Е. И. ИГНАТЬЕВЪ.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ХРЕСТОМАТІЯ.

Книга 2-я.

АЛГЕБРА И ОБЩАЯ АРИѲМЕТИКА.

СО МНОГИМИ РИСУНКАМИ И ЧЕРТЕЖАМИ ВЪ ТЕКСТЪ.

Изданіе Т-ва И. Д. Сытина.

Е. И. ИГНАТЬЕВЪ.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ХРЕСТОМАТІЯ.

Книга 2-я.

АЛГЕБРА И ОБЩАЯ АРИѲМЕТИКА.

Съ многочисленными рисунками и чертежами въ текстѣ.

Изданіе Т-ва И. Д. Сытина.

Типографія Т-ва И. Д. Сытина, Москва, Пятницкая ул., свой домъ МОСКВА.—1915.

ПРЕДИСЛОВІЕ.

Эта книга «Математической Хрестоматіи» имѣетъ въ виду: 1) внести въ область элементарной алгебры тѣ дополненія и расширенія, которыя придавали бы общеобразовательному курсу математики нашей средней школы, хотя до нѣкоторой степени, характеръ научной законченности, и тѣмъ самымъ—2) достигнуть того сближенія и соприкосновенія съ началами высшей математики, о необходимости котораго теперь не можетъ быть двухъ мнѣній1). Съ этой цѣлью прежде всего въ книгу введены возможно общедоступные отрывки, посвященные ученію о функціяхъ и рѣшенію уравненій (въ частности 3-й и 4-й степени). Вслѣдъ затѣмъ, помимо прочаго, обращено особое вниманіе на освѣщеніе ученій о показательныхъ функціяхъ и логариѳмахъ, на векторіальный анализъ, на выясненіе общихъ элементовъ ученія о числѣ (понятіе о теоріи чиселъ, алгебра раціональныхъ, ирраціональныхъ и комплексныхъ чиселъ) и, наконецъ, на элементы теоріи соединеній (комбинаторика) и теоріи вѣроятностей. Всюду, гдѣ только возможно, приводятся свѣдѣнія по исторіи и философіи разсматриваемаго предмета.

1) Помимо соображеній на этотъ счетъ, приведенныхъ въ предисловіи къ 1-й книгѣ нашей хрестоматіи, см. также высоко авторитетные доклады профессоровъ К. А. Поссе и В. Б. Струве «О согласованіи программъ математики въ средней и высшей школѣ». Доклады эти были прочитаны въ Общемъ Собраніи перваго Всероссійскаго Съѣзда преподавателей математики 3 января 1912 г. См. также К. А. Поссе: «Rapport sur l’Enseignement Mathématique dans les Universités etc... en Russie. СПБ. 1910.

Обращаясь къ источникамъ для составленія книги, естественно было вспомнить прежде всего родоначальника современной алгебры, великаго Эйлера. И дѣйствительно, въ его несравненныхъ дидактическихъ сочиненіяхъ Introductio in Analysin Inßnitarum (1748 г.) и Vollstdäuige Anleitung zur Algebra (1770 г.) есть не мало главъ (вѣрнѣе, пожалуй, было бы сказать—всѣ главы), чтеніе которыхъ будетъ не только посильно нашему предполагаемому читателю, но доставитъ ему великую пользу и живѣйшее удовольствіе,—настолько глубоко, но вмѣстѣ просто и живо, великій ученый излагаетъ начала науки, поясняя это изложеніе многочисленными примѣрами. Послѣднее сочиненіе (руководство по алгебрѣ) почти одновременно съ выходомъ на нѣмецкомъ языкѣ вышло (въ 1768 г. I томъ и въ 1769 г. II томъ) и на русскомъ языкѣ подъ заглавіемъ: «Универсальная Ариѳметика г. Леонгарда Эйлера, переведенная съ нѣмецкаго подлинника студентами Петромъ Иноходцевымъ и Иваномъ Юдинымъ. Томъ первый, содержащій въ себѣ всѣ образцы алгебрическаго вычисленія» и «томъ второй, въ которомъ предлагаются правила рѣшенія уравненій, и Діофанскій образъ рѣшить вопросы». Это русское изданіе было повторено (I томъ въ 1787 г. и II въ 1788 г.). Въ виду устарѣлости языка и терминологіи указаннаго перевода мы предпочли для настоящей хрестоматіи сдѣлать новый переводъ избранныхъ отрывковъ непосредственно съ нѣмецкаго оригинала, изданнаго СПБ. Академіей Наукъ въ 1770 году. Какъ образчикъ русскаго математическаго языка конца позапрошлаго и начала прошлаго столѣтія приведена глава изъ сокращенной передѣлки руководства Эйлера, вышедшей въ 1810 г. подъ заглавіемъ. «Начальныя основанія чистой Маѳематики, сочиненныя Николаемъ Фуссомъ». Это была, кстати сказать, одна изъ первыхъ попытокъ испортить классическое руководство Эйлера.

Эйлеръ въ своемъ «Introductio in Analysin» даетъ такъ называемое аналитическое опредѣленіе функціи

(см. стр. 23 этой книги) и развиваетъ понятія о функціяхъ, исходя изъ этого опредѣленія. Къ извлеченіямъ изъ ученія о функціяхъ Эйлера здѣсь добавленъ только отрывокъ о цѣлыхъ функціяхъ изъ XI главы «Энциклопедіи Элементарной математики» Вебера и Велльштейна. Вопросъ же о графическомъ изображеніи функцій и болѣе общемъ опредѣленіи ихъ (Дирикле, Вейерштрассъ) отнесенъ къ послѣдней 3-й книгѣ нашей Математической Хрестоматіи («Геометрія и Тригонометрія»).

Что касается элементовъ ученія о числѣ и общей ариѳметики, то составитель позволяетъ себѣ принести прежде всего свою искреннѣйшую и глубокую благодарность заслуженному проф. А. В. Васильеву, разрѣшившему черпать полной рукой нужный для этой хрестоматіи матерьялъ изъ его замѣчательнаго и въ своемъ родѣ единственнаго курса «Введенія въ анализъ». Отрывки изъ этого курса на ряду со статьями Кронекера, Гильберта, Бугаева, Пуамсо и др. даютъ, полагаемъ, достаточный и поучительный матерьялъ для расширенія понятій о предметѣ.

Элементы комбинаторики входятъ въ программу среднихъ школъ. Въ этой книгѣ онѣ дополнены главой о составленіи перестановокъ и начатками Теоріи Вѣроятностей. За введеніе послѣднихъ въ обиходъ средней школы давно уже раздаются многіе авторитетные голоса1). И если вспомнить, что интересныя и легко пріобрѣтаемыя знанія въ этихъ областяхъ тотчасъ ведутъ къ сравнительно элементарному доказательству теоремъ Я. Бернулли, съ ея закономъ большихъ чиселъ, то врядъ ли можно возразить противъ такого расширенія общеобразовательнаго курса по математикѣ.

Помимо теоретическихъ дополненій и разъясненій элементарнаго курса желательно было придать

1) См. напр. Альфредъ Принсгеймъ: «Цѣнность и мнимая не-цѣнность математики». Рѣчь, произнесенная въ открытомъ засѣданіи Баварской Академіи наукъ въ Мюнхенѣ 14 марта 1904 года.

по возможности этой хрестоматіи и чисто практическій, даже утилитарный, характеръ въ видѣ пріобрѣтенія навыковъ въ нѣкоторыхъ вычисленіяхъ и рѣшеніяхъ задачъ. Съ этой цѣлью выбирались по возможности отрывки, заключающіе въ себѣ задачи и примѣры, помѣщена статья о практикѣ логариѳмическихъ вычисленій Б. А. Марковича и, наконецъ, прибавленъ отдѣлъ задачъ и упражненій, выбранныхъ изъ различныхъ сочиненій, повременныхъ изданій—и, главнымъ образомъ, изъ богатаго въ этомъ отношеніи русскаго «Вѣстника опытной физики и элементарной математики», недавно (въ 1913 г.) отпраздновавшаго 25-лѣтіе своего существованія. Вступленіемъ къ отдѣлу упражненій и задачъ служитъ статья заслуженнаго проф. В. П. Ермакова «Разложеніе многочленовъ на множители». Поэтому пользуемся новой возможностью высказать свою всегдашнюю благодарность незабвенному учителю за данное имъ намъ разъ на всегда разрѣшеніе пользоваться его трудами въ предпринятыхъ нами работахъ.

СПБ. 1914 г.

УКАЗАТЕЛЬ СОБСТВЕННЫХЪ ИМЕНЪ И ПРЕДМЕТОВЪ.

Абель (Нильсъ Генрихъ) 7, 86, 127, 312, 313, 317.

Абсцисса 84.

Аксіомы сочетанія 264; счета 264, 280; порядка 265, 280; непрерывности 265—266; полноты 265; Архимеда 265—266, 280; акс. и законы операцій въ ученіи о цѣлыхъ числахъ 267—287; ученія о величинахъ 268; Грассмановская акс. сложенія 269 и слѣд.; основная о цѣлыхъ числахъ 282; причинности 362.

Алгебра 1—15, 287; раціональныхъ чиселъ 291—292, 296—297; 321.

Алгориѳмъ Евклида 73, 76. Александрійская школа 217, 218

Алмукабала 4.

Анализъ 2; неопредѣленный анализъ 228—229.

Аналитическій параллелограммъ 5.

Аполлоній (Пергійскій) 218, 261.

Аргандъ 318.

Аргументъ составного числа 183.

Аристархъ 218.

Аристотель 323, 326, 327, 338, 339.

Ариѳметика общая (arithmetica universalis) 5, 9, 237, 253, 254, 261, 278; трансцендентная 9.

Ариѳмологія 237.

Аріабхатта 297.

Архимедъ 252, 261, 265, 266, 304.

Ассимптотическія выраженія 231.

Ассоціативность 272, 274, 282, 315.

Ахиллесъ 327, 333.

Бальцеръ (Baltzer) 351.

Баумъ 253.

Бауръ 343.

Бахманнъ 225.

Баше-де-Мезирьякъ 4, 219, 227.

Безконечно малое и безконечно большое 328 и слѣд.

Безобидность игръ 405—407.

Безу 6.

Беллявитисъ 320.

Бемъ, Д. А. 339.

Бернулли Даніилъ 6, 85, 407.

Бернулли Иванъ 84.

Бернулли Яковъ V, 270, 339; теоремы Я. Б. 371—393, 400—405.

Бернштейнъ, С. 84.

Бессель 254.

Биквадратныя уравненія 112—129.

Биноміалы 304.

Біемора (Biemora) 309.

Больцано 306.

Бомбелли 118, 119.

Брахмагупта 219, 297, 308.

Бриггъ 146, 162.

Брункеръ 228.

Бугаевъ, Н. В. 225, 226, 237, 239.

Буквенное исчисленіе 259—262.

Буль 275, 322.

Буняковскій, В. Я. 1, 19, 220, 225.

Буренинъ 19, 20, 21, 22.

Бутлеровъ 239.

Бхаскара Ачарья 219, 297. 339.

Бьенэме 393.

Бюффонъ 407.

Бюэ (Buée) 317.

Валлисъ 5, 228, 317, 339.

Вандермондъ 6.

Варингъ 6.

Васильевъ А. В. V, 216,217, 236, 251, 262, 267, 287, 290, 306.

Введеніе новаго перемѣннаго 54—65.

Веберъ 65, 353.

Вейерштрассъ V, 89, 90, 306, 316, 327, 328, 337.

Велльштейнъ 65, 353.

Векторы 169—195; векторіальныя величины 296—297; 320.

Вессель, К. 318.

Влаккъ 162.

Возвышеніе въ степень 15, 17, 283; в. въ сверхъ-степень 283.

Воленсъ 19, 20, 21.

Волковъ А. А. 339.

Вундтъ 277.

Вычеты 221, 223, 304.

Вычитаніе 2, 15, 16, 285, 286.

Вьетъ(а) 5, 305.

Вѣроятность (теорія в.) 361 — 407; опредѣленіе математической вѣроятности 363 — 365; сложеніе вѣр. 393—394; умноженіе вѣр. 394—397.

Галилей 238.

Галуа (Эваристъ) 311.

Гамильтонъ В. Р. 192, 193, 194, 275, 290, 299, 320, 321.

Ганкель 276, 291.

Гарріотъ 5, 296.

Гауссъ 81, 136, 207, 221, 222, 223, 224, 225, 228, 253, 254, 259, 284, 300, 301, 317, 318, 319, 320.

Геберъ 4.

Гегель 330.

Гельмгольцъ 278.

Геометрія положенія 10; геом. 253, 254, 262, 263, 326; обоснованіе г. 336—337.

Гермесъ 224.

Геронъ (Александрійскій) 308.

Гильбертъ, Д. (Hilbert) 262, 263, 266, 279, 281.

Гиперпотенцированіе 283.

Гиппархъ 218.

Глазенапъ С. П. 153.

Граве Г. 393.

Грассманъ 192, 193, 194, 269, 270, 276, 277, 287.

Грегори 275.

Григорьевъ 220.

Гуддъ 6.

Гумбольдтъ Алекс. 252, 253, 261.

Гуссерль (Husserl) 277.

Гуэль 318.

Давидовъ 19, 20, 21, 22, 303.

Д’Аламберъ 6, 12, 13, 299.

Де-Гюа 6.

Дедекиндъ 224, 272, 278, 279, 282, 304, 306, 328, 330.

Декартъ 5, 8. 84, 296, 305, 316.

Дирикле, см. Леженъ-Дирикле.

Дискриминантъ 312, 315.

Дистрибутивность 274, 314.

Діофантъ Александрійскій 4, 8, 218, 220, 221, 227, 283, 297, 308, 350.

Достовѣрность 365 и слѣд.

Дроби 17; 287—292.

Дѣленіе 2, 15, 17; дѣл. цѣлыхъ функцій 67—73.

Дѣлимость чиселъ 195—216; 221.

Дѣлитель (функцій общій наибольшій) 73—77.

Евклидъ 73, 76, 204, 217, 226, 242, 244, 273, 281, 297, 303, 304, 308, 326, 337, 338.

Егоровъ 19.

Единица (обыкновенная) 180; боковая 180.

Ератосѳенъ см. Эратосѳенъ.

Ермаковъ В. П. VI, 169, 320, 408.

Жирар(д)ъ Альберъ 5, 296, 316.

Законъ перемѣстительный (коммутативности) 171, 275, 276, 277, 282; сочетательный 171; ассоціативности 272, 274, 282; сложенія 272, 282; умноженія 273 и слѣд., 282; дистрибутивности 274; обратныхъ операцій 286—287; большихъ чиселъ 403—405.

Зенонъ (Элеатъ) 327, 329, 330, 333.

Зигвартъ 277.

Золотаревъ 225.

Игра (математич. безобидность игръ) 405—407.

Извлеченіе корня 2, 15, 18.

Изображеніе системы 278, 279.

Инваріанта 256.

Инверсія 341—342 и слѣд.

Индукція 270—271.

Иноходцевъ П. IV.

Интегральное исчисленіе 24.

Италійская (пиѳагорійская) школа 216.

Каганъ В. Ф. 1, 82, 353.

Кагенъ (Cahen) 225.

Канторъ 266, 267, 281, 306, 326, 328, 330, 333, 334, 335, 343, 350.

Кантъ 270, 299, 300, 319, 330, 338.

Карданъ 4, 5, 105 (правило К.) 107, 109, 112, 118, 297, 309, 310, 316.

Кардинальное число 281.

Карлэль 328.

Карно 299.

Кватерніонъ 275.

Квинкунксы 238, 239.

Кекуле 239.

Киселевъ 19.

Китайцы 216.

Клейнъ 224.

Клеро 6.

Количества мнимыя 3; постоянныя и перемѣнныя 23.

Комбинаторика 237, 339—360.

Коммутативность 272, 273, 275, 282, 314.

Кондорсе 283.

Корни уравненій 67,70, 77—78,82—84. Коши 19, 20, 21,86,87, 88, 90, 220,321.

Крампъ 34.

Крелль 7, 224.

Кронекеръ 224, 225, 251, 252, 262, 278, 321.

Ксенократъ 339.

Ксиландеръ 4.

Куммеръ 220, 224.

Кутюра 277, 291.

Кюнъ (Kühn) 317.

Лавилль 337.

Лагранжъ 6, 7, 85, 86, 87, 136, 220, 221, 228, 310, 311.

Ламе 220, 227.

Лапласъ 261, 393.

Лебегъ 227.

Леве 19, 20, 21.

Лежандръ 220, 221, 225, 228.

Леженъ-Дирикле V, 86, 88, 89, 91, 195, 220, 224, 225, 227, 231, 232, 252, 253.

Лезанъ К. 191.

Лейбницъ 10, 84, 270, 305, 322, 325, 326, 327, 328, 339.

Липшицъ 256.

Ліувилль 225.

Лобачевскій Н. И. 276, 277, 279.

Логариѳмы 19; начальное изученіе лог. 136—138; начальная теорія 138—168; дополнительные лог. 153—155, 283, 285.

Логистика 237.

Лука Пачіоло де Бурго 4, 8, 309.

Лукасъ Эдуардъ см. Люка.

Люка Эд. (Lucas) 225.

Маколей 338.

Максимовичъ В. И. 320.

Малининъ 19, 20, .21, 22.

Мантисса 148, 150, 151. 152, 167, 168.

Марковичъ Б. А. 138, 153, 156.

Марковъ А. А. 372.

Марксъ 136.

Мартыновъ 19.

Математическое ожиданіе 398—400; мат. безобидность игръ 405—407; матем. индукція 270—271.

Мебіусъ 299.

Медіаны 304.

Меморскій 19.

Менделѣевъ 239.

Мере (де) 361, 370.

Методъ генетическій 263, 264; аксіоматическій 263, 264; полной индукціи 270—271.

Механика 10, 253, 254, 304.

Милль 277.

Мнимыя количества 3, 10.

Многоугольники 240 и слѣд.

Множественность логариѳмическихъ системъ 145.

Моавръ 186, 339, 393.

Модуль составного числа 183, 316; мод. операцій сложенія и вычитанія 273; умноженія 275; 295.

Монтюкла 4.

Морганъ 275.

Мощность множества 281, 282.

Муавръ см. Моавръ.

Назаревскій 195.

Назимовъ П. С. 225.

Неперъ 136, 284.

Непрерывность функціи 88.

Неприводимость (и приводимость) 77—82; 307—308.

Нетто (Netto Е) 339, 393, 345, 347.

Никомахъ 218, 219.

Нуль 273, 278.

Ньютонъ 1, 5, 84, 136, 304, 305, 310, 316.

Общій наибольш. дѣлитель 73—77; 242—244.

Ожиданіе математическое 398—400; нравственное 407.

Операціи первыхъ четырехъ ступеней 282, 283, 285; обратныя опер. 284 — 287; опер. надъ парами 288—290, 293—295, 313—316.

Ордината 84.

Орезмъ 283.

Орѣшниковъ М. 19.

Основаніе логариѳмовъ 146 и слѣд., 159 и слѣд.

Оттингеръ 345.

Пара (силъ) 193; пара чиселъ 287—290, 292—295, 312—316.

Паскаль 339, 361.

Пеано 272, 278, 279, 325, 326, 336, 337. Пелль 220, 228.

Перестановки 339—343; составленіе перест. 353—360.

Пикокъ 275, 290, 291.

Пирсъ 324.

Пиѳагоръ 216, 217, 218, 226, 303. Платонъ 217, 304, 327.

Подстановка (введеніе новаго перемѣннаго) 54—65.

Показательныя количества (экспоненціалы) 156—159.

Поссе К. А. III.

Правило знаковъ 19—22.

Предѣлы 335.

Принципъ постоянства формальныхъ законовъ 273, 290—291.

Причинность 362.

Псаммитъ 304.

Птоломей 218.

Пуанкаре (Анри) 271, 272, 305, 306. Пуансо 9, 15, 239.

Пауссонъ 405.

Рабе 347.

Размѣщенія 343—345; разм. съ повтореніями 245—346.

Рекордъ 8.

Рессель Б. 322.

Ризе 283.

Риманнъ 225, 313.

Ришело 224.

Ролль 6.

Рудольфсъ Христофоръ 8, 283.

Руффини 311.

Рѣшеніе кубическ. ур-ній 92—112; ур-ній 4-й степ. 112—129; ур-ній по приближенію 130—136.

Ряды (безконечные) 233.

Сверхъ-степень 283, 284.

Семнадцатиугольники правильн. 223.

Сервуа 275.

Сильвестръ 256.

Симметричность 313.

Синтактика 237.

Синцовъ Д. М. 224.

Скаларныя величины 296.

Сложеніе 2, 15, 16, слож. чиселъ 256—257; 268—270; 272, 273, 275, 276, 282; слож. паръ 288—290; 293—294; 314; слож. вѣроятностей 393—394.

Случай 361—363; 366 и слѣд., 376 и слѣд.

Смитъ Стефанъ 225.

Сократъ 327.

Составныя числа 179 и слѣд.

Сохоцкій Ю. В. 225.

Сочетанія 346—351; соч. съ повтореніями 351—353.

Сравненія 223, 321.

Статика 193.

Стевинъ 8.

Степень 15, 17 и слѣд.

Стифель 283, 297.

Струве В. Б., III.

Струве Р. Э. 339.

Субституція 353 и слѣд.

Таблица 7 операцій 285.

Тайлоръ (Тэйлоръ) 86, 87, 89, 90, 338.

Таннери Ж. 260, 290.

Тарталья 5, 309.

Теорія вѣроятностей 366—407; теорія чиселъ 9 (см. число); формъ 222 и слѣд.

Транзитивность 316.

Транспозиція 341 и слѣд.

Тэйлоръ см. Тайлоръ.

Угхтредъ 5.

Умноженіе 2, 15, 17, 257—259, 273—275, 282; умнож. паръ 288—290, 294—296, 314—316; умнож. перестановокъ 355—359; умнож. вѣроятностей 394—397.

Уорренъ (Warren) 317.

Уравненія 2, 10, 67, 70, 77—78, 82—84; 92—112; 112 — 129; 130—136; ур-ніе Пелля 220, 228; неопред. 229, 247—251; 308—312.

Успенскій Я. В. 372.

Ученіе о дробныхъ числ. 287—292; объ отрицат. числ. 292—301; объ ирраціон. числ. 301—312; о комплексн. числ. 312—321.

Факторіалъ 340.

Фано 336.

Ферберъ К. 339.

Ферма(тъ) 4, 216, 219, 220, 227, 228, 237, 238, 362, 426, 431.

Феррари Людовикъ 5, 310.

Ферреи Сцип. 5, 105, 309.

Фибоначчи 4.

Фигурныя числа 350—351.

Фонтень 6.

Фреге (Frege) 277.

Формы (теорія ф.) 222, 223.

Френишъ-де-Бесси 227.

Функція 2, 3; симметрическія 7; подообразн. 7; функц. вообще 23—34; преобразованіе функцій 34—65; цѣлыя функціи и ихъ корни 65—82; алгебраич. 25; трансцендентныя 25; раціональныя и ирраціон. 25—26; явныя и неявн. 26; цѣлыя и дроби. 26, 37—54; однозначныя и многозначныя 26—29; четныя 30, 31, 32; нечетныя 31—33; подобныя 33—34: равныя 66—67; вещественныя 67, 88; линейныя 69, 70; производныя 70—73; первыя (взаимно прост.) между собой 73; приводимыя и неприводимыя 77—82; цѣлочисленныя 78; первообразныя 78; историческій очеркъ о функц. 84—91; аналити-

ческія 86, 87, 229 и слѣд.; функціи комплекснаго перем. 89; эллиптическія 224, 225, 313; числовыя 229—235; Абелевы 313; Риманновы 313; функціональныя сравн. 321.

Фурье 7, 85.

Фуссъ Николай IV, 130.

Характеристика 148, 149, 151, 152, 167, 168.

Цигельманъ 19.

Чебышевъ П. Л. 220, 225, 393, 401, 402.

Чеканскій 19.

Челпановъ 277.

Чирнгаузъ 6.

Числа отрицат. 16, 17, 292—301; ирраціональныя 18; составныя (мнимыя) 179 и слѣд.; взаимно простыя 199, 200 и слѣд.; 244—247; составныя 203 и слѣд.: первоначальныя (простыя) 202 и слѣд., 247; теорія чиселъ 216—239; многоугольн. чиселъ 218—220; свойства чиселъ, основ. на идеѣ порядка 239—251; понятіе о числѣ 251—287; порядк. числа 254—256; сложеніе чиселъ 256—257; Неперово число 284; алгебр. числа 306—308; комплексн. числа 312—321; фигурныя числа 350—351.

Шапошниковъ 20, 21.

ІІІенди Тристрамъ 333.

Шерингъ Эрнестъ 254.

Шеллеръ 252.

Шохоръ-Троцкій 19, 20, 21.

Шредеръ 272, 277.

Штифель см. Стифель.

Штольцъ 272, 279.

Штурмъ 7, 312.

Шубертъ 259, 291, 347.

Эвклидъ см. Евклидъ.

Энзенштейнъ 225.

Эйлеръ IV, V, 6,15,16,23,35,84,85,87, 91, 92, 94, 119, 130, 136, 156, 210, 212, 216, 220, 221, 227, 228, 232, 245, 283, 284, 315, 317, 343, 347, 417, 425.

Эквивалентныя системы 256.

Эквиполенція 320.

Экспоненціальн. колич. см. показат.

Эллиптическія функціи 224, 225.

Энгельсъ 136.

Эратосѳенъ 218, 226.

Эрмитъ (Hermite) 224.

Юдинъ Иванъ IV.

Якоби 220, 224, 234, 252, 253, 317.

Ѳеонъ Александрійскій 218.

АЛГЕБРА.

Вопросъ о содержаніи и опредѣленіи алгебры былъ уже затронутъ въ I книгѣ нашей Математической хрестоматіи, въ небольшой статьѣ ,,Что такое ариѳметика и алгебра". Тамъ указано, что взгляды на этотъ счетъ, начиная съ Ньютона и до нашихъ дней, претерпѣли значительныя измѣненія. Въ небольшомъ сочиненіи, „Что такое алгебра?" (Одесса, 1910 г.) приватъ — доцентъ Новороссійскаго университета В. Ф. Каганъ изложилъ сущность современныхъ взглядовъ на этотъ предметъ. Отсылая читателя къ этой живо и просто написанной небольшой книгѣ, ниже мы приводимъ нѣкоторые отрывки изъ другихъ авторитетныхъ сочиненій, касающихся опредѣленія содержанія и вмѣстѣ исторіи алгебры. Начинаемъ съ Лексикона чистой и прикладной математики (СПБ., 1839 г.) нашего академика В. Я. Буняковскаго., гдѣ подъ словомъ алгебра находимъ слѣдующее.

Алгебру обыкновенно опредѣляютъ наукою о величинахъ вообще, но это опредѣленіе принадлежитъ всему чистому анализу, между тѣмъ какъ алгебра есть только отрасль сего послѣдняго; итакъ, надлежитъ къ этому опре-

Викторъ Яковлевичъ Буняковскій.

(1804—1889 г.).

дѣленію прибавить, въ чемъ состоитъ отличительное различіе между алгеброю и прочими частями анализа. Математическій анализъ можно раздѣлить на три части: 1) алгебра, включая въ нее и ариѳметику. 2) Теорія чиселъ и 3) интегральное исчисленіе или трансцендентный анализъ. Алгебра и интегральное исчисленіе объясняютъ сущность различныхъ дѣйствій, производимыхъ надъ числами; теорія чиселъ, или трансцендентная ариѳметика занимается свойствами чиселъ. Впрочемъ, мы не выдаемъ сіе различіе за безусловное, ибо теорія чиселъ и прочія отрасли анализа заимствуются однѣ отъ другихъ, почему весьма трудно, а, можетъ-быть, и невозможно опредѣлить съ точностью то, что принадлежитъ собственно къ теоріи чиселъ, и что входитъ въ область другихъ частей анализа.

Всѣ дѣйствія надъ числами могутъ быть приведены къ шести слѣдующимъ: сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе, извлеченіе корней и рѣшеніе численныхъ уравненій. Производя сіи дѣйствія надъ числами, получаемъ другія числа, которыя называются функціями первыхъ. Случается, что сказанныя дѣйствія должны быть повторены неограниченное число разъ; тогда, происходящее отъ сего число или функція именуются трансецендентною, и ученіе о ея свойствахъ принадлежитъ интегральному анализу. Но если число дѣйствій, которымъ слѣдуетъ подвергнуть число, будетъ ограниченное, какъ бы оно, впрочемъ, велико ни было, то функція называется алгебрическою, и изслѣдованіе ея свойствъ относится къ алгебрѣ. Итакъ, можно опредѣлить алгебру, наукою о величинахъ вообще, когда подвергаемъ ихъ дѣйствіямъ алгебрическимъ. Замѣтимъ, что это опредѣленіе не заключаетъ въ себѣ ложнаго круга: ибо, употребляя въ немъ реченіе дѣйствія алгебрическія, мы имѣли только въ виду сокращеніе рѣчи, а выше объяснили, что подъ симъ наименованіемъ разумѣемъ ограниченное число дѣйствій, составленныхъ изъ сложенія, вычитанія, умноженія, дѣленія, извлеченія корней и рѣшенія уравненій.

Основныя начала алгебры почерпнуты изъ метафизики; алгебристы, для избѣжанія всякой невразумительности, большею частью не озабочиваются изслѣдованіемъ способа, которымъ пріобрѣтаются понятія о числахъ. Нѣтъ сомнѣнія, что эти понятія существуютъ, и что они основаны на дѣйствительности; первое дѣло алгебриста усвоить ихъ и выразить въ надлежащемъ видѣ. Первоначальныя дѣйствія надъ числами рождаются изъ понятій нашихъ о величинахъ, и съ сими понятіями сопряжено свойство величинъ, по которому онѣ могутъ соединяться и разлагаться. Отсюда проистекаютъ непосредственно сложеніе и вычитаніе; что касается до умноженія и дѣленія, то они выводятся изъ

послѣднихъ двухъ, послѣ чего, самымъ естественнымъ образомъ, получаются окончательныя два дѣйствія: извлеченіе корней и рѣшеніе численныхъ уравненій.

Положимъ, что какое-либо дѣйствіе, производимое надъ двумя величинами а и b, доставляетъ третью величину с; можно предложить себѣ вопросъ (что дѣйствительно и бываетъ), посредствомъ какого дѣйствія, полагая b и с извѣстными, опредѣляется а? Или, по извѣстнымъ а и с, какъ найти b? Итакъ, изъ допущеннаго дѣйствія проистекаютъ другія.

Когда дѣйствія приводятся къ первымъ четыремъ, то происходящія отъ сего функціи называются раціональны ми. Алгебра занимается ими прежде другихъ, по причинѣ ихъ простоты. Простѣйшія же изъ нихъ суть тѣ, въ которыя не входитъ дѣленіе; ихъ называютъ функціями цѣлыми. Но если надобно извлекать корни или рѣшать уравненія, то получаемая функція именуется ирраціональною. Чаще всего, величина такой функціи, по даннымъ значеніямъ перемѣнныхъ, не можетъ быть выведена иначе, какъ по приближенію; мы говоримъ чаще всего для того только, чтобы распространить послѣднее опредѣленіе на случай функцій раціональныхъ, но представляющихся въ ирраціональномъ видѣ. Что касается до функцій чисто ирраціональныхъ, то ихъ точныя величины ни въ какомъ случаѣ получены быть не могутъ, но есть положительныя правила, посредствомъ которыхъ приближаемся къ нимъ до какой угодно степени. Кромѣ сихъ величинъ, о которыхъ мы не имѣемъ совершенно полнаго понятія, вводятъ еще въ алгебру количества, вовсе не существующія и которыя поэтому именуются мнимыми. Впрочемъ, всѣ мнимыя количества, разсматриваемыя алгеброю, приводятся къ одному такого свойства, что квадратъ его равенъ — 1. Итакъ, мы имѣемъ о квадратѣ весьма ясное понятіе, между тѣмъ какъ самое количество вовсе не существуетъ. Замѣтимъ, что алгебристы заслуживаютъ нареканіе за введенный ими знакъ √—1, которымъ они изображаютъ мнимое количество. Этотъ знакъ присвоенъ существенно возможному дѣйствію, а въ настояніемъ случаѣ нѣтъ возможности произвести обозначаемое имъ извлеченіе. Мы думаемъ, что гораздо бы лучше было замѣнить знакъ √—1, какою-либо буквою, напримѣръ буквою г, разумѣя подъ нею несуществующее количество, коего квадратъ равенъ отрицательной единицѣ. Въ разсужденіи пользы и употребленія мнимыхъ выраженій мы отсылаемъ къ трактатамъ объ алгебрѣ.

Излишне было бы входить въ большія подробности относительно сущности алгебры; теперь представимъ читате-

лямъ нашимъ краткій историческій очеркъ успѣховъ этой науки.

Слово алгебра, производятъ нѣкоторые отъ собственнаго имени Геберъ, знаменитаго арабскаго философа, будто бы изобрѣтшаго сію науку. Есть еще другія этимологіи; но всѣ онѣ болѣе или менѣе неправдоподобны. Этимологія, приводимая итальянцемъ Лукою-де-Бурго1), который одинъ изъ первыхъ занимался алгеброю въ Италіи, заслуживаетъ, по мнѣнію Монтюкла, наиболѣе довѣрія. Итальянскій писатель производитъ названіе этой науки отъ арабскаго: algebra ѵ’ almucabala:, подъ соединеніемъ сихъ двухъ словъ аравитяне именно разумѣли то, что впослѣдствіи на Востокѣ названо алгеброю. Лука-де — Бурго переводитъ эти два слова: restauratio et oppositio, т.-е. возстановленіе и противуположеніе. Послѣднее слово выражаетъ довольно удачно одно изъ главныхъ дѣйствій алгебры, именно, составленіе уравненій, которыя дѣйствительно получаемъ какъ бы чрезъ противуположеніе или сравненіе величинъ. Что касается до слова возстановленіе, то трудно объяснить, какое оно имѣетъ отношеніе къ алгебрѣ; всѣ догадки остались неудовлетворительны. По этой самой причинѣ многіе итальянцы называли алгебру алмукабала; извѣстный Карданъ2) въ нѣкоторыхъ своихъ сочиненіяхъ употребилъ это самое названіе. Какъ бы то ни было, но теперь наименованіе алгебра принято всѣми математиками.

Нѣкоторые приписываютъ изобрѣтеніе алгебры аравитянамъ, но большею частью думаютъ, что ея открытіе принадлежитъ грекамъ, ибо греческій философъ Діофантъ первый писалъ объ этой наукѣ. Онъ написалъ объ вей 13 книгъ, изъ числа которыхъ осталось только 6. Ксиландеръ первый издалъ ихъ въ 1575 году. Впослѣдствіи онѣ были исправлены и дополнены комментаріями членомъ французской академіи Башетъ-де-Мезиріакомъ3), а позже извѣстнымъ Ферматомъ4).

Леонардъ Боначчи5), изъ Пизы, возвратясь изъ путешествія по Греціи и Азіи, написалъ, около 1150 года, первый трактатъ объ алгебрѣ на Западѣ. Сочиненіе о той же наукѣ Луки-де-Бурго, о которомъ упомянуто выше, было напечатано въ Венеціи въ 1494 году. Вотъ собственно тѣ, которымъ

1) Лука де Бурго (Паччіоли) 1440—1515 г.

2) Жеромъ Карданъ 1501—1576 г.

3) Bachet sier de Méziriac 1581—1638.

4) Пьеръ Ферматъ 1601—1665.

5) Часто его называютъ Фибоначчи. Родился въ 1175 г., годъ смерти неизвѣстенъ. Алгебра, о которой говоритъ здѣсь Буняковскій, напечатана въ 1202 году. „Incipit Liber Abbaci compositus a Leonardo filius Bonacci Pisanо in anno 1202“.

одолжена Европа введеніемъ алгебры. И послѣ нихъ, до временъ Віета1), Италія была, такъ сказать, разсадникомъ знаменитыхъ алгебристовъ. Сципіонъ Ферреи, по свидѣтельству Кардана, открылъ первый рѣшеніе частнаго случая уравненій 3 степени. Тарталеа или Тартагліа2), съ своей стороны, нашелъ полное рѣшеніе ихъ. Карданъ, Рафаэль Бомбелли3) споспѣшествовали распространенію сего открытія. Лудовикъ Феррари4) изобрѣлъ способъ для рѣшенія уравненій 4 степени. Конечно, въ настоящемъ состояніи алгебры всѣ эти открытія должны казаться весьма маловажными, но если примемъ въ соображеніе органиченность средствъ только что рождающейся науки, то не можемъ отказать въ геніи итальянскимъ алгебристамъ.

Во второй половинѣ XVI вѣка знаменитый Віетъ, которымъ по справедливости гордится Франція, усовершенствовалъ знакоположенія алгебры, и сдѣлалъ въ этой наукѣ важныя открытія. Онъ первый ввелъ буквы для изображенія величинъ извѣстныхъ, показалъ составленіе коэффиціентовъ въ алгебрическихъ уравненіяхъ, различныя преобразованія сихъ уравненій относительно ихь корней, и предложилъ новый остроумный способъ для рѣшенія уравненій 3 и 4 степени. Онъ же придумалъ способъ для рѣшенія, по приближенію, численныхъ уравненій какой ни есть степени. Способъ сей имѣетъ большое сходство съ тѣмъ, который употребляется при извлеченіи корней изъ неточныхъ степенныхъ количествъ.

Послѣ Віета алгебра получила значительныя приращенія отъ трудовъ Гарріота (Harriot), Угхтреда (Oughtred), Вальиса (Wallis)5) и нѣкоторыхъ другихъ.

Декартъ, положившій основаніе аналитической геометріи, также извѣстенъ своими изслѣдованіями въ чистой алгебрѣ. И нынѣ еще во всѣхъ курсахъ находимъ открытое имъ правило знаковъ.

Ньютонъ6) обогатилъ также алгебру многими открытіями, большею частью помѣщенными въ его Arithmetica Universalis. Разложеніе въ степень двучленнаго количества, способъ послѣдовательныхъ подстановленій для приближенія къ корнямъ алгебрическихъ уравненій и аналитическій параллелограмъ суть самыя примѣчательныя.

Послѣ Ньютона занимались съ большимъ или меньшимъ успѣхомъ алгебрическими теоріями Албертъ Жирардъ,

1) Viète 1540—1603.

2) 1500—1557.

3) Родился въ 1530 г., годъ смерти неизвѣстенъ.

4) 1522—1562.

5) Harriot 1560—1621, Oughtred 1574—1660, Wallis 1616—1703.

6) 1642—1726 г.

Руддъ (Hude) изъ Амстердама, Де Гюа (De Gua), Роллъ Фонтенъ и нѣкоторые другіе.

Эйлеръ1) измѣнилъ видъ всѣхъ математическихъ наукъ. До сего великаго геометра алгебра была сборникомъ способовъ синтетическихъ и аналитическихъ. Онъ углубился въ свойства функцій алгебрическихъ, употребляя одинъ анализъ, и далъ алгебрѣ и вообще всему математическому анализу тотъ видъ, въ которомъ они теперь предлагаются. Конечно, анализъ обогатился послѣ Эйлера многими открытіями: но сія отрасль столько обязана его трудамъ, что нѣкоторые математики присвоили ей названіе Эйлерова анализа. Эйлеръ положилъ основаніе настоящей теоріи уравненій; онъ доказалъ весьма важное предложеніе, состоящее въ томъ, что всякое уравненіе можетъ разложиться на вещественные множители 1 и 2 степени. Однимъ словомъ, онъ указалъ математикамъ путь къ дальнѣйшему распространенію всѣхъ теорій алгебрическихъ. Самъ знаменитый Лагранжъ2) сознается, что онъ только усовершенствовалъ теоріи Эйлера. Но прежде, нежели будемъ говорить о трудахъ Лагранжа, мы должны сказать, что современники Эйлера, Даніилъ Бернулли, Д’Аламберъ и Клеро3) оказали также болѣе или менѣе важныя услуги алгебрическому анализу. Первый изъ нихъ предложилъ способъ для разысканія по приближенію корней уравненій; второй— своими изслѣдованіями о рядахъ и о свойствахъ мнимыхъ количествъ, а третій—способами исключенія неизвѣстныхъ между нѣсколькими уравненіями. Мы не пройдемъ молчаніемъ трудовъ Безу, Чирнгауза, Варинга и Вандермонда4), которые занимались общимъ рѣшеніемъ уравненій какой ни есть степени; они предложили на сей конецъ разные остроумные пріемы, которые могутъ быть полезны въ другихъ случаяхъ, но не достигаютъ предполагаемой цѣли; ихъ попытки привели только къ новымъ способамъ рѣшенія уравненій 3 и 4 степени. Впрочемъ, надобно исключить Вандермонда, который рѣшилъ уравненіе x11—1 = 0, или происходящее отъ него уравненіе 5 степени.

Лагранжъ написалъ подробное сочиненіе о рѣшеніи численныхъ уравненій: Traité de la résolution des équations

1) 1707—1783.

2) 1736—1813.

3) Даніилъ Бернулли 1700—1782; Д’Аламберъ 1717—1783, Клеро 1713—1765.

4) Безу 1730—1783; Чирнгаузъ 1651 — 1708; Барингъ 1734—1798; Вандермондъ 1735—1796.

numériques. Онъ предлагаетъ въ немъ для рѣшенія сей задачи способъ вѣрный и не подлежащій никакому исключенію; онъ основанъ на составленіи уравненія въ квадратахъ разностей корней и на свойствахъ непрерывныхъ дробей; но этотъ способъ, по причинѣ чрезвычайной сложности численныхъ выкладокъ, требуемыхъ имъ, когда степень рѣшаемаго уравненія нѣсколько возвышенна, почти не можетъ быть употребляемъ. Лагранжъ также усовершенствовалъ теорію алгебрическихъ ирраціональныхъ выраженій; изслѣдованія его о функціяхъ симметрическихъ и подобообразныхъ (fonctions semblables) могутъ стать на ряду съ превосходнѣйшими алгебрическими умозрѣніями.

Фурье, умершій въ 1830 году, занимался съ полнымъ успѣхомъ рѣшеніемъ численныхъ уравненій; труды его по сему предмету собраны имъ въ сочиненіи подъ заглавіемъ: Analyse des équations déterminées. Алгебра обязана сему знаменитому математику способомъ легкимъ и удобоприлагаемымъ ко всякому численному уравненію. Наконецъ, г-нъ Штурмъ1) предложилъ превосходную теорему для опредѣленія числа вещественныхъ корней и отдѣленія ихъ въ какомъ ни есть алгебрическомъ уравненіи; въ теоретическомъ отношеніи эта теорема въ полной мѣрѣ удовлетворительна, и, руководствуясь ею, мы всегда надежнымъ путемъ достигнемъ цѣли, но, на практикѣ, надобно отдать преимущество способу Фурье; этотъ способъ, хотя и сопряженъ съ неудобностью послѣдовательныхъ подстановленій (tatonements), но, не смотря на то, вообще скорѣе ведетъ къ рѣшенію задачи.

Упоминаемъ наконецъ о примѣчательномъ трудѣ знаменитаго норвежскаго математика Абеля, умершаго въ 1829 году. Мы говоримъ объ неоспоримомъ доказательствѣ того предложенія, что алгебрическія уравненія, выше 4 степени, не могутъ быть рѣшены посредствомъ коренныхъ знаковъ, или, иначе, что общее рѣшеніе уравненій степеней, превышающихъ четвертую, не можетъ быть приведено къ извлеченію корней. Это доказательство было напечатано на нѣмецкомъ языкѣ въ „Journal fur die reine und angemandte mathematit", изд. U. L. Krelle, и важность его неоспорима, когда примемъ въ соображеніе то обстоятельство, что многіе первостепенные математики думали прежде, что рѣшеніе уравненій всѣхъ степеней возможно посредствомъ радикаловъ.

1) Парижская академія наукъ, въ публичное засѣданіе 8 декабря 1834 года, присудила сочиненію г-на Штурма, подъ заглавіемъ: Mémoire sur la résolution des équations numériques, большую золотую медаль въ 5000 франковъ. Въ этомъ мемуарѣ сочинитель доказываетъ теорему, о которой мы упоминаемъ.

Окончимъ эту статью нѣкоторыми показаніями о знакоположеніяхъ, бывшихъ въ употребленіи у прежнихъ алгебристовъ.

Діофантъ, первый писатель объ алгебрѣ, употреблялъ слѣдующіе знаки: неизвѣстную или искомую величину онъ означалъ чрезъ στι; ея квадратъ, именуемый имъ δύναμής, чрезъ 5Ö; кубъ (ζύβυς), чрезъ zö; четвертую степень или биквадратъ (δύναμοδύναμις), чрезъ δδύ; пятую степень, чрезъ δζύ и проч. Опредѣленныя числа изображалъ Діофантъ знакомъ μύ, отъ слова μονάς, единица. Что касается до знаковъ сложенія и вычитанія, то, для обозначенія второго дѣйствія, онъ употреблялъ знакъ Д4» т.-е. опрокинутую испорченную букву ψ, отъ λείψις, недостатокъ. Для сложенія не было особеннаго знака, и его означали простымъ соединеніемъ слагаемыхъ количествъ.

Древнѣйшіе изъ германскихъ алгебристовъ были Христофоръ Рудольфсъ и Михаилъ Штифель; первый изъ нихъ напечаталъ въ 1522 году на нѣмецкомъ языкѣ алгебру подъ заглавіемъ: Die Coss] второй издалъ въ 1 553 эту самую алгебру со многими улучшеніями и прибавленіями; онъ также извѣстенъ собственнымъ сочиненіемъ Arithmetica integra. Рудольфсъ и Штифель ввели употребляемые до нынѣ знаки и —. Въ Италіи же, по знакоположенію Луки Пачіоло, употребляли вмѣсто + , букву р. (ріи), а вмѣсто —, букву m. (mono)] тѣ же германскіе алгебристы ввели коренной знакъ √; равенство они изображали точкою; впослѣдствіи Декартъ1) употребилъ знакъ œ, а англійскій математикъ Рекордъ въ 1557 году ввелъ нынѣ всѣми принятый знакъ = . Итакъ, уравненіе 80 = 6 + 3x изображалось:

по Рудольфсу и Штифелю 80 . 6 + 3x

по Декарту.................80 со 6 + 3x.

Въ Голландіи и Нидерландахъ также занимались алгеброю многіе математики. Одинъ изъ лучшихъ былъ Стевинъ2), коего алгебра была въ первый разъ напечатана въ концѣ XVI вѣка. Знакоположеніе, введенное имъ и принятое тогда его соотечественниками, состояло въ слѣдующемъ: неизвѣстную величину онъ изображалъ знакомъ (7); квадратъ этой неизвѣстной, знакомъ (2); кубъ (3) и т. д.

1) Рене Декартъ 1596—1650 г.

2) 1548—1620.

Алгебра въ ряду другихъ математическихъ наукъ.

(Извлеченіе изъ мемуара Пуансо1): Размышленія объ основныхъ положеніяхъ теоріи чиселъ).

Математику опредѣляютъ обыкновенно какъ науку о величинахъ вообще или о количествахъ, т.-е., по существу, какъ науку объ отношеніяхъ. Такое опредѣленіе было поднесь самымъ распространеннымъ, но хотя, повидимому, оно обнимаетъ всю науку во всемъ ея объемѣ, я не считаю его ни достаточно глубокимъ, ни достаточно объемлющимъ. Въ самомъ дѣлѣ, математика есть не только наука объ отношеніяхъ. Этими словами я хочу выразить, что нашъ умъ имѣетъ въ виду не одну только пропорціональность или измѣреніе величинъ; можно разсматривать число вещей само по себѣ, ихъ порядокъ и расположеніе—безъ всякой идеи объ ихъ отношеніяхъ и разстояніяхъ, ихъ отдѣляющихъ. Если всмотрѣться въ различныя области математики, то всюду встрѣтимъ эти два вида нашихъ изслѣдованій. Такимъ образомъ, ариѳметика представляется намъ сначала обыкновенной ариѳметикой, которая есть не что иное, какъ искусство считать, и которая можетъ быть установлена безчисленными способами, смотря по тому, что мы беремъ за основаніе. Но числа, разсматриваемыя сами по себѣ, обладаютъ свойствами, не зависящими отъ способовъ, помощью коихъ мы ихъ представляемъ и помощью коихъ мы надъ ними производимъ дѣйствія; такъ, есть числа, не дѣлящіяся ни на какое другое число, кромѣ себя и единицы, которыя мы называемъ простыми или первыми, ибо всѣ другія составляются путемъ перемноженій первыхъ. Далѣе существуютъ различныя степени чиселъ, которыя получаются путемъ перемноженія чиселъ самихъ на себя, и цѣлый рядъ другихъ чиселъ, получаемыхъ посредствомъ различныхъ законовъ и разныхъ опредѣленныхъ комбинацій ихъ. Но всѣ эти числа и ихъ свойства сохраняются, каковы бы ни были возможныя системы счисленія. Отсюда слѣдуетъ извѣстный рядъ математическихъ положеній и истинъ, которыя и составляютъ ту трансцендентную ариѳметику, которую называютъ теперь теоріей чиселъ. Если присмотрѣться къ алгебрѣ, то легко увидѣть, что въ ней существуютъ также двѣ совершенно разныхъ вѣтви. Сначала— обыкновенная алгебра или универсальная (общая) ариѳме-

1) Луи Пуансо (Poinsot) 1777—1859, знаменитый французскій математикъ.

тика, являющаяся не инымъ чѣмъ какъ обобщенной ариѳметикой, распространенной съ обыкновенныхъ чиселъ на какія угодно числа, и поэтому операціи, производимыя въ ней надъ числами, не столько производятся, сколько обозначаются посредствомъ знаковъ; заботятся не столько о результатѣ операцій, сколько о томъ, чтобы сумѣть изобразить ихъ и найти общія формулы для рѣшенія проблемъ одного и того же типа.

Но есть высшая алгебра, которая опирается всецѣло на теорію порядка и комбинацій, которая занимается природою и составленіемъ формулъ, разсматриваемыхъ, какъ чистые символы, безъ идеи о значеніи и величинѣ ихъ. Сюда слѣдуетъ отнести глубокую теорію уравненій, теорію мнимыхъ выраженій и всѣ способы алгебрическихъ преобразованій: эту высшую часть науки и слѣдовало бы называть алгеброй въ собственномъ смыслѣ. Если же мы опредѣлимъ геометрію, какъ науку о пространственныхъ или о протяженныхъ формахъ, то увидимъ, что и она распадается на двѣ части: первая—изучаетъ свойства фигуръ съ точки зрѣнія отношеній величинъ ихъ, и предметомъ изслѣдованій ея служатъ пропорціональность и измѣреніе; вторая же разсматриваетъ порядокъ и расположеніе вещей въ пространствѣ, не обращая вниманія на ихъ величину или на фигуру. Это еще новая наука, называемая геометріей положеній, открыта впервые, повидимому, Лейбницемъ. Онъ разсмотрѣлъ нѣсколько замѣчательныхъ игръ, законъ которыхъ зависитъ только отъ расположенія предметовъ, которыми пользуются при игрѣ. Однако эта геометрія распространяется на многіе весьма важные вопросы, и къ ней можно отнести звѣздчатые многоугольники и многогранники и нѣкоторыя другія задачи, рѣшеніе которыхъ я помѣстилъ въ мемуарѣ, напечатанномъ въ Recueil de l’institut и Journal de l’Ecole Polytechnique.

Механика тоже заключаетъ въ себѣ двѣ области: область, занимающуюся опредѣленіемъ движеній, силъ и скоростей, съ одной стороны; съ другой стороны, область, которая изслѣдуетъ взаимное расположеніе тѣлъ, ихъ взаимодѣйствіе, способы, какими скрещиваются ихъ пути, не обращая вниманія на направленіе этихъ путей, ни на времена, которыя тѣла употребляютъ для пробѣга ихъ, ни на силы, двигающія тѣла. Таковы, напр., нѣкоторыя машины, въ которыхъ не разсматривается ни сила, ни величина движенія, а единственно положеніе и геометрическое движеніе разныхъ частей, составляющихъ эти машины. Ясно, что эта область механики всецѣло основана на геометріи положенія и совпадаетъ съ ней.

Какъ бы то ни было, но въ математикѣ всюду мы видимъ всегда двѣ категоріи объектовъ: во-первыхъ— величину или количество, отношеніе, т.-е. измѣреніе величинъ, во-вторыхъ—число, порядокъ и положеніе вещей безъ всякой мысли объ измѣреніи или количествѣ, такъ что математика, разсматриваемая съ самой общей точки зрѣнія, можетъ быть опредѣлена какъ наука о числѣ, порядкѣ и мѣрѣ.

Теорію чиселъ я ставлю на первомъ мѣстѣ, такъ какъ она является первымъ звеномъ въ цѣпи нашихъ идей и, будучи наукой объ отношеніяхъ, она заключаетъ въ себѣ первыя положенія. Въ самомъ дѣлѣ, нѣтъ ни одной математической проблемы, какъ бы проста она ни была, въ которой не пришлось бы разсматривать нѣсколько предметовъ, и которая бы не представляла первыхъ трудностей, относящихся къ числу ихъ, такъ что первыя положенія рѣшеній должны быть неминуемо исчерпаны въ теоріи чиселъ. Однако эту доктрину, которой я удѣляю первое мѣсто, относятъ обыкновенно на второе мѣсто; и мы видимъ даже, что многія отрасли математики развились до значительной степени, ничего не заимствуя изъ теоріи чиселъ, которая остается изолированной и какъ бы безъ употребленія въ анализѣ и геометріи. Здѣсь нужно сдѣлать одно существенное замѣчаніе. Позволю замѣтить себѣ, что большей частью вопросы, которыми занимались геометры, требовали больше ловкости и остроумія, чѣмъ силы и глубины. Имѣя въ виду почти всегда только одно количество, они дошли до того, что въ состояніи стали улавливать малыя измѣненія величинъ, варіирующія почти незамѣтно. Въ первыхъ интересующихъ насъ вопросахъ такъ мало элементовъ, требующихъ изслѣдованій, что трудности, относящіяся къ числу и порядку этихъ элементовъ, исчезаютъ, такъ сказать, сами собой и мало препятствуютъ успѣшному рѣшенію задачъ. Но лишь только мы переходимъ къ болѣе труднымъ математическимъ изслѣдованіямъ, какъ эти затрудненія даютъ себя чувствовать и представляются почти неустранимыми. Въ такихъ случаяхъ вопросы почти всегда недостаточно исчерпываются, а частныя рѣшенія, которыя мы получили въ нѣкоторыхъ простыхъ случаяхъ, въ силу своего необщаго характера мало проливаютъ свѣта на вопросы того же самаго рода. Это можно подтвердить и сдѣлать особенно чувствительнымъ на нѣсколькихъ примѣрахъ. Такъ, древніе нашли, что можно построить съ помощью циркуля и линейки сторону правильнаго треугольника и даже сторону правильнаго пятиугольника, вписанныхъ въ кругъ, и хотя они отыскали для этихъ двухъ случаевъ

точныя построенія, однако этимъ и ограничились, думая, что дальше итти нельзя. Они могли рѣшить задачу для первыхъ двухъ чиселъ 3 и 5, такъ какъ въ томъ не было большой трудности.

Но они не могли этого сдѣлать для большихъ простыхъ чиселъ, и сразу остановились на пути, и истинныя основанія рѣшеній, которыя разсматриваются только въ теоріи чиселъ, ускользнули отъ нихъ. Въ самомъ дѣлѣ, если бы имъ были извѣстны эти положенія, то они увидали бы, что возможно раздѣлить геометрически кругъ на 3 и 5 равныхъ частей, зная лишь свойство, общее этимъ первымъ числамъ: каждое изъ нихъ, будучи уменьшено на 1, состоитъ изъ множителя 2, т.-е. даетъ точную степень 2, а отсюда они заключили бы, что рѣшеніе одинаково возможно и для другихъ чиселъ, какъ-то—17, 257 и др., обладающихъ тѣмъ же самымъ свойствомъ. Но о такомъ рѣшеніи, найденномъ ими только для 3 и 5, они и не подозрѣвали; ихъ рѣшеніе было рѣшеніемъ, такъ сказать, факта, и оно не вытекало изъ свойства простыхъ чиселъ, которое здѣсь давало успѣхъ. При помощи только теоріи порядка и чиселъ мы въ состояніи познать настоящую природу алгебры и отдать себѣ отчетъ въ двузначности или многозначности значеній, которыя она приписываетъ своимъ символамъ или въ томъ, что она даетъ намъ часто нѣсколько корней или различныхъ рѣшеній въ задачѣ, тогда какъ нашъ разумъ видитъ только одно рѣшеніе: это—специфическое свойство алгебры, и въ немъ не разобрались, я же стараюсь углубить его, чтобы бросить новый свѣтъ на философію науки.

Когда примѣняютъ алгебру къ рѣшенію задачъ, то нерѣдко получаютъ уравненіе высшей степени, которое имѣетъ нѣсколько корней и которое, кромѣ прямого отвѣта на вопросъ задачи, даетъ другіе, побочные, о которыхъ мы вовсе не думали и которые иногда, повидимому, даже невозможно интерпретировать помощью чиселъ или линій, фигурирующихъ въ вопросѣ.

Даламберъ1) высказывалъ свои мысли по этому поводу во многихъ своихъ работахъ, и особенно въ энциклопедическомъ словарѣ по поводу слова „уравненіе“.

Онъ разсматриваетъ нѣкоторые очень простые вопросы, гдѣ алгебра даетъ за разъ нѣсколько рѣшеній, хотя точный смыслъ задачи требуетъ, повидимому, одного. Этотъ

1) Жанъ-ле-Ронъ д-Аламберъ 1717—1783. Одинъ изъ замѣчательнѣйшихъ математиковъ и «энциклопедистовъ» XVIII вѣка.

ученый старается объяснить это тѣмъ, что уравненіе бываетъ болѣе общаго характера, чѣмъ сама проблема: оно является алгебрическимъ переводомъ нѣсколькихъ различныхъ проблемъ, разницу которыхъ алгебра не въ состояніи различить. „Нѣкоторые математики, говоритъ онъ, смотрятъ на эту общность алгебры, какъ на ея богатство: она даетъ отвѣты не только на то, что спрашивается отгадать, но и на то, о чемъ ея не спрашивали и не думали спрашивать. По моему, это свойство алгебры является скорѣе неудобствомъ ея. Часто случается, что мы получаемъ уравненіе степени высшей, чѣмъ если бы оно заключало въ себѣ только корни, отвѣчающіе искомому рѣшенію вопроса. Правда, это неудобство устранялось бы и служило бы поистинѣ богатствомъ алгебры, если бы намъ извѣстенъ былъ общій методъ рѣшенія, уравненій всѣхъ степеней. Дѣло въ томъ, что тогда нужно бы было умѣть выдѣлять изъ корней тѣ, въ которыхъ дѣйствительно нуждаются: но, къ несчастью, мы не знаемъ, какъ рѣшать уравненія выше четвертой степени. Поэтому остается только желать, чтобы можно было хотя уменьшить степень уравненія до той степени, которая бы давала простые и истинные отвѣты на задачу; но природа алгебры, повидимому, этого не позволяетъ“. Таково разсужденіе Даламбера, философа, которому наука обязана освѣщеніемъ многихъ своихъ пунктовъ. Однако мнѣ кажется, что въ этихъ разсужденіяхъ чувствуется недостатокъ силы и правильности, что они не достигаютъ глубины философскаго вопроса, о которомъ идетъ рѣчь. Эта обязанность алгебры не является ни достоинствомъ, ни неудобствомъ алгебры: это просто характеръ науки точной и совершенной,—она даетъ строго намъ то, что дало бы намъ совершенно строгое разсужденіе. Предположимъ, что проблема, которою мы занимаемся, точно формулирована; формулировка будетъ тогда заключать въ себѣ строгое соотношеніе между неизвѣстнымъ и данными проблемы, и она приводится къ одному только уравненію. Ясно, что все лишнее, что можно придать или подразумѣвать къ условіямъ задачи, будетъ безполезно и можетъ привести иногда къ противорѣчію. Такъ какъ разъ неизвѣстное, фиксированное уравненіемъ, опредѣляется только тѣмъ, что выражаетъ собою задача, то очевидно, что прибавить сюда ничего нельзя; такъ, напримѣръ, условіе, что неизвѣстное будетъ больше или меньше извѣстной величины, или что искомая линія упадетъ въ той или въ другой части фигуры и т. п., всѣ эти условія отъ насъ не зависятъ, разумъ ихъ можетъ вводить въ задачу не кстати, и они часто могутъ оказаться не отвѣчающими

разсматриваемому вопросу. Каждое уравненіе, разъ только задача формулирована точно, должно представлять собою ни что иное, какъ переводъ ея на языкъ алгебры. Если уравненіе даетъ много корней или различныхъ значеній неизвѣстнаго, то для внимательнаго ума это не будетъ неожиданностью и будетъ вытекать изъ условій задачи.

Алгебра не даетъ никогда болѣе того, что отъ нея требуется. Ея общность не превосходитъ общности логики, разсматриваемой въ ея усовершенствованномъ видѣ, такъ что степень уравненій должна быть какъ разъ степенью вопроса, если только послѣдній правильно поставленъ. Но часто наши формулировки задачъ—очень несовершенны.

Я хотѣлъ этимъ сказать, что независимо отъ того соотношенія, что связываетъ неизвѣстное съ данными задачи и опредѣленія его, мы склонны присоединять еще безполезныя условія и притомъ часто противорѣчивыя. И вотъ что случается. Такъ какъ такого рода условіе не дѣлаетъ уравненій и не отвѣчаетъ характеру алгебры, то искомое уравненіе получается такъ, какъ будто нашихъ предположеній не существуетъ, а потому такое уравненіе имѣетъ только тѣ корпи или тѣ рѣшенія, которые допускаетъ смыслъ задачи. Однако, съ другой стороны, мы всегда стараемся разсмотрѣть тѣ предѣлы, въ которыхъ заключенъ вопросъ, а потому мы часто удивляемся множеству побочныхъ рѣшеній, не имѣя ихъ вовсе въ виду, и пытаемся объяснить ихъ помощью линій или величинъ, фигурирующихъ въ задачѣ.

Если это удается, то приписываютъ алгебрѣ общность, которою не обладаетъ наше обыкновенное мышленіе; если же нѣтъ, то ставятъ въ упрекъ алгебрѣ ея характеръ общности, видя въ этомъ и неудобство и несовершенство, такъ какъ — де она смѣшиваетъ истинное значеніе неизвѣстнаго съ посторонними значеніями.

Но дѣло тутъ, на мой взглядъ, въ несовершенствѣ ума и языка. Алгебра, повторяю еще разъ, передаетъ и должна передавать только ту часть задачи, которая образуетъ уравненіе, и послѣдняго достаточно для опредѣленія: оно не включаетъ условій, не служащихъ къ опредѣленію его.

Такъ, обратно полученное уравненіе не содержитъ уже недостатковъ редакціи задачи и является вопросомъ, поставленнымъ въ полномъ своемъ объемѣ. Если уравненіе даетъ много различныхъ корней, то не нужно думать, что мы должны пополнить редакцію задачи, а, напротивъ, нужно стараться сузить и упростить ее, отбросивъ все лишнее, что мы по своей волѣ вложили, и тогда мы уви-

димъ, что уравненіе алгебрическое какъ разъ даетъ намъ ту именно кратность рѣшеній, какую мы могли бы наблюдать безъ алгебры въ точно формулированной задачѣ.

Такова должна быть истинная природа алгебры и истинное рѣшеніе философскаго вопроса, касающагося первыхъ основъ математики. Здѣсь дѣло не въ рѣшеніи уравненій всѣхъ степеней, а вопросъ заключается въ томъ, чтобы объяснить, почему получается столько корней и показать, что это вполнѣ свойственно природѣ вещей, и что алгебра имѣетъ въ данномъ случаѣ общность не большую, чѣмъ и простой здравый смыслъ.

Слѣдуетъ сдѣлать и такое замѣчаніе: благодаря несовершенству и слабости нашего ума, который идетъ только при помощи осязаемыхъ образовъ или словъ, отвѣчающихъ этимъ послѣднимъ, алгебра оказывала и продолжаетъ оказывать намъ удивительную помощь.

Она выражаетъ только тѣ соотношенія, которыя нужно опредѣлить, и она не имѣетъ въ себѣ знаковъ для неподходящихъ условій; она показываетъ, что какъ бы несовершенна ни была формулировка задачи, но если только она включаетъ законъ, касающійся самаго важнаго пункта задачи, то искомое уравненіе всегда носитъ такой характеръ, какъ будто мы изложили задачу самымъ совершеннымъ образомъ.

Съ этой точки зрѣнія алгебра расширяетъ и совершенствуетъ человѣческій умъ.

Ниже мы дадимъ вторую часть этого замѣчательнаго мемуара Пуансо, содержащую доказательства первоначальныхъ свойствъ чиселъ, основанныя на идетъ порядка, а также рѣшеніе неопредѣленныхъ ур-ій первой степени съ двумя неизвѣстными.

О разныхъ способахъ счисленія и ихъ связи вообще.

(Изъ книги Эйлера Vollständige Anleitung zur Algebra. С.-Петербургъ. 1770 г. Т. I. Глава XX).

206. До сихъ поръ мы примѣняли разные способы исчисленія, какъ: сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе, возвышеніе въ степени и наконецъ извлеченіе корней.

Поэтому будетъ не лишнимъ, если для большей ясности мы точно объяснимъ происхожденіе этихъ способовъ счисленія и ихъ связь между собою, чтобы вмѣстѣ съ

тѣмъ узнать, могутъ ли существовать другіе подобные способы или нѣтъ.

Для этой цѣли намъ нуженъ прежде всего новый знакъ, который бы могъ замѣнить употребительное до сихъ поръ словесное выраженіе столъ же велико, какъ. Этотъ знакъ есть = и произносится онъ равно.

Такъ что, когда пишутъ а = b, то это значитъ, что а столь же велико, какъ и 6, или что а равно b; напримѣръ, 3. 5 = 15.

207. Первый способъ исчисленія, который представляется нашему разуму, это, безспорно, сложеніе, посредствомъ котораго два числа слагаются вмѣстѣ, или сумма которыхъ должна быть найдена. Пусть а и b будутъ данными числами, а сумма ихъ, выраженная буквой, будетъ с, тогда получимъ а + b = с. Слѣдовательно, если оба числа, а и b, извѣстны, то сложеніе учитъ, какъ слѣдуетъ найти число с.

208. Удержимъ это равенство а + b = с, но обратимъ вопросъ иначе: если извѣстны числа а и с, то какъ найти число b?

Спрашивается, значитъ, какое число надо прибавить къ числу а, чтобы получилось число с? Пусть будетъ, напр., а = 3 и с = 8, такъ что должно получиться 3 + b = 8; и ясно, что b получится, если изъ 8 вычтемъ 3. Вообще же, чтобы найти 6, надо а вычесть изъ с, и тогда будетъ b = с — а, такъ какъ если сюда прибавить еще а, то получимъ с — а + а, т.-е. с.

Въ этомъ и состоитъ начало вычитанія.

209. Вычитаніе возникаетъ, слѣдовательно, если обратить вопросъ, который дается при сложеніи. Но такъ какъ при этомъ можетъ случиться, что число, которое должно быть отнято, будетъ больше, чѣмъ то, отъ котораго оно отнимается, какъ, напр., отъ 5 надо отнять 9, то отсюда мы получимъ понятіе о новомъ родѣ чи-

Леонардъ Эйлеръ.

1707—1783.

селъ, которыя называются отрицательными, потому что 5—9 = — 4.

210. Когда нѣсколько чиселъ, которыя должны быть сложены, равны между собой, то сумма ихъ находится посредствомъ умноженія, и тогда она называется произведеніемъ. Итакъ, ab означаетъ произведеніе, которое образуется, если число а умножить на число b. Если мы это произведеніе обозначимъ буквой с, то получимъ ab = с; и умноженіе учитъ, какъ надо найти число с, если числа а и b извѣстны.

211. Допустимъ теперь, что намъ встрѣтится такой вопросъ: числа с и а извѣстны, какъ найти число 6? Напримѣръ: а = 3 и с = 15, такъ что 36 = 15, и спрашивается, на какое число надо помножить 3, чтобы получилось 15? Это узнается дѣленіемъ и, вообще, число b будетъ найдено, если раздѣлить с на а, откуда и слѣдуетъ уравненіе b = с/a.

212. Часто можетъ случиться, что число с не дѣлится на а, но такъ какъ буква b должна, все же, имѣть опредѣленное значеніе, то мы приходимъ къ новому роду чиселъ, которыя называются дробями. Если взять a = 4 и c = 3, такъ что 46 = 3, то ясно, что 6 будетъ не цѣлое число, но дробь, а именно b = 3/4.

213. Какъ умноженіе исходитъ отъ сложенія, когда должны быть сложены нѣсколько одинаковыхъ чиселъ, такъ и при умноженіи мы можемъ допустить, что необходимо перемножить между собой нѣсколько равныхъ чиселъ. Такимъ образомъ мы приходимъ къ степенямъ, которыя вообще представляютъ въ видѣ аb, означающемъ, что число а надо умножить само на себя столько разъ, сколько показываетъ число 6. Здѣсь, какъ указано выше, а будетъ корень, b—показатель и аb—степень.

214. Обозначивъ эту степень буквой с, получимъ аb = с, такъ что связаны три буквы а, b, с.

При этихъ допущеніяхъ ученіе о степеняхъ показываетъ, какъ отсюда опредѣлить степень, т.-е. букву с, если корень а и показатель b извѣстны. Пусть будетъ, напр., а = 5 и b = 3, такъ что с = 53, откуда видно, что надо взять третью степень 5, которая равна 125. Итакъ, c = 125.

Въ данномъ случаѣ узнается, значитъ, какъ по корню а и показателю 6 найти степень с.

215. Попробуемъ теперь обратить или измѣнитъ вопросъ такъ, чтобы по двумъ изъ этихъ трехъ чиселъ а, b, c, требовалось найти третье число.

Здѣсь можетъ представиться два случая, смотря по тому, принимается ли вмѣстѣ съ с за извѣстное а или b. При этомъ необходимо замѣтить, что только въ вышеупомянутыхъ случаяхъ, т.-е. при сложеніи и умноженіи, допустима замѣна (одного числа другимъ). Такъ, въ первомъ случаѣ, гдѣ а + b = с, при данномъ с все равно принять ли за извѣстное а или 6, т.-е. все равно, пишу ли я а + b или b + а. То же самое относится къ равенствамъ аb = с или bа = с, гдѣ буквы а и b также могутъ быть перемѣщены. Этому нѣтъ мѣста при степеняхъ, гдѣ ab никоимъ образомъ не можетъ быть замѣнено ba. Это станетъ яснымъ изъ слѣдующаго примѣра. Возьмемъ хотя бы а = 5 и b = 3. Получимъ аb = 53 = 125. Если же мы переставимъ буквы, то получится bа = 35 = 243, число совершенно отличное отъ 125.

216. Отсюда ясно, что можно предложить еще два вопроса, изъ которыхъ первый состоитъ въ слѣдующемъ: даны степень с и показатель b, то какъ найти корень а? Второй же вопросъ касается нахожденія показателя 6, если вмѣстѣ со степенью с данъ, какъ извѣстное, и корень а.

217. Только первый изъ этихъ вопросовъ выясненъ выше въ ученіи объ извлеченіи корней. Если, напр., b = 2, т.-е. a2 = с, то а должно быть такимъ числомъ, квадратъ котораго равенъ с, и тогда будетъ а = √с. Точно также, если 6 = 3, то будемъ имѣть a3 = с, слѣдовательно, кубъ числа а долженъ быть равнымъ данному числу с, откуда слѣдуетъ a = ∛с. Отсюда становится понятнымъ общій пріемъ, какъ по двумъ буквамъ с и b можно опредѣлить букву а. А именно будетъ а = √c.

218. Такъ какъ часто случается, что данное число с не оказывается такой степенью, корень которой ищутъ, то какъ уже указано выше, искомый корень не можетъ быть ни цѣлымъ числомъ, ни дробью. Но такъ какъ данное равенство все же должно имѣть свое опредѣленное значеніе, то мы подходимъ къ новому роду чиселъ, которыя называются ирраціональными или нѣмыми (Surdische) числами, которыхъ въ силу многоразличности корней можно получить безконечное количество родовъ. То же разсужденіе приводитъ насъ еще къ числамъ совсѣмъ особаго рода, которыя невозможны и мнимы, или же называются воображаемыми числами.

219. Мы видимъ, что для разсмотрѣнія намъ остается еще одинъ вопросъ, а именно: если кромѣ степени с, принятъ за извѣстное число еще корень а, то какъ отсюда найти показатель? Этотъ вопросъ наводитъ на весьма

важное ученіе о логариѳмахъ, польза которыхъ въ математикѣ такъ велика, что почти ни одно изъ значительныхъ вычисленій не можетъ быть выполнено безъ помощи логариѳмовъ. Объ этомъ ученіи мы поговоримъ въ слѣдующей главѣ, гдѣ мы найдемъ еще новые роды чиселъ, которыя не могутъ быть причислены даже къ вышеупомянутымъ ирраціональнымъ.

Нѣсколько словъ о такъ называемомъ „правилѣ знаковъ“ въ элементарной алгебрѣ.

(Статья М. Орѣшникова въ № 394 «Вѣстника опытной физики и элементарной математики» за 1905 годъ).

Правило знаковъ при умноженіи алгебраическихъ количествъ выражается, какъ извѣстно, такъ: „Одинаковые знаки даютъ плюсъ, разные — минусъ".

Для объясненія этого правила дается обыкновенно опредѣленіе умноженія, принадлежащее французскому ученому Коши. „Умножить одно число на другое, значитъ изъ множимаго составить новое число такъ, какъ множитель составленъ изъ положительной единицы". Одинъ изъ труднѣйшихъ случаевъ умноженія — умноженіе отрицательнаго числа на отрицательное, когда въ результатѣ, нѣсколько неожиданно для новичка, получается положительное число, при помощи опредѣленія Коши объясняется такъ: „Умножить — 5 на —3, значитъ изъ —5 составить новое число такъ, какъ —3 составлено изъ положительной единицы, а какъ — 3 составлено изъ положительной единицы? Взяли + 1, перемѣнили знакъ + на —, получивъ —1, потомъ — 1 повторили 3 раза; слѣдовательно, для умноженія — 5 на —3, перемѣнимъ знакъ у — 5, получивъ + 5, а потомъ возьмемъ + 5 три раза, получая + 15“. (Почему подчеркнуты слова: „перемѣнили знакъ + на —", это объяснится впослѣдствіи, при разборѣ этого опредѣленія).

Опредѣленіе Коши можно встрѣтить и въ учебникахъ ариѳметики, такъ что подъ это опредѣленіе можно подвести всѣ случаи умноженія чиселъ цѣлыхъ и дробныхъ, положительныхъ и отрицательныхъ.

Интересно то, что составители учебниковъ ариѳметики прибѣгаютъ къ опредѣленію Коши только тогда, когда имъ приходится объяснять умноженіе дробей. А пока такой, такъ сказать, необходимости нѣтъ, они (напр., Малининъ и Буренинъ, Киселевъ, Давидовъ, Леве, Воленсъ, Шохоръ-Троцкій, Буняковскій, Егоровъ, Цигельманъ, Мартыновъ,

Меморскій, Чеканскій и нѣкоторые другіе) даютъ, съ нѣкоторыми маловажными измѣненіями, слѣдующее опредѣленіе: „Умножить одно число на другое, значитъ одно число взять слагаемымъ столько разъ, сколько въ другомъ единицъ“.

Сравнительно съ опредѣленіемъ Коши, это опредѣленіе кажется лучшимъ: во-первыхъ, оно понятнѣе для учениковъ, потому что съ удобствомъ укладывается въ стройную систему опредѣленій дѣйствій: зная уже сложеніе и противоположное ему — вычитаніе, ученикъ понимаетъ умноженіе, какъ частный случай сложенія, а впослѣдствіи онъ пойметъ дѣленіе, какъ дѣйствіе, сходное съ вычитаніемъ и противоположное умноженію; во-вторыхъ, благодаря этой связи умноженія со сложеніемъ, ученикъ, въ случаѣ затрудненія съ умноженіемъ, сейчасъ же передѣлываетъ умноженіе на сложеніе (вмѣсто 5 × 3 пишетъ 5 + 5 + 5 и легко рѣшаетъ вопросъ).

А между тѣмъ опредѣленіе Коши во-первыхъ, непонятно, какъ не связанное по ассоціаціи сходства со сложеніемъ и по ассоціаціи контраста — съ дѣленіемъ, а, во-вторыхъ, механично, т.-е. не объясняетъ умноженія, изучаемаго дѣйствія, посредствомъ сложенія, уже извѣстнаго дѣйствія, а даетъ, въ сущности, только практическій способъ для умноженія (вспомните подчеркнутыя слова: „Перемѣнить знакъ + на — “ въ опредѣленіи Коши, изложенномъ въ началѣ настоящей замѣтки). Есть правило: „Чтобы раздѣлить дробь на дробь, нужно числителя первой дроби помножить на знаменателя второй, а числителя второй—на знаменателя первой и первое произведеніе раздѣлить на второе“. Заучить такое трехъэтажное правило, и, кромѣ того, понимать его не такъ-то легко, почему многіе ученики пользуются этимъ правиломъ безсознательно, и тогда оно, позволяя все-таки рѣшать задачи, ничуть не хуже опредѣленія Коши1).

Кромѣ того, авторы, дающіе опредѣленіе Коши на ряду съ другимъ, указанными нами, опредѣленіемъ (къ числу такихъ авторовъ можно отнести Малинина и Буренина, Леве, Воленса, Шапошникова, Шохоръ-Троцкаго, отчасти Давидова), грѣшатъ еще въ слѣдующихъ двухъ отношеніяхъ: 1) спрашивается,—зачѣмъ же было имъ вводить это бросаемое опредѣленіе, если потомъ оно признается негоднымъ? Вѣдь тогда и къ опредѣленію Коши ученики

1) Самая слабая сторона опредѣленія Коши заключается въ томъ, что оно получаетъ опредѣленный смыслъ лишь послѣ того, какъ мы строго установимъ, какимъ способомъ мы должны получать отрицательное число изъ положительной единицы, а это уже дѣлаетъ опредѣленіе очень громоздкимъ.

отнесутся подозрительно, предполагая, что когда-нибудь и его придется бросить; 2) ученики будутъ думать, что умноженіе алгебраическихъ количествъ не есть то же самое умноженіе, которое производилось надъ цѣлыми числами, а совершенно новое дѣйствіе (такъ, впрочемъ, и говорятъ совершенно откровенно, Шапошниковъ, Леве и Шохоръ-Троцкій); не внесетъ ли это путаницу въ головы учениковъ?

Итакъ, вводить два совершенно различныхъ опредѣленія умноженія неудобно; оставить для всѣхъ случаевъ умноженія опредѣленіе Коши — тоже не совсѣмъ хорошо, потому что оно не имѣетъ связи съ опредѣленіями другихъ дѣйствій; слѣдовательно, надо оставить другое, болѣе простое опредѣленіе для всѣхъ случаевъ умноженія.

Однако, изъ авторовъ, дающихъ это опредѣленіе, почти всѣ (а именно: Малининъ и Буренинъ, Леве, Воленсъ, Шапошниковъ, Шохоръ-Троцкій) бросаютъ это опредѣленіе даже въ ариѳметикѣ, приступая къ объясненію умнонія дробей. „Умножить 2 на 3,—разсуждаютъ, напр., Малининъ и Буренинъ, —значитъ 2 взять слагаемымъ 3 раза, но что же значитъ 2 помножить на 3/7? Вѣдь нельзя же 2 взять слагаемымъ 3/7 раза?!“ А дальше слѣдуетъ изложеніе спасительнаго опредѣленія Коши.

Одинъ только Давидовъ не испугался этой трудности и не измѣнилъ данному имъ простому опредѣленію въ эту критическую минуту, и въ отвѣтъ на недоумѣвающіе вопросы Малинина и Буренина храбро разсуждаетъ такъ: „Умножить 7 на 5/6, значитъ 7 взять 5/6 раза; 1/6 раза, значитъ 2/6 отъ 7, или 7/6, значитъ нужно взять 5 разъ 6-ю часть отъ 7, т.-е. 7/6.5. Слѣдовательно, 5/6 раза 7 то же, что 5 разъ 7/6, а потому 7 .5/6 = 7/6. 5 = 35/6“.

Но и Давидовъ бросаетъ это опредѣленіе, когда ему приходится въ алгебрѣ говорить объ умноженіи алгебраическихъ количествъ и объяснять „правило знаковъ“, и прибѣгаетъ къ опредѣленію Коши.

Однако, посмотримъ, нельзя ли и здѣсь обойтись безъ этого, такъ сказать, „иностраннаго“ опредѣленія и остаться при другомъ, изложенномъ нами опредѣленіи. Разсмотримъ съ этой точки зрѣнія всѣ 4 случая умноженія алгебраическихъ количествъ.

1 случай. Умноженіе положительнаго числа на положительное.

Возьмемъ примѣръ: + 5 . + 3. Что это значитъ? Это значитъ, какъ всякому извѣстно, что + 5 надо взять слагаемымъ три раза, т.-е. + ( + 5) + ( + 5) + ( + 5) = + 15. Къ чему мы прибавляли? У насъ ничего не было. Но от

сутствіе количества обозначается нулемъ, а потому мы можемъ писать:

Этотъ случай самый простой, извѣстный еще изъ ариѳметики, а потому не можетъ ни въ комъ возбудить недоумѣнія.

2 случай. Умноженіе отрицательнаго числа на положительное, т.-е. —5. + 3. Это что значитъ? Это значитъ, что отрицательная пятерка берется слагаемымъ три раза; очевидно, если всѣ слагаемыя отрицательны, и сумма должна получиться отрицательная, т.-е.

3 случай. Умноженіе положительнаго числа на отрицательное, т.-е. + 5 . — 3. Что значитъ? Зададимъ здѣсь, подобно Малинину и Буренину, вопросъ: можно ли + 5 взять минусъ три раза? Что это значитъ? А теперь попробуемъ, подобно Давидову, не боясь трудностей, разобрать этотъ вопросъ, отъ котораго и Давидовъ отступилъ.

Итакъ, что же значитъ + 5 взять минусъ три раза? Вспомнимъ, что отрицательное число совершенно противоположно положительному. Вспомнимъ (предполагая, что учащійся, приступая къ изученію умноженія алгебраическихъ количествъ, уже знакомъ со сложеніемъ и вычитаніемъ ихъ), вспомнимъ, что прибавить отрицательное число, все равно, что отнять положительное, и наоборотъ, отнять отрицательное, значитъ прибавить положительное, вообще отрицательное число означаетъ совершенно противоположное положительному.

Принимая во вниманіе вышесказанное, можно сказать, что если + 5. + 3 означало, что + 5 надо взять слагаемымъ три раза, то + 5 . — 3 будетъ означать, что + 5 надо взять вычитаемымъ три раза (такъ какъ вычитаніе противоположно сложенію), такъ что будемъ имѣть:

потому что при вычитаніи изъ 0 положительной величины должна получиться отрицательная. Остается разсмотрѣть 4 случай. Умноженіе отрицательнаго числа на отрицательное, т.-е. —5. — 3. Что это значитъ? Это значитъ, что — 5 надо взять вычитаемымъ три раза, т.-е.

потому что вычесть отрицательное число—все равно, что прибавить положительное.

О функціяхъ вообще.

(Изъ перваго тома книги Л. Эйлера „Introductio in analysin infinitorum“ —„Введеніе въ анализъ безконечно малыхъ“—вышедшей въ Лозаннѣ въ 1748 году).

1. Постоянное количество есть количество опредѣленное, всегда сохраняющее одно и то же значеніе.

Къ такимъ количествамъ относятся всякаго рода числа, лишь бы они всегда сохраняли одно и то же разъ полученное значеніе. Если же эти постоянныя количества приходится изображать буквами, то принимаются для нихъ начальныя буквы азбуки1) а, b, с и т. д. Въ общемъ Анализѣ, гдѣ разсматриваются только опредѣленныя количества, эти первыя буквы азбуки обыкновенно означаютъ извѣстныя количества, а послѣднія буквы — неизвѣстныя. Но въ высшемъ Анализѣ обращаютъ преимущественное вниманіе не на это различіе, а на то, что одни количества постоянны, а другія перемѣнны.

2. Перемѣнное количество есть такое неопредѣленное или общее количество, которое заключаетъ въ себѣ всѣ вообще опредѣленныя значенія.

Итакъ, въ то время, какъ опредѣленныя количества могутъ быть выражены числами, перемѣнное количество заключаетъ въ себѣ всѣ числа любого рода. Какъ изъ понятій объ отдѣльныхъ предметахъ образуются понятія о видахъ и родахъ, такъ и перемѣнное количество есть родовое понятіе, включающее въ себя всѣ опредѣленныя количества. Эти перемѣнныя количества обыкновенно обозначаются послѣдними буквами азбуки z, у, х и т. д.

3. Перемѣнное количество опредѣлится, если ему приписать какое-либо опредѣленное значеніе.

Слѣдовательно, перемѣнное количество можетъ быть опредѣлено безчисленнымъ числомъ способовъ, такъ какъ вмѣсто него можно подставлять всѣ вообще числа. Значитъ, перемѣнное количество объемлетъ собою всѣ безъ исключенія числа, какъ положительныя, такъ и отрицательныя, цѣлыя и дробныя, раціональныя, ирраціональныя и трансцендентныя. Точно также изъ значеній перемѣннаго количества не исключаются и мнимыя числа и количества (cyphra et numeri imaginarii).

4. Функція перемѣннаго количества есть аналитическое выраженіе, какъ угодно составленное изъ этого перемѣннаго количества и чиселъ или количествъ постоянныхъ.

1) Латинской.

Итакъ, всякое аналитическое выраженіе, въ которомъ за исключеніемъ перемѣннаго количества z всѣ остальныя количества, составляющія это выраженіе, постоянны, будетъ функціей z. Такъ: a + 3z; az — 4zz1); az + b√(aa—zz), cz и т. д. все это функціи z.

5. Функція перемѣннаго количества сама представляетъ собой перемѣнное количество.

Такъ какъ вмѣсто перемѣннаго количества можно подставлять всевозможныя опредѣленныя значенія, то и функція будетъ принимать безчисленное множество опредѣленныхъ значеній; и нельзя исключать (изъ разсмотрѣнія) ни одного изъ этихъ опредѣленныхъ значеній, принимаемыхъ функціей, хотя бы перемѣнное количество принимало и мнимыя значенія. Такъ, напр., хотя функція √(9— zz) при подстановкѣ вмѣсто z дѣйствительныхъ чиселъ уже не можетъ имѣть никакого значенія (дѣйствительнаго) для z большаго трехъ, однако, если самому перемѣнному z приписывать мнимыя значенія, какъ, напр., 5√—1, то нельзя указать ни одного опредѣленнаго значенія, котораго нельзя было бы получить изъ функціи √(9 — zz). Встрѣчаются также иногда функціи, только съ виду сохраняющія постоянно одно и то же значеніе при измѣненіи перемѣннаго количества, какъ za, ------; на самомъ дѣлѣ это постоянныя количества, скрытыя подъ обманчивымъ видомъ функціи.

6. Основное различіе функцій состоитъ въ способгѣ ихъ составленія изъ перемѣннаго количества и количествъ постоянныхъ.

Все зависитъ, значитъ, отъ дѣйствій, посредствомъ которыхъ соединяются и переплетаются между собой количества. Дѣйствія эти суть: сложеніе и вычитаніе, умноженіе и дѣленіе, возвышеніе въ степень и извлеченіе корня. Къ нимъ же слѣдуетъ отнести еще рѣшеніе уравненій. Кромѣ этихъ дѣйствій, обыкновенно называемыхъ алгебраическими, существуютъ нѣкоторыя другія, трансцендентныя, какъ показательныя (экспоненціальныя), логариѳмическія и безчисленное множество иныхъ, вводимыхъ интегральнымъ исчисленіемъ.

Нѣкоторые виды функцій въ то же время могутъ носить свои названія, какъ кратныя 2z, 3z, 3/5 z, az и т. д.; степени z, какъ z2, z3, z1/2, z-1 и т. д. Всѣ онѣ, какъ образованныя однимъ какимъ-либо дѣйствіемъ, такъ и происхо-

1) Эйлеръ всюду вмѣсто z2, x2, a2 и т. п. пишетъ zz, хх, аа и т. д.

дящія отъ какихъ угодно дѣйствій, обозначаются именемъ функцій.

7. Функціи раздѣляются на алгебраическія и трансцендентныя: первыя получаются пугнемъ только однихъ алгебраическихъ) дѣйствій, вторыя же содержатъ дѣйствія трансцендентныя.

Такъ, кратныя и степенныя функціи z суть функціи алгебраическія, и вообще всѣ выраженія, получаемыя путемъ раньше уже упомянутыхъ алгебраическихъ дѣйствій, какъ, наприм.,

Мало того, алгебраическія функціи зачастую могутъ быть выражены неявно, въ видѣ нѣкоторой функціи Z перемѣннаго z, опредѣляемаго какимъ-либо уравненіемъ, напр., вида Z5 = azzZ3— bz4 Z2 + cz3 Z—1. Хотя подобное уравненіе и невозможно было бы рѣшить, извѣстно, все же, что Z равно нѣкоему выраженію, состоящему изъ перемѣннаго z и постоянныхъ количествъ; а потому Z во всякомъ случаѣ будетъ нѣкоторой функціей z. Относительно же трансцендентныхъ функцій должно замѣтить, что таковыя считаются трансцендентными только въ томъ случаѣ, когда трансцендентное дѣйствіе выполняется надъ перемѣннымъ количествомъ. Если же трансцендентное дѣйствіе относится только къ количествамъ постояннымъ, то функцію должно считать алгебраической. Такъ, напр., если с означаетъ окружность круга, радіусъ котораго = 1, то хотя с и есть трансцендентное количество, тѣмъ не менѣе такія выраженія, какъ c + z, cz2, 4czb и т. д. будутъ алгебраическими функціями перемѣннаго z. Весьма немногочисленны случаи, когда кто-либо сталъ бы сомнѣваться, представляетъ ли собою выраженіе zb алгебраическую функцію z или нѣтъ. Такъ, степенныя выраженія z, когда показатель степени есть ирраціональное число, напр., z√2, нѣкоторые предпочитаютъ называть трансцендентными функціями, а не алгебраическими.

8. Алгебраическія функціи подраздѣляются на раціональныя и ирраціональныя: первыя—это тѣ, въ которыхъ перемѣнное количество не содержится подъ знакомъ корня; вторыя— тѣ, въ которыхъ знаки корней заключаютъ въ себѣ перемѣнное.

Слѣдовательно въ раціональныя функціи не входитъ другихъ дѣйствій, кромѣ сложенія, вычитанія, умноженія, дѣленія и возвышенія въ степень, показатель которой есть число цѣлое. Такимъ образомъ выраженія a + z, а — z, az, и т. д. представляютъ собой раціональныя

функціи z. Выраженія же вида

и т. д. суть ирраціональныя функціи z.

Послѣднія въ свою очередь подраздѣляются на явныя и неявныя.

Явныя заключаютъ въ себѣ знакъ корня, какъ въ только что данныхъ примѣрахъ. Неявныя же ирраціональныя функціи это тѣ, которыя получаются изъ рѣшенія уравненій. Такъ, X будетъ ирраціональной неявной функціей z, если она опредѣляется уравненіемъ, напр., такого вида Z7 = azZ2— bz5, хотя въ данномъ случаѣ, вводя даже знаки корней, и невозможно получить явную форму для Z, такъ какъ общая алгебра еще не дошла до такой степени совершенства.

9. Раціональныя функціи въ свою очередь подраздѣляются на цѣлыя и дробныя.

Въ первыя (т.-е. цѣлыя) функціи перемѣнное z не можетъ входить съ отрицательной степенью, не могутъ также они заключать въ себѣ такія дробныя выраженія, въ знаменатель коихъ входитъ перемѣнное количество z. Отсюда слѣдуетъ, что дробныя функціи суть тѣ, въ которыхъ встрѣчаются знаменатели, содержащіе z, или въ которыя входитъ z съ отрицательнымъ показателемъ степени. Такимъ образомъ общая формула цѣлыхъ функцій такова

и нельзя придумать никакой цѣлой функціи z, которая не содержалась бы въ этой формулѣ. Всѣ же дробныя функціи въ силу того, что отдѣльныя дроби могутъ быть приведены къ одной, будутъ заключаться въ такой формулѣ:

При этомъ должно замѣтить, что постоянныя количества а, b, с, d, е и т. д., α, ß, γ, δ, ε и т. д., будутъ ли они положительныя или отрицательныя, цѣлыя, или дробныя, раціональныя или ирраціональныя, или даже трансцендентныя, не мѣняютъ природы функцій.

10. Вслѣдъ затѣмъ необходимо какъ можно лучше усвоить дѣленіе функцій на однозначныя и многозначныя.

Функція однозначна, если она получаетъ одно единственное опредѣленное значеніе, когда перемѣнному z придается какое-либо опредѣленное значеніе. Функція многозначна, если, при подстановкѣ одного какого-либо опредѣленнаго значенія вмѣсто перемѣннаго z, она получаетъ

нѣсколько опредѣленныхъ значеній. Итакъ, всѣ раціональныя функціи, какъ цѣлыя, такъ и дробныя, однозначны, потому что выраженія подобнаго рода даютъ только единственное значеніе, какое бы значеніе ни придавать независимому перемѣнному. Всѣ же ирраціональныя функціи многозначны, такъ какъ знаки корней различны и имѣютъ разное значеніе. Среди трансцендентныхъ функцій имѣются и однозначныя, и многозначныя; существуютъ даже безконечнозначныя функціи, какъ, напр., дуга круга, соотвѣтствующая синусу—— существуетъ безконечное множество круговыхъ дугъ, имѣющихъ одинъ и тотъ же синусъ. Однозначныя функціи перемѣннаго z означаютъ обыкновенно каждую въ отдѣльности черезъ Р, Q, R, S, T и т. д.

11. Двузначной функціей z называется такая (функція, которая для любою опредѣленнаго значенія z даетъ два значенія.

Функціи подобнаго рода представляютъ квадратные корни, какъ, напр., √2z + z2. Какое бы значеніе ни придавать перемѣнному z, выраженіе √2z + z2 имѣетъ двойной знакъ: и положительный, и отрицательный. Такъ что вообще Z будетъ двузначной функціей z, если оно опредѣляется квадратнымъ уравненіемъ Z2— PZ + Q = 0, гдѣ Р и Q суть однозначныя функціи z.

Отсюда Z = , изъ чего ясно, что каждому опредѣленному значенію z соотвѣтствуютъ два опредѣленныхъ значенія Z. Здѣсь необходимо имѣть въ виду, что эти значенія функціи Z или оба дѣйствительны, или оба мнимы. Точно также всегда, какъ это извѣстно изъ свойства уравненій, сумма обоихъ значеній Z равна Р, а произведеніе ихъ = Q.

12. Трехзначная функція z есть такая, которая для любого значенія z даетъ три опредѣленныхъ значенія.

Функціи этого рода берутъ свое начало изъ рѣшенія кубическихъ уравненій. Пусть будутъ Р, Q и R однозначныя функціи z и уравненіе Z3 — PZ2 + QZ—R = 0. Въ такомъ случаѣ Z будетъ трехзначной функціей z, такъ какъ для всякого опредѣленнаго значенія z она принимаетъ три значенія. Три эти значенія Z, соотвѣтствующія одному какому-либо значенію z, будутъ или всѣ дѣйствительны, или одно дѣйствительно, а два остальныхъ мнимы. Кромѣ того извѣстно, что сумма трехъ этихъ значеній всегда равна Р, сумма ихъ произведеній по два = Q, а произведеніе всѣхъ трехъ = R.

13. Четырехзначной функціей z называется такая, которая для любого значенія z даетъ четыре опредѣленныхъ значенія.

Функціи этого рода получаются при рѣшеніи биквадратныхъ (4-й степени) уравненій. Такъ что, если обозначить черезъ P, Q, R и S однозначныя функціи отъ z и положить Z4— PZ3 + QZ2— RZ + S = 0, то Z будетъ четырехзначной функціей отъ z, т.-е. каждому значенію z будутъ соотвѣтствовать четыре значенія Z. Изъ четырехъ этихъ значеній или всѣ будутъ дѣйствительны, или два будутъ дѣйствительны, а два мнимы, или всѣ четыре мнимы. При чемъ всегда сумма этихъ четырехъ значеній Z равна Р, сумма ихъ произведеній по два = Q, сумма ихъ произведеній по три = R, а произведеніе всѣхъ четырехъ = S. Подобнымъ же образомъ можно пояснить смыслъ пятизначныхъ и слѣдующихъ функцій.

14. Итакъ, многозначной функціей отъ z называется такая функція Z, которая для всякаго значенія z получаетъ столько значеній, сколько содержится единицъ въ числѣ n, если Z опредѣляется такимъ уравненіемъ:

Здѣсь необходимо замѣтить, что подъ n слѣдуетъ подразумѣвать цѣлое число и для того, чтобы возможно было судить о многозначности функціи Z относительно z, слѣдуетъ постоянно приводить къ раціональной формѣ уравненіе, опредѣляющее Z, послѣ чего наивысшій показатель при Z и покажетъ искомое число значеній функціи, соотвѣтствующихъ какому-либо значенію z. Кромѣ того, необходимо имѣть въ виду, что буквы P, Q, R, S и т. д. должны означать однозначныя функціи отъ z,—такъ какъ если бы какая-либо изъ нихъ была—многозначной функціей, то и функція Z давала бы для любого значенія z гораздо болѣе соотвѣтствующихъ значеній, чѣмъ это указываетъ показатель при Z. Точно также всегда, если какія-либо значенія функціи будутъ мнимыми, то число такихъ мнимыхъ значеній будетъ четное. Отсюда понятно, что если n есть число нечетное, то, по крайней мѣрѣ, хоть одно изъ значеній функціи Z будетъ дѣйствительнымъ. Въ обратномъ случаѣ, при n четномъ, можетъ случиться, что функція Z не будетъ имѣть ни одного дѣйствительнаго значенія.

15. Если Z есть такая многозначная функція отъ z, что всегда даетъ только единственное дѣйствительное значеніе, то Z, ошибочно впрочемъ, называютъ однозначной функціей отъ z и во многихъ случаяхъ она можетъ примѣняться вмѣсто однозначной функціи.

Функціи подобнаго рода будутъ ∛P √Р, √Р и т. д., такъ какъ онѣ имѣютъ всегда только одно дѣйствительное значеніе, при всѣхъ остальныхъ мнимыхъ, если только Р

есть однозначная функція отъ z. Поэтому выраженіе Рm/n при n нечетномъ можно отнести къ однозначнымъ функціямъ, будетъ ли m четно или нечетно. Если же число n будетъ четное, то Рm/n или совсѣмъ не имѣетъ дѣйствительныхъ значеній или имѣетъ таковыхъ два; изъ чего слѣдуетъ, что выраженія вида Рп, при n четномъ, можно съ такимъ же правомъ отнести къ двузначнымъ функціямъ, если только дробь m/n не приводима къ болѣе простому виду.

16. Если у есть нѣкоторая функція отъ z, то взаимно и z есть нѣкоторая функція отъ у.

Если у есть однозначная или многозначная функція отъ z, то дается уравненіе, опредѣляющее у посредствомъ z и постоянныхъ количествъ. Но изъ того же уравненія обратно и z можетъ быть опредѣлено черезъ у и постоянныя количества, т.-е., такъ какъ у есть количество перемѣнное, то z будетъ равняться выраженію, составленному изъ у и постоянныхъ количествъ, а потому будетъ функціей отъ у. При этомъ необходимо будетъ выяснено, насколько функція z будетъ многозначна относительно у, такъ какъ можетъ случиться, что, хотя функція у будетъ однозначна относительно z, однако z можетъ оказаться функціей многозначной относительно у. Такъ, если y опредѣлять черезъ z изъ уравненія y3 = ayz— bz2, то у оказывается трехзначной функціей отъ z, въ то время, какъ z есть только двузначная функція отъ у.

17. Если у и x будутъ функціями отъ z, то у будетъ также функціей отъ х, и взаимно х будетъ (функціей отъ у.

Если у есть функція отъ z, то и обратно и z есть функція отъ у; подобно же z будетъ также функціей отъ х. Поэтому функція отъ у равняется функціи отъ х. И изъ этого уравненія можно опредѣлить у черезъ х или, наоборотъ, х черезъ у. Слѣдовательно, очевидно, что у есть функція отъ х, а х есть функція отъ у. Чаще всего подобныя функціи не могутъ быть выражены явно въ силу несовершенства алгебры. Тѣмъ не менѣе это взаимоотношеніе функцій разсматривается такъ, какъ-будто всѣ уравненія могутъ быть разрѣшены. Впрочемъ, способомъ, излагаемымъ въ алгебрѣ, изъ двухъ данныхъ уравненій, заключающихъ одно у и z, а другое х и z, исключеніемъ количества z образуется одно уравненіе, выражающее соотношеніе между х и у.

18. Наконецъ, слѣдуетъ отмѣтитъ нѣкоторые частные виды функцій: такъ, четной функціей отъ z называется такая функція, которая даетъ одно и то же значеніе, подставитъ ли вмѣсто z любое опредѣленное значеніе + k или — k.

Такого рода четной функціей отъ z будетъ z2; положить ли z = + k или z = — k, все равно, — выраженіе z2 даетъ одно и то же значеніе, именно z2 = + k2. Точно также четными функціями отъ z будутъ такія степени z, какъ z4, z6, z8 и вообще всякая степень zm, если m есть четное число, положительное или отрицательное. Мало того, такъ какъ Zm/n принимается за однозначную функцію отъ z, если n нечетное число, то ясно, что Zm/n будетъ четной функціей z, при m четномъ, а n нечетномъ, Поэтому выраженія изъ степеней, подобныхъ только что составленнымъ, дадутъ также четныя функціи отъ Z. Такъ, Z будетъ четной функціей отъ z, если

Точно также четной функціей будетъ

и подобно же, если ввести дробные показатели для z, то Z будетъ четной функціей отъ z, если положить, что

Выраженія подобнаго рода, будучи всѣ однозначными функціями отъ z, могутъ называться четными однозначными функціями отъ z.

19. Многозначной четной функціей отъ z называется такая, которая, хотя и принимаетъ нѣсколько опредѣленнымъ значеній для каждаго даннаго значенія z, однако даетъ одни и тѣ же значенія, положитъ ли z = + k или z = — k.

Пусть будетъ Z такого рода многозначная четная функція отъ z. Природа многозначной функціи выражается такимъ уравненіемъ между Z и z, въ которомъ Z имѣетъ столько измѣреній, сколько эта функція имѣетъ различныхъ значеній. Ясно, что Z будетъ многозначной четной функціей, если въ уравненіе, опредѣляющее природу функціи Z, перемѣнное количество z войдетъ всюду въ четной степени.

Такъ, если имѣемъ Z2— az4 Z + bz2, то Z будетъ двузначная четная функція отъ z. Если же взять Z3— az2 —Z2 + bz4 Z—cz8 = 0, то Z будетъ трехзначной четной функціей отъ z. Вообще, если P, Q, R, S и т. д. означаютъ однозначныя четныя функціи отъ z, то Z будетъ двузначной четной функціей отъ z, если Z2— PZ + Q = 0.

Функція Z будетъ трехзначной четной функціей отъ z, если Z3— PZ2 + QZ — R = 0 и т. д.

20. Итакъ, четная функція отъ z, однозначная или многозначная, есть такое выраженіе изъ перемѣннаго z и постоянныхъ, въ составъ котораго z входитъ всюду только въ четномъ измѣреніи (четной степени).

Къ подобнаго рода функціямъ, кромѣ тѣхъ однозначныхъ, примѣры которыхъ даны выше, принадлежатъ и такія выраженія:

а также

Отсюда слѣдуетъ, что четныя функціи можно опредѣлить, какъ функціи перемѣннаго z2.

Если, значитъ, положить y = z2, то Z будетъ нѣкоторой функціей отъ у. Ставя всюду z2 вмѣсто у, получимъ такую функцію Z перемѣннаго z, въ которой z всюду будетъ имѣть четное число измѣреній. Необходимо, однако, исключить случаи, когда въ выраженіе для Z входятъ и другія подобныя формы, теряющія знакъ корня при предположеніи y = z2. Такъ, хотя напр., у + √ay есть функція отъ у, но, полагая въ ней y = z2, все же, не получимъ четной функціи, такъ какъ указанная подстановка даетъ

Итакъ, исключая эти случаи, во всемъ остальномъ опредѣленіе четныхъ функцій будетъ удовлетворительно и удобно для составленія функцій этого рода.

21. Нечетная функція отъ z есть такая функція, значеніе которой, при замѣнѣ z черезъ — z, становится отрицательнымъ (т.-е. функція мѣняетъ свой знакъ).

Такого рода нечетными функціями будутъ, слѣдовательно, всѣ степени z, показатели которыхъ числа нечетныя, какъ

Точно также нечетной функціей будетъ Zm/n, если оба числа m и n будутъ нечетными числами. Вообще, значитъ, нечетной функціей отъ z будетъ всякое выраженіе, состоящее изъ степеней подобнаго рода, какъ, напр., az + bz3; az + az-1, а также z3 + az3 + bz 3 и т. д. Природа и способъ образованія этихъ функцій постигаются легче изъ разсмотрѣнія четныхъ функцій.

22. Если четную функцію отъ z умножить на z или на какую-либо нечетную функцію того же перемѣннаго, то произведеніе будетъ нечетной функціей отъ z.

Пусть Р будетъ четной функціей отъ z, т.-е. она не мѣняется, если вмѣсто z поставить всюду — z; а значитъ, если въ произведеніе Pz подставить — z вмѣсто z, получится— Pz. Откуда ясно, что Pz будетъ нечетной функціей z. Пусть теперь Р будетъ четной функціей отъ z, и Q нечетной функціей отъ z. Изъ опредѣленія такихъ функцій извѣстно, что, при замѣнѣ z черезъ—z, значеніе Р останется прежнимъ, а значеніе Q сдѣлается отрицательнымъ:—Q. Поэтому произведеніе PQ, полагая—z вмѣсто z, обратится въ — PQ, т.-е. измѣнитъ знакъ, и, значитъ, функція PQ будетъ нечетной функціей отъ z. Такъ, пусть будутъ четная функція и z3 нечетная функція отъ z; произведеніе ихъ будетъ нечетной функціей отъ z. Подобно же - есть нечетная функція отъ z.

Отсюда само-собой разумѣется, что если взять двѣ функціи, одна изъ которыхъ Р четная, а другая Q нечетная, и одну на другую раздѣлить, то въ частномъ получится нечетная функція, т.-е. P/Q, какъ и Q/P будетъ нечетной функціей отъ z.

23. Если нечетную функцію помножитъ или раздѣлитъ на нечетную .же, въ результатѣ получится четная функція.

Пусть Q и S будутъ нечетныя функціи отъ z, такъ что, подставляя въ нихъ—z вмѣсто z, Q обратится въ —Q, а S въ —S; и очевидно, что какъ произведеніе QS, такъ и частное Q/S при замѣнѣ z черезъ —z, не измѣняетъ своего знака, а значитъ, оба эти выраженія будутъ четными функціями отъ z. Ясно также, что квадратъ какой-либо нечетной функціи есть четная функція, кубъ нечетной функціи дастъ нечетную же функцію, четвертая степень нечетной функціи будетъ функція четная и т. д.

24. Если у есть нечетная функція отъ z, то, и обратно, z есть нечетная функція отъ у.

Если у есть нечетная функція отъ z, то, подставляя —z вмѣсто z, получимъ —у вмѣсто у.

Поэтому, если z опредѣляется черезъ у, то при замѣнѣ у черезъ —у необходимо и z перейдетъ въ —z, т.-е. z будетъ нечетной функціей отъ у. Такъ, напр., полагая y = z3,

мы видимъ, что у есть нечетная функція отъ z, но въ то же время изъ уравненія z3 — y или z = y3 видно, что z есть нечетная функція отъ у. Подобно же, если положить y = az + bz3, то у будетъ нечетной функціей отъ z и обратно, если изъ уравненія az + bz3 = y опредѣлить значеніе z черезъ у, то получится нечетная функція отъ у.

25. Если природа функціи у опредѣляется такимъ уравненіемъ, что число измѣреній, даваемыхъ совмѣстно перемѣнными у и z, будетъ въ каждомъ отдѣльномъ членѣ всюду четно или всюду нечетно, то у будетъ нечетной (функціей отъ z.

Въ самомъ дѣлѣ, если въ уравненіи подобнаго рода всюду вмѣсто z подставить — z и вмѣсто у подставить — у, то всѣ члены уравненія или останутся безъ измѣненія или всѣ сдѣлаются отрицательными, т.-е. въ обоихъ случаяхъ получается то же уравненіе, что и раньше. Откуда ясно, что —у будетъ опредѣляться черезъ —z совершенно такъ же, какъ + у черезъ + z. Поэтому, если вмѣсто z всюду подставить —z, то и у обратится въ —у, т.-е. у будетъ нечетной функціей отъ z. Такъ, если положить

то изъ обоихъ уравненій у опредѣлится, какъ нечетная функція отъ z.

26. Если Z есть функція отъ z, а Y есть функція отъ у, и притомъ функція Y опредѣляется черезъ перемѣнное у и постоянныя совершенно такъ же, какъ Z опредѣляется черезъ перемѣнное z и постоянныя количества, то функціи Y и Z называются подобными функціями отъ у и z.

Если, напр., взять Z = a + bz + cz2 и Y = a + by + cy2, то Z и Y суть подобныя функціи отъ z и у. Подобно же и для многозначныхъ, если Z3 = az2Z + b и Y3 = ay2Y + b, то Z и Y будутъ подобными функціями отъ у и z. Отсюда слѣдуетъ, что если Y и Z суть такого рода подобныя функціи отъ у и z, и если вмѣсто z всюду написать у, то и функція Z обратится въ функцію У. Это подобіе обыкновенно выражаютъ словами, говоря, что У есть такая же функція отъ у, какъ и функція Z отъ z. Подобныя выраженія примѣняются одинаково, какъ въ томъ случаѣ, когда перемѣнныя количества z и у находятся во взаимной зависимости, такъ и въ томъ, когда, напр., говорятъ, что есть такая же функція отъ у, какъ и a(y + n) + b(y + n)3 есть функція отъ у + n, полагая здѣсь z = y + n. Точно также выраженіе - есть такая же функ-

ція отъ z, какъ и - есть функція отъ 1/z, полагая

Уже этими примѣрами хорошо уясняется смыслъ подобныхъ функцій, приложеніе которыхъ весьма распространено во всемъ высшемъ анализѣ. Впрочемъ (изложеннаго выше) о природѣ функцій одного перемѣннаго достаточно. Болѣе полное изложеніе будетъ дано въ слѣдующемъ приложеніи.

ГЛАВА II.

О преобразованіи функцій.

27. Функціи преобразуются въ другія формы: либо введеніемъ вмѣсто даннаго перемѣннаго другого, либо оставляя то же самое перемѣнное.

Если сохраняется то же перемѣнное, то функція, собственно говоря, измѣниться не можетъ, но всякое преобразованіе состоитъ въ выраженіи по иному той же самой функціи, ибо извѣстно изъ алгебры, что одно и то же количество можетъ быть выражено въ различныхъ формахъ. Преобразованія подобнаго рода получаются, если вмѣсто функціи взять

Всѣ эти выраженія, хотя и различны по формѣ, на самомъ дѣлѣ, тождественны. Но часто изъ многихъ этихъ формъ, означающихъ одно и то же, одна какая-либо оказывается болѣе удобной, чѣмъ остальныя, для выполненія предположеннаго заданія, а потому слѣдуетъ выбирать такую самую подходящую форму.

Другой способъ преобразованія, при которомъ вмѣсто перемѣннаго количества z вводится другое перемѣнное количество, находящееся съ даннымъ въ опредѣленной связи, называется преобразованіемъ посредствомъ подстановки. Этимъ способомъ слѣдуетъ пользоваться для того, чтобы выражать данную функцію въ болѣе краткомъ и подходящемъ для тѣхъ или иныхъ цѣлей видѣ. Такъ, напр., если функція отъ z есть: a4—4a3z + 6a2z2—4az3 + z4, то, полагая въ ней у вмѣсто а — z, получимъ вмѣсто данной гораздо болѣе простую функцію отъ у, а именно y4. Точно такъ же, если имѣется ирраціональная функція √а2 + z2,

то, полагая

получимъ вмѣсто данной раціональную функцію

Впрочемъ, этотъ способъ преобразованій я отнесу къ слѣдующей главѣ, въ настоящей же намѣренъ изложить тотъ, который совершается безъ подстановокъ.

28. Цѣлая функція часто легко разлагается на свои множители и, такимъ образомъ преобразуется въ произведеніе.

Какъ только цѣлая функція извѣстнымъ образомъ разложится на множители, становится гораздо легче уяснить ея свойства (природу), напр., тотчасъ же дѣлаются извѣстными случаи, когда значеніе функціи = 0. Такъ, слѣдующая функція: 6 — 7z + z3 преобразуется въ произвеніе (1—z) (2 — z) (3 + z), откуда тотчасъ вытекаетъ, что данная функція обращается въ 0 въ трехъ случаяхъ: при z = 1 или z = 2, или z = — 3, что не такъ легко вывести прямо, если функція дана въ формѣ 6 — 7z + z3.

Множители этого рода1), въ которыхъ перемѣнное z входитъ только въ первой степени2), называются простыми въ отличіе отъ множителей сложныхъ (составныхъ), въ которыхъ z входитъ въ квадратной или кубической, или иной высшей степени. Итакъ, вообще, f + gz будетъ общимъ видомъ простыхъ множителей, f + gz + hz2 общимъ видомъ квадратныхъ множителей, f + gz + hz2 + iz3 общимъ видомъ тройныхъ (кубическихъ) множителей и т. д. Ясно также, что каждый квадратный множитель даетъ два простыхъ значенія, кубическій — три простыхъ значенія и т. д. Отсюда слѣдуетъ, что цѣлая функція отъ z, въ которой высшій показатель при z равенъ n, содержитъ въ себѣ n простыхъ множителей; такъ что, будутъ ли нѣкоторые множители двойными, тройными и т. д., число (всѣхъ простыхъ) множителей извѣстно.

29. Простые множители всякой цѣлой функціи Z отъ z найдутся, если функцію Z приравнять нулю и изъ полученнаго уравненія опредѣлить всѣ корни Z; всѣ эти корни, считая по одному, дадутъ соотвѣтственное число простыхъ множителей функціи Z.

Если поэтому изъ уравненія Z = 0, какой-либо корень будетъ f, то z — f будетъ дѣлителемъ, а потому и множителемъ функціи Z. Такимъ образомъ послѣ нахожденія всѣхъ корней уравненія Z = 0, которые будутъ z = f,

1) Т.-е. тѣ, на которые разлагается данная функція.

2) У Эйлера сказано: z nulla occurit potestas.

z = g, z = h и т. д., функція Z разложится на свои простые множители и преобразуется въ произведеніе Z = (z— f) (z— g) (z — h) и т. д. Здѣсь необходимо замѣтить, что, если коэффиціентъ при наивысшей степени z въ Z не равенъ + !, то произведеніе (z — f)(z — g)(z—h) и т. д. нужно сверхъ того умножить на этотъ коэффиціентъ. Такъ, если Z = Azn + Bzn-1 + Czn-2 + и т. д., то Z — A(z— f) (z — g) (z — h) и т. д. И точно такъ же, если Z— А + Bz + Cz2 + Dz3 + Ez4 + и т. д., а корни уравненія Z = 0 будутъ f, g, h, i и т. д., то будемъ имѣть

и т. д. Отсюда и обратно: если множителемъ функціи Z будетъ z - f или 1 - z/f, то значеніе функціи обращается въ нуль, если вмѣсто z подставить f, такъ какъ при z = f, множитель входящій въ функцію Z, а значитъ и сама функція Z должны обратиться въ нуль.

30. Простые множители будутъ или дѣйствительными, или мнимыми, и если функція Z содержитъ мнимые множители, то число ихъ будетъ всегда четное.

Такъ какъ простые множители получаются изъ корней уравненія Z = 0, то дѣйствительные корни дадутъ и дѣйствительные множители, а мнимые корни — мнимые множители. Но во всякомъ уравненіи число мнимыхъ корней есть четное, поэтому функція Z или совсѣмъ не будетъ имѣть мнимыхъ множителей или будетъ содержать ихъ два или четыре или шесть и т. д. Поэтому, если функція Z содержитъ только парные мнимые корни, произведеніе ихъ будетъ дѣйствительно и дастъ двойной (квадратный) дѣйствительный множитель. Такъ, пусть Р равно произведенію всѣхъ дѣйствительныхъ множителей функціи, тогда произведеніе двухъ мнимыхъ множителей будетъ равно Z/P, т.-е. количествомъ дѣйствительнымъ. Подобно же, если функція Z будетъ имѣть четыре, или шесть, или восемь и т. д. мнимыхъ множителей, то произведеніе этихъ послѣднихъ будетъ всегда дѣйствительно и именно равно частному, которое получится, если раздѣлить функцію Z на произведеніе всѣхъ дѣйствительныхъ корней.

31. Если Q есть дѣйствительное произведеніе четырехъ простыхъ мнимыхъ множителей, то это же произведеніе Q можетъ быть разложено на два дѣйствительныхъ квадратныхъ множителя.

Выраженіе для Q будетъ имѣть видъ

Если бы кто утверждать, что это выраженіе нельзя разложить на два квадратныхъ дѣйствительныхъ множителя, то необходимо допустить, что оно разлагается на 2 квадратныхъ мнимыхъ множителя, которые будутъ имѣть такой видъ:

Другія формы мнимыхъ выраженій нельзя принимать въ расчетъ, такъ какъ требуется, чтобы произведеніе ихъ было равно дѣйствительному количеству, а именно z4 + Az3 + Bz2 + Cz + D. Изъ приведенныхъ же выше квадратныхъ мнимыхъ выраженій вытекаютъ слѣдующіе четыре простые мнимые множители Q:

Перемножимъ между собой I и III изъ этихъ множителей и положимъ для краткости, что

Тогда произведеніе двухъ указанныхъ множителей будетъ:

и оно во всякомъ случаѣ представляетъ собой величину дѣйствительную Подобно же дѣйствительнымъ будетъ и произведеніе II и IV множителей, а именно:

Итакъ, хотя и предполагалось, что данное произведеніе Q не можетъ разложиться на два квадратныхъ дѣйствительныхъ множителя, однако, на самомъ дѣлѣ, оно разложимо на 2 такихъ множителя.

32. Если какая-либо цѣлая (функція Z отъ z содержитъ въ себѣ простые мнимые множители, то они всегда могутъ

быть такъ сопряжены попарно, что произведеніе ихъ будетъ величиной дѣйствительной.

Такъ какъ число мнимыхъ корней всегда четно, то пусть оно = 2n и, прежде всего, ясно, что произведеніе всѣхъ этихъ мнимыхъ корней есть величина дѣйствительная. Поэтому, если имѣется только два мнимыхъ корня, то произведеніе ихъ во всякомъ случаѣ дѣйствительно; если же мнимыхъ множителей имѣется четыре, то, какъ видимъ, произведеніе ихъ можетъ быть разложено на два квадратныхъ дѣйствительныхъ множителя вида fz2 + gz + h. Но хотя нельзя распространить тотъ же способъ доказательства на высшія степени, тѣмъ не менѣе можно, кажется, безъ всякаго сомнѣнія положить, что то же свойство распространяется на какое угодно число мнимыхъ множителей. Такъ что всегда вмѣсто 2n простыхъ мнимыхъ множителей можно ввести n квадратныхъ дѣйствительныхъ множителей. Отсюда слѣдуетъ, что всякая цѣлая функція отъ z можетъ быть разложена на дѣйствительные множители, простые или квадратные. Хотя это доказано и не съ надлежащей строгостью, но истина такого положенія подтвердится дальше, когда на самомъ дѣлѣ такія функціи, какъ a + bzn, a + bzn + cz2n; a + bzn + cz2n + dz2n + и т. д., будутъ разлагаться на квадратные дѣйствительные множители.

33. Если цѣлая функція Z, полагая z = a, получаетъ значеніе А и, полагая z = b, получаетъ значеніе В, то для значеній z, среднихъ между а и b, функція Z можетъ принимать любыя среднія значенія между А и В.

Если Z есть однозначная функція отъ z, то какое бы дѣйствительное значеніе ни приписать перемѣнному z, функція Z также получитъ дѣйствительное значеніе. Итакъ, для Z, если положить сперва z = а, получится значеніе А, если положить затѣмъ z = b, получится значеніе В, и отъ А нельзя перейти къ В иначе, какъ переходя черезъ всѣ промежуточныя значенія. Итакъ, если уравненіе Z—A = 0 имѣетъ дѣйствительный корень и въ то же время Z—В даетъ дѣйствительный корень, то въ то же время и уравненіе Z—C = 0 имѣетъ дѣйствительный корень, если только С заключается между значеніями А и В. Отсюда, если выраженія Z—А и Z — В заключаютъ въ себѣ дѣйствительный простой множитель, то и всякое выраженіе Z—С будетъ заключать дѣйствительный множитель, если только С содержится между значеніями А и В.

34. Если въ цѣлой (функціи Z наивысгиій показатель степени при Z будетъ нечетное число 2n + 1, то эта (функція Z имѣетъ, по крайней мѣрѣ, хоть одинъ простой дѣйствительный множитель.

Функція Z будетъ имѣть слѣдующій видъ

и т. д.

Если въ ней положить z = ∞, то значенія всѣхъ отдѣльныхъ членовъ сравнительно съ первымъ уничтожатся, и получится

Такъ что Z — ∞. будетъ имѣть простой дѣйствительный множитель, именно z — ∞. Если положимъ z = — oо, получится

и, слѣдовательно, Z + ∞ отбудетъ имѣть дѣйствительный простой множитель z + ∞. Итакъ, какъ Z—oо, такъ и Z + ∞ имѣютъ простой дѣйствительный множитель. Отюда слѣдуетъ, что Z + C будетъ имѣть простой дѣйствительный множитель, если С содержится между предѣлами + ∞ и —oо, т.-е. если С будетъ нѣкоторое дѣйствительное число, положительное или отрицательное. Поэтому, полагая С = 0, функція Z будетъ имѣть простой дѣйствительный множитель z— с, гдѣ количество с будетъ заключаться между предѣлами + 00 и —00, а потому будетъ количествомъ или положительнымъ, или отрицательнымъ, или нулемъ.

35. Цѣлая функція Z, въ которой наивысшій показателъ при z нечетное число, имѣетъ или одинъ простой множитель, или три, или пять, или семь и т. д.

Такъ какъ доказано, что функція Z во всякомъ случаѣ имѣетъ одинъ простой дѣйствительный множитель z — с, то предположимъ, что есть еще одинъ простой дѣйствительный множитель z — d и раздѣлимъ функцію Z, въ которой наивысшая степень z есть z2n + 1 на (z — с) (z — d). Въ частномъ наивысшая степень будетъ = z2n-1, и показатель ея, число нечетное, опять указываетъ на существованіе въ функціи Z простого дѣйствительного множителя. Итакъ, если Z имѣетъ больше одного простого дѣйствительнаго множителя, то таковыхъ будетъ въ ней или три, или (продолжая разсуждать подобнымъ же образомъ) пять или семь и т. д. Словомъ, число дѣйствительныхъ простыхъ множителей функціи будетъ нечетное, а такъ какъ число всѣхъ простыхъ множителей функціи равно 2n + 1, то число мнимыхъ множителей есть четное.

36. Цѣлая функція Z, въ которой показатель наивысшей степени z есть четное число 2n, имѣетъ или два простыхъ дѣйствительныхъ множителя, или, четыре, или шесть и т. д.

Положимъ, что въ функцію Z входитъ простыхъ дѣйствительныхъ множителей нечетное число 2m + 1. Если

Если въ ней положить z = ∞, то какъ мы видѣли выше и Z = oo; если же положить z = 0, то получится Z = — А. Слѣдовательно, выраженіе Z—∞ будетъ имѣть дѣйствительный простой множитель z —∞ и Z + A множитель z — 0. Такъ какъ 0 заключается въ предѣлахъ между + A и — ∞, то отсюда слѣдуетъ, что Z + 0 содержитъ въ себѣ простой дѣйствительный множитель z — с такой, что с заключается между предѣлами 0 и ∞. Кромѣ того, если положить z = — ∞, то получится Z = oo, такъ что Z—oo будетъ содержать въ себѣ множитель z + ∞, и Z + A множитель z + 0, откуда слѣдуетъ, что Z + 0 будетъ содержать въ себѣ дѣйствительный простой множитель z + d, такой, что d содержится между предѣлами 0 и ∞. Откуда и слѣдуетъ предложеніе. Изъ всего вышесказаннаго ясно также, что если Z есть именно такая функція, которая здѣсь опредѣлена, то уравненіе Z = 0 должно имѣть, по меньшей мѣрѣ, два дѣйствительныхъ корня, одинъ положительный и другой — отрицательный. Такъ, уравненіе z4 + αz3 + ßz2 + γz — a2 = 0 имѣетъ два дѣйствительныхъ корня, одинъ положительный и другой отрицательный.

38. Если въ дробной функціи перемѣнное количество z будетъ имѣть въ числителѣ столько же или больше измѣреній, чѣмъ въ знаменателѣ, то такая функція можетъ быть разложена на двѣ части, изъ которыхъ одна будетъ цѣлой функціей, а другая дробной. Въ этой послѣдней перемѣнное количество z будетъ входить въ числителѣ въ меньшей степени, чѣмъ въ знаменателѣ.

Если наивысшій показатель при z въ знаменателѣ будетъ меньше, чѣмъ въ числителѣ, то надо дѣлить числитель на функцію Z раздѣлить на произведеніе этихъ всѣхъ множителей, то наивысшая степень частнаго будетъ = z2n-2m-1, т.-е. показатель будетъ число нечетное, а значитъ функція Z будетъ имѣть еще хоть одинъ простой дѣйствительный множитель; и, значитъ, число всѣхъ простыхъ дѣйствительныхъ множителей будетъ, по меньшей мѣрѣ, = 2m + 2, т.-е. четное и, равнымъ образомъ, число простыхъ мнимыхъ множителей будетъ тоже четное. Значитъ, во всякой цѣлой функціи простые мнимые множители четны по числу, что, впрочемъ, мы установили уже выше.

37. Если въ цѣлой функціи Z наивысшій показатель при z есть четное число, а абсолютный, или постоянный, членъ имѣетъ знакъ —, то функція Z имѣетъ, по меньшей мѣрѣ, два дѣйствительныхъ простыхъ множителя.

Функція Z, о которой идетъ рѣчь, имѣетъ видъ

знаменателя по обыкновеннымъ правиламъ дѣленія до тѣхъ поръ, пока въ частномъ не получится отрицательная степень z. На этомъ мѣстѣ дѣленіе прерывается, и частное составляется изъ цѣлой части и дроби, въ числителѣ которой z будетъ уже въ меньшей степени, чѣмъ въ знаменателѣ. Подобное частное равно данной функціи. Такъ, если данная дрооная функція равна

то дѣленіемъ она разлагается такъ:

Получается

Дробныя функціи, въ числителѣ которыхъ перемѣнное количество z содержится въ той же степени, что и въ знаменателѣ, или въ степени большей, называются подобно тому, какъ въ ариѳметикѣ, неправильными дробями, или неправильными дробными функціями. Ихъ отличаютъ отъ правильныхъ дробныхъ функцій, въ которыхъ перемѣнное z въ числителѣ содержится въ меньшей степени, чѣмъ въ знаменателѣ. Итакъ, дробная неправильная функція можетъ быть разложена на цѣлую функцію и на правильную дробную функцію, и это разложеніе производится обыкновеннымъ дѣленіемъ.

39. Если знаменатель дробной функціи содержитъ въ себѣ два взаимно простыхъ множителя, то и сама дробная функція разлагается на двѣ дроби, знаменатели которыхъ соотвѣтственно равны обоимъ этимъ множителямъ.

Хотя подобное разложеніе одинаково приложимо, какъ къ правильнымъ дробнымъ функціямъ, такъ и къ неправильнымъ, мы займемся, однако, исключительно правильными дробными функціями. Итакъ, послѣ разложенія знаменателя подобной функціи на два взаимно простыхъ множителя, сама функція разложится на двѣ правильныхъ дробныхъ функціи, знаменатели которыхъ будутъ соотвѣтственно равны обоимъ этимъ множителямъ, и подобное разложеніе, если только дроби будутъ правильныя, можетъ быть произведено только единственнымъ путемъ. Эта истина яснѣе будетъ изъ примѣра, чѣмъ изъ разсужденій. Пусть дана дробная функція

Такъ какъ знаменатель ея 1 —равенъ произведенію (1 + 2z + 2z2) (1 — 2z + 2z2), то данная функція разложится на двѣ дроби, въ одной изъ которыхъ знаменателемъ будетъ 1 + 2z + 2z2, а въ другой 1—2z + 2z2. Для нахожденія этихъ дробей, которыя тоже будутъ правильными, положимъ, что числитель одной изъ нихъ будетъ а числитель другой у + ζ, и по предположенію должно быть:

Сложимъ на самомъ дѣлѣ эти двѣ дроби (второй части равенства), получимъ сумму:

Такъ какъ знаменатель равенъ знаменателю данной дроби, то должны быть равными и числители. Приравнивая коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ z въ данной дроби и въ числителѣ полученной нами суммы, найдемъ для опредѣленія неизвѣстныхъ α, ß, γ, δ слѣдующія 4 уравненія, изъ которыхъ эти неизвѣстныя могутъ быть опредѣлены только единственнымъ путемъ:

Отсюда, такъ какъ α + γ = 1 и β + δ = — 2, уравненія II и III дадутъ α — γ = 0 и δ— ß = 1/2. Отсюда получается:

Такимъ образомъ данная дробь

преобразуется въ двѣ такія:

Легко видѣть, что разложеніе всегда слѣдуетъ выполнять подобнымъ путемъ и вводить всегда столько неизвѣст-

ныхъ буквъ, сколько нужно для вычисленія даннаго числителя. Изъ общаго ученія о дробяхъ понятно также, что подобное разложеніе невозможно, если указанные множители знаменателя не будутъ взаимно простыми.

40. Дробная (функція можетъ разложиться на столько простыхъ дробей вида —, сколько знаменатель N содержитъ въ себѣ простыхъ и между собой неравныхъ множителей.

Дробь представляетъ произвольную дробную правильную функцію, такъ что М и N суть цѣлыя функціи отъ z, и наивысшая степень при Z въ М меньше, чѣмъ таковая же въ N. Такимъ образомъ, если знаменатель N разложится на свои простые множители, и эти множители между собой не равны, то выраженіе разложится на столько дробей, сколько содержится простыхъ множителей въ знаменателѣ N, потому что каждый множитель сдѣлается знаменателемъ частичной дроби. Итакъ, если р — qz будетъ множителемъ N, то это же выраженіе будетъ знаменателемъ нѣкоторой частичной дроби. А такъ какъ въ числителѣ этой послѣдней дроби наивысшій показатель при z долженъ быть меньше, чѣмъ въ знаменателѣ р — qz, то. значитъ, этотъ числитель будетъ необходимо числомъ постояннымъ. Слѣдовательно для каждаго одного простого множителя р — qz знаменателя N имѣется простая дробь

и сумма всѣхъ этихъ дробей равна данной дроби

Примѣръ. Пусть, напр., дана такая дробная функція:

Такъ какъ простые множители знаменателя суть z, то данная функція разложится на 3 такихъ простыхъ дроби:

гдѣ необходимо опредѣлить постоянные числители А, В и С. Приводимъ эти дроби къ одному знаменателю, который будетъ z — z3. Сумма же числителей должна равняться

откуда равенство

которое, при сравненіи коэффиціентовъ при одинаковыхъ степеняхъ z, даетъ столько же уравненій, сколько есть неизвѣстныхъ буквъ А, В, С, а именно:

Отсюда В — С = 2, и затѣмъ А = 1, В—1 и С = — 1. Слѣдовательно, данная функція разложится такъ:

Такимъ образомъ дѣлается понятнымъ, что дробь M/N всегда разложится на столько простыхъ дробей, сколько знаменатель N содержитъ въ себѣ простыхъ неравныхъ множителей. Если же какіе-либо множители (знаменателя) будутъ между собой равны, то разложеніе дѣлается инымъ способомъ, который будетъ объясненъ ниже.

41. Когда при разложеніи данной функціи достаточно одного какого-либо простого множителя въ знаменателѣ N, то показать, какъ, зная этотъ простой множитель, найти соотвѣтствующую ему дробь.

Пусть р — qz будетъ простой множитель знаменателя N, такъ что N = (p — qz)S, гдѣ S есть цѣлая функція отъ z. Положимъ, что дробь, соотвѣтствующая множителю а дробь, соотвѣтствующая другому множителю знаменателя S, пусть будетъ такъ что, по § 39, будетъ

Отсюда

Такъ какъ эти дроби должны быть тождественно равны, то необходимо, чтобы М — AS дѣлилось на р — qz и цѣлая функція Р равнялась бы полученному при этомъ частному. Но если р—qz есть дѣлитель выраженія М—AS', то это выраженіе, при положеніи z = p/q, уничтожается (обращается въ 0). Итакъ,

полагая въ М и S вмѣсто z всюду постоянную величину p/q, найдемъ, что М—AS = 0, откуда A = M/S. Такъ, слѣдовательно, находится числитель искомой дроби

и если по отдѣльнымъ простымъ множителямъ знаменателя N, лишь бы эти множители были не равны между собой, составить всѣ дроби этого вида, то сумма всѣхъ этихъ простыхъ дробей будетъ равна

Примѣръ. Такъ, если въ предыдущемъ примѣрѣ

гдѣ M = 1 + z2 и N = z — z3, взять въ знаменателѣ простой множитель z, то S = 1—z2, а для соотвѣтствующей простой дроби A/z числитель будетъ полагая z = 0. Подобнымъ же образомъ, если взять въ знаменателѣ множитель 1—z, такъ что S = z + z2, то А =

Полагая 1—z = 0, найдемъ А — 1; и для множителя 1—z соотвѣтствующая простая дробь будетъ Наконецъ, третій множитель 1 + z, при S = z — z2 полагая 1 + z = 0, или z = — 1, дастъ А = — 1

и соотвѣтствующую простую дробь

Слѣдовательно, по указанному правилу получается

какъ и раньше.

42. Дробная функція вида

гдѣ Р содержитъ z въ степени низшей, чѣмъ знаменатель (р— qz)n, можетъ бытъ преобразована въ частичныя дроби:

всѣ числители которыхъ суть числа постоянныя.

Такъ какъ наивысшая степень z въ Р меньше, чѣмъ zn, то она будетъ (самое большое) zn-1, а потому Р будетъ имѣть видъ

гдѣ число членовъ равно n. Это же число членовъ будетъ имѣть числитель суммы всѣхъ частичныхъ дробей послѣ приведенія ихъ къ одному общему знаменателю (р— qz)n. Этотъ числитель, такимъ образомъ, будетъ

Наивысшая степень z здѣсь, какъ и выше, есть zn-1, а неизвѣстныхъ буквъ А, В, С, D,... К (число которыхъ = n) имѣется ровно столько, сколько необходимо членовъ.

Поэтому буквы, изображающія числа А, В, С и т. д., могутъ быть опредѣлены такъ, что правильная дробная функція

Самое нахожденіе этихъ чиселъ будетъ легко объяснено сейчасъ ниже.

43. Если въ дробной функціи M/N знаменатель N содержитъ въ себѣ множитель (р — qz)2, то частичныя дроби, соотвѣтствующія этому множителю, находятся слѣдующимъ способомъ.

Выше показано, какъ получаются частичныя дроби для такихъ отдѣльныхъ простыхъ множителей знаменателя, которыя не имѣютъ себѣ равныхъ. Предположимъ теперь, что существуютъ два равныхъ между собой множителя, или, соединяя ихъ вмѣстѣ, что въ знаменателѣ N содержится множитель (р — qz)2.

Этому множителю, по предыдущему §, должны соотвѣтствовать двѣ такихъ частичныхъ дроби:

Пусть N = (p — qz)2S. Въ такомъ случаѣ

гдѣ обозначаетъ всѣ вмѣстѣ взятыя простыя дроби, соотвѣтствующія множителю знаменателя S. (Весь данный знаменатель — N). Отсюда

= цѣлой функціи. Слѣдовательно, выраженіе

должно дѣлиться на (р — qz)2. Но прежде всего оно дѣлимо на р — qz и, значитъ, все выраженіе М—AS — В(р— qz)S обратится въ нуль при предположеніи р—qz = 0, или

Подставимъ всюду p/q вмѣсто z, получимъ М — AS = 0, откуда А = M/S, т.-е. дробь M/S при подстановкѣ въ нее всюду p/q вмѣсто z дастъ постоянное количество А. Но количество М—AS—В(р— qz)S должно также дѣлиться на (р — qz)2, другими словами, выраженіе должно, въ свою очередь, дѣлиться на р — qz. Полагая

поэтому здѣсь

найдемъ, что

и, слѣдовательно,

Здѣсь необходимо замѣтить, что если М—AS дѣлится на р — qz, то нужно выполнить это дѣленіе прежде, чѣмъ подставлять p/q вмѣсто z. Или, полагая а

получимъ

при предположеніи

Опредѣливъ числа А и В, найдемъ и частичныя дроби, соотвѣтствующія множителю (р — qz)2 знаменателя N, т.-е.

Примѣръ I. Пусть будетъ дана дробная функція

въ знаменателѣ которой есть квадратный множитель z2; S = 1 + z2 и М = 1—z2. Пусть частичныя дроби, соотвѣтствующія z2 будутъ — + ---. Въ такомъ случаѣ А =

Полагая здѣсь z = 0, находимъ А = 1. Въ такомъ случаѣ М—AS = — 2z2, что, дѣленное на простой множитель z, дастъ T = — 2z. Отсюда

полагая z = 0, найдемъ В = 0. Слѣдовательно, множителю

z2 въ знаменателѣ будетъ соотвѣтствовать только одна частичная дробь 1/z2.

Примѣръ II. Пусть дана дробная функція

Частичныя дроби, соотвѣтствующія въ ней квадратному множителю знаменателя (1—z)2 пусть будутъ

Значитъ

Полагая 1—z = 0, т.-е. z = 1, найдемъ, что

Слѣдовательно получается

что дѣленное на 1—z даетъ

Такъ что

Полагая здѣсь z = 1, находимъ, что В = — 1/2. Итакъ, искомыя частичныя дроби суть:

44. Если знаменатель N дробной функціи M/N содержитъ въ себѣ множитель (р—qz)3, то частичныя дроби, соотвѣтствующія этому множителю

находятся слѣдующимъ образомъ.

Положимъ, что N = (p— qz)3S, и пусть дробь, соотвѣтствующая множителю S будетъ P/S. Въ такомъ случаѣ

= цѣлой функціи.

Числитель М— AS—В(р— qz)S—С(р— qz)2S прежде всего долженъ дѣлиться на р — qz, т.-е. онъ обратится въ нуль при положеніи р — qz = 0, или z = p/q, а. потому М—AS = 0,

По нахожденіи такимъ образомъ А замѣчаемъ, что М — AS должно дѣлиться на полагаемъ

Въ такомъ случаѣ Т—BS—С(р—qz)S въ свою очередь дѣлится на (р — qz)2, а потому = 0 при Т предположеніи р — qz = 0, откуда слѣдуетъ, что В = T/S, если положить z = p/q. Опредѣливъ такимъ образомъ В, находимъ, что Т—BS дѣлится на р — qz. Поэтому, полагая

находимъ, что V—CS = 0, если положить р — qz = 0 и С = - ≈ - при z = —. Такимъ образомъ, нашедши числители А, В и С, найдемъ и частичныя дроби, соотвѣтствующія множителю (р — qz)3 знаменателя N т.-е.

Примѣръ. Пусть дана дробная функція

въ которой кубическому множителю (1—z)3 знаменателя соотвѣтствуютъ частичныя дроби

Въ данномъ случаѣ M = z2 и S = 1 + z2, откуда прежде всего

полагая 1 — z = 0, или z = 1, находимъ

отсюда

Затѣмъ,

откуда

и, для z = 1, получается В = —1/2. Далѣе имѣемъ

Отсюда

Поэтому

и, полагая здѣсь z = 1, находимъ С = — 1/4. Слѣдовательно частичныя дроби, соотвѣтствующія множителю (1—z)3 знаменателя суть:

45. Если знаменатель N дробной функціи содержитъ множитель (р — qz)n, то соотвѣтствующія этому множителю частичныя дроби

найдутся слѣдующимъ способомъ:

Положимъ, что знаменатель N = (p— qz)nZ, тогда путемъ разсужденій, подобныхъ предыдущимъ, получимъ слѣдующее:

Если такимъ способомъ найти постоянные числители А, В, С, В и т. д., то опредѣлятся и всѣ частичныя дроби, соотвѣтствующія множителю (р— qz)n знаменателя N.

Примѣръ. Пусть дана дробная функція

въ которой множителю z5 въ знаменателѣ соотвѣтствуютъ частичныя дроби:

Чтобы найти постоянные числители этихъ дробей, положимъ

Вычисленіе ведется такимъ путемъ:

Во 1-хъ,

Берутъ

Откуда, во 2-хъ,

Берутъ

Откуда,

Берутъ

Откуда, въ 4-хъ,

Берутъ

Откуда, въ 5-хъ,

Слѣдовательно, искомыя частичныя дроби будутъ

46. Итакъ, какова бы ни была данная раціональная дробная функція она разлагается на составныя части и приводится къ простѣйшему виду слѣдующимъ образомъ:

Сначала находятъ всѣ простые множители, дѣйствительные и мнимые, знаменателя N. Тѣ изъ множителей, которые не имѣютъ себѣ равныхъ, разсматриваются отдѣльно и соотвѣтствующая каждому частичная дробь опредѣляется по § 41. Если же какой-либо множитель входитъ дважды или болѣе разъ, то таковые соединяютъ вмѣстѣ и, по ихъ произведенію, имѣющему видъ (р — qz)n, опредѣляютъ соотвѣтственныя частичныя дроби на основаніи § 45. Опредѣливъ такимъ образомъ всѣ частичныя дроби, соотвѣтствующія простымъ множителямъ знаменателя, сумму ихъ приравниваютъ данной функціи M/N, если она правильная дробь. Если же эта функція есть неправильная дробь, то изъ нея выдѣляютъ ея цѣлую часть, придаютъ къ найденнымъ частичнымъ дробямъ, и такимъ образомъ получаютъ значеніе функціи въ самой простѣйшей формѣ. Безразлично, опредѣляются ли частичныя дроби до исключенія цѣлой части изъ данной функціи или послѣ такого исключенія. Частичныя дроби, соотвѣтствующія отдѣльнымъ множителямъ знаменателя N, получатся тѣ же, берется ли самый числитель М, или же онъ, увеличенный или уменьшенный нѣкоторымъ множителемъ знаменателя N. Это явствуетъ изъ разсмотрѣнія данныхъ выше правилъ.

Примѣръ. Требуется представить въ простѣйшемъ видѣ функцію

Беремъ сначала простой множитель знаменателя 1 + z, который даетъ p/q = —1; кромѣ того, имѣемъ M = 1,

Отсюда для опредѣленія дроби

получается

полагая z = — 1, имѣемъ

такъ что для множителя 1 + z получается дробь

Беремъ затѣмъ множитель (1—z)2, который даетъ

Кромѣ того, M = 1, Z = z3 + z4 и представимъ соотвѣтствующія частичныя дроби черезъ

Получается

Далѣе

Значитъ,

при z = 1 получаемъ В = 7/4, такъ что искомыя дроби будутъ

Наконецъ, третій кубическій множитель z3 даетъ

Представляя искомыя частич-

ныя дроби черезъ

имѣемъ, во 1-хъ,

при z = 0 будетъ А = 1. Пусть

тогда B = P/Z; и при z = 0 будетъ В = 1. Полагая

будетъ С = Q/Z, при z = 0 получается C = 2. Итакъ, данная функція разлагается такъ:

Данная функція есть правильная дробь, а потому цѣлой части здѣсь не имѣется.

О преобразованіи функціи посредствомъ подстановки.

46 (bis). Если у есть нѣкоторая (функція отъ z, но z опредѣляется посредствомъ новаго перемѣннаго х, то и у можетъ быть опредѣлено черезъ х.

Итакъ, прежде всего, у есть функція отъ z, а затѣмъ вводится новое перемѣнное х, чрезъ которое опредѣляются обѣ величины у и z. Такъ, если положить

принять, что

то, подставляя это значеніе вмѣсто z въ данное выраженіе, получимъ

Если те-

перь придать х какое-либо опредѣленное значеніе, то отсюда опредѣляются соотвѣтствующія значенія для z и у, такъ что найдется и значеніе у, соотвѣтствующее тому значенію z, которое при этомъ получается. Такъ, пусть будетъ х = 1/2, тогда z = 1/3 у = 4/5. Ту же величину у = 4/5 получимъ, если въ выраженіи

представляющемъ у, положимъ сразу

Подобное введеніе новаго перемѣннаго примѣняется съ двоякой цѣлью: или такимъ путемъ уничтожается ирраціональность, которая содержится въ выраженіи у черезъ z, или, если вслѣдствіе уравненія высокой степени, выражающаго связь между у и z, нельзя выразить у въ видѣ явной функціи отъ z, то вводится новое перемѣнное х, которое позволяетъ легко опредѣлить какъ у, такъ и z. Уже отсюда ясна важность употребленія подстановокъ. Изъ дальнѣйшаго это станетъ еще яснѣе.

47. Если y = √a + bz, то новое перемѣнное х, чрезъ которое раціонально выразится у и z, находится слѣдующимъ образомъ.

Такъ какъ z и у должны быть раціональными функціями отъ X, то ясно, что требуемое получится, если положить

Получится, во-первыхъ, у = bх, и a + bz — b2х2,

и отсюда

Такимъ образомъ, оба количества у и z выражаются раціонально черезъ х. Итакъ, если

то, полагая

найдемъ

48. Если y = (a + bz)n, то новое перемѣнное х, чрезъ которое у и z выразятся раціонально, находится такъ.

Полагаютъ

получается

откуда

Значитъ,

что даетъ у = xm. Итакъ, хотя нельзя выразить раціонально ни у черезъ z, ни обратно z черезъ у, однако обѣ функціи приведены къ раціональному виду подстановкой новаго перемѣннаго количества х, и самая подстановка весьма проста.

49. Если

то новое перемѣнное х, чрезъ которое у и z выражаются раціонально, отыскивается такъ.

Ясно, прежде всего, что искомое найдется, если положить

и значитъ

изъ этого же уравненія слѣдуетъ, что

каковая подстановка и даетъ у = xm. Отсюда понятно, что если будетъ дано

то—какъ у, такъ и z раціонально выразится черезъ х, если обѣ формулы положить равными xmn. Такимъ образомъ найдется, что

такъ что этотъ случай не представляетъ собой никакихъ трудностей.

50. Если у = y√(a + bz)(c + dz), то подходящая подстановка, благодаря которой у и z выразятся раціонально, отыскивается слѣдующимъ образомъ.

Положимъ √(а + bz)(c dz) = (а + bz)x. Легко видѣть, что отсюда получится раціональное значеніе для z, такъ какъ значеніе z опредѣляется изъ простого уравненія1). Въ самомъ дѣлѣ, получается с + dz = (а + bz)x2, откуда

Отсюда далѣе

и, такъ какъ

Итакъ, ирраціональная функція у = √(a + bz)(c + dz) приводится къ раціональному виду подстановкой

что даетъ у =

Такъ, напр., если положить

1) Т.-е. уравненія 1-й степени относительно z.

то

а потому, полагая

получимъ

Такъ дѣлается приведеніе къ раціональности всегда, когда подъ знакомъ корня имѣются два простыхъ дѣйствительныхъ множителя. Если же оба простые множители будутъ мнимые, то надлежитъ пользоваться слѣдующимъ способомъ.

51. Пусть будетъ y = √p + qz + rz2; требуется найти такую подстановку вмѣсто z, чтобы значеніе у сдѣлалось раціональнымъ.

Это можетъ быть сдѣлано многими способами, смотря по тому, будутъ ли количества р и q положительны или отрицательны. Пусть, во-первыхъ, р будетъ положительнымъ количествомъ, и поставимъ a2 вмѣсто р. Если даже р и не представляетъ собой квадратнаго числа, то въ данномъ случаѣ ирраціональность постоянныхъ количествъ не имѣетъ значенія. Итакъ, пусть будетъ:

и положимъ

откуда

Отсюда же находимъ,

и значитъ

Здѣсь у и z раціональныя функціи отъ х. Пусть теперь:

Положимъ

Отсюда

такъ что получится

III. Если р и г будутъ отрицательными количествами и если не соблюдено условіе q2 > 4pr, то значеніе у всегда будетъ мнимое. Если же q2 > 4pr, выраженіе p + qz + rz2 можетъ разложиться на два множителя, и этотъ случай сводится къ предыдущему §. Часто, однако, удобнѣе его свести къ такой формѣ:

Чтобы эту послѣднюю свести къ раціональной, положимъ, что у = а + (b + cz)x. Получится

Откуда

и

Иногда можетъ представляться болѣе удобнымъ приведеніе къ такой формѣ:

Въ такомъ случаѣ полагаютъ

, и получится:

Откуда

Примѣръ. Если имѣется такая ирраціональная функція отъ z:

то ее можно привести къ такой формѣ:

Положимъ

тогда

Затѣмъ

Таковы почти всѣ случаи, которые представляетъ неопредѣленная алгебра, или методъ Діофанта. Къ другимъ случаямъ, не заключающимся въ этомъ методѣ, раціональной подстановки для приведенія къ раціональности примѣнять не приходится. А потому я перехожу къ пользованію подстановкой въ иномъ случаѣ.

52. Пусть у будетъ такая функція отъ z, что ауα + bzβ + cyγzδ = 0. Требуется найти новое перемѣнное х, чрезъ которое значенія у и z могли бы бытъ выражены явно.

Такъ какъ не существуетъ общаго рѣшенія уравненій, то изъ даннаго уравненія ауα + bzβ + cyγzδ = 0 нельзя выразить (явно) ни у черезъ z, ни, наоборотъ, z черезъ у. Такому неудобству можно помочь слѣдующимъ способомъ. Положимъ y = xmzn, тогда получится

Теперь опредѣлимъ показатель n такъ, чтобы изъ этого послѣдняго уравненія можно было опредѣлить значеніе z. Сдѣлать это можно тремя способами.

I. Пусть будетъ

Тогда уравненіе

будетъ дѣлимо на

Откуда находимъ

или

А также

II. Пусть

Въ такомъ случаѣ уравненіе дѣлится на т.-е. получается

откуда

а также

III. Пусть будетъ

По раздѣленіи уравненія на zαn получимъ

Откуда

Такимъ образомъ функціи отъ х, равныя z и у, опредѣлятся тремя различными способами. Такъ какъ сверхъ того число m можетъ быть по желанію взято наиболѣе подходящимъ образомъ, то формулы могутъ быть сведены къ самой удобной формѣ.

Примѣръ. Пусть природа функціи у выражена уравненіемъ

и требуется опредѣлить функціи отъ х, равныя у и z. Для даннаго случая будетъ

Отсюда первый способъ дастъ, полагая m = 1,

или

Каждое изъ этихъ выраженій раціонально.

Второй способъ даетъ такія значенія:

или

Третій способъ дастъ:

53. Отсюда можно а posteriori заключить, какого рода уравненія, опредѣляющія значеніе функціи у черезъ z, могутъ быть рѣшены подобнымъ введеніемъ новой перемѣнной х.

Въ самомъ дѣлѣ, примемъ, что подобное рѣшеніе найдено и дало такія опредѣленія z и у черезъ

Кромѣ того будетъ yp = xpzzq, откуда

Такъ какъ

если вмѣсто х подставить его значеніе

получится слѣдующее уравненіе:

которое сводится къ такому:

Послѣднее уравненіе по умноженіи на

сводится къ такому:

Положимъ

тогда

Такъ что получается уравненіе:

которое, значитъ, разрѣшается такъ:

Или же, если положить

то будетъ

Отсюда = q = m— п; r = μm— αm + αn; и получится такое уравненіе

рѣшеніе котораго даетъ:

54. Если у зависитъ отъ z такъ, что ay2 + byz + cz2 + dy + ez = 0, то какъ у, такъ и z раціонально выразится черезъ новое перемѣнное х слѣдующимъ образомъ:

Положимъ y = xz, тогда, раздѣливъ на z, получимъ

откуда находимъ

Къ предложенной формѣ можетъ быть сведено также и такое уравненіе между у и z;

если въ немъ каждое изъ перемѣнныхъ увеличить пли уменьшить на нѣкоторую извѣстную постоянную величину. А значитъ и это уравненіе можетъ быть выражено раціонально введеніемъ новаго перемѣннаго х.

55. Если у такъ зависитъ отъ z, что имѣетъ мѣсто уравненіе

то у и z можно представить раціонально чрезъ новое перемѣнное х слѣдующимъ образомъ.

Пусть будетъ y = xz. Послѣ такой подстановки все уравненіе раздѣлится на z2, и получится

Отсюда

Изъ разсмотрѣнныхъ случаевъ легко понять, какъ должны быть составлены уравненія высшихъ степеней, опредѣляющія у черезъ z, для того, чтобы могло имѣть мѣсто рѣшеніе указаннаго вида. Эти случаи, впрочемъ, заключаются всѣ въ формулахъ, данныхъ выше, въ § 53. Но такъ какъ общія формулы къ этимъ наиболѣе часто встрѣчающимся случаямъ прилагаются не такъ легко, то слѣдуетъ нѣкоторыя изъ нихъ вывести особо.

56. Если у такъ зависитъ отъ z, что

то каждое изъ количествъ у и z выразится чрезъ новое перемѣнное х слѣдующимъ образомъ.

Пусть будетъ y = xz; тогда

Подобно же, если будетъ

полагая y = xz и дѣля все полученное уравненіе на z, получимъ

откуда

Впрочемъ, эти случаи, какъ и другіе, допускающіе подобныя рѣшенія, заключаются въ слѣдующемъ параграфѣ.

57. Если у такъ зависитъ отъ z, что

то у и z удобно выразить черезъ новое перемѣнное х слѣдующимъ способомъ:

Пусть будетъ y = xz. Сдѣлавъ эту подстановку, все данное уравненіе можно раздѣлить на zn, если показатель m больше показателя n. Получится

откуда получается

Такое рѣшеніе всегда имѣетъ мѣсто, если въ уравненіи, выражающемъ природу функціи у черезъ z, число взятыхъ для у и z измѣреній всюду только одно изъ двухъ, какъ въ разсматриваемомъ случаѣ,—въ каждомъ отдѣльномъ членѣ число измѣреній есть m или n.

Цѣлыя функціи и ихъ корни.

(Изъ XI главы „Энциклопедіи элементарной математики Вебера и Велльштейна. Переводъ съ нѣмецкаго подъ редакціей В. Кагана. Т. I).

§ 65.

2. Подъ названіемъ цѣлой функціи или просто функціи мы разумѣемъ выраженіе вида:

гдѣ a0, a1, a2,..., an суть опредѣленныя данныя числа, которыя называются коэффиціентами функціи f(x); n означаетъ цѣлое положительное число, а х есть знакъ, которому можно придать любое численное значеніе. При такихъ условіяхъ мы называемъ х перемѣннымъ, а f(х) есть не что иное, какъ сокращенное обозначеніе всего выраженія (1). Если коэффиціентъ a0 отличенъ отъ нуля, то число n называется степенью функціи f(x).

Нѣтъ необходимости, чтобы коэффиціенты были раціональными числами. Они могутъ имѣть ирраціональныя и даже комплексныя значенія.

Вмѣсто знаковъ а, х, f, конечно, можно употреблять и другія буквы; однако, для обозначенія коэффиціентовъ мы будемъ предпочтительно употреблять первыя строчныя буквы латинскаго алфавита: а, b, с, для перемѣнныхъ—послѣднія буквы х, у, z, t; для обозначенія функцій мы будемъ пользоваться буквами f, φ,ψ, а также буквами F, Ф, Ψ.

3. Цѣлыя функціи можно складывать, вычитать и умножать по тѣмъ же правиламъ, по которымъ эти дѣйствія совершаются надъ полиномами. Результатами этихъ операцій будутъ также цѣлыя функціи. При этомъ члены съ одинаковыми степенями х собираютъ въ одинъ членъ, складывая коэффиціенты, затѣмъ всѣ вновь полученные члены располагаютъ въ рядъ по восходящимъ или нисходящимъ степенямъ х, начиная справа или слѣва. Такъ, напримѣръ:

Если перемножимъ двѣ функціи n-той и m-той степени f(x) = a0xn + ... и φ(x) = b0xm + ..., то произведеніе f(x), φ(x), будучи расположено соотвѣтствующимъ образомъ, начнется съ члена аоЬохт + n. Это замѣчаніе даетъ право сказать, что степень произведенія двухъ цѣлыхъ функцій равна суммѣ m + n степеней сомножителей.

4. Двѣ функціи f(x) и φ(x) называются равными (точнѣе: тождественно равными) только въ томъ случаѣ, если онѣ одной и той же степени и если коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ въ одной и въ другой имѣютъ одинаковыя значенія. При этихъ условіяхъ для любого численнаго значенія перемѣннаго х обѣ функціи имѣютъ одинаковыя численныя значенія. Согласно съ этимъ опредѣленіемъ, функція f(x) только тогда тождественно равна нулю, когда всѣ ея коэффиціенты a0, a1, ..., an суть нули. Поэтому

тождественно исчезающая функція не имѣетъ опредѣленной степени.

Совершенно другое значеніе имѣетъ равенство двухъ функцій f(x) = φ(x), если оно справедливо только при нѣкоторыхъ отдѣльныхъ значеніяхъ х.

Въ то время, какъ, съ одной стороны, равенство f(x) = 0, если мы его понимаемъ въ первомъ смыслѣ, требуетъ, чтобы коэффиціенты a0, a1, ..., an всѣ были равны нулю, — можно, съ другой стороны, искать такія значенія х = x1, которыя обращаютъ f(x) въ нуль, несмотря на то, что не всѣ коэффиціенты a0, a1, ..., an суть нули. Такое значеніе x1 называется корнемъ функціи f(x) или, иначе, корнемъ уравненія f(x) = 0. При такой постановкѣ вопроса х въ уравненіи f(x) = 0 называется неизвѣстнымъ, для котораго мы ищемъ опредѣленное значеніе x1.

5. Если коэффиціенты a0, ..., an суть вещественныя числа, то f(x) называется вещественной функціей. Если вещественная функція имѣетъ мнимый корень x1 = a + βi, то

Отсюда слѣдуетъ1), что, если мы вездѣ замѣнимъ i черезъ —i, то равенство не нарушится; поэтому

т.-е. x1' = а—ßi также есть корень функціи f(x). Этотъ важный выводъ мы формулируемъ въ видѣ слѣдующей теоремы:

Каждая вещественная функція можетъ имѣть только парные мнимые корни, при чемъ каждая пара состоитъ изъ двухъ сопряженныхъ мнимыхъ чиселъ.

§ 66. Дѣленіе цѣлыхъ функцій.

1. Дѣйствія надъ цѣлыми функціями представляютъ большое сходство съ дѣйствіями въ области раціональныхъ чиселъ. Особенно важное значеніе имѣютъ въ этомъ случаѣ правила дѣленія.

Пусть будутъ

(1)

двѣ функціи степеней n и m, такъ что a0 и b0 не нули; предположимъ что n ⩾ m.

1) По теоремѣ: Равенство, содержащее мнимыя числа, не нарушается, если замѣнить въ обѣихъ частяхъ его число і числомъ —і.

Говорятъ, что функція f(x), дѣлится на φ(x), если существуетъ цѣлая функція Q(x), удовлетворяющая соотношенію f(x) = φ(x) Q(x).

Согласно п. 3 § 65 функція Q(x) должна быть (n — m)-ой степени; чтобы не исключать того случая, когда m = n, мы будемъ подъ названіемъ цѣлой функціи нулевой степени разумѣть число, отличное отъ нуля (не зависящее, слѣдовательно, отъ х).

Чтобы ближе разсмотрѣть вопросъ о дѣлимости цѣлыхъ функцій, положимъ:

(2)

Приравняемъ коэффиціенты произведенія φ(х) Q(x) соотвѣтствующимъ коэффиціентамъ функціи f(x), начиная съ a0. Это дастъ слѣдующія равенства:

(3)

Составить эти равенства очень легко: нужно обратить вниманіе только на то, чтобы въ выраженіи сумма индексовъ въ каждомъ членѣ biqk, т.-е. i + k была равна ν, но прибавлять слагаемыя только до тѣхъ поръ, пока значекъ і при b не превыситъ m.

Мы получили систему n — m + 1 уравненій первой степени, изъ которыхъ могутъ быть опредѣлены n — m + 1 неизвѣстныхъ q0, q1, ..., qn-m. Простота конструкціи этой системы дѣлаетъ очень удобнымъ ея разрѣшеніе. Изъ перваго уравненія находимъ q0 = a0/b0, зная q0, изъ второго уравненія легко находимъ = (a2 — b1q0)/b0 = (a1b0 — a0b1)/b02 и т. д. до qn_m. Въ знаменателѣ будутъ всегда степени числа bо, которое, по предположенію, отлично отъ нуля.

Если числа q0, q1, ..., qn_m опредѣлены изъ равенствъ (3), то коэффиціенты при xn, xn-1, ..., xm въ произведеніи φ(x) Q(x) совпадаютъ съ соотвѣтствующими коэффиціентами функціи f(x). Разность f(x)— φ(x)Q(x) есть цѣлая функція

(4)

степень которой не выше (m—1)-ой. R(x) можетъ быть и низшей степени, если го = 0 или r0 и r1 равны 0 и т. д. Итакъ: (5)

Операція эта (т.-е. нахожденіе функцій Q(x) и R(х)) называется дѣленіемъ функціи f(x) на φ(x); f(x) называется дѣлимымъ, φ(х) — дѣлителемъ, Q(x) — частнымъ и R(х) — остаткомъ. Если функціи f(x) и φ(х) даны, то Q(x) и R(х) однозначно опредѣляются тѣмъ, что степень функціи R(х) должна быть ниже степени φ(х).

Вопросъ ставится совершенно такъ же, какъ при дѣленіи цѣлыхъ чиселъ, съ тою лишь разницей, что не численная величина остатка должна быть меньше дѣлителя, а степень остатка должна быть ниже степени дѣлителя. Вычисленіе можно расположить совершенно такъ же, какъ при дѣленіи десятичныхъ чиселъ. Покажемъ это на примѣрѣ. Пусть

Тогда получимъ:

Въ данномъ случаѣ Q(x) = 3×2—3x + 16, а R(x) = —45x + 72.

2. Функція f(x) дѣлится на φ(х) въ томъ и только въ томъ случаѣ, если остатокъ R(x) тождественно равенъ 0, т.-е. если

Чтобы пояснить это на примѣрѣ, положимъ:

Тогда получимъ:

3. Дѣленіе совершается особенно просто, если дѣлитель представляетъ собой функцію первой степени или, какъ

таковую часто называютъ, линейную функцію. Возьмемъ дѣлителя φ(x) въ формѣ х — а; въ такомъ случаѣ въ равенствахъ (3) нужно положить b0 = 1, b1 = — а. Для опредѣленія коэффиціентовъ q получаемъ равенства:

отсюда находимъ:

(6)

Остатокъ будетъ нулевой степени, т.-е. не будетъ зависѣть отъ х. Можно легко опредѣлить его значеніе; для этого достаточно въ равенство f(x) = (х — a) Q(x) + R подставить а вмѣсто х; но тогда (х — a)Q(x) = 0, и, слѣдовательно. R = f(a). Итакъ.

(7)

Если f(d) = 0, то f(x) дѣлится на х—а; мы получаемъ такимъ образомъ теорему:

Функція f(x) тогда и только тогда дѣлится на х — а, если а есть корень функціи f(x).

4. Если не только f(x), но и Q(x) дѣлится на х — а, такъ что Q(a) = 0, то f(x) дѣлится на (х — а)2. Согласно формуламъ (6),

Функцію

(8)

называютъ производной отъ функціи f(x). Мы видимъ, такимъ образомъ, что

(9)

Итакъ, необходимое и достаточное условіе дѣлимости функціи f(x) на (х — а)2 выражается двумя равенствами: f (а) = 0 и f'(a) = 0, или въ словахъ:

1) Чтобы это получить, мы умножаемъ обѣ части перваго изъ равенствъ (6) на an-1, второе равенство на an-2 и т. д., а затѣмъ складываемъ всѣ равенства.

Функція f(x) въ томъ и только въ томъ случаѣ дѣлится на (х— а)2, если а есть общій корень (функціи f(x) и ея производной f'(x).

5. Если мы положимъ f(x) = f1(x) + f2(x), то, основываясь на формулѣ (8), легко найдемъ, что

(10)

Чтобы въ этомъ убѣдиться, стоитъ только представить коэффиціенты функціи f(x) въ видѣ суммы соотвѣтствующихъ коэффиціентовъ функцій f1(x) и f2(x). Итакъ:

Производная суммы равна суммѣ производныхъ слагаемыхъ.

6. Для того, чтобы найти производную функціи f(x), нужно, какъ это слѣдуетъ изъ равенствъ (7), (8) и (9): найти частное

въ развернутомъ видѣ, положить въ немъ х = а и затѣмъ въ результатѣ этой постановки опять замѣнить а черезъ х; это можно сдѣлать, ибо а такъ же, какъ и х, есть перемѣнная величина. Согласно этому для нахожденія производной функціи f(x) = (x — с)п слѣдуетъ въ формулѣ

подставить х — с вмѣсто а и а — с вмѣсто b. Въ результатѣ этой подстановки слѣдуетъ замѣнить а черезъ х, но это равносильно тому, что мы сразу положимъ а = b = х — с, но тогда мы получимъ;

(11)

это и есть производная функціи f(x) = (x— с)п.

7. Чтобы получить производную произведенія двухъ функцій

положимъ:

отсюда найдемъ:

Положивъ въ правой части этого равенства х = а и принимая во вниманіе, что

(12)

такъ именно выражается производная произведенія.

8. Съ помощью вышеизложеннаго можно дополнить теорему, изложенную въ п. 4. А именно: пусть

при чемъ функція f1(х) уже больше не дѣлится на х — а, такъ что а есть, слѣдовательно, m-кратный корень функціи f(x); тогда съ помощью равенствъ (11) и (12) находимъ:

а отсюда слѣдуетъ:

Если х — а есть m-кратный множитель функціи f(x), то въ функцію f(x) этотъ же множитель х — а входитъ только (m—1) разъ.

9. Если x1 есть корень функціи f(x), то можно положить f(x) = (x — x1)f1(x), гдѣ f1(x) есть функція (n—1)-ой степени; изъ соотношенія (3) слѣдуетъ, что высшій членъ функціи f1(x), т.-е. xn-1 имѣетъ тотъ же коэффиціентъ, что и xn въ функціи f(x). Если f1(x) имѣетъ корень x2, то мы можемъ положить f1(x) = (x—x2)f2(x) и т. д. Если всѣ полученныя такимъ образомъ функціи f1, f2, f3, ... имѣютъ корни, а послѣдняя изъ нихъ fn-1(x) = a0(x— xn), то

(13)

Отсюда слѣдуетъ, что функція n—ой степени никогда не имѣетъ больше n корней.

Дѣйствительно, если f(x) имѣетъ n корней x1, x2, ..., xn, то число x2 должно быть корнемъ функціи f1(х), x3 — корнемъ функціи f2(x) и т. д.; при этомъ, какъ мы видѣли, имѣетъ мѣсто разложеніе (13). Если поэтому а есть какой-нибудь корень функціи f(x), то должно имѣть мѣсто равенство:

что возможно только въ томъ случаѣ, если а есть одно изъ чиселъ x1, x2, ..., xn.

Если въ какомъ-нибудь частномъ случаѣ окажется, что нѣкоторая функція n-ой степени

имѣетъ болѣе, чѣмъ n различныхъ корней, то остается только заключить, что всѣ коэффиціенты a0, a1, a2, ..., an суть нули и что, слѣдовательно, функція f(x) тождественно

(при всякомъ значеніи х) равна нулю. Нашъ выводъ мы можемъ выразить такъ:

Если число значеній независимаго перемѣннаго х, при которыхъ функція n-той степени отъ х обращается въ нуль, превышаетъ n, то эта функція тождественно сводится къ нулю.

Въ этой формулировкѣ только что высказанная теорема часто будетъ служить основаніемъ при доказательствѣ дальнѣйшихъ теоремъ.

10. Въ ряду чиселъ x1, x2, . . . , xn, входящихъ въ разложеніе (13), одно и то же число можетъ повторяться нѣсколько разъ. Функція f(x) и въ этомъ случаѣ разлагается на n линейныхъ множителей, но число ея корней меньше n. Однако, чтобы установить одинообразіе въ способѣ выраженія, и въ этихъ случаяхъ говорятъ, что функція f(x) имѣетъ n корней, мы получимъ эти n корней, если будемъ считать нѣкоторые корни нѣсколько разъ; именно: каждый корень xi мы будемъ считать столько разъ, сколько разъ соотвѣтствующій множитель (х — xi) входитъ въ разложеніе (13). Мы имѣемъ тогда дѣло съ такъ называемыми кратными корнями; согласно п. 4, хі есть кратный корень функціи f(x), если онъ представляетъ собой общій корень функцій f(x) и f'(x).

§ 67. Общій наибольшій дѣлитель.

1. Если двѣ цѣлыя функціи f(x) и f1(x), которыя мы иногда будемъ обозначать короче черезъ f и имѣютъ общіе корни, то онѣ имѣютъ также общаго дѣлителя. Въ самомъ дѣлѣ, если обѣ функціи имѣютъ общій корень x1, то обѣ онѣ дѣлятся на линейную функцію х — x1. Функціи f(x) и f1(x) могутъ имѣть общихъ дѣлителей и болѣе высокихъ степеней. Если функціи f(x) и f1(х) не имѣютъ общаго дѣлителя, а, слѣдовательно, и общихъ корней, то такія двѣ функціи называются взаимно простыми или первыми между собой.

Такъ какъ дѣленіе цѣлыхъ функцій совершается по тѣмъ же правиламъ, что и дѣленіе цѣлыхъ чиселъ, то мы можемъ для опредѣленія общихъ дѣлителей двухъ функцій примѣнить Евклидовъ алгориѳмъ.

Пусть f и f1 будутъ двѣ данныя функціи степеней n и n1, и пусть n ⩾ n1. Посредствомъ дѣленія (§ 66, 1) можно составить рядъ функцій f2, f3, . . ., степени которыхъ n2, n3, ... убываютъ, и рядъ частныхъ Q, Q1, Q2, ... такимъ образомъ, чтобы имѣли мѣсто равенства:

(1)

Этотъ рядъ равенствъ можно продолжать до тѣхъ поръ, пока можно дѣлить fn_1 на fn. Такъ какъ степени функцій f2, f3, ... постоянно убываютъ, то, въ концѣ концовъ, одно изъ дѣленій должно совершиться безъ остатка. Пусть послѣднія два равенства въ ряду (1) будутъ:

(2)

Точно такъ же, какъ при цѣлыхъ числахъ, можно заключить, что fv есть дѣлитель всѣхъ предыдущихъ функцій fv-1, fv-2, fv-3, ..., f1, f, и и что каждый общій дѣлитель функцій f и долженъ быть также дѣлителемъ функцій f2, f3, ..., fv. Поэтому fv называется общимъ наибольшимъ дѣлителемъ функцій f и f1 (при этомъ слова „больше", „меньше“ относятся, собственно, къ степени дѣлителя).

Общій наибольшій дѣлитель fv можетъ оказаться функціей нулевой степени, т.-е. можетъ представлять собой число, отличное отъ нуля и не зависящее отъ х; въ этомъ случаѣ f и суть функціи первыя между собой, такъ какъ на постоянное число дѣлится всякая функція.

2. Итакъ, общій наибольшій дѣлитель двухъ функцій можетъ быть найденъ съ помощью четырехъ дѣйствій (т.-е. съ помощью раціональныхъ операцій) надъ коэффиціентами данныхъ функцій.

3. Съ помощью раціональныхъ операцій мы можемъ также рѣшить, имѣетъ ли функція кратные корни; для этого нужно найти общаго наибольшаго дѣлителя функціи f(х) и ея производной f'(x).

Возьмемъ примѣръ:

Вмѣсто f'(x) = 2(3x5—5x4 + 1) мы можемъ взять за перваго дѣлителя функцію f1(x) = 3×5—5×4 + 1, которая отличается отъ f'(x) только численнымъ множителемъ.

Первое дѣленіе даетъ:

За второго дѣлителя f2 мы можемъ взять x4—3х— 2; мы получимъ:

Третье дѣленіе на f3 = x2 — x—1 заканчиваетъ вычисленіе:

Итакъ, x2—х — 1 есть общій наибольшій дѣлитель функцій f(x) и f'(x). Легко обнаружить, что

если произвести умноженіе въ правой части.

4. Если мы соединимъ всѣхъ однократныхъ множителей функціи f(x) въ одну группу Р1, двукратныхъ множителей— въ группу Р2, трехкратныхъ множителей—въ группу Р3, . . . , то функція f(x) представится въ видѣ

(3)

при чемъ Р1, Р2, Р3, .. . будутъ цѣлыя функціи, изъ которыхъ каждая разлагается только на различныхъ множителей, и никакія двѣ не имѣютъ общаго дѣлителя. При этомъ не лишено возможности, чтобы нѣкоторыя изъ функцій Р вовсе отсутствовали; въ этихъ случаяхъ слѣдуетъ въ разложеніи (3) отсутствующія функціи Р считать тождественно равными 11). Функціи Р могутъ быть получены съ помощью алгориѳма Евклида, т.-е. путемъ раціональныхъ операцій надъ коэффиціентами функціи f(x). Въ самомъ дѣлѣ, согласно п. 8 § 66, функція

есть общій наибольшій дѣлитель функцій f(x) и f'(x), а отсюда вытекаетъ, что

Общимъ наибольшимъ дѣлителемъ функцій F(х) и f1(x) будетъ поэтому функція

и, слѣдовательно,

1) Только при этомъ условіи всегда будетъ имѣть мѣсто приведенное выше разложеніе функціи.

Поступая съ функціей f1(х) такъ же, какъ съ функціей f(x), мы найдемъ функцію Р2 и т. д.

При этомъ слѣдуетъ замѣтить, что только при выводѣ указаннаго пріема мы предполагали, что функція f(x) разлагается на линейныхъ множителей. Самое же примѣненіе этого пріема вовсе не предполагаетъ знанія множителей функціи f(x). Впослѣдствіи мы докажемъ, что всякая функція f(x) можетъ быть разложена на линейныхъ множителей; въ виду этого указанный пріемъ можно считать вполнѣ оправданнымъ. Обосновать же этотъ пріемъ, не предполагая, что функція f(x) можетъ быть разложена на множителей, значительно труднѣе; это не можетъ быть даже выполнено элементарными средствами1).

5. При помощи Евклидова алгориѳма можно получить рѣшеніе слѣдующей задачи.

Даны двѣ цѣлыя взаимно простыя функціи f(x) и f1(х); требуется опредѣлить двѣ другія цѣлыя функціи F(x) и F1(x) такимъ образомъ, чтобы выполнялось равенство:

(4)

Замѣтимъ сначала, что задача не мѣняется существенно, если въ правой части равенства (4) вмѣсто 1 будетъ стоять другое число с, отличное отъ нуля, такъ какъ въ этомъ случаѣ, чтобы получить равенство (4), достаточно было бы коэффиціенты функцій F(x) и F1(x) раздѣлить на с.

Чтобы найти F и F1, воспользуемся формулами (1) и (2), въ которыхъ, при взаимно простыхъ f и f1, функція fv будетъ числомъ, отличнымъ отъ нуля. Если теперь первое изъ равенствъ (1) разрѣшить относительно f2 и подставить полученное для f2 выраженіе во второе и третье равенства, затѣмъ второе разрѣшить относительно f3 и полученное для f3 выраженіе подставить въ два слѣдующія равенства и такъ продолжать до конца, то предпослѣднее изъ равенствъ (2) дастъ требуемое соотношеніе вида (4).

Чтобы показать это на простомъ примѣрѣ, положимъ:

Тогда будемъ имѣть:

1) Ср. Weber, „Lehrbuch der Algebra", 2 Aufl., Bd. I. § 20.

Помножимъ первое равенство на х — 2 и сложимъ со вторымъ; тогда получимъ:

Отсюда

Сохраняя предположеніе, что f и f1 суть функціи взаимно простыя, можно всегда удовлетворить равенству

(5)

гдѣ Ф(х) есть любая цѣлая функція. Для этого достаточно умножить равенство (4) на Ф(х) и затѣмъ вмѣсто F(x)Ф(x) и F1(x)Ф(х) опять написать F(x) и F1(x).

§ 68. Приводимыя и неприводимыя функціи.

1. Положимъ теперь, что въ цѣлой функціи n-той степени

(1)

коэффиціенты a0,. . . , an суть пѣлыя числа.

Если a0 не нуль, то разысканіе корней функціи (1) можно привести къ случаю, когда a0 = 1. Дѣйствительно, помножая функцію (1) на an-1, получимъ:

Если далѣе положимъ:

то получимъ:

(2)

гдѣ b1, b2,..., bn суть цѣлыя числа.

Корни функціи f(x) получатся, если корни функціи φ(y) раздѣлимъ на a0.

Мы займемся прежде всего вопросомъ о томъ, какіе раціональные корни можетъ имѣть функція Если p/q есть корень функціи φ(y), гдѣ р и q суть цѣлыя числа, которыя мы можемъ считать взаимно простыми, при чемъ q > 0, то должно имѣть мѣсто соотношеніе:

отсюда слѣдуетъ, что pn должно дѣлиться на q, а это возможно только при q = 1, такъ какъ р и q суть числа взаимно простыя.

Итакъ, раціональный корень функціи φ(у) необходимо долженъ быть цѣлымъ числомъ.

Если р есть такой корень, то

откуда слѣдуетъ, что bn должно дѣлиться на р.

Итакъ, чтобы рѣшить, имѣетъ ли функція φ(у) раціональные корни, нужно найти всѣхъ дѣлителей числа bn и каждый изъ нихъ съ положительнымъ и отрицательнымъ знакомъ подставить для испытанія въ функцію φ(y) вмѣсто у. Если р есть одинъ изъ этихъ дѣлителей и φ(р) = 0, то Р есть раціональный корень функціи φ(у), а р/а0—раціональный корень функціи f(x).

При этомъ φ(y) дѣлится на у—р, и результатъ дѣленія, опредѣляемый равенствомъ φ(y) = (y—р)φ1(у), есть функція φ1(у), коэффиціенты которой также представляютъ собою цѣлыя числа.

Такъ, напримѣръ, функція

имѣетъ дѣлителя у—1; производя дѣленіе, получимъ:

2. Функція f(x) называется цѣлочисленной, если ея коэффиціенты a0, a1,. . an суть цѣлыя числа. Функція съ раціональными, но не цѣлыми коэффиціентами обращается въ цѣлочисленную функцію, если ее умножить на общаго знаменателя ея коэффиціентовъ. Общій наибольшій дѣлитель всѣхъ коэффиціентовъ a0, a1, . . ., an цѣлочисленной функціи f(x) называется дѣлителемъ функціи. Функція, дѣлитель которой равенъ 1, называется первообразной. Любая функція f(x) съ раціональными—цѣлыми или дробными— коэффиціентами можетъ быть представлена въ видѣ μf1(x), гдѣ f1(x) есть первообразная цѣлочисленная функція, а μ— раціональное (цѣлое или дробное) число. Если мы еще потребуемъ, чтобы коэффиціентъ высшаго члена функціи f1(x) былъ числомъ положительнымъ, то будетъ существовать только одна функція f1(x), удовлетворяющая условію f(x) = μf1(x).

3. Функція f(x) съ раціональными коэффиціентами называется приводимой или разложимой, если ее можно разложить на два множителя f1(x) и f2(x), изъ которыхъ каждый дѣйствительно содержитъ х и коэффиціенты которыхъ также раціональны. Если такое разложеніе невозможно, то функція f(x) называется неприводимой или неразложимой.

Общій наибольшій дѣлитель двухъ функцій f(x) и F(x) съ раціональными коэффиціентами, какъ видно изъ алгориѳма § 67, также имѣетъ раціональные коэффиціенты. Поэтому, если функція f(x) неприводима, то могутъ быть два случая: либо F(x) дѣлится на f(x), либо F(x) и f(x) суть функціи взаимно-простыя1). Въ послѣднемъ случаѣ онѣ не имѣютъ общихъ корней. Эти соображенія приводятъ къ теоремѣ, особенно важной въ теоріи уравненій.

Теорема. Если неприводимая (функція f(x) имѣетъ общій корень съ функціей F(x), то послѣдняя дѣлится на f(x), и всѣ корни функціи f(x) представляютъ собой въ то же время корни функціи F(x).

4. Если цѣлочисленная функція

(1)

приводима, то, согласно п. 2, можно выбрать два цѣлыхъ числа h и m, удовлетворяющія равенству

(2)

гдѣ φ(x) и ψ(x) суть первообразныя цѣлочисленныя функціи. Кромѣ того, мы можемъ принять, что h есть число положительное и простое относительно m. Докажемъ, что при этихъ условіяхъ h = 1. Съ этою цѣлью положимъ:

(3)

гдѣ μ + v = n. Перемножая два послѣднія равенства и принимая во вниманіе равенство (2), получаемъ:

(4)

Законъ составленія этихъ равенствъ очень простъ. Именно: сумма индексовъ при b и с въ каждомъ членѣ правой части равна индексу при а въ лѣвой части. Понятно, что въ правой части исчезаютъ всѣ тѣ члены, въ которыхъ индексъ при b больше, чѣмъ μ, или индексъ при с больше, чѣмъ v.

Пусть теперь р будетъ любой простой дѣлитель числа h; въ такомъ случаѣ онъ не можетъ быть дѣлителемъ

1) Это вполнѣ аналогично слѣдующему свойству цѣлыхъ чиселъ: если f есть простое цѣлое число, а F есть другое цѣлое число, то либо F дѣлится на f, либо F и f суть числа взаимно-простыя.

всѣхъ коэффиціентовъ b или всѣхъ коэффиціентовъ с, такъ какъ и φ, по условію, суть функціи первообразныя. Положимъ, что br есть первый изъ коэффиціентовъ b, а сs первый изъ коэффиціентовъ с, которые не дѣлятся на р. Тогда

(3)

Можетъ случиться, что уже b0 или c0 дѣлится на р, тогда r или s слѣдуетъ считать равнымъ нулю.

Выдѣлимъ теперь изъ равенствъ (4) то, которое занимаетъ (r + s + 1)-ое мѣсто и напишемъ его въ такомъ видѣ:

(6)

Но, согласно равенству (5), членъ hrcs не дѣлится на р, между тѣмъ какъ всѣ остальные члены выраженія, заключеннаго въ скобки, дѣлятся на р. Но такъ какъ число h, а вмѣстѣ съ нимъ и вся лѣвая часть равенства (6), дѣлится на р, то m дѣлятся на р, а это противно предположенію, что h и m суть числа взаимно простыя.

Такимъ образомъ, число h не дѣлится ни на одно простое число, т.-е. h = 1; изъ соотношенія (2) поэтому мы получаемъ:

(7)

5. Если въ формулахъ (4) положить 6 = 1, то изъ нихъ легко заключить, что m есть дѣлитель всѣхъ коэффиціентовъ а и, слѣдовательно, дѣлитель дѣлителя функціи f(x). Но, если mk есть дѣлитель функціи f(x), то мы можемъ тѣмъ же путемъ, что и выше—въ п. 4, изъ равенства (6) убѣдиться, что k = 1; стало быть, число m должно быть дѣлителемъ функціи f(x). Если f(x) есть функція первообразная, то m = 1, и мы получаемъ теорему:

Всякая приводимая первообразная цѣлочисленная функція можетъ быть разложена на первообразныхъ же цѣлочисленныхъ множителей.

6. Если функціи φ(x) и ψ(x), въ свою очередь, приводимы, то, согласно той же теоремѣ, онѣ могутъ быть, въ свою очередь, разложены на множителей. При этомъ степень каждаго множителя всегда ниже степени произведенія; и потому разложеніе необходимо должно окончиться. Мы пришли, такимъ образомъ, къ теоремѣ:

Всякая приводимая первообразная цѣлочисленная функція можетъ быть разложена на конечное число неприводимыхъ первообразныхъ же функцій:

Степень n функціи f(x) равна суммѣ степеней множителей φ1, ср2, ... , φm, и потому число m, по большей мѣрѣ, равно n, при чемъ это наибольшее значеніе n число m имѣетъ только въ томъ случаѣ, когда всѣ φ суть функціи первой степени.

7. Неприводимые множители аналогичны простымъ числамъ въ области цѣлыхъ чиселъ; подобно тому, какъ и тамъ, относительно неприводимыхъ множителей имѣетъ мѣсто теорема:

Разложеніе (8) приводимой функціи f(x) можетъ быть выполнено только однимъ способомъ, если не принимать во вниманіе знаковъ множителей φ.

Въ самомъ дѣлѣ, согласно алгориѳму Евклида (§ 67, 1), общій наибольшій дѣлитель двухъ функцій съ раціональными коэффиціентами имѣетъ также раціональные коэффиціенты. Отсюда слѣдуетъ, что, если функція f(x) съ раціональными коэффиціентами не дѣлится на неприводимую функцію φ(x), то f(x) и φ(х) суть функціи взаимнопростыя; изъ этого мы заключаемъ такъ же, какъ и въ области чиселъ, что произведеніе двухъ или нѣсколькихъ функцій только въ томъ случаѣ дѣлится на неприводимую функцію φ, если одинъ, по крайней мѣрѣ, изъ сомножителей дѣлится на φ. Итакъ, если ψ есть неприводимый множитель, входящій при какомъ-либо иномъ разложеніи въ составъ произведенія f(x) въ равенствѣ (8), то этотъ множитель ψ долженъ входить въ составъ какой-либо изъ функцій φ — напримѣръ, въ φ1 — и можетъ поэтому отличаться отъ функціи φ1 только постояннымъ множителемъ. Въ случаѣ, когда φ1 и ψ суть функціи цѣлочисленныя и первообразныя, этотъ постоянный множитель сводится къ ЧЧ.

8. Допустимъ, что въ цѣлочисленной функціи f(x) коэффиціентъ a0 = 1, и что эта функція разлагается на два множителя φ1 и ψ1 коэффиціенты которыхъ суть цѣлыя или дробныя раціональныя числа и въ которыхъ коэффиціенты высшихъ членовъ также равны 1. При этихъ условіяхъ мы можемъ опредѣлить два натуральныхъ числа /q и ä2 такъ, чтобы произведенія h1φ1 = φ и h2ψ1 = ψ были цѣлочисленными первообразными функціями. Но тогда h1h2f = φψ, и, какъ въ п. 4, мы найдемъ, что h1h2 = 1, откуда будетъ слѣдовать, что h1 = 1, h2 = 1.

Мы пришли къ теоремѣ, которую доказалъ Гауссъ въ п. 42 своего сочиненія „Disquisitiones arithmeticae“:

Если цѣлочисленная функція

разлагается на множителей:

при чемъ числа b1, ..., bμ и c1, ..., сv раціональны, то какъ коэффиціенты bi, такъ и коэффиціенты ci должны быть цѣлыми числами.

О нахожденіи раціональныхъ корней алгебраическаго уравненія.

(Статья прив.-доцента В. Ф. Кагана, «Вѣстникъ опытной физики и элементарной математики», № 580).

Въ средней школѣ обыкновенно излагаютъ учащимся способы нахожденія цѣлыхъ и даже раціональныхъ корней алгебраическаго уравненія съ цѣлыми коэффиціентами. Основная теорема, сюда относящаяся, заключается въ слѣдующемъ:

Если алгебраическое уравненіе съ цѣлыми коэффиціентами имѣетъ раціональный корень m/n, гдѣ m и n взаимно простыя числа, то числитель m есть дѣлитель свободнаго члена, а знаменатель n есть дѣлитель старшаго коэффиціента.

Обычныя доказательства этого предложенія, которыя излагаются какъ въ курсахъ высшей алгебры, такъ и въ элементарныхъ учебникахъ, конечно, по существу очень просты. Мнѣ кажется, однако, что нижеслѣдующія разсужденія доведены до такой степени элементарности, что даже въ пятомъ классѣ, гдѣ эти вещи излагаются, они не могутъ затруднить самаго средняго ученика.

Пусть

будетъ наше уравненіе съ одной неизвѣстной, имѣющее цѣлые коэффиціенты. Если уравненіе имѣетъ корень m/n, то полиномъ Р, составляющій лѣвую его часть, дѣлится нацѣло на х— m/n. Но въ такомъ случаѣ полиномъ Р дѣлится нацѣло и на двучленъ nx — m; коэффиціенты частнаго будутъ только раздѣлены на n. Покажемъ, что при этомъ послѣднемъ дѣленіи коэффиціенты частнаго будутъ цѣлыми числами.

Въ самомъ дѣлѣ, расположимъ сначала дѣлимое и дѣлитель по нисходящимъ степенямъ перемѣнной х; въ такомъ случаѣ старшій членъ частнаго будетъ имѣть коэффиціентъ Въ зависимости отъ того, сокращается ли эта дробь или нѣтъ, знаменателемъ этого коэффиціента останется либо число n, либо одинъ изъ его дѣлителей. Когда мы вслѣдъ за этимъ умножимъ дѣлителя на найденный членъ частнаго, то коэффиціентами произведенія будутъ служить либо цѣлыя числа, либо дроби, знаменателями которыхъ служатъ дѣлители числа п: это зависитъ только отъ того, произойдетъ ли при умноженіи коэффиціента a0/n на соотвѣтствующій коэффиціентъ дѣлителя сокращеніе или нѣтъ. Такъ какъ дѣлимое имѣетъ исключительно цѣлые коэффиціенты, то, вычитывая изъ него полученное произведеніе, мы вновь получимъ полиномъ, коэффиціенты которыхъ не могутъ имѣть въ знаменателѣ никакихъ иныхъ дѣлителей, кромѣ тѣхъ, которые содержатся въ числѣ n.

Теперь мы будемъ старшій членъ перваго остатка дѣлить на пх. Ясное дѣло, что при такихъ условіяхъ новый коэффиціентъ частнаго можетъ имѣть въ знаменателѣ опять-таки только дѣлителей числа п; вѣдь только на это число и будетъ дѣлиться коэффиціентъ перваго остатка. Слѣдующее умноженіе дѣлителя на найденный членъ частнаго ничего въ этомъ смыслѣ не измѣнитъ, т.-е. коэффиціенты произведенія опять-таки будутъ имѣть въ знаменателяхъ исключительно дѣлителей числа n. То же останется, конечно, справедливымъ и послѣ вычитанія, т.-е. второй остатокъ будетъ имѣть такіе же коэффиціенты.

Продолжая это разсужденіе дальше, мы приходимъ къ слѣдующему выводу: если мы раздѣлимъ полиномъ Р на пх — m, совершая дѣленіе по нисходящимъ степенямъ х, то коэффиціентами частнаго по ихъ сокращеніи будутъ служить либо цѣлыя числа, либо такія дроби, въ составъ знаменателей которыхъ входятъ только дѣлители числа n.

Расположимъ теперь дѣлимое и дѣлитель по восходящимъ степенямъ х; теперь первымъ (низшимъ) коэффиціентомъ частнаго будетъ служить дробь ak/m въ зависимости отъ того, произойдетъ ли тутъ сокращеніе или нѣтъ, это будетъ либо цѣлое число, либо дробь, знаменателемъ которой служитъ дѣлитель числа m. Такое же разсужденіе приводитъ, очевидно, къ слѣдующему результату: если будемъ располагать дѣленіе по восходящимъ степенямъ х, то коэффиціенты частнаго въ знаменателяхъ не будутъ

имѣть никакихъ иныхъ дѣлителей, кромѣ тѣхъ, которые содержатся въ числѣ m.

Но разъ дѣленіе полинома Р на двучленъ пх — m выполняется нацѣло, то частное не можетъ зависѣть отъ того, будемъ ли мы располагать по восходящимъ или нисходящимъ степенямъ х. Слѣдовательно, коэффиціенты частнаго могутъ имѣть въ знаменателяхъ только общихъ дѣлителей m и n. А такъ какъ m и n суть числа первыя между собой, то знаменателемъ каждаго коэффиціента частнаго можетъ служить только единица, иными словами, всѣ коэффиціенты частнаго будутъ цѣлыми числами. Поэтому a0/n и ak/m n m также должны быть цѣлыми числами. Теорема, такимъ образомъ, доказана.

Историческій очеркъ развитія понятій о функціи.

(Докладъ прив-доцента С. Бернштейна, читанный на «Первомъ всероссійскомъ съѣздѣ преподавателей математики», «Вѣстникъ опытной физики и элементарной математики», № 559).

Понятіе о функціи впервые, повидимому, вводится Декартомъ одновременно съ открытіемъ аналитической геометріи. Для него, какъ и для другихъ математиковъ XVII столѣтія, всякая функція представляется въ видѣ нѣкоторой линіи: ордината точки на данной линіи есть функція ея абсциссы. То же интуитивное геометрическое воззрѣніе на функцію мы находимъ и у основателей диференціальнаго и интегральнаго исчисленія, Лейбница и Ньютона. Объ этомъ обстоятельствѣ, свидѣтельствующемъ о чрезвычайной плодотворности геометрическаго представленія о функціи, слѣдуетъ всегда помнить тѣмъ, кто преподаетъ основанія анализа. Безъ сомнѣнія, современная математика, какъ мы увидимъ, ушла и должна была далеко уйти отъ этого наивнаго воззрѣнія на функцію, замѣняющаго точное ея опредѣленіе; но начинающаго полезно лишь постепенно знакомить съ послѣдовательными усовершенствованіями этого понятія, прибѣгая вездѣ, гдѣ возможно, къ наглядной геометрической иллюстраціи отвлеченныхъ теоремъ.

Уже въ началѣ XVIII столѣтія мы встрѣчаемъ у Іоанна Бернулли первую попытку аналитическаго опредѣленія функціи, которому Эйлеръ придалъ затѣмъ болѣе точную форму: Functio quantitatis variabilis est expressio analitica quomodocunque

composita ex ilia quantitate variabili, et numeris seu quantitatibus constantibus. (Функціей нѣкоторой перемѣнной величины называется аналитическое выраженіе, составленное при помощи этой перемѣнной величины и постоянныхъ количествъ).

Однако, Эйлеръ, подобно большинству своихъ современниковъ, считалъ аналитическое опредѣленіе функціи далеко неравнозначнымъ, но гораздо болѣе узкимъ, чѣмъ первоначальное геометрическое опредѣленіе. Казалось недопустимымъ, что линія, начерченная совершенно произвольно, напр., ломанная линія, можетъ быть на всемъ своемъ протяженіи представлена однимъ и тѣмъ же аналитическимъ выраженіемъ.

Датилъ Бернулли одинъ не раздѣлялъ общаго взгляда, и своимъ рѣшеніемъ физической задачи о колебаніяхъ струны, при помощи тригонометрическихъ рядовъ, онъ поставилъ на очередь этотъ основной для теоріи функцій вопросъ, утверждая, что всякая функція можетъ быть разложена въ тригонометрическій рядъ. Въ знаменитомъ спорѣ, возникшемъ по этому поводу, ближе къ истинѣ былъ Бернулли, но доводы его и его противниковъ были одинаково неудовлетворительны въ математическомъ отношеніи.

Съ теченіемъ времени, въ особенности послѣ вмѣшательства въ споръ Лагранжа, а также благодаря соотвѣтствію слѣдствій изъ теоріи звука Бернулли съ данными опыта, его воззрѣнія перестали казаться столь парадоксальными. Наконецъ, точка зрѣнія Бернулли получила болѣе или менѣе общее признаніе въ началѣ XIX столѣтія, послѣ появленія знаменитаго сочиненія Фурье по теоріи теплоты, въ которомъ онъ показалъ, что тригонометрическій рядъ въ различныхъ промежуткахъ можетъ представлять функціи ничего общаго между собой не имѣющія, т.-е. выражаясь современнымъ языкомъ, можетъ представлять произвольныя функціи, имѣющія даже нѣсколько точекъ разрыва. Доказательства Фурье въ математическомъ отношеніи уже значительно болѣе удовлетворительны, чѣмъ разсужденія его предшественниковъ, но и они, въ большинствѣ случаевъ, не выдерживаютъ строгой современной критики, и мы знаемъ теперь, благодаря изслѣдованіямъ послѣднихъ десятилѣтій, въ особенности, послѣднихъ лѣтъ, что существуютъ непрерывныя функціи, которыя не могутъ быть представлены въ видѣ сходящагося тригонометрическаго ряда Фурье.

Какъ вы видите, въ разсужденіяхъ математиковъ XVIII столѣтія не было той обычной для насъ строгости, которая дѣлала бы ихъ выводы обязательными для всѣхъ и ограждала бы отъ роковыхъ ошибокъ. Увлеченные мощностью новыхъ методовъ анализа, при помощи которыхъ одна за другой разрѣшались важнѣйшія задачи физики и астрономіи,

великіе геометры XVIII столѣтія мало обращали вниманія на непрочность основаній, на которыхъ они воздвигали свое грандіозное зданіе. А между тѣмъ противорѣчія и парадоксы накоплялись и грозили бы неминуемой катастрофой, если бы математики первой половины ХІХ столѣтія, главнымъ образомъ, Абель, Дирихле и Коши, не положили бы начало новому критическому періоду въ математикѣ, періоду пересмотра принциповъ и строгаго обоснованія анализа.

Прежде всего необходимо было соотвѣтствующимъ образомъ ограничить объектъ изслѣдованій анализа, а именно, замѣнить прежнія расплывчатыя опредѣленія математической функціи точнымъ опредѣленіемъ, изъ котораго вполнѣ строго можно было вывести обычно приписываемыя ей свойства (существованіе производныхъ, интеграла и т. д.). Такое опредѣленіе, въ высшей степени плодотворное, было дано еще Лагранжемъ. Онъ называлъ аналитическими функціи f(x), которыя около всякаго значенія х — а (за исключеніемъ, можетъ-быть, отдѣльныхъ значеній а) разлагаются въ рядъ Тэйлора по возрастающимъ степенямъ х — а, и пытался доказать, что всѣ функціи вещественной перемѣнной аналитическія. Это утвержденіе безусловно ошибочно, и современный анализъ уже не можетъ быть заключенъ въ тѣ узкія рамки, которыя назначилъ ему Лагранжъ, но сто лѣтъ тому назадъ его воззрѣнія были приняты безъ существенныхъ возраженій, потому что всѣ функціи, встрѣчавшіяся до тѣхъ поръ (алгебраическія, тригонометрическія, эллиптическія и т. д.) были всегда аналитическими; предположеніе же, что данная функція—аналитическая, чрезвычайно упрощало разсужденія и вычисленія. Такимъ образомъ, главнымъ аргументомъ въ пользу идей Лагранжа являлась не ихъ теоретическая обоснованность, а, исключительно, практическая цѣлесообразность. Какъ бы то ни было, одной изъ величайшихъ заслугъ Лагранжа останется на всегда то, что онъ обратилъ вниманіе математиковъ на самый общій признакъ, объединяющій всѣ извѣстныя дотолѣ функціи, и предугадалъ чрезвычайную важность аналитическихъ функцій и для будущаго.

Другой признакъ, общій всѣмъ аналитическимъ функціямъ, былъ замѣченъ Коши, который является истиннымъ основателемъ теоріи аналитическихъ функцій. Вы знаете, конечно, что, если степенной рядъ

сходится для вещественнаго значенія х = R, то онъ будетъ также сходящимся и для всѣхъ комплексныхъ значеній x = u + iv, модуль которыхъ менѣе R. Такимъ образомъ, аналитическія функціи Лагранжа, данныя лишь для веще

ственной перемѣнной, получаютъ вообще вполнѣ опредѣленныя значенія и для комплексныхъ значеній перемѣнной. Этимъ свойствомъ пользовались въ различныхъ частныхъ случаяхъ еще въ XVIII столѣтіи; достаточно вспомнить знаменитое тождество Эйлера, обнаруживающее періодичность показательной функціи ех и ея тѣснѣйшую связь съ функціями cosx и sin x.

Коши разсматриваетъ непосредственно функцію комплексной перемѣнной х, произвольно данную внутри нѣкоторой области, и доказываетъ со всей математической строгостью, что всякая функція комплексной перемѣнной, имѣющая опредѣленную производную въ каждой точкѣ данной области, является аналитической въ смыслѣ Лагранжа.

Такимъ образомъ предложеніе, которое Лагранжъ тщетно пытался доказать для функцій вещественной перемѣнной, оказалось правильнымъ для функцій комплексной перемѣнной: достаточно знать, что функція (комплексной перемѣнной) имѣетъ первую производную, чтобы утверждать, что она имѣетъ производныя всѣхъ порядковъ, и разлагается въ сходящуюся строку Тэйлора. Этотъ, поистинѣ замѣчательный результатъ показывалъ, что комплексное число, обобщеніе вещественнаго числа, логически необходимое въ алгебрѣ, являлось также элементомъ, который цѣлесообразно было положить въ основу анализа. Дѣйствительно, на этомъ новомъ основаніи анализъ окрѣпъ и обогатился величайшими открытіями, сравнявшись съ алгеброй по безупречной строгости своихъ выводовъ. На первыхъ порахъ теорія аналитическихъ функцій и оставалась по преимуществу продолженіемъ алгебры, создавая и изощряя свои методы на изслѣдованіи алгебраическихъ функцій и интеграловъ, и въ особенности на знаменитой задачѣ обращенія эллиптическаго интеграла. Эти изслѣдованія обнаружили значеніе такъ называемыхъ критическихъ или особенныхъ точекъ функціи, т.-е. тѣхъ точекъ, въ которыхъ разсматриваемая функція не разлагается въ строку Тэйлора, или, какъ говорятъ, не голоморфна (напр., единственной критической точкой функціи 1/x-1 является х = 1); оказалось, что всякая аналитическая функція вполнѣ охарактеризована всѣми своими особенностями, такъ что разность между двумя функціями, имѣющими однѣ и тѣ же особенности, есть постоянная величина. Благодаря этому, зная всѣ особенности функціи можно написать ея аналитическое выраженіе, позволяющее вычислить функцію для любого значенія перемѣнной. Такимъ образомъ, теорія аналитическихъ функцій открыла въ высшей степени простой въ принципѣ и

удивительно красивый методъ для классификаціи и вычисленія функцій.

Съ другой стороны, Коши показалъ, что область аналитическихъ функцій чрезвычайно обширна; онъ доказалъ посредствомъ разсужденій, которыя останутся классическими, что главный источникъ новыхъ функцій въ анализѣ, дифференціальныя уравненія, во всѣхъ извѣстныхъ въ то время случаяхъ, всегда приводятъ къ аналитическимъ функціямъ, если только данныя функціи были аналитическими. Этимъ объясняется универсальное значеніе функціи комплексной перемѣнной, и ничего нѣтъ удивительнаго, что при обиліи и важности задачъ, выдвигаемыхъ теоріей аналитическихъ функцій, она почти безраздѣльно царила надъ анализомъ въ теченіе прошлаго столѣтія.

Но въ началѣ XIX столѣтія почти одновременно съ аналитической функціей было введено также и самое общее понятіе о функціи, которое вы встрѣтите теперь во всѣхъ учебникахъ: у = f(x) называется (однозначной) функціей вещественной перемѣнной х въ нѣкоторомъ промежуткѣ AB, если каждому значенію х, (А ⩽ х ⩽ В), соотвѣтствуетъ вполнѣ опредѣленное значеніе у. Это опредѣленіе, принадлежащее Дирихле, отличается чрезмѣрной общностью, и до настоящаго времени плодотворнымъ оказывалось только изученіе функцій, которымъ приписывались еще нѣкоторыя дополнительныя свойства. Одно изъ важнѣйшихъ ограниченій, которое всегда подразумѣвалось математиками XVII и XVIII столѣтія и которое было точно формулировано Коши, есть непрерывность функціи, опредѣленіе которой всѣмъ вамъ достаточно хорошо извѣстно.

Лишь послѣ опредѣленія непрерывной функціи, даннаго Коши (а также послѣ установленія понятія сходимости безконечныхъ рядовъ), принципіальный вопросъ, раздѣлявшій, какъ вы помните, геометровъ XVIII столѣтія, могутъ получить вполнѣ точную математическую форму, а именно: можетъ ли произвольная непрерывная функція быть выражена посредствомъ сходящагося ряда данныхъ функцій (напр., многочленовъ или тригонометрическихъ функцій)? Первый и чрезвычайно важный шагъ для рѣшенія этого вопроса былъ сдѣланъ Дирихле; онъ доказалъ, что для того, чтобы произвольно данная функція могла быть въ нѣкоторомъ промежуткѣ разложена въ сходящійся тригонометрическій рядъ, достаточно, чтобы она не имѣла въ данномъ промежуткѣ ни безконечнаго числа точекъ разрыва, ни безконечнаго числа максимумовъ и минимумовъ. Это чрезвычайно общее условіе носитъ названіе „условія Дирихле“. Хотя, благодаря обманчивости геометрической интуиціи, на первый взглядъ кажется, что всякая непрерывная

функція удовлетворяетъ условію Дирихле, но нетрудно указать примѣръ непрерывной функціи (y = xsin 1/x), которая имѣетъ безчисленное множество максимумовъ и минимумовъ около точки х = 0. Такимъ образомъ, и глубокія изслѣдованія Дирихле не дали окончательнаго отвѣта на поставленный вопросъ. Этотъ отвѣтъ заставилъ себя ждать еще полстолѣтія, вѣроятно, потому, что середина XIX вѣка была эпохой величайшаго расцвѣта и исключительнаго увлеченія теоріей аналитическихъ функцій, и всѣ интересы геометровъ того времени были сосредоточены вокругъ нея.

Какъ бы то ни было, въ 1885 г. отвѣтъ, который оказался утвердительнымъ, былъ найденъ Вейерштрассомъ: всякая непрерывная функція можетъ быть представлена въ видѣ сходящагося ряда многочленовъ. Такимъ образомъ, непрерывная функція, взятая безъ всякихъ ограниченій, перестала быть чѣмъ-то недоступнымъ и получила такое же математическое выраженіе въ видѣ безконечнаго ряда, какъ аналитическая функція; при этомъ нерѣдко ряды, представляющіе функціи, не разлагаемыя въ строку Тэйлора и даже не имѣющія производныхъ ни въ одной точкѣ, чрезвычайно просты и отличаются большимъ сходствомъ съ рядами, выражающими хорошо извѣстныя аналитическія функціи. Этого одного замѣчанія было бы достаточно, чтобы понять, что чистый анализъ не можетъ болѣе ограничиваться изученіемъ только функцій комплексной перемѣнной. Но есть на то еще и другое не менѣе существенное основаніе, лежащее въ самой теоріи аналитическихъ функцій. Вы помните, что всякая функція комплексной перемѣнной вполнѣ опредѣляется совокупностью всѣхъ своихъ особенностей; для функцій, которыя были изучены первыми, особенностями служили отдѣльныя особенныя точки, аналогичныя тѣмъ, которыя встрѣчались у алгебраическихъ функцій. Однако, постепенно особенности разсматриваемыхъ функцій усложнялись, и одна изъ основныхъ задачъ теоріи эллиптическихъ интеграловъ не замедлила дать примѣръ функціи комплексной перемѣнной, для которой вся вещественная ось оказывается особой линіей, такъ какъ, ни при какомъ вещественномъ значеніи х, эта функція не разлагается въ строку Тэйлора.

Дальнѣйшія изслѣдованія показали, что, вообще, функціи комплексной перемѣнной, имѣющія особыя линіи, не являются исключеніями, напротивъ, исключеніями слѣдуетъ считать функціи, не имѣющія ихъ. На особыхъ линіяхъ функція можетъ становиться безконечной или неопредѣленной, но можетъ также, въ частности, принимать и вполнѣ

опредѣленныя значенія, выражаемыя произвольной, по существу, непрерывной функціей дуги на разсматриваемой линіи. Такимъ образомъ, само логическое развитіе функціи комплексной перемѣнной неизбѣжно возвращаетъ анализъ на его первоначальную почву — къ функціи вещественной перемѣнной.

Послѣ открытія Вейерштрасса, непосредственное изученіе функцій вещественной перемѣнной сдѣлалось одной изъ важнѣйшихъ очередныхъ задачъ. При этомъ не замедлилъ обнаружиться очень интересный фактъ: въ весьма многихъ случаяхъ допущеніе, что функція вещественной перемѣнной имѣетъ одну или нѣсколько производныхъ, влечетъ за собой существованіе всѣхъ производныхъ и сходимость ея разложенія въ строку Тэйлора (подобно тому, какъ Коши доказалъ это для комплексной перемѣнной); всѣ вещественныя функціи, представляющія собой не искусственный агрегатъ, а органическое цѣлое, т.-е. обладающія свойствомъ, что онѣ вполнѣ опредѣлены во всей области своего существованія, если только онѣ даны на произвольно маломъ отрѣзкѣ, оказываются аналитическими, при нѣкоторыхъ чрезвычайно общихъ допущеніяхъ. Благодаря этому, видное мѣсто въ современномъ анализѣ, и, въ особенности, въ его приложеніяхъ, занимаютъ вещественныя аналитическія функціи, методы изученія которыхъ должны значительно отличаться отъ методовъ общей теоріи аналитическихъ функцій, такъ какъ комплексныя особенности ихъ отличаются чрезвычайной сложностью и не представляютъ практическаго интереса.

Недавно былъ предложенъ общій принципъ для классификаціи всѣхъ непрерывныхъ функцій вещественной перемѣнной. Изъ теоремы Вейерштрасса, о которой я говорилъ выше, мы знаемъ, что всякая непрерывная функція можетъ быть, съ какой угодно точностью, представлена въ видѣ многочлена достаточно высокой степени. Различныя функціи предлагается характеризовать величиной погрѣшности, которая дѣлается, если замѣнять ихъ приближенными многочленами возрастающихъ степеней. Въ частности оказалось, что изъ всѣхъ функцій вещественной перемѣнной, только аналитическія функціи характеризуются свойствомъ, что, при увеличеніи степени приближеннаго многочлена, ошибка убываетъ въ геометрической прогрессіи; для всѣхъ другихъ функцій ошибка уменьшается медленнѣе, тѣмъ медленнѣе, чѣмъ сложнѣй диференціальная природа функціи. Такимъ образомъ, независимо отъ приложеній анализа и отъ введенія въ него комплекснаго числа, теорія аналитическихъ функцій должна войти въ него, какъ первая глава общей теоріи функцій вещественной перемѣнной, глава, посвящен-

ная функціямъ, наименѣе отличающимся отъ многочленовъ. Разумѣется, опытъ также мало можетъ намъ отвѣтить на вопросъ, аналитическая ли данная функція или нѣтъ, какъ и на вопросъ, раціонально ли то или другое число; это вопросы чисто теоретическіе, и на нихъ можетъ отвѣтить только теорія. Тѣмъ не менѣе, если, при интерполированіи эмпирической функціи (т.-е. при замѣнѣ ея возможно приближенными многочленами), мы быстро получаемъ большую точность, то, вслѣдствіе указаннаго результата, слѣдуетъ ожидать, что на основаніи теоретическихъ изслѣдованій, эту функцію цѣлесообразно будетъ считать аналитической; напротивъ, если самое искусное интерполированіе будетъ давать плохое приближеніе, то мало шансовъ, чтобы теорія разсматриваемой функціи была аналитически проста.

Я не буду далѣе задерживать вашего вниманія, но прежде чѣмъ кончить, долженъ замѣтить, что непрерывныя функціи далеко не исчерпываютъ область анализа. И если въ настоящее время еще сравнительно рѣдки приложенія прерывныхъ функцій, то, во всякомъ случаѣ, изслѣдованія послѣднихъ десятилѣтій подготовили для нихъ прекрасную почву. Благодаря глубокой классификаціи различныхъ видовъ прерывности, мы знаемъ теперь, что функціи, выражаемыя аналитически (въ смыслѣ Эйлера), безконечно разнообразнѣе функцій, которыя могутъ быть представлены геометрически въ видѣ линій; достаточно вспомнить функцію Дирихле, разлагаемую въ двойной рядъ многочленовъ, которая, при всѣхъ ирраціональныхъ значеніяхъ перемѣнной, равна нулю, а, при раціональныхъ, равна единицѣ.

Бъ этомъ краткомъ очеркѣ я имѣлъ въ виду только указать важнѣйшія направленія, въ которыхъ развивалось и развивается понятіе о функціи; при этомъ, чтобы не расширить моего доклада, я пропустилъ не мало существенныхъ фактовъ и много крупныхъ именъ. Но въ мою задачу не могла входить оцѣнка роли, сыгранной отдѣльными лицами; имена служили для меня, главнымъ образомъ, сокращенными обозначеніями извѣстныхъ взглядовъ и направленій.

О рѣшеніи чистыхъ кубическихъ уравненій.

(Изъ учебника Ленарда Эйлера, Vollständige Anleitung zur Algebra. St. Petersburg. Gedruct bei der Kais. Acad. der Wissenschaften 1770. Томъ II, глава X и слѣд.)

144. Уравненіе называется чистымъ кубическимъ, если кубъ неизвѣстнаго числа равенъ извѣстному числу, такъ что въ него не входитъ ни само неизвѣстное число, (въ первой степени) ни его квадратъ.

Подобное уравненіе есть x3 = 125 или, вообще, x3 = а, или

145. Какъ найти изъ подобнаго уравненія значеніе х, очевидно само по себѣ: стоитъ только изъ обѣихъ частей уравненія извлечь кубичный корень.

Такъ изъ уравненія x3 = 125 слѣдуетъ, что x = 5, изъ уравненія x3 = a выходитъ, что

Слѣдовательно, если извѣстно извлеченіе кубическаго корня, то возможно и рѣшеніе подобнаго уравненія.

146. Но такимъ образомъ получается только одно значеніе для х, а такъ какъ каждое квадратное уравненіе имѣетъ два рѣшенія, то есть основаніе предполагать, что и кубическое уравненіе должно имѣть болѣе, чѣмъ одно значеніе. Отсюда вытекаетъ необходимость изслѣдовать этотъ вопросъ болѣе подробно и въ случаѣ, если такое уравненіе дастъ для х больше рѣшеній, то таковыя найти.

147. Разсмотримъ, напр., уравненіе x3 = 8, изъ котораго нужно найти всѣ числа, кубъ которыхъ равенъ 8. Такъ какъ одно изъ такихъ чиселъ есть безспорно x = 2, то, по предыдущему, выраженіе x3—8 = 0 необходимо должно дѣлиться на х — 2. Выполнимъ это дѣленіе, какъ ниже1):

1) Въ переводѣ оставлены типическія обозначенія Эйлера. Только всюду употребляемое Эйлеромъ xx замѣнено черезъ x2.

Такимъ образомъ наше уравненіе x3—8 можно замѣнить такимъ произведеніемъ

148. Такъ какъ вопросъ состоитъ въ опредѣленіи для х такого числа, чтобы x3 = 8, или чтобы x3 — 8 = 0, то ясно, что это можетъ произойти, если найденное произведеніе будетъ равно 0. Но это можетъ случиться только тогда, когда первый множитель х — 2 = 0, откуда слѣдуетъ, что х = 2, или въ томъ случаѣ, если другой множитель x2 + 2x + 4 = 0. Полагая, что x2 + 2х + 4 = 0, имѣемъ x2 = — 2х — 4 и отсюда x = —1 ± √— 3.

149. Итакъ, кромѣ случая x = 2, для котораго удовлетворяется уравненіе x3 = 8, мы имѣемъ еще два значенія для х, кубы которыхъ также равны 8, и эти значенія суть:

Это станетъ несомнѣннымъ, если взять на самомъ дѣлѣ кубы этихъ выраженій:

Оба эти рѣшенія, хотя и мнимыя, или невозможныя, заслуживаютъ, тѣмъ не менѣе, полнаго вниманія.

150. Это имѣетъ мѣсто вообще для всякаго кубическаго уравненія вида x3 = а, въ которомъ, значитъ, кромѣ значенія х = ∛а въ то же время существуетъ еще два другихъ значенія. Если предположить для краткости ∛а = с, такъ что а = c3, то наше уравненіе приметъ видъ x3 — c3 = 0, въ которомъ оно дѣлится на х — с, какъ видно изъ нижеслѣдующаго:

Слѣдовательно, наше уравненіе можно замѣнить произведеніемъ (х— с) (x2 + сх + c2) = 0, которое, очевидно, равно 0 только, или въ случаѣ, если х — с = 0, т.-е. х = с, или въ случаѣ x2 + сх + с2 = 0, откуда x2 = — сх — c2 и, значитъ:

Въ этой формулѣ и содержится еще 2 значенія х.

151. Напишемъ теперь ∛а вмѣсто с и сдѣлаемъ выводъ, что изъ каждаго кубическаго уравненія вида x3 = а можно найти три значенія для х, которыя представятся такъ:

Отсюда слѣдуетъ, что каждый кубическій корень имѣетъ 3 значенія, изъ которыхъ только одно возможное1), а два другихъ невозможныя, которыя слѣдуетъ здѣсь отмѣтить только потому, что, какъ мы выше видѣли, всякое квадратное выраженіе имѣетъ 2 значенія. Ниже будетъ показано, что каждый корень четвертой степени имѣетъ четыре различныхъ значенія, корень пятой степени—пять значеній и т. д.

При обыкновенныхъ вычисленіяхъ нужно только первое изъ этихъ трехъ значеній, такъ какъ остальныя два невозможны. Дадимъ этому нѣсколько примѣровъ.

152. 1. Вопросъ: Найти число, квадратъ котораго, умноженный на 1/4 его, давалъ бы въ результатѣ 432?

Пусть это число будетъ х, тогда x2, умноженное на 1/4 х должно равняться 432. Слѣдовательно, 1/4 x3 = 432, или послѣ умноженія на 4 будетъ x3 = 1728 и, по извлеченіи кубическаго корня, получается x = 12.

153. II. Вопросъ: Найти число, четвертая степень котораго, дѣленная на его половину и увеличенная на 14 1/4, давала бы число 100?

4

1) Т.-е. дѣйствительное. Эйлеръ мнимыя (комплексныя) выраженія опредѣляетъ еще какъ „невозможныя“.

Пусть число будетъ x, тогда четвертая степень его будетъ x4, подѣливъ которую на 1/2 x, получимъ 2x3. Если къ этой послѣдней величинѣ прибавить 14 1/4, то должно получиться 100. Итакъ, 2x3 + 14 1/4 = 100. Откуда 2x3 = 343/4 и, послѣ дѣленія на 2, x3 = 343/8. Извлеченіе кубическаго корня даетъ x = 7/2.

154. III. Вопросъ: Нѣсколько капитановъ находятся въ походѣ. Каждый имѣетъ подъ своимъ начальствомъ втрое больше кавалеристовъ и въ 20 разъ больше пѣхотинцевъ, чѣмъ всѣхъ капитановъ. Кавалеристъ получаетъ въ мѣсяцъ ровно столько рублей, а пѣхотинецъ въ половину столько рублей, сколько капитановъ. Все же мѣсячное жалованье ихъ составляетъ 13000 рублей. Сколько было капитановъ?

Пусть число капитановъ будетъ х. Подъ начальствомъ каждаго находится, значитъ, 3х кавалеристовъ и 20x пѣхотинцевъ. Слѣдовательно, число всѣхъ кавалеристовъ есть 3x2, а пѣхотинцевъ всего 20x2. Такъ какъ каждый кавалеристъ получаетъ въ мѣсяцъ х рубл., а пѣхотинецъ x/2 руб., то мѣсячное жалованье кавалеристовъ = 3x3 руб., а пѣхотинцевъ 10x3 руб. Вмѣстѣ же они получаютъ, значитъ, въ мѣсяцъ 13×3, что должно равняться 13000 руб. Итакъ, 13x3 = 13000, откуда x3 = 1000 и х = 10. Столько было капитановъ.

155. IV. Вопросъ: Нѣсколько купцовъ составили товарищество, и каждый внесъ 100 разъ столько рублей, сколько всего товарищей. Они послали въ Венецію довѣреннаго, который получалъ съ каждыхъ 100 рублей вдвое столько рублей, сколько товарищей. Довѣренный, возвратившись, получилъ 2662 руб. Спрашивается, сколько было купцовъ?

Пусть купцовъ было х. Значитъ, каждый внесъ 100x руб., и весь капиталъ былъ 100x2 руб. Такъ какъ на каждые 100 руб. прибыль составляла 2x руб., то прибыль на весь капиталъ была 2x3, и она равняется 2662. Итакъ, 2x3 = 2662, откуда x3 = 1331 и, слѣдовательно, x = 11. Столько было купцовъ.

156. V. Вопросъ: Крестьянка мѣняетъ сыры на курицъ и даетъ 2 сыра за каждыя 3 курицы. Куры нанесли яицъ,

каждая такое число яицъ, которое составляетъ 1/3 числа куръ. Съ этими яйцами крестьянка пошла на базаръ, гдѣ продала каждыя 9 яицъ за такое число копеекъ, сколько одна курица снесла яицъ, и получила 72 коп. Сколько сыровъ отдала крестьянка въ обмѣнъ?

Пусть число сыровъ будетъ х, такъ что это число пошло въ обмѣнъ за 3/2x курицъ. Такъ какъ каждая курица кладетъ 1/2 x яицъ, то число всѣхъ яицъ будетъ 3/4 x2. Каждыя 9 яицъ она продаетъ за 1/2 х коп. Значитъ, за всѣ яйца выручила 1/24 x3 коп., что составляетъ 72 коп.

Итакъ,

Слѣдовательно = 8.8.27, т.-е. x = 12. Это число сыровъ и отдала крестьянка въ обмѣнъ на 18 курицъ.

О рѣшеніи полныхъ кубическихъ уравненій.

157. Полнымъ кубическимъ уравненіемъ называется такое, въ которое, кромѣ куба неизвѣстнаго числа, входитъ еще само неизвѣстное число1) и его квадратъ. Поэтому общій видъ такого уравненія есть

если всѣ члены уравненія перенести на одну сторону. Какъ изъ подобнаго уравненія опредѣлить значенія х, носящія названіе корней уравненія, будетъ показано въ этой главѣ. Но уже здѣсь необходимо замѣтить, что подобное уравненіе всегда имѣетъ три корня, какъ это показано въ предыдущей главѣ относительно чистаго уравненія этой степени.

158. Разсмотримъ для начала слѣдующее уравненіе:

1) Въ первой степени.

Подобно тому, какъ квадратное уравненіе можетъ быть разсматриваемо, какъ произведеніе двухъ множителей, такъ и это кубическое уравненіе можно разсматривать какъ произведеніе трехъ множителей, которые въ данномъ случаѣ таковы:

потому что, перемноживъ ихъ между собой, получимъ данное выше уравненіе. Въ самомъ дѣлѣ, произведеніе (x — 1)(x—2) дастъ x2 — 3х + 2, умноженіе же этого выраженія на х — 3 дастъ x2—6х2 + 11х — 6, т.-е. данное выше выраженіе, и оно должно = 0. Но произведеніе (х—1) (x — 2) (х — 3) можетъ обратиться въ нуль только въ томъ случаѣ, если одинъ изъ его множителей будетъ = 0; а, слѣдовательно, въ трехъ случаяхъ: 1) когда х —1 = 0, или x = 1; 2) когда х — 2 = 0, или x = 2, и 3) когда х—3 = 0, или x = 3.

Ясно также, что, если вмѣсто х подставить сюда всякое иное число, то ни одинъ изъ этихъ трехъ множителей не обратится въ нуль, равно какъ не будетъ нулемъ и ихъ произведеніе. Слѣдовательно, наше уравненіе не имѣетъ никакихъ иныхъ корней, кромѣ указанныхъ трехъ.

159. Если сумѣть и въ каждомъ иномъ случаѣ выдѣлить три множителя подобнаго уравненія, то тѣмъ самымъ получались бы и три его корня. Съ этой цѣлью разсмотримъ три такихъ множителя съ общей точки зрѣнія, положивъ ихъ равными х—р, х — q, х — r. Найдемъ ихъ произведеніе. Перемноженіе перваго множителя со вторымъ дастъ x2 — (p + q)x + pq. Умноженіе послѣдняго произведенія на х — r дастъ формулу x2 — (р + q + r) x2 (pq + pr + qr)x — — pqr. Выраженіе это можетъ быть равно 0 только въ трехъ случаяхъ: во 1-хъ) когда х—p = 0, или х = р; во 2-хъ) х — q = 0, или x = q; въ 3-хъ) х — r = 0, или x = r.

160. Пусть теперь это уравненіе будетъ написано такъ: x2 — ах2 + bх — с = 0, и такъ какъ его корни суть I) х = р, II) x = q, III) х = r, то необходимо, чтобы было во 1-хъ, а = р + q + r, во 2-хъ, b = рq + рr + qr и въ 3-хъ, c = pqr. Откуда мы видимъ, что второй членъ (уравненія) содержитъ сумму трехъ корней, третій членъ—сумму произведеній этихъ корней по два и, наконецъ, послѣдній членъ есть произведеніе всѣхъ трехъ корней.

Это послѣднее свойство даетъ намъ весьма важное указаніе, что кубическое уравненіе во всякомъ случаѣ можетъ имѣть только такой раціональный корень, на который дѣлится послѣдній членъ. Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ этотъ послѣдній членъ представляетъ собой произ-

веденіе трехъ корней, то онъ долженъ дѣлиться на каждый изъ нихъ. Равнымъ образомъ отсюда ясно, что, если желательно угадать такой корень, то дѣло сводится къ пробѣ чиселъ.

Для поясненія разсмотримъ уравненіе x3 = х + 6, или x3— х — 6 = 0. Такъ какъ оно можетъ имѣть только такіе раціональные корни, на которые дѣлится послѣдній членъ 6, то достаточно сдѣлать пробу съ числами 1, 2, 3, 6. Подстановка этихъ чиселъ въ уравненіи дастъ:

Отсюда видимъ, что х = 2 есть корень даннаго уравненія, послѣ чего легко опредѣлить два остальныхъ корня. Такъ какъ х = 2 есть корень, то х — 2 есть множитель уравненія, и остается опредѣлить только два остальныхъ множителя, что достигается слѣдующимъ дѣленіемъ:

Такимъ образомъ наше выраженіе замѣнится такимъ произведеніемъ (х — 2) (x2 + 2x-] ≈ 3)у которое равно 0, какъ для х — 2 = 0, такъ и иля x2 + 2х + 3 = 0. Но изъ послѣдняго находимъ x2 = — 2х—3 и затѣмъ х = —1 + √—2, т.-е. два остальныхъ корня нашего уравненія, которые, какъ видимъ, невозможны, или мнимы.

161. Все сказанное имѣетъ мѣсто, когда первый членъ уравненія x3 умноженъ на 1, а слѣдующіе члены умножены на цѣлыя числа. Если же въ уравненіе входятъ дроби, то существуетъ способъ преобразовать уравненіе въ другое, не имѣющее дробей, такъ что возможно будетъ примѣнять по предыдущему пробы.

Пусть дано уравненіе

Такъ какъ сюда входятъ четверти, то положимъ х = y/2. Получится

Умножая это уравненіе на 8, полу-

чимъ y3—6у2 + 11y — 6 = 0, корни котораго, какъ мы видѣли выше: у = 1, y = 2, у = 3. Отсюда для нашего даннаго уравненія получается

162. Если первый членъ также умноженъ на число1), послѣдній членъ = 1, какъ, напр., въ уравненіи

то послѣ дѣленія на 6 это послѣднее будетъ

и по предыдущему правилу его можно освободить отъ дробей, полагая х = y/6. Получится

Откуда умноженіемъ на 216 получается

Подставлять всѣ дѣлители числа 36 въ данномъ случаѣ было бы затруднительно. Но такъ какъ въ нашемъ первоначальномъ уравненіи послѣдній членъ равенъ 1, то положимъ въ немъ x = 1/z ; получится уравненіе

которое, будучи умножено на z3, дастъ

корни котораго суть z = 1, z = 2, z = 3, откуда для даннаго намъ уравненія находимъ

163. Изъ предыдущаго извѣстно, что если всѣ корни уравненія представляютъ собой положительныя числа, то въ уравненіи знаки плюсъ и минусъ слѣдуютъ въ перемѣнномъ порядкѣ, такъ что уравненіе имѣетъ такой видъ:

1) Т.-е. имѣетъ коэффиціентъ большій, чѣмъ 1.

и въ немъ содержится три перемѣны знаковъ, т.-е. именно столько, сколько есть положительныхъ корней. Если бы всѣ корни были отрицательны, то послѣ перемноженія трехъ множителей х + p, x + q, x + z передъ всѣми членами будетъ знакъ плюсъ и уравненіе имѣетъ видъ

гдѣ трижды слѣдуютъ другъ за другомъ одинаковые знаки, т.-е. ровно столько, сколько отрицательныхъ корней.

Отсюда вытекаетъ заключеніе, что, сколько разъ мѣняются знаки, столько уравненіе имѣетъ положительныхъ корней, и сколько разъ другъ за другомъ слѣдуютъ одинаковые знаки, столько есть корней отрицательныхъ. Это послѣднее замѣчаніе очень важно. Такъ, при помощи его можно судить, слѣдуетъ ли брать положительными или отрицательными дѣлители послѣдняго члена, когда производятся пробы отысканія корней.

164. Чтобы пояснить это примѣромъ, разсмотримъ уравненіе x3 + x2—34x + 56 = 0, въ который входятъ двѣ перемѣны знаковъ и всего одна послѣдовательность (постоянство) однихъ и тѣхъ же знаковъ. Отсюда заключаемъ, что уравненіе имѣетъ два положительныхъ корня и одинъ отрицательный. Корни эти должны быть дѣлителями послѣдняго члена 56, т.-е. они могутъ находиться среди чиселъ

Полагая x = 2, находимъ изъ даннаго уравненія

откуда видимъ, что x = 2 есть положительный корень, и слѣдовательно х — 2 должно быть дѣлителемъ даннаго уравненія. Поэтому два остальныхъ корня легко опредѣлятся послѣ раздѣленія уравненія на х — 2, какъ ниже:

Пусть это частное x2 + 3x— 28 = 0, тогда отсюда найдутся два остальныхъ корня, которые будутъ х = — 3/2

Откуда x = 4 и x = —7, къ чему надо еще прибавить предыдущій корень x = 2. Такимъ образомъ ясно, что дѣй

ствительно въ уравненіи содержатся два положительныхъ и одинъ отрицательный корень. Это же мы пояснимъ еще слѣдующими примѣрами.

165. I. Вопросъ. Существуетъ два числа; разность ихъ равна 12. Если же произведеніе этихъ чиселъ умножить на ихъ сумму, то получится 14560. Какія это числа?

Пусть будетъ меньшее число х, тогда большее равно х + 12; произведеніе обоихъ чиселъ есть x2 + 12x, если его помножить на сумму обоихъ чиселъ, т.-е. на 2х + 12, получится:

что, дѣленное на 2, даетъ

Такъ какъ послѣдній членъ 7280 слишкомъ великъ для того, чтобы дѣлать испытанія всѣхъ его дѣлителей, то замѣчая, что число 7280 дѣлится на 8, положимъ x = 2у, получится

дѣля это уравненіе на 8, получимъ

Такимъ образомъ теперь мы будемъ испытывать только дѣлители числа 910, т.-е. 1, 2, 5, 7, 10, 13 и т. д. Первые изъ нихъ, т.-е. 1, 2, 5, очевидно слишкомъ малы. Полагая, поэтому у = 7, находимъ: 343 + 441 + 126 = 910. Слѣдовательно имѣемъ корень у = 7, а значитъ x = 14. Чтобы узнать остальные два корня для у, надо раздѣлить

Полагая частное y2 + 16у + 130 = 0, находимъ y2 = —16у— — 130; откуда у = — 8 + √—66, т.-е. оба остальные корни невозможны.

Отвѣтъ. Два искомыхъ числа суть 14 и 26. Произведеніе ихъ 364, помноженное на ихъ сумму 40, даетъ 14560.

166. II. Вопросъ. Найти два числа, разность которыхъ 18, если же разность ихъ кубовъ умножить на сумму чиселъ, то получится произведеніе 275184. Каковы эти числа?

Пусть меньшее число есть x, тогда большее число = x + 18. Кубъ меньшаго = x3 и кубъ большаго = x3 + 54x2 + 972x + 5832; разность этихъ кубовъ 54x2 + 972x + 5832 = 54 (x2 + 18x + 108) надо умножить на сумму чиселъ, т.-е. на 2x + 18 = 2(x + 9). Получится произведеніе

Дѣля на 108, находимъ x3 + 27×2 + 270x + 972 = 2548, или x3 + 27×2 + 270x = 1576, Дѣлители числа 1576 суть 1, 2, 4, 8 и т. д., гдѣ 1 и 2 слишкомъ малы, но 4, подставленное вмѣсто x, удовлетворяетъ уравненію. Поэтому для нахожденія двухъ остальныхъ корней надо раздѣлить уравненіе на x — 4, какъ ниже:

Изъ частнаго слѣдуетъ

откуда

Оба эти корни мнимы, или невозможны.

Отвѣтъ. Итакъ, искомыя числа суть 4 и 22.

167. 111. Вопросъ. Найти два числа, разность которыхъ 720; если же квадратный корень изъ большаго числа умножить на меньшее, то получится 20736. Какія это числа?

Пусть меньшее = x, тогда большее = x + 720 и должно быть x√x + 720 = 20736 = 8.8.4.81. Возвысимъ обѣ части въ квадратъ, получится

Положимъ x = 8y, получится

Дѣля на 83, получимъ

Пусть теперь

тогда

Дѣленіе на 8 дастъ z3 + 45z2 = 42.812.

Положимъ далѣе z = 9u, Получится

Дѣленіе на 93 даетъ

Отсюда ясно, что u = 4, такъ какъ u2 = 16, а u + 5 = 9. Если u = 4, то z = 36, у = 72 и x = 576, что и представляетъ меньшее число, большее же будетъ 1296. Корень изъ этого послѣдняго, 36, умноженный на меньшее число 576, дастъ 20736.

168. Замѣчаніе. Предыдущій вопросъ можетъ быть рѣшенъ болѣе просто слѣдующимъ образомъ: большее число должно быть полнымъ квадратомъ, такъ какъ иначе оно, помноженное на меньшее, не могло бы дать приведеннаго въ задачѣ числа. Поэтому, пусть большее число будетъ x2, тогда меньшее равно x2—720, и если послѣднее умножить на квадратный корень перваго, т.-е. на x, то получается

Положимъ здѣсь x = 4y, получится

Послѣ дѣленія на 64 будетъ

Положимъ y = 3z, получимъ

Послѣ дѣленія на 27, получится

Дѣлители 12-ти суть 1, 2, 3, 4, 6, 12, и для z = 3, получаемъ 27—15—12 = 0. Отсюда, если ξ = 3, то у = 9, а x = 36. Значитъ, большее число x2 = 1296, а меньшее x2 — 720 = 576, какъ и раньше.

1711). VI. Вопросъ. Нѣсколько купцовъ имѣютъ вмѣстѣ капиталъ въ 8240 рублей. Каждый изъ нихъ прибавляетъ къ этому капиталу еще 40 разъ столько рублей, сколько товарищей. Со всей полученной такимъ образомъ суммы они получаютъ столько процентовъ, сколько товарищей. При дѣлежѣ барышей оказалось, что если каждый изъ нихъ возьметъ по 10 разъ столько рублей, сколько товарищей, то еще останется 224 рубля. Сколько было товарищей?

Пусть число товарищей = x. Значитъ, каждый изъ нихъ къ начальному капиталу въ 8240 руб. прибавилъ еще 40x р. Всѣ же вмѣстѣ они прибавили 40x2 руб. Поэтому весь капиталъ получился въ суммѣ 40x2 + 8240. На каждые

1) §§ 169 и 170 опущены, такъ какъ въ нихъ заключаются задачи, совершенно подобныя приведеннымъ и не представляющія никакихъ трудностей. Переводч.

100 руб. съ этого капитала они получали х руб. прибыли, а потому вся прибыль равна

Изъ этой суммы каждый взялъ по 10x руб., а значитъ, всѣ взяли 10x2 руб., послѣ чего осталось еще 224 руб. Поэтому вся прибыль равна 10x2 + 224. Отсюда уравненіе:

которое, будучи умножено на 5 и раздѣлено на 2, дастъ

Дѣлители послѣдняго члена суть 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 16 и т. д., и мы должны брать ихъ положительными, такъ какъ уравненіе заключаетъ 3 перемѣны знаковъ, откуда ясно, что всѣ три корня уравненія положительны. Послѣдовательныя пробы показываютъ, прежде всего, что # = 7 есть корень уравненія. Чтобы найти два остальные, дѣлимъ наше уравненіе, какъ ниже:

Приравнивая частное нулю, получаемъ уравненіе

откуда x = 9 + -1, т.-е. два другихъ корня будутъ x = 8 и x = 10.

Отвѣтъ. На предложенный вопросъ получается, такимъ образомъ, три отвѣта: по первому число товарищей-купцовъ 7, по второму 8, по третьему 10, какъ можно убѣдиться изъ такой повѣрки:

Число купцовъ.

I.

II.

III.

7.

8.

10.

Каждый прибавилъ 40x..............

280

320

400

Всѣ вмѣстѣ прибавили 40x2............

1960

2560

4000

Первоначальный капиталъ...........

8240

8240

8240

Весь новый капиталъ...............

10200

10800

12240

Съ этого капитала они получаютъ столько процентовъ, сколько товарищей...........

714

864

1224

Каждый беретъ отсюда 10x............

70

80

100

Всѣ вмѣстѣ 10x2.................

490

640

1000

Остается еще...................

224

224

224

ГЛАВА XII.

О правилѣ Кардана или Сципіона Феррео.

172. Когда кубическое уравненіе приведено къ такому виду, что въ него входятъ только цѣлыя числа, какъ это показано выше, и ни одинъ дѣлитель послѣдняго члена не оказывается корнемъ уравненія, то это служитъ вѣрнымъ признакомъ, что уравненіе не имѣетъ вообще корня, выражаемаго цѣлымъ числомъ. Но такое уравненіе не имѣетъ и дробнаго корня, что доказывается слѣдующимъ образомъ.

Пусть дано уравненіе x3— ах2 + bх— с, гдѣ а, b, с — цѣлыя числа. Положимъ, напр., что х = 3/2. Подставляя это значеніе для х въ уравненіе, получимъ

Знаменатель перваго члена здѣсь равенъ 8, остальные же члены дѣлятся только на 4 или 2, или же представляютъ цѣлыя числа, такъ что они вмѣстѣ съ первымъ членомъ не могутъ быть равны 0, и это относится ко всякой иной дроби, взятой вмѣсто x.

173. Такъ какъ въ этихъ случаяхъ корнями уравненія не могутъ быть ни цѣлыя числа, ни дроби, то, значитъ, они представляютъ собой ирраціональныя и еще чаще— мнимыя количества. Способъ находить и выражать эти корни представляетъ собой вопросъ великой важности. Изобрѣтеніе этого способа уже нѣсколько столѣтій приписывается Кардану или очень часто Сципіону Феррео, и здѣсь со всей заслуживаемой имъ тщательностью этотъ способъ будетъ разъясненъ.

174. Съ этой цѣлью разсмотримъ внимательно свойства куба, корень (кубичный) изъ котораго представляетъ двучленъ.

Пусть будетъ поэтому а + b корень, кубъ котораго, значитъ, = a3 + 3а2b + 3аb2 + b3. Выраженіе это содержитъ, во-первыхъ, кубы каждаго изъ двухъ членовъ въ отдѣльности и, кромѣ того, еще два среднихъ члена, именно 3а2b + 3ab2, имѣющіе общій множитель 3аb и второй множитель а + b. Такъ что 3ab(a + b) = 3a2b + 3ab2. Такимъ образомъ указываемые два члена содержатъ тройное произведеніе обоихъ членовъ а и b на ихъ сумму.

175. Положимъ теперь х = а + b и возвысимъ обѣ части въ кубъ. Получится x2 = a2 + b2 + 3ab(a + b). Такъ какъ a + b = x, то имѣемъ такое кубическое уравненіе: x3 = a3 + b3 + 3аbx, или x2 = 3abx + a2 + b3, относительно котораго

мы знаемъ, что корень его равенъ х = а + b. Такимъ образомъ всякій разъ, какъ встрѣтится подобное уравненіе, мы сможемъ опредѣлить одинъ его корень. Такъ, пусть а = 2 и b = 3. Получится уравненіе x3 = 18x + 35, относительно котораго мы навѣрное знаемъ, что одинъ изъ его корней будетъ х = 5.

176. Положимъ далѣе a3 = р и b3 = q. Тогда а = ∛р, b = ∛q, значитъ, ab = ∛pq; наше кубическое уравненіе приметъ видъ x3 = 3x∛pq + p + q и одинъ изъ корней его будетъ ∛р + |||q.

Но количества р и q всегда возможно опредѣлить такъ, что 3∛pq и р + q будутъ каждое равно напередъ заданному числу и такимъ путемъ возможно рѣшить каждое подобное уравненіе.

177. Итакъ, пусть такое общее кубическое уравненіе будетъ x3 = fx + g, Здѣсь, слѣдовательно, f должно быть равно 3∛pq, и g равно p + q, т.-е. необходимо р и q опредѣлить такъ, чтобы 3∛pq равнялось числу f, а p + q числу g, и въ такомъ случаѣ мы знаемъ, что одинъ изъ корней нашего уравненія будетъ х = ∛p + ∛q

178. Слѣдовательно надо рѣшить два такихъ уравненія: I) 3∛pq = f и II) p + q = g. Изъ перваго получается ∛pq = f/3 и рq = . Второе уравненіе возвышается въ квадратъ: p2 + 2pq7 + q2 = g2 и, вычитая отсюда 4рq = 1/27 f3, получаемъ:

Извлекая отсюда квадратный корень, находимъ

Но

Поэтому

Откуда, въ концѣ-концовъ, получаемъ:

179. Итакъ, если имѣется такое кубическое уравненіе x3 = fx + g, гдѣ f и g какія угодно числа, то корень этого уравненія всегда будетъ

Откуда видно, что полученная ирраціональность заключаетъ въ себѣ не только квадратный, но и кубическій корень. Полученная же формула представляетъ собой то, что обыкновенно называется правиломъ Кардана.

180. Пояснимъ сказанное нѣкоторыми примѣрами. Пусть

Здѣсь

значитъ

Откуда

Поэтому одинъ изъ корней даннаго уравненія будетъ

т.-е. x = 2 + 1 = 3. Итакъ, x = 3, есть корень даннаго уравненія.

181. Пусть, далѣе, дано такое уравненіе x3 = 3x + 2.

Въ такомъ случаѣ

Слѣдовательно, квадратный корень изъ

Поэтому искомый корень уравненія будетъ

182. Въ то же время, если подобное уравненіе имѣетъ раціональный корень, то бываетъ иной разъ, что этотъ корень посредствомъ даннаго правила (Кардана) не опредѣляется, хотя онъ на самомъ дѣлѣ и существуетъ.

Пусть дано уравненіе x3 = 6х + 40, одинъ изъ корней котораго = 4. Въ немъ f = 6, g = 40, затѣмъ: g2 = 1600, 1/27 f3 = 32; слѣдовательно,

Значитъ, корень уравненія будетъ

Эта формула въ дѣйствительности означаетъ число 4, хотя это и не замѣтно на первый взглядъ.

Такъ какъ кубъ 2 + √2 равенъ 20 + 14√2, то и, наоборотъ, кубическій корень изъ 20 + 14√2 будетъ равенъ

а потому и нашъ корень

183. Противъ изложеннаго правила можно возразить, что оно относится не ко всякому кубическому уравненію, а только къ такимъ, въ которыхъ нѣтъ квадрата неизвѣстнаго, или, иначе говоря, въ которыхъ нѣтъ второго члена. Но надо замѣтить, что каждое полное уравненіе всегда можетъ быть преобразовано въ другое, въ которомъ не будетъ второго члена и къ которому, слѣдовательно, можно приложить данное правило. Чтобы показать это, пусть дано полное кубическое уравненіе x3 — 6×2 + 11x — 6 = 0. Возьмемъ третью часть числа 6 во второмъ членѣ уравненія и положимъ х — 2 = у, откуда: х = у + 2. Вычисленія ниже даютъ: такъ какъ

Итакъ, имѣемъ уравненіе y2 — y = 0, рѣшеніе котораго очевидно, такъ какъ разложенное на множители оно будетъ:

Приравнивая нулю каждый множитель, находимъ:

т.-е. получается три корня уравненія, уже найденные нами выше.

184. Пусть дано теперь такое общее кубическое уравненіе: x3 + ах2 + bх + с = 0, въ которомъ нужно уничтожить второй членъ.

Съ этой цѣлью прибавляемъ къ х третью часть числа (коэффиціента) при второмъ членѣ съ его знакомъ и вводимъ новую букву, напр., у. По такому правилу будемъ имѣть х + 1/3a = y, и значитъ, х = у—1/3a. Затѣмъ идутъ слѣдующія вычисленія:

Получается уравненіе, въ которомъ отсутствуетъ 2-й членъ.

185. Теперь къ этому случаю приложить правило Кардана уже легко. Выше мы имѣли уравненіе x2 = fx + g, или x3 — fx— g = 0; такъ что въ данномъ случаѣ будетъ

Отсюда, найдя значенія для f и g, будемъ имѣть, какъ раньше,

Опредѣливъ отсюда у, мы для первоначально даннаго уравненія будемъ имѣть

186. Съ помощью указаннаго преобразованія мы въ состояніи опредѣлить корни всякаго кубическаго уравненія, что покажемъ на слѣдующемъ примѣрѣ.

Пусть дано уравненіе x3—6×2 + 13x — 12 = 0. Для устраненія здѣсь второго члена, положимъ x — 2 = y; тогда:

Итакъ,

даетъ

Или y3 = — y + 2, что, сравненное съ формулой x3 = fx + g,

Значитъ

Откуда слѣдуетъ, что

а потому

или, наконецъ,

и затѣмъ находимъ

187. При рѣшеніи этого примѣра мы пришли къ двойной ирраціональности. Однако отсюда еще нельзя заключать, что корень несомнѣнно ирраціоналенъ. Такъ, напр., какимъ-либо удачнымъ путемъ мы могли бы найти, что двучлены 27 + 6√21 представляютъ собой точные кубы.

Это слѣдуетъ изъ того, что кубъ выраженія

Такъ что, наоборотъ, кубическій корень изъ

равенъ

а кубическій корень изъ

равенъ

Такимъ образомъ предыдущее выраженіе для у сводится къ такому:

Если y = 1, то x = 3, что и даетъ одинъ корень первоначальнаго уравненія. Чтобы найти два остальныхъ корня, нужно уравненіе раздѣлить на x — 3, какъ ниже:

и частное х положить равнымъ 0, т.-е.

Откуда

Таковы два другихъ корня: оба они мнимые.

188. То, что въ данномъ случаѣ мы изъ полученнаго двучленнаго выраженія извлекли точный кубическій корень, есть просто счастливый случай, который можетъ встрѣтиться только въ тѣхъ случаяхъ, когда данное уравненіе имѣетъ раціональный корень. Но этотъ послѣдній легче опредѣлить по правиламъ, даннымъ въ предыдущей главѣ. Если же въ уравненіи нѣтъ ни одного раціональнаго корня, то корень такого уравненія можетъ быть выраженъ не

иначе, какъ по правилу Кардана, и дальнѣйшимъ упрощеніямъ мѣста нѣтъ. Такъ, напр., въ уравненіи

Откуда находимъ

корень, который выразить иначе уже нельзя.

О рѣшеніи уравненій четвертой степени, называемыхъ также биквадратными.

189. Если наивысшая степень количества х будетъ четвертой, то такое уравненіе называется уравненіемъ четвертой степени, а также биквадратнымъ, такъ что общій видъ такого уравненія будетъ:

Изъ нихъ мы прежде всего разсмотримъ такъ называемыя чистыя биквадратныя уравненія вида x4 = f. Корень ихъ находится тотчасъ, если изъ обѣихъ частей извлечь корень четвертой степени, откуда получается x = √f.

190. Такъ какъ x4 представляетъ собой квадратъ x2, то вычисленіе будетъ значительно понятнѣе, если извлечь сначала квадратный корень, что приводитъ къ x2 = √f. Отсюда квадратный корень извлекается еще разъ, что даетъ x = √√f. Такъ что √f есть не что иное, какъ квадратный корень изъ квадратнаго корня изъ f.

Пусть имѣется, напр., уравненіе x4 = 2401. Отсюда находимъ сначала x2 = 49, а затѣмъ x = 7.

191. Но подобнымъ способомъ находятъ только одинъ корень, а такъ какъ въ кубическомъ уравненіи всегда имѣется три корня, то нѣтъ сомнѣнія, что въ данномъ случаѣ должны имѣть мѣсто четыре корня, которые, между прочимъ, можно найти слѣдующимъ способомъ: такъ какъ изъ предыдущаго примѣра слѣдуетъ, что не только x2 = 49, но и x2 = — 49, то изъ перваго изъ этихъ равенствъ мы получаемъ два корня x = 7 и x = — 7, а изъ второго х = √— 49 = 7√— 1 и x = — √— 49 = — 7√— 1, что и представляетъ четыре биквадратныхъ корня изъ 2401. То же самое относится и ко всякому другому числу.

192. За этими чистыми уравненіями (4-й степени) слѣдуетъ разрядъ уравненій, въ которыхъ нѣтъ второго и четвертаго члена, т.-е. такія, которыя имѣютъ видъ:

Эти уравненія могутъ быть разрѣшены по правиламъ рѣшенія квадратныхъ уравненій. Въ самомъ дѣлѣ, полагая x2 = y, получаемъ y2 + fу + q = 0 или y2 = — fy — g, откуда получается

Такъ какъ x2 = у, то получается:

гдѣ двойственность знаковъ + даетъ всѣ четыре корня.

193. Если въ уравненіе входятъ всѣ члены, то послѣднее можно всегда разсматривать, какъ произведеніе четырехъ множителей. При перемноженіи этихъ четырехъ множителей

получится слѣдующее произведеніе:

Это выраженіе можетъ быть равно нулю только въ томъ случаѣ, когда одинъ изъ вышенаписанныхъ четырехъ множителей = 0. Это же можетъ случиться только въ четырехъ случаяхъ: I) если х = р; II) х — д, III) х — r, IV) x = s, какаковыя значенія и представляютъ четыре корня даннаго уравненія.

194. Разсмотримъ эту форму (уравненій) нѣсколько подробнѣе. Такъ, мы находимъ, что во второй членъ входитъ сумма всѣхъ 4 корней, умноженная на x3; въ третій — сумма произведеній всѣхъ корней по два, умноженная на x2, въ четвертомъ членѣ мы видимъ сумму произведеній всѣхъ корней по 3, умноженную #; наконецъ, пятый и послѣдній членъ содержитъ произведеніе всѣхъ четырехъ корней, взаимно перемноженныхъ.

195. Такъ какъ послѣдній членъ состоитъ изъ произведенія всѣхъ корней, то подобное биквадратное уравненіе не имѣетъ никакого такого раціональнаго корня, который въ то же время не былъ бы дѣлителемъ послѣдняго члена.

На этомъ основаніи можно легко найти всѣ раціональные корни уравненія, если они имѣются,—стоитъ только вмѣсто х подставлять послѣдовательно въ уравненіе каждый изъ дѣлителей послѣдняго члена и наблюдать, которымъ изъ нихъ уравненіе удовлетворяется. Если же найденъ хоть одинъ подобный корень, напр., х = р, то остается, перенеся всѣ члены уравненія на одну сторону, раздѣлить его на х—р, а частное положить = 0, что даетъ кубическое уравненіе, которое можетъ быть разрѣшено на основаніи предыдущихъ правилъ.

196. Но при этомъ необходимо требуется, чтобы всѣ члены уравненія состояли изъ цѣлыхъ чиселъ и чтобы первый членъ его умножался только на 1. Если бы въ какіе-либо члены входили дроби, то необходимо послѣднія устранить, что всегда возможно, если вмѣсто х подставить #, раздѣленное на число, заключающее въ себѣ знаменатели дробей уравненія.

Если, напр., встрѣтится уравненіе

то, такъ какъ въ знаменатели входятъ только числа 2 и 3 или степени этихъ чиселъ, положимъ x = y/6, и получится уравненіе

которое по умноженіи на 64 даетъ

Чтобы убѣдиться, имѣетъ ли это уравненіе раціональные корни, надо вмѣсто у послѣдовательно подставлять дѣлители числа 72 и отмѣчать, въ какихъ случаяхъ это выраженіе обратится тождественно въ нуль.

197. Но такъ какъ корни могутъ быть одинаково какъ положительными, такъ и отрицательными, то приходится съ каждымъ такимъ дѣлителемъ дѣлать двѣ пробы: одну для положительнаго, а другую для отрицательнаго его значенія. Поэтому здѣсь опять слѣдуетъ замѣтить, что уравненіе имѣетъ столько положительныхъ корней, сколько разъ въ немъ мѣняются знаки и — ; отрицательныхъ же корней въ уравненіи столько, сколько въ немъ наблюдается постоянствъ знаковъ. Такъ какъ въ нашъ предыдущій примѣръ входитъ 4 перемѣны знаковъ и ни одного постоян

ства, то всѣ корни этого уравненія положительны, и, значитъ, не требуется брать ни одного отрицательнаго дѣлителя послѣдняго члена.

198. Пусть, напр., дано уравненіе x4 + 2x3 — 7x2 — 8x + 12 = 0. Въ него входятъ двѣ перемѣны знаковъ и два постоянства (послѣдовательности) знаковъ, откуда должно заключить, что это уравненіе имѣетъ два положительныхъ и два отрицательныхъ корня, которые всѣ должны быть дѣлителями числа 12. Такъ какъ дѣлители эти суть 1, 2, 3, 4, 6, 12, то испытываемъ сначала x = + 1 и получаемъ, дѣйствительно, 0, такъ что одинъ корень будетъ x = 1. Полагая далѣе х = —1, получаемъ + 1—2 — 7 + 8 + 12 = + 21—9 = 12, т.-е. х = —1 не даетъ корня уравненія. При положеніи затѣмъ x = 2, наша формула опять обращается въ 0, и, значитъ, x = 2, есть корень уравненія. Предположеніе x = — 2 такого корня не даетъ. Положеніе x = 3 дастъ 81 + 54 — 63 — 24 + 12 = 60, т.-е. не даетъ корня, но x = —3 даетъ 81 — 54 — 63 + 24 + 12 = 0, т.-е. x = — 3 есть корень. Точно такъ же находится, что х = — 4 есть тоже корень уравненія. Такъ что всѣ четыре корня уравненія будутъ: I) x = 1, II) x = 2, III) x = —3, IV) х = —4. Изъ нихъ два положительныхъ и два отрицательныхъ, какъ это слѣдуетъ изъ предыдущаго правила.

199. Но если въ уравненіи нѣтъ ни одного раціональнаго корня, то указаннымъ путемъ нельзя ничего найти. Отсюда вытекаетъ необходимость найти такой способъ, чтобы и въ этихъ случаяхъ ирраціональный корень могъ имѣть свое выраженіе. Здѣсь представляется то счастливое обстоятельство, что къ нахожденію подобныхъ корней можно подойти двоякимъ путемъ.

Но раньше, чѣмъ мы разъяснимъ эти общіе пути, слѣдуетъ разрѣшить нѣкоторые особые случаи, которые можно будетъ примѣнять съ пользой впослѣдствіи.

200. Уравненіе таково, что коэффиціенты членовъ, равноотстоящихъ отъ начала и конца, равны, какъ нижеслѣдующее:

Его можно также представить въ еще нѣсколько обобщенномъ видѣ

Подобное выраженіе всегда можетъ быть представлено въ видѣ произведенія двухъ множителей, каждый изъ которыхъ будетъ полнымъ квадратомъ, и, такимъ образомъ, его легко рѣшить. Такъ, возьмемъ вмѣсто даннаго уравненія произведеніе

гдѣ р и q должны быть опредѣлены такъ, чтобы удовлетворялось данное уравненіе. Но обыкновенное умноженіе даетъ:

Чтобы это уравненіе было одинаково съ даннымъ, необходимы два слѣдующихъ условія: I) чтобы p + q — m и II) чтобы pq + 2 — n, т.-е. pq = n— 2.

Квадратъ перваго (изъ этихъ выраженій) даетъ p2 + 2pq + r/2 = m2, а по вычитанію отсюда учетвереннаго второго, т.-е. 4pq = 4n— 8, получается

Квадратный корень отсюда даетъ

Такъ какъ, съ другой стороны,

то сложеніемъ получаемъ

Вычитаніе же даетъ 2q = m— √m2—4n + 8; или

Опредѣливъ р и q, остается только приравнять нулю каждый изъ множителей и затѣмъ найти значенія #. Первый множитель даетъ

откуда находимъ

или

Второй же множитель дастъ

Такимъ образомъ, получаются четыре корня даннаго уравненія.

201. Для поясненія пусть дано уравненіе

Здѣсь а = 1, m = — 4, n = — 3. Значитъ, m2 — 4n + 8 = 36, а квадратный корень отсюда = 6. Поэтому находимъ, что

Такъ что четыре корня будутъ:

т.-е. корни даннаго уравненія будутъ:

Два первые изъ нихъ мнимы, или невозможны, а два остальныхъ возможны, такъ какъ 1 можно извлечь, какъ угодно точно.

202. Другой случай, когда имѣетъ мѣсто подобное же рѣшеніе, относится къ уравненію, въ которомъ по предыдущему равноотстоящіе отъ начала и конца коэффиціенты равны, но второй и четвертый члены имѣютъ различные знаки. Такое уравненіе имѣетъ видъ:

Оно можетъ быть представлено въ видѣ произведенія

Отсюда умноженіемъ получается уравненіе

которое будетъ одинаково съ даннымъ, если, во-первыхъ, р q = m, а затѣмъ pq— 2 = n или pq = n + 2. Какъ и раньше, возводимъ въ квадратъ первое изъ этихъ выраженій и получаемъ p2 + 2pq + q2 = m2. Вычитая отсюда учетверенное второе выраженіе, т.-е. 4рq = 4n + 8, находимъ p2 — 2pq + q2 = m2—4n— 8, откуда извлеченіемъ квадратнаго корня получимъ р — q = √m2 — 4n— 8, и затѣмъ находимъ:

Если р и q опредѣлены, то первый множитель уравненія дастъ два такихъ корня:

а второй множитель дастъ

Такимъ путемъ получаются четыре корня уравненія.

209. Пусть, напр., дано уравненіе x4—3.2x3 + 3.8x + 16 = 0. Здѣсь а = 2, m = — 3 и n = 0. Поэтому

Поэтому два первыхъ корня уравненія будутъ x = 1 ±√5, а два остальныхъ x = 2±√8. Такъ что четыре искомыхъ корня будутъ:

Поэтому четыре множителя нашего уравненія должны быть таковы:

Перемноженіе ихъ должно дать наше уравненіе. И, дѣйствительно, первый множитель, умноженный на второй, даетъ x2 — 2x — 4, а произведеніе двухъ остальныхъ равно x2 — 4x — 4. Новое перемноженіе двухъ этихъ произведеній даетъ x4 — 6x3—24x + 16, т.-е. именно данное выше уравненіе.

О правилѣ Бомбелли сводить рѣшеніе биквадратнаго уравненія къ кубическому.

204. Выше уже показано, какъ можно рѣшать кубическія уравненія съ помощью правила Кардана. Поэтому при переходѣ къ биквадратнымъ уравненіямъ является существенный вопросъ, нельзя ли рѣшеніе этихъ послѣд

нихъ свести къ кубическимъ уравненіямъ. Въ такомъ случаѣ безъ помощи кубическихъ уравненій невозможно общее рѣшеніе биквадратныхъ уравненій; точно такъ же въ этомъ случаѣ, если бы былъ найденъ одинъ корень,, то остальные корни были бы даны кубическимъ уравненіемъ. Равнымъ образомъ отсюда же вытекало бы, что рѣшеніе уравненій высшихъ степеней предполагаетъ рѣшеніе всѣхъ остальныхъ уравненій низшихъ степеней.

205. Уже слишкомъ 100 лѣтъ тому назадъ итальянецъ, именемъ Бомбелли1), далъ на этотъ счетъ правило, которое мы изложимъ въ этой главѣ.

Пусть дано общее биквадратное уравненіе

гдѣ буквы а, b, с, d могутъ означать всякія, но только дѣйствительныя числа. Затѣмъ предположимъ, что это уравненіе тождественно со слѣдующимъ:

въ которомъ необходимо буквы р, q, r опредѣлить такъ, чтобы получилось именно данное уравненіе. Возвысимъ въ степень и расположимъ затѣмъ члены этого послѣдняго уравненія въ принятомъ порядкѣ. Получится:

Два первыхъ члена здѣсь одинаковы съ соотвѣтствующими членами даннаго уравненія. Для третьяго члена необходимо положить 1/4 a2 + 2р— q2 = b, откуда q2 = 1/4а2 + 2р— b. Для четвертаго члена будетъ ар — 2qr = с, откуда 2qr = ар — с, для послѣдняго члена: p2 — r2 = d, откуда r2 = р2— d. Изъ этихъ трехъ уравненій мы должны теперь опредѣлить количества р, q и r.

206. Чтобы достигнуть этого легчайшимъ путемъ, беремъ учетверенное первое уравненіе, т.-е. 4q2 = а2 + 8р—4b, и умножаемъ его на послѣднее, т.-е. на r2 = р2— d. Получается

Возвышеніе въ квадратъ второго уравненія даетъ:

1) Бомбелли родился въ 1530 г. Время смерти неизвѣстно. Сочиненіе его по алгебрѣ появилось въ 1589 году. Алгебра Эйлера, отрывки изъ которой мы даемъ здѣсь, появилась въ 1770 году въ Петербургѣ на нѣмецкомъ языкѣ, такъ что Эйлеръ былъ бы ближе къ истинѣ, сказавъ «около 200 лѣтъ назадъ».

Итакъ, мы имѣемъ два выраженія для 4q2r2, которыя, приравненныя другъ другу, даютъ уравненіе:

или, перенося всѣ члены въ первую часть, получимъ

т.-е. кубическое уравненіе, изъ котораго въ каждомъ случаѣ значеніе р опредѣляется по правиламъ, даннымъ раньше.

207. Такимъ образомъ, по даннымъ числамъ а, b, с, d находятся три значенія неизвѣстнаго р. Достаточно, впрочемъ, имѣть только одно такое значеніе, чтобы тотчасъ получить и два остальныхъ количества q и r. Въ самомъ дѣлѣ, изъ перваго уравненія слѣдуетъ, что

а изъ второго:

Но если найдены эти три количества (р, q и r), то всѣ четыре корня даннаго уравненія могутъ быть опредѣлены слѣдующимъ образомъ.

Такъ какъ данное уравненіе мы представили въ формѣ

и извлеченіе квадратнаго корня даетъ

или точно такъ же

Первое изъ этихъ уравненій даетъ x2 — (q— 1/2а)x—р + r, откуда получаются два корня даннаго уравненія. Два остальныхъ корня получаются изъ второго уравненія:

208. Для поясненія этого правила на примѣрѣ пусть дано уравненіе

Сравненіе его съ нашей общей формулой даетъ а = —10, b = 35, с = —50, d = 24. Отсюда для опредѣленія р получается уравненіе

которое по дѣленіи на 4 сводится къ

Дѣлители послѣдняго члена суть 1, 5, 7, 11 и т. д., изъ которыхъ 1 не подходитъ. Полагая же р = 5, находимъ

250—875 + 1010 — 385 = 0. Слѣдовательно, p = 5. Полагая далѣе р = 7, находимъ 686 — 1715 + 1414 — 385 = 0. Такъ что р = 7 есть второй корень. Чтобы найти третій корень, раздѣлимъ данное уравненіе на 2, получимъ

и такъ какъ коэффиціентъ при второмъ членѣ равенъ суммѣ всѣхъ трехъ корней уравненія, а сумма двухъ первыхъ корней = 12, то третій корень долженъ быть равенъ Итакъ, мы имѣемъ всѣ три корня. Впрочемъ, достаточно было бы знать только одинъ изъ нихъ, такъ какъ изъ каждаго одного такого корня должны получиться всѣ четыре корня нашего биквадратнаго уравненія.

209. Чтобы найти ихъ, положимъ сначала p = 5. Отсюда

по предыдущему

Такъ какъ получается неопредѣленность (для г), то беремъ третье уравненіе r2 = р2 —d = 25—24 = 1. Значитъ, r = 1. Отсюда наши оба квадратныя уравненія получаются въ видѣ:

Первое даетъ два корня:

Второе же даетъ

Но предположимъ, что р = 7. Тогда

Отсюда слѣдуютъ два квадратныхъ уравненія:

Первое изъ нихъ даетъ

Второе даетъ

Получаются, значитъ, какъ разъ тѣ 4 корня, ко

торые уже найдены раньше. Точно то же получится изъ третьяго значенія р = 11/2.

Въ этомъ случаѣ

, Отсюда квадратныя уравненія будутъ

Изъ перваго слѣдуетъ х = 3 √1, т.-е. x = 4 и x = 2; изъ второго x = 2 + √1, т.-е. х = 3 и x = 1. Получаются опять уже найденные 4 корня.

210. Пусть далѣе дано уравненіе x4—16x—12 = 0, въ которомъ а = 0, b = 0, с = —16, d = —12. Значитъ, наше кубическое уравненіе будетъ

Это уравненіе будетъ еще проще, если положить p = 2t. Получится 8t3 + 24t—32 = 0, или t2 + 3t — 4 = 0. Дѣлители послѣдняго члена суть 1, 2, 4. Изъ нихъ t = 1 есть корень. Поэтому p = 2, затѣмъ q = √4 = 2 и r = 16/4. Отсюда оба квадратныя уравненія будутъ:

Значитъ, корни даннаго уравненія будутъ

Новое рѣшеніе биквадратныхъ уравненій.

212. Хотя биквадратныя уравненія рѣшаются съ помощью кубическаго посредствомъ вышеизложеннаго правила Бомбелли, существуетъ, однако, помимо него другой путь, чтобы достигнуть такого рѣшенія. Путь этотъ совершенно отличенъ отъ предыдущаго и заслуживаетъ особаго разсмотрѣнія.

213. Предположимъ, что корень биквадратнаго уравненія имѣетъ такой видъ:

гдѣ количества р, q и r, въ свою очередь, представляютъ корни такого кубическаго уравненія:

Предположивъ это, возведемъ въ квадратъ данную форму корня

получится

Такъ какъ

Беремъ снова квадратъ этого выраженія и получаемъ

Такъ какъ

значитъ, мы приходимъ къ такому биквадратному уравненію:

въ которомъ корень х = √р + √q + √r, а количества р, q, r, въ свою очередь, суть корни даннаго выше кубическаго уравненія:

214. Полученное только выше биквадратное уравненіе можетъ быть разсматриваемо, какъ общее, хотя въ немъ и нѣтъ второго члена съ x2. Ибо, какъ покажемъ потомъ, всякое полное биквадратное уравненіе можетъ быть преобразовано въ такое, въ которомъ будетъ отсутствовать второй членъ.

Итакъ, пусть дано уравненіе x4— ах2— bх— с = 0, и нужно найти его корни. Сравнимъ его съ выше найденной формой уравненія, чтобы опредѣлить количества f, g и h. Получается:

слѣдовательно,

215. Послѣ того, какъ изъ даннаго уравненія x4 — ах2— bх— с = 0 найдены количества f, g и h, а именно:

составляемъ кубическое уравненіе

три корня котораго нужно найти по предыдущимъ правиламъ. Въ данномъ случаѣ эти корни будутъ: 1) z = p, II) z = q, III) z = r. Изъ нихъ, какъ только они будутъ опредѣлены, вытекаетъ и корень нашего биквадратнаго уравненія

216. Изъ послѣдняго выраженія, казалось бы, опредѣляется только одинъ корень нашего уравненія. Но такъ какъ всякій квадратный корень можетъ быть какъ положительнымъ, такъ и отрицательнымъ, то въ этой формѣ содержатся всѣ четыре корня.

Чередованіе всѣхъ знаковъ даетъ, однако, 8 различныхъ значеній для x, изъ которыхъ для насъ имѣютъ значеніе только 4. Но слѣдуетъ имѣть въ виду, что произведеніе этихъ трехъ членовъ, т.-е. √pqr, должно быть равно

Поэтому, если 1/8 b положительно, то и произведеніе составляющихъ его множителей должно быть положительно и въ этомъ случаѣ могутъ имѣть мѣсто только четыре такихъ комбинаціи:

Если же 1/8b отрицательно, то 4 значенія x таковы:

Руководствуясь этимъ замѣчаніемъ, можно всегда опредѣлить всѣ четыре корня, какъ это будетъ видно изъ слѣдующаго примѣра.

217. Пусть дано биквадратное уравненіе, въ которомъ нѣтъ второго члена:

Сравненіе съ данной выше формулой даетъ

откуда слѣдуетъ далѣе:

Слѣдовательно, наше кубическое уравненіе будетъ:

Чтобы уничтожить въ немъ дроби, положимъ z = получится

что, умноженное на 64, даетъ уравненіе

три корня котораго надо найти. Одинъ изъ корней есть u = 9. Для нахожденія же остальныхъ дѣлимъ u3—50u2 + 769u—3600 на и— 9, послѣ чего получается уравненіе

изъ котораго находимъ, что

Итакъ, искомые корни суть u = 9, u = 16, u = 25, поэтому

Таковы, слѣдовательно, значенія р, q и r, т.-е.

Такъ какъ, съ другой стороны,

и это значеніе, равное

отрицательно, то необходимо знаки корней брать соотвѣтственнымъ образомъ, именно такъ, чтобы входилъ только одинъ знакъ минусъ или были бы всѣ три минуса. Такъ какъ далѣе

то четыре корня даннаго уравненія будутъ:

Если составить уравненіе изъ 4-хъ множителей

изъ которыхъ произведеніе первыхъ двухъ даетъ x2—3x + 2, а произведеніе двухъ послѣднихъ равно x2 + 3x —18, то, перемноживъ, въ свою очередь, эти произведенія, получимъ какъ разъ наше данное уравненіе.

218. Остается еще показать, какъ биквадратное уравненіе, въ которое входитъ второй членъ, можетъ быть преобразовано въ такое, въ которомъ этого второго члена нѣтъ. Для этого служитъ такое правило.

Пусть дано общее уравненіе

Прибавимъ здѣсь къ у четверть коэффиціента при второмъ членѣ и обозначимъ полученное количество новой буквой x, откуда

Значитъ,

наконецъ:

Какъ видимъ, въ полученномъ уравненіи второго члена нѣтъ, слѣдовательно, къ нему можно примѣнить данное правило и опредѣлить четыре корня для x. Изъ этихъ корней тотчасъ получаются четыре значенія для у, такъ какъ y = x — 1/4a.

219. До этой степени, т.-е. до уравненій четвертой степени, достигли по настоящее время въ рѣшеніи алгебраическихъ уравненій. Всѣ усилія разрѣшить уравненія пятой и высшихъ степеней подобнымъ же путемъ, или хотя свести ихъ на рѣшеніе уравненій низшихъ степеней, оказались безплодными. Такъ что нельзя дать общее правило, позволяющее находить корни уравненій высшихъ степеней1).

Все, что сдѣлано въ этомъ отношеніи, сводится только къ отдѣльнымъ случаямъ, когда имѣетъ мѣсто какой-нибудь раціональный корень, который нетрудно найти путемъ пробъ, такъ какъ извѣстно, что такой корень будетъ всегда дѣлителемъ послѣдняго члена и въ такомъ случаѣ нужно поступать такъ, какъ это было нами указано въ уравненіяхъ третьей и четвертой степени.

220. Не безполезно будетъ данныя правила приложить къ уравненію, корни котораго не раціональны.

Пусть такое уравненіе будетъ

Здѣсь прежде всего нужно устранить второй членъ. Для этого прибавимъ къ корню у четвертую часть коэффиціента при второмъ членѣ, — получается у — 2 = х, такъ что у = х + 2 и y2 = x2 + 4x + 4; y3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 и затѣмъ имѣемъ:

Сравненіе полученнаго уравненія съ нашей общей формой даетъ а = 10, b = 4, с = — 8. Отсюда получаемъ, что

Слѣдовательно, мы видимъ,

1) Читатель уже знаетъ (см. стр. 7 хрестоматіи), что въ первой половинѣ XIX столѣтія норвежскій ученый Абель доказалъ невозможность рѣшенія въ радикалахъ уравненій выше четвертой степени.

что произведеніе √pqr будетъ положительно. Кубическое же уравненіе для даннаго случая будетъ

Требуется отыскать три корня этого уравненія р, q, r.

221. Прежде всего нужно здѣсь устранить дроби. Съ этой цѣлью положимъ z = u/2. Получается

Умноженіе этого уравненія на 8 даетъ уравненіе

корни котораго всѣ положительны. Такъ какъ дѣлители послѣдняго числа суть 1 и 2, то пусть сначала u = 1. Получается 1 — 10 + 17 — 2 = 6, т.-е. не нуль. Полагая u = 2, находимъ 8 — 40 + 34 — 2 = 0, т.-е. 2 удовлетворяетъ уравненію. Итакъ, одинъ корень уравненія есть u = 2. Чтобы найти остальные корни, дѣлимъ данное уравненіе на и—2, какъ ниже:

Полагаемъ u2 — 8u + 1 = 0, или u2 = 8u — 1, откуда находимъ, что два остальныхъ корня будутъ u = 4 + √15. Такъ какъ z = u/2, то для трехъ корней кубическаго уравненія имѣемъ:

222. р, q и r извѣстны, квадратные же ихъ корни будутъ:

Извѣстно, что квадратный корень вида √a + √b, если √а2— b = с, можетъ быть представленъ такъ:

Въ нашемъ случаѣ а = 8 и √b = 2√15, т.-е. b = 60; слѣдовательно, с = 2. Отсюда слѣдуетъ, что

Такимъ образомъ мы нашли, что

Такъ какъ произведеніе √pqr должно быть положительнымъ, то четыре корня х будутъ имѣть слѣдующій видъ:

Такъ какъ въ данномъ уравненіи мы предположили, что y = x + 2, то искомые четыре корня будутъ:

О рѣшеніи уравненій по приближенію.

(Глава XV изъ книги: Начальныя основанія чистой математики, сочиненныя Николаемъ Фуссомъ. Часть I, содержащая начальныя основанія алгебры, извлеченныя изъ основаній сея науки знаменитаго Эйлера и нынѣ вновь изданныя отъ главнаго правленія училищъ въ С.-Петербургѣ при Императорской Академіи Наукъ, 1810 года).

§ 443. Когда корни уравненія не суть извлекомые, то, хотя бы могли они быть выражены коренными знаками, или бы не могли быть выражены оными, какъ случается въ смѣшанныхъ уравненіяхъ выше четвертой степени, въ обоихъ случаяхъ должно довольствоваться опредѣленіемъ корней по приближенію, т.-е. такимъ способомъ, посредствомъ котораго приближаемся болѣе и болѣе къ истинной величинѣ, пока погрѣшность можно будетъ почесть за нуль. Сіи способы различны и слѣдующій есть одинъ изъ самыхъ простѣйшихъ.

§ 434. Положимъ, что посредствомъ испытанія почти уже опредѣленъ корень х предложеннаго уравненія. Пусть будетъ, напр., x > 4 и x < 5; положи х = 4 + р, тогда мы увѣрены, что р изображаетъ дробь, которая меньше единицы, и изъ сего слѣдуетъ, что p2, p2, p4 и проч. будутъ дроби еще гораздо меньшія въ разсужденіи единицы. Поелику дѣло настоитъ токмо въ приближеніи, то можно выпустить всѣ сіи степени изъ вычисленія. Итакъ, поставь въ предложенномъ уравненіи вмѣсто х величину 4 + р, отбрасывая всѣ степени отъ р, кромѣ первой; симъ образомъ дробь р почти опредѣлится и корень х = 4 + р будетъ уже точнѣе извѣстенъ. Потомъ положи опять х равнымъ сему послѣднему корню, увеличенному на не большую дробь р и, опредѣливъ р выше сказаннымъ образомъ, дойдемъ до величины еще вѣрнѣйшей. Симъ образомъ продолжать должно до тѣхъ поръ, пока не приближимся къ истинному корню столько, сколько надобно будетъ.

§ 435. Дабы изъяснить способъ сей легкимъ примѣромъ, то станемъ посредствомъ онаго искать корень уравненія xx = 20. Здѣсь видно, что x > 4 и x < 5; слѣдовательно, положивъ x = 4 + р, будетъ xx = 16 + 8p + pp = 20. Но поелику рр есть дробь весьма малая, то отбросимъ сей членъ, дабы имѣть хх = 16 + 8р = 20, оттуда сыщется р = 1/2 и, слѣдовательно, x = 9/2. Положимъ теперь x = 9/2 + p; явно, что р будетъ дробь еще менѣе, нежели какая была

прежде, и потому уже съ большею основательностью можно отбросить ея квадратъ. Посему будемъ имѣть xx = 81/4 + 9p = 20, откуда сыщется p = -1/36, а потомъ x = 161/36. Если бы желали приближиться еще болѣе, то положивъ x = 161/36 + p, имѣли бы

что даетъ

Но х = √20, и обыкновенной способъ приближаться къ корню посредствомъ извлеченія также даетъ x = 4,47213595; откуда видно, что погрѣшность сего новаго приближенія уже безъ сомнѣнія менѣе нежели

§ 436. Предложенное теперь нами приведемъ въ большую всеобщность, положивъ, что данное уравненіе есть xx = а, и что напередъ уже извѣстно, что x болѣе и, а менѣе n + 1. Ежели по сему мы положимъ х = n + р такъ, чтобы р была дробь, и чтобы рр можно было отбросить, какъ количество весьма малое, то получимъ

посему

и, слѣдовательно,

Но если n близко уже подходитъ къ истинной величинѣ, то сія новая величина

еще болѣе къ оной приближится. Итакъ, поставя ее вмѣсто n, будетъ новая величина еще ближайшая, которую можно опять поставить, дабы еще ближе къ ней подойти; сіе дѣйствіе производить можно дотолѣ, доколѣ заблагоразсудится.

§ 437. Положимъ, напр., а = 2, такъ что xx = 2, и пусть требуется корень квадратной изъ 2; когда извѣстна его величина довольно близкая и, когда выразишь ее чрезъ n, то найдется еще ближайшая величина корня, выраженная чрезъ mn + 2/2n. Итакъ, пусть:

Сія послѣдняя величина даетъ въ десятичныхъ дробяхъ х = 1,414215, которая съ лишкомъ еще велика, но искомый корень превосходитъ менѣе нежели какъ частями.

§ 438. Такимъ же образомъ можно поступать при сысканіи корней кубическихъ, биквадратныхъ и проч. Пусть дано уравненіе x3 = а, и должно сыскать ∛a. Полагая извѣстнымъ, что сей корень почти = n, положи х = n + р, и не принимая p2 и p3, будетъ x3 — n3 + 3ппр = а, посему р =

и, слѣдовательно,

Итакъ, если n число весьма близко къ

то сія величина будетъ гораздо къ оному ближе. Но для большей точности надлежитъ вмѣсто n поставить сію новую величину х и т. д.

§ 439. Пусть, напр., x3 = 2 и требуется сыскать ∛2. Когда n близко подходитъ къ истинному числу, то формула

выразитъ сіе число еще точнѣе. Такимъ образомъ, полагая

гдѣ погрѣшность при взятіи послѣдней величины безъ сомнѣнія будетъ менѣе 2/100000.

§ 440. Сей способъ употребляется съ равнымъ успѣхомъ для сысканія корней по приближенію смѣшанныхъ уравненій, какой бы то ни было степени. Пусть дано, напр., уравненіе третьей степени:

Положимъ, что n величина довольно близкая къ одному изъ его корней и что погрѣшность есть избыточная. Ежели мы положимъ х = n—р, то р будетъ дробь, коея степени можно отбросить, такъ что уравненіе обратится въ

посредствомъ котораго найдется величина:

Сія величина, которая уже точнѣе первой, поставлена будучи вмѣсто n въ выраженіе x, даетъ еще точнѣйшую величину для сего корня.

Приложимъ сей способъ къ нѣкоторымъ случаямъ численныхъ смѣшанныхъ уравненій различныхъ степеней, дабы лучше показать употребленіе и пользу онаго.

§ 441. Примѣръ I. Сыскать по приближенію одинъ изъ корней уравненія третьей степени:

Поелику въ семъ уравненіи величина х = 3 нарочито удовлетворяетъ, то, положивъ х = 3 —р и отбрасывая степени р, кои превосходятъ первую, получимъ:

слѣдовательно,

откуда выдетъ p = 1/41 и, слѣдовательно,

Сыскавъ сію величину, посредствомъ логариѳмъ удобно найдется

Итакъ будетъ:

величина, которая истинную не болѣе превышаетъ какъ на 66/10000.

§ 442. Примѣръ II. Сыскать по приближенію одинъ изъ корней уравненія четвертой степени:

Величина x = 2 весьма близка къ одному изъ корней сего уравненія. Итакъ, положимъ x = 2 + p, и получимъ

Соединяя сіи члены, произойдетъ уравненіе:

которое показываетъ намъ, что р = — 1/21, посему

Опредѣливъ x, удобно сыщется

и потому

что превосходитъ истинную величину на 355/10000.

Если пожелаемъ имѣть величину ближайшую, то положимъ x = 1,9524—р, и дѣйствуя по прежнему, найдемъ

такъ что

гдѣ, слѣдовательно, погрѣшность не болѣе какъ на

§ 443. Примѣръ III. Сыскать по приближенію корень уравненія пятой степени:

Поелику сему уравненію почти удовлетворяетъ величина x = 1/2, то положимъ x = 1/2 + p, и мы будемъ имѣть:

Соединивъ сіи члены, мы получимъ:

и, слѣдовательно,

И такъ будетъ

и, слѣдовательно,

что превосходитъ истинную величину только на

§ 444. Примѣръ IV. Сыскать по приближенію одинъ изъ корней уравненія шестой степени:

Сему уравненію почти удовлетворяетъ величина x = 3; посему положимъ x = 3 + р и будетъ

слѣдовательно,

откуда выдетъ

гдѣ погрѣшность не болѣе какъ на

§ 445. Кромѣ сего способа опредѣлить по приближенію корни уравненій, изобрѣтены еще и другіе, но сей теперь нами предложенный заслуживаетъ по нашей цѣли преимущество, потому что оный, какъ мы видѣли, прилагается съ успѣхомъ къ уравненіямъ всякаго рода, и что употребляемыя въ семъ способѣ вычисленія не велики и не трудны.

Начальное изученіе логариѳмовъ.

Огромное значеніе логариѳмовъ для числовыхъ вычисленій состоитъ въ томъ, что они позволяютъ замѣнять умноженіе дѣйствіемъ сложенія. Отсюда, какъ непосредственное слѣдствіе, вытекаетъ возможность замѣны другихъ дѣйствій: дѣленія—вычитаніемъ, возвышенія въ степень — умноженіемъ, извлеченія корня — дѣленіемъ, чѣмъ достигается громадная экономія времени и работы.

Чтобы умѣть обращаться съ логариѳмами и быстро съ ихъ помощью вычислять, не требуется знать ихъ строго научную теорію. Это подтверждается, прежде всего, исторіей математики и, въ частности, самихъ логариѳмовъ. Первые логариѳмы, предложенные Нэперомъ (Napier, 1550—1617 гг.), не были показателями степеней одного и того же числа (основанія), т.-е. не были логариѳмами въ томъ смыслѣ, какой наука теперь придаетъ этому термину. Это были просто числа, замѣнявшія данныя для вычисленій числа такимъ образомъ, что позволяли значительно сокращать требуемыя вычисленія.

Исторія математики даетъ множество подобныхъ же примѣровъ. Поразительно-блестящія открытія, сдѣланныя въ дифференціальномъ и интегральномъ исчисленіяхъ, покоились иногда на невѣрныхъ и, во всякомъ случаѣ, на весьма неточныхъ обоснованіяхъ. Ни Ньютонъ, ни Эйлеръ, ни Лагранжъ, ни Гауссъ не знали современнаго „введенія въ анализъ“.

Противорѣчія, къ которымъ въ теченіе почти двухъ столѣтій приводили иногда основы высшаго математическаго анализа, вызвали даже ядовитую остроту Ф. Энгельса, извѣстнаго товарища и друга Карла Маркса: „Математики интегрировали и дифференцировали вовсе не потому, что они понимали то, что дѣлали, а потому, что выходило вѣрно“1).

Поучительно отношеніе школы къ теоріи логариѳмовъ.

1) Ф. Энгельсъ. Происхожденіе семьи, собственности и государства.

Во Франціи, гдѣ программа математики въ средней школѣ значительно превосходитъ и по объему и по серьезности курсъ русскихъ гимназій и реальныхъ училищъ, ученики такъ и не узнаютъ, что логариѳмомъ даннаго числа называется показатель степени, въ которую нужно возвести другое число (основаніе), чтобы получить данное. И тѣмъ не менѣе, французскіе гимназисты и реалисты продѣлываютъ логариѳмическія вычисленія въ большемъ количествѣ и, главное, съ большею быстротою и умѣньемъ, чѣмъ наши или германскіе ученики, получающіе съ самаго начала точное опредѣленіе логариѳма.

Въ самомъ дѣлѣ, нельзя серьезно обосновать понятіе о логариѳмѣ, не установивъ предварительно понятія о непрерывности и условій однозначности показательной функціи; не слѣдуетъ голословно, или чисто „словесно", распространять на знакомые ученику лишь цѣлые или соизмѣримые показатели, свойства ирраціональныхъ чиселъ; нельзя, наконецъ, игнорировать многозначность корня и комплекснаго числа.

Съ другой стороны нельзя откладывать практически изученіе логариѳмовъ до той поры, когда общее математическое развитіе учащихся позволитъ имъ усвоить точное, научное обоснованіе теоріи логариѳмовъ. Это было бы равносильно полному исключенію отдѣла о логариѳмахъ изъ курса средней школы. И, кромѣ того, вышло бы похоже на совѣтъ—не начинать обыкновеннаго курса ариѳметики раньше, чѣмъ ученики не будутъ подготовлены къ слушанію ея систематическаго курса или, еще лучше, пока не усвоятъ основныхъ началъ „Теоріи чиселъ".

Но если въ средней школѣ нельзя дать строгой научно обоснованной теоріи логариѳмовъ, то изъ практическихъ системъ обученія логариѳмамъ нужно выбрать наиболѣе легкую и притомъ ведущую быстро и твердо къ конечной цѣли.

До сихъ поръ, да и съ самаго начала введенія отдѣла о логариѳмахъ въ курсъ средней школы, наиболѣе удачною была французская система. Первоначальное понятіе о логариѳмахъ выводится въ ней изъ сопоставленія двухъ прогрессій, при чемъ члены ариѳметической прогрессіи называютъ логариѳмами соотвѣтственныхъ членовъ геометрической. Изъ этого опредѣленія не трудно вывести основное правило логариѳмированія произведенія двухъ чиселъ.

Таковъ и теперь, въ громадномъ большинствѣ случаевъ, учебный планъ въ французской и итальянской школѣ. Новыя французскія программы 1902 года,—или точнѣе, правительстввенная инструкція къ нимъ,—пошли еще дальше. Онѣ разрѣшаютъ обходиться и безъ прогрессій, прямо

постулируя (т.-е. принимая безъ доказательства), что сумма логариѳмовъ двухъ положительныхъ чиселъ равна логариѳму произведенія этихъ же чиселъ и отсюда выводить правила логариѳмированія. Возможности же существованія такихъ чиселъ, т.-е. логариѳмовъ, разрѣшено „устанавливать“ очень просто, непосредственнымъ указаніемъ на фактъ существованія логариѳмическихъ таблицъ.

Одинъ изъ современныхъ русскихъ работниковъ по методикѣ математики, Б. А. Марковичъ, воспользовался указаніями новой французской программы и выработалъ легкій методическій планъ начальнаго обученія логариѳмической теоріи и практикѣ, дающій въ то же время твердую подготовку къ строгой теоріи логариѳмовъ.

Этотъ планъ съ любезнаго разрѣшенія автора мы здѣсь и изложимъ. Ограничимся однимъ лишь предварительнымъ замѣчаніемъ: отъ ученика, приступающаго къ усвоенію системы Б. А. Марковича, требуется лишь знаніе ариѳметическихъ дѣйствій надъ цѣлыми и дробными числами, и основныя начала элементарнаго курса алгебры, приблизительно, въ объемѣ третьяго класса мужскихъ гимназій и не больше, чѣмъ четвертаго.

Начальная теорія логариѳмическихъ вычисленій1).

ГЛАВА I.

Замѣна однихъ чиселъ другими. При ариѳметическихъ вычисленіяхъ нерѣдко одни числа временно замѣняются другими.

Вспомнимъ, напримѣръ, умноженіе десятичныхъ дробей. Пусть требуется умножить 2,71 на 1,5. По извѣстному ариѳметическому правилу мы сперва не обращаемъ вниманія на запятыя въ обоихъ множителяхъ. Это значитъ, что мы данныя дробныя числа замѣняемъ цѣлыми числами: 271 и 15. Отыскавъ произведеніе 4065 этихъ цѣлыхъ чиселъ, мы въ немъ отдѣляемъ запятою три цифры справа налѣво (вторая, обратная замѣна) и получаемъ истинное произведеніе данныхъ дробныхъ чиселъ 4,065.

Такимъ образомъ, умноженіе мы произвели косвенно, съ помощью замѣны дробныхъ чиселъ цѣлыми.

Подобныя замѣны дѣлаются при дѣленіи десятичныхъ дробей и въ другихъ еще случаяхъ.

1) Извлеченіе изъ рукописи, предназначенной для второго сокращеннаго изданія книги Б. А. Марковича «Начальные логариѳмы».

Логариѳмическая замѣна. Особенно важное значеніе имѣетъ „логариѳмическая замѣна“. Вмѣсто данныхъ чиселъ берутся другія, называемыя логариѳмами данныхъ.

Какъ изъ данныхъ чиселъ составляются ихъ логариѳмы, т.-е. какое соотношеніе существуетъ между даннымъ числомъ и его логариѳмомъ, мы объяснимъ впослѣдствіи. Теперь достаточно сказать, что составленіе логариѳмовъ есть дѣло очень сложное. Оно дѣлается заранѣе, и вычисленные логариѳмы помѣщаются въ таблицахъ, которыя носятъ названіе логариѳмическихъ. Этими таблицами и пользуются при вычисленіяхъ.

Логариѳмъ обозначается символомъ log1); такъ, напр., log 2 читаютъ: „логариѳмъ числа 2“ или, просто: „логариѳмъ двухъ“; log 5/16: „логариѳмъ пяти шестнадцатыхъ“, log ∛7 „логариѳмъ кубическаго корня изъ семи“ и т. д.

Мы сначала будемъ пользоваться таблицею простѣйшихъ (трехзначныхъ) логариѳмовъ цѣлыхъ чиселъ отъ 1 до 100. (См. стр. 140).

Въ узкихъ столбцахъ таблицы послѣдовательно помѣщены цѣлыя числа отъ 1 до 100 (надъ этими столбцами и подъ ними поставлена крупнымъ шрифтомъ буква Ч); рядомъ и направо, въ широкихъ колоннахъ — логариѳмы этихъ чиселъ (сверху и снизу этихъ колоннъ—буквы Лог.).

Такимъ образомъ, log 2 = 0,301; log 3 = 0,477.

Сложимъ эти числа. Получимъ:

Читаемъ слѣдующія дроби (логариѳмы) въ первой колоннѣ и черезъ три строки находимъ, что 0,778 стоитъ рядомъ съ числомъ 6 и направо отъ него; это значитъ, что 0,778 = log 6.

Поэтому мы имѣемъ:

Или: сумма логариѳмовъ чиселъ 2 и 3 равна логариѳму произведенія этихъ же двухъ чиселъ.

Сложимъ теперь тотъ же log 2 = 0,301 съ log 6 = 0,778; получимъ 1,079. Опять посмотримъ на широкую колонну логариѳмовъ: нѣсколькими строками ниже увидимъ число 1,079, стоящее рядомъ съ числомъ 12 узкаго столбца и направо отъ него; значитъ, 1,079 = log 12, т.-е. имѣемъ:

1) Видоизмѣненія этого символа будутъ указаны, когда въ нихъ явится надобность.

Трехзначные логариѳмы.

Получимъ log 12 еще другимъ образомъ:

Также удостовѣримся, что:

Основное свойство логариѳмовъ.

Изъ всѣхъ предыдущихъ примѣровъ слѣдуетъ, что если сложить логариѳмы двухъ чиселъ, то получится число, ровное логариѳму произведенія тѣхъ же чиселъ.

Вообще, если мы имѣемъ два ариѳметическихъ числа а и b, то:

(I)

Т.-е. сумма логариѳмовъ двухъ ариѳметическихъ чиселъ равна логариѳму произведенія этихъ чиселъ.

Это замѣчательное соотношеніе мы примемъ какъ фактъ, даваемый нашею таблицею (стр. 140). Онъ получается изъ всѣхъ другихъ логариѳмическихъ таблицъ1). Но скоро мы его докажемъ, т.-е. выведемъ, исходя изъ нѣкоторыхъ основныхъ опредѣленій, что иначе и быть не можетъ: сумма логариѳмовъ двухъ ариѳметическихъ чиселъ должна равняться логариѳму ихъ произведенія.

Основное свойство логариѳмовъ (I) позволяетъ опредѣлить ихъ такъ.

Логариѳмы сутъ числа, способныя замѣнять ариѳметическія числа такимъ образомъ, что сумма логариѳмовъ двухъ чиселъ равна логариѳму произведенія этихъ чиселъ.

Основное свойство логариѳмовъ позволяетъ замѣнять умноженіе чиселъ сложеніемъ, какъ это мы уже видѣли на примѣрахъ (стр. 139) при знакомствѣ съ таблицей.

1) Иногда, хотя очень рѣдко, таблицы даютъ кажущіяся мелкія отступленія. Такъ, напр., по нашей таблицѣ log 3 = 0,477 и log 17 = 1,230, а log 51 = 1,708, т.-е. на 0,001 больше, чѣмъ (log 3 + log 17).

Дѣло въ томъ, что логариѳмы вообще числа несоизмѣримыя, и въ таблицахъ помѣщаются лишь приближенныя ихъ значенія, вычисленныя съ извѣстною степенью точности; въ нашей таблицѣ до 0,001 или, вѣрнѣе, до : при этомъ, по общему правилу, берутъ эти значенія «съ недостаткомъ», когда слѣдующая цифра (въ нашемъ случаѣ—четвертая) была бы меньше, чѣмъ 5, и «съ избыткомъ», т.-е. цифра тысячныхъ увеличивается на единицу, когда четвертый десятичный знакъ больше, чѣмъ 5. Поэтому можетъ случиться, что логариѳмы двухъ чиселъ взяты каждый съ недостаткомъ, а логариѳмъ ихъ произведенія — съ избыткомъ.

Дѣйствительно, если возьмемъ пятизначную таблицу, то въ ней log 3 = 0,47712, а log 17 = 1.23045; сумма ихъ равна 1,70757. Совершенно такое же число даетъ пятизначная таблица для log 51. Если же ограничиться тремя знаками, то получимъ соотвѣтственныя числа трехзначной таблицы, но съ «усиленною» послѣднею цифрою для log 51.

Правда, при этомъ приходится отыскивать логариѳмы данныхъ чиселъ, а затѣмъ, получивъ сумму логариѳмовъ, обратно переходить къ числамъ, т.-е. по полученному лолариѳму отыскивать соотвѣтствующее ему число. Но, при небольшой даже практикѣ съ таблицами, эти прибавочныя дѣйствія совершаются очень легко и быстро.

Между тѣмъ, ходъ вычисленій одинаковъ какъ для маленькихъ, такъ и для большихъ чиселъ, и косвенное умноженіе большихъ чиселъ (путемъ сложенія ихъ логариѳмовъ) производится гораздо быстрѣе, чѣмъ непосредственное умноженіе1).

Главныя свойства логариѳмовъ.

Основное свойство логариѳмовъ обыкновенно выражается формулою:

(1)

Изъ нея вытекаетъ цѣлый рядъ другихъ важныхъ свойствъ.

а) Логариѳмъ произведенія равенъ суммѣ логариѳмовъ его множителей.

(II)

Док. Разсмотримъ сначала произведеніе 3-хъ множителей: abc.

Произведеніе ab можно временно обозначить черезъ р; тогда аЪс = р . с.

Принимая за очевидное, что равнымъ числамъ (abc и рс) соотвѣтствуютъ и равные логариѳмы, можно написать:

(*)

Но

(I)

Подставивъ эти значенія въ равенство (*), получимъ:

Точно такъ же можно доказать, что формула вѣрна для 4, 5, 6 и вообще для какого угодно числа множителей.

1) Это замѣчаніе служитъ первымъ отвѣтомъ на вопросъ, который является у всѣхъ почти начинающихъ: «умножать совсѣмъ не трудно—зачѣмъ же вводить логариѳмы»? Полный отвѣтъ получится, когда начинающій нѣсколько освоится съ практикою логариѳмовъ.

b) Логариѳмъ дроби равенъ разности логариѳмовъ ея числителя и знаменателя.

Обозначимъ дробь a/b черезъ q. Тогда мы будемъ имѣть:

Примѣнивъ формулу (I), получимъ:

откуда:

(II)

Это свойство равнозначительно слѣдующему: логариѳмъ частнаго равенъ разности логариѳмовъ дѣлимаго и дѣлителя.

Итакъ, ариѳметическое дѣленіе можно свести къ вычитанію.

Примѣръ. Вычислить

Въ таблицѣ находимъ: log 12 = 1,079, log 3 = 0,477.

Взявъ разность этихъ чиселъ, получимъ: 0,602 = log 4, т.-е. тотъ результатъ, который и нужно было получить.

Когда знаменатель дроби больше ея числителя, то для логариѳма дроби получается отрицательное число.

Отсюда мы видимъ, что логариѳмы ариѳметическихъ чиселъ (абсолютныхъ) являются алгебраическими числами, которыя могутъ быть положительными и отрицательными.

Формула II показываетъ, почему логариѳмъ единицы долженъ равняться нулю. (См. таблицу, стр. 140.).

Док. Единицу можно представить въ видѣ дроби гдѣ а есть произвольное число.

По формулѣ II

с) Логариѳмъ цѣлой степени равенъ логариѳму ея основанія, умноженному на показатель степени-.

(III)

Док.: an есть произведеніе n равныхъ множителей; поэтому, на основаніи формулы (II):

или

Нужно всегда писать n.loga, т.-е. такъ, чтобы множитель n стоялъ передъ знакомъ log. Такая привычка страхуетъ начинающаго отъ путаницы между nloga и loga п: послѣднее то и дѣло принимается за logan; напр., 21og10 за log 10.2 или log20. Между тѣмъ 2log10 = 2.1 = 2, а log20 = 1,301.

Примѣры. 1) Опредѣлить:

2) Найти

Но таблицѣ:

d) Логариѳмъ корня равенъ логариѳму подкоренного числа, дѣленному на показатель корня:

(IV)

Док.: Пусть

откуда:

Нужно всегда писать:

во избѣжаніе возможной путаницы между

напримѣръ, между

Первый равенъ

второй =

Примѣры. 1) Вычислить:

По таблицѣ:

Логариѳмическія формулы I—IV даютъ возможность замѣнять: 1) умноженіе (чиселъ) сложеніемъ (ихъ логариѳмовъ), 2) дѣленіе—вычитаніемъ (II), возвышеніе въ степень— умноженіемъ (III) и 4) извлеченіе корня — дѣленіемъ (IV).

Прежде, чѣмъ перейти къ тѣмъ сложнымъ вычисленіямъ, для которыхъ придуманы логариѳмы, мы должны еще ознакомиться съ особенными или „частными" свойствами логариѳмовъ, простѣйшіе образцы которыхъ даны были въ

таблицѣ (стр. 140). Сама по себѣ эта таблица не служитъ для вычисленій. Цѣль ея—дать возможность начинающимъ освоиться на легчайшихъ примѣрахъ, съ основными правилами логариѳмированія.

ГЛАВА II.

Множественность логариѳмическихъ системъ.

Если помножить всѣ логариѳмы таблицы (стр. 140) на одно и то же число M, то получится новая таблица: въ столбцахъ (Ч) останутся прежнія числа (отъ 1 до 100), а въ столбцахъ (Лог.) будутъ новыя.

Для простоты умноженія возьмемъ M = 10. Тогда:

Только log 1 = 0 не измѣнится, потому что нуль, помноженный на М останется нулемъ. Такъ оно должно быть и по формулѣ II, стр. 142.

Покажемъ, что новыя числа, напр., (3,01), (4,77), (7,78) также могутъ служить логариѳмами для соотвѣтственныхъ прежнихъ чиселъ (столбца Ч.): 2, 3 и 6.

Дѣйствительно, изъ новой таблицы видно, что:

т.-е. новыя числа удовлетворяютъ формулѣ (I).

Можно, слѣдовательно, считать 3,01 логариѳмомъ числа 2; 4,77 — логариѳмомъ числа 3; 7,78 — логариѳмомъ числа 2.3 = 6. Обозначивъ новые логариѳмы, въ отличіе отъ прежнихъ, символомъ Log, получимъ:

Логариѳмы, помѣщенные въ одной и той же таблицѣ, принадлежатъ одной и той же системѣ логариѳмовъ. Помножая логариѳмы какой-нибудь системы на постоянное число, получаемъ другую логариѳмическую систему; слѣдовательно, число логариѳмическихъ системъ не ограничено.

Основанія логариѳмическихъ системъ.

Каждая логариѳмическая система характеризуется однимъ числомъ, логариѳмъ котораго равенъ положительной единицѣ.

Такое число называется основаніемъ системы; въ таблицѣ (стр. 140) log10 = 1, поэтому основаніе этой таблицы, т.-е. всѣхъ логариѳмовъ этой системы, есть число 10.

Отсюда понятно, почему логариѳмы таблицы (стр. 140) названы десятичными; ихъ также называютъ обыкновенными, такъ какъ въ практическихъ вычисленіяхъ пользуются ими почти исключительно.

Въ старыхъ книгахъ ихъ называютъ еще «Бригговыми», по имени шотландскаго профессора Бриггза (Briggs), который въ 1710 году составилъ первую таблицу десятичныхъ логариѳмовъ.

Чтобы отличать логариѳмы другихъ системъ отъ обыкновенныхъ, ставятъ при символѣ log (направо и книзу) указатель ихъ основанія. Такъ, log28 означаетъ логариѳмъ, принадлежащій системѣ, основаніе которой равно 2, или, короче: это логариѳмъ восьми при основаніи 2.

Обыкновенные логариѳмы мы будемъ означать символомъ log безъ указателя основанія.

Свойства (I—IV) принадлежатъ логариѳмамъ всѣхъ системъ и называются общими свойствами логариѳмовъ.

Логариѳмы каждой системы обладаютъ, сверхъ того, особыми свойствами, зависящими отъ ихъ основаній.

Такъ, напр., отличительныя свойства десятичныхъ логариѳмовъ вытекаютъ изъ основного условія:

ГЛАВА III.

Десятичные логариѳмы.

а) Десятичный логариѳмъ цѣлаго числа, состоящаго изъ единицы съ нулями, есть цѣлое число, равное числу нулей даннаго.

Такъ, напримѣръ,

Док. Число А, состоящее изъ единицы съ n нулями, равно 10n; поэтому:

b) Десятичный логариѳмъ десятичной дроби, у которой одна только значащая цифра—единица, равенъ отрицательному цѣлому числу, содержащему столько единицъ, сколько нулей въ данной дроби, считая и нуль передъ запятою.

Напримѣръ:

Док. Дробь 0,000...01, въ которой значащей единицѣ предшествуетъ n нулей, считая и нуль передъ запятою, равна слѣдовательно,

c) Свойства а) и b) обобщаются въ слѣдующее:

Десятичные логариѳмы цѣлыхъ степеней числа 10 равны показателямъ этихъ степеней.

d) На первое время полезно имѣть слѣдующую табличку:

Положительныя степени. Отрицательныя степени.

Для экономіи мѣста при логариѳмическихъ вычисленіяхъ отрицательное число иногда обозначается знакомъ минусъ, поставленнымъ надъ числомъ, а не спереди, какъ въ обыкновенныхъ алгебраическихъ выраженіяхъ. Кромѣ того, такое условное обозначеніе позволяетъ записывать вмѣстѣ два числа, изъ которыхъ одно положительное, а другое — отрицательное.

Напримѣръ:

Здѣсь знакъ (—), поставленный надъ двойкою, показываетъ, что только 2 есть число отрицательное, а остальная часть (0,477) даннаго логариѳма— положительная. Такая запись имѣетъ большое практическое значеніе при вычисленіяхъ; кромѣ того, она короче обыкновенной.

Дробные десятичные логариѳмы.

a) Если число не равно цѣлой степени десяти (10), то его десятичный логариѳмъ нельзя выразить цѣлымъ числомъ.

Въ таблицахъ приводятся лишь приближенныя значенія дробныхъ логариѳмовъ, вычисленныя съ извѣстною степенью точности.

Такъ, напр., логариѳмы таблицы I (стр. 140) вычислены съ точностью лишь до 0,001 (вѣрнѣе, до половины одной тысячной), или, какъ еще говорятъ, съ точностью до третьяго знака (послѣ запятой); поэтому они называются трехзначными.

Въ большомъ употребленіи пятизначные логариѳмы I І 1 ;

(точность ихъ до -.Jq5-|; въ меньшемъ—четырехзначные] существуютъ таблицы логариѳмовъ, вычисленныхъ съ точностью до 7, 8, 10, 12, 14 и даже 20 знака.

Впослѣдствіи выяснится, почему иногда приходится пользоваться логариѳмами съ меньшимъ или большимъ числомъ знаковъ, т.-е. различной степени точности.

b) Дробная часть логариѳма зовется его мантиссою] цѣлое число, непосредственно меньшее даннаго логариѳма, называется его характеристикою.

Характеристика положительнаго логариѳма равна цѣлой части этого логариѳма.

Такъ, log20 = 1,303; 0,303 будетъ его мантиссою, а 1— характеристикою.

Положительная характеристика десятичнаго логариѳма.

Характеристика логариѳма цѣлаго числа зависитъ лишь отъ числа цифръ этого числа.

Напр., характеристика логариѳмовъ всѣхъ двузначныхъ чиселъ одна и та же,—именно единица. Мы это фактически знаемъ изъ таблицы I, теперь легко и объяснить.

Опредѣлимъ характеристику log57.

Число 57 заключается между 10 и 100, т.-е.

Принимая, что большему числу соотвѣтствуетъ большій десятичный логариѳмъ, можно написать

слѣд., log57 меньше, чѣмъ 2, и больше, чѣмъ 1. Поэтому онъ равняется единицѣ, сложенной съ нѣкоторою правильной дробью, слѣд., характеристика у log 57 равна одной единицѣ.

Составимъ слѣдующую табличку:

Изъ таблицы видно, что:

Характеристика десятичнаго логариѳма цѣлаго числа— на единицу меньше числа его цифръ.

Док. Если цѣлое число An имѣетъ n цифръ, то

поэтому

или

слѣдовательно,

т.-е. цѣлая часть логариѳма «-значнаго числа не больше n не меньше чѣмъ (n — 1).

b) Характеристика смѣшаннаго десятичнаго числа, т.-е. цѣлаго числа, сложеннаго съ правильною десятичною дробью, опредѣляется по числу цифръ цѣлой его части: она — на единицу меньше числа цифръ его цѣлой части.

Док. Смѣшанное число, съ n цифрами въ цѣлой его части, содержится между двумя цѣлыми n-значными числами, которыя разнятся другъ отъ друга на единицу (напр., 58 > 57,125 > 57); поэтому и его логариѳмъ содержится между ихъ логариѳмами. Но у этихъ двухъ цѣлыхъ чиселъ одна и та же характеристика (n — 1); слѣдовательно, цѣлая часть логариѳма даннаго смѣшаннаго числа не больше и не меньше, чѣмъ (« — 1).

c) Обратно, изъ (6) слѣдуетъ: число цифръ въ цѣлой части числа, соотвѣтствующаго десятичному логариѳму, на единицу больше положительной характеристики этого логариѳма.

Положительная мантисса.

Десятичные логариѳмы, мантиссы которыхъ положительны, обладаютъ слѣдующимъ замѣчательнымъ свойствомъ.

При умноженіи или дѣленіи числа на цѣлую степень десяти (единицу съ нулями) мантисса его логариѳма не мѣняется, а характеристика увеличивается или уменьшается на столько единицъ, сколько ихъ въ показателѣ множителя (сколько нулей во множителѣ).

Док.:

Такимъ образомъ, log а увеличился на n цѣлыхъ единицъ, т.-е. мантисса его не измѣнилась.

Примѣры:

Преобразованіе отрицательныхъ логариѳмовъ.

Отрицательные логариѳмы получаются, между прочимъ, при логариѳмированіи правильныхъ дробей, т.-е. очень часто; между тѣмъ, къ отрицательнымъ логариѳмамъ нельзя непосредственно примѣнять важнаго свойства мантиссъ (см. выше), ни отождествлять ихъ цѣлую часть съ величиной характеристики1).

Примѣръ.

Мы видимъ, что мантисса измѣнилась.

1) Замѣтимъ здѣсь, что въ руководствахъ алгебры дается неточное опредѣленіе характеристики, какъ цѣлой части логариѳма. Это вѣрно лишь для положительныхъ логариѳмовъ. Въ этомъ отношеніи настоящее изложеніе отдѣла о логариѳмахъ, несмотря на всю его элементарность, строже, чѣмъ обычное его изложеніе въ средней школѣ.

Въ виду этого почти всегда преобразуютъ отрицательные логариѳмы такимъ образомъ, чтобы мантисса у нихъ была положительна, а характеристика—отрицательна. При этомъ, конечно, величина логариѳма должна остаться неизмѣнною.

Для этого достаточно къ данному логариѳму придать положительную единицу и отрицательную единицу, затѣмъ соединить положительную единицу съ данною мантиссою, отрицательную же прибавить къ цѣлой части даннаго логариѳма.

Примѣръ. Преобразовать log х = — 2,523.

Правило преобразованія удобно запомнить въ слѣдующей формулировкѣ:

Для обращенія отрицательнаго десятичнаго логариѳма въ видъ съ положительною мантиссою, достаточно придать къ его дробной части положительную единицу, а къ цѣлой— отрицательную единицу, и въ указанныхъ двухъ группахъ сдѣлать приведеніе.

Такое преобразованіе очень легко дѣлается „въ умѣ“: сперва къ цѣлой части логариѳма прибавляютъ отрицательную единицу и прямо пишутъ результатъ (3)— со знакомъ минусъ надъ нимъ; затѣмъ ставятъ запятую и вычитаютъ цифры данной мантиссы по порядку, начиная съ первой, изъ 9, а послѣднюю—изъ 10.

Слѣдуя этому правилу, можно почти сразу написать:

Отрицательная характеристика.

Когда отрицательный логариѳмъ приведенъ къ виду съ положительною мантиссою, тогда и его цѣлая часть удовлетворяетъ опредѣленію характеристики (стр. 149).

Дѣйствительно, если log x = 2,523, то его цѣлая часть 2 есть ближайшее меньшее цѣлое число по отношенію ко всему логариѳму, такъ какъ

Отрицательная характеристика десятичнаго логариѳма, соотвѣтствующаго правильной дроби, равна числу нулей, предшествующихъ первой значащей цифрѣ этой дроби.

(Въ томъ числѣ считается и нуль передъ запятою.)

Примѣры:

По таблицѣ:

Док. Пусть х есть правильная десятичная дробь, и первая ея значащая цифра занимаетъ n-тое мѣсто послѣ запятой.

Если перенесемъ запятую черезъ n знаковъ (т.-е. помножимъ х на 10n), то первая значащая цифра окажется непосредственно впереди запятой, и получится число, большее единицы, но меньшее десяти, т.-е. цѣлая часть котораго однозначна.

Логариѳмируя это равенство, получимъ:

откуда:

Но у есть число, цѣлая часть котораго однозначна; слѣдовательно, характеристика его равна 1—1 = 0 (стр. 149), мантисса даннаго логариѳма будетъ та же самая, что у logy, а характеристика = (— n).

Обобщенія.

Приведеніе отрицательныхъ логариѳмовъ къ виду, въ которомъ одна только ихъ характеристика отрицательна, а мантисса положительна, позволяетъ распространить свойство (13) на всякіе десятичные логариѳмы.

Принимая же во вниманіе, что умноженіе десятичныхъ чиселъ на цѣлыя степени числа 10 равнозначительно перенесенію запятой вправо, а дѣленіе—перенесенію запятой влѣво, можно свойство (стр. 150) формулировать такимъ образомъ:

Если въ числѣ перенести запятую вправо или влѣво, то положительная мантисса его десятичнаго логариѳма не измѣнится, а характеристика увеличится или уменьшится на столько единицъ, черезъ сколько цифръ перенесена была запятая.

Такъ, напримѣръ, если

Отсюда слѣдуетъ: Мантисса десятичнаго логариѳма не зависитъ отъ мѣста запятой въ соотвѣтствующемъ ему числѣ, 2) Характеристика не зависитъ отъ значенія цифръ, опредѣляющихъ соотвѣтствующее логариѳму число.

И, наоборотъ: 3) Характристика зависитъ только отъ мѣста запятой въ числѣ, и 4) Мантисса зависитъ лишь отъ значенія цифръ, опредѣляющихъ число.

ГЛАВА IV.

Логариѳмическія вычисленія.

Для ариѳметическихъ вычисленій пользуются исключительно таблицами десятичныхъ логариѳмовъ.

Наиболѣе простыми для учебныхъ вычисленій, а также для многихъ техническихъ и вообще практическихъ, являются четырехзначныя, таблицы.

Четырехзначные логариѳмы (для цѣлыхъ чиселъ до 10.000) умѣщаются на одной четвертушкѣ плотной бумаги, при чемъ на оборотной ея сторонѣ иногда помѣщаются и всѣ антилогариѳмы, соотвѣтствующія трехзначнымъ мантиссамъ, отъ 0,001 до 0,999.

Достаточно 2—3 часовъ, чтобы вполнѣ освоиться съ употребленіемъ четырехзначныхъ логариѳмовъ 1) и рѣшать съ ихъ помощью задачи надъ четырехзначными числами (не считая нулей на концѣ чиселъ, ни нулей, предшествующихъ значащимъ цифрамъ правильныхъ десятичныхъ дробей).

Наиболѣе употребительны пятизначные логариѳмы: для учебныхъ вычисленій они обязательны. Пятизначная таблица для чиселъ отъ 10800 содержитъ еще вспомогательныя таблички, позволяющія вычислять логариѳмы не только четырехзначныхъ чиселъ, но также пяти и шестизначныхъ. Такая таблица требуетъ уже нѣсколько десятковъ страницъ, усѣянныхъ цифрами, и для того, чтобы научиться быстрому и увѣренному обращенію съ ней, нужна нѣкоторая практика.

Удобными пятизначными таблицами съ русскимъ текстомъ (нѣсколько страницъ объясненій) можно считать изданныя проф. С. Глазенапомъ2).

Систематическія объясненія съ подробными рѣшеніями примѣровъ и съ образцами логариѳмическихъ постепенно усложняющихся вычисленій можно найти также въ указанной уже книгѣ Б. А. Марковича „Начальные логариѳмы".

Дополнительные логариѳмы.

Большое значеніе для быстроты логариѳмическихъ вычисленій имѣютъ такъ называемые дополнительные логариѳмы. Дополненіемъ логариѳма числа х (доп. logx) мы

2) С. Глазенапъ. Таблицы логариѳмовъ съ пятью десятичными знаками. Цѣна 85 коп.

будемъ называть логариѳмъ числа (1/x), обратнаго данному:

Два числа называются обратными другъ другу, когда ихъ произведеніе равно положительной единицѣ; напр. 5 и 1/5, a/b и b/a.

Логариѳмъ обратнаго числа равенъ логариѳму даннаго числа, взятому съ обратнымъ знакомъ.

Док.: Возьмемъ два обратныхъ другъ другу числа: а и 1/a. Такъ какъ а.1/a = 1, то

Отсюда:

Такимъ образомъ, по опредѣленію, дополнительный логариѳмъ даннаго числа равенъ его логариѳму, взятому съ обратнымъ знакомъ:

Отсюда слѣдуетъ

Послѣднее тождество даетъ намъ возможность провѣрять, вѣрно ли составленъ дополнительный логариѳмъ.

Приведя (—logx), т.-е. доп. logx, къ виду съ положительною мантиссою (стр. 150—151), мы тѣмъ самымъ изъ вычитаемаго обращаемъ его въ слагаемое.

Пусть, напр., задача приводитъ къ формулѣ:

Тогда

Напомнимъ, какъ дѣлается это преобразованіе:

Пусть дано:

Преобразуемъ

слѣд.,

Имѣя въ виду окончательный результатъ, можно дать общее правило для такого преобразованія: 1) къ характеристикѣ даннаго логариѳма нужно прибавить ( + 1) и затѣмъ измѣнить знакъ полученной суммы; 2) прибавить къ ней дополненіе данной мантиссы до + 1.

Оба эти преобразованія дѣлаются быстро, „въ умѣ“. О характеристикѣ нечего и говорить, дополненіе же данной мантиссы до ( + 1) прямо пишется (или читается) такимъ образомъ: смотримъ на данную мантиссу (04727) и вычитаемъ слѣва направо всѣ ея цифры изъ 9, кромѣ послѣдней (значащей), которую нужно вычесть изъ 10 (стр. 151). Получается (95273) т.-е. цифры дополнительной мантиссы.

Примѣръ:

1) logx = 2,04711. Характеристика доп. logx: —(2 + 1) = 3; послѣдовательныя цифры дополнительной мантиссы: 9,5,2,8,9; доп. log х = 3,95289.

Повѣрка: 2,04711 + 3,95289 = 0.

Въ русской школьной практикѣ употребленіе дополнительныхъ логариѳмовъ очень мало распространено1). Между тѣмъ, они даютъ огромную пользу при систематическихъ вычисленіяхъ. Дѣйствительно, они позволяютъ замѣнять вычитаніе (даннаго логариѳма изъ другого или изъ суммы другихъ) сложеніемъ, а сложеніе дѣлается значительно быстрѣе, чѣмъ вычитаніе, и, кромѣ того, устраняетъ поводъ къ лишнимъ ошибкамъ (при быстромъ вычитаніи), которыя случаются довольно часто, и не только у „начинающихъ“, особенно при вычитаніи логариѳмовъ съ отрицательными характеристиками. Наконецъ, употребленіе дополнительныхъ логариѳмовъ требуетъ меньше записей (въ сложныхъ вычисленіяхъ), т.-е. даетъ экономію и въ мѣстѣ (для письма).

При употребленіи дополнительныхъ логариѳмовъ мы, собственно, вычитаніе (даннаго логариѳма) замѣняемъ сложеніемъ плюсъ однимъ еще вычитаніемъ — когда составляемъ дополненіе мантиссы. Но послѣднее вычитаніе до того легко (и быстро), что оно, такъ сказать, въ счетъ не идетъ.

Иногда, по непосредственному переводу съ французскаго, дополнительный логариѳмъ называется кологариѳмомъ (cologarithme) и обозначается черезъ colog.

1) Въ наиболѣе распространенныхъ русскихъ учебникахъ алгебры нѣтъ даже опредѣленія, что такое „дополнительный логариѳмъ“, иногда не дается и примѣра; въ нѣкоторыхъ же учебникахъ, если и приведены одинъ-два примѣра, то дополненія берутся до 10, что имѣетъ смыслъ лишь для тригонометрическихъ вычисленій съ логариѳмами.

Предложенный выше небольшой кругъ свѣдѣній о логариѳмахъ въ изложеніи Б. А. Марковича совершенно достаточенъ для умѣлыхъ и быстрыхъ вычисленій обычнаго типа. Усвоившій вышеизложенное смѣло можетъ приступить къ изученію общей и научно обоснованной теоріи логариѳмовъ, для введенія въ которую предлагается сейчасъ ниже глава изъ „Introductio in Analysin“ великаго Эйлера.

О показательныхъ количествахъ и логариѳмахъ.

(Л. Эйлеръ. Introductio in Analysin Infinitorum. I т., гл. VI).

96. Хотя изученіе трансцендентныхъ функцій надлежаще производится только въ интегральномъ исчисленіи, однако, прежде, чѣмъ приступить къ послѣднему, слѣдуетъ разсмотрѣть нѣкоторые наиболѣе часто встрѣчающіеся виды такихъ функцій, облегчающіе многія изслѣдованія. Прежде всего слѣдуетъ разсмотрѣть показательныя (экспоненціальныя) количества, или степени, въ которыхъ показатель степени самъ есть перемѣнное количество. Ясно прежде всего, что количества этого рода нельзя отнести къ алгебраическимъ функціямъ, такъ какъ въ этихъ послѣднихъ имѣютъ мѣсто только постоянные показатели степени. Между тѣмъ существуетъ много показательныхъ количествъ, въ которыхъ или показатель степени представляетъ собой перемѣнную величину, или даже, кромѣ того, возвышаемая въ степень величина есть тоже перемѣнное количество. Образецъ первыхъ будетъ az, образецъ вторыхъ yz. Точно такъ же показатель степени, въ свою очередь, можетъ быть показательнымъ количествомъ, какъ, напримѣръ:

Изъ количествъ послѣдняго рода мы, впрочемъ, разсмотримъ немногія, такъ какъ свойства ихъ уясняются довольно легко, если мы, прежде всего, разберемся въ первомъ видѣ такихъ функцій az.

97. Итакъ, пусть дано показательное количество az, представляющее степень постояннаго количества, при чемъ показатель степени есть перемѣнное количество ξ. Такъ какъ показатель z заключаетъ въ себѣ всѣ постоянныя числа, то ясно, во-первыхъ, что подстановка вмѣсто z всѣхъ положительныхъ цѣлыхъ чиселъ дастъ вмѣсто az слѣдующія опредѣленныя значенія;

Если же вмѣсто z подставить послѣдовательныя цѣлыя отрицательныя числа: —1, —2, —3 и т. д., то получится

Если же предположить z = 0, то всегда z0 = 1. Точно такъ же, если вмѣсто z подставлять дробныя числа, какъ

и т. д., получатся значенія:

и т. д., которыя, разсматриваемыя сами по себѣ, могутъ имѣть два и болѣе значеній, такъ какъ извлеченіе корней всегда приводитъ къ многозначнымъ значеніямъ. Въ этомъ случаѣ, однако, берутъ обыкновенно только первыя (primarii) значенія, т.-е. дѣйствительныя и положительныя, если только функція az разсматривается, какъ однозначная функція отъ z. Такъ, a5/2 будутъ лежать гдѣ-то въ промежуткѣ между a2 и a3, и будетъ поэтому количествомъ такого же рода или порядка; и хотя количество a5/2 одновременно

но во вниманіе принимается только послѣднее. Тоже имѣетъ мѣсто, если показатель z принимаетъ ирраціональныя значенія; такъ какъ въ этихъ случаяхъ трудно охватить все число получаемыхъ значеній, то разсматриваютъ только одно изъ нихъ — дѣйствительное. Такъ, а√7 будетъ нѣкоторое опредѣленное значеніе, заключенное между предѣлами a2 и a3.

98. Такимъ образомъ значенія показательнаго количества az болѣе всего будутъ зависѣть отъ величины постояннаго числа а. Если, напр., будетъ а = 1, то всегда az = 1, какія бы значенія ни приписывать показателю z. Если же то значенія az будутъ тѣмъ больше, чѣмъ большее число подставить вмѣсто z, и при z = ∞ эти значенія возрастаютъ до безконечности. Если z = 0, то az = 1 и, если будетъ z < 1, то значенія az дѣлаются меньшими единицы, такъ что, полагая z = — ∞, будетъ аz = 0. Обратное получается, если a < 1, оставаясь положительнымъ числомъ.

Въ этомъ послѣднемъ случаѣ значенія az будутъ уменьшаться при возрастаніи z, начиная отъ 0, возрастаютъ же они, если вмѣсто z подставлять отрицательныя числа.

Въ самомъ дѣлѣ, если a < 1, то 1/a > 1; полагая 1/a = b. получимъ az = b-z, откуда послѣдній случай можетъ быть сведенъ къ первому.

99. Если а = 0, то въ значеніяхъ аz наблюдается необычный скачекъ (разрывъ). Пока z остается положительнымъ, т.-е. большимъ нуля, всегда аz = 0. При z = 0 будетъ уже a0 = 1. Если же z станетъ отрицательнымъ числомъ, то az получитъ уже безконечно большое значеніе. Такъ, пусть будетъ z = — 3, тогда аz = 0—3 = 1/0 = 1/0, т. е. безконечности. Но еще большіе скачки (разрывы) получаются, если постоянное количество а имѣетъ отрицательное значеніе, предположимъ, напр.,—2. Въ такомъ случаѣ, подставляя вмѣсто z цѣлыя числа, увидимъ, что значенія az будутъ—поперемѣнно—то положительны, то отрицательны, какъ можно видѣть изъ такого ряда:

и т. д.

Кромѣ того ясно, что если приписывать при этомъ показателю z дробныя значенія, то степень az = (— 2)2 будетъ принимать то дѣйствительныя, то мнимыя значенія. Такъ, напр., a2 = √—2 есть количество мнимое; a3 = ∛—2 = —∛2 есть количество дѣйствительное. Сверхъ того, если количеству z приписывать ирраціоннальныя значенія, то степень az будетъ выражать какъ дѣйствительное, такъ и мнимое количество безразлично.

100. Имѣя въ виду эти неудобства подстановки вмѣсто а отрицательныхъ чиселъ, условимся напередъ, что а есть положительное число и большее единицы. Тѣ случаи, когда а положительно, но меньше единицы, легко сводятся къ этому. Итакъ, если положить az = y и подставлять вмѣсто z всѣ дѣйствительныя числа, которыя заключаются между предѣлами + ∞ и —oo, то у будетъ принимать всѣ положительныя значенія отъ + ∞ до 0. Если, значитъ, z = ∞, то y = ∞; если z = 0, то у = 1; если z = —∞, то у = 0. Обратно, если получается для у какое-либо положительное значеніе, то, значитъ, дается соотвѣтствующее дѣйствительное значеніе для z такое, что az = y. Но если приписать у отрицательное значеніе, показатель z не можетъ имѣть дѣйствительнаго значенія.

101. Итакъ, если y = az, то у есть нѣкоторая функція отъ z, и въ какой именно зависимости находится у отъ z, это легко уясняется изъ свойствъ степеней (или степенныхъ количествъ); для каждаго значенія, приписаннаго z, опредѣляется соотвѣтствующее значеніе у. Такимъ образомъ будетъ: y2 = a2z, y3 = a3z и вообще yn = anz. Отсюда, въ свою очередь, слѣдуетъ: √y = a2; ∛y = a3, а также

и такъ далѣе.

Кромѣ того, если

Благодаря подобнымъ вспомогательнымъ средствамъ легко найти значеніе у по данному значенію z.

Примѣръ. Если а = 10, то въ употребительной нами десятичной ариѳметикѣ значенія у получаются весьма быстро.

Такъ,

Точно также же

Если вмѣсто z брать дроби, значенія у могутъ быть найдены извлеченіемъ корней: такъ,

102. Какъ при данномъ числѣ а по взятому значенію z можно опредѣлить значеніе у, такъ и обратно, если дано какое-либо положительное значеніе у, то тѣмъ самымъ будетъ дано и соотвѣтствующее значеніе z. Это послѣднее значеніе z, поскольку оно разсматривается относительно функціи у, называется логариѳмомъ функціи (или количества) у. Такимъ образомъ, ученіе о логариѳмахъ предполагаетъ, что вмѣсто а подставлено нѣкоторое извѣстное, постояное число, которое называется основаніемъ логариѳмовъ. Если такое число взято, то логариѳмъ всякаго числа у будетъ показатель степени az, такъ что само количество az будетъ равно этому числу у. Логариѳмъ числа у обыкновенно обозначаютъ такъ: lу. Такъ что, если az = y, то z = lу. Откуда само собой разумѣется, что основаніе логариѳмовъ хотя и зависитъ вполнѣ отъ нашего выбора, тѣмъ не менѣе, должно быть числомъ большимъ единицы, и точно такъ же, что дѣйствительные логариѳмы могутъ быть только для положительныхъ чиселъ.

103. Какое бы число а ни принять за основаніе логариѳмовъ, всегда l1 = 0, такъ какъ, если въ уравненіи az = y,

которое равнозначно z = ly, принять у = 1, то, значитъ, должно быть z = 0. Затѣмъ логариѳмы чиселъ, большихъ единицы, будутъ положительны и зависятъ отъ основанія а. Такъ, будетъ

Отсюда а posteriori можно узнать, какое число принято за основаніе, а именно: то число, логариѳмъ котораго = 1, и есть основаніе логариѳмовъ. Логариѳмы же чиселъ меньшихъ единицы, но положительныхъ, будутъ отрицательны. Такъ,

Но логариѳмы отрицательныхъ чиселъ не будутъ дѣйствительными, а мнимыми, какъ мы уже отмѣтили.

104. Подобно же, если имѣемъ ly = z, то ly2 = 2z, ly3 = 3z, и, вообще, lyn = nz, или lуп = пlу при z = lу. Итакъ, логариѳмъ какой-либо степени у равенъ логариѳму отъ у умноженному на показателя степени. Такъ, напр.,

Отсюда по данному логариѳму любого числа могутъ быть найдены логариѳмы любыхъ степеней этого числа. Съ другой стороны, если найдены два логариѳма, напр., ly = z и lv = х, то такъ какъ у = аz и v = ах, а потому

Значитъ, логариѳмъ произведенія двухъ чиселъ равенъ суммѣ логариѳмовъ множителей. Подобно же будетъ

т.-е. логариѳмъ дроби равенъ логариѳму числителя за вычетомъ логариѳма знаменателя. Вышеприведенныя правила служатъ для нахожденія логариѳмовъ многихъ чиселъ, если извѣстно только нѣсколько логариѳмовъ.

105. Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что раціональные логариѳмы существуютъ только для степеней основанія а, а для остальныхъ чиселъ ихъ нѣтъ. Если, напр., другое число b будетъ степенью основанія а, то логариѳмъ его (числа b) не можетъ выражаться раціональнымъ числомъ. Въ дѣйствительности логариѳмъ этого b не будетъ даже числомъ ирраціональнымъ. Такъ, если будетъ lb = √п, то а√n = b, но подобное выраженіе не имѣетъ мѣста, если

положить, что а и b оба раціональны. Между тѣмъ желательно, прежде всего, знаніе логариѳмовъ раціональныхъ и цѣлыхъ чиселъ, такъ какъ посредствомъ этихъ именно логариѳмовъ можно найти логариѳмы дробныхъ и ирраціональныхъ чиселъ. Такъ какъ, слѣдовательно, логариѳмы чиселъ, не представляющихъ степеней основанія а, не могутъ выражаться ни раціонально, ни ирраціонально, то на самомъ дѣлѣ они относятся къ трансцендентнымъ количествамъ. И дѣйствительно, логариѳмы причисляютъ къ трансцендентнымъ количествамъ.

106. Поэтому логариѳмы чиселъ на самомъ дѣлѣ точнѣе всего могутъ выражаться десятичными дробями, которыя тѣмъ меньше отличаются отъ истиннаго значенія логариѳма, чѣмъ больше въ нихъ вѣрныхъ десятичныхъ знаковъ. И такимъ образомъ логариѳмъ всякаго числа можетъ быть опредѣленъ съ величайшей точностью, посредствомъ единственнаго дѣйствія — извлеченія квадратнаго корня. Такъ, если

и если данное число b содержится между предѣлами a2 и a3, логариѳмы которыхъ суть 2 и 3, то ищется значеніе a2z, или a2√а. Затѣмъ b будетъ содержаться или между предѣлами a2 и a21/z, или между a21/z и a3; въ каждомъ изъ этихъ случаевъ, беря среднее пропорціональное, мы получимъ болѣе тѣсные предѣлы и, такимъ образомъ, постепенно можно дойти до предѣловъ, разница между которыми будетъ менѣе напередъ данной величины, и которые безъ ощутительной погрѣшности совпадутъ съ даннымъ числомъ b.

Примѣръ. Положимъ, что логариѳмическое основаніе а = 10, какъ это обыкновенно принимается въ употребительныхъ логариѳмическихъ таблицахъ, и пусть надо найти возможно точный логариѳмъ числа 5. Такъ какъ это число содержится между предѣлами 1 и 10, логариѳмы которыхъ 0 и 1, то, чтобы найти предѣлы, мало отличающіеся отъ даннаго числа 5, послѣдовательное извлеченіе корней производятъ слѣдующимъ образомъ.

Такъ, беря постоянно среднія пропорціональныя, приходимъ, наконецъ, къ Z = 5, 000 000, откуда искомый логариѳмъ числа 5 равенъ 0,698 9700, при основаніи логариѳмовъ = 10. Поэтому съ весьма большой точностью будетъ

Такимъ именно способомъ составлены обыкновенныя таблицы логариѳмовъ (canon logarithmorum vulgaris) Бриггомъ и Влаккомъ, хотя впослѣдствіи были найдены гораздо болѣе краткіе пути, съ помощью которыхъ логариѳмы могутъ получаться много скорѣе.

107. Такимъ образомъ существуетъ столько различныхъ системъ логариѳмовъ, сколько различныхъ чиселъ можно принять за основаніе логариѳмовъ, т.-е. число логариѳмическихъ системъ безконечно. Тѣмъ не менѣе, въ каждыхъ двухъ системахъ логариѳмы одинаковыхъ чиселъ сохраняютъ одно и то же отношеніе. Пусть основаніе одной системы будетъ = а, а основаніе другой системы = b; логариѳмъ же числа n въ первой системѣ пусть будетъ = р, а въ другой = q. Тогда аp = n и bq = n, откуда ap = bq, т.-е. а = bp. Итакъ, необходимо, чтобы дробь имѣла постоянное значеніе, какое бы число n ни было взято. Поэтому, если извѣстны логариѳмы всѣхъ чиселъ по одной системѣ,

то отсюда безъ особаго труда могутъ быть найдены логариѳмы всякой иной системы. Такъ, если даны логариѳмы при основаніи = 10, то отсюда можно найти логариѳмы при какомъ угодно иномъ основаніи, напр., 2. Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ найденъ логариѳмъ числа n при основаніи 2, и пусть онъ будетъ равенъ q въ то время, какъ логариѳмъ числа n при основаніи 10 равенъ р. Такъ какъ при основаніи 10 имѣемъ l2 = 0,3010300, а при основаніи 2 будетъ l2 = 1, то 0,3010300 : 1 = р : q, откуда

Итакъ, если всѣ обыкновенные логариѳмы умножить на число 3,321 9277, то получится таблица логариѳмовъ при основаніи 2.

108. Отсюда слѣдуетъ, что логариѳмы двухъ чиселъ, взятые въ любой системѣ, сохраняютъ всегда одно и то же отношеніе.

Пусть будутъ М и N два числа, логариѳмы которыхъ при основаніи а суть m и п; тогда M = am и N = an. Отсюда amn = Mn = Nm, т.-е. M = Nn. Въ послѣднее уравненіе а уже не входитъ, такъ что значеніе дроби — не зависитъ отъ основанія а. Пусть теперь логариѳмы тѣхъ же чиселъ М и N, при другомъ основаніи b, будутъ μ и ν. Подобно предыдущему, получимъ, что M = Nν. Слѣдовательно,

Такимъ образомъ мы видимъ, что во всякой системѣ логариѳмовъ, логариѳмы разныхъ степеней одного и того же числа, какъ ym и yn сохраняютъ отношеніе показателей m : n.

109. Чтобы составить таблицы логариѳмовъ съ какимъ-либо основаніемъ а, достаточно вычислить только логариѳмы простыхъ (первоначальныхъ) чиселъ раньше указаннымъ способомъ или другимъ, болѣе удобнымъ. Такъ какъ логариѳмы составныхъ чиселъ равны суммамъ логариѳмовъ отдѣльныхъ множителей, то логариѳмы составныхъ чиселъ находятся простымъ сложеніемъ. Такъ, если имѣются логариѳмы чиселъ 3 и 5, то l15 = l3 + l5; l45 = 2l3 + l5. Точно такъ же при основаніи = 10 выше было найдено, что l5 = 0,6 9 8 9 7 00, такъ какъ, кромѣ того, l10 = 1, то

Отсюда

Найдя логариѳмы первыхъ чиселъ 2 и 5, легко найти логариѳмы всѣхъ чиселъ, составленныхъ изъ множителей 2 и 5, какъ 4, 8, 16, 32, 64 и т. д. 20, 40, 80, 25, 50 и т. д.

110. Употребленіе логариѳмическихъ таблицъ при числовыхъ вычисленіяхъ чрезвычайно распространено, потому что по этимъ таблицамъ можетъ быть найденъ не только логариѳмъ какого-либо числа, но и самое число, соотвѣтствующее какому-либо данному логариѳму. Такъ, если с, d, е, f, g, h означаютъ какія-либо числа, то, не производя на самомъ дѣлѣ умноженія, можно опредѣлить значеніе такого выраженія

Въ самомъ дѣлѣ, логариѳмъ этого выраженія равенъ

и если найти число, соотвѣтствующее этому логариѳму, то получится искомое значеніе (даннаго выше выраженія). И, прежде всего, логариѳмическія таблицы служатъ для быстраго возвышенія въ степень и извлеченія корней, такъ какъ вмѣсто этихъ дѣйствій въ логариѳмахъ приходится примѣнять только умноженіе и дѣленіе.

Примѣръ I. Требуется найти степень 27/12. Логариѳмъ этого выраженія = —7/12l2; поэтому логариѳмъ двухъ изъ таблицъ, равный 0,301 0300, надо умножить на 7/12, т.-е. на 1/2 + 1/12, найдемъ l27/12 = 0,175 6008. Этому логариѳму соотвѣтствуетъ число 1,498 307, весьма точно выражающее значеніе 2 7/12.

Примѣръ II. Если число жителей нѣкоторой области ежегодно возрастаетъ на часть и имѣетъ въ началѣ 100 000 жителей, то спрашивается число жителей по истеченіи 100 лѣтъ. Пусть, для краткости, число жителей въ началѣ — n, т.е. n = 100 000. По истеченіи перваго года число жителей будетъ по истеченіи двухъ

черезъ три года

значитъ, черезъ 100 лѣтъ будетъ Логариѳмъ этого выраженія

значитъ

Къ послѣднему количеству надо придать l100 000 = 5, и тогда получается логариѳмъ искомаго числа жителей, а именно 6,424 0439. Этому логариѳму соотвѣтствуетъ число 2 654 874. Итакъ, черезъ 100 лѣтъ число жителей увеличится болѣе, чѣмъ въ двадцать шесть съ половиной разъ.

Примѣръ III. Если послѣ потопа человѣческій родъ размножился отъ шести человѣкъ, и если предположимъ, что двѣсти лѣтъ спустя число людей возросло до 1 000 000, то спрашивается, на какую часть должно было увеличиваться населеніе ежегодно? Положимъ на время, что населеніе ежегодно увеличивалось на 1/x свою часть, тогда по истеченіи 200 лѣтъ необходимо получится число людей =

Отсюда

а потому

Слѣдовательно,

Откуда х равно приблизительно 16. Таково было бы размноженіе людей, если бы ежегодный приростъ выражался одной шестнадцатой частью населенія, что не можетъ считаться слишкомъ большимъ въ старое время. Если бы,

однако, человѣческій родъ возрасталъ въ такой пропорціи въ теченіе 400 лѣтъ, то число людей должно было бы дойти до

Такого населенія не могъ бы выдержать весь земной шаръ.

Примѣръ IV. Если бы число людей удваивалось въ теченіе каждаго столѣтія, то чему бы равнялось годовое приращеніе? Положимъ, что ежегодно число людей увеличивается на 1/x свою часть и что въ началѣ число людей было = n. Число это послѣ 100 лѣтъ будетъ

по условію оно должно быть равно т.-е.

Отсюда

и значитъ

приблизительно 144.

Итакъ, достаточно, чтобы число людей ежегодно возрастало на 1/144 свою часть. Поэтому весьма странны возраженія тѣхъ невѣрующихъ людей, которые утверждаютъ, что въ теченіе небольшого (сравнительно) времени вся земля не могла заселиться жителями отъ одного человѣка.

111. Чрезвычайно полезно приложеніе логариѳмовъ къ рѣшенію такихъ уравненій, въ которыхъ неизвѣстное количество входитъ въ показатель степени. Такъ, если притти къ уравненію такого рода: ах = b, изъ котораго надо опредѣлить значеніе x, то это можно сдѣлать только съ помощью логариѳмовъ. Въ самомъ дѣлѣ, если ах = b, то lax = xla = lb, откуда

при чемъ все-равно, какой системой логариѳмовъ ни пользоваться, такъ какъ во всякой системѣ отношеніе логариѳмовъ чиселъ а и b остается постояннымъ.

Примѣръ, Если число людей ежегодно будетъ увеличиваться на одну сотую свою часть, то спрашивается, черезъ

сколько лѣтъ число людей увеличится вдесятеро? Положимъ, что это произойдетъ черезъ х лѣтъ, и что въ началѣ число людей было = n. Тогда по истеченіи х лѣтъ оно будетъ

что должно равняться 10n. Значитъ,

откуда

Отсюда получается

Итакъ, черезъ 231 годъ населеніе, при ежегодномъ возрастаніи на 1/100 часть, удесятерится. Отсюда заключаемъ, что черезъ 462 года оно будетъ въ 100 разъ больше, черезъ 693 года оно возрастетъ въ 1000 разъ.

112. Обыкновенные логариѳмы, вычисленные при основаніи = 10, кромѣ той пользы, которую вообще представляютъ логариѳмы, особенно удобны въ общепринятой десятичной ариѳметикѣ, и поэтому имѣютъ исключительное значеніе среди всѣхъ другихъ системъ. Такъ какъ логариѳмы всѣхъ чиселъ, кромѣ степеней десяти, выражаются десятичными дробями, то логариѳмы чиселъ, заключенныхъ между 1 и 10, будутъ заключаться между 0 и 1; логариѳмы чиселъ, заключенныхъ между 10 и 100, будутъ заключаться между 1 и 2 и т. д. Такимъ образомъ всякій, вообще, логариѳмъ состоитъ изъ цѣлаго числа и десятичной дроби и это цѣлое число обыкновенно называютъ характеристикой, а десятичную дробь мантиссой. Характеристика отличается на единицу отъ числа цифръ, которыми изображается число. Такъ, характеристика логариѳма числа 78 509 будетъ 4, такъ какъ это число означается пятью знаками или цифрами. Поэтому по логариѳму любого числа тотчасъ можно узнать, сколько цифръ входитъ въ это число. Такъ, число, соотвѣтствующее логариѳму 7,580 4631, будетъ состоять изъ 8 цифръ.

113. Если мантиссы двухъ логариѳмовъ одинаковы, а различны только характеристики, то числа, соотвѣтствующія этимъ логариѳмамъ, относятся какъ степень десяти къ единицѣ, а потому эти числа будутъ состоять изъ одинаковыхъ цифръ. Такъ, соотвѣтствующія логариѳмамъ 4,913 0187 и 6,913 0187 числа будутъ 81 850 и 8 185 000; логариѳму 3,913 0187 будетъ соотвѣтствовать число 8 185, а логариѳму 0,913 0187 число 8,185. Такимъ образомъ

цифры, составляющія число, опредѣляются съ помощью только одной мантиссы; по опредѣленіи же этихъ послѣднихъ характеристика укажетъ, сколько знаковъ, считая слѣва, нужно отнести къ цѣлой части числа, а остальные вправо дадутъ десятичную дробь. Такъ, если найденъ логариѳмъ 2,760 3429, то по мантиссѣ опредѣлится такая послѣдовательность цифръ 575 8945, по характеристикѣ же 2 опредѣлится число, соотвѣтствующее логариѳму, — оно будетъ 575,8945. Если бы характеристика была 0, то соотвѣтствующее число было бы 5,758 945; если бы эта характеристика была на 1 меньше, т.-е. — 1, то соотвѣтствующее число было въ десять разъ меньше, а именно 0,575 8945; характеристикѣ—2 соотвѣтствовало бы 0,0575 8945 и т. д. Вмѣсто подобнаго рода отрицательныхъ характеристикъ — 1, — 2, — 3 и т. д., пишутъ обыкновенно 9,8,7 и т. д., при чемъ подразумѣвается, что такіе логариѳмы нужно уменьшить на десять.

Примѣръ. Если прогрессію 2,4,16,256 и т. д., въ которой каждый членъ равенъ квадрату предыдущаго, продолжить до 25 члена, то спрашивается величина этого послѣдняго члена. Члены этой прогрессіи съ помощью показателей удобнѣе выразятся такъ:

откуда видно, что показатели составляютъ геометрическую прогрессію и что показатель двадцать пятаго члена будетъ 224 = 16 777 216, такъ что самый искомый членъ будетъ 216777216. Логариѳмъ этого количества = 16 777 216 . l2. Поэтому, если

то логариѳмъ искомаго числа будетъ

Найденная характеристика показываетъ, что искомое число, изображенное, какъ обыкновенно, должно имѣть 5 050 446 цифръ. Мантисса же 259 733 675 932, отысканная въ таблицахъ логариѳмовъ, дастъ начальныя цифры искомаго числа, которыя будутъ 181 858. Итакъ, хотя искомое число никоимъ образомъ не можетъ быть изображено, можно, однако, утверждать, что оно состоитъ ровно изъ 5 050 446 цифръ, и что первыя шесть его цифръ суть 181 858, за которыми справа слѣдуетъ еще 5 050 440 цифръ; нѣкоторыя изъ этихъ послѣднихъ можно опредѣлить изъ большихъ логариѳмическихъ таблицъ. Такъ, одиннадцать первыхъ цифръ будутъ

Векторы на плоскости.

(Изъ книги проф. В. П. Ермакова „Теорія векторовъ“. Кіевъ. 1887 г.).

Дѣйствія надъ векторами.

§ 1. Если примемъ во вниманіе направленіе прямой линіи, то отрѣзокъ этой прямой будемъ называть векторомъ.

Векторъ будемъ обозначать пока двумя буквами, поставленными въ началѣ и въ концѣ.

Векторъ означаетъ простой переходъ отъ одной точки къ другой.

Переходъ отъ точки А къ точкѣ В и потомъ отъ В къ А въ результатѣ даетъ нуль, слѣдовательно,

откуда

Такимъ образомъ съ измѣненіемъ своего направленія на противоположное векторъ измѣняетъ свой знакъ на противоположный, т.-е. помножается на —1.

Условимся считать векторы равными, если ихъ длины равны, если они расположены на одной прямой или на двухъ параллельныхъ прямыхъ и направлены въ одну и ту же сторону. Такимъ образомъ векторъ безъ измѣненія своего значенія можетъ быть передвигаемъ по собственному направленію въ одну и въ другую сторону; кромѣ того векторъ можетъ быть перенесенъ параллельно самому себѣ.

Переходъ отъ А къ В (фиг. 1) и потомъ отъ В къ C въ результатѣ даетъ переходъ отъ А къ С, слѣдовательно

Профессоръ Василій Петровичъ Ермаковъ.

Фиг. 1.

Это равенство имѣетъ мѣсто, какъ бы ни были расположены точки А, В и С; оно даетъ намъ возможность складывать векторы.

Пусть требуется сложить два вектора ОА и OB (фиг. 2). Для этой цѣли проведемъ изъ точки А прямую АС, равную и параллельную OВ. По опредѣленію векторовъ имѣемъ ОВ = АС, слѣдовательно,

ОА + OВ = OА + АС = OС.

Соединивъ В съ С, получимъ параллелограмъ ОАСВ. Отсюда слѣдуетъ, что сумма двухъ векторовъ ОА и OB есть діагональ ОС параллелограма, построеннаго на этихъ векторахъ.

Положимъ, что требуется сложить нѣсколько векторовъ, напр., четыре: ОА, OB, ОС и OB (фиг. 3). Проводимъ отрѣзокъ АЕ, равный и параллельный OB, далѣе проводимъ отрѣзокъ EF, равный и параллельный ОС, потомъ F6r, равный и параллельный OВ. По опредѣленію векторовъ ОВ = АЕ, OC = EF, OB = FG, поэтому

Вычитаніе векторовъ приводится къ сложенію, если примемъ во вниманіе, что ВO = —OВ. Положимъ, что изъ вектора ОА нужно вычесть векторъ OB (фиг. 4). Изъ точки А проводимъ отрѣзокъ АС, равный и параллельный ВО. По опредѣленію векторовъ имѣемъ АС = ВО = — OB, слѣдовательно,

§ 2. Покажемъ теперь, что результатъ сложенія не измѣняется отъ перестановки мѣстъ слагаемыхъ. На

Фиг. 2.

Фиг. 3. Фиг. 4.

векторахъ ОA и OB (фиг. 2) строимъ параллелограмъ ОАСВ. По опредѣленію векторовъ имѣемъ ОВ = АС, ОА = ВС, слѣдовательно,

откуда

(1)

Это равенство выражаетъ такъ называемый перемѣстительный законъ при сложеніи.

Положимъ, что число слагаемыхъ болѣе двухъ. Мы можемъ не измѣнять порядка слагаемыхъ, но самое сложеніе можно производить различнымъ образомъ; покажемъ, что при этомъ результатъ сложенія остается тотъ же самый. Покажемъ, что имѣетъ мѣсто слѣдующее равенство:

(2)

которое словами выражается такъ: если мы къ суммѣ векторовъ AB и ВС прибавимъ векторъ CD, то получимъ тотъ же результатъ, какъ если бы мы къ вектору AB прибавили сумму векторовъ ВС и CD. Въ самомъ дѣлѣ имѣемъ (фиг. 5)

слѣдовательно,

Сравнивъ эти равенства, найдемъ то, что требовалось доказать. Равенство (2) выражаетъ такъ называемый сочетательный законъ при сложеніи.

§ 3. Отношеніе двухъ векторовъ OB/OA опредѣляется изъ слѣдующаго тожества:

Отсюда слѣдуетъ, что отношеніе OB/OA есть нѣкоторое дѣйствіе, при помощи котораго векторъ ОА превращается въ векторъ OВ. Это дѣйствіе состоитъ въ слѣдующемъ: векторъ ОА поворачивается на уголъ ВОА и длина его измѣняется въ отношеніи длины вектора OB къ длинѣ

Фиг. 5.

ОА. Положимъ, что отношеніе OB/OA оказываетъ точно такое же дѣйствіе на произвольный векторъ ОС; пусть

(a)

По нашему предположенію векторъ OB получается изъ вектора ОС точно такъ, какъ векторъ OB получается изъ вектора ОА. Поэтому, чтобы получить векторъ OB, нужно векторъ ОС (фиг. 6) поворотить на уголъ ВОА и измѣнить его длину въ отношеніи длины вектора OB къ длинѣ ОА.

Итакъ, отношеніе OB/OA есть нѣкоторое сложное дѣйствіе, при помощи котораго произвольный третій векторъ поворачивается на уголъ ВОА и его длина измѣняется въ отношеніи длины вектора OB къ длинѣ О А.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ (фиг. 6):

(b)

Черточками, поставленными сверху, мы обозначаемъ длины векторовъ для отличія отъ самихъ векторовъ. Отсюда слѣдуетъ, что при существованіи равенства (а) треугольники ОАВ и ОСВ подобны и подобно расположены. Изъ равенствъ (6) легко находимъ слѣдующія:

Отсюда слѣдуетъ, что треугольники ОАС и ОВD подобны и подобно расположены; поэтому

Сравнивъ съ равенствомъ (а), найдемъ

§ 4. Если два вектора имѣютъ одно и то же направленіе, т.-е. расположены на одной и той же прямой или

Фиг. 6.

на параллельныхъ прямыхъ, и отсчитываются въ одну и ту же сторону, то отношеніе между ними равно нѣкоторому положительному числу, выражающему отношеніе между ихъ длинами.

Если два вектора имѣютъ взаимно противоположныя направленія, т.-е. расположены на одной прямой или на параллельныхъ прямыхъ, и отсчитываются въ противоположныя стороны, то отношеніе между ними выражается нѣкоторымъ отрицательнымъ числомъ, которое равно отношенію между длинами векторовъ.

Если длины двухъ векторовъ ОА и OB равны, то отношеніе OB/OA выражаетъ простое вращеніе на уголъ между ними, т.-е. на уголъ ВОА.

Вращеніе на прямой уголъ обозначается чрезъ і.

Двойное вращеніе на прямой уголъ (что мы обозначаемъ чрезъ іі или i2) измѣняетъ направленіе вектора на противоположное, т.-е. умножаетъ его на — 1; слѣдовательно,

Поворотивъ еще на прямой уголъ, получимъ

При дальнѣйшемъ поворотѣ на прямой уголъ найдемъ

т.-е. векторъ принимаетъ первоначальное положеніе. Если векторы ОА и OB взаимно перпендикулярны, то

гдѣ i, какъ было сказано, есть вращеніе на прямой уголъ, и m есть нѣкоторое положительное или отрицательное число, которое равно отношенію между длинами векторовъ. Число m будетъ положительнымъ, если послѣ вращенія на прямой уголъ векторъ ОА будетъ имѣть одинаковое направленіе съ векторомъ OВ. Если же послѣ вращенія на прямой уголъ векторъ ОА будетъ имѣть направленіе прямо противоположное вектору OB, то число m будетъ отрицательнымъ.

§ 5. Отношеніе двухъ векторовъ можетъ быть замѣнено отношеніемъ двухъ другихъ векторовъ, если отношеніе длинъ первыхъ двухъ векторовъ равно отношенію длинъ послѣднихъ двухъ векторовъ, и уголъ между пер

выми двумя векторами равенъ углу между послѣдними двумя векторами. Поэтому если

то (§ 3, фиг. 6) отношеніе OB/OA можетъ быть замѣнено отношеніемъ OD/OC, т.-е.

§ 6. Перейдемъ теперь къ доказательству тожества:

Прежде всего имѣемъ

Положимъ, что

Въ такомъ случаѣ, какъ было сказано выше,

и одно отношеніе можетъ быть замѣнено другимъ. На векторѣ CF (фиг. 7) строимъ треугольникъ CGF, подобный и подобно расположенный треугольнику CDЕ. Проведемъ изъ точки G векторъ GE', равный (слѣдовательно и параллельный) вектору DЕ. Пусть FG и ED пересѣкаются въ точкѣ Н. Такъ какъ по построенію углы при F и Е равны, то четыре точки С, Е, Е и Н находятся на одной окружности. Изъ подобія треугольниковъ CDE и CGF

Фиг. 7.

имѣемъ ∠ECD — ∠FCG. Прибавивъ по углу GCE, получимъ

Изъ подобія тѣхъ же треугольниковъ имѣемъ

Изъ равенства же угловъ и пропорціональности длинъ слѣдуетъ, какъ было показано въ предыдущемъ §, равенство отношеній:

откуда

(c)

Углы FСЕ и FНЕ равны, какъ вписанные въ одинъ и тотъ же сегментъ, но уголъ FНЕ равенъ углу FGE', слѣдовательно,

Изъ подобія треугольниковъ CDE и CGF слѣдуетъ

Изъ равенства же угловъ и пропорціональности длинъ слѣдуетъ равенство отношеній:

откуда

Сложивъ послѣднее равенство съ равенствомъ (с), найдемъ

Далѣе имѣемъ

Изъ сравненія послѣднихъ двухъ равенствъ находимъ

Замѣнивъ отношеніе CF/CE равнымъ ему отношеніемъ OB/OA, найдемъ

Это тожество мы и желали доказать.

§ 7. Перейдемъ теперь къ умноженію векторовъ. Для этой цѣли необходимо ввести единицу — векторъ, т.-е. нѣкоторый отрѣзокъ, имѣющій опредѣленную длину и опредѣленное направленіе, принять за единицу. Въ такомъ случаѣ произведеніе двухъ векторовъ OB.ОС можетъ быть написано въ слѣдующей формѣ:

если ОА есть единица-векторъ, но въ такой формѣ, какъ было показано въ § 3, произведеніе двухъ векторовъ выражается третьимъ векторомъ OD (фиг. 6).

Въ § 3 было показано, что

Если векторъ ОА примемъ за единицу, то

(3)

Отсюда мы заключаемъ, что произведеніе двухъ векторовъ не измѣняется съ перестановкою мѣстъ множителей. Послѣднее равенство выражаетъ собою такъ называемый законъ перемѣстительный при умноженіи.

§ 8. Если извѣстно положеніе единицы-вектора, то положеніе всякаго другого вектора опредѣляется двумя величинами: 1) длиною вектора, или точнѣе отношеніемъ его длины къ длинѣ единицы-вектора, 2) угломъ наклоненія, т.-е. угломъ, образуемымъ направленіемъ вектора съ направленіемъ единицы-вектора. При этомъ уголъ наклоненія считается отъ единицы-вектора всегда въ одну и ту же сторону; мы будемъ считать эти углы по направленію, обратному движенію часовой стрѣлки.

§ 9. Разсмотримъ подробнѣе, какимъ образомъ произведеніе двухъ векторовъ замѣняется однимъ векторомъ.

Пусть длины векторовъ OB и ОС будутъ b и с; пусть углы, образуемые этими векторами съ единицею-векторомъ, будутъ ß и у. Если ОА есть единица-векторъ, то произведеніе OВ. ОС можетъ быть написано такъ:

Это выраженіе, какъ было сказано въ § 3, показываетъ, что векторъ ОС нужно поворотить на уголъ ВОА, т.-е. на уголъ ß, и увеличить его длину въ отношеніи 6:1. Въ результатѣ мы получимъ векторъ, длина котораго будетъ bс, а уголъ, образуемый этимъ векторомъ съ единицею-векторомъ, будетъ ß + γ. Если этотъ векторъ означимъ чрезъ O2), то

Коротко правило умноженія векторовъ можетъ быть выражено такъ: при умноженіи векторовъ нужно ихъ длины перемножить и углы наклоненія сложить.

Сложеніе угловъ наклоненія легко можетъ быть показано на чертежѣ (фиг. 6). Такъ какъ ∠DOC = ∠ВOА, то

На томъ же чертежѣ легко доказать и перемноженіе длинъ. Въ самомъ дѣлѣ имѣемъ

откуда

§ 10. Итакъ, перемноженіе векторовъ приводится на самомъ дѣлѣ къ двумъ дѣйствіямъ: сложенію угловъ и умноженію длинъ. Но какъ углы, такъ и длины выражаются обыкновенными числами. Результатъ же сложенія чиселъ не зависитъ отъ того порядка, въ которомъ числа складываются; точно также произведеніе чиселъ не зависитъ отъ того порядка, въ которомъ числа перемножаются. Поэтому и произведеніе нѣсколькихъ векторовъ не зависитъ отъ того порядка, въ которомъ векторы перемножаются. Слѣдовательно, мы можемъ написать тожество

(4)

которое выражается словами такъ: произведеніе векторовъ ОА и OB, будучи умножено на векторъ ОС, даетъ тотъ же самый результатъ, какой получается отъ умноженія век

тора ОА на произведеніе векторовъ OB и ОС. Это тожество выражаетъ собою сочетательный законъ при умноженіи.

Въ § 6 было доказано слѣдующее тожество:

Если мы примемъ векторъ ОА за единицу, то получимъ:

(5)

Это тожество выражаетъ собою такъ называемый распредѣлительный законъ. Изъ этого закона выводится правило умноженія многочленовъ.

§ 11. Перейдемъ теперь къ дѣленію векторовъ. Пусть длины векторовъ ОС и OD будутъ с и 1; пусть углы наклоненія этихъ векторовъ будутъ γ и δ. Если единицу-векторъ означимъ черезъ ОА, то частное OD : ОС можетъ быть написано такъ:

Это выраженіе, какъ сказано въ § 3, показываетъ, что векторъ ОА нужно поворотить на уголъ DОС (фиг. 6), т.-е. на уголъ δ — γ, и измѣнить длину вектора ОА въ отношеніи d:c. Если чрезъ OB означимъ полученный такимъ образомъ векторъ, то длина вектора OB равна d/c, уголъ наклоненія этого вектора равенъ δ — γ. Правило дѣленія можетъ быть выражено такъ: длина вектора-частнаго равна длинѣ вектора-дѣлимаго, раздѣленной на длину вектора-дѣлителя; уголъ наклоненія вектора-частнаго равенъ углу наклоненія вектора-дѣлимаго безъ угла наклоненія вектора-дѣлителя.

§ 12. Уклонимся немного въ сторону.

Главная цѣль низшей алгебры состоитъ въ преобразованіи однихъ дѣйствій въ другія; такой смыслъ имѣетъ каждое алгебраическое тожество. Всѣ выводы алгебры основываются на слѣдующихъ пяти законахъ:

Дѣйствительно, если мы къ этимъ законамъ прибавимъ опредѣленія вычитанія и дѣленія, какъ дѣйствій обратныхъ

сложенію и умноженію, и распространимъ эти законы на отрицательныя числа, то получимъ тѣ основы, изъ которыхъ получается все разнообразіе алгебраическихъ выводовъ. Эти пять законовъ не доказываются, но берутся готовыми изъ ариѳметики.

Доказанныя раньше тожества (1), (2), (3), (4) и (5) показываютъ, что выше упомянутые пять законовъ имѣютъ мѣсто и для векторовъ. Отсюда слѣдуетъ, что дѣйствія надъ векторами подлежатъ тѣмъ же законамъ, какъ и дѣйствія надъ числами. Итакъ, надъ векторами мы можемъ производить различныя алгебраическія дѣйствія, какъ будто бы это были не векторы, а нѣкоторыя обыкновенныя числа.

Происхожденіе составныхъ чиселъ и дѣйствія надъ ними.

§ 13. Разсмотримъ отношеніе двухъ векторовъ

Изъ точки В (фиг. 8) опустимъ перпендикуляръ ВС на векторъ ОА или на его продолженіе. Имѣемъ OB = OС + СВ, слѣдовательно,

Разсмотримъ отдѣльно каждое изъ отношеній, стоящихъ во второй части. Такъ какъ векторы ОС и ОА расположены на одной прямой линіи, то отношеніе между ними, какъ было сказано въ § 4, равно нѣкоторому обыкновенному положительному или отрицательному числу m,

Далѣе, такъ какъ векторы СВ и ОА перпендикулярны, то отношеніе между ними, какъ было сказано въ § 4, будетъ

гдѣ і есть символъ вращенія на прямой уголъ, и n есть нѣкоторое обыкновенное положительное или отрицательное число, равное отношенію длины вектора СВ къ длинѣ ОА. Итакъ,

Фиг. 8.

Отношеніе двухъ однородныхъ величинъ всегда есть нѣкоторое отвлеченное число. Въ настоящемъ примѣрѣ число m + ni не похоже на тѣ числа, которыя мы обыкновенно встрѣчаемъ въ ариѳметикѣ. Число m + ni мы будемъ называть составнымъ числомъ. Если примемъ векторъ ОА за единицу, то

Итакъ, векторъ выражается составнымъ числомъ (именованнымъ). Обратно, составное число всегда можетъ быть выражено векторомъ.

§ 14. Для представленія составного числа на плоскости поступаемъ слѣдующимъ образомъ. Беремъ на плоскости нѣкоторую прямую линію, имѣющую опредѣленное направленіе, на ней отъ нѣкоторой точки откладываемъ опредѣленный по величинѣ отрѣзокъ ОА (фиг. 9), который принимаемъ за единицу; это будетъ обыкновенная единица. Отрѣзокъ ON, перпендикулярный къ ОА и по величинѣ ему равный, называется боковою единицею и обозначается символомъ і. На сторонахъ прямого угла AON откладываемъ отрѣзки ОС и OD такъ, чтобы длины ихъ, измѣренныя единицею ОА, равнялись m и n,

На сторонахъ ОС и OD строимъ прямоугольникъ CODB; діагональ OB этого прямоугольника выражаетъ составное число m + ni.

Если число m отрицательное, то нужно отложить отрѣзокъ ОС отъ точки О въ противоположную сторону. Точно такъ же, если число n отрицательное, то отрѣзокъ OD долженъ быть отложенъ въ противоположную сторону. Поэтому, если отложимъ отрѣзки ОС' и OD' (фиг. 9), по величинѣ равные соотвѣтственно ОС и OD, и построимъ четыре прямоугольника, то діагонали этихъ прямоугольниковъ выражаются чрезъ составныя числа слѣдующимъ образомъ:

Фиг. 9.

Итакъ составное число образуется изъ двоякаго рода единицъ: 1) изъ совокупности нѣсколькихъ обыкновенныхъ единицъ и ихъ частей, 2) изъ совокупности нѣсколькихъ боковыхъ единицъ и ихъ частей.

Зависимость между боковою и обыкновенною единицею (см. § 4) будетъ і2 = —1. Изъ этой зависимости находимъ: i3 = — i, i4 = + 1, i5 = i, i6 = —1 и т. д.

Въ § 12 было показано, что дѣйствія надъ векторами подчиняются тѣмъ же законамъ, какъ и дѣйствія надъ обыкновенными числами, но векторъ выражается составнымъ числомъ. Отсюда слѣдуетъ, что дѣйствія надъ составными числами подчиняются тѣмъ же законамъ, какъ и дѣйствія надъ обыкновенными числами.

Такимъ образомъ, составныя числа могутъ быть введены въ обыкновенную алгебру, для чего не потребуется ни новыхъ дѣйствій, ни исключеній и дополненій въ прежнихъ дѣйствіяхъ. Составное число можетъ быть выражено одною буквою. Это будетъ высшая ступень символизаціи въ обыкновенной алгебрѣ.

Составныя числа встрѣчаются и въ низшей алгебрѣ; онѣ встрѣчаются въ первый разъ при рѣшеніи квадратнаго уравненія, имѣющаго мнимые корни. Въ низшей алгебрѣ составныя числа извѣстны подъ названіемъ мнимыхъ чиселъ или мнимыхъ выраженій. Это названіе произошло по той причинѣ, что въ низшей алгебрѣ квадратное уравненіе, имѣющее мнимые корни, означаетъ полную невозможность удовлетворить условіямъ даннаго вопроса. Теперь же мы видимъ, что составное число имѣетъ реальный смыслъ, именно оно выражаетъ векторъ на плоскости; по этой причинѣ нѣтъ надобности называть составное число мнимымъ, т.-е. несуществующимъ.

§15. Если составное число обращается въ нуль, то діагональ OB (фиг. 8) также обращается въ нуль; но это возможно только въ томъ случаѣ, когда стороны прямоугольника CODB обращаются въ нули. Итакъ, уравненіе

удовлетворяется только въ томъ случаѣ, когда отдѣльно m и n обращаются въ нули.

Положимъ, что два составныя числа равны между собою

Перенося всѣ члены въ одну часть, имѣемъ

По предыдущему это уравненіе удовлетворяется только въ томъ случаѣ, когда отдѣльно m — m' и n — n' обращаются

въ нули, т.-е.

Итакъ, если два составныя числа равны между собою, то отдѣльно ихъ обыкновенныя части и ихъ боковыя части должны быть равны между собою.

§ 16. Составное число можетъ быть выражено въ другой формѣ. Въ самомъ дѣлѣ мы знаемъ, что отношеніе двухъ векторовъ зависитъ отъ отношенія ихъ длинъ и отъ угла между ними. Пусть отношеніе длины вектора OB (фиг. 8) къ длинѣ вектора ОА равно р. Означимъ чрезъ φ уголъ ВОА; на этотъ уголъ нужно поворотить векторъ ОА, чтобы его направленіе совпало съ направленіемъ вектора OВ. Изъ прямоугольнаго треугольника СОВ слѣдуетъ

Далѣе OB = OС + СВ, слѣдовательно.

Первое отношеніе OC/OA во второй части, какъ было сказано въ § 4, равно отношенію длинъ векторовъ ОС и ОА; второе отношеніе CB/OA, какъ было сказано въ §§ 4 и 13, равно отношенію длинъ векторовъ СВ и ОА, умноженному на і, слѣдовательно,

Подставивъ вмѣсто OB и СВ данныя выше значенія и принявъ во вниманіе, что OB/OA = ρ, найдемъ

Такъ выражается отношеніе двухъ векторовъ. Это отношеніе заключаетъ въ себѣ два дѣйствія: 1) вращеніе на уголъ φ и 2) умноженіе на обыкновенное положительное число р. Если р = 1, то выраженіе

означаетъ простое вращеніе на уголъ φ. Если векторъ ОА примемъ за единицу, то

Въ этомъ выраженіи р означаетъ длину вектора, а его уголъ наклоненія, т.-е. уголъ, образуемый векторомъ OB съ направленіемъ единицы-вектора. Выраженіе во второй части есть то, что мы уже назвали составнымъ числомъ. Въ такомъ случаѣ р называется модулемъ и φ аргументомъ составного числа.

Данное выше выраженіе вектора OB имѣетъ мѣсто при всякомъ положеніи вектора на плоскости. Такъ, если мы обратимся къ 9 й фигурѣ и означимъ уголъ наклоненія вектора OB чрезъ φ, то углы наклоненія векторовъ OB', OB" и OВ'" будетъ 2π— φ, π — φ и π + φ1); слѣдовательно,

§ 17. Сравнивъ два выраженія для вектора OB, данныя въ §§ 13 и 16, найдемъ

Это уравненіе, какъ было показано въ § 15, распадается на два:

Отсюда находимъ

По этимъ формуламъ опредѣляются модуль и аргументъ составного числа

§ 18. Перейдемъ теперь къ дѣйствіямъ надъ составными числами.

Сложеніе и вычитаніе составныхъ чиселъ совершается весьма просто. Здѣсь только имѣетъ значеніе слѣдующая задача: по даннымъ модулямъ и аргументамъ двухъ составныхъ чиселъ найти модуль и аргументъ ихъ суммы и разности. Пусть а и b означаютъ модули двухъ составныхъ чиселъ, α и ß ихъ соотвѣтственные аргументы, пусть ρ означаетъ модуль и аргументъ ихъ суммы или разности; имѣемъ

откуда

1) Мы измѣряемъ углы дугами, описанными изъ вершины радіусомъ, равнымъ единицѣ.

Изъ этихъ уравненій находимъ

Такъ какъ cos (α—ß) всегда заключается между + 1 и —1, то ρ2 всегда заключается между a2 + b2 + 2аb и a2 + b2—2аb, т.-е. между (a + b)2 и (а — b)2. Отсюда слѣдуетъ, что модуль суммы или разности двухъ составныхъ чиселъ всегда меньше суммы модулей и больше ихъ разности. Впрочемъ, эта послѣдняя теорема, будучи приложена къ векторамъ, выражаетъ извѣстное свойство сторонъ треугольника.

§ 19. При умноженіи составныхъ чиселъ нужно принимать во вниманіе уравненіе i2 = —1. Такимъ образомъ имѣемъ

Въ § 9 было доказано, что при умноженіи векторовъ ихъ длины перемножаются и углы наклоненія складываются. Если мы переведемъ эту теорему на составныя числа, то найдемъ, что при умноженіи составныхъ чиселъ ихъ модули перемножаются и аргументы складываются. Такимъ образомъ имѣемъ

Отсюда по сокращеніи на ab найдемъ

Это равенство легко повѣряется, если въ первой части на самомъ дѣлѣ сдѣлаемъ перемноженіе и примемъ во вниманіе, что i2 = —1; такимъ образомъ получимъ. Это равенство распадается на два:

Но это суть извѣстныя формулы тригонометріи.

§ 20. Изъ правила умноженія составныхъ чиселъ слѣдуетъ, что модуль произведенія нгьсколькихъ составныхъ чиселъ равенъ произведенію ихъ модулей. Приложимъ эту теорему къ нахожденію одного тожества. Пусть m + ni и m' + n'i будутъ два составныя числа; квадраты ихъ модулей будутъ m2 + n2 и m'2 + n'2. Произведеніе этихъ чиселъ будетъ mm'— nn' + (тn' + m'n)і, квадратъ модуля произведенія

будетъ (mm'—nn')2 + (mn' + m'n)2. Въ силу только что сказанной теоремы мы должны имѣть слѣдующее тожество:

которое легко можетъ быть повѣрено.

§ 21. Дѣленіе составныхъ чиселъ основывается на свойствахъ сопряженныхъ составныхъ чиселъ. Два числа

называются сопряженными составными числами; ихъ модули равны; произведеніе ихъ равно квадрату модуля,

Пусть требуется раздѣлить m' + n'i на m + ni. Это дѣленіе можно изобразить въ формѣ дроби:

Умножимъ числителя и знаменателя на составное число, сопряженное знаменателю, т.-е. на m — ni, послѣ чего получимъ

Перемноживъ составныя числа въ числителѣ, найдемъ

Положимъ, что составныя числа выражены посредствомъ модулей и аргументовъ, и пусть требуется b(cosß + isinß) раздѣлить на a(cosα + isinα), что можетъ быть изображено въ формѣ дроби

Умножимъ числителя и знаменателя

Сдѣлавъ перемноженіе и замѣтивъ, что

найдемъ

Принявъ во вниманіе извѣстныя формулы тригонометріи, найдемъ окончательно

Отсюда слѣдуетъ: модулъ частнаго равенъ модулю дѣлимаго, раздѣленному на модулъ дѣлителя; аргументъ частнаго равемъ аргументу дѣлимаго безъ аргумента дѣлителя.

§ 22. Перейдемъ теперь къ возвышенію въ степень. Въ § 19 мы видѣли, что при умноженіи двухъ, а, слѣдовательно, и нѣсколькихъ составныхъ чиселъ, нужно модули перемножить и аргументы сложить. Положимъ теперь, что всѣ множители равны; въ такомъ случаѣ умноженіе превращается въ возвышеніе, а правило умноженія принимаетъ слѣдующую форму: при возвышенiи составного числа въ степень модуль возвышается на самомъ дѣлѣ въ степень и аргументъ умножается на показателя степени,

Если р = 1, то имѣемъ

Это тожество извѣстно подъ названіемъ теоремы Муавра.

Средній пропорціональный векторъ и извлеченіе корней изъ векторовъ и изъ составныхъ чиселъ.

§ 23. Пусть требуется построить средній пропорціональный векторъ между двумя данными векторами ОА и OВ. Означивъ искомый векторъ чрезъ ОХ, имѣемъ

Изъ § 5 слѣдуетъ, что равенство двухъ отношеній возможно только въ томъ случаѣ, когда треугольникъ, построенный на векторахъ одного отношенія, подобенъ и подобно расположенъ треугольнику, построенному на векторахъ другого отношенія. Поэтому треугольники ОВХ и ОХА (фиг. 10) подобны и подобно расположены. Изъ подобія этихъ треугольниковъ, прежде всего, слѣдуетъ, что векторъ ОХ дѣлитъ пополамъ уголъ между векторами ОА и OB; далѣе длина вектора ОХ' должна быть средняя пропорціональная между длинами данныхъ векторовъ ОА и OВ. Отсюда и вытекаетъ геометрическое построеніе средняго пропорціональнаго вектора.

Было бы ошибочно полагать, что есть только одинъ средній пропорціональный векторъ; такихъ векторовъ два. Въ самомъ дѣлѣ, векторъ ОХ' (фиг. 10), равный по длинѣ ОХ, но противоположный ему по направленію, будетъ также среднимъ пропорціональнымъ векторомъ между векторами ОА и OB; это вытекаетъ изъ того, что треугольники BOX и X'ОА подобны и подобно расположены.

Изъ пропорціи

слѣдуетъ

Если примемъ векторъ ОА за единицу, то

Отсюда слѣдуетъ, что квадратный корень изъ вектора находится по тѣмъ же правиламъ, какъ и средній пропорціональный векторъ между даннымъ векторомъ и векторомъ-единицею.

§ 24. Положимъ теперь, что требуется извлечь кубическій корень изъ даннаго вектора OВ. Означивъ искомый корень чрезъ ОХ, имѣемъ

Означимъ длину вектора OB чрезъ b и его уголъ наклоненія чрезъ ß, означимъ длину искомаго вектора чрезъ х и его уголъ наклоненія чрезъ ξ. Такъ какъ при умноженіи векторовъ ихъ длины перемножаются, а углы складываются, то имѣемъ

откуда

Фиг. 10.

Отсюда вытекаетъ слѣдующее построеніе1) искомаго вектора. Пусть OB данный векторъ (фиг. 11) и ОА единица-векторъ. На прямой ОА при точкѣ О отложимъ уголъ ХОА, равный 1/3 угла ВОА; на другой сторонѣ этого угла отложимъ отрѣзокъ ОХ, по длинѣ равный x = ∛b, гдѣ b есть длина вектора OВ. Векторъ ОХ будетъ искомымъ кубическимъ корнемъ изъ вектора OB.

Не нужно думать, что существуетъ только одинъ кубическій корень; покажемъ, что такихъ корней три. Единица-векторъ ОА при вращеніи на уголъ ß совпадаетъ по направленію съ векторомъ OВ. Но если мы поворотимъ единицу-векторъ ОА на уголъ ß и потомъ еще поворотимъ на полный оборотъ, то послѣ такого вращенія векторъ ОА также совпадаетъ по направленію съ векторомъ OВ. Поэтому мы можемъ полагать, что векторъ OB составляетъ съ единицею-векторомъ уголъ, равный ß + 2π Поэтому, если мы означимъ чрезъ х длину и чрезъ ξ уголъ наклоненія кубическаго корня, то имѣемъ

откуда

Эти величины соотвѣтствуютъ второму кубическому корню ОХ (фиг. 11), который по длинѣ равенъ первому корню и составляетъ съ нимъ уголъ, равный 2/3π (иначе (120°). Точно также единица-векторъ ОА послѣ вращенія на уголъ ß и на два полныхъ оборота совпадаетъ по направленію съ векторомъ OВ. Поэтому мы можемъ утверждать, что векторъ OB составляетъ съ единицею-векторомъ ОА уголъ, равный ß + 4π Отсюда слѣдуетъ, что уголъ наклоненія третьяго кубическаго корня равенъ β/3 + 4/3π Всѣ три кубическіе корня ОХ, ОХ' и ОХ" по длинѣ равны и одинаково наклонены между собою. Легко видѣть, что болѣе трехъ кубическихъ корней не можетъ быть, такъ какъ четвер-

Фиг. 11.

1) Только не съ помощью циркуля и линейки, такъ какъ имѣемъ дѣло съ кубическимъ корнемъ, который долженъ быть предварительно вычисленъ или же построенъ при помощи нѣкоторыхъ кривыхъ линій. Сверхъ того приходится дѣлить уголъ на три равныя части, что также не можетъ быть сдѣлано при помощи циркуля и линейки.

тый корень уже совпадаетъ съ первымъ. Этотъ результатъ можетъ быть обобщенъ слѣдующимъ образомъ.

Число корней n-той степени изъ данного вектора равно п; всѣ корни имѣютъ одинаковую длину, которая равна корню n-той степени изъ длины даннаго вектора; всѣ корни одинаково наклонены между собою; уголъ между двумя смежными корнями равенъ одинъ изъ корней образуетъ съ единицею-векторомъ уголъ, равный части угла, образуемаго даннымъ векторомъ съ единицею-векторомъ.

§ 25. Перейдемъ теперь къ извлеченію корней изъ составныхъ чиселъ.

Пусть требуется извлечь квадратный корень изъ m + ni. Означивъ искомый корень чрезъ х + уi, имѣемъ

Возвышаемъ обѣ части въ квадратъ:

Это уравненіе распадается на два:

Отсюда находимъ

слѣдовательно,

Такъ какъ x2 + у2 есть величина положительная, то и корень во второй части долженъ быть взятъ со знакомъ + . Для опредѣленія х беремъ уравненія:

откуда

(1)

Коэффиціентъ у опредѣляется изъ уравненія

Итакъ, имѣемъ

(2)

Сюда вмѣсто х нужно подставить найденное выше выраженіе (1). Такъ какъ х имѣетъ два значенія, то отсюда заключаемъ, что квадратный корень изъ составного числа имѣетъ также два значенія, изъ которыхъ второе получается перемѣною знаковъ перваго.

Для примѣра положимъ, что нужно извлечь √i. Въ этомъ случаѣ m = 0, n = 1. Подставивъ въ формулу (1), найдемъ

Далѣе по формулѣ (2) найдемъ

§ 26. Перейдемъ теперь къ извлеченію корня какой угодно степени изъ составного числа. Для этой цѣли удобно составное число выразить чрезъ модуль и аргументъ. Пусть требуется извлечь корень n-той степени изъ ρ (cos φ + і sin φ). Этотъ корень выражается по слѣдующей формулѣ:

(3)

гдѣ к произвольное цѣлое число. Докажемъ это. Нужно показать, что вторая часть, будучи возвышена въ n-ую степень, даетъ подкоренное выраженіе. Въ § 22 было показано, что при возвышеніи составного числа въ степень модуль на самомъ дѣлѣ возвышается въ степень и аргументъ умножается на показателя степени; поэтому

Но cos(φ + 2kπ) = cos φ, sin (φ + 2kπ) = sin φ, слѣдовательно, полученное выраженіе равно подкоренному числу, что и требовалось доказать.

Если въ формулѣ (3) k увеличимъ или уменьшимъ на n, то составное число во второй части не измѣнится; это слѣдуетъ изъ того, что косинусъ и синусъ не измѣняются съ увеличеніемъ или уменьшеніемъ угла на 2π Поэтому для к достаточно давать слѣдующія n значеній: 0, 1, 2,... n—1. Подставляя вмѣсто к другія значенія, мы получаемъ тѣ же самые корни. Отсюда слѣдуетъ, что корень n-той степени изъ составного числа имѣетъ n различныхъ значеній.

Что такое векторъ?

К. Лезанъ. — № 585 „Вѣстника опытной физики и элементарной математики").

Исчисленіе векторовъ является въ наукѣ весьма важнымъ вспомогательнымъ средствомъ. Въ частности, примѣненіе этого исчисленія къ геометріи и механикѣ даетъ возможность достичь важныхъ упрощеній и значительно большей ясности. Оно не только весьма замѣтнымъ образомъ сокращаетъ письмо, но представляетъ изъ себя аналитическій методъ, который даетъ наглядное представленіе о предметахъ, подлежащихъ изслѣдованію, между тѣмъ какъ при употребленіи координатъ объекты изслѣдованія слишкомъ часто теряются изъ виду.

Долголѣтнее примѣненіе исчисленія векторовъ—въ особенности, въ Великобританіи, позволило раскрыть всѣ выгодныя стороны его, и большія усилія прилагались къ тому, чтобы обратить на нихъ всеобщее вниманіе. Во Франціи терминъ „векторъ“ не безъ труда получилъ признаніе въ преподаваніи. Онъ фигурируетъ въ очень большомъ числѣ программъ, а также въ большей части современныхъ классическихъ сочиненій.

Я дѣлаю удареніе на словѣ терминъ, ибо совсѣмъ иначе обстоитъ дѣло съ самимъ понятіемъ. Терминомъ пользуются, я могъ бы даже сказать — имъ злоупотребляютъ. Понятіе же пребываетъ, такъ сказать, въ таинственномъ полумракѣ. Невѣроятнымъ кажется тотъ фактъ, что почти нигдѣ — даже въ превосходнѣйшихъ сочиненіяхъ или въ лекціяхъ самыхъ выдающихся профессоровъ—нельзя найти точнаго опредѣленія вектора. Я ни разу не встрѣчалъ ни одного учащагося, который сумѣлъ бы отвѣтить на вопросъ „что такое векторъ", а между тѣмъ уже въ теченіе четверти часа, по крайней мѣрѣ, онъ излагалъ мнѣ очень много соображеній относительно векторовъ и удачно справлялся съ весьма обширными выкладками, относящимися къ ихъ теоріи. Я всегда снисходительно относился къ этому недостатку въ отвѣтѣ учащихся, ибо вина за это падаетъ не на нихъ, а всецѣло на дурное изложеніе, противъ котораго необходимо было бы бороться. Недостаточная точность всегда влечетъ за собою весьма вредныя послѣдствія въ дѣлѣ преподаванія.

Яснѣе всего обнаружилось это смѣшеніе понятій, на которое я здѣсь указываю и противъ котораго возстаю, въ элементарной статикѣ, ибо въ этой именно области, пожалуй, сильнѣе всего сказались вредныя послѣдствія

такого рода смѣшенія. Раньше силу, приложенную въ точкѣ А, изображали отрѣзкомъ AB, при чемъ длина AB этого отрѣзка измѣряла напряженіе силы, а неопредѣленная полупрямая AB, указывавшая положеніе въ пространствѣ и направленіе силы, называлась линіей дѣйствія ея; кромѣ того, принимали въ качествѣ постулата, что силу можно перемѣщать, куда угодно, вдоль ея линіи дѣйствія.

Но противъ этой терминологіи было выдвинуто то возраженіе, что а priori нельзя установить тождественности между такимъ образомъ трактуемыми силами и силами динамики. Правда, вполнѣ основательно указывали на то, что элементарная статика представляетъ изъ себя, въ сущности, лишь особую вѣтвь геометріи, служащую подготовительной ступенью къ механикѣ; но вмѣстѣ съ тѣмъ совершенно напрасно полагали, что для того, чтобы выйти изъ затрудненія, стоитъ только замѣнить терминъ сила терминомъ векторъ; и зло тѣмъ болѣе велико, что эту замѣну произвели, не оговаривая ея. Замѣчательно, что векторомъ называли то, что не было векторомъ ни на языкѣ ихъ изобрѣтателей ни на языкѣ геометровъ, которые пользовались этимъ новымъ способомъ геометрическихъ вычисленій.

Символъ AB допускаетъ три толкованія. Во-первыхъ, это геометрическій отрѣзокъ; начало А и конецъ В его фиксированы; при этомъ нѣкоторый отрѣзокъ CD только тогда равенъ отрѣзку AB, когда С совпадаетъ съ А, а D съ В. Во-вторыхъ, можно разсматривать отрѣзокъ AB, подчиняющійся такому условію: для существованія равенства AB = CD необходимо, чтобы оба отрѣзка AB и CD имѣли одинаковую длину и одинаковое направленіе, и чтобы оба они лежали на одной и той же прямой АВ; объекту, получившему такое опредѣленіе, можно было бы, какъ мнѣ кажется, безъ особыхъ затрудненій и даже съ нѣкоторымъ удобствомъ, дать названіе геометрическая сила, которое устраняетъ какія бы то ни было недоразумѣнія; во всякомъ случаѣ, повторяю, и этотъ объектъ не есть векторъ. Наконецъ, векторъ AB опредѣляется своей длиной, своимъ положеніемъ въ пространствѣ и своимъ направленіемъ, иначе говоря, AB = CD, если два отрѣзка AB и CD параллельны, одинаково направлены и имѣютъ одинаковую длину; при этомъ совершенно безразлично, гдѣ расположена точка С.

Гамильтонъ (Hamilton), сказалъ, что векторъ есть символъ переноснаго движенія; Грассманнъ (Grassmann) смотрѣлъ на векторъ, какъ на разность между двумя точками1).

1) Очень изящное современное изложеніе векторіальнаго анализа съ этой точки зрѣнія можно найти въ прекрасной книгѣ, которую цитируемъ во французскомъ переводѣ—С. Bourali-Forti et R. Marcolongo, «Elements de calcul vectoriel».

Оба эти способа выраженія одинаково правильны и удачно передаютъ сущность понятія. При переносномъ движеніи всѣ точки тѣла описываютъ тождественные векторы. Но если AB = CD, то геометрическая разность точекъ А и В, дѣйствительно, равна геометрической разности точекъ D и С, подобно тому, какъ

Неправильное употребленіе термина „векторъ" и примѣненіе его къ геометрическимъ силамъ привели къ слѣдующему чудовищному выраженію, получившему, такъ сказать, классическую извѣстность: „равнодѣйствующій моментъ системы векторовъ“. Говорятъ также объ „эквивалентныхъ системахъ векторовъ“, что имѣетъ не больше смысла. Какъ бы нарочно допустили такое смѣшеніе терминовъ и, преслѣдуя единственную цѣль — освободиться отъ слова „сила“, достигли какъ разъ противоположныхъ результатовъ. Это тѣмъ болѣе печально, что именно въ статикѣ векторъ даетъ вполнѣ точное представленіе о парѣ.

Истинное различіе между отрѣзкомъ, геометрической силой и векторомъ состоитъ въ томъ, что отрѣзокъ опредѣляется шестью условіями или, лучше сказать, двумя группами условій (координаты начальной и конечной точки), по три въ каждой, геометрическая сила—пятью условіями (четырьмя элементами опредѣляется положеніе прямой въ пространствѣ; къ этому присоединяется длина отрѣзка), а векторъ — лишь тремя условіями (тремя проекціями или слагающими).

Исчисленіе векторовъ служитъ источникомъ ежедневно появляющихся интересныхъ работъ и имѣетъ полезныя примѣненія.

Будемъ ли мы пользоваться методомъ кватерніоновъ Гамильтона или слѣдовать Грассману, мы можемъ встрѣтить затрудненія, лежащія въ самой природѣ вещей; такъ, напримѣръ, многихъ привела въ уныніе некоммутативность произведенія, хотя это свойство лишь служитъ выраженіемъ почти очевидной геометрической истины. Быть-можетъ, можно будетъ внести въ теорію векторовъ какія-либо упрощенія или усовершенствованія, и это даже весьма вѣроятно. Уже въ теченіе нѣсколькихъ лѣтъ прилагаются усилія къ тому, чтобы по мѣрѣ возможности согласовать обозначенія. Но я твердо убѣжденъ въ томъ, что никто не предлагалъ сознательно привести въ полный безпорядокъ терминологію, и притомъ столь произвольнымъ образомъ, а между тѣмъ именно это произошло во Франціи вслѣдствіе какого-то рокового произвола1). Я полагаю, что еще не поздно

1) И далеко не только во Франціи.

попытаться вступить въ борьбу съ этимъ, и это именно побудило меня забить тревогу.

Я надѣюсь, мнѣ позволено будетъ воспользоваться настоящимъ случаемъ, чтобы, оставляя въ сторонѣ примѣненія векторовъ къ геометріи, механикѣ или физикѣ, указать на возможность расширенія понятія о числѣ, которое вполнѣ естественно вытекаетъ изъ только что указанныхъ методовъ и котораго, однако, я до сихъ поръ нигдѣ не встрѣчалъ; впрочемъ, послѣднее не можетъ служить ручательствомъ его новизны. Но мнѣ кажется, что оно заключаетъ въ себѣ нѣкоторый интересъ съ точки зрѣнія философіи.

Эго понятіе лучше всего можно было бы охарактеризовать, назвавъ его положеніемъ числа. Оно мнѣ было подсказано упомянутымъ выше опредѣленіемъ Грассмана. Первоначально изучали числа, сперва цѣлыя, затѣмъ раціональныя и, наконецъ, ирраціональныя; затѣмъ оказалось необходимымъ ввести отрицательныя числа; теорія мнимыхъ чиселъ привела къ разсмотрѣнію направленныхъ чиселъ въ плоскости. Открытія Грассмана и Гамильтона позволили выйти изъ плоскости и притти къ направленнымъ числамъ въ пространствѣ.

Во всѣхъ этихъ послѣдовательныхъ обобщеніяхъ число все время сохраняетъ, по крайней мѣрѣ, неявно постоянное начало, а именно нуль. Быть-можетъ, имѣло бы смыслъ различать числа также и въ зависимости отъ того начала, отъ котораго ихъ отсчитываютъ. Даже въ чистой ариѳметикѣ можно не отождествлять числа 3, отсчитываемаго отъ 0 до 3, съ тѣмъ же числомъ, отсчитываемымъ отъ 1000 до 1003. При такомъ порядкѣ идей число, фиксированное по величинѣ, направленію и положенію, оказалось бы охарактеризованнымъ системою двухъ векторовъ а и а и могло бы быть обозначено, напримѣръ, символомъ аа, при чемъ за общее начало этихъ векторовъ можно было бы условиться принять нуль.

Повидимому, вполнѣ возможно установить систему опредѣленій элементарныхъ операцій надъ этими числами, которыя, очевидно, представляются отрѣзками. Напр., для чиселъ компланарныхъ, т.-е. для всѣхъ чиселъ, расположенныхъ въ одной плоскости, можно полагать, что, прибѣгая къ посредству операцій надъ мнимыми числами въ алгебрѣ, это было бы сравнительно легко выполнить. Что же касается чиселъ самаго общаго вида, то, вѣроятно, пришлось бы прибѣгнуть къ исчисленію кватерніоновъ, при чемъ здѣсь слѣдовало бы ожидать выводовъ, аналогичныхъ тѣмъ, съ которыми мы уже знакомы.

Вмѣстѣ съ тѣмъ подобнаго рода исчисленіе, въ виду вышеуказаннаго способа изображенія его элементовъ, было бы

исчисленіемъ геометрическихъ отрѣзковъ. У меня нѣтъ (и, вѣроятно, не будетъ) возможности продолжать ни изученіе этого вопроса ни болѣе глубокое изслѣдованіе его. Я желалъ бы только, чтобы оно привлекло вниманіе кого-нибудь изъ нашихъ молодыхъ собратьевъ; лишь на это я надѣялся, когда рѣшился выступить съ предлагаемой бѣглой замѣткой.

О дѣлимости чиселъ.

Изъ книги Леженъ-Дирикле „Vorlesungen über Zahlentheorie“. Глава I. (Въ переводѣ Я. М. Назаревскаго.)

§ 1. Мы разсмотримъ въ этой главѣ нѣкоторыя ариѳметическія теоремы, которыя, хотя и встрѣчаются въ большей части учебниковъ, однако имѣютъ столь важное значеніе въ теоріи чиселъ, что строгое обоснованіе ихъ является безусловно необходимымъ. Сюда относится прежде всего теорема, въ силу которой произведеніе нѣсколькихъ цѣлыхъ положительныхъ чиселъ не зависитъ отъ порядка, въ которомъ мы производимъ умноженіе. Разсмотримъ сначала тотъ случай, когда даны три числа а, b, с и составимъ таблицу

которая состоитъ изъ b горизонтальныхъ рядовъ, каждый рядъ содержитъ число с взятое а разъ. Теперь опредѣлимъ сумму всѣхъ чиселъ, входящихъ въ эту таблицу. При этомъ мы разсуждаемъ такъ: число с входитъ а разъ въ каждый горизонтальный рядъ, слѣд., сумма всѣхъ чиселъ этого ряда равна са, при чемъ мы множимое с ставимъ впереди множителя а. Такъ какъ число такихъ горизонтальныхъ рядовъ равно b, то сумма всѣхъ чиселъ таблицы равна (са)b, гдѣ cа — множимое, b — множитель. Но мы можемъ опредѣлить ту же самую сумму другимъ способомъ, замѣчая, что данная таблица состоитъ изъ а вертикальныхъ рядовъ, а каждый изъ этихъ рядовъ содержитъ b разъ число с. Поэтому сумма чиселъ каждаго вертикальнаго ряда равна cb, а слѣд. сумма всѣхъ чиселъ таблицы равна (сb)а. Значитъ

Полагая здѣсь произвольное число с равнымъ 1, приходимъ къ такому слѣдствію:

т.-е. при умноженіи двухъ цѣлыхъ положительныхъ чиселъ множимое можно замѣнить множителемъ и обратно. По этому самому исчезаетъ

различіе между названіями множимое и множитель и они оба называются производителями или сомножителями.

Мы можемъ, наконецъ, опредѣлить сумму всѣхъ чиселъ таблицы еще третьимъ способомъ, сосчитывая, сколько разъ число с содержится въ этой суммѣ. Число с входитъ а разъ въ каждомъ горизонтальномъ ряду, такихъ рядовъ b, слѣд., число с содержится во всей суммѣ ab разъ. Отсюда слѣдуетъ, что означенная сумма равна с (ab), слѣд.

Соединяя этотъ выводъ съ предыдущимъ, относящимся къ произведенію двухъ множителей, мы приходимъ къ слѣдующему предложенію:

Если мы имѣемъ три цѣлыхъ положительныхъ числа и произведеніе двухъ какихъ-нибудь изъ нихъ умножимъ на третье, то произведите имѣетъ одну и ту же величину, какъ бы ни были выбраны первыя два числа.

Такъ какъ величина произведенія трехъ цѣлыхъ положительныхъ чиселъ не зависитъ отъ порядка перемноженія, то всѣ эти числа безразлично называются множителями произведенія.

§ 2. На основаніи предыдущаго не трудно теперь показать, что та же самая теорема имѣетъ мѣсто для какой угодно системы S цѣлыхъ положительныхъ чиселъ

Самый общій способъ для перемноженія этихъ чиселъ, посредствомъ выполненія каждый разъ перемноженія двухъ чиселъ, состоитъ въ слѣдующемъ. Беремъ какія-нибудь два числа, принадлежащія системѣ S и составляемъ ихъ произведеніе; система чиселъ S', состоящая изъ этого произведенія и остальныхъ чиселъ системы 5 содержитъ однимъ числомъ менѣе, нежели система S.

Если мы опять перемножимъ два числа, принадлежащія системѣ S', не измѣняя прочихъ чиселъ этой системы, то придемъ къ системѣ S", которая содержитъ двумя числами менѣе, нежели первоначально данная. Продолжая такимъ образомъ и далѣе, мы приходимъ къ одному числу, и подлежащая доказательству теорема состоитъ въ томъ, что это число, получаемое въ результатѣ вычисленъ і, остается одно и то же, въ какомъ бы порядкѣ ни были произведены отдѣльныя перемноженія.

Для доказательства мы воспользуемся способомъ полной индукціи, т.-е. допустимъ, что теорема имѣетъ мѣсто для n множителей и докажемъ, что въ такомъ случаѣ она справедлива и для n + 1 множителя.

Возьмемъ систему S, состоящую изъ n + 1 чиселъ

выбираемъ два какія-нибудь числа, напр., а и b и составляемъ ихъ произведеніе ab. Тогда образуется числовая система, содержащая n чиселъ

и слѣд., конечный результатъ, согласно нашему предложенію, не зависитъ отъ порядка выполненія отдѣльныхъ перемноженій. При другомъ порядкѣ перемноженія можно было бы ожидать другого результата только тогда,

когда первая пара чиселъ отличается отъ а, 6, и при этомъ надо различать два случая.

Во-первыхъ, можетъ случиться, что при новомъ расположеніи системы одно изъ двухъ чиселъ а, b, напр. а сочетается съ однимъ изъ остальныхъ чиселъ с, d, е..., напр., съ с, такъ что новая система содержитъ n чиселъ

Такъ какъ расположеніе чиселъ прежней и новой системы не оказываетъ никакого вліянія на окончательный результатъ, то мы первую систему чиселъ располагаемъ такъ, что числа ab и с стоятъ рядомъ, а вторую — такъ, что числа ас и b стоятъ рядомъ. Такимъ образомъ въ первомъ случаѣ имѣемъ систему

а во второмъ

Такъ какъ въ силу предыдущаго параграфа произведенія (аb)с и (ас) b равны, то обѣ системы чиселъ тождественны и окончательный результатъ перемноженія будетъ одинъ и тотъ же для обѣихъ системъ, изъ которыхъ каждая содержитъ n — 1 чиселъ.

Во-вторыхъ, можетъ случиться, что при новомъ расположеніи системы не будутъ взяты ни одно изъ чиселъ а, b, а два изъ остальныхъ чиселъ, напр., с, d, такъ что имѣемъ систему чиселъ

Теперь мы можемъ какъ въ новой системѣ, такъ и въ данной производить перемноженіе въ какомъ угодно порядкѣ. Поэтому мы соединяемъ въ данной системѣ числа с, d, а въ новой а, b и получаемъ слѣдующую систему n — 1 чиселъ.

Для обѣихъ системъ слѣдовательно окончательный результатъ одинъ и тотъ же, а потому теорема доказана вообще.

Въ самомъ дѣлѣ на основаніи предыдущаго параграфа теорема справедлива для трехъ чиселъ; значитъ, она имѣетъ мѣсто и для 4, 5, 6 и т. д. чиселъ. Результатъ перемноженія называется произведеніемъ данныхъ чиселъ, а эти послѣднія множителями произведенія и ставятся одно возлѣ другого въ произвольномъ порядкѣ.

Только что доказанную теорему приходится примѣнять и тогда, когда при перемноженіи какого угодно числа множителей мы соединяемъ эти множители въ группы и находимъ произведенія чиселъ, входящихъ въ каждую изъ этихъ группъ. Эти послѣднія произведенія, будучи перемножены, даютъ результатъ, тождественный съ произведеніями всѣхъ данныхъ чиселъ. Это слѣдуетъ изъ того, что подобный порядокъ перемноженія соотвѣтствуетъ одному изъ возможныхъ способовъ расположенія данныхъ множителей, напр.

Нетрудно распространить эту теорему и на тотъ случай, когда между множителями встрѣчается какое-угодно число отрицательныхъ производителей: знакъ произведенія будетъ положительный или отрицательный, смотря по тому, будетъ ли число отрицательныхъ множителей четное или нечетное. Наконецъ нужно имѣть въ виду, что и цѣлое число нуль можетъ быть множителемъ. Въ этомъ случаѣ произведеніе всегда = 0.

§ 3. Когда число а1) есть произведеніе двухъ цѣлыхъ чиселъ b и m, такъ что а = m b, то а называется кратнымъ b. Вмѣсто этого говорятъ также, что а дѣлится на b, или b есть дѣлитель а, или, наконецъ, b входитъ въ составъ а. Всѣ эти термины одинаково употребительны, и такъ какъ въ теоріи чиселъ очень часто приходится обозначать подобную зависимость между двумя числами, то весьма удобно имѣть для этой цѣли нѣсколько различныхъ терминовъ. Изъ опредѣленія кратныхъ чиселъ вытекаютъ слѣдующія положенія, которыми впослѣдствіи придется часто пользоваться.

I. Если а — кратное b, b — кратное с, то также и а — кратное с. Въ самомъ дѣлѣ, по положенію а = mb, b = nс, гдѣ m и n — какія-нибудь цѣлыя числа; слѣд. а = m (nc) = (mn) с, и а дѣлится на е. И вообще, если въ ряду чиселъ каждое дѣлится на слѣдующее за нимъ, то каждое число есть кратное всѣхъ послѣдующихъ чиселъ.

II. Если числа а и b — кратныя числа с, то ихъ сумма и разность также кратныя числа с. Такъ какъ изъ того, что а = mc, b = nc, слѣдуетъ, что а ±b = (m ± n) с.

§ 4. Въ ученіи о дѣлимости чиселъ весьма важное значеніе имѣетъ слѣдующій вопросъ1). Даны два цѣлыя положительныя числа а и b; требуется найти общіе дѣлители этихъ чиселъ, т.-е. такія числа δ, которыя дѣлятъ одновременно а и b.

Мы можемъ допустить, что а больше или, по крайней мѣрѣ, не меньше b. Пусть а отъ дѣленія на b даетъ въ частномъ m и въ остаткѣ с, при чемъ с меньше b, слѣд.

Положимъ, что δ дѣлитъ а и b, тогда это же число δ дѣлитъ и с. Въ самомъ дѣлѣ а и b суть кратныя δ, слѣд. (§ 3) и mb и а — mb = с также кратныя δ. Отсюда мы заключаемъ, что всякій общій дѣлитель чиселъ а и b есть также общій дѣлитель чиселъ b и с. Обратно, если δ есть общій дѣлитель чиселъ b, с, то тогда mb и а = mb + с также дѣлятся на 8, слѣд. всякій общій дѣлитель чиселъ b и с есть въ то же время общій дѣлитель чиселъ а и b. Значитъ общіе дѣлители чиселъ а и b вполнѣ совпадаютъ съ общими дѣлителями чиселъ b и с и нахожденіе общихъ дѣлителей первой пары чиселъ сводится къ нахожденію общихъ дѣлителей второй пары. Такъ какъ при этомъ b не больше а, с — меньше b, то мы можемъ сказать, что рѣшеніе данной задачи сведено на рѣшеніе задачи простѣйшей.

1) Подъ словомъ число мы всегда будемъ подразумѣвать цѣлое число.

1) Начала Евклида. Книга VII, теорема 2.

Если с не равно нулю, то мы можемъ b раздѣлить на с и въ результатѣ получаемъ равенство

при чемъ остатокъ d меньше перваго остатка с. Разсужденіями, совершенно аналогичными съ предыдущимъ, мы убѣждаемся въ томъ, что общіе дѣлители чиселъ с и d вполнѣ совпадаютъ съ общими дѣлителями чиселъ b и с. а также съ общими дѣлителями чиселъ а и b.

Будемъ продолжать этотъ рядъ послѣдовательныхъ дѣленій, пока не дойдемъ до остатка, равнаго нулю, что непремѣнно должно случиться послѣ конечнаго числа дѣйствій, ибо числа b, с, d.... идутъ, постоянно убывая, и существуетъ конечное число чиселъ, меньшихъ нежели b. Поэтому мы получаемъ рядъ такихъ равенствъ

Всякій общій дѣлитель δ чиселъ а и b есть также дѣлитель с и d..., наконецъ есть дѣлитель h; обратно, если δ дѣлитъ h, то, какъ видно изъ послѣдняго равенства, 8 дѣлитъ также и g, слѣд. δ есть общій дѣлитель g и h и всѣхъ предшествующихъ чиселъ, значитъ и чиселъ b и а. Мы приходимъ, такимъ образомъ, къ слѣдующему выводу:

Общіе дѣлители чиселъ а и b вполнѣ совпадаютъ съ общими дѣлителями нѣкотораго опредѣленнаго числа h, которое всегда можетъ быть найдено путемъ послѣдовательнаго дѣленія.

Такъ какъ число h само принадлежитъ къ этимъ дѣлителямъ и по величинѣ больше всѣхъ другихъ дѣлителей, то это число h называется общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ а и b.

Такимъ образомъ наша задача рѣшена не вполнѣ, а сводится къ рѣшенію другой задачи — найти всѣ дѣлители даннаго числа h. Хотя этотъ послѣдній вопросъ и не допускаетъ непосредственнаго рѣшенія, однако, какъ это обнаружится впослѣдствіи, вышеприведенный алгориѳмъ образуетъ тотъ фундаментъ, на которомъ могутъ быть прочно установлены основныя начала теоріи чиселъ. Надобно сюда прибавить еще нѣсколько замѣчаній, чтобы не оставалось никакихъ сомнѣній въ полной общности основной теоремы и слѣдствій изъ нея вытекающихъ. Мы предполагали что а не менѣе b; но и для того случая, когда а < b, нужно только положить m = о и с = а, чтобы возвратиться къ вышеозначенному алгориѳму. Нетрудно видѣть также, что знаки чиселъ а и b могутъ быть какъ положительные, такъ и отрицательные; одно изъ этихъ чиселъ можетъ даже равняться нулю; только въ томъ единственномъ случаѣ, когда оба числа а и b равны 0, задача становится совершенно неопредѣленной.

§ 5. Особеннаго вниманія заслуживаетъ тотъ частный случай, когда общій наибольшій дѣлитель чиселъ а и b равенъ 1 такія числа называютъ

взаимно простыми или числами, не имѣющими общаго дѣлителя, или же говорятъ: а число простое съ b или относительно b. Въ силу этого опредѣленія оказывается, что при нахожденіи общаго наибольшаго дѣлителя двухъ взаимно простыхъ чиселъ мы приходимъ къ остатку, равному 1. (Когда одно изъ чиселъ а, b равно 0, другое, очевидно, = ±1). Для чиселъ взаимно простыхъ имѣетъ мѣсто слѣдующая основная теорема. Если а и b числа взаимно простыя, а к — какое-у годно число, то всякій общій дѣлитель чиселъ ak и b есть въ то же время общій дѣлитель чиселъ k и b.

Чтобы убѣдиться въ этомъ, возьмемъ тѣ равенства, которыя послужили намъ для отысканія общаго наибольшаго дѣлителя чиселъ а и b и послѣднее изъ которыхъ обращается въ f = sg + 1, такъ какъ h = 1. Умножаемъ всѣ эти равенства на k и приходимъ къ ряду такихъ равенствъ:

Пусть общій дѣлитель ak и b есть δ; тогда δ входитъ множителемъ въ mbk и въ ak — mbk = ck; затѣмъ δ входитъ множителемъ въ пск, а слѣд. и въ bk — nck = dk. Разсуждая такимъ образомъ, мы убѣждаемся въ томъ, что δ входитъ множителемъ въ fk, въ gk и, наконецъ, въ fk — sgk = k, что и требовалось доказать.

Въ послѣдующемъ намъ придется пользоваться преимущественно двумя частными случаями этой теоремы.

I. Есла а и k суть числа простыя относительно b, то и произведеніе ихъ ak есть число простое относительно b. Въ силу доказанной теоремы ak и b имѣютъ тѣхъ же общихъ дѣлителей, какъ k и b; но такъ какъ k и b числа взаимно простыя, то ихъ единственный общій дѣлитель есть 1, слѣд. и числа ak и b имѣютъ общимъ дѣлителемъ только 1, слѣд. они взаимно простыя.

II. Если b, будучи простымъ относительно а, дѣлитъ произведеніе ak, то оно дѣлитъ и k. Такъ какъ по условію ak и b имѣютъ общимъ дѣлителемъ b, то, въ силу основной теоремы, b должно быть общимъ дѣлителемъ k и b; слѣд. к дѣлится на b.

III. Первое слѣдствіе основной теоремы нетрудно обобщить. Пусть числа а, b, с, d... простыя относительно числа α, тогда и ab и abc (произведеніе чиселъ ab и с) и abcd (произведеніе чиселъ abc и d, и наконецъ, abcd..., произведеніе всѣхъ данныхъ чиселъ, простое относительно числа α. Вообще, если имѣемъ два ряда такихъ чиселъ

что каждое число перваго ряда простое относительно каждаго числа второго ряда, то произведеніе abed.... всѣхъ чиселъ перваго ряда должно быть простымъ относительно произведенія αßγδ.... всѣхъ чиселъ второго ряда. Сейчасъ было доказано, что каждое изъ чиселъ α, β, γ, δ.... простое относительно произведенія abed...., откуда слѣдуетъ, что и произведеніе ихъ αβγδ.... также простое относительно произведенія abcd....

IV. Въ частномъ случаѣ, когда числа b, с, d.равны а и числа β, γ, δ.... равны а, мы приходимъ къ такому предложенію: если числа а и а. взаимно простыя, то всякая степень числа а должна быть взаимно простой относительно всякой степени числа а.

Этимъ предложеніемъ мы пользуемся при доказательствѣ той теоремы, что корень степени m изъ цѣлаго числа А долженъ быть числомъ цѣлымъ; въ противномъ случаѣ этотъ корень — число ирраціональное. Въ самомъ дѣлѣ, всякое раціональное число имѣетъ видъ r : s, гдѣ r и s цѣлыя числа не имѣющія общаго дѣлителя.

Такъ какъ rm = Asm, то гт дѣлится на sm; но г и s, а слѣд. и гт и sm числа взаимно простыя, поэтому sm = 1, значитъ s = 1 и корень степени m изъ А равенъ цѣлому числу r.

§ 6. Вопросъ поставленный въ § 4 можетъ быть обобщенъ и нахожденіе общихъ дѣлителей ряда чиселъ а, b, с, d.... приводитъ насъ къ тѣмъ же самымъ выводамъ.

Пусть h будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ числа а и b, тогда, какъ уже извѣстно, всякій общій дѣлитель а и b есть также дѣлитель h и обратно; поэтому всякій общій дѣлитель трехъ чиселъ а, b, с есть въ то же время общій дѣлитель чиселъ h и с и обратно. Если мы означимъ черезъ k общій наибольшій дѣлитель чиселъ h и с, то всякое число, входящее множителемъ одновременно въ а b, с, должно дѣлить k и обратно: всякое число, дѣлящее к, должно дѣлить всѣ три числа а, b, с. Отыскиваемъ затѣмъ общій наибольшій дѣлитель l чиселъ к и d; тогда общіе дѣлители чиселъ а, b, с, d тѣ же, что и дѣлители числа l и т. д. Мы приходимъ, такимъ образомъ, къ слѣдующему выводу: если данъ рядъ чиселъ а, b, с, d...., то существуетъ одно и только одно число m, имѣющее то свойство, что всякое число, входящее множителемъ одновременно въ а, b, с, d..., входитъ также въ m и обратно, всякій дѣлитель числа m долженъ дѣлить всѣ данныя числа а, b, с, d.... Это вполнѣ опредѣленное число m называется общимъ наибольшимъ дѣлителемъ данныхъ чиселъ. — Исключеніе составляетъ тотъ случай, когда всѣ данныя числа равны 0. Если мы положимъ, что а = ma', b = mb', с = тс', d = md'...., тогда числа а', b', с', d'.... имѣютъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ единицу или, какъ говорятъ, эти числа не имѣютъ общихъ дѣлителей. Обратно, если числа а', b', с', а' не имѣютъ общихъ дѣлителей, то очевидно, что m есть общій наибольшій дѣлитель чиселъ та', mb', mc', md'....

Кстати замѣтимъ здѣсь, разъ навсегда, что когда числа а, b, с, d.... называются взаимно простыми, это значитъ, что всякія два изъ нихъ взаимно простыя. Такія числа, конечно, не имѣютъ общихъ дѣлителей, но не всѣ числа, не имѣющія общихъ дѣлителей, должны быть числами взаимно простыми.

§ 7. Вопросъ, обратный только что изслѣдованному, заключается въ слѣдующемъ:

Данъ рядъ чиселъ а, b, с, d.... и требуется найти всѣ общія кратныя данныхъ чиселъ, т.-е. такія числа, которыя дѣлятся на каждое изъ данныхъ чиселъ. Такъ какъ искомое число должно дѣлиться на а, то оно имѣетъ видъ sa, гдѣ s — какое-нибудь цѣлое число. Если 8 есть общій наибольшій дѣлитель чиселъ а = δа' и b = δb', то а' и b' — числа взаимно простыя. Такъ какъ sa = sa'δ должно дѣлиться на b = b'δ, то sa' должно дѣлиться на b', слѣд. (§ 5, 2) и s должно дѣлиться на b' и должно быть вида s' b', гдѣ s' означаетъ цѣлое число.

Такимъ образомъ всѣ числа кратныя чиселъ а и b должно быть вида sa = s' а' b' δ и обратно, всѣ числа этого вида дѣлятся какъ на а = а' 8, такъ и на b = b' δ.

Отсюда видно, что всѣ числа кратныя а и b совпадаютъ съ числами кратными опредѣленнаго числа.

которое называется поэтому наименьшимъ кратнымъ чиселъ а и b.

Для того чтобы распространить эту теорему на рядъ чиселъ а, b, с, d...., нужно только замѣтить, что всякое число кратное

необходимо должно быть кратнымъ чиселъ

и обратно. Поэтому мы отыскиваемъ сначала наименьшее кратное ν чиселъ μ и с, затѣмъ наименьшее кратное ρ чиселъ ν и d и т. д. Такимъ образомъ обнаруживается, что всѣ числа кратныя данныхъ чиселъ а, b, с, d.... совпадаютъ съ числами кратными нѣкотораго опредѣленнаго числа ω которое называется поэтому наименьшимъ кратнымъ данныхъ чиселъ.

Особеннаго вниманія заслуживаетъ тотъ случай, когда числа а, b, с, d..., взаимно простыя. Здѣсь δ = 1, поэтому наименьшее кратное двухъ взаимно простыхъ чиселъ а и b равняется ихъ произведенію ab. Далѣе, с, взаимно простое по отношенію къ числамъ а и b, а слѣд. (§ 5, 1) по отношенію къ произведенію ихъ ab; значитъ, abc есть наименьшее кратное чиселъ а, b, с и т. д. Словомъ, мы приходимъ къ такому результату: Всякое число, которое дѣлится на каждое изъ взаимно простыхъ чиселъ а, b, с, d...., дѣлится также и на ихъ произведеніе abcd....

§ 8. Всякое число дѣлится на единицу и на самое себя, поэтому всякое число — исключая единицу — имѣетъ, по крайней мѣрѣ, два дѣлителя. То число, которое не имѣетъ другихъ дѣлителей, кромѣ этихъ двухъ, называется числомъ первоначальнымъ, простымъ или абсолютно простымъ (numerus primus); при этомъ единицу не слѣдуетъ причислять къ простымъ числамъ, ибо многія теоремы относительно простыхъ чиселъ не имѣютъ мѣста для единицы. Изъ этого опредѣленія слѣдуетъ, что если р— число простое и а — какое-угодно цѣлое число, то либо а дѣлится на р,

либо р и а—числа взаимно простыя, такъ какъ общій наибольшій дѣлитель чиселъ а и р равенъ или р или 1.

Отсюда далѣе слѣдуетъ: если произведеніе нѣсколькихъ чиселъ а, b, с, d..., дѣлится на простое число р, то, по крайней мѣрѣ, одно изъ чиселъ а, b, с, d.... дѣлится на р.

Въ самомъ дѣлѣ, если бы ни одно изъ данныхъ чиселъ не дѣлилось на р, то р было бы взаимно простымъ по отношенію къ каждому изъ нихъ, а слѣд. по отношенію къ ихъ произведенію, что противорѣчитъ предположенію, въ силу котораго произведеніе данныхъ чиселъ дѣлится на р.

Всякое число, которое, кромѣ единицы и самого себя, имѣетъ и другихъ дѣлителей, называется составнымъ (mimerus compositus). Это названіе оправдывается слѣдующей основной теоремой: всякое составное число всегда можетъ быть представлено и притомъ только однимъ способомъ—въ видѣ произведенія конечнаго числа простыхъ чиселъ.

Доказательство. Такъ какъ всякое составное число m, кромѣ 1 и m, имѣетъ и другихъ дѣлителей, то пусть а одинъ изъ такихъ дѣлителей; если а — число не простое, а составное, то оно имѣетъ, кромѣ 1 и а, какой-нибудь дѣлитель b; если b — число составное, то оно имѣетъ дѣлитель с, отличный отъ 1 и b. Продолжая итти такимъ образомъ далѣе, мы дойдемъ, наконецъ, до какого-нибудь первоначальнаго числа, такъ какъ числа m, а, b, с.... убываютъ и рядъ этихъ чиселъ содержитъ конечное число членовъ, иначе существовало бы безконечное множество чиселъ меньшихъ числа m. Итакъ, послѣдній членъ этого ряда число простое, означимъ его черезъ р; такъ какъ каждый членъ этого ряда — число кратное слѣдующаго за нимъ, то первый членъ m долженъ быть кратнымъ послѣдняго р, слѣд. m = рm'.

Если m'— число первоначальное, то теорема доказана; если же m' — число составное, то должно существовать такое первоначальное число р', что

Если m" — число составное, то мы продолжаемъ разложеніе m до тѣхъ поръ, пока m не будетъ представлено въ видѣ произведенія однихъ только простыхъ чиселъ. Этихъ разложеній должно быть конечное число, ибо рядъ цѣлыхъ чиселъ m, m', m".... убывающій и потому конечный.

Такимъ образомъ доказана та часть теоремы, которая указываетъ на возможность разложенія составного числа. Но очевидно, что порядокъ послѣдовательнаго выдѣленія простыхъ множителей до извѣстной степени произволенъ и поэтому остается еще доказать, что результатъ разложенія остается одинъ и тотъ же, какимъ бы способомъ это разложеніе ни было выполнено.

Допустимъ, что существуютъ два различныя разложенія числа m, одно разложеніе

и другое

гдѣ всѣ числа р, р', р".... и q, q', q".... абсолютно простыя. Такъ какъ произведеніе рр'р".... дѣлится на простое число q, то, по крайней мѣрѣ, одинъ изъ множителей, напр. р, дѣлится на q; р, какъ число простое, дѣлится только на 1 и на р, слѣд. q = p, такъ какъ q не равно 1. Отсюда слѣдуетъ, что

и такимъ же точно образомъ можно доказать, что q' должно равняться одному пзъ простыхъ чиселъ р', р"...., напр. р', слѣд.

Отсюда слѣдуетъ, что всякое простое число, входящее множителемъ во второе разложеніе одинъ или нѣсколько разъ, входитъ, по крайней мѣрѣ, столько же разъ и въ первое разложеніе. Но то же самое простое число входитъ во второе разложеніе, по крайней мѣрѣ, столько же разъ, сколько разъ оно входитъ въ первое—что доказывается тѣмъ же самымъ Способомъ—поэтому всякое простое число входитъ множителемъ въ оба разложенія одинаковое число разъ, и слѣд. эти два разложенія совершенно одинаковы.

Такимъ образомъ теорема доказана вполнѣ. Мы можемъ разложенію составного числа m дать болѣе удобную форму, если произведеніе одинакихъ простыхъ чиселъ представимъ въ видѣ степени.

Пусть, напр., простое число а входитъ множителемъ въ разложеніе числа m ровно α разъ, тогда всѣ эти множители могутъ быть замѣнены степенью aα, если есть и другіе простые множители и одинъ изъ нихъ напр. b входитъ ß разъ, тогда эти множители замѣняются степенью bβ, и мы продолжаемъ такимъ образомъ и далѣе, пока не будутъ исчерпаны всѣ простые множители, входящіе въ составъ числа m. Слѣд. всякое составное число можетъ быть представлено въ видѣ

гдѣ а, b, с.... означаютъ различныя простыя числа, входящія въ m и α, β, γ....—цѣлыя положительныя числа. Понятно, что эта формула содержитъ въ себѣ не только всѣ составныя, но и всѣ простыя числа.

Такимъ образомъ простыя числа передставляютъ тотъ матеріалъ, изъ котораго образуются всѣ прочія числа. Первоначальныхъ чиселъ существуетъ безчисленное множество. Это предложеніе было доказано уже Евклидомъ1) слѣд. образомъ. Предположимъ, что существуетъ конечное число простыхъ чиселъ и пусть послѣднее, т.-е. наибольшее изъ нихъ, равно р. Если мы возьмемъ всѣ эти простыя числа

тогда всякое число, большее р, должно быть составнымъ и должно дѣлиться, по крайней мѣрѣ, на одно изъ этихъ простыхъ чиселъ. Но нетрудно найти такое число, которое, во-первыхъ, больше р, а, во-вторыхъ, не дѣлится ни

1) Начала Евклида, книга IX, теорема 20.

на одно изъ этихъ простыхъ чиселъ. Для нахожденія такого числа нужно къ произведенію простыхъ чиселъ отъ 2 до р прибавить 1, тогда число

больше р, такъ какъ уже 2 р больше р и затѣмъ не дѣлится ни на одно изъ простыхъ чиселъ въ предѣлахъ отъ 2 до р, ибо при дѣленіи на каждое изъ такихъ чиселъ даетъ въ остаткѣ 1. Такимъ образомъ мы приходимъ къ противорѣчію съ сдѣланнымъ предположеніемъ, и теорема слѣд. доказана.

Эго предложеніе представляетъ частный случай другого болѣе общаго, состоящаго въ томъ, что всякая безконечная ариѳметическая прогрессія, которой общій членъ равняется кх + m, при чемъ первый членъ m и разность k; —числа взаимно простыя, содержитъ безчисленное множество простыхъ чиселъ. Но насколько просто было доказательство этой теоремы для частнаго случая k = 1, настолько же трудно доказать теорему въ общемъ видѣ. Это удалось только съ помощью принциповъ, принадлежащихъ исчисленію безконечно малыхъ.

§ 9. Только что доказанная основная теорема даетъ весьма удобный критерій для рѣшенія вопроса, дѣлится ли число m на число n, если только мы допустимъ, что оба числа разложены на простые множители. Положимъ, что m дѣлится на n, такъ что m = nq, тогда всякое первоначальное число, входящее въ n, должно входить также и въ т; поэтому число n не можетъ содержать другихъ простыхъ множителей, кромѣ тѣхъ, которые входятъ въ m и притомъ каждый изъ такихъ множителей входитъ въ n не большее число разъ, чѣмъ въ m. Обратно, если каждый простой множитель числа n входитъ, по крайней мѣрѣ, столько же разъ въ число m, второе число дѣлится на первое.

Пусть а, b, c.... различныя простыя числа, входящія въ m, такъ что

тогда всѣ дѣлители n этого числа m заключаются въ формулѣ

при чемъ

Пользуясь этой формулой, можно доказать нѣсколько интересныхъ теоремъ.

Прежде всего, очевидно, что всякая комбинація значеній α', ß', γ' и т. д. доставляетъ одно изъ значеній дѣлителя числа m и такъ какъ двѣ такія различныя комбинаціи соотвѣтствуютъ (по § 8) двумъ различнымъ дѣлителямъ числа m, то число всѣхъ дѣлителей m равно

Число дѣлителей зависитъ, слѣд., отъ показателей α, ß, γ...., но не отъ простыхъ чиселъ а, b, с....

Возьмемъ ряды чиселъ

и составимъ всѣ произведенія вида aα'bβ'cγ'..., при чемъ въ составъ каждаго произведенія входитъ по одному множителю изъ каждаго горизонтальнаго ряда таблицы. Всѣ эти произведенія различны между собой и представляютъ собою всѣ дѣлители числа m. Мы можемъ найти сумму всѣхъ этихъ дѣлителей, перемножая суммы всѣхъ горизонтальныхъ рядовъ, т.-е.

Слѣд. сумма всѣхь дѣлителей числа m равна

Возьмемъ, напр., m = 60 = 22. 3. 5, всѣ дѣлители этого числа — слѣдующія числа:

число ихъ равно а сумма ихъ равна

§ 10. Возвратимся теперь къ одной изъ предыдущихъ задачъ (§ 6), именно къ нахожденію общаго наибольшаго дѣлителя нѣсколькихъ чиселъ, предполагая, что эти числа разложены на простые множители. Изъ этихъ послѣднихъ мы исключаемъ всѣ тѣ, которые не входятъ въ одно или въ нѣсколько данныхъ чиселъ. Если бы такимъ образомъ пришлось исключить всѣ простые множители, тогда единица есть общій наибольшій дѣлитель данныхъ чиселъ. Въ противномъ случаѣ остается, послѣ этого предварительнаго исключенія, напр. число а, которое входитъ, по крайней мѣрѣ, одинъ разъ въ каждое изъ данныхъ чиселъ. Затѣмъ сосчитываемъ, сколько разъ это число а входитъ множителемъ въ каждое изъ данныхъ чиселъ и означимъ наименьшій изъ показателей числа а черезъ α, такъ что а входитъ въ одно изъ данныхъ чиселъ множителемъ α разъ, во всѣ же остальныя числа — не менѣе α разъ. Подобнымъ образомъ поступаемъ со всѣми остальными числами b, с.... и находимъ для числа b показатель ß, для числа с — показатель γ и т. д. точно такъ же, какъ для а

мы нашли показатель α. Тогда искомый общій наибольшій дѣлитель равняется

Этотъ способъ нахожденія общаго наибольшаго дѣлителя основанъ на томъ, что общій наибольшій дѣлитель можетъ содержать только тѣ простые множители, которые входятъ въ каждое изъ данныхъ чиселъ и притомъ каждый изъ этихъ множителей входитъ въ общій наибольшій дѣлитель не чаще, нежели въ какое-либо изъ данныхъ чиселъ.

Подобнымъ же образомъ рѣшается и другая задача — найти наименьшее кратное нѣсколькихъ чиселъ (§ 7). Въ составъ наименьшаго кратнаго должны входить всѣ простыя числа, входящія въ составъ данныхъ чиселъ, и притомъ съ наибольшими показателями. Если напр. a, b, с... .—простые множители, входящіе въ составъ данныхъ чиселъ, тогда искомое наименьшее кратное выражается формулой

гдѣ показатель α' опредѣляется тѣмъ условіемъ, что простое число а входитъ множителемъ, по крайней мѣрѣ, въ одно изъ данныхъ чиселъ α' разъ, во всѣ же прочія числа — не болѣе α' разъ. Этотъ способъ нахожденія наименьшаго кратнаго основанъ на томъ, что искомое число должно содержать всякій простой множитель, входящій въ составъ данныхъ чиселъ и притомъ, по крайней мѣрѣ, столько же разъ, сколько разъ его содержатъ данныя числа.

Наконецъ предыдущія положенія даютъ возможность узнать, будетъ ли данное число

точною r-ою степенью какого-нибудь цѣлаго числа k. Условіе необходимое и достаточное для этого заключается въ томъ, что всѣ показатели α, ß, γ.... должны дѣлиться на г, что слѣдуетъ изъ уравненія

§ 11. Мы переходимъ теперь къ изслѣдованію вопроса, который интересенъ и самъ по себѣ и, кромѣ того, играетъ важную роль въ послѣдующемъ изложеніи. Возьмемъ рядъ натуральныхъ чиселъ

до какого-нибудь числа m и опредѣлимъ, сколько въ этомъ ряду чиселъ взаимно простыхъ съ числомъ m. Число такихъ чиселъ обозначается обыкновенно черезъ φ (m), гдѣ буква (р имѣетъ значеніе функціональнаго символа1). Такъ какъ единица число взмимно простое съ единицею, то

далѣе мы опредѣляемъ непосредственно

1) Гауссъ. Disquisitiones Arithmeticae, art. 38.

Теперь нужно найти общее выраженіе для функціи φ (m), и мы увидимъ, что для этого достаточно знать всѣ простые множители, входящіе въ составъ m. Наша задача приводится къ слѣдующей: опредѣлить число тѣхъ чиселъ ряда, которыя не дѣлятся ни на одно изъ простыхъ чиселъ а, b, с...., а послѣдняя задача, въ свою очередь, представляетъ частный случай такой задачи.

Числа а, b, с.... взаимно простыя и входятъ всѣ въ составъ числа m; требуется опредѣлить, сколько чиселъ въ ряду

(M)

не дѣлятся ни на одно изъ чиселъ a, b, c....

При этомъ оказывается, что задача въ общемъ видѣ рѣшается легче, нежели въ частномъ случаѣ. Для рѣшенія вопроса въ общемъ видѣ мы исключаемъ изъ ряда (М) всѣ тѣ числа, которыя дѣлятся на а; это—числа

число ихъ = m/a; если эти числа исключены изъ ряда (M), то остается

(1)

чиселъ, которыя не дѣлятся на а. Означимъ совокупность всѣхъ этихъ чиселъ черезъ (А).

Изъ этой совокупности нужно исключить всѣ числа кратныя b. Это, очевидно, тѣ числа ряда (М), которыя удовлетворяютъ двумъ условіямъ: они не дѣлятся на а и дѣлятся на b. Числа, удовлетворяющія второму условію, слѣдующія:

для того чтобы одно изъ этихъ чиселъ, напр. rb, удовлетворяло и первому условію, необходимо и достаточно, чтобы коэффиціентъ r не дѣлился на а. Это слѣдуетъ изъ того, что числа а и b взаимно простыя и слѣд. rb дѣлится или нѣтъ на а, смотря по тому, дѣлится ли r на а или нѣтъ (§ 5, 2). Поэтому изъ ряда (А) придется исключить столько чиселъ, сколько чиселъ ряда

не дѣлится на а. Но m дѣлится и на а и на b, слѣд. и на ab, поэтому дѣлится на а. Наша задача по отношенію къ числу m/b та же самая, какую мы рѣшили по отношенію къ числу m при помощи формулы (1). Слѣд. изъ ряда (А) придется исключить

чиселъ и такимъ образомъ оказывается, что

(2)

есть число тѣхъ чиселъ ряда (A), которыя не дѣлятся на b или, что то же самое, число тѣхъ чиселъ ряда (M), которыя не дѣлятся ни на а, ни на b.

Означимъ совокупность этихъ послѣднихъ чиселъ черезъ (В) и, разсуждая такимъ же точно образомъ, мы по аналогіи заключаемъ, что число (K) тѣхъ чиселъ ряда (M), которыя не дѣлятся ни на одно изъ чиселъ а, b, c, ..., k равно

(3)

Чтобы доказать эту теорему вообще, допустимъ, что она имѣетъ мѣсто для чиселъ а, b, с.. к и посмотримъ, какъ измѣнится послѣдняя формула (3), если къ даннымъ числамъ а, b, с....к присоединимъ число l, которое, во-первыхъ, входитъ въ составъ m, а, во-вторыхъ, должно быть взаимно простымъ съ каждымъ изъ чиселъ а, b, с....k.

Чтобы найти число тѣхъ чиселъ ряда (М), которыя не дѣлятся ни на одно изъ чиселъ а, b, с....к, l, мы должны изъ совокупности (K) тѣхъ чиселъ, которыя не дѣлятся ни на одно изъ чиселъ а. b, с....k и число которыхъ опредѣляется формулой (3), исключить числа, кратныя l. Это — тѣ числа ряда (М), которыя, во-первыхъ, не дѣлятся ни на одно изъ чиселъ а, b, с....к и, во-вторыхъ, дѣлятся на l. Всѣ числа ряда (М) кратныя l суть слѣдующія:

и для того, чтобы одно изъ нихъ, напр. rl, не дѣлилось ни на одно изъ чиселъ а, b, с....к, необходимо n достаточно, чтобы коэффиціентъ г обладалъ этимъ свойствомъ.

Поэтому изъ ряда (K) придется исключить столько чиселъ, сколько найдется чиселъ въ ряду

такихъ, которыя не дѣлятся ни на одно изъ чиселъ а, b....k, а именно

на основаніи допущенной нами формулы (3).

Если мы исключимъ эти послѣднія числа изъ ряда (К), то у насъ останутся тѣ числа этого ряда, которыя не дѣлятся ни на одно изъ чиселъ а, b, с....к, l; число ихъ равно

Такимъ образомъ теорема доказана вообще. Возвращаясь къ первоначальной задачѣ, мы получимъ слѣдующій выводъ1).

Если а, b....к, l — различныя простыя числа, входящія въ составъ m, то число чиселъ взаимно простыхъ съ m и заключающихся въ ряду

опредѣляется формулой

Это слѣдуетъ изъ того, что всякое число, не дѣлящееся ни на одно изъ простыхъ множителей, входящихъ въ составъ m, должно быть взаимно простымъ съ m.

Только что найденной формулѣ мы можемъ дать другой видъ. Если а, b, с.... различныя простыя числа, входящія въ составъ m, то m можно представить въ видѣ произведенія степеней простыхъ чиселъ

и тогда

Примѣнимъ эту теорему къ частному случаю, полагая m = 60. Числа, простыя относительно 60 и не больше 60, суть слѣдующія:

такихъ чиселъ 16. Пользуясь вышедоказанной формулой и имѣя въ виду, что въ составъ 60 входятъ простыя числа 2, 3, 5, находимъ

§ 12. Изъ найденнаго нами выраженія для φ(m) слѣдуетъ такая теорема: Если m и m' — числа взаимно простыя, то

Въ самомъ дѣлѣ, если а, b, с.... простыя числа, входящія въ составъ m и а', b', с'.. простыя числа, входящія въ составъ m', то всѣ простыя числа

различны между собой, такъ какъ числа m и m' взаимно простыя. Всѣ эти простыя числа входятъ въ произведеніе mm' и обратно, всякое простое число, входящее въ произведеніе mm', должно быть тождественно съ однимъ изъ чиселъ

(1)

ибо такое число входитъ множителемъ или въ m или въ m'.

1) Эйлеръ. Theoremata arithmetica nova methodo demonstrafa и Speculantiones circa quasdam insignes proprietates numerorum.

Словомъ, всѣ числа ряда (1) представляютъ собою совокупность всѣхъ простыхъ чиселъ, входящихъ въ составъ mm', слѣд.

Такъ какъ, съ другой стороны,

что и требовалось доказать.

Напр.,

Очевидно, что эта теорема имѣетъ мѣсто для произведенія какого-угодно числа множителей m, m', m"...., если только эти множители числа взаимно простыя. Такъ, напр.,

§ 13. Вопросъ объ опредѣленіи функціи (m) представляетъ, собственно говоря, частный случай слѣдующей задачи:

Данъ рядъ чиселъ

и требуется найти число тѣхъ чиселъ этою ряда, которыя имѣютъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ съ m число δ, при чемъ δ есть дѣлитель числа m = nδ.

Мы можемъ свести эту задачу къ предыдущей. Прежде всего очевидно, что искомыя числа находятся между числами кратными δ, т.-е. между числами

Чтобы δ было общимъ наибольшимъ дѣлителемъ числа m = nδ и какого-нибудь числа вида гг, необходимо и достаточно, чтобы r и n были числами взаимно простыми.

Слѣд., искомыхъ чиселъ столько, сколько найдется чиселъ ряда

простыхъ относительно п; число такихъ чиселъ равно φ(n). Въ томъ случаѣ, когда δ = 1, мы приходимъ къ частному случаю, разсмотрѣнному въ предыдущемъ параграфѣ.

Изъ рѣшенія послѣдней задачи вытекаетъ одно замѣчательное свойство функціи φ(m), которое имѣетъ большое значеніе для послѣдующаго. Выпишемъ всѣ дѣлители

числа

и раздѣлимъ m чиселъ

на столько группъ, сколько число mn имѣетъ дѣлителей δ, при чемъ къ первой группѣ мы относимъ всѣ тѣ числа, которыя имѣютъ съ mn общимъ наибольшимъ дѣлителемъ δ' и число которыхъ равно φ(n'), ко второй группѣ — тѣ числа, которыя имѣютъ съ mn общимъ наибольшимъ дѣлителемъ δ" и число которыхъ равно φ(n") и т. д. Очевидно, что каждое изъ mn чиселъ принадлежитъ къ одной и только къ одной изъ этихъ группъ и потому сумма чиселъ

показывающихъ, сколько членовъ содержится въ первой группѣ, во второй, въ третьей и т. д., должна равняться числу всѣхъ данныхъ чиселъ, т.-е. m. Такъ какъ числа n", n"'.... представляютъ не что иное, какъ дѣлители числа m, то мы приходимъ къ такому выводу1).

Если n принимаетъ значенія равныя каждому изъ дѣлителей числа mn, то имѣетъ мѣсто слѣдующее равенство

Провѣримъ эту теорему на какомъ-нибудь частномъ примѣрѣ. Пусть m = 60, тогда n принимаетъ слѣдующія значенія

Но

и сумма всѣхъ этихъ чиселъ дѣйствительно равна 60.

§ 14. Вышеприведенное доказательство одно изъ важнѣйшихъ свойствъ функціи φ(m) вытекаетъ непосредственно изъ опредѣленія этой послѣдней и не требуетъ предварительнаго опредѣленія вида самой функціи φ(m)2). Будетъ, однако, не лишнимъ дать другое доказательство для того же свойства, опирающееся на извѣстное уже намъ выраженіе φ(m) и слѣдствія изъ этого выраженія вытекающія.

Всякій дѣлитель n числа

имѣетъ видъ

1) Гауссъ. Disquisitiones Arithmeticae art. 39.

2) Это свойство вполнѣ опредѣляетъ функцію φ(m), такъ что выраженіе самой функціи (§ 11) можетъ быть выведено изъ этого свойства.

гдѣ а, b, с..., означаютъ, какъ и прежде, различныя простыя числа. Такъ какъ числа аα', bβ', cγ'.... взаимно простыя, то

Чтобы найти всѣ дѣлители /г числа ш, нужно

Если мы возьмемъ сумму всѣхъ значеній φ(n), то, очевидно, эта сумма равна произведенію слѣдующихъ суммъ:

Но первая изъ нихъ равна

вторая равна третья равна и т. д. Слѣд.

что и требовалось доказать.

§ 15. Мы переходимъ теперь къ вопросу, рѣшеніе котораго доставляетъ чисто ариѳметическое доказательство одной теоремы, доказываемой обыкновенно при помощи другихъ соображеній. Вопросъ заключается въ опредѣленіи показателя наивысшей степени простого числа р, входящей въ произведеніе

гдѣ m означаетъ какое-угодно цѣлое число.

Если мы означимъ черезъ m' наибольшее цѣлое число, содержащееся въ дроби —, то изъ числа m множителей произведенія m! на р дѣлятся слѣдующіе m' множителей:

Такъ какъ прочіе множители при нашемъ изслѣдованіи не имѣютъ никакого значенія, то искомый показатель равенъ показателю наивысшей степени числа р, входящей въ произведеніе

и слѣд. равняется суммѣ двухъ слагаемыхъ: m' и показателя наивысшей степени р, входящей въ произведеніе

гдѣ m", m'".... означаютъ наибольшія цѣлыя числа, содержащіяся въ дробяхъ m' : р, m" :р....

Очевидно, что рядъ чиселъ m', m", m"'.... убывающій и потому конечный. Искомый показатель = 0, если р > m, ибо въ этомъ случаѣ уже m' = 0. При этомъ можно замѣтить, что m', m", m'" .... представляютъ также наибольшія цѣлыя числа, содержащіяся въ дробяхъ m:р, m:р2, m:р3.... Это слѣдуетъ изъ того, что если г есть наибольшее цѣлое число, содержащееся въ т:а и s — наибольшее цѣлое число, содержащееся въ r:b, то s — наибольшее цѣлое число содержащееся въ m:аb.

Положимъ, напр., m = 60 и р = 7. Тогда наибольшее цѣлое число m', содержащееся въ 60/7 равно 8; наибольшее цѣлое число m", содержащееся въ 8/7 или 60/49 равно 1 и, наконецъ, наибольшее цѣлое число m'", содержащееся въ 1/7 или въ 60/343 равно 0, слѣд. наивысшая степень 7, входящая въ произведеніе 60!, есть 78 + 1 = 79.

Только что полученные результаты даютъ возможность доказать слѣдующую теорему:

Если

Отсюда непосредственно слѣдуетъ, что искомый показатель равенъ

то отношеніе

есть число цѣлое.

Означимъ черезъ р какое-нибудь простое число, входящее въ знаменатель данной дроби; тогда, пользуясь прежними обозначеніями, находимъ, что показатели наивысшихъ степеней р, входящихъ въ произведенія f!, g!, h! и т. д. равны соотвѣтственно

а показатель наивысшей степени р, входящей въ составъ всего знаменателя, равенъ

Съ другой стороны, показатель наивысшей степени р, входящей въ числитель дроби, равенъ

остается только показать, что послѣдняя сумма не меньше первой. Такъ какъ

то очевидно, что

Отсюда слѣдуетъ, что

слѣд. и подавно

Такъ какъ каждое простое число, входящее въ знаменатель, входитъ и въ числитель, по крайней мѣрѣ, столько же разъ, значитъ числитель дѣлится на знаменатель и данное отношеніе равно цѣлому числу.

Изъ этого слѣдуетъ, что произведеніе m послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ

всегда дѣлится на произведеніе первыхъ m чиселъ натуральнаго ряда

Дѣйствительно, частное

равно

слѣд., есть число цѣлое.

§ 16. Этимъ мы и заканчиваемъ рядъ теоремъ, относящихся къ дѣлимости чиселъ; но при этомъ будетъ не лишнимъ бросить ретроспективный взглядъ на логическую связь и послѣдовательность всѣхъ предыдущихъ положеній. Тогда мы замѣчаемъ прежде всего, что вся теорія дѣлимости чиселъ зиждется на одномъ основаніи, а именно на алгориѳмѣ, служащемъ для отысканія общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ.

Что всѣ послѣдующія теоремы, при изложеніи которыхъ приходится пользоваться понятіемъ о числахъ взаимно простыхъ и абсолютно простыхъ, представляютъ только слѣдствіе основной теоремы,—это настолько очевидно, что мы въ правѣ сдѣлать такое заключеніе: во всякой теоріи въ которой существуетъ алгориѳмъ, подобный алгориѳму общаго наибольшаго дѣлителя, должны имѣть мѣсто теоремы вполнѣ аналогичныя теоремамъ, относящимся къ дѣлимости чиселъ.

Такія теоремы, дѣйствительно, существуютъ; если, напр., а означаетъ какое-нибудь данное положительное цѣлое число, а t и и —перемѣнныя дѣйствительныя цѣлыя числа, то числа вида

называются цѣлыми комплексными числами или просто цѣлыми числами, n изъ двухъ чиселъ такого вида одно называется кратнымъ другого, если первое есть произведеніе второго и какого-нибудь третьяго числа того же

вида. Но только при нѣкоторыхъ опредѣленныхъ значеніяхъ а, напр., при а = 1, отысканіе общихъ дѣлителей двухъ чиселъ требуетъ конечнаго числа дѣйствій, точно такъ же, какъ это имѣетъ мѣсто для алгориѳма общаго наибольшаго дѣлителя двухъ дѣйствительныхъ чиселъ; поэтому теорія чиселъ вида t + u√—1 вполнѣ аналогична съ теоріей дѣйствительныхъ чиселъ. Совсѣмъ иное оказывается, если, напр., а = 11; для чиселъ вида t + и √-11 уже не имѣетъ мѣсто теорема, въ силу которой всякое число можетъ быть только однимъ способомъ представлено въ видѣ произведенія неразлагаемыхъ чиселъ. Такъ, напр., число 15 можно представить или въ видѣ произведенія 3.5 или въ видѣ произведенія

хотя ни одно изъ чиселъ

не разлагается болѣе на множители вида t + u√—11. Причина этого интереснаго факта заключается въ томъ, что для чиселъ этого вида алгориѳмъ, служащій для нахожденія общихъ дѣлителей двухъ чиселъ, не можетъ быть построенъ при помощи конечнаго числа дѣйствій1).

Историческій очеркъ теоріи чиселъ.

(Изъ книги „Введеніе въ анализъ“ проф. А. В. Васильева. Выпускъ I. Изданіе 3-е. Казань, 1907 г.)

Теорія чиселъ до Фермата. Китайцы, персы имѣли особенные гіероглифы для изображенія чиселъ; финикіянамъ, кажется, принадлежитъ особенный способъ изображать числа буквами, который отъ нихъ перешелъ къ грекамъ, а отъ грековъ уже къ болгарамъ. Несмотря на то, что при этомъ способѣ изображенія правила для производства операцій очень неудобны, у этихъ народовъ были уже задатки теоріи чиселъ. Такъ, китайцамъ приписываютъ теорему:

Но въ особенности въ древности свойства чиселъ интересовали философовъ Италійской школы, основателемъ которой былъ знаменитый Пиѳагоръ (род. 570 г. до Р. Х.). Ихъ занятія этимъ предметомъ были въ связи съ ихъ ученіемъ о природѣ вещей. Они учили, что „числа суть

1) Цѣлыя комплексныя числа вида t + u√—1 были введены въ теорію чиселъ въ первый разъ Гауссомъ.

причины существованія вещей; вещи только копіи съ чиселъ". Въ умѣ Пиѳагора эти фразы означали, можетъ быть, только увѣренность, что всѣ явленія подчинены строгимъ законамъ, выражающимся числами. Но въ его школѣ мало-по-малу эта здравая мысль замѣнилась мистическимъ ученіемъ, по которому всякому свойству цѣлаго числа подыскивалось какое-нибудь толкованіе.

Гораздо важнѣе по результатамъ стремленіе Пиѳагора отыскать цѣлыя числа, которыя могли бы быть катетами и гипотенузою прямоугольнаго треугольника, т.-е. удовлетворяли бы условію:

Онъ далъ рѣшеніе въ видѣ

гдѣ а можетъ быть какое угодно число цѣлое, нечетное. Послѣ того знаменитый Платонъ далъ другое рѣшеніе въ видѣ:

Платонъ оставилъ послѣ себя школу математиковъ, которые продолжали заниматься геометріей и, вѣроятно, свойствами чиселъ. Но отрывочность свѣдѣній, дошедшихъ до насъ, не позволяетъ судить о томъ, что было сдѣлано каждымъ изъ нихъ. О совокупности же достигнутыхъ результатовъ мы можемъ составить себѣ ясное понятіе, изучая сочиненіе Эвклида „Элементы“. Эвклидъ (300 г. до Р. Х.) въ 7, 8 и 9 книгахъ этого сочиненія собралъ все, что было сдѣлано до него по теоріи чиселъ—изслѣдованія о дѣлимости чиселъ, общихъ дѣлителяхъ и кратныхъ. Въ 10-й книгѣ изложено принадлежащее ему ученіе о несоизмѣримыхъ величинахъ. Эвклидъ былъ одинъ изъ первыхъ ученыхъ Александрійской школы, которая обезсмертила себя многими великими открытіями.

Профессоръ Александръ Васильевичъ Васильевъ.

Къ той же школѣ принадлежитъ Эратосѳенъ (род. 276 г. до Р. Х.), которому ариѳметика обязана извѣстною методою находить простыя числа, „рѣшетомъ Эратосѳена"1).

Тѣмъ не менѣе нужно замѣтить, что знаменитая Александрійская школа, къ которой принадлежали такіе астрономы, какъ Аристархъ, Гиппархъ и Птоломей, такіе геометры, какъ Аполлоній Пергійскій, не сдѣлала соотвѣтствующихъ успѣховъ въ алгебрѣ и теоріи чиселъ: единственное сочиненіе по этимъ наукамъ явилось только во время упадка Александрійской школы. Но и геній величайшаго ариѳметика Греціи не могъ пробудить въ умахъ любви къ падающей наукѣ, противъ которой шли религіозный фанатизмъ и политическія событія; мы подразумѣваемъ Діофанта Александрійскаго, автора „Задачъ ариѳметическихъ" (13 книгъ, изъ которыхъ до насъ дошло только 6).

Но прежде, чѣмъ говорить о немъ, упомянемъ объ одномъ его предшественникѣ. Nicomachos (изъ Аравіи) былъ ревностный послѣдователь Пиѳагорейской школы и поэтому онъ съ любовью занимался теоріей чиселъ. Одно изъ его сочиненій, совершенно свободное отъ той мистики, которая отличала Пиѳагорейскую школу, представляетъ ясный и подробный сводъ современныхъ ему ариѳметическихъ знаній грековъ. Онъ приводитъ много теоремъ относительно простыхъ и многоугольныхъ чиселъ; у него же въ первый разъ находится теорема, что сумма нечетныхъ чиселъ, начиная съ 1, всегда равняется квадрату. Зато заглавіе другого его сочиненія: „Ариѳметическія изслѣдованія о Богѣ и Божественныхъ вещахъ" достаточно краснорѣчиво, чтобы дать понятіе объ его содержаніи. Nicomachos интересенъ въ томъ отношеніи, что онъ служитъ связью между пиѳагорейцами и Діофантомъ, который жилъ въ половинѣ IV столѣтія. Въ своемъ сочиненіи онъ занимается рѣшеніемъ многихъ неопредѣленныхъ уравненій въ цѣлыхъ числахъ; поэтому неопредѣленный анализъ даже называется по его имени „Анализомъ Діофанта".

Сочиненіе Діофанта по своей важности имѣло много комментаріевъ. Знаменитѣйшій комментарій въ древности, къ несчастью потерянный, принадлежитъ Гипатіи, дочери Ѳеона Александрійскаго, знаменитой своею смертью отъ рѵкъ разъяренной христіанской черни, фанатизированной противъ философіи и ея представителей.

Послѣ истребленія Александрійской библіотеки и закрытія христіанскими императорами преподаванія въ Александрійскомъ музеумѣ, наступило то время обскурантизма

1) См. 1-ю книгу настоящей хрестоматіи.

и фанатическихъ споровъ, которое называется средними вѣками. Наука сохранилась только у арабовъ. Въ Европѣ же ея мѣсто замѣнили самые нелѣпые споры; здравыя научныя понятія, выработанныя греками, замѣнились предразсудками. Въ это время „мистеріи чиселъ“ занимали умы нѣсколько больше, чѣмъ другія математическія науки; появлялось нѣсколько комментаріевъ на „Ариѳметическія изслѣдованія о Богѣ“ Никомаха; магическіе квадраты считались талисманами. Очевидно, все это не могло содѣйствовать развитію методовъ и науки.

Только въ періодѣ возрожденія наукъ сдѣлала успѣхи и теорія чиселъ. Bachet de Meziriac (1587—1638) самостоятельно нашелъ извѣстный способъ рѣшать неопредѣленныя уравненія 1-й степени съ двумя неизвѣстными и опубликовалъ его въ сочиненіи: „Problèmes plaisants et délectables“1).

Ферматъ (1601—1655). Отцомъ теоріи чиселъ по справедливости считается Ферматъ. Ему принадлежитъ громадное множество чрезвычайно важныхъ теоремъ, которыя онъ оставилъ большею частью безъ доказательствъ на поляхъ принадлежавшаго ему экземпляра сочиненій Діофанта.

Такова теорема его („малая теорема Фермата“), хр— x = 0 (мод. р), если р есть абсолютно простое число, а x —какое угодно число. Такова знаменитая теорема

его, относящаяся къ такъ называемымъ многоугольнымъ числамъ. Если мы составимъ ариѳметическую прогрессію, начинающуюся съ 1 и имѣющую разностью k—2, т.-е. рядъ чиселъ:

(1)

и затѣмъ изъ этого ряда чиселъ (1) составимъ новый, члены котораго послѣдовательно равны: первому члену

Пьеръ Ферма. (Fermât).

1) Недавнія изслѣдованія показали, однако, что подобное рѣшеніе было извѣстно еще индійскимъ математикамъ (VI ст. по Р. Х.) Brahmagupta и Bhascara Acharva (XII ст.).

ряда (1), суммѣ первыхъ двухъ членовъ, суммѣ первыхъ трехъ членовъ и т. д., т.-е. рядъ:

(2)

Рядъ (2), общій членъ котораго имѣетъ форму

и есть рядъ многоугольныхъ (k—угольныхъ) чиселъ; названіе это объясняется тѣмъ, что, взявъ шары равнаго діаметра, въ числѣ, равномъ одному изъ этихъ чиселъ, мы можемъ составить изъ этихъ шаровъ правильный k-угольникъ. Еще древніе интересовались этими числами; Діофантъ написалъ о нихъ изслѣдованіе. Ферматъ далъ замѣчательную теорему: „Каждое число можетъ быть представлено подъ видомъ суммы к k—угольныхъ чиселъ, т.-е. трехъ треугольныхъ1), четырехъ квадратовъ, пяти пятиугольныхъ и т. д.“ (1 и 0 считаются многоугольными числами). Доказательство этой общей теоремы дано Коши. Особенно интересенъ частный случай: „Каждое число можетъ быть представлено подъ видомъ суммы четырехъ квадратовъ“. Теорема эта доказана Якоби съ помощью теоріи эллиптическихъ функцій.

Знаменитѣйшая изъ всѣхъ теоремъ („большая теорема Фермата“), теорема, по которой уравненіе xn + yn = zn не можетъ быть рѣшено въ цѣлыхъ числахъ при n > 2, до сихъ поръ еще не доказана вполнѣ. Послѣ того, какъ Эйлеръ далъ доказательство для n = 3 и n = 4, Lejeune Dirichlet доказалъ для n = 5 и Ламе для n = 7. Наконецъ Куммеръ далъ доказательство для безконечнаго множества цѣлыхъ чиселъ, но доказательство Куммера не примѣнимо ко всѣмъ числамъ. Наконецъ, Ферматъ обратилъ вниманіе на важность рѣшенія въ цѣлыхъ числахъ уравненія t2 — Dn2 = 1, гдѣ D есть нѣкоторое цѣлое число; уравненіе это часто носитъ названіе „Пеллевскаго уравненія“.

Эйлеръ. Послѣ Фермата наибольшія услуги теоріи чиселъ оказали Эйлеръ (1707—1783), Лежандръ и Лагранжъ. Мемуары Эйлера по теоріи чиселъ изданы въ двухъ большихъ томахъ Петербургскою Академіей наукъ подъ именемъ: „Commentationes Arithmeticae collectae“.

Эти два большіе тома содержатъ 94 мемуара по теоріи чиселъ, которые издатели (въ изданіи принимали участіе В. Я. Буняковскій и П. Л. Чебышевъ) располагали въ

1) См. брошюру Е. Григорьева: Къ теоремѣ Фермата о разложеніи всякаго числа въ сумму трехъ 3-угольныхъ чиселъ, Казань. 1903.

хронологическомъ порядкѣ; но вмѣстѣ съ тѣмъ издатели присоединили систематическій указатель, содержаніе котораго мы считаемъ полезнымъ привести, какъ дающаго представленіе о совокупности работъ Эйлера по теоріи чиселъ.

Отдѣлъ I. (Дѣлимость чиселъ.) а) О цѣлыхъ числахъ по отношенію къ ихъ разложенію на множители. Таблицы простыхъ чиселъ. О числѣ чиселъ взаимно простыхъ съ даннымъ и меньшихъ даннаго. О суммахъ дѣлителей чиселъ. Дружественныя числа.

b) Дѣлимость различныхъ формулъ.

c) Теорія остатковъ и квадратичныхъ вычетовъ.

Отдѣлъ II. Разложеніе чиселъ на суммы различныхъ формъ, а) Разложеніе чиселъ на квадраты, на треугольныя числа и члены пропорціональные квадратамъ. b) Разбіеніе чиселъ.

Отдѣлъ III. Анализъ Діофанта, а) Опредѣленіе двухъ или многихъ неизвѣстныхъ, опредѣленныхъ однимъ уравненіемъ. b) Опредѣленіе многихъ неизвѣстныхъ, опредѣленныхъ двумя, тремя, четырьмя или болѣе уравненіями. с) Неопредѣленные вопросы, приводящіе къ уравненіямъ, число которыхъ превышаетъ число неизвѣстныхъ (задача о магическихъ квадратахъ).

Интересныя изслѣдованія Эйлера по вопросу о представленіи чиселъ подъ видомъ суммъ—разбіеніи чиселъ— заключаются въ сочиненіи Эйлера: „Introductio in Analysin infinitorum". Второй томъ „Алгебры“ Эйлера также сполна посвященъ неопредѣленному анализу; замѣчательныя „приложенія“, сдѣланныя къ этому тому Лагранжемъ, дѣлаютъ это сочиненіе однимъ изъ наиболѣе цѣнныхъ для изученія теоріи чиселъ.

Эйлеру принадлежитъ созданіе теоріи „степенныхъ вычетовъ“, изслѣдованія по теоріи квадратичныхъ вычетовъ и изслѣдованія относительно представленія чиселъ въ видѣ x2 + ту2. Эти изслѣдованія были развиты Лежандромъ и Лагранжемъ и приведены въ систематическую форму Гауссомъ.

Лежандръ (1752—1833) оставилъ послѣ себя большое систематическое сочиненіе подъ заглавіемъ Théorie de nombres.

Труды Лагранжа (1736—1815) важны для теоріи чиселъ въ особенности тѣмъ, что они выяснили значеніе ученія о непрерывныхъ дробяхъ.

Гауссъ (1777—1855) Этотъ знаменитый „princeps mathematicorum“ 24-лѣтнимъ юношею издалъ (въ 1801 г.) свое сочиненіе „Disquisitiones arithmeticae“, которое до сихъ поръ должно быть изучаемо всякимъ, кто желаетъ познакомиться

съ теоріею чиселъ. Въ этомъ сочиненіи положены основанія такъ называемой ариѳметической теоріи формъ.

Формами называются однородныя цѣлыя функціи (многочлены) отъ нѣсколькихъ независимыхъ перемѣнныхъ, т.-е. функціи F (x,y,z,..), имѣющія то свойство, что

гдѣ s есть цѣлое число = степень формы. Напримѣръ:

Формы раздѣляются 1) по числу перемѣнныхъ—на бинарныя (двѣ перемѣнныхъ), тернарныя и т. п., и 2) по степени формы—на линейныя (1-й степени), квадратичныя, кубичныя и т. д.

Теорія формъ можетъ быть алгебраической, когда и коэффиціенты и перемѣнныя могутъ принимать какія угодно численныя значенія, и ариѳметической, въ которой коэффиціенты и перемѣнныя предполагаются цѣлыми числами и которая составляетъ часть теоріи чиселъ. Главнѣйшій вопросъ, который рѣшается съ помощью теоріи формъ, есть вопросъ объ опредѣленіи чиселъ, которыя могутъ быть представлены формою. Говорятъ, что число n можетъ быть представлено выраженіемъ

Жозефъ Луи Лагранжъ.

К. Ф. Гауссъ.

F (x, y, z,..), когда существуютъ цѣлыя значенія x,y,z,.. которыя дѣлаютъ F(x.y,z,.. .) равною п; имѣемъ, напр., слѣдующую теорему: линейная форма mx + nу можетъ представить всякое число, дѣлящееся на общій наибольшій дѣлитель m и n, и она не можетъ представить никакихъ другихъ чиселъ. Въ частности, если m и n суть числа взаимно простыя, то линейная форма mx + nу можетъ представить новое число.

Сочиненіе „Disquisitiones Arithmeticae“ раздѣляется на 7 отдѣловъ, изъ которыхъ первые четыре посвящены болѣе элементарнымъ вопросамъ (свойства сравненій, теорія степенныхъ вычетовъ, сравненія 2-й степени).

Въ V отдѣлѣ изучается только что упомянутая теорія квадратичныхъ бинарныхъ и тернарныхъ формъ, но въ особенности замѣчателенъ послѣдній, седьмой отдѣлъ сочиненія, содержащій приложеніе теоріи чиселъ (именно теоріи первообразныхъ корней) къ рѣшенію знаменитой еще съ древности задачи о дѣленіи круга на m равныхъ частей, или о построеніи съ помощью циркуля и линейки правильнаго многоугольника о m сторонахъ. Греческимъ математикамъ были извѣстны построенія правильнаго треугольника и правильнаго пятиугольника; такъ какъ кромѣ того имъ извѣстно было дѣленіе всакаго угла на два, то съ помощью циркуля и линейки можно было на основаніи этихъ результатовъ раздѣлить кругъ на 2γ, 2γ.3, 2γ.5, 2γ.3.5 равныхъ частей (у = 0, 1, 2,...). Гауссъ съ помощью теоріи чиселъ показалъ, что кругъ съ помощью циркуля и линейки можетъ быть раздѣленъ на р равныхъ частей, если p есть абсолютно-простое число вида 22μ + 1 и вмѣстѣ съ тѣмъ показалъ, что дѣленіе съ помощью круга и линейки не выполнимо для всѣхъ другихъ простыхъ чиселъ и степеней простыхъ чиселъ. Если положимъ μ = 0, то p = 3; для μ = 1 получимъ р = 5, т.-е. имѣемъ случаи, извѣстные еще въ древности. Далѣе, при μ = 2 имѣемъ р—222 + 1 = 17—случай, для котораго Гауссъ выполнилъ дѣленіе. Для μ = 3 имѣемъ р = 223 + 1 = 257— также простое число, слѣдовательно, 257-угольникъ построить можно. Тоже самое имѣетъ мѣсто для 65537-угольника, такъ какъ р — 22 + 1 = 65537—число простое. μ = 5, 6, 7, 13 и 23 не даютъ простыхъ чиселъ; случаи μ, равнаго остальнымъ числамъ до 23 — и подавно, а болѣе 23 еще никѣмъ не изслѣдованы, и мы не знаемъ, будетъ ли р въ этихъ случаяхъ простымъ числомъ или нѣтъ. Уже доказательства, что получаемыя μ = 5, 6, 7, 13 и 23 громадныя числа не суть простыя, потребовали затраты

большихъ усилій и навыка. Весьма возможно, что μ = 4 есть послѣднее число, которое даетъ рѣшеніе. Относительно 257-угольника Richelot напечаталъ обширную работу въ журналѣ Grelle’a1). На 65537-угольникъ потратилъ десять лѣтъ своей жизни Hermes въ Lingen'ѣ, чтобы изслѣдовать точно всѣ корни, являющіеся въ методѣ Гаусса2).

Въ своихъ дальнѣйшихъ работахъ Гауссъ нашелъ нужнымъ разсматривать въ „Теоріи чиселъ“, кромѣ ряда цѣлыхъ положительныхъ чиселъ, цѣлыя комплексныя числа вида a + bi, гдѣ і = √—1, а и b—цѣлыя вещественныя числа.

Введеніе этихъ чиселъ привело не къ усложненію, а, напротивъ, къ упрощенію, напр., теоріи биквадратичныхъ вычетовъ.

Поэтому послѣ Гаусса,—Якоби, Леженъ Диришле, Куммеръ начали изучать комплексныя числа болѣе общія, а именно вида

гдѣ е, e2, ..., en-1 —суть мнимые корни изъ единицы, т.-е. корни уравненія

коэффиціенты же a0, a1,..., аn-1 суть цѣлыя вещественныя числа.

Наконецъ, Кронекеръ и Дедекиндъ создали общую теорію цѣлыхъ алгебрическихъ чиселъ, свойства которыхъ суть обобщеніе свойствъ цѣлыхъ вещественныхъ чиселъ.

Изслѣдованія Гаусса относительно формъ также получили значительное обобщеніе. Эрмитъ и другіе разсматривали общую теорію квадратичныхъ формъ съ n перемѣнными. Многіе замѣчательные результаты были получены въ теоріи чиселъ отъ сближенія ея съ такъ называемой теоріей эллиптическихъ функцій, и въ этомъ отношеніи начало положилъ Якоби. Приведу одинъ примѣръ. Въ теоріи эллиптическихъ функцій изучается зависимость К отъ нѣкоторой величины q и получаются двѣ строки:

1) „De resolutione algebraica aequationis x257—1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata“. Crelle’s journ. IX. 1832.

2) Желающихъ познакомиться съ методою Гаусса и построеніемъ стороны правильнаго 17-угольника мы отсылаемъ къ изданію Физико-математическаго общества: „Ф. Клейнъ. Лекціи по избраннымъ вопросамъ элементарной геометріи. Перев. Н. Н. Парфентьева подъ редакціею Д. М. Синцова. Казань. 1898“.

(т.-е. первая строка содержитъ въ себѣ степени, показатель которыхъ есть самый квадратъ, между тѣмъ какъ вторая строка содержитъ всѣ степени безъ исключенія).

Сопоставленіе этихъ двухъ формулъ даетъ доказательство теоремы, что число можетъ быть представлено подъ видомъ суммы четырехъ квадратовъ.

Ліувилль далъ безъ доказательства весьма большое число формулъ теоріи чиселъ, основанныхъ на такомъ же приложеніи теоріи эллиптическихъ функцій. Доказательства этихъ теоремъ были даны профессоромъ Казанскаго университета П. С. Назимовымъ.

Кромѣ вышеупомянутыхъ въ историческомъ очеркѣ, важные вклады въ теорію чиселъ сдѣлали Эйзенштейнъ, Риманъ, Эд. Лукасъ (Е. Lucas) и др.

Въ Россіи въ области теоріи чиселъ работали Чебышевъ, Буняковскій, Бугаевъ, Золотаревъ, Ю. В. Сохоцкій и др.

Лучшими учебниками по теоріи чиселъ являются въ настоящее время, кромѣ вышеупомянутыхъ классическихъ сочиненій Гаусса и Лежандра, слѣдующіе:

Lejeune-Dirichlet. Vorlesungen über die Zahlentheorie. Bachmann. Zahlentheorie.

Kronecker. Vorlesungen über Zahlentheorie.

Lucas. Théorie des nombres.

Cahen. Théorie des nombres.

На русскомъ языкѣ мы имѣемъ замѣчательную по ясности изложенія „Теорію сравненій“ Чебышева и второй томъ сочиненія Ю. В. Сохоцкаго „Высшая алгебра“. Для подробнаго знакомства съ теоріей чиселъ необходимо рекомендовать также: Report on the theory of numbers—Стефана Смита, помѣщавшееся въ Reports of the British Association за 1859 и слѣд. годы.

Введеніе въ теорію чиселъ.

(Вступительная лекція проф. Н. В. Бугаева, прочитанная имъ въ Московскомъ университетѣ въ 1863 году).

Приступая къ изложенію теоріи чиселъ, я считаю полезнымъ сдѣлать прежде всего краткій историческій обзоръ ея развитія для того, чтобы вывести изъ этого обзора опредѣленіе, наиболѣе точно характеризующее ея научное содержаніе. Такое опредѣленіе уяснитъ намъ значеніе теоріи чиселъ въ общей системѣ чисто математическихъ наукъ и дастъ понятіе о характерѣ тѣхъ мето-

довъ, которыми пользуются геометры при изслѣдованіи ея истинъ. Подобный способъ изложенія я считаю полезнымъ, потому что при помощи его не только опредѣлится планъ и тѣ научныя цѣли, которыя должно имѣть постоянно въ виду при изложеніи ея содержанія, но и сдѣлается понятною логическая необходимость этого плана. Для лучшаго объясненія послѣдующаго историческаго очерка я считаю не лишнимъ замѣтить, что еще не такъ давно къ теоріи чиселъ относили преимущественно истины, имѣющія въ виду какъ различныя свойства цѣлыхъ чиселъ вообще, такъ и свойства ихъ со стороны способности удовлетворять неопредѣленнымъ уравненіямъ; поэтому теорія чиселъ въ своемъ историческомъ развитіи имѣетъ по характеру своего содержанія нѣкоторую связь съ ариѳметикой. Многіе ученые, даже до настоящаго времени, называютъ ея высшей ариѳметикой.

Происхожденіе теоріи чиселъ или высшей ариѳметики принадлежитъ къ отдаленнымъ временамъ древности и не отмѣчено, какъ и начало всякой науки, никакими яркими, характерными чертами. Если даже оставить индѣйцевъ, о математическихъ трудахъ которыхъ мы такъ мало знаемъ, и обратиться къ классическому міру, то изъ разсказовъ Прокла можно полагать, что уже Пиѳагору были извѣстны нѣкоторыя свойства цѣлыхъ чиселъ, и школа Пиѳагора пользовалась этими свойствами какъ матеріаломъ для своихъ мистическихъ аллегорій. Оставляя догадки и становясь на болѣе прочную историческую почву, мы встрѣчаемъ изъ древнихъ писателей Евклида, у котораго многія истины теоріи чиселъ облечены въ строго-научную форму, и Ератосѳена, считавшагося изобрѣтателемъ такъ называемаго рѣшета Ератосѳена (cribrum Eratosthenis); такое названіе носитъ пріемъ Ератосѳена, при помощи котораго онъ отдѣлялъ простыя числа отъ сложныхъ. Но самымъ замѣчательнымъ древнимъ ариѳметикомъ мы должны, безъ

Николай Васильевичъ Бугаевъ.

(1837—1903).

всякаго сомнѣнія, считать Діофанта александрійскаго, написавшаго сочиненіе около половины IV вѣка по Р. Х. Затѣмъ, хотя длинный періодъ средневѣковаго застоя въ наукахъ не ознаменованъ никакими важными открытіями въ теоріи чиселъ, однако онъ не прошелъ безъ благихъ послѣдствій для нашей науки. Введеніе по всей Европѣ индѣйской системы нумераціи и развитіе алгебры подготовило болѣе прочную почву для высшей ариѳметики. Эта подготовка имѣла такое важное значеніе, что вслѣдъ затѣмъ, какъ были найдены шесть книгъ Діофанта въ половинѣ XVI вѣка, теорія чиселъ пошла быстрыми шагами впередъ.

Одинъ изъ издателей Діофанта Bachot de Meziriac заслужилъ извѣстность въ исторіи науки тѣмъ, что разрѣшилъ въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленное уравненіе первой степени съ двумя неизвѣстными и обнародовалъ это рѣшеніе въ 1612 году въ сочиненіи: Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres. Самымъ же замѣчательнымъ геометромъ XVII вѣка, прославившимся въ числѣ другихъ ученыхъ трудовъ своими открытіями по теоріи чиселъ, былъ великій Ферматъ, парламентскій совѣтникъ въ Тулузѣ, умершій въ 165 5 году. Обладая необыкновенными математическими способностями, онъ далъ цѣлый рядъ основныхъ предложеній теоріи чиселъ. Нѣкоторыя изъ этихъ теоремъ такъ и остались въ наукѣ подъ его именемъ. Соединяя въ то же время съ математическимъ складомъ ума счастливую способность къ наведенію, Ферматъ далъ нѣсколько предложеній безъ доказательства,—предложеній, которыя еще теперь заставляютъ задумываться геометровъ и приводятъ ихъ иногда къ мысли, что онъ обладалъ многими пріемами, неизвѣстными для насъ, а ту бездоказательную форму, въ которую Ферматъ облекалъ свои теоремы, объясняютъ духомъ времени. Дѣйствительно, между англійскими и французскими математиками существовало въ то время научное соревнованіе, побуждавшее ихъ скрывать другъ отъ друга пути, по которымъ они доходили до своихъ предложеній. Къ числу такихъ недоказанныхъ предложеній принадлежитъ извѣстная теорема Фермата о невозможности разрѣшить въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленное уравненіе xn + yn = zn, какъ скоро цѣлый показатель болѣе двухъ. Теорема эта обращала на себя вниманіе Ейлера, Дирикле, Ламе, Лебега, и доказана только для нѣкоторыхъ частныхъ случаевъ. Современникъ Фермата Frenicle de Bessi подвизался точно такъ же съ большимъ успѣхомъ въ разрѣшеніи различныхъ задачъ неопредѣленнаго анализа, при помощи различныхъ методъ исключенія неподходящихъ рѣшеній. Къ этимъ именамъ нужно

присоединить имена Валлиса, Брункера, которому Валлисъ приписывалъ рѣшеніе въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленнаго уравненія вида і2 — Du2 = 1, уравненія, извѣстнаго въ наукѣ подъ именемъ Пеллева уравненія, по имени англійскаго математика Пелля.

Открытія Фермата, недостаточныя для того, чтобъ образовать самостоятельную науку, возбудили, однако, всеобщій интересъ къ изслѣдованіямъ подобнаго рода. Несмотря на это, до самого Ейлера почти никто не занимался этими изслѣдованіями. Это происходило съ одной стороны оттого, что вниманіе математиковъ было въ это время возбуждено въ высшей степени и отвлечено открытіями въ алгебрѣ и методами дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій; съ другой стороны самыя открытія въ теоріи чиселъ требовали новыхъ пріемовъ, новыхъ началъ, слѣдовательно, такихъ условій, которыя рѣдко встрѣчаются. Ейлеръ первый сдѣлалъ изысканія, вошедшія потомъ въ общую часть теоріи чиселъ. Онъ положилъ основаніе теоріи указателей, двучленныхъ сравненій и теоріи квадратичныхъ формъ, и первый показалъ, какимъ образомъ можно помощью безконечныхъ рядовъ достигать до весьма важныхъ заключеній въ теоріи чиселъ. Къ такого рода изслѣдованіямъ принадлежитъ его замѣчательная теорема о суммѣ дѣлителей даннаго цѣлаго числа. Изслѣдованія Ейлера продолжалъ Лагранжъ своими открытіями въ теоріи дѣлителей квадратичныхъ формъ, имѣющей непосредственное приложеніе къ опредѣленію дѣлителей даннаго числа и изысканіями, имѣющими въ виду рѣшеніе въ цѣлыхъ числахъ неопредѣленныхъ уравненій второй степени.

Всѣмъ этимъ изысканіямъ, разсѣяннымъ по различнымъ журналамъ и академическимъ запискамъ, далъ въ первый разъ строгую систематическую форму Legendre въ своемъ сочиненіи „Essai sur la théorie des nombres“. Въ этомъ сочиненіи, отъ котораго получила свое названіе теорія чиселъ, помимо систематическаго изложенія современнаго состоянія науки, Legendre предложилъ нѣкоторыя новыя изысканія. Почти одновременно съ сочиненіемъ Лежандра явилось въ 1801 г. сочиненіе Гаусса Disquisitiones arithmeticae, въ которомъ онъ первый разъ строго доказалъ законъ взаимности двухъ простыхъ чиселъ, предложилъ съ другой точки зрѣнія теорію квадратичныхъ формъ, разработалъ статью о тройныхъ формахъ, о сложеніи формъ, и показалъ связь теоріи чиселъ съ вопросомъ о дѣленіи круга. Сочиненіемъ Гаусса заканчивается тотъ періодъ теоріи чиселъ, когда съ понятіемъ о ней непосредственно связывалась идея о неопредѣленномъ анализѣ. Неопредѣленный анализъ, въ которомъ разсматриваются преимущественно свойства цѣ

лыхъ чиселъ со стороны ихъ способности удовлетворять неопредѣленнымъ уравненіямъ, и на развитіе котораго преимущественно было вначалѣ направлено вниманіе геометровъ, входитъ въ первый отдѣлъ теоріи чиселъ. Изысканія, входящія въ этотъ отдѣлъ, составляютъ строго очерченный кругъ математическихъ истинъ по цѣли, требованіямъ, вытекающимъ изъ этой цѣли, и по научнымъ методамъ изученія. Если бы теорія чиселъ ограничивалась только вопросами неопредѣленнаго анализа, то задача ея по отношенію къ другимъ частямъ чистой математики была бы вполнѣ ясна. Но неопредѣленный анализъ далеко не исчерпываетъ богатаго научнаго матеріала, составляющаго предметъ теоріи чиселъ. При современномъ состояніи науки къ ней относятъ въ то же время рядъ изысканій, или вовсе не находящійся ни въ какой внутренней связи съ теоріей неопредѣленныхъ уравненій, или имѣющій къ неопредѣленному анализу только нѣкоторое соотношеніе. Понятія о теоріи чиселъ и неопредѣленномъ анализѣ были до извѣстной степени синонимами только до тѣхъ поръ, пока изслѣдованія, относящіяся къ другому отдѣлу, не получали достаточнаго развитія и не обнимали значительнаго количества научныхъ фактовъ съ другимъ характеромъ. Когда же изысканія, не относящіяся къ неопредѣленному анализу, стали по объему и важности затрогиваемыхъ вопросомъ выдѣляться въ особую группу, тогда сдѣлалось необходимымъ принять ихъ въ соображеніе и расширить прежнее опредѣленіе теоріи чиселъ. Постараемся же обнаружитъ общую идею въ изслѣдованіяхъ, относящихся ко второму отдѣлу, и посмотримъ, подъ вліяніемъ какого общаго признака они могутъ слагаться въ особую группу научныхъ истинъ.

Несмотря на разнообразіе методовъ изслѣдованія и на кажущееся отсутствіе общей цѣли въ задачахъ, входящихъ во второй отдѣлъ теоріи чиселъ, есть, однако, одинъ важный признакъ, связывающій изъ въ одно цѣлое. Признакъ этотъ заключается въ особомъ характерѣ функцій, разсматриваемыхъ въ этомъ отдѣлѣ, въ особомъ свойствѣ ихъ измѣняться въ связи съ измѣненіемъ перемѣннаго. Всѣ функціи, разсматриваемыя въ анализѣ, обладали свойствомъ постепеннаго измѣненія, въ связи съ постепеннымъ измѣненіемъ перемѣннаго. Такія функціи назывались аналитическими. Во второмъ отдѣлѣ теоріи чиселъ разсматриваются функціи, не обладающія этимъ свойствомъ постепеннаго измѣненія, функціи неаналитическія. Функція аналитическая имѣла всегда значеніе для всякаго дѣйствительнаго или мнимаго значенія перемѣннаго, функція неаналитическая можетъ вовсе не имѣть никакого значенія

для нѣкоторыхъ величинъ перемѣннаго. Однимъ словомъ, если бы мы изображали величины перемѣннаго точками на одной плоскости такъ, чтобы абсциссы соотвѣтствовали дѣйствительнымъ, ординаты — мнимымъ частямъ перемѣннаго, а величины функціи подобнымъ же образомъ на другихъ плоскостяхъ, то самое общее опредѣленіе аналитической функціи состоитъ въ томъ, что ни для какой сплошной части плоскости или линіи, соотвѣтствующей измѣненію перемѣннаго, какъ бы эти части ни были малы, функція аналитическая не можетъ сохранять того же самаго значенія, т.-е. опредѣляться на другихъ плоскостяхъ одною точкою. Функціи неаналитическія или числовыя не имѣютъ этого свойства. Въ примѣръ такой неаналитической функціи возьмемъ ρ(n) функцію, выражающую число дѣлителей цѣлаго числа n. Для n = 2, функція р(2) = 2, ибо число 2 имѣетъ двухъ дѣлителей 1 и 2; для значеній перемѣннаго между 2 и 3 функція ρ(n) не имѣетъ никакого смысла; для значенія перемѣннаго, равнаго 3, функція опять равна 2, ибо число 3 имѣетъ двухъ дѣлителей; для n = 4 величина функціи равна 3. Итакъ, не только значенія этой числовой функціи, но даже значенія перемѣннаго по самому смыслу ея должны измѣняться скачками.

Изъ всего вышесказаннаго мы приходимъ къ заключенію, что теорія чиселъ распадается на два огромныхъ отдѣла: а) теорію неопредѣленныхъ уравненій или неопредѣленный анализъ и b) теорію функцій неаналитическихъ или числовыхъ. Конечно, между этими отдѣлами есть много точекъ соприкосновенія. Нѣкоторыя числовыя функціи суть или самые корни, или выраженія, опредѣляющія число корней неопредѣленныхъ уравненій; но такія сближенія между этими отдѣлами нисколько не нарушаютъ общаго характера въ опредѣленіи и не могутъ помѣшать оріентироваться при его помощи въ такомъ разнообразномъ научномъ матеріалѣ, какой предлагается теоріею чиселъ.

При рѣзкомъ различіи въ основныхъ свойствахъ функцій аналитическихъ и числовыхъ понятно, что методы, выработанные анализомъ для изслѣдованія функцій аналитическихъ, не могутъ быть безусловно прилагаемы къ функціямъ числовымъ. При изученіи этихъ послѣднихъ требуются особые пріемы, вытекающіе изъ самой сущности и опредѣленія данной числовой функціи. Притомъ нужно даже съ большою осторожностью выставлять требованіе, чтобы теорія чиселъ давала общіе методы, имѣющіе силу для всѣхъ числовыхъ функцій, ибо часто совершенно отъ нашего произвола зависитъ условіе, чтобы функція числовая измѣнялась въ такомъ, а не другомъ смыслѣ, съ тѣми, а не другими ограниченіями. Общность методовъ въ те

оріи чиселъ нѣсколько обусловливается этими ограниченіями.

Для насъ вовсе не подлежитъ сомнѣнію, что общность въ пріемахъ можетъ существовать для той или другой группы числовыхъ функцій. Мы не станемъ въ настоящую минуту указывать на эти пріемы, а выставимъ только тѣ общія соображенія, которыя невольно связываются съ мыслью о томъ, какого рода вопросы могутъ входить во второй отдѣлъ теоріи чиселъ и въ какомъ смыслѣ можетъ быть понимаемо вообще изученіе числовыхъ функцій.

Для точнаго понятія о какой-нибудь функціи нужно показать, во-первыхъ, ея отношеніе къ другимъ функціямъ, уже извѣстнымъ, во-вторыхъ, состояніе ея при различныхъ условіяхъ, вліяющихъ на нее. Это общее соображеніе приложимо и къ числовымъ функціямъ и указываетъ тотчасъ на основные вопросы при ихъ изученіи. Дѣйствительно, въ большей части изслѣдованій, относящихся къ числовымъ функціямъ, имѣютъ въ виду или: а) показать отношеніе этихъ функцій къ функціямъ аналитическимъ, или b) найти зависимость ихъ отъ другихъ числовыхъ функцій, или с) изслѣдовать такія соотношенія, въ которыя входитъ та же самая функція при различныхъ значеніяхъ перемѣннаго.

При изученіи соотношеній между функціями числовыми и функціями аналитическими на первомъ мѣстѣ является вопросъ о томъ, какою аналитическою функціею можетъ быть выражено извѣстное числовое свойство, зависящее отъ извѣстной числовой функціи. Очевидно, что здѣсь нельзя требовать, чтобы возможно было найти аналитическую функцію, вполнѣ выражающую данную числовую. Этого невозможно требовать по самому характеру числовыхъ функцій. Но во всякомъ случаѣ возможно и полезно искать такія аналитическія выраженія, которыя съ какимъ-нибудь приближеніемъ равны даннымъ числовымъ для допускаемыхъ значеній перемѣннаго.

Очень мало числовыхъ функцій, дозволяющихъ непосредственную постановку такого вопроса. Къ числу ихъ нужно отнести функцію, выражающую число первыхъ чиселъ, не превосходящихъ даннаго предѣла.

Большая часть числовыхъ функцій измѣняется совершенно неправильно; несмотря на это, въ средней величинѣ нѣкоторыхъ изъ нихъ иногда замѣчается стремленіе все къ большей и большей правильности. Аналитическое выраженіе, къ которому приближается въ предѣлѣ такая средняя величина, Дирикле называетъ выраженіемъ ассимитотическимъ. Такимъ образомъ, числовая функція ρ(n), выражающая число дѣлителей цѣлаго числа n, измѣняется весьма неправильно. Если же мы возьмемъ выраженіе φ(n) =

опредѣляющее среднюю величину этихъ функцій, то оно съ возрастаніемъ перемѣннаго n стремится все ближе и ближе къ выраженію Неперова логариѳма. Подобнымъ же образомъ функція ∫(n), выражающая по обозначенію Ейлера сумму дѣлителей даннаго цѣлаго числа n, измѣняется совершенно неправильно съ измѣненіемъ n, между тѣмъ, какъ величина выраженія

стремится съ возрастаніемъ n къ ассимптотическому выраженію π2/12 n съ ошибкой, не превосходящей величины logn.

Возьмемъ еще одинъ интересный примѣръ для ассимптотическихъ выраженій. Если будемъ дѣлить цѣлое число n послѣдовательно на всѣ числа отъ 1 до n и замѣчать величины остатковъ, то Дирикле доказалъ, что число случаевъ, когда остатокъ менѣе половины дѣлителя, болѣе числа случаевъ, когда остатокъ болѣе половины дѣлителя. Но на вопросъ, въ какомъ отношеніи стоятъ эти числа, можно отвѣтить, только опредѣляя, къ какому предѣлу или къ какому ассимптотическому выраженію стремятся эти числа съ возрастаніемъ n. Поставивъ этотъ вопросъ, Дирикле нашелъ, что число членовъ 1 группы относится къ числу членовъ 2 группы, какъ число 2 — log 4 относится къ log 4 — 1, гдѣ берутся Неперовы логариѳмы. Мы остановились на этихъ примѣрахъ, имѣя въ виду ярче обрисовать научный интересъ, стоящій въ непосредственной связи съ вопросомъ о соотношеніи между функціями числовыми и аналитическими. На предложенныхъ примѣрахъ мы ясно видимъ, какъ одинъ только анализъ съ его методами не можетъ вовсе рѣшать этихъ вопросовъ и, какъ теорія числовыхъ функцій даетъ довольно опредѣленные отвѣты.

Статья о взаимномъ соотношеніи между функціями аналитическими и числовыии преимущественно обращала на себя вниманіе самыхъ величайшихъ геометровъ. Въ дальнѣйшемъ развитіи ея лежитъ объясненіе многихъ научныхъ фактовъ. Но при этомъ не нужно впадать въ ту односторонность, въ какую часто впадаютъ и великіе математики, односторонность, состоящую въ томъ, что всякую истину, относящуюся къ числовымъ функціямъ, оцѣниваютъ съ точки зрѣнія ея зависимости отъ функцій аналитическихъ и, стало-быть, считаютъ важнымъ только развитіе теоріи чиселъ въ этомъ направленіи. При такомъ воззрѣніи дѣлается понятнымъ невниманіе нѣкоторыхъ математиковъ къ изслѣ

дованіямъ, въ которыхъ имѣются въ виду законы зависимости между функціями числовыми, между тѣмъ какъ съ логической точки зрѣнія, высказанной нами выше, эти изысканія принадлежатъ къ одному изъ могучихъ средствъ опредѣленія и изученія числовыхъ функцій, и, стало-быть, труды ученыхъ въ такомъ направленіи мотивируются весьма важными научными побужденіями. Невниманіе это оправдывается нѣкоторымъ образомъ тѣмъ, что изысканія, сюда относящіяся, не всегда сводятся къ одному общему методу и стоятъ какъ бы въ сторонѣ отъ прочихъ частей математики по своеобразному характеру пріемовъ. Къ сожалѣнію, и самая литература, самое изложеніе этихъ вопросовъ облекается иногда въ форму, дающую нѣкоторую силу обвиненія, что въ общемъ не видно частнаго, а въ частномъ общаго, ибо путь и общія соображенія, при помощи которыхъ получаются геометрами подобныя истины, или вовсе скрываются, или маскируются частными и притомъ сложными разсужденіями.

Съ вопросами о взаимномъ соотношеніи между числовыми функціями непосредственно связанъ вопросъ о взаимной зависимости между безконечными рядами. По крайней мѣрѣ, многія свойства числовыхъ функцій выведены изъ разсматриванія коэффиціентовъ безконечныхъ рядовъ. Этою статьею теорія чиселъ стоитъ въ весьма тѣсномъ соотношеніи съ анализомъ. Многія теоремы для числовыхъ функцій, выводимыя изъ разсматриванія безконечныхъ рядовъ, доказываются въ теоріи чиселъ другимъ путемъ. При этомъ сближеніи анализа съ теоріею чиселъ бросается въ глаза то научное обстоятельство, что многія теоремы, доказываемыя въ анализѣ при помощи очень сложныхъ вычисленій, вытекаютъ въ теоріи чиселъ изъ самыхъ простыхъ соображеній и наоборотъ. Въ этихъ-то частяхъ, въ которыхъ анализъ и теоріи чиселъ соприкасаются между собою, обнаруживается, что теорія чиселъ, помимо своихъ спеціальныхъ цѣлей, получаетъ въ общей научной системѣ совершенно самостоятельное мѣсто, она является какъ бы особымъ методомъ при изслѣдованіи математическихъ истинъ, методомъ, имѣющимъ силу для зависимости и соотношеній особаго рода. Дѣйствительно, мы увидимъ, что не только многія истины теоріи чиселъ могутъ быть выведены при помощи анализа, но часто и наоборотъ, изъ соображеній, принадлежащихъ вполнѣ теоріи чиселъ, могутъ получаться истины, доказываемыя въ анализѣ.

При этомъ нельзя не замѣтить, что переходъ отъ заключеній, относящихся къ числовымъ функціямъ, къ заключеніямъ, имѣющимъ силу для функцій аналитичесхихъ, совершается обыкновенно при какомъ-нибудь частномъ

предположеніи для перемѣннаго и обыкновенно въ предѣлѣ. Въ примѣръ теоремы, доказанной помощью сложныхъ аналитическихъ вычисленій, укажемъ на теорему о томъ, что всякое число разлагается на сумму четырехъ квадратовъ, — теорему, которой заканчиваетъ Якоби свое сочиненіе объ эллиптическихъ функціяхъ: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, между тѣмъ какъ эта теорема доказывается просто при помощи однихъ числовыхъ соображеній. Наоборотъ, извѣстное разложеніе для π/4, выводимое въ анализѣ

можно найти изъ соображеній надъ свойствами числовыхъ функцій, вытекающихъ изъ разсматриванія неопредѣленнаго уравненія x2 + у2 = n.

Уже пріобрѣтенные научные факты, указывающіе на взаимное соотношеніе истинъ анализа и теоріи чиселъ, оправдываютъ многія смѣлыя надежды и придаютъ изслѣдованіямъ въ этомъ направленіи особенный интересъ. Притомъ опредѣленіи теоріи чиселъ, какое нами было изложено, изслѣдованія о взаимномъ соотношеніи между числовыми функціями получаютъ болѣе высшій смыслъ, нежели полагали многіе ученые. Если какая-нибудь научная мысль имѣетъ особенное значеніе, то безъ всякаго сомнѣнія идея о тѣхъ соотношеніяхъ, которыя бы имѣли одинаково общую силу какъ для функцій аналитическихъ, такъ и для функцій числовыхъ, должна быть наиболѣе плодотворною. Конечно, научный матеріалъ, добытый въ этомъ направленіи, не на столько богатъ, чтобы давать полное оправданіе этимъ мыслямъ. То, что сдѣлано, весьма ничтожно съ тѣмъ, что необходимо сдѣлать для того, чтобы эти идеи перешли изъ области предположеній въ область дѣйствительности, но то уже, что сдѣлано въ теоріи чиселъ въ этомъ направленіи, достаточно для того, чтобы побуждать сознаніе къ высшимъ научнымъ цѣлямъ и осмыслить полученный матеріалъ болѣе глубокимъ пониманіемъ, а такой результатъ, мм. гг., считается во всякой наукѣ весьма важнымъ, и работа мысли, затраченная въ такомъ направленіи, должна всегда сопровождаться полезными научными слѣдствіями.

Обрисовавъ въ главныхъ чертахъ общее содержаніе теоріи чиселъ и указавъ на то значеніе, которое она имѣетъ въ общей системѣ чисто математическихъ наукъ, какъ по отношенію къ изучаемому матеріалу, такъ и по отношенію къ той высшей научной цѣли, о которой мы говорили, я считаю полезнымъ сказать нѣсколько словъ

и о нѣкоторыхъ другихъ сторонахъ, являющихся при изученіи теоріи чиселъ,—сторонахъ, столь же важныхъ и достойныхъ вниманія. Я сказалъ уже выше, что въ теоріи чиселъ нѣтъ общаго метода въ томъ смыслѣ, въ какомъ понимается это въ анализѣ, по самому характеру числовыхъ функцій. Этими словами я не отрицалъ существованія общихъ пріемовъ для извѣстныхъ классовъ числовыхъ функцій, на которыя могутъ распадаться истины числового анализа, но ими только указывалось на необходимость понимать общіе методы въ условномъ смыслѣ. Это научное обстоятельство дѣлается причиной того, что пріемы въ теоріи чиселъ должны сообразоваться съ сущностью и свойствами разсматриваемыхъ истинъ. Эти пріемы являются какъ бы частными и требуютъ поэтому внимательнаго обсужденія тѣхъ обстоятельствъ, въ которыхъ поставлено мышленіе, не опираясь на общія пріобрѣтенныя разсудкомъ привычки, заимствованныя изъ началъ анализа. Обстоятельство такого рода, говорящее, повидимому, противъ теоріи чиселъ, имѣетъ съ другой точки зрѣнія много за себя. Общіе пріемы, являющіеся въ анализѣ, имѣютъ громадное значеніе; знакомство съ ними составляетъ насущную потребность математическаго образованія; но, съ другой стороны, при разработкѣ научнаго матеріала только пріемами анализа, въ мышленіи упускается изъ виду воспитывающая сила другого отношенія къ истинѣ.

Общіе пріемы анализа, создавая весьма важныя привычки, пріучаютъ разсудокъ рѣшать различные вопросы со всѣмъ разнообразіемъ ихъ частностей такимъ образомъ, чтобы частности нисколько не вліяли на ходъ и процессъ мысли. Идеалъ аналитическаго пріема состоитъ даже въ томъ, чтобы рѣшеніе всѣхъ частныхъ вопросовъ какъ бы свести на механическое отношеніе къ нимъ. Разъ совершивъ процессъ мышленія въ самомъ общемъ видѣ, разсудокъ продолжаетъ весь дальнѣйшій путь, опираясь на общія формулы. При такомъ отношеніи мышленія къ разработываемому научному матеріалу упускаются однако изъ виду нѣкоторыя стороны, имѣющія также весьма важное значеніе въ наукѣ. Мы говоримъ о тѣхъ случаяхъ, когда нужно разрабатывать истину, не опираясь на общія соображенія, не пользуясь выгодами напередъ совершеннаго процесса мысли. Въ этихъ случаяхъ является необходимость вникнуть въ данныя условія самой задачи и, комбинируя ихъ на основаніи сущности и свойствъ вопроса, доходить до дѣйствительныхъ результатовъ, а для этого математическому мышленію нужно обладать качествами особаго рода и производить сочетанія, отмѣченныя особымъ характеромъ. Разборъ частныхъ случаевъ производится въ анализѣ от

носительно просто, тогда какъ въ теоріи чиселъ требуется строгое, сосредоточенное вниманіе ко всѣмъ обстоятельствамъ вопроса, и каждый шагъ впередъ въ логическомъ процессѣ сопровождается часто комбинаціями, въ которыхъ кромѣ строгой мысли требуется еще находчивость и умѣнье хорошо пользоваться всѣми условіями частнаго случая.

При такихъ особенностяхъ теорія чиселъ можетъ содѣйствовать развитію такихъ привычекъ математическаго мышленія, которыя или упускались изъ виду въ анализѣ, или не развивались съ достаточною силою. Можно навѣрно сказать, что теорія чиселъ лучше всѣхъ частей математики цисциплинируетъ разсудокъ и содѣйствуетъ развитію особаго математическаго такта. Эти мысли, мы высказываемъ не по отношенію къ той или другой частной истинѣ анализа или теоріи чиселъ, а предлагаемъ ихъ какъ общія соображенія, вытекающія изъ разсматриванія обширнаго научнаго матеріала, входящаго въ область этихъ двухъ вѣтвей чистой математики. Кромѣ того, требуя по характеру своего научнаго матеріала самыхъ разнообразныхъ методовъ, теорія чиселъ даетъ средство на ея научномъ содержаніи легче всего познакомиться со всѣмъ разнообразіемъ пріемовъ, существующихъ въ математикѣ. Въ этомъ отношеніи она совершенно справедливо можетъ быть названа математическимъ арсеналомъ, изъ котораго можно заимствовать самое разнообразное оружіе, а строгая, сосредоточенная, разсудочная дисциплина, съ которой разрабатывается ея содержаніе, можетъ пріучить математика съ успѣхомъ пользоваться этимъ оружіемъ для дальнѣйшихъ изысканій.

Теорія чиселъ.

(Изъ „Введенія въ анализъ“ проф. А. В. Васильева.)

Предметъ теоріи чиселъ. Техника дѣйствій надъ цѣлыми числами зависитъ отъ способовъ ихъ изображенія и измѣняется вмѣстѣ съ ними; но цѣлыя числа имѣютъ кромѣ того свойства, независимыя отъ способа изображенія, свойства, принадлежащія числамъ, какъ указателямъ порядка и множественности. Такъ, число 6 можетъ быть 11 способами представлено какъ сумма чиселъ равныхъ или неравныхъ, число 6 есть сумма чиселъ 1, 2, 3, на которыя это число дѣлится безъ остатка; оба эти свойства принадлежатъ числу 6, будемъ ли мы писать его по десятичной системѣ или по двоичной, буквами или арабскими цифрами.

Древніе греки отличали логистику—правила производства операцій надъ числами—отъ ариѳметики, науки о теоретическихъ свойствахъ чиселъ. Въ настоящее время терминъ логистика не употребляется; ариѳметикою называется или техника операцій надъ числами цѣлыми (отвлеченными и именованными) и дробными, или общее ученіе о числахъ; наука о свойствахъ цѣлыхъ чиселъ называется теоріею чиселъ или высшею ариѳметикою (Arithmetica sublimior) или наконецъ ариѳмологіею (Н. В. Бугаевъ). Какъ указатели порядка, цѣлыя числа, естественно, являются во всѣхъ тѣхъ вопросахъ, гдѣ идея порядка имѣетъ важное значеніе; къ такимъ вопросамъ, напр., относится въ геометріи вопросъ о звѣздчатыхъ многоугольникахъ1) (о N вершинахъ), число которыхъ, включая сюда и обыкновенный, равно половишь числа чиселъ меньшихъ N и взаимно простыхъ съ N.

Въ тѣсной связи съ теоріей чиселъ находится поэтому комбинаторика или синтактика—ученіе о перемѣщеніяхъ и сочетаніяхъ. Изученіе перемѣщеній и сочетаній доставляетъ намъ рядъ теоремъ, относящихся къ теоріи чиселъ. Таковы, напр., теоремы:

1 ) Произведеніе m (m — 1 ) (m — 2).(m — n + 1) всегда цѣликомъ дѣлится на произведеніе 1.2.3.....n.

2) Произведеніе 1.2.3.. N дѣлится на 1.2... n. 1.2... b... 1.2...k, при условіи, если N = a + b + c + .... + k.

Приведемъ, наконецъ, слѣдующее доказательство одной изъ важнѣйшихъ теоремъ теоріи чиселъ—теоремы Фермата.

Сосчитаемъ, сколько можно составить р—цифровыхъ чиселъ изъ 0, 1, 2,...(а—1)—цифръ а—ричной системы.

Таковы будутъ прежде всего числа 0 0 0 0 ........0, 1 1 1 ....1, 2 2 2.....2, (а — 1) (a—1)......(а—1), не мѣняющіяся отъ круговыхъ перемѣщеній2).

1) Если мы на кругѣ возьмемъ N равно отстоящихъ другъ отъ друга точекъ 1, 2, 3,..N, то мы получаемъ обыкновенный правильный многоугольникъ, изучаемый въ элементарной геометріи, соединяя послѣдовательно точки 1 съ 2, 2 съ 3, 3 съ 4,..N— 1 съ N, N съ 1.

Если же будемъ соединять точки въ опредѣленномъ направленіи, но пропуская каждый разъ m точекъ (т.-е. соединяя точки: 1 съ m + 2 и т. д.), мы получимъ или звѣздчатый многоугольникъ или фигуру изъ комбинаціи многоугольниковъ меньшаго числа сторонъ, смотря по тому, будетъ ли m + 1 число взаимно простое съ N или же нѣтъ.

2) Круговымъ перемѣщеніемъ n—элементовъ называется такое, при которомъ всѣ элементы сохраняютъ свой относительный порядокъ, и одно перемѣщеніе отличается отъ другого только начальнымъ элементомъ. Такъ, напр., перемѣщенія буквъ а b с d: а b с d, b с d а, с d а b, d а b с суть всѣ возможныя круговыя перемѣщенія изъ 4 буквъ а, b, с, d.

Изъ каждаго же другого числа, путемъ круговыхъ перемѣщеній, можно составить р новыхъ чиселъ, и всѣ эти числа при р абсолютно-простомъ будутъ между собою различны, такъ что общее число чиселъ k = а + Nр = а + кратное р. Что касается до общаго числа чиселъ, то нетрудно видѣть, что оно равняется аp1). Такимъ образомъ, мы имѣемъ равенство: ax — a + Np, или a(ap-1—1) = Np = кратное отъ р,—составляющее знаменитую теорему Фермата.

Подобно „комбинаторикѣ“, и „теорія чиселъ“ является пособіемъ при рѣшеніи задачъ „теоріи вѣроятностей“.

Первый вопросъ, касающійся „теоріи вѣроятностей“, былъ вопросъ, обращенный къ знаменитому Галилею: почему при паденіи 3 кубическихъ костей, на граняхъ которыхъ стоятъ цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 выходятъ чаще сумма 10, чѣмъ 9 и сумма 11 чаще, чѣмъ 12? Вопросъ этотъ рѣшается въ теоріи разбіенія чиселъ.

Какъ указатели множественности группъ изъ отдѣльныхъ и различимыхъ между собою предметовъ, цѣлыя числа имѣютъ примѣненіе вообще къ изученію дискретныхъ или раздѣльныхъ величинъ, въ отличіе отъ величинъ непрерывныхъ.

Если изученіе кривой линіи, состоящей изъ непрерывнаго ряда точекъ, требуетъ обобщеннаго понятія о числѣ, то изученіе группъ точекъ, находящихся одна отъ другой на конечномъ разстояніи, находится въ самой тѣсной связи съ теоріей цѣлыхъ чиселъ.

Примѣръ такихъ группъ представляютъ такъ называемые квинкунксы. Если мы возьмемъ двѣ системы равноотстоящихъ параллельныхъ линій, при чемъ разстояніе между линіями одной системы можетъ не равняться разстоянію между линіями другой, и линіи одной системы пересѣкаютъ линіи другой подъ какимъ-нибудь угломъ, то всѣ точки пересѣченія линій этихъ системъ образуютъ правильно расположенную систему точекъ, называемую квинкунксомъ. Изученіе квинкункса имѣетъ большія приложенія въ ботаникѣ и ткацкомъ дѣлѣ1). Подобную же

1) Пояснимъ это конкретнымъ примѣромъ: пусть даны 2 ящика и въ каждомъ по три (№ 0-й. № 1-й, № 2-й) шаровъ. Мы вынимаемъ изъ каждаго ящика заразъ по одному шару. Спрашивается, сколькими различными способами можно вынуть шары? Нетрудно убѣдиться, что число комбинацій будетъ равно 32 = 9 (комбинаціи будутъ 10, 00, 01, 02, 22, 21, 12, 20, 11). Здѣсь число ящиковъ соотвѣтствуетъ числу цифръ—р, а число нумеровъ = порядку системы (троичная).

1) См. Извѣстія С.-ПБ. Технологическаго Института. 1893 г. Котурницкій. Квинкунксъ и его примѣненія.

систему правильно расположенныхъ точекъ можно получить въ пространствѣ, разсматривая три системы плоскостей, взаимно между собою параллельныхъ: такая система, называемая „пространственною рѣшеткою“ (Raumgitter), изучается въ кристаллографіи.

Можно указать и въ химіи нѣкоторые вопросы, въ которыхъ пріемы теоріи чиселъ должны быть примѣнимы. Таковы атомистическая структурная теорія Кекуле— Бутлерова и періодическая система химическихъ элементовъ Д. И. Менделѣева.

Не подлежитъ вообще сомнѣнію, что при дальнѣйшемъ развитіи философіи природы явится все большая и большая необходимость въ приложеніи методовъ и теоремъ теоріи чиселъ, какъ ученія о дискретныхъ или раздѣльныхъ величинахъ. Но въ теоріи чиселъ и въ ея будущихъ примѣненіяхъ останется характеристическою чертою постоянство и неизмѣнность законовъ этой науки. Въ этомъ отношеніи она ничѣмъ не отличается отъ другихъ вѣтвей математической науки, и поэтому нельзя не смотрѣть, какъ на увлеченіе, легко оправдываемое продолжительною работою въ этой области, на идеи Н. В. Бугаева, который проводилъ мысль о недостаточности для объясненія міровыхъ явленій современнаго научно-философскаго міровоззрѣнія и необходимости дополнить его иною точкою зрѣнія, ариѳмологическою не уничтожающею индивидуальности наблюдаемыхъ элементовъ и свободы ихъ дѣйствій. Переходъ отъ дискретности (раздѣльности) къ индивидуальности, обладающей свободою, является логическимъ скачкомъ, и новое возрожденіе на русской почвѣ Лейбницевской монадологіи едва ли будетъ имѣть то значеніе, которое ему придаютъ нѣкоторые ученики Н. В. Бугаева. Методы и законы теоріи чиселъ своеобразны и отличаются отъ методовъ и законовъ другихъ математическихъ доктринъ; но они такъ же строги и опредѣленны, какъ другіе математическіе законы, и поэтому едва ли можно на нихъ основать доказательство существованія свободы воли.

Новыя доказательства первоначальныхъ свойствъ чиселъ, построенныя на идеѣ порядка.

(Вторая часть мемуара Пуансо „Размышленія объ основныхъ положеніяхъ теоріи чиселъ“).

Безспорно, обычныя доказательства первоначальныхъ свойствъ чиселъ крайне просты; они основываются на нѣсколькихъ элементарныхъ принципахъ. Но мы должны со

знаться, что нашъ умъ не оперируетъ въ данномъ случаѣ прямымъ путемъ, и мы не въ состояніи вѣдать одну общую идею теоремъ теоріи чиселъ, кажущихся столь любопытными и важными. Правда, разсмотрѣніе остатковъ, которое даетъ дѣленіе послѣдовательныхъ степеней числа на одинъ и тотъ же простой дѣлитель, представляется дѣломъ вполнѣ отвѣчающимъ характеру ариѳметики, и съ этого геометры начинаютъ первую часть теоріи чиселъ.

Но мнѣ кажется, что эти теоремы имѣютъ источникъ болѣе глубокій въ математикѣ, что они должны основываться на принципахъ болѣе высокаго порядка такъ, чтобы можно было видѣть, что здѣсь мы не имѣемъ дѣла съ случаемъ, и чтобы всѣ наши размышленія не являлись неожиданными, но чтобы они всѣ покончились на чемъ-нибудь естественномъ и общемъ. Для подтвержденія мысли, я представлю новыя доказательства теоремъ ариѳметики, вытекающія единственно изъ разсмотрѣнія идеи порядка.

1. Разсмотримъ нѣсколько предметовъ: а, b, с... и т. д., расположенныхъ въ пространствѣ какимъ-нибудь образомъ. Сначала станемъ ихъ разсматривать въ извѣстномъ порядкѣ такъ, чтобы послѣ а шло b, затѣмъ с и т. д., и такъ какъ мы имѣемъ въ виду только число и порядокъ, то предположимъ, что всѣ эти предметы равны и находятся на одинаковомъ разстояніи другъ отъ друга. Представимъ себѣ ихъ въ видѣ числа N точекъ, расположенныхъ на окружности и образующихъ такимъ образомъ вершины правильнаго многоугольника о N сторонахъ.

Предположивъ это, станемъ переходить отъ одной точки къ другой, напр., отъ а, отбирая при этомъ послѣдовательно по двѣ, или по три, или, вообще говоря, по h точекъ, при чемъ этотъ постоянный промежутокъ h пусть будетъ числомъ первымъ по отношенію къ числу N; я говорю, что необходимо перейти черезъ всѣ точки, чтобы достигнуть той, изъ которой мы вышли.

Въ самомъ дѣлѣ, предположимъ, что мы шли по окружности черезъ каждыя n точекъ, при чемъ n < N. Тогда мы получили бы правильный многоугольникъ о n сторонахъ, при чемъ каждая сторона его включала бы h послѣдовательныхъ сторонъ перваго многоугольника.

Пройдя весь контуръ этого многоугольника (совершивъ при этомъ полный оборотъ по окружности или одинъ разъ или нѣсколько), мы всего пересѣкли бы nh точекъ по пройденному пути; и такъ какъ мы снова по гипотезѣ вернемся въ исходную точку, то nh должно быть кратнымъ числа N точекъ на окружности. Такимъ образомъ необходимо, чтобы nh было кратнымъ N' но n < N, а h взаимно

простое съ N, поэтому произведеніе nh не дѣлимо на N и не можетъ быть кратнымъ N.

Чтобы nh дѣйствительно было кратнымъ N, т.-е., чтобы N = gN', необходимо, чтобы n = N и отсюда h = g. Поэтому, можно установить теорему:

Если имѣемъ N точекъ, расположенныхъ на кругѣ, и станемъ ихъ соединять черезъ каждыя h, при чемъ h взаимно простое съ N, то мы необходимо пройдемъ черезъ N точекъ прежде, чѣмъ достигнемъ исходной. При этомъ мы h разъ обернемся по всей окружности.

2. Обратно, если, соединяя N точекъ черезъ каждыя h, пройдемъ черезъ всѣ точки прежде, чѣмъ возвратиться къ первой, то h взаимно простое число N. Очевидно, тогда бы h не могло быть дѣлителемъ числа кратнаго N, которое < h.N; слѣдовательно, самый большой дѣлитель, который можетъ измѣрить N, будетъ h/n, т.-е. отсюда, 1 и h и N являются взаимно простыми числами. Если, соединяя такимъ образомъ нѣсколько точекъ черезъ какіе-нибудь равные промежутки, мы не въ состояніи никогда возвратиться къ первой, не пройдя всѣхъ точекъ, то можно быть увѣрену, что число перебираемыхъ нами точекъ является абсолютно простымъ: это даетъ намъ родъ геометрическаго опредѣленія простого числа.

3. Если h и N числа не взаимно простыя между собою, то, соединяя N точекъ черезъ каждыя h, мы пройдемъ только черезъ точекъ; здѣсь θ общій наибольшій дѣлитель между h и N.

Это положеніе можно вывести изъ перваго, гдѣ h и N были первыми между собой. Но можно дать другое доказательство, включающее и предыдущую теорему.

Доказательство. Откладываемъ по h точекъ на окружность N до тѣхъ поръ, пока не возвратимся въ точку отправленія (это непремѣнно случится, въ крайнемъ случаѣ—послѣ h оборотовъ); пусть теперь самое малое кратное число h будетъ число gN, тогда, очевидно, наибольшее число, содержащееся въ N будетъ — (оно является также частью числа h), и, слѣдовательно, оно будетъ общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ h и N, такъ что

Поэтому, если обозначить черезъ х число сторонъ h многоугольника, который мы образовали (при чемъ х будетъ

указывать на число вершинъ или точекъ, черезъ которыя мы проходимъ), то, очевидно, произведеніе x.h = q.N; слѣдовательно, въ силу предыдущаго, Такимъ образомъ, мы пройдемъ черезъ N/Q точекъ и совершимъ число оборотовъ по окружности = h, что и требовалось доказать.

4. Это доказательство общее для двухъ какихъ угодно чиселъ N и h. Если ихъ общій дѣлитель = 1, то оба они взаимно простыя и тогда θ = 1, x = N, q = h, что мы видѣли уже въ первой теоремѣ, разсмотрѣнной выше.

5. Можно замѣтить, что это доказательство не предполагаетъ никакого свойства чиселъ и никакихъ теоремъ ариѳметики, даже не требуетъ теоріи общаго наибольшаго дѣлителя, которой мы обязаны Эвклиду. Кромѣ того, оно даетъ еще для нахожденія общаго дѣлителя новый методъ—методъ довольно изящный, какъ это мы увидимъ сейчасъ. Новый методъ нахожденія общей наибольшей мѣры двухъ величинъ— общаго наибольшаго дѣлителя двухъ данныхъ чиселъ.

6. Пусть требуется найти самую большую общую мѣру двухъ величинъ А и В. Если мы нанесемъ А на В, и если А при этомъ содержится точно цѣлое число разъ, то А и будетъ общей мѣрой. Если получится остатокъ, то вмѣсто того, чтобы наносить его на А, какъ поступали обыкновенно, наносимъ всегда А на удвоенное В, тогда, если остатка нѣтъ, то половина А и будетъ общей мѣрой В и А. Если же имѣемъ и тутъ остатокъ, то продолжаемъ наносить А на тройное В, т.-е. на 3В. Въ случаѣ отсутствія остатка получаемъ 1/3А общей мѣрой А и В и т. д., такъ что если первая величина А укладывается цѣлое число разъ лишь въ тВ, то A/m будетъ общей мѣрой двухъ величинъ А и В.

Дѣйствительно, пусть существуетъ другой дѣлитель А, который могъ бы измѣрить В цѣлымъ числомъ, напр., A/m' и который бы былъ больше A/m (откуда слѣдовало бы, что m > m'). Тогда A/m' дѣлило бы В, а А дѣлило бы кратное В, именно m'В < mВ, но этого не можетъ быть, такъ какъ mВ есть первое кратное В число, дѣлящееся на А. Слѣдовательно, A/m самая большая мѣра А и В.

Если, вмѣсто того, чтобы брать А и откладывать на В, мы возьмемъ В и станемъ наносить его на 4, 2А, 3А и т. д., пока не найдемъ самаго большого кратнаго А числа mA, дѣлящагося точно на В, тогда мы имѣли бы B/n общей наибольшей мѣрой двухъ величинъ. Отсюда видимъ, что, сравнивая второе выраженіе съ первымъ, отношеніе A/B будетъ выражено черезъ m/n, дробь, которая представляетъ собою сокращенную до конца дробь A/B.

7. Подобное же оперированіе надъ числами производимъ такъ: раздѣлимъ В на А, получимъ частное и остатокъ. Прибавимъ къ этому остатку дѣлимое В и будемъ продолжать дѣлить его на А и т. д. до тѣхъ поръ, пока не придемъ къ дѣленію безъ остатка. Тогда раздѣлимъ А на число m произведенныхъ дѣленій, и A/m будетъ самой большой частью А способной измѣрить В, т.-е. общимъ наибольшимъ дѣлителемъ А и В. Но этотъ процессъ длиннѣе обыкновеннаго.

8. Въ геометріи согласно изложенному поступали бы такъ: возьмемъ безконечную прямую, на которой станемъ наносить послѣдовательно части, равныя одной изъ двухъ данныхъ линій, напр., В. Откладываемъ (послѣдовательно) затѣмъ другую прямую А, начиная отъ какой-либо точки дѣленія до тѣхъ поръ, пока не попадемъ на другую какую-нибудь изъ отложенныхъ раньше точекъ дѣленія, и если это случится послѣ того, какъ мы отмѣримъ длину m. В', положимъ, то будетъ общей мѣрой.

9. Такъ какъ всегда нужно прибавлять линію В къ самой себѣ, т.-е. брать на безконечно-длинной линіи всѣ длины кратныя В, то ясно, что проще представлять себѣ линію В замкнутой, въ родѣ, напр., окружности. Если же В есть число, то представимъ себѣ его въ видѣ В точекъ, расположенныхъ на окружности; тогда найдемъ на одной и той же фигурѣ безконечное число кратныхъ числа В, совершая каждый разъ полный оборотъ по окружности. Затѣмъ мы откладываемъ на „замкнутой“ прямой В длину А или на окружности „число“ А до тѣхъ поръ, пока не придемъ въ точку выхода, тогда m.В будетъ наименьшимъ дѣлящимся на А числомъ, слѣдовательно, A/m будетъ наи-большей мѣрой А и В.

Такимъ образомъ, операція эта проще обыкновенной, потому что по извѣстному способу нужно переносить А на В и потомъ остатокъ v на А, и новый остатокъ v' на предыдущій v и потомъ v" на v' и т. д. Но здѣсь мы откладываемъ всегда ту же самую длину А на ту же линію В до тѣхъ поръ, пока не придемъ въ исходную точку, совершая притомъ все время только одну операцію. Весь вопросъ въ томъ, сколько оборотовъ мы совершаемъ по окружности (или сколько отложеній сдѣлали на одной и той же длинѣ) и если это m, то такая часть А есть наибольшая мѣра. Если эта операція не имѣетъ конца, то двѣ величины несоизмѣримы.

Перейдемъ теперь къ другимъ свойствамъ чиселъ, выводимыхъ изъ простого разсмотрѣнія идеи порядка.

10. Теорема Эвклида, о которой упомянуто выше въ 6 параграфѣ, можетъ быть представлена яснѣй послѣ слѣдующихъ разсужденій. Пусть мы имѣемъ N точекъ на кругѣ, расположенныхъ въ порядкѣ а, b, с, d.... Если, начиная съ одной какой-либо изъ нихъ, мы будемъ соединять точки черезъ каждыя α, гдѣ α < N и является взаимно простымъ по отношенію къ N, то мы пройдемъ черезъ всѣ наши точки и составимъ новый многоугольникъ о N сторонахъ. Далѣе, если въ этомъ новомъ многоугольникѣ мы будемъ брать по ß точекъ, гдѣ ß снова взаимно простое съ N, то мы получимъ третій многоугольникъ о N сторонахъ. Очевидно, все равно, соединять ли сначала вершины по α и затѣмъ въ образовавшемся многоугольникѣ по ß или сразу соединять по αß точекъ въ первомъ разсматриваемомъ многоугольникѣ: такъ какъ въ послѣднемъ случаѣ мы прошли черезъ всѣ N точекъ, то отсюда слѣдуетъ, что произведеніе αß есть число взаимно простое съ N.

На этомъ основаніи можно считать установленной основную теорему теорій чиселъ: „если два числа α и ß взаимно простыя съ N, то и ихъ произведеніе взаимно простое съ N“.

Отсюда слѣдствія:

1) произведеніе чиселъ взаимно простыхъ, каждое съ N само взаимно простое съ N.

2) если a число взаимно простое съ N, то его степени αi также взаимно простыя съ N.

3) каково бы ни было N, оно можетъ быть только единственнымъ образомъ разложено на простые сомножители,

4) корни неполныхъ степеней не могутъ быть выражаемы дробями и, слѣдовательно, они соизмѣримы съ единицей.

11. Теорема Эйлера, выражаемая уравненіемъ

гдѣ n показываетъ, сколько чиселъ взято меньшихъ и взаимно простыхъ съ N, а mN число кратное N,—теорема эта можетъ быть просто и ясно доказана при помощи той же самой идеи порядка.

Возьмемъ N точекъ а, b, с... со, правильно расположенныхъ по окружности и служащихъ вершинами правильнаго многоугольника объ N сторонахъ, и пусть х—какое-либо число меньшее и простое съ N. Возьмемъ эти вершины, начиная хотя бы съ какой-нибудь одной изъ нихъ, станемъ соединять ихъ черезъ каждыя х точекъ—это намъ дастъ новый многоугольникъ объ N сторонахъ. Изъ второго многоугольника, поступая точно также, получимъ третій, изъ послѣдняго четвертый и т. д.; наконецъ, мы снова возвратимся къ первому; такимъ образомъ, мы теперь образовали n' многоугольниковъ, и притомъ все различныхъ. Теперь—или всѣ образованные наши многоугольники исчерпываютъ всѣ тѣ, какіе возможно образовать, соединяя точки N черезъ всѣ возможные промежутки меньшіе и взаимно простые съ N, и тогда n = n',—или же мы получимъ только часть многоугольниковъ, но тогда непремѣнно должно быть

Въ самомъ дѣлѣ, возьмемъ одни изъ тѣхъ многоугольниковъ, которыхъ вовсе нѣтъ въ группѣ n' различныхъ многоугольниковъ, нами образованныхъ, и образуемъ, исходя изъ него и слѣдуя прежнему закону, также n правильныхъ многоугольниковъ. Ясно, что они будутъ всѣ различны между собой, но, кромѣ того, они будутъ отличны и отъ первыхъ, такъ какъ, если бы одинъ многоугольникъ второй группы находился въ числѣ многоугольниковъ первой группы, то цѣлая группа необходимо была бы тожественна съ первой, такъ какъ законъ образованія группъ одинъ и тотъ же, а это невозможно, потому что исходятъ изъ многоугольника, котораго нѣтъ въ первой группѣ по гипотезѣ. Точно также можно показать, что если у насъ есть еще другіе правильные многоугольники, то ихъ будетъ снова n', и мы будемъ получать ихъ и дальше также, до тѣхъ поръ, пока ихъ не исчерпаемъ всѣ; а такъ какъ всего различныхъ многоугольниковъ объ N сторонахъ мы имѣемъ n, то число n' многоугольниковъ, получаемыхъ путемъ соединенія вершинъ черезъ каждыя х вершинъ, необходимо должно быть дѣлителемъ числа n.

12. Очевидно, что если въ какомъ-либо многоугольникѣ мы будемъ соединять вершины черезъ каждыя х и то же сдѣлаемъ въ полученномъ многоугольникѣ, и т. д., то этотъ процессъ приведетъ къ тому же, къ чему бы мы пришли, если бы стали получать эти многоугольники изъ перваго, соединяя вершины черезъ каждыя х, затѣмъ x2, x3 и т. д. и, наконецъ, черезъ хn' вершинъ. По предположенію мы въ концѣ концовъ придемъ къ исходному многоугольнику, какъ если бы мы просто соединяли вершины черезъ одну. Промежутокъ nn', который пропускаютъ, будетъ очевидно равенъ 1, сложенной съ кратнымъ N, т.-е. хn' = 1 + mN. Такъ какъ хn' сводится, такъ сказать, къ одному промежутку, то, очевидно, что и любая степень хn' тоже сведется къ нему, слѣдовательно,

А это и требовалось доказать.

Такимъ образомъ, эта теорема становится очевидной изъ разсмотрѣнія различныхъ правильныхъ многоугольниковъ, имѣющихъ одно и то же число сторонъ. Эта простая идея перехода отъ одного многоугольника къ другому, слѣдуя одному и тому же закону, приводитъ насъ къ идеѣ о степеняхъ, остаткахъ, кратныхъ корней изъ единицы и др. Отсюда и слѣдуетъ то, о чемъ я упоминалъ уже въ другихъ мемуарахъ: что идея порядка есть естественный источникъ свойствъ чиселъ и основныхъ положеній анализа,—слова, которыя безпрестанно будутъ получать подтвержденія.

13. Пойдемъ дальше. Если имѣемъ n чиселъ: а, b, с.... N—1 чиселъ меньшихъ N и взаимно простыхъ съ нимъ, то 1.a.b.... (N-1) + 1 всегда дѣлится на N.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть число N показываетъ число вершинъ правильнаго многоугольника объ N сторонахъ. Беремъ углы по а, и такъ какъ а число первое по отношенію къ N, то получимъ снова правильный многоугольникъ объ N сторонахъ. Далѣе, въ этомъ второмъ многоугольникѣ мы можемъ соединять вершины черезъ х вершинъ, и притомъ такъ, что снова вернемся къ первому многоугольнику; но мы могли бы прямо брать по ах вершинъ и снова вернуться къ первому многоугольнику, т.-е. дѣло обстоитъ такъ, какъ если бы мы соединяли вершины черезъ одну; это значитъ, что если а число взаимно простое съ N, то мы всегда найдемъ такое число х, также взаимно простое съ N, что ax = mN + 1.

14. Если х = а, то a2 = mN + 1. Въ этомъ случаѣ мы беремъ по а вершинъ, какъ выше, но во второмъ многоугольникѣ, полученномъ нами, будемъ брать вмѣсто а

вершинъ по (N—а), тогда снова придемъ къ первому многоугольнику, но пройдемъ его въ обратномъ направленіи и въ силу этого будемъ имѣть а (N — a) = mN—1, такъ какъ произведеніе a(N— а) сводится къ — 1. Такимъ образомъ, во всѣхъ случаяхъ числа 1, а, b.... N—1 могутъ быть попарно соединены такъ, что произведеніе ихъ сведется къ + 1,а отсюда и а.b.с...N—1 сведется къ + 1, т.-е. будетъ имѣть форму mN + l, что и требовалось доказать.

15. Когда N является числомъ абсолютно простымъ Р или m-ой степенью простого числа р > 2, мы всегда можемъ подобрать числа, квадратъ которыхъ сводился бы къ 1,—именно, два числа, 1 и (N—1). Во всѣхъ же другихъ случаяхъ мы видѣли бы, что x2—1 = (x + 1)(x—1) будетъ дѣлимо или на pm. Но это невозможно, такъ какъ (x + 1, х—1) имѣютъ общимъ дѣлителемъ число 2; поэтому, можно произведеніе этихъ биномовъ сдѣлать дѣлимыми на р или pm, лишь въ случаѣ, если или x + 1 = mN или х—1 = mN, что даетъ намъ только два значенія для x < N. Слѣдовательно, если N = p или pm, то

ибо числа а,b,с... всегда комбинируются попарно такъ, что ихъ произведеніе сводится къ + 1; умножимъ послѣднее равенство на 1 и N — 1, тогда

или

То же самое мы увидѣли бы для случая

Новое рѣшеніе неопредѣленнаго уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными.

16. Путемъ такого же разсмотрѣнія можно найти новый способъ рѣшенія неопредѣленныхъ уравненій первой степени съ двумя неизвѣстными х и у въ нѣкоторомъ родѣ геометрическій. Это рѣшеніе является только слѣдствіемъ теоремы, изложенной въ концѣ предыдущей главы. Но не безполезно и здѣсь помѣстить детальное доказательство.

Общая формула неопредѣленнаго уравненія такова:

гдѣ S и М числа первыя между собой, такъ какъ если бы они имѣли общій дѣлитель θ, то необходимо, чтобы и N дѣлилось на θ.

Если уравненіе возможно, то общій наибольшій дѣлитель двухъ коэффиціентовъ при х и у дѣлитъ все уравненіе, а выбрасывая его, мы получаемъ уравненіе съ S и М взаимно простыми: достаточно, очевидно, рѣшить простое уравненіе:

такъ какъ если найдемъ корни х и у, то стоитъ только умножить ихъ на N, и мы найдемъ корни Nx и Ny для предложеннаго выше уравненія.

17. Первое рѣшеніе. Пусть намъ требуется рѣшить неопредѣленное уравненіе:

и предположимъ, что мы хотимъ сначала опредѣлить х. Беремъ рядъ точекъ а . b ... ω числомъ M, причемъ М— коэффиціентъ при неизвѣстномъ у. Затѣмъ, начиная отъ первой точки а, соединяемъ эти точки, не послѣдовательно, а пропуская постоянно число точекъ = Z, коэффиціенту при х. Такъ какъ Z и М взаимно простыя по предположенію, то необходимо пройдемъ черезъ всѣ точки, прежде чѣмъ снова возвратимся въ исходную, образуя при этомъ новый порядокъ или многоугольникъ, имѣющій число вершинъ М. Если въ этомъ новомъ порядкѣ станемъ итти отъ одной точки къ другой черезъ х точекъ, отдѣляющихъ а отъ b, то ясно, что снова придемъ къ порядку а,b,с..., какъ если бы мы просто переходили отъ одной точки къ слѣдующей за ней. Такъ какъ двойная операція сначала итти черезъ Z точекъ въ первомъ порядкѣ, а потомъ черезъ λ во второмъ, сводится очевидно къ тому, какъ если бы мы шли черезъ Z.λ точекъ и вернулись къ исходной точкѣ, то произведеніе Zλ сводится очевидно къ 1 относительно чиселъ М, т.-е.

а потому х = λ и притомъ здѣсь значеніе х, удовлетворяющее предположенной задачѣ—наименьшее; затѣмъ тотчасъ нашли бы, что

гдѣ μ—наименьшее значеніе у.

Ясно, что можно бы было найти у прямо такъ же, какъ и х, разсматривая многоугольникъ, имѣющій Z вер-

шинъ а,b... ω, если станемъ соединять ихъ черезъ каждыя М—коэффиціентъ при у. Это намъ даетъ новый порядокъ изъ этихъ Z вершинъ. При чемъ, если мы въ послѣднемъ возьмемъ промежутокъ μ, отдѣляющій а, начиная не отъ b, которое слѣдуетъ за а въ первомъ порядкѣ, но отъ ω, которое предшествуетъ а, то придемъ къ многоугольнику а, ω... e,d,c,b, образованному такъ, какъ если бы мы шли по нему въ обратномъ порядкѣ.

Здѣсь μ тогда будетъ наименьшимъ значеніемъ у, которое удовлетворяетъ

или Zx— Му = 1—уравненію данному.

Зная два наименьшія значенія λ и μ, удовлетворяющія заданному уравненію, имѣемъ для всѣхъ другихъ возможныхъ значеній х и у выраженія

гдѣ і — какое-нибудь цѣлое число положительное или отрицательное, но которое одно и то же въ обѣихъ формулахъ.

Ради освѣщенія теоріи рѣшимъ уравненіе

Возьмемъ семь точекъ въ слѣдующемъ порядкѣ

и въ этомъ разсмотрѣніи станемъ переходить черезъ 12 или 5, что одно и то же (такъ какъ 12 = 5 + 7), тогда получимъ слѣдующій порядокъ:

и теперь мы видимъ, что точка а отстоитъ отъ точки b на 3 буквы. Слѣдовательно, самое малое число удовлетворяющее х въ заданномъ уравненіи есть x = 3, а, слѣдовательно, у = 5. Но если мы желаемъ найти прямо у, то напишемъ рядъ, состоящій изъ 12 буквъ

Соединяя ихъ чрезъ 7, мы придемъ къ новому порядку:

гдѣ видимъ, что между а и уже не b, а m, промежутокъ состоитъ изъ 5 буквъ, слѣдовательно у = 5 — наименьшее значеніе для у, удовлетворяющее уравненію

Приведемъ другіе примѣры, къ которымъ всегда можно примѣнять указанный способъ, лишь бы только коэффиціенты Z и М были не очень значительны по величинѣ. Ограничиваясь только нахожденіями неизвѣстнаго при наибольшемъ коэффиціентѣ, мы должны были бы только позаботиться размѣстить буквы а,b....ω и найти наименьшее число, что даетъ намъ возможность узнать первое неизвѣстное, а послѣ того легко найдемъ другое при помощи уравненія. Но если бы коэффиціенты были значительны, то слѣдовало бы помѣстить на кругѣ рядъ точекъ а,b,с... со, что было бы длинно и утомительно. Во всякомъ случаѣ, по сравненію съ ариѳметическимъ рѣшеніемъ, это рѣшеніе не менѣе ихъ любопытно.

19. Второе рѣшеніе. Пользуясь теоремой n°11, дадимъ еще новый способъ рѣшенія уравненія

или

Въ многоугольникѣ о N сторонахъ соединяемъ вершины черезъ Z точекъ, что даетъ намъ второй многоугольникъ. Соединяя въ послѣднемъ снова вершины черезъ каждыя Z изъ нихъ, придемъ къ третьему многоугольнику; продолжаемъ эту операцію m разъ, пока не придемъ къ исходному многоугольнику.

Результатомъ m такихъ операцій будетъ такая, какъ если бы мы сразу соединяли въ нашемъ многоугольникѣ вершины черезъ каждыя Zm и, слѣдовательно, промежутокъ сведется къ 1 относительно М. Поэтому, вмѣсто того, чтобы сводить Zx къ 1, мы можемъ писать, что Lx должно свестись къ а отсюда ясно, что

Такимъ образомъ, самое меньшее значеніе для х найдется, если мы образуемъ (m—1)-ый многоугольникъ и, взявши двѣ послѣдовательныя вершины его, посмотримъ, на какомъ разстояніи эти двѣ вершины находятся другъ отъ друга въ первомъ многоугольникѣ; это разстояніе и будетъ искомымъ значеніемъ х.

Вотъ и другое рѣшеніе чисто геометрическаго уравненія

Это рѣшеніе въ сущности не отличается отъ перваго. Здѣсь первый многоугольникъ разсматривается какъ m-ая

производная и, слѣдовательно, какъ такой многоугольникъ, который слѣдуетъ послѣ (m—1)-аго; но ясно, что оба разсматриваемые многоугольники являются послѣдовательными; такъ какъ всѣ наши многоугольники происходятъ одинъ изъ другого по одному и тому же закону, то можно получить нѣсколько послѣдовательныхъ многоугольниковъ, и первый и второй будутъ также послѣдовательными, а это и привело бы насъ къ рѣшенію 17.

20. Въ ариѳметикѣ выраженіе

даетъ намъ другое правило для опредѣленія x. Возьмемъ рядъ послѣдовательныхъ степеней Z,Z2,Z3..., причемъ будемъ брать, если онѣ больше М, ихъ остатки отъ дѣленія на М, и эту операцію будемъ продолжать до тѣхъ поръ, пока не придемъ къ остатку = 1.

Тогда предыдущій остатокъ и будетъ самымъ малымъ значеніемъ #, которое удовлетворяетъ уравненію

Что касается до степени m, когда мы добьемся того, что Zw дастъ намъ въ остаткѣ 1, то она зависитъ отъ М и Z.

Если обозначимъ черезъ μ число, показывающее, сколько существуетъ чиселъ Z меньшихъ и взаимно простыхъ по отношенію къ М, то можно вообще утверждать, что m будетъ всегда дѣлителемъ μ, и этотъ послѣдній будетъ даже равенъ μ тогда, когда М будетъ первымъ числомъ или степенью перваго числа или удвоенной такой степенью.

Опредѣляя непосредственно у такимъ же путемъ, мы нашли бы. что

гдѣ l степень M, которая дала бы Ml = 1 относительно модуля и т. д., и т. д.

Понятіе о числѣ.

(Л. Кронекеръ. Ueber den Zahlbegriff. Переводъ проф. А. А. Васильева).

Понятія о числѣ, пространствѣ и времени, употребляемыя въ математикѣ, должны быть развиваемы въ чистомъ полѣ философской приготовительной работы, изъ котораго

уже потомъ вступаютъ въ отгороженныя области различныхъ наукъ. Развитіе этихъ понятій должно имѣть цѣлью надѣлить ихъ основными свойствами, необходимыми для спеціально — научнаго изученія.

Мы предполагаемъ осуществить здѣсь это по отношенію къ понятію о числѣ, простѣйшему изъ всѣхъ трехъ понятій, котораго преобладающее положеніе такъ прекрасно выставлено было великимъ математикомъ Якоби въ одномъ изъ его писемъ къ Александру Гумбольдту1).

„Одинъ древній, — такъ начинается одно изъ этихъ писемъ,—сравниваетъ математиковъ съ лотофагами. Кто разъ,—говоритъ онъ, — испробовалъ сладости математическихъ наукъ, не можетъ уже отстать отъ нея. Припишите же и мое предыдущее письмо2) тому бѣшенству, которое нападаетъ на этихъ лотоѣдовъ, когда они находятъ обожаемыя ими идеи или въ пренебреженіи или цѣнимыми только изъ-за случайныхъ приложеній. Не то же ли говоритъ и Шиллеръ въ Ксеніяхъ въ своемъ маленькомъ стихотвореніи:

Архимедъ и юноша.

Къ Архимеду явился юноша жаждущій знанія.

Наставь меня, просилъ онъ мудреца, божественному искусству,

Столь дивныя услуги оказавшему астрономіи,

Леопольдъ Кронекеръ. (1823—1891).

1) Эти письма нашлись въ бумагахъ Леженъ-Дирикле.

2) Это предыдущее письмо съ штемпелемъ Berlin, d. 26 Dec. 1846» занимаетъ три страницы in octavo, написанныя мелкимъ и тѣснымъ письмомъ Якоби. На первой страницѣ Якоби спрашиваетъ: «Итакъ, вы хотѣли бы знать ту цѣпь мыслей, которая привела Леверрье къ открытію въ 1846 заурановской планеты»? и на третьей страницѣ пишетъ: «При этихъ обстоятельствахъ поистинѣ замѣчательно, что Леверрье при своей способности къ счету имѣлъ и математическую прозорливость, необходимую для того, чтобы осмѣлиться приступить къ обширной совершенно новой проблемѣ. Но работа человѣческаго духа не можетъ быть измѣряема по необходимой для этого гомеопатической дозѣ».

За Ураномъ открывшему еще планету.

Божественнымъ называешь ты искусство, отвѣчалъ мудрецъ,

Оно божественно и было такимъ, прежде чѣмъ изслѣдовало Космосъ,

Прежде чѣмъ оказало дивныя услуги астрономіи

И за Ураномъ открыло еще одну планету.

Все, что ты видишь въ Космосѣ, есть только отраженіе божественнаго искусства,

Среди Олимпійцевъ на тронѣ возсѣдаетъ вѣчное число“1).

Въ этой остроумной пародіи Шиллеровскаго стихотворенія „Архимедъ и ученикъ“ Якоби выставляетъ положеніе понятія о числѣ во всей математикѣ въ поэтической формѣ, но совершенно правильно и подобно тому, какъ это сдѣлалъ Гауссъ въ словахъ: „Математика есть царица наукъ и ариѳметика — царица математики. Послѣдняя часто нисходитъ до оказанія услугъ астрономіи и другимъ естественнымъ наукамъ, но ей всегда и вездѣ принадлежитъ первое мѣсто“2).

Дѣйствительно ариѳметика стоитъ по отношенію къ двумъ другимъ математическимъ дисциплинамъ, геометріи и механикѣ, въ такомъ же положеніи, какъ вся математика къ астрономіи и другимъ естественнымъ наукамъ; ариѳметика оказываетъ геометріи и механикѣ многообразныя услуги, получая въ свою очередь отъ этихъ наукъ многообразные импульсы.

При этомъ слово „ариѳметика“ должно пониматься не въ обыкновенномъ ограниченномъ смыслѣ, но должно включать всѣ математическія дисциплины, за исключеніемъ геометріи и механики. И я вѣрю, что когда-нибудь удастся „ариѳметизировать“ все содержаніе этихъ математическихъ дисциплинъ, т.-е. основать ихъ единственно и исключительно на понятіи о числѣ, взятомъ въ самомъ тѣсномъ смыслѣ, отбросивъ тѣ измѣненія и распространенія этого понятія,

Archimedes und der Jüngling.

1) Zu Archimedes kam ein wissbegieriger Jüngling,

Weihe mich, sprach er zu ihm, ein in die göttliche Kunst,

Die so herrliche der Sternenkunde geleistet,

Hinter dem Uranos noch einen Planeten entdeckt.

Göttich nennst Du die Kunst, sie ist’s. versetzte der Weise.

Aber sie war es, bevor noch sie den Kosmos erforscht,

Ehe sie herrliche Dienste der Sternenkunde geleistet,

Hinter dem Uranos noch einen Planeten entdeckt.

Was Du im Kosmos erblickst, ist nur der Göttlichen Abglanz,

In der Olympier Schaar thronet die ewige Zahl.

2) Gauss Zum Gedächtniss—Sartorius von Waltershausen Leipz. 1856 S. 79. Въ этомъ сочиненіи на стр. 97 приводится изреченіе Гаусса: «ε θεές αριθμητιξει»: нъ бумагахъ Леженъ-Дирикле нашлось письмо врача Гаусса Баума къ Гумбольдту, подтверждающее подлинность этого изреченія.

которыя вводились преимущественно ради приложеній къ геометріи и механикѣ1). Принципіальное различіе между геометріею и механикою, съ одной стороны, и прочими математическими дисциплинами, составляющими „ариѳметику“, съ другой, состоитъ, по мнѣнію Гаусса, въ томъ, что предметъ послѣднихъ, число, есть продуктъ только нашего ума, между тѣмъ какъ пространство и время имѣютъ и внѣ нашего духа реальность, которой мы не можемъ а priori предписывать законы2).

§ 1. Опредѣленіе понятія о числѣ. Естественный исходный пунктъ для развитія понятія о числѣ находится, по моему мнѣнію, въ порядковыхъ числахъ. Въ нихъ обладаемъ мы запасомъ извѣстныхъ, въ твердой послѣдовательности находящихся обозначеній, которыя мы можемъ приписывать группѣ различныхъ и различаемыхъ нами предметовъ3). Совокупность употребляемыхъ при этомъ обозначеній соединяемъ мы въ понятіи о „численности предметовъ“, изъ которыхъ состоитъ группа, и выраженіе для этого понятія мы связываемъ съ послѣднимъ изъ употребленныхъ обозначеній, такъ какъ послѣдовательность ихъ точно опредѣлена. Такъ, въ группѣ буквъ (а, b, с, d, е) можно обозначить букву а „первою“, букву b „второю“ и т. д. и наконецъ букву е „пятою“. Совокупность употребленныхъ при этомъ порядковыхъ чиселъ или „численность“ буквъ а, b, с, d, е можетъ поэтому быть обозначена сообразно съ послѣднимъ изъ употребленныхъ порядковыхъ чиселъ числомъ „пять“4).

1) Я подразумѣваю введеніе ирраціональныхъ и вообще непрерывныхъ величинъ.

2) Гауссъ выражается такъ (въ письмѣ къ Бесселю въ 1829 г.): «По моему глубочайшему убѣжденію ученіе о пространствѣ имѣетъ по отношенію къ нашему знанію аксіоматическихъ истинъ совершенно другое положеніе, чѣмъ чистое ученіе о величинахъ: наше знаніе истинъ геометріи совершенно лишено того полнаго убѣжденія въ ихъ необходимости (и, слѣдовательно, абсолютной истинѣ), которое принадлежитъ ученію о величинахъ; мы должны скромно сознаться, что, если число есть только продуктъ нашего духа, то пространство и помимо нашего духа имѣетъ реальность, которой мы не можемъ а priori предписывать закопы». См. рѣчь Эрнеста Шеринга о Гауссѣ.

3) Предметы могутъ быть въ извѣстномъ смыслѣ равны между собою и различны только по положенію въ пространствѣ, во времени или въ мысляхъ, какъ, напр., двѣ равныя длины или два равныхъ періода времени.

4) Запасъ обозначеній, которымъ мы обладаемъ въ порядковыхъ числахъ, всегда достаточенъ, потому что онъ не столько дѣйствительный, сколько идеальный запасъ. Благодаря законамъ образованія нашего словеснаго и письменнаго обозначенія чиселъ мы дѣйствительно обладаемъ возможностью удовлетворить каждый запросъ, предполагая впрочемъ, что въ выраженіи числа извѣстныя обозначенія могутъ повторяться произвольное число разъ. При допущеніи повторенія достаточно было бы собственно даже одного знака для выраженія каждаго числа; стоитъ повторять этотъ знакъ столько разъ, сколько указываетъ число. Но такой первобытный способъ представленія съ помощью одного знака

Можно изъ самихъ порядковыхъ чиселъ составить группу объектовъ. Для той группы, которая состоитъ изъ опредѣленнаго (n—таго) порядковаго числа и изъ всѣхъ предыдущихъ порядковыхъ чиселъ, численность выражается, соотвѣтственно выше данному опредѣленію, количественнымъ числомъ, соотвѣтствующимъ n — тому порядковому числу; эти-то количественныя числа и называются „числами“.

Число m называется „меньшимъ", чѣмъ другое число n, если порядковое число, соотвѣтствующее m, предшествуетъ соотвѣтствующему n. Такъ называемый естественный рядъ чиселъ есть ни что иное, какъ рядъ соотвѣтствующихъ порядковыхъ чиселъ.

§ 2. Независимость числа отъ порядка принятаго при счетѣ. Когда пересчитываютъ группу объектовъ, т.-е. обозначаютъ порядковыми числами, по порядку, отдѣльные объекты, то этимъ самымъ придаютъ объектамъ извѣстный порядокъ. Оставляемъ теперь безъ измѣненія порядокъ объектовъ, но установляемъ новую послѣдовательность порядковыхъ чиселъ (перестановляя ихъ между собою) и затѣмъ первый объектъ обозначаемъ первымъ порядковымъ числомъ новой послѣдовательности, второй—вторымъ порядковымъ числомъ и такъ по порядку каждый слѣдующій объектъ слѣдующимъ порядковымъ числомъ; тогда и объекты получаютъ снова новый порядокъ, отличный отъ предыдущаго, но опредѣляемый приписанными имъ порядковыми

былъ бы совершенно не нагляденъ; непрактиченъ и съ другой стольже первобытный способъ представленія чиселъ посредствомъ исключительно различныхъ знаковъ. Поэтому при словесномъ обозначеніи числа пришли къ мысли выражать возможно большее число посредствомъ возможно меньшаго числа специфически отличныхъ коренныхъ словъ; этого достигли, устроивъ схему обозначеній на подобіе таблицы съ двойнымъ входомъ.

Такъ ставя точки въ 45 квадратовъ таблицы, составленной изъ пяти колоннъ и девяти строкъ, можно представить всѣ числа до 99.999 совершенно такъ, какъ это имѣетъ мѣсто въ греческой системѣ нумераціи. Если въ столбецъ I ставятся единицы, въ столбецъ II—десятки, въ столбцѣ III—сотни, въ столбецъ IV—тысячи и въ столбецъ V—десятки тысячъ, то, напр., число 32456 представляется пятью точками, стоящими въ строкахъ 3, 2, 4, 5, 6 и въ столбцахъ V, IV, III, II, I. Греческое τρισμυριοι δισχίλωι τετραχόσίοι πεντηζοντα εξ получается изъ этой таблицы непосредственно, извлекая изъ обозначенія строкъ начало и изъ обозначенія столбцевъ окончаніе каждаго изъ числительныхъ. Такъ для первой точки, стоящей въ третьей (τρεις) и въ пятомъ столбцѣ (μύριοι) составляется числительное τρίσμύριοι, для второй точки, стоящей во второй строкѣ (δύο) и четвертомъ столбцѣ (χίλιοι) числительное—δισχίλιοι и т. д. и, наконецъ, для пятой точки, стоящей въ шестой строкѣ (εξ) и въ первомъ столбцѣ, имѣемъ числительное εξ безъ прибавленія окончанія. Греческая система образованія числительныхъ позволяетъ, такимъ образомъ, съ помощью 13 различныхъ обозначеній, девяти начальныхъ и четырехъ конечныхъ, выразить различнымъ образомъ всѣ числа до 99999.

числами; предметы считаются тогда въ другомъ порядкѣ1). При этомъ „совокупность“ порядковыхъ чиселъ, употребленныхъ для обозначенія, дающая по выше данному опредѣленію понятіе о „численности“ предметовъ, нисколько не измѣняется, и потому численность, т.-е. результатъ счета не зависитъ отъ порядка счета. „Численность“ предметовъ группы есть поэтому свойство группы какъ таковой, т.-е. какъ совокупности предметовъ независимой отъ какого-нибудь опредѣленнаго порядка.

Если мы мысленно соединимъ какіе-нибудь элементы, обозначаемые буквами а, b, с, d..., въ одну систему, при чемъ твердо устанавливается послѣдовательность элементовъ то, напр., двѣ системы (а, b, с) и (с, b, а) должны считаться различными. И, дѣйствительно, если мы взявши за а, b, с нѣсколько различныхъ чиселъ обозначаемъ точку пространства, которой прямоугольныя координаты суть х = а, у = b, z = c, системою (а, b, с), двѣ точки (а, b, с) (b, с, а) будутъ очевидно отличны одна отъ другой. Если мы будемъ называть какія-нибудь двѣ системы (а, b, с, d...), (а', b', с', d'...) „эквивалентными“ въ томъ случаѣ, если можно преобразовать одну систему въ другую, замѣняя по порядку каждый элементъ первой системы элементомъ второй, то необходимое и достаточное условіе для эквивалентности двухъ системъ состоитъ въ равенствѣ численности ихъ элементовъ и численность элементовъ системы (а, b, с, d...) можетъ быть характеризована поэтому, какъ единственная „инваріанта“ всѣхъ между собою эквивалентныхъ системъ2).

§ 3. Сложеніе чиселъ. Числа сами могутъ быть приняты за объекты счета.

Такъ, напр., можно отсчитывать, начиная съ числа (n1 + 1), n2 чиселъ, т.-е. соединить въ группу n2 чиселъ слѣдующихъ за числомъ

Это „дальнѣйшее отсчитываніе“ называется „сложеніемъ съ числомъ n1 числа n2“ и то число s, къ которому мы приходимъ при этомъ дальнѣйшемъ отсчитываніи, называется „результатомъ сложенія“ или „суммою n1 и n2“ и

1) Здѣсь намѣренно употребляется перестановка не предметовъ, но ихъ обозначеній порядковыми числами; въ противномъ случаѣ могло бы возникнуть сомнѣніе въ возможности перестановлять предметы.

2) Этимъ, я думаю, точнѣе выражено содержаніе предложенія, которымъ Липшицъ начинаетъ свой учебникъ анализа. Это предложеніе говоритъ: «Если при разсмотрѣніи отдѣльныхъ вещей не обращается вниманіе на признаки, которыми отличаются между собою вещи, то остается понятіе о численности разсматриваемыхъ вещей».

Съ терминомъ «инваріанта» введеннымъ въ науку Сильвестромъ теперь соединяютъ болѣе общее понятіе чѣмъ то, для котораго знаменитый англійскій математикъ ввелъ этотъ терминъ.

обозначается n1 + n2. Тотъ же самый результатъ s получается, если мы прибавимъ къ числу n2 число n1, т.-е. если начиная съ числа n2 + 1 отсчитаемъ и потому: n1 + n2 = n2 + n1. Точно такъ же вообще:

если α, ß, γ, ...ρ обозначаютъ числа 1, 2, 3,...ν въ какомъ-нибудь порядкѣ.

Ибо, если мы составимъ всю группу системъ двухъ чиселъ (h, k), получающуюся, полагая послѣдовательно

то получается число n1 + n2 + n3 + ... + nr, какъ число системъ группъ, если мы будемъ считать ихъ въ томъ порядкѣ, въ которомъ онѣ здѣсь составлены. Если же мы расположимъ ихъ такъ, чтобы послѣдовательно шли другъ за другомъ системы, въ которыхъ:

то, напротивъ,число nα + nβ + ... + nρ является численностью системъ группъ, и одно и то же число представляется съ одной стороны суммою: n1 + n2 + n3 + ... + nr, съ другой стороны суммою: nα + nβ + nγ... + nρ.

§4. Умноженіе чиселъ. Если слагаемыя n1, n2,...nr всѣ равны одному и тому же числу n, то сложеніе называется „умноженіемъ числа n на множитель r“ и n1 + n2 + ... + nr = r.n.

Результатъ, такимъ образомъ, опредѣленнаго умноженія называется произведеніемъ чиселъ r и n. Совершенно такой же результатъ получается, если число r будетъ умножаемо на множитель n и вообще произведеніе чиселъ n1, n2, ..., nr не зависитъ отъ порядка, въ которомъ производятся умноженія. Ибо, если мы представимъ себѣ всѣ системы r чиселъ (h1, h2, ... hr), которыя получаются, полагая

то всѣ эти системы могутъ быть расположены по величинѣ значеній полинома

если γ обозначаетъ число, превышающее каждое изъ чиселъ n1, n2, n3,...nr.

Системы слѣдуютъ одна за другою въ томъ порядкѣ, въ которомъ онѣ слѣдовали бы одна за другою, если бы h1h2h3...hr представляло число съ цифрами h1, h2,...hr въ системѣ нумераціи съ основаніемъ д. Принципъ, на которомъ основывается размѣщеніе этихъ чиселъ, тотъ самый, который употребляется въ лексиконахъ съ замѣною чиселъ 1, 2, 3,...по порядку буквами алфавита.

Различныя системы (h1, h2, h3, ... hr), характеризирующіяся различными значеніями h1 въ числѣ n1, слѣдуютъ одна за другой при данномъ расположеніи по величинѣ значеній въ каждомъ подраздѣленіи n2 различныхъ системъ, характеризирующихся значеніями h2, слѣдуютъ опять одна за другою по значеніямъ этихъ величинъ и т. д. Если мы обозначимъ число тѣхъ системъ, въ которыхъ h1 = 1, буквою s1, то s1 будетъ также числомъ системъ въ каждомъ изъ подраздѣленій, характеризируемыхъ значеніями h1 = 1,2,3, ... Общее число всѣхъ системъ выражается поэтому произведеніемъ n1s1.

Если мы обозначимъ далѣе число тѣхъ системъ, въ которыхъ h1 = 1 и h2 = 1, буквою s2, то s2 будетъ числомъ системъ въ каждомъ изъ n2 подраздѣленій, которыя при опредѣленномъ значеніи h1 = 1 характеризируются n2 значеніями:

Обозначенное буквою число всѣхъ системъ, въ которыхъ h1 = 1, выражается также и произведеніемъ n2, s2, и число всѣхъ системъ вообще равно: n1 n2 s2. Продолжая подобнымъ же образомъ дальше, мы получимъ произведеніе: n1, n2 n3..,nr, какъ выраженіе числа всѣхъ системъ

Если, какъ выше, α, ß, γ, ..., ρ обозначаютъ числа 1,2,3,...r въ какомъ-нибудь другомъ порядкѣ, а различныя системы

(h1, h2,...hr) будутъ расположены такъ, какъ онѣ слѣдовали бы другъ за другомъ, если бы

представляло число съ цифрами hα hβ h ...h въ системѣ нумераціи съ основаніемъ g, то вышеизложеннымъ пріемомъ мы получили бы произведеніе: nα nβ n ... пρ, какъ выраженіе для числа всѣхъ системъ (h1, h2,...hr) и потому дѣйствительно:

Произведеніе чиселъ не зависитъ отъ послѣдовательности множителей, т.-е. отъ послѣдовательности, въ которой производятся перемноженія.

§ 5. Буквенное исчисленіе. Мы можемъ считать теперь законы сложенія и умноженія чиселъ вполнѣ выведенными изъ опредѣленій. Эти же самые законы были положены въ основаніе такъ называемаго буквеннаго исчисленія, какъ только начали употреблять буквы для обозначенія чиселъ, оставленныхъ безъ точнаго опредѣленія.

Но со времени принципіальнаго введенія „неопредѣленныхъ“ (indeterminatae), которымъ наука обязана Гауссу, спеціальная теорія цѣлыхъ чиселъ расширилась въ общую ариѳметическую теорію цѣлыхъ цѣлочисленныхъ функцій неопредѣленныхъ. Эта общая теорія позволяетъ исключить всѣ чуждыя понятія объ отрицательныхъ, дробныхъ, вещественныхъ и мнимыхъ алгебраическихъ числахъ.

Такъ понятіе объ отрицательныхъ числахъ можетъ быть исключено, замѣняя въ формулахъ множитель — 1 неопредѣленною х и знакъ равенства Гауссовскимъ знакомъ сравненія modulo (x + 1). Тогда равенство 7 — 9 = 3 — 5 преобразуется въ сравненіе:

оно выигрываетъ при этомъ въ содержаніи, такъ какъ сравненіе имѣетъ значеніе для всякаго положительнаго цѣлаго числа х, показывая, что 7 + 9х при дѣленіи на x + 1 даетъ тотъ же остатокъ, какъ 3 + съ другой стороны, это сравненіе переходитъ непосредственно въ уравненіе, если только х будемъ считать не неопредѣленною, но „величиною“, опредѣленною уравненіемъ = 0 и вводимъ, такимъ образомъ, отрицательную единицу. Замѣтимъ, что въ учебникѣ др. Германна Шуберта1) ясно указано на то,

1) Sistem der arithmetik und algebra, als Leitfaden für den Unterricht in höheren Schulen. Von. Dr. Hermann Schubert. Potsdam. 1885. S. 26. Въ предыдущемъ мы воспользовались многими изъ заключающихся въ этомъ сочиненіи разъясненій.

что значеніе формулы: 7 — 9 = 3 — 5 нуждается въ ближайшемъ разъясненіи и что при этомъ вводится „собственно говоря новое употребленіе знака равенства".

II. Понятіе о дробныхъ числахъ можетъ быть устранено, если въ формулахъ множитель будетъ замѣненъ неопредѣленною xm и знакъ равенства Гауссовскимъ знакомъ сравненія modulo (тxт—1). Три правила дѣйствій надъ дробями,

замѣняются тогда вполнѣ слѣдующими сравненіями:

Эти три сравненія вытекаютъ сами изъ слѣдующихъ трехъ тожествъ:

Понятіе о „большемъ" и „меньшемъ" дробей можетъ быть разсматриваемо, какъ данное правиломъ сложенія, если дробь, происходящая отъ сложенія двухъ дробей будетъ считаться больше каждаго изъ двухъ слагаемыхъ. Этимъ путемъ не только опредѣляется, но и обосновывается послѣдовательность раціональныхъ дробей1).

1) Въ предисловіи къ своему сочиненію: «Introduction à la théorie des fonctions d’une variable» Jules Tannery говоритъ на стр. VIII: «On peut constituer entièrement l’Analyse avec la notion de nombre entier et les notions relatives à l’addition des nombres entiers; il est inutil de faire appel à aucun autre postulat, à aucune autre donnée de l’experience; une fraction, du point de vue que j’indique, ne peut pas être regardée comme la réunion de parties égales de l’unité; ces mots «parties de l’unité» n’ont plus de sens; une fraction est un ensemble de deux nombres entiers, rangés dans un ordre déterminé; sur cette nouvelle espèce de nombres, il y a lieu de reprendre les définitions de l’égalité, de l’inégalité et des opérations arithmétiques» (анализъ можетъ

Въ результатахъ „общей“ ариѳметики“ или „ариѳметической теоріи цѣлыхъ цѣлочисленныхъ функцій неопредѣленныхъ“ можно видѣть только совокупность всѣхъ результатовъ, получающихся въ томъ случаѣ, если неопредѣленнымъ придаются цѣлочисленныя значенія.

Поэтому и результаты общей ариѳметики принадлежатъ собственно обыкновенной спеціальной теоріи чиселъ, и всѣ плоды глубочайшихъ математическихъ изслѣдованій могутъ быть въ конечномъ результатѣ выражены въ простыхъ формахъ свойствъ цѣлыхъ чиселъ.

Но для простого выраженія этихъ свойствъ необходимо было имѣть предварительно приспособленный наглядный способъ выраженія и представленія чиселъ; къ этому стремилось человѣчество съ глубокой древности настойчиво и упорно, то болѣе, то менѣе успѣшно, различными путями у различныхъ народовъ2). Плодъ этой работы, наше словесное и письменное изображеніе чиселъ, является необходимымъ условіемъ какъ для нахожденія той сокровищницы знаній, которою располагаетъ современная ариѳметика, такъ и для открытія тѣхъ „законовъ“, въ которые мы облекли наше знаніе движенія небесныхъ тѣлъ; безъ

быть построенъ исключительно на понятіяхъ о цѣломъ числѣ и сложеніи цѣлыхъ чиселъ; нѣтъ необходимости прибѣгать къ какому-либо другому постулату, къ какому-либо другому опытному данному; дробь, съ указанной точки зрѣнія, не можетъ быть разсматриваема какъ соединеніе равныхъ частей единицы; эти слова «части единицы» не имѣютъ болѣе смысла; дробь есть совокупность двухъ цѣлыхъ чиселъ, помѣщенныхъ въ опредѣленномъ порядкѣ; въ примѣненіи къ этому новому роду чиселъ необходимо пересмотрѣть опредѣленія равенства, неравенства и ариѳметическихъ операцій». Послѣднее и было изложено выше.

2) См. мемуаръ Александра Гумбольдта. Ueber die bei verschiedenen Völkern üblichen Systeme von Zahlzeichen und über den Ursprung des Stellenwerthes in den indischen Zahlen. (Crelle’s Journal für die reine und angewandte mathematik. Bd. 4. p. 205 ff.)

Въ этомъ мемуарѣ цитируется, между прочимъ, замѣчаніе Laplace «C’est de l’Inde que nous vient l’ingénieuse methode d’exprimer tous les nombres avec dix caractères, en leur donnant à la fois une valeur absolue et une valeur de position, idée fine et importante qui nous parait maintenant si simple que nous en sentons à peine le mérite. Mais cette simplicité même et l’extrême facilité qui en résulte pour tous les calculs placent notre système d’arithmétique au premier rang des inventions utiles, et l’on appréciera la difficulté d’y parvenir, si l’on considéré qu’il a échappé au génie d’Archimède et d’Appolonius, deux de plus grands hommes dont l’antiquité s’honore». (Изъ Индіи пришелъ къ намъ остроумный способъ выражать всѣ числа десятью цифрами, давая имъ заразъ и абсолютное значеніе и значеніе по положенію, идея остроумная и важная, которая кажется намъ теперь столь простою, что мы едва ли понимаемъ все ея значеніе. Но эта самая простота и необыкновенная легкость всѣхъ вычисленій, происходящая отъ этого способа, ставятъ нашу систему ариѳметики въ первомъ ряду полезныхъ изобрѣтеній; трудность этого изобрѣтенія будетъ лучше оцѣнена, если вспомнимъ, что оно ускользнуло отъ генія Архимеда и Апполонія, принадлежащихъ безспорно къ величайшимъ людямъ древности).

него невозможенъ былъ бы и весь современный строй практической жизни, необъятное распространеніе и развитіе торговли и обмѣна, столь существенно отличающее новый міръ отъ стараго.

Примѣчаніе переводчика.

Къ стр. 260. Кронекеръ вводитъ эдѣсь терминологію теоріи функціональныхъ сравненій.

Если двѣ функціи φ(х) и ψ(х) таковы, что разность ихъ дѣлится на цѣлую функцію F(x), то вмѣсто равенства φ (х) = ξ (x) + F(x).χ(x), гдѣ χ(x) есть цѣлая функція, пишутъ: φ(x) ≡ ξ(x) [mod F(x)] (функціи φ(x) и ψ(x) сравнимы по модулю F(x)).

Вообще:

представлена подъ видомъ

гдѣ χ(x),χ1(x).... суть цѣлыя функціи.

Теорія системъ модулей изложена Кронекеромъ въ § 21 его „Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen“.

Понятіе о числѣ.

(Профессора Д. Гильберта1)).

Сравнивая многочисленныя работы о началахъ ариѳметики и объ аксіомахъ геометріи, мы замѣчаемъ на ряду съ многочисленными аналогіями и сходствами между этими двумя предметами, вмѣстѣ съ тѣмъ и различіе въ методѣ изслѣдованія.

Представимъ себѣ, прежде всего, тотъ путь, которымъ вводится понятіе о числѣ. Исходя изъ понятія о числѣ 1, процессомъ счета образуютъ дальнѣйшія цѣлыя раціональныя положительныя числа и развиваютъ законы ихъ счета; затѣмъ переходятъ, основываясь на требованіи общей выполнимости вычитанія, къ цѣлому отрицательному числу; потомъ опредѣляютъ дробное число, какъ пару чиселъ (тогда каждая линейная функція обладаетъ нулевою точкою) и наконецъ вещественное число, какъ сѣченіе или какъ основный рядъ раціональныхъ чиселъ—тогда дости-

1) Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Bd. 8. §180—184. Переводъ проф. А. В. Васильева.

гаютъ того, что каждая цѣлая раціональная неопредѣленная и вообще каждая непрерывная неопредѣленная функція имѣетъ нулевую точку. Мы можемъ назвать эту методу введенія понятія о числѣ генетическимъ методомъ, ибо при этомъ самое общее понятіе о вещественномъ числѣ производится послѣдовательнымъ расширеніемъ простого понятія о цѣломъ положительномъ числѣ.

Существенно иначе поступаютъ при построеніи геометріи. Здѣсь, обыкновенно, начинаютъ съ допущенія существованія всѣхъ изучаемыхъ въ геометріи элементовъ, т.-е. съ самаго начала предполагаютъ существованіе трехъ системъ вещей, именно точекъ, прямыхъ и линій, и затѣмъ устанавливаютъ соотношеніе между этими элементами — въ существенныхъ чертахъ слѣдуя Эвклиду— съ помощью извѣстныхъ аксіомъ, а именно аксіомъ сочетанія, порядка, конгруенціи и непрерывности1). Тогда необходимо выступаетъ задача: показать отсутствіе противорѣчій и полноту въ системѣ аксіомъ, т.-е. должно быть доказано, что примѣненіе выставленныхъ аксіомъ не можетъ никогда привести къ противорѣчію, и далѣе, что система аксіомъ достаточна для доказательства всѣхъ геометрическихъ предположеній. Мы можемъ назвать такой порядокъ изслѣдованія методомъ аксіоматическимъ.

Я ставлю теперь вопросъ: дѣйствительно ли именно генетическій методъ единственный примѣнимый для изученія понятія о числѣ, и, напротивъ, аксіоматическій единственный, который примѣнимъ въ изученіи основаній геометріи? Мнѣ кажется также интереснымъ сопоставить два метода и изслѣдовать сравнительныя преимущества обоихъ методовъ при логическомъ изслѣдованіи основаній механики и другихъ физическихъ доктринъ.

Проф. Д. Гильбертъ.

1) Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Leipzig. B. Teubner, 1899.

По моему мнѣнію, несмотря на высокое педагогическое и эйристическое значеніе генетическаго метода, аксіоматическій методъ имѣетъ, однако, передъ нимъ преимущество въ томъ случаѣ, если требуется дать законченное представленіе и полное логическое утвержденіе содержанія нашего познанія.

Въ теоріи понятія о числѣ аксіоматическій методъ принимаетъ слѣдующій видъ. Мы мыслимъ систему вещей; мы называемъ эти вещи числами и обозначаемъ ихъ а, b, с... Мы мыслимъ эти вещи въ извѣстныхъ взаимныхъ отношеніяхъ, которыхъ точное и полное описаніе заключается въ слѣдующихъ аксіомахъ:

I. Аксіомы сочетанія.

I. 1. Изъ числа а и изъ числа b образуется посредствомъ „сложенія“ опредѣленное число с; это обозначается символически:

I. 2. Если а и b суть данныя числа, то существуетъ всегда одно, и только одно, число х и также одно — и только одно — число у, такъ что:

I. 3. Существуетъ опредѣленное число — оно обозначается 0, такъ что для каждаго а имѣемъ одновременно:

I. 4. Изъ числа а и числа b образуется также посредствомъ „умноженія“ опредѣленное число с; употребляя обозначенія:

I. 5. Если а и b суть произвольныя данныя числа и а не есть 0, то существуетъ всегда одно—и только одно— число х и также одно (и только одно) у, такъ что:

I. 6. Существуетъ опредѣленное число — обозначаемъ его 1, такъ что для каждаго а одновременно:

II. Аксіомы счета.

Если а, b, с суть произвольныя числа, то всегда имѣютъ мѣсто слѣдующія формулы:

III. Аксіомы порядка.

III. Если а, b суть какія-нибудь два различныя числа, то всегда одно опредѣленное изъ нихъ (напр., а) больше ( > ) чѣмъ другое; это послѣднее называется тогда меньшимъ; это обозначается:

IV. Аксіомы непрерывности.

IV. 1. (Архимедова аксіома). Если а > 0 и b > 0 суть два произвольныя числа, то всегда возможно сложить а послѣдовательно столько разъ, что соотвѣтствующая сумма будетъ имѣть свойство:

IV. 2. (Аксіома полноты). Невозможно присоединить къ системѣ чиселъ другую систему вещей такъ, чтобы и въ новой системѣ, полученной отъ соединенія, имѣли мѣсто сполна всѣ аксіомы: I, II, III, IV. 1; или короче говоря: числа составляютъ систему вещей, которая при условіи удовлетворенія всѣхъ аксіомъ уже не можетъ быть болѣе расширена.

Нѣкоторыя изъ аксіомъ I. 1—6, II. 1—6, III. 1—4, IV. 1—2 суть слѣдствія другихъ и, такимъ образомъ, является задача развить логическую зависимость этихъ аксіомъ. Для изслѣдованія началъ ариѳметики эта задача доставляетъ много новыхъ и плодотворныхъ точекъ зрѣнія. Мы встрѣчаемся, напр., съ слѣдующими фактами:

Существованіе числа 0 (аксіома I. 3) есть слѣдствіе аксіомъ I. 1,2 и II. 1; оно основывается, такимъ образомъ, существенно на ассоціативномъ законѣ сложенія.

Существованіе числа 1 (аксіома I. 6) есть слѣдствіе аксіомъ I. 4,5 и II. 3; оно основываегся, такимъ образомъ, существенно на ассоціативномъ законѣ умноженія.

Коммутативный законъ сложенія (аксіома II. 2) есть слѣдствіе аксіомъ I, II. 1, 4, 5; онъ есть также слѣдствіе ассоціативнаго закона сложенія и обоихъ дистрибутивныхъ законовъ.

Доказательство. Имѣемъ:

Коммутативный законъ умноженія (аксіома II. 6) есть слѣдствіе аксіомъ I, II. 1 — 5, III, IV. 1, но уже не вытекаетъ изъ аксіомъ I, II. 1 — 5, III; этотъ законъ можетъ быть выведенъ изъ прочихъ аксіомъ тогда, и только тогда, когда въ число ихъ входитъ аксіома Архимеда (IV. 1). Этотъ фактъ имѣетъ особенное значеніе для основаній геометріи1).

Аксіомы IV. 1 и IV. 2 независимы одна отъ другой, онѣ не содержатъ никакого утвержденія относительно понятія о сходимости или существованіи предѣла, и однако изъ нихъ слѣдуетъ, какъ можно показать, теорема Больцано о существованіи точки сгущенія (Verdichtungsstelle). Мы находимъ, такимъ образомъ, полное совпаденіе нашей системы чиселъ съ обыкновенной системой вещественныхъ чиселъ.

Для доказательства отсутствія противорѣчія выставленныхъ аксіомъ, необходимо соотвѣтствующее видоизмѣненіе извѣстныхъ методовъ заключенія. Въ этомъ доказательствѣ я усматриваю, вмѣстѣ съ тѣмъ, доказательство существованія понятія вещественныхъ чиселъ или, употребляя выраженія Г. Кантора, доказательство того, что система дѣйствительныхъ чиселъ есть существующая множественность (consistente Menge).

Тѣ возраженія, которыя дѣлаются противъ существованія совокупности всѣхъ вещественныхъ чиселъ и безконечныхъ множественностей, теряютъ при нашемъ взглядѣ всякое основаніе: подъ множественностью вещественныхъ чиселъ мы должны мыслить не совокупность всѣхъ возможныхъ законовъ, по которымъ могутъ итти элементы основного ряда, но, напротивъ, какъ это было сейчасъ указано, систему вещей, которыхъ взаимныя отношенія даны вышеприведенною конечною и замкнутою системою аксіомъ I—IV; для этой системы новыя утвержденія только тогда имѣютъ значеніе, если они могутъ быть выведены изъ аксіомъ посредствомъ конечнаго числа логическихъ заключеній.

Если бы мы подобнымъ же образомъ хотѣли дать доказательство существованія совокупности всѣхъ мощностей (или всѣхъ канторовскихъ Алефовъ), то эта попытка не

1) Hilbert. Grundlagen der Geometrie. Kap. VI.

удалась бы: дѣйствительно, совокупность всѣхъ мощностей не существуетъ или, говоря терминами Г. Кантора, совокупность всѣхъ мощностей есть не существующая множественность.

Число и обобщеніе понятія о числѣ.

(Отрывки изъ книги „Введеніе въ анализъ“ проф. А. В. Васильева. Выпускъ I. Изд. 3-е. Казань, 1907 г. Выпускъ II. Изд. 2-е. Казань, 1910 г.).

Аксіомы и законы операцій въ ученіи о цѣлыхъ числахъ1).

§ 10. Рядомъ натуральныхъ, или цѣлыхъ положительныхъ чиселъ, мы будемъ называть рядъ знаковъ, опредѣляемый слѣдующими свойствами:

I. Рядъ начинается нѣкоторымъ числомъ, и это первое число ряда называется единицею и обозначается 1.

II. За каждымъ числомъ ряда слѣдуетъ одно, и только одно, число и каждому числу ряда (кромѣ числа 1) предшествуетъ одно — и только одно — число. (Первое обобщеніе понятія о числѣ будетъ состоять во введеніи числа, предшествующаго 1 и обозначаемаго 0; но пока мы не вводимъ его, такъ какъ введеніе его не является необходимымъ при пересчитываніи2). Число, слѣдующее за какимъ-нибудь числомъ а, обозначимъ (временно) а + и будемъ называть числомъ „высшимъ“ а и всѣхъ чиселъ, предшествующихъ а. (Для обозначенія того, что b выше а, будемъ употреблять значекъ > , такъ что b > a).

Число, предшествующее а, будетъ обозначаться а— и будетъ называться низшимъ, чѣмъ а и всѣ числа, слѣдующія за а (b ниже а обозначается b < а).

Изъ опредѣленія понятій высшій, низшій слѣдуетъ, что: 1°, если а > bу то b < а, и 2°, если а > b, b > с, то а > с и, если а < b, b < с, то а < с. Если два числа а и b различны, то изъ того, что каждому числу предшествуетъ только одно число и за каждымъ числомъ слѣдуетъ только одно число, — вытекаетъ, что, если за двумя числами а и b слѣдуетъ одно и то же число, то а и b тождественны и, если числамъ а и b предшествуетъ одно число, то а и b тождественны.

1) Изъ I выпуска «Введенія въ анализъ».

2) При изображеніи чиселъ мы можемъ, какъ показываютъ латинскій и греческій способы писанія, обойтись безъ нуля.

III. Ни одно число не повторяется въ нашемъ ряду.

Изъ этого положенія вытекаютъ слѣдующія слѣдствія:

1. Каждое число равно себѣ, и только самому себѣ (число, стоящее въ нашемъ ряду на одномъ мѣстѣ, не можетъ равняться числу, стоящему на другомъ мѣстѣ).

Для нашего ряда чиселъ понятія о равенствѣ и тождествѣ совпадаютъ. Отношеніе равенства или тождества двухъ чиселъ будетъ обозначаться: а = b, и если а = b, то и b = а (симметричность).

Поэтому изъ а = b, b = с слѣдуетъ непосредственно: а = с, ибо оба вышеприведенныя равенства выражаютъ, что оба числа а и с тождественны (транзитивность).

Это слѣдствіе совпадаетъ съ 1 аксіомою ученія о равенствѣ величинъ: если двѣ величины равны порознь третьей, то онѣ равны между собою 1).

Такимъ образомъ подтверждается примѣнимость 1-й аксіомы къ числамъ.

2. Если а, b суть какія-нибудь два числа, стоящія на разныхъ мѣстахъ, то они различны, и обратно, такъ какъ въ нашемъ ряду знаковъ на каждомъ мѣстѣ можетъ стоять одно—и только одно—число, то если а и b суть два различныя числа, то одно опредѣленное изъ нихъ выше другого: или а > b или а < b.

Обозначенія (временныя). Въ виду того, что десятиричная система счисленія основывается на введеніи операцій (сложенія, умноженія и возвышенія въ степень) надъ числами, мы вводимъ временно слѣдующія обозначенія:

Съ помощью этихъ обозначеній мы можемъ тогда письменно передавать другимъ результаты нашего пересчитыванія.

§ 11. Сложеніе натуральныхъ чиселъ. Числа натуральнаго ряда, опредѣленнаго свойствами, перечисленными въ предыдущемъ параграфѣ, могутъ быть сами принимаемы за

Приведемъ рядъ аксіомъ ученія о величинахъ въ томъ видѣ, какъ они формулированы были Евклидомъ въ его «Началахъ»:

1) Величины, равныя одной и той же величинѣ, равны между собою.

2) Если къ величинамъ равнымъ придадимъ величины равныя, то суммы получимъ равныя.

3) Если отъ величинъ равныхъ отнимемъ величины равныя, то остатки получимъ равные.

4) Если къ величинамъ неравнымъ придадимъ величины равныя, то суммы получимъ неравныя.

5) Если отъ величинъ неравныхъ отнимемъ величины равныя, то остатки получимъ неравные.

6) Величины двойныя ’одной и той же величины равны между собою.

7) Половины одной и той же величины равны между собою.

8) Цѣлое болѣе своей части.

объекты счета, могутъ быть сами пересчитываемы. Начнемъ пересчитывать числа нашего ряда, начиная съ числа « + . Если число а + я считаю первымъ (разъ); число (а + ) + (т.-е. слѣдующее за a + ) вторымъ (два) и т. д., и если, такимъ образомъ, послѣдовательно считая числа ряда, я дойду до числа с, отсчитавши b, то число с называется суммою числа а и числа b, и это отношеніе между тремя числами обозначается:

Напр., считая при числахъ 8, 9, 10, 11 послѣдовательно разъ, два, три, четыре, я пишу

Операція этого дальнѣйшаго отсчитыванія называется сложеніемъ съ числомъ а числа b. Порядокъ чиселъ имѣетъ значеніе, такъ какъ въ нашей операціи числа а и b играютъ неодинаковую роль.

Послѣ введенія этого новаго обозначенія, очевидно, что число а + можетъ быть обозначено и а + 1, число (а + ) + знакомъ а + 2 и т. д.

Изъ даннаго опредѣленія операціи сложенія вытекаетъ, что 1°, если а = b, то а + с = b + с и 2°, если a > b, c = d, то а + с > b + d или, если а < b, c = d, то а + с < b + d. Такимъ образомъ и аксіомы: равное приданное къ равному, дастъ равное, равное, приданное къ неравному дастъ неравное (аксіомы 2-я и 4-я выше даннаго ряда) сохраняютъ свою примѣнимость къ нашему „натуральному“ ряду.

3) Изъ опредѣленія сложенія вытекаетъ также, что если число с выше, чѣмъ другое число а, то я могу представить всегда число с, какъ сумму а и нѣкотораго другого числа b. Дѣйствительно, начиная считать съ числа a + 1, я всегда дойду до числа с и то число b, которое будетъ послѣднимъ, мною употребленнымъ для счета, и будетъ искомымъ числомъ.

Наконецъ, изъ опредѣленія операціи сложенія вытекаетъ слѣдующее свойство этой операціи, которое я буду называть Грассмановскою аксіомою сложенія:

IV: (а + b) + 1 = а + (b + 1).

Объясненіе. Дѣйствительно, если я, пересчитывая по порядку числа а + 1, а + 2, ...а + b, говорю при этомъ пересчитываніи 1, 2, ... b, то при слѣдующемъ за а + b числѣ, т.-е. числѣ (a + b) + 1 я долженъ сказать b + 1, т.-е. это слѣдующее за а + b число есть, по данному опредѣленію сложенія, сумма чиселъ а и b + 1.

Грассмановская аксіома есть, очевидно, только описаніе нашей операціи отсчитыванія ряда чиселъ и можетъ быть также разсматриваема, какъ опредѣленіе операціи сложенія.

Слѣдствіемъ Грассмановской аксіомы являются частныя числовыя формулы, подобныя формулѣ 5 + 4 = 9, природа которыхъ такъ интересовала всегда философовъ1). На основаніи Грасмановской аксіомы имѣемъ:

Подобнымъ же образомъ:

Но 5 + 1 = 6, слѣдовательно, 5 + 2 есть число слѣдующее за 6, т.-е. 7, 5 + 3 есть 8, 5 + 4 есть 9.

Провѣрка частныхъ числовыхъ формъ требуетъ, такимъ образомъ, примѣненія Грассмановской аксіомы конечное число разъ. Мы переходимъ теперь къ выводу общихъ законовъ, приложимыхъ ко всѣмъ числамъ нашего безконечнаго ряда. Очевидно, что къ этой цѣли насъ не можетъ привести конечное число сужденій (силлогизмовъ). Общая теорема, примѣнимая ко всѣмъ числамъ, выражающая свойства безконечнаго ряда чиселъ (а выводъ такихъ общихъ теоремъ и составляетъ цѣль науки), требуетъ для своего доказательства безконечнаго множества силлогизмовъ. Но это бозконечное множество силлогизмовъ замѣняется въ математикѣ особеннымъ методомъ доказательства, извѣстнымъ подъ названіемъ способа полной или математической индукціи, или способа перехода отъ n къ n + 1, или способа разсужденія par récurrence (иногда способъ Бернулли). Методъ основывается на слѣдующемъ предложеніи:

Германъ Грассманъ (1809—1877).

1) Лейбницъ доказывалъ ихъ почти такъ же точно, какъ онѣ доказаны въ текстѣ на основаніи Грассмановской аксіомы. Кантъ напротивъ считалъ ихъ⋅синтетическими апріорными сужденіями, и изученіе вопроса о томъ, какъ возможны подобныя синтетическія апріорныя сужденія и чѣмъ обусловливается ихъ объективное значеніе — есть основной вопросъ Кантовской «Критики чистаго разума».

Чтобы доказать, что нѣкоторая теорема вѣрна для всякаго цѣлаго числа n, достаточно доказать: 1° что эта теорема вѣрна для n = 1, 2° что если она вѣрна для нѣкотораго числа n, то она вѣрна и для слѣдующаго числа n+1.

Напр., 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 вѣрно для n = 1; допустивъ вѣрность равенства для n и прилагая къ обѣимъ частямъ по n + 1 получаемъ:

т.-е. теорема вѣрна для n + 1; поэтому вѣрность теоремы для n = 1 влечетъ за собою вѣрность для n = 2, вѣрность для n = 2 влечетъ за собою вѣрность n = 3 и т. д.

Предлагаю читателю для уясненія этого важнѣйшаго математическаго пріема доказать на основаніи его слѣдующія равенства:

е) Составимъ рядъ чиселъ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21..., котораго первыя числа суть 0, 1. а каждое слѣдующее получается складывая два предыдущія. Если мы обозначимъ числа этого ряда послѣдовательно u0, u1, u3, u4... (u0 = 0, u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2 и т. д.), то рядъ, извѣстный подъ названіемъ ряда Фибоначчи, или Ламе, имѣетъ слѣдующія свойства:

Пуанкаре въ своей статьѣ: „О природѣ математическаго разсужденія“1) справедливо видитъ въ методѣ перехода отъ

1) Изв. Каз. Физико-Мат. Общ., т. IХ. Смотри также его «Гипотеза и Наука», 1903.

n къ n + 1 образцовый методъ математическаго доказательства (le raisonnement mathématique par excellence). Въ немъ на самомъ порогѣ математической науки мы встрѣчаемся съ идеей математической безконечности, и методъ перехода отъ n къ n + 1 есть то орудіе, которое позволяетъ замѣнить безконечное множество силлогизмовъ одною формулою, позволяетъ намъ переходить отъ конечнаго къ безконечному. „Этотъ методъ, недоступный ни аналитическому доказательству, ни опыту, есть истинный типъ синтетическаго апріорнаго сужденія“. (Пуанкаре)2).

§ 12. Законы сложенія. Изъ Грассмановской аксіомы выводятся законы сложенія.

1. Ассоціативность. Предположимъ, что формула вѣрна для с = γ; докажемъ, что она будетъ вѣрна для с = γ + 1. По предположенію

Такъ какъ за каждымъ числомъ слѣдуетъ одно, и только одно число, то

Но по IV (стр. 269)

По той же аксіомѣ IV

итакъ, по аксіомѣ 1 ученія о величинахъ, которой примѣнимость къ ученію о числахъ мы выяснили,

что и тр. док.

2. Коммутативность. Чтобы показать справедливость этого закона, докажемъ сначала, что a + 1 = 1 + a для a = 1 формула, есть тождество. Покажемъ поэтому, что если формула вѣрна для а = α, то она вѣрна и для а = α + 1 ; дѣйствительно,

2) Дедекиндъ (Was sind und was sollen die Zahlen) и Шредеръ въ своей «Algebra der Logik» смотрятъ на принципъ полной индукціи какъ на теорему, которая можетъ быть доказана логически. Пеано (и за нимъ Штольцъ) видятъ въ нѣмъ свойство ряда цѣлыхъ чиселъ и принимаютъ его за аксіому.

Итакъ, формула а + b = b + а вѣрна для b = 1; покажемъ поэтому, что если формула вѣрна для b = ß, то она вѣрна и для b = ß + 1. Дѣйствительно,

(на основаніи закона ассоціативности) = (ß + 1) + a, что и требовалось доказать.

3. Въ ученіи о числахъ имѣютъ значеніе не только равенства, но и неравенства.

Доказанная коммутативность сложенія даетъ возможность обобщить вышеприведенныя неравенства и доказать слѣдующія два положенія:

Дѣйствительно, если а > b, с) > d, то а + с > b + с, с + b > d + b или по закону коммутативности b + c > b + d; слѣдовательно, а + с > b + d.

Подобнымъ же образомъ докажется второе неравенство.

4. Введеніе нуля. Письменное изображеніе чиселъ привело индусовъ къ введенію особаго знака, который ставился для указанія отсутствія въ числѣ какого-либо разряда (единицъ, десятковъ, сотенъ и т. д.). Первое обобщеніе понятія о числѣ заключается въ томъ, что этотъ знакъ разсматривается такъ же, какъ число, предшествующее 1. Тогда это число О должно имѣть слѣдующія свойства: 1° оно меньше всѣхъ чиселъ, 2° 0 + а = а (убѣдимся въ этомъ, считая отъ О, какъ прежде считали отъ 1).

Мы допускаемъ законъ коммутативности и въ томъ случаѣ, если одно изъ чиселъ есть О (это первое примѣненіе такъ называемаго принципа постоянства формальныхъ законовъ )п потому имѣемъ О + а = а (въ частности O + O = O).

Число О называется модулемъ операцій сложенія и вычитанія. [Въ общемъ ученіи о формахъ (Formenlehre) модулемъ операціи соединенія двухъ чиселъ въ одно Ѳ (а, n) называется такое число n, при которомъ Ѳ(а, n) = а].

§ 13. Умноженіе чиселъ и его законы. Назовемъ повторенное сложеніе (т.-е. сложеніе равныхъ чиселъ, взятыхъ въ числѣ b умноженіемъ числа а на число b и будемъ обозначать результатъ этой операціи знакомъ а X b или а.b, строго соблюдая порядокъ чиселъ:

(1)

Изъ этого опредѣленія умноженія и свойствъ сложенія вытекаютъ слѣдующія положенія: 1° если а = a', b = b', то ab = ab' [въ частномъ случаѣ, если b = 2 имѣемъ приложимость къ цѣлымъ числамъ аксіомы Евклида: величины двой-

ныя одной и той же величины равны между собою]. 2° если а > а', b = b', то ab > a'b'.

Изъ опредѣленія 1 вытекаютъ также слѣдующія два равенства:

2) ax1 = a (равенство это показываетъ, что число 1 есть модуль умноженія) и

Равенство (3) позволяетъ послѣдовательно переходить отъ а + 2 къ a + 3, отъ а + 3 къ а + 4 и т. д., т.-е. выводить справедливость новыхъ числовыхъ формулъ, какъ, напр..

Изъ равенствъ (2) и (3) выводятся слѣдующіе законы дѣйствія умноженія, позволяющіе сократить время, необходимое для вывода числовыхъ формулъ, въ которыя входитъ знакъ умноженія.

1. Законы дистрибутивности (распредѣлительные).

(4)

(5)

Формула 4, очевидно, справедлива для с = 1, докажемъ, что если она справедлива для c = γ, то она справедлива для с = γ + 1.

Дѣйствительно (a + b) (γ + 1) = (по 3) (a + b) γ + (a + b) = (по предположенію и по закону ассоціативности сложенія) aγ + bγ + а + b = (по коммутативности и ассоціативности сложенія) (аγ + а) + (bγ + b) = (по 3) а(γ + 1) + b(γ + 1), что и требуется доказать.

Формула 5 также справедлива для с = 1, совпадая тогда съ формулой 3; докажемъ, что если она справедлива для с = γ, то она справедлива и для с = γ + 1. Дѣйствительно, имѣемъ по предположенію для с = γ, по опредѣленію (3) и по свойствамъ сложенія:

что и требуется доказать.

2. Законъ ассоціативности (соединительный).

(6)

Формула (6) для с = 1 есть тождество; докажемъ, что если она вѣрна для с = γ, то вѣрна и для с = γ + 1. Дѣйствительно (а. b) (γ + 1) = (а.b)γ + ab = а(bγ) + ab = (по формулѣ 5)

3. Законъ коммутативности (перемѣстительный).

ab = ba. (7)

Докажемъ, что формула (7) вѣрна для b = 1, т.-е. а. 1 = 1.а. Эта формула для а = 1 есть тождество, допустивъ, что она вѣрна для а = а, покажемъ, что она вѣрна и для а = а + 1. Дѣйствительно (а + 1). 1 = (по φ. 4) α. + 1 = 1.α + 1 = (по форм. 5) = 1(α + 1).

Теперь покажемъ, что если формула (7) вѣрна для b = ß, то она будетъ вѣрна и для b = ß + 1. Дѣйствительно, a(ß + 1 ) = (по 5) aß + а = ßa + а = (по 4) = (ß + 1 )a.

4. Изъ неравенства а > b слѣдуетъ неравенство ас > bс.

Чтобы доказать это, примѣнимъ тотъ же пріемъ математической индукціи. Если неравенство справедливо для с = γ, т.-е. аγ > bγ, то а(γ + 1) = аγ + a > bγ > bγ + b, а на основаніи (5), bγ + b = b(γ + 1); итакъ, a(γ + 1) > b(γ + 1) > что и требуется доказать.

Какъ обобщеніе имѣемъ, если a > b, c > d, то ac > bd. Доказывается, какъ соотвѣтствующее неравенство въ случаѣ сложенія.

5. Модуль умноженія. Равенство аx1 = а показываетъ, какъ это уже и было указано, что модуль умноженія есть 1.

Сопоставимъ теперь найденные законы операцій сложенія и умноженія.

Сложеніе. Умноженіе.

§ 14. Выясненіе важности законовъ ассоціативности, коммутативности и дистрибутивности операцій сложенія и умноженія есть заслуга преимущественно англійской школы математиковъ (Peacock, (Пикокъ), Морганъ, Грегори, Гамильтонъ, Буль и др.)1). Къ выясненію понятій элементарной математики они были приведены, создавая болѣе общія теоріи (символическое исчисленіе, теорію кватерніоновъ (Гамильтонъ), математическую логику (Буль)).

1) Впрочемъ, Servois еще въ 1814 г. ввелъ термины коммутативности и дистрибутивности.

На континентѣ къ теоріи законовъ операцій пришелъ независимо отъ англійской школы знаменитый Г. Грассманъ, который въ своей „Ausdehungslehre" 1844 г. далъ общую теорію операцій (Formenlehre), которая заключаетъ въ себѣ математику (Grössenlehre) только какъ часть, а въ своей „Lehrbuch der Arithmetik, Berlin 1861“ излагалъ ее въ формѣ удобной для преподаванія. Вышеприведенные выводы законовъ изъ основной аксіомы Грассмана и даны въ ариѳметикѣ. Идеи Грассмана популяризованы были Ганкелемъ въ его „Theorie der complexen Zahlensysteme" 1867 г.

Лобачевскій въ своей алгебрѣ 1834 г., опредѣливъ сложеніе, какъ присчитаніе къ единицамъ перваго числа единицъ второго, считаетъ нужнымъ опредѣлить сложеніе, когда одно изъ чиселъ есть нуль [придать нуль къ цѣлому числу, значитъ ничего къ нему не присчитывать; придать же къ нулю цѣлое число, все равно, что пересчитать прямо единицы цѣлаго числа] и затѣмъ доказываетъ слѣдующее общее положеніе, заключающее въ себѣ какъ частный случай законъ коммутативности:

Все равно къ числу а придать сперва b, потомъ с или сперва с, потомъ b. Приведемъ его доказательство, замѣчательное по своей строгости. „Предложеніе само по себѣ ясно, когда b = с. Если же b и с неравны, то случай b > с тотъ же, что и b < с. Итакъ, пусть b > c. Число b можно произвести, придавая къ с какое-нибудь число d, такъ что b = c + d, потому что въ этомъ и состоитъ неравенство чиселъ. Придать же число b не иначе можно, какъ присчитывая единицы числа с, потомъ единицы въ d (свойство ассоціативности, такимъ образомъ, принимается Лобачевскимъ за очевидное), слѣдовательно,

Здѣсь вмѣсто а + с можно ставить число А, сумму а съ с, остается доказывать такое же уравненіе, какъ и

Николай Ивановичъ Лобачевскій.

но только мѣсто b заступило d < b. Продолжая, такимъ образомъ, всякій разъ будемъ большее изъ двухъ придаваемыхъ уменьшать, по крайней мѣрѣ, единицею, а такъ какъ они цѣлыя, то наконецъ одно изъ нихъ сдѣлается нулемъ. Это предполагаетъ впереди равенство ихъ, а слѣдовательно, тождественное уравненіе.

Въ особенности замѣтимъ случай a = 0. Тогда b + с = с + b. Это значитъ, что въ суммѣ двухъ чиселъ все равно, которое къ которому ни придавать. Вотъ потому, не различая, которое къ которому придается, о двухъ числахъ говорятъ, что они складываются; также и о многихъ числахъ, потому что и здѣсь различіе не нужно“.

Кромѣ этого доказательства коммутативности сложенія въ изложеніи основаній алгебры Лобачевскаго заслуживаетъ еще вниманіе слѣдующее доказательство предложенія: разность двухъ чиселъ можетъ быть только одно число. „Въ цѣлыхъ, когда продолжаемъ считать отъ вычитаемаго, пока дойдемъ до уменьшаемаго, число присчитанныхъ единицъ изобразитъ разность, а какъ всякое цѣлое число въ продолженіи счета можетъ быть упомянуто только одинъ разъ, то и разность двухъ чиселъ можетъ быть только одна“.

Въ послѣднее время вопросъ объ аксіомахъ ариѳметики былъ предметомъ обширной литературы и многихъ глубокихъ изысканій.

Важнѣйшія изъ сочиненій, разсматривающихъ вопросъ съ математической1) точки зрѣнія суть слѣдующія:

1. Schröder. Lehrbuch der Arithmetik und Algebra. Leipz. 1873. Подробный анализъ понятія о числѣ и выводъ законовъ операцій двумя путями. 1° по Грассману (in recurrenter Behandlung) и 2° исходя изъ выставленной Шредеромъ съ особенною опредѣленностью единственной аксіомы ученія о цѣлыхъ числахъ — аксіомы о независимости числа отъ порядка счета.

1) Изъ сочиненій, разсматривающихъ вопросъ съ философской точки зрѣнія. упомянемъ Frege, Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. Breslau. 1884. Husserl, Philosophie der Arithmetik 1891. Couturat, De l’infini mathématique. Paris. 1896 и соотвѣтствующія главы логикъ Милля, Вундта и Зигварта. Нельзя не указать на то, что большинство этихъ авторовъ (Husserl, Зигвартъ и Кутюра) являются противниками изложенной нами теоріи цѣлыхъ чиселъ, основанной на идеѣ порядка. Аргументы Зигварта, а также и другія сочиненія по философіи ариѳметики, изложены въ статьѣ Челпанова «Обзоръ новѣйшей литературы по теоріи познанія». Изъ учебниковъ, составленныхъ по идеямъ Генриха Грассмана, кромѣ вышеупомянутаго его учебника укажемъ еще на учебникъ, составленный его братомъ: Die Zahlenlehre oder Arithmetik streng wissenchaftlich in strenger Formeentwickelung von Robert Grassmann. Stetin 1891 и учебникъ, Шредера (см. въ текстѣ).

2. Dedekind. Was sind und was sollen die Zahlen. 1888. 2-е изд. 1893. Braunschw.

3. Peano. Arithmetices principia nova methodo exposita. Torino. 1889. Подобно Гельмгольцу и Кронекеру Дедекиндъ и Пеано исходятъ также изъ порядковыхъ чиселъ. Для Пеано вся ариѳметика цѣлыхъ чиселъ сводится къ тремъ первоначальнымъ (не опредѣленнымъ) идеямъ: О, идея цѣлаго числа и идея слѣдующаго за другими и къ слѣдующимъ пяти независимымъ между собою предложеніямъ: (1) О есть число; (2) если а есть число, то слѣдующее за а есть также число, (3) если два числа имѣютъ одно слѣдующее число, то они тождественны; (4) О не слѣдуетъ ни за какимъ числомъ; (5) принципъ математической индукціи.

Дедекиндъ исходитъ изъ понятія о системахъ вещей (элементовъ системы) и изъ понятія объ изображеніи (Abbildung) системы. Система 5 изображается системою S', если каждому элементу S соотвѣтствуетъ одинъ, и только одинъ, элементъ S' (этотъ элементъ х есть изображеніе элемента х системы S), но нѣсколькимъ элементамъ S можетъ соотвѣтствовать одинъ элементъ S' (такъ, если S есть система, состоящая изъ людей, разсматриваемыхъ какъ сыновья, S' есть система отцовъ). Если же и обратно каждому элементу S' соотвѣтствуетъ одинъ, и только одинъ, элементъ S, то двѣ системы будутъ подобныя (такъ, системы отцовъ и сыновей-первенцевъ суть системы подобныя). Система можетъ заключать въ себѣ свое изображеніе (такъ, система отцовъ, заключаетъ въ себѣ свое изображеніе, такъ какъ каждый отецъ есть въ то же время и сынъ другого элемента той же системы). Пусть х есть элементъ системы S, х' его изображеніе, заключающееся также въ S, а именно х" изображеніе х, х"’ изображенія х" и т. д., всѣ эти изображенія заключаются въ S.

Система х, х', х"..., составляющая часть системы S, называется цѣпью (такъ, напр., возьмемъ въ системѣ всѣхъ отцовъ лица А, его отца А', его дѣда А", его прадѣда А'" и т. д. и т. д.; А', А', А"... составляютъ цѣпъ). Представимъ теперь систему элементовъ N, характеризуемую слѣдующими 4 свойствами:

1°. Изображеніе N заключается въ N.

2°. Изображеніе N' подобно системѣ N.

3°. Система N есть цѣпь одного изъ своихъ элементовъ А, но

4°. Этотъ элементъ А не заключается въ N'.

(Всѣ эти свойства принадлежатъ, какъ легко видѣть, приведенной выше въ примѣръ, системѣ А, А', А"...; система содержитъ въ себѣ свое подобное изображеніе А', А"..., она есть цѣпь, начинающаяся съ А, но этотъ эле

ментъ А не содержится въ изображеніи системы. Система сыновей-первенцевъ будетъ также система, имѣющая указанныя свойства), такія системы называются однократно-безконечными. Система цѣлыхъ положительныхъ чиселъ есть частный случай такой однократно — безконечной системы; тотъ первый элементъ, съ котораго начинается система, обозначается 1, изображеніе 1(1') есть 2, 2' = 3, 3' = 4... Система цѣлыхъ чиселъ есть въ то же время абстракція, получающаяся, если мы, разсматривая однократно-безконечныя системы, оставимъ безъ вниманія свойство элементовъ и обратимъ наше вниманіе только на ихъ взаимное отношеніе. Эта система цѣлыхъ чиселъ и можетъ поэтому послужить къ опредѣленію порядка, занимаемаго какимъ-либо элементомъ въ какой-либо однократно-безконечной системѣ. Свойства системы цѣлыхъ чиселъ выходятъ изъ общихъ свойствъ подобныхъ системъ, цѣпей и однократнобезконечныхъ системъ1). Ариѳметика становится частью логики, такъ какъ понятіе о числѣ выводится вполнѣ независимо отъ представленій о пространствѣ и времени, какъ непосредственный результатъ „чистыхъ законовъ мысли“.

Теоріи Дедекинда и Пеано подвергнуты критической обработкѣ въ замѣчательномъ трудѣ по философіи чистой математики, появившемся въ 1903 г. Russel. Principles of Mathematics. Теорія Пеано положена въ основаніе ученія о числахъ въ сочиненіи Stolz-Gmeiner Theoretische Arithmetik, Leipz.

4. Гильбертъ. Понятіе о числѣ2). Въ этой небольшой работѣ авторъ, слѣдуя идеямъ, положеннымъ имъ въ основаніе его классической работы, „Основанія геометріи" (получившей премію Лобачевскаго по конкурсу 1903 г.), даетъ классификацію аксіомъ ариѳметики, подобную данной имъ классификаціи аксіомъ геометріи.

I. Аксіомы сочетанія. Для цѣлыхъ положительныхъ чиселъ эти аксіомы будутъ:

I. 1. Изъ числа a и изъ числа b образуется посредствомъ сложенія опредѣленное число с, это обозначается

I. 2. Если а и b суть данныя числа, то существуетъ (если а > b; см. аксіому III. 1) всегда одно, и только одно,

1) Такъ, напр., число m называется числомъ меньшимъ числа n, если цѣпь числа n заключается въ изображеніи цѣпи числа m.

2) Извѣстія Каз. Физико-Матем. Общ. Т. XI. Эта небольшая статья дана въ настоящей хрестоматіи цѣликомъ выше.

число х и также одно, и только одно, число у, такъ что а + х = b и соотвѣтственно у + а = b.

I. 3. Существуетъ опредѣленное число, оно обозначается 0, такъ что и для каждаго а мы имѣемъ одновременно

I. 4. Изъ числа а и числа b образуется также посредствомъ „Умноженія“ опредѣленное число с; употребляя обозначенія:

1. 5. Существуетъ опредѣленное число, обозначаемъ его 1, такъ что для каждаго а одновременно:

II. Аксіомы счета. (Законы коммутативности, ассоціативности и дистрибутивности операцій сложенія и умноженія).

III. Аксіомы порядка.

III. 1. Если а, b суть какія-нибудь два различныя числа, то всегда одно опредѣленное изъ нихъ больше ( > ), чѣмъ другое; это послѣднее называется тогда меньшимъ; это обозначается:

IV. Архимедова аксіома. Если а > 0 и b > 0 суть два произвольныя числа, то всегда возможно сложить а послѣдовательно столько разъ, что соотвѣтствующая сумма будетъ имѣть свойство:

Аксіомы не зависимы между собою; такъ существованіе О (аксіома I. 3) есть слѣдствіе I. 1, I. 2 и II. 1. (а + (b + с)) = ((a + b) + c); оно основывается, такимъ образомъ, существенно на ассоціативномъ законѣ сложенія. Подобнымъ же образомъ существованіе 1 есть слѣдствіе закона ассоціативности умноженія. Коммутативность сложенія (аксіома II. 2) есть слѣдствіе аксіомы I, ассоціативнаго закона сложенія и обоихъ дистрибутивныхъ законовъ. Дѣйствительно, имѣемъ съ одной стороны

съ другой стороны

откуда

Эти примѣры приводятъ къ задачѣ: развить логическую зависимость аксіомъ между собою1).

§ 15. Въ предыдущемъ изложеніи въ основаніе ариѳметики или ученія о цѣлыхъ числахъ былъ положенъ рядъ порядковыхъ чиселъ, т.-е. законовъ, служащихъ для указанія порядка. Свойства чиселъ, равно какъ и законы операцій надъ ними, выводятся изъ такого опредѣленія ихъ, какъ указателей порядка. Но опредѣленный, такимъ образомъ, рядъ можетъ послужить и для другой цѣли, для опредѣленія численности элементовъ какой — либо группы конечныхъ вещей или абстрактныхъ понятій или иначе объектовъ какого-либо множества, состоящаго изъ раздѣльныхъ и различимыхъ вещей (припомнимъ Эвклидово опредѣленіе натуральнаго числа).

Если для того, чтобы каждому элементу группы соотвѣтствовало число ряда, понадобится полный численный рядъ отъ 1 до n, то n называется численностью группы или множества. Представимъ себѣ теперь нѣсколько группъ, имѣющихъ одинаковую численность. Эти множества будутъ, очевидно, имѣть то свойство, что будетъ возможно каждому элементу одного (того или другого) множества поставить въ соотвѣтствіе одинъ, и только одинъ, элементъ другого множества.

Это свойство множествъ, которое мы постоянно замѣчаемъ во внѣшнемъ мірѣ, мы можемъ принять за основную базу ученія о цѣлыхъ положительныхъ числахъ. Назовемъ множества, имѣющія указанное свойство, вмѣстѣ съ Г. Канторомъ множествами эквивалентными (Дедекиндъ называетъ ихъ, какъ мы видѣли, подобными).

Такъ, группа цвѣтовъ радуги и группа основныхъ тоновъ октавы, группа названій дней недѣли и группа мудрецовъ древней Греціи — суть группы между собою эквивалентныя.

Численностью множества (иначе кардинальнымъ числомъ, иначе мощностью множества) можно назвать ту общую идею, которая выводится, разсматривая эквивалентныя группы и отвлекаясь какъ отъ природы элементовъ, такъ и отъ порядка, въ которомъ они расположены.

Вслѣдствіе этого опредѣленія, кардинальное число, не завися отъ порядка, въ которомъ расположены предметы, не можетъ зависѣть и отъ того порядка, въ которомъ они пересчитываются.

1) Въ своемъ сообщеніи на международномъ парижскомъ конгрессѣ Гильбертъ ставитъ какъ одну изъ тѣхъ задачъ математики, отъ рѣшенія (или доказательства невозможности рѣшенія) которыхъ будетъ зависѣть будущее движенія математической науки, — задачу доказательства непротиворѣчивости ариѳметическихъ аксіомъ.

Такимъ образомъ, слѣдствіемъ опредѣленія является основная аксіома ученія о цѣлыхъ положительныхъ числахъ: число всякой конечной группы раздѣльныхъ вещей не зависитъ отъ порядка ихъ пересчитыванія.

Легко видѣть, что законы коммутативности и ассоціативности сложенія и умноженія, равно какъ и законъ дистрибутивности, являются слѣдствіемъ этой основной аксіомы. Чтобы показать, напр., что ab = , представимъ себѣ группу предметовъ въ числѣ N = ab и расположимъ ее въ b горизонтальныхъ строкахъ такъ, чтобы каждая строка заключала а предметовъ; пересчитывая предметы въ одномъ вертикальномъ столбцѣ, получимъ b предметовъ, а такъ какъ число вертикальныхъ столбцовъ есть а, то въ результатѣ новаго пріема пересчитыванія найдемъ N = ba, что и требуется доказать.

Такимъ образомъ, показывается примѣнимость и другихъ законовъ сочетанія.

Замѣтимъ, что понятіе объ эквивалентности множествъ, данное нами, можетъ быть распространено и на множества, заключающія въ себѣ безконечное число вещей, напр., на ряды, состоящіе изъ безконечнаго множества цѣлыхъ чиселъ. Такъ, напр., ряды 1, 2, 3, 4...

2, 4, 6, 8 ... суть, очевидно, множества эквивалентныя, такъ какъ каждому элементу одного множества можно поставить въ соотвѣтствіе одинъ, и только одинъ, элементъ— другого множества. Мы называемъ эти ряды имѣющими одну и ту же мощность (Mächtigkeit), такъ что мощность есть распространеніе понятія о числѣ. Подобнымъ же образомъ рядъ паръ цѣлыхъ чиселъ [составленный по слѣдующему правилу: пары распредѣляются по порядку возрастанія суммы чиселъ пары; при одинаковой же суммѣ по порядку возрастанія перваго числа пары]:

есть рядъ эквивалентный съ рядомъ 1, 2, 3, 4, 5...

Безконечныя множества отличаются отъ конечныхъ тѣмъ, что для нихъ, очевидно, не имѣетъ примѣненія аксіома: цѣлое болѣе своей части. Дедекиндъ принимаетъ за опредѣленіе безконечнаго множества именно это свойство: множество есть множество безконечное, если его часть можетъ бытъ эквивалентна цѣлому.

§ 16. Операціи третьей и четвертой ступеней. Если мы назовемъ сложеніе операціею первой ступени, а умноженіе— операціею второй ступени, то между ними существуетъ соотношеніе, по которому умноженіе есть повторенное

сложеніе, т.-е. сложеніе, въ которомъ одно и то же число а берется слагаемымъ b разъ: аb = а + а + nоэтому, если мы захотимъ составить операцію третьей ступени, которая относилась бы къ умноженію подобно тому, какъ умноженіе относится къ сложенію, то мы должны взять одно и то же число а множителемъ b разъ. Новая операція соединенія двухъ чиселъ а и b называется возвышеніемъ въ степень и обозначается аb; а — называется основаніемъ, b — показателемъ степени, аb—степенью.

Изъ этого опредѣленія возвышенія въ степень получимъ, примѣняя законы умноженія, слѣдующіе законы возвышенія въ степень:

(I)

(II)

(III)

Вторыя и третьи степени, имѣющія такое важное значеніе въ геометріи, разсматривались уже греческими геометрами. Въ ариѳметическихъ изслѣдованіяхъ Діофанта разсматривались уже степени до 6-й. Въ XIV и XVI столѣтіяхъ находимъ начала теоріи дѣйствій надъ степенями и корнями у Орезма, Ризе, Рудольфа и въ особенности у Михаила Стифеля. Но особенное значеніе получило ученіе о степеняхъ послѣ изобрѣтенія логариѳмовъ.

Отъ операціи третьей ступени можно перейти къ операціи четвертой ступени — возвышенію въ сверхъ-степень (гиперпотенцированію), опредѣляю b(ую) сверхстепень отъ числа а слѣдующимъ образомъ:

(b) показываетъ, сколько разъ повторяется а.

Эта операція и по своей трудности и по отсутствію примѣненій разсматривалась до сихъ поръ еще очень мало. Кажется, первый, кто заинтересовался ею, былъ математикъ и философъ — позитивистъ маркизъ Кондорсе. Послѣ него Эйлеръ изслѣдовалъ быстроту возрастанія „сверхъ-степени", которая поразительна:

а 2(5)— заключаетъ въ себѣ уже 19729 цифръ;

и т. д.

Между тѣмъ для а = 1, а(m) = 1, какъ бы велико ни было m. Точно такъ же для а = √2, a(m), какъ бы велико ни было m, очевидно, меньше, чѣмъ аа = 2. Эйлеръ и поставилъ интересную задачу: опредѣлить, при какомъ а, очевидно, заключающемся между √2 = 1,4121... и 2, сверхъ-степень начинаетъ быстро возрастать (ubi ista enormis augmentatio incipiat), и находитъ число e1/e = 1,44467... (е есть такъ называемое Неперово число 2,71828 ...1).

Сверхъ-степепь a(m) есть частное значеніе для х = 1 отъ функціи an, которая при а = с, играетъ въ настоящее время весьма важную роль въ ученіи о сходимости положительныхъ строкъ.

§ 17. Обратныя операціи первыхъ трехъ ступеней.

Каждое положеніе можетъ быть обращено въ одинъ или нѣсколько вопросовъ. Гауссъ отпечаталъ свои знаменитыя „Disquisitiones“ въ 1801 г. Это положеніе можетъ послужить къ постановкѣ нѣсколькихъ вопросовъ: когда напечатаны „Disquisitiones“, какая знаменитая книга была напечатана въ 1801 г. и т. д. Подобно этому, если два числа а и b, соединенныя знакомъ , даютъ третье число с, то мы можемъ сдѣлать изъ этого положенія два вопроса:

1) Къ какому числу нужно придать извѣстное число b для того, чтобы получить другое извѣстное число с?

2) Какое число нужно придать къ извѣстному числу а для того, чтобы получить другое извѣстное число с?

Оба вопроса по своему логическому смыслу различны. Если года А больше годовъ В на m лѣтъ, то два обратные вопроса: 1) сколько лѣтъ В и 2) на сколько лѣтъ А старше В, очевидно, различны по своему смыслу. Но математическая операція, съ помощью которой рѣшаются оба вопроса, одна и та же и называется вычитаніем. Причина

1) De formulis exponentialibus replicatis (Acta Acad. Petropol 1768).

Въ послѣднее время многіе результаты Эйлера были найдены снова Лемере, статьи котораго «о четвертомъ натуральномъ алгориѳмѣ» печатались въ Nouv. Ann. за 1898 и 1899 г.

этого въ коммутативности сложенія, которая дозволяетъ видоизмѣнять по произволу порядокъ слагаемыхъ.

Подобнымъ же образомъ, вопросу умноженія, т.-е. вопросу о повтореніи одного числа нѣсколько разъ, соотвѣтствуютъ два вопроса, логически также отличающіеся одинъ отъ другого. Или можетъ быть поставленъ вопросъ: какое число должно быть повторено b разъ для того, чтобы получить число с (этотъ вопросъ есть — собственно дѣленіе), или можетъ быть поставленъ вопросъ: сколько разъ должно быть повторено число а для того, чтобы получилось число с (этотъ послѣдній вопросъ есть вопросъ о нахожденіи содержанія или вопросъ измѣренія). Но вслѣдствіе коммутативности умноженія оба вопроса приводятъ къ одной и той же операціи — дѣленію.

Но при переходѣ къ операціи третьей ступени мы имѣемъ уже два вопроса, отличающіеся не только логически, но и приводящіе къ двумъ различнымъ операціямъ. Если аь = с и если по даннымъ с и b ищется «, то вопросъ носитъ названіе вопроса объ извлеченіи корня b — й степени изъ с : а = √с. Если, напротивъ, по даннымъ с и а ищется число b, то этотъ вопросъ о нахожденіи показателя степени, въ которую нужно возвысить данное число а для того, чтобы получить с, называется вопросомъ о нахожденіи логариѳма (логариѳмированіе) числа с по основанію a:

Такъ какъ операція возвышенія въ степень не есть операція коммутативная (аb не равно bа), то два вопроса рѣшаются двумя различными операціями.

Мы имѣемъ, такимъ образомъ, семь алгебраическихъ операцій, отношенія между которыми могутъ быть представлены слѣдующею таблицею:

Таблица 7 операцій.

§ 18. Законы обратныхъ операцій. Законы обратныхъ операцій выводятся какъ логическое слѣдствіе опредѣленія обратныхъ операцій, аксіомъ ученія о числахъ и законовъ прямыхъ дѣйствій.

Такъ, изъ опредѣленій вычитанія и дѣленія, опредѣленныхъ равенствами:

выводятся слѣдующія формулы:

(I)

Формулы двухъ столбцовъ, расположенныя въ одной строкѣ, находятся между собою въ простомъ соотвѣтствіи, получаясь (вторыя изъ первыхъ) перемѣною знаковъ ( + ) и ( — ) на знаки (⋅) и (:) и обратно.

Чтобы доказать, напр., формулу (2), прибавимъ къ обѣимъ частямъ равенства а — (b + с) = (а — b) — с число (b + c). Первая часть равенства даетъ а; вторая будетъ

При доказательствѣ мы пользуемся законами сложенія и сопоставленіемъ аксіомъ: если къ равнымъ придадимъ равныя, то получимъ равныя, и если къ неравнымъ придадимъ равныя, то получимъ неравныя.

Въ томъ же соотношеніи, въ какомъ формулы (I) стоятъ къ законамъ ассоціативности и коммутативности сложенія и умноженія, слѣдующія формулы (ÏI) стоятъ къ закону дистрибутивности:

(II)

Основными формулами обратныхъ операцій извлеченія корня и логариѳмированія можно считать слѣдующія:

(III)

(IV).

Доказательства всѣхъ этихъ формулъ, имѣющихъ для насъ смыслъ, пока символами выражаются цѣлыя числа, основываются также на опредѣленіи обратныхъ дѣйствій, на законахъ соотвѣтствующаго прямого дѣйствія и на аксіомахъ.

§ 19 Алгебра есть послѣдовательное комбинированіе основныхъ законовъ. Повторное примѣненіе и комбинированіе данныхъ въ предыдущихъ §§ законовъ 7 алгебраическихъ операцій даетъ всю ту цѣпь формулъ, которая составляетъ алгебру (пока алгебру цѣлыхъ чиселъ).

Алгебра имѣетъ цѣлью раскрыть или вывести всѣ слѣдствія, вытекающія изъ аксіомъ и законовъ сложенія и умноженія. Доказать формулу алгебры, значитъ комбинировать аксіомы и законы. „Доказательство въ формальныхъ наукахъ, какова алгебра,—говоритъ Грассманъ,—не выходитъ изъ предѣловъ мышленія и состоитъ только въ комбинаціи мыслительныхъ актовъ“.

Ученіе о дробныхъ числахъ1).

§ 1. Дроби, какъ пары цѣлыхъ чиселъ (пары 2-ой ступени). Если цѣлое положительное число b не есть кратное другого цѣлаго положительнаго числа а, то нельзя найти цѣлое число, которое удовлетворяло бы равенству ах = 6. Мы покажемъ теперь, что этому равенству можно удовлетворить, вводя новый математическій объектъ, совокупность или пару двухъ цѣлыхъ чиселъ, взятыхъ въ опредѣленномъ порядкѣ, и, точно опредѣляя, какъ условія равенства и неравенства этихъ объектовъ, такъ и законы операцій надъ ними.

Равенство паръ. Пары [а, b] и [a', b'] равны между собою, если выполнено условіе: [а.b' = а.b] и притомъ только при этомъ условіи. Напр., [6, 10] = [9, 15], ибо 6.15 = 10.9 = 90.

Слѣдствіе. 1. Пары [an, bп] и [a, b] равны, т.-е. въ парѣ безъ измѣненія можно оба ея члена умножить на одно и то же цѣлое положительное число.

2. Пара [a m, а] = [m, 1].

Условіе. Пара, въ которой второй членъ есть 1 (модуль умноженія), будетъ считаться совпадающею съ цѣлымъ числомъ, именно со своимъ первымъ членомъ.

1) Отрывки изъ II выпуска «Введенія въ анализъ» проф. А. В. Васильева.

Неравенство паръ. Если въ двухъ парахъ [а, b] и [с, d] вторые члены равны, то та пара болѣе, въ которой первый членъ болѣе; такъ, напр., [3, 5] > [2, 5].

Слѣдствіе 1 даетъ возможность установить отношеніе величинъ между каждыми двумя парами, такъ какъ позволяетъ привести данныя пары, не измѣняя ихъ, къ вицу, въ которомъ вторые члены тожественны. Такъ

Вообще

смотря по тому, будетъ ли

Установивъ условія равенства и неравенства паръ, мы видимъ, что къ этимъ парамъ примѣнимы основныя аксіомы ученія о равенствѣ (такъ, напр., если а = [а, b], ß = [c, d], у = [е, f], то, очевидно, изъ данныхъ опредѣленій, что: 1°, если α = ß, то ß = α; 2°, если α = ß, α = γ, то ß = γ), и аксіомы порядка (1. если α > ß, ß > γ, то α > γ; 2, если α < ß, то α < γ).

Операціи надъ парами. Сложеніе паръ. Результатомъ сложенія или суммою двухъ паръ [а, b] и [с, d] называется новая пара [ad + bc, bd].

(1)

Опредѣленная равенствомъ 1) операція имѣетъ всѣ свойства операціи сложенія цѣлыхъ положительныхъ чиселъ, почему мы и имѣли полное право назвать ее сложеніемъ.

1°. Она есть операція ассоціативная:

Доказательство. Пусть α = [a, b], ß = [c, d], γ = [e, f].

Тогда α + (ß + γ) = α + [cf + de, df] = adf + (cf + ed) b, bdf] (α + ß) + γ = [ad + cb, bd] + [e, f] = [( ad + cb) f + bde, bdf]. Но какъ первые, такъ и вторые члены въ конечныхъ парахъ равны, въ силу законовъ ассоціативности и коммутативности сложенія и умноженія цѣлыхъ чиселъ; слѣдодовательно, операція сложенія паръ есть операція ассоціативная.

2°. Она есть также операція коммутативная: α + β = ß + α. Дѣйствительно, если α + ß = [ap + cb, bd]; то ß + α = [cb + ad, db].

Слѣдствіе. Если вторая пара есть [0, 1], то [а, b] + [0, 1] = [a, b]: т.-е. сложеніе паръ имѣетъ модулемъ пару [0, 1] = 0 (распространяя и на этотъ случай условіе, данное выше)

Умноженіе паръ. Результатомъ умноженія или произведеніемъ двухъ паръ [a, b] и [c, d] называется пара [ас, bd].

Изъ этого опредѣленія умноженія легко видѣть, что операція умноженія паръ имѣетъ всѣ тѣ свойства, которыя имѣетъ операція умноженія цѣлыхъ чиселъ.

1. Она есть операція ассоціативная:

Дѣйствительно, пусть Тогда

Но вслѣдствіе ассоціативности умноженія цѣлыхъ чиселъ какъ первые, такъ и вторые члены въ конечныхъ парахъ равны; слѣдовательно, ассоціативность умноженія паръ доказана.

2. Она есть операція коммутативная.

Дѣйствительно, αβ = [а, b] [с, d] = [ac, bd].

Вслѣдствіе коммутативности умноженія цѣлыхъ чиселъ

3. Оба закона дистрибутивности имѣютъ также мѣсто. Ограничимся доказательствомъ перваго: (α + ß)γ = αγ + βγ.

дѣйствительно, пусть α = [а, b], ß = [c, d], γ = [e, f].

Такъ какъ пары [(ad + bc)e, bdf] и [aed + ceb, bdf] тожественны, то законъ, очевидно, доказанъ.

Изъ даннаго нами опредѣленія умноженія двухъ паръ вытекаетъ, что въ этихъ парахъ мы имѣемъ математическій объектъ, удовлетворяющій поставленной нами задачѣ: при всякихъ а и b рѣшить уравненіе ах = b.

Дѣйствительно, замѣняя число цѣлое а по условію парою [а, 1], мы имѣемъ

Найдя въ этихъ парахъ чиселъ отвѣтъ на поставленную задачу и видя, что операціи надъ парами тожественны по своимъ законамъ съ операціями надъ цѣлыми положительными числами, мы называемъ наши пары дробными числами (или просто дробями). Такимъ образомъ, понятіе о числѣ значительно расширяется введеніемъ подъ этимъ названіемъ паръ [а, b,]. гдѣ а и b суть какія-угодно числа изъ ряда 0, 1, 2,.... Не имѣютъ смысла только пары, въ

которыхъ второй членъ есть 0. Первому члену пары мы придадимъ названіе числителя, второму — знаменателя. Дробь, знаменатель которой есть 1, совпадаетъ съ числителемъ и есть цѣлое число.

Правила, данныя нами для прямыхъ дѣйствій надъ парами и изъ которыхъ безъ труда выводятся правила для обратныхъ операцій, совпадаютъ съ правилами ариѳметики для дѣйствія надъ дробями; но въ то время, какъ изъ педагогическихъ соображеній въ ариѳметикѣ правила эти или выводятся изъ конкретнаго значенія дробей, съ помощью которыхъ измѣряются непрерывныя величины, или получаются путемъ обобщенія понятія объ операціи, — правила даны нами произвольно, но съ тѣмъ, чтобы операціи сложенія и умноженія надъ парами переходили въ операціи сложенія и умноженія надъ цѣлыми числами, когда пары обращаются въ цѣлыя числа.

§ 2. Принципъ постоянства формальныхъ законовъ. Идея разсматриванія паръ чиселъ (и общее совокупностей изъ трехъ, четырехъ...чиселъ), обоснованіе на разсматриваніи паръ теоріи обобщенныхъ чиселъ, принадлежитъ ирландскому математику Вильяму Роану Гамильтону (1805—1865), который примѣнилъ ее къ обоснованію созданной имъ теоріи кватерніоновъ1). Къ дробямъ эта идея примѣнена, кажется, въ первый разъ Таннери2).

Существуютъ другіе способы строго логическаго и чисто-ариѳметическаго обоснованія теоріи дробнаго числа, въ которыхъ, какъ и въ только что изложенномъ, свойства дробныхъ чиселъ выводятся изъ ихъ опредѣленія независимо отъ ихъ конкретнаго представленія и отъ ихъ приложеній къ задачамъ дѣленія или измѣренія непрерывной величины.

Одинъ изъ такихъ способовъ, примѣнимыхъ и къ дальнѣйшимъ обобщеніямъ понятія о числѣ, основывается на высказанномъ въ первый разъ профессоромъ Кембриджскаго университета Пикокомъ (1791—1858) принципѣ постоянства формальныхъ законовъ (principle of the permanence of equivalent forms)3). На основаніи этого принципа символы a/b, а — b и т. п., теряющіе ариѳметическій смыслъ, если они не выражаются цѣлыми положительными числами, продолжаютъ тѣмъ не менѣе разсматриваться въ

1) См. литературу вопроса въ отд. V «Введенія въ Анализъ» А. В. Васильева. Часть II. (ученіе о гиперкомплексныхъ и трансфинитныхъ числахъ).

2) Leçons d’Arithmètique. Paris. 1894.

3) Глубокія разсужденія Пикока о сущности и основаніяхъ математическихъ наукъ, изложены въ замѣчательномъ отчетѣ объ успѣхахъ анализа, представленномъ Британской Ассоціаціи въ 1833 г.

алгебрѣ и дѣйствія надъ ними подчиняются тѣмъ же законамъ, какъ и въ томъ случаѣ, если они представляютъ цѣлыя числа. Такъ, —, если а и b дѣлятся нацѣло на с. Та же формула переносится и на тотъ случай, когда а и b не дѣлятся на с.

Тому же пріему обобщенія понятія о числѣ1) слѣдуютъ и Ганкель въ своей Theorie der complexen Zahlensysteme (Leipz. 1867) и Шубертъ, авторъ статьи объ основаніяхъ ариѳметики въ математической энциклопедіи, издаваемой нѣмецкими академіями. Вотъ какъ послѣдній формулируетъ принципъ постоянства. На основаніи этого принципа: Каждому сочетанію знаковъ, не выражающемуся съ помощью ранѣе введенныхъ чиселъ, придается такой смыслъ, при которомъ сочетаніе можетъ производиться по тѣмъ же правиламъ, по которымъ оно производилось съ прежде опредѣленными числами.

2°. Такое сочетаніе опредѣляется, какъ число въ обобщенномъ смыслѣ этого слова.

3°. Доказывается, что для чиселъ въ обобщенномъ значеніи этого слова имѣютъ мѣсто тѣ же предложенія, какъ и для ранѣе уже введенныхъ2).

4°. Опредѣляется, что называется равенствомъ, больше и меньше въ расширенной области чиселъ.

§ 4. Алгебра раціональныхъ (положительныхъ) чиселъ. Но какимъ бы путемъ мы ни вводили дробныя числа и ни устанавливали для нихъ основныя аксіомы равенства и неравенства (аксіомы порядка по Гильберту) и законы сочетанія посредствомъ сложенія и умноженія (аксіомы счета и сочетанія по Гильберту),—разъ эти аксіомы и законы совпадаютъ съ аксіомами и законами для области цѣлыхъ положительныхъ чиселъ, то и законы обратныхъ операцій, составляющіе логическое слѣдствіе опредѣленія обратныхъ операцій, аксіомъ ученія о числахъ и законовъ прямыхъ дѣйствій, переносятся безъ измѣненія и въ теорію дробныхъ чиселъ. Наконецъ, и вся получающаяся повторнымъ примѣненіемъ и комбинированіемъ законовъ семи алгебраи-

1) Кутюра (De l’infini mathématique Paris. 1896) называетъ его пріемомъ алгебраическаго обобщенія въ отличіе отъ пріема, основаннаго на разсмотрѣніи паръ, которому онъ придаетъ названіе пріема ариѳметическаго обобщенія.

2) Пикокъ правильнѣе, по нашему мнѣнію, смотритъ на принципъ постоянства, такъ какъ опредѣлительно указываетъ на невозможность доказательства законовъ операцій надъ обобщенными числами. „Правила операцій надъ обобщенными символами не могутъ быть выведены изъ правилъ операцій надъ числами, они могутъ быть внушаемы (uggested only) соотвѣтствующими правилами ариѳметики“. (Report on certain branches of analysis p. 198).

ческихъ операцій цѣпь формулъ, является безъ измѣненія приложимою къ дробнымъ числамъ. Алгебра цѣлыхъ чиселъ превращается теперь въ алгебру расширенной области чиселъ, включающей и числа цѣлыя и числа дробныя. Эту область мы будемъ называть областью раціональныхъ (пока положительныхъ) чиселъ. Изъ сказаннаго въ предыдущемъ § слѣдуетъ, что область раціональныхъ чиселъ есть область замкнутая по отношенію къ операціямъ сложенія, умноженія, дѣленія и возвышенія въ цѣлую положительную степень, т.-е. если а и b суть два раціональныхъ числа, то а + b, а. b, а: b и am (m—цѣлое положительное число) суть также раціональныя числа.

Ученіе объ отрицательныхъ числахъ.

§ 12. Отрицательныя числа, какъ пары цѣлыхъ чиселъ. (Пары 1-й ступени). Если цѣлое положительное число b не болѣе другого цѣлаго положительнаго числа а, то нельзя найти въ ряду цѣлыхъ положительныхъ чиселъ 1, 2, 3,........ числа, удовлетворяющаго равенству

(1)

Въ томъ случаѣ, если b равно а, этому равенству удовлетворяетъ символъ 0, который разсматривается какъ число; операціи, въ которыя входитъ 0, удовлетворяютъ тѣмъ же законамъ сложенія и умноженія.

Размотримъ теперь такой случай, когда b менѣе а, и покажемъ, что въ этомъ случаѣ равенству (1) можно удовлетворить, какъ въ предыдущемъ отдѣлѣ равенству ах = b при b не кратномъ а, новымъ математическимъ объектомъ— парою двухъ цѣлыхъ чиселъ, взятыхъ въ опредѣленномъ порядкѣ. Эта пара можетъ быть предметомъ математическаго изслѣдованія, если будутъ точно опредѣлены:

1° условія равенства и неравенства,

2° законы операцій сложенія и умноженія.

Равенство паръ. Пары (а, 6) и (а, b') будутъ равны при условіи a + b' — a' + b и только при этомъ условіи. Такъ, напр., пары (7,9) и (5, 7) равны между собою.

Изъ этого опредѣленія равенства вытекаютъ слѣдующія слѣдствія.

1. Пары (а + n, b + n) и (а, b) равны между собою, т.-е. въ парѣ мы можемъ безъ измѣненія ея прибавить къ обоимъ членамъ или вычесть изъ обоихъ членовъ пары одно и то же цѣлое число. Поэтому всякая пара (а, b) можетъ

быть приведена къ виду, который можно назвать каноническимъ или приведеннымъ.

Если а > b, то каноническимъ видомъ пары будетъ (а — b,0).

Эту пару условимся считать совпадающею съ цѣлымъ положительнымъ числомъ а — b. Поэтому пары (12,3), (10,1), (9,0) предполагаются равными цѣлому положительному числу 9.

Если а = b, каноническій видъ пары будетъ (0,0), которую мы условимся считать совпадающею съ 0.

Если а < b, то каноническій видъ пары будетъ (0, b — а). Такъ пары (7,9), (5,7), равныя между собою, равны парѣ (0,2).

Данное нами опредѣленіе равенства паръ, такимъ образомъ, сводитъ всѣ пары или къ цѣлымъ положительнымъ числамъ, или къ 0, или къ парамъ вида (0,т).

Неравенство паръ. Если въ двухъ парахъ (а, b) и (с, b) вторые члены равны, то та пара считается болѣе, въ которой первый членъ болѣе.

Такъ какъ на основаніи условія равенства мы можемъ всегда сдѣлать вторые члены паръ равными, то, слѣдовательно, мы можемъ всегда установить отношеніе величины между двумя парами, т.-е. опредѣлить, которая изъ нихъ больше, которая меньше. Такъ, напр., пара (5,9) болѣе пары (7,12), ибо первая пара можетъ быть замѣнена равною ей парою (8,12), которая, по данному опредѣленію, будетъ болѣе пары (7,12). Такъ, вообще, пара (0,b) будетъ больше пары (0,а), если b < а, потому что первая можетъ быть замѣнена парою (а, а + b), вторая—парою (b, b + а).

Изъ установленныхъ нами условій равенства и неравенства паръ вытекаетъ, что къ нашимъ парамъ примѣнимы, какъ основныя аксіомы ученія о равенствѣ (напр., если α = (а, b), ß = (c, d), γ = (e, f), то, очевидно, изъ данныхъ опредѣленій, что 1° если α = ß, то ß = α, 2° если α = ß, α = γ, то ß = γ), такъ и аксіомы порядка (1° если α > ß, ß ⩾ γ, то α ⩾ у. 2° если α < ß, ß ⩽ γ, то α ⩽ γ).

Операціи надъ парами. Сложеніе паръ. Результатомъ сложенія или суммою двухъ паръ (а, b) и (с, d) называется пара

(1)

Опредѣленная равенствомъ (1) операція имѣетъ всѣ свойства операціи сложенія двухъ положительныхъ цѣлыхъ чиселъ; поэтому мы имѣемъ полное право назвать ее операціею сложенія.

1°. Она есть операція ассоціативная.

Дѣйствительно,

Вслѣдствіе закона ассоціативности сложенія цѣлыхъ чиселъ въ парахъ, стоящихъ во вторыхъ частяхъ, какъ первые, такъ и вторые члены тожественны, что и доказываетъ равенство

2°. Она есть операція коммутативная

Въ самомъ дѣлѣ

Въ силу закона коммутативности сложенія цѣлыхъ положительныхъ чиселъ, вторыя части равны, и, слѣдовательно, и

3. Операція имѣетъ модулемъ пару (0, 0) или число 0. Дѣйствительно, по опредѣленію сложенія,

Умноженіе паръ. Результатомъ умноженія или произведеніемъ двухъ паръ (а, b) и (с, d) называется пара (ac + bd, bc + ad). Изъ этого опредѣленія умноженія слѣдуетъ, что операція умноженія паръ имѣетъ всѣ тѣ свойства, которыя имѣетъ операція умноженія цѣлыхъ чиселъ.

1°. Она есть операція ассоціативная α(βγ) = (αß)γ.

Пусть

Тогда (обозначаемъ тождество знакомъ

что и доказываетъ тождество произведеній α(ßγ) и (αß)γ.

2°. Она есть операція коммутативная. Дѣйствительно,

Но такъ какъ двѣ пары, стоящія во вторыхъ частяхъ, вслѣдствіе законовъ операцій надъ цѣлыми числами тожественны, то и αß = ßα.

3°. Оба закона дистрибутивности имѣютъ также мѣсто. Напримѣръ, чтобы показать, что α(ß + γ) = (αß + αγ) вычислимъ и ту и другую часть по даннымъ опредѣленіямъ операцій надъ парами. Имѣемъ

Такъ какъ пары, стоящія во вторыхъ частяхъ, тожественны, то и первыя части равны, что и пр. д.

Модуль умноженія. Модулемъ умноженія для отрицательныхъ чиселъ является число (1,0). Этотъ модуль есть единственный. Модуль сложенія 0 есть единственное число, умноженіе на которое даетъ въ произведеніи 0, каковъ бы ни былъ другой множитель. Это свойство, на которомъ мы остановимся въ ученіи о комплексныхъ числахъ, можетъ быть формулировано иначе:

Изъ опредѣленія операціи умноженія вытекаетъ слѣдующее важное слѣдствіе. Пара вида (0, m), къ которой, какъ мы видѣли, приводится всякая пара, не равная цѣлому положительному числу, можетъ быть разсматриваема какъ произведеніе пары (0, 1) на число m. Дѣйствительно, по данному правилу умноженія паръ мы имѣемъ

Такимъ образомъ всѣ новыя пары сводятся на одну основную новую пару (0, 1), которой и придается названіе отрицательной единицы и для которой употребляется обозначеніе— 1. Соотвѣтственно этому пары (0, m) могутъ быть обозначаемы для сокращенія знакомъ —m.

Изъ даннаго выше опредѣленія сложенія двухъ паръ вытекаетъ, что въ этихъ парахъ мы имѣемъ математическій объектъ, удовлетворяющій поставленной нами въ началѣ отдѣла задачѣ: при всякихъ а и b рѣшить уравненіе а + х = b. Дѣйствительно, замѣняя по условію стр. 293 цѣлое число парою (а, 0), имѣемъ

Найдя въ нашихъ новыхъ парахъ чиселъ отвѣтъ на поставленную задачу и видя, что операціи надъ парами тожественны по своимъ законамъ съ операціями надъ цѣлыми положительными числами, мы называемъ наши пары отрицательными числами въ случаѣ, когда онѣ не приводятся къ цѣлымъ положительнымъ числамъ.

Изъ условій, опредѣляющихъ термины больше или меньше, слѣдуетъ, что всякое положительное число а,

также и число 0—больше всякаго отрицательнаго числа и что изъ двухъ отрицательныхъ чиселъ—т и—п, —m > — n, если m < n. Отсюда слѣдуетъ, что всѣ числа цѣлыя, какъ положительныя, такъ и отрицательныя, располагаются въ рядъ .... — 3, — 2, — 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4,.... Рядъ этотъ можно называть для сокращенія рядомъ относительныхъ цѣлыхъ чиселъ. Рядъ этотъ представляетъ, такимъ образомъ, рядъ безконечный въ двухъ направленіяхъ. Два числа этого ряда + m и — m, симметрично расположенныя относительно О, можно называть симметричными (вмѣсто общепринятаго длиннаго термина: равные по величинѣ, но обратные по знаку). Для обоихъ этихъ чиселъ положительное число m называется абсолютнымъ значеніемъ и будетъ обозначаться | m | .

§ 14. Алгебра раціональныхъ чиселъ. Мы можемъ повторить теперь почти слово въ слово сказанное нами въ ученіи о дробныхъ числахъ.

Какимъ бы путемъ мы ни вводили отрицательныя (пока цѣлыя числа) и ни установляли для нихъ основныя аксіомы и законы прямыхъ операцій, разъ эти аксіомы и законы совпадаютъ съ аксіомами и законами для области цѣлыхъ положительныхъ чиселъ, то и законы обратныхъ операцій, составляющіе логическое слѣдствіе опредѣленія обратныхъ операцій, аксіомъ и законовъ прямыхъ операцій, переносятся безъ измѣненій и въ теорію отрицательныхъ чиселъ. Вмѣстѣ съ этимъ и вся, получающаяся повторнымъ примѣненіемъ и комбинированіемъ законовъ семи алгебраическихъ операцій, цѣпь формулъ является безъ измѣненія приложимою и къ отрицательнымъ числамъ. Введенныя въ предыдущихъ §§ отрицательныя числа— пока только цѣлыя, но если мы комбинируемъ только что сказанное съ результатами § 4, то мы можемъ утверждать, что вся упомянутая цѣпь формулъ будетъ примѣнима также и къ болѣе общимъ числамъ, которыя можно разсматривать или какъ пары 1-й ступени (а, b), въ которыхъ числа а и b будутъ не цѣлыя положительныя, какъ мы до сихъ поръ предполагали, но общѣе, числа раціональныя (положительныя), или же, какъ пары [а, b] (2-й ступени), въ которыхъ цѣлыя числа а и b могутъ быть не только положительныя, но и отрицательныя. (Пары (1/4, 1) и [—3, 4] представляютъ для насъ теперь одно и то же число -3/4.) Алгебра цѣлыхъ положительныхъ чиселъ и алгебра раціональныхъ положительныхъ чиселъ превращаются такимъ образомъ въ алгебру общихъ раціональныхъ

(положительныхъ и отрицательныхъ) чиселъ. Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что эта область общихъ раціональныхъ чиселъ1) есть область замкнутая по отношенію къ операціямъ сложенія, вычитанія, умноженія, дѣленія и возвышенія въ цѣлую положительную степень, т.-е. если а и b суть два такія общія раціональныя числа, то а + b,а — b,a .b,a:b,am, если m есть цѣлое положительное число2), суть также общія раціональныя числа.

Историческій очеркъ и конкретное значеніе отрицательныхъ чиселъ. Діофантъ, величайшій ариѳметикъ древности, можетъ быть признанъ и отцомъ алгебры въ томъ видѣ, въ какомъ мы ее понимаемъ теперь. Онъ первый оперируетъ съ общими и сложными выраженіями, составленными изъ чиселъ1) по опредѣленнымъ законамъ операцій, не прибѣгая, какъ Евклидъ и другіе греческіе геометры, къ геометрическимъ представленіямъ. Онъ первый, напр., подставляетъ вмѣсто произведенія (x + 1) (x + 2) многочленъ x2 + 3x + 2, но только выражаетъ это равенство не буквами, какъ мы, но словами. При вычисленіи произведенія (х—1) (х— 2) онъ даетъ правило знаковъ (минусъ на минусъ—плюсъ), но отрицательныя числа, отдѣльно взятыя, для него не существуютъ и, если квадратное уравненіе имѣетъ два рѣшенія, одно положительное, другое— отрицательное, онъ не разсматриваетъ это послѣднее. Знаменитые индусскіе математики Аріабхатта, Брамагупта и Бхаскара Ачаріа (XII вѣкъ) повидимому приближались къ современному пониманію отрицательныхъ чиселъ. Въ ихъ алгебрѣ мы встрѣчаемъ отдѣльно стоящіе отрицательные члены. Бхаскара даетъ для уравненія x2—45x = 250 два корня x = 50 и х = — 5, но прибавляетъ, что второе значеніе не разсматривается и не допускается. Но комментаторъ къ его сочиненію уже проводитъ аналогію между положительными и отрицательными числами съ одной стороны и имуществомъ и долгами съ другой. Съ возрожденіемъ алгебры въ Италіи и другихъ странахъ Западной Европы медленно, но постепенно стала развиваться идея о самостоятельныхъ отрицательныхъ числахъ; однако они были для математиковъ XVI столѣтія numeri absurdi, ficti infra nihil (M. Stifel), aestimationes falsae seu fictae (Карданъ). Но развитіе теоріи уравненій показало, какъ разсматриваніе ихъ наравнѣ съ положительными упрощаетъ теоремы

1) Въ послѣдующемъ мы будемъ употреблять болѣе краткій терминъ: область раціональныхъ чиселъ (область Р).

2) Введеніе степеней съ отрицательнымъ показателемъ позволяетъ считать m и цѣлымъ отрицательнымъ числомъ.

1) Раціональныхъ. Рѣшенія неопредѣленныхъ уравненій, которыя онъ искалъ, суть рѣшенія въ раціональныхъ числахъ.

(отношенія, найденныя Гарріотомъ между корнями и коэффиціентами уравненій) и, наконецъ, Декартъ показалъ ихъ геометрическую интерпретацію (его предшественникомъ в этомъ отношеніи былъ Альбертъ Жираръ).

Важное значеніе, пріобрѣтенное ими въ геометріи, и на которомъ мы сейчасъ остановимся подробнѣе, способствовало выясненію и ихъ общаго значенія.

Ученіе о цѣлыхъ положительныхъ числахъ имѣетъ конкретное приложеніе при изученіи группъ изъ дискретныхъ предметовъ и при изученіи отношеній порядка, напр., при изученіи перемѣщеній между элементами (Теорія группъ перемѣщеній находится въ самой тѣсной зависимости отъ теоріи чиселъ). Въ предыдущемъ отдѣлѣ мы видѣли, что въ дробяхъ мы имѣемъ могущественное орудіе для рѣшенія вопросовъ о непрерывныхъ измѣряемыхъ величинахъ; системой дробныхъ чиселъ мы можемъ со сколь угодно большою степенью приближенія изобразить всѣ состоянія, принимаемыя такою измѣряемою величиною, и замѣнить операціи надъ величинами операціями надъ числами. Но нельзя не замѣтить существеннаго различія между природою различныхъ непрерывныхъ величинъ. Однѣ (англичане называютъ ихъ скаларными) имѣютъ абсолютный нуль. Таковы объемъ, плотность, масса, энергія, температура (абсолютная—не градусы термометра). Другія величины, каковы, напр., время, отрѣзки, отсчитываемые на одной и той же прямой линіи, и тѣ величины, которыхъ измѣненія изучаются нами на подобной линейной скалѣ (гальванометра, напр.), т.-е. величины, положеніе нуля на которыхъ произвольно и неопредѣленно, представляются намъ имѣющими возможность неопредѣленно, т.-е. безконечно далеко измѣняться въ двухъ противоположныхъ направленіяхъ. [Наконецъ, существуютъ и величины третьяго рода—векторіальныя величины, значенія которыхъ измѣняются не только съ положеніемъ точки, но и съ измѣне-

Рене Декартъ. (1596—1650).

ніемъ направленія въ пространствѣ. Таковы, напр., въ Максвеллевской электромагнитной теоріи электрическая и магнитная силы, діэлектрическое перемѣщеніе, магнитная индукція. Таковъ, напр., въ твердомъ тѣлѣ, температура котораго не пришла въ стаціонарное состояніе, тепловой токъ.]

Отношеніямъ, которыя существуютъ между величинами второго рода, и соотвѣтствуютъ какъ разъ тѣ отношенія, которыя представляютъ введенныя нами числа относительныя. Балансъ актива и пассива какого-нибудь банка составляется по тѣмъ же правиламъ, по какимъ слагаются положительныя и отрицательныя числа. Сумма отрѣзковъ прямой линіи, отсчитываемыхъ въ опредѣленномъ прямомъ и обратномъ ему направленіи, будетъ отрѣзокъ, отсчитываемый въ прямомъ или обратномъ направленіи, смотря по тому, будетъ ли сумма относительныхъ чиселъ, соотвѣтствующихъ этимъ отрѣзкамъ, положительна или отрицательна. Какъ между тремя разностями (а — b), (b — с) и (с — а) мы имѣемъ всегда отношеніе (а — b) + (b— С) + (с— а) = 0, такъ и между тремя отрѣзками AB, ВС и СА (порядокъ буквъ опредѣляетъ направленіе отрѣзка) имѣетъ соотношеніе AB + ВС + СА = 0 (теорема Мёбіуса-Шаля). Мы имѣемъ возможность интерпретировать отрицательныя числа съ помощью тѣхъ или другихъ величинъ второго рода. Мы уже упоминали, что индусскіе математики интерпретировали отрицательные корни уравненій отношеніемъ между имуществами и долгами. В. Р. Гамильтонъ, находясь подъ вліяніемъ „Критики чистаго разума“ Канта, видѣлъ въ отрицательныхъ числахъ отображеніе одной изъ кантовскихъ формъ чистаго воззрѣнія и, соотвѣтственно съ этимъ, разсматривалъ алгебру какъ науку „чистаго времени“, науку о соотношеніяхъ эпохъ и промежутковъ времени. Съ педагогической точки зрънія особенно удобно по наглядности интерпретировать отрицательныя числа на отрѣзкахъ неопредѣленно продолженной въ обѣ стороны прямой. Примѣръ: термометръ.

Многочисленныя возможныя интерпретаціи отрицательныхъ чиселъ показываютъ, какъ важно ихъ значеніе въ „мудрости вселенной“, говоря словами Канта, и какимъ важнымъ шагомъ было введеніе ихъ въ математику. Но, какъ повторялось не разъ въ исторіи математики, понятія вводятся, надъ ними оперируютъ, съ помощью ихъ достигаютъ весьма большихъ успѣховъ безъ точнаго выясненія ихъ истиннаго значенія, ихъ философіи, слишкомъ полагаясь на извѣстныя слова д’Аламберта: „Allez en avant et la foi vous viendra“. Такъ было и съ философіею отрицательныхъ чиселъ. Ни взгляды Карно въ его большомъ

сочиненіи „Géométrie de position“, посвященномъ приложенію алгебры къ геометріи, ни опредѣленія Коши въ его знаменитомъ „Алгебраическомъ анализѣ“ не могутъ считаться достаточно ясными. Первый, кто представилъ весьма правильно смыслъ отрицательныхъ величинъ и ихъ значеніе, былъ знаменитый Кантъ въ сочиненіи, спеціально посвященномъ этому вопросу. Приведемъ одно мѣсто изъ его „Опыта“: „Собственно ни одну величину нельзя назвать отрицательною, но нужно говорить, что изъ двухъ величинъ + а и —а одна величина есть отрицательная по отношенію къ другой“.

Тѣ же самыя мысли высказалъ въ 1831 г. въ программѣ ко второму мемуару о теоріи биквадратичныхъ вычетовъ Гауссъ и убѣдительностью своего математическаго авторитета много способствовалъ ихъ распространенію. Приводимъ въ виду ихъ важности соотвѣтствующія мѣста in extenso:

„Положительныя и отрицательныя числа могутъ находить приложеніе только тамъ, гдѣ численно опредѣляемое имѣетъ противоположное, которое, мысленно соединяемое съ первымъ, даетъ уничтоженіе. Такое предположеніе можетъ имѣть мѣсто только въ томъ случаѣ, если мы будемъ разсматривать и численно опредѣлять не субстанціи (самостоятельно мыслимые предметы), но отношенія между двумя предметами. При этомъ требуется, чтобы эти предметы были расположены опредѣленнымъ образомъ въ рядъ, напр., А, В, С, В,.... и чтобы отношеніе А къ В могло быть разсматриваемо равнымъ отношенію В къ С и т. д. Понятіе противоположенія совпадаетъ съ перемѣною отношенія, такъ что если отношеніе (или переходъ) отъ А къ В считается за + 1, то отношеніе В къ А должно быть представлено черезъ — 1. Предполагая, что такой рядъ неограниченно продолжается въ обѣ стороны, найдемъ, что каждое цѣлое число будетъ представляться какъ отношеніе нѣкотораго, произвольно принятаго за начало, члена къ опредѣленному члену ряда.

„Насколько не опасаются вводить въ общую ариѳметику дробныя числа, хотя существуетъ такъ много пересчитываемыхъ вещей, въ примѣненіи къ которымъ дробь не имѣетъ никакого смысла, настолько же не слѣдуетъ отказывать отрицательнымъ числамъ въ правахъ, равныхъ съ положительными, потому только, что многія вещи не допускаютъ противоположенія. Реальность отрицательныхъ чиселъ достаточно оправдывается тѣмъ, что въ безчисленныхъ другихъ случаяхъ они находятъ подходящую основу (ein adaequates Substrat)“,

Послѣ Гаусса философія отрицательныхъ чиселъ можетъ считаться законченною и пониманіе истиннаго смысла отрицательныхъ чиселъ привело и къ правильному взгляду на числа комплексныя.

Ученіе объ ирраціональныхъ (несоизмѣримыхъ) числахъ.

§ 17. Необходимость введенія ирраціональныхъ чиселъ. Область раціональныхъ чиселъ, (для сокращенія будемъ иногда обозначать ее область Р) позволяетъ производить прямыя и обратныя операціи первыхъ двухъ ступеней, каковы бы ни были раціональныя числа, соединяемыя этими операціями. Мы можемъ формулировать это свойство раціональныхъ чиселъ сокращенно, сказавъ: область Р (раціональныхъ чиселъ) есть область замкнутая по отношенію къ операціямъ первыхъ двухъ ступеней. Переходя къ операціи возвышенія въ цѣлую степень, мы находимъ, что результатъ этой операціи, произведенной надъ раціональнымъ числомъ, даетъ всегда также раціональное число

Но обѣ обратныя операціи третьей ступени (извлеченіе корня и логариѳмированіе) снова требуютъ расширенія области чиселъ, даже въ томъ случаѣ, если дѣйствія производятся надъ цѣлыми положительными числами. Въ алгебрѣ доказываются слѣдующія двѣ теоремы. 1°. Если √D, гдѣ D есть цѣлое число, не можетъ быть выраженъ цѣлымъ числомъ, то онъ не можетъ быть выраженъ и дробью. 2°. Если алгебрическое уравненіе

въ которомъ коэффиціентъ при высшей степени есть 1, прочіе же коэффиціенты суть цѣлыя числа (положительныя или отрицательныя), не удовлетворяется цѣлымъ числомъ (положительнымъ или отрицательнымъ), то оно не можетъ быть удовлетворено и полагая x равнымъ дробному числу.

Теорема 2-я заключаетъ въ себѣ теорему 1-ю, какъ частный случай, такъ какъ извлеченіе корня n-ой степени изъ D и рѣшеніе уравненія xn = В суть задачи тожественныя. Мы можемъ поэтому говорить вообще о задачѣ рѣшенія алгебрическаго уравненія n-ой степени съ цѣлы и коэффиціентами и съ коэффиціентомъ при высшей степени равнымъ единицѣ, тѣмъ болѣе, что легко показать, что рѣшеніе болѣе общаго уравненія, коэффиціенты котораго

суть какія-либо числа раціональныя, приводится къ рѣшенію уравненія типа xn-pxn-1 + qxn-2 + ... + tx + u = 0 (р, q, r ...и — суть цѣлыя числа)1).

Вторая обратная операція третьей ступени, логариѳмированіе, только въ исключительныхъ случаяхъ даетъ въ результатѣ цѣлое или раціональное число. Для того, чтобы число N имѣло при основаніи А логариѳмъ раціональный, необходимо выполненіе условій, которыя найдутся слѣдую-т щими соображеніями. Пусть А = аα bβ cγ ... lγ; если N = Аm/п, то Nn = amα bmβ cmγ...lmλЭто равенство показываетъ, что

1) въ составъ разложенія числа N на простые множители входятъ простые множители а, b, с ...l и не могутъ входить никакіе другіе множители, т.-е. N = aα'bβ'cγ'...lλ', откуда имѣемъ aνA'bnβ'cnγ'...lnλ' = и 2) вслѣдствіе един-

1) Пусть дано уравненіе

(1)

гдѣ а, b, е, ... k, l суть раціональныя числа. Найдемъ М наименьшее кратное знаменателей чиселъ а, b, ... l, и умножимъ обѣ части уравненія на М, отчего корень уравненія не измѣняется. Новое уравненіе будетъ имѣть всѣ коэффиціенты цѣлые. Пусть оно есть

(2)

Составимъ уравненіе

(3)

которое, по умноженіи обѣихъ частей на αn-1 , приметъ видъ

(3')

Нетрудно видѣть, что между корнями уравненій (1) и (3) существуетъ слѣдующее соотношеніе. Если корни уравненія (3) суть y1, y2, yn, то корни уравненія (2) и, слѣдовательно, (1) суть x1 = y1/α, x2 = y2/α.. .хп = yn/α, что и доказываетъ возможность рѣшенія уравненія съ раціональными коэффиціентами свести на рѣшеніе уравненія типа

суть цѣлыя числа).

Подобно тому, какъ мы перешли отъ уравненія f (х) = 0, имѣющаго корни x1, x2,...хп къ уравненію f(y) = 0, имѣющему корми αx1, αx2,... αxnt, полагая x = y/a, можно отъ уравненія f(x) = 0, преобразованіемъ x = z— α, перейти къ уравненію f(z) = 0, имѣющему корни x1 + , x2 + Aа,.. .хп + Aа. Такъ какъ а есть произвольное число, то, полагая

получимъ уравненіе, не имѣющее члена съ zn-1. Обоими преобразованіями уравненіе полное 3-й степени легко приводится къ виду x3 + рх + q = 0.

ственности разложеній всякаго числа на простые множители, имѣемъ пропорцію α':β':γ':...λ' = α:β:γ:...λ.

Только при соблюденіи двухъ условій 1) и 2) число N можетъ имѣть раціональный логариѳмъ при основаніи А. Такъ, напр., если A = 3600 = 24. 32. 52 только числа, составленныя изъ простыхъ множителей 2, 3, 5, и показатели которыхъ притомъ пропорціональны соотвѣтственно числамъ 4, 2, 2 (напр., 22. 3. 5, 26. 33. 53, 28 34. 54), имѣютъ логариѳмы раціональные. Итакъ, разсмотрѣніе обѣихъ обратныхъ операцій третьей ступени ставитъ передъ математикою снова альтернативу или признать только нѣкоторыя исключительныя уравненія разрѣшимыми и только нѣкоторыя цѣлыя числа имѣющими логариѳмы или новымъ расширеніемъ понятія о числѣ, введеніемъ области ирраціональныхъ чиселъ, достигнуть рѣшенія поставленныхъ задачъ во всей ихъ общности. Именно введеніе ирраціональныхъ чиселъ и придало математикѣ ея идеальный характеръ, такъ какъ для приближеннаго рѣшенія уравненій или нахожденія логариѳмовъ мы могли бы удовольствоваться одними раціональными числами. Глубокій смыслъ таится поэтому въ томъ преданіи, по которому тайна существованія ирраціональныхъ чиселъ долго скрывалась въ тѣсномъ кружкѣ учениковъ Пиѳагора, и первый изъ его учениковъ, сдѣлавшій эту истину предметомъ обученія въ болѣе широкихъ кругахъ, погибъ, какъ умилостивительная жертва, брошенная богамъ во время кораблекрушенія.

Къ истинѣ существованія ирраціональныхъ чиселъ греческіе геометры школы Пиѳагора были приведены геометрическими изслѣдованіями. Въ геометріи, какъ и въ ученіи о математическихъ операціяхъ, область раціональныхъ чиселъ (Р) совершенно достаточна для практическихъ цѣлей.

Всякій отрѣзокъ можетъ быть при всякой единицѣ длины представленъ съ какою угодно большою степенью точности раціональнымъ числомъ; положеніе всякой точки на плоскости можетъ быть сколь угодно точно опредѣлено двумя числами, принадлежащими къ области Р. Но пиѳагорейская школа доказала, что невозможно найти такую единицу длины, при которой и сторона квадрата и его діагональ выражались бы цѣлыми числами1), т.-е. доказала несоизмѣримость діагонали и стороны квадрата. Это открытіе повлекло за собою рядъ глубочайшихъ изслѣдованій греческихъ геометровъ объ ирраціональныхъ отрѣзкахъ; вѣнцомъ ихъ является X книга „Началъ Евклида“, посвященная ирраціональностямъ, получающимся при построеніяхъ

1) Геометрія Давидова 1897 г., стр. 57.

съ помощью циркуля и линейки или, говоря алгебрически, выражающимся исключительно черезъ радикалы второй степени (таковы выраженія: (медіаны), (биноміалы), (вычеты) и т. д.). Изученіе построеній этихъ ирраціональностей преслѣдуетъ цѣль пріема геометрическаго рѣшенія задачъ, сводящихся алгебрически на рѣшеніе уравненій высшихъ степеней, приводящихся къ цѣпи квадратныхъ уравненій. (Такъ, напр., предложенія 33—35 этой книги даютъ геометрическое рѣшеніе совмѣстныхъ уравненій x2 + y2 = A, ху = B, которыя, по исключеніи, даютъ уравненіе 4-й степени). Книга X Началъ Евклида, наравнѣ съ „Псаммитомъ" Архимеда и республикою Платона, останется навсегда безсмертнымъ доказательствомъ глубины и мощности греческаго генія.

Греческіе геометры школы Платона при рѣшеніи задачъ объ удвоеніи куба и подобныхъ увидѣли скоро, что ирраціональностями, изученными въ книгѣ X, не исчерпываются геометрическія ирраціональности, что онѣ суть только простѣйшія изъ нихъ. Съ помощью циркуля и линейки не рѣшаются многія простыя задачи, для рѣшенія которыхъ и были введены коническія сѣченія и другія кривыя.

Геометрія научила насъ, такимъ образомъ, говоря словами Дедекинда, что прямая линія безконечно богаче индивидуумами (точками, соотвѣтствующими отрѣзкамъ какъ выражающимся, такъ и невыражающимся чрезъ числа области Р), чѣмъ область Р (числами цѣлыми и дробными)". Изслѣдованія Архимеда объ измѣреніи площадей привели его къ установленію одной изъ основныхъ аксіомъ ученія объ измѣримыхъ величинахъ и его же открытія въ механикѣ, сближавшія задачи геометріи съ задачами механики (опредѣленіе квадратуры параболы съ помощью механическихъ соображеній), вели къ распространенію той же идеи на величины, изучаемыя механикою (силы, скорости, ускоренія, массы).

Позже работы создателей новаго научнаго механическаго миросозерцанія, сводившаго на задачи геометріи и механики ученіе о всѣхъ непрерывныхъ величинахъ, привели естественно къ заключенію, что вообще всѣ состоянія непрерывныхъ величинъ не могутъ быть выражены числами области Р. Это несоотвѣтствіе требовало измѣненія опредѣленія числа, принятаго геометрами Греціи, обобщенія понятія о числѣ и привело къ тому опредѣленію числа, которое формулировано было Ньютономъ и по которому число есть отношеніе одной величины къ другой, принимаемой за единицу.

Съ этимъ измѣненіемъ опредѣленія числа и открылся новый путь къ рѣшенію вопросовъ геометріи и вообще естественной философіи. Непрерывное число стало въ полное соотвѣтствіе съ непрерывною величиною и позволило изучать ее методами сначала алгебры (Vieta, Декартъ) и затѣмъ, анализа безконечно-малыхъ, въ основаніи котораго лежитъ идея непрерывности1).

Явилась возможность изученіе явленій въ цѣломъ сводить на изученіе явленій безконечно-малыхъ элементовъ, что даетъ тотчасъ же упрощеніе и облегченіе вычисленій, составляющее основную цѣль анализа. Открылся, по горделивымъ словамъ Лейбница, тотъ царскій путь, въ которомъ когда-то смѣло отказалъ греческій мудрецъ тирану. Во многихъ областяхъ естественной философіи явилась возможность достигнуть цѣли всякой точной науки, заключающейся въ томъ, чтобы свести рѣшеніе задачъ природы на операціи надъ числами, т.-е. замѣнить преобразованіемъ формулъ разысканіе эмпирическихъ отношеній между величинами и изученіе законовъ природы — изученіемъ функціональныхъ зависимостей между числами.

Громадное экономическое значеніе этого сведенія очевидно: изучая одну и ту же математическую функцію, мы изучаемъ въ ней законъ явленій разнаго типа (такъ, изучая, напр., функцію у = кх2, изучаемъ и зависимость площади круга отъ радіуса, и законъ свободнаго паденія тѣлъ и многія другія конкретныя зависимости механики и математической физики; изученіе тригонометрическихъ функцій совпадаетъ съ изученіемъ всѣхъ явленій волнообразнаго движенія, будетъ ли это явленіе звука, или свѣта, или электрическихъ волнъ).

§ 18. Ариѳметическая теорія ирраціональныхъ чиселъ. Ирраціональное число было внесено въ чистую математику, какъ мы видѣли въ предыдущемъ §, соображеніями, почерпнутыми изъ геометріи и вообще изъ ученія объ измѣреніи непрерывныхъ величинъ. На этомъ же ученіи основывается и опредѣленіе числа, формулированное Ньютономъ. На изображеніи ирраціональныхъ чиселъ посредствомъ непрерывныхъ величинъ (всего чаще геометрическихъ) основывалась и теорія операцій надъ несоизмѣримыми числами, которая поэтому и не могла имѣть достаточной строгости и опредѣленности.

1) C’est le monde extérieur qui nous a imposé le continu, que nous avons inventé sans doute, mais qu’il nous a forcés à inventer. Sans lui in n’y aurait pas d’analyse infinitésimale; toute la science mathématique se réduirait à l’Arithmétique ou à la théorie du Substitutions (Poincaré).

Въ общую систему ученія о числѣ, которая исходитъ изъ понятія о цѣломъ числѣ, „этомъ единственномъ настоящемъ объектѣ математической мысли“ (Пуанкаре), и въ которой послѣдовательное расширеніе понятія о числѣ является результатомъ изученія операцій надъ цѣлыми числами, и ирраціональныя числа должны быть введены строго логически: какъ опредѣленіе ихъ, такъ и установленіе условій равенства и неравенства и законовъ дѣйствій надъ ними должны быть даны строго ариѳметически, исходя исключительно изъ понятія о числахъ раньше введенныхъ, т.-е. о числахъ области Р и не прибѣгая ни къ какимъ постороннимъ, чуждымъ ариѳметикѣ соображеніямъ. Это является тѣмъ болѣе необходимымъ, что ученіе объ измѣреніи величинъ далеко не такъ просто, какъ это представляется съ перваго раза. Мы привели въ ученіи о дробяхъ тѣ условія, которымъ величины должны удовлетворять для того, чтобы онѣ были измѣряемы.

Первый, кто обратилъ вниманіе на необходимость строго ариѳметической теоріи ирраціональныхъ чиселъ и ариѳметическаго доказательства тѣхъ теоремъ анализа, которыя доказывались до тѣхъ поръ исключительно геометрически, интуитивно (т.-е. обращеніемъ къ наглядности), былъ пражскій математикъ и философъ Бернгардъ Больцано. Въ брошюрѣ, изданной въ 1817 г., онъ далъ строго ариѳметическое доказательство теоремы, по которой если цѣлый многочленъ f (х) получаетъ, полагая х = а и х = b, два численныя значенія, обратныя по знаку, то онъ обращается въ нуль для нѣкотораго значенія х, промежуточнаго между а и b1). Отвѣтомъ на выставленныя Больцано требованія явились опубликованныя въ семидесятыхъ годахъ XIX столѣтія три ариѳметическія теоріи ирраціональныхъ чиселъ: 1) теорія Дедекинда, 2) теорія Георга Кантора и 3) теорія Вейерштрасса2).

§ 22. Алгебраическія числа. Необходимость разсматриванія безконечныхъ множествъ или рядовъ раціональныхъ чиселъ, опредѣляющихъ затѣмъ числа ирраціональныя, является при рѣшеніи тѣхъ задачъ анализа, которыя точно не могутъ быть рѣшены съ помощью раціональныхъ чиселъ.

Примѣромъ такихъ задачъ служатъ задачи извлеченія корня или болѣе общая задача рѣшенія алгебраическаго уравненія;

1) ахп + bхn-1... kx + l = 0, гдѣ коэффиціенты а,b,с... суть раціональныя числа, или же уравненія,

1) В. Bolzano. Rein analytischer Beweis des Satzes. 1817.

2) Ознакомиться съ этими теоріями читатель можетъ, обратившись къ самому курсу «Введенія въ анализъ» проф. А. В. Васильева.

2), гдѣ коэффиціенты р, q... t, и суть цѣлыя числа1).

Техника рѣшенія этихъ задачъ и состоитъ въ указаніи способовъ полученій съ наивозможно большею экономіею рядовъ раціональныхъ чиселъ, служащихъ приближеніями ирраціональныхъ чиселъ и опредѣляющихъ эти ирраціональныя числа.

Свойства ирраціональностей опредѣляются тѣми задачами, при рѣшеніи которыхъ онѣ вводятся, и классификація ирраціональностей должна основываться на классификаціи задачъ.

Ирраціональности (онѣ могутъ быть вещественныя или комплексныя; въ настоящемъ отдѣлѣ мы разсматриваемъ преимущественно вещественныя), вводимыя при рѣшеніи уравненій (1) и (2) или, говоря иначе, опредѣляемыя, какъ корни этихъ уравненій, составляютъ простѣйшій классъ ирраціональностей, алгебраическихъ ирраціональностей или алгебраическихъ чиселъ. Всѣ прочія ирраціональности носятъ названіе трансцедентныхъ ирраціональностей или чиселъ.

Классификація алгебраическихъ ирраціональностей требуетъ, прежде всего, введенія понятія о неприводимости, имѣющаго весьма важное значеніе въ теоріи цѣлыхъ функцій или алгебраическихъ уравненій.

Понятіе о неприводимости есть понятіе относительное, при введеніи котораго должна быть строго указана та область чиселъ (область раціональности), къ которой принадлежатъ коэффиціенты.

Если область коэффиціентовъ f(x) есть область цѣлыхъ чиселъ, то приводимость и неприводимость формулируется слѣдующимъ образомъ.

Если многочленъ f(x) = φ(x). ψ(x), гдѣ φ(у) и ψ(x) суть цѣлые многочлены съ цѣлыми коэффиціентами, то многочленъ f(x) будетъ приводимымъ; если же нельзя найти двухъ цѣлыхъ многочленовъ съ цѣлыми коэффиціентами, которыхъ произведеніе равнялось бы функціи f(x), то многочленъ будетъ неприводимымъ. Въ такомъ случаѣ и уравненіе f(x) = 0 называется неприводимымъ.

При изученіи алгебраическихъ ирраціональностей, опредѣляемыхъ уравненіемъ, основнымъ вопросомъ является вопросъ, есть ли данное уравненіе неприводимое или нѣтъ. Если оно есть неприводимое уравненіе n-ой степени, то корень его есть алгебраическая ирраціональность n — аго порядка.

Если же данное уравненіе есть приводимое, то мы должны разложить первую часть уравненія на неприводи-

1) Уравненіе 1) всегда можетъ быть приведено къ уравненію 2).

мые множители, которые въ теоріи цѣлыхъ многочленовъ играютъ роль абсолютно-простыхъ чиселъ въ теоріи чиселъ цѣлыхъ. Пусть

суть неприводимые многочлены.

Тогда рѣшеніе уравненія f(x) = 0 сводится на рѣшеніе уравненій

Сравнительно просто рѣшается вопросъ о выдѣленіи неприводимыхъ множителей 1-ой степени; задача эта въ случаѣ, если f(x) есть уравненіе типа (2), совпадаетъ съ нахожденіемъ цѣлыхъ корней уравненія. Нетрудно показать, что для того, чтобы цѣлое число а было корнемъ уравненія (2), необходимо: 1) чтобы а было однимъ изъ дѣлителей извѣстнаго члена и и, 2) чтобы оно удовлетворяло кромѣ того ряду элементарныхъ критеріевъ.

Гораздо сложнѣе задача о выдѣленіи неприводимыхъ множителей высшихъ степеней.

Уравненія, рѣшаемыя въ радикалахъ.

Свойства алгебраическихъ ирраціональностей опредѣляютъ, прежде всего, ихъ порядокъ. Алгебраическія ирраціональности порядковъ 2, 3, 4 представляютъ собою простѣйшій классъ ирраціональностей, выражающихся въ функціи отъ коэффиціентовъ съ помощью алгебраическихъ операцій: сложенія, вычитанія, умноженія, дѣленія, возвышенія въ степень цѣлую и положительную и извлеченія корней. Иначе говоря, уравненія степеней 2, 3, 4 рѣшимы алгебраически въ радикалахъ или короче рѣшимы алгебраически.

Изъ элементарной алгебры извѣстна формула для рѣшенія уравненій 2-ой степени. Для уравненія x2 + рх q = 0, къ которому приводится всякое уравненіе 2-ой степени, имѣемъ:

1) Рѣшеніе уравненія 2-ой степени найдено древними греками въ геометрической формѣ и изложено въ началахъ Евклида. Такъ, напр., 11 предложеніе 2-ой книги даетъ рѣшеніе задачи о золотомъ сѣченіи, т.-е. рѣшеніе уравненія а(а — х) = x2. Въ предложеніяхъ 28 и 29-омъ 6-ой книги даны геометрическія рѣшенія уравненій x2 — ах + b2 и x2 ах = b2 наконецъ, въ «Данныхъ» Евклида разсматривается случай x2 + b2 = ах. Алгебраическое рѣшеніе находимъ у Герона Александрійскаго и у Діофанта, но и они разсматриваютъ три различныя формы квадратнаго уравненія. Введеніе отрицательныхъ чиселъ позволило знаменитому индійскому математику Брамагуптѣ (род. 560) разсматривать уже только одну форму квадратнаго уравненія.

Рѣшеніе уравненія 3-й степени. Уравненіе 3-ей степени ах2 + bх2 + сх + d = 0 можетъ быть приведено ( преобразованіями х = y/а и y = z + λ, гдѣ λ произвольное число, къ виду z3 + pz + q = 0. Для рѣшенія этого послѣдняго уравненія полагаемъ z = u + v, что даетъ

Такъ какъ u и v совершенно произвольны, то полагаемъ 3uv + р = 0, откуда v = — p/3u, что дастъ для опредѣленія u уравненіе 6-ой степени, но приводящееся, полагая u3 = t, къ уравненію 2-й степени:

Отсюда

Изъ соотношенія

выводимъ

такъ что

(формула Кардана2)).

Рѣшеніе уравненія 4-й степени. Представимъ уравненіе 4-й степени подъ видомъ

пусть корни этого уравненія будутъ x1, x2, x3, x4.

2) Сочиненіе Луки Пачіоли «Summa», появившееся въ 1494 г. и заключавшее въ себѣ сводъ всѣхъ математическихъ знаній того времени, заканчивалось утвержденіемъ, что рѣшеніе уравненій x3 + mх = n, x3 + n = mx такъ же невозможно, какъ и квадратура круга. Но уже вскорѣ послѣ того рѣшеніе перваго изъ этихъ уравненій было найдено Сципіономъ Ферро, преподававшимъ математику между 1496 и 1525 г. въ Болоньѣ. Но до насъ не дошелъ его методъ. Данный въ текстѣ методъ рѣшенія и самая формула принадлежитъ Николо Тарталія и найденъ имъ въ 1535 г. Тарталіа сообщилъ въ стихахъ свой методъ рѣшенія Кардану, который и опубликовалъ его къ великому неудовольствію изобрѣтателя въ своемъ сочиненіи De Arte magna въ 1545 г.

Такъ называемое тригонометрическое рѣшеніе уравненія 3-й степени, основанное на тождествѣ

найдено Biemora (1540—1603).

По формуламъ Ньютона, дающимъ выраженіе суммъ степеней x1, x2, x3, x4 посредствомъ p1р2р3 ... и по соотношеніямъ, существующимъ между корнями уравненія и его коэффиціентами, мы можемъ составить уравненіе 3-й степени,

корни котораго будутъ

а, b, с выразятся раціональными цѣлыми функціями отъ коэффиціентовъ p1, p2, p3, p4. Найдя по формулѣ Кардана выраженія корней ξ1, ξ2, ξ3, имѣемъ

и сверхъ того

Эти четыре уравненія даютъ искомыя радикальныя формулы для рѣшенія уравненій 4-й степени. Напримѣръ,

и подобныя же выраженія для x3 и x43).

Формулы алгебраическаго рѣшенія уравненій 3-й и 4-й степени были найдены итальянскими учеными XVI столѣтія и послѣ этого усилія математиковъ въ теченіе долгаго времени были направлены на разысканіе подобныхъ же радикальныхъ рѣшеній для уравненій высшихъ степеней. Безуспѣшность усилій заставила глубоко проникнуть въ природу уравненій, допускающихъ алгебраическое рѣшеніе. Въ этомъ отношеніи классическимъ мемуаромъ, проложившимъ новые пути въ теоріи алгебраическаго рѣшенія, является мемуаръ Лагранжа.

Reflexions sur la resolution algébrique des équations1), и мы рекомендуемъ всякому, желающему ближе познакомиться съ теоріею алгебраическаго рѣшенія уравненій, изучить этотъ, замѣчательный по ясности и глубинѣ изложенія, мемуаръ.

3) Рѣшеніе уравненія 4-й степени было найдено ученикомъ Кардана Людовикомъ Феррари въ 1540 г. и опубликовано также Карданомъ въ его «De arte magna».

1) Oeuvres completes. Paris, 1869. vol. 3 p. 205.

Благодаря этому мемуару начала выясняться связь между задачею рѣшенія алгебраическихъ уравненій и такъ называемою теоріею группъ субституцій, окончательно установленной другимъ геніальнымъ французскимъ математикомъ Эваристомъ Галуа2).

Такъ приведенная нами выше метода рѣшенія уравненія 4-й степени основана на употребленіи функціи (x1—x2 + x3 — x4)2. Особенность этой функціи заключается въ томъ, чо она при всѣхъ 24 перемѣщеніяхъ четырехъ буквъ x1, x2, x3, x4 принимаетъ только три значенія и остается неизмѣнною при 8 субституціяхъ , составляющихъ группу.

Послѣ мемуара Лангранжа начала выясняться также и невозможность алгебраическаго рѣшенія общихъ уравненій 5-й и высшихъ степеней. Руффини первый близко

Памятникъ Лагранжу въ родномъ его городѣ Туринѣ.

2) Если даны n буквъ x1, x2 ... xn и два перемѣщенія этихъ буквъ хα хβ хγ ... и xα1, xβ1, xγ1,..., то переходъ отъ одного перемѣщенія къ другому называется субституціею и обозначается ( ). Въ каждой субституціи буквы первой строки могутъ быть размѣщены въ ихъ натуральномъ порядкѣ, такъ что каждая субституція можетъ быть представлена подъ видомъ ( ). Совокупность субституцій называется группою, если произведеніе каждыхъ двухъ субституцій совокупности есть субституція, принадлежащая къ той же совокупности. Если мы произведемъ надъ буквами x1, x2 ... xn послѣдовательныя субституціи S, Т, U, то получимъ въ конечномъ результатѣ нѣкоторую новую субституцію, которая называется произведеніемъ субституцій S, Т, U... или степенью субституціи S, если S, Т, U... тожественны.

Вообще TS не равно ST.

подошелъ къ доказательству этой невозможности, но первое полное доказательство невозможности рѣшенія уравненія выше 4-й степени въ радикалахъ было дано знаменитымъ норвежскимъ математикомъ Ніэльсомъ Генрихомъ Абелемъ.

Послѣ изслѣдованія Абеля стало ясно, что ирраціональности 5-го и высшихъ порядковъ составляютъ классы ирраціональностей, по своимъ свойствамъ болѣе общихъ и трудныхъ, чѣмъ ирраціональности низшихъ порядковъ, выражающіяся посредствомъ радикаловъ. Ихъ классификація и приведеніе къ простѣйшему виду составляютъ задачи, которыя разрѣшены только въ небольшомъ числѣ простѣйшихъ случаевъ.

Ученіе о комплексныхъ числахъ.

Область всѣхъ вещественныхъ чиселъ, включающая и числа раціональныя и числа ирраціональныя, не даетъ еще возможности неограниченно производить обратныя операціи третьей ступени, если объектами операцій будутъ не только положительныя, но и отрицательныя числа.

Если √А и Loga А могутъ быть представлены несоизмѣримымъ числомъ при цѣломъ положительномъ А (и а), то задачи извлеченія корня четной степени изъ отрицательнаго числа и нахожденія логариѳма отрицательнаго числа при положительномъ основаніи суть задачи неразрѣшимыя и требуютъ дальнѣйшаго обобщенія понятія о числѣ. Восьмая алгебраическая операція—рѣшеніе алгебраическаго уравненія n—ой степени—также ведетъ къ этому обобщенію. Изъ элементарной алгебры извѣстно, что уравненіе 2-й степени ах2 + bх + с = 0 имѣетъ вещественные корни только въ томъ случаѣ, если функція коэффиціентовъ b2—4ac, называемыя дискриминантомъ, положительна или равна 0. Уравненіе 3-ей степени, приведенное къ виду x3 + px + q = 0, имѣетъ 3 вещественныхъ корня только въ томъ случаѣ, если дискриминантъ этого уравненія q2/4 + p3/27 ⩽ 0.

Подобныя же условія вещественности корней выводятся въ высшей алгебрѣ (изъ такъ называемой теоремы Штурма) для уравненія n-ой степени. Цѣль настоящаго отдѣла заключается въ томъ, чтобы показать, что указанныя задачи, неразрѣшимыя съ помощью области вещественныхъ чиселъ, могутъ быть разрѣшены съ помощью введенія новаго математическаго объекта—пары двухъ вещественныхъ чи

селъ, взятыхъ въ опредѣленномъ порядкѣ, которую мы и принимаемъ за новое комплексное число (пары третьей ступени). Это обобщеніе понятія о числѣ—введеніе комплексныхъ чиселъ—является послѣднимъ, пока законы операцій, существующіе для цѣлыхъ положительныхъ чиселъ и сохраненные нами при всѣхъ до сихъ поръ бывшихъ обобщеніяхъ числа, остаются безъ измѣненія. Область комплексныхъ чиселъ является замкнутою областью и всѣ операціи алгебры (анализа конечныхъ) и анализа безконечно-малыхъ, производимыя надъ комплексными числами, выполняются съ помощью тѣхъ же комплексныхъ чиселъ, не требуя никакого новаго обобщенія. Этотъ результатъ показываетъ значеніе комплексныхъ чиселъ и объясняетъ ихъ выдающуюся роль въ современной математикѣ. Важнѣйшія теоріи чистой математики (напр., высшая алгебра и въ частности теорія дѣленія круга, теорія Абелевыхъ и въ частности эллиптическихъ функцій, теорія интегрированія дифференціальныхъ линейныхъ уравненій (въ частности теорія аутоморфныхъ функцій) созданы съ помощью комплексныхъ чиселъ. Такой, стоящій какъ бы на порогѣ математики, вопросъ, какъ вопросъ о распредѣленіи простыхъ чиселъ, начинаетъ выясняться лишь благодаря изученію Риманновой функціи ζ(s) не только для вещественныхъ, но и для комплексныхъ значеній аргумента s. Теорія математической физики—этотъ вѣнецъ нашего математическаго знанія (теорія потенціала, гидродинамика, теорія теплопроводности, электростатика, теорія упругости, электромагнитная теорія свѣта) черпаютъ свои методы изъ теоріи функцій отъ комплекснаго перемѣннаго.

§ 32. Дѣйствія надъ комплексными числами (парами третьей ступени). Равенство. Двѣ пары {а, b} и {с, d}, элементы которыхъ, взятые въ опредѣленномъ порядкѣ, суть произвольныя вещественныя числа, равны тогда, и только тогда, когда ихъ первые и ихъ вторые члены порознь равны между собою, т.-е.

Изъ этого опредѣленія равенства паръ вытекаетъ примѣнимость къ нимъ аксіомъ ученія о равенствѣ величинъ, т.-е. 1. а = а (рефлективность),

2. если а = b, то и b = а (симметричность)

и 3. если а = b, а = с, то и b = с (транзитивность).

Условіе. Пара, второй элементъ которой есть число 0, считается совпадающею со своимъ первымъ членомъ, т.-е. {а, 0} = a. Пара {0, 0} = 0; и поэтому, если пара {а, b} равна 0, то а = 0, b = 0.

Сложеніе паръ. Результатомъ сложенія, или суммою двухъ паръ {а, b} и {с, d} называется новая пара {а + с, b + d}.

Изъ этого опредѣленія сложенія вытекаетъ, что операція сложенія паръ есть операція ассоціативная и коммутативная. Мы опускаемъ доказательство по его простотѣ, предполагая, что читатель достаточно освоился съ подобными доказательствами въ предыдущихъ отдѣлахъ. Изъ того же опредѣленія сложенія вытекаетъ, что разность двухъ паръ {а, b} и {с, d} есть пара {а — с, b—d}. Дѣйствительно,

Наконецъ, изъ этого опредѣленія сложенія паръ вытекаетъ, что всякая пара {a, b} можетъ быть разсматриваема, какъ сумма двухъ паръ {а, 0} и {0, b}, т.-е. какъ сумма вещественнаго числа и спеціальной пары, первый элементъ которой есть 0.

Умноженіе паръ. Результатомъ умноженія или произведеніемъ паръ {а, b} и {с, d} называется пара

Операція умноженія паръ есть операція ассоціативная, коммутативная и дистрибутивная по отношенію къ сложенію.

Ассоціативность. Вычислимъ по данному правилу умноженія α(ßγ) и (αß)γ полагая

Имѣемъ

Пары, стоящія во вторыхъ частяхъ равенства, очевидно, равны между собою по законамъ операцій, выведеннымъ въ предыдущемъ отдѣлѣ для вещественныхъ чиселъ, что и доказываетъ ассоціативность умноженія комплексныхъ чиселъ.

Подобнымъ же образомъ провѣряется и коммутативность и дистрибутивность операціи умноженія.

Изъ даннаго нами опредѣленія операціи умноженія вытекаютъ слѣдующія частныя слѣдствія.

По правилу умноженія, находимъ:

т.-е. существуетъ пара, квадратъ которой равняется, по условію, вещественному числу — 1.

Мы увидимъ сейчасъ важное значеніе этой спеціальной пары.

Дѣйствительно, спеціальная пара {0, b} можетъ быть разсматриваема, какъ произведеніе вещественнаго числа на пару {0, 1}.

Дѣйствительно

На основаніи этого, всякая пара {a, b} можетъ быть представлена подъ видомъ а + b{0, 1}, т.-е. теорія паръ приводитъ къ введенію новой спеціальной пары, которая называется мнимою единицею и для обозначенія которой со времени Эйлера употребляется буква г.

Со введеніемъ этого обозначенія мы можемъ оставить обозначеніе паръ {a, b} и ввести новое, болѣе удобное:

a + bi. Мы видѣли, что квадратъ пары {0, 1} есть — 1; і2 = — 1.

Легко выводятся также равенства:

такъ что значенія степеней і періодически повторяются. Вообще іп = і, — 1, — i, + 1, смотря по тому, будетъ ли n = 1, 2, 3, 0 (мод. 4). Наконецъ, изъ того же опредѣленія видно, что пары {0, b} рѣшаютъ одну изъ задачъ, неразрѣшимыхъ при помощи области вещественныхъ чиселъ— задачу извлеченія корня квадратнаго изъ отрицательнаго числа. Дѣйствительно,

Поэтому и рѣшеніе квадратнаго уравненія x2 + px + q = 0 въ томъ случаѣ, если дискриминантъ отрицателенъ, доставляется формулою = p/2 + - i√Δ, гдѣ Δ есть абсолютная величина дискриминанта |р2 — 4q| = Δ.

Найдя въ нашихъ парахъ отвѣтъ на одну изъ поставленныхъ нами задачъ и, видя, что операціи надъ парами тожественны по своимъ свойствамъ съ операціями надъ числами раньше введенныхъ областей, мы получаемъ полное право ввести въ общую ариѳметику эти пары, какъ новую область чиселъ, заключающую въ себѣ числа вещественныя, какъ частный случай. Этимъ числамъ, которыя прежде назывались мнимыми или воображаемыми, придается теперь названіе комплексныхъ (составныхъ), указывающее на ихъ составъ изъ двухъ членовъ: вещественной а и чистомнимой bi.

Примѣнимость къ новымъ числамъ законовъ операцій сложенія и умноженія и аксіомъ ученія о равенствѣ ведетъ къ слѣдствію, что всѣ формулы алгебры, заключающія въ

себѣ комбинаціи знаковъ сложенія и умноженія, будутъ примѣнимы и къ комплекснымъ числамъ; такова, напр., формула бинома Ньютона. Переходя къ операціи вычитанія, мы находимъ изъ опредѣленія вычитанія, какъ операціи обратной сложенію, что всегда существуетъ одно и только одно комплексное число, удовлетворяющее равенству

Это число есть, очевидно, {а — с, b — d} или при вычитаніи комплексныхъ чиселъ вычитаются порознь вещественныя и мнимыя части. Съ помощью новаго обозначенія имѣемъ:

Прежде, чѣмъ перейти къ дѣленію, введемъ новый терминъ, назвавъ „сопряженными комплексными числами" числа а + bі и а — bi.

По правиламъ операціи сложенія и умноженія сумма и произведеніе сопряженныхъ комплексныхъ чиселъ суть величины вещественныя. Дѣйствительно,

Выраженіе a2 + b2 носитъ названіе нормы комплекснаго числа. Положительное значеніе корня квадратнаго изъ нормы называется модулемъ или абсолютные значеніемъ

(Вейерштрассъ) комплекснаго числа. Мы будемъ обозначать его знакомъ, введеннымъ выше для абсолютныхъ значеній вещественныхъ величинъ:

Если требуется вычислить

то, умножая оба члена на сопряженное со знаменателемъ число, имѣемъ

§ 33. Историческій очеркъ теоріи комплексныхъ чиселъ. Подобно отрицательнымъ числамъ, и комплексныя числа встрѣтились математикамъ при рѣшеніи уравненій второй и высшихъ степеней. Одно изъ первыхъ упоминаній о нихъ мы находимъ въ сочиненіи „Ars magna“ (1545), одного изъ оригинальнѣйшихъ умовъ эпохи возрожденія Кардана. Какъ для Кардана, такъ и для другихъ итальянскихъ алгебриковъ XVI вѣка мнимые корни суть radices impossibiles и указатели невозможности рѣшенія задачи. Но уже въ началѣ XVII столѣтія Альбертъ Жираръ высказываетъ довольно правильный взглядъ на мнимыя рѣшенія. Декартъ

примѣняетъ къ нимъ въ первый разъ терминъ воображаемыхъ или мнимыхъ корней.

Въ XVIII столѣтіи Эйлеръ въ рядѣ многочисленныхъ мемуаровъ показалъ всю пользу мнимыхъ чиселъ при математическихъ преобразованіяхъ и своимъ открытіемъ связи между показательною функціею ех и тригонометрическими Sin х, Cos х разрѣшилъ спорный вопросъ о логариѳмахъ отрицательныхъ чиселъ. Но, несмотря на то, что въ этихъ работахъ Эйлера и позже въ классическихъ работахъ Абеля и Якоби по теоріи эллиптическихъ и Абелевыхъ функцій употребленіе мнимыхъ чиселъ оказалось могущественнымъ орудіемъ для нахожденія соотношеній между числами вещественными, мнимыя числа, какъ писалъ Гауссъ въ 1831 г., были въ ней только терпимы, „не получивъ полнаго права гражданства въ математикѣ и дѣйствія надъ ними разсматривались, какъ безсодержательная игра символами“.

Но однако мало-по-малу стала выясняться и истинная природа комплексныхъ чиселъ и возможность найти такія конкретныя отношенія, которыя точно воспроизводятся въ теоріи комплексныхъ чиселъ, подобно тому, какъ въ теоріи чиселъ относительныхъ воспроизводятся отношенія между отрѣзками безпредѣльно въ обѣ стороны продолжающейся прямой линіи или, общѣе говоря, тѣ отношенія между элементами ряда (многообразія одного измѣренія), которыя допускаютъ измѣренія въ обратномъ смыслѣ (больше и меньше, послѣ и прежде). Уже Валлисъ (Algebra, Opera math. т. II. 1693. Cap. 66—69) замѣтилъ при алгебраическомъ рѣшеніи геометрическихъ задачъ, то замѣчательное обстоятельство, что если вещественные корни уравненія ведутъ къ вещественнымъ точкамъ нѣкоторой прямой, то, въ случаѣ измѣненія условій, ведущаго къ уравненіямъ, имѣющимъ „невозможные“ корни, получаются, какъ отвѣтъ на вопросъ, вмѣсто точекъ прямой, точки другой прямой, къ ней перпендикулярной. Поэтому мнимая величина является для него „среднею пропорціональною между положительною и отрицательною величиною“. Подобныя же замѣчанія находимъ у многихъ другихъ авторовъ, связывавшихъ мнимые корни уравненій съ линіями, перпендикулярными къ линіямъ, на которыхъ откладываются вещественные корни1).

1) Kühn. Meditationes de quantitatibus imaginariîs construendis et radicibus imaginariîs exhibendis (Novi Comm. Acad. Petrop. III. 1750—1751).

Buée. Mémoire sur les quantités imaginaires. Philosoph. Transactions. 1806).

Mourey. La vraie théorie des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires. Paris. 1828. 2-ое изд. 1861.

Warren. Treatise on the Geometrical Representation of the Square Root of Negative Quantities, Cambridge 1828 (также Philos. Trans. за 1829 г.

Но всѣ эти попытки уступаютъ въ ясности и опредѣленности теоріи геометрическаго представленія комплексныхъ чиселъ, данной Каспаромъ Бесселемъ (Wessel) въ 1797 г. и Аргандомъ въ 1806 г. Мемуаръ Весселя былъ напечатанъ на датскомъ языкѣ подъ заглавіемъ: „Om directionens analytiske Betegniny“ и оставался незамѣченнымъ до послѣдняго времени. Въ 1897 г. онъ переведенъ на французскій языкъ и изданъ подъ заглавіемъ: „Essai sur la représentation de la direction“ Capenhague. 1897 r. Мемуаръ Арганда: „Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques“ Paris, 1806, переизданный Гуэлемъ въ 1874, также долго не обращалъ на себя должнаго вниманія. Идея геометрическаго представленія комплексныхъ чиселъ стала общимъ достояніемъ математиковъ только послѣ появленія знаменитаго мемуара Гаусса: „Theoria residuorum biquadraticorum“1) (1831) и самимъ Гауссомъ написаннаго реферата объ этомъ мемуарѣ. Необходимо отмѣтить также, что уже раньше въ основу доказательства, даннаго Гауссомъ для основной теоремы высшей алгебры въ 1799 г., положено, хотя и не явно, геометрическое представленіе комплексныхъ чиселъ.

Въ виду важности взглядовъ Гаусса для „метафизики“ комплексныхъ чиселъ считаемъ полезнымъ привести дословно относящееся къ геометрическому представленію комплексныхъ чиселъ мѣсто реферата.

„Пусть намъ даны предметы, которые не могутъ быть р