СЕРИЯ

Новое в жизни науке технике

математика кибернетика

1970

4

И.П.ЕГОРОВ

об обобщенных пространствах

И. П. Егоров,

доктор физико-математических наук, профессор

ОБ ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Издательство «ЗНАНИЕ»

Москва 1970

От автора

Цель брошюры — помочь читателю создать общие представления о римановых пространствах и пространствах аффинной связности. Эти пространства имеют многочисленные приложения в различных разделах математики и теоретической физики.

В первой части речь идет об определении эвклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. В ней дается также определение геометрии с помощью группы преобразований. Во второй части рассматриваются римановы пространства и пространства аффинной связности и кратко освещаются некоторые результаты о движениях в указанных пространствах.

25 октября 1969 года

И. П. Егоров

Введение. Основные понятия

Основные свойства пространства были изложены еще в «Началах» Эвклида в третьем веке до нашей эры. В них дано безупречное для того времени .построение геометрии. Изложение Эвклид начинает с определений и перечисления постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, каждая из которых доказывается на основании принятых постулатов, аксиом и предыдущих теорем.

На протяжении более чем двух тысяч лет «Начала» являлись образцом логической строгости. По ним учились все математики до настоящего времени. Школьная геометрия и теперь в основном излагается по Эвклиду.

Однако с точки зрения современной математики в «Началах» содержатся существенные недостатки. В частности, Эвклид не выделяет основных понятий. Он стремится определить все понятия. Именно потому часть определений «Начал» оказалась логически бездействующей. В них совершенно отсутствуют так называемые аксиомы порядка и непрерывности. Эвклид вводит понятие равенства фигур на основе движений, но аксиомы движений у него также отсутствуют.

Из всех постулатов и аксиом Эвклида пятый постулат отличается громоздкостью изложения. В нем утверждается, что если прямая линия пересекается с двумя другими прямыми линиями, образуя внутренние (односторонние) углы, сумма которых меньше двух прямых углов, то эти две прямые пересекаются с той стороны, где сумма меньше двух прямых углов. С выходом «Начал» встала проблема пятого постулата — доказать его на основании остальных четырех постулатов и девяти аксиом.

Эта проблема, по существу, была поставлена еще до Эвклида. Не случайно поэтому постулат о параллельных занимал в списке последнее место и при выводе теорем в первой книге его употребление отодвигалось по возможности далее. Эвклид стремился сначала обойтись без постулата о парал-

лельных, надеясь доказать его и перевести из постулатов в теоремы.

Проблемой пятого постулата математики занимались более двух тысяч лет. Впервые проблему решил в 1826 году великий русский математик Н. И. Лобачевский. Он принял вместо пятого постулата допущение, согласно которому на плоскости через точку A, не лежащую на прямой а, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающиеся с а. Дальнейшие рассуждения привели его к новой безупречной геометрической системе, называемой в настоящее время геометрией Лобачевского. В этой геометрии сумма углов треугольника составляет меньше двух прямых, а подобные неравные фигуры отсутствуют. Отношение длины окружности к диаметру меняется от окружности к окружности и остается всегда больше π. Даже из приведенных примеров видно, что геометрия Лобачевского сильно отличается от эвклидовой геометрии.

Исследования Н. И. Лобачевского привели к коренной ломке прежних представлений о пространстве. Они показали, что наряду с геометрией Эвклида, считавшейся единственной геометрической системой, имеет место другая, логически безупречная система. Эти исследования привели математиков к дальнейшим абстракциям в свойствах геометрических понятий, строгому доказательству непротиворечивости геометрии Лобачевского и получению полного списка аксиом геометрии.

Вопрос об аксиоматическом обосновании геометрии был впервые решен Гильбертом в 1899 году. Получение аксиом эвклидовой геометрии, из которых логическим путем следовали бы все теоремы, является одной из основных задач оснований геометрии. Эта совокупность всех аксиом называется системой аксиом. Подвергая анализу доказательства различных теорем в геометрии, мы убеждаемся, что они базируются на аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах. Можно убедиться, что последние, в свою очередь, основываются на предшествующих теоремах, определениях и аксиомах, положенных в основу. В результате мы придем к аксиомам как к простейшим отправным предложениям. Аналогичное положение имеет место для определений понятий. Всякое понятие определяется через ранее введенные понятия, которые, в свою очередь, снова определяются через более простые понятия. Такая редукция приводит нас в конце концов к понятиям, которые не сводятся к более простым и представляют собой неопределяемые понятия. Неопределяемые понятия называются основными понятиями. Они также описываются системой аксиом.

Система аксиом Гильберта описывает восемь основных понятий. Основные понятия — точки, прямые, плоскости — называются основными образами. Понятия инци-

дентности (синонимы — принадлежности, лежать на, проходить через) точки и прямой, точки и плоскости, а также понятия «лежать между» .иди просто «между» для трех точек, инцидентных прямой, конгруентности (равенства) отрезка отрезку и угла углу — называются основными отношениями. Аксиомы Гильберта эвклидовой геометрии распределяются на пять групп.

Первая группа аксиом описывает основное отношение p1 инцидентности точки и прямой, а также основное отношение p2 инцидентности точки и плоскости. Вторая группа аксиом описывает основное отношение p3 «между», связанное с тремя точками, инцидентными прямой. Третья группа аксиом характеризует основные отношения p4, p5 соответственно конгруентности отрезка отрезку и угла углу. Четвертая группа аксиом посвящена свойствам непрерывности расположения точек на прямой, пятая группа — вопросу параллельности прямых.

В других системах аксиом эвклидовой геометрии принимаются другие основные понятия. Ниже приводятся аксиомы гильбертовой аксиоматики.

Система аксиом эвклидовой геометрии и геометрии Лобачевского

Аксиомы соединения описывают основные отношения p1, p2 инцидентности соответственно точек и прямых, а также то-

I. АКСИОМЫ СОЕДИНЕНИЯ

1. Любым двум различным точкам можно отнести прямую, им инцидентную.

2. Двум различным точкам можно отнести не более одной прямой, им инцидентной.

3. На каждой прямой существует по крайней мере пара точек, ей инцидентных. Существует тройка точек не инцидентных одной прямой.

4. Любым трем точкам, не инцидентным прямой, можно отнести плоскость, им инцидентную. На каждой плоскости есть по крайней мере одна точка, ей инцидентная.

5. Трем различным точкам, не инцидентным одной прямой, можно отнести не более одной поскости, им инцидентной.

6. Если две точки прямой инцидентны плоскости, то каждая точка этой прямой инцидентна данной плоскости.

7. Если две плоскости имеют общую точку, им инцидентную, то они имеют по крайней мере еще одну точку, также им инцидентную.

8. Существует четверка точек, не инцидентных одной плоскости.

чек и плоскостей. Из этих аксиом можно вывести ряд предложений, составляющих геометрию первой группы аксиом. Приведем лишь некоторые из них. Две различные точки определяют одну и только одну прямую, им инцидентную. Три точки, не инцидентные в смысле p1 одной прямой, определяют одну и только одну плоскость, им инцидентную по правилу p2.

Прямая а и не инцидентная ей точка А определяют одну и только одну плоскость, им инцидентную. Прямая называется инцидентной плоскости, если всякая точка прямой инцидентна плоскости. На каждой плоскости существует по крайней мере три точки, не инцидентные прямой.

Вторая группа аксиом — аксиомы порядка. Они описывают основное отношение p3 «между», относящееся к трем различным точкам, инцидентным прямой. В данную группу входят четыре аксиомы. Первые три приведенные аксиомы называются линейными аксиомами порядка. Чтобы уточнить смысл аксиомы Паша, напомним понятие отрезка и треугольника. Совокупность двух точек А и В и всех точек, которые обладают свойством p3 быть «между» точками А и B, называется отрезком. Точки, лежащие между А и В, называются точками отрезка. Совокупность трех точек А, В, С, не инцидентных прямой, и трех отрезков, образованных парами этих точек, называется треугольником; точки A, B, С называются вершинами, а отрезки AB, АС, ВС — сторонами треугольника. Прямая а называется пересекающейся с отрезком АС, если существует точка О отрезка АС, инцидентная прямой а.

В геометрии первых двух групп аксиом справедливы следующие теоремы. Каждый отрезок имеет по крайней мере одну точку. За каждой точкой на прямой нет непосредственно следующей. Из трех различных точек, инцидентных прямой, одна и только одна обладает свойством быть между оставшимися двумя.

II. АКСИОМЫ ПОРЯДКА

1. Если A, В, С — три точки, инцидентные прямой, и точка В между точками А, С, то

а) точки А, В, С — различны; б) точка В находится между точками С, А.

2. Для любых двух точек A, В, инцидентных прямой а, существует точка С прямой а такая, что точка В находится между точками А и С (аксиома неограниченного продолжения прямой).

3. Для трех различных точек, инцидентных прямой, существует нe более одной из них, которая обладает свойством быть между, в смысле p3, двумя оставшимися.

4. Аксиома Паша. Пусть задан треугольник ABC и в его плоскости прямая а, не проходящая через вершины А, В, С. Если а пересекает сторону АС треугольника, то она пересекает также или вторую AB или третью его сторону ВС.

В этой геометрии можно ввести также понятие луча и угла. Прежде всего отметим следующее предложение, справедливое в геометрии I—II. Все точки прямой, за исключением некоторой точки О, можно разбить на два множества так, что 1) если M, N — точки разных множеств, то отрезок MN содержит точку О; 2) если M, N — точки одного множества, то отрезок MN не содержит точку О. Каждое из полученных множеств называется лучом. Точка О называется началом луча. Лучи, как и отрезки, являются точечными множествами. Напомним, что прямая в рассматриваемой аксиоматике является элементарным образом и не распадается на точки. В этом смысле совокупность обоих лучей и их начала не совпадает с исходной прямой.

Совокупность двух лучей h, k с общим началом О, не принадлежащих одной прямой, называется углом. Лучи h, k называются сторонами угла, а точка О — его вершиной. В геометрии первых двух групп аксиом можно определить понятие предшествования точек на луче и на прямой, а также понятие точек А и В, лежащих по одну или по разные стороны от точки С, если они инцидентны прямой, и др.

Третья группа аксиом описывает отношение конгруентности p4 отрезка к отрезку и конгруентности p5 угла к углу.

III. АКСИОМЫ КОНГРУЕНТНОСТИ

1. Пусть дан отрезок AB, а также прямая а' и точка А' на ней. На прямой а' существует точка В' с той или другой стороны относительно А' такая, что отрезок AB конгруентен отрезку А'В', т. е. AB=A'B'. Требуется также, чтобы AB = ВА.

2. Если AB = A"B", А'В' = А"В", то АВ = А'В'.

3. Пусть AB и ВС два отрезка без общих точек на прямой а, и если АВ=А'В', ВС=В'С', причем В' между A'С', то АС = А'С'.

4. Пусть a1b1 угол с вершиной О и сторонами a1b1. При любой точке О' и выходящем из нее луче а'1 по любую сторону прямой а' можно построить в заданной плоскости, инцидентной а'1 один и только один второй луч b'1 такой, что

Требуется также, чтобы а1b1=b1a1, a1b1 = a1|b1.

5. Пусть заданы два треугольника ABC и А'В'С таких, что AB = А'В', ВС = В'С и ∠ABC = ∠А'В'С', то ∠ВАС = ∠ В'А'С.

В геометрии первых трех групп аксиом доказывается рефлексивность, взаимность и транзитивность понятии конгруентности отрезков и углов. В этой геометрии имеют место известные признаки конгруентности треугольников и соотношения между сторонами и углами треугольника.

Здесь вводится понятие «больше» для отрезков (углов). Отрезок AB по определению больше отрезка CD, т. е. АВ> CD если существует такая точка M отрезка АВ, что AM =CD. Напомним для дальнейшего, что отрезок nСД означает отрезок CDn, где Dn — точка луча CD, полученная при последовательном откладывании конгруентных отрезков CD=DD2=Dn-1Dn.

Взаимооднозначное отображение точек пространства на себя называется движением, если оно сохраняет конгруентность отрезков. Это важнейшее понятие будет часто использоваться нами в геометрии обобщенных пространств. Совокупность всех движений составляет группу преобразований, так как результат последовательного выполнения любых двух движений и преобразования, обратные движениям, являются движениями. При аксиоматическом построении движение иногда принимается в качестве основного понятия. В этом случае вводятся аксиомы движения, а указанные выше аксиомы конгруентности доказываются как теоремы.

Аксиомы непрерывности позволяют ввести длины отрезков и величины углов, а также описать свойство непрерывности

IV. АКСИОМЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ

1. Аксиома Архимеда. Пусть даны два произвольных отрезка AB и CD; существует такое натуральное n, что n CD>AB.

2. Аксиома Кантора. Пусть на прямой дана последовательность отрезков, удовлетворяющих двум требованиям:

а) каждый следующий отрезок вложен в предыдущий;

б) не существует отрезка, принадлежащего всем отрезкам последовательности.

Тогда существует точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности.

Аксиома Архимеда позволяет в геометрии первых трех групп аксиом построить теорию длин отрезков.

Нетрудно доказать единственность в аксиоме Кантора точки, принадлежащей всем отрезкам последовательности. Эта аксиома позволяет построить отрезок задачной длины.

V. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

Через любую точку А, не инцидентную прямой а, можно провести в плоскости (А, а) не более одной прямой, непересекающейся с прямой а.

V. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО

Через любую точку А, не инцидентную прямой а, можно провести в плоскости А, а по крайней мере две различные прямые, не пересекающиеся с прямой а.

расположения точек на прямой. Теперь мы приведем ряд определений. Геометрия аксиом всех пяти групп I—IV—V называется эвклидовой геометрией. Геометрия I—IV—V групп аксиом называется геометрией Лобачевского. Геометрия, построенная на первых четырех группах аксиом, называется абсолютной геометрией. Таким образом, теоремы абсолютной геометрии являются теоремами одновременно эвклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. В эвклидовой геометрии и геометрии Лобачевского изучаются три множества, элементы которых являются соответственно точками, прямыми и плоскостями, причем между данными элементами определены основные отношения так, что удовлетворяются требования гильбертовой аксиоматики I—IV—V или I—IV—V; совокупность элементов указанных трех множеств называется соответственно эвклидовым пространством и пространством Лобачевского.

Если в первой группе аксиом взять лишь первые три аксиомы, а аксиомы остальных групп оставить без изменения, то получим плоскость Эвклида и соответственно плоскость Лобачевского.

Можно было бы построить еще одну геометрию, в которой нет вовсе параллельных прямых. Она в определенном смысле двойственна геометрии Лобачевского и называется геометрией Римана (не путать с римановой геометрией!) или эллиптической геометрией. Система аксиом этой геомертии отличается не только аксиомой параллельности, но и другими аксиомами. В этой геометрии сумма углов треугольника больше двух прямых, две окружности могут пересекаться в четырех различных точках. Промежуточное положение между геометриями Лобачевского и Римана занимает геометрия Эвклида.

В полученных геометриях расстояние ds между двумя бесконечно близкими точками M(x, y), M'(x+dx, y + dy) определяется одной из следующих трех формул:

где R — радиус кривизны плоскости (x, у). Первая метрика соответствует эвклидовой плоскости, вторая — плоскости Лобачевского, третья — плоскости Римана. Приращение координат ох, bу при бесконечно малых преобразованиях, сохраняю-

щих выписанные метрики, определяются соответственно формулами:

где а, b, с — бесконечно малые величины первого порядка. Эти формулы полностью характеризуют связные трехчленные группы эвклидовой плоскости, плоскости Лобачевского и плоскости Римана».

Реализации. О требованиях к системе аксиом и формализации геометрии

С основными образами и отношениями мы не связываем в абстрактной геометрии никакого конкретного смысла. Нам известно лишь, что полное списание их свойств дается системой аксиом. Поэтому важное значение при построении аксиоматической теории приобретают те или другие ее истолкования. Набор конкретных основных образов и отношений, удовлетворяющих требованиям данных аксиом, называется реализацией данных аксиом. Реализация часто называется также моделью или интерпретацией рассматриваемых аксиом.

Система аксиом эвклидовой плоскости допускает разнообразные модели. Важнейшей из них является так называемая арифметическая модель. К этой модели приводит нас аналитическая геометрия. Если в аналитической геометрии точки характеризуются координатами (х, у), прямые — уравнениями ux + vy + w = 0, то в арифметической модели точками являются сами упорядоченные пары (х, у), прямыми — упорядоченные тройки чисел (u, v, w). Числа u, v, w рассматриваются с точностью до пропорциональности, причем первые два из них одновременно не обращаются в нуль. Известный арифметический смысл приобретают и другие понятия.

Эти основные образы и отношения, выраженные в терминах арифметических понятий, удовлетворяют требованиям аксиом эвклидовой планиметрии.

Несколько слов о других моделях. Назовем «плоскостью» (в кавычках) любое множество элементов, допускающих взаимно однозначное отображение на точки арифметической модели эвклидовой плоскости. Элементы множества назовем сточками». Совокупность «точек», соответствующих точкам прямой, назовем «прямой». Основные отношения инцидент-

ности и между понижаются в обычном смысле. Две «фигуры» на «плоскости» назовем «конгруентными», если конгруентны соответствующие им фигуры в арифметической модели. Другими словами, точки, прямые и «все отношения между ними мы переносим по соответствию с арифметической модели на данное множество. Очевидно, так построенные основные понятия удовлетворяют всем аксиомам эвклидовой геометрии и приводят нас к новой модели.

Плоскостная геометрия Лобачевского допускает реализацию во множестве точек и хорд эвклидова круга (рис. 1). Точнее, внутренность круга условимся считать «плоскостью». Его точки и хорды примем в качестве «точек» и «прямых». Понятия инцидентности и между — обычные. Конгруентности отрезков и углов будем выражать через движения. Последние переводят внутренние точки круга во внутренние и хорды — в хорды. Преобразования эвклидовой плоскости, при которых прямые переходят в прямые, называются проективными преобразованиями. Ясно, что при движениях точки ограничивающей окружности переходят в точки той же окружности. Справедливо обратное предложение. Всякое проективное преобразование эвклидовой плоскости, переводящее в себя ограничивающую окружность, является движением нашей «плоскости».

Нетрудно убедиться, что эти понятия удовлетворяют требованиям аксиом и мы приходим к модели геометрии Лобачевского. Рассмотрим, например, аксиому параллельности. Пусть «тачка» А не инцидентна «прямой» ВС. Очевидно, что две различные прямые AB и АС, проходящие через «точку» А, не имеют общих точек с «прямой» ВС (рис. 1). Таким образом выполняется аксиома параллельности Лобачевского.

Системы аксиом I—IV—V и I—IV—V удовлетворяют требованиям совместности, независимости и полноты. Требование совместности означает, что при логическом развертывании аксиоматической теории мы не получим противоречия, когда наряду с предложением выводилось бы в этой теории и его отрицание. Так как -построенная выше арифметическая модель основана на понятии вещественного числа, то приходим к следующему выводу: эвклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел. Подобным образом наличие модели для аксиом I—IV—V во внутренности эвклидова крута позволяет сделать вывод, что геометрия Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива эвклидова геометрия.

Система аксиом называется независимой (независимой в смысле предшествования), если никакую аксиому не-

возможно вывести из остальных аксиом системы (из предшествующих аксиом). Чтобы доказать независимость аксиомы а от остальных (от предшествующих ей) аксиом, достаточно построить такую модель, в которой бы выполнялись все (предшествующие) аксиомы, кроме данной, а аксиома а не выполнялась бы.

Полнота системы аксиом понимается в смысле изоморфизма любых двух реализаций.

Дальнейшее развитие аксиоматического метода привело математиков к понятию символического исчисления. Символическое исчисление определяется заданием символов, правил образования формул, заданием конечного числа базисных формул (аксиом) и правил вывода.

Аппарат математической логики (узкое исчисление предикатов с равенством) позволяет символическим образом записать в виде формул аксиомы эвклидовой геометрии, исключая аксиомы непрерывности. В формулировке последних используются теоретико-множественные понятия, не выражаемые через основные понятия геометрии.

Возникает вопрос — можно ли построить исчисление, выводимые формулы которого интерпретировались бы в виде символической записи теорем геометрии? Ясно, что базисные формулы искомого исчисления должны слагаться из базисных формул исчисления предикатов и формул, соответствующих аксиомам рассматриваемой геометрии. Правила вывода подбираются так, что (1) если существует реализация системы аксиом, в которой некоторое предложение не имеет места, то соответствующая ему формула не является выводимой в исчислении; (2) если заданная формула невыводима, то существует реализация системы, в которой соответствующее предложение не имеет места. Существование такого исчисления следует из важной теоремы Гёделя о полноте исчисления предикатов.

Поставим теперь другой вопрос. Можно ли присоединить к этим аксиомам эвклидовой геометрии предложения, которые описывали бы используемые в аксиомах непрерывности теоретико-множественные понятия так, чтобы полученная система аксиом стала дедуктивно полной, т. е. всякое предложение, выраженное через основные понятия можно было доказать или опровергнуть при помощи формально-логического вывода из аксиом? Отрицательный ответ на этот вопрос вытекает из другой замечательной теоремы Гёделя о несуществовании исчисления, выводимые формулы которого интерпретировались бы в виде всех истинных предложений арифметики целых чисел.

Из этой теоремы следует несостоятельность тезиса о тождественности всех истинных предложений с совокупностью доказуемых формул указанными средствами исчисления. Та-

ким образом, программа Гильберта о формализации геометрии и вообще математики принципиально неосуществима. Однако значение исследований Гильберта и его учеников трудно переоценить. Эти исследования являются важнейшими в обоснованиях математики.

Геометрия и группы преобразований

Большое значение в геометрии имеют аксиомы конгруентности. Они позволяют определить движения, т. е. отображения множества точек на себя, при которых фигуры переходят в конгруентные фигуры. Мы уже отмечали выше, что совокупность всех движений эвклидовой плоскости составляет группу с тремя степенями подвижности — двумя параллельными переносами и вращениями вокруг точки. По существу, аксиомы конгруентности описывают свойства группы движений.

Обратно, если вместо аксиом конгруентности положить в основу построения геометрии эти движения при сохранении других групп аксиом, то мы получим снова эвклидову геометрию. Данный путь позволяет получить также другие геометрии. Например, если взять в роли группы движений более общую группу линейных невырожденных преобразований вида

то мы придем к понятию конгруентности, характеризующему аффинную геометрию. В этой геометрии отсутствуют расстояния между двумя точками. Основной инвариантной величиной здесь является простое отношение трех точек А, В, С, лежащих на прямой (АС:ВС). При указанных преобразованиях прямые переходят в прямые, причем пересекающиеся прямые преобразуются в пересекающиеся, а параллельные — в параллельные.

Любые два треугольника в аффинной геометрии конгруентны. В ней окружности и эллипсы не различимы. Это означает, что любую линию из множества окружностей и эллипсов можно перевести в любую линию из того же множества при помощи невырожденного линейного преобразования.

Приведем еще один пример. Возьмем в предыдущем примере вместо группы линейных преобразований группу невырожденных дробно-линейных (проективных) преобразований вида

Эта группа позволяет прийти к более общему понятию равенств фигур. Она характеризует проективную геометрию. Основной инвариантной величиной здесь будет двойное отношение четырех точек А, В, С, D, лежащих на прямой ( AC/BC : AD/BD). При преобразованиях проективной группы прямые переходят в прямые. В этой геометрии эллипсы, гиперболы и параболы неразличимы. Специализируя выбор параметров в проективной группе преобразований, мы получим группы движений эвклидовой геометрии, геометрии Римана и Лобачевского.

Рассмотренные .примеры позволяют подметить общую идею теоретико-группового подхода к геометрии. Действительно, рассмотрим какое-нибудь множество X элементов (точек) и некоторую его основную группу преобразований G. Всякое подмножество данного множества условимся называть фигурой, а само множество X — пространством. В геометрии множества X и основной группы преобразований G обычным образом вводится понятие равенства фигур. Одна фигура равна другой, если существует преобразование основной группы, переводящее первую фигуру во вторую.

Понятие равенства обладает свойствами рефлексивности, взаимности и транзитивности. Геометрические свойства и величины фигур инвариантны относительно преобразований основной группы.

Задача геометрии пространства X с данной основной группой преобразований G состоит в отыскании инвариантных при преобразованиях группы свойств и величин фигур. Другими словами, искомые свойства и величины принадлежат данной фигуре и всем тем, которые получаются из нее всевозможными преобразованиями основной труппы.

В этом состоит основное содержание эрлангенской программы Клейна. Указанный подход приводит к бесчисленному множеству геометрий. Он позволяет очертить область исследований каждой из них и вскрыть глубокие связи между геометриями различных пространств. Теоретико-групповые идеи постепенно стали руководящими. Вступительная лекция Клейна приобрела программный характер по дальнейшему изучению ряда новых пространств и соответствующих гим дифференциальных геометрий.

О дифференцируемых многообразиях

Прежде чем перейти к другим обобщенным пространствам — римановым пространствам и пространствам аффинной

связности — мы коснемся вкратце понятия дифференцируемого многообразия, Сначала дадим определение простого многообразия.

Простым многообразием называется множество объектов (точек), допускающее взаимнооднозначное отображение на числовую область переменных x1, x2, ..., xn, причем отображение определено с точностью до непрерывно дифференцируемых преобразований указанных переменных. Каждое из отображений называется системой координат, а значение x1, x2, ..., xn — координатами соответствующей точки.

Последнее условие в определении простого многообразия означает, что переход от одной координатной системы к другой осуществляется с помощью непрерывно дифференцируемых функций до некоторого порядка.

Множества точек типа сферы или тора не будут простыми многообразиями. Но их можно получить путем склеивания соответственно двух и четырех простых многообразий. Склеивание здесь понимается в смысле частичного отождествления точек двух и более простых многообразий. Аналогичным образом построены многообразия в общем случае. Они составляются путем склеивания заходящих одно в другое простых я-мерных многообразий.

Мы считаем в дальнейшем, что множество координатных систем окрестностей на дифференцируемом многообразии удовлетворяет следующим двум условиям: (1) области их определения покрывают все многообразие; (2) координаты (xi), (yi) точек, находящихся в области определения двух координатных систем, связаны между собой непрерывно дифференцируемыми функциями с отличными от нуля якобианами преобразования (т. е. определитель |—| ≠ 0).

Примерами дифференцируемых многообразий являются эвклидовы пространства, пространства Лобачевского и Римана. Поверхности в этих пространствах также являются многообразиями. Дифференцируемые многообразия часто называются также дифференцируемыми пространствами.

Римановы пространства и пространства аффинной связности мы будем изучать в малом, т. е. в достаточно малой окрестности любой точки пространства. Поэтому можно считать в дальнейшем, что рассмотрения ведутся в пределах одного простого многообразия.

Предположим теперь, что в некоторой области такого пространства определена совокупность N-функций

от независимых переменных x1, x2, ..., xn. Эта совокупность функций определяет дифференциально-геометрический объект

или просто объект, если при любом допустимом преобразовании координат они преобразуются по следующему закону:

причем функции Fi от указанных переменных удовлетворяют двум условиям.

Во-первых, при тождественном преобразовании координат функции испытывают лишь тождественное преобразование. Другими словами, если новая система координат совпадает со старой, то каждая функция совпадает с соответствующей старой.

Во-вторых, функции Fi подобраны так, что определенный ими закон обладает свойством транзитивности, т. е. если осуществить переход от первой системы xi ко второй yi и от второй yi к третьей zi, то можно осуществить переход сразу от первой системы координат к третьей, не изменяя результата.

Понятие объекта является важнейшим в геометрии дифференцируемых многообразий. В качестве простейших примеров геометрических объектов мы назовем ,в первую очередь векторы бесконечно малых перемещений, скалярные и силовые поля, поля скоростей и ускорений и др. Эти понятия широко используются в математике и теоретической физике.

Чтобы разобрать вопрос о деформациях геометрического объекта, вызываемых бесконечно малыми преобразованиями, мы напомним сначала понятие увеличения системы координат.

Рассмотрим в пространстве некоторое точечное преобразование. Пусть данная область D переходит под действием этого преобразования в область D. Предположим, что точка M первой области отображается в точку M второй области. Если теперь за каждой точкой M области D сохранить координаты точки М, то во второй области возникнет новая (увлеченная) система координат. Теперь — об отображении объектов.

Данное точечное преобразование пространства индуцирует отображение объектов в соответствующих точках. Отображение это определяется следующим образом.

Объект Q(M) в точке M отображается в точке M в такой объект, что его координаты в увлеченной системе координат равняются соответствующим координатам данного объекта

Q(M)

в исходной системе координат.

Понятие индуцированного отображения позволяет определить скорость отклонения объекта для данного бесконечно

малого преобразования. Пусть vi (х) является вектором бесконечно малого преобразования. Тогда точки преобразуются по формулам

Точка M(xi) переходит в точку М(xi). Скоростью отклонение (производной Ли) объекта Q(M) в точке M называется такой объект со(М), координаты которого являются пределами разностей соответствующих координат в точке M данного объекта Q(M) и увлеченного объекта Q(M), поделенных на приращение A, при условии, что это приращение стремится к нулю. Обозначай скорость отклонения от объекта Q(M) символом XQ(M), мы имеем

В этой формуле координаты объекта Q(M) предполагаются вычисленными в исходной системе координат.

По существу, к этой операции пришел еще Фубини при изучении проективных преобразований в римановых пространствах. Введенное понятие играет исключительно важную роль в теории движений римановых пространств и пространств аффинной связности.

Из определения скорости отклонения следует, что если объект Q(M) переходит в себя, то скорость его отклонения при бесконечно малом преобразовании пространства равняется нулю. Обратно, если скорость отклонения объекта Q(M) при данном бесконечно малом преобразовании равняется нулю, то данный объект переходит в себя.

Римановы пространства

Чтобы прийти к понятию римановых пространств, мы рассмотрим сначала эвклидову плоскость. Известно, что если в этой плоскости взять декартову систему координат (x, y), то квадрат расстояния между двумя беконечно близкими точками M(x, у) и M'(x+dx, y+dy) равняется сумме квадратов приращений или дифференциалов координат точки, т. е.

ds2=dx2+dy2.

Выписанная формула выражает теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника с катетами, равными абсолютным величинам dx, dy, и гипотенузой ММ'. Правая часть равенства называется основной метрической формой, или линейным элементом эвклидовой плоскости.

Введем теперь полярную систему координат (q, φ) с полюсом в начале декартовой системы координат и полярной осью, совпадающей с осью ОХ. Так как полярные и декартовы координаты произвольной точки плоскости связаны формулами

то линейный элемент в полярных координатах приводится к виду

В правой части мы снова имеем лишь члены с квадратами дифференциалов координат точки. Эти квадраты дифференциалов входят с коэффициентами, равными соответственно 1 и q2. Обратим внимание на то, что коэффициент при dcp2 переменный и равняется квадрату координаты q.

Можно убедиться, что линейный элемент этой плоскости в криволинейной системе координат (x1, x2) представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов независимых переменных с коэффициентами, зависящими от координат точки

Метрическая форма позволяет вычислять длины дуг линий, а также углы между линиями и площади фигур. В частности, длина дуги линии x1=x1(t), x2 = x2(t), ограниченной точками M0(t0) и M1(t1), определяется по формуле

Полученную метрическую форму, очевидно, можно снова привести заменой переменных к сумме квадратов дифференциалов. Произвольная квадратичная форма не обладает таким свойством и приводит нас к другой — римановой геометрии. Более точно, двухмерное риманово пространство есть такое дифференцируемое пространство, в котором квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками М(x1, x2) и M'(x1+dx1, x2 + dx2) задается при помощи невырожденной квадратичной формы

Мы считаем, что эта форма инвариантна при обратимых преобразованиях переменных. Она часто называется метрической формой или линейным элементом римановой геометрии.

Важным примером римановой геометрии является внут-

ренняя геометрия поверхности. Действительно, пусть поверхность задается уравнением

где x, у, z — декартовы координаты текущей точки поверхности. Вставляя dz = в выражение линейного элемента эвклидова пространства

мы убедимся, что метрическая форма поверхности приводится к виду

Так как эта форма невырождена, то она порождает некоторую риманову геометрию. Метрическая фор«ма поверхности определяет так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Свойства и величины фигур здесь рассматриваются с точностью до изгибаний поверхности, т. е. таких ее преобразований, при которых сохраняются длины кривых.

Прежде всего такие понятия, как длина дуги линии, угол между линиями и площадь фигуры, являются понятиями внутренней геометрии. В этой геометрии изучаются кратчайшие линии (геодезические) на поверхности, соединяющие на ней любые две достаточно близкие точки.

Метрическая форма поверхности позволяет построить понятие полной кривизны — важнейшее понятие внутренней геометрии. К этому понятию обычно приходят путем рассмотрения кривизны нормальных сечений. Так называются линии пересечения поверхности с плоскостями, проходящими через нормаль к поверхности в некоторой ее точке. Среди кривизн этих плоских линий существуют экстремальные кривизны. Они называюстя главными кривизнами, а их произведение — полной кривизной поверхности в данной ее точке.

Необходимо отметить, что коэффициенты метрической формы изменяются при переходе к новой координатной системе, однако полная кривизна поверхности в каждой точке остается инвариантной.

Обратим теперь внимание на поверхности постоянной кривизны. На них кривизна в каждой точке равняется одному и тому же числу. Поверхности, налагающиеся на плоскость, имеют нулевую кривизну. На этих поверхностях в малом осуществляется эвклидова геометрия. Сфера — есть поверхность постоянной положительной кривизны. На ней в малом осуществляется эллиптическая геометрия. Роль прямых играют ду-

ги больших кругов. Существуют также и поверхности постоянной отрицательной кривизны. Чтобы получить одну из таких поверхностей, возьмем в эвклидовой плоскости кривую, обладающую следующим свойством. Отрезок касательной к этой кривой в любой ее точке, заключенный между точкой касания и точкой пересечения касательной с некоторой прямой, имеет одну и ту же длину, не зависящую от выбора точки касания. Эта кривая называется трактрисой, а данная прямая — осью (рис. 2). Если трактрису вращать вокруг ее оси, то она опишет поверхность, называемую псевдосферой (рис. 3).

Пвсевдосфера обладает замечательным свойством. Она является поверхностью постоянной отрицательной кривизны K = -1/a2, где а означает длину касательного отрезка трактрисы. На псевдосфере локально осуществляется геометрия Лобачевского. Роль прямых здесь играют дуги кратчайших линий.

Итак, обе неэвклидовы геометрии — геометрия Римана и геометрия Лобачевского — являются в локальном смысле геометриями поверхностей соответственно постоянной положительной и отрицательной кривизны. Отсюда вытекает, что поверхности постоянной кривизны (в том числе и поверхности нулевой кривизны) обладают большой метрической однородностью. Они допускают по себе перемещения без растяжений и складок достаточно малых кусков с тремя степенями подвижности.

В случае сферы такие перемещения реализуются даже без изменения формы фигуры. Но вращения достаточно малого куска на цилиндре вокруг какой-нибудь его точки сопровождаются уже изменением формы. Аналогичное положение имеет место при перемещении куска кругового конуса вдоль образующей.

Мы задержались на внутренней геометрии поверхностей потому, что она лежит в основе построения двухмерной римановой геометрии. Более точно, все понятия внутренней геометрии поверхности формально переносятся в риманову геометрию. Так, например, длины дуг линий, углы между ними и площади фигур в римановой геометрии вводятся по форму-

лам, выражающим одноименные понятия во внутренней геометрии поверхности через коэффициенты ее метрической формы.

Кривизна риманова пространства двух измерений определяется по формуле, выражающей полную кривизну поверхности через коэффициенты ее метрической формы. Геодезические линии определяются также формально уравнениями, выражающими кратчайшие линии на поверхности, и т. д.

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Две метрические формы могут порождать одну и ту же риманову геометрию. В этом случае одна форма переходит в другую при помощи обратимого преобразования переменных. Обратное предположение также справедливо. В частности, риманово пространство будет эвклидовым, если его метрическая форма приводится заменой переменных к форме с постоянными коэффициентами. Новые переменные определяют декартову систему координат. Эта система прямоугольная, если форма приводится к виду, содержащему лишь квадраты дифференциалов, причем коэффициенты при квадратах равны единице. Таким образом, декартовы системы координат существуют лишь в пространствах, в которых в малом осуществляется эвклидова геометрия.

До сих пор речь шла о римановых пространствах двух измерений. Если теперь формально ввести метрическую форму от переменных x1, x2, ..., xn, то придем к риманову пространству n-измерений. Его метрика определяется невырожденной метрической формой вида

причем предполагается, что функции gij(x) симметричны относительно индексов, т. е. gij(х) = gji (х).

Многие положения римановой геометрии двух измерений легко переносятся на пространства n-измерений. В n-мерных римановых пространствах вводится также понятие кривизны пространства. Оно позволяет выделить важный класс пространств постоянной кривизны. С этими пространствами мы встретимся в следующем параграфе при изучении движений.

О движениях в римановых пространствах

Рассмотрим сначала пространство двух измерений и допустим, что оно реализовано в виде двухмерного слоя жидкости. Под действием преобразований, составляющих группу от одного параметра, точки пространства перемещаются по оп-

ределенным кривым. Эти кривые называются траекториями данной группы преобразований. Точки передвигаются в новые положения с предписанными им скоростями. Предположим, что координаты вектора скорости

вычислены в момент нулевого значения параметра, отвечающего тождественному преобразованию. Текущая точка М(x1, x2) за бесконечно малое приращение времени переходит с точностью до величин второго порядка малости в точку, приращения координат которой определяются равенствами

Точки произвольной кривой за время ôt перейдут в этом потоке жидкости в точки преобразованной кривой. Соответствующим образом преобразуются векторы, метрика и другие геометрические объекты пространства.

Отображения пространства на себя, сохраняющие метрику пространства, называются движениями. Таким образом, при движениях сохраняются длины дуг линий и другие метрические свойства фигур. Совокупность движений составляет группу, так как произведение двух движений и преобразования, обратные к движениям, снова являются движениями.

Предположим теперь, что риманово пространство допускает транзитивную группу движений. Группа преобразований транзитивна, если произвольную точку пространства можно перевести преобразованиями группы в любую точку пространства. (Нетранзитивная группа называется также интранзитивной). Так как по предположению группа движений транзитивна, то кривизна пространства постоянна и группа необходимо содержит три параметра. В этом случае риманово пространство в малом наложимо на одну из плоскостей — эвклидову, плоскость Лобачевского или Римана.

Если группа интранзитивна, то метрическая форма пространства приводится к виду

Пространство в этом случае наложимо на поверхность вращения, и группа содержит лишь один параметр. Итак, мы приходам к следующему выводу.

Фигуры в двухмерных римановых пространствах допускают или три степени подвижности, или одну. (Здесь и в дальнейшем речь идет о порядках полных групп движения — синонимах степени подвижности, степени свободы твердых тел). Пространства, допускающие три степени подвижности, имеют постоянную кривизну. Если же пространства допускают одну степень подвижности, то они наложимы в малом на поверхность вращения. Таким образом, случай

пространств с двумя степенями подвижности твердых тел не имеет места. Этот вывод наглядно изображен в первом столбце таблицы 1. В его клетках отмечены возможные степени подвижности. Штриховка означает отсутствие римановых пространств с указанной в клетке степенью подвижности. Аналогичная картина наблюдается в римановых пространствах трех и четырех измерений. Эти пространства имеют лишь одну лакуну длины 1, что наглядно изображено штриховкой одной клетки во втором и третьем столбцах указанной таблицы. В случае римановых пространств пяти измерений лакуна имеет длину, равную 3.

С ростом числа измерений длина интервала запрещенных степеней свободы также растет. Длина первого интервала (лакуны) равняется n—2. Любопытно также отметить, что при достаточно большом n появляются другие запрещенные ин-

Таблица I

тервалы (другие лакуны). В предпоследнем столбце таблицы 1 второй интервал запрещенных степеней (вторая лакуна) изображен штриховкой горизонтальными отрезками. Этот интервал имеет длину n—7. В последнем столбце таблицы указаны типы пространств, реализующих указанные в предыдущем столбце подвижности.

Первой строке таблицы отвечают n-мерные римановы пространства, в которых твердые тела допускают максимальное число степеней свободы, равное n(n+1)/2. Это пространства постоянной кривизны — эвклидово пространство, пространства Лобачевского и эллиптические пространства.

Далее следуют пространства с непосредственно предшествующими степенями подвижности n(n-1)/2 и n(n-1)/2 + 1. В таблице они именуются пространствами второй лакунарности.

Несколько слов о римановых пространствах, допускающих преобразования подобия, т. е. такие преобразования, при которых фигуры переходят в подобные. При преобразованиях подобия сохраняются углы, а длины соответствующих линий пропорциональны, причем коэффициент растяжения не зависит от точки пространства. Совокупность всех преобразований подобия составляет группу. Движения образуют инвариантную подгруппу этой группы подобий, причем число параметров подгруппы на единицу меньше числа параметров всей группы.

Вопрос об определении возможных степеней подвижности твердых и подобно изменяемых тел частично решен для пространств знакоположительной метрики. В общем случае известны лишь те степени подвижности и реализующие их пространства, которые отмечены в таблице 1. Таким образом, основная проблема о распределении степеней подвижности и соответствующих им пространств различных лакунарностей остается еще открытой.

В заключение два слова о поверхностях, допускающих подобия. В эвклидовом пространстве существуют поверхности, обладающие следующим замечательным свойством. Преобразования подобия в эвклидовом трехмерном пространстве любой такой поверхности приводят к поверхности, которая лишь положением отличается от исходной. Интересующие нас поверхности являются моделями двухмерных римановых пространств, допускающих подобные преобразования. Среди указанных поверхностей имеются и наложимые на поверхности вращения. На этих последних степень подвижности равняется 2, в общем случае она равна 1. Напомним, что степень подвижности подобно изменяемых фигур в эвклидовой плоскости равняется 4.

Пространства аффинной связности

В обычной эвклидовой плоскости совокупность прямых линий в декартовой системе координат записывается уравнениями, линейными относительно параметра t:

где t — аффинный параметр, а, b, с, d — произвольные постоянные, причем первые две постоянные одновременно не равны нулю. Отсюда следует, что правые части этих уравнений являются решениями следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

Эта система уравнений сохраняет свой вид при линейных невырожденных преобразованиях переменных (х, у). При более же общих преобразованиях координат вид указанной системы уравнений меняется. Например, совокупность прямых линий эвклидовой плоскости в полярной системе координат характеризуется системой уравнений

где через x1, x2 обозначены соответственно q и φ.

Аналогичную систему дифференциальных уравнений получим в другой криволинейной системе координат

Обратим внимание на то, что правые части этой системы уравнений представляют собой однородные многочлены второй степени относительно производных первого порядка. Эта система уравнений задается шестью функциями A11, A12, A22, B11, B12, B22 — каждая от двух переменных. Совокупность указанных функций составляет объект, называемый объектом аффинной связности.

Двухмерное пространство аффинной связности можно определить формальным образом. Это — дифференцируемое пространство, в котором задан объект аффинной связности. Последнее означает, что в достаточно малой окрестности любой точки пространства задается система дифференциальных уравнении линий (геодезических), обобщающих прямые эв-

клидова пространства, причем на этих линиях определен аффиный параметр t.

Простейшим примером пространства аффинной связности будет обычная аффинная плоскость. В качестве другого примера можно привести двухмерное риманово пространство. Все геометрические свойства и величины, выражаемые в терминах геодезических линий и аффинного параметра на них, принадлежат геометрии аффинной связности.

Следует отметить, что два объекта аффинной связности могут порождать одну и ту же геометрию. В этом случае один объект переходит в другой при помощи некоторого обратимого преобразования. Обратное предложение очевидно. Объект аффинной связности обычной плоскости обладает тем свойством, что в некоторых системах координат все его координаты обращаются в нуль, Эти системы координат называются аффинными.

Пространства аффинной связности n-измерений определяются заданием в л-мерном дифференцируемом пространстве семейства линий и аффинного параметра на них, обобщающих геодезические двухмерных пространств. Фактически в простых кусках многообразия задается совокупность n2(n+1)/2 функций от n-переменных, определяющих правые части системы обыкновенных дифференциальных уравнений геодезических указанного выше вида. Из этой системы уравнении следует, что через каждую точку пространства в заданном направлении проходит лишь одна геодезическая.

Рассмотрим вкратце движения в этих пространствах. Они определяются, естественно, как отображения пространства на себя, при которых сохраняется объект аффинной связности. Таким образом, при движениях фигуры переходят в разные фигуры в смысле данной геометрии. Совокупность всех движений здесь также составляет группу. Изучению движений посвящено в последние 20 лет около 500 работ. Исследования ведутся одновременно по нескольким направлениям.

Одно из этих направлений характеризуется изучением свойств твердых тел и их степеней подвижности в заданных пространствах. Оно наиболее естественное и геометрическое.

Другое направление — теоретико-группового характера и составляет одну из интересных теорий современной математики. Речь идет о построении в пространстве, в котором действует группа преобразований, инвариантной метрики или связности.

В настоящее время усиленно развивается третье направление, пограничное к первым двум, в котором пространства и группа подлежат определению. К нему приводят нас следующие соображения. Известно, что обычное аффинное пространство n-измерений допускает группу движений, содержащую

r = n2 + n параметров. Изучая движения в пространствах с числом параметров, непосредственно предшествующим n2 + n, автор пришел [2] к следующему выводу. Максимальное число параметров в группах движений пространств аффинной связности ненулевой кривизны равняется точно n2. Другими словами, не существует кривых пространств аффинной связности, в которых бы твердые тела имели r степеней подвижности, где n2<r<п2 +n (см. табл. II).

Таблица II

В качестве иллюстрации сказанного рассмотрим пространства двух измерений. Фигуры в двухмерных пространствах допускают не более шести степеней подвижности. Если степень подвижности равняется точно шести, то пространство является обычной аффинной плоскостью. Число степеней подвижности в кривых пространствах аффинной связности не более четырех. Таким образом, не существует пространств аф-

финной связности двух измерений, в которых бы фигуры имели пять степеней подвижности. Это следствие мы наглядно изобразили в первом столбце таблицы II. Штриховка клетки здесь означает отсутствие пространства с указанным в ней числом степеней подвижности. Аналогичное положение наблюдается в трехмерных пространствах аффинной связности. Здесь также имеется лишь одна лакуна, но длина ее равняется. 2. Случаи пространств с числом всех степеней подвижности 11 или 10 отсутствуют. Этот факт наглядно изображен наклонной штриховкой соответствующих клеток во втором столбце таблицы II.

Любопытно отметить, что с ростом числа измерений пространства растет длина интервала запрещенных степеней. Длина первого запрещенного интервала (первой лакуны) равняется n—1. С другой стороны, при больших значениях n наряду с этой первой лакуной появляются другие запрещенные интервалы. С ростом числа измерений пространства n растет также и число таких интервалов. Так, в предпоследнем столбце таблицы II вторая лакуна отмечена штриховкой клеток горизонтальными отрезками. Этот интервал имеет длину n—2, Третья лакуна имеет длину n—7. В таблице она изображена штриховкой вертикальныхми отрезками.

В последнем столбце приведены типы пространств первой, второй и т. д. лакунарностей. Степени подвижности их указаны в предшествующем столбце.

Еще два слова по поводу таблицы II. Первой строке таблицы соответствуют обычные аффинные пространства, степень подвижности которых равняется n2+n. Далее следуют пространства с непосредственно предшествующей подвижностью. В таблице II указаны интервалы возможных степеней подвижности, известные до настоящего времени. Необходимо отметить, что в целом проблема отыскания этих интервалов для пространств n-измерений остается еще открытой.

О пространствах общей теории относительности

Сначала несколько слов о ньютоновской теории всемирного тяготения. Эта теория описывается трехмерной эвклидовой геометрией. При непрерывном распределении вещества гравитационный потенциал удовлетворяет известному уравнению Пуассона. При островном же распределении материи в областях, свободных от масс, гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. Напомним, что сила тяготения, действующая на единицу массы, равна градиенту гравитационного потенциала,

Эйнштейнова теория тяготения значительно сложнее ньютоновской. Она описывается четырехмерной псевдоримановой геометрией кривого пространства—времени. В этой теории тяготения плотности тяготеющего вещества соответствует так называемый тензор энергии—импульса. Основные уравнения Эйнштейна по-прежнему второго порядка относительно потенциалов.

Уравнения поля без правой части, аналогичные уравнениям Лапласа в классической теории поля, определяют метрику кривого пространства—времени также в областях, свободных от масс. В настоящее время известно большое число решений уравнений поля.

Интересные результаты по общей теории относительности принадлежат А. З. Петрову и его ученикам. А. З. Петров получил алгебраическую классификацию полей тяготения в зависимости от структуры кривизны и классификацию эйнштейновых пространств по степеням свободы движений твердых тел. В первой классификации он установил наличие трех алгебраически различных типов полей. Вторая классификация позволила в каждом из полученных типов полей выделить наиболее подвижные. Особую роль играют найденные максимально подвижные пространства этих типов в принципе наложения граничных условий для достаточно удаленных областей от тяготения масс.

Основная сущность принципа сводится к тому, что коэффициенты метрической формы данного поля тяготения принимаются сколь угодно мало отличающимися от коэффициентов метрической формы пространства, допускающего максимально возможную для данного типа группу движений. Для простых полей тяготения таким пространством является пространство специальной теории относительности с группой, содержащей 10 параметров. Для непростых полей второго и третьего типов максимально подвижные пространства допускают группы, содержащие шесть и соответственно два параметра.

Недавно Н. С. Липатовым была решена задача определения свободных полей тяготения, допускающих подобные преобразования. Найденные им группы подобных преобразований играют важную роль в общей теории полей, так как они позволяют описать группы более общих преобразований, сохраняющих углы между линиями.

Совокупность движений в максимально подвижных эйнштейновых пространствах неопределенной метрики и непостоянной кривизны зависит от r1 = (n-1)(n-2)/2 + 5 параметров.

Римановы пространства непостоянной кривизны, допускающие движения с числом параметров r>r1 являются пространствами второй лакунарности (см. табл. I).

В заключение отметим, что теория движений в простран-

ствах общей теории относительности приобретает исключительно важное значение особенно в связи с крупными успехами, достигнутыми в последнее время в исследованиях космоса. Запуски автоматических станций, а также околоземные и окололунные стыковки и расстыковки их показывают, что практически последние ведут себя при полетах как твердые тела в обычном смысле, т. е. в смысле эвклидовой метрики.

Несомненно, что в более отдаленных областях космического пространства имеет место сравнительно сложная картина. В сильных асимметрических гравитационных полях твердые тела могут иметь лишь весьма ограниченные движения. Возможны также случаи, когда они не будут вовсе допускать никаких движений. В последней ситуации при любом преобразовании пространства метрика тела не остается инвариантной. Другими словами, при любом перемещении тело деформируется даже в смысле метрики пространств общей теории относительности.

О других обобщенных пространствах

В настоящее время усиленно изучаются обобщения римановых пространств и пространств аффинной связности. Приведем некоторые из них. Метрика риманова пространства, как указывалось выше, задается дифференциальной квадратичной формой. Ослабляя последнее ограничение, мы придем к понятию финслерова пространства. Линейный элемент в этом пространстве задается однородной функцией первого измерения относительно дифференциалов координат. Метрика пространства

по-прежнему предполагается невырожденной, т. е. определитель |gij (х, х) |≠0. В последнее время эта метрика применяется при обобщениях теории тяготения Эйнштейна. Если правая часть будет полиномом второй степени, то финслерово пространство становится римановым.

Аналогичным образом можно прийти к пространствам путей. Они характеризуются набором функций Hi (x, х), однородных второго измерения относительно производных первого порядка x = dx/dt. Пути определяются следующей системой дифференциальных уравнений

Если функции Hi (x, x) будут однородными полиномами вто-

рой степени относительно дифференциалов координат, то пространство путей сводится к обычному пространству аффинной связности.

Приведенные примеры позволили Б. Л. Лаптеву построить общую теорию пространств с объектами, зависящими от точки и некоторого геометрического образа.

Заключение

Мы рассмотрели вкратце некоторые понятия римановых пространств и пространств аффинной связности. Эта теория стремительно развивается в настоящее время как в нашей стране, так и за рубежом. Она имеет важные приложения в математике и в различных разделах теоретической физики (теория поля, общая и специальная теория относительности и др.).

В настоящей брошюре мы в очень упрощенном виде смогли коснуться лишь отдельных вопросов теории. Для более глубокого изучения затронутых понятий рекомендуется приводимая ниже литература.

Литература

Гильберт Д. Основания геометрии. М.—Л., Гостехиздат, 1948.

Егоров И. П. Движения в обобщенных дифференциально-геометрических пространствах. — В кн.: Итоги науки. Серия «Математика», т. 10. Алгебра, Топология. Геометрия. 1965. М., ВИНИТИ, 1967.

Новиков П. С. Элементы математической логики. М., Физматгиз, 1959.

Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., «Наука», 1967.

Содержание

Введение. Основные понятия........ 3

Система аксиом эвклидовой геометрии и геометрии Лобачевского ............. 5

Реализации. О требованиях к системе аксиом и формализации геометрии........ 10

Геометрия и группы преобразований ...... 13

О дифференцируемых многообразиях...... 14

Римановы пространства.......... 17

О движениях в римановых пространствах . . . . 21

Пространства аффинной связности...... 25

О пространствах общей теории относительности ... 28

О других обобщенных пространствах ...... 30

Заключение............. 31

Литература............. 31

Иван Петрович ЕГОРОВ

Об обобщенных пространствах

Редактор В. Ю. Иваницкий Художник Л. П. Ромасенко Художественный редактор В. И. Конюхов Технический редактор Е. М. Лопухова Корректор Н. И. Яшина

А 04552. Сдано в набор 18/XII 1969 г. Подписано к печати 18/III 1970 г. Формат бумаги 60×90/16. Бумага типографская № 3. Бум. л. 1,0. Печ. л. 2,0. Уч.-изд. л. 1,76. Тираж 43 400 экз. Издательство «Знание». Москва, Центр. Новая пл., д. 3/4. Заказ 3236. Типография изд-ва «Знание». Москва, Центр, Новая пл., д. 3/4. Цена 6 коп.

6 коп.

Индекс 70096

«ПРОМЫШЛЕННЫЙ ШПИОНАЖ»

Так будет называться книжка, которая скоро выйдет в подписной серии «Промышленность». Ее автор — кандидат исторических наук Л. Корнеев, собрал богатый фактический материал.

О чем рассказывает книжка?

Подслушивание телефонных разговоров и подкуп, шантаж и кражи, слежка и политический нажим... Трудно перечислить все методы и средства, к которым прибегают асы промышленного шпионажа, состоящие на службе крупнейших монополий. На вооружении этих так называемых «специалистов» новейшие достижения науки и техники.

Как и каким образом идет эта тайная война между монополиями, концернами и фирмами? Почему на нее расходуются миллионы долларов? Обо всем этом увлекательно расскажет книжка «Промышленный шпионаж», одна из двенадцати брошюр, выходящих в 1970 году в серии «Промышленность».

Подписаться на серию «ПРОМЫШЛЕННОСТЬ» можно в любом отделении связи и на любой квартал. В каталоге «Союзпечати» она находится в разделе «Научно-популярные журналы» под рубрикой «Брошюры издательства «Знание». Индекс — 70097. Стоимость подписки на полугодие — 54 коп., на квартал — 27 коп.

ВЫПИСЫВАЙТЕ И ЧИТАЙТЕ БРОШЮРЫ СЕРИИ «ПРОМЫШЛЕННОСТЬ»!

Издательство «Знание»