Градштейн И. С. Прямая и обратная теоремы : элементы алгебры логики. — Изд. 3-е, доп. — М. : Физматгиз, 1959. — 128 с.

И. С. ГРАДШТЕЙН

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЫ

ФИ ЗМАТГИЗ-1959

И. С. ГРАДШТЕЙН

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЫ

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ДОПОЛНЕННОЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1959

11-3-1

АННОТАЦИЯ

Книга имеет целью разъяснить логические отношения между прямой, обратной, противоположной и противоположной обратной теоремами и понятия о необходимом и достаточном условиях. В книге в доступной для широкого читателя форме освещаются некоторые элементы теории множеств. В отличие от 2-го издания, 3-е издание включает главу, содержащую начальные сведения из математической логики. Книга снабжена большим количеством задач и вопросов для активного усвоения материала.

Градштейн Израиль Соломонович. Прямая и обратная теоремы. Редактор Б. В. Бирюков. Техм редактор К. Ф. Брудно. Корректор Г. С. Плетнева.

Слано в набор 23/1 1959 г. Подписано к печати 23/VI 1959 г. Бумага 84x108/32. Физ. печ. л. 4. Условн. печ. л. 6,56. Уч.-изд. л. 7,39.

Тираж 30 000 экз. T-06499. Цена книги 2 р. 20 к. Заказ 192.

Государственное издательство физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза. Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ

От издательства...................... 4

Из предисловия к 1-му изданию............... 7

Глава I. Прямая и обратная теоремы.......... 9

§ 1. Введение. Теоремы, аксиомы и определения .... 9

§ 2. Теоремы..................... 11

§ 3. Система теорем. Изучение математических объектов 13

§ 4. Множества и свойства............... 15

§ 5. Соотношения между множествами......... 18

§ 6. Изображение соотношений между множествами с помощью схем.................... 22

§ 7. Обратная теорема................. 27

§ 8. Противоположные теоремы............ 38

§ 9. Доказательство от противного........... 42

§ 10. Отрицание.................... 50

§ 11. Необходимые и достаточные условия....... 52

§ 12. Геометрическое место точек............ 54

§ 13. Закон обратимости................ 61

Глава II. Элементы математической логики....... 65

§ 14. Введение..................... 65

§ 15. Суждения. Их истинность и ложность....... 68

§ 16. Связь суждений.................. 74

§ 17. Равносильность.................. 80

§ 18. Равносильные суждения.............. 82

§ 19. Различные формы обратных и противоположных теорем ........ ............... 91

§ 20. Всегда истинные и всегда ложные суждения .... 94

§ 21. Суждения о свойствах............... 100

§ 22. «Все» и «существует»............... 104

Решения задач, помещенных в тексте........... 111

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Книга покойного Израиля Соломоновича Градштейна «Прямая и обратная теоремы» посвящена рассмотрению логических соотношений между прямой, обратной, противоположной и противоположной обратной теоремами, ясное осознание которых необходимо, как известно, для правильного понимания математических доказательств. Книга предназначена для лиц, изучающих математику, прежде всего для учащихся средних учебных заведений различных типов, но может быть также полезна и для студентов вузов и учителей.

Настоящее издание книги И. С Градштейна является третьим по счету. Первое издание вышло в 1936 г., второе издание было опубликовано в 1950 г. В издании 1936 г. книга состояла из двух глав: «Прямая и обратная теоремы» (первая глава) и «Элементы алгебры логики» (вторая глава). Такое построение книги отражало замысел автора: раскрыть логические отношения между прямой, обратной и т. д. теоремами с помощью простейших средств математической логики. При подготовке книги к переизданию в конце 50-х годов автор изменил свой замысел и решил целиком построить книгу на основе понятий «множества» и «свойства». В соответствии с таким решением из книги был устранен весь материал, относящийся к алгебре логики, вместо чего было расширено изложение некоторых элементов математической теории множеств. Таким образом, книга И. С Градштейна во втором издании представляла собой переработанный и расши-

ренный вариант одной только первой главы книги издания 1936 г.

При подготовке третьего издания книги «Прямая и обратная теоремы» Издательство исходило из целесообразности восстановления в книге раздела, посвященного элементам математической логики. Такая установка объясняется прежде всего тем, что введение понятий и аппарата математической логики (в сочетании с использованием теоретико-множественных средств) позволяет яснее раскрыть суть разбираемых в книге логических отношений между математическими предложениями. Кроме того, следует иметь в виду, что значение математической логики как для математики, так и для техники (а также и для языкознания) за время, истекшее не только со времени первого, но даже и второго издания, сильно возросло. Математическая логика в настоящее время вызывает к себе все больший интерес научной и педагогической общественности, технической интеллигенции, студентов вузов и учащихся средних школ. Между тем у нас совершенно отсутствует литература по математической логике, рассчитанная на широкого читателя. Издание книги И. С Градштейна, содержащей сведения из математической логики, до некоторой степени позволит восполнить этот пробел.

В третьем издании книга «Прямая и обратная теоремы» состоит из двух глав. Первая глава соответствует содержанию второго издания книги И. С. Градштейна, а вторая глава — содержанию второй главы книги издания 1936 г. Вторая глава настоящей книги, в которой освещаются некоторые элементы математической логики, представляет собой в известном смысле самостоятельное целое, и ее можно читать независимо от первой главы. В процессе редактирования книги в текст И. С. Градштейна были внесены некоторые исправления и уточнения, коснувшиеся преимущественно второй главы. Кроме того, в книгу пришлось включить ряд дополнений (также главным образом во вторую главу). Одна часть этих дополнений введена непосредственно в основной текст, другая же дана в виде подстрочных примечаний.

Дополнения составлены редактором книги Б. В. Бирюковым и были просмотрены проф. С. А. Яновской, которая внесла ряд предложений по их улучшению; предложения С. А. Яновской были учтены при подготовке книги к печати. Издательство не ставило цель издать книгу в переработанном виде. Дополнения к книге носят характер необходимого минимума. Круг вопросов, которые рассматривает И. С. Градштейн, манера изложения автора — все это оставлено без изменения. Дополнения, введенные в книгу при ее редактировании, во всех случаях выделены с помощью прямых скобок.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К 1-му ИЗДАНИЮ

... Приемные испытания в вузы показывают, что математическая подготовка лиц, оканчивающих среднюю школу, с каждым годом повышается. Однако и до сих пор средняя школа не всегда дает своим учащимся достаточное теоретическое развитие в области математики. Об этом факте говорят хотя бы те же приемные испытания в вузы и втузы, об этом говорят результаты математических олимпиад, об этом говорят затруднения, возникающие у студентов во время проработки курса высшей математики. Доказательства различных теорем учащимися в большинстве случаев заучиваются как нечто сказанное в книге, а потому подлежащее усвоению. Связь между теоремами остается при этом невыясненной; представление о том, что совокупность теорем представляет собою некоторую систему, которая служит для изучения часто встречающихся математических объектов, обычно отсутствует. Также нечетко бывает у учащихся представление о методах математического доказательства: о методе доказательства от противного, о роли таких понятий, как «все», «каждый», о том, что для опровержения какой-либо теоремы достаточно указать на один только случай, в котором эта теорема не имеет места, об обобщении теорем и понятий, о методе полной математической индукции и т. п. Всем этим вопросам учебная литература по элементарной математике уделяет слишком мало внимания. Некоторые курсы высшей математики снабжены справочниками, в которых даются формулы и теоремы из курса элементарной математики. В этих справочниках указывается длина окружности, дается формула для sin 2а и т. п. Но ни в одном из этих справочников не указывается, что такое обратная и противоположная теоремы. Между тем вопросы, касающиеся методов математического доказательства, очень затрудняют студентов,

особенно на первых курсах. При переходе к высшей математике студенты сразу наталкиваются на определения и теоремы, которые представляют собою сложную комбинацию таких слов, как «необходимо и достаточно», «все», «любой», «некоторые», «существует» и т. п., и усваиваются ими с трудом.

Настоящая книга имеет целью частично пополнить указанный пробел в учебной литературе. В сущности она посвящена только одному вопросу — вопросу об отрицании. С вопросом об отрицании предложения связаны взаимоотношения прямой и обратной, а также прямой и противоположной теорем, взаимоотношения необходимого и достаточного условий, определение геометрического места точек. Всем этим вопросам и посвящена первая глава книги. Эта часть книги не представляет для учащегося фактически ничего нового: в главе первой я старался дать только более полное освещение вопросов, которые должны быть известны из школьного курса.

Однако я не счел возможным ограничиться рассмотрением только таких вопросов, которые уже известны учащемуся из школьного преподавания. Во второй главе я поставил себе задачу осветить некоторые вопросы математической логики, — науки, развившейся именно в связи с теорией математического доказательства. В настоящее время уже очень трудно говорить о структуре математического доказательства, не пользуясь хотя бы элементами так называемой алгебры логики.

Обращаю внимание читателя на то, что предлагаемые в книге задачи являются весьма существенной ее частью.

Горячо благодарю тт. С. А Яновскую и И. В. Арнольда за указания, сделанные ими во время моей работы над книгой.

ГЛАВА I

ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЫ

§ 1. Введение. Теоремы, аксиомы и определения

Всякий, изучающий алгебру и геометрию, встречал в них предложения, называемые теоремами. Эти предложения носят самый разнообразный характер. Рассмотрим, например, теорему: «точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры». Эта теорема говорит о том, как располагаются три точки — два центра и точка касания — при некотором определенном расположении окружностей (при условии их касания). Теорема «диагонали прямоугольника равны» говорит о равенстве длин двух вполне определенных отрезков, проведенных в прямоугольнике. Из алгебры известно, что для любых двух чисел а и b имеет место равенство (а -j- b)2 = a2 -f- 2ab -f-b2. Эта теорема, как и многие другие теоремы алгебры, трактует о замене одних действий над числами, проведенных в одном порядке, другими действиями, сделанными в другом порядке.

Изучая элементарную математику, особенно геометрию, читатель наверное заметил, что все ее теоремы выводятся последовательно путем доказательств (рассуждений, или, как говорят, путем логических умозаключений) из нескольких основных положений, называемых аксиомами. Аксиомы— это предложения, которые принимаются без доказательств.

В качестве примера аксиом приведу аксиомы, имеющиеся в «Началах» Евклида1):

1) Цитирую по книге «Начала Евклида», книги I — VI, Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского, Гостехиздат, 1948, стр. 14. Первые пять из перечисленных аксиом названы Евклидом постулатами.

«Допустим:

1) Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2) И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3) И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.

4) И что все прямые углы равны между собой.

5) И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, продолженные, эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

6) Равные одному и тому же, равны и между собой.

7) И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

8) И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

9) И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

10) И целое больше части».

Часто говорят, что аксиомы — это «очевидные истины». У читателя, естественно, могут возникнуть вопросы, вроде следующих: являются ли действительно аксиомы очевидными истинами? почему именно те или иные предложения считаются аксиомами? и т. п. Однако вопрос о существе аксиом выходит за пределы этой книги. Для чтения этой книги достаточно будет того общего представления об аксиомах, которое осталось у читателей от курса элементарной математики.

Кроме теорем и аксиом, читатель встречал в математике также предложения, называемые определениями. В определении указываются те основные свойства некоторого математического объекта (например, окружности, разности, логарифмов), которые выделяют его из среды других объектов. Кроме этих основных свойств, этот объект может обладать еще и другими свойствами, которые вытекают из первых и указываются в теоремах.

Так, мы имеем ясное зрительное представление об окружности. Однако на основании одного только этого представления свойства окружностей не поддаются строгому научному изучению. Для изучения окружностей необходимо указать основное свойство этих линий, выделяющее их из ряда других линий. Предложение, фиксирующее это основное свойство окружности, называется ее определением. Известное

определение окружности гласит: окружность — это плоская замкнутая линия (лучше: геометрическое место точек на плоскости — об этом понятии речь будет ниже), все точки которой равноудалены от одной точки.

Приведенное определение окружности дает возможность (опираясь на аксиомы и определения других объектов) точно установить другие ее свойства, а также свойства различных линий, так или иначе связанных с окружностью. Так, еще в глубокой древности опытным путем довольно точно получили отношение длины окружности к ее диаметру. В одних странах это отношение приравнивалось 3,14, в других — 3,16. Однако отыскать закон, дающий возможность определить это отношение с любой степенью точности и изучить свойство этого отношения, удалось только после построения геометрии на базе аксиом, определений и строго проведенных выводов (доказательств).

§ 2. Теоремы

Из исследования свойств различных математических объектов (например, линий, поверхностей и тел — в геометрии; сумм, произведений, степеней и т. п.—в арифметике и алгебре) мы приходим к тем или иным заключениям. Эти заключения, выведенные из аксиом и определений, формулируются обычно в виде предложений, называемых теоремами.

В теореме должно быть ясно указано: во-первых, при каких условиях в ней рассматривается тот или иной объект и, во-вторых, что об этом объекте утверждается. Например, в теореме элементарной геометрии «во всяком треугольнике против равных сторон лежат равные углы» рассматриваются углы треугольника при условии, что лежащие против них стороны равны; теорема утверждает, что эти углы равны. Отделить объект от условий, при которых он рассматривается в теореме, часто бывает довольно трудно, так как эти условия нередко заключаются в самом названии объекта. Так, в теореме, о которой была речь выше, объект исследования и условия, при которых он рассматривается, можно указать еще и иначе. Объектом, о котором идет речь, можно считать углы, причем эти углы рассматриваются при следующих условиях: 1) они лежат в одном и том же треугольнике, 2) они лежат против равных сторон этого треугольника. Еще лучше выясняется относительность понятий объекта, который рассматривается в

теореме, и условий, при которых этот объект рассматривается, в следующем примере: «диагонали ромба взаимно перпендикулярны». Объектом исследования являются в этой теореме диагонали ромба. Условия в этой теореме как будто отсутствуют. В действительности эти условия заключены в слове «ромб»: диагонали в теореме рассматриваются при условии, что они принадлежат ромбу, а не какому-либо иному многоугольнику. Чтобы легче было выделить как условия, при которых объекты рассматриваются, так и то, что об объекте теоремы утверждается, ее часто формулируют в виде условного предложения, имеющего форму «если.. ., то. . . ». Первая ее часть, начинающаяся со слова «если», называется условием теоремы; вторая ее часть, начинающаяся со слова «то», называется ее заключением. В условии теоремы указываются те условия, при которых верно утверждение, содержащееся в заключении теоремы1).

«Если в четырехугольнике все стороны равны, то в нем диагонали взаимно перпендикулярны». Ясно, что заключение теоремы (диагонали в четырехугольнике взаимно перпендикулярны) правильно именно (но не только) при условии равенства сторон этого четырехугольника.

Всякую теорему можно сформулировать в виде условного предложения «если .... то ...». Например, теорему «во всяком треугольнике против равных сторон лежат равные углы» можно сформулировать так: «если в треугольнике две стороны равны, то и противолежащие им углы равны». Часто, однако, вследствие относительности понятия объекта и условий, при которых он рассматривается, такая формулировка может быть сделана различными способами. Например, теорема «диагонали ромба взаимно перпендикулярны» допускает следующие формулировки в виде условного предложения: 1) «если данный четырехугольник — ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны»; 2) «если данный параллелограм есть ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны»; 3) «если данный многоугольник есть ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны».

В следующих задачах укажите условие, заключение, объект исследования теорем и условия, при которых они исследуются.

Задача 1. Если в треугольнике один угол прямой, то два других острые.

1) Заключение теоремы может иногда быть верно и при других условиях или при наличии только части данных условий. См. конец этого параграфа и § 7.

Задача 2. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собою.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Задача 4. Если произведение двух целых чисел — число нечетное, то сумма этих чисел есть число четное.

Задача 5. Произведение двух последовательных четных чисел делится без остатка на 8.

Задача 6. Сумма и разность квадратов двух последовательных натуральных чисел — всегда число нечетное, а произведение этих квадратов — число четное, делящееся на 4.

Задача 7. В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон, но больше их разности.

§ 3. Система теорем. Изучение математических объектов

Каждая теорема сама по себе устанавливает, что изучаемый математический объект или совокупность объектов обладает некоторым свойством. Но при изучении математических объектов важны не только и не столько отдельные теоремы, сколько вся их совокупность — система теорем. Особенно наглядно выступает этот факт в геометрии. Система геометрических теорем дает нам представление о свойствах различных фигур, а также линий и поверхностей, составляющих часть этих фигур или же имеющих к ним то или иное отношение. Так, мы изучаем сначала некоторые соотношения углов и сторон в треугольнике, условия равенства и неравенства треугольников, а также свойства (например, взаимное расположение) различных линий в треугольнике (биссектрисы, медианы и т. д.). Затем мы переходим к изучению различных видов четырехугольников, потом изучаем окружности и различные линии в них и вне их. Изучение более сложных фигур является уже довольно трудной задачей1).

Рассмотрим теперь конкретно, к чему сводится изучение четырехугольников. Сначала мы изучаем общие всем четырехугольникам свойства, в основном соотношения между частями четырехугольника: сторонами, углами и т. п. Однако этих свойств так мало (сумма всех углов четырехугольника исследуется тогда, когда исследуется сумма углов в многоугольнике), что изучение четырехугольников начинают

1) Отмечу, что изучение более сложных фигур в конечном счете сводится к приведению вопроса об этих сложных фигурах к вопросу о простейших фигурах.

обычно с выделения особого их вида — четырехугольников, у которых две противоположные стороны параллельны, — трапеций. Выделение это формально фиксируется с помощью определения: «четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, называется трапецией». Оказывается, что этот вид четырехугольников обладает некоторыми особыми свойствами: 1) прямая, соединяющая середины непараллельных сторон трапеции (так называемая средняя линия трапеции), параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме, 2) площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

Далее мы еще больше сужаем вид четырехугольников, подлежащих изучению, и берем четырехугольники, у которых противоположные стороны попарно параллельны (т. е. вид трапеций), —параллелограммы. При этом оказывается следующее: в параллелограмме 1) противоположные стороны равны, 2) противоположные углы равны, 3) диагонали, пересекаясь, делятся пополам, 4) площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Ясно при этом, что параллелограмм, как особый вид трапеций, обладает всеми свойствами трапеции (покажите это более подробно!).

От изучения свойств параллелограммов мы переходим к изучению особых видов параллелограммов — прямоугольников и ромбов. Оказывается, что у прямоугольника диагонали равны и что около прямоугольника можно описать окружность. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Кроме этих специфических свойств, прямоугольник и ромб, будучи видом параллелограмма, обладают всеми свойствами любого параллелограмма.

Из прямоугольников выделяется особый вид — квадрат. Квадрат есть вид не только прямоугольника, но и ромба. Поэтому квадрат обладает всеми свойствами как прямоугольника, так и ромба.

Таким образом, изучение четырехугольников идет по схеме 1.

Задача 8. Перечислите все известные вам свойства: а) прямоугольника, б) ромба, в) квадрата.

Схема 1.

Задача 9. В одном учебнике геометрии сказано: «Из всех параллелограммов окружность можно вписать только в ромб и квадрат». Не следует ли эту фразу исправить?

Итак, теоремы и особенно системы теорем служат для изучения совокупностей объектов, обладающих некоторыми свойствами. Совокупности объектов математики обыкновенно называют множествами.

§ 4. Множества и свойства

Остановимся теперь несколько подробнее на понятии множества, играющем очень крупную роль в современной математике.

Множество задано (или, что то же, определено), если про всякий объект можно сказать, принадлежит ли он этому множеству или не принадлежит. Самый простой способ задания множества состоит в перечислении всех входящих в него объектов, которые называются элементами этого множества. Так, например, множество цифр принятой нами арабской системы счисления состоит из десяти знаков, входящих в следующий список:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Значок V в этот список не попал; следовательно, значок V в множество цифр арабской системы счисления не входит.

Множество букв русского алфавита состоит из знаков, входящих в следующий список:

а, б, в, г, д, е, ж, з, и, й, к, л, м, н, о, п, р, с, т, у, ф, X, ц, ч, ш, щ, ъ, ы, ь, э, ю, я.

Значки q,?,= в этот список не попали; следовательно.. çt ?, = не принадлежат к множеству букв русского алфавита.

Рассмотрим множество диагоналей правильного выпуклого пятиугольника, вписанного в данную окружность О (радиуса г) и имеющего вершину в точке At. Это множество мы обозначим так: £>б. Остальные вершины пятиугольника обозначим через А2, Аъ, А4, Аь (черт. 1). Множество D6 состоит из следующих отрезков:

AtA3, A2Ait АВА~, A4Alt А5А.г. Рассмотрим теперь множество диагоналей правильного выпуклого стоугольника, вписанного в данную окружность О

(радиуса г) и имеющего вершину в точке Аг; обозначим это множество так: D100. Множество D100 принципиально ничем не отличается от множества D5. Однако составить список элементов множества Dm не так уж просто, так как в множестве D100 4850 элементов. Но нужен ли нам такой список? Список нам нужен был для того, чтобы задать множество, т. е. для того, чтобы про всякий объект мы могли ответить на вопрос, принадлежит ли этот объект нашему множеству или не принадлежит. Предположим, что вам дали некоторый отрезок и спросили, принадлежит ли он множеству Dm. Стали бы вы данный вам отрезок искать в кем-то составленном списке из 4850 элементов? Безусловно, нет; вы бы даже не интересовались, существует ли список множества D100. Вы посмотрели бы на концы данного вам отрезка; если оба его конца являются какими-либо двумя несоседними вершинами1) данного стоугольника, то вы ответили бы: да, данный отрезок принадлежит множеству D100. Если же хотя бы один из концов данного отрезка не является вершиной данного стоугольника или же если концы этого отрезка совпадают с двумя соседними вершинами данного стоугольника, то вы ответили бы: нет, данный отрезок не принадлежит множеству D100.

Таким образом, в последнем примере множество задавалось не списком своих элементов, а свойством, которым должны были обладать эти элементы —диагонали многоугольника. Диагонали многоугольника — это отрезки, обладающие следующим свойством: они соединяют несоседние вершины этого многоугольника. В примере с пятиугольником мы и сам список составили, пользуясь этим свойством диагоналей. Мы могли бы таким же способом составить и список элементов множества D100. Однако в обоих случаях множества D5 и D100 вполне определялись свойствами своих элементов — диагоналей многоугольника.

Черт. 1.

1) Две вершины многоугольника называются соседними, если они соединены стороной.

Рассмотренные нами в виде примеров множества — множество цифр арабской системы счисления, множество букв русского алфавита, множества диагоналей пятиугольника и стоугольника — суть конечные множества, хотя некоторые из них состоят из большого числа элементов. Во всех этих случаях можно, хотя бы принципиально, составить списки элементов данного множества. В математике большей частью имеют дело не с конечными, а с бесконечными множествами. Таковыми, например, являются: множество четных чисел, множество квадратов, множество сфер и т. д. Ясно, что никакой речи о перечислении всех элементов этих множеств, о составлении списков элементов этих множеств быть не может. .Множество, состоящее из бесконечного числа элементов, так называемое бесконечное множество, определяется обыкновенно свойствами его элементов: множество А задано (определено, установлено), если указано свойство а, которым обладают все элементы, принадлежащие множеству А, и которым объекты, не принадлежащие множеству А, не обладают.

Множества мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита, элементы множеств — строчными буквами латинского алфавита, а свойства этих элементов — буквами греческого алфавита. Самый факт вхождения — включения — элемента в множество обозначается значком £ . Таким образом, факт вхождения элемента а в множество А записывается так: а£А (читается: а входит в А), или так: А^а (читается: множество А содержит а).

Рассмотрим указанные выше в виде примеров бесконечные множества. Элементы множества В четных чисел обладают свойствами делиться без остатка на 2. Таким образом, например, 1352£ В. Множество квадратов состоит из четырехугольников, обладающих следующими свойствами: все стороны каждого из этих четырехугольников равны между собою и, по крайней мере, один из углов такого четырехугольника прямой. Множество сфер состоит из замкнутых поверхностей, каждая из которых обладает следующим свойством: все точки этой поверхности находятся на одном и том же расстоянии от одной точки, называемой центром сферы.

Определение приведенных выше в виде примеров бесконечных множеств (множества четных чисел, множества квадратов, множества сфер) по существу сводилось к выделению их из других более общих множеств (множества целых чисел, множества четырехугольников, множества поверхностей). Это

выделение одних множеств из других, более общих, производилось на основании следующего критерия: элементы выделенного множества должны были обладать некоторыми специфическими свойствами (делиться на 2, иметь равные стороны и прямой угол и т. д.), которыми обладают не все элементы более общего множества. Естественно возникает вопрос: как определять эти более общие множества, или. что то же, как определять свойства, характеризующие эти более общие множества? Вопрос этот очень интересный, но, к сожалению, он выходит за пределы этой книги.

Подчеркнем, что понятия «множество» и «свойство» тесно связаны между собою. Мы уже говорили, что свойство, скажем, а определяет множество А объектов, обладающих этим свойством; при этом предполагается, что в множество А входят все объекты, обладающие свойством а. Но справедливо также и обратное утверждение. Если некоторое множество А определено, то определено тем самым и свойство «принадлежать множеству Л». Так, свойство быть арабской цифрой означает принадлежать (или быть похожим) на один из десяти значков, названных нами выше «элементами множества Z цифр арабской системы счисления».

Если мы каким-либо способом сумеем определить множество целых чисел, то мы тем самым определим свойство «быть целым числом», т. е. «принадлежать к множеству целых чисел».

Однако нетрудно придумать такое свойство, которым не обладал бы ни один объект. Так, не существует четырехугольников, у которых сумма внутренних углов равна 450°. Такое свойство никакого множества не определяет. Однако в целях общности математики и в этих случаях говорят, что свойство определяет множество, но несколько особое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Такие, не содержащие ни одного элемента, множества математики называют пустыми множествами. Так, в приведенном примере можно сказать, что четырехугольники, у которых сумма внутренних углов равна 450°, образуют пустое множество.

§ 5. Соотношения между множествами

Между множествами могут существовать различные соотношения. Укажем на некоторые из них.

Включение. Мы будем говорить, что множество А входит (включено) в множество В, если каждый элемент

множества А входит также в множество В. Это соотношение между множествами А и В мы будем записывать так: А с В. Следовательно, A œ В, если из а£А следует, что а£В. Часто выражение «множество А входит в множество В» заменяют другими выражениями: «Множество А составляет часть множества В», «множество А является подмножеством множества В».

Если в множестве В имеются элементы Ь, не входящие в множество А, то говорят, что множество А составляет правильную часть множества В. Например, множество прямоугольников входит в множество параллелограммов, а это последнее входит в множество четырехугольников. Множество квадратов входит как в множество прямоугольников, так и в множество ромбов. Множество чисел, делящихся на 4, составляет правильную часть множества четных чисел. Мы будем считать (по определению), что пустое множество входит в любое множество.

Если множество А определяется свойством а (т. е. если элементы множества А обладают свойством а и все объекты, обладающие свойством а, входят в множество А), множество В определяется свойством ß и А а В, то любой объект, обладающий свойством а, должен обладать также и свойством ß.

Если всякий объект, обладающий свойством а, обладает также и свойством ß, то говорят, что свойство я включает свойство ß, и записывают это так: a z> ß. Так, свойство четырехугольника иметь три прямых угла включает свойство четырехугольника иметь равные противоположные углы. Свойство числа делиться на 4 включает свойство числа быть четным.

Таким образом, соотношению А а В между множествами соответствует соотношение a z> ß между свойствами, определяющими эти множества.

Сумма множеств. Объект с входит в множество С, называемое суммой (или объединением) множеств А и В, если он входит в множество А или1) в множество В, т. е. с£С в том и только в том случае, когда с£А

1) Утверждению, в которое входит союз «или^>, как-то: «объект г входит в множество А или в множество В>, можно придавать два различных значения. Можно такие утверждения понимать в том смысле, что объект г входит в одно и только в одно из двух множеств, или множество А или множество В, т. е. что в оба эти множества объект г не может входить; можно же указанное утвержде-

или с £ В\ иными словами, прибавить к множеству А множество В — значит образовать новое множество С, включающее как все элементы множества А, так и все элементы множества В, не входящие в множество А.

Сумма множеств записывается так: А-\-В1). Если некоторый объект г входит как в множество А, так и в множество В, то из нашего определения следует, что объект г входит (и притом только один раз) в множество А-\-В. Отсюда следует, что

Л + Л = А

Например, множество С отличных от нуля действительных чисел есть сумма множества А положительных чисел и множества В отрицательных чисел. Любое действительное число можно делить на любое число, принадлежащее множеству С. Множество чисел R, делящихся на 2 или на 3, есть сумма множества Р чисел, делящихся на 2, и множества Q чисел, делящихся на 3. В эту сумму войдут числа 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, из них числа 6, 12,... входят как в множество Р, так и в множество Q; в множество R они входят только один раз.

Сумма множества А, элементы которого обладают свойством а, и множества В, элементы которого обладают свойством ß, есть множество, элементы которого обладают свойством а или свойством ß. Свойство обладать свойством а или свойством ß мы будем называть произведением свойства а и ß и будем обозначать так: aß2). Другими словами, про объект г говорят, что он обладает произведением свойств aß, если он обладает свойством a или свойством ß. Так, элементы множества чисел, отличных от нуля,

ние понимать в том смысле, что объект г входит по крайней мере в одно из двух множеств, т. е. что не исключена также возможность, что объект г входит в оба множества — и в множество Л, и в множество В. В математике союзом «или» пользуются по преимуществу во втором смысле. В этой книге союзу «или» придается также только этот второй смысл; всякий раз, когда нам понадобится слово «или» в первом из указанных значений, мы будем заменять его словом «либо» или оборотом «или ..., или». Подробно об этом см. в § 16.

1) Часто встречается также и следующая запись суммы множеств: А[}В.

2) Произведение свойств a и ß в математической логике обозначают также и следующим образом: а у р.

обладают произведением свойств быть положительными и быть отрицательными. Элементы указанного выше множества R обладают произведением свойств: 1) быть четным, 2) делиться на 3.

Таким образом, сумме множеств соответствует произведение свойств, определяющих эти множества.

Пересечение множеств. Объект с входит в множество С, называемое пересечением (или произведением) множеств А и В, если он входит как в множество А, так и в множество В, т. е. с£С в том и только в том случае, когда с£А и с£В; иными словами, образовать пересечение множества А с множеством В — значит образовать множество С из всех элементов множества А, входящих в множество В. Пересечение множеств А и В записывается так: А • В или просто AB1), т. е. записывается так, как в обычной алгебре записывается умножение. Из определения пересечения множеств, в частности, следует, что

А . А = А.

Примеры. Множество квадратов есть пересечение множества прямоугольников и множества ромбов. Множество чисел, делящихся на 6, есть пересечение множества чисел, делящихся на 2, и множества чисел, делящихся на 3.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то их пересечение представляет собою пустое множество, т. е. в этом случае А • Б = 0, где 0 обозначает пустое множество.

Если элементы множества А обладают свойством а, a элементы множества В — свойством ß, то элементы множества AB должны обладать как свойством а, так и свойством ß. Свойство обладать как свойством а, так и свойством ß мы будем называть суммой свойств а и ß и будем обозначать так: а-j-ß2). Другими словами, про объект г говорят, что он обладает суммой свойств a-f-ß, если он обладает как свойством а, так и свойством ß. Так, числа, делящиеся на 6, обладают суммой свойств делиться на 2 и делиться на 3. Из определения трапеции следует, что трапеция представляет собою объект, обладающий суммой двух свойств: 1) быть четырехугольником

1) Часто встречается также и следующая запись пересечения множеств: А(]В.

2) Сумму свойств a и Э в математической логике обозначают также о&р.

(иными словами, принадлежать к множеству четырехугольников) и 2) иметь пару параллельных сторон.

Разность множеств. Разностью двух множеств M и Л называют множество В тех элементов множества М, которые не входят в множество Л. Разность множеств M и А обозначается так: M— А. Пусть элементы множества Л определяются свойством а. Про объекты, не обладающие свойством а, мы будем говорить, что они обладают свойством а (читается «не а»). Так, если свойство а — свойство быть четным числом, то про прямую и число 3 можно сказать, что они не являются четными числами, т. е. обладают свойством а (не быть четным числом). Если множество M определяется свойством [х, то разность M— Л множеств Ж и Л обладает суммою свойств |x-f-a. Обозначим множество объектов, не обладающих свойством а (обладающих свойством а), так: Л. Тогда разность M— Л, обладая свойством [х + а, будет представлять собою пересечение MA множеств Ж и Л.

Примеры. Множество иррациональных чисел представляет собою разность между множеством действительных чисел и множеством рациональных чисел1). Множество, состоящее из одного элемента 0, есть разность между множеством четных чисел и множеством чисел, на которые можно делить. Множество пар пересекающихся прямых представляет собою разность между множеством пар прямых, лежащих в одной плоскости, и множеством пар параллельных прямых.

Задача 10. Является ли множество пар пересекающихся прямых разностью между множеством пар прямых в пространстве и множеством пар параллельных прямых?

§ 6. Изображение соотношений между множествами с помощью схем

Соотношения между множествами можно наглядно представить с помощью геометрических фигур — схем. Возьмем какую-либо фигуру, например прямоугольник KLMN (черт. 2) (часто в качестве такой фигуры берут круг), и вообразим, что он представляет собою план склада, куда сложены все элементы множества Л. Пусть множество В а А. Тогда элементы множества В также попали в этот склад. Упорядочим

1) Числа целые и дробные, положительные и отрицательные, включая нуль, образуют множество рациональных чисел.

Черт. 2.

хранение элементов в нашем складе. Отгородим для этого часть склада KLPR и поместим в отгороженную часть элементы множества В. Если в множестве А имеются элементы не принадлежащие множеству В, то перегородка пройдет внутри склада KLMN; если же каждый элемент ЬС^В совпадет с некоторым элементом а£А, то перегородка должна будет совпасть со стенами склада KLMN. Элементы множества А обладают свойством к они хранятся в складе KLMN. Элементы множества В обладают свойством ß: они хранятся в складе KLPR (эта часть чертежа заштрихована), а следовательно, и в складе KLMN. Очевидно (из чертежа), что ßz>a. Свойство а представляет собою произведение свойства ß и свойства 7: храниться в складе RPMN. Соответственно с этим множество А = В-\-С, где С — множество элементов, хранящихся в складе RPMN. Множество С является разностью множества А и множества В% т. е. С = А — В. Что же касается свойства у, то оно не совпадает со свойством ß, так как свойство ß означает: храниться вне склада KLPR.

Свойство y есть сумма свойств a + ß (храниться в складе KLMN и не храниться в складе KLPR).

Рассмотрим теперь другой пример. Пусть по-прежнему в складе KLMN хранятся элементы множества А (черт. 3). Предположим, что поступило распоряжение хранить не только элементы множества А, но и элементы множества В, среди которых есть объекты, не принадлежащие множеству Л. Тогда надо сделать какую-то пристройку, например RSTN, для хранения элементов множества В, не принадлежащих множеству А. Упорядочим хранение элементов множества В, принадлежащих множеству А. Если А с В, то все объекты, хранящиеся в складе KLMN, будут принадлежать множеству В, и наша схема по существу ничем не будет отличаться от схемы предыдущего примера. Предположим теперь что в складе KLMN имеются объекты, принадлежащие

Черт. 3.

множеству А но не принадлежащие множеству В. Отгородим их перегородкой PR. Покроем место, где хранятся элементы множества Л, дубовыми досками (на черт. 3 они обозначены вертикальными штрихами), а место, где хранятся элементы множества В% — сосновыми досками (на черт. 3 они обозначены горизонтальными штрихами). Места, где хранятся элементы суммы множеств Л-f-ß, окажутся покрытыми либо дубовыми, либо сосновыми досками, либо и теми и другими. Места хранения элементов множества А-\-В обладают, очевидно, произведением свойств а (храниться под дубовыми досками) и ß (храниться под сосновыми досками).

На построенных нами схемах можно иллюстрировать также и пересечение множеств. На черт. 3 в складе PRNM хранятся объекты, каждый из которых принадлежит как множеству Л, так и множеству В\ следовательно, на складе PRNM хранится пересечение AB множеств А и В. Оно обладает суммою a + Ö свойств, определяющих соответственно множества А и В. На схеме этой сумме свойств соответствует тот факт, что объекты в складе PRNM хранятся под двумя слоями досок: и под дубовым, и под сосновым.

На черт. 2 в прямоугольнике KLPR хранится пересечение AB множества А и множества Bei А. Этот чертеж хорошо также иллюстрирует тот факт, что пересечение множеств В и В пусто. На этом чертеже проиллюстрировано также и дополнение AB множества В до множества А.

Применим теперь сказанное к классификации четырехугольников, рассмотренной нами в § 3.

Взаимоотношения, существующие между различными подмножествами множества четырехугольников, можно хорошо иллюстрировать с помощью фигурных схем. Пусть прямоугольник ABCD представляет собою план склада, куда сложены все четырехугольники (черт. 4). Множество трапеций есть правильная часть множества четырехугольников (существуют четырехугольники, у которых ни одна пара противоположных сторон не параллельна). Поэтому все трапеции умещаются в складе ABCD, и можно внутри склада ABCD устроить перегородку так, чтобы в отгороженной части AEFG склада хранились только трапеции. Далее, так как множество параллелограммов образует правильную часть множества трапеций, то можно выделить в отделе трапеций AEFO часть AKLM, в которой хранились бы только параллелограммы. Выделим теперь в отделе параллелограм-

мов части для хранения прямоугольников и ромбов, Это возможно, так как и множество прямоугольников и множество ромбов суть правильные части множества параллелограммов. Множества прямоугольников и ромбов не совпадают, но их пересечение не пусто: оно образует множество квадратов. Эти факты отображены на нашем чертеже. Под отдел прямоугольников у нас отведена часть APQM склада; она заштрихована горизонтальными штрихами. Под отдел ромбов отведена часть LMSR склада; она заштрихована вертикальными штрихами. В общей части этих двух отделов, в прямоугольнике STQM, хранится пересечение множества прямоугольников и множества ромбов — множество квадратов; отдел, где хранятся квадраты, заштрихован как вертикальными, так и горизонтальными штрихами.

Если попарное пересечение нескольких множеств пусто, то части схем, соответствующие этим множествам, обособлены, т. е. не имеют общих точек, кроме, быть может, границ. Поясним это на примерах.

Все треугольники (все множество треугольников) можно разделить на три вида (подмножества): на тупоугольные, прямоугольные и остроугольные, т. е. такие, у которых все три угла острые. Эти три подмножества исчерпывают все множество треугольников и не имеют общих элементов. Соответственно этому на черт. 5 прямоугольник, соответствующий всему множеству треугольников (склад этих треугольников) разделен на той неперекрывающиеся части (отделы).

Черт. 4.

Черт. 5.

Схемы, о которых идет здесь речь, очень похожи на диаграммы, которые вы, наверное, не раз рисовали хотя бы в школе. В обычных диаграммах нас интересует не только, на какие подмножества делится данное множество, но и количественное соотношение между этими подмножествами, например процент отличных, хороших, посредственных, плохих и очень плохих отметок в данном классе за данную четверть. В приведенных нами схемах мы упрощаем вопрос: мы интересуемся лишь тем, на какие подмножества можно разбить данное множество, а не количественным соотношением между этими подмножествами.

Черт. 6.

На черт. 4 множеству четырехугольников соответствовал весь прямоугольник ABCD в целом. Точного соответствия между точками прямоугольника ABCD и отдельными четырехугольниками мы не устанавливали. Однако между множеством различных фигур и множеством точек схемы можно установить и более точное соответствие, при котором каждой фигуре или каждой группе фигур соответствововала бы одна вполне определенная точка, и обратно — каждой точке соответствовала бы одна вполне определенная фигура или группа фигур. Покажем, например, как это можно сделать для треугольников. Возьмем прямоугольный треугольник со сторонами OA = 60 мм, OB = 30 мм (черт. 6). Отложим от точки О отрезок ОС = 15 мм. Возьмем какую-либо точку M внутри или на сторонах треугольника ABC и измерим в миллиметрах ее расстояния МК и МИ от прямых OB и OA. Пусть теперь точка M изображает множество (соответствует множеству) всех подобных треугольников, у которых число градусов в наибольшем угле равно 60 плюс число полумиллиметров в отрезке КМ, а наименьший угол содержит столько градусов, сколько полумиллиметров в отрезке ММ. В таком случае каждой точке треугольника ABC, за исключением точки А, соответствует множество всех подобных треугольников, имеющих данные углы, и обратно — каждому множеству подобных треугольников соответствует точка, лежащая внутри или на сторонах треугольника ABC.

При этом точки треугольника BCD, не лежащие на стороне CD, изображают остроугольные треугольники, точки треугольника ACD (за исключением А), не лежащие на стороне CD — тупоугольные треугольники, а точки отрезка CD — прямоугольные треугольники. Если бы мы хотели, чтобы каждой точке схемы соответствовал только один треугольник, а не целое множество подобных треуголь-

ников, то надо было бы взять в качестве схемы не треугольник, а трехгранную призму; расстоянию точки от основания призмы соответствовал бы коэффициент подобия.

Вы видите, насколько усложняется даже очень простая схема при установлении «точного» соответствия между точками схемы и изучаемыми фигурами. Поэтому мы впредь будем пользоваться «неточными» схемами, которые для наших исследований вполне достаточны.

Задача 11. Представьте с помощью схем классификацию действительных чисел. Как известно, числа могут быть положительными и отрицательными, целыми и дробными, рациональными и иррациональными, алгебраическими и трансцендентными.

§ 7. Обратная теорема

Читатель, наверно, помнит, что теоремой, обратной данной, называется такая теорема, условием которой служит заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы1). Например, для теоремы «в параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам» обратной является следующая: «четырехугольник, в котором диагонали, пересекаясь, делятся пополам, является параллелограммом»; для теоремы «если в четырехугольнике все стороны равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны» обратной является: «если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то в нем все стороны равны».

Обратные теоремы так же, как и прямые могут быть как верны, так и не верны. Так, в первом из приведенных примеров верны и прямая и обратная теоремы; во втором примере теорема верна, а обратная, как мы покажем дальше, не верна. Поэтому справедливость обратных теорем (как и прямых) подлежит доказательству, и действительно, в математических книгах вы такие доказательства найдете. Но в учебниках элементарной математики, давая доказательства обратных теорем, обычно недостаточно выясняют значение обратных теорем. Между тем обратные теоремы, или, точнее говоря, теоремы, которые сами верны и обратные к которым также верны, играют очень большую

1) Киселев А. П., Геометрия. Учебник для 6—9 классов средней школы, ч. I, М., Учпедгиз, 1958, стр. 18, § 30. В дальнейшем ссылки на эту книгу мы будем коротко обозначать так; Киселев, стр..., §....

роль в математических исследованиях. Поэтому мы подробно остановимся на значении обратных теорем1).

Вернемся снова к приведенной нами в виде примера теореме «в параллелограмме диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам» Эта теорема верна. Ее можно формулировать еще и так: «у одного из видов четырехугольников, у параллелограмма, диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам». Естественно возникает вопрос: является ли параллелограмм единственным видом четырехугольников, у которых диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам? Вопрос этот равносилен вопросу о справедливости обратной теоремы: «четырехугольники, у которых диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам, суть параллелограммы». Доказательство обратной теоремы сводится к доказательству того, что противоположные стороны четырехугольника, у которого диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам, параллельны. Эта обратная теорема, как легко доказать, правильна, и поэтому на поставленный ранее вопрос мы можем дать утвердительный ответ.

Параллелограмм обычно определяют как вид четырехугольника, обладающий следующим основным, характеризующим его свойством: противоположные стороны этого четырехугольника параллельны2). Отсюда выводят ряд других свойств этого четырехугольника, в том числе и свойство его диагоналей при своем пересечении взаимно делиться пополам. При этом оказывается, что это последнее свойство

1) [Следует иметь в виду, что в научной литературе по математике термин «теорема», как правило, употребляется в ином смысле, чем в этой книге. Именно под теоремой имеют в виду предложение математической теории, истинность которого доказана с помощью логических рассуждений. С этой точки зрения, когда о некотором предложении говорят как об обратной теореме, это означает, что истинность этого предложения уже доказана; выражение же «неверная обратная теорема» считается не имеющим смысла. Следуя такому употреблению слова «теорема», мы должны были бы говорить в этой книге о прямых, обратных, противоположных и противоположных обратным предложениях (предложение может быть как истинным, так и ложным), выделяя затем среди предложений, встречающихся в математике, такие, истинность которых доказана с помощью логических рассуждений, и только к предложениям этого последнего вида относить название «теорема». Однако такая терминология не соответствует школьной практике, в которой вошло в обычай говорить о верности и неверности обратных и противоположных теорем.]

2) Или, что то же, как вид трапеции, у которой боковые стороны параллельны.

настолько характеризует параллелограмм, что его можно принять за основное свойство, характеризующее параллелограмм как вид четырехугольника.

Перейдем теперь ко второму примеру: «если в четырехугольнике все стороны равны, то его диагонали взаимно перпендикулярны». Легко показать, что эта теорема верна. Итак, мы в этом случае выделяем четырехугольники по их следующему основному свойству: стороны выделенных четырехугольников равны. Все выделенные четырехугольники обладают (так как указанная теорема верна) еще и другим свойством — взаимной перпендикулярностью диагоналей. Естественен снова вопрос: является ли это второе свойство также основным свойством выделенной нами группы четырехугольников, т. е. будут ли равны стороны всякого четырехугольника, у которого диагонали взаимно перпендикулярны? Очевидно, что указанный вопрос равносилен вопросу о правильности обратной теоремы: «если в четырехугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то в нем все стороны равны». Ответ на этот вопрос в данном случае получается отрицательный, т. е. в данном случае обратная теорема не верна. Чтобы убедиться в этом, достаточно построить четырехугольник, диагонали которого будут взаимно перпендикулярны, а стороны не будут равны.

Для такого построения возьмем на каждой из двух взаимно перпендикулярных прямых MN и PQ по точке (черт. 7), Выбранные нами точки А и В соединим прямой. Из точки В делаем на прямой MN засечку радиусом, равным 2АВ, и полученную точку С соединяем с В прямой. На прямой PQ выбираем какую-либо точку D и соединяем ее прямыми с точками Л и С. У четырехугольника ABCD диагонали взаимно перпендикулярны по построению, а стороны не равны, так как одна из них, ВС, в два раза больше другой, AB.

Ясно, что для изучения геометрических фигур (как и других объектов) очень важно знать не только свойства данной фигуры, но и какие из этих свойств можно

Черт. 7.

принять за основные ее свойства, вполне определяющие данную фигуру. Эти свойства геометрических фигур выделяются посредством доказательства обратных теорем.

В обоих рассмотренных нами примерах мы имели дело с некоторым множеством M, а именно множеством четырехугольников. Из этого множества M мы выделяли часть, подмножество А, элементы которого обладают некоторым свойством а. Таким подмножеством А в первом примере служили параллелограммы, т. е. четырехугольники, у которых противоположные стороны параллельны (свойство a), a во втором примере—четырехугольники с равными сторонами (свойство а). Далее мы убеждались в том, что элементы подмножества А, кроме свойства а, обладают еще и некоторым другим свойством, скажем ß, т. е. что множество A cz М, определяемое свойством сс, является частью множества BczM, определяемого свойством ß. Свойством ß в первом примере было свойство диагоналей взаимно делиться пополам при своем пересечении; во втором примере свойством ß была взаимная перпендикулярность диагоналей. Далее мы спрашивали себя: можно ли считать свойство ß основным свойством множества А? Иными словами, все ли элементы первоначально рассмотренного нами множества М, обладающие свойством ß, обладают также и свойством сс, т. е. является ли множество А правильной частью множества В или оно целиком совпадает с множеством Л? Все ли четырехугольники, у которых диагонали взаимно делятся пополам, являются параллелограммами? Все ли четырехугольники с взаимно перпендикулярными диагоналями имеют равные стороны? Ответ на этот вопрос зависит от верности или неверности так называемой обратной теоремы. Значение одновременной справедливости (истинности) или несправедливости (ложности) прямой и обратной теорем можно еще лучше подчеркнуть, если ввести понятие тождества множеств и свойств.

Если множество АаВ и множество ВаА, то говорят, что множества А и В тождественны, и записывают это так: Л ==s В.

Утверждение, что АаВ означает, что каждый элемент множества А является вместе с тем и элементом множества В. При этом возможны два случая: а) в множестве В имеются также элементы, не входящие в множество А; б) в множестве В нет ни одного элемента, не входящего в множество А. В последнем случае не только АаВ, но и BczA, т. е.

в этом случае множества А и В тождественны. Таким образом, в тождественные множества входят одни и те же элементы.

Если свойство acß и свойство ßcza, то мы говорим, что свойства a и ß тождественны, и записываем это так: a=ß. Иными словами, свойства a и ß тождественны, если всякий объект, обладая одним из этих свойств, обладает непременно и вторым из них.

Тождественные свойства определяют, очевидно, тождественные множества, и, обратно, свойства, определяющие тождественные множества, также тождественны.

Вернемся теперь снова к прямой и обратной теоремам. Итак, взаимоотношения между прямой и обратной теоремами можно характеризовать следующим образом:

Пусть мы имеем некоторое множество М. Прямая теорема утверждает, что элементы множества М, обладающие свойством a (принадлежащие множеству А), обладают также и свойством ß (принадлежат также множеству В). Правильность этого утверждения подлежит доказательству или опровержению: оно может быть истинным или ложным. Обратная теорема утверждает, что элементы множества М, обладающие свойством ß {принадлежащие множеству В), обладают также и свойством a (принадлежат также и множеству А). Правильность этого утверждения также подлежит доказательству или опровержению.

Например, вы выделяете из множества (М) четырехугольников параллелограммы (множество А), как четырехугольники, у которых противоположные стороны попарно параллельны (свойство а), и приходите к заключению, что противоположные стороны такого четырехугольника попарно равны (свойство ß, определяющее множество В).

В обратной теореме вы рассматриваете четырехугольники, обладающие свойством ß — равенством противоположных сторон,— и показываете, что эти стороны параллельны, т. е. что этот четырехугольник является параллелограммом.

Одновременная истинность прямой и обратной теорем означает следующее: подмножество А, выделенное из множества M свойством а, тождественно подмножеству В, выделенному из множества M свойством ß.

Таким образом, одновременная справедливость прямой и обратной теорем означает справедливость тождеств: а) множеств

МА = МВ

(«сократить» на «множитель» M нельзя) и б) свойств

a -f- принадлежность множеству М =

== ß -(-принадлежность множеству M

(«сократить» на слагаемое «принадлежность к множеству М» нельзя).

Легко заметить, что если исходить из второй теоремы, названной нами обратной, и считать ее прямой теоремой, то теорема, названная нами прямой, окажется обратной. Поэтому часто говорят не о прямой и обратной теоремах, а о двух взаимно обратных теоремах. Таким образом, два предложения, из которых одно утверждает, что элементы множества М, обладающие свойством а, обладают и свойством ß, а другое, что элементы множества М, обладающие свойством ß, обладают также и свойством а, называются взаимно обратными теоремами.

Задача 12. Для каких теорем вы знаете правильные обратные теоремы?

В задачах 13—17 сформулируйте и докажите теоремы, обратные следующим:

Задача 13. В параллелограмме диагонали, пересекаясь, взаимно делятся пополам.

Задача 14. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Задача 15. Если некоторое число (написанное по десятичной системе) делится на 9, то и сумма его цифр делится на 9.

Задача 16. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Задача 17. Верна ли теорема, обратная следующей: «если в треугольнике один угол тупой или прямой, то два других — острые»?

Мы уже говорили о том, что обратная теорема (как и прямая) может быть неверна. Важно при этом указать следующее: верна или не верна обратная теорема, часто зависит от того, как мы эту обратную теорему сформулируем.

Возьмем, например, теорему: «диагонали ромба взаимно перпендикулярны». Если обратную сформулировать так: «четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны есть ромб», то эта теорема окажется неверной, как это легко заключить из сказанного на стр. 29. Если же сформулировать ее так: «параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, есть ромб», то она окажется верной (доказательство этой теоремы предоставляется читателю).

Разберемся подробнее в этом примере. В первом случае мы выделили ромбы и четырехугольники с взаимно перпендику-

лярными диагоналями из множества четырехугольников. В этом случае теорема оказалась неверной. Во втором случае мы выделили ромбы и четырехугольники с взаимно перпендикулярными диагоналями из множества параллелограммов. В этом втором случае теорема оказалась верной. Почему это получилось? Параллелограммы выделяются из множества четырехугольников, как подмножество элементов, обладающих свойством 7 — параллельностью противоположных сторон. Ромбы выделяются из множества параллелограммов, как подмножество элементов, обладающих свойством а — равенством двух соседних сторон. Таким образом, ромбы представляют собою элементы множества четырехугольников, обладающие свойством CC-f-f.

Прямая теорема верна, т. е. четырехугольники, обладающие свойством a-(-y» обладают также свойством ß (перпендикулярностью диагоналей).

Первая формулировка обратной теоремы равносильна утверждению, что четырехугольник, обладающий одним только свойством ß, обладает также свойством cc-f-f, т. е. обладает и свойством а и свойством 7. Это утверждение неверно. Вторая формулировка обратной теоремы равносильна утверждению, что четырехугольник, обладающий двумя свойствами Р и f, т. е. свойством ß —|— f» обладает также свойством а. Это утверждение оказывается верным. Иначе говоря, в данной теореме мы рассматриваем объекты (четырехугольники), удовлетворяющие двум условиям: 1) эти четырехугольники являются параллелограммами, 2) диагонали у этих четырехугольников взаимно перпендикулярны. В заключении же содержится одно утверждение. Итак, обратную теорему ми можем строить двояким образом: или взять в качестве заключения в обратной теореме все условия, накладываемые на объект в прямой теореме, а условием обратной теоремы сделать только одно заключение прямой, или взять в качестве заключения обратной теоремы только часть условий, накладываемых на объект в прямой теореме, а остальную часть условий прямой теоремы вместе с ее заключением сделать условием обратной теоремы.

Вообще условие теоремы может заключать в себе несколько условий, накладываемых на рассматриваемый объект, а ее заключение — несколько утверждений относительно этого объекта. Комбинируя различным образом условия, накладываемые на рассматриваемый объект, и утверждения, содержащиеся

в заключении теоремы, мы можем из данной теоремы получить целый ряд обратных.

Проиллюстрируем это еще на следующем примере. В теореме «если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то они также равны» объект — четырехугольник— подчинен двум условиям:

1) одна пара его противоположных сторон должна быть параллельна:

2) другая пара его противоположных сторон должна быть параллельна.

Заключение этой теоремы содержит два утверждения:

1) одна пара противоположных сторон указанного четырехугольника равна;

2) другая пара противоположных сторон указанного четырехугольника равна.

Комбинируя условия и следствия этой теоремы, можно получить следующие обратные теоремы:

I. «Если в четырехугольнике обе пары противоположных сторон равны, то они также и параллельны» (эта теорема верна).

II. «Если в четырехугольнике одна и та же пара противоположных сторон равна и параллельна, то другая пара противоположных сторон также равна и параллельна» (теорема верна).

III. «Если в четырехугольнике одна пара противоположных сторон равна, а другая параллельна, то в этом четырехугольнике первая пара, кроме того, параллельна, а вторая пара равна» (теорема не верна: условию этой теоремы удовлетворяет также и равнобочная трапеция).

Наконец, укажем, что обратная теорема вовсе не должна содержать (в своем условии и заключении) все условия и все заключения прямой теоремы. Так, в последнем примере обратную теорему можно было бы сформулировать еще и так:

а) «Если в четырехугольнике одна и та же пара противоположных сторон равна и параллельна, то другая пара противоположных сторон параллельна» (отсутствует одно из заключений прямой теоремы: другая пара противоположных сторон равна).

б) «Если в четырехугольнике одна и та же пара противоположных сторон равна и параллельна, то другая пара противоположных сторон равна» (отсутствует одно из условий прямой теоремы: другая пара противоположных сторон

параллельна). Обе эти теоремы можно объединить в одну, приведенную выше (теорема II).

Задача 18. Покажите, что теорема «четырехугольник, у которого один из углов прямой и диагонали равны, есть прямоугольник» не верна.

Задача 19. Сформулируйте теоремы, обратные теоремам, указанным в задачах 2 и 4. Будут ли эти теоремы верны?

Задача 20. Рассматривая параллелограмм как вид трапеции, покажите, какой смысл имеет теорема «четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, есть параллелограмм».

Задача 21. Сформулируйте и докажите теорему, обратную следующей: «диагонали прямоугольника равны».

Взаимоотношения прямых и обратных теорем можно очень наглядно представить с помощью схем, о которых была речь в § 6. Представим, например, с помощью такой схемы теорему «диагонали ромба взаимно перпендикулярны» и теоремы, ей обратные. Пусть прямоугольник ABCD (черт. 8) соответствует множеству четырехугольников. Выделим в этом прямоугольнике часть, которая соответствовала бы параллелограммам, и заштрихуем эту часть вертикальными штрихами. Выделим далее в прямоугольнике ABCD часть, соответствующую множеству четырехугольников с взаимно перпендикулярными диагоналями, и заштрихуем ее горизонтальными штрихами. Каково должно быть взаимное расположение выделенных нами частей схемы? Часть схемы, заштрихованная горизонтально, может либо перекрываться с частью схемы, заштрихованной вертикально, либо не перекрываться. Если бы части схемы, заштрихованные горизонтально и вертикально, между собою не перекрывались, как на черт. 8, то это означало бы, что нет ни одного параллелограмма со взаимно перпендикулярными диагоналями, т. е. что пересечение множества параллелограммов с множеством четырехугольников, у которых диагонали взаимно перпендикулярны, пусто. Но, как известно, такое утверждение не соответствует действительности. Значит, части схемы, заштрихованные вертикально и горизонтально, чем-то

Черт. 8.

перекрывают друг друга. При этом может быть три случая: часть схемы, заштрихованная горизонтально, полностью покрывает часть схемы, заштрихованную вертикально (черт. 9), или часть схемы, заштрихованная вертикально, полностью покрывает часть схемы, заштрихованную горизонтально (черт. 10), или, наконец, эти две части схемы частично перекрываются. Черт. 9 говорит о том, что у всех параллелограммов диагонали взаимно перпендикулярны; но эта теорема не верна, поэтому черт. 9 не подходит в нашем случае. Черт. 10 также не подходит нам, так как теорема «четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями есть параллелограмм» не верна. Итак, части схемы с горизонтальными и вертикальными штрихами должны частично пересекаться. Далее, из множества параллелограммов выделим множество ромбов. Как мы знаем, это последнее есть правильная часть множества параллелограммов. Ввиду этого часть схемы, соответствующая множеству ромбов, должна составлять какую-то часть схемы, заштрихованной вертикальными штрихами. Закрасим в серый цвет часть схемы, соответствующую множеству ромбов. Проанализируем теперь, каково должно быть взаимное расположение части схемы, заштрихованной горизонтальными штрихами, и части схемы, окрашенной серым. Часть схемы, окрашенная серым, должна быть заштрихована горизонтально, и притом горизонтальные штрихи должны полностью покрыть эту часть схемы, так как диагонали у ромбов взаимно перпендикулярны. Более того, перекрытие частей схемы, заштрихованных горизонтально и вертикально, должно быть полностью окрашено в серый цвет, так как справедлива обратная теорема: «параллелограмм с взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом». Итак, взаимоотношение между четырехугольниками

Черт. 9.

Черт. 10.

Черт. 11.

с взаимно перпендикулярными диагоналями, ромбами и параллелограммами может быть представлено с помощью черт. 11. Из этого чертежа следует, что теорема «четырехугольники с взаимно перпендикулярными диагоналями суть ромбы» не верна. Правда, при построении черт. 11 мы неверностью этой теоремы не пользовались. Мы строили наш чертеж, принимая во внимание, что могут быть четырехугольники со взаимно перпендикулярными диагоналями, не являющиеся параллелограммами (т. е. принимая во внимание, что теорема «четырехугольники со взаимно перпендикулярными диагоналями суть параллелограммы» не верна). Из этого последнего утверждения следует, что могут быть четырехугольники со взаимно перпендикулярными диагоналями, не представляющие собою частных видов параллелограммов, например ромбов, т. е. что теорема «четырехугольники со взаимно перпендикулярными диагоналями суть ромбы» не верна.

Руководствуясь теоремами из геометрии, мы начертили схему, указывающую на связь между исследуемыми нами свойствами четырехугольников. Схема наглядно показывает нам эти свойства, и, глядя на нее, мы можем формулировать соответствующие теоремы. Справедливость этих теорем зависит, конечно, от правильности нашей схемы.

На черт. 12 дана схема, иллюстрирующая взаимоотношение между четырехугольниками с равными диагоналями и

Черт. 12.

различного вида трапециями. Эта схема выражает справедливость следующих теорем:

1) «У равнобочных трапеций1) диагонали равны».

2) «Трапеции, у которых диагонали равны, являются равнобочными».

3) «У прямоугольников диагонали равны». (Эту теорему можно рассматривать как частный случай первой из указанных здесь.)

4) «Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником».

Надо, однако, подчеркнуть, что эти схемы только наглядно выражают (иллюстрируют) взаимоотношение фигур, обладающих различными свойствами, но ничего не доказывают. Построить такие схемы можно лишь после того, как соответствующие теоремы доказаны.

Задача 22. Начертите схему, иллюстрирующую взаимоотношение между четырехугольниками с равными диагоналями, четырехугольниками с взаимно перпендикулярными диагоналями, четырехугольниками, у которых одна из диагоналей делит другую пополам, и различного вида трапециями. Докажите все теоремы, необходимые для построения этой схемы.

§ 8. Противоположные теоремы

Подытожим сказанное.

Прямая теорема утверждает: «Элементы множества Ж, обладающие свойством а, обладают также и свойством ß».

Обратная теорема утверждает: «Элементы множества Ж, обладающие свойством ß, обладают также и свойством а».

Последнее утверждение можно сформулировать также иначе: «Элементы множества M обладают свойством а в том случае, когда они обладают свойством ß».

Или еще иначе: «Если элементы множества M не обладают свойством а (т. е. обладают свойством а), то они не обладают также и свойством ß (т. е. обладают свойством ß)».

Эта теорема получается из первой (прямой) теоремы путем замены ее условия и заключения их отрицаниями. Она называется теоремой, противоположной первой тео-

1) Под равнобочной трапецией мы понимаем трапецию, углы при основании которой равны. Определение равнобочной трапеции как трапеции, у которой непараллельные стороны равны, неточно, так как из определения трапеции следует, что у нее две стороны параллельны, но отнюдь не следует, что две другие стороны ее не могут быть параллельны.

реме. Из сказанного раньше ясно, что обратная и противоположная теоремы равносильны, т. е. если верна обратная теорема, то верна и противоположная, и, обратно, если верна противоположная, то верна и обратная1).

Теорема, противоположная обратной, формулируется так: Если элементы множества M не обладают свойством ß (обладают свойством ß), то они не обладают также и свойством а (обладают свойством a), a это значит, что элементы множества М, обладающие свойством а, обязательно должны обладать свойством ß, иначе говоря, что первоначальная (прямая) теорема справедлива. Следовательно, теоремы прямая и противоположная обратной равносильны.

Ваимоотношение между прямой, противоположной, обратной и противоположной обратной теоремами хорошо иллюстрируется на черт. 13. Четырехугольник ABCD соответствует множеству М. Четырехугольник AKLM соответствует подмножеству элементов множества М, обладающих свойством а. Он окрашен в серый цвет. Четырехугольник AK'L'M' соответствует подмножеству элементов множества М, обладающих свойством ß.

Этот четырехугольник заштрихован. Прямая теорема утверждает, что если элементы некоторого подмножества множества M обладают свойством а, то они должны обладать также и свойством ß. Поэтому на схеме серый четырехугольник должен лежать внутри заштрихованного. В крайнем случае заштрихованный четырехугольник может совпасть с серым (черт. 14). Как мы уже знаем, черт. 13 озна-

Черт. 13.

Черт. 14.

1) Если условие теоремы содержит несколько условий, а ее заключение — несколько утверждений, то, заменяя только некоторые из них отрицаниями, мы можем получить ряд противоположных теорем, каждой из которых будет соответствовать равносильная ей обратная теорема. Подробнее об этом см. в § 19.

чает, что обратная теорема не имеет места, а черт. 14 соответствует справедливости как прямой, так и обратной теорем. Элементам множества Ж, не обладающим свойством ß, соответствует часть BCDM'L'K' наших схем. Эта часть схем, как лежащая вне четырехугольника AK'L'M', не заштрихована, а потому в силу прямой теоремы в ней отсутствуют места, окрашенные серым цветом, т. е. если элемент множества M не обладает свойством ß (быть заштрихованным), то он не обладает и свойством а (быть серым).

Итак, мы иллюстрировали на схеме тот факт, что если прямая теорема справедлива, то справедлива и противоположная обратной. Построение схем, иллюстрирующих несправедливость теоремы, противоположной обратной, при условии несправедливости прямой теоремы, предоставляем читателю.

Дадим пример указанных видов теорем:

Прямая теорема. В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

Противоположная теорема. Если четырехугольник не является параллелограммом, то диагонали в нем не делятся взаимно пополам.

Обратная теорема. Если в четырехугольнике диагонали взаимно делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Теорема противоположная обратной. Если в четырехугольнике диагонали не делятся взаимно пополам, то четырехугольник не является параллелограммом.

Ясно, что первая и четвертая из указанных теорем (а также вторая и третья) равносильны, т. е. первая и четвертая (а также вторая и третья) выражают один и тот же геометрический факт в различной форме: первая (и третья) — в утвердительной форме, а четвертая (и вторая) — в отрицательной.

В нашем примере все четыре теоремы верны. Рассмотрим теперь другой пример, в котором противоположная и обратная теоремы не будут верны.

Прямая теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Противоположная теорема. Если четырехугольник не является ромбом, то его диагонали не взаимно перпендикулярны.

Обратная теорема. Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник является ромбом.

Теорема, противоположная обратной. Если диагонали четырехугольника не взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник не является ромбом.

В нашем примере вторая и третья теоремы не верны1). Чтобы убедиться в этом, достаточно построить хотя бы один четырехугольник, у которого диагонали были бы взаимно перпендикулярны и который в то же время не был бы ромбом. Такое построение проведено на стр. 29 (черт. 7). Возможность построения одного четырехугольника, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и который не является ромбом, является опровержением теоремы второй и равносильной ей теоремы третьей.

В задачах 23—27 сформулируйте противоположную, обратную и противоположную обратной теоремы. Укажите, какие из этих теорем верны и какие не верны.

Задача 23. Вокруг прямоугольника можно описать окружность.

Задача 24. Если сумма цифр некоторого числа делится на 3 (или на 9), то и само число делится на 3 (или на 9).

Задача 25. Если свободный член с квадратного уравнения ах* + Ьх + с = 0 (афО) равен нулю, то один из корней этого уравнения равен нулю.

Задача 26. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то этот четырехугольник представляет собою ромб.

Задача 27. Если двугранные углы равны, то равны также их линейные углы.

Задача 28. Проиллюстрируйте на схемах равносильность обратной и противоположной теорем.

Учащиеся часто делают ошибку, считая, что если доказана справедливость прямой теоремы, то обратная и противоположная теоремы должны быть уже автоматически справедливы. Это заблуждение встречается даже у студентов, особенно на I курсе. Лектор доказывает, что если монотонно возрастающая последовательность ограничена сверху, то она сходится. После этого лектор пишет на доске немонотонно возрастающую последовательность и спрашивает у студентов, что можно заключить об этой последовательности на основании только что доказанной теоремы. В ответ на вопрос лектора в аудитории иногда раздается «не сходится». Некоторые читатели не знают, вероятно, ни что такое «монотонно возрастающая последовательность», ни что значит «последовательность сходится», и несмотря на это, я уверен, что они

1) Заметим, что противоположную и обратную теоремы при указанной формулировке прямой теоремы можно сформулировать так, чтобы эти теоремы были верны. Подробнее об этом см. в решении задачи 21 (стр. 114).

не согласятся с голосами из аудитории. Действительно, можно было бы утверждать, что написанная лектором на доске последовательность не сходится, если была бы доказана теорема: «если последовательность немонотонно возрастающая, то она не сходится», т. е. теорема, противоположная той, которая в действительности была доказана лектором. Но противоположная теорема может быть не верна (как, например, в указанном случае), и поэтому на основании доказанной теоремы относительно немонотонно возрастающей последовательности ничего сказать нельзя.

Задача 29. В двух кругах с радиусами, равными 5 см и 3V4 см, проведены две хорды, соответственно равные 8 см и 21/2 см. Что можно сказать о расстоянии этих хорд от соответствующих центров на основании теоремы «в одном и том же круге (или в равных кругах) равные хорды равноудалены от центра, и обратно, хорды, равноудаленные от центра, равны»?

Задача 30. Относительно сторон треугольников ABC и А'В'С известно, что AB ф А'В', ВСфВ'С, САфС'А'. Равны ли эти треугольники?

Задача 31. Моей теще 75 лет, а жене 42. Который час? (А. П. Чехов, Задачи сумасшедшего математика1).)

§ 9. Доказательство от противного

Часто непосредственное доказательство той или иной теоремы представляет большие затруднения (иногда оказывается даже невозможным), между тем как доказательство теоремы, противоположной обратной, не представляет собою сложности. В таких случаях вместо прямой теоремы доказывают равносильную ей противоположную обратной. Однако вместо того чтобы говорить о замене доказательства данной теоремы доказательством теоремы, противоположной обратной, говорят о доказательстве от противного.

Приведу пример такого доказательства:

«Теорема: если две прямые порознь параллельны третьей прямой, то они параллельны между собою.

Доказательство (от противного). Допустим, что прямые AB и CD не параллельны и пересекаются в какой-либо точке Р (черт. 15). Приняв это допущение, мы приходим

Черт. 15.

1) А. П. Чехов, Сочинения, Госуд. изд. худож. лит., 1944, т. I, стр. 101.

к выводу, что через точку Р проходят две различные прямые AB и CD, параллельные третьей прямой EF; но это противоречит аксиоме о параллельных, следовательно, сделанное допущение не верно. Итак, прямые AB и CD, параллельные прямой EF, не могут пересечься — они параллельны»1).

Читатель легко заметит, что в данном случае фактически доказана следующая теорема: «если две прямые (лежащие в одной плоскости) не параллельны между собою, то обе они не могут быть порознь параллельны одной и той же третьей прямой», т. е. противоположная обратной той теоремы, которую следовало доказать. Однако вследствие равносильности прямой и противоположной обратной теорем, доказав эту последнюю, мы тем самым доказали и прямую теорему: «если две прямые порознь параллельны третьей, то они параллельны между собою».

Рассмотрим еще один пример.

Теорема: если две параллельные прямые пересечены третьей, то внутренние накрест лежащие углы равны2).

Доказательство. Допустим, что угол £ END не равен углу AMN (черт. 16). Пусть, например, ^£7VD> £_AMN. Строим при точке M и секущей EF угол 21KMN = l_ END. Так как 2. KMN = l_ END (по построению), то KM\\CD и через точку M проходят, таким образом, две прямые КМ и AB, параллельные CD; но это противоречит аксиоме о параллельных, а потому сделанное допущение, что £ END > l_ AMN, неверно.

Если допустим, что £_END < < AMN, то, построив при точке M и секущей EF угол, равный ^END, мы снова придем к заключению, что через точку M проходят две прямые, параллельные CD, что невозможно, так как это противоречит аксиоме о параллельных. Итак, если угол 2. END не может быть ни больше, ни меньше угла £ AMN, то эти углы должны быть равны, а это значит, что внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей, равны».

Черт. 16.

1) См. Киселев, стр. 44, § 76.

2) См. Киселев, стр. 44—45, § 77.

В этом случае мы снова видим, что доказательство данной теоремы было сведено к доказательству теоремы, противоположной обратной: «если две прямые пересечены третьей и при этом внутренние накрест лежащие углы не равны, то эти прямые не параллельны». Действительно, доказательство теоремы сводилось к следующему; исходя из предположения, что внутренние накрест лежащие углы не равны (т. е. из условия теоремы, противоположной обратной), было показано, что через точку M можно провести прямую КМ, параллельную CD и не совпадающую с AB. Затем, исходя из аксиомы о параллельных, мы заключили, что AB не параллельно CD, т. е. доказали теорему, противоположную обратной.

Однако вместо того, чтобы говорить о замене во всех этих доказательствах прямой теоремы теоремой, противоположной обратной, говорят о приведении к противоречию (к абсурду) или о доказательстве от противного. Вот, например, что говорит о доказательстве от противного Киселев1):

«Способ, которым мы только что доказали обратные теоремы, называется доказательством от противного или приведением к нелепости (reductio ad absurdum). Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требовалось доказать (т. е. условие прямой теоремы заменяется условием теоремы, противоположной обратной. — И. Г.). Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать».

Понятно, почему мы в процессе этих доказательств приходим к нелепому выводу. Мы исходим из условия прямой теоремы и присоединяем к нему условие теоремы, противоположной обратной. Если прямая теорема верна, то такое «присоединение» должно привести нас к противоречию. Действительно, присоединив условие теоремы противоположной обратной, мы должны присоединить и ее заключение (так как эта теорема равносильна прямой и, значит, верна, если верна прямая теорема), а это заключение несовместимо с условием прямой теоремы (противоречит этому условию), так как оно получается путем отрицания последнего. Если же прямая тео-

1) Киселев, стр. 28, § 48.

рема неверна, то присоединение условия теоремы, противоположной обратной, не приведет к противоречию. Поскольку прямая теорема должна быть либо верной, либо неверной, постольку обнаружение противоречия в ходе доказательства от противного свидетельствует о справедливости прямой теоремы.

Метод доказательства от противного можно пояснить и с помощью введенного выше понятия о свойствах (см. § 5, а также § 7 стр. 30 — 33). Пусть требуется доказать теорему: «если некоторый объект а (из множества М) обладает свойством а, то он обладает также свойством ß». Для доказательства теоремы мы предполагаем, что существуют такие объекты а, которые, обладая свойством а, в то же время не обладают свойством ß. Затем путем ряда умозаключений мы приходим к выводу, что всякий объект а, не обладающий свойством ß, не обладает и свойством а. Поскольку мы рассматриваем только те объекты и те свойства, для каждого из которых истинно одно и только одно из двух предложений (суждений): «объект а обладает свойством а» и «объект а не обладает свойством а», постольку полученный результат означает противоречие; а это заставляет отказаться от предположения, что существуют такие объекты а, которые имеют свойство а, но не имеют свойства ß, т. е. признать истинность доказываемой теоремы.

В задачах 32—34 указаны теоремы, которые обычно доказываются от противного. Укажите те противоположные обратным теоремы, которые при этом доказываются.

Задача 32. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Задача 33. Во всяком треугольнике 1) против равных углов лежат равные стороны; 2) против большего угла лежит большая сторона.

Задача 34. Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то через вершины этого четырехугольника можно провести окружность.

Задача 35. Предположим, что мы захотим методом от противного доказать явно неверную теорему. Сделаем, как обычно, предположение, противное (противоположное) тому, которое требовалось доказать, и будем рассуждать. Можем ли мы при этом прийти к противоречию, а если нет, то почему?

Обратим еще раз внимание на доказательство от противного. По существу оно сводится к следующему: мы исходим из некоторого предположения и, пользуясь верными теоремами, делаем ряд строго логических (правильных) умозаклю-

чений. В результате этих умозаключений мы приходим к некоторому предложению, неверность которого для нас несомненна (к противоречию), и рассуждаем далее так: если бы наше предположение было правильно, то в результате логически верных умозаключений мы могли бы прийти только к правильному выводу; поэтому к неверному выводу при логически правильных умозаключениях мы могли прийти только при одном условии: если наше исходное предположение было не верно.

Представим себе теперь такой случай: мы исходим из некоторого предположения, пользуемся верными теоремами, делаем ряд логических (правильных) умозаключений и приходим к выводу, правильность которого для нас несомненна. Можем ли мы на основании этого утверждать, что наше исходное предположение было правильно? Нет. Чтобы убедиться в этом, я схематически опишу ход наших рассуждений. Мы исходим из предложения А и доказываем теорему: «если предложение А верно, то верно и предложение В» (короче, если А, то В). Мы знаем, что предложение В верно. Но из верности предложения В и правильности указанной нами теоремы (если А, то В) не следует верность предложения А. Для того чтобы доказать верность предложения А, надо было бы доказать обратную теорему: «если верно предложение В, то верно и предложение Л», или доказать равносильную обратной противоположную теорему: «если предложение А не верно, то предложение В также не верно». Но нам уже хорошо известно, что из верности прямой теоремы (если А, то В) ничего нельзя сказать о верности обратной (или противоположной) теоремы (если В, то А или если не А, то не В), т. е. наряду с верностью теоремы «если предложение А верно, то верно и предложение В» может (но не должна) быть верна также и теорема: «если предложение А не верно, то предложение В не верно». Следовательно, в этом случае исходное наше предположение может быть как верно, так и не верно, причем его верность или неверность никак не связана с указанными выше рассуждениями.

Это замечание особенно существенно для алгебры и тригонометрии. В алгебре, для того чтобы доказать некоторое равенство (или решить уравнение), мы часто обе части его подвергаем ряду преобразований. В результате мы приходим к очевидному тождеству и заключаем отсюда, что наше исходное тождество правильно. Такое грубое умозаключение

часто приводит к ошибкам, многие из которых приобрели известность под названием парадоксов1). Приведу несколько примеров.

Пример 1. Проверим, справедливо ли равенство 3 — 2 = —2 — 3. Для этого возведем обе части в квадрат. Мы придем к очевидному тождеству: (3 — 2)2 = 9 — 6 • 2 -f- 4 = (2 — З)2. Однако 3 —2=1 =£2 — 3 = —1.

Ошибка заключается здесь в очень простом факте: равные величины мы получаем при возведении в квадрат как равных так и неравных (равных по абсолютной величине, но отличающихся по знаку) чисел.

Пример 2. Решить уравнение:

(1)

Возведем обе части этого равенства в квадрат. Мы получим

(2)

Решая уравнение (2), мы найдем, что его корни суть: xL = 0, лг2 =—Какое же эти числа имеют отношение к уравнению (1)? Если число а удовлетворяет уравнению (1), т. е. если оно обращает его в тождество, то это же число обра-

1) [Ошибка может получиться в случае, если хотя бы один шаг в тех преобразованиях, которым мы подвергаем исходное равенство (или уравнение), не сохраняет эквивалентности преобразуемого и преобразованного выражения. Два выражения (в частности, равенства) А и В эквивалентны, если из А следует В и из В следует А (см. гл. II, стр. 78—80); для уравнений эквивалентность можно определить следующим образом: два уравнения (для простоты будем говорить об уравнениях с одним неизвестным) эквивалентны, если они имеют одни и те же корни, т. е. если из того, что некоторое число X удовлетворяет одному из них, следует, что это же число удовлетворяет и другому, и наоборот. Если все преобразования совершаются по эквивалентности, то форма рассуждения, о которой говорится в тексте, вполне законна и не может привести к ошибке. В рассматриваемых ниже примерах ошибочность заключения объясняется как раз тем, что в процессе рассуждения применяются неэквивалентные преобразования. Таким преобразованием в первом примере является возведение в квадрат (ибо если а = Ь, то я2= Ь\ но не наоборот: из того, что д2 = б2 нельзя заключить, что а = Ь). Поэтому из справедливости равенства, полученного в результате преобразования, нельзя заключать о справедливости исходного равенства.

Аналогично объясняются ошибки в остальных примерах, с тон, однако, особенностью, что во втором примере (в отличие от первого) речь идет об уравнении, а в третьем — о справедливости равенства при любом х (исключая случай, когда лг = 0)].

тит в тождество и уравнение (2). Если же число b не удовлетворяет уравнению (2), то оно не может удовлетворять и уравнению (1). Поэтому корни уравнения (1) должны быть также и корнями уравнения (2). Но мы получаем равные числа при возведении в квадрат не только равных чисел. Поэтому корни уравнения (2) могут быть корнями уравнения (1), но не обязательно должны быть ими.

Итак, корнями уравнения (1) могут быть только корни уравнения (2), но корни уравнения (2) не обязаны быть корнями уравнения (1). Переходя к конкретным числам, мы видим, что из корней уравнения (2) только один хх = 0 удовлетворяет уравнению (1). Если же в уравнение (1) вместо X подставить х2 = — -т% то мы получим

Однако если обе части этого неравенства возвести в квадрат, то мы получим тождество -^- = -|-. Этот результат совершенно естествен, так как —-|- есть корень уравнения (2). Пример 3. Справедливо ли тождество

(1)

Мы исключили значение х = 0, так как при х = О аргумент arctg — теряет смысл. Чтобы проверить, верно ли это тождество, естественно было бы взять тангенс от обеих его частей; однако это невозможно, так как tg ~ не существует.

Поэтому перенесем в нашем равенстве arctg х направо. Мы получим:

Возьмем теперь tg от обеих частей нашего равенства:

мы пришли к очевидному тождеству:

Можем ли мы на основании этого утверждать, что тожде-

ство (1) справедливо? В силу изложенного выше ясно, что нет. Легко и непосредственно убедиться в том, что равенство (1) имеет место не при всех значениях х. Действительно, при X = — 1

Присмотримся теперь повнимательней к тому, что мы делали: мы проверили, что для каких-то двух дуг а и ß имеет место соотношение

tga = tgß.

Отсюда, как известно из тригонометрии, вытекает следующее (обратное) утверждение: дуги а и ß отличаются на кратное число полуокружностей, т. е.

а = ß -f- for,

где к — целое число.

Следовательно, в применении к тождеству (1) мы можем сказать

(2)

Но по определению для любого а

Следовательно,

Поэтому в равенстве (2) коэффициент k может принимать только два значения: 0 и —1. Сумма arctg х -f- arctg — при X > 0 положительна, а при х < 0 отрицательна. Поэтому окончательно имеем:

Затронутые здесь вопросы полностью разбираются в высшей математике в теоремах о существовании обратной функции и неявно заданных функциях. По вопросу о взаимоотношениях между обратными тригонометрическими функциями различных аргументов можем рекомендовать книгу С. И. Новоселова сОбратные тригонометрические функции», Учпедгиз, 1947.

Задача 36. Решить уравнение

Задача 37. Проверить тождество

Задача 38. Решить уравнение

§ 10. Отрицание

При формулировке теорем противоположной и противоположной обратной приходится пользоваться отрицанием. Однако не все учащиеся ясно себе представляют значение отрицания. В некоторых случаях как формулировка отрицания, так и его характер вызывают затруднения у учащихся. Особенно много затруднений встречается при соединении отрицания со словом «все». Остановимся поэтому на вопросе об отрицании несколько подробнее.

Рассмотрим теорему: «диагонали прямоугольника равны». Эта теорема утверждает, что у всех прямоугольников диагонали равны. Если я покажу, что равны диагонали некоторых прямоугольников, например диагонали квадратов или прямоугольников, у которых одна из боковых сторон в два раза больше другой, то читатель останется неудовлетворенным. Для доказательства этой теоремы недостаточно показать, что равны диагонали некоторых прямоугольников; для ее доказательства необходимо показать, что равны диагонали любого прямоугольника, и тем самым, что равны диагонали всех прямоугольников.

Рассмотрим другой пример. Теорема «четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом» не верна. Чтобы показать это, достаточно привести один пример четырехугольника, у которого диагонали взаимно перпендикулярны и который, однако, не является ромбом. Такой четырехугольник был построен на стр. 29. Этого одного четырехугольника достаточно для опровержения нашей теоремы, так как он показывает, что не все четырехугольники, у которых диагонали взаимно перпендикулярны, являются ромбами. Мне хочется подчеркнуть в этом дока-

зательстве следующее. Утверждение «не все элементы множества M обладают некоторым свойством а» равносильно утверждению «среди элементов множества M существует по крайней мере один, который не обладает свойством а (обладает свойством а)». Равносильность этих двух утверждений совершенно ясна, хотя она затрудняет иногда даже студентов. На основании сказанного для доказательства утверждения «не все элементы множества M обладают свойством а» достаточно привести в качестве примера хотя бы один элемент множества М, не обладающий свойством а. Точно так же утверждение «среди элементов множества M существуют объекты, обладающие свойством а» равносильно отрицанию «не у всех элементов множества M отсутствует свойство а». Чтобы доказать это последнее утверждение, достаточно привести пример хотя бы одного элемента множества M, обладающего свойством а. Например, чтобы убедиться, что среди треугольников могут быть такие, у которых все три угла острые, достаточно вспомнить про существование равностороннего треугольника, у которого каждый из углов равен 60°. Однако этот простой способ доказательства при помощи примера не всегда выполним. Иногда, а в высшей математике довольно часто, легче бывает доказать, что не у всех элементов множества M отсутствует свойство а, чем указать конкретно хотя бы один элемент множества М, обладающий свойством а. Если читатель этому не верит, пусть попробует доказать следующий факт: имеется по крайней мере двое людей, у которых число волос на голове одинаково. Если вы можете указать Иванова и Петрова, у которых число волос на голове одинаково, то ваша задача решена. Однако попробуйте найти таких Иванова и Петрова. Ясно, что эта задача — нелегкая. Все же два таких человека существуют. Чтобы убедиться в этом, заменим наше утверждение равносильным ему отрицанием: «не у любых двух людей количество волос различно». Доказать это отрицание очень легко. Число волос на голове человека не превышает 500 000; поэтому количество людей, имеющих различное число волос, не может превышать 500 000. Так как число жителей в больших городах, например в Москве, превышает 500 000, то даже не любая пара жителей больших городов имеет различное число волос, т. е. существует, и притом даже в любом достаточно большом городе, по крайней мере одна пара людей, имеющая одинаковое число волос. Кто эти люди, ни автору, ни читателю неизвестно.

Легко заметить, что последнее доказательство представляет собою доказательство от противного.

Задача 39. «Не все ученики 8-го класса выше ростом учеников 6-го класса». Сформулируйте это утверждение, не прибегая к выражению «не все».

Задача 40. а) «Все города Грузии южнее городов Белоруссии», б) «Не все города Туркмении южнее узбекских городов». Сформулируйте эти утверждения, не прибегая к словам «все» и «не все».

Задача 41. Докажите, что среди всех книг, различных по содержанию, имеется хотя бы одна пара, у которых число печатных знаков (букв, точек, запятых и т. п.) одинаково. При решении этой задачи можете пользоваться следующими данными: число печатных знаков на одной странице не превышает 10 000. В Ленинской библиотеке в Москве более 6 млн. книг с различным содержанием и количеством страниц в каждой, не превышающим 600.

Задача 42. Докажите, что среди простых чисел нет наибольшего.

(Доказательство ведите от противного. Обратите внимание на тот факт, что число nî -f-1 не делится ни на одно простое число, меньшее п 1.)

§ 11. Необходимые и достаточные условия

Рассмотрим снова прямую и обратную теоремы:

1) Если некоторый элемент множества M обладает свойством а, то он обладает также и свойством ß.

2) Если некоторый элемент множества M обладает свойством ß, то он обладает также и свойством а.

Эти утверждения можно сформулировать также несколько иначе, а именно:

1) Всякий элемент множества Ж, обладающий свойством а, необходимо должен обладать свойством ß.

2) Элемент множества M будет обладать свойством а, как только он будет обладать свойством ß, т. е. для того, чтобы элемент множества M обладал свойством а, достаточно, чтобы он обладал свойством ß.

Часто прямую и обратную теоремы заменяют одним утверждением, сформулированным следующим образом:

«Для того чтобы элемент множества M обладал свойством а, необходимо и достаточно, чтобы он обладал свойством ß».

Из сказанного ясно, что это последнее утверждение заключает в себе две теоремы: прямую и обратную. Приведем примеры:

«Для того чтобы в одном и том же круге (или в равных кругах) дуги были равны, необходимо и достаточно, чтобы стягивающие их хорды были равны».

«Для того чтобы в одном и том же круге (или в равных кругах) хорды были равны, необходимо и достаточно, чтобы они были одинаково удалены от центра».

Иногда для объединения прямой и обратной теорем в одно утверждение пользуются словами «в том и только в том случае...» или словами «тогда и только тогда.. .». Так, например, последние две теоремы можно сформулировать еще и так:

«В одном и том же круге (или в двух равных кругах) две дуги равны в том и только в том случае, когда стягивающие их хорды равны».

«В одном и том же круге (или в двух равных кругах) хорды равны тогда и только тогда, когда они одинаково удалены от центра».

Задача 43. Укажите те прямые и обратные теоремы, которым равносильны теоремы, указанные в виде примеров в этом параграфе.

Задача 44. Сформулируйте в виде необходимого и достаточного условия теоремы, указанные в задачах 13, 14, 15, 16, 25, 26. В задачах (45—47) докажите теоремы:

Задача 45. Для того чтобы медиана треугольника была равна половине стороны, которую она делит пополам, необходимо и достаточно, чтобы треугольник был прямоугольным.

Задача 46. Для того чтобы в прямоугольном треугольнике катет составлял половину гипотенузы, необходимо и достаточно, чтобы угол, лежащий против этого катета, был равен ~ d (30°).

Задача 47. Для того чтобы стороны угла /_ ABC, пересекаемые рядом прямых DD', ЕЕ', FF',..., рассекались ими на пропорциональные части, необходимо и достаточно, чтобы эти прямые (DD', ЕЕ', FF',...) были параллельны между собою.

В следующих утверждениях многоточия замените словами: «необходимо и достаточно»; «необходимо, но недостаточно»; «достаточно, но не необходимо».

Задача 48. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, ............, чтобы его диагонали были равны.

Задача 49. Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, ............., чтобы все его стороны были равны.

Задача 50. Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, ............, чтобы все его углы были равны.

Задача 51. Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, ..............., чтобы его диагонали были равны.

Обычно в определениях содержатся необходимые и достаточные условия для того, чтобы данный объект принадлежал

к некоторому множеству. Поэтому строгие формулировки определений часто содержат слова «необходимо и достаточно», «в том и только в том случае...», «тогда и только тогда ...» и т. п. выражения.

Пользуясь этими выражениями, можно определение пересечения множеств, данное нами выше, сформулировать, например, так:

«Множество С является пересечением множеств А и В в том случае, когда оно содержит те и только те элементы, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В».

Аналогичное определение можно дать хорошо всем известной фигуре — параллелограмму: «Четырехугольник называется параллелограммом тогда и только тогда, когда каждая из пар его противоположных сторон параллельна».

Задача 52. Дайте формулировку определения суммы множеств, содержащую слова: «необходимо и достаточно».

§ 12. Геометрическое место точек

Мы до сих пор говорили о свойствах различных математических объектов, в том числе и геометрических тел, поверхностей, линий и точек. Вопрос о свойствах этих объектов в зависимости от их положения в пространстве, свойствах, определяемых положением данного объекта по отношению к другим, мы до сих пор мало затрагивали. Перейдем теперь к этому вопросу и начнем с самых простых геометрических объектов—точек. Например, изучим расположение на плоскости точек, равноудаленных от двух данных точек А и В. Как известно, такие точки находятся на прямой MN, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной этому отрезку. Но этого мало. Естественно, возникают два вопроса: 1) Все ли точки прямой ММ одинаково удалены от двух данных точек? 2) Нет ли вне прямой MN точек, одинаково удаленных от точек А и В? Отлет на эти вопросы дают две следующие теоремы:

Теорема. Если какая-нибудь точка (К) лежит на перпендикуляре (MN), проведенном через середину отрезка (AB), то она одинаково удалена от концов этого отрезка (т. е. К А KB).

Обратная теорема. Если какая-нибудь точка (К) одинаково удалена от концов отрезка (AB) (т. е. если КА = КВ), то она лежит на перпендикуляре, проведенном к отрезку (AB) через его середину.

Доказательство первой из этих теорем очень просто и общеизвестно, поэтому я его приводить не буду. Вторую из этих теорем (обратную) можно заменить противоположной, формулируемой следующим образом: «Если какая-нибудь точка (К) не лежит на перпендикуляре (МЛ/), проведенном через середину отрезка (AB), то она не одинаково удалена от концов этого отрезка (т. е. КАфКВ)ъ.

Доказательство. Пусть АР = PB (черт. 17). Опустим из точки К перпендикуляр на AB. Пусть R будет точкой пересечения этого перпендикуляра с прямой AB. Согласно условию, точка R и точка Р (середина отрезка AB) являются двумя различными точками, а это значит, что либо AR > RB, либо RB>AR. Рассмотрим первое предположение: AR > RB; это значит, что проекция наклонной КА больше проекции наклонной KB, следовательно, и сама наклонная КА больше КВ. Далее совершенно так же доказываем, что из второго предположения (RB > AR) следует, что KB > КА, т. е. какое бы предположение для каждого данного случая ни оправдалось (а в каждом конкретном случае, удовлетворяющем условию теоремы, оправдывается, как мы это уже показали, либо первое из этих предположений, либо второе), все равно КА не равно КВ.

Обе эти теоремы (прямую и обратную или прямую и противоположную) можно объединить единой математической формулировкой: «Для того чтобы точка (К) была равноудалена от двух данных точек (А и В), необходимо и достаточно, чтобы она лежала на перпендикуляре к отрезку (AB), соединяющему данные точки, и проходила через его середину».

То же утверждение можно сформулировать еще иначе: «Прямая, перпендикулярная к отрезку (AB) и проведенная через его середину, содержит все точки, равноотстоящие от концов (А и В) этого отрезка, и только такие (обладающие этим свойством) точки».

Таким образом, прямая ММ является как бы базой, на которой лежат все точки, обладающие определенным свойством р (быть равноудаленными от данных точек), и которая содержит только точки, обладающие этим свойством:

Черт. 17.

на этой прямой нет ни одной точки, не обладающей свойством р, и вне этой прямой нет ни одной точки, обладающей свойством р.

Это замечательное свойство прямой MN выражают еще следующими словами: «Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек, является перпендикуляр, проведенный к отрезку прямой, соединяющей эти точки, через его середину».

Мы ввели, таким образом, новый термин—«геометрическое место точек». Дадим его точное определение:

Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством а, называется линия (или совокупность линий), поверхность (или совокупность поверхностей) — вообще фигура, которая содержит в себе все точки, обладающие свойством а, и только точки, обладающие свойством а (т. е. не содержит ни одной точки, не обладающей этим свойством)1).

Таким образом, доказательство того факта, что фигура является геометрическим местом точек, обладающих свойством а, должно состоять из доказательств двух теорем: прямой и обратной (или прямой и противоположной).

Задача 53. Исходя из сказанного, вспомните и проанализируйте доказательство следующей известной вам теоремы: «Геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла, есть биссектриса этого угла»2).

Задача 54. Найти геометрическое место середин хорд, проходящих через данную точку окружности.

Для того чтобы укрепить представление о геометрическом месте точек, докажем следующую теорему:

Теорема. Геометрическим местом центров окружностей, касающихся (одновременно) двух данных концентрических окружностей, является совокупность двух окружностей, концентрических данным. Радиус одной из этих окружностей равен полусумме радиусов данных окружностей, а радиус другой — их полуразности.

Пусть /—окружность радиуса R (черт. 18), // — окружность радиуса г, III— окружность радиуса —2—, IV — окружность радиуса —^— • Центром всех этих окружностей служит точка О. Нам требуется доказать следующее:

1) См. Киселев, стр. 35, § 60.

2) Киселев, стр. 35, § 58—59.

1) Если из некоторой точки (Я) нам удастся провести какую-либо окружность, которая одновременно касалась бы и окружности /. и окружности //, то эта точка должна лежать либо на окружности ///, либо на окружности IV. Иначе: вне окружностей /// и IV нет точек, из которых можно было бы провести окружность, одновременно касающуюся и окружности /, и окружности //.

2) Из любой точки окружностей /// и IV можно провести окружность, которая касалась бы одновременно и окружности /, и окружности //.

Доказательство. 1) Положим, что мы нашли центр окружности, касающейся одновременно и окружности /, и окружности //. Пусть искомым центром будет точка Р. Посмотрим, каково должно быть положение точки Р относительно окружностей / и //. Мы знаем, что точка касания двух окружностей лежит на их линии центров. Чтобы определить все возможные точки касания окружности, центр которой лежит в точке Р, с данными окружностями, соединим прямой точки О и Р. Прямая ОР пересечет окружность / в точках 5 и Slt а окружность // — в точках F и Ft. Таким образом, окружность с центром в точке Р может касаться окружностей / и // в точках: a) S и F, или б) S и Fu или в) Si и F, или г) St и Fv Рассмотрим первое из этих предположений. Точки S и F суть точки касания окружности с центром в точке Р с окружностями / и //, а потому эти точки должны принадлежать окружности с центром в точке Р. Прямая FS проходит через точку Я, а потому она является диаметром окружности с центром в точке Р. Так как точки О, F и S лежат на одной прямой, то OS = OF -+- FS = OF -\-. Отсюда получаем, что FP = —^— и ®Р = —2— '

Следовательно, точка Р должна находиться на расстоянии —5— от точки О. Это условие необходимо для того, чтобы

Черт. 18.

окружность, описанная из точки Р и лежащая между окружностями / и //, касалась этих окружностей. Возникает вопрос: достаточно ли это условие? Дальше мы докажем, что это условие достаточно, т. е. что точкой Р может служить любая точка окружности, описанной из точки О радиусом, равным —g—. Мы рассмотрели тот случай, когда окружность с центром в точке Р касается данных окружностей в точках S w F. Рассмотрим теперь вторую возможную комбинацию: пусть точками касания служат 5 и Fx. Приводить все рассуждения в этом случае я не буду, так как они аналогичны предыдущим. Результат их можно выразить так. В этом случае точка Р является одной из точек окружности, описанной из точки О радиусом, равным —g—•

Легко дальше заметить, что случай в) ничем не отличается от случая б), а случай г)—от случая а). Действительно, если повернуть чертеж вокруг точки О на 180°, то случай г) станет случаем а), а случай в) — случаем б).

Таким образом, для того чтобы из точки Р можно было описать окружность, касающуюся одновременно окружностей / и //, необходимо, чтобы точка Р лежала либо на окружности ///, либо на окружности IV. Докажем, что это условие достаточно, т. е. докажем обратную теорему.

Из какой-либо точки Р окружности /// проведем окружность радиусом, равным —^— » и докажем, что эта окружность коснется окружностей / и //. Соединим точку Р прямой с точкой О. Окружность II пересекает отрезок ОР в точке F, а окружность / — продолжение отрезка ОР — в точке 5.

Так как по построению ОР — —у—, а по условию OF — г и OS = R, то PF = PS— —2— » т- е* точки F и S лежат на окружности, центр которой находится в точке Р. Итак, точка F принадлежит окружности // и окружности, имеющей центр в точке Р, и, кроме того, она лежит на линии центров ОР этих окружностей; следовательно, окружность // и окружность с центром в точке Р касаются. Точно так же, рассматривая положение точки S, найдем, что окружность с центром в точке Р и окружность / касаются. Итак, приняв за центр произвольную точку окружности ///, мы описали окружность, касающуюся одновременно двух данных окружностей. Аналогично этому можно доказать, что из

любой точки окружности IV можно провести окружность, касающуюся двух данных. Это доказательство предоставляется читателю.

Обращаю внимание читателей на самый ход доказательства. Первая его часть состоит в исследовании того, какими еще добавочными свойствами ß должна обладать некоторая точка Р, обладающая данными свойствами а. При этом может оказаться, что свойством ß обладает целый ряд точек, образующих некоторую геометрическую фигуру. Далее нам нужно проверить, что действительно все точки получившейся таким образом фигуры обладают свойством а. Доказательство обратной теоремы (условия достаточности) и представляет собой такую проверку.

Задача 55. Найти геометрическое место точек, равноотстоящих от двух данных пересекающихся прямых.

Задача 56. Найти геометрическое место центров окружностей, описанных данным радиусом г и касающихся данной прямой.

Задача 57. Найти геометрическое место центров окружностей, описанных данным радиусом и касающихся данной окружности.

Задача 58. Найти геометрическое место точек, обладающих следующим свойством: касательные, проведенные из каждой из этих точек к двум данным пересекающимся окружностям, равны между собою (предполагается, что касательные ограничены точкой касания).

Задача 59. Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности (с центром в точке О) в данной точке Р.

Понятием геометрического места точек часто пользуются для определения различных фигур. Так, говорят, что окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром. Это значит, что, по определению, на окружности лежат все точки, равноудаленные от ее центра, и только точки, обладающие этим свойством. Цилиндр можно определить как геометрическое место параллельных прямых (образующих), пересекающих некоторую кривую (направляющую). Конус есть геометрическое место прямых, проходящих через некоторую определенную точку (вершину) и пересекающих некоторую кривую (направляющую).

Обращаю внимание на последние два примера. В них речь шла о геометрическом месте линий (прямых), а не точек. Такое геометрическое место представляло собою уже не линию, а поверхность.

По существу, как уже наверное заметил читатель, геометрическое место точек, обладающих свойством а, есть просто иной термин для понятия «множество точек.

обладающих свойством а». Это последнее понятие включает в себя и геометрическое место линий, так как линия есть не что иное как множество точек, и множество отдельных (как говорят, «изолированных») точек и даже множество, состоящее из одной точки; это понятие включает в себя и пустое множество. Благодаря этому последнее определение геометрического места точек охватывает гораздо более обширный класс случаев, или, как говорят, шире определения, данного в учебнике А. П. Киселева.

Для иллюстрации сказанного рассмотрим в качестве примера геометрическое место точек, лежащих в плоскости Л/, расстояние которых до некоторой точки А равно R единицам длины. Если точка А лежит в плоскости N, то искомым геометрическим местом точек является, как уже говорили, окружность с центром в точке А и радиусом, равным R. Сложнее обстоит дело, когда точка А лежит вне плоскости N. Пусть в этом случае проекцией точки А на плоскость N служит В, и пусть AB = h единицам длины. В таком случае искомым геометрическим местом точек служит окружность с центром в точке В и радиусом, равным г = \^R2 — h2 (доказательство этого утверждения предоставляю читателю). Последнее утверждение не совсем точно: оно справедливо только тогда, когда h < R, т. е. когда r = \^R2 — А2 — величина радиуса окружности — есть действительное положительное число. Если же h = Rt т.е. если г = 0, то искомое геометрическое место точек состоит из одной только точки В. Наконец, если h > /?, т. е. если г есть мнимое число, то искомое геометрическое место точек представляет собою пустое множество, так как в плоскости N в этом случае нет ни одной точки, расстояние которой от точки А было бы равно R. (Сравни задачу 54).

Задача 60. Найти геометрическое место точек, из которых данная окружность видна под данным углом а (т. е. геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что две касательные к данной окружности, проведенные из любой из этих точек, образуют между собою угол а).

Задача 61. Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок AB виден под данным углом. Рассмотреть эту задачу отдельно на плоскости и отдельно в пространстве.

Задача 62. Найти геометрическое место середин равных хорд, проведенных в данной окружности.

Задача 63. Отрезок прямой данной длины 2а движется так, что концы его скользят по сторонам прямого угла. Найти геометрическое место, описываемое серединою этой прямой.

Задача 64. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки А на прямые, проходящие через другую данную точку В.

Задача 65. Найти геометрическое место точек, для которых сумма квадратов расстояний от двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная 2а2.

§ 13. Закон обратимости

Рассмотрим следующие четыре теоремы:

1) Если элемент m множества M обладает свойством а, то он обладает свойством ß.

2) Если элемент m множества M обладает свойством а, то он обладает свойством ß.

3) Если элемент m множества M обладает свойством ß, то он обладает свойством а.

4) Если элемент m множества M обладает свойством ß, то он обладает свойством а.

Легко видеть, что если первую из этих теорем принять за прямую, то вторая будет противоположной, третья — обратной и четвертая — противоположной обратной. Мы уже говорили, что если первые две из этих теорем верны, то верны и последние две теоремы (см. § 8), причем доказывать справедливость этих последних теорем не надо. Постараемся теперь эту замечательную связь, существующую между двумя первыми из этих теорем и обратными им последними теоремами, обобщить.

Предположим, что элементы множества M могут обладать одним и только одним из трех свойств alt а2, а3 и одним и только одним из трех свойств ßle ß2, ß3. Предположим, кроме того, что справедливы следующие три теоремы:

1) Если элемент m множества M обладает свойством av то он обладает свойством ßt.

2) Если элемент m множества M обладает свойством а2, то он обладает свойством ß2.

3) Если элемент m множества M обладает свойством а3, то он обладает свойством ß3.

В таком случае я утверждаю, что должны быть справедливы также и обратные теоремы:

I) Если элемент m множества M обладает свойством ßlf то он обладает свойством ах.

II) Если элемент m множества M обладает свойством ß2, то он обладает свойством а2.

III) Если элемент m множества M обладает свойством ß3, то он обладает свойством а3.

Это утверждение называется законом обратимости.

Прежде чем доказывать справедливость указанного утверждения, я проиллюстрирую сказанное на примере. Взаимоисключающими друг друга свойствами alt а2, а3 большей частью служат свойства «больше», «равно» и «меньше». Рассмотрим совокупность теорем:

1) Из двух наклонных, проведенных из одной и той же точки к прямой, больше та, проекция которой на эту прямую больше.

2) Две наклонные, проведенные из одной и той же точки к прямой, равны, если их проекции равны.

3) Из двух наклонных, проведенных из одной и той же точки к прямой, меньше та, проекция которой на эту прямую меньше.

Множество Al состоит в данном случае из наклонных, проведенных из некоторой точки, скажем А, к некоторой прямой, скажем PQ (черт. 19). Свойство аг: в данном случае иметь проекцию (ВИ) на прямую PQ, большую, чем проекция (СН) наклонной АС; свойство ос2: иметь проекцию, равную проекции наклонной АС; свойство а3: иметь проекцию, меньшую проекции наклонной АС; свойство ßt: быть больше наклонной АС; свойство ß2: быть равной наклонной АС; свойство ß3: быть меньше наклонной АС.

Примечание. Несколько сложнее, но лучше за элементы множества M принять пары наклонных {AB, АС}. Тогда свойство at будет состоять в том, что проекция первого члена пары {AB, АС} больше проекции второго ее члена; свойство ßt: первый член пары {AB, АС} больше второго ее члена. Аналогично определяются свойства а2, ß2 и а3, ß3. Преимущество такого выбора множества M состоит в том, что он дает нам возможность сравнивать любые две наклонные друг с другом (как об этом говорится в теореме), а не требует, чтобы наклонные сравнивались с одной фиксированной наклонной.

Из факта справедливости указанных трех теорем — справедливость их надо доказать (это доказательство можно найти в любом учебнике геометрии) — следует справедливость обратных теорем:

Черт. 19.

I) Из двух неравных наклонных, проведенных к прямой из одной и той же точки, большая наклонная имеет большую проекцию.

II) Если две наклонные, проведенные к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции.

III) Из двух неравных наклонных, проведенных к прямой из одной и той же точки, меньшая наклонная имеет меньшую проекцию.

После того, как доказана справедливость первых трех теорем, справедливость последних теорем, в силу закона обратимости, доказывать не надо. Но сам-то закон обратимости доказывать надо; перейдем же к его доказательству.

Итак, пусть элемент т£М обладает свойством ßj. Кроме того, он должен обладать еще одним из трех свойств alt а2. а3. Если бы элемент m обладал свойством о^, то он должен был бы обладать свойством ß2 и, следовательно, не мог бы обладать свойством ßt. Аналогичным рассуждением, а око, как легко видеть, является доказательством от противного, мы убедимся в том, что элемент m не может обладать свойством <х3. Поэтому элемент m £ M должен обладать свойством OCj.

Таким образом, теорема I доказана. Совершенно так же доказываются теоремы II и III.

При формулировании закона обратимости мы предполагали, что свойства olf а2, а3 несовместимы, т. е. что элемент множества Л! может обладать только одним из свойств alt а2, а3. Делать такое предположение в начале формулировки закона обратимости излишне. Несовместимость свойств аь а2, а8 следует из несовместимости свойств f1i» ß«i Рз и справедливости теорем 1), 2), 3). Действительно, если бы элемент т^М мог одновременно обладать и свойством alt и свойством а2, то в силу теорем 1) и 2) он должен был бы также обладать и свойствами ß| и ß2. Но свойства ßt и р2 несовместимы. Поэтому свойства ctj и а2 также не могут быть совместимы. Аналогичным способом доказывается несовместимость свойств аь а3 и а2, ая.

Закон обратимости можно распространить также и на случай, когда элемент m обладает каким-либо из п различных свойств. В этом случае он формулируется так:

Пусть каждый из элементов множества M обладает по крайней мере одним из п свойств аи а2.....о.п и не более чем одним из свойств ßlt ß2, ßn. Предположим, кроме того, что справедливы п теорем:

1) Если элемент т£М обладает свойством ол% то он обладает свойством ßt.

2) Если элемент m £ M обладает свойством а2, то он обладает свойством ß2.

п) Если элемент т£М обладает свойством аЛ, то он обладает свойством ßn.

В таком случае должны быть справедливы также и обратные теоремы.

1) Если элемент т£М обладает свойством ßlt то он обладает свойством av

2) Если элемент т£ M обладает свойством ß2, т0 он обладает свойством ос2.

п) Если элемент т^М обладает свойством ßw, то он обладает свойством ап.

Доказательство закона обратимости для любого п ничем не отличается от доказательства этого закона для п = 3, а поэтому я его предоставлю читателю.

В задачах 66—68 указаны группы теорем. Сформулируйте им обратные. Нужно ли эти обратные доказывать и если нет, то почему?

Задача 66. Во всяком треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол, 2) против равных сторон лежат равные углы, 3) против меньшей стороны лежит меньший угол.

Задача 67. В одном и том же круге или в равных кругах: 1) большая хорда ближе к центру, 2) равные хорды одинаково удалены от центра, 3) меньшая хорда дальше отстоит от центра.

Задача 68. Умножим положительное число а на некоторое число Ь. Если b положительно, то произведение ab положительно; если b отрицательно, то ab отрицательно; если b = 0, то ab = 0.

Задача 69. Проиллюстрируйте закон обратимости на фигурных схемах.

ГЛАВА II

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

§ 14. Введение

Читателю хорошо известно, что в алгебре действия над числами заменяются действиями над буквами. Буквы в алгебре заменяют или любые, или некоторые вполне определенные числа. Слова «сложить», «вычесть», «разделить» и т. п. заменяются в алгебре короткими знаками-символами: -f-, —, : (или /) и т. п. Пользуясь алгебраическими обозначениями, фразу «квадрат суммы равен сумме квадратов слагаемых, сложенной с Их удвоенным произведением» можно кратко записать так: (a-f- Ь)2 — a2-\-b2-\-2ab. Кубическое уравнение можно записать так: х3-{-ах = Ь. Но до такой краткой записи ученые дошли только в XVIII в. Тарталья, нашедший решение кубического уравнения (1535), записывал его примерно следующим образом: «куб» (хъ)1) р (plus) некоторое количество (а) «вещей» (х) равно известному «числу» (Ь). При указании решения неизвестное (х) именовалось «вещью», «количеством» вещей назывался коэффициент (а) при X, а Ь именовалось «числом». Даже у Виеты (1540—1603), несколько усовершенствовавшего алгебраическую символику, это уравнение выглядит довольно сложно:

Jfcubus -f- A planum A'aequatur В solido.

Наши высказывания об объектах и их свойствах (утверждения и отрицания) напоминают записи Тартальи. Даже краткие формулировки вроде: «если объект а обладает свойством а, то он обладает свойством ß», недалеко ушли от

1) Добавления в скобках сделаны автором, чтобы облегчить понимание выражения Тартальи.

записи Виеты. Выводы предыдущей главы станут гораздо проще, яснее и нагляднее, если привлечь на помощь алгебраическую символику.

Внедрение алгебраических обозначений в исследования в области логики началось со второй половины XVII в. и в дальнейшем привело к возникновению символической (или математической) логики, которая ныне относится к числу наиболее интенсивно развивающихся областей математики.

[Основателем науки логики (именно, так называемой формальной логики) является великий древнегреческий философ Аристотель (384—322 до н. э.). Идея применения к логике методов математики получила развитие начиная с XVII столетия, особенно в трудах немецкого математика и философа Г.-В. Лейбница (1646—1716), который предпринял первые попытки построения логических исчислений. Однако как самостоятельная научная область математическая логика возникла лишь в середине XIX в. благодаря трудам английских математиков Дж. Буля (1815—1864) и А. де Моргана (1806—1878). Первая работа Буля «Математический анализ логики» вышла в 1847 г. В том же году сочинение по математической логике опубликовал де Морган. В 1854 г. в Лондоне вышла в свет главная работа Буля — «Исследование законов мысли», в которой подробно излагалось его логическое исчисление. Исследования Буля продолжили немецкий математик Э. Шрёдер (автор трехтомных «Лекций по алгебре логики», изданных в Лейпциге в 1890—1905 гг.), русский математик Платон Сергеевич Порецкий и др. Новый этап в развитии математической логики был открыт трудами немецкого математика и логика Готлоба Фреге (1848—1925), впервые применившего математическую логику к обоснованию математики («Основные законы арифметики», два тома, Иена, 1893 и 1903 гг.). Для дальнейшего развития математической логики важное значение имел труд английских логиков Б. Рассела и А. Уайтхеда «Principia Mathematica» (три тома, 1910—1913 гг.), работы немецкого математика Д. Гильберта и его школы, исследования австрийского математика К. Гёделя и др. Выдающийся вклад в математико-логические исследования внесла советская школа математической логики (И. И. Жегалкин, В. И. Гливенко, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков, А. А. Марков, Д. А. Бочвар и др.), являющаяся в настоящее время одной из ведущих в мире. За выдающееся научное открытие в области математической логики члену-корреспонденту Академии наук Петру Сергее-

вичу Новикову в 1957 г. была, присуждена Ленинская премия.

Математическая логика развилась, с одной стороны, как результат применения математических методов к проблемам формальной логики, а с другой — как дисциплина, служащая целям обоснования математики. В последние два десятилетия математическая логика получила разнообразные технические приложения. Современная математическая логика связана с автоматикой, с машинной математикой и проблемами автоматического перевода с одного языка на другой, с теорией информации и вообще с кибернетикой. Методы математической логики находят широкое применение прежде всего в теории электрических схем релейного действия.

Изложение основ математической логики читатель может найти в книгах: П. С. Новиков, Элементы математической логики, М., Физматгиз, 1959; А. Чёрч, Введение в математическую логику, М., ИЛ (печ.); С. К. Клини, Введение в метаматематику, М., ИЛ, 1957 (систематическое изложение математической логики содержится во второй части этой книги; в книге Клини помещена подробная библиография по математической логике); Д. Гильберт и В. Аккерман, Основы теоретической логики, М., ИЛ, 1947 (начинающим изучение математической логики мы рекомендуем внимательно ознакомиться с комментариями С. А. Яновской, помещенными в этой книге); А. Тарский, Введение в логику и методологию дедуктивных наук, М., ИЛ, 1948.

Освещение элементов тесно связанной с математической логикой теории алгоритмов содержится в брошюре: Б. А. Трахтенброт, Алгоритмы и машинное решение задач, М., Гостехиздат, 1957 (брошюра издана в серии «Популярные лекции по математике»). Фундаментальным трудом по теории алгоритмов является книга: А. А. Марков, Теория алгоритмов. Труды Математического института имени В. А. Стеклова, т. 42, М. —Л., Изд-во АН СССР, 1954 (для понимания первых глав книги Маркова от читателя не требуется никакой специальной подготовки). Проблемам бурно развивающегося в настоящее время так называемого конструктивного направления в математике и математической логике посвящен сборник работ под ред. Н. А. Шанина: Проблемы конструктивного направления в математике. 1. Труды Математического института имени В. А. Стеклова, т. 52, М. — Л., Изд-во АН СССР, 1958 (книга доступна только подготовленному читателю). Представление о связи математической логики с теорией информации, машинной математикой и техникой, а также с кибернетикой можно почерпнуть из книг: А. М. Яглом и М. М. Яглом, Вероятность и информация, М., Гостехиздат, 1957 (изложению элементов математической логики в ней посвящен § 4 первой главы); И. А. Полетаев, Сигнал, М., Изд-во «Советское радио», 1958; A. И. Китов, Электронные цифровые машины, М., Изд-во «Советское радио», 1956. С применением аппарата математической логики в теории релейно-контактных схем можно ознакомиться по книге: B. Н. Рогинский и А. Д. Харкевич, Релейные схемы в

телефонии, M., Связьиздат, 1950. Новейшие результаты, полученные советскими учеными в области технических приложений математической логики, отражены в книге: Сборник статей по математической логике и ее приложениям к некоторым вопросам кибернетики. Труды Математического института имени В. А. Стеклова, т. 51, М., Изд-во АН СССР, 1958. Сведения о связи теории машинного перевода с проблемами логики можно найти в книге: Д. Ю. Панов, Автоматический перевод, изд. 2-е, переработанное и дополненное, М., Изд-во АН СССР, 1958 (см. §9 «Новые исследования в области автоматического перевода»). Краткий обзор результатов в области математической логики, принадлежащих русским и советским ученым (до 1947 г. включительно), содержится в «Послесловии редакции» к указанной выше книге А. Тарского. Более подробное освещение истории математической логики в СССР читатель может найти в статьях С. А. Яновской, помещенных в сборниках: Математика в СССР за 30 лет, М., Гостехиздат, 1948 и Математика в СССР за 40 лет. T. I. Обзорные статьи, М., Физматгиз, 1959. С аристотелевой логикой читатель может познакомиться по книге: Аристотель, Аналитики, первая и вторая. М., Госполитиздат, 1952.]

§ 15. Суждения. Их истинность и ложность

В алгебре буквами обозначают числа, то есть предмет изучения арифметики. Предметом изучения той части математической логики, которая называется исчислением высказываний, являются суждения (предложения, высказывания). Исчисление высказываний (или суждений) — наиболее элементарная часть математической логики; овладение исчислением высказываний является необходимым условием для изучения более сложных разделов этой науки.

Примерами суждений могут служить хотя бы следующие высказывания: 1) диагонали (всякого) ромба взаимно перпендикулярны; 2) sin л: не больше 1; 3) число 4 нечетно; 4) длина окружности радиуса R равна 3/?; 5) ]/2 — число нечетное; 6) юноша, на подбородке которого пробивается пушок, бородат; 7) углы любого прямоугольника прямые и диагонали его взаимно перпендикулярны; 8) углы квадрата прямые, а диагонали его равны и взаимно перпендикулярны; 9) углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны или в сумме составляют 180°; 10) если а<Ь, то Ь < а.

[Рассмотрим особенности этих суждений. В суждениях 3) и 5) высказывание относится к индивидуальным объектам — числам 4 и Y2. Такие суждения называют в логике единичными, или индивидуальными. В суждениях 1), 2), 4), 6), 7), 8), 9) и 10) высказывания носят всеобщий характер.

Например, в суждении 1) речь идет не о том, что диагонали какого-то данного ромба взаимно перпендикулярны, а о том, что все ромбы обладают указанным свойством. Суждения 7) и 8) подобны суждению 1), но с логической точки зрения отличаются от него тем, что являются сложными, ибо состоят из двух суждений каждое (см. ниже), в то время как суждение 1) — простое. Особенность суждения 9) заключается в том, что это суждение можно понимать как такое, в котором речь идет о парах объектов; его смысл можно иначе передать предложением: «любая пара углов, имеющих взаимно перпендикулярные стороны, отличается тем, что углы, входящие в данную пару, равны или в сумме составляют 180°». В суждениях 1) и 7) имеются слова, указывающие на всеобщий характер высказывания («всякого», «любого»). В примерах 8) и 9) всеобщий характер суждений явствует из их смысла. То же касается и суждения 6), которое, как это очевидно, заключает в себе утверждение: «всякий юноша, на подбородке которого пробивается пушок, бородат». Слова, указывающие на логическую форму суждения («все», «всякий», «любой», «некоторые» и др.), в разговорном языке могут опускаться в том случае, если логическая форма более или менее однозначно выявляется содержательным смыслом суждения и общим контекстом речи. В математической логике логическая структура выражений точно фиксируется с помощью символических средств.

Суждение 2) тоже носит всеобщий характер. Его смысл состоит в утверждении того, что «для любого (действительного) числа X sin.v не больше 1». В этом суждении буква «х» является особого рода символом, носящим название переменной. В математике переменные употребляются в различных случаях. В суждениях, подобных суждению 2), они служат для выражения всеобщности. В таких случаях употребление переменной используется для сообщения информации о том, что для любого объекта (из той области объектов, которую мы рассматриваем) суждение, в состав которого входит эта переменная, является истинным. Именно в такой роли выступают переменные в формулах, выражающих сочетательный, переместительный и распределительный законы обычной алгебры (см. ниже, стр. 83). Такой же смысл имеет употребление переменных /?, а и Ь в суждениях 4) и 10), которые носят всеобщий характер (последнее из них, кроме того, является сложным суждением).

Иной смысл имеет употребление символов «*», «у», сг» и т. п. в уравнениях. Возьмем, например, следующее уравнение: — \2х— —28 = 0. В нем вовсе не содержится утверждения о том, что при подстановке на место буквы х любых чисел (из рассматриваемой числовой области, например из области действительных чисел) всякий раз будет получаться истинное суждение — справедливое тождество. И это вполне понятно, ибо существуют числа, которые не удовлетворяют этому уравнению (т. е. не обращают его в справедливое тождество); таково, например, число 1: подстановка 1 на место х дает суждение I2 — 12 • 1 — 28 = 0, т. е. — 39 = 0, что ложно. Уравнение X*—12* — 28 = 0 само по себе не истинно и не ложно, но оно превращается в истинное или ложное суждение при подстановке вместо X чисел из рассматриваемой числовой области. Решение уравнения означает нахождение таких чисел — значений переменной (или переменных, если в уравнении содержится несколько переменных), — которые обращают это уравнение в истинное суждение. В нашем примере такими значениями являются числа 14 и —2, ибо равенства (тождества) 142—12-14—28=0и(—2)*—12.(—2)—28=0, как легко может убедиться читатель, справедливы.

Математическая логика строго различает разные случаи употребления переменных и фиксирует их с помощью специальной символики1).]

Поставим теперь перед собой вопрос, какие из этих суждений верны, или, что то же самое, истинны, а какие неверны, ложны? Из приведенных мною суждений 1) и 2) — истинны, 3) и 4) — ложны. Ответить на вопрос, истинно или ложно суждение 5), мы не можем; мы знаем, что значит «целое число нечетно»2), но что значит «иррациональное число нечетно» — этого мы не знаем. Затруднение представляет для нас также вопрос об истинности суждения 6). Юноша, на подбородке которого начинает пробиваться пушок, становится бородатым, он изменяется от небородатого к бородатому. Поэтому относительно суждения «юноша, на подбородке которого пробивается пушок, бородат» мы не можем утверждать ни что оно истинно, ни что оно ложно. Рассмотрим более общее суждение: «объект а обладает свойством а». Предположим, что объект а в данный момент меняется, утрачивая или приобретая свойство а. В таком случае мы не можем утверждать ни что наше суждение истинно, ни что оно ложно. В этих случаях законы

1) [О понятии переменной и различных случаях употребления Переменных см.: А. Тарский, Введение в логику и методологию дедуктивных наук, глава I: «Об употреблении переменных»; А. Чёрч, Введение в математическую логику, раздел «Введение».]

2) Мы исходим из следующего определения нечетного числа: целое число называется нечетным, если при его делении на 2 получается остаток, равный 1.

формальной логики, о которых будет идти речь в этой книге, не применимы. В дальнейшем, однако, мы будем заниматься (не оговаривая этого более) только такими суждениями, относительно которых известно, что они либо истинны, либо ложны, и притом непременно одно из двух1).

Продолжим рассмотрение суждений, приведенных нами в качестве примеров. Суждения 7)—10) носят, как мы видели, более сложный характер, чем суждения 1)—6). Они состоят из нескольких суждений, связанных между собой союзами: и (или имеющим тот же смысл союзом а), или, если — то и т. п. Такие суждения мы выше называли сложными суждениями. Не надо думать, что между простыми и сложными суждениями лежит непроходимая пропасть. Одну и ту же мысль можно выразить как простым, так и сложным суждением.

Например, простое суждение «sin л: не больше 1» можно заменить суждением «sin* меньше или равен I»2). Такой заменой простых суждений (предложений) более сложными очень часто пользуются при выявлении условия в теореме (см. гл. I, § 2). Например, теорема «в параллелограмме противоположные стороны равны» является простым суждением. Его можно заменить сложным суждением: «если

1) Истинно или ложно суждение «в книге, стоящей в библиотеке им. В. И. Ленина (в Москве) под шифром A ^yg, упоминается слово параллелограмм»? На этот вопрос ни я, ни мой читатель сейчас ответить не можем. Однако, если зайти в библиотеку им. В. И. Ленина и просмотреть указанную книгу, то можно установить, истинно ли данное суждение или ложно. Поэтому указанное суждение подлежит нашему рассмотрению.

2) [Деление суждений на простые и сложные относительно. Так, чтобы истолковать суждение «sin л: меньше или равен 1» как сложное, его надо рассматривать как сокращение суждения «sin * меньше 1 или sin* равен 1», состоящего из двух простых суждений, связанных союзом или. Известно, однако, что отношение «меньше или равно» в математике часто рассматривается как единое отношение (что находит свое выражение в трактовке знака <; как единого символа). При таком понимании этого отношения суждение «sin* меньше или равен 1» должно считаться простым. С другой стороны, суждение «sin* не больше 1» можно рассматривать как сложное суждение (несмотря на то, что оно не состоит из нескольких суждений), так как в этом суждении имеется отрицание (об отрицании см. след. параграф). Конечно, существуют суждения, относительно которых мы вряд ли будем колебаться при отнесении их к той ли иной группе. Очевидно, например, что суждение «2 есть четное число» является простым.]

четырехугольник является параллелограммом, то в нем противоположные стороны равны». Отличие простых и сложных суждений — это отличие, касающееся только формы этих суждений, а не их содержания.

Вернемся, однако, к сложным суждениям, приведенным в примерах 7) — 10). Одни из этих суждений могут быть истинными, другие — ложными. Так, суждения 7) и 10) — ложны, а 8) и 9) — истинны. Когда я утверждаю, что сложное суждение (например, суждение 9)) истинно, то это значит, что все сложное суждение в целом истинно. Отдельные суждения, входящие в состав сложного суждения, могут быть как истинны, так и ложны. Так, для любой пары углов (не равных 90°) с взаимно перпендикулярными сторонами одно из суждений: а) «эти углы равны», б) «сумма этих углов равна 180°» — истинно, а другое — ложно. Мы сказали, что суждение 10) ложно. Между тем оба входящие в его состав суждения будут ложны только в том случае, когда выбранные нами числа а и b равны друг другу. Но для любой пары неравных чисел а и b одно из суждений a<Cb и а>Ь истинно, а другое — ложно.

Мы здесь не случайно так долго остановились на вопросе об истинности и ложности различных суждений. Вопрос об истинности и ложности тех или иных суждений является основным вопросом, которым мы будем заниматься. Изучая суждения, мы будем абстрагироваться от их содержания, от их происхождения и от прочих очень важных вопросов и сосредоточим все свое внимание только на двух вопросах:

1) Как зависит истинность того или иного (вполне определенного) сложного суждения от истинности входящих в его состав более простых суждений?

2) Как зависит истинность некоторых (или всех) простых суждений, входящих в состав сложного суждения, от истинности этого сложного суждения и истинности остальных простых суждений, входящих в его состав?

Можно указать в арифметике целых чисел задачи, аналогичные только что поставленным нами. Приведем их в наиболее конкретной формулировке:

1) Найти число жителей на континенте, на котором имеются три страны, если число жителей в каждой из этих стран известно.

2) Известно число жителей на всем континенте и в двух странах этого континента. Каково должно быть число жителей в третьей стране?

Однако на этих примерах выясняется и разница между арифметикой и логикой. Если мы захотим составлять вполне определенные числовые задачи (например: в стране А — 50 093 жителя, в стране В— 203 457 жителей, в стране С— 15 461 житель), то мы сможем (во всяком случае теоретически) составить бесчисленное множество таких задач. Точно также различных ответов на эти задачи может быть бесчисленное множество (так как теоретически число жителей на континенте может быть равно любому целому числу, а число целых чисел неограниченно). Совершенно другую картину мы имеем в исчислении высказываний. Каждое суждение, которое в нем рассматривается, может быть либо истинно, либо ложно, т. е., выражаясь арифметическим языком, может принимать только два значения. Ответ, сложное суждение, тоже не может принимать более двух значений. Поэтому из конечного числа суждений, связанных друг с другом конечным числом союзов и, или, если — то и т. п., можно составить только конечное число задач, а различных ответов на все эти задачи может быть только два: 1) истинно и 2) ложно. Таким образом, исчисление высказываний можно в известном смысле сравнить с арифметикой двух чисел.

[С вопросами логического анализа суждений, занимавшими нас в этом параграфе, связаны некоторые трудности, в обсуждение которых мы здесь не имеем возможности входить. Отметим только, что при обстоятельном анализе даже таких как будто несложных суждений, как приводившиеся выше суждения 1) —10), обнаруживаются тонкости, мимо которых мы фактически прошли в нашем изложении (одна из таких тонкостей связана, например, с отмеченной в предыдущем примечании трудностью различения простых и сложных суждений в реальных человеческих языках). Допустимость принятого нами подхода вытекает из характера исчисления, подлежащего нашему рассмотрению (так называемого классического двузначного исчисления высказываний), в котором исходят из сильно идеализированных предположений (например, считают, что каждое рассматриваемое в нем суждение уже уточнено так, что его можно считать либо истинным, либо ложным и притом обязательно одним из двух). Что такая идеализация не только допустима, но и оказывается весьма плодотворной, об этом свидетельствует вся история математической логики и ее приложений к технике. Подробнее об этом см. в комментарии С. А. Яновской к § 1 первой главы книги Гильберта и Аккермана (Д. Гильберт и В. Аккерман, Основы теоретической логики, стр. 233 и далее).]

Суждения мы будем кратко обозначать буквами латинского алфавита: X, К, Z, U, V, ... При этом различные буквы будут соответствовать различным суждениям, а одни и те же буквы — одним и тем же суждениям. Так, под X

мы можем понимать суждение: «диагонали (всякого) ромба взаимно перпендикулярны»; под К: «sin х не больше 1»; tiorZ: «число 4 нечетно» и т. д. Сложные суждения мы будем обозначать либо одной из букв латинского алфавита, либо буквами, соответствующими суждениям, входящим в состав этого сложного суждения, связанными особыми значками, о которых речь будет в следующем параграфе.

§ 16. Связь суждений

1) Из всех суждений, отличных от X, мы выделим суждения, противоречащие X, и будем обозначать их X (читается: не-Х). Эти суждения определяются следующим образом: суждение X называется противоречащим суждению X, если X ложно, когда X истинно, и X истинно, когда X ложно. Так, суждениями, противоречащими первым трем примерам предыдущего параграфа (которые мы уже обозначали буквами X, Y, Z), являются следующие: а) X: «неверно (т. е. ложно), что диагонали всякого ромба взаимно перпендикулярны», или другими словами: «не у всякого ромба диагонали взаимно перпендикулярны» (что равносильно суждению «существует такой ромб, диагонали которого не взаимно перпендикулярны», ср. стр. 51; в) Y: «неверно, что sin* не больше 1», или, что то же самое, «не для всякого (действительного) числа X sin л: не больше 1» (что равнозначно суждению «существует такое (действительное) число х, для которого sin х больше 1»); с) Z: «неверно, что число 4 нечетное», или иначе: «число 4 не нечетное», что в силу эквивалентности двойного отрицания утверждению1) — равнозначно суждению «число 4 четное». Выражения X, Кит. д. обычно читаются: не-Х, не-К и т. п.

Очевидного суждениями, противоречащими суждениям X (суждениями X), являются суждения X).

2) Связь двух суждений может осуществляться с помощью союза и. Так, сложное суждение «противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны» состоит из двух суждений: 1) «противоположные стороны параллелограмма равны» и 2) «противоположные стороны параллелограмма параллельны», соединенных союзом и. Суждение «у прямоугольника углы прямые и диагонали равны» также состоит

1) О законе, устанавливающем равнозначность утверждения двойному отрицанию, см. ниже.

из двух суждений, соединенных союзом и. Такую связь двух суждений X и Y мы будем обозначать символом & (сокращенное обозначение латинского слова et — и). Таким образом, X&l Y означает: X и Y. Суждение Х& Y истинно в том и только в том случае, когда оба суждения X и Y истинны. Иначе: достаточно, чтобы хотя бы одно из суждений X или Y было ложно, для того чтобы все суждение X&l Y было ложно. Например, суждение «у ромба все стороны равны и углы между диагоналями равны 45°» ложно, так как одно из входящих в него двух суждений ложно и эти суждения соединены союзом и1).

3) Связь двух суждений может быть осуществлена союзом или. Как мы уже отмечали в примечании на стр. 19 — 20, союз или имеет в обычном языке двоякий логический смысл. Утверждение «X или Y истинно» может означать одно из двух: 1) истинно одно и только одно из двух суждений: или X, или Y, т. е. если X истинно, то Y ложно, и, наоборот, если Y истинно, то X ложно; если или будет иметь указанный смысл, то мы будем говорить о двойном или (короче, об или — или); 2) по крайней мере одно из двух суждений X и Y истинно; истинно или ложно другое суждение, в этом случае для нас безразлично; если или будет иметь этот второй смысл, то мы будем говорить о простом (одинарном) или2). Чтобы выяснить этот различный характер смысла слова или, рассмотрим следующие два примера:

a) «В параллелограмме ABCD, диагонали которого не равны, или угол А, или угол В острый»3).

b) «В треугольнике ABC угол А или угол В острый». В первом примере острым может и должен быть только один из углов, или А, или В. Оба угла А и В одновременно не могут быть острыми, так как в сумме они должны быть равны 180°. Или в первом примере двойное.

1) [Операция исчисления высказываний, которой в обычном языке соответствует связывание суждений с помощью союза и, носит название конъюнкции.]

2) [Операции исчисления высказываний, соответствующие употреблению грамматического союза или (а также союза либо) в тех двух смыслах, которые разъяснены в тексте, в математической логике называют дизъюнкцией. При этом операцию, соответствующую двойному или (называемому иначе строгим, исключающим или разделительным и л и), часто называют строгой дизъюнкцией. Слабой дизъюнкцией (или просто дизъюнкцией) обычно называют операцию, соответствующую простому (одинарному) или.)

3) При этом предполагается, конечно, что А и В — внутренние углы параллелограмма, прилегающие к одной и той же стороне.

Перейдем ко второму примеру. В любом треугольнике имеются по крайней мере два острых угла. Этими углами могут быть также углы А и В. Фраза «в треугольнике ABC угол А или В острый» означает, что или угол А острый и В тупой (или прямой), или угол В острый и А тупой (или прямой), или оба угла А и В острые. Или в этом примере простое.

Логически двойное и простое или не должно обязательно совпадать с синтаксическим двойным и простым или. Например, в фразе «в выпуклом пятиугольнике или угол А, или угол В, или угол С, или угол D тупой» или логически простое; а в фразе <ABC (вполне определенный, например имеющийся на черт. 8 в книге Г. Г. Цейтена «История математики в древние и средние века») острый, прямой или тупой» или логически двойное.

В исчислении высказываний пользуются главным образом простым или. Мы его будем обозначать символом \Л Таким образом, X\l Y означает «X или Y». Суждение Х\/ Y истинно в следующих случаях: когда X истинно и Y ложно, когда X ложно и Y истинно, когда X и Y оба истинны. Высказывание X\J Y ложно только в том случае, когда X и Y оба ложны.

Двойное или мы будем обозначать символом VV- Как мы уже говорили, суждение X\J\/Y (читай: «или X, или К») истинно, когда одно и только одно из суждений X, Y истинно.

4) Два суждения могут быть связаны союзом если — то. Эту связь мы будем обозначать символом —к Читать формулу Х-> Y следует так: «если X, то К». Связь если — то мы встречаем в каждой теореме: суждение X в ней служит условием, а суждение Y — заключением. Суждение X->Y мы будем считать истинным или если суждения X и Y оба истинны, или если суждение X ложно; суждение X-+Y мы будем считать ложным, если суждение Y ложно, тогда как суждение X истинно1).

Такое определение истинности и ложности суждения Х-> Y вполне соответствует нашему представлению о верности и неверности теорем. Например, теорема «если сумма цифр некоторого числа делится на 9, то это число делится на 3», как известно из арифметики, верна. Это утверждение (о верности данной теоремы) означает следующее: 1) для

1) [Операция «->» исчисления высказываний, отражающая употребление условного союза если — то в обычной речи, называется в математической логике импликацией.]

всякого числа, для которого утверждение, что сумма его цифр делится на 9, верно (т. е. X истинно), верно также и утверждение, что это число делится на 3 (К истинно); 2) относительно делимости на 3 (т. е. истинности Y) чисел, для которых сумма цифр не делится на 9 (т. е. X ложно), мы ничего сказать не можем: эти числа могут и делиться на 3 (как, например, 240), а могут (как, например, 241) и не делиться на 3 (т. е. Y может быть как истинным, так и ложным). Рассмотрим теперь пример неверной теоремы: «если число оканчивается цифрой 2, то оно делится на 7». Утверждение, что эта теорема неверна (что суждение Х-+ Y ложно), означает, что можно найти такое число (например, 202), которое оканчивалось бы цифрой 2, но не делилось бы на семь (т. е. что К ложно, между тем как X истинно).

Итак, истинность суждения X—> Y связана с истинностью суждений X и Y следующим образом:

Если X истинно и К истинно, то X—> Y истинно. Если X истинно и Y ложно, то X -у Y ложно. Если X ложно и Y истинно, то К истинно. Если X ложно и Y ложно, то XY истинно1).

Обращаю внимание читателя на одно следствие, вытекающее из этого определения суждения Х-+ Y: чтобы суждение X-+Y было истинным, достаточно, чтобы суждение X было ложным. Это следствие соответствует одному очень важному закону логики,

1) Относительно суждений X&Y, Х\/Y, X-> Y Х*-> Y (см. ниже) можно сделать следующее замечание: пока суждения нас интересуют исключительно с точки зрения их отношения друг к другу по истинности или ложности, мы при утверждении, что суждение Х& Y (или суждение X\J Y, X Y, Х<*-+ Y) истинно или ложно, будем руководствоваться только вопросом об истинности или ложности суждений X и Y и правилами, указанными в этом параграфе; вопрос о смысле того или иного сложного суждения нас на этой стадии не интересует. Например, суждение «если снег черен, то 15 февраля 1961 г. состоится полное солнечное затмение, видимое на территории СССР», истинно, так как суждение: «15 февраля 1961 г. состоится полное солнечное затмение, видимое на территории СССР», истинно. Суждение «если Волга впадает в Каспийское море, то пятью пять десять», ложно, так как 5 X 5 Ф 10, а Волга в Каспийское море впадает. Аналогичная связь встречается и в обычной речи, однако обычно она осуществляется союзом как. Так, говорят, например: «это ясно, как дважды два четыре», причем под словом это понимают вещи, ничего общего с умножением двух на два не имеющие. Читатель легко сможет сам проверить, что союз как равносилен (в отношении вопроса истинности или ложности) связи если — то (или связи если — то, и наоборот), и поэтому вводить его в алгебру логики не имеет смысла,

который можно формулировать так: исходя из неверного допущения, можно прийти к какому угодно выводу, как верному, так а неверному. Этот закон учащиеся обычно не вполне ясно себе представляют. Поэтому я проиллюстрирую его на решении двух задач.

Задача первая. Определить угол между диагоналями прямоугольника ABCD, если известна величина двух его сторон: AB = ВС = 5 см.

Решение. Так как диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны, то искомый угол равен 90°.

Задача вторая. Определить угол между диагоналями прямоугольника ABCD, если известна величина двух его сторон AB = 5 см, БС= 5Уз" см.

Решение. Так как диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны, то искомый угол равен 90°.

При решении обеих задач мы исходили из одного и того же неверного допущения (ложного суждения): «диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны». Мы видим, что это допущение может привести нас как к верному выводу (задача 1), так и к неверному (задача 2).

5) Перейдем теперь к рассмотрению связи, выражаемой словами если — то, и наоборот. Ее обозначают символом -«-> (или ~). Суждение Х+-> Y мы будем считать истинным, если X и Y одновременно оба истинны или одновременно оба ложны; суждение Х*-+ Y мы будем считать ложным, если либо X истинно, в то время как Y ложно, либо Y истинно, в то время как X ложно. Любая совокупность прямой и обратной теорем является суждением вида X*-* К.

Рассмотрим, например, предложение: «если сумма цифр некоторого числа делится на 3, то и само число делится на 3, и обратно, если некоторое число делится на 3, то сумма цифр этого числа также делится на 3». Утверждение, что это предложение верно, означает, что верны как прямая, так и обратная теоремы, входящие в состав этого предложения. Такого вида предложение было бы неверно, если бы была неверна прямая или обратная теорема или обе они вместе. Поэтому совершенно естественно заменить суждение Х<+-+ Y суждением (Х-> К)&(К->X). Зависимость истинности и ложности суждений Х-> Y и Y-+ X от истинности и ложности суждений X и Y найдется из таблицы, помещенной вверху стр. 79.

Таким образом, суждение X*r-> Y является истинным, если суждения X н Y оба истинны или оба ложны; суждение Х<^ Y ложно, если одно из -суждений X или Y истинно, в то время как второе ложно. Эту зависимость мы и приняли вначале за определенные связи Х*-+ Y.

X

Y

Х->Y

Y->X

(X->Y)&(Y->X)

и1)

и

и

и

и

и

Л1)

л

и

л

л

и

и

л

л

л

л

и

и

и

Резюмируем сказанное о связях: мы рассмотрели отрицание, а также следующие связи двух суждений X и Y: Х& Y (X и Y); X\J Y (X или Y); XVV У (или X, или К); Х-+ Y (если X, то Y)\ Х<-> Y (если X, то К, и наоборот). Зависимость истинности полученных таким образом сложных суждений от истинности суждений X и К можно представить в виде единой таблицы:

X

Y

X&Y

X\/\/Y

X->Y

X<->Y

и

и

и

и

л

и

и

и

л

л

и

и

л

л

л

и

л

и

и

и

л

л

л

л

л

л

и

и

Таблица

X

X

и

л

л

и

соответствует логической операции отрицания.

[Исчисление высказываний, построенное на основе таблиц истинности, в советской математической литературе часто называют алгеброй логики.

В зарубежной литературе по математической логике термин «алгебра логики» относят к тому направлению в этой науке, начало

1) Сокращенная запись слов «истинно» (и) и сложно» (л).

которому положил Буль и которое наиболее выпукло выражено в трудах Шредера и Порецкого. Алгебра логики XIX в. представляла собой прежде всего исчисление классов. Об исчислении классов см.: Гильберт и Аккерман, Основы теоретической логики, глава вторая, § 1 и Тарский, Введение в логику и методологию дедуктивных наук, глава IV.]

§ 17. Равносильность

Рассмотрим снова связь Х<г-*> К. Если суждение X*r-> Y истинно, то либо суждения X Vi Y оба истинны, либо оба они ложны. Связь Х-*-> Y мы будем называть эквивалентностью.

Предположим, что у нас имеется два сложных суждения Л и Б, каждое из которых состоит из нескольких (конечного числа) суждений X, Y, Z, . .., W, соединенных рассмотренными нами связями. Будем подставлять вместо символов X, Y, Z, W конкретные суждения вроде следующих: «диагонали прямоугольника равны», «сумма углов в треугольнике равна 90°» и т. п. При этом может оказаться одно из двух: либо при некоторых (а может быть, и ни при одном) конкретных суждениях X, К, Z, ..W сложное суждение истинно, а при других ложно, либо при любых конкретных-значениях X, Y, Z, W высказывание А <-> В истинно. В последнем случае мы будем высказывания А и В называть равносильными, а символ (символ эквивалентности) заменять символом равносильности: ïEï. Из сказанного раньше следует, что

(1)

(2)

Равносильность (1) выражает равнозначность утверждения двойному отрицанию (так называемый закон снятия двойного отрицания).

Разницу между эквивалентностью и равносильностью легко уяснить, сравнивая их с алгебраическим уравнением и тождеством. Равенство (например, х2-\-у2 = 25) называется уравнением, если оно выполняется при некоторых значениях входящих в него букв (например, х = Ъ и у = 4), а при других (например, х=\, у = 2) не выполняется. Суждение А+-+В (например, (X& Y) «-> Z) называется эквивалентностью, если оно оказывается истинным при замене входящих в него букв X, Y, Z, ..., W одними конкретными суждениями (например, X: «две противоположные стороны данного четырехугольника параллельны»; К: «те же

две его стороны равны»; Z: «диагонали этого четырехугольника взаимно делятся пополам») и ложным при замене их другими конкретными суждениями (например, X: «круги, в которых проведены хорды, равны»; К: «хорды не равны»; Z: «хорды равноудалены от центра»). Равенство называется тождеством (например, (а—Ь) (а -\-Ь) = а2—Ь2 или (а-\- \)2 = — а2-\-2а-\- 1). если оно выполняется при всех значениях входящих в него букв. Высказывание А±+В (например, Х±Е*Х или Х<-> К±Е±(^-> Y)&(Y -+ X)) называется равносильностью, если оно истинно при замене входящих в него букв X, Y, Z, ..., W любыми конкретными суждениями. Подобно тому как в алгебре тождественные выражения можно заменить друг другом, в алгебре логики можно заменить друг другом равносильные суждения. По аналогии с алгеброй сложное суждение (А), стоящее слева от знака равносильности (ЕЕЕ) мы будем называть левой частью равносильности, а суждение (В), стоящее справа от этого знака, — правой ее частью1).

Мы указали на сходство, существующее между уравнениями и тождествами, с одной стороны, и эквивалентностью и равносильностью, с другой. Укажем теперь на разницу, существующую между ними. В алгебре ни при одном преобразовании равенство не может быть заменено никакими действиями (ни сложением, ни умножением, ни возведением в степень и т. п.). В алгебре логики эквивалентность (<—>) может быть заменена другими связями, в том числе связями и (&), или (V) и отрицанием2); связи и и или, как это будет выяснено дальше, в алгебре логики играют роль сложения и умножения.

В обычной алгебре имеет место аксиома: «если а = Ь и Ь = с, то а = су>. Аналогичное положение имеет место также и в алгебре логики, именно:

1) [Равносильность есть пара формул, связанных знаком Для более отчетливого выделения этих формул (левой и правой частей равносильности) их следует представлять себе заключенными в скобки. В этом случае, например, равносильность (2) примет вид (X Y) ±Е± ( (XY) & (Y X) ). В силу формулируемого ниже правила I, выражающего транзитивность (переходность) отношения равносильности, знаком можно связывать и более чем две формулы. Так, в равносильности 14 (стр. 89) знаком связаны три формулы:

(X<e-» Y) ^ ( (К-» X) & (X -> К)) ^ (К«-> Х).\

2) [Знак равносильности (5ЕЕ) не может быть заменен знаками —*, &, V. VV и -.]

Правило I. Если АЕЕЕВ и В±=ЕС, то А+=+С.

Действительно, если А истинно, то, в силу утверждения А ±Е+В, В должно быть истинно, а потому и С (в силу утверждения В+=ЕС) должно быть истинно. Итак, если А истинно, то и С истинно. Аналогичные рассуждения показывают, что если А ложно, то и С ложно, т. е. Л ЕЕ С. Кроме этого правила, в дальнейшем мы будем пользоваться следующим:

Правило II. Если А 5ЕЕ В, то А ±Е± В.

Правило II проверяется таким же образом, как и правило I. Эту проверку мы предоставляем читателю.

Перейдем теперь к рассмотрению основных равносильных суждений алгебры логики.

§ 18. Равносильные суждения

В алгебре логики имеют место следующие равносильности, аналогичные соответствующим тождествам в обычной алгебре:

Х& YkX, (3)

X&(YkZ)^(Xb K)&Z, (4)

X\J Y^YVX, (5)

X V (У V Z) s (X V У) V Z, (6)

XV (Y&Z)~(X\f Y)8l(X\J Z). (7)

Справедливость первых четырех равносильностей очевидна. Ясно, например, что суждение «у прямоугольника все углы прямые и диагонали равны» и суждение «у прямоугольника диагонали равны и углы прямые» равносильны.

Доказать справедливость равносильности (3) — это значит проверить, что для любых суждений X и Y левая и правая части равносильности (3) одновременно истинны или одновременно ложны. Такая проверка может быть осуществлена с помощью таблицы

X

Y

Х& У

Y&X

и

и

и

и

и

л

л

л

л

и

л

л

л

л

л

л

С помощью аналогичных таблиц можно проверить и все остальные равносильности. Проверку равносильностей (4)—(6) я предоставляю читателю. Мы приведем здесь только таблицу, служащую для проверки равносильности (7):

X

Y

Z

Y&Z

X\/Y

X\/Z

X\/(Y&Z)

(X\/Y)&(X\/Z)

и

и

и

и

и

и

и

и

и

и

л

л

и

и

и

и

и

л

и

л

и

и

и

и

и

л

л

л

и

и

и

и

л

и

и

и

и

и

и

и

л

и

л

л

и

л

л

л

л

л

и

л

л

и

л

л

л

л

л

л

л

л

л

л

Так как эта последняя равносильность несколько сложнее предыдущих, то я хочу еще проиллюстрировать ее справедливость на примере. Суждение «в ближайший выходной день или первого и второго мая мы будем кататься на лодке» и суждение «мы будем кататься на лодке в ближайший выходной день или первого мая и в ближайший выходной день или второго мая» равносильны.

Равносильности (3) — (7), как уже было сказано выше, сходны с общеизвестными формулами алгебры:

(выражающей переместительный закон сложения),

X + (У 4- г) = (X + у) + г (выражающей сочетательный закон сложения),

ху =ух

(выражающей переместительный закон умножения),

x(yz) = (xy)z

(выражающей сочетательный закон умножения),

X (у + г) = ху + xz

(выражающей распределительный закон умножения относительно сложения).

Итак, равносильности (3) — (6) показывают, что связи «и» (&) и «или» (V) обладают, свойствами переместительности и сочетательности, а равносильность (7) показывает, что связь «или» обладает распределительным свойством относительно связи «и». В силу этой аналогии с алгеброй мы будем суждение Х&. Y называть логической суммой, a Х\/ Y — логическим произведением. Условимся при отсутствии скобок сначала связывать суждения союзом или, а союзом и связывать лишь полученные таким образом сложные суждения, т. е. сначала (при отсутствии скобок) перемножать суждения, а затем лишь полученные произведения складывать. При этом условии мы в алгебре логики будем иметь те же законы умножения многочленов (вернее, сумм), что и в обычной алгебре. Эту аналогию с обычной алгеброй мы можем усилить тем, что условимся пропускать знак логического умножения (V)» подобно тому как мы в алгебраическом произведении опускаем точку ( • ).

Однако дальнейшие равносильности, связывающие логическую сумму с логическим произведением, не имеют ничего общего с обыкновенной алгеброй. Чтобы получить эти равносильности, заметим, что Х&. Y истинно в том и только в том случае, когда н X, и Y истинны, a XY ложно в том и только в том случае, когда и X, и Y ложны. Следовательно, XY истинно в том и только в том случае, когда X и Y ложны. Но когда X истинно, то X ложно; когда У истинно, то Y ложно, а потому XY истинно тогда и только тогда, когда X w Y истинны. Последнее утверждение показывает нам, что

(В)

Пользуясь правилом II и равносильностью (1), мы эту равносильность можем заменить следующей:

(8')

Равносильности (8) и (8') легко проверить так же, как мы проверяли равносильности (3) — (7).

Суждение X&Y±=+XY истинно для любых суждений X и Y. Поэтому оно должно остаться истинным и после того, как мы суждения X и Y заменим суждениями X и Y. Проделав такую замену, мы найдем, что

Вследствие равносильности (1), мы получим:

XY^X&Y. (9)

Пользуясь правилом II и равносильностью (1), равносильность (9) можем переписать так:

XY^X&Y. (9')

При выводе равносильности (9) и (9') мы уже не прибегали к рассуждениям об истинности и ложности суждений, входящих в ее правую и левую части: мы эти равносильности вывели из предыдущих, правильность которых была проверена с помощью преобразований, похожих на те, которыми мы обычно пользуемся в алгебре. Однако такой вывод отнюдь не ослабляет правильности этих равносильностей. Мы, конечно, можем эту правильность проверить обычным способом. Но это излишне.

Проиллюстрируем теперь равносильности (9') и (8') на примерах. Пусть суждение X означает: «диагонали четырехугольника ABCD равны», а суждение Y означает: «диагонали четырехугольника ABCD взаимно Перпендикулярны». Тогда суждением X&Y будет: «диагонали четырехугольника ABCD равны и взаимно перпендикулярны».

Суждение, противоречащее этому, можно сформулировать так: «неверно, что диагонали четырехугольника ABCD равны и взаимно перпендикулярны», что, как это очевидно, равнозначно суждению «диагонали четырехугольника ABCD не равны или не взаимно перпендикулярны». Ясно, что это последнее суждение символически можно записать так: XY. Мы имеем здесь пример, иллюстрирующий равносильность X&Y±E±XY. Составим теперь суждение XY, оно выразится так: «диагонали четырехугольника ABCD равны или взаимно перпендикулярны». Противоречащим ему суждением XY будет: «неверно, что диагонали четырехугольника ABCD равны или взаимно перпендикулярны», которое равнозначно суждению: «диагонали четырехугольника ABCD ни равны, ни взаимно перпендикулярны» (то есть суждению «диагонали четырехугольника ABCD и не равны, и не взаимно перпендикулярны»), имеющему форму А&В. Таким образом,

xV±=±x&Y.

Равносильности (8') и (9') можно распространить на случай любого числа суждений. Докажем равносильность (8') для трех суждений: X, Y и Z. Для этого обозначим сложное

суждение Х& Y буквой U. Тогда в силу формулы (8') мы будем иметь

Х& k&z^ UkZ^ UZ.

Из определения суждения U следует, что его можно заменить суждением X&Y. Следовательно,

UZ ö (X&Y) z« XYZ. Итак, окончательно:

k&z^^ykz.

Методом полной математической индукции аналогично доказывается справедливость этой формулы для любого (конечного) числа суждений. Приведу это доказательство. Пусть для (п—1) суждений имеет место равносильность

ХХ&Х2& ... 0*1*2 • • - *n-l.

Обозначим сложное суждение Х1&Х2& ... Хп__х буквой U. Тогда в силу (8') мы будем иметь

Хг&Х2& ... &хп_х&хп^и&хп^их~п.

Подставляя вместо U «его значение» и пользуясь равносильностью (8"). справедливость которой мы предположили, мы найдем, что

ПХпШ(Хх&Х2& ... &Xn_x)Xn^XxX2 ...xn_xxn. т. е.

X1&lX2& ... аХп^&Хп ^ ХХХ2 ... ХП_ХХП. (8а)

Справедливость равносильности (8а) при п = 2 нами доказана. Далее, мы доказали справедливость этой равносильности для п в предположении, что эта равносильность справедлива для п—1. Тем самым доказано, что наша равносильность справедлива для любого п.

Аналогичным образом доказывается и равносильность

ад Хп,1Хп^Х1&Х21к ... &Хп_х&Хп. (9а)

Мы говорили уже, что в алгебре логики, по аналогии с обычной алгеброй, имеет место распределительный закон логического умножения относительно логического сложения. Но в отличие от обычной алгебры в алгебре логики имеет место также и распределительный закон логического

сложения относительно логического умножения, т. е. имеет место равносильность

Х& YZ^(X&Y)(X&Z). (10)

Докажем ее. Равносильность (7) есть суждение истинное при любых значениях суждений X, Y, Z. Поэтому мы можем суждения X, К, Z в этой равносильности заменить суждениями Л, К, Z; тогда, применяя правило II, приведем эту равносильность к виду

J((Y&1:)^XY&lXZ. Преобразуем обе части последней равносильности, пользуясь равносильностями (9') и (8') и снимая двойное отрицание. Мы получим:

Х(7& Z) ^ Х&. (К& Z) ^ KZ, *F&Zz^ (^К) (XZ) « (Х& Y) (Х&Z), и, следовательно,

X&YZ^ (Х& Y)(X&Z).

Проиллюстрируем последнюю равносильность примером. Суждение «мы будем кататься на лодке в ближайший выходной день и первого или второго мая» равносильно суждению «мы будем кататься на лодке в ближайший выходной день и первого мая или же в ближайший выходной день и второго мая».

Выведенные нами равносильности указывают на зависимость, существующую между связями &, V, " Покажем теперь, что и остальные связи, а именно: —► (если — то),<—> (если — то, и наоборот), и VV (или — или) — можно свести к связям &, V» (а следовательно, и к двум из них1).

Рассмотрим суждение Х-* Y. Оно ложно в том и только в том случае, когда X истинно и Y ложно. Вспомним, что суждение XY ложно в том и только в том случае, когда и X, и Y ложны, и, следовательно, суждение XY ложно в том и только в том случае, когда X истинно (т. е. X ложно), а К ложно. Поэтому

Х-+ Y^XY. (И)

1) [При этом в числе этих двух связей обязательно должно быть отрицание; иначе говоря, две связи (из числа связей &, V и "~), к которым могут быть сведены связи <—>, -> и VV» — это либо пара &, ~ либо пара N/» ]

В силу равносильности (9) мы можем также написать

ЛГ-> Y^X& У. (12)

Содержание этих равносильностей легко иллюстрировать любой теоремой; возьмем, например, теорему «если четырехугольник ABCD есть ромб, то в него можно вписать окружность». Эта теорема представляет собою суждение вида X—► К. Его можно заменить либо суждением ХУ: «четырехугольник ABCD не является ромбом или в него можно вписать окружность», или суждением Xtk Y: «невозможно, чтобы четырехугольник ABCD был ромбом и в то же время в него нельзя было бы вписать окружность». Такая формулировка теоремы кажется с первого взгляда тяжелой и ненужной. Однако если присмотреться внимательнее, то окажется, что мы ею очень часто пользуемся: доказательство неверности теоремы (суждения Х-> Y) обычно сводится к доказательству ложности суждения X&.Y, т. е. к доказательству истинности суждения Х& У. Так, например, на стр. 29 мы доказывали, что теорема «четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, есть ромб» неверна. При этом мы фактически доказывали следующее: можно построить такой четырехугольник ABCD, для которого суждение (Х& Y) «диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны и четырехугольник ABCD не является ромбом» истинно. Отсюда мы заключили, что суждение (Х-> Y) «если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то этот четырехугольник является ромбом» ложно.

Докажем теперь равносильность

Х-+ Y^~Y—+X. (13)

Для этого в равносильности (12) суждения X и Y заменим суждениями Y и X. Мы найдем, что

Воспользовавшись правилом I и равносильностями (1) и (8'). мы получим

Следовательно, в силу правила I и равносильности (11) мы найдем, что

ЛГ-> Y^Y-*X.

Приводить примеры, иллюстрирующие эту равносильность, я не буду. Эта равносильность выражает равнозначность прямой и противоположной обратной теорем, о которой была речь в главе I. Если в равносильности (13) X и Y заменить соответственно на Y и X, то мы получим

Y-+X*=ïX -+Y. (13')

Эта равносильность выражает равнозначность обратной и противоположной теорем.

Перейдем теперь к связи эквивалентности. Мы уже говорили, что

Х++ Y^(X-+ Y)&(Y-+X).

В силу переместительного свойства логического сложения мы пишем:

Х<-+ Y^(Y-+X)&(X-+ Y)^ Y+^X. (14)

Суждение Х+-+ Y можно сформулировать в виде теоремы: «если объект г обладает свойством а, то он обладает и свойством ß, и наоборот, если объект г обладает свойством ß, то он обладает свойством а». Сформулировать суждение Y+-+X предоставляю читателю. Очевидно, что X*-► К±Е* К<->X. В силу равносильностей (13) и (13') мы будем иметь

Х+-* Y^(X-+ Y)&(X-+Y) (2')

и

X*-* Y^(X ^Y)&(Y ^Х)^Х (14')

Эти равносильности означают, что доказательство прямой и обратной теорем можно заменить доказательством прямой и противоположной или противоположной и противоположной обратной теорем.

Заметим, кроме того, что, пользуясь равносильностью (11) и правилом I, мы можем эту связь свести к связям и, или и не:

Х+-+ Y « (Х-> Y)&(Y->X)^XY&XY. (15)

Перейдем теперь к рассмотрению последней связи: X V V У* Суждение X V V У означает, что либо суждение X

истинно, а суждение Y ложно или суждение X ложно, а суждение Y истинно. Другими словами, суждение Х\/ V Y истинно в том и только в том случае, когда хотя бы одно из суждений X&Y и X&Y истинно. Поэтому

ХУ V Y^(XkY)(XhY). (16)

Правильность этой равносильности можно проверить с помощью таблицы, аналогичной таблицам на стр. 82—831).

Рассмотрим, наконец, еще несколько равносильностей, преобразующих суждение X-+(Y'-+ Z).

В силу равносильностей (11), (5) и (8') мы будем иметь:

X->(Y-y Z)^X-*(YZ)^XYZ^YXZ^

«К->(ХZ)±ЕЕ Y (ЛГ-> Z)

и

X->(Y-*Z)^XYZ^(X&. Y)Z^(Xk Y) -> Z,

т. е.

X->(K->Z)^ Y-+{X-+Z)^(X& K)-*Z. (17)

Чтобы уяснить смысл этой равносильности, рассмотрим теорему: «в равных кругах равные хорды равноудалены от

1) [Как отмечалось на стр. 85, выводы равносильностей, приводимые в этом параграфе, основаны на таблицах истинности. Поэтому от этих выводов, вообще говоря, можно было бы и отказаться, заменив их непосредственной проверкой равносильности формул по таблицам истинности, так, как это было сделано для равносильностей (3) и (7) на стр. 82—83. Поскольку, однако, табличная проверка равносильностей представляет собой достаточно громоздкое дело, мы поступаем следующим образом. Некоторые равносильности мы непосредственно проверяем по таблице; это касается равносильностей (1) — (8); (правда, не для всех из них такая проверка была проведена в явной форме, посредством выписывания соответствующих таблиц; для равносильностей (1), (2) и (8) проверка проводилась путем сокращенного рассуждения, а табличная проверка равносильностей (4), (5) и (6) была предоставлена читателю). Затем из этих равносильностей были выведены, с использованием правил I и II, другие равносильности. Такой вывод, однако, полностью сводится к табличной проверке, поскольку сами правила 1 и II проверяемы по таблицам истинности (рассуждение, с помощью которого мы на стр. 82 убедились в справедливости правила I, фактически и представляло собой такую проверку). О табличном построении исчисления высказываний см. комментарии С. А. Яновской к книге Гильберта и Аккермана (Д. Гильберт и В. Аккерман, Основы теоретической логики, перев. с нем., 1947, стр. 233 и далее).]

центра». Поставим своей целью выделить в этой теореме условие и заключение. Для этого введем в формулировку теоремы слова если и то. Это можно сделать трояким способом:

1) Придав теореме форму суждения X-*(Y->Z): «если круги, содержащие хорды, равны, то, если хорды равны, они равноудалены от центра» (или более литературно: «при условии равенства кругов, содержащих хорды, имеет место теорема: если хорды равны, то они равноудалены от центра»).

2) Придав теореме форму суждения Y-+(X-+Z): «если хорды равны, то из равенства кругов, содержащих хорды, следует их равноудаленность от центров этих кругов» (или: «если хорды равны, то, если круги равны, то хорды равноудалены от центра»).

3) Придав теореме форму суждения (X&Y)-+Z: «если круги равны и проведенные в них хорды равны, то хорды равноудалены от центров своих кругов».

Ясно, что эти три формулировки равносильны.

Равносильностью (17) мы часто пользуемся, хотя и не сознаем это. Например, теорему «если диагонали параллелограмма ABCD равны, то этот параллелограмм является прямоугольником» мы иногда трактуем так: «если четырехугольник ABCD есть параллелограмм, то, если его диагонали равны, то он является прямоугольником»; иногда же мы эту теорему трактуем так: «если четырехугольник ABCD параллелограмм и его диагонали равны, то он является прямоугольником».

Задача 70. На основании формул (1), (3), (4), (8), (8'), (9), (9') доказать формулы (5) и (6).

§ 19. Различные формы обратных и противоположных теорем

В первой главе этой книги мы уже говорили, что теореме можно придать форму условного предложения (суждения). На языке алгебры логики это означает, что теоремы часто формулируют в виде предложения, состоящего из двух суждений, связанных союзами если — то: А-+В. Теорема, обратная данной, является теоремой, у которой условием служит заключение данной теоремы, а заключением—ее условие, т. е. суждение В -> А. Теорема, противоположная данной, получается путем замены условия и заключения данной теоремы их отрицаниями, т. е. теорема, противоположная

данной, имеет вид суждения А->В. Наконец, теорема, противоположная обратной, имеет форму В-+А.

Мы уже говорили (стр. 32—34), что во многих случаях как обратная данной теорема, так и ее противоположная допускают целый ряд не равносильных друг другу формулировок. Сейчас мы снова вернемся к этому вопросу и увидим, что алгебра логики даст нам возможность гораздо лучше выяснить его сущность.

С точки зрения логики теорема А-+В имеет только одну обратную В-+А, так как получить обратную теорему — это значит переставить две буквы А и В, то есть поставить одну на место другой. Трудность здесь возникает тогда, когда одно из суждений А или В, или оба сами являются сложными суждениями. Например, пусть В представляет собою сложное суждение K->Z. Тогда наша теорема есть суждение A—>(Y —> Z), а обратная ей теорема есть суждение (K->Z)—> А. Но согласно (17) теорема Л-*(К—>>Z) равносильна каждой из следующих:

Y-+(A-+Z) и (A&Y)-+Z.

Каждая из этих трех равносильных друг другу логических форм (с математической точки зрения они представляют собой различные формулировки одной и той же теоремы) порождает одну обратную теорему. Обратные теоремы обычно образуются, как мы в этом убедимся на примерах, еще и с помощью перестановки последних двух букв в суждениях A->(Y->Z) и К -> (А -> Z). Таким образом, мы получаем пять различных форм для обратной теоремы:

Эти формы можно преобразовать так:

Как легко видеть, среди этих пяти форм обратных теорем нет ни одной пары равносильных друг другу теорем. Проиллюстрируем наши рассуждения над символами примером, рассмотренным нами на стр. 90—91. Мы приводили там три различные равносильные друг другу формулировки теоремы «в равных кругах равные хорды равноудалены от центра». Сформулируем теперь различные теоремы, обратные данной.

1) Форма (Y->Z)-+A: «если для двух кругов справедливо утверждение, что если их хорды равны, то они равноудалены от центра, то эти круги равны» (или: «круги, в которых равные хорды равноудалены от центра, равны»).

2) Форма (Л—>Z) —> К: «если прямолинейные отрезки обладают следующим свойством: будучи хордами в равных кругах, они оказываются равноудаленными от центров этих кругов, то эти отрезки равны между собою».

3) Форма Z-> (Л& К): «если хорды, проведенные в кругах, равноудалены от центров, то круги, в которых они проведены, равны между собою и сами хорды равны друг другу».

4) Форма A—>(Z—>Y): «при условии равенства кругов, содержащих хорды, имеет место теорема: если хорды равноудалены от центра, то они равны» (или: «в равных кругах хорды, равноудаленные от центра, равны друг другу»).

5) Форма К-> (Z —► А): «если хорды, проведенные в двух кругах, равны, то имеет силу следующее: если хорды равноудаленЫ от центров соответствующих кругов, то круги равны».

За теорему, обратную теореме «в равных кругах равные хорды равноудалены от центра», обычно принимают теорему «в равных кругах хорды, равноудаленные от центра, равны» (форма 4). Происходит это потому, что двум условиям, накладываемым на хорды (их равенству и равенству кругов, в которых эти хорды проведены), придают неодинаковое значение.

Легко показать, что из пяти указанных обратных теорем третья не верна, а остальные верны при условии, если мы один и тот же круг разрешим себе рассматривать как равные круги, центры которых совпали.

Каждой формулировке теоремы, обратной данной, соответствует одна равносильная ей форма противоположной теоремы; эта противоположная теорема получается путем отрицания тех частей данной теоремы, которые мы при образовании соответствующей обратной теоремы переставляем.

Так, в рассмотренном нами случае противоположных теорем будет пять. Они запишутся, при сохранении принятой нами нумерации обратных теорем, следующим образом:

Например: 1) «Если круги, в которых проведены хорды, не равны, то из равенства хорд не следует равенство их расстояния от центров этих кругов»1).

2) «Если хорды не равны, то из равенства кругов, в которых они проведены, не следует их равноудаленность от центров этих кругов».

3) «Если или круги, в которых проведены хорды, или сами хорды не равны друг другу, или и то и другое вместе, то такие хорды находятся на различном расстоянии от центров соответствующих кругов» (мы или повторили три раза, так как оно в данном случае простое).

4) «В равных кругах неравные хорды не одинаково удалены от центра».

5) «Если хорды равны, то из неравенства кругов, в которых они проведены, следует, что эти хорды не равноудалены от соответствующих центров».

§ 20. Всегда истинные и всегда ложные суждения

Истинность или ложность того или иного суждения зависит от содержания этого суждения. Однако несколько суждений Хх% Х2, .... Хп можно связать различными союзами так, чтобы истинность или ложность полученного таким образом сложного суждения не зависела от истинности или ложности входящих в его состав простых суждений. Такого

1) Отнюдь не следует эту теорему смешивать с теоремой: «если круги, в которых проведены хорды, не равны, то из неравенства хорд следует, что расстояния этих хорд от центров соответствующих окружностей не равны друг другу». Эта последняя теорема имеет форму Л->(К-> Z) и не равносильна теореме, указанной в тексте. Теорема, указанная в тексте, верна, между тем как теорема, указанная в примечании, не верна.

рода сложные суждения мы будем называть всегда истинными или всегда ложными.

Примерами всегда истинных суждений могут служить всегда истинные эквивалентности, например Х+-+Х, (Х& ++(Y&X), (X+-+Y)*-+((X-+Y)&(Y-+X)) и др. Как помнит читатель, чтобы отличить всегда истинные эквивалентности от эквивалентностей, не отличающихся этим свойством, мы в § 17 ввели в употребление знак равносильности и стали под равносильностью понимать всегда истинную эквивалентность. Таким образом, введение знака служит для выражения информации о том, что данная эквивалентность всегда истинна; иначе говоря, если дана какая-нибудь равносильность, например X&Y+E+XY, это означает, что соответствующая ей эквивалентность (получаемая посредством замены знака равносильности знаком эквивалентности) есть, всегда истинное суждение (в нашем примере это будет эквивалентность (Х& К)«-> (XY). Примерами всегда ложных суждений могут быть отрицания всегда истинных суждений, например отрицания всегда истинных эквивалентностей, как-то: Х<-+ X, X&Y^XY, (х-> Y)-+XY и т. д.

Однако можно указать еще более простые всегда истинные и всегда ложные суждения, а именно:

суждение XX всегда истинно; суждение Х&Х всегда ложно.

Справедливость этих утверждений очевидна. [Суждение XX (соответственно YY, ZZ и т. д.), читаемое <сХ или не-Л>. носит название закона исключенного третьего. Этот закон утверждает, что из двух высказываний — данного высказывания X и его отрицания X—по крайней мере одно истинно. То, что суждение и его отрицание не могут быть оба истинны, выражается формулой Х&Х (соответственно К&К, Z&Z и т. д.), которая является отрицанием всегда ложного суждения Х&Х. Всегда истинное суждение Х&Х в логике издавна носит название закона противоречия (хотя его лучше было бы называть законом непротиворечия).

Таблицы истинности, соответствующие всегда истинным и всегда ложным высказываниям (называемым также тождественно истинными и тождественно ложными высказываниями), отличаются следующим: во всех строках колонки,

соответствующей всегда истинному суждению, стоит буква «и» («истина»), а во всех строках колонки, соответствующей всегда ложному суждению, стоит буква «л» («ложь»). Так,

для формул XX, Х&Х и Х&Х мы имеем таблицу:

X

X

XX

X & X

Х&Х

и

л

и

л

и

л

и

и

л

и

Таблица, соответствующая формуле XY+-+X&Y, такова:

X

Y

XY

XY

X

Y

Х&Y

XY<->X&Y

и

и

и

л

л

л

л

и

и

л

и

л

л

и

л

и

л

и

и

л

и

л

л

и

л

л

л

и

и

и

и

и

Мы видим, что это суждение всегда истинно.

Так, используя таблицы истинности, можно относительно любого суждения в исчислении высказываний решить, является ли оно всегда истинным или нет.)

Суждениями XX и Х&Х пользуются для того, чтобы доказать, что то или иное сложное суждение всегда истинно или всегда ложно. С этой целью сложное суждение А, состоящее из связанных друг с другом суждений Хи Х2, Хп, преобразовывается следующим образом: 1)с помощью равносильностей (11), (15) и (16) все связи в сложном суждении приводятся к трем: &, V. —; 2) с помощью формул (8а) и (9а) сложное суждение приводится к суждению, в котором знаки отрицания стоят только над простыми суждениями, то есть над суждениями, в которых не фигурируют знаки логических связей исчисления высказываний; 3) пользуясь распределительными свойствами умножения относительно сложения (равносильность (7)) и сложения относительно умножения (равносильность (10)), суждение А приводят к первой или второй нормальной форме. Первой нормальной формой сложного суждения называется

суждение, представляющее собою сумму, слагаемыми которой являются суждения Xl9 Хг, ..., Хп, Xv ..., Хп или произведения какой-либо комбинации этих суждений. Второй нормальной формой сложного суждения называется суждение, представляющее собою произведение, сомножителями которого являются суждения Хх, ..., Хп, Xv Х2,.... Хп или суммы каких-либо комбинаций этих суждений. Если в первой нормальной форме в каждое из произведений входит по крайней мере какая-либо одна пара противоречащих друг другу суждений Х\ и Х{, то суждение А всегда истинно. Действительно, в этом случае каждое из слагаемых первой нормальной формы истинно, так как либо суждение Хх, либо суждение Х% истинно; поэтому и суждение А, равносильное сумме, каждое из слагаемых которой всегда истинно, — всегда истинно. Если во второй нормальной форме каждый сомножитель представляет собою сумму, в которую входит по крайней мере одна пара противоречащих друг другу суждений Х\ и Xit то суждение А всегда ложно. Действительно, в этом случае каждый из сомножителей второй нормальной формы суждения А всегда ложен, а потому и суждение А, представляющее собою произведение, каждый из сомножителей которого всегда ложен, — всегда ложно. Поясним сказанное на примерах. Докажем, что суждение

всегда истинно. Сделаем первый шаг в преобразовании:

Сделаем второй шаг:

Далее, пользуясь равносильностью (7), перемножим полученные нами суммы. Мы получим:

Так как в каждое из произведений, служащих в этой сумме слагаемыми, входит по крайней мере одна пара противоречащих друг другу суждений — сомножителей X и X или Y и К, то вся сумма всегда истинна. Следовательно, суждение (*«-> Y)&(X VV Y) всегда истинно.

В качестве второго примера докажем, что суждение (Х+-+ Y)(X V V У) всегда ложно. Сделаем первый шаг:

Сделаем второй шаг:

Для третьего шага воспользуемся равносильностью (10). Мы получим:

Последнее произведение, очевидно, всегда ложно, так как каждый из его сомножителей представляет собой сумму, в которую входит одна из двух пар слагаемых Х&Х или К& К, и, следовательно, всегда ложен.

Задача 71. Показать, что суждение (X Y) 8с ( X V V К) всегда ложно.

Задача 72. Показать, что суждение (Х<-> Y) (X V V У) всегда истинно.

Пользуясь тем, что суждения вида XX всегда истинны, а суждения вида *& X всегда ложны, можно упрощать некоторые сложные суждения. Именно легко видеть, что

(18)

и

(19)

Действительно, так как суждение Xt&Xt всегда ложно, то для истинности суждения (Хх & Хх) ХгХг ... Хп необходимо и достаточно, чтобы хотя одно из суждений Х2,

Xs, .... Xn было истинно, т. е. необходимо и достаточно, чтобы произведение Х2Х3 ... Хп было истинно. Аналогично доказывается равносильность (19).

Содержание равносильностей (18) и (19) можно словами выразить так:

Правило III. В логическом произведении можно опустить (или к логическому произведению можно присоединить) множители, представляющие собой сумму, в которую входят два противоречащих друг другу суждения.

Правило IV. В логической сумме можно опустить (или к логической сумме можно присоединить) слагаемые, представляющие собой произведения, в которые входят два противоречащих друг другу суждения.

Приведем пример подобных упрощений:

Х<-+ Y^XY&XY^(X&X)(X8l Y)(Y&X)(Y&Y). В силу правила III имеем:

Х*-+ Y^(Xk Y)(X& Y). (15)

Смысл этой равносильности ясен. Суждение «если четырехугольник ABCD параллелограмм, то его диагонали взаимно делятся пополам, и наоборот, если диагонали четырехугольника ABCD взаимно делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом» равносильно суждению «четырехугольник ABCD является параллелограммом и его диагонали взаимно делятся пополам, или четырехугольник ABCD не является параллелограммом и (тогда) его диагонали не делятся взаимно пополам».

Аналогичным образом можно преобразовать равносильность

X VV Y^(X& Y)(X&Y)^XX&XY& YX&YY.

В силу правила IV имеем:

XVV Y^XYScXY. (16)

Примеры этого параграфа наводят нас на мысль, что между суждениями Х+-+ Y н Х\/\/ Y должна существовать какая-то очень простая связь. Действительно,

х\/у Y^X^TV.

Эту равносильность я предлагаю проверить читателю.

Задача 73. Показать, что

Задача 74. Показать, что

Задача 75. Показать, что

Задача 76. Показать, что

Задача 77. Показать что

§ 21. Суждения о свойствах

До сих пор при анализе суждений нас интересовал только один вопрос — вопрос об истинности сложного суждения. При этом мы предполагали, что на вопрос об истинности некоторых (или всех, или ни одного) из простых суждений, входящих в состав этого сложного суждения, мы как-то ответить умеем. Как получался ответ на этот вопрос для простых суждений, это нас до сих пор не интересовало. Сейчас мы перейдем к более детальному анализу простых суждений.

Рассмотрим несколько суждений: 1) Точка Л является вершиной прямоугольника, нанесенного на черт. 23 этой книги. 2) Четырехугольник ABCD, помещенный на черт. 24 этой книги, есть параллелограмм. 3) Число 47 514 делится (нацело) на 3.

В первом примере речь идет о вполне определенной точке Л, причем утверждается, что она является вершиной прямоугольника, нанесенного на черт. 23 этой книги, т. е. что эта точка принадлежит множеству вершин указанного прямоугольника. Это множество образовано следующим образом: из множества всех точек выделено новое множество, составляющее часть (подмножество) первого множества, — множество вершин прямоугольника, нанесенного на черт. 23. Это новое множество конечно: оно состоит из четырех точек, указанных на стр. 114 и составляющих его элементы. Эти точки можно перечислить: точка Л, точка В, точка С, точка D. Суждение «точка Л является вершиной прямоугольника, нанесенного на черт, 23 этой книги» означает, что, перечисляя (или указывая) все точки нашего конечного множества (все вершины прямоугольника, нанесенного на черт. 23), мы должны упомянуть точку Л. Это суждение истинно. Суждение «точка К есть вершина указанного прямоугольника» ложно, потому что точка К не упоминается при перечислении (не указывается при показе) вершин этого прямоугольника, т. е. не принадлежит к нашему конечному множеству.

Перейдем теперь ко второму примеру: «четырехугольник ABCD, помещенный на черт. 24 этой книги, есть параллелограмм», т. е. принадлежит к множеству параллелограммов. Мы можем опять повторить предыдущий анализ. У нас имеется множество четырехугольников; из этого множества выделена часть, а именно: множество (лучше сказать подмножество) параллелограммов. Наше суждение утверждает, что вполне определенный четырехугольник ABCD принадлежит к выделенному нами множеству. До сих пор анализ этого суждения вполне походил на анализ предыдущего. Остается сейчас только одно — определить, действительно ли принадлежит четырехугольник ABCD к множеству параллелограммов. Но в этом-то пункте между вторым и первым примером глубокая разница. В то время как в первом примере множество вершин прямоугольников конечно, множество параллелограммов бесконечно. Все элементы конечного множества, по крайней мере теоретически, можно перечислить (указать). Перечислить все элементы бесконечного множества, например, перечислить все параллелограммы, невозможно. Точку А% если она принадлежит к множеству вершин прямоугольника, изображенного на черт. 24, мы можем найти в списке элементов этого множества; такой список составить можно. Искать четырехугольник ABCD в списке всех параллелограммов бессмысленно, так как такой список составить невозможно. На основании какого критерия можно в таком случае судить о том, принадлежит ли тот или иной элемент некоторого множества (например, множества четырехугольников) к вполне определенному его подмножеству (подмножеству параллелограммов)? Как мы видели в § 4, таким критерием служат некоторые вполне определенные свойства интересующего нас подмножества. Например, свойством, выделяющим подмножество параллелограммов из множества всех четырехугольников, является равенство его противоположных сторон. Поэтому, чтобы ответить на интересующий нас вопрос, достаточно проверить каким-либо образом (например, путем рассуждений — доказательств), что противоположные стороны четырехугольника ABCD равны.

Заметим следующее: мы разделили множество всех четырехугольников, на две части: на подмножество четырехугольников, обладающих некоторым свойством а (равенством противоположных сторон), — подмножество параллелограммов, и подмножество, не обладающее свойством а, — подмножество непараллелограммов. Всякий четырехугольник

должен непременно принадлежать к одному из этих двух подмножеств. Поэтому суждение «четырехугольник ABCD (вполне определенный четырехугольник, например указанный на такой-то странице такой-то книги) есть параллелограмм» может быть либо истинным, либо ложным. Неопределенным оно быть не может.

Перейдем теперь к третьему примеру: «число 47 514 делится (нацело) на 3». Это суждение можно сформулировать так: «число 47 514 принадлежит к множеству целых чисел, делящихся (нацело) на 3». Конструкция данного примера отличается от конструкции предыдущего только тем, что в данном примере множество чисел, к которому принадлежит число 47 514, не названо, а указано свойством, характеризующим его элементы — свойством делиться нацело на 3.

Все суждения в рассмотренных нами примерах сводились к следующему: в каждом из них утверждалось, что некоторый конкретный объект а принадлежит некоторому множеству В. Мы это суждение условились записывать так: а£В. Таким образом, суждение, которое мы до сих пор записывали одной буквой, теперь будем записывать сложным знаком а£В.

Как уже известно читателю, под суждением, противоречащим суждению X, понимается суждение ложное, когда суждение X истинно, и истинное, когда суждение X ложно. Если суждением X является суждение а£В, то противоречащим ему суждением будет а £ В, т. е. суждение «объект а не является элементом множества В». Если для каждого объекта а из той области объектов, которая имеется в виду в данном контексте, верно хотя бы одно из двух противоречащих суждений: «объект а есть элемент множества В» (т. е. а£Я), «объект а не есть элемент множества В» (т. е. а£В), то все элементы рассматриваемой области объектов могут быть разбиты на два множества: множество В и множество Б (называемое дополнением к В). Например, пусть область объектов состоит из плоских геометрических фигур. Тогда, если под В мы будем понимать множество параллелограммов, то под В следует понимать множество «непараллелограммов», которое состоит из плоских геометрических фигур, не являющихся параллелограммами. (При этом предполагается, что множество плоских геометрических фигур достаточно хорошо определено.) Очевидно, что в этом случае

суждение «объект а не принадлежит множеству Б» равносильно суждению «объект а принадлежит множеству В», т. е.:

а£В^а£В. (20)

Если же область, объектов не уточнена, то нет смысла говорить о множестве В. В этом случае, например, вопрос о том, является ли абстракция параллелограммом, теряет осмысленный характер.

[Анализ простых суждений можно провести и иначе, прибегая к понятию свойства. Из того, что говорилось выше в § 4 о множествах и свойствах, с очевидностью следует, что суждение о принадлежности объекта а множеству В (или об исключении его из этого множества) можно рассматривать как суждение о принадлежности свойства. Именно вместо того, чтобы говорить: «объект а принадлежит множеству В» можно сказать: «объект а имеет свойство ß» (где ß — свойство, определяющее множество В"}, а вместо суждения «объект а не принадлежит множеству В» можно говорить: «объект а не имеет свойства ß». Наличие у предмета а свойства ß принято в математической логике выражать формулой ß (a), a отсутствие у а свойства ß — обозначать формулой ß(a).J

Рассмотрим теперь суждение: «вокруг прямоугольника можно описать окружность». Это суждение можно сформулировать так: «все прямоугольники принадлежат к множеству четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность». Это суждение несколько отличается от предыдущих. В предыдущих суждениях речь шла об индивидуальных объектах: четырехугольнике ABCD, числе 3. Об этих объектах утверждалось, что они принадлежат к тому или иному множеству (включены в то или иное множество). В этом примере речь идет не об индивидуальных предметах, а о целом множестве предметов — о множестве всех прямоугольников. В рассматриваемом суждении утверждается, что это множество принадлежит множеству четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность, т. е. в этом суждении идет речь о включении одного множества в другое. Такие суждения мы в главе I условились записывать так: А с В. В множество В включается не

отдельный индивид, а целое множество. Вопрос о включении одного множества или его части в другое множество тесно связан с вопросом об употреблении слов «все» и «существует», которым мы и посвятим следующий параграф.

§ 22. «Все» и «существует»

Рассмотрим суждение: «все углы правильного шестиугольника KLMNOP тупые». Это суждение равносильно следующему сложному суждению:

«угол К тупой (т. е. принадлежит множеству тупых углов).

и угол L тупой,

и угол M тупой,

и угол N тупой,

и угол О тупой,

и угол Р тупой».

Если рассматриваемые объекты: угол К, угол Z,, .... угол Р — обозначить соответственно буквами alt а2, ... , а6, а множество тупых углов — буквой Т, то наше суждение можем записать так:

аг£ Т&а2£Т&а3£ Т&а^Т&а^^Т&а^Т1).

Условимся коротко это суждение записывать в виде формулы

(Все а) (а £ Г),

которую будем читать: «все объекты а входят в множество 7» или «для всех объектов а справедливо, что а есть элемент множества 7». Под а без индекса мы понимаем здесь один из углов (любой) шестиугольника KLMNOP. Итак, по определению

(Все а)(аСГ)^я1£Г&а2£7&а3£7&

&а4£Г&а5£Г&аб(:7\ (21)

Рассмотрим теперь другое суждение: «один (точнее, по крайней мере один) из углов выпуклого шестиугольника

1) Формулы вида дх £ В 8с д2 £ В и аг^В\/ а^^В следует рассматривать как формулы (at £ В) & (а2 € В) и (а± £ В) V (#2 è В), в которых опущены скобки, заключающие в себе выражения, связываемые знаками 8с и \Л

KLMNOP тупой». Это суждение можно заменить следующим сложным суждением:

«или угол К тупой (принадлежит к множеству тупых углов),

или угол L тупой,

или угол Р тупой»

(или здесь по смыслу одинарное). Это суждение можно записать символически так:

Ь&Т V Ь2£Т V Ьг£Т V Ь4£Т V ЬЬ£Т V £6£ Т.

Суждение «один из углов выпуклого шестиугольника KLMNOP тупой» можно также сформулировать несколько иначе: «среди углов выпуклого шестиугольника KLMNOP существует (по крайней мере один) тупой угол». Поэтому для сложного суждения

ЬСтуь2$т Vьг£т Vь^т Vь&т V ь^т

вводят краткое обозначение:

(Сущ. b)(b£T).

которое читается: «есть такой объект Ь, который входит в множество Г» или «существует такой объект Ь% для которого справедливо, что он является элементом множества Г». Итак,

(Сущ. b)(b€T)+Ezbx€T\J b2£TV ЬЪ£Т'V b4£T V

V ЬЪ£Т\/ Ь^Т. (22)

Разберем таким же образом третье суждение: «не все углы выпуклого четырехугольника KLMN острые». Его мы кратко будем обозначать так: (Все c)(c£S). Заметив, что это суждение противоречит суждению «все углы выпуклого четырехугольника KLMN острые», мы, аналогично предыдущему, напишем:

(Все c)(c£S)^c1€S&c2Ç:S&lc3Ç:S&c4Ç:S. (23)'

Наконец, суждение «среди углов прямоугольника KLMN нет острых углов» или, иначе говоря, «среди углов прямо-

угольника KLMN не существует острых углов» мы будем коротко обозначать так: (Сущ. d)(d£S). Легко видеть, что

(Сущ. WÇty^diÇSV d2£S\/ d3£S\/ d4£S. (24)

Исследуем здесь более внимательно взаимоотношение между четырьмя понятиями: все а, существует а, не все а, не существует а. Положим, что число элементов множества А конечно, например, равно п. Тогда из самого смысла слов: все, не все, существует, не существует — следует (и это было иллюстрировано на предыдущих примерах), что

(21)

(23) (22)

(24)

Эти равносильности по существу являются определением слов: все, не все, существуют, не существуют.

Воспользуемся теперь равносильностями (8а), (9а) и (20) и преобразуем суждения (21), (22), (23) и (24). Мы будем иметь:

Итак, мы нашли, что

(25) (26) (27)

(28)

В качестве примеров мы рассмотрим те четыре суждения, которые были приведены в начале этого параграфа. Их можно, в соответствии с равносильностями (25), (26), (27) и (28), заменить следующими суждениями:

1) Среди углов правильного шестиугольника (KLMNOP) не существует ни одного нетупого (острого или прямого) угла.

2) Не все углы выпуклого шестиугольника (KLMNOP) нетупые (острые или прямые).

3) Среди углов выпуклого четырехугольника имеется по крайней мере один неострый (прямой или тупой) угол.

4) Все углы прямоугольника неострые (прямые или тупые).

Мне хотелось бы подчеркнуть разницу между терминами: существует и не все. Согласно определению (равносильность (22)) суждение (Сущ. а)(а£В) противоречит суждению (Сущ. а)(а£В), а следовательно, и (Все û)(a Ç В); но суждение (Сущ. а)(а£В) не противоречит суждению (Все а)(а £ В), т. е. для одних множеств А \\ В истинны как суждение (Сущ. а)(а£В), так и суждение (Все а)(аСБ), для других множеств справедливо только суждение (Сущ. а)(а£В). Например, суждение «среди углов квадрата имеются прямые углы» истинно, так же как и суждение «все углы квадрата прямые». Суждение «в параллелограмме, диагонали которого не равны друг другу, существуют острые углы» истинно; однако суждение «все углы параллелограмма, диагонали которого не равны друг другу, острые» ложно. Суждение (Все а) (а £ В) противоречит суждению (Сущ. а)(а£В), но не противоречит суждению (Сущ. а)(а£В). Например, суждение: «не все углы правильного треугольника прямые» и суждение «среди углов правильного треугольника не существует прямых углов» оба истинны.

Мне хотелось бы обратить внимание читателя на двусмысленность слова все; в иных фразах оно является синонимом слов каждый.

любой. Такой смысл оно имеет в фразе «все числа, оканчивающиеся (в десятичной системе) пятеркой или нулем, делятся на 5». Это суждение можно заменить следующим: «каждое (любое) число, оканчивающееся пятеркой или нулем, делится на 5». В других фразах, как, например, в фразе «множество всех чисел бесконечно», слово все имеет совсем другой смысл; здесь слово все означает совокупность всех чисел. В этих случаях слово все нельзя заменить словом каждый (или любой). Фраза «множество каждых (или любых) чисел бесконечно» бессмысленна.

Мы до сих пор рассматривали случай конечных множеств А (ср. стр. 106). Для них мы вывели соотношения (25), (26), (27) и (28). Эти соотношения мы распространяем также и на бесконечные множества. Однако справедливость этих равносильностей для бесконечных множеств мы не доказываем, а принимаем за аксиомы.

[Остановимся на этом более подробно. В предыдущем рассмотрении роль конечного множества А, в зависимости от примера, играло или множество углов правильного шестиугольника, или множество углов выпуклого шестиугольника, или множество углов выпуклого четырехугольника, или множество углов прямоугольника. В самом деле, вернемся к примеру, с которого мы начали этот параграф. Суждение «все углы правильного шестиугольника KLMNOP тупые» записывалось нами в виде формулы (Все а)(а£Т). Выражение (Все а), составляющее часть этой формулы и называемое в математической логике квантором общности, имеет в виду элементы множества А, т. е. в данном случае — шесть углов правильного шестиугольника. Но если множество тупых углов (Т) прямо фигурирует в формуле, то множество А в ней непосредственно не указано. Однако знание того, что речь в формуле идет об углах правильного шестиугольника, необходимо для ее правильного понимания; это знание является условием того, чтобы мы «узнали» в формуле наше суждение. Таким образом, при данном способе символизации нашего суждения множество А (углы правильного шестиугольника) выступает в качестве той области объектов, в рамках которой рассматривается (имеет смысл) это суждение. Суждения «по крайней мере один из углов выпуклого шестиугольника KLMNOP тупой», «не все углы выпуклого четырехугольника KLMN острые» и «среди углов прямоугольника KLMN нет острых углов» рассматриваются каждое уже в иной области объектов. Так, для первого из названных выше суждений, которое мы представляли формулой (Сущ. b)(b£T), выражение (Сущ. Ь),

называемое квантором существования1), относится к области предметов, состоящей из шести углов выпуклого шестиугольника KLMNOP.

Можно, однако, понимать наши суждения как относящиеся к одной и той же более широкой области объектов. Эта область может быть бесконечной. Так, за нее можно принять множество плоских геометрических фигур. При этом условии указанные выше суждения будут выражаться формулами:

где А— множество углов правильного шестиугольника KLMNOP, В — множество углов выпуклого шестиугольника KLMNOP, С — множество углов выпуклого четырехугольника KLMN и D — множество углов прямоугольника KLMN, а Г и S обозначают соответственно множества тупых и острых углов. Эти формулы читаются: первая — «для любого объекта а (рассматриваемой области) верно, что если он есть элемент множества А, то он есть и элемент множества Ту>, вторая — «существует такой объект а, что он входит как элемент и во множество В, и во множество Г», третья—«не для всякого объекта а верно, что если он есть элемент множества С, то он есть и элемент множества 5», четвертая — «не существует объекта а, который был бы как элементом множества D, так и элементом множества 5». Кванторы (Все а) и (Сущ. а) распространяются на предметы из указанной выше бесконечной области объектов — плоских геометрических фигур. При данной символизации наших суждений множества А% Б, С и D фигурируют в самих формулах.

Как и в случае простых суждений, символизацию суждений, содержащих слова: все, не все, некоторые, существует, не существует, всякий, каждый и др., можно провести,

1) [В математической логике кванторы обозначаются по-разному. Наиболее употребительным обозначением для квантора общности является символ \fa (hjjh \/b, V*, Vy и т. д.), а для квантора существования — За (или ЗЬ, 3* и т. д.). Используя эти знаки, мы можем переписать наши формулы в виде V* (х £ Т), Эу (у € S), Va (а £ С -> а £ S) и т. д.]

используя понятие свойства. Как нетрудно сообразить, нашим суждениям в этом случае будут соответствовать формулы:

где а, ß, у и о — свойства, определяющие множества Л, В, С и D, а ср и ф — свойства, определяющие множества Т и S.

Выведенные выше правила образования противоречащих суждений для выражений с кванторами легко применяются и к этому способу символизации суждений, и мы предоставляем читателю самостоятельно поупражняться в этом.

Раздел математической логики, в котором оперируют с кванторами, называется обычно исчислением предикатов. Исчисление предикатов (или, лучше сказать, исчисления предикатов, так как исчисление с кванторами можно строить разными способами) представляет собой весьма важную часть математической логики.]

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В ТЕКСТЕ

1. Объектом исследования являются два угла в треугольнике при условии, что третий угол этого треугольника прямой. Заключение: указанные углы острые.

2. Объектом исследования являются вписанные углы при условии, что они опираются на одну и ту же дугу. Заключение: углы эти равны.

3. Чтобы яснее выделить условие и следствие в этой теореме, изменим несколько ее формулировку: «если треугольник прямоугольный, то квадрат его стороны, лежащей против прямого угла (гипотенузы), равен сумме квадратов двух других сторон (катетов)». Объектом исследования являются длины трех отрезков при условии, что эти отрезки являются сторонами прямоугольного треугольника.

4. Объектом исследования служит сумма двух целых чисел при условии, что произведение этих чисел нечетное. Заключение: рассматриваемая сумма чисел четная.

5. Объектом исследования служат два числа при условии, что: 1) рассматриваемые числа четные, 2) разность рассматриваемых чисел равна 2 (эти числа суть последовательные четные числа). Заключение: произведение таких чисел делится на 8.

6. В данном случае мы имеем три теоремы, имеющие общее условие и разные заключения. Все эти три теоремы объединены в одной фразе. Чтобы уяснить себе этот факт, достаточно несколько изменить формулировку теоремы: «если числа а и b суть два последовательных натуральных числа, то: 1) с& — № и 2) а?-\-Ьъ суть числа нечетные, а 3) аЧ* — число четное, притом делящееся на 4».

7. Меняем формулировку теоремы: «если рассматриваемая фигура является треугольником, то в ней каждая сторона меньше суммы двух других сторон, но больше их разности». Объектами исследования в этой, как и в 3-й задаче, являются длины отрезков. Заключений в этой задаче шесть: любая сторона меньше суммы двух других сторон (три заключения), но больше их разности (еще три заключения).

8. У прямоугольника противоположные стороны параллельны и равны, все четыре угла прямые, диагонали равны и, пересекаясь взаимно делятся пополам; площадь прямоугольника равна произведению двух соседних его сторон; около прямоугольника можно описать окружность; прямоугольник имеет две оси симметрии.

Аналогичным образом можно перечислить свойства ромба и квадрата. Обращаю внимание читателей только на два свойства ромба (а следовательно, и квадрата), которые при изучении геометрии обычно мало подчеркиваются: в ромб можно вписать окружность, и площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

9. Следует: квадрат есть вид ромба, и, следовательно, он обладает всеми свойствами ромба. Поэтому слова «и квадрат» излишни.

10. Разностью между множеством пар прямых в пространстве и множеством пар параллельных прямых является сумма двух, не имеющих общих элементов, множеств: множества пар пересекающихся прямых и множества пар скрещивающихся (т. е. не лежащих в одной плоскости) прямых. Отсюда следует, что на вопрос задачи следует дать отрицательный ответ.

11. Действительные числа делятся, с одной стороны, на положительные, отрицательные и нуль (схема 2). С другой стороны, действительные числа можно разделить на рациональные числа (определение рациональных чисел см. в подстрочном примечании на стр. 22) и иррациональные числа (т. е. не рациональные числа). Наконец, действительные числа можно разделить на два таких класса: 1) алгебраические числа, т. е. числа, могущие служить корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, и 2) трансцендентные числа.

Все трансцендентные числа иррациональны. Алгебраические числа могут быть как иррациональными (например, 1 — У*2, служащее корнем уравнения — 2х—1 = 0), так и рациональными (например,—1, служащее корнем уравнения*3 — 4х* -f- х -f- 6 = 0). Последние две классификации действительных чисел указаны на схеме 3. Обе схемы можно объединить в одной фигурной схеме (черт. 20). На ней серой краской закрашены отрицательные числа: положительные числа не закрашены. Трансцендентные и алгебраи-

Схема 2.

Схема 3.

ческие числа покрыты косыми штрихами различного направления; рациональные числа покрыты горизонтальными штрихами, иррациональные — вертикальными.

Черт. 20.

13. Четырехугольник, диагонали которого взаимно делятся пополам, есть параллелограмм.

14. Четырехугольник, углы которого делятся его диагоналями пополам, есть ромб.

Доказательство: ДЛ£С = £±ADC (черт. 21), так как zBAO = = ZDAO, zBCO = ZDCO и AC — общая сторона этих треугольников. Следовательно, AB = AD и ВС = CD. Рассматривая треугольники BAD и BCD, докажем, что AB = ВС и AD = DC. Таким образом, все стороны четырехугольника равны, т. е. этот четырехугольник — ромб.

15. Если сумма цифр некоторого числа (написанного по десятичной системе) делится на 9, то и само число делится на 9.

16. Треугольник, у которого квадрат одной из сторон равен сумме квадратов двух других сторон, должен быть прямоугольным.

17. Теорема (обратная указанной в задаче) «если в треугольнике два угла острые, то третий угол тупой или прямой» не верна, так как существуют треугольники, у которых все три угла острые, например равносторонний треугольник.

18. Построим четырехугольник следующим образом. Построим прямоугольный треугольник ABD и соединим точку А с какой-либо точкой О, лежащей на стороне BD и не совпадающей с серединой отрезка BD (черт. 22). На прямой АО отложим отрезок АС= = BD. В четырехугольнике ABCD угол BAD прямой и диагонали

Черт. 21.

равны. Однако этот четырехугольник не прямоугольник. Действительно, диагонали этого четырехугольника при пересечении не делятся пополам, а следовательно, этот четырехугольник не параллелограмм; тем более он не может быть прямоугольником.

19. а) Теорема (обратная) «вписанные в одну и ту же окружность равные углы опираются на одну и ту же дугу» не верна, так как эти углы могут опираться на равные, но разные дуги.

б) Теорема (обратная) «если сумма двух чисел есть число четное, то их произведение есть число нечетное» не верна. Действительно, 2-|-4 — четное число, но 2X4 — также число четное.

20. Трапеция, у которой боковые стороны параллельны, есть, по определению, параллелограмм. У такой трапеции, как известно, основания равны. Теорема, обратная этой, гласит: «трапеция, у которой основания равны, есть параллелограмм». В условии задачи речь идет об этой последней теореме, но сформулирована она несколько иначе.

21. Если сформулировать обратную теорему так: «четырехугольник, диагонали которого равны, есть прямоугольник» (т. е. если множество четырехугольников с равными диагоналями выделить из множества всех четырехугольников), то эта теорема будет не верна. Действительно, легко построить четырехугольник с равными диагоналями, не* являющийся прямоугольником. Это было нами сделано в задаче 18. Однако обратную теорему можно сформулировать несколько иначе: «если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм есть прямоугольник». В этом случае мы из множества параллелограммов выделяем параллелограммы с равными диагоналями и утверждаем, что они являются прямоугольниками, т. е. утверждаем, что четырехугольники, обладающие 1) всеми свойствами параллелограммов и 2) равными диагоналями, суть прямоугольники. Эта теорема верна. Докажем ее. Пусть ABCD (черт. 23) является параллелограммом с равными диагоналями. Д ABC = Д ABDt так как сторона AB у них общая, AD = ВС, как противоположные стороны параллелограмма, а АС *= BD по условию. Поэтому / DAB = ABC. Но, с другой стороны, / DÄB + + £ ABC = 180°, так как AD\\BC. Следовательно, Z = 90°, т. е. четырехугольник ABCD является прямоугольником.

22. Имеют место следующие теоремы:

1) «Трапеция, одна из диагоналей которой делит другую пополам, является параллелограммом» (черт. 24).

Дано ВС\\Аи и ВО = OD; £ CAD = £ АСВ, как накрест лежащие при параллельных; ^ ВОС = ^ AODt как вертикальные. Сле-

Черт. 22.

Черт. 23.

довательно, четырехугольник ABCD, у которого противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом.

2) «У равнобочной трапеции диагонали равны» (черт. 25).

Действительно: / ADC = BAD, как углы при основании равнобочной трапеции; AB = CD, как непараллельные стороны равнобочной трапеции. Так как, кроме того, AD — общая сторона в треугольниках ABD и ACD, то эти треугольники равны, и, следовательно, АС = BD.

3) «Трапеция, у которой диагонали равны, является равнобочной» (черт. 25).

Действительно, легко убедиться, что из равенства диагоналей этой трапеции следует равенство треугольников ABD и ACD. Из равенства этих треугольников следует, что BAD = CDA. Следовательно, трапеция ABCD, углы при основании которой равны друг другу, является равнобочной трапецией.

Черт. 24. Черт. 25.

4) «Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником».

5) «Равнобочная трапеция, у которой одна из диагоналей делит другую пополам, является прямоугольником». Эта теорема является следствием теорем 1-й и 4-й.

6) «Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом».

7) «Параллелограмм, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, является квадратом». Эта теорема является следствием теорем 4-й и 6-й.

О теоремах 4-й и 6-й мы достаточно много говорили в тексте и в других упражнениях. Поэтому они приводятся здесь без доказательств. Все эти теоремы иллюстрируются черт. 26.

Укажу также на ряд неверных теорем.

I. «Четырехугольник, у которого диагонали равны и взаимно перпендикулярны и, кроме того, одна из диагоналей делит другую пополам, является трапецией».

II. «Трапеция, у которой диагонали равны и взаимно перпендикулярны, является параллелограммом, т. е. одна из диагоналей этой трапеции делит другую пополам» (см. теорему 1).

III. «Прямоугольник есть квадрат, т. е. если у трапеции диагонали равны и одна из диагоналей делит другую пополам, то диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны».

IV. «Ромб есть квадрат, т. е. если у трапеции диагонали взаимно перпендикулярны и одна из диагоналей делит другую пополам, то диагонали этой трапеции равны».

Я предоставляю читателю самому убедиться в том, что эти теоремы неверны. Неверность этих теорем хорошо проиллюстрирована на черт. 26. Надо подчеркнуть еще одно обстоятельство. Мы рассматривали следующие четыре свойства четырехугольников: а) параллельность двух сторон (свойство трапеции), б) перпендикулярность диагоналей, в) равенство диагоналей, г) деление в точке пересечения диагоналей одной из них на две равные части. Неверность теорем I—IV означает, что ни одно из этих четырех свойств не является следствием трех остальных, т. е. что эти три свойства независимы.

Замечу еще также, что мы в данном случае имели классификацию трапеций на основании свойств их диагоналей. Обычная классификация трапеций основывается на свойствах сторон и углов трапеций. Мы видели (теоремы 1, 7), что между этими двумя классификациями можно установить связь.

23. Прямая и противоположная теоремы допускают в данном случае две формулировки, в зависимости от того, будем ли мы прямоугольник рассматривать как вид четырехугольника или как вид параллелограмма. В первом случае мы будем иметь:

Черт. 26.

Обратная теорема: «четырехугольник, около которого можно описать окружность, есть прямоугольник».

Противоположная теорема: «вокруг четырехугольника, который не является прямоугольником, нельзя описать окружность».

Обе эти теоремы не верны. Действительно, около четырехугольника, у которого два противоположных угла прямые, а два другие угла равны соответственно 150 и 30°, можно описать окружность, несмотря на то, что этот четырехугольник не является прямоугольником.

Во втором случае, т. е. если рассматривать четырехугольник как вид параллелограмма, обратная и противоположная теоремы будут гласить:

Обратная теорема: «если вокруг параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Противоположная теорема: «если вокруг параллелограмма нельзя описать окружность, то этот параллелограмм не является прямоугольником».

Обе эти теоремы верны.

Противоположная обратной теорема в первом случае гласит: «если вокруг четырехугольника нельзя описать окружность, то этот четырехугольник не может быть прямоугольником».

Во втором случае эта теорема формулируется так: «если вокруг параллелограмма нельзя описать окружность, то этот параллелограмм не может быть прямоугольником».

Обе эти теоремы верны. Заметим, что из справедливости первой из этих теорем автоматически следует справедливость второй. Действительно, если все четырехугольники обладают некоторым свойством а (нельзя около них описать окружность), то любой частный вид четырехугольников (в данном случае параллелограммы) должен обладать тем же свойством а.

24. Обратная теорема: «если число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3».

Противоположная теорема: «если сумма цифр некоторого числа не делится на 3, то и само число не делится на 3».

Противоположная обратной теорема: «если некоторое число не делится на 3, то и сумма его цифр не делится на 3».

Все эти теоремы верны.

25. Обратная теорема: «если один из корней квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 (афО) равен нулю, то его свободный член с также равен нулю».

Противоположная теорема: «если свободный член с квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 (афО) не равен нулю, то ни один из корней этого уравнения не может быть равен нулю».

Противоположная обратной теорема: «если ни один из корней квадратного уравнения ах2 -f- bx -f- с = 0 (афО) не равен нулю, то свободный член с этого уравнения также не равен нулю».

Все эти теоремы верны. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что свободный член квадратного уравнения ах2 + Ьх -\-+ с = 0 (афО) равен произведению корней этого уравнения.

26. Обратная теорема: «в ромб можно вписать окружность». Противоположная теорема: «если в четырехугольник нельзя вписать окружность, то этот четырехугольник не может быть ромбом».

Противоположная обратной теорема: «если четырехугольник не является ромбом, то в него нельзя вписать окружность».

Обратная и противоположная теоремы верны, прямая и противоположная обратной не верны.

28. Равносильность обратной и противоположной теорем можно иллюстрировать черт. 13 и 14 (стр. 39). Мы, однако, придадим теперь этим чертежам несколько иной смысл. Четырехугольник ABCD пусть по-прежнему соответствует всему множеству объектов R; четырехугольник AKLM, покрытый серой краской, — множеству объектов R, обладающих свойством ß (а не а, как это было на стр. 39); заштрихованный четырехугольник AK!Lr№ соответствует множеству объектов обладающих свойством а. На черт. 14 точки /С', L'', Лг сливаются с точками К, L, М. Черт. 14 соответствует тому случаю, когда прямая теорема «объект обладающий свойством а, обладает свойством ß» верна. Черт. 13 соответствует тому случаю, когда эта теорема не верна. Оба чертежа соответствуют тем случаям, когда обратная теорема «объект обладающий свойством ß, обладает также и свойством а» верна. Действительно, всякая площадка, лежащая внутри четырехугольника AKLM (эта площадка покрыта серой краской, обладает свойством ß), лежит внутри четырехугольника AK! V т' (т. е. заштрихована горизонтально, обладает свойством а). Эти чертежи соответствуют также и справедливости противоположной теоремы. Объектам, не обладающим свойством а, соответствует часть BCDM! U К! наших схем. Эта часть схем не заштрихована. Она не может быть также и закрашенной серым, так как она наверное должна лежать вне четырехугольника AKLM. Если взять чертеж, в котором серая часть выступает хотя бы частично за заштрихованную часть, то такой чертеж будет соответствовать неверности как обратной, так и противоположной теорем (черт. 27). Таким образом, обратная и противоположная теоремы либо обе одновременно верны, либо обе одновременно не верны, т. е. обратная и противоположная теоремы равносильны. Замечу, что это рассуждение есть по существу повторение сказанного на стр. 39—40.

29. О расстоянии хорд, о которых речь идет в задаче, от соответствующих центров на основании указанной теоремы ничего нельзя сказать, так как эти хорды проведены не в равных кругах. На основании теоремы Пифагора легко показать, что расстояния этих хорд от центров окружностей, в которых они проведены, равны.

30. Из неравенства AB ф А'В\ ВС ф В'С% CA ф CA ничего нельзя заключить о неравенстве или равенстве треугольников ABC и АВ'С. Эти треугольники при указанном условии могут быть и неравны, и равны. Последнее имеет место, например, в том случае, когда AB = В'С ф А'В\ ВС = С А' ф В'С, CA = А'В' ф CA'.

Черт. 27.

31. На основании данных этой задачи также невозможно ответить на вопрос «который час», как на основании условия задачи 30 невозможно было ответить на вопрос: «равны ли треугольники ЛВС и А'В'С'Ъ

32. Если прямая MN пересекает прямую AB и не пересекает прямую CD (т. е. если она параллельна этой прямой), то прямая CD не может быть параллельна прямой AB.

33. 1) Если две стороны треугольника не равны, то они не могут лежать против равных углов. 2) Если сторона AB треугольника ABC не больше (т. е. меньше или равна) стороны АС, то угол С, лежащий против стороны AB, не больше угла В, лежащего против стороны АС.

34. Если через вершины четырехугольника нельзя провести окружность, то сумма противолежащих углов в этом четырехугольнике не равна 180°.

35. Сделав при доказательстве неверной теоремы предположение, противное тому, которое в этой теореме требуется доказать, мы к противоречию никогда не придем. Убедимся в этом. Что означает утверждение, что теорема «если объект R обладает свойством а, то он обладает свойством ß» не верна? Это утверждение означает, что некоторые (или все) объекты R, обладающие свойством а, не обладают свойством ß. Поэтому, предположив, что некоторый объект R, не обладая свойством а, обладает свойством ß, мы в этом случае никак не сможем прийти к противоречию.

36. Данное уравнение с помощью элементарных преобразований можно заменить равносильным ему следующим уравнением:

или

Возведя обе части этого равенства в квадрат, найдем, что l-j-jf = 9 — 9х, т.е. что лг = 0,8. Таким образом, единственным решением уравнения (1) может быть 0,8. Однако число 0,8 уравнению (1) не удовлетворяет. Следовательно, уравнение (1) корней не имеет. Этот факт можно было заметить уже из самого вида уравнения (1).

Действительно, под корнем квадратным мы понимаем неотрицательное значение этого корня. Таким образом, левая часть уравнения (1) представляет собою сумму двух неотрицательных слагаемых, равную нулю в том и только в том случае, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Но 1 -f- х и 1 — х не могут быть одновременно (т. е. при одном и том же значении х) равны нулю.

37. При помощи рассуждений, аналогичных рассуждениям, проведенным в примере 3 на стр. 48, убеждаемся в том, что

и

38. Перепишем наше уравнение так:

Отсюда, как это было выяснено в примере 3 на стр. 49, следует, что

(2)

Заметим, однако, что не всякое значение tgjc, удовлетворяющее уравнению (2), удовлетворяет также и уравнению (1). Если при каком-либо аргументе величина ctg jc, равная некоторому целому числу, например k, удовлетворяет уравнению (2), то при этом значении х уравнение (1) не удовлетворяется, так как при таком значении ctg* правая часть уравнения обращается в tg ^ ~ — kn j, т. е. теряет смысл.

Если исключить из рассмотрения указанные значения л:, то все решения уравнения (1) будут также решениями уравнения (2), и наоборот. Перейдем к решению уравнения (2). После очевидных преобразований оно приведется к квадратному уравнению

(3)

Решая это уравнение, найдем, что

(4)

Для того чтобы выражение (4) представляло собою действительное число, необходимо и достаточно, чтобы (2л — I)2—16 > О, т. е. 5 3

Чтобы либо /2>y , либо Л <; — у.

Посмотрим теперь, при каких целых значениях л выражение (4) представляет собою целое число. Выражение (4) представляет собою целое число только в том случае, когда }f(2n— I)2— 16 есть целое число, т. е. когда (2л— I)2— 16 есть целое число. Итак, ищем пары целых чисел m = 2л — 1 и /, удовлетворяющих уравнению

m2—16 =/2 или m2 — /2 = 16.

Отсюда следует (так как | m | > | /1 ), что либо m — / = ±: 1 и m + / = itl6, либо m — / = ±2 и m + / = :± 8, либо m — / = ±4 и m -j-/ = zh4.

Легко убедиться, что имеются только две возможности: m == ± 5, т. е. л = 3 и л = — 2; при этом / = dz 3. При л = 3 (/ = —{— 3>

при л = — 2 (/ = — 3)

Итак, ответ:

где k принимает любые целые значения, an — все целые значения, за исключением следующих: —2, —1, 0, 1, 2, 3.

39. «Некоторые из учеников 6-го класса выше (ростом) учеников 8-го класса».

40. а) «В Белоруссии не существует ни одного города, который был бы южнее какого-либо грузинского города» или: «в Грузии нет ни одного города, который был бы севернее какого-либо города Белоруссии».

б) «Существуют узбекские города, которые расположены южнее некоторых городов Туркмении».

41. Число букв на одной странице книги не больше 10 000. Книг с числом страниц, превышающим 600, мы не будем рассматривать. Поэтому число «интересующих нас» книг, имеющих различное число букв, не может превышать 6 000 000. В Ленинской библиотеке в Москве более 6 000 000 «интересующих нас» книг с различным содержанием. Поэтому там должна быть не одна пара различных по содержанию книг, имеющих одинаковое число букв.

42. Предположим, что среди простых чисел имеется наибольшее. Пусть это число равно р. Число р\ -f-1 при делении на р и на любое простое число меньше р дает в остатке 1. Поэтому р\ -f-1 либо само должно быть простым числом, либо должно делиться на простое число, большее р. Итак, предположение, что некоторое число р является наибольшим из всех простых чисел, приводит нас к противоречию. Следовательно, среди простых чисел нет наибольшего.

43. а) «В одном и том же круге (или в равных кругах) равные хорды стягивают равные дуги и, обратно, равные дуги стягиваются равными хордами».

б) «В одном и том же круге (или в равных кругах) равные хорды равноудалены от центра и, обратно, хорды, равноудаленные от центра, равны».

44. а) «Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали, пересекаясь, делились пополам» или: «четырехугольник является параллелограммом в том и только в том случае, когда его диагонали, пересекаясь, делятся пополам».

б) «Для того чтобы число делилось на 9 (или на 3), необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9 (соответственно на 3)» или: «число делится на 9 (на 3) в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 9 (соответственно на 3)>.

в) «Для того чтобы один из углов треугольника был прямым, необходимо и достаточно, чтобы квадрат одной из его сторон был равен сумме квадратов двух других сторон» или: «один из углов треугольника равен 90° в том и только в том случае, когда квадрат одной из его сторон равен сумме квадратов двух других сторон».

г) «Для того чтобы четырехугольник был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы углы его делились диагоналями пополам» или: «четырехугольник является ромбом тогда и только тогда, когда углы его делятся диагоналями пополам».

д) «Для того чтобы квадратное уравнение ах* + Ьх + с = 0 (а Ф 0) имело корень, отличный от нуля, необходимо и достаточно,

Черт. 28.

чтобы его свободный член с не был равен нулю» или; «один из корней квадратного уравнения ах2 + Ьх -f- с = 0 (афО) равен нулю в том и только в том случае, когда свободный член равен нулю».

е) «Для того чтобы вокруг параллелограмма можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы этот параллелограмм был ромбом» или: «около параллелограмма можно описать окружность в том и только в том случае, когда этот параллелограмм является ромбом».

45. Указанное условие необходимо, т. е. если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, которую она делит пополам, то один из углов этого треугольника прямой.

Доказательство. Дано AD = DB и 2CD=*AB (черт. 28). На продолжении медианы CD отложим отрезок DE=*CD. Диагонали четырехугольника АСВЕ взаимно делятся пополам (AD = DB по условию, CD = DE по построению). Следовательно, этот четырехугольник является параллелограммом. В параллелограмме АСВЕ диагонали равны (CE = 2CD по построению, 2CD = AB по условию). Следовательно, этот параллелограмм является прямоугольником, а потому £ АСВ в треугольнике АСВ прямой.

Указанное условие достаточно, т. е. в прямоугольном треугольнике одна из медиан равна половине стороны, которую она делит пополам.

Доказательство. Дано: /_АСВ прямой. Проводим прямые АЕ\\СВ и ВЕ\\АС. Четырехугольник АСВЕ— прямоугольник. В нем диагонали равны и взаимно делятся пополам. Поэтому CD = —^- .

46. Указанное условие необходимо, т. е. в прямоугольном треугольнике угол, лежащий против катета, равного половине гипотенузы, равен 30°. Действительно, согласно условию АС = AD (черт. 29). Так как / АСВ = 90°, то CD = AD (см. задачу 45). Следовательно, треугольник ADC равносторонний, ^Л=60°, a Z.B = 90° — 60° = 30°.

Указанное условие достаточно, т. е. катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Действительно. / А = 90° — 30° = 60°. Так как £ ÄCD = / А (см. задачу 45), то ACD = 60° и, следовательно, ^ ADC = 60°, т. е. Д ADC равносторонний, а потому AC=AD = ^-.

48. Необходимо, но недостаточно.

49. Достаточно, но не необходимо.

50. Необходимо и достаточно.

Черт. 29.

51. Недостаточно, так как можно построить четырехугольник с равными диагоналями, который не был бы параллелограммом, и не необходимо, так как у параллелограмма, углы которого не равны 90°, диагонали не равны.

52. Для того чтобы множество С было суммой множеств А и В, необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент множества С входил в множество А или в множество В.

53. Доказательство этой теоремы состоит из доказательства двух теорем:

I. Любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла.

II. (Противоположная.) Расстояние любой точки, не лежащей на биссектрисе, до одной из сторон угла меньше (или больше), чем ее расстояние до другой стороны того же угла.

54. Геометрическим местом середин хорд, проходящих через данную точку М, лежащую внутри окружности с центром в точке О, является окружность, диаметром которой служит отрезок МО (черт. 30).

Докажем сначала прямую теорему: «Середина любой хорды, проходящей через данную точку М, лежит на окружности, диаметром которой служит отрезок МО».

Действительно, проведем через точку M какую-то хорду AB. Обозначим середину этой хорды буквой D. Прямая OD, проходящая через центр окружности и делящая хорду AB пополам, перпендикулярна к этой хорде. Проведем через точки О, M и D окружность. Так как угол MDO прямой, то МО является диаметром этой окружности. Тем самым теорема доказана.

Докажем теперь обратную теорему: «Любая хорда, проведенная через точку М, делится окружностью, для которой отрезок МО служит диаметром, пополам».

Действительно, пусть D — вторая точка пересечения хорды AB с окружностью, диаметром которой служит отрезок МО. Угол MDO, как опирающийся на диаметр, является прямым углом. Следовательно, прямая OD перпендикулярна хорде AB. Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит эту хорду пополам. Итак, хорда AB в точке D ее пересечения с окружностью делится пополам, что и требовалось доказать.

Примечание. Все наши рассуждения предполагали, что точка M не совпадает с точкой О. В случае совпадения точек M и О указанное геометрическое место точек вырождается, очевидно, в одну точку — центр окружности.

55. Возьмем две пересекающиеся прямые AB и CD (черт. 31). Точки, равноотстоящие от двух данных прямых, могут лежать внутри каждого из углов: Z. АОС, /_ СОВ, BOD и ^ DO А. Легко отсюда заключить, что искомым геометрическим местом точек является совокупность двух прямых PQ и RS, биссектрис углов,

Черт. 30.

образуемых заданными прямыми. Чтобы доказать это, надо доказать две теоремы:

а) Всякая точка, лежащая на одной из прямых PQ или RSt равноудалена от двух данных прямых AB и CD.

б) Всякая точка, равноудаленная от двух данных прямых AB и CD, должна лежать на одной из прямых PQ или RS.

Черт. 31.

56. Искомым геометрическим местом точек является совокупность двух прямых, параллельных данной и отстоящих от нее на расстоянии, равном г (черт. 32).

Черт. 32.

57. Две окружности, концентрические данной окружности. Радиусы этих окружностей равны R — г и /? + г, где R — радиус данной окружности.

58. Пусть N — точка (черт. 33), обладающая тем свойством, что касательные, проведенные из нее к двум данным окружностям, равны друг другу, т. е. NM = NM', а Р — одна из точек пересечения данных окружностей. Соединим прямой точки N и Р и точки пересечения прямой NP с окружностями обозначим буквами R и R'. Так как произведение секущей, проведенной из некоторой точки N, на ее внешнюю часть равно квадрату касательной, проведенной из точки N1), то

MN* = NP - NR. M'N* = NP • NR'.

Отсюда следует, что NR « NR't т. е. прямая NP проходит через вторую точку пересечения окружностей с центрами в точках О и О'.

1) Киселев, стр. 127—128, § 201.

Итак, все точки, обладающие тем свойством, что касательные, проведенные из них к двум данным пересекающимся окружностям, равны между собою, лежат на прямой, соединяющей точки пересечения этих двух окружностей (черт. 34). Мы предоставляем читателям самим убедиться в справедливости обратной теоремы: «если из какой-либо точки прямой PR (соединяющей точки пересечения двух данных окружностей) провести касательные к этим окружностям, то эти касательные равны между собой».

Отсюда надо было, казалось, сделать такое заключение: искомым геометрическим местом точек является прямая PR. Однако это заключение неверно. Обратная теорема гласит: «если из какой-либо точки прямой PR провести касательные к данным окружностям, то эти касательные равны». Эта теорема справедлива только для тех точек прямой PR, из которых можно провести касательные

Черт. 33.

Черт. 34.

к данным окружностям, т. е. для точек лучей PN и RS. Следовательно, искомым геометрическим местом точек является совокупность лучей PN и RS, или, другими словами, прямая PR без внутренних точек отрезка PR.

59. Искомым геометрическим местом точек является прямая ОР, из которой исключены две точки: О и Р.

60. Геометрическим местом точек, из которых данная окружность видна под данным углом а, является окружность, концентрическая данной и проходящая через одну из точек, из которых данная окружность видна под углом о.

61. На плоскости геометрическим местом точек, из которых данный отрезок AB виден под данным углом а, является совокупность двух дуг окружностей, проходящих через точки А и В; одна из этих дуг проходит через какую-либо точку М, из которой отрезок AB виден под углом а, и находится по ту же сторону от отрезка AB, что и точка M, а другая дуга симметрична первой относительно прямой АВ\ сами точки А и В в это геометрическое место точек не входят.

В пространстве геометрическим местом точек, из которых данный отрезок AB виден под данным углом а, является поверхность, образуемая вращением указанной выше дуги АМВ вокруг прямой AB; и в пространстве в это геометрическое место точек точки А и В не входят.

62. Соединим середину К хорды AB с центром О окружности (черт. 35); ОКА.АВ, а потому OK есть расстояние от центра О до середины хорды AB. Так как все равные хорды, проведенные в данной окружности, равноудалены от центра, то искомым геометрическим местом точек является геометрическое место точек, расстояния которых от центра О равны OK, т. е. окружность с центром в точке О и радиусом, равным OK

Черт. 35. Черт. 36.

При решении этой задачи и подобных ей задач мы сводим вопрос оО искомом геометрическом месте к вопросу об уже известном (по определению или в силу предыдущих теорем) геометрическом месте точек.

63. Соединяем вершину прямого угла С с серединой D отрезка AB (черт. 36); CD = = а (см. задачу 45), а потому иско-

Черт. 37.

мым геометрическим местом точек является дуга окружности радиуса а с центром в точке С, лежащая внутри угла /_ MCN.

64. Точка С, служащая основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую MB, является вершиной прямого угла в треугольнике ABC (черт. 37). Таким образом, отыскивается геометрическое место вершин прямых углов в треугольниках, у которых гипотенузой служит данный отрезок AB. Таковым геометрическим местом точек является, как известно, окружность, диаметром которой служит отрезок AB.

65. Искомым геометрическим местом точек является окружность с центром в середине отрезка AB и радиусом, равным высоте равнобедренного треугольника, у которого основанием служит отрезок AB, а боковые стороны равны а. Для доказательства этого положения воспользуйтесь теоремой: «сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей»1).

66. Обратные теоремы: во всяком треугольнике: 1) против большего угла лежит большая сторона, 2) против равных углов лежат равные стороны, 3) против меньшего угла лежит меньшая сторона. Доказывать эти теоремы не надо, так как из трех суждений: /_ Л > В, £ А= £ В, Z.A^/.B — справедливым должно быть одно и только одно.

67. В одном и том же круге (или в равных кругах): 1) хорда, находящаяся ближе к центру, больше; 2) хорды, равноотстоящие от центра, равны друг другу; 3) хорда, находящаяся дальше от центра, меньше. Эти теоремы доказывать не надо, так как из трех суждений: первая хорда ближе к центру, чем вторая; первая хорда находится на том же расстоянии от центра, что и вторая; первая хорда дальше от центра, чем вторая, — справедливо одно и только одно.

68. Если в произведении ab число я>0 и 1) ab^>0, то £>0, 2) ab = 0, то b = 0, 3) ab < 0, то b < 0. Обратную теорему доказывать не надо, так как любое (действительное) число должно быть либо положительным, либо отрицательным, либо равным нулю.

1) Киселев, стр. 126, § 197.

так как суждения Х&Х и Y& Y всегда ложны, то и суждение (X*-+Y)&(X\J\/Y) всегда ложно.

72.

Каждое из слагаемых, из которых состоит эта последняя сумма, представляет собой произведение, в которое входит по крайней мере одна пара противоречащих друг другу сомножителей. Поэтому каждое из слагаемых этой суммы, а следовательно, и вся сумма всегда истинны.

73. 1-й способ. Пользуясь формулами (10) и правилом III, мы получим:

2-й способ. Пользуясь правилом IV и формулой (7):

Так как X«e>K^XVV^ то, очевидно, суждение (X*-+Y)&(X\/\/Y) всегда ложно, т. к. (X у у Y) & (Xу у Y) всегда ложно, а (Х-*->К) равносильно (Л"УУК), а суждение (XY) V (X V V Y) всегда истинно, так как (Л'у у К) V V(A'VyV) всегда истинно, а (X К), как мы знаем, равносильно (ЛГУ V Y).

74. 75.

или

76 и 77. Если в решении задач 74 и 75 знаки & и у заменить друг другом, то получится решение задач 76 и 77.