СЕРИЯ

новое в жизни науке технике

математика кибернетика

1970

6

П.М. Эрдниев

АНАЛОГИЯ В МАТЕМАТИКЕ

П. М. ЭРДНИЕВ,

кандидат педагогических наук

АНАЛОГИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Издательство «Знание»

Москва 1970

Среди различных форм умозаключений, наиболее часто используемых в науке, важное место принадлежит умозаключениям по аналогии. В данной брошюре, построенной на математическом материале, рассматривается вопрос о месте аналогии в мышлении. Автор рассматривает не только собственно математическую (логическую) сторону умозаключений по аналогии, но и обсуждает некоторые психологические аспекты данной проблемы.

517

Э75

2—2—3

№ 66—1970

ЕДИНСТВО ПРИРОДЫ ОБНАРУЖИВАЕТСЯ В «ПОРАЗИТЕЛЬНОЙ АНАЛОГИЧНОСТИ» ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОТНОСЯЩИХСЯ К РАЗНЫМ ОБЛАСТЯМ ЯВЛЕНИЙ.

В. И. ЛЕНИН

ВВЕДЕНИЕ

...Аналогия иногда бывает так поразительна, что трудно подвергать сомнению вывод, которому она благоприятствует. Если же отказаться от ее пособия, то часто надобно будет отказаться от всякого положительного вывода.

Н. Г. Чернышевский

До открытия алмазных месторождений в Якутии было известно, что геологическая структура Южно-Африканского плоскогорья имеет много общего с геологической структурой Восточно-Сибирской платформы. Случайное обнаружение в устье одной из речек Якутии голубоватого минерала, который находили ранее в алмазных жилах Южной Африки, еще больше укрепило предположение о возможности алмазных россыпей в Якутии. Последовавшие затем настойчивые поиски действительно подтвердили это предположение, и теперь в Якутии налажена индустриальная добыча этого драгоценного камня.

Таких открытий, совершаемых по аналогии, много как в обыденной жизни человека, так и в деятельности ученого. Умозаключения по аналогии присутствуют в логике рассуждений врача, ставящего диагноз по сходству признаков болезни. Без суждения по аналогии не могут обойтись юристы, решая правовые вопросы.

В биологии Чарльз Дарвин ввел в употребление понятия «естественный отбор», исходя из аналогичного явления — искусственного отбора, веками практикуемого человеком для улучшения породы домашних животных.

Д. И. Менделеев, как известно, совершил великий научный подвиг, открыв периодическую систему элементов. Им же были предсказаны свойства новых элементов — здесь также немалую роль сыграла аналогия. Так, в одной из

групп таблицы, названной его именем, оказались элементы: S32 (сера), As75 (мышьяк), Ser (селен — неизвестный еще элемент), Br85 (бром), Te127 (теллур). Требовалось определить атомный вес еще ненайденного элемента — селена, занимавшего в данной группе среднее положение.

Менделеев применил простейшую формулу среднего арифметического:

Действительный атомный вес селена, определенный позднее, оказался весьма близким к предсказанному. На справедливость данного умозаключения указывало то, что у других известных элементов аналогичных групп было подмечено то же соотношение количественных характеристик.

В творчестве ученых, работающих в любой отрасли науки, сопоставление предметов и явлений и умозаключения по аналогии является основой при разработке новых гипотез и выявлении новых закономерностей. Например, закономерность распространения звука в воздухе была установлена на основе сравнения этого явления с распространением волн на поверхности воды. В свою очередь, оказалось, что звуковые и световые волны также имеют много одинаковых свойств (отражение, преломление, интерференция). Поскольку звук вызывается механическими колебаниями тела, то по аналогии была высказана гипотеза, что и свет тоже имеет волновую природу (что и было подтверждено впоследствии).

Определенное соответствие обнаружилось между двузначной формальной логикой (суждения которой могут быть либо истинными, либо ложными) и двоичной системой счисления в арифметике, оперирующей лишь двумя цифрами (1 и 0). Благодаря этому оказалось возможным с невероятной скоростью решать на электронных вычислительных машинах разнообразные логические задачи, ранее считавшиеся исключительной прерогативой «таинственной» духовной деятельности человека.

В других случаях, когда требуется быстро получить приближенные результаты, более удобными оказываются так называемые аналоговые вычислительные машины. Аналогии, используемые в этих машинах, позволяют решать, например, механические задачи с помощью соответствующих электрических схем, и наоборот.

При конструировании электростанций, самолетов, мостов и прочих сложных сооружений выбор оптимального решения производят сравнением нескольких основных вариантов не только на реальных моделях (уменьшенных копиях объекта), но и нередко на так называемых функциональных моделях. В смысле своего физического воплощения функционалы

ные модели не имеют ничего общего с оригиналом. Так, скажем, параметры проектируемой плотины могут быть представлены в виде электрической, схемы. Как результат широкого применения этих методов на практике, в современной науке возникла научная дисциплина — теория моделей, конечная цель которой состоит в обслуживании подобных исследований.

В последние десятилетия, как известно, бурно развивается кибернетика. Ее возникновение связано с установлением определенного сходства между машинами, с одной стороны, и живыми организмами — с другой. Выяснилось, что структурные и функциональные аналогии разного рода существуют между организмами, стоящими на низших и высших ступенях эволюционной лестницы, между частями одного организма и всем организмом, между клеткой и группой клеток и т. д.

На стыке биологии и кибернетики возникла другая новая наука — бионика. Бионические исследования помогают создавать новые приборы для переработки информации на основе изучения информационных структур живой природы. Так, на основе изучения особенностей зрительной системы лягушки удалось сконструировать устройство, автоматически регулирующее полеты над аэродромом (количество самолетов в воздухе, очередность захода на посадку и т. п.); исследование соответствующего органа медуз позволило создать прибор, предупреждающий о приближении шторма, не случайно названный «ухом медузы», и т. д.

Понятия «информация», «память», «обратная связь», «управление», «самоорганизация» стали фундаментальными понятиями кибернетики. Они характеризуют сходные в чем-то (пусть в остальном различающиеся) явления, наблюдаемые в природе. Это понятия столь разных на первый взгляд процессов, как взаимодействие механизмов внутри общей системы машин, взаимодействие людей в коллективе, коллективов в обществе и др.

Логические основы всех подобных исследований связаны самым тесным образом с умозаключениями по аналогии. Можно сказать без преувеличения, что аналогия «обслуживает» буквально все науки.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ПО АНАЛОГИИ

Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны... без аналогии.

Д. ПОЙА

Отнюдь не случайно, что общей проблеме аналогии в математике посвящены крупные исследования и математиков и логиков (см., например, книги Д. Пойа [5, 6] и А. И. Уемова [8]).

Суждения по аналогии имеют особо важное значение в математическом мышлении. Владение этими средствами умозаключения в равной мере помогает как творчеству ученого-математика, так и успешному обучению этой науке или самостоятельному изучению ее.

В процессе изучения окружающего мира и овладения силами природы человек многократно замечал характерную связь: если два предмета имеют некоторые одинаковые признаки, то очень часто (но не всегда!) оказывалось, что они имели и некоторые другие общие признаки. В результате подобных наблюдений, где данная элементарная связь между предметами проявлялась много и много раз, выработался следующий прием формирования новой мысли. На основе того, что два предмета имеют некоторые общие признаки, и установлено, что первый из них имеет еще некоторый признак X, наличие которого у второго предмета пока неизвестно, делается предположение, что второму предмету, по-видимому, тоже присущ признак X.

Таким образом, умозаключения по аналогии являются умозаключениями правдоподобными; для того чтобы выяснить достоверность или ложность «выводов по аналогии», необходимо дополнительно исследовать этот вывод. Этим и отличается рассматриваемый вид умозаключений от логических умозаключений, которые непосредственно приводят к исчерпывающему результату, — аналогия лишь открывает путь исследования и не имеет доказательной силы.

Рассмотрим пример. Известно, что в любой треугольник можно вписать единственную окружность, центр которой находится на пересечении геометрических мест (множеств) точек, равноудаленных от сторон треугольника. Сравнивая с треугольником (простейшим многоугольником) тетраэдр, являющийся простейшим многогранником, естественно предпо-

ложить, что в него, видимо, тоже можно вписать сферу, притом также единственную. Исследовав это предположение, можно убедиться в его правильности: центр вписанной сферы лежит на пересечении геометрических мест точек, равноудаленных от граней тетраэдра. Вывод, сделанный по аналогии, будучи рассмотрен в единстве с процессом доказательства, диалектичен в своей сущности: здесь в теснейшей взаимосвязи встречаются элементы индукции и дедукции.

В умозаключении по аналогии прежде всего используется индукция, ибо переход от первого предмета ко второму (от треугольника к тетраэдру, от окружности к сфере) состоит в установлении связей между одними частными свойствами (простейший многоугольник, наличие трех внутренних углов, существование равноделящих — биссектрис и др.) и другими частными свойствами (простейший многогранник, наличие шести внутренних двугранных углов, существование их равноделящих — биссектральных плоскостей и др.).

В то же время умозаключение по аналогии тесно связано с дедукцией, ибо истинность вывода по аналогии устанавливается дедуктивным доказательством — то, что в любой тетраэдр можно вписать сферу и притом единственную, надо доказать по правилам обычного дедуктивного доказательства. Достоверный вывод, сделанный на основе аналогии, начинается, таким образом, индукцией и завершается дедукцией.

В случае умозаключения по аналогии совершается сложный мыслительный процесс, в котором применяются в единстве и взаимопроникновении приемы анализа и синтеза. Так, в приведенном выше примере умозаключение по аналогии стало возможным лишь благодаря тому, что в результате сравнения треугольника и тетраэдра и анализа их свойств было установлено наличие у них нескольких сходных свойств. На основе их было сделано предположение о наличии некоторого нового свойства (сферы, вписанной в тетраэдр). Доказательство сформулированного предположения сводится к синтезу понятий, относящихся к тетраэдру, причем синтез ведется в том же порядке, что и синтез соответствующих понятий, относящихся к треугольнику (центр вписанной сферы есть точка пересечения биссектральных плоскостей, подобно тому как центр вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис).

Вывод по аналогии может иногда и не подтвердиться или подтвердиться лишь частично.

Рассмотрим такой пример. Площадь любого треугольника, как известно, выражается формулой Герона:

Рассуждая о формуле для вычисления площади четырех-

угольников, мы можем задаться вопросом: верна ли аналогичная формула для четырехугольника? Исследование этого вопроса показывает, что для четырехугольников, вписанных в окружность (и только для них!), справедлива следующая формула для вычисления площади:

Оказалось, что полной аналогии здесь нет, но есть некоторое сходство формул. Попытаемся теперь выяснить причину этого сходства, учитывая, что существует некоторая связь между треугольником (многоугольником, который всегда можно вписать в окружность) и четырехугольником (не всяким, а только таким, который можно вписать в окружность).

Итак, как мы уже установили, в смысле общности формулы Герона, существенным признаком, объединяющим треугольник и четырехугольник, является возможность вписать их в окружность. Сравнение двух понятий — «треугольник» и «четырехугольник» завершилось в этом случае неполным обобщением: «обобщенная формула Герона» верна лишь для части объектов, входящих во второе понятие. В данном примере, хотя аналогия в целом и не подтвердилась, она привела к возникновению новых идей (например, треугольник можно рассматривать как вырожденный вписанный четырехугольник).

Разовьем эту мысль. Пусть вершина D вписанного четырехугольника ABCD приближается как угодно близко к вершине А (рис. 1). Тогда сторона DA = d в пределе становится равной нулю и обобщенная формула

превращается в обычную формулу Герона:

Итак, применение аналогии дает нам в некоторых случаях благоприятную возможность более точно исследовать открытые свойства и доказывать или опровергать их — в обоих случаях мы можем научиться чему-нибудь полезному.

Использование аналогии весьма полезно в процессе изучения математики, как и любой науки вообще. Предметы и явления действительности, отмечал И. М. Сеченов, запечатлеваются и воспроизводятся не изолированно друг от друга, а в тесной связи друг с другом, группами или рядами.

Аналогия помогает сопоставлять и противопоставлять понятия, которые лучше усваиваются тогда, когда они вводятся

Рис. 1.

не вне всякой связи с предыдущими, а в сравнении с ними, в установлении сходных или отличительных признаков. Так, рассматривая окружности, вписанные в четырехугольники, может поставить вопрос: всегда ли возможно в четырехугольник вписать окружность? По аналогии с треугольником можно сделать поспешное умозаключение: «в четырехугольник всегда можно вписать окружность». Показав на примере, что в некоторые четырехугольники невозможно вписать окружность, следует выяснить, в какие четырехугольники можно вписать окружность, а в какие нет, то есть перейти к доказательству теоремы о признаках вписанного четырехугольника.

Здесь мы сравнивали треугольники и четырехугольники с точки зрения их «вписуемости» в окружность и пришли на основании аналогии к заключению о возможности выразить площадь их единой формулой. Если перейти от геометрии плоскости к геометрии пространства, то сопоставления можно вести на ином уровне. Так можно получить следующие лары суждений, которые удобно записывать в виде совмещенных фраз:

Около любого треугольника (четырехугольника, тетраэдра) можно описать окружность (сферу), притом только одну, которая пройдет через все вершины треугольника (четырехугольника).

В любой треугольник (тетраэдр) можно вписать окружность (сферу), притом только одну.

Как в первом, так и во втором случае наблюдаются аналогичные свойства: не всякий четырехугольник можно вписать в окружность и не во всякий четырехугольник (тетраэдр) можно вписать сферу, касающуюся всех его ребер.

Приведем теперь несколько теорем, полученных на основе обобщения понятия касания (несложные доказательства их опускаем):

Окружность (сфера) касается всех сторон четырехугольника (ребер тетраэдра) тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон (ребер) равны (рис. 2, а и б).

Рис. 2.

Обнаруженная здесь новая аналогия между парами теорем (прямой и обратной) распространяется и на следующие обобщения исходной мысли:

Для того чтобы окружность (сфера) касались всех сторон четырехугольника (граней выпуклого четырехгранного угла), необходимо и достаточно, чтобы были равны суммы противоположных сторон (плоских углов при вершине) (рис. 3, а и б).

Для того чтобы окружность прошла через все вершины четырехугольника (сфера коснулась всех ребер выпуклого четырехгранного угла), необходимо и достаточно, чтобы были равны суммы противоположных углов (двугранных углов) (рис. 4, а и б).

Рис. 3

Рис. 4

Продолжая подобные аналогии, приходим к формулировке ограничений общих признаков фигур, а именно — к формулировке достаточного условия:

Для того чтобы окружность (сфера) касалась всех сторон 2n-угольника (граней 2n-гранного угла), необходимо, чтобы были равны суммы четных и нечетных его сторон (плоских углов при вершине). Необходимым условием того, чтобы окружность (сфера) прошла через все вершины 2n-угольника (ребра 2n-гранного угла), является равенство суммы четных и нечетных его углов (двугранных углов).

Продолжение данной цепи аналогий приносит, однако, все более скудные результаты. Такого рода усилия могут быть предприняты при сопоставлениях: многоугольник — многогранник; квадрат — куб; прямоугольник — параллелепипед; равнобочная трапеция — правильная четырехугольная усеченная пирамида; правильный многоугольник правильная усеченная л-угольная пирамида и т. д.

Так, если правильный n-угольник можно как описать около окружности, так и вписать в окружность, то один из его пространственных аналогов — правильную л-угольную усеченную пирамиду — можно только вписать в сферу.

ОБОБЩЕНИЕ И АНАЛОГИЯ

Обобщение — это, вероятно, самый легкий и самый очевидный путь расширения математических знаний.

У. У. СОЙЕР

Реальный процесс мышления, связанный с применением аналогии, носит сложный зигзагообразный характер: нередко предположения, полученные по аналогии, оказываются неверными. Ограничивая объем соответствующих понятий, делая иногда неожиданные повороты, ум нащупывает плодотворное продолжение исходных суждений. История математики полна подобных примеров. Блестящее открытие Эйлером связи между тригонометрическими и показательными функциями считают навеянным аналогией. В то же время имеется немало примеров того, как некоторые предположения, высказанные учеными на основе аналогии, впоследствии оказывались неверными. Так, предположение Ферма о том, что все числа вида 22n + 1 будут простыми, оказалось неверными. Ферма высказал это предположение, вычислив значения 22n + 1 лишь для n=1, 2, 3, 4, когда числа действительно получаются простые:

Эйлер обнаружил, что следующее число — уже составное:

Таким образом, данное «умозаключение по аналогии», будучи неправильным, послужило все же толчком к получению нового научного результата: среди чисел вида 22n + 1 содержатся как простые, так и составные числа. Последний факт стал известен лишь после проверки предположения Ферма, предпринятой Эйлером. Итак, аналогия может служить стимулом для исследовании и в том случае, когда соответствующее обобщение оказывается даже ложным.

Проследим особенности применения метода аналогии для обобщения математических суждений на простейших примерах.

Вспомним общеизвестный признак делимости на 9. Попытаемся обобщить этот признак, а именно установить признак делимости на 99 = 102—1, 999= 103—1 и вообще на число вида 10k = 1.

Вывод будет таков: число делится на 10k—1, если сумма чисел, содержащихся в k-циферных гранях, делится на 10k —1. Например, 907 092 делится без остатка на 999, так как 907 + 092 = 999.

Пусть доказано неравенство:

где а, в, с — положительные числа.

Решение:

(1)

Аналогично имеем:

(2) (3)

Сложив в отдельности левые и правые части неравенств (1) — (3) и разделив обе части на 2, получим доказываемое неравенство. Нетрудно, но тем не менее поучительно обобщить доказанное неравенство на 4, 5, n членов. Итак, как же составить аналогичное неравенство с четырьмя членами?

Запишем левую часть: a + b + c + d.

Это — сумма четырех чисел. А как записать правую часть? Какую закономерность можно заметить в правой части доказанного неравенства? В каждом члене правой части под радикалом — произведение двух рядом стоящих членов левой части, взятых последовательно. Вероятно, таково же должно быть строение предполагаемого обобщенного неравенства для четырех членов:

Остается теперь лишь один шаг для «предельного» обобщения:

Далеко не так прямолинеен путь получения иных обобщенных знаний, как это может показаться из рассмотренных выше простейших случаев. В мышлении истинность и ложность суждений идут рука об руку. Аналогия внешняя, то есть неглубокая аналогия формы, нередко вводит начинающего в заблуждение, например:

Очевидно, что некритическое использование аналогии может приводить к ошибкам, если только забыть, что вывод, полученный по аналогии, необходимо завершать проверкой, доказательством. Однако аналогия, хотя она и вводит иногда в заблуждение, все же остается прекрасным средством, выводящим на путь истины. Цепь обобщений иногда может содержать три, четыре и больше звеньев, пока не достигается конечный пункт, где обобщенное суждение теряет силу.

Нередко аналогии бывают скрытыми и, проявляясь неожиданно, они как бы освещают новым светом знакомые вещи, обнаруживая дотоле неизвестные связи между нашими знаниями, переводя их тем самым в новое, высшее качество.

НЕБОЛЬШОЙ ЭКСКУРС В ПСИХОЛОГИЮ

Порядок, в котором расположены... элементы, имеет гораздо больше значения, чем сами элементы.

Анри ПУАНКАРЕ

Наш небольшой экскурс в психологию начнем с простого примера. Пусть даны следующие четыре фигуры (рис. 5, а). Требуется найти среди них пары аналогичных.

В настоящее время созданы машины, которые могут производить сопоставление рисунков автоматически на основе найденной аналогии в их конфигурации. Вот решение, даваемое машиной (см. рис. 5, б):

А : В = а : b.

Заметим при этом, что словом «аналогия» у древних греков первоначально обозначалась пропорция чисел: 10 : 5 = 14:7. Рассмотренная аналогия осуществляется по формуле: объемлющая фигура в А (а) относится к тому же виду, что и объемлемая фигура в B (в).

Однако не столь просты по составу умозаключения, возникающие в человеческом мозгу. Дело в том, что живой мозг

Рис. 5

отнюдь не работает в целом по фигурам и модусам формальной логики — формулами логики удобно выражать лишь результаты мышления. Иначе говоря, познание природы аналогий невозможно без учета психологической стороны мышления1. Так мы выходим в мало разработанную и полную неясностей область взаимоотношения логики и психологии, каждая из которых претендует на объяснение мыслительного процесса.

Реальный ход суждения по аналогии, вероятно, очень тесно связан с процессами, получившими в психологии название «сопоставление и противопоставление». Под первым понимают совместное рассмотрение сходных объектов или явлений, под вторым — рассмотрение контрастных явлений. Есть основания полагать, что в умозаключениях по аналогии значительно возрастает роль именно ассоциаций по сходству. Это обстоятельство установлено целым рядом ученых и изобретателей. Так, известно, что структурная формула бензола была составлена химиком Кекуле по аналогии после того, как он увидел в клетке игру обезьян (рис. 6, а и б).

Вот простейший пример из мира математических ассоциаций, аналогичных по своей структуре:

6 делится на 3; 18 делится на 6; Значит, 18 делится на 3.

В приведенном умозаключении нет аналогии в содержании выражаемой мысли, но есть аналогия в структуре, построении указанной мысли: здесь среднее понятие, повторяющееся в двух посылках, выпадает. Но в потоке мыслей, связанных с математическим рассуждением, нередко эта внешняя аналогия приобретает определенное значение. Так,

Рис. 6

1 В психологии установлено, что способность к быстрому проявлению (актуализации по сходству) есть хороший признак способностей.

для запоминания зависимости между знаком второй производной (при выпуклости или вогнутости графика) безымянный студент придумал следующее мнемоническое правило:

«Если линия вогнута, то льющийся сверху дождь будет накапливаться в прогибе и наберется много воды — вторая производная положительна. Если линия выпукла — дождь будет стекать, воды не будет — вторая производная отрицательна» (Курсив наш. — П. Э.) [4].

В приведенном правиле, по сути дела, используется не глубокая аналогия смысла, а поверхностная аналогия. Такие формальные аналогии могут часто подвести.

Чтобы выявить аналогию, недостаточно рассмотреть какой-либо один вопрос, одну задачу. Необходимым условием здесь выступает сопоставление двух процессов, скажем, процессов решения двух сходных задач.

Пусть дано алгебраическое уравнение семейства парабол (рис. 7):

Поставим задачу составить дифференциальное уравнение этого семейства кривых.

Решение.

Найдем из первого уравнения производную:

Рис. 7

Затем выразим параметр через неизвестные

и подставим его в первое уравнение,

или

Последнее уравнение есть дифференциальное уравнение семейства парабол.

Докажем это, решив дифференциальное уравнение

Пусть

Итак, мы снова получили алгебраическое уравнение семейства линий:

(1)

Рассмотрим теперь обобщенную задачу. Пусть дано уравнение семейства парабол:

которое представляет теперь все возможные параболы с вершинами на оси абсцисс.

Дважды дифференцируя, получим систему двух уравнений первой степени относительно у' и у"

Исключив из системы уравнений c1 и c2, получим дифференциальное уравнение семейства:

Решив последнее уравнение, мы снова придем к интегралу.

Здесь можно заметить следующую глубокую аналогию: в уравнении из первой задачи был один параметр и поэтому однократное дифференцирование привело нас к дифференциальному уравнению первого порядка; в уравнении из второй задачи — два параметра и поэтому двукратное дифференцирование привело нас к дифференциальному уравнению второго порядка.

ПОИСК АНАЛОГИИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Чем в большее число... разных точек соприкосновения может быть приведена данная вещь к другим предметам, тем в большем числе направлений она записывается в реестры памяти, и наоборот.

И. М. Сеченов

В данном разделе мы попытаемся выяснить существенные особенности процесса решения задачи, рассматриваемого прежде всего как поиски аналогий. Это можно сделать, проанализировав решение какой-либо несложной задачи.

Пусть на этот раз отправным пунктом нам послужит известная задача о точке Торричелли треугольника. Точкой Торричелли треугольника называется такая точка, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна. Если Т — точка Торричелли Δ ABC, a M — произвольная точка, то должно выполняться соотношение: ТА + ТВ + ТС < MA + MB + MC (рис. 8).

Докажем, что точкой Торричелли треугольника является точка пересечения двух дуг, заключающих 120° и описанных на его сторонах (∠ATC= ∠CTB = ∠BTA, рис. 9).

Рис. 8

Рис. 9

Повернем АСТВ вокруг вершины В на 60° (рис. 10). Тогда точка Т переходит в Т1, а С в C1 или ВТ=ВТ1 ВС = ВC1. АТВТ) — равнобедренный, к тому же Z.TBT1 = 60°. Значит этот треугольник — правильный. Иначе говоря, ∠BTT1 = 60°.

Таким образом точки A, T, T1, C1 оказались на одной прямой. Итак, имеем: ТА + ТТ1 + Т1C1 = ТА + ТВ + ТС.

Сравним эту сумму с суммой расстояний до вершин от произвольной точки плоскости М. Повернем АВМС на 60° вокруг В в положение ВM1C1. Легко видеть, что A ВM1М — равносторонний, поэтому: ВМ = МM1. Очевидно также, что M1C1 = MС. Итак: MA +МВ+МС=МА +МM1+M1C1.

Но длина ломаной АМM1C1 больше отрезка AC1:

что и требовалось доказать.

Теперь попытаемся найти аналогичные теоремы для фигур в том или ином отношении более сложных, чем треугольник.

Пусть задача заключается в нахождении минимума суммы:

где Ai — точка на плоскости или в пространстве.

Сначала попытаемся обобщить задачу на плоскости. Придадим n значение, равное 3+1=4.

Идя по этому пути, мы можем составить следующую последовательность суждений:

а) треугольник — четырехугольник. Точкой Торричелли четырехугольника является точка пересечения его диагоналей. Доказательство легко вывести на основании рис. 11.

б) четырехугольник — пятиугольник. Для пятиугольника труднее найти столь очевидное общее решение, чем для четырехугольника. Изменение трудности решения задачи при

Рис. 10 Рис. 11

переходе от n к n + 1 может быть определено как скачкообразное: найти точку Т для треугольника — непросто, для четырехугольника — обнаруживаем тривиальное решение, для пятиугольника — уже нет общего геометрического решения.

в) ... — правильный многоугольник. Точкой Торричелли правильного многоугольника оказывается его центр симметрии.

г) . . . — 4n-угольник. Тут удается сформулировать лишь достаточный признак. Если 4n-угольник таков, что его

можно представить как результат наложения n четырехугольников таких, что точки пересечения их диагоналей совпадают, то последняя и есть точка Торричелли 4n-угольника (рис. 12).

Легкость обобщения сопутствует общности полученного результата: новое утверждение верно не только для выпуклого 4n-угольника на плоскости, но и для пространства. Такими свойствами обладают, например, параллелепипеды (рис. 13, а), правильные усеченные пирамиды (рис. 13, б) и некоторые призматоиды (рис. 13, а).

Рис. 12

Рис. 13

АНАЛОГИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями; лучший математик — тот, кто устанавливает аналогии доказательств; более сильный математик тот, кто замечает аналогии теорий; но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии.

Стефан Банах

Существует утверждение, что образование есть то, что остается после того, когда все выученное забыто. Среди подобных ценностей интеллекта «высшего порядка», представляющих важнейшую составную часть математического образования, одно из важнейших мест, вероятно, занимает умение находить и применять аналогии. Недаром об этом методе поэтически восторженно отзывался Кеплер, полагая, что аналогия знает все секреты природы.

Обнаружение сходства разных явлений, пусть даже и неглубокого, способствует активизации мышления, ибо прежние знания выступают в новом свете, неожиданно ярко, нередко и эмоционально окрашенными. Приведем вначале примеры простейших аналогий.

Тот, кто освоил метод аналогии, ощущает постоянную потребность в утолении информационного голода; у него как бы воспитывается рефлекс на открытые связи между явлениями. Воспитание этого качества ума следует начинать с малого, чтобы оно могло проявиться в большем.

Так, раздумывая над формулой для суммы членов арифметической прогрессии, можно сконструировать предполагаемую формулу... произведения членов геометрической прогрессии, а затем и доказать последнюю.

В математике существуют поистине уникальные пары теорем, содержание которых особенно рельефно постигается в сопоставлении и может быть понято гораздо раньше, чем логически строго доказано. Таким примером могут служить знаменитые двойственные теоремы проективной геометрии — теоремы Паскаля и Брианшона.

В описанном шестиугольнике диагонали, соединяющие пары противоположных вершин проходят через одну точку (рис. 14, а).

Во вписанном шестиугольнике пары противоположных сторон пересекаются на одной прямой (рис. 14, б).

Рис. 14

Поищем, далее, числовые аналогии египетского треугольника 32 + 42 = 52; пусть, например, речь идет о составлении формулы, позволяющей находить тройки всевозможных пифагоровых чисел.

Зная равенства:

будем получать пифагоровы числа:

Тут же возникает вопрос: удастся ли найти аналогичную формулу для л чисел? Ответ оказывается положительным — верна формула:

Но «охота» за аналогиями полезна и в другом смысле.

Вероятно, мы будем недалеки от истины, утверждая, что аналогии существуют для любого математического суждения. Так, аналогами комплексных чисел являются кватернионы.

Сравним правила умножения элементов поля компексных чисел (рис. 15, а) и поля кватернионов (рис. 15, б). В матрицах произведений комплексных чисел и кватернионов имеются очевидные сходства, например: ii = jj = kk = —1,

Есть и различия: хотя тут и соблюдается ассоциативность умножения, но коммутативность для умножения кватернионов теряет силу: ij≠ji.

Воспользуемся тем, что для обоих понятий существует понятие нормы.

Нормой комплексного числа а + bi является число

Нормой кватерниона a + bi + cj+dk является число

Для обоих понятий верна теорема: норма произведения равна произведению норм.

Рис. 15

Возведем их в квадрат:

Как будто мы не получили нового результата по сравнению с предыдущим. Однако сравнение комплексных чисел и кватернионов может оказаться полезным в другом отношении.

Пусть мы взяли комплексное число

Возведем его в n-ую степень:

Тогда будет выполняться соотношение:

Пример:

Сумма двух квадратов равна кубу третьего числа.

Пусть мы взяли некоторый кватернион

Возведем его в n-ую степень:

Тогда будет выполняться соотношение:

Пример:

Сумма четырех квадратов равна четвертой степени некоторого числа.

В. И. Ленин, как известно, писал о «поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, выражающих закономерности совершенно различных физических явлений. В современной физике делаются попытки объединить все колебательные процессы (звук, электричество, свет, механические колебания) в одном разделе курса.

Аналогии могут быть положены в основу изложения достаточно сложных предметов. Так, знаменитый физик Энрико Ферми свои лекции по квантовой механике начинает со списка парных понятий механики и оптики, являющихся аналогами друг друга [9]:

Механика: материальная точка, траектория, скорость, потенциальная энергия как функция координат V=V(x), кинетическая энергия Е.

Оптика: волновой пакет, луч, групповая скорость, показатель преломления как функция координат n = n(х), частота у.

Значение аналогии трудно переоценить в научном творчестве.

Поль Коэн, разрешивший одну из знаменитых проблем Гильберта, и Р. Херш сравнивают эвклидову (неэвклидову) геометрию соответственно с канторовской (неканторовской) теорией множеств [13]. Интересно и такое предположение по аналогии: подобно тому как «геометрия Лобачевского» нашла приложение в теории относительности Эйнштейна, неканторовская теория множеств может найти применение в какой-либо новой физической теории.

Вероятно, наиболее поучительно для оценки аналогии как метода изучения и развития математики — это рассмотрение примеров применения аналогии самими учеными-математиками.

Удивительно симметричны и стройны следующие два ряда, открытые индийским математиком Рамануджаном:

Если в этих формулах указаны пределы выражений, имеющих бесчисленное множество членов, то в следующей формуле Рамануджана совершенно необычно проявилась диалектика конечного и бесконечного, поистине слияние их особым образом:

Формула поразительна: она остается верной как будучи продолжена до бесконечности, так и будучи оборвана на любом шаге этого своеобразного движения к бесконечности. Совершенно правы те, кто сравнивает изящество подобных преобразований Рамануджана с музыкой Моцарта...

К сожалению, Рамануджан оставил после себя только конечные результаты — он не описывал не только путей своих поисков, полных, безусловно, удивительных аналогий, но не всегда даже приводил доказательство своих теорем.

Очень поучительно применение аналогий другими знаменитыми математиками. Описание математических открытий, сделанных по аналогии, оставил, в частности, Леонард Эйлер, Так, многократным отрицанием правил обычной математики, используя смелые аналогии между конечным и бесконечным, Эйлер получил формулу, над которой тщетно бился до него Бернулли. Впоследствии Эйлер доказывает эту формулу вполне строго, на основе иных соображений. Но для нас важно то, что смелость берет не только города, она помогает и в штурме математических проблем.

ЛИТЕРАТУРА

1. В. Бляшке. Круг и шар. М., «Наука», 1967.

2. П. В. Копнин. Гипотеза и ее роль в познании. М., «Знание», 1958.

3. Н. И. Кондаков. Введение в логику. М., «Наука», 1967.

4. А. Ф. Никифоров. Математический анализ. М., «Знание», 1965.

5. Д. Пойа. Как решать задачу. М., Учпедгиз, 1959.

6. Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. М., Изд-во иностр. лит., 1957.

7. А. А. Старченко. Роль аналогии в познании. М., «Высшая школа», 1961.

8. А. И. Уемов. Аналогия и модель. — «Вопросы философии», 1962, № 3.

9. Энрико Ферми. Квантовая механика. М., «Мир», 1968.

10. П. М. Эрдниев. Сравнение и обобщение при обучении математике. М., Учпедгиз, 1960.

11. П. М. Эрдниев. Методика упражнений по арифметике и алгебре. М., «Просвещение», 1965.

12. П. М. Эрдниев. О структуре дидактической единицы усвоения знаний. — «Вестник высшей школы», 1968, № 10.

13. П. Дж. Коэн, Р. Херш. Неканторовская теория множеств. — «Природа», 1969, № 4.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Умозаключения по аналогии ..... 6

Обобщение и аналогия ......... 12

Небольшой экскурс в психологию....... 15

Поиск аналогии при решении задач 20

Аналогия в математике ...... 23

Литература ..... 29

ПЮРВЯ МУЧКАЕВИЧ ЭРДНИЕВ

АНАЛОГИЯ В МАТЕМАТИКЕ

Редактор В. Ю. Иваницкий Обложка Л. П. Ромасенко Худож. редактор В. Н. Конюхов Технический редактор Е. М. Лопухова Корректор В. В. Каночкина

А 04696. Сдано в набор 24/III 1970 г. Подписано к печати 15/V 1970 г. Формат бумаги 60×90/16. Бумага типографская № 3. Бум. л. 1.0. Печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 1,41. Тираж 66 000 экз. Издательство «Знание», Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Заказ 766. Типография изд-ва «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4, Цена 6 коп.

Товарищ читатель!

ЕСЛИ ТЫ ХОЧЕШЬ РАСШИРИТЬ СВОЙ КРУГОЗОР, СВОИ ПОЗНАНИЯ В СМЕЖНЫХ ОБЛАСТЯХ НАУК, УЗНАТЬ О СОВРЕМЕННЫХ ПРОБЛЕМАХ И ДОСТИЖЕНИЯХ, ТО...

В ЭТОМ ТЕБЕ ВСЕГДА ПОМОГУТ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЕ БРОШЮРЫ ПОДПИСНЫХ СЕРИЙ ИЗДАТЕЛЬСТВА «ЗНАНИЕ», ВЫХОДЯЩИЕ ПОД ДЕВИЗОМ «НОВОЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ, ТЕХНИКЕ».

О ЧЕМ ОНИ РАССКАЖУТ?

О принципах архитектурной бионики идеальных тепловозах космическом телевидении

настоящем и будущем пневмотранспорта новейших исследованиях в физике

ферментах, ускоряющих химические процессы

Необычных ЭВМ...

ПОДПИСКА НА КВАРТАЛ СТОИТ ВСЕГО 27 КОПЕЕК!

ПОДПИСАВШИСЬ, ТЫ БУДЕШЬ ПОЛУЧАТЬ КАЖДЫЙ МЕСЯЦ ОДНУ БРОШЮРУ. ИТАК, ВЫБИРАЙ СЕРИЮ:

«ТЕХНИКА»

«ПРОМЫШЛЕННОСТЬ»

«РАДИОЭЛЕКТРОНИКА И СВЯЗЬ»

«СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА»

«НАУКА О ЗЕМЛЕ» «ТРАНСПОРТ» «ХИМИЯ»

«ФИЗИКА, АСТРОНОМИЯ»

В каталоге Союзпечати наши серии находятся в разделе «Научно-популярные журналы» под рубрикой «Брошюры издательства «Знание».

6 коп.

Индекс 70096

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»

Москва 1970