дадут при большом отрывке один и тот же результат. Фонетические законы языка остаются одинаковыми для различных авторов, и потому объективные вероятности звуков в одном и том же языке будут иметь одинаковые значения, из какого бы отрывка они ни выводились. Но для другого языка объективные вероятности тех же звуков получат иное значение. Разработанная на этих началах фонетическая статистика, примененная строго-научно, может, охарактеризовав каждый данный язык системою чисел, дать прекрасный метод для сравнения его с другими языками. Первые попытки в этом направлении были произведены в сороковых годах Ферстиманном над языками греческим, латинским, готским и санскритским, но с тех пор на этот предмет филологи мало обращали внимания.

Теория вероятностей родилась у игорного стола, и в течение довольно значительного времени ее предметом продолжали быть азартные игры: орлянка, игра в кости, различные виды игры в карты. Но великие ученые XVII и XVIII векову разрабатывавшие эти приложения теории вероятностей, видели в комбинациях,

представляемых азартными играми, лишь предлоги для усовершенствования методов науки. Еще Паскаль понимал, что ветвь знания, которой он и Ферма полагали начало, имеет многоразличные применения к всевозможным случайным явлениям, и в теории вероятностей —геометрию случая. Скоро, действительно, перед теориею вероятностей открылось обширное поле самых важных приложений как в общественных, так и в научных вопросах.

Одним из первых приложений явилось приложение теории вероятностей к решению вопроса, который в XVIII веке, столь богатом войнами, мог интересовать не одну жену офицера или солдата, не отличавшуюся верностью классической Пенелопы. Это вопрос об определении срока, после которого без вести пропавший муж мог считаться мертвым, а, следовательно, его жена могла, не подвергая себя известному гамлетовскому упреку, наложить на себя новые брачные узы.

За этим первым приложением последовали многие другие приложения: к страхованию жизни, от огня и т. п. Явились, как всегда, и увлечения: теория вероятностей прилагалась, напр., к определению вероятностей судейских приговоров, решений законодательных собраний и т. п.

В настоящее время все более и более выясняется то громадное значение, которое в области научных вопросов принадлежит основанному на теории верояностей статистическому методу, а в практической жизни — основанному на теории вероятностей страхованию от бедствий, происходящих от случайных событий.

На теории вероятностей основывается статистический метод. Его техника, руководимая теорией вероятности, вырабатывается постепенно в особую ветвь знания, в особую науку — математическую статистику. Науку эту можно рассматривать как ветвь логики, изучающей все методы, которыми человеческий ум пользуется для приобретения новых истин.

Так как все выводы теории вероятностей основываются на законе больших чисел и не имеют никакого значения, если будут относимы к небольшому числу испытаний, то и статистический метод нуждается в массовых наблюдениях для правильности своих выводов. Только большие числа устанавливают известную правильность в повторении случайных событий; только имея в статистических таблицах данные относительно большого числа однородных случайных событий, мы можем выводить объективные вероятности их и, пользуясь формулами теорви вероятностей, при изменении отношения между числом повторений события и общим числом испытаний,—судить о том, изменились ли главные причины, проявляющиеся в событии, иди же замеченное изменение упомянутого отношения не выходит из пределов изменения, допустимого самим характером случайного события, как зависящего не только от главных постоянных причин, но и от постоянно меняющихся, случайных. Может ли, другими словами, рассматриваемое случайное событие быть уподоблено типическому случайному событию —выходу, напр., шаров белого цвета из урны, заключающей в себе неизменяющееся в течение всех испытаний число шаров разного цвета?

Сравнение статистических рядов в том виде, в каком они даются наблюдениями, с таким типическим случайным событием, с постоянною объективною вероятностью, приводит к интересной классификации статистических рядов, идея которой пришла почти одновременно, в семидесятых годах, двум ученым — германскому политико-эконому Лексису и французскому математику Дормуа. Применяя математический критерий, вытекающий из формул теории вероятностей, к различным статистическим рядам, они нашли, что все статистические ряды могут быть отнесены к трем различным категориям.

В первую категорию входят все те ряды, в которых отклонения следуют тому же закону, которому они следуют в типических случайных явлениях с постоянною объективною вероятностью. Такие статистические ряды Лексис называл обладающими нормальною дисперсиею (рассеянием). По Дормуа, для них известное отношение, которое он называет коэффициентом расходимости, равно 1.

В рядах второй категории, напротив, отклонения значительно больше, как будто бы в этих явлениях действовала какая-то возмущающая сила, постоянно изменяющая объективную вероятность явления; такие числа получались бы при выходе шаров из урны, если бы в урну время от времени подсыпались то белые, то черные шары. Такие ряды называются рядами с сверхнормальною дисперсиею; коэффициент расходимости для них больше единицы, и тем он больше, чем сильнее влияние пертурбирующих причин, т.-е. изменяющих объективную вероятность явления.

Наконец, в массовых явлениях третьей категории действует регулирующая сила, направляющая их к большему постоянству, сглаживающая и уменьшающая их отклонения. Такие ряды называются рядами с дисперсиею ниже нормальной, и коэффициент расходимости для них меньше единицы.

Особенно интересный пример рядов с нормальною дисперсиею представляет ряд, составленный из отношений между числом рождений младенцев мужского пола и числом рождений младенцев женского пола.

Отношение это отличается замечательным постоянством по годам, по временам года, по странам и может быть приблизительно выражено отношением между числами 1 063 :1 000.

Поразительное постоянство этого отношения опровергает различные теории, объяснявшие пол рождающегося младенца то тою или другою разностью в годах отца и матери (теория Hofacker-Sadler'а), то различием питания организма матери во время беременности. Действительно, разность между годами брачующихся варьирует по странам довольно резко и представляет ряд с сверхнормальною дисперсиею; питание женщин варьирует в одной и той же стране по годам. Отношение же между числами рождений младенцев мужского пола и женского остается поразительно постоянным.

Интересно, что такое же постоянство обнаруживается, как показали исследования ботаника Гейера над коноплею и над Mercurialis annua, также и у двудом-

ных растений. Гейер, независимо от Лексиса, пришел к выводу, что это постоянство всего лучше объясняется тем, что уже семянные клетки различаются по их полам; замечательно, что у Mercurialis annua те клетки, из которых произойдут мужские организмы, находятся почти в том же отношении к клеткам, из которых произойдут женские, как и у людей,—в отношении 1 059 :1 000. У конопли это отношение обратное: число семянных женских клеток превышает число мужских; в отношении 1150 :1 000.

Рядами с нормальною дисперсиею является также большинство рядов криминальной статистики. Отношение числа осужденных французскими Cours d'assises к населению отличается весьма большим постоянством: коэффициент расходимости равен только 6. Так же малы коэффициенты расходимости для отношения числа приговоренных женщин к общему числу приговоренных (2,3), для отношения холостых преступников к общему числу преступников (3), для отношения преступников в возрасте от 21 до 30 лет к общему числу преступников (1,75), для отношения числа безграмотных преступников к общему числу их (5).

Несколько больше уже коэффициент расходимости для отношения числа самоубийств к населению, так как и абсолютное, и относительное число самоубийств увеличивается.

Большое число примеров рядов с сверхнормальною дисперсиею представляет нам демография, или статистика народонаселения. Для отношения числа рождений к населению коэффициент расходимости равен 32; для отношения числа браков к населению—25; для отношения числа смертей к народонаселению — 86. Больше я величина последнего коэффициента объясняется эпидемиями, войнами, неурожаями.

Сверхнормальную дисперсию представляет также отношение числа выздоравливающих от эпидемий к общему числу заболевших. Обстоятельство это находится, очевидно, в связи с большею или меньшею силою эпидемий. Напротив, в случае тех болезней, где выздоровление зависит преимущественно от ухода, мы должны получить ряды с нормальною дисперсиею, и Физмер действительно получил для процента выздоравливающих от пневмонии ряд с нормальною дисперсиею.

Если эпидемии, войны, неурожаи играют роль причины, возмущающей правильное дейстие закона больших чисел, как бы подбрасывающей черные шары в урну, то законодательство, напротив, играет часто роль причины регулирующей, и потому примеры рядов с ниженормальною дисперсиею мы встречаем преимущественно в тех статистических рядах, на которые оказывает влияние законодательство.

Статистический метод, как видно из предыдущих примеров, может быть прилагаем к различным отраслям знания. Но как ни разнообразны могут быть приложения статистического метода, есть одна область явлений, где статистический метод является незаменимым, единственным методом, дающим точные числовые данные. Это—область общественных явлений.

Метеорология может еще мечтать об априорном математическом решении задачи о направлении ветров и океанических течений на земном шаре, сплошь покрытом водяною оболочкою и окруженном атмосферою. Но область запутанных явлений общественной жизни настолько сложна, что здесь приложение математики представляется нам трудно осуществимым. Увлечение математическим методом составляло характерную черту XVIII века, пораженного созданием небесной механики, и Кондорсе мечтал «осветить политические и нравственные науки светочем алгебры». Но еще тогда это увлечение было осмеяно аббатом Галиани в одном из остроумнейших сочинений XVIII века: «Беседы о торговле зерном». Теперь это увлечение прошло. Только в политической экономии мы видим попытки приложить математический метод к тем специальным частям ее, которые трактуют об обмене и о денежном обращении. Громадная сложность явлений общественной жизни делает трудно применимым в изучении этих явлений дедуктивный математический метод; зато невозможность опыта делает особенно драгоценным статистический метод, а вместе с статистическим методом делается необходимою и отрасль математики — математическая статистика,—как строгий страж точности полученных результатов.

Совокупность результатов, полученных для науки об обществе с помощью статистического метода или метода массовых наблюдений, составляет особую ветвь знания, которую обыкновенно называют статистикою, но было бы правильнее назвать ее социальною статистикою, подобно тому как уже существует статистика медицинская, и может существовать статистика фонетическая.

Из сказанного выше о цели массовых наблюдений всякого рода видно, что конечная цель социальной статистики должна заключаться в том, чтобы из наблюдений над массами однородных общественных явлений, во-первых, вывести числовые данные, характеризующие частоту появления известного социального явления (брака в том или другом возрасте, самоубийства, кражи со взломом); во-вторых — изучить изменяемость этих числовых данных. Последняя и самая важная цель статистики состоит в том, чтоб проникнуть насколько возможно в причинную связь между различными явлениями общественной жизни. Статистика может сделать это, группируя известным образом свои данные, изолируя, благодаря такой группировке, одну из причин и выставляя ее значение для рассматриваемого социального явления. Так, для того, чтобы выяснить зависимость самоубийств от возраста, она должна распределить данные относительно самоубийств по возрастам.

Говоря языком математической теории вероятностей, мы должны сказать, что цель социальной статистики должна состоять в том, чтобы охарактеризовать общественный организм возможно большим числом объективных вероятностей и путем сравнения различных социальных организмов вывести числовые связи, существующие между объективными вероятностями различных явлений. Так

в физике каждое простое или сложное тело характеризуется системою физических постоянных (атомный и удельный вес, показатель преломления и т. д.). Чем больше мы знаем таких физических постоянных для физического тела, тем ближе мы знаем самое тело; чем больше числовых связей (функциональных зависимостей) нами найдено, тем больше мы знаем физических законов.

Не с одними постоянными отношениями встречается социальная статистика. На всяком шагу в ней замечаются и такие ряды, которые Лексис называет эволюторными; пример таких рядов представит, напр., во всякой прогрессирующей стране ряд, составленный из годовых цифр лиц, получающих образование, и т. п. Во всех этих рядах замечается уже не постоянство, а тенденция изменяться в том или другом направлении.

Но и те ряды, которые представляют поразительное постоянство, заставившее Кетле говорить об определенном бюджете преступников, который платит всякое общество,—на деле также подвергаются «вековым неравенствам». Фаталистическое воззрение Кетле и прочих последователей «математической школы» в статистике уступает место другому воззрению, которое рассматривает всякую вычисляемую статистикою объективную вероятность, как проодукт всего общественного строя, изменяющийся вместе с изменением самого строя.

Место социальной статистики в ряду других общественных наук легко определится, если мы будем исходить из предложенного О. Контом разделения социологии — науки об обществе —на абстрактную и конкретную.

Абстрактная наука об обществе, изучающая законы об общественности вообще, законы, которые были бы получены путем отвлечения от конкретных общественных организмов, еще не существует. Все существующие теперь общественные науки (наука о хозяйственных отношениях, или политическая экономия, история прагматическая, история культуры, история права) суть части конкретной социологии потому, что все изучают существующие или существовавшие общества и государства. Социальная статистика составляет часть той же конкретной социологии; но между тем как другие науки отличаются между собою по предметам исследования (право, хозяйство, литература), социальная статистика отличается ют них по методу. По предмету исследований она так же обща, как сама наука в обществе, так как в круг ее исследований одинаково входят и важнейшие явления физиологической жизни отдельного человека, и явления хозяйственной жизни, и, наконец, те явления, которые обусловливаются разумно-нравственною стороною человеческой природы. Этим различным сторонам человеческой деятельности «соответствует разделение статистики на три главные отдела: 1) демография, или статистика народонаселения (наиболее разработанная и наиболее пользующаяся помощью математического анализа часть статистики); 2) экономическая статистика, и 3) статистика моральная или культурная, изучающая повторяемость преступлений, самоубийств, деятельность школы, благотворительности, поскольку она проявляется в числовых данных.

Совпадая по своему предмету с другими частями общественной науки, социальная статистика отличается от них по методу. Мы видели, что этот метод заключается в том, чтобы из наблюдений над массами явлений вывести известные числовые постоянные, характеризующие данный социальный организм и, пользуясь, вспомогательными формулами теории вероятностей, отличить при изменении этих числовых постоянных те, которые происходят от причин случайных, от тех, которые указывают на изменения в строе самого организма. В этом числовом методе — преимущество и сила статистики сравнительно с другими частями общественной науки, и поэтому она может развиваться, только опираясь постоянно на указания науки о числах — чистой математики. Только опираясь на указания теории вероятностей и основанной на ней математической статистики, социальная статистика может не делать тех ошибок, которых не лишена ее история. Статистики и должна научиться у астрономов и физиков, каким образом, только постоянно прибегая к помощи чистой математики, можно открывать вековые неравенства в отношениях кажущихся постоянными, и от эмпирических законов, соответствующих законам Кеплера, перейти к истинным законам природы, типом которых является великий закон всемирного тяготения.

Но как ни велика, как ни важна роль статистики, как части общественной науки, она неизбежно нуждается в дополнении. В самом деле, что дает нам, например, так называемая моральная статистика? Она указывает нам, например, число самоубийств, изменение чисел по временам года, по родам самоубийства, наводит на интересные и важные мысли. Но для психологии самоубийства, для выяснения той связи, которая существует между жизнью общества и фатальным поступком самоубийцы, она не дает почти ничего. Она не вводит в психологический мир самоубийцы, так как принуждена соединять все самоубийства, независимо от психологических мотивов, в одну цифру их, и для нее —по необходимости — целомудренный, одаренный нежною чувствительностью, Вертер, лишающий себя жизни из любви к Шарлотте, и пресыщенный страстями и наслаждениями Ролла фигурируют в статистической таблице, как однородные единицы.

Вот почему статистика необходимо нуждается в дополнении: мы только тогда поймем известное явление жизни человека, когда познакомимся не только с его психологиею, но и с психологиею и жизнью той среды, в которой он жил и развивался. «Человеческие документы» — вроде дневника Башкирцевой — являются лишь ввиде исключения. Их может заменять и действительно заменяет психологический и социологический роман новейшего времени. Эту мысль с особенным увлечением развивал один из представителей современного реалистического романа — Эмиль Золя.

«Мы указываем,—пишет он в своем «Le roman experimental», от лица всех реалистов,—механизм полезного и вредного; мы раскрываем детерминизм человеческих и общественных явлений, чтобы впоследствии можно было овладеть

ими и направлять эти явления». Романист сравнивается с естествоиспытателем, производящим опыты.

Конечно, есть доля увлечения в этих мыслях автора «Жерминаля» и «Денег». Прекрасную критику этих мыслей дает Гюйо в недавно переведенном на русский язык сочинении «Искусство с социологической точки зрения». Он указывает совершенно справедливо на то, что опыт романиста только с большою натяжкою можно уподобить опыту естествоиспытателя; опыт последнего производится в природе, опыт первого —в мозгу романиста. Но каковы бы ни были увлечения Золя, нельзя не признать известной доли правды в его взглядах, а следовательно высокого общественного и в известной степени научного значения современного романа.

Основной принцип всякого научного мышления, по которому всякое явление должно вполне определяться его причинами, оказывает и на литературу все большее и большее влияние. Роман во вкусе Дюма, роман основанный на эффектах и случайностях, в котором развязки являются как Deus ex machina, уступил место роману, в котором всякий поступок действующих в романе лиц является следствием определяющих его причин: наследственности, воспитания, влияния среды физической или социальной.

В каких бы дополнениях ни нуждалась, однако, статистика, во всяком случае развитие ее представляет громадную важность для развития социальной науки вообще. Она открывает для общественной науки новый неисчерпаемый источник истин, позволяет ей заменить абстрактные метафизические понятия, так долго господствовавшие в общественной науке, живою водою точного математического знания и дает возможность при свете факела математического анализа разыскивать причинную связь между общественными явлениями.

Новейшие успехи математической статистики косвенным образом начинают проявлять влияние на выработку новых методов исследований в политической экономии. До сих пор еще идет в этой науке оживленный спор о том, какого метода она должна держаться, спор о том, есть ли политическая экономия — наука дедуктивная, как учит классическая школа, или индуктивная, как смотрит школа историческая. Лексис, которому мы обязаны исследованиями о дисперсии статистических рядов, вносит и в спор о методах политической экономии новые и важные мысли, показывая в своем классическом сочинении «О французских ввозных и вывозных премиях», как можно соединять дедукцию с индукциею, и постоянным пользованием параллельно идущими статистическими рядами достигает интересных выводов в изучении явлений хозяйственной жизни.

Данные, собираемые и обрабатываемые социальною статистикою, имеют не только важное теоретическое значение,—не менее важно и их практическое значение.

Ни одно мероприятие, касающееся той или другой из сторон общественной жизни, не может считаться достаточно обоснованным, если оно не опирается

на хорошо собранные и серьезно разработанные статистические данные. С другой стороны, без статистических данных невозможно было бы и то широкое развитие разнообразных страховых предприятий, которое мы видим в Западной Европе и Северной Америке, где образовался особый класс техников-вычислителей (актуариев), специальность которых состоит в обработке статистических данных и в вычислениях, необходимых для правильного ведения страховых операций.

Критические обстоятельства только-что пережитого нами тяжелого года1) должны, по нашему мнению, обратить внимание всех интересующихся экономическими вопросами на одну из форм страхования — страхование посевов от неурожая. Несомненно, что первенствующее значение в деле борьбы с бедствиями, подобными постигшему Россию в 1891 г., имеют экономические меры, поднятие техники сельского хозяйства, изучение климатических и почвенных условий и т. п. Но все эти задачи требуют для своего разрешения более или менее продолжительное время. Неотложною представляется задача о лучшей организации продовольственного дела. Недостатки существующей у нас организации этого дела давно уже указывались всеми, кому приходилось по той или другой причине всматриваться ближе в его ведение на местах, в провинции. В настоящее время они сознаны уже всеми, и здесь не место перечислять их.

При предстоящей реорганизации этого дела нельзя будет, конечно, обойти и вопрос о применении у ней в той или другой степени идеи страхования, применение которой в борьбе с другими бедствиями принесло столько пользы. Поэтому, несмотря на все трудности, исключительно принадлежащие этой форме страхования (определение нормы страхуемого урожая в размере, не делающем выгодным понижение производительности труда; определение величины страховой премии в размере, который, обеспечивая достаточное количество пудов на десятину, в то же время не обременял бы земледельца новыми тяжелыми платежами; устройство агентуры, вполне подготовленной к трудному делу оценки убытков от неурожая и т. п.),— вопрос о страховании посевов, несомненно, заслуживает серьезной научной разработки. Начало такой разработки уже положено в труде, изданном в Казани Л. И. Грассом: «Страхование сельскохозяйственных посевов от неурожая».

Идея о страховании посевов получила уже практическое применение в Японии; она разрабатывается во Франции. В России, стране земледельческой, на идею страхования должно быть обращено такое же серьезное внимание, какое выпало в странах промышленного типа на вопрос об обеспечении промышленного рабочего путем страхования от бедствий, сопряженных с болезнью, увечьем и т. п. Изданию всем известных германских законов, устанавливающих обязательное государственное страхование промышленного рабочего, предшествовали замечательные исследования по математической статистике Цейнера, Кнаппа, Цилльмера и др.

1) Речь идет о голоде 1891 года.

Для нас столь же необходимою является научная разработка вопросов, связанных с сельским хозяйством, и в частности — как статистики урожаев, так и техники страхования посевов.

Мы видели выше, как в первых фазисах развития человеческой мысли, еще в туманной дали халдейской культуры, человек обращался к числам и в их таинственных для него свойствах искал возможности проникнуть в тайны будущего для того, чтобы бороться с слепым случаем. Фантастические бредни халдейских мудрецов и пифагорейцев не достигли, конечно, цели.

Прошли тысячелетия. И теперь с каждым днем, с каждым новым шагом в развитии наук о природе и об обществе выясняется новая великая роль «числа». Числа, цифры, которыми испещрены статистические и метеорологические таблицы, могут казаться —для неумеющих читать их —сухим и ненужным балластом, не для человека науки они —драгоценный материал, основываясь на котором, наука стремится расширить наше понимание явлений природы и общественной жизни и к числам же должны мы обращаться для того, чтобы на них основать те меры, которые должны избавлять человечество в будущем от различных грядущих бедствий, каковы, например, неурожаи и многое другое тому подобное».

Приведенной выдержкой из статьи проф. Васильева мы и заканчиваем последние страницы этой книги, заключающие отдел «отрывков из теории вероятностей». Заинтересовавшиеся предметом могут начать специальное его изучение по указанным уже выше образцовым руководствам. К перечню их необходимо еще добавить «Calcul des Probabilités» par J. Bertrand («Исчисление вероятностей» Ж. Бертрана), сочинение, давно уже нуждающееся в переводе на русский язык. Обширное предисловие к этому курсу под заглавием «Законы случайного» может быть прочтено с особым интересом наряду с приведенной выше статьей проф. Васильева под тем же заголовком. Кроме того, рекомендуем вниманию читателей: «Очерки по теории статистики» A. A. Чупрова и «Элементарную теорию страхования жизни и трудоспособности» С. Е. Савича, вышедшую в 1909 году вторым изданием. Между прочим, начало последней книги посвящено попытке элементарного (сравнительно с другими курсами) изложения теории вероятностей.

Из курсов, недавно вышедших на русском языке, упомянем прекрасный и серьезный «Курс теории вероятностей» Л. Лахтина и очень легкую и, пожалуй, даже легкомысленную книгу Э. Бореля «Случай».

ОГЛАВЛЕНИЕ.

стр.

Предисловие................... 3

Некоторые исторические задачи............ 5

Задача 1. Одно из древнейших математических развлечений ... —

» 2. Семь старух................. 7

» 3. По дороге в St.-Ives.............. —

» 4. Русская народная задача............. 8

» 5. Жизнеописание Диофанта.....,...... 9

» 6. О числе песчинок................ 10

» 7. Юридический вопрос............. 12

Индусские задачи............... 13

Задача 8...................... 14

» 9. Цена рабыни................. 15

» 10. Пчелы................... —

» 11. Обезьяны................... 16

Задачи Ньютона................. —

Задача 12. Быки на лугу................ —

» 13. Глубина колодца............... 18

Задача 14. Кто на ком женат?............... —

Русские задачи................. 19

Задача 15. Ответ учителя...................... 22

Некоторые старорусские меры и выражения. —

Задача 16. Недогадливый купец............. 23

» 17. Богатство мадамы.............. 24

» 18. Богатство гасконца.............. —

» 19. Веселый француз............... —

» 20....................... 25

» 21. Дележи................... —

» 22. Мена.................... —

Новые иллюзии зрения................ 26

Задачи-шутки.................... 31

Задача 23. Искусное размещение............. —

» 24. Расплатился без денег............. 32

» 25. Дешевая покупка..............

Задача 26. Загадочное исчезновение.............. 33

» 27. Куда девался китаец?.............. 35

» 28. Разрубить подкову.............. 36

» 29. 7 роз .................. 37

» SO. Разрезать шахматную доску.......... 38

» 31. Из креста квадрат.............. —

» 32. Устроить хозяйственный уровень......... 39

Синус....................... 40

Задача 33. Построить прибор, наглядно поясняющий тригонометрические линии................. 41

Задача 34. Устроить прибор для обращения кругового движения в прямолинейное.................. 42

Задача 35. О пауке и мухе................. 45

Объяснение симметрии посредством сложения бумаги..... 48

О пространстве четырех измерений.....«..... 49

О четвертом измерении (F. Е. Ferry)........... 50

Опыт рассуждения о 4-м измерении (С. A. Richmond)..... 59

Четвертое измерение в доступном изложении (J. D. Fitch)..... 65

Субъективно или объективно понятие пространства...... 73

6 числовых суевериях................ 75

Число зверя..................... —

Числовая мистика.................. 76

Каббала...................... 82

Тайнопись.................... 83

Простая замена.................... 84

Что такое «тарабарская грамота»............. 86

Системы перестановок................. 87

Квадратный шифр................. 89

Словари для шифрования . . . ........... 90

Счетные машины. ...... ............ 91

Счет и число.................... 92'

Орудие счета.— Босоногая машина............. 93

» » — Обутая машина............. 96

Нашествие обутых варваров и торжество десятичной системы счета 99

Счетные пособия графические и предметные........ 100

Абак и римские счеты................ 102

Китайский суан-пан и русские счеты.......... 108

Апексы Боэция.—Захудание абака ............ 110

Гербертов абак.— Введение нуля и торжество письменного счисления 115

Рецидив бесписьменности.—Счетная скамья (Rechenbank) около реформационного периода............... 118

Заря и расцвет механического счета............ 122

Последователи Паскаля.—Новейшие машины........ 126

Графический метод.— Палочки Непера.......... 139

Динамический метод................. 141

Кинетический метод.................

Электрический метод................. 142

Цифрарь-диаграммометр В. С. Козлова...........

Приближенные вычисления............... 146

Комбинации.................... 147

Задача 36. Размещение пассажиров............ —

» 37. Разнообразие костюмов............ 148

» 38. Выбор предметов ............. —

» 39..................... —

» 40...................... 149

» 41 ................... —

» 42. ................... —

» 43.................... —

» 44. На улицах города.............. 150

Теория соединений..........»,....... 151

Анаграммы..................... —

Некоторые известные анаграммы.........., . 152

Задача 45. Церемонный обед семи . ............ 155

» 46. Церемонный обед 12-ти............. 156

О числе перестановок................ 157

Обозначения и вывод общей формулы........... 161

Задача 47. Спор кучера с пассажиром .......... 162

» 48.................... 164

» 49.................... —

» 50. .................. 165

» 51.................... —

Фигуральные, или наглядные перестановки.......... —

Задача 52. Шахматный вопрос . . ............. 167

Перестановка с повторениями.............. 168

Задача 53...................... 171

За круглым столом................... —

Задача 54. Письма и адреса............... 172

Размещения..................... 174

Задача 55..................... —

Число размещений................. 176

Полные размещения, или размещения с повторениями .... 178

Задача 56..................... 180

Сочетания .................... —

Составление сочетаний................ 181

Число сочетаний................... 182

Задача 57. Выборы в комиссию............. 183

» 58.................... —

» 59..................... 184

» 60.................... —

Способ шахматной доски................ 185

Задача 61. ................... 185

» 62................... . 186

» 63, 64, 65, 66, 67............... —

Отрывки из теории вероятностей............ 195

Задача 68 (кавалера де-Мере). Недоконченная игра...... 197

Игра в кости и зачатки математической теории вероятностей . . —

О законности и случайности............... 198

Логика фактов, или причинность и временная последовательность 201

Определение математической вероятности события...... 203

Некоторые следствия, вытекающие из определения математической

вероятности.—Вероятность и достоверность....... 205

Задача 69. Игра в монету............... 207

» 70. Двукратное бросание монеты.......... 208

» 71. N-кратное бросание монеты........... —

» 72. Бросание одной кости............. 209

» 73. 2 кости.................. 210

» 74.................... 212

» 75.................... —

» 76.................... 213

» 77. Карты................... —

» 78. Еще одна задача кавалера де-Мере........ —

Из переписки Паскаля с Ферма............. 214

Задача 79. В чем дело?................ 215

Необходимое замечание................ . 216

Еще следствие из определения математической вероятности ... 217

Задача 80. ................... —

Вероятности сложных событий............. 219

Задача 81..................... 220

82.................... 221

» 83..................... 222

» 84.................... —

» 85.................... 224

» 86..................... 225

» 87......... . . ........ —

» 88..................... 227

Математическое ожидание............... 229

Задача 89. Математическое ожидание выигрыша в лотерею . . . 230

Условие безобидности игр............... 231

Задача 90...................... 232

» 91. Итальянская лотерея.............. 233

Теорема Якова Бернулли ............. 237

Законы случайного и математическая статистика...... 254