СЕРИЯ

Новое в жизни науке технике

математика кибернетика

1969

3

С.В.ФОМИН

МАТЕМАТИКА В БИОЛОГИИ

С. В. Фомин

МАТЕМАТИКА В БИОЛОГИИ

Издательство «ЗНАНИЕ» Москва 1969

57:51 Ф76

ПАМЯТИ МИХАИЛА ЛЬВОВИЧА ЦЕТЛИНА

Предисловие

Характерной чертой современных научных исследований является широкое применение точных математических методов в самых разнообразных областях знания. В последнее время математические методы проникают в экономику, лингвистику, психологию и многие другие области, в частности в биологические исследования и медицинскую диагностику. Проникновение математических методов в науку о живой природе идет сейчас по многим путям: с одной стороны — это использование современной вычислительной техники для быстрой и эффективной обработки биологической и медицинской информации, с другой — создание математических моделей, описывающих живые системы и происходящие в них процессы. Не менее важна и «обратная связь», возникающая между математикой и биологией: биология не только служит полем для применения математических методов, но и становится все более существенным источником постановки новых математических задач.

Здесь мы расскажем о некоторых проблемах и результатах, связанных с применением математических методов в изучении биологических явлений.

Эта книжка посвящается памяти Михаила Львовича Цетлина, которому сегодня, в день, когда пишутся эти строки, исполнилось бы всего 44 года. Михаил Львович одним из первых понял важность и плодотворность математического подхода к биологическим проблемам. За свою недолгую жизнь он внес в эту область много фундаментальных идей. Все знавшие Михаила Львовича любили этого замечательного ученого и человека.

С. Фомин

22 сентября 1968 г.

1. Введение. Математика и изучение реального мира

1. Некоторые исторические сведения. На протяжении нескольких веков физика и астрономия были основными источниками математических проблем и основными областями, в которых испытывалась сила новых математических методов. Однако в последнее время это положение вещей существенно изменилось. Сейчас, буквально на наших глазах, математические методы быстро входят в экономику, социологию, лингвистику, биологию и т. д. Возникли и вошли в обиход такие термины, как математическая лингвистика, математическая экономика, математическая биология. Чем же обусловлено такое энергичное вторжение математики в области, бывшие еще сравнительно недавно достаточно далекими от нее?

Было бы ошибкой считать, что важность точных количественных методов для таких наук, как биология, была понята лишь в наше время. На самом деле, первые попытки в этом направлении относятся к достаточно далекому прошлому. Так, например, еще в 1680 г. Джованни Борелли опубликовал в Риме обширный труд «О движении животных» (De Motu Animalium), в котором сделал попытку применить геометрические и механические соображения к исследованию движений животных и человека. Впрочем, первые идеи такого рода были, видимо, у Леонардо да Винчи — одного из самых универсальных гениев в истории человеческой культуры.

Переходя к более поздним временам, следует прежде всего упомянуть исследования Гельмгольца, который в своих работах по слуху и зрению пользовался математическим аппаратом, развитым в значительной мере им самим для изучения волновых процессов. Возможность изложить и исследовать биологические проблемы в физических и математических понятиях глубоко интересовала и немецкого физиолога прошлого века Дюбуа-Реймона.

Среди работ, относящихся к нашему столетию, следует прежде всего упомянуть фундаментальный труд д'Арси Томсона «О росте и форме» (1917 г.), посвященный применению математических методов к исследованию геометрических форм и процесса роста животных и растительных организмов. Несколькими годами позже была опубликована работа А. Лотка «Элементы физической биологии» (1924 г.), в которой автор, используя в основном аппарат теории дифференциальных и интегральных уравнений, рассматривает чрезвычайно широкий круг проблем — от молекулярных процессов в клетках до психических функций центральной нервной системы. Примерно к тому же времени относятся исследования итальянского математика В. Вольтерра, изложенные затем в его книге «Лекции по математической теории борьбы за существование» (1931 г.), и книга Дж. Холдейна «Математическая теория естественного отбора» (1924 г.). Начиная с 30-х годов число работ, содержащих попытки математического подхода к тем или иным проблемам биологии, стало быстро возрастать. Сложились целые коллективы, работающие в этом направлении (например, школа Н. Рашевского в США). Ряд важных идей, по существу предвосхитивших в известной мере исходные положения современной биокибернетики, содержится в исследованиях нашего соотечественника академика И. И. Шмальгаузена, начатых им еще в 30-х годах.

Среди различных математических методов уже сравнительно давно «завоевала права гражданства» в биологических исследованиях математическая статистика. Биологическими применениями статистических методов интересовался знаменитый английский статистик К. Пирсон. Более того, ряд исследований в области математической статистики, например работы Р. Фишера и его школы, в значительной мере стимулировались именно потребностями биологии.

2. Сущность математического подхода к изучению реального мира. Модели. Приведенный краткий и весьма неполный перечень работ, связанных с применением математических методов к биологическим проблемам, показывает, что такого рода исследования уже имеют довольно длительную историю. И все же о действительно широком проникновении математических методов в биологию стало возможным говорить лишь в самое последнее время. Впрочем, и сейчас еще эти методы в биологии играют гораздо меньшую роль, чем, скажем, в физике. Оказалось, что применять математику для исследования живой природы гораздо труднее, чем, например, для изучения движения планет. Для того чтобы понять природу этих трудностей, посмотрим, в чем же, собственно, состоит сущность математического подхода к изучению объектов и явлений окружающего нас мира.

Характерная черта математики состоит в том, что она оперирует, как правило, отвлеченными, идеализированными понятиями. Такие понятия, как, например, «прямая плоскость», «число», не означают каких-либо реальных предметов, а лишь некоторые «мысленные модели» существующих в природе вещей. К такого рода моделированию (моделированию в указанном здесь логическом смысле, а не в инженерном) приходится прибегать, по существу, всякий раз, когда речь идет о применении математики к изучению окружающего мира. Например, в механике мы вводим такие понятия, как «материальная точка», «идеальная жидкость» и т. д. Это тоже математические идеализации, т. е. модели реальных физических тел. А затем к изучению этих моделей применяется соответствующий математический аппарат, скажем, теория дифференциальных уравнений или что-либо еще.

Мы привыкли к делению наук на естественные и гуманитарные. При этом математику относят к естественным наукам в самую первую очередь. Но это не вполне справедливо. Скорее, математика занимает некое промежуточное положение, будучи связана с изучением как окружающей природы, так и различных форм человеческой деятельности. Можно сказать, что математика — это язык, на котором можно описывать различные явления. Но этот язык подчинен весьма жестким и строгим правилам логики. И научиться говорить на математическом языке о том или ином круге событий подчас весьма сложно. Мы лучше всего умеем говорить на нем о механических и физических явлениях, но в принципе этот язык чрезвычайно универсален.

3. Что мы умеем моделировать. Когда строится та или иная модель, то она, конечно, должна прежде всего отражать существенные черты моделируемого объекта, иначе ее изучение мало что нам даст для познания этого объекта. С другой стороны, модель не должна быть слишком сложна, иначе она будет недоступна для точного математического исследования*. Если речь идет о моделировании сложной системы, то весьма трудно удовлетворить одновременно обоим этим требованиям — достаточная простота и, вместе с тем, достаточная «похожесть». Поэтому в первую очередь математические методы развивались применительно к изучению достаточно простых систем. Примером области естествознания, в которой математические методы применяются давно и с большим ус-

* Говорят, что однажды Микеланджело, отвечая на вопрос о том, как создать скульптуру из глыбы камня, сказал: «Скульптура уже заключена в камне. Нужно только срезать все лишнее, и она предстанет перед вами». Эти слова можно применить и к тому, как создается абстрактная модель реального явления. Но как отделить «лишнее» от «необходимого»? Это трудно и в искусстве и в науке.

пехом, может служить классическая механика, в частности небесная механика. Развитые здесь математические методы позволяют весьма точно описывать движение системы материальных тел, например, предсказывать на много лет вперед солнечные и лунные затмения, вычислять орбиты комет и т. д. Однако и здесь возникает много трудных и сложных математических проблем*, в том числе и таких, которые остаются нерешенными до сих пор, несмотря на то, что рассматривается такая система как система материальных точек.

Что же касается любой биологической системы, то построение ее удовлетворительной математической модели оказывается, как правило, чрезвычайно сложным делом.

4. Появление новых возможностей. Итак, математические методы исследования мы можем успешно развивать в тех областях, где нам удается создать достаточно хорошие общие понятия, создать соответствующий изучаемым явлениям «математический язык». Если явления, которые мы изучаем, сложны, то они могут оказаться за пределами возможностей тех математических методов, которыми мы располагаем.

Однако сейчас у нас есть серьезные основания для того, чтобы смотреть на дело оптимистически. За последние 20—25 лет в самой математике произошли существенные изменения, значительно расширившие круг ее возможностей. Часто это расширение области применимости математических методов, происшедшее в последние годы, связывают в первую очередь с появлением быстродействующих вычислительных машин. Бесспорно, появление таких машин сыграло тут очень большую роль, но дело не только в них. На протяжении тех же 20—25 лет, в которые укладывается вся история развития электронной вычислительной техники, в математике возник ряд новых направлений и областей, связанных именно с исследованием сложных систем и анализом таких ситуаций, в которых классические математические методы неприменимы. К таким областям математики относятся теория игр, теория автоматов, новые методы решения задач об оптимальном регулировании, теория операций и т. д. Возможно, конечно, что людям во все времена было свойственно переоценивать научные достижения именно своей эпохи, однако, даже сделав известную скидку на это обстоятельство, можно утверждать, что именно сейчас математика гораздо больше приспособлена к анализу сложных систем, имеющих много степеней свободы и состоящих из большого числа взаимодействующих между со-

* Примером здесь может служить известная задача трех тел, состоящая в определении всех возможных движений трех масс, связанных силами взаимного притяжения.

бой частей, чем это было еще сравнительно недавно, скажем, в первой половине нашего века.

Сейчас выяснилась возможность построения достаточно удовлетворительных математических моделей в таких сложных и запутанных ситуациях, которые возникают, например, в экономике. Интересным примером возникновения хорошей математической модели в области, в которой это трудно было ожидать заранее, может служить теория информации. Хотя она возникла всего около 20 лет тому назад, сейчас она представляет собой развитую математическую теорию, со многими теоремами и разнообразными методами. Однако основной и решающий шаг в построении теории, сделанный основоположником этой теории К. Шенноном в конце 40-х годов, состоял не в теоремах, а в формулировке таких фундаментальных понятий, как количество информации и пропускная способность канала, т. е. в создании такой модели, которая отражает общую математическую сущность самых разнообразных способов передачи сообщений.

В последнее время ряд небезуспешных попыток построения математических моделей был сделан и применительно к биологическим системам и явлениям. Некоторые из этих моделей мы рассмотрим ниже, но сперва поговорим о тех возможностях и перспективах, которые связаны с применением в биологии современной вычислительной техники.

2. Применение в биологических исследованиях электронных вычислительных машин

1. Чем может помочь биологу вычислительная машина.

Характерная черта современных биологических, в частности, физиологических исследований — это обилие экспериментальных данных. Нередко исследователь буквально тонет в этих данных, тратя дни и недели на обработку результатов, полученных за сравнительно непродолжительный опыт. Естественно, что экспериментатор с надеждой обращает свой взор к быстродействующим вычислительным машинам, надеясь получить помощь отсюда.

Для этих надежд есть достаточные основания. Однако для того чтобы эти надежды оправдались, важно четко представлять себе, что вычислительная машина «умеет» и чего она «не умеет». Неправильное представление о возможной роли вычислительной техники в тех или иных исследованиях приводит иной раз вот к каким ситуациям. Приходит биолог к математику (желательно, такому, который располагает вычислительной машиной) и говорит, что у него накопилась мас-

са экспериментального материала, который надо было бы «математически обработать».

— Хорошо, а как именно вы хотите его обрабатывать?

— Ну, это уж ваше дело, на то вы и математики.

— А в чем состоит ваша задача, на какой вопрос вы хотите получить ответ?

И вот, при дальнейшем разговоре нередко выясняется, что четкой постановки задачи собственно и нет, а есть лишь надежда, что при той или иной обработке экспериментальных данных «выплывут» какие-то связи и закономерности. И в этих случаях приходится объяснять следующее. Да, вычислительные машины могут многое. Они неизмеримо увеличивают наши вычислительные возможности. Они могут хранить и оперативно использовать большие запасы информации. Но вычислительные машины не смогут дать нам никаких заслуживающих внимания результатов, если у нас нет четко поставленной задачи. К вычислительной математике со всей ее современной техникой полностью применимы слова по поводу математики вообще, сказанные Гексли (их часто приводил акад. А. Н. Крылов). Математика, говорил он, подобна мельнице: если в нее насыпать зерно, то получится мука, а если насыпать трухи, то только труха и получится.

Для того чтобы пояснить реальные возможности использования вычислительных машин в биологических исследованиях, скажем несколько слов о самих этих машинах, не входя, конечно, в детали их устройства и эксплуатации.

2. Несколько слов о вычислительной технике. В вычислительной технике сложилось деление машин на специализированные и универсальные. Специализированными называют машины, предназначенные для выполнения какой-то определенной совокупности операций — например, анализа частот, составляющих некоторый колебательный процесс, решения уравнений или систем уравнений определенного вида и т. д. Такие специализированные машины, как правило, не слишком сложны и громоздки, не требуют для своего обслуживания высококвалифицированного инженерного персонала, а потому и достаточно доступны. С другой стороны, в этих машинах уже зафиксирован соответствующий способ обработки информации, и переход на какие-то новые методы или задачи требует и новых машин.

Гораздо более широкими возможностями обладают универсальные вычислительные машины, в первую очередь универсальные цифровые вычислительные машины (УЦВМ). В принципе на такой машине реализуется любой процесс, который может быть представлен как последовательность элементарных логических или математических операций. Мы не будем

здесь описывать принципы устройства УЦВМ, а обратим внимание лишь на следующее.

Универсальные вычислительные машины применяются сейчас в самых разных областях — для решения собственно математических задач, в вопросах управления производством, при анализе текста (например, при расшифровке древних письмен) и т. д. Однако для этих разнородных задач используются одни и те же машины, а разнообразие задач, которые машина может решать, — это на самом деле разнообразие тех программ работы, которые такой машине могут быть заданы. В частности, с помощью соответствующих программ на УЦВМ можно реализовать самые различные методы обработки данных биологического эксперимента — как уже существующие, так и те, которые еще будут придуманы.

Современные электронные вычислительные машины работают со скоростью до нескольких миллионов операций в секунду. Поэтому они в состоянии обрабатывать огромное количество самой разнообразной информации, в том числе и биологической. Однако на пути между биологическим экспериментом и цифровой вычислительной машиной стоит одно существенное препятствие, которое можно назвать «отсутствием общего языка». Вот что это значит. Цифровая вычислительная машина способна воспринимать и перерабатывать информацию, записанную в цифровом виде, в определенной системе. (Для подавляющего большинства машин такой системой служит так называемая двоичная система, в которой каждое число представляется некоторой последовательностью нулей и единиц). В то же время те данные, которые получаются непосредственно из физиологического эксперимента, вовсе не выражены в числах. Например, введя микроэлектрод в нервную клетку, мы можем регистрировать изменения электрического потенциала клетки. Однако эта величина — потенциал клетки — не может быть непосредственно введена в вычислительную машину: предварительно ее значения в различные моменты времени должны быть выражены цифрами, так как только цифры представляют собой тот «язык», который «понимает» УЦВМ. Если этот процесс перевода физиологических данных в цифры проделывать вручную, то мы сразу же потеряем все преимущества, связанные с применением быстродействующих вычислительных машин, так как такой перевод будет занимать массу времени. Следовательно, его нужно автоматизировать. Существуют специальные устройства— так называемые аналого-цифровые преобразователи, — осуществляющие такое преобразование автоматически. Такие устройства позволяют быстро и с достаточной точностью переводить непрерывно меняющиеся величины (скажем, изменения потенциала клетки) в последовательность цифр, которые может воспринимать машина.

3. Обработка данных в ходе эксперимента. Выполнив ту или иную экспериментальную работу, физиолог, конечно, не хочет ждать месяцы для получения результатов обработки данных этого опыта. Конечно, гораздо лучше получить эти результаты, скажем, на следующий день. Однако и это не предел мечтаний. Лучше всего иметь результаты опыта в обработанном виде сразу же, пока опыт еще не закончился. Тогда в зависимости от уже полученных результатов можно как-то изменить или ход опыта или метод обработки, «продолжить накопление данных, если они оказываются недостаточно убедительными, и т. д. Если же обработка данных опыта начинается лишь после его окончания, то сам опыт ведется в известной мере «вслепую». Поэтому каждый экспериментатор хочет видеть результаты опыта сразу же, как говорят, в реальном времени, т. е. так, чтобы информация не накапливалась, а обрабатывалась без задержки, по мере ее поступления. В настоящее время такие методы обработки данных физиологического эксперимента вполне реальны и даже получили довольно широкое распространение*.

При таком использовании вычислительной техники установка, на которой производится тог или иной физиологический эксперимент (скажем, регистрируется изменение электрической активности отдельной нервной клетки), соединяется через такие необходимые вспомогательные приспособления, как усилители, аналого-цифровой преобразователь и т. п., с УЦВМ. Соответствующим образом усиленные и преобразованные в цифровой, код сигналы от изучаемого объекта поступают прямо в вычислительную машину и тут же ею обрабатываются. Для того чтобы экспериментатор мог видеть результаты такой обработки быстрее и отчетливее, эти результаты лучше не печатать в цифровом виде на бумажной ленте (как это обычно делается в вычислительных машинах), а представлять в каком-либо более наглядном виде, например в виде графиков или таблиц на светящемся экране. При тех скоростях, с которыми работают современные вычислительные машины, и при условии, что программа обработки данных не слишком сложна, экспериментатор видит результаты своего эксперимента практически без всякой задержки. Такой метод применения вычислительной техники называется использованием машины «в реальном времени» или «в линии эксперимента». Приведем описание одной конкретной физиологической работы, в которой использование вычислительной

* Обработка данных непосредственно в ходе самого эксперимента с минимальной задержкой важна, конечно, не только в физиологических исследованиях, но и во многих других областях — при исследовании химических реакций, технологических процессов и т. д., однако рассмотрение всех этих интересных и важных проблем выходит за рамки нашей темы.

машины «в реальном времени» во много раз ускоряет и облегчает работу экспериментатора.

Изучается реакция одиночного нейрона слухового нерва кошки на звуковые раздражения различной силы, высоты тона и продолжительности. Как спонтанная, так и вызванная активность такого волокна представляет собой последовательность отдельных, очень коротких импульсов — «спайков» (см. рис. 1). Расстояния между соседними спайками (межспайковые интервалы) не постоянны, а в значительной мере случайны. Распределение длин этих интервалов можно охарактеризовать с помощью так называемой гистограммы, т. е. кривой, построенной так, что площадь, заключенная между прямыми t = t1 и t = t2, представляет собой относительную долю интервалов, длина которых заключена между t1 и t2. Раздражение существенно меняет вид гистограммы (см. рис. 2, а и 2, б), причем для каждого нейрона слухового нерва можно подобрать параметры звукового раздражения так, чтобы это изменение было наибольшим. Построение такого рода гистограмм вручную—долгое и утомительное дело.

Современная вычислительная техника позволяет вести описанный выше эксперимент следующим образом. С микроэлектрода, введенного в нейрон, импульсы подаются на соответствующее аналого-цифровое устройство, переводящее промежутки между соседними импульсами в цифровой код (в двоичной системе счисления). Далее эти данные поступают в вычислительную машину, которая по соответствующей программе строит гистограмму. Эта гистограмма, которая, естественно, меняется по мере накопления материала, выводится на светящийся экран

Рис. 1. Запись электрической активности одиночного нейрона (схема).

Рис. 2. Гистограмма межспайковых интервалов одиночного нейрона слухового нерва: а — при отсутствии раздражения; б — при звуковом раздражении.

так, что экспериментатор ее все время видит. Если экспериментатор хочет зафиксировать построенную гистограмму, то он включает нажатием кнопки связанный с машиной фотоаппарат и получает фотографию этой гистограммы.

4. Вычислительная машина — участник эксперимента. Пока что мы говорили только о передаче машине функций обработки экспериментального материала. Однако» располагая в физиологической лаборатории современной вычислительной техникой, естественно попытаться сделать еще один шаг и возложить на УЦВМ не только обязанности по обработке результатов эксперимента, но и некоторые функции самого экспериментатора. Именно машина может в зависимости от уже полученных результатов направлять дальнейший ход эксперимента тем или иным путем, скажем, включать или выключать некоторый стимулятор и т. п. Важно подчеркнуть, что машина способна «принимать решение» или «давать команду» несравненно быстрее, чем это может делать человек, и, следовательно, реагировать на тот или иной результат гораздо оперативнее, чем сам экспериментатор.

Изложенная нами идея активного участия вычислительной машины, как управляющего органа, в биологическом эксперименте уже была с успехом реализована в некоторых лабораториях.

Выше были высказаны некоторые общие соображения о применении вычислительных машин в биологических исследованиях. Сейчас мы кратко опишем несколько конкретных работ такого рода, в которых применение вычислительной техники имело существенное, а иногда и решающее значение. Таких работ сейчас уже достаточно много, поэтому перечислить их было бы невозможно. Мы остановимся лишь на некоторых примерах, выбор которых в значительной мере случаен.

5. Анализ биоэлектрических потенциалов головного мозга. В лаборатории проф. М. Н. Ливанова была проделана следующая работа. С помощью специальной многоканальной системы производится одновременная запись биопотенциалов с большого числа (до 100) участков коры головного мозга и исследуется степень зависимости между данными, полученными с разных точек, например при выработке условного рефлекса (эксперимент проделывается на кроликах). Техника этой работы такова. По каждому из каналов через определенные (достаточно малые) промежутки времени измеряется величина потенциала. Значения этого потенциала, измеренные для двух соседних моментов времени, сравниваются между собой, и пишется знак +, — или 0, в зависимости от того,

происходит ли возрастание потенциала, его убывание, или же этот потенциал остается неизменным (в пределах принятой точности измерения). Таким образом, в каждой точке весь процесс изменения биопотенциала представляется в упрощенной форме как последовательность плюсов, минусов и нулей. Эти данные могут быть введены в вычислительную машину, которая подсчитывает коэффициент синхронизации ( = процент совпадений) между любыми двумя такими последовательностями. Такая обработка позволила получить интересные данные об электрической активности мозга в процессе формирования условного рефлекса. Общая картина такова: до начала выработки условного рефлекса синхронизация различных участков мозга незначительна; в процессе выработки рефлекса эта синхронизация резко возрастает, а после полной отработки рефлекса снова существенно падает.

Несколько иное исследование было поставлено для биопотенциалов головного мозга человека. При этом с помощью сходной методики, т. е. записи биопотенциалов от отдельных участков коры, было обнаружено, что если человеку предложить мысленно решать некоторую задачу (например, перемножить два двузначных числа), то в процессе ее решения происходит резкое изменение (и увеличение) синхронизации активности различных участков коры больших полушарий.

Хотя в описанных выше экспериментах получаемые данные сильно упрощались и значительная часть информации просто отбрасывалась (в каждой точке учитывалось лишь направление изменения потенциала, но не величина этого изменения), обработка даже таких упрощенных данных вручную представляла бы большие трудности. В первоначальных экспериментах подготовка исходных данных для обработки (сопоставление каждой точке последовательности плюсов, минусов и нулей) производилась вручную, что, конечно, сильно снижало тот выигрыш, который давала автоматизация самой обработки. В дальнейшем эти работы были автоматизированы полностью.

6. Определение первичной структуры белка. Как известно, каждая белковая молекула представляет собой последовательность аминокислот, соединенных друг с другом в цепь. Число различных аминокислот равно 20. Различные белковые молекулы содержат сотни и даже тысячи аминокислот. Точная последовательность аминокислот известна сейчас лишь для немногих белков — инсулина, гемоглобина и некоторых других. Для анализа этих белков был использован следующий метод. С помощью соответствующих химических воздействий белковую молекулу разрывали на части. Затем устанавливали (химическими методами) последовательность аминокислот в этих фрагментах и, наконец, с помощью соответст-

вующего комбинаторного анализа, реализуемого на вычислительной машине, восстанавливали всю последовательность аминокислот в молекуле. Идею этого последнего этапа работы можно пояснить на таком элементарном примере. Допустим, что у нас имеется цепочка, состоящая всего лишь из семи аминокислот, которые мы обозначим буквами A, B, С, D, Е, F и G, и имеется два набора фрагментов — один полный (т. е. составляющий в сумме всю нашу молекулу):

AB, CDE, F, G

и другой неполный:

BCD, EF.

Комбинируя эти два набора, легко заметить, что наша молекула должна представлять собой одну из следующих двух последовательностей:

ABCDEFG или GABCDEF.

Иначе говоря, отрезок

ABCDEF

определяется однозначно, а положение элемента G требует дальнейшего уточнения (скажем, путем получения фрагмента вида FG). В рассмотренном примере анализ возможных комбинаций не представил никакого труда. Однако в случае, когда речь идет о цепочках, содержащих сотни элементов, задача восстановления ее структуры по фрагментам становится весьма сложной и требует применения мощной вычислительной техники. Часто эта задача усложняется тем, что для отдельных фрагментов оказывается известным лишь их состав, но не порядок следования элементов, или же в определении этого порядка могут быть ошибки. Конечно, трудность задачи определения структуры белка заключается не только в сложности соответствующего комбинаторного анализа. Первую и весьма существенную трудность здесь представляет сама экспериментальная биохимическая работа по получению и анализу белковых фрагментов.

7. Изучение нормального и патологического тремора. Вернемся снова к некоторым физиологическим применениям вычислительной техники. Если человек вытянет перед собой руку, то она никогда не будет абсолютно неподвижна: рука совершает непроизвольные мелкие колебания. То же самое имеет место и для всех других элементов нашего двигательного аппарата — в каждом суставе мы не можем сохранить абсолютную неподвижность, а обязательно будут происходить колебания вокруг некоторого среднего положения. Это явление называется тремором. У здорового человека тремор невелик — угловые смещения составляют минуты или доли ми-

нут. Однако при различных заболеваниях тремор может резко возрастать. Одно из наиболее типичных заболеваний такого рода — так называемая болезнь Паркинсона, при которой тремор в тяжелых случаях возрастает настолько, что человек теряет работоспособность и возможность передвигаться без посторонней помощи. Более внимательное рассмотрение показывает, что при болезни Паркинсона не только увеличивается амплитуда тремора, но и меняется его частотный состав (спектр): если нормальный тремор представляет собой в основном смесь колебаний низкой (около 1 гц), средней (3—4 гц) и высокой частоты (7—8 гц), то в треморе паркинсоника основная составляющая — колебания с частотой около 5 гц, а другие частоты почти полностью отсутствуют. При болезни Паркинсона в тяжелых случаях применяется хирургическое лечение. Операция — так называемая таламэктомия — состоит в разрушении некоторого определенного участка головного мозга. Это достаточно тяжелая операция в некоторых случаях приносит стойкое улучшение, однако в других случаях положительный эффект (т. е. снижение амплитуды тремора до нормы), наступающий сразу после операции, через 2—3 недели исчезает, и возникает примерно такой же тремор, какой был до операции. Проведенный частотный анализ обнаружил следующий факт: стойкий эффект получался в тех случаях, когда после операции тремор становился нормальным не только по амплитуде, но и по частотному составу. Если же амплитуда тремора падала до нормы, но его спектральный состав оставался характерным для паркинсоника, то эффект операции сравнительно быстро исчезал.

Контроль частотного состава спектра можно вести во время самой операции, следя, таким образом, за ее эффективностью и внося в нее соответствующие коррективы (скажем, увеличивая ту область, которая подвергается разрушению). Представляется весьма интересной следующая гипотеза: может быть, достаточно тщательное исследование тремора больного-паркинсоника перед операцией даст какие-то возможности предсказать заранее эффективность оперативного вмешательства? К сожалению, пока еще нет убедительных данных, которые позволили бы ответить на этот вопрос положительно.

Исследование тремора здорового человека также представляет определенный интерес. Так, например, оказалось, что если человеку дать определенную задачу, скажем, удерживать острие карандаша против определенной точки, то тремор имеет несколько иной характер, чем если рука просто находится в покое, — в первом случае высокочастотная компонента заметно больше, чем во втором. Это дает основание считать, что изучение тремора может дать ряд сведений о работе двигательного аппарата человека при выполнении различных задач, требующих точной координации, например при стрельбе.

Для работы по изучению тремора были использованы датчики, превращающие механические отклонения от некоторого среднего положения в электрические, и аналого-цифровой преобразователь, переводящий изменения электрического потенциала в цифровой код. Проведение последующих расчетов (корреляционный и спектральный анализы) сравнительно не сложно. Вместе с тем такая обработка данных позволяет значительно точнее оценить возникающую картину, чем это может сделать визуально самый опытный экспериментатор, рассматривая запись тремора на осциллографе. Важно, что при этом мы не только устанавливаем качественные различия в треморе, но и вычисляем его количественные характеристики.

8. Изучение типов спонтанной и вызванной активности нервных клеток. Нервные клетки, входящие в состав тех или иных структур, образующих центральную нервную систему, могут сильно отличаться друг от друга но своим размерам, строению синаптических связей с другими клетками, количеству и форме ответвлений (дендритов) и т. д. Примером структуры, в пределах которой имеются существенно различные между собой типы клеток, может служить кора мозжечка. Она состоит из так называемых клеток Пуркинье, имеющих сравнительно большие размеры и сложную систему дендритов, мелких зернистых клеток и т. д. Хотя различия в строении этих клеток достаточно отчетливы, функции отдельных типов клеток далеко не ясны. Поэтому представляется интересным изучить возможные для этих клеток типы активности как спонтанной (т. е. самопроизвольной), так и вызванной внешними воздействиями, скажем, раздражением определенного участка тела, и выяснить, отличаются ли клетки с разной структурой и по своим функциям или нет.

Такого типа работы проводятся как в Москве, так и в ряде зарубежных лабораторий. Выполнение подобных исследований требует обработки весьма большого экспериментального материала — в первую очередь составления гистограмм для распределений межспайковых интервалов, т. е. примерно такой же техники, как и упоминавшееся выше изучение реакций отдельных нейронов слухового нерва на акустические раздражения. В последнее время здесь был получен ряд результатов, обнаруживших у различных типов клеток определенные, характерные для них особенности функциональной активности.

9. Математический анализ электрокардиограмм. Приведем еще один пример, на этот раз относящийся к использованию вычислительной техники в целях медицинской диагностики. За последние десятилетия в диагностике различных сер-

дечных заболеваний (инфаркт, стенокардия и т. д.) весьма важную роль стал играть анализ кардиограмм, т. е. кривых, характеризующих электрическую активность сердца. Схематический вид нормальной электрокардиограммы изображен на рис. 3. Сущность процессов, отражаемых кардиограммой, состоит в следующем. Ритмические сокращения работающего сердца связаны с распространением по его объему волны электрического возбуждения. Поэтому сердце создает вокруг себя периодически меняющееся электрическое поле. Кардиограмма и представляет собой запись изменения этого поля. Практически это делается так. Прикладывая электроды к определенным точкам на теле человека, мы записываем соответствующие проекции вектора, характеризующего электрическое поле сердца. Для того чтобы получить более полную информацию об этом поле в целом, делается запись в нескольких точках или, как говорят медики, берется несколько «отведений». Обычно в медицинской практике берется 12 отведений.

Различные отклонения вида кардиограммы от нормы позволяют врачу-кардиологу судить о тех или иных сердечных заболеваниях, например о наличии инфаркта и его локализации в сердечной мышце. В принципе это выглядит просто, но на самом деле все гораздо сложнее. Прежде всего само понятие «нормальной» кардиограммы достаточно неопределенно. Вид кардиограммы зависит от мелких различий в расположении сердца у разных людей и от многих других факторов, вовсе не связанных с наличием какого-либо заболевания. Поэтому кардиограмма используется для диагностических целей обязательно в сочетании с другими признаками (наличие болей в области сердца, сдвиги в составе крови и т. д.) и во всяком случае требует от человека, делающего по кардиограмме те или иные заключения, высокой квалификации и большого опыта.

Хотя кардиограмма не может служить единственным основанием для тех или иных медицинских заключений, содержащаяся в ней информация о состоянии сердечной мышцы достаточно велика. Особенно важно то, что те или иные изменения в кардиограмме могут быть предвестниками заболеваний сердца (скажем, того же инфаркта), т. е. служить для целей профилактики. Поэтому систематическое кардиографическое обследование широких слоев населения, особенно в среднем и пожилом возрасте, представляет важную задачу. Но нельзя же безгранично увеличивать необходимые для это-

Рис. 3 Схематическое изображение электрокардиограммы (один дикл работы сердца). Р, Q, R, S, Т — обозначения «зубцов» (характерных точек) электрокардиограммы.

го медицинские штаты. Естественно, возникает стремление автоматизировать обработку кардиограмм, переложив эту задачу на быстродействующую вычислительную технику. Задача анализа кардиограмм с помощью универсальных вычислительных машин интересна и с теоретической точки зрения, поскольку здесь возникают достаточно сложные математические вопросы.

В решении этой задачи возможны различные подходы. Медицинская практика установила ряд параметров в кардиограмме, существенных для диагностики. К ним относятся: соотношения между высотами зубцов, расстояния между зубцами и т. д. Существуют машинные программы, определяющие эти параметры. Однако определение этих параметров — вовсе не самоцель. Самое важное — по найденным значениям этих параметров поставить диагноз. Поэтому возможны два варианта использования УЦВМ в кардиографии. Во-первых, можно ограничить задачу машины тем, чтобы она находила и представляла в удобном для клинициста виде значения параметров, нужных для постановки диагноза, а само установление диагноза по этим данным считать делом врача. При этом за машиной остаются такие вспомогательные, но важные функции, как, например, выявление ошибочных или искаженных данных, отсеивание случайных внешних помех и т. д.

Другой подход состоит в том, чтобы, введя в машину данные о том, как те или иные отклонения кардиограммы от нормы связаны с различными сердечными заболеваниями, возложить на машину и саму постановку диагноза. Решение такой задачи представляется, конечно, весьма нелегким делом, однако здесь уже намечены некоторые подходы и получены первые обнадеживающие результаты. Не имея возможности излагать здесь детали, ограничимся лишь следующим.

Предположим, что нам нужно научить кого-либо различать фигуры разных типов, скажем, эллипсы, треугольники и квадраты. Можно этого добиться следующим образом. Сперва возьмем какой-то материал для обучения, т. е. некоторое количество образцов каждого из трех типов, будем их показывать по очереди и каждый раз говорить, что это такое. Ясно, что вскоре обучаемый сможет различать любые квадраты, треугольники и эллипсы. Едва ли каждое лицо, умеющее отличать квадрат от эллипса, может точно сформулировать рецепт, по которому он это делает, но, по-видимому, процесс состоит в том, что человек фиксирует у себя в памяти (может быть, бессознательно) некоторые характерные признаки показываемых ему фигур (скажем, у эллипса отсутствуют прямолинейные участки, квадрат составлен из четырех прямолинейных отрезков и т. д.) и затем пользуется этими признаками.

Такое обучение путем предъявления образцов и отбора на этих образцах характерных признаков возможно не только для человека, но и для вычислительной машины. Эта идея может быть положена в основу классификации кардиограмм и установления диагноза, хотя, конечно, задача о классификации кардиограмм несравненно сложнее, чем задача различения разных геометрических фигур. К вопросу об обучении машины распознаванию образов мы еще вернемся.

3. Некоторые общие принципы управления большими системами

1. Трудность задачи управления живой системой. Мы уже говорили о том, что одна из существенных черт биологических систем — это их сложность. Рассмотрим ту живую систему, с которой мы никогда не расстаемся, — наше собственное тело. Если мы, максимально упростив реальную ситуацию, будем рассматривать человеческое тело просто как механическую систему с соответствующим числом шарниров (суставов), то окажется, что эта система имеет более ста степеней свободы. Мы успешно справляемся с задачей управления такой системой: ходим, бегаем, выполняем различные другие движения. В то же время в технических задачах управления приходится, как правило, распоряжаться не более, чем 2—3 параметрами. В теории регулирования разработаны методы, позволяющие успешно решать задачи, связанные с управлением такими относительно несложными системами. Однако эти методы становятся совершенно неэффективными, если мы переходим к системам с десятками и сотнями степеней свободы.

Следует обратить внимание на то, что при решении таких задач, как задача управления движениями нашего тела, весьма важен фактор времени. Если нам нужно избежать какой-либо опасности, скажем, отскочить от движущегося от нас автомобиля, то эту задачу (требующую участия десятков мышц, т. е. достаточно сложную) нужно не просто решить, но решить быстро. Другое соображение, опять же связанное с учетом времени, таково: количество различных положений (поз), которые может принять наше тело, настолько велико, что «перепробовать» все возможные для нас позы мы не смогли бы и за всю жизнь. Поэтому обучаться нужным для нас движениям (например, ходьбе) заведомо невозможно путем последовательного перебора всех возможных движений вообще. Следовательно, живые системы решают задачи построения движений и выработки новых их сочетаний какими-то собственными, весьма эффективными способами. Что же мы знаем по этому поводу?

2. Синергии. В физиологии движения хорошо известно наличие у организма так называемых «синергии», т. е. четко выраженной координации различных частей тела при тех или иных движениях. Мы не можем, даже если будем стараться, управлять теми степенями свободы, которые имеет наше тело, независимо. Например, для человека весьма затруднительно одновременно выполнять двумя руками вращательные движения так, чтобы одна рука совершала вращения с одной частотой, а другая с другой. Таким образом, при выполнении тех или иных движений происходит распадение имеющихся в нашем теле степеней свободы на согласованно управляемые «блоки». Тем самым реальное число независимых параметров, подлежащих регулированию, оказывается во много раз меньше, чем число степеней свободы, определяемое подвижностью суставов. Некоторые из этих «блоков» в нашем организме твердо зафиксированы, например, согласованность в движениях рук, о которой упоминалось выше, — это не результат обучения или привычки, а врожденное свойство. В других случаях, скажем, при выполнении таких действий, как катание на коньках и т. п., синергии являются следствием соответствующей тренировки.

Интересным примером синергии (природной, а не выработанной тренировкой) может служить так называемая дыхательная синергия. Она состоит в следующем. У спокойно стоящего человека при вдохе и выдохе происходит заметное смещение частей тела. Однако эти смещения никак не отражаются на положении центра тяжести тела в целом. Причина этого состоит в том, что при вдохе одновременно с отклонением туловища назад происходит отклонение таза вперед (при выдохе — картина обратная). Таким образом, смещения различных частей тела при дыхании не независимы, а согласованы между собой так, что они компенсируют друг друга (рис. 4). При некоторых мозговых заболеваниях эта синергия разрушается, и тогда центр тяжести стоящего человека колеблется в соответствии с ритмом дыхания.

Мы уже упоминали, что одни синергии — врожденные, а другие возникают в результате обучения. Можно сказать, что обучение человека тем или иным движениям, например ходьбе на лыжах, плаванию и т. п., и состоит, собственно, в отработке у него соответствующих синергии. Беспомощ-

Рис. 4

Дыхательная синергия: а — колебания центра тяжести стоящего человека; б — колебания туловищного угла; в — колебания в тазобедренном суставе; г — ритмика дыхания.

ные движения человека, впервые попавшего в воду или только что ставшего на лыжи, — это неумение справиться в непривычных условиях с тем множеством степеней свободы, которое наше тело имеет.

При сложных движениях происходит последовательное чередование различных синергий. Таким образом, синергии — это те «готовые детали», из которых мы строим все наши движения.

Группировка параметров системы, имеющей много степеней свободы, в «блоки» и связанное с этим существенное уменьшение числа независимых параметров является, по-видимому, одним из общих и эффективных методов управления такими системами. А то обстоятельство, что эта группировка меняется в зависимости от выполняемой двигательной задачи, делает очень богатым и разнообразным запас тех действий, которые мы способны выполнять.

3. Многоуровневая организация системы управления. Итак, один из эффективных способов управления многопараметрическими системами состоит в том, чтобы группировать эти параметры в крупные блоки и управлять целыми такими блоками. Другой общий принцип управления такими сложными системами — распределение задачи между несколькими уровнями. Это означает следующее. Будем для определенности снова говорить о построении движений. Для того чтобы мы выполнили некоторое движение, скажем, взяли со стола чашку, нужна согласованная работа многих мышц, каждая из которых, в свою очередь, состоит из большого количества отдельных волокон — «двигательных единиц», управляемых соответствующими мотонейронами. Ясно, что, выполняя такое движение, мы вовсе не обдумываем работу каждой отдельной мышцы и тем более не управляем сознательно каждой двигательной единицей. Высший отдел нервной системы (большие полушария головного мозга) ставит лишь общую задачу — переместить чашку рукой из одного заданного положения в другое. Однако оно не контролирует действия отдельных двигательных единиц, подобно тому как командующий армией, ставя перед своими войсками некую общую задачу, не предписывает каждому солдату, что именно он должен делать в каждый момент сражения.

Детализация построения того или иного движения происходит на уровнях более низких, чем кора больших полушарий, в частности в различных отделах спинного мозга. Более того, в некоторых случаях (например, когда мы отдергиваем руку, случайно коснувшись горячего предмета) вся команда исходит от этих нижележащих уровней: мы еще, как говорится, «не успеем подумать», а рука уже отдернута.

Такое многоуровневое построение управления гораздо эко-

номичнее, чем жесткое централизованное, при котором какой-то центральный орган точно предписывает действия каждой из составляющих систему частей. Действительно, в последнем случае сам управляющий орган оказался бы настолько сложным, что едва ли смог бы функционировать. Попробуйте-ка представить себе штаб армии, который разрабатывает в деталях поведение каждого солдата во время боя! Впрочем, еще труднее было бы представить себе живой организм, в котором все процессы, вплоть до внутриклеточных, определялись единым центром.

Идея многоуровневого управления живыми системами послужила отправным пунктом для следующих интересных экспериментальных работ, выполненных недавно советским физиологом М. Л. Шиком и его сотрудниками. Если у кошки перерезать головной мозг в области выше дыхательного центра, изолировав, таким образом, верхние отделы мозга от всей нижележащей нервной системы, то такое животное может дышать, но лишается способности к самостоятельным движениям и, будучи помещено на движущуюся ленту (тредбан), лежит на ней совершенно пассивно. Однако, если, приведя тредбан в движение, одновременно стимулировать электрическим раздражением определенную точку в области сделанного разреза, то животное начинает идти (или бежать, в зависимости от интенсивности раздражения), причем координация всех его движений достаточно близка к нормальной. Эти эксперименты можно интерпретировать следующим образом. Двигательная система кошки представляет собой сложный механизм, со многими степенями свободы. Но управление этим механизмом не имеет жесткой централизации. Координация движений лап и отдельных мышц задается на уровне, более низком, чем головной мозг, а «сверху» приходит лишь одно-параметрическое управление, определяющее интенсивность движения.

4. Принцип наименьшего взаимодействия. Локальное управление сложными системами. Для таких сложных биологических систем, как, например, целый организм, характерна структура, допускающая выделение в них отдельных, относительно независимых подсистем. Для каждой такой подсистемы совокупность всех остальных подсистем образует своего рода «внешнюю среду», в которой эта подсистема существует. Функционирование такой составной системы может быть организовано по «централизованному» принципу — каждой подсистеме предписывается определенное поведение. Мы уже говорили о неэффективности такого управления в сложных системах. Более соответствует реальному положению дел другая схема, которую можно назвать схемой локального управления. Это означает, что для подсистем, о которых идет речь,

«сверху» устанавливаются лишь некоторые общие «правила взаимодействия», а каждая подсистема функционирует так, чтобы ее взаимодействие с остальными подсистемами (и с внешней средой) было в некотором смысле оптимальным.

Эти идеи были развиты несколько лет тому назад в работах И. М. Гельфанда и М. Л. Цетлина, которые выдвинули так называемый «принцип наименьшего взаимодействия», аналогичный известным в механике вариационным принципам. Согласно этому принципу каждая подсистема в живом организме функционирует так, чтобы ее взаимодействие со всей системой и с окружающей средой было возможно меньшим. В такого рода понятиях можно описать ряд физиологических явлений, например, таких, как синхронизация работы нервных или двигательных элементов и т. п. Вместе с тем следует подчеркнуть, что пока еще все соображения, связанные с принципом наименьшего взаимодействия, носят весьма неопределенный, предварительный характер, поскольку для живых систем мы, как правило, не можем точно указать, как это взаимодействие можно выразить математически.

Проиллюстрируем понятие локального управления на примере одной задачи, взятой, правда, не из биологии, а из техники. Представим себе, что у нас имеется n пар радиостанций и внутри каждой пары происходит передача и прием, а станции, относящиеся к разным парам, друг с другом не связываются. Если эти пары радиостанций не очень удалены друг от друга, то они создают друг для друга помехи, затрудняющие, в той или иной степени, связь. Качество радиосвязи для каждой пары можно охарактеризовать отношением мощности сигнала к мощности шума. Если какая-то пара считает качество связи недостаточно хорошим, то она может увеличить мощность передачи. Однако это усилит помехи, создаваемые данной радиостанцией для других; они, в свою очередь, увеличат мощность 'передачи, а тем самым увеличат и помехи для той станции, о которой идет речь. Таким образом, эта станция может в результате увеличения мощности передачи не улучшить, а ухудшить свое положение. Можно, конечно, попытаться еще более увеличить мощность, но то же самое могут сделать другие станции. В системе возникнет лавинный режим нарастания мощностей, напоминающий некую веселую компанию, в которой каждый старается перекричать всех остальных, но все голоса тонут в общем шуме.

Возвращаясь к нашим радиостанциям, поставим следующий вопрос: какие же разумные способы регулирования мощностей, выводящие всю систему в целом на некоторый целесообразный устойчивый режим, можно предложить? Подчеркнем еще раз, что регулировка должна быть локальной, т. е. каждой станции известны лишь собственная мощность и собственное отношение сигнал/шум, а центра, в котором соби-

рались бы все сведения и вырабатывались рекомендации для всей системы, не существует. Мы не будем здесь заниматься этой проблемой подробно, но укажем, что рассматриваемая задача допускает точное математическое решение. В принципе оно может быть основано на том, что на каждой станции оператор, произведя некоторое изменение мощности, должен потом в течение определенного времени наблюдать, как это изменение отразилось на качестве его связи. Возникающие здесь вопросы и трудности довольно типичны для общей проблемы локального регулирования сложных систем.

Таковы некоторые общие принципы, с которыми мы сталкиваемся, рассматривая проблему эффективного управления сложными многопараметрическими системами.

4. Математические модели в биологии

1. Роль математических моделей в биологических исследованиях. Мы уже говорили о том, что математический подход к изучению тех или иных явлений реального мира начинается обычно с создания соответствующих общих понятий, т. е. с построения математических моделей, обладающих существенными для нас свойствами тех систем и процессов, которые мы изучаем. Мы упоминали и о тех трудностях, с которыми связано построение таких моделей в биологии, трудностях, обусловленных чрезвычайной сложностью биологических систем. Однако, несмотря на эти трудности, «модельный» подход к биологическим проблемам сейчас успешно развивается и уже принес определенные результаты. Мы рассмотрим некоторые модели, относящиеся к различным биологическим процессам и системам.

Говоря о роли моделей в биологических исследованиях, важно заметить следующее. Хотя термин «модель» мы понимаем в абстрактном смысле — как некоторую систему логических понятий, а не как реальное физическое устройство, все же модель — это нечто существенно большее, чем простое описание явления или чисто качественная гипотеза, в которых еще остается достаточно места для разного рода неясностей и субъективных мнений. Напомним следующий пример, относящийся к довольно далекому прошлому. В свое время Гельмгольц, занимаясь изучением слуха, выдвинул так называемую резонансную теорию, выглядевшую правдоподобно с чисто качественной стороны. Однако проведенные позже количественные расчеты, учитывающие реальные значения масс, упругости и вязкости составляющих слуховую систему компонент, показали несостоятельность этой гипотезы. Иначе говоря, попытка превратить чисто качественную гипотезу в точную модель, допускающую ее исследование математическими

методами, сразу же обнаружила несостоятельность исходных принципов. Конечно, если мы построили некоторую модель и даже получили хорошее согласие между этой моделью и результатами соответствующего биологического эксперимента, то это еще не доказывает правильности нашей модели. Вот если мы на основании изучения нашей модели сможем сделать какие-то предсказания о той биологической системе, которую мы моделируем, а затем подтвердим эти предсказания реальным экспериментом, то это будет гораздо более ценным свидетельством в пользу правильности модели. Но перейдем к конкретным примерам.

2. Кровообращение. Одной из первых, если не самой первой, работой по математическому моделированию биологических процессов следует считать работу Леонарда Эйлера, в которой он развил математическую теорию кровообращения, рассматривая в первом приближении всю кровеносную систему как состоящую из резервуара с упругими стенками, периферического сопротивления и насоса. Эти идеи Эйлера (как и некоторые другие его работы) были сперва основательно забыты, а затем возрождены в более поздних работах других авторов.

3. Законы Менделя. Достаточно давняя и хорошо известная, но тем не менее весьма замечательная модель в биологии — это менделевская теория наследственности. Эта модель, основанная на теоретико-вероятностных понятиях, состоит в том, что в хромосомах родительских клеток заложены определенные наборы признаков, которые при оплодотворении комбинируются между собой независимо и случайно. В дальнейшем эта основная идея подверглась весьма существенным уточнениям; так, например, было обнаружено, что разные признаки не всегда независимы друг от друга; если они связаны с одной и той же хромосомой, то они могут передаваться лишь в определенной комбинации. Далее, обнаружилось, что и разные хромосомы комбинируются не независимо, а имеет место свойство, названное сродством хромосом, нарушающее эту независимость и т. д. В настоящее время теоретико-вероятностные и статистические методы весьма широко проникли в генетические исследования и даже термин «математическая генетика» получил полные права гражданства. Сейчас в этой области ведется интенсивная работа, получено много результатов, интересных как с биологической, так и с чисто математической точки зрения. Однако в самой основе этих исследований лежит та модель, которая была создана Менделем более 100 лет назад.

4. Модели мышцы. Одним из интереснейших объектов физиологического исследования является мышца. Этот объект весьма доступен, и многие исследования экспериментатор может проделать просто на себе, располагая лишь сравнительно несложным оборудованием. Достаточно ясны и определенны и те функции, которые выполняет мышца в живом организме. Несмотря на все это, многочисленные попытки построить удовлетворительную модель работы мышцы не дали окончательных результатов. Ясно, что хотя мышца может растягиваться и сокращаться, подобно пружине, их свойства совершенно различны, и даже в самом первом приближении пружину нельзя рассматривать как 'подобие мышцы. Для пружины существует строгая зависимость между ее удлинением и приложенной к ней нагрузкой. Для мышцы это не так: мышца может менять свою длину, сохраняя натяжение, и наоборот, менять силу тяги, не изменяя длины. Проще говоря, при одной и той же длине мышца может быть расслаблена, а может быть напряжена.

Среди различных режимов работы, возможных для мышцы, наиболее существенны так называемое изотоническое сокращение (т. е. сокращение, при котором напряжение мышцы остается постоянным) и изометрическое напряжение, при котором не меняется длина мышцы (оба ее конца неподвижно закреплены). Исследование мышцы в этих режимах важно для понимания принципов ее работы, хотя в естественных условиях активность мышцы не бывает ни чисто изотонической, ни чисто изометрической.

Для описания соотношения между скоростью изотонического сокращения мышцы и величиной нагрузки были предложены различные математические формулы. Наиболее известная из них — так называемое характеристическое уравнение Хилла. Оно имеет вид

где Р — нагрузка, V — скорость сокращения, а, b и Р0 — постоянные.

Другие хорошо известные формулы для описания этой же связи — это уравнение Обера

и уравнение Полиссара

Уравнение Хилла получило широкое распространение в физиологии; оно дает достаточно хорошее совпадение с экспериментом для мышц самых разных животных, хотя на самом деле оно представляет собой результат «подбора», а не вывод

из некоторой модели. Два других уравнения, дающих в довольно широком диапазоне нагрузок примерно ту же зависимость, что и уравнение Хилла, получены их авторами из определенных представлений о физико-химическом механизме мышечного сокращения. Существует ряд попыток построить модель работы мышцы, рассматривая последнюю как некоторую комбинацию упругих и вязких элементов. Однако до сих пор достаточно удовлетворительной модели, отражающей все основные черты работы мышцы в различных режимах, не существует.

5. Модели нейрона, нейронные сети. Нервные клетки, или нейроны, это те «рабочие единицы», из которых состоит нервная система и которым организм животного или человека обязан всеми своими способностями воспринимать внешние сигналы и управлять различными частями тела. Характерная черта нервных клеток состоит в том, что такая клетка может находиться в двух состояниях — покоя и возбуждения. В этом нервные клетки сходны с такими элементами, как радиолампы или полупроводниковые триггеры, из которых собираются логические схемы вычислительных машин. За последние 15—20 лет было предпринято много попыток моделировать деятельность нервной системы, исходя из тех же принципов, на которых основана работа универсальных вычислительных машин. Еще в 40-х годах американские исследователи Мак-Каллок и Питтс ввели понятие «формального нейрона», определив его как элемент (физическая природа которого не играет роли), снабженный некоторым количеством «возбуждающих» и некоторым количеством «тормозящих» входов. Сам этот элемент может находиться в двух состояниях — «покой» или «возбуждение». Возбужденное состояние наступает в том случае, если на нейрон пришло достаточное число возбуждающих сигналов и нет тормозящих сигналов. Мак-Каллок и Питтс показали, что с помощью схем, составленных из таких элементов, можно, в принципе, реализовать любой из типов обработки информации, происходящих в живом организме. Это, однако, вовсе не означает, что мы тем самым познали действительные принципы работы нервной системы. Прежде всего, хотя для нервных клеток характерен принцип «все или ничего», т. е. наличие двух четко выраженных состояний — покой и возбуждение, отсюда вовсе не следует, что наша нервная система, подобно универсальной вычислительной машине, пользуется двоичным цифровым кодом, состоящим из нулей и единиц. Например, в нервной системе существенную роль играет, видимо, частотная модуляция, т. е. передача информации с помощью длин временных интервалов между импульсами. Вообще в нервной системе нет, видимо, такого разделения способов кодирования информации на «цифровые» (дис-

кретные) и «аналоговые» (непрерывные), какое имеется в современной вычислительной технике.

Для того чтобы система нейронов работала как некоторое целое, необходимо, чтобы между этими нейронами были определенные связи: импульсы, генерируемые одним нейроном, должны поступать на входы других нейронов. Эти связи могут иметь правильную, регулярную структуру, а могут определяться лишь статистическими закономерностями и подвергаться тем или иным случайным изменениям. В существующих сейчас вычислительных устройствах никакой случайности в соединениях между элементами не допускается, однако имеется ряд теоретических исследований по поводу возможности построения вычислительных устройств, основанных на принципах случайных связей между элементами. Есть достаточно серьезные доводы в пользу того, что связи между реальными нейронами в нервной системе тоже носят в значительной мере статистический, а не строго регулярный характер. Однако мнения по этому поводу расходятся.

В целом, по поводу проблемы моделирования нервной системы можно сказать следующее. Мы уже довольно много внаем об особенностях работы нейронов, т. е. тех элементов, из которых состоит нервная система. Более того, с помощью систем формальных нейронов (понимаемых в смысле Мак-Каллока и Питтса или в каком-либо ином), имитирующих основные свойства реальных нервных клеток, можно моделировать, как уже говорилось, весьма разнообразные способы обработки информации. Тем не менее мы еще довольно далеки от четкого понимания основных принципов работы нервной системы и отдельных ее частей, а следовательно, и от создания ее удовлетворительной модели*.

6. Восприятие зрительных образов. Цветное зрение. Зрение — один из основных каналов, по которому к нам поступают сведения о внешнем мире. Известное выражение — лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать — справедливо, между прочим, и с чисто информационной точки зрения: количество информации, которое мы воспринимаем с помощью зрения, несравненно больше, чем воспринимаемое другими органами чувств. Эта важность зрительной системы для живого организма наряду с другими соображениями (специфич-

* Если мы можем создать какую-то систему, умеющую решать такие же задачи, что и какая-то другая система, то это еще не значит, что обе системы работают по одним и тем же принципам. Например, можно численно решать дифференциальное уравнение на цифровой вычислительной машине, задав ей соответствующую программу, а можно то же уравнение решать на аналоговой машине. Мы получим одинаковые или почти одинаковые результаты, но принципы обработки информации в этих двух типах машин совершенно различные.

кость функции, возможность проведения разнообразных исследований без каких-либо повреждений системы и т. д.) стимулировала ее изучение и, в частности, попытки модельного подхода к этой проблеме.

Глаз представляет собой орган, служащий одновременно и оптической системой и устройством для обработки информации. И с той и с другой точки зрения эта система обладает рядом удивительных свойств. Замечательна способность глаза приспосабливаться к очень широкому диапазону интенсивностей освещения и правильно воспринимать при этом все цвета. Например, находящийся в плохо освещенной комнате кусок мела отражает меньше света, чем кусок угля, вынесенный на яркий солнечный свет, тем не менее мы в каждом из этих случаев воспринимаем цвета соответствующих предметов правильно. Глаз хорошо передает относительные различия в интенсивностях освещения и даже их несколько «утрирует». Так, серая линия на ярко-белом фоне кажется нам более темной, чем сплошное поле того же серого цвета. Эта способность глаза подчеркивать контрасты освещенности связана с тем, что зрительные нейроны оказывают друг на друга тормозящее действие: если из двух соседних нейронов первый получает более сильный сигнал, чем второй, то он оказывает на второй интенсивное тормозящее действие, и на выходе этих нейронов разница в интенсивности получается больше, чем была разница в интенсивности входных сигналов. Модели, состоящие из формальных нейронов, соединенных между собой как возбуждающими, так и тормозящими связями, привлекают внимание как физиологов, так и математиков. Здесь имеются и интересные результаты и нерешенные вопросы.

Большой интерес представляет механизм восприятия глазом различных цветов. Как известно, все оттенки цветов, воспринимаемых нашим глазом, могут быть представлены как комбинации трех основных цветов. Обычно в качестве таких основных цветов берут красный, синий и желтый цвета, отвечающие длинам волн 700, 540 и 450 А, но этот выбор не однозначен.

«Трехцветность» нашего зрения связана с тем, что в глазу человека имеются рецепторы трех типов, с максимумами чувствительности в желтой, синей и красной зонах соответственно. Вопрос о том, как мы с помощью этих трех рецепторов различаем большое количество цветовых оттенков, весьма не прост. Например, недостаточно ясно еще — чем именно кодируется тот или иной цвет в нашем глазу: частотой нервных импульсов, локализацией того нейрона, который преимущественно реагирует на данный оттенок цвета, или чем-либо еще. Существуют некоторые модельные представления об этом процессе восприятия оттенков, однако они еще носят довольно предварительный характер. Несомненно, впрочем, что и здесь

существенную роль должны играть системы нейронов, соединенных между собой как возбуждающими, так и тормозящими связями.

Наконец, глаз весьма интересен и как кинематическая система. Рядом остроумных опытов (многие из них были выполнены в лаборатории физиологии зрения Института проблем передачи информации в Москве) был установлен следующий на первый взгляд неожиданный факт: если некоторое изображение неподвижно относительно глаза, то глаз его не воспринимает. Наш глаз, осматривая какой-либо предмет, буквально «ощупывает» его (эти движения глаза можно при помощи соответствующей аппаратуры точно зарегистрировать). Изучение двигательного аппарата глаза и разработка соответствующих модельных представлений достаточно интересны как сами по себе, так и в связи с другими (оптическими, информационными и т. п.) свойствами нашей зрительной системы.

Резюмируя, можно сказать, что мы еще далеки от создания вполне удовлетворительных моделей зрительной системы, хорошо описывающих все ее основные свойства. Однако ряд важных аспектов и принципов ее работы уже достаточно ясен и может быть смоделирован в виде вычислительных программ для УЦВМ или даже в виде технических устройств.

7. Модель активной среды. Распространение возбуждения. Одно из весьма характерных свойств многих живых тканей, в первую очередь нервной ткани, это их способность к возбуждению и к передаче возбуждения от одних участков к соседним с ними. Примерно раз в секунду волна возбуждения пробегает по нашей сердечной мышце, заставляя ее сокращаться и гнать кровь по всему телу. По нервным волокнам возбуждение, распространяясь от периферии (органов чувств) к спинному и головному мозгу, информирует нас о внешнем мире, а в обратном направлении идут возбуждения-команды, предписывающие мышцам те или иные действия.

Возбуждение в нервной клетке может возникнуть само по себе (как говорят, «спонтанно»), под действием возбужденной соседней клетки или же под влиянием какого-либо внешнего сигнала, скажем, электрического раздражения, идущего от некоторого источника тока. Перейдя в возбужденное состояние, клетка пребывает в нем некоторое время, а затем возбуждение исчезает, после чего наступает определенный период невосприимчивости клетки к новым раздражениям — так называемый рефрактерный период. В течение этого периода клетка не реагирует на поступающие к ней сигналы. Затем клетка снова переходит в первоначальное состояние, из которого возможен переход в состояние возбуждения. Таким образом, возбуждение нервных клеток облада-

ет рядом четко выраженных свойств, отправляясь от которых можно построить аксиоматическую модель этого явления. Далее для исследования этой модели могут быть применены чисто математические методы.

Представления о такой модели были развиты несколько лет тому назад в работах И. М. Гельфанда и М. Л. Цетлина, продолженных затем рядом других авторов. Сформулируем аксиоматическое описание модели, о которой идет речь.

Будем под «возбудимой средой» понимать некоторое множество X элементов («клеток»), обладающих следующими свойствами:

1. Каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: покой, возбуждение и рефрактерность;

2. От каждого возбужденного элемента возбуждение распространяется по множеству элементов, находящихся в покое, с некоторой скоростью v;

3. Если элемент х не был возбужден в течение некоторого определенного времени Т(х), то по прошествии этого времени он самопроизвольно переходит в возбужденное состояние. Время Т(х) называется периодом спонтанной активности элемента х. При этом не исключается и тот случай, когда Т(х) = оо, т. е. когда спонтанная активность на самом деле отсутствует;

4. Состояние возбуждения длится некоторое время m (которое может зависеть от х), потом элемент переходит на время R(x) в рефрактерное состояние, после чего наступает состояние покоя.

Похожие математические модели возникают и в совсем других областях, например в теории горения, или в задачах о распространении света в неоднородной среде. Однако наличие «периода рефрактерности» является характерной чертой именно биологических процессов.

Описанную модель можно исследовать или аналитическими методами, или с помощью реализации ее на вычислительной машине. В последнем случае мы, понятно, вынуждены считать, что множество X (возбудимая среда) состоит из некоторого конечного числа элементов (в соответствии с возможностями существующей вычислительной техники — порядка нескольких тысяч). Для аналитического исследования естественно предполагать X некоторым непрерывным многообразием (например, считать, что X — это кусок плоскости). Простейший случай такой модели получается, если принять за X некоторый отрезок (прототип нервного волокна) и предположить, что время, в течение которого каждый элемент находится в возбужденном состоянии, очень мало. Тогда процесс последовательного распространения импульсов по такому «нервному волокну» может быть описан цепочкой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Уже в

этой упрощенной модели воспроизводится ряд особенностей процесса распространения, обнаруживаемых и в реальных биологических экспериментах.

Весьма интересен как с теоретической, так и с прикладной медицинской точки зрения вопрос об условиях возникновения в такой модельной активной среде так называемой фибрилляции. Это явление, наблюдаемое экспериментально, например на сердечной мышце, состоит в том, что вместо ритмических согласованных сокращений в сердце возникают беспорядочные локальные возбуждения, лишенные периодичности и нарушающие его функционирование. Впервые теоретическое исследование этой проблемы было предпринято в работе Н. Винера и А. Розенблюта в 50-х годах. В настоящее время работы в этом направлении интенсивно ведутся у нас и дали уже ряд интересных результатов.

5. Некоторые математические проблемы, связанные с биологическими исследованиями

До сих пор мы все время говорили о возможностях и перспективах применения математических методов для нужд биологии. Но не менее важна и «обратная связь» — влияние биологических исследований на развитие математики, на возникновение новых математических проблем. За последние десятилетия это влияние биологии на математическую проблематику стало достаточно существенным. В этом заключительном разделе нашего краткого очерка мы рассмотрим некоторые математические проблемы, возникшие полностью или в значительной мере в связи с теми или иными биологическими исследованиями.

1. Проблемы надежности и скорости. Одно из замечательных свойств живых систем — это их надежность. Еще сравнительно недавно старые кадровые артиллеристы, сетуя на замену в артиллерии конной тяги механической, выдвигали в качестве основного аргумента то, что живое существо — лошадь — гораздо надежнее в работе, чем самый совершенный механизм. Вместе с тем элементы, из которых строится живая система, — отдельные клетки — вовсе не обладают такой уж большой надежностью. Их ответы на те или иные воздействия довольно неустойчивы, а сами клетки легко разрушаются. Это положение обратно тому, с которым мы обычно встречаемся в технических системах. Там, как правило, усложнение конструкции требует для обеспечения работоспособности системы все большей надежности отдельных ее элементов. Например, если в радиоприемнике имеется пять ламп, каждая из которых служит в среднем 1000 часов, то такое

устройство можно считать достаточно надежным. А если взять ламповую вычислительную машину (в настоящее время такие машины почти совсем вышли из употребления, но в 50-х годах они были широко распространены), содержащую несколько тысяч ламп, то при той же надежности этих элементов машина в целом весьма ненадежна, поскольку в среднем через каждые 10—15 минут какая-то из ламп в машине Перегорает, а при этом машина выходит из строя.

Какими же способами в живых организмах достигается такая надежность системы, которая существенно превосходит надежность составляющих ее элементов? Как математическая проблема этот вопрос впервые был рассмотрен Дж. Нейманом. Изучая сети, составленные из элементов, каждый из которых может с некоторой вероятностью «не сработать», он показал, что вероятность «несрабатывания» такой сети в целом можно, при соответствующей оранизации ее работы, сделать сколь угодно малой. Например, если имеется достаточно большой запас ненадежных выключателей, каждый из которых с некоторой вероятностью е* не замыкает сеть в положении «включено» и с той же вероятностью не размыкает ее в положении «выключено», то из них можно собрать схему, которая будет работать как выключатель, имеющий сколь угодно малую вероятность ошибки.

В такого рода схемах надежность достигается применением процедуры, аналогичной «принятию решения большинством голосов». При этом, однако, увеличение надежности достигается за счет возрастания числа элементов, составляющих сеть. По-видимому, нет достаточных оснований считать, что принципы, найденные Дж. Нейманом для построения надежных схем из ненадежных элементов, — единственные, с помощью которых может быть решена задача обеспечения надежности, и что именно так она решается в живых системах. Таким образом, вопрос о тех общих принципах, которые обеспечивают надежность живых систем, еще далеко не решен.

Проблема надежности, о которой мы упомянули, родственна в известной мере другой проблеме, которую можно назвать проблемой скорости. Как известно, современная вычислительная машина производит арифметические операции со скоростью несравненно большей, чем человек. Тем не менее при решении некоторых задач человеческий мозг вполне мо-

* При этом следует полагать, что е < 1/2, так как если е > 1/2, то это просто означает, что положения «включено» и «выключено» нужно поменять местами, а при е = 1/2 изменение положения выключателя вообще не играет никакой роли и из таких выключателей ничего разумного собрать нельзя.

жет конкурировать по скорости с самой быстродействующей машиной. Предположим, человеку задается вопрос: «Смотрели ли Вы вчера в телескоп?». Как правило, для ответа на этот вопрос человеку достаточно доли секунды. (Может быть, лишь астроном-наблюдатель, для которого смотреть в телескоп — обычное, но все же не ежедневное занятие, задумается на больший срок). При этом человек вовсе не должен вспоминать в деталях весь свой вчерашний день (встал, умылся, позавтракал и т. д.), чтобы дать верный ответ. Он сразу же использует некоторую более общую информацию (например: «никогда в жизни не смотрел в телескоп» или: «смотрел, но это было очень давно»). А для машины нет аналогичных способов быстрого получения ответа. Если мы хотим выяснить, не записана ли в ее памяти (неизвестно, в каком месте) какая-либо определенная информация, то у нас нет иного способа, как перебрать по очереди все ячейки ее памяти. Обследование каждой отдельной ячейки делается быстро, однако при большом объеме памяти весь процесс такого последовательного поиска займет немало времени.

С тем обстоятельством, что человеческий мозг успешно справляется с задачами, требующими, казалось бы, перебора столь большого числа вариантов, что это затруднительно даже для электронной машины, мы сталкиваемся в самых разнообразных случаях, например при игре в шахматы. Хороший шахматист «видит» все возможности игры на несколько ходов вперед и безошибочно рассчитывает многоходовые комбинации, учитывая все возможные варианты. Как показывает несложный подсчет, если при этом действительно перебирать все допустимые правилами игры собственные ходы и все возможные ответы противника, то такой перебор окажется непосильным даже для самых быстрых электронных машин. Высказываемое иногда предположение, что в мозгу на самом деле происходит весьма быстрая, но не контролируемая нашим сознанием переработка информации, представляется маловероятным, так как для этого нужно было бы предположить существование в нервных клетках каких-то неизвестных нам и необычайно быстрых физико-химических процессов (ведь обработка информации — обязательно материальный процесс). Следовательно, экономия времени в такого рода ситуациях достигается не за счет каких-либо сверхбыстрых процессов, а за счет применения методов обработки информации, существенно отличных от полного перебора. В последнее время в связи с развитием так называемого эвристического программирования, т. е. применения вычислительных машин к решению разного рода невычислительных задач (сюда относится и составление программ для игры в шахматы), был выполнен ряд исследований, посвященных различным методам, повышающим эффективность перебора

возможных вариантов с целью выбора наилучшего. Полученные при этом математические результаты позволили, например, реализовать на сравнительно медленной вычислительной машине М-20 такую программу для игры в шахматы, которая для каждого хода проделывает анализ на 5 полуходов вперед (т. е. оценивает положение, возникающее после трех собственных ходов и двух ответов противника). Такую программу на машине М-20 (да и на более быстродействующей) заведомо невозможно реализовать, если пользоваться лишь методом полного перебора всех возможных вариантов.

Математические результаты, относящиеся к исследованию наиболее эффективных методов обработки и использования больших массивов информации, представляют существенный интерес. Однако то, что сделано в этом направлении до сих пор, не дает еще достаточно ясного ответа на вопрос о том, как справляются с такого рода задачами живые системы. Таким образом, наряду с парадоксом о надежных системах, построенных из ненадежных элементов, живые организмы приводят нас еще к одному парадоксу, который можно сформулировать так: быстрые системы, построенные из медленных элементов.

2. Автоматы в случайных средах. Одно из важных качеств живых систем состоит в том, что можно назвать целесообразностью их поведения. Каждое живое существо действует так, чтобы обеспечить себе возможно более благоприятные условия (ищет пищу, уклоняется от опасности и т. д.). Естественно, возникает желание построить формальную математическую модель того, что мы называем целесообразностью поведения. Это было осуществлено М. Л. Цетлиным в развитой им теории поведения автоматов в случайных средах. Попытаемся кратко изложить основные идеи этой теории.

Под автоматом, или, точнее, конечным автоматом, понимается некоторое устройство A, обладающее следующими свойствами:

1. Это устройство имеет некоторое фиксированное число состояний s1, s2,.., sn. В каждый момент времени автомат находится в одном из этих состояний;

2. Автомат может производить некоторое число действий φ1, φ2, .., φl; выбор действия определяется состоянием автомата;

3. Автомат может получать от внешней среды некоторое число различных сигналов f1, f2, ..., fk и в зависимости от получаемого сигнала менять свое состояние.

Рассмотрим тот простейший случай, когда входной сигнал, получаемый автоматом от внешей среды, принимает толь-

ко два значения: f=1 и f=0, которые мы условно назовем «поощрением» и «штрафом» (или «отсутствием поощрения»).

Мы скажем, что автомат А находится в стационарной случайной среде, если действия автомата и сигналы, получаемые им от внешней среды, связаны следующим образом: в ответ на действие фа, совершаемое в момент времени t, автомат в момент t+1 с вероятностью ра получает поощрение, а с вероятностью q=1—ра получает штраф*. Если автомат совершает все свои действия с одной и той же вероятностью и независимо от воздействия среды, то математическое ожидание его выигрыша (за один такт работы) равно

где t — число действий. Далее очевидно, что при любом поведении автомата математическое ожидание его выигрыша заключено между minра (что соответствует непрерывному повторению самого невыгодного действия) и maxра (что отвечает наивыгоднейшему действию). Если бы вместо автомата действовал человек, который знал бы величины ра , то его тактика была бы очевидна: он все время повторял бы то действие, которому отвечает максимальное ра , и получал бы (в среднем) максимальный возможный выигрыш, равный maxpa Но мы рассматриваем не человека, а автомат, который такими сведениями не располагает, а может лишь в зависимости от получаемых от среды сигналов переходить из одного состояния в другое и, следовательно, менять свои действия. То, как автомат меняет свои состояния (а следовательно, и действия) в ответ на сигналы среды, называется тактикой автомата. Мы скажем, что автомат обладает целесообразной тактикой, если математическое ожидание его выигрыша больше, чем 1/l (p1 + p2 + ... + pl), т. е. больше, чем выигрыш, отвечающий чисто случайному поведению. Нетрудно указать примеры автоматов, обладающих целесообразным поведением. Более того, можно доказать следующее утверждение: если среда (т. е. вероятности ра) задана, то для каждого положительного числа 8 можно построить такой автомат, что математическое ожидание его выигрыша будет меньше, чем на е отли-

* Величины ра и qa зависят от состояния автомата, но не зависят от момента времени t. В этом и состоит смысл термина «стационарная» среда. Время мы здесь для удобства считаем не непрерывным, а дискретным.

чаться от max pa, т. е. от максимально возможного выигрыша.

Приведем элементарный пример автомата, обладающего целесообразным поведением. Пусть автомат A2,2 имеет два состояния s1 и s2 и два действия φ1 и φ2, причем в состоянии s1 совершается действие φ1, а в состоянии s2. — действие φ2. Пусть тактика этого автомата состоит в том, что при получении поощрения она сохраняет свое состояние, а при штрафе — меняет. Если в соответствии с введенными выше обозначениями p1 и q1 = 1—p1 — вероятности поощрения и штрафа в первом состоянии, а р2 и q2=1—p2 — аналогичные вероятности для второго состояния, то, как нетрудно показать, наш автомат (независимо от своего состояния в начальный момент) будет на протяжении длительного промежутка времени с вероятностью находиться в состоянии s1, а с вероятностью — — в состоянии s2. Так как в состоянии si (i=1,2) математическое ожидание выигрыша равно рп то окончательно математическое ожидание выигрыша для нашего автомата равно

Предположим, что р1 ≠ р2 (если p1 = р2, то все тактики автомата дают один и тот же результат). Тогда элементарный подсчет показывает, что

т. е. наш автомат выигрывает больше, чем автомат, выбирающий свои действия случайно.

Если параметры среды (т. е. вероятности ра) не постоянны, а меняются с течением времени случайным образом, то опять-таки можно ставить вопрос об автомате, обладающем в данной среде целесообразным поведением. Можно, например, считать, что имеются две стационарные среды и автомат случайным образом переходит из одной среды в другую. При этом ему нужно после каждого перехода «адаптироваться к новым условиям», и важно, чтобы это время адаптации было мало по сравнению со временем, в течение которого среда остается постоянной. Иначе автомат не будет успевать приспосабливаться к перемене условий существования.

Вместо взаимодействия одного автомата со средой можно рассматривать поведение коллектива взаимодействующих между собой автоматов в некоторой среде. При этом возможный выигрыш каждого автомата определяется как его

собственной тактикой, так и тактикой остальных автоматов, которые по отношению к каждому фиксированному автомату тоже играют роль своего рода «внешней среды».

Мы не имеем возможности излагать здесь теорию поведения автоматов сколько-нибудь подробно. Нам хочется лишь подчеркнуть, что такое, казалось бы, далекое от математики понятие, как понятие целесообразности поведения живого организма, на самом деле, при соответствующей его формализации, приводит к постановке точных задач и к интересным и важным математическим результатам.

3. «Метод оврагов». Задача о «разумном» или «целесообразном» функционировании той или иной системы, биологической или технической, родственна, по существу, чисто математической задаче об отыскании экстремума (для определенности, скажем, минимума) некоторой функции многих переменных. Действительно, обычно можно бывает связать с системой некоторую функцию Ф (оценочную функцию) так, чтобы ее минимум отвечал тому состоянию системы, которое с некоторой точки зрения является оптимальным.

Если бы оценочная функция, о которой идет речь, была задана какой-то формулой, то для нахождения ее минимума можно было бы воспользоваться хорошо известным из анализа приемом: продифференцировать эту функцию по каждому из аргументов, приравнять эти производные нулю и решить полученную таким образом систему уравнений*. Однако в задачах, связанных с физиологией, мы обычно не можем дать аналитического выражения для оценочной функции. Поэтому поиск ее минимума должен, по необходимости, сводиться к серии проб, или чисто случайных, или подчиненных определенной тактике. Так как наша оценочная функция, вообще говоря, меняется со временем (то состояние, которое благоприятно для системы в данный момент, может оказаться непригодным для нее в дальнейшем в силу изменения окружающих условий), то процесс отыскания ее минимума должен повторяться многократно и не быть слишком длительным (иначе существенное изменение ситуации произойдет раньше, чем мы закончим поиск). Какие же возможны разумные тактики такого поиска?

Если о функции Ф = Ф(х1, х2, .., xn) нам ничего не известно, то для отыскания ее минимума нельзя предложить ничего лучшего, чем так называемый слепой поиск, состоящий в том, что различные точки в пространстве параметров просматриваются в том или ином случайном порядке. В каждой из выбираемых точек находится значение оценочной функции и по-

* Впрочем, при большом числе переменных этот путь мало эффективен и в том случае, если функция задана аналитически.

иск прекращается тогда, когда находится значение, не превосходящее некоторого допустимого предела. После того как, в силу изменения оценочной функции во времени, ее значение в данной точке превысит допустимый предел, поиск возобновляется. Ясно, что такой поиск, особенно в случае большого числа параметров, может быть весьма продолжительным. Например, если бы человек обучался координации движений при ходьбе с помощью «слепого поиска», то скорее всего он не научился бы ходить до конца жизни.

Если оценочную функцию можно считать непрерывно зависящей от параметров, то для отыскания ее минимума можно применять различные методы локального поиска, общей основой которых служит следующая идея: изучив поведение функции в окрестности некоторой точки, мы устанавливаем, в каких направлениях функция убывает, и в соответствии с этим перемещаемся в новую точку. Например, определяем в данной точке направление наибыстрейшего убывания функции и затем сдвигаемся в этом направлении на определенное расстояние (так называемый «градиентный метод»). Однако во всех таких процессах локального поиска существует опасность «зацикливания», т. е. блуждания в окрестности какой-то локальной «ямы», в которой значения функции меньше, чем в близлежащих точках, но весьма далеки от абсолютного минимума.

Опасность такого зацикливания делает существенным использование тех или иных методов нелокального поиска. Однако для того чтобы получить на этом пути результаты, существенно лучшие, чем слепой поиск, нужно, чтобы наша функция была соответствующим образом организована. Поясним смысл этого, рассмотрев так называемый «метод оврагов», предложенный для отыскания экстремумов функций многих переменных И. М. Гельфандом и М. Л. Цетлиным. Идея этого метода возникла на основе изучения особенностей поведения живых систем.

Предположим, что переменные, от которых зависит функция Ф, могут быть разбиты на две группы, скажем х1, х2, xn и y1, y2, .., yk. Допустим, что большинство переменных входит в первую группу и что изменение значений этих параметров заметно меняет значение функции Ф. Эти переменные мы назовем несущественными. Вторая группа включает небольшое число переменных (может быть, всего 2—3) и от них функция Ф зависит сравнительно слабо. Эти переменные называются существенными. То обстоятельство, что изменение несущественных переменных достаточно резко сказывается на значении оценочной функции, позволяет сравнительно просто подобрать подходящие значения этих переменных; поэтому основные затруднения при отыскании экстремума связаны с наличием существенных переменных (именно этим и объясняет-

ся та на первый взгляд несколько нелогичная терминология, которую мы ввели). Конечно, не всякая функция многих переменных допускает такое разбиение параметров на существенные и несущественные. Однако для многих функций, возникающих из практических задач, такое положение имеет место. В частности, с такой ситуацией приходится встречаться в задачах координации движений. Грубая схема того или иного движения (бег, прыжок, плавание, удар ракеткой по мячу и т. д.) усваивается человеком, как правило, сравнительно легко (на нашем языке — легко находятся нужные значения «грубых», несущественных параметров этого движения), после чего начинается трудная и кропотливая «отработка техники», совершенствование деталей этого движения (т. е. выбор оптимальных значений существенных параметров).

Разумеется, и в тех случаях, когда рассматриваемая функция обладает «организацией» в указанном выше смысле, мы не можем заранее выделить существенные и несущественные параметры, а лишь исходим из возможности такого выделения. Само же выделение существенных и несущественных переменных должно происходить автоматически, в процессе отыскания экстремума.

Таковы те общие соображения, которые были положены в основу «метода оврагов». Сам этот метод состоит в следующем. Сперва в пространстве переменных выбираем некоторую произвольную точку Х0 и, отправляясь от нее, начинаем поиск минимума каким-либо локальным способом, например спуском по градиенту. Спуск продолжается до тех пор, пока дальнейшее продвижение не станет малоэффективным, т. е. пока отношение △Ф/Ф (где △Ф — изменение Ф за один шаг) не станет меньше некоторой заданной величины △. Величину △ не надо брать слишком малой, так как там, где △Ф/Ф мало, различие между существенными и несущественными переменными исчезает и применение локального спуска приводит к блужданию, не приближающему нас к цели.

Пусть локальный спуск привел нас в некоторую точку M0. Зафиксируем ее и выберем некоторую точку Х1 в окрестности исходной точки Х0, но отстоящую от X0 на расстояние, существенно превышающее шаг градиентного спуска. Применив в точке Х1 локальный спуск, придем в некоторую точку M1. После этого соединяем точки M0 и прямой, выбираем на этой прямой точку Х2, отстоящую от точки M0 на некоторое расстояние L, существенно превышающее первоначально выбранный градиентный шаг, и затем с шагом L производим из Х2 спуск, приводящий нас в некоторую точку M2. Далее, по точкам M1 и M2 выбирается точка Х3 так же как по M0 и M1 выбиралась точка Х2, и процесс повторяется.

Наглядный смысл метода состоит в следующем. Разделение переменных на существенные и несущественные означает, что поверхность, определяемая рассматриваемой функцией Ф, имеет вид рельефа, прорезанного «оврагами», и мы сперва нащупываем направление такого «оврага» (прямая M0M1), а потом идем по дну этого оврага к возможно более низкой точке (см. рис. 5).

Рис. 5

Схема «метода оврагов».

«Метод оврагов» был с успехом применен к решению ряда задач, например к изучению молекулярной структуры некоторых аминокислот по данным рентгеноструктурного анализа.

4. Формальные модели самовоспроизведения. Во все времена одной из самых характерных черт живых существ считалась их способность к порождению себе подобных. Вопрос о том, способны ли к такому воспроизведению не живые существа, а машины, представляется на первый взгляд не очень серьезным. Дж. Нейман был первым, кто поставил его как строгую научную проблему и получил здесь глубокие, результаты. Его интерес к этим вопросам стимулировался как желанием разобраться в фундаментальных свойствах биологических систем, так и стремлением выяснить те возможности, которыми обладают (хотя бы в принципе) создаваемые человеком автоматические конструкции.

Некоторыми авторами, в том числе и самим Дж. Нейманом, были предложены различные физические конструкции, обладающие способностью к самовоспроизведению. Точнее, речь идет о следующем: некоторое устройство, «машину», помещают в среду, в которой находятся в достаточном количестве соответствующие детали («пища»). Машина отбирает необходимые детали и создает из них собственную копию. В отсутствие же первоначальной машины, т. е. «родителя», детали «сами собой» в такую машину не соединяются.

Некоторые из таких конструкций весьма остроумны. Так, например, Пенроуз придумал следующую модель: весь запас

деталей состоит из двух типов плоских кусков твердого материала, снабженных выступами и захватами. Обозначим эти два типа деталей символами А и В. Элементы А и В могут сцепиться друг с другом двумя различными способами, образуя либо машину AB, либо машину ВА. Если в закрытый ящик поместить машину AB и запас элементов обоих типов, то при встряхивании ящика в нем (за счет сил сцепления и силы тяжести) будут возникать новые копии машины AB (но не ВА). Если же первоначально в ящик поместить машину ВА и запас деталей, то при встряхивании будут возникать новые экземпляры машины ВА (но не AB).

Построение подобных моделей весьма увлекательно, но мы рассмотрим сейчас чисто логическую сторону дела, т. е. будем интересоваться не физическими, а математическими моделями самовоспроизведения.

Представим себе плоскость, разбитую на квадратные клетки. Предположим, что в каждой такой клетке «живет» некий автомат, имеющий конечное число состояний. Время будем считать дискретным. Предположим, что состояние каждого автомата в момент времени Т определяется состоянием самого этого автомата и всех его соседей в момент Т—1, Будем, наконец, считать, что для каждого автомата есть состояние, называемое покоем, и что в каждый момент времени все автоматы, кроме конечного их числа, находятся в этом состоянии.

Назовем конфигурацией любой фиксированный набор клеток, в каждой из которых для находящегося в ней автомата зафиксировано его состояние. Конфигурация С' называется копией конфигурации С, если одна из них может быть переведена в другую с помощью некоторого движения плоскости. Пусть С — некоторая конфигурация и пусть в момент T=0 во всех клетках, не принадлежащих С, автоматы находятся в состоянии покоя. Говорят, что эта конфигурация способна произвести n потомков за время T, если в какой-то момент Т'<Т в конфигурации, состоящей из всех активных (т. е. не находящихся в состоянии покоя) клеток, имеется n попарно непересекающихся копий конфигурации С. Конфигурация называется неограниченно размножающейся, если для каждого n найдется время Т, за которое эта конфигурация способна воспроизвести n потомков.

Описанная формальная схема представляется, конечно, чрезвычайно упрощенной по сравнению с теми процессами самовоспроизведения, которые мы наблюдаем в живой природе. Однако эта упрощенная схема допускает постановку и строгое математическое решение ряда интересных и важных вопросов, таких, как существование нетривиальных (т. е. достаточно сложных) неограниченно размножающихся конфигураций, оценка возможной скорости их размножения, существо-

вание конфигураций, которые можно задать в начальный момент, но которые не могут быть получены в момент Т>0 ни из какой конфигурации, заданной в начальный момент*, и т. д. Таким образом, здесь мы опять-таки, как и во многих других случаях, исходя из некоторого реального явления (в данном случае — размножения), строим абстрактную модель, сохраняющую лишь некоторые, самые основные черты этого явления, но зато уже достаточно простую, чтобы ее исследование можно было строить как точную математическую теорию.

5. Проблемы искусственного интеллекта и распознавание образов. До сих пор мы касались, в основном, математических моделей и проблем, возникающих в связи с такими биологическими процессами, как выполнение движений, распространение возбуждения, размножение (самовоспроизведение). Все эти процессы связаны с «животной», а не с «интеллектуальной» активностью. Но в последнее время возник большой интерес к проблемам, которые принято называть проблемами «искусственного интеллекта». Под этим понимается решение, с помощью вычислительных машин и соответствующих программ для них, задач, которые мы считаем специфическими для сознательной деятельности разумного существа. Конечно, выполнение сложных вычислений, с которыми машина справляется несравненно быстрее, чем человек, — это тоже интеллектуальная деятельность, но речь идет не об этом, а о задачах не вычислительного характера. Например, может ли машина «научиться» играть в шахматы хотя бы на уровне рядового шахматиста, а если это возможно, то какие принципы должны быть положены в основу ее обучения? Задача составления и исследования «шахматных программ» уже дала ряд интересных и важных математических результатов, значение которых выходит за пределы шахматной проблематики.

Сейчас делаются уже небезуспешные попытки осуществить на вычислительных машинах такую «высокоинтеллектуальную» деятельность, как нахождение формулировок и доказательств математических теорем. Несомненно, впрочем, что в этой области мы достигли бы значительно больших успехов, если бы сами математики могли разобраться в том, как они справляются с подобной деятельностью. По-видимому, однако, значительная часть такого рода деятельности лежит в какой-то плохо контролируемой подсознательной области.

* Конфигурацию, которая не может быть получена ни из какой начальной, называют «конфигурацией райского сада» (по библейским сказаниям, люди начали свое существование в райском саду, но вернуться туда уже не могут).

К проблемам искусственного интеллекта примыкает и так называемое распознавание образов, о котором мы уже упоминали выше в связи с задачей анализа кардиограмм. Будем для определенности говорить о зрительных образах, хотя можно было бы рассматривать и образы какой-либо иной природы (скажем, воспринимаемые с помощью слуха или осязания). Для того чтобы разъяснить сущность такого рода проблем, рассмотрим следующий пример. Допустим, что человеку, не знающему букв, показывают различные начертания разных букв и каждый раз говорят, что это за буква. Вскоре этот человек научится распознавать буквы, причем не только в тех начертаниях, которые он видел, но и в других. Едва ли этот человек смог бы сам точно сформулировать те признаки, по которым он отличает одну букву от другой. Точно так же мы не можем детально описать, как именно (по каким формальным признакам) мы отличаем кошку от собаки, хотя и делаем это достаточно легко и уверенно.

Возникает желание, с одной стороны, проанализировать те методы, с помощью которых задачу узнавания решает человек, а с другой — составить программу, дающую решение такого рода задач на вычислительной машине. Видимо, процесс распознавания образов, осуществляемый нашим мозгом, основан в общих чертах на следующих принципах, которыми мы пользуемся подсознательно. В том материале, который предъявляется для обучения распознавания тех или иных объектов, мы фиксируем различные «признаки этих объектов (размер, форма, окраска и т. п.) и отбираем те из них, которые полезны в данной задаче (например, если нужно отличать зайцев от кошек, то число ног — бесполезный признак, поскольку их по четыре и у тех и у других, а длина ушей — полезный признак, поскольку у кошек и у зайцев она сильно различается). Отобрав некоторое, сравнительно небольшое число таких полезных признаков, наш мозг пользуется ими в дальнейшем для опознавания новых объектов. Важно, что при этом мы не имеем заранее никакого списка «полезных» или, точнее, «несущих информацию» признаков; их отбор происходит в процессе самого обучения. При переходе к новой задаче — распознаванию объектов других типов — отбор этих признаков производится заново.

Описанные принципы могут быть положены в основу составления машинной программы распознавания образов. Однако реализация этих принципов на вычислительной машине связана с рядом математических проблем, в известной мере аналогичных тем, которые возникают, например, при составлении шахматных программ. В частности, здесь мы снова сталкиваемся с уже упоминавшимся парадоксом: мозг, состоящий из медленно работающих нейронов, решает задачи типа распознавания несравненно быстрее, чем быстродейст-

вующая вычислительная машина. Например, в экспериментах по узнаванию, проведенных М. М. Бонгардом и его сотрудниками на машине М-20, распознавание буквы «А» занимало около 20 секунд, а человеку для решения подобных и даже значительно более сложных задач распознавания достаточно долей секунды.

Видимо, настанет время, когда математическая биология превратится в такое же мощное орудие исследования живой природы, каким применительно к физическим явлениям служит сейчас теоретическая физика. Вместе с тем несомненно и то, что биологические проблемы послужат источником многих математических исследований. Если пока что эти исследования развиваются не слишком быстро, то это объясняется не недостатком биологических проблем, требующих математической разработки, а сложностью этих проблем. С некоторыми уже полученными в этой области результатами мы постарались познакомить читателя этой маленькой книжки.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Предисловие 3

1. Введение. Математика и изучение реального мира 4

2. Применение в биологических исследованиях электронных вычислительных машин 8

3. Некоторые общие принципы управления большими системами 20

4. Математические модели в биологии 25

5. Некоторые математические проблемы, связанные с биологическими исследованиями 33

СЕРГЕИ ВАСИЛЬЕВИЧ ФОМИН

Математико в биологии

Редактор В. Ю. Иваницкий Обложка Л. П. Ромасенко Художественный редактор Е. Е. Соколов Технический редактор Е. М. Лопухова Корректор Н. П. Бут

A 01428. Сдано в набор 9.1 1969 г. Подписано к печати 20.11 1969 г. Формат бумаги 60×90/16. Бумага типографская № 3. Бум. л. 1.5. Печ. л. 3,0. Уч.-изд. л. 2,66. Тираж 69 000 экз. Издательство «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Заказ 72. Типография изд-ва «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Цена 9 коп.

9 коп.

Индекс 70096

УВАЖАЕМЫЙ ТОВАРИЩ!

Вы только что прочли книгу Фомина С. В. «Математика в биологии».

Если Вы приобрели ее в книжном магазине или киоске, сообщаем Вам, что эта работа вышла в подписной серии «Математика, кибернетика», выпускаемой издательством «Знание». Всего в серии издается 12 номеров в год. Следующие выпуски Вы можете получить прямо на дом, подписавшись в любом отделении связи или у общественных распространителей печати по месту Вашей работы или учебы. Это удобнее, тем более, что не все книги этой серии поступают в розничную продажу.

Подписка на эту серию проводится на год, полугодие или квартал. В каталоге «Союзпечати» Вы найдете эту серию в разделе «Научно-популярные журналы» под рубрикой «Брошюры издательства «Знание». Стоимость подписки на один квартал — 27 коп. Индекс серии 70096.

До конца 1969 года подписчики серии «Математика, кибернетика», получат, в частности, следующие работы:

Математика в современном мире (сборник статей).

Мудров Б. И., доктор технических наук. Задача о коммивояжере.

Чудинов Э. М., кандидат философских наук. Бесконечность в математике.

И целый ряд других интересных работ.

Издательство «Знание»