Игнатьев Е. И. В царстве смекалки, или арифметика для всех. — Кн. 2. — 4-е изд., пересмотр. и испр. — М. ; Пг. : Госиздат, 1923. — 264 с.

УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I и II СТУПЕНИ

Е. И. ИГНАТЬЕВ

В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ

ИЛИ

АРИФМЕТИКА ДЛЯ ВСЕХ

КНИГА ВТОРАЯ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I и II СТУПЕНИ

Е И. ИГНАТЬЕВ

В ЦАРСТВЕ СМЕКАЛКИ

или

АРИФМЕТИКА ДЛЯ ВСЕХ

КНИГА ДЛЯ СЕМЬИ И ШКОЛЫ

КНИГА ВТОРАЯ

ЧЕТВЕРТОЕ ПЕРЕСМ. И ИСПРАВЛ. ИЗДАНИЕ

Научно-Педагогической Секцией Государственного Ученого Совета допущено как пособие для преподавателей

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА 1923 ПЕТРОГРАД

Гиз. H 4203. Главлит. № 8287. Москва. Напеч. 10.000 экз. „Мосполиграф". 1-я Образцовая тип, Пятницкая, 71.

Заставка из знаменитого сочинения Эйлера «Introductio in analysm infinitorum» изданного в Лозанне в 1748 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ К 4-му ИЗДАНИЮ.

В настоящем издании по возможности устранены опечатки, вкравшиеся в предыдущие издания, а также шероховатости и неловкости в изложении, которые могли давать повод к недоразумениям или двусмысленности в понимании текста. Некоторые из погрешностей подобного рода были указаны в критических заметках, появившихся при первых изданиях второй книги «В царстве смекалки», и за эти, указания составитель приносит рецензентам искреннюю благодарность.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К 1-му ИЗДАНИЮ.

Как первая книга «В царстве смекалки», так и эта, надеемся, может послужить недурным пособием для математического саморазвития, самодеятельности и уяснения весьма важных дисциплин. Для чтения и усвоения содержания почти всей этой книги не требуется никакой особой математической подготовки. Это— Арифметика для всех, чувствующих желание и склонность к работе ума. Здесь нет ничего или почти ничего, чего не осилил бы не только взрослый человек,

но любой из юных читателей, знакомый с теми элементами математики, которые преподаются в начальных и средних школах. Многое, если не все, может здесь служить предметом бесед, развлечений и занятий с детьми.

Но если по общим целям эта книга есть продолжение дела, начатого в первой, то она значительно разнится от предыдущей выполнением. Так как предпринятый труд является у нас чуть ли не единственным, то в первой части составитель не особенно заботился о «свежести», если можно так выразиться, и оригинальности, во что бы то ни стало, содержания. Первая книга имела прежде всего в виду ознакомить русскую семью и школу с тем только самым известным распространенным материалом, что имеют уже давно в своем распоряжении западная школа и семья. Вот почему в первую книгу вошло довольно много таких задач и вопросов, которые иному знатоку могут показаться известными и шаблонными. Впрочем, много ли у нас таких знатоков?

В этой книге, как читатель может убедиться, мы поднимаемся на следующую, высшую ступень. С одной стороны, значительно расширяется математический кругозор, с другой, более тщательно и строго подбирается материал. На-ряду с легкостью, доступностью и возможной занимательностью изложения составитель старается, где возможно, побудить читателя и к научному теоретическому взгляду на предмет. Выясняются основы понятия о числе, о свойствах и характере алгебраических и геометрических аксиом, об Евклидовой и не-Евклидовой геометрии, о «четвертом измерении», о некоторых главнейших результатах, достигнутых математикой вообще; делаются по возможности небольшие исторические справки. И читатель, конечно, не посетует на нас, если в настоящей книге мы, помимо общих указаний на значение и сущность трудов Н. И. Лобачевского, приводим даже его небольшую биографию. Великий светоч русской математической мысли умер, непонятый современниками, но имеет все права, чтобы в попытке первой русской математической хрестоматии отнеслись к нему с должной данью уважения.

«Introductio in analysin infinitorum». Лозанна, 1748.

Быть может, ничто так не изощряет и не оттачивает в известном отношении математической смекалки, как уменье разбираться в так называемых «математических софизмах» и парадоксах. Жаль только, что в имеющихся у нас книжках с попытками подобного сорта предлагаются просто самые задачи без общего, хотя бы, разъяснения сущности

софизма. Вот почему этому предмету, помимо задач, посвящены и главы общего содержания. Думаем, что даже для знатоков софизмов они не будут лишними. Не без интереса также, полагаем, отнесется читатель к попыткам беллетристической обработки чисто математических тем. Помимо Э. По и Г. Уэльса читатель найдет здесь главу «В стране чудес математики», составленную по мало известной у нас книге Abbott, Е. А.: «Fiatland; a Romance of Many Dimensions by a Square».

Иному, пожалуй, покажется странным найти в конце книги несколько страниц, посвященных известного рода «математическим фокусам». На это заметим, что в область смекалки входит также уменье разбираться, проделывают ли пред вами просто фокус, или же действительную математическую комбинацию.

«Introductio in analysin infinitorum». Лозанна, 1748.

Задача 1-я. Где начинается новый год?

Обыкновенно спрашивают, когда начинается новый год, и мало кто задается вопросом: где он начинается? Вопрос этот, пожалуй, может даже показаться нелепым, какой-то задачей-шуткой, вроде вопросов: почему (по чему) птица летает, или отчего (от чего) утка плавает? Кажется ясным, что новый год начинается там, где он начинается, и спрашивать тут собственно не о чем.

Однако, дело не так-то просто, как кажется, и вопрос—где, в каком пункте земного шара впервые наступает новый год,— имеет вполне определенный смысл.

Допустим, что вы встречаете новый год в Москве. Вот бьет двенадцать часов: в этот момент в Москве наступает новый год. Но мы знаем, что наши нижегородские знакомые уже полчаса как встретили новый год, так как в Нижнем часы показывают половину первого, когда в Москве двенадцать. В Омске новый год встретили еще 2х/2 ч. тому назад, в Красноярске—целых 4 часа тому назад, а в Петропавловске—даже на целых 8 часов ранее. Следовательно, вы сейчас встретили в Москве вовсе уже не новый год. Ведь ему уже, по меньшей мере, девять часов, этому новому году!

Итак, новый год начался где-то далеко на востоке и оттуда пришел к нам. Но где; в каком месте земного шара он впервые явился? Такой вопрос, как видим, имеет вполне определенный смысл. И на него надо уметь ответить.

Мы знаем уже, что р Петропавловске (на Камчатке) новый год наступил на 8 часов раньше, чем в Москве. Попробуем подвигаться далее на восток и попытаемся отыскать, где он начался всего ранее. В Беринговом проливе он наступил на 11 час. раньше, чем в Москве. В Сан-Франциско—на 14 часов раньше, в

Чикаго—на 16 час, в Филадельфии—на 17 час, в Лондоне— на 20 час, в Париже—почти на 22 часа, в Вене—на 23 часа и, наконец, в Москве на 24 часа!

Мы пришли к нелепому выводу, что в Москве новый год наступает на 24 час раньше, чем в той же Москве!

Недоумение наше еще более возрастает, если мы будем двигаться от Москвы на запад. В тот момент, когда в Москве только что наступил говый год, в Петербурге всего половина двенадцатого, т.-е. там еще старый год. Идя все далее и далее на запад, мы, наконец, прибудем снова в Москву,—и окажется, что там одновременно должен быть и старый и новый год. Получается опять нелепость,—что в Москве новый год наступает и в данный момент, и на 24 часа ранее, и на 24 часа позднее.

Очевидно, все это происходит вследствие того, что Земля— шар. Однакоже мы знаем, что в Москве новый год наступает во вполне определенный момент, и следовательно наше рассуждение чем-нибудь да грешит, раз мы пришли к выводу, что на одном и том же пункте новый год наступает три дня к ряду.

Нетрудно догадаться, в чем тут промах. Раз в данный момент к востоку от Москвы—новый год, а к западу от нее пока еще старый год, то вследствие шарообразности Земли должна существовать где-то пограничная линия, разделяющая область со старым годом от области с новым годом.

Такая пограничная линия на самом деле и существует; положение ее определяется не какими-нибудь астрономическими условиями, а просто практикою мореплавания.

Дело в том, что затруднения, с которыми мы сейчас встретились, возникают не только в этом случае, но и тогда, когда ищут начала счета любого дня недели. Рассуждениями, вполне сходными с только что приведенными, легко убедиться, что где-то на земном шаре должна существовать линия, по одну сторону которой будет определенный день недели,—например, Среда, а по другую—следующий, четверг.

Практическая же надобность в установлении подобной границы, или так называемой демаркационной линии, возникла из необходимости регулировать ведение календаря во время плаваний. Известно, что при кругосветных путешествиях с запада на восток .один день как бы выигрывается, и путешественник, прибыв в исходный пункт, считает на день более, чем следует. При путешествии же с востока на запад наблю-

дается обратное: путешественник в счете дней отстает от истинного, как бы теряет одни сутки. Причину этого на первый взгляд непонятного явления легко раскрыть, если принять во внимание, что кругосветный путешественник делает один лишний оборот вокруг земной оси—при движении на восток, и, напротив, делает одним оборотом менее—при движении на запад1). Другими словами, путешественник в первом случае увидит восход Солнца одним разом более, во втором—одним разом менее, нежели прочие люди, остающиеся на месте. А если он увидит одним восходом Солнца более или менее, то, следовательно, будет насчитывать в протекшем времени одними сутками более или же менее. Мы знаем, что только благодаря этому Филеас Фогг, герой романа Жюля Верна «80 дней вокруг света», выиграл свое оригинальное пари.

Впервые указанная особенность в счете дней при кругосветных путешествиях стала известна после первого кругосветного плавания Магеллана. Спутник погибшего Магеллана, Себастиан-дель-Кано, при возвращении в Европу «привез с собой» четверг, в то время как здесь была уже пятница (он ехал с востока на запад).

С этого времени мореплаватели начали постепенно устанавливать демаркационную линию, положение которой и теперь еще не определено во всех пунктах. Линия эта, отграничивающая области с различными днями недели, следует по западной части Великого океана. Она проходит через Берингов пролив, затем направляется к берегам Японии, огибает с запада острова Марианские и Каролинские и идет далее к югу, огибая с востока Филиппины, Новую Гвинею, Австралийский материк, Новую Каледонию и Новую Зеландию (см. карту фиг. 1).

Таким образом, когда на Филиппинских островах, скажем, четверг, тогда на соседних с ними Каролинских, всего в полусотне верст, тот же день называется средой. Произошло это просто потому, что Филиппины были открыты голландскими мореплавателями, прибывшими с востока, а Каролинские о-ва открыты испанцами, отправлявшимися в путь из Европы на

1) Напомним, что так как кажущееся суточное движение Солнца совершается с востока на запад, то истинное вращение Земли вокруг своей оси происходит в обратном направлении, то есть с запада на восток.

Фиг. 1. Где начинается новый год?—Положение демаркационной линии.

запад, через Атлантический океан, мимо Южной Америки, и через Великий океан.

Рассматривая карту, мы видим также, что подобная же разница в счете дней недели наблюдается, например, между Камчаткой и Аляской: когда на Камчатке понедельник, на Аляске воскресенье.

Понятно, что это вносило бы невероятную путаницу в календарь и вызывало бы значительные неудобства, если бы демаркационная линия проходила не через водные пустыни Тихого океана, а через материки Европы или Америки.

Но каким же образом эта демаркационная линия помогает мореплавателям регулировать календарь? Вот каким. Когда судно пересекает эту линию с запада на восток, то следующий день и число месяца считают за предыдущие, т.-е. дважды считают один и тот же день недели и число месяца. Если, например,, демаркационная линия была пересечена в среду 14 мая, то и следующий день считают за среду 14 мая. В судовой книге, таким образом, на этой неделе будут две среды и два раза подряд 14 мая. Благодаря этому уничтожается лишний день, который «выигрывается» при путешествии с запада на восток. Наоборот, когда судно пересекает демаркационную линию с востока на запад, то после пересечения пропускают целые сутки, другими словами, считают уже следующий день и число. Например, если линия пересечена в воскресенье 3 августа в 7 часов вечера, то считают 8-й час уже не воскресенья, а понедельника 4 августа. Так навёрстывается день, который был бы «потерян» при кругосветном плавании.

Само собою разумеется, что все это было проделано капитаном и того судна, на котором плыл герой романа Филеас Фогг. Если бы педантичный англичанин не был так поглощен своим пари и обращал внимание на окружающее, а наивный Паспарту не воображал, что часы его идут «вернее Солнца»,—то, конечно, они не могли бы проглядеть того, что у них пятница, когда кругом всего еще только четверг.

Теперь мы уже знаем, где начинается новый год, где зарождаются дни, недели, месяцы. Там, далеко, на островах Тихого океана они впервые отделяются от вечности и беззвучно опускаются на наш земной шар. А оттуда быстро-быстро, со скоростью пятнадцати градусов в час, они бегут легкою тенью по Земле, один за другим, посещая все пункты нашей планеты. И,

обежав кругом земной шар, опять возвращаются к этой границе, чтобы здесь покинуть Землю и снова уйти в вечность—увы!— навсегда.

Если вы теперь в состоянии правильно решить задачу, где начинается новый год, то, вероятно, разберетесь и в следующем вопросе.

Задача 2-я. Три воскресенья на одной неделе.

Может ли на одной неделе быть три воскресенья? Мы знаем, 'Что у некоторых людей бывает «семь пятниц на одной неделе». Но бывает ли три воскресенья?

Вместо ответа предлагаем читателю прочесть следующий небольшой остроумный рассказ знаменитого американского писателя Эдгара По,—рассказ, который мало кому известен и который так и называется:

«Три воскресенья на одной неделе».

«Ах, ты, упрямый старикашка!»—мысленно обратился я однажды к дяде Ремгеджеру, гневно сжав кулак (тоже, впрочем, лишь в мыслях).

Да, только мысленно. На самом деле то, что я думал, несколько отличалось от того, что я действительно исполнил. Когда я открыл дверь в комнату дяди, старик сидел, вытянув ноги к камину, держа кружку с пивом в руках, и добросовестнейшим образом исполнял совет старой песни:

Наполняй пустой бокал, Полный—выпивай до дна!

— Дорогой дядя,—начал я, тихо притворив дверь его комнаты и подходя к нему с умильной миной,—вы всегда были ко мне так расположены и столько раз доказали свою доброту, что я не сомневаюсь в вашей помощи и на этот раз.

— Продолжай, мальчик, продолжай!—процедил дядя.

— Я убежден, дорогой дядя (чтоб тебя, старого скрягу!), что вы не станете серьезно противиться моей женитьбе на Кэт. Вы ведь только шутили, не правда ли? О, вы такой шутник, дядюшка, ха-ха-ха!

— Ха-ха-ха!—подхватил дядя.—Вот это правда, чорт побери!

— Ну, вот , я так и знал! А теперь, дорогой дядя, я и Кэт ждем от вас только указания... относительно срока... Словом сказать, дорогой дядюшка, на когда, по вашему мнению, всего удобнее будет назначить нашу свадьбу?

— Свадьбу? Какую? Вот еще новости! И думать не смей об этом!

— Ха-ха-ха! Хо-хо-хо!.. Хи-хи-хи-хи... Это славно! Милый дядюшка, какой вы весельчак! Теперь остается только точно назначить день.

— А? Точно назначить?

— Да, дядюшка, если будете так добры...

— Ты хочешь точно знать срок? Хорошо, Бобби, так и быть, ублаготворю тебя.

— Ах, милый дядюшка!..

— Погоди. Итак, я изъявляю полное согласие. Сегодня воскресенье, да? Хорошо-с. Так слушай же: можешь венчаться с Кэт, ну, когда бы?.. Когда будет три воскресенья сряду на одной неделе! Чего ты глаза выпучил? Говорю же тебе: свадьба твоя будет, когда три воскресенья придут сряду на одной неделе. Ни одним днем раньше!Ты знаешь меня, слово мое неизменно. А теперь проваливай!

И он снова принялся за свое пиво. Я же в отчаянии выбежал из комнаты.

Дядя мой, Ремгеджер, был, что называется, очень милый старичок, но имел свои странности. Будучи добродушен по натуре, он, благодаря страсти противоречить, приобрел среди многих, не знавших его близко, репутацию скряги. В него словно вселился бес отрицания, и на каждый вопрос он спешил ответить «нет!» Но, в Конце концов, после долгих переговоров, никогда почти не случалось, чтобы просьба оставалась неисполненной. Мало кто делал столько добра, сколько делал он, и в то же время так неохотно, как он.

Оставшись сиротой после смерти своих родителей, я все время воспитывался и жил у старика-дяди. Может быть, по-своему чудак и любил меня, хотя не так, как свою внучку Кэт. С первого же года он частенько драл меня, с пяти лет до пятнадцати стращал исправительным домом; с пятнадцати до двадцати ежедневно грозил выгнать меня без копейки денег. Зато

я имел верного друга в Кэт. Она была прелестная девушка и премило заявила мне, что станет моей со всем своим приданым, как только я уговорю ее дедушку Ремгеджера. Бедняжке было всего шестнадцать лет, и до совершеннолетия она не в праве была распоряжаться своим капиталом без согласия деда. Но дедушка оставался непоколебимым, несмотря на все наши мольбы. Сам библейский Іов возроптал бы при виде того, как он издевался над нами, словно кот над мышами. В глубине души дедушка был доволен нашим решением и охотно выложил бы десять тысяч фунтов из собственных средств, если бы Кэт не имела приданого. Но ему нужен был благовидный предлог, чтобы уступить нашим мольбам. Наша ошибка состояла в том, что мы вздумали сами хлопотать о своей свадьбе, а при таких обстоятельствах дядюшка положительно не в силах был не оказать нам противодействия.

Дядя считал бесчестием отступать от раз данного слова, но зато готов был толковать смысл вкривь и вкось, лишь бы остаться верным букве. Вот этой чертой и воспользовалась лукавая Кэт вскоре после моего знаменательного разговора с дядей.

Расскажу вкратце, как это произошло. Судьбе угодно было, чтобы среди знакомых моей невесты были два моряка, недавно возвратившиеся в Англию после кругосветного плавания. Недели через три после памятного разговора, в воскресенье после обеда я вместе с этими моряками зашел к дяде в гости. Около получаса говорили, о разных безразличных вещах, пока разговор наш не принял такое направление:

капитан прат. Целый год пробыл я в плавании. Ей Богу, сегодня как раз годовщина моего отъезда! Помните, м-р Ремгеджер, как я пришел к вам прощаться ровнехонько год тому назад? И замечательно, что тут же сидит наш приятель Смисертон, который тоже ведь проплавал целый год.

капитан смисертон. Да, год без малого. Помните, м-р Ремгеджер, как я зашел к вам проститься?

дядя. Еще бы! В самом деле поразительно—оба вы пропадали ровно год. Замечательное совпадение.

кэт. Тем более, что капитан Прат и капитан Смисертон ехали совсем разными путями: первый обогнул мыс Доброй Надежды, а второй—мыс Горн.

дядя. Вот именно. Один держал путь на восток, другой— на запад, и оба ехали кругом земного шара.

Я [быстро]. Не зайдете ли, господа, завтра, посидеть с нами вечерком Поговорили бы о ваших странствованиях, сыграли бы в вист и...

капитан прат. В вист? Вы, верно, забыли, что завтра воскресенье. В другой день я готов...

кэт. Да что вы? Роберт не такой уж грешник. Ведь воскресенье-то сегодня!

дядя. Ну, конечно.

капитан смисертон. О чем тут спорить, господа? Да, ведь, вчера же было воскресенье!

дядя. Воскресенье сегодня. Не понимаю, как можно этого не знать!

капитан прат. Ничуть не бывало! Воскресенье завтра!

капитан смисертон. Да вы, господа, с ума сошли, право! Воскресенье было вчера,—я так же уверен в этом, как и в том, что сижу здесь перед вами!

кэт [громко] Ну, дядюшка, теперь вы попались! Капитан Смисертон утверждает, что воскресенье было вчера—и он прав. Кузен Бобби, вы и я утверждаем, что воскресенье сегодня—и мы правы. Капитан Прат заявляет, что воскресенье завтра—и он тоже прав. Мы все правы, и вот вам три воскресенья на одной неделе!

капитан смисертон [после паузы]. Кэт рассудила правильно. Какие мы с тобою дураки, Прат! Дело, видите ли, вот в чем, м-р Ремгеджер. Земля имеет в окружности, как вы знаете, 24 тыс. миль и обращается вокруг оси, с запада на восток, делая полный оборот в 24 часа. На один час приходится, следовательно, тысяча миль. Так ведь?

дядя. Разумеется, так.

капитан смисертон. Теперь вообразите, что я отплываю на тысячу миль к востоку отсюда. Легко понять, что я должен буду увидеть восход Солнца ровно на час раньше, нежели вы здесь, в Лондоне. Если я в том же направлении проеду еще тысячу миль, то увижу Солнце на два часа раньше вас; еще через тысячу миль—на три часа и т. д., пока не объеду кругом всего земного шара и снова не вернусь сюда. И здесь, проехав 24 тысячи миль, я увижу восход Солнца на целые сутки раньше, нежели вы; другими словами, я буду считать на одни сутки меньше, нежели вы. Другое дело капитан Прат: проехав тысячу миль к западу, он видел восход Солнца часом позднее

вас; а проехав все 24 тысячи миль, отстал от Лондона в счете времени на целые сутки. И вот почему для меня воскресенье было вчера, для вас—сегодня, а для м-ра Прата—будет завтра. Очевидно, мы все правы, и нет оснований считать, что кто-нибудь из нас более прав, нежели другие.

дядя. И то правда! Ну, Кэт и Бобби, торжествуйте, я попался. Но я никогда не изменяю своему слову. И если три воскресенья случились на одной неделе, то знай мальчуган, что можешь получить приданое и все прочее, когда хочешь. Дело в шляпе, чорт побери!

На этом рассказ Э. По кончается. Выходит, стало быть, что на одной неделе возможны три воскресенья к ряду. На самом же деле моряки провели упрямого дядю, который, вероятно, не слишком силен был в мореплавании. Объяснения капитана Смисертона совершенно правильны, но он умолчал об одном важном обстоятельстве,—о поправке календаря при пересечении демаркационной линии. Пересекая ее на своих судах во время плавания, капитан Прат должен был один день считать дважды, а капитан Смисертон—один день пропустить. Вследствие этого восстанавливалось единство времяисчисления, как мы это уже знаем из предшествующей главы.

Но, строго говоря, из той же главы мы должны заключить, что на одной неделе, все же, может быть два воскресенья или ни одного. По крайней мере—запись подобного рода может встретиться в судовом журнале любого судна, пересекшего демаркационную линию...

Задача 3-я.

Определение направления с помощью карманных часов.

С помощью карманных часов в солнечный день можно определить всегда с достаточной для житейской практики точностью все четыре «страны света», т.-е. точки севера, юга, востока и запада горизонта. Способ этот настолько прост и легко объясним, что остается только ожидать в скором времени его всеобщего распространения. Определение направления заключается в следующем.

Повернуть циферблат карманных часов, держа их горизонтально так, чтобы часовая стрелка была направлена в сторону Солнца. Тогда точка на окружности циферблата, лежащая посредине между показанием часовой стрелки в этот момент и числом XII, покажет вам направление к югу.

Так, например, если часовая стрелка показывает 4 часа, то, направив ее к Солнцу, найдем, что средняя точка между показанием часов (IV) и XII будет совпадать с точкой циферблата, указывающей два часа. Эта точка и определит юг горизонта; противоположная ей по направлению даст север, налево, следовательно, будет восток, а направо—запад.

Предыдущее правило можно свести и на такое:

Найти на окружности циферблата среднюю точку между показанием часовой стрелки и точкой XII-ти часов; направить эту среднюю точку к Солнцу,— тогда точка циферблата с отметкой двенадцати часов и укажет южное направление.

Если часы, напр., указывают 4 часа, то направить точку циферблата с показанием II часа на Солнце. Тогда линия, проведенная из центра часов к XII, и будет полуденной линией, т.-е. направленной к югу.

Доказательство.

Для доказательства стоит только вспомнить, что в 12 часов (полдень) Солнце, часовая стрелка и точка на циферблате, отмеченная цифрой XII,—все они лежат в одной линии, направленной к югу («на полдень»). Вслед затем и Солнце и часовая стрелка двигаются в одинаковом направлении. Но стрелка часов совершает свой полный оборот в 12 часов, а Солнце—в 24 часа, т.-е. в вдвое больший промежуток времени. Отсюда и вытекают данные выше правила.

Замечание. Само собою разумеется, что полученное указанным путем определение направления не будет вполне точно. Ошибка получается потому, что мы помещаем часы в плоскости горизонта, вместо плоскости эклиптики, и, кроме того, не принимается во внимание разница между истинным солнечным временем и так называемым средним временем. Но для тех, чисто практических целей, которые преследуются при при-

менении указанного выше правила, получаемые результаты совершенно достаточны.

Если бы вместо северного мы находились на южном полушарии Земли, то указанное выше правило соответственно видоизменилось бы,—а именно в этом случае:

Если точку, обозначенную на циферблате часов числом XII повернуть к Солнцу, то равноделящая угла между показанием часовой стрелки и точкой с числом XII покажет направление к северу.

Задача 4-я. Сколько воды в бочке?

Двое заспорили о содержимом бочки. Один спорщик говорил, что воды в бочке более, чем наполовину, а другой утверждал, что меньше. Как убедиться, кто прав, не употребляя ни палки, ни веревки, ни вообще какого-либо приспособления для измерения?

Фиг. 2.

Решение.

Это не задача-шутка, а настоящая геометрическая задача, хотя и решается до смешного просто. Решения подобного рода задач заслуживают всегда того, чтобы над ними подумать.

Вот решение этой задачи. Если бы вода в бочке была налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришелся как раз у края бочки, мы увидели бы, что высшая точка дна находится также на уровне воды. Это ясно из того, что плоскость, проведенная через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружностей бочки, делит ее на две равные части. Если вода налита менее, чем до половины, то при таком же наклонении бочки должен выступить из воды больший или меньший сегмент дна. Наконец, если воды в бочке более, чем половина, то при наклонении верхняя часть дна окажется под водой.

Таким образом вопрос решается правильно без всяких измерений.

Задача 5-я. Крест обратить в квадрат.

Крест, составленный из пяти квадратов, требуется разрезать на такие части, из которых можно было бы составить один равновеликий кресту по площади квадрат?

Решение.

На прилагаемых чертежах читатель найдет два решения этой задачи: одно старое1) (фиг. 3) и одно, предложенное в новейшее время (фиг. 4). Второе решение столь же просто, сколь и остроумно: задача решается проведением всего двух прямых линий.

Фиг. 3. Фиг. 4.

1) Ср. задачу 64-ую 1-й книги «В царстве смекалки».

Задача б-я. Коврик.

У одной дамы был прямоугольный коврик размерами 36x27 дюймов. Два противоположных угла его истрепались,—пришлось их отрезать в виде треугольных лоскутов, затушеванных на нашем чертеже (фиг. 5). Но даме, все же, хотелось иметь коврик в форме прямоугольника. Она поручила обойщику разрезать его на такие две части, чтобы из них можно было сшить прямоугольник, не теряя, конечно, ни кусочка материи. Обойщик исполнил желание дамы.

Спрашивается, как ему удалось это сделать?

Решение.

Решение задачи видно из прилагаемого чертежа (фиг. 6). Если зубчатую часть А вынуть из части В и затем снова вдвинуть ее между зубьев части В, переместив на один зуб вправо, то получится безукоризненный прямоугольник.

Задача 7-я. Оригинальное доказательство.

Всякий, проходивший геометрию, знает, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам.

Но мало кому известно, что эта основная теорема, на которой зиждется все стройное Евклидово здание, может быть «доказана» с помощью простого лоскутка бумаги.

Мы ставим слово «доказана» в кавычках, потому, что, собственно говоря, это не доказательство в строгом смысле слова,

Фиг. 5.

Фиг. 6.

а скорее лишь наглядная демонстрация. Но все же этот остроумный прием, придуманный Томом Титом, очень любопытен и поучителен.

Вырезывают из бумаги любой формы треугольник и перегибают его сначала по линии AB (фиг. 7). Затем, снова разогнув бумагу, перегибают треугольник по линии CD так, чтобы вершина А попала в точку В. Перегнув затем треугольник по линиям DH и CG и получив прямоугольник CGHD, мы наглядно убеждаемся, что все три угла треугольника (1, 2, 3) составляют в сумме два прямых.

Необычайная наглядность и простота этого приема позволяет познакомить даже детей, не изучающих геометрии, с одной из ее важнейших теорем. Для знающих же геометрию он представляет интересную задачу— объяснить, почему такое сгибание бумажного треугольника всегда дает желаемый результат. Объяснить это не трудно, и мы не хотели бы лишить читателя удовольствия самому подыскать геометрическое основание этого своеобразного доказательства.

Задача 8-я.

Вычерчивание циркулем овальных линий.

Решение.

Для вычерчивания по плоскости замкнутых овальных кривых, известных под именем эллипсисов (или эллипсов), существует специальный прибор, так называемый эллипсограф. Но можно получать овалы правильной формы и без этого сложного и дорогого прибора—просто помощью циркуля, если только прибегнуть к небольшому ухищрению, о котором дает понятие настоящий рисунок (фиг. 8).

Обверните цилиндр бумажкой и начертите циркулем замкнутую кривую на этой цилиндрической поверхности. Развер-

Фиг. 7.

нув затем бумажку, вы убедитесь, что начертили не крут, а овал, тем более вытянутый, чем меньше радиус цилиндра по сравнению с растворением циркуля.

Таким практическим способом вычерчиванья овалов часто пользуются в различных мастерских, хотя среди чертежников и рисовальщиков он сравнительно мало известен.

Фиг. 8.

Следует, однако, иметь в виду, что получаемый таким приемом овал не есть, вообще говоря, эллипс в собственном смысле этого слова, как бы велико ни казалось сходство. Получаемый овал есть кривая пересечения шара и цилиндра, т.-е., говоря математически, кривая 4-го порядка.

Нетрудно убедиться также в том, что вычертить сплошной овал указанным нами путем возможно только в том случае, если радиус взятого нами цилиндра больше половины растворения циркуля.

Задача 9-я. Теорема Пифагора.

Посредством плиток домино доказать Пифагорову теорему1).

1) Т.-е., что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Решение.

Сложите плитки домино так, как показано на нашем рисунке (фиг. 9). Вы убедитесь, что квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из 25-ти мелких квадратов, а квадраты, построенные на катетах,—соответственно из 9 и 16-ти таких же мелких квадратов. А так как 25 =9+16, то теорема «доказана» (прямоугольность треугольника поверяется прямым углом какой-нибудь костяшки или группы их).

Фиг. 9.

Само собою разумеется, что это не доказательство, а лишь наглядное пояснение, да и то пригодное лишь для тех случаев, когда все три стороны прямоугольнаго треугольника выражаются целыми числами. В данном случае для сторон треугольника имеем числа 3, 4 и 5. Таких чисел, впрочем, есть сколько угодно, как читатель может убедиться из пояснений к следующей задаче.

Задача 10-я. Египетская задача.

С помощью веревки в 12 единиц длины построить прямоугольный треугольник.

Решение.

Задача эта известна издревле также под названием «правила веревки».

На веревке отмеривались три последовательных отрезка длиною в 3, 4 и 5 единиц длины. Если теперь соединить концы этой веревки и натянуть ее на третьем и седьмом делении, то получится прямоугольный треугольник (фиг. 10)

Приемом этим пользовались еще древние египтяне при постройке пирамид. Быть-может, поэтому египетское слово для названия землемеров в дословном переводе значит «вытягиватель веревки». Нынешние землемеры для получения прямого угла также прибегают к подобному приему, отмечая на своих землемерных цепях такую комбинацию из трех целых чисел, которая выражала бы длины сторон прямоугольного треугольника с соизмеримыми сторонами.

Числа эти должны удовлетворять условию Пифагоровой теоремы, т.-е. сумма квадратов двух из них должна быть равна квадрату третьего числа. Взятые выше целые числа 3, 4, 5, удовлетворяют этому условию: 32+42=52. Но легко видеть, что подобных чисел можно найти сколько угодно.

Фиг. 10.

Все эти так называемые Пифагоровы числа заключаются в тождественном равенстве, которое каждый легко может проверить:

Здесь, значит, ab и —-— дают катеты, а а ~*~ - со соответствующую им гипотенезу.

Если вместо а и Ъ подставлять в эту формулу два любых нечетных и первых между собой числа, то и будем получать различные требуемые треугольники и при том такие, что стороны одного не будут кратными сторонами другого какого-либо треугольника.

Пифагоровы числа получаются также на основании то

ждества, подставляя сюда вместо m и п какие угодно целые числа. Если же мы желаем избежать групп, кратных друг другу, т.-е. подобных треугольников, то числа надо брать первые между собой и одно четное, а другое нечетное.

Вот небольшая табличка некоторых Пифагоровых чисел, решающих египетскую задачу:

Начатки математики на Ниле.

Упоминание об египетском треугольнике, сделанное р предыдущей задаче, невольно обращает мысль в глубь истории раз-

вития человеческих знаний. Можно считать несомненно установленным, что древние египтяне обладали знанием многих математических фактов и уменьем производить некоторые математические действия настолько давно, насколько только можно проникнуть в глубину веков этой древнейшей цивилизации на Земле. Пифагорова теорема в приложении к равнобедренным прямоугольным треугольникам (оба катета равны) была известна им с незапамятных времен. Треугольником со сторонами 3, 4 и 5 пользовались строители древнейших пирамид и храмов для получения прямого угла. Один из дошедших до нас египетских папирусов писан за 1700 лет до P. X. на основании египетских же писаний за 3000 лет и более до P. X. В нем уже содержатся некоторые арифметические задачи, таблица дробей и решение простейших уравнений, где неизвестное обозначается знаком хау (хип). Существует мнение, будто арифметика (особенно—начатки ее) есть самый старейший из членов великой семьи математических наук. Но трудно как-либо убедительно доказать эту мысль. Начала алгебры и геометрии также скрываются в таинственном мраке доисторических судеб человечества.

Всюду, где только мы в состоянии приподнять завесу над драмой человеческой истории отдаленнейших веков, мы видим, что люди уже считают, решают уравнения 1-ой степени и прилагают простейшие случаи Пифагоровой теоремы.

Задача 11-я. Численный круг пифагорейцев.

Этот «Circulus Pythagoricus» находится в сочинении одного из учеников Пифагоровой школы Ямблика, жившего в IV-м веке после Р. X.1). Вот в чем состоит этот круг.

Будем писать по кругу ряд последовательных чисел от 1 до какого-либо числа, т.-е. ряд чисел 1, 2, 3, 4,...

1) Jamblicus Chalcidensis ex Coele-Syria in Nicomachi Gerasini Arithmeticam introductionem et de Fato. Nunc primum editus, in latinum sermonem conversus, notis perpetuis illustratus a Samuele Tennulio. Accedit Joachimi Camerarii Explicatio in duos libros Nicomachi, cum iudice rerum et verb о rum locupletissimo, Aruhemiae. Postant apud Jah. Frideriam Hagium. Deventrae typis di-scripsit Wilhelmus Wier MDCLXVIII (1668).

Дойдя до этого наперед заданного себе числа п, продолжаем писать по кругу те же числа, но в обратном уменьшающемся порядке, пока не напишем опять единицу,—т.-е. пишем п—1, п—2,... 2,1. Тогда сумма всех чисел, написанных в круге, дает квадрат числа п (т.-е. число п, умноженное само на себя).

Так, напр., если желаем найти квадрат 7, пишем (фиг. 11)

Фиг. 11. Фиг. 12.

Сложив все числа этого круга, действительно, получим: 49 =72, Для числа, напр., 9 будем иметь круг (фиг. 12), сумма чисел которого равна 92=81 и т. д.

Доказательство.

Для какого бы то ни было числа п этот пифагорейский круг можно представить так:

Т.-е. получается два одинаковых ряда последовательных чисел от 1 до п—1, и к сумме обоих этих рядов надо прибавить еще число п.

Но сумма п—1 последовательных чисел, начиная с единицы, как знаем, равна--- . Следовательно, для суммы двух таких рядов да еще числа п имеем п(п—1) + п = п2, что и доказывает задачу о пифагорейском круге.

Обобщение задачи.

Для желающих несколько более углубиться в сущность пифагорейского круга сделаем еще несколько дополнений. Обозначим через Sn сумму последовательных чисел от 1 до п. Тогда доказанное выше предложение Ямблика выразится формулой

(1)

Рассматривая ряд целых чисел, мы находим, что для числа 2, S^^Cn; для числа 3, Sn-1 = n, а для всех остальных чисел S^^n. Итак можно высказать такое предложение:

Если квадрат целого числа (кроме 2 и 3) разделим на сумму всех последовательных чисел до этого числа, то в частном будет 2, а в остатке—само число.

Подобно формуле (1) можно написать еще ряд равенств:

Складывая все эти равенства с (1) и означая для краткости

получаем:

Это тоже можно написать в виде пифагорейского круга:

где сумма всех членов дает £п(2).

Задача 12-я. Земля и апельсин.

В предлагаемой ниже интересной задаче мы впервые встречаемся с числом, выражающим отношение длины окружности к диаметру. Это знаменитое число принадлежит к классу так

называемых «иррациональных» чисел. Обыкновенно оно изображается греческой буквой тт (пи). Приблизительно

тт = 3,141 5926...

В настоящей книге нам не раз еще придется говорить об этом числе.

Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее, вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 сажень. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и останется некоторый прозор (промежуток). Спрашивается, в каком случае этот прозор будет больше,—у земного шара или апельсина?

Решение.

Обыкновенно на этот вопрос отвечают так: «Конечно, у апельсина останется больший прозор, нежели у Земли! Ведь по сравнению с окружностью земного шара—38.000 верст—какая-нибудь одна сажень есть столь ничтожная величина, что прибавка ея останется совершенно незаметной. Другое дело апельсин: по сравнению с его окружностью сажень—большая величина, и прибавка ее к длине окружности должна быть весьма ощутительна».

Такой ответ естественно навязывается уму всякого—и математика и не-математика. Математик еще подкрепит его геометрическими соображениями, вроде следующего: «Так как отношение длины окружности к диаметру (число к) есть величина постоянная, то приращение радиуса Земли (т.-е. прозор) должен быть во столько раз меньше приращения радиуса апельсина, во сколько раз радиус земного шара больше радиуса апельсина» и т. д.

Но все эти разсуждения—одно только лукавое мудрствование. Простым вычислением легко доказать, что—именно ввиду постоянства отношения окружности к диаметру—прозор совершенно не зависит от радиуса окружности и должен быть одинаков у Земли и у апельсина.

В самом деле, пусть окружность экватора равна С саженям, а окружность апельсина с. Тогда радиус Земли ß = -—,

а радиус апельсина г — ——. После прибавки к обручам одной сажени, окружности их будут равны: Земли С+1, апельсина е+1; радиусы же их будут: Земли — , апельсина . Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же приращение:

для Земли для апельсина.

Итак, у Земли и у апельсина получится один и тот же прозор в -^- саж., т.-е. примерно в поларшина.

Этот результат кажется до такой степени неожиданным и неправдоподобным, что нам случалось видеть людей, которые, сами получив его, все же в него не верили. Они проделывали с помощью бечевки ряд обмеров и опытов с монетами, тарелками и др. круглыми предметами,—и лишь тогда успокаивались, когда воочию убеждались, что опыт подтверждает их вычисление. А один математик так даже формулировал свой ответ на изложенную задачу буквально в следующих выражениях:

«Прозор для Земли должен, конечно, быть меньше, чем для апельсина, хотя геометрически, казалось бы (!), они должны быть одинаковы». Чудак больше верил «здравому смыслу», чем математическим выкладкам, которые, к слову сказать, он проделал безукоризненно. Оно, пожалуй, и понятно: трудно найти более разительный пример геометрического парадокса (не софизма, а именно парадокса, т.-е. неправдоподобной с виду истины), чем эта задача о Земле и апельсине.

Обманы зрения.

Кажущееся вращение.

Явление, о котором мы сейчас будем говорить, было впервые подмечено Сильванусом Томпсоном, профессором университетской коллегии в Бристоле. Почтенный ученый полагал, что это явление не может быть об'яснено способностью человеческого глаза сохранять воспринятые зрительные впечатления. Он думал, что изучение подобных явлений может повести к открытию новых свойств глаза. Между тем в «Журнале Элементарной Математики» за 1885 г. есть весьма удачное объяснение этого явления С. Шостака, в основе которого лежит именно способность глаза сохранять зрительные впечатления.

Приводим описание явления и его об'яснения г. Шостаком для примера, как можно (и даже по возможности всегда нужно) пользоваться математическим анализом при рассмотрении различных встречающихся нам явлений.

Возьмем прилагаемую здесь фигуру 13-ю, которую каждый желающий может нарисовать и сам, для удобства наблюдений, на отдельном листке.

Если листку бумаги (или книге) с предложенной фигурой сообщить незначительное круговое движение в плоскости фигуры, то каждый из шести кружков будет казаться вращающимся около своего центра в сторону движения фигуры и с такою же скоростью, т.-е. будет казаться, что каждый круг описывает полный оборот в то же время и в том же направлении, как и бумага или книга, где он нарисован.

Заметим здесь же, что то же самое явление можно наблюдать и в том случае, если вместо шести кружков, как на фиг. 13,

возьмем только один, составленный из концентрических окружностей.

Фиг. 13.

Объяснение явления. Если взять чертеж, данный на следующей фиг. 14-й, и сообщить ему быстрое движение взад и вперед, как показывают стрелки а, читатель заметит, что рисунок потеряет свою отчетливость и сделается как бы туманным. Это зависит оттого, что черные полосы занимают место белых и белые— черных, так что получается как бы смешение черного цвета с белым, вследствие чего является серый тон. Если тому же рисунку сообщить движение взад и вперед по направлению стрелок Ь, то черный цвет не будет занимать места белого и белый—черного, поэтому рисунок не должен будет терять свою отчетливость, что и подтверждается опытом. Если мы дадим рисунку движение по направлению среднему между двумя названными, то фигура также потеряет свою отчетливость, и тем более, чем направление движения будет ближе подходить к направлению, указанному стрелками а. Из этого

Фиг. 14.

заключаем, что белый цвет остается чисто белым только в том случае, когда движение происходит параллельно направлению полосок.

Вообразим теперь, что мы сообщаем фигуре не круговое движение, а по направлению сторон шестиугольника 123456 (фиг. 15), так что каждый кружок движется сначала по направлению от 1 к 2, потом от 2 к 3, от 3 к 4 и т. д. Рассмотрим тот период, когда движение происходит параллельно линии 1—2, и проведем диаметр AB, перпендикулярный к 1—2. Части концетрических кругов, заключающиеся в узкой полоске вдоль AB, можно считать перпендикулярными к А В и, следовательно, параллельными к 1—2, т.-е. параллельными к линии движения, а вследствие этого, на основании сказанного выше, белые части этой полоски останутся белыми, а на кружке обозначится, поэтому, светлый диаметр по направлению AB (диаметр будет казаться узким по середине и широким по концам). Остальная часть кружка будет более или менее туманною, так как другие части концентрических кругов будут двигаться по направлению не параллельному линии движения 1—2, а под углом к ней. Обратимся теперь ко второму периоду, т.-е. к тому времени, когда движение происходит параллельно линии 2—3. Проведем диаметр CD перпендикулярно к направлению линии движения, т.-е. перпендикулярно к линии 2—3. Мы доказали, что в первый период движения на кружке должен обозначиться светлый диаметр по направлению AB. Подобное же можно доказать, что во второй период движения этим светлым диаметром будет уже не AB, a CD. В третий период светлый диаметр будет направлен по EF (предполагая, что EF перпендикулярна к линии 3—4). В четвертый период опять по AB (так как 4—5 параллельна 1—2) и т. д., т.-е. светлый диаметр, по мере изменения направления движения, будет, так сказать, перескакивать из AB в CD, из CD в EF и т. д. Если мы вместо того, чтобы заставлять двигаться фигуру по направлениям сторон шестиугольника, заставим ее двигаться по сторонам двенадцати-

Фиг. 15.

угольника, то получим не три, а шесть светлых диаметров и т. д.; словом, с увеличением числа сторон и, следовательно, с приближением к окружности, число светлых диаметров будет увеличиваться, скачки будут становится все меньше и меньше, а когда центр, вместо многоугольника, станет описывать окружность, нам будет казаться, что светлый диаметр плавно вращается вокруг центра кружка. Следовательно, при нашем опыте действительно существует I вращение, но не кружка, а светлого диаметра, и это вращение глазом приписывается кружку.

Все сказанное выше об одном кружке относится и к остальным. А потому нам будет казаться, что каждый из них самостоятельно вращается около своего центра.

Ниже следует еще несколько интересных примеров иллюзий зрения, толкованием которых мы предлагали бы читателю заняться самому.

Задача 13-я Какая линия длиннее?

Взглянув на прилагаемый здесь чертеж (фиг. 16), скажите, какая линия длиннее: АХ или ÄY?

Фиг. 16.

Разъяснение.

Можно утверждать наверняка, что каждый, взглянув на чертеж, скажет, что диагональ АХ несомненно, мол, длиннее AY. Но стоит вам смерить их хотя бумажкой,—и вы, к изумлению, убедитесь, что они равны! Сообразив, можно это сказать и без примерки: если из точки А провести перпендикулярную линию к ZY, то станет ясно, что перпендикуляр разделит ее пополам, а вследствие равенства проэкции, наклоненные АХ и AY должны быть между собою равны.

Чем же объяснить такой странный обман зрения? Возможно рассуждать так: если бы наше сознание воспринимало вещи такими, каковы они на самом деле, ничего к ним не присочиняя,—то подобных иллюзий не могло бы быть. Но в том-то и дело, что мы незаметно для самих себя разсуждаем, воспринимая впечатления внешнего мира. Эти-то «подсознательные» рассуждения и являются причиной подобных оптических обманов.

Так как этот процесс рассуждения совершается бессознательно для нас, то довольно трудно бывает с достоверностью его восстановить: приходится строить лишь более или менее правдоподобные догадки. В данном случае, например, мы бессознательно, или, лучше сказать, «подсознательно» рассуждаем, по всей вероятности, так: «Перед нами два параллелограмма—длинный и короткий. Ясное дело что у длинного параллелограмма диагонали должны быть длиннее, чем у короткого».

Впрочем, предлагаем желающему дать более удачное объяснение.

Вот еще подобный же пример.

Не правда ли, что на фигуре 17-й линия AB кажется нам длиннее линии АС?

В действительности же они строго равны между собой.

Точно так же:

Кажется совершенно невероятным, чтобы точки А и С (фиг. 18) одинаково отстояли от точки В.

Фиг. 17.

Фиг. 18.

А между тем это так! Расстояние скрадывается здесь наклоном линий и их толщиной.

Задача 14-я. Две пары дуг.

На фиг. 19 изображены две пары круговых дуг. Если продолжить левые дуги, то встретят ли они оконечности правых?

На взгляд это кажется невозможным; а, между тем, возьмите в руки циркуль и радиусами окружностей, которые на фигуре указаны, продолжите эти дуги. Вы убедитесь, что продолжения левых дуг точно встретят концы правых. Это тоже весьма интересный обман зрения, от которого мы никак не можем отделаться, смотря на рисунок.

Фиг. 19.

Задача 15-я. Как написано слово?

Прилагаемая и следующая фигуры (фиг. 20 и 21) дают едва ли не самые интересные образчики зрительных иллюзий. На фиг. 20-й вы видите написанное английское слово LIFE (жизнь), при чем вам до очевидности ясно, что буквы резко наклонены в разные стороны. Но приложив линейку, вы можете убедиться, что эти буквы поставлены совершенно прямо и только начерчены мелкими наклонными штрихами.

Фиг. 20.

Задача 16-я. Какая кривая?

На фигуре 21-й изображены концентрические окружности, а вовсе не спираль или ряд спиралей, как кажется на взгляд.

Фиг. 21.

В этом легко убедиться. Поставьте карандаш на одну из дуг и ведите его по ней. Против ожидания, вы будете кружиться в замкнутом круге, а вовсе не приближаться к центру или удаляться к краю, как должно быть, если бы на чертеже была изображена спираль. Сетчатый фон, на котором начерчены обе последние фигуры, много способствует усилению этих эффектных иллюзий.

Еще некоторые рисунки и подробности по предмету, рассматриваемому в этой главе, читатель найдет в 3-й книге «В царстве смекалки».

Задачи и развлечения со спичками.

В первой книге «В царстве смекалки» мы уже указали на некоторые простейшие математические задачи и игры со спичками. Приводим здесь еще несколько простых задач и развлечений этого рода, при чем считаем нужным обратить внимание читателя на небольшую книжку Софуса Тромгольда «Игры со спичками», довольно полно и всесторонне исчерпывающую предмет. Книжка эта имеется в русском переводе, в прекрасном издании одесского книгоиздательства «Mathesis», и стоит всего полтинник. Обыкновенная коробка шведских спичек есть незаменимое по своей доступности и дешевизне пособие, которое детям, учащимся и взрослым может помочь провести досуги не только весело, но и с пользой. Об этом следовало бы постоянно помнить. Начнем с незамысловатых задач на переложение спичек.

Задача 17-я.

Этот дом составлен из 10 спичек. Требуется повернуть его к нам другой стороной, передвинув только 2 спички.

Фиг. 22.

Решение.

Ответ ясен из фиг. 23-й, которая получается из предыдущей, если в «крыше» дома (фиг. 22) приопустить одну спичку и приподнять другую.

Решение

дается фиг. 25-ой.

Задача 19-я.

Этот греческий храм (фиг. 26) построен из 11 спичек. Требуется переложить 4 спички так, чтобы получилось 11 квадратов.

Решение.

См. фиг. 27-ю.

Фиг. 24. Фиг. 25. Фиг. 26. Фиг. 27.

Задача 20-я.

В памятнике, составленном из 12-ти спичек (фиг. 28), требуется переложить 5 спичек так, чтобы получилось 3 квадрата.

Решение

ясно из фиг. 29.

Задача 21-я.

Две рюмки (фиг. 30) составлены из десяти спичек. Переложить в них 6 спичек так, чтобы получился дом.

Решение.

Весы составлены из 9 спичек и не находятся в состоянии равновесия (фиг. 24). Требуется переложить в них 5 спичек так, чтобы весы были в равновесии.

Решение.

См. фиг. 33.

Фиг. 28. Фиг. 29. Фиг. 30. Фиг. 31. Фиг. 32.

Задача 23-я.

Вот фонарь (фиг. 34) и вот топор (фиг. 35). Каждый из них составлен из 9 спичек. Переложить в фонаре 6 спичек и получить четыре равных треугольника, составляющих в свою очередь четыреугольник. Переложить в топоре 4 спички так, чтобы получилось 3 равных треугольника.

Фиг. 33. Фиг. 34. Фиг. 35. Фиг. 33. Фиг. 37. Фиг. 38.

Решение.

Из фонаря получается фиг. 36-я. Из топора получается фиг. 37-я.

Флюгер (фиг. 32) составлен из 10 спичек. Переложить 4 спички так, чтобы получился дом.

Решение.

См. фиг. 41.

Фиг. 39. Фиг. 40. Фиг. 41. Фиг. 42.

Задача 2б-я.

У звезды, составленной из 12 спичек (фиг. 42): а) переложить 4 спички так, чтобы получился четырехконечный крест. Ь) В полученном кресте переложить 8 спичек так, чтобы получить крест, состоящий из 4 крестов, с) В этом последнем кресте переложить 8 спичек так, чтобы получилось 4 квадрата, d) Наконец, переложить 8 спичек так, чтобы получилась мельница.

В этой лампе, составленной из 12 спичек (фиг. 38), переложить 3 спички так, чтобы получить 5 равных треугольников.

Решение.

См. фиг. 39.

Задача 25-я.

Из 10 спичек сделан ключ (фиг. 40). Переложить в нем 4 спички так, чтобы получилось 3 квадрата.

Решение.

Все требуемые решения означены соответствующими буквами а, Ъ, с и d на фиг. 43-ей.

Задача 27-я. Дележ сада.

Изгородь квадратного сада составлена 16 спичками (фиг. 44). В ней находится дом, представленный квадратом из 4-х спичек. Требуется разделить сад (без дома) между 5-ю наследниками, при помощи 10-ти спичек, так, чтобы каждый получил части одинаковые по величине и по форме.

Фиг. 44. Фиг. 45. Фиг. 46. Фиг. 47.

Решение.

См. фиг. 45-ю.

Предложенную задачу можно видоизменить и так: 4 брата получили от дяди в наследство сад (обнесенный 16 спичками), в котором находится 12 плодовых деревьев (чем-либо обозначенных), расположенных как указано на фиг. 46. Требуется 12 спичками разделить сад на 4 равные части одинаковой формы, содержащие по равному числу деревьев.

Решение дается фиг. 47-о

Задача 28-я. Сообразите-ка!

Кладут произвольное, не очень малое, количество спичек в ряд, надписывают над 9 спичками, следующими друг за дру-

гом, числа от 1 до 9 и просят кого-нибудь из присутствующих заметить одно из этих 9 чисел. Взяв в уме какое-нибудь не особенно малое число (например, 23), считают про-себя от 9 далее вправо: 10, 11, 12 и т. д. до 23; если ряд оканчивается, продолжают счет, переходя к началу ряда ( у нас придется считать до спички, помещенной 4). Затем вы говорите партнеру, заметившему число: «Считайте от своего числа последовательно по спичкам до 23, переходя к началу ряда, если не хватит спичек. Когда вы скажете 23, то укажете на спичку № 4».

Подумайте немного, и вы убедитесь, что так оно и должно быть! Эта трудная на первый взгляд для иных задача очень легка по существу.

Задача 29-я.

Расстановка часовых.

Вдоль стен квадратного бастиона требовалось поставить 12 часовых. Полковник разместил их, как указана на рисунке (фиг. 48), по 4 с каждой стороны. Затем пришел комендант и, недовольный раз- | I I I мещением часовых, распорядился расставить | j | | солдат так, чтобы с каждой стороны было I | | | по 5. Вслед за комендантом пришел генерал,

Фиг 48.

рассердился на коменданта за его распоряжение и разместил солдат по 6 человек с каждой стороны. Каково было размещение в двух последних случаях?

Решение.

Решение дается размещениями а и Ь на фиг. 49.

Задача 30-я. Хитрецы.

В корчме стояло четыре стола, образуя четыреугольник. Проголодавшиеся, возвращавшиеся с маневров, солдаты остановились там в числе 21 человека пообедать и пригласили к обеду хозяина. Расселись все так: за тремя из столов сели солдаты— по 7 за каждый стол (фиг. 50), а за четвертым столом сел хозяин. Солдаты уговорились с хозяином, что платить по счету будет тот, кто останется последним при следующем условии: считая в круговую (по часовой стрелке) всех, в том числе и хозяина, освобождать каждого седьмого. Каждый освобожденный уходил из корчмы, и последним остался сам хозяин. С кого начали счет?

С кого нужно было бы начать, если бы было только по 4 солдата за каждым из трех столов?

Решение.

Надо начинать счет с 6-го солдата, сидящего по левую руку от хозяина. Во втором же случае—с 5-го из солдат направо от хозяина.

Задача 31-я.

Предложите кому-либо взять в каждую руку по равному какому угодно числу спичек (или каких-либо иных предметов). Это число вам неизвестно. Предложите партнеру переложить из правой руки в левую то число предметов, которое вы ему скажете (напр., число а). Затем, ничего не показывая и не говоря вам, пусть он отложит из левой руки столько спичек, сколько у него осталось в правой; и, наконец, опять-таки ничего вам не показывая, пусть отложит в сторону все спички из правой руки. Теперь вы можете смело утверждать, что у вашего партнера осталось в левой руке всего 2а спичек.

Фиг. 50.

Например. Пусть партнер возьмет по 16 спичек в каждую руку. Вы требуете, чтобы в левую руку из правой он переложил, напр., 10 спичек. (Значит, у него в правой осталось 5 сп., а в левой—25 сп.). Затем по вашему требованию он из левой перекладывает в правую столько спичек, сколько там есть (т.-е. в правой у него станет 5+5=10 спич.), и все эти спички откладывает. Вы и «угадываете», что в левой руке у него должно остаться 2X10=20 спичек.

Решение.

Общее решение и доказательство этой задачи может найти каждый. Пусть только он проследить, что в сущности делается при последовательном перекладывании и откладывании спичек. Пусть у партнера в руках по п спичек, и вы предлагаете ему переложить из правой руки в левую а спичек.

Получается:

I. В обеих руках по п спичек.

II. В левой п+а, в правой п—а спичек.

Ш. В левой (п+а—(п—а^ = 2аспич., из правой же все спички откладываются. Итак, всегда в левой руке получится, в конце концов, удвоенное число тех спичек, которые вы предложили переложить в первый раз.

Задача 32-я. Верная отгадка.

Иван берет в одну руку четное, а в другую нечетное число спичек. Петр предлагает ему помножить число спичек в правой руке на нечетное число, а число спичек в левой руке на четное и сказать ему сумму полученных произведений. Вслед затем он угадывает, в какой руке у Ивана четное и в какой нечетное число спичек. Как это он делает?

Решение.

Если названная сумма—число четное, то у Ивана в правой руке четное число спичек и в левой—нечетное. Если же эта сумма—нечетная, то в правой руке нечетное число спичек.

Доказательство относительно подобного рода задач см. е первой книге «В царстве смекалки», задача 94-я.

Задача 33-я. Собрать в группы по 2.

10 спичек положены в один ряд. Требуется распределить их попарно, всего в 5 пар, перекладывая по одной спичке через две (например, № 1 переложить к № 4 и т. д.).

Решение.

Можно перекладывать так: или:

Задача 34-я. Собрать в группы по 3.

15 спичек лежат в ряд.

Требуется собрать их в 5 групп (или кучек) по 3 спички в каждой, при чем перекладывать спички по одной и каждый раз перескакивать через 3 спички.

Решение.

Обозначим положенные в ряд спички соответственно числами 1, 2, 3..., 15. Тогда задача решается путем следующих 12-ти переложений:

Задача 35-я. Перемещение лошадей.

В конюшне устроено 9 стойл в ряд; 5-ый номер не занят: в номерах 1, 2, 3 и 4 находятся черные лошади (копейки), а в 6, 7,8 и 9 белые лошади (гривенники или иные предметы). Требуется перевести белых лошадей в 1, 2, 3 и 4 номера, а черных в 6,7,8 и 9 на следующих условиях: каждая лошадь может быть переводима в ближайшее стойло или соседнее с ним, но не дальше; никакая лошадь не должна быть возвращаема в прежнее стойло, и в каждом стойле не может быть больше одной лошади. Начинать с белой лошади.

Решение.

Задача решается в 24 хода следующими перемещениями:

Задача 36-я. Поднять одной спичкой 15 спичек.

Решение.

Эта на первый взгляд трудная задача решается, однако, легко. Положим на стол спичку А (фиг. 51), а поперек этой

Фиг. 51. Фиг. 52.

спички положим затем вплотную одну около другой, попеременно вправо и влево, 14 спичек, и именно так, чтобы их головки выдавались на 1—1 г/% сантиметра над А, в то время как концы без головок опирались бы на стол. Сверху, в углубление, образуемое верхними частями спичек, кладут затем 16-ю спичку параллельно А. Если поднять теперь последнюю за конец, то к нашему удивлению вместе с нею поднимутся и остальные 15 спичек (фиг. 52). Для этого опыта удобнее брать большие, толстые четыреугольные спички.

Задача 37-я. Спичечный телеграф.

Спичечный телеграф строится, как указано на рисунке (фиг. 53). Можно конечно, удлинить или укоротить его по желанию. Если нажать в В, то А подпрыгнет.

Фиг. 53. Фиг. 54.

Задача 38-я. Легко или нет?

В заключение этого небольшого отдела задач со спичками предлагаем вам проделать уже не задачу, а маленькое физическое, что ли, упражнение.

ь----

* ——-

3--

s -

1 —--

Вот положено на столе 5 спичек, которые предлагаем вам поднять двумя руками так: сперва спичку № 1 двумя большими пальцами; оставив ее Между этими пальцами,

поднять затем двумя указательными пальцами спичку № 2; оставляя эти две спички между пальцами, поднимите затем спичку № 3 средними пальцами, спичку 4—безыменными и спичку 5—мизинцами. У вас должна получиться фиг. 54.

Интересно знать, удастся ли это вам? Скоро ли и легко ли? А если не легко, то почему? Но если, в конце концов, это вам удалось бы сделать, то попробуйте точно так же соответствующими пальцами обеих рук поднять по 2, по 3 спички.

Лабиринты.

Вот задача, происхождение которой относится к глубокой древности и теряется во мраке легендарных сказаний. Древние, да,—пожалуй и многие и теперь,—задачу о лабиринтах считали вообще неразрешимой. Человек, попавший в лабиринт, не мог уже из него выйти, если только какое-либо чудо или случай не приходили ему на помощь.

Из настоящей главы мы, наоборот, увидим, что безвыходных лабиринтов нет, что разобраться и найти выход из самого запутанного лабиринта не составляет особого труда. Решению задачи мы предпосылаем некоторые исторические справки о лабиринтах. Эти лабиринты, помимо общего их интереса, докажут нам, с одной стороны, насколько интересовались этой задачей, а с другой дадут—наглядное представление посредством рисунков о существовавших и существующих лабиринтах.

Слово «лабиринт», по мнению иных, есть греческая переделка египетского слова и в переводе означает ходы в подземельях. Существует, действительно, очень большое количество природных подземных пещер с таким огромным количеством по всем направлениям перекрещивающихся коридоров, закоулков и тупиков, что не трудно в них заблудиться, потеряться и, не найдя выхода, умереть от голода и жажды.

Примеры такого же рода, но уже искусственных лабиринтов могут представить шахты иных рудников или так называемые катакомбы.

Вероятнее всего, что подобные подземелья возбудили у строителей еще древнейших времен охоту подражать им искусственными сооружениями. И у древних писателей мы встре-

чаем указание на существование искусственных лабиринтов, напр., у египтян. В конце концов, словом лабиринт чаще всего обозначалось именно искусственное, чрезвычайно сложное сооружение, составленное из очень большого числа аллей или галлерей, бесчисленные разветвления, перекрестки и тупики которых заставляли попавшего туда бесконечно блуждать в лабиринте в тщетных поисках выхода. Об устройстве таких лабиринтов слагались целые легенды.

Известнее всего рассказ о лабиринте, построенном мифическим Дедалом на острове Крите для мифического же царя Миноса. В центре лабиринта жило чудовище Минотавр, и никто из попавших туда не мог выйти обратно, делаясь, в конце концов, жертвой чудовища. Семь юношей и семь девушек приносили ежегодно афиняне в дань чудовищу, которое преисправно их пожирало. Наконец, Тезей не только убил Минотавра, но и вышел из лабиринта, не заблудившись в нем при помощи, впрочем, нити клубка царевны Ариадны. С той поры слова «нить Ариадны» имеют символическое значение, как способ, дающий выход из самого затруднительного положения.

Лабиринты бывают самой разнообразной формы и устройства. До наших дней сохранились еще и запутанно-сложные галлереи, и ходы пещер, и архитектурные лабиринты над могилами, и извилистые планы на стенах или полах, обозначенные цветным мрамором или черепицей, и извивающиеся тропинки на почве, и рельефные извилины в скалах.

Рисунками лабиринтов украшались одеяния христаианских императоров до девятого столетия, а остатки таких же украшений сохранились до сих пор на стенах церквей и соборов того времени. Вероятно, эти украшения служили символом сложности жизненного пути и человеческих заблуждений. Особенно употребительны были лабиринты в первой половине двенадцатого столетия.

На фиг. 55-й здесь приведено изображение одного из лабиринтов того времени во Франции, в церкви святого Квентина. Лабиринт этот выложен из камня на полу посреди церкви, и диаметр его равняется тридцати четырем с половиной футам. Путь к центру здесь есть сама линия. Если вести карандашом по линии от точки А (не обращая внимания на внешнюю окружающую лабиринт линию, то вы придете к центру по длинной извилистой дороге через всю внутреннюю площадь, но

сомнения относительно выбора пути у вас быть не может. В подобных случаях эти древние духовные лабиринты отличаются вообще не головоломным, а просто продолжительным извилистым путем, который держит вас все время внутри лабиринта.

Фиг. 55. Фиг. 56.

В церкви аббатства св. Бертэна во Франции есть еще более любопытное изображение подобного рода на полу, представляющее в центре Иерусалимский храм, с остановками для пилигримов. Этот лабиринт действительно посещался пилигримами взамен путешествия по обету в Святые Места. Пройти ползком весь путь лабиринта назначалось также вместо эпитемии.

Фиг. 57.

Фиг. 58.

Лабиринт в Шартрском соборе, изображение которого дано фиг. 56, сорока футов в поперечнике, также посещался кающимися, и они совершали на коленах его сложный и длинный путь, выполняя наложенную на них эпитимию или обет.

Подобного же рода лабиринт, но гораздо меньших размеров, помещающийся всего на одной плите пола, есть в кафедральном соборе в Лукке (фиг. 57). В натуральную величину он имеет 19г/2 дюймов в поперечнике.

Другие подобные лабиринты были и, может быть, существуют и до сих пор в аббатстве Туссарта в Шалоне на Марне, во многих древних соборах и церквах в Ахене, в Риме, в Равенне и во многих других местах. Лабиринты в церквах большею частию назывались «пути в Иерусалим» и служили символом трудного земного путешествия в Святые Места, наградой за которое является небесная благодать, поэтому центр лабиринта называли «Небом».

В Англии не встречаются лабиринты на церковном полу, но зато было очень много лабиринтов, сделанных из дерна на лужайках. Они носили различные названия: «Город Троя», «Следы пастуха» и т. п. Большинство из них находится вблизи церквей или на кладбищах, что указывает тоже на

Фиг. 59.

их духовное происхождение. О таких лабиринтах упоминает Шекспир в своих пьесах «Сон в летнюю ночь« и «Буря».

Образцы подобных «дерновых» лабиринтов приведены здесь на фиг. 58 и фиг. 59. Из них первый (фиг. 58) в графстве Эссекс имел 110 футов в диамете, а втророй (фиг. 59) в Ноттингеймшире— 51 фут в диаметре с линией пути в 535 ярдов длины (линии извилистых путей обоих этих лабиринтов ясно видны на чертеже). Оба эти лабиринта были взрыты плугом и уничтожены в 1797 году. Для полноты и разнообразия возьмем еще образец итальянского лабиринта 16 столетия (фиг. 60), лабиринт, взятый из книги английского писателя 1706 года (фиг. 61), и, наконец, датский лабиринт тех же времен (фиг. 62).

Все вышеприведенные лабиринты имеют более исторический, чем математический интерес. Распутать их нетрудно. Но после Реформации фигуры эти потеряли свое символическое значение и сделались мало-по-малу предметом развлечения. Лабиринты переходят в сады, цветники и парки, где путем проведения прихотливо извивающихся, то пересекающихся, то внезапно прегражденных или заканчи-

Фиг. 61.

Фиг. 62.

вающихся тупиком дорожек получались самые запутанные и головоломные фигуры, в которых, действительно, нелегко было найти дорогу от края к центру, и где трудно было не заблудиться. Из таких затейливых садов если не самый головоломный для решения, то наиболее известный был лабиринт одного из дворцовых садов английского короля Вильгельма III. Вот что можно прочесть о нем в Encyclopaedia Britannica под словом «Labyrinth», с соответствующим рисунком (фиг. 63):

Фиг. 63.

«Лабиринт в садах дворца Хэмптон-коурт считается одним из самых красивых в Англии. Он был устроен в первую половину царствования Вильгельма III, хотя некоторые предполагают, что он существовал там со времени Генриха VIII. В саду переплетается целая система аллей и изгородей, и он был, как говорят, обсажен грабами, которые потом были уничтожены и заменены остролистниками, тисами и др. растениями. Аллеи были около полмили длиной, а весь он занимал пространство около четверти акра. В центре находились два больших дерева со скамейками около них». Способ пройти к этому центру и выйти из

Фиг. 64.

сада состоял в том, чтобы, вступив в лабиринт, с первого же шага и до конца касаться изгороди правой рукой. Пройденный таким образом путь обозначен у нас линией, состоящей из точек, на фиг. 64.

Следующий лабиринт (фиг. 65) во владениях маркиза Солсбери (Hatzfeld House) хоть и сложнее предыдущего, но довольно легко решается на бумаге. Другое дело получится, если мы вздумали бы обойти его в действительности, не имея плана или не руководствуясь известной системой. Лабиринт, представленный здесь на фиг. 66, был устроен королевским обществом садоводства в южном Кесингтоне (Англия) и ныне не существует. Он очень прост, хотя и имеет три входа, из которых обозначенный буквой А ведет почти прямо к центру.

Вот еще образец (фиг. 67) немецкого лабиринта—изящного, но в сущности незамысловатого, и, наконец, на фиг. 68 представлен интересный образчик лабиринта в графстве Дорсет. Он состоял из гряд холмиков (около фута высоты) и занимал около акра площади земли. В 1730 году лабиринт этот был запахан, и земля, как видно, была обращена на более производительный предмет.

Приведенных образцов лабиринтов и исторических справок, полагаем, достаточно, чтобы доказать, насколько стар вопрос о лабиринтах и, вместе

Фиг. 65. Фиг. 66.

Фиг. 67.

с тем, насколько многих он интересовал в свое время. Люди изощрялись в изобретении самых замысловатых и «безвыходных» лабиринтов. Но, в самом деле, возможно ли построить или даже начертить безвыходный лабиринт?—т.-е. такой, в котором найти путь к его «центру» и найти отсюда обратный выход было бы только делом удачи, случая, счастья, а не совершенно определенного и правильного математического расчета? С этой последней точки зрения вопрос приобретает не только теоретический, но и большой практический интерес. В сущности, устройство наших городов, сетей железных дорог речных каналов, телеграфов и т. д.—все это более или менее сложные лабиринты. И если взглянуть на дело с этой стороны, то задача о распутывании любого лабиринта может считаться не одним только «развлечением»...

Итак, представляется вопрос: есть ли безвыходные лабиринты, или в каждом лабиринте, руководясь общими известными правилами, можно разобраться, свободно войти в него, посетить любую данную в нем точку (если она, конечно, не вполне отделена от всей системы непроходимой стеной) и затем выйти обратно?

Решение этого вопроса принадлежит сравнительно позднейшему времени, и начало ему положено знаменитым Эйлером. Результаты произведенных в этом отношении изысканий привели к заключению, что нет безвыходных лабиринтов.

Решение каждого лабиринта может быть найдено и притом сравнительно простым путем. Внимательный читатель, преодолевший нижеследующие главы, сам сейчас убедится в этом.

Фиг. 68.

Геометрическая постановка задачи о лабиринтах.

Аллеи, дорожки, коридоры, галлереи, шахты и т. п. лабиринты, как знаем, тянутся, изгибаясь во все стороны, перекрещиваются, расходятся по всевозможным направлениям, ответвляются, образуют тупики и т. д. Но мы, для большей ясности рассмотрения вопроса, все перекрестки обозначим просто точками, а все эти аллеи, дорожки, коридоры и т. п. будем принимать просто за линии, прямые или кривые, плоские или нет—все равно, но эти линии соединяют наши точки (перекрестки) две по две.

Вслед затем мы говорим, что эти точки и эти линии вместе составляют геометрическую сеть или лабиринт, если какая-либо точка, движущаяся по линяям этой сети, может прийти к любой другой точке, не покидая линий нашей системы (или сети).

Усвоив это, покажем теперь, что подобная движущаяся точка (представляющая, напр., человека) может последовательно описать все линии сети без всяких скачков и перерывов, и при этом по каждой линии сети она пройдет не более двух раз.

Другими словами,—лабиринт всегда может быть разрешен.

Но еще раньше, чем приступить к этому доказательству, можно доставить себе довольно интересное математическое развлечение, которое поможет уяснить все предыдущее и будет весьма полезно для усвоения самого доказательства. На листе белой бумаги возьмите произвольно несколько точек и соедините их две по две столько раз, сколько хотите, произвольным числом прямых или кривых линий, но так, чтобы ни одна точка системы не осталась совершенно изолированной. Итак, вы получите то, что мы назвали геометрической сетью. Или нарисуйте; например, сеть трамваев или конок города, сеть железноных дорог страны, сеть рек и каналов и т. д., прибавьте к ним, если хотите, границы страны,—вы опять получите геометрическую сеть или лабиринт. (Для начала, конечно, лучше брать не особенно сложную сеть.)

Теперь на куске непросвечивающей бумаги или картона, вырежьте небольшое отверстие, через которое была бы видна

только небольшая часть составленной вами решетки или лабиринта. Вез такого приспособления в глазах рябит, и легко запутаться в сети. Затем направьте окуляр (отверстие для глаза) вашего «экрана» на какой-либо перекресток (точку) вашей сети,—наприм., точку, которую назовем А,—и сделайте себе такое задание: обежать этим окуляром непрерывно все линии сети два раза (пройти каждый путь вперед и назад) и возвратиться в точку А. Чтобы помнить уже пройденные окуляром линии, примите за правило на каждой проходимой линии ставить поперечную черточку при входе в перекресток и при выходе из него. Отсюда следует, что две оконечности каждого пути от перекрестка до перекрестка (от точки до точки) после выполненения задания (пройти каждую сеть линии 2 раза) должны быть обозначены 2-мя поперечными черточками, но не более.

Если мы имеем дело с действительным лабиринтом или галлереями подземных шахт, с разветвлениями пещер и т. д., то блуждающему в этих шахтах вместо черточек на бумаге придется делать уже иной знак, чтобы ориентироваться, и класть, например, камень при входе и выходе из каждого перекрестка,— в галлерее, которую он покидает, и в той, в которую он входит.

Но поставленное только что задание и есть в сущности задача о лабиринтах, а потому обратимся к доказательству, что всякий лабиринт разрешим, что нет «безвыходного» лабиринта..

Решение задачи.

Правило I.—Отправляемся от начального пункта (первого перекрестка) и идем по какой угодно дороге, пока не приходим или в тупик, или к новому перекрестку. Тогда:

1°. Если окажется, что мы попали в тупик, то возвращаемся назад, и пройденный путь должен быть уже отброшен, так как мы его прошли два раза (вперед и обратно).

2°. Если же мы приходим к новому перекрестку, то направляемся по новому произвольному пути, не забывая только всякий раз отметить

Фиг. 69.

поперечный черточкой путь, по которому мы прибыли, и путь, по которому отправились дальше.

Все это пояснено на фиг. 69-й, где мы движемся в направлении, показанном стрелкой f, приходим к пересечению путей и берем направление, обозначенное стрелкой g. Но тот и другой путь мы обозначаем черточкой или крестиком. (При чем крестик обыкновенно ставится, чтобы обозначить второй, позднейший, путь.)

Мы следуем указанному выше первому правилу всякий раз, когда приходим на такой перекресток, на котором мы еще не были. Но, в конце концов, мы необходимо должны пройти к перекрестку, на котором мы уже были, и здесь может представиться два случая. На известный нам пункт мы приходим по дороге, уже раз пройденной нами, или же по пути новому, не отмеченному еще черточкой. В таком случае следует придерживаться таких правил:

Правило II.—Прибыв на известный уже нам перекресток по новой дороге, мы должны сейчас же повернуть обратно, предварительно отметив этот путь двумя черточками (прибытие и обратное отправление), как это указано на фиг. 70-й. Правило III.—Если мы приходим на известный нам перекресток таким путем, которым мы уже раз прошли раньше, то, отметив этот путь второй черточкой (или крестиком), отправляемся дальше путем, которым мы еще не шли, если только такой путь существует.

Этот случай изображен на фиг. 71-й.

Но если такого пути нет, то выбираем дорогу, по которой прошли только один раз.

Случай этот изображен па фиг. 72-й. Придерживаясь точно указанных правил, мы необходимо обойдем 2 раза все линии сети и придем в точку отправления.

Фиг. 70.

Фиг. 71.

Это можно доказать, сделав и уяснив себе предварительно такие замечания:

1°. Выходя из точки отправления, скажем А, мы ставим начальный знак (поперечную черточку или крестик).

2°. Прохождение через перекресток по одному из предыдущих 3-х правил каждый раз добавляет два знака (две поперечные черточки) на линиях, которые сходятся в этой точке.

3°. В любой момент прохождения лабиринта, перед прибытием на какой-либо перекресток или после отправления из него, начальный перекресток (пункт отправления) имеет нечетное число знаков (черточек и крестиков), а всякий другой перекресток имеет их четное число.

4°. В любой момент, до или после прохода через перекресток, начальный перекресток имеет только один путь, обозначенный только одной черточкой. Всякий же иной из посещенных уже перекрестков может иметь только два пути, обозначенных одной черточкой.

б°. После полного обхода лабиринта у всех перекрестков все пути должны иметь по две черточки. Это, впрочем, входит прямо в условие задания.

Приняв во внимание все вышеизложенное, мы легко убедимся, что если кто-либо отправляется из начального перекрестка, скажем А, и прибывает в какой-либо иной перекресток М, то он не может встретить других трудностей задачи, которые могли бы остановить его дальнейшее путешествие. В самом деле, в это место M он приходит или^новым путем, или путем, который уже один раз пройден. В первом случае прилагается 1-е или 11-е из данных выше правил. Во втором—вступление на перекресток M и остановка здесь дала бы нечетное число знаков около него, следовательно, за неимением нового пути надо пойти по уже пройденному один раз пути, и около перекрестка будет четное число знаков (если он не начальный), по замечанию 2°.

Пусть, наконец, мы будем вынуждены закончить наш путь и возвратиться в начальный перекресток А. Назовем эту последнюю линию ZA, т.-е. она ведет из перекрестка Z в начальный А.

Фиг. 72.

Этот путь должен быть необходимо тем самым, которым мы отправились первый раз из А, иначе путь можно было бы продолжать. И если теперь мы принуждены им же возвратиться в точку исхода, то это значит, что в перекрестке Z нет уже никакого другого пути, который бы не был уже 2 раза пройден. Иначе это значило бы, что забыли приложить первую часть правила 3-го,— более того, это значило бы, что в Z есть какой-то путь YZ, пройденный только один раз по замечанию 4°. Итак, при последнем возвращении в А все пути в Z должны быть отмечены 2-мя черточками. Точно так же это можно доказать для предшествующего перекрестка Y и для всех остальных. Другими словами,—наше положение доказано, и задача решена.

Этот изящный способ решения задачи в несколько иной форме дан французским инженером М. Тремо. Как видим, он вполне доказывает, что нет безвыходных лабиринтов.

Филадельфийский лабиринт.

Об одном из новейших, не построенных, впрочем, а только начерченных лабиринтов поучительную историю рассказывает

Фиг. 73,

H. E. Dudeney в журнале «The Strand Magazine» за 1908 г.

Несколько лет тому назад,—сообщает упомянутый автор,— один странствующий торговец из Филадельфии, в Соединенных Штатах Америки, увлекся головоломными лабиринтами так, что забросил все свои дела. Дни и ночи проводил он за разрешением и составлением головоломных лабиринтов. Приводимый здесь образчик лабиринта (фиг. 73) довел его до пьянства. В конце концов, он помешался. Разумеется, мозги его и раньше были не в порядке, если такой незначительной причины было достаточно, чтобы окончательно расстроить их.

Во всяком случае, отсюда следует вывести поучение, что лабиринты совсем уж не такая важная вещь, чтобы из-за них стоило терять голову. Приводим этот (фиг. 73), в буквальном смысле слова, «головоломный» лабиринт уже с готовым и упрощенным решением его: все тупики (слепые проходы) в нем уже заштрихованы и, главнейшие пути указаны точечными или штриховыми линиями. И по решению, данному на этой фигуре, видно, что от А надо сначала итти к С, и потом от F к В.

Но, когда мы придем к С, у нас являются три дороги, обозначенные 1,2,3, чтобы дойти до В. Точно так же, когда мы дойдем до Е, тоже видны три дороги, обозначенные 4, б, 6, чтобы дойти до F. У нас есть, таким образом, обозначенная точками дорога от С до Е, другая—обозначенная точками дорога от D до F и проход от D до Е, указанный звездами. Мы можем, следовательно, выразить положение дела маленькой упрощенной диаграммой на фиг. 74-й. Здесь все условия пути соответствуют путям кругоообразного лабиринта, но только более доступны глазу. И вот при таких-то условиях, при условии также, которое здесь можно выполнить, не проходить дважды через один и тот же проход, окажется 640 путей от А до В. Для головоломного лабиринта это,—не правда-ли,—довольно хорошо?

Фиг. 74.

Задача 39-я. Хижина Розамунды.

А теперь, почтенный читатель, после изложенного уже и, думаем, усвоенного вами решения задачи о лабиринтах для

вас будет нетрудно найти путь к хижине прекрасной Розамунды, поселившейся в парке, изображенном на фиг. 75. Если до сих пор вам еще не приходилось слышать о прекрасной Розамунде, то, кстати, достаньте книгу и прочтите эту историю...

Фиг. 75.

Быть может, для сокращения времени вам не бесполезен будет совет пачать поиски от хижины и найти лучше выход из этого коварного парка, чем начинать со входа. Впрочем, при наличности свободного времени это безразлично.

Задача 40-я. Еще лабиринт.

Вот еще любопытный образчик лабиринта, в котором надо пробраться по кратчайшей дороге к центру (фиг. 76).

Фиг. 76.

Общие замечания.

Задача о лабиринтах находится в непосредственной связи с задачей Эйлера о мостах и островах, а также с вопросом о вычерчивании одним почерком различных фигур (уникурсальные фигуры). На страницах последнего издания первой книги «В царстве смекалки» эти задачи разобраны довольно подробно. Здесь нелишним будет привести те общие теоремы, которые лежат в основе подобных задач. Условимся прежде всего называть точкой четного порядка такую точку, из которой исходит четное число линий, и точкой нечетного порядка такую, в которой встречается нечетное число линий. Тогда:

1°. В замкнутой фигуре может быть только четное число нечетных точек,—все равно, уникурсальная эта фигура, или нет.

2°. Замкнутая фигура, все точки которой суть четного порядка, всегда может быть вычерчена одним почерком, начиная с любой из ее точек, т.-е. такая фигура всегда уникурсальна.

3°. Если в замкнутой фигуре не более 2-х нечетных точек, то она может быть вычерчена одним почерком, начиная только с одной из этих точек.

4°. Замкнутая фигура с числом нечетных точек более двух не вычерчивается одним почерком.

5°. Пусть в замкнутой фигуре есть 2п нечетных точек, тогда необходимо и достаточно п приемов, чтобы вычертить фигуру.

Доказательство этих теорем можно найти частью в 1-й книге «В царстве смекалки», частью у Lucas «Theorie des Nombres», глава VII.

Из этих теорем вытекает и решение задачи о лабиринтах— решение, сводящее лабиринт к такой замкнутой кривой, которая вычеркивается двойным непрерывным движением, если каждую линию пройти дважды: вперед и назад.

Таким общим путем, как мы уже указали, может быть решен всякий лабиринт. Если же на практике решение можно упростить, то, конечно, следует это делать.

Задача 41-я.

Картографический вопрос или теорема о четырех красках.

Вопрос, на который мы сейчас желаем обратить внимание читателя, известен уже давно всем, специально занимающимся черчением и раскрашиванием географических карт и планов Состоит он в следующем:

Для всякой карты достаточно четырех различных красок, чтобы любые две области, имеющие общую пограничную линию, не были окрашены в один и тот же цвет. При этом все равно, сколько бы ни было областей, как бы прихотливы ни были их пограничные очертания и как бы сложно ни было их расположение.

Выяснение задачи.

Из прилагаемой фиг. 77 можно убедиться, что четыре различных краски действительно необходимы. Нескольких попыток, предпринятых в этом направлении, достаточно для большинства, чтобы убедиться в невозможности составить карту с таким расположением областей или участков, где потребовалось бы для выполнения условий задачи более четырех различных красок. H

Фиг. 77.

дать этому последнему положению математическое доказательство—представляет совершенно иной вопрос.

Специалистам картографического дела этот вопрос, как упомянуто выше, известен уже давно. Но как математическую теорему, или задачу для решения, впервые выдвинули его Мебиус в 1840 году и Гютри, затем еще более популяризовал его Морган. Вопрос получил известность и был объявлен, как один из нерешенных или даже, быть может, неразрешимых помощью математики. Начиная с 1868 г. талантливый математик Кэли (Кау1еу) обнародовал несколько доказательств этой теоремы, но все они оказались несостоятельными. Профес. Кемпе и проф. Тэт также тщетно пытались решить вопрос. Итак, задача остается до сих пор открытой и ждет своих победителей.

Если бы рассматриваемое нами предложение было неверно, то это можно было бы обнаружить хотя одним каким-либо примером,—наприм., составлением такой «карты» с пятью или более областями, где четырех различных красок для выполнения заданного условия недостаточно. Многие и попытались это сделать, но... вопрос так и остается открытым.

Пока что, доказано только, что существуют поверхности, для которых данная теорема не имеет места. Теорема может иметь место на плоскости или на поверхности шара.

Быть может, кто-либо из наших читателей займется этим вопросом и будет настолько настойчив и счастлив, что разрешит его! Аналогия этой задачи с Эйлеровой задачей о мостах, с задачей об уникурсальных кривых и с предыдущей задачей о лабиринтах напрашивается как-то сама собой. Но аналогия в математике, увы, ничего не доказывает!

О весьма больших и весьма малых числах.

Что такое биллион?

В Англии, Германии и в некоторых иных странах северной Европы часто в основу счета кладут группы из шести знаков:

10е = 1 000 000 == миллион; 1012= 1 000 000 000 000-биллион, Ю18 = триллион и т. д.

В Америке в южно-европейских странах в основу счета кладется группа из трех цифр:

10е = миллион; 109 = биллион; 1012 = триллион и т. д.

Вопроса о том, какая из этих систем правильнее, быть,, конечно, не может. Верно и то, и другое. Все дело в раз навсегда принятом условии о значении того или иного слова. Англичане, впрочем, указывают на филологические, так сказать, преимущества их счисления: биллион, т-е. вторая степень миллиона; триллион, т.-е третья степень миллиона и т. д.

Впрочем, разница в наименовании касается, как видим, таких больших чисел, которые лучше всего определять проста количеством входящих в них знаков (цифр), а потому на практике из такого различного употребления в разных странах одного и того же слова не создается затруднений, и это обыкновенно не отмечается даже в учебниках арифметики. Но о слове биллион следовало бы упоминать. Олово это приходится слышать часто, а потому надо иметь в виду, что оно означает тысячу миллионов в устах обитателей одних стран и миллион миллионов в устах обитателей других. Рассказывают по этому поводу о беспокойстве, а затем о «радости» французов, когда в 1870 году они заключали тяжелый мир с немцами. Речь шла об огромной контрибуции в пять «биллионов» франков, которую затребо-

-йали немцы. Так как «биллион» у немцев есть миллион миллионов (т. е. 1012), а у французов он равен тысяче миллионов (Ю9), то французы, говорят, переживали дни тяжелых недоумений, пока от немцев не была получена бумага, где цифрами (б 000 000 000), а не словами, была указана требуемая сумма. И оказалось, что победители на этот раз слово «биллион» приняли так, как понимается оно побежденными ими французами. Вот почему, пожалуй, было бы полезно раз навсегда условиться принять вместо слово «биллион» французское слово миллиард, как название тысячи миллионов.

В наше время различного рода «миллиардеров» слово «миллиард» или «биллион» сделалось привычным и нисколько, вообще говоря, не поражает обывательского ума. Несколько иначе к этому слову отнесется более развитой математически ум. Он скажет вам, например, что от начала нашей эры, т.-е. от Рождества Христова и до 10 час. 40 м. 29 апреля 1902 г. протек только биллион (миллиард) минут.

Если попытаться сосчитать биллион (миллиард =109) спичек, считая по одной и предполагая, что надо употребить по секунде на спичку, окажется, что, занимаясь таким счетом по десяти часов в сутки, на этот процесс счета придется употребить 76 лет!

Если взять биллион в английском значении этого слова, т.-е. миллион миллионов = 1012, то можно привести еще более разительный пример, который дан одним английским профессором:

Если,—говорит этот профессор,—Адам был сотворен за 4004 года до P. X. (библейская хронология), и если бы он мог считать непрерывно все 24 часа в сутки, и в каждую секунду называть три последовательных числа, то, доживя до наших дней, он сосчитал бы только немногим более половины биллиона в английском смысле этого слова...

В повседневном обиходе нам приходится обыкновенно встречаться со сравнительно небольшим числом каких-либо предметов или с небольшим числом их частей. Но в науке, вообще говоря, мы можем встретиться с числом какой угодно величины,— чрезвычайно большой и чрезвычайно малой. Расстояния неподвижных звезд, скорость света, возраст вселенной и т. п. представляют примеры весьма больших чисел, а размеры атомов, продолжительность их удара одного о другой суть примеры ве-

личин другого, чрезвычайно малого порядка. Но если написано число с большим количеством знаков,—скажем 15-ти-значное, 20-ти-значное и т. д. число, то наш ум отказывается соединить с таким числом какое-либо представление; и чтобы «объяснить», так сказать, это число, мы должны прибегать или к каким-либо таким новым единицам сравнения, как световой год, или к иным каким-либо приемам иллюстрации. Так, напр., если мы скажем, что в капле жидкости, висящей на конце острия булавки, заключается несколько миллиардов атомов, то это, конечно, даст нам более ясное представление о величине атома, чем если бы мы написали дробь с единицей в числителе, а в знаменателе ее—огромное многозначное число.

Для пояснения величины некоторых чисел существуют целые рассказы и даже легенды. Двадцатизначному числу, представляющему без единицы 64-ю степень 2, особенно повезло в этом отношении. Помимо легенды о брамине Сессе и повелителе Индии Шеране, рассказанной нами в 1-й книге «В царстве смекалки», есть и такая иллюстрация этого числа, предлагаемая Оливером Лоджем в его «Легкой математике:»

«Страна, величиной с Англию, была осаждена неприятельским флотом, и ее обитателям грозила опасность умереть с голоду, так как они не выращивали собственного зерна. При этих обстоятельствах капитан одного коммерческого судна настойчивыми просьбами добился от неприятеля пропуска чрез блокаду, при чем ему разрешено было провезти шахматную доску, покрытую пшеницей, для его умирающей с голоду жены и семьи: на первом квадрате должно было находиться одно зерно,, на втором—два, на следующем—четыре и т. д.

«Но когда неприятельский адмирал сделал необходимые вычисления при помощи одного японского моряка, случайно находившегося на борту, то оказалось, что зерна, которое он должен был пропустить, хватит не только, чтобы накормить, но чтобы задушить всех обитателей страны (Оказалось, что число зерен равно 18 446 744 073 709 661 615). Таким количеством зерна можно было бы покрыть всю Землю слоем толщиной в 4 метра.

«Тогда адмирал разрешил пропуск лишь при том условии, чтобы весь запас был привезен с одного раза».

Следует заметить, впрочем, что в очень многих случаях при весьма больших числах не так важно точное численное опреде-

ление величины, как порядок этой величины. «Порядок же величины» определяется просто числом цифр, потребных для ее обозначения.

Задача 42-я.

Довольно большое число!

С помощью трех девяток написать возможно большое число.

Решение.

Очень часто в ответ на предложенный вопрос^пишут число 999, но это неверно. Точно решение вопроса представит число:

9"

Другими словами, 9 нужно помножить само на себя столько раз, сколько единиц заключается в числе 99. Но

99 = 387 420 489.

Итак, нужно произвести 387 420 489 умножений девятки самой на себя, чтобы получить искомое число! Получится «довольно большое число». Но в остроумной и талантливой книжечке «Initiation mathématique» г. Лэзан (Laisant) решительно не советует тратить время на отыскание этого числа.

«Нет, решительно не советую вам,—говорит г. Лэзан,— приниматься за эту задачу. Позвольте мне вам сказать и повторите своим ученикам, которые позже фактически убедятся в этом, что число 999i если бы его написать по десятичной системе, имело бы 369 692 128 цифр.

Чтобы написать его на бумажной ленте, предполагая, что. каждая цифра займет 4 миллиметра в длину, нужно было бы чтобы эта лента имела 1478 километров, 772 метра, 40 сантиметров.

Это немножко больше удвоенного расстояния от Парижа в Авиньон и обратно по железной дороге.

«Необходимое время, чтобы написать это число, полагая по секунде на цифру и работая по 10 часов в день, не превысило

бы 28 лет и 48 дней, с условием включить сюда все воскресенья и все праздники, т.-е. не иметь ни дня отдыха».

Для большего осведомления могу вам сообщить, что первая цифра искомого числа 2, а последняя 9. Нам остается, значит, найти не более 369 692 126 цифр. Вы подумаете, может быть, что облегчение довольно слабое, я думаю то же. Зато, надеюсь, согласитесь, что заглавие «Довольно большое число» поистине оправдало себя...

Задача 43-я. Лавины.

Не так давно часто бывало (да и теперь это бывает), что русский обыватель неожиданно получал письмо от неизвестного ему лица с просьбой переписать присланное письмо в 5, наприм, копиях и разослать эти пять копий пяти различным лицам с такой же просьбой, т.-е. чтобы получившие в свою очередь сделали с письма по б копий, разослали их и т. д. Чаще всего подобным образом распространяли разного сорта «молитвы»,—особенно приписываемые в свое время популярному протоиерею Иоанну Сергиеву (Кронштадтскому). В провинции обыватели на письма такого сорта откликались довольно охотно, пока не надоело.

В свое время (до самого начала последней мировой войны) постоянно приходилось встречаться с ловкой рекламой какого-то продавца часов. Этот господин предлагал каждому желающему иметь «даром» часы на следующих условиях: Продавец высылает желающему талон с 6-ю отрезными купонами. Пусть получатель убедит шестерых своих знакомых взять по одному купону в рубль. Деньги эти пересылаются продавцу, а тот немедленно за это получателю высылает «даром» часы. Но, в свою очередь, каждый купивший за 1 рубль купон получает от продавца талон с шестью купонами: пусть он убедит 6 своих знакомых взять 6 купонов по 1 рублю, и тогда он получит тоже часы «даром». В свою очередь каждый из купивших купон получает книжку с 6-ю купонами, «убеждает» шесть своих знакомых купить по купону в 1 рубль, получает часы и т. д.

Своеобразная реклама эта дает повод к постановке и решению следующей интересной задачи, в которой для большей разительности возьмем небольшие числа.

Пусть кто-либо пошлет три письма, обозначив каждое номером 1. Каждый получивший такое письмо в свою очередь пусть пошлет по 3 копии с него, обозначал эти копии номером 2; каждый получивший эти копии № 2-й в свою очередь тоже пошлет по 3 копии с письма, обозначив их номером 3, и т. д. до тех пор, пока номер рассылаемой копии не достигнет какого либо определенного числа, напр., 50. Предположим теперь, что каждый, кого просят, сделает это и пошлет по 3 копии; предположим также, что письма всегда будут получать разные лица, так что никто не получит письма дважды. Спрашивается, при каком номере копии каждый мужчина, женщина или ребенок на всей Земле получит подобное письмо?

Решение.

Пусть искомый номер копий будет х. Примем население земного шара круглым счетом в полтора миллиарда, т.-е. в 1 600 000 000 человек. По условию задачи, это число должно получиться, как сумма членов ряда чисел.

3, 32 ,33......3х.

Ряд этот есть геометрическая прогрессия из х членов с знаменателем прогрессии 3. Как известно, сумма членов такой прогрессии, S, выражается формулой

а(гп—1)

S=---.

г — 1

Значит, для нашей задачи имеем: 3(Зх-1)

-г-=1 500 000 000

Или

3х —1 = 1 000 000 000 =109,

Полученное ур-ие 3 —1 = 109 принадлежит к виду так называемых показательных уравнений и решается с помощью логарифмирования обеих его частей. Для нашей цели, очевидно, будет совершенно безразлично, если мы пренебрежем входящей сюда единицей. Тогда логарифмирование дает:

Полученное решение доказывает, что если лавину писем указанным в задаче способом довести только до копии за № 19 то число писем уже превысит весь живущий на земном шаре человеческий род.

Часовщик, о котором мы говорили выше, очевидно, имел понятие о геометрических прогрессиях. Другой вопрос, однако, насколько осуществим подобный способ распространения своих товаров и даже—насколько он добросовестен!

Насколько быстро увеличиваются числа в геометрических прогрессиях, вы поймете также из следующей главы.

Прогрессия размножения.

Думали ли вы когда-нибудь, что представлял бы собой наш мир, если бы в нем не было смерти, и все живые существа размножались бы беспрепятственно? Легко показать, что закон геометрической прогресии размножения привел бы такой мир к самому прискорбному состоянию, какое только можно себе вообразить. В каких-нибудь два-три десятилетия вся поверхность суши сплошь зарастет непроходимыми дебрями растений, в которых будут кишеть буквально миллиарды всевозможных животных, яростно пожирая друг друга в борьбе за место. Океан, вместо воды, наполнится рыбой до того, что никакое судоходство не будет возможно, а воздух сделается непрозрачен от птиц и насекомых. Все это будет теснить друг друга, безжалостно пожирая и уничтожая, так как для новых пришельцев буквально не будет места. Здесь будет непрерывный вопль и зубовный скрежет, и все ужасы Дантова ада побледнеют пред такой картиной.

Цифры и вычисления показывают, что в таких мрачных пророчествах нет ни тени преувеличения. Если бы даже на земном шаре было первоначально одно растение, занимающее не более квадратного фута почвы, то и для него вскоре не хватило бы места, если бы смерть не уничтожала его потомства. Вообразим, что оно дает ежегодно всего 50 семян—цифра небольшая, так как многие растения (мак, белена и друг.) дают их тысячи и десятки тысяч. Нет ничего легче, как рассчитать, что уже че-

рез 9 лет такое растение сплошь покроет все 50 миллионов миль поверхности суши. Вот ход вычислений, который каждый может проверить:

Число растений.

Через 1 год.........1X50= 50

» 2 >....... 50X50= 2 500

» 3 »....... 2 500X50=125 000

» 4 »........... 6 250 000

» 5 ».......... 312 500 000

6 ».........15 625 000 000

:> 7 »........ 781 250 000 000

> 8 »....... 39 062 500 000 000

» 9 »...... 1 953 125 000 000 000

Число квадратных футов поверхности твердой Земли меньше и равно всего 1 421 798 400 000 000. Другими словами, менее чем в девять лет растение сплошь покроет всю Землю, и для дальнейшего размножения физически не будет места. Но многие живые существа размножаются гораздо быстрее, нежели взятое выше для примера растение. Обыкновенная муха в течение одного лета дала бы—не будь в мире смерти—потомство, ни мало ни много как в двадцать миллионов! А в пять лет потомство ее выразилось бы умопомрачительным числом, состоящим из 37 цифр (32 X1035). Пауки не уступают мухам в этом отношении: каждый кладет сотни яиц, и в несколько лет пара пауков населила бы Землю не меньшим числом потомков, нежели муха,— если бы смерть не уничтожала 99°/0 всех яичек. Еще быстрее размножаются тли (Aphis), которые дают около 25 особей в сутки. В каких-нибудь 10 дней эти легчайшие, эфирные создания составили бы колоссальную гору тел, равную по весу биллиону людей!

Смерть уничтожает ежегодно не менее трех четвертей всех рождающихся птиц. Не будь этого, каждая пара птиц в 15—20 лет превратилась бы в тысячи миллионов экземпляров. Пара голубей уже в 7 лет дала бы почти 10 миллионов птиц. Рыбы размножаются не менее быстро, нежели обитатели воздушной стихии. Треска на третьем году жизни мечет 9 000 000 икринок. Легко рассчитать, что если бы все икринки развивались беспрепятственно, то в несколько лет треска наполнила бы сплошь моря и сделала бы невозможным мореплавание.

Фиг. 78. Прогрессия размножения. Потомство одной трески после трех лет беспрепятственного размножения: 40 миллионов особей.

Из наземных существ всего медленнее размножается слон, но и он в 500 лет принес бы потомство в 15 000 000 слонов. Но если бы все звери беспрепятственно размножались, то ужасные последствия такого положения вещей сказались бы, конечно, гораздо ранее, нежели чрез столетие: в каких-нибудь два-три десятилетия крокодилы заполнили бы все реки. Медведи, тигры,

Фиг. 79. Прогрессия размножения. Потомство пары голубей после семи дет беспрепятственного размножения: 10 миллионов особей.

волки стаями бы ходили бы по нашим городам и деревням, и никакая культура не была бы возможна.

На прилагаемых рисунках читатели найдут наглядное изображение тех фантастических ландшафтов, которые появились бы на нашем земном шаре, если бы смерть хотя на время остановила регулирующую работу своей страшной косы. При всей фантастичности рисунки эти имеют, как мы видели, некоторые реальное основание в геометрической прогрессии размножения.

А человек? В настоящее время на всем земном шаре круглым счетом lf/2 миллиарда людей; число квадратных футов твердой земли—в миллион раз более. Полагая по футу на человека, мы имеем, что если население земного шара увеличится в миллион раз, то оно сплошь покроет всю сушу, как колосья в поле. Как скоро наступило бы это, если бы не было естественной смерти? Статистика показывает, что средний процент рождаемости населения равен З1^. Капитал, положенный в банк по 8f/t°/Q (сложных), удваивается, как известно, каждые 20 лет; то же будет

Фиг. 80. Прогрессия размножения. Через 50 лет беспрепятственного размножения крокодилы заполнили бы все реки земного шара. Даже в Лондоне, у набережной Темзы, толпились бы тысячи крокодилов.

с населением. Сколько же таких удвоений нужно, чтобы население увеличилось в миллион раз? Решив уравнение

2*=1 000 000,

найдем, что X равно

lg 1 000 000 б

ïg~2 ""0,30103 =19'

Другими словами через 20 х 19 =380 лет люди сплошь покрыли бы все материки и острова земного шара, не будь естественной смерти. А в 2400-м году по P. X. вновь рождающиеся должны были бы уже помещаться на головах старшего поколения.

Так было бы, если бы люди были бессмертны. Но даже и при настоящих условиях возрастание населения внушает серьезные опасения за будущее. Естественный прирост населения в европейских странах колеблется от1,8°/0(в России) до 0,36°/0 (во Франции). Приняв за среднее 1°/0, легко вычислить, что население будет удваиваться каждые 70 лет (lg2: lg 1,01). Если норма прироста останется неизменной, то после 19 удвоений, т.-е. менее, чем через 1400 лет, население увеличится в 1 000 000 раз,—и на нашей планете не будет буквально ни одной пяди -свободной земли.

Такова беспощадная прогрессия размножения!

Задача 44-я. Загадочная автобиография.

В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Вот ее начало:

«Я окончил курс университета 44-х лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в наших летах, всего 11 лет,—способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Через небольшое число лет у меня была уже и маленькая семья в 10 человек детей. Жалованье я получал, положим, слишком скромное, всего 200 рублей в месяц. Из этого жалованья ^- приходилось отдавать сестре, так что мы со своей семьей жили на 130 р.», и т. д.

Предлагается объяснить: что за странные и явные противоречия получаются в числах?

Решение.

Разгадка заключается в том, что математику пришла фантазия написать все числа не по привычной и обычной для нас системе счисления, а по системе пятеричной, т.-е. по такой системе, где в основание положено число пять. Другими словами,—в такой системе есть только цифры: 0, 1, 2, 3, 4, а число 5 изобразится уже цифрами 10. Вступая в «царство смекалки», следует раз навсегда усвоить себе уменье писать числа не только по нашей десятичной системе с десятью цифрами, но и по любой другой. В первой книге, в главе о двоичной системе, об этом сказано вполне достаточно, чтобы не повторяться. Впрочем, сейчас ниже мы даем указания, как от десятичной системы счисления переходить к другой. Теперь же переведем язык загадочной автобиографии на наш обыкновенный «десятичный» язык и тогда увидим, что дело объясняется просто:

Число, обозначенное в автобиографии через 44, равно по десятичной системе: 4-6+4=24; другими словами, математик окончил курс университета по нашему счету в 24 года. Точно так же:

100 соответствует десятичному числу 25 34 » 3-5+4=19

11 » 1-6+1= 6

200 » 2-б2 =50 I » _ I

10 5

130 » 52+Зб = 40

После этого перевода на нашу десятичную систему все видимые противоречия загадочной автобиографии исчезают. Теперь ясно, что автобиографию чудака следует «по нашему» читать так: «Я окончил курс университета 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в 6 лет... и т. д.

Для облегчения чтения следующей главы сделаем здесь кстати указания, как числа, написанные по десятичной системе счисления, писать в иной системе.

Предположим, вы желаете число 25 написать по восьмеричной системе. Делите 25 на 8—получаете в частном 3, в остатке 1. Это значит, что число ваше состоит из трех восьмерок и одной единицы; сделовательно, начертание его по восьмеричной системе будет 31.

Еще пример: написать 267 по четверичной системе. Делите 267 на 4, частное—снова на 4 и т. д., запоминая каждый раз остатки.

Мы узнали, что наше число содержит три единицы, две четверки (т.-е. две единицы второго разряда) и одну единицу пятого разряда. Следовательно, начертание его будет 10023.

Задача 45-я. Написать единицу тремя пятерками.

Решение.

Задача состоит в том, чтобы, пользуясь~тремя 5-ми и какими угодно знаками математических действий, написать выражение, равное единице.

Если вы никогда не пробовали решать подобных задач, то вам не мало придется подумать, прежде чем вы нападете на одно из правильных решений. Вот некоторые из решений предлагаемой задачи:

Можно пытаться найти и другие решения кроме этих пяти. Ниже мы укажем систематический прием, пользуясь которым можно отыскивать все решения этого типа.

Задача 46.

Написать нуль тремя пятерками.

Решение.

Задача одного порядка с предыдущей. Теперь уже читатель без труда сможет дать ответ

(5—5)5= 0, ибо 5—5 = 0 а 05 = 0. Вот еще решения этой же задачи:

Задача 47. Написать 2 тремя пятерками.

Решение.

Ц- = 2 и lg6(5X5) = 2.

Задача 48. Написать 5 тремя пятерками.

Решение.

Задача имеет много решений, напр.:

Задача 49. Написать 31 пятью тройками.

Решение.

Эта задача гораздо сложнее предыдущих. Она не нова, обыкновенно считают, что она имеет всего три решения:

Однако, решений здесь гораздо больше. Мы остановимся подробнее на рассмотрении этой задачи, попутно изложив метод, с которым следует приступать ко всем подобным задачам.

Более общее решение.

Выразить какое-либо число посредством пяти троек можно трояко. Во-первых, соединяя тройки знаками математических действий; во-вторых, пользуясь, на ряду с знаками действий, еще приписыванием троек одна к другой; либо же, наконец, пользуясь, на ряду с упомянутыми приемами, различными математическими символами.

А. Рассмотрим первый прием. Прежде всего найдем все числа, которые могут получиться, как результать математических действий над пятью тройками,—считая семь действий: сложение, вычитание, умножение, деление, возвышение в степень, извлечение корня и логарифмирование.

Произведем сначала последовательно семь действий над двумя тройками; получим ряд из семи выражений: 3+3; 3—3; 3x3;-^-; З3; 1/ 3 и |д3 3. Для удобства обозначим этот ряд римской цифрой I.

Сочетая по очереди каждое из выражений этого ряда опять с тройкой посредством всех знаков действий, получим новый ряд чисел. Этот II ряд будет заключать в себе все числа, которые можно написать посредством трех троек по рассматриваемому способу.

Наконец, сочетая таким же образом каждое из выражений 1 ряда с каждым из выражений II ряда, получим все числа (III ряд), какие могут быть написаны пятью тройками с помощью знаков действий.

В этой последней таблице мы ищем число 31 и находим его всего два раза:

Но так как число 31 может быть написано и не по десятичной системе счисления, то в таблице III мы ищем вообще число, равное За+1, где а—любое целое число, могущее быть основанием системы счисления (но большее, чем 3, ибо в троичной системе уже нет цифры 3). Другими словами, мы будем искать те числа, которые без единицы делятся на три. Таким путем найдем, что число 31 посредством пяти троек может быть выражено следующими способами.

По четверичной системе счисления—два решения:

По 6-еричной системе два решения:

По 8-ричной системе—два решения:

По 9-ричной системе:

По 27-ричной системе—два решения:

По 72-ричной системе—два решения:

По 243-ричной системе—четыре решения:

Словом, пользуясь объясненным выше методом, можно получить все решения этого типа. Между прочим, весьма интересно решение такого вида:

где число 31 написано по системе счисления с основанием 3*6. На этом примере отчетливо выступают преимущества изложенного метода: едва ли кому-нибудь пришло бы в голову это решение, если бы он не улавливал его сетями систематического метода.

Нам остается рассмотреть остальные два приема.

В. Приписывание троек одна к другой дает следующие решения:

Эти решения верны при всякой системе счисления. Из других решений этого типа весьма интересны следующие— по 4-ричной системе:

Здесь выражение 3,(3) означает «три целых и три в периоде» и равно, по 4-ричной системе, 3^-, т.-е. 4.

С. Этот способ, т.-е. пользование всевозможными математическими символами—знаками факультета (!), знаками тригонометрических функций и круговых (sin., aresin. и т. д.), производной ('), дифференциала (d), Интеграла |П, символами теории соединений (А—число размещений, Р—перестановок, С—сочетаний) и т. п.—открывает беспредельное поле изобретательности решающего. Приводить эти решения мы не станем, так как в сочетании с предыдущими двумя этот прием дает задаче неопределенное множество решений. Отдельные же примеры подыскать очень легко, и мы предоставляем это читателю.

Сто тысяч за доказательство теоремы.

Осенью 1907 года в Дармштадте скончался математик Пауль Вольфскель (Wolfskehl), оставивший не совсем обычное завещание: капитал в 100 000 марок он завещал тому, кто докажет одну теорему из теории чисел,—теорему, известную под названием «великой теоремы (или великого предложения) Ферма».

Теорема, за доказательство которой предлагается такой огромный гонорар, очень проста и может быть изложена в немногих словах: сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть тою же степенью третьего целого числа, если степень больше двух. Другими словами, уравнение:

хп-\- уп = zn

неразрешимо в целых числах, если п>2.

Для случая, когда п=2, такое уравнение разрешимо (это так называемая задача о Пифагоровых треугольниках, рассмотренных нами при решении задачи 10-ой).

Но вам никогда не удастся подобрать такие два числа, чтобы сумма их кубов была тоже кубом, или сумма 4-тых степеней была сама 4-ой степенью и т. д.

В этом и состоит теорема, именуемая «великим предложением Ферма». Как ни проста она с виду, но строгого доказательства ее в математике еще не существует.

Не мало великих математиков в свое время трудились над доказательством этой неподатливой теоремы, высказанной Ферма более двух с половиной веков тому назад,—и никому еще не удалось найти общее, строгое ее доказательство для всех степеней выше второй. И если теперь искомое доказательство оценено такой огромной суммой, то оно вполне заслужило это за свою упорную неуловимость для самых сильных математических умов.

Нельзя сказать, чтобы это доказательство было очень уж важно для науки. Гаусс, один из величайших математиков, всех времен, относился к теореме Ферма довольно пренебрежительно. «Признаюсь—писал он своему приятелю—что Ферматова теорема, как изолированное предложение, для меня большого интереса не представляет, ибо легко можно придумать множество подобных предложений, которых нельзя ни доказать, ни опровергнуть».

И, тем не менее, лучшие математики (да и сам Гаусс) бились над ее доказательством Конечно, делалось это неспроста: Ферматова теорема имеет свою крайне любопытную историю. Она, можно сказать, прямо заинтриговала математиков.

Ее автор, Пьер Ферма (Fermât, 1601—1665), юрист по профессии, советник Тулузского парламента по положению, поэт и ученый в душе, занимался математикой лишь между прочим, для развлечения. Это не мешало, однако, ему сделать целый ряд огромной важности открытий, справедливо окруживших его славой гениального математика. Он почти не печатал своих трудов, а сообщал их в письмах к своим друзьям, среди которых были такие ученые, как оба Паскаля, Роберваль, Декарт, Гюйгенс и др. Целый ряд теорем из области теории чисел разбросан этим гениальным диллетантом... на полях одной греческой книги! Впрочем, автором сочинения, которому посчастливилось служить записной книжкой для Ферма, был никто иной, как не менее знаменитый александрийский математик Диофант, также занимавшийся теорией чисел1). Многие из теорем, найденных Ферма, записывались им без доказательств. Эти доказательства так до нас и не дошли. Но впоследствии все его теоремы были строго доказаны позднейшими математиками, все кроме одной,— той самой, о которой у нас сейчас идет речь.

Упомянутая заметка на полях книги Диофанта написана против того места текста, где александрийский математик говорит о разложении полного квадрата на сумму двух квадратов. Вот буквальный перевод того, что Ферма записал сбоку, на полях:

1) О жизни этой загадочной личности нам известно очень мало. Невозможно даже с точностью установить век, когда он жил: с уверенностью можно указать лишь на промежуток времени от 180 г. до P. X. до 370 г. после Р. Хр. См. «В Царстве Смекалки», книга 3-я.

«Между тем, совершенно невозможно разложить полный куб на сумму двух кубов, четвертую степень на сумму двух четвертых степеней, вообще какую-либо степень на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел по-истине удивительное доказательство этого предложения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить».

В чем состояло это «по-истине удивительное» доказательство,—никто теперь не знает. Но в то же время ни один математик не сомневается, что такое доказательство действительно было найдено Ферма, и что оно было верно. Не таков был человек Пьер Ферма, чтобы покривить душой, и не таков он был математик, чтобы ошибаться. Ведь, все другие теоремы, высказанные им без доказательства, были доказаны позднейшими математиками. Такова, например, теорема: «каждое простое число вида 4n+ I есть сумма двух квадратов». Она дана была Ферма без доказательства, но сто лет спустя Эйлер нашел— довольно сложное и трудное—доказательство ее.

Кажущееся исключение, бросающее, повидимому, тень на репутацию Ферма, как непогрешимого теоретика чисел, составляет следующий случай. Ферма высказал теорему, что всякое число вида:

22"-f- I

есть простое число. В течение целого столетия не возникало сомнений в ее правильности. Но вот другой гений теории чисел, Эйлер, доказал, что теорема верна лишь для п>32, и что уже при п = 32 получается число:

4 294 967 297,

которое не простое, а составное, ибо делится без остатка на 641.

Однако это не только не подрывает веры в добросовестность Ферма, но, напротив, скорее даже утверждает ее. Дело в том, что и сам Ферма сомневался в абсолютной верности этой теоремы и откровенно заявлял, что ему еще не удалось дать исчерпывающее доказательство ее. «Доказательство очень кропотливо— говорит он—и должен признаться, что я еще не довел его до удовлетворительного завершения».

После этого едва ли можно еще сомневаться в том, что Ферма действительно доказал свое «великое предложение». А если так, то вполне возможно, что кому-нибудь посчастливится подыскать

доказательство этой теоремы и сделаться обладателем кругленькой суммы в 100 000 марок.

Маленькая историческая справка покажет, впрочем, что эти 100 000 едва ли попадут в руки заурядного математика. Вот краткий перечень того, что уже сделано в этом направлении.

Прежде всего легко доказать, что если теорема справедлива для показателя п, то она справедлива также и для всякого другого показателя, кратного п. Значит, все дело в том, чтобы доказать справедливость теоремы для всякого простого показателя. Для суммы кубов теорема доказана была еще древними арабами. Для п = 4 ее доказал Эйлер. Для п = Ъ—доказали Гаусс и Дирихле. Для п=7—доказал Ламе. Наконец, Куммер доказал ее для всякого показателя, меньшего 100.

Таким образом, для многих частных случаев теорема Ферма доказана. Но у Ферма было общее доказательство ее, для всякого п, и это-то общее доказательство требуется найти. При этом достойно быть отмечено, что многие позднейшие математики (Эйлер, Куммер), доказывая частные случаи Ферматовой теоремы, пользуются такими приемами, которые далеко выходят за пределы элементарной математики и которые самому Ферма не могли быть известны. Очевидно, гениальный французский математик шел каким-то совершенно особым путем, ускользнувшим из поля зрения позднейших математиков.

Прежде чем кончить эту главу, считаем не лишним сказать несколько слов по поводу слухов о том, будто «великое предложение Ферма» доказано одним русским учащимся. В ноябре 1908-го года русские газеты облетело телеграфное известие, что «юному Ч., живущему в Белостоке, посчастливилось доказать так наз. великое предложение Ферма»1). Газеты прибавляли даже, что доказательство это одобрено специальной конференцией Петроградской Академии Наук. Опровержений со стороны Академии Наук не последовало, и так как слух затем заглох, то у широких кругов общества так и осталось убеждение, что наследство Вольфскеля перешло к белостокскому реалисту.

Ученый лесовод Я. И. Перельман любезно сообщил нам по этому поводу сведение из первых рук. Вскоре после опубликования в иностранной печати завещания Вольфскеля—осенью 1907 года—г. Перельман поместил небольшую статью о Ферма-

1) «Русское Слово» 25 XI. 1908.

товой теореме и стотысячной премии в журнале «Природа и Люда». Наружная простота самой теоремы и перспектива получение целого капитала сделали то, что теорема сразу же стала известна в большой публике, и многие тысячи любителей засели за отыскание неуловимого доказательства. В редакцию журнала полетели запросы об адресе того немецкого научного общества, которое присуждает премии (Göttinger Gesellschaft der Wissenschaften). Сотни людей утверждали, что они уже нашли требуемое доказательство и боятся лишь, как бы другие их не упредили и не перехватили причитающиеся им сто тысяч марок.

И вот, в разгар всей этой «математической лихорадки» появляется в газетах слух об упомянутом выше белостокском реалисте Ч. и об одобрении его доказательства Академией Наук. Редакция названного журнала навела справку в Академии Наук и получила ответ, что «сообщение о г. Ч. представляется явным недоразумением». Дело обстояло так. Г. Ч. из Белостока, действительно, послал в Академию Наук свое «доказательство» Ферматовой теоремы и, действительно, получил от непременного секретаря Академии ответ, который юный математик принял, по наивности, за одобрение его доказательства. Вот текст этого ответа:

«Имею честь, по поручению Конференции Императорской Академии Наук, сообщить Вам, что присланное Вами рукописное доказательство теоремы Фермата передано в I Отделение Библиотеки Академии.

«Пересылка всего доказательства в Геттинген не представляется возможною, ибо на премию, о которой Вы упоминаете, работы не могут быть представляемы авторами, а отмечаются самою Комиссиею, присуждающею премию. Примите и проч.».

Не зная, что Академия по уставу обязана хранить в своей библиотеке всякую поступившую в нее книгу или рукопись, молодой математик и окружащие его поняли бумагу, вероятно, в том смысле, что Академия, очевидно, одобрила доказательство, раз она постановила хранить его в библиотеке (между тем, Академия даже не рассматривала его по существу). Отсюда и пошел упомянутый сенсационный слух.

Думаем, что еще не мало лет пройдет, прежде чем придется тронуть капитал завещанный немецким математиком, а впрочем,— кто знает!.. Во всяком случае читатель не потеряет времени даром, смысле расширения своих математических по знаний и навыков, если внимательно займется знаменитой задачей Ферма.

Из области изучения чисел.

Задача 50. Быстрое возвышение в квадрат.

Существует очень простой прием для устного быстрого возвышения в квадрат двухзначных чисел, оканчивающихся на б:

Нужно цифру десятков умножить на ближайшее высшее число и к произведению приписать 25.

Так, напр. 352=1225, т.-е. 25 приписано к произведению 3X4; 852 = 7225, т.-е. 25 приписано к произведению 8X9, и т. п.

Доказательство.

Нетрудно объяснить, на чем основан этот прием. Всякое число, оканчивающееся на 5, можно выразить через 10а+ 5, где а — число десятков. Квадрат этого числа выразится через.

(10а + 5)2= 100а2 + 2 ■ 5 • 10а + 25 = 100а2 + 100а + 25.

Вынеся 100а за скобки, имеем

100а(а+1)+25, или а(а+1) 100+25.

Отсюда ясно, что нужно число десятков а умножить на ближайшее высшее число (а+1) и к результату приписать 25.

Тем же приемом можно пользоваться и не для одних двухзначных чисел,—но, конечно, в этом случае не всегда легка производить нужное перемножение в уме. Но и при умножении на бумаге пользование этим приемом создает экономию во времени. Так 1052 = 11025 (т.-е. 25 приписано к произведению 10 X11).

1252= 15625;

3352 = 112225 и т. п.

Особенные случаи умножения.

Некоторые особенности чисел находятся в прямой зависимости от принятой нами десятичной системы их обозначения. Они легко запоминаются, интересны и могут пригодиться для практических и теоретических приложений. К числу важнейших из них относится сумма цифр всех чисел, получаемых в таблице умножения на 9.

и т. д.

Вот несколько интересных образчиков умножений, которые легко удерживаются в памяти благодаря своему внешнему виду

Число, состоящее из всех значащих цифр кроме 8, написанных в последовательном порядке, при умножении на 8, а также на 9 и на числа кратные 9 (18, 27, 36 и т. д.), дает нижеследующие интересные и легко запоминаемые результаты:

Девять.

Интересные свойства числа 9 часто применяются в арифметике как для теоретических изысканий и практических действий, так и для составления различных занимательных задач, или так называемых «головоломок». В отделе «угадыванье чисел» в первой книге «Смекалки» мы уже широко пользовались девяткой. Распространено также практическое применение девятки для поверки умножения и деления. Основано оно на том свойстве всякого числа, что остаток, получаемый от деления числа на девять, всегда равен остатку от деления на 9 суммы цифр этого числа. Укажем здесь еще несколько интересных применений этого числа.

Прежде всего нетрудно убедиться, что если мы напишем произвольное двухзначное число, а затем напишем цифры этого же числа в обратном порядке и возьмем разность полученных чисел, то эта разность всегда разделится на 9.

Наприм. 72—27 = 45, 92—29 = 63, 63—36 = 27 и т. д. Вообще ясно, что (Юа+Ь)—(ЮЬ+а)=9 (а—Ь), т.-е. получается число, делящееся на 9. (Кроме того, разность эта равна произведению 9 на разность цифр данного двухзначного числа).

Знание этой особенности может принести практическую пользу, напр., многим бухгалтерам. В двойной бухгалтерии случаются иногда ошибки, происходящие от перестановки цифр в числах. Так, напр., бухгалтер может вписать в сторону, скажем, «дебета»: 4 р. 38 к., а в «кредите» по ошибке поставить 4 р. 83 к., т.-е. число, состоящее из тех же цифр но две из них переставлены. Если других ошибок нет, то при подведении баланса между дебетом и кредитом всегда будет выходить такая разница, которая делится на 9. Обратив на это внимание, бухгалтер тотчас должен справиться, не перепутаны ли где цифры.

Задача 51.

Попросите кого-либо написать какое угодно числа из трех цифр, но только такое, чтобы крайние цифры были различны. Пусть потом он возьмет это число наоборот, т.-е. переставит в нем крайние цифры, и вычтет одно число из другого. Полученная разность всегда делится на 9, и вы можете всегда сказать вперед, каково будет частное.

Решение.

Например, если взято сначала число 845, то 845—548= = 297; 297 : 9=33, т.-е. разнице между первой и последней цифрой взятого числа, умноженной на 11.

Чтобы доказать это правило для всякого трехзначного числа, в котором первая и последняя цифра различны, обозначим через а, Ъ и с соответственно цифры сотен, десятков и единиц числа. Тогда взятое число есть

100а + ЮЬ + с,

а написанное наоборот:

100с + 10Ь + а. Вычитая одно из другого и деля на 9, имеем:

Итак, какое бы трехзначное число ни написал кто-либо, вы, взяв разность между крайними цифрами и помножив ее на 11, тотчас говорите частное, которое получится от деления на 9 разности между взятым числом и тем же числом, написанным наоборот.

Предыдущую задачу можно предложить в еще более занимательном, в особенности для детей, варианте.

Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и запечатайте его. Затем, скажите кому-либо, дав ему этот конверт, написать на нем в ряд три любые цифры, но такие, чтобы крайние из них были различны и разнились бы между собою более, чем на единицу. Пусть затем это число он напишет наоборот и вычтет из большего меньшее. Получится некоторое число. Пусть под этим числом он подпишет его же, но наоборот, т.-е. переставив крайние цифры, и сложит оба числа. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое, к его удивлению, и есть точь-в-точь полученное им число.

Например: Пусть он напишет 713; взяв наоборот, получаем 317; 713—317 = 396; 396 +693 = 1089. Тот л^е результат получится, как легко видеть, и для всякого такого трехзначного числа, в котором первая и последняя цифры различны, и разность этих цифр больше единицы.

Более распространены следующие три «головоломки» с числом 9. Все они основаны на том, что остаток, получаемый при делении числа на 9, всегда равен остатку, получаемому от деления на 9 суммы цифр этого числа.

Задача 52.

Возьмите, не говоря мне ничего, любое двухзначное число, переставьте в нем цифры и вычтите большее число из меньшего. Скажите теперь только одну цифру полученной разности, и я скажу вам тотчас другую.

Решение.

Если кто скажет вам любую одну цифру, то другая будет дополнительная сказанной до 9-ти. Так что, если кто-либо скажет вам после того, как вычтет одно число из другого, что одна цифра разности 6, то вы тотчас ему говорите, что другая есть 3 и т. д. Доказательство этого настолько легко, что читатель справится с ним без затруднений.

Задача 53.

Возьмите, не говоря ничего мне, число из трех или более цифр, разделите его на 9 и скажите мне только остаток, который получится от такого деления. Зачеркните теперь во взятом вами числе какую-либо цифру (но не нуль) и опять скажите мне остаток от деления на 9 числа, полученного после зачеркивания цифры, и я тотчас назову зачеркнутую вами цифру.

Решение.

Из первого остатка надо вычесть второй остаток, если же он больше, то к первому остатку надо прибавить девять и из полученной суммы вычесть 2-й остаток, тогда всегда и получится зачеркнутая цифра. Читатель легко может доказать это сам.

Задача 54.

Напишите число с пропущенной цифрой, и я тотчас вставлю туда такую цифру, что число точно разделится на 9.

Решение.

Пусть, например, кто-либо напишет с пропуском ряд цифр 728 57. Тогда, отбрасывая от суммы цифр все девятки, какие возможно, получаем в остатке 2, но 9—2 = 7. Значит, на пустое место надо поставить цифру 7. Доказательство очевидно.

Задачу эту, как и предыдущие, можно всячески разнообразить.

Некоторые числовые курьезы.

В главе о некоторых особенных случаях умножения мы уже показали, что легко получить и запомнить результаты некоторых перемножений. Очень легко также запомнить квадраты таких чисел, как 11, 111 1 111 и т. д. А именно:

II2 — 121; 1111 = 12 321; 1 1112 = 1 234 321; и т. д.

Нетрудно убедиться, что эти полученные от возвышения в квадрат числа: 121, 12 321, 1 234 321, 123 454 321 и т. д., в свою очередь, отличаются любопытными свойствами. Так, рассматривая эту сумму их цифр, замечаем прежде всего, что

1 + 2+1= 4—22 1+2+3+2+1— 9 —З2 1+2+3+4+3+2+1 = 16 — 42 1 + 2+3 + 4+5+4+3+2+1 —25 = 52

и т. д.. (Ср. задачу о пифагорейском круге).

Кроме того, каждое из этих чисел можно представить в виде нижеследующих интересных по форме неправильных дробей:

и т. д

О числах 37 и 41.

Число 37 обладает многими любопытными свойствами. Так, умноженное на 3 и на числа кратные 3 (до 27 включительно), оно дает произведения, изображаемые одной какой-либо цифрой:

37 X 3—111; 37 X 6 = 222; 37 X 9 = 333; 37x 12 = 444; 37 X 15 = 555; 37 x 18=666; 37 x 21 = 777; 37x 24 = 888; 37 X 27— 999.

Произведение от умножения 37 на сумму его цифр равняется сумме кубов тех же цифр, т -е.:

37 X (3+ 7)-33+ 73- 370.

Если в числе 37 взять сумму квадратов его цифр и вычесть из этой суммы произведение тех же цифр, то опять получим 37:

(32+ 72) —3.7 = 37.

Но едва ли не самым интересным свойством числа 37 является то, что некоторые кратные ему числа при круговой перестановке входящих в них цифр дают опять-таки числа, кратные 37. Наприм.:

259= 7 х 37 592 = 16X 37 925 = 25 X 37.

То же самое верно относительно чисел 185, 518, 851 и чисел 296, 629, 962. Все эти числа состоят из тех же цифр, только переставляемых в круговом порядке, и все они кратны 37.

Подобным же свойством отличаются и некоторые числа, кратные 41. Так, числа:

17 589; 75 891; 58 917; 89 175 и 91 758,

как легко проверить, все кратны 41 и каждое получается из предыдущего путем только одной круговой перестановки входящих в число цифр

Числа 1.375, 1.376 и 1.377.

Написанные выше три последовательных числа, кажется, суть наименьшие из таких, что каждое делится на куб некоторого числа, отличного от единицы: 1 375 делится на 53, 1 376— на 23 и 1377—на З3.

Степени чисел, состоящие из одних и тех же цифр.

Вот несколько последовательных чисел, квадраты которых пишутся теми же цифрами, но только в измененном порядке: 132= 169; 1572=24 649; 9132 = 833 569. 142= 196; 1582=24 964; 9142=835 396.

Из одних и тех же цифр, написанных в разном порядке, состоят кубы следующих чисел:

3453 = 41 063 625; 3313 = 36 264 691 ; 3843 = 56 623 104; 4068 = 66 923 416. 4053 = 66 430 125;

Следующая пара чисел представляет ту особенность, что и квадраты их квадратов также состоят из одних и тех же цифр, только написанных в ином порядке:

322=1 024 324=1 048 576 492=2 401 494=5 764 801.

Квадраты чисел, не содержащие одних и тех же цифр.

1°.—Квадраты чисел, состоящие из девяти различных цифр:

2 .—Квадраты чисел, состоящие из десяти разных цифр:

Все разные цифры.

Если число 123 456 789 умножить на всякое целое число, меньшее, чем 9, и первое с ним, т.-е. на числа 2, 4, 5, 7, 8, то каждое полученное произведение будет состоять из 9-ти различных цифр.

В следующем вычитании:

987 654 321 ""123 456 789 864 197 532

уменьшаемое, вычитаемое и разность—каждое состоит из девяти различных цифр.

Числа, отличающиеся от своих логарифмов только местом запятой, определяющей десятичные знаки.

Исследованиями об отыскании подобного рода чисел занимались в особенности знаменитый Эйлер и английский профессор Тэт. Ниже мы даем только три примера подобных чисел, обращая внимание на то, что ряд их может быть продолжен неопределенно далеко.

log 1,3 712 885 742 = 0,13 712 885 742 log 237,5 812 087 593 = 2,375 812 087 593 log 3 550,2 601 815 865 = 3,5 502 601 815 865

Круговые числа.

Число 142 857 отличается многими замечательными свойствами. Если его умножать на последовательные числа 2, 3, 4, 5 и 6, то полученные произведения будут состоять из тех же цифр, что и само число, только переставленных в круговом порядке. Другими словами: все эти произведения можно получить из представленного здесь круга, читая все числа под-ряд, в направлении движения часовой стрелки, но каждый раз начиная с другой цифры:

2X142 857= 285 714

ЗХ » = 428 571

4Х » = 571 428

5Х » = 714~285

6х » = 857 142

7Х » = 999 999

8Х » =1142 856

Фиг. 81.

При умножении числа на 7 получается, как видим, шесть девяток, при умножении же на 8 получается уже семизначное число 1 142 856. Это последнее замечательно тем, что, приложив его первую цифру (1) к последней (6), получим опять данное число 142 857. Вслед за этим умножения на дальнейшие числа дают тот же результат, т.-е. мы получаем опять числа, написанные цифрами 1,4,2,8,5 7ив указанном круговом порядке, если в получаемых семизначных числах будем первую цифру переносишь назад и прибавлять к последней. В самом деле:

9Х 142 857= 1 285 713 (285 714)

10 X » = 1 428 570 (428 571)

11 X » = 1 571 427 (571 428) 23 X » = 3 285 711 (285 714) 89 X » = 12 714 273.

Здесь опять следует отметить, что, умножая на 89, мы полу чаем уже 8-ми-значное число, но если в нем две первые цифры (12) придать к двум последним (73), то опять получим число, состоящее из тех же цифр, что и взятое начальное, но написанное в ином порядке, а именно: 741 285. Точно также:

356 x142 857=50 857 092 (получаем число 857 142, если приложим 50 к 092).

Что же за «особенное» такое число 142 857, и в чем секрет его особенности?

Ключ к уразумению всех особенностей этого числа дает то именно, якобы, «исключение», которое нарушает приведенный выше круговой порядок, а именно, произведение 7 x142 857 = =999 999.

Число 142 857 есть, как оказывается, период дроби —-, если ее представить в виде десятичной дроби.

Совершенно теми же свойствами будет отличаться всякий другой «полный» или «совершенный период», т.-е. период, получаемый от обращения в десятичную простой дроби вида— (где р есть первоначальное число), и при том такой период, что число его цифр ровно на единицу меньше, чем показывает число знаменателя данной простой дроби.

Таким образом, свойствами числа 142 857 будет обладать

Нетрудно доказать, что каждая обыкновенная дробь вида

1

—, где р есть первоначальное число, при обращении в десятич ную даст период, в котором должно быть меньше, чем р, десятичных знаков.

В самом деле, при делении остаток всегда должен быть меньше делителя. Отсюда следует, что в остатках при делении 1 на р для обращения в десятичную дробь может получиться только р—1 различных чисел, а затем процесс начнет опять повторяться.

Так, напр., для известной уже нам дроби — имеем:

— =0,1— = 0,14 —=0,142 — =0,1428 — = 0,14285 — = 7 7 7 7 7 7

=0,142857— =. . . (дальше, очевидно, начнется повторение тех же цифр).

Отсюда ясно, что если мы будем помножать число 142 857 на 3, 2, 6, 4, 5, то мы будем получать период, начинающийся соответственно после 1-й, 2-й, 3-й, 4-й и 5-й цифры.

Отметим еще следующие положения:

Если период, получающийся от обращения дроби вида —

р—1

(где р есть простое число) в десятичную, содержит —— цифр,

— =0, (0 588 235 294 117 647). В самом деле:

2 ХО 588 235......=1 176 470 588 235 294

т.-е. получаем число, написанное теми же цифрами, но в ином круговом порядке. И точно также:

7X0 588 235......=4 117 647 058 823 529

В то время, как

17 ХО 588 235......=9 999 999 999 999 999.

Точно такими же свойствами будет отличаться период дробя

— =0,(0 344 827 586 206 896 551 724137 931), в котором 28 цифр.

о при умножении этого периода на все множители от 1 до р—1 всегда будем получать числа из——цифр, при чем все эти числа можно разбить на два ряда таких, что каждое число каждого ряда может получаться из предыдущего путем только круговой перестановки цифр.

Для примера будем обращать в десятичную дробь — . Получается — =0, (076 923). Помножая числа периода на множители 1, 2, 3. . . . 11, 12 находим:

Возьмем снова уже известное нам число, представляющее период дроби—, т.-е. число 142 857. Помимо известных уже нам свойство но обладает и таким: разобьем его на Д7в половины но три цифры в каждой и сложим эти части; найдем число, кратное 9-ти, т.-е.

142+857 = 999.

Подобным лее свойством отличается число, представляющее период — (см. выше) и т. п. То же относится и к числам, полученным нами выше из периода—.

Тем не менее, если мы найдем такой период дроби —, который содержит——цифр, и это последнее число—— будет само вида4п+3, то такой период нельзя, следовательно, разделить на 2 равные половины, где каждая цифра дополнила бы

соответствующую до 9. Но в таком случае число- (дополняющее — до единицы) даст период тоженз—-— цифр, дополнительный периоду — Р-

Например:

Полезное применение.

Из указанных выше особенностей известного рода чисел можно извлечь некоторые полезные практические применения. И прежде всего можно ввести значительные упрощения и сокращения в вычисления, когда мы обращаем— (р= первоначальному числу) в десятичную дробь.

В таком случае, нашедши некоторое число десятичных знаков, мы еще более значительную часть их можем найти, умножая полученную уже часть частного на остаток. Для удобства вы числения процесс деления следует продолжать до тех пор, пока остаток получится сравнительно небольшей.

Будем, напр. обращать в десятичную дробь —. Начав деление числителя на знаменатель, мы, положим, получим в частном 0,01 030 927 835 и в остатке 5. Остаток невелик, и мы рассуждаем так: начиная с последней полученной цифры частного, дальнейшие цифры должны быть такие, какие получатся от обращения в десятичную дроби —, умноженной на 4. Итак, умножая на 5 полученные цифры частного (или прибавляя нуль справа и деля на 2), мы сразу получаем еще 11 цифр частного.

Задача 55. Мгновенное умножение.

Если вы в достаточной степени внимательно отнеслись к предыдущей главе и усвоили свойства повторяемости одних и тех же цифр, которыми обладают некоторые числа, то это доставит вам возможность производить над числами известные действия, которые для непосвященного покажутся прямо поразительными. Так, напр., вы можете кому-либо предложить следующее.

Я пишу множимое, а вы подписываете под ним какой хотите множитель из двух или трех цифр, и я тотчас же напишу вам произведение этих чисел, начиная от левой руки к правой.

Решение.

В самом деле, вы напишете, как множимое, период дроби—, т.-е. число 142 857, о котором мы говорили в предыдущей главе. Предположим, что другой потребует, чтобы вы это число умножили, напр., на 493.

Дело, в сущности, сводится к тому, что вы это число 493 1 мысленно умножаете на—, а затем мысленно же обращаете в периодическую дробь, что при свойствах известного вам периода (142 857) совсем не трудно. Поэтому, глядя на число 493, вы мысленно делите его на семь и получаете-^- =70 — Следовательно, вы пишете 70, как две первые цифры искомого произведения (пишите слева направо).

Теперь остается-^- ( (т.-е. 3 х — I, иначе говоря,—3 умноженное на период 142 857, и вся задача заключается только в том, чтобы определить первую цифру, с которой надо начинать писать этот период в круговом порядке. Рассуждаем так:

Единицы множимого, 7, на множитель, 3, дают в произведении 21. Значит последняя цифра в искомом произведении должна быть 1, а, следовательно, первой в периоде придется

ближайшая следующая ,т.-е. 4 (или находим 4, деля 3 на 7). Итак пишем (после 70) еще цифры 4 286, а от 71, которые должны бы стоять на конце, надо отнять те 70, что написаны в начале (сравните с умножением 89x142 857 в предыдущей главе). Это даст две последние цифры искомого произведения: 01. Итак, искомое произведение есть 70 428 501.

Все это можно (при усвоении сущности задачи) проделать весьма быстро. И когда ваш собеседник, непосредственным умножением проверив верность вашего ответа, предложит опять взятое вами число (142 857) умножить сразу, например, на 825, вы опять рассуждаете точно так же: 825 6 —— = 117 — и пишете 117. 7 7

Так как 6x7=42, то последняя цифра искомого произведения будет 2; значит, круговую последовательность чисел периода надо начинать с непосредственно за 2 следующей цифры, т.-е. с 8, и вы пишете (за 117) 857; дальше должны итти цифры периода 142, из них надо отнять 117, и вы пишете еще три цифры 025. Получаете:

142 857 X825=117 857 025.

И слава ваша, как «необыкновенного счетчика», пожалуй, упрочится!

Вот еще пример: 142 857 надо умножить на 378.

— 54 _ 53— пишем 53. 7 7

7—на период дает 6 девяток. Вычитаем мысленно 53 из 999 999 и результат приписываем за 53; получаем

53 999 946.

Замечание. При некоторой практике это «умножение» делается чрезвычайно быстро и действительно поражает незнающего, в чем дело. Надо, однако,—если желательно сохранить секрет и занимательность,—всячески разнообразить это математическое развлечение. Можно, например, партнеру сказать так:

Вот я пишу некоторое число, подпишите под ним какой угодно множитель из 2-х, или 3-х цифр, умножьте и полученное произведение разделите на 13. То частное,

которое вы после этого получите, я вам напишу сейчас же, как только вы напишите множитель.

В этом случае, конечно, вы пишете в качестве множимого не 142 857, а 13 X 142 857 = 1 857 141. Так как 13 в данном случае в сущности сокращается, то частное вы получите совершенно так же, как получали произведение в предыдущих примерах. Вместо числа 13 можно взять всякое иное число.

Несколько замечаний о числах вообще.

Теорема Ферма, за доказательство которой, как мы уже говорили в одной из предшествующих глав, можно получить 100 000 марок, кроме титула «великой» носит еще название его посмертной теоремы. Вопросы подобного рода изучаются в той части математики, которая носит общее название теории чисел. В этой области сравнительно мало кто работает, хотя, по выражению многих, она исполнена «волшебного очарования». «Математика—царица наук, но арифметика (т.-е. теория чисел) есть царица математики»,—говорил «первый из математиков (princeps mathematicorum)» Гаусс, а уж он-то в этом вопросе может считаться вполне компетентным судьей. Но, быть может, ни одна из областей математических наук не требует такой силы и строгости мышления, остроумия приемов и глубокого проникновения в природу числа, как именно эта теория чисел, или «высшая арифметика», как ее иногда называют. Читатель наверное не посетует на нас, если мы сделаем небольшую историческую экскурсию в эту область. Начнем опять с упомянутой уже знаменитой посмертной теоремы Ферма. Теорема состоит в том, что

невозможно найти целые числа для х, у, г, которые удовлетворяли бы уравнению

п , • H п

X +у =2 ,

если п есть целое число большее, чем 2.

Теорема Вильсона состоит в следующем: Если р есть первоначальное число, то число 1+1.2.3.4.....(р—1) делится без остатка на р.

Эта знаменитая теорема была высказана Джоном Вильсоном (1741—1793), воспитанником Кэмбриджского универси-

тета. Как и Ферма, он не занимался специально математикой. Теорему свою он предложил ученым без доказательства. Впервые опубликовал ее Уоринг (Waring) в своих «Meditationes Algebraicae», а общее доказательство ее дал Лагранж в 1771 году.

Формулы для нахождения первоначальных чисел. Общей формулы для получения ряда последовательных первоначальных чисел в любых пределах не найдено. Лежандр предложил формулу 2ж2+29, которая дает первоначальные числа для всех последовательных значений х от х = 0 до х = 28, т.-е. для 29 значений X. Эйлер дал формулу: ж2+ж+41, которая дает первоначальные числа для значений ж от 0 до 39, т.-е. для сорока значений X. Американский математик Эскотт (Escott) нашел, что если в формуле Эйлера заменить х через х—40, то найдем формулу X2 — 79ж+1601, которая дает первоначальные числа для 80 последовательных значений х. В исследовании вопроса о первоначальных числах особенно замечательны труды русского академика Чебышова.

Может ли быть больше одной группы первоначальных множителей числа? Все почти наши учебники арифметики на этот вопрос отвечают: нет. Число, мол, разлагается только на одну группу первоначальных множителей. И этот ответ совершенно верен, пока мы держимся только тесного чисто «арифметического», так сказать, привычного понятия о единице, о числе. Но если взгляд на число мы расширим до понятия о комплексном числе (см. далее главу «Наглядное изображение комплексных чисел»), то положение, что всякое число может быть разложено на первоначальных производителей только единственным путем, лишается математической достоверности. Так, например:

Развитие понятия о числе. Начиная с учения о целых числах древних греков, переходя через рациональные дроби Диофанта, так называемые «рациональности» и «иррациональности» рассматриваются, как числа, только в шестнадцатом веке. Отрица-

тельные числа, как обратные положительным, были выдвинуты Жираром и Декартом. «Мнимые» и комплексные числа ввели в математический обиход Арган, Вессель, Эйлер и Гаусс.

Таким образом в последнее время создалось новое, совершенно общее понятие о числе, и, говоря кратко, математики приняли за правило, что оправдание для введения в арифметику числа основывается только на определении этого числа. Исходя из этой точки зрения, и развивается вся современная теоретическая арифметика.

Графики.

Как-то проездом через уездный город Западного края пишущему эти строки случилось разговориться с местным обывателем и узнать, что у них в городе есть своего рода чудо-математик. Этот математик мало того, что решал «всякую» и «какую угодно» предложенную ему задачу, но решал чрезвычайно быстро, почти не думая, при помощи всего на всего обыкновенной шахматной доски. Кусочком мела он известным ему образом расставлял на клетках доски числа задачи и затем, не производя никаких письменных вычислений, говорил тотчас ответ.

— И это каждую предложенную задачу он решает таким образом?—заинтересовался я.

— Какую угодно! Можете, если угодно, убедиться в этом сами. Подумайте: необразованный... а сам дошел...

К сожалению, ни время ни обстоятельства не позволили мне познакомиться с этим еще одним скрывающимся в нашей глуши самородком. Но не раз, признаться, задумывался я над тем, как это «простой и необразованный» белорусе решает все задачи с помощью шахматной доски, не прибегая к выкладкам и вычислениям. Арифметика или алгебра без вычислений!.. На первый взгляд это удивительно, но это только на первый взгляд.

Быть может, «секрет» уроженца белорусского городка окажется не столь уж загадочным, если сообразить, что шахматная доска есть не что иное, как площадь, разграфленная вертикальными и горизонтальными линиями на квадратные плетки. Лист же бумаги, разграфленной на клеточки, как сейчас увидим, может оказаться незаменимым подспорьем для быстрого решения весьма многих и весьма сложных задач. Так как клетчатую бумагу можно теперь встретить в продаже почти всюду, то и мы

здесь со своей стороны повторяем совет почтенного профессора Джона Перри, который в своей «Практической математике» говорит: «Очень важно, чтобы ученик извел много листов бумаги (клетчатой) на свои упражнения, расточительно пользуясь этим материалом». Добавим к этим словам почтенного ученого, что «изводить» клетчатую бумагу следует и не «ученику» в точном значении этого слова, а всякому любителю точных знаний. При помощи такого рода бумаги весьма легко вычерчивать графики и применять их к решению различных задач.

Эти графики в наше время вы можете найти во многих газетах и журналах. Чаще всего ими пользуются для наглядного представления хода изменений температуры и давления барометра за известный период времени. Пример такого графика дан на фиг. 81.

Фиг. 81.

На этой фигуре изображены даже не один, а два графика: сплошная черная линия изображает колебания за неделю в показаниях барометра, а линия колебаний температуры обозначена пунктиром. Разобраться в подобном графике очень легко.

По горизонтальному направлению означено время: семь дней недели и для каждого дня главнейшие часы наблюдения—12 часов ночи, 6 час. утра, 12 час. дня и 6 час. пополудни. Так что сторона каждого квадратика в горизонтальном направлении соответствует промежутку времени в 6 часов, а—стороны—1 часу и т. д.

По вертикальному направлению слева помещены деления в миллиметрах шкалы барометра, а справа—шкалы термометра.

Пусть теперь, скажем, каждый час в сутки или через каждые 2, 4, 6 и т. д. часа определяют высоту барометра и показание термометра. Каждое такое показание на клетках графика легко отметить соответствующей точкой. Положим, например, что во вторник в шесть часов утра высота барометра была 780 миллиметров, а термометр показывал 0°. Тогда на пересечении вертикальной линии, проходящей через показание «Вторник б час. утра», с горизонталью, проходящей через деление барометра 780, мы ставим точку, обозначающую показание барометра. Точно так же на той же вертикали, но в пересечении ее с линией, против которой поставлено нулевое показание термометра, мы ставим точку. Это будет показание термометра. Соединяя все последовательные показания барометра сплошной линией, а показания термометра—пунктиром, получаем графики недельных температур и барометрического давления, дающие полную картину изменения погоды за неделю. Никакой путаницы и неясности здесь быть не может. Если вы хотите проследить линию барометра, справляйтесь с цифрами налево; желаете проследить температуру, смотрите цифры направо. Точно так же каждая точка горизонтали соответствует известному часу и дню недели.

Но графики находят себе применение не в одном только учении о погоде (метеорологии). Можно сказать, что чем дальше, тем область их применения становится шире. В высшей степени плодотворно пользование графиками, например, в статистике. В железнодорожном деле они представляют чуть ли не единственное средство для обозначения движения поездов, и графики последнего рода вы, вероятно, встречали на стенах иных станций железных дорог. Графиками же часто пользуются на биржах для обозначения колебаний курса. Графики—необходимое пособие в области практической механики, строительства и т. д., и т. д.

Вообще, когда одна величина, Y, зависит от другой, X, так что с изменением X изменяется Y, и если эти величины и изменения их конечны, то с помощью графика можно представить какое угодно изменение величины Y в зависимости от изменения X.

Величина Y в таком случае называется функцией от величины X. Поясним несколько подробнее это, весьма употребительное в математике, слово.

Если мы будем чертить ряд окружностей, все более и более увеличивая радиус, то и самые окружности будут все длиннее и длиннее. Следовательно, длина окружности есть функция ее радиуса. Если к резиновой нити подвесить тяжесть, то нить вытянется,—и вытянется больше или меньше в зависимости от того, большую или меньшую тяжесть мы подвесим. Длина резиновой нити есть, следовательно, функция подвешенной к ней тяжести. Если подогревать в котле пар, то давление его увеличится—и тем больше, чем выше будет температура. Давление пара есть, следовательно, функция температуры и т. д.

Читатель может теперь сам подобрать сколько угодно примеров величин, находящихся между собой в функциональной зависимости.

Фиг. 82.

Посредством графика можно всегда наглядно представить функцию помощью чертежа. И для этого прибегают всегда к одному и тому же нижеследующему приему.

На клетчатой бумаге берут две взаимно перпендикулярные линии ОХ и OY, называемые осями координат и пересекающиеся в точке О (фиг. 82). Условимся теперь направления вправо и вверх по осям считать положительными (с знаком+), а направления влево и вниз—отрицательными (с знаком— ).

Как же нам теперь графически изобразить некоторую функцию у, зависящую от х?

Условимся в единице меры, приняв, скажем, каждую сторону клетки за 1. Затем берем известное значение для х и откладываем его по оси Ох вправо, если х положительно, и влево, если X отрицательно.

Пусть, напр., в данном случае ж изобразилось у нас длиной Ор. Для взятого значения х определим соответствующее значение у; пусть оно выразится числом, которое можно представить длиной Oq. Эту длину мы откладываем по оси OY вверх,

если она со знаком+ , и вниз, если она со знаком—. Из точек р и q проведем теперь линии, параллельные осям OY и ОХ. Линии эти пересекутся в точке Р. Вот эта точка и представляет совокупность двух соответствующих значений х и у. Построив ряд таких точек и соединив их непрерывной линией, получаем график, изображающий наглядно изменения функции у в зависимости от изменений х

Способ этот, как мы уже видели, был применен для получения предыдущего графика (фиг. 81) температур и барометрического давления. Он, — повторяем, — общий для построения всех графиков вообще.

Решение уравнений.

При пользовании графиками нет, вообще говоря, неразрешимых уравнений. Для образца, как при решении ур-ий можно пользоваться графиками, возьмем простой пример из «Практической математики» проф. Джона Перри. Пусть требуется графическим путем решить ур-ие

X2 — 5,11ж+5,709 = 0.

Положим

2/ = ж2—5,11ж+5,709

и сделаем график функции у.

Возьмем некоторые значения х от нуля до 5 и вычислим соответствующие значения у. Получаем два ряда:

для х\ 0 1 1,5 2,0 2,5 [3,0 3,5 4,0 5,0 для у: 5,709; 1,599; 0,294 —0,511; —0,816; —0,621; --0,074.; 1,269; 5,159

Нанося эти значения на клетчатую бумагу, получаем график, изображенный на фиг. 83.

Кривая графика пересекает ось ОХ в двух точках Р и Q, следовательно, существует два корня уравнения х2 — 5,11ж + + 5,709=0. Вычисляя эти корни по графику, находим их приблизительную величину: 1,65 и 3,46.

Вот здесь-то и следует отметить, что все почти результаты, получаемые помощью графиков, лишь приблизительны, а не вполне точны. Это всегда следует иметь в виду, когда пользуемся графиками. Но следует также знать и то, что при тщательном

составлении графиков получаемые результаты вполне удовлетворяют требованиям практики.

Итак, если мы не умеем даже решать алгебраически ур-ий 2-й, 3-й и 4-й степени, то нам помогут графики. Они же могут помочь найти корень и всякого иного уравнения, в том числе даже неразрешимого алгебраически ур-ия выше четвертой степени, и разрешать их с желательной степенью точности. Теперь вам, вероятно, понятно значение графиков, хотя вряд ли можно согласиться с уважаемым проф. Перри, который всякого защитника чисто алгебраических «точных» способов решения задач обзывает «самоуверенным, как петух, академическим ученым с деревянной головой».

Фиг. 83.

Хорошо именно то, что для данного случая нужно! — можно на это сказать.

К числу преимуществ графиков пред иными способами решения задач принадлежит еще наглядность, — возможность действовать на ум посредством глаза. Это, в частности, для педагога — великая вещь!

Но перейдем к некоторым другим задачам, решаемым с помощью графиков. Задачи эти, вероятно, более всего объяснят нам тот секрет решения задач на шахматной доске, о котором мы упоминали в начале этой главы.

Задача 5б-я. Знаменитая задача Люка.

Вот задача, предложенная известным (ныне покойным) математиком Эдуардом Люка, о возникновении которой талантливый математик г. Лэзан рассказывает следующую историю, ручаясь за ее полную достоверность.

На одном научном конгрессе, в конце завтрака, на котором находилось много известных математиков, и между ними было несколько знаменитостей разных национальностей, Эдуард Люка вдруг объявил, что он хочет задать им один из самых трудных вопросов:

«Я полагаю, что каждый день, в полдень, отправляется пароход из Гавра в Нью-Йорк и в то же самое время пароход той же компании отправляется из Нью-Йорка в Гавр. Переезд совершается ровно в 7 дней в том и другом направлении. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встретит пароход, отправляющийся сегодня в полдень из Гавра?»

Решение.

Некоторые из присутствовавших знаменитостей, — говорит по этому поводу Лэзан, — опрометчиво ответили «семь!» Большинство же хранило молчание. Ни один не дал верного ответа, но если бы для решения этой задачи призвать на помощь график, представленный на фиг. 84, то решение вырисовалось бы тотчас со всей ясностью. Слушавшие Люка, очевидно, думали только

о пароходах, которые должны еще отправиться в путь, забывая о тех, которые уже в дороге. Верно же то, что пароход, график которого на фиг. 84-й изображен AB, встретит на море 13 судов, да еще тот, который входит в Гавр в момент его отъезда, и еще тот, который отправляется из Нью-Йорка в момент его прибытия, или всего 15 судов. График показывает, кроме того, что встречи будут происходить ежедневно в полдень и в полночь.

Если бы кто сомневался еще до сих пор в огромной пользе графиков, то настоящая задача, думаем, должна рассеять подобные сомнения. Тонкий и сложный вопрос получает в данном случае быстрое, простое и наглядное решение.

Задача 57-я. Курьеры.

В общераспространенных задачниках в ряду иных часто встречаются «задачи о курьерах», или путниках, или поездах, идущих с различной скоростью от известного пункта, вдогонку друг за другом или же навстречу один другому. При этом спрашивается обыкновенно время их встречи и расстояние места встречи от точки отправления.

Задачи эти слишком общеизвестны, чтобы о них стоило много здесь говорить. В школах они относятся обыкновенно к числу «трудных». Укажем поэтому здесь, что задачи и этого рода могут решаться с помощью графиков. Для этого, взяв разграфленную в клетки бумагу и построив две взаимно перпендикулярные оси, мы на оси ОХ откладываем время, а на оси OY соответствующие расстояния, и строим затем попрежнему графики для каждого «курьера», «путника», «поезда» и т. д. Точка пересечения графиков с совершенно достаточной точностью определит время и место встречи; для этого нужно только из этой точки опустить

Фиг. 84.

перпендикуляры на оси ОХ и OY. Пересечение перпендикуляра с первой осью даст точку, по которой определяется время встречи, а пересечение другого перпендикуляра с осью OY даст точку, которая позволит нам определить расстояние места встречи от точки отправления.

Взяв из любого задачника подобную задачу и построив соответствующие графики, читатель легко убедится в простоте и пригодности этого метода для приложения к подобным задачам. Здесь же мы предложим вниманию читателя следующую более сложную задачу о собаке и двух путешественниках, решить которую без помощи графиков не так-то легко.

Задача 58-я. Собака и два путешественника.

Два пешехода идут по одной и той же дороге, в одном и том же направлении. Первый, А, находится на 8 клм. впереди другого и делает 4 клм. в час; второй, В, делает по 6 клм. в час. У одного из путешественников есть собака, которая, именно в тот момент, когда мы говорим, бежит к другому путешественнику со скоростью 15 клм. в час, потом сейчас же возвращается к своему хозяину; прибежав к нему, она снова бежит к другому путешественнику, и так до тех пор перебегает от одного к другому, пока оба путешественника встретятся. Нужно узнать, какой путь пробежит собака.

Решение.

На оси ОХ откладываем время, а на оси OY—расстояния. Вопрос можно рассматривать двояко, смотря по тому, кому из путешественников принадлежит собака. На фиг. 85 считается время с того момента, когда собака выпущена.

Графики двух путешественников суть ОМ и 8М, и точка М, т.-е. встречный пункт, как видно из фиг. 85-ой, соответствует расстоянию в 24 километра и 4 часам ходьбы. Если собака принадлежит путнику, который сзади, то график ее пути есть Оаа..., ломаная линия между графиками хода двух пешеходов. Если она принадлежит путешественнику, идущему впереди, то гра-

фик ее пути есть 8ЬЬ..., такая же по происхождению ломаная линия, но отличная от первой. В обоих случаях, тем не менее, животное не перестает бежать в продолжение 4 часов и, делая по 15 километров в час, пробегает 60 километров. Очевидно, в том и в другом случае результат один и тот же.

Можно предположить, что путешественники идут друг другу навстречу, и вообще — всячески видоизменять условия задачи.

В зависимости от этого изменятся несколько и графики, но способ решения остается тот же.

Фиг. 85.

На этом мы и закончим главу о графиках, предлагая читателю разрабатывать дальше этот вопрос самому. "В вопросах из области физики и механики найдется в особенности много задач, решаемых графически. Рекомендуем также вниманию Читателя книгу Джона Перри: «Практическая математика» (есть в русском переводе). В этой книжке вопрос о графиках разобран с надлежащей полнотой и ясностью. Не советуем лишь увлекаться теми полемическими выпадами против «теоретиков», которыми почтенный автор без видимой нужды уснастил кое-где свою в общем полезную книгу.

Возвращаясь к тому, с чего началась эта глава, т.-е. к оставшемуся в неизвестности «чудо-математику», решавшему задачи с помощью шахматной доски, мы должны признать, что это возможно. Речь идет, очевидно, о графиках. При навыке, некоторые задачи с помощью их, как видим, можно решать удивительно быстро. «Некоторые», — говорим, — но не все! Вот почему нам кажется, вопреки уверениям почтенного захолустного обывателя, что не всякую задачу мог «моментально» решать белорусский «чудо-математик».

Об аксиомах элементарной алгебры.

При изучении элементарной алгебры к решению уравнений приступают обыкновенно с такими аксиомами:

1.—Величины, равные порознь одной и той же величине или равным величинам, равны между собой.

2.—Если к равным величинам прибавить равные же, то и суммы получатся равные.

3.—Если от равных величин отпять поровну, то и остатки получатся равные.

4.—Если равные величины умножать на равные, то и произведения получатся равные.

5.—Если равные величины разделить на равные, то и частные получатся равные.

6.—Целое больше каждой из своих частей.

7.—Одинаковые степени или одинаковые корни от равных величин равны.

Эти освященные временем «общие понятия» составляют основу теоретической арифметики. На них обосновываются точно также и алгебраические рассуждения.

Но в высшей степени необходимо относительно этих аксиом сделать соответствующие пояснения и оговорки, когда мы распространяем их на область алгебраических количеств. Обобщение свойственно математике. Когда мы обобщаем, мы отбрасываем все ограничения, которые были раньше установлены или подразумевались. Предположение, верное с прежде бывшими ограничениями, без них может быть верно и неверно. Поясним примером: при переходе от геометрии двух измерений (планиметрия) к геометрии трех измерений (стереометрия) приходится отбросить то ограничение, которое необходимо подразумевалось в геометрии на плоскости,—а именно, что все рассматриваемые фигуры

лежат в плоскости нашего чертежа, или доски, на которой фигуры изображены (за исключением, конечно, того случая, когда мы мысленно переворачиваем фигуры для наложения их одну на другую). Некоторые из теорем, верные для геометрии на плоскости, без всяких изменений переходят и в стереометрию, а другие—нет. Сравните в этом отношении, хотя бы, две таких теоремы планиметрии: 1) через точку, данную вне взятой прямой, можно на эту прямую опустить только один перпендикуляр и 2) из точки, взятой на данной прямой, можно к этой прямой восставить только один перпендикуляр. Первая из этих теорем безо всяких оговорок приложима и к геометрии в пространстве, а вторая—нет.

Для второго, еще более яркого, примера обратимся к вопросу (см. стр. 107): может ли быть число разложено на более чем одну группу первоначальных множителей?

Нет!—ответят вам,—если под множителями подразумевать обыкновенные арифметические числа.

Да!—с неменьшим правом ответит другой,—если в понятие о числе включить и комплексные (или так называемые «мнимые») количества.

В первом случае число 26, например, разлагается на первоначальные множители только единственным путем: 26 = 2 х 13; а во втором:

26 = 2х 13 = (6 + 1/^1) (6-/^1).

Таких примеров, впрочем, можно привести очень много и в настоящей книге нам как приходилось, так и придется с ними встречаться не раз.

Таким образом, мы можем всегда ожидать, что аксиомы арифметики могут нуждаться в некоторых видоизменениях или дополнениях, если попробовать их распространить на область алгебраических количеств. И это мы находим на самом деле. К сожалению, мы не всегда замечаем, чтобы авторы учебников обращали внимание своих читателей на подобные видоизменения иных аксиом, или даже, чтобы они сами применяли эти аксиомы с надлежащей осторожностью. Между тем мы прежде всего должны требовать от научной аксиомы, чтобы она была совершенно верна и вполне соответствовала смыслу, в котором известные выражения употребляются в этой науке.

Пятая, например, из вышеприведенных аксиом, или «аксиома деления», должна быть сопровождаема необходимой, но тем не менее редко встречающейся оговоркой:... «разделить на равные, только не на нуль».

Без такого ограничения высказываемое положение далеко от аксиомы.

В ином учебнике, где приведена шестая из вышеуказанных «аксиом», читатель на следующей странице может найти такое, например, выражение

+ 2-5+7-1= + 3,

где « + 3» есть «целое» или «сумма». Видя, что одна из частей этого «целого» есть+7, иной читатель может искренне подивиться, как же это совмещается с «аксиомой», что «целое больше каждой своей части».

В седьмой аксиоме одинаковые степени и корни из равных количеств равны только арифметически. Иначе говоря,—одинаковые действительные корни из равных количеств равны при условии одинаковых знаков.

Употребляя в аксиоме слово «равный», не принимаем ли мы его как бы в смысле «тот самый»? Например, если два числа те же самые, что и третье число, то и первое есть то же число, что и второе, и т. д.

О приложении аксиом к решению уравнений.

Иногда в элементарных руководствах, а тем более в объяснениях иных репетиторов и даже преподавателей, дело ставится так, что как будто при действиях над уравнениями возможно прямое, непосредственное приложение аксиом. Возьмем для примера постоянно встречающееся и в учебниках и в учебной практике такое рассуждение:

Дано уравнение

Зж+4 = 19. Вычитая из каждой части по 4, получим

Зх = 1Ь......(аксиома 3).

Деля обе части на 3, получаем

х = Ъ......(аксиома 5).

И уравнение считается решенным (безо всяких оговорок) непосредственным приложением аксиом. Но это доказывает только, насколько распространены на этот счет совершенно ошибочные или непродуманные взгляды.

Хотя в выполненных выше алгебраических действиях и нет ошибки, но ссылка для пояснения этих действий просто на аксиомы может толкнуть ученика на ложный путь. «Со спокойным сердцем», как говорится, при таком способе рассуждений он поделит обе части уравнения на неизвестное, если это возможно, и не заметит, что при этом уже теряется одно решение (корень) уравнения. Точно также «приложением» той или иной «аксиомы» он может ввести в вопрос совершенно постороннее решение.

Следует раз и навсегда освоиться с мыслью, что прямое, непосредственное применение аксиом к решению уравнений неприложимо,—и вот почему:

А.—Можно, следуя аксиомам и не сделав никакой ошибки в действиях, получить, все же, неверный результат.

В.—Можно нарушать аксиомы, т.-е. поступать вопреки их прямым указаниям, и, все же, получить верный результат.

С.—Аксиомы по самой внутренней сущности не могут прямо и непосредственно применяться к уравнениям.

Рассмотрим теперь каждое из высказанных выше положений отдельно.

А.—Применение аксиом и получение ошибки. Пусть дано

ж —1 = 2........(1)

Умножаем обе части уравнения на х—5, получаем

X2—6х+Ь = 2х—10.....акс. 4

Вычитаем из обеих частей уравнения по х—7:

х2 — 1х+12 = х — 3 .... акс. 3 Делим обе части ур-ия на х—3:

X — 4 = 1 . . . . . . акс. б

Прибавляя к обеим частям по 4, находим

х—Ъ........акс. 2

Но найденное решение не удовлетворяет данному уравнению (1). Единственный корень его, как легко убедиться, есть я = 3. Итак, совершенно с виду правильно рассуждая и не сделав ни одной ошибки в действиях, мы пришли к неверному решению. В чем же дело?

Недоразумения на этот счет (особенно при выяснении так называемых «математических софизмов») настолько обыкновенны, что остановимся на вопросе подробнее, рискуя даже несколько наскучить читателю. Проследим пройденный нами путь:

Умножение на х—5 ввело новое решение: ж = 5, а деление на X—3 исключило корень х = 3. Аксиомы, приведенные в предыдущей главе и надлежаще понятые, исключают деление на нуль. В этом мы убеждаемся и на данном примере, так как деление ур-ния на а>—3 есть в сущности деление на нуль, ибо число 3 удовлетворяет ур-ию (есть его корень). Говоря точнее, все это показывает, что при действиях над уравнением существо вопроса состоит в том, чтобы значение входящего в него неизвестного оставалось верным и неизменным. Необходимость квалифицировать аксиомы применительно к этому требованию выдвигает важное начало эквивалентности уравнений, или равнозначности их, говоря по-русски. Необходимо, чтобы после всяких преобразований уравнения всякое новое по виду получаемое уравнение было эквивалентно (или равнозначно) данному; т.-е., чтобы можно было с уверенностью сказать, что все произведенные над уравнением действия не изменили значения входящих в него неизвестных, не ввели новых решений, или не лишили его прежних.

Не входя в излишние здесь теоретические подробности, приведем, для ясности, по этому поводу несколько простейших примеров.

Если к обеим частям данного уравнения прибавить или от обеих частей вычесть одно и то же выражение (хотя бы даже содержащее неизвестное), то это не изменит значение ж в уравнении (вновь полученное ур-ие, значит, будет эквивалентно, или равнозначно, данному).

Точно также значение х не изменится, если данное ур-ие умножить или разделить на какое-либо известное число, кроме нуля.

Но если обе части уравнения умножить или разделить на количество, содержащее неизвестное, то вновь полученное ур-ие будет, вообще говоря, не-эквивалентно данному.

Если бы после высказанных здесь замечаний у читателя остались еще какие-либо сомнения и возражения, то мы просили бы его внимательно заняться началом эквивалентности по лучшим учебникам и руководствам, с одной стороны, и действиями над уравнениями с другой. Тогда он быстро убедится, что к вопросу об уравнениях нельзя подходить прямо с одними аксиомами.

Необходимо оговориться также, что все предыдущее нисколько не посягает на правильность и незыблемость аксиом,—оно возражает только против их применения там, где они прямо неприменимы.

Иной может возражать, что мы искусственно нагромоздили прямое применение аксиом к решению уравнения (1) в случае А, и что никто не стал бы решать так это простое уравнение. В этом ур-ии (1) решение, действительно, само бросается в глаза, и каждый, пожалуй, скажет его, просто взглянув на ур-ие. Но станет ли кто возражать, что в громадном большинстве случаев сложные ур-ия учениками решаются именно так как мы это привели выше с ур-ием (1). Простой же и наглядный пример выбран здесь для того, чтобы убедительнее привести к нелепости (reductio ad absurdum) ложь начального положения.

В.—Нарушение аксиом и верный результат.

Чтобы избежать возражения, что нарушением одновременно двух или более аксиом мы как-либо уравниваем допущенную ошибку, возьмем пример, где поступим вопреки прямым указаниям только одной аксиомы.

(1)

Прибавим 10 только к первой части этого ур-ия. Таким образом, мы самым грубым образом нарушаем предписание «аксиомы сложения» и получаем

(2)

Помножим обе части ур-ия на х—3:

(3) акс. 4

Вычтем из обеих частей ур-ия по 2#—6:

х2+±х — 21 = 0 ... (4) акс. 3

Разделим обе части на х+7:

ж —3 = 0.....(5) акс. 5

Прибавляя к обеим частям по 3, имеем

ж = 3.........акс. 2

Полученное решение 3 есть верный корень данного ур-ия (1), несмотря на то, что нами допущено единственное грубое противоречие аротив аксиомы 2-й, которое не могло быть уравновешено неправильным приложением какой-либо другой аксиомы, ибо в остальном мы прямо и точно прилагали «аксиомы». Из предыдущего (А) уже ясно, что неверным пониманием приложения аксиом мы получили затем здесь ур-ия (3) и (5) неэквивалентные данному, а потому и получили такой «неожиданный» результат.

с.—Аксиомы по самой своей сущности не имеют прямого отношения к уравнениям.

Аксиома говорит: если к равным величинам прибавить равные и т. д., то и результаты будут равны. Вопрос же, преследуемый разрешением уравнений, состоит в том: для какого значения X обе части ур-ия будут равны? Таким образом, если к одной части уравнения придать некоторую величину, не придавая ее к другой, то, все же, для некоторого значения ж, хотя бы и нового, в результате получится равенство.

Арифметика, имея дело с обыкновенными числами, стремится только узнать, что известное, получаемое в результате число, равно известному другому. Но алгебра, имея дело с уравнениями (условными равенствами) желает знать, при каких условиях данные выражения представляют одни и те же числа,— другими словами, для каких значений неизвестного данное уравнение верно.

В отделе В настоящей главы возражение против уравнения (2) состоит не в том, что первая часть его равна второй (они «равны» настолько же, насколько и обе части первого данного

ур-ия), но в том, что обе его части не равны для того же значения ж, как и в ур-ии (1). Словом, ур-ие (1) неэквивалентно (2).

Вообще, изучение и вывод принципа эквивалентности может дать многое в смысле математического развития каждому желающему поработать в области математики. Прежде всего, как видим, это натолкнет его на надлежащее приложение аксиом. В применении к уравнениям, напр., аксиомы играют роль только при выводах и доказательствах начала эквивалентности. Прямое же приложение их к решению уравнений есть заблуждение, которого следует всячески избегать.

Проверка решения уравнения.

Весьма часто учащиеся «доказывают» правильность решения какого-либо уравнения таким путем. Найденную величину для неизвестного подставляют в обе части данного уравнения, затем над обеими частями полученного выражения проделывают указанные знаками действия и, получив числовое тождество, смело говорят: «что и требовалось доказать», хотя... непригодность подобного «доказательства» можно в свою очередь доказать на примерах, где получаемая нелепость прямо бьет в глаза.

Возьмем такой пример:

(1)

И, решая его так, как обыкновенно это делается, получаем:

(2) (3)

Найденное значение для х подставим в данное уравнение (1) и «докажем» правильность решения:

Казалось бы, все обстоит благополучно, хотя на самом деле не трудно видеть, что если мы в уравнение (1) подставим вместо X число 5 и приведем обе части к простейшему виду, то получается для первой части 1+1^7, а для второй: 1 — у 7,— числа явно неравные друг другу, а потому, следовательно, 5 нe есть корень данного уравнения, что бы ни утверждала приведенная нами выше «проверка».

Корень 5 был незаметно введен в уравнение, когда обе его части возвышались в квадрат. Другими словоми,—корень 5 удовлетворяет уравнению (3), но никак не (1) и не (2). Но если бы в каком-либо из уравнений, (1) или (2), изменить знак, то получилось бы уравнение, удовлетворяющееся решением у = б; а именно:

1 + Vx+ 2 = 1 +/ 12 — X.

Итак, необходимо всегда помнить, что если рациональное уравнение получается из иррационального путем возвышения в степень, то существует всегда другое иррациональное уравнение, отличающееся от данного только знаком какого-либо члена или членов, и из которого также можно получить то же самое рациональное уравнение.

Софистическая карикатура.

Разобранный нами выше неправильный метод «доказательства» верности решения уравнения можно свести к довольно известному, хотя и грубому логическому софизму, стремящемуся «доказать», что всякое математическое действие можно свести на что угодно.

Доказать, что 5 = 1? I

Вычитая из каждой части но 3, находим: 2 =—2.

Возвышая в квадрат обе части: 4 = 4.

Итак 5 = 1!..

Неправильные ответы.

В учебниках и задачниках алгебры нередко можно встретить уравнение такого вида:

х + Ъ — V X + 6=6,

и в «ответах», где приведены решения задач, кратко сообщается, что корни этого уравнения суть «4, или—1». Это неверно. Решение данного уравнения есть 4, а—1 не есть решение. К несчастью, подобного рода задачи без надлежащих разъяснений встречаются чаще, чем следует.

Алгебраические софизмы.

Какой-то остряк уверял, что во всей литературе существует на самом деле только небольшое число основных острот или анекдотов, но со многими видоизменениями. Он пытался даже дать классификацию остроумных изречений, сводя их к небольшой таблице типичных примеров. Другой остроумец уменьшил и это число типов, сведя их, сколько помнится, всего к трем. Нашелся и такой, который заявил, что ни острот, ни шуток, вообще, не существует. Успел ли этот последний действительно исключить понятие об остроумии, как таковом, или же к огромному запасу старых острот он прибавил еще одну,—это, конечно, зависит от взгляда на предмет.

В настоящей главе мы, все же, сделаем попытку, если не классифицировать, то до некоторой степени осветить хотя бы некоторые из наиболее распространенных алгебраических так называемых «софизмов» или парадоксов. При этом наша цель— не хитроумно запутывать вопросы, а разобрать известные типы этого рода задач, рискуя даже в значительной степени лишить их присущей им «таинственности». Софизмы подобны привидениям,—они не выносят света. Анализ гибелен для известного рода вопросов.

О тех классах, или подклассах общих логических ошибок, которые приводит к своей «Логике» Аристотель и которые зависят от неправильных построений силлогизмов,—в случаях математических софизмов приходится говорить мало. Наиболее часто в софизмах, рассматриваемых нами, из этих ошибок встречается та, которая зависит от неправильного построения или употребления так называемой малой посылки. В математике

подобное логическое противоречие прикрывается незаметным для новичка допущением некоторого обратного, с виду очевидного, предложения, или же применевием процесса математических действий, который кажется неоспоримым, каково бы то ни было его приложение по существу. Возьмем хотя бы такой пример:

Пусть с будет среднее арифметическое между двумя не равными числами а и Ь, т.-е. с = —-—, и следовательно:

а + Ъ = 2с.........(1)

Отсюда

(а + Ъ) (а — Ъ) = 2с (а—Ъ), а2 — Ъ2=2ас — 2Ъс\

Перенеся члены, имеем:

а2 — 2ас=Ъ2 — 2Ъс.

Придавая к обеим частям равенства по с2:

а2 — 2ас+с2=Ъ2 — 2Ъс+с2........(S)

Отсюда

(а-с)2 = (Ъ-с)2;

или

а—с =Ъ—с.........(3)

Следовательно,

а = Ь.

А между тем было дано, что а и Ъ неравны! В чем же дело?

Конечно, обе части равенства (3) арифметически равны, но знаки-то этих чисел противоположны; так что равны только их квадраты (2). Допускаемая здесь ошибка настолько очевидна, что, казалось бы, не стоило об ней и говорить, если бы в том или ином виде на ней не строились весьма многие так называемые «математические софизмы».

Указывая в предыдущей главе на ошибочные приемы проверки правильности решения уравнений, мы привели там (стр.

145) другой пример получаемого, яко бы математически, абсурда. Поставим теперь вопрос на общелогическую почву, и мы тотчас найдем источник всех наших ложных выводов. В сущности, мы строим неправильные силлогизмы, подобные нижеследующим, которые нарочно приводим параллельно в рядом стоящих столбцах:

Птица—животное. Лошадь—животное. След.: Лошадь есть птица.

Два равных числа имеют равные квадраты.

Эти два числа имеют равные квадраты.

След.: Эти два числа равны.

По поводу каждого из этих неправильных логических построений с полным правом можно привести и два таких параллельных замечания:

Даже малоразвитой человек. будет издеваться над таким заключением, ибо оно нелепо; но тот же человек не заметит иногда подобной же ошибки в устах, например, политического оратора);—особенно своей партии.

Каждый «первокурсник» высшей школы посмеется всякий раз, как получается нелепое заключение: и он же с легким сердцем готов примириться с ошибочными методами проверки решений, указанными в предыдущей главе.

В случаях, когда приходится иметь дело с квадратными корнями, подметить ошибку иногда не так-то легко. По общему •соглашению о знаках, если нет особой оговорки, то перед \Г .подразумевается знак+. Сообразно с этим для положительных четных или действительных нечетных корней верно, что «одинаковые корни из равных количеств равны»; и отсюда

УаЪ= j/~а уГЪ.

Но если а и b отрицательны, а п—четно, то этого тождества уже не существует, и, принимая его, мы приходим к абсурду:

Или же, принимая, что у -=*р==. для всяких значений букв, мы, казалось бы, можем написать следующее тождество (ибо каждая часть его=]/"—1):

Отсюда

Освобождая от дробей:

или

Эти «обманы по несчастью», где, отправляясь от общего правила, приходят к такому специальному случаю, когда некоторые особые обстоятельства делают это правило неприложимым, а также софизмы, получаемые обратным путем, известней математик Морган предлагал разделить на три разряда, относя их все в область «псевдо-алгебры». По общему правилу, например, равные величины, разделенные на равные, дают и равные частные. Но это правило теряет свою силу, если равные делители являются в виде нуля. Приложение общего правила к этому специальному случаю дает также весьма большое число распространенных математических софизмов.

X2— X2 = X2 — X2.

Первую часть его представим как произведение суммы на разность, а во второй вынесем общего множителя; получим

(ж-f х) {х — х) = х (х — х)......(1)

Сокращая на х—я, получим:

х-\- х = х.........(2)

или

2х = X,

т.-е.

2 = 1..........(3)

Абсурд получился потому, что, деля на 0 тождество (1), мы обратили его в ур-ие (2), которое удовлетворяется только корнем х = 0. Деля же (2) на ж, мы и получаем нелепость (3).

Вот еще пример: Пусть

х = 1.

Тогда

х2 = х.

X2—1 = х — 1.

Деля на х—1:

х+1 = 1.

Но так как по положению х = 1, то, подставляя, получаем 2 = 1.

Употребление расходящихся бесконечных рядов дает другие многочисленные образцы математических софизмов, секрет которых состоит в том, что молчаливо принимается за верное для всех рядов нечто такое, что на самом деле верно только для сходящегося ряда. Так называемый «гармонический ряд» употребляется с этой целью особенно часто.

Разобьем этот ряд на группы так:

Каждая заключенная в скобки группа членов больше — .

Следовательно, сумма п первых членов ряда возрастает безгранично при безграничном возрастании п. Итак, сумма членов ряда бесконечна. Ряд есть расходящийся. Но если в этом ряду знаки+и—попеременно чередуются, то, как известно, ряд.

есть сходящийся и сумма его равна log 2 (логарифм берется Неперов, т.-е. при основании е). Запомнив это, не трудно будет разобраться в таком «софизме», где отправляются от этого» ряда, выражающего log 2.

Но log 1 также = 0, значит log 2 = log 1 = 0.

Вместо двух последних скобок мы могли бы написать знаки бесконечности 00 и вычесть: 00 — 00 = 0.

Бесконечность и 0 для творца математических софизмов, ведь, тоже «количества»!..

Молчаливо допуская, что всякое действительное число имеет логарифм, и что он подчиняется тем же законам, что и логарифмы обыкновенных арифметических чисел, можно создать новый тип софизмов:

Так как логарифмы равных величин равны, то:

2log ( — l) = log 1 = 0. Итак log ( —1) = 0. А также log ( — l) = log 1. Значит—1 = 1!..

Идея о софизмах этого последнего типа была посеяна зна менитым Иваном Бернулли.

Дадим еще и такой образец софизма: 1

Если взять дробь—, то она, как известно, возрастает с уменьшением знаменателя.

Поэтому, так как ряд 5, 3, 1,—1,—3,—5 есть ряд убывающий, то ряд вида

есть возрастающий ряд. Но в возрастающем ряду каждый последующий член больше предыдущего,—значит:

Вот поистине неожиданный результат! Выходит, что мы «доказали» будто

. -1>+1!

Закончим настоящую главу общим замечанием, что здравое и правильное рассуждение все же не в силах совершенно убить ни чисто формальных, логических, ни математических софизмов. Таково уж свойство человеческого ума. Но что же из этого? Если существует, например, поддельная монета, то это ведь не значит, что подлинная не имеет никакой ценности. Изучение подделки, наоборот, может научить нас в будущем различать всякую фальшь, как бы тонко и хитро нам ее ни преподносили. Разбор всякого рода фальши и логических подтасовок в таком случае может быть предметом не только приятных, но и полезных развлечений.

Опровергнуть софизм: Возьмем тождество

которое можно представить в виде

Извлекая из обеих частей квадратный корень, имеем

Прибавляя к обеим частям по —, имеем:

Задача 60-я.

Опровергнуть софизм: Очевидно, что

Логарифмируя обе части, получаем

Деля обе части на одно и то же количество lg — » , получаем:

Задача 61-я. Дележ верблюдов.

Старик араб, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех

верблюдов, средний—треть и младший—девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как быть, братья обратились к шейху (старшина племени). Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил их по завещанию. Как он это сделал?

Решение.

Шейх пустился на уловку. Он прибавил к стаду на время своего верблюда, тогда стало 18 верблюдов. Разделив это число, как сказано в завещании, шейх взял своего верблюда обратно; и получилось:

у старшего брата—.....9 верблюд.,

у среднего брата—.....6 »

у младшего брата—-.....2 »

Всего . . .17 верблюд.

Замечание. Задача представляет род математического софизма. Следует заметить, что сумма "g" "з"*" "9*= 18' не равна единице. Но отношение целых чисел 9, 6 и 2 равно отношению дробей , -о и д-.

Положительные и отрицательные числа.

Говорить об арифметическом числе, как о положительном,— до сих пор еще составляет такое распространенное и общее заблуждение, что всегда полезно вносить на этот счет соответствующие поправки. Числа, с которыми мы оперируем в арифметике, нельзя назвать ни положительными, ни отрицательными. Это числа, если можно так выразиться, не имеющие знака. Отрицательные числа появились не позднее положительных, как. иные ошибочно говорят, смешивая две разных вещи; и те и другие числа в одно и то же время одинаково лежат в понятии как отдельной личности, так и народа вообще. На каком основании мы можем утверждать, говоря о двух прямо противоположных вещах, что идея об одной сделалась принадлежностью человеческого ума раньше, чем идея о другой; или же говорить, что первое яснее, чем второе? Выражение «положительный» и «отрицательный» соотносительны (коррелятивны), и ни одного из них нельзя употребить, не вспомнив о другом.

Хорошим упражнением для развития ясного понимания тех соотношений, которые существуют между положительными, отрицательными и арифметическими числами, служит рассмотрение соответствия между положительным и отрицательным решением уравнения и арифметическим решением задачи, давшей начало уравнению, в связи с вопросом, благодаря каким начальным предположениям получится это соответствие.

Для наглядного выяснения соотношений, существующих между положительным, отрицательным и арифметическим числом, быть может, нет лучше прибора, чем весы. Этот прибор прежде всего наилучше выясняет ту прямую противоположность, которая существует между положительным и отрицательным числом. Так, тяжесть, находящаяся, скажем, на положительной чашке весов, уравновешивает то напряжение притяжения.

которое оказывает равная по массе тяжесть, положенная на другую чашку весов. Две тяжести на противоположных чашках весов имеют равные массы, равно как и два числа, выражающие эти тяжести, имеют одинаковое арифметическое значение.

Несчастливое выражение «меньше, чем ничто» (пущенное в оборот Штифелем), попытка рассматривать отрицательные числа отдельно от положительных, «изучение» отрицательных чисел позднее положительных, а также название «фиктивных», придававшееся прежде отрицательным числам,—все это кажется теперь довольно странным,—только теперь, после того, как ясно усвоено истинное значение положительных и отрицательных чисел, как величин действительных, хотя прямопротивоположных по значению. Такие пояснения, как числа дебета и кредита в бухгалтерии, или же показания термометра выше и ниже нуля, также могут до некоторой степени способствовать полноте понимания о противоположности положительных и отрицательных чисел.

Об иллюстрации положительных и отрицательных чисел с помощью прямой линии см. главу «Наглядное представление комплексных чисел».

Здесь, пожалуй, кстати будет привести и небольшую историческую справку из Кэджори (Cajori. History of Elementary Mathematics) об отрицательных числах: «Отрицательные числа казались «абсурдом» или «фикцией», пока математики не натолкнулись па их наглядное или графическое представление... Впрочем, если изгнать всякое наглядное представление посредством линий или термометра, то отрицательные числа и нынешнему учащемуся могли бы показаться таким же абсурдом, каким они казались прежним алгебраистам».

Задача 62-я. Два общих наибольших делителя.

Допустим, что дано два количества

хъ — а3 и а2 — X2;

и затем на вопрос об их О. Н. Д. (общем наибольшем делителе) один ответил, что О. Н. Д. этих количеств есть X—а, а другой, что такой делитель есть а—х. Спрашивается: кто прав?

Решение.

Оба ответа правильны. Следует только, чтобы отвечающий правильно понял и обсудил вопрос, так как в наличности двух О. Н. Д. нет ничего странного. Если бы количества были предложены в форме ж3 — а3 и хъ — а2, то отвечающий, естественно, сказал бы, что О. Н. Д. их есть х—а, и, пожалуй, иной настаивал бы, что существует только он один. Но не трудно видеть, что а—X есть тоже общий делитель и такого же порядка, как и х—а.

Быть может, — заметим здесь кстати,— следовало бы при изучении элементарной алгебры обращать почаще внимание на то, что всякий ряд алгебраических выражений может иметь два общих наибольших делителя, равных по величине, но противоположных по знаку.

Так как слово «наибольший» обозначает превосходную степень, то математику в данном случае приходится извиняться пред филологом за прегрешение против синтаксиса языка.

В самом деле, какой солецизм!.. Два наибольших...

Примечание. Все сказанное об О. Н. Д. можно, очевидно, с таким же основанием отнести п к общему наименьшему кратному. Так что с алгебраической точки зрения совершенно естественно говорить о двух О. Н. Е.

Наглядное изображение комплексных чисел.

Возьмем отрезок прямой OR длиной в одну единицу, направленный направо от О (фиг. 86) и примем его за+ 1; тогда—1 изображается отрезком OL той же прямой, равным OR, но направленным влево от О. Вообще говоря, + а изобразится линией в а единиц длины, но направленной вправо от О, и—а линией же в а единиц длины, но направленной влево от О. Таково простейшее и наиболее известное приложение прямой линии, которое дает нам геометрическое изображение так называемых действительных (положительных и отрицательных) чисел. Подобное приложение прямой для геометрического изображения чисел разного знака было, как оказывается, известно еще древним индусам, но нам неизвестны случаи подобного применения в Европе до 1629, когда в сочинении «Invention Nouvelle en l'Algebre» дал его Альбер Жирар.

Представим теперь себе, что направленная в положительную сторону линия OR в единицу длины вращается около О, как центра, в направлении, принятом за положительное (противоположно движению часовой стрелки) и из положения OR (+1) приходит в положение OL (—1), описав при этом два прямых угла. Таким образом, круговому вращению положительной единицы длины OR на два прямых угла, когда она принимает

Фиг. 86.

прямо-противоположное направление OL, соответствует изменение при единице знака: от+1 мы переходим к—1. Но тот же результат получится, если мы положительную единицу умножим дважды на множитель + Y—1 (как известно, Y—1- Y—1 = = —1). Итак, круговому перемещению прямой на каждый прямой угол соответствует в данном случае множитель Y— 1. Следовательно, когда линия OR примет направление OU (вверх и перпендикулярно к OR) то она изобразится числом + Y— 1. Подобным же образом, продолжая вращение прямой в том же направлении, мы видим, что из положения OL (—1), она через положение OD приходит опять в положение OR (+1), описав еще два прямых угла. Аналитически то же получится, если мы — 1 дважды умножим на — Y— 1 ; так что множитель— Y— 1 соответствует вращению OL на прямой угол к положению OD, и эту последнюю линию (перпендикуляр к OL, направленный вниз), мы и должны обозначить числом —Y— 1.

Итак, если расстояния, отсчитываемые вправо, мы будем брать с знаком-f-, то расстояния влево должны быть со знаком—, количество же Ъ Y— 1 обозначает линию в Ъ единиц длины, направленную вверх, а количество — Ъ Y—1 обозначает линию в b единиц длины и направленную вниз.

Количества, в которые входит множителем Y—1, носят название мнимых, а только что указанное геометрическое изображение мнимых величин было впервые предложено Кюном в Актах Петроградской Академии Наук за 1750 г.

Для графического изображения комплексного числа, т.-е. числа вида а+Ь- V—1, от точки О (фиг. 87) откладываем в положительном направлении линию OA, равную а единицам длины; из А восставляем перпендикуляр AB, равный Ъ единицам длины и в направлении, указываемом множителем ^—1; наконец, проводим прямую OB. Эта последняя линия по величине и направлению и есть геометрическое изображение комплексного количества а+ Ъ Y— 1. Длина OB, равная Ya2+b2, носит название модуля взятого нами комплексного числа.

Только что указанное геометрическое изображение комплексных количеств было впервые предложено Жаном Робертом Ар-

таном (Argand) из Женевы в 1806 году. Он же первый в 1814 г. употребил и термин «модуль» в указанном выше смысле.

Работы Кюна, Аргана и в особенности датского ученого Весселя (в 1797 г. Академия Наук в Копенгагене), распространившего представление комплексных количеств на геометрию в пространстве, представляют те подготовительные ступени, основываясь на которых в настоящее время вырос новый важный метод: «теория векторов» (векториальный анализ). Во всей полноте и широте вопрос этот впервые охвачен и обработан проф. Вильямом Гамильтоном в 1852 и 1866 годах под именем «Кватернионов».

Вместо символа у—1 обыкновенно употребляется буква г. Обозначение это впервые было предложено Эйлером. Популяризацию же среди математиков как этого символа, так и работ Кюна и Аргана следует приписать «первому из математиков»—К. Ф. Гауссу.

Столь противоположные по смыслу названия, как «действительный» и «мнимый», были впервые употреблены Декартом при исследовании корней уравнений. С тех пор это слово мнимый так и удержалось в математическом языке, несмотря на все его несоответствие, как видим, с действительным характером количеств вида а V— 1 и несмотря на попытки ввести другое более соответствующее наименование. Здесь, быть может, кстати будет указать на тот огромный авторитет, которым пользовался

Фиг. 87.

Декарт в математическом мире даже в обозначениях и выработке алгебраического языка. Первые буквы азбуки для обозначения известных величин и последние—для обозначения неизвестных, нынешнее употребление показателей степени, точка—для обозначения умножения—все это получило начало или окончательно утвердилось авторитетом Декарта.

История науки и в данном случае подтверждает правило, что каждое новое обобщение вопроса заключает в себе, как частные случаи, все то, что прежде было известно об этом предмете. Общая форма комплексного количества

а + Ъг

заключает в себе, как частные случаи, и «действительные», и «мнимые» количества. При Ь = 0 комплекс а+Ы дает действительную величину, при а = 0 получается мнимая. Общая форма комплексного числа есть сумма действительного и мнимого.

В 1799 году Гаусс обнародовал первое из своих 3-х доказательств, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень вида а+Ы.

Уравнения первой степени (линейные) дают нам возможность рассматривать только действительные количества противоположных знаков: х+а = 0 и х—а = 0 удовлетворяются соответственно значениями — а и + а. Неполное квадратное ур-ие вида х2 + а2 = 0 и х2 — а2 = 0 уже вводит в рассмотрение и чисто мнимые количества, так как корни этих уравнений суть±аг и±а. Наконец, полное квадратное уравнение

ах + Ъх + с = О

дает для корней уравнения пару сопряженных комплексных корней (т.-е. два количества вида: с^+М и аг — bxi) при условии, что b не равно нулю, и что выражение Ъ2 — 4ас отрицательно. Последнее выражение, составленное из коэффициентов данного уравнения (Ъ2 — 4acj, носит специальное название дискриминанта ур-ия.

Как видим, знакомство с мнимыми и комплексными количествами является непосредственным результатом простого алгебраического анализа. Но полное понимание и надлежащая оценка этих количеств были невозможны до тех пор, пока не

сделалось возможным наглядное и, так сказать, ощутимое изучение их. История вопроса постоянно показывает нам, что в изучение алгебры вводилось постепенно графическое изображение положительных, отрицательных, мнимых и комплексных чисел.

Подобно тому, как раньше с помощью весов было выяснено понятие о положительном и отрицательном количестве, можно найти также много практических примеров, уясняющих комплексное и мнимое число. Так, напр., возьмем игру в ножной мяч (футбол). Если силы ударов, толкающих мяч по направлению OR (см. фиг. 86), обозначить положительными, действительными числами, то силы, двигающие мяч в прямопротивоположном направлении, выразятся отрицательными числами. При этом силы, заставляющие мяч двигаться в направлении OU или OD, изобразятся мнимым числом, а всякая сила, двигающая мяч в любую иную сторону площади игры, изобразится комплексным числом.

Правило знаков при алгебраическом умножении.

Геометрическое объяснение.

Расстояние направо и вверх от О (фиг. 88) условимся брать со знаком+ , а расстояние налево и вниз условимся брать со знаком—. Выполним прилагаемый здесь чертеж (фиг. 88) и рассмотрим полученные прямоугольники.

Фиг. 88.

Прямоугольник OR имеет а. Ъ единиц площади. Примем, что это произведение имеет знак-f.

Предположим теперь, что SR, оставаясь параллельной самой себе, передвинется влево и, перейдя через положение ОТ, передвинется еще левее на а единиц и примет положение SfRr. Основание прямоугольника при этом будет все уменьшаться, обратится в нуль и, перейдя через это значение, станет отри-

цательным. Точно так же сделается отрицательным и прямоугольник. Значит произведение—а на+ Ь станет отрицательным, оно=—ab.

Предположим далее, что TRf передвигается вниз, оставаясь параллельной самой себе, и опустится на Ь единиц ниже линии SS". Прямоугольник, раньше отрицательный (со знаком—), перейдет значение через 0 и станет теперь положительным. Итак, произведение—а на—Ъ дает+ab.

Путем подобного же рассуждения не трудно видеть, что ( + а) (-Ъ)^-аЪ.

На основании определения умножения.

Умножение есть действие, при котором из одного из двух данных чисел (множимое) мы получаем новое число (произведение) так, как другое число (множитель) получается из единицы, принятой за основную.

Предположим, что даны 2 множителя:+4 и +3. Принимая за основную единицу+ 1, мы видим, что множитель составлен повторением три раза этой основной единицы: (+1) +(+1)+(+1)=+3. По определению умножения, то же самое надо произвести и с множимым: (+4)+(+4)+(+4)=-f 12. т.-е. произведение получится положительное. Рассуждая совершенно подобным же образом, найдем, что произведение—4 на+3 = (—4)+(—4)-Н—4) =—12.

Возьмем теперь множителя + 4 и —3. Множитель—3 получается опять-таки троекратным сложением основной единицы, но с измененным знаком. Поэтому, чтобы получить произведение + 4 на — 3, мы должны также взять множимое+ 4 с измененным знаком и сложить его 3 раза. Получится (—4) -К—4)=—12.

Точно так же при умножении — 4 на — 3, мы во множимом должны переменить знак на обратный и сложить его 3 раза, т.-е. (—4)х(—3)=(+4)+(+4)+(+4)=+12.

Таким образом, для всех четырех случаев мы геометрически и аналитически вывели то известное правило знаков, которое часто для краткости выражают так: «одинаковые знаки дают+, -а разные—».

Обобщение правила знаков.

Выводя предыдущее правило знаков при умножении, мы приняли за основную единицу + 1. Посмотрим, что произойдет, если за основную единицу примем — 1. Исходя из определения умножения и рассуждая совершенно так же, как в предъидущей главе, найдем, что в этом случае получается:

Рассматривая эти четыре случая, мы видим, что при основной единице — 1 правило знаков будет уже не то, что при основной единице + 1, а именно: в этом случае при одинаковых знаках множителей получается —, а при разных знаках множителей получается +.

То же самое мы могли бы получить и геометрически, но только тогда на фиг. 88-ой прямоугольник (+а) х (+Ъ) надо принять отрицательным, т.-е. равным —аЪ.

Но примем ли мы за основную единицу + 1, или — 1, оба правила знаков, выведенные выше, можно объединить в одно следующее: Если два множителя имеют одинаковые знаки, то знак их произведения одинаков со знаком основной единицы; если же оба множителя имеют разные знаки, то знак их произведения противоположен знаку основной единицы. Или, выражаясь кратко, одинаковые знаки дают знак одинаковый (с основной единицей), а разные—противоположный (основной единице).

Если принять за основную еще какую-либо иную единицу, то получим и другие законы для знаков—другую алгебру, иначе говоря.

Умножение, как пропорция.

По определению умножения, произведение находится в таком же отношении к множимому, в каком множитель находится к основной единице. Это равенство отношений можно представить пропорцией:

произведение : множимое = множитель : основная единица.

Или:

основная единица : множитель = множимое : произведение.

Постепенное обобщение умножения.

С тех пор, как Лука Пачиоли (в XV и в начале XVI столетия) находил, что необходимо (хотя и трудно) объяснить, почему это при перемножении правильных дробей (в арифметике) получается произведение меньшее, чем множимое, и до наших дней с современным употреблением термина «умножение» в высшей математике, как видим, произошла большая перемена. Так что этот математический термин «умножение» может служить одним из лучших примеров обобщения и употребления слова совсем уже не в том этимологическом смысле, который оно имело вначале.

Геометрические софизмы.

Задача 63-я. Искусная починка.

На дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 дюймов длины и 5 дюймов ширины, т.-е. площадь! пробоины оказалась равной 13x5 = 65 квадратным дюймам. У судового же плотника для починки нашлась только одна квадратная доска со стороной квадрата в 8 дюймов, т.-е. вся площадь квадрата равнялась 8x8 = 64 квадр. дюймам (фиг. 89). Плотник ухитрился, однако, разрезать квадрат на части и сложить эти части так, что получился как раз прямоугольник, соответствующий пробоине, которую он и заделал. Вышло таким образом, что плотник владел секретом: квадрат в 64 квадратных единиц меры обращать в прямоугольник с площадью в 65 таких же квадратных единиц. Как это могло случиться?

Решение.

Квадрат площадью в 64 квадратных дюйма разрежем на четыре части i, Б, С и В так, как это указано сплошными линиями на фиг. 89. Т.-е. сначала разрежем квадрат на два прямоугольника с одинаковыми основаниями, равными стороне квадрата, но высота одного прямоугольника 3, а другого 5 дюйм. Затем меньший прямоугольник разделим на два равных треугольника А и В диагональю, а больший на две равные трапеции,

Фиг. 89.

Фиг. 90. Фиг. 91.

С и D. Сложим вслед за этим полученные части так, как это указано на фиг. 90, и мы получим прямоугольник со сторонами в 13 и 5 дюймов и с площадью в 65 квадратных дюймов!

Выходит, таким образом, что мы как бы и в самом деле геометрически показали, что 64=65. Но допущенный в наших рассуждениях и построениях софизм легко поясняется фиг. 91-й. Сложив полученные части квадрата, как указано рисунками, мы получаем, что ЕН и HG, каждая в отдельности, прямые линии, но они не составляют продолжения одна другой, т.-е. одной прямой, а дают ломаную линию. Точно так же и линия EFG есть тоже ломаная линия; и это легко доказать. В самом деле:

Пусть X обозначает точку, где прямая ЕН встречается с прямой GJ. Посмотрим теперь, совпадает ли X с G или нет? Из подобных треугольников ЕНК и EXJ имеем

XJ : НЕ = EJ : ЕЕ

или

XJ : 3 = 13 : 8

.-е.

3.13

XJ= -—= 4,875

0

в то время как G J = 5.

Площадь полученного прямоугольника действительно равна 65 кв. дюйм., но в ней есть ромбоидальная щель EFGH, площадь которой равна как раз 1 квадр. дюйму.

Таким образом, хитрому плотнику, все равно, пришлось замазывать при починке небольшую щель. Иллюзия же сплошного прямоугольника получается вследствие весьма незначительной разницы наклонения диагонали прямоугольника со сторонами 13 и 5 к большей стороне и наклонения к большей стороне диагонали прямоугольника со сторонами 3 и 8. В самом деле, наклонения выражаются соответственно числами— и—, разность которых есть:

Заметим кстати, что встречаемые здесь числа 3, 5, 8, 13 принадлежат к ряду

О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 .......,

в котором каждый член получается сложением двух непосредственно предыдущих членов. Этот весьма замечательный ряд был впервые указан в XIII веке математиком Леонардом Фибоначчи из Пизы.

Воспользуемся данным геометрическим парадоксом также и для того общего замечания, что при разрезывании и переложении фигур (см. также 1-ю книгу »В царстве смекалки» стр. 125—135) не следует доверять исключительно глазу, но необходимо подкреплять свои действия и математическими доказательствами.

Задача 64-я. Обобщение того же софизма.

На прилагаемой здесь фиг. 92-й показано, как те же четыре фигуры (два равных треугольника и две равных трапеции), что и в предыдущей задаче, сложить 3-мя различными способами и получить фиг. А, В я С.

Если теперь обозначим ж = 5 и у=3, то будем иметь для площадей полученных фигур: А = 63, В = 64, С = 65, т.-е. С — В = 1 и В — А = 1.

Словом, теперь уже выходит, что будто бы одни и те же известной формы куски, скажем, бумаги дают три площади различной величины, в зависимости от одного только переложения!

Исследуем полученные три фигуры алгебраически:

площадь

Итак, все эти три фигуры будут равны, если х2 — ху — у2 = О т.-е., иначе говоря, если

Фиг. 92.

Следовательно, взятые нами S фигуры не могут быть равны, если X и у выражены оба в рациональных числах. Фиг. Л и С кажутся нам сплошными, опять-таки, только вследствие зрительной иллюзии.

Попытаемся теперь найти те рациональные значения х и у, которые разницу между inB, или между В и С сделают равной 1. Иначе говоря, надо решить уравнение

Искомые решения, как оказывается, заключаются в упо мянутом в предыдущей главе ряде Фибоначчи

О, 1, 1, 2, 3, 5, 8., 13, 21, 34 55......,

если для у и X соответственно брать в этом ряду два последовательных члена.

Значения у = 3, х = Ь суть те, которые обыкновенно даются как и в настоящем случае. Для них мы и имеем, как указано выше, B<CC<CA.

Если взять следующую пару решений у = 5 и я = 8, то получится 4>В>С, ибо в этом случае 4 = 170, В = 169, С=168.

Ряд Фибоначчи.

Как видим из двух предшествующих задач, ряд Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89......,

где каждый последующий член получается путем сложения двух непосредственно предыдущих, играет значительную роль в исследовании геометрических софизмов рассматриваемого рода. Укажем еще на некоторые свойства этого замечательного ряда.

Прежде всего обратим внимание на то, что квадрат каждого члена этого ряда, уменьшенный на произведение двух рядом о-бок (справа и слева) стоящих возле него членов дает попеременно то+1, то—1, т.-е.

Выделяя члены, дающие—1, начиная с

мы видим, что парадоксы приведенные нами выше, можно разнообразить сколько угодно. Так, вместо квадрата на стр. 150 в 8 единиц длины можно брать квадраты со сторонами 21,55 и т. д. единиц длины и получать из них парадоксальные фигуры с еще большим на первый взгляд приближением.

Точно так же, если взять в ряду Фибоначчи такие члены, что

то можно брать квадраты со сторонами в 13, 34 и т. д. единиц длины. Но здесь для достижения требуемой иллюзии лучше взять сначала прямоугольник (напр., со сторонами 8 и 21), а затем разрезать его так, чтобы скрываемая нами щель получалась внутри квадрата (13 х 13).

Заметим также, что если взять простейшую непрерывную дробь

и начать вычислять ее последовательные подходящие, то опять получим ряд Фибоначчи.

Итак, разрезывание и переложение фигур, подобные указанным выше, можно рассматривать, как геометрическое представление величины приближения, даваемого этой непрерывной дробью.

Задача 65-я. Похоже, но не то.

Софизм, похожий с виду на данный раньше (задача 63), получится, если построить прямоугольник со сторонами в 13 и 11 единиц длины (фиг. 93), рассечь его диагональю и сдви-

нуть затем полученные треугольники по их общей гипотенузе в положение, указанное на фиг. 94-ой. Эта последняя фигура по виду состоит из квадрата VRXS со сторонами в 12 единиц длины, т.-е. площадью в 122=144 квадр. единиц. Кроме того, к этой площади надо прибавить площади треугольничков PQR и STU, каждая величиной в 1,5 квадр. единиц. Следовательно, площадь всей фиг. 94 равна 145 квадр. единицам. Но как же это получилось, если площадь прямоугольника на фиг. 93 равна только 13x11=143 квадр. единицам?

Фиг. 93.

Рассмотрение фигур, особенно, если обратим внимание на то, как диагональ на фиг. 93-ой пересекает линии, докажет нам, что VRXS не есть квадрат. VS равна 12 единицам длины, но ÄX<12; ТХ (меньшая сторона на фиг. 94) равна 11 един., но ST>1 (см. ST на фиг. 94). С другой стороны, разбирая то же аналитически, имеет:

ST : VP=SU : VU

или

ST : 11 =1 : 13,

т.-е.

Значит, прямоугольник

Следовательно:

Фигура 94-я=прямоугольнику+2 треугольника

Фиг. 94.

Если бы мы треугольники по той же диагонали сдвинули (до первой перекрестной линии) с места в направлении, противоположном тому, какое указано фиг. 94, то получили бы с виду прямоугольник 14 X 10 и два треугольника с площадью в —каждый, т.-е. выходило бы что полученная фигура имеет

будто бы площадь 141 квадр. един., т.-е. меньшую, чем площадь прямоугольника, изображенного на фиг. 93. Разобрать и доказать ошибочность этого заключения так же легко, как и в только что рассмотренном случае.

Задача 66-я. Еще парадокс.

Фиг. 95а.

Фиг. 95б.

Вот еще один «фокус», который можно сделать с квадратом.

Возьмем квадрат со стороной в 8 единиц длины и, следовательно, с площадью в 64 квадр. един. Разрежем его, как указано на фиг 95а, и переложим части так, как указано на фиг. 956. Получается, повидимому, прямоугольник с площадью 7х 9 =63, и это—ничего не отбрасывая от площади квадрата, равной 64 квадр. единицам.

Три знаменитых задачи древности.

Эти задачи следующие:

1.—Трисекция угла или дуги.

2.—Удвоение куба.

3.—Квадратура круга.

Трисекция угла, или разделение (с помощью только циркуля и линейки) угла или дуги окружности на три равные части есть, несомненно, весьма древняя задача, хотя с ней не связано никаких вымыслов или любопытных преданий, на что древние и средневековые писатели были такие охотники и мастера. Задачу о квадратуре круга, т.-е. построении квадрата, равновеликого площади данного круга, говорят, пытался решить впервые греческий философ Анаксагор (в V в. до P. X.). Задача об удвоении куба носит иначе название «Делийской задачи», так как с ней связана легенда о том, что древние советовались будто бы относительно решения ее с прославленным Платоном.

Предание, передаваемое некиим Филопоном, говорит, что в 430 году до P. X. в Афинах разразилась моровая язва. Афиняне послали к оракулу на острове Делосе вопросить, как остановить это бедствие. Аполлон ответил, будто бы, что они должны удвоить величину его жертвенника, который имел форму куба. Невежественным просителям дело казалось очень легким и новый алтарь был воздвигнут,—или так, что каждая его сторона была вдвое больше стороны прежнего куба (т.-е. объем прежнего куба увеличили в 8 раз), или же еще проще,—поместив на старый алтарь еще новый такой же величины. Эпидемия, однако, не прекращалась, и к оракулу было снаряжено новое посольство, которое и узнало, что предписание Аполлона не было выполнено. Требовалось, чтобы новый алтарь имел также форму куба и имел ровно вдвое больший объем, чем старый жертвенник. Подозревая тайну, Афиняне обратились за разгадкой ее к Пла-

тону, который отослал их к геометрам и в частности—к Евклиду, который, будто бы, специально занимался этой задачей. Несмотря на всю заманчивость и некоторое правдоподобие этой истории (оракулы любили говорить загадками), приходится целиком отбросить ее, хотя бы потому, что Платон до 429 г. до P. X. еще и не родился, а знаменитый Евклид появляется не менее века спустя.

Во всяком случае мы имеем несомненные свидетельства, что древние весьма упорно и настойчиво работали над решением указанных выше 3-х задач. Гиппий элидский нашел даже специальную кривую «квадратриксу», решающую вопрос о трисекции угла, которой можно пользоваться и для решения вопроса о квадратуре круга. Найдены были и многие другие кривые, решающие задачу о трисекции угла и квадратуре круга. Эратосфен и Никомед изобрели даже механические приборы для черчения таких кривых... Но... ни одна из этих кривых не может быть построена только с помощью циркуля и линейки, а это как раз и было главным требованием при решении задачи.

Древность так и завещала решение всех этих трех задач нашим временам. Нынешние математики, вооруженные более могущественными методами исследования, доказали, что все три задачи невозможно решить построением с помощью только циркуля и линейки, как эти приборы употребляются и понимаются в элементарной геометрии (см. по этому поводу следующую главу). Подобное разрешение вопроса даже самые сильные математические умы древности могли только подозревать, так как доказать невозможность решения при тогдашних средствах математики они не могли. Но, доказав невозможность решения этих задач с помощью только циркуля и линейки, математики наших времен дали новые способы и проложили новые пути к решению этих задач, если отбросить ограничение о циркуле и линейки. Был также изобретен и применен метод приближений, который и решил задачу, если можно здесь применить это слово.

Что касается в частности числа тг (выражающего отношение окружности к диаметру), то только в 1882 году Линдеманну удалось окончательно установить его трансцендентальный характер, т.-е., что это число не может быть корнем алгебраического уравнения. Заметим здесь кстати, что это знакомое каждому ученику старших классов число тг играет большую роль в областях математики, довольно удаленных от так называемой «эле-

мснтирной геометрии», напр., л довольно часто встречается в формулах теории вероятностей.

Приближенное значение для тт ( = 3, 1 415 926 .. . ) было между прочим вычислено с 707 десятичными знаками математиком В. Шенксом. Этот результат вместе с формулой вычислений он обнародовал в 1873 г. Ни одна еще задача подобного рода не решалась с таким огромным приближением и с точностью, далеко превышающей отношение микроскопических расстояний к телескопическим.

Шенкс вычислял. Следовательно, он стоял в противоречии с требованиями задачи о квадратуре круга, где требуется найти решение построением. Работа Шенкса, в сущности, бесполезна, или—почти бесполезна. Но, с другой стороны, она может служить довольно убедительным доказательством противного для того, кто, не убедившись доказательствами Линдеманна и др. или не зная о них, до сих пор еще надеется, что можно найти точное отношение окружности к диаметру.

Квадратура круга была в прежние времена самой заманчивой и соблазнительной задачей. Армия «квадратурщиков» неустанно пополнялась каждым новым поколением математиков. Все усилия были тщетны, но число их не уменьшалось. В некоторых умах доказательство, что решение не может быть найдено, зажигало еще большее рвение к изысканиям. Что эта задача еще до сих пор не потеряла своего интереса, лучшим доказательством служит появление до сих пор попыток ее решить.

Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течение столетий решить задачу, свелась, следовательно, ни к чему... Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытии, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя все на запад, окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, пред богатством и умственным развитием которой бледнеют нынче все сокровища Индии.

Задача 67-я. Линейка и циркуль. Трисекция угла.

Для построений в элементарной теоретической геометрии допускаются только два прибора: циркуль и линейка. Говорят, что такое ограничение вспомогательных приборов сделано знаменитым греческим философом Платоном.

При этом само собой подразумевается, что циркуль, о котором идет речь, имеет неограниченное растворение. Если бы циркуль не обладал каким угодно нужным нам растворением, то его нельзя было бы применять для выполнения требуемого Евклидом, с первых же шагов, построения окружности из произвольного центра и какого угодно радиуса (3-ий постулат Евклида). Точно также подразумевается, что геометрическая линейка не ограничена по длине (2-й постулат).

Вместе с тем необходимо подразумевается, что геометрическая линейка не имеет делений. Если бы на ее ребре было хотя всего два знака, и если бы позволено было ими пользоваться и вдобавок передвигать линейку, приноровляясь к фигуре, то задача о разделении угла на три равные части (неразрешимая в элементарной геометрии) тотчас может быть решена. В самом деле:

Пусть дан какой-либо угол ABC (фиг. 96), и пусть на ребре нашей линейки обозначены 2 точки Р и Q (см. ту же фиг. внизу).

Построение.

1 На одной из сторон угла откладываем от вершины В прямую BA=PQ. Делим В А пополам в точке М\ из точки M проводим линии МК П ВС и MLJ_BC.

Возьмем теперь нашу линейку и приспособим ее к полученной уже фигуре так, чтобы точка Р линейки лежала на прямой КМ, точка Q лежала бы на прямой LM, и в то же время продолжение PQ линейки проходило бы через вершину данного угла В. Тогда прямая BP и есть искомая, отсекающая третью часть угла В.

Доказательство. Z.PBC= Z.BPM, как накрест-лежащие. Разделим PQ попалам и середину N соединим с M прямой NM.

Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника PQM, а потому PN=NM, а следовательно APN M равна бедренный и значит

Z.bpm=Zpmn.

Внешний же ZBNM+ Z ВРМ= 2Z-BPM.

Фиг. 96.

Вместе с тем:

NM = \'PQ = ВМ.

Значит,

ZMBN= Z.BNM.

Итак:

Z РВС = Z ВРМ = 4 Z В JVM = i Z = ^- ЛВС.

"— 2 2 о

(Ч. Т. Д.).

Приведенное выше решение задачи принадлежит Кемпе, который при этом поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом ее приспособления для

доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого (первое приложение способа наложения, известное каждому ученику). На это можно ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскание некоторой точки посредством измерения и процесса приспособления линейки (как это мы делали выше в задаче для отыскания точки Р). В своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру, на фигуру,—и только.

Принимаемая нами геометрическая линейка не должна считаться разделенной, так как это слишком раздвинуло бы пределы «элементарности». Но она должна необходимо быть неограниченно длинной,—иначе эти пределы слишком бы сузились.

Все вышеприведенные замечания следует иметь в виду, когда говорят о циркуле и линейке, как геометрических приборах.

Два отрицательных вывода XIX века.

1. Общее уравнеие выше четвертой степени неразрешимо чисто алгебраическим путем (иначе говоря—в радикалах.)

Решение уравнений 3-й и 4-й степеней было известно, начиная с 1545 года. Два с половиной столетия спустя, молодой 22-летний Гаусс в своей докторской диссертации доказал, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень «действительный» или «мнимый». Вслед затем, он же дал еще два доказательства той же теоремы. В 1801 году тот же Гаусс заметил в одном из своих сочинений, что, быть может, невозможно разрешить с помощью радикалов общее ур-ие степени высшей, чем четвертая. Это предположение было доказано знаменитым норвежским математиком Абелем и было обнародовано к 1824 году, когда автору его было всего 22 года отроду. Два года спустя то же доказательство было им напечатано в более пространной и понятной форме с выяснением многих деталей. С этих пор изыскания математиков, силившихся раньше найти общее алгебраическое' решение всякого уравнения, приняли иное направление.

II. Знаменитый «постулат о параллельных» Евклида не может быть доказан помощью каких-либо иных его аксиом.

Ввиду важности вопроса, остановимся на истории этого знаменитого «постулата» несколько подробнее.

Несмотря на то, что сведения древних по геометрии были весьма обширны, все они до III века до Рождества Христова являлись разрозненными, отдельными научными фактами, не

имеющими между собой связи. Творцом геометрии, как науки в настоящем значении этого слова, был Евклид. В III веке до Р.Х. (около 270 г.) этот греческий философ задался целью собрать все найденные до его времени свойства фигур на идеальной плоскости и в пространстве и определить, какие из них существенны, т.-е. зависят непосредственно от свойств самой плоскости и пространства, и какие, с другой стороны, могут быть выведены, как следствия первых. Евклид выполнил свою задачу и создал стройную дедуктивную геометрическую систему, которая явилась первым примером строго научных систем. Он показал, что все свойства пространственных форм могут быть выведены путем одних только строго логических рассуждений из трех основных положений, или аксиом, характеризующих идеальную плоскость и идеальное пространство древних геометров, а именно:

1) фигуры на плоскости и в пространстве могут быть перемещаемы без складок и разрыва, 2) прямая линия вполне определяется какими угодно двумя ее точками и 3) если на плоскости из какой-либо точки прямой линии будет проведен к ней перпендикуляр, а из другой точки той же прямой проведена какая-либо Наклонная линия, то перпендикуляр и наклонная необходимо встретятся.

Последнее положение (3) и есть знаменитый пятый постулат Евклида (называемый также 11-ой аксиомой Евклида). В наше время его часто предпочитают выражать в такой более краткой, так называемой—Плэйферовской форме: Две пересекающиеся прямые линии не могут быть обе разом параллельны одной и той же прямой. Сам же Евклид этот постулат (или 11-ю аксиому) дословно выражал так: «Если две прямые встречаются третьей так, что сумма внутренних углов, лежащих по одну сторону третьей, меньше двух прямых, то две первые прямые, по достаточном продолжении, встретятся по ту сторону третьей прямой, на которой сумма внутренних углов меньше двух прямых».

Два первые из приведенных выше положений суть аксиомы настолько очевидные и бесспорные, что не возбуждали никогда никаких сомнений. Не то было с третьим положением. Оно уже не было столь очевидно, а требовало необходимости убедиться, что, как бы наклонная ни была близка к перпендикулярности, она необходимо пересечется с перпендикуляром,

хотя, может быть, на расстоянии очень далеком от прямой и для нас недоступном. Так как непосредственная проверка по недоступности для наших чувств весьма далеких расстояний была невозможна, то Евклид и дал это положение, как необходимое допущение, как постулат.

Последующие геометры, не вполне доверяя гению Евклида, пытались, однако, установить связь между первыми двумя аксиомами и третьей, т.-е. доказать, что это третье допущение (постулат) Евклида, принятое им за аксиому, может быть доказано на основании первых двух аксиом и помещено в ряду теорем. И вот, с Птоломея (во II веке по P. X.) вплоть до первой четверти XIX столетия начинается длинный ряд попыток доказать этот постулат. Были предложены сотни «доказательств».

В 1826 году знаменитый русский геометр, профессор и ректор Казанского университета, Ник. Ив. Лобачевский доказал всю безуспешность подобных попыток и обнародовал свое доказательство в 1829 году. Лобачевский построил новую, совершенно самостоятельную геометрию, где, принимая за аксиомы первые два из указанных выше евклидовских положений, он вместо третьего положения (постулата Евклида) принял обратное ему. Получилась стройная и логическая геометрическая система, без всяких ошибок и противоречий, и, таким образом, сама собой доказывалась независимость первых двух аксиом от постулата, а, следовательно, он не может быть доказан посредством их. Остается, значит, принять его за аксиому или строить новую геометрию.

Исследования Лобачевского оставались долгое время непонятными и неизвестными. Русскими учеными они были встречены даже недоброжелательно. Первые благоприятные отзывы о них (Гаусса) сделались известными в Германии только в 1846 г. из обнародованной переписки Гаусса. Но только, начиная с 60-х годов XIX столетия труды Лобачевского нашли себе достойную оценку и послужили основанием ряда других замечательных работ различных математиков.

Усилия, направлявшиеся раньше для доказательства невозможного, обратились теперь к развитию так называемой не-Евклидовской геометрии, к изучению геометрии п-измерений, при допущениях, обратных или несогласных с общепринятыми аксиомами геометрии Евклида. И, как всегда бывает в подобных случаях, новое завоевание человеческого ума, новая побежден-

ная трудность открыли новые области для исследования, новое направление мысли и методов изыскания; и таким образом на очередь выдвинулись новые, еще более трудные задачи для решения. Поле деятельности, открывающееся пытливому уму,— безгранично.

Желающим основательно ознакомиться с историей развития этого глубоко интересного вопроса можем рекомендовать талантливую книгу проф. Роберто Бонола «He-Евклидова геометрия». Книга эта недавно появилась и на русском языке в прекрасном переводе А. Р. Кулишера.

Николай Иванович Лобачевский.

(1793—1856).

Начиная с Евклида Александрийского геометры всего мира в продолжение более, чем двадцати веков работали над выяснением истинной связи между основными аксиомами геометрии. Завидная честь завершить эту многовековую работу и открыть огромные новые горизонты для дальнейших исследований принадлежит, как упомянуто в предыдущей главе, нашему великому соотечественнику, Н. И. Лобачевскому. Имя этого гениального математика известно ныне всему образованному, и во всяком случае—всему математическому миру, хотя умер он непонятый и неоцененный по достоинству. Современники, кроме великого Гаусса, были не в силах его понять.

Жизнь и деятельность иных великих людей, помимо поучительности, всегда еще полна заманчивой таинственности.

Что дает силу этим рыцарям духа под градом насмешек и общего непризнания творить и созидать? Где тот источник святого беспокойства, который не дает гению почить ни на служебных, ни на семейных, ни на всяких иных лаврах, а направляет его в сторону, казалось бы, одних неприятностей и огорчений? Ученая деятельность и жизнь Лобачевского весьма замечательны с этой последней стороны и могут служить ободряющим примером для тех, кто, преследуя великие цели, иногда изнемогает и отчаивается пред равнодушием, непониманием, а иногда даже и враждебностью средней обывательщины. Не задаваясь целью дать здесь связную, хотя бы и сжатую биографию Н. И. Лобачевского, постараемся, однако, осветить те важнейшие факты его жизни, которые имеют связь с его математическим развитием и на которые есть неоспоримые свидетельства и архивные документы. О студенчестве и первых ученых шагах Лобачевского мы берем драгоценные данные в «рассказах по архивным документам» проф. Н. Булича: Из первых лет Казанского университета. Книга эта мало кому знакома по ее специальному характеру, хотя она и содержит в себе весьма много интересного.

Н. И. Лобачевский—сын бедного чиновника, уездного землемера из Макарьева, Нижегородской губ. В официальных бумагах он показан из разночинцев,что означает непринадлежность к сословию дворян. Подобно многим другим знаменитым математикам, юноша Лобачевский в первые годы студенчества не предполагал даже избрать предметом своих постоянных занятий математику. «Он приметно предуготовляет себя для медицинского факультета»,—писал о нем к попечителю Яковкин, заметивший его дарование. Появление в Казанском университете профессора математики Бартельса, вызванного из Германии,—светлой и ученой личности,—побудило Лобачевского избрать предметом занятий математику. Вскоре он делается одним из самых успевающих учеников Бартельса. В свою очередь профессор полюбил Лобачевского, и его заступничество не раз помогало молодому и несколько ветренному студенту при столкновениях с университетской полицией. Инспекторский журнал,—рассказывает профессор Булич в названной нами книге,—за годы пребывания Лобачевского в студентах дает несколько свидетельств об этих столкновениях, причина которых лежала в живом характере молодого студента, в естественном чувстве свободы, которое проявлялось, как свое-

волие, в желании отстоять свою самостоятельность, что считалось дерзостью. Самые шалости характеризуют тогдашних студентов. Лобачевский, как и многие из его товарищей, казенных студентов, живших в университете, любил заниматься пиротехникою. Раз Лобачевский сделал ракету и вместе с другими пустил ее в одиннадцать часов вечера на университетском дворе. За это и за то, «что учинил непризнание, упорствуя в нем, подверг наказанию многих, совершенно сему не причастных»,— был посажен в карцер по определению совета. В другой раз, будучи уже правящим должность камерного студента («камерный студент есть помощник помощника инспектора казенных студентов»—по определению правил того времени), Лобачевский был замечен «в участвовании и потачке проступкам студентов, грубости и ослушания». За эти проступки он наказан был публичным выговором от инспектора студентов, лишен звания правящего должность камерного студента, 60 рублей на книги и учебные пособия, которые только что были ему назначены «за особенные успехи в науках и благоповедение» и отпуска до разрешения начальства. Все это происходило на святках 1810 года. Лобачевскому шел 18-й год, он был на последнем курсе, молодость требовала удовлетворения, а потому совершенно естественно и простительно, что, по словам инспекторского журнала: «в генваре месяце Лобачевский первый оказался самого худого поведения. Несмотря на приказание начальства не отлучаться из университета, он в новый год, а потом еще раз, ходил в маскарад и многократно в гости, за это опять наказан написанием имени на черной доске и выставлением оной в студентских комнатах на неделю. Несмотря на сие, он после снова еще был в маскараде».

Студенческая жизнь Лобачевского отличалась вообще несколько бурным характером, но из среды своих сверстников он выдавался далеко вперед, как по уклонениям от тогдашних правил благоповедения, вызывавшим карательные меры против него, так и по своим дарованиям и успехам в математике. Вот почему только о нем одном дошло до нас «историческое изображение поведения» его. Проступки Лобачевского называются достопримечательными, характер — упрямым, нераскаянным, «весьма много мечтательным о самом себе», его мнение «получило многие ложные понятия» (так, в журнале инспектора, помощником его Кондыревым, было записано, что Лобачевский «в зна-

чительной степени явил признаки безбожия» (!)—обвинение, которое во время Магницкого имело бы весьма печальные последствия). Требовались инспекциею против Лобачевского решительные меры, «самые побудительные средства со стороны милосердия или строгости, каковые найдет благоразумие начальства». Вопрос о судьбе Лобачевского перенесен был в совет. Только настояния Бартельса и тех профессоров у которых Лобачевский занимался, доставили ему возможность получить степень кандидата, а вскоре затем магистра, наравне с прочими его товарищами.

Бартельс считал Лобачевского лучшим из учеников своих. Вот, что писал он попечителю Румовскому об успехах своих слушателей и в особенности о Лобачевском около того времени (приводим слова его в современном переводе, сделанном самим Румовским и представленном им министру):

«Последние два (Симонов и Лобачевский), особливо же Лобачевский, оказали столько успехов, что они даже во всяком немецком университете были бы отличными, и я льщусь надеждою, что если они продолжать будут упражняться в усовершенствовании своем, то займут значущие места в математическом кругу. О искусстве последнего предложу хотя один пример. Лекции свои располагаю я так, что студенты мои в одно и то же время бывают слушателями и преподавателями. По сему правилу поручил я пред окончанием курса старшему Лобачевскому предложить под моим руководством пространную и трудную задачу о кругообращении (Rotation), которая мною для себя уже была по Лагранжу в удобопонятном виде обработана. В то же время Симонову приказано было записывать течение преподавания, которое я в четыре приема кончил, дабы сообщить его прочим слушателям. Но Лобачевский, не пользовавшись сею запискою, при окончании последней лекции подал мне решение сей столь запутанной задачи, на нескольких листочках в четвертку написанное. Г. академик Вишневский, бывший тогда здесь, неожиданно восхищен был сим небольшим опытом знаний наших студентов».

Эти успехи в математике, за которые Лобачевский получил вместе с другими благодарность от министра народного просвещения, и были причиною снисходительности к нему совета, возведшего его вместе с прочими в степень магистра, т.-е. оставившего его при университете (в педагогическом институте)

€ целью приготовления к профессорскому званию. Впрочем. Лобачевский сознал свое положение. «Вчера по позволению явившись в совет,—пишет Яковкин,—оказал совершенное признание и раскаяние в прежних своих поступках, публично обещавши совершенно исправиться, а посему совет и решился его поместить в число представляемых к удостоению звания магистров, дабы излишнею строгостью не привести его, как весьма лестную надежду дарованиями и успехами подающего для университета, в отчаяние и не убить дух его» (12 июля 1811 года). Защитниками Лобачевского в совете были профессора Бартельс, Герман, Литров и Броннер.

Попечитель Казанского учебного округа Румовский утвердил представление совета, но дал с своей стороны предостережение Лобачевскому: «А студенту Николаю Лобачевскому,—писал он в своем предложении совету (7 августа 1811 г., № 787),—занимающему первое место по худому поведению, объявить мое сожаление о том, что он отличные свои способности помрачает несоответственным поведением, и для того, чтобы он постарался переменить и исправить оное,—в противном случае, если он советом моим не захочет воспользоваться, и опять принесена будет жалоба на него, тогда я принужден буду довести о том до сведения г. министра просвещения».

Звание магистра возлагало на него, по тогдашним правилам, «споспешествование профессору или адъюнкту в рассуждение больших успехов их слушателей». Магистры должны были заниматься с студентами повторением пройденного (не в часы, однако, назначенные для лекций) и «объяснением слушателям того, чего они не понимают, так как многие из гг. профессоров преподают и объясняют лекции на иностранных языках, слушатели же их, преимущественно же вновь поступившие, часто, особенно в начале курса, по причине объяснения на иностранном языке для, материи совсем новой, не могут иногда всего понимать предлагаемого профессором ясно». За это магистры получали жалованье. Лобачевский, как магистр, стоял в самых близких отношениях к Бартельсу. Он занимался у него на дому по четыре часа в неделю, и у нас есть сведения, что на первых порах магистерства предметами изучения Лобачевского, под руководством Бартельса, были арифметика Гаусса и первый том Лапласовой «Небесной механики».

В 1814 году Лобачевский был повышен в звание адъюнкта чистой математики и начал читать свои лекции. С 1829 года в отсутствие профессора астрономии Симонова, находившегося в кругосветном плавании, Лобачевский в течение двух лет читал сверх того астрономию и заведывал обсерваторией.

С исследованиями, которые создают новую эпоху в области геометрической науки, Лобачевский впервые выступил в заседании факультета 12 февраля 1826 года, где он читал свое «Exposition succincte des principes de la Géometrie» («Краткое изложение начал геометрии»), которое, к сожалению, и до сих пор напечатано не было. Статья «О Началах Геометрии» была напечатана в «Казанском Вестнике» за 1829 и 1830 годы, и представляет только весьма сжатое, а потому трудное для чтения, изложение полученных им результатов построения «Геометрии в более обширном смысле, нежели, как нам представил ее первый Евклид».

В следующем сочинении: «Воображаемая Геометрия», переведенном также на французский язык, Лобачевский, «оставляя геометрические построения и выбирая краткий обратный путь», показывает, что «главные уравнения, которые он нашел для зависимости сторон и углов треугольника в воображаемой Геометрии, могут быть приняты с пользою в Аналитике и никогда не приведут к заключениям ложным, в каком бы то ни было отношении».

Таким образом, сделанное допущение о невозможности доказать постулат Евклида было разобрано и исследовано как геометрическим, так и аналитическим путем и ни к каким противоречиям не повело. Вопрос о возможности неверности одиннадцатой аксиомы Евклида был решен и решен утвердительно. Но, с одной стороны, прием, оказанный первому сочинению Лобачевского, заставил его «подозревать, что его сочинение, казавшись с первого взгляда темным, предупреждало охоту заняться им с некоторым вниманием и даже могло подать повод усумниться в строгости его суждения и в верности выведенных заключений»; с другой стороны, косвенная аналитическая поверка не могла заменить строгого прямого доказательства. Поэтому, Лобачевский снова принимается за изложение того же вопроса и в 1835—1838 годах печатает сочинение: «Новые Начала Геометрии с полной теорией параллельных».

Из двух остальных его сочинений по Геометрии первое: «Beiträge zu den Parallellinien» представляет несколько сокращен-

ное изложение «Новых Начал Геометрии», а второе: «Пангеометрия», записанная под диктовку уже слепого Лобачевского ею учениками и изданная одновременно на русском и французском языках незадолго до его смерти, представляет снова конспективное изложение всех его исследований по Геометрии. Это последнее сочинение несколько уступает его «Новым Началам Геометрии», которые можно считать лучшим из всех его произведений. По силе и изяществу изложения «Новые Начала Геометрии» мало чем уступают «Началам» Евклида, и поистине могут служить для Лобачевского «monumentum aere perennius, regalique situ pyramidum altius». Тому, кто хочет познакомиться с работами Лобачевского, необходимо начинать с изучения именно этого сочинения.

На-ряду с ученой и преподавательской деятельностью шла и высокоплодотворная административная деятельность Н. И. Лобачевского. Он был деканом и 19 лет ректором университета, нес другие разнообразные и сложные обязанности по управлению. Бот как проф. H. Н. Булич отзывается вообще о деятельности и характере Лобачевского: «Его независимый и самостоятельный характер выдержал такую нравственную ломку, как тяжелое время реакции в последние годы царствования Александра I и попечительство в Казани Магницкого, не поступившись своими убеждениями, не изменив им и унеся в старость молодое стремление к науке, уважение к ней и восторги духовного наслаждения. Если специалисты говорят о его «поистине глубокомысленных лекциях», доступных, однако, только избранной аудитории, в последние годы его жизни, то мы прибавим к этому личное воспоминание о его публичных лекциях по физике, где ему удавалось излагать науку популярно и где раскрывал он массу самых разнообразных сведений. В старые глухие и спящие годы провинции, когда все было так смирно, гладко и довольно кругом, когда однообразные явления жизни только скользили по душе, не задевая и не возбуждая ее, такие лекции, как Лобачевского, были отрадным явлением. Лобачевский читал просто, без желания придать внешнюю красоту своей речи, без риторической эмфазы1) и крика, но в словах его слышались и его логический ум и широкое образование. Спокойным, ровным голосом он делал свои широкие обобщения, вызывал увлекательные образы и возбуждал мысль»...

1) Преувеличение, напыщенность, надутость.

«Всего интереснее было бы проследить,—замечает тот же проф. Булич,—каким образом развилось его глубокое абстрактное мышление. Лобачевский не бывал в Европе; две-три поездки в русские столицы были кратковременны; он почти не оставлял Казани. К сожалению, и внутреннее развитие и интимная жизнь Лобачевского мало известны, несмотря на то, что недавно еще были живы некоторые, бывшие с ним в близких отношениях. Принадлежа к тому, что называлось казанским обществом, Дрбачевский появлялся и в нем, но представлял из себя скорее задумчивую, чем деятельную фигуру, особенно в последние годы своей жизни. Сколько нам известно, даже близкие к нему люди смотрели на него с точки зрения раскрывающейся в обыденной морали Хемницеровой басни «Метафизик».

Как же относились современники к научной деятельности Лобачевского, главное—к его геометрическим исследованиям, составляющим ныне славу л гордость русской математической науки? На этот счет сохранились также весьма любопытные свидетельства. В России работы его были встречены... глумлением. В № 41 распространенного тогда журнала «Сын Отечества» за 1834 год появилась статья, оскорбительная для Лобачевского. Но ответ его на эту статью, по сообщению самого Лобачевского, напечатан не был.

Статья в «Сыне Отечества» носит заглавие: «О начертательной Геометрии соч. Г. Лобачевского» и содержит критический отзыв о сочинении Лобачевского: «О началах Геометрии». Для лучшей характеристики впечатления, произведенного сочинением Лобачевского на современных ему русских математиков, следует привести здесь интереснейшие места названной статьи в подлинном виде. Вот они:

«Есть люди, которые, прочитав иногда книгу, говорят: она слишком проста, слишком обыкновенна, в ней не о чем и подумать. Таким любителям думанья советую прочесть Геометрию Г. Лобачевского. Вот уж подлинно есть о чем подумать! Многие из первоклассных наших математиков читали ее, думали и ничего не поняли. После сего уже не считаю нужным упоминать, что и я, продумав над сею книгою несколько времени, ничего не придумал, т.-е. не понял почти ни одной мысли. Даже трудно, было бы понять и то, каким образом г. Лобачевский из самой легкой и самой ясной в математике науки, какова Геометрия, мог сделать такое тяжелое, такое темное и непроницаемое уче-

ние, если бы сам он отчасти не надоумил нас, сказав, что его Геометрия отлична от употребительной, которой все мы учились, и которой, вероятно, уже разучиться не можем, и есть только воображаемая. Да, теперь все очень понятно. Чего не может представить воображение, особливо живое и вместе уродливое? Почему не вообразить, напр. черное—белым, круглое—четыреугольным, сумму всех углов в прямолинейном треугольнике— меньше двух прямых и один и тот же определенный интеграл равным то ~э то 00? Очень, очень можно, хотя для разума все это и непонятно. Но спросят: для чего же писать, да еще и печатать такие нелепые фантазии? Признаюсь, на этот вопрос отвечать трудно. Автор нигде не намекнул на то, с какою целью он печатал сие сочинение, и мы должны, следовательно, прибегнуть к догадкам. Правда, в одном месте он ясно говорит, что будто бы недостатки, замеченные им в употребляемой доселе Геометрии, заставили его сочинить и издать эту новую Геометрию; но это, очевидно, несправедливо, и по всей вероятности сказано для того, чтобы еще более скрыть настоящую цель его сочинения. Во-первых, это противоречит тому, что сказал сам же автор о своей Геометрии, т.-е., что она в природе вовсе не существует, а могла существовать только в его воображении, и для измерений на самом деле остается совершенно без употребления; во-вторых, это действительно противоречит всему тому, что в ней содержится, и судя по чему, скорее можно согласиться на то, что новая Геометрия выдумана для опровержения прежней, нежели для пополнения оной. При том же, да позволено нам будет несколько коснуться личности. Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какою-нибудь серьезною целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему приходскому учителю. Если не ученость, то, по крайней мере, здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой Геометрии нередко недостает и сего последнего.

«Соображая все сие, с большою вероятностью заключаю, что истинная цель, для которой г. Лобачевский сочинил и издал свою Геометрию, есть просто шутка или, лучше, сатира на ученых математиков, а, может быть, и вообще на ученых сочинителей настоящего времени. За сим, и уже не с «вероятностию» только, а с совершенною уверенностью, полагаю, что безумная

страсть писать каким-то странным и невразумительным образом, весьма заметная с некоторого времени во многих из наших писателей, и безрассудное желание открывать новое при талантах, едва достаточных для того, чтобы надлежащим образом постигать старое, суть два недостатка, которые автор ш своем сочинении намерен был изобразить и изобразил как нельзя лучше.

«Во-первых, новая Геометрия, как я уже упомянул о том выше, написана так, что никто из читавших ее почти ничего не понял. Желая покороче познакомить вас с нею, я собирал в одну точку все мое внимание, приковывал его к каждому периоду, к каждому слову и даже к каждой букве, и при всем том так мало успел прояснить мрак, кругом облегающий это сочинение, что едва в состоянии рассказать вам то, о чем в нем говорится, те говоря ни слова о том, что говорится. Автор говорит, кажется, что-то о треугольниках, о зависимости в них углов от сторон, чем, главнейшим образом, и отличается его Геометрия от нашей; потом .предлагает новую теорию параллельных, которая, по собственному его признанию, находится или нет в природе, никто доказать не в состоянии; наконец, следует рассмотрение того, каким образом в этой воображаемой геометрии определяется величина кривых линий, площадей, кривых поверхностей и объемов тел,—и все это, еще раз повторяю, написано так, что ничего и понять невозможно.

«Во-вторых, в конце книги г. Лобачевский поместил два определенные интеграла, которые он открыл мимоходом, идя прямо к своей цели дать общие правила для измерения всех геометрических величин и дозволивши себе только некоторые применения. Открытие весьма замечательное! Ибо один из сих новых интегралов уже давно известен и находится гораздо легчайшим образом; другой совершенно неверен, потому что ведет к той нелепости, которую мы уже заметили выше, т.-е., что один и тот же определенный интеграл равен то —, то 00. Но не таковые ли и в самом деле большею частию бывают прославляемые у нас новооткрытия? Не часто ли случается, что старое, представленное только в каком-нибудь странном образе, выдают нам за новое, или и новое, но ложное, за чрезвычайно важное открытие? Хвала г. Лобачевскому, принявшему на себя труд обличить, с одной стороны, наглость и бесстыдство ложных изобре-

тателей, с другой—простодушное невежество почитателей их новоизобретений.

«Но, сознавая всю цену сочинения г. Лобачевского, я не могу однакож не попенять ему за то, что он, не дав своей книге надлежащего заглавия, заставил нас долго думать понапрасну. Почему бы вместо заглавия: «О Началах Геометрии», не написать например—Сатира на Геометрию, Карикатура на Геометрию или что-нибудь подобное? Тогда бы всякий с первого взгляда видел, что это за книга, и автор избежал бы множества невыгодных для него толков и суждений. Хорошо, что мне удалось проникнуть настоящую цель, с которой написана эта книга,— а то, бог знает, что бы я и о ней и ее авторе думал. Теперь же я думаю и даже уверен, что почтенный автор почтет себя весьма мне обязанным за то, что я показал истинную точку зрения, с которой должно смотреть на его сочинение»...

Такими глумлениями встречали русские современники плоды глубоких изысканий великого ума. И есть весьма веские основания думать, что приведенная выше в отрывках статья в «Сыне Отечества» принадлежит не какому-либо диллетанту, а «глубокоученому» российскому того времени академику. Известно также, напр., что талантливый русский математик того времени, Остроградский, открыто насмехался над изысканиями казанского профессора. За границей работы Лобачевского были большинством: ученых просто не замечены. Только от орлиного взора великого Гаусса не укрылась вся важность изысканий скромного русского провинциального профессора. Но Гаусс сообщил об этом только в частном письме к Шумахеру в 1846 году. Вот это историческое письмо:

«В последнее время я имел случай перечитать небольшое сочинение Лобачевского под заглавием: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien. Это сочинение содержит в себе основания геометрии, которая должна бы была, существовать, и строгое развитие которой представляло бы непрерывную цепь, если бы Евклидова геометрия не была истинною». Некто Швейкарт дал этой геометрии имя «géométrie australe», а Лобачевский—геометрии воображаемой.

«Вы знаете, что уже пятьдесят четыре года (с 1792), как я разделяю те же взгляды, не говоря здесь о некоторых развитиях, которые получили мои идеи об этом предмете впоследствии. Следовательно, я собственно не нашел в сочинении Лобачевского

ни одного нового для меня факта; но изложение весьма различно от того, какое я предполагал сделать, и автор трактует о предмете, как знаток, в истинно-геометрическом духе. Я считал себя обязанным обратить ваше внимание на эту книгу, чтение которой не преминет вам доставить живейшее удовольствие».

«Геттинген, 28 ноября 1846 года».

Знал ли что-либо об этом письме Гаусса Лобачевский, уже вступивший в последнее десятилетие своей жизни? Трудно дать утвердительный ответ. Переписка Гаусса с Шумахером была опубликована много позже смерти Лобачевского. Наш же «Коперник Геометрии», по выражению английского ученого Клиффорда, умер в 1856 году 12 февраля. Признание и оценка его заслуг принадлежит последним 2—3 десятилетиям, когда пониманию и уяснению его гениальных мыслей была посвящена целая литература.

Пониманию Лобачевского в особенности содействовали своими трудами такие выдающиеся ученые, как Бельтрами, Риманн, Гельмгольц, Кэли, Гуэль, Клейн, Клиффорд, Ли, Пуанкаре, Киллинг и проч.

22 октября 1893 года Россия, или, вернее,—все русские физико-математические общества торжественно справляли 100-летние поминки дня рождения Лобачевского. Незадолго до этого времени Казанский университет издал «Полное собрание сочинений по геометрии Н. И. Лобачевского в 2-х томах (1883 и 1886 гг.), но на самом деле «Полного собрания» всех без исключения сочинений великого русского «Коперника Геометрии» нет,— да и будет ли скоро?.. В общем, надо сознаться, что Лобачевскому на Руси «везет» гораздо менее, чем за границей. Проявившийся было к юбилею 1893 года интерес к Лобачевскому в широких кругах скоро ослаб. Были собрания различных обществ, были дельные, красивые речи, но... «облетели цветы, догорели огни» и... всё почти остается по старому,—и это в то время, когда изыскания Лобачевского о параллельных линиях приняты, напр., в японских школах в качестве пособия при преподавании геометрии. Следует, положим, сознаться, что чтение многих произведений Лобачевского в подлиннике требует довольно значительной подготовки. Лобачевский, вообще, краток и сжат. Но, с другой стороны, ничего почти не сделано до сих пор у нас к популяризации работ Лобачевского в смысле переложения

их на более понятный современный математический язык. Единственную1) достойную внимания попытку в этом отношении мы нашли в работе Н. П. Соколова: «значение исследований Н. И. Лобачевского в Геометрии и их влияние на ее дальнейшее развитие»..

Талантливый автор в этой книге делает попытку изложить по возможности кратко и популярно содержание главного сочинения Лобачевского «Новые Начала Геометрии». Нельзя не приветствовать такой попытки, как нельзя не пожалеть и о том, что г. Соколов не продолжал своих трудов к дальнейшей и еще большей популяризации трудов Лобачевского. Во всяком случае ближе к концу этой книги читатель найдет содержание «Новых Начал Геометрии» Лобачевского в изложении Н. П. Соколова. Быть может, чтение этой главы заинтересует кого-либо настолько, что направит его на путь изучения подлинных трудов Лобачевского для широкой популяризации его идей.

Два письма о постулате Евклида.

Как раз в то время, когда в старой губернской казанской глуши Н. И. Лобачевский уже решил и обнародовал свое решение относительно места и значения в геометрии 11-ой аксиомы (V-го постулата) Евклида, известные европейские ученые все еще делали тщетные попытки «доказать» это Евклидовское допущение. Авторитет Евклида был еще настолько велик, что никто не осмеливался подозревать о возможности геометрии и пространства, отличных от Евклидовских. Все дело заключалось только, по мнению тогдашних ученых, в возможном упрощении «Начал» александрийского геометра,—в стремлении изложить теорию параллельных линий без знаменитого постулата. Нижеприводимое письмо (от 1831 г.) проф. Шумахера к Гауссу дает настолько типичный образчик подобных попыток, что приводим его в подлинном переводе:

Шумахер к Гауссу.

Я беру на себя смелость представить вам попытку, которую я сделал, чтобы доказать, без помощи теории параллелей, предложение, по которому сумма трех углов треугольника равна

1) После выхода в свет 1-го издания настоящей книги появился перевод А. Р. Кулишера прекрасного труда итальянского проф. Роберто Бонола «Не-Евклидова Геометрия».

180°,—откуда вытекало бы само собою доказательство Евклидовой аксиомы. Единственные теоремы, которые я предполагаю доказанными, суть: что сумма всех углов, образуемых около одной точки, равна 360° или четырем прямым углам, и еще, что углы, противоположные в вершине, равны.

Продолжим неопределенно стороны прямолинейного треугольника ABC (черт. А), или, другими словами, рассмотрим систему трех прямых в одной плоскости, которые своими пересечениями образуют треугольник ЛВС. При трех вершинах имеем уравнения:

откуда

Черт. А.

Так как эти соотношения существуют, как бы ни были расположены точки i, В и С, что все равно, как бы ни были проведены три прямые в плоскости, оставим неподвижными линии DG, ЕН и заставим линию IF проходить через точку А (черт. В) так, чтобы она составляла с ЕН тот же самый угол, как и в первоначальном своем положении, или вообще,—так как этот угол произволен,— так, чтобы линия IF всегда шла внутри угла. Мы будем иметь тогда

Черт. В.

Следовательно

Может быть, возразят на это, что хотя и имеем по предположению

Ъ (черт. А) = Ъ (черт. В),

по, что равенство:

с (черт. А) = с (черт. В)

должно быть доказано.

Мне кажется, однако, что вследствие произвольной величины углов в этом доказательстве нет необходимости.

Таковы начала доказательства, о котором я жду вашего отзыва. Я прибавлю только в оправдание моего рассуждения, что, хотя второе действие и уничтожает треугольник ABC, но оно не уничтожает углов треугольника. Как бы ни были расположены линии, всегда имеем:

IBH = ß. GCF = у, DAF = а,

как в конечном треугольнике, так и в исчезающем; сумма:

TAH+GAF + DAE

всегда равна, следовательно, сумме углов прямолинейного треугольника.

Таким образом докажем предложение для произвольного треугольника (которого углы суть А, В, С), проводя линии DG, ЕН так, чтобы было а = А, и делая кроме того IAH = В и GAF= С. Если бы тогда IAF оказалась не прямою, но ломаною линиею IAF*, то угол с сделался бы меньше на de, но угол / стал бы на ту же величину больше, так что сумма этих углов осталась бы без перемены, и мы имели бы,—что нам и требуется для доказательства,—равенство:

Ъ + с (черт. А) = Ъ + с (черт. В). Копенгаген, 3-го мая 1831 года.

Гаусс к Шумахеру.

Рассматривая внимательно то, что вы мне пишете о теории параллелей, я замечаю, что вы употребили в ваших рассуждениях, не выразив его явно, следующее предложение:

Если две пересекающиеся прямые (1) и (2) образуют с третьей прямой (3), их встречающею, соответственно

углы Аг и А", и если четвертая прямая (4), лежащая в той же плоскости, будет пересекать (1) под углом А', то та же прямая (4) будет пересекать (2) под углом А".

Это предложение не только требует доказательства, но можно сказать, что оно-то в сущности и составляет ту теорему, о доказательстве которой идет речь.

Вот уже несколько недель, как я начал излагать письменно некоторые результаты моих собственных размышлений об этом предмете, занимавших меня сорок лет тому назад и никогда мною не записанных, вследствие чего я должен был три или четыре раза возобновлять весь труд в моей голове. Мне не хотелось бы, однако, чтобы это погибло вместе со мною.

Геттинген, 17 мая 1831 года.

Ответ Гаусса типичен в том отношении, что указывает на тот обыкновенный недостаток, которым страдали все бзз исключения попытки доказать постулат Евклида или обойти его в теории параллельных линий. Вместо этого постулата авторы вводили незаметно для самих себя какое-нибудь новое, нуждающееся в доказательстве, предложение. Так было и с Шумахером.

Суть ошибки Шумахера еще лучше выяснится из дальнейшего, где о сумме углов треугольника будет такжэ приведен известного рода «софизм».

В посмертных бумагах Гаусса, действительно, нашлись небольшие заметки о не-Евклидовой геометрии (сущность этих -заметок изложена ъ упомянутой уже нами «Не-Евклидовой Геометрии» Р. Бонолы). Но, как видно, обстоятельства не позволили Гауссу довести свой труд до конца.

Выяснение трех постулатов о параллельных линиях.

В противоположность постулату Евклида, о котором мы говорили в главе «Два отрицательных вывода XIX века», Лобачевский ставит иной, а именно:

Через данную точку на плоскости можно провести неопределенно большое число линий, из которых ни одна не пересечет данной в той же плоскости линии.

В то же время еще один постулат немецкого геометра Риманна говорит, что через точку на плоскости нельзя провести такой линии, которая не пересекала бы данной линии в этой плоскости..

Отправляясь от каждого из этих допущений в отдельности, мы получим три различных системы геометрии на плоскости. Различие этих геометрий лучше всего выясняется на следующем примере.

Фиг. 97.

Пусть АВ и PC (см. фиг. 97) будут две прямыя линии, лежащие в одной и той же плоскости и неограниченно продолжащиеся по обоим противоположным направлениям. AB

примем неподвижной и занимающей определенное положение, а PC пусть вращается в плоскости около точки Р, напр., в направлении, принимаемом за положительное, т.-е. обратно движению часовой стрелки, и пусть PC сначала пересекает AB, как указано на фиг. 97. При дальнейшем вращении линии PC точка пересечения уходит все далее и далее вправо, и здесь логически возможны три случая:

1) Вращающаяся линия перестает пересекать неподвижную прямую AiB с одной стороны (напр., справа) и тотчас же непосредственно при продолжении вращения пересекает эту линию с противоположной стороны (слева); 2) или же линия PC, перестав пересекать AB и продолжая вращаться в некоторой части плоскости до нового пересечения, совсем не встречается с линией AB; 3) или, наконец, наступит такой промежуток времени, в продолжение которого обе линии будут одновременно пересекаться в двух противоположных направлениях.

Первая из этих возможностей дает геометрию Евклида, вторая—геометрию Лобачевского, а третья—геометрию Риманна.

Известным образом развиваемые и приобретаемые нами умственные навыки приводят к тому, что все три предыдущие допущения мы последовательно поясняем довольно своеобразным путем, а именно с помощью того опытного понятия о прямой линии, какое мы уже имеем о ней. Логически каждое из этих трех допущений, повторяем, так же допустимо, как и другое. С этой точки зрения, строго говоря, нет никакого основания одно допущение (постулат) предпочитать другому. Психологически, однакоже, выходит так, что гипотеза Риманна представляется начинающему совершенно недопустимою, и даже допущение Евклида менее понятно, чем допущение Лобачевского.

Интересный опыт в этом отношении был сделан американским математиком Уайтом (White) со своими, начинающими курс «нормальной школы», учениками. Он начертил на доске рисунок, подобный фиг. 97, изложил простыми и немногими словами все три допущения и попросил каждого из учеников высказать свое мнение по поводу каждого из постулатов, записав свой отзыв на клочке бумажки. И вот оказалось, что 46 учеников (из общего числа 54) высказались за верность второго допущения, т.-е. постулата Лобачевского. Голоса этих 46 поделились так: 2 заявили, что они «догадываются», что должно быть так, а не иначе; 21,— что они «думают» так, 13—в этом «вполне уверены», 10—«зна-

ют» это. Что касается постулата Евклида, то за него высказались только остальные 8 из 54 учеников и притом так, что 6 из них «думали», что это допущение правильно, а два были в этом «вполне уверены». Интересно отметить обстоятельство, что среди этих не искусившихся еще ни в каких софистических изворотах умов не нашлось ни одного, который бы высказался за приемлемость допущения Риманна. Понимание его, очевидно, требует несколько более повышенного математического развития. В свою очередь, значительная часть сторонников большинства, подавшего голоса за 2-е предположение (Лобачевского), обнаружили склонность переменить свое мнение, как только они узнали, что это предположение сводится к тому, что две пересекающиеся прямые могут быть одновременно параллельны одной и той же прямой. Во всяком случае вышеизложенное свидетельствует о том, что постулат Евклида не имеет по форме характера убедительности даже для неискушенного ума.

Обращаясь к тригонометрии, возьмем линию, дающую значение тангенсов центрального угла при возрастании этого угла от 0 до 90°. При величине угла в 90° тангенс его, как известно, равен 00 (бесконечности). Но как только вращающаяся сторона угла перейдет хотя бы бесконечно мало за (левее) значение 90°, мы принимаем, что она тотчас же пересекается с линией тангенсов на бесконечно далеком разстоянии, но в противоположном направлении (внизу), чем раньше. Это именно допущение и обосновывает, следовательно, нашу тригонометрию на началах Евклида, а не иных.

Знаменитый астроном Кеплер ввел определение параллельных, как линий, встречающихся в бесконечности. Таким определением можно пользоваться, пожалуй, даже в элементарной геометрии. Необходимо только правильно понимать его и с этой целью перевести на язык так называемой теории пределов.

Пусть линия (фиг. 98) РР' будет перпендикулярна к SQ, и пусть точка Q движется все далее и далее вправо в то время, как точка Р остается неподвижной, и пусть, наконец, угол P'PR будет предел, к которому приближается угол P'PQ при беспредельном возрастании расстояния Q от Р\ В таком случае

PR есть линия, параллельная SQ. To-есть параллельность приписывается предельному положению пересекающихся линий,, когда точка пересечения уходит в бесконечность. Это понятие мы и выражаем коротко известными словами, что «параллельные/ прямые встречаются t бесконечности».

Возвращаясь к нашим трем постулатам, предположим (см. фиг. 98), что точка Р неподвижна, a PS передвигается так, что точка S уходит беспредельно влево, при чем, при беспредельном, возрастании P'S угол ТРР' будет пределом для угла SPP'. В таком случае TP есть линия, параллельная SQ. Итак:

Фиг. 98.

Согласно с постулатом Евклида РТ и PR составляют одну прямую линию:

Согласно Лобачевскому, обе эти прямые могут представлять, и некоторую ломаную линию.

Наконец, по допущению Риманна, Q и S не могут удалиться на бесконечное пространство (но Q переходит, так сказать, чрез значение S опять к Р'), а это, по понятиям теории пределов, не есть предельное положение и, следовательно, не параллельная линия в 'Евклидовском смысле этого слова.

Сумма углов треугольника.

Известная теорема о сумме углов треугольника во всех учебниках геометрии доказывается на основании теорем о параллельных линиях. Но мы знаем уже (см. предыдущую главу), что в теории параллельных есть одно не могущее быть доказанным допущение—знаменитый Евклидов постулат. Следовательно, строго говоря, и теорема о сумме углов треугольника оказывается недоказанной.

Но вот другое «очень простое» доказательство этой важнейшей теоремы,—доказательство, которое, казалось бы, должно положить конец всем сомнениям и спорам.

Пусть сумма углов треугольника равна, не двум прямым, а какой-нибудь еще неизвестной пока величине, которую обозначим через X. Проведем в треугольнике ЛВС линию CD, соединяющую вершину С с произвольной точкой основания. Имеем два новых треугольника ABC и ВВС. Сумма углов каждого из них равна х, а сумма этих сумм = 2#. Ясно, что если от этой суммы отнять углы 1 и 2 (т.-е. 2d), то получится сумма углов треугольника ABC. Следовательно, мы в праве написать уравнение

2х— 2d = X,

откуда ж = 2d, другими словами: сумма углов треугольника равна двум прямым.

Правильно ли это доказательство? Конечно, нет. Это не более, как софизм, и мы сейчас укажем, где здесь кроется ошибка.

Фиг. 99.

Ход доказательства совершенно верен, но с самого же начала сделано было бездоказательное допущение. Вспомним, что мы приравняли сумму углов всякого треугольника неизвестной величине х. Хотя, казалось бы, мы ничего этим не предрешаем, но на самом деле мы утверждаем заранее, что сумма углов одинакова у всех треугольников,—другими словами, что она есть величина постоянная. Между тем в этом-то и заключается весь вопрос. Если бы было доказано, что у всех треугольников, разной формы и размеров, сумма углов остается постоянной, то уж не трудно было бы, как мы видели, доказать, что постоянная это есть именно 2d, а не какая-либо другая.

Итак, выше мы доказали не ту теорему, которую брались доказать, а иную:

Если сумма углов треугольника есть величина постоянная, то она равна 2d.

Эта новая теорема, которую мы случайно и неожиданно для самих себя доказали, не совсем, однако, бесполезна: она поможет нам кое-что уяснить в области не-Евклидовых геометрий.

Для этого мы сначала перефразируем эту теорему,—выскажем то, что в геометрии называется теоремой «обратной противоположной» . Получим :

Если сумма углов треугольника не равна 2d, то она не есть постоянная величина.

Как и все «обратные противоположной» теоремы, эта должна быть верна, раз верна прямая теорема. Да и в самом деле, если бы сумма углов Д-ка была величиной постоянной, то, согласно прямой теореме, она равнялась бы 2d,—что противоречит условию.

Отсюда сразу получается очень важный вывод. Мы знаем, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 2d, а в геометрии Риманна больше 2d, т.-е. ив том и другом случае она не равна 2d. Пользуясь нашей теоремой, мы заранее уже, не зная деталей этих не-Евклидовых геометрий, можем утверждать, что в этих геометриях сумма углов треугольника есть величина переменная. В этом-то непостоянстве суммы углов треугольника и заключается характерное отличие упомянутых не-Евклидовых геометрий. Не то важно, что сумма углов Д-ка больше или меньше 2d, а то, что она вообще не есть величина постоянная.

Итак, вот чему научило нас рассмотрение приведенного выше софизма:

1) В Евклидовой геометрии сумма углов треугольника есть величина постоянная и равна 2d.

2) В геометрии Лобачевского и Риманна сумма углов треугольника не есть величина постоянная.

Задача 68-я. Несколько „коварных" вопросов.

Какое число делится на всякое другое число без остатка?

*

* *

Может ли дробь, в которой числитель меньше знаменателя, быть равна дроби, в которой числитель больше знаменателя? Если нет, то как же

В пропорции:

+ 6:-3=-10: + 5

каждый из крайних членов не больше ли, чем каждый из средних? Что же сделалось с известным нам «правилом», что в пропорции «больший член так относится к меньшему, как больший же к меньшему»?

Можно ли написать равенство, что полуполный стакан=полупустому стакану?

Есть ли на свете люди с одинаковым числом волос на голове?

О четвертом измерении по аналогии.

Американский математик W. F. White рассказывает об интересном вопросе, который предложил ему один из его слушателей в нормальной школе, и передает свой ответ на него.

Вопрос. Если след движущейся точки (не имеющей измерений) есть линия (одно измерение), а след движения линии есть поверхность (два измерения), наконец, след движения поверхности есть тело (три измерения),—то почему же не заключить, что след движения тела есть величина четвертого измерения?

Ответ. Если бы ваши предположения были верны и совершенно точны, то по аналогии могло бы быть верным заключение. Путь движущейся в пространстве точки есть, действительно, линия. След движения линии дает поверхность, но за исключением случая, когда линия движется в своем собственном измерении,— скользит, так сказать, по своим собственным следам. След движения поверхности дает тело, но только в том случае, когда поверхность движется не в своих двух, а в новом, третьем, измерении. Образование величины четвертого измерения движением тела предполагает, следовательно, наличность этого самого нового четвертого измерения, по которому тело могло бы двигаться.

В стране чудес математики.

Во время своего пребывания на курсах Елена полюбила математику и делала в ней большие успехи. Одну из лекций профессор как-то посвятил выяснению понятия о пространстве тг-измерений, а незадолго перед этим дома Елена прочла, по его совету, очень интересную небольшую книжечку «Страна плоскости. Рассказ из области многих измерений».

Вернувшись с занятий в жаркое майское утро, молодая девушка села в легкое кресло-качалку и с удовольствием отдыхала. Тихое покачивание качалки навевало на нее легкое полузабытье, а в голове мелькали одна за другой геометрические фигуры: прямые, кривые линии, круги... В последнее время среди студентов предметом упражнений и оживленных обсуждений были кривые линии, носившие поэтическое название «цепей маргариток».

— Какая она длинная, эта линия!—думала Елена.—Пожалуй, что ей нет конца... В детстве я читала книжку «В стране чудес» и помню, что после того я несколько ночей видела во сне, как путешествую по этой стране. Вот, если бы сделаться опять маленькой девочкой, попасть в страну чудес и там найти концы «маргариткиных цепей». Но возможно ли это? У круга, например, нет конца, как известно. Может быть, я пришла бы к бесконечным ветвям кривой...

Вдруг Елена очутилась на узенькой тропинке, почти закрытой большими деревьями. Она пошла по тропинке и скоро пришла в большую тронную залу, где сидела прелестная женщина, похожая на фею или «богиню». Приблизясь к трону, Елена вежливо поклонилась.

— Здравствуй, Елена!—приветливо сказала фея.

Елене не показалось странным, что прекрасной незнакомке известно ее имя.

— Тебе хочется побывать в стране чудес?

— О да!—с жаром ответила Елена.

— Я дам тебе в провожатые одного из моих придворных,— сказала фея, махнув палочкой.

Тотчас же появился юноша в костюме пажа. Он преклонил колено перед феей, затем приветливо поклонился Елене.

— Вот, Роланд,—сказала фея,—эта девушка желает итти в страну чудес,—поручаю ее твоим заботам. Покажи ей все, чем она будет интересоваться.

С этими словами она передала свой волшебный жезл пажу и сама исчезла.

— Идем!—сказал паж, подавая руку Елене и махнув жезлом. В ту же минуту они очутились в совершенно новой своеобразной и удивительной местности.

Все, что здесь существовало, тянулось только в длину, но не имело ни толщины ни ширины. Измерения в этих двух последних направлениях были совершенно невозможны: настолько предметы были тонки и узки. Живые существа в этой стране могли двигаться только по одной какой-либо линии.

— О! я понимаю,—воскликнула Елена.—Это страна линий. Я читала о ней.

— Да,—сказал паж,—я только то и могу вам показать, о чем вы читали или думали.

Елена вопросительно посмотрела на его жезл.

— И это, в самом деле, великое чудо!—подтвердил паж.— Показывать вам таким наглядным образом все, о чем вы только думали, ведь и это волшебство! Но показывать вам то, о чем вы никогда и не думали даже, это было бы...

Елена не расслышала последнего слова, и паж опять махнул жезлом.

Они находились теперь в месте, откуда страна линий была видна яснее. Елена протянула ладонь поперек линии прямо против одного из движущихся по линии странных жителей. Он внезапно остановился. Она отняла руку. Но обитатель страны линий остолбенел от изумления: какое-то таинственное тело,

или, по его понятиям, точка внезапно появилась в его пространстве и так же внезапно исчезла!

Елене странно было видеть, как вся жизнь обитателя страны линий заключена между двумя точками.

— Они никогда не обходят препятствий,—заметила она.

— Линия—это их мир... Мир одного измерения...—сказал паж.—Как может кто-либо выйти из своего мира, чтобы обойти вокруг препятствия?

— Не могла ли бы я поговорить с ними и рассказать о втором измерении?

— Эти существа не имеют второго измерения!—лаконически сказал паж.

— Хорошо!—смеясь продолжала Елена.—Действительно, это так. Ну, а если они случайно выйдут из пределов своего узкого мира?

— Случайно,—с изумлением повторил паж.—Я думал, что •вы более философ!

— Нет,—скромно возразила Елена,—я еще только школьная ученица.

— Но вы ищете знание и истину и любите пх. Разве это не значит быть философом?

— Правда,—согласилась Елена, —пожалуй, я могу считать себя философом. Но скажите, все-таки, как подобное существо может получить точное понятие о пространстве, отличном от того, в котором заключено оно.

— Оно может, вероятно, обратиться к существу нескольких измерений...

Елена на минуту пришла в замешательство, думая, что ее проводник шутит. Но тот совершенно серьезно продолжал:

— Существа одного измерения могут почувствовать другое измерение только при воздействии иных существ не из их пространства. Но обратимся к другому миру.

Паж снова махнул жезлом, и они увидали новую область, все обитатели которой имели длину и ширину, но не имели толщины.

— Эта страна плоскостей!—весело сказала Елена, а через минуту прибавила:—но только я думала, что плоскостные существа все представляют собой правильные геометрические фигуры, а здесь я вижу очень разнообразные.

Паж расхохотался так громко и заразительно, что Елена стала вторить ему, не зная еще причины его смеха. Он объяснился.

— Вы представляли себе, значит, такую страну плоскостей, где государственные мужи похожи на однообразные правильные квадраты, и где остроумие форм есть принадлежность низших, а однообразие считается отличием знатности. Да, есть и такая страна плоскостей, только пишется она с прописной, а не с маленькой буквы...

Елена стала присматриваться к жизни существ с двумя измерениями и размышлять о их сфере представлений. Она соображала, что многоугольники, круги и всякие другие плоские фигуры всегда видны им только, как отрезки линий, что они не могут видеть угла, но могут вывести заключение о его существовании; что они могут быть заключены внутри четыреугольника или другой плоской фигуры, если она имеет замкнутый периметр, который они не могут пересечь; и если существо трех измерений пересекло бы их пространство (поверхность), оно могло бы понять только сечение на поверхности, сделанное этим трехмерным телом, так что тело представлялось бы им существом также двух измерений, но обладающим чудесными свойствами и могуществом движения.

Елена заинтересовывалась все больше и больше.

— Покажите мне пространства еще и других измерений!— просила она спутника.

— Хорошо! Пространство трех измерений вы можете видеть во всякое время,—сказал паж, махнув жезлом и изменяя картину.—Но если вы возьмете мой жезл и с его помощью покажете мне пространство четырех измерений, то я буду вам очень благодарен!

— О, этого я не могу!—воскликнула Елена.

— И я тоже.

— А может кто-нибудь это сделать?

— Говорят, что в пространстве четырех измерений можно видеть внутренность нашего закрытого ящика, смотря в него из четвертого измерения, так, как вы могли видеть внутренность прямоугольника в стране плоскостей, смотря на него извне, сверху вниз. Говорят также, что в четырехмерном пространстве не может быть завязан узел. Существо этого четырехмерного пространства, переходя в наше, должно казаться нам существом трех измерений, так как всё, что мы можем видеть

от такого существа, есть только сечение, сделанное им в нашем пространстве, и это сечение есть то, что мы называем телом, Это существо может представиться нам, скажем, как человекоподобное. И оно может быть, действительно, не менее человеком, чем мы, и не менее реальным, а даже более реальным, если только слово «реальный» здесь приложимо. Существа страны плоскостей {двух измерений), пересекающие страну линий (пространство первого измерения) кажутся обитателям линейного пространства существами одного измерения, только обладающими чудесным могуществом. Точно так же наше трехмерное тело в плоском (двухмерном) пространстве: пересечение наше с поверхностью— это и всё, что видимо и понятно для существа плоскостного пространства, и только это пересечение, только одна фаза нашего тела доступна существу двух измерений. Отсюда следует заключить, что существа более чем трех измерений имеют чудесную для нас способность появляться и исчезать, входить и уходить из комнаты, где заперты все двери, они могут казаться нам «духами», хотя вместе с тем они могут быть на самом деле существами более реальными, чем мы сами. Он замолчал, а Елена заметила:

— Все, что вы сказали, есть только результат известного рода логических соображений. Я хотела бы видеть четырехмерное пространство.

Спохватившись, она сообразила,что такая настойчивость может быть неделикатной по отношению к спутнику, и она прибавила:

— Но я знаю, что жезл не может показывать нам все, что мы захотели бы видеть. Тогда не было бы пределов нашему познанию.

— Может быть, беспредельное познание есть то же, что и бесконечное познание?—спросил паж.

— Это похоже на каламбур,—ответила Елена.—Не есть ли это простая игра слов?

— А вот идет господин Вычислителев. Спросим его мнения.— Эй! Господин Вычислителев!

Елена увидела почтенного пожилого господина с развевающейся белой бородой. Он обернулся, когда услыхал свое имя. Пока он приближался, паж сказал тихо Елене:

— Он будет в восторге от такой ревностной ученицы, как вы. Это для него праздник.

Вычислителев с большим достоинством раскланялся с Еленой и ее спутником и, ознакомившись с темой разговора, начал так энергично высказывать свои мнения, что паж остановил его:

— Осторожнее, это не специалист по математике.

Елене не особенно понравилось это замечание, так как она вообще не соглашалась, когда девушек считали менее способными в математике, чем других людей. «Ну, да это шутка!»— подумала она про себя и продолжала слушать.

Вычислителев продолжал начатое пояснение.

— Если вы хотите спросить, одно ли и то же беспредельно увеличивающееся переменное и абсолютная бесконечность, то я отвечу—нет! Безгранично, или беспредельно увеличивающееся переменное всегда ближе к пулю, чем к абсолютной бесконечности. Для простоты пояснения сравним такое переменное с другим однообразно изменяющимся переменным,—со временем. Предположим, что рассматриваемое нами переменное удваивается каждую секунду. В таком случае все равно,—как бы долго ни продолжалось подобное увеличение переменного, оно все-таки будет ближе к нулю, чем к бесконечности.

— Поясните, пожалуйста,—попросила Елена.

— Хорошо!—продоллшл Вычислителев.—Рассмотрим значения переменного в некоторый момент. В этот момент значение переменного равно только половине того, которое оно приобретает через секунду, и равно четверти того значения, которое получится через 2 секунды, если оно будет все возрастать. Таким образом теперь, в данный момент, оно гораздо ближе к нулю, чем к бесконечности. Но то, что верно относительно переменного в данный момент, будет верно и в следующий и, вообще, в каждый момент. И как бы переменное ни возрастало, оно всегда будет ближе к нулю, чем к бесконечности.

— Значит,—сказала Елена,—правильнее говорить: «беспредельно увеличивается», вместо «приближается к бесконечности, как к пределу».

— Разумеется! Переменное не может приближаться к бесконечности, как к пределу. Учащимся часто напоминают об* этом.

— Я думаю,—заметила Елена,—что знание можно увеличивать всегда, хотя это и кажется чудесным.

— Что вы называете чудесным?

— Потому что...—начала Елена и остановилась.

— Когда начинают с «потому что», редко дают ответ!— сказал паж.

— Боюсь, что я действительно не отвечу,—произнесла Елена.—Обыкновенно называют чудесным то, что является отступлением от естественных законов.

— Мы должны показать барышне начертание кривой,—сказал Вычислителев пажу.

— Конечно,—ответил тот.—Любите вы фейерверки?—спросил он Елену.

— Благодарю вас,—ответила Елена,—но я не могу остаться здесь до вечера.

— Хорошо, мы покажем вам их очень скоро.

— Фейерверки при дневном освещении?—спросила Елена. Но в ту же минуту паж махнул жезлом и наступила ночь, светлая ночь, хотя без луны и звезд.

Так как эта перемена была сделана при помощи магического жезла, то Елена была не очень изумлена.

— Теперь вы мне покажете начертание кривой?—спросила она.

— Да,—сказал паж.

Разговаривая таким образом, все трое шли дальше, пока не подошли к месту, где находилось нечто в роде электрической станции под наблюдением прелестной молодой женщины.

— Это Ана-Литика,—сказал Вычислителев Елене,—вы, вероятно, с ней знакомы.

— Знакомое имя,—сказала Елена,—но я не припоминаю, чтобы видела где-нибудь эту госпожу. Мне хотелось бы познакомиться с ней.

Познакомившись, Елена назвала женщину «госпожа Литика». Но та улыбнулась и сказала:

— Меня никогда так не зовут. Все зовут меня обыкновенно «Ана-Литика».

— Эта барышня хотела бы познакомиться с некоторыми из ваших работ,—сказал Вычислителев.

— Пиротехническое начертание кривой,—пояснил словоохотливый паж.

— Пожалуйста, покажите нам алгебраическую кривую с особенной точкой,—прибавил Вычислителев.

Ана-Литика тронула одну из кнопок, и сквозь темноту прорезалась полоса яркого света, образовавшая в пространстве

блестящую плоскость. Затем она поблекла, но остались два луча, перпендикулярных один к другому. Изображение было слабое, но неизменяющееся.

— Это оси координат,—объяснила Ана-Литика.

Она нажала вторую кнопку, и Елена увидела нечто, похожее на метеор. Он явился из огромного отдаления, пересек луч света, который был назван одной «из осей», и понесся по другую сторону этой оси так же быстро, как появился, все время двигаясь к плоскости, показанной первоначальной исчезнувшей полосой света. Елена невольно подумала о комете. Но вместо кометного блестящего хвоста пронесшийся «метеор» оставил за собой неизменяемый путь света в виде кривой линии. Ана-Литика близко подошла к Елене, и обе девушки смотрели на блестящую кривую, которая тянулась сквозь темноту на все пространство, которое только было доступно зрению.

— Как это красиво!—воскликнула Елена.

Попытка изобразить на бумаге то, что видела Елена, дает об этом не столь сильное и эффектное представление. На фиг. 100-ой даны оси координат и самая кривая.

Фиг. 100.

Вдруг Елена воскликнула:

— Что это за отдельная точка света?—При этом она показала на точку, обозначенную на фигуре буквой Р.

— Это точка кривой,—сказала Ана-Литика.

— Но она так отдалена от всей остальной кривой!—заметила Елена.

Отойдя к аппарату и делая что-то, чего Елена не могла рассмотреть, Ана-Литика начала писать в темноте, словно на аспидной доске. Знаки выходили блестящие и резко выделялись на темном фоне ночи. Вот, что она писала:

Отступая назад, она сказала:

— Это уравнение кривой.

Елена любовалась горящим в темноте уравнением.

— Я никогда не представляла себе геометрические координаты столь красивыми,—сказала она.

— Точка, о которой вы спрашивали,—сказала Ана-Литика,— есть точка (2, 0). Вы видите, что она удовлетворяет уравнению. Это точка изображения.

Елена теперь заметила, что единицы длины были немечены на слабо видных осях легкими, более блестящими точками света.

— Да, — сказала она, — я вижу ее, но странно все-таки, что она отдалена от остальной кривой.

— Да — сказал Вычислителев, который все время внимательно слушал,—вы ожидали, что кривая будет непрерывна. Непрерывность—вот постоянная предпосылка нынешней научной мысли. Эта точка кажется нарушающей закон; она, следовательно, есть то, что вы назвали несколько минут тому назад «чудом». Если бы все наблюдаемые явления, кроме одного, имели некоторую видимую связь, мы были бы склонны назвать это одно «чудесным», а все остальное естественным. Если только то кажется удивительным, что необычайно, то и «чудом» в математике следовало бы называть всякий отдельный случай.

— Благодарю вас,—сказала Елена,—я очень хотела бы согласиться с этим. Но исключительность смущает меня. Я хотела бы думать, что здесь есть общее царство закона.

— Очевидно,—сказал паж,—здесь исключение! Ясно, что здесь есть разные альтернативы, как, например, что точки

нет на чертеже, что чертеж имеет единственную точку, и так далее...

Вычислителев, Ана-Литика и паж смеялись. На вопрос Елены паж пояснил:

— Мы часто говорим «очевидно» или «ясно», когда не можем дать объяснения, и часто говорим «и так далее», когда не знаем, как продолжать.

Елена сначала думала, что эта насмешка относится к ней, но потом вспомнила, что она ни одного такого выражения не употребила. Вообще, ведь, все это приключение с ней была только шутка, а потому она успокоилась и стала спрашивать об интересующих ее предметах.

— Расскажите мне об этой изолированной, особенной точке,— обратилась она к Вычислите леву.

Этот последний обо всем говорил в поучительном тоне, который был ему свойствен.

Вычислителев. Если в написанном выше уравнении кривой ж=2, то, как видите, у=0. Но для всякого другого значения X, меньшего, чем 3, какое получится значение для у?

Елена. Так называемое мнимое.

Вычислителев. А как изображаются мнимые числа геометрически?

Елена. Линией, длина которой дается абсолютным (или арифметическим) числом мнимого количества, и направление которой перпендикулярно к той,, по которой отсчитываются положительные и отрицательные направления.

Вычислителев. Хорошо. В таком случае...

Елена (с восторгом). О! теперь я понимаю, я вижу. Здесь должны быть еще точки кривой вне плоскости.

Вычислителев. Вот именно. Здесь имеются еще так называемые мнимые ветви кривой, и, может быть, Ана-Литика будет настолько добра, что покажет их нам теперь.

Ана-Литика тронула еще кнопку своего аппарата, и другая блестящая кривая прорезалась на фоне ночного неба. Плоскость, определяемая этой кривой, была перпендикулярна к предыдущей плоскости. (Обозначенная точками линия на фиг. 101 воспроизводит обыденным образом то, что видела Елена.)1).

1) На этой фигуре пунктирная линия QPQ', если ее повернуть на 90° около хх', как оси, так, чтобы она была в плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, изобразит «мнимую часть» чертежа.

— О, я вижу!—повторила Елена.—Точка Р не есть изолированная, отдельная точка от кривой. Это точка, в которой наша «мнимая» ветвь (на самом деле столь же действительная, как и всякая другая) пересекает плоскость двух осей координат.

— Теперь,—сказал Вычислителев,—вместо того, чтобы подставлять действительные значения для х и находить соответственные значения у, вы можете придавать действительные значения у и решать уравнение относительно х. И тогда, вообще, для каждого значения у вы получите 3 значения х: одно действительное и 2 комплексных сопряженных числа. Кривая, проходящая через все точки с комплексными абсциссами, никоим образом не лежит в плоскости осей, но в плоскости, им перпендикулярной. Впрочем, вы знаете это. (Линия SRPRS на черт. 101 представляет эти ветви).

Вычерченная точками п черточками линия SRPRS представляет проэкцию на плоскость бумаги двух «комплексных частей» кривой. В точке Р каждая ветвь находится в плоскости бумаги, для каждой точки R соответствующие точки на самой ветви кривой находятся на расстоянии 0,7 от плоскости по ту и другую сторону плоскости, для точки S соответствующие точки будут на каждой ветви в расстоянии 1,5 от плоскости и т. д.

Фаг. IUI.

Ана-Литика опять обратилась к аппарату; и эти ветви кривой появились также в виде светящихся линий.

Елена была очень возбуждена. Глубочайшее удовлетворение звучало в ее голосе, когда она сказала:

— Точка, которая смущала меня своей непонятной обособленностью, есть, как оказывается, общая точка нескольких ветвей одной и той же кривой.

— Сверхъестественное оказывается более естественным, чем что-либо иное,—сказал паж.

«Чудесное,—размышляла Елена,—есть только особенный случай высшего закона. Мы не понимаем фактов, потому что связь их иногда находится вне плоскости наших наблюдений или размышлений». Затем она прибавила вслух:

— Это я могла бы назвать чудесной кривой.

— Нет ничего исключительного в этой кривой,—сказал Вычислителев. Каждая алгебраическая кривая с сопряженной точкой имеет подобные особенности.

Вычислителев сказал что-то Ана-Литике, и она прикоснулась к аппарату. Послышался сильный удар грома. Елена очутилась в своей комнате и, действительно, проснулась от сильного удара грома. Она приподнялась, стараясь припомнить все, что с ней было. Затем она сказала себе:

— Нет никаких кривых из света, пересекающих небеса. И пространства одного или двух измерений существуют только в нашем уме. Они—абстракции, как и пространство 4-х измерений. Но все-таки они мыслимы. Я рада, что видела такой сон. Воображение есть волшебный жезл. Предстоящая мне жизнь будет настоящая страна чудес и...

В это время бой часов прервал ее мысли и напомнил, что пора итти на вечерние занятия.

Случай с Пляттнером.

Описанные в предыдущей главе сонные грезы молодой курсистки, в частности о возможности пространства, отличного от нашего, уместно будет дополнить здесь еще некоторыми соображениями о «пространстве четырех измерений». Читатель, надеемся, прочтет эту главу с тем большим интересом, что в ней излагаются взгляды на четырехмерное пространство

Генри Уэльса,—этого оригинальнейшего и интереснейшего писателя научных романов-утопий. Произведения Г. Уэльса поражают как полетом фантазии, так глубиной и логическим развитием положенных в основание научных мыслей или выводов.

В небольшом и мало известном русскому читателю рассказе «Случай с Пляттнером» автор сквозь призму своего богатого воображения и тонкого дисциплинированного ума освещает «пространство четырех измерений» так, как оно ему представляется на основании последнего слова математической науки. Утопии таких писателей, как Г. Уэльс, заслуживают, конечно, самого серьезного внимания: они—результат серьезной работы мысли.

Суть рассказа «Случай с Пляттнером» состоит в том, что некий школьный учитель, Пляттнер, неожиданно для самого себя попал в пространство 4-х измерений, пробыл там 9 дней и, наконец, так же неожиданно возвратился в родное ему и нам 3-мерное пространство. Не имея возможности, в видах экономии места, привести весь рассказ целиком, передаем по возможности связно его существенные моменты.

О том, как Пляттнер неожиданно попал в пространство четырех измерений, повествуется следующее. Учитель Пляттнер любил, между прочим, заниматься химическим анализом различных веществ. Один из его учеников, Уиббль, интересовался химией и постоянно приносил учителю различные вещества для исследования. Раз он принес ему где-то случайно найден гую аптечную склянку с каким-то зеленым порошком.

«Это было вечером. Пляттнер сидел в классе, надзирая за четырьмя учениками, оставленными для приготовления уроков. В углу того же класса находился и маленький шкапчик, содержавший все принадлежности для преподования химии,—всю лабораторию школы, так сказать. Пляттнер, которому надоело сидеть без дела, очень обрадовался зеленому порошку и тотчас же занялся его анализом; а Уиббль наблюдал за этим процессом—к счастию—издали. Четверо других учеников, делая вид, что прилежно занимаются уроками, тоже исподтишка следили за тем, что творилось у шкапа.

«Все они единогласно показывают, что Пляттнер отсыпал сначала немного порошка в пробирный цилиндрик и попробовал растворить его последовательно в воде, хлористо-водородной, азотной и серной кислотах. Не получив никакого ре-

зультата, он высыпал почти половину всего порошка на металлическую пластинку и, держа стклянку в левой руке, попробовал поджечь его спичкой. Порошок затлелся, стал плавиться... и вдруг вспыхнул со страшным взрывом!..

«Все пятеро мальчиков, ожидавшие с замиранием сердца какой-нибудь катастрофы, как по команде спрятались за парты и никто из них не пострадал. Окно разлетелось вдребезги, классная доска упала; пластинка, на которой лежал порошок, превратилась, должно быть, в пыль,—обломков ее нигде не нашли,—штукатурка посыпалась с потолка, но других, более важных, повреждений не оказалось. Когда прошла первая минута страха, мальчики поднялись из-за парт и, не видя Пляттнера, думали, что он сбит с ног и лежит на полу. Все, конечно, поспешили к нему на помощь, но были очень удивлены, когда не нашли его на полу. Оставалось предположить, что он, в минуту общего сметения, выскочил из комнаты. Согласно такому предположению, мальчики тоже побежали вон из класса, но передний из них, Карсон, чуть не столкнулся в дверях с хозяином школы, мистером Лиджетом.

«Мистер Лиджет—кривой, толстый и страшно раздражительный человек. Мальчики говорят, что он ворвался в комнату красный, растрепанный, с целым потоком своих обычных ругательств. «Балбесы», «сопляки», «паршивые щенки»—так и сыпалось из его уст до тех пор, пока буря не кончилась вопросом: «Где мистер Пляттнер?»

«Куда девался мистер Пляттнер? Этот вопрос был всеми беспрестанно повторяем в течение нескольких следующих дней, но ответить на него никто не мог. Мистер Пляттнер исчез, не оставив за собою никакого следа, ни капли крови, ни пуговицы от своего костюма! Точно будто он в самом деле разлетелся на атомы...»

Через девять дней, однако, Пляттнер возвратился в школу, но возвращение его было не менее странно, чем исчезновение.

«В среду вечером, закончив дневные труды, мистер Лиджет собирал в саду свою любимую ягоду, малину. Только что он подошел к особенно усыпанному ягодами кусту, как вдруг сзади него послышался сильный треск, сопровождаемый как бы вспышкой молнии, и какое-то тяжелое тело так сильно толкнуло мистера Лиджета в спину, что он упал на-корачки, малина рассыпалась, а шелковый картуз съехал ему на глаза.

«Сильно рассерженный, мистер Лиджет, еще не успев подняться на ноги, выпустил целую тучу ругательств по адресу неизвестного тела. Каково же было его изумление, когда, обернувшись назад, он увидал мистера Пляттнера, сидящего среди куста малины, в самом растерзанном виде— без шапки, без галстука, в грязной рубашке и с окровавленными руками!..»

С возвратившимся из неожиданного «путешествия» Готфридом Пляттнером произошли, однако, весьма удивительные перемены.

«Начать с того, что, по исследованию, произведенному опытным врачом, все внутренние органы Готфрида Пляттнера оказались перемещенными: сердце перешло на правую сторону груди, печень сместилась к левому боку, а доли легких поменялись, местами. Имея в виду, что такое расположение внутренностей, хотя и не часто, но все же встречается, ничем до поры до времени не проявляясь, я не придаю ему особенного значения, так как оно могло существовать у Пляттнера и раньше случившегося с ним приключения. Но вот что важно и чего у Готфрида раньше этого приключения положительно не было: он стал левшой, и при том до такой степени, что правая его рука едва держала перо, а левая могла писать только с правой стороны к левой. Есть еще одно обстоятельство, указывающее на перемену, которая произошла в организме Готфрида Пляттнера. Раньше приключения лицо его, как у большей части людей, было не совсем симметрично: правый глаз был немножно больше левого и правая щека массивнее левой. Между тем теперь, после приключения, у Пляттнера левый глав и левая щека больше правых, как я в этом убедился из сравнения фотографий...»

Словом,—новое состояние Пляттнера представляло собой как бы зеркальное изображение нормального человека. Не менее интересно и то, что, по уверениям Г. Уэльса, Пляттнер рассказывал о собственных своих субъективных ощущениях.

«Пляттнер говорит, что после взрыва почувствовал себя убитым наповал. Ноги его отделились от пола, и все тело было отброшено куда-то назад, при чем он упал на спину. На минуту падение его ошеломило; затем он ясно ощутил запах жженых волос и услышал голос мистера Лиджета,—однако, как сквозь сон.

«Все кругом казалось ему как бы в тумане. Это он тотчас же приписал дыму, выделившемуся во время взрыва. Фигуры

Лиджета и учеников двигались в этом тумане бесшумно, как тени, но все же он ясно их видел, видел обстановку класса и потому сообразил, что жив и даже не особенно пострадал; только лицо саднило от ожога, да слух и зрение несколько притупились, вследствие взрыва, как он думал.

«Мало-по-малу Пляттнер приходил в себя и собирался встать, как вдруг был поражен неожиданным и в высшей степени странным обстоятельством: два ученика, один за другим, прошли сквозь его тело, как через какой-нибудь туман или дым! Ни один из них даже не чувствовал его присутствия. Трудно описать ощущение, испытанное Пляттнером. Он вскрикнул от неожиданности.

«Попробовав протянуть руку, Пляттнер заметил, что она свободно прошла сквозь стену дома.

«Стараясь обратить на себя внимание, Пляттнер громко звал Лиджета, ловил проходящих мимо мальчиков, но все они, очевидно, совсем его не замечали. Он чувствовал себя как бы отрезанным от мира, хотя и не переставал быть его частью. Все попытки сообщаться с этим миром оставались бесплодными.

«Тогда Пляттнер стал внимательно осматривать все окружающее и с удивлением заметил, что он находился не в классе, а под открытым небом и сидит на камне, который оброс бархатистым мохом. Склянка с остатками зеленого порошка находилось еще у него в руках. Совершенно бессознательно он сунул ее в карман. Кругом было почти совсем темно.

«Тишина была абсолютная, несмотря на сильный ветер, который должен бы, казалось, сопровождаться шумом деревьев и травы. Все окрестности казались скалистыми и пустынными.

«Попробовав спуститься по склону холма, Пляттнер свободно прошел сквозь стену школы и очутился в зале верхнего этажа, где пансионеры приготовляли свои уроки. Пляттнер заметил, что некоторые из них иголками царапают на таблицах геометрических чертежей полный ход доказательства соответствующей теоремы, о чем он прежде никогда не догадывался.

«Чем светлее становилось, тем Пляттнер хуже видел земные предметы. Наконец, они совсем скрылись у него из глаз. Судя по времени, надо думать, что это случилось как раз тогда, когда взошло Солнце. Взамен того перед его изумленным взглядом резко обрисовался скалистый и пустынный пейзаж, над которым поднялся с горизонта какой-то огромный зеленый диск, светив-

ший, однакоже, гораздо слабее земного Солнца. Пляттнер стоял на высоком холме. У ног его расстилалась глубокая долина, усеянная камнями.

«Исчезновение земных предметов при восходе зеленого Солнца в пространствах четвертого измерения есть странный и в то же самое время самый интересный пункт в показаниях Пляттнера. Он положительно говорит, что день в этих пространствах соответствует нашей ночи и, наоборот, ночь соответствует дню, при чем самое сильное дневное освещение не достигает силы нашего лунного. Поэтому-то, может, быть, днем мы и не видим того, что происходит в четвертом измерении: у нас в это время сильный свет, а тамошние пейзажи совсем не освещены.

«Когда зеленое Солнце осветило окрестности, то Пляттнер увидал на дне долины целую улицу, составленную из каких-то черных зданий, похожих на гробницы и мавзолеи. С большим трудом спустившись по крутому каменистому и скользкому склону горы, Пляттнер встретил целую толпу каких-то существ, расходившихся из одного большого здания, как у нас народ расходится из церкви. Существа эти издали похожи были на шары, освещенные бледно-зеленым светом. Одни из них исчезали в проходах, окружающих здание, другие входили в дома, а некоторые стали подниматься на гору, навстречу Пляттнеру. При виде их последний остановился в изумлении, хотя уверяет, что нисколько не испугался. Впрочем, в самом деле, пугаться было нечего. Существа эти, которых как бы несло ветром, представляли собой что-то вроде головастиков: коротенькое, безрукое и безногое туловище и большая голова с лицом совершенно человеческой формы. Только глаза были, пожалуй, несколько больше человеческих и выражали, в большинстве случаев, такую скорбь, такое страдание, которых человек трех измерений не мог бы вынести. Приблизившись к этим существам, Пляттнер заметил, что они смотрят совсем не на него, а на какие-то движущиеся предметы.

«Каждое из них как бы приставлено к какому-нибудь из живущих в трех измерениях и внимательно следит за всяким его шагом. Сначала эти существа не обращали на Пляттнера никакого внимания, но потом два из них, имевших большое сходство с его покойными отцом и матерью, стали следить за ним по пятам. Он несколько раз пробовал заговорить с матерью, но она только смотрела на него грустно, пристально и как бы с

каким-то упреком. Впоследствии он стал встречать и еще лица, напоминавшие ему людей, которых он знавал в детстве и с которыми входил в какие-нибудь сношения. Все они тоже грустно смотрели на него, видимо узнавая и как бы упрекая в чем-то.

«... День за днем, усталый, измученный, бродил Пляттнер, так сказать, на пороге между двумя мирами, ни к одному из них всецело не принадлежа.

«В конце концов, это ему очень надоело, и он стал сильно желать возвращения в наш трехмерный мир.

«На девятый день, вечером, Пляттнер, ходя по улицам Суссексвиля, споткнулся о камень и упал на тот бок, где в кармане его брюк лежала скляночка с зеленым порошком. Раздался страшный взрыв,—и Пляттнер с изумлением увидал себя в старом саду школы, лицом к лицу с мистером Лиджетом!...»

Замечания к „Случаю с Пляттнером".

Рассказ Уэльса не есть продукт «беспочвенной фантазии», а скорее образчик живого рассуждения по аналогии.

Мы, конечно, неспособны представишь себе пространство четырех измерений. Так что описание, так сказать, внешнего вида этого пространства и его обитателей всецело оставляем на ответственности мистера Пляттнера и его вдохновителя, Генри Уэльса. Но мыслить о пространствах, отличных от нашего, мы можем, как можем делать более или менее вероятные заключения о таких пространствах—по аналогии. Аналогия, конечно, не доказательство, но иногда она может привести к любопытным и даже полезным соображениям. Остроумный почин в этом отношении сделан такими глубокомысленными учеными, как Гельмгольц и Риманн, которые для примера взяли более понятное и простое для нас идеальное плоское пространство—пространство двух измерений, в котором живут, движутся и мыслят существа тоже, конечно, двух измерений. Такое пространство можно (приблизительно, впрочем) мыслить, как огромный лист не имеющей толщины бумаги, покрытый множеством «живых» линий, треугольников, квадратов и других фигур, движущихся в плоскости листа. Движение это может происходить, понятно, только в самой одной этой плоскости, так как третьего измерения нет, и потому фигуры здесь не могут ни подыматься,

ни опускаться вне плоскости. Обитатели такого плоского мира, поэтому, не могут иметь ни малейшего представления о движения еще в одном—перпендикулярном направлении и так же прикованы телом и мыслью к своему двухмерному пространству, как мы—к нашему трехмерному миру. Самая идея третьего измерения была бы им столь же чужда, как многим из нас идея пространства 4-х измерений.

Каковы, например, жилища обитателей такого плоского мира? Это не что иное, как замкнутые линии, открытые сверху и снизу. Но будем помнить, что «верх» и «низ» понятны только для нас, существ трех измерений; обитателям же двухмерного мира эти понятия чужды, и они считают свои жилища прекрасно защищенными со всех сторон. Чтобы заключить обитателя плоского мира в тюрьму, достаточно было бы начертить вокруг него замкнутую линию. Будучи сам плоскостью, линией или точкой и не имея возможности выйти из плоскости, он не может ни перешагнуть через стены своей тюрьмы, ни подлезть под них, и они были бы для него непроницаемы, как для нас каменные и железные стены с полом и потолком.

Предположим, что этот мир о двух измерениях помещен в самой середине нашего мира о трех измерениях. Обитатели плоского мира все же не имели бы ни малейшего понятия о трехмерном пространстве, их окружающем. Они просто не замечали бы всего нашего мира и даже склонны были бы отрицать самое его существование. Если бы кто-нибудь из нашего мира попал в их плоскость, они могли, бы узнать, пожалуй, о существовании другого мира. Но, конечно, такой пришелец казался бы им существом сверхъестественным.

В самом деле, попробуем представить себе ощущения обитателя «плоского» мира, когда он вдруг замечает у себя в спальне, скажем, человека из нашего мира. Он, ложась спать, убедился в прочности запоров на случай ночного вторжения грабителя. И вдруг, его изумленному взору представляется чудесная фигура, не похожая ни на что виденное им до сих пор. Наше трехмерное тело не было бы видимо плоским существом в обычном своем образе, и при малейшем движении вверх оно совсем исчезало бы из виду—к великому изумлению «двухмерца»,—так мы будем называть это существо двух измерений. Но все время, пока человек находился бы в пересечении с плоским миром, он был бы видим для «двухмерца» в виде плоской фигуры, обладающей

непостижимой способностью изменять свой вид и чудесной силой движения.

Самый способ, каким неожиданный гость проник в его дом, составлял бы для «двухмерца» непостижимую загадку, настоящее чудо. Не подозревая, что его дом и спальня, будучи плоскими фигурами, открыты сверху, он не мог бы додуматься до того, что человеку достаточно было просто перешагнуть через линию чтобы очутиться в его доме.

Его удивление не имело бы границ, когда таинственный пришелец стал бы перечислять содержимое его карманов, шкафов, бюро, кассы, описывать внутренние органы тела двухмерца и даже доставать из наглухо запертых ящиков (наглухо для двухмерца, конечно) любую вещь. Двухмерец вообразил бы, что пришелец умеет проникать через стены, что для него недействителен закон непроницаемости материи. Мало того,—«трехмерному» гостю ничего не стоило бы, глядя поверх двухмерных стен, описать самым подробным образом, что творится в соседних, также наглухо запертых, домах, и даже далеко за горами и морями плоского мира. Двухмерец при этом решил бы, конечно, что его гость одарен даром ясновидения и т. д.

Итак, рассуждая логически, нет ничего странного в допущении пространства со свойствами, отличными от нашего, «Евклидовского», пространства, Ничего нет странного в мыслимости пространства четырех измерений, если только рассуждения о нем не шагают за пределы логики и даже здравого смысла.

Упомянем еще о таких весьма интересных примерах, как симметрия и выворачивание на изнанку. Еще великий философ и математик Кант обратил внимание на некоторую, словно бы, «тайну», связанную с таким, казалось бы, простым предметом, как симметрия. Сравните вашу правую и левую руки,— оне совершенно сходны во всех подробностях. А между тем всякий хорошо знает, что эти, казалось бы, тождественные тела несовместимы, и правая перчатка не может быть надета на левую руку. Запомнив это, пойдем далее и рассмотрим свойства симметричных плоских фигур. Вот перед нами два симметричных четыреугольника А и В (фиг. 102). Про них нельзя сказать, что они несовместимы. Правда, если просто надвигать В на А, то никак не удастся их совместить, но стоит перевернуть В, так. сказать, на левую сторону, на изнанку,—и тогда обе фигуры

не трудно будет привести к совмещению. Проследим, что, собственно, мы сделали. Для того, чтобы превратить фигуру В в i, нам необходимо было на время оторвать ее от плоскости, перенести в мир трех измерений и снова вернуть ее на плоскость.

Но сколько бы мы ни поворачивали правую руку, мы никогда не превратим ее в левую. Отчего это? Да оттого, что для этого нам нужно вывести руку за пределы трехмерного пространства,—совершенно так же, как мы только что вынесли наш четырехугольник из двухмерной плоскости в мир трех измерений. Не покидая же нашего мира, мы так же не можем совместить симметричные тела, как «двухмерцы» не в состоянии совмещать плоских симметричных фигур. Отсюда замечательный вывод: если бы человек был способен хотя на мгновение покинуть наш трехмерный мир, он мог бы вернуться к нам в виде, симметричном самому себе: его правая рука сделалась бы левой, сердце и желудок переместились бы на правую сторону, а печень—на левую. Словом, каждая частица его тела была бы перемещена,—и все это произошло 'бы чисто геометрически, без малейшего расстройства организма—как у м-ра Пляттнера в рассказе Уэльса.

То же самое произошло бы со всяким предметом о трех измерениях, даже с очень массивным. Наибольшая пирамида, попав в мир четырех измерений, может быть перевернута очень легко. Кроме того, все пустые внутри вещи, как резиновые мячи и пр. могут быть вывернуты на изнанку без всякого ущерба для материала, их составляющего; например, перчатка правой руки," после путешествия в четвертом измерении, возвратилась бы перчаткой левой руки, и наоборот.

Таковы некоторые логические заключения, «по аналогии», о пространстве 4-х измерений.

И читатель теперь, надеемся, вполне убедится, насколько уже не фантастически, а аналого-логически, если можно так выразиться, прав Генри Уэльс во многих существенных частях своего рассказа.

Взрыв зеленого порошка понадобился автору потому, что только посторонней силой можно существо какого-либо пространства перенести в другое пространство. Делается также понятным, почему организм Пляттнера после «путешествия»

Фиг. 102.

сделался собственным своим «зеркальным изображением». «Понятно», почему Пляттнер получил способность проходить сквозь стены наших домов. «Понятно», пожалуй, даже и то, что сквозь его тело проходили его ученики. Словом, теперь понятны многие остроумные детали рассказа. Непонятно, пожалуй, как это так, все же, у Пляттнера сохранилась сначала в руках (а не прошла через тело) скляночка с остатками зеленого порошка? Как, потом, она могла удержаться в его карманах... Ну, да это, как и «описание» внешности мира 4-х измерений, уже всецело оставляется на ответственности остроумного автора. Во всяком случае рассказ его—замечательный и единственный в своем роде рассказ.

Математика в природе.

„Золотое деление".

Под названием «золотого деления», «золотого сечения» или даже «божественного деления» у древних геометров было известное деление «в крайнем и среднем отношении», вошедшее теперь во все наши школьные учебники. Напомним, в чем оно состоит.

Разделить данную величину «в крайнем и среднем отношении»—значит разделить ее на такие две неравные части, чтобы большая относилась к меньшей, как вся величина относится к большей части. В алгебраических символах это выразится так. Если а есть величина, подлежащая делению, а ж и а—х— искомые части (большая и меньшая), то между величинами а, X и а—X должна существовать следующая пропорциональная зависимость:

т.-е. X есть среднее геометрическое между а и а—х. Из этой пропорции легко определить и значение х. По свойству пропорции имеем:

X2 = а(а — ж),

откуда

X2 + ах — а2 — 0. Решив это квадратное уравнение, получаем, что

Условию задачи непосредственно удовлетворяет лишь первый корень. Отрицательный корень также имеет известное значение, но мы его здесь рассматривать не будем.

Итак, запомним, что большая часть величины а, разделенной в крайнем и среднем отношении, равна иррациональному выражению

Отношение этой части к целому, т.-е.

Таково же, согласно пропорции, должно быть и отношение меньшей части к большей. Если мы пожелаем вычислить это выражение, то получим бесконечную непериодическую дробь:

И вот оказывается, что эта на первый взгляд столь искусственная пропорция, которую нельзя даже выразить рационально, имеет широкое применение в природе. Приведем тому два примера— один из анатомии человеческого тела, другой — из морфологии1) растений.

Что части красиво сложенного человеческого тела отвечают известной пропорции—это всякий знает: недаром мы говорим о «пропорционально» сложенной фигуре. Но далеко не все знают, что здесь имеет место именно та пропорция, которую древние называли золотым делением. Античные статуи — лучшее доказательство того, что древние ваятели хорошо знали о применении золотого деления к расчленению человеческого тела.

Идеально сложенное человеческое тело, можно сказать, всецело построено на принципе золотого деления. Если высоту хорошо сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела придется как раз на высоте талии или, точнее, пупка. Особенно хорошо удолетворяет этой пропорции мужская фигура,—и художники давно знают, что,

1) Отдел ботаники, носящий название «морфологии», изучает строение органов растений и, след., соответствует анатомии животных.

вопреки общему мнению, мужчины красивее сложены, нежели женщины.

На любой античной статуе можно проверить этот своеобразный закон. Но дело этим не ограничивается. Если каждую из полученных частей, в свою очередь, разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела пройдет опять-таки в вполне определенных (анатомически) пунктах: на высоте так наз. Адамова яблока и наколенных чашек. На фигуре 103 обозначено расчленение статуи Аполлона Бельведерского: I делит всю высоту AU фигуры в кр. и ср. отношении; линия Е делит точно так же верхнюю часть туловища (короткая часть вверху), а линия О—нижнюю часть (короткая часть внизу).

Но и это еще не все. Каждая отдельная часть тела—голова, рука, кисть и т. д. также расчленяется на естественные части по закону золотого деления. Разделив в крайнем ж среднем отношении самую верхнюю из полученных прежде частей (см. фиг. 104), мы убедимся, что раздел придется на линии бровей (Ь); при дальнейшем делении образовавшихся частей получим последовательно: кончик носа (с), кончик подбородка (d) и т. д. Рука (фиг. 105) при расчленении, согласно принципу золотого деления, распадается на свои анатомические части — плечо, предплечье, кисть. Последняя в своем расчленении также отвечает этому принципу (фиг. 106) и т. д.

Если бы с самого начала мы разделили тело человека в крайнем и среднем отношении так, чтобы меньшая часть была не вверху, а внизу, то оказалось бы, что линия раздела прохо-

Фиг. 103.

Фиг. 104.

Фиг. 105.

дит через концы свободно свисающих рук1). Словом, расчленение наружных форм правильно сложенного человеческого тела подчиняется до мельчайших частей принципу золотого деления. Этот замечательный закон был хорошо известен древним, но честь воскрешения его принадлежит немецкому ученому Цейзингу, который в половине прошлого столетия выпустил книгу, специально посвященную применению золотого деления в природе и эстетике,—ибо оказывается, что тот же закон в широких рамках применен и в изобразительных искусствах, и в архитектуре, и музыке и даже стихосложении. Останавливаться на этой интересной теме не входит в нашу задачу, и мы можем отвести ей лишь немного места.

Фиг. 106.

1) Ранке, «Человек»; Проф. Брандт, Антропологические очерки».

Золотое деление в эстетике.

Существует, как известно, определенный геометрический способ деления данного отрезка в крайнем и среднем отношении,—способ хотя и не сложный, однако же и не слишком простой. Из людей, проходивших геометрию, добрых девять десятых его забывают. Но оказывается, что мы часто совершенно бессознательно выполняем это деление, при чем люди, никогда не изучавшие геометрии, делают это нисколько не хуже, чем записные математики. Для этого достаточно обладать лишь развитым художественным вкусом.

Примеров такого бессознательного применения принципа золотого деления можно привести сколько угодно. Возьмем хотя бы обыкновенный крест. Все заметили, вероятно, что фигура эта гораздо изящнее, если меньшая перекладина помещается не ровно по середине большей, а немного повыше.

Если бы вам предложили самим устроить крест из двух планок, то вы, после нескольких проб, придали бы их длинам определенное отношение и расположили бы вполне определенным образом. Окажется при этом, что меньшая перекладина будет делить большую в крайнем и среднем отношении. Другими словами, вы совершенно бессознательно применили здесь пропорцию золотого деления: отрезки AM, MB и AB (см. фиг. 107) будут удовлетворять пропорции:

AM : MB = MB: AB.

Любопытно, однако,,что части меньшей перекладины должны быть равны, чтобы удовлетворить чувству изящного. На этом примере очень ясно обнаруживается свойственная нам склонность предпочитать симметрию в горизонтальном направлении и золотое деление в вертикальном. Не потому ли, что и человеческое тело построено по этому принципу?

Вот еще один пример той же категории. В 60-х годах истекшего столетия члены Рижского общества естествоиспытателей

Фиг. 107.

предприняли следующее любопытное исследование: они собрали несколько тысяч визитных карточек различных лиц и определили отношение длин их неравных сторон. Из многочисленных цифр вывели среднюю и оказалось, что она довольно точно подходит к «крайнему и среднему отношению». Принцип золотого деления сказался, следовательно, и здесь. Очевидно, выбирая форму карточки по своему вкусу, мы бессознательно руководимся этим принципом. Нам представляются одинаково некрасивыми и квадратная и слишком удлиненная прямоугольная форма—и та и другая грубо нарушает пропорцию золотого деления.

То же наблюдается и во многих других случаях, где прямоугольная форма предмета не зависит от притязаний практики и может свободно подчиняться требованиям вкуса. Прямоугольная форма книг, бумажников, фотографических карточек, рамок для картин — более или менее .точно удовлетворяет пропорции золотого деления. Даже такие предметы, как столы, шкафы, ящики, окна, двери—не составляют исключения: в этом легко убедиться, взяв среднее из многих измерений.

В архитектуре мы имеем дело уже с более или менее сознательным применением того же принципа. Для примера рассмотрим одно из знаменитейших произведений древне-греческой архитектуры—Парфенон (фиг. 108). Длина его архитрава—107 фут., высота же всего здания от основания до верхушки—65 фут. Эти две цифры, ширины и вышины, вполне удовлетворяют пропорции золотого деления: если взять 0,618 от 107, получим 65,27—т.-е., пренебрегая дробью, высоту здания. Если высоту Парфенона разбить на части по пропорции золотого деления, то окажется, что все получающиеся при этом точки обозначены характерными выступами фасада.

Произведение готической архитектуры также часто удовлетворяет математическому принципу.

После этого отступления в область эстетики, вернемся снова к нашей основной теме—математика в природе.

Фиг. 108. Парѳенон.

Закон листорасположения.

Листья на стебле могут располагаться двояко: либо к известному пункту стебля прикрепляется всего один лист, либо сразу несколько. В том и другом случае расположение их не случайно и подчиняется определенным математическим законам. Мы рассмотрим здесь только первый случай, более общий и интересный.

Если вы внимательно рассмотрите веточку с одиноко сидящими листьями, то заметите, что основания черешков располагаются по винтовой линии: каждый следующий лист прикрепляется повыше и в сторону от предыдущего. Это выступит отчетливее, если соединить последовательно основания листьев ниткой—она будет обвиваться вокруг стебля в форме правильной винтовой или спиральной линии.

Следя за расположением листьев на этой спирали1), мы непременно наткнемся на такие листья, которые сидят один над другим,—по образующей цилиндрической поверхности стебля. Часть спирали, заключающаяся между двумя такими листьями, называется в ботанике циклом; в пределах одного цикла спираль может несколько раз огибать стебель, в зависимости от ее крутизны.

В ботанике листорасположение характеризуют числом оборотов спирали и числом листьев—в пределах одного цикла. Для краткости и удобства обозначают листорасположение в виде дроби: в числителе пишут число оборотов одного цикла спирали, а в знаменателе—число листьев в этом цикле. Так, дробь — показывает, что один цикл спирали трижды обходит кругом стебля, и что в этом цикле 8 листьев. Легко понять^ что та же самая дробь выражает и угол расхождения двух соседних листьев—в данном случае — окружности, т.-е. 136°.

Отсюда следует также, что дроби —и —выражают,в сущности,

1) Строго говоря, термин «винтовая линия» здесь уместнее, нежели «спираль», но в ботанике установилось употребление второго термина, которого мы и держимся.

Ботаники давно заметили, что ряд этот отличается одной любопытной и довольно неожиданной особенностью, а именно, что каждая из этих дробей (начиная с третьей) получается из двух предыдущих через сложение их числителей и знаменателей.

Так,

Поэтому достаточно запомнить только две первые дроби, чтобы удержать в памяти всю табличку.

Однако в чем разгадка этого странного свойства дробей листорасположения? Этим мы сейчас и займемся. Прежде всего заменим в табличке дроби —» — и т. д. равнозначащими им дро бями—,— и т. д.—мы ведь знаем уже, что такая замена вполне допустима, ибо эти дроби выражают одно и то же листорасположение. Получим ряд

одно и то же листорасположение, ибо угол в — окружности дополняет до 360 угол в — окружности. Различные цифры получаются в зависимости от того, что в одном случае спираль вели, напр., справа налево, в другом—слева направо.

Каждый вид растений имеет свое листорасположение, или, вернее,—свой угол расхождения листьев, который выдерживается с большей или меньшей строгостью во всех его частях и распространяется не только на листья, но и на расположение веток, почек, цветов, чешуек внутри почек. Но этот угол, варьируя от растения, к растению, однако, непроизволен: во всем растительном мире наблюдается сравнительно небольшое число типов листорасположения, выражающихся немногими дробями. Вот табличка наиболее распространенных листорасположений:

где числители и знаменатели последовательных дробей дают уже известный нам ряд Фибоначчи (см. стр. 173). Разгадка раскрывается довольно просто и находится в теснейшей связи опять-таки с принципом золотого деления.

В самом деле, нетрудно убедиться, что дроби только что приведенного ряда суть простейшие приближения величины .—^—-, найденные путем разложения ее в бесконечную непрерывную дробь:

Заинтересовавшее нас выше правило составления ряда (через сложение числителей и знаменателей) есть просто следствие закона составления подходящих дробей при знаменателе, равном единице:

Итак, к чему же пришли? К правилу, что листья на стебле стремятся расположиться таким образом, чтобы разделить окружность стебля в крайнем и среднем отношении,—избирая притом простейшие приближения этой пропорции.

Простейшие,—ибо в теории непрерывных дробей доказывается, что подходящие дроби, при данной степени приближения, отличаются наименьшими числителем и знаменателем: не существует никакой иной дроби, которая, имея меньшие члены, нежели взятая подходящая, выражали бы искомую величину точнее.

Замечательная связь, существующая между листорасположением и пропорцией золотого деления, была открыта более 60-ти лет тому назад уже упомянутым выше Цейзингом и опублико-

вана в его труде «Эстетические изыскания» (Aesthetische Forchungen. Francfurt a. M. 1855). Но это открытие почему-то забыто и притом так основательно, что когда один молодой человек, в свои студенческие годы, самостоятельно подметил эту законосообразность и обратился за разъяснением к профессору,— выдающемуся авторитету в ботанической науке, то специалист откровенно сознался, что ему ничего неизвестно о связи листорасположения с золотым делением...

Труды Цейзинга (откуда заимствованы некоторые из прилагаемых рисунков) стали теперь редкостью. На русском языке в 1875 г. была издана анонимная брошюра «Золотое деление, как основной морфологический закон в природе и искусстве» (Москва). Но и ее можно достать только у букинистов. Знаменитый художник и ученый Леонардо-да-Винчи хорошо понимал и ценил эстетическое значение золотого сечения; под его влиянием и при его сотрудничестве было написано в 1609 г. сочинение Луки Пачіоло «Божественное деление» (Divina proportio), где эта тема трактуется с большой обстоятельностью.

Математический инстинкт пчел.

Задолго, быть может, до появления человека на земном шаре, пчелы разрешили задачу, представляющую не малые геометрические трудности. Хотя она разрешается средствами элементарной математики, но не думаем, чтобы ученики выпускного класса были довольны, еслиб им на экзамене предложили эту «пчелиную задачу».

Архитектура сот с их шестигранными ячейками известна всякому. Однако далеко не все знают, с каким, поистине, поразительным расчетом они сооружаются. Стремясь возможно экономнее использовать место в тесном улье и возможно меньше затратить драгоценного воска, пчелы показали себя не только трудолюбивыми архитекторами, но и отменными математиками.

Остановимся прежде всего на шестиугольной форме ячеек и разберем, почему пчелы отдали предпочтение этому многоугольнику. Перед ними стояла задача—заполнить данную плоскость правильными многоугольниками сплошь без просветов,— ибо улей тесен и надо использовать каждое местечко. Какие многоугольники годятся для этой цели? Вот первый вопрос, и мы займемся его рассмотрением.

Сумма углов всякого многоугольника = 2d(n — 2), след., каждый угол правильного многоугольника о п сторонах = 2d (п — 2)

=----Если такие многоугольники сплошь заполняют

какую-либо плоскость, то вокруг каждой вершины их должно быть расположено целое число таких углов. Другими словами, правильный многоугольник только тогда годится для сплошного заполнения плоскости, когда угол его, повторенный к раз, составит 4d. Поэтому мы можем составить след. уравнение:

Сократив на d и сделав упрощения, получим:

пк — 2к — 2п = 0.............(1)

где п—число углов (или сторон) многоугольника, а к—число многоугольников, имеющих общую вершину. След., пик должны быть числа целые и положительные. Нам остается найти все целые и положительные решения этого неопределенного уравнения 2-й степени.

Для этого придется сделать ряд преобразований. Определив п из уравнения (1), имеем:

Рассматривая равенство

мы видим, что п будет целым числом лишь тогда, когда частное k_2 будет число целое; другими словами—когда к — 2 будет одним из делителей числа 4. Таких делителей немного, и их легко найти все: 4, 2 и 1. Дальнейший ход решения ясен.

Итак, только три решения удовлетворяют нашим условиям, и, следовательно, только три правильных многоугольника могут заполнить плоскость сплошь, без просветов. Это—треугольник, квадрат и шестиугольник. В первом случае к каждой вершине будут сходиться 6 многоугольников, во втором—4, в третьем—3.

Какому же из них надо отдать предпочтение? При устройстве торцовых мостовых шашкам придают шестиугольную форму,—но делается это просто потому, что тупые углы (120°) менее скалываются, нежели прямые углы квадрата или острые— треугольника (заметим, к тому же, что дерево колется вдоль годичных слоев, имеющих форму концентрических кругов). Пчелам с этим особенно считаться не приходится, зато им крайне важно экономить воск для стенок ячеек. Значит, надо определить, какой из этих многоугольников, при равных площадях, имеет наименьший контур. Это второй математический вопрос, также правильно разрешенный пчелами, ибо из трех упомянутых фигур шестиугольник как раз имеет наименьший контур.

В самом деле. Вообразим правильные треугольник, квадрат и шестиугольник, имеющие одну и ту же площадь S, и сравним их периметры.

Для V-ка из равенства

находим сначала сторону a, a затем и периметр рг = з^

Для квадрата имеем, что сторона его Ъ= vS, а, следов., периметр

Для правильного шестиугольника со стороной с имеем:

откуда периметр

Отношение:

откуда ясно, что периметр шестиугольника (Р3)—наименьший.

Но и это еще не все математические вопросы, разрешенные пчелами. Самую трудную задачу нам еще предстоит рассмотреть. Она-то собственно и есть та «задача о пчелиных ячейках», которою занимались ученые XVIII века. Полное решение ее принадлежит известному математику Маклореню, который занялся ею по совету натуралиста Реомюра. Ниже мы помещаем задачу и ее решение в том виде, как они приведены в курсе алгебры H. Н. Маракуева.

Задача 69-я. О пчелиных ячейках.

На продолжении оси 00' правильной шестиугольной призмы возьмем точку S. Через эту точку и через каждую из сторон равностороннего треугольника АСЕ, полученного соединением чрез одну из вершин верхнего основания*призмы, проведем три плоскости, по которым отрежем от призмы три тетраэдра BACK, DCEH и FEAL и заменим их одним тетраэдром S АСЕ, поставленным над призмой. Новый многогранник будет ограничен сверху тремя ромбами SAKC, SCEH, SEAL; объем его всегда равен объему взятой призмы, где бы ни взять точку JS на оси, ибо пирамида S АСЕ составлена из трех пирамид: SO АС,

Фиг. 109.

ЯОСЕ и SOEA, соответственно равным трем отрезанным пирамидам. Так, пирамида SOAC = Tmip. КАВС, ибо они имеют равные основания (АОАС=ААВС, как половины ромба АВСО) и равные высоты—АО и KB (по равенству прямоугольников SOI и KBI).

Имея равные объемы, многогранники имеют, однако, различные поверхности, и задача состоит в определении точки S так, чтобы поверхность нового десятигранника имела наименьшую величину.

Решение задачи.

Пусть AB = а, ВВ' = 00' = Ь, BK = SO = х;~в таком случае: АС = а Vb;Sl=VSO* + OP =л/ х«+-=—К4»*f oV

след., S£ = V^+ä};

площадь ромба SAKC, равная полупроизведению диагоналевое и SE, выразится формулою о ]/за2 + 12ж2; площадь.

трапеции СКВ?С* — формулою -^-а (2Ь—&)> Следоват., поверхность многогранника, не считая основания, выражается формулою:

или

Постоянный множитель За не влияет на условия max. и min., и потому вопрос приводится к определению minimum'a скобочного выражения. Положив

и освободив это уравнение от радикала, найдем:

Чтобы X было действительно, необходимо, чтобы

2(m—2Ь)2—а2>0, или (m—2Ь)2^ — или m — 2Ь>-7=

Отсюда minim, (m) = 2Ъ+-т=. Помножив на За, найдем, что искомая минимальная поверхность равна

За2

a соответствующая величина я=—a V^2.

4

Формула для ж показывает, что разность двух смежных боковых ребер должна быть равна четверти диогонали квадрата, построенного на стороне шестиугольника, служащего основанием призмы.

Поверхность призмы,не считая основания, была бы баЪ+———э

след., поверхность многогранника минимальной поверхности

меньше на — a*(Y&— Y 2) поверхности шестиугольной призмы, имеющей тоже основание и тот же объем,

Легко видеть, что для треугольника KBI имеет место пропорция:

BK:Bl:lK = i:Y~2:Y^

откуда (при помощи тригонометрии) найдем, что угол В1К= =35° 15' 53".

Остается прибавить, что ячейки пчел суть именно такие десятигранники с наименьшей поверхностью, т.-е. шестигранные призмы, ограниченные с одной стороны шестиугольником

(вход в ячейку), с другой—тремя ромбами под указанным углом (дно). Два слоя ячеек вплотную входят друг в друга острыми выступами своих доньев и обращены открытыми шестиугольниками в противоположные стороны. Каждая пара таких слоев и составляет сот.

Столь совершенная архитектура пчелиных сот, с математическим расчетом и экономией использующая помещение улья и строительный материал (воск), уже давно приводит в изумление наблюдателей. Еще Паппус, математик IV века по Р. Хр. обратил внимание на строго геометрическую форму ячеек. Дарвин пытался объяснить возникновение этого сложного инстинкта пчел своей теорией естественного отбора, а именно, он допускает, что предки наших пчел сооружили ячейки цилиндрической формы, и что эти цилиндры, тесня друг друга, постепенно превратились в шестигранники. Однако его теория далеко не объясняет всех особенностей структуры сот (напр. того, что ячейки при данном объеме имеют наименьшую поверхность). Нет сомнения, что мы стоим здесь перед одной из глубочайших загадок природы.

Жук-геометр.

Если пчелы разрешили задачу из курса элементарной математики, то небольшой жучок семейства слоников разрешил еще более трудную задачу—из курса высшей математики.

Зоологическое название этого жука-математика Rhynchites betulae, а народное — березовый слоник. Этот маленький (4 милиметра) черный, блестящий жучок с длинным хоботком имеет привычку свертывать в трубки листья березы, ольхи, бука, чтобы положить в них свои яички. Большого удовольствия садоводам и лесоводам березовый слоник, конечно, не доставляет, но зато он способен привести в восхищение математика, если последний обратит внимания на способ, каким жучок свертывает листья. В общих чертах эта манера такова. Предварительно слоник прогрызает близ основания листа две кривые линии, которые идут от средней

Фиг. 110. Жук-геометр в увеличенном виде. Черточка внизу дает понятие о его натуральной величине.

жилки к краям (см. фит. 111, цифра 3). После этого он свертывает в трубку сначала одну половину листа, а затем обертывает эту трубку другой половиной. Получается нечто в роде сигары, которая и остается висеть на черешке (фиг. 111, цифры 4 и 5), укрывая положенные внутри ее яйца. Все это длится около получаса.

Математический инстинкт березового слоника проявляется в выборе формы кривого прореза, который он делает на пластинке листа. Эти кривая выбирается далеко не случайно и находится в некоторой довольно сложной,—однако вполне определенной—связи с формой самого края листа. Вы можете

Фиг. 111. Жук-геометр. 1 и 2—Березовый слоник. 3—лист, на котором показаны форма и положение прорезов. 4 и 5—свернутые листья, 6—личинка. 7—слоник в увеличенном виде.

убедиться в этой на опыте. Вырежьте из бумаги фигуру листа (фиг. 112) и попробуйте свертывать ее половины в трубку, как это делает слоник, прорезав предварительно лист у его основания. Окижется, что если прорез сделан по прямой od или по дугам obd и oed, свертывание удается далеко не так легко и удобно, как в том случае, когда надрезу придана форма А-образной линии оса или oed. Для полного же успеха дела важно, чтобы эта А-образная кривая имела вполне определенную форму и занимала определенное положение по отношению к краю листа. В терминах так называемой высшей математики эта взаимная связь может быть выражена так: линия прореза должна быть «эволютой» краевой линии листа; или, что то же самое, краевая линия листа должна быть «эвольвентой» линии прореза.

Фиг. 112.

Эволюта и эвольвента.

Постараемся объяснить кратко и наглядно, что такое «эволюта» и «эвольвента». Обратите внимание на фигуру 113. Здесь изображены две кривые—окружность О и кривая ABCDE. Зависимость между ними та, что каждая касательная к кривой О перпендикулярна к кри вой ABCDE. Если две кривые находятся между собой в такой зависимости, то ту, которая перпендикулярна к касательным первой кривой, называют эвольвентой или развертывающей, а первую — эволютой или разверткой. В

Фиг. 113.

нашем примере круг О будет эволютой, а кривая ABODE — эвольвентой.

Если вы желаете по данной эволюте построить ее эвольвенту, то можете поступить следующим образом. Начертите эту эволюту на толстом картоне или дереве и вырежьте ее по краю. Положите вашу картонную эволюту на лист бумаги, закрепите нить Аа в то.чке а (см. фиг. 113); на другом же конце нити сделайте петельку и вставьте в нее карандаш. Теперь наматывайте нить на эволюту, следя за тем, чтобы нить все время оставалась натянутой. Тогда конец А начертит вам эвольвенту взятой кривой. Это строго доказывается в курсах аналитической геометрии.

Вы могли поступить и иначе— а именно, предварительно обмотать нить кругом эволюты и, держа в натянутом виде, разматывать ее. В этом случае вы получите ту же самую эвольвенту, что и раньше.

Отсюда следует, между прочим, что касательные эволюты, они же и радиусы кривизны эвольвенты, равны длине той части эволюты, с которой они смотались. Другими словами: если мы начали сматывать с точки X (фиг. 113), то длина прямой éE равна длине дуги ех, dB =*= dex, cC+cdex и т. д.

Обратно, если по данной эвольвенте надобно начертить ее эволюту, то проводят к эвольвенте ряд нормалей (перпендикулярных линий), которые, пересекаясь одна с другой, образуют некоторую ломаную линию. Вписав в эту ломаную линию кривую, касательную к ее элементам, вы получите искомую эволюту.

Фиг. 114.

Задача 70-я. Построение жука-геометра.

Вот такого-то рода задачу—постройки эволюты по данной эвольвенте—и решает березовый слоник. На той половине листа, которая потом послужит внутренней трубкой, он выгрызает эволюту краевой линии листа. Если для линии надреза Abcdegiklm (см. фиг. 114) построить ее эвольвенту, то эта последняя будет иметь форму кривой ABCDEGIKLzt/, весьма близко подходящую к краевой линии листа.

Прорез другой половины листа, которая облекает первую, не отличается такой математической правильностью. Этого и нельзя ожидать, так как вторая половина не свертывается свободно, как первая, а навивается на первую.

На жуке-геометре мы и закончим нашу беседу о «математике в природе».

Новые начала геометрии.

Знаменитый мемуар Лобачевского в кратком изложении Н. П. Соколова.

Тому, кто желает ознакомиться с работами Лобачевского лучше всего начинать с изучения его сочинения «Новые начала геометрии». Вот почему, желая ознакомить читателя с характером исследований нашего великого геометра, мы и даем ниже разбор содержания этого сочинения. Если читатель, в силу малой подготовки, не осилит сразу всей этой главы, то достаточно внимательно прочесть на первый раз первую ее половину,—особенно начала новой теории параллельных—до введения в изложение тригонометрических и гиперболических функций. Это не составит особого труда.

Рассматриваемое сочинение Лобачевского состоит из введения и тринадцати глав.

Во введении, которое Лобачевский начинает «разбором прежних теорий», он указывает недостатки главнейших из известных ему доказательств одиннадцатой аксиомы Евклида и старается выяснить их причины. Вопреки мнению Лежандра он находит, что эти причины коренятся вовсе не в недостаточно точном определении прямой и даже «нисколько не зависят от тех недостатков, которые скрывались в первых понятиях». Тем не менее, эти недостатки весьма важны сами по себе, и, к чести Лобачевского, надо сказать, он один из первых обратил внимание на эти недостатки, заметив, что эти первые понятия: «пространство, протяжение, место, тело, поверхность, линия, точка, направление, угол—слова, которыми начинают Геометрию, но с которыми никогда не соединяют ясного понятия».

Он первый сделал попытку устранить эти недостатки, перестроив сызнова начала Геометрии,—начала, к которым со времен Евклида не смел прикасаться ни один смертный. Только блестящий успех первых исследований, правда, не признанных и даже осмеянных современниками, мог внушить такую смелую, скажем, даже дерзкую мысль.

Уже доказанная предыдущими исследованиями необходимость опыта для доказательства одиннадцатой аксиомы Евклида приводит Лобачевского к заключению, ныне уже, можно сказать, ходячему, что «первыми данными будут всегда те понятия, которые мы приобретаем в природе посредством наших чувств» и что темноту в основных понятиях Геометрии производит именно «отвлеченность, которая в применении к действительным измерениям делается лишней, а следовательно, в самую теорию введена напрасно». Многие определения он считает недостаточными уже и потому, что эти определения «не только не указывают на происхождение геометрической величины, которую хотят определить, но даже не доказывают, что такие величины существовать могут». Посему он «вместо того, чтобы начинать Геометрию прямой линиею и плоскостью, как это делается обыкновенно, предпочел начать сферой и кругом, которых определение не подлежит упреку в неполноте, потому что в этих определениях заключается способ, каким образом эти величины происходят».

Плоскость он после этого определяет, как геометрическое место кругов пересечения равных сфер, описанных около двух неподвижных точек—полюсов. Из этого определения он выводит уже все основные свойства плоскости. Соответственно этому, прямая определяется, как геометрическое место точек пересечения равных кругов, описанных около двух данных точек на плоскости, хотя это определение выражено у Лобачевского недостаточно ясно и начинается собственно таким определением: «прямой называется та линия, которая между двух точек покрывает сама себя во всех положениях», а затем уже выводятся все остальные свойства прямой и устанавливаются ее отношения к кругу и плоскости. Этим определениям основных элементов геометрии и установлению их основных соотношений посвящены обе первые главы сочинения.

Третья глава посвящена изучению меровых соотношений отрезков и углов. Здесь, кажется, в первый раз дается понятие

об угле, как числе отвлеченном, показывающем только отношение двух дуг одного крута, из которых одна принята за единицу меры; определение, которое надо, мне кажется, считать единственно правильным, но которое, к сожалению, во всех наших учебниках заменяется более или менее неудачными альтернативами определений Евклида или Бертрана из Женевы. Вот подлинное определение Лобачевского.

«Величина дуги или части сферы, выраженная в градусах и долях градуса, даже вообще по сравнению с тем же кругом или с тою же сферой, называется угол, который бывает прямой, когда равен-— it, острый, когда 71, тупой, когда > —тг и <С7Г».

Это определение дополняется еще двумя теоремами: 40. Линейный угол не зависит от величины полупоперечника в круге, но служит только к определению взаимного положения двух прямых; и 42. Плоскостный угол не зависит от полупоперечника сферы, ни от места для центра на линии пересечения двух плоскостей.

Определив таким образом угол и указав вместе с тем способ его измерения, Лобачевский переходит в следующей четвертой главе—к изучению взаимного положения прямых на плоскости, плоскостей и прямых в пространстве, при чем находит основные зависимости между сторонами и углами треугольников как плоских, так и сферических. Пятая глава, посвященная измерению телесных углов, представляет весьма изящное изложение основных теорем сферической Геометрии с приложением ее к теории правильных тел. Глава шестая рассматривает условия равенства треугольников и зависимость свойств треугольника от гипотезы о сумме его углов. Наконец, в главах VII, VIII, X и отчасти XI Лобачевский излагает свою новую теорию параллельных линий, не зависящую от справедливости одиннадцатой аксиомы Евклида. Главы IX, XII и XIII посвящены изложению тригонометрии как плоской, так и сферической, и для нас особого значения уже не имеют; поэтому, не останавливаясь на них, ограничимся только изложением новой теории параллельных. При этом, простоты ради, позволим себе отступать иногда от подлинного изложения, пользуясь трудами других геометров, как предшествовавших, так и следовавших за Лобачевским.

Начнем с доказательства трех последних теорем главы шестой.

Сумма углов прямолинейного треугольника АБС не может быть больше двух прямых.

Пусть эта сумма л-f. а, где а как угодно малый угол, и пусть А наименьший угол Д ABC (фиг. 115). Через середину M стороны ВС проведем прямую AM и на продолжении ее отложим отрезок MN = AM. Тогда А АМВ = NMO, ибо имеют равные вертикальные при вершине M углы, заключенные между равными по построению сторонами. Значит, сумма углов треугольника ANC должна быть равна сумме углов Д-ка ABC, т.-е. равна я+ а, при чем хотя один из углов его будет < — А. Продолжая подобное построение, мы придем, наконец, к такому треугольнику,один из углов которого будет <С — <С а, что невозможно, ибо сумма двух углов треугольника всегда <тг.

Фкг. 115.

Итак, сумма углов треугольника может быть только или равна, или меньше я. Если она будет равна я хотя в одном треугольнике, то она будет равна ъ и во всяком треугольнике.

Чтобы убедиться в этом, построим на стороне ВС такого треугольника ABC равный ему Д А 'ВС (фиг. 116). Сумма углов полученного параллелограмма будет 2тт. Ясно, что из таких параллелограммов можно построить параллелограмм, стороны которого как угодно велики, а сумма углов—Такой параллелограмм, в свою очередь, может быть диагональю разделен на два равных треугольника, сумма углов в каждом из которых будет тг, а один из углов равен углу А данного треугольника. Пусть FDE один из таких треугольников, достаточно большой

для того, чтобы какой-либо произвольно взятый треугольник JVLM мог поместиться внутри его. Поместим его так, чтобы N и L лежали на JFD, a M где-либо внутри FDE. Прямая FM, пересекая BE в точке К, разделит FDE на два треугольника DFR и FRE. Согласно определению смежных углов, сумма их ровна 2d, T.;te. DRF+ FRE = л. Следовательно, сумма углов этих двух треугольников, очевидно, равная сумме углов Д-ка DEF, сложенной с суммой двух названных смежных углов при точке R, будет равна 2тг. Но, согласно доказанному выше,— сумма углов треугольника не может быть больше те, значит, необходимо сумма углов каждого из треугольников DFR и FRE должна быть равна тт. То же будет и для прямых DM, MLvlMN. Посему сумма углов Д NLM также равна тт.

Фиг. 116.

Если сумма углов треугольника меньше то двух неравных треугольников, имеющих данные углы, быть не может.

Пусть ABC и А!В'С—два треугольника (фиг. 117), так что А = А\ В = В* и С = С; AC>a!Ô. Наложим A'ËCfna ABC так, чтобы углы А я. А* совместились; пусть при этом точка (У упадет на точку D; точка В' может упасть либо в точку Е на стороне

AB, либо в точку F на ее продолжение. В первом случае сумма углов четыреугольника BCDE будет равна 2тт,—а именно: сумма смежных углов AED + BED = тт. Но угол AED = Z. В, поэтому Z.B + Z.BEB = п. То же, очевидно, имеет место и для остальной пары углов, так что ^/ С + Z. СВЕ = тт. Четыреугольник ВСВЕ, сумма углов которого равна 2тг, любой из диагоналей делится на 2 треугольника, в каждом из которых сумма углов должна быть равна тг, что, согласно вышедоказанному, невозможно. Во втором случае прямые ВС и BF, пересекаясь, образуют два треугольника ВСЯ и FBH, в каждом из которых сумма двух углов тт. а следовательно, сумма всех четырех углов больше тг, что невозможно. Итак, необходимо А*В! = АВ, а потому и А'В'С? = ABC.

Фиг. 117.

Рассмотренные предложения дают возможность уже вполне строго изложить новую теорию параллельных Лобачевского, изложение коей начнем со следующего предложения.

Чрез любую данную точку можно провести прямую, составляющую с данной прямой какой угодно малый угол.

Пусть прямая АС, проходящая через данную точку А: (фиг. 118), составляет с данной прямой ВС угол а; отложим DC = AC; в обеих гипотезах угол ABB будет не больше — •

Повторяя то же построение, можем сделать его меньшее -w>

т.-е. меньше всякой данной величины. Посему, если сумма углов треугольника равна те, то есть только одна прямая, проходящая чрез данную точку А параллельно ВС (фиг. 118); ибо

пусть AB перпендикуляр к ВС, и АН перпендикуляр к AB, прямая АН не пересекает ВС. Проведем прямую АС, составляющую с ВС угол С<Д, угол НАС будет также, следовательно, <С я, и потому как угодно мал вместе с а, так что, как бы мало мы ни отклонили АН от ее положения, она уже будет пересекать ВС. Не трудно видеть, что обратное предложение также имеет место.

Фиг. 118.

Если сумма углов треугольника О, то прямых, не пересекающих данной и проходящих чрез данную точку, можно провести бесконечно много. Лобачевский называет параллельными данной прямой ВС две такие прямые AD и AF, которые отделяют прямые, пересекающие ВС от непересекающих. Острый угол, который эти прямые составляют с перпендикуляром AB из А на ВС, он называет углом параллельности относительно длины AB, и, если AB = р, обозначает его символом Щр). Ту сторону, с которой параллельные прямые приближаются друг к другу, он называет стороною параллельности.

Две параллельные прямые параллельны друг другу во всех своих точках.

Пусть AB параллельна ВС (фиг. 119); на продолжении AB в сторону параллельности возьмем точку А9 и проведем пря-

Фиг. 119.

мую A!F внутри полосы между AB и ВС; прямая AF непременно пересекает ВС где-либо в точке Я, прямая ÄF, входящая в треугольник АВН, может выйти из него, только пересекая сторону ВС, посему параллельной к ВС в точке Ä. может быть только прямая AB. То же можно доказать и для любой точки прямой AB.

Прямая ВС также параллельна прямой AD. Для сего достаточно показать, что всякая прямая BZ между ВС и AB пересекает AB. Опустим перпендикуляр AG из А на BZ (фиг. 120) и повернем всю полученную фигуру, кроме прямой ВС, около точки А так, чтобы этот перпендикуляр AG совместился с AB,—прямая BZ займет тогда положение HZ между AD и ВС, прямая AB займет положение AZ и будет пересекать HZ, ибо в этом положении она должна пересекать прямую ВС. Следовательно, и в начальном положении AB пересекала BZ, что и требовалось доказать.

Фиг. 120.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собою

Пусть из трех непересекающихся прямых AB параллельно CD и EFf. Положим, что CD лежит между AB и EF, тогда любая прямая EF, направленная в сторону CD, пересечет AB, а потому и СВ, лежащую ближе ее. На доказательстве этой теоремы для случая, когда AB лежит между CD и EF, или когда AB, CD и EF не лежат в одной плоскости, я останавливаться не буду и перейду прямо к выводу важнейших следствий самой теоремы.

Эта теорема дает нам прежде всего возможность судить о характере функции Щх). Так, мы уже можем утверждать, что

эта функция однозначна и всегда конечна; не трудно также показать, что она убывает с возрастанием переменного х. Действительно И(а) = Л(Ъ) невозможно, ибо иначе два перпендикуляра к одной прямой были бы параллельны, и И(х) = — всегда; в то же время Н(а) ^>ЩЪ) при а^>Ъ также невозможно, ибо иначе прямая, проходящая через конец перпендикуляра «а под углом Л(Ь) к нему, не пересекает уже и прямой, параллельной к данной в конце перпендикуляра Ъ\ следовательно, всегда П(а)<П(Ь), или а>Ь.

Фиг. 121.

Покажем еще, что функция Щх) может принимать все значения от нуля до —-. Пусть ВАС (фиг. 121)—данный угол. Из точки Ъх на стороне AB опускаем перпендикуляр Ъхаг на сторону АС и откладываем на АС отрезок а1а2 = Аа1. Пусть перпендикуляр из а2 к АС пересекает сторону А В в точке Ъ2. Если сумма углов треугольника Аа^ будет тт—а, то в треугольнике АЪ^ она будет тт—2«, а в треугольнике Аа2Ъ2 — 2d. Повторяя подобное построение, мы будем получать все такие треугольники с общим углом А, сумма углов которых будет меньше тт— 4а, тт — баи вообще после п построений меньше тт— 2nd. Но так как она не может быть меньше А, то такое построение может быть повторено лишь конечное число раз п ^ ———. Дальнейшие перпендикуляры перестанут уже пересекать AB, начиная с не-

которого конечного расстояния х от точки А, для которого Щх) = А. Отсюда заключаем,' что функция Щх) убывает непрерывно, начиная от значения П(0)=~до значения П(ОО) = 0.

Последнее обстоятельство позволяет нам предполагать, что эта функция Щх) будет показательного характера.

Всякую показательную функцию можно выразить с помощью простейших показательных функций, к которым принадлежат функции тригонометрические и гиперболические. Основным свойством их является их однозначность. Это свойство утрачивается при обращении. Функции, обратные показательным—логарифмические и круговые—оказываются уже бесконечно многозначными. Тем не менее они обладают всеми свойствами однозначных функций, если только мы будем принимать во внимание одну какую-либо определенную ветвь такой функции, напр., если мы за значение г, соответствующее и=е , будем принимать z = lgp + *г, где lgp — действительный логарифм модуля и, а * аргумент и, не превосходящий тт. Воспользовавшись этими соображениями, попробуем разыскать аналитическое выражение функции Щх).

Пусть ВС— данная прямая (фиг. 118), А — точка вне ее. АВ = у — перпендикуляр из А на ВС. Пусть AB — какая-либо прямая, проходящая через точку А, отрезок ВВ =х, угол В AB =Ь. Так как две прямые пересекаются только в одной точке, то каждому значению в будет тогда соответствовать одно и только одно значение х, а потому, согласно вышесказанному, каждому значению tgO будет соответствовать одно и только одно значение Хфьх и обратно. Посему tgô и tg/ix должны быть связаны между собою линейным соотношением, т.-е. соотношением вида ^Ltgö + В tgfcc = jy Но при 8=0 и ж = 0, а потому tgö и tghx обращаются в нуль одновременно; сверх того обе функции при переходе через нуль меняют знак; посему необходимо В = О, С = 0, и искомая зависимость принимает вид tghx = Atgô . Пусть теперь ö0—угол параллельности для у, так что Ъ0 = Щу), тогда х0 = ОО, tgfeOO I =AtgH*(!/), откуда A=CtgU(y).

Возьмем теперь какой-либо треугольник АБС прямоугольный при точке С, так что гипотенуза его будет с, катеты а и Ь-

Из последнего соотношения находим tgha = d(b)tgA, tghb = d(a)tgB, откуда, замечая, что cosfe2 = х + sinTA, находим:

Так как sin!4 должен обращаться в единицу при а=с и в sinB при а=с, то полученные выражения необходимо должныбыть видат—И77—-, что возможно только при <р(а) = sinÄ(a). lip) /О)

Поэтому вообще должно быть у(у) = ctgU(y) = sin/iy, или после небольших преобразований:

tg y Жу)=е~у

Это выражение дано Лобачевским после продолжительных, весьма сложных, хотя и более прямых, геометрических соображений.

Перейдем теперь к изучению зависимостей между сторонами и углами треугольника.

Пусть ABC имеет углы 4=П(а), В=Пф и С=П(у). На стороне ВС (фиг. 122) отложим отрезок CD=Y и на стороне AB отрезок АЕ=а; из точек D и Е восставим перпендикуляры DD' и ЕЕ' к соответственным сторонам и проведем прямую ВВ', параллельную прямой DD', а потому и ЕЕ'. Таким образом у нас получаются углы СВВ1 = П(а— у) и ЛВВ* =П(с—а), связанные между собою соотношением П( Р ) =П(а —Y )—П(с—a ), Отрезки а и Y должны быть взяты с обратным знаком, если соответствующие им углы будут тупые.

С помощью этого соотношения могут быть найдены все остальные зависимости между сторонами и углами треугольника.

Фиг. 122.

Если стороны какого-либо угла ВАС (фиг. 121) пересечем двумя прямыми, перпердикулярными к АВ, то отношение меньшого отреза к большому на этой стороне будет больше отношение соответствующих отрезков на другой стороне.

Чтобы убедиться в этом, отложим на АС произвольное число равных отрезков Аа1 = ага2 = а2а3 = . . . ап.л С и из полученных точек восставим перпендикуляры к АС, которые пусть пересекут АС в точках Ьь Ь2 , . . . С. Рассмотрим два каких-либо смежных из полученных четыреугольников: ар^ъ ЯрЪ^Ър-и ар ар+1 ЪрЪр+1. Перегнем полученную фигуру по прямой арЪр; тогда точки ар+1 и ар__г совпадут, а потому совпадут и прямые а^лЪр_г и ар+1 Ър+1. В полученном таким образом треугольнике bpbp-ibp+i» очевидно, угол Ър+1 будет меньше угла Ьр_!, а потому и сторона Ьр_^Ьр меньше стороны ЪрЪю+1 = = ЪрЬр+1, так что отрезки эти возрастают по мере удаления от точки А, откуда и следует высказанное предложение.

Применяя эту теорему к прямоугольному треугольнику, найдем, что квадрат гипотенузы больше суммы квадратов катетов. Из той же теоремы заключаем, что расстояние между двумя перпендикулярами к одной прямой возрастает по мере удаления их от нее до бесконечности. Расстояние между двумя параллельными прямыми возрастает в одну сторону до бесконечности, а в другую убывает до нуля,

Не останавливаясь на доказательствах этих предложений, перейдем к последнему предложению седьмой главы.

Перпендикуляры, восставленные из средин сторон треугольника, могут пересекаться в одной точке, или вовсе не пересекаться, или быть параллельными. Если два из этих перпендикуляров пересекаются, то необходимо и третий пройдет чрез точку их пересечения; это очевидно. Если эти перпендикуляры не пересекаются, то параллельность двух из них влечет за собою и параллельность им третьяго.

Приведем доказательство этого предложения только для одного случая, именно, когда углы А и С треугольника АБС (фиг. 123) острые, и перпендикуляры из средин сторон его AB и ВС параллельны. Эти перпендикуляры необходимо пере-

секают сторону АС треугольника в точках M и JV, лежащих с разных сторон средины ее Я, так что перпендикуляр, восставленный к АС в точке Я, должен лежать между ними, а так как он пересекаться ни с одним из них не может, то он им должен быть параллелен.

Последнее обстоятельство показывает, что чрез три данные точки не всегда можно провести круг, и что круг с возрастанием радиуса не может стремиться к прямой, ибо иначе перпендикуляры к одной прямой были бы параллельны.

Фиг. 123.

Предельным положением круга должна, следовательно, служить какая-то другая линия, обладающая тем свойством, что перпендикуляры из средины хорд ее все параллельны друг другу. Эту кривую Лобачевский называет предельною кривою, перпендикуляры из средины хорд ее—осями предельной кривой, поверхность, происшедшую от вращения предельной кривой около одной из ее осей,—предельной поверхностью.

Вся восьмая глава посвящена именно изучению свойств этих предельных линий и поверхностей.

В самом определении предельной кривой уже указывается и способ построения. Именно, на данной прямой AB строим угол П(?) при точке А и на полученной прямой откладываем отрезок АС=2а; точка С будет лежать на предельной кривой. Таким образом по точкам можем построить и всю предельную кривую. Из самого способа построения ее видно, что дуги ее покрывают сами себя во всех частях, и что круг не может пересечь ее более, чем в двух точках.

Подобными же свойствами должна обладать, конечно, п предельная поверхность. Плоскость, проходящая по оси поверхности, пересечет ее по предельной кривой, всякая другая плоскость—по кругу. Предельные линии на предельной поверхности играют ту же роль, как прямые на плоскости, и так как сумма двугранных углов, происходящих от пересечения трех плоскостей по прямым, параллельным друг другу, равна тт, то сумма углов предельного треугольника равна тт, так что

на этой поверхности геометрия Евклида применима вполне и без всяких ограничений.

В заключение укажем еще одно метрическое свойство предельной кривой.

Пусть AB и А'В'—дуги предельных кривых (фиг. 124), пересеченные парою параллельных прямых А А' и ВВ'\ покажем сначала, что отношение этих дуг не зависит от их длины. Для этого разделим дугу AB на п равных частей и чрез точки деления Аъ А2,...Ап-1 проведем прямые АХА± , А2А2 ... Ап_! Ап__1 , параллельные прямым А А' и ВВ'. Эти прямые разделят дугу А'В' также на п равных частей, ибо по свойству предельной кривой полоса АА1А1'АГ может быть совмещена с полосою А1А2А'2А'1 и с каждою следующею, при чем, следовательно, будут совмещаться также и дуги А'А±, А\А'2 и т. д. Отношение дуг двух предельных кривых между двумя параллельными прямыми зависит, следовательно, только от расстояния этих кривых друг от друга. Если это расстояние будет X и если отношение двух дуг, расстояние между которыми равно единице, примем за С, то это отношение будет выражаться числом С*, при чем С должно быть необходимо больше единицы. Полагая Ск =е, где е—основание Неперовых логарифмов, можем представить это основание в виде

Фиг. 124.

На этом и закончим изложение геометрических исследований Лобачевского.

Результатом этих исследований явилась новая, вполне стройная и строго логическая система геометрии, которая должна была бы заменить геометрию Евклида, если бы его одиннадцатая аксиома оказалась ложной. Но непосредственные изме-

рения, например, измерения суммы углов треугольников, вершинами которых служат весьма отдаленные от нас и друг от друга неподвижные звезды, не обнаруживают заметных отклонений от этой аксиомы. Поэтому геометрия Евклида вообще для любых расстояний или, по крайней мере, для расстояний, с которыми нам приходится иметь дело, должна иметь место безусловно.

Вопрос о реальном существовании геометрии Лобачевского и о значении одиннадцатой аксиомы в геометрии Евклида оставался, следовательно, открытым. Решением этого вопроса первый начал заниматься один из наиболее выдающихся геометров последнего времени, итальянский ученый, профессор Beltrami, работы которого и открывают собственно ныне уже весьма обширную область исследований по геометрии Лобачевского. В своем «Saggio di Interpretazione delia Geometria non Euclidea», и затем в «Teoria fondamentale degli Spazii di Curvatura constante» в 1868 году он показывает, что геометрия Лобачевского для двух измерений, т.-е. соответствующая геометрии Евклида на плоскости, вполне применима на поверхностях, имеющих постоянную отрицательную кривизну, которые он называет псевдосферическими поверхностями.

Таким образом, реальное представление для системы Лобачевского, по крайней мере, для двух измерений, было найдено, а вместе с тем был решен вопрос о значении одиннадцатой аксиомы Евклида. Эта аксиома отличает плоскость от псевдосферы.

Некоторые фокусы.

К области здравого развития смекалки следует отнести уменье найтись не только при решении какого-либо хитроумного вопроса, или при выяснении математического парадокса и софизма. Необходимо, кроме того, развивать в себе навык, чтобы различать истинно математическую задачу от простого фокуса, основанного на отводе глаз или попросту иногда—обмане. Несколько образцов распространенных фокусов подобного рода мы и разъясним в этом отделе, начиная с простейшего из них.

Странная история.

На столе лежит 5 спичек (или иных каких предметов)

1 2 3 4 5

I и в каждой руке держат по одной. Теперь рассказывают такую историю:

Пять овец (5 спичек) паслись на лугу, а в лесу находились 2 разбойника (показывают обе спички в руках). Разбойники украли овец одну задругой (берут № 1 левой рукой, №5 правой, № 2 левой, № 4 правой, № 3 левой). В это время пришел пастух, и разбойники отпустили овец обратно (кладут обратно на стол 1 спичку из правой руки, 1 из левой, 1 из правой, 1 из левой, 1 из правой. (Теперь в левой руке находятся 2 спички, в то время, как зрители считают, что в каждой руке—по одной).

Пастух удалился и разбойники опять забрали одну за другой всех овец (начинают брать левой рукой). Но в это время пришли солдаты, и разбойники убежали, оставив овец в лесу. Открывают руки, и в самом деле: в одной руке 5 овец, в другой два разбойника.

Эта веселенькая, хотя несколько и странная, историйка основана, очевидно, только на быстроте рассказа и постоянном подсовывании вне очереди левой руки вместо правой. Как ни прост этот «отвод глаз», но сначала он удивляет.

Феноменальная память.

Знаменитый «счетчик» Жак Иноди, производивший в уме математические действия над многозначными числами, обладал, прежде всего, поистине феноменальной памятью чисел— он запоминал сразу длиннейшие ряды цифр и повторял их без ошибки, словно читал по писанному. Здесь мы имеем дело с редким природным даром. Совсем другое дело, когда такую же способность демонстрируют пред публикой провинциальных городов заезжие фокусники. Здесь дело вовсе не в памяти, а в применении остроумного и крайне простого мнемонического приема. Полагаем, что читателю небезынтересно будет с ним ознакомиться, чтобы уметь, при случае, отличить истинную природную способность от простой уловки.

Вот пример. Фокусник диктует вам несколько длиннейших рядов цифр и затем без запинки повторяет их сколько угодно раз, не смешивая одного ряда с другим и не пропуская ни одной цифры.

Весь секрет в том, что фокусник твердо выучил небольшую табличку, где каждой из 10-ти цифр отвечают определенные согласные буквы. Для тех, кто пожелал бы сам позабавить своих гостей рядом эффектных фокусов, мы приводим ниже такую табличку. В ней стоящим наверху цифрам отвечают по две согласных буквы.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

н

г

Д

к

ч

п

ш

с

в

Р

м

ж

т

X

Щ

б

Л

3

ф

Ц

Для облегчения небесполезны будут кое-какие мнемонические указания. Что нулю соответствует буква н, легко запомнить, м же похоже на н и стоит с ним рядом в алфавите. Г похоже на единицу по начертанию, и часто при смягчении переходит в ж. Буква д выбрана для двойки, как начальная и часто произносится, как т. Буква к напоминает три, потому что со стоит из трех черточек; с х она родственна, как гортанная. Ч—

первая буква слова «четыре» л напоминает щ. П—первая буква 'Пяти и родственна б. Точно так же ш напоминает шестерку л (приходится просто запомнить), и с—-семерку; з—родственна с. В—первая буква слова восемь, ф —родственна в. Наконец, р выбрана для девятки, так как напоминает ее, если перевернуть ее на другой бок; ц—приходится выучить.

Как ни смешны могут показаться эти мнемонические сближения, они все же приносят огромное облегчение. Зная их, вы в одну-две минуты твердо выучите приведенную табличку и наверно провозитесь над ней целый час, если пренебрежете ими.

Затвердив табличку, вы можете уже изумлять приятелей вашей феноменальной памятью не хуже упомянутого выше фокусника. Перед тем, как продиктовать ряд цифр, вы вспоминаете какое-нибудь хорошо знакомое стихотворение и мысленно заменяете в нем все согласные звуки соответствеными цифрами. Пусть вами выбраны следующие четыре строки из Пушкина:

Поэт, не дорожи любовию народной, Восторженных похвал пройдет минутный шум, Услышишь суд глупца и смех толпы холодной, Но ты останься тверд, спокоен и угрюм.

Подставляя в уме, вместо согласных, отвечающие им цифры, вы диктуете следующие ряды чисел:

5202916580920 8729100353865922002060 76667216597032653620 2720728927530190

Если вас, спустя сколько угодно времени, попросят повторить продиктованные вами ряды цифр, то, зная, какими стихами вы пользовались, вы безошибочно воспроизведете все четыре ряда. Если вас попросят сразу сказать, например, третий ряд, то вы вспомните третью строчку («услышишь суд глупца...») и тотчас же назовете все цифры ряда.

„Математическое ясновидение".

Заговорив о фокусах, разоблачим тайну еще одного весьма эффектного фокуса, которым ловкие «престидижитаторы» часто порочат провинциальную публику. Мы говорим о так называемом

«математическом ясновидении», «мантевизме», «чтении мыслей» и т. п. «нумерах», которые перечисляются в программах подобных сеансов. Обыкновенно дело происходит так. Фокусник выводит на эстраду свою «ясновидящую», усаживает ее в кресло и, для вящшей благонадежности, завязывает ей глаза. Затем он с аспидной доской спускается в зрительный зал, ходит между кресел и предлагает зрителям самим написать какое-нибудь число, меньшее 1000. Когда число написано, фокусник, оставаясь среди зрителей в партере, обращается к ясновидящей с просьбой назвать это число, и та тотчас же выкрикивает с эстрады это число, словно читая его по аспидной доске.

Озадаченные зрители пишут второе, третье число, в оба глаза следят за фокусником и «ясновидящей», но ничего подозрительного не открывают: фокусник спрашивает, — «ясновидящая» отвечает.

Ни ясновидения, ни внушения, ни чтения мыслей здесь, однако, никакого нет. Просто-на-просто фокусник и его помощница твердо выучили уже приведенную выше табличку: обращаясь к «ясновидящей» с просьбой отгадать число, он ловко составляет фразу как раз из таких слов, первые согласные которых означают написанное ерителем число. Вот и вся тайна этого эффект ного фокуса.

Теперь вы и сами сможете проделать его, раз Колумбово яйцо уже поставлено. Вам необходимо только изощриться в составлении соответствующих фраз, в быстром и ловком подъискивании подходящих слов, начинающихся с требуемой согласной. Но прежде всего вы. должны как-нибудь дать знать «ясновидящей» или «ясновидящему», сколько цифр в угадываемом числе: одна, две или три. Дело в том, что в расчет принимаются всегда только первые слова фразы, и «ясновидящая» должна знать, где остановиться.

Для этого фокусник обыкновенно пользуется опять-таки раз навсегда условленными словами. Если задумано однозначное число, то он начинает свое обращение к помощнице всегда с односложных словечек: «А» или «Вот». Если написано двузначное число, то вопрос начинается двусложным обращением: «Ну-ка» или «Еще». Наконец, при трехзначном числе никаких условных обращений не употребляют, так что отсутствие в начале вопроса перечисленных четырех слов указывает, что числа трехзначное.

Теперь проделаем несколько опытов. Пусть написано число 34; фокусник спрашивает ясновидящую: «Ну-ка, какое число написал этот господин?» Слово «ну-ка» указывает, что число двузначное, «какое»—3 а «число» 4.

Пусть написано 92. Фокусник спрашивает: «Еще раз, дружок, отгадай-ка!» Еще—две цифры; раз=9; дружок=2.

Написано 4. Фраза: «А что написал теперь этот господин?» (А—одна цифра, что =4).

Написано 207. Обращение: «Ты не устала? Какое же число сейчас написано?» (Отсутствие условных обращений указывает на то, что число трехзначное; ты=2; не=0; устала=7).

Как видит читатель из этих примеров, составление подходящих обращений—дело не бог весть какое трудное. Навык приобретается легко.

Часто фокусники несколько видоизменяют опыт: просят зрителя обозначить какое-либо действие между Двумя числами, и мнимая ясновидящая сразу произносит результат (если только он не больше тысячи). Зритель пишет, например, 11X14. И ясновидящая сразу отвечает 154. Зная секрет «мантевизма», легко догадаться, что при этом фокусник сначала мысленно производит в уме нужные действия и затем объясненным уже выше способом сообщает помощнице результат. В нашем примере он может обратиться к ней так: «Голубушка, прикинь, что составляется из этих чисел?» (г=1; п=5; ч=4).

Можно еще более изумить публику, если заставить «ясновидящую» сообщать не только конечный результат, но и указать, от какого действия он получен—сложения, вычитания, умножения или деления. Для - этого опять-таки прибегают к условным обозначениям. Именно, связывают с тем или иным действием определенные буквы, на этот раз—гласные; о обозначает сложение, ы или и—вычетание, е—деление и, наконец, у— умножение.

Подобным же образом «ясновидящая» может угадывать, напр., день или год рождения. Кто-нибудь из публики пишет эту дату на доске, фокусник просит помощницу прочесть написанное и получает вполне точный ответ. Здесь число месяца и год рождения сообщаются ей, как и всякие другие числа, а месяц—условной цифрой. Напр., 25 марта = 25 и 3, так как март—третий месяц.

Не имея никакого почти развивательного значения, подобные «фокусы» способствуют, однако, навыку в обращения с числами. Поэтому рассмотрим еще один фокус. Раз мы забрели в этот уголок «царства смекалки», то уж осмотрим его повнимательнее.

Угадывание домино.

Этот салонный фокус обычно также выдают за «чтение мыслей». Но «чтение мыслей» здесь такого сорта, что вы сами можете осуществить его, не обладая никакими сверхъественными способностями.

Вы заявляете своим гостям, что беретесь отгадать задуманную ими плитку (или «костяшку») домино, находясь с завязанными глазами в дальнем углу залы или даже в соседней комнате. И действительно, когда гости, выбрав из груды игры любую плитку, спрашивают вас, какая взята,—вы сразу же отвечаете, хотя не можете видеть не только домино, но даже гостей.

Объяснение Фокуса.

У вас должен быть среди гостей сообщник, с которым вы предварительно условились, что личные и притяжательные местоимения будут означать определенные числа, именно:

я, мой—1 ты, твой—2 он, его—3

мы, наш—4 вы, ваш—5 они, их—6

Пусть гости выбрали плитку 4/5. Тогда ваш сообщник обращается к вам с такой фразой: «Мы задумали плитку, вы отгадайте-ка ее!» Если нужно «протелеграфировать», напр., х/5, то ваш сообщник, улучив момент, вставляет такую фразу: «А я думаю, что вы на этот раз не угадаете». Фраза: «Ну, теперь у нас такие плитки, что тебе их не отгадать»—означает 4/2 и т. п.

Само собой понятно, что имеют значение лишь первыя два местоимения. Для обозначения белого (нулевого) поля также выбирают какое-нибудь слово, напр. сударь: «отгадайте-ка, сударь, что мы тут задумали»,—будет означать °/4.

Как ни просты секреты этих фокусов,—их, все же, трудно разгадать. Нужно обладать большой сметкой, чтобы догадаться, к какой уловке прибег фокусник.

Хитрая механика!

Вот еще два фокуса, при ловком исполнении которых иной может подумать, что здесь и в самом деле таится какая-либо «хитрая механика».

Между указательным и большим пальцами каждой руки я держу по спичке—спичку в левой руке горизонтально, в правой вертикально; я приближаю руки друг к другу так, чтобы спички скрестились (фиг. 125). Теперь я делаю быстрое движение руками... и спички опять образуют крест, но теперь горизонтальная спичка находится по другую сторону вертикальной (фиг. 126). Снова делаю движение руками, и спички снова находятся в первоначальном положении. Можно повторить этот фокус несколько раз, но никто не может понять, как это делается.

Фиг. 125.

Фиг. 126.

Этот фокус, требующий предварительного небольшого упражнения, производится следующим образом. Вертикальная спичка помещается головкой вниз, так что последняя покоится на большом пальце, в то время как указательный палец опирается о другой ее конец. При небольшом сдавливании этих пальцев спичка пристает к указательному пальцу. Теперь стоит только слегка раздвинуть пальцы, и спичка удерживается одним указательным пальцем—как бы висит на нем (фиг. 127). Через полученный, таким образом, маленький прозор между спичкой и большим пальцем вы быстро и незаметно для других вводите и выводите горизонтальную спичку, всякий раз тотчас же закрывая отверстие.

Фиг. 127.

По середине двух спичек проводят поперечную черту. Большим и указательным пальцами правой руки берут спички так, чтобы обе черты были видны сверху (фиг. 128), вслед затем теми же пальцами левой руки поворачивают эти спички на полоборота вокруг их короткой оси (т.-е., принимая черту за ось вращения) так, что пальцы правой руки будут уже касаться противоположных концов спичек (фиг. 129). Теперь спрашивают: «черточки сверху или снизу?» Всякий ответит: «снизу», и ошибется, если, поворачивая спички вокруг их короткой оси, вы в то же время в пальцах левой руки незаметно повернете их вокруг длинной оси (т.-е. оси, параллельной длине спичек).

Фиг. 128.

Фиг. 129.

Математика, как упражнение в искусстве хорошо говорить.

Ценность перевода с иностранного языка заключается в умении проникать в тайники мысли, изложенной на чужом языке. Ценность рисования состоит в наглядном изображении точных соотношений частей и перспективы. Ценность естествознания— в развитии независимости мысли. Все эти положения известны приступающим к изучению приемов красноречия, к выработке в себе уменья говорить плавно, убедительно и красиво. Начинающие свою жизненную карьеру часто говорят о пользе изучения перечисленных наук. Но редко слышно о математических чтениях и упражнениях, как об образцах красноречия. А между тем математика имеет в этом отношении свои несомненные преимущества перед всеми названными науками и искусствами,

Цель, к которой должен стремиться говорящий, состоит в том, чтобы заставить других сосредоточить все свое внимание на мысли и убеждении оратора, заставить их отвлечься от их собственной личности. И ни в одной аудитории, может быть, не достигается эта цель легче, чем в аудитории математика.

Сжатость рассуждения, точность доказательства, изображение необходимых выводов из данных предположений приковывают и сосредоточивают все умственные силы как объясняющего, так и слушающего.

В каких иных случаях изучающий инстинктивно найдет легчайшую возможность в немногих словах изложить многое? В каких иных обстоятельствах, следовательно, простая, не бьющая на эффект, но легкая и красивая форма изложения будет так уместна и плодотворна, как здесь? Вычурность и аффектация, как результаты дурной привычки рисоваться, не имеют здесь места и потому быстро исчезают! Между тем, все другие особенности уменья говорить находят здесь применение и постепенно развиваются при общем и связном течении мыслей объясняющего и слушателей.

Прежний абак и новые цифры. Рисунок из „Margarita Philosophica" (1503 г.).

Один наблюдатель, сам математик, говорит, что ему удалось отметить не более двух примеров вычурности в чтении и изложении лекций по математике. И в обоих случаях эта манера постепенно и незаметно исчезла. В одном случае женщина-лектор сделала введение в курс очень манерно и вычурно, но тотчас же невольно перешла на совершенно другой тон, так как слушатели

обратили ее внимание некоторыми вопросами на сущность предмета и заставили ее сосредоточить все силы ума, чтобы объяснить все понятно.

Постоянная необходимость объяснительных чертежей приучает лектора и слушателя также к иллюстрации своих мыслей.

Эффект математического красноречия должен заключаться в ясном, сжатом и точном выводе из известных фактов. К таким приемам и к такому образу мышления должен приучаться математик-оратор.

Было бы, пожалуй, хорошо, если бы во всех наших школах,—не только так называемых «точных» паук, но и в школах или обществах, обучающих красноречию, было написано известное изречение Платона: «Пусть не входит сюда никто, не знакомый с геометрией!»

ОГЛАВЛЕНИЕ.

Стр.

Предисловие к 4-му изданию........... 3

Из предисловия к 1-му изданию.......... 3

Задача 1. Где начинается новый год......... 7

» 2. Три воскресенья на одной неделе....... 12

» 3. Определение направления с помощью карманных часов.................... 16

Задача 4. Сколько воды в бочке........... 18

» 5. Крест обратить в квадрат.......... 19

» 6. Коврик................. 20

» 7. Оригинальное доказательство......... —

» 8. Вычерчиванье циркулем овальных линий .... 21

» 9. Теорема Пифагора............ 22

» 10. Египетская задача............. 23

Начатки математики ца Ниле............ 25

Задача 11. Численный круг пифагорейцев........ 26

» 12. Земля и апельсин............ 28

Обманы зрения. Кажущееся вращение........ 31

Задача 13. Какая линия длиннее?........... 34

» 14. Две пары дуг.............. 36

» 15. Как написано слово?........... —

» 16. Какая кривая?.............. 37

Задачи и развлечения со спичками........ 38

Задача 17.................... —

» 18.................... 39

» 19..................... —

» 20.................... —

» 21.................... —

» 22.................... 40

» 23.................... —

» 24.................... 41

» 25.................... —

» 26.................... —

» 27. Дележ сада............... 42

» 28. Сообразите-ка!............. —

» 29. Расстановка часовых............ 43

Задача 30. Хитрецы................ 44

» 31. :.................. —

» 32. Верная отгадка............. 45

» 33. Собрать в группу по 2.......... 46

» 34. Собрать в группу по 3.......... —

» 35. Перемещение лошадей........... 47

» 36. Поднять одной спичкой 15 спичек....... —

» 37. Спичечный телеграф........... 48

» 38. Легко или нет.............. —

Лабиринты.................. 50

Геометрическая постановка задачи о лабиринтах...... 58

Решение задачи................. 59

Филадельфийский лабиринт............. 62

Задача 39. Хижина Розамунды........... . 63

» 40. Еще лабиринт.............. 64

Общие замечания................. 65

Задача 41. Картографический вопрос....... . . 66

О весьма больших и весьма малых числах ..... 68

Задача 42. Довольно большое число.......... 71

» 43. Лавины .... ........... 72

» » Прогрессия размножения.......... 74

» 44. Загадочная автобиография......... 78

Новый род задач............... 80

Задача 45. Написать единицу 3-мя пятерками....... —

» 46. » нуль 3-мя пятерками........ 81

» 47. » два 3-мя пятеркми........ —

» 48. » пять 3-мя пятерками........ —

» 49. » 31 пятью тройкам......... 82

Общее решение................. —

Сто тысяч за доказательство теоремы....... 85

Из области изучения чисел ........... 90

Задача 50. Быстрое возвышение в квадрат........ —

Особенные случаи умножения............ 91

Девять.................... 92

Задача 51.................... 93

» 52.................... 94

» 53.................... 95

» 54.................... —

Некоторые числовые курьезы............. 96

О числах 37 и 41................. —

Числа 1375, 1376 и 1377 .............. 97

Степени чисел, состоящие из одних и тех же цифр...... —

Квадраты чисел, не содержащие одних и тех же цифр .... 98

Все разные цифры................. —

Числа, отличающиеся от своих логарифмов только местом запятой, отделяющей десятичные знаки......... 99

Круговые числа................. —

Полезное применение............... 103

Задача 55. Мгновенное умножение .......... 104

Несколько замечаний о числах вообще......... 106

Графики...................109

Решение уравнений помощью графиков.........113

Задача 56. Знаменитая задача Люка..........115

» 57. Курьеры ...............116

» 58. Собака и два путешественника...... . .117

Об аксиомах элементарной алгебры.........119

О приложении аксиом к решению уравнений........121

Проверка решения уравнения............126

Софистическая карикатура.............127

Неправильные ответы...............128

Алгебраические софизмы. ...........129

Задача 59....................136

» 60....................—

» 61. Дележ верблюдов.............—

Положительные и отрицательные числа.......138

Задача 62. Два общих наибольших делителя.......139

Наглядное изображение комплексных чисел.....141

Правила знаков при алгебраическом умножении. ... 146

Геометрические софизмы.............150

Задача 63. Искусная починка............ —

» 64. Обобщение того же софизма......... 153

Ряд Фибоначчи................. 155

Задача 65. Похоже, но не то............. 156

» 66. Еще парадокс.............. 159

Три знаменитых задачи древности.........16о

Задача 67. Линейка и циркуль. Трисекция угла......163

Два отрицательных вывода XIX века. ....... 166

Николай Иванович Лобачевский...........170

Два письма о постулате Евклида...........182

Выяснение трех постулатов о параллельных линиях. . 186

Сумма углов треугольника.............189

Задача 68. Несколько «коварных» вопросов.......191

О четвертом измерении по аналогии..........192

В стране чудес математики...........193

Случай с Пляттнером................204

Замечание к «Случаю с Пляттнером»..........210

Математика в природе..............215

«Золотое деление»................—

Золотое деление в эстетике.............219

Закон листорасположения.............221

Математический инстинкт пчел...... . . . . . . 224

Задача 69. О пчелиных ячейках...........227

Жук-геометр..................230

Эволюта и эвольвента...............232

Задача 70. Построение жука-геометра..........234

«Новые начала геометрии»............235

Некоторые фокусы...............250

Странная история................—

Феноменальная память...............251

«Математическое ясновидение^............252

Угадывание домино ...............255

Объяснение фокуса................—

Хитрая механика................256

Математика, как искусство хорошо говорить.....257