Е. И. ИГНАТЬЕВЪ.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ХРЕСТОМАТІЯ.

Книга 1-я.

АРИѲМЕТИКА.

СЪ 35-ю РИСУНКАМИ, 2-мя ТАБЛИЦАМИ и МНОГИМИ ФИГУРАМИ и ЧЕРТЕЖАМИ ВЪ ТЕКСТѢ.

Е. И. ИГНАТЬЕВЪ.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ХРЕСТОМАТІЯ.

Книга 1-я.

АРИѲМЕТИКА.

Съ 35-Ю РИСУНКАМИ, 2-МЯ ТАБЛИЦАМИ И МНОГИМИ ФИГУРАМИ И ЧЕРТЕЖАМИ ВЪ ТЕКСТѢ.

Изданіе Т-ва И. Д. Сытина.

Типографія Т-ва И. Д. СЫТИНА. Пятницкая улица, свой домъ.

Москва. — 1913.

ПРЕДИСЛОВІЕ.

Съ 27-го декабря 1911 г. по 3 января 1912 г. состоялся въ Петербургѣ первый Всероссійскій съѣздъ преподавателей математики. Въ пунктѣ 3-мъ резолюцій съѣзда признано крайне желательнымъ «составленіе математической хрестоматіи, дополняющей и углубляющей свѣдѣнія, выносимыя учащимися изъ обязательной программы». Чего, по мнѣнію съѣзда, должно держаться при составленіи такой хрестоматіи, ясно изъ пункта 2-го его резолюцій:

«Съѣздъ признаетъ своевременнымъ опустить изъ курса математики средней школы нѣкоторые вопросы второстепеннаго значенія, провести чрезъ курсъ и ярко освѣтить идею функціональной зависимости, а также—въ цѣляхъ сближенія преподаванія въ средней школѣ съ требованіями современной науки и жизни — ознакомить учащихся съ простѣйшими и несомнѣнно доступными имъ идеями аналитической геометріи и анализа».

На тему математическое и философское преподаваніе въ средней школѣ произнесъ вступительную рѣчь предсѣдатель этого съѣзда А. В. Васильевъ, заслуженный профессоръ Казанскаго университета и членъ по избранію Государственнаго Совѣта. Взгляды выдающагося ученаго, педагога и общественнаго дѣятеля несомнѣнно должны быть приняты къ свѣдѣнію; и читатель, навѣрно, не посѣтуетъ, если мы постараемся исчерпать съ нѣкоторыхъ сторонъ указанную содержательную и блестящую по формѣ рѣчь въ выдержкахъ, хотя бы и нѣсколько обширныхъ:

«И педагогическое и научное значеніе математики, — говоритъ проф. Васильевъ,—вполнѣ оправдываютъ ея все болѣе и болѣе возрастающее значеніе въ системѣ средняго преподаванія. Но у математики, кромѣ ея логической строгости и сравнительной простоты, дѣлающей ее незамѣнимымъ педагогическимъ орудіемъ, кромѣ ея значенія для познанія явленій окружающаго насъ міра и для обладанія имъ, есть еще третья сторона: ея близкое соприкосновеніе, скажу, проникновеніе въ область наиболѣе общихъ вопросовъ человѣческой мысли.

«Это философское значеніе математики цѣнится и признается съ глубокой древности. «Математика есть рукоятка философіи», говорилъ Ксенократъ; Платонъ отказывалъ въ человѣческомъ достоинствѣ людямъ, не знакомымъ съ геометріей, а проникновеніе въ ея истины считалъ знаніемъ, наиболѣе необходимымъ для вождей народа. Въ эпоху возрожденія Галилей говорилъ въ своемъ «Saggiatore»: «Языкъ природы есть языкъ математики, а буквы этого языка — круги, треугольники и другія математическія фигуры».

«Не разъ успѣхи математики оказывали чарующее, почти гипнотизирующее вліяніе на мысль человѣчества. При самомъ возникновеніи научной математики открытыя пиѳагорейскою школою первыя законности въ ученіи о цѣлыхъ числахъ, открытіе чиселъ совершенныхъ и дружественныхъ, открытіе ирраціональностей оказали столь сильное вліяніе на метафизику Платона, что вся его теорія идей есть лишь развитіе пиѳагорейскаго положенія, согласно которому вещи всегда суть копіи чиселъ; и многія мѣста его діалоговъ и книги «О государствѣ» полны отступленій въ область свойствъ цѣлыхъ чиселъ и ирраціональныхъ отрѣзковъ. Мы присутствуемъ въ настоящее время при проявленіи подобнаго же чарующаго вліянія математическаго открытія на общіе вопросы міропониманія. Самыя смѣлыя метафизическія теоріи о тожествѣ пространства и времени явля-

ются слѣдствіемъ замѣчательнаго математическаго факта, открытаго Лоренцомъ (Lorentz), Эйнштейномъ (Einstein) и Миньковскимъ (Minkowsky) и заключающагося въ томъ, что система максвеллевскихъ уравненій электродинамики не мѣняется отъ преобразованія, связывающаго пространственныя координаты со временемъ, и что эти уравненія принимаютъ вполнѣ симметричную форму относительно четырехъ независимыхъ перемѣнныхъ, если эти перемѣнныя суть три пространственныя координаты, съ одной стороны,—время, умноженное на √-1 (мнимую единицу), съ другой.

«Математика соприкасается съ философіею и съ ея частными доктринами: съ логикою, психологіею, гносеологіею и въ своихъ основаніяхъ, и въ своей конечной цѣли, и своимъ методомъ.

«Она соприкасается съ гносеологіею и психологіею въ основаніяхъ. «Понятія о числѣ, пространствѣ, времени, — говоритъ Кронекеръ, — прежде чѣмъ сдѣлаться предметомъ чистой математики, должны быть развиваемы въ чистомъ полѣ философской» и, прибавлю я отъ себя, психофизіологической работы.

«По отношенію къ нашимъ пространственнымъ ощущеніямъ психофизіологическій анализъ возникновенія далеко еше не законченъ; но онъ далъ уже многое, подтверждающее геніальную мысль, брошенную Лобачевскимъ: «Въ природѣ мы познаемъ, собственно, только движеніе, безъ котораго чувственныя впечатлѣнія невозможны. Всѣ прочія понятія, напримѣръ, геометрическія, произведены нашимъ умомъ искусственно, будучи взяты въ свойствахъ движенія; а потому пространство само собой отдѣльно для насъ не существуетъ».

«Не болѣе разработаны вопросы о времени и о генезисѣ понятія о цѣломъ числѣ (напримѣръ, вопросъ о взаимоотношеніи чиселъ порядковыхъ и количественныхъ). Математика соприкасается съ философіею природы по своей конечной цѣли.

Гамильтонъ былъ правъ, указывая на то, что математики ничего не знаютъ о причинахъ явленій; философы же раскрываютъ причины. Математикъ, дѣйствительно, не задается цѣлью искать причины, а ограничивается тѣмъ, что ищетъ точныя функціональныя зависимости между измѣняющимися величинами. Но на той же точкѣ зрѣнія стоитъ и современная философская мысль. Она опредѣляетъ задачу философіи, говоря, что философія есть система научно-разработаннаго міровоззрѣнія, и относитъ къ области метафизики или морально обоснованной вѣры разысканіе причинъ явленій. (А. И. Введенскій. «Логика».)

«Чистая математика пользуется дедуктивнымъ и символическимъ методами для изученія величинъ и чиселъ. Но этотъ дедуктивный методъ и употребленіе символовъ, какъ предчувствовалъ еше Лейбницъ (Leibnitz), не составляетъ принадлежности только ученія о величинахъ и числахъ. Въ 1854 г. Буль (Booll) издалъ свое сочиненіе «An investigation on the laws of thought», гдѣ тотъ же методъ былъ примѣненъ не къ величинамъ, а къ понятіямъ. И это расширеніе области математическаго метода даетъ поводъ Пирсу (Peirce), Ресселю (Russell) и другимъ подводить подъ понятіе о чистой математикѣ всѣ дедуктивныя разсужденія, пользующіяся употребленіемъ символовъ, считать датою рожденія чистой математики не времена Ѳалеса и Пиѳагора, а 1854 г., и давать математикѣ опредѣленіе науки, выводящей логическія слѣдствія изъ логическихъ посылокъ, а подчасъ и другое—чистая математика есть наука, которая не знаетъ того, о чемъ она говоритъ, и не знаетъ, вѣрно ли то, что она говоритъ. Грань, отдѣляющая математику отъ формальной логики, такимъ образомъ, почти исчезаетъ. Таковы связи между математикою и философіей»...

Насколько же связь математики съ философіей можетъ отразиться при преподаваніи въ средней школѣ? Обрисовавъ положеніе этого вопроса въ

школахъ западной Европы, проф. Васильевъ говоритъ:

«Сказанное выше о тѣсной связи математики съ философіей не оставляетъ сомнѣнія въ томъ, что и преподаваніе математики должно послужить той же высокой цѣли пробужденія интереса къ философскому мышленію.

«Но зато наибольшія трудности представляетъ рѣшеніе вопроса, на какихъ стадіяхъ и въ какой формѣ это должно осуществиться. Конечно, на всѣхъ ступеняхъ математическое преподаваніе должно служить цѣли развитія логическаго мышленія; но можетъ быть лучше всего, если оно будетъ достигать этого такъ, что ученикъ будетъ въ положеніи Мольеровскаго M-r Jourdain, который искренно удивился, когда ему сказали, что онъ говоритъ прозою. Сверхъ того, у математическаго преподавателя есть свои другія задачи, важность которыхъ никто не можетъ отрицать: развитіе способности геометрическаго представленія, развитіе техники ариѳметическаго счета и алгебраическихъ вычисленій и т. п. При этихъ условіяхъ я колебался бы высказаться за то, чтобы философскій элементъ примѣшивался къ математическому преподаванію даже въ предпослѣднемъ классѣ. Пословица о погонѣ за двумя зайцами есть одна изъ наиболѣе поучительныхъ для педагога. Поэтому, если мы желаемъ и считаемъ возможнымъ ввести въ кругъ преподаванія средней школы ознакомленіе съ тѣми вопросами, которые можно назвать пограничными между математикою и философіею, то лучшее время для такого ознакомленія (несмотря на всѣ неудобства, связанныя съ годомъ, подготовляющимъ къ аттестату зрѣлости) — есть послѣдній годъ средней школы. Введеніе въ преподаваніе этого послѣдняго года вопросовъ, интересующихъ одинаково и математику и философію, соотвѣтствуетъ вполнѣ тому общему характеру, который должно имѣть преподаваніе математики въ этотъ послѣдній годъ.

«Вопросъ о преподаваніи въ послѣднемъ учебномъ году представляется весьма важнымъ. Отъ постановки математическаго преподаванія въ этомъ послѣднемъ году зависитъ, если позволено такъ выразиться, общее математическое образованіе страны, т.-е. уровень математическихъ знаній и пониманія значенія математики у интеллигенціи страны; отъ нея же зависитъ уровень преподаванія въ тѣхъ школахъ, въ которыхъ продолжается математическое образованіе, т.-е. на математическихъ факультетахъ университетовъ и въ высшихъ техническихъ школахъ. Въ чемъ же должна состоять главная цѣль преподаванія? Практика, конечно, здѣсь рѣзко разойдется съ теоріей. Практикъ скажетъ—въ приготовленіи ученика къ рѣшенію тѣхъ задачъ, которыя ему будутъ предложены на экзаменѣ зрѣлости и къ бойкому устному отвѣту. Теоретикъ скажетъ—къ тому, чтобы ученикъ вышелъ изъ средней школы, получивъ въ доступной ему формѣ пониманіе сущности и цѣли математики, и прежде всего математики—какъ ученія о величинахъ и числахъ».

Итакъ, резолюція Всероссійскаго съѣзда преподавателей математики требуетъ, чтобы математическая хрестоматія дополняла и углубляла свѣдѣнія, выносимыя учащимися изъ обязательной программы (различныхъ классовъ школы, конечно). Несомнѣнная связь, съ другой стороны, математики съ философіей заставляетъ проф. Васильева обратить вниманіе и на эту сторону предмета, но отнести ее къ послѣднему (выпускному) классу средней школы. Но проф. В. В. Бобынинымъ выдвинута еще третья важная и нужная сторона предмета, хотя сама собой (implicite) она безмолвно включается въ требованія о наилучшей постановкѣ преподаванія математики въ средней (тѣмъ болѣе въ высшей) школѣ. Мы говоримъ объ исторіи науки.

Настаиваемъ на чрезвычайной важности и необходимости преподаванія свѣдѣній изъ исторіи ма-

тематики прежде всего потому, что нѣтъ, кажется, лучшаго пути подойти не только къ философіи предмета, но и просто заинтересовать предметомъ вообще. Вспоминается изъ собственнаго опыта (да думается, извѣстно это и каждому преподавателю), какъ настораживается классъ, когда попутно съ выясненіемъ какого-либо отдѣла или задачи обрисуешь кратко предметъ въ его исторической перспективѣ. Мало того, подобную подготовку къ расширенію и углубленію взгляда на предметъ вовсе не надо откладывать на послѣдній или на предпослѣдній классъ, а можно начинать и гораздо раньше,—примѣрно съ пятаго, а кое-что, пожалуй, даже съ 4-го и 3-го класса.

Развѣ не заинтересуетъ, напр., уже нѣсколько набившаго руку въ счетѣ, выкладкахъ и рѣшеніи задачъ ученика сжатое и понятное сообщеніе при случаѣ о томъ, какъ постепенно приходилъ къ понятію о числѣ человѣкъ, какъ считаютъ еще теперь у нѣкоторыхъ дикарей, какъ изъ пальцеваго счета возникла десятичная система и т. д. Пальцы — это первая ступень инструментальнаго счета, а въ дальнѣйшемъ, напр., наши торговые счеты, классическій абакъ, давшій начало письменному счету и нашимъ цифрамъ, развитіе письменнаго счета на ряду съ инструментальнымъ вплоть до современныхъ изумительныхъ счетныхъ машинъ, псаммитъ Архимеда, постепенное появленіе символовъ дѣйствій и т. д. и т. д. Перечисленіе завело бы слишкомъ далеко. Но нетрудно согласиться, что, принимая во вниманіе возрастъ, подготовку и классъ учащихся, преподаватель всегда можетъ найти въ исторіи немало матеріала, дающаго возможность ученику шире и сознательнѣе отнестись къ своей иногда чисто механической «учобѣ», заинтересовать его и постепенно подвести къ такому сознательному пониманію основъ, цѣлей и методовъ математики, которое дастъ возможность къ концу школы безъ особаго труда осилить тѣ понятія о числѣ, ве-

личинѣ, функціи и т. д., къ которымъ пришла современная наука. А вѣдь съ этими-то понятіями онъ тотчасъ сталкивается на порогѣ высшаго учебнаго заведенія, и обращеніе съ ними безъ нѣкотораго предварительнаго знакомства слишкомъ многимъ оказывается на первыхъ порахъ не подъ силу— и не по ихъ винѣ, добавимъ.

Въ заключеніе нѣсколько словъ объ общемъ планѣ предлагаемой математической хрестоматіи. Она дѣлится на три самостоятельныхъ книги: первая посвящается почти исключительно такъ называемой элементарной ариѳметикѣ (настоящая книга), вторая—такъ называемой общей ариѳметикѣ и алгебрѣ, третья— геометріи съ тригонометріей. Сообразно съ высказанными выше взглядами, въ каждой книгѣ помѣщаются небольшія, по возможности, статьи или отрывки трехъ родовъ: исторія предмета, его философія, дополнительныя главы къ программному курсу.

Составитель старался придать книгѣ чисто хрестоматическій характеръ, т.-е. составить ее изъ однихъ доподлинныхъ статей или отрывковъ, изъ сочиненій авторитетовъ науки. Приходилось, однако, отступать отъ этого правила, когда, послѣ долгихъ поисковъ, подходящаго по доступности изложенія у авторитетовъ науки не находилось, а между тѣмъ предметъ заслуживалъ вниманія.

Въ настоящей «Ариѳметикѣ» (хрестоматіи), конечно, главнѣйшее вниманіе обращено на исторію и философію выработки понятія о числѣ. Въ расположеніи матеріала прилагалась всяческая забота соблюсти постепенность перехода отъ болѣе простого къ сложному. Быть-можетъ, однако, инымъ покажутся кое-какъ статьи слишкомъ трудными, другія длинными и т. д. На это замѣтимъ, что трудности нигдѣ не превышаютъ характера элементарности, а безъ кажущейся длинноты нельзя часто добиться желательной полноты освѣщенія предмета. Впрочемъ,

хрестоматіи не составляются для чтенія «подъ рядъ». Выбираются и прочитываются обыкновенно тѣ отрывки, которые въ данномъ случаѣ интересны и нужны.

Затрудненіе состояло еще и въ томъ, что трудно сказать, гдѣ кончается ариѳметика и начинается алгебра, или наоборотъ. Многіе, слѣдуя Ньютону, предполагаютъ даже объединить обѣ эти науки подъ названіемъ общей ариѳметики (Arithmetica universalis). Но здѣсь частью приходилось соображаться съ установленными программами, частью же такая неопредѣленность позволяетъ многое смѣло отнести ко второй книгѣ—«Алгебры», чтобы не слишкомъ загромождать настоящую.

Для удобства читателя прилагается указатель собственныхъ именъ и предметовъ. Библіографическій указатель, справочныя свѣдѣнія и таблицы будутъ приложены къ 3-й книгѣ хрестоматіи.

Въ трудномъ дѣлѣ собиранія портретовъ, входящихъ въ эту и слѣдующія книги, оказали любезную помощь I. И. Чистяковъ, А. А. Самсоновъ, и А. В. Цингеръ въ Москвѣ, а также А. И. Боргманъ въ Петербургѣ. Считаемъ долгомъ высказать имъ свою искреннюю признательность.

С.-П.Б. Декабрь 1912 г.

Рис. 1.—Счетчикъ. (Соображающій древнеримскій землемѣръ.)

Сравнительная таблица названій первыхъ десяти чиселъ и ста у различныхъ народовъ арійской семьи.

Санскритъ.

Русскій.

Греческій.

Латинскій.

Кельтскій.

Французскій.

Нѣмецкій.

Англійскій.

1.—эка

одинъ

heis

unus

aon

un

ein

one

2.- два

два

duo

duo

da

deux

zwei

two

3.—три

три

treis

très

tri

trois

drei

three

4.—чатуръ

четыре

tessares

quàtuor

pedvar

quatre

vier

four

5. —панчанъ

пять

pente

quinque

pemp

cinq

fünf

five

6.—шашъ

шесть

hex

sex

chwech

six

sechs

six

7.—саптанъ

семь

hepta

septem

seith

sept

sieben

seven

8.—аштанъ

восемь

octo

octo

nyth

huit

acht

eight

9.—наванъ

девять

ennea

novem

nau

neuf

neun

nine

10.—дасанъ

десять

deca

decern

deg

dix

zehn

ten

100.—сатанъ

сто

hecaton

centum

çant

cent

hundert

hundred

Ариѳметика доисторическихъ временъ.

Происхожденіе и постепенное развитіе начальнаго счета. — Начатки развитія системъ счисленія.

Отрывки изъ „Изслѣдованій по исторіи математики“ В. В. Бобынина.

Устный счетъ.

Развитіе счисленія началось съ системы, состоявшей изъ двухъ представленій— единицы и неопредѣленнаго множества.

Эта система является, очевидно, самою простою формою счисленія, какая только возможна. Составляющія ее представленія не могутъ быть отдѣлены отъ предметовъ и сдѣлаться отвлеченными даже въ первое время развитія общихъ представленій. Такого положенія въ эпоху этого развитія они достигаютъ несравненно позже, на гораздо болѣе высшей ступени развитія человѣчества. Что же касается до того ранняго времени, о которомъ идетъ рѣчь, то здѣсь не можетъ быть даже и мысли о такомъ отдѣленіи. Это обстоятельство имѣетъ весьма важное значеніе для дальнѣйшаго развитія счисленія, такъ

Рис. 2.—Викторъ Викторовичъ Бобынинъ. Первый ученый въ Россіи, посвятившій свою дѣятельность спеціально исторіи математики, для чего въ Московскомъ университетѣ создалъ особую каѳедру по этому предмету. Основатель и руководитель журнала «Физико-математическія науки». Изъ многочисленныхъ сочиненій въ особенности выдѣляется трехтомная «Русская физико-математическаяа библіографія».

какъ только ему должно быть приписано первоначальное счисленіе по рукамъ, ногамъ, ручнымъ и ножнымъ пальцамъ и сравнительно очень позднее появленіе словеснаго счета.

Между многими признаками, отличающими въ глазахъ первобытнаго человѣка одинъ предметъ отъ многихъ предметовъ, однимъ изъ самыхъ важныхъ является тотъ, въ силу котораго одинъ предметъ можетъ быть взятъ при посредствѣ одной руки или только одинъ или съ большей легкостью и удобствомъ, чѣмъ многіе. Хотя этотъ признакъ и не имѣетъ всеобщаго значенія, такъ какъ, наприм., не можетъ быть приложенъ къ тѣламъ мелкимъ, сыпучимъ, представляющимъ болѣе или менѣе значительныя скопленія (наприм., песокъ, мелкій щебень и т. д.), но все-таки встрѣчается достаточно часто, чтобы быть не только замѣченнымъ людьми, но и прочно усвоеннымъ ими. Протягиваніе одной руки для того, чтобы захватить одинъ предметъ, при необходимости протягивать одну и обѣ руки нѣсколько разъ для того, чтобы захватить нѣсколько предметовъ, должно было при посредствѣ ассоціаціи идей пріучить человѣка къ выраженію представленія одного предмета черезъ вытягиванія одной руки. Сказанное можетъ быть отнесено также и къ такимъ предметамъ, которые вслѣдствіе своей отдаленности или вѣса и проч. не могутъ быть захвачены человѣкомъ, такъ какъ протягиваніе одной руки съ цѣлью ощупыванія предмета, или же только указанія на него, имѣетъ мѣсто и въ настоящемъ случаѣ. Общность представленія единицы въ періодѣ развитія общихъ представленій, какъ могущей относиться въ это время ко всякому отдѣльному предмету безразлично, дѣлаетъ вполнѣ возможнымъ выраженіе единицы черезъ поднятіе одной руки. Этотъ жестъ, одинъ изъ элементовъ мимическаго языка, дѣлается, такимъ образомъ, внѣшнимъ выраженіемъ, знакомъ, единственнаго опредѣленнаго элемента простѣйшаго счисленія—единицы. Современное состояніе даже самаго низшаго изъ человѣческихъ племенъ на столько выше состоянія человѣчества въ разсматриваемую отдаленную эпоху, что попытка отыскать что-нибудь подобное въ настоящее время должна быть признана совершенно безнадежною. Какъ на слѣдъ этого первобытнаго счисленія въ настоящемъ времени мы можемъ указать развѣ на пріемъ маркизцевъ считать рыбу или плоды по одному въ каждой рукѣ1).

Необходимость протянуть двѣ руки для одновременнаго захватыванія двухъ предметовъ, при чемъ группа, состоящая только изъ двухъ предметовъ и удовлетворяющая

1) Тэйлоръ. Первобытная культура, т. I.

общему представленію много, совершенно исчерпывается, заставляетъ человѣка съ теченіемъ времени выдѣлить изъ неопредѣленнаго представленія много новый опредѣленный элементъ счисленія два. Счисленіе, такимъ образомъ, расширяется: къ прежнимъ элементамъ присоединяется еще новый—два. Одновременное поднятіе двухъ рукъ представляетъ внѣшнее выраженіе или знакъ новаго элемента счисленія—два. Какъ на слѣдъ этого счисленія въ настоящемъ времени можно указать на принятую маркизцами систему счета парами вмѣсто единицъ. Эта система, очевидно, вытекла изъ указаннаго выше обычая маркизцевъ считать рыбу или плоды по одному въ каждой рукѣ. Еще болѣе важнымъ слѣдомъ счисленія этого періода въ позднѣйшее время должно быть считаемо существованіе на ряду съ множественнымъ числомъ двойственнаго числа въ языкахъ: египетскомъ, арабскомъ, еврейскомъ, санскритскомъ, греческомъ, готскомъ и древне-славянскомъ. „Стремленіемъ высшей интеллектуальной культуры,—говоритъ Э. Тэйлоръ, — было устранить столь неудобное и безполезное распредѣленіе, различая только единственное и множественное(числа)“. Двойственное число, безъ сомнѣнія, держалось въ силу унаслѣдованія отъ какого-либо древняго періода культуры, и, повидимому, д-ръ Д. Вильсонъ полагаетъ совершенно справедливо, что „оно сохраняетъ намъ воспоминаніе о томъ состояніи мысли, когда все высшее двухъ было понятіемъ неопредѣленнаго количества“1).

Выдѣленіе опредѣленнаго элемента счисленія—два—изъ неопредѣленннаго представленія много происходило, по всей вѣроятности, скоро послѣ введенія изображенія единицы черезъ поднятіе одной руки. Важныя черты сходства между обѣими руками въ значительной степени содѣйствовали ускоренію этого выдѣленія. Несравненно болѣе продолжительный промежутокъ времени требуется для выдѣленія слѣдующаго элемента счисленія—три. Дѣйствительно, представить число три посредствомъ поднятія рукъ, подъ условіемъ необремененія слабой памяти первобытнаго человѣка, нельзя. Такимъ образомъ, должно пройти много времени прежде, чѣмъ память и мыслительныя способности первобытнаго человѣка разовьются на столько, чтобы догадаться обратиться для дальнѣйшаго развитія счисленія къ помощи ногъ. Нѣкоторое соотвѣтствіе въ положеніи ногъ и рукъ должно облегчить эту догадку. Этому облегченію, можетъ-быть, способствуетъ также необходимость помѣщенія взятыхъ предметовъ у ногъ взявшаго, вызываемая иногда

1) Тэйлоръ. Первобытная культура, т. , стр. 243—244.—D. Wilson Prehistorie Man, р. 616.

потребностью освободить руки отъ находящихся въ нихъ предметовъ. Какъ бы то ни было, но, разъ условившись изображать два взятые уже предмета при посредствѣ ногъ, человѣкъ получаетъ возможность послѣ двухъ первыхъ предметовъ брать третій одною изъ освобожденныхъ черезъ посредство новаго условія рукъ. Группа, состоящая изъ трехъ предметовъ и удовлетворяющая общему представленію много, оказывается такимъ образомъ исчерпанною. Выдѣленіе опредѣленнаго элемента счисленія — три — изъ неопредѣленнаго представленія много является результатомъ всего сказаннаго. Указаніе обѣихъ ногъ и поднятіе одной руки представляетъ внѣшнее выраженіе новаго элемента счисленія—три. Счисленіе будетъ содержать въ это время четыре элемента: общія представленія единицы, двухъ, трехъ и много.

Относительное бездѣйствіе въ это время другой руки и пріобрѣтенная уже привычка видѣть ее всегда участвующею въ счетѣ скоро заставляетъ человѣка употребить ее для указанія четвертаго захваченнаго предмета. Такимъ образомъ изъ неопредѣленнаго представленіи много выдѣляется еще новый элементъ счисленія — четыре. Внѣшнимъ выраженіемъ послѣдняго служитъ указаніе обѣихъ ногъ и поднятіе двухъ рукъ. Очень вѣроятно, что аналогично съ происходящимъ въ позднѣйшее время, это выраженіе съ теченіемъ времени пріобрѣтаетъ болѣе сокращенную форму— указаніе на всего человѣка.

Затрудненіе, подобное встрѣчаемому первобытнымъ человѣкомъ при образованіи представленія три, выступаетъ на сцену и при образованіи представленія пять. Въ самомъ дѣлѣ, орудія первоначальнаго счета — руки и ноги — уже исчерпаны. Чѣмъ воспользоваться для дальнѣйшаго развитія счисленія? Долженъ пройти значительный промежутокъ времени прежде, чѣмъ первобытный человѣкъ придетъ къ мысли воспользоваться съ этою цѣлью пальцами руки. Эта мысль развивается въ человѣчествѣ, конечно, съ самою медленною постепенностью. Разсмотримъ послѣднюю возможно подробнымъ образомъ. Дѣло начинается, конечно, прежде всего съ перенесенія извѣстнаго уже счета по рукамъ и ногамъ на счетъ по ручнымъ пальцамъ. Роль указательнаго пальца при указаніи предмета неминуемо должна привести первобытнаго человѣка къ мысли о возможности выражать представленіе одного предмета чрезъ поднятіе указательнаго пальца и загибаніе остальныхъ» Какъ только эта мысль достаточно усвоится человѣчествомъ, дальнѣйшее перенесеніе счета на ручные пальцы совершается уже безъ особенныхъ затрудненій: поднятіе указательнаго и средняго пальцевъ выражаетъ представленіе—два, поднятіе

указательнаго, средняго и безыменнаго пальцевъ—представленіе три, поднятіе указательнаго, средняго, безыменнаго пальца и мизинца — представленіе четыре. Такъ какъ указаніе на ноги должно было совершаться каждый разъ при выраженіи представленій три, четыре посредствомъ рукъ и ногъ, то сила привычки должна была перенести обычай этого указанія и на счетъ по ручнымъ пальцамъ. Большой палецъ, владѣя способностью противополагаться всѣмъ другимъ пальцамъ руки, является какъ бы назначеннымъ самою природою для выполненія обязанности указателя при счетѣ или счетчика.

Послѣ перенесенія четверичнаго счета съ рукъ и ногъ на ручные пальцы, образованіе новаго общаго представленія пять совершается уже безъ особеннаго труда. Большой палецъ скоро замѣняетъ свою въ настоящемъ случаѣ совершенно неважную роль счетчика на несравненно болѣе важную роль представителя пятаго предмета. Образовавшееся такимъ образомъ новое представленіе пять будетъ выражаться поднятіемъ всѣхъ пяти пальцевъ одной руки.

Выдѣленіе слѣдующаго элемента счисленія шесть, вслѣдствіе истощенія пальцевъ одной руки пятью предыдущими элементами, должно было представить человѣчеству весьма значительныя затрудненія. Какъ отсчитать шестой предметъ, когда на рукѣ только пять пальцевъ? Должно было пройти много времени, прежде чѣмъ человѣчество открыло, что для этого нужно обратиться къ пальцамъ другой руки. Можетъ-быть, даже не всѣ человѣческія племена были способны произвести это открытіе, по крайней мѣрѣ даже въ настоящее время существуютъ два племени: Жури и Каирири, которыя считаютъ только по одной рукѣ и такимъ образомъ доходятъ только до пяти. Слѣды этого древняго, преодолѣннаго человѣчествомъ, затрудненія можно встрѣтить и въ современныхъ намъ низшихъ племенахъ дикарей. Такъ, Гальтонъ говоритъ объ африканскомъ племени Даммаровъ: „Когда имъ хочется выразить „четыре“, они принимаются за пальцы, которые представляютъ для нихъ столь же страшный инструментъ счисленія, какъ ноніусъ для англійскаго школьника. Они крайне затрудняются, перешедши за пять, такъ какъ не остается свободной руки, чтобы отбирать пальцы, и, такъ сказать, обезпечивать за ними роль требуемыхъ единицъ“. Разсматриваемое затрудненіе должно было уменьшиться въ нѣкоторой степени для тѣхъ племенъ, у которыхъ, на ряду со счисленіемъ до пяти посредствомъ пальцевъ одной руки, сохранилось еще выраженіе чиселъ одинъ и два посредствомъ рукъ. Употребленіе въ этомъ случаѣ другой руки для счета, очевидно,

должно было облегчить и ускорить появленіе мысли о возможности воспользоваться для выраженія шестого предмета пальцемъ другой руки. Нѣтъ основанія полагать, что многія племена пользовались этимъ преимуществомъ; нужны были особенныя внѣшнія условія, чтобы сохранились прежніе способы счисленія; говоря же вообще, эти способы по мѣрѣ выхода ихъ изъ употребленія и замѣны счисленіемъ по пальцамъ одной руки должны были постепенно забываться и, наконецъ, совсѣмъ исчезнуть изъ памяти людей.

Выдѣленіе слѣдующихъ послѣ 6 четырехъ элементовъ счисленія: семи, восьми, девяти и десяти при помощи пальцевъ другой руки не могло, очевидно, представить никакихъ особенныхъ затрудненій. Очень слабо одаренный способностью иниціативы первобытный человѣкъ, по всей вѣроятности, не воспользовался бы этою относительною легкостью дальнѣйшаго расширенія своихъ свѣдѣній въ искусствѣ счисленія и остался бы при своихъ шести опредѣленныхъ элементахъ счисленія и одномъ неопредѣленномъ, если бы къ этому не принуждали его обстоятельства.

Занятіе всѣхъ пальцевъ обѣихъ рукъ найденными десятью элементами счисленія снова должно было привести человѣчество къ знакомому уже затрудненію. Какъ отсчитать одиннадцатый предметъ, когда пальцевъ на обѣихъ рукахъ только десять? Затруднительность рѣшенія этого вопроса въ настоящемъ случаѣ облегчалась существованіемъ перехода при счетѣ отъ пальцевъ одной руки къ пальцамъ другой. Достаточно было распространить этотъ пріемъ на пальцы ногъ, чтобы устранить встрѣченное затрудненіе: но прійти къ мысли о распространеніи уже существующаго пріема гораздо легче, чѣмъ открыть новый пріемъ. Путь, по которому человѣчество пришло къ этому распространенію, весьма хорошо рисуется въ слѣдующихъ словахъ отца Гумильи, одного изъ прежнихъ іезуитскихъ миссіонеровъ въ Южной Америкѣ: „Они (индѣйцы) никогда не скажутъ „двадцать“ безъ помощи ручныхъ пальцевъ, противопоставивъ ихъ ножнымъ“. Съ подобнымъ же явленіемъ мы встрѣчаемся, по словамъ Штеффеля, у Тарагумаровъ, племени, живущемъ въ Старой Мексикѣ: „При 20 они противопоставляютъ свои 10 пальцевъ ногамъ и берутъ въ помощь послѣднія“. Такимъ образомъ, одинъ-изъ крайнихъ пальцевъ ноги долженъ былъ неминуемо явиться представителемъ новаго элемента счисленія — одиннадцати.

Выдѣленіе слѣдующихъ элементовъ счисленія: двѣнадцати, тринадиати, четырнадцати и пятнадцати, какъ

только въ нихъ обнаруживалась надобность, должно было совершаться безъ особенныхъ затрудненій. То же, по всей вѣроятности, слѣдуетъ сказать и о слѣдующемъ элементѣ счисленія шестнадцать, требующемъ для своего выдѣленія одинъ изъ пальцевъ другой ноги. Существующіе въ счетѣ и при томъ весьма часто употребляемые переходы отъ пальцевъ одной руки къ пальцамъ другой и отъ ручныхъ пальцевъ къ пальцамъ ноги уже въ силу простой привычки должны были заставить человѣчество безъ особенныхъ замедленій перейти къ пальцамъ другой ноги. Выдѣленіе слѣдующихъ затѣмъ элементовъ счисленія: семнадцати, восемнадцати, девятнадцати и двадцати и подавно не могло представить затрудненій.

Дальнѣйшее изслѣдованіе развитія счисленія вообще и вещественнаго счета въ частности едва ли можетъ быть ведено удобнымъ образомъ безъ одновременнаго разсматриванія развитія словеснаго счисленія. Но прежде чѣмъ перейти къ послѣднему, мы должны еще обратить вниманіе на одинъ замѣчательный фактъ, не вошедшій въ предыдущее изслѣдованіе. По свидѣтельству Спикса и Марціуса, низшія племена Бразиліи „считаютъ обыкновенно по суставамъ пальцевъ и только до трехъ. Всякое большее число они выражаютъ словомъ „много“. Какъ объяснить происхожденіе этого счета по суставамъ пальцевъ въ племени, имѣющемъ столь ограниченную систему счисленія? Вслѣдствіе какихъ причинъ оно должно было предпочесть рѣзко замѣтнымъ пальцамъ руки сравнительно мало замѣтные суставы пальцевъ? У людей съ болѣе развитою системою счисленія, превосходящею, по крайней мѣрѣ, число двадцать, это явленіе могло бы быть объяснено необходимостью продолжить счетъ далѣе двадцати, приведшею къ мысли воспользоваться съ этой цѣлью суставами ручныхъ пальцевъ. Въ разсматриваемомъ же случаѣ не можетъ быть и рѣчи о подобномъ объясненіи. Остается или оставить поставленные выше вопросы открытыми или же удовлетвориться на время предположеніемъ объ образованіи этой системы счета путемъ подражанія какому-нибудь болѣе высоко стоящему племени, имѣвшему такую систему счета и приходившему въ соприкосновеніе съ разсматриваемыми племенами.

Стремленіе выразить извѣстныя числа посредствомъ членораздѣльныхъ звуковъ, проявившееся вмѣстѣ съ другими подобными же стремленіями при началѣ развитія языка, обнаружилось не прежде достиженія системою пальцеваго счета относительно довольно высокой степени развитія. Эта мысль подтверждается довольно часто наблюдаемою

между племенами современныхъ намъ дикарей отсталостью ихъ словесной системы счисленія отъ пальцевой. Такъ, Ольдфильдъ разсказываетъ о новоголландскомъ племени Ватчанди: „У нихъ нумерація такова: co-ote-on (одинъ), u-tau-ra (два), bool-tha (много) и bool-tha-bat (очень много). Если ихъ непремѣнно заставляютъ выразить числа три или четыре, они обозначаютъ первое черезъ u-tar-ra coo-te-oo и черезъ u-tar-ra u-tar-ra послѣднее число“... „Я желалъ однажды узнать точное число туземцевъ, убитыхъ при нѣкоторомъ случаѣ. Человѣкъ, котораго я спросилъ о томъ, началъ сперва припоминать имена... полагая по пальцу на каждаго, и только послѣ многихъ неудачъ и послѣдовательныхъ начинаній ему удалось выразить требовавшееся высокое число, что онъ произвелъ троекратнымъ поднятіемъ руки вверхъ, давая мнѣ такимъ образомъ понять, что пятнадцать было отвѣтомъ на этотъ чрезвычайно трудный ариѳметическій вопросъ“. О гренландцахъ миссіонеръ Кранцъ около столѣтія тому назадъ разсказывалъ слѣдующее: „Ихъ числительныя идутъ недалеко, и относительно ихъ справедлива поговорка, что они едва могутъ перечесть пять, такъ какъ они считаютъ до пяти по ручнымъ пальцамъ, и затѣмъ прибѣгаютъ къ помощи пальцевъ и ногъ и такъ съ трудомъ доходятъ до двадцати“. Разсматриваемая мысль можетъ служить однимъ изъ лучшихъ подтвержденій мнѣнія, имѣющаго много послѣдователей и утверждающаго, что мимическій языкъ предшествовалъ звуковому.

Весьма сильнымъ подтвержденіемъ болѣе поздняго появленія словеснаго счета въ сравненіи съ пальцевымъ должна быть признана указанная ранѣе возможность для человѣка первыхъ временъ развитія счисленія отдѣлить число отъ непосредственно соотвѣтствующаго ему числа какихъ бы то ни было предметовъ. Эта невозможность представляетъ, какъ показываетъ все предыдущее изложеніе, прямое и необходимое слѣдствіе законовъ, управляющихъ ходомъ человѣческаго развитія. Насколько необходимо человѣку даже несравненно позднѣйшаго времени и гораздо болѣе высокаго развитія непосредственное созерцаніе употребляемыхъ въ счетѣ чиселъ при помощи предметовъ, употребленіе которыхъ въ счисленіи сдѣлалось обычнымъ, показываетъ слѣдующій разсказъ Гальтона о Даммарахъ: „Если покупается у человѣка телка за десять пачекъ табаку, то его широкія руки нужно растопырить на землѣ и на каждый палецъ положить по связкѣ табаку. Онъ собираетъ табакъ; объемъ всего количества ему нравится, и сдѣлка заключена“. Вмѣстѣ съ развитіемъ выраженія числа словомъ человѣкъ постепенно отступаетъ отъ непосредственнаго созерцанія

соотвѣтствующаго числа предметовъ, хотя отъ мысленнаго созерцанія ихъ при счетѣ онъ, можетъ-быть, не освобождается никогда. Какъ мы увидимъ впослѣдствіи, первыя названія, которыя даетъ человѣкъ числамъ, есть очень часто названія предметовъ, постоянно встрѣчающихся человѣку въ томъ числѣ, которое требуется выразить названіемъ. Обозначая число названіемъ такихъ предметовъ, человѣкъ или созерцаетъ ихъ непосредственно или же вызываетъ ихъ въ своемъ воображеніи. Въ томъ и другомъ случаѣ онъ, очевидно, не далеко уходитъ отъ первоначальнаго пальцеваго счета. Впослѣдствіи, по истеченіи значительнаго промежутка времени, когда значеніе названій, данныхъ числамъ, въ значительной степени затемнится, человѣкъ еще долгое время не можетъ обойтись безъ употребленія пальцевъ при словесномъ счетѣ. Такъ, о. Гумилья разсказываетъ объ индѣйцахъ Южной Америки: „Никто изъ насъ (развѣ только случайно) говоря, напримѣръ, „одинъ", „два" и проч., не будетъ показывать въ то же время такого же числа пальцевъ, касаясь до нихъ другою рукой. Совершенно противоположное тому замѣчается у индѣйцевъ. Они говорятъ, напр., „дай мнѣ пару ножницъ", и въ то же время поднимаютъ одинъ палецъ; „дай мнѣ двѣ“, и тотчасъ же поднимаютъ два и т. д. Они никогда не скажутъ „пять", не показавъ руки, или „десять", не протянувъ обѣ, или „двадцать" безъ помощи ручныхъ пальцевъ, противопоставивъ ихъ ножнымъ. Кромѣ того, способъ показывать числа пальцами отличенъ у каждаго народа. Для краткости, я возьму въ примѣръ число „три". Отамаки, чтобы сказать три, соединяютъ большой палецъ, указательный и средній, закрывая прочіе. Таманаки показываютъ мизинецъ, безыменный палецъ и средній, остальные же два закрываютъ. Наконецъ, майпуры поднимаютъ указательный, средній и безыменный пальцы, скрывая два остальные"1).

Такимъ образомъ, фактъ болѣе позднаго происхожденія словеснаго счета въ сравненіи съ пальцевымъ можетъ считаться достаточно подтвержденнымъ. Болѣе точное опредѣленіе времени его происхожденія при настоящемъ состояній этнографическихъ знаній едва ли возможно.

Опредѣляя древность происхожденія числительныхъ именъ историческими терминами, впрочемъ, теряющими въ настоящемъ случаѣ почти всякую опредѣленность, и ограничиваясь при этомъ только арійскимъ племенемъ, мы мо-

1) Тэйлоръ. Первобытная культура, т. I, стр. 226. — Gumіlla. Historia del Orenoco, vol. III, ch. XLV.

жемъ сказать вмѣстѣ съ Ганкелемъ, что „происхожденіе числительныхъ именъ относится къ самому раннему періоду образованія языка. Какъ на доказательство этого положенія можно указать на значительное сходство между числительными именами у всѣхъ народовъ, родственныхъ по языку. Это сходство имѣетъ такое значеніе, что филологи видятъ въ сравненіи числительныхъ именъ, принадлежащихъ двумъ народамъ, самое лучшее и самое надежное средство для разрѣшенія вопроса о взаимномъ родствѣ этихъ народовъ. Такъ, помимо всего другого, одно очевидное родство числительныхъ именъ въ языкахъ санскритскомъ, зендскомъ, персидскомъ, греческомъ, латинскомъ, кельтскомъ, германскомъ, славянскомъ и т. д. можетъ послужить вполнѣ надежнымъ доказательствомъ того, что всѣ эти языки развились, каждый по своимъ индивидуальнымъ законамъ, изъ одного общаго первоначальнаго языка и что всѣ эти народы составляютъ по языку одно семейство, индогерманское или арійское. Такое полное сходство числительныхъ именъ въ языкахъ и у народовъ, которые отдѣлились другъ отъ друга цѣлыя тысячелѣтія тому назадъ, показываетъ самымъ убѣдительнымъ образомъ, что числительныя имена принадлежатъ тому отдаленному времени, когда еще не произошло раздѣленіе племени на различные народы“1). (См. таблицу на страницѣ XII.)

Развитіе словеснаго счета въ теченіе весьма долгаго времени послѣ его появленія происходило крайне медленно и далеко отставало отъ развитія пальцеваго счета. Множество фактовъ, представляемыхъ современными намъ низшими племенами дикарей, подтверждаютъ справедливость этого замѣчанія. „Не слѣдуетъ,—говоритъ Эд. Тэйлоръ, — полагать, основываясь на томъ, что дикое племя не имѣетъ обиходныхъ словъ для чиселъ свыше 3, 5, или около того, будто эти дикари не могутъ сосчитать выше этого. Повидимому, они вполнѣ могутъ и дѣйствительно считаютъ гораздо далѣе, но должны возвращаться для этого къ низшему и грубѣйшему способу выраженія, нежели рѣчь,—къ мимическому языку

Словесный счетъ въ теченіе весьма долгаго промежутка времени послѣ своего происхожденія былъ словеснымъ изображеніемъ, или, говоря другими словами, простымъ описаніемъ предметовъ и дѣйствій, фигурирующихъ въ процессѣ пальцеваго счета. Это обстоятельство даетъ намъ право заключить, что словесный счетъ не имѣлъ

1) Hankel. Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter. S. 8.

самостоятельнаго происхожденія, но развился изъ пальцеваго. Факты, представляемые языками современныхъ намъ низшихъ племенъ, показываютъ, что въ языкахъ первобытныхъ людей соотвѣтствующихъ эпохъ число пять выражалось словомъ, обозначающимъ руку, поднятіе которой человѣкомъ выражало это число въ пальцевомъ счетѣ. Число десять обозначалось выраженіемъ двѣ руки или полчеловѣка. Число пятнадцать — выраженіемъ цѣлая нога. Наконецъ число двадцать — выраженіемъ одинъ человѣкъ. Промежуточныя числа получали свои названія изъ выраженій, прямо относящихся къ жестамъ счета по ручнымъ и ножнымъ пальцамъ. Подобнымъ же образомъ могли происходить иногда и названія приведенныхъ сейчасъ главныхъ чиселъ. Э. Тэйлоръ предлагаетъ для всѣхъ этихъ числительныхъ именъ общее названіе ручныхъ, или пальцевыхъ числительныхъ.

(Приведя въ защиту этого заключенія доводы изъ языковъ различныхъ народовъ, В. В. Бобынинъ приходитъ къ заключенію, что хотя названія первыхъ четырехъ числительныхъ утратили всякіе слѣды ихъ первоначальнаго значенія, но все же:)

Приведенные факты довольно ясно указываютъ на происхожденіе первыхъ четырехъ числительныхъ отъ предметнаго счета. Сообразуясь съ тѣмъ, что было сказано о первоначальномъ развитіи пальцеваго счета, можно предположить, что утратившія всякое другое значеніе названія этихъ числительныхъ означали первоначально „руку“, „ногу“ или что-нибудь находящееся съ ними въ тѣсной связи. Что касается до фактовъ, касающихся образованія числительныхъ, начиная съ 5, то они почти не оставляютъ никакого сомнѣнія въ томъ, что здѣсь словесный счетъ происходитъ отъ пальцеваго. Такимъ образомъ, является возможность сказать вообще, что словесный счетъ въ своихъ наиболѣе главныхъ и важныхъ частяхъ происходитъ отъ пальцеваго. Это предположеніе, изъ всѣхъ возможныхъ, является наиболѣе согласнымъ съ фактами и съ апріористическими заключеніями и потому при настоящихъ условіяхъ имѣетъ полное право быть принятымъ. Съ принятіемъ этого предположенія мы получаемъ возможность хотя отчасти подвергнуть повѣркѣ сказанное нами о первоначальномъ развитіи пальцеваго счета.

Числительныя по времени ихъ происхожденія могутъ быть раздѣлены на древнѣйшія и болѣе новаго происхожденія: къ первымъ должны быть отнесены первыя 4 числительныя, ко вторымъ—остальныя. Первая группа, какъ показываютъ разсмотрѣнные факты, весьма рѣзко отдѣлена отъ другой: на чертѣ, раздѣляющей ихъ, не замѣчается

никакихъ переходныхъ ступеней. Въ то время, какъ названіе 4 ни въ одномъ изъ извѣстныхъ намъ случаевъ не сохранило своего первоначальнаго значенія, названіе 5 сохранило его въ весьма многихъ. Съ другой стороны, разсматривая происхожденіе и развитіе пальцеваго счета, мы должны были прійти къ заключенію, что самое большое изъ затрудненій, испытанныхъ счисленіемъ при своемъ развитіи, представилось при выдѣленіи новаго элемента 5. Промежутокъ времени, который былъ нуженъ человѣчеству для преодолѣнія этого затрудненія, долженъ быть весьма значителенъ, какъ мы это показали выше. Если мы теперь припомнимъ, что, по сказанному выше, начало развитія словеснаго счета должно быть отнесено ко времени, слѣдующему за выдѣленіемъ элемента 2, то мы безъ труда придемъ къ заключенію, что названія первыхъ четырехъ числительныхъ могли быть образованы прежде, чѣмъ человѣчество преодолѣло упомянутое сейчасъ затрудненіе. Они могли быть не только образованы, но и употребляться столь значительное время прежде выдѣленія элемента 5, что ихъ первоначальное значеніе даже ко времени послѣдняго могло уже почти совсѣмъ изгладиться. Такимъ образомъ явленіе рѣзкаго перехода отъ древней группы числительныхъ къ болѣе новой можетъ быть выведено какъ непосредственное слѣдствіе изъ того обстоятельства, что промежутокъ времени, протекшій между выдѣленіемъ элементовъ 4 и 5, былъ весьма значителенъ. Поэтому существованіе разсматриваемаго явленія въ дѣйствительности должно быть признано подтверждающимъ все, что было сказано по поводу выдѣленія элемента 5 при развитіи счисленія.

Стремленіе къ упрощенію методовъ и сокращенію терминологіи, безъ котораго было бы немыслимо современное состояніе науки, обнаруживается довольно замѣтнымъ образомъ уже въ тѣ отдаленныя времена, когда счисленіе только что перешло за 10 или, говоря другими словами, отъ ручныхъ пальцевъ перешло къ пальцамъ ногъ. Дѣйствительно, вмѣсто того, чтобы обозначить 11 выраженіемъ „двѣ руки и палецъ ноги", его обозначаютъ, какъ мы видѣли, выраженіемъ „одинъ на ногѣ“; также называютъ, напримѣръ, 15—„цѣлая нога“ вмѣсто „двѣ руки и нога“, 16—„одинъ на другой ногѣ“ вмѣсто „двѣ руки, нога и одинъ на другой ногѣ“, 20—„одинъ человѣкъ“ вмѣсто „обѣ руки и обѣ ноги“ и т. д. Нѣтъ никакого сомнѣнія, что стремленіе это въ столь раннія времена могло быть только безсознательнымъ.

Системы счисленія.

Ни свойства человѣческой памяти ни составъ языка не могутъ допустить обозначенія отдѣльными независимыми другъ отъ друга названіями даже тѣхъ, относительно говоря, немногихъ чиселъ, которыя наиболѣе часто употребляются въ общежитіи. Поэтому является необходимость найти способы для выраженія всѣхъ чиселъ посредствомъ небольшого количества различныхъ словъ. Изъ всѣхъ способовъ, которые при этомъ могутъ представиться, долженъ быть выбранъ, очевидно, тотъ, который устанавливаетъ для этого выраженія прочныя и строгія правила и притомъ обладаетъ наибольшею ясностью. Вопросъ объ отысканіи такого способа, поставленный въ своемъ общемъ видѣ, былъ бы, можетъ-быть, затруднителенъ даже и для современнаго человѣка; для первобытнаго же онъ совершенно недоступенъ. Такимъ образомъ дальнѣйшее развитіе счисленія сдѣлалось бы невозможнымъ, если бы рѣшеніе этого вопроса было предоставлено сознательной самодѣятельности человѣка, но этого, къ счастью, не случилось. Рѣшеніе вопроса вытекло самымъ естественнымъ образомъ изъ взаимныхъ отношеній и сущности вещей, прикосновенныхъ къ дѣлу. Что же касается человѣка, то онъ игралъ при этомъ совершенно страдательную роль.

Разсматриваемый вопросъ выдвинулся самъ собою при первыхъ шагахъ развитія словеснаго счисленія, повинуясь, такъ сказать, силѣ обстоятельствъ. Главнѣйшими изъ послѣднихъ должны быть признаны бѣдность и неразвитость языка въ тѣ ранніе періоды человѣческой жизни, о которыхъ идетъ рѣчь. Не имѣя въ своемъ распоряженіи достаточнаго запаса словъ и владѣя весьма ограниченными средствами для образованія новыхъ, языкъ по неволѣ долженъ былъ стараться о выраженіи чиселъ при посредствѣ существующихъ уже словъ. Вслѣдствіе этого, появленіе разсматриваемаго вопроса на арену дѣйствія обнаруживается главнымъ образомъ тѣмъ стремленіемъ къ сокращенію, о которомъ мы уже говорили ранѣе. Употребляя названіе „рука" для обозначенія 5, „двѣ руки" для обозначенія 10, „нога" для обозначенія 15, „человѣкъ" для обозначенія 20, „два человѣка" для обозначенія 40 и т. д., получаютъ возможность, какъ мы видѣли выше, употреблять для обозначенія промежуточныхъ чиселъ названія первыхъ четырехъ чиселъ, наприм., „одинъ на другой рукѣ" — 6, „два на ногѣ"—12, „три на другой ногѣ"—18 и т. д. Въ этихъ выраженіяхъ разсматриваемый вопросъ является не только дѣйствующимъ, но и получившимъ уже первоначальное,

хотя еще и не совсѣмъ совершенное и далеко не законченное рѣшеніе.

Это незаконченое рѣшеніе заключало въ себѣ, какъ въ зародышѣ, всѣ развившіяся впослѣдствіи системы счисленія. Между этими послѣдними древнѣйшею должно считать пятиричную, или квинарную, представляющую счетъ по пяткамъ. Дѣйствительно, система счисленія, употребляемая людьми при развитіи словеснаго счета отъ 5 до 10, была несомнѣнно пятиричная. Выраженія „одинъ на другой рукѣ“ для 6, „два на другой рукѣ“ для 7, „три на другой рукѣ“ для 8, „четыре на другой рукѣ“ для 9 и „двѣ руки“ для 10 совершенно равносильны выраженіямъ: пять—одинъ, пять— два, пять — три, пять — четыре, два — пять. Съ достиженіемъ 10 люди разошлись: одни остались при пятиричной системѣ счисленія, другіе перешли къ новымъ системамъ. Какія условія вызвали это раздѣленіе, мы не можемъ сказать, такъ какъ еще слишкомъ мало знаемъ условія жизни не только первобытнаго человѣка, но даже и современныхъ намъ дикарей. Но что это раздѣленіе дѣйствительно произошло, намъ доказываетъ фактъ употребленія многими изъ современныхъ намъ племенъ пятиричной системы счисленія. Племена, оставшіяся при пятиричной системѣ счисленія, прежде чѣмъ перейти къ словесному выраженію счета ножныхъ пальцевъ, по всей вѣроятности, напали на мысль о возможности повторенія счета на пальцахъ одной и той же руки, дѣлая какой-нибудь внѣшній знакъ всякій разъ, когда всѣ пальцы одной руки были пересчитаны. Этимъ внѣшнимъ знакомъ могли быть: черта, проведенная на пескѣ, отложенный въ сторону камешекъ, маисовое зерно и проч., какъ это дѣлаютъ въ подобныхъ случаяхъ современные намъ негры. Каждый такой знакъ выражалъ пересчитанные пальцы одной руки, или „пять“. Наиболѣе замѣчательные и полные примѣры пятиричной системы счисленія между современными намъ людьми представляютъ: полинезійская система, идущая въ такой послѣдовательности: 1, 2, 3, 4, 5, 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 4, 5 + 5, 5 + 5 + 1, и т. д.; меланезійская система—1, 2, 3, 4, 5, 2-ой 1, 2-ое 2, 2-ое 3 и т. д.

Вмѣсто того, чтобы отмѣчать внѣшнимъ знакомъ окончаніе счета пальцевъ одной руки, какъ это дѣлаютъ племена, оставшіяся при пятиричной системѣ счисленія, другія племена пришли къ мысли отмѣчать такимъ знакомъ окончаніе счета пальцевъ обѣихъ рукъ. Каждый внѣшній знакъ въ этомъ случаѣ будетъ выражать число 10; счетъ, слѣдовательно, будетъ производиться по десяткамъ. Такимъ образомъ является хорошо извѣстная намъ десятеричная, или

децимальная система счисленія. Примѣромъ этой системы счисленія можетъ служить обыкновенно употребляемый у цивилизованныхъ народовъ настоящаго времени порядокъ числительныхъ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10 + 1, 10 + 2, 10 + 3, 10 + 4, 10 + 5, 10 + 6, 10 + 7, 10 + 8, 10 + 9, 2. 10, 2. 10 + 1, 2. 10 + 2, 2. 10 + 3 и т. д. Переходъ отъ первоначально употребляемой пятеричной системы къ десятеричной системѣ счисленія весьма хорошо выраженъ въ слѣдующей, принадлежащей феллатамъ, системѣ: 1, 2, 3, 4, 5, 5 + 1, 5 + 2, 5 + 3,...., 10, 10 + 1, 10 + 2,...., 10 + 5, 10 + 5 + 1, 10 + 5 + 2,...., 20,...., 30,...., 40 и т. д.

Примѣромъ чистой десятеричной системы счисленія, весьма распространенной у полудикихъ народовъ Африки, могутъ служить слѣдующія числительныя имена племени Галассовъ:

Замѣна пятеричной системы счисленія десятеричною у болѣе развитыхъ народовъ позднѣйшихъ временъ, историческихъ или же только смежныхъ съ историческими, могла произойти сознательно вслѣдствіе весьма ощутительныхъ неудобствъ, причиняемыхъ скудостью первой. Десятеричнымъ счисленіемъ пользуются, по Потту, слѣдующія африканскія племена: Dankali; Галласы; жители Dungala el Adschûs; Tahâsse; Möbba; Szauaken; Bisharye и Adareb; Берберы; Amazirgh; Shelluh; Туарики; Mozabee; Тимбукту; Suaing или Snngai; Manpara; Haoussa; Kaschna; Борну.

Племена, не остановившіяся на пятеричной и десятеричной системахъ счисленія, должны были продолжать словесный счетъ далѣе до предѣла пальцеваго счисленія, числа 20, которое, какъ мы видѣли выше, они назвали „одинъ человѣкъ“. Окончивъ затѣмъ счетъ пальцевъ одного человѣка, они переходили къ счету пальцевъ другого, третьяго, четвертаго и т. д., называя 40—„двумя человѣками“, 60—„тремя человѣками“, 80—четырьмя и т. д. Человѣкъ, слѣдовательно,

являлся здѣсь какъ бы даннымъ самой природой внѣшнимъ знакомъ, указывающимъ на окончаніе счета въ группѣ, составленной изъ двадцати единицъ,—двудесяткѣ. Неудобство обращаться съ подобнымъ знакомъ по произволу, конечно, должно было вызвать замѣну его другими внѣшними знаками, подобными употребляемымъ въ другихъ системахъ счисленія. Такимъ образомъ развился счетъ по двудесяткамъ, представляющій двудесятеричную, или вигезимальную, систему счисленія. Прежде чѣмъ достигнуть числа 20, людямъ пришлось считать или пятками, какъ мы видѣли выше („рука“—одинъ пятокъ, „двѣ руки“—два пятка, „нога“—три пятка, наконецъ „человѣкъ“—четыре пятка), или десятками, какъ это могло имѣть мѣсто для людей, напавшихъ на мысль о счетѣ десятками, но не развившихъ ее вполнѣ. Это замѣчаніе въ соединеніи съ почти непреодолимымъ для неразвитаго языка затрудненіемъ дать отдѣльныя независимыя другъ отъ друга названія для первыхъ двадцати чиселъ легко объясняетъ намъ отсутствіе чистаго двудесятеричнаго метода образованія чиселъ во всѣхъ извѣстныхъ случаяхъ употребленія двудесятеричной системы счисленія. Двудесятеричная система счисленія пользуется обыкновенно или пятеричнымъ методомъ образованія чиселъ, какъ въ счетѣ ацтековъ, который можетъ быть разложенъ такъ: 1, 2,.. 5, 5 + 1, 5 + 2,...., 10, 10 + 1, 10 + 2,...., 10 + 5, 10 + 5 + 1, 10 + 5 + 2,...., 20, 20 + 1, 20 + 2,...., 20 + 5,...., 20 + 10, 20 + 10 + 1,...., 20 + 10 + 5,...., 2. 20,...., или десятеричнымъ, какъ у племени Майя въ Юкатанѣ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 10 + 1, 10 + 2,...., 10 + 9, 20, 20 + 1, 20 + 2,...., 40—10, 20 + 10 + 1,...., 2. 20,....

Важныя неудобства двудесятеричной системы счисленія: сложность и необходимость употреблять при пользованіи ею большое число различныхъ словъ должны были заставить пользующіеся ею народы по достиженіи ими болѣе высокой степени развитія воспользоваться примѣромъ народовъ, употребляющихъ десятеричную систему счисленія и, принявъ послѣднюю, отказаться отъ своей двудесятеричной. Эта перемѣна системъ счисленія, конечно, не могла пройти безслѣдно и, дѣйствительно, слѣды двудесятеричной системы счисленія замѣчаются въ языкахъ многихъ цивилизованныхъ народовъ.

Сравнивая между собой разсмотрѣнныя сейчасъ системы счисленія, мы не находимъ между ними никакихъ существенныхъ различій. Онѣ оказываются не болѣе какъ частными случаями одной общей системы, которая обнаруживается передъ нами тотчасъ же, какъ только мы замѣнимъ

въ каждой изъ этихъ системъ соотвѣтственно основныя числа 5, 10 и 20 общимъ числомъ N. Давъ такое обозначеніе отмѣчаемому внѣшнимъ знакомъ основному числу системы, мы должны будемъ представить, непосредственно слѣдующія за этимъ числомъ, N—1 чиселъ въ видѣ N + 1, N + 2,...., N + (N—1). Полученныя такимъ образомъ соединенія основного числа съ предшествующими ему меньшими числами во всѣхъ языкахъ выражаются опредѣленными грамматическими формами. Слѣдующія затѣмъ числа придется представить въ видѣ 2N, 2N + 1, 2N + 2,...., 2N + (N—1), 3N, 3N + 1,...., (N—1) N + (N— 1), NN.

Названія чиселъ 2N, 3N, 4N,...., (N—1)N во всѣхъ языкахъ представляютъ извѣстное соединеніе названія основного числа съ названіями предшествующихъ ему чиселъ. Образованіе всѣхъ этихъ чиселъ, какъ это видно изъ приведенныхъ сейчасъ формъ, совершается по одному и тому же прочно установленному принципу и потому не представляетъ никакихъ затрудненій. Такъ продолжается до числа NN или въ болѣе строгомъ смыслѣ до числа N .N + N. Съ достиженіемъ послѣдняго передъ людьми открываются два пути: это число можетъ быть обозначено или указаннымъ способомъ въ видѣ N.N + N или же въ видѣ (N + 1) N. Какому отдать предпочтеніе? Вопросъ былъ рѣшенъ въ пользу перваго, такъ какъ второй способъ обозначенія встрѣчается въ весьма рѣдкихъ и исключительныхъ случаяхъ и притомъ въ очень ограниченномъ видѣ (наприм., въ англосаксонской нумераціи hund — teontig, 100; hund— enlufontig, 110; hund—twelftig, 120). Нетрудно найти причину такого рѣшенія приведеннаго сейчасъ вопроса. При счетѣ большаго числа предметовъ человѣку приходилось откладывать много внѣшнихъ знаковъ, обозначающихъ, какъ мы видѣли выше, послѣдовательно достигаемыя числа, равныя основному числу системы. Считать эти внѣшніе знаки человѣку приходилось опять-таки по пальцамъ. Дойдя при этомъ новомъ счетѣ до основного числа своей системы, человѣкъ долженъ былъ откладывать новый внѣшній знакъ, обозначающій теперь уже число 77. N. Поэтому всѣ слѣдующія числа до N.N.N должны были изображаться по схемѣ N.N + N, то-есть въ видѣ N.N + N + 1, N.N + N + 2,...., 2 N.N,...., 2 N.N + N, 2 N.N + N + 1,...., (N— 1) N . N + (N—1)N + (N—1). Тотъ же способъ разсужденій прилагается очевидно къ изображенію числа N.N.N + N и т. д. Такимъ образомъ, идея, заставившая человѣка смотрѣть на числа N,N2,N3,.... совершенно такъ же, какъ на единицу, только отнесенную къ высшимъ порядкамъ или степенямъ, и потому не позволившая ихъ увеличивать болѣе, чѣмъ въ N разъ, вполнѣ обязана своимъ

происхожденіемъ тому же пальцевому счету, отъ котораго произошло и все наше счисленіе.

Резюмируя сказанное, мы можемъ дать слѣдующее опредѣленіе общей системы счисленія. Система счисленія съ основнымъ числомъ N есть такое словесное распредѣленіе всѣхъ чиселъ, вслѣдствіе котораго каждое изъ нихъ можетъ быть представлено въ видѣ суммы

расположенной по возрастающимъ степенямъ основного числа N и содержащей коэффиціентами цѣлыя числа a0, a1, a2, a3, ..., меньшія, чѣмъ число N. Степени N0, N1, N2, N3,..., по предыдущему, должны быть названы единицами разрядовъ 0-го, 1-го, 2-го, 3-го и т. д. Число, составленное изъ чиселъ, кратныхъ этимъ единицамъ, можетъ быть названо составнымъ цѣлымъ числомъ.

Ариѳметика у древнихъ народовъ Востока.

Халдеи. — Египтяне. — Китайцы.

(Отрывки изъ „Исторіи математики“ проф. М. Е. Ващенко-Захарченко.)

Индусы.

(Изъ „Исторіи элементарной математики“ проф. Ф. Кэджори.)

Халдеи.

Все извѣстное въ настоящее время о математическихъ познаніяхъ халдеевъ заимствовано изъ незначительнаго числа дошедшихъ до насъ памятниковъ математической литературы древней Ассиріи и Вавилоніи. Къ сожалѣнію, изъ числа этихъ немногихъ памятниковъ только нѣкоторые были надлежащимъ образомъ изслѣдованы и изучены спеціалистами. Въ виду вышесказаннаго, мы считаемъ необходимымъ познакомить читателя съ содержаніемъ двухъ главнѣйшихъ дошедшихъ до насъ памятниковъ, именно: такъ называемыми „таблицами квадратовъ и кубовъ" и, во-вторыхъ, отрывками сочиненія геометрическаго характера. Но прежде всего мы считаемъ умѣстнымъ сказать нѣсколько словъ о системѣ счисленія, принятой халдеями, а также обратимъ вниманіе на систему мѣры

Рис. 3. — Михаилъ Егоровичъ Ващенко-Захарченко. (1825 — 1912.)

Всю свою долгую научную дѣятельность посвятилъ университету св. Владимира въ Кіевѣ, гдѣ былъ профессоромъ по каѳедрѣ чистой математики. Помимо ученыхъ трудовъ и курсовъ, посвященныхъ чистой математикѣ (геометрія и анализъ), составилъ «Исторію математики», еще и посейчасъ остающуюся единственнымъ обширнымъ курсомъ на русскомъ языкѣ, способствующимъ развитію интереса къ наукѣ.

и вѣса, при чемъ увидимъ, что система эта была единственной, до метрической, основанной на вполнѣ научныхъ основаніяхъ.

Въ основаніи системы счисленія халдеевъ лежало число 60, имѣющее то же значеніе, какъ число 10 въ десятичной системѣ счисленія. Число это носило названіе coca (soss). Число 600 было извѣстно подъ именемъ нера (ner), а число 3600—подъ именемъ сара (sar). Термины сосъ, неръ и саръ имѣли то же значеніе, что термины десятокъ, дюжина, сотня и т. п. Долгое время полагали, что термины эти относятся только къ извѣстному числу лѣтъ, но въ настоящее время вполнѣ выяснено, что они суть ничто иное, какъ обыкновенныя наименованія, или, иначе, ариѳметическіе коэффиціенты.

Какъ выражали числа вавилоняне при посредствѣ сосовъ, неровъ и саровъ, лучше всего можно видѣть на слѣдующемъ примѣрѣ. Царь Саргонъ выражаетъ слѣдующимъ числомъ окружность города Хорсабада, которое мы прежде приведемъ, написанное клиновидными письменами, чтобы дать читателю образчикъ подобнаго письма (рис. 4):

Рис. 4.

Выраженіе это въ дословномъ переводѣ значитъ:

Sar Sar Sar Sar, Ner Ner Ner, 1 Sos, 1 1/2 двойныхъ Qanu (или 3 Qani), 2 Ammat.

Лепсіусъ объясняетъ его слѣдующимъ образомъ:

Оппертъ предлагаетъ нѣсколько иное толкованіе этого выраженія.

Изъ дробей въ математическихъ сочиненіяхъ вавилонянъ встрѣчается рядъ дробей съ знаменателемъ 6, именно 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6; но происхожденіе ихъ до сихъ поръ не выяснено. Другой классъ дробей заключаетъ всѣ дроби съ знаменателемъ 60, коихъ числители представляются рядомъ чиселъ отъ 1 до 59.

Причина, почему вавилонскіе математики въ основаніи своей системы счисленія приняли число 60, полагаютъ, имѣетъ связь съ дѣленіемъ дня на 60 равныхъ частей, которое, какъ извѣстно, практиковалось у халдеевъ.

Различнымъ числамъ халдеи приписывали различныя мистическія свойства и значенія, которыя сейчасъ же нашли у нихъ примѣненіе въ ихъ религіозныхъ и философскихъ воззрѣніяхъ. Каждый изъ боговъ обозначался однимъ изъ чиселъ между 1 и 60 и занималъ опредѣленное мѣсто въ небесной іерархіи. Ряду цѣлыхъ чиселъ соотвѣтствовалъ рядъ дробей, изъ которыхъ каждая относилась къ извѣстному злому духу. Весьма вѣроятно, что воззрѣнія пиѳагорейцевъ на числа обязаны своимъ происхожденіемъ халдеямъ.

Шестидесятеричная система счисленія легла въ основаніе системы мѣры и вѣса халдеевъ, которая была самая совершенная изъ всѣхъ подобныхъ системъ древности и притомъ единственная, основанная на вполнѣ научныхъ началахъ. Съ этой системой можно сравнить только—метрическую, введенную въ концѣ XVIII-го столѣтія. Въ основаніе системы принятъ былъ локоть (ammat = 525 mm.), который дѣлился на 60 линій (uban), соотвѣтствующихъ 60 минутамъ градуса. 360 локтей равнялись одной стадіи (189 m.). 36 линій 1 футу. Квадратъ, построенный на футѣ, служилъ мѣрой для измѣренія площадей, онъ былъ квадратной единицей. Кубъ, построенный на футѣ, служилъ кубической единиией. Вѣсъ кубическаго фута воды равнялся 1 таланту (30 kg. 650 gr.), который служилъ основной единицей вѣса1). Талантъ дѣлился на 60 частей, или минъ (510 gr. 83), которыя, въ свою очередь, дѣлились на шестьдесятъ драхмъ каждая (8 gr. 513). Окружность была раздѣлена на 360 градусовъ, градусъ—на 60 минутъ, минута—на 60 секундъ, а секунда—на 60 терцій. Обозначенія этихъ частей были такія же, какъ и въ настоящее время. Подобный способъ считать былъ весьма распространенъ на всемъ Востокѣ2). Греки также заимствовали эту систему, которая

1) Система мѣръ вѣса вавилонянъ и ассиріянъ двухъ родовъ. Единицы одной системы были вдвое больше соотвѣтствующихъ единицъ другой системы. Въ основаніи системы мѣръ вѣса одной системы лежалъ талантъ, вѣсъ котораго равнялся 61 килогр. 300 gr.; въ основаніи другой системы— талантъ, вѣсъ котораго равнялся 30 килогр. 650 gr. Мѣры вѣса обѣихъ системъ легко узнавались тѣмъ, что мѣры вѣса первой системы всегда были сдѣланы изъ бронзы и имѣли форму львовъ; мѣры же второй системы всегда дѣлались изъ камня и имѣли форму гусей или утокъ. Въ Британскомъ музеѣ находится полная система мѣръ вѣса изъ бронзы и камня, найденная Лэйардомъ въ Ниневіи. Также существовали двѣ системы мѣръ протяженій и времени.

2) Мѣры объема вавилонянъ и ассиріянъ перешли къ евреямъ, финикіянамъ и арамеянамъ. Шестидесятеричная система счисленія была также усвоена арамеянами.

примѣняется въ „Альмагестѣ“ Птоломея. Даже названія нѣкоторыхъ мѣръ прямо указываютъ на ихъ халдейское происхожденіе.

Мѣры времени также находились въ зависимости отъ мѣръ длины. Именно, одинъ парасангъ (parasange), равный 30 стадіямъ, соотвѣтствовалъ простому часу ходьбы, а шенъ (schoen), равный 60 стадіямъ, соотвѣтствовалъ двойному часу. Употребленіе водяныхъ часовъ дало возможность привесть мѣры временивъ зависимость отъ мѣръ вѣса и объема. Метретъ, или объемъ воды, въ одинъ кубическій футъ, вѣсомъ въ одинъ талантъ, служилъ мѣрой своимъ истеченіемъ для измѣренія двойного часа времени. Единица эта, въ свою очередь, дѣлилась на 60 минутъ. Истеченіе лога воды, вѣсомъ въ одну мину, служило мѣрой двойной минуты, а истеченіе одного алабаетрона, вѣсомъ въ 1/2 мины, служило мѣрой простой минуты. Минута дѣлилась на 60 секундъ.

Есть основаніе предполагать, что халдейскимъ астрономамъ были извѣстны ариѳметическія и геометрическія прогрессіи. Подтвержденіе этого находятъ въ табличкѣ, прочитанной и объясненной англійскимъ ассиріологомъ Гинксомъ (Hincks). Въ этой табличкѣ требуется опредѣлить, сколько частей луннаго диска освѣщены въ каждый изъ 15 дней, протекшихъ отъ наступившаго новолунія до полнолунія. Въ табличкѣ сказано, что въ каждый изъ этихъ дней соотвѣтственно видно по столько частей луннаго диска:

Числа эти Гинксъ объясняетъ тѣмъ, что лунный дискъ былъ раздѣленъ на 240 частей. Числа, стоящія слѣва точекъ, выражали сосы. Изъ ряда этихъ чиселъ можно видѣть, что числа освѣщенныхъ частей въ первые пять дней слѣдуютъ въ геометрической прогрессіи, а въ остальныя десять—въ ариѳметической.

По словамъ Бероза видно, что халдеямъ уже въ глубокой древности былъ извѣстенъ астрономическій годъ въ 365дней.

Шестидесятеричная система счисленія представляла много практическихъ выгодъ, такъ какъ число 60 имѣетъ дѣлителями всѣ дѣлители чиселъ 10 и 12, которыя съ самыхъ древнѣйшихъ временъ были основными представителями единицъ высшаго наименованія. Кромѣ того, принять число 60 знаменателемъ дробей имѣло еще то преимущество, что

между различными знаменателями дробей, число это имѣетъ наибольшее число дѣлителей. Изъ сказаннаго можно видѣть, что выборъ системы счисленія, въ основаніи которой лежало число 60, былъ очень удачный. Система эта отъ халдеевъ перешла потомъ и къ другимъ народамъ и господствовала до XVI столѣтія въ примѣненіи къ шестидесятичнымъ дробямъ, когда онѣ были замѣнены десятеричными.

Кромѣ дѣленія окружности круга на 360 градусовъ, у халдеевъ существовало также обыкновеніе дѣлить окружность круга на 720 полуградусовъ. Величина каждаго полуградуса равнялась видимому діаметру Солнца и Луны при захожденіи и восхожденіи. Величина этого полуградуса равнялась половинѣ локтя. Локоть же служилъ основаніемъ системъ мѣръ протяженій и вѣса вавилонянъ. Изъ этого можно видѣть, что система мѣръ древнихъ халдеевъ была основана на вполнѣ научныхъ началахъ. Халдейскіе ученые не могли, подобно французскимъ ученымъ, въ основаніе своей системы принять единицу, которую можно было непосредственно измѣрить и которая была бы основана на дѣйствительно научныхъ началахъ. Измѣреніе Земли въ то время было еще неизвѣстно, а потому они по необходимости прибѣгли къ мѣрѣ видимой — астрономической. Изъ такихъ мѣръ самая простая и самая естественная представлялась въ видимомъ діаметрѣ Солнца, который они приняли равнымъ половинѣ градуса, или половинѣ локтя (murran).

Подъ именемъ муррана греки понимали 720-ю часть длины окружности экватора.

Перейдемъ теперь къ разсмотрѣнію сохранившихся памятниковъ. Начнемъ съ „табличекъ квадратовъ и кубовъ".

Въ Британскомъ музеѣ находятся двѣ глиняныя таблички, найденныя въ 1854 г., въ Сенкерэ, англійскимъ геологомъ Лофтусомъ (Loftus). Съ содержаніемъ этихъ табличекъ впервые познакомился Раулинсонъ, который указалъ, что на одной изъ нихъ находится таблица квадратовъ чиселъ. Послѣ Раулинсона таблички эти были предметомъ изслѣдованій многихъ ученыхъ. Относительно древности этихъ табличекъ мнѣнія ученыхъ раздѣляются. Сэйсъ полагаетъ, что онѣ составлены между 2300 г. и 1600 г. до Р. Х., а по мнѣнію Ленормана, ихъ слѣдуетъ отнести къ болѣе раннему времени. Онъ указываетъ на то, что таблички эти найдены вмѣстѣ съ табличками, на которыхъ находится имя одного изъ первыхъ государей древней Хал-

деи, котораго Оппертъ называетъ Охрамомъ 1). Ленорманъ полагаетъ, что таблички эти составлены если не во время Охрама, то даже раньше. Если такое предположеніе справедливо, то „таблица квадратовъ“ есть самый древній изъ извѣстныхъ до настоящаго времени памятниковъ математики, такъ какъ Охрамъ современникъ одного изъ фараоновъ III-й или IV-й династій, правившихъ около 4500 л. до Р. Х. На основаніи нѣкоторыхъ данныхъ Сэйсъ предполагаетъ, что въ библіотекѣ Сенкерэ, славившейся въ древности своимъ богатствомъ, находилось цѣлое собраніе сочиненій математическаго содержанія. Если это справедливо, то дальнѣйшія раскопки подтвердятъ сказанное.

При изданіи текста табличекъ, одна изъ нихъ, содержащая таблицу квадратовъ чиселъ, была названа второй, а другая, содержащая кубы чиселъ, названа первой. Познакомимся вкратцѣ съ содержаніемъ и устройствомъ этихъ табличекъ, при чемъ начнемъ со второй.

Вторая табличка содержитъ на обѣихъ сторонахъ всего шестьдесятъ строчекъ. Каждая изъ строчекъ въ началѣ и концѣ содержитъ числа, между которыми стоитъ нѣсколько словъ на сумирскомъ языкѣ. Мы уже выше сказали, что числа эти Раулинсонъ призналъ за квадраты чиселъ; повторяющееся въ каждой строчкѣ слово ibdi онъ перевелъ квадратъ. Табличка эта содержитъ квадраты ряда натуральныхъ чиселъ отъ 1 до 60. Съ лѣвой стороны каждой строки стоятъ квадраты чиселъ, а въ концѣ каждой строки, справа, сами числа. Табличка расположена слѣдующимъ образомъ:

1 есть квадратъ 1

4 есть квадратъ 2

9 есть квадратъ 3

16 есть квадратъ 4

25 есть квадратъ 5

36 есть квадратъ 6

1) По предположенію Ленормана, Охрамъ принадлежалъ къ числу первыхъ правителей древней Халдеи. Имъ былъ построенъ городъ Уръ и громадный пирамидальный храмъ, остатки котораго до сихъ поръ свидѣтельствуютъ о массѣ кирпича, употребленнаго на постройку. Раулинсонъ полагаетъ, что на него пошло болѣе 30 милліоновъ кирпича; остатки его въ настоящее время представляютъ возвышеніе въ 35 метровъ вышины. Храмъ имѣлъ квадратное основаніе, углы котораго были направлены къ четыремъ странамъ свѣта.

Настоящее имя Охрама до сихъ поръ не прочитано. Знакъ, соотвѣтствующій его имени, значитъ: „свѣтъ солнца“. Раулинсонъ предлагаетъ имя Ouroukh и Ouriyak, другія Ourkham; на туранскомъ языкѣ его называли Lіkbаgаs. Во всякомъ случаѣ, Охрамъ принадлежитъ къ числу историческихъ правителей древней Халдеи, на что указываютъ кирпичи съ его именемъ. Кирпичи эти лежатъ несравненно глубже другихъ подобныхъ же кирпичей, на которыхъ находятся также имена различныхъ государей, а это безъ сомнѣнія указываетъ на ихъ болѣе древнее происхожденіе.

Изъ самаго устройства таблички видно, что здѣсь была примѣнена шестидесятеричная система счисленія, при чемъ числа, стоящія слѣва точекъ, означали число шестидесятковъ, или сосовъ. Составитель таблички не писалъ:

64 есть квадратъ 8

а выражалъ это въ видѣ:

1.4 есть квадратъ 8.

Точекъ между числами не стояло, мы ихъ ввели только для простоты, изъ чего можно заключить, что при составленіи таблички была извѣстна уже вавилонянамъ ариѳметика положенія, и что одни и тѣ же знаки могли обозначать единицы высшаго или низшаго наименованія, смотря по тому, стояли ли они лѣвѣе или правѣе въ ряду данныхъ знаковъ.

При нынѣшней системѣ счисленія табличка квадратовъ представлялась бы въ формѣ:

Табличка квадратовъ заключаетъ всего 60 строчекъ, 30 съ одной стороны и 30 съ другой. Клиновидные знаки расположены въ ней въ видѣ трехъ вертикальныхъ столбцовъ, такъ что каждая горизонтальная строчка состоитъ изъ трехъ группъ знаковъ; въ первой — квадраты чиселъ, во второй—сами числа, а въ третьей выраженіе, повторяющееся во всѣхъ строчкахъ.

Мы полагаемъ не безынтереснымъ привесть здѣсь одну строчку изъ этого древнѣйшаго памятника математической литературы (рис. 5):

Рис. 5.

Или, примѣняя форму, въ которой представляетъ табличку квадратовъ Ленорманъ, мы имѣемъ:

Въ концѣ каждой строчки, съ правой стороны чиселъ, повторены три знака. Знаки эти Ленорманъ перевелъ выраженіемъ „на основаніи правилъ Дилвуна“1).

Примѣняя здѣсь объясненіе Лепсіуса, знакамъ этимъ соотвѣтствуетъ выраженіе:

25.21 есть квадратъ 39,

что означаетъ:

Практическая польза „таблицы квадратовъ“ несомнѣнна. Хотя въ первомъ столбцѣ она заключаетъ квадраты чиселъ, а во второмъ ихъ корни, но очевидно, она служила для вычисленія квадратовъ чиселъ, а не ихъ корней. Въ этой таблицѣ находились готовыя вычисленія, которыя могли найти приложеніе во многихъ случаяхъ. Коснемся этого ближе.

Вся халдейская астрономія была, какъ извѣстно, тѣсно связана съ астрологіей. Наблюденіе неба и разысканіе примѣтъ для опредѣленія грядущихъ событій и будущаго имѣло первостепенное значеніе въ наукахъ халдеевъ. Опредѣленіе положеній звѣздъ и относительное ихъ расположеніе въ той или другой части видимаго неба, въ данное время, считалось необыкновенно важнымъ и умѣніе ихъ опредѣлить необходимымъ.

Но до александрійской эпохи не были извѣстны древнимъ астрономамъ приборы, съ помощью которыхъ можно бы было опредѣлить съ точностью положеніе тѣхъ или другихъ неподвижныхъ звѣздъ на сферѣ небесной; они не

1) Текстъ „таблички квадратовъ“ различные ученые объясняютъ различно. Выраженіе, переведенное Ленорманомъ „на основаніи правилъ Дилвуна“, Раулинсонъ считаетъ просто выраженіемъ значенія „квадратъ“, читая его іbdі; съ мнѣніемъ Раулинсона согласенъ Оппертъ, но выраженіе это онъ читаетъ ekі.

знали координатъ, извѣстныхъ подъ именемъ склоненія и прямого восхожденія, широты и долготы. Вся астрономія положенія была основана на наблюденіяхъ восхода и захода звѣздъ. Восхожденіе и захожденіе звѣздъ относили къ восхожденію и захожденію одной, болѣе извѣстной, изъ нихъ, какъ, напр., къ Сиріусу. Зная промежутокъ времени, протекшій между временемъ восхожденія и захожденія той или другой звѣзды и временемъ восхода и захода Сиріуса, при помощи вычисленій находили ихъ угловое разстояніе. Найдя такое угловое разстояніе въ функціи времени, наносили на сферу положеніе звѣзды относительно Сиріуса.

Для астрологическихъ предсказаній особенное значеніе имѣло знаніе относительнаго расположенія звѣздъ и знаніе положенія той или другой планеты въ извѣстной части неба. По словамъ Птоломея извѣстно, что при своихъ вычисленіяхъ, халдейскіе астрологи относительное разстояніе свѣтилъ на сферѣ небесной выражали въ локтяхъ. При астрологическихъ вычисленіяхъ однимъ изъ необходимѣйшихъ условій представлялось знаніе и измѣреніе различныхъ частей неба. Такъ какъ разстоянія между свѣтилами выражались въ локтяхъ и частяхъ локтя, то необходимо при вычисленіи различныхъ площадей служилъ квадратъ, построенный на локтѣ. Но при шестидесятичной системѣ счисленія квадратный локоть составлялъ 3600-ю часть квадрата, построеннаго на 60 локтяхъ, или на такъ называемомъ сосѣ. Величина же локтя равнялась величинѣ градуса при горизонтѣ. Квадратный локоть, въ свою очередь, дѣлился на 3600 частей, т.-е. квадратныхъ линій, или маленькихъ квадратовъ, построенныхъ на линіи, соотвѣтствующей минутѣ.

Зная это, теперь легко видѣть, къ чему могла служить „таблица квадратовъ чиселъ". При помощи такой таблицы легко было вычислить величину площади квадрата на сферѣ небесной, для этого стоило только измѣрить длину его стороны, выраженную въ локтяхъ, и въ таблицѣ сейчасъ же находилась площадь квадрата, выраженная въ единицахъ перваго и второго поименованія, т.-е. въ квадратныхъ локтяхъ и квадратныхъ линіяхъ.

Съ такимъ же успѣхомъ таблицей этой могли пользоваться при измѣреніи площадей полей, а также строители храмовъ при вычисленіи количества кирпичей, необходимыхъ при постройкахъ. Знаніе количества необходимаго матеріала было необходимо, а въ особенности точное знаніе количества кирпича, приготовленіе котораго зависѣло отъ многихъ условій. Многіе предметы и въ томъ числѣ, есть основанія предполагать, и кирпичи считались на шестидесятки.

Несравненно важнѣе первая табличка. На передней ея сторонѣ находится сравнительная таблица двухъ системъ мѣръ,

а на задней — таблица кубовъ ряда натуральныхъ чиселъ отъ 1 до 60. Къ сожалѣнію, первая табличка сохранилась не вся, значительная ея часть, вся лѣвая сторона и верхняя, до насъ не дошли. Она представляется въ видѣ обломка.

На задней сторонѣ сохранились только кубы чиселъ отъ 1 до 32; несомнѣнно, что на лѣвой отломанной части находились кубы чиселъ отъ 33 до 60. Устройство таблицы кубовъ совершенно такое же, какъ таблицы квадратовъ. Слѣва расположены кубы чиселъ, а справа—сами числа. Въ каждой строкѣ повторяется слово badie, т. е. кубъ, выраженное знакомъ (рис. 6).

Таблица кубовъ имѣла слѣдующую форму. Для полноты представимъ ее въ полномъ ея видѣ:

Въ переводѣ на нынѣшній ариѳметическій языкъ таблица кубовъ представилась бы въ формѣ:

Рис. 6.

Относительно таблицы кубовъ, замѣтимъ то же, что мы сказали о таблицѣ квадратовъ, что между числами мы поставили точки ради простоты.

Теперь естественно возникаетъ вопросъ, какъ же выражали вавилоняне числа, у которыхъ недоставало единицы какого-нибудь наименованія? Отвѣта на это дать въ настоящее время нельзя, такъ какъ въ табличкѣ кубовъ, даже если бы она дошла до насъ въ своемъ полномъ составѣ, нѣтъ чиселъ, состоящихъ изъ единицы только перваго и третьяго наименованій. Былъ ли извѣстенъ нуль вавилонскимъ математикамъ, или же символъ, замѣняющій его, до сихъ поръ неизвѣстно. Въ табличкѣ квадратовъ въ послѣдней строкѣ прямо сказано:

1 есть квадратъ 1, если бы былъ извѣстенъ нуль, то они необходимо написали бы:

Точно такъ же въ таблицѣ кубовъ послѣ трехзначнаго числа 6.46.29, выражающаго кубъ 29, слѣдуетъ опять двухзначное 7.30, а не трехзначное 7.30.0, выражающее кубъ 30. Мы уже сказали, что чиселъ съ нулемъ посрединѣ въ табличкахъ квадратовъ и кубовъ не встрѣчается. Весьма можетъ быть, что нулей здѣсь въ концѣ чиселъ не писали, такъ какъ изъ самаго расположенія табличекъ можно было всегда видѣть настоящее значеніе числа; погрѣшностей всегда легко было избѣжать.

Какъ различали вавилонскіе математики два подобныя числа, каковы, напримѣръ:

до сихъ поръ не удалось выяснить, за недостаткомъ какихъ-либо указаній. Подобныя числа не найдены еще ни на одномъ изъ извѣстныхъ въ настоящее время памятниковъ. Весьма вѣроятно, что отвѣтъ на этотъ вопросъ дадутъ дальнѣйшія раскопки въ Сенкерэ.

Впрочемъ, необходимо замѣтить, что вавилонскіе математики могли обойтись и безъ нуля. Такъ, у нихъ существовали особенные символы, выражающіе различныя степени 60. До сихъ поръ извѣстны названія первой и второй степеней, т.-е. сосъ (60) и саръ (602) и промежуточное неръ (600).

Особенное вниманіе ученыхъ было обращено на изученіе передней стороны первой изъ табличекъ, найденныхъ въ Сенкерэ. Этимъ вопросомъ много занимался Лепсіусъ, на-

печатавшій въ мемуарахъ Берлинской академіи наукъ за 1877 г. свои изслѣдованія по этому предмету.

По мнѣнію Лепсіуса, все содержаніе передней стороны первой изъ табличекъ относилось къ сравненію двухъ системъ мѣръ длины. На сторонѣ этой было нѣсколько столбцовъ чиселъ; числа, стоящія справа столбца, принадлежали къ системѣ мѣръ, въ основаніе которой было принято число 60 и всѣ его подраздѣленія и степени. Въ основаніе системы мѣръ длины былъ принятъ локоть, сосы и сары имѣли относительно системы, въ основаніе которой было принято число 60, то же значеніе, какъ километры и миріаметры относительно метрической системы. Точно такимъ же образомъ локоть дѣлился на различныя степени числа 60; части эти относительно локтя были то же, что сантиметры и миллиметры относительно метра. На лѣвой сторонѣ столбцовъ находилась система мѣръ длины, въ основаніе которой былъ такъ же положенъ локоть, но подраздѣленія были уже иныя. Система эта находилась въ близкой зависимости съ правой системой. Система эта принадлежала, по всему вѣроятію, ассиріянамъ; другая же, въ основаніи которой была принята шестидесятеричная система счисленія, нужно полагать, принадлежала вавилонянамъ.

Изученіе передней стороны первой таблички, найденной въ Сенкерэ, показало, что системы мѣръ, бывшія въ употребленіи въ Ассиріи и Вавилоніи существенно отличаются другъ отъ друга, а также отъ персидской системы1). Долгое время всѣ эти три системы принимали за одну и ту же.

Изслѣдованіемъ вопроса о мѣрахъ, бывшихъ въ употребленіи въ древней Ассиріи и Вавилоніи, занимались многіе ученые, изъ числа которыхъ укажемъ на имена: Лепсіуса, Опперта2), Брандиса, Ленормана и Гинкса.

1) Въ основаніи персидской системы мѣръ протяженій лежалъ arasni (локоть), равный 0m. 5467, и ritaçti (пядь), равная 0m. 27335. Двойной локоть—(рука) равнялся 1m. 0934. Футъ носилъ названіе дата, онъ равнялся 0m. 3280. Стадія, или açparaça, равнялась 196m, 812. 30 стадій равнялись одному парасангу (по-персидски—parathanha, или frathakha), который въ настоящее время носитъ названіе farsakh. Онъ заключалъ 5004m. 36. Двойной парансангъ—gava заключалъ 11808m. 72. Въ настоящее время еще fursakh употребляется почти на всемъ Востокѣ при измѣреніи разстояній. Пядь дѣлилась на 10 дюймовъ—angucta (0m. 27335), а augusta на 6 зеренъ ячменя—уаvа (0m. 00455). Послѣдняя изъ этихъ мѣръ упоминается въ Зендавестѣ.

2) Оппертъ полагаетъ, что въ основаніе системы вѣса вавилонянъ былъ принятъ не вѣсъ кубическаго объема воды, равный одному таланту, а вѣсъ объема вина, какъ было принято у римлянъ. Онъ полагаетъ, что одинъ ассирійскій qab вина содержалъ 1l. 313; принимая удѣльный вѣсъ вина равнымъ 0.99, вѣсъ одного каба равенъ 1k. 0214.

Рис. 7.—Образцы халдейскихъ клинообразныхъ (или гвоздеобразныхъ) начертаній чиселъ.

Египтяне.

Благодаря глубокому уваженію древнихъ египтянъ къ умершимъ и ко всему, что имъ принадлежало въ жизни, умѣнію предохранить предметы отъ порчи, чему немало способствовали и климатическія условія страны, до насъ дошло значительное число свертковъ папирусовъ, зарытыхъ въ пескахъ и гробницахъ. На стѣнахъ развалинъ многочисленныхъ храмовъ и другихъ произведеній архитектуры находится также множество надписей. Несмотря на то, что греки, а потомъ римляне, господствовали въ теченіе довольно продолжительнаго времени надъ Египтомъ, чтенія іероглифовъ они намъ не передали, хотя извѣстно, что во время ихъ господства туземцы ихъ еще употребляли. Въ продолженіе многихъ столѣтій, несмотря на многочисленныя попытки ученыхъ разгадать смыслъ и значеніе іероглифовъ, чтеніе письменъ древнихъ египтянъ оставалось неразрѣшимой загадкой и только въ девятнадцатомъ

столѣтіи, благодаря трудамъ Юнга и Шампольона, вопросъ этотъ былъ окончательно рѣшенъ1).

Содержаніе папирусовъ пролило нѣкоторый свѣтъ на общественную и домашнюю жизнь древнихъ египтянъ, на ихъ науки и искусства. Въ папирусахъ были найдены: молитвы, разсказы о подвигахъ царей, о ихъ щедрыхъ пожертвованіяхъ храмамъ, протоколы судебныхъ рѣшеній, договоры, поговорки и даже цѣлыя повѣсти. Изъ ученыхъ сочиненій до сихъ поръ наиболѣе извѣстны три папируса, содержаніе которыхъ относится къ медицинѣ; къ числу ихъ принадлежитъ знаменитый „папирусъ“ Еберса, содержаніе котораго знакомитъ насъ съ врачебными познаніями древнихъ египтянъ.

1) Названіе іероглифы дано было греками, и означаетъ „священныя вырѣзки“. Писаніе іероглифами заключалось въ томъ, что названіе всякаго предмета выражали его изображеніемъ. Съ теченіемъ времени знаки эти стали терять свой первоначальный видъ, и такимъ образомъ произошло такъ называемое гіератическое письмо. Почти всѣ дошедшіе до насъ папирусы древнихъ египтянъ написаны такимъ письмомъ. Письмо это вполнѣ установилось уже за 1800 л. до Р. Х. Большая часть знаковъ гіератическаго письма имѣютъ еще отдаленное сходство съ соотвѣтствующими имъ знаками іероглифовъ. Начиная съ VII в. до Р. Х. гіератическое письмо вслѣдствіе скорописи совершенно теряетъ свою форму и происходитъ такъ называемое демотическое письмо. Знаки этого письма уже не напоминаютъ первоначальную форму, и чтеніе его сопряжено съ большими затрудненіями. Іероглифы писались безразлично, то справа налѣво, то слѣва направо. Гіератическое же письмо писалось всегда справа налѣво.

Было ли обращено вниманіе ученыхъ александрійской школы на чтеніе письменъ древнихъ египтянъ—неизвѣстно. Насколько извѣстно, вопросомъ этимъ занимался Климентъ Александрійскій, жившій въ концѣ III в. по Р. Х., который въ V книгѣ своего сочиненія „Stromata“, говоря о письмѣ древнихъ египтянъ, упоминаетъ о трехъ родахъ этого письма и указываетъ на ихъ отличіе.

Долгое время всѣ попытки прочитать іероглифы оставались безуспѣшны. Первый значительный шагъ былъ сдѣланъ знаменитымъ Томасомъ Юнгомъ (Thomas Young), который пытался прочесть нѣкоторыя надписи и возстановить египетскую азбуку (1814—18 гг.), но труды его не увѣнчались успѣхомъ. Окончательное рѣшеніе вопроса далъ Франсуа Шампольонъ Младшій (François Champollion), указавшій, что три рода египетскаго письма: іероглифы, гіератическое и демотическое, суть видоизмѣненія одного и того же письма. Іероглифы онъ призналъ за знаки звуковъ, а не представленій, и тѣмъ далъ окончательное рѣшеніе вопроса такъ долго занимавшаго ученыхъ. Результаты своихъ трудовъ Шампольонъ представилъ въ французскую Академію Наукъ въ сентябрѣ мѣсяцѣ 1822 г. Шампольонъ также указалъ, что въ коптскомъ языкѣ многія грамматическія формы и слова взяты изъ языка древнихъ египтянъ. Коптскій языкъ въ настоящее время употребляется египетскими христіанами при богослуженіи.

Труды Шампольона нашли многихъ послѣдователей, и въ настоящее время возникла цѣлая наука—египтологія. Изъ числа самыхъ видныхъ представителей этой науки укажемъ на имена: Маріетта (Mariette), Шаба (Chabas), Бругша (Brugsch), Дюмихена (Dümichen), Еберса (Ebers), Ейзенлора, Лепсіуса и мн. др.

Въ послѣднее время вниманіе ученыхъ было обращено на другое ученое сочиненіе древнихъ египтянъ—на „математическій папирусъ Ринда“. Съ содержаніемъ этого сочиненія мы теперь познакомимся.

Въ числѣ многихъ папирусовъ, доставленныхъ въ Англію и пріобрѣтенныхъ Британскимъ музеемъ послѣ смерти Ринда, находится одинъ папирусъ, содержаніе котораго относится къ математикѣ. Папирусъ этотъ, вѣроятно, былъ купленъ Риндомъ во время своихъ путешествій по Египту. Первый обратилъ вниманіе на этотъ папирусъ Бирхъ, сообщившій въ 1868 г. его содержаніе. Затѣмъ въ 1872 г. Бирхъ издалъ текстъ папируса литографически. Въ 1874 г. Бругшъ указалъ на формулы, употребленныя въ папирусѣ для обозначенія первыхъ четырехъ дѣйствій, на обозначенія линій и фигуръ и способы изображенія чиселъ древними египтянами; многаго Бругшъ не понялъ, а потому сообщенія его не имѣютъ значенія. Наконецъ въ 1872 г. профессоръ гейдельбергскаго университета Ейзенлоръ, въ бытность свою въ Лондонѣ, познакомился болѣе подробно съ содержаніемъ этого замѣчательнаго памятника и предпринялъ его издать и объяснить. Послѣ четырехлѣтнихъ усиленныхъ трудовъ, весьма тонкихъ и глубокихъ изслѣдованій, профессору Ейзенлору удалось привести къ концу съ успѣхомъ предпринятый имъ трудъ. При своихъ работахъ и при изданіи текста Ейзенлоръ воспользовался литографированнымъ текстомъ папируса Ринда, изданнымъ Бирхомъ. Въ 1877 г. напечатанъ былъ трудъ Ейзенлора подъ заглавіемъ: „Математическое сочиненіе древнихъ египтянъ"; въ сочиненіи этомъ, кромѣ гіератическаго текста папируса, находится переводъ на іероглифы, а также два нѣмецкихъ перевода, одинъ подстрочный, а другой вольный.

Папирусъ Ринда написанъ гіератически, это не есть подлинное сочиненіе, а копія съ болѣе древняго. Въ началѣ папируса сказано: „Сочиненіе это написано въ 33 году, въ 4 мѣсяцѣ времени водъ (Mesori), въ царствованіе царя Ра-а-усъ (Ra-a-us); въ старыхъ рукописяхъ переписано въ царствованіе царя ...ät писаремъ Aähmesu“. Есть основанія предполагать, что подлинный текстъ былъ написанъ между 2300 и 2200 гг. до Р. Х. Бирхъ полагаетъ, что оригиналъ съ котораго былъ переписанъ папирусъ, находится также въ Британскомъ музеѣ; онъ указываетъ на свертокъ кожи, который, по его мнѣнію, и есть настоящій подлинный текстъ, такъ какъ извѣстно, что употребленіе кожъ, какъ письменнаго матеріала, предшествовало употребленію папируса. Къ сожалѣнію, до сихъ поръ не удалось развернуть этотъ

свертокъ, а потому предположенія Бирха остаются догадкой.

Папирусъ Ринда не былъ сочиненіемъ, предназначеннымъ къ изученію математики, въ родѣ руководства, это скорѣе была настольная — справочная книга, въ которой помѣщены различные вопросы, пригодные въ обыденной жизни. Судя по окончанію папируса, можно предполагать, что сочиненіе это было составлено для сельскихъ хозяевъ. Въ концѣ папируса сказано: „Лови гады и мыши, истребляй различныя дурныя травы, проси бога Ра о теплѣ, вѣтрѣ и высокой водѣ".

Папирусъ озаглавленъ слѣдующимъ образомъ: „Способы, при помощи которыхъ можно дойти до пониманія всѣхъ темныхъ вещей, всякихъ тайнъ, заключающихся въ предметахъ". По содержанію своему папирусъ состоитъ изъ трехъ главныхъ отдѣловъ: ариѳметики, измѣренія объемовъ (стереометріи) и геометріи. Опредѣленій никакихъ нѣтъ, подобно опредѣленіямъ, находящимся въ сочиненіяхъ по геометріи; предложеній также никакихъ не доказывается. Сочиненіе это представляетъ просто собраніе различнаго рода задачъ, большая часть которыхъ взята изъ практики.

Три главные отдѣла, изъ которыхъ состоитъ папирусъ Ринда, распадаются на слѣдующія пять частей:

I. Ариѳметика, состоящая изъ слѣдующихъ главъ:

1. Дѣленіе числа два.

2. Распредѣленіе хлѣбовъ.

3. Дополненіе дробей.

4. Рѣшеніе уравненій 1-й степени съ однимъ неизвѣстнымъ.

5. Правило дѣленія.

II. Измѣреніе объемовъ и измѣреніе круга.

III. Измѣреніе площадей.

IV. Измѣреніе пирамидъ.

V. Собраніе примѣровъ изъ практической жизни.

Познакомимся вкратцѣ съ содержаніемъ каждой изъ главъ отдѣльно.

I. Ариѳметика.

1. Дѣленіе числа 2. Въ первой главѣ математическаго папируса показано дѣленіе числа 2 на всѣ нечетныя числа отъ 3 до 99. Умѣніе подобнаго рода дѣленія было необходимо для египетскихъ математиковъ, такъ какъ имъ были извѣстны только дроби съ числителемъ единицей, за исключеніемъ дроби 2/3. Дроби, напр., вида 7/8 являлись въ

формѣ 1/2, 1/4, 1/8. Такимъ образомъ, всѣ дроби съ числителями не равными единицѣ, за исключеніемъ дроби 2/3, представлялись въ видѣ суммы дробей съ числителями равными единицѣ. Въ папирусѣ разсматриваются только дроби съ нечетными знаменателями, такъ какъ дроби формы, напр., 2/48 всегда легко приводились къ формѣ 2/48 = 1/24.

Для обозначенія дробей съ числителемъ, равнымъ единицѣ, существовалъ особенный символъ, именно, надъ числами знаменателей ставили просто точку. Для выраженія дроби 2/3 существовалъ особенный символъ, хотя составителю папируса хорошо было извѣстно, что дробь 2/3 выражается дробями 1/2 и 1/6 послѣднее разложеніе онъ примѣняетъ въ случаѣ надобности.

Изъ сказаннаго ясно, что однимъ изъ основныхъ вопросовъ, необходимыхъ для читателей папируса, являлся вопросъ о разложеніи всякой дроби на сумму дробей съ числителями равными единицѣ. Подтвержденіе этому служитъ таблица, находящаяся на первыхъ листахъ папируса. Въ этой таблицѣ предложено рѣшеніе цѣлаго ряда вопросовъ слѣдующаго вида: „Раздѣли 2 на 3“, „на 5“ и т. д., „раздѣли 2 на 17“ и т. д., иными словами, требуется представить выраженія вида:

гдѣ n получаетъ всѣ значенія отъ 1 до 49 и въ которомъ знаменатель принимаетъ послѣдовательно значенія ряда нечетныхъ чиселъ отъ 3 до 99 въ видѣ суммы трехъ или четырехъ дробей съ числителями равными единицѣ.

Но всякая дробь, числитель которой равенъ 2, а знаменатель нечетное число, можетъ быть разложена различнымъ образомъ на дроби съ числителями 1. Такъ, напр., дробь 2/43 допускаетъ нѣсколько разложеній, именно:

Спрашивается теперь, какому изъ подобныхъ разложеній отдавали предпочтеніе египетскіе математики и чѣмъ они руководствовались при выборѣ его? Они руководствовались слѣдующимъ правиломъ: первая дробь разложенія выбиралась такою, чтобы произведеніе ея и знаменателя основной дроби, было всегда больше 1 и меньше 2. Въ приведенномъ выше примѣрѣ за разложеніе принималась форма:

Знаменатели послѣдующихъ дробей будутъ кратные знаменателя основной дроби; при этомъ выбирались дроби, коихъ знаменатели, возможно меньшіе кратные первоначальнаго— основной дроби.

Мы уже выше упоминали, что въ математическомъ папирусѣ указаны пріемы дѣленія числа 2 на весь рядъ нечетныхъ чиселъ отъ 3 до 99. Дѣленіе это, какъ мы видѣли, было основано на разложеніи дробей на рядъ дробей съ числителями равными единицѣ. Умѣя дѣлить число 2 на всѣ нечетныя числа отъ 3 до 99, легко можно было на основаніи этихъ разложеній сдѣлать подобное же разложеніе для дробей, коихъ числитель превосходитъ 2, лишь бы знаменатель былъ число изъ ряда нечетныхъ чиселъ отъ 3 до 99; подобное разложеніе можно было примѣнить также къ дро-7 бямъ, коихъ числитель больше 2, напр., къ дроби 7/29.

Относительно происхожденія разложеній ряда дробей 2/3, 2/5, 2/7, ..., 2/99, находящихся въ математическомъ папирусѣ, съ вѣроятностью можно предположить, что онѣ были отысканы не сразу, а только длиннымъ рядомъ попытокъ, такъ сказать, ощупью. Найденныя разложенія записывались и сохранялись и съ теченіемъ времени къ нимъ прибавлялись новыя.

2. Распредѣленіе хлѣбовъ. Въ этой главѣ авторъ занимается дѣленіемъ чиселъ отъ 1 до 9 на десятыя части. Чтобы сдѣлать это болѣе понятнымъ, дѣйствія свои онъ производилъ на хлѣбахъ. Изъ шести задачъ этой главы до насъ дошла только послѣдняя изъ нихъ въ полномъ видѣ; въ этой задачѣ показано распредѣленіе 9 хлѣбовъ между 10 лицами. Изъ этой задачи и на основаніи сохранившихся отрывковъ другихъ легко могутъ быть возстановлены всѣ задачи этой главы. Въ другихъ задачахъ разсматривалось распредѣленіе 1, 2, 6, 7 и 8 хлѣбовъ между 10 лицами.

3. Дополненіе дробей. Подъ именемъ дѣйствія seqem (seqemrechnung) въ математическомъ папирусѣ слѣдуетъ

понимать рядъ дѣйствій, при помощи которыхъ дополняются данныя числа, состоящія изъ дробей или же цѣлаго числа и дроби, до извѣстнаго даннаго значенія. Дополненіе это дѣлается при помощи дѣйствій умноженія или сложенія. Цѣль подобнаго дѣйствія есть приведеніе дробей къ одному общему знаменателю. Всѣ вспомогательныя дѣйствія написаны въ папирусѣ красными чернилами.

4. Вычисленіе кучъ. Содержаніе этой главы есть рѣшеніе уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. Неизвѣстную величину египетскіе математики называли hau, т.-е. куча, а потому и нахожденіе ихъ при рѣшеніи задачъ названо вычисленіе кучъ (Haurechnung). Глава эта интересна еще въ томъ отношеніи, что содержаніе ея знакомитъ насъ съ познаніями египетскихъ математиковъ въ алгебрѣ; все извѣстное по этому предмету заимствовано только исключительно изъ папируса Ринда, такъ какъ другихъ сочиненій или источниковъ не сохранилось.

При рѣшеніи уравненій авторъ папируса слѣдуетъ вполнѣ опредѣленнымъ правиламъ. Онъ начинаетъ съ того, что соединяетъ въ одинъ всѣ члены, содержащіе неизвѣстное и его части. При нынѣшнемъ методѣ рѣшенія уравненій— это равносильно перенесенію всѣхъ неизвѣстныхъ величинъ въ лѣвую часть уравненія. При соединеніи членовъ въ одинъ особенное вниманіе обращено на примѣненіе дробей съ числителями единицами. Въ видѣ примѣра приведемъ одно изъ уравненій, находящихся въ папирусѣ Ринда. Уравненіе это мы заимствовали изъ атласа къ сочиненію Ейзенлора (рис. 8):

Рис. 8.

въ дословномъ переводѣ знакамъ этимъ соотвѣтствуютъ слова:

Переведенное на нашъ нынѣшній алгебраическій языкъ выраженію этому соотвѣтствуетъ уравненіе:

Приведенное нами изображеніе уравненія есть facsimile подлиннаго гіератическаго текста. Переведенное на іероглифы оно представилось бы въ видѣ (рис. 9):

Рис. 9.

При сравненіи обоихъ рисунковъ необходимо имѣть въ виду, что іероглифы читались слѣва направо, а гіератическое письмо въ обратнонъ направленіи—справа налѣво.

Въ этой же главѣ папируса Ринда находятся первыя указанія на символическіе пріемы, которыми пользовались египетскіе математики. Пріемы эти весьма любопытны, и мы укажемъ на нѣкоторые изъ нихъ. Дѣйствіе сложенія они обозначали символомъ представляющимъ ноги человѣка, идущаго справа налѣво. Дѣйствіе вычитанія они обозначали точно такимъ же символомъ но имѣющимъ обратное направленіе. Разность двухъ величинъ они выражали символомъ , представляющимъ три горизонтально-лежащія параллельныя стрѣлы. Для обозначенія дѣйствія сложенія нѣсколькихъ количествъ иногда служилъ знакъ, представляющій сходство съ символомъ Изъ другихъ символовъ упомянемъ еще изображеніе совы, которое весьма часто встрѣчается передъ числами, въ смыслѣ двоеточія (:), или выраженія „то-есть“.

Приведенные символы, мы полагаемъ, достаточно ясно показываютъ, въ чемъ именно состоялъ символическій методъ египетскихъ математиковъ. Въ особенности заслуживаютъ вниманія символы, представляющіе дѣйствія сложенія и вычитанія; они указываютъ прямо, что египтяне имѣли представленіе объ отсчитываніи въ двухъ прямо-противоположныхъ направленіяхъ; пріемъ этотъ былъ снова примѣненъ европейскими математиками въ сравнительно очень недавнее время.

Большая часть уравненій этой главы даны прямо въ примѣненіи къ числамъ; остальныя относятся къ различнымъ дѣленіямъ египетскихъ фруктовыхъ мѣръ (bescha). Въ концѣ нѣкоторыхъ уравненій этой главы показаны пріемы повѣрки задачъ, которая состоитъ въ томъ, что къ найденной величинѣ неизвѣстнаго х прибавляютъ при помощи сложенія всѣ его части. Полученное число необходимо должно быть равно данной величинѣ уравненія, если только всѣ дѣйствія были произведены правильно. Пріемъ этотъ въ папирусѣ названъ „начало пробы“.

Символа, соотвѣтствующаго нулю (0), египетскіе математики не имѣли1).

5. Избытокъ — тунну. Послѣдняя глава ариѳметической части папируса Ринда посвящена цѣлому ряду ариѳметическихъ дѣйствій, названныхъ тунну (tunnu). Слово тунну

1) Понятіе объ отсутствіи чего-нибудь, соотвѣтствующее нашему представленію о нулѣ, египетскіе математики выражали изображеніемъ птицы, надъ которой двѣ распростертыя руки. Понятіе это носило названіе пеп. Дробь 1/2 изображали знакомъ /_| или /__| и называли ее та. Дробь 2/3 изображали знакомъ или и называли neb. Число пять выражалось или пятью черточками |||||, или же изображеніемъ пятиугольной звѣзды -^, оно носило названіе tua. Числа отъ одного до десяти выражались соотвѣтствующимъ числомъ вертикальныхъ палочекъ. Числа 10, 20,...., 90 выражались соотвѣтствующимъ числомъ вертикальныхъ дугъ. (См. далѣе рисунки чиселъ у египтянъ.) Десятки тысячъ выражаются символомъ указательнаго пальца . Сотни тысячъ—изображеніемъ головастика. Милліонъ-изображеніемъ человѣка, стоящаго на колѣняхъ съ поднятыми къ небу руками, или же символомъ О.

Въ различныхъ символахъ различныхъ чиселъ многіе видѣли представленія того или другого предмета, такъ, напр., въ изображеніи числа 100 видѣли то знакъ посоха жреца, то изображеніе пальмовой палки; въ символѣ числа 1000 видѣли изображеніе лотоса, лампы и т. п.

Первый, обратившій вниманіе на числа древнихъ египтянъ и начавшій ими заниматься, былъ французъ Жомаръ ((Jomard), участвовавшій въ египетской экспедиціи 1799 г. Изслѣдованія свои онъ обнародовалъ въ 1812 г. Наиболѣе всего данныхъ для изученія чиселъ древнихъ египтянъ было почерпнуто въ такъ называемой „гробницѣ чиселъ“. Гробница эта была найдена Шампольономъ не далеко отъ деревни Гизе, вблизи большой пирамиды, и названа имъ „гробницей чиселъ“ потому, что въ ней находятся указанія и перечисленія стадъ, принадлежавшихъ владѣльцу. Изъ этихъ указаній видно, что ему принадлежали 834 вола, 220 коровъ, 3234 козы, 760 ословъ и 974 овецъ.

Рис. 10.—Образчики изображеній чиселъ у Египтянъ.

употреблено въ смыслѣ словъ избытокъ, расширеніе. Въ такомъ же смыслѣ слово тунну примѣнено въ папирусѣ Ринда, гдѣ выраженіемъ этимъ названа разность между частями, неравномѣрно распредѣленныхъ предметовъ, нѣсколькихъ лицъ. Вопросы, разсмотрѣнные въ этой главѣ, относятся къ распредѣленію нѣсколькихъ предметовъ между нѣсколькими лицами при извѣстныхъ условіяхъ. Въ одной изъ задачъ этой главы требуется распредѣлить 100 хлѣбовъ слѣдующимъ образомъ: 50 хлѣбовъ между 6, другія 50 хлѣбовъ между 4 лицами. Въ другой задачѣ требуется распредѣлить 100 хлѣбовъ между 5 лицами такъ, чтобы первыя три получили въ семь разъ больше остальныхъ двухъ.

Въ первой изъ приведенныхъ задачъ авторъ папируса желаетъ составить ариѳметическую прогрессію, начальный членъ которой а, отрицательная разность d, и которая бы удовлетворяла условію

откуда

Изъ содержанія папируса Ринда видно, что египетскіе математики почти за 3000 л. до Р. Х. достигли слѣдующихъ результатовъ въ математическихъ наукахъ: они умѣли разлагать дроби на рядъ дробей съ числителями равными единицѣ: имъ было извѣстно приведеніе дробей къ одному знаменателю; умѣли рѣшать уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ; имѣли понятіе и, весьма вѣроятно, знали свойства ариѳметическихъ и геометрическихъ прогрессій. Познанія египетскихъ математиковъ въ геометріи состояли въ слѣдующемъ: умѣли находить приближенно площади равнобедреннаго треугольника, а также трапеціи; была сдѣлана весьма остроумная попытка къ рѣшенію извѣстной задачи „квадратуры круга"; и, наконецъ, видимъ у нихъ первые слѣды ученія о подобіи и пропорціональности, а также примѣненіе основныхъ двухъ тригонометрическихъ функцій Cos и Tg.

Китайцы.

Первыя указанія на сочиненіе математическаго содержанія находятся въ „Полной исторіи Китая" (Tung-kin-kang-muh) въ которой упоминается, что императоръ Гвангъ-ти (Hwang-ti), жившій за 2637 г. до Р. Х., повелѣлъ одному изъ своихъ министровъ Лишану (Lischan) составить сочи-

неніе, подъ заглавіемъ: „Девять отдѣловъ ариѳметики“ (Kiu-tschang)1). Несмотря на то, что положительныхъ указаній нѣтъ, когда именно написано вышеупомянутое сочиненіе, но не подлежатъ сомнѣнію, что оно написано въ весьма отдаленное время, такъ какъ во всѣхъ сочиненіяхъ математическаго содержанія китайцевъ его считаютъ основнымъ и первымъ написаннымъ по математикѣ.

Изложимъ вкратцѣ содержаніе „Девяти отдѣловъ ариѳметики“. Сочиненіе это заключаетъ 246 вопросовъ и раздѣлено на 9 главъ. Разсмотримъ каждую изъ главъ отдѣльно.

Глава I озаглавлена „Измѣреніе полей“ (Fang-tien)2). Въ началѣ изложено, какъ приводятся дѣйствія умноженія и дѣленія; о сложеніи и вычитаніи ничего не говорится, такъ какъ авторъ сочиненія, вѣроятно, предполагаетъ, что эти основныя дѣйствія уже извѣстны читателямъ. Затѣмъ указаны способы измѣренія полей различныхъ формъ, какъ-то: треугольныхъ, четыреугольныхъ, полукруглыхъ, круглыхъ и т. д. Для нахожденія площади треугольника указано правило: умножить основаніе на половину высоты. Для нахожденія площади круга авторъ предлагаетъ шесть способовъ, которые можно выразить слѣдующими формулами:

Отношеніе окружности къ діаметру авторъ полагаетъ равнымъ 3:1, т.-е. π = 3. Впрочемъ, нѣкоторые изъ позднѣйшихъ комментаторовъ „Девяти отдѣловъ ариѳметики“ говорятъ, что автору этого сочиненія были извѣстны также и болѣе точныя выраженія для π.

Глава II озаглавлена „О пропорціяхъ“ (Schuh-pu); въ ней указаны правила, при помощи которыхъ опредѣляются цѣны на рисъ, смотря по его качеству и роду.

Въ основаніи системъ мѣръ и вѣса положенъ музыкальный инструментъ, духовая труба Гвангъ-тсунгъ (Gwang-tsung). Мы вкратцѣ изложимъ эту любопытную систему мѣръ протяженія и вѣса. Длина трубы была раздѣлена на 90 равныхъ частей, изъ которыхъ каждая равнялась одному

1) Другому министру, того же императора, Шеу-ли (Cheou-li) китайцы приписываютъ изобрѣтеніе Суан-пана (Swan-pan), т.-е. коммерческихъ счетовъ.

2) Въ дословномъ переводѣ заглавія главъ слѣдующія: 1-я носитъ названіе квадратныя поля, 2-я—рисъ и деньги, 3-я—различные раздѣлы и т. д.

фуну (fun—около линіи); 10 фуновъ составляли одинъ тсунъ (tsun— около вершка); 10 тсуновъ составляли одинъ ши (schih—около фута). Труба вмѣщала въ себѣ 1200 зеренъ рису; 10 полныхъ трубъ составляли одинъ го (ho); 10 го составляли одинъ шингъ (sching—около мѣрки). 1200 зеренъ рису вѣсили 12 тшу (tschu); 24 тшу составляли 1 леангъ (leang), а 16 леанговъ составляли 1 кинъ (kin—около фунта). Итакъ, мы видимъ, что въ основаніи мѣръ длины и емкостей лежала десятеричная система, а въ основаніи мѣръ вѣса — двѣнадцатеричная система1).

1) Десятеричная система счисленія и такъ называемая ариѳметика положенія были извѣстны китайцамъ задолго до европейцевъ; указанія на это можно найти въ сочиненіи подъ заглавіемъ „Десять отдѣловъ искусства счисленія“ (Su-scheu-kiu-tschang), написанное Тши-Кіу-Тшау (Tsin-Kiu-tschau) въ 1240 г.

Въ Китаѣ существуетъ нѣсколько системъ знаковъ для изображенія чиселъ, изъ нихъ самая простая это такъ называемые „купеческіе знаки“, состоящіе просто изъ палочекъ; первыя пять цифръ обозначаются соотвѣтствующимъ числомъ черточекъ, остальныя четыре цифры различной комбинаціей этихъ черточекъ. Въ этой системѣ знаковъ существуетъ также нуль, который изображается кружкомъ. Числа пишутся совершенно такъ, какъ и въ настоящее время при нынѣ существующей системѣ нумераціи и читаются также отъ лѣвой руки къ правой. Впрочемъ, необходимо замѣтить, что сказанное относится только къ купеческимъ знакамъ. Съ вѣроятностью можно предположить, что подобные знаки обязаны своимъ первоначальнымъ происхожденіемъ тѣмъ нарѣзамъ, которые въ древности дѣлали почти всѣ народы на палочкахъ (биркахъ) для обозначенія того или другого числа предметовъ. Купеческіе знаки китайцевъ имѣютъ слѣдующій видъ:

Нуль по китайски носитъ названіе ling. Число десять изображается обыкновенно знакомъ + . Когда пишутъ большія числа, то вышеприведенные знаки видоизмѣняются, чтобы избѣжать путаницы, такъ, напримѣръ, вмѣсто |||| пишутъ = или X, но во всякомъ случаѣ число черточекъ остается всегда одно и то же. Для примѣра приведемъ число, заимствованное изъ вышеупомянутаго нами сочиненія. Изъ этого примѣра легко видѣть, какъ производили китайцы дѣйствіе вычитанія:

Относительно происхожденія десятеричной системы счисленія у китайцевъ существуетъ слѣдующій разсказъ: однажды императоръ Фоги (Fohi жилъ, по словамъ китайцевъ, за 2800 л. до Р. Х., ему приписываютъ изобрѣтеніе письменъ) увидѣлъ дракона, выходящаго изъ Желтой рѣки, у котораго на спинѣ была изображена десятеричная система счисленія. По другому разсказу великій философъ Іу (lu) увидѣлъ черепаху, выходящую изъ рѣки Ло, у которой на спинной чешуѣ была также изображена десятеричная система счисленія. Въ нѣкоторыхъ математическихъ сочиненіяхъ китайцевъ оба эти разсказа изображены на рисункахъ.

Глава III заключаетъ „правило товарищества" (schwäl fun), при чемъ указаны примѣры дѣленія имущества между нѣсколькими лицами. Большая часть примѣровъ подобрана такъ, что различныя численныя соотношенія между частями выражаются ариѳметическими прогрессіями.

Глава IV носитъ названіе „Дѣйствія" (schaou kwang); содержаніе ея—извлеченіе квадратныхъ и кубическихъ корней. Правила тѣ же, какъ и употребляемыя въ настоящее время. Данныя правила прилагаются не только къ квадратамъ и кубамъ, но и къ параллелограмамъ и параллелепипедамъ. Числа носятъ названія фигуръ и тѣлъ, подобно какъ у греческихъ геометровъ. Степеней выше третьей авторъ не упоминаетъ. Глава эта содержитъ 24 задачи.

Глава V занимается „измѣреніемъ объемовъ (schang kung), она составляетъ какъ бы продолженіе предыдущей главы. Предметъ ея—рѣшеніе нѣкоторыхъ стереометрическихъ задачъ, какъ, напримѣръ, построеніе стѣнъ, зданій, башенъ, рвовъ, укрѣпленій и т. п. Кромѣ того, указаны правила измѣренія объемовъ различныхъ тѣлъ, какъ-то: пирамидъ, конуса, призмы и т. п. Въ концѣ этой главы показаны способы измѣренія различныхъ способовъ путешествовать, какъ, напр., верхомъ, пѣшкомъ, на лодкѣ и т. д.

Глава VI озаглавлена „Правила смѣшенія" (keun schu). Въ этой главѣ разсмотрѣны вопросы, касающіеся распредѣленія различныхъ налоговъ, при чемъ принято во вниманіе количество земли и народонаселенія; другіе вопросы относятся къ цѣнности различнаго рода и товаровъ и т. п. Изъ вопросовъ, рѣшенныхъ въ этой главѣ, укажемъ на слѣдующую задачу: клѣтка заключаетъ неизвѣстное число фазановъ и кроликовъ; извѣстно только, что вся клѣтка содержитъ 35 головъ и 94 ноги; требуется узнать число фазановъ и число кроликовъ. Отвѣтъ: 23 фазана и 12 кроликовъ.

Глава VII носитъ названіе „Избытокъ и недостатокъ“ (Yin nuh); въ ней рѣшены различнаго рода вопросы, относящіеся къ распредѣленію товаровъ. Въ видѣ примѣра приведемъ одну изъ задачъ этой главы: нѣкоторое число купцовъ купили нѣкоторое число товаровъ; если каждый изъ купцовъ заплатитъ по 7 кашовъ (kasch), то останется 3 каша лишнихъ; если же каждый изъ купцовъ заплатитъ по 8 кашовъ, то недостанетъ 4 каша. Требуется опредѣлить число купцовъ и число товаровъ. Отвѣтъ: 7 купцовъ и 53 товаровъ.

Глава VIII занимается рѣшеніемъ уравненій, которыя по-китайски носятъ названіе фангъ-тшингъ (fang-tsching). Въ этомъ отдѣлѣ показано употребленіе знаковъ плюсъ (tsching) и минусъ (fu) и на 18 примѣрахъ показано, какъ при по-

средствѣ извѣстныхъ величинъ, при помощи уравненій, могутъ быть отысканы неизвѣстныя величины. Изъ примѣровъ этой главы укажемъ на слѣдующій: 5 воловъ и 2 барана стоятъ 10 таэловъ (taël) золотомъ, а 2 вола и 8 барановъ—8 таэловъ; требуется узнать цѣну одного вола и одного барана? Отвѣтъ: волъ стоитъ 1 13/21 — таэла, а баранъ 20/21 таэла.

Глава IX по своему содержанію относится къ тригонометріи, по-китайски кеу-ку (keu-ku).

Таково содержаніе, въ общихъ чертахъ, древнѣйшаго изъ извѣстныхъ математическихъ сочиненій китайцевъ. Изъ приведеннаго краткаго обозрѣнія этого памятника можно видѣть, какъ много онъ заключаетъ интереснаго. Безъ сомнѣнія прошелъ немалый промежутокъ времени до той эпохи когда были написаны „Девять отдѣловъ ариѳметики", такъ какъ только длинный рядъ опытовъ могъ убѣдить китайскихъ ученыхъ въ непреложности и справедливости математическихъ истинъ, заключающихся въ этомъ сочиненіи.

Передъ каждой изъ главъ, и ея подраздѣленій, вышеупомянутаго сочиненія находится эпиграфъ въ стихахъ, въ которомъ вкратцѣ изложено содержаніе главы и заключающихся въ ней основныхъ положеній. Съ перваго взгляда стихи эти трудно понять, но при болѣе основательномъ ихъ разборѣ легко видѣть, что они въ сжатой и удобозапоминаемой формѣ содержатъ основныя начала каждой изъ главъ.

Рис. 11.—Образчики китайскихъ старинныхъ (А) и современныхъ (В) числовыхъ знаковъ.

Индусы.

Въ Индіи не было математиковъ по профессіи. Писатели, о которыхъ мы собираемся говорить, считали себя астрономами. Для нихъ математика была только служанкой астрономіи. Въ виду этого любопытно замѣтить, что, въ концѣ-концовъ, вспомогательная наука оказалась единственной, въ области которой они, дѣйствительно, прославились, тогда какъ въ своемъ любимомъ занятіи—астрономіи—они выказали неспособность къ наблюденіямъ, къ собиранію фактовъ и къ индуктивнымъ изслѣдованіямъ.

Непріятною чертою дошедшихъ до насъ индусскихъ математическихъ сочиненій является то, что они написаны въ стихахъ и выражены темнымъ мистическимъ языкомъ. Тому, кто уже выучилъ излагаемый предметъ, стихи эти могутъ служить для облегченія памяти, непосвященному же они часто непонятны. Обыкновенно доказательствъ нѣтъ, или, по крайней мѣрѣ, они не сохранились, хотя индусскіе математики, несомнѣнно, дошли до большинства своихъ открытій посредствомъ логическихъ выводовъ.

Нѣкоторыя части индусской математики, безъ сомнѣнія, имѣютъ греческое происхожденіе. Прослѣдить связь между индусской и греческой мыслью — интересная, но трудная задача. Послѣ того, какъ Египетъ сталъ римской провинціей, между Индіей и Александріей установились обширныя коммерческія сношенія. Несомнѣнно, происходилъ и значительный обмѣнъ философскихъ и научныхъ знаній. Мы предполагаемъ, что въ алгебрѣ и съ той и съ другой стороны были спросъ и предложеніе.

Въ настоящее время мы знаемъ очень мало о развитіи индусской математики. Тѣ немногія сочиненія, которыя дошли до насъ, представляютъ индусскую науку только въ ея законченномъ видѣ. Времена, къ которымъ относятся важнѣйшія изъ этихъ сочиненій, кромѣ перваго, хорошо опредѣлены. Въ 1881 г. найдена была зарытой въ землѣ въ Бахшали, въ сѣверо-западной Индіи, безыменная ариѳметика, которая, какъ предполагаютъ по особенностямъ стиховъ, принадлежитъ къ третьему или четвертому вѣку по Р. Х. Найденный памятникъ написанъ на березовой корѣ и представляетъ собою неполный списокъ, сдѣланный съ болѣе древней рукописи, вѣроятно, приблизительно въ восьмомъ столѣтіи.

Древнѣйшимъ изъ извѣстныхъ намъ индусскихъ астрономовъ былъ Арьябхатта, родившійся въ 476 г. по Р. Х. въ Паталипутрѣ, на верхнемъ Гангѣ. Онъ авторъ знаменитаго сочиненія, озаглавленнаго Арьябхаттіямъ,

третья глава котораго посвящена математикѣ. Около ста лѣтъ послѣ него жилъ Брахмагупта, родившійся въ 598 г. и написавшій въ 628 г. сочиненіе Брахма — спхута— сиддханта („Пересмотрѣнная система Брахмы"), двѣнадцатая и восемнадцатая главы котораго принадлежатъ математикѣ1). Въ слѣдующіе вѣка встрѣчаемъ мы только двухъ замѣчательныхъ ученыхъ: это Сридхара, написавшій сочиненіе Ганита-сара („Сущность вычисленія") и Падманабха, авторъ руководства къ алгебрѣ. Наука сдѣлала, повидимому, мало успѣховъ со времени Брахмагупты: сочиненіе, озаглавленное Сиддхантасиромани („Вѣнецъ астрономической системы") и написанное ученымъ Бхаскара Ачарья въ 1150 г., стоитъ немногимъ выше, чѣмъ книга Сиддханта Брахмагупты, написанная болѣе, чѣмъ на пятьсотъ лѣтъ раньше. Двумя наиболѣе важными математическими главами въ сочиненіи Бхаскары являются Лилавати („Прекрасная", т.-е. благородная наука) и Виджаганита („Извлеченіе корней"), посвященныя ариѳметикѣ и алгебрѣ. Съ этого времени духъ изслѣдованія угасъ, и великія имена перестали появляться въ исторіи индусской науки.

Въ другомъ мѣстѣ мы говорили о томъ, что индусы открыли принципъ помѣстнаго значенія и нуля въ ариѳметическомъ обозначеніи. Теперь мы опишемъ индусскіе методы вычисленія, доведенные въ Индіи до совершенства, о которомъ и не мечтали другіе, жившіе раньше, народы. Свѣдѣнія объ этомъ, дошедшія до насъ, заимствованы отчасти изъ индусскихъ сочиненій, но, главнымъ образомъ, изъ ариѳметики, написанной греческимъ монахомъ Максимомъ Планудомъ, который жилъ въ первой половинѣ четырнадцатаго столѣтія и который, по собственному его признанію, пользовался индусскими источниками.

Чтобы понять, почему были приняты извѣстные способы вычисленія, мы должны помнить, какими приборами располагали индусы при производствѣ письменныхъ вычисленій. „Они писали тростниковымъ перомъ по небольшой черной доскѣ очень жидкой бѣлой краской, которая оставляла знаки, легко стиравшіеся, или на бѣлой дощечкѣ,

1) Переведено на англійскій языкъ Г. Т. Кольбрукомъ, London, 1817. Этотъ знаменитый санскритологъ перевелъ также математическія главы изъ Сиддхантасиромани Бхаскары. Кольбрукъ служилъ въ Индіи въ качествѣ судьи и около 1794 года сталъ заниматься Санскритомъ, чтобы быть въ состояніи читать книги индусскихъ законовъ. Будучи съ юныхъ лѣтъ любителемъ математики, онъ началъ изучать также индусскую астрономію и математику, и, наконецъ, своими переводами онъ доказалъ Европѣ тотъ фактъ, что индусы въ предшествующіе вѣка сдѣлали замѣчательныя открытія, изъ которыхъ нѣкоторыя ошибочно приписывались арабамъ.

меньше квадратнаго фута, посыпанной красной мукой, на которой они писали знаки маленькой палочкой, такъ что появлялись бѣлые знаки на красномъ полѣ“. Чтобы знаки эти можно было прочесть, они должны были быть написаны крупно, вслѣдствіе чего явилась необходимость придумывать средства для сбереженія мѣста. Этого достигали, уничтожая знакъ, какъ только онъ становился ненужнымъ для дальнѣйшаго вычисленія. Индусы склонны были и при вычисленіяхъ, какъ и при обыкновенномъ письмѣ, итти слѣва направо. Такъ, при сложеніи 254 и 663 они говорили бы: 2 + 6 = 8, 5 + 6 = 11, что превращаетъ 8 въ 9, 4 + 3 = 7. Откуда получается сумма 917.

При вычитаніи, когда приходилось „занимать", они пользовались двумя методами. Такъ, при вычитаніи 28 изъ 51 они говорили бы: 8 изъ 11 = 3, 2 изъ 4 = 2, или 8 изъ 11 = 3, 3 изъ 5 = 2.

Для умноженія индусы пользовались нѣсколькими методами. Иногда они разлагали множителя на его дѣлителей и затѣмъ умножали послѣдовательно на каждаго дѣлителя. Въ другихъ случаяхъ они представляли множителя въ видѣ суммы или разности такихъ двухъ чиселъ, на которыя было легко умножать. При письменной работѣ умноженіе, напримѣръ, 5×57893411 производилось слѣдующимъ образомъ: 5×5 = 25, что и записывали надъ множимымъ 5×7 = 35; прибавляя 3 къ 25, получаемъ 28; сотремъ 5 и на его мѣстѣ напишемъ 8. Получимъ 285. Затѣмъ, 5×8 = 40; 4 + 5 = 9; вмѣсто 5 ставимъ 9, получаемъ 2890 и т. д. Въ концѣ дѣйствія на таблицѣ появлялась запись такого рода:

Когда множитель состоялъ изъ нѣсколькихъ цифръ, тогда индусское дѣйствіе, по описанію Ганкеля (р. 188), въ случаѣ

было таково. Помѣстимъ лѣвую цифру множителя 324 надъ цифрой единицъ множимаго; 3×7 = 21, что и запишемъ; 3×5 = 15; вмѣсто 21 пишемъ 22; 3×3 = 9. Въ этотъ моментъ вычисленія на таблицѣ появляется запись, которая здѣсь приведена. Затѣмъ множимое передвигается на одно мѣсто вправо; 2×7 = 14; на томъ мѣстѣ, гдѣ должно

стоять 14, записано уже 25; вмѣстѣ эти числа составляютъ 39, что мы и пишемъ

вмѣсто 25; 2×5 = 10; прибавимъ 10 къ 399 и напишемъ 409 вмѣсто 399; 2×3 = 6. Прилагаемая фигура показываетъ состояніе записи въ этотъ моментъ. Мы начнемъ третій шагъ въ вычисленіи, передвигая множимое направо на одно мѣсто; 4 × 7 = 28; прибавимъ это къ 09 и запишемъ вмѣсто этихъ цифръ 37 и т. д.

Этотъ методъ, которымъ индусы пользуются даже въ настоящее время, замѣчательно сберегаетъ мѣсто, такъ какъ только немногія изъ всѣхъ входящихъ въ вычисленіе цифръ появляются на дощечкѣ въ каждый данный моментъ. Поэтому методъ этотъ былъ хорошо приспособленъ къ ихъ небольшимъ дощечкамъ и грубымъ карандашамъ. Если вычисленіе производится на бумагѣ, то методъ оказывается плохимъ (1) потому, что мы не можемъ легко и чисто стирать цифры, и (2) потому, что, имѣя въ своемъ распоряженіи много бумаги, было бы безуміемъ сберегать мѣсто и тѣмъ по необходимости усложнять процессъ вычисленія, присчитывая каждое частное произведеніе тотчасъ послѣ его полученія. Тѣмъ не менѣе, оказывается, что ранніе арабскіе писатели, не сумѣвшіе усовершенствовать индусскій способъ вычисленія, приняли его безъ измѣненія и показали, какъ пользоваться имъ при производствѣ вычисленій на бумагѣ, а именно, вычеркивая цифры (вмѣсто того, чтобы стирать ихъ) и надписывая новыя цифры надъ старыми.

Кромѣ этихъ, у индусовъ были и другіе методы, болѣе близко напоминающіе процессы вычисленія, употребляемые въ наше время. Такъ, счетную дощечку дѣлили на квадраты, какъ шахматную доску. Проводили діагонали. На приводимомъ чертежѣ (рис. 12) показано, какъ производилось умноженіе 12×735 = 8820. Существующія рукописи не даютъ намъ подробныхъ свѣдѣній о томъ, какъ индусы производили дѣленіе. Повидимому, они отнимали частныя произведенія отъ дѣлимаго, стирая цифры дѣлимаго и замѣняя ихъ новыми цифрами, получаемыми при вычитаніи. Этимъ достигалось сбереженіе мѣста такъ же, какъ и при умноженіи.

Индусы придумали остроумный, хотя и неубѣдительный, способъ повѣрки своихъ вычисленій. Онъ основанъ на той теоремѣ, что остатокъ отъ дѣленія суммы цифръ какого-нибудь числа на 9 тотъ же, что остатокъ отъ дѣленія на 9 самого числа. Способъ „выбрасыванія девятокъ" былъ болѣе полезенъ индусамъ, чѣмъ намъ. Обычай стирать цифры и писать другія на ихъ мѣстѣ дѣлалъ для нихъ гораздо болѣе труднымъ повѣрку результатовъ посредствомъ пересмотра сдѣланныхъ вычисленій. Къ концу умноженія большое число цифръ, полученныхъ при производствѣ вычисленій, оказывалось стертымъ. Поэтому и былъ для нихъ полезнымъ способъ повѣрки, не требовавшій пересмотра промежуточныхъ вычисленій.

Въ дошедшихъ до насъ отрывкахъ Бахшалійской ариѳметики предполагается знаніе процессовъ вычисленія. При изображеніи дробей числитель пишется надъ знаменателемъ безъ раздѣляющей ихъ черты. Цѣлыя числа пишутся какъ дроби со знаменателемъ 1. Въ смѣшанныхъ числахъ цѣлая часть пишется надъ дробью. Такъ,

На мѣсто нашего знака равенства (=) индусы пользовались словомъ пхаламъ, въ сокращеніи пха. Сложеніе обозначалось словомъ йу, сокращеніемъ слова йута. Складываемыя числа часто заключались въ прямоугольникъ. Такъ, пха означаетъ: 5/1 + 7/1 = 12. Неизвѣстное количество называется сунья и обозначается жирной точкой. Слово „сунья“ значитъ „пустой" и служить также для выраженія нуля, который тоже обозначается точкой. Это двойное употребленіе слова и точки основывалось на томъ представленіи, что мѣсто остается „пустымъ", если оно не заполнено. Его нужно разсматривать какъ пустое, пока неизвѣстно число, которое слѣдуетъ поставить на это мѣсто.

Въ Бахшалійской ариѳметикѣ есть задачи и, между прочимъ, такія, которыя рѣшены приведеніемъ къ единицѣ или своего рода ложнымъ положеніемъ. Примѣръ: В даетъ вдвое больше, чѣмъ А; С втрое больше, чѣмъ В; D вчетверо больше, чѣмъ С; всѣ вмѣстѣ даютъ 132; сколько далъ А? Положимъ, что неизвѣстное (сунья) есть 1, тогда A = 1, В = 2, С = 6, D = 24, сумма ихъ = 33. Раздѣлимъ 132 на 33; частное отъ этого дѣленія представляетъ то число, которое далъ А.

Рис. 12.

Методъ ложнаго положенія мы встрѣчали и раньше, у древнихъ египтянъ. Примѣняя этотъ способъ рѣшенія задачъ, египтяне руководились инстинктомъ; у индусовъ способъ этотъ превратился въ сознательный методъ. Бхаскара тоже пользуется этимъ методомъ; но тогда какъ авторъ бахшалійской ариѳметики пользуется обыкновенно единицей, какъ ложнымъ значеніемъ неизвѣстнаго, Бхаскара предпочитаетъ число 3. Такъ, если нѣкоторое число умножить на пять, отъ произведенія отнять его треть, остатокъ раздѣлить на 10 и прибавить къ этому 1/3, 1/2 и 1/4 первоначальнаго числа, то получится 68. Какъ велико это число? Положимъ, что число это равно 3; тогда получаемъ соотвѣтственно

Слѣдовательно,

есть искомое число.

Любимымъ методомъ рѣшенія задачъ служила инверсія. Съ лаконическою краткостью Арьябхатта такъ описываетъ этотъ методъ: „Умноженіе становится дѣленіемъ, дѣленіе становится умноженіемъ; прибыль обращается въ убытокъ, убытокъ—въ прибыль; инверсія“. Совершенно въ другомъ стилѣ изложена слѣдующая задача Бхаскары, иллюстрирующая этотъ методъ: „Прекрасная дѣва съ блестящими очами, скажи мнѣ, ты, которая знаешь, какъ правильно примѣнять методъ инверсіи, какъ велико число, которое, будучи умножено на 3, затѣмъ увеличено на 3/4 этого произведенія, раздѣлено на 7, уменьшено на 1/3 частнаго, умножено само на себя, уменьшено на 52, послѣ извлеченія квадратнаго корня, прибавленія 8 и дѣленія на 10, даетъ число 2?“ Процессъ рѣшенія задачи состоитъ въ томъ, что, начиная съ числа 2, производятъ обратныя дѣйствія въ обратномъ порядкѣ. Такъ, = 14, это число и есть искомое1). Вотъ другой примѣръ, также заимствованный изъ Лилавати: „Пчелы, въ числѣ, равномъ корню квадратному изъ половины роя, слетѣли на кустъ жасмина, 8/9 всего роя осталось позади; одна пчела-самка летаетъ вокругъ цвѣтка лотоса; тамъ жужжитъ неосторожный самецъ, привлеченный ночью сладкимъ запахомъ цвѣтка и теперь заключенный внутри его.

1) Cantor, I, р. 577.

Скажи мнѣ число пчелъ"1). Отвѣтъ 72. Эта пріятная поэтическая форма, въ которую облечены ариѳметическія задачи, находится въ связи съ существовавшимъ у индусовъ обычаемъ писать всѣ школьныя руководства въ стихахъ и, въ особенности, съ тѣмъ фактомъ, что задачи эти, предлагаемыя въ видѣ загадокъ, были однимъ изъ любимыхъ общественныхъ развлеченій индусовъ. Брахмагупта говоритъ: „Эти задачи предлагаются просто для забавы; мудрый человѣкъ можетъ придумать тысячу другихъ, или можетъ рѣшать задачи, заданныя ему другими, по изложеннымъ здѣсь правиламъ. Какъ Солнце затмеваетъ звѣзды своимъ блескомъ, такъ и ученый человѣкъ можетъ затмить славу другихъ въ народныхъ собраніяхъ предлагая алгебраическія задачи и, тѣмъ болѣе, рѣшая ихъ".

Индусы хорошо знали тройное правило вмѣстѣ съ вычисленіемъ процентовъ (простыхъ и сложныхъ), правиломъ смѣшенія, задачей о бассейнѣ, или о трубахъ, и съ суммованіемъ ариѳметической и геометрической прогрессій. Арьябхатта примѣняетъ тройное правило къ рѣшенію такой задачи: 16-лѣтняя дѣвушка — рабыня стоитъ 32 нишка, что стоитъ 20-лѣтняя рабыня? — и говоритъ, что задачу эту слѣдуетъ рѣшать съ помощью обратной пропорціи, такъ какъ „стоимость живыхъ существъ (рабовъ и скота) устанавливается сообразно ихъ возрасту"—чѣмъ старѣе, тѣмъ дешевле. Извлеченіе квадратнаго и кубическаго корней было также хорошо знакомо индусамъ. Оно производилось съ помощью формулъ:

1) Hankel, р. 191.

Абакъ и абацисты. — Происхожденіе и исторія нашихъ цифръ. — Элементарная ариѳметика классической древности. — Истинная роль индусовъ и арабовъ въ исторіи европейской ариѳметики.

Когда заходитъ рѣчь объ исторіи возникновенія и развитія современной ариѳметики, мы сейчасъ же сталкиваемся съ именами индусовъ и арабовъ. Въ общемъ обыкновенно рисуется такая картина: устный, десятичный счетъ по числу десяти пальцевъ, этого перваго счетнаго инструмента человѣчества, не можетъ быть приписанъ ни одному изъ культурныхъ народовъ и выросъ, такъ сказать, автоматически у разныхъ народовъ, но эту устную систему просто и геніально перевели на знаки (цифры) будто бы именно индусы, при чемъ они же придумали незначущую цифру нуль, безъ введенія которой нельзя себѣ представить письменной ариѳметики которая бы вполнѣ передавала удобства устнаго десятичнаго счета на письмо. Благодаря этому, еще въ древности индусы имѣли весьма значительныя познанія въ ариѳметикѣ. Индусскую ариѳметическую практику переняли арабы, а отъ этихъ послѣднихъ она перешла въ средневѣковую Европу, охваченную глубокимъ мракомъ невѣжества.

Такимъ образомъ нашъ, современный письменный счетъ, основныя дѣйствія надъ числами и вообще все, что носитъ нынѣ названіе системы элементарной ариѳметики, выводили непосредственно отъ индусовъ и арабовъ. Великая эллинороманская, европейская, культура (классическая) при выработкѣ ариѳметическихъ понятій человѣчества какъ будто осталась въ сторонѣ. Греки, говорятъ многіе, великіе геометры, но не склонны (или даже неспособны) къ ариѳметикѣ и алгебрѣ. Существуетъ даже взглядъ, по которому одни народы проявляютъ болѣе способностей къ ариѳметикѣ и алгебрѣ, а другіе къ геометріи; и сторонники этого взгляда обыкновенно сопоставляютъ индусовъ (ариѳметики и алгебраисты) съ греками (геометры).

Но съ другой стороны, многосторонность и гармоничность эллинскаго генія общепризнаны. Точно также вызываетъ справедливое удивленіе утонченность и высота классической культуры. И является невольный вопросъ: неужели греки, эти просвѣщеннѣйшіе мореплаватели и торговцы своего времени, ведущіе сношенія и самые разнообразные торговые расчеты со всѣмъ древнимъ міромъ, не вырабо-

тали удобной быстрой счетной системы, хотя бы чисто практической ариѳметики, и не передали таковой своимъ замѣстителямъ на полѣ исторіи, всемірнымъ завоевателямъ, римлянамъ? И если не выработали, то почему? А если выработали, то куда же и какъ она исчезла?

Историки математики обыкновенно обходятъ молчаніемъ эти вопросы или даютъ на нихъ неопредѣленные и малообоснованные отвѣты. Да и не мудрено. Чтобы разобраться въ этой сторонѣ древней и средневѣковой культуры, необходима прежде всего огромная историко-филологическая работа. Необходимо тщательное изученіе дошедшихъ до насъ письменныхъ документовъ древности и средневѣковья и самый основательный пропускъ ихъ чрезъ горнило филологической и исторической критики. Но бѣда въ томъ, что тамъ, гдѣ дѣло касается математики, филологи часто путаютъ или почтительно отступаютъ, а историки математики, при всей ихъ талантливости, какъ Шаль, Ганкель, Канторъ и др., обыкновенно не спеціалисты по части филологіи и исторической критики, а потому сплошь и рядомъ обосновываются на документахъ сомнительной цѣнности. Печальное и почему-то длящееся недоразумѣніе о „несовмѣстимости“ филологіи съ математикой приноситъ свои плоды и здѣсь. Нѣтъ сомнѣнія, конечно, что чѣмъ скорѣе кончится это недоразумѣніе, тѣмъ будетъ лучше для обѣихъ сторонъ.

Блестящимъ подтвержденіемъ послѣдняго положенія могутъ служить ученыя работы профес. Кіевскаго университета Н. М. Бубнова. Историкъ-филологъ по спеціальности, онъ внесъ и вноситъ въ исторію математики въ частности ариѳметики, такія открытія, которыя въ значительной степени измѣняютъ устарѣлые взгляды на этотъ предметъ и открываютъ новыя историческія перспективы. При изученіи

Рис. 13.—Николай Михайловичъ Бубновъ. Докторъ всеобщей исторіи, профессоръ университета св. Владимира въ Кіевѣ. Его изслѣдованія по исторіи развитія математическихъ знаній въ средніе вѣка и въ древности представляютъ выдающійся интересъ и на многое проливаютъ новый свѣтъ.

произведеній знаменитаго ученаго и дѣятеля X—XI вв. Герберта, впослѣдствіи папы Сильвестра II (f 1003 г.), проф. Бубновъ обратилъ особенное вниманіе на математическія сочиненія этого замѣчательнаго человѣка. Жупелъ математики на этотъ разъ не испугалъ филолога, а, наоборотъ, подвинулъ его къ энергичному и неустанному труду овладѣть предметомъ. Результатомъ неустанной работы талантливаго ученаго, помимо полнаго и обстоятельно комментированнаго изданія математическихъ произведеній Герберта (на латинскомъ языкѣ, изданіе Фридлендера и сына въ Берлинѣ Gerberti Opera Mathematica, Berolini 1899, Rob. Friedlander und Sohn, pp. XIX + 620), явились слѣдующія русскія книги „Ариѳметическая самостоятельность европейской культуры" (Кіевъ, 1908, стр. Х + 408), „Происхожденіе и исторія нашихъ цифръ“ (Кіевъ, 1808, стр. 196), „Абакъ и Боэцій" (Журн. Мин. Нар. Просв. 1907—1910 и отдѣльно Спб. 1912, стр. 311), „Подлинное сочиненіе Герберта объ абакѣ" (Кіевъ, 1911), „Древній абакъ—колыбель современной ариѳметики". (Кіевъ, вып. I, 1912.)

Нѣтъ сомнѣнія, что эти труды сыграютъ, скромно говоря, важную роль въ исторіи нашей науки, — и прежде всего потому, что въ нихъ наглядно указано, какъ историкъ математики долженъ отнестись къ историческому документу или сочиненію, попавшему ему въ руки, прежде чѣмъ дѣлать изъ него какія-либо заключенія. Вслѣдъ затѣмъ выводы, къ которымъ приходитъ проф. Бубновъ въ результатѣ своихъ огромныхъ и часто кропотливыхъ изслѣдованій проливаютъ новый свѣтъ на чрезвычайно важные и интересные вопросы, какъ-то: о такъ называемыхъ абацистахъ и абакѣ древняго міра, о происхожденіи и выработкѣ нашихъ цифръ, о состояніи элементарной ариѳметики въ средніе вѣка и, наконецъ, едва ли не самой важной и смѣлой (но обстоятельной) въ научномъ отношеніи является попытка проф. Бубнова возсоздать систему элементарной математики классической древности изъ отысканныхъ имъ же ея обломковъ среди средневѣкового хлама.

Нѣкоторыя важныя и интересныя заключенія почтеннаго ученаго читатель найдетъ въ нижеслѣдующихъ отрывкахъ изъ его сочиненій.

Изъ изслѣдованій проф. Н. М. Бубнова.

Что такое абацисты? Это люди, которые операціи элементарной ариѳметики производили на счетномъ инструментѣ, а инструментъ этотъ называли абакомъ. А что за счетный инструментъ этотъ абакъ? Это, во всякомъ случаѣ, не счетная современная машина, съ разнаго рода приспо-

собленіями, пользуясь которыми можно автоматически производить разнаго рода операціи. Абакъ куда скромнѣе. Русскіе счеты, извѣстные каждому, есть въ сущности одинъ изъ видовъ этого счетнаго инструмента. Формы и виды абака были разные, но сущность вездѣ одинаковая. Это рама съ натянутыми на ней проволоками, по которымъ движутся жетоны, какъ русскіе счеты; это доска мѣдная съ вырѣзанными на ней желобками, въ которыхъ движутся прикрѣпленныя къ доскѣ кнопки, какъ римскій абакъ, это столъ или доска разграфленная на колонны, въ которыхъ раскладываются свободные жетоны, какъ саламинская доска, — одинъ изъ видовъ греческаго абака. Проволоки, желобки, колонны имѣютъ цѣлью создать десятичный кадръ, на которомъ жетоны имѣютъ значеніе по положенію на кадрѣ и на которомъ не существуетъ никакой надобности въ нашемъ нулѣ. Онъ съ успѣхомъ замѣняется незанятымъ мѣстомъ проволоки, желобка или пустой колонной. Жетоны, которыми пользовались абацисты, были двухъ родовъ: это были или жетоны безъ всякихъ помѣтокъ на нихъ, какъ на нашихъ счетахъ, на римскомъ абакѣ, на саламинской доскѣ, или же были мѣчены цифрами. Намѣченныхъ жетоновъ въ каждую колонну можно класть, конечно, сколько угодно, но собственно надобности больше, чѣмъ въ девяти

Рис. 14.—Грекъ-абацистъ. (Считающій сборщикъ податей.) Снимокъ рисунка на античной вазѣ въ Неаполѣ.

жетонахъ, для каждой колонны нѣтъ. Поэтому и на мѣченныхъ жетонахъ не нужно было писать цифру большую, чѣмъ девятка. Такъ при помощи всего девяти знаковъ на жетонахъ абацисты изображали на абакѣ любое число ничуть не хуже, чѣмъ мы теперь. Пустой жетонъ, оставшійся въ употребленіи рядомъ съ мѣченными, иногда и у абацистовъ отмѣчалъ плеонастически пустую колонну, а, можетъ-быть, подчасъ и замѣнялъ собою пустыя колонны, позволяя изображать жетонами на столѣ безъ спеціально приготовленнаго десятичнаго кадра любое число и являясь пластическимъ прообразомъ графическаго нуля нашего времени.

Подъ абацистами въ этомъ сочиненіи мы и разумѣемъ людей, которые считали мѣченными жетонами на десятичныхъ колоннахъ, употребляя иногда для побочныхъ цѣлей и немѣченный жетонъ, называвшійся у нихъ „колесомъ“ (rota), „кружкомъ“ (rotula) или сипосомъ (sipos = psiphos = psephos = по-гречески жетонъ). Сочиненія, въ которыхъ изложена эта послѣдняя система абака съ колоннами и мѣченными жетонами, дошли до насъ только отъ X—XII вѣковъ послѣ Р. Х., но самая система есть, несомнѣнно, переживанье и даже, можно сказать, доживанье классической традиціи. Послѣ XII вѣка эта традиція чахнетъ, уступая мѣсто нашей современной графической ариѳметикѣ, которая, конечно, есть результатъ простого переложенія абака на бумагу. До X в. объ абакѣ съ мѣченными жетонами не говоритъ ни одинъ документъ. Геометрія Боэція съ такимъ абакомъ есть, какъ я недавно показалъ, несомнѣнно лотарингскій подлогъ конца XI вѣка. Для такого молчанія есть много причинъ, о которыхъ распространяться здѣсь нечего, тѣмъ болѣе, что обо всемъ томъ, что касается абака, жетоновъ на немъ и мѣтокъ на жетонахъ, я уже достаточно сказалъ въ моей книгѣ „Ариѳметическая самостоятельность европейской культуры“, куда за всѣмъ этимъ и отсылаю.

Итакъ, абацистами въ настоящемъ сочиненіи я буду называть латинскихъ средне-вѣковыхъ писателей X—XII вв., такъ или иначе излагающихъ систему абака съ колоннами и мѣченными жетонами. Писатели эти естественно являются первостепенной важности источниками въ исторіи нашей ариѳметики, такъ какъ уже только что сказаннаго достаточно, чтобы убѣдиться, что абакъ есть далекое, постепенно и незамѣтно шагъ за шагомъ развивавшееся прошлое нашей ариѳметики, дающее полную отставку всѣмъ воображаемымъ мудрецамъ, будто бы сразу изъ головы измыслившимъ нашу ариѳметику и открывшимъ такую хитрую вещь, какъ нуль. Къ чему мудрствовать, когда дѣло

Рис. 15.—27-колонный абакъ Герберта, возстановленный проф. Бубновымъ по различнымъ рукописямъ.

Поясненіе къ рисунку абака,—Абакъ представляетъ доску (поверхность стола, таблицу, вообще плоскость), обыкновенно раздѣленную на нѣсколько вертикальныхъ колоннъ (въ данномъ случаѣ на 27). Счисленіе на абакѣ отличается отъ нашего только тѣмъ, что необходимый намъ нуль замѣняется здѣсь пустой колонной абака, а значущія цифры не пишутся, а раскладываются, будучи разъ навсегда изображены на жетонѣ. Значитъ, наши десятичные разряды изображаются колоннами абака въ восходящемъ порядкѣ справа налѣво, а жетоны со значками—цифрами первыхъ девяти цѣлыхъ чиселъ (S и S) играютъ роль коэффиціентовъ числа, изображеннаго по нашей десятичной системѣ. Большія дуги соединяютъ колонны — разряды въ группы по 3 (классы), какъ у насъ. Въ каждомъ классѣ различаются единицы (S = singularis), десятки (D—decenus) и сотни (C = centenus). Начиная съ 1.000 при знакѣ S навёрху ставится еще М, т.-е. далѣе идутъ тысячи единицъ, затѣмъ тысячи тысячъ единицъ и т. д. Подъ самыми дужками помѣщены девять тогдашнихъ цифръ, а рядомъ ихъ таинственныя, извѣстныя только абацистамъ, названія: igin, andras, ormis, arbas, quimas, calctis. zenis, temenias, celentis. На самомъ верху приведенъ стихъ: Gerbertus Latio numéros abacique figuras, т.-е. Гербертъ даетъ Лацію (латинской Европѣ) фигуры и числа абака. На данномъ рисункѣ проведены и горизонтальныя линіи. Бъ первой сверху горизонтальной колоннѣ (направо) изображено (нужно подразумѣвать положенными жетонами) число 405, во второй—30.408, въ третьей—980.600 и 33, въ четвертой—75. На крайнихъ колоннахъ слѣва показано, какъ, по мнѣнію проф. Бубнова, образовались цифры абацистовъ, а изъ нихъ наши. На самомъ низу стоятъ знаки дробей у абацистовъ.

обходится благополучно безъ мудрецовъ и идетъ медленнымъ ходомъ обыкновенныхъ головъ.

Значеніе абацистовъ въ исторіи ариѳметики уже давно оцѣнено. Много толковали и толкуютъ о цифрахъ у абацистовъ. Абацисты X—XII вв. свои жетоны мѣтили: 1) римскими цифрами (I —VIIII), 2) буквами греческаго цифрового алфавита (А, В, Г—Ѳ), 3) знаками, сходными съ нашими современными цифрами. Ясно, что и для исторіи нашихъ цифръ здѣсь liegt der Hund bergraben. А что если абацисты взяли свои цифры не у испанскихъ арабовъ IX и X вв., которые, по согласнымъ свидѣтельствамъ арабскихъ и неарабскихъ свидѣтелей, сами заимствовали ихъ у индусовъ? Что если абацисты даже и въ I столѣтіи послѣ Р. Х. не знакомились съ индусскими цифрами черезъ Александрію, куда они будто бы прибыли еще безъ нуля, какъ это допускаетъ господствующая гипотеза о происхожденіи нашихъ цифръ? Увы, Боэцій, главная поддержка этой гипотезы, разжалованъ мною въ лотарингскаго монаха XI вѣка, а Vincent, второй столпъ ея, съ своею мистико-эротическою фантазіей не стоитъ на высотѣ положенія, требующаго трезвой и дѣвственной мысли. Куда тогда дѣнутся индусы и не придется ли перестраивать въ исторіи ариѳметики все отъ А до Z?

Разумѣется въ глазахъ иныхъ, все это ересь и даже очень опасная, которой можно противопоставить нѣсколько весьма вѣскихъ текстовъ. Но, увы, всѣ эти тексты, называющіе нашу ариѳметику и цифры индусскими, не древнѣе VIII вѣка. А къ VIII вѣку исторія нашей ариѳметики и цифръ была окончена и текстовъ намъ о себѣ никакихъ не оставила. Строить исторію цифръ на нѣсколькихъ арабскихъ и неарабскихъ текстахъ, относящихся къ такому позднему времени, врядъ ли основательно. Вѣдь всѣ они могутъ отражать на себѣ добросовѣстное заблужденіе извѣстной эпохи! Вѣдь были же европейцы съ XIII вѣка и до очень позднихъ временъ убѣждены не въ индусскомъ, а арабскомъ происхожденіи нашихъ цифръ, а мы и до сихъ поръ называемъ ихъ арабскими! Не такая ли же оказія произошла съ арабами, считавшими за индусское то, что могло имъ и не быть?

Тексты вещь, конечно, прекрасная, но не въ нихъ однихъ спасеніе. Иногда и собственные глаза помогаютъ. А вѣдь цифры разныхъ народовъ и разныхъ временъ представлены цѣлымъ рядомъ изображеній. И вотъ внѣшній-то видъ цифръ у разныхъ народовъ и въ разныя времена есть самъ по себѣ источникъ первостепенной важности. Это болѣе объективный и болѣе доступный контролю матеріалъ, чѣмъ любое свидѣтельство. Сколько прекрасныхъ и, пови-

димому, авторитетныхъ свидѣтельствъ похоронено палеографіей!

Какъ бы того же не случилось и съ арабскими свидѣтельствами о происхожденіи нашихъ цифръ?

Кромѣ того, вопросъ объ отнсшеніи цифръ абацистовъ къ цифрамъ арабскимъ или индусскимъ на основаніи свидѣтельствъ уже прямо рѣшать невозможно. Древнѣйшіе извѣстные намъ абацисты X и XI вѣка ничего по этому поводу не говорятъ и, конечно, потому, что ничего объ этомъ сказать не могутъ. Для нихъ цифры нѣчто испоконъ вѣку существующее, чего происхожденіе указать и невозможно и даже не особенно интересно. Въ XII вѣкѣ намъ уже подносятся свидѣтельства, но, увы, противорѣчивыя: то приписываютъ весь абакъ арабамъ, то забираются для розыска начала нашихъ цифръ въ древнюю Халдею (Радульфъ Ланскій). Да и относительно арабскихъ цифръ не все въ свидѣтельствахъ благополучно. Тѣ же свидѣтели, которые называютъ ихъ индусскими, не только указываютъ на отличіе нѣкоторыхъ изъ нихъ отъ индусскихъ, но и на фактъ, что у самихъ арабовъ два совершенно различныхъ написанія цифръ: западно-арабское — гобаръ и восточноарабское.

Итакъ, цифры у абацистовъ, ихъ первоначальныя формы, имѣютъ въ исторіи нашихъ цифръ очень важное значеніе, но, какъ слѣдуетъ, они установлены не были. Обыкновенно изслѣдователи считаютъ свою задачу поконченной, разъ имъ удается набрать нѣсколько примѣровъ изображенія цифръ абацистами. Сопоставивъ ихъ серіи, они довольствуются констатированьемъ факта общаго сходства этихъ серій между собою и съ цифрами арабскими. Но вѣдь это только начало изслѣдованія! Вотъ почему и формы цифръ у абацистовъ точно установлены не были. А это прежде всего необходимо. Сдѣлаемъ это и сравнимъ эти формы съ цифрами арабовъ (западныхъ и восточныхъ), индусовъ и альгоритмиковъ.

(„Происхожденіе и исторія нашихъ цифръ“, Гл. I.)

Абацистамъ отведено у насъ гораздо больше мѣста, чѣмъ обыкновенно столь лелѣемымъ при разборѣ вопроса объ исторіи цифръ индусамъ и арабамъ. Почему же это такъ? О какой-нибудь важной роли абацистовъ въ исторіи нашихъ цифръ не говоритъ никто. Сами они въ этомъ отношеніи тоже тише воды, ниже травы. Развязно ведутъ себя только арабы. Послѣдніе самымъ громогласнымъ образомъ свидѣтельствуютъ о томъ, что цифры, которыми они пользуются, не только взяты ими изъ Индіи, но еще въ добавокъ, что цифры эти тамъ и изобрѣтены, откуда они

ихъ взяли, т.-е. въ Индіи. Дѣлаютъ это они чистосердечно и съ увѣренностью, и, такъ какъ они свидѣтельствуютъ не въ свою пользу, а въ чужую, то свидѣтельство ихъ имѣетъ возможно высокій въ человѣческихъ дѣлахъ вообще, а въ исторіи въ частности, авторитетъ. Если бы въ изобрѣтеніи цифръ было что-нибудь худое, то мы, пожалуй, еще имѣли бы право усомниться въ свидѣтельствѣ арабовъ, начиная съ IX в., но вся бѣда-то именно въ томъ, что арабы представляютъ себѣ это дѣло совсѣмъ въ иномъ свѣтѣ. Они, какъ и многіе другіе изъ новѣйшихъ ученыхъ, думаютъ, что было время, когда какой-нибудь мудрецъ занялся усовершенствованіемъ счета, и въ результатѣ его глубокаго мудрствованія появились: 1) девять простыхъ (занимающихъ каждый одно мѣсто) знаковъ для первыхъ девяти цѣлыхъ чиселъ, 2) знакъ для отмѣтки пустого мѣста между другими простыми знаками, или еще гораздо болѣе хитрый нуль, 3) принципъ значенія цифръ по положенію, благодаря которому, при помощи всего девяти цифръ и указателя пустыхъ разрядовъ, нуля, можно изобразить любое число. Наивно представляя себѣ это все изобрѣтеннымъ сразу и сознательно, они совершенно справедливо считали изобрѣтателей за людей геніальныхъ, а изобрѣтеніе за очень тонкое и полезное. А такъ какъ нѣтъ ничего противнѣе природѣ человѣка, какъ славословить своего сосѣда, а не самого себя, то приходится признать, что арабы, дѣйствительно, усвоили свою ариѳметику изъ Индіи и были убѣждены въ томъ, что она тамъ заразъ и сознательно была изобрѣтена. Правда, искренность и безкорыстіе убѣжденія и свидѣтельства еще не гарантируютъ и истинности его, т.-е. соотвѣтствія съ настоящей или исторической дѣйствительностью. Но вѣдь первые арабскіе свидѣтели являются почти современниками той эпохѣ, когда этотъ переходъ долженъ былъ и могъ совершиться. Стало-быть, имъ и книги въ руки, да, кромѣ того, появленіе у арабовъ индусскихъ математическихъ сочиненій во второй половинѣ VIII есть точно установленный фактъ. Однимъ словомъ, при самомъ лучшемъ расположеніи къ скепсису, приходится волей-неволей признать, что прямо изъ головы роль Индіи въ исторіи ариѳметики взята быть не могла, что индусы, дѣйствительно, сдѣлали въ ариѳметикѣ нѣчто такое, за что даже завистливые сосѣдніе и отдаленные народы стали ихъ славословить. Не только арабы, которые въ своихъ завоеваніяхъ пришли въ соприкосновеніе съ Индіей, но и другіе, болѣе отдаленные и не менѣе культурные люди говорятъ то же самое, какъ-то: евреи, западные европейцы и даже гордые своей наукой византійцы. Пусть болѣе отдаленные и болѣе поздніе свидѣтели повто-

ряютъ арабскую традицію, все же вопросомъ остается, повидимому, только размѣръ заслуги индусовъ въ изобрѣтеніи нашей ариѳметики. Совсѣмъ ихъ изъ этого изобрѣтенія выкинуть никакъ нельзя.

Но почему бы индусамъ и не выдумать ариѳметики? Что мы собственно имѣемъ противъ нихъ? Почему мы вдругъ настроились противъ нихъ на скептическій ладъ, не хотимъ вѣрить не только имъ самимъ, самодовольно признававшимъ ариѳметику за автохтонное изобрѣтеніе, но даже и другимъ, незаинтересованнымъ свидѣтелямъ?

Для этого, можетъ-быть, и есть нѣсколько резоновъ.

Прежде всего, характеръ предмета, о которомъ идетъ рѣчь. Неужели кого-нибудь можно убѣдить въ томъ, что безъ индусовъ и до индусовъ люди не умѣли ни считать ни производить четырехъ первыхъ ариѳметическихъ дѣйствій? Но вѣдь это умѣнье свойственно всѣмъ народамъ и вытекаетъ изъ самой сущности человѣческаго разума. Греки имѣли прекрасную ариѳметику, даже съ возвышеніемъ въ степени и извлеченіемъ корней квадратныхъ и кубическихъ, но никто не станетъ утверждать, что греки учились у индусовъ. Значитъ, дѣло идетъ не объ изобрѣтеніи ариѳметики вообще, а лишь объ усовершенствованіи ея, о приданіи ей болѣе простого и удобнаго вида, дающаго возможность производить дѣйствія скорѣе и проще, а числа изображать наименьшимъ количествомъ знаковъ и притомъ легко и ясно для всякаго. Такою наша современная ариѳметика, дѣйствительно, должна быть признана. Греки и римляне безусловно передъ ней пасуютъ, если только имъ никакой другой ариѳметики, кромѣ традиціонно имъ приписываемой (безъ значенія по положенію, безъ девяти цифръ, достаточныхъ для изображенія любого числа), извѣстно не было. Въ чемъ же состоитъ превосходство современной ариѳметики? Въ томъ, что только въ ней одной письменное изображеніе знаковъ, письменное счисленіе, поставлено въ ясное соотвѣтствіе съ словеснымъ десятичнымъ счисленіемъ, лежащимъ въ основаніи счета у всѣхъ народовъ. То, что было у всѣхъ народовъ очень ясно и просто на словахъ, становилось очень обстановочно, неясно и непросто, когда переходило въ письмо. Примѣръ греческое (алфавитное) или римское счисленіе. Въ нашей ариѳметикѣ этотъ недостатокъ устраненъ, а потому и извѣстныя всѣмъ и до нея ариѳметическія операціи значительно упрощались и становились удобными и удобообозримыми.

Повидимому, ничто не мѣшаетъ признать, что вотъ эта-то наша, болѣе удобная, ариѳметика индусскаго происхожденія.

Однако и тутъ праздникъ индусовъ нарушается нѣкоторыми непрошенными гостями исторической критики или традиціи.

Въ сочиненіи „Ариѳметическая самостоятельность европейской культуры“ я развилъ цѣлую сѣть аргументовъ въ пользу того1), что и эта болѣе удобная внѣшняя оболочка для ариѳметики совсѣмъ не такого рода, чтобы она могла быть изобрѣтена за одинъ присѣстъ какимъ-нибудь мудрецомъ или цѣлой компаніей ихъ въ какое-нибудь опредѣленное время. Она развивалась вѣками незамѣтно. Я постарался углубить и освѣтить эти темныя и куцыя до сихъ поръ перспективы исторіи ариѳметики, и мы увидѣли, что передъ нашей писчей ариѳметикой стоитъ во тьмѣ временъ очень длинная эпоха инструментальной ариѳметики. Какъ словесная десятичная ариѳметика, такъ и писчая десятичная родились и выросли на разнаго рода счетныхъ инструментахъ, начиная съ пальцевъ и кончая столомъ, разграфленнымъ на десятичныя колонны—разряды. На этомъ столѣ раскладывались мѣченныя девятью всего цифрами жетоны, и даже употреблялся чистый круглый жетонъ безъ всякой помѣтки (соотвѣтствующій нашему нулю). Эта автоматическая, медленная, не нуждающаяся въ содѣйствіи какихъ-нибудь мудрецовъ ариѳметическая эволюція раскрылась передъ нами съ ослѣпительною ясностью, а истинными виновниками ея явились не одинъ или нѣсколько геніальныхъ людей, а простые базарные люди, столѣтіями считавшіе для обыденныхъ своихъ надобностей на своихъ инструментахъ. Переходъ отъ словесной ариѳметики прямо къ нашей письменной безъ помощи счетнаго инструмента съ колоннами и мѣченными жетонами сталъ совершенно невѣроятенъ. Повѣрили ли мы бы арабамъ, если бы они повѣдали намъ, что какой-нибудь человѣкъ достигъ зрѣлаго возраста, минуя юность? А какъ разъ о счетныхъ инструментахъ ни арабы ни индусы не говорятъ ровно ничего!

Но если инструментальная стадія развитія является обязательной для нашей ариѳметики, то не принадлежитъ ли индусамъ, по крайней мѣрѣ, та честь, что они раньше другихъ продѣлали эту эволюцію и, дойдя до финальной „meta Sudans“, побили рекордъ на быстроту?

Однако чѣмъ бы можно было объяснить ихъ рѣзвость? Ариѳметическая эволюція вещь такого рода, что быстрота ея зависитъ отъ культурныхъ условій. Но развѣ индусы въ этомъ отношеніи стоятъ лучше другихъ извѣстныхъ намъ народовъ, египтянъ, ассирійцевъ и ихъ учениковъ грековъ? Эти цивилизаціи не моложе индусской, а ихъ

1) Объ этомъ въ настоящей хрестоматіи см. далѣе.

позднѣйшая стадія — греческая—куда интенсивнѣе индусской. Первенство индусовъ въ этомъ автоматическомъ творчествѣ оставалось бы, во всякомъ случаѣ, непонятнымъ.

Но уже давно сказано „credo, quia absurdum“. Чѣмъ непонятнѣе было первенство индусовъ, тѣмъ больше открывалось простора для слѣпой вѣры. Индусское происхожденіе нашей ариѳметики превратилось прямо въ своего рода догматъ, поколебать который не могли никакія разочарованія дѣйствительности.

Когда въ XIX столѣтіи была открыта инструментальная ариѳметика абацистовъ X—XII вѣковъ, и оказалось, что въ этой ариѳметикѣ употреблялось всего девять цифръ, нарисованныхъ на жетонахъ (или жетоны изображали собою цифры), что эти цифры имѣли значеніе по положенію справа влѣво, что и десятый родъ жетоновъ, а именно немѣченные, соотвѣтствующіе нашему нулю, были извѣстны абацистамъ, адепты новой вѣры смутились только на короткій срокъ. Сначала пробовали отрицать открытіе или интерпретировать его по-своему. Но когда это стало невозможно, сами обратились въ свидѣтелей и даже адвокатовъ въ пользу излюбленныхъ индусовъ. Стали утверждать, что открытый въ X—XII столѣтіяхъ на западѣ Европы у латинскихъ авторовъ абакъ появился къ нимъ оттуда же, откуда и новая ариѳметика, т.-е. изъ Индіи черезъ арабовъ. Нашли даже и человѣка, который познакомилъ Европу съ этимъ абакомъ, познакомившись съ нимъ у арабовъ. Это былъ, видите ли, Гербертъ. Авторитетъ такихъ позднихъ свидѣтелей, однако, ничтоженъ, аргументація же ученыхъ адвокатовъ крайне слаба.

Въ моей „Ариѳметической самостоятельности европейской культуры" я, мнѣ кажется, поставилъ внѣ сомнѣнія, что абакъ X—XII вв. есть классическая традиція, самое слово абакъ—греческое, какъ греческимъ же является и названіе похожаго на нашъ нуль немѣченнаго жетона у абацистовъ — sipos (psephos, psiphos, sipos). Выходитъ, что принципъ значенія по положенію, девять знаковъ и даже десятый, пока еще въ пластической формѣ жетона, а не письменнаго знака, были извѣстны грекамъ и римлянамъ. Пассажъ для индусовъ и ихъ адвокатовъ не изъ пріятныхъ, особенно если принять въ соображеніе, что индусы могутъ хвастнуть нашей ариѳметикой документально не ранѣе VIII вѣка по Р. Х., а греки ею пользовались, по крайней мѣрѣ, въ инструментальной формѣ не менѣе тысячи лѣтъ до того. Въ математикѣ греки были учителями индусовъ, которые у нихъ учились алгебрѣ, геометріи и астрономіи. Сама западная Индія III—I столѣтія до Р. Х. была подчи-

нена грекобактрійскому государству. Что же тутъ удивительнаго, если индусы заимствовали у грековъ абакъ? Тогда вся ихъ роля сводится къ тому, что они сняли съ инструментальной греческой ариѳметики писчую копію, что они стали писать цифры въ книгахъ по способу абака, да и то потому, что мѣстныя письменныя счисленія были очень сложны и неясны, греки же прекрасно обходились въ книгахъ своимъ числовымъ алфавитомъ и, производя на абакѣ операціи и изображая цифры по современному, результаты записывали по традиціонному способу.

Но тогда почему же всюду, гдѣ находится въ употребленіи современная ариѳметика, пользуются цифрами, которыя, говорятъ намъ, несомнѣнно индусскаго происхожденія? Положимъ, форма цифръ въ ариѳметикѣ вещь неважная и безразличная, но цифры, все же, являются своего рода фабричной маркой. Разъ марка индусская, то и провенансъ товара индусскій же. Аргументъ этотъ не такъ силенъ, какъ кажется. Дѣло въ томъ, что на жетонахъ на абакѣ греки употребляли первые девять знаковъ своего числового алфавита, т.-е. буквы. Усвоивъ у грековъ абакъ, индусы могли греческіе знаки, чуждые имъ, замѣнить своими знаками, можетъ-быть, тоже буквами, какими представляются, индусскія цифры нѣкоторымъ ученымъ.

Несомнѣнно тѣмъ не менѣе, что цифры остаются реальнымъ аргументомъ въ пользу индусовъ, независимо отъ могущихъ ошибаться свидѣтелей. Не рѣшая дѣла окончательно, онѣ создаютъ презумпцію въ пользу индусовъ. Такъ вопросъ о происхожденіи нашей ариѳметики, въ концѣ-концовъ, заостривается въ вопросъ о происхожденіи нашихъ, или, какъ ихъ обыкновенно называютъ, арабскихъ или индусскихъ цифръ. Если и цифры окажутся не индусскими по происхожденію, то тогда скромная роль индусовъ въ дѣлѣ изобрѣтенія ариѳметики станетъ яснѣе дня.

(„Происхожденіе и исторія нашихъ цифръ“. Гл. II.)

(Въ дальнѣйшемъ изложеніи читателю слѣдуетъ постоянно имѣть въ виду приложенныя здѣсь таблицы, на которыя ссылается проф. Бубновъ,—въ особенности таблицу № 2—„измѣненія нашихъ цифръ" и проч.)

1. Дала ли намъ Индія формы знаковъ, которые въ генетическомъ отношеніи можно было бы признать за первоначальныя, по самому ихъ графическому составу? 1, 2, 3, какъ мы знаемъ, ничего въ этомъ отношеніи сказать не могутъ, какъ слишкомъ элементарно образующіеся изъ соотвѣтственнаго количества параллельныхъ палочекъ. Для четверки являлась нѣкоторая возможность считать ее за

ТАБЛИЦА № I.

Цыфры и названія ихъ у абацистовъ X—XII вв.

ТАБЛИЦА № 2.

Варіаціи нашихъ цыфръ у разныхъ народовъ и въ разныхъ вѣкахъ

четыре палочки, сложенныя извѣстнымъ, повидимому, только Индіи условнымъ образомъ (V Ebc), но знакъ IV Abc, который отсюда могъ бы выработаться и который можно было бы разсматривать за первоначальный, легко образуется и изъ четырехъ палочекъ, расположенныхъ гораздо болѣе естественнымъ образомъ, а этотъ способъ (крестъ) извѣстенъ едва ли не раньше индусовъ бактрійцамъ и самъ собою могъ возникнуть и въ нѣсколькихъ мѣстахъ самостоятельно. Для восьмерки западной группы и нашей Индія даже ровно никакого графическаго матеріала не даетъ. Индусскій нуль долженъ быть признанъ по своему графическому составу только писчей копіей съ извѣстнаго абацистамъ жетона. Семерка, если она есть, что весьма вѣроятно, двойка сверхъ пяти даетъ у абацистовъ едва ли не самую простую и первоначальную форму. Девятка, шестерка и пятерка не представляютъ въ Индіи тоже ничего болѣе первоначальнаго въ графическомъ отношеніи.

Въ смыслѣ древности знаки, сходные съ абацистскими для четверки, пятерки, шестерки, семерки и девятки, представлены для Индіи болѣе древними документами, чѣмъ какіе могутъ предъявить арабы и абацисты, отчасти даже еще безъ значенія по положенію, но это не Богъ знаетъ какая древность. Она не древнѣе греческой традиціи абацистовъ. Кромѣ того, ровно ничѣмъ не засвидѣтельствовано, что они изобрѣтены непремѣнно въ Индіи. А все другое, что мы наблюдали относительно этихъ цифръ, дѣлаетъ ихъ индусское происхожденіе крайне сомнительнымъ.

2. Если предположить ихъ индусское происхожденіе, то первое затрудненіе, которое даютъ намъ формы цифръ, способно насъ обезкуражить. Оказывается, что наименѣе сходства съ восточной (индусской) группой обнаруживаетъ именно средняя, ближайшая къ ней группа восточныхъ арабовъ. Вѣдь арабы изъ Индіи ихъ могли усвоивать только на Востокѣ. Почему же, если исключить первыя четыре, мало говорящія, цифры, сходство этой группы съ индусской представлено въ сущности только девяткой? Пятерка же, шестерка, семерка и восьмерка даютъ очень отъ индусскихъ отличающіяся формы. Хотя мы и сдѣлали попытку свести эти формы къ сходству съ индусскими, но это достигнуто нами только путемъ выбора нѣкоторыхъ болѣе намъ удобныхъ формъ и попытки произвести отъ нихъ другія при посредствѣ палеографической интерпретаціи и не безъ содѣйствія кувыркающихся формъ абацистовъ. Необходимость всего этого мало говоритъ въ пользу непосредственнаго воспріятія восточными арабами цифръ индусскихъ вмѣстѣ съ ариѳметикой. Вѣдь въ Индіи они были въ то время уже скорописными письменными знаками.

Чѣмъ же тогда объяснялось бы новое неожиданное графическое творчество восточныхъ арабовъ и гдѣ необходимое для этого время? Вѣдь если пятерка въ формѣ нуля (III Lab) является документально представленной только съ XIV в., то вѣдь бета обратная (III Bab) фигурируетъ уже въ X вѣкѣ, а ведущая отъ беты къ нулю восьмерочная форма (III Fab) уже попадается въ IX! Въ томъ же IX в. мы встрѣчаемъ такую форму для шестерки (III Ccd), которую мы объяснить можемъ только изъ III Acd. Обѣ онѣ очень отличаются отъ индусскихъ, а III Acd въ частности напоминаетъ пятерку индусовъ. Для семерки мы находимъ уже въ IX вѣкѣ (III Bcd) форму, похожую на одну изъ формъ абацистовъ, которую съ индусскими (IV cd) мы съ грѣхомъ пополамъ сблизили только черезъ форму IV Acd, засвидѣтельствованную только въ XVIII в. Для восточно-арабской восьмерки уже X вѣкъ даетъ форму III Cab ничего ни съ индусскими (если не считать отдаленное сходство съ формой IV Lab, представленной южной рукописью XI вѣка) ни съ западной не имѣющую.

Все это былъ бы необъяснимый графическій капризъ.

3. Онъ становится еще болѣе необъяснимымъ, если принять въ соображеніе, что у арабовъ западныхъ, которые стоятъ гораздо дальше отъ Индіи, для пятерки, шестерки, семерки находятся въ употребленіи формы, примыкающія къ индусскимъ гораздо ближе, чѣмъ восточно-арабскія. Индусская пятерка и семерка, да и шестерка (до значенія по положенію) какимъ-то чудомъ перескакиваютъ черезъ середину съ праваго крыла на лѣвое. Западно-арабская восьмерка никакими прыжками ниоткуда не объясняется.

4. На бѣду, къ тому же, цифры западныхъ абацистовъ обнаруживаютъ наибольшее сходство съ цифрами западно-арабскими и, слѣдовательно, болѣе похожи на индусскія, чѣмъ на восточно — арабскія. Между тѣмъ единственные подлинные свидѣтели о переходѣ цифръ изъ Индіи вѣдь арабы, а единственно установленное ими время для этого VIII—IX вв. Изъ Индіи къ абацистамъ на крайнемъ западѣ, при допущеніи справедливости этого свидѣтельства, цифры могли попасть только черезъ восточныхъ и западныхъ арабовъ, т.-е. цифры абацистовъ должны были бы быть самыми отдаленными по формѣ отъ индусскихъ, а наблюдается какъ разъ обратное.

5. При такихъ условіяхъ выведеніе всѣхъ трехъ группъ, восточной, средней, западной изъ четвертой является не только возможностью, какъ это мы предположили только раньше, но даже скорѣе необходимостью. Нужно избрать другое болѣе центральное мѣсто для точки отправленія цифрового разсѣянія и указать для этого разсѣянія другое,

болѣе продолжительное время. Мѣсто должно быть такое, чтобы изъ него цифры могли тремя независимыми потоками пойти въ Индію, къ восточнымъ арабамъ, западнымъ арабамъ и абацистамъ, а время нужно отодвинуть много назадъ, назадъ отъ VIII в. по Р. Х., чтобы дать возможность цифрамъ подвергнуться внутри каждаго изъ потоковъ самостоятельнымъ графическимъ измѣненіямъ.

6. Возможность самостоятельнаго появленія въ различныхъ мѣстахъ одинаковыхъ знаковъ для цифръ исключена нами тѣмъ, что мы опираемся, главнымъ образомъ, на болѣе сложные и условные знаки для 5, 6—9, 0, а не на 1—4, (даже, можетъ-быть, 5). Нуль и девятка вездѣ встрѣчаются въ одинаковыхъ формахъ, для пятерки же, шестерки и семерки, при всѣхъ капризахъ графической традиціи, намъ тоже удалось, повидимому, свести все разнообразіе къ первоначальному единству.

7. Обстоятельства и время разсѣянія цифръ могутъ быть нами опредѣлены еще болѣе точно изъ оригинальнаго, наблюдаемаго нами повсюду, явленія, именно изъ кувырканія цифръ (и, можетъ-быть, даже поворотовъ цифръ на оси въ плоскости бумаги). Такое кувырканіе у индусовъ производитъ семерка (ab, bс), и даже одно изъ ея положеній (bс) неизвѣстно Индіи до значенія по положенію. Шестерка въ Индіи до значенія по положенію стоитъ на ногахъ (ab), а послѣ пріобрѣтенія значенія по положенію становится вверхъ ногами (cd, и даже чуть ли не поворачивается на оси въ плоскости бумаги). У восточныхъ арабовъ тоже кувырканіе даютъ двойка (bc, cd), тройка (da, cd), четверка. Въ западной группѣ такого кувырканья нѣтъ только у западныхъ арабовъ, но это развѣ только доказываетъ, что изъ цифръ западнаго крыла арабская группа не самая старая, такъ какъ въ двухъ другихъ группахъ, у абацистовъ и альгоритмиковъ, такое кувырканіе наблюдается, подтверждая наблюдаемый и по самымъ формамъ цифръ фактъ примыканія альгоритмиковъ не только къ арабамъ, но и къ абацистамъ, изъ которыхъ вѣдь они и дѣлались альгоритмиками. У альгоритмиковъ кувырканіе наблюдается въ двойкѣ, тройкѣ, шестеркѣ (едва ли семеркѣ?). Но, помимо кувырканія внутри отдѣльной группы, связь между всѣми ими поддерживается только интерпретаціей той или другой формы, какъ варіирующей по своему положенію. Восточноарабская (и отчасти индусская) семерка III cd есть варіантъ положенія семерки ab у абацистовъ, западныхъ арабовъ, альгоритмиковъ, индусовъ. Восточно — арабскую шестерку, а также и индусскую (cd) врядъ ли можно осмыслить иначе, какъ варіантъ положенія шестерки абацистовъ (ab и cd) и, можетъ-быть, альгоритмиковъ. То же можно повторить о

четверкѣ въ трехъ группахъ: она лежитъ въ трехъ положеніяхъ: ab, da, bc.

Наиболѣе сильное кувырканіе наблюдается, однако, у абацистовъ. У нихъ всѣ знаки подвижны: вращаются вокругъ оси, перпендикулярной къ бумагѣ и даже лежащей въ плоскости бумаги. Девятка и та у нихъ не постѣснялась стать вверхъ ногами, не обращая вниманіе на скандалъ, создаваемый ея полнымъ сходствомъ въ этомъ положеніи съ шестеркой. Подвижность цифръ на абакѣ объясняется подвижностью жетоновъ. Только на жетонахъ знаки кувыркаются. Находящіеся на писчемъ матеріалѣ знаки имѣютъ, какъ показываетъ исторія всѣхъ письменъ, полную устойчивость.

Отсюда мы приходимъ къ выводу, что цифровое разсѣяніе происходило съ абака, т.-е. въ то время, когда писчей (индусской) ариѳметики еще не существовало, т.-е. значительно раньше VIII и IX в. по Р. Х. или, другими словами, въ инструментальную эпоху развитія ариѳметики. Это подтверждаетъ сдѣланное нами уже изъ самыхъ формъ цифръ заключеніе, что распространеніе цифръ должно было происходить много раньше того времени, о которомъ говорятъ арабы.

8. Если цифры пошли въ общій всѣхъ народовъ оборотъ съ абака, то и свое значеніе по положенію онѣ должны были пріобрѣсти на абакѣ, что вполнѣ соотвѣтствуетъ характеру ариѳметической эволюціи, какъ она нами установлена въ „Ариѳм. самостоят. евр. культ.“ Что значеніе по положенію имъ не было присуще съ самаго начала, ясно видно изъ того, что въ Индіи мы встрѣчаемъ (табл. 2, V) девятку, семерку и шестерку (и четверку?), несомнѣнно, сходныя съ общими всѣмъ тремъ группамъ, но еще безъ значенія по положенію.

9. Если цифры стали разсѣиваться въ разныя стороны съ абака, то на абакѣ же нужно искать древнѣйшей традиціи о ихъ происхожденіи. Такую я считаю себя въ правѣ видѣть въ названіяхъ девяти цифръ у западныхъ латинскихъ абацистовъ, которыя не объясняются ни изъ латинскаго, ни изъ греческаго, ни даже изъ индусскаго. Они представляютъ помѣсь соотвѣтствующихъ числительныхъ какого-то урало-алтайскаго языка, очень древняго, и древнесемитическаго въ родѣ ассирійскаго. Это показываетъ, что на абакъ онѣ должны были явиться изъ страны, гдѣ такая помѣсь могла образоваться. Такой является древняя Халдея и Месопотамія. Географическое положеніе страны, добытой путемъ только что сдѣланнаго заключенія, какъ нельзя лучше отвѣчаетъ тѣмъ условіямъ, которыя мы установили выше на основаніи формы цифръ. Отсюда изъ Месопотаміи

прекрасно объясняется цифровое распространеніе тремя лучами: на западъ (въ бассейнъ Средиземнаго моря), на востокъ въ Индію, и въ центръ (передняя Азія), а также и вѣковъ для объясненія графическихъ преобразованій внутри каждой изъ группъ пріобрѣтается достаточное количество.

10. Присутствіе въ названіяхъ цифръ несемитическаго элемента, а также и извѣстный фактъ, что свою древнѣйшую культуры и даже письмена (клинопись) месопотамскіе семиты приняли отъ какого-то другого азіатскаго народа, проникшаго въ Месопотамію раньше семитовъ и впослѣдствіи покореннаго ими (въ III тысячелѣтіи до Р. Х.), заставляютъ насъ думать, что цифры абацистовъ, наши, арабовъ и индусовъ изобрѣтены этимъ азіатскимъ народомъ. Народъ этотъ называлъ 1—9 числительными своего языка, которыя были усвоены семитами и только для 4, 5, 8 уступили мѣсто семитическимъ. Курьезы подобнаго рода извѣстны и въ другихъ областяхъ вавилонской культуры, а насъ, русскихъ, удивлять не должны. Вѣдь и мы теперь покорно повторяемъ за греками свое „сорокъ" (τεσααράζοντα) и даже считаемъ его едва ли не самымъ русскимъ изъ числительныхъ. Московскія церкви мы привыкли мѣрить самою русскою мѣрою „сорока сороками". Куда дѣлось славянское „четыредесять"?

11. Арабское (и повторяющихъ ихъ) свидѣтельство объ индусскомъ происхожденіи цифръ есть добросовѣстное лжесвидѣтельство. Оно внушено имъ индусами, которые, усвоивъ цифры абака въ очень древнее время, навѣрно, до Р. Х., переработавъ ихъ нѣсколько и удержавъ для письменной ариѳметики, въ VIII и IX по Р. Х., разумѣется, считали ихъ за свое изобрѣтеніе, какъ и ариѳметику положенія. Оно объясняется и сходствомъ усвояемыхъ изъ Индіи вмѣстѣ съ писчей ариѳметикой цифръ съ тѣми, которые арабамъ были извѣстны уже по абаку и даже въ двухъ варіантахъ, въ видѣ восточно-и западно-арабскихъ. Они, усвоивъ писчую ариѳметику въ VIII—IX вв., удержали свое привычное начертаніе цифръ своего абака, съ которымъ они у грековъ и у латинянъ, разумѣется, должны были незадолго до появленія индусской ариѳметики познакомиться.

12. Такъ подтверждается изъ формъ цифръ и добытое нами изъ другихъ источниковъ убѣжденіе, что абацисты X вѣка знали рядомъ съ римскими и греческими на абакѣ еще и знаки, являющіеся прототипами нашихъ, какъ классическую традицію вмѣстѣ съ абакомъ, и отнюдь не могли брать ихъ у соприкасающихся съ ними западныхъ арабовъ. Наоборотъ, западные арабы взяли свои цифры у западныхъ абацистовъ, знакомыхъ съ ними, какъ съ варіантами мѣ-

токъ на жетонахъ абака, съ незапамятныхъ временъ, и, удержавъ ихъ при усвоеніи индусской писчей ариѳметики, создали неразрѣшимый вопросъ о двухъ типахъ арабскихъ цифръ.

Присоединяя ко всѣмъ этимъ заключеніямъ наши выводы о графической природѣ нашихъ цифръ, мы получаемъ слѣдующую ихъ исторію.

Наши цифры представляютъ собою изобрѣтеніе постепенное и совсѣмъ нехитрое. Онѣ появились въ незапамятныя времена у народа, который считалъ по пальцамъ и потому имѣлъ два элемента для изображенія цифръ: палецъ и кисть руки. Первые девять цифръ онъ изображалъ сначала, какъ и всѣ народы, суммировкой простѣйшихъ цифровыхъ элементовъ, приближаясь къ римскимъ цифрамъ: I, II, III, ІІІІ, V, далѣе шло прибавленіе къ болѣе крупной единицѣ, т.-е. пятеркѣ: VI, VII, VIII, VIIII. Однако, заслуга этого народа состояла въ томъ, что онъ не остановился, наподобіе римлянъ, на двухъ всего знакахъ, изображавшихъ схематически палецъ и кисть, а пошелъ дальше и путемъ скорописи выработалъ слитные знаки для двойки, тройки и четверки, при чемъ въ основаніе четверки легли четыре палочки, расположенныя не параллельно, а крестообразно. Комбинируя въ скорописи элементъ пятерки съ единицей и слитными знаками для двойки, тройки и четверки, а можетъ-быть, и трактуя эти знаки какъ діакритическія 1,2, 3, 4, онъ выработалъ знаки для 6, 7, 8, 9. Всѣ эти знаки имѣли передъ извѣстными другимъ народамъ два преимущества: 1) они были одномѣстны, т. е. занимали знакомъ одно мѣсто, а не нѣсколько (какъ римскія II, III, VIIII или египетская суммировка 4 изъ двухъ двоекъ); 2) они по своему виду отличались отъ буквъ алфавита. Послѣднее обстоятельство рекомендовало ихъ вниманію тѣхъ народовъ, которые для изображенія цифръ пользовались буквами, между прочимъ, и индусовъ. Первое могло быть оцѣнено по достоинству только много вѣковъ спустя, при пріобрѣтеніи имъ значенія по положенію, такъ какъ при многомѣстности онѣ для писчей ариѳметики положенія не годились бы. Но онѣ первоначально никакого отношенія къ значенію по положенію не имѣли, а потому рядомъ съ ними существовали и знаки для высшихъ цифръ, можетъ-быть, для 10, 100, 1000, если 20, 30, 200, 300, 2000, 3000 изображались суммировкой или умноженіемъ, а можетъ-быть, и еще больше знаковъ, если для суммированныхъ или умноженныхъ знаковъ были изобрѣтены тоже слитные знаки. Впрочемъ, послѣднее было бы уже не заслугой, а

медвѣжьей услугой, такъ какъ обиліе знаковъ должно было бы давить память.

Народъ, который изобрѣлъ эти девять ( + n) знаковъ, называлъ 1, 3, 6, 7, 9 числительными, похожими на „igin, ormis, caltis, zenis, celentis“, т.-е. были не индусы, не семиты, не греки и не римляне, а азіатскій народъ урало-алтайскаго происхожденія.

Отсюда эти цифры могли съ незапамятныхъ временъ, какъ отличные отъ буквъ и слитные удобные знаки, попадать къ различнымъ народамъ безъ значенія по положенію. Попадали онѣ, конечно, и къ индусамъ, но карьеру себѣ онѣ сдѣлали своимъ проникновеніемъ въ Месопотамію. Сюда онѣ были принесены, вѣроятно, тѣмъ народомъ, который ихъ выработалъ. Семитское завоеваніе Месопотаміи вытѣснило нѣсколько урало-алтайскихъ числительныхъ: четверка, пятерка и восьмерка дошли черезъ абацистовъ къ намъ только въ видѣ семитическихъ числительныхъ. Для остальныхъ космополитическая практика удержала уралоалтайскія названія.

Рано вовлеченная въ сферу греческаго вліянія Месопотамія усвоила себѣ греческій абакъ съ колоннами и мѣченными жетонами. Она сдѣлала для себя на востокѣ то, что римляне сдѣлали на западѣ. Римляне замѣнили первыя девять буквъ греческаго алфавита своими многомѣстными цифрами I—VIIII, что на абакѣ не имѣло неудобства, а семиты давно имъ извѣстными, но безъ значенія по положенію, девятью цифрами. Такъ на абакѣ три цивилизаціи грекоримскосемитскаго міра амальгамировались: рядомъ съ римскими и греческими цифрами и числительными очутились цифры никому неизвѣстнаго происхожденія съ ихъ мѣшаными семитоуралоалтайскими названіями.

На абакѣ эти цифры пріобрѣтаютъ вмѣстѣ съ римскими и греческими значеніе по положенію, но сохраняютъ свои важныя преимущества: 1) одномѣстность и слитность, 2) отличіе отъ буквъ. Соединеніе этихъ преимуществъ со значеніемъ по положенію открывало для нихъ двери повсюду.

На абакѣ же онѣ пріобрѣли себѣ нежданнаго спутника въ видѣ чистаго жетона, который одинаково охотно замыкалъ серію какъ жетоновъ, мѣченныхъ римскими или греческими числовыми знаками, такъ и жетоновъ, мѣченныхъ восточными знаками. Жетонъ этотъ у абацистовъ употреблялся для разныхъ отмѣтокъ, между прочимъ, и для отмѣтки пустыхъ колоннъ или разрядовъ. Какъ греческій жетонъ, онъ былъ извѣстенъ подъ греческимъ именемъ psephos, psiphos, или исковерканнымъ къ X—XII вв.: sipos. Такъ къ девяти экзотическимъ названіямъ присоединилось одно греческое.

Абакъ былъ, конечно, всюду извѣстенъ на западѣ, въ передней Азіи. Отсюда онъ перешелъ вмѣстѣ съ тѣми помѣтками на немъ, которыя были болѣе въ модѣ на Востокѣ, т.-е. съ абацистскими цифрами въ Индію. Это могло случиться въ III в. до Р. Х., а можетъ-быть, и раньше. Такъ вмѣстѣ съ абакомъ разсѣялись повсюду наши цифры, кувыркаясь въ разныхъ мѣстахъ по различному на своихъ жетонахъ. Если куда онѣ и являлись дважды, то именно въ Индію, а не на западъ изъ Индіи: одинъ разъ безъ значенія по положенію, другой разъ въ нѣсколько иныхъ положеніяхъ и формахъ со значеніемъ по положенію.

Судьба ихъ въ центрѣ такова. Онѣ усваиваются всѣми народами передней Азіи вмѣстѣ съ абакомъ, между прочимъ, и восточными арабами. Здѣсь въ теченіе вѣковъ онѣ вырабатываются въ тотъ типъ, который потомъ сохранили восточные арабы, усвоивъ индусскую ариѳметику.

На западѣ онѣ вмѣстѣ съ абакомъ жили столѣтія и тоже выработались въ самостоятельную графическую группу. Здѣсь усвоили ихъ западные арабы и сохранили для писчей индусской ариѳметики, разработавъ еще болѣе въ сторону скорописи. У западныхъ арабовъ ихъ вмѣстѣ съ писчей ариѳметикой заимствовали латинскіе альгоритмики Западной Европы, которые, впрочемъ, удерживали отчасти и извѣстныя имъ еще по абаку формы цифръ. Скоропись, каллиграфія, діакритическія потребности повели цифры у альгоритмиковъ въ сторону быстрыхъ разнообразныхъ измѣненій вплоть до выработки такихъ никому болѣе, кромѣ Европы (и христіанскимъ народамъ изъ Европы), неизвѣстныхъ формъ, какъ наша четверка и пятерка.

Въ то время, когда письменная ариѳметика проникала въ Европу, неизвѣстный абацистъ (александрійскій анонимъ) чуть было не преобразилъ абакъ въ писчую ариѳметику. Онъ сталъ писать цифры вмѣсто жетоновъ прямо на пергаментѣ, но со значеніемъ по положенію. Такъ, цифры въ родѣ 12, 22, 23 были написаны европейцемъ вполнѣ по-современному безо всякаго содѣйствія арабовъ и индусовъ. Что бы этому анониму изобразить извѣстный ему по абаку въ видѣ жетона нуль письменнымъ знакомъ! Тогда у него появились бы и 10 и 20, но вотъ этой малости онъ не сдѣлалъ, а другимъ абацистамъ уже нечего было это дѣлать.

Это было сдѣлано нѣсколькими вѣками раньше въ Индіи. Путаясь въ разныхъ сложныхъ системахъ изображенія чиселъ и имѣя въ распоряженіи массу естественнаго писчаго матеріала, индусы пришли незамѣтно для самихъ себя къ тому же, за чѣмъ мы поймали александрійскаго анонима. Они обратили инструментальное счисленіе абака въ пись-

менное, но обогнали анонима тоже простой и тоже, конечно, анонимной мыслью пустить въ ходъ и жетонъ для отмѣтки пустыхъ разрядовъ въ видѣ письменнаго знака (кругъ или точка).

Въ этомъ новомъ свѣтѣ старыя цифры абака съ мѣстными индусскими измѣненіями представились тоже индусскимъ изобрѣтеніемъ. Онѣ пошли на западъ, но здѣсь встрѣтили родственныя формы восточныхъ и западныхъ арабовъ, которые, хотя и сохранили ихъ, но тоже сочли и ихъ за индусское изобрѣтеніе.

Были ли наши цифры извѣстны Боэцію? На абакѣ, а не въ книгѣ и тетради, конечно, были извѣстны! Ихъ могъ прекрасно знать и тотъ самый Пиѳагоръ, котораго Лжебоэцій XI вѣка заставлялъ ихъ изобрѣтать. Фальсификаторъ (абацистъ XI в.) лгалъ, но очень прилично, учено и даже правдоподобно. Современники вѣрили ему не даромъ. Приписавъ изобрѣтеніе цифръ Халдеѣ, Радульфъ Ланскій, хотя и гадалъ, но попалъ пальцемъ довольно близко отъ настоящаго мѣста.

(„Происхожденіе и исторія нашихъ цифръ“. Заключеніе).

Я полагаю, что главное положеніе, какое было намѣчено нами, какъ основное, для рѣшенія вопроса о происхожденіи нашей ариѳметики, а именно, что абакъ—счетная доска христіанской Западной Европы X—XII вв., и не только онъ, самый инструментъ, а и связанное съ нимъ счисленіе и элементарная ариѳметика, классическаго происхожденія, доказано нами, насколько это можно было сдѣлать на небольшомъ пространствѣ этого общедоступнаго очерка1). Мало того, показано, что абакъ этотъ не только классическаго происхожденія, но и никакихъ другихъ элементовъ, а тѣмъ паче арабскихъ, которые были бы свидѣтелями его прохода черезъ арабовъ, къ X—XII вв. въ себя не вобралъ. Его названіе — „абакъ" въ общемъ смыслѣ „доски", „стола" является прежде всего въ древней Греціи. Въ частности доску стола, приспособленную для счета, греки называли абакомъ уже въ IV ст. до Р. Х. и даже, почти несомнѣнно, гораздо раньше. Ни у какого другого народа, кромѣ учениковъ грековъ, римлянъ, такого слова для обозначенія счетной доски не встрѣчается. Рисунокъ абака, въ его главныхъ чертахъ, т.-е. колонны для десятичныхъ разрядовъ, мы находимъ документально представленнымъ въ греческихъ и римскихъ абакахъ. Употребле-

1) Настоящій отрывокъ взятъ изъ заключительной главы книги проф. Бубнова „Ариѳметическая самостоятельность европейской культуры".

ніе на абакѣ немѣченныхъ жетоновъ, изъ которыхъ каждый обозначаетъ единицу, для раскладыванія въ его колоннахъ засвидѣтельствовано для Греціи и Рима и писателями и рисунками. Жетономъ на абакѣ могъ быть любой камешекъ, на что указываетъ еще и по сю пору слово „calcul“, происходящее отъ латинскаго слова „calculus“ „камешекъ“. То же самое значеніе имѣетъ и греческое слово „ψηωος“— psephos—псефосъ или псипхосъ. Оно значитъ первоначально камешекъ, въ частности камешекъ, употреблявшійся на абакѣ. Это его частное значеніе засвидѣтельствовано уже писателями V вѣка до Р. Х. которые этимъ словомъ уже обозначали и баллотировальный кружокъ или шаръ. Но псипхосъ былъ, разумѣется, не всегда непремѣнно камнемъ въ его естественномъ видѣ. Баллотировальные жетоны для судей въ Аѳинской политіи Аристотеля1) были или сплошные или „просверленные“ (τετρυπημέναι), откуда, какъ и изъ самаго ихъ назначенія и стремленія человѣка къ простымъ, удобнымъ формамъ и матеріаламъ, ясно, что жетоны приготовлялись и искусственные, изъ любого удобнаго матеріала, и, конечно, удобнцй, т.-е. круглой формы. Это были кружки въ родѣ нашихъ шашекъ. Такую шашку мы находимъ у абацистовъ X—XII вѣка. Рисунокъ ея у Лжебоэція конца XI вѣка и Радульфа Ланскаго начала XII вѣка изображаетъ собою кругъ съ дыркою посерединѣ, совершенно переносящій насъ воспоминаніемъ къ Аристотелю, хотя, конечно, это была дырка, имѣвшая не тотъ смыслъ, какъ у Аристотеля, гдѣ „дырявые“ жетоны обозначали голоса въ пользу истца, а полные—въ пользу отвѣтчика. Она, вѣроятно, была на всѣхъ жетонахъ абацистовъ и имѣла цѣлью нанизываніе ихъ на веревку или проволоку для удобнаго храненія и пользованія ими. На другихъ жетонахъ она тушевалась цифрой и только на немѣченныхъ жетонахъ выступала на первый планъ и даже, вслѣдствіе непониманія переписчиками „творенія“ Лжебоэція XI вѣка, сама дѣлала попытки обратиться въ мѣтку, похожую на „а“ или Δ. Латинскіе абацисты X—XII вв. называютъ этотъ немѣченный жетонъ или кружокъ иностраннымъ словомъ „сипосъ“ или латинскимъ „рота“, „ротула“, что значитъ „кругъ“, „кружокъ“. Латинское слово было, конечно, переводомъ иностраннаго слова „сипосъ“, которое имѣло, вѣроятно, значеніе такого же кружка, шашки. Отсюда слѣдуетъ съ несомнѣнностью, что „сипосъ“ есть исковерканный греческій „псипхосъ“, „псипосъ“. А исковеркаться онъ собственно имѣлъ бы право и болѣе того, чѣмъ онъ это

1) Ср. постановленія народныхъ собраній въ Аѳинахъ V в., которыя по баллотировкѣ псефами назывались „псефизмами“.

сдѣлалъ, если принять въ соображеніе, что слово „сипосъ" ранѣе XI вѣка и гдѣ-либо, кромѣ западныхъ абацистовъ, не встрѣчается. Оно, слѣдовательно, находилось въ употребленіи уже нѣсколько столѣтій у людей, по-гречески не говорившихъ.

Абацисты X—XII вв. называли „ротой" или „сипосомъ“ только немѣченный, „чистый" жетонъ. Жетоны съ помѣтками 1—9 у нихъ носили мудреныя нелатинскія и негреческія названія, которыя на смѣси языка семитическаго корня съ тюркотатарскимъ (алтайскимъ) обозначали собой первыя девять числительныхъ.

Существованіе мѣченныхъ жетоновъ въ классической древности не засвидѣтельствовано ни писателями ни другими документами. Археологически уловить такую вещь, какъ мѣтка (буква или иной знакъ) на легкомъ изъ непрочныхъ матеріаловъ приготовляемомъ кружкѣ, не удалось, да и было бы очень трудно. Тѣмъ не менѣе, мѣченные жетоны въ древности несомнѣнно существовали. Это доказывается тѣмъ, что абацисты употребляли на своихъ жетонахъ мѣтки, которыя переносятъ насъ въ сферу древней грекоримскосемитической культуры. Еще римскія цифры въ качествѣ мѣтокъ они и сами въ X вѣкѣ могли додуматься употреблять на абакѣ, такъ какъ онѣ были общеизвѣстны. Но уже буквы греческаго цифрового алфавита могли на жетонахъ появиться только изъ Греціи. Мудреные цифровые знаки (прототипы нашихъ цифръ) попали на жетоны абака уже несомнѣнно въ классической древности и являются, какъ показываютъ отчасти ихъ извѣстныя только христіанскимъ абацистамъ X—XII вв. названія, представителями третьяго культурнаго элемента древности—семитическаго. Ихъ близкое сходство съ цифрами западныхъ арабовъ (гобаръ) и значительное отличіе отъ цифръ восточныхъ арабовъ и индусовъ объясняются тѣмъ, что западные арабы познакомились съ ними на западѣ въ завоеванныхъ ими частяхъ бывшей римской имперіи, а абацисты вели свою традицію оттуда же, изъ римской имперіи. У абацистовъ за два вѣка, X—XII вв., гдѣ мы ихъ у нихъ только и можемъ прослѣдить, эти мудреные знаки мало мѣняютъ свои формы, такъ какъ они написаны были на разъ на всегда приготовленныхъ жетонахъ, а потому были застрахованы отъ быстраго измѣненія. Тѣ же цифры у западныхъ арабовъ за то же время подверглись сильному измѣненію въ сторону скорописи, такъ какъ арабы въ это время перешли отъ инструментальной къ писчей ариѳметикѣ, гдѣ цифры нужно было писать, а потому цифры арабской ариѳметики, являющіяся въ XII вѣкѣ въ Европу отъ западныхъ арабовъ, пред-

ставляютъ уже сразу, при общемъ сходствѣ, сильное отличіе отъ цифровыхъ знаковъ абацистовъ, съ которыми они еще въ IX и X вѣкахъ были такъ сходны. Господство той же писчей, а не жетонной инструментальной ариѳметики на Востокѣ у восточныхъ арабовъ и индусовъ объясняетъ аналогичный фактъ развитія и тамъ. Цифры восточныхъ арабовъ, а можетъ-быть, и индусовъ есть не что иное, какъ видоизмѣненіе тѣхъ же знаковъ, извѣстныхъ абацистамъ X—XII вв. изъ классической древности, самостоятельно въ сторону скорописи въ средней Азіи и Индіи. Такъ образовались три (?) производныя отъ тѣхъ древнѣйшихъ формъ, которыя были извѣстны абацистамъ X по XII вѣковъ и которыя у нихъ безъ неудобства сохраняли на жетонахъ свой архаическій видъ, группы знаковъ: 1) знаки альгоритмиковъ, т.-е. видоизмѣненные между X—XII вв. знаки западныхъ арабовъ, ведущіе свое начало изъ классической древности; они ближайшіе прототипы нашихъ современныхъ цифръ; 2) знаки восточныхъ арабовъ; 3) (можетъ-быть) знаки индусовъ (деванагари). Древнѣйшая форма нашихъ цифръ дается намъ именно цифрами абацистовъ X—XII вв.,и древнѣйшія названія ихъ, извѣстныя полностью только абацистамъ, а не арабамъ и индусамъ, оказываются смѣсью древне семитическаго (ассирійскаго) языка съ другимъ иного (тюркотатарскаго) корня языкомъ, указывающей на ихъ происхожденіе изъ Месопотаміи (семиты, племена Сумиръ и Аккадъ). Индусское происхожденіе нашихъ цифръ есть результатъ похвальнаго, но невѣжественнаго патріотизма индусовъ на религіозной подкладкѣ, приписывавшаго ихъ Буддѣ, и легковѣрія арабовъ, которые косно повторяли утвержденіе индусовъ, казавшееся имъ несомнѣннымъ вслѣдствіе появленія сходныхъ съ извѣстными имъ цифръ съ Востока вмѣстѣ съ писчей ариѳметикой. Ничего подобнаго не было извѣстно абацистамъ X—XII вв., и, пускаясь въ догадки о происхожденіи своихъ странныхъ знаковъ на жетонахъ, они, въ лицѣ Радульфа Ланскаго, по тѣмъ же имъ однимъ извѣстнымъ названіямъ цифръ, на которыя опирался и я, конструировали гипотезу халдейскаго и даже ассирійскаго ихъ происхожденія. Древнѣйшее мѣсто, на которомъ наши цифры въ ихъ архаическомъ видѣ и съ ихъ носящими на себѣ штемпель вавилонскаго смѣшенія языковъ названіями встрѣчаются, есть жетонъ абацистовъ. Съ этимъ жетономъ они могли попасть въ Индію изъ передней семитической Азіи, на немъ же ихъ въ компаніи съ греческими буквами и римскими цифрами впервые увидѣли западные арабы. Съ обращеніемъ инструментальной ариѳметики въ писчую, они стали быстро измѣняться на Востокѣ и, путешествуя съ

VIII вѣка черезъ арабовъ на Западъ, встрѣтили у западныхъ арабовъ свои стойко на абакѣ державшіеся прототипы. Усвоивъ себѣ писчую ариѳметику, западные арабы взяли съ абака именно эти сходные съ пришедшими съ Востока цифрами знаки, т.-е. удержали ихъ по привычкѣ, но съ X вѣка тоже быстро пошли по дорогѣ скорописныхъ ихъ измѣненій. Ни индусы, ни арабы, ни новые ученые не подозрѣвали, что въ классической традиціи абацистовъ X—XII вв. кроется въ видѣ мудреныхъ знаковъ и названій опроверженіе ихъ индусскихъ заблужденій относительно происхожденія цифровыхъ знаковъ.

Итакъ, несомнѣнно, что классическая древность употребляла на абакѣ мѣченные жетоны. Мѣтки мѣнялись сообразно средѣ: у грековъ—греческія буквы, у римлянъ— свои цифры, на семитическомъ Востокѣ—свои особые знаки. Соединивъ всѣ эти три культуры въ одно политическое цѣлое, римляне соединили и знаки всѣхъ трехъ культуръ на жетонѣ абака. На жетонахъ и колоннахъ абака они всѣ были удобны. Когда ариѳметика „расколонилась“ и „разжетонилась“, и способъ изображенія знаковъ на счетномъ инструментѣ (девятью знаками въ десятичныхъ разрядахъ) сдѣлался вмѣстѣ съ тѣмъ способомъ изображенія и на письмѣ, въ книгахъ, однимъ словомъ, внѣ абака, то римскія цифры оказались бы неудобными своею сложностью (VIIII = 51111 а не IX), греческія буквы своимъ сходствомъ съ обыкновенными буквами. Это дало бы перевѣсъ семитическимъ знакамъ, которые именно представляютъ собой каждый графическое цѣлое, какъ бы букву, а потому могли удобно изображать собою цифры, имѣющія значеніе безъ колоннъ, только по положенію. Но карьеру ихъ сдѣлалъ случай: они могли попасть въ Индію изъ семитической Азіи на жетонахъ абака, вѣроятно, безъ своихъ римскихъ и греческихъ варіантовъ, а именно здѣсь писчая ариѳметика раньше всего сдѣлалась модной. Но случай рѣшилъ дѣло не во всѣхъ отношеніяхъ удачно. Какъ разъ именно эти знаки были самыми неудобными для писчей ариѳметики, для скорописи. Пришлось ихъ обработать въ этомъ смыслѣ. Въ результатѣ три группы знаковъ: 1) группа наша (альгоритмиковъ), вырабатывавшаяся у западныхъ арабовъ самостоятельно изъ своихъ древнѣйшихъ прототиповъ на абакѣ X—XII вв., явившаяся въ XII вѣкѣ въ христіанскую Европу и постепенно съ XII по XVI вѣкъ измѣнившаяся въ наши цифры; 2) группа индусская, выработавшаяся уже раньше VIII вѣка; 3) стоящая съ ней въ связи группа восточноарабская. Цифры абацистовъ, какъ неудобныя для скоро-

писи, пришли въ забвеніе, а между тѣмъ именно прямо отъ нихъ, не заходя въ Индію, произошли наши европейскія цифры, которыя поэтому не индусскія и не арабскія, а халдейскія. Между тѣмъ, если уже есть въ нашей ариѳметикѣ что-нибудь упорно называемое индусскимъ, такъ это именно наши цифры. Выведеніе ихъ изъ Египта и др. странъ покоилось лишь на необязательныхъ гипотезахъ, неосновательныхъ сближеніяхъ. Самое знакомство съ ними древности было лишь выводомъ изъ лживаго, какъ мы видѣли, свидѣтельства Лжебоэція XI вѣка, и подвергалось основательному сомнѣнію не столько вслѣдствіе убѣдительности доводовъ въ пользу подложности этого свидѣтельства, сколько вслѣдствіе увѣреннаго утвержденія арабовъ и самихъ индусовъ объ индусскомъ ихъ происхожденіи и появленія ихъ вмѣстѣ съ новой не жетонной, а писчей ариѳметикой съ далекаго Востока въ VIII столѣтіи. Понятное съ нашей точки зрѣнія и вовсе не заключающее въ себѣ исторической необходимости считать ихъ за индусское сходство ихъ со знаками абацистовъ у христіанъ X—XII вѣка и западныхъ арабовъ IX—X вв. было истолковано самими арабами, а съ XII вѣка и христіанской Западной Европой въ смыслѣ происхожденія и этихъ послѣднихъ изъ Индіи и появленія ихъ въ Европу при посредствѣ арабовъ, что вполнѣ отвѣчало усилившемуся съ XII вѣка вліянію арабской науки. Палеографически это тоже, что считать капитальное и унціальное латинское письмо за производное, а римскую, трудно разбираемую, подверженную капризамъ временъ и странъ, скоропись, или хотя бы каролингскую минускуль за основное. Никто не станетъ утверждать, что письмо Остромирова Евангелія произошло изъ позднѣйшей скорописи или петровскаго гражданскаго алфавита, такъ какъ этого не позволитъ хронологія. Для исторіи же нашихъ цифръ „прежде" и „послѣ" оказалось такъ перепутанными и трудно возстановимыми, что то, что было скорописнымъ индусскимъ измѣненіемъ, принималось за основное, а, если такъ можно выразиться, „капитальные или уставные", во всякомъ случаѣ, важные и неуклюжіе знаки семитическаго Востока у абацистовъ признавались лишь варіантомъ индусскихъ скорописныхъ знаковъ. Такъ пишется исторія!

Итакъ, цифры современной ариѳметики не индусскія, а европейскія въ томъ же смыслѣ, въ какомъ мы можемъ назвать европейскими и наши алфавиты, которые всѣ ведутъ свое начало черезъ греческій изъ семитическихъ буквъ. До XII вѣка у абацистовъ, до IX вѣка у арабовъ они стойко сохраняли свой восточный обликъ. Писчая

ариѳметика, усвоенная арабами, повела ихъ по дорогѣ быстрыхъ измѣненій. Здѣсь западные арабы положили начало, а Западная Европа завершила ихъ скорописную реформу.

Но въ числѣ признаваемыхъ за индусскія цифръ находится десятый знакъ, нуль, графическій представитель индусской нирваны, а въ немъ-то вѣдь и вся сила нашей ариѳметики... Безъ нуля наше счисленіе возможно только на колоннахъ абака. Онъ-то, нуль, повидимому, уже навѣрно индусскаго происхожденія. Всѣ попытки найти у грековъ знакъ, похожій на нуль, были тщетны. И соблазнительное „0", перечеркнутое чертой, у Птоломея при обозначеніи отсутствующихъ минутъ или секундъ въ счетѣ градусовъ дуги, оказалось не болѣе, какъ сокращеніемъ слова ,,ούδέν"—„уденъ„—„ничего“, и обозначаетъ просто, что уголъ равенъ точно столькимъ-то градусамъ безъ минутъ и секундъ, или столькимъ-то градусамъ и секундамъ безъ минутъ. Да и это обозначеніе въ рукописяхъ Птоломея уже, можетъ-быть, послѣарабскаго происхожденія. Обратимся къ абацистамъ, не выручатъ ли они насъ и здѣсь? Повидимому, это совсѣмъ отчаянная попытка. Вѣдь абацистамъ именно нуля-το на абакѣ, благодаря съ успѣхомъ его замѣнявшимъ колоннамъ, и не нужно было. Кромѣ того, на абакѣ они употребляли не прямо знаки, а мѣченные цифрами 1—9 жетоны. У нихъ цифровые знаки были не знаками, подлежащими каждый разъ изображенію на письмѣ, а мѣтками на заранѣе приготовленныхъ жетонахъ. Иногда они и самые жетоны вырѣзывали изъ рога наподобіе цифровыхъ знаковъ, какъ это намъ доподлинно извѣстно о Гербертѣ въ концѣ X вѣка. Какъ же у нихъ или въ частности у Герберта можно искать „знака" для нуля? Найти его невѣроятно „въ квадратѣ". И, однако, мы его нашли, только, разумѣется, не въ формѣ писчаго знака.

Свои жетоны съ помѣтками 1—9 абацисты называли не порядковыми числительными: „одинъ, два, три" („unus, duo, tres"), а прилагательными отъ собирательныхъ числительныхъ въ родѣ нашихъ, „по одному, по два, по три" (singuli, bini, terni), а именно „singularis, binarius, ternarius" и т. д., которыя соотвѣтствуютъ обозначеніямъ нашихъ картъ: двойка, тройка, четверка (одиночка—замѣнена у насъ обозначеніемъ: тузъ). Здѣсь словесно отразилась замѣна жетономъ съ помѣткой 2, 3, 4, двухъ, трехъ, четырехъ немѣченныхъ жетоновъ. Замѣчательно, что уже Боэцій въ своей ариѳметикѣ и музыкѣ изображаемыя имъ римскія цифры II, III, IV называлъ тоже бинаріемъ, тернаріемъ, кватернаріемъ. Когда множили числовыя понятія, говорили:

дважды-два—четыре (bis bini quattuor), а когда оперировали жетонами на абакѣ, выражались: бинарій на бинарій—кватернарій. Рядомъ съ этими обозначеніями, абацисты называли свои мѣченные жетоны еще и мудреными, непонятными для нихъ названіями смѣшаннаго семитотюркотатарскаго происхожденія. Но у нихъ былъ еще и десятый родъ жетоновъ, именно немѣченные жетоны. Въ латинской серіи названій онъ назывался „ротой“, „ротулой“, т.-е. кругомъ. Въ другой серіи названій онъ обозначался испорченнымъ греческимъ словомъ „сипосъ“ отъ „псипхосъ“, т.-е. жетонъ. Уже этого было бы достаточно, чтобы заключить, что этотъ десятый родъ жетоновъ получилъ это обозначеніе еще у грековъ. Съ появленіемъ мѣченныхъ жетоновъ, они у грековъ должны были обозначаться, по аналогіи съ абацистами, какими-нибудь названіями въ родѣ нашихъ двойка, тройка, т.-е. діадой, тріадой, тетрадой и т. д. Тогда ихъ общее названіе psiphos должно было утратить это свое общее значеніе и стало обозначать спеціально немѣченный жетонъ. Римляне передали это обозначеніе въ исковерканномъ видѣ въ средніе вѣка, поставивъ, впрочемъ, рядомъ съ нимъ и свое національное „рота“. Иначе, какъ изъ классической древности, „сипосу“ или „ротѣ“ неоткуда взяться. Думать, что въ XI вѣкѣ этотъ кружокъ и его названіе были усвоены абацистами у арабовъ, нельзя. Мы видѣли, что всѣ остальные элементы абака классическаго происхожденія. Было бы странной фантазіей абацистовъ взять у арабовъ какъ разъ то, чего имъ на абакѣ съ колоннами совершенно не нужно было, и что арабамъ въ сущности не было извѣстно. Въ писчей арабской ариѳметикѣ нуль есть письменный знакъ, а не жетонъ, и назывался онъ не сипосомъ или тѣмъ менѣе ротой, а цифрой (ciflra, ciffre).

Но если нуль не былъ нуженъ абацистамъ, то зачѣмъ онъ могъ бы понадобиться грекамъ на томъ же абакѣ? Было бы напрасно думать, что абакъ съ колоннами былъ высшей ступенью развитія греческой инструментальной ариѳметики. Если абацисты X—XII вѣка цѣпко держатся своихъ колоннъ, то это есть результатъ ихъ убожества и косности въ разъ усвоенной и далеко не лучшей традиціи. Вѣдь дѣло не въ колоннахъ, а въ разрядахъ, разряды же можно обозначать и другимъ образомъ. Уже простой сборщикъ податей, мытарь такъ сказать, считаетъ на рисункѣ неаполитанской вазы безъ всякихъ колоннъ, довольствуясь однѣми помѣтками разрядовъ на верху своего стола. Ну, а люди похитрѣе и покнижнѣе, фарисеи счетоводства, могли вѣдь и помнить, что первый разрядъ направо—единицы, второй влѣво—десятки и т. д. Имъ нужно было только

знать число пустыхъ разрядовъ справа или въ серединѣ, чтобы совсѣмъ и отъ помѣтокъ эмансипироваться. Счетъ же пустымъ разрядамъ можно было прекрасно вести немѣченными, „чистыми“ жетонами. Для этой-то цѣли были удержаны, помимо мѣченныхъ, еще немѣченные жетоны подъ спеціальнымъ названіемъ „псипхосъ“. Но если псипхосъ у грековъ исполнялъ важную роль счетчиковъ пустыхъ разрядовъ, то у окаменѣвшаго въ своихъ колоннахъ средневѣкового абациста онъ уже совершенно не зналъ, что ему дѣлать. Онъ, то отмѣчаетъ перемножаемые въ данный моментъ разряды при умноженіи многозначныхъ, то, помня свою прежнюю роль, путается безъ — толку въ пустыхъ колоннахъ абака справа отъ мѣченныхъ цифрами жетоновъ и между ними, хотя все, что онъ при этомъ хочетъ сказать, уже сказано колоннами. Теперь настало время возвеличить этого печальнаго и, по внѣшности, безтолковаго скитальца. Вѣдь это и есть въ своей чисто греческой, пластической, формѣ нашъ важный нуль, попавшій у средневѣковыхъ абацистовъ изъ баръ въ ариѳметическіе босяки.

Абацисты называли его иногда не просто „ротулой“, а еще и ротулой „supervacua“. Въ классическомъ языкѣ это слово значитъ: „не нужный, лишній“. Такое обидное обозначеніе хорошо подходитъ къ его роли на абакѣ. Но возможно, что это слово представляетъ собой соединеніе двухъ словъ „supra“ и „vacua“. Это значило бы „сверху пустой“, т.-е. немѣченный. Оно было, можетъ-быть, переводомъ соотвѣтствующаго греческаго эпитета и только потомъ было осмыслено, согласно новому положенію его у римскихъ абацистовъ на колоннахъ, въ „super-vacua“. Знаменательно, во всякомъ случаѣ, что у индусовъ нуль называется „сунья“, что значитъ пустой (vacuus), а у арабовъ „цифръ“, что значитъ то же. Выходитъ, что латинское „supervacua“, индусское „сунья“ были переводомъ одного и того же греческаго эпитета при словѣ псипхосъ. А это значило бы то, что уже само напрашивается, какъ заключеніе изъ того, что нуль и наша ариѳметика у индусовъ найдены лишь нѣсколькими столѣтіями послѣ Р. Х., тогда какъ греческій „псипхосъ“ восходитъ къ классическимъ временамъ, именно, что не только наши цифры индусы взяли съ жетоновъ греческаго абака въ восточномъ семитическомъ его варіантѣ, но и самый нуль въ видѣ пустого (сунья) жетона взятъ ими у грековъ. Когда они перешли къ писчей ариѳметикѣ, нуль обратился изъ жетона въ знакъ, совершенно какъ и остальные жетоны со своими мѣтками сдѣлались у нихъ знаками.

Но если наши девять цифръ и нуль не индусскаго и не арабскаго происхожденія, то что же тогда принадлежитъ въ нашей ариѳметикѣ индусамъ. Во всякомъ случаѣ, не десятичное основаніе нашей ариѳметики, такъ какъ его мы находимъ проведеннымъ въ числительныхъ не только индо-европейскихъ народовъ, но и въ числительныхъ культурныхъ языковъ совершенно иного корня, напримѣръ, семитическихъ. Оно, это основаніе, есть результатъ случайности, что у человѣка на двухъ рукахъ десять пальцевъ, а пальцы—первый счетный инструментъ. Не десятичные разряды и не значеніе цифръ по положенію въ этихъ разрядахъ! Не связанное съ десятичными разрядами и мѣченными жетонами умѣнье, или, вѣрнѣе, необходимость ограничиваться въ каждомъ всего девятью знаками! Не ростъ разрядовъ справа влѣво! Все это мы находимъ у абацистовъ, а они все это заимствовали у грековъ. Но у грековъ было и то, чего абацисты у нихъ не заимствовали или заимствовали лишь въ искаженномъ видѣ, т.-е. счетчики пустыхъ разрядовъ, пустые жетоны, дававшіе возможность изображать жетонами на любомъ столѣ любое число всего лишь десятью родами жетоновъ, именно мѣченными 1—9 и пустыми. Итакъ, на жетонахъ у грековъ была вся наша пресловутая ариѳметика. Операціи ея изобрѣтены не индусами, а вытекаютъ изъ самой сущности вещей и должны у всѣхъ народовъ происходить, по сущности, одинаково. У абацистовъ же или на греческой жетонной ариѳметикѣ онѣ и по формѣ происходятъ одинаково съ индусскими. Нѣкоторые отсталые или кажущіеся странными, въ нашей ариѳметикѣ не встрѣчающіеся, варіанты нашихъ дѣйствій у абацистовъ объясняются еще не порвавшейся связью ихъ съ операціями на греческомъ абакѣ съ немѣченными жетонами.

Только въ одномъ отношеніи индусская ариѳметика имѣетъ существенное превосходство передъ абакомъ: это въ системѣ дробей. Въ ней дроби уже не разъ навсегда установленныя дѣленія фунта или драхмы, какъ у римскихъ и греческихъ абацистовъ, а такія же съ любымъ знаменателемъ и числителемъ, какъ у насъ. Но такія дроби были извѣстны и грекамъ и являются лишнимъ доказательствомъ того, что абакъ X—XII столѣтія совсѣмъ не заключалъ въ себѣ все ариѳметически лучшее, что выработала древность.

Однако если у индусовъ нѣтъ ровно ничего существенно новаго въ ариѳметикѣ, если они въ сущности повторяютъ греческіе зады, если все, что извѣстно индусамъ, было извѣстно и грекамъ, то какимъ образомъ ариѳметическое движеніе, шедшее съ VIII вѣка изъ Индіи на западъ, все

же производило впечатлѣніе чего-то новаго, спеціально индусскаго, нигдѣ болѣе не встрѣчающагося? Не только арабы, но и христіанскіе писатели Западной Европы, даже позднѣйшіе греки (Максимъ Планудесъ въ XIV вѣкѣ), у которыхъ связь съ древне-греческой культурой еще не была порвана, даже евреи, всѣ безъ запинки говорятъ объ индусскихъ цифрахъ и ариѳметикѣ; превозносятъ и пропагандируютъ ихъ.

Что касается спеціально цифръ, то это было просто, какъ мы видѣли, заблужденіе, хотя и понятное. Нѣчто новое, что было въ индусской ариѳметикѣ и что раньше всего проявляется въ Индіи, давало свой отблескъ и на знаки. Они казались испоконъ вѣка связанными съ этимъ новымъ, что было такимъ въ индусской ариѳметикѣ, и пріобрѣтали индусскій отпечатокъ даже въ глазахъ тѣхъ, кто зналъ ихъ въ гораздо болѣе древнемъ, во всякомъ случаѣ, не индусскомъ видѣ, какъ, напримѣръ, въ глазахъ западныхъ арабовъ. Что же новаго было все-таки въ индусской ариѳметикѣ, что увлекало умы и сокрушило даже вѣками процвѣтавшій на западѣ абакъ.

Не спросить ли опять абацистовъ, этихъ серьезныхъ скромныхъ людей, уже не разъ сообщавшихъ намъ самыя неожиданныя и важныя вещи? Спросимъ и увидимъ, что и въ этотъ разъ они насъ выручатъ.

У абацистовъ X—XII вв. было два счисленія. Одно письменное или книжное, другое инструментальное. Пока абацистъ считалъ на своемъ абакѣ, онъ выражалъ числа въ колоннахъ всего лишь девятью родами жетоновъ, имѣвшими значеніе по положенію. Но, окончивъ считать, результаты онъ изображалъ на пергаментѣ обыкновенными римскими цифрами, гдѣ знаки имѣютъ значеніе сами по себѣ, независимо отъ положенія, гдѣ эти знаки совсѣмъ не выражаютъ собою первыхъ девяти чиселъ и гдѣ ихъ не девять, а семь: I, V, X, L, С, D, М. Остальныя цифры образуются или путемъ сложенія (XX), или путемъ умноженія (ХМ = 10.000), или даже вычитанія (ІХ = 10—1 = 9). Римская цифровая система весьма примитивна, куда хуже греческой, и тѣмъ не менѣе никто изъ западныхъ абацистовъ въ текстѣ для изображенія чиселъ никакихъ другихъ цифръ, кромѣ римскихъ, не употребляетъ. Объяснитъ значеніе колоннъ, опишетъ и нарисуетъ цифровые знаки числомъ 9, упомянетъ даже о „ротулѣ“ или „сипосѣ“, пользуется всѣмъ этимъ на вставленныхъ въ текстъ рисункахъ, даже нуль (роту) тычетъ туда, гдѣ въ немъ нѣтъ надобности, въ колонны абака, а рядомъ въ текстѣ, гдѣ, по на-

шему мнѣнію, этотъ извѣстный ему нуль могъ бы сослужить ему большую службу, онъ словно все забываетъ и крѣпко держится старой римской системы. Это объясняется не только тѣмъ, что римскія цифры онъ писалъ и читалъ не хуже, чѣмъ мы наши, не только тѣмъ, что для изображенія чиселъ въ текстѣ онѣ вполнѣ годятся. Неудобными вѣдь онѣ оказались бы при операціяхъ, а операціи-то какъ разъ выполнялись при совсѣмъ другомъ счисленіи. Очевидно, и тутъ дѣло рѣшала традиція. Такъ было прежде, въ классической древности, такъ оно должно быть и теперь. А что въ древности было такъ, это лучше всего видно изъ того, что грекамъ прекрасно были извѣстны жетоны, мѣченные девятью цифрами, извѣстенъ былъ десятый немѣченный жетонъ, счотчикъ разрядовъ, а они нигдѣ (какъ и вообще вся древность) не оставили намъ ни одного примѣра изображенія чиселъ этими жетонами или прямо ихъ знаками на бумагѣ, въ текстѣ книги. Послѣ разительнаго примѣра абацистовъ, мы уже должны будемъ допустить, что грекъ могъ раскладывать на столѣ десять родовъ „псипхосовъ", изображать ими числа вполнѣ сходно съ нами, напримѣръ, 3 о 2, и считать ими, какъ и мы, а когда дѣло дойдетъ до изображенія числа въ текстѣ документа или книги, сейчасъ обращался къ своему числовому алфавиту, гдѣ было 27 буквъ, изображавшихъ собою разныя числа (1 — 9, 10—90, 100—900), или къ другому, болѣе примитивному, способу, состоявшему въ обозначеніи чиселъ начальными буквами основныхъ числительныхъ (1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, талантъ = 6000) и комбинаціи ихъ. Вводить вульгарную, базарную жетонную ариѳметику въ книгу онъ находилъ такъ же мало нужнымъ, какъ мы нашли бы мало нужнымъ изображать числа на бумагѣ рисункомъ проволокъ и жетоновъ русскихъ счетовъ. Такъ въ древней Греціи существовали параллельно жетонное счисленіе и ариѳметика, по сущности вполнѣ сходная съ нашей, и книжный письменный способъ изображать числа, не похожій на нашъ. Усвоивъ себѣ эту жетонную ариѳметику, можетъ-быть, еще въ Эллинистическій періодъ, т.-е. въ послѣднихъ трехъ столѣтіяхъ передъ Р. Х., индусы, не выработавшіе у себя общаго для всѣхъ яснаго, удобнаго, безъ поэзіи и фантазіи, не покидавшихъ ихъ и въ математическихъ сочиненіяхъ, способа изображенія цифръ на письмѣ, пришли черезъ нѣкоторое время къ убѣжденію, что жетонное счисленіе куда проще, чѣмъ ихъ освященныя древностью, даже священныя письменныя счисленія, а потому допустили его въ письмо, въ книгу. Для этого они стали рисовать прямо на писчемъ матеріалѣ девять помѣтокъ, встрѣчавшихся на ихъ жетонахъ и бывшихъ древ-

ними семитическими знаками, а пустой жетонъ изобразили графически кружкомъ. Такъ была разрушена стѣна, отдѣлявшая два счисленія. Простое, вульгарное, выросшее незамѣтно на примитивномъ счетномъ инструментѣ, но до геніальности ясное счисленіе на жетонахъ сдѣлалось письменнымъ, а обратившійся въ знакъ чистый жетонъ, сунья, оказался незамѣнимымъ, волшебнымъ знакомъ. При его помощи разряды ясно выступали безъ жетоновъ и колоннъ на любомъ писчемъ матеріалѣ, а это дало возможность упрощать расположеніе цифръ при операціяхъ до непревзойденной простоты и удобообозримости. Обиліе растительнаго писчаго матеріала сдѣлало карьеру такой письменной ариѳметики возможной сначала въ Индіи, а потомъ, когда мало-по-малу обнаружилось все превосходство писчей ариѳметики, она начала изъ Индіи свое побѣдоносное шествіе на западъ, быстро подчинила себѣ арабовъ, нѣсколько медленнѣе Европу, и теперь, если не окончательно еще одолѣла имѣющую свои удобства инструментальную ариѳметику, то, во всякомъ случаѣ, у образованныхъ людей стоитъ на первомъ планѣ. Слагать и вычитать мы и до сихъ поръ порываемся на счетахъ и съ успѣхомъ. Умножаемъ же и дѣлимъ уже всегда безъ жетоновъ. Результаты же своихъ вычисленій изображаемъ уже въ письмѣ по простому принципу счетнаго инструмента. Творцы жетонной инструментальной ариѳметики, греки, повидимому, дольше всѣхъ противились замѣнѣ мѣченныхъ жетоновъ и своего цифрового алфавита новой письменной ариѳметикой. Старый цифровой алфавитъ у нихъ и до сихъ поръ въ ходу, особенно въ церковныхъ книгахъ при указаніи года изданія. То же передалось и русской Церкви. Слишкомъ уже счетъ жетонами въѣлся имъ въ плоть и кровь. Помилуйте, уже Геродотъ въ V столѣтіи до Р. Х. говоритъ о счетѣ „псипхосами"! Сравнивая грековъ и египтянъ, онъ говоритъ: „Эллины пишутъ, а также считаютъ псипхосами, неся руку слѣва вправо, египтяне же справа влѣво. Это не мѣшаетъ имъ говорить (χαί ποιεύντες ταύτα λέγουσι), что они-то сами дѣлаютъ это вправо, эллины же влѣво"1).· Надо думать, что Геродотъ разумѣетъ привычку эллиновъ изображать числа „псипхосами" на абакѣ, начиная съ высшихъ разрядовъ слѣва вправо, а египтяне указываютъ на привычку тѣхъ же эллиновъ начинать операціи съ низшихъ разрядовъ, т.-е. справа, и потомъ постепенно подвигаться

1) Herod, lib. II С. 36 (ed. Stein, 5 Aufl. 1883), „Γράμματα γράφουσι ζαί Λογίζονται ψήφοισι "Ελληνες μέν από των αριστερών επί τά δεξιά φέροντες την χείρα, Αιγύπτιοι δέ άπο των δεξιών επί τά αριστερά, χαί ποιεύντες ταύτα αύτσί μέν φασι επί δεξιά ποιέειν, ‘Έλληνες δέ έπ’άριστερά“.

влѣво (какъ и мы). Въ XIV стол. Максимъ Планудесъ, излагая индусскую писчую ариѳметику, которой вся сила-то и состояла именно въ томъ, что она бросила „псипхосы" — жетоны, и превознося ее, не можетъ для нея придумать никакого другого болѣе подходящаго заглавія, какъ „ψηφοφορία ζατ ’Ινδούς", т.-е. псипхофорія по системѣ индусовъ, индусская раскладка жетоновъ!

Но вѣрно ли, что именно греки были творцами жетонной ариѳметики на абакѣ, незамѣтно, скромно и автоматически вырабатывавшей принципы счисленія, совсѣмъ не похожіе на принятые до того времени въ письмѣ и въ книгахъ, принципы, которые жили долгое время скромно на жетонахъ, извѣстные каждому мѣнялѣ, пока обстоятельства не вывели ихъ на другой путь, гдѣ они скоро были признаны прямо геніальными. Вотъ мы сейчасъ видѣли изъ Геродота, что египтяне считали псипхосами. Не взяли ли греки свою инструментальную ариѳметику прямо съ Во стока, изъ Египта или изъ Вавилона? Курьезные, чуждые знаки цифръ и названія ихъ у учениковъ грековъ, абацистовъ X—XII вв., какъ будто подтверждаютъ эту мысль!

Конечно, греки не были творцами инструментальной ариѳметики вообще. Она появляется на самыхъ раннихъ стадіяхъ развитія человѣка. Первымъ инструментомъ счетнымъ, носимымъ каждымъ при себѣ, были пальцы рукъ и ногъ. Еще и теперь у многихъ дикихъ народовъ пять называется рука, десять—двѣ руки, пятнадцать—двѣ руки и нога, двадцать—двѣ руки и двѣ ноги. Это повело къ созданію, кромѣ десятичнаго, еще и пятичнаго и двадцатичнаго основаній. Искусственно возможно было создать и двѣнадцатичное основаніе, которое пользовалось популярностью въ Вавилонѣ и комбинировалось съ пятичнымъ и десятичнымъ. 60 въ Вавилонѣ (12×5) есть единица, которой считаютъ. А у насъ бабы развѣ не считаютъ яйца копами, въ которыхъ ихъ по 60-ти (12×5) штукъ? Слѣды пятичной, рядомъ съ десятичной, системы мы находимъ въ римскомъ абакѣ и китайскомъ суанъ-панъ. И теперь на циферблатѣ часовъ каждый изъ насъ часто видитъ цифры VI, VII, что есть графическое изображеніе лѣвой руки (съ отодвинутымъ большимъ пальцемъ) и одного, двухъ пальцевъ на правой. Развѣ французы не сохранили слѣдовъ кельтской двадцатичной ариѳметики въ своемъ quatre-vingts, четырежды двадцать? На всѣхъ этихъ основаніяхъ можно создать вполнѣ удобную ариѳметику, но культурные народы испоконъ вѣку ограничивались пальцами двухъ рукъ и построили свои числительные на десятичномъ основаніи.

Оно случайно постольку, поскольку у человѣка могло быть и шесть пальцевъ на рукѣ. Тогда любимой системой оказалась бы двѣнадцатичная. Но десятичная система счисленія прожила прежде тысячелѣтія въ мимикѣ (пока не было еще подходящихъ числительныхъ), потомъ въ словахъ, потомъ на счетномъ инструментѣ, прежде чѣмъ она на одномъ изъ этихъ счетныхъ инструментовъ, въ греческомъ абакѣ, нашла себѣ указаніе къ тому, какъ дать этому десятичному счисленію соотвѣтствующее графическое изображеніе. Потомъ это основаніе проникло и въ дроби и въ системы мѣръ.

Послѣ пальцевъ человѣкъ сталъ считать другими однообразными предметами, камешками, жетонами. Онъ сталъ и ихъ по аналогіи съ пальцами раскладывать рядами по десяти. Потомъ онъ придумалъ каждый жетонъ слѣдующаго ряда считать равнымъ десяти жетонамъ предыдущаго ряда. Это былъ очень важный шагъ, но, надо думать, что онъ былъ сдѣланъ безъ участія спеціалистовъ мудрецовъ. Потомъ, въ строгомъ соотвѣтствіи со счетомъ по пальцамъ и рукамъ, условливаются считать одинъ жетонъ каждаго ряда равнымъ пятернѣ, т.-е. пяти пальцамъ, а остальные четыре обозначающими каждый всего по одному пальцу. Нужно только отдѣлить этотъ одинъ, равный пяти пальцамъ, жетонъ отъ остальныхъ, чтобы онъ съ ними не смѣшивался. Для этого его нужно было класть отдѣльно въ томъ же ряду. При этомъ, чтобы не смѣшивать разряды, стали проводить колонны на столѣ и отмѣчать наверху значеніе каждаго разряда. Это можно было дѣлать каждый разъ передъ счетомъ. Но естественно нашли болѣе удобнымъ приготовить такіе столы разъ навсегда. Такимъ столомъ съ приготовленными колоннами для цѣлыхъ драхмъ и для дробей драхмы является саламинская доска, на которой, кромѣ того, каждая колонна раздѣлена перпендикулярной ея длинѣ линіей на двѣ части. Въ одной изъ нихъ можно было класть одинъ или максимумъ два жетона, равные каждый пяти. Сумма ихъ давала десять, а потому жетоны могли быть сняты и замѣнены однимъ жетономъ, обозначающимъ единицу слѣдующаго разряда. Въ другой части можно было класть четыре или максимумъ пять жетоновъ. Пять сейчасъ же замѣнялись однимъ жетономъ въ первой части колонны. Отсюда ясно, что на саламинской доскѣ раскладывались немѣченные жетоны, такъ какъ мѣченные дѣлаютъ такое дѣленіе колоннъ не нужнымъ. Счетный столъ сборщика податей неаполитанской вазы обходится безъ колоннъ и безъ какого-либо поэтому дѣленія ихъ. На немъ подъ каждой мѣткой цѣлыхъ чиселъ сборщикъ можетъ класть до девяти, максимумъ до десяти же

тоновъ, которые онъ сразу замѣняетъ однимъ въ слѣдующемъ разрядѣ. Жетоны могли легко теряться, а потому придумали столъ замѣнить рамой, на которой десятичные разряды изображались проволокой. Той же цѣли достигала дощечка, на которой эти разряды были вырѣзаны въ видѣ желобковъ. Въ первомъ случаѣ на проволокѣ нанизывались жетоны или косточки, во второмъ въ желобки вдѣлывались легко двигающіяся кнопки. Такой инструментъ безъ дѣленія проволокъ на двѣ части (для пятерныхъ и одиночныхъ жетоновъ) представляютъ собой наши русскіе счеты, съ дѣленіемъ проволокъ на двѣ части—китайскій суанъ-панъ. Инструментъ съ кнопками и дѣленіемъ желобковъ на двѣ части (одна для четырехъ кнопокъ, другая для одной пятерной) былъ въ полномъ ходу у римлянъ и представленъ археологически. На немъ римскія цифры VI, VII, VIII, VIIII получаютъ свое жетонное воплощеніе: только цифра пять замѣнялась придвинутымъ къ серединѣ жетономъ правой стороны желобка, такъ что получалось IV = 6, IIV = 7, IIIV = 8, IIIIV = 9. Называется онъ греческимъ именемъ абакъ, что показываетъ, во всякомъ случаѣ, знакомство съ нимъ и грековъ. Мы видимъ, что для этихъ „великихъ" изобрѣтеній требовалось лишь, главнымъ образомъ, имѣть двѣ руки съ пятью пальцами на каждой и вѣка времени. То и другое предоставлено немилостивой, но справедливой природой въ пользованіе всѣмъ народамъ безъ различія расы, миѳологій и вѣроисповѣданій. Этотъ путь развитія могъ быть пройденъ самостоятельно различными народами. Нѣтъ основанія думать, чтобы русскіе счеты были взяты непремѣнно изъ Греціи, гдѣ ничего подобнаго до сихъ поръ археологически не найдено. Китайскій суанъ-панъ врядъ ли нужно выводить изъ римскаго абака, съ которымъ онъ, однако, совершенно сходенъ: только въ одномъ веревочки (проволоки), въ другомъ желобки.

Счастливой мыслью считать каждый жетонъ слѣдующаго разряда равнымъ десяти жетонамъ предыдущаго было сдѣлано покамѣстъ еще на грубомъ инструментѣ, чреватое послѣдствіями открытіе — значеніе жетоновъ по положенію, а въ немъ въ потенціальномъ видѣ заключался и нашъ принципъ значенія цифръ по положенію. Если бы этотъ принципъ явился бы сразу для нашей писчей ариѳметики изъ головы отдѣльнаго человѣка, какъ Аѳина изъ головы Зевса, то голова та должна была бы быть признанной одной изъ самыхъ свѣтлыхъ, когда-либо обращавшихся на Землѣ. Но онъ появляется сначала на счетномъ инструментѣ и въ этомъ видѣ сильно сбавляетъ геніальности,

особенно если противъ каждаго разряда написать: единица, десять, сто, какъ это, дѣйствительно, и дѣлалось. Такого рода счетный инструментъ, какъ наши счеты, по моему мнѣнію, необходимо долженъ предшествовать послѣдовательно проведенному десятичному принципу въ числительныхъ культурныхъ народовъ. На рукахъ и на ногахъ вѣдь дальше двадцати не уѣдешь, а потому числительные при этомъ естественномъ счетномъ инструментѣ должны были бы послѣ двадцати итти такъ: руки — ноги — двѣ руки = тридцать, два раза руки — ноги = 40, три раза руки — ноги = 60, четыре раза руки—ноги = 80 (французское (quatre-vingts), пять разъ руки — ноги = 100, однимъ словомъ, числительныя были бы отъ двадцати построены такъ: 20×2, 20 × 3, 20Х4, 20×5... 20×10. Правда, возможно ограничиться двумя руками. Тогда мы получаемъ схему 10, 10×2, 10×3, 10Х4 и 10×10. Но все равно, одинъ человѣкъ долженъ былъ бы махать руками (каждый взмахъ былъ бы равенъ десяти), а другой считать по своимъ пальцамъ взмахи, пока не согнутся всѣ десять пальцевъ. Это и будетъ 100. Но тогда пальцы другого человѣка будутъ каждый обозначать десять пальцевъ перваго человѣка, и принципъ значенія по положенію уже въ сущности изобрѣтенъ. Для 1000 понадобилось бы участіе трехъ лицъ, для 10000—четырехъ лицъ, при чемъ пальцы каждаго слѣдующаго имѣли бы въ десять разъ большее значеніе, чѣмъ пальцы предыдущаго. Положительно можно сомнѣваться въ томъ, чтобы при этомъ примитивномъ приспособленіи можно было бы выдѣлить въ отдѣльныя единицы, обозначаемыя отдѣльными словами, такія числа, какъ 100, 1000, у грековъ даже 10000, а у индусовъ и много того высшія степени десяти. Думаю, что наши числительныя имена образовались не безъ помощи счетнаго инструмента съ десятичными разрядами. То же у семитовъ. Все это заставляетъ относить изобрѣтеніе инструмента, въ родѣ нашихъ счетовъ, ко временамъ доисторическимъ, и считать вполнѣ возможнымъ, что изобрѣтеніе его у разныхъ народовъ было сдѣлано самостоятельно.

Слѣдующей не хитрой, но точно также очень важной и плодотворной мыслью былъ переходъ къ мѣченнымъ жетонамъ. Къ чему класть въ разрядѣ послѣдовательно и отдѣльно девять жетоновъ, когда съ появленіемъ письменъ возможно было на жетонахъ дѣлать знаки, обозначающіе 1—9? Это предполагаетъ уже гораздо болѣе культурный періодъ. Не только люди должны были уже умѣть выражать понятія знаками, но потребность въ сложныхъ и болѣе

быстрыхъ счетныхъ операціяхъ должна была появиться. Это въ свою очередь свидѣтельствуетъ о развитіи торговли, промышленности, собственности и имущественныхъ отношеній. Элементарная жизнь довольствуется для счета сложеніемъ и рѣже вычитаніемъ. Эти операціи съ успѣхомъ и по сю пору можно дѣлать на обыкновенныхъ счетахъ. Умноженіе и дѣленіе гораздо удобнѣе вести на той счетной машинѣ съ мѣченными жетонами, которая тоже называлась абакомъ и которую мы находимъ въ X—XII столѣтіяхъ на западѣ Европы. Мы помнимъ, что онъ явился сюда послѣ долгаго летаргическаго сна изъ классической древности. Его сонъ объясняется именно паденіемъ сложныхъ культурныхъ отношеній древности. Мы помнимъ точно также, что единственной сферой примѣненія была для него въ началѣ среднихъ вѣковъ школьная геометрія плохого сорта, единственная въ то время предъявительница требованій по части умѣнья множить и дѣлить многозначныя числа. Считать мѣшки хлѣба въ господскихъ амбарахъ, бочки вина въ хорошо обставленномъ погребѣ какого-нибудь монастыря въ родѣ S. Germain des Prés въ IX вѣкѣ, справиться съ задачей аббата этого монастыря Ирминона, задачей хозяина громаднаго комплекса земельныхъ владѣній, т.-е. самой сложной задачей, какую жизнь въ то время ставила ариѳметикѣ, а именно классифицировать и суммировать повинности тысячъ разнообразнаго юридическаго и экономическаго положенія лицъ, можно было и на простомъ римскомъ абакѣ съ немѣченными жетонами. Абакъ съ мѣченными жетонами потому и начинаетъ вновь въ X в. входитъ въ обиходъ, что съ X вѣка наблюдается возвращеніе къ промышленной и торговой жизни прежнихъ временъ, особенно по Рейну, отчего наибольшей опытностью въ этомъ отношеніи отличаются лотарингцы. Гербертъ былъ захваченъ этой новой потребностью въ абакѣ, но для него онъ все еще, повидимому, исключительно академическій инструментъ: по собственному признанію, онъ нѣсколько пятилѣтій обходится безъ его услугъ.

Отсюда ясно, что потребность въ абакѣ съ колоннами и мѣченными жетонами могла появиться лишь въ очень культурной средѣ. Но культурными странами древняго міра, кромѣ сравнительно уже поздно въ культурную струю ставшей Греціи, были Египетъ, Ассирія и Вавилонъ, Индія, Китай. Въ какой же изъ этихъ странъ былъ ранѣе всего сдѣланъ этотъ переходъ? Или возможно самостоятельное изобрѣтеніе въ двухъ различныхъ странахъ? Теоретически противъ этого ничего нельзя было бы возразить. Практически, въ переводѣ на историческую почву, одновременное или самостоятельное появленіе мѣченныхъ первыми девятью

цифрами жетоновъ въ двухъ различныхъ странахъ недопустимо.

Во-первыхъ, мѣченные жетоны документально и непосредственно засвидѣтельствованы только для западно-европейскихъ абацистовъ X—XII вѣковъ. Посредственно, но съ несомнѣнностью, мы установили ихъ существованіе въ древней Греціи на томъ же абакѣ. Греція много заимствовала у Египта, въ Ассиріи и Вавилонѣ, черезъ финикійцевъ и непосредственно, но никто не говоритъ намъ, чтобы въ числѣ прочихъ заимствованій были и мѣченные жетоны на счетной доскѣ. Не только писатели, но и археологія не даютъ намъ никакихъ положительныхъ указаній. Геродотъ говоритъ, правда, о счетѣ псефами у египтянъ, какъ и у грековъ, но, чтобы эти псефы были мѣченные, этого ниоткуда не видно. Далѣе на культурномъ Востокѣ, въ Месопотаміи, въ Индіи, Китаѣ, ничего подобнаго не найдено. Правда, индусское письменное счисленіе есть не болѣе, какъ счисленіе жетонами на абакѣ, а такъ называемыя индусскія цифры не болѣе, какъ сошедшія съ жетоновъ абака помѣтки. Но индусы должны доказать, что все это у нихъ мѣстнаго происхожденія, а возможно только какъ разъ противное доказательство. Если бы мѣченные жетоны на счетной доскѣ съ десятичными разрядами появились бы у двухъ народовъ независимо другъ отъ друга, то это должно было бы повести къ появленію двухъ письменныхъ счисленій по типу абака, какъ и индусское, но только съ различными знаками, такъ какъ въ случаѣ самостоятельнаго изобрѣтенія мѣченныхъ жетоновъ у двухъ различныхъ народовъ мѣтки (т.-е. цифры) должны были бы быть различны. Между тѣмъ всюду, гдѣ мы только находимъ счисленіе нашего типа, т.-е. типа абака съ мѣченными жетонами, оно ведется одними и тѣми же знаками, которые только по недоразумѣнію называются индусскими.

Во-вторыхъ, слѣдовательно, для того, чтобы допустить самостоятельное изобрѣтеніе подобныхъ жетоновъ у двухъ различныхъ народовъ, нужно было бы доказать не только различіе знаковъ на жетонахъ, но и полную самостоятельность этихъ знаковъ. Можетъ-быть, это простое подражаніе въ національномъ духѣ чужеземному образцу? Вообще рѣшеніе вопроса о родинѣ мѣченныхъ жетоновъ не столь неопредѣленно, какъ о родинѣ немѣченныхъ, и не столь улыбается любому встрѣчному народу. Немѣченные жетоны анонимны. Мѣченные же должны носить штемпель своихъ изобрѣтателей въ самой формѣ мѣтокъ, они не анонимны. Какія же мѣтки на жетонахъ извѣстны намъ? Только трехъ типовъ: римскія (римскія цифры I—VIIII), греческія (буквы А—Ѳ) и семитическія, отъ которыхъ, развиваясь въ пис-

чей ариѳметикѣ въ сторону скорописи, произошли индусскія цифры, восточно-арабскія, европейскія. Римскія помѣтки, конечно, простая передѣлка въ національномъ духѣ греческихъ А—Ѳ. Остаются конкуренты—греки и семиты. Кто изъ нихъ изобрѣталъ, кто подражалъ? Семиты (халдеи) опасные соперники грековъ. За ними культурная давность, за ними и умѣніе въ вопросахъ счета и математики. Если вѣрны наши сближенія, то семитическія мѣтки на жетонахъ абака, а особенно ихъ носящія отпечатокъ смѣшенія языковъ имена, могутъ быть очень древними. Но вѣдь они могли существовать тысячелѣтія въ качествѣ знаковъ для 1—9 внѣ жетоновъ абака и только потомъ быть приспособленными къ абаку, какъ это случилось съ римскими цифрами? Такимъ образомъ, вѣроятная древность ихъ еще ничего не доказываетъ. Дѣло стояло бы куда благопріятнѣе для семитовъ, если бы можно было доказать, что греки знали эти знаки и имена ихъ, ну, хотя бы до римскаго завоеванія. Но греческая литература и археологія не знаетъ ихъ. Трогательная встрѣча ихъ на жетонахъ абака есть не болѣе, какъ результатъ амальгамированія трехъ культурныхъ міровъ, римскаго, греческаго, семитическаго въ космополитической римской имперіи. Послѣримскія времена знали многое въ слитномъ видѣ, что въ доримскія времена существовало раздѣльно. Итакъ, древность семитическихъ знаковъ на жетонахъ абака не доказана, а потому вполнѣ возможно, что семиты сдѣлали лишь то же самое, что и римляне, т.-е. замѣнили на жетонахъ греческаго абака греческія буквы своими національными знаками. Вѣдь намъ семитическій „абакъ“ извѣстенъ лишь въ видѣ „легкой подымающейся пыли“ и „праха отъ ногъ Господнихъ“, а не счетнаго инструмента! Названіе этого послѣдняго „абакъ“ національно греческое и означаетъ собою просто доску. Жетонъ на немъ называется греческимъ же именемъ „псефосъ“ или „псипхосъ“, что значитъ камешекъ. Культура греческая выше восточныхъ, и въ ней именно ранѣе всего появилась та промышленная торговая, хозяйственная и умственная жизнь, для которой услуги абака съ мѣченными жетонами были нужны и цѣнны.

Я поэтому думаю, что переходъ на счетномъ инструментѣ къ мѣченнымъ жетонамъ былъ сдѣланъ впервые въ древней Греціи. Всюду въ другихъ мѣстахъ это было лишь подражаніемъ. Если бы можно было доказать, что первыми греческими мѣтками на жетонахъ были именно А—Ѳ, т.-е. первыя девять буквъ греческаго числового алфавита, то этотъ переходъ былъ бы не древнѣе 500 г., приблизительно, до Р. Х., когда этотъ цифровой алфавитъ, вѣроятно, появился.

Рис. 16.—Народныя цифры египтянъ.

Рис. 17.—Порядковыя гіератическія цифры египтянъ.

Рис. 18.—Количественныя гіератическія цифры египтянъ.

Рис. 19.—Славянскія обозначенія большихъ чиселъ,

Съ девятью родами мѣченныхъ жетоновъ на абакѣ было въ сущности достигнуто все, что нужно для построенія нашей современной ариѳметики. Цифровые знаки числомъ девять, значеніе ихъ по положенію въ десятичныхъ разрядахъ, расположеніе высшихъ разрядовъ влѣво отъ низшихъ. Но это счисленіе и эта ариѳметика была прикована къ счетной доскѣ какъ Аріадна къ острову Минотавра. Внѣ доски и ея колоннъ или, по крайней мѣрѣ, соотвѣтствующихъ помѣтокъ, она никуда не могла рискнуть явиться. Вся сила ея пропадала. Ей недоставало того Тезея, который, какъ Улиссъ, назвавшись по аналогіи съ нимъ „Ничѣмъ“, помогъ бы ей бѣжать съ острова Минотавра. Этотъ Тезей, это новое изданіе Улисса, это „Ничто“ былъ самый обыкновенный продырявленный греческій жетонъ (псипхосъ), который уже былъ хорошо извѣстенъ по судамъ и баллотировкамъ, и который явился сюда считать пустые разряды вправо отъ цифръ и между ними. Съ этихъ поръ ариѳметика уже не была связана ни съ какой счетной доской, ни съ какими колоннами или помѣтками. На жетонахъ было готово все наше счисленіе и ариѳметика. Пустой жетонъ носитъ греческое имя „псипхосъ“ или къ XI вѣку уже „сипосъ“, въ римскомъ переводѣ „ротула“ (rotula).

Но обстоятельства не позволили новому Тезею довести дѣло до конца. Какъ настоящій Тезей бросилъ Аріадну на островѣ Наксосѣ, такъ и новый оставилъ ариѳметику сидѣть на жетонѣ. Въ письмо, въ книгу, онъ ее не пускалъ. Тамъ у нея была упорная и сильная привычкой соперница въ лицѣ національнаго цифрового алфавита.

Дальнѣйшій романъ Аріадны происходилъ далеко въ Индіи, гдѣ новый Діонисъ—индусъ, похитивъ ее у Тезея— грека, отдалъ ей предпочтеніе передъ ея соперницами въ Индіи, болѣе, впрочемъ, потому, что уже больно онѣ были неказисты. Пустивъ ее въ письмо замѣной жетоновъ письменными мѣтками, а пустого псипхоса письменнымъ кружкомъ, онъ поставилъ ее на законную почву, сдѣлавъ своей женой, и далъ ей свое имя, которое она и о сю пору продолжаетъ носить.

Мы желаемъ ея развода и возвращенія ея къ Тезею, а въ лицѣ его—въ Европу.

Голый и съ сумерочной душой появился человѣкъ на землѣ. Одѣлся и просвѣтилъ свою душу онъ самъ послѣ долгой борьбы и страданій. По части ариѳметики лишь слабый проблескъ мысли да пятерня были ему даны. Долгими вѣками, постепенно, безъ вмѣшательства патентованныхъ мудрецовъ, развилась отсюда инструментальная ариѳ-

метика вплоть до десяти родовъ жетоновъ, а изъ послѣдней опять безъ мудреца письменная, по типу и со знаками инструментальной. Родись человѣкъ шестипалый, ариѳметика была бы двѣнадцатичная, съ двѣнадцатичными разрядами, одиннадцатью вмѣсто девяти цифрами и двѣнадцатымъ нулемъ, счетчикомъ разрядовъ. Такъ автоматично и послѣдовательно шло здѣсь развитіе, въ которомъ выдающаяся роль выпала на долю грековъ.

Удобно, просто, геніально, а памятника ставить некому.

Не только вѣка, — тысячелѣтія прошли прежде, чѣмъ выработавшееся изъ анатомическихъ особенностей человѣка, изъ его примитивнаго счетнаго инструмента, — пятерни, десятеричное основаніе счета и ариѳметики получило себѣ соотвѣтствующее выраженіе на словахъ, въ языкахъ культурныхъ народовъ, въ ихъ числительныхъ. Не меньшее время понадобилось и для того, чтобы дать этому въ словахъ воплотившемуся десятеричному основанію вѣрное изображеніе, фотографически точный отпечатокъ въ письмѣ. Если бы это было возможно и если бы это было сдѣлано прямо, со словъ на бумагу, безъ посредства инструментальнаго счета, то это могъ бы сдѣлать только невѣроятный титанъ творческой силы и полубогъ ума, такъ какъ въ этомъ случаѣ это было бы дѣломъ личнаго творчества. Правы были индусы, когда въ болѣе сознательное время, постигая аналитически работу безсознательнаго синтеза, совершоннаго во тьмѣ вѣковъ ощупью, и считая ее работой единоличнаго существа, они приписали свою ариѳметику Брамѣ. Но наша ариѳметика уже своею такъ сказать „топографичностью“, зависимостью отъ реальныхъ пространственныхъ отношеній выдаетъ свое инструментальное происхожденіе. Она не есть результатъ личнаго творчества. Она — дитя инструментальной ариѳметики, упавшее, какъ яблоко, недалеко отъ яблони. Инструментальная же ариѳметика—дѣло народнаго творчества, какъ миѳологія и эпосъ. Всѣ народы испытывали свои силы здѣсь. Но лучшія пѣсни пропѣли греки. Подслушали же и записали ихъ индусы.

(„Ариѳметическая самостоятельность европейской культуры“. Заключеніе).

Архимедово исчисленіе песчинокъ.

Въ дополненіе къ отрывкамъ изъ изысканій проф. Бубнова объ ариѳметикѣ классической древности и среднихъ вѣковъ полезно дать понятіе о знаменитомъ изысканіи Архимеда о числѣ песчинокъ (псаммитъ). Геніальный математикъ въ своемъ небольшомъ сочиненіи разрѣшаетъ,

въ сущности говоря, вопросъ о представленіи какого угодно большого числа, не употребляя при этомъ ни нуля ни показателя степени. Въ основаніе же исчисленія кладется число 10, т.-е., по существу получается наша десятичная система счета.

Нѣкоторые люди, о царь Гелонъ, воображаютъ, что число песчинокъ безконечно велико. Я говорю не о пескѣ, находящемся въ Сиракузахъ или во всей Сициліи, но о пескѣ всей суши, какъ обитаемой, такъ и необитаемой.

Другіе признаютъ это число, правда, не неограниченнымъ, но все же думаютъ, что оно больше всякаго задуманнаго числа. Если бы эти люди представили себѣ кучу песку, величиною въ земной шаръ, при чемъ этимъ пескомъ были бы покрыты всѣ моря и всѣ углубленія до вершины величайшихъ горъ, то, конечно, люди тѣмъ болѣе были бы склонны принять, что нѣтъ числа, превосходящаго число песчинокъ въ этой кучѣ.

Я, однако, приведу доказательства, съ которыми и ты согласишься, что я въ состояніи назвать нѣкоторыя числа, не только превосходящія число песчинокъ въ кучѣ, равной земному шару, но даже число песчинокъ въ кучѣ, равной всей вселенной.

Ты знаешь, конечно, что подъ вселенной большинство астрономовъ подразумѣваетъ шаръ, центръ котораго находится въ центрѣ Земли, а радіусъ образуется разстояніемъ между центрами Земли и Солнца. Въ своемъ сочиненіи противъ астрономовъ Аристархъ Самосскій пытается опровергнуть это и доказать, что вселенная составляетъ кратное этой величины. Онъ приходитъ къ выводу, что звѣзды и Солнце неподвижны, тогда какъ Земля вращается вокругъ Солнца по кругу, въ центрѣ котораго стоитъ Солнце1).

Рис. 20.—Архимедъ (287—212).

1) Аристархъ, родившійся въ Самосѣ около 270 г. до Р. Х., уже за 1 1/2 тысячи лѣтъ до Коперника, какъ это видно изъ только что приведенныхъ

Согласимся, что діаметръ сферы неподвижныхъ звѣздъ относится къ діаметру вселенной, понимаемой въ томъ смыслѣ, какъ это понимаетъ большинство астрономовъ (т.-е. солнечной системы), какъ этотъ послѣдній къ діаметру Земли. Я утверждаю, что если бы существовала песочная куча даже величиною въ Аристархову звѣздную сферу, то въ этомъ случаѣ я могу привести число даже превышающее число песчинокъ въ такой воображаемой сферѣ.

Предполагаю слѣдующее:

1) Окружность Земли менѣе 3 милліоновъ стадій (стадія равна нынѣшнимъ 185 метрамъ).

Какъ тебѣ извѣстно, были попытки доказать, что окружность Земли составляетъ около 300000 стадій1), но я превзойду предшественниковъ и приму для нея въ десять разъ большее число.

2) Солнце больше Земли, а Земля больше Луны.

Въ этомъ я согласуюсь съ большинствомъ астрономовъ2).

3) Поперечникъ Солнца не болѣе, чѣмъ въ 30 разъ превышаетъ поперечникъ Луны3).

4) Діаметръ Солнца больше, нежели сторона тысячеугольника, вписаннаго въ наибольшій кругъ небесной сферы.

Это я принимаю по Аристарху, который считаетъ, что видимые размѣры Солнца составляютъ 1/720 размѣровъ зодіакальнаго круга. Я и самъ измѣрялъ уголъ, подъ которымъ видно Солнце, но точное измѣреніе этого угла не легко произвести, ибо ни глазъ, ни рука, ни измѣрительные приборы недостаточно надежны. Но здѣсь не мѣсто объ этомъ распространяться. Достаточно только знать, что этотъ уголъ меньше, чѣмъ и больше, чѣмъ —прямого угла4).

На основаніи допущеній 2 и 3 діаметръ Солнца меньше, чѣмъ 30 земныхъ діаметровъ. Поэтому (по допущенію 4)

словъ Архимеда, совершенно ясно выразилъ основанія геліоцентрической системы. Изъ его сочиненій сохранилось только одно: «О величинахъ и разстояніяхъ Солнца и Луны».

1) Эрастосѳенъ (275—194 до Р. Х.), произведшій первое градусное измѣреніе, опредѣлилъ окружность Земли въ 250000 стадій, однако, неизвѣстно, о какихъ стадіяхъ онъ писалъ — о греческихъ или египетскихъ.

2) Согласно вычисленію Аристарха, Солнце въ 7000 разъ больше Земли, а Луна въ 27 разъ меньше.

3) Въ дѣйствительности діаметръ Солнца почти въ 400 разъ больше діаметра Луны.

4) Т.-е. заключается между 27' и 33', 1/164 R = 33°; 1/200 R = 27°; по измѣреніямъ помощью новѣйшихъ геліометровъ, средній видимый діаметръ Солнца составляетъ около 32', что близко къ высшему предѣлу, указываемому Архимедомъ.

периметръ тысячеугольника, вписаннаго въ одинъ изъ наибольшихъ круговъ небесной сферы, меньше, чѣмъ 30000 земныхъ діаметровъ. Но если это такъ, то діаметръ вселенной (т.-е. согласно Аристарху солнечной системы) меньше 10000 земныхъ діаметровъ; ибо только для правильнаго шестиугольника діаметръ равенъ 1/3 периметра, а для всякаго многоугольника діаметръ меньше 1/3 периметра.

По первому предположенію окружность Земли меньше 3 милл. стадій; стало-быть, діаметръ меньше 1 милл. стадій, такъ какъ діаметръ окружности меньше 1/3 длины ея. Стало-быть, также и діаметръ вселенной меньше чѣмъ 10000 милліоновъ стадій.

Допустимъ теперь, что песчинки до того малы, что 10000 такихъ песчинокъ составляютъ лишь величину одного маковаго зерна. Я приму діаметръ маковаго зерна въ 1/40 дюйма. Въ одномъ изъ моихъ опытовъ уже 25 маковыхъ зеренъ, положенныхъ рядомъ по прямой, заняли дюймъ, но я желаю обезпечить свое доказательство противъ всякихъ возраженій.

У насъ (грековъ) существуютъ названія чиселъ лишь до миріады1) (10000 = 104). Считаемъ мы, однако, и до 10000 миріадъ (104. 104 = 108). Чтобы пойти еще далѣе, примемъ 10000 миріадъ (108) за единицу второго порядка и возьмемъ ее снова 10000 миріадъ разъ, то получимъ 108. 108 = 108*2, или единицу третьяго порядка. Точно также можемъ взять 10000 миріадъ разъ полученную единицу третьяго порядка и получимъ единицу четвертаго порядка (108*3) и т. д. 1056 = 108’7 будетъ представлять единицу восьмого порядка, 1 же есть единица перваго порядка.

Теперь вычислимъ, сколько песчинокъ, миріада которыхъ занимаетъ объемъ маковаго зерна, помѣстится въ шарѣ съ діаметромъ, равнымъ дюйму? По нашему предположенію, діаметръ маковаго зерна равняется 1/40 дюйма, но по извѣстному геометрическому положенію объемы шаровъ относятся какъ кубы ихъ діаметровъ, стало-быть, какъ 13 : 403 = 1 : 64000. Итакъ, шаръ одного дюйма въ діаметрѣ содержитъ 64000 маковыхъ зеренъ или 64000 миріады, т.-е. 64 . 108, что меньше, чѣмъ 10 . 108 = 109 песчинокъ. Шаръ 100 дюймовъ въ діаметрѣ относится къ шару 1 дюйма въ діаметрѣ (по объему) какъ 1003: 13, или 106: 1. Итакъ, песочный шаръ 100 д. въ діаметрѣ, очевидно, содержитъ не болѣе 106 . 10 . 108 песчинокъ.

1) Въ дальнѣйшемъ мы будемъ примѣнять систему изображенія чиселъ при помощи 10 въ извѣстной степени, такъ какъ Архимедовъ способъ выраженія не такъ удобопонятенъ.

Шаръ 10000 дюймовъ въ діаметрѣ содержитъ не болѣе 1021 = 10 . 104. 1016, т.-е. десяти миріадъ единицъ нашего третьяго порядка.

Но такъ какъ стадія меньше 10000 дюймовъ, то ясно, что песочный шаръ, съ діаметромъ въ стадію, содержитъ менѣе 10 миріадъ единицъ третьяго порядка.

Точно такимъ же образомъ найдемъ, что шаръ съ діаметромъ въ 102 стадій содержитъ меньше, чѣмъ 1000. 108*3 песчинокъ.

Но 1010 есть 10 000 милліоновъ стадій. Но такъ какъ діаметръ вселенной меньше 10000 милліоновъ стадій, стало-быть, вселенная содержитъ песчинокъ менѣе, нежели 1000. 108*6. Далѣе. Діаметръ Аристарховой сферы неподвижныхъ звѣздъ заключаетъ въ себѣ столько разъ діаметръ вселенной (10000 милліоновъ стадій), сколько разъ въ этомъ послѣднемъ содержится діаметръ земли (1 милліонъ стадій), то выходитъ, что сфера Аристарха (неподвижныхъ звѣздъ) относится къ сферѣ вселенной, какъ 1012:1, а стало-быть, содержитъ песчинокъ менѣе, чѣмъ 1000 миріадъ единицъ восьмого порядка (1000 . 104 . 108*7 = 1063).

Это, царь Гелонъ, можетъ показаться невѣроятнымъ толпѣ и всѣмъ, несвѣдущимъ въ математикѣ; но тѣ, которые обладаютъ математическими познаніями и умѣютъ размышлять о разстояніи и величинѣ Земли, Солнца, Луны и всего мірозданія, признаютъ это за доказанное. Поэтому я счелъ не неумѣстнымъ предпринять это изслѣдованіе.

О времени появленія нѣкоторыхъ знаковъ.

Знаки сложенія и вычитанія ( + и —) встрѣчаются первый разъ у Леонардо да Винчи (1452—1519) и у Видмана (Widmann) въ 1489 году

Лейбницъ (1646—1716) употреблялъ, какъ знакъ умноженія, точку (.) между сомножителями. Косой крестъ (X), какъ знакъ уможенія, впервые встрѣчается въ сочиненіи Ухтреда (Oughtred), озаглавленномъ Clavis mathematica („математическій ключъ") и вышедшемъ въ 1631 году. Штифель (Stiefel) съ 1544 два перемножающихся количества ставилъ рядомъ безъ всякаго знака.

Знакъ дѣленія, двѣ точки ( : ), введенъ Лейбницемъ. Поперечная черта для отдѣленія числителя отъ знаменателя дроби есть уже въ сочиненіяхъ Фибоначчи (Fibonacci) въ 1202 году.

Обозначеніе показателя степени, an, встрѣчается первый разъ у Шюке (Chuquet) въ сочиненіи 1484 г., озаглавленномъ Triparty en la seicnce des nombres.

Знакъ равенства ( = ) встрѣчается впервые у Рекорда (Recorde) въ 1557 г. Декартъ и Ферма (Fermat) для обозначенія равенства пользовались знакомъ 00.

Знакъ > и < (болѣе, чѣмъ и менѣе, чѣмъ), т.-е. знаки неравенства, введены Гарріотомъ (Harriot) въ 1631 году.

Скобки обыкновенныя ( ) и квадратныя [ ] введены Альберомъ Жираромъ (А. Girard) въ 1629 году.

Обозначеніе n введено Крампомъ въ 1808 году. Оно означаетъ произведеніе n цѣлыхъ послѣдовательныхъ чиселъ 1.2.3.4...n и называется факторіаломъ n. Англичане въ такихъ случахъ пишутъ |п.

Обозначеніе an|r также предложено Крампомъ. Оно представляетъ произведеніе n чиселъ, составляющихъ ариѳметическую прогрессію, первый членъ которой равенъ а, разность же = r.

Знакъ = введенъ Гауссомъ. Это знакъ сравнимости (равноостаточности, конгруэнціи) чиселъ, постоянно встрѣчающійся въ высшей ариѳметикѣ (или теоріи чиселъ).

Е p/q обозначаетъ наибольшее цѣлое число (Entier—пофранцузски — цѣлый), содержащееся въ дроби p/q.

Буквы для обозначенія чиселъ (буквенная ариѳметика) впервые употреблены Вьетомъ (Viète, 1540—1603). Обыкновенно первыя буквы азбуки а, b, с,.обозначаютъ извѣстныя или данныя числа, а послѣднія х, у, z, .... означаютъ числа неизвѣстныя, или искомыя.

Слѣдуетъ, кромѣ того, замѣтить и такіе употребительные нынѣ обозначенія:

Σ обозначаетъ суммированіе ряда чиселъ. Это, такъ сказать, распространительный символъ знака сложенія +.

Δ есть знакъ послѣдовательныхъ разностей. Это распространительный симвомъ знака вычитанія —.

II есть символъ послѣдовательнаго умноженія ряда чиселъ. Это распространительный символъ знака умноженія X.

Что такое ариѳметика и алгебра?

Вопросъ о точномъ опредѣленіи и разграниченіи этихъ двухъ отраслей математики остается открытымъ до сихъ поръ. Да и врядъ ли возможно по существу (а не чисто формально) разграничить эти столь тѣсно соприкасающіяся дисциплины. Къ концу XVII и къ началу XVIII вѣка, въ эпоху зарожденія современнаго высшаго математическаго анализа, — въ эпоху Ньютона и Лейбница, — раздѣленіе науки о числахъ было таково: счисленіе и правила четырехъ дѣйствій надъ числами, а также задачи, которыя этими дѣйствіями непосредственно разрѣшались, составляли область ариѳметики. Все остальное составляло алгебру. По формѣ главнымъ отличіемъ алгебры были общія буквенныя обозначенія. По существу—основную задачу алгебры составляло рѣшеніе уравненій. Къ алгебрѣ относили, поэтому, и всѣ тѣ подготовительныя теоріи, которыя были нужны для рѣшенія уравненій: ученіе объ извлеченіи корней, объ отрицательныхъ и объ ирраціональныхъ числахъ, а позже и о мнимыхъ числахъ. Такой взглядъ, повидимому, раздѣлялъ Ньютонъ. На первой же страницѣ своей „Общей ариѳметики“ (Arithmetica universalis. 1707) онъ говоритъ:

„Вычисленія производятся либо надъ числами, какъ въ обыкновенной ариѳметикѣ, либо надъ категоріями (species), какъ это принято у аналистовъ. Обѣ науки опираются на одинъ и тотъ же фундаментъ и сходятся на одной и той же цѣли: ариѳметика работаетъ опредѣленными и частными пріемами, алгебра — неопредѣленными и общими. Такимъ образомъ, въ этомъ послѣднемъ исчисленіи почти все, что къ нему относится—въ особенности же выводы,—могутъ называться теоремами. Кромѣ того, алгебра въ высшей степени отличается тѣмъ, что въ то время, какъ въ ариѳметикѣ при рѣшеніи задачъ мы восходимъ отъ данныхъ къ искомымъ, здѣсь мы обыкновенно исходимъ отъ искомыхъ величинъ, какъ будто онѣ данныя, и возвращаемся къ даннымъ, какъ будто онѣ искомыя, чтобы прійти къ нѣкоторому выводу, или уравненію, изъ котораго можно опредѣлить искомую величину. Этимъ путемъ можно прійти къ рѣшенію труднѣйшихъ задачъ, съ которыми мы тщетно пытались бы справиться средствами одной ариѳметики. Ариѳметика же оказываетъ алгебрѣ во всѣхъ ея вычисленіяхъ такое содѣйствіе, что онѣ образуютъ вмѣстѣ какъ бы одну науку о вычисленіяхъ".

Съ теченіемъ времени взгляды на этотъ предметъ существенно измѣнились.

Въ „Лексиконѣ чистой и прикладной математики“, составленномъ нашимъ академикомъ В. Я. Буняковскимъ (СПБ. 1839), подъ словами arithmétique, ариѳметика, числословіе, счетная наука, мы находимъ слѣдующее:

„Отъ греческ. αρι&μος, число, и τέχνη искусство. Наука, занимающаяся дѣйствіями надъ числами. Семь главныхъ дѣйствій, составляющихъ ариѳметику, суть: сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе, возвышеніе въ степень, извлеченіе корней и рѣшеніе численныхъ уравненій. Хотя обыкновенно относятъ къ алгебрѣ рѣшеніе численныхъ уравненій, но по мнѣнію многихъ новѣйшихъ математиковъ, разумѣющихъ подъ ариѳметикой техническую часть алгебры, это дѣйствіе должно войти въ составъ ариѳметики. Впрочемъ, возвышеніе въ степень можетъ быть принимаемо за частный случай умноженія, почему останутся только шесть различныхъ между собою дѣйствій. Если бы желали еще болѣе ограничить число дѣйствій, то можно бы было привести ихъ къ одному, именно, къ сложенію. И дѣйствительно, всѣ знаютъ, что вычитаніе приводится къ сложенію; что касается до умноженія и дѣленія, то первое есть не иное что, какъ сокращенное сложеніе, а второе, вычитаніе. При извлеченіи же корней, или при рѣшеніи численныхъ уравненій, мы производимъ всегда, или сложенія и умноженія, или вычитанія и дѣленія. Однакоже несправедливо было бы сказать, что извлеченіе корней и рѣшеніе уравненій приводятся къ четыремъ упомянутымъ дѣйствіямъ, ибо, сіи послѣднія должны быть производимы въ извѣстномъ порядкѣ, и этотъ самый порядокъ составляетъ собою существенную часть дѣйствія.

„Многіе писатели затруднялись разграниченіемъ алгебры отъ ариѳметики, потому что первая изъ сихъ наукъ занимается тѣми же дѣйствіями, какъ и вторая. Но должно замѣтить во-первыхъ, что алгебра доказываетъ тѣ правила, которыми ариѳметика руководствуется, а во-вторыхъ, что алгебра имѣетъ предметомъ преобразованіе различныхъ дѣйствій одни въ другія такъ, чтобы ариѳметикѣ оставалось только исполненіе, по возможности, простѣйшихъ. Вотъ, кажется, рѣзкое различіе между сими двумя науками".

Въ небольшомъ интересномъ сочиненіи „Что такое алгебра?“ (Одесса, 1910), нашъ извѣстный математикъ В. Ф. Каганъ резюмируетъ сущность современныхъ взглядовъ на интересующій насъ предметъ слѣдующимъ образомъ:

„Математика, вся вообще, представляетъ собой одно неразрывное цѣлое, различныя части котораго многообразно,

съ различныхъ сторонъ связаны одна съ другой. Точное разграниченіе здѣсь невозможно; въ частности, нельзя провести демаркаціонной линіи, которая совершенно строго отдѣляла бы алгебру отъ ариѳметики, алгебру отъ высшаго анализа. Можно дать только общую, научно наиболѣе цѣлесообразную схему, по которой въ настоящее время обычно группируется богатый накопляемый здѣсь матеріалъ. Эта схема сводится къ тому, что ариѳметика есть наука о числахъ и о дѣйствіяхъ, надъ ними производимыхъ: она охватываетъ всѣ возможныя числа — цѣлыя и дробныя, раціональныя и ирраціональныя, вещественныя и мнимыя, а въ высшемъ своемъ развитіи—заимствованныя уже изъ алгебры алгебраическія числа, она раздѣляется на низшую и высшую ариѳметику; послѣдней присвоено также названіе теоріи чиселъ. Къ низшей ариѳметикѣ относятся элементарныя свойства четырехъ дѣйствій надъ различнаго рода числами, различныя преобразованія, которыя допускаютъ результаты этихъ дѣйствій, методы точнаго и приближеннаго ихъ выполненія. Къ высшей ариѳметикѣ, или теоріи чиселъ, отходятъ тѣ вопросы, которые проистекаютъ, главнымъ образомъ, изъ ученія о дѣлимости и о разложеніи числа на множителей; самые методы рѣшенія этихъ вопросовъ приводятъ ариѳметику въ тѣсную связь съ алгеброй.

„Ариѳметика даетъ числовой матеріалъ, которымъ пользуется высшій математическій анализъ. Онъ изучаетъ перемѣнныя величины, способныя принимать различныя численныя значенія, и изслѣдуетъ зависимости между этими величинами—функціи. Изслѣдованія обширнаго, чтобы не сказать безконечнаго матеріала, къ которому мы приходимъ при изученіи разнообразныхъ функцій, приводятъ, однако, къ необходимости, въ первую очередь, изучить нѣкоторыя простѣйшія функціи, значенія которыхъ получаются изъ значеній независимыхъ перемѣнныхъ путемъ производства надъ ними раціональныхъ дѣйствій и умноженія ихъ на постоянныя количества. Эти функціи называются цѣлыми алгебраическими функціями. Опредѣленіе тѣхъ значеній независимыхъ перемѣнныхъ, при которыхъ эти функціи принимаютъ заданныя значенія, приводятъ къ наиболѣе общему понятію объ алгебраической функціи. Изученіе алгебраическихъ функцій составляетъ предметъ алгебры. Въ первую очередь алгебра изучаетъ цѣлыя алгебраическія функціи. Первая и главная задача, которая здѣсь возникаетъ, заключается въ рѣшеніи вопроса, способна ли такого рода функція принимать напередъ заданныя значенія, и если способна, то при какихъ значеніяхъ независимыхъ перемѣнныхъ это имѣетъ мѣсто. Это приводитъ къ понятію объ алгебраическихъ уравненіяхъ, рѣшеніе которыхъ об-

нимаетъ наиболѣе значительную часть алгебры. Элементарная алгебра разсматриваетъ наиболѣе простыя алгебраическія функціи, — именно, доводитъ до конца только изученіе функцій первой и второй степени.

„Алгебра въ корнѣ своемъ, какъ и весь математическій анализъ, опирается на ариѳметику. Но и въ высшемъ своемъ развитіи она срастается съ высшими отдѣлами теоріи чиселъ въ одно цѣлое“.

Что такое функція?

(Отрывокъ изъ сочиненія Н. А. Морозова „Функція“.)

Что такое функція?

Изученіе соотношеній, существующихъ между различными явленіями природы, даетъ намъ на это очень ясный отвѣтъ.

Возьмемъ, напримѣръ, какое-нибудь геологическое явленіе. Извѣстно, что Нилъ наноситъ въ Средиземное море около 106 милліоновъ куб. метровъ ила въ годъ. Въ два года она нанесетъ вдвое, въ десять лѣтъ въ десять разъ болѣе...

Обозначивъ объемъ или черезъ у, а время или число лѣтъ черезъ х, мы получимъ уравненіе:

(1)

Здѣсь мы имѣемъ зависимость между количествомъ ила у, выраженнымъ въ куб. метрахъ его объема, и временемъ х дѣйствія рѣки, выраженнымъ въ годахъ. Для полученія числовыхъ значеній у намъ нужно сдѣлать надъ х нѣкоторое математическое дѣйствіе (въ данномъ случаѣ простое умноженіе). Количество нанесеннаго или является здѣсь функціей времени, въ продолженіе котораго дѣйствовала рѣка.

Если бы средняя годичная скорость рѣки и вмѣстѣ съ нею количество приносимой ею воды и ила не оставались постоянными, а возрастали или уменьшались съ каждымъ годомъ, то и функція у зависѣла бы уже не отъ одного независимаго перемѣннаго, а отъ двухъ. Обозначивъ скорость теченія буквой z, мы получили бы, что

(2)

и сказали бы, что у, или количество наносимаго ила, является функціей двухъ независимыхъ перемѣнныхъ величинъ: времени х дѣйствія рѣки и скорости я ея теченія.

Но нетрудно видѣть, что и этого второго независимаго перемѣннаго здѣсь недостаточно для того, чтобы

вполнѣ выразить всѣ условія разсматриваемаго явленія природы. Вѣдь объемъ ила, наносимаго въ устье рѣки при томъ же времени и той же скорости ея теченія, будетъ еще прямо пропорціоналенъ ея загрязненности, т.-е. будетъ зависѣть отъ массы ила, несущагося въ данный моментъ въ данной изучаемой нами длинѣ ея русла. Если такого загрязненія нѣтъ, то и ила въ устьѣ не отложится — сколько бы мы ни ждали. Обозначивъ эту степень загрязненности черезъ u, получимъ уже функцію трехъ независимыхъ перемѣнныхъ

у = 106000000xyz. . . . (3)

Однако и этихъ трехъ независимыхъ перемѣнныхъ оказывается въ данномъ случаѣ мало, чтобъ опредѣлить всѣ перемѣнныя условія изучаемаго явленія. Нетрудно видѣть, что объемъ ила, отложившагося въ устьѣ Нила, будетъ зависѣть и отъ того, плотно или рыхло илъ улегся на днѣ его устья. Но здѣсь зависимость будетъ уже обратная чѣмъ меньше будетъ плотность ила, тѣмъ больше будетъ; объемъ его пластовъ. Обозначивъ плотность черезъ w, мы, поэтому, должны уже будемъ помѣстить этотъ символъ въ знаменателѣ второй части, какъ это дѣлаютъ всегда при обратной пропорціональности.

Тогда получимъ объемъ отложенныхъ Ниломъ геологическихъ напластованій въ функціи четырехъ независящихъ другъ отъ друга перемѣнныхъ факторовъ природы: времени теченья Нила х, его скорости z, его загрязненности и и плотности w, отложившихся въ его устьѣ слоевъ песку и глины

(4)

Рис. 21.—Николай Александровичъ Морозовъ.

Талантливый русскій ученый — самоучка. Одинъ изъ такъ называемыхъ «Шлиссельбуржцевъ». Математикъ, естественникъ, писатель и популяризаторъ. Его сочиненія «Откровеніе въ грозѣ и бурѣ», «Періодическія системы строенія вещества», «Въ поискахъ философскаго камня» и др. пользуются нынѣ большой извѣстностью.

Нетрудно видѣть, что не только у начинающаго, но и у спеціалиста здѣсь можетъ возникнуть вопросъ: закончились ли этими четырьмя факторами всѣ независимыя перемѣнныя такой функціи, или здѣсь присутствуютъ еще и другіе факторы, упущенные нами изъ вниманія. Для обнаруженія ихъ или доказательства, что болѣе никакихъ нѣтъ, существуетъ прекрасный методъ, называемый методомъ абсолютныхъ единицъ, или качественнымъ анализомъ математическихъ функцій. Но къ изученію этого метода намъ будетъ можно приступить лишь послѣ общаго ознакомленія съ функціями.

Приведеннаго примѣра вполнѣ достаточно для того, чтобы понять, что такое функція и что такое независимое перемѣнное. Всякій разъ, когда мы видимъ, что одна непостоянная (перемѣнная) величина какимъ-нибудь образомъ зависитъ отъ другихъ возрастающихъ или убывающихъ величинъ, мы можемъ сказать, что она—ихъ функція, а тѣ основныя величины, съ которыми функціональное неизвѣстное связано уравненіемъ, суть независимыя перемѣнныя. Такъ какъ здѣсь зависимая величина (у) приравнивается къ извѣстному ряду дѣйствій надъ независимыми величинами, находящимися во второй части уравненія, то она и называется ихъ функціей. А разъ она функція, то очевидно, что и вся комбинація множителей второй части, которая служитъ ея выраженіемъ, должна называться тоже функціей своихъ перемѣнныхъ, иначе она не была бы выраженіемъ величины, находящейся въ первой части, не была бы ей равна.

Значитъ функціей, въ нашемъ примѣрѣ, мы безразлично можемъ назвать и у и комбинацію

Само собой понятно, что функціи могутъ выражаться всѣми возможными уравненіями съ двумя или нѣсколькими перемѣнными величинами, и наоборотъ, всякое уравненіе, гдѣ находятся двѣ или нѣсколько перемѣнныхъ величинъ х, у, z и т. д. въ родѣ:

(5)

можетъ быть названо функціональнымъ уравненіемъ. Всѣ функціональныя уравненія могутъ быть обозначены символомъ

(6)

(то-есть: у есть функція отъ х), если независимое перемѣнное одно и

(7)

то-есть: у есть функція отъ х, и, z...), если независимыхъ перемѣнныхъ нѣсколько.

Здѣсь символъ f не говорить намъ ничего о томъ, въ какой именно зависимости находится у отъ х и другихъ независимыхъ перемѣнныхъ, m. — е. какія дѣйствія нужно произвести надъ ними, чтобъ получить величину, равную у. Также и запятыя между х, и и z не показываютъ, какими алгебраическими знаками они связаны между собою. Изъ такой формулы, конечно, ничего нельзя вычислить, пока мы не знаемъ точнаго смысла данной функціи и какіе знаки нужно поставить вмѣсто ея запятыхъ, но этотъ сокращенный и общій способъ изображенія выгоденъ, когда хотятъ изслѣдовать соотношенія между нѣсколькими различными функціями, и потому онъ часто употребляется въ математическихъ сочиненіяхъ*).

Само собой понятно, что во всякомъ уравненіи съ двумя перемѣнными мы можемъ признать за независимое перемѣнное какое-угодно изъ нихъ: х или у, а въ уравненіи съ нѣсколькими перемѣнными можемъ считать какое угодно за функцію всѣхъ остальныхъ. Если мы назовемъ у прямой функціей х, то х въ этомъ случаѣ будетъ называться обратной функціей у.

Прямыя функціи. Обратныя имъ функціи.

(9,а)

(9,b)

Въ такихъ случаяхъ обратную функцію часто обозначаютъ перевернутымъ знакомъ первой:

(10,а)

(10, b)

Но обыкновенно въ обратныхъ функціяхъ независимое перемѣнное тоже обозначается черезъ х (а не черезъ у,

*) При этомъ въ различныхъ случаяхъ употребляютъ вмѣсто f и другія буквы, напр., ψ, φ и т. д.

(8)

и тогда сокращенно читаютъ: у есть пси отъ х или у есть фи отъ х и т. д., вмѣсто полнаго выраженія: у есть функція пси отъ х и т. д.

какъ здѣсь показано), почему и пишутъ вмѣсто предыдущаго:

Прямыя функціи. Обратныя имъ функціи.

(11,а)

(11,b)

Для того, чтобы окончательно усвоить, что такое функція и что такое независимое перемѣнное, разсмотримъ еще нѣсколько конкретныхъ случаевъ.

На днѣ моря растетъ кубическій кристаллъ каменной соли. Принимая длину его ребра l за независимое перемѣнное (потому что ребро увеличивается), мы найдемъ, что объемъ W кристалла выражается уравненіемъ

(12)

Здѣсь объемъ разсматривается какъ функція длины l ребра кристалла, потому что для полученія истинной величины W нужно возвести въ кубъ независимое перемѣнное l. Желая имѣть формулу для величины одной изъ его граней S, мы найдемъ:

(13)

гдѣ боковая грань кубическаго кристалла каменной соли будетъ тоже фунціей величины его ребра.

Наблюденіе показываетъ, что вѣсъ р кубическаго сантиметра каменной соли равняется 1,2 грамма въ воздухѣ; значитъ, въ водѣ онъ равенъ 0,2 грамма. Отсюда, измѣряя ребро l сантиметрами, мы имѣемъ:

(14)

Здѣсь для полученія вѣса р кристаллической каменной соли въ морѣ мы должны сначала возвести независимое перемѣнное l въ кубъ, а потомъ помножить его на 0,2.

Всѣ приведенныя до сихъ поръ функціи принадлежатъ къ раціональнымъ, такъ какъ путемъ возведенія въ степень мы получаемъ всегда раціональное число.

Теперь отыщемъ обратныя имъ функціи. Считая объемъ каменной соли за независимое перемѣнное, мы найдемъ изъ предыдущихъ уравненій:

(изъ ур. 12)

(изъ ур. 13)

(изъ ур. 14)

т.-е. длина ребра l кубическаго кристалла каменной соли прямо пропорціональна кубическому корню изъ его объема или кубичному корню изъ вѣса, дѣленнаго на 0,2 (т.-е. на плотность даннаго вещества), или квадратному корню изъ его грани.

Всѣ эти функціи обратны первымъ. Онѣ принадлежатъ уже къ иному отдѣлу и называются ирраціональными, такъ какъ при извлеченіи корней большею частью получаются ирраціональныя числовыя величины.

Отсюда видно, что далеко не безразлично, какое изъ двухъ перемѣнныхъ принять за независимое. Въ данныхъ случаяхъ несравненно выгоднѣе представлять всѣ остальныя величины въ функціяхъ длины ребра I кристалла.

Чтобы дать о функціяхъ болѣе разностороннее понятіе, разсмотримъ и другіе ихъ виды.

Всѣ функціи раціональныя и ирраціональныя называются алгебраическими, пока надъ независимыми перемѣнными приходится совершать лишь одни основныя алгебрическія дѣйствія: сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе, возвышеніе въ степень и извлеченіе корня. Но во многихъ функціяхъ надъ независимымъ перемѣннымъ ириходится совершать и болѣе сложныя дѣйствія. Возьмемъ, напримѣръ, такой случай. Ланглей нашелъ, что солнечные лучи, падая перпендикулярно на черную пластинку на верхнемъ предѣлѣ земной атмосферы, доставляютъ ей въ минуту 3 калоріи теплоты на 1 квадр, сантиметръ ея поверхности, т.-е. количество тепла, способное нагрѣть граммъ воды на 3°С. Эта величина называется въ метеорологіи константой солнечной радіаціи. Когда Солнце спускается къ горизонту, лучи его перестаютъ падать перпендикулярно. Въ какой же зависимости энергія с нагрѣванія пластинки находится отъ склоненія α солнца?

Очевидно, что на языкѣ математическаго анализа,

(15)

т.-е. константа с радіаціи есть функція перемѣннаго угла отклоненія Солнца отъ зенита даннаго мѣста. Ближайшее разсмотрѣніе дѣла показываетъ намъ, что эта функція есть

(16)

Здѣсь для полученія нагрѣвательнаго дѣйствія солнца нужно отыскать въ логариѳмическихъ таблицахъ косинусъ независимаго перемѣннаго α и помножить его на 3 калоріи въ минуту. Но такія дѣйствія, какъ отысканіе косину-

1) Въ книгѣ Н. А. Морозова приведено опущенное здѣсь подробное объясненіе, какъ получается это выраженіе.

совъ въ тригонометрическихъ таблицахъ, уже не представляютъ одного изъ основныхъ алгебраическихъ дѣйствій, а потому и функціи подобнаго рода называются трансцендентными. Только что приведенная функція относится къ отдѣлу тригонометрическихъ, куда принадлежатъ также, напримѣръ, функціи:

(17)

Изъ другихъ трансцендентныхъ функцій отмѣтимъ логариѳмическія

(18)

гдѣ для рѣшенія нужно отыскивать въ таблицахъ (или спеціально вычислять методомъ безконечныхъ рядовъ) логариѳмы по основанію α (т.-е. 1α) отъ независимаго перемѣннаго х. Затѣмъ часто приходится употреблять круговыя функціи, въ родѣ

(19)

Кромѣ того, функціи называются дробными, если независимое перемѣнное входитъ въ знаменатель второй части равенства, напримѣръ:

(20)

и экспонентными, если независимое перемѣнное окажется показателемъ какого-нибудь количества, напримѣръ:

(21)

Первыя относятся къ отдѣлу алгебраическихъ, а вторыя къ отдѣлу трансцендентныхъ, какъ рѣшающіяся путемъ примѣненія логариѳмическихъ таблицъ и выражающіяся неопредѣленнымъ (а при дробныхъ значеніяхъ х даже невыразимымъ никакой конечной величиной) числомъ самопомноженій основанія а.

Всѣ функціи, которыя мы до сихъ поръ изображали, называются явными по отношенію къ х, потому что въ нихъ сразу видно, какія дѣйствія нужно сдѣлать надъ независимымъ перемѣннымъ. Но могутъ быть и неявныя функціи. Такими являются всѣ уравненія, въ которыхъ по-

казаны какія-либо дѣйствія какъ надъ зависимымъ, такъ и надъ независимымъ перемѣннымъ. Таково, напримѣръ, функціональное уравненіе

(22)

Очевидно, что неявную функцію можно сдѣлать явной, рѣшивши уравненіе по отношенію къ какой-либо изъ его перемѣнныхъ. Такъ, въ предыдущемъ уравненіи перенесемъ с во вторую часть и раздѣлимъ обѣ части на 2. Тогда функція станетъ явной по отношенію къ х.

(23)

Однако не всякую функцію можно сдѣлать явной: во всѣхъ многочленныхъ уравненіяхъ выше четвертой степени, напримѣръ, y5х + у4х2 + у + х = а, нельзя отдѣлить х отъ у, и ихъ приходится рѣшать въ неявномъ видѣ.

Резюмируя все сказанное, мы находимъ:

1) Всякая перемѣнная величина, числовыя значенія которой получаются въ зависимости отъ значеній другой перемѣнной посредствомъ какихъ-нибудь дѣйствій надъ послѣдней, есть ея функція.

2) Функціи раздѣляются на явныя и неявныя, алгебраическія и трансцендентныя.

Алгебраическія раздѣляются на раціональныя и ирраціональныя, цѣлыя и дробныя.

Трансцендентныя раздѣляются на тригонометрическія, круговыя, логариѳмическія, экспонентныя и рядъ другихъ менѣе употребительныхъ.

Замѣчаніе.—Въ настоящей книгѣ „Хрестоматіи“ намъ придется встрѣчаться почти исключительно только съ функціей вида

гдѣ А, В, С,...., L суть цѣлыя числа (нѣкоторыя изъ нихъ могутъ быть нулями), m цѣлое положительное число. Другими словами, функція подобнаго вида есть не что иное, какъ многочленъ, расположенный по убывающимъ или возрастающимъ степенямъ независимаго перемѣннаго х. Тѣмъ не менѣе изложенныя выше самыя общія и начальныя понятія о функціи настолько просты и общедоступны, а роль функціональной зависимости величинъ въ современной математикѣ настолько огромна, что освоеніе съ понятіемъ о функціи необходимо вырабатывать въ себѣ по возможности съ первыхъ же шаговъ.

Четыре ариѳметическія дѣйствія.

Ниже предлагается вниманію читателя обзоръ четырехъ ариѳметическихъ дѣйствій надъ цѣлыми числами, преслѣдующій двѣ цѣли: съ одной стороны, въ конспективной формѣ онъ напоминаетъ то наименьшее, что читатель долженъ уже знать, съ другой—даются нѣкоторыя разъясненія, дополненія и упражненія. Эта послѣдняя сторона разсчитана не столько на усвоеніе и разъясненія механизма дѣйствій, сколько на выработку и расширеніе понятій о дѣйствіи и числѣ, лежащихъ нынѣ въ основаніи теоретической, или общей ариѳметики. Чтеніе предлагаемаго обзора должно облегчить пониманіе тѣхъ отрывковъ этой и слѣдующей книги хрестоматіи, которые посвящены ученію о числѣ и расширенію этого понятія вплоть до чиселъ такъ называемыхъ гиперкомплексныхъ и трансфинитныхъ.

При изложеніи мы придерживались высокоталантливаго труда Э. Люка (Théorie des nombres par E. Lucas. Paris 1891), впрочемъ, частью сокращая, частью дополняя изъ другихъ источниковъ выдержки изъ его книги. Считаемъ долгомъ вмѣстѣ съ тѣмъ указать на недавно (въ 1912 г.) вышедшую книгу А. О. Филиппова: „Четыре ариѳметическія дѣйствія“1), изученіе которой, несомнѣнно, доставитъ читателю живѣйшее удовольствіе и пользу.

Сложеніе цѣлыхъ чиселъ.

(Конспективный обзоръ и дополненія.)

Образованіе цѣлыхъ чиселъ.—Рядъ цѣлыхъ чиселъ безконеченъ, другими словами: послѣ любого числа n слѣдуетъ число n + 1. — Составъ четныхъ и нечетныхъ чиселъ. — n—е четное число есть (n + n) или 2п; (n + 1)—е нечетное число есть (2n + 1).—Счетъ чиселъ тройками, четверками и m. под. группами.

1) Издательство „Mathesis“.

Сумма нѣсколькихъ чиселъ не зависитъ отъ порядка этихъ чиселъ:

При сложеніи многихъ чиселъ отдѣльныя группы слагаемыхъ можно замѣнить ихъ суммами; общая сумма всѣхъ чиселъ отъ этого не измѣнится.—Любое изъ слагаемыхъ чиселъ суммы можно замѣнить нѣсколькими слагаемыми, дающими то же число,—отъ этого общая сумма не измѣнится.

Таблица сложенія.—Повѣрка сложенія перемѣной мѣстъ слагаемыхъ.

Рядъ Фибоначчи.—Возьмемъ числа 0 и 1, и затѣмъ будемъ писать рядъ чиселъ такъ, чтобы каждое число этого ряда (каждый членъ) было равно суммѣ двухъ предыдущихъ чиселъ. Получимъ безконечный рядъ:

Вообще, слѣдовательно, если означимъ послѣдовательные члены этого ряда черезъ

то законъ образованія этого ряда выразится такъ:

Двѣнадцать первыхъ членовъ этого ряда впервые встрѣчаются въ книгѣ Liber Abbaci Леонарда Пизанскаго (изъ Пизы), извѣстнаго также подъ именемъ Фибоначчи (род. въ 1175, годъ смерти неизвѣстенъ), откуда и названіе ряда. Это первый извѣстный примѣръ такъ называемаго возвратнаго ряда (série récurrente). Онъ обладаетъ многими интересными свойствами и довольно часто встрѣчается въ различныхъ математическихъ изслѣдованіяхъ1). Альберъ Жираръ также изучалъ этотъ рядъ (1633). Талантливый французскій математикъ Ляме (Lamé) прилагалъ этотъ рядъ (1844 г.) при опредѣленіи наибольшаго числа дѣленій, которое можетъ быть произведено при опредѣленіи общаго наибольшаго дѣлителя двухъ чиселъ. Математики Бине, Плана и др. также пользовались этимъ рядомъ. Наконецъ въ 90-хъ годахъ прошлаго столѣтія талантливый Эдуардъ Люка (Е. Lucas, 1842 — 1891) съ помощью этого же ряда доказалъ много интересныхъ ариѳметическихъ теоремъ.

Укажемъ здѣсь на слѣдующее свойство этого ряда:

1) См. по этому поводу, иапр., „Въ царствѣ смекалки", книги 2-я и 3-я.

Сумма n первыхъ послѣдовательныхъ членовъ ряда Фибоначчи, увеличенная единиией, равна послѣдующему члену порядка n + 2, т.-е.

(1)

Обращаемъ вниманіе читателя на способъ доказательства заданнаго положенія.

Непосредственнымъ вычисленіемъ убѣждаемся, что теорема справедлива для какого-либо числа взятыхъ членовъ ряда

Предположимъ поэтому, что теорема справедлива для n и для (n + 1), т.-е.

Складывая эти оба равенства и имѣя въ виду законъ образованія ряда, получимъ:

Эта формула и доказываетъ, или, вѣрнѣе, распространяетъ равенство (1) на любую сумму членовъ ряда, такъ какъ отъ формулы (1) она отличается только тѣмъ, что n замѣнено черезъ n + 2, а u0 = 0. Итакъ, теорема доказана.

Подобный способъ доказательства имѣетъ огромное значеніе при изученіи ариѳметики. Онъ носитъ названіе способа индукціи (или говорятъ иные: доказательства отъ n къ n + 1). Наблюденіе и индукція позволяютъ часто открывать законы, которые или весьма трудно или прямо-таки невозможно найти а priori. Методъ математической индукціи, образчикъ котораго только что приведенъ, лежитъ въ основаніи, можно сказать, всей современной алгебры, начиная съ изслѣдованія Ферма и Паскаля объ ариѳметическомъ треугольникѣ.

Упражненіе.—Показать, что для четнаго и нечетнаго порядка членовъ ряда Фибоначчи имѣютъ мѣсто формулы:

Рис. 22.—Власъ (Блэзъ) Паскаль (1623 — 1662).

Ариѳметическій треугольникъ Паскаля. Десять первыхъ строкъ этого треугольника содержатся въ слѣдующей таблицѣ:

Паскалевъ треугольникъ.

Члены (числа) каждой строки треугольника получаются изъ предыдущей строки по слѣдующему закону образованія:

Каждое число таблицы равно числу, находящемуся надъ нимъ въ предыдущей строкѣ, сложенному съ числомъ влѣво отъ послѣдняго въ той же строкѣ.

Для указанія любого члена ариѳметическаго треугольника условимся въ такихъ обозначеніяхъ: обозначимъ числами нисходящія строки таблицы, начиная съ 0 и т. д. до р, точно также обозначимъ числами столбцы, считая слѣва направо отъ 0 и т. д. до q. Члены, находящіеся въ строкѣ р и въ столбцѣ q, обозначимъ черезъ Ср. Законъ образованія чиселъ треугольника въ такомъ случаѣ напишется такъ:

По условію, С = 1 для всякаго цѣлаго значенія р, включая и р = 0. Какъ видно изъ таблицы, число членовъ каждой слѣдующей строки увеличивается на 1.

Точно также таблицу можно представить сколько угодно продолженной въ направленіи Cq—> и для общности условиться, что Ср = 0 для всякаго цѣлаго числа g большаго р (для q>р).

Изъ закона образованія ариѳметическаго треугольника тотчасъ вытекаетъ слѣдующее:

Пусть какая-либо строка ариѳметическаго треугольника будетъ:

1, а, b,., b, а, 1. (А)

Въ такомъ случаѣ слѣдующая строка будетъ:

(В)

Слѣдовательно: въ каждой строкѣ ариѳметическаго треугольника равноотстоящіе отъ концовъ члены равны. Съ другой стороны, легко видѣть, что въ строкѣ (В) треугольника всѣ члены предыдущей строки (А) содержатся дважды, а потому: сумма членовъ какой-либо строки ариѳметическаго треугольника равна удвоенной суммѣ членовъ предыдущей строки. Отсюда имѣемъ формулу:

Любое число ариѳметическаго треугольника равно суммѣ всѣхъ членовъ, находящихся выше этого числа въ предыдущемъ столбцѣ.

Въ самомъ дѣлѣ, возьмемъ, напр., членъ С = 126. По закону образованія чиселъ ариѳметическаго треугольника имѣемъ рядъ равенствъ (см. таблицу треугольника):

Складывая равенства почленно и сокращая одинаковые члены въ обѣихъ частяхъ, имѣемъ:

Любое число ариѳметическаго треугольника равно суммѣ всѣхъ чиселъ, расположенныхъ по нисходящей діагонали ^, оканчивающейся какъ разъ надъ этимъ числомъ.

Теорема доказывается подобно предыдущей. Такъ что, напр.:

Если складывать числа ариѳметическаго треугольника, расположенныя по восходящимъ діагоналямъ , то получимъ рядъ Фибоначчи.

Въ самомъ дѣлѣ, возьмемъ два какихъ-либо ряда чиселъ ариѳметическаго треугольника по восходящей діагонали напр.:

Сложимъ эти числа по столбцамъ, получимъ рядъ чиселъ:

1, 7, 15, 10, 1. Сумма ихъ = 34.

Рядъ этотъ есть не что иное, какъ слѣдующая восходящая діагональ ж->, и сумма ея чиселъ равна суммѣ чиселъ двухъ предыдущихъ діагоналей, что и подтверждаетъ теорему.

Таблица суммъ. Возьмемъ и расположимъ въ столбецъ рядъ чиселъ u0, u1, u2,. Съ помощью какого-либо количества, которое обозначимъ черезъ Σu0, образуемъ рядомъ съ пер-

вымъ другой столбецъ чиселъ, получаемыхъ изъ равенствъ (законъ образованія):

Съ помощью новаго количества, которое обозначимъ черезъ Σ2u0, вычислимъ третій столбецъ количествъ по закону образованія:

(2)

т.-е. третій столбецъ мы получаемъ изъ второго точно такъ же, какъ второй получили изъ 1-го.

Такимъ образомъ, мы можемъ составить два конечныхъ или безпредѣльныхъ ряда чиселъ:

а изъ нихъ составить таблицу суммъ (фиг. 1), въ которой значокъ при Σ обозначаетъ мѣсто столбца, а значокъ при и мѣсто линіи, по общему закону образованія

Фиг. 1.

По закону своего составленія эта таблица обладаетъ свойствомъ, которое словами можно выразить такъ: всякое число внутри таблицы суммъ равно числу, находящемуся непосредственно сверху, сложенному съ числомъ, находящимся передъ этимъ послѣднимъ.

Если въ составленной нами таблицѣ (фиг. 1), принять, что члены перваго столбца равны 1, а члены первой строки, слѣдующіе за u0, суть нули, то получимъ ариѳметическій трехугольникъ Паскаля. Для таблицы можно вывести свойства аналогичныя свойствамъ ариѳметическаго трехугольника. Такъ, складывая почленно равенства (1) и сокращая одинаковые члены въ обѣихъ частяхъ, получимъ

Точно такъ же, если во (2) замѣнять р послѣдовательно черезъ 0, 1, 2, 3,... р, то получимъ рядъ равенствъ, складывая которыя, найдемъ

и вообще:

Равенство это сохраняетъ силу и въ томъ случаѣ, если увеличить на какое-нибудь цѣлое число всѣ значки при 2, при чемъ условимся для значка 0 при 2 въ обозначеніи Σ0ир = ир. Точно такъ же можно предположить, что таблица суммъ начинается съ любой строки, а потому вышенаписанное равенство остается въ силѣ и въ томъ случаѣ, если мы всѣ значки при и увеличимъ какимъ-либо цѣлымъ числомъ а. Такимъ образомъ, получаемъ общую формулу:

(3)

т.-е. всякое число, взятое внутри таблицы суммъ, равно суммѣ чиселъ, находящихся непосредственно выше взятаго числа въ предыдущемъ столбцѣ съ прибавкой самаго верхняго числа въ столбцѣ взятаго числа.

Возьмемъ первое изъ соотношеній (1). Переходя къ слѣдующей строкѣ и слѣдующему столбцу, т.-е. увеличивая

послѣдовательно на 1 значокъ при 2 и при и, получимъ рядъ равенствъ:

Складывая почленно обѣ части равенства и сокращая одинаковые члены, получимъ

(4)

Это соотношеніе сохраняетъ силу для всей таблицы, и значокъ при u можно безъ измѣненія смысла соотношенія (4) увеличить на цѣлое число α. Такимъ образомъ можно найти сумму послѣдовательныхъ членовъ нисходящей діагонали въ то время какъ формула (3) даетъ сумму послѣдовательныхъ членовъ столбца I.

Графическія изображенія.—Числовыя свойства разсмотрѣнныхъ выше таблицъ поддаются графическому (геометрическому) изображенію.

Предположимъ, что числа таблицы суммъ размѣщены въ клѣткахъ конечной или безконечной шашечной доски u0Σ. Въ такомъ случаѣ знаніе двухъ рядовъ чиселъ, помѣщенныхъ на сѣрыхъ клѣткахъ (фиг. 2), позволитъ заполнить всѣ клѣтки шашечницы способомъ, указаннымъ чертежомъ А (фиг. 3), въ которомъ число, находящееся въ черной клѣткѣ, равно суммѣ чиселъ двухъ верхнихъ сѣрыхъ клѣтокъ. Этотъ чертежъ, распространенный на всю шахматную доску, дастъ геометрическое представленіе закона образованія таблицы суммъ.

Если правую сѣрую клѣтку въ А замѣнить суммой чиселъ, заключающихся въ двухъ клѣткахъ предыдущей строки, получимъ фиг. A1, повторяя ту же операцію, получимъ фиг. A2, A3, A4,.... Въ каждой изъ нихъ число черной

Фиг. 2. Ариѳметическая шашечница.

Фиг. 3. Суммированіе столбцовъ.

Фиг. 4.

клѣтки равно суммѣ чиселъ, находящихся въ сѣрыхъ клѣткахъ.

Вмѣсто правой сѣрой клѣтки мы можемъ взять въ А лѣвую сѣрую клѣтку и замѣнить ее суммой чиселъ, находящихся въ двухъ клѣткахъ предыдущей строки, тогда получимъ B1, B2, B3,... (фиг. 4), геометрически выражающія второе свойство таблицы суммъ.

Обобщеніе таблицы суммъ и ряда Фибоначчи.—Предыдущія разсужденія можно еще болѣе расширить и обобщить. Такъ, напр., можно составить таблицу чиселъ,

въ которой каждое число равно суммѣ трехъ послѣдовательныхъ чиселъ предыдущей строки. Геометрическое представленіе о такомъ законѣ образованія даетъ А' (фиг. 5).

Фиг. 5.

Точно такъ же можно построить ариѳметическія таблицы различныхъ порядковъ, принимая во вниманіе фиг. А", А'"...

Точно такъ же можно обобщить и рядъ Фибоначчи, вычисляя послѣдовательные члены его сложеніемъ не двухъ, а, напр., 3-хъ послѣдовательныхъ членовъ, т.-е. законообразованіе ряда выразится соотношеніемъ

при чемъ за первые члены ряда можно принять три любыхъ числа u0, u1, u2. Проще всего за три первыхъ члена принять 0, 0, 1. Ясно, что подобнымъ путемъ можно получить сколько угодно простѣйшихъ возвратныхъ рядовъ различныхъ порядковъ.

Слѣдуетъ обратить вниманіе, что всѣ выводы настоящей главы могутъ быть получены, пользуясь только однимъ закономъ сложенія + или его распространительнымъ символомъ 2. Всѣ эти выводы получаются единственно изъ той основной предпосылки математическихъ наукъ, что число не зависитъ отъ природы, порядка и различныхъ сочетаній своихъ единицъ.

Вообще же, относительно сложенія, этого основного и простѣйшаго дѣйствія ариѳметики, читателю необходимо имѣть въ виду, что оно основано на слѣдующихъ пяти основныхъ законахъ:

1) а + b всегда представляютъ собой число, т.-е., дѣйствіе сложенія всегда безъ всякихъ исключеній выполнимо (чего нельзя сказать о вычитаніи, если взять область только положительныхъ чиселъ).

2) Сумма а + b всегда однозначна.

3) Имѣетъ мѣсто сочетательный (или ассоціативный) законъ: (а + b) + с = а + (b + с), такъ что скобки могутъ быть совсѣмъ опущены.

4) Имѣетъ мѣсто перемѣстительный (или коммутативный) законъ: а + b — b + а.

5) Имѣетъ мѣсто законъ монотонности, т.-е. если b>с, то и а + b>а + с.

Объ этомъ послѣднемъ законѣ (монотонности) у насъ будетъ еще рѣчь при обозрѣніи умноженія.

Кабалистическій трехугольникъ. Таинственный и магическій трехугольникъ, которому въ старину приписывали свойство предохранять отъ болѣзней и даже ихъ излѣчивать. Трехугольникъ этотъ состоитъ изъ буквъ слова ABRACADABRA и чтился какъ нѣчто божественное. Можно думать, однако, что въ основѣ этой фигуры лежитъ выраженіе свойствъ ариѳметическаго трехугольника и теоріи сочетаній. Такъ, напр., въ сочиненіяхъ Тартальи (1500—1557), какъ и у китайскихъ математиковъ, ариѳметическій трехугольникъ изображается такъ:

Чтобы подтвердить высказанное выше предположеніе о происхожденіи кабалистическаго трехугольника, зададимъ себѣ вопросъ: сколькими способами можно прочесть слово ABRACADABRA, если начинать съ самой верхней строки и опускаясь послѣ каждой взятой буквы къ одной изъ двухъ сосѣднихъ буквъ непосредственно слѣдующей ниже строки.

Вычисляя, получаемъ, что единственную букву первой строки А можно прочесть только однимъ способомъ (имѣемъ 1). Затѣмъ можно прочесть AB направо и AB налѣво (имѣемъ 1 и 1). Чтобы прочесть ABR, можно закончить на любой изъ трехъ буквъ R, и число чтеній будетъ 1, 2, 1. Чтобы прочесть ABRA, имѣемъ для окончанія четыре А въ четвертой строкѣ, и для каждаго изъ нихъ число чтеній будетъ соотвѣтственно 1, 3, 3, 1. Подобныя же для числа чтеній ABRAC найдемъ числа 1, 4, 6, 4, 1 и т. д.

Слѣдовательно, эти различные способы чтенія представляютъ не что иное, какъ построеніе ариѳметическаго трехугольника; а значитъ, число всѣхъ способовъ, которыми можно прочитать все слово, равно суммѣ чиселъ послѣдней одиннадцатой строки, т.-е. равно 210.

Если въ каждой строкѣ абракадабры вмѣсто точекъ поставимъ буквы строки, то и въ этомъ случаѣ возможно опредѣлить число способовъ, которыми можно прочесть кабалистическое слово. Число это можно получить съ помощью таблицы:

Каждое число этой таблицы равно числу, стоящему непосредственно надъ взятымъ, сложенному съ двумя сосѣдними числами, справа и слѣва. Сумма каждой строки таблицы равна степени 3.

Здѣсь же кстати можно отмѣтить и то, что числа Паскалева трехугольника даютъ коэффиціенты разложенія бинома (x + 1)n, а только что составленная таблица даетъ коэффиціенты разложенія (x2 + x + 1)n.

Та же таблица (I) позволяетъ послѣдовательно опредѣлить число ходовъ шахматнаго короля при предположеніи, что этотъ король постоянно подвигается на ходъ впередъ къ противоположному полю, и что шахматная доска неограничена, т.-е. король всегда можетъ пойти впередъ въ трехъ направленіяхъ Въ случаѣ же обыкновенной ограниченной предѣлами доски достаточно поставить нули въ клѣткахъ, соотвѣтствующихъ границамъ доски, сохраняя тотъ же законъ образованія.

Вычитаніе цѣлыхъ чиселъ.

(Конспективный обзоръ и дополненія.)

Числа, данныя для вычитанія.—Остатокъ, избытокъ, или разность.—Разность двухъ чиселъ не измѣняется, если оба числа увеличить на одно и то же число.—Вычитаніе, получаемое сложеніемъ.—Повѣрка вычитанія.

Введеніе цѣлыхъ отрицательныхъ чиселъ.—Возьмемъ на прямой линіи отрѣзокъ OR длиной въ одну единицу, направленный вправо отъ точки О, и примемъ его за + 1. Въ такомъ случаѣ отрѣзокъ OL той же прямой, равный OR, но направленный влѣво отъ О, изобразится черезъ —1. Вообще говоря, + а изобразится линіей въ а единицъ длины, направленной вправо отъ О, и — а изобразится линіей также въ а единицъ длины, но направленной влѣво отъ О. Таково простѣйшее и наиболѣе извѣстное приложеніе прямой линіи, которое даетъ намъ наглядное геометрическое изображеніе дѣйствительныхъ чиселъ. Числа эти, какъ видимъ, могутъ быть противоположны по знаку, иначе говоря, различаютъ положительныя и отрицательныя числа.

Хорошей иллюстраціей положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ могутъ также служить показанія термометра выше нуля и ниже нуля. Если первыя показанія („тепло") мы будемъ означать знакомъ + , то вторыя („холодъ") надо обозначать знакомъ—.Точно такъ же дѣйствительны по смыслу, но противоположны по знаку числа „дебета" и „кредита" въ бухгалтерскихъ записяхъ и т. д.

Отсюда слѣдуетъ прежде всего, что какъ положительныя, такъ и отрицательныя числа всегда существуютъ и существовали одновременно. Ошибочно поэтому говорить объ ариѳметическомъ числѣ, какъ объ исключительно положительномъ, хотя въ эту ошибку на первыхъ порахъ впадаютъ многіе.

Происходитъ эта ошибка, по всей вѣроятности, отъ того, что въ начальной ариѳметикѣ мы производимъ дѣйствія надъ числами, которыя нельзя назвать ни положительными ни отрицательными, такъ какъ знакъ ихъ не имѣетъ для насъ практическаго значенія. На самомъ же дѣлѣ надо постоянно помнить, что существуютъ положительныя и отрицательныя дѣйствительныя числа, и что тѣ и другія въ ариѳметикѣ, такъ сказать, одновременны и равноправны, т.-е. разъ мы говоримъ о положительномъ числѣ, то тотчасъ должны вспомнить и о противоположномъ ему—отрицательномъ.

Возьмемъ опять прямую линію и на ней отрѣзокъ между двумя точками А и В. За начало этого отрѣзка мы можемъ принять точку А и обозначить его черезъ AB', но тотъ же отрѣзокъ можно обозначить черезъ ВА, и въ такомъ случаѣ за начало его принимается точка В. Въ первомъ случаѣ мы разсматриваемъ (или проходимъ) отрѣзокъ въ одномъ направленіи (отъ А къ В), а во второмъ—въ направленіи прямо противоположномъ первому (отъ В къ А). Такимъ образомъ, если помимо величины отрѣзка принимать въ расчетъ еще его направленіе, то, принимая въ первомъ случаѣ отрѣзокъ, напримѣръ, за положительный, во второмъ случаѣ мы должны считать его за отрицательный, такъ что АВ = — ВА, или

Вообще, если на одной и той же прямой взять нѣсколько отрѣзковъ, то направленіе ихъ опредѣляется такъ: нѣкоторую точку на прямой принимаемъ за начало и условливаемся считать положительными отрѣзки, отсчитываемые отъ этого начала въ одномъ и томъ же направленіи, отрѣзки же, отсчитываемые въ противоположномъ направленіи, будутъ считаться отрицательными. Такимъ образомъ, отрѣзокъ, напримѣръ, въ 3 аршина длины, можно выражать числомъ + 3 или — 3 въ зависимости отъ направленія, въ которомъ онъ берется, считая отъ точки, принятой за начало.

Условившись относительно знака отрѣзковъ прямой, нетрудно доказать теорему, имѣющую въ математикѣ весьма многочисленныя приложенія:

Каково бы ни было взаимное расположеніе трехъ точекъ А, В и С на одной прямой, всегда имѣетъ силу равенство:

Въ самомъ дѣлѣ, расположеніе 3-хъ точекъ на одной прямой можетъ представить только 3 различныхъ случая, такъ какъ, взявъ, напримѣръ, точки А и В, относительно третьей точки С можно сказать, что она можетъ принять одно изъ 3-хъ положеній относительно отрѣзка AB: или С лежитъ направо отъ этого отрѣзка, или налѣво, или, наконецъ, на самомъ отрѣзкѣ. Это даетъ три послѣдовательности точекъ на прямой: А, В, С; С, А, В и А, С, В, и мы видимъ, что отъ одной изъ этихъ послѣдовательностей можно перейти къ другой перестановкой двухъ буквъ.

Замѣтимъ теперь, что равенство

не мѣняется отъ такой перестановки какихъ-либо двухъ его буквъ—одной на мѣсто другой. Слѣдовательно, если теорема будетъ доказана для одного какого-либо случая, то она будетъ вѣрна и для всѣхъ трехъ возможныхъ случаевъ.

Возьмемъ, напримѣръ, порядокъ точекъ А,, В, С. Тогда отрѣзки AB, ВС и АС будутъ одного знака, и при томъ

Но АС = —СА по принятому нами условію о знакахъ отрѣзковъ, значитъ АВ + ВС = —СА, или

Алгебраическая сумма. — Независимость ея отъ порядка входящихъ въ нее членовъ.—Чтобы сложить нѣсколько алгебраическихъ суммъ, ихъ выписываютъ рядомъ съ сохраненіемъ знака каждаго члена.—Чтобы вычесть алгебраическую сумму, ее приписываютъ къ уменьшаемому, измѣнивъ знаки всѣхъ ея членовъ на обратные. — Если имѣемъ равенство двухъ алгебраическихъ суммъ, то изъ одной части равенства въ другую можно переносить члены, измѣняя ихъ знакъ на обратный.

Неравенства.—Опредѣленіе и знаки неравенства. — Абсолютное значеніе отрицательнаго числа.—Къ обѣимъ частямъ неравенства безъ измѣненія его смысла можно придать или отнять одно и то же количество. — Изъ одной части неравенства въ другую можно переносить члены, измѣняя ихъ

знакъ на обратный. — Если измѣнить на обратные знаки у всѣхъ членовъ неравенства, то измѣнится на обратный и самый знакъ неравенства. —Неравенства одинаковаго смысла можно почленно складывать.

Таблица разностей.—Возьмемъ рядъ какихъ-либо количествъ:

Если каждое изъ нихъ вычтемъ изъ слѣдующаго, то составится рядъ первыхъ разностей, который напишемъ такъ:

Въ немъ по опредѣленію:

Если съ полученнымъ рядомъ первыхъ разностей будемъ поступать такъ же, какъ со взятымъ первымъ рядомъ, получимъ рядъ вторыхъ разностей, который изобразится такъ:

и законъ его образованія есть, очевидно:

Вообще, разности порядка для взятаго начальнаго ряда получатся изъ ряда разностей порядка р по закону образованія

Построимъ таблицу разностей, располагая ихъ столбцами влѣво отъ столбца количествъ u:

Разсматривая эту таблицу, нетрудно убѣдиться, что между количествами, составляющими ее, существуетъ зависимость

т.-е. члены таблицы связаны соотношеніемъ, которымъ мы пользовались для построенія таблицы суммъ.

Знакоперемѣнная сумма.—Если имѣемъ n положительныхъ или отрицательныхъ количествъ u0, u2, u3,.... и возьмемъ алгебраическую сумму этихъ количествъ, приписывая поочередно каждому изъ количествъ знакъ то + , то —, т.-е. возьмемъ сумму

то такая сумма называется знакоперемѣнной (somme alternée).

Варіаціи знаковъ.—Если имѣется рядъ положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ, то говорятъ, что два послѣдовательныхъ члена такого ряда даютъ варіацію (или перемѣну), если эти члены имѣютъ разные знаки; если же два послѣдовательныхъ члена имѣютъ одинаковые знаки, то они представляютъ постоянство. Читателю нетрудно будетъ доказать слѣдующія положенія.

Если въ ряду между двумя членами съ разными знаками вставить какой-либо новый членъ, то число перемѣнъ (варіацій) ряда не измѣнится.

Если въ ряду вставить новый членъ между двумя членами съ одинаковыми знаками, то число перемѣнъ (варіацій) ряда или не измѣнится или увеличится на 2 перемѣны.

Если между членами ряда вставить еще нѣсколько новыхъ членовъ, то число перемѣнъ не можетъ уменьшиться, но можетъ увеличиться, и только на четное число.

Если взять два какихъ-либо члена ряда съ разными знаками, то между ними существуетъ нечетное число перемѣнъ. Между же двумя членами съ одинаковыми знаками или нѣтъ совсѣмъ перемѣнъ или ихъ есть четное число.

Число перемѣнъ или постоянствъ въ ряду не измѣнится, если измѣнить на обратные знаки всѣхъ членовъ ряда.

Умноженіе цѣлыхъ чиселъ.

(Конспективный обзоръ и дополненія.)

Сокращенное сложеніе цѣлыхъ чиселъ. — Множимое, множитель. — Произведеніе.—Знаки умноженія.

Число b есть кратное числа а, если b = n. а, гдѣ n цѣлое число. — Числа, кратныя а, получаются послѣдовательнымъ сложеніемъ, т.-е. изъ ряда

Обратно: говорятъ въ этомъ случаѣ, что а есть половина, третья, четвертая, n-я часть числа b, или что а есть одинъ изъ множителей b. Говорятъ также, что b дѣлимо на а, или что а измѣряетъ или дѣлитъ число b, или что а есть дѣлитель b.

Умноженіе алгебраической суммы на цѣлое число:

Всякое число, которое дѣлитъ безъ остатка другое, дѣлитъ и всѣ кратныя послѣдняго. — Всякое число, которое дѣлитъ безъ остатка нѣсколько чиселъ, раздѣлитъ безъ остатка и алгебраическую сумму чиселъ, кратныхъ послѣднимъ.

Перемноженіе двухъ алгебраическихъ суммъ.—Правило знаковъ.

Десятеричное счисленіе. — Что такое счисленіе вообще. — Система десятеричнаго счисленія. — Устное и письменное счисленіе.—Абсолютное и относительное значеніе цифръ. — Употребленіе нуля.

Сложеніе и вычитаніе въ десятичной системѣ счисленія.—Способъ дополненій.—Умственный счетъ.—Умноженіе.

Примѣры сложенія:

Угадка. Предлагаютъ кому-либо написать три пятизначныхъ числа, предупреждая, что сейчасъ же будутъ написаны три такихъ числа, что общая сумма всѣхъ полученныхъ чиселъ будетъ 299997. (Подъ каждымъ изъ написанныхъ кѣмъ-либо трехъ чиселъ вы подписываете числа, цифры которыхъ дополняютъ каждую верхнюю цифру до 9. Тогда общая сумма будетъ 3 × 99999. Задачу можно всячески видоизмѣнять.)

Таблица умноженія съ помощью рукъ.—Если знать таблицу умноженія въ предѣлахъ до 5 × 5 — 25, то дальнѣйшія произведенія однозначныхъ чиселъ до 9 × 9 можно получать съ помощью такого искусственнаго пріема: Пусть требуется, напримѣръ, умножить (5 + а) на (5 + b) (т.-е. число большее пяти и меньше десяти на другое большее пяти и меньше десяти). Въ такомъ случаѣ на одной рукѣ выпрямляемъ а пальцевъ, а остальные (5 —а) пальцевъ пригибаемъ; на другой рукѣ выпрямляемъ b пальцевъ, а остальные (5 — ö) пригибаемъ. Искомое произведеніе получимъ такъ: число всѣхъ выпрямленныхъ пальцевъ даетъ число десятковъ произведенія, а къ этимъ десяткамъ надо еще прибавить число, которое получится отъ перемноженія числа согнутыхъ пальцевъ на одной рукѣ на число согнутыхъ пальцевъ на другой. Этотъ искусственный пріемъ основывается на тождествѣ, которое легко провѣрить:

Этотъ способъ умноженія однозначныхъ чиселъ практикуется и въ настоящее время у нѣкоторыхъ восточныхъ народовъ, — напримѣръ, въ Сиріи.

Таблица умноженія (Пиѳагора).—Первый столбецъ и первая строка таблицы представляютъ рядъ послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ. Второй столбецъ образуется послѣдовательнымъ сложеніемъ числа 2, третій — послѣдовательнымъ сложеніемъ числа 3 и т. д. Такимъ путемъ таблицу Пиѳагора можно весьма быстро продолжить до желательныхъ размѣровъ въ горизонтальномъ и вертикальномъ направленіи.

Изученіе таблицы Пиѳагора показываетъ, что произведеніе двухъ чиселъ не мѣняется, если множимое и множитель поставить одинъ вмѣсто другого, т.-е.

ab = bа.

Такимъ образомъ, вмѣсто того, чтобы говорить о множимомъ и множителѣ, просто говорятъ о множителяхъ, производителяхъ, или сомножителяхъ произведенія.

Для облегченія вычисленій существуютъ весьма обширныя таблицы умноженія. Такъ, напр., таблицы для вычисленій (Rechentafeln) Крелля содержатъ произведенія всѣхъ трехзначныхъ чиселъ.

Умноженіе числа на 11, 111, 1111,. При умноженіи на 11, чтобы избѣгать лишнихъ выписываній множимаго, множителя 11, и затѣмъ опять двойного переписыванія множимаго, можно для быстраго полученія произведенія поступать такъ: пишемъ цифру единицъ множимаго, прибавляемъ эти единицы къ десяткамъ множимаго и пишемъ полученную цифру въ десятки произведенія (т.-е. влѣво отъ написанной цифры единицъ); цифру десятковъ умножаемаго числа прибавляемъ къ цифрѣ его сотенъ, получаемъ сотни произведенія и т. д. Для примѣра возвысимъ 11 въ первыя 4 степени:

Мы видимъ, что въ данномъ случаѣ получаются послѣдовательныя строки Паскалева (ариѳметическаго) треугольника.

Точно также для умноженія какого-либо числа на 111, предположимъ, что вправо и влѣво отъ этого числа приписано по 2 нуля; а затѣмъ будемъ брать послѣдовательно суммы изъ трехъ цифръ, начиная справа, и соблюдая извѣстное правило, что если при такомъ сложеніи получатся единицы высшаго разряда, то ихъ надо прибавлять къ соотвѣтствующему же разряду.

Подобныя же правила читатель легко выведетъ для умноженія любого числа на 1111, 11111,.

Вотъ примѣры подобныхъ умноженій, находящіеся въ книгѣ Talkhys арабскаго ученаго Ибнъ Альбанна (Марокко, XIII в.).

Умноженіе какого-либо числа на 9, 99, 999,.Чтобы помножить какое-либо число на 9, т.-е. на (10—1), прибавляемъ мысленно справа къ этому числу 0, затѣмъ вычитаемъ цифру единицъ числа изъ десяти, цифру десятковъ изъ единицъ, цифру сотенъ изъ десятковъ и т. д., соблюдая, конечно, общія извѣстныя намъ правила вычитанія. Наприм.:

Подобно же для умноженія числа на 99 (т.-е. на 100 — 1) придаемъ мысленно къ числу справа два нуля и вычитаемъ по общему правилу изъ такимъ образомъ полученнаго числа послѣдовательно цифры даннаго числа, начиная справа. Подобно же для 999 и т. д.

Вотъ нѣкоторые любопытные случаи умноженія:

Квадраты и произведенія чиселъ, состоящихъ изъ одинаковыхъ цифръ:

Квадратъ числа 9090909091 есть число, состоящее изъ двухъ одинаковыхъ частей. То же получается и для квадрата его девяти первыхъ множителей.

Быстрое умноженіе.—Можно очень быстро производить перемноженіе двухъ-трехъ-четырехъ- и пятизначныхъ чиселъ способомъ, который изложенъ въ не разъ уже упомянутомъ выше Liber Abbaci. Способъ этотъ позволяетъ почти непосредственно писать общее произведеніе, не выписывая частичныхъ произведеній. Выяснимъ этотъ способъ на двухъ трехзначныхъ числахъ. (Если данныя для умноженія числа не имѣютъ одинаковаго количества цифръ, то одно изъ нихъ дополняютъ нулями, поставленными справа или слѣва.)

Пусть abc и pqr будутъ два числа, написанныя по десятеричной системѣ (фиг. 6).

Фиг. 6. Быстрое умноженіе.

Образуемъ произведеніе cr, пишемъ цифру единицъ этого произведенія, а число, замѣченное въ умѣ, прибавляемъ къ суммѣ произведеній br + cq, дающихъ десятки. Записываемъ цифру единицъ этой суммы, и такимъ образомъ получаемъ цифру десятковъ общаго произведенія; число же, замѣченное въ умѣ, придаемъ къ суммѣ сотенъ аr + bq + φ и т. д., какъ пояснено табличками фиг. 6.

Неперовы палочки.—Джонъ Неперъ, баронъ Маркистонскій въ Шотландіи, приводитъ въ своей Рабдологіи (1617 г.) весьма остроумный пріемъ для упрощенія дѣйствія умноженія и дѣленія.

Фиг. 7-я представляетъ таблицу Пиѳагора, помѣщенную на десяти палочкахъ или дощечкахъ. Лѣвая пластинка неподвижна, всѣ же остальныя могутъ передвигаться и перемѣщаться всячески. Каждый изъ квадратиковъ таблицы раздѣленъ діоганалью на два треугольника. Въ нижнемъ тре-

Фиг. 7.—Неперовы палочки.

угольникѣ находится цифра единицъ произведеній таблицы умноженія, а въ верхнемъ, налѣво, цифра десятковъ. Предположимъ теперь, что рядомъ съ неподвижной лѣвой линеечкой помѣщены послѣдовательно линеечки, имѣющія сверху цифры 7, 5 и 8. Въ такомъ случаѣ нетрудно почти моментально получить произведеніе изъ 758 на всякое число отъ 1 до 9.

Такъ, напримѣръ, желая умножить это число 758 на 6, мы смотримъ на неподвижную линейку и въ данномъ случаѣ противъ числа 6 по горизонтальному направленію находимъ (см. фиг. 8):

Фиг. 8.

Сложимъ числа параллельно діагоналямъ квадратиковъ, находимъ:

т.-е. число 4548, которое и есть произведеніе числа 758 на 6.

Слѣдовательно, палочки Непера позволяютъ находить простымъ сложеніемъ двухъ цифръ всѣ частныя произведенія любого числа изъ 10 и болѣе цифръ. При этомъ не требуется даже знанія таблицы умноженія, а, какъ видимъ, умноженіе приводится къ сложенію. Облегченіе получается тѣмъ болѣе значительное, чѣмъ большее надо умножить число.

Неперовы палочки принадлежатъ къ счетнымъ аппаратамъ, основаннымъ на графическомъ методѣ полученія чиселъ. Можно предполагать, что идею своихъ палочекъ Неперъ позаимствовалъ изъ сочиненій арабскихъ математиковъ, гдѣ предлагаются подобные же пріемы быстраго умноженія. Во всякомъ случаѣ, этотъ прекрасный счетный приборъ остался въ незаслуженномъ забвеніи, болѣе всего, вѣроятно, благодаря другому, еще болѣе важному открытію того же Непера, а именно—логариѳмамъ.

Немало также способствовало забвенію Неперовыхъ палочекъ и то обстоятельство, что, начиная съ Паскаля, изобрѣтатели стремятся все болѣе совершенствовать счетную

машину, въ основаніи которой лежитъ не графическій, а иной—динамическій—принципъ. И дѣйствительно, въ этомъ отношеніи уже достигнуты изумительные результаты. Впрочемъ, за болѣе обстоятельными свѣдѣніями по этому предмету отсылаемъ читателя къ нашей 3-й книгѣ „Въ царствѣ смекалки".

Произведеніе нѣсколькихъ множителей.—Обозначеніе

указываетъ результатъ, который получится, если умножить а на b, полученное произведеніе умножить на с и это новое произведеніе помножить на d.

Пусть имѣемъ два произведенія, состоящія изъ однихъ и тѣхъ же множителей, числомъ n, но расположенныхъ въ различномъ порядкѣ. Если одинъ изъ этихъ множителей увеличимъ на единицу, то очевидно, что оба произведенія увеличатся каждое на произведеніе (n—1) остальныхъ множителей, взятыхъ въ ихъ соотвѣтственномъ порядкѣ. Слѣдовательно, для случая, напр., пяти множителей будемъ имѣть:

Результатъ послѣдовательнаго перемноженія нѣсколькихъ цѣлыхъ положительныхъ чиселъ не зависитъ отъ порядка, въ которомъ эти перемноженія производятся. Съ другой стороны, такъ какъ порядокъ множителей безразличенъ, то можно всегда предположить, что любые два изъ нихъ занимаютъ первое мѣсто и замѣнить оба эти множителя ихъ произведеніемъ, или наоборотъ.

Поэтому, если мы разсматриваемъ произведеніе ряда нѣсколькихъ положительныхъ чиселъ, то два изъ этихъ чиселъ можно замѣнить ихъ произведеніемъ, съ полученной такимъ образомъ новой совокупностью множителей можно поступить такъ же, какъ съ первой, и т. д., пока не получимъ одного числа, представляющаго произведеніе всѣхъ множителей и, какъ видимъ, всегда не зависящаго отъ порядка и выбора перемноженій, производимыхъ надъ множителями, взятыми по два.

Умноженіе числа на произведеніе, составленное изъ нѣсколькихъ множителей, сводится къ послѣдовательному умноженію на каждый множитель произведенія.

Чтобы умножить произведеніе на данное число, достаточно умножить на это число одинъ изъ множителей произведенія.

Степени числа. — Квадраты, кубы, четвертыя степени и т. д. чиселъ. — Показатель степени. — Обозначенія. — Правила показателей степени.

Имѣемъ формулы:

Не слѣдуетъ смѣшивать обозначеніе

съ обозначеніемъ

Перемноженіе одночленовъ (перемножаютъ коэффиціенты и складываютъ показатели).

Послѣднія цыфры степеней чиселъ (степенные вычеты въ десятичной системѣ) суть:

Пятыя степени оканчиваются тѣми же цифрами, что и первыя степени чиселъ. Это обстоятельство положило начало теоремѣ Ферма (Fermat): послѣднія цифры послѣдовательныхъ степеней какого-либо числа періодически повторяются черезъ каждыя четыре цифры.

Всякое биквадратное число (т.-е. четвертая степень нѣкотораго числа) оканчивается одной изъ четырехъ слѣдующихъ цифръ: 0, 1, 5, 6.

Послѣдовательныя степени 2. — Послѣдовательное удвоеніе даетъ рядъ чиселъ:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,.

Для повѣрки вычисленій можно пользоваться числами:

2 въ степени 196 равно шестнадцать разъ взятому кубу послѣдняго изъ написанныхъ чиселъ; полученное число состоитъ изъ 60-ти слѣдующихъ цифръ:

Убѣдиться въ справедливости формулы:

Составить таблицу послѣдовательныхъ степеней числа 5. — Показать, что цифра десятковъ тысячъ какой угодно степени 5 не можетъ быть ни 3 ни 8.

Таблица квадратовъ. — Въ составленномъ нами раньше (см. 115 стр.) ариѳметическомъ трехугольникѣ (трехугольникъ Паскаля), первый столбецъ состоитъ изъ цифръ 1. Составимъ по тому же закону трехугольникъ, въ которомъ первый столбецъ содержалъ бы цифру 2. Получится новая таблица (фиг. 9), въ которой второй столбецъ дастъ послѣдовательно нечетныя числа, а третій дастъ намъ квадраты послѣдовательныхъ чиселъ; въ чемъ, впрочемъ, можно убѣдиться непосредственно изъ формулы:

Другими словами, послѣдовательныя разности квадратовъ суть числа нечетныя; а сумма n первыхъ нечетныхъ чиселъ

равняется n2, т.-е. квадрату числа взятыхъ нечетныхъ чиселъ. Эти свойства чиселъ были извѣстны еще въ древности Пиѳагору и Платону.

Такимъ образомъ, таблицу квадратовъ можно быстро получить путемъ послѣдовательныхъ сложеній, ограничиваясь всего тремя первыми столбцами таблицы. При чемъ

Фиг. 9. — Таблица квадратовъ.

черезъ каждыя десять строкъ контролируется вѣрность вычисленій, такъ какъ долженъ получиться уже вычисленный раньше квадратъ съ прибавкой двухъ нулей справа. Экономія времени при подобномъ вычисленіи весьма значительна, такъ какъ для составленія, напримѣръ, таблицы квадратовъ тясячи первыхъ послѣдовательныхъ чиселъ приходится сдѣлать тысячу сложеній, вмѣсто тясячи умноженій, съ тѣмъ весьма важнымъ преимуществомъ, что черезъ каждыя десять квадратовъ получается провѣрка вычисленій. Въ случаѣ же непосредственнаго перемноженія нельзя даже дѣлать провѣрки результата путемъ перестановки множителей, такъ какъ въ данномъ случаѣ они равны.

Свойства ариѳметическаго треугольника (выведенныя нами раньше) имѣютъ силу и для таблицы квадратовъ (фиг. 9); но нетрудно видѣть также, что каждый членъ этой таблицы можетъ быть получаемъ изъ Паскалева треугольника: для этого въ Паскалевомъ треугольникѣ члены каждой строки надо сложить съ соотвѣтствующими членами слѣдующей нижней строки. Такъ что если обозначить чечезъ Qnm какой-либо членъ таблицы квадратовъ, то

Точно такъ же нетрудно удостовѣриться въ томъ, что сумма членовъ таблицы квадратовъ, заключающаяся въ восходящей діагонали равна соотвѣтствующему члену ряда Фибоначчи.

Таблица квадратовъ позволяетъ во многихъ случаяхъ сокращать и упрощать ариѳметическія вычисленія; и есть основанія предполагать, что эта таблица въ рукахъ Ферма была отличнымъ пособіемъ для его великихъ открытій въ области ариѳметики.

Послѣднія цифры квадратныхъ чиселъ. — Послѣдняя цифра квадрата нѣкотораго числа есть въ то же время послѣдняя цифра квадрата единицъ этого числа. Слѣдовательно, квадраты цѣлыхъ чиселъ могутъ оканчиваться только на одну изъ слѣдующихъ цифръ:

0, 1, 4, 5, 6, 9.

Числа же, оканчивающіяся на одну изъ четырехъ цифръ

2, 3, 7, 8,

не могутъ быть квадратами цѣлаго числа.

Числамъ 0, 1, 4, 5, 6, 9 въ теоріи чиселъ даютъ названіе квадратичныхъ вычетовъ въ десятеричной системѣ счисленія; числа же 2, 3, 7, 8 — невычеты.

Простыя замѣчанія, изложенныя только что выше, если распространить ихъ на числа, написанныя по какой угодно системѣ счисленія, даютъ начало цѣлой теоріи квадратичныхъ вычетовъ, играющей въ высшей ариѳметикѣ весьма важную роль.

Показать, что въ квадратномъ числѣ, оканчивающемся 1 или 9, цифра десятковъ есть четная.

Въ квадратномъ числѣ, оканчивающемся 5, цифра десятковъ есть 2. Въ квадратномъ числѣ, оканчивающемся 4, цифра десятковъ—четная. Въ квадратномъ числѣ, оканчивающемся 6, цифра десятковъ — нечетная, и обратно: если цифра десятковъ квадратнаго числа нечетная, то цифра единицъ этого числа есть 6.

Число не можетъ быть полнымъ квадратомъ, если двѣ его послѣднія цифры не представляютъ какого-либо изъ 22 слѣдующихъ чиселъ:

Сумма двухъ квадратовъ содержитъ четное число десятковъ, если она оканчивается цифрами 1, 5, 9; если же она оканчивается 3 или 7, то число десятковъ въ ней нечетное.

Всякое число, которое оканчивается цифрами

при возвышеніи въ квадратъ будетъ оканчиваться этими же цифрами и въ томъ же порядкѣ; и существуетъ только еще одно число изъ десяти цифръ (если не считать десяти нулей или 1 съ десятью нулями), которое обладаетъ тѣмъ же свойствомъ: Это число

1 787 109 376.

Найти n послѣднихъ цифръ числа, зная n послѣднихъ цифръ его квадрата.—Напр., если 9 послѣднихъ цифръ квадрата нѣкотораго числа

то девять послѣднихъ цифръ самаго числа надо искать среди слѣдующихъ группъ:

Зная произведеніе нѣкоторого числа на другое, состоящее изъ тѣхъ же цифръ, но написанныхъ въ обратномъ порядкѣ, найти оба эти числа.

Законы умноженія.—На страницѣ 122 мы уже перечислили 5 законовъ, на которыхъ основано дѣйствіе сложенія. При умноженіи дѣйствуютъ 5 аналогичныхъ законовъ и еще шестой, устанавливающій связь сложенія съ умноженіемъ. Вотъ эти шесть законовъ:

1) а. b всегда представляетъ число;

2) произведеніе а. b однозначно;

3) законъ сочетательный: (аbс) = (аb) с = abс;

4) законъ перемѣстительный: а.b = b.а.

5) законъ монотонности: если b>с, то ab>ac.

Наконецъ связь сложенія съ умноженіемъ устанавливается шестымъ закономъ:

6) законъ распредѣлительный (или дистрибутивный):

Пять законовъ сложенія и шесть умноженія составляютъ тѣ 11 законовъ, на повторномъ примѣненіи которыхъ основаны всѣ наши цифровыя вычисленія съ примѣненіемъ заученныхъ наизусть таблицъ сложенія и умноженія простыхъ единицъ. Это легко уясняется на примѣрахъ. Такъ, умножая 6 на 13, имѣемъ согласно распредѣлительному закону

Разбивая 18 на 10 + 8 (съ цѣлью „перенесенія десятковъ"), по сочетательному закону получимъ:

Подобные же и болѣе сложные примѣры читатель пусть подберетъ и разсмотритъ самъ. Мы же остановимся нѣсколько на вопросѣ о примѣненіи закона монотонности.

Не примѣняемый въ обыкновенныхъ формальныхъ вычисленіяхъ, онъ оказывается необходимымъ въ вычисленіяхъ надъ числами, получаемыми изъ опытовъ, наблюденій или измѣреній (см. ниже соотвѣтствующую главу). Мы говоримъ о такъ называемыхъ сокращенныхъ, или приближенныхъ вычисленіяхъ. Въ подобныхъ вычисленіяхъ, гдѣ взятыя числа точны не абсолютно, а только въ извѣстныхъ предѣлахъ, безполезно вычислять результатъ съ полной точностью, а необходимо только опредѣлить порядокъ величины результата, т.-е., въ предѣлахъ какого числа единицъ или десятковъ или десятеричныхъ частей заключается точный результатъ. Если, напримѣръ, намъ нужно умножить 346 на 425, при чемъ мы знаемъ, что еди-

ницы этихъ чиселъ неточны, то безполезно производить точное перемноженіе этихъ чиселъ для полученія неточнаго же произведенія. Законъ же монотонности позволяетъ намъ въ данномъ случаѣ заключить, что истинное значеніе искомаго нами произведенія заключено между 340. 423 и 350. 423 или между 340. 420 и 350. 430.

Такимъ образомъ, въ приближенныхъ вычисленіяхъ приходится постоянно прибѣгать къ закону монотонности.

Дѣленіе.—Классификація цѣлыхъ чиселъ.

(Конспективный обзоръ и дополненія.)

Дѣленіе. Дѣленіе, какъ сокращенное вычитаніе равныхъ чиселъ изъ даннаго числа.—Опредѣленіе дѣлимаго, дѣлителя, частнаго и остатка при дѣленіи.—Зависимость между ними. (Дѣлимое равно произведенію дѣлителя на частное плюсъ остатокъ). — Дѣйствіе дѣленія въ десятеричной системѣ счисленія.—Число цифръ частнаго.—Повѣрка дѣленія умноженіемъ.

Если дѣленіе а на b выполняется безъ остатка (точно, нацѣло), то частное обозначается такъ:

Въ случаѣ же дѣленія приближеннаго, съ точностью до единицы съ недостаткомъ, частное отъ дѣленія а на b (т.-е. его цѣлая часть) выражается символомъ

Дѣленіе съ точностью до единицы съ избыткомъ.—Наименьшій остатокъ.

Если дѣлимое и дѣлитель умножить на одно и то же число, частное не измѣнится, но остатокъ умножится на то же число.

Раздѣлить число на произведеніе нѣсколькихъ множителей—это значитъ раздѣлить его послѣдовательно на каждый множитель отдѣльно.

Если при дѣленіи получается остатокъ, то предыдущее сохраняетъ силу для цѣлой части частнаго.

Число 9 можно различнымъ образомъ получать, какъ частное отъ дѣленія одно на другое двухъ пятизначныхъ чиселъ, при чемъ эти числа состоятъ изъ различныхъ цифръ. Дѣйствительно, 9 получится, если произвести дѣленіе:

Число 100 можно представить въ видѣ цѣлаго числа съ дробью, написанныхъ всѣми девятью значащими цифрами, при чемъ каждая цифра войдетъ только по одному разу:

(Примѣры подобныхъ любопытныхъ задачъ можно также найти въ 1-й и 2-й книгѣ нашей «Въ царствѣ смекалки»).

Пишемъ подъ рядъ одно за другимъ всѣ послѣдовательныя числа по десятичной системѣ. Какая цифра будетъ находиться на извѣстномъ, заданномъ напередъ, мѣстѣ?

Раздѣлимъ числа на группы по числу входящихъ въ нихъ цифръ, т.-е. на числа однозначныя, двухзначныя и т. д. Тогда число цифръ

Отсюда легко вывести, что для написанія всѣхъ чиселъ первыхъ пяти группъ понадобится 54321 × 9 цифръ; число цифръ нужныхъ для шести первыхъ группъ будетъ 654321 × 9 и т. д.

Спросимъ теперь себя, какая же цифра будетъ стоять, напримѣръ, на 75892-мъ мѣстѣ нашего предположеннаго ряда цифръ? Для рѣшенія вопроса прежде всего замѣчаемъ, что эта цифра должна принадлежать пятизначному числу, т.-е. находится въ 5-й группѣ. Число же цифръ первыхъ четырехъ группъ есть 4321 × 9 = 38889.

Значитъ

Слѣдовательно, искомая цифра есть третья въ 7401-мъ изъ пятизначныхъ чиселъ, т.-е. въ числѣ 10000 + 7400. Искомая цифра, слѣдовательно, есть 4.

Рѣшить задачи, подобныя предыдущей для рядовъ цифръ, представляющихъ написанныя въ рядъ: 1) только четныя числа; 2) только нечетныя; 3) только четныя цифры; 4) только нечетныя цифры.

Ускореніе дѣленія. Если дѣлитель состоитъ изъ многихъ цифръ, то для ускоренія можно прибѣгнуть къ такому практическому пріему:

На полоскѣ бумаги пишутъ девять первыхъ кратныхъ дѣлителя (т.-е. произведенія дѣлителя на 1, 2, 3,.,9), которыя можно получить послѣдовательнымъ сложеніемъ. Затѣмъ сложеніе сводится къ ряду вычитаній. Для ускоренія перегибаемъ полоску бумаги подъ каждымъ написаннымъ числомъ и, держа ее въ лѣвой рукѣ подъ дѣлимымъ, смотримъ, какое изъ этихъ чиселъ надо вычесть сначала изъ первыхъ цифръ дѣлимаго, затѣмъ изъ послѣдовательно получающихся остатковъ, которые (какъ и цифры частнаго) выписываемъ правой рукой. Подобный практическій пріемъ избавляетъ отъ тѣхъ умственныхъ пробъ, которыя обыкновенно дѣлаются при опредѣленіи цифръ частнаго. Въ особенности же онъ пригоденъ въ томъ случаѣ, когда приходится дѣлить много чиселъ на одно и то же число.

Дѣленіе числа на 9. Можно быстро находить частное отъ дѣленія числа на 9 пріемомъ, который покажемъ сначала на такомъ примѣрѣ:

Пусть надо раздѣлить 23547 на 9.

Беремъ сумму цифръ даннаго числа (складывая ихъ справа налѣво), получаемъ 21. Дѣля 21 на 9 получаемъ въ частномъ 2. Эту двойку прибавляемъ къ суммѣ цифръ даннаго числа, взятой, начиная съ десятковъ, влѣво (т.-е. къ суммѣ 4 + 5 + 3 + 2), получаемъ 16. Записываемъ 6, какъ единицы искомаго числа, а 1 прибавляемъ къ суммѣ цифръ даннаго числа, начиная съ сотенъ и влѣво (т.-е. 1 прибавляемъ къ 5 + 3 + 2). Получаемъ 11. Записываемъ 1, какъ десятки искомаго частнаго, а 1 прибавляемъ къ суммѣ цифръ даннаго числа, начинающихся съ тысячъ и влѣво. Получаемъ 6, и записываемъ это 6, какъ сотни искомаго частнаго; и, наконецъ, выписываемъ цифру десятковъ тысячъ даннаго числа 2, какъ тысячи частнаго. Искомое частное, такимъ образомъ, равно 2616.

Вообще, пусть будетъ abcde число, написанное по десятеричной системѣ, и пусть его надо раздѣлить на 9. Имѣемъ:

Складывая обѣ части и дѣля на 9, имѣемъ:

Рис. 23. — Василій Петровичъ Ермаковъ. Заслуженный проф. университета св. Владимира и проф. Кіевскаго политехническаго института. Высоко-талантливый и оригинальный изслѣдователь въ областяхъ чистой математики, гдѣ всюду вноситъ простоту и ясность. Горячо интересуется вопросами преподаванія математики. Основанный имъ въ 1884 году «Журналъ элементарной математики» много содѣйствовалъ поднятію общаго уровня математическихъ знаній въ Россіи.

Сокращенное дѣленіе. Въ „Журналѣ элементарной математики" за 1884—85 годъ проф. В. П. Ермаковъ предложилъ для чиселъ съ большимъ количествомъ цифръ сокращенный способъ дѣленія, имѣющій не только чисто практическій, но и теоретическій интересъ. Прилагаемый сейчасъ ниже примѣръ съ объясненіемъ и доказательствомъ достаточно выясняетъ какъ механизмъ дѣйствія, такъ и его теоретическую сущность. Такъ какъ на практикѣ чаще всего приходится производить дѣйствія съ десятичными дробями съ большимъ количествомъ знаковъ, то и мы приводимъ примѣръ дѣленія двухъ десятичныхъ дробей, хотя въ этой главѣ рѣчь идетъ только о цѣлыхъ числахъ. Сущность вопроса, впрочемъ, отъ этого ничуть не мѣняется.

Итакъ, дѣлимъ одиннадцатизначное число на десятизначное.

Объясненіе. Такъ какъ дѣлимое меньше дѣлителя, то въ частномъ будетъ нуль цѣлыхъ. Отдѣливъ въ дѣлимомъ десятыя доли, получимъ 200 десятыхъ; раздѣливъ это число на 58, получимъ въ частномъ 3 десятыхъ. Умноживъ 3 на 58. получимъ 174 десятыхъ. Вычитая 174 изъ 200 и приписывая къ разности сотыя, получимъ въ первомъ остаткѣ 269 сотыхъ. Прежде всего нужно исправить первый остатокъ, для этого первую послѣ запятой цифру дѣлителя умножимъ на найденную цифру частнаго, 7 × 3 = 21. Вычитая поправку изъ перваго остатка, получимъ въ исправленномъ первомъ остаткѣ 248 сотыхъ; раздѣливъ это число на 58, получимъ въ частномъ 4 сотыхъ. Умноживъ 4 на 58, получимъ 232 сотыхъ; вычитая это произведеніе изъ исправлен-

наго перваго остатка и снося къ разности тысячныя доли, получимъ во второмъ остаткѣ 166 тысячныхъ. Для поправленія второго остатка напишемъ первыя двѣ послѣ запятой цифры дѣлителя и подпишемъ подъ ними найденныя цифры частнаго въ обратномъ порядкѣ; перемноживъ цифру подъ цифрой и сложивъ полученныя произведенія, найдемъ искомую поправку 37. Такимъ образомъ нужно поступать далѣе. Каждый исправленный остатокъ нужно дѣлить на 58. Чтобы найти какую-нибудь поправку, нужно въ дѣлителѣ послѣ запятой взять столько цифръ, сколько найдено цифръ въ частномъ, подъ этими цифрами подписать цифры частнаго въ обратномъ порядкѣ, перемножить цифру подъ цифрой и сложить полученныя произведенія.

Доказательство. Положимъ, что первыя четыре цифры частнаго найдены, и разсмотримъ четвертый остатокъ, 380 стотысячныхъ. Въ этомъ остаткѣ заключаются произведенія: десятыхъ частнаго на десятитысячныя дѣлителя, сотыхъ частнаго на тысячныя дѣлителя, тысячныхъ частнаго на сотыя дѣлителя, десятитысячныхъ частнаго на десятыя дѣлителя и стотысячныхъ частнаго на цѣлыя дѣлителя. Сумма первыхъ четырехъ произведеній и представлена на четвертой поправкѣ. Вычитая эту сумму изъ четвертаго остатка, получимъ въ исправленномъ остаткѣ 336 стотысячныхъ. Въ исправленномъ остаткѣ заключается только произведеніе стотысячныхъ частнаго на цѣлыя дѣлителя. Для нахожденія стотысячныхъ частнаго остается исправленный остатокъ раздѣлить на 581).

Поправка постепенно возрастаетъ. Можетъ случиться, что поправка больше самого остатка; это показываетъ, что послѣдняя найденная цифра частнаго велика, ее нужно уменьшить на единицу.

Дѣленіе произвольно большихъ чиселъ надлежащимъ перенесеніемъ запятыхъ въ дѣлимомъ и въ дѣлителѣ всегда можетъ быть приведено къ случаю, представленному на примѣрѣ. Всегда нужно перенести запятыя такимъ образомъ, чтобы въ дѣлителѣ было двѣ цифры до запятой и чтобы въ частномъ первая значущая цифра стояла на первомъ мѣстѣ послѣ запятой. Въ полученномъ такимъ образомъ частномъ остается еще запятую перенести вправо или влѣво на нѣсколько цифръ, сообразуясь съ тѣмъ, какъ были перенесены запятыя въ дѣлимомъ и дѣлителѣ.

1) Для полнаго усвоенія предлагаемаго доказательства необходимо ясное и отчетливое пониманіе умноженія десятичныхъ дробей. Надо умѣть умножать, не отбрасывая запятыхъ, начинать умноженіе съ лѣвой цифры множителя, умѣть ставить вѣрнѣе запятую въ каждомъ частномъ произведеніи и т. д.

Если въ дѣлимомъ и дѣлителѣ больше десяти цифръ и въ частномъ требуется вычислить также болѣе десяти цифръ, то удобнѣе въ дѣлителѣ отдѣлить 3 цифры запятой, такъ какъ при отдѣленіи только двухъ цифръ поправка получалась бы часто больше остатка.

Системы счисленія. — Чтобы распредѣлять числа по классамъ, изучать ихъ свойства, сочетанія и преобразованія, можно употреблять различныя системы счисленія. Въ частности—мы обыкновенно пользуемся десятеричной системой.

Всякое цѣлое число, за исключеніемъ единицы, можетъ быть принято за основаніе системы счисленія. Такимъ образомъ, существуютъ, или могутъ существовать, двоичная, троичная, четверичная,..., десятеричная, одиннадцатеричная, двѣнадцатеричная и т. д. системы счисленія, въ которыхъ за основаніе приняты соотвѣтственно числа 2, 3, 4,.., 10, 11, 12 и т. д.

Чтобы написать число по системѣ съ основаніемъ В, выбираютъ сначала (В—1) знаковъ, изображающихъ (В—1) первыхъ чиселъ. Эти знаки называются цифрами

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а, b, с,....

и называютъ ихъ, какъ обыкновенно, одинъ, два, три и т. д. Въ письменномъ счисленіи условливаются, что цифра, стоящая сейчасъ влѣво отъ другой, представляетъ единицы непосредственно слѣдующаго высшаго порядка, т.-е. единицы въ В разъ большія предыдущихъ. Если единицъ какихъ-либо порядковъ нѣтъ, то мѣста ихъ обозначаются цифрой нуль (0). Слѣдовательно, число цифръ всегда равно числу основанія системы.

Въ устномъ счисленіи условливаются называть единицей простой, десяткомъ, сотней, тысячей и т. д. единицы перваго порядка, второго, третьяго и т. д.

Такъ что числа 10, 11,...., 19 читаются одинаково во всѣхъ системахъ счисленія. Числа 1а, 1b, a0, b0, .... будутъ читаться а — надцать, b — надцать, а — дцать, b— дцать и т. д. Число, напримѣръ, 5b6а71с прочтется такъ: пять милліоновъ b — сотъ шестьдесятъ — а тысячъ семьсотъ с — надцать.

Правила дѣйствій, выведенныя для чиселъ, написанныхъ по десятеричной системѣ, остаются въ силѣ и для чиселъ, написанныхъ по любой системѣ счисленія.

Для быстроты вычисленій въ какой-либо системѣ счисленія необходимо знаніе наизусть всѣхъ суммъ и произведеній двухъ чиселъ, состоящихъ изъ одной цифры.

Еще Аристотель замѣтилъ, что число 4 можетъ весьма удобно замѣнить 10, какъ основаніе системы счисленія. По этому поводу въ 1687 году Вейгель (Weigel) написалъ цѣлый проектъ четверичной ариѳметики. Симонъ Стевинъ изъ Брюгге ( + 1633 г.) предлагалъ двѣнадцатеричную систему счисленія, подходящую къ нашему обыкновенію считать мѣсяцы года, часы сутокъ, градусы окружности и т. д.

О двоичной системѣ счисленія, разработанной, между прочимъ, Лейбницемъ, читатель можетъ найти нѣкоторыя подробности въ 1-й и 2-ой книгѣ „Въ царствѣ смекалки“.

Переходы отъ одной системы счисленія къ другой. — Вопросъ состоитъ въ томъ, чтобы написать по другой системѣ съ даннымъ основаніемъ число, уже написанное по какой-либо системѣ. Для этого необходимо умѣть рѣшать три слѣдующія задачи.

I. — Число, написанное по системѣ съ основаніемъ В, написать по десятеричной системѣ.

Пусть дано число abc de (а — дцать b тысячъ с — сотъ d — диать e). Вводя обозначеніе показателя степени, число это можно представить, какъ извѣстно, такъ:

Вслѣдъ затѣмъ остается только вычислить по десятеричной системѣ члены этого многочлена и взять ихъ сумму. Но вычисленіе значительно упростится, если опредѣлять сразу послѣдовательно числа:

Т.-е. каждое изъ вычисляемыхъ чиселъ а, ab, abc,.... равно предыдущему, умноженному на В, плюсъ слѣдующая цифра даннаго числа.

Примѣръ. — Написать въ десятеричной системѣ число 6а 709, написанное по двѣнадцатеричной системѣ.

По только что указанному имѣемъ рядъ чиселъ

Слѣдовательно,

Всякое число, написанное по системѣ съ основаніемъ В, представляетъ, значитъ, символъ дѣйствій, соотвѣтствующій многочлену, расположенному по нисходящимъ степенямъ В.

Такъ,

Обращеніе въ десятеричную систему можетъ быть употребленіемъ скобокъ обозначено:

или еще проще обозначить это связками (vinculum)

II. — Число, написанное по десятеричной системѣ, написать по другой системѣ съ даннымъ основаніемъ В.

Пусть данное число, написанное по десятеричной системѣ есть N. Раздѣлимъ его по этой же системѣ на В, и пусть полученное частное будетъ и остатокъ R1. Дѣля на В, пусть получимъ частное Q2 и остатокъ B2. Дѣля Q2 на B, пусть получимъ частное Q3 и остатокъ R3 и т. д. Остатки R1, R2, R3, ..., и дадутъ цифры единицъ, десятковъ, сотенъ и т. д. нашего числа, написаннаго уже по системѣ съ основаніемъ В.

Примѣръ. — Число 142713, написанное по десятеричной системѣ, написать въ двѣнадцатеричной системѣ.

Дѣйствія располагаются по такой схемѣ:

Пишемъ эти остатки въ обратномъ порядкѣ, получаемъ (6а 709)12

III. — Число, написанное по одной системѣ, написать по другой системѣ съ даннымъ основаніемъ.

Задача сводится къ двумъ предыдущимъ: сначала данное число пишемъ по десятеричной системѣ, а отсюда переходимъ къ системѣ съ новымъ даннымъ основаніемъ.

Примѣръ I. — Число 42750 написано по восьмеричной системѣ. Написать его по двѣнадцатеричной системѣ.

По предыдущему имѣемъ

Примѣръ II—Какія десятизначныя числа, написанныя по шестеричной системѣ (съ основаніемъ 6), при возвышеніи въ любую степень оканчиваются на однѣ и тѣ же цифры?

Два числа:

Примѣръ III. — Вопросъ, подобный предыдущему, для двѣнадцатеричной системы даетъ тоже два числа

Примѣръ IV. — Всякое цѣлое число есть сумма различныхъ степеней числа 2, при предположеніи, что 2° — 1.

Примѣръ V. — Всякое цѣлое число есть алгебраическая сумма различныхъ степеней числа 3. (По поводу послѣднихъ двухъ примѣровъ см. „Въ Царствѣ смекалки“, книга 1.)

Классификація чиселъ. — Относительно основанія, или положительнаго модуля М, всякое цѣлое положительное или отрицательное число а можетъ быть представлено въ линейной формѣ только единственнымъ образомъ:

Здѣсь r означаетъ одно изъ М положительныхъ чиселъ

Число х есть положительное или отрицательное частное отъ дѣленія а на М съ точностью до единицы съ недостаткомъ.

Что число относительно модуля М нельзя представить въ двухъ различныхъ линейныхъ формахъ, доказать легко. Въ самомъ дѣлѣ, допустимъ, что

Разность этихъ выраженій равна нулю, т.-е.

Слѣдовательно, (r — r') должно дѣлиться на М, что возможно только для r = r'. Слѣдовательно, и т. д.

Число r называется остаткомъ (или вычетомъ) числа а по модулю М.

По модулю М = 2 числа дѣлятся на два класса: четныя и нечетныя.

По модулю М = 3 различаютъ 3 класса чиселъ, а по модулю М = 4 — четыре, а — именно:

Если кромѣ положительныхъ остатковъ принять во вниманіе и отрицательные, то любое цѣлое число также можетъ быть, и притомъ единственнымъ путемъ, представлено въ линейной формѣ

гдѣ наименьшій остатокъ r по абсолютной величинѣ не превосходитъ половины модуля.

Въ случаѣ, если модуль М есть число четное, принимаютъ со знакомъ + остатокъ, равный половинѣ модуля по абсолютной величинѣ.

По модулю М = 5 всѣ цѣлыя числа могутъ быть, и притомъ единственнымъ образомъ, представлены въ одной изъ такихъ пяти формъ:

Для М = 6 всѣ цѣлыя числа могутъ быть представлены въ одной изъ шести формъ:

Числа равноостаточныя по модулю.—Два цѣлыхъ, положительныхъ или отрицательныхъ, числа а и b называются равноостаточными (или сравнимыми) по модулю М, если разность этихъ чиселъ дѣлится нацѣло на модуль. Такое соотношеніе чиселъ обыкновенно выражается обозначеніемъ Гаусса:

и читается оно такъ: а равноостаточно (сравнимо съ) b по модулю М.

Съ другой стороны, распространяютъ значеніе слова остатокъ, говоря, что два числа, равноостаточныя по модулю М, суть вычеты одно другому по этому модулю.

Выраженіе (1) носитъ названіе сравненія (или конгруэнціи). Обозначеніе Гаусса дѣлаетъ наглядной аналогію, которая существуетъ между сравненіемъ и обыкновеннымъ равенствомъ, безъ внесенія какой-либо путаницы или смѣшенія понятій.

Такъ, нетрудно доказать (что и предоставляемъ читателю) такія положенія:

Два числа, сравнимыхъ по одному и тому же модулю съ третьимъ, сравнимы между собой.

Сравненія съ однимъ и тѣмъ же модулемъ можно почленно складывать и вычитать.

Оба члена сравненія можно помножить на одно и то же число, не измѣняя его смысла.

Рис. 24.—Карлъ-Фридрихъ Гауссъ. (1777 — 1855).

Сравненія съ одинаковымъ модулемъ можно почленно перемножить.

Оба члена сравненія можно возвысить безъ измѣненія его смысла въ одинаковую степень.

Другими словами, если пользоваться обозначеніями Гаусса и взять, напримѣръ, три сравненія:

то легко доказать, что имѣютъ мѣсто сравненія:

Вообще, если обозначить черезъ f(x) многочленъ съ цѣлыми, положительными или отрицательными, коэффиціентами:

то сравненіе

даетъ мѣсто и сравненію

Невозможность сравненій.—Если въ предыдущемъ многочленѣ съ цѣлыми коэффиціентами Е(х) вмѣсто х подставлять послѣдовательныя цѣлыя числа и опредѣлять получаемые остатки относительно модуля М, то окажется, что эти остатки будутъ періодически повторяться черезъ каждыя М чиселъ Это ясно изъ того, что при всякомъ цѣломъ х имѣетъ мѣсто сравненіе

Такъ, напримѣръ, если взять f(x) = x2 и М = 10, то получимъ остатки для квадратовъ послѣдовательныхъ чиселъ въ десятеричной системѣ счисленія. Слѣдуетъ имѣть въ виду, что рядъ остатковъ f(x), полученныхъ послѣ подстановки вмѣсто х послѣдовательныхъ М цѣлыхъ чиселъ, не воспроизводитъ, вообще говоря, непремѣнно ряда такихъ чиселъ:

Иныя изъ нихъ могутъ и не быть остатками f(x) относительно М, а другія могутъ повторяться. Отсюда заклю-

чаемъ о невозможности въ цѣлыхъ числахъ сравненія

если r означаетъ какой-либо неостатокъ или невычетъ. Напримѣръ, для М = 5, остатки трехчлена

образуютъ такой періодическій рядъ

Слѣдовательно, f(x) въ данномъ случаѣ не можетъ быть равноостаточной ни 0 ни 2 по модулю 5, а тѣмъ болѣе, не можетъ быть равна 2 или 5. Отсюда же вытекаетъ, что выраженія

не могутъ обратиться въ нуль для цѣлыхъ значеній х ни въ данномъ видѣ ни въ томъ случаѣ, если мы помножимъ коэффиціенты этихъ выраженій на множители, кратные 5.

Показать, что многочленъ съ цѣлыми коэффиціентами f(x) не можетъ обратиться въ нуль для цѣлаго значенія х, если f(0) и f(1) нечетны.

То же имѣетъ мѣсто, если ни одно изъ чиселъ f(0), f(1) и f(—1) не дѣлится на 3.

Повѣрка посредствомъ сравненій. — Въ нашей десятеричной системѣ счисленія повѣрка четырехъ основныхъ ариѳметическихъ дѣйствій можетъ, какъ извѣстно, производиться посредствомъ числа 9.

Повѣрка эта основана на тѣхъ теоремахъ о сравненіяхъ, которыя указаны выше, принимая въ нихъ модуль М = 9.

Въ самомъ дѣлѣ, по модулю 9 всѣ степени десяти равноостаточны единицѣ, такъ какъ 10n—1 представляетъ собой число, состоящее исключительно изъ цифры 9999.... и, конечно, дѣлится на 9. Поэтому, если а, b, с, d, ... означаютъ соотвѣтственно цыфры единицъ, десятковъ, сотенъ и т. д. числа N, написаннаго по десятеричной системѣ, то

Значитъ,

Другими словами, остатокъ отъ дѣленія числа на 9 равенъ остатку отъ дѣленія на 9 суммы его цифръ.

Подобно же для модуля M = 11 послѣдовательно имѣемъ:

Слѣдовательно,

Поэтому, если въ четырехъ основныхъ ариѳметическихъ дѣйствіяхъ мы данныя числа замѣнимъ ихъ остатками по модулю 9 или 11, то полученныя числа должны быть равноостаточны тѣмъ, которыя получены какъ результаты произведенныхъ дѣйствій. Иначе въ вычисленіяхъ есть ошибка.

Приведенныя разсужденія можно обобщить.

Пусть Ѳ означаетъ основаніе какой-либо системы счисленія. Тогда всякое положительное число N можетъ быть представлено, и притомъ только единственнымъ путемъ, въ видѣ

гдѣ числа а, b, с, d,... положительны или нули, и всѣ менѣе Ѳ.

Если теперь черезъ х обозначимъ частное отъ дѣленія N на Ѳ съ точностью до единицы съ недостаткомъ, то цифра а единицъ и покажетъ наименьшій положительный остатокъ числа N по модулю Ѳ, и

Очевидно далѣе, что число (Ѳn — 1) состоитъ исключительно изъ цифръ (Ѳ — 1) и, значитъ, дѣлится на (Ѳ — 1). Поэтому

Точно такъ же для модуля (Ѳ + 1) имѣемъ

или возвышая въ степень n:

Отсюда заключаемъ, что

Значитъ, въ системѣ счисленія съ какимъ — либо основаніемъ Ѳ можно дѣлать повѣрки дѣйствій посредствомъ сравненій по модулю (Ѳ — 1) и (Ѳ + 1).

Доказать, что 232 + 1 дѣлится на 641. (Задача Эйлера.)

Имѣемъ:

Подобно же можно показать, что

Послѣдніе примѣры доказываютъ, что вычисленія посредствомъ сравненій независимы отъ того, что практически невозможно, напримѣръ, написать число 2 , имѣющее болѣе 20 милліардовъ цифръ. Лентой бумаги, вмѣщающей запись подобнаго числа, можно было бы охватить вокругъ земной піаръ.

Произведеніе чиселъ линейной формы Мх + 1 даетъ число подобнаго же вида.

Произведеніе чиселъ вида 4x + 3 даетъ число вида 4x + 1, если число сомножителей четное. Если же число сомножителей нечетное, то получается также число вида 4х + 3.

То же относится и къ числамъ вида Мх— 1.

Кубъ цѣлаго числа сравнимъ или съ 0 или съ 1 по модулю 9.

Если число не представляетъ собой точнаго куба, то всякое иное число, полученное изъ даннаго какимъ угодно перемѣщеніемъ его цифръ и вставкой или прибавкой цифръ 0 и 9, тоже не будетъ точнымъ кубомъ.

О числахъ простыхъ (первоначальныхъ), составныхъ, совершенныхъ и дружественныхъ.

Всякое цѣлое число, за исключеніемъ единицы, допускаетъ по меньшей мѣрѣ двухъ дѣлителей: единицу и самое себя. Если кромѣ этихъ двухъ дѣлителей число не имѣетъ никакихъ другихъ дѣлителей, то его называютъ первоначальнымъ или простымъ. Число называется составнымъ, если помимо единицы и самого себя оно допускаетъ еще дѣлителей.

Допустимъ, что мы составили и, какъ угодно далеко, продолжили таблицу Пиѳагора. Въ такомъ случаѣ ясно,

что простыя числа будутъ заключаться только среди чиселъ первой строки и перваго столбца таблицы. Во всѣхъ остальныхъ строкахъ и столбцахъ таблицы числа будутъ составныя.

Итакъ, существуютъ два рода цѣлыхъ положительныхъ чиселъ: числа простыя и числа составныя. Но относительно числа одинъ слѣдуетъ замѣтить, что оно не входитъ ни въ тотъ ни въ другой рядъ чиселъ. Такъ, напримѣръ, во многихъ случаяхъ единицу нельзя принимать за простое число, такъ какъ свойства простыхъ чиселъ оказывается не всегда приложимы къ числу 1. Поэтому говорятъ иногда, что единица есть число простое относительно самого себя, въ то время какъ всякое другое простое число р не есть простое относительно самого себя.

Всякое составное число имѣетъ, по крайней мѣрѣ, одинъ первоначальный дѣлитель, отличающійся отъ единицы и меньшій самого числа. Дѣйствительно, пусть n есть составное число, а р—наименьшій дѣлитель этого числа, отличный отъ единицы. Если бы число р не было простымъ числомъ, то оно допускало бы первоначальный дѣлитель р' меньшій себя; и этотъ дѣлитель дѣлилъ бы n, кратное р. Значитъ, число р не было бы, какъ предположено, наименьшимъ дѣлителемъ числа n, а потому и проч.

Эратосѳеново рѣшето. Чтобы составить таблицу первоначальныхъ чиселъ до даннаго предѣла, прибѣгаютъ къ способу, приписываемому греческому философу Эратосѳену (276 — 194 до Р. Х.). Способъ состоитъ въ слѣдующемъ:

Пишемъ рядъ нечетныхъ чиселъ, начиная отъ 1 и до требуемаго предѣла. (Четныя числа опускаемъ сразу, какъ дѣлящіяся всѣ на 2, но само число 2 есть, конечно, первоначальное число.) Въ написанномъ ряду зачеркиваемъ квадратъ 3, т.-е. 9, и затѣмъ каждое третье число; затѣмъ зачеркиваемъ квадратъ 5, т.-е. 25, и вслѣдъ затѣмъ каждое пятое число, считая при всѣхъ такихъ зачеркиваніяхъ и мѣста, занятыя уже зачеркнутыми числами. Затѣмъ, начиная съ квадрата 7, зачеркиваемъ каждое седьмое число и т. д., начиная каждый разъ зачеркиванье съ квадрата слѣдующаго оставшагося незачеркнутымъ числа. Операція прекращается сама собой, какъ только придется зачеркнуть кратныя наибольшаго изъ первоначальныхъ чиселъ, квадратъ коего меньше даннаго предѣла.

Названіе свое указанный способъ получилъ будто бы отъ того, что Эратосѳенъ рядъ нужныхъ чиселъ писалъ

на дощечкѣ, и надъ тѣми числами, которыя мы зачеркиваемъ, онъ прокалывалъ дырочки. Такъ получилось своего рода рѣшето, сквозь которое „просѣивались“ составныя числа и оставались только простыя.

Посредствомъ Эратосѳенова рѣшета составить таблицу простыхъ чиселъ въ предѣлахъ первой сотни.

Получается 25 чиселъ:

Показать, что:

1) Всякое простое число, большее 2, можетъ быть представлено въ одной изъ линейныхъ формъ вида 4х ± 1.

2) Всякое простое число, большее 3, можетъ быть представлено въ одной изъ формъ вида 6x ± 1.

3) Всякое простое нечетное число представляетъ одну изъ линейныхъ формъ 8x ± 1, ± 3.

4) Квадратъ каждаго простого числа, большаго чѣмъ 3, равенъ числу кратному 24, увеличенному на 1.

Показать, что всякое число вида 4n + 3 есть или простое число или оно дѣлится на нечетное количество первоначальныхъ чиселъ такого же вида.

Всякое число вида 6n + 5 есть или простое или дѣлится на нечетное количество простыхъ чиселъ подобнаго вида.

Указанныя теоремы не имѣютъ мѣста для чиселъ вида 8n + 3, 4 5, или + 7.

Рядъ простыхъ чиселъ. Рядъ простыхъ чиселъ безконеченъ. Эта важная теорема высказана еще Евклидомъ, и доказывается она такъ:

Пусть р есть нѣкоторое простое число. Въ такомъ случаѣ необходимо существуетъ простое число большее р, каково бы ни было р. Въ самомъ дѣлѣ, составимъ рядъ всѣхъ простыхъ чиселъ до р включительно:

2, 3, 5, 7, 11, 13,..р.

Возьмемъ произведеніе всѣхъ этихъ чиселъ, прибавимъ къ нему единицу и полученное число обозначимъ черезъ Zp, т.-е.

Zp, очевидно, больше р и представляетъ собой число простое или сложное. Если Zp простое, — теорема доказана; если же Zp число сложное, то оно должно дѣлиться хоть на одно простое число.

Но Zp не можетъ дѣлиться нацѣло ни на одно изъ простыхъ чиселъ 2, 3, 5, 7, 11, 13,..... p, ибо при такомъ дѣ-

леніи всегда получится въ остаткѣ 1. Поэтому Zp можетъ дѣлиться только на простое число, большее чѣмъ р.

Дознано, что Zp есть простое число для р = 3, 5, 7, 11. Но для p = 13, 17, 19, 23 числа Zp оказываются сложными, а именно:

Чѣмъ далѣе, тѣмъ, очевидно, труднѣе итти указаннымъ путемъ, чтобы опредѣлить, какія изъ чиселъ Zp простыя и какія составныя. Такимъ образомъ при настоящемъ состояніи ариѳметики мы не можемъ съ полной убѣдительностью доказать, что существуетъ безконечный рядъ значеній р, дающихъ простыя числа. Вопросъ этотъ не поддается пока общему доказательству, какъ и три слѣдующихъ, провѣренныхъ только до извѣстныхъ предѣловъ имѣющимися таблицами первоначальныхъ чиселъ.

I. Существуетъ ли безконечное множество группъ изъ двухъ простыхъ чиселъ, разность которыхъ равна 2?

II. Представляетъ ли сумму двухъ простыхъ чиселъ всякое четное число? Это предположеніе высказано Уорингомъ (Waring) въ его Meditationes analyticae. Эйлеръ писалъ, что убѣжденъ въ его вѣрности, хотя доказательства его не знаетъ. Если бы найти подобное вполнѣ удовлетворительное доказательство, то изъ него тотчасъ бы вытекало, что всякое нечетное число можетъ быть различными способами представлено въ видѣ суммы трехъ простыхъ чиселъ.

III. Можетъ ли быть всякое четное число представлено въ видѣ разности двухъ простыхъ чиселъ?

Показать, что существуетъ безконечное множество чиселъ линейной формы (6x — 1).

Для этого число Zp въ предыдущемъ доказательствѣ замѣнимъ черезъ

Это число вида (6x — 1) и притомъ или первоначальное или дѣлимо на первоначальное число той же формы.

Существуетъ безконечное число простыхъ чиселъ линейной формы (4x — 1).

Если вмѣсто Zp взять

то получится число формы (4x — 1),—оно простое или дѣлится на простое число той же формы.

Распредѣленіе простыхъ чиселъ. Не существуетъ по настоящее время общаго метода для сколько — нибудь удовлетворительнаго рѣшенія слѣдующихъ вопросовъ:

I. Найти простое число большее, чѣмъ данное простое число.

II. Найти общее выраженіе (функцію), изъ котораго получались бы только простыя числа.

III. Найти простое число, непосредственно слѣдующее за даннымъ простымъ числомъ.

IV. Найти число простыхъ чиселъ, не превосходящихъ даннаго числа.

V. Вычислить непосредственно простое число любого даннаго порядка.

Эти вопросы расположены здѣсь въ порядкѣ ихъ вѣроятной возрастающей трудности, и всѣ они, повторяемъ, еще не рѣшены, несмотря на усилія величайшихъ математиковъ. Такимъ образомъ, слѣдующимъ поколѣніямъ математиковъ даже въ этой только области остается еще много работы...

Ферма, напримѣръ, предполагалъ (предупреждая, однако, что онъ не знаетъ доказательства), что всѣ числа вида

суть числа простыя. Это, однако, оказалось ошибкой. Изъ даннаго выраженія, дѣйствительно, получаются простыя числа для n = 0, 1, 2, 3, 4, но для n = 5, 6, 12, 23, 36 получаются уже составныя числа, какъ въ этомъ можно убѣдиться изъ примѣровъ, приведенныхъ нами на стр. 155.

Догадку Ферма иные объясняютъ какъ предположеніе, что рядъ

состоитъ изъ простыхъ чиселъ.

Съ другой стороны, Эйзенштейнъ (Eisenstein) высказалъ теорему, доказательствомъ которой онъ будто бы обла-

далъ, что существуетъ безконечно много простыхъ чиселъ вида 22n + 1.

Но мы не знаемъ доказательствъ этихъ двухъ послѣднихъ предположеній.

Эйлеръ въ 1772 году далъ три такихъ формулы:

Если въ эти формулы вмѣсто х подставлять соотвѣтственно послѣдовательныя цѣлыя числа, начиная съ нуля, то онѣ дадутъ 17, 29, 41 простыхъ чиселъ, какъ это можно провѣрить непосредственно.

Но всѣ эти формулы, какъ и другія аналогичныя имъ, не могутъ всегда и исключительно давать только простыя числа, такъ какъ существуетъ слѣдующая теорема:

Многочленъ съ цѣлыми коэффиціентами

для всѣхъ цѣлыхъ значеній х не можетъ давать непрерывно простыя числа.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть р = f(x0) есть простое число, соотвѣтствующее значенію x0 для х. По предыдущему (см. стр. 152), какова бы ни была величина цѣлаго числа y, будемъ имѣть

Слѣдовательно, f(x0 + py) дѣлится на р при всякомъ цѣломъ у. Значитъ, f(x) не можетъ давать исключительно простыя числа.

Разложеніе числа на разность двухъ квадратовъ. Простое нечетное число можетъ быть разложено на разность двухъ квадратовъ только единственнымъ путемъ.

Въ самомъ дѣлѣ, разсмотримъ уравненіе

гдѣ р есть простое число. Въ этомъ случаѣ х и у суть взаимно-простыя числа, равно какъ взаимно просты ихъ сумма и разность. Слѣдовательно, необходимо положить

откуда вытекаетъ тождество

Если бы вмѣсто простого числа р взять произведеніе двухъ нечетныхъ чиселъ, большихъ единицы, p1 и p2, то можно положить

Итакъ, чтобы какое-либо нечетное число было простымъ, необходимо и достаточно, чтобы оно равнялось, и притомъ только единственнымъ способомъ, разности квадратовъ двухъ цѣлыхъ чиселъ.

Отсюда вытекаетъ способъ, указанный впервые Ферма, для опредѣленія, представляетъ ли простое или составное число данное нечетное число n.

Къ числу n послѣдовательно прибавляютъ квадраты всѣхъ чиселъ до 1/2 (n—1). Если въ полученномъ при этомъ ряду чиселъ только одно, послѣднее, представляетъ полный квадратъ, то испытуемое число n — простое. Въ противоположномъ случаѣ число n—составное, и его тотчасъ можно разложить на два множителя. Вычисленія значительно облегчаются, если имѣть въ виду послѣднія цифры квадратовъ и пользоваться таблицей квадратовъ (см. стр. 136 и 137 настоящей книги).

О составныхъ числахъ. Мы уже знаемъ, что всякое составное число допускаетъ, по крайней мѣрѣ, одинъ дѣлитель, отличный отъ единицы. Исходя отъ этого положенія, можно доказать, что всякое составное число разлагается на конечное число простыхъ множителей.

Въ самомъ дѣлѣ, если число n не простое, то можно положить, что

гдѣ р означаетъ простое число, а п' простое или составное. Если п' есть простое число, то теорема доказана, если же п' не есть простое число, то можно положить

гдѣ р' простое число, а п" или тоже простое пли составное, меньшее чѣмъ n. Прилагая къ п" разсужденія, подобныя предыдущимъ, и замѣчая, что рядъ уменьшающих-

ся цѣлыхъ чиселъ n, n', п"... долженъ быть конечнымъ, въ концѣ-концовъ, находимъ

гдѣ вторая часть состоитъ изъ произведенія первоначальныхъ чиселъ въ конечномъ числѣ.

Разложеніе числа на первоначальныхъ множителей возможно только единственнымъ путемъ, если не обращать вниманія на порядокъ множителей.

Для доказательства предположимъ, что для числа n существуютъ два разложенія на первоначальные множители.

Отсюда

(1)

гдѣ числа р и q по условію первоначальныя.

Но число, напр., р дѣлитъ нацѣло первую часть равенства (1); значитъ, оно должно дѣлить нацѣло и вторую часть этого равенства. Но это возможно только въ томъ случаѣ, если какое-либо изъ чиселъ q равно числу р. Потому что если бы этого не было, то р, будучи простымъ относительно каждаго изъ чиселъ q, было бы взаимно-простымъ и относительно ихъ произведенія, какъ это мы знаемъ изъ началъ ариѳметики, т.-е. произведеніе чиселъ q не дѣлилось бы на p. Итакъ, мы должны обязательно принять, что, напр., p = q. Дѣля теперь обѣ части равенства (1) въ самомъ дѣлѣ на р, получимъ равенство

относительно котораго приходится повторить всѣ предыдущія разсужденія. Въ результатѣ окажется, что всѣ множители первой части равенства (1) соотвѣтственно равны множителямъ второй части этого равенства, и какъ тѣхъ, такъ и другихъ—одинаковое число.

Обозначеніе составного числа n упрощаютъ, группируя вмѣстѣ его равные простые множители. Такъ, если составное число n образовано перемноженіемъ не равныхъ первоначальныхъ чиселъ а, b, с,...., при чемъ а взято множителемъ α разъ, b взято множителемъ ß разъ, с взято множителемъ γ разъ и т. д., то

Показатели α, ß, γ,.... представляютъ, конечно, цѣлыя положительныя числа или нули.

Положимъ, что β = γ = .... = 0, α = 1. Въ такомъ случаѣ имѣемъ просто n — а.

Значитъ, предыдущая формула, какъ ни трудно, вообще говоря, ее получить для любого даннаго числа, заключаетъ въ себѣ всѣ безъ исключенія цѣлыя, положительныя, простыя и составныя числа, а также и единицу для α = 1.

Упростить выраженіе:

Результатъ получается равнымъ 2196. (Гауссъ.)

Показать, что для того, чтобы число представляло собой сумму цѣлыхъ послѣдовательныхъ чиселъ, необходимо и достаточно, чтобы оно не было степенью 2.

Ряды послѣдовательныхъ составныхъ чиселъ. Можно найти безконечное множество рядовъ, составленныхъ изъ сколь угодно большаго числа n членовъ, представляющихъ послѣдовательныя составныя цѣлыя числа.

Въ самомъ дѣлѣ, обозначимъ черезъ

п цѣлыхъ чиселъ въ послѣдовательномъ порядкѣ, при чемъ наименьшее изъ нихъ больше 1, и попробуемъ затѣмъ найти тоже n послѣдовательныхъ чиселъ, которыя обозначимъ черезъ

такихъ, что каждое изъ нихъ соотвѣтственно дѣлится на a1, a2, a3, ....., an.

Ясно, что А должно дѣлиться на каждое изъ чиселъ a1, a2, a3, ...., an, т.-е. оно должно дѣлиться на ихъ наименьшее кратное. Поэтому, если это наименьшее кратное обозначимъ черезъ μ, а черезъ t какое-либо цѣлое число, то

Опредѣливъ А, нетрудно написать и весь рядъ искомыхъ нами чиселъ.

Найти всѣ числа N, которыя, будучи раздѣлены на 2, 3, 4,...., (n —1), дадутъ послѣдовательно въ остаткѣ числа 1, 2, 3,.... (n — 2).

Если обозначить черезъ μ наименьшее кратное чиселъ 2, 3, 4,.... (n — 1), а черезъ t произвольное цѣлое число, то нетрудно будетъ вывести, что искомыя числа N даются формулой

Найти всѣ числа X, которыя, будучи соотвѣтственно раздѣлены на числа 2, 3, 4,...., (n — 1), n, даютъ послѣдовательно въ остаткѣ числа 1, 2, 3,.... (n —2), 0.

Опредѣлимъ сначала числа, которыя удовлетворяютъ всѣмъ условіямъ, кромѣ послѣдняго. Тогда задача сводится къ предыдущему примѣру и, сохраняя тѣ же обозначенія, имѣемъ:

Опредѣлимъ теперь t такъ, чтобы было соблюдено и послѣднее условіе (при дѣленіи на n въ остаткѣ получается 0). Въ такомъ случаѣ t опредѣлится изъ условія

Задача возможна только въ томъ случаѣ, когда число n есть простое. Въ самомъ дѣлѣ, если бы n было составное число, то это значило бы, что р. и n имѣютъ общаго дѣлителя, на который должна дѣлиться 1. Итакъ, предполагая, что n есть первоначальное число, μ и n будутъ взаимно-простыя числа, и въ такомъ случаѣ возможно опредѣлить два цѣлыхъ числа t и μ такъ, чтобы выполнялось условіе

Опредѣлимъ t и обозначимъ черезъ N0 одно изъ чиселъ N, соотвѣтствующее первому рѣшенію вопроса. Разность (X — N0) должна дѣлиться на 2, 3, 4,...., (n — 1), n. Значитъ, она должна дѣлиться на ихъ наименьшее кратное nμ. Итакъ, общее рѣшеніе есть

гдѣ у есть произвольное цѣлое число. Если, наприм., n = 1, то

Дѣлимость факторіаловъ. Именемъ факторіала n называютъ произведеніе n послѣдовательныхъ чиселъ 1.2.3.4 .... n и обозначаютъ это выраженіе обыкновенно такъ: n! У англичанъ это обозначеніе часто замѣняется такимъ: |n.

Начнемъ съ рѣшенія задачи:

Дано число n. Опредѣлить наибольшую степень, въ которую можно возвысить число а, не превышая даннаго числа n.

Самъ собой прежде всего напрашивается прямой методъ, состоящій въ составленіи таблицы послѣдовательныхъ степеней числа а до тѣхъ поръ, пока не получится такой показатель степени а, что

аα ⩽ n < аα + 1.

Показатель α и есть искомый. Такимъ путемъ практичнѣе всего, наприм., опредѣлять наивысшую степень 2, заключающуюся въ данномъ числѣ.

Но вмѣсто послѣдовательныхъ умноженій на а можно примѣнять послѣдовательныя дѣленія на α. Этотъ способъ основанъ на теоремѣ:

Если q есть частное отъ дѣленія съ недостаткомъ числа n на число а, и если qr есть частное отъ дѣленія числа q на число b, то q' есть вмѣстѣ съ тѣмъ частное отъ дѣленія съ недостаткомъ числа n на произведеніе ab.

Въ самомъ дѣлѣ, по опредѣленію

гдѣ остатокъ r имѣетъ одно изъ значеній 0, 1, 2....(а—1), а s одно изъ значеній 0, 1, 2, 3,...., (b—1). Подставляя въ первое изъ написанныхъ равенствъ значеніе q изъ второго, находимъ

Положительное число as + r самое большее, что можетъ равняться

Поэтому q есть или точное или приближенное съ недостаткомъ частное отъ дѣленія n на ab.

Наибольшее цѣлое число, которое содержится въ n/a обыкновенно обозначаютъ такъ: E n/a и для краткости читаютъ это обозначеніе такъ: цѣлое въ n на а. Слѣдовательно, доказанную нами теорему можно выразить такъ:

Формулу эту можно распространить вообще на цѣлое, содержащееся въ выраженіи вида n/abc.

Рѣшимъ теперь задачу:

Опредѣлить наивысшую степень простого числа р, содержащагося въ произведеніи n!, т.-е. въ произведеніи n начальныхъ послѣдовательныхъ чиселъ ( факторіалѣ n).

Легко понять прежде всего, что цѣлыя числа, содержащія р множителями въ факторіалѣ n! всѣ кратны р:

и всѣхъ ихъ числомъ

Слѣдовательно, искомый пока-

затель р факторіала равенъ показателю при р въ произведеніи

увеличенномъ послѣднимъ множителемъ. Повторяя относительно этого послѣдняго факторіала только что приведенныя разсужденія и примѣняя предыдущую теорему, найдемъ въ окончательномъ результатѣ, что наивысшій показатель степени простого числа р въ n! равенъ суммѣ:

Если число n есть точная степень р, то частныя отъ дѣленія n на р, p2, p3,.... всѣ цѣлыя, и для искомаго показателя имѣемъ:

Если число n написано по системѣ счисленія съ основаніемъ р, т.-е.

то нетрудно найти, что искомый показатель будетъ равенъ

и высшій предѣлъ его будетъ

Найти наивысшій показатель числа 7 въ произведеніи 10000 послѣдовательныхъ чиселъ, начинающихся съ 1.

Вычисленіе располагается по такой схемѣ:

Искомое число, слѣдовательно, равно

Показать, что произведеніе 1000 послѣдовательныхъ начальныхъ чиселъ оканчивается 249 нулями.

Найти наивысшій показатель степени первоначальнаго числа р, содержащагося въ числѣ

Найти наивысшую степень простого числа р, заключающагося въ произведеніи n послѣдовательныхъ нечетныхъ чиселъ.

Частное факторіаловъ. Докажемъ такую теорему для цѣлаго числа n.

Если

то частное отъ дѣленія факторіала n! на произведеніе факторіаловъ α!ß!γ!.λ! равно всегда цѣлому числу.

Въ самомъ дѣлѣ, пусть р есть какое-либо простое число знаменателя выраженія

(1)

По доказанному выше наивысшая степень р, заключающаяся въ знаменателѣ, равна суммѣ выраженій

Показатель же наивысшей степени р, заключающейся въ числителѣ n!, есть

Такъ какъ по условію

Слѣдовательно, наивысшій показатель какого-либо простого множителя р въ знаменателѣ выраженія (1) никогда не превышаетъ наивысшаго показателя р въ числителѣ. Откуда и вытекаетъ теорема.

Въ частности, если взять произведеніе n какихъ-либо цѣлыхъ послѣдовательныхъ чиселъ, то оно всегда дѣлимо на n!, т.-е. на произведеніе n начальныхъ послѣдовательныхъ чиселъ. Другими словами,

Дѣйствительно, умножая числителя и знаменателя этой дроби на факторіалъ а!, получимъ

т.-е. выраженіе, равное цѣлому числу по доказанной только что теоремѣ.

Совершенныя числа. — Числомъ совершеннымъ называется такое, которое равно суммѣ всѣхъ своихъ дѣлителей (кромѣ, конечно, самого числа). Такъ, наприм., число 6—совершенное, ибо всѣ его различные дѣлители 1, 2, 3 даютъ въ суммѣ 1 + 2 + 3 = 6, число 28 тоже совершенное, ибо дѣлители его 1, 2, 4, 7, 14 даютъ въ суммѣ 28 и т. д.

Для отысканія совершенныхъ чиселъ употребляется способъ, указанный еще Евклидомъ (книга IX, предл. 36), который сводится къ тому, что совершенныя числа можно получать изъ формулы

(1)

но только при условіи, что второй множитель (2Р—1) представляетъ собой простое число. Но, чтобы (2Р— 1) было простымъ числомъ, необходимо, чтобы и р было простымъ числомъ, потому что двучленное выраженіе вида (2ab—1) дѣлится на 2n — 1 и на 2b — 1. Съ другой стороны, условіе, чтобы р было простымъ, необходимо, но недостаточно. Такъ, наприм., для р = 11 получается 211 — 1 = 23 × 89, т.-е. число составное.

Итакъ, формула (1) и при р простомъ не всегда даетъ совершенное число. Необходимо для каждаго значенія р

особое изслѣдованіе, будетъ ли число (2Р— 1) простое или нѣтъ.

Въ настоящее время извѣстно, что эта формула дастъ совершенное число для слѣдующихъ значеній

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61.

Изслѣдованы также нѣкоторыя первоначальныя значенія р, для которыхъ (2Р—1) даетъ составное число. Значенія эти до 251 приведены въ нижеслѣдующей таблицѣ, гдѣ рядомъ со значеніемъ р въ столбцѣ d дается наименьшій множитель составного числа, получаемаго изъ 2Р — 1 для даннаго р.

р

d

Р

d

Р

d

Р

d

11

23

47

2351

97

11447

211

15193

23

47

53

6361

113

3391

223

18287

29

233

59

179951

131

263

233

1399

37

223

73

439

151

18121

239

479

41

13367

79

2687

179

359

251

503

43

431

83

167

191

383

Остается такимъ образомъ въ данныхъ таблицей предѣлахъ изслѣдовать еще природу чиселъ (2p—1) для слѣдующихъ простыхъ значеній р:

Такимъ образомъ, какъ видимъ, вопросъ о нахожденіи совершенныхъ чиселъ въ его общемъ видѣ остается открытымъ. Такъ, наприм., намъ неизвѣстно нгі одного нечетнаго совершеннаго числа, хотя утверждать, что такого числа нѣтъ, мы не можемъ. Что касается четныхъ совершенныхъ чиселъ, то можно доказать, что не существуетъ иныхъ четныхъ совершенныхъ чиселъ, какъ только тѣ, которыя заключены въ данной выше формулѣ Эвклида аp-1(аp—1).

Въ заключеніе приведемъ тѣ 8 совершенныхъ чиселъ, которыя даетъ Мерсень (Mersenne) въ своемъ сочиненіи

Cogitata physicomathematica, вышедшемъ въ 1644 г. въ Парижѣ:

Извѣстно еще 37-значное совершенное число, найденное Зельгофомъ. Такъ что въ настоящее время мы знаемъ всего 9 совершенныхъ чиселъ.

О дружественныхъ числахъ. — Обозначимъ сумму дѣлителей числа р (кромѣ самого числа) черезъ σ(р), сумму дѣлителей числа q черезъ σ(q).

Если сумма дѣлителей каждаго изъ этихъ чиселъ равна другому числу, то числа носятъ названіе дружественныхъ. Такъ что для дружественныхъ чиселъ должно быть выполнено условіе

Путемъ различныхъ пріемовъ опредѣлено много паръ подобнаго рода чиселъ, но общаго пріема для нахожденія ихъ, какъ и совершенныхъ чиселъ, до сихъ поръ не найдено.

Надо замѣтить, впрочемъ, что изслѣдованіямъ о числахъ совершенныхъ, дружественныхъ и тому подобныхъ, какъ таковыхъ, въ настоящее время не придаютъ особаго значенія. Изслѣдованія эти были введены пиѳагорейцами, которые, какъ извѣстно, придавали числамъ и числовымъ сочетаніямъ особый мистическій смыслъ, и они подраздѣляли числа на разные классы, смотря по соотношенію самого числа къ суммѣ его дѣлителей. Не слѣдуетъ, однако, забывать, что изысканія подобнаго рода въ трудахъ Ферма и Паскаля, а также Декарта и Эйлера проложили путь для появленія, по выраженію Гаусса, „царицы математики", т.-е. теоріи чиселъ. Вотъ почему мы посчитали долгомъ упомянуть вкратцѣ и объ этихъ памятникахъ математической терминологіи.

Объ абсолютныхъ единицахъ мѣръ.

(Изъ книги професс. О. Д. Хвольсона „Объ абсолютныхъ единицахъ, въ особенности магнитныхъ и электрическихъ“.)

§ 1.

Объ единицахъ вообще. Величины, съ которыми намъ приходится имѣть дѣло,—отчасти ежедневно, въ обыденной жизни, отчасти только при изученіи или разработкѣ различныхъ спеціальныхъ отраслей знанія,—могутъ отличаться между собою качественно и количественно. Качественное различіе опредѣляется исключительно названіемъ, значеніе котораго должно быть разъ на всегда точно установлено (длина, объемъ, теплоемкость, сопротивленіе и т. д.). Количественное различіе величинъ одного и того же рода опредѣляется или непосредственнымъ ихъ сравненіемъ между собою, т.-е. опредѣленіемъ числа, показывающаго, сколько разъ одна изъ нихъ заключается въ другой, или сравненіемъ каждой изъ нихъ съ третьей величиной того же рода, т.-е. опредѣленіемъ двухъ чиселъ, показывающихъ, сколько разъ третья величина заключается въ каждой изъ двухъ сравниваемыхъ. Эта третья вспомогательная величина называется единицею мѣры. Измѣрить величину, для ближайшаго съ нею ознакомленія или для сравненія съ другою величиною, значитъ: узнать сколько разъ въ ней заключается единица мѣры. Для измѣренія необходимы поэтому, во-первыхъ, установленныя удобныя единицы, и во-вторыхъ, тщательно разработанные способы точнаго фактическаго сравненія измѣряемой величины съ единицею. Въ этой статьѣ будетъ исключительно говорено о первомъ, объ единицахъ мѣры. Существуютъ трактаты, спеціально посвященные методамъ измѣренія.

Различныхъ единицъ должно существовать столько, сколько существуетъ различнаго рода величинъ, которыя уже ме могутъ быть между собою сравниваемы. Нѣкоторыя единицы имѣютъ особыя названія, въ особенности тѣ,

съ которыми люди уже давно имѣли дѣло, напр., единицы длины, объема, вѣса, времени, стоимости и т. д. Въ современной научной системѣ единицъ имѣютъ особыя названія еще единицы силы, работы и т. д.; единица же вѣса особаго названія не имѣетъ, такъ какъ она тождественна съ единицею силы. Иногда не только сама единица, но и кратныя и части ея имѣютъ особыя названія (метръ, километръ, миллиметръ), для большаго удобства, вмѣсто основной величины, за единицу мѣры принимаютъ ея кратное или ея части, чтобъ избѣжать, при измѣреніи, слишкомъ большихъ или слишкомъ малыхъ чиселъ.

Вслѣдствіе того, что единица мѣры можетъ быть выбрана совершенно произвольно, существовали различныя единицы одной и той же величины въ разныя времена и въ различныхъ мѣстахъ. Еще недавно число такихъ единицъ, особенно тѣхъ, съ которыми въ обыденной жизни наиболѣе приходится имѣть дѣло, было громадно; такъ, въ Германіи почти каждый большой городъ имѣлъ свою систему единицъ; въ Швейцаріи въ одномъ кантонѣ Во (Vaud) существовали до 1823 года другъ отъ друга совершенно независимыя 8 единицъ длины, 8 единицъ вѣса, 23 единицы объема для фруктовъ и 31 единица объема для жидкостей. Уничтоженіе такихъ партикулярныхъ единицъ и обязательная для цѣлой страны замѣна ихъ опредѣленною системою единицъ произошла въ Голландіи и въ Бельгіи въ 1817 г., въ сѣверной Италіи въ 1803 г., въ южной въ 1850 г., въ Швейцаріи въ 1851 г., въ Германіи въ 1874 г и т. д.; осталось вслѣдствіе этого сравнительно уже небольшое число системъ единицъ.

Изъ всѣхъ системъ единицъ имѣютъ громадныя преимущества тѣ, въ которыхъ различныя единицы не выбраны всѣ вполнѣ произвольно и другъ отъ друга независимо, но въ которыхъ онѣ находятся въ такой между собою связи, что выборъ нѣкоторыхъ опредѣляетъ всѣ остальныя. Оказывается, что есть возможность всѣ единицы опредѣлить въ зависимости отъ трехъ произвольныхъ, но различныхъ единицъ, которыя мы будемъ называть основными, остальныя же—единицами производными. Отъ выбора основныхъ единицъ зависятъ всѣ остальныя. Главною задачею этого сочиненія будетъ: показать, какъ по даннымъ тремъ основнымъ получаются всѣ остальныя единицы и разсмотрѣть, во-первыхъ, ту спеціальную систему, которую мы будемъ называть абсолютною и, во-вторыхъ, тѣсно съ нею связанную систему Британской Ассоціаціи, которую мы будемъ, для краткости обозначать черезъ сист. Бр. Асс. Разныя величины мы будемъ обозначать малыми латинскими буквами, напр., длину черезъ l, время черезъ t и

т. д.; единицы, соотвѣтствующія этимъ величинамъ, мы будемъ обозначать тѣми же, но большими буквами, напр., единицу длины черезъ Z, единицу времени черезъ Т и т. д.

Число, показывающее сколько разъ въ данной величинѣ заключается соотвѣтствующая единица, называется численнымъ значеніемъ величины; обозначимъ его черезъ n. Пусть а произвольная величина; тогда, по условію, имѣемъ:

Замѣняя единицу А новою, напр., A1, мы получимъ для той же величины а новое численное значеніе гдѣ

Изъ равенства n А = п1 A1 имѣемъ

Это показываетъ, что численное значеніе величины обратно пропорціонально выбранной единицѣ мѣры. Это ясно: если, напр., длина l равна 4 саженямъ, то ея численное значеніе будетъ 4, если единица длины—сажень; взявъ же за единицу аршинъ, величину въ три раза меньшую, мы увеличимъ численное значеніе той же длины l въ три раза: она сдѣлается равною 12, такъ какъ l будетъ равно 12 аршинамъ. Чѣмъ меньше принятая единица, тѣмъ больше численное значеніе одной и той же величины, и наоборотъ.

Рис. 25.—Орестъ Даніиловичъ Хвольсонъ. Проф. Петербургскаго университета. Нашъ знаменитый физикъ, многіе научные труды котораго переведены на нѣмецкій, французскій, шведскій, испанскій и др. языки. Особенно извѣстенъ его «Курсъ физики» (университетскій), также переведенный на французскій и нѣмецкій языки. Помимо университета читалъ и читаетъ физику на высшихъ женскихъ курс. (Бестужевскихъ), въ электро-техническомъ институтѣ и др. учебн. завед. Петербурга. Членъ корреспонд. Петерб. Акад. Наукъ, Asscocié Бельгійской акад. наукъ, а также членъ многихъ западноевропейскихъ и американскихъ физическихъ обществъ.

§ 2.

Очеркъ исторіи развитія абсолютныхъ единицъ. Въ древнія времена, несомнѣнно, нѣкоторыя единицы, въ особенности единица длины, принимались равною длинѣ какого-либо

встрѣчаемаго въ природѣ тѣла, въ особенности части человѣческаго тѣла. На это указываютъ сохранившіяся до сихъ поръ названія: локоть, футъ (Fuss), дюймъ и др. Возможность простой связи между единицами длины, площади и объема также весьма уже давно была замѣчена.

Вѣсъ единицы объема какого-либо тѣла можно принять за единицу вѣса. Таковъ ходъ развитія современной системы единицъ. Весьма вѣроятно, что въ древнѣйшей системѣ единицъ, о которой мы имѣемъ свѣдѣнія, въ системѣ единицъ вавилонскихъ, наоборотъ, единица объема опредѣлялась какъ объемъ количества воды даннаго вѣса. Во всякомъ случаѣ, мысль связать указаннымъ образомъ единицы длины и вѣса, несомнѣнно, была строго проведена въ древнемъ Вавилонѣ. Основная вавилонская единица вѣса равнялась 43,68 килограммамъ; опредѣляемая ею единица объема равнялась 43,74 кубич. дециметрамъ и единица длины—352,34 миллиметрамъ; послѣднюю можно назвать вавилонскимъ локтемъ; 1 1.2 локтя составляли вавилонскій футъ. Изъ Вавилона единица вѣса перешла въ Персію, Сирію, Египетъ и на островъ Эгина. Другая единица вѣса, въ 3/5 раза меньшая, также встрѣчалась въ Египтѣ; Солонъ ввелъ ее въ Аѳинахъ. Изъ Греціи эгинейская единица вѣса перешла къ римлянамъ, которые, однако, уменьшили ее въ отношеніи 9:10; римскій фунтъ относится къ греческому какъ ∛9 къ ∛10. Составляя, вообще, таблички для сравненія древнихъ единицъ между собою, замѣтимъ, что отношенія единицъ вѣса и объема удовлетворительно опредѣляются довольно простыми дробями; отношенія же единицъ длины наиболѣе точно, повидимому, опредѣляются кубическими ирраціональностями. Это и служитъ доказательствомъ того, что вѣсъ служилъ основною единицею, опредѣляющею единицу длины, а не наоборотъ.

Приводимъ три таблички:

Древнія единицы вѣса.

Вавилонская, сирійская, еврейская, эгинейская большая единица.....................................

Египетская, древне-аѳинская большая единица . . .

Аѳинская большая единица.........................

Эгинейская малая единица ........................

Аѳинская малая единица ..........................

Римскій фунтъ....................................

Древнія единицы объема.

Вавилонскій кубическій футъ........................

Египетская (Medimnos)..............................

Вавилонская, Сирійская, Эгинейская, Спартанская (Metretes).........................................

Аѳинская (Medimnos)................................

Египетская (Artaba)................................

Аѳинская (Metretes)..................................

Греческій кубическій футъ .........................

Римская (Amphora)..................................

Греческая (Chus)...................................

Римская (Congius)..................................

Еврейская (Hin)....................................

Греческая (Xestes)...........................

Еврейская (Log)....................................

Римская (Sextarius)................................

Древнія единицы длины.

Вавилонскій футъ...................................

Вавилонскій локоть

Св. египетскій локоть

Простой египетскій локоть

Малый вавилонскій локоть.........................

Греческій локоть

Олимпійскій футъ

Египетскій футъ ...............................

Римскій футъ.......................................

Арабская (Cassabeh)................................

Послѣ паденія Римской имперіи и до конца XVIII столѣтія не было сдѣлано ни одной попытки коренного преобразованія системы единицъ. Почти повсюду употреблялись болѣе или менѣе видоизмѣненныя римскія единицы. Начиная съ XVII столѣтія, изрѣдка стала проявляться мысль о сравненіи всѣхъ единицъ съ одною нормальною. Но предложенныя для этого нормальныя единицы были въ высшей степени не практичны. За нормальную единицу длины предлагалось разстояніе зрачковъ взрослаго человѣка, длина грани ячейки пчелинаго сота. На Востокѣ арабы, измѣнивъ перешедшія къ нимъ древнѣйшія единицы длины, опредѣляли ихъ длиною ряда ячменныхъ зеренъ или шириною ряда лошадиныхъ и другихъ волосъ. Одна изъ единицъ длины предполагалась равною 24-мъ ширинамъ пальца; ширина пальца равною 7 ширинамъ ячменнаго зерна и ширина ячменнаго зерна равною 7 ширинамъ волосъ мула. До настоящаго времени въ Индіи распространена малая вѣсовая единица „рати", равная вѣсу маленькаго краснаго зерна (примѣрно 1/8 грамма). Нѣмецкая единица вѣса гранъ или корнъ (зерно) равнялось первоначально вѣсу ячменнаго зерна.

Стремленіе извлечь единицу длины изъ самой природы тогда только получило надлежащее направленіе, когда Галилей открылъ законы свободнаго паденія тѣлъ и колебанія маятниковъ (1583 г.) и Гюйгенсъ изобрѣлъ часы съ маятникомъ (1657 г.); тогда только величина Земли или длина секунднаго маятника (время одного колебанія котораго равно одной секундѣ) могли служить основаніемъ для но-

Рис. 26.—Христіанъ Гюйгенсъ. (1629—1695).

вой, изъ природы взятой, единицы длины. Несмотря на удобство этихъ двухъ единицъ, неоднократно предлагались другія: Бемъ предложилъ за единицу длины принять пространство, пройденное въ первую секунду при свободномъ паденіи; Деви—ширину волосной трубки, въ которой опредѣленная жидкость поднимается на столько, что высота поднятаго столба равняется ширинѣ трубки; Бабине—длину волны опредѣленной преломляемости въ нѣкоторомъ опредѣленномъ тѣлѣ и т. д.

Первый, предложившій за единицу длины принять часть меридіана, былъ Мутонъ (Gabriel Mouton), астрономъ въ Ліонѣ. Въ 1670 г. онъ совѣтовалъ принять за единицу длины длину дуги меридіана, равную одной минутѣ. Назвать онъ ее хотѣлъ Milliare, раздѣляя, по децимальной системѣ, на Centuria, Decuria, Virga, Virgula, Decima, Centesima, Millesima. Подобная система фактически была введена съ 1816—1851 г. въ Сардиніи. За единицу длины принималась 60-я часть секунды дуги меридіана; она называлась Piede Liprando и должна была бы равняться 0,5144 метра; въ дѣйствительности, по измѣреніямъ Купфера, она равнялась только 0,51365 метрамъ. Далѣе, въ Неаполѣ въ 1840 г. была введена единица длины— Palmo — равная одной 7000 части минуты меридіана.

Въ 1664 г. Гюйгенсъ предложилъ за единицу длины принять третью часть длины секунднаго маятника (pes horarium) въ опредѣленной широтѣ; Буге (Bouguer) совѣтовалъ для этого остановиться на широтѣ 45°, Кондаминъ (Condamine)—на экваторѣ. По предложенію Талльярана, національное собраніе 8-го мая 1790 г. постановило составить комиссію, въ которую вошли Борда, Кондорсе, Лагранжъ. Лапласъ и Монжъ, для точнаго опредѣленія длины секунднаго маятника, какъ новой единицы длины. 26-го марта 1791 г. эти ученые представили національному собранію докладъ, въ которомъ они, указавъ на неудобство упомя-

Рис. 27 Антуанъ — Никола Кондорсе. одинъ изъ членовъ комиссіи, введшей метрическую систему мѣръ (1743—1794).

нутой единицы, предложили другую: одну десятимилліонную часть четверти меридіана. 30-го марта того же года національное собраніе утвердило предложеніе комиссіи. Новая комиссія занялась опредѣленіемъ длины этой единицы. Еще до окончанія ея работъ закономъ 7-го апрѣля 1795 года (18 Germinal, An. 3) былъ введенъ Mètre provisoire et légal, равный 0,515243 тоазамъ = 443"', 443 (1 тоазъ = 884"'). Наконецъ 23 апрѣля 1799 г. былъ представленъ окончательный докладъ и 10 декабря 1799 г. (19 Frimaire An 8) былъ обязательно введенъ Mètre vrai et definitif, равный 443"',296.

Наполеонъ I не сочувствовалъ метрической системѣ единицъ и двумя декретами почти вполнѣ уничтожилъ всю пользу, которую могли имѣть націи отъ ея введенія. Уже 4 ноября 1800 г. онъ дозволилъ не употреблять новыхъ выраженій единицъ длины, вѣса и т. д., а вмѣсто нихъ старинныя названія французскихъ единицъ, но съ новымъ, конечно, значеніемъ, что не могло не повлечь за собою страшной путаницы. Декретомъ 12 февраля 1812 г. онъ вполнѣ видоизмѣнилъ метрическую систему, уничтоживъ самое главное ея преимущество: постоянное послѣдова-

Рис. 28. — Гаспаръ Монжъ. Членъ комиссіи, вводившей метрическую систему мѣръ (1746—1818).

Рис. 29. Жозефъ Лагранжъ. Членъ комиссіи по введенію метрической системы мѣръ (1736—1813).

тельное дѣленіе на 10. Новою единицею длины была введена тоаза, равная 2 метрамъ и раздѣленная на 6 футовъ, изъ которыхъ каждый былъ, слѣдовательно, равенъ 1/3 метра; футъ раздѣлялся на 12 дюймовъ и дюймъ—на 12 линій. Полукилограммъ былъ названъ фунтомъ и раздѣленъ на унціи, гроссы и граны. Старинныя мѣры въ то время еще не вполнѣ были забыты, такъ что въ употребленіи оказались 2 различныя тоазы, 2 разныхъ фута, 2 фунта и т. д., кромѣ значительно уже распространившихся метрическихъ единицъ. До 1837 г. продолжалось это невозможное положеніе вещей, пока, наконецъ, при министерствѣ Гизо во всей Франціи не была введена метрическая система мѣръ и вѣсовъ, исключительное употребленіе которой было сдѣлано обязательнымъ съ 1 января 1840 г.

Впослѣдствіи метръ, какъ единица длины, былъ введенъ въ Испаніи, Италіи, Германіи, Бельгіи, Швейцаріи, Финляндіи и т. д.

По почину императорской русской Академіи Наукъ заключенъ въ Парижѣ 8 (20) мая 1875 года международный договоръ, въ которомъ участвовали Россія, Германія, Аргентинія, Австрія и Венгрія, Бельгія, Бразилія, Данія, Испанія, Сѣверо-Американскіе Соединенные Штаты, Франція, Италія, Перу, Португалія, Швеція и Норвегія, Швейцарія, Турція и Венецуэла. На основаніи этого договора учреждается въ Парижѣ международное бюро мѣръ и вѣсовъ, составляющее постоянное научное учрежденіе, основываемое и поддерживаемое общими средствами; предсѣдателемъ общей конференціи международнаго бюро состоитъ президентъ Парижской академіи наукъ. Задача международнаго бюро слѣдующая: сравненіе и аттестація новыхъ прототиповъ метра и килограмма, сохраненіе международныхъ прототиповъ, періодическое сравненіе международныхъ прототиповъ съ другими, разосланными отдѣльнымъ государствамъ и т. д. Изъ ежегодно печатающихся трудовъ международной комиссіи метра видно, что ея работы быстро подвигаются впередъ: воздвигнуто особое зданіе, выбранъ матеріалъ, изъ котораго должны состоять будущіе прототипы, уже приступлено къ ихъ изготовленію, и въ ближайшемъ будущемъ можно надѣяться, послѣдуетъ ихъ раздача между участвовавшими въ договорѣ государствами. Англія присоединилась въ 1884 году къ парижскому договору; Сѣверо-Американскіе Соединенные Штаты хотя и не ввели у себя обязательно метрической системы мѣръ и вѣсовъ, съ самаго начала относились къ ней въ высшей степени сочувственно.

Одновременно съ метромъ были, между прочимъ, введены: единица объема—литръ, равный объему кубическаго дециметра, и единица вѣса—граммъ, равный вѣсу кубическаго сантиметра воды при + 4оС., т.-е. при температурѣ наибольшей плотности воды.

Считаемъ не лишнимъ теперь уже указать, въ чемъ заключается наиболѣе существенная разница между французскою системою единицъ и тою системою, которая получила названіе „абсолютной“.

Абсолютныя единицы, главнымъ образомъ, тѣмъ отличаются отъ французскихъ, что въ нихъ, какъ мы увидимъ, слово „граммъ" обозначаетъ не единицу вѣса, но единицу массы., а именно массу кубическаго сантиметра воды при 4°.

На это необходимо обратить особенное вниманіе.

§ 3.

О выборѣ основныхъ единицъ. — Въ § 1 уже было упомянуто о томъ, что существуетъ возможность опредѣлить всѣ единицы, съ которыми намъ приходится имѣть дѣло, въ зависимости отъ трехъ единицъ, которыя, какъ по своему роду, такъ и по величинѣ, могутъ быть выбраны совершенно произвольно; онѣ называются основными, всѣ же другія — производными единицами.

Теоретически говоря, мы могли бы за основныя единицы принять, напр., единицы работы, электростатической емкости и магнитнаго момента или единицы энергіи, электрическаго сопротивленія и напряженія магнитнаго поля. Каждыя такія три основныя единицы даютъ возможность (подробности будутъ изложены далѣе) построить полную систему всевозможныхъ единицъ. Однако приведенные примѣры основныхъ единицъ оказались бы на практикѣ крайне неудобными; при выборѣ трехъ основныхъ единицъ слѣдуетъ руководствоваться слѣдующими соображеніями:

1) Должна существовать возможность весьма точно сравнить каждую изъ основныхъ единицъ съ другою величиною того же рода.

2) Такое сравненіе должно быть одинаково возможнымъ во всякое время, т.-е. эталоны единицъ, если таковые возможны, не должны мѣняться со временемъ.

3) Такое сравненіе должно быть одинаково возможнымъ во всѣхъ мѣстахъ, т.-е. эталоны единицъ не должны мѣняться при перенесеніи ихъ съ одного мѣста на другое.

4) Такое сравненіе должно быть удобнымъ и по возможности непосредственнымъ.

Этимъ условіямъ прежде всего удовлетворяетъ единица длины. Эталоны могутъ быть долгое время сохранены и

перевезены съ мѣста на мѣсто, не измѣняясь. Особые приборы, компараторы, даютъ возможность чрезвычайно точнаго сравненія образцовыхъ эталоновъ съ другими.

Далѣе единица массы удовлетворяетъ выше приведеннымъ четыремъ условіямъ. Эталонъ, представляющійся въ видѣ опредѣленнаго куска золота или платины, сохраняетъ, при осторожномъ съ нимъ обращеніи, повсюду и всегда одну и ту же массу. Такъ какъ въ одномъ и томъ же мѣстѣ массы тѣлъ пропорціональны ихъ вѣсамъ, то ясно, что сравненіе массъ можетъ быть сдѣлано посредствомъ взвѣшиванія, которое можно считать наиболѣе точнымъ изъ всѣхъ дѣйствій, съ которыми приходится имѣть дѣло при физическихъ изслѣдованіяхъ.

Наконецъ единица времени также удовлетворяетъ четыремъ условіямъ. Время отъ одного прохожденія звѣзды черезъ меридіанъ до слѣдующаго можетъ быть опредѣлено весьма точно; оно называется звѣздными сутками. Отъ него нетрудно перейти къ среднимъ суткамъ, которыя раздѣляются на 86400 секундъ.

Названныя три единицы длины l массы m и времени t принимаются за основныя.

Единицу вѣса потому было бы неудобно принять за основную, что вѣсъ тѣла мѣняется при переходѣ съ мѣста на мѣсто, и, слѣдовательно, третье изъ вышеприведенныхъ условій не удовлетворено.

Принявъ единицы длины, массы и времени за основныя, мы пока выбрали только родъ этихъ единицъ, остается еще выбрать ихъ величину.

Въ настоящее время вообще наиболѣе распространенная единица длины — метръ, и его или одно изъ его кратныхъ или подраздѣленій мы и примемъ за основную единицу длины.

За единицу массы примемъ граммъ или одно изъ его кратныхъ или подраздѣленій.

Наконецъ за единицу времени примемъ секунду.

Смотря по тому, которыя изъ подраздѣленій или кратныхъ грамма и метра мы принимаемъ за единицы массы и длины, мы получаемъ различныя системы абсолютныхъ единицъ. Изъ нихъ самая важная и удобная та, въ которой приняты за единицы длины — сантиметръ (С), массы — граммъ (G) и времени — секунда (S). Эту систему, которую, по справедливости, можно назвать научною системою, принято, для краткости, называть С. G. S. системою.

Нѣкоторыя единицы С. G. S. системы оказываются практически не удобными. Поэтому, отчасти по предложенію Британской Ассоціаціи, были введены еще нѣкоторыя другія единицы (магнитныя и электрическія), болѣе удоб-

ныя въ практическомъ отношеніи, равныя единицамъ С. G. S. системы, умноженнымъ на 10 въ нѣкоторой положительной цѣлой степени. Изъ этихъ англійскихъ единицъ наиболѣе употребительныя получили особыя названія.

Мы приняли метръ за основную единицу длины. Считаемъ не лишнимъ остановиться на весьма важномъ вопросѣ, который неоднократно проводилъ къ различнаго рода недоразумѣніямъ, а именно на вопросѣ о такъ называемой вѣчности, неизмѣнности и естественности метрической системы, свойствъ, вытекающихъ изъ того обстоятельства, что основа единицъ метрической системы, метръ, находится въ простой зависимости отъ вѣчной, неизмѣнной величины земнаго квадранта, десятимилліонную долю котораго онъ составляетъ. Въ этомъ отношеніи основатели метрической системы единицъ, несомнѣнно, отчасти увлеклись мыслью, которая на практикѣ оказалась не осуществимою. Полагали, что новую единицу длины можно будетъ всегда вновь опредѣлить, даже если, какъ говорилъ Араго, „землетрясенія и страшныя катастрофы посѣтятъ нашу планету и уничтожатъ всѣ прототипы мѣръ, хранящіеся въ архивахъ". Скоро пришлось убѣдиться, что мысль объ абсолютной опредѣленности и вѣчномъ постоянствѣ величины метра невѣрна. Дѣло заключается въ томъ, что для опредѣленія длины метра, т.-е. десятимилліонной доли четверти меридіана, приходится произвести чрезвычайно длинный рядъ весьма трудныхъ и сложныхъ измѣреній и вычисленій: необходимо съ величайшею точностью измѣрить разстояніе между двумя точками на земной поверхности, разстояніе, считаемое по меридіану, и также разность широтъ тѣхъ же двухъ точекъ. Эта работа была предпринята французскими учеными въ концѣ XVIII столѣтія, и результатомъ ихъ измѣреній была длина метра, обозначенная на такъ называемомъ прототипѣ 1799 г. Но впослѣдствіи чрезвычайно подробныя и точныя изслѣдованія, сдѣланныя знаменитымъ астрономомъ Бесселемъ, показали, что французское опредѣленіе длины метра не было вполнѣ точно, что земной квадрантъ содержитъ не 10 милліоновъ той длины, которая была найдена французскими учеными, но 10000855, а по вычисленіямъ Хазалона 10001790. Весьма даже вѣроятно, что Земля не имѣетъ вполнѣ правильной формы, и что разные ея меридіаны имѣютъ различную длину. Итакъ, оказывается, что теоретическій метръ отличается отъ французскаго прототипа на замѣтную долю миллиметра. Но, конечно, нельзя утверждать, что изслѣдованіе Бесселя дало въ результатѣ окончательную, дѣйствительную величину теоретическаго метра. Новыя непосредственныя опредѣленія съ приборами все болѣе и

болѣе точными, конечно, дадутъ и все болѣе и болѣе точное значеніе метра, все болѣе и болѣе приближающееся къ его истинному теоретическому значенію. Понятно, что каждое новое измѣреніе даетъ и новую величину метра; истинное, абсолютно точное значеніе метра найдено быть не можетъ, хотя вѣроятно, что съ усовершенствованіемъ приборовъ и способовъ измѣреній истинное значеніе метра могло бы быть опредѣлено все съ большею и большею точностью, если будутъ сдѣланы новыя измѣренія.

Является вопросъ: которое же изъ многихъ различныхъ опредѣленій длины теоретическаго метра принять за практическую единицу длины, и что дѣлать, если мы остановимся на опредѣленной длинѣ, и затѣмъ новыя измѣренія вновь дадутъ нѣсколько иное значеніе длины теоретическаго метра? Неужели вновь мѣнять основную единицу линейной системы? Очевидно, что этого сдѣлать нельзя, что необходимо остановиться на какой-либо опредѣленной длинѣ, принять ее за основаніе системы линейныхъ единицъ, употребляемыхъ на практикѣ, и не мѣнять ее, хотя бы впослѣдствіи и обнаружилась неполная тождественность между этою величиною и теоретическимъ метромъ. Ясно, слѣдовательно, что приходится отказаться отъ мысли, что метръ есть абсолютно опредѣленная, вѣчная, неизмѣнная величина; ясно, что если бы страшныя катастрофы разрушили всѣ архивы, то новое опредѣленіе метра привело бы, несомнѣнно, къ величинѣ, въ высшей степени близкой къ той, которая была употребляема до катастрофы; но ни въ какомъ случаѣ нельзя будетъ ручаться за полную тождественность вновь опредѣленной и прежде употреблявшейся единицы длины. Въ настоящее время за единицу длины принимается длина того прототипа метра, который былъ устроенъ французскими учеными въ концѣ XVIII столѣтія и который хранится въ парижскомъ государственномъ архивѣ. Въ Германіи за единицу длины принята длина того платиноваго стержня, который при надлежитъ королевскому прусскому правительству и въ 1863 г. былъ сравненъ съ французскимъ метромъ, при чемъ оказалось, что онъ больше послѣдняго на 1/3000 долю миллиметра. Начиная съ 1875 г. особая международная комиссія, собирающаяся въ Парижѣ, занята изготовленіемъ новыхъ прототиповъ метра, которые распредѣлены между участвовавшими государствами. Каждый изъ этихъ прототиповъ будетъ навсегда служить единицею мѣры, ни одинъ изъ нихъ не будетъ имѣть преимущество передъ другимъ, разность между ними будетъ, по возможности, доведена до нуля; совокупность всѣхъ этихъ будущихъ прототиповъ и представитъ истинную будущую международную единицу длины.

Спрашивается, не истечетъ ли отъ нѣкоторой, являющейся такимъ образомъ неопредѣленности какое — либо неудобство на практикѣ? Очевидно, нѣтъ. Когда вопросъ идетъ о единицѣ длины для практической жизни, то, очевидно, безъ ущерба для кого-либо могутъ быть вполнѣ упущены всѣ тѣ тонкія соображенія, о которыхъ сейчасъ было сказано; неопредѣленность длины цѣлаго метра остается всегда въ предѣлахъ сотыхъ долей миллиметра, величины, несомнѣнно', могущей имѣть научный интересъ, но, понятно, не имѣющей никакого практическаго значенія. И такъ невѣрно утверждать, что метръ абсолютно точно опредѣляется тѣмъ, что онъ десятимилліонная доля четверти меридіана; длина метра должна навсегда опредѣлиться однимъ лишь тѣмъ, къ достиженію чего направлены работы международной комиссіи — нѣсколькими, по возможности, тщательно сохраняемыми прототипами.

Когда обнаружилась тщетность надежды найти въ метрѣ неизмѣнную и съ абсолютною точностью опредѣленную величину, нѣкоторые писатели впали въ противоположную крайность. Была высказана мысль, что гораздо болѣе опредѣленною единицею длины была бы длина секунднаго маятника на опредѣленной широтѣ и у поверхности океана, т.-е. длина такого маятника, который дѣлаетъ одно качаніе ровно въ одну секунду. Въ одной изъ статей, въ которыхъ помѣщено это утвержденіе, говорится, между прочимъ, что въ случаѣ утраты меридіанальныхъ вычисленій, изъ которыхъ получена приблизительная величина, и утраты образцовъ метра, наши потомки, имѣли бы такое же понятіе объ истинной величинѣ этой мѣры, какое мы имѣемъ теперь о древнихъ мѣрахъ, употреблявшихся у грековъ и римлянъ. Очевидно, что это совершенно не вѣрно. Если только до нашихъ потомковъ дойдетъ преданіе, что метръ составляетъ десятимилліонную долю четверти меридіана, то новыя измѣренія, сдѣланныя ими, конечно, дадутъ имъ величину употребляемаго нами метра съ гораздо большею точностью, чѣмъ мы въ настоящее время знакомы съ древними мѣрами грековъ и римлянъ, и очевидно, что единица длины, равная длинѣ секунднаго маятника на опредѣленной широтѣ, обладаетъ совершенно тою же степенью неопредѣленности, какъ и метръ. Всякое новое опредѣленіе длины секунднаго маятника съ новыми лучшими приборами и новыми предосторожностями, а также и болѣе опытными экспериментаторами, дастъ новое значеніе этой предполагаемой единицы длины, практически найденная величина которой всегда осталась бы болѣе или менѣе различною отъ ея теоретическаго значенія.

Принятіе единицы длины, равной одной десятимилліонной долѣ четверти меридіана, имѣетъ хотя и не то значеніе, которое ему первоначально приписывалось, но зато другое, весьма немаловажное, особенно въ настоящее время. Находясь въ связи съ размѣрами Земли, обитаемой всѣми народами, метръ вполнѣ теряетъ характеръ принадлежности одной какой-либо націи; какъ сама Земля, такъ и метръ имѣетъ характеръ международный, составляетъ принадлежность всѣхъ націй, и введеніе его въ какомъ-либо государствѣ столь же мало можетъ затрогивать самолюбіе народа, какъ и введеніе многихъ великихъ изобрѣтеній, надъ которыми трудились представители большинства образованныхъ народовъ.

Сказанное выше о разницѣ между теоретически опредѣленнымъ метромъ и прототипомъ, длина котораго принята за единицу длины, почти буквально относится и къ разности между теоретическимъ килограммомъ и прототипомъ, опредѣляющимъ единицу вѣса. Теоретическій килограммъ долженъ равняться вѣсу одного литра (кубическаго дециметра) чистой воды при 4° Ц. За единицу вѣса установлено, однако, принимать вѣсъ хранящагося въ Парижѣ прототипа, а въ будущемъ совокупность прототиповъ, изготовляемыхъ нынѣ для государствъ, участвующихъ въ парижской конвенціи 1875 года (въ томъ числѣ и для Россіи), представитъ истинную международную единицу вѣса. Разность между этою единицею вѣса и вѣсомъ литра чистой воды при 4° величина столь малая, что ею во всѣхъ случаяхъ можно будетъ пренебречь, не опасаясь сдѣлать сколько-нибудь для практики ощутительную ошибку.

§ 4.

О производныхъ единицахъ. Выбравъ основныя единицы, мы обращаемся къ вопросу объ опредѣленіи единицъ производныхъ, т.-е. къ вопросу объ общемъ пріемѣ, которымъ пользуются при построеніи системы единицъ. Пріемъ этотъ заключается въ слѣдующемъ.

Законы механики и физики указываютъ на разнаго рода зависимость однѣхъ величинъ отъ другихъ, точнѣе говоря, численнаго значенія однѣхъ величинъ отъ численнаго значенія другихъ. Въ тѣхъ случаяхъ, съ которыми намъ только придется имѣть дѣло, эта зависимость заключается въ томъ, что численное значеніе одной величины прямо или обратно пропорціонально нѣкоторой степени численнаго значенія другой величины. Пусть величина р пропорціональна n-й степени величины r и m-й степени величины s,

гдѣ n и m могутъ быть и числа отрицательныя. Тогда численныя значенія величинъ р, r и s будутъ связаны уравненіемъ

(2)

гдѣ С—нѣкоторый множитель пропорціональности, значеніе котораго легко понять. Ясно, что С не что иное, какъ то спеціальное значеніе величины р, которое получится, когда r = 1 и s = 1. Если мѣнять единицы, коими измѣряются величины р, r и s, то будутъ мѣняться и численныя значенія этихъ величинъ, а слѣдов., измѣнится и множитель С.

Отсюда ясно, что если мы пожелаемъ, чтобы этотъ множитель имѣлъ опредѣленную, впередъ заданную величину, то не могутъ уже произвольно быть выбраны всѣ три единицы величинъ р, r и s, но изъ нихъ только двѣ. Единица же третьей величины опредѣлится изъ равенства (2) при условіи C = 1.

Введемъ во всѣ наши дальнѣйшія разсужденія основное требованіе, чтобы всѣ могущіе встрѣтиться коэффиціенты пропорціональности равнялись бы единицѣ.

Этимъ требованіемъ мы вполнѣ опредѣляемъ единицу одной изъ величинъ р, r и s, если единицы двухъ остальныхъ выбраны. Мы видимъ изъ (2), что (при C = 1) единица величины р получится, если r = 1 и s = 1.

Держась указаннаго требованія, мы послѣдовательно построимъ всю систему единицъ. Способъ построенія системы абсолютныхъ единицъ можно безъ преувеличенія назвать способомъ послѣдовательнаго уничтоженія всѣхъ множителей пропорціональности, т.-е. замѣны ихъ единицею.

Уяснимъ это нѣсколькими примѣрами:

1) Въ Россіи единица длины равна 1 сажени, раздѣленной на 84 дюйма. За единицу же емкости (для жидкихъ тѣлъ) принимается совершенно независимое отъ единицы длины ведро, равное 750,57 куб. дюйм. Если спрашивается, какое количество х воды можетъ помѣститься въ цилиндрическомъ сосудѣ, основаніе котораго равно s квадр, дюймамъ, а высота равна h дюймамъ, то отвѣтъ будетъ x = sh/750,57 ведеръ. Множитель 1/750,7 появляется вслѣдствіе неудобнаго выбора безсвязныхъ между собою единицъ. Совершенно другое будетъ, если за единицу емкости принять кубъ единицы длины. Тогда искомое численное значеніе емкости будетъ равняться произведенію численнаго значенія площади основанія на численное значеніе высоты: x = sh. Если, напр., основаніе равно 10 кв. децим., высота 5 децим., то емкость равняется 10 × 5 литрамъ = 50 литрамъ.

2) Пусть за единицу объема принятъ кубическій дюймъ, за единицу вѣса — золотникъ. Тогда вѣсъ р тѣла получится по даннымъ: объему v и удѣльному вѣсу d. По формулѣ

потому что куб. дюймъ воды вѣситъ 3,84 золотника. Принимая же единицу вѣса равною вѣсу единицѣ объема воды (что и принято во французской системѣ единицъ, но не въ абсолютной системѣ единицъ), получимъ проще: р = vd. Напр., вѣсъ 20 куб. сант. брома, удѣльный вѣсъ котораго 3, равняется 20×3 гр. = 60 граммамъ.

3) По закону Ома сила тока і пропорціональна электровозбудительной силѣ е и обратно пропорціональна сопротивленію всей цѣпи w; слѣдовательно, вообще

Принимая за единицы: электровозбудительную силу элемента Даніеля, сопротивленіе такъ называемой единицы Якоби и силу тока, разлагающаго въ одну секунду одинъ миллиграммъ воды (электрохимическая единица силы тока), т.-е., выбирая единицы вполнѣ другъ отъ друга независимыя, получаемъ

Если же произвольно выбрать только двѣ единицы и затѣмъ за единицу третьей величины принять ту, которая получается, если двѣ первыя равны единицамъ; выбирая, напр., единицы сопротивленія и силы тока произвольно, хотя бы тѣ, которыя выше были предположены и затѣмъ за единицу электровозбудительной силы ту, которая при сопротивленіи всей цѣпи, равному единицѣ Якоби, даетъ силу тока, равную электротехнической единицѣ силы тока, мы имѣемъ k = 1 и получаемъ просто

Этихъ примѣровъ будетъ достаточно, чтобы выяснить сущность дѣла. Строя въ дальнѣйшемъ систему всевозможныхъ единицъ, мы, при выборѣ каждой новой единицы, будемъ руководиться однимъ и тѣмъ же пріемомъ уничтоженія коэффиціентовъ пропорціональности.

Всякая система единицъ, построенная такимъ путемъ на трехъ основныхъ единицахъ, напр., на единицахъ длины, массы и времени, называется абсолютною. Изъ нихъ наибо-

лѣе строго научная С. G. S. система (сантиметръ, граммъ, секунда). Замѣтимъ, что хотя при опредѣленіи грамма и приходилось считать сантиметръ уже извѣстнымъ, все же нельзя граммъ причислить къ единицамъ производнымъ, такъ какъ одинъ только дециметръ еще не опредѣляетъ окончательно величины грамма, въ опредѣленіе котораго входитъ еще одинъ посторонній и самъ по себѣ вполнѣ произвольный элементъ: вода. Единицу же тогда только слѣдуетъ назвать производною, если ее, безъ привлеченія постороннихъ элементовъ, можно непосредственно опредѣлить по даннымъ основнымъ единицамъ.

Для обозначенія кратныхъ и подраздѣленій единицъ принято образовывать новыя названія, приставляя къ началу названія единицы слѣдующіе слоги:

Числа, происходящія отъ измѣренія.

При измѣреніяхъ не можетъ быть рѣчи объ абсолютной точности измѣренія какого-либо разстоянія, емкости, массы, силы и, вообще, всякой поддающейся измѣренію величины. Все дѣло заключается въ опредѣленіи степени точности произведеннаго измѣренія.

Мы знаемъ, что совершенство современныхъ измѣрительныхъ приборовъ и искусство наблюдателей позволяютъ достигать въ научныхъ работахъ такой степени точности, которая можетъ казаться прямо изумительной. Въ лабораторныхъ и астрономическихъ наблюденіяхъ длину, напр., измѣряютъ съ точностью до одной тысячной или до одной милліонной даже части миллиметра. Подобная же степень точности достигается и при многихъ другихъ физическихъ, химическихъ и астрономическихъ измѣреніяхъ. Само собой разумѣется, что въ обыденной жизни, да даже и въ технической или ремесленной работѣ, мы обыкновенно не гонимся за подобной научной точностью, но и здѣсь знать степень точности получаемыхъ нами результатовъ тоже бываетъ часто необходимо.

Результатъ измѣренія выражается, какъ знаемъ, числомъ, и число значащихъ цифръ этого числа указываетъ степень

достигнутой нами точности. Отсюда слѣдуетъ прежде всего, что число подобныхъ значащихъ цифръ ограничено и притомъ въ зависимости, какъ отъ свойствъ измѣряемыхъ величинъ, такъ и условій, при которыхъ производятся измѣренія. Если бы кто-нибудь сталъ, наприм., увѣрять, что разстояніе Нептуна отъ Солнца равно 2788820653 милямъ (англійскимъ) „въ точности" или съ ошибкой въ какой-либо десятокъ миль, то подобное утвержденіе было бы тотчасъ отвергнуто. При настоящемъ состояніи нашихъ знаній и способовъ измѣреній, если дѣло касается разстояній въ билліоны миль, мы не можемъ пользоваться милей какъ непосредственной единицей измѣренія. Послѣднія четыре, а то и всѣ пять цифръ въ данномъ выше числѣ въ силу способовъ нашего измѣренія намъ неизвѣстны, а потому и приведенное число нельзя считать вѣрнымъ. Астрономы ручаются только за первыя цифры и говорятъ, что среднее разстояніе Нептуна отъ Солнца равно 2788800000 англ. милямъ, или 4464 милл. километровъ.

Метрологія (наука объ измѣреніяхъ) будущаго, несомнѣнно, увеличитъ степень точности для подобныхъ измѣреній, и соотвѣтственно съ этимъ въ числѣ, полученномъ отъ измѣренія, увеличится количество вѣрныхъ значащихъ цифръ. Но принципъ, очевидно, останется всегда одинъ и тотъ же.

Въ числахъ, получающихся отъ измѣреній, нужныхъ въ обыденной жизни, мы стараемся, какъ извѣстно, обойтись возможно меньшимъ количествомъ значащихъ цифръ, т.-е. стараемся, какъ говорятъ, обойтись „круглымъ числомъ“.

Пояснимъ сказанное еще слѣдующими легко усвоевыми соображеніями.

Десятичныя дроби, какъ показатели степени точности измѣренія. — Школьникъ заучиваетъ, что 0,42 = 0,420 = 0,4200 и т. д., — и это совершенно вѣрно. Но если люди науки объ одной и той же длинѣ говорятъ: одинъ, что она равна 0,42 cm, а другой, что она равна 0,420 cm, то каждый желаетъ указать и дѣйствительно указываетъ читателю нѣчто особое. Первый ограничиваетъ степень точности указываемой длины сотыми долями сантиметра, т.-е. онъ говоритъ, что указываемая имъ длина въ 0,42 cm больше, чѣмъ 0,415cm, и меньше, чѣмъ 0,425 ст. Второй увеличиваетъ степень до тысячныхъ долей сантиметра, т.-е. онъ говоритъ, что указываемая имъ длина въ 0,420 cm, больше, чѣмъ 0,4195 cm, и меньше 0,4205 ст.

Точное измѣреніе—это идеалъ. Это—предѣлъ, къ которому стремится приблизиться вѣчно ищущій измѣритель. Но вопросъ все-таки и всегда заключается только въ сте-

пени точности измѣренія. А на этотъ вопросъ должно отвѣтить число десятичныхъ знаковъ дроби, полученной въ результатѣ измѣренія.

Нѣкоторыя приложенія.—Вышеизложенное объясняетъ прежде всего причину возникновенія и смыслъ нѣкоторыхъ употребительныхъ нынѣ обозначеній весьма большихъ или весьма малыхъ чиселъ. Такъ, разстояніе какой-либо звѣзды отъ Земли обозначаютъ, напр., просто такъ: 5Х1015 верстъ. Это значитъ, что изъ всѣхъ цифръ числа верстъ, полученнаго для разстоянія, несомнѣнно, вѣрна только цифра 5, остальныя же 15 цифръ недостовѣрны. И конечно, проще, легче и естественнѣе выразить это разстояніе, какъ указано выше, чѣмъ писать цифру пять и за ней еще 15 въ сущности ни на что ненужныхъ цифръ. Подобно же 10 съ отрицательнымъ показателемъ степени служитъ для обозначенія десятичныхъ долей, входящихъ въ выраженіе, напр., длины волны свѣта, величины молекулы, мелкихъ измѣреній микроскопа и т. д.

Тотъ же принципъ уясняетъ, почему для обыкновенныхъ вычисленій намъ совершенно достаточно таблицъ логариѳмовъ только четырехзначныхъ или пятизначныхъ чиселъ, т.-е. таблицъ чиселъ отъ 1 до 10000 или отъ 1 до 100000. Интерполяція съ удивительной точностью дастъ изъ этихъ же таблицъ логариѳмы пятизначныхъ или шестизначныхъ чиселъ, а этого бываетъ обыкновенно совершенно достаточно.

Наконецъ все сказанное выше о числахъ, получаемыхъ въ результатѣ измѣренія, выдвигаетъ общій вопросъ о способахъ, или правилахъ, приближенныхъ вычисленій. Вѣдь если всѣ числа, получаемыя при различнаго рода измѣреніяхъ не точны, а только обладаютъ той или иной степенью точности, то, вводя ихъ въ наши точныя вычисленія, мы неизбѣжно должны задать себѣ вопросъ о степени точности, а значитъ, смысла и пользы нашихъ вычисленій.

И прежде всего спрашивается: насколько же точенъ и какого довѣрія заслуживаетъ результатъ, полученный отъ приложенія точныхъ вычисленій къ неточнымъ, а только „приближеннымъ" числамъ? Съ другой стороны, если мы желаемъ получить результатъ съ извѣстной, напередъ заданной степенью точности, то спрашивается, какую степень точности должны имѣть входящія въ вычисленія числа? Въ частности, если оперируемъ съ десятичными дробями, то послѣдній вопросъ можно поставить такъ: сколько вѣрныхъ десятичныхъ знаковъ должны имѣть данныя числа, чтобы получить изъ нихъ путемъ вычисленія результатъ

съ желаемой степенью точности? Сколько десятичныхъ знаковъ слѣдуетъ удерживать въ результатѣ вычисленій надъ приближенными числами, и какіе отбрасывать? Сколько такихъ десятичныхъ знаковъ необходимо брать, чтобы избѣгнуть при полученіи желаемой точности лишней и безполезной работы?

Все это вопросы—чрезвычайной важности, съ которыми постоянно приходится встрѣчаться въ области какъ научныхъ, такъ и чисто практическихъ вычисленій; и изученіе приближенныхъ вычисленій (и прежде всего элементарныхъ, конечно) должно необходимо связывать съ изученіемъ ариѳметики вообще. Тѣмъ не менѣе этой сторонѣ дѣла удѣляютъ до сихъ поръ слишкомъ мало вниманія даже въ учебныхъ руководствахъ. И помимо работъ проф. В. П. Ермакова на эту тему въ русской математической литературѣ можно указать пока только на книжку В. М. Филиппова «Теорія и практика элементарныхъ приближенныхъ вычисленій». Изъ иностранныхъ руководствъ укажемъ на курсъ ариѳметики Таннери (Leçons d’Arithmétique théorique et pratique par. J. Tannery), гдѣ отдѣлъ сокращенныхъ, или приближенныхъ, вычисленій разработанъ въ соотвѣтствіи съ современными требованіями науки. (Руководство это въ настоящее время уже переведено на русскій языкъ.) Къ указаннымъ сочиненіямъ мы и отправляемъ читателя, настойчиво подчеркивая важность предмета. Напомнимъ также, что при вычисленіяхъ подобнаго рода весьма важную роль играетъ такъ называемый законъ монотонности, какъ это указано на стран.—настоящей книги.

Число.

(Отрывокъ изъ соч. Вильяма Клиффорда „Здравый смыслъ точныхъ наукъ“. Переводъ А. Р. Кулишера.)

Число не зависитъ отъ порядка счета. Слово, поставленное въ заголовкѣ этой части книги, содержитъ въ себѣ пять буквъ. Для того, чтобы опредѣлить, что буквъ пять, мы пересчитываемъ ихъ, говоря: ч— одна буква, и — двѣ, с—три буквы, л—четыре, о—пять буквъ. Выполняя этотъ процессъ, мы беремъ букву за буквой, приставляя къ нимъ послѣдовательно пять словъ, первыхъ пять изъ того ряда словъ, который имѣется постоянно въ нашемъ распоряженіи, ряда названій чиселъ. Приложивъ эти пять словъ по одному къ каждой буквѣ слова число, мы нашли, что послѣднимъ изъ нихъ было слово пять. Въ виду этого мы назвали всю совокупность буквъ именемъ пять.

Если бы мы тѣмъ же способомъ сосчитали буквы въ словѣ „зависитъ", мы нашли бы, что послѣднимъ изъ использованныхъ нами для этой цѣли именъ числительныхъ было слово восемь; въ силу этого мы скажемъ, что въ словѣ „зависитъ" восемь буквъ.

Но тутъ возникаетъ слѣдующій вопросъ. Пусть буквы слова число напечатаны на небольшихъ дощечкахъ, входящихъ въ составъ разборной азбуки; положимъ эти дощечки въ мѣшокъ, встряхнемъ ихъ, вынемъ и, разложивъ ихъ въ какомъ-либо иномъ, нежели раньше, порядкѣ, пересчитаемъ снова. Мы найдемъ, что и теперь буквъ будетъ пять. Такъ, напримѣръ, если онѣ будутъ итти теперь въ алфавитномъ порядкѣ илосч, и мы отнесемъ къ каждой изъ нихъ одно изъ именъ числительныхъ, которыми мы пользовались раньше, то мы тѣмъ не менѣе найдемъ, что послѣднимъ числительнымъ будетъ слово „пять". Въ утвержденіи, что какая-либо группа вещей состоитъ изъ пяти вещей, кроется другое утвержденіе, а именно, что при счетѣ буквъ слово „пять“ будетъ послѣднимъ изъ именъ числительныхъ, въ какомъ бы порядкѣ мы ни размѣстили эту группу для счета. Другими словами, въ любой совокупности вещей число ихъ бу-

детъ однимъ и тѣмъ же, въ какомъ бы порядкѣ мы вещи ни считали.

На этомъ фактѣ, отмѣченномъ нами по отношенію къ частному случаю числа „пять", но вѣрномъ по отношенію ко всѣмъ числамъ, каковы бы они ни были, основывается вся наука о числѣ. Теперь пойдемъ далѣе и изслѣдуемъ тѣ теоремы, касающіяся чиселъ, которыя могутъ быть выведены изъ только что высказаннаго положенія.

Сумма не зависитъ отъ порядка слагаемыхъ.—Предположимъ, что у насъ имѣются двѣ группы предметовъ; скажемъ, буквы слова „число" и буквы слова „зависитъ". Мы можемъ сосчитать эти группы отдѣльно; мы найдемъ, что имъ соотвѣтствуютъ числа пять и восемь. Сложимъ теперь ихъ вмѣстѣ, и мы получимъ, что сложная группа, которая такимъ путемъ образовалась, состоитъ изъ тринадцати буквъ.

Эту операцію соединенія всѣхъ предметовъ въ одну группу можно понимать какъ такую операцію, которую мы въ состояніи выполнить по двумъ различнымъ направленіямъ. Мы можемъ взять сначала пять предметовъ и сложить ихъ въ кучу, а затѣмъ прибавить къ нимъ одинъ за другимъ еще восемь предметовъ. Процессъ счета, если онъ совершается въ этомъ порядкѣ, сводится къ тому, что послѣ слова „пять" мы называемъ еще восемь другихъ именъ числительныхъ. Съ другой стороны, мы можемъ взять сначала восемь предметовъ и сложить ихъ въ кучу, прибавляя затѣмъ къ нимъ по одному пять остальныхъ предметовъ. Въ этомъ случаѣ процессъ счета приводится къ упоминанію послѣ слова „восемь" пяти слѣдующихъ за нимъ именъ числительныхъ.

Но мы раньше замѣтили, что при счетѣ какой-либо совокупности предметовъ мы приходимъ къ одному и тому же числу, въ какомъ бы порядкѣ мы ни считали; отсюда слѣдуетъ, что число, которымъ мы заключаемъ счетъ, какъ относящееся къ группѣ предметовъ въ ихъ совокупности, должно быть однимъ и тѣмъ же, какимъ изъ двухъ указанныхъ процессовъ счета мы бы ни воспользовались. Число

Рис. 30. — В. К. Клиффордъ.

(1845 — 1879).

это называется суммой двухъ чиселъ 5 и 8; какъ мы видѣли, мы можемъ прійти къ нему или при помощи перваго процесса, процесса прибавленія восьми къ пяти, или при помощи второго процесса, то-есть путемъ прибавленія пяти къ восьми.

Процессъ сложенія 5 съ 8 обозначается сокращенно особымъ символомъ, впервые примѣненнымъ Леонардо-да-Винчи, а именно, вмѣсто латинскаго слова plus или русскаго да [еще] ставится небольшой мальтійскій крестъ ( + ). Такимъ образомъ, слова пять да восемь пишутся сокращенно такъ: 5 + 8. Мы пришли къ выводу, что пять да восемь даютъ то же число, что восемь да пять. Чтобы записать все это положеніе сокращенно, необходимо располагать еще символомъ для словъ даютъ то же число, что. Такимъ символомъ является знакъ = ; впервые онъ предложенъ былъ англичаниномъ Робертомъ Рекордомъ. Итакъ, выводъ, къ которому мы пришли, можетъ быть, въ концѣ-концовъ, записанъ такъ:

5 + 8 = 8 + 5.

Положеніе, записанное нами въ этой символической формѣ, показываетъ, что сумма двухъ чиселъ 5 и 8 не зависитъ отъ порядка, въ которомъ они другъ къ другу приложены. Но то, что подмѣчено теперь нами по отношенію къ частному случаю двухъ взятыхъ нами чиселъ, сохраняетъ свою силу и по отношенію ко всякимъ двумъ другимъ числамъ, вслѣдствіе основного нашего предложенія, что число предметовъ въ каждой группѣ не зависитъ отъ порядка ихъ счета. Подъ суммой двухъ чиселъ мы подразумѣваемъ число, къ которому приходимъ, взявъ группу предметовъ, соотвѣтствующую первому числу, и прибавивъ къ нимъ одинъ за другимъ предметы, входящіе въ составъ группы, соотвѣтствующей второму числу; равнымъ образомъ, если намъ это будетъ угодно, мы можемъ получить сумму другимъ путемъ, а именно, взявъ группу предметовъ, соотвѣтствующихъ второму числу и прибавивъ къ нимъ одинъ за другимъ предметы, входящіе въ группу, соотвѣтствующую первому числу. Въ силу основного нашего предложенія результаты этихъ двухъ операцій должны быть одинаковы. Такимъ образомъ, мы въ правѣ сказать, что не только 5 + 8 = 8 + 5, но что и 6 + 13 = 13 + 6 и т. п., какія бы два числа мы ни взяли.

Положеніе это мы можемъ представить при помощи метода, предложеннаго Вьетой1) и состоящаго въ томъ, что

1) Знаменитый французскій математикъ (1540—1603).

каждое число обозначается какой-нибудь буквой алфавита. Если мы будемъ писать а вмѣсто перваго числа въ двухъ нашихъ примѣрахъ или въ другомъ какомъ-либо, а вмѣсто второго числа b, то наша формула представится въ слѣдующемъ видѣ:

Благодаря этому способу обозначенія, нашъ выводъ относится уже не только къ какимъ-нибудь двумъ опредѣленнымъ числамъ, но вообще ко всякимъ двумъ числамъ. Такое пользованіе буквами а и b уподобляетъ ихъ до нѣкоторой степени тѣмъ наименованіямъ, которыя мы придаемъ различнымъ предметамъ (примѣромъ чего можетъ служить, скажемъ, слово лошадь). Когда мы говоримъ, что у лошади четыре ноги, утвержденіе это имѣетъ силу по отношенію ко всякой опредѣленной произвольно выбранной нами лошади. Мы указываемъ, такимъ образомъ, что у каждой такой лошади четыре ноги. Если же мы говоримъ, что „у лошади столько же ногъ, сколько и у осла", мы уже говоримъ не объ опредѣленной лошади или объ опредѣленномъ ослѣ, а о любомъ ослѣ и любой лошади. Точно такъ же, утверждая, что а + b = b + а, мы говоримъ не о двухъ опредѣленныхъ числахъ, а вообще о всякихъ двухъ числахъ.

Мы можемъ распространить это правило на тѣ случаи, когда чиселъ болѣе, нежели два. Предположимъ, что мы прибавляемъ къ суммѣ а + b третье число С, у насъ получится группа предметовъ, составившаяся благодаря соединенію въ одну группу трехъ отдѣльныхъ группъ. Число предметовъ, въ ней заключающихся, получается путемъ сложенія другъ съ другомъ чиселъ, отвѣчающихъ каждой изъ трехъ группъ въ отдѣльности. Число это, въ силу основного нашего предложенія, должно быть однимъ и тѣмъ же, въ какомъ бы порядкѣ мы эти три группы ни соединяли, такъ какъ оно отвѣчаетъ всегда одной и той же совокупности предметовъ, нами пересчитываемыхъ.

Возьмемъ ли сперва группу, состоящую изъ а предметовъ, прибавимъ къ ней одинъ за другимъ b предметовъ, входящихъ въ составъ второй группы, а затѣмъ къ этой сложной группѣ изъ а + b предметовъ присоединимъ одинъ за другимъ с предметовъ, образующихъ третью группу; возьмемъ ли мы группу с предметовъ, прибавимъ къ ней группу, состоящую изъ b предметовъ, далѣе къ образовавшейся сложной группѣ изъ с + b предметовъ, приложимъ группу изъ а предметовъ,—сумма въ обоихъ случаяхъ будетъ одна и та же. Этотъ результатъ мы можемъ записать въ символической формѣ такъ: a+b + c = c + b + a; словами же можно выразить его слѣдующимъ образомъ: сумма

трехъ чиселъ не зависитъ отъ порядка, въ какомъ эти числа другъ съ другомъ складываются.

Законъ этотъ можетъ быть распространенъ на случай суммы сколькихъ угодно чиселъ. Дѣйствительно, сколько бы группъ предметовъ мы ни имѣли, разъ мы ихъ складываемъ всѣ вмѣстѣ, число предметовъ въ конечной составленной изъ всѣхъ группъ предметовъ мы можемъ опредѣлить, идя различными путями. Мы можемъ начать счетъ съ одной изъ первоначальныхъ группъ, затѣмъ отъ нея перейти къ какой-либо другой, потомъ отъ этой къ одной изъ оставшихся и т. д. Въ какомъ бы порядкѣ эти группы мы ни брали, заключительнымъ процессомъ будетъ процессъ установленія числа предметовъ въ группѣ, составленной изъ всѣхъ предметовъ въ ихъ совокупности, и вслѣдствіе этого числа, которыя мы получаемъ, идя сказанными различными путями, должны быть одними и тѣми же.

Произведеніе не зависитъ отъ порядка сомножителей. — Предположимъ, что у насъ взято шесть группъ предметовъ, изъ которыхъ каждая состоитъ изъ одного и того же числа, скажемъ пяти, предметовъ; требуется опредѣлить число предметовъ въ конечной сборной группѣ, которая получится при соединеніи всѣхъ предметовъ. Мы можемъ пересчитать эти шесть группъ (изъ пяти предметовъ каждая) одну за другой, что равносильно операціи, при которой мы къ пяти прибавили бы пять, взятое пять разъ. Мы можемъ также, если пожелаемъ, перемѣшать всю совокупность предметовъ, входящихъ въ наши группы, и затѣмъ пересчитать эти предметы, не обращая вниманія на ихъ первоначальную группировку. Но въ данномъ случаѣ представляетъ удобство для разсмотрѣнія слѣдующее особенное расположеніе этихъ шести группъ изъ пяти предметовъ каждая.

Предположимъ, что всѣ эти предметы—точки, поставленныя на бумагѣ, что каждая группа изъ пяти предметовъ представлена пятью точками, распредѣленными по горизонтальной прямой, а шесть такихъ группъ расположены соотвѣтственно одна подъ другой, какъ показано ниже.

Такимъ образомъ, наша совокупность точекъ, входя щихъ въ составъ всѣхъ шести группъ, размѣщена въ одинъ столбецъ, содержащій шесть рядовъ, по пяти точекъ каждый. Подъ каждой изъ пяти точекъ, принадлежащихъ верхней группѣ, находится пять другихъ точекъ, принадлежащихъ остальнымъ группамъ. Другими словами, нашу совокупность точекъ можно разсматривать не только какъ шесть рядовъ, въ каждомъ изъ которыхъ заключается по пяти точекъ, но и какъ пять столбцовъ, содержащихъ по шести точекъ. Такимъ образомъ, всѣ точки могутъ быть размѣщены какъ въ пять группъ, по шести точекъ каждая, такъ и въ шесть группъ по пяти точекъ. Все число предметовъ, заключающихся въ шести группахъ, по пяти предметовъ каждая, носитъ названіе: „шестью пять", или „шесть разъ пять“. Эти соображенія приводятъ насъ, слѣдовательно, къ тому, что „шестью пять“ есть то же число, что и „пятью шесть“.

Какъ и раньше, замѣчаніе, только что высказанное нами по отношенію къ двумъ опредѣленнымъ числамъ, можетъ быть распространено на случай двухъ какихъ угодно чиселъ. Если мы возьмемъ любое число группъ точекъ (при чемъ группы эти должны содержать по одному и тому же числу точекъ), развернемъ ихъ въ горизонтальные ряды и помѣстимъ ряды эти одинъ надъ другимъ, то точки окажутся расположенными не только рядами, но и столбцами. Число точекъ въ каждомъ столбцѣ будетъ, очевидно, тѣмъ же, что и число группъ, число же самыхъ столбцовъ равно числу точекъ въ каждой группѣ. Слѣдовательно, число предметовъ, содержащихся въ а группахъ, по b предметовъ каждая, равно числу предметовъ, содержащихся въ b группахъ, по а предметовъ каждая, независимо отъ значеній чиселъ а и b.

Число предметовъ, заключающихся въ а группахъ, по b предметовъ каждая, именуется произведеніемъ а на b; мы видимъ отсюда, что произведеніе а на b равно произведенію b на а. Число это (произведеніе а на b) обозначается поставленными рядомъ двумя буквами а и b, при чемъ сначала пишутъ а, потомъ b. Такимъ образомъ, мы можемъ выразить нашъ результатъ въ слѣдующей символической формѣ: аb = bа.

Допустимъ, что намъ теперь надо сложить вмѣстѣ семь группъ, сложенныхъ въ формѣ прямоугольника, подобныхъ тѣмъ группамъ, которыя мы только что образовали. Представить эту совокупность точекъ на листѣ бумаги теперь нельзя. Мы можемъ, однако, предположить, что у насъ имѣются вмѣсто точекъ небольшіе кубики, которые можно уложить въ прямоугольной формы ящикъ. На днѣ ящика у насъ окажется слой изъ шести рядовъ кубиковъ по пяти

кубиковъ каждый, или, иначе, изъ пяти столбцовъ кубиковъ, по шести кубиковъ каждый; такихъ слоевъ у насъ будетъ уложено одинъ надъ другимъ семь. Такимъ образомъ, надъ каждымъ кубикомъ, лежащимъ на днѣ ящика, будетъ столбецъ изъ шести другихъ кубиковъ; всего такихъ столбцовъ будетъ пятью шесть. Другими словами, у насъ будетъ пятью шесть группъ, по семи кубиковъ каждая, или, иначе, семью пять группъ, по шести кубиковъ каждая. Общее число кубиковъ не зависитъ отъ порядка ихъ счета, и, слѣдовательно, мы можемъ сказать, что семь разъ пятью шесть будетъ тѣмъ же числомъ, что и пятью шесть разъ семь.

Чрезвычайно важно теперь отмѣтить то обстоятельство, что, когда мы говоримъ семь разъ пятью шесть, мы имѣемъ въ виду, что у насъ образовано семь слоевъ, каждый изъ которыхъ содержитъ по пятью шесть предметовъ; когда же мы говоримъ пятью шесть разъ семь, мы подразумѣваемъ подъ этимъ, что у насъ получились колонны числомъ пятью шесть, и что каждая изъ нихъ содержитъ по семи кубиковъ. Теперь ясно, что въ одномъ случаѣ мы сперва перемножили два послѣднихъ числа, а затѣмъ результатъ умножили на первое изъ упомянутыхъ чиселъ (семь разъ пятью шесть = семь разъ тридцать); въ другомъ же случаѣ сперва перемножены два первыхъ числа изъ трехъ названныхъ, и затѣмъ на этотъ результатъ умножено третье (пятью шесть разъ взятое семь = тридцати разъ взятымъ семи). Совершенно ясно, что ящикъ, наполненный такими кубиками, мы можемъ положить на любой бокъ; во всѣхъ случаяхъ получится то или другое число слоевъ кубиковъ, а именно, либо 5, либо 6, либо 7. Каково число слоевъ, таково будетъ и число кубиковъ въ каждомъ столбцѣ. Поэтому возьмемъ ли мы семь слоевъ, содержащихъ по пятью шесть кубиковъ каждый, или шесть слоевъ по семью пять кубиковъ или, наконецъ, пять слоевъ по шестью семь кубиковъ каждый, результатъ получится совершенно одинъ и тотъ же.

Мы можемъ обозначить число пятью шесть символомъ 5 × 6, а пять разъ шестью семь символомъ 5×6×7.

Но эта форма не говоритъ намъ ничего о томъ, должны ли мы сначала перемножить шесть и семь, и результатъ умножить на пять или же сперва перемножить 5 и 6, и взять столько разъ по семи, сколько у насъ послѣ этого перемноженія получилось. Различіе между этими двумя операціями можетъ быть отмѣчено при помощи скобокъ; такимъ образомъ 5 × (6 × 7) обозначаетъ, что надо сперва перемножить 6 и 7 и этотъ результатъ взять пять разъ, въ то время какъ смыслъ (5×6)×7 — тотъ, что должны

быть перемножены 5 и 6, и затѣмъ взято столько разъ по семи, сколько покажетъ полученный результатъ.

Теперь мы можемъ установить слѣдующихъ два наблюденныхъ нами въ области умноженія факта.

Во-первыхъ, то обстоятельство, что скобки не вносятъ никакихъ измѣненій въ результатъ умноженія, хотя и измѣняютъ ходъ процесса, при помощи котораго этотъ результатъ полученъ; другими словами, 5 × (6 × 7) = (5 × 6)×7.

Во-вторыхъ, то положеніе, что произведеніе этихъ трехъ чиселъ не зависитъ отъ порядка, въ которомъ они перемножаются.

Первое изъ этихъ положеній называется распредѣлительнымъ закономъ умноженія, а второе—перестановительнымъ закономъ.

Замѣчанія эти, сдѣланныя нами въ примѣненіи къ результату перемноженія трехъ опредѣленныхъ чиселъ 5, 6 и 7, примѣнимы въ равной мѣрѣ къ произведенію трехъ какихъ угодно чиселъ.

Мы всегда можемъ представить себѣ ящикъ, сдѣланный такъ, что его высота, длина и ширина отвѣчаютъ тремъ какимъ бы то ни было числамъ кубиковъ. Общее число всѣхъ кубиковъ, какъ это ясно, не зависитъ отъ положенія ящика; тѣмъ не менѣе, стоитъ положить ящикъ опредѣленнымъ образомъ, и мы получимъ въ немъ извѣстное число слоевъ, которые будутъ содержать по извѣстному числу рядовъ, при чемъ въ каждомъ рядѣ будетъ опредѣленное число кубиковъ. Вся совокупность кубиковъ въ ящикѣ выразится произведеніемъ этихъ трехъ чиселъ; получить это произведеніе можно, взявъ два какихъ-либо числа изъ этихъ трехъ, перемноживъ ихъ между собой и умноживъ затѣмъ результатъ на третье число.

Это свойство трехъ произвольныхъ чиселъ можетъ быть теперь выражено символически.

Прежде всего вѣрно то, что а (bс) = (ab)с; другими словами, мы приходимъ къ одному и тому же результату какъ при умноженіи произведенія второго и третьяго числа на первое число, такъ и при умноженіи третьяго числа на произведеніе первыхъ двухъ.

Далѣе затѣмъ вѣрно, что аbс = асb = bса и т. д.; мы можемъ сказать, что произведеніе трехъ какихъ-либо чиселъ не зависитъ отъ порядка и группировки, согласно которымъ умноженіе выполнялось.

Мы сдѣлали такимъ образомъ сходныя заключенія относительно произведеній двухъ и трехъ чиселъ. Это, естественно, наталкиваетъ насъ на мысль о томъ, что мы долж-

ны рѣшить, нельзя ли высказать подобныя заключенія также относительно произведеній четырехъ и пяти чиселъ и т. д.

Указанныя два заключенія добыты нами при помощи разсмотрѣнія всей совокупности подлежащихъ счету предметовъ, путемъ предварительнаго расположенія ихъ для одного случая въ видѣ слоя, для другого — внутри ящика. Не представляется ли возможнымъ итти дальше и такъ сопоставить нѣсколько ящиковъ, чтобы выразить при помощи ихъ произведеніе четырехъ чиселъ? Совершенно ясно, что этого сдѣлать мы не можемъ.

Посмотримъ поэтому, нельзя ли при помощи какого-либо другого пріема удостовѣриться разсужденіемъ въ томъ, что положеніе, правильность котораго мы наблюдали въ случаѣ трехъ чиселъ (результатъ умноженія не зависитъ отъ порядка, въ которомъ числа перемножались), сохраняетъ свое значеніе для четырехъ и болѣе чиселъ.

Покажемъ сначала, что можно измѣнить порядокъ въ одной парѣ чиселъ, что можно переставить два числа, стоящія рядомъ въ процессѣ умноженія, не измѣняя при этомъ самаго произведенія.

Разсмотримъ, напримѣръ, произведеніе четырехъ чиселъ abcd. Мы попытаемся показать, что это произведеніе представляетъ собой то же число, что и произведеніе acbd. Смыслъ символа abcd тотъ, что мы должны взять с группъ по d предметовъ, далѣе затѣмъ b группъ, подобныхъ только что образованной совокупности, и, наконецъ, а группъ, состоящихъ изъ bed предметовъ.

Но, согласно положенію, уже нами доказанному, b группъ по cd предметовъ каждая, приводятъ насъ къ тому же числу, что и с группъ по bd предметовъ. Отсюда слѣдуетъ, что а группъ по bed предметовъ даютъ то же число, что и а группъ по cbd предметовъ; другими словами, abcd = acbd.

Совершенно ясно, что это разсужденіе сохранитъ свою силу, сколько бы буквъ послѣ d у насъ ни было. Предположимъ, напримѣръ, что намъ дано произведеніе шести чиселъ abcdef. Произведеніе это показываетъ, что мы должны f умножить на е, полученный результатъ на d, def на с и т. д.

Въ нашемъ случаѣ произведеніе def попросту занимаетъ мѣсто, принадлежавшее въ предыдущемъ случаѣ d. И b группъ по с разъ взятымъ def предметамъ соотвѣтствуетъ тому же числу, что и с группъ по b разъ взятымъ def предметамъ: рѣчь идетъ здѣсь лишь о произведеніи трехъ чиселъ b, с и def. Такъ какъ, въ силу этого, результатъ получится одинъ и тотъ же, въ какомъ бы порядкѣ b и с ни были написаны, послѣдующія операціи умноженія не могутъ

внести никакихъ измѣненій, если послѣ умноженія на а намъ пришлось бы умножать на эту совокупность чиселъ. Отсюда слѣдуетъ, что независимо оттого, сколько у насъ перемножаемыхъ чиселъ, мы въ правѣ переставить два числа, стоящія рядомъ: при этомъ произведеніе по величинѣ не измѣнится.

Докажемъ теперь, что мы можемъ переставить также два числа, не стоящія непосредственно другъ около друга. Докажемъ, напримѣръ, что abcdef то же число, что и aecdbf (здѣсь переставлены b и e). Установить тождественность этихъ двухъ чиселъ можно такъ: пусть е будетъ перемѣщаться назадъ, мѣняясь послѣдовательно мѣстами съ d, с и b, благодаря чему наше произведеніе превратится въ aebcdf; затѣмъ заставимъ передвигаться впередъ b, мѣняясь мѣстами послѣдовательно съ с и d, такимъ образомъ вмѣсто b будетъ теперь стоять е. Теперь я уже утверждаю, что перестановками, подобными только что выполненнымъ, мы можемъ осуществить какое угодно измѣненіе въ порядкѣ перемножаемыхъ чиселъ. Предположимъ, напримѣръ, что мнѣ надо измѣнить abcdef въ dcfbea. Съ этой цѣлью я прежде всего поставлю вначалѣ d; мѣняя мѣста d и а, получаю dbcaef. Далѣе затѣмъ требуется, чтобы с было вторымъ; я достигаю этого, переставивъ с и b, что даетъ dcbaef. Я долженъ теперь помѣстить третьимъ, считая отъ начала, f; путемъ перестановки f и b получаю acfaeb; ставлю теперь b на четвертомъ мѣстѣ, перемѣщая b и а, что даетъ dcfbea. Это и есть та форма произведенія, которая была нужна. При помощи, самое большее, пяти такихъ перестановокъ я могу измѣнить какъ угодно порядокъ шести буквъ. Уже доказано, что это измѣненіе порядка буквъ можетъ быть выполнено путемъ послѣдовательныхъ перемѣщеній двухъ буквъ, стоящихъ рядомъ. Но перемѣщенія эти, какъ мы раньше показали, не измѣняютъ величины произведенія; слѣдовательно, произведеніе шести чиселъ, идущихъ въ какомъ-либо порядкѣ, равно произведенію тѣхъ же шести чиселъ, взятыхъ въ какомъ угодно другомъ порядкѣ. Легко видѣть, что тотъ же процессъ можно примѣнить къ любому произведенію чиселъ, сколько бы ихъ ни было.

Но не будутъ ли всѣ эти разсужденія дѣломъ слишкомъ хлопотливымъ по сравненію съ цѣлью, то-есть съ доказательствомъ того положенія, которое мы могли отгадать напередъ? Дѣйствительно, мы могли бы угадать напередъ, что произведеніе не зависитъ отъ порядка и группировки его сомножителей, и мы поступили бы совершенно правильно, вскрывъ всѣ послѣдствія нашей догадки до того,

какъ убѣдились бы вполнѣ въ ея безошибочности. Много прекрасныхъ теоремъ было отгадано, и ими широко пользовались тогда, когда онѣ еще не были доказаны въ окончательной формѣ. Нѣкоторыя теоремы и по сей день занимаютъ въ наукѣ такое мѣсто. Но рано или поздно приходится предпринять ихъ изслѣдованіе; изслѣдованіе это не только всегда проясняетъ наше пониманіе характера теоремы, но, помимо того, даетъ намъ право сказать, что эта теорема вѣрна. Это еще не все. Въ большинствѣ случаевъ самый способъ доказательства или изслѣдованія можетъ быть примѣненъ къ другимъ вопросамъ такимъ образомъ, что въ результатѣ мы достигнемъ расширенія нашихъ знаній. Сказанное имѣетъ мѣсто и по отношенію къ доказательству, только что нами проведенному. Но такъ какъ въ данную минуту мы имѣемъ дѣло лишь съ числами, въ приложеніяхъ этого доказательства мы можемъ итти только назадъ, а не впередъ. Мы провели разсужденіе примѣнительно къ умноженію; посмотримъ, въ правѣ ли мы примѣнить то же разсужденіе по отношенію къ сложенію.

Доказанное нами положеніе сводится къ слѣдующему. Извѣстный результатъ быль добытъ при помощи разсмотрѣнія нѣкоторой группы предметовъ, взятыхъ въ опредѣленномъ порядкѣ; было показано, что если мы можемъ переставить два предмета, расположенныхъ одинъ за другимъ, не измѣняя при этомъ результата, то мы можемъ измѣнить порядокъ предметовъ, какъ намъ угодно, также не измѣняя результата. Приложимъ это положеніе къ счету. Процессъ счета состоитъ въ томъ, что мы беремъ извѣстные предметы въ опредѣленномъ порядкѣ и прикладываемъ къ нимъ одинъ за другимъ наши пальцы; результатъ зависитъ оттого, какой палецъ будетъ послѣднимъ. Число пальцевъ и будетъ числомъ сосчитанныхъ такимъ образомъ предметовъ. Мы видимъ отсюда, что этотъ результатъ не будетъ зависѣть отъ порядка счета при томъ только условіи, что онъ не претерпѣваетъ измѣненія при перестановкѣ двухъ идущихъ одинъ за другимъ предметовъ; другими словами, при условіи, что два смежныхъ пальца могутъ быть заложены одинъ за другой, такъ что каждый остается на своемъ предметѣ, при чемъ не приходится ни пользоваться новыми пальцами ни оставлять безъ употребленія тѣ, которыми мы уже воспользовались. При такомъ допущеніи мы можемъ доказать, что число предметовъ, принадлежащихъ къ какой-либо совокупности предметовъ, не зависитъ отъ порядка счета. Положеніе это, какъ мы видѣли, является основаніемъ науки о числѣ.

Законъ распредѣлительный. Существуетъ еще другой законъ умноженія, который, если только это возможно, еще болѣе важенъ, нежели тѣ два, которые мы уже разсмотрѣли. Вотъ одинъ изъ частныхъ случаевъ его примѣненія: число 5 представляетъ собой сумму 2 и 3; четырежды 5 равняется суммѣ четырежды 2-хъ и четырежды 3-хъ. Мы можемъ сдѣлать это предложеніе очевиднымъ при помощи слѣдующаго расположенія точекъ:

У насъ имѣется четыре ряда по пяти точекъ каждый; каждый рядъ раздѣленъ на двѣ части, при чемъ въ одной изъ нихъ двѣ точки, въ другой — три. Ясно, что вся совокупность точекъ можетъ быть сосчитана однимъ изъ двухъ способовъ. Ее можно разсматривать, съ одной стороны, какъ группу изъ четырехъ рядовъ по пяти точекъ каждый, или же какъ комбинацію изъ четырехъ рядовъ по двѣ точки и четырехъ рядовъ по три точки. Согласно общему нашему принципу, результатъ не зависитъ отъ порядка счета, а потому

или же, выражая 5 въ формѣ 5 = 2 + 3, имѣемъ

Этотъ процессъ, очевидно, примѣнимъ къ какимъ угодно тремъ числамъ, а не только къ частному случаю 4, 2, 3. Мы можемъ построить столбецъ, содержащій а рядовъ по b + с точекъ; при помощи вертикальной линіи раздѣляемъ его на а рядовъ по b точекъ и а рядовъ по с точекъ. Сосчитанная однимъ способомъ вся совокупность представится числомъ а(b + с), сосчитанная другимъ способомъ ab + ac. Отсюда мы будемъ имѣть всегда а(b + с) = ab + a.

Это первая форма распредѣлительнаго закона. Но результатъ умноженія не зависитъ отъ порядка сомножителей, и потому

такимъ образомъ наше равенство можетъ быть написано въ формѣ

которая носитъ названіе второй (формы распредѣлительнаго закона.

Взявъ числа нашего предыдущаго примѣра, говоримъ: такъ какъ 5 является суммой 2 и 3, то 5 разъ 4 равняется суммѣ дважды взятыхъ 4 и трижды взятыхъ 4. Выраженіе закона въ этой формѣ можно получить прямо и чрезвычайно просто, прибѣгнувъ къ слѣдующему разсужденію.

Мы знаемъ, что 2 предмета да 3 предмета составляютъ 5 предметовъ, независимо оттого, каковы самые предметы. Пусть каждый изъ нихъ представляетъ изъ себя, въ свою очередь, группу 4 предметовъ. Тогда 2 группы по 4 и 3 группы по 4 составятъ 5 группъ по 4, или

Это правило можно распространить на болѣе сложный случай. Нашъ прямоугольникъ, составленный изъ точекъ, можно, очевидно, раздѣлить вертикальными прямыми на большее число частей, нежели двѣ, и затѣмъ примѣнить то же разсужденіе, что и раньше.

Напримѣръ, наша группировка 36 точекъ (см. выше) устанавливаетъ съ очевидностью слѣдующій фактъ: если 2, 3 и 4 составляютъ 9, то 4-жды 2, 4-жды 3 и 4-жды 4 составляютъ 4-жды 9 или, вообще говоря,

То же разсужденіе можно примѣнить къ суммѣ любого числа чиселъ, помножаемой затѣмъ на новое число.

О степеняхъ. Когда мы умножаемъ число само на себя, говорятъ, что мы возвышаемъ его въ квадратъ. Такое названіе этой операціи даютъ потому, что если расположить извѣстное число рядовъ точекъ, равно отстоящихъ другъ отъ друга, въ прямоугольникъ, подобный приведеннымъ

выше, то, при равенствѣ числа рядовъ числу точекъ въ каждомъ рядѣ, прямоугольникъ превратится въ квадратъ.

Если квадратъ какого-либо числа умножаютъ на это же самое число, то говорятъ, что число возвышаютъ въ кубъ. Дѣйствительно, если ящикъ наполнить кубиками, укладывая по высотѣ, по длинѣ и ширинѣ одинаковое число ихъ, то это возможно тогда, когда ящикъ имѣетъ форму куба.

Если мы перемножимъ четыре равныхъ числа, то получимъ то, что называется четвертой степенью. Такимъ образомъ, если мы перемножимъ 4 тройки, то получимъ 81; если перемножимъ 4 двойки, получимъ 16.

Если мы перемножимъ любое число равныхъ чиселъ, то, какъ и выше, получимъ ту или другую степень одного изъ этихъ чиселъ, которая будетъ называться пятой, шестой, седьмой и т. п. степенью, въ зависимости оттого, сколько чиселъ было перемножено.

Ниже приводимъ таблицу степеней чиселъ: 2 и 3.

Число равныхъ сомножителей носитъ названіе показателя; изображается онъ небольшой цифрой, поставленной надъ строчкой справа отъ числа, степень котораго желаютъ такимъ путемъ выразить. Для того, чтобы кратко изобразить, что произведеніе семи троекъ даетъ 2187, необходимо написать только слѣдующее:

Слѣдуетъ замѣтить, что каждое число является своей первой степенью; такимъ образомъ 22 = 2; 31 = 3 и, вообще говоря, a1 = а.

Квадратъ числа (а + 1). Мы можемъ иллюстрировать свойства квадратовъ чиселъ, воспользовавшись общеизвѣстной ариѳметической игрой, состоящей въ томъ, что одно лицо отгадываетъ число, задуманное другимъ, получая это число какъ результатъ ряда выполненныхъ надъ нимъ вычисленій. Игра эта состоитъ въ слѣдующемъ:

Задумайте число.............................скажемъ 3.

Возвысьте его въ квадратъ..................получимъ 9.

Прибавьте 1 къ первоначальному числу...............4.

Возвысьте въ квадратъ получившееся число..........16.

Найдите разность между этими двумя квадратами ... 7.

Послѣдняя разность будетъ всегда числомъ нечетнымъ, задуманное число равняется, если можно такъ выразиться, „меньшей половинѣ“ ея; мы хотимъ этимъ сказать, что оно равно половинѣ ближайшаго къ полученной разницѣ четнаго числа, меньшаго ея. Такъ какъ полученный нами результатъ равенъ 7, то мы узнаемъ, что задуманное число равно половинѣ 6, то-есть 3.

Для вывода правила продолжимъ наше изслѣдованіе. Допустимъ, что квадратъ 5 данъ намъ въ видѣ двадцати пяти точекъ, расположенныхъ въ формѣ квадрата. Какимъ образомъ отсюда мы могли бы перейти къ квадрату 6? Для этого намъ надо было бы прибавить пять точекъ справа, 5 точекъ внизу и, сверхъ того, одну точку въ углу. То-есть, для полученія квадрата 6 изъ квадрата 5 мы должны прибавить къ этому послѣднему, кромѣ дважды взятыхъ 5, еще единицу. Такимъ образомъ,

Обратно, число 5 является „меньшей половиной" разности между его квадратомъ и квадратомъ 6.

Характеръ этого разсужденія показываетъ, что оно сохраняетъ свою силу по отношенію къ любому числу. Если намъ данъ квадратъ, составленный изъ точекъ, мы можемъ превратить его въ квадратъ, стороны котораго имѣютъ одной точкой больше, нежели стороны даннаго. Для этого необходимо прибавить колонку точекъ справа, рядъ точекъ внизу, и, сверхъ того, одну точку въ углу.

Иначе говоря, мы должны прибавить одной точкой больше, нежели сколько ихъ содержится въ удвоенной сторонѣ первоначальнаго квадрата. Поэтому, если намъ

дана такая разность, достаточно отнять отъ нея единицу и остатокъ раздѣлить на два для того, чтобы получить число точекъ, содержащихся въ сторонѣ первоначальнаго квадрата.

Теперь запишемъ этотъ результатъ сокращенно. Пусть первоначально даннымъ числомъ будетъ а; тогда а + 1 будетъ ближайшимъ по отношенію къ нему большимъ числомъ; намъ необходимо теперь указать, что квадратъ a + 1, то-есть (а + 1)2 получается изъ квадрата а, то-есть a2, путемъ прибавленія къ послѣднему увеличеннаго на единицу удвоеннаго а, или 2a + 1. Такимъ образомъ, сокращенное выраженіе этого соотношенія представится въ видѣ

Эта теорема является частнымъ случаемъ болѣе общей теоремы, дающей намъ возможность найти квадратъ суммы двухъ какихъ-либо чиселъ по даннымъ квадратамъ тѣхъ же чиселъ и ихъ произведенію. Мы пояснимъ сперва эту теорему на примѣрѣ квадрата пяти, представляющихъ сумму 2 и 3.

Квадратъ, представленный двадцатью пятью точками, разбить на два квадрата и два прямоугольника. Квадраты соотвѣтствуютъ квадратамъ 2 и 3, а каждый изъ прямоугольниковъ — произведенію 3 на 2. Для того, чтобы превратить квадратъ трехъ въ квадратъ пяти, необходимо прибавить къ нему два столбца справа, два ряда внизу и, наконецъ, квадратъ двухъ въ углу. Дѣйствительно,

Число и мѣра.

(Э. Махъ. Изъ книги „Познаніе и заблужденіе“. Въ переводѣ Г. Котляра.)

1. Естественно-научное познаніе получается открытіемъ связи между извѣстными реакціями или группами реакцій А и В въ какомъ-нибудь объектѣ, въ относительно устойчивомъ комплексѣ чувственныхъ элементовъ. Если, напр., мы находимъ, что извѣстный видъ растенія, обладающій опредѣленной формою и расположеніемъ листьевъ, опредѣленной формой цвѣтка и т. п. (реакція А), обнаруживаетъ также извѣстныя геотропическія или геліотропическія свойства (реакція В), то въ такой связи заключается естественно-научное познаніе. Фиксированіе такого познанія въ пригодной для сообщенія формѣ описанія, исключающаго неправильныя толкованія, есть дѣло весьма сложное, несмотря на развитіе упрощающей классификаторской терминологіи. Та же сложность повторяется при описаніи свойствъ близкаго къ первому вида растенія, которое опять-таки содержитъ много подробностей, долженствующихъ быть отмѣченными особо. Еще труднѣе бываетъ вслѣдствіе этихъ подробностей фиксировать въ одномъ общемъ описаніи болѣе обширную группу познаній. Для группы животныхъ, которыя родятъ развитыхъ дѣтенышей и вскармливаютъ ихъ своимъ молокомъ, удается еще указать общія физіоло-

Рис. 31.—Эрнстъ Махъ.

гическія и анатомическія реакціи, какъ-то: высокую температуру крови, легочное дыханіе, двойной путь кровообращенія и т. д. Но если представить великія анатомическія и физіологическія различія, существующія между сумчатыми животными, или, тѣмъ болѣе, однопроходными (monotremata), животными, несущими яйца, утконосомъ, эхиднами, съ одной стороны, и плацентарными млекопитающими, съ другой стороны, которыя въ нѣкоторыхъ отношеніяхъ, однако, весьма близки, то становится ясно, какъ трудно сообщить въ обобщающемъ описаніи большую группу зоологическихъ познаній. При такомъ положеніи дѣла цѣль, вывести развитіе и ходъ жизни животныхъ изъ свойствъ клѣтокъ и зародышевыхъ зачатковъ, принимая во вниманіе опредѣляющія условія окружающей среды, можетъ быть для насъ лишь весьма отдаленнымъ идеаломъ.

2. Если мы обратимся теперь къ области физики, передъ нами предстанетъ другая картина, составляющая какъ будто явную противоположность первой. Положимъ, что двѣ тяжести привѣшены къ концамъ веревки, переброшенной черезъ блокъ. Достаточно каждую изъ нихъ замѣнить извѣстнымъ числомъ меньшихъ равныхъ тяжестей, чтобы быть въ состояніи сказать, что перетянетъ та сторона, на которой число равныхъ тяжестей больше. Привѣсимъ тяжести къ неравнымъ плечамъ рычага, раздѣлимъ плечи на малыя равныя части, сосчитаемъ число частей тяжести и частей соотвѣтствующаго плеча рычага и перемножимъ полученныя числа; точно такъ же поступимъ и на другой сторонѣ. Перетянетъ та сторона, на которой получено большее произведеніе. Такимъ образомъ, здѣсь описаніе единичнаго факта достигается легко путемъ счета равныхъ частей, на которыя можно разложить его признаки. И далѣе, всѣ случаи въ одной какой-нибудь области, напримѣръ, всѣ случаи рычага, различающіеся между собой только числомъ равныхъ частей основныхъ признаковъ, такъ схожи, что общее ихъ описаніе легко дается въ видѣ указанія на правило вывода или вычисленія изъ численныхъ данныхъ. На подобномъ основаніи получаются обобщенія даже для весьма обширныхъ областей фактовъ, напримѣръ, для всѣхъ машинъ съ помощью понятія работы. Подобнымъ же образомъ могутъ быть въ простѣйшей формѣ описаны таблицами чиселъ явленія паденія тѣлъ или преломленія свѣта, а счастливый взглядъ можетъ открыть и сжатую формулу, замѣняющую такія таблицы. Величины пространства, времени и силы могутъ быть раздѣлены при помощи счета (измѣренія) на какія угодно небольшія равныя части. Это даетъ намъ возможность вездѣ, гдѣ мы имѣемъ дѣло съ вещами измѣримыми, представлять себѣ какіе угодно факты построенными

изъ произвольно малыхъ („безконечно малыхъ") элементовъ, и процессы, которые въ нихъ происходятъ, сводить къ процессамъ, которые происходятъ въ этихъ безконечно малыхъ элементахъ въ безконечно малые элементы времени. Для этого можно установить общія формулы (правила вычисленія) въ формѣ диферениіальныхъ уравненій. Достаточно немногихъ такихъ уравненій, чтобы въ принципѣ изобразить всѣ возможные механическіе, термическіе и электромагнитные и т. д. факты, хотя, конечно, приложеніе такихъ уравненій можетъ въ спеціальныхъ случаяхъ представлять еще весьма значительныя затрудненія. Аналогичная ступень, въ упомянутыхъ выше областяхъ, еще не достижима. Области, которыя въ настоящее время доступны лишь отчасти количественному обсужденію, какъ, напримѣръ, химія, образуютъ какъ бы середину между этими двумя крайними полюсами.

3. Если оказывается, что какая-нибудь качественная реакція abc связана съ другой такой же реакціей klm, то такая связь можетъ быть лишь просто отмѣчена и фиксирована въ словахъ. То же самое можно сказать о другой парѣ связанныхъ между собой качественныхъ реакцій def... и пор... Если оба эти факты и близки другъ къ другу, все же будетъ въ общемъ трудно обобщить ихъ въ одномъ выраженіи. Но это обобщеніе становится тѣмъ легче, чѣмъ больше качественныя различія сводятся къ чисто количественнымъ. Стоитъ вспомнить, напримѣръ, факты качественнаго химическаго анализа, съ одной стороны, и факты ученія о фазахъ въ физической химіи—съ другой. Если во всемъ этомъ разобраться, то становится яснымъ, что количественное изслѣдованіе есть только частный и болѣе простой случай качественнаго. Физика только потому достигла болѣе высокой ступени развитія, чѣмъ, напримѣръ, физіологія, что передъ ней стояли болѣе легкія и болѣе простыя задачи, и потому, что эти отдѣльныя задачи гораздо болѣе однородны, такъ что рѣшенія ихъ легче поддаютея обобщающему выраженію. Дѣло именно въ томъ, что описаніе при помощи счета есть простѣйшее описаніе и, благодаря готовой системѣ чиселъ, можетъ быть доведено до какой угодно тонкости и точности различій безъ всякаго новаго изобрѣтенія. Система чиселъ есть номенклатура неистощимой тонкости и широты, и при всемъ томъ она не уступитъ въ наглядности никакой другой номенклатурѣ. Кромѣ того, пользуясь операціями надъ числами, можно изъ каждаго числа получить всякое другое, благодаря чему именно числа оказываются особенно пригодными для выраженія зависимостей. Различія между отдѣльными зависимостями выражаются опять-таки численно, и разсмотрѣніе такихъ

числовыхъ различій ведетъ тѣмъ же путемъ къ болѣе общимъ правиламъ зависимостей. Эти очевидныя преимущества, заключающіяся въ примѣненіи количествъ, должны вызвать стремленіе къ отысканію связей между качествами и количествами вездѣ, гдѣ это только возможно, дабы такимъ образомъ постепенно свести всѣ качественныя изслѣдованія къ количественнымъ. Такъ качества цвѣтовъ превращаются черезъ показатели преломленія и длины волнъ въ количественные признаки, и то же самое—качества тоновъ черезъ числа колебаній и т. д.

4. Количественное изслѣдованіе имѣетъ еще особое преимущество передъ качественнымъ, когда дѣло идетъ объ отысканіи чувственно данныхъ элементовъ въ ихъ взаимной другъ отъ друга зависимости, т.-е. только о зависимостяхъ, лежащихъ внѣ предѣловъ U, о физикѣ въ широкомъ смыслѣ. Чтобы получить эти зависимости въ чистомъ видѣ, должно быть по возможности исключено вліяніе наблюдателя, элементовъ, лежащихъ въ предѣлахъ U. Это происходитъ тогда, когда все измѣреніе относится лишь къ сравненію качественно равныхъ, къ констатированію равенства или неравенства, при чемъ качества ощущенія, какъ такового, зависящія между прочимъ и отъ наблюдающаго субъекта, оставляются въ сторонѣ. Интроспективная психологія пока не въ состояніи исключать качественное. Измѣрительныя понятія имѣютъ поэтому въ этой области ничтожное значеніе. Связь психологіи съ физіологіей и, непосредственно, съ физикой можетъ въ будущемъ измѣнить это положеніе дѣла.

5. Попытаемся теперь психологически выяснить происхожденіе представленія и понятія числа изъ непосредственной или посредственной біологической потребности. Дѣти, не имѣющія еще понятія о счетѣ, въ возрастѣ 2—3 лѣтъ, сразу замѣчаютъ, если въ небольшой группѣ одинаковыхъ монетъ или игрушекъ взять какую-нибудь тайкомъ или прибавить. Несомнѣнно, и животное научается біологической нуждой различать, напр., небольшія группы одинаковыхъ плодовъ по ихъ содержанію и предпочитаетъ группу болѣе богатую содержаніемъ. Потребность въ болѣе тонкомъ развитіи этой способности различенія приводитъ къ развитію понятія числа. Чѣмъ больше членовъ объединяется въ одну группу, безъ утраты ея обозрѣваемости и различимости отдѣльныхъ членовъ, тѣмъ выше цѣнимъ мы означенную способность. Нашимъ дѣтямъ удается сначала объединять въ группу 2, 3, 4 члена, не теряя изъ виду различенія этихъ членовъ. При этомъ близость членовъ по времени или пространству можетъ содѣйствовать образованію группы, а различіе членовъ, въ смыслѣ

ихъ положенія во времени или пространствѣ, можетъ обусловить различеніе ихъ. Такъ зарождаются первыя представленія о числахъ, смотря по вліянію среды, съ названіемъ или безъ названій. Эти представленія развиваются черезъ зрѣніе, осязаніе или слухъ (въ послѣднемъ случаѣ наблюденіемъ ритма)1). Употребленіе представленій о числахъ при смѣнѣ разныхъ объектовъ ведетъ насъ, съ помощью названій чиселъ, къ пониманію особой однородной реактивной дѣятельности, независимой отъ рода объектовъ, къ понятію числа2). Для полученія болѣе ясныхъ численныхъ представленій о группахъ съ болѣе богатымъ содержаніемъ, послѣднія раздѣляются на систематически расположенныя, уже привычныя части. Эту исторію развитія мы находимъ воплощенной въ численныхъ знакахъ ассирійцевъ, египтянъ, обитателей Мексики, римлянъ и другихъ народовъ3). Свидѣтельствуютъ объ этой исторіи и наши игральныя карты и камни домино. Вполнѣ правильно ведемъ мы дѣтей въ элементарной школѣ по тому же пути, который прошли самостоятельно всѣ народы, именно даемъ изображенія группы объектовъ, упорядоченныхъ и раздѣленныхъ легко обозрѣваемымъ способомъ4). Но это средство дѣлать обозримымъ содержаніе членовъ группы имѣетъ узкіе предѣлы.

6. Кромѣ этого средства — нагляднаго распорядка членовъ какой-нибудь группы — есть еще и другое. Каждый членъ группы, которую желаютъ обозрѣть, присоединяютъ къ члену другой группы объектовъ, намъ весьма знакомой и привычной. Первобытные народы пользуются въ качествѣ такой группы пальцами рукъ, а иногда и ногъ5). Мы сами, будучи дѣтьми, пользовались этимъ примитивнымъ средствомъ, чтобы усилить наши численныя представленія созерцаніемъ этихъ особенно привычныхъ намъ объектовъ.

1) Научаются считать какъ люди зрячіе и слышащіе, такъ и слѣпые и глухонѣмые. Глухонѣмой Massie и самъ говоритъ: „Я зналъ числа прежде, чѣмъ меня стали учить; меня научили имъ мои пальцы“. (Tylor, Einleit. і. d. Studium d. Anthropologie, стр. 372; см. также Tylor, Anfänge d. Kultur. 1, стр. 241 и слѣд.).

2) Численныя понятія пріобрѣтаются лишь выполненіемъ численныхъ операцій въ различныхъ случаяхъ.

3) См. таблицу I у М. Cantor, Mathem. Beiträge zum Kulturleben der Völker. 1863.

4) C. Schneider, Die Zahl im grundlegenden Recbenunterricht. Berlin, 1900.

5) Подробнѣе см. Tylor, E. i. d. St. d. Anthropologie, стр. 372 и слѣд. Племя Tamanaca, живущее вдоль рѣки Ориноко, говоритъ „цѣлая рука“ вмѣсто пяти, „обѣ руки" вмѣсто десяти, „цѣлый человѣкъ“ вмѣсто двадцати. Слѣды этого примитивнаго способа счета сохранились еще у народовъ высоко цивилизованныхъ; французы, напримѣръ, называютъ число 80 „quatre-vingt“.

Когда пальцы во время этого процесса называются и хотя, бы безъ особаго намѣренія, изъ простой привычки употребляются всегда въ одномъ и томъ же порядкѣ, то изъ этихъ названій пальцевъ развиваются при частомъ упражненіи имена числительныя, при чемъ первоначальное значеніе этихъ названій забывается1). Такъ какъ все содержаніе членовъ группы твердо упорядочено, то имя числительное опредѣляетъ число членовъ упорядоченной, сосчитанной группы2). Таково доказанное исторіей культуры происхожденіе именъ числительныхъ. Потребность въ нихъ и поводъ къ ихъ развитію проявлялись довольно часто, когда приходилось устанавливать число друзей или враговъ, дѣлить добычу, добытую на войнѣ или на охотѣ и т. д.

7. Это средство упорядоченія можетъ быть легко помощью небольшого искусственнаго пріема превращено въ средство, предѣлы примѣненія котораго безграничны. Разсматриваютъ группу изъ десяти членовъ какъ одинъ членъ высшей группы, группу изъ десяти такихъ высшихъ группъ— какъ одинъ членъ еще высшей группы и т. д. И, подобно тому, какъ каждую группу можно разсматривать какъ одинъ членъ высшей группы, такъ можно каждый членъ разсматривать какъ группу изъ десяти меньшихъ равныхъ членовъ, что особенно ясно бываетъ при счетѣ (измѣреніи) того, что поддается безграничному дѣленію, напримѣръ, длинъ, но можетъ быть выполнено и вездѣ. Такимъ образомъ, система чиселъ становится примѣнимой какъ для счета безконечно большого, такъ и для счета безконечно малаго3).

8. Пусть группа А и группа В состоятъ изъ однихъ равныхъ членовъ. Будемъ связывать каждый членъ группы А соотвѣтственно съ однимъ членомъ группы В. Если обѣ группы исчерпываются одновременно, мы говоримъ, что онѣ имѣютъ равное содержаніе или, короче, обѣ группы равны. Если В исчерпывается, когда группа А еще не исчерпана, то содержаніе А больше содержанія В. Числами

1) Tylor, Anfänge der Kultur. I, стр. 248 и слѣд. — Tylor, Anthropologie, стр. 373.

2) А. Lanner, Die wissenschaftlichen Grundlagen des ersten Rechenunterrichts. Wien und Leipzig, 1905. Въ этомъ сочиненіи много очень хорошихъ психологическихъ замѣчаній относительно того, какъ дѣти научаются считать, какъ у нихъ образуются первыя численныя понятія и т. д. Понятіе единицы можетъ быть получено лишь изъ общаго понятія числа спеціализаціей абстракціи. Задача 1 × 2 или въ особенности 1×1 можетъ быть понята только послѣ того, какъ поняты задачи 2 × 2 или 3×2, какъ и a1 — послѣ a2, an и т. д. Сходное съ этимъ замѣчаніе ст. Ribot, L’évolution des idées générales. Paris, 1897, стр. 160..

3) Наша десятичная система обязана своимъ естественнымъ происхожденіемъ десяти пальцамъ рукъ и по аналогіи съ ней могутъ быть придуманы какія угодно другія системы.

мы называемъ такія понятія, черезъ которыя мы опредѣляемъ группы, изъ равныхъ членовъ состоящія, въ смыслѣ ихъ содержанія, и различаемъ одну отъ другой. Численное понятіе даетъ намъ возможность вездѣ, гдѣ это важно и гдѣ мы не боимся затраты труда, наглядно представлять себѣ содержаніе группы, по крайней мѣрѣ, посредственно. Мы не станемъ останавливаться здѣсь на ученомъ спорѣ, какія числа должно считать въ психологическомъ и логическомъ отношеніи первичными: количественныя или порядковыя. Да и невозможно изъ этихъ системъ, которыя установляются впослѣдствіи, приписывать одной исключительное руководящее значеніе для культурнаго развитія. Численныя названія для маленькихъ чиселъ могутъ, несомнѣнно, образоваться и безъ какого-либо принципа порядка. Но тамъ, гдѣ число выходитъ за предѣлы непосредственно нагляднаго, принципъ порядка оказывается безусловно необходимымъ для образованія понятія числа или количества, хотя этотъ принципъ можетъ и не быть прямо выраженъ. Когда мы считаемъ равные или кажущіеся намъ равными объекты, то вмѣстѣ съ названіемъ числа мы присоединяемъ къ объектамъ, которые до тѣхъ поръ едва различали, отличительные знаки; эти послѣдніе очень скоро вновь утратили бы для насъ обозрѣваемость, если бы они въ то же время не были порядковыми знаками, образующими простую, весьма знакомую и привычную намъ систему. Только лишь принципъ порядка, благодаря которому каждое число потенціально содержитъ въ себѣ представленіе обо всѣхъ предшествующихъ ему числахъ и вмѣстѣ съ тѣмъ ясно указываетъ положеніе его между двумя опредѣленными членами системы, обусловливаетъ большія преимущества числа передъ простымъ названіемъ. Каждый алфавитный указатель, цифры страницъ какой-нибудь книги, каждый распредѣленный по номерамъ инвентарь и т. д. даетъ намъ ясно почувствовать цѣнность порядка для быстрой оріентировки.

9. Часто называютъ числа „плодами свободнаго творчества человѣческаго духа". Обнаруживающееся здѣсь восхищеніе предъ человѣческимъ духомъ весьма естественно предъ готовымъ и внушительнымъ зданіемъ ариѳметики. Но пониманію этого творчества гораздо болѣе способствуетъ, если мы наблюдаемъ инстинктивные начатки его и обстоятельства, вызвавшія потребность въ немъ. Такое изслѣдованіе, можетъ-быть, приведетъ къ мысли, что первыя относящіяся сюда образованія были безсознательными и біологически вынуждены матеріальными условіями, цѣнность которыхъ могла быть познана лишь послѣ того, какъ они были уже налицо, и много разъ обнаруживали уже

свою полезность. Только воспитанный на такихъ болѣе простыхъ образованіяхъ интеллектъ могъ постепенно развиться до болѣе свободныхъ, сознательныхъ и быстро удовлетворяющихъ потребность даннаго момента изобрѣтеній.

10. Для торговли и сношеній, купли и продажи требуется развитіе ариѳметики. Культура примитивная пользуется для подкрѣпленія своихъ расчетовъ простыми приборами или счетными машинами; таковы, напримѣръ, римская счетная доска (Abacus) или китайскіе счеты, ставшіе общеизвѣстными черезъ посредство русскихъ и пріобрѣвшіе права гражданства въ нашихъ элементарныхъ школахъ. Во всѣхъ этихъ приборахъ подлежащіе счету объекты символизируются въ подвижныхъ предметахъ, костяшкахъ, шарикахъ или другихъ вещахъ, которыми и оперируютъ, вмѣсто того, чтобы оперировать болѣе тяжеловѣсными объектами. Группы десятковъ, сотенъ и т. д. отмѣчены особыми знаками, которымъ отведены спеціальныя отдѣленія въ машинѣ1). Если взять понятіе машины (вспомогательнаго приспособленія) нѣсколько свободнѣе и шире, то и въ нашихъ арабскихъ (индійскихъ) цифрахъ и десятичной системѣ, въ которой отсутствіе группъ въ извѣстномъ классѣ обозначается нулемъ, тоже должно видѣть счетную машину, которая съ помощью бумаги и карандаша можетъ быть устроена въ любой моментъ. При этомъ наше вниманіе еще болѣе облегчается, такъ какъ цифры дѣлаютъ излишнимъ счетъ членовъ каждаго класса.

11. Въ нашихъ сношеніяхъ могутъ возникать различныя задачи. Является, напримѣръ, потребность объединить въ одну группу двѣ или нѣсколько группъ равныхъ членовъ и указать число членовъ этой новой группы, т.-е. возникаетъ задача сложенія, примитивное рѣшеніе этой задачи заключается въ томъ, чтобы были пересчитаны всѣ члены группы, получаемой въ результатѣ объединенія, все равно, были ли уже ранѣе пересчитаны члены въ отдѣльныхъ группахъ или нѣтъ. И дѣйствительно, наши дѣти пользуются еще и въ настоящее время этимъ способомъ, оперируя надъ маленькими числами и пріобрѣтая при этомъ опытъ въ счетѣ. Этимъ опытомъ они впослѣдствіи пользуются при сложеніи большихъ, написанныхъ согласно десятичной системѣ, чиселъ, сосчитывая отдѣльно единицы, отдѣльно десятки и т. д. и перенося получающіяся при

1) Механическія счетныя машины Паскаля, Лейбница, Бэббэджа, Томаса и др., выполняющія ариѳметическія операціи посредствомъ вращеній рукоятки и зубчатыхъ передачъ, какъ и современные интеграфы, представляютъ собой естественное дальнѣйшее развитіе примитивныхъ счетныхъ машинъ.

этомъ единицы высшихъ классовъ въ эти послѣдніе. Уже этотъ простой примѣръ показываетъ, что вычисленіе (ариѳметическое дѣйствіе) состоитъ въ освобожденіи отъ прямого считанія, при чемъ это послѣднее, помощью числового опыта, замѣняется возможно проще ранѣе уже исполненными дѣйствіями счета. Вычисленіе есть непрямое или косвенное считаніе. Представимъ, что намъ нужно сложить 4 или 5 многозначныхъ чиселъ и что эта задача одинъ разъ рѣшается прямымъ сосчитываніемъ, а другой разъ—обычнымъ способомъ вычисленія: сразу видна огромная экономія во времени и работѣ, заключающаяся въ послѣднемъ способѣ. Столь же часто встрѣчаются въ практической жизни случаи, побуждающіе къ рѣшенію задачъ на вычитаніе, умноженіе, дѣленіе и т. д. И опять можно показать, что и здѣсь дѣло сводится къ упрощенному, сокращенному счету съ примѣненіемъ пріобрѣтеннаго уже числового опыта, но мы не будемъ на этомъ больше останавливаться1).

12. Итакъ, матеріальная среда, окружающая насъ, далеко не столь неповинна въ развитіи нашихъ ариѳметическихъ понятій, какъ это иногда думаютъ. Если бы физическій опытъ не училъ насъ тому, что существуетъ множественность эквивалентныхъ, постоянныхъ вещей, если бы біологическая потребность не понуждала насъ къ объединенію этихъ вещей въ группы, счетъ не имѣлъ бы никакой цѣли и смысла. Къ чему намъ было бы считать, если бы наша среда была совершенно непостоянна, какъ во снѣ мѣнялась каждый моментъ? Если бы прямой счетъ не былъ практически неисполнимъ при опредѣленіи большихъ чиселъ, вслѣдствіе огромной затраты на него времени и труда, ничто не побуждало бы насъ къ изобрѣтенію вычисленія, посредственнаго счета. Прямымъ счетомъ мы только чувственно констатируемъ фактически данное. Такъ какъ ариѳметическія дѣйствія представляютъ собой лишь косвенный счетъ, то ясно, что съ ихъ помощью мы ничего не можемъ узнать существенно новаго о чувственномъ мірѣ, ничего, чего не могъ бы дать и прямой счетъ. Какъ можетъ, слѣдовательно, математика предписывать а priori природѣ законы, если она по необходимости ограничивается

1) Мое изложеніе этихъ вопросовъ отъ 1882 г. (Populäre Vorlesungen, 3 изд. стр. 224) очень близко подходитъ къ взглядамъ Гельмгольца и Кронекера (Сборникъ, изданный въ честь Целлера, 1887 г.). Другіе пункты я попытался освѣтить въ моей книгѣ „Wärmelehre“ 2 изд., стр. 65 и слѣд. См. также прекрасный подробный разборъ этихъ вопросовъ у М. Fack, „Zählen und Rechnen“ (Zeitschr. f. Philos. u. Pädagogik von Flügel u. Rein, Jahrg. 2, стр. 196 и слѣд.). Далѣе: Cruber, Zum Zahl nnd Grössenbegriff (Zeitschr. f. d. Realschulwesen, Jahrg. 29, стр. 257).

только тѣмъ, что, пользуясь опытами упорядочивающей дѣятельности считающаго, доказываетъ согласіе результатовъ ариѳметическаго дѣйствія съ исходными данными. Но навыкъ въ наблюденіи и пониманіи различныхъ формъ собственной упорядочивающей дѣятельности можетъ поэтому все же имѣть высокую цѣнность и освѣщать одинъ и тотъ же фактъ съ самыхъ различныхъ точекъ зрѣнія.

13. Простые начатки ариѳметики развились на службѣ практической жизни. Дальнѣйшее же ея развитіе получилось вслѣдствіе того, что ариѳметика стала предметомъ особой профессіи. Кому неоднократно приходится продѣлывать одни и тѣ же вычисленія и кто пріобрѣлъ въ этомъ дѣлѣ особую сноровку и обобщающій взглядъ, тому особенно легко замѣтить возможныя упрощенія и сокращенія метода. Такъ зарождается алгебра, общіе символы которой не обозначаютъ особыхъ чиселъ, а сосредоточиваютъ вниманіе на формѣ операцій. Алгебра рѣшаетъ всѣ совпадающія по формѣ операціи сразу для всѣхъ случаевъ, и тогда остается только небольшая работа вычисленія со спеціальными числами. Алгебраическія выраженія, какъ и вообще математическія, выражаютъ всегда лишь эквивалентность различныхъ видовъ распредѣлительной, упорядочивающей дѣятельности. Это относится, напримѣръ, къ обѣимъ сторонамъ уравненія, выражающаго теорему бинома. Когда мы рядомъ съ квадратнымъ уравненіемъ пишемъ формулу его корней, мы въ такой же мѣрѣ устанавливаемъ эквивалентность двухъ операцій, какъ если помѣстить рядомъ диференціальное уравненіе и его интегралъ. Кстати замѣтимъ, что математическій языкъ знаковъ опять-таки представляетъ собой родъ машины для облегченія головы, машины, при помощи которой мы символически совершаемъ быстро и легко операціи, которыя безъ нея насъ утомляли бы. Вмѣстѣ съ тѣмъ математическое письмо есть прекраснѣйшій и наиболѣе совершенный примѣръ удачной пазиграфіи, правда, для ограниченной области.

14. Разсмотрѣніе группъ равноцѣнныхъ объектовъ приводитъ непосредственно только къ понятію цѣлыхъ чиселъ. Если объекты суть индивиды, не поддающіеся разложенію на равноцѣнныя части, то при счетѣ ихъ находятъ вообще разумное примѣненіе только цѣлыя числа. Но дѣленіе, какъ аналитическая противоположность синтетическому умноженію, приводитъ въ особыхъ случаяхъ къ раздѣленію единичныхъ сосчитанныхъ объектовъ (единицъ), къ дробнымъ числамъ которыя, конечно, имѣютъ смыслъ только для единицъ дѣйствительно раздѣлимыхъ. Примѣненія ариѳметики къ геометріи, напримѣръ, уже попытка выразить діагонали и стороны квадрата въ однѣхъ и тѣхъ же едини-

цахъ, равно какъ и чисто-ариѳметическія операціи, извлеченіе корня, какъ аналитическая противоположность синтетическому возведенію въ степень, приводятъ къ фикціи чиселъ, не подлежащихъ полному опредѣленію никакими конечными численными операціями — къ фикціи ирраціональныхъ чиселъ. Побуждаютъ къ образованію новыхъ понятій и операціи простѣйшія, какъ сложеніе и вычитаніе. Дѣйствіе 7 + 8 или 8—5 осуществимы всегда. Но операція 5—8 представляетъ собой нѣчто невозможное, если дѣло идетъ о совершенно равныхъ численныхъ объектахъ, не представляющихъ никакой противоположности. Но эта операція становится сразу возможной и получаетъ разумный смыслъ, какъ только соотвѣтствующія единицы образуютъ какую-нибудь противоположность, какъ имущество и долгъ, движенія впередъ и назадъ и т. д. Такъ приходимъ мы къ понятію противоположности положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ, для обозначенія которыхъ сохраняются знаки сложенія и вычитанія, при каковыхъ дѣйствіяхъ впервые обнаружилась потребность въ фиксированіи этой противоположности. Строго говоря, были бы необходимы для обозначенія этой противоположности особые знаки. Правило знаковъ для умноженія обозначенныхъ (положительныхъ и отрицательныхъ) чиселъ вытекаетъ изъ того, что произведеніе (а—b) . (с—d) должно совпадать съ произведеніемъ, которое получается, если замѣнить множители простыми величинами m и n. Въ случаѣ чиселъ безъ противоположности такое правило умноженія не имѣетъ никакого смысла. По упомянутому правилу знаковъ и положительное и отрицательное число даютъ положительный квадратъ. Это обстоятельство ведетъ, однако, къ тому, что квадратный корень изъ отрицательнаго числа долженъ съ перваго взгляда показаться невозможнымъ, мнимымъ. И дѣйствительно, такой корень, какъ и отрицательное число, долгое время считались невозможными. И покуда неизвѣстна никакая другая противоположность, кромѣ противоположности положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ, это такъ и остается. Wallis1), руководствуясь геометрическими приложеніями алгебры, первый пришелъ къ мысли разсматривать — 1 какъ среднее пропорціональное между —1 и + 1 (+ 1:і = і:— 1, откуда i = √—1). Этотъ взглядъ встрѣчается болѣе или менѣе ясно еще нѣсколько разъ, пока Argand2) не изло-

1) Wallis, Algebra. 1673, Kap. 66—69.

2) R. Argand, Essai sur la manfère de représenter les quantités imaginaires. Paris, 1806. Взглядъ Argan d’a становится яснымъ изъ слѣдующаго примѣра. Пусть отъ какой-нибудь начальной точки проведенъ векторъ r, отъ той же начальной точки проведенъ векторъ nr подъ угломъ φ

жилъ его съ полной ясностью и всеобщностью. Распространяя пропорціональность не только на величину, но и на направленіе, онъ придаетъ выраженію а + b √—1 значеніе вектора въ плоскости. Мы доходимъ отъ начальной точки этого вектора до конечной, передвигаясь въ одномъ направленіи на отрѣзокъ а и затѣмъ въ направленіи, перпендикулярномъ къ первому, на отрѣзокъ b. Такимъ образомъ точки плоскости могутъ быть изображены черезъ комплексы.

15. Итакъ, практика ариѳметики въ нѣкоторыхъ случаяхъ приводитъ къ (аналитическимъ) операціямъ, которыя на первый взглядъ кажутся невозможными, или ихъ результаты—не имѣющими никакого смысла. Но при болѣе близкомъ разсмотрѣніи оказывается, что при небольшомъ видоизмѣненіи и расширеніи принятыхъ до тѣхъ поръ ариѳметическихъ понятій эта невозможность исчезаетъ и результатъ получаетъ очень ясный смыслъ, правда, при нѣсколько расширенной области примѣненія ариѳметики. Послѣ того какъ математики были вынуждены противъ своей воли видоизмѣнять свои понятія и когда они оцѣнили значеніе и преимущества такихъ процессовъ, стало доступнымъ быстрѣе удовлетворять назрѣвшія потребности именно черезъ свободное творчество или даже предвосхищать эти потребности. Блестящіе примѣры такого творчества мы находимъ у Грассмана, Гамильтона и др. въ области векторіальнаго исчисленія, въ которомъ численныя понятія непосредственно приспособляются къ потребностямъ геометріи, кинематики, механики, физики и т. д.1)

16. Упомянемъ еще объ одной современной попыткѣ выразить въ опредѣленныхъ понятіяхъ не только безпредѣльно возрастающее или уменьшающееся безконечное, но и актуально безконечное. Въ первомъ днѣ своихъ діалоговъ (1638) Галилей обращаетъ вниманіе на слѣдующій парадоксъ: безконечное множество цѣлыхъ чиселъ кажется какъ будто гораздо большимъ числомъ, чѣмъ количество квадратныхъ чиселъ, а между тѣмъ, такъ какъ каждому числу должно соотвѣтствовать свое квадратное число, то количества тѣхъ и другихъ чиселъ должны быть равны. Приходитъ онъ къ тому заключенію, что категоріи равнаго,

къ первому и отъ нея же въ той же плоскости проведенъ векторъ n2r подъ тѣмъ же угломъ φ ко второму вектору и въ томъ же направленіи; тогда онъ называетъ второй векторъ среднимъ пропорціональнымъ между первымъ и третьимъ. Сочиненіе Argand’a представляетъ собой образецъ изложенія новой мысли.

1) Съ работами названныхъ и другихъ ученыхъ въ указанномъ направленіи читатель познакомится во 2-й книгѣ хрестоматіи (Алгебра и общая ариѳметика).

большаго, меньшаго непримѣнимы къ безконечному. Эти разсужденія, слѣды которыхъ можно прослѣдить до античной эпохи, приводятъ къ изслѣдованіямъ Г. Кантора о многообразіяхъ. Примѣръ Галилея показываетъ, какъ можно прійти, напримѣръ, къ слѣдующимъ опредѣленіямъ: два многообразія обладаютъ равной мощностью, если каждый элементъ одного изъ нихъ однозначно и взаимно соотвѣтствуетъ элементу другого. Два такія многообразія называются эквивалентными. Многообразіе безконечно, если оно эквивалентно собственной же своей части1). Изслѣдованія Кантора показываютъ, что и въ области актуально безконечнаго возможно цѣлесообразнымъ построеніемъ упорядочивающихъ понятій сохранить обозрѣваемость многообразія.

17. Что касается логико-математическаго изложенія ученія о числѣ, я хотѣлъ бы указать здѣсь на ясно и привлекательно написанную книгу L. Couturat2). Точка зрѣнія, съ которой обсуждается здѣсь предметъ, соотвѣтствуетъ психологическому и культурно-историческому изученію, составляющему во всякомъ случаѣ необходимое дополненіе къ указанной выше логической точкѣ зрѣнія. Углубленное изученіе исторіи развитія могло бы оказать здѣсь столь же полезное и отрезвляющее вліяніе, какое оказали извѣстныя лекціи Феликса Клейна3).

18. Тамъ, гдѣ ужъ заранѣе даны дискретные, равноцѣнные для нашего актуальнаго интереса, объекты, примѣненія ученія о числахъ сравнительно просты. Но многіе объекты изслѣдованія, какъ-то пространственная и временная протяженность, интенсивность силъ и т. д., не представляютъ непосредственно группъ эквивалентныхъ членовъ, доступныхъ непосредственному счету. Правда, можно эти объекты разнообразнымъ образомъ дѣлить на равноцѣнные, поддающіеся счету, члены, эти послѣдніе, далѣе, дѣлить на такіе же члены и т. д., но и предѣлы дѣленія этихъ членовъ должны быть воспринимаемы и различаемы искусственно, и дѣленіе, на которомъ хотятъ остановиться, слѣдовательно, величина послѣднихъ членовъ дѣленія произвольна и случайна. Но разъ препарирована такимъ обра-

1) G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Leipzig, 1883. См. также цитированную въ слѣдующемъ примѣчаніи книгу Couturat, стр. 617 и слѣд. См. наконецъ, А. Schoenflies, Die Entwi. cklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. Jahrb. d. Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Bd. 8, Heft 2. 1900.

2) Couturat. De l’infini mathématique. Paris, 1896. Прекрасный краткій обзоръ развитія понятія числа см. у О. Stolz, Crossen und Zahlen. Leipzig, 1891.

3) F. Klein, Anwendung der Differential und Integralrechnung auf Geometrie. Eine Revision der Prinzipien. Leipzig, 1902.

зомъ подобная непрерывная величина, то часть ея, опредѣленіе которой ищется въ томъ или иномъ изслѣдованіи, можетъ быть съ какой угодно точностью опредѣлена счетомъ ея частей, т.-е. измѣреніемъ. Искусственно созданная числовая непрерывность есть средство, при помощи котораго мы можемъ съ какой угодно точностью прослѣдить условія естественныхъ непрерывностей. Но у какого-нибудь предѣла приходится остановиться вслѣдствіе несовершенства нашихъ чувствъ, даже усиленныхъ искусственными средствами. Ибо то, что какой-нибудь масштабъ покрывается подлежащимъ измѣренію объектомъ или, что концы совпадаютъ, невозможно установить съ безпредѣльной точностью. Эта неточность отзывается затѣмъ и на числѣ, которое, какъ результатъ измѣренія, даетъ намъ отношеніе между измѣряемымъ объектомъ и масштабомъ. Впрочемъ, отъ того же недостатка не свободны и практическія примѣненія ариѳметики къ отдѣльнымъ, поддающимся счету объектамъ, ибо идеальная предпосылка совершенной равноцѣнности послѣднихъ въ дѣйствительности никогда не осуществима.

19. Когда нужно непрерывно измѣняющіяся физическія обстоятельства, физическія величины сводить къ какой-нибудь мѣрѣ, приходится выбрать сначала какой-нибудь объектъ для сравненія, какъ единицу мѣры, и установить, какимъ способомъ возможно опредѣлять равенство другого объекта съ этой избранной нами единицей. Равными въ извѣстномъ отношеніи мы считаемъ объекты, которые при измѣнившихся условіяхъ могутъ замѣнять другъ друга съ неизмѣнными послѣдствіями. Двѣ тяжести равны, когда, будучи положены одна послѣ другой на одну и ту же чашку однихъ и тѣхъ же вѣсовъ, одинаково отклоняютъ стрѣлку послѣднихъ; два электрическихъ тока равны, когда, будучи одинъ за другимъ введены въ неизмѣняющійся гальванометръ, вызываютъ одно и то же отклоненіе стрѣлки; подобнымъ же образомъ опредѣляется равенство магнитныхъ полюсовъ, градусовъ тепла, количествъ теплоты и т. д. Если же на ту же чашку вѣсовъ положить n тяжестей, порознь равныхъ единицѣ мѣры, если провести черезъ ту же проволоку гальванометра (или также рядомъ расположенныя проволоки) n единицъ тока и т. д., то результатъ (при совершенной замѣстимости единицъ другъ другомъ) зависитъ только отъ числа единицъ n1).

20. Разъ мы опредѣлили въ числахъ основныя обстоятельства въ рядѣ однородныхъ физическихъ случаевъ, то

1) См. Helmholtz, Zahlend und Messen. (Philos. Aufsätze. E. Zeller gewidmet 1887, стр. 15 и слѣд.

часто удается выразить ихъ взаимную зависимость въ простой формулѣ съ точностью, достаточной для изображенія фактовъ. Примѣрами этого могутъ служить законъ преломленія свѣта, законъ Маріотта—Гей-Люссака, законъ Біо-Савара. Такіе законы, разъ установленные, часто могутъ облегчить косвенное измѣреніе тамъ, гдѣ прямое трудно или невозможно. Такъ, напримѣръ, трудно непрерывно измѣнять интенсивность какого-нибудь источника свѣта, но зато легко оцѣнить глазомъ равенство двухъ источниковъ свѣта по равной яркости освѣщенія двухъ граничащихъ другъ съ другомъ, равныхъ поверхностей, находящихся на равномъ разстояніи отъ источниковъ свѣта, и при направленіи лучей перпендикулярномъ къ нимъ обоимъ. Если же доказано, что какая-нибудь поверхность, освѣщенная перпендикулярными лучами одного источника свѣта, такъ же ярко освѣщена, какъ равная ей поверхность, освѣщенная 4, 9, 16... помѣщенными другъ возлѣ друга источниками свѣта, порознь равными первому, находящимися на разстояніи 2, 3, 4... раза большемъ разстояніи перваго, то измѣреніе отношенія, существующаго между двумя величинами интенсивности свѣта, можетъ быть сведено къ измѣренію отношенія, существующаго между двумя разстояніями при равной яркости освѣщенія, хотя глазу приходится только судить о равенствѣ и неравенствѣ въ яркости освѣщенія.

21. Складывая какую-нибудь физическую величину изъ однородныхъ частей, необходимо всегда обращать вниманіе на то, есть ли это соединеніе дѣйствительное сложеніе. Такъ, напримѣръ, можно не задумываясь болѣе или менѣе интенсивный свѣтъ сложить изъ однородныхъ, независимыхъ (не сливающихся) элементовъ свѣта и интенсивность его приравнять суммѣ частей, между тѣмъ какъ со свѣтомъ малыхъ источниковъ свѣта это при извѣстныхъ условіяхъ, какъ извѣстно, неправильно. Такъ, интенсивность тона нѣсколькихъ равно настроенныхъ камертоновъ въ общемъ не есть сумма интенсивностей отдѣльныхъ камертоновъ, но бываетъ таковой только въ томъ случаѣ, если и фазы совпадаютъ.

Математическое творчество.

(Изъ книги Анри Пуанкаре „Наука и методъ“.)

Для психолога долженъ быть очень интереснымъ вопросъ о генезисѣ математическаго творчества. Математическое творчество является такимъ актомъ, при которомъ человѣческій умъ, повидимому, меньше всего заимствуетъ изъ внѣшняго міра и дѣйствуетъ, или кажется дѣйствующимъ, только самъ собою и въ самомъ себѣ: такъ что, изучая процессъ математической мысли, мы можемъ надѣяться добраться именно до того, что является самымъ существеннымъ въ человѣческомъ умѣ.

Мыслителями это замѣчено давно; а недавно редакція журнала l'Enseignement Mathématique, во главѣ котораго стоятъ Laisant и Fehr, предприняла анкету о привычкахъ ума и методахъ работы различныхъ математиковъ. Я уже намѣтилъ главныя черты настоящей статьи, прежде чѣмъ были опубликованы результаты упомянутой анкеты; слѣдовательно, я совершенно не могъ ихъ использовать, и мнѣ приходится только ограничиться заявленіемъ, что большая часть показаній подкрѣпляетъ мои заключенія; я не говорю о полномъ единогласіи, потому что, при рѣшеніи вопроса всеобщей подачей голосовъ, на совершенное единогласіе надѣяться нельзя.

Рис. 32. Анри Пуанкаре (1854—1912). Французскій академикъ, самый выдающійся математикъ второй половины XIX столѣтія.

Прежде всего насъ долженъ удивить, или скорѣе, долженъ былъ бы удивить, если бы мы къ нему такъ не привыкли, тотъ фактъ, что существуютъ люди, неспособные къ пониманію математики. Если математика взываетъ только къ законамъ логики, усваиваемымъ всякимъ зрѣлымъ умомъ, если ея очевидность основана на принципахъ, общихъ для всѣхъ людей, которыхъ никто не сталъ бы отрицать, не будучи сумасшедшимъ, то какъ же понять то, что существуетъ столько людей, совершенно къ ней неспособныхъ?

Что не всѣ люди способны къ творчеству — въ этомъ нѣтъ ничего таинственнаго. Что не всѣ люди способны удержать въ памяти когда-то выученное ими доказательство— еще допустимо. Но что не всѣ люди могутъ понять математическое разсужденіе въ тотъ моментъ, когда его излагаютъ, — вотъ что представляется очень поразительнымъ, если надъ этимъ немного поразмыслить. А между тѣмъ большинство, если и можетъ слѣдить за математическимъ разсужденіемъ, то лишь съ большимъ трудомъ; это неоспоримо, и опытъ учителей средней школы, конечно, не будетъ противорѣчить тому, что я говорю.

Болѣе того: какимъ образомъ возможно заблужденіе въ математикѣ? Здоровый интеллектъ не долженъ допускать логическихъ ошибокъ, и, однако, есть очень тонкіе умы, которые, не затрудняясь совершенно въ короткихъ разсужденіяхъ, въ родѣ тѣхъ, какія встрѣчаются въ обыкновенной жизни, оказываются неспособными слѣдить за болѣе длиннымъ математическимъ доказательствомъ, или же повторять его безъ ошибокъ, хотя, въ концѣ-концовъ, оно представляетъ собою совокупность маленькихъ разсужденій, совершенно аналогичныхъ тѣмъ, которыя ими выполняются безъ всякаго труда. Нужно ли добавлять, что и сами математики иногда ошибаются.

Отвѣтъ, мнѣ кажется, самъ собою напрашивается. Вообразимъ длинный рядъ силлогизмовъ, въ которомъ заключенія предшествующихъ силлогизмовъ служатъ посылками для послѣдующихъ; мы будемъ въ состояніи понять каждый изъ этихъ силлогизмовъ и не ошибемся, переходя отъ посылокъ къ заключенію. Но промежутокъ времени между моментомъ, когда мы впервые встрѣчаемъ предложеніе, какъ заключеніе одного силлогизма, и моментомъ, когда мы это предложеніе встрѣчаемъ снова, какъ посылку другого силлогизма, можетъ оказаться довольно большимъ; съ другой стороны, придется разворачивать длинную цѣпь о многихъ звеньяхъ; можетъ, стало-быть, случиться, что предложеніе будетъ забыто, или, что гораздо хуже, будетъ забытъ его смыслъ. А это можетъ повести къ тому, что либо оно

будетъ замѣнено предложеніемъ, нѣсколько отличнымъ, либо будетъ сохранено то же выраженіе, но ему будетъ приписанъ иной смыслъ; и въ томъ и въ другомъ случаѣ совершается ошибка.

Часто математику приходится прибѣгать къ какому-нибудь правилу; разумѣется, онъ прежде всего доказываетъ его; и пока это доказательство остается еще свѣжимъ въ его памяти, онъ въ совершенствѣ понимаетъ его смыслъ и значеніе и не рискуетъ исказить его. Но затѣмъ, довѣряя своей памяти, онъ примѣняетъ его уже механически; и, если память ему измѣняетъ, онъ можетъ примѣнить его въ искаженномъ видѣ. Такъ дѣлаются ошибки при вычисленіяхъ, если забыта таблица умноженія,—примѣръ самый простой и обыкновенный.

Въ такомъ случаѣ спеціальная способность къ математикѣ должна была бы зависѣть только отъ очень твердой памяти или же отъ удивительной силы вниманія. Такія же качества должны быть у игрока въ вистъ, запоминающаго вышедшія карты, или же, поднимемся на одну ступень выше, у игрока въ шахматы, который долженъ мысленно разсматривать очень большое число комбинацій и сохранять ихъ въ памяти. Такимъ образомъ, всякій хорошій математикъ долженъ былъ бы одновременно быть хорошимъ шахматнымъ игрокомъ, и наоборотъ; а также—превосходнымъ счетчикомъ. Конечно, это иногда случается; такъ, Гауссъ былъ геніальнымъ математикомъ и очень вѣрно и быстро считалъ.

Но есть исключенія, или, скорѣе, я ошибаюсь: это нельзя назвать исключеніями, иначе исключенія оказались бы болѣе многочисленными, чѣмъ случаи, согласные съ правиломъ. Наоборотъ, именно Гауссъ былъ исключеніемъ. Что касается меня, то я принужденъ сознаться, что я совершенно не способенъ сдѣлать безъ ошибки сложеніе. Я былъ бы также очень плохимъ шахматнымъ игрокомъ; я бы разсчиталъ, что, играя такъ-то, я подвергнусь такой-то опасности; затѣмъ я разсмотрѣлъ бы цѣлый рядъ другихъ ходовъ, которые я, по тѣмъ или инымъ соображеніямъ, призналъ бы невыгодными; а въ результатѣ кончилъ бы тѣмъ, что сдѣлалъ бы давно обдуманный и отвергнутый ходъ, позабывъ въ промежуткѣ опасность, которую я предвидѣлъ.

Словомъ, память у меня не плохая, но все же ея недостаточно было бы для того, чтобъ изъ меня вышелъ хорошій шахматный игрокъ. Почему же она не измѣняетъ мнѣ въ трудномъ математическомъ разсужденіи, въ которомъ запуталось бы большинство шахматныхъ игроковъ? Это, очевидно, происходитъ потому, что ей помогаетъ общій

ходъ разсужденія. Математическое доказательство не есть простое нанизываніе силлогизмовъ: это—силлогизмы, расположенные въ извѣстномъ порядкѣ, и порядокъ, въ которомъ эти элементы размѣщены, гораздо болѣе важенъ, чѣмъ сами эти элементы. Если у меня есть чувство, интуиція, такъ сказать, этого порядка, умѣнье однимъ взглядомъ охватить все разсужденіе въ его цѣломъ, то мнѣ уже не приходится болѣе бояться забыть одинъ изъ элементовъ—каждый изъ нихъ самъ собою сразу займетъ мѣсто, для него предназначенное, безъ всякаго напряженія со стороны моей памяти.

Тогда, при повтореніи усвоеннаго доказательства, мнѣ кажется, что я могъ бы создать его самъ; часто это только иллюзія; но даже и въ этомъ случаѣ, даже если я не настолько силенъ, чтобы самостоятельно его создать, я его вновь открываю самъ, по мѣрѣ того, какъ я его повторяю.

Понятно, что это чувство, эта интуиція математическаго порядка, дающая возможность угадывать гармонію и скрытыя соотношенія, не можетъ быть достояніемъ всякаго. У многихъ, и ихъ больше всего, нѣтъ ни этого, почти не поддающагося опредѣленію, чувства, ни выдающихся силъ памяти и вниманія, и потому они совершенно неспособны понимать математическія вычисленія, сколько-нибудь сложныя. Другіе владѣютъ этимъ чувствомъ лишь въ слабой степени, но они одарены недюжинной памятью и большой способностью вниманія. Они выучатъ наизусть однѣ детали за другими, они будутъ понимать математику и иногда примѣнятъ ее, но они не будутъ творить. Третьи, наконецъ, владѣютъ въ большей или меньшей степени той спеціальной интуиціей, о которой я только что говорилъ, и эти послѣдніе не только будутъ понимать математику, хотя бы ихъ память совсѣмъ не была выдающейся, но и будутъ способными творить и дѣлать открытія съ большимъ или меньшимъ успѣхомъ, въ зависимости отъ того, насколько развита въ нихъ эта интуиція.

И въ самомъ дѣлѣ, что такое математическое творчество? Оно состоитъ не въ созданіи новыхъ комбинацій изъ уже извѣстныхъ математическихъ сущностей. Это могъ бы дѣлать кто угодно, но комбинаціи, такъ образуемыя, были бы безконечны числомъ, и большая часть изъ нихъ при этомъ была бы совершенно лишена интереса. Творчество именно и должно состоять въ томъ, чтобы не строить безполезныхъ комбинацій, а строить только такія, которыя полезны, послѣднія же составляютъ лишь ничтожное меньшинство всѣхъ возможныхъ. Творить—это значитъ различать, это значитъ выбирать.

Какъ долженъ производиться этотъ выборъ, я уже говорилъ выше; изъ математическихъ фактовъ заслуживаютъ изученія тѣ, которые, въ силу аналогіи съ другими фактами, могутъ привести насъ къ познанію математическаго закона, подобно тому, какъ экспериментальные факты приводятъ насъ къ познанію физическаго закона. Это — такіе факты, которые открываютъ для насъ наличность неожиданнаго родства между другими фактами, уже давно извѣстными, но несправедливо считавшимися чуждыми другъ другу.

Наиболѣе плодотворными изъ выбираемыхъ комбинацій часто бываютъ тѣ, которыя образованы изъ элементовъ, взятыхъ изъ очень отдаленныхъ областей; я не хочу сказать, что для того, чтобы сдѣлать открытіе, достаточно сблизить предметы, насколько возможно противорѣчивые; большая часть комбинацій, образованныхъ такимъ образомъ, была бы совершенно безполезна; но нѣкоторые изъ нихъ, очень рѣдкія, бываютъ въ высшей степени плодотворными.

Творить, я сказалъ, это значитъ—выбирать; но, можетъ быть, такъ выразиться было бы не вполнѣ правильно, ибо возникаетъ представленіе о покупателѣ, разсматривающемъ множество предложенныхъ ему образцовъ, чтобы сдѣлать выборъ. Въ математикѣ образцы были бы такъ многочисленны, что цѣлой жизни не хватило бы на ихъ изслѣдованіе. Дѣло происходитъ не такъ. Безплодныя комбинаціи даже не приходятъ на умъ изобрѣтателю. Въ полѣ его сознанія всегда появляются только комбинаціи полезныя и небольшое число такихъ, которыя будутъ отброшены, но которыя все-таки имѣютъ нѣкоторыя свойства полезныхъ комбинацій. Въ этомъ отношеніи изобрѣтателя можно сравнить съ экзаминаторомъ второй степени, который спрашиваетъ только кандидатовъ, допущенныхъ къ экзаменамъ послѣ перваго испытанія.

То, что сказано мною до сихъ поръ, можетъ быть выводомъ изъ внимательнаго чтенія сочиненій математиковъ и нѣкотораго размышленія надъ ними.

Но теперь надо проникнуть дальше и посмотрѣть, что происходитъ въ самой душѣ математика. Я думаю, лучшее, что я могу для этого сдѣлать, это—обратиться къ личнымъ воспоминаніямъ. Ограничусь только разсказомъ о томъ, какъ я писалъ свой первый мемуаръ о фуксовыхъ функціяхъ. Я прошу извинить меня: мнѣ придется употребить нѣсколько техническихъ выраженій, но они не должны пугать васъ: вамъ нѣтъ никакой надобности ихъ понимать. Я буду говорить, напримѣръ, что я нашелъ доказательство такой-то теоремы при такихъ-то обстоятельствахъ; эта теорема будетъ носить странное названіе, котораго многіе

изъ васъ не будутъ знать, но это не имѣетъ никакого значенія, для психолога интересна не теорема, а обстоятельства, при которыхъ она получена.

Въ теченіе двухъ недѣль я старался доказать, что не существуетъ никакой функціи, аналогичной тѣмъ, которыя я впослѣдствіи назвалъ фуксовыми функціями я тогда былъ еще очень несвѣдущимъ; ежедневно я садился у своего рабочаго стола, проводилъ за нимъ часъ или два, перебиралъ большое число комбинацій и не приходилъ ни къ какому результату. Однажды вечеромъ я выпилъ, вопреки моему обыкновенію, чернаго кофе и не могъ заснуть. Идеи возникали въ моей головѣ толпами; я чувствовалъ, какъ онѣ какъ бы сталкивались до тѣхъ поръ, пока двѣ изъ нихъ не сцѣпились, такъ сказать, образуя устойчивую комбинацію. Утромъ я установилъ существованіе одного класса фуксовыхъ функцій, происходящихъ изъ гипергеометрическаго ряда; мнѣ оставалось только редактировать выводы, что отняло у меня всего нѣсколько часовъ.

Затѣмъ мнѣ хотѣлось выразить эти функціи черезъ посредство частнаго двухъ рядовъ; эта идея была совершенно сознательна и обдуманна; я руководился аналогіей съ эллиптическими функціями. Я задалъ себѣ вопросъ, каковы должны быть свойства этихъ рядовъ, если они существуютъ, и безъ труда пришелъ къ образованію рядовъ, которые я назвалъ тэтафуксовыми.

Затѣмъ я покинулъ Каннъ, гдѣ я тогда жилъ, чтобы принять участіе въ геологической экскурсіи, предпринятой горнымъ училищемъ. Перепетіи путешествія заставили меня забыть о своихъ математическихъ работахъ; по прибытіи въ Кутансъ, мы сѣли въ омнибусъ для какой-то прогулки; въ моментъ, когда я ступалъ на подножку экипажа, у меня вдругъ явилась идея, которая, повидимому, не была подготовлена ни одной изъ предшествовавшихъ мыслей, что преобразованія, къ которымъ я прибѣгалъ, чтобы опредѣлить фуксовы функціи, тождественны съ преобразованіями не-эвклидовой геометріи. Я не сдѣлалъ повѣрки; у меня не было для этого времени, потому что я, сѣвъ въ омнибусъ, тотчасъ же принялъ участіе въ общемъ разговорѣ, но въ этотъ моментъ я уже былъ вполнѣ увѣренъ въ правильности моей идеи. По возвращеніи въ Каннъ я провѣрилъ выводъ, продумавъ его спокойно, для очистки совѣсти.

Затѣмъ я принялся за изслѣдованіе нѣкоторыхъ вопросовъ ариѳметики, безъ особаго видимаго успѣха, не подозрѣвая, что эти вопросы могутъ имѣть хотя какое-нибудь отношеніе къ моимъ предыдущимъ изысканіямъ. Потерявъ, вслѣдствіе неуспѣха, охоту къ занятіямъ, я нѣсколько дней

ходилъ гулять на берегъ моря и думалъ о совершенно иныхъ вещахъ. Однажды, когда я прогуливался по крутому берегу, у меня явилась идея, какъ всегда краткая, внезапная и представляющаяся безусловно вѣрной, что ариѳметическія преобразованія неопредѣленныхъ квадратичныхъ тройныхъ формъ тождественны съ преобразованіями неэвклидовой геометріи.

Возвратившись въ Каннъ, я обдумалъ этотъ результатъ и вывелъ изъ него слѣдствія; примѣръ квадратичныхъ формъ показалъ мнѣ, что здѣсь были налицо фуксовы группы, отличныя отъ тѣхъ, которыя соотвѣтствуютъ гипергеометрическому ряду; я увидѣлъ, что и къ нимъ можно примѣнить теорію тэтафуксовыхъ рядовъ и что, слѣдовательно, существуютъ фуксовы фукціи, отличныя отъ тѣхъ, которыя вытекаютъ изъ гипергеометрическаго ряда, и которыя были единственными изъ извѣстныхъ мнѣ до тѣхъ поръ. Естественно, я поставилъ себѣ задачу построить всѣ эти функціи; я повелъ систематическую осаду и взялъ всѣ передовыя укрѣпленія, одно за другимъ; однако держалось еще одно изъ нихъ, паденіе котораго должно было повлечь за собой паденіе всей крѣпости. Но всѣ мои усилія вначалѣ привели только къ тому, что я лучше позналъ всю трудность задачи, а это уже составляло кое-что. Вся эта работа была совершена сознательно.

Затѣмъ я уѣхалъ въ Монъ-Валеріанъ, гдѣ долженъ былъ отбывать воинскую повинность; мои заботы, стало — быть, были очень разнообразны. Однажды я шелъ по бульвару, и вдругъ въ моей головѣ появилось рѣшеніе той трудности, которая раньше остановила меня. Я не попытался немедленно же проникнуть въ глубь его и только по окончаніи службы вновь занялся вопросомъ. У меня были всѣ элементы; мнѣ оставалось только ихъ собрать и привести въ порядокъ. Затѣмъ я быстро и безъ всякаго труда окончательно редактировалъ свой мемуаръ.

Я ограничусь однимъ этимъ примѣромъ: безполезно умножать ихъ число; исторія всѣхъ остальныхъ моихъ изысканій точь въ точь такая же; а наблюденія, сообщенныя другими математиками въ отвѣтъ на анкету l’Enseignement Mathématique, тоже могли бы только подтвердить мои наблюденія.

То, что насъ здѣсь прежде всего должно поразить, это проблески внезапнаго озаренія, очевидные признаки долгой безсознательной внутренней работы; роль этой безсознательной работы въ математическомъ творчествѣ мнѣ представляется несомнѣнной, а въ другихъ случаяхъ,

гдѣ это менѣе очевидно, я думаю, слѣды ея все-таки можно было бы найти. Часто случается, что, работая надъ какимъ-нибудь сложнымъ вопросомъ, въ первый разъ вы ничего лучшаго не дѣлаете, кромѣ того, что принимаетесь за работу; затѣмъ предаетесь болѣе или менѣе продолжительному отдыху и затѣмъ снова садитесь за свой столъ; въ теченіе перваго получаса попрежнему ничего не находите, а затѣмъ вдругъ въ умѣ появляется законченная идея. Можно было бы сказать, что сознательная работа оказалась здѣсь болѣе плодотворной потому, что въ ней былъ сдѣланъ перерывъ, и отдыхъ вернулъ уму его силу и свѣжесть. Но болѣе вѣроятно, что этотъ отдыхъ былъ заполненъ безсознательной работой и что результатъ этой работы предсталъ передъ сознаніемъ математика совершенно такъ же, какъ въ описанныхъ мною случаяхъ; только появленіе результата, вмѣсто того, чтобы совершиться днемъ, во время прогулки или путешествія, случилось въ моментъ сознательной работы, но, независимо отъ нея, а она играла, въ лучшемъ случаѣ, лишь роль побуждающаго обстоятельства, она побудила облечься въ сознательную форму результаты, уже добытые во время отдыха, но оставшіеся скрытыми отъ сознанія.

Здѣсь необходимо сдѣлать еще одно замѣчаніе относительно условій, при которыхъ эта безсознательная работа должна происходить: она возможна и, во всякомъ случаѣ, плодотворна только тогда, когда съ одной стороны ей предшествуетъ, а съ другой — за ней слѣдуетъ періодъ сознательной работы. Никогда эти внезапныя вдохновенія (какъ это въ достаточной мѣрѣ доказывается и приведенными мною примѣрами), не происходятъ безъ предшествующихъ имъ въ теченіе нѣсколькихъ дней самовольныхъ усилій, которыя оказались совершенно безплодными, когда можно было думать, что ничего хорошаго не сдѣлано, и когда могло казаться, что самый путь выбранъ совершенно неправильно. Эти усилія, слѣдовательно, не такъ безплодны, какъ кажется; они приводятъ въ движеніе безсознательный механизмъ; безъ нихъ онъ вовсе не шелъ бы и ничего бы не произвелъ.

Необходимость второго періода сознательной работы— послѣ вдохновенія — еще болѣе понятна. Надо съ пользой употребить результаты этого вдохновенія, вывести изъ нихъ непосредственныя слѣдствія, привести ихъ въ порядокъ, записать доказательства, а въ особенности — надо ихъ провѣрить. Я говорилъ о чувствѣ абсолютной увѣренности, сопровождающемъ вдохновеніе; въ вышеприведенныхъ случаяхъ оно не обманывало, и чаще всего

такъ и бываетъ; но не слѣдуетъ думать, что это правило не имѣетъ исключеній; часто это чувство насъ обманываетъ, оставаясь все такимъ же живымъ, и мы замѣчаемъ это лишь тогда, когда пытаемся подыскать доказательства. Я производилъ наблюденіе въ особенности надъ идеями, появлявшимися у меня утромъ или вечеромъ, когда я находился въ постели, въ состояніи полусна.

Таковы факты. Каковы же тѣ выводы, которые изъ нихъ можно сдѣлать? Я безсознательное, или, какъ теперь говорятъ, я сублиминальное, играетъ важную роль въ математическомъ творчествѣ, что явствуетъ изъ всего предыдущаго. Но обыкновенно я сублиминальное считаютъ дѣйствующимъ чисто автоматически. А мы видѣли, что работа математика не есть просто механическая работа, что ее нельзя было бы поручить машинѣ, какой бы совершенной мы ее себѣ ни воображали. Дѣло не только въ томъ, чтобы примѣнять правила, чтобы фабриковать побольше всевозможныхъ комбинацій, по извѣстнымъ, установленнымъ законамъ: комбинаціи, полученныя такимъ образомъ, были бы крайне многочисленны и грозили бы безъ пользы загромоздить науку. Истинная работа изобрѣтателя состоитъ въ томъ, чтобы произвести выборъ между этими комбинаціями, исключая, такимъ образомъ, всѣ безполезныя, или, скорѣе, даже не давая себѣ труда ихъ образовывать. Законы, которыми мы должны руководиться при этомъ выборѣ, очень тонки и трудноуловимы—почти невозможно выразить ихъ точно; они скорѣе чувствуются, чѣмъ поддаются словесной формулировкѣ; какъ же возможно, при такихъ условіяхъ, вообразить рѣшето, способное примѣнять эти законы механически?

Поэтому наша первая гипотеза должна построиться такъ: я сублиминальное нисколько не ниже я сознательнаго; оно дѣйствуетъ не чисто автоматически, оно способно къ различенію, оно одарено тактомъ, чуткостью; оно можетъ выбирать, можетъ отгадывать; даже больше— оно умѣетъ лучше отгадывать, чѣмъ я сознательное, потому что оно имѣетъ успѣхъ тамъ, гдѣ послѣднее терпѣло неудачу. Однимъ словомъ, не является ли я сублиминальное высшимъ, чѣмъ я сознательное? Вамъ понятно все значеніе этого вопроса. Бутру въ своемъ послѣднемъ докладѣ1) показалъ намъ, какъ этотъ вопросъ возникаетъ въ самыхъ разнообразныхъ случаяхъ, и какія послѣдствія могъ бы повлечь за собою утвердительный отвѣтъ на не-

1) Парижскому психологическому обществу. Примѣч. перев.

го. (См. также того же автора: Boutroux. Science et Religion, стр. 313.)

Не внушается ли намъ этотъ утвердительный отвѣтъ тѣми фактами, которые я здѣсь приводилъ? Признаюсь, что я со своей стороны не принялъ бы его безъ сопротивленія. Пересмотримъ поэтому факты и поищемъ, не допускаютъ ли они иного объясненія.

Достовѣрно, что комбинаціи, представляющіяся уму во время внезапнаго озаренія, послѣ довольно продолжительной безсознательной работы, оказываются вообще комбинаціями полезными и плодотворными, точно онѣ явились результатомъ предварительной группировки. Слѣдуетъ ли изъ этого, что я сублиминальное, предвидя, при посредствѣ тонкой интуиціи, что эти комбинаціи могутъ быть полезными, образовало только эти послѣднія, или же надо думать, что оно образовало и много другихъ, которыя были лишены интереса и остались внѣ сознанія.

Согласно съ этой второй точкой зрѣнія, всѣ комбинаціи образовывались бы автоматически я сублиминальнымъ, но въ поле сознанія проникали бы только тѣ, которыя интересны. А это тоже очень таинственно. Какая причина можетъ быть виною тому, что изъ тысячи продуктовъ нашей безсознательной дѣятельности одни переступятъ порогъ сознанія, тогда какъ другіе останутся за нимъ? Не простой ли случай даетъ имъ эту привилегію? Очевидно, нѣтъ: изъ всѣхъ раздражителей, дѣйствующихъ на наши чувства, напримѣръ, только наиболѣе сильные привлекутъ къ себѣ наше вниманіе, за исключеніемъ случая, когда это вниманіе направляется на другія раздраженія, вслѣдствіе какихъ — нибудь другихъ причинъ. Говоря болѣе обще, привилегированными среди безсознательныхъ феноменовъ, то-есть, такими, которые могутъ пройти порогъ сознанія, являются тѣ феномены, которые, прямо или косвенно, глубже всего поражаютъ нашу чувствительность.

Можно удивиться тому, что мы затрогиваемъ область чувства, говоря о математическихъ доказательствахъ, которыя, повидимому, могутъ имѣть отношеніе только къ интеллекту. Но это значило бы забыть о чувствѣ математической красоты, гармоніи чиселъ и формъ, геометрическаго изящества. Это вѣдь настоящее эстетическое чувство, знакомое каждому истинному математику. Однимъ словомъ, для жизни чувства здѣсь достаточно мѣста.

Каковыя же тѣ математическія сущности, которыя мы надѣляемъ чертами красоты и изящества и которыя способны возбуждать въ насъ родъ эстетической эмоціи?

Это тѣ изъ нихъ, элементы которыхъ расположены въ такомъ гармоническомъ порядкѣ, что умъ безъ труда можетъ охватить ихъ въ цѣломъ, проникая въ то же время и въ детали. Эта гармонія одновременно удовлетворяетъ и нашимъ эстетическимъ запросамъ и оказываетъ помощь уму, направляя его и сообщая ему увѣренность. И въ то же время, представляя намъ все въ стройномъ расположеніи, она даетъ возможность предчувствовать математическій законъ. Итакъ, мы можемъ сдѣлать слѣдующій выводъ: полезныя комбинаціи—это именно комбинаціи красивыя, то-есть тѣ, которыя съ особой силой плѣняютъ ту спеціальную способность чувства, которую знаютъ всѣ математики, но которая такъ мало извѣстна профанамъ, что они даже иногда смѣются надъ ней.

Что же изъ этого слѣдуетъ? Среди очень большого числа комбинацій, слѣпо образованныхъ я сублиминальнымъ, почти всѣ лишены интереса и безполезны; потому-то именно они и не дѣйствуютъ на эстетическое чувство; сознаніе никогда о нихъ не узнаетъ; только нѣкоторыя изъ нихъ гармоничны и, слѣдовательно, одновременно полезны и прекрасны; онѣ способны воздѣйствовать на эту спеціальную чувствительность математика, о которой я только что говорилъ, и, возбудивъ однажды ее, привлечь къ себѣ его вниманіе, что и дастъ имъ случай проникнуть въ предѣлы сознанія.

Это только гипотеза, однако ее можно подтвердить и наблюденіемъ: когда внезапное вдохновеніе озаряетъ умъ математика, оно обыкновенно не обманываетъ его; но, какъ я говорилъ, иногда случается, что оно и обманетъ. И что же? Мы почти всегда замѣчаемъ, что обманувшая насъ идея, не будь въ ней ошибки, поразила бы наше естественное чувство математической красоты.

Итакъ, именно эта спеціальная эстетическая чувствительность играетъ роль того тонкаго рѣшета, о которомъ я говорилъ выше, и теперь для насъ должно быть достаточно понятно, почему тотъ, кто лишенъ ея, никогда не будетъ истиннымъ творцомъ.

Однако еще не всѣ трудности устранены; сознательное я узко ограничено, что же касается я сублиминальнаго, то мы не знаемъ его границъ, почему намъ и кажется возможнымъ предположеніе, будто бы оно въ состояніи образовывать въ короткій срокъ различныхъ комбинацій больше, чѣмъ ихъ могло бы воспринять сознательное существо въ теченіе всей своей жизни. Тѣмъ не менѣе, эти границы существуютъ; вѣроятно ли, чтобы я сублиминальное могло образовать всѣ возможныя комбинаціи, отъ одного числа которыхъ приходитъ въ ужасъ

наше воображеніе; тѣмъ не менѣе, казалось бы, это—необходимо, ибо, если оно производитъ лишь небольшую часть ихъ и если оно творитъ ихъ случайно, то какая же надежда можетъ быть на то, что хорошая комбинація, та именно, которую надо выбрать, окажется среди этого небольшого числа случайно созданныхъ комбинацій?

Быть-можетъ, намъ все объяснитъ первый періодъ предварительной сознательной работы, всегда предшествующій всякой плодотворной безсознательной работѣ? Я прибѣгну къ простому сравненію. Пусть элементы нашихъ будущихъ комбинацій представляютъ собою нѣчто, похожее на крючкообразные атомы Эпикура. Тогда, во время полнаго отдыха ума, эти атомы неподвижны, они, скажемъ, висятъ на стѣнѣ; и этотъ полный покой можетъ продолжаться неопредѣленно долго, при чемъ эти атомы не будутъ встрѣчаться другъ съ другомъ, а, слѣдовательно, никакія комбинаціи изъ нихъ не могутъ возникнуть. Наоборотъ, въ періодъ видимаго покоя ума и невидимой безсознательной работы, нѣкоторые изъ атомовъ уже сняты со стѣны и пущены въ движеніе. Они бороздятъ во всѣхъ направленіяхъ пространство—я хотѣлъ сказать: то пространство, въ которомъ они заключены — подобно, напримѣръ, тучѣ мошекъ или, если угодно болѣе ученое сравненіе, подобно газовымъ молекуламъ въ кинетической теоріи газовъ. Теперь ихъ взаимныя столкновенія могутъ повести къ образованію новыхъ комбинацій.

Какою же должна быть роль предварительной сознательной работы? Очевидно, мобилизовать нѣкоторые изъ этихъ атомовъ, снять ихъ со стѣны и пустить въ движеніе. Можно подумать, что тутъ ничего хорошаго не сдѣлано, ибо мы шевелили элементы на тысячу ладовъ, чтобы какъ-нибудь добраться до ихъ соединенія, и никакой удовлетворительной комбинаціи не получили. Но вѣдь послѣ того, какъ они приведены въ движеніе нашей волей, они не возвращаются къ покою. Они продолжаютъ свободно свой танецъ.

И такъ какъ наша воля выбрала атомы не случайно, а преслѣдовала совершенно опредѣленную цѣль, то въ числѣ мобилизованныхъ элементовъ будутъ не какіе-нибудь атомы: это будутъ тѣ, отъ которыхъ есть основаніе ожидать искомаго рѣшенія. Мобилизованные элементы будутъ претерпѣвать столкновенія, вслѣдствіе чего и будутъ образовываться комбинаціи, либо изъ этихъ элементовъ, либо изъ нихъ и другихъ атомовъ, бывшихъ неподвижными и приведенныхъ въ движеніе толчками первыхъ.

Еще разъ прошу извинить меня; мое сравненіе слишкомъ грубо, но я положительно не знаю, какъ бы я могъ иначе пояснить свою мысль.

Какъ бы то ни было, шансы на образованіе имѣютъ только такія комбинаціи, въ которыхъ въ число элементовъ войдетъ, по крайней мѣрѣ, одинъ изъ атомовъ, свободно выбранныхъ нашей волей. Отсюда ясно, что именно среди нихъ должна находиться комбинація, которую я только что назвалъ хорошей. Быть-можетъ, это обстоятельство послужитъ къ ослабленію того, что было пародоксальнымъ въ первоначальной гипотезѣ.

Еще одно наблюденіе. Никогда не случается, чтобы безсознательная работа дала въ совершенно законченномъ видѣ результатъ такого вычисленія, которое и довольно длинно, и производится на основаніи точно установленныхъ правилъ. Можно было бы думать, что я сублиминальное, дѣйствующее вполнѣ автоматично, въ особенности приспособлено къ такого рода почти исключительно механической работѣ. Казалось бы, что, думая вечеромъ о множителяхъ нѣкотораго умноженія, можно было бы надѣяться, что утромъ, при пробужденіи, найдешь вполнѣ готовое произведеніе, или, еще лучше, что алгебраическое вычисленіе, напримѣръ, какая-нибудь повѣрка, можетъ производиться безсознательно. Но ничего этого нѣтъ, какъ показываетъ наблюденіе. Самое большое, чего можно ожидать отъ этихъ озареній, какъ результата безсознательной работы, это — удачнаго выбора отправной точки въ подобныхъ вычисленіяхъ; что же касается самихъ вычисленій, то они должны выполняться во время второго періода сознательной работы, слѣдующаго за озареніемъ, когда провѣряются результаты, принесенные озареніемъ, и выводятся изъ нихъ слѣдствія. Правила этихъ, вычисленій тонны и сложны; они требуютъ дисциплины, вниманія, воли и, слѣдовательно, сознанія. Во владѣніяхъ я сублиминальнаго царствуетъ, наоборотъ, то, что я назвалъ бы свободой, если бы можно было дать это имя простому отсутствію дисциплины и порождаемому случаемъ безпорядку. Но именно этотъ безпорядокъ и приводитъ къ неожиданнымъ соединеніямъ.

Наконецъ послѣднее замѣчаніе: излагая выше нѣсколько личныхъ наблюденій, я говорилъ объ одной ночи возбужденія, когда работа моя шла какъ бы помимо самого меня; подобные случаи встрѣчаются часто, при чемъ вовсе нѣтъ необходимости, чтобы ненормальная мозговая дѣятельность была обусловлена физическимъ возбужденіемъ, какъ въ приведенномъ мною случаѣ. Кажется тогда, что самъ присутствуешь при своей собственной безсо-

знательной работѣ, которая отчасти ощущается чрезмѣрно возбужденнымъ сознаніемъ, не мѣняя, однако, отъ этого своей природы. И при этомъ смутно сознаешь различіе между двумя механизмами, или, если угодно, между методами работы двухъ я. Итакъ, психологическія наблюденія, которыя я могъ сдѣлать, какъ мнѣ кажется, подтверждаютъ въ общихъ чертахъ высказанные мною взгляды.

Конечно, они и еще будутъ очень нуждаться въ подтвержденіи, ибо пока они остаются только гипотезой: но интересъ вопроса такъ великъ, что я не раскаиваюсь, что подѣлился моими взглядами съ читателемъ.

Знаменитые счетчики: Иноди (Inaudi), Діаманди и Ферроль.

(Н. Тичеръ. „Народное образованіе“, іюль —августъ 1904 г.).

Есть люди, отличающіеся необыкновенной способностью къ счисленію; таковы, напр. стяжавшіе всесвѣтную извѣстность счетчики Иноди и Діаманди; къ нимъ нужно присоединить Ферроля, необыкновенныя вычислительныя способности котораго недавно изслѣдованы психологомъ Ф. Кемзисомъ въ Германіи1).

Громадныя вычисленія, производимыя этими счетчиками въ умѣ съ поразительной быстротой, объясняются необыкновенной памятью къ числамъ, которой они одарены отъ природы; эта прирожденная память возбуждала въ нихъ еще въ дѣтскихъ лѣтахъ особую любовь къ числамъ и къ дѣйствіямъ надъ числами. Такая память у нихъ наслѣдственна. Такъ, Ферроль говоритъ о своей матери, что она, во время беременности имъ, должна была вслѣдствіе хозяйственныхъ занятій очень много считать и вычислять. Онъ же сообщаетъ, что его мать вообще обладала выдающимся даромъ къ счисленію, такъ что онъ отъ нея получилъ превосходное первоначальное обученіе счету. Мать Діаманди также обладала выдающейся памятью. Относительно своихъ сестеръ Ферроль говоритъ, что онъ долгое время не могъ сравняться съ ними по успѣшности умноженія. Изъ четыр-

1) Въ настоящее время на поприщѣ быстраго счета подвизается русскій уроженецъ города Конотопа. Черниговской губ., г. Арраго. Его „сеансы“ возбуждаютъ удивленіе публики и газетъ.

надцати сестеръ Діаманди двѣ отличались такимъ же талантомъ счисленія, какъ и онъ, но на развитіе таланта не обращали вниманія.

Хотя необыкновенное умѣнье вычислять у всѣхъ указанныхъ счетчиковъ основывается на врожденной памяти, но тѣмъ не менѣе они вычисляютъ неодинаково. Дѣло въ томъ, что самая память у нихъ дѣйствуетъ различно. Вообще, у людей память бываетъ разная: зрительная (оптическая), слуховая (акустическая), двигательная (моторная) и акустически-моторная.

Каждый можетъ легко представить, что такое, напр., акустическая память. Стоитъ только вызвать въ умѣ какое-нибудь яркое воспоминаніе, напр., жаркій споръ, бывшій недавно. При воспоминаніи объ этомъ спорѣ, мы внутренно какъ будто слышимъ слова, произнесенныя въ спорѣ, представляемъ самый тонъ, которымъ они были произнесены; внутренно слышимъ голоса и слова другихъ спорщиковъ; такая память, которая дѣйствуетъ при помощи прежде полученныхъ слуховыхъ образовъ, и называется акустическою. Но еще чаще мы мыслимъ посредствомъ внутренней рѣчи. Напр., при воспоминаніи какого — нибудь стихотворенія или прозаическаго отрывка, мы внутренно произносимъ слова; при этомъ даже замѣчаемъ въ себѣ чуть замѣтныя движенія голосовыхъ органовъ и губъ. Эта память, основывающаяся на воспоминаніи двигательныхъ ощущеній, называется двигательною или

Оказывается, что у Иноди, именно, акустически-моторная память. Онъ вычисляетъ незрительно, а при вычисленіи пользуется внутренною рѣчью: онъ говоритъ и слышитъ числа. Въ дѣтствѣ Иноди былъ пастухомъ, безъ всякаго школьнаго обученія и не зналъ грамоты до 14 лѣтъ. Шести лѣтъ началъ онъ попытки считать при помощи старшаго брата, который говорилъ ему числа. Уже семи лѣтъ онъ перемножалъ въ умѣ числа изъ 15 цифръ. Онъ никогда не чувствовалъ нужды въ томъ, чтобы представлять числа или дѣйствія надъ ними при помощи камешковъ или вообще какихъ-либо наглядныхъ пособій. Долгое время онъ вмѣстѣ съ братомъ ходилъ по трактирамъ, гдѣ Иноди зарабатывалъ деньги счетомъ, а братъ—игрой на шарманкѣ; въ 1880 году онъ явился въ Парижъ; здѣсь его изслѣдовали Брока, Шарко и Бинэ; но и тогда онъ еще не умѣлъ читать и писать. Дарованіе и интересы его были въ то время совершенно односторонни. О его способностяхъ съ психологической точки зрѣнія нужно сказать слѣдующее. Иноди обычно выступаетъ передъ публикой съ умноженіями громадныхъ чиселъ, перемножаетъ, напр., два числа изъ 16,

изъ 20 и даже 24 знаковъ. Онъ производитъ вычисленіе въ умѣ, а позади его въ это время импрессаріо производитъ тѣ же дѣйствія надъ числами на большой доскѣ. Онъ не смотритъ на числа, задачу нужно бываетъ ему сказать устно, взглядъ на цифры даже путаетъ его. При вычисленіи онъ не боится никакой помѣхи или перерыва; чтобы публика не скучала, онъ даже самъ вызываетъ такіе перерывы, прося присутствующихъ сказать ему годъ и дату рожденія и тутъ же вычисляетъ день недѣли, на который приходится рожденіе; такимъ образомъ, кажется, что все это побочное вычисленіе онъ дѣлаетъ во время главнаго заданнаго ему вычисленія. Но на самомъ дѣлѣ, какъ показалъ проф. Мейманъ, онъ не можетъ за разъ вести двухъ вычисленій; на моментъ онъ прерываетъ главное вычисленіе и далѣе послѣ перерыва продолжаетъ его съ того пункта, на которомъ онъ его оставилъ.

Всего болѣе поражаетъ Иноди, по сравненію съ обыкновеннымъ человѣкомъ, своею изумительно громадной памятью чиселъ. Онъ можетъ спустя часъ повторить наизусть всѣ дѣйствія, какія онъ производилъ передъ публикой надъ числами, которыхъ было около 300; онъ даже можетъ это сдѣлать на слѣдующій день, хотя бы вовсе не былъ предупрежденъ о томъ заранѣе. Эти сотни чиселъ, надъ которыми ему пришлось дѣйствовать, онъ вспоминаетъ послѣ сеанса вполнѣ свободно, безъ всякихъ вспомогательныхъ средствъ, потому что вслѣдствіе сильнаго душевнаго возбужденія во время сеанса эти числа крѣпко запечатлѣваются въ его памяти. Если предъ нимъ одинъ разъ произнесутъ числа и заставятъ его ихъ вспомнить, то онъ можетъ вспомнить и безошибочно воспроизвести до 42 сказанныхъ ему чиселъ (обычно человѣкъ можетъ запомнить въ такомъ случаѣ самое большее до 13 чиселъ). Но въ другихъ отношеніяхъ память его гораздо слабѣе; онъ, напр., можетъ воспроизвести только отъ 6 до 7 буквъ, а изъ сказаннаго стихотворенія запоминаетъ только немного словъ, его запоминаніе музыкальной пьесы, формъ и красокъ стоитъ ниже уровня обыкновенной памяти. Замѣчательно то, что Иноди обладаетъ также хорошею зрительной памятью, но не пользуется ею при вычисленіяхъ. Напр., ему чертили сѣтку, въ квадратикахъ которой расположены 12 согласныхъ буквъ, онъ просматриваетъ ихъ, но воздерживается при этомъ отъ всякого голосового движенія, значитъ, не произноситъ ихъ; въ результатѣ оказывается, что изъ 12 буквъ онъ можетъ зрительно запомнить 7 и указать, въ какомъ квадратикѣ какая буква находится, какъ показано въ прилагаемыхъ таблицахъ I и II. Такою памятью Иноди

превосходитъ обыкновеннаго человѣка, хотя бы съ высшимъ образованіемъ.

Иноди читаетъ:

Иноди запоминаетъ:

Табл. I.

Табл. II.

Если Иноди помогаетъ себѣ нѣкоторыми разсудочными средствами, то онъ можетъ запомнить въ десять разъ больше сравнительно съ чисто механической памятью. Эббингаусъ то же самое установилъ по отношенію къ обыкновенной средней памяти. И вообще изъ опытовъ Бинэ видно, что память этихъ замѣчательныхъ счетчиковъ вполнѣ слѣдуетъ тѣмъ же самымъ законамъ, какимъ слѣдуетъ память нормальнаго человѣка средняго дарованія; только результаты работы сравнительно повышаются.

Какъ работаетъ акустически-моторная память Иноди? Иноди сказанныя ему или написанныя числа тихо произноситъ про себя яснымъ движеніемъ голосовыхъ органовъ, и такимъ образомъ онъ запечатлѣваетъ для себя послѣдовательные ряды сказанныхъ цифръ; а при вычисленіяхъ онъ воспроизводитъ, постоянно произнося вновь послѣдовательно запечатлѣнные ряды. Никогда онъ не созерцаетъ сразу много чиселъ. Отсюда основаніемъ всего его счета является умноженіе, такъ какъ именно это ариѳметическое дѣйствіе представляетъ въ собственномъ смыслѣ послѣдовательное вычисленіе.

Правда, онъ рѣшаетъ задачи и дѣленіе трехзначныхъ и большихъ чиселъ, но при этомъ не производитъ дѣленія, а просто на основаніи своего обширнаго опыта догадывается о результатѣ и повѣряетъ этотъ результатъ при помощи изумительно быстраго умноженія.

Болѣе точнымъ образомъ процессъ его работы выясняется на основаніи экспериментовъ. Бинэ заставлялъ Иноди пѣть одну ноту во время самаго вычисленія, чтобы этимъ ввести въ его работу акустически-моторное затрудненіе; но вслѣдствіе этого онъ не терялъ способности вычислять, а только употреблялъ для того же вычисленія двойное время. Проф. Мейманъ сдѣлалъ надъ нимъ слѣдующій опытъ: заставилъ Иноди вычислять большое число задачъ, которыя представляли приблизительно одинаковую трудность: возвышать въ третью степень двузначное число, большее 40. На примѣрѣ многихъ задачъ узнавши, сколько

ему требуется времени въ среднемъ, Мейманъ вводилъ поперемѣнно акустическія и моторныя препятствія, при помощи которыхъ можно было бы установить его типъ представленія. Прежде всего заставляли ударять за разъ нѣсколько метрономовъ; но это нисколько не мѣшало его вычислительной работѣ. Послѣ того Иноди вычислялъ, вытянувши языкъ и твердо придерживая его между зубами, вслѣдствіе чего затрудняется внутренняя рѣчь. При такомъ затрудненіи та же работа потребовала въ три раза больше времени. Время еще больше увеличивалось, когда онъ вычислялъ, высунувши языкъ. Тогда Мейманъ положилъ на языкъ и кадыкъ Иноди регистрирующій аппаратъ и графически перенесъ его движенія рѣчи на вращающійся барабанъ. Оказалось, что у него все вычисленіе сопровождается весьма равномѣрно текущими слабыми движеніями рѣчи. Послѣ этого становится неудивительнымъ заявленіе Иноди, что онъ замѣтно плоше считаетъ, когда находится въ разгоряченномъ состояніи. Послѣ этихъ опытовъ несомнѣнно, что онъ принадлежитъ, по характеру своей памяти, къ преобладающе моторному типу. Съ другой стороны, по его собственнымъ признаніямъ, несомнѣнно то, что онъ внутренно слышитъ сказанныя числа. Однако, если бы онъ былъ чисто слуховымъ счетчикомъ, то его можно было бы спутать посредствомъ шумныхъ звуковъ. Этого не происходитъ потому, что его поддерживаютъ движенія рѣчи.

Сравнимъ теперь съ изложенной характеристикой вычисленіе Діаманди. Въ отличіе отъ Иноди онъ принадлежитъ къ образованному и зажиточному семейству, родился въ 1880 г. на греческомъ островѣ Пиларосѣ и долгое время былъ хлѣбнымъ торговцемъ, говоритъ на 8 языкахъ. Однажды, случайно принужденный вычислять очень большія числа въ умѣ, онъ обратилъ вниманіе на свою необыкновенную способность къ вычисленіямъ. По торговымъ дѣламъ онъ попалъ въ Парижъ, гдѣ тогда Иноди возбуждалъ своими способностями большой интересъ въ ученомъ мірѣ. Шарко и Бинэ развили талантъ Діаманди и подвергли его изслѣдованію и опытамъ.

Сила памяти Діаманди также замѣчательна. Во время опытовъ ему пишутъ на доскѣ сѣтку изъ 5 рядовъ, въ каждомъ до 5 цифръ. Немного посмотрѣвши на эту таблицу, Діаманди уже запоминаетъ все: онъ можетъ безошибочно и наизусть сказать всѣ цифры справа и слѣва, снизу вверхъ и по спирали совнѣ во внутрь. Онъ можетъ назвать какое угодно изъ этихъ чиселъ, если ему будетъ сказано мѣсто въ квадратѣ, въ которомъ оно стоитъ. Послѣ краткаго со-

обращенія онъ можетъ сразу сказать произведеніе двухъ многозначныхъ, напр., шестизначныхъ чиселъ1).

Свой счетъ Діаманди очень хорошо характеризуетъ самъ, говоря, что при вычисленіи онъ видитъ числа „какъ бы сфотографированными" на доскѣ и внутренно читаетъ ихъ. Безспорно, что онъ считаетъ чисто зрительнымъ образомъ; однако это „фотографированіе" чиселъ нельзя, конечно, понимать въ томъ смыслѣ, что числа просто отображаются въ мозгу Діаманди подобно тому, какъ образъ предмета получается на фотографической пластинкѣ, или какъ предметъ отражается въ спокойно стоящей водѣ. Прежде всего, на основаніи опытовъ установлено, что Діаманди также поставленъ бываетъ въ затрудненіе, когда препятствуютъ ему внутренно говорить во время самаго вычисленія; но это затрудненіе незначительно, онь можетъ, такъ сказать, вычислять глазами, когда во время самого рѣшенія задачи заставляютъ его считать при ударѣ метронома 1,1,1... Въ отличіе отъ Иноди, который никогда не видитъ задачъ, а всегда заставляетъ сказать ихъ ему, Діаманди требуетъ, чтобы было написано то, что ему задаютъ для работы; далѣе слѣдуютъ два интересныя, ясно различимыя другъ отъ друга, дѣйствія: онъ бросаетъ быстрый взглядъ на написанную для него задачу, закрываетъ глаза и далѣе оживляетъ для себя внутренно видимый образъ числа. Когда оно достигнетъ полной ясности, начинается вычисленіе. Изъ этого видно, что образъ чиселъ не просто фотографируется въ мозгу Діаманди. Посмотрѣвши на написанныя цифры, онъ внутренно долженъ представить ихъ въ видѣ цифръ своего собственнаго почерка, и при помощи этихъ образовъ вычисляетъ. Иначе мнѣніе Діаманди о томъ, что цифры внутренно отражаются безъ всякой переработки такъ, какъ онъ ихъ видѣлъ, было бы грубымъ противорѣчіемъ ученію современной психологіи о репродукціи чувственныхъ впечатлѣній. Работа нашей памяти никогда не состоитъ въ одномъ только фотографически вѣрномъ отображеніи того, что изображается оптическимъ процессомъ на сѣтчаткѣ глаза. Одного раздраженія зрительнаго нерва и передачи этого раздраженія къ центральнымъ частямъ мозга не достаточно для усвоенія зрительныхъ впечатлѣній. Всякое новое впечатлѣніе должно еще быть усвоено нашимъ сознаніемъ, должно быть поставлено въ связь съ привычными намъ и прежде полученными представленіями; иначе оно безслѣдно исчезаетъ изъ памяти. Отсюда воспроизведеніе какого-либо впечатлѣнія можетъ

1) См. протоколы Берлинскаго Психологическаго Общества въ Zeitschr. für Pädagog. Psychologie. 1903.

происходить только посредствомъ прежнихъ ассимилирующихъ представленій. Правда, можетъ быть достигнуто неизмѣнное и полное воспроизведеніе сложнаго зрительнаго воспріятія, но оно достигается только, въ концѣ-концовъ, и только въ высшей степени приближенія, оно достигается путемъ многочисленныхъ актовъ апперцепціи, которые послѣдовательно все больше и больше дополняютъ другъ друга, исправляютъ и контролируютъ согласно съ даннымъ воспріятіемъ. На примѣрѣ Діаманди видно, что его память хотя и дѣйствуетъ по преимуществу зрительно, но все же не „фотографируетъ" въ собственномъ смыслѣ цифры, ему нужно много отдѣльныхъ актовъ апперцепціи, если онъ хочетъ вѣрно воспроизвести какой-либо зрительный образъ. Бинэ въ этомъ отношеніи сдѣлалъ слѣдующій опытъ: онъ написалъ рядъ цифръ чернилами различныхъ цвѣтовъ, и поставилъ Діаманди задачу запомнить не только цифры, но свѣта ихъ. Если бы при этомъ работа Діаманди была бы только „фотографированіемъ", то тогда онъ и цифры и ихъ цвѣта запечатлѣлъ бы и запомнилъ за разъ однимъ актомъ. Но на самомъ дѣлѣ этого онъ не могъ выполнить, для этого ему потребовалось два отдѣльныхъ дѣйствія: сначала онъ запомнилъ цифры, а, прочитавши во второй разъ, запомнилъ цвѣта, какими цифры были написаны. Значитъ, было бы заблужденіемъ, относительно работы зрительной памяти при вычисленіяхъ полагать, что будто счетчикъ съ такой памятью можетъ во время вычисленія представить себѣ доску и внутренно читать на ней написанныя цифры, подобно тому, какъ онъ читаетъ глазами на дѣйствительной доскѣ. Наоборотъ, путемъ послѣдовательныхъ актовъ апперцепціи, съ которыми обычно связывается только значеніе, количественный смыслъ чиселъ, онъ создаетъ чисто субъективный, внутренно созерцаемый числовой образъ; и это внутреннее созерцаніе позволяетъ ему, хотя только въ извѣстномъ (ограниченномъ) объемѣ, сразу обхватить много цифръ внутреннимъ взоромъ. Дѣйствія вычисленія и производятся съ помощью такихъ образовъ той или другой группы цифръ, сразу „созерцаемой" въ сознаніи.

Такимъ образомъ мы видимъ, что у Иноди и Діаманди память дѣйствуетъ неодинаково; у перваго память акустически-моторная, а у второго зрительная. Спрашивается, на чьей сторонѣ преимущество, какая память дѣйствуетъ лучше. Если работа обоихъ счетчиковъ различается по своимъ результатамъ: одинъ можетъ сдѣлать больше, другой меньше, то подобное различіе нельзя, конечно, прямо приписывать типу памяти; потому что это различіе можетъ

зависѣть отъ неодинаковости дарованій у счетчиковъ, а не отъ различія въ самомъ типѣ памяти. Но все же по нѣкоторымъ результатамъ работы и фактамъ можно судить о выгодахъ того и другого типа памяти.

Прежде всего оказывается, что при простомъ вычисленіи Иноди гораздо быстрѣе дѣйствуетъ, чѣмъ „оптикъ“ Діаманди. Въ этомъ отношеніи большое различіе между ними обнаруживается уже при усвоеніи задачи. Иноди задачу предварительно говорятъ, и послѣ этого онъ тотчасъ начинаетъ вычислять; а у Діаманди, наоборотъ, проходитъ замѣтное время, пока онъ написанную для него задачу не разовьетъ съ полною ясностью внутренно. Также и дѣйствія у Иноди текутъ гораздо быстрѣе, и это должно приписать его акустически-моторному типу, тѣмъ болѣе, что вообще-то математическій талантъ у Діаманди гораздо больше, чѣмъ у Иноди. Выговариваніе и воспроизведеніе акустически-моторныхъ рядовъ, значеніе которыхъ твердо ассоціировано, идетъ быстрѣе, чѣмъ развитіе зрительныхъ представленій; значитъ, акустически — моторный счетчикъ болѣе быстръ, а зрительный работаетъ медленнѣе. Простой рядъ изъ 25 цифръ Діаманди усвоиваетъ въ 3 минуты, а Иноди только въ 45 секундъ. Но зато зрительная память въ другомъ отношеніи превосходитъ акустически-моторную. При вычисленіяхъ мы не всегда работаемъ только посредствомъ абстрактныхъ чиселъ. Нерѣдко математическія дѣйствія приходится связывать съ наглядными величинами, напр., въ простой и высшей геометріи, въ работахъ съ уравненіями, когда имѣется въ виду отношеніе къ кривой, и въ другихъ многихъ прикладныхъ вычисленіяхъ. Но всякій разъ, когда получаетъ значеніе хотя бы только простой пространственный распорядокъ чиселъ, быстрота того и другого типа является обратной: зрительный типъ вычисляетъ гораздо скорѣе акустически-моторнаго. Діаманди легко можетъ запомнить цифры, написанныя въ формѣ квадрата или спирали, въ этомъ именно ихъ положеніи, и въ какомъ угодно распорядкѣ онъ можетъ вычислять при помощи ихъ, такъ какъ онъ цифры видитъ внутренно; Иноди это не въ силахъ сдѣлать, и если дѣлаетъ, то съ помощью трудныхъ и сложныхъ вспомогательныхъ дѣйствій. Отсюда видно, что какъ та, такъ и другая память одинаково важны и имѣютъ свои преимущества, и человѣкъ, желающій развить свою память, долженъ поработать надъ матеріаломъ всѣхъ чувствъ, по краймей мѣрѣ съ элементами зрѣнія и слуха, т.-е. съ внутренно слышимыми и внутренно созерцаемыми словами.

Ферроль отличается отъ Иноди и Діаманди тѣмъ, что при его вычисленіяхъ кромѣ громадной памяти участвуетъ еще логическая сообразительность; такимъ образомъ, онъ можетъ быть признанъ не только замѣчательнымъ механическимъ счетчикомъ, но и виртуозомъ своего дѣла, ибо онъ можетъ творчески работать въ своей области.

Память у него, какъ и Діаманди, зрительная. Когда онъ выслушаетъ рядъ сказанныхъ ему чиселъ, надъ которыми требуется произвести какое-нибудь дѣйствіе, то эти слуховые образы исчезаютъ, а вмѣсто нихъ въ сознаніи появляются соотвѣтствующіе графическіе знаки въ формѣ цифръ собственнаго почерка. Это замѣщеніе однихъ образовъ воспоминанія другими Ферроль описываетъ самъ слѣдующимъ образомъ: „Когда я воспринимаю слухомъ произносимыя мнѣ числа и въ то же время сосредоточиваю свое вниманіе до максимальной степени напряженія, при чемъ я машинально подношу руку ко лбу, какъ будто желая что-то разсмотрѣть точнѣе, то въ этотъ моментъ цифры въ названномъ порядкѣ проходятъ въ полѣ моего зрѣнія". Если для запоминанія ему даютъ послѣдовательный рядъ цифръ, при чемъ послѣ каждыхъ четырехъ или каждыхъ восьми цифръ бываютъ поставлены запятыя, то такія группы цифръ для его сознанія „оживляются и производятъ пріятное впечатлѣніе" и легко воспоминаются правильно всѣ вмѣстѣ. Пріятность впечатлѣнія получается отъ того, что эти цифры, соединенныя въ числовыя группы, онъ внутренно созерцаетъ раскрашенными; напряженно вспоминая, напр., какое-нибудь число, онъ видитъ 1 черной на бѣломъ полѣ, 6 на желтомъ полѣ, 7 на красномъ, 8 на фіолетовомъ; значитъ, все поле зрѣнія, въ которомъ проходятъ воспоминаемыя имъ цифры, кажется въ томъ или другомъ порядкѣ расцвѣченнымъ. Кромѣ того, при запоминаніи цифръ онъ соединяетъ ихъ по двѣ. Посему, при воспроизведеніи у него цифры иногда переставляются попарно, одна пара вмѣсто другой. Если Ферроль употребляетъ нѣкоторыя мнемотехническія средства, то онъ можетъ сразу замѣтить и воспроизвести правильно до 700 цифръ, но и это не есть предѣлъ его способности запоминанія; у него, теоретически разсуждая, нѣтъ границы запоминающей способности.

Для изслѣдованія памяти къ звукамъ и числамъ былъ устроенъ, между прочимъ, такой опытъ надъ Ферролемъ. Была приготовлена таблица изъ 12 слоговъ, расположенныхъ въ порядкѣ 3×4 (см. табл. III). Всѣ 12 слоговъ этой таблицы произносились предъ Ферролемъ въ теченіе 9 секундъ, при чемъ послѣдній слогъ ряда произносился съ удареніемъ. Всякій разъ, тотчасъ послѣ произнесенія, Фер-

роль писалъ въ такой же сѣткѣ тѣ слоги, которые ему удалось запомнить. Оказалось, что послѣ 5 повтореній онъ могъ уже всю таблицу вспомнить и написать безошибочно. Когда вмѣсто слоговъ взяты были двузначныя числа (табл. IV), то онъ послѣ двухкратнаго произнесенія уже запоминалъ всю таблицу. Замѣчательна вѣрность памяти, какою отличается Ферроль: разъ изученныя числа, слоги безъ значенія и такія же слова онъ запоминаетъ на очень долгое время. Такъ, таблица III въ первый разъ была имъ усвоена 27 января 1901 г., затѣмъ 30 января 1901 г. онъ, выслушавши ее одинъ разъ, воспроизвелъ всю безъ ошибки, наконецъ спустя годъ и 7 мѣсяцевъ онъ самостоятельно, безъ подсказа, могъ сказать наизусть половину этой таблицы (см. табл. V), а выслушавши одинъ разъ, воспроизвелъ ее всю въ цѣлости.

Табл. III.

Табл. IV.

Табл. V.

Ферроль утверждаетъ, что онъ при вычисленіи не считаетъ, въ собственномъ смыслѣ этого слова, и „сразу видитъ сумму двухъ чиселъ при первомъ взглядѣ“ помимо своей воли и сознанія; воспринимая два числа, онъ тотчасъ и въ то же время представляетъ ихъ разность, ихъ произведеніе, частное отъ дѣленія одного на другое, среднее ариѳметическое между ними, логариѳмы ихъ и т. д.; всѣ эти новыя, примышляемыя имъ, данныя онъ внутренно видитъ занимающими мѣсто въ извѣстныхъ направленіяхъ отъ данныхъ для вычисленія чиселъ.

Ферроль думаетъ, что быстрота его вычисленій надъ двухзначными и трехзначными числами зависитъ отъ того, что у него есть особый способъ счета, въ отличіе отъ другихъ людей; для него результаты ариѳметическихъ дѣйствій какъ бы „возникаютъ сами собою", онъ не вычисляетъ, а скорѣе „чувствуетъ", „ощущаетъ" то, что должно получиться отъ даннаго ариѳметическаго дѣйствія.

Намъ кажется въ высшей степени интересно и даже важно въ педагогическомъ отношеніи поближе вникнуть въ тотъ способъ производства ариѳметическихъ дѣйствій, который характеризуетъ работу Ферроля.

Ферроль производитъ въ умѣ дѣйствія надъ числами въ предѣлѣ до 1.000.000 и даже свыше этого предѣла, если въ вычисленія вводятся „сокращенія"; кромѣ умственнаго счета, онъ пользуется записью, которая единственно состоитъ въ томъ, что онъ записываетъ, начиная съ единицъ, результатъ производимаго въ умѣ вычисленія.

Примѣры вычисленій.

Подобнымъ образомъ Ферроль вычисляетъ и тогда, когда перемножаемыя числа заключаютъ большое число знаковъ. Нужно замѣтить, что подобнымъ же способомъ вычисленія пользуется и Діаманди.

Возьмемъ примѣръ для умственнаго вычисленія

Ферроль утверждаетъ, что узнать единицы (изъ единицы X единицы) и узнать сотни (изъ десятковъ X десятки) не составляетъ никакого труда, не требуетъ времени. Остается только опредѣлить десятки изъ единицъ X десятки, посему онъ и начинаетъ съ нихъ:

Сюда же присоединяются прежде узнанныя сотни и единицы, получается 372.

Если числа крупныя, то получившіяся отъ перемноженія единицъ десятки относятся къ десяткамъ, а сотни относятся къ сотнямъ; напр., (8 × 4)(7 × 2) = 6 десяткамъ и 4 сотнямъ;

Примѣры сокращеній.

Эти четыре примѣра отличаются тѣмъ, что въ каждомъ изъ нихъ двѣ цифры одинаковы, вслѣдствіе чего умноженіе можетъ быть сокращено. Вмѣсто того, чтобы вычислять десятки такимъ образомъ:

дѣйствуемъ такъ:

Отъ умноженія получаются: 384, 483, 682, 286.

Если въ подобныхъ числахъ сумма цифръ = 10, возможны еще новыя сокращенія:

Вмѣсто того, чтобы вычислять десятки такъ:

можно вычислить по вышеуказанному:

но въ этомъ случаѣ можетъ быть и второй способъ сокращенія, заключающій въ себѣ первый, именно:

При второй задачѣ:

соображаемъ сокращенно такъ:

При третьей задачѣ:

вычисляемъ:

При четвертой задачѣ:

Подобныя сокращенія возможны и тогда, когда сумма перемножаемыхъ чиселъ съ одинаковыми цифрами равняется не 10, а 20, 30 и т. д.

Въ заключеніе нельзя не указать нѣкоторыхъ особенностей изъ психической жизни указанныхъ знаменитыхъ счетчиковъ. Всѣ они отъ чиселъ и цифръ испытываютъ напряженное духовное возбужденіе; это возбужденіе охватываетъ всѣ ихъ представленія, ихъ настроеніе, ихъ волю; короче говоря, оно проникаетъ всю ихъ жизнь и даже не прерывается во время сна. Они видятъ во снѣ числа и притомъ съ такой чувственной ясностью и живостью, что послѣ пробужденія вспоминаютъ всѣ дѣйствія надъ ними со всѣми подробностями. Съ Ферролемъ нерѣдко случается, что поутру онъ находитъ въ своемъ умѣ готовымъ рѣшеніе трудной задачи, надъ которой трудился вечеромъ. Во время дня окружающая обстановка, какой бы шумной она ни была, нисколько не мѣшаетъ Иноди думать надъ числами; онъ въ нихъ вполнѣ погруженъ и находится въ состояніи максимальнаго напряженнаго вниманія. Если его прервутъ, то вычисленіе остается въ памяти. Во время разговора Иноди продолжаетъ вычислять, хотя и медленнѣе. Подобнымъ же образомъ дѣйствуетъ и Ферроль. Можно сказать, что у Иноди и Діаманди талантъ поглощаетъ всю ихъ духовную силу; на этомъ основаніи Бинэ высказалъ нѣкогда даже общее положеніе, что всѣ знаменитые счетчики не имѣютъ силъ къ разработкѣ другихъ наукъ, такъ какъ ихъ спеціальный талантъ совершенно истощаетъ прочіе способности. Но примѣръ Ферроля опровергаетъ это общее положеніе. Ему удается безъ особеннаго труда, путемъ самообученія, вдумываться въ проблемы физики, химіи, біологическихъ наукъ и чистой математики, самостоятельно ставить и рѣшать вопросы. Онъ даже является изобрѣтателемъ нѣсколькихъ электрическихъ, основанныхъ на вычисленіи, измѣрительныхъ приборовъ; онъ часто работаетъ надъ трудными математическими и физическими задачами съ цѣлью разрѣшить ихъ, хотя не обхватываетъ всего ихъ широкаго значенія. Громадная числовая память, врожденная

и наслѣдственная у этихъ людей, еще болѣе развивается ежедневнымъ упражненіемъ и интересомъ, который заставляетъ углубляться въ предметъ больше и больше. Но и на этихъ талантахъ обнаруживается необходимость постоянныхъ упражненій и привычки. Ферроль говоритъ, что если онъ на нѣсколько мѣсяцевъ отъ привычнаго своего занятія отвлечется, то послѣ этого при вычисленіяхъ онъ уже чувствуетъ нѣкоторую неувѣренность и долженъ употреблять большее напряженіе, чтобы рѣшить ту или другую задачу. Если же упражненія идутъ безъ перерыва, то онъ дѣлаетъ успѣхи какъ по отношенію къ разнообразію вычисленій, такъ и въ отношеніи методовъ. Случайное настроеніе также вліяетъ на успѣшность работы. Такъ, Діаманди, да и остальные счетчики, не разъ заявляли въ томъ или другомъ случаѣ, что они „не въ расположеніи" и посему не вычисляютъ съ такимъ успѣхомъ и легкостью, какъ бы имъ хотѣлось.

Ариѳметическія забавы.

(С. А. Рачинскій. „Народное образованіе“, мартъ, 1900 г.).

Въ то время, когда я занимался преподаваніемъ въ сельской школѣ, я постоянно удивлялъ своихъ товарищей-учителей тою быстротою, доходившею до мгновенности, съ коею я изобрѣталъ сложныя ариѳметическія задачи, умственныя и письменныя, на числа многозначныя, даже громадныя. Что же касается до ребятъ, то они моему умѣнію нисколько не удивлялись, а настойчиво требовали, чтобы я каждому изъ нихъ задалъ задачу отдѣльную. Въ этомъ они были совершенно правы, ибо каждому доставалась задача, въ точности ему посильная, которую рѣшить было и полезно и лестно. Злодѣи приходили въ неописанное оживленіе и рѣшали задачи съ быстротою изумительною. Не скрою, что такая гимнастика, при нѣкоторой продолжительности, подчасъ доводила меня до головокруженія, даже до обморока. Но польза отъ такихъ упражненій была несомнѣнная.

До сихъ поръ, многіе учителя обращаются ко мнѣ съ просьбою раскрыть имъ секретъ таковой моей изобрѣтательности. Постараюсь, по мѣрѣ возможности, удовлетворить ихъ желанію.

Секретъ этотъ слагается изъ нѣсколькихъ элементовъ.

Главнымъ изъ нихъ нужно считать знакомство съ числами, т.-е. ясное сознаніе ихъ состава изъ первичныхъ множителей. Но такъ какъ въ знакомствѣ этомъ немалую роль играетъ память, коею я обдѣленъ, я былъ вынужденъ обращать вниманіе на свойства чиселъ, указывающія на ихъ составъ, и на этихъ свойствахъ основывать мои пріемы.

За новизну этихъ пріемовъ не ручаюсь, ибо въ математической литературѣ я мало начитанъ. Но во всякомъ случаѣ, въ учебникахъ пріемы эти не приводятся, и для читателей они могутъ оказаться интересными.

I.

Признакъ дѣлимости, общій всѣмъ числамъ первоначальнымъ. Для того, чтобы узнать, дѣлимо ли данное число на другое, первоначальное, нужно помножить накрестъ де-

Рис. 33. Этотъ снимокъ съ картины художника Богданова-Бѣльскаго представляетъ нашего извѣстнаго педагога Сергѣя Александровича Рачинскаго (1833—1902) въ своей сельской школѣ во время урока ариѳметики. Наибольшей извѣстностью пользуется книга С. А. Рачинскаго: «1001 задача для умственнаго счета».

сятки на единицы испытуемыхъ чиселъ, и одно произведеніе изъ другого вычесть. Въ случаѣ дѣлимости, получается испытуемый дѣлитель или 0.

Возьмемъ примѣры, самые простые:

Конечно, въ большинствѣ случаевъ приходится повторять операцію:

Тотъ же результатъ получается при изображеніи чиселъ по иной системѣ, чѣмъ десятеричная. Возьмемъ для примѣра числа 52 и 13.

Всего удобнѣе операція изображается въ слѣдующемъ видѣ:

Имѣя дѣло съ числами многозначными, можно отчеркнуть и два знака справа. Но въ такомъ случаѣ слѣдуетъ множить на квадраты знаковъ испытуемаго дѣлителя и вычитаніе замѣнить сложеніемъ.

Можно отчеркнуть и три знака. Въ такомъ случаѣ слѣдуетъ множить на кубы знаковъ испытуемаго дѣлителя, и вернуться къ вычитанію.

И такъ далѣе до безконечности, возводя знаки множителя въ степени, соотвѣтствующія числу отчеркнутыхъ знаковъ множимаго, и, при степеняхъ четныхъ, замѣняя вычитаніе сложеніемъ1).

Нахожденіе признака дѣлимости на любое число первоначальное. Признаки дѣлимости на числа первоначальныя безчисленны. Изъ нихъ заслуживаютъ вниманія тѣ, которые составляютъ стройныя системы, легко запоминаемыя. Вотъ

1) Алгебраическій выводъ этого пріема (длинноватый!) я затерялъ. Но всякій математикъ легко его возстановитъ и, вѣроятно, упроститъ.

одна изъ этихъ системъ, посредствомъ которой можно найти безъ труда то число (назову его для краткости ключомъ), при помощи коего можетъ быть обнаружена дѣлимость каждаго отдѣльнаго числа на каждый отдѣльный первоначальный множитель.

Для нахожденія такого ключа нужно помножить первоначальное число:

Затѣмъ приложить единицу и раздѣлить на 10.

Полученный ключъ, помноженный на единицы числа испытуемаго, съ приложеніемъ его десятковъ, дастъ, въ случаѣ дѣлимости, соотвѣтствующее первоначальное число или малое его кратное, либо прямо, либо послѣ нѣкоторыхъ повтореній операціи.

Такъ, напримѣръ, ключъ дѣлителя 13 равенъ 4, ибо:

Ключъ дѣлителя 29 равенъ 3, ибо:

Этому ряду ключей положительныхъ (для многихъ чиселъ неудобныхъ), соотвѣтствуетъ рядъ ключей отрицательныхъ, равныхъ разности испытуемаго дѣлителя и его положительнаго ключа. При употребленіи ихъ, сложеніе замѣняется вычитаніемъ. Такъ, положительный ключъ числа 7 (5) можетъ быть замѣненъ отрицательнымъ ключомъ 2 = 7 — 5.

Могутъ быть помножены также два, три и т. д. послѣдніе знака числа и приложены къ прочимъ. Но, въ такомъ случаѣ, нужно взять множителемъ квадратъ, кубъ и т. д. перваго ключа или, что удобнѣе, — остатокъ при дѣленіи этихъ степеней, на испытуемаго дѣлителя.

Возьмемъ для примѣра число 7. Первый его ключъ—5. Степени этого послѣдняго числа (52 = 25,53 = 125,54 = 625 и т. д.) при дѣленіи на 7 даютъ остатки 4, 6, 2 и т. д. Соотвѣтствующіе отрицательные ключи будутъ 3, 1, 5 и т. д.

Въ нижеслѣдующей таблицѣ приведены десять первыхъ разрядовъ ключей, положительныхъ и отрицательныхъ, къ первоначальнымъ числамъ первой сотни:

Частныя свойства чиселъ первоначальныхъ. Кратныя каждаго отдѣльнаго первоначальнаго числа имѣютъ безконечный рядъ спеціальныхъ свойствъ, которыя, при случаѣ, могутъ служить признакомъ дѣлимости. Изъ этихъ свойствъ любопытны тѣ, которыя обнаруживаются безъ помощи иныхъ коэффиціентовъ, чѣмъ знаки, изображающіе число по десятичной нотаціи. Ограничусь немногими, при чемъ буду обозначать знакомъ X число десятковъ, знакомъ I—число единицъ, буквою S—сумму этихъ чиселъ, буквою D—ихъ разность.

Во всѣхъ числахъ, дѣлимыхъ на 7 или 13, разность между кубами числа десятковъ и числа единицъ также дѣлима на эти числа:

Во всѣхъ кратныхъ тѣхъ же чиселъ квадратъ суммы числа десятковъ и единицъ, безъ ихъ произведенія, дѣлимъ на эти числа:

Во всѣхъ числахъ, дѣлимыхъ на 13 или 17, сумма квадратовъ единицъ и разности D также дѣлится на эти числа.

Вотъ формулы для кратныхъ нѣкоторыхъ другихъ первоначальныхъ чиселъ:

Свойства этого разряда любопытны, но практическое приложеніе получатъ лишь когда будутъ приведены въ связную систему, что мнѣ пока не удалось.

IV.

Мгновенное умноженіе. При преподаваніи ариѳметики безпрестанно приходится сочинять задачи или быстро рѣшать ихъ въ умѣ. Такія задачи, пока онѣ вращаются въ числахъ до 100 или даже до 1000, придумываются легко всякимъ учителемъ, пріобрѣтшимъ нѣкоторый навыкъ. Но не такъ легко быстро сочинить задачи, въ которыя входятъ числа многозначныя. Для того, чтобы свободно обращаться съ числами, необходимо ясно сознавать ихъ составъ, однимъ взглядомъ обнимать всѣхъ ихъ первоначальныхъ множителей. Такое мгновенное разложеніе многозначнаго числа весьма трудно, иногда невозможно. Поэтому необходимъ между многозначными числами выборъ (по возможности разнообразный), позволяющій пользоваться числами опредѣленнаго состава.

Пріемъ, наиболѣе для этого удобный, состоитъ въ быстромъ умноженіи (умственномъ) того числа, которое, по условіямъ задачи, должно входить множителемъ въ одну изъ ея данныхъ.

а) Единственные вполнѣ удобные множители, мнѣ извѣстные, суть числа 9, 99, 999, 9999 и т. д. для множимыхъ чиселъ, имѣющихъ одинаковое съ ними количество знаковъ.

Это умноженіе производится слѣдующимъ образомъ. Изъ множимаго вычитается единица, и затѣмъ къ полученному числу приписываются подъ рядъ дополнители до девяти всѣхъ его знаковъ, напримѣръ:

Замѣтимъ при этомъ, что

1) Это свойство чиселъ въ значительной мѣрѣ облегчаетъ сложныя сокращенія, съ коими сопряжены дѣйствія надъ періодическими дробями. Такъ, одного взгляда на число 142857 (періодъ дроби 1/7) достаточно, чтобы видѣть, что мы имѣемъ дѣло съ произведеніемъ 999.143 и т. д.

Такъ что подобное умноженіе любого числа вноситъ въ произведеніе довольно разнообразный выборъ первоначальныхъ множителей.

b) Но одинъ этотъ пріемъ, очевидно, недостаточенъ. Онъ вполнѣ удобенъ только тогда, когда приходится удваивать число знаковъ даннаго числа. Дальнѣйшія удвоенія сбивчивы и даютъ произведенія слишкомъ однообразныя.

Въ дополненіе къ этому способу можно употреблять умноженіе чиселъ, состоящихъ изъ значащихъ цифръ, раздѣленныхъ нулями. Умноженіе это легко производится въ умѣ, и при знакомствѣ съ числами, изображеніе коихъ имѣетъ форму: з0з, з00з, з0з0з, з00з00з (з — значущая цифра).

даетъ произведенія, составленныя исключительно изъ извѣстныхъ множителей.

Напримѣръ, зная, что 1001 = 7.11.13, стоитъ только повторить подъ рядъ любое трехзначное число, чтобы получить шестизначное, содержащее этихъ трехъ множителей, и сверхъ того, всѣхъ тѣхъ, которые входятъ въ составъ избраннаго числа. Такъ, если требуется шестизначное число, дѣлимое на 13 и 29, мы имѣемъ 145 (или любое трехзначное кратное 29-ти) и приписываемъ тѣ же знаки. Получается число 145145 = 5.7.11.13.29. Затѣмъ способомъ (а) можно удвоить число знаковъ, и получается число 145144854855, дѣлимое сверхъ прежнихъ на всѣ дѣлители числа 999999.

Количество чиселъ указанной формы безконечно: всѣ ихъ запомнить невозможно. Но есть между ними такія, которыя, по своей простотѣ и симметріи, запоминаются легко, и достаточно хранить въ памяти нѣкоторыя изъ нихъ, чтобы имѣть въ своемъ распоряженіи довольно значительное количество первоначальныхъ множителей. Особенно удобны пятизначныя числа съ нулями на второмъ и четвертомъ мѣстѣ, дающія, при помноженіи на число двузначное—числа шестизначныя, легко обращаемыя черезъ помноженіе на 999999, въ числа 12-значныя.

Учителямъ начинающимъ совѣтую повѣсить на стѣну классной комнаты слѣдующую таблицу:

Одного взгляда на эту таблицу достаточно, чтобы написать шестизначное число, дѣлимое на любой изъ великаго множества дѣлителей.

Очень забавляютъ ребятъ слѣдующія числа, раздвигаемыя умноженіемъ:

91 . 111 = 10101; 81 . 126 = 10206; 73.285 = 20805.

с) Третій способъ мгновеннаго умноженія въ высшей степени удобенъ для чиселъ, симметрически расположенныхъ около третьяго, легко возводимаго въ квадратъ, и основанъ на свойствахъ произведенія суммы на разность. Такъ, напримѣръ, вмѣсто того, чтобы множить 37 на 23, можно мгновенно вычесть 72 изъ 302, и получится 851; 27.73 = 502—232 = 1971 и т. д.

Приложеніе этого правила, конечно, требуетъ знакомства съ квадратами, вообще значительно облегчающаго умственный счетъ. Замѣчу кстати, что въ предѣлахъ первой сотни легко возвести въ квадратъ любое число, если только въ памяти запечатлѣлись квадраты чиселъ до 25. Для этого стоитъ только взять сто разъ избытокъ этого числа надъ 25-ю и прибавить квадратъ дополненія до 50 или избытка надъ 50-ю. Такъ, напримѣръ, 372 = 12 сотнямъ 132 = 1369; 582 = 33 сотнямъ + 82 = 3364 и т. д.

Изъ прочихъ пріемовъ, вытекающихъ изъ свойствъ произведенія двучленовъ, укажу на перемноженіе чиселъ, симметрически расположенныхъ въ предѣлахъ одного десятка:

Для того, чтобы помножить 13 на 17, нужно помножить 10 на 20 и прибавить 3.7.

При помноженіи чиселъ, расположенныхъ въ разныхъ десяткахъ, нужно слѣдующее видоизмѣненіе:

Этотъ пріемъ—измышленіе 12-лѣтняго мальчугана, усердствовавшаго въ моей школѣ по части умственнаго счета и удивившаго меня мгновеннымъ умноженіемъ 43 на 87. Отъ него научился я въ такихъ случаяхъ множить 40 на 90 и прикладывать 3.47.

Эти пріемы и многіе другіе, болѣе частные, при нѣкоторомъ упражненіи, дѣлаются инстинктивными. Особенно пригодны они при упражненіи многолюднаго класса въ механизмѣ дѣленія. Случалось мнѣ, безъ всякаго утомленія въ теченіе часа, безпрерывно писать на доскахъ примѣры на дѣленія чиселъ 12-значныхъ на трехзначныя. Дѣленія

эти не нуждались въ провѣркѣ, ибо при нихъ не оказывалось остатка или оказывался остатокъ напередъ задуманный, напримѣръ, третій или пятый знакъ дѣлимаго—и всѣ ребята были заняты непрерывно, безъ возможности списывать съ чужихъ досокъ.

V.

Признакъ первоначальности. Первоначальныя тѣ числа, которыя дѣлятъ безъ остатка рядъ составляющихъ ихъ единицъ, безъ одной.

Такъ, число 7 первоначально, потому что дѣлитъ безъ остатка число 111,111.

По той же причинѣ первоначально 13, ибо, дѣля безъ остатка число 111,111, оно раздѣлитъ безъ остатка и число, изображенное рядомъ двѣнадцати единицъ.

Первоначально 37, ибо оно дѣлитъ число 111, слѣдовательно, и число 1.. . (36)... 1.

Первоначальны 11 и 101, ибо оба дѣлятъ число 1111, слѣдовательно, и 1 ... (100)... 1.

Первоначальны 41 и 271, ибо дѣлятъ число 11,111, слѣдовательно, и числа 1 ... (40)... 1 и 1 ... (270)... 1.

Первоначальны 239 и 4649, ибо дѣлятъ число 1,111,111, слѣдовательно, и числа 1 ... (238)... 1 и 1... (4648)... 1 (238 = 7.34, 4648 = 7.668).

Первоначальны 73 и 137, ибо дѣлятъ число 11,111,111, слѣдовательно, и числа 1 ... (72)... 1 и 1 ... (136)... 1. И т. д.

Всякому математику ясно, что сіе мое измышленіе не болѣе, какъ приложеніе къ степенямъ десяти (безъ одной, раздѣленнымъ на 9)—знаменитой теоремы Фермата, съ коей по этому поводу я и ознакомился1).

Упоминаю о томъ лишь для того, чтобы показать, до чего можетъ домучить человѣка, въ математикѣ невѣжественнаго, ненасытная пытливость и требовательность школьныхъ ребятъ.

О великой теоремѣ Ферма.

Величайшій математикъ начала XIX столѣтія Гауссъ говорилъ, что царица всѣхъ наукъ есть математика, а царицей математики является ариѳметика. Такимъ образомъ, ариѳметика въ глазахъ математика является „наукой наукъ“, самой увлекательной по формѣ и неисчерпаемой по содержанію. Неисчерпаема ариѳметика и по тѣмъ затрудненіямъ, которыя она представляетъ человѣческому

1) Поэтому указанный пріемъ и неприложимъ къ числамъ 2, 3, 5.

уму при разрѣшеніи, совершенно простыхъ, повидимому, вопросовъ. Для пытливаго ума преодолѣніе подобнаго рода трудностей имѣетъ, конечно, особенную прелесть и еще сильнѣе привязываетъ его къ загадочной и великой „царицѣ“. Какъ на образчикъ подобнаго рода съ виду простыхъ задачъ, предлагаемыхъ ариѳметикой, укажемъ въ заключеніи этой книги на знаменитую великую теорему Ферма, около которой создалась уже цѣлая исторія и рѣшеніе которой обѣщаетъ счастливцу не только славу, но и богатство. Рѣдкое и завидное сочетаніе!

Осенью 1907 года въ Дармштадтѣ скончался математикъ Пауль Вольфскель (Wolfskehl), оставившій не совсѣмъ обычное завѣщаніе: капиталъ въ 100,000 марокъ онъ завѣщалъ тому, кто докажетъ одну теорему изъ теоріи чиселъ, теорему, извѣстную подъ названіемъ „великой теоремы (или великаго предложенія) Ферма“.

Теорема, за доказательство которой предлагается такой огромный гонораръ, очень проста и можетъ быть изложена въ немногихъ словахъ: сумма одинаковыхъ степеней двухъ цѣлыхъ чиселъ не можетъ быть тою же степенью третьяго цѣлаго числа, если степень больше двухъ. Другими словами, уравненіе:

неразрѣшимо въ цѣлыхъ числахъ, если п>2.

Для случая, когда n = 2, такое уравненіе разрѣшимо (это такъ называемая задача о Пиѳагоровыхъ треугольникахъ).

Но вамъ никогда не удастся подобрать такія два числа, чтобы сумма ихъ кубовъ была тоже кубомъ, или сумма 4-тыхъ степеней была сама 4-ой степенью и т. д.

Въ этомъ и состоитъ теорема, именуемая „великимъ предложеніемъ Ферма". Какъ ни проста она съ виду, но

Рис. 34. Пьеръ Ферма (Fermat) 1601 — 1665.

строгаго доказательства ея въ математикѣ еще не существуетъ.

Немало великихъ математиковъ въ свое время трудились надъ доказательствомъ этой неподатливой теоремы, высказанной Ферма болѣе двухъ съ половиной вѣковъ тому назадъ, — и никому еще не удалось найти общее, строгое ея доказательство для всѣхъ степеней выше второй. И если теперь искомое доказательство оцѣнено такой огромной суммой, то оно вполнѣ заслужило это за свою упорную неуловимость для самыхъ сильныхъ математическихъ умовъ.

Самъ Гауссъ, положимъ, относился къ теоремѣ Ферма довольно пренебрежительно. „Признаюсь,—писалъ онъ своему пріятелю,—что Ферматова теорема, какъ изолированное предложеніе, для меня большого интереса не представляетъ, ибо легко можно придумать множество подобныхъ предложеній, которыхъ нельзя ни доказать ни опровергнуть“.

И тѣмъ не менѣе, лучшіе математики (да и самъ Гауссъ) бились надъ ея доказательствомъ. Конечно, дѣлалось это неспроста: Ферматова теорема прямо заинтриговала математиковъ.

Ея авторъ Пьеръ Ферма (Fermat, 1601 — 1665), юристъ по профессіи, совѣтникъ пулузскаго парламента по положенію, поэтъ и ученый въ душѣ, занимался математикой лишь между прочимъ, для развлеченія. Это не мѣшало, однако, ему сдѣлать цѣлый рядъ огромной важности открытій, справедливо окружившихъ его славой геніальнаго математика. Онъ почти не печаталъ своихъ трудовъ, а сообщалъ ихъ въ письмахъ къ своимъ друзьямъ, среди которыхъ были такіе ученые, какъ оба Паскаля, Роберваль, Декартъ, Гюйгенсъ и др. Цѣлый рядъ теоремъ изъ области теоріи чиселъ разбросанъ этимъ геніальнымъ диллетантомъ... на поляхъ одной греческой книги! Впрочемъ, авторомъ сочиненія, которому посчастливилось служить записной книжкой для Ферма, былъ никто иной, какъ не менѣе знаменитый александрійскій математикъ Діофантъ, также занимавшійся теоріей чиселъ1). Многія изъ теоремъ, найденныхъ Ферма, записывались имъ безъ доказательствъ. Эти доказательства такъ до насъ и не дошли. Но впослѣдствіи всѣ его теоремы были строго доказаны позднѣйшими математиками, всѣ, кромѣ одной, той самой, о которой у насъ сейчасъ идетъ рѣчь.

1) О жизни этой загадочной личности намъ извѣстно очень мало. Невозможно даже съ достаточной точностью установить вѣкъ, когда онъ жилъ: съ увѣренностью можно указать лишь на промежутокъ времени отъ 180 г. до Р. Х. до 370 г. послѣ Р. Хр.

Упомянутая замѣтка на поляхъ книги Діофанта написана противъ того мѣста текста, гдѣ александрійскій математикъ говоритъ о разложеніи полнаго квадрата на сумму двухъ квадратовъ. Вотъ буквальный переводъ того, что Ферма записалъ сбоку, на поляхъ:

„Между тѣмъ, совершенно невозможно разложить полный кубъ на сумму двухъ кубовъ, четвертую степень на сумму двухъ четвертыхъ степеней, вообще какую-либо степень на сумму двухъ степеней съ тѣмъ же показателемъ. Я нашелъ поистинѣ удивительное доказательство этого предложенія, но здѣсь слишкомъ мало мѣста, чтобы его помѣстить“

Въ чемъ составляло это „поистинѣ удивительное“ доказательство, никто теперь не знаетъ. Но въ то же время ни одинъ математикъ не сомнѣвается, что такое доказательство дѣйствительно было найдено Ферма, и что оно было вѣрно. Не таковъ былъ человѣкъ Пьеръ Ферма, чтобы покривить душой, и не таковъ онъ былъ математикъ, чтобы ошибаться. Вѣдь всѣ другія теоремы, высказанныя имъ безъ доказательствъ, были доказаны позднѣйшими математиками. Такова, напримѣръ, теорема: „Каждое простое число вида 4n + 1 есть сумма двухъ квадратовъ". Она дана была Ферма безъ доказательства, но сто лѣтъ спустя Эйлеръ нашелъ — довольно сложное и трудное — доказательство ея.

Кажущееся исключеніе, бросающее, повидимому, тѣнь на репутацію Ферма, какъ непогрѣшимаго теоретика чиселъ, составляетъ слѣдующій случай. Ферма высказалъ теорему, что число вида:

есть простое число. Въ теченіе цѣлаго столѣтія не возникало сомнѣній въ ея правильности. Но вотъ другой геній теоріи чиселъ, Эйлеръ, доказалъ, что теорема вѣрна лишь для п>32, и что уже при n = 32 получается число:

которое не простое, а составное, ибо дѣлится безъ остатка на 641.

Однако это не только не подрываетъ вѣры въ добросовѣстность Ферма, но напротивъ, скорѣе даже утверждаетъ ее. Дѣло въ томъ, что и самъ Ферма сомнѣвался въ абсолютной вѣрности этой теоремы и откровенно заявлялъ, что ему еще не удалось дать исчерпывающее доказательство ея. „Доказательство очень кропотливо, — говоритъ онъ, — и долженъ признаться, что я еще не довелъ его до удовлетворительнаго завершенія".

Послѣ этого едва ли можно еще сомнѣваться въ томъ, что Ферма, дѣйствительно, доказалъ свое „великое предложеніе“. А если такъ, то вполнѣ возможно, что кому-нибудь посчастливится подыскать доказательство этой теоремы и сдѣлаться обладателемъ кругленькой суммы въ 100000 марокъ.

Небольшая справка покажетъ, впрочемъ, что эти 100000 едва ли попадутъ въ руки зауряднаго математика. Вотъ краткій перечень того, что уже сдѣлано въ этомъ направленіи.

Прежде всего легко доказать, что если теорема справедлива для показателя n, то она справедлива также и для всякаго другого показателя, кратнаго n. Значитъ, все дѣло въ томъ, чтобы доказать справедливость теоремы для всякаго простого показателя. Для суммы кубовъ теорема доказана была еще древними арабами. Для n = 4 ее доказалъ Эйлеръ. Для n = 5 — доказали Гауссъ и Дирикле. Для n = 7 — доказалъ Ляме. Наконецъ Куммеръ доказалъ ее для всякаго показателя, меньшаго 100.

Такимъ образомъ, для многихъ частныхъ случаевъ теорема Ферма доказана. Но у Ферма было общее доказательство ея, для всякаго n, и это-то общее доказательство требуется найти. При этомъ достойно быть отмѣчено, что многіе позднѣйшіе математики (Эйлеръ, Куммеръ), доказывая частные случаи Ферматовой теоремы, пользуются такими пріемами, которые далеко выходятъ за предѣлы элементарной математики, которые самому Ферма не могли быть извѣстны. Очевидно, геніальный французскій математикъ шелъ какимъ-то совершенно особымъ путемъ, ускользнувшимъ изъ поля зрѣнія позднѣйшихъ математиковъ.

Вопросъ во всякомъ случаѣ представляетъ совершенно особыя и исключительныя трудности или такія стороны, о которыхъ трудно и даже невозможно судить людямъ не занимающимся ариѳметикой спеціально. Но послѣднее менѣе всего останавливаетъ такъ называемую „широкую публику".

Рис. 35. — Феликсъ Клейнъ.

Знаменитый нѣмецкій ученый и педагогъ профессоръ Ф. Клейнъ въ своей книгѣ „Вопросы элементарной и высшей математики“ сообщаетъ, что какъ только завѣщаніе Вольфскеля сдѣлалось извѣстнымъ (въ 1908 г.), „люди всѣхъ профессій — инженеры, народные учителя, священники, банкиры, дамы и т. д. — являются авторами этихъ работъ. Общее во всѣхъ этихъ работахъ лишь то, что ихъ авторы не имѣютъ ни малѣйшаго представленія о серьезномъ математическомъ значеніи проблемы. Они не дѣлаютъ даже ни малѣйшей попытки освѣдомиться въ литературѣ вопроса „всегда стараются справиться съ задачей какой-либо необычайной идеей и, конечно, неизмѣнно попадаютъ въ просакъ“...

Ф. Клейнъ приводитъ между прочимъ такой „особенно разительный примѣръ изъ этого вороха нелѣпостей":

Человѣкъ, не знающій значенія знака >, вмѣсто

читаетъ

и, конечно, уже при n — 1 находитъ рѣшеніе уравненія

Это „открытіе" онъ шлетъ Гётингенскому ученому обществу и требуетъ преміи...

Во 2-й книгѣ нашей „Въ царствѣ смекалки" приведены свѣдѣнія объ одномъ „юномъ бѣлостокскомъ реалистѣ", вообразившемъ, что задача Ферма имъ рѣшена. Полагаемъ, все же, что „просакъ“ нашего юноши былъ не столь грубъ, какъ только что приведенный проф. Клейномъ образецъ, но во всякомъ случаѣ несомнѣнно, что для рѣшенія этой задачи, какъ и всѣхъ ей подобныхъ, необходимы знанія и еще разъ знанія, а затѣмъ работа и еще разъ работа!

УКАЗАТЕЛЬ

собственныхъ именъ и предметовъ.

Абакъ, абацисты 52—95, 215, рисуновъ аб. 57.

Абракадабра 123, 124.

Абсолютныя единицы мѣръ 171—188.

Австро-Венгрія 179.

Азія 72, 76, 77.

Аккадъ 76.

Алабаэтронъ 22.

Алгебра 37, 45, 63, 100—103, 217 и сл., алг. сумма 129.

Александрія 45.

Альберъ Жираръ 99, 113.

Альгоритмики 59, 67, 72, 76, 77.

Альмагестъ 22.

Ammat 21.

Англія 179.

Арабы 52, 58, 59—70, 175, 176.

Араго 182.

Арамеяне 21.

Арганъ (Argand) 218, 219.

Аргентинія 179.

Аристархъ (Самосскій) 96, 97, 98.

Аристотель 74, 148.

Ариѳметика положенія 42; бакшалійская, 45, 49; двѣнадцат. 95; 100—103, 215—217.

Ариѳметическій треугольникъ (Паскалевъ) 115—117, 119, 124, 130, 138.

Аріадна 94.

Арраго 236.

Архимедъ 95—98.

Арьябхатта 45, 50.

Ассирія, Ассирійцы 19—30, 62, 90, 91, 212.

Астрологія, астрологи 26, 27.

Астрономія, астрономы 22, 26, 27,45, 63.

Африка 15.

Ахмесъ 33.

Ацтеки 16.

Аѳины 174, 175.

Бабине 177.

Бактрійцы 65.

Бахшали 45, 49, 50.

Бельгія 179.

Бемъ 177.

Берберы 15.

Берозъ 22

Бессель 182.

Бине 113, 237, 239, 240, 248.

Бирхъ 33, 34.

Біо-Саваръ 222.

Бобынинъ В. В. VIII, 1,

Борда 177.

Борну 15.

Боэцій 56, 58, 73, 79.

Бразилія 7, 179.

Брандисъ 30.

Брахмагупта 46, 51.

Британская Ассоціація 181.

Брока 237.

Бругшъ 32, 33.

Бубновъ Н. М. 53, 54, 57, 95.

Буге (Bouguer) 177.

Будда 76.

Буль IV.

Буняковскій В. Я. 101.

Бутру 231, 232.

Бхаскара Ачарья 46, 50.

Бэббэджъ 215.

Вавилонъ 19—31, 86, 90, 91, 174,175.

Валлисъ (Wallis) 218.

Варіація (перемѣна) знаковъ 128.

Васильевъ А. В. III, IV, VII.

Ватчанди 8.

Ващенко Захарченко М. Е. 19.

Введенскій А. И. VI.

Ведро 186.

Вейгель 148.

Векторъ 219.

Венецуэла 179.

Вигезимальная (двѣнадцатичная) система счисл. 16.

Виджа-Ганита 46.

Видманъ 99.

Византійцы 60.

Вильсонъ (Wilson D.) 3.

Винцентъ 58.

Винчи (Леонардо да) 99, 194.

Возвратные ряды 113.

Вольфскель Пауль 261.

Вычеты 150, 151;

„ степенные 136;

„ квадратичные 139.

Вычисленіе кучъ 37—38.

Вычитаніе 85, 90, 101, 102, 124—128.

„ у Египтянъ 38, китайцевъ 42, индусовъ 47.

Вьета 100, 194.

Галассы 15.

Галилей IV, 176, 219, 220.

Гальтонъ 5, 8.

Гамильтонъ V, VI, 219.

Ганита-сара 46.

Ганкель 10, 47, 51, 53.

Гарріотъ 99.

Гауссъ К. Ф. 100, 151, 152, 163, 170, 225, 260, 262.

Гвангъ-ти 40.

Гвангъ-тсунгъ 41.

Гей-Люссакъ 222.

Гелонъ 96.

Гельмгольцъ 216, 221.

Геометрія 63, 90.

„ Египтянъ, 40; Боэція 56.

Гербертъ (папа Сильвестръ II) 54, 57, 63, 79, 90.

Германія 179, 183.

Геродотъ 85, 86, 91.

Гизе 39.

Гизо 179.

Гинксъ 22, 30.

Гипергеомѳтрическій рядъ 228—9.

Гіератическое письмо 32, 33.

Го 42.

Гобаръ 59, 75.

Годъ 22.

Градусъ 21, 23.

Граммъ 180 и слѣд.

Гранъ 176, 179.

Грассманъ 219.

Греки, Греція 21, 31, 32, 52, 61—64, 71, 73, 74, 77, 80—92, 174, І75,184.

Гренландцы 8.

Гробница чиселъ 39.

Гроссъ 179.

Груберъ 216.

Гумилья 6, 9.

Гюйгенсъ Христіанъ 176, 177, 262.

Даммары 5, 8.

Даніель 187.

Данія 179.

Двойственное число 3.

Двудесятеричная (вигезимальная) система счисл. 16.

Девапагари 76.

Деви 177.

Декартъ 99, 170, 262.

Демотическое письмо 32.

Десятеричное счисленіе 14,15,42,129.

Дильвино правило 26.

Дирикле (Леженъ-Д.) 264.

Диференціальныя уравненія 210.

Діаманди 236—249.

Діонисъ 94.

Діофантъ 262, 263.

Долгота 27.

Дополненіе дробей 34, 36, 37.

Драхма 21, 82.

Древнія единицы вѣса, объема, длины 174—175.

Дроби у Халдеевъ 20, 22, 23;

„ у Египтянъ 37, 40; дополненіе 34, 36, 37;

,, индусовъ 82;

„ грековъ 82.

„ Дѣйствія“ 43.

Дѣленіе 85, 90, 101, 102, 141—147;

„ числа два 34—36;

(тунну), 39—40;

у китайцевъ 41;

„ приближенное 141;

,, сокращенное 144—147;

„ на девять 143.

Дѣлимое 141.

Дѣлитель 141.

Дюймъ 179, 186.

Дюмихенъ 32.

Еберсъ 32.

Евклидъ 157, 168.

Евреи 21, 60, 174, 175.

Европа 72, 73, 78, 79, 90, 94.

Египтологія 32.

Египтяне, Египетъ 31—40, 45, 62, 78, 85, 86, 90, 91, 93, 174, 175, 212.

Единица (одинъ) 156.

Ейзенлоръ 32, 33, 37.

Ермаковъ В. П. 144, 191.

Жираръ (Girard А.) 99, 113.

Жомаръ 39.

Жури 5.

Законъ однозначности 122, 140:

„ сочетательный 122, 140:

„ перемѣстительный 122, 140;

„ распредѣлительный 140, 199, 203—204.

монотонности 122, 140, 141, 191.

Зельгофъ 170.

Земля 96—8.

Знакъ сложенія 38, 43, 49, 99, 194;

„ вычитанія 38, 43, 99;

„ равенства 38, 49, 99, 194;

„ умноженія 99, 100, 129, 198;

„ дѣленія 99;

„ степени 99, 205;

неравенства 99;

факторіала 99;

сравненія 100;

,, суммированія 100:

„ разностей 100.

Зодіакальный кругъ 97.

Золотникъ 187.

Ибнъ Альбоннъ 131.

Избытокъ (тунну египет.) 39—40.

Извлеченіе корней 43, 51, 101, 102.

„ объемовъ 43.

Измѣреніе полей 41; объемовъ 43.

Инверсія 50.

Индукція 114.

Индусы, Индія 45—51, 52, 59—69, 91, 176.

Иноди 236—249.

Интуиція 226.

Ирраціональныя числа 218.

Герминонъ 90.

Испанія 179.

Исчисленіе песчинокъ (Псаммитъ) 95—99.

Италія 179.

Іероглифы 31 и слѣд., 38.

Іу 42.

Кабалистическій треуг. (абракадабра) 123—4.

Каганъ В. Ф. 102.

Каирири 5.

Qani 20.

Каннъ 228, 299.

Канторъ 50, 53, 212, 220.

Квадратичные вычеты 139.

Квадратура круга 40.

Кельты 86.

Килограммъ 185.

Кинъ 42.

Китайцы, Китай 40—44, 90, 91; китайск. счеты 41, 86, 88, 215.

Классификація чиселъ 150 и слѣд.

Клейнъ Фел. 220, 264, 265.

Климентъ Александрійскій 31.

Клиновидныя письмена 20, 31.

Клиффордъ В. 192, 193.

Кольбрукъ 46.

Комплексы 219.

Конгруэнція 151.

Кондаминъ 177.

Кондорсе 177.

Координаты свѣтилъ 27.

Копа 86.

Коперникъ 96.

Корнъ (гранъ) 176.

Котляръ 208.

Крампъ 99, 100.

Кранцъ 8.

Кратное число 129.

„ наименьшее 163.

Крелль 130.

Кронекеръ V. 216.

Ксенократъ IV.

Кулишеръ А. Р. 192.

Куммеръ 264.

Купеческіе знаки (Китай) 42.

Купферъ 177.

Кутансъ 228.

Кутюра 220.

Куча (Hau) 37, 38.

Лагранжъ 177, 178.

Ланглей 109.

Ланнеръ (Lanner) 213.

Лапласъ 177.

Леангъ 42.

Лезанъ (baisant) 223.

Лейардъ 21.

Лейбницъ VI. 99, 100, 148, 215.

Ленорманъ 23, 24, 26, 30.

Леонардо да-Винчи 99, 194.

Леонардъ Пизанскій (Фибоначчи) 99, 113, 114, 121, 122, 138.

Лепсіусъ 20, 26, 29, 30, 32.

Лжебоэцій 73, 74, 78.

Liber Abbaci 113, 132.

Лилавати 46, 50.

Линія (халдейская мѣра—uban) 21; француз. 179.

Литръ 180.

Лишанъ 40.

Лобачевскій V.

Логариѳмы 134.

Логъ 22.

Ложное положеніе (правило) 49—50.

Локоть 21, 23, 27, 30, 174.

Лоренцъ V.

Лофтусъ 23.

Луна 22, 23, 97.

Люка Э. (Lucas Е.) 112, 113.

Ляме (Lamé) 113, 264.

Майпуры 9.

Майя 16.

Маріетъ 32.

Маріоттъ 222.

Маркизцы 2, 3.

Марокко 131.

Марціусъ 7.

Massieu 212.

Махъ Э. 208.

Международное бюро мѣръ и вѣсовъ 179.

Международная комиссія метра 179, 183, 184.

Мейманъ 238, 239, 240.

Мексика 212.

Мерсень 169.

Месопотамія 68, 69, 71.

Метретъ 22.

Метръ, метрическая система 178—185. См. мѣры.

Мина 21, 22.

Минотавръ 94.

Минута 21, 22.

Миньковскій V.

Многообразіе 220.

Множимое 129.

Множитель 129.

Модуль 150 и слѣд.

Мольеръ VII.

Монжъ 177, 178.

Монотонности законъ 122, 140—141.

Монъ-Волерьянъ 229.

Морозовъ Н. А. 103, 105.

Мурранъ 23.

Мутонъ 177.

Мѣры халдеевъ 21—23, 30; Персовъ 30; китайцевъ 41, 42; метрическія и абсолютныя 171—188; Британской Ассоціаціи 172.

Наксосъ 94.

Наполеонъ 178.

Начало пробы 38.

Начальный счетъ 1—12. См. счетъ.

Неаполитанская ваза 55, 87.

Неаполь 177.

Независимое перемѣнное 104, 105, 109.

Неперъ, Неперовы палочки 133—134.

Неравенства 126—127.

Неръ 20, 29.

Нилъ 104.

Ниневія 21.

Новолуніе 22.

Норвегія 179.

Нуль 29, 39, 42, 55, 56, 60, 79, 80, 81, 84, 147.

Ньютонъ 100, 101.

Однозначности закона 122, 140.

Окружность круга 23, 41.

Ольдфильдъ 8.

Омъ 187.

Оппертъ 20, 24, 26, 30.

Остатокъ при вычитаніи 124; при дѣленіи 141; вычетъ 150.

Отамаки 9.

Отношеніе окружности къ діаметру 41.

Охрамъ 24.

Падманабха 46.

Palmo 177.

Палочки Непера 133—134.

Память зрительная, слуховая, двигательная 237 и слѣд.

Папирусъ Ринда 33—40.

Парасангъ 22, 30.

Парижская конвенція 1875 года 179, 185.

Парижъ 179, 183.

Паскаль 114, 170, 215, 262; Паскал. треугольникъ 115—117, 119, 130, 134, 137, 138.

Перемѣна (варіація) знаковъ 128.

Перемѣстительный (перестановительный) законъ 122, 140, 199.

Персія 174.

Перу 179.

Piede Liprando 177.

Пирсъ VI.

Пиѳагорейцы 21, 170.

Пиѳагоръ VI, 73, 137; Пиѳагор. таблица 130.

Плана 113.

Плакудъ Максимъ 46, 83, 86.

Платонъ IV, 137.

Площадь треугольника 41; круга 41.

Повѣрка сложенія 113; вычитанія 124; дѣленія 141; посредствомъ сравненій 153—155.

Подобіе 40.

Показатель степени 99.

Полнолуніе 22.

Португалія 179.

Постоянство знаковъ 128.

Поттъ 15.

Правило Дилвуна 26; товарищества 43; смѣшенія 43; ложнаго положенія 49, 50; тройное 51, процентовъ 51.

Приближенныя вычисленія 190, 191.

Признаки дѣлимости 250—255.

Прогрессіи 22, 40, 51, 100.

Произведеніе 129, 135, 196—204.

Происхожденіе представленія и понятія о числѣ 211—216.

Пропорціи 40, 41, 51.

Процентовъ правило 51.

Прямое восхожденіе 27.

Псаммитъ 95—99.

Псипхосъ (сипосъ, псефъ) 56, 63, 71, 74, 75, 81—86, 91, 92, 94.

Психологія 211.

Птоломей 22, 27.

Пуанкаре Анри 223.

Пядь 30.

Ра-а-усъ 33.

Рабдологіи 133.

Работа 209.

Радульфъ Ланскій 59, 73, 74, 76.

Разность 124; табл. разн. 127; разн. квадратовъ 160—161.

Распредѣленіе хлѣбовъ 34, 36.

Распредѣлительный законъ 140,199, 203—204. См. законъ.

Рата 176.

Раулинсонъ 23, 24, 26.

Рачинскій С. А. 250, 251.

Рейнъ 90.

Рекордъ 99, 194.

Рессель VI.

Рпбо 213.

Римляне 30, 31, 53, 61, 71, 73, 74, 77, 80, 92, 174, 175, 184, 212.

Римскія цифры 83.

Ринда папирусъ 33—40.

Роберваль 262.

Россія 179, 186.

Ротула (рота) 56, 80, 81, 83, 94.

Русскіе счеты 88, 89, 215.

Рычагъ 209.

Рѣшеніе уравненій 34, 37—38, 40,101, 102.

Рѣшето Эратосоена 156—157.

Рядъ цѣлыхъ чиселъ 112; возвратный 113; Фибоначчи 113, 114, 117, 121, 122; простыхъ чиселъ 157—159; составныхъ чис. 163 и слѣд.; тэтафуксовы р. 228 и слѣд.; гипергеометрическій 228.

Сажень 186.

Саламинская доска (абакъ) 55, 87.

С. — G. — S. — система (сантиметръ-граммъ-секунда) 181, 188.

Саргонъ 20.

Сардинія 177.

Саръ 20, 29.

Секунда 21, 22, 181 и слѣд.

Сенкерэ 23, 24, 29.

Сиддханта 46.

Символы у египтянъ 38.

Сипосъ см. псипхосъ.

Сиракузы 96.

Сиріусъ 27.

Сирія 130, 174.

Системы счисленія 13—18, 147—149; пятеричная, полинезійская, меланезійская 14; десятеричная 14, 15, 42, 129; двѣнадцатеричная (вигезимальная) 16; халдейская (шестидесятеричная) 19—23, 25, 27; системы мѣръ. См. мѣры.

Сицилія 96.

Склоненіе 27.

Скобки 99, 198, 199.

Славянскія цифры 93.

Сложеніе у египтянъ 38; у индусовъ 47; 85, 90, 101, 102" 112—124, 193, 196, 202.

Смѣшенія правило 43.

Солнце 23, 96, 97.

Солонъ 174.

Сорокъ 69.

Сосъ 20, 22, 25, 29.

Сочетательный законъ 122, 140.

Спиксъ 7.

Сравненія 151—155.

Сравнительная таблица названій первыхъ десяти чиселъ и ста XII.

Средиземное море 104.

Сридхара 46.

Стадія 21, 22, 30.

Старая Мексика 6.

Стевинъ (Симонъ изъ Брюгге) 148.

Степенные вычеты 136.

Степень 99, 136, 204—207.

Суанъ-панъ 41, 86, 88, 215.

Сумиръ 76.

Сумма 113, 126, 128, 193—196.

Сунья 49, 50, 81, 85.

Сутки 181.

Счетъ 1—12, 192 и слѣд., 202, 209—211.

Сѣверо-Американск. Соед. Шт. 179.

Сэйсъ 23, 24.

Таблицы квадратовъ и кубовъ (сенкерейскія) 19, 23—30; суммъ 117—122; разностей 127—128; Крелля 130; Пиѳагора (умноженія) 130, 133, 155, 140; квадратовъ 137—138; сложенія 112, 140; Сравнительная таб. XII; цифръ при стр. 64.

Талантъ 21, 30.

Talkhys 130.

Талльяранъ 177.

Таманаки 9, 212.

Таннери (Tannery J.) 191.

Тарагумары 6.

Тезей 94.

Терція 21.

Тпмбукту 15.

Тингъ 42.

Тичеръ Н. 232.

Тоазъ (туазъ) 178 и слѣд.

Товарищества правило 43.

Томасъ 215.

Треугольникъ ариѳметич., или Паскалевъ, см. ариѳмет. треуг., Паскал. треуг.

Тройное правило 51.

Тсунъ 42.

Туарики 15.

Тунну 39,40.

Турція 179.

Тши-Кіу-Тшау 42.

Тшу 42.

Тэйлоръ 2, 3, 9—11, 212, 213.

Тэтафуксовы ряды 228.

Убанъ (Uban) халдейская мѣра 21.

Улиссъ 94.

Умноженіе 41, 47—49, 85, 90, 101, 102, 129—141, 132, 193—204, 257—260; на 11, 111,...., на 9, 99,...-130—131.

Унція 179.

Уорингъ (Waring) 158.

Уравненія 34, 37—38, 40, 43, 100—106, 210.

Уръ 24.

Ухтредъ (Oughfred) 99.

Факторіалъ 99, 164—168.

Факъ (Pack) 216.

Ферма 99, 114, 136, 138, 159.161, 170, 260—265.

Ферроль 236—249.

Феръ (Fehr) 223.

Фибоначчи 99, 113, 114, 121, 122, 138.

Физика 209, 210, 211 и сл.

Физіологія 210, 211.

Филипповъ А. О. 112.

Филипповъ В. М. 191.

Финикіяне 21, 91.

Финляндія 179.

Фоги 42.

Французы, Франція 86, 179.

Фуксовы функціи 227 и слѣд.

Функція алгебраич. 103; прямыя и обратныя, раціональн., ирраціон., трансцендентныя, тригонометрич. и проч. 103—111.

Фунтъ 179.

Фупъ 42.

Футъ 21, 30, 174, 179.

Хазалонъ 182.

Халдеи 19—31, 59, 68, 69, 73, 92.

Хвольсонъ О. Д. 171, 173.

Химія 210.

Хорсабадъ 20.

Целлеръ 216.

Цифры халдеевъ 31; китайцевъ 42, 44; египтянъ 39, 93; абацистовъ, арабовъ, гобаръ, индусовъ, славянъ, грековъ, семитовъ, альгоритмиковъ 57—94 и таблицы I и II при стр. 64.

Частное 141.

Числа четныя и нечетныя 112, 150: гиперкомплексныя, трансфинитныя 112; отрицательныя 124—125,. 218; положительныя 124, 218;

кратныя 129; равноостаточныя по модулю 151 и слѣд.; первоначальныя (простыя) 155—161, 256,. 260; составныя (сложныя) 155, 156, 161—164; совершенныя 168—170; дружественныя 170; ирраціональныя 218; число „одинъ-156.

Числительныя имена XII, 7—12, 15, 57, 89, 95, 213—214.

Щаба 32.

Шаль (Chasles) 53.

Шампольонъ 32, 39.

Шарко 237, 240.

Швейцарія 179.

Шенфлисъ (Schoenflies) 220.

Шенъ 22.

Шестидесятеричная система счисленія 20—23, 25, 27.

Шнейдеръ 212.

Шеу-ли 41.

Ши 42.

Шингъ 42.

Широта 27.

Штеффель 6.

Штифель 99.

Шюкэ 99.

Эббингаузъ 239.

Эгина 174, 175.

Эйзенштейнъ 159.

Эйлеръ 155, 158, 160, 170, 263, 264.

Эйнштейнъ V.

Эллиптическія функц. 228.

Эпикуръ 234.

Эратосѳенъ 97; эратосѳеново рѣшето 156—167.

Южная Америка 6, 9.

Юкатанъ 16.

Юнгъ 32.

Якоби 187.

Ѳалесъ VI.

ОГЛАВЛЕНІЕ.

Стр.

Предисловіе.....................................................III

Сравнительная таблица названій первыхъ десяти чиселъ и ста XII

Ариѳметика доисторическихъ временъ.

Происхожденіе и постепенное развитіе начальнаго счета. Начатки развитія системы счисленія. (Отрывки изъ сочиненій В. В. Бобынина.) Устный счетъ............................... 1

Системы счисленія.......................................... 13

Ариѳметика у древнихъ народовъ Востока.

Халдеи.—Египтяне.—Китайцы. (Отрывки изъ сочиненій проф. Ващенко-Захарченко.)—Индусы (изъ сочин. проф. Кэджори.) ... 19

Халдеи...................................................... —

Египтяне................................................... 31

Китайцы.................................................... 40

Индусы..................................................... 45

бакъ и абацисты.................................................. 52

Происхожденіе и исторія нашихъ цифръ. Элементарная ариѳметика классической древности.—Истинная роль индусовъ и арабовъ въ исторіи европейской математики.

Изъ изслѣдованій проф. Н. М. Бубнова....................... 54

Архимедово исчисленіе песчинокъ............................ 95

О времени появленія нѣкоторыхъ знаковъ..................... 99

Что такое ариѳметика и алгебра.............................100

Что такое функція? (Изъ сочиненія Н. А. Морозова.).........103

Четыре ариѳметическія дѣйствія...................................112

Сложеніе цѣлыхъ чиселъ (конспектъ и дополненія)............. —

Вычитаніе „ „ „ „ ,, ........124

Умноженіе „ „ ........129

Дѣленіе.—Классификація цѣлыхъ чиселъ. (Конспективный обзоръ и дополненія).........................................141

О числахъ простыхъ (первоначальныхъ), составныхъ, совершенныхъ и дружественныхъ...................................155

Стр.

Объ абсолютныхъ единицахъ мѣръ. (Изъ книги проф. О. Д. Хвольсона.) . 171

Числа, происходящія отъ измѣренія.............................188

Число. (Изъ книги проф. Клиффорда.).................................199

Число и мѣра. (Изъ книги проф. Э. Маха.)............................209

Математическое творчество. (Изъ сочиненій Анри Пуанкаре.)...........223

Знаменитые счетчики: Иноди, Діаманди и Ферроль. (Статья Н. Тичера.)...................................................236

Ариѳметическія забавы. (Статья С. А. Рачинскаго.)...................251

О великой Теоремѣ Ферма.......................................260

Указатель собственныхъ именъ и предметовъ................267