Детская энциклопедия

2

Коммунистом стать можно лишь тогда, когда обогатишь свою память знанием всех тех богатств, которые выработало человечество.

В. И. ЛЕНИН

Академия педагогических наук СССР

Детская Энциклопедия

2

Для среднего и старшего возраста

Третье издание

Главный редактор МАРКУШЕВИЧ А. И. Члены главной редакции: АРТОБОЛЕВСКИЙ И. И. БАННИКОВ А. Г. БЛАГОЙ Д. Д. БРУСНИЧКИНА Р. Д. БУЦКУС П. Ф. ВОРОЖЕЙКИН И. Е. ВОРОНЦОВ-ВЕЛЬЯМИНОВ Б. А. ГЕНКЕЛЬ П. А. ГЕРАСИМОВ С. А. ГОНЧАРОВ А. Д. ГОРШКОВ Г. П. ДАНИЛОВ А. И. ДЖИБЛАДЗЕ Г Н. ДОЛИНИНА Н. Д. ДУБИНИН Н. П. ИВАНОВИЧ К. А. ИЗМАЙЛОВ А. Э. КАБАЛЕВСКИЙ Д. Б. КЕДРОВ Б. М. КИМ М. П. КУЗИН Н. П. КУЗОВНИКОВ А. М. ЛЕОНТЬЕВ А. Н. ЛУРИЯ А. Р. МАРКОСЯН А. А. МИХАЛКОВ С. В. НЕЧКИНА М. В. ПАНАЧИН Ф. Г. ПЕТРЯНОВ И. В. РАЗУМНЫЙ В. А. СКАЗКИН С. Д. СОЛОВЬЕВ А. И. ТИМОФЕЕВ Л. И. ТИХВИНСКИЙ С. Л. ТЯЖЕЛЬНИКОВ Е. М. ХАЧАТУРОВ Т. С. ЦАГОЛОВ Н. А. ЦАРЕВ М. И. ЧЕПЕЛЕВ В. И.

Заместитель главного редактора КУЗНЕЦОВ А. М.

Издательство «Педагогика» Москва 1972 г.

Мир небесных тел.

Числа и фигуры

Научные редакторы тома: ВОРОНЦОВ-ВЕЛЬЯМИНОВ Б. А. МАРКУШЕВИЧ А. И.

03:8ю Д38~

Числа и фигуры

A. И. Маркушевич

243 Несколько слов о математике

Числа

И. Г. Башмакова

245 Как люди считали в старину и как писали цифры

247 Счет двойками, тройками и дюжинами

248 Задача о взвешивании

248 Наш устный счет

250 Счет у первобытных народов

252 Первые нумерации

253 Алфавитные нумерации. «Псаммит»

256 Позиционные системы

B. И. Нечаев

259 Простейшие неопределенные уравнения

259 Пифагоровы треугольники

260 Взвешивание груза на чашечных весах

260 Раскрой фанеры

261 Неопределенные уравнения

261 Рациональные и целые решения неопределенных уравнений первой степени. Метод рассеивания

263 Решение задачи о взвешивании

264 Неопределенные системы уравнений первой степени

264 Решение задачи о раскрое фанеры

266 Целые решения неопределенных уравнений степени выше первой

Фигуры и тела

М. В. Потоцкий

270 Геометрия вокруг нас

И. Г. Башмакова

280 Как возникла геометрия

280 Возникновение геометрии как науки

281 Построение дедуктивной системы

283 Постулат о параллельных и неевклидовы геометрии И. М. Яглом

285 Геометрические преобразования

285 Что такое геометрия

287 Движения

288 Преобразования подобия

290 Линейные преобразования

293 Преобразования как основа классификации теорем

Н. И. Польский

294 О различных геометриях

294 С чего начинается изучение геометрии

295 Как применяется геометрическая теория

297 Аксиома о параллельных

300 Равна ли сумма углов треугольника 180°

302 Нужны ли другие геометрии

305 Чем отличаются различные геометрии

Функции

В. А. Ефремович

306 Что такое координаты и для чего они служат

308 Декартовы координаты точки

308 Простейшие задачи

309 Задание фигуры, состоящей из бесчисленного множества точек

311 Прямая

312 Основные задачи на прямую

313 Окружность

314 Аналитическое решение геометрических задач

315 Неразрешимые задачи на построение

316 Полярные координаты

317 Координаты на сфере

318 Криволинейные координаты на любой поверхности. Общая идея координат

Н. Я. Виленкин

319 Функции в природе и технике

320 Жесткость балки

320 Прогиб балки

321 Сосредоточенная нагрузка

322 Число е. Натуральные логарифмы

322 Один человек может удержать корабль

323 Радиоактивный распад вещества

323 Остывание чайника

324 Почему парашютист падает равномерно

324 Как измеряют высоту при помощи барометра

325 Сколько топлива должна взять ракета

325 Гармонические колебания

326 Колебания маятника

326 Разряд конденсатора

326 Как соединить две трубы

326 Изгиб колонны

327 Затухающие колебания

327 Вынужденные колебания

328 Сложение колебаний

328 Биения

330 Приливы и отливы

330 Спектральный анализ

330 Как машина открыла теорему

330 Почему не работал трансатлантический кабель

331 Радиоприемник и камертон

331 Заключение

В. Г. Болтянский и Н. Я. Виленкин

332 Интеграл и производная

332 Задача Кеплера

332 Математика за чайным столом

332 Объем тела

334 Промер реки

335 В автомобиле

335 Интеграл

336 Геометрическое вычисление интегралов

338 Применение интегралов

339 Чудесная формула

340 Как измерить скорость полета пули

340 Скорость радиоактивного распада

341 Умеете ли вы проводить касательную?

342 Производная

343 Производные многочленов

343 Пчелы-математики

344 Как сделать самую большую коробку.

345 Балка наибольшей прочности

345 Формула Ньютона — Лейбница

346 Производные синуса и косинуса

347 Производная показательной функции

347 Радиоактивный распад

348 Показательная функция в природе и технике

348 Леверье и Адаме открывают новую планету

350 Уравнение гармонических колебаний

350 Моделирование

Множества и операции

П. С. Александров

351 Понятие множества

351 Множества конечные и бесконечные

352 Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами

355 Счетные множества

355 Множество всех рациональных чисел счетно

356 Множество всех действительных чисел несчетно

357 Мощность множества

И. M. Яглом

360 Алгебра множеств и алгебра логики

360 Алгебра чисел

361 Алгебра множеств

362 «Нуль» и «единица»

364 Удивительная алгебра

366 Дополнение множества. Аналогия между сложением и умножением множеств

368 Два способа задания множества. Множества и высказывания

368 Алгебра множеств и алгебра высказываний

370 Отрицание. Отношение следствия

371 Законы мысли

372 Правила вывода

В. Г. Болтянский и Н. Я. Виленкин

374 Чем занимается алгебра

374 Числа и действия

374 Необычная конференция

375 Фундамент алгебры

376 Сила букв

377 Кольца

378 Поля

378 Разложение на множители и решение уравнений

378 Разложение чисел на множители

379 Разложение многочленов на множители

379 Удивительное разложение

380 Разложение многочленов на множители и решение уравнений

380 Основная теорема алгебры многочленов

381 Решение уравнений в радикалах

382 Циркуль и линейка

383 Группы

383 Умножение геометрических преобразований

384 Что такое равные фигуры

385 Группы геометрических преобразований

386 Разные геометрии

386 Группы симметрии

387 Симметрия в природе

387 Группы алгебраических преобразований

389 Абстрактная теория групп

390 Заключение

Математика учит предсказывать и управлять

Ю. И. Соколовский

391 Электронные вычислительные машины

391 Создать электронный арифмометр!

392 Двоичная нумерация

393 Считают лампы

394 Обязанности вычислителя

395 Возможен ли такой автомат?

396 Главные части машины

398 Инструкция для машины

399 Исполнение программы

399 Программа с преобразованиями

400 Универсальность машины

401 Автоматический перевод

В. М. Глушков

404 Что такое кибернетика

404 Управляющие системы

405 Информация и кодирование

406 Теория автоматов

407 Вычислительная техника в народном хозяйстве

409 Разумная машина — верный помощник человека

В. М. Монахов

413 Чем занимается теория линейного программирования

Е. С. Вентцель

417 Исследование операций

Б. В. Гнеденко

420 Наука о случайном

420 Обыденные представления

421 Примеры случайных событий

422 Зачем нужно изучать случайные явления

423 Зарождение науки о случае

425 Теоремы сложения и умножения вероятностей

426 Дополнительные исторические сведения

427 Закон больших чисел

428 Некоторые современные направления развития теории вероятностей

Е. С. Вентцель

429 Теория игр

429 Чем занимается теория игр

429 Парная игра с нулевой суммой. Цена игры

430 Игра в нормальной форме. Матрица игры

432 Примеры конечных игр. Принцип минимакса

434 Седловая точка. Чистая цена игры

435 Решение игры в смешанных стратегиях. Основная теорема теории игр

Выдающиеся математики

И. Г. Башмакова

436 Архимед

А. П. Юшкевич

438 Омар Хайям

М. В. Чириков

439 Франсуа Виет

М. В. Чириков

441 Рене Декарт

И. Г. Башмакова

443 Пьер Ферма

И. Г. Башмакова

444 Исаак Ньютон

М. В. Чириков

447 Готфрид Вильгельм Лейбниц

А. П. Юшкевич

449 Леонард Эйлер

С. С. Демидов

451 Жозеф Луи Лагранж

И. Г. Башмакова

453 Карл Фридрих Гаусс

И. Г. Башмакова

455 Николай Иванович

Лобачевский

И. Г. Башмакова

457 Эварист Галуа

И. Г. Башмакова

458 Пафнутий Львович Чебышёв

М. В. Чириков

460 Софья Васильевна Ковалевская

С. С. Демидов

461 Норберт Винер

Справочный отдел

И. Г. Башмакова и А. П. Юшкевич

464 Летопись знаменательных дат развития математики

В. И. Битюцков

468 Что читать по математике

В. И. Битюцков

471 Словарь-указатель

Б. А. Кордемский

Занимательные задачи и вопросы

268, 292, 302, 323, 329, 336, 349, 354, 359, 381, 402, 416.

Несколько слов о математике

Если спросить всех школьников, какой предмет нравится им больше других, то вряд ли большинство из них назовут математику. Обычно ее скорее уважают, чем любят. У нас в стране научные знания пользуются большим почетом, но, конечно, и среди наших школьников есть такие, которые тяготятся изучением математики. По-видимому, дело объясняется не только тем, что ее изучение многим нелегко дается и требует упорства и труда, но также и тем, что некоторые вопросы школьной математики иногда кажутся недостаточно интересными и даже порой скучными. Однако азбука и грамматика какого-либо языка часто также не очень интересны, а между тем только через их изучение лежит путь ко всей литературе с ее увлекательными сказками, рассказами, повестями, романами и стихами. Подобно этому через те простейшие, азбучные положения математики, которые изучаются в школе, лежит столбовая дорога к современной математике — огромной, почти необозримой по своему богатству области человеческого знания, которая находит с каждым годом все большее применение.

Иногда приходится слышать мнение, что в математике в основном все уже известно, что времена открытий в этой науке давно прошли, а теперь остается только изучать теоремы, названные именами ученых прошлых веков, и применять их к решению разных задач. Но в действительности это далеко не так. Более того, именно сейчас математика переживает период чрезвычайно бурного развития, несмотря на то что родилась она много тысячелетий назад. Новые математические открытия в наши дни делаются буквально ежедневно во всех частях света. Чтобы получить представление о количестве этих открытий, достаточно знать следующее. В Советском Союзе издается ежемесячный реферативный журнал «Математика», в котором убористым шрифтом печатаются самые краткие сообщения (рефераты) о различных математических открытиях, сделанных в самое последнее время во всем мире. Так вот, комплект этого журнала за 1970 г. представляет собой огромный том (свыше 3000 страниц большого формата!), содержащий более 25 000 рефератов. Так велико число математических открытий, сделанных всего за один год: в среднем по 70 открытий в день! Конечно, не все они одинаково значительны, но почти каждое из них означает продвижение науки вперед, пусть иногда даже на совсем маленький шажок.

Такое бурное развитие математики тесно связано с тем, что теория и практика выдвигают все новые и новые задачи, которые математики должны решать. И вот когда старых знаний не хватает, приходится изобретать новые пути, находить новые методы. Ныне математика применяется не только в астрономии, механике, физике, химии и технике, где она применялась и раньше, но также в биологии, некоторых отраслях общественных наук и даже в языкознании. Особенно большое поле для ее применений открылось в связи с созданием быстродействующих электронных вычислительных машин. Они предсказывают погоду, вычисляют орбиты искусственных спутников, космических кораблей, переводят научные тексты с одного языка на другой.

В ближайшее время новые типы вычислительных универсальных и специализированных машин еще более широко будут применяться в самых разнообразных областях человеческой деятельности, в том числе для управления производственными процессами, для статистического и бухгалтерского учета, плановых и проектных расчетов.

Коротко математику можно охарактеризовать как науку о числах и фигурах. Трудно назвать такую отрасль человеческой деятельности, где не приходилось бы ставить и решать вопросы о количестве предметов, об их размерах и форме. С глубокой древности, по мере развития человеческого общества, накапливалось все больше сведений о числах, о размерах и формах различных предметов. Появилась необходимость приводить эти сведения в порядок, чтобы их легче было передавать от одного поколения другому. Так постепенно зарождалась математика.

Начатки математических знаний обнаруживаются уже примерно за 2 тыс. лет до н. э. Об этом свидетельствуют дошедшие до нас египетские папирусы, клинописные вавилонские таблички, где встречаются решения арифметических, геометрических и алгебраических задач.

Большого расцвета математика достигла в Древней Греции. Более чем за 300 лет до н. э. здесь появились «Начала» Евклида — сочинение, в котором систематически излагалась геометрия в том примерно объеме, в каком она доныне изучается в средней школе, а также давались сведения о делимости чисел и о решении квадратных уравнений (в геометрической форме). В III в. до н. э. Архимед нашел способ определения площадей, объемов и центров тяжести простых фигур. В кон-

це III в. до н. э. Аполлоний написал книгу о свойствах некоторых замечательных кривых — эллипса, гиперболы и параболы. Если к этому добавить еще, что во II в. н. э. Птолемей в астрономическом сочинении, известном под арабским названием «Альмагест», изложил основы тригонометрии, дал таблицы синусов (вернее, длин хорд окружности) и способы решения сферических треугольников (т. е. треугольников, сторонами которых являются дуги больших кругов, проведенных на шаре), то станет ясно, какой большой вклад в развитие математических знаний внесли древние греки за много столетий до нашего времени. Можно смело утверждать, что нынешние школьники изучают за все время пребывания в школе лишь небольшую часть этих знаний (правда, они получают также и ряд сведений, которые древним грекам были неизвестны).

Много сделали для развития математики ученые народов Востока (особенно больших успехов добились индийцы и арабы в развитии алгебры и тригонометрии). Ученым Западной Европы, после длительного застоя в развитии науки во времена средневековья, пришлось затратить немало усилий, чтобы усвоить труды их предшественников. Лишь после этого они смогли двигаться вперед самостоятельно. Расцвет математики в Европе начинается к XVII в. В это время зарождаются новые отрасли математики, которые относятся к так называемой высшей математике и изучаются ныне в высших учебных заведениях. Особенно глубоко высшая математика изучается на физико-математических факультетах университетов и педагогических институтов, некоторые ее разделы изучаются в высших технических учебных заведениях.

Основу высшей математики составляют аналитическая геометрия и дифференциальное и интегральное исчисления. Их создание, связанное с именами великих ученых XVII в. — Р. Декарта, П. Ферма, И. Ньютона и Г. Лейбница, позволило математически изучать движение, процессы изменения величин и геометрических фигур. Вместе с этим в математику вошли координаты, переменные величины и понятие функции. С координатами, переменными величинами и функциями школьники знакомились при изучении алгебры и тригонометрии. Новые программы помогают им перешагнуть порог той высшей математики, которая в течение последних трехсот лет проявила себя как незаменимый инструмент исключительной силы и тонкости, позволивший сменяющим друг друга поколениям астрономов, физиков, механиков и представителям других областей науки решать труднейшие проблемы естествознания и техники.

Невозможно проследить здесь, хотя бы и бегло, успехи математики за последние столетия. Отметим большой вклад, внесенный русскими учеными Н. И. Лобачевским, 11. Л. Чебышёвым и советскими математиками. Можно сказать, что современная математика достигла такой ступени развития и так богата содержанием, что одному человеку, даже большому ученому, нельзя охватить ее всю и приходится специализироваться в какой-либо определенной ее области.

Надо заметить, что современная математика состоит не только из алгебры, геометрии и анализа, как школьный курс; сейчас насчитываются десятки различных областей математики, каждая из которых имеет свое особое содержание, свои методы и области применения.

В разделе тома, посвященном математике и названном «Числа и фигуры», мы поместили несколько статей, тесно связанных со школьным курсом математики, дополняющих и углубляющих те знания, которые читатель уже имеет. Мы считали необходимым шире представить содержание школьного курса математики, как части большой и развивающейся математической науки.

Мы понимаем, что некоторые из наших статей нельзя назвать простыми и легкодоступными. Мы советуем при чтении таких статей вооружиться терпением, а также бумагой и карандашом и одолевать их шаг за шагом. Если читатель и тут потерпит неудачу — отчаиваться не следует. Можно вспомнить слова, с которыми знаменитый французский математик Ж. Лагранж обращался к молодым математикам: «Читайте, понимание придет потом».

Во всяком случае, мы надеемся, что каждый любитель математики найдет здесь такие статьи, которые будут для него сразу же доступны. Что касается остальных, то к ним можно обратиться позже, когда читатель продвинется вперед в школьном курсе. Словом, понимание придет!

Числа

Как люди считали в старину и как писали цифры

Все числа мы привыкли записывать с помощью десяти знаков — цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, число, состоящее из четырех сотен, четырех десятков и четырех единиц, мы записываем так : 444. При этом один и тот же знак «4» обозначает число единиц, если он стоит на последнем месте, число десятков — если на предпоследнем, и число десятков десятков, т. е. сотен, если он стоит на третьем месте от конца. Такой принцип записи чисел называется позиционным, или поместным, потому что каждая цифра получает числовое значение не только в зависимости от своего начертания, но и от того, на каком месте она стоит при записи числа. Позиционный принцип позволяет с помощью десяти знаков — цифр записать любое сколь угодно большое число. Действительно, пусть нам дано натуральное число /V. Для того чтобы записать его в нашей системе, находим сначала остаток от деления N на 10, затем остаток от деления частного на 10 и т. д. —до тех пор, пока в качестве частного не получим число, меньшее 10. Например:

# = 523=10-52 + 3, 52=10-5 + 2, 5=10-0 + 5.

Полученные остатки и являются последовательными цифрами нашего числа, записанного в позиционной десятичной системе:

yV = 523,

или, более подробно:

523 = 5- 102 + 2. 10 + 3.

Для тех, кто знаком с алгеброй, скажем, что каждое натуральное число M можно представить в таком же виде.

Если

то

где каждый из коэффициентов а0, ûi, ап меньше 10 (это просто остатки от последовательного деления числа M на 10). Следовательно, каждый из коэффициентов выразится одной из десяти цифр. Следуя десятичному позиционному принципу, записываем число M так :

где а0 означает число обычных единиц, или единиц первого разряда, содержащихся в M; ai — число единиц второго разряда, т. е. десятков ; а 2 — число единиц третьего разряда, т. е. сотен, и т. д. (Чтобы за-

Аллегорическое изображение математики. Гравюра на дереве из энциклопедии научных знаний начала XVI века.

пись не воспринималась как произведение ап ап-\К X — -ai-a0, сверху ставится черта.)

Число 10 называется основанием нашей системы.

Итак, для записи чисел мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления.

Счет двойками, тройками и дюжинами

Однако вовсе не обязательно считать десятками. Можно, например, вести счет двойками или тройками. Для этого за основание системы счисления примем число 2 или 3, а в остальном будем поступать точно так же, как это делали, когда основание равнялось десяти. Для записи по двоичной системе понадобятся всего две цифры: 0 и 1. Число «два» в этой системе запишется как 10, так как 2 = 1-2 + 0. А чтобы не спутать нашу запись с обычной, будем справа внизу ставить маленькую цифру 2 — это будет означать, что основанием системы служит число «два». Итак, 102 будет записью числа 2, 112—записью числа 3, так как 3 = 1-2 + 1.

Число 4=1-22 + 0-2 + 0-1, поэтому оно запишется ь виде 1002. Записью числа 5 будет 1012, число 7 будет выглядеть так: 1112.

Чтобы найти запись любого натурального числа yV, нужно определить остатки от последовательного деления этого числа на 2. Мы предоставляем читателям проверить, что записью числа 35 в двоичной системе будет 100 0112.

Если число N таково, что

2*<ЛГ <2Л + 1

то его можно представить в виде:

N = an2n -fa„-,2“_|+ . + a,2 + a0,

т. е. это число в двоичной системе запишется так:

N — anan-\ .a,a(b но здесь уже каждый из коэффициентов а.{ может принимать только одно из двух значений: 0 или 1.

Более подробно о двоичной системе, которая сейчас приобрела большое значение в связи с ее применением в быстродействующих вычислительных машинах, узнаете, если прочтете статью «Электронные вычислительные машины», помещенную в этом томе.

Для записи числа в троичной системе нужны три цифры, например 0, 1, 2. Число 3 здесь будет записываться как 103, а 4 —как 113. Записью числа 35 в этой системе является 10223.

Но можно считать и дюжинами, т. е. пользоваться системой счисления с основанием двенадцать. Еще не так давно в нашей стране и в Западной Европе некоторые предметы, например перья и карандаши, принято было считать дюжинами. Сервизы тоже обычно составляют из 12 чашек, 12 блюдец, 12 тарелок, а комплекты мебели — из 12 стульев или кресел. Существовало даже специальное название для дюжины дюжин — гросс.

О широком распространении двенадцатеричной системы свидетельствуют такие факты: мы до сих пор делим год на 12 месяцев, а сутки на 24 часа, причем в повседневной жизни часы считаем только до 12, а затем начинаем счет сначала («час дня», «два часа дня» и т. д.). Число 12 часто встречается также в сказках и легендах (двенадцатиглавый змей, двенадцать братьев-разбойников), что свидетельствует о древнем происхождении двенадцатеричной системы счисления.

Посмотрим, как будут изображаться числа в этой системе.

Во-первых, в ней должно быть двенадцать цифр. Значит, к нашим десяти цифрам надо прибавить еще две, например А для обозначения десяти и Б — для одиннадцати. Во-вторых, запись чисел в ней будет короче, чем в нашей системе, а таблица умножения длиннее. Число 12 запишется как 1012 (снова ставим значок 12 для того, чтобы знать, в какой системе сделана запись), число 13 — как 11 )2, число 35 = 2-12 + 11 — как 2Б12, а число 133 = 11 -12 + 1 — как Б112, т. е. оно станет двузначным.

Ниже мы расскажем о том, что когда-то существовали нумерации с основанием 20 и даже 60.

Чайный сервиз обычно составляют из 12 чашек. Мы до сих пор год делим на 12 месяцев, отсчитываем часы в течение суток от 0 до 12 дважды.

А теперь сделаем некоторые общие выводы : 1) всякое натуральное число, отличное от единицы, может служить основанием позиционной системы счисления; 2) в системе счисления должно быть столько цифр, сколько единиц содержится в основании системы.

Несмотря на то что принципиально все позиционные системы счисления равноправны, некоторыми из них в определенных случаях пользоваться особенно удобно. Например, как мы уже говорили, при счете на электронных вычислительных машинах в основном пользуются двоичной системой.

Приведем несколько задач, для решения которых удобнее воспользоваться не десятичной, а другими системами счисления.

Задача о взвешивании

Вот одна из классических задач, решить которую можно сразу же, если выбрать систему счисления с подходящим основанием. Эта задача приведена в математической книге знаменитого математика XIII в. Леонардо Пизанского. Ею интересовался также в XVIII в. и Л. Эйлер.

Требуется выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить (с точностью до 1 кг) любой груз до 30 кг при условии, что гири ставятся только на одну чашу весов и масса гирь различна.

Какие же гири нужно выбрать?

Сумма масс всех гирь должна быть не меньше 30 кг. Но, конечно, этого недостаточно. Если мы выберем, например, гири в 1, 2, 3, 10 и 15 кг, то с их помощью нельзя будет взвесить грузы в 7, 8, 9, 22, 23 и 24 кг.

Разберем математический смысл задачи. Чтобы взвесить некоторый груз, помещая гири только на одну чашу весов, надо представить его массу в виде суммы масс имеющихся гирь, причем так, чтобы каждая гиря бралась не более одного раза. Если выбранные нами гири имеют массу гп\, т2, т3, т4, ras, то груз массой М^ЗО кг должен представляться так:

M = ахтх Л а2т2 + а3т3 + akmk 4- a5m5,

где каждый коэффициент равен единице, если кладем соответствующую гирю на чашу весов, и нулю, если не пользуемся ею при взвешивании.

При такой постановке вопроса видно сходство с представлением числа M в двоичной системе счисления. Нужно только в качестве Щ\9 га2, га3, m4, т5 взять гири массой: Ш\ = 1 кг, га2 = 2 кг, га3 = 4 кг, т4 = 8 кг, ms = 16 кг. Сумма их масс 1 + 2 + 4.+8 + 4-16 = 31 кг. Кроме того, каждое число М, не большее 31, можно представить в виде:

M = b424 + b323 + b222 + b,2l + bQy где каждый из коэффициентов b0, b\, 62, 63, fc4 будет, как нам и нужно, либо нулем, либо единицей.

Пусть, например, надо взвесить груз в 22 кг. Запишем число 22 по двоичной системе:

22= 10 1 102.

Значит, нужно взять гири т2 = 2 кг, т3 = 4 кг и т5 = 16 кг.

Теперь несколько видоизменим задачу: пусть требуется выбрать 4 гири, с помощью которых можно было бы взвесить любой груз до 40 кг, при условии, что гири можно класть и на левую и на правую чашу весов.

Нетрудно убедиться, что для решения этой задачи можно воспользоваться троичной системой счисления, выбрав следующие 4 гири: mi = l кг, га2 = 3 кг, га3 = 9 кг, т4 = 27 кг. Нужно только заметить, что двойной вес гирь гп\, га2, га3 можно заменять разностью двух разных гирь, например: 2m2 = m3 — га2, 2m3 = m4 —m3 и т. п.

Следует помнить, что, хотя в различных системах счисления числа записываются по-разному, основные свойства их от этого не меняются: так, число 20 будет делиться на 2, в какой бы системе мы его ни записали, а 27 не разделится на 2, но будет делиться на 3. Числа 3, 5, 7 останутся простыми в любых системах счисления. Однако признаки делимости, которые устанавливаются исходя из записи числа в определенной системе счисления, будут меняться вместе с основанием системы. Так, число делится на 5, если его запись в десятичной позиционной системе оканчивается нулем или пятеркой. Но число не всегда делится на 5, если на 0 оканчивается его запись в троичной системе, например, числа 103 (т. е. 3), 1003 (т. е. 9), 10003 (т. е. 27) не делятся на 5, а число 1203 (т. е. 15) будет делиться на 5.

Наш устный счет

Теперь, естественно, возникает вопрос: почему мы все-таки пользуемся десятичной системой, а не системой с другим основанием? И еще: всегда ли люди записывали числа, пользуясь позиционным принципом? На эти вопросы мы и постараемся дать ответ.

Цифры в древнем Риме. Внизу крупными цифрами записано число 444.

Чтобы лучше понять, как люди считали в старину, обратимся сначала к нашей речи, к нашему устному счету. Прежде всего заметим, что наш устный счет очень отличается от письменного.

Как мы называем число 444? Мы говорим: «Четыреста сорок четыре», т. е. произносим три разных слова. В то же время это число записываем тремя одинаковыми знаками. Если то же самое число нужно будет записать немцу или французу, то они напишут такие же три знака, а произнесет каждый из них различные слова : один — по-немецки, другой — по-французски.

Итак, наша письменная нумерация носит международный характер, тогда как названия числительных и способы их образования у разных народов различны. Но дело не только в этом. Давайте рассмотрим более подробно, как мы называем числа.

Для нуля и первых девяти чисел мы употребляем специальные названия : «нуль», «один», «два», «девять». Для следующего числа у нас есть новое слово — «десять»; мы не говорим «один, нуль», хотя и записываем его с помощью единицы и нуля: 10.

Все числа от 11 до 99, как правило, составляются из названий первых чисел: «одиннадцать» (т. е. один-на-десять), «тридцать один» (т. е. три-десять-один) и т. д. Для 100 мы употребляем новое слово — «сто». Все наименования чисел от 101 до 999 опять составные, а для 1000 вводится новое слово — «тысяча». Далее появляются новые слова: «миллион», «миллиард», «триллион» и т. д. Как видим, по мере роста самих чисел возрастает и количество названий для них. Из этого явствует, что способ наименования чисел не является позиционным. Наш устный счет сохранил следы каких-то более старых нумераций, одной из которых мы и сейчас пользуемся при записи чисел по римской системе.

В римской системе есть специальные знаки для единицы (I), пяти (V), десяти (X), пятидесяти (L), ста (С), пятисот (D) и тысячи (М). Остальные числа записываются при помощи этих символов с применением сложения и вычитания: III, например, есть запись числа 3 (I + I + I), IV—числа 4 (V—I), VI —числа 6 (V + I) и т. д. Наше число 444 запишется в римской системе так: CDXLIV.

Эта форма записи менее удобна, чем та, которой мы теперь пользуемся. Здесь четыре единицы записываются одними символами (IV), четыре десятка — другими (XL), четыре сотни — третьими (CD). Запись чисел получается намного длиннее. С числами, записанными в римской нумерации, очень трудно производить арифметические действия. Попробуйте, например, умножить 444 на 36, если оба числа обозначены римскими цифрами, и вы сразу же убедитесь в трудности задачи. Сами римляне пользовались для производства арифметических операций специальной счетной доской — абаком.

В римской системе есть и еще один существенный недостаток: она не дает способа для записи сколь угодно больших чисел. Например, чтобы написать по этой системе 1 000 000, надо либо 1000 раз повторить знак М, либо ввести новый символ.

Таким образом, для записи чисел по мере их роста надо будет вводить все новые и новые знаки. Это происходит потому, что римская нумерация не является позиционной. Знак V, например, означает в ней только пять единиц и не может обозначать пяти десятков или пяти сотен. Римская нумерация не является и строго десятичной. В ней сохранились следы другого основания — пяти. Действительно, здесь есть специальные знаки для пяти, пятидесяти и пятисот.

В нашем устном счете имеются некоторые черты, напоминающие эту систему. Так, мы тоже прибегаем к операции сложения, образуя числительные от 11 до 19: «одиннадцать» (один-на-десятъ) и т. д. Но начиная с 20 мы пользуемся для образования числительных еще и умножением, чего нет в римской

Так написали бы число 444 древние египтяне.

системе: «двадцать» означает «два-десять», т. е. дваXдесять, «тридцать» —три X десять.

В нашем языке сохранились также следы нумерации с основанием 40, которой пользовались наши предки. Действительно, для этого числа употребляется новое, несоставное название — «сорок». Нам известны такие выражения: «сорок сороков церквей», «сорок сороков черных соболей». О том, что число 40 когда-то играло особую роль при счете, говорят и некоторые связанные с ним поверья. Так, сорок первый медведь считался роковым для охотника. Аналогично этому широко распространен у европейских народов предрассудок, будто число 13 является несчастливым. (Это связано с тем, что некогда была распространена двенадцатеричная система счисления.)

Во французском языке сохранились следы нумерации с основанием 20; число 80 читается: quatre-vingts — «четыре-двадцать», число 90 — quatre-vingts-dix — « четыре-два дцать-десять», число 120 — «шесть-двадцать» ; в старофранцузском языке и другие названия чисел составлялись аналогичным образом.

Следы двадцатеричной системы сохранились также в английском и голландском языках, следы пятеричной — в скандинавских языках.

Итак, устная речь показывает, что наши предки пользовались непозиционной нумерацией, причем в качестве оснований кроме десяти были и другие числа.

На основании каких же источников можно ответить на вопрос: как люди считали в старину?

Во-первых, на земном шаре сохранились народы, которые еще недавно стояли во многих отношениях на таком же низком уровне развития, как и наши далекие предки. Многие путешественники описали немало способов счета, применявшихся у таких народов. Это один источник, с которым мы познакомимся.

Вторым источником являются письменные документы древних народов : египтян, вавилонян, древних греков, индейцев племени майя и др. Наконец, русские рукописи XI—XII вв. помогут нам узнать, как считали раньше на Руси. Итак, начнем по порядку.

Счет у первобытных народов

Еще недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Но это не значит, конечно, что представители этих племен не могли сосчитать большее количество предметов.

У туземцев островов, расположенных в Торресовом проливе (отделяющим Новую Гвинею от Австралии), единственными числительными являлись «урапун» (один) и «окоза» (два). Островитяне считали так: «окоза-урапун» (три), «окоза-окоза» (четыре), «окоза-окоза-урапун» (пять) и «окоза-окоза-окоза» (шесть). О числах начиная с семи туземцы говорили «много», «множество». Таким образом, люди здесь освоили только небольшое количество целых чисел. Кстати, многие русские пословицы говорят о том, что именно так дело обстояло и у наших предков. Мы говорим: «У семи нянек дитя без глаза», «Семь бед — один ответ», «Семеро одного не ждут», «Семь раз отмерь, один раз отрежь». Здесь, очевидно, число «семь» употребляется в смысле «много» : у большого числа нянек дитя без глаза, много бед — один ответ и т. д.

Но вернемся к нашему рассказу.

Очень рано у людей появилась необходимость сообщать друг другу о том, что такое-то число предметов должно быть доставлено через столько-то дней или что каждое племя должно выставить такое-

то число воинов. И даже те народы, у которых имелось только два числительных, умели в известном смысле «сосчитывать» довольно большое количество предметов. Вот как, по рассказу замечательного русского путешественника Н. Н. Миклухо-Маклая, поступали туземцы Новой Гвинеи: «Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например «бе-бе-бе...». Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе-бе...», пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе-бе», пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

Итак, предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. Цри переговорах туземцу достаточно было сказать, например, что он дошел в своем счете до третьего пальца правой ноги. Чтобы отсчитать нужное количество предметов, счет начинали сначала, от первого пальца правой руки. При этом, отсчитывая каждый палец, одновременно отмечали и предметы. Островитяне Торресова пролива для такого пересчета употребляли не только пальцы, а и другие части тела (запястье, локоть, плечо), но всегда в определенном порядке. Так они могли пересчитывать до 33 предметов.

Суть этого способа заключается в том, что равночисленность некоторых совокупностей предметов устанавливалась при помощи сопоставления их с частями тела, а иногда и просто палочками. Разумеется, наиболее удобным «инструментом» пересчета являются пальцы, вследствие чего предметы при пересчете чаще всего группировали по пяти, по десяти и по двадцати. Этим и объясняется то, что основанием большинства сложившихся систем счисления является 10 (по числу пальцев на обеих руках), а иногда 5 или 20.

Со временем хозяйство племен становилось все более сложным и обширным, так что простое установление равночисленности при помощи счета на пальцах перестало удовлетворять людей.

Люди постепенно привыкали при счете располагать предметы устойчивыми группами по два, по десять или двенадцать. Появились специальные слова для обозначения таких устойчивых совокупностей предметов. Так, у туземцев Флориды слово «на-куа» означало 10 яиц, «на-банара» — 10 корзин. Но слово «на», которое, казалось бы, соответствует числу 10, отдельно не употреблялось. То же можно было наблюдать на островах Фиджи и Соломоновых, где имелись специальные названия для 100 челноков, 100 кокосовых орехов, 1000 кокосовых орехов и в то же время отвлеченных чисел не было. Числа являлись по существу именованными, это еще «числа-совокупности» конкретных предметов.

Но с течением времени такими устойчивыми «числами-совокупностями» начали обозначать не только данные предметы, а и другие, похожие на них. Например, «числа-совокупности», обозначающие определенное количество орехов, могли впоследствии употребляться для счета любых круглых предметов. Это привело к тому, что во многих языках первобытных народов образовалось несколько рядов числительных: одни употреблялись только для счета людей, другие — для подсчета круглых предметов, третьи — продолговатых и т. д. Например, у чишмиенов (Британская Колумбия) имелось семь видов числительных, каждый из них употреблялся для счета предметов определенного вида.

У большинства народов числа, которыми считали «деньги», постепенно вытеснили все остальные. Повидимому, это произошло тогда, когда в качестве денег в основном служил скот: приходилось сосчитывать стада, обменивать на них другие предметы. Естественно, что числа, служившие для подсчета скота, получили наибольшее распространение: их все хорошо знали. Они-то и стали теми универсальными числами, которые позволили считать любые предметы.

Однако так образовались только те числа, которым соответствовали «числа-совокупности» : если счет велся десятками, то появились названия для десяти, десяти десятков (т. е. ста), десяти сотен (т. е. тысячи). Кроме того, особые названия получили, как правило, все числа, меньшие десяти. Что касается чисел 11, 12, 19, 21 и т. д., то они составлялись из основных при помощи тех операций, которые первоначально фактически производились над пересчитываемыми предметами. Так, на языке кламатов (Северная Америка), а также племен Британской Колумбии для обозначения составных чисел употреблялись специальные глаголы. Например, индеец говорил: «На дважды десять плодов я кладу сверху шесть» —и это обозначало 26 плодов. Такая фраза полностью соответствует фактическому пересчету: индейцы располагали 10 предметов в ряд, с 11-го начинался новый ряд и т. д. А постепенно эти двигательные операции перешли в арифметические.

Хорошей иллюстрацией к такому способу счета служат обозначения чисел, принятые в XI—XVI вв. индейцами племени ацтеков (Мексика): единицу они обозначали точкой, двойку — двумя точками (см. рисунок на стр. 252) и т. д. до пяти. В запись

Обозначение чисел индейцами племени ацтеков в XI—XVI вв.

числа «шесть» входила вертикальная черта, отделявшая пять первых точек от шестой. Ясно, что здесь счет велся группами по пять предметов. Черта отделяла одну такую группу от другой, причем сама черта никакого числа не обозначала.

Основной операцией для образования составных чисел было сложение, но наряду с этим применялось и вычитание, а иногда даже умножение. Например, в русском языке, как мы уже говорили, для образования числительных употребляются и сложение и умножение (двадцать семь — два X десять + семь). В угро-финских языках применяется и вычитание: число 8 там произносится как «два-десять» (т. е. десять без двух), 80 — как «два-сто», 800 — «два-десятъ-сто» («десять-сто», т. е. тысяча, — принцип умножения). Так происходило освоение натурального ряда чисел.

Посмотрим теперь, какими были первые записи чисел и как люди оперировали числами.

Первые нумерации

Одна из древнейших нумераций египетская. До нас дошли надписи, сохранившиеся внутри пирамид, на плитах и обелисках. Они состоят из картинок-иероглифов, которые изображают птиц, зверей, людей, части человеческого тела (глаза, ноги) и различные неодушевленные предметы. Такой способ письма вообще характерен для ранних ступеней культуры. Подобные письмена были у обитателей Центральной Америки — индейцев племени майя, в Перу. Расшифровка их представляет огромные трудности, так как часто неизвестны ни язык древних народов, ни значение отдельных иероглифов. Казалось бы, задача является неразрешимой. И все-таки многие надписи уже прочитаны! Сначала были разгаданы письмена древних египтян, затем вавилонская клинопись. В 30-х годах нашего века были прочитаны долго не поддававшиеся расшифровке хеттские надписи. И наконец, совсем недавно найден ключ к разгадке письмен индейцев племени майя и надписей с острова Пасхи.

Сохранились два математических папируса, позволяющих судить о том, как считали древние египтяне. Один из них хранится в Британском музее в Лондоне, а другой — в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина в Москве. Для записи чисел древние египтяне употребляли иероглифы, означающие (последовательно): единицу, десять, сто, тысячу, десять тысяч, сто тысяч (лягушка), миллион (человек с поднятыми руками), десять миллионов:

Полагают, что иероглиф для сотни изображает измерительную веревку, для тысячи — цветок лотоса, для десяти тысяч — поднятый кверху палец, а для десяти миллионов — всю Вселенную. Все остальные числа составлялись из основных с помощью только одной операции — сложения. При этом запись производилась не слева направо, как у нас, а справа налево. Число 15, например, записывалось так:

А число 444 писали так:

Цифры в древнем Египте.

Мы видим, что древнеегипетская нумерация похожа на римскую, только при записи чисел не употребляется вычитание. Знакомясь с римской нумерацией, мы убедились, что умножать числа, записанные в непозиционной системе, очень неудобно. Как же считали древние египтяне? Оказывается, умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел. Пусть, например, надо умножить 19 на 37. Египтяне последовательно удваивали число 37, причем в правом столбце за: писывали результаты удвоения, а в левом — соответствующие степени двойки:

Удвоение продолжалось до тех пор, пока не оказывалось, что из чисел левого столбца можно составить множитель (в нашем примере: 19 = 1 + 2 + 16). Египтяне отмечали соответствующие строки вертикальными черточками и складывали те числа, которые стоят в этих же строках справа. В данном случае надо сложить 37 + 74 + 592 = 703. Так получали произведение.

Если теперь число 703 нужно было разделить на 19, то египтяне начинали последовательно удваивать делитель и продолжали это до тех пор, пока числа правого столбца оставались меньше 703. Затем из чисел правого столбца они пытались составить делимое, и тогда сумма чисел в левом столбце давала частное :

В данном случае 703 = 608 + 76 + 19, т. е. частное будет 1 + 4 + 32 = 37. Если бы делимое не делилось без остатка на делитель, то его не удалось бы составить из чисел правого столбца. У нас получились бы и частное и остаток.

Египетский способ умножения не труден, но требует очень большого количества операций, даже при умножении двузначных чисел. Если бы пришлось перемножать таким способом трехзначные или четырехзначные числа, мы не могли бы обойтись без помощи счетной машины. Заметим также, что для умножения и деления египтяне пользовались фактически представлением числа по двоичной системе.

Алфавитные нумерации. «Псаммит»

Мы видели, что непозиционные нумерации малоудобны: запись чисел в них очень длинна, арифметические операции производить трудно. По мере развития торговли и ремесла эти неудобства становились все чувствительнее, и вот в Малой Азии, где были древнегреческие колонии, которые вели оживленную торговлю, в середине V в. до н. э. появилась система счисления нового типа — так называемая алфавитная нумерация. Ее обычно называют ионийской. В этой системе числа обозначались при помощи букв алфавита, над которыми ставились черточки: первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять — числа 10, 20, 30, 90, и следующие девять — числа 100, 200, 900. Таким образом можно было обозначать любое число до 999.

Для обозначения чисел 1000, 2000, 9000 греки употребляли те же буквы, что и для чисел 1, 2, 9, но только при их записи ставили косую черточку слева внизу. Как это делалось, видно из прилагав-

Алфавитное изображение чисел в Древней Греции.

мого здесь рисунка. Далее, для числа 10 000 употреблялся знак M — это число называлось мириадой ; две мириады, т. е. 20 000, обозначались так: М. Этим способом можно было обозначить все числа до мириады мириад, т. е. до 108. Более высокие десятичные разряды уже не могли быть записаны в ионийской нумерации и не имели названия в древнегреческом языке.

Великий математик, механик и инженер древности Архимед (III в. до н. э.) посвятил целое сочинение тому, чтобы дать общий прием наименования сколь угодно больших чисел. Издавна у греков, как, впрочем, и у других народов, наглядным образом для представления об очень большом и даже неисчислимом количестве служило число песчинок. В народных сказках, например, встречается «неразрешимая» задача: сосчитать звезды на небе, капли в море или песчинки на земле. Архимед показал, что такие задачи можно решить. Свое сочинение он так и назвал «Исчисление песка» («Псаммит»). В нем он построил систему счета, в которой имелись числа, не только превосходящие количество песчинок в его родной Сицилии, но и такие, которые больше числа песчинок во Вселенной, если даже считать, что Вселенная сплошь заполнена песком. Но что же понимали греки времен Архимеда под всей Вселенной? В своем сочинении Архимед, следуя за греческим астрономом Аристархом Самосским, полагал, что в центре Вселенной находится Солнце, а Земля и другие планеты вращаются вокруг него. Вселенная имеет форму сферы, на поверхности которой расположены неподвижные звезды. Это была первая гелиоцентрическая система мира.

Для подсчета количества песчинок Архимед должен был, хотя бы приблизительно, определить размеры диаметров Вселенной и песчинки, а затем найти отношение их объемов. Архимед сделал это, опираясь на данные астрономии своего времени и на собственные исследования в этой области. Число песчинок, которое должно было у него при этом получиться, в нашей нумерации записывается так: 1063. Это очень большое число, и до Архимеда не было средств ни для записи, ни для наименования чисел такого порядка.

Чтобы решить поставленную задачу, Архимед поступает следующим образом: все числа, меньшие мириады мириад, т. е. все числа от 1 до 108 — 1, он объединяет в первую октаду (т. е. восьмерицу) и называет их первыми числами. Число 108 служит единицей второй октады, в которую входят все числа от 108 до 102'8 —1. Это «вторые числа». Аналогично этому число 102' 8 является единицей третьей октады, а числа от 102 8 до 103“8 — 1 являются «третьими». Продолжая это построение, можно дойти до мириадо-мириадной октады, которая содержит числа от 10(ios-i)-8 до 108• 10м_i все эти октады Архимед объединяет в первый период. Число 108“108 служит единицей первой октады второго периода и т. д. Этим способом можно дойти до последнего числа последней октады мириадо-мириадного периода. Здесь Архимед останавливается, но ясно, что можно идти дальше, объединив все периоды в новый разряд.

Но и тех чисел, которые построил Архимед, вполне достаточно для подсчета числа песчинок во Вселенной. Необходимое число содержится уже в восьмой октаде первого периода. Архимед продолжил свое построение дальше для того, чтобы разъяснить метод наименования сколь угодно больших чисел.

Для построения своих чисел Архимед формулирует правило, равносильное нашей формуле

Способ Архимеда близок к позиционному, но понадобилось еще около тысячи лет, прежде чем человечеству удалось создать десятичную позиционную систему счисления.

Так записывались числа в славянской нумерации.

Алфавитные системы были кроме ионийцев у древних евреев, финикийцев, армян, грузин и других народов. Алфавитная нумерация была принята и в Древней Руси. Над буквами, обозначающими числа, ставился специальный знак — титло. Это делалось для того, чтобы отличать их от обычных слов.

Интересно отметить, что хотя в славянской нумерации, как и в греческой, запись числа шла слева направо, от высших единиц к низшим, но для чисел от 11 до 19 делалось исключение: сначала писали единицы, а затем знак для 10.

Удобны ли алфавитные системы?

Запишем в славянской нумерации число 444:

Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей. Это объясняется тем, что в алфавитных нумерациях имелось 27 цифр, тогда как в египетской, например, для обозначения всех чисел до 1000 было всего лишь три цифры.

Но алфавитные нумерации имели и крупный недостаток: с их помощью нельзя обозначать сколь угодно большие числа. Они были удобны только для записи чисел до 1000.

Правда, славяне, как и греки, умели записывать и большие числа, но для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Числа 1000, 2000 и т. д. они записывали теми же буквами, что 1, 2 и т. д., только слева внизу ставился специальный знак например 1000 обозначали

Аналогично :

Число 10 000 опять обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, но его уже обводили кружком:

Называлось это число «тьмой».

Отсюда, между прочим, произошло выражение «тьма народу».

Итак, для обозначения тем первые 9 цифр обводились кружками:

10 тем, или 100 000, было единицей высшего разряда. Ее называли «легион». В записи вокруг первых 9 цифр ставился кружок из точек:

и т. д.

10 легионов составляли новую единицу, которая называлась «леодр». Для обозначения леодров соответствующие числа заключали в кружок из черточек:

Эти обозначения можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в ней для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же символы, к которым добавлялись знаки для определения разряда. Такая система называлась малым числом. В ней обозначения не шли дальше миллионов.

Но наряду с этим имелось и «большое», или «великое», число, в котором словом «тьма» обозначался уже миллион. Тьма тем (т. е. 1012) называлась легионом, легион легионов (т. е. 1024) — леодром, леодр леодров (т. е. 1048) — «вороном», и, наконец, число 1049 называлось «колодой». В рукописи XVII в. гово-

Клинописная запись чисел в древнем Вавилоне.

рится: «И более сего несть человеческому уму разумевати», т. е. для больших чисел уже нет названий. Для обозначения воронов буквы ставили в кружок из крестиков : а колоду обозначали так:

Алфавитные нумерации, как мы говорили, были мало пригодны для оперирования с большими числами, встречавшимися уже в древности (например, при астрономических расчетах). В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным. Но остатки алфавитных нумераций сохранились в нашем обиходе и по сей день. Так, мы часто нумеруем пункты при помощи букв алфавита. Правда, буквы служат только для обозначения последовательного порядка, а не количества. Никаких арифметических операций над такими буквами мы уже не производим.

Позиционные системы

Первой известной нам позиционной системой счисления была шестидесятеричная система вавилонян, возникшая примерно за 2500—2000 лет до н. э. Основанием ее служило число 60. Следовательно, в ней должно было бы быть 60 цифр. А таблица умножения должна была состоять из —^— — 1800 строк.

Как же вавилоняне записывали свои цифры и как запоминали такую чудовищную таблицу умножения?

Вавилоняне поступали так: записывали все числа от 1 до 59 по десятичной системе, применяя принцип сложения. При этом они пользовались всегда двумя знаками: прямым клином Y для обозначения 1 и лежачим клином для 10. Число 32, например, писали так : ^ ^ ~< J У

Эти знаки и служили цифрами в их системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком, что и 1, т. е. Т Так же обозначались и числа 3600, 603 и все другие степени 60. Например, число 92 записывали так : у^^^у у

Таким образом, «цифры*, т. е. все числа от 1 до 59, вавилоняне записывали по десятичной непозиционной системе, а число в целом — по позиционной системе с основанием 60. Поэтому-то мы называем их систему шестидесятеричной (а не шестидесятичной, как нужно называть, учитывая только одно основание 60).

Но нумерация вавилонян имела и еще одну важную особенность: в ней не было знака для нуля. И если был изображен прямой клин Т , то без дополнительных пояснений нельзя было определить, какое число записано: 1, 60, 3600 или какая-нибудь другая степень 60. Запись числа 92, приведенная выше, могла обозначать не только 92=60 + 32, но и 3600+32=3632. Она могла также означать 1 ^ или

Таким образом, запись в вавилонской нумерации не носила абсолютного характера — для определения абсолютного значения числа нужны были еще дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда. Например, число 3632 нужно было бы записать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился.

Цифры индейцев племени майя.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали — это было почти невозможно. Они пользовались при своих вычислениях готовыми таблицами умножения, так же как мы теперь пользуемся, например, таблицами логарифмов.

Шестидесятеричная система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии. Следы ее сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 равных частей (градусов).

В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Центральной Америке, пользовались другой позиционной системой — с основанием 20. Свои цифры индейцы майя, как и вавилоняне, записывали, пользуясь принципом сложения. Единицу они обозначали точкой, а пять — горизонтальной чертой (см. рис.), но в этой системе уже был знак для нуля. Он напоминал по своей форме полузакрытый глаз. Например, число 20 индейцы майя записывали при помощи знака для единицы и внизу знака для нуля (числа писали не в строчку, а столбцами).

Десятичная позиционная система впервые сложилась в Индии не позднее VI в. н. э. Здесь же был введен наш символ для нуля.

Итак, позиционные системы счисления возникли независимо одна от другой в древнем Двуречье, у племени майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью.

Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к истории. В древнем Китае, Индии и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе.

Пусть, например, десятки обозначаются символом X, а сотни — С. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так:

ЗС2ХЗ.

В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. На аналогичном принципе основаны наши счеты: одно и то же количество косточек означает число десятков, сотен, тысяч и т. д., в зависимости от того, в каком ряду расположены эти косточки.

Но именно такой способ счета применялся при счете «числами-совокупностями». Так, йорубы (одно из африканских племен), считая раковины-каури (игравшие у них роль денег), раскладывали их в кучки по 20 раковин в каждой, затем 20 таких кучек они объединяли в одну большую кучу и т. д. При таком способе счета подчеркивается то обстоятельство, что с кучами можно поступать так же, как и с отдельными раковинами. Н. Н. Миклухо-Маклай рассказывал о способе счета у папуасов, который уже очень близок к построению чисел по принципу умножения. Чтобы сосчитать число дней до возвращения корвета «Витязь», папуасы поступали следующим образом: «Первый, раскладывая кусочки бумаги на колене, при каждом обрезке повторял «каре-каре» (один), другой повторял слово «каре» и загибал при этом палец прежде на одной, затем на другой руке. Сосчитав до десяти и согнув пальцы обеих рук, он опустил оба кулака на колени, повторив «две руки», причем третий папуас загнул один палец руки. Со вторым десятком было сделано то же, причем третий папуас загнул второй палец; то же самое было сделано для третьего десятка».

Рассказывают, что так же считали стада в Южной Африке: один из африканцев считал каждую голову, второй — число десятков, сосчитанных пер-

Постепенно изменяясь, цифры «губар» (вторая строка) приняли форму, близкую к современной.

вым, а третий — число десятков, сосчитанных вторым, т. е. число сотен. Если бы мы теперь обозначили палец первого через I, палец второго через X и палец третьего через С, то результат по мультипликативной системе записали бы, например, так: 3C2X3I. В Китае и Индии с древнейших времен существовал именно такой способ записи чисел. Кроме того, индийцы издавна проявляли глубокий интерес к большим числам и способам их записи. В одной из индийских книг — « Лалитавистаре» говорится о состязании между женихами прекрасной Гопы. Предметом состязания были письменность, арифметика, борьба и стрельба из лука. Почти половина книги посвящена описанию состязаний по арифметике. Победитель Гаутама придумал шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, последним членом ее было ю7+9 46

Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание названий разрядов при письме (подобно тому как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек»). Но при записи больших чисел по системе с основанием 10 очень часто бывал необходим символ для обозначения нуля.

Как же появился нуль?

Мы видели, что уже вавилоняне употребляли межразрядовый знак. Начиная со II в. до н. э. греческие ученые познакомились с многовековыми астрономическими наблюдениями вавилонян. Вместе с их вычислительными таблицами они переняли и вавилонскую шестидесятеричную систему счисления, но только числа от 1 до 59 записывали не с помощью клиньев, а в своей, алфавитной нумерации. Но самое замечательное было то, что для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда греческие астрономы начали употреблять символ О (первая буква греческого слова Q |J § £ V — ничто). Этот знак, по-видимому, и был прообразом нашего нуля.

Действительно, индийцы, владевшие уже мультипликативным принципом записи чисел, как раз между II и VI вв. н. э. познакомились с греческой астрономией. Это видно из того, что они переняли и общие теоретические положения этой астрономии, и многие греческие термины.

Одновременно они должны были познакомиться с шестидесятеричной нумерацией и греческим круглым нулем. Индийцы и соединили принципы нумерации греческих астрономов со своей десятичной мультипликативной системой. Это и был завершающий шаг в создании нашей нумерации.

Из Индии новая система распространилась по всему миру. При этом одни народы переняли у индийцев только принцип обозначения чисел, другие заимствовали и написание цифр.

Из приведенной таблицы видно, как постепенно видоизменялись цифры «губар», употреблявшиеся в мавританских государствах. Откуда произошли сами цифры «губар», до сих пор остается неясным.

В страны Европы новая индийская нумерация была занесена арабами в X—XIII вв. (отсюда и название «арабские цифры»), однако вплоть до XVIII в. в официальных бумагах разрешалось применять только римские цифры. Но преимущества позиционного принципа счисления были настолько велики, что еще в XIII в. он стал применяться итальянскими купцами. Тогда же Леонардо Пизанский выступил убежденным сторонником новой системы. В Германии, Франции и Англии до конца XV в. новая нумерация почти не употреблялась. Но к концу XVI — началу XVII в. позиционная система одержала решительную победу — ее приняли не только купцы, но и все ученые. Ее стали применять повсеместно.

В России, как мы уже знаем, в старину употреблялась алфавитная система, которая имеет много преимуществ по сравнению с римской. Но и здесь новая нумерация быстро вошла в употребление: во всех без исключения математических рукописях XVII в. применялась десятичная позиционная система счисления. При Петре I индийские цифры уже вытесняют на монетах славянские, а позднее славянские цифры вообще быстро исчезают из обихода.

Приведем в заключение слова знаменитого французского математика и физика XVIII—XIX вв. П. Лапласа: «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».

Простейшие неопределенные уравнения

Пифагоровы треугольники

Футбольное поле — это прямоугольная площадка длиной примерно 90 м и шириной 60 м. Как разметить такую площадку? Прямоугольник на листе бумаги строят при помощи линейки и циркуля или линейки и угольника. Эти приборы слишком малы для работы на местности. Они не обеспечат нужной точности в построении прямых углов такой площадки, как футбольное поле. Если же сделать циркуль и угольник достаточно больших размеров, то ими будет невозможно пользоваться.

С давних времен известен очень простой способ построения на местности прямых углов. Выполним такое построение. Возьмем шнур и три колышка. На шнуре отметим 12 равных долей. Затем узлами выделим три части шнура МВ> ВС> CN так, чтобы первая часть состояла из пяти, вторая из четырех и последняя из трех таких долей. Узлы M и N свяжем вместе и обозначим вновь полученный узел через А.

С помощью колышков натянем часть шнура ВС вдоль данной прямой так, чтобы точка С совпала с точкой, через которую должен быть проведен перпендикуляр к данной прямой. Потом оттянем шнур за узел А так, чтобы участки AB и АС стали прямолинейными, и вобьем в точке, где будет находиться узел At колышек. Задача построения на местности прямого угла нами решена, так как угол АС В прямой.

Чтобы убедиться в этом, докажем, что прямоугольным будет всякий треугольник, стороны которого, измеренные какой-нибудь единицей измерения, выражаются числами 3, 4 и 5. Для доказательства возьмем прямоугольный треугольник с катетами, равными двум меньшим сторонам данного треугольника, и найдем его гипотенузу je. По теореме Пифагора jc2 = 32-f 42. Поэтому л: = 5. Таким образом, три стороны данного треугольника соответственно равны трем сторонам прямоугольного треугольника. А отсюда следует, что и данный треугольник прямоугольный.

Доказанное свойство треугольника со сторонами 3, 4 и 5 было, по-видимому, известно еще древнеегипетским землемерам: такой треугольник называют египетским. Всякий целочисленный треугольник (т. е. такой, длины сторон которого выражаются целыми числами), подобный египетскому, также является прямоугольным.

Существуют ли другие целочисленные прямоугольные треугольники?

Циркулем и угольником таких размеров невозможно было бы пользоваться (левый рисунок).

Построение прямого угла на местности (правый рисунок).

Если катеты и гипотенузу какого-нибудь целочисленного прямоугольного треугольника обозначить буквами X, у и z, то по теореме Пифагора получим:

X2 + y2 = z2. (1)

Можно доказать, что верно и обратное, т. е. если Ху у и z — натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (1), то треугольник со сторонами х, у и z прямоугольный.

Целочисленный прямоугольный треугольник для краткости иногда называют пифагоровым.

Наше рассуждение показывает, что задача отыскания всех пифагоровых треугольников сводится к решению уравнения (1) в натуральных числах.

Рассмотрим несколько других задач.

Взвешивание груза на чашечных весах

Можно ли 28 г некоторого вещества отвесить на чашечных весах, имея гири только в 3 и 5 г?

Оказывается, это можно сделать, даже несколькими способами.

Попытаемся найти все способы взвешивания. Для этого поместим груз в 28 г на правую чашу весов и уравновесим его гирями в 3 и 5 г. Возможны такие случаи: а) все гири находятся на левой чаше весов; б) гири по 3 г находятся на левой чаше весов, а гири по 5 г вместе с грузом находятся на правой чаше весов; в) гири по 5 г находятся на левой чаше весов, а гири по 3 г вместе с грузом находятся на правой чаше весов.

Если через х обозначим число использованных гирь в 3 г, а через у — число использованных гирь в 5 г, то в соответствии с отмеченными выше случаями получим:

а) Зх + 5*/ = 28, (2)

б) Зх = 28 + 5*/, или Зх-5*/ = 28,

в) Ъу = 28 + Зх, или Ьу- Зх = 28.

Чтобы найти все способы взвешивания, нужно решить каждое из полученных уравнений в неотрицательных целых числах. Можно решить лишь одно уравнение (2) в целых числах, но при этом нужно иметь в виду, что значения неизвестных х и у указывают не только на число использованных гирь, но и на их место на чашках весов. Так, если значение неизвестного х положительно, то число гирь в 3 г равно X и все они находятся на левой чаше весов; если значение х отрицательно, то число гирь в 3 г равно IX I и все они находятся на правой чаше весов.

Сколько нужно взять гирь?

Раскрой фанеры

В деревообделочный цех одного завода поступил заказ вырезать из фанеры заготовки двух видов для 1000 изделий. Известно, что на одно изделие идет две заготовки первого вида и три второго. На складе имеется 800 листов фанеры одного образца. Были предложены три способа раскроя этих листов. При первом способе из листа фанеры получается пять заготовок первого вида и две второго, при втором — одна заготовка первого вида и пять второго и, наконец, при третьем — три заготовки первого вида и четыре второго.

Достаточно ли для выполнения заказа листов фанеры, имеющихся на складе? Сколько листов фанеры нужно кроить по первому, сколько по второму и по третьему способам, чтобы выполнить этот заказ?

Обозначим буквами Х\, х^ х$ соответственно число листов фанеры, раскроенных по первому, второму и третьему способам. Тогда 5х\+Х2 + Зхз — количество полученных заготовок первого вида и 2jt1 + 5jt2 + + 4лгз — количество полученных заготовок второго вида. Так как для выполнения заказа требуется не менее чем 2000 заготовок первого и 3000 заготовок второго вида, то должны выполняться неравенства:

Чтобы заменить неравенства строгими равенствами, обозначим через х4 количество заготовок первого вида, которых придется изготовить сверх 2000, а через х$ — количество «лишних» заготовок второго вида. Тогда, учитывая, что Х\ + х2+Хз = 800, получим следующую систему уравнений:

(3)

Конечно, х4 и х5, так же как и Х\9 х2, х3, должны быть целыми неотрицательными числами.

Каждому варианту (х\, Хъ *з) распределения 800 листов фанеры по способам раскроя соответствует решение (Х\% х2, JC3, Jt4, JC5) системы уравнений (3) в целых неотрицательных числах. Наоборот, каждому решению (х\, Jt2, *з» *4» *s) системы (3) в целых неотрицательных числах соответствует определенный вариант распределения 800 листов фанеры по способам раскроя. Поэтому задача о раскрое фанеры приводит к отысканию решений системы (3) в целых неотрицательных числах.

Неопределенные уравнения

Каждая из рассмотренных задач сводится, как мы убедились, к решению в целых числах некоторых уравнений или систем уравнений. При этом число неизвестных всякий раз превосходит число уравнений. Такие уравнения и системы называют неопределенными.

При решении неопределенных уравнений или систем уравнений обычно ищут значения неизвестных, удовлетворяющие тем или иным арифметическим условиям. Например, их решают в целых или рациональных числах.

Еще александрийский математик Диофант (III в. н. э.) занимался решением алгебраических уравнений в рациональных (вообще говоря, дробных) числах.

Решением неопределенных уравнений в целых числах впервые начали заниматься ученые Индии (V—XII вв.). Они предложили общий метод для решения в целых числах неопределенных уравнений первой степени с целыми коэффициентами, а также нашли решение в целых числах некоторых неопределенных уравнений второй степени с двумя неизвестными.

Рациональные и целые решения неопределенных уравнений первой степени. Метод рассеивания

Решить неопределенное уравнение первой степени с целыми или дробными коэффициентами в рациональных числах нетрудно. Возьмем, например, уравнение

29аг —I3i/= 17 (4)

Чтобы найти все решения этого уравнения, узнаем, при каких рациональных значениях одного неизвестного соответствующее значение второго неизвестного рационально. Каждому значению неизвестного X соответствует единственное значение неизвестного у, определяемое из формулы :

(5)

Если значение неизвестного х рационально, то и значение неизвестного у, получаемое из формулы (5), рационально.

В формуле (5) роли неизвестных х и у различны. Неизвестному х мы даем произвольное значение, а значение неизвестного у находится в зависимости от выбранного значения неизвестного х. В соответствии с этим называют неизвестное х свободным, а неизвестное у зависимым. Уравнение (4) можно разрешить не только относительно неизвестного у, но и относительно неизвестного х. В таком случае неизвестное у станет свободным, а неизвестное х зависимым.

Для отыскания целых решений уравнения (4) мы не можем непосредственно воспользоваться формулой (5), так как при целых значениях одного неизвестного второе неизвестное не обязательно принимает целые значения. Чтобы найти все целые решения уравнения (4), найдем такие целые значения неизвестного х, для которых соответствующее значение неизвестного у является целым числом.

Это незначительное на первый взгляд изменение постановки задачи открывает путь для ее решения.

Замечая, что

и пользуясь формулой (5), получим:

(6)

Мы должны узнать, при каких целых значениях неизвестного х неизвестное у принимает целые значе-

Задача о раскрое фанеры — одна из задач бурно развивающейся в настоящее время теории линейного программирования (см. стр. 413).

На нижнем рисунке: «метод рассеивания» глазами художника.

ния. Так как при целом х число 2х — 1 является целым, то из формулы (6) следует, что неизвестное у при целом X только в том случае принимает целое значение, если выражение —^— есть целое число. Задача еще не решена, но мы близки к цели.

В самом деле, полагая —^—= у и замечаем, что вопрос, при каких целых значениях неизвестного X неизвестное у принимает целые значения, равносилен вопросу о целых решениях уравнения

(7)

Таким образом, решение в целых числах уравнения (4) удалось свести к решению в целых числах уравнения (7). Чем же второе уравнение предпочтительнее первого?

Самым простым из неопределенных уравнений первой степени естественно считать такое, у которого хотя бы один из коэффициентов при неизвестных равен 1 или —1. В этом случае неизвестное с таким коэффициентом при любых целых значениях остальных неизвестных принимает целые значения. Поэтому чем меньше наименьшая из абсолютных величин коэффициентов при неизвестных, тем уравнение предпочтительнее. В уравнении (4) наименьшая из абсолютных величин коэффициентов при неизвестных равна 13, а в уравнении (7) равна 3. Как удалось достичь этого? Коэффициент при неизвестном х и свободный член уравнения были заменены остатками от деления этих чисел на 13. Но остаток от деления целого числа на натуральное число всегда меньше этого натурального числа. Понятно, почему с самого начала неизвестное у было выражено через неизвестное х: мы выбрали неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом. Теперь ясно, как поступать с уравнением (7).

При каких целых значениях неизвестного ух неизвестное X принимает целые значения?

Задача о взвешивании решена.

Из условия

(8)

находим, что неизвестное х при целых значениях неизвестного ух только в том случае принимает целые значения, если Ц^“*1 естъ целое число. Обозначая через Х\ это выражение, получим 14-t/i =3jCi, или

Здс,—(9)

Таким образом, задача сведена к решению в целых числах уравнения (9). Решить в целых числах уравнение (9) — значит узнать, при каких целых значениях неизвестного Х\ неизвестное ух принимает целые значения. Но у\ =Zx\ — 1, поэтому ух принимает целые значения при любых целых значениях неизвестного Х\. Из равенств (8) и (6) последовательно найдем выражения для неизвестных х и у.

Из приведенных рассуждений следует, что формулы

(10)

при Х\ = 0, ±1, ±2, ±3, ... дают все целые решения уравнения (4).

Аналогично решается уравнение с тремя и более неизвестными. Показанный на примере метод решения неопределенных уравнений в целых числах несущественно отличается от метода, предложенного индийцами. В связи с тем что при решении неопределенного уравнения по этому методу оно сводится к цепи уравнений с уменьшающимися коэффициентами, индийские математики назвали этот метод методом рассеивания.

Решение задачи о взвешивании

Итак, нам нужно решить в целых числах уравнение (2). Определяем неизвестное х:

Верно и такое равенство:

Им-то мы и воспользуемся. Ведь наша цель — уменьшить коэффициент при неизвестном. Введем обозначение : X J = —. Задача сведена к решению в целых числах уравнения Зх\— у = 1. Решая это уравнение, получим г/ = 3jci — 1, где Х\—любое целое число. А тогда

х = 9—2- (3*1—1)+х, = 11— 5х{.

Таким образом, общее решение уравнения (2) можно записать так:

где хх = 0, ±1, ±2, ... .

Найдем несколько решений этого уравнения:

Х\

0

1

— 1

2

—2

3

— 3

X

11

6

16

1

21

—4

26

У

— 1

2

— 4

5

—7

8

— 10

Уравнение (2) имеет бесконечное множество решений, но мы сможем воспользоваться только некоторыми. Это зависит от числа гирь в нашем распоряжении да и размеров чаш.

Мы рассмотрели два уравнения первой степени. Каждое из них, как удалось установить, имеет целочисленные решения. Однако наряду с ними можно указать уравнения, которые решений в целых числах не имеют. Таково, например, уравнение

Зх — 6у = 5. (11)

В самом деле, допустив, что при некоторых целых X и у равенство (11) верно, мы получим, что 5 делится на 3.

Какие неопределенные уравнения разрешимы в целых числах? Можно ли для всякого разрешимого в целых числах неопределенного уравнения первой степени найти его решение методом рассеивания? На первый вопрос отвечает теорема: Уравнение с целыми коэффициентами а\, а2» аПу b

аххх + а2х2 + ... + апхп — Ъ (12)

разрешимо в целых числах только в том случае, если свободный член b делится на наибольший общий делитель чисел а\, а2, ап-

Ответим на другой вопрос: всегда ли предложенный метод решения в целых числах неопределенных уравнений первой степени приводит к цели?

Если а\ — наименьший по абсолютной величине коэффициент при неизвестном в уравнении (12), то мы заменяем это уравнение другим, в котором все коэффициенты, кроме коэффициента ai, заменены остатками от деления этих чисел на а,\. Если хотя бы один из коэффициентов а2, Яз» •••» °>п не делится на ai, то получим уравнение, коэффициенты которого по абсолютной величине меньше, чем у данного. С этим уравнением поступаем так же, как с данным. Если все числа а2, аз» —» ал делятся на ai, а b не делится, то данное уравнение неразрешимо. Если все числа а2, Яз> •••» ал и b делятся на ai, то, деля обе части уравнения на ai, получим уравнение, целые решения которого находятся без труда.

Из этого рассуждения следует, что описанный метод позволяет найти целые решения всякого разрешимого в целых числах неопределенного уравнения с целыми коэффициентами.

Неопределенные системы уравнений первой степени

При решении в рациональных числах неопределенных систем уравнений первой степени с рациональными коэффициентами обычно пользуются методом последовательного исключения неизвестных. Решим, например, в рациональных числах такую систему уравнений :

Из первого уравнения находим:

(13)

Подставляя значение неизвестного х во второе уравнение, получим :

или

(14)

Давая в уравнении (14) неизвестному z какое-нибудь рациональное значение, т. е. принимая z за свободное неизвестное, а х и у за зависимые неизвестные, мы, пользуясь равенствами (14) и (13), сможем найти все решения в рациональных числах данной системы уравнений.

В целых числах такую систему можно решить сходным способом. Сначала рассматривают одно из уравнений системы и решают его в целых числах. Найденные выражения для неизвестных этого уравнения через некоторые вспомогательные целочисленные неизвестные подставляют во второе уравнение. Решив в целых числах полученное уравнение с новыми неизвестными, можно найти все решения в целых числах и данной системы уравнений.

Решение задачи о раскрое фанеры

Теперь приступим к решению системы уравнений (3). Мы имеем три уравнения с пятью неизвестными. Поэтому два неизвестных будут свободными, а остальные три — зависимыми. Конечно, в качестве зависимых неизвестных нужно брать те неизвестные, у которых абсолютная величина коэффициентов минимальна.

Поэтому выберем в качестве свободных неизвестных Х\ и х2 и выразим х3, х4, х$ через Х\ и х2. Для этого значение д:3 = 800 — Х\ — х% подставим в первые два уравнения, получим :

Теперь, давая Х\ и х2 Целые значения, получим всевозможные решения системы уравнений (3) в целых числах.

Исследуйте самостоятельно, какие целые неотрицательные значения следует давать Х\ и jt2, чтобы д:3, jc4 и Хъ также были неотрицательными.

Ниже приведена таблица некоторых решений системы (3).

Из таблицы видно, что листов фанеры достаточно и что самый выгодный способ раскроя будет при *i=0, х2 = 100, лгз = 700. В этом случае образуются «лишние» заготовки еще для 100 изделий. В других случаях «лишние» заготовки будут некомплектными. Но нужно ли раскраивать все 800 листов? Ведь нужны заготовки для 1000 изделий, а не для 1100.

Поэтому практический интерес представляет следующий дополнительный вопрос к этой задаче: какое наименьшее число / листов фанеры следует взять со склада и какими из указанных способов следует кроить взятые листы, чтобы выполнить заказ? Для ответа на этот вопрос из всех решений в целых неотрицательных числах системы уравнений

(15)

нужно выбрать такое решение (jc!, Jt2, x$r Х\* *s)» Для которого f = X\ + принимает наименьшее значение, или, как мы будем говорить дальше, удовлетворяет условию минимальности.

Чтобы облегчить поиски, откажемся временно от требования, чтобы значения неизвестных были целыми. Попытаемся решить нашу задачу удачным выбором свободных неизвестных. Удобнее всего такими выбрать х4, jc5 и какое-нибудь из неизвестных Х\9 х2, х3. Определяя из уравнений (15) сначала, например, Х\, а затем х2 и опуская промежуточные выкладки, будем иметь:

(16)

При данном значении jt3 наименьшее значение / мы получим, если неизвестным х4 и х$ дадим нулевое значение (это и понятно, ведь Х\ и х$ — количество «лишних» заготовок!). Пусть хА = хь = 0. Легко видеть, что при возрастании значений неизвестного х3 значение / будет убывать. Но рост х$ сдерживается требованием, чтобы значения неизвестных Х\ и х2 были неотрицательными. Так как

то из

равенств (16) (при х4 = х5 = 0)

видно, что при возрастании х$ отрицательные значения прежде всего будет принимать неизвестное Х\. Поэтому естественно неизвестное Х\ сделать свободным, а неизвестное х3 — зависимым.

Определяя из уравнений (15) неизвестные х2 и jt3, найдем :

Легко видеть, что наименьшее значение / получим, если свободным неизвестным Х\> хА и хъ дадим нулевые значения. При этом для зависимых неизвестных получим положительные значения :

Следовательно, решение

системы (15) удовлетворяет условию минимальности. Но нам требуется найти целочисленное решение в неотрицательных числах, удовлетворяющее условию минимальности. Из приведенных рассуждений следует, что для такого решения/1 ^ = 727,2. . . или даже /^>728, так как число / должно быть целым. Можно ожидать, что искомое решение мы полу-

Х1

0

0

0

100

100

100

100

200

200

200

300

300

Х2

0

100

200

0

100

200

300

200

300

400

400

500

х3

800

700

600

700

600

500

400

400

300

200

100

0

Х4

400

200

0

600

400

200

0

400

200

0

200

0

ч5

200

300

400

0

100

200

300

0

100

200

0

100

чим, если немного изменим значения неизвестных. Положим, например, Х\ = 0, jt2 = 91, jt3 = 637. Тогда

А это убеждает нас, что целочисленное решение с условием минимальности найдено. Итак, со склада достаточно взять лишь 728 листов фанеры и 91 из них кроить по второму, а остальные по третьему способу.

Решенная нами задача о раскрое фанеры относится к числу задач, составляющих предмет теории линейного программирования (см. стр. 413). В этой теории рассматривают задачи следующего типа: из всех решений в неотрицательных числах некоторой системы уравнений первой степени найти решение, удовлетворяющее условию минимальности. Иногда, как в задаче о раскрое фанеры, выдвигают дополнительное требование, чтобы значения неизвестных были целыми числами.

Весьма многие проблемы экономики, в частности вопросы планирования производства и перевозок, приводят к этим задачам.

Целые решения неопределенных уравнений степени выше первой

Решение в целых числах неопределенных уравнений степени выше первой с целыми коэффициентами — во многих случаях задача более сложная, чем решение в целых числах неопределенных уравнений первой степени.

Индийские математики (V—XII вв.) нашли решение в целых числах некоторых уравнений второй степени с двумя неизвестными. С исчерпывающей полнотой задачу нахождения в целых числах неопределенных уравнений второй степени с двумя неизвестными решил в 1766 г. французский математик Ж. Лагранж.

Уравнения третьей степени с двумя неизвестными до сих пор до конца не исследованы. С некоторыми типами таких уравнений удалось справиться советскому математику Б. Н. Делоне. Заметим, что даже установить число решений таких уравнений третьей и более высоких степеней исключительно трудно.

В начале нашего столетия норвежский математик А. Туэ доказал интересную теорему:

Если во всем искать математику, то можно построить интересную полезную математическую теорию, рассматривая, например, затейливые узоры на древнегреческой вазе или прихотливо повторяющиеся рисунки мозаик и паркета в старинных дворцах. Простейшая математическая теория ряда мозаик получится, если на плоскости рассматривать мозаики, состоящие из правильных многоугольников (см. стр. 267). Чтобы особо подчеркнуть важность того, что мозаики получаются повторением рисунка, введем следующее определение. Назовем преобразованием рисунка всякое его перемещение, которое надо совершить, чтобы совместить его с другим таким же рисунком. Оказывается, что для таких преобразований существует очень простая и красивая алгебра и такие преобразования образуют группу (более подробно о такой алгебре и теории групп см. в статье «Чем занимается алгебра?»).

Эти преобразования можем подразделить на несколько видов: параллельный перенос рисунка, поворот его на какой-то угол и зеркальное отражение. При этом оказывается, что на плоскости для любых мозаик из правильных многоугольников может быть только 17 различных групп таких преобразований. Этот замечательный факт установил в 1891 г. знаменитый русский кристаллограф Е. С. Федоров.

Изучение мозаик дает богатую пищу не только для математических исследований, но и для воображения художника. На прилагаемом рисунке можно видеть как «портреты» некоторых абстрактных групп, так и мозаики другого типа. Эти остроумные рисунки сделал датский художник Мориц К. Ешер. Первое впечатление, что утки летят, а всадники скачут только слева направо. Но тут же глаз замечает, что такая же процессия с занимательной точностью движется в противоположном направлении. Художник предлагает каждому попробовать свои силы в составлении таких мозаик. Однако он предупреждает, что такая работа требует усидчивости! Интересно отметить, что для таких произвольных мозаик теория групп уже не является таким же удобным и плодотворным математическим аппаратом, как для правильных мозаик. Но здесь начинается применение другой любопытной математической теории, именно теории о покрытии плоскости без пропусков и наложений фигурами сложных очертаний. И эта математическая теория дает много интересных и полезных сведений всякому, кто познакомится с ней поближе.

Неопределенное уравнение с целыми коэффициентами:

а0х г- ахх у -\~ а2х у2 + . = &,

где п — целое число, большее 2, имеет только конечное множество решений (в частности, может не иметь решений) в целых числах, за исключением случаев, когда левая часть этого уравнения есть степень однородного двучлена первой степени или трехчлена второй степени.

Еще более трудным является вопрос о решении в целых числах неопределенных уравнений выше первой степени с тремя и более неизвестными. До сих пор неизвестен общий метод решения таких уравнений. Уравнение (1) является простейшим из них. Древние греки и даже вавилоняне знали тождество :

(2mnf +- (т2 - п2)2 = (m2 + л2)2.

Пользуясь таким тождеством, нетрудно находить натуральные решения уравнения (1). Для этой цели нужно в формулах

(17)

переменным тип давать натуральные значения с условием, что т>я. При помощи простых соображений доказывается, что из формул (17) можно получить все решения уравнения (1) в натуральных и взаимно простых числах, если параметрам тип давать натуральные, взаимно простые и разной четности значения с условием т>я.

Занимаясь неопределенными уравнениями, известный французский математик П. Ферма высказал в середине XVII в. предположение, что для любого натурального числа п, большего 2, уравнение

Хп + у“ = 2п

не имеет решений в натуральных числах. Для п = Ъ и я = 4 это было доказано Л. Эйлером.

В дальнейшем предпринимались многочисленные попытки доказать это утверждение (так называемую великую теорему Ферма) полностью, но они не имели успеха. (В настоящее время теорема доказана для всех л < 10 000.)

Однако такие попытки не были безрезультатными, они содействовали возникновению и развитию нового отдела математики — алгебраической теории чисел.

В 1770 г. шотландский математик Э. Варинг высказал предположение, что для всякого натураль-

Лист Мебиуса

Поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны. Одной стороной она соприкасается с пальцем, вторая сторона наружная. У этих сторон две границы (два края), каждая имеет форму окружности. Если какая-нибудь букашка захочет переползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то она при этом непременно должна пересечь ту или другую границу.

Немецкий математик А. Мебиус указал простую модель поверхности совсем другого фасона — односторонней поверхности. Ее легко приготовить, перекрутив на пол-оборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклеив его к другому концу той же полоски. Эту модель с той поры так и называют: лист Мебиуса.

Чтобы наглядно удостовериться в том, что у поверхности листа Мебиуса только одна сторона, возьмите карандаш и начните последовательно закрашивать лист, не отрывая карандаш от поверхности листа и не пересекая края листа. Когда вернетесь к тому месту, с которого начали, вы увидите, что окажется окрашенной вся поверхность листа, хотя его край вы и не пересекали ни разу.

ного ky не равного 1, существует такое натуральное число г, что при любом натуральном N уравнение

x\ + xk2+ . + xkr = N (18)

разрешимо в целых числах. Доказательство частного случая этого утверждения принадлежит французскому математику Ж. Лагранжу. Он установил, что всякое число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых неотрицательных чисел, например:

23 = 32 + 32 f 22+12, 26 = 42 + 32 -г 12 + 02.

Полностью эту теорему доказал в 1909 г. немецкий математик Д. Гильберт. Но ему не удалось дать оценку минимального числа г, для которого уравнение (18) разрешимо в целых неотрицательных числах. Значительный успех в определении g (k) (так обозначают наименьшее г, для которого при любом натуральном N уравнение (18) разрешимо в целых неотрицательных числах) стал возможен только после создания советским математиком И. М. Виноградовым особого метода для решения этой и сходных с ней задач.

Любые достижения при решении неопределенных уравнений степени выше первой с тремя и более неизвестными обычно получаются с большим трудом. Это не случайно. Оказывается, не существует общего метода — алгоритма, который бы позволил распознавать, разрешимо или нет в целых числах каждое из таких уравнений. Эту теорему удалось доказать в 1970 г. двадцатитрехлетнему ленинградскому математику Ю. В. Матиясевичу.

Сравнительно недавно стали изучаться показательные неопределенные уравнения. К этой области относится интересная теорема советского математика А. О. Гельфонда :

Уравнение ах +by =cz где a, b и с — целые, каждое из которых не равно ни нулю, ни степени двойки, может иметь не более чем конечное число решений в целых числах х, у и z.

Наиболее трудны неопределенные уравнения, связанные каким-либо способом с простыми числами.

Опыты с листом Мебиуса

Возьмите несколько листов плотной бумаги (например, обложки старых журналов большого формата), клей, ножницы и исследуйте «поведение» листа Мебиуса и других моделей, изготовляемых из прямоугольных полосок бумаги, если разрезать их по линиям вдоль края.

1. Что получится, если обыкновенное (неперекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно, два колечка, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого колечка. А вот если лист Мебиуса мы также разрежем вдоль его средней линии, то образуется...

Проделайте и посмотрите, что получится.

2. Приготовьте второй лист Мебиуса из достаточно широкой полоски и разрезайте его ножницами так, чтобы линия разреза все время шла вдвое ближе к левому краю первоначальной полоски, чем к правому (линия разреза обойдет лист Мебиуса дважды). Теперь образуются два кольца, но они окажутся сцепленными. Проделайте!

А что получится, если вновь взять бумажную полоску, один ее конец перекрутить на полный оборот (на 360°), приклеить к другому концу и разрезать получившуюся модель по средней линии?

3. Надрежьте концы бумажной полоски поглубже. Склейте концы А и D. Пропустите конец В под Л и приклейте его к Е. Пропустите конец С между В и Л, а конец F между D и Е, после чего склейте концы С и F. Все склеивания концов производите прямо, т. е. без предварительного перекручивания.

Теперь каждый начатый разрез продолжайте вдоль всей модели; получится интересное переплетение трех колец: любые два будут сцеплены друг с другом и оба с третьим кольцом.

Если вы ошибетесь и конец С приклеете к концу F, не пропустив С между В и Л, то после указанного разрезания получится обычная цепь из трех колец.

Фигуры и тела

Геометрия вокруг нас

Кое-кто, возможно, считает, что различные замысловатые линии и поверхности можно встретить только в книгах ученых-математиков. Однако стоит внимательно осмотреться, и мы сразу обнаружим вокруг нас всевозможные геометрические фигуры. Оказывается, их очень много. Просто мы их раньше не замечали.

Вот комната. Все ее стены, пол и потолок являются прямоугольниками (не будем обращать внимания на проемы окон и дверей), а сама комната имеет форму параллелепипеда. Посмотрим на паркетный пол. Планки паркета — прямоугольники или квадраты.

Пройдем в ванную комнату. Плитки пола там часто бывают правильными шестиугольниками или восьмиугольниками, между которыми уложены небольшие квадратики (рис. 1). Ведро с крышкой представляет собой усеченный конус, у которого верхнее основание больше нижнего. Впрочем, ведро бывает и цилиндрической формы. Вообще цилиндров и конусов в доме очень много. Все прямые трубы (водо-

Рис. 1 (внизу).

Рис. 2 (см. стр. 271). Изображены предметы самых разнообразных геометрических форм, с которыми приходится иметь дело в различных областях науки, искусства, техники.

Рис. 3.

провод, паровое отопление, газопровод) имеют цилиндрическую поверхность. А там, где трубы изогнуты, образуются так называемые каналовые, или трубчатые, поверхности.

Но вернемся в комнату и посмотрим на мебель. Шкаф в своей основе параллелепипед. Письменный стол не что иное, как очень плоский параллелепипед, лежащий на двух других параллелепипедах — тумбочках, в которых размещаются ящики. На столике лампа с абажуром. Этот абажур — конус. В буфете стоит посуда. Вот граненый стакан с боковой поверхностью правильной многогранной призмы или усеченной пирамиды. Боковая поверхность чайного блюдечка представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Воронка состоит из двух усеченных конусов, которые переходят один в другой. Нальем в стакан воду. Ее поверхность имеет форму круга. Наклоним стакан так, чтобы вода не выливалась, тогда край водной поверхности станет эллипсом (см. рис. 1).

Выйдем на улицу. Перед нами дома. Если не обращать внимания на особенности их архитектурной отделки, можно сказать, что стены — части плоскостей. Две стены, встречаясь под углом, пересекаются по прямой линии. Дом в целом, с этой точки зрения, тело, ограниченное пересекающимися друг с другом плоскостями, т. е. многогранник. На рис. 3 изображен такой дом-многогранник.

Многие жилые дома, общественные здания украшены колоннами. Колонны в большинстве случаев — цилиндры, но могут иметь и более сложную форму.

Кто был в Москве, знает, как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Вот, например, Набатная башня (рис. 4). На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а еще выше воздвигнута четырехугольная усеченная пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой. Назовите геометрические тела, которые вы видите на рис. 5.

По улице движутся автомобили, трамваи, троллейбусы. Их колеса с геометрической точки зрения — круги. Мы настолько привыкли к этому, что даже не думаем об окружности как о кривой, которая помогла людям во много раз облегчить их труд. А ведь было время, когда люди еще не знали колеса.

Посмотрим на автомобильные фары. Их внутренняя поверхность зеркальная. Конструкторы автомобилей знают, что свет должен выходить из фар пучком параллельных лучей, тогда свет будет меньше всего рассеиваться с увеличением расстояния. А чтобы зеркало фар отражало лучи параллельным пучком, зеркалу нужно придать форму параболоида вращения, внутри которого в определенной точке (в фокусе) находится лампочка. Параболоид вращения — это поверхность, которая образуется при вращении параболы вокруг ее оси.

Параболоид вращения служит отражающим зеркалом и у прожекторов, которые посылают в небо мощные лучи. Форму параболоида вращения имеет купол Московского планетария (см. рис. на стр. 213).

Мы подходим к радиостанции. Здесь возвышаются радиомачты с излучателями электромагнитных колебаний на верхушках. Но какой странной формы эти мачты! Они состоят из отдельных частей (секций), поставленных одна на другую. А каждая секция похожа на круглую сетку, образованную прямолинейными стержнями (см. рис. на стр. 273). Рассмотрим любую из секций (они отличаются только размерами). Представим себе, что стержни расположены вплотную друг к другу. В таком случае они будут образовывать замечательную кривую поверхность, которая называется однополостным гиперболоидом. Те прямолинейные стержни, которые мы видим, не что иное, как прямолинейные образующие этой поверхности.

Рис. 4.

Рис. 5 (верхний).

Рис. 6 (нижний левый). Радиомачта В. Г. Шухова.

Рис. 7 (нижний правый).

Посмотрите на однополостный гиперболоид (рис. 7). Трудно поверить, что он состоит из прямых линий. Однако это именно так. Эта конструкция очень легка и отличается исключительной прочностью. Из однополостных гиперболоидов составлена известная радиомачта в Москве на Шаболовке, сконструированная советским инженером академиком В. Г. Шуховым. Своим названием однополостный гиперболоид обязан гиперболе (рис. 7). Эта поверхность образована вращением гиперболы вокруг той из ее осей, которая ее не пересекает. В таком случае при вращении образуется единая поверхность (одна полость).

Перед нами мост. Арки мостов бывают разной формы (рис. 8—10): одни из них эллиптические, другие параболические. На парапете моста часто укрепляют спасательные круги. Они по форме очень близки к тору. Тор — это поверхность, образующаяся при вращении окружности вокруг оси, когда ось не пересекается с окружностью, но лежит с ней в одной плоскости (см. рис. на стр. 277).

А теперь сядем в поезд. Город остался далеко позади. Бегут телеграфные столбы. Но и здесь геометрия не покидает нас. Вдоль дороги на столбах натянуты провода. Вот проходит линия высоковольтной

Рис. 8.

Рис. 9. Рис. 10.

передачи. Провода от собственной тяжести слегка провисают (рис. 12). Какая же линия образуется при этом? Такой вопрос имеет большое практическое значение. Когда требуется определить длину провода, необходимого для передачи электроэнергии на большие расстояния, приходится учитывать, что его длина (благодаря провисанию) будет большей, чем расстояние между конечными пунктами линии электропередачи. И чтобы точно подсчитать длину проводов, необходимо определить, какая именно линия образуется при провисании провода между двумя столбами. Оказывается, что между каждыми двумя столбами провод провисает по так называемой цепной линии. Точно так же провисает и шнур, укрепленный на двух гвоздиках, вбитых в стену. Цепная линия очень похожа на параболу, но это не парабола; свойства цепной линии и параболы различны.

Наш поезд идет по прямолинейному железнодорожному пути и время от времени плавно проходит закругления рельсов (рис. 11). Плавное движение поезда на изгибах железнодорожного полотна обусловлено тем, что железнодорожный путь на закруглениях искривлен не просто по окружности, а по некоторым довольно замысловатым кривым. Лишь иногда, на очень крутых поворотах, мы ощущаем, что нас слегка отталкивает к одной из стенок вагона. Мы знаем, что в местах закруглений пути на вагоны действует сила, которую называют центробежной. Она стремится опрокинуть вагоны и отклоняет все тела, находящиеся в поезде, к внешней стороне закругления.

Чтобы вагоны не опрокинулись, внешний рельс железнодорожного полотна на повороте слегка поднимают по сравнению с внутренним, и этот подъем тем больше, чем круче поворот. Но если заставить поезд сразу переходить с прямолинейного участка пути на круговой, то надо круто приподнять один из рельсов; вагоны будут испытывать при переходе сильные толчки. Чтобы этого избежать, переход на закругление делают постепенным. После прямолинейного

Рис. 11 (левый).

Рис. 12 (верхний правый).

Рис. 13 (нижний).

участка пути рельсы сначала укладывают по так называемой переходной кривой (вдоль которой искривленность возрастает постепенно) и лишь потом эту кривую переводят в дугу окружности. Так поступают и в конце поворота. В качестве переходных используются разные линии (в зависимости от кривизны поворота, скорости поезда на повороте и т. д.). Обычно применяют либо дугу кубической параболы, либо дугу лемнискаты, либо дугу спирали Корню (рис. 13).

Заглянем на завод. Заводская труба — пример усеченного конуса: широкая снизу, она постепенно суживается кверху. На заводе работают станки. Какое множество самых разнообразных линий описывают различные движущиеся части станков! На любом винте имеются винтовые нарезки. Мы увидим станки с эллиптическими колесами, зубчатые колеса с самыми разнообразными формами зубцов, выточенных по дуге циклоиды, эллипса, эвольвенты круга (рис. 14, 15). Свойства этих кривых, имеющих важное применение в технике, изучаются средствами высшей математики.

Кажется, мы не упомянули еще о шаровой поверхности. А ведь она встречается часто. Вспомним хотя бы шариковые подшипники; форму шара придают иногда и газгольдерам, т. е. резервуарам для хранения газа (рис. 16). Это объясняется одним замечательным свойством шаровой поверхности: на изготовление шара расходуется значительно меньше материала, чем на сосуд любой другой формы того же объема.

А сколько еще встречается различных поверхностей, сложных по форме, не имеющих специальных названий!

Вот паровой котел, напоминающий цилиндр. В нем находится пар под высоким давлением. Поэтому стенки цилиндра слегка (пусть незаметно для глаза) изгибаются, образуя поверхность очень сложной и неправильной формы, которую, однако, инженеры обязаны хорошо знать, чтобы суметь рассчитать ко-

Рис. 14 (верхний). Рис. 15 (средний) Рис. 16 (нижний).

Рис. 17 (см. стр. 277). Внизу слева спасательный круг. Это тор. В глубине цилиндрическая колонна с плитой формы прямоугольного параллелепипеда. Корпусы корабля и автомобиля — сложной геометрической формы. Причал вымощен квадратными и восьмиугольными плитами.

Справа изображены параболический прожектор, схема газгольдера, шарикоподшипник.

тел на прочность. Сложную форму имеет и корпус подводной лодки. Он должен быть хорошо обтекаемым, прочным и вместительным. От формы корабельного корпуса зависит и прочность корабля, и его устойчивость, и скорость. Высокие скорости движения заставили инженеров обратить серьезное внимание на форму современных поездов, самолетов, автомобилей. Именно от нее зависит встречное сопротивление воздуха, которое быстро возрастает с увеличением скорости. А если форма будет удачной, обтекаемой, сопротивление воздуха можно значительно уменьшить. Например, гоночный автомобиль; его кузову придают такую форму, чтобы встречные потоки воздуха плавно обтекали машину и, плотнее прижимали ее к земле. Двигатель автомобиля заключен в обтекаемый капот, ветровое стекло отклонено назад, крыша кузова плавно переходит в наклонную заднюю стенку. И капот, и крыша, и задняя стенка не плоские. Они представляют собой сложные поверхности, с которыми школьная математика не имеет дела. Но ими очень интересуются инженеры, которые тщательно их рассчитывают в своих конструкторских бюро.

Мы живем в эпоху завоевания космоса. Наши ракеты запускают космические корабли. Какие геометрические формы мы здесь используем? В основе корпус ракеты состоит из цилиндра, заключающего внутри себя двигатели и горючее. В конической головной части помещается кабина с приборами или с космонавтом.

Итак, мы познакомились с множеством различных линий, поверхностей и тел, которые нас окру-

жают. Теперь вы и сами, несомненно, заметите много геометрических форм, о которых мы здесь не упоминали. Впрочем, об одной линии, которая всегда находится около нас, Мы расскажем, ибо заметить ее самому, ничего не зная о ней заранее, невозможно. Пол и потолок в нашей комнате поддерживаются балками, концы которых вмурованы в стены. Балки под влиянием большой нагрузки слегка прогибаются (этот прогиб незаметен для глаза), и, чтобы рассчитать допустимую нагрузку на балки, архитектор должен знать линию ее прогиба. Оказывается, балка, поддерживающая пол или потолок, прогибается по кривой, которая называется параболой 4-й степени. Не будет преувеличением сказать, что эта линия всегда находится у нас под ногами и всегда висит над нашей головой.

Мы видим, сколько самых разнообразных геометрических линий и поверхностей использует человек в своей деятельности — при строительстве жилищ, фабрик, заводов, мостов, машин, в транспорте. Пользуется же он ими не из простой любви к интересным геометрическим фигурам, а потому, что свойства этих геометрических линий и поверхностей позволяют с наибольшей простотой решать разнообразные технические задачи.

До сих пор мы, в основном, упоминали о геометрических формах, созданных руками человека. Однако и в самой природе очень много замечательных геометрических форм. Так, мы живем на планете, имеющей своеобразную поверхность, которая хотя и именуется земным шаром, но на самом деле по форме близка к эллипсоиду вращения. Этот эллипсоид образован вращением эллипса вокруг его малой оси. Правда, он мало отличается от шара (полуоси эллипса, вращением которого образован эллипсоид, относятся как gg^j* Но все-таки это различие приходится принимать во внимание при составлении географических карт.

Во многих случаях наблюдения над явлениями природы помогают человеку в решении технических задач. Достаточно сказать, что на зарю развития авиации наши знаменитые ученые Н. Е. Жуковский, которого В. И. Ленин назвал «отцом русской авиации», и С. А. Чаплыгин исследовали полет птиц, чтобы сделать выводы относительно наивыгоднейшей формы крыла самолета и условий его полета.

Из всего сказанного видно, что геометрия играет в нашей жизни очень большую роль.

Полуправильные выпуклые многогранники (см. стр. 279).

Их грани — правильные многоугольники разных наименований, а все многогранные углы равны между собой.

Всего существует тринадцать вполне определенных полуправильных многогранников (они были известны Архимеду, поэтому их также называют телами Архимеда) и еще две бесконечные серии так называемых призм и антипризм Архимеда.

На рисунке изображены все тринадцать типов полуправильных многогранников: 1) усеченный тетраэдр (грани — правильные треугольники и шестиугольники), 2) кубооктаэдр (грани — правильные треугольники и квадраты), 3) усеченный октаэдр (грани — квадраты и правильные шестиугольники), 4) усеченный куб (грани — правильные треугольники и восьмиугольники), б) ромбокубооктаэдр (грани — правильные треугольники и квадраты), 6) усеченный кубооктаэдр (грани — квадраты, правильные шестиугольники и восьмиугольники), 7) плосконосый куб (грани — правильные треугольники и квадраты), 8) усеченный икосаэдр (грани — правильные пятиугольники и шестиугольники), 9) плосконосый додекаэдр (грани — правильные треугольники и пятиугольники), 10) икосододекаэдр (грани — правильные треугольники и пятиугольники), 11) усеченный додекаэдр (грани — правильные треугольники и десятиугольники), 12) ромбоикосододекаэдр (грани — правильные треугольники, пятиугольники и квадраты), 13) усеченный икосододекаэдр (грани — квадраты, правильные шестиугольники и десятиугольники).

На всех чертежах показаны также правильные многогранники, из которых усечением получаются полу правильные.

Подсчитайте, сколько каких граней имеет каждое из тел Архимеда, сколько вершин, сколько ребер. Правильность этого подсчета можно проверить по формуле Эйлера, верной для всякого выпуклого многогранника,

Г+В—Р=2,

где Г — количество граней, В — количество вершин, Р — количество ребер.

Как возникла геометрия

Истоки геометрии, как и арифметики, теряются во тьме веков. Ко времени появления письменности люди имели уже некоторый запас геометрических знаний, полученных в результате практической деятельности и первых теоретических обобщений. По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тыс. лет до н. э. люди умели определять площади треугольника, прямоугольника, трапеции, знали хорошее приближение для площади круга. Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. При этом точные формулы применялись наряду с приближенными и различия между ними не делалось.

В древнем Вавилоне были известны частные случаи теоремы Пифагора. А именно, было известно, что если длины сторон прямоугольного треугольника выражаются в рациональных числах, то квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Знали уже и обратную теорему: если а, Ь и с такие рациональные числа, что с2 = а2 + Ь2 (например, а = 3, Ь = 4, с = 5), то треугольник со сторонами а, Ь, с будет прямоугольным. Наконец, люди знали уже основные предложения о подобии треугольников и умели ими пользоваться.

И все же, несмотря на то что человечество накопило такие обширные знания, геометрия как наука еще не существовала. Дело в том, что в странах Древнего Востока, о которых шла речь, геометрические знания напоминали сборник мало связанных между собой полезных рецептов, их даже и излагали так, как в наши дни кулинарные рецепты или советы по домоводству. Для решения задачи приводился рецепт, в правильности которого можно было убедиться на конкретных примерах. Общие предложения не доказывались.

Возникновение геометрии как науки

Примерно такой же характер имели геометрические знания и в Древней Греции в VII—VI вв. до н. э. Греческая культура была более молодой, и поэтому многие сведения греки заимствовали у египтян и вавилонян. Именно здесь, в Греции, в VI в. до н. э. и произошло коренное преобразование способа изучения геометрии, здесь и возникла она как наука. Это было время установления демократии в большинстве греческих городов-государств, время бурного развития общественно-политической жизни Греции и появления научно-философских школ. В этих школах ученые впервые в истории человечества пытались понять и объяснить устройство мира с естественнонаучной и философской точек зрения. До этого в странах Древнего Востока господствовали догматы религии, в которые надо было верить, обсуждать их было нельзя. В Греции же каждая из школ старалась доказать правильность своей теории и опровергнуть противников, показав, что их доводы логически противоречивы. Логические рассуждения получили в это время широкое применение не только в естественных науках и философии, но и в судах, и в народных собраниях.

Особенно большую роль сыграли логические рассуждения в геометрии — они-то и сделали из собрания геометрических фактов стройную науку. Сами греки связывали рождение геометрии с деятельностью Пифагора и его школы. О Пифагоре мы почти ничего не знаем; уже в древности его имя было окружено фантастическими легендами. Известно только, что Пифагор переселился около середины VI в. до н. э. с острова Самос в Южную Италию (так называемую Великую Грецию), где находились богатые греческие города-колонии, и основал там союз, имевший и политические и научные цели. Мы знаем выдающихся математиков V в. до н. э., которые называли себя пифагорейцами. Поэтому у нас есть все основания говорить о пифагорейской математической школе, хотя мы и не знаем в точности, какие открытия были сделаны самим Пифагором, а какие принадлежат его последователям.

Что же сделали пифагорейцы в геометрии? Прежде всего они начали строить геометрию как абстрактную науку, изучающую общие свойства неких идеальных фигур, которые «в чистом виде» в природе не встречаются. Так в геометрию были введены линии, имеющие только длину, но не имеющие ширины; точки, не имеющие ни длины, ни ширины; фигуры, составленные из таких линий, и т. д. Эти новые геометрические объекты являются отвлечениями, абстракциями от формы реальных физических тел. Например, прямая линия могла возникнуть как абстракция от туго натянутой веревки, струны, луча света. Но ясно, что мы никогда не сможем построить идеальный отрезок: как бы точно мы его ни вычертили, стоит только посмотреть на рисунок в сильную лупу, чтобы убедиться, что это вовсе не отрезок прямой, а неровная палочка (из туши, мела и т. п.).

Создание отвлеченных геометрических понятий было вовсе не легким делом. Далеко не все мыслители древности понимали их пользу. Так, например, Протагор (481—411 гг. до н. э.) не признавал геометрических абстракций. Он говорил, что никто не

видел линий без ширины, не видел, чтобы круг касался линейки только в одной точке — касание всегда будет происходить по маленькому отрезочку, поэтому таких вещей и не существует.

Однако новая точка зрения на геометрию позволила в короткий срок добиться таких удивительных результатов, что большинство ученых признали эти абстракции и начали с ними оперировать. Как же. они это делали? Как можно изучать свойства тех идеальных фигур, с которыми имеет дело геометрия?

Величайшим достижением древних греков было то, что они создали метод для изучения геометрических абстракций, введя в математику логические доказательства.

Рассмотрим, например, как можно установить, что сумма углов треугольника точно равна 2d. Непосредственным измерением это сделать нельзя, во-первых, потому, что на практике мы никогда не имеем дела с идеальными треугольниками, и, во-вторых, потому, что измерение углов на практике всегда производится с определенной степенью точности, например с точностью до Y или 1“. Но если бы даже мы и могли измерять идеальные треугольники (с помощью идеальных инструментов!), то и тогда мы не могли бы установить теорему о сумме углов любого треугольника, потому что различных треугольников бесконечно много, невозможно перебрать их все!

Все сказанное можно дословно повторить и о любой другой теореме: она относится не к одной заданной геометрической фигуре (например, к треугольнику со сторонами 3, 4, 5), а к целому классу фигур (например, ко всем треугольникам, или ко всем прямоугольным треугольникам, или ко всем равнобедренным треугольникам), причем каждый такой класс состоит из бесконечного множества отдельных фигур.

Древнегреческие ученые понимали, что установить правильность какого-либо свойства для всех фигур некоторого класса можно только с помощью логического доказательства. Но как (и можно ли) построить такую систему геометрии, в которой все правильные предложения можно было бы доказать?

Построение дедуктивной системы

Прежде всего, ясно: все правильные предложения доказать нельзя. Действительно, вспомним, как доказывают геометрические предложения. Обычно опираются на другие предложения, которые были доказаны раньше. Эти предложения в свою очередь доказывают ссылками на какие-то третьи теоремы и т. д.

Ссылки мы могли бы продолжать до бесконечности, и процесс доказательства никогда бы не закончился. Как же быть? Это обстоятельство заметили еще в древности, о нем говорил, например, Аристотель (IV в. до н. э.). И вот геометры пришли к удивительно смелой мысли, что все геометрические свойства тел можно вывести из небольшого числа основных предложений — аксиом. Такие предложения принимались без доказательств, их справедливость подкреплялась многовековым опытом. Усилия многих геометров были направлены на то, чтобы отыскать все аксиомы, необходимые для построения геометрии. Система, в которой каждое предложение выводится на основании логических правил из конечного числа предложений, принятых без доказательства, и получила название дедуктивной.

Первую такую систему геометрии — «Начала» — пытался построить еще в V в. до н. э. Гиппократ Хиосский. Было еще несколько попыток такого рода, но наиболее совершенная из них — знаменитые «Начала» Евклида, которые были написаны около 300 г. до н. э. и служили в течение более 2 тыс. лет образцом математической строгости.

Евклид разделил предложения, принятые без доказательства, на аксиомы и постулаты. В качестве постулатов он выбрал предложения, в которых утверждалась возможность выполнения некоторых простейших геометрических построений, например: 1) через две точки всегда можно провести прямую линию, 2) из данной точки данным радиусом можно описать окружность. Как нетрудно видеть, это именно те построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки. Всякое построение в геометрии Евклида осуществляется с помощью последовательного выполнения простейших построений: проведения прямых, окружностей и отыскания их точек пересечения, поэтому геометрия Евклида есть геометрия циркуля и линейки.

Среди постулатов Евклида особое место занимает так называемый V постулат — о параллельности. В «Началах» он формулируется так: если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов а и ß меньше 2d, то при продолжении прямые пересекутся с той стороны, где эта сумма меньше 2d (рис. 1, стр. 282). Этот постулат сыграл огромную роль в развитии геометрии, о чем мы будем говорить дальше.

Кроме постулатов Евклид принял также некоторые общие предложения, верные не только для геометрических величин, но и для чисел,— аксиомы: 1) две величины, порознь равные третьей, равны между собой; 2) если к равным величинам приба-

Рис. 1.

вить равные, то и суммы будут равны; 3) целое больше части и др.

На основе своих постулатов и аксиом Евклид развил всю планиметрию, а с ее помощью построил элементы алгебры и учение о квадратных уравнениях. В его сочинении содержатся также общая теория отношений, которая применяется в учении о подобии, теория чисел, метод определения площадей и объемов и основы стереометрии. Венчает «Начала» учение о правильных выпуклых многогранниках, т. е. таких, все грани которых являются равными правильными многоугольниками и все многогранные углы при вершинах тоже правильные и равные. Евклид доказал, что существует пять типов правильных многогранников (рис. 2): тетраэдр (4-гранник), гексаэдр, или куб (6-гранник), октаэдр (8-гранник), додекаэдр (12-гранник), икосаэдр (20-гранник) — и никаких других правильных многогранников не существует.

Рис. 2. Правильные многогранники.

Можно сказать, что в «Началах» Евклида были заложены основы не только геометрии, но и всей античной математики.

На новую, более высокую ступень исследования основ геометрии ученые поднялись только в XIX в. Тогда было выяснено, что Евклид перечислил не все аксиомы, которые на самом деле нужны для построения геометрии. В действительности при доказательствах он ими пользовался, хотя и не формулировал их. Однако все это нисколько не умаляет роли Евклида, который первым показал, как можно и как нужно строить математическую теорию. Созданный им дедуктивный метод прочно вошел в математику. В этом смысле все последующие математики, вплоть до наших современников, являются учениками Евклида.

При построении дедуктивной системы геометрии выяснилось, что доказательства служат не только для того, чтобы установить истинность некоторого предложения, но и для выявления взаимосвязей между предложениями. Так, при анализе доказательства предложения о том, что сумма углов треугольника равна 2d, оказалось, что оно зависит от V постулата Евклида, тогда как, например, теорема о том, что внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, с ним не смежного, от этого постулата не зависит.

Таким образом, доказательства помогают уяснить существо, смысл математических предложений. В частности, можно в евклидовой геометрии выделить все те предложения, которые доказываются без постулата о параллельности, — они составляют так называемую абсолютную геометрию.

Постулат о параллельных и неевклидовы геометрии

Математики все время испытывали некоторую неудовлетворенность, связанную с постулатом о параллельности, который, как мы видели, формулировался довольно сложно. Казалось, что его можно доказать, вывести из других постулатов и аксиом. Начиная с глубокой древности и до конца XVIII в. многие геометры пытались доказать этот постулат как теорему.

Однако все доказательства V постулата, которые были придуманы, либо содержали прямую ошибку, либо опирались на новое предложение, которого не было среди постулатов и аксиом Евклида. При более тщательном анализе всегда оказывалось, что это новое предложение равносильно постулату о параллельности, т. е. из него можно вывести этот постулат и, наоборот, из V постулата можно получить это новое предложение. К началу XIX в. вопрос о V постулате казался безнадежно запутанным. Но как раз в 20-х годах прошлого века было получено совершенно неожиданное решение этого многовекового вопроса. Это решение было связано с совершенно новым взглядом на геометрию, к которому пришли независимо друг от друга три великих геометра: Н. И. Лобачевский, К. Ф. Гаусс и Я. Больяи.

Впервые в печати решение вопроса появилось в работе Н. И. Лобачевского в 1829—1830 гг. (эта работа была доложена Лобачевским в Казанском университете еще в 1826 г.), и несколько позже — в 1832 г.— было опубликовано исследование Больяи. Гаусс вообще не опубликовал те смелые выводы, к которым пришел.

Новая идея, которая легла в основу решения, состояла в следующем: геометрия Евклида не является единственной возможной геометрией, можно построить и другие системы геометрии, столь же стройные и непротиворечивые, как евклидова. При этом и Н. И. Лобачевский и К. Ф. Гаусс были глубоко убеждены, что новая геометрия получит применение для описания и изучения геометрических свойств нашего пространства.

Такой взгляд противоречил двухтысячелетней традиции, благодаря которой сложилось убеждение, что геометрия Евклида столь же естественна, как смена дня и ночи, и что только она описывает пространственные отношения между реальными телами.

Как же строить новые геометрические системы? В XVII в. геометры придумали новый способ доказательства V постулата. Они предполагали, что V постулат неверен, и старались прийти к противоречию, как это делается при доказательствах от противного. Действительно, если V постулат можно вывести из других постулатов и аксиом геометрии Евклида, т. е. он является теоремой, то предположение, что он неверен, должно было бы привести нас к противоречию. Однако, как ни пытались геометры получить противоречие, им этого сделать не удавалось. Они получали все новые и новые следствия; некоторые из них выглядели парадоксально, например: сумма углов треугольника у различных треугольников различна, но всегда меньше 2d; линия, равноотстоящая от некоторой прямой (эквидистанта), сама не является прямой; не существует подобных треугольников и вообще подобных фигур. Однако ни одно из следствий не противоречило другому следствию и остальным аксиомам евклидовой геометрии.

Рис. 3.

Лобачевский, Гаусс и Больяи пришли к убеждению, что противоречия и не получится, потому что V постулат не является теоремой в евклидовой геометрии. Что же в таком случае представляют полученные следствия? Оказывается — теоремы новой геометрии! Таким образом, для построения новой геометрии нужно было заменить V постулат другим и вывести из новой системы постулатов и аксиом возможные следствия. Они-то и будут теоремами новой геометрии.

V постулату Евклида часто придают такую форму: через точку вне прямой в плоскости, определяемой этой точкой и этой прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данную.

Если этот постулат не имеет места, то это означает, что: 1) либо можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную (рис. 3), 2) либо таких прямых не существует вовсе (т. е. вообще нет параллельных прямых).

Второе из этих предложений легко приводится к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида. Первое же Н. И. Лобачевский выбрал в качестве постулата о параллельности. Он построил новую систему геометрии, которую называют теперь геометрией Лобачевского. При этом Н. И. Лобачевский показал, что геометрия Евклида может быть получена из этой новой геометрии.

Исследования Н. И. Лобачевского открыли новую эру в истории геометрии. Если до этого казалось, что в основном в геометрии все сделано уже самим Евклидом, то после создания неевклидовой геометрии открылись широкие возможности для новых геометрических изысканий.

В 60-х годах прошлого века немецкий математик Б. Риман предложил новый метод построения всех неевклидовых геометрий, в которых можно мерить длины, площади, углы, объемы (так называемых метрических геометрий). При этом он не ограничился случаем трехмерного пространства, а строил геометрии пространств любого числа измерений. Интересно отметить, что, в частности, он построил такую геометрию, в которой нет параллельных прямых. Конечно, для построения такой геометрии пришлось отказаться от некоторых других аксиом евклидовой геометрии.

Эту геометрию называют геометрией Римана (в узком смысле слова, в отличие от общих римановых геометрий). В этой геометрии, так же как в геометрии Лобачевского, нет подобных фигур, но сумма углов треугольника в ней всегда больше 2d, а длины прямых линий ограниченны.

Были предложены и другие методы построения новых геометрий.

Но в связи с новыми геометриями встали и другие вопросы: геометрия Лобачевского отличается от евклидовой постулатом о параллельности. Что будет, если заменять и другие постулаты? Всегда ли при этом будут получаться новые системы геометрии? В каких случаях новые системы будут непротиворечивыми, т. е. в них нельзя доказать некоторую теорему и одновременно доказать, что эта теорема неверна?

Для ответа на эти вопросы ученые прежде всего вновь обратились к исследованию геометрии Евклида с тем, чтобы найти все аксиомы, нужные для ее построения, а затем уже изучить связи между этими аксиомами, посмотреть, что будет, если отбросить одну или несколько из них и заменить другими. Многие математики конца прошлого века занимались этой проблемой, но впервые ее удалось решить немецкому математику Д. Гильберту в 1899 г. В его книге «Основания геометрии» была изучена первая полная система аксиом геометрии Евклида и исследованы вопросы, о которых мы говорили выше. Это направление исследований способствовало развитию современного аксиоматического метода, значение которого трудно переоценить.

Неевклидовы геометрии открыли новую эру не только в математике, но и в физике. Как и предвидели их создатели, эти геометрии сделались незаменимым математическим аппаратом многих важнейших частей современной физики, особенно теории относительности.

Более подробно о новых геометриях вы можете узнать из статьи «О различных геометриях».

Итак, мы видим, что возникновение геометрии как науки далеко не закончилось построением системы евклидовой геометрии. Это было только начало, блестящее продолжение которого осуществилось в XIX в. В настоящее время геометрия представляет собой большую, широко разветвленную науку, тесно связанную со всеми остальными разделами математики.

Геометрические преобразования

Что такое геометрия

Прежде чем завести разговор о геометрических преобразованиях, остановимся на вопросе о самом содержании предмета геометрии. Впоследствии мы увидим, что к понятию геометрического преобразования этот вопрос имеет самое непосредственное отношение.

Геометрия изучает свойства плоских фигур и пространственных тел. Однако в геометрии рассматриваются вовсе не все свойства фигур или тел. Ясно, например, что цвет или вес тела для геометра безразличен — геометрические свойства куба останутся одними и теми же независимо от того, идет ли речь о металлическом кубе или о кубе, сделанном из фанеры и окрашенном в красный цвет. (Заметим, что физические свойства этих двух кубов во многом будут различны.) Так же и расстояние от вершины изображенного на доске треугольника до края доски не интересует геометра. Один из двух равных между собой треугольников (рис. 1) расположен заметно ближе к краю MN доски, чем второй; однако все геометрические свойства этих треугольников — длины их соответственных сторон, величины углов, высоты, медианы, площади, радиусы вписанной и описанной окружностей, расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения медиан и т. д.— будут одинаковыми. Как же охарактеризовать тот круг свойств фигур и тел, который интересует геометра?

Все свойства тел, которые рассматриваются в геометрии, полностью определяются формой и размерами тела и никак не зависят от его расположения. Другими словами, это означает, что каждые две равные фигуры или два равных тела обладают в точности теми же самыми геометрическими свойствами ; поэтому геометр не может иметь никаких оснований для того, чтобы как-либо различать эти фигуры или тела. Это обстоятельство подразумевается и в самом названии «равные тела». Так, например, говорят, что задача построения треугольника ABC по двум сторонам ВС = а и АС = Ь и углу АСВ= 7 имеет единственное решение (рис. 2). На самом деле существует, конечно, очень много (даже бесконечно много!) треугольников, имеющих две стороны длин а и b и заключенный между ними угол величины 7 (рис. 3). Однако все эти треугольники равны между собой, поэтому мы их принимаем за один треугольник.

Вспомним теперь, какие фигуры или тела считаются в геометрии равными. Две фигуры F и F' (рис. 4)

Рис. 1 (верхний). Рис. 3 (второй снизу).

Рис. 2 (второй сверху). Рис. 4 (нижний).

Рис. 5 (левый). Параллельный перенос.

Рис. 6 (правый). Поворот вокруг точки О на угол а.

Рис. 7 (нижний). Симметрия относительно точки О.

Рис. 8 (верхний). Симметрия относительно прямой /.

Рис. 9 (нижний). Симметричные фигуры.

называются равными (или конгруэнтными), если при наложении одной из них на другую они совпадают всеми своими точками, другими словами — если существует движение, при помощи которого можно совместить фигуру F с фигурой F'. Таким образом, само определение равенства фигур (или тел) связано с понятием движения. Учитывая определение равенства фигур, мы можем сказать, что фигуры, получающиеся одна из другой движением, считаются в геометрии одинаковыми, не различаются между собой; все геометрические свойства одной из этих фигур совпадают с геометрическими свойствами другой фигуры. Последнее обстоятельство можно принять за предварительное определение геометрических свойств, т. е. тех свойств фигур и тел, которые изучаются геометрией: геометрия изучает свойства фигур и тел, которые сохраняются при движениях.

Движения

Приведем примеры движений плоских фигур.

Параллельным переносом называется движение, при котором фигуру как целое перемещают в определенном направлении, не поворачивая ее.

Параллельный перенос характеризуется направлением, которое задается указанием некоторой прямой / с поставленной на этой прямой стрелкой и расстоянием а, на которое переносятся фигуры. Каждую точку А параллельный перенос переводит в такую точку А\ что АА'Ц/ (причем направление от точки А к точке А' совпадает с тем, которое указано стрелкой на прямой /) и АА' = а (рис. 5).

Поворот вокруг точки О на угол а характеризуется тем, что каждая точка А переходит в такую точку А\ что ОА = ОА' и ZAOA' = a (рис. 6); при этом должно быть указано также и направление поворота, которое может совпадать с направлением вращения часовой стрелки или быть противоположно ему. Поворот вокруг точки О на угол 180° называется также симметрией относительно точки О; здесь каждая точка А переходит в такую точку А\ что О есть середина отрезка АА/ (рис. 7).

Еще один важный пример движения представляет собой симметрия относительно прямой I; это движение можно реализовать, перегнув лист бумаги по прямой /. Симметрия относительно прямой / переводит каждую точку А в такую точку А\ что отрезок А А' перпендикулярен прямой / и делится этой прямой пополам (рис. 8). Каждый легко может получить симметричные фигуры, сделав кляксу на листе бумаги и затем перегнув лист (рис. 9).

Эти примеры достаточно хорошо характеризуют содержание понятия «движение». Каждое движение задается указанием определенного закона или правила, указывающего, как найти точку А'> в которую это движение переводит произвольную точку А. На рис. 10 перечислены правила, относящиеся к указанным выше движениям. Вообще, задание правила, позволяющего перейти от произвольной точки А к новой точке А' (которая может и совпадать с исходной точкой А)у определяет геометрическое преобразование.

Под фигурой в геометрии понимают совокупность (или множество) точек; так, окружность с центром О и радиусом г есть совокупность таких точек М, что ОМ = г (рис. 11); отрезок с концами А и В есть совокупность таких точек М9 что AM + MB = AB (рис. 12); прямую можно охарактеризовать как совокупность таких точек М, что АМ = ВМ, где точки А и В заданы (рис. 13).

Геометрическое преобразование переводит каждую точку At входящую в состав фигуры F, в новую

Рис. 10. Правила, по которым точка А переводится в точку А'.

Рис. 11 (верхний). Рис. 12 (нижний).

Рис. 13 (левый). Рис. 14 (правый).

точку А'. При этом совокупность точек фигуры F переходит в некоторую новую совокупность точек, образующую фигуру F'. Про фигуру F' говорят, что она получается рассматриваемым преобразованием из фигуры F (рис. 14).

Движения представляют собой простейшие геометрические преобразования — такие, которые переводят каждую фигуру F в равную ей фигуру F', т. е. сохраняют форму и размеры фигур. Можно определить движения как геометрические преобразования, сохраняющие расстояния между точками: если точки А и В движение переводит в точки А' и В', то А'В'=АВ.

Преобразования подобия

Преобразования, сохраняющие форму фигур, но, возможно, изменяющие их размеры, называются преобразованиями подобия. Каждую фигуру F преобразование подобия переводит в подобную ей фигуру F\ представляющую собой увеличенную или уменьшенную копию первоначальной фигуры; все размеры фигуры F/ равны соответствующим размерам фигуры

Рис. 15, 16. Подобные фигуры.

Рис. 17 (верхний). Подобные фигуры можно получить и так. Рис. 18 (нижний). Гомотетия с центром О.

F у умноженным на одно и то же число k (рис. 15,16). Это число называется коэффициентом подобия двух фигур. Подобные фигуры можно получить, например, поместив под лампой вырезанную из куска картона фигуру F, плоскость которой параллельна поверхности стола; в таком случае тень F\ отбрасываемая этой фигурой на стол, будет подобна фигуре F (рис. 17). Более «математический» пример преобразования подобия представляет собой гомотетия с центром О и коэффициентом k, переводящая каждую точку А в такую точку А/ луча ОЛ, что щ- = /г

(рис. 18).

Некоторые свойства фигуры F\ подобной фигуре F, будут отличаться от свойств фигуры F; так, например, гомотетия с коэффициентом 2 переводит фигуру ABDC в фигуру AB'D'C\ площадь которой в 4 раза больше площади фигуры A BD С (рис. 18). Но большинство свойств фигуры F' будет совпадать со свойствами фигуры F: так, все имеющиеся на фигуре F' углы будут равны соответствующим им углам, имеющимся на фигуре F ; отношение расстояний между какими-либо точками фигуры F' будет равно отношению расстояний между соответственными точками фигуры F /скажем, ç^g?) и т. д.

Рис. 19.

Рис. 20.

Таким образом, преобразования подобия меняют свойства геометрических фигур очень мало: окружность они переводят снова в окружность, квадрат — в квадрат, равнобедренный треугольник с углом при вершине в 40° — снова в равнобедренный треугольник с углом при вершине в 40°.

Эти свойства преобразований подобия иногда могут быть использованы для решения содержательных геометрических задач. Поставим, например, такую задачу: определить, что представляет собой множество середин всех отрезков АМ> где точка А фиксирована, а точка M пробегает, скажем, равностороннюю гиперболу G (график обратной пропорциональной зависимости). Очевидно, что искомое множество точек M' образует фигуру гомотетичную гиперболе G с центром гомотетии А и коэффициентом гомотетии 72- Отсюда следует, что это будет точно такая же гипербола, только в 2 раза «меньшая» (такая, что расстояние между двумя точками гиперболы G' в 2 раза меньше расстояния между соответствующими точками гиперболы G; рис. 19).

Линейные преобразования

Рассмотрим тень, отбрасываемую на солнце вырезанной из картона фигурой F на плоскость а, не обязательно параллельную этой фигуре (рис. 20). Геометрически переход от фигуры F к ее тени F' описывают как параллельное проектирование, переводящее каждую точку Л фигуры F в такую точку А/ плоскости а, что ЛЛ'Ца» где а —заданная прямая, характеризующая направление проектирования (ибо лучи солнца можно считать параллельными).

Фигура F' может значительно отличаться от первоначальной фигуры F\ так, каждый знает, насколько сильно искажены на тени истинная форма и размеры предметов, если солнце стоит достаточно низко (рис. 21). Однако некоторое сходство между фигурой f и ее тенью F/ и тут сохранится. Так, например, каждая прямая, проведенная в плоскости фигуры F, перейдет снова в прямую линию (рис. 22); параллельные прямые перейдут в параллельные прямые; отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой (но не разным прямым!), при параллельном проектировании сохранится (рис. 22, где ^c^ZTC7/). Квадрат параллельное проектирование уже не переведет в квадрат; однако оно переведет его в параллелограмм, который отличается от квадрата не так уж резко.

Геометрические преобразования, обладающие такими свойствами, называются линейными преобразованиями. К числу линейных преобразований относится, например, так называемое сжатие к прямой I, которое описывается так: точку Л плоскости сжатие к прямой / переводит в такую точку Л', что точки Л и А/ лежат на одном перпендикуляре к прямой / и -рд - =ky где Р —основание перпендикуляра (рис. 23). Постоянное число k называется коэффициентом сжатия к прямой (при &>1 было бы правильнее говорить о «растяжении» от прямой /). Нетруд-

Рис. 21.

Рис. 22 (верхний). Параллельное проектирование.

Рис. 23 (нижний). Сжатие к прямой.

но убедиться, что сжатие к прямой также переводит прямую линию снова в прямую; параллельные прямые переводит в параллельные; сохраняет отношения длин отрезков, принадлежащих одной прямой.

Знание свойств, сохраняющихся при линейных преобразованиях, позволяет использовать эти преобразования для доказательства некоторых геометрических теорем. Разумеется, квадрат A BCD и получающийся из него параллельным проектированием параллелограмм A/B/C/D/ имеют много разных свойств; однако те свойства, которые сохраняются при линейных преобразованиях, совпадают у квадрата и у параллелограмма. Выберем произвольную точку Е на диагонали АС квадрата ABCD и проведем через нее отрезки MN\\AB и PQ\\BC (рис. 24,а). Нетрудно видеть, что прямая АС явится осью симметрии полученного чертежа; поэтому прямые MQ и PN (симметричные относительно прямой АС) пересекутся на прямой АС. А отсюда вытекает, что и отрезки M'N'\\A'B' и P'Q'WB'C пересекающиеся на диагонали А'С параллелограмма A'B'C'D'> отсекают от параллелограмма меньшие параллелограммы M'D'Q'E' и N'B'P'E', диагонали M'Q' и P'Nf которых пересекаются на прямой А'С (рис. 24,6). Доказать это, не пользуясь линейными преобразованиями, было бы затруднительно!

Рассмотрим еще и такой пример. Ясно, что каждый треугольник ABC можно параллельным проектированием перевести в равносторонний треугольник ABC (рис. 25; треугольники АВСГ и ABC расположены в разных плоскостях; С С — направление проектирования). При этом медианы треугольника ABC переходят в медианы треугольника ABC (это следует

Рис. 24.

Рис. 25.

Поищем числа-«самородки»

Возьмем какое-нибудь целое положительное число, например 13. Прибавим сумму его цифр, тогда образуется число 17. К этому результату тоже прибавим сумму его цифр, образуется число 25. Продолжая так действовать, получим последовательность чисел:

13, 17, 25, 32, 37, 47.....

Прежде всего давайте выясним, можно ли полученную последовательность продолжить влево, т. е. существует ли число, которое в сумме с его же цифрами дало бы 13? Пробуем 12:

12 + 3 = 15 — плохо.

Пробуем 11:

11 + 2 = 13 — хорошо.

Значит, перед числом 13 в нашей последовательности должно быть число 11. А перед ним? Попробуем 10:

10 + 1 = 11 — хорошо.

А перед числом 10? Здесь и без пробы ясно, что числу 10 будет предшествовать 5. В самом деле:

5 + 5 = 10.

Но уже для числа 5 нет предшественника среди целых положительных чисел. Таким образом, в последовательности

б, 10, 11, 13, 17, 25, ...

все числа, кроме пятерки, «сформированы» по единому правилу, а число 5 оказалось как бы «самородком».

Отправимся в поиски других «самородков», аналогичных числу 5.

Однозначные «самородки» обнаруживаются сразу. Это, очевидно,

1, 3, 5, 7 и 9.

Из двузначных наименьшим «самородком» будет число 20. (Легко убедиться, что ни одно из чисел от 1 до 19 в сумме с его же цифрами не образует 20.) Следующий двузначный «самородок» — число 31. (Убедитесь!)

А сколько же всего двузначных «самородков»? Выясните самостоятельно. (Ответ на стр. 331.)

Есть «самородки» и среди многозначных чисел, например: 132, 143, 233, 929, 1952, 874 531 и т. д.

Не так-то легко было выявить их!

Магический шестиугольник

В этом шестиугольнике образовалось 19 узловых точек. Вот и расставьте в этих точках 19 натуральных чисел от 1 до 19 так, чтобы вдоль каждой стороны и вдоль каждого внутреннего прямолинейного отрезка сумма чисел равнялась 38 (должно получиться 15 одинаковых сумм по 38). Ответ на стр. 331.

Феликс Клейн.

из свойств параллельного проектирования). Но медианы равностороннего треугольника являются одновременно и биссектрисами; поэтому они пересекаются в одной точке — центре окружности, вписанной в треугольник ABC. А отсюда следует, что также и медианы исходного треугольника ABC пересекаются в одной точке. Это доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника является, вероятно, простейшим!

Преобразования как основа классификации теорем

Немецкий математик Ф. Клейн в конце прошлого столетия предложил положить геометрические преобразования в основу классификации всех свойств геометрических фигур и тел. Он предложил различать геометрические свойства по тем преобразованиям, при которых эти свойства сохраняются. К одной группе при этом будут относиться те свойства, которые сохраняются лишь при движениях фигур; сюда относятся все свойства, связанные с расстояниями между точками, и все теоремы, в которых фигурируют длины или площади (например, теорема: «Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на длину опущенной на основание высоты»). В другую группу попадут свойства, сохраняющиеся при преобразованиях подобия, например все свойства, связанные с величинами углов; к этой группе свойств относится, скажем, известное свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° (ведь отношение длины гипотенузы к длине меньшего катета также сохраняется при преобразованиях подобия!). Еще одну группу составят свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при линейных преобразованиях. Так как линейные преобразования изменяют свойства фигур сильнее, чем движения, то свойства, сохраняющиеся при этих преобразованиях, следует считать более глубокими; с этой точки зрения свойство треугольника, выражаемое теоремой: «Медианы треугольника пересекаются в одной точке», оказывается более глубоким, чем, скажем, аналогичное свойство высот треугольника.

Еще более глубокими следует считать те свойства фигур, которые сохраняются при центральном проектировании фигуры с одной плоскости на другую (см. рис. 17, где теперь мы можем считать плоскость фигуры не параллельной той плоскости, на которую она отбрасывает тень), очень сильно изменяющем фигуру.

Такая классификация геометрических теорем (Клейн даже говорил об отдельных «геометриях», охватывающих изучение свойств фигур, сохраняющихся при тех или иных преобразованиях) поясняет сказанное выше об использовании геометрических преобразований для доказательства теорем. Все свойства, сохраняющиеся при линейных преобразованиях, будут одинаковы для квадрата и для параллелограмма; поэтому при рассмотрении их мы всегда можем ограничиться изучением квадрата, являющегося частным случаем параллелограмма. Точно так же при изучении соответствующих свойств треугольника мы можем считать его равносторонним, что в ряде случаев может заметно упростить доказательство (ср. с выводом выше теоремы о точке пересечения медиан треугольника). Таким образом, точка зрения Клейна, выделяющая ряд отдельных ветвей геометрии, может существенно помочь при изучении свойств геометрических фигур.

О различных геометриях

Всем хорошо известно, что выводы элементарной (школьной) геометрии находят широкое применение при решении самых разнообразных практических задач. Знание геометрии необходимо слесарю, инженеру, ученому — всем, кому приходится исследовать свойства различных фигур и тел. Как же геометрия изучает наш реальный мир? Каждому, по-видимому, приходится слышать выражения «с математической точностью», «как дважды два — четыре». Этими словами обычно принято характеризовать абсолютно точное и неоспоримое. Ниже мы попытаемся выяснить, с какой точностью геометрические теоремы отражают действительное положение вещей в нашем мире. Действительно ли эта точность беспредельна?

Для того чтобы ответить на эти вопросы, нам понадобится внимательно проанализировать, как строится наука геометрия и как эта наука изучает реальный мир.

С чего начинается изучение геометрии

В учебнике геометрии изучаются геометрические объекты различной сложности: треугольники, трапеции, параллелограммы, призмы, пирамиды, сферы и т. п., которые должны быть точно охарактеризованы. Это делается в так называемых определениях. Для того чтобы полностью разобрать то или иное произвольно взятое определение, надо знать определения, изложенные в учебнике ранее. Например, чтобы понять определение трапеции, надо заранее знать определение параллельности прямых, определение четырехугольника, а для этого знать определение отрезка. Последнее требует знания того, что такое прямая и точка.

Всякое другое определение точно так же в конце концов приводит нас к первой странице учебника геометрии, где мы надеемся найти определения основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскости.

Но, увы, нас ожидает разочарование. Оказывается, что и здесь нет точных математических определений точки, прямой и плоскости. В то же время все дальнейшие определения, которые опираются на эти основные геометрические понятия, сформулированы с полной математической строгостью. Такое положение на первый взгляд может показаться весьма странным.

Правда, в начале учебника даются некоторые пояснения того, что же мы понимаем под точкой, прямой и плоскостью. Пояснения эти, однако, ни в какой мере не могут служить точными математическими определениями. Кроме того, эти пояснения нигде далее в геометрии не используются. Они совершенно не нужны для доказательства теорем. Важным является лишь указание на то, что в дальнейшем будут изучаться именно точки, прямые и плоскости. Что же такое точка, прямая и плоскость? Отметим сразу же, что нигде в природе не встречаются точки, прямые и плоскости.

Представим себе шарик малого диаметра, скажем в 1 мм. Уменьшим его диаметр вдвое, втрое, в тысячу раз и т. д. Наступит ли момент, когда уже весьма малый шарик можно будет назвать точкой? Нет!

Учитель ставит на доске весьма «жирную» точку. Ученики рисуют в тетради тоже весьма крупные точки. На самом же деле каждый раз изображаются маленькие кружочки. Но точки ли это? Звезды на небе тоже нам представляются точками, хотя некоторые из них во много раз больше Солнца. А если представить себе шарик столь малым, что его нельзя увидеть ни в один современный микроскоп, — будет ли это точка? Опять нет.

Дело в том, что точка — это не какой-то конкретный предмет. Точка — это абстрактное понятие, которое образовано нашим сознанием в результате длительного изучения весьма малых (или кажущихся малыми при определенных условиях) реальных объектов — шариков, кружочков и т. п. Это абстрактное понятие точки наделяется нами целым рядом свойств, общих для тех конкретных предметов, в результате наблюдения над которыми и возникло понятие точки.

Обратимся теперь к понятию прямой. На бумаге изображена линия. Прямая ли она? Как в этом убедиться? Надо приложить линейку, сравнить линию с краем линейки. Но при этом возникает вопрос: прямая ли наша линейка? Каждому, вероятно, приходилось видеть столяра, который для проверки прямизны выструганной планки рассматривает ее так, как показано на рис. 1. Если линейка не прямая, на ней есть изъяны, это будет видно на свет. Таким образом, проверяя прямизну сделанной линейки, ее сравнивают с лучом света. Точно так же обстоит дело и с туго натянутой нитью, которую практически считают прямой. Чтобы убедиться, что нить хорошо натянута и не провисает, надо опять-таки взглянуть вдоль нити, т. е. (как и планку) сравнить ее с лучом света.

Значит, можно сказать, что луч света является эталоном прямой. На первый взгляд все хорошо. Но на самом деле нигде в природе не встречается то, что мы мыслим себе «одним лучом света».

Рис. 1. Проверка прямизны планки.

Рис. 2. Представление о прямой и о плоскости дают луч света, проходящий через малое отверстие, через узкую прямолинейную и пучок света, проходящий щель.

Допустим, что свет небольшого источника А пропускают сквозь малое отверстие (на рис. 2 слева). Получится узкий пучок света. Представим себе, что отверстие все время уменьшается и источник света тоже уменьшается. Тогда пучок, исходящий из отверстия, будет становиться все уже и уже. Конечно, этот пучок никогда не станет лучом, если бы даже и можно было его сделать сколь угодно узким. (В этом мысленном «идеальном» эксперименте мы умышленно не учитываем возникающие здесь физические явления: дифракцию, преломление и т. п.) Вот если бы источник света А был точкой и отверстие тоже было точкой, тогда пучок стал бы лучом. Но ведь мы говорили о том, что в реальном мире точек не бывает. Значит, не бывает и отдельных лучей. Таким образом, и луч (прямая) является абстрактным понятием, хотя и имеет весьма реальную природу и физическое происхождение. Как и в случае точки, рисуя на бумаге прямую, мы только создаем реальный образ — рисунок, стремясь в той или иной (нужной нам) мере сделать его похожим на те физические объекты, из которых произошло, выкристаллизовалось понятие прямой. И здесь, как и в случае точки, абстрактное понятие прямой мы наделяем всеми свойствами, общими для тех конкретных предметов, в результате наблюдения над которыми возникло само понятие прямой.

Точно так же обстоит дело и с плоскостью. Представим себе, что свет источника А пропускают сквозь узкую прямолинейную щель (рис. 2). Прямизна щели может быть, например, в нужной нам мере проверена при помощи эталона — луча света так, как указано выше. Получится изображенный на рисунке пучок света. Если бы удалось уменьшить источник до «идеальной» точки и сузить щель до «идеальной» прямой, тогда пучок света стал бы «идеальной» плоскостью. Здесь применимы все рассуждения, приведенные в случае прямой, и мы не будем их повторять.

Как применяется геометрическая теория

Итак, в геометрии изучаются свойства абстрактных понятий — точки, прямой, плоскости. Эти свойства формулируются и доказываются в так называемых теоремах. Доказательство же всех теорем основано в конечном счете на некоторых аксиомах, которые никак не доказываются. Подробнее о том, как выбираются аксиомы, каким требованиям должен удовлетворять этот выбор, рассказано в статье «Как возникла геометрия».

Наиболее ранняя из дошедших до нас систем аксиом была построена Евклидом (III в. до н. э.). Аксиоматика (система аксиом), данная Евклидом, была, правда, далеко не безупречной. Строгое современное изложение евклидовой геометрии было дано лишь в конце XIX в.; оно базируется на двух десятках аксиом, которые мы здесь перечислять не будем. Все теоремы геометрии лишь с той точностью описывают реальный мир, с какой аксиомы правильно отражают действительное положение вещей.

Существо дела заключается в следующем. Пусть, например, мы рассматриваем распространение света в природе, так сказать «световые лучи». Они ведут себя в соответствии с действующими физическими законами. И вот геометры-математики выбирают некоторые обнаруженные в опытах особенности распространения света и объявляют их аксиомами, при-

Рис. 3. Со старинной гравюры.

Рис. 4. Измерение расстояния между пунктами А и В, разделенными рекой.

сущими абстрактным понятиям точки, прямой, плоскости. На базе выбранных аксиом и строят математическую науку геометрию. Эта геометрия является как бы мысленным слепком с действительного мира. Изучение этого слепка позволяет обнаруживать закономерности реального мира уже не путем непосредственных измерений, а мысленно, геометрически (т. е. на слепке).

Чтобы подробнее пояснить это, рассмотрим, например, задачу об определении расстояния между пунктами А и By разделенными рекой (рис. 4). Понятно, что прямое измерение расстояния AB практически неосуществимо. (Еще труднее найти расстояние между звездами.) Для решения подобных задач необходима геометрия. Как же найти расстояние AB с помощью геометрии? Укажем два способа решения этой задачи.

Первый способ. Выберем на местности еще один пункт С так, чтобы расстояние АС можно было непосредственно измерить. Найдя АС у измерим с помощью какого-либо угломерного инструмента (скажем, теодолита) поочередно углы а и f (положим для определенности, что они оказались острыми).

Теперь, уже мысленно, рассмотрим абстрактный треугольник АБСу у которого задана сторона АС и углы а и ]. Мы можем для наглядности нарисовать

Рис. 5 (верхний). Рис. 6 (нижний).

этот треугольник (рис. 5), хотя никакой необходимости в этом нет; все дальнейшие рассуждения можно проводить мысленно, не обращаясь к рисунку. Поэтому и рисунок, если уж его желательно сделать, может быть выполнен приблизительно, без соблюдения каких-либо чертежных правил.

Опуская из вершины В перпендикуляр на сторону АС, получим точку D. Обозначим BD = h, AD=x.

Тогда DC = AC—x. Очевидно, — =tga; -= tgT- отсюда xtgoi =z (AC — x)tg4* Следовательно,

После этого по теореме Пифагора легко найдем:

Зная Л С, a, f, можно по полученной формуле легко найти искомое расстояние AB. (Расстояние AB можно найти еще проще, если воспользоваться известной в тригонометрии теоремой синусов.)

Второй способ. Постараемся на бумаге по возможности точно начертить план местности (план треугольника ABC). Разумеется, невозможно начертить его в натуральную величину. Поэтому выберем определенный масштаб и уменьшим измеренную величину АС в п раз. Построим на чертеже отрезок А'С'—-^АС. Далее, на концах этого отрезка с помощью транспортира построим углы а и f. В пересечении сторон этих углов получим точку В' — третью вершину треугольника.

Так как два угла а и f треугольника А'В'С равны соответствующим углам треугольника ABC, то эти треугольники подобны. А так как подобие треугольников означает пропорциональность их соответствующих сторон, то приходим к выводу, что сторона А'В' должна быть меньше стороны AB также в п раз. Поэтому, зная длину А'В', можно найти АВ = пА'В'.

В первом случае мы нашли AB простым вычислением, во втором пришлось выполнить достаточно точный чертеж. В обоих случаях для определения AB нам пришлось воспользоваться теоремами геометрии : теоремой Пифагора, теоремой о свойстве подобных треугольников и т. п. Отметим, что второй способ (наряду с первым) часто используется в инженерной практике, где поэтому весьма важным является точное выполнение чертежей.

Можно ли гарантировать, что описанные методы дают величину AB, которая с необходимой точностью совпадает с расстоянием между пунктами А и В, если бы его действительно удалось измерить? Ответ на этот вопрос зависит от того, насколько точно аксиомы геометрии (а следовательно, и теоремы) отображают реальную действительность, насколько хорош наш геометрический слепок с реального мира.

Разумеется, может оказаться, что этот слепок недостаточно хорош. Тогда надо попытаться сделать лучший. Для этого нужно тщательнее проанализировать опыты, на основании которых выбраны те или иные аксиомы, — точнее, выбрать аксиомы. С помощью новых аксиом, более точно отображающих действительность, надо построить новую геометрию, новый, более точный слепок с реального мира.

В течение двух тысячелетий считалось, что евклидова геометрия описывает мир с беспредельной точностью, что евклидов слепок с реального мира идеален. Эта точка зрения была впервые поколеблена лишь в 1826 г. русским математиком Н. И. Лобачевским. Чтобы разъяснить его идеи, остановимся подробно на анализе одной из самых интересных аксиом евклидовой геометрии.

Аксиома о параллельных

Выбрав систему аксиом, начинают доказывать теоремы все более и более сложные.

Весьма просто, например, с помощью теоремы о внешнем угле треугольника доказывается такая теорема планиметрии:

Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, не пересекаются.

Дадим следующее определение:

Две прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными.

Пусть на плоскости даны прямая а и точка А (рис. 6). Ясно, что через точку А можно провести прямую Ь, параллельную а. Для этого достаточно опустить из точки А перпендикуляр AB на прямую а, a затем из точки А провести прямую Ь, перпендикулярную AB, Это и будет искомая параллельная. Итак, параллельные прямые существуют!

Теперь возникает вопрос: нельзя ли через точку А провести еще одну прямую Ь', также параллельную прямой а? (Напомним, что все происходит на одной плоскости, т. е. мы занимаемся только планиметрией.) Тому, кто не думал над этим раньше, не изучал этого вопроса, хочется немедленно и категорически ответить: «Нет, нельзя! Прямая bf пересечет прямую а, возможно, очень далеко, но непременно пересечет!» Воздержимся пока от столь категорического ответа и постараемся вдуматься в поставленный вопрос глубже.

Возьмем на прямой а точку С и соединим ее с точкой А прямой с. Затем будем передвигать точку С вправо по прямой а. При этом прямая с будет поворачиваться около точки А. Ясно, что прямая с никогда не сольется с прямой Ь, ибо b с а не пересекается. Но прямая с, поворачиваясь в одном и том же направлении, будет неограниченно приближаться к какому-то определенному предельному положению, когда точка С неограниченно удаляется вправо. Теперь спросим себя: будет ли прямая b той предельной прямой, к которой неограниченно приближается прямая с? Или, может быть, прямая с будет неограниченно приближаться к предельной прямой Ь\ отличной от by так что прямая с, поворачиваясь, не сможет войти внутрь угла а? Опять хочется отвергнуть это предположение.

Однако подумаем еще. Проведем из точки А луч d под углом ср<90° к прямой AB. Если этот угол мал, прямые a и d пересекутся на чертеже. Если же увеличить угол ср (см. рис. 6), прямые a и d пересекутся уже не на чертеже, а где-то за полем книги. Еще немного увеличим угол ср. Тогда прямые a и d будут пересекаться дальше, скажем на расстоянии нескольких сотен метров. Ясно, что практически убедиться в этом весьма трудно, почти невозможно, но принципиально мыслимо.

Еще увеличим угол ср. Пусть он отличается от 90°, допустим, на одну миллионную долю градуса. Что в этом случае можно сказать о пересечении прямых a и d? Хочется их изображения мысленно продолжить. Но так ли хорошо мыслим мы это продолжение? Не теряет ли смысл этот мысленный эксперимент? Ведь если угол ср достаточно близок к 90°, то «продолжать» прямые придется туда, куда не удавалось заглядывать даже при помощи самых мощных телескопов.

Напомним, что аксиомы изучаемой сейчас геометрии должны отражать свойства световых лучей и подвергаться многократной проверке на опытах со световыми лучами.

Наше предположение о том, что лучи a и d пересекутся, основано действительно на большом практическом опыте. Говоря, что лучи a и d пересекутся даже очень далеко (например, на расстоянии 100 млн. км), мы базируемся на большом опыте астрономических наблюдений.

Предположение же о том, что лучи света a и d пересекутся за пределами видимости самых мощных телескопов, уже основано на чистой фантазии. Ведь неизвестно, как там поведут себя лучи света. Здесь уже нет никаких оснований ссылаться на эксперимент.

Мы договорились, что эталон прямизны — это луч света. Чтобы сделать какое-либо заключение о по-

Одним из видов «движения» является симметрия (см. рис. на стр. 299). Фигуры, которые в результате движения переходят в себя, называются симметричными. На рисунке изображены фигуры, обладающие осевой, центральной симметрией и симметрией порядка «л» (говорят, что фигура обладает симметрией порядка «л», если она переходит в себя при повороте вокруг точки — центра симметрии — на угол градусов).

Определите, к какому из этих трех видов симметрии относится каждая фигура, найдите ось или центр симметрии, а для фигур с симметрией порядка «л» найдите это число.

Приготовьте 3 ящика, 3 белых и 3 черных шарика. Положите в первый ящик 2 белых шарика и наклейте этикетку «Б-Б» ; во второй ящик положите 2 черных шарика и наклейте этикетку «Ч-Ч*; в третий ящик положите белый и черный шарики и наклейте этикетку «Б-Ч*.

Уйдите из комнаты, а ребятам предложите заново разместить шарики по два в каждый ящик так, чтобы все этикетки неправильно указывали содержимое ящиков. Пусть ребята прикроют ящики, чтобы вам, когда вернетесь в комнату, были видны только этикетки, но не шарики.

Теперь, вытащив только один шарик из какого-то одного ящика, вы беретесь точно определить, .какие шарики находятся в каждом ящике.

Но если хотите удачи, то, разумеется, вам надо сначала обдумать, из какого ящика вы должны вытаскивать шарик и как надо рассуждать, чтобы, зная цвет вытащенного шарика, точно установить, какие шарики находятся в каждом ящике.

ведении прямых a и d, надо знать физические свойства световых лучей.

Итак, вопрос о том, можно ли через точку А провести две прямые Ь и Ь\ параллельные а, зависит от свойств световых лучей. Ясно, что, если угол ср очень близок к 90°, экспериментальная проверка того, пересекутся ли лучи a и d, невозможна.

Следует хорошо уяснить, что вопрос о том, можно ли из точки А провести только одну прямую, не пересекающую прямую а, решается не так уж просто. Ничего категорически здесь сразу сказать нельзя.

Разумеется, неочевидность какого-либо утверждения ни в коей мере не означает его несправедливости. Ведь теорема Пифагора, например, тоже не так уж очевидна: совсем не сразу можно поверить в то, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе любого прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Чтобы убедиться в справедливости теоремы Пифагора для любого прямоугольного треугольника, ее доказывают. Доказательство это опять-таки основывается на тех же аксиомах.

Возможно, в нашем вопросе положение аналогично. Иными словами, можно ли доказать исходя из принятых аксиом такое предложение :

(A) Через точку вне прямой нельзя провести более одной прямой, параллельной данной.

Возможно, что еще Евклид задавался этим вопросом, однако ответа на него у Евклида нет. Но так как этим предложением (или эквивалентным ему) приходилось пользоваться при доказательстве других теорем, пришлось принять предложение (А) за аксиому. (Евклид в качестве аксиомы принял другое предложение, которое, однако, равносильно предложению (А).) В стабильном учебнике предложение (А) названо аксиомой о параллельных. Итак, принимают новую аксиому, хотя, как объяснялось выше, сеть все основания усомниться в ее справедливости в мире световых лучей.

Равна ли сумма углов треугольника 180°

Оставим пока в стороне вопрос о том, включать ли аксиому (А) в число аксиом геометрии, предназначенной для описания мира световых лучей. Укажем лишь, что именно с помощью аксиомы (А) в школьном учебнике доказывается теорема:

(B) Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180° (в радианной мере л)-

Несколько сложнее доказывается обратная теорема:

Если сумма внутренних углов хотя бы одного треугольника в точности равна 180°, то справедлива аксиома о параллельных, т. е. через точку А невозможно провести в плоскости две различные прямые, не пересекающие данную прямую а, которая лежит в той же плоскости.

Таким образом, из аксиомы о параллельных следует, что сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°; наоборот, из того, что сумма углов некоторого треугольника равна 180°, следует аксиома (А).

Значит, в списке аксиом евклидовой геометрии можно вычеркнуть аксиому о параллельных, но вместо нее внести предложение (В). При этом все остальные теоремы евклидовой геометрии остались бы неизменными.

Мы выше пояснили трудность (даже практическую невозможность) проверки аксиомы о параллельных в мире световых лучей. Если бы даже можно было выделить сколь угодно тонкий пучок световых лучей и если бы не было никакого их поглощения, то и тогда совершенно непонятным оставалось бы их поведение за пределами видимости современных телескопов. Всегда неясным оставался бы вопрос о том, пересекутся ли лучи а и Ь\ если угол <f близок к 90° (рис. 6). Сказать, что лучи будут и дальше идти по прямой, — значит, вообще ничего не сказать, ибо свойства прямой, которые кладутся в основу рассматриваемой сейчас нами геометрии, выводятся на основании изучения свойств реального мира световых лучей, а не наоборот.

Приняв аксиому (А), мы получим геометрию, в которой сумма углов любого треугольника равна 180°. Приняв предложение, противоположное аксиоме (А), мы получим геометрию, в которой сумма углов всякого треугольника отлична от 180°. Как же здесь быть? Принимать или не принимать аксиому (А)?

Ввиду чрезвычайных трудностей, связанных с экспериментальной проверкой аксиомы (А) в опытах со световыми лучами, возникает вопрос о том, не проще ли на таких опытах проверять предложение (В).

Поясним подробнее возникающее здесь положение.

Представим себе, что на местности (см. рис. 4) ведутся геодезические работы. Пусть в пункте В на штативе укреплен шарик, который геодезист наблюдает в обычный теодолит, установленный в пункте Л.

Какой же величины надо взять шарик в пункте В для этих наблюдений? Шарик надо выбрать так, что-

бы его изображение получилось с возможной точностью в центре окуляра теодолита. Если шарик таков, что его изображение будет большим кружком, его надо уменьшить для более точной наводки. Значит, шарик не должен быть слишком большим. Уменьшать шарик, однако, имеет смысл лишь до тех пор, пока это уменьшение сказывается на точности наводки теодолита. Если чувствительность прибора не даст возможности улучшить наводку путем дальнейшего уменьшения шарика, такое уменьшение просто бесполезно. Выбрав шарик надлежащего размера, геодезист считает, что он имеет дело с «точками» Лий, соединенными отрезком AB. При этом, как и выше, шарик В может на самом деле быть довольно большим (это зависит, разумеется, от расстояния AB).

Теперь представим себе, что в пункте С также установлен на штативе шарик надлежащих размеров. Поочередно наводя теодолит на шарики В и С, геодезист находит величину а, равную разности отсчетов на лимбе теодолита.

Как указывалось выше, геометрия оперирует абстрактными понятиями точки, прямой, треугольника и т. д. Поэтому наш геодезист, выполнив конкретный физический эксперимент с шариками и снопиками световых лучей, рассматривает абстрактный треугольник ABC и считает, что величина угла в вершине А равна а — разности отсчетов на лимбе теодолита.

Понятно, что величина а зависит от того, насколько хорошим и совершенным был примененный теодолит. Поэтому, применяя различные измерительные приборы, геодезист должен был бы каждый раз изучать другой абстрактный треугольник ABC.

Представим себе для определенности, что конструкция теодолита не дает возможности фиксировать показания на лимбе более мелкие, нежели 10'. В таком случае, выполнив отсчет на лимбе после наведения на шарик ß, говорят, что отсчет сделан с точностью до 10'. То же самое относится и к наводке теодолита на шарик С.

Найдя разность отсчетов а, геодезист считает, что, применив другой, более точный теодолит, он мог бы получить другую разность, однако ее отличие от а не превысит 20'.

Таким образом, рассматривая абстрактный треугольник ABC с углом А у равным а , геодезист вправе считать, что, применяя более точные приборы, он мог бы получить для угла а, другую величину, лежащую в пределах от а — 20/ до а + 20'.

Аналогично можно для углов В и С получить величины ß и т и найти сумму а = а + ß+7-

Возникает вопрос: равна ли эта сумма 180°? Понятно, что такое совпадение маловероятно. Вспомним прежде всего, что каждая наводка теодолита выполнялась с точностью до 10'. Для определения з теодолит пришлось наводить 6 раз. Поэтому применение более точного прибора могло бы привести к получению другой суммы, находящейся в промежутке от а — 1° до а +1°.

Итак, определение суммы углов рассматриваемого абстрактного треугольника зависит от точности проведенных измерений (в данном случае от точности теодолита). В нашем случае геодезист вправе рассмотреть абстрактный треугольник, сумма углов которого отличается от найденной при измерении величины з, но не более чем на 1°.

Здесь возникает другой вопрос: насколько измеренная сумма углов а отличается от 180°? Превосходит ли это отличие 1°? Находится ли разность между 180° и а в пределах точности примененных инструментов? Иными словами, может ли геодезист в данном случае рассматривать абстрактный треугольник с суммой углов 180°?

Проанализируем возможные результаты измерения. Здесь имеются две возможности.

1. В результате измерения получилась сумма a = z-f-ß+ -f, отличие которой от 180° превосходит точность проведенных измерений (в данном случае 1и). В этом случае геодезист должен рассуждать примерно так. Если принять аксиому (А), в нашей геометрии сумма углов всякого треугольника будет равна 180°. Проведенный же опыт показывает, что принятая точность измерений не согласуется с таким выводом. Это означает, что такая геометрия для нашего геодезиста недостаточно хороша. Выводы ее он не смог бы применять в своей практике.

Зная длину Л С, углы я и f, он не смог бы с необходимой точностью, как это описано выше, определить длину ABj ибо теорема Пифагора и признаки подобия треугольников справедливы лишь там, где сумма углов треугольника равна 180°. Ему пришлось бы для практических потребностей строить геометрию, где аксиома (А) не справедлива и, следовательно, сумма углов треугольника не равна 180°.

2. Сумма углов а =а f ß +7, полученная в результате измерения, отличается от 180° на величину, не превосходящую точность измерений (в данном случае 1°). В этом случае геодезисту для практических нужд вполне пригодна геометрия, в которой сумма углов треугольника равна 180°. У него нет никаких оснований отвергать аксиому (А), а равно и предложение (В). Обычная евклидова «школьная» геометрия з\есъ оказывается весьма полезной, ее выводы приобретают большое практическое значе-

ние с точностью, принятой в измерениях нашего геодезиста.

Однако необходимо заметить, что геодезист и в данном случае не должен слишком пренебрежительно относиться к геометрии, где неверна аксиома (А) и где сумма углов треугольника отлична от 180°. Не исключена возможность, что и такая геометрия в будущем окажется ему полезной. Если все измерения геодезиста пока хорошо согласовывались с той геометрией, где сумма углов треугольника равна 180°, то, может быть, в дальнейшем, увеличив точность приборов или измеряя углы значительно больших (космических) треугольников, он столкнется с тем, что при новых измерениях обычная геометрия уже не будет описывать мир с достаточной точностью. И тогда понадобится совсем другая геометрия.

Итак, вопрос заключается лишь в том, какая геометрия с большей точностью описывает мир световых лучей, какой мысленный слепок с реального мира является более точным.

Вполне владея изложенными идеями, Н. И. Лобачевский уже в первой половине XIX в. имевшимися в то время астрономическими средствами измерил сумму углов весьма большого космического треугольника. За вершины были взяты две самые удаленные точки на эллиптической орбите Земли и одна из далеких звезд. В результате измерения получилась величина, как и следовало ожидать, отличная от 180°, однако это отличие не выходило за пределы точности примененных инструментов. Таким образом, вопрос о том, какая геометрия точнее описывает мир световых лучей, остался открытым. Было неясно, понадобится ли вообще когда-нибудь геометрия, в которой не имеет места аксиома (А). Не является ли такая геометрия бесполезным плодом фантазии?

Нужны ли другие геометрии

Выше пояснялась естественность построения геометрии, в которой сумма внутренних углов треугольника не равна 180° и, следовательно, не имеет места утверждение (А).

Впервые такую геометрию построил Н. И. Лобачевский в 1826 г. Геометрия Лобачевского строится на тех же аксиомах, что и евклидова, за исключе-

Из шести спичек

С помощью кусочков пластилина я соорудил пирамиду и заметил, что в этой конструкции содержится четыре равных равносторонних треугольника.

«А не могу ли я теперь образовать в одной плоскости четыре равных равносторонних треугольника из шести одинаковых отрезков?»

Прикинул на спичках — получилось! И пластилин не потребовался.

Если вам не удастся самостоятельно воспроизвести эту новую конструкцию, взгляните на стр. 331.

Кривые линии, которые получаются при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину, называются кривыми второго порядка или коническими сечениями.

Конические сечения могут быть трех типов (см. стр. 303, рис. внизу слева):

1. Секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной ее полости, линия пересечения есть замкнутая овальная линия — эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

2. Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая в одной полости.

3. Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения — гипербола, состоит из двух одинаковых незамкнутых простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих в обеих полостях конуса.

На рисунках (см. стр. 303, внизу справа) изображены линии, которые описывает точка круга, когда он катится по прямой линии. При этом точка окружности описывает линию с остриями — циклоиду. Всякая внутренняя точка круга описывает линию без остриев — укороченную циклоиду. А если точка закреплена вне круга на продолжении его радиуса, то она описывает линию с петлями — удлиненную циклоиду.

Рис. 7 (левый). Рис. 8 (правый).

нием аксиомы о параллельных, которая заменяется другим утверждением — аксиомой Лобачевского :

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая геометрия — Евклида или Лобачевского — точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и кажется на первый взгляд парадоксальной. Огромной заслугой Лобачевского было то, что он этот вопрос поставил.

Впоследствии было построено много других геометрий — других мысленных слепков с реального мира. Вопрос же о том, действительно ли понадобится какая-либо из этих геометрий при изучении реального мира световых лучей, оставался по существу открытым вплоть до 1916 г., когда крупнейший физик А. Эйнштейн создал так называемую общую теорию относительности.

Широко известен анекдот о том, что Ньютон открыл закон тяготения, наблюдая за падением яблока. Насколько же точно ньютоновский закон отображает реальное положение вещей? Нельзя ли с помощью очень точных инструментов обнаружить, что притяжение тел может отклоняться (пусть очень мало) от закона Ньютона? Здесь можно поста-

вить те же вопросы, какими мы занимались при разработке евклидовой аксиомы о параллельных.

Дело в том, что ньютоновские законы также представляют собой некоторый абстрактный, мысленный слепок с реального мира. Это как бы физический слепок, в то время как евклидова аксиоматика является геометрическим слепком.

Подобно этому и законы электрического взаимодействия (например, закон Кулона) также являются определенным физическим слепком с реального мира.

Вплоть до создания общей теории относительности считалось твердо установленным, что реальный мир представляет собой нечто подобное бесконечной пустой «евклидовой комнате», в которой, словно мебель, расположены реальные тела, предметы, взаимодействующие друг с другом. Казалось совершенно несомненным, что свойства этой «евклидовой комнаты» никак не связаны с перемещением и взаимодействием находящейся в ней мебели.

Законы же перемещения и взаимодействия материи в этой пустоте описывались в физических теориях-слепках. Однако считалось, что эти теории могут делаться независимо от того, как сделан геометрический слепок. Кроме того, ньютонов слепок считался столь же бесконечно совершенным и точным, как и евклидов геометрический слепок.

Опыты, однако, показали, что известные физические теории столь же несовершенны, как и евклидова геометрия. Чтобы несколько разъяснить это, расскажем об одном эксперименте, который уже неоднократно повторялся астрономами и показал хорошее совпадение с заранее полученными выводами теории относительности.

Представим себе на Земле наблюдателя, который, находясь в определенный момент в точке 0\ (рис. 7), видит звезду А и вблизи от нее Солнце. (Заметим, что такие опыты производятся при полном солнечном затмении, когда диск Солнца закрывается от наблюдателя диском Луны.) Наблюдение проводится в небольшой промежуток времени, так что звезду и Солнце можно считать неподвижными, а траекторию Земли — прямолинейной. Земля движется по орбите с известной скоростью (в направлении от 0\ к О и ), и, пользуясь теоремами евклидовой геометрии, нетрудно определить, в какой момент времени Солнце заслонит от наблюдателя звезду А. Это должно произойти тогда, когда Земля переместится в точку О и (рис. 7).

Эксперимент, однако, показывает, что в действительности звезда А закрывается Солнцем с некоторым опозданием, величина которого хорошо согласуется с предсказаниями теории относительности.

Как же объясняется это явление? Оказывается, сильное поле тяготения, создаваемое Солнцем, заставляет лучи света, проходящие вблизи Солнца, вести себя не так, как того требует евклидова геометрия. А именно, лучи как бы искривляются, и получается картина, схематически изображенная на рис. 8. Находясь в точке Оц, наблюдатель видит звезду. Лишь когда наблюдатель переместится в точку О m, Солнце закроет от него звезду А.

Можно попытаться объяснить обнаруженное отклонение, оставаясь в рамках евклидовой геометрии и ньютоновской теории тяготения. Именно, зная массу Солнца и массу движущегося фотона (кванта света), можно на основании ньютоновского закона тяготения вычислить отклонение фотона от евклидовой прямой. Опыт, однако, показывает, что действительное отклонение будет примерно вдвое большим того отклонения, которое вычислено указанным путем.

В таком случае приходится предположить, что евклидова геометрия и ньютоновская теория тяготения (или обе они) являются недостаточно точными слепками действительного мира, ибо не позволяют объяснить наблюдаемые явления. Общая теория относительности как раз и дала новый, более точный слепок. В соответствии с этой теорией поведение световых лучей вовсе не обязано следовать законам евклидовой геометрии. Геометрия, пригодная для описания поведения световых лучей, должна целиком и полностью определяться распределением и состоянием материи в мире. Каждое перемещение массы и изменение энергии вещества влечет изменение структуры всего физического пространства, а следовательно, и необходимость выбора более подходящего, неевклидова геометрического слепка.

Нельзя считать, что световые лучи в окрестности Солнца (рис. 8) перестали быть прямыми, что они искривлены. Они, так же как и лучи, проходящие вдали от Солнца, являются идеальными прямыми, однако поведение этих прямых должно описываться не евклидовой системой аксиом, не евклидовой геометрией, а некоторой другой геометрией.

Так как распределение и состояние материи в реальном пространстве изменяются во времени, то и геометрия, описывающая наше реальное пространство с достаточной точностью, тоже не остается неизменной, а изменяется со временем. Значит, в формулировке аксиом геометрии должно участвовать время. Понятия пространства и времени оказываются неотделимыми, неразрывными.

Теория относительности Эйнштейна объединила в одно целое изучение физических и геометрических свойств реального мира. Она как бы дала единый физико-геометрический слепок нашего мира.

Оказалось, что мир нельзя рассматривать как пустое евклидово пространство, заполненное материей. Каждое изменение поля тяготения, всякое перемещение массы и изменение энергии вещества влечет изменение структуры всего физического пространства, а следовательно, и необходимость выбора более подходящего геометрического слепка.

В соответствии с теорией Эйнштейна выбор подходящей геометрии определяется распределением и состоянием материи в реальном мире.

Чем отличаются различные геометрии

Для того чтобы иметь возможность подбирать в каждом случае подходящую геометрию, целесообразно заранее иметь целый набор, как бы библиотеку таких мыслимых слепков. В настоящее время математиками разработаны методы построения бесконечного числа таких геометрий.

Различные геометрические пространства, т. е. различные мыслимые геометрические слепки, различают по тому, насколько они отличаются от евклидова. Само это отличие называют кривизной. Кривизна геометрического пространства определяется некоторыми числами, которые характеризуют величину отличия той или иной геометрии от евклидовой. Каждая «кривая» геометрия основывается, по существу, на некоторых аксиомах. Совокупность аксиом такой геометрии отличается от евклидовой системы аксиом. Имеется один интересный и простой признак, которым можно характеризовать отличие геометрии от евклидовой, не перечисляя всех аксиом. Этим признаком является как раз теорема о сумме углов треугольника. В евклидовой геометрии она всегда равна 180°. В других геометриях это не так. Там сумма углов треугольника может быть больше или меньше 180°, в зависимости от размеров и расположения треугольника в пространстве.

Если обозначить сумму углов треугольника через а, то можно считать, что величина кривизны характеризуется отношением величины а —180° к площади треугольника. Величина z — 180° в различных геометриях может иметь знак «плюс» или «минус». В соответствии с этим говорят, что пространство имеет положительную или отрицательную кривизну.

В евклидовой геометрии о — 180°=0, поэтому говорят, что евклидово геометрическое пространство имеет нулевую кривизну.

Выше было показано, что, развивая технику измерений, совершенствуя свои знания реального мира, мы неизбежно приходим к необходимости построения геометрии, отличной от евклидовой. Однако евклидова геометрия во многих вопросах является отличным орудием практики, инженерной техники и т. п. Смешон был бы, например, инженер, который стал бы учитывать, что две вертикальные линии отвеса не параллельны, а пересекаются в центре Земли. Еще меньше оснований у инженера, предполагать, что в построенном треугольнике сумма углов отлична от двух прямых.

Евклидова геометрия в таких вопросах с большой точностью описывает реальный мир световых лучей, и не случайно изучение свойств пространства люди начали именно с евклидовой геометрии.

Все это, разумеется, ни в какой мере не умаляет важности неевклидовых геометрий. Они находят себе применение в важнейших теоретических и практических вопросах современной физики и математики.

Первая неевклидова геометрия была построена Лобачевским. Многовековая привычка к понятиям евклидовой геометрии не дала возможности даже крупным математикам, современникам Лобачевского, понять его идеи. Триумф этих идей наступил позднее. Теперь они прочно вошли в науку о природе и хорошо известны каждому физику и математику.

Геометрические понятия тесно связаны с физическими явлениями, происходящими в реальном мире. При этом следует иметь в виду, что геометрия применима не только к изучению явлений, связанных с распространением света. Можно рассмотреть и какие-нибудь другие реальные объекты, не имеющие никакого отношения к распространению света. Некоторые из них можно принять за эталон прямизны, подобно тому как это делалось с узкими снопиками световых лучей. Изучая эти объекты, можно подобрать аксиомы и построить соответствующую геометрию. Можно, например, в качестве эталона прямизны принять траектории твердых тел достаточно малого размера, движущихся по инерции, т. е. при отсутствии воздействия на них внешних сил. Полученная при этом геометрия (как и геометрия, построенная для изучения световых лучей) будет лишь в первом приближении совпадать с евклидовой.

Функции

Что такое координаты и для чего они служат

Когда приходится иметь дело с большим числом (а тем более с бесконечным множеством) предметов, для различения их друг от друга удобно называть их не случайными именами (Ваня, Маша, Лондон, Амазонка,..), а так, чтобы по каждому «имени» легко было отыскать соответствующий ему предмет и, наоборот, для каждого предмета легко узнать его «имя» в данной системе наименований. Адрес: «Такой-то переулок, дом 7, квартира 6»—много удобнее, чем то, как писали еще в начале нашего века: «Дом Жукова, квартира Еремеева». На билете написано: «Ряд 5, место 4», или, короче, «5, 4»; эта надпись заменяет «имя» кресла зрительного зала (рис. 1), а сами числа 5, 4 называются его координатами (заметьте, что «4, 5» —это совсем другое кресло: важен порядок). Почти так же просто дать «имя» каждой точке, например, того листа книги, который вы сейчас читаете: расстояние этой точки от левого края листа обозначим через х, расстояние от нижнего края — через у и будем считать пару чисел (jc, у) названием этой точки. Измеряя расстояния в сантиметрах, верхнему правому углу страницы дадим «имя» (20, 26), нижнему правому — (20, 0), центру листа — (10, 13). Все точки листа (а их бесконечно много!) получат свои «имена». Подобным же образом каждая точка вашей комнаты получит свое «имя» (jc, f/, z), здесь X — расстояние (в метрах) от северной стены, у — расстояние от западной стены, z — расстояние точки от пола; вы легко найдете, например, точку (3, 2, 1). Координата х для точки, находящейся за северной стеной, считается отрицательной, так же как у — для точки за западной стеной иг — для точки нижних этажей. Те плоскости, от которых отсчитываются расстояния je, уУ г, называются координатными плоскостями (на каждой из них одна координата равна нулю), а линии их пересечения — осями координат; например, прямая, вдоль которой у и z равны нулю, называется осью х.

Читатель, вероятно, хорошо знает, что такое долгота и широта места на поверхности Земли. Это географические координаты. Так, долгота Москвы -1-37,5° (значит, к востоку от Гринвичского начального меридиана), а широта -1-55,8° (значит, к северу от экватора), поэтому координатное обозначение Москвы записывается так: 37,5°, 55,8°. Координаты в геометрии. Числа играют важную роль в геометрии. При их помощи мы оцениваем размеры предметов. Длины, площади, объемы после выбора единицы измерения выражаются числами. Можно ли при помощи чисел описать форму предметов, форму самых причудливых фигур? Мы знаем, что углы треугольника определяют его форму («два треугольника с равными углами подобны»,

Рис. 1 (верхний).

На нижнем рисунке: идея метода координат используется в шахматах (в шахматной нотации).

т. е. имеют одинаковую форму), значит, в некоторых случаях числа могут охарактеризовать форму, в данном случае два числа — два угла. Но можно ли форму любой фигуры описать при помощи чисел? Положительный ответ дает координатный метод, введенный в математику в середине XVII в. французскими учеными П. Ферма и Р. Декартом.

Идея координат существовала задолго до Ферма и Декарта, ее можно проследить еще в древнем мире: в незапамятные времена художники пользовались координатной сеткой для перенесения изображений на другую плоскость; вероятно, еще древнее вышивание по канве, которая представляет собой, так сказать, материализованную координатную сетку. Сферическими координатами (долготой и широтой) пользовались астрономы древнего Вавилона и Египта.

Координатный метод — это способ изучения фигур аналитически, т. е. при помощи вычислений. Ветвь геометрии, изучающая фигуры этим способом, называется аналитической геометрией.

Рис. 2 (левый). Рис. 3 (правый).

Рис. 4.

Чтобы изучать фигуры, нужно прежде всего уметь точно описывать их. Описание должно быть полным: прочтя такое описание, мы должны суметь по нему восстановить фигуру, т. е. построить фигуру точно такую, как та, с которой было составлено описание. Говорят, что таким описанием фигура задана (однозначно), а само описание называют заданием фигуры. Геометрическую фигуру будем представлять себе состоящей из точек: фигура — это множество точек (конечное или бесконечное). Если фигура Ф состоит из конечного числа точек (или конечным числом точек однозначно определяется, например многоугольник — своими вершинами), то для ее полного описания достаточно задать каждую точку. И в случае бесконечного множества точек нужно уметь задавать положение отдельных точек. Для простоты рассмотрим точки и фигуры на плоскости.

Декартовы координаты точки

Положение точки на плоскости можно задать при помощи двух чисел х и (/, если предварительно: 1) выбрать на этой плоскости две какие-нибудь взаимно перпендикулярные прямые (обычно одну горизонтальную, другую вертикальную; например, на листе бумаги — нижний и левый его края) ; 2) снабдить эти прямые направлениями (например, направо и вверх); 3) условиться о единице для измерения длины (например, сантиметр). Точку О пересечения прямых называют началом, а сами направленные прямые — осями координат: первую из них — осью Ох или осью абсцисс, вторую — осью Oy или осью ординат. Теперь для задания положения точки нужно лишь указать: 1) на каком расстоянии от оси Oy она находится: это расстояние, взятое со знаком « + » или « — », обозначается буквой х и называется абсциссой точки; 2) на каком расстоянии она лежит от оси Ох; это расстояние, со знаком « + » или « — », обозначается у и называется ее ординатой. Если точка лежит по ту сторону от оси Oy, куда направлена ось Ох, то для абсциссы берут знак « + », в противном случае — знак « — ». Подобным же образом выбирается знак « -h » или « — » для ординаты. У точек самой оси Ох ординаты равны нулю (у = 0), у точек оси Oy абсциссы равны нулю (х = 0). Если у точки А абсцисса равна X, а ордината равна у, то пишут: А (х; у) (рис. 2). Числа X, у называют декартовыми координатами точки (х; у). В обозначении (х; у) на первом месте всегда стоит абсцисса, на втором — ордината. На рис. 3 указаны знаки координат для точек различных координатных углов (четвертей, или квадрантов) ; на первом месте — знак абсциссы, на втором — знак ординаты. Обе координаты начала О равны нулю, что записывают так: О (0; 0).

Задача 1. Проверьте правильность обозначения точек на рис. 4.

Нужно привыкнуть безошибочно решать при заданном расположении и направлении осей и заданной единице длины две задачи: 1) найти координаты каждой указанной на рисунке точки, 2) по заданным координатам х, у построить точку (х; у).

Задача 2. Построить пятиугольник ABC DE, если А (-3; 1), В (-2; -2), С (2; -2), D (3; 1), Е (0; 3'/2).

Задача 3 Какую фигуру образуют все точки, у которых: 1) абсцисса равна нулю (jt = 0); 2) ордината больше двух (у>2); 3) абсцисса равна ординате (х = у); 4) х= — у; 5) \х\ = \у\ (где \х\ — обозначение абсолютной величины числа х: если Jt<0, то \х\ = = — X, в противном случае \х\ =х); 6) х = 0 и */>2.

Простейшие задачи

При решении геометрических задач координатным методом постоянно приходится опираться на несколько совсем простых стандартных задач: определение расстояния между точками, отыскание середины отрезка и др. При этом нужно иметь в виду, что выра-

Рис. 5.

Рис. 6.

жение «дана точка» означает, что дано ее координатное обозначение (х; у), т. е. заданы два числа х, у. «Найти точку» означает найти ее координатное обозначение (х ; у).

1) Расстояние между двумя точками. Задача. Даны две точки А\ (Х\\ у\) и А2 (х2; у2). Найти расстояние между ними (рис. 5).

Проведя вспомогательные линии, читатель без труда убедится, что искомое расстояние d служит гипотенузой треугольника с катетами \х2 — Х\ | и 1 у2 — у\\, поэтому

(1)

(при возведении в квадрат знак абсолютной величины опущен, что, конечно, не меняет результата).

Важно заметить, что формула (1) верна при любом расположении точек А\ и А2. Проверьте, что, например, для А\ ( — 1 ; — 2), А2 (3; — 5) катеты будут действительно равны: [ 3^(—1)|и|( — 5) — ( — 2) | и формула (1) дает:

Для аналитической геометрии общность формул имеет очень большое значение. Благодаря этой общности при решении задач аналитически не нужно задумываться о том или ином расположении данных точек; можно решать задачу, даже не глядя на чертеж. Если чертеж и делается, то обычно лишь приблизительный, который служит только схемой, местом, куда записываются данные (координатные обозначения точек и пр.), а затем заносятся и найденные уже промежуточные и, наконец, окончательные результаты.

2) Середина отрезка. Задача. Даны концы отрезка А\ \х\\ у\), А2 (х2\ у2). Найти его середину М. Обозначим координаты искомой середины M через je, у. Из рис. 6 видно, что ордината у служит средней линией трапеции, поэтому

(2)

точно так же

(2)

Если знаки ух и у2 противоположны, то это доказательство неубедительно, однако формулы (2) остаются справедливыми во всех случаях. Проверьте это.

Задача 4. Дан треугольник ABC: А (12; 6), В ( — 2; 4), С (6; —2). Найти длины его сторон и медиан.

Задача 5. На оси Ох найти точку М, которая находилась бы от точки А (3; —1) на расстоянии, равном 5.

Решение. Обозначим координаты искомой точки M через (х\ у). Она лежит на оси jt, следовательно, у = 0. Остается определить х. Записав аналитически (см. формулу (1)) условие задачи: ЛЛ1 = 5, получим уравнение для определения х.

Ответ: M (7,9...; 0) и ЛГ (-1,9...; 0).

Задача 6. Найти точку M (х; у), находящуюся на равных расстояниях от осей координат и удаленную на 5 единиц от точки А ( — 1 ; 6).

Указание. Для определения х, у нужно лишь решить систему |jc| = \у\, (х,+ 1)2 + {у — 6)2 = 52. Всего четыре решения.

Задание фигуры, состоящей из бесчисленного множества точек

Для задания фигуры Ф в этом случае стараются подыскать такое условие, которому: 1) удовлетворяют координаты je, у всех точек из Ф; 2) не удовлетворяет ни одна чужая точка (т. е. не принадлежащая Ф). То, что здесь сказано, станет понятнее на следующих примерах.

1. Подыщем условие для фигуры, состоящей из всех точек оси Ох. Координаты всех ее точек удовлетворяют уравнению у = 0, и, конечно, ни одна чужая точка ему не удовлетворяет, так как она лежит либо выше оси Ох (тогда (/>0), либо ниже (тогда (/<0). Уравнение у = 0 и служит искомым условием.

2. Все точки биссектрисы координатного угла хОу удовлетворяют уравнению х = у, и ни одна чу-

Рис. 7 (левый). Рис. 8 (правый).

Рис. 9.

жая точка. Биссектриса считается продолженной бесконечно в обе стороны.

3. Все точки внутренней части координатного угла хОу удовлетворяют системе неравенств jt>0, #>0. Эта система служит условием, задающим фигуру Ф — внутренность угла хОу.

4. Все точки M (х; у) окружности радиуса 5 с центром в начале координат удовлетворяют уравнению х2-\-у2 = 2Ъ, так как для любой ее точки расстояние 6т начала равно 5; ОуИ = 5, или, на основании теоремы Пифагора, |/ х2+у2 = 5, что равносильно написанному выше уравнению. Для всех лежащих внутри окружности точек ОМ<5, т. е. х2 + #2<25; для всех точек, лежащих вне окружности, ОЛ1>5, или х2 + у2>25. Итак, для всех точек нашей окружности, и только для них, справедливо уравнение

jc2 + */2-25=0.

Уравнение, которому удовлетворяют все точки некоторой линии и не удовлетворяет ни одна посторонняя точка, называется уравнением этой линии; je, у в уравнении линии — текущие координаты.

Отметьте на чертеже точки с целочисленными координатами, для которых левая часть х2 + у2 — — 25 > 0, знаком « + »; те, для которых она отрицательна, знаком « — » ; точки, где она равна нулю, заключите в совсем маленький кружочек. Можно ограничиться, например, лишь теми целочисленными точками, для которых |х|+|(/|^.8. Проделав это, вы отчетливо поймете, что на координатной плоскости соответствует уравнению, что — неравенству (рис. 7).

5. Уравнение х + у — 5 представляет собой уравнение прямой. Попробуйте доказать это сами! (Ниже будет показано, что всякое уравнение первой степени между X и у есть уравнение некоторой прямой.) Построить эту прямую (как и всякую) очень просто: достаточно подобрать две точки, удовлетворяющие этому уравнению, например (0; 5) и (1; 4), и затем, построив их, соединить линейкой. Снова заметим: прямая делит плоскость на две части, для одной из них (верхней) х + */>5, для другой х + у<Ь.

6. Попробуйте выяснить геометрический смысл неравенства |jc| + 5. Для этого сначала следует построить линию |;c|-f-|(/| = 5. (Мы говорим: «Линия |х|4-|*/| =5» ; это значит — линия, определенная уравнением =5.) Она состоит из четырех частей. Построение следует вести отдельно в каждой из координатных четвертей: 1) при Jt^O, у^О; 2) при *<0, у >0; 3) при jc<0, у<0 и 4) при *> 0, у<0.

7. Уравнение xz + xy2 — 4х = 0 определяет фигуру, составленную из окружности и вертикальной пря-

Рис. 10.

мой, проходящей через ее центр. Действительно, данное уравнение можно переписать так : х (х2 + у2 — — 4) = 0, но произведение может быть равно нулю тогда, и только тогда, когда хоть один из множителей равен нулю, т. е. jc = 0 или х2-\-у2 — 4 = 0; первое есть уравнение оси Oy, второе — окружности (рис. 8).

8. Уравнение у = х2 служит уравнением параболы. Построим ее по уравнению. Для этого напишем сначала таблицу, помещая в первой ее графе произвольные значения х : х = — 3 ; — 2,5 ; — 1 ; 0 ; 1 ; 2; 3; 4; а во второй—соответствующие значения у: у = 9; 6,25; 1; 0; 1; 4; 9; 16; .... Если бы мы были в состоянии составить таблицу для всего бесконечного множества действительных чисел х и соответствующих у, а затем построили бы все такие точки (х; у), то эти точки сами заполнили бы собой всю искомую кривую (рис. 9). Фактически же мы вычислили координаты лишь точек: (—3; 9), (—2,5; 6,25), (-1; 1), (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16). Соединив их от руки плавной кривой (этим мы заполняем пробелы, соответствующие промежуточным значениям х, не включенным в таблицу), получим параболу, проходящую через эти точки. Конечно, это приблизительное построение; оно будет выполнено тем точнее, чем больше построим промежуточных точек.

Заметим, что неравенство у>х2 определяет часть плоскости над параболой («внутри» параболы), а неравенство у<Сх2—часть плоскости под ней («вне» параболы).

9. Уравнение ху = 12 (рис 10) определяет на плоскости хорошо известную вам кривую — гиперболу (вспомните геометрическое изображение закона Бойля — Мариотта). Для ее построения решаем уравнение относительно и

и далее строим по точкам, как это делалось в предыдущей задаче.

Прямая

Прямая — это простейшая из линий ; уравнение первой степени — простейшее из уравнений. И вот оказывается, что: 1) всякая прямая линия задается некоторым уравнением первой степени и 2) все точ ки, удовлетворяющие заданному уравнению первой степени относительно х и у, заполняют некоторую прямую, т. е. такое уравнение и служит уравнением прямой.

Докажем две теоремы.

1. Уравнение всякой прямой есть уравнение первой степени.

Прежде всего это ясно для прямой, параллельной оси Oy (в частности, и для самой оси Oy), так как у всех точек такой прямой абсцисса одна и та же, т. е. равна некоторому постоянному а ; х = а — это и есть уравнение рассматриваемой прямой, но оно первой степени.

Рассмотрим теперь любую прямую п, не параллельную Oy. Она пересекает Oy в некоторой точке В (0; Ь) (абсцисса точки В равна нулю, а ордината имеет некоторое значение Ь). Передвинем прямую п параллельно себе так, чтобы она прошла через начало О (0; 0). Составим прежде всего уравнение этой вспомогательной прямой. На ней найдется точка Е (рис. 11) с абсциссой, равной 1 (точка ее пересечения с прямой jc = 1) ; пусть ордината точки Е равна числу/г: £ (1; k). Тогда для любой точки этой прямой y:x = k:l. Действительно, треугольники ОМ\М и ОЕ\Е подобны, поэтому их катеты bc|, 1 пропорциональны: y'\\x\—\k'A. Остается проверить лишь знаки: чертеж показывает, что если k положительно, то для любой точки прямой ЕО непременно х и у будут или оба положительны, или оба отрицательны. Значит, одинаковы и знаки отношений у : х, k'.l. Если k отрицательно, то знаки х и у противоположны (рис. 12) и равенство у : x = k : 1, или y = kx, остается в силе. При k = 0 точка Е лежит на оси Ох, прямая ОЕ совпадает с осью Ох, а уравнение y = 'kx превращается в у = 0. Итак, при любом k уравнением прямой ОЕ служит равенство y = kx.

Вернемся теперь к первоначальной прямой п; ее можно получить из вспомогательной прямой ОЕ сдвигом в направлении оси Oy на. отрезок Ь. Это значит, что каждая ее точка перемещается в направле-

Рис. 11. Рис. 12.

Рис. 13.

нии оси Oy на Ь (если 6>0 — вверх, если й<0 — вниз). Ордината каждой точки при этом изменится на одно и то же число 6, а абсцисса останется прежней; вместо уравнения y = kx вспомогательной прямой мы теперь получим :

y=kx + b.

Это и будет уравнением прямой п. (Напомним, что ни одна чужая точка этому уравнению не удовлетворяет: для точек, лежащих выше нашей прямой, y>kx + b; для точек, лежащих ниже, y<kx + b; число k называется угловым коэффициентом прямой, b — начальной ординатой.)

Из треугольника ОЕЕ\ легко выяснить геометрический смысл углового коэффициента прямой: это тангенс угла, который наша прямая образует с положительным направлением оси Ох. Если угол тупой, то k отрицательно.

2. Всякое уравнение первой степени

Ах + Ву + С = 0 (3)

есть уравнение некоторой прямой. Действительно, А и В сразу оба не могут быть равны нулю (так как тогда наше уравнение не было бы уравнением первой степени). Пусть, например, ВфО, тогда уравнение можно разрешить относительно у; оно примет вид: у———X —-ß. Если теперь построить прямую с угловым коэффициентом ft, равным—^-,и начальной ординатой 0, равной — g-, то, как мы уже видели, ее уравнение будет: y = kx + bf или у = —~х +(— jf^ , оно равносильно заданному. (Случай В = О, А ф 0 приведет к уравнению х — —-j-t т. е. х постоянно. Это уравнение прямой, параллельной оси Oy; при С = 0 — сама ось Oy.)

Основные задачи на прямую

Как мы видели, прямая однозначно определяется ее уравнением. Поэтому уравнение прямой может служить как бы ее «именем»; постоянно говорят: «Прямая Ах + Ву + С = 0»; это значит, что прямая задана уравнением Ах + Ву + С = 0.

1) Построение прямой по ее уравнению. Чтобы построить прямую по ее уравнению, проще всего найти какие-нибудь две точки, удовлетворяющие этому уравнению; построив их, провести через них прямую.

Пример. Построить прямую 2х — Зу + 8 = 0. Этому уравнению удовлетворяют точки (—4; 0), (—1; 2), (5; 6), Строим какие-нибудь две из них (лучше не слишком близкие, иначе проведение через них прямой по линейке не будет достаточно точным), например (—4; 0) и (5; 6), и соединяем линейкой.

2) Даны две различные точки А,(х,; у{] и А2(х2;у2) Найти прямую AiA2. (Найти ее уравнение.)

Убедимся, что искомое уравнение можно записать так:

(х — .(у2 — у{) - (у - ух)- (х2^х1)=0. (4)

Прежде всего это уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, значит, оно есть уравнение прямой. Подставляя вместо текущих координат X и у сначала Х\ и yït а затем х2 и у2, убеждаемся каждый раз, что уравнение обращается в тождество, значит, эта прямая проходит и через точку (*! ; г/,), и через точку (х2; у2).

Обычно уравнение (4) записывают в более удобной для запоминания форме:

(4')

Однако последняя перестает служить, если jt,=j/2 или у у =у2.

3) Даны две прямые: Ах + By 4-С = 0 и А'х + + В'у + С' = 0. Найти точку их пересечения.

Точка пересечения лежит на той и на другой прямой, следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Итак, для нахождения их надо решить совместно эти уравнения (система двух уравнений с двумя неизвестными).

4) Условие параллельности. Как следует из сказанного ранее, угловой коэффициент k характеризует направление прямой, поэтому равенство угловых коэффициентов двух прямых означает их параллельность. Так как k——то условие параллельности (k = kf) прямых Ах + Ву + С = 0 и А'х + В'у.+ С' = 0 может быть записано и так:

АВ = А':В'. (5)

5) Условие перпендикулярности. Если прямые перпендикулярны, то углы а и а', образуемые ими с осью Ох, разнятся на 90°; а' = а + 90°, поэтому их угловые коэффициенты к и к' удовлетворяют равенству kk!'= — 1. Это легче всего усмотреть из рис. 13: на нем треугольник О ЕЕ' прямоугольный, k и — к' служат проекциями катетов на гипотенузу, поэтому их произведение равно квадрату высоты : 'к ( — k!) — = 0£|2 = 1. Иначе условие перпендикулярности пишут в виде к = — -г- или, в силу равенств

в виде

АА' + ВВГ — 0. (6)

Задача 7. Через точку (2; —3) провести прямую, перпендикулярную прямой 4л' — 3t/ + 2 = 0.

Решение. Для изменения направления на перпендикулярное достаточно (выполняя условие (6)) поменять местами коэффициенты А и В и у одного из них изменить знак: Л = 4, В — — 3; теперь возьмем Л' = +3, ß' = 4. Уравнение искомой прямой уже можно написать: Зх-\-4у-\- С' = 0. Неизвестный пока член С определится из требования, чтобы данная точка (2; —3) лежала на этой прямой 3. 2 + 4. (-3)+С = 0, или С' = 6.

Ответ: Зл +4^ + 6 = 0. 6) Расстояние между точкой и прямой. Рассмотрим частный случай этой задачи: найти длину р перпендикуляра из начала О (0; 0) на прямую Ах + + By + С = 0. Решение удобно вести по такой схеме.

1. Найти уравнение перпендикуляра из О (0; 0) на Ах + Ву + С = 0 (см. задачу 7).

Ответ: Вх — Ау = 0.

2. Проекция О' начала О на данную прямую получается совместным решением уравнений:

Ах + By 4- С =г 0 и Вх — Ау = 0.

Ответ :

3. Остается найти искомое расстояние р как расстояние между О и О' :

(7)

В общем случае задача: «Найти расстояние d от точки Р0 (л'0; уо) до прямой Ах+ Ву + С = 0» — может быть решена тем же путем. В результате получим :

(7')

т. е. расстояние от точки (jc0; у о) до прямой Ах + + By -|- С = 0 равно частному от деления абсолютной величины результата подстановки в левую часть уравнения прямой координат точки {х0; у0) на «нормирующий» корень УА2-\-В2.

Все приведенные в пунктах 1), 2), 6) задачи следует научиться решать совершенно свободно, так сказать, «с закрытыми глазами».

Окружность

Как известно, окружностью называется множество точек плоскости, находящихся от заданной точки С этой плоскости (центра) на заданном расстоянии R (радиус). Запишем это определение аналитически относительно декартовой системы координат. Пусть С (a; ft). Тогда для любой точки Р (х; у) окружности PC = /?, т. е.

или

(8)

Это и есть (общее) уравнение окружности. Раскрыв в нем скобки

X1 + у2 - 2ах - - 2Ьу + a2 i br - R2 _-. 0,

убеждаемся, что это есть частный случай общего уравнения второй степени относительно х и у:

Ах1 4- Вху j Су2 \- Dx 4 Еу 4 F - 0. (9)

В нашем случае Л = С=1, В = 0. Оказывается, что всякое уравнение второй степени относительно декар-

Рис. 14

товых координат л\ у} в котором коэффициенты при X2 и у2 равны (и по абсолютной величине и по знаку : Л = С), а коэффициент при ху равен нулю (ß = 0), либо является уравнением некоторой окружности (быть может, нулевого радиуса), либо ни одна (действительная) точка плоскости ему не удовлетворяет.

Задача 8. Построить окружность 2jt2 + 2f/2 + 3f/ = 0.

Пишем уравнение так:

или

Сравнивая с общим уравнением окружности, видим,

что а — О,

Теперь легко выполнить построение.

Если в общем уравнении 2-й степени АфС или ВфО, то такое уравнение уже не будет уравнением окружности. Оказывается, возможны здесь только такие линии: парабола, эллипс (см. ниже, пример 2), гипербола или (если левая часть уравнения разлагается на множители первой степени) пара прямых. Все они называются линиями второго порядка. Впрочем, бывает и так, что ни одна точка плоскости уравнению не удовлетворяет, например: 2jc2 + 3t/2 + + 1 = 0 (мнимый эллипс).

Аналитическое решение геометрических задач

При решении геометрической задачи аналитическим методом прежде всего выбирают систему координат (от удачного выбора ее зависит простота вычислений). Затем находят в этой системе координаты заданных точек и уравнения заданных прямых, окружностей и т. д. Этим задача переводится на аналитический язык и превращается в задачу аналитической геометрии.

Пример 1. Доказать, что три высоты треугольника ABC всегда пересекаются в одной точке.

Пусть ось Oy проходит по высоте ОС, а. ось Ох — по соответствующему основанию AB. Координатное обозначение вершин: А ( — р; 0), В (q; 0), С (0; Л) (Л — высота, р, q — проекции сторон CA и С В на основание). По формуле (4) составляем уравнения боковых сторон:

hx-py + ph = 0 (CA), hx + qy-qh-0 (СВ).

(Сделайте проверку: ( — р; 0) лежит на СЛ, (0; Л) — тоже.) Составляем уравнения боковых высот: px + hy = pq, qx — hy=—pq (см. задачу 8). Точка пересечения ^0; найденная совместным решением их уравнений, очевидно, лежит на третьей высоте, так как ее абсцисса равна нулю.

Пример 2. (Эллипс.) Выяснить, какую кривую опишет точка тонкой прямолинейной палочки, скользящей своими концами по неподвижным взаимно перпендикулярным прямым Ох иО(/.

Примем эти прямые за оси координат. Расстояния точки от концов палочки обозначим через a и b (постоянные числа, так как точка по палочке не двигается)

Обозначим через / (переменный) угол, образованный палочкой с отрицательным направлением оси Ох. На рис. 14 видно, что

x = acos t, у = bsm t

Эти два уравнения можно рассматривать как особый вид уравнений кривой. Здесь связь между х и у задана при помощи вспомогательного переменного (параметра) t. Такие уравнения кривой называются параметрическими. По ним построение кривой делают так: дают произвольные значения параметру t> каждый раз вычисляя соответствующие значения X и у, что определяет точку кривой. Так, точка за точкой, можно построить сколько угодно точек кривой. Если вы хотите получить обычное ее уравнение, следует исключить из параметрических уравнений параметр t (не всегда это легко сделать!), т. е. составить их следствие, не содержащее t. В данном случае, деля эти уравнения : первое — на а, второе — на 6, возводя в квадрат и складывая, получим:

или

(10)

Рис. 15.

Это простейшее уравнение эллипса. Эллипс — кривая, получаемая из окружности равномерным растяжением или сжатием в одном направлении. Как известно, по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца (первый закон Кеплера), Луна и искусственные спутники вокруг Земли.

Эллипсограф. Из рассмотренной только что задачи вытекает конструкция прибора для черчения эллипсов (эллиптический циркуль, или эллипсограф). Для этого нужно лишь к подвижной палочке прикрепить карандаш, который можно было бы закреплять винтом в различных положениях на палочке. Этот карандаш при описанном выше движении палочки вычертит эллипс, полуоси которого а, b зависят от того, в какой точке палочки закреплен карандаш. Из уравнения (10) следует, что середина палочки описывает окружность, ведь для середины а = Ь\ На рис. 15 показан эллипсограф несколько иной конструкции.

Неразрешимые задачи на построение

Сталкиваясь впервые с задачами на построение, которые не могут быть точно решены циркулем и линейкой, всякий испытывает сначала неудовлетворенность — как это нельзя решить? Между тем в этом нет ничего странного, просто циркуль и линейка — недостаточно сильные (может быть, лучше сказать — недостаточно тонкие) инструменты для решения некоторых задач. Таковы, например, задачи о делении произвольного угла на три равные части (трисекция угла) и об удвоении куба («Построить ребро куба двойного объема по сравнению с данным кубом»). Некоторые из таких задач становятся разрешимыми, если к линейке и циркулю присоединить, например, прибор, вычерчивающий параболу, или эллипсограф.

Чтобы разобраться, какие же задачи разрешимы с помощью циркуля и линейки, будем рассуждать так. Линейка дает возможность строить прямую, проходящую через две уже построенные точки, находить точки пересечения прямых. Присоединяя к линейке циркуль, мы можем строить окружности любых данных радиусов с заданным центром, находить точки пересечения двух окружностей и окружности с прямой. Подойдем к вопросу аналитически. Прежде всего заметим, что одна линейка дает возможность решать лишь задачи первой степени: например, пересечение двух прямых соответствует в декартовых координатах решению системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Присоединив циркуль, мы, оказывается, можем уже решать все задачи второй степени, т. е. такие, которые аналитически сводятся к решению ряда квадратных уравнений. Ведь пересечение прямой с окружностью означает совместное решение уравнения окружности и уравнения прямой; после исключения одной координаты получается квадратное уравнение (с одной неизвестной координатой). Пересечение двух окружностей можно заменить пересечением одной из них с хордой, проходящей через обе точки пересечения. Аналитически это вполне ясно. Напишем уравнения этих окружностей:

х2 + y2+Dx+Ey + F = 0,

X2 + у'2 + D'x + Е'у + F' = 0.

Вычтя одно из другого, получим уравнение первой степени (это и есть уравнение упомянутой хорды). Значит, опять получается пересечение прямой с одной из окружностей, что (как уже было сказано) сводится к квадратному уравнению. Таким образом, циркуль и линейка способны решать лишь задачи, которые сводятся к последовательному решению ряда квадратных уравнений. Поэтому всякое уравнение, которое нельзя свести к решению ряда квадратных уравнений (например, jc3 = 2), не может быть решено графически циркулем и линейкой. Как раз задача об удвоении куба и есть задача о решении уравнения X3 = 2 : приняв за 1 ребро данного куба, для ребра X искомого получаем именно это уравнение. Задача о трисекции угла (кроме некоторых частных случаев, например угла в 90°) тоже оказывается задачей третьей степени, отсюда невозможность решения ее при помощи циркуля и линейки.

Бели же воспользоваться прибором для черчения парабол, то, вычертив две параболы х2 = у и 2х = у2, в пересечении получим точку, абсцисса которой как раз удовлетворяет уравнению х3 = 2.

Рис. 16 (верхний левый). Рис. 17 (верхний правый). Рис. 18 (нижний левый). Рис. 19 (справа от рис. 18). Рис. 20 (нижний правый).

Полярные координаты

При решении многих задач удобнее пользоваться так называемыми полярными координатами: на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР (полярная ось). Положение точки M в этом случае определяется двумя числами : ее расстоянием г от полюса и углом ср = Z РОМ (рис. 16). Числа г (полярный радиус) и ср (полярный угол) называются полярными координатами точки М.

Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим такое расположение, когда полюсом служит начало декартовой системы, а полярной осью — ось абсцисс (рис. 16); рисунок сам подсказывает связь между полярными и декартовыми координатами точки:

(11)

Эти формулы позволяют вычислить декартовы координаты, когда известны полярные. Пример. Выяснить форму кривой

(х2 + y2)2z^a2(x2 - у2)

Пример. Выяснить форму кривой

(она называется лемнискатой). Исследовать ее форму непосредственно по написанному уравнению не так легко. Перейдем к полярным координатам. Заменив х и у по формулам (11), получим: rA = a2r2 (cos2cp — sin2cp). Или, сократив на г2 (при этом могла бы потеряться лишь одна точка г = 0), получим: r2 = a2cos2cp, или г = -4- a|/cos2cp. По этому простому уравнению легко построить нашу кривую. Кривая строится по точкам (рис. 17). Даем ср различные значения, например: ср = 0°, ±15°, ±30°, ±45°, ± 135°. Вычисляем соответствующие г~а, aj/“3/4, аг 1 /гэ0,0. При значениях ср между 45° и 135°, а также между 225° и 315° косинус отрицателен и поэтому г мнимо: у кривой нет точек с такими значениями полярного угла.

Точки, у которых полярный радиус имеет постоянное значение г = г0, образуют окружность радиуса Го, описанную вокруг полюса. При постоянном значении угла ср, ср = ср'о, получается луч, выходящий из полюса и наклоненный под углом ср0 к полярной оси. Полученные таким образом (т. е. при постоянном значении одной координаты) линии называются координатными (рис. 18). В декартовой системе координатные линии — прямые, параллельные осям.

Спираль Архимеда . Эта кривая задается в полярных координатах уравнением г = Сср, где С — постоянная (рис. 19).

При помощи этой кривой любой угол можно делить на произвольное число (например, на три — трисекция угла) равных частей. Вот как это делается (рис. 20). Пусть на листе бумаги начерчена спираль Архимеда, выходящая из полюса О полярной системы координат, полярная ось ОР служит для спирали касательной. Перенесем на этот чертеж заданный нам для разделения на п равных частей угол так, чтобы его вершина совпадала с полюсом, одна сторона — с полярной осью ОР, а другая его

Рис. 21.

сторона — OQ легла в сторону возрастания полярного угла ср (против часовой стрелки). Обозначим первую (считая от О) точку пересечения этой другой стороны с нашей спиралью буквой А; затем разделим отрезок OA на п равных частей (что, как вы знаете, легко делается циркулем и линейкой) и проведем через точки А\9 А2, деления отрезка OA дуги окружностей с общим центром О до пересечения со спиралью; наконец, полученные точки В\, В2, ... пересечения соединим с полюсом — и данный угол POQ разделен на п равных частей! Докажите это сами.

Координаты на сфере

Положение точки на сфере удобнее всего задавать так, как это делается в географии. На данной сфере радиуса R выберем какие-нибудь две диаметрально противоположные точки, одну из них — N назовем условно северным полюсом, другую — S — южным. Какой-нибудь из «меридианов» (кратчайший путь по сфере из 5 в N) назовем начальным меридианом; проходящую через центр О сферы и перпендикулярную оси SN плоскость назовем экваториальной, а пересечение ее со сферой — экватором, на экваторе изберем направление, скажем, против часовой стрелки, если смотреть из N. Положение любой точки M на сфере определяется двумя координатами, одна из них, назовем ее долготой,— угол ср между плоскостью начального меридиана и плоскостью, проходящей через M и ось SN (угол должен отсчитываться в направлении, соответствующем выбранному на экваторе). Широтой точки M будем называть угол б между радиусом ОМ и плоскостью экватора (6 считается положительным для точек северного полушария и отрицательным для южного). Будем писать: M < <р ; б ) , ставя на первое место долготу, на второе — широту.

Пример. Проверьте правильность координатного обозначения точек на рис. 21.

Все точки с одинаковой долготой ср0 заполняют меридиан, уравнение которого поэтому ср=«=<р0. Все точки с одинаковой широтой бо заполняют параллель 6 = 0о. Уравнение, связывающее текущие координаты ср и б, определяет, как и в плоской геометрии, кривую; неравенство, соответствующее этому уравнению, определяет одну или несколько областей, на которые эта кривая разделяет сферу. Так, неравенство 9<0 определяет южную полусферу, б>0 — северную; уравнение 0=0 есть уравнение экватора.

Если сферу отнести к декартовым координатам в пространстве, приняв центр О сферы за начало, ось SN — за ось г, ось х направив через точку < 0°; 0° > , ось у — через < 90°; 0° > , то декартовы координаты X, у у z любой точки M сферы легко выразить через долготу и широту этой точки. Для этого выразим сначала координаты ее проекции М\ на плоскость Оху, где обычным образом расположим полярную систему координат. Из рис. 21 видно, что для М\ (х; у; 0) полярный радиус r = /?cos0, а полярный угол ср совпадает с долготой точки М. Кроме того, z = R sin б. Учитывая формулы (11), получим:

(12)

По этим формулам вычисляют декартовы координаты точки M (х; у; г), если известны ср и 9.

На эти же формулы можно взглянуть и с другой точки зрения. Будем считать ср и б переменными, придавая им всевозможные значения в естественных пределах 0°^ср<360°, -90°<б<+90°; тогда точка M < ср; б > будет перемещаться по сфере, занимая всевозможные положения. Это напоминает параметрические уравнения линии, в которых декартовы координаты Ху у у z выражены через один переменный параметр t. Разница лишь в том, что теперь Ху уУ z выражены через два параметра, поэтому получается не линия (одномерное образование), а поверхность (образование двумерное). Подобные уравнения называют параметрическими уравнениями поверхности; переменные параметры чаще всего здесь обозначают буквами и и v. Итак, параметрические уравнения сферы запишем в виде:

(13)

Если из этих уравнений исключить параметры ы, V (для этого проще всего возвести уравнения (13) в квадрат и сложить), получим обычное уравнение сферы: X2 + у2+22 = R2.

Рис. 22 (левый).

Рис. 24 (правый).

Рис. 23.

Криволинейные координаты на любой поверхности Общая идея координат

На любой поверхности можно установить координатную систему, определяя положение точки на ней опять-таки двумя числами. Для этого каким-либо способом покроем всю поверхность двумя семействами линий так, чтобы через каждую ее точку (быть может, за небольшим числом исключений) проходила одна, и только одна, линия из каждого семейства. Теперь надо лишь снабдить линии каждого семейства числовыми пометками по какому-нибудь твердому правилу, позволяющему по числовой пометке находить нужную линию семейства (рис. 22). Координатами точки M поверхности служат числа и, и, где и — числовая пометка линии первого семейства, проходящей через М, и v — пометка линий второго семейства. По-прежнему будем писать: M (и; v); числа и, v называются криволинейными координатами точки М. Сказанное станет совсем ясным, если за примером обратиться к сфере. Ее всю можно покрыть меридианами (первое семейство); каждому из них соответствует числовая пометка, а именно значение долготы и (или ср). Все параллели образуют второе семейство; каждой из них отвечает числовая пометка — широта v (или б). Через каждую точку сферы (исключая полюсы) проходит только один меридиан и одна параллель.

В качестве еще одного примера рассмотрим боковую поверхность прямого круглого цилиндра высоты Н, радиуса а (рис. 23). За первое семейство примем систему его образующих, одну из них примем за начальную. Каждой образующей припишем пометку и, равную длине дуги на окружности основания между начальной образующей и данной (дугу будем отсчитывать, например, против часовой стрелки). За второе семейство примем систему горизонтальных сечений поверхности; числовой пометкой v будем считать высоту, на которой проведено сечение над основанием. При надлежащем выборе осей х, у, z в пространстве будем иметь для любой точки M (х; у; z) нашей поверхности:

(14)

(Здесь аргументы выражены не в градусах, а в радианах.) Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения поверхности цилиндра.

Задача 9. По какой кривой надо вырезать кусок жести для изготовления колена водосточной трубы, чтобы после надлежащего изгибания получился цилиндр радиуса а, усеченный плоскостью под углом 45° к плоскости основания?

Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями поверхности цилиндра:

Секущую плоскость проведем через ось Ох, ее уравнение z = у. Комбинируя его с только что написанными уравнениями, получим уравнение v — a sin ~ линии пересечения в криволинейных координатах. После развертки поверхности на плоскость криволинейные координаты и m v превратятся в декартовы.

Итак, кусок жести должен быть сверху очерчен по синусоиде v = as\n-^-. Здесь и и v уже декартовы координаты на плоскости (рис. 24).

Как в случае сферы и цилиндрической поверхности, так и в общем случае задание поверхности параметрическими уравнениями влечет за собой установление на поверхности криволинейной системы координат. Действительно, выражение декартовых координат л', у у z произвольной точки M (х; у; z) поверхности через два параметра ц, v (это в общем случае записывают так: х = ъ (u;v)> у = ip (и; и), z = = ù) (и; v); ср,eu — функции двух аргументов) дает возможность, зная пару чисел и> V, найти соответствующие координаты Ху уу 2, а значит, положение точки M на поверхности; числа и> v служат ее координатами. Давая одной из них постоянное значение, например, и = и0> получим выражение х, у> z через один параметр v, т. е. параметрическое уравнение кривой. Это координатная линия одного семейства, ее уравнение и = и0. Точно так же линия v = v0 — координатная линия другого семейства.

Функции в природе и технике

Одним из самых важных понятии в математике и ее приложениях является понятие функции. Всюду, где есть величины, связанные так, что с изменением одних (аргументов) меняются другие (функции), мы имеем дело с функциональной зависимостью. Эта зависимость может задаваться по-разному — формулами, графиками, таблицами. Бывают случаи, когда зависимость нельзя выразить формулой. Например, температура воздуха меняется с течением времени, однако формулы, выражающей температуру воздуха в данный момент времени, нет (как легко жилось бы метеорологам, если бы такая формула была!). В не-

которых случаях приходится довольствоваться графиком функции (например, самопищущий прибор термограф дает график температуры воздуха как функции времени) или только таблицей значений функции для некоторых значений аргумента.

Чаще всего, однако, для описания функций пользуются формулами. В школе изучают случаи, когда эти формулы сравнительно просты. Например, зависимость площади круга от его радиуса выражается формулой S = jir2y тока от сопротивления — формулой

/=— и т. д.

Возникает вопрос: встречаются ли на практике зависимости, выражаемые с помощью более сложных функций, например многочленов высоких степеней, показательной, логарифмической и тригонометрических функций?

Мы расскажем здесь о некоторых случаях, когда такие функции встречаются в задачах физики и техники.

Жесткость балки

Балками в технике называют деревянные или металлические брусья, на которых лежат перекрытия зданий.

Балки должны выдерживать вес перекрытий и предметов, находящихся в здании. Под этой тяжестью они изгибаются. Если балки изогнутся слишком сильно, перекрытие может рухнуть. Поэтому до постройки здания надо рассчитать, выдержат ли балки нагрузку. Этими расчетами занимается специальная наука — сопротивление материалов.

Прогиб балки зависит от очень многих причин. Под одной и той же нагрузкой деревянная балка изогнется сильнее, чем стальная, длинная — сильнее, чем короткая, тонкая — сильнее, чем толстая. Зависимость прогиба балки от материала, из которого она сделана, связана с особой величиной £, называемой модулем упругости (модулем Юнга).

Исследование этой зависимости прогиба балки от материала скорее дело физики, чем математики. Математиков больше интересует зависимость прогиба от длины балки и от размеров и формы ее сечения. А то, что форма сечения влияет на прогиб, легко видеть из простого опыта. Обычную школьную линейку легко согнуть, если положить ее плашмя, и трудно, если поставить на ребро (рис. 1). Этот опыт показывает еще, что прогиб зависит не от площади сечения (ведь площадь сечения линейки одна и та же, лежит она плашмя или поставлена на ребро). Оказывается, дело не в площади сечения, а в его моменте инерции. .Момент инерции / подсчитывают так. Сечение балки мысленно разрезают на очень тонкие горизонтальные слои и площадь каждого слоя умножают на квадрат расстояния этого слоя от среднего слоя. Сумма этих произведений и дает момент инерции сечения балки. Подсчеты показывают, что момент инерции для круглого сечения радиуса R равен —, а для квадратного сечения со стороной а равен

Произведение El модуля Юнга на момент инерции сечения балки называют жесткостью балки. Чем больше жесткость, тем труднее изогнуть балку. Можно увеличить жесткость балки, не меняя площади ее сечения. Для этого надо сосредоточить основную массу балки на большом расстоянии от среднего слоя, например придать балке одну из форм, изображенных на рис. 2. Поэтому, например, в велосипедах делают корпус не из сплошных стержней, а из труб.

Прогиб балки

Прогиб балки зависит не только от ее жесткости, но и от длины балки, распределения нагрузки, от того, заделаны ли в стену оба конца балки или только один, и т. д. Чтобы найти наибольший прогиб балки, надо знать форму, которую она принимает после изгиба.

Возьмем балку длины /, заделаем оба ее конца в стены и положим на нее равномерно распределенную нагрузку Q. Тогда прогиб у в точке, находящейся на расстоянии х от левого конца балки (рис. 3), выражается формулой:

т. е. многочленом четвертой степени. График этого многочлена изображен на рис. 3. Ясно, что самый большой прогиб балки будет в середине, т. е. при X = 2-. Он равен утах - ^--f.

Балки, на которые опираются балконы, заделывают в стену лишь одним концом, второй оставляют свободным. Такие балки называются консольными.

Рис. 1 (верхний). Линейку легко согнуть, если положить ее плашмя (фото слева), и трудно, если поставить на ребро (фото справа).

Рис. 2 (второй снизу). Балки различной формы сечения.

Рис. 3 (нижний). Сплошной белой линией показан (в значительно увеличенном по оси Oy масштабе) прогиб балки, заделанной на концах, под действием равномерно распределенной нагрузки.

Форма равномерно нагруженной консольной балки (рис. За, стр. 322) выражается уравнением:

Здесь уже наибольший прогиб будет на свободном конце балки, при х = 1. Он в 48 раз больше, чем для такой же балки, оба конца которой заделаны.

Сосредоточенная нагрузка

Прогиб балки зависит и от того, как распределена нагрузка. Возьмем балку, оба конца которой свободно лежат на опорах, а нагрузку Q соберем в одну точку — середину балки (рис. 4, стр. 322). Тогда форма балки будет задаваться не одним, а двумя уравнениями. Для левой половины балки прогиб равен:

а для правой:

Наибольший прогиб равен:

Замечательно, что в этом случае одна и та же функция — прогиб балки в точке, находящейся на расстоянии X от левого конца, — выражается не одной, а двумя различными формулами.

Рис. 3а (верхний). Сплошной белой линией показан (в значительно увеличенном по оси Oy масштабе) прогиб под действием равномерно консольной балки распределенной нагрузки.

Число е. Натуральные логарифмы

Перейдем теперь к случаям, когда зависимость выражается показательной функцией. При записи законов физики, связанных с показательной функцией, удобно пользоваться особым числом, которое называется числом е. Это число можно определить следующим образом. Начертим графики функций у = ах при разных значениях основания а (а>1). Чем больше это основание, тем круче поднимаются вверх графики (рис. 5). Эти графики в точке Л (0; 1) под разными углами пересекают ось Oy. Например, угол между осью Oy и кривой у = 2х равен приблизительно 55°15/ (углом между двумя пересекающимися кривыми называется угол между касательными к этим кривым, проходящими через точку пересечения кривых), а для кривой у = Ъх этот угол равен примерно 42°20'. Поэтому найдется такое число е, лежащее между 2 и 3, что кривая у = ех пересечет ось Oy под углом 45°.

Более точные подсчеты показывают, что число е равно 2,71828.... Логарифмы по основанию е называются натуральными. Они обозначаются lnjc. Если мы знаем десятичный логарифм числа, то его натуральный логарифм можно найти по формуле 1гис= где М = \ge = 0,43429...—так называемый модуль перехода.

Один человек может удержать корабль

Когда судно подходит к берегу, с него бросают на пристань канат. Здесь канат обматывают несколько раз вокруг столба и таким образом удерживают им судно. Как же удается одному человеку удержать судно? Оказывается, ему помогает сила трения. Если обмотать канат один раз вокруг столба, то из-за трения каната о столб можно уравновесить силой F0 силу F, большую, чем F0, в а раз. Отношение у — а зависит от материала, из которого сделаны канат и столб. Например, если канат пеньковый, а столб железный, то а = 3,5. Иными словами, силой в 100 H можно уравновесить (используя «помощь» силы трения) силу в 350 Н. Каждый новый оборот каната вокруг столба увеличивает отношение сил еще в а раз. Таким образом, если обернуть канат два раза, то отношение удерживаемой и удерживающей сил будет

Рис. 5.

Рис. 4 (на стр. 322 в середине). Сплошной белой линией показан (в значительно увеличенном по оси Oy масштабе) прогиб балки, концы которой свободно лежат на опорах, под действием сосредоточенной нагрузки.

равно a2, a если три раза, то — — а3. Вообще если число оборотов равно х (х может и не быть целым числом), то — = ах . Если обмотать пеньковый канат вокруг железного столба два раза, то силой в 10 H можно уравновесить силу примерно в 0,1 кН, а при трехкратном обматывании — силу в 0,4 кН.

Радиоактивный распад вещества

Когда радиоактивное вещество распадается, его количество уменьшается. Через некоторое время остается половина первоначального количества вещества. Этот промежуток времени /0 называется периодом полураспада вещества. Если пройдет еще /0 лет, то из оставшейся половины распадется еще половина вещества и останется только четверть первоначального количества. Вообще через / лет масса m вещества будет равна:

где т0 — первоначальная масса вещества. Чем больше период полураспада, тем медленнее распадается вещество.

Например, у урана-238 период полураспада равен 4,5 млрд. лет. Значит, за все время существования Земли не распалось еще и половины первоначального запаса урана. А вот у радия период полураспада равен всего 1590 годам. Если бы миллион лет назад вся Земля состояла из радия, то сейчас на ней не осталось бы и одного атома радия. Существует же он лишь потому, что при распаде урана все время появляются новые атомы радия.

Остывание чайника

Вы, наверное, замечали, что если снять кипящий чайник с огня, то сначала он быстро остывает, а потом остывание идет гораздо медленнее. Дело в том, что скорость остывания пропорциональна разности между температурой чайника и температурой окружающего воздуха. Чем меньше становится эта раз-

Три геометрические головоломки

1

Не вычисляя площадей треугольников со сторонами а = 5, 6 = 5, с = 6, ûi = 5, b\ = 5, С\ = 8, /выяснить, равновелики ли они.

2

Найти три равновеликих прямоугольных треугольника при условии, что все 9 сторон — различные целые числа.

3

Трех плоских разрезов достаточно, чтобы перестроить брусок размером 24X8X9 в куб. Как добиться наименьшего возможного числа частей, на которые распадается брусок?

Ответы на стр. 331.

Много ли таких чисел!

Десятизначное число 4 938 271 605 с неповторяющимися цифрами при делении на 9 дает симметричное частное. Действительно,

4 938 271 605 : 9 = 548 696 845.

Полученный результат одинаково читается как слева направо, так и справа налево.

Таким же свойством обладают числа 2 165 904 378 и 2 934 815 607 — убедитесь самостоятельно!

Любознательным школьникам удалось обнаружить еще несколько аналогичных десятизначных чисел с неповторяющимися цифрами, каждое из которых при делении на 9 дает симметричное частное.

Не пожелает ли кто-нибудь составить наиболее полный набор таких чисел или изобрести способ (правило) их получения?

Сомножители, производящие кучу нулей

Попытайтесь получить тысячу миллионов (1 000 000 000), перемножая два целых числа, в каждом из которых не было бы ни одного нуля.

Это не головоломка, для решения которой потребовалось бы выполнить много испытаний. Опираясь лишь на самые начальные сведения из алгебры, можно найти метод подбора требуемых сомножителей.

А если метод будет найден, то вы с удовольствием и без больших усилий убедитесь в том, что и квинтильон (1 000 000 000 000 000 000) легко разлагается на два сомножителя, в каждом из которых нет ни одного нуля.

Ответ на стр. 354.

Рис. 6. Парашютист опускается на землю равномерно.

ность, тем медленнее остывает чайник. Если сначала температура чайника равнялась Г0» а температура воздуха 7*1, то через t секунд температура Т чайника выразится формулой:

Т = (Т0-Т1)е“+Т1,

где k — число, зависящее от формы чайника, материала, из которого он сделан, и количества воды, которое в нем находится.

Почему парашютист падает равномерно

При падении тел в безвоздушном пространстве скорость их непрерывно возрастает. При падении тел в воздухе скорость падения тоже увеличивается, но не может превзойти определенной величины.

Рассмотрим задачу о падении парашютиста. Если считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости падения парашютиста, т. е. что f = kVy то через / секунд скорость падения будет равна:

где m — масса парашютиста. Через некоторый промежуток времени е m станет очень маленьким числом и скорость падения будет почти в точности равна т. е. падение станет почти равномерным (рис. 6). Коэффициент пропорциональности k зависит от размеров парашюта.

Написанная, формула пригодна не только для изучения падения парашютиста, но и для изучения падения капли дождевой воды, пушинки и т. д. Из нее видно, что чем меньше отношение -~, тем медленнее падает тело. Этим и объясняется, почему пушинка падает медленнее камня: у нее маленькая масса, а площадь поверхности довольно большая, и воздух оказывает значительное сопротивление ее падению.

Как измеряют высоту при помощи барометра

Чем выше поднимаются в гору альпинисты, тем меньше становится давление воздуха. Этим можно воспользоваться для того, чтобы с помощью барометра определять высоту подъема. Как показывают расчеты, при постоянной температуре воздуха разность высот двух точек выражается следующей формулой:

Здесь pi и р2 — давление воздуха на высотах h\ и ft2, р0 — давление воздуха на уровне моря, Wo — масса 1 м3 воздуха при температуре 0°С и давлении р0, t0 — температура воздуха в °С.

Эта формула верна для не слишком больших высот. На больших высотах имеют место другие законы изменения давления с высотой.

Вообще любая физическая формула имеет ограниченную область применения — она верна при одних условиях и перестает быть верной при других. Дело в том, что при выводе любой физической формулы делаются некоторые допущения, верные лишь приблизительно. Когда же эти допущения перестают быть верными, формула теряет силу.

Рис. 7.

Сколько топлива должна взять ракета

Много трудных математических задач приходится решать в теории межпланетных путешествий. Одной из них является задача об определении массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость v. Эта масса M зависит от массы m самой ракеты (без топлива) и от скорости vQ9 с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя.

Если пренебречь сопротивлением воздуха и притяжением Земли, то масса топлива определится формулой :

(формула К. Э. Циолковского). Например, для того чтобы ракете с массой 1,5 т придать скорость 8000 м/с, надо при скорости истечения газов 2000 м/с взять примерно 80 т топлива.

Если бы удалось увеличить скорость истечения газов до 4000 м/с, то понадобилось бы всего 10 т топлива. Вообще чем с большей скоростью v0 вытекают газы из ракеты, тем меньше будет eVo и тем меньше понадобится топлива. Другой способ уменьшения массы топлива заключается в замене одноступенчатых ракет многоступенчатыми.

Гармонические колебания

Мы рассмотрели несколько примеров из физики и техники, в которых так или иначе встречается показательная функция. Сейчас перейдем к рассмотрению примеров, связанных с тригонометрическими функциями.

Начнем с гармонических колебаний. Возьмем, например, гирю, подвешенную на пружине (рис. 7), и толкнем ее вниз. Гиря начнет колебаться вниз и вверх. Как показывают расчеты, отклонение гири от положения равновесия выражается формулой:

Здесь Vq — скорость, с которой мы толкнули гирю, где m — масса гири и k — жесткость пружины (сила, которая нужна, чтобы растянуть пружину на 1 см).

Колебания, происходящие по закону

s = i4sinü)/, (1)

называют синусоидальными или гармоническими, а график функции (1) — синусоидой. Мы можем получить представление о таких колебаниях, следя за движением равномерно вращающейся точки и наблюдая это движение одним глазом сбоку (так, что глаз наблюдателя находится в плоскости вращения). Нам будет казаться, что точка не вращается, а движется то в одну сторону, то в другую. Такую картину наблюдают астрономы, следя за движением спутников Юпитера, когда Земля находится в плоскости орбиты этих спутников.

Число Л, называемое амплитудой синусоидального колебания, показывает размах этого колебания, а число со, называемое частотой колебания, показывает, сколько колебаний происходит за 2л секунд (т. е. примерно за 44/7 с). Через каждые ^ секунд гиря будет возвращаться в исходное положение. Поэтому период ее колебания равен ~.

Если мы сначала оттянем гирю на s0 см, а потом толкнем ее со скоростью у0, то она будет совершать колебания по более сложному закону:

s = i4sinH + a). (2)

Расчеты показывают, что амплитуда А этого колебания равна “|/ so2~t“^2i а число таково, что {а а =— . Из-за слагаемого а это колебание отличается от колебания s = Asïnwt. На рис. 8 и 9 изображены графики обоих колебаний. График колебания (2) получается из графика колебания (1) сдвигом влево на ^г» Число а называют начальной фазой.

Рис. 8 (левый верхний). График гармонического колебания.

Рис. 9 (левый нижний). График колебательного движения с начальной фазой.

Рис. 10 (в середине).

Рис. 11 (правый). График затухающего колебания.

Колебания маятника

Колебания маятника тоже приближенно происходят по синусоидальному закону. Если эти колебания малы, то угол отклонения маятника приближенно выражается формулой:

Г = f0sin(f y-f-),

где / — длина маятника, а ср0 — наибольший угол отклонения. Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается. Измеряя период колебания маятника известной длины, можно вычислять ускорение земного тяготения g в различных точках земной поверхности.

Разряд конденсатора

Не только многие механические колебания происходят по синусоидальному закону. И в электрических цепях возникают синусоидальные колебания. Замкнем, например, цепь, изображенную на рис. 10. Сила тока в этой цепи будет изменяться по тому же закону:

Частота ш колебаний тока равна уц> , гДе С — емкость конденсатора, a L — самоиндукция цепи. Этот закон очень похож на закон колебаний гири, только вместо жесткости пружины надо взять величину, обратную емкости конденсатора, а вместо массы гири — самоиндукцию катушки.

Как соединить две трубы

Приведенные примеры могут создать впечатление, что синусоиды встречаются только в связи с колебаниями. Однако это не так. Например, синусоиды используются при соединении двух цилиндрических труб под углом друг к другу (см. стр. 318, задача 9). Чтобы соединить две трубы таким образом, надо срезать их наискосок.

Если развернуть срезанную наискосок трубу, то она окажется ограниченной сверху синусоидой. В этом можно убедиться, обернув свечку бумагой, срезав ее наискосок и развернув бумагу. Поэтому, чтобы получить ровный срез трубы, можно сначала обрезать металлический лист сверху по синусоиде и свернуть его в трубу.

Изгиб колонны

Синусоида встречается при рассмотрении изгиба колонны под действием вертикальной нагрузки. Если нагрузка слишком мала, колонна не изгибается совсем. Но если нагрузка достигнет некоторого значения, называемого критическим, то колонна начнет

изгибаться, причем ее ось примет форму синусоиды. В этом можно убедиться на опыте, сгибая вместо колонны металлическую линейку. Критическая сила равна:

где / — высота колонны, а величины Е и / зависят от материала колонны и размеров ее сечения. Из формулы видно, что чем длиннее колонна, тем меньшая сила нужна, чтобы ее согнуть. Это также можно проверить, изгибая линейку.

Формула критической силы была открыта Л. Эйлером.

Затухающие колебания

До сих пор, говоря о колебаниях маятника, гири, качающейся на пружине, и т. д., мы пренебрегали сопротивлением воздуха. На самом деле из-за сопротивления воздуха амплитуда колебаний становится все меньше и меньше, колебания затухают. Отклонение точки, совершающей затухающие колебания, выражается такой формулой:

Так как множитель е~kt уменьшается с течением времени, то размах колебаний становится все меньше и меньше.

После каждого полного колебания амплитуда уменьшается в е ü) раз. Число называют логарифмическим декрементом затухающего колебания. Чем больше логарифмический декремент, тем быстрее затухают колебания. Через некоторое время они станут такими маленькими, что приборы покажут полную остановку тела.

График затухающего колебания изображен на рис. 11.

Если сопротивление среды очень большое (скажем, если маятник качается не в воздухе,, а в масле), то колебаний не будет совсем — выведенный из положения равновесия маятник медленно будет опускаться, приближаясь к положению равновесия. В этом случае закон его движения задается следующей формулой :

где числа А\ и A4 зависят от начального положения и начальной скорости маятника.

При электрических колебаниях также происходят затухающие колебания из-за наличия сопротивления цепи.

Вынужденные колебания

Рассмотрим снова гирю, качающуюся на пружине. Если не мешать ей качаться, то она будет совершать колебания с определенной частотой со. Эта частота называется собственной частотой колебания гири. Совсем по-другому будут выглядеть колебания гири, если мы будем раскачивать ее. Пусть раскачивающая сила сама изменяется по синусоидальному закону, т. е. тащит гирю то вверх, то вниз. Тогда гиря будет совершать колебания, получающиеся при сложении двух колебаний. Одно из них происходит с собственной частотой колебания гири, а второе — с частотой раскачивающей силы. Пусть в начале колебания гиря находится в состоянии покоя и раскачивающая сила изменяется по закону: F = A sin ß/. Тогда закон движения гири выразится формулой:

(3)

где со — собственная частота колебаний гири. График пути гири имеет уже довольно сложный вид. Дело в том, что функции sin $t и sin со^ меняются с разной частотой. Поэтому иногда два колебания, в которых участвует гиря, направлены в разные стороны (так будет, например, в начале колебания) и гасят друг друга. Иногда же они направлены в одну сторону, и тогда они усиливают друг друга.

Наибольшая амплитуда колебания равна примерно —г——I. Отсюда видно, что если В мало отличается от со (т. е. частота раскачивающей силы мало отличается от собственной частоты колебаний гири), то амплитуда колебаний может стать очень большой (у дроби знаменатель будет маленьким).

Если со = ß (т. е. если мы раскачиваем гирю в такт ее собственным колебаниям), то формула (3) уже неприменима. В этом случае закон движения таков:

Размах колебаний с течением времени увеличивается, и гиря может разорвать пружину. Это явление называют резонансом.

Рис. 12.

Рис. 13 (см. стр. 329). Высоты приливов и отливов зависят от взаимного расположения Солнца, Земли и Луны.

Сложение колебаний

Иногда одно и то же тело участвует не в одном колебательном движении, а в нескольких. Подвесим, например, гирю А на пружине, а к ней также на пружине подвесим другую гирю В (рис. 12). Бели растянуть обе пружины и отпустить их, то колебания гирь А и В будут весьма сложными.

Например, колебания гири В вызываются, во-первых, тем, что гиря А то поднимается, то опускается, и, во-вторых, тем, что пружина AB то растягивается, то сокращается. Мы говорим в этом случае, что колебание гири В является суммой двух колебаний — движения гири А и колебания гири В относительно гири А.

Можно привести и другие примеры сложения колебаний. Когда играет оркестр, то каждый музыкальный инструмент вызывает свои колебания воздуха. Эти колебания складываются друг с другом и доносятся к нам в виде единого аккорда.

Чаще всего складываются гармонические колебания. Если эти колебания имеют одну и ту же частоту, то и сумма их будет гармоническим колебанием той же частоты.

Особенно просто складывать колебания с одинаковой начальной фазой — в этом случае в сумме получится колебание с той же фазой, амплитуда которого равна сумме амплитуд слагаемых. А если фазы отличаются друг от друга на л радиан (т. е. на 180°), то в результате сложения получится колебание, амплитуда которого равна разности амплитуд слагаемых.

Может получиться, что колебания погасят друг друга (одно будет тянуть в одну сторону, а другое — в другую, совсем как Лебедь, Рак и Щука из басни Крылова). Такое явление называют в физике интерференцией колебаний. Из-за интерференции может получиться так, что точка, освещенная двумя источниками света, окажется неосвещенной — два света дадут в сумме темноту.

Биения

Довольно сложная картина возникает, когда складываются колебания различной частоты. При этом уже получаются несинусоидальные колебания. Если частоты ш! и ш2 складываемых колебаний близки друг к другу, то получающееся колебание имеет вид как бы синусоидального колебания с частотой “jj“ °*2 амплитуда которого медленно меняется с частотой **1 ~ 0)2 . Это явление называют биениями. Может случиться, что мы не воспринимаем слагаемых колебаний из-за того, что их частота слишком велика, но можем воспринять медленное изменение амплитуды суммы колебаний. Например, если электрическая лампочка присоединена к динамо-машине, дающей переменный ток с периодом Г = 1/50 с» то изменения в яркости лампочки будут незаметными. Если же присоединить эту лампочку к двум динамо-машинам, периоды которых мало отличаются друг от друга, то возникнут биения и лампочка начнет мигать.

Возникают биения и на двухвинтовом корабле, если винты имеют близкие, но различные периоды вращения. Приходится учитывать биения и композиторам. Колебания с периодически меняющейся амплитудой применяют в радиотехнике. Радиостанции посылают в пространство электромагнитные колебания с очень большой частотой (от 150 тыс. до 15 млн. колебаний в секунду). Амплитуда же этих колебаний меняется примерно со звуковой частотой (несколько сотен или тысяч колебаний в секунду). Такого изменения амплитуды можно добиться, например, вызвав биения. Изменение амплитуды колебания при постоянной частоте и фазе называют амплитудной модуляцией.

Сколько разверток у куба?

Чтобы изготовить модель многогранника из куска картона, надо прежде всего начертить развертку требуемого многогранника. На рисунке изображена правильная пирамида, все грани которой — равносторонние треугольники, и две развертки такой пирамиды. Сгибая каждую развертку по пунктирным линиям, можно построить модель пирамиды. Какие-либо другие формы разверток пирамиды, все грани которой равносторонние треугольники, невозможны. Куб в этом смысле богаче: у него более десятка разверток различных форм. А сколько же все-таки точно? Начертите все развертки куба.

Решение на стр. 331.

Как разрезать куб?

Чтобы разрезать куб на 27 равных кубиков, надо сделать 6 разрезов. Можно ли уменьшить число разрезов, если позволить после каждого разрезания перекладывать части?

Ответ на стр. 331.

Рис. 14 (левый). Рис. 15 (правый).

Приливы и отливы

Очень интересный пример биений дают океанские приливы и отливы. Из-за притяжения Луны и Солнца уровень воды в океане все время меняется. Примерно каждые 12 ч уровень воды достигает наивысшего значения, а через 6 ч после этого — наинизшего. Однако из-за вращения Луны вокруг Земли период колебаний уровня воды, вызываемых притяжением Солнца, не совпадает с периодом колебаний уровня воды, вызываемых притяжением Луны. Первый период равен 12 ч, а второй — 12 ч 25 мин. В результате сложения этих колебаний, имеющих близкие периоды, получаются биения. Самая большая и самая малая высота приливов будет в том случае, если Солнце, Земля и Луна расположены так, как показано на рис. 13. Самая большая высота приливов превосходит примерно в 2!/з раза самую малую.

Спектральный анализ

Как мы узнали, из гармонических колебаний составляются более сложные колебания. При этом могут получаться колебания весьма сложного вида.

Оказалось, что любое самое сложное периодическое колебание можно изобразить как сумму синусоидальных колебаний (т. е. таких, что их графики имеют форму синусоиды). Частоты этих синусоидальных колебаний называют спектром сложного колебания, а само разложение — спектральным анализом колебания. Это название не случайно. Разложение луча света в спектроскопе связано с разложением сложного электромагнитного колебания на простые синусоидальные составляющие.

Спектральный анализ применяют также к звукам и другим колебаниям. С помощью спектрального анализа устанавливают особенности тембра голоса певца.

В технике пользуются спектральным анализом колебаний для того, чтобы правильно рассчитывать различные конструкции. Например, может случиться, что частота одной из синусоидальных составляющих колебаний самолета, вызванных работой моторов, совпадет с собственной частотой колебаний какой-нибудь детали самолета. Тогда из-за резонанса при работе моторов возникнут сильные колебания этой детали, что может привести к аварии.

Как машина открыла теорему

Для разложения периодических колебаний на синусоидальные составляющие применяют различные машины. Есть машины, которые решают и обратную задачу — позволяют из синусоидальных составляющих складывать все колебание. Однажды для проверки работы такой машины ей дали разложить на синусоидальные составляющие колебание, изображенное на рис. 14, а потом сложить эти составляющие. Машина после суммирования начертила график не такой, как на рис. 14, а такой, как на рис. 15, т. е. с добавочными хвостиками на вертикальных отрезках. Сначала появление этих хвостиков приписывали несовершенству машины и думали, как ее исправить. Но потом американский физик Дж. Гиббс доказал, что эти хвостики должны появляться всегда, когда у графика колебания есть разрыв. Теорему назвали его именем, хотя «открыла* ее машина.

Почему не работал трансатлантический кабель

Когда проложили телеграфный кабель через Атлантический океан, то оказалось, что по нему нельзя передавать телеграммы. Вместо точек и тире на другом конце кабеля принимались совершенно непонятные сигналы. Исследованием работы кабеля занялся известный английский физик и математик У. Кельвин. Для этого он сначала разложил сигналы на синусоидальные составляющие и изучил, как передаются по кабелю эти составляющие. Оказалось, что колебания различной частоты передаются по-разному. Одни из них идут быстрее, другие медленнее, одни сильно ослабевают, а другие меньше. Поэтому, когда

эти составляющие приходят на другой конец кабеля, то их сумма становится совсем непохожей на передававшиеся сигналы. Кельвин нашел, от чего зависит изменение скорости и силы синосуидальных колебаний, и указал, как сделать кабель, чтобы колебания любой частоты шли по нему с одинаковой скоростью и одинаково ослабевали. Когда по его указаниям переделали кабель, сигналы стали передаваться без искажений и трансатлантическая связь наладилась.

Радиоприемник и камертон

Иногда вместо разложения колебания на синусоидальные составляющие стараются выделить из всего колебания одну составляющую определенной частоты. Именно это делают, когда настраивают радиоприемник на определенную частоту; из сложного электромагнитного колебания, вызванного работой всех радиостанций, ловят колебание, вызванное работой нужной станции. Точно так же камертон отзывается только на ту ноту, на которую он настроен.

Заключение

Поистине безгранична область применений показательной и тригонометрических функций в природе и технике! Вероятно, можно было бы заполнить весь этот том, рассказывая о таких примерах. Возникают естественные вопросы: Что общего между такими вещами, как трение каната о столб, радиоактивный распад, остывание чайника? Почему электромагнитные колебания так похожи на механические колебания? Почему столь часто встречаются в различных вопросах науки и техники именно эти функции?

Сейчас мы не можем ответить на эти вопросы. Но в конце следующей статьи, посвященной одному из разделов высшей математики, поговорим и об этом.

Ответы и решения

Ответы к стр. 292. Вот все двузначные «самородки» : 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97.

Магический шестиугольник — см. рис. слева.

Ответ к стр. 302 — см. рис. слева.

Решение к стр. 329. Куб имеет 11 разверток различных форм. Из них в шести формах четыре грани куба развертываются в одну полоску; в четырех формах не более трех граней в полоске; в одной — не более двух граней в полоске.

Ответ к стр. 329. Невозможно. Каждый кубик имеет шесть граней. Для получения кубика, расположенного в центре данного куба, должны быть выпилены полностью все шесть граней (у остальных кубиков имеются уже готовые грани). Как ни перекладывай части данного куба, а одним плоским разрезом не получишь более одной грани кубика.

Отвеы к стр. 323.

1. Треугольники равновелики, так как каждый составлен из пары треугольников (3, 4, 5).

2. Наименьшая возможная площадь у трех равновеликих прямоугольных треугольников 840. Стороны: (40, 42, 58), (24, 70, 74), (15, 112, 113).

Интеграл и производная

Задача Кеплера

Если бы бочки умели говорить, то, несомненно, многие из них с удовольствием рассказали бы поучительную историю о великих заслугах бочек в создании... высшей математики! История эта такова.

В ноябре 1613 г. королевский математик и астролог австрийского двора И. Кеплер праздновал свадьбу. Готовясь к ней, он приобрел несколько бочек виноградного вина. При покупке Кеплер был поражен тем, что продавец определял вместимость бочки, производя одно-единственное действие — измеряя расстояние от наливного отверстия до самой дальней от него точки днища (рис. 1). Ведь такое измерение совсем не учитывало форму бочки! Кеплер сразу увидел, что перед ним интереснейшая математическая задача — по нескольким измерениям вычислить вместимость бочки. Размышляя над этой задачей, он нашел формулы не только для объема бочек, но и для объема самых различных тел: лимона, яблока, айвы и даже турецкой чалмы. Для каждого из тел Кеплеру приходилось создавать новые, зачастую очень хитроумные методы.

В наши дни вычислять объемы различных тел (значительно более сложных, чем у Кеплера) необходимо при решении многих технических задач : при нахождении объема корпуса корабля, объема газгольдера, объема водохранилища и др. И решать такие задачи приходится почти каждому инженеру, каждому технику. Простые и общие методы решения подобных задач даются высшей математикой.

Рис. 1.

Математика за чайным столом

Чтобы получить представление об этих общих методах, попробуем найти объем поданного к столу лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (шар, цилиндр, конус и т. д.), лимон не похож. Однако хозяйка тут же приходит нам на помощь: она разрезает лимон на тонкие ломтики. Ровно обрезав край каждого ломтика, можно превратить его в низенький цилиндр (рис. 2), объем которого легко высчитать. Прикладывая друг к другу эти цилиндры, мы получим ступенчатое тело (рис. 3). Его объем равен сумме объемов цилиндров. Если ломтики очень тонки, то объем ступенчатого тела мало отличается от объема лимона.

Объем тела

На общем рисунке изображены и другие тела вращения: чашка, бутыль, подсвечник, графин, яйцо, волчок. Для нахождения объема любого тела вращения пригоден прием, примененный нами для вычисления объема лимона. Пусть фигура ABCD (рис. 4) вращается вокруг стороны AB. Разрежем получающееся тело вращения (рис. 5) на тонкие ломтики и каждый ломтик заменим цилиндром. Тогда легко сможем найти объем получающегося ступенчатого тела (рис. 6). Для этого надо знать, как меняется площадь сечения с высотой (рис. 7). Пусть площадь сечения, проведенного на высоте /г, равна S(h). Предположим, кроме того, что тело разре-

Рис. 6 (левый). Рис. 7 (правый).

Рис. 8 (левый). Рис. 9 (правый).

зано на п ломтиков сечениями, проведенными на высотах А0, h\y hn над плоскостью нижнего основания (плоскость нижнего основания совпадает с сечением на высоте А0» а плоскость верхнего — с сечением на высоте Л„, т. е. Ло = 0, hn = H (см. рис. 6)). Площадь сечения на высоте hk равна S(A*)« Поэтому объем цилиндра, которым мы заменяем é-й ломтик (рис. 8), будет равен S(A*) (hk—hk-\) (так как его высота hk — Afc-i)- Складывая объемы цилиндров, получим объем всего ступенчатого тела:

Чем тоньше будут ломтики, тем ближе объем ступенчатого тела к объему тела вращения.

Но на рисунке есть и фигуры, не являющиеся телами вращения (кувшин, батон). Объем любого тела можно найти таким же образом, если известно, как меняется площадь тела с высотой сечения. Например, для того чтобы вычислить объем проектируемого корабля, достаточно иметь чертежи (выполненные в определенном масштабе) поперечных размеров корабля. По этим чертежам надо найти площадь каждого разреза (как вычислить площади сложных фигур, мы расскажем ниже), после чего указанная выше формула даст приблизительное значение объема корабля. Разумеется, таким же приемом можно находить объемы газгольдеров, водохранилищ и других тел.

Промер реки

При проектировании гидроэлектростанций надо знать расход воды в реке, т. е. количество воды, протекающей в данном месте за 1 с. Ясно, что расход воды в реке равен произведению площади поперечного сечения реки на скорость течения. Скорость течения определить довольно просто, а вот площадь поперечного сечения найти гораздо сложнее. Однако и здесь на помощь нам приходит разрезание на ломтики. Каждый ломтик можно приближенно заменить прямоугольником. Складывая затем площади этих прямоугольников, мы и найдем приближенное значение площади сечения. Чем тоньше будет ломтик, тем более точное значение площади мы получим. Измерим глубину реки в точках, находящихся на расстоянии jt0, Х\9 хп от берега (х0 = 0; Хп=Н — ширина реки). Пусть на расстоянии Xk от берега глубина реки равна f(Xk) (рис. 9). Тогда площадь поперечного сечения приблизительно равна:

Вообще если геометрическая фигура AB CD имеет вид, изображенный на рис. 10 (такая фигура назы-

Рис. 10.

вается криволинейной трапецией), и если высота в точке с абсциссой х равна f(x), то для вычисления площади фигуры мы можем пользоваться той же формулой. Чем гуще расположены точки jc0, Х\, .... хп на отрезке AB, тем более точное значение для площади фигуры получим по этой формуле.

В автомобиле

Для измерения пути, пройденного автомобилем, на нем устанавливают специальный счетчик. Но даже если этот счетчик испорчен, можно подсчитать пройденный автомобилем путь по спидометру (прибору, показывающему скорость автомобиля). Для этого надо записать показания спидометра в моменты времени to = 0, t\$ t2, tn = T. Если бы движение автомобиля от момента tk i Д° момента tk совершалось равномерно с той скоростью v(tkh которую он в действительности имел в конце этого промежутка, т. е. в момент tk% то за промежуток времени от tk-\ до tk он проехал бы расстояние v(tk)(tk — tk i)- Поэтому путь, пройденный за все время движения от 0 до Т, был бы равен:

V(t,) (/, - t0) + V(t2) (t2-tt) + ... + V(t„) (tn - tn |).

Этой формулой можно пользоваться для приближенного подсчета пути, пройденного автомобилем. Но автомобиль не всегда движется равномерно, и даже за маленький промежуток времени скорость его успевает несколько измениться. Однако чем чаще будем записывать показания спидометра, т. е. чем меньше будут промежутки времени между отдельными измерениями, тем точнее написанная формула будет давать пройденный автомобилем путь.

Интеграл

Мы разобрали ряд задач из различных областей физики, техники, геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. Каждый раз для приближенного вычисления некоторой величины (объема, площади, пути и т. д.) мы получали сумму вида:

/(*,) х0) + f(x2) (х2 -X.) + 4- f(xn) (Xn-Xn-l).

Здесь f(x) — некоторая функция, заданная на отрезке от а до by а х0 = а, хх, хп-ь хп=Ь — точки на этом отрезке. Например, при вычислении пути функция f(x) была скоростью в момент времени х (только время мы раньше обозначали буквой t, а не X, что, конечно, несущественно), а было равно нулю, а Ь равнялось времени Т движения автомобиля.

Суммы такого вида встречаются в математике и ее приложениях очень часто. Их называют интегральными суммами. Такие суммы дают значение искомой величины только приближенно. Но если мы будем брать точки jc0, Х\, хп все гуще и гуще на отрезке от а до Ь, то интегральные суммы будут приближаться к некоторому числу, а именно к точному значению искомой величины. Это число называется интегралом от функции /(je) на отрезке от а до b и обозначается через J f(x) dx. Таким образом,

где предел (lim) берется при условии, что число промежутков неограниченно увеличивается, а их длины стремятся к нулю.

В самом обозначении ]f(x)dx сохраняются воспоминания об интегральной сумме, из которой получается интеграл. В Италии букву S часто пишут в виде J. Поэтому сам знак интеграла есть просто первая буква латинского слова summa (сум-

ма). Вслед за знаком J указывается, что суммировались выражения f(Xk) (Xk—Xk-\)* Только вместо разности Xk — Xk -1 пишут dx, где d — первая буква латинского слова differentia (разность). Понятие интеграла является одним из основных в математике. Пользуясь этим понятием, можно записать многие полученные ранее формулы гораздо короче и не приближенно, а точно. Например, формула объема любого тела принимает вид:

(1)

где H — высота этого тела, a S(h) — площадь сечения, проведенного параллельно основанию тела на высоте h от основания (см. рис. 7).

Формулу площади фигуры, изображенной на рис. 10, можно записать в виде:

(2)

где f(x) — высота кривой CD в точке с абсциссой х.

Путь, пройденный за промежуток времени от 0 до 7\ выражается через скорость v(t) по формуле:

(3)

Геометрическое вычисление интегралов

Формулы (1) и (2) можно использовать для нахождения площадей и объемов различных тел. Но так как площади и объемы простых тел мы уже знаем, то, наоборот, с помощью этих формул можно вычислить значения некоторых простых интегралов. (Дальше, на стр. 346, мы укажем, как можно сосчитать эти интегралы непосредственным вычислением, не прибегая к геометрии.)

Самой простой геометрической формулой вычисления площади является формула площади прямоугольника: S = hb. Прямоугольник можно рассматривать как криволинейную трапецию, высота которой во всех точках одинакова и равна h (рис. 11), так что его площадь может быть записана в виде интеграла : S — f hdx где h — постоянная величина. Итак, мы доказали формулу:

(4)

Фокус геометрии движения

Начертите замкнутую кривую, пересекающую себя 10—12 раз. Но кривая может пересечь себя в Каждой точке не больше одного раза. Все точки пересечения обозначьте различными буквами (в любом порядке). Теперь поставьте .карандаш на любую неузловую точку и двигайтесь вдоль кривой, как бы повторяя ее построение. Проходя узловую точку, называйте букву, которой точка обозначена.

Обойти надо всю кривую и вернуться в исходный пункт. На каком-нибудь этапе движения назовите две последовательно проходимые буквы, но не в порядке их следования, а наоборот. Например, если за буквой В следует буква F, вы произносите вслух не *В, F*, a «F, В*. Мне не сообщайте о такой перестановке последовательности двух букв, но запомните это место. Я его угацаю.

Фокус основан на теореме теории узлов. Угадывающему надо записывать называемые буквы на полоске бумаги поочередно сверху черты и снизу. Если перестановки букв не было, то каждая буква появится однажды сверху и однажды снизу черты. Если перестановка была, то одна буква появится дважды сверху и одна дважды снизу. Вот в этих буквах и была перепутана их последовательность! Пример. Мне называют буквы: С, С, £, Л, В, D, £, Л, D, В. Я записываю:

Сверху черты два раза встречается £, а снизу — два раза А. Значит, узлы Е и А были названы не в той последовательности, в которой они располагались.

Сколько рыб в озере?

Рыбоводу понадобилось определить, сколько в озере рыб, годных для улова. Он забросил сеть с заранее выбранным размером ячеек и, вытащив ее, пересчитал добычу. Рыб оказалось 38. Сделав пометку на каждой рыбке, рыбовод всех их выпустил в озеро.

На другой день он опять забросил ту же самую сеть и выловил 53 рыбки, две из которых оказались мечеными. По этим данным рыбовод и узнал приблизительно число рыб в озере, годных для улова данной сетью. К какому результату пришел рыбовод?

Вы можете облегчить себе поиски решения задачи, прочитав статью «Наука о случайном» (стр. 420).

Решение на стр. 354.

Рис. 11.

Рис. 12.

Рис. 13.

(А — постоянная). В частности, при h = 1 получаем :

(5)

Вспомним теперь формулу площади прямоугольного треугольника: где Л и 6 — катеты. Из рис. 12 видно, что треугольник можно рассматривать как криволинейную трапецию, высота у которой в точке с абсциссой х равна (это вытекает из подобия треугольников О AB и О CD). Поэтому площадь треугольника может быть записана в виде интеграла :

Таким образом, мы доказали, что

Если треугольник О AB равнобедренный, т. е. если h = by то получаем формулу :

(6)

Наконец, рассмотрим еще один пример. Возьмем правильную четырехугольную пирамиду с ребром в основании, равным Ь, и высотой, равной этому ребру (рис. 13). Поставим пирамиду на вершину (так, чтобы ось ее была вертикальной) и проведем плоскость параллельно основанию пирамиды на расстоянии X от вершины. Тогда в сечении получится квадрат со стороной, тоже равной je, а площадь его S(x) будет равна х2. Поэтому по формуле (1) объем V пирамиды выразится интегралом:

Сравнивая эту формулу с известной из школьного курса формулой объема пирамиды, получим:

или

(7)

Найденные выше формулы (5), (б), (7), очевидно, можно объединить в одну общую формулу:

(8)

при А1 = 0, 1, 2.

Эта формула, как доказывается в математике, справедлива не только при n = 0, 1, 2, но и при любых отличных от —1 значениях показателя п. например:

Часто бывает нужно найти интеграл от многочлена. Оказывается, что многочлены можно интегрировать почленно, а числовой множитель можно выносить за знак интеграла. Например:

Вообще если

некоторый многочлен я-й степени, то его интеграл находится по формуле:

Применение интегралов

Мы научились вычислять интегралы от многочленов. Этого уже достаточно, чтобы иметь возможность решать многие математические и физические задачи.

Покажем для начала, как просто получаются с помощью интегралов некоторые формулы, изучаемые в школе.

Выведем формулу пути равноускоренного движения. Если начальная скорость тела в момент 1 = 0 равна v0y а ускорение движения равно а, то в момент времени t скорость тела составит v(t) = v0 + at. Поэтому по формуле (3) путь, пройденный телом с начала движения до момента 7\ выражается формулой:

Выведем теперь некоторые геометрические формулы. Сначала найдем, чему равен объем шара радиуса R. Конечно, нам достаточно найти объем полушара, а потом его удвоить. Рассечем полушар плоскостью, параллельной его основанию и отстоящей на X от основания (рис. 14). В сечении получится круг радиуса АВ= у/~R2—x2 (это получается, если применить теорему Пифагора к треугольнику О А В). Поэтому площадь получившегося сечения равна:

Но тогда объем полушара (высота его равна R) выражается формулой :

Следовательно, объем всего шара равен ^ т?/?3.

Но с помощью интегрального исчисления можно найти и такие площади и объемы, которые не изучаются в школе. Найдем, например, площадь параболического сегмента АО В А, у которого хорда AB

Рис. 14.

Рис. 15.

Рис. 16.

Рис. 17.

равна b, а стрелка ОС равна h (рис. 15). Уравнение параболы имеет вид у = ах2. В точке с абсциссой X = т£ ордината AD должна равняться длине стрелки Л. Поэтому Но это значит, что а = -г;. Итак, наш параболический сегмент ограничен снизу параболой, у которой в точке с абсциссой X ордината у = Мы легко можем теперь найти площадь криволинейного треугольника OAD.

По формулам (2) и (7) она равна:

Площадь же прямоугольника ABED равна bh. Но площадь параболического сегмента получится, если из площади прямоугольника вычесть удвоенную площадь треугольника OAD, т. е. она равна-g- .

Круговой сегмент, имеющий небольшой центральный угол, можно приближенно заменить параболическим сегментом с той же хордой и той же стрелкой (рис. 16). Поэтому для площади кругового сегмента имеет место приближенная формула:

5круг. сегм ^2 -g- ЬН .

Например, если центральный угол равен 60°, то приближенная формула дает результат 0,0893.../?2, а точная 0,0906.../?2. Таким образом даже для такого сравнительно большого центрального угла, как 60°, приведенная формула дает точность до 1,5%.

Чудесная формула

Тот же прием, который мы применили для приближенного вычисления площади кругового сегмента, можно, конечно, применить и для случая произвольной криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой CD с уравнением y = f(x) (рис. 17). Обозначим через M середину отрезка AB и восставим в точках A, M и В ординаты AD, MN, ВС кривой CD. Длины этих ординат обозначим через y0f у\% у2. Проведем через точки С, N и D дугу параболы, имеющей вертикальную ось (такую дугу можно провести всегда, и притом только одну; иногда она превращается в отрезок прямой).

Довольно простые подсчеты, использующие формулы (5), (6), (7), показывают, что площадь, лежащая под этой дугой параболы, равна

где b и а — абсциссы точек В и А. Без большой ошибки можно принять, что этому же равна и площадь криволинейной трапеции A BCD, т. е. что

Поскольку площадь криволинейной трапеции выражается интегралом J f(x)dx, то найденная формула дает приближенное значение этого интеграла. Иными словами :

где у0, уь у2 — значения функции f(x) в точках с абсциссами а, и b.

Объем любого тела можно приближенно вычислять по такой же формуле:

где H — высота тела, So — площадь нижнего сечения, S\—площадь среднего сечения, S2—площадь верхнего сечения. К этой формуле прибегают для приближенного вычисления объема дерева, стога, бочки и других фигур более или менее сложной формы. Замечательно, что для всех фигур, изучаемых в школе (призмы, цилиндра, пирамиды, конуса, усеченной пирамиды, усеченного конуса, шара, шарового слоя, шарового сегмента), эта формула дает не приближенный, а совершенно точный результат. Проверьте это утверждение.

Рис. 18.

Как измерить скорость полета пули

Мы часто говорили о скорости движения (например, автомобиля). Мы имели формулу:

в которой u(t) означает скорость движения тела в момент времени Такую скорость в физике называют мгновенной скоростью. Каким же образом можно измерить мгновенную скорость движения? Если речь идет о скорости движения автомобиля, в кабине которого мы едем, то все обстоит очень просто — надо лишь посмотреть на стрелку спидометра, и мы будем знать скорость движения. Но как узнать скорость движения автомобиля, проезжающего мимо нас по улице, или скорость полета пули? Мы знаем, что существуют приборы для измерения расстояний (линейки, рулетки и др.). Приложим такой прибор к измеряемому расстоянию, и ответ сразу виден. Есть приборы и для измерения времени (часы, хронометры). Но «скоростемеров» — приборов, которые можно было бы «приложить» к движущемуся мимо нас телу, чтобы непосредственно по его показанию узнать скорость движения тела, нет. Да и как «приложить» прибор к мчащемуся мимо автомобилю или летящей пуле?

До некоторой степени нам могут помочь приборы, измеряющие расстояние и время. Эти приборы позволяют измерить путь, который пролетела пуля, и время, которое она на это затратила. Разделив путь на время, мы и узнаем скорость полета пули. Однако таким образом мы получаем лишь среднюю скорость полета пули, которая мало о чем говорит: ведь сопротивление воздуха постепенно замедляло движение пули, и потому в конце пути она летела с меньшей скоростью, чем в его начале. Поэтому для определения скорости пули в некоторой точке ее пути поступают иначе. В этой точке ставят лист тонкого материала, соединенный с часами таким образом, что они отмечают момент времени г1э когда пуля пробивает этот лист. На небольшом расстоянии от него ставят второй лист, также соединенный с часами, так что они отмечают момент /2» когда пуля его пробивает (рис 18). Пусть первый лист находится на расстоянии Si от линии огня, а второй —на расстоянии $2- Тогда расстояние 52 —51 пуля пролетает за время É2 — t\. Значит, средняя скорость полета пули за это время равна:

Но и это измерение не дает точного значения мгновенной скорости в момент tx. Ведь воздух тормозил пулю, когда она летела между листами, и ко второму листу пуля подлетела с несколько меньшей скоростью, чем к первому. Чтобы уменьшить влияние сопротивления воздуха на скорость пули, надо ставить листы ближе друг к другу. И чем ближе будет второй лист к первому, тем точнее измерим мы мгновенную скорость полета пули в момент t\ (мы считаем, конечно, что у нас совершенно точные часы и безукоризненные линейки). При этом чем ближе друг к другу расположены листы, тем за меньший промежуток времени /2 —1\ пролетает пуля расстояние между ними. Мы можем сказать, таким образом, что мгновенная скорость полета пули равна:

где предел берется при условии, что значение s2 приближается к значению S\ (или, что то же самое, при условии, что /2 приближается к t\).

Скорость радиоактивного распада

Различные радиоактивные вещества распадаются неодинаково быстро.

В каком же смысле можно говорить о том, что распад происходит быстро или медленно? Как можно измерить скорость распада куска радиоактивного вещества в данный момент времени? Легко измерить среднюю скорость распада за 1 год: количество вещества, распавшегося за 1 год, разделить на число секунд в году. Это и даст среднюю скорость распада,

Рис. 20.

Рис. 19 (левый).

Рис. 21 (рядом с рис. 19).

Рис. 22.

выраженную в граммах в секунду. Однако для нахождения мгновенной скорости распада этот расчет мало пригоден, ведь в течение года количество радиоактивного вещества постепенно уменьшалось, поэтому оно распадалось все медленнее и медленнее. Чтобы поточнее определить скорость распада в данный момент времени, надо измерить среднюю скорость распада не за год, а за месяц или, еще лучше, за сутки, час, минуту и т. д. Каждый раз надо брать количество вещества, распавшегося за это время, и делить на число секунд в выбранном промежутке времени. Так, уменьшая промежутки времени между двумя измерениями массы вещества, мы будем приближаться к какому-то числу. Это число и даст скорость распада в данный момент времени.

Формулой это можно записать следующим образом. Предположим, что в момент времени t\ масса еще не распавшегося радиоактивного вещества в пробирке была равна гп\9 а через некоторое время, в момент /2, масса его уменьшилась (так как часть вещества превратилась в продукт распада) и стала равной т2. Таким образом, за время t2 — tx масса имевшегося в пробирке радиоактивного вещества изменилась на т2 — гп\ (это число отрицательное — ведь масса нераспавшегося радиоактивного вещества с течением времени уменьшается). Отношение

представляет собой среднюю скорость изменения массы радиоактивного вещества в пробирке за рассматриваемый промежуток времени, т. е. среднюю скорость распада. Чем меньше промежуток времени t2 — t\9 тем точнее это отношение выражает мгновенную скорость распада. Мы можем сказать, таким образом, что мгновенная скорость распада u(t\) в момент /, равна:

где предел берется при условии, что значение t2 приближается к t\. Совершенно аналогично можно определить мгновенную скорость химической реакции.

Умеете ли вы проводить касательную?

Услышав такой вопрос, вы, вероятно, вспомните построение касательной к окружности и дадите утвердительный ответ. Но речь идет о касательной к любой кривой, а не только к окружности. А в школьных учебниках не только ничего не сказано о проведении касательной к любой кривой, но даже не определяется, что это такое. Нельзя, разумеется, определять касательную как прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку: ось параболы пересекается с ней только в одной точке А (рис. 19), но вряд ли кто-нибудь может подумать, что это касательная.

Что же такое касательная к кривой и как ее провести? Постараемся ответить на эти вопросы. Проведем через точку М9 лежащую на кривой, секущую MN (рис. 20). Если теперь точку N приближать по кривой к точке М, то секущая будет поворачиваться вокруг точки AU все более приближаясь к некоторой прямой. Эта прямая и есть касательная к кривой в точке М.

Для окружности это определение касательной совпадает с обычным (рис. 21): по мере приближения точки N к точке M угол OMN приближается к прямому углу, и потому касательная к окружности перпендикулярна радиусу.

Итак, касательная — это прямая, к которой приближается секущая MN, когда точка N приближается (по рассматриваемой кривой) к точке М.

Теперь нетрудно будет описать положение касательной с помощью некоторой формулы. Для этого будем считать, что кривая AB является графиком некоторой функции y = f(x). Обозначим ординаты точек M и Л' через ух и у2, а их абсциссы — через X] и х2. Рассматривая прямоугольный треугольник M PN с гипотенузой MN и катетами, параллельными осям координат (рис. 22), мы можем легко определить угол ß, под которым секущая наклонена к оси X :

Но из рис. 22 ясно, что PN = у2 — у\, МР = х2 — х{. Таким образом,

Если теперь точка N начнет по кривой AB приближаться к точке М, то секущая MN будет, поворачиваясь, приближаться к положению касательной, так что в пределе мы получим тангенс угла, под которым касательная наклонена к оси х:

Предел берется при условии, что точка N приближается к точке М, т. е. что значение х2 приближается К Х\.

Производная

Мы рассмотрели несколько задач из физики и геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. В первых двух задачах (скорость движения, скорость распада) это общее заключалось в том, что мы в обоих случаях имели скорость изменения некоторой величины: скорость движения есть скорость изменения пути с течением времени, скорость распада есть скорость изменения массы радиоактивного вещества. Но и в третьем примере мы имели некоторую скорость изменения: тангенс угла наклона касательной есть скорость изменения ординаты, когда мы перемещаемся по оси х. Действительно, отношение ——— представляет собой среднюю скорость возрастания ординаты при перемещении от точки Х\ к точке х2, а предельное значение этого отношения (равное tga) дает мгновенную скорость изменения ординаты.

Итак, во всех рассмотренных задачах мы имели мгновенную скорость изменения некоторой величины; этим и объясняется, что при определении этих на первый взгляд очень непохожих величин получались очень похожие формулы. Чисто математически скорость изменения можно определить следующим образом. Пусть мы имеем функцию y = f(x). Обозначим те значения, которые эта функция принимает в двух точках Х\ и jt2, через ух и у2. Тогда разность у2 — у\ показывает, на сколько изменилось значение рассматриваемой функции при переходе от значения Х\ к значению х2, а отношение —-— представляет собой среднюю скорость изменения функции y = f(x) на промежутке от Х\ до х2. Если теперь уменьшать этот промежуток, приближая значение х2 к Х\, то мы получим в пределе мгновенную скорость изменения рассматриваемой функции в точке Х\\ она равна:

где предел берется при условии, что значение х2 приближается к Х\. Эта мгновенная скорость изменения называется производной от функции y = f(x) по аргументу X в точке Х\\ она обозначается через f'(X\).

В этих обозначениях явно указывается, в какой точке берется мгновенная скорость изменения (т. е. производная). Есть и другие обозначения для производной, но мы их не будем указывать. Конечно, производную можно находить в различных точках, так что производная f'(x) есть опять некоторая функция от X. Теперь ясно, что рассмотренные выше задачи из физики и геометрии могут быть сформулированы с помощью производной.

Скорость движения v(t) есть производная от пути s(t) по времени:

v(t)=s'(t). (9)

Скорость u(t) радиоактивного распада есть производная от массы радиоактивного вещества m(t) по времени :

u(t)=m'(t). (10)

Наконец, тангенс угла наклона касательной к графику функции y = f(x), проведенной в точке с абсциссой л', есть производная от функции f(x):

(11)

Производные многочленов

Из сказанного выше ясно, что для решения ряда задач физики, геометрии и других наук весьма важно уметь находить производные различных функций (нахождение производных называется дифференцированием). Мы рассмотрим сейчас пример непосредственного вычисления производной.

Возьмем функцию у = х3. Отношение, которое нужно рассмотреть при вычислении этой производной, имеет такой вид:

Если теперь х2 будет приближаться к Х\, то последнее выражение будет, очевидно, приближаться к значению Х{2 + х12-\-Х{2 = Зх12. Таким образом, производная от функции у = х3 имеет в точке х = Х\ значение З*!2, т. е. (х3)' I при л: - дг, = Зх\ Более кратко это записывают так:

Предоставляем читателю таким же образом найти производные от функций у = х2 и у = х. Результаты получаются такие:

Эти формулы вычисления производных объединяются, очевидно, одной общей формулой:

(12)

В математике доказывается, что формула (12) верна при любом п.

Заметим теперь, что производная обладает следующими простыми, но важными свойствами: постоянный множитель можно выносить за знак производной; кроме того, производная суммы двух (или нескольких) функций равна сумме производных от слагаемых:

Теперь уже легко можно находить производные любых многочленов, например:

Вообще, если

многочлен /2-й степени, то его производная вычисляется по формуле:

Пчелы-математики

Русский математик П. Л. Чебышёв в своей работе «Черчение географических карт» писал, что особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения по возможности большей выгоды. Так, рабочий-металлист старается из куска металла получить как можно больше деталей; раскройщик на обувной фабрике старается из куска кожи выкроить как можно больше заготовок; технолог старается так расставить станки на заводе, чтобы обработка деталей заняла как можно меньше времени, и т. д.

Рис. 23.

Рис. 24 (левым).

Рис. 25 (верхний правый).

Рис. 26 (под рис 25).

Рис. 27.

Да и не только человеку приходится решать такие задачи. Пчелы бессознательно решают одну из таких задач — они стараются придать сотам такую форму, чтобы при заданном объеме на них шло как можно меньше воска. И хотя они не знают математики, но точно решают ату задачу (рис. 23).

Пчелам помогает решать эту задачу инстинкт. Человек же действует не по инстинкту, а по разуму. Маркс говорил, что «самый плохой архитектор от наилучшей пчелы с самого начала отличается тем, что, прежде чем строить ячейку из воска, он уже построил ее в своей голове».

И большую помощь в решении таких задач оказывает человеку математика, в особенности понятие производной. Чтобы понять, как же математики решают такие задачи, рассмотрим одну из них.

Как сделать самую большую коробку

Пусть перед нами квадратный кусок картона со стороной а. Из него надо сделать коробку без крышки. Вырежем по углам куска квадратики и согнем по линиям, отмеченным пунктиром (рис. 24). У нас получилась коробка; но много ли в нее можно положить? Это зависит от того, какие квадратики мы вырезали из этой коробки. Если они были очень маленькие, то коробка получится низкая (рис. 25) и в нее много не положишь. А если они будут слишком большие (рис. 26), то коробка получится слишком узкая и в нее тоже войдет довольно мало. Найдем, при какой стороне х вырезанного квадратика объем V (х) сделанной коробки будет наибольшим. Из рис. 24 видно, что V=x(a — 2jc)2 = 4jc3 — 4ах2 + а2х. График этой функции имеет вид, указанный на рис. 27. При этом X должен лежать между 0и|-, так как вырезать из куска картона со стороной а четыре квадрата со стороной, большей чем , нельзя. Из рис. 27 видно, что в той точке, где значение объема наибольшее, касательная идет горизонтально, т. е. образует с осью х угол, равный нулю. Но это значит, что в этой точке производная равна нулю. Таким образом, чтобы найти значение Jt max, Щ>и котором объем коробки будет самым большим, надо найти все значения х, при которых производная функции

Рис. 28.

Рис. 29.

Рис. 30.

обращается в нуль; среди них обязательно будет и искомое значение хта1. По формуле дифференцирования многочлена находим:

V'(x)- 12ж2 — 8ох + а2. Приравниваем производную к нулю и находим два корня: X, = Х2 = -g- Разумеется, корень xv — ^-нас не устраивает: если мы вырежем квадраты со стороной у, то от листа картона ничего не останется. Значит, наибольшее значение объема получится, если за хтах примем оставшееся значение т. е. вырежем квадраты со стороной х = -о Объем коробки тогда будет равен Сделать из данного куска картона коробку большего объема невозможно.

Балка наибольшей прочности

Основным элементом любой строительной конструкции является балка. Прочность балки зависит от того, какую форму имеет ее поперечное сечение. Инженерные расчеты показывают, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине балки а и квадрату ее высоты А. Иными словами, прочность такой балки (измеренная в некоторых единицах) равна как2, где k — коэффициент, зависящий от длины балки, материала, из которого она сделана, и т. д.

Деревянные балки приходится обычно вытесывать из круглых бревен. В связи с этим возникает задача, как из бревна, имеющего радиус R, сделать балку наибольшей прочности. На рис. 28 изображено поперечное сечение бревна. Разумеется, прочность вырезанной балки будет функцией от ширины этой балки. Но если взять ширину слишком большой (почти равной диаметру бревна), то получится балка очень маленькой высоты и прочность ее будет мала (рис. 29, а). Мала будет прочность балки, если сделать ее слишком узкой (рис. 29, б). Чтобы найти, при каком соотношении длины и ширины прочность будет наибольшей, выразим прочность балки как функцию от ее ширины х. Из треугольника А ВС, изображенного на рис. 28, видно, что высота балки, имеющей ширину X, равна \/~AR2 — х1 Поэтому прочность такой балки равна:

График функции y = 4R2kx — kxz имеет вид, указанный на рис. 30, а ее производная равна 4R2k — Zkx2 и обращается в нуль при

Поскольку ширина балки должна быть положительной, получаем, что самая прочная балка будет, если ширина ее высота балки определится по формуле:

Отношение Именно такое отношение высоты балки к ширине и предписано правилами производства строительных работ.

Формула Ньютона—Лейбница

Между дифференцированием и интегрированием (вычислением интегралов) имеется глубокая связь: формула (8) показывает, что путь находится по мгновенной скорости с помощью интегрирования, а формула (9) утверждает, что скорость находится по пути с помощью дифференцирования. Это наводит на мысль, что действия дифференцирования и интегрирования связаны друг с другом примерно так же, как действия сложения и вычитания, умножения и деления, возведения в степень и извлечения корня, т. е. что эти операции взаимно обратим.

Рис. 31 (левый). Рис. 33 (на стр. 347 левый).

Рис. 32 (правый). Рис. 34 (на стр. 347 правый).

Например, пользуясь тем, что v(t) = s'(t), можно записать формулу (3) в виде :

Здесь 5 — путь, пройденный телом начиная с момента / = 0.

Но может случиться и так, что пройденный путь отсчитывается не с момента / = 0, а с какого-то более раннего момента (например, не с момента начала путешествия, а с момента выпуска автомобиля с завода). Тогда путь s придется записать в виде разности s(T) — s(0) пути, пройденного к моменту t=T9 и пути, пройденного к моменту / = 0. Равенство (3) примет такой вид:

Таким же образом для любых двух моментов времени t = а и t = b справедливо равенство :

Вообще, для любой функции F(x) имеет место равенство:

Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница, в честь знаменитых математиков И. Ньютона и Г. Лейбница, почти одновременно установивших ее в конце XVII в. (примерно через 70 лет после выхода в свет книги И. Кеплера «Новая стереометрия винных бочек»). Следует сказать, что в геометрической форме эту формулу высказал учитель Ньютона И. Барроу в 1670 г. Он указал, что вычисление площадей—действие, обратное проведению касательных.

Значение формулы Ньютона — Лейбница состоит в следующем: если мы знаем какую-нибудь функцию F(x), производная которой равна /(jc), т. е. F'(x) = f(x), то легко вычислить интеграл §f(x)dx— он равен разности значений функции F(x) в точках Ь и а. Каждую функцию F(x)t для которой F'(x) = f(x), называют первообразной для функции f(x). Значит, если функция F(x) первообразная для функции f(x), то f(x) — производная для функции F(x).

Таким образом, вычисление интегралов сводится в основном к нахождению первообразных. А нахождение первообразных есть задача, обратная дифференцированию. Поэтому чем большее число функций мы будем уметь дифференцировать, тем больше первообразных будем знать и тем больше интегралов сможем найти. Пока что мы умеем дифференцировать только многочлены. Этого уже достаточно, чтобы интегрировать любые многочлены (не прибегая к примененным выше геометрическим приемам).

Но во многих задачах встречаются функции, отличные от многочленов. Мы научимся сейчас дифференцировать тригонометрические и показательную функции.

Производные синуса и косинуса

Производные от тригонометрических функций проще всего вычислить исходя из физических соображений. Рассмотрим точку Л, движущуюся по окружности радиуса R со скоростью ш/?. Будем считать, что при t = 0 точка А находилась в положении А о (рис. 31).

Через t секунд точка пройдет путь длиной &Rt и окажется в положении А. Дуга AqA имеет длину ш/?/, т. е. содержит ш / радианов, значит, и угол АОА0 равен iüt радианам. Поэтому координаты точки А равны x = R cos ш/ и у = R sin (üt (это легко выводится из треугольника А В О). Иными словами, проекция В точки А на ось Ох движется по закону x = Rcos Ы, а проекция С этой же точки на ось Oy движется по закону y = R sin wt. Найдем скорости этих колебаний.

Для этого разложим скорость движения точки А на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Вектор скорости точки А (имеющий длину ш/?) направлен по касательной к окружности, проведенной в точке Л, и потому образует с осью Ох угол ш/ -|- у, а с осью Oy — угол со/ (рис. 32). Следовательно, его проекция на ось Ох (т. е. скорость движения точки В) равна:

а его проекция на ось Oy (т. е. скорость движения точки С) равна:

Мы доказали, что скорость колебания, происходящего по закону х = R cos ш/, равна: vx = - ш./? sin orf.

Так как скорость является производной от пути по времени, это означает, что

(R cos Ы)' = —(о/? sin Ы,

или при /? = 1

(cos ЫУ = — о) sin Ы. (13)

Точно так же доказывается (из рассмотрения движения точки С), что

(sin ЫУ = со cos Ы. (14)

В частности, при ш =1 получаем :

Производная показательной функции

Теперь продифференцируем показательную функцию у = ех. Мы уже знаем (см. статью «Функции в природе и технике»), что касательная к кривой у = ех, проведенная в точке пересечения ее с осью ординат, наклонена к осям под углом 45°. Вспоминая геометрический смысл производной (см. стр. 343), мы можем сказать, что производная функции у = ех в точке х = 0 равна tg45°, т. е. 1. Итак, (ех)' | При х=о — !•

Чтобы вычислить производную функцию у = ех в какой-либо точке jt0, сдвинем график этой функции на отрезок Xq. После сдвига в точке х ордината станет равной не ех, ъ ех~х° , т. е. сдвинутая кривая является графиком функции у = ех~х° (рис. 33). При сдвиге графика касательная, проведенная к кривой у = ех в точке х = 0, перейдет в касательную, проведенную к сдвинутой кривой (т. е. кривой у = е*~х°) в точке х=Хо (рис. 34).

Таким образом, касательная к кривой у = ех~х* в точке хо наклонена к оси х под углом 45°, т. е.

Теперь легко найти производную функции у = ех в точке х = х0. В самом деле, так как постоянный множитель ех° можно вынести за знак производной, получим :

Этим доказано, что производная от функции ех в точке х=Хо равна ех* . Так как х0 — произвольная точка, то мы можем просто написать :

С помощью несложных рассуждений можно вывести следующую формулу:

(15)

Радиоактивный распад

Многие физические законы связывают между собой некоторую величину и скорость ее изменения. Рассмотрим, например, радиоактивный распад. Скорость распада тем больше, чем больше взято радиоактивного вещества. Это и понятно: если, скажем, в каждом грамме взятого радиоактивного вещества за 1 с распадается 0,0001 г, то в двух граммах этого вещества за 1 с распадается 0,0002 г, в семи граммах распадается за 1 с 0,0007 г и т. д. Иначе говоря, скорость распада (мы ее обозначали выше буквой и; см. формулу (10)) прямо пропорциональна массе m имеющегося радиоактивного вещества:

u = -km. (16)

Здесь k — положительный коэффициент пропорциональности, а знак « — » поставлен потому, что вещество распадается и его становится меньше, т. е. скорость распада отрицательная. (Этот закон, связывающий массу радиоактивного вещества и скорость распада, справедлив лишь в случае, если масса радиоактивного вещества не слишком велика и не происходит цепной реакции.)

На первый взгляд кажется, что из уравнения (16) ничего нельзя определить: ведь это одно уравнение с двумя неизвестными и и m (коэффициент пропорциональности k для каждого вида радиоактивного вещества определяется из опыта), а для нахождения двух неизвестных надо иметь два уравнения. Однако второе уравнение легко найти : ведь и — это скорость изменения массы пи а потому и и=т'. Поэтому мы

можем переписать закон радиоактивного распада, т. е. формулу (16), в виде:

т' = - km. (17)

Мы получили одно уравнение для определения одного неизвестного т. Только это уравнение не такое, какие изучаются в школе: оно связывает величину m и ее скорость изменения (производную). Уравнения, связывающие величины и их производные, называются дифференциальными уравнениями. Легко проверить, что функция m = Ce~kt, где С — любое число, является решением дифференциального уравнения (17) (т. е. если подставить в это уравнение вместо m эту функцию, то оно обратится в тождество). В самом деле:

tri = (Се *')' = - Ckekt= - km.

Можно показать, что других функций (кроме m(t) = = Ce~ki)y удовлетворяющих уравнению (17), не существует, т. е. что всякое решение уравнения (17) имеет вид: m(t) = Ce kî. Это и есть закон уменьшения массы радиоактивного вещества с течением времени.

У нас остался невыясненным один вопрос: чему равна постоянная С? На этот вопрос нетрудно ответить. Из формулы m(t) = Ce~~kt находим (полагая / = 0), что масса радиоактивного вещества в начальный момент времени t = 0 была равна Се° = С. Таким образом, С — это масса радиоактивного вещества в начальный момент времени; ее принято обозначать через га0. Поэтому, заменяя С на т0, получаем окончательный вид закона радиоактивного распада:

m(t)=m0e kt (18)

Найдем теперь, через сколько лет количество радиоактивного вещества уменьшится вдвое. Для этого нужно определить число Т0 из уравнения е~ кт» = -у После логарифмирования (по основанию е) находим, что Тп — 4- 1п2 ~ (через In* мы обозначаем логарифм числа х по основанию е). Этот промежуток времени Т0 называют периодом полураспада данного радиоактивного вещества. Он не зависит от того, сколько было взято радиоактивного вещества, а зависит только от k, т. е. от того, какое взято вещество. Например, период полураспада радия равен 1590 годам, урана-238 — 4,5 млрд. лет, тория G — всего 0,0000003 с.

С помощью числа Го закон радиоактивного распада можно записать так:

В этой форме его обычно и используют в физике.

Показательная функция в природе и технике

Существует огромное количество процессов в природе, которые описываются такими же дифференциальными уравнениями, как уравнение (17) для радиоактивного распада. Общим для всех этих процессов является то, что скорость изменения рассматриваемой величины у прямо пропорциональна значению этой величины в данный момент времени, т. е.

У'=су. (19)

Коэффициент пропорциональности с положителен или отрицателен в зависимости от того, увеличиваются или уменьшаются с течением времени значения величины у. Дифференциальное уравнение (19) имеет точно такой же вид, как и уравнение радиоактивного распада (только коэффициент пропорциональности здесь обозначается через с, а не через — k). Так как одинаковые уравнения имеют одинаковые решения, то для всех таких процессов значения у0 в любой момент времени / выражаются формулой:

где у0 — значение величины у при / = 0.

Теперь становится понятным, почему в природе и технике встречается так много величин, изменяющихся по показательному закону (ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения; изменение давления с высотой подъема и т. д.; см. статью « Функции в природе и технике»). Все эти величины удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида (19).

Леверье и Адамс открывают новую планету

По второму закону Ньютона сила равна произведению массы на ускорение:

F = ma.

Но ускорение тела, движущегося прямолинейно, представляет собой скорость изменения скорости, т. е. является производной от скорости: a = v'. Сама же скорость является производной от пройденного пути: v = s'. Таким образом, чтобы найти ускорение движущегося тела, надо два раза продифференцировать функцию s(t). Поэтому ускорение называют

второй производной от пути по времени. Обозначают это так:

a(t) = s“(t).

Пользуясь этим обозначением, мы можем записать второй закон Ньютона в следующем виде:

F = ms“

Сила F зависит от многих обстоятельств: от времени, от скорости движения, от того, в какой точке пространства находится движущееся тело. Например, на парашютиста, спускающегося с раскрытым парашютом, действуют сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха, которую можно считать пропорциональной скорости падения, т. е. равной — kv. Таким образом, общая сила, действующая на парашютиста, равна:

F — mg — kv — mg — ks

Следовательно, движение парашютиста описывается дифференциальным уравнением :

ms“ — mg — ks

Иной вид имеет уравнение движения ракеты, вертикально поднимающейся по инерции после полного сгорания горючего. Сила притяжения ракеты к Земле обратно пропорциональна квадрату расстояния ракеты от центра Земли, т. е.

(мы считаем, что ракета вышла из земной атмосферы и потому на нее не действует сила сопротивления воздуха).

Таким образом, указанное движение ракеты описывается дифференциальным уравнением:

где m — масса ракеты. (Этим уравнением описывается также вертикальное падение метеорита на Землю до вхождения его в атмосферу.)

Вообще второй закон Ньютона позволяет описывать самые разнообразные движения тел с помощью дифференциальных уравнений. Можно написать дифференциальные уравнения для движения поршня паровой машины, корабля в море, планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг Земли.

Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, так как планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказыва-

Развлечение с числами

В последовательности натуральных чисел зачеркните простое число р и все кратные ему. Из оставшихся чисел образуйте такую последовательность:

единица, сумма первых двух чисел, сумма первых трех чисел и т. д.

В получившейся последовательности снова зачеркните числа, кратные р, и опять образуйте последовательность сумм таким же способом, как первый раз.

Если указанную операцию выполнить р раз, причем в последний раз уже не производить никаких вычеркиваний, то образовавшиеся числа будут р-ми степенями натуральных чисел.

Пример. Пусть р = 3. Тогда из последовательности натуральных чисел надо вычеркнуть числа

3, 6, 9, 12,...;

из оставшейся последовательности

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11,...

образуем новую последовательность, как указано:

1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48,...;

вычеркивая числа, кратные 3, составляем третью последовательность:

1, 8, 27, 64,...,

а это и есть последовательность кубов чисел натурального ряда:

13, 23, З3, 43, как и было обещано!

Игра с кубами чисел

У каждого участника игры должна быть таблица кубов. Назначаем какое-нибудь целое число и ставим задачу: представить это число как алгебраическую сумму пяти кубов.

Пусть назначено, например, число 1. Рассматриваем таблицу кубов и подбираем:

1 = 43-33-33-23-13 или 1 = 63-53-43-33+13.

Цель игры: за отведенный промежуток времени подобрать как можно больше решений задачи.

У вас, очевидно, возникнет такой вопрос: «Разве любое целое число может быть представлено в виде алгебраической суммы пяти кубов натуральных чисел, да еще несколькими способами?»

Да, любое, и даже бесконечным числом способов. Это доказал польский математик В. Серпинский.

ют их будущее движение, узнают моменты солнечных и лунных затмений. Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты, ученые нисколько не усомнились в «правильности» математики. В середине XIX в. французский астроном У. Леверье и английский астроном Дж. Адамс одновременно и независимо один от другого сделали смелое предположение, что отклонение Урана вызывается притяжением новой, до тех пор неизвестной планеты. С помощью дифференциальных уравнений они высчитали положение этой новой планеты и указали, где нужно ее искать на небе. Точно в указанном месте эта планета (ее назвали Нептуном) была затем обнаружена.

Уравнение гармонических колебаний

Во многих случаях тела совершают колебания около положения равновесия под действием силы, величина которой пропорциональна отклонению тела от положения равновесия и которая стремится возвратить это тело в положение равновесия. Например, это имеет место для груза, подвешенного на пружине. Иначе говоря, сила, действующая на тело, выражается формулой:

F--ks,

где s — отклонение тела от положения равновесия, а к — жесткость пружины. Поэтому (в силу второго закона Ньютона) дифференциальное уравнение движения тела имеет такой вид:

ms“ — — ks.

Обозначив положительное число — через со2, мы сможем записать это уравнение в виде:

s = — u>S.

Это уравнение называется уравнением гармонических колебаний, так как функция

s = С, cos Ы + С о sin ait (20)

при любых Ci и С2 является решением этого уравнения.

В самом деле, по формулам (13) и (14) скорость тела, движущегося по закону (20), равна:

Продифференцировав еще раз, найдем ускорение:

Но выражение, стоящее в скобках, равно 5. Таким образом, взятая функция s действительно удовлетворяет уравнению s“=— co2s. Можно доказать, что всякое решение этого уравнения имеет такой вид.

Итак, сила, пропорциональная отклонению тела от положения равновесия и стремящаяся вернуть его в это положение, вызывает гармонические колебания частоты и>, где со2 = — (m —масса тела, k — коэффициент пропорциональности).

Для колебаний электрической цепи можно также записать аналогичный закон, только надо заменить массу тела самоиндукцией катушки, путь, пройденный телом,— напряжением на конденсаторе, а скорость тела — током. Поскольку законы, управляющие этими явлениями, совершенно аналогичны, то и колебания, возникающие в обоих случаях, записываются одними и теми же формулами. А затухающие колебания возникают, если кроме силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия, действует еще сопротивление среды, пропорциональное скорости движения тела (или сопротивление электрической цепи).

Моделирование

Тот факт, что самые различные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, часто используется на практике. Он позволяет изучать одни явления, наблюдая другие, если только оба явления описываются одинаковыми уравнениями. Пусть, например, надо выяснить, как будет двигаться под землей нефть в районе буровых скважин.

Наблюдать движение нефти под землей было бы очень затруднительно. Но движения жидкости описываются теми же самыми дифференциальными уравнениями, что и движения электричества. Поэтому собирают электрическую цепь, в которой движения электричества происходят так же, как изучаемые движения нефти.

Измеряя напряжение и ток в разных точках собранной цепи, можно узнать, где выгоднее - всего поставить буровую вышку, куда надо накачивать воду, чтобы усилить выход нефти, и т. д.

Такое изучение одних явлений при помощи других, описываемых теми же самыми уравнениями, называется моделированием явлений. К нему часто прибегают в самых различных вопросах техники.

Множества и операции

Понятие множества

Множества конечные и бесконечные

Обычно арифметику определяют как науку о числах. Числа в простейшем смысле слова, т. е. так называемые натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, отвечают на вопрос «сколько?». Сколько учеников в классе? Сколько книг на столе? Сколько гусей на пруду?

Но каждый раз, когда мы спрашиваем: «Сколько предметов?», мы должны иметь эти предметы, их совокупность. Вот мы и говорим о совокупности всех учеников, образующих данный класс, о совокупности книг, лежащих на столе, о совокупности гусей, плавающих на пруду.

Каждое натуральное число есть число предметов (одушевленных или неодушевленных), образующих некоторую совокупность. Иногда эти предметы легко сосчитать, например когда идет речь о числе книг, лежащих на столе, или о числе учеников, сидящих в классе.

Но значительно труднее ответить на вопрос, сколько в данный момент плавает китов в Мировом океане или даже сколько зайцев живет в подмосковных лесах. И уж совсем трудно точно сказать, сколько молекул в стакане воды или звезд в нашей Галактике.

Однако во всех этих случаях мы уверены, что число это конечное, хотя, может быть, и очень большое и недоступное для точного вычисления при данном состоянии наших научных познаний.

В математике рассматриваются не только конечные, но и бесконечные совокупности. Простейшим примером такой совокупности является совокупность, или, как принято говорить, множество, всех натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, ....

Мы уже сказали, что каждое натуральное число есть число предметов, образующих ту или иную совокупность, то или иное множество. Но множество всех натуральных чисел уже не есть конечное множество. На вопрос: «Сколько всего натуральных чисел?»—приходится ответить, что их бесконечно много. Какое бы большое число натуральных чисел мы ни задумали, всегда есть такие натуральные числа, которые не вошли в число задуманных.

В математике мы постоянно сталкиваемся с примерами бесконечных множеств. Возьмем, например, равносторонний треугольник Т\, впишем в него равносторонний треугольник 7Y Вершины треугольника Т2 суть середины сторон треугольника Т\. Таким же образом впишем в Т2 равносторонний треугольник Гз, в Гз впишем Т4 и т. д. (рис. 1). Это построение

Рис. 1.

Бернард Больцано.

приводит к бесконечному множеству равносторонних треугольников:

Ти Тг, Г„ Г4, Г5, Тп (1)

Тем более бесконечным является множество всех вообще равносторонних треугольников, лежащих в данной плоскости.

Последняя фраза несколько двусмысленна: слово «более» может быть воспринято в ней как составная часть выражения «тем более», употребленного в смысле «и подавно». Раз есть уже бесконечное множество равносторонних треугольников, получающихся при некотором определенном построении, то и подавно множество всех равносторонних треугольников бесконечно.

Но слово «более» может быть понято и как сравнительная степень прилагательного, и тогда высказанное выше суждение означает, что множество всех равносторонних треугольников, лежащих в данной плоскости, в каком-то смысле является «более бесконечным», чем бесконечное множество построенных нами треугольников:

Как видите, мы затронули интересный вопрос, долгое время отпугивавший ученых своей (впрочем, лишь кажущейся) парадоксальностью: существуют ли, если можно так выразиться, различные «степени» бесконечности? Возможна ли количественная оценка бесконечных множеств, позволяющая утверждать, что одно из двух бесконечных множеств является «более бесконечным», чем другое? Или же утверждение, что данное множество является бесконечным, окончательно в том смысле, что не дает возможности дальнейших различений или градаций количественного характера?

Первым, кто пытался ответить на этот вопрос, был знаменитый чешский математик и философ Б. Больцано (1-я половина XIX в.), но он не смог полностью преодолеть все трудности, которые при этом возникли.

Постараемся разобраться, в чем эти трудности и каково решение поставленного вопроса.

Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами

Предположим, что мы имеем два конечных множества, например корзину яблок и корзину груш. Желая установить, чего у нас больше — яблок или груш, мы можем (и это будет самое простое решение вопроса) сосчитать число плодов в каждой корзине. Получим два числа, сравнение их и даст ответ на наш вопрос.

Но если мы имеем два бесконечных множества, то определить аналогичным образом, какое из них является «более бесконечным», а какое — «менее», нельзя по той простой причине, что бесконечное множество нельзя «сосчитать». Во всяком случае, мы не знаем, как это сделать. Поэтому постараемся ответить на вопрос, чего у нас больше — яблок или груш, не сосчитывая их, т. е. не пользуясь понятием числа. Вот какой представляется для этого путь.

Разложим наши яблоки, хотя бы на столе, и попробуем положить против каждого яблока по груше. Возможны три случая (рис. 2).

Первый случай: против каждого яблока окажется груша, и при этом не только все яблоки, но и все груши окажутся разложенными. В этом случае, очевидно, у нас столько же яблок, сколько и груш.

Второй случай: против каждого яблока окажется по груше, но при этом еще останется несколько «лишних» груш — в этом случае у нас больше груш, чем яблок.

Наконец, возможен последний, третий случай: стараясь разложить все груши так, чтобы против каждого яблока лежала груша, мы не достигнем цели — нам не хватит груш. Тогда, очевидно, груш меньше, чем яблок.

Как видите, мы смогли произвести количественную оценку двух множеств — корзины яблок и кор-

Рис. 2.

зины груш, не сосчитывая точно, сколько имеется тех и других плодов, т. е. установить, каких плодов больше, или убедиться, что их имеется одинаковое количество. Эту оценку мы произвели, установив, как говорят, взаимно однозначное соответствие между одним множеством и другим или частью другого. Для лучшего уяснения, что такое взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, приведем еще несколько примеров.

Дается концерт. Чтобы на него пойти, надо купить билет. Перед нами два множества: множество людей, которые хотят пойти на этот концерт, — обозначим его через А — и множество билетов — обозначим его через В. Возможны разные случаи. Первый (не очень вероятный, но математически самый простой): все желающие пойти на концерт приобрели билеты, и все билеты при этом оказались проданными. Тогда каждому элементу множества А (т. е. каждому человеку, желающему пойти на концерт) соответствует определенный элемент множества В (купленный этим человеком билет). При этом каждый элемент множества В поставлен в соответствие одному-единственному элементу множества А (человеку, купившему этот билет). Установлено взаимно однозначное соответствие между множеством А и множеством В, или установлено взаимно однозначное отображение одного из этих множеств на другое.

Однако может случиться, что каждый человек, желавший пойти на концерт, купил себе билет, но в кассе остались еще не распроданные билеты. Опять получается взаимно однозначное отображение множества Л, но уже не на все множество ß, а только на некоторую его часть — на ту часть, или, как говорят, на то подмножество множества ß, которое состоит из всех проданных билетов. Может, наконец, случиться, что все билеты проданы, но не все желающие пойти на концерт смогли купить билеты. Тогда обозначим через А' множество тех людей, которые не только хотели пойти на концерт, но и получили на него билет. Множество А' оказалось взаимно однозначно отображенным на множество В.

В математике можно найти многочисленные примеры взаимно однозначных соответствий. Например, каждой вершине треугольника или тетраэдра соответствует противоположная этой вершине сторона или грань. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех вершин треугольника (тетраэдра) и множеством всех его сторон (граней). Множество всех сторон правильного многоугольника находится во взаимно однознач-

Рис. 3.

ном соответствии с множеством всех перпендикуляров, которые опущены на эти стороны из центра правильного многоугольника. Множество всех боковых граней пирамиды находится во взаимно однозначном соответствии с множеством апофем этой пирамиды и т. д.

Особенно существенным является тот факт, что взаимно однозначное соответствие возможно и между некоторыми бесконечными множествами. Приведем примеры. Обозначим через А множество всех точек данной окружности, а через В — множество всех прямых, являющихся касательными к этой окружности (рис. 3, I). Между множествами А я В установится взаимно однозначное соответствие, если мы каждой точке окружности поставим в соответствие касательную в этой точке. Таким образом, каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, и каждый элемент множества В (т. е. каждая касательная) при этом поставлен в соответствие единственному элементу множества А *— точке прикосновения данной касательной.

Второй пример. Возьмем две пересекающиеся прямые а 1 и Ь\ (рис. 3, П). Обозначим через А множество всех точек прямой a,, a через В—множество, состоящее из прямой Ь\ и из всех прямых, ей параллельных. Каждому элементу Ъ множества В (т. е. каждой прямой 6, параллельной прямой Ъ\ или совпадающей с ней) соответствует единственный элемент множества А—единственная точка прямой а.\, в которой ее пересекает прямая 6.

В качестве третьего примера возьмем уже 'рассмотренное нами множество равносторонних треугольников

Tu ^2» • • •» Тп,..

В музее ... часов

Да, есть и такой музей. Часов там много всяких: старинных и современных, механических и электрических, огромных и крошечных, с боем и без боя, с циферблатом и без циферблата.

Первые механические часы были изобретены около середины X в. Очень долго часы имели лишь одну стрелку — часовую. Только в 1700 г. появилась и минутная стрелка, а еще через 60 лет — секундная.

400 лет часы приводятся в действие пружиной. Но эра пружины на исходе. Современные наручные электронно-механические часы совсем и заводить не надо.

В числе тикающих и безмолвствующих обитателей музея была пара действующих часов с боем, одинаковым но тембру. Однажды они ударили подряд, как я насчитал, 19 раз. Это произошло потому, что начало боя на первых часах опаздывало по отношению ко вторым часам на 2 секунды. Кроме того, первые часы, оказывается, ударяли через каждые 3 секунды, а вторые — через 4 секунды.

Который был час?

Решение на стр. 369.

Ответы и решения

Решение к стр. 336. Пусть число рыб в озере, годных для улова данной сетью, равно X. Тогда отношение числа меченых рыб к числу всех рыб равно ~ •

Во второй раз рыбовод выловил 53 рыбы, из них две меченые. Следовательно, отношение числа меченых рыб к числу выловленных равно * Будем предполагать, что меченые рыбы равномерно распределились среди всех рыб в водоеме, тогда оба отношения одинаковы:— —, откуда *=1007. Значит, в озере имеется примерно тысяча рыб, годных для улова данной сетью.

Ответ к стр. 323.

каждый из которых, кроме первого, вписан в предыдущий (рис. 3, III). Множество всех этих треугольников обозначим через X. Каждый треугольник получил определенное натуральное число п в качестве своего номера.

Номером треугольника Тп является натуральное число /г. Этим, очевидно, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством X наших треугольников и множеством всех натуральных чисел.

Счетные множества

Вообще, если все элементы какого-нибудь множества X удается занумеровать посредством натуральных чисел так, что каждое натуральное число придано в качестве номера лишь одному элементу множества X, то такой нумерацией устанавливается взаимно однозначное соответствие между данным множеством X и множеством всех натуральных чисел. И обратно, всякое взаимно однозначное соответствие между каким-нибудь множеством X и множеством всех натуральных чисел можно рассматривать как нумерацию (сосчитывание) элементов множества X посредством натуральных чисел — мы просто приписываем каждому элементу множества X в качестве номера соответствующее ему натуральное число.

Мы здесь коснулись очень важного понятия. Ведь установление взаимно однозначного соответствия между некоторым множеством X и множеством всех натуральных чисел есть прямое перенесение в область бесконечных множеств пересчитывания какого-либо конечного множества (например, корзины яблок или стада гусей) с помощью натуральных чисел. Только в случае конечных множеств мы для сосчитывания его элементов нуждаемся лишь в конечном числе чисел (мы считаем: раз, два, три и т. д. — до того числа, которое показывает, сколько у нас яблок в корзине или гусей в стаде). В примере множества треугольников

Г„ 7„ Т3,.. Тп.. (1)

или вообще любого множества X, которое может быть приведено во взаимно однозначное соответствие с множеством всех натуральных чисел, мы вынуждены в качестве номеров воспользоваться всеми натуральными числами.

Но теперь возникает самый главный, основной для всей теории множеств вопрос. Всегда ли можно занумеровать элементы бесконечного множества натуральными числами так, чтобы каждый элемент данного множества получил определенный номер? Другими словами: можно ли установить взаимно однозначное соответствие между произвольным бесконечным множеством и множеством всех натуральных чисел?

Оказывается, ответ на этот вопрос отрицательный, и мы постараемся убедиться в этом. Но сначала несколько подготовимся. Прежде всего установим название для тех множеств, которые могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с множеством всех натуральных чисел. Эти множества называются счетными. Это название естественно: счетное множество — это такое множество, которое может быть сосчитано посредством натуральных чисел. Наша задача — показать, что существуют несчетные множества, т. е. такие, которые не могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с множеством всех натуральных чисел.

Множество всех рациональных чисел счетно

В поисках несчетного множества обратимся к множеству всех рациональных чисел (читатель, конечно, помнит, что рациональными числами называются все целые и все дробные числа). Посмотрим, можно ли занумеровать все рациональные числа с помощью натуральных. Для простоты рассмотрим сначала все положительные рациональные числа и попробуем их как-нибудь занумеровать. Сразу же сталкиваемся с трудностью: среди положительных рациональных чисел заведомо нет наименьшего числа, каким является единица среди натуральных чисел; ведь, каково бы ни было положительное рациональное число г, число ]/2г также является положительным рациональным числом, и оно меньше, чем г. Предположим, мы обойдем эту трудность, начав счет с какого-нибудь рационального числа Г\9 которое согласимся считать первым. Но тогда на следующем этапе возникает такая трудность: какое рациональное число считать вторым, т. е. непосредственно следующим в порядке нашего счета за числом Г\? Дело в том, что, какое бы рациональное число r2>ri мы ни взяли, имеются рациональные числа большие, чем Г], и меньшие, чем г2, и таких бесконечное множество, например числа :

Таким образом, среди всех рациональных чисел, больших чем выбранное нами число п% нет наименьшего. Какое же объявить первым из следующих за Г\1 Но возникшая трудность кажущаяся. Она показывает только, что невозможно занумеровать рациональные числа с помощью натуральных чисел таким образом, чтобы при этой нумерации возрастающим номерам соответствовали возрастающие числа. Придется попытаться занумеровать рациональные числа как-нибудь иначе, не стремясь к тому, чтобы число Г2, первое после Г\ в порядке нашего счета, было и первым по величине, т. е. наименьшим из всех следующих за Г\. А тогда нужная нам нумерация находится очень легко.

В* самом деле, каждое положительное рациональное число однозначно записывается в виде несократимой дроби — (целое число п будем при этом записывать в виде дроби ~ и также считать ее несократимой). Назовем высотой дроби натуральное число q + р. Под высотой рационального числа будем понимать высоту той единственной несократимой дроби, которая является записью данного числа.

Посмотрим, сколько приходится рациональных чисел на каждую данную высоту. Высоту 1 не имеет ни одно положительное рациональное число (потому что, записывая рациональное число в виде несократимой дроби — , видим, что ее высота равна натуральному числу p + q, а так как р^>1, <7^>!» т(> p + q^2). Высоту 2 имеет, очевидно, единственное рациональное число -у- = 1.

Высоту 3 имеют дроби и у, т. е. рациональные числа 2~ и 2.

Высоту 4 имеют дроби

Среди них оставляем лишь несократимые -g- и -у

Итак, высоту 4 имеют рациональные числа -g- и 3.

Высоту 5 имеют дроби -g-, -у, —, среди которых нет сократимых, так что на высоту 5 приходится 4 числа.

Высоту 6 имеют дроби среди которых несократимы лишь первая и последняя; следовательно, высоту 6 имеют числа -g- и 5.

Продолжая рассуждать таким образом дальше, мы прежде всего убеждаемся в том, что, каково бы ни было натуральное число Л>1, есть лишь конечное число рациональных чисел с этой высотой.

В самом деле, дроби с высотой h — это, очевидно,

Их конечное число: Л —1. Среди этих дробей некоторые могут оказаться сократимыми, а остальные дадут рациональные числа с высотой Л.

Теперь уже очень легко занумеровать все положительные рациональные числа : мы начинаем с наименьшей высоты 2 и идем дальше, все время увеличивая на единицу высоту и сосчитывая то (всегда конечное) число рациональных чисел, которое приходится на данную высоту. Таким образом, число \=гх получает номер 1. Далее идут два числа:г2=“2 и Гз = 2 высоты 3, потом два числа: г4 = -^ и г5 = 3 высоты 4, потом четыре числа: г6 = г7 г= , г8 = у, г9 = 4 высоты 5, два числа: г10 = -g-, Гц =5 высоты 6 и т. д. Получаем таблицу (через пп обозначено число рациональных чисел высоты h):

Так как каждое рациональное число имеет своей высотой некоторое натуральное число /г, оно найдет свое место в строке, соответствующей этой высоте, и получит определенный номер, не больший чем число n2 + nz + ... + nh_} -h nh.

Итак, множество всех положительных рациональных чисел есть счетное множество.

Множество всех действительных чисел несчетно

И тем не менее несчетные множества существуют. Оказывается, множество всех действительных чисел несчетно. Этот замечательный факт, как и теорема о счетности множества всех рациональных чисел, впервые в 1874 г. был доказан знаменитым немец-

Георг Кантор.

ким математиком Г. Кантором, основателем теории множеств. Воспроизводим доказательство Кантора. Доказываем, что несчетным является уже множество всех действительных чисел интервала (0; 1).

Под интервалом (а; Ь) числовой прямой понимается множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенству а<х<Ь.

Каждое такое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби с целой частью нуль. При этом каждому действительному числу соответствует лишь одна такая запись, за исключением действительных чисел, выражаемых конечными десятичными дробями: каждое такое число, например 0,2476622021711, может быть записано двумя способами в виде бесконечной десятичной дроби :

0,2476622021711000000000. 0.2476622021710999999999.

Одна из этих записей начиная с некоторого момента содержит одни лишь нули, а другая — одни девятки. Если мы согласимся не употреблять записей, в которых начиная с какого-нибудь места идут одни девятки, то каждое действительное число будет иметь лишь единственную запись в виде бесконечной десятичной дроби. Докажем теперь теорему о несчетности множества действительных чисел от противного: предположим, что множество действительных чисел (мы говорим все время о числах X интервала (0; 1) счетно, т. е. может быть занумеровано посредством натуральных чисел. Тогда вся совокупность действительных чисел интервала (0; 1) может быть записана в виде последовательности: Х\9 х29 Запишем разложение числа Хп в бесконечную десятичную дробь:

суть последовательные десятичные знаки числа л;я, причем, согласно заключенному нами условию, не может случиться, что все десятичные знаки начиная с некоторого суть девятки.

Итак, все действительные числа х (интервала (0; 1) предполагаются записанными в виде:

(1)

Приведем наше предположение к противоречию, найдя действительное число с9 заключенное между 0 и 1 и заведомо не входящее в табл. (1). Для этого рассмотрим цифры, стоящие по диагонали в табл. (1), а именно

и выберем для каждого п натуральное число 6Л, не превосходящее число 8 и отличное от числа (например, при а(^<8 полагаем &я=аМ+1, a при = 8 полагаем b =7).

Рассмотрим бесконечную десятичную дробь 0, Ь{ Ь2 Ьг ЬА Ь5 Ьп

Она не содержит ни одной девятки и выражает число с9 заключенное между 0 и 1, заведомо отличное от всех чисел Х\9 х%9 х%9 хп* В самом деле, если бы было:

то на п-м месте в разложении числа с мы должны были бы иметь цифру тогда как в действительности имеем b ф . Теорема доказана.

Мощность множества

Нам нужно осмыслить полученный результат и подвести некоторые итоги всему до сих пор сказанному. Мы начали с понятия взаимно однозначного соответствия между двумя множествами, возможность которого (в случае конечных множеств) равносильна тому, что оба множества состоят из одного я того же числа элементов. Это обстоятельство указывает путь

и к установлению количественного равенства, или количественной эквивалентности, между двумя бесконечными множествами. Мы скажем, что два (конечных или бесконечных) множества количественно эквивалентны, или имеют одну и ту же мощность, если между ними возможно установить взаимно однозначное соответствие. Понятие «одинаковая мощность» означает для конечных множеств, что они состоят из одного и того же числа элементов.

Далее скажем, что множество А имеет большую мощность, чем множество В, если можно множество В отобразить взаимно однозначно на часть множества Л и в то же время нельзя отобразить множество А на часть множества В. Теперь можем сказать, что счетные множества — это множества, количественно эквивалентные множеству натуральных чисел. Но существуют множества и несчетные, например множество всех действительных чисел, интервала (0; 1) и любого другого интервала.

Всякий интервал числовой прямой может быть взаимно однозначно отображен на интервал (0; 1). (Докажите это!)

Для того чтобы убедиться в том, что всякое несчетное множество имеет большую мощность, чем каждое счетное множество (все счетные множества имеют, очевидно, одну и ту же мощность), надо доказать следующие два предложения :

1. Всякое подмножество счетного множества или конечно, или счетно.

2. Всякое бесконечное (значит, в частности, всякое несчетное) множество содержит счетное.

Доказательство первого утверждения. Пусть X — счетное множество, Х0 — какое-нибудь подмножество (т. е. часть) множества X. Элементы множества X могут быть занумерованы посредством натуральных чисел, т. е. записаны в виде:

Xi,x,,x„ .,*/!, (2)

Среди этих элементов содержатся и все элементы множества Х0. Пусть это будут — в порядке возрастания номеров в последовательности (2) — элементы :

Хпху Хп2, •, xnk, (3)

Возможно одно из двух: или последовательность (3) обрывается на каком-то конечном шаге т. е. множество Хо состоит из конечного числа элементов: ХПх% jt„2? . . Xnk, или же мы имеем бесконечную последовательность: ХПх, Хп3, - Хпк, которую можем переписать, полагая у{ — хПо у2 — хла, Ук—Хпк в виде

непосредственно показывающем, что Х0 — счетное множество.

Доказательство второго утверждения. Путь X — бесконечное множество. Выбираем в X какой-нибудь элемент Х\.

Несомненно, в X имеются элементы, отличные от Х\ (иначе X состояло бы из одного элемента и было бы конечным). Возьмем один из таких элементов и обозначим его через х2. Элементы Х\ и х2 не исчерпывают множества X, поэтому существует элемент jt3 множества ХУ отличный как от Х\, так и от х2. И так далее. Продолжая этот процесс, получим счетное множество: Х\, x2f *з, хП9 содержащееся в X.

Итак, на вопрос, поставленный в начале нашего изложения: «Существуют ли бесконечные множества разных «степеней бесконечности» (т. е. разных мощностей)?»—мы можем ответить утвердительно. Существуют состоящие из действительных чисел множества по крайней мере двух различных мощностей: множество всех действительных чисел какого-нибудь интервала, с одной стороны, и любое счетное множество действительных чисел (например, множество положительных рациональных чисел) — с другой. К этому выводу мы пришли, обосновывая количественную оценку бесконечных множеств при помощи понятия взаимно однозначного соответствия. Однако не следует думать, что взаимно однозначное соответствие между бесконечными множествами во всем похоже на взаимно однозначное соответствие между множествами конечными.

Очевидно, никакое конечное множество нельзя взаимно однозначно отобразить на его часть (часть никогда не равна целому). Уже простейшие примеры показывают, что это утверждение решительно перестает быть верным в области бесконечных множеств: мы видели, что всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно, т. е. счетное множество может быть взаимно однозначно отображено на всякую его бесконечную часть. Например, подписывая под всеми натуральными числами подряд все четные:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,

получим взаимно однозначное соответствие между множеством всех натуральных чисел и его частью — множеством одних лишь четных чисел.

Другой пример. Существует взаимно однозначное отображение между множеством всех действительных чисел (между всей числовой прямой) и любым его интервалом.

Для того чтобы получить такое соответствие, можно поступить так. Построим в плоскости окружность,

Рис. 4.

касающуюся оси абсцисс, и возьмем нижнюю полуокружность PQ этой окружности (рис. 4). Концы Р и Q полуокружности к ней не причисляются. Установим взаимно однозначное соответствие между всеми точками полуокружности PQ и всеми точками числовой прямой. Для этого сначала поставим в соответствие каждой точке | прямой ту точку г] полуокружности, в которой ее пересекает луч, идущий из центра окружности в точку |.

Теперь спроектируем полуокружность PQ на интервал P'Q' оси абсцисс и поставим в соответствие точке т] полуокружности ее проекцию г)'.

В результате каждой точке | прямой оказалась поставленной в соответствие точка г{ интервала P'Q', и полученное соответствие есть взаимно однозначное отображение всей числовой прямой на интервал P'Q'.

Можно доказать и другие, кажущиеся на первый взгляд парадоксальными, теоремы о мощности различных множеств. Упомянем лишь одну из них:

Существует взаимно однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми точками плоскости.

Заметим, наконец, следующее. В математике наибольшее значение имеют так называемые числовые множества, т. е. множества, элементами которых являются действительные числа. Все известные в настоящее время числовые множества или счетны, или имеют ту же мощность, что и вся числовая прямая. Возникла, таким образом, гипотеза, что всякое несчетное числовое множество имеет ту же мощность, что и вся числовая прямая. Эта гипотеза была высказана еще Кантором и известна под названием континуум-гипотезы. Трудности, связанные с континуум-гипотезой, получают свое освещение в так называемой математической логике, и мы о них здесь говорить не можем.

Эта статья имеет своей целью дать лишь начальное представление о некоторых простейших понятиях обширной области математики — теории множеств, области, возникшей менее чем сто лет назад.

Решение к стр. 354. Построим ряд параллельных отрезков, промежутки между которыми будем считать изображением секунд. Точками изобразим удары боя первых (Â) и вторых (В) часов соответственно условию задачи (см. рис. справа).

Схема показывает, что под номерами 5, 11, 17 удары происходят одновременно и на слух сливаются каждый раз в один удар. Максимальное число ударов для каждых часов в отдельности равно 12, но если бы это было так, то мы насчитали бы 21 удар. На схеме изображены 19 ударов, что соответствует 11 раздельным ударам часов А и В. Значит, часы показывали 11.

Ну и дроби!

Беру две дроби, каждую возвожу в квадрат, результаты окладываю, получаю некоторое число «S.

Теперь каждую из первоначальных дробей возвожу в куб, результаты складываю и... получаю то же самое число S.

Выходит, что сумма квадратов двух чисел равна сумме кубов тех же чисел. Такое заключение кажется неправдоподобным. И все же это не фокус, не трюк. Есть много пар таких дробей. Попробуйте найти их.

Решение на стр. 403.

Кто сильнее?

Борис взялся за один конец каната, а Аркадий и Николай вместе — за другой. Перетянул Борис, хотя и с большим трудом.

Когда с одной стороны встали Борис и Аркадий, а с другой Владимир с Николаем, то ни та ни другая пара не смогла перетянуть канат на свою сторону. Но стоило только Николаю и Аркадию поменяться местами, как победу одержала пара Владимир и Аркадий.

По нашему убеждению, основанному на точных рассуждениях, самый сильный из этих четырех друзей — Владимир, следующий по силе — Борис, а на последнем, четвертом месте — Николай. Тот из читателей, кто согласен с нашим заключением, должен уметь обосновать его.

Алгебра множеств и алгебра логики

Алгебра чисел

В арифметике и алгебре рассматривают числа разной природы — целые числа, рациональные числа (дроби) и другие. Во всех случаях с каждыми двумя числами а и Ь сопоставляются еще два числа: а-\-Ь и ab, называемые суммой и произведением чисел а и Ь. Определение суммы и произведения двух чисел различно для чисел разной природы. Так, если а есть целое положительное число, то его можно представлять себе как число предметов в некотором наборе. При этом сумма a + b означает число предметов, которые мы получим, если объединим первый набор, содержащий а предметов, и второй набор, содержащий Ь предметов (рис. 1). Если же объединим b наборов, каждый из которых содержит по а предметов, то всего мы получим ab предметов (рис. 2). Более сложно определяются сумма и произведение дробей, например так :

(Здесь числа alf a2, Ь\% b2 целые.) Иные правила относятся к сложению и умножению отрицательных чисел, среди этих правил есть, скажем, такое:

{-а)(-Ь) = - ab.

Но независимо от природы рассматриваемых чисел и от определения суммы и произведения чисел общие законы действия над числами остаются одни и те же. Вот эти законы :

a+b=b+a

(коммутативный, или переместительный, закон для сложения) ;

ab = ba

(коммутативный, или переместительный, закон для умножения) ;

(а + Ь) +с = а+ (6 + с) (ассоциативный, или сочетательный, закон для сложения) ;

(ab)c = a(bc)

(ассоциативный, или сочетательный, закон для умножения) ;

(а 4- Ь) с = ас + be

(дистрибутивный, или распределительный, закон для умножения (относительно сложения)).

При этом сразу бросается в глаза, что правила, относящиеся к сложению чисел, очень похожи на правила умножения.

Например:

a -f b = b -f a и ab — ba, (a + b) + с -z a 4- (b 4- с) и (ab)c~a(bc).

Это сходство между действиями сложения и умножения находит отражение и в существовании двух замечательных чисел 0 и 1, таких, что прибавление одного из них и умножение на второе не меняют ни одного числа:

a i-0 ~ а и а Л — а.

Следует, впрочем, заметить, что сходство между действиями сложения и умножения не простирается особенно далеко. Так, например, число 0 играет особую роль не только по отношению к сложению, но и по отношению к умножению: эта особая роль числа 0 определяется замечательным равенством a • 0 = 0. (Из этого равенства, в частности, вытекает, что делить на 0 число а = 0 нельзя.) В противоположность этому числу 1 по отношению к операции сложения не играет никакой особой роли: равенство, которое получается из равенства а -0 = 0 заменой числа 0 на число 1 и операции умножения — операцией сложения:

a+l = l,

почти никогда не будет верным. (Это равенство справедливо лишь при а = 0.)

Так же и дистрибутивный закон

(а 4- Ь) с — ас 4- be

подчеркивает различие между действиями сложения и умножения. Если заменить в записи этого закона сложение умножением и наоборот, то получим курьезное «равенство»:

(а.Ь)+с = (а + с)(Ь + с1

как правило, не выполняющееся: так, 1-2 + 3 = 5, а (1 + 3)-(2 + 3) = 20. (Нетрудно видеть, что равенство (а • b)+c = (a + с) • (Ь + с) справедливо лишь при с = 0 и при a + Ь + с = 1.)

В математике, однако, операции сложения и умножения определяются не только для чисел. При этом иногда удается прийти к «алгебре», в которой сходство между операциями сложения и умножения оказывается большим, чем в обычной «числовой» алгебре. В качестве примера можно указать «алгебру множеств».

Рис. 1.

Рис. 2.

Алгебра множеств

Рассмотрим систему всевозможных множеств (совокупностей) тех или иных объектов; например, будем говорить о множествах учеников класса.

Сумму А + В двух множеств А и В определим как такое множество, которое получается при объединении множеств А и В; другими словами, в множество А + В входят все те, и только те, объекты, которые входят в множество А или в множество В. Так, например, если А есть множество отличников нашего класса, состоящее из учеников Пети, Саши, Веры, Кати и Наташи, aß — множество учеников, которые сидят в первом ряду, состоящее из школьников Илюши, Гриши, Зои, Кати, Наташи и Яши, то сумма А + В этих двух множеств состоит из учеников, которые являются отличниками или сидят в первом ряду; в нее входят ученики Петя, Саша, Вера, Катя, Наташа, Илюша, Гриша, Зоя и Яша (рис. 3).

То обстоятельство, что мы назвали сложением совершенно новую операцию, не должно нас смущать, ведь мы и раньше каждый раз, когда переходили от чисел одной природы к числам другой природы, определяли сложение по-новому. Ясно, например, что сложение положительных и отрицательных чисел — это не то же самое, что сложение одних положительных чисел; так, сумма чисел 5 и ( —3) — это то же самое, что разность чисел 5 и 3. Сложение дробей не то же самое, что сложение целых чисел; рис. 1, изображающий сложение чисел, становится непригоден, когда речь заходит о дробях. Однако, называя уже знакомым нам словом «сложение» новую операцию, мы каждый раз должны были лишь «доучиваться», но не «переучиваться»—навыки, выработавшиеся в процессе действий с натуральными числами (и нулем), оказываются полезными и при действиях с дробями, правила действий над положительными числами полезны и при действиях с относительными (положительными илЪ неположительными!) числами и т. д. Это связано с тем, что общие законы, которым подчиняется операция сложения целых чисел, остаются в силе и в дальнейшем, скажем при переходе к дробным числам; так, например, в обоих случаях сложение коммутативно (а + b = b + a) и ассоциативно [(a,-h b) +c = a + (b + cj\.

Посмотрим теперь, сохраняют ли силу эти законы и для множеств. При этом нам удобно будет использовать специальные диаграммы, иллюстрирующие действия над множествами. Условимся обозначать весь класс (точнее говоря, множество всех учеников класса) квадратом; в этом квадрате можно расставить ряд точек, по числу учеников (рис. 4). При этом отдельные множества учеников будут изображаться частями квадрата: так, например, изображенная на рис. 5а фигура графически иллюстрирует множество А отличников, а изображенная на рис. 56 — множество В учеников, сидящих в первом ряду. Под суммой двух множеств А и В понимается фигура, получаемая объединением фигур, изображающих множества А и В (рис. 6).

Такие диаграммы принято называть диаграммами Эйлера или диаграммами Венна (по имени английского логика Дж. Венна, 1834—1923). Они позволяют наглядно представить операцию сложения множеств и проверить ее свойства.

Ясно, например, что

А + В = В + А

(коммутативный закон для сложения множеств; рис. 7). Также ясно, что

(А + В)+С = А + (В + С)

(ассоциативный закон для сложения множеств; рис. 8). Сумму (А + В) + С = А +{В + С) естественно обозначать просто через А + В + С (без скобок).

Определим теперь произведение А • В, или AB, двух множеств А и В как множество, получаемое в пересечении множеств А и В; другими словами, в множество AB входят те, и только те, элементы, которые входят как в множество А, так и в множество В. Так, например, если А и В — указанные выше множество отличников и множество учеников, сидящих в классе в первом ряду, то множество AB состоит из тех учеников, которые являются отличниками и сидят в первом ряду; оно состоит всего из двух учеников — Кати и Наташи (рис. 9). На рис. 10 то же множество AB изображено на диаграмме как пересечение множеств А и В.

Использование термина «произведение» в совершенно новом смысле оправдывается тем обстоятельством, что, как и для обыкновенного умножения, мы имеем: ,АВ = ВА (коммутативный закон для умно-

Рис. 3 (верхний). Рис. 4 (нижний).

Рис. 5а (верхний). Рис. 56 (нижний).

Рис. 6 (верхний). Сумма двух фигур — это их объединение.

Рис. 7 (нижний).

же нал множеств; рис. 11) и (АВ)С = А(ВС) (ассоциативный закон для умножения множеств ; рис. 12). Множество (АВ)С = А(ВС) естественно обозначать просто через ABC (без скобок).

Проверим теперь, выполняется ли для множеств дистрибутивный закон. На рис. 13а выделены множества А + В и С, синим цветом отмечено их произведение— множество (А-\-В)С. На рис. 136 красным и желтым цветом обозначены множества АС и ВС, а. синим цветом —их сумма, т. е. множество АС + ВС. Но легко видеть, что множество, закрашенное синим цветом на рис. 13а, — это в точности то множество, которое отмечено синим цветом на рис. 136. Отсюда заключаем: в «алгебре множеств» выполняется дистрибутивный закон:

{А+В)С = АС + ВС

«Нуль» и «единица»

Выясним, существует ли в «алгебре множеств» такой элемент 0 («нуль»), что прибавление его к любому множеству А не меняет этого множества. Ясно, что последнее возможно только в том случае, если «множество 0» совсем не содержит элементов, является «пустым». Но в последнем случае не хочется даже говорить о «множестве»: какое же это множество, состоящее из отдельных элементов, если этих элементов вовсе нет?

Рис. 8 (верхний). Рис. 9 (нижний).

Рис. 10. Произведение двух фигур — это их пересечение.

Рис. 11 (верхний). Рис. 12 (нижний).

Рис. 13а (верхний). Рис. 136 (нижний).

В учении о множествах, однако, целесообразнее причислять пустое множество, вовсе не содержащее элементов, к числу рассматриваемых множеств. Ведь в противном случае мы зачастую не сможем говорить о множестве, не выяснив предварительно, существует оно или нет. Так, прежде чем сказать: «Множество отличников из IX класса ^А^> школы № 13 Ленинграда», нам придется пойти в школу и справиться об успеваемости учеников этого класса. Гораздо удобнее спокойно говорить об этом множестве, оговорив только, что оно может быть и пустым, т. е. не содержать ни одного элемента. В ряде случаев мы можем заранее сказать, что то или иное множество не является пустым; так, не пустое, разумеется, множество самых высоких учеников класса (это множество может иногда содержать и больше одного ученика). В иных случаях мы сразу скажем, что множество, о котором идет речь, пустое. Так, конечно, пустым является множество обучающихся в вашем классе живых слонов или множество учеников, рост которых превышает 2,5 м. Однако в большинстве случаев лишь более тщательный анализ позволяет указать, является то или иное множество пустым или нет. Так, например, множество Семенов или множество левшей из вашего класса может оказаться пустым или не пустым.

Пустое множество в дальнейшем всегда будем обозначать знаком О. Таким образом, для каждого множества А будем иметь (рис. 14):

Л + 0 = Л.

Подобно известному правилу а • 0 = 0 алгебры чисел, для любого множества А также имеем:

А-0 = 0.

В самом деле, множество А • О, по определению, состоит из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству О. Но множество О вовсе не содержит элементов; поэтому не может содержать элементов также и множество А • О (или Л О).

Теперь зададимся вопросом о «множестве 1», обладающем тем свойством, что произведение его на любое множество А дает А. Последнее означает, что пересечение или общая часть «множества 1» и множества А для любого множества А совпадает с самим этим множеством. Но это возможно, разумеется, лишь в том случае, если «множество 1» содержит все вообще существующие элементы. Так, если мы рассматриваем всевозможные множества учеников из нашего класса, то роль единицы будет играть множество всех обучающихся в классе учеников. Нетрудно понять, что, скажем, произведение этого множества и множества А отличников будет состоять из всех отличников (т. е. совпадать с А);

Рис. 14. Рис. 15. Рис. 16а. Рис. 166.

произведение этого множества и множества В сидящих в первом ряду учеников будет состоять из всех учеников, сидящих в первом ряду (т. е. будет совпадать с множеством В).

Множество, состоящее из всех элементов всех рассматриваемых множеств, называется полным, универсальным или единичным; мы будем обозначать его знаком /. Таким образом, для любого множества Л :

А • / = Л.

Универсальное множество / графически изображается всем квадратом, внутри которого мы рисуем фигуры, изображающие различные множества (рис. 15).

Удивительная алгебра

До сих пор все рассматриваемые законы действий над множествами совпадали с законами действий над числами. Однако на самом деле алгебра множеств вовсе не копирует в точности алгебру чисел; она обладает и многими удивительными свойствами, не имеющими места в обычной алгебре. Мы начнем со второго дистрибутивного закона, получаемого из первого дистрибутивного закона

(А + В)С = АС + ВС

заменой сложения умножением и наоборот:

АВ + С=(А + С)(В + С)

Как уже указывалось, в алгебре чисел этот «второй дистрибутивный закон», вообще говоря, места не имеет. По-другому обстоит дело с алгеброй множеств. На рис. 16а желтым цветом закрашено множество AB, а синим цветом отмечено объединение AB и С — множество АВ + С. На рис. 166 желтым и красным цветом выделены множества Л + С и В + С, а синим цветом — их пересечение, т. е. множество (А + С) (В + С). Но легко видеть, что множество, отмеченное синим цветом на рис. 166, — это в точности то множество, которое выделено тем же цветом на рис. 16а. Таким образом, для любых трех множеств, А, В и С:

АВ + С = {А + С){В 4- С).

Далее, мы выше отмечали курьезное равенство: а+ 1 = 1, получаемое из равенства а «0=0 заменой нуля единицей и умножения сложением. Но курьезным это равенство является лишь в алгебре чисел. В алгебре множеств для любого множества А:

А +/ = /

В самом деле, сумма А + / представляет собой множество, получаемое объединением универсального множества / и множества Л. Но уже множество / содержит все имеющиеся в нашем распоряжении элементы, так что прибавление к нему множества А ничего изменить не может: сумма A + I —это то же самое универсальное множество /!

Отметим еще необычные равенства:

А + А = А и АА = А,

также выполняющиеся для каждого множества А. В самом деле, сумма Л + Л представляет собой объединение множества А с самим собой. Но при этом мы придем к тому же самому множеству А (рис. 17). Аналогично, произведение А А есть пересечение множества А с самим собой; но это пересечение не отличается от множества А (см. рис. 17).

Последние два равенства можно еще обобщить. Различные множества можно сравнивать друг с другом. Естественно считать, что множество А «больше» множества В, если все элементы множества В содержатся в множестве Л. Это соотношение записывается так: A~z> В или BœA; при этом говорят, что «множество Л содержит множество В* или

Рис. 17.

Рис. 18.

Рис. 19 (верхний). Рис. 20 (нижний).

Рис. 21 а (верхний). Рис. 21 б (нижний).

«множество В содержится в множестве Л». Так, множество С девочек, сидящих в первом ряду (это множество состоит из школьниц Зои, Кати и Наташи), содержится в множестве В учеников, сидящих в первом ряду: В ZD С (рис. 18). Графически соотношение В з С изображается тем, что фигура С целиком заключается в фигуре В (рис. 19) или С совпадает с В.

Соотношение А ZD В, строго говоря, переносит в алгебру множеств не соотношение а>Ъ алгебры чисел, а соношение а> b («число а больше Ь или равно Ъь).

Ясно, что если A ZD В и В ZD С, то A ZD С (рис. 20); это утверждение аналогично известному свойству неравенств: если а>Ь и 6>с, то а>с.

Нетрудно видеть, что если A ZD В, то А + В = А; АВ = В (рис. 21,а, б). Так как всегда можно считать, что A z) А, то отсюда вытекают и два выписанных ранее равенства:

А + А = АиАА = А.

Мы видим, что правила алгебры множеств во многом отличны от правил алгебры чисел. Поэтому, для того чтобы овладеть этой удивительной алгеброй, приходится не только «доучиваться», но частично и «переучиваться» — отказываться от некоторых привычных представлений, связанных с опытом действий с числами.

Укажем теперь еще одно отличие алгебры множеств от алгебры чисел, которое читатель, возможно, и не отметил. Имея дело с числами, мы можем сравнить между собой любые два числа а и Ь; всегда одно из них больше другого (или эти числа равны). Для двух множеств А и ß, однако, как правило, не будет иметь место ни одно из двух соотношений A ZD В и В ZD А. Так, в случае указанных выше множества А отличников и множества В учащихся, сидящих в первом ряду, ни одно из этих множеств нельзя считать большим. Только если одно из двух множеств целиком содержится внутри другого, мы можем указать большее из них; для других же множеств А и В, графически изображенных на рис. 22а и 22 б, никакое сравнение их невозможно. Таким образом, лишь для некоторых пар множеств А и В можно указать, какое из этих множеств является большим.

Алгебра множеств с ее своеобразными законами действий, одновременно и напоминающими правила действий над числами, и отличными от этих правил, была впервые указана замечательным английским математиком прошлого века Дж. Булем, отцом известной писательницы Этель Лилиан Войнич (автора романа «Овод»). По имени Буля алгебру множеств часто называют булевой алгеброй. Основополагающее сочинение Буля, в котором впервые строилась булева алгебра, называлось «Исследование законов мысли»; оно было напечатано в Лондоне в 1854 г., т. е. более ста лет назад. Название книги Буля сначала может показаться удивительным — какое отношение имеет курьезная алгебра множеств к законам нашего мышления? На этот вопрос мы постараемся ответить ниже.

Поскольку законы действий над множествами отличаются от законов действий над числами, иногда считают, что эти действия нельзя обозначить теми же символами, которые используются в алгебре чисел. В математической литературе сумма множеств А и В часто обозначается через A U ß» а произведение этих же множеств — через А Г) В. При этом

Джордж Буль.

правила действий булевой алгебры множеств записываются в следующем виде:

(коммутативные законы);

(ассоциативные законы);

(дистрибутивные законы);

Мы, однако, предпочтем во всех случаях пользоваться знакомыми символами сложения и умножения.

Дополнение множества. Аналогия между сложением и умножением множеств

Вернемся к установленным выше свойствам действий алгебры множеств. Сразу бросается в глаза чрезвычайно тесная связь между законами, относящимися к сложению множеств, и законами умножения. Выпишем снова эти законы:

и т. д. Из этой таблицы видно, что всякое равенство, тождественно выполняющееся в алгебре множеств, при замене знака сложения множеств знаком умножения, и наоборот, и замене пустого множества О (если оно входит в наше равенство) универсальным множеством, и наоборот, переходит в новое равенство, также тождественно выполняющееся.

Сейчас мы докажем это утверждение в общем виде. Для этого нам понадобится одна своеобразная операция алгебры множеств, сопоставляющая новое множество не с двумя заданными множествами (подобно сумме А + В и произведению AB заданных множеств), а с одним множеством Л. Эта операция называется образованием дополнения и обозначается чертой, поставленной над множеством. А именно, через Л (читается: «дополнение Л») мы будем обозначать множество всех элементов универсального множества /, не принадлежащих множеству Л. Так, если Л есть множество отличников из нашего класса, то множество Л состоит из всех учеников, не являющихся отличниками. На диаграмме множество Л изображается частью квадрата /, не покрытой фигурой Л (рис. 23). Ясно, что Л + Л = /, АА = 0 (см. тот же рис. 23, на котором графически изображены множества Л и Л); эти два равенства можно даже принять за определение множества Л. Отметим еще, что (Л) = Л (рис. 24). Это последнее равенство короче записывают так:

Ä=A.

Очевидно, что 7= О и О = / (так как все элементы входят в универсальное множество / и ни один элемент не входит в пустое множество О). Кроме того, легко видеть, что

если Л z>ß, то В ZD А.

т. е. если множество В составляет часть множества Л, то дополнение Л составляет часть дополнения В (рис. 25 а, 25 б).

Докажем теперь следующие два важных соотношения :

А + В = АВ и ÄB = Ä + B,

или словами: дополнение суммы двух множеств совпадает с пересечением дополнений этих множеств; дополнение произведения двух множеств совпадает с суммой дополнений этих множеств. В самом деле, на рис. 26 а закрашены множества Л и ß, а на рис. 26 б, 26 в — их дополнения Л и ß. Но ясно, что фигура, закрашенная зеленым цветом на рис. 26 а, является дополнением до всего квадрата / фигуры,

Рис. 22а (верхний). Рис. 226 (нижний).

Рис. 23 (верхний). Рис. 24 (нижний).

Рис. 25а (верхний). Рис. 256 (нижний).

Рис. 26а (верхний). Рис. 266 (средний). Рис. 26в (нижний).

закрашенной на обоих рис. 266 и 26в, т. е. фигуры AB ; это и доказывает равенство А + В = АВ. Аналогично, фигура, помеченная желтым на рис. 26а, дополняет до всего квадрата фигуру, закрашенную на рис. 266 или 26в, откуда следует, что АВ = А-\-В.

Из доказанных соотношений нетрудно вывести наше утверждение, позволяющее по каждому соотношению алгебры множеств построить новое соотношение. Рассмотрим какое угодно тождество алгебры множеств, например первый дистрибутивный закон :

(А + В)С = АС + ВС.

Так как множества (А-\-В)С и АС-\-ВС совпадают, то совпадают и дополнения этих множеств :

(A -f В) С = АС + ВС.

Но мы знаем, что АВ = А-\-В; поэтому

С другой стороны, нам известно, что

Таким образом,

Далее, в силу того же закона А + В = АВ алгебры множеств, имеем: AQ+ ВС = АС»ВС. Но ЛС = = А + С и ВС = В + С; поэтому

Таким образом, мы приходим к равенству:

которое, очевидно, лишь по форме отличается от второго дистрибутивного закона:

(вместо самих множеств А, В и С в нашем равенстве выступают их дополнения Л, В, С; но это совершен-

но несущественно, поскольку как сами рассматриваемые множества, так и их дополнения произвольны). Таким образом, с помощью образования дополнения мы вывели из первого дистрибутивного закона второй дистрибутивный закон.

Точно таким же путем можно из любого тождества алгебры множеств получить другое тождество, в котором всюду операция сложения заменена умножением, и наоборот. При этом если в первоначальное тождество входили множества О и /, то в новом тождестве они заменяются соответственно на / и О; это связано с тем, что О = / и / = О.

Два способа задания множества. Множества и высказывания

Поставим теперь вопрос о том, каким образом можно задать то или иное множество. Проще всего это сделать, перечислив все элементы, в совокупности составляющие данное множество: так, можно сказать, что фигурирующее выше множество А состоит из школьников Пети, Саши, Кати, Веры и Наташи. Однако в тех случаях, когда множество содержит много элементов, этот явный, или перечислительный, способ задания множества может оказаться очень неудобным. Кроме того, при таком задании множества обычно оказывается замаскированным самый принцип его образования, то общее, что служит причиной объединения отобранных элементов в одно множество.

Второй способ задания множества состоит в том, что мы указываем признак, характеризующий все элементы множества, и только эти элементы. Так, выше мы говорили: «множество отличников* или «множество учащихся, сидящих в классе в первом ряду*. Такой способ задания множества называется неявным или описательным. Этот способ заключается в том, что мы формируем некоторое высказывание, касающееся элементов рассматриваемого универсального множества / («быть отличником» или «сидеть в первом ряду»); далее отбираем те, и только те, элементы множества /, которые этому высказыванию удовлетворяют.

Описательный способ задания множества связывает учение о множествах с учением о высказываниях, составляющим предмет математической логики. Высказыванием мы называем всякое утверждение, которое может оказаться истинным или ложным; при этом предполагается, что в принципе существует возможность установить, истинно данное высказывание или ложно, хотя мы, быть может, этой возможности не имеем. С этой точки зрения утверждение «Ровно через 100 лет в этот день в Москве будет ясная погода» является высказыванием, поскольку через 100 лет можно будет проверить, правда это или нет. Напротив, утверждение «Неделя —это большой промежуток времени» высказыванием не является в силу неопределенности выражения «большой промежуток времени», которое у разных лиц и в различных случаях может иметь разный смысл; ведь здесь, не обладая несколькими дополнительными сведениями, никак нельзя сказать, является это утверждение истинным или нет.

Рассмотрим теперь высказывания, относящиеся к элементам определенного универсального множества /; в случае, когда этим множеством является множество учащихся данного класса, это могут быть высказывания: «Он отличник», «Он сидит в первом ряду», «Он выше 1 м 50 см», «Он старше 50 лет», «Он—это девочка», «Он левша», «Он имеет две головы» и т. д. Каждому такому высказыванию отвечает некоторое множество элементов из /, для которых это высказывание является истинным; это множество называется множеством истинности данного высказывания. Множество истинности может оказаться пустым; в этом случае высказывание называется тождественно ложным или противоречивым. Так, для множества учеников данного класса тождественно ложными будут высказывания «Он имеет две головы» или «Ему больше 50 лет»; выше у нас фигурировало еще одно высказывание, также заведомо противоречивое в применении к ученикам какого-либо класса: «Он слон». В определенном смысле противоположный случай — это тот, когда множество истинности данного высказывания совпадает со всем универсальным множеством /; в этом случае высказывание называется тождественно истинным или бессодержательным. Тождественно истинными являются, например, высказывания: «Он (ученик определенного класса) моложе 50 лет», «Он мальчик или девочка».

Алгебра множеств и алгебра высказываний

Высказывания мы будем обозначать малыми буквами латинского алфавита; отвечающие этим высказываниям множества истинности будем обозначать большими буквами. Так, высказываниям а — «Он

Рис. 27.

отличник» и Ъ — «Он сидит в первом ряду» отвечают указанные выше множества истинности А и В. Тождественно ложное высказывание будем обозначать буквой о, а тождественно истинное — буквой i.

Рассмотрим теперь две операции, позволяющие по двум высказываниям строить новые, составные высказывания. В математической логике эти операции называются дизъюнкцией и конъюнкцией и обозначаются специальными значками v и л ; так, a yb означает дизъюнкцию высказываний а и 6, a û л é — конъюнкцию (сравним с обозначениями суммы и произведения, или объединения и пересечения, множеств, см. стр. 366). Мы здесь для простоты почти не будем употреблять этих сложных терминов и символов, вместо этого будем говорить о сумме а + Ь и произведении ab высказываний а и ft.

Под суммой (дизъюнкцией) высказываний а и b понимается высказывание, которое мы получим, если объединим высказывания а и b союзом «или». Например, если а есть высказывание «Он отличник», a b—высказывание «Он сидит в первом ряду», то через а + Ь будем обозначать высказывание «Он является отличником или сидит в первом ряду». При этом частичку «или» мы будем всегда понимать в смысле: «или первое, или второе, или то и другое вместе». Ясно, что если А есть множество истинности высказывания а, в, В — множество истинности высказывания Ь, то множеством истинности высказывания а + Ь будет А + В (рис. 27). Так, в рассматриваемом примере множество истинности высказывания а состоит из школьников Пети, Саши, Кати, Веры и Наташи, а множество истинности высказывания b — из школьников Илюши, Гриши, Зои, Кати, Наташи и Яши; множество же истинности высказывания а + Ь образуют девять школьников: Петя, Саша, Катя, Вера, Наташа, Илюша, Гриша, Зоя и Яша.

Под произведением (конъюнкцией) высказываний а и b мы будем понимать высказывание ab, получаемое, если объединить высказывания а и Ь, связав их союзом «и». Итак, множеством истинности высказывания ab является произведение (пересечение) множеств истинности высказываний а и Ь. В нашем примере множество истинности высказывания ab («Он является отличником и сидит в первом ряду») состоит из двух учениц — Кати и Наташи (рис. 28).

Условимся еще называть два высказывания эквивалентными (или равносильными), если им отвечает одно и то же множество истинности. Их можно считать одинаковыми, такими, что в «алгебре высказываний» одно из них можно свободно заменить другим. Эквивалентность высказываний можно было бы обозначить обычным знаком равенства, однако чаще ее обозначают стрелкой с двумя концами, т. е. утверждение об эквивалентности высказываний а и b записывается так: а4=>Ь. Отношение а <=> b означает, что содержащиеся в высказываниях а и b признаки, выделяющие определенную часть универсального множества, равнозначны, имеют один и тот же смысл, разнятся только своей формой. При изучении высказываний естественно не различать между собой эквивалентные высказывания, например: «Он отличник» и «Он имеет только отличные оценки».

Мы установили, что множество истинности суммы двух высказываний совпадает с суммой множеств истинности этих высказываний; множество истинности произведения двух высказываний совпадает с произведением множеств истинности этих высказываний. Отсюда следует, что все известные нам правила алгебры множеств можно перевести на язык алгебры высказываний. Так, например:

Докажем, для примера, первый дистрибутивный закон для высказываний:

В соответствии с нашим условием множества истинности высказываний a, b и с мы обозначим через А, В и С. При этом высказывание (а + Ь)с имеет своим множеством истинности (А + В)С; высказывание ас + Ьс имеет своим множеством истинности АС + ВС. Но множества (А + В)С и АС + ВС совпадают; это значит, что высказывания (a-j-b)c и ас-{-be эквивалентны.

Запишем еще законы алгебры высказываний в той форме, в которой они приводятся в книгах по математической логике:

Рис. 28.

Рис. 29 (на стр. 371 левый). Рис. 30 (на стр. 371 правый).

Отрицание. Отношение следствия

Продолжим построение алгебры высказываний. При изучении множеств мы наряду с операциями сложения и умножения множеств рассматривали также операцию «взятия дополнения», сопоставляющую с каждым множеством А его дополнение А. Этой операции отвечает чрезвычайно важная операция алгебры высказываний, сопоставляющая с каждым высказыванием а новое высказывание а, называемое отрицанием а. Грамматически отрицание а получается из высказывания а при помощи частицы «не»; например, отрицанием высказывания «он отличник» является высказывание «он не отличник» (рис. 29). Множество истинности высказывания а является дополнением множества истинности высказывания а; это утверждение можно даже считать определением отрицания.

Алгебраические свойства дополнения множеств сразу приводят к следующим утверждениям, связанным с отрицанием высказываний:

Введем, наконец, еще одно отношение, связывающее два высказывания. А именно, пусть множество истинности А высказывания а уже множества истинности В высказывания Ъ\ другими словами, пусть А целиком содержится в В (т. е. А с: В или В 3 А). В таком случае мы будем говорить, что высказывание а влечет высказывание Ь или что b следует из а (или что Ь является следствием а). Например, если множество отличников класса состоит из школьников Гриши, Илюши и Пети, то высказывание «Он отличник» влечет за собой истинность высказывания «Он мальчик» (или высказывание «Он мальчик» следует из высказывания «Он отличник» ; см. рис. 30). Отношение следствия имеет естественно подразумеваемый словом «следствие» смысл: если b следует из а и мы знаем, что высказывание а истинно, то, наверное, истинно и высказывание 6.

Так, в разобранном выше примере истинность утверждения «Он отличник» означает, что речь идет об одном из трех школьников — Грише, Илюше или Пете; но тогда истинно и высказывание «Он мальчик».

Отношение следствия играет в алгебре высказываний такую же роль, какую в алгебре множеств играет отношение с, указывающее, что одно множество содержится в другом; иногда его обозначают тем же значком cz . Однако чаще отношение «а влечет 6» (или, что то же самое, «ft следует из а») записывается так: а => Ь. Запись а => b читается как «6 следует из а» или, короче, как утверждение «если а, то fr». При этом часто говорят, что а является достаточным условием для b : если мы знаем, что высказывание а является истинным, то этого достаточно, чтобы не сомневаться и в истинности высказывания Ь. Так, если в условиях проиллюстрированного (рис. 30) примера мы знаем, что «он (какой-то учащийся рассматриваемого класса) отличник», то этого достаточно, чтобы утверждать, что «он мальчик». Напротив, про высказывание &, такое, что а => 6, говорят, что оно является необходимым условием для а. Так, в рассмотренном выше примере условие «Он мальчик» является, конечно, необходимым условием истинности высказывания «Он отличник», ибо ни одна девочка в классе отличником не является; однако это условие не является достаточным, поскольку наугад выбранный мальчик может и не оказаться отличником. (Напротив, условие «Он отличник» достаточно, но не необходимо для истинности высказывания «Он мальчик» —учащийся может и не быть отличником, но при этом оказаться мальчиком.) В соответствии с этой терминологией об эквивалентных высказываниях а иЬ (высказываниях, для которых а<=^>Ь) часто говорят, что каждое из них является необходимым и достаточным условием второго.

Так, например, если в некоторой группе школьников все девочки являются отличницами, а все мальчики не отличники, то для этой группы ребят условие а («Она девочка») является необходимым и достаточным для истинности высказывания b («Он (школьник) — отличник»): здесь и a=ï> b и Ь=>а.

Из известных свойств алгебры множеств, связанных соотношением => , следует, что:

Законы мысли

Теперь мы можем ответить на вопрос о том, почему сочинение Дж. Буля, в котором впервые строилась булева алгебра, посвящено выяснению «законов мысли». Дело в том, что правила алгебры высказываний есть те законы, которые играют руководящую роль в процессе нашего мышления.

Многие из этих законов в логике имеют специальные названия. Например, соотношение

a + û <—> <

выражает так называемый закон исключенного третьего. Этот закон можно сформулировать так: сумма каждого утверждения и его отрицания тождественно истинна, другими словами, высказывание или его отрицание всегда истинно. Например, тождественно истинно утверждение «Он отличник или он не отличник». Другими словами, для каждого элемента универсального множества обязательно справедливо либо высказывание а, либо его отрицание а — третьего не дано. Соотношение

аа <—) о

выражает закон противоречия. Согласно этому закону ни для одного объекта не может быть одновременно верно и утверждение а, и его отрицание а. Например, ни один ученик не может одновременно являться и отличником и неотличником. Но если высказывания a и a не могут быть истинны одновременно, то произведение аа тождественно ложно, т. е. множество истинности высказывания аа пусто. Соотношение

n<z=> а

выражает хорошо известный закон двойного отрицания. Этот закон утверждает, что отрицание отрицания совпадает с исходным высказыванием. Так, отрицанием высказывания «Этот ученик — мальчик» является утверждение «Этот ученик — девочка», а двойное отрицание «Этот ученик не девочка» возвращает нас к первоначальному высказыванию «Этот ученик — мальчик».

Аналогичный характер имеют и все остальные правила алгебры высказываний, устанавливающие эквивалентность (равносильность) тех или иных утверждений. Проиллюстрируем это на примерах.

Первый дистрибутивный закон утверждает, что высказывания (а + Ь)с и ас-\-Ьс —это одно и то же. Пусть а есть высказывание «Он (ученик) умеет играть в шахматы», b — «Он умеет играть в шашки» и с — «Он отличник». В таком случае высказывание (а + 6)с имеет следующий смысл: «Он умеет играть в шахматы или в шашки, и, кроме того, он отличник», а высказывание ас + Ьс— смысл: «Он умеет играть в шахматы и является отличником либо он умеет играть в шашки и является отличником». Но ясно, что эти два высказывания по существу означают одно и то же.

Второй дистрибутивный закон означает, что эквивалентны два высказывания ab + c и (а + с)(Ь + с). Если высказывания a, b и с имеют тот же смысл, что и выше, то высказывание ab-{-с означает: «Он умеет играть в шашки и в шахматы или является отличником». Высказывание (а + с)(Ь + с) имеет следующий смысл: «Он умеет играть в шахматы или является отличником; одновременно с этим он умеет играть в шащки или является отличником». Но нетрудно понять, что последнее высказывание по существу совпадает с первым: ведь если ученик, о котором здесь идет речь, не является отличником, то он обязательно умеет играть и в шахматы и в шашки.

Наконец, остановимся еще на так называемых правилах де Моргана:

(они называются так по имени английского логика XIX в. А. де Моргана, впервые установившего эти правила). Пусть, например, а — это высказывание «Он умеет играть в шахматы», b — «Он умеет играть в шашки». В таком случае сложное высказывание а + Ь есть отрицание того, что ученик умеет играть в шахматы или в шашки. Но это отрицание, очевидно, эквивалентно утверждению о том, что ученик не умеет играть ни в шахматы, ни в шашки, т. е. высказыванию ab. Аналогично, отрицание утверждения о том, что ученик умеет играть и в шахматы и в шашки (т. е. высказывание ab), равносильно утверждению о том, что он не умеет играть в шахматы или не умеет играть в шашки; но это и есть высказывание а + Ь.

Рис. 31 (левый). Рис. 32 (правый).

Правила вывода

В заключение скажем еще несколько слов о правилах, связанных с употреблением символа^.

Установление того, что два высказывания а и 6 связаны соотношением а ft, называется выводом; при этом высказывание а называется условием, а высказывание b — следствием. С выводами такого рода мы все время встречаемся в науке и в практической жизни, так, например, заключение любой теоремы является следствием ее условия. Правильность вывода обеспечивается соблюдением определенных правил логики. Эти правила логики могут быть обоснованы с помощью соотношений алгебры высказываний.

Известное уже нам соотношение «Если а b и ft z>c, то а^> с» читается так: «Если из а следует b и из b следует с, то из а следует с». Это соотношение используется в рассуждениях весьма часто. Например, поскольку теорема «Сумма углов треугольника равна 180°» вытекает из аксиомы параллельных линий, а теорема «Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним» вытекает из теоремы о сумме углов треугольника, можно также сказать, что теорема о внешнем угле треугольника является следствием аксиомы параллельных.

Соотношение «Если а ft, то b а» читается так: «Если из высказывания а следует высказывание ft, то из отрицания высказывания b вытекает отрицание высказывания а». Это обстоятельство лежит в основе весьма распространенного метода вывода (или доказательства) от противного. Пусть мы хотим доказать теорему (рис. 31): если соответственные углы А КМ и CLM, образованные прямыми AB и CD с секущей MN, равны между собой (это есть утверждение а), го прямые AB и CD параллельны (это есть утверждение ft). Вместо того чтобы доказывать соотношение а ft, докажем, что b а, т. е. что из отрицания b вытекает отрицание а. Предположим, что прямые AB и CD не параллельны, т. е. что они пересекаются в некоторой точке Р (рис. 32). В таком случае углы АКМ и CLM не будут равны (это внешний угол треугольника PKL и не смежный с ним внутренний угол). Таким образом, соотношение b а доказано, тем самым доказано и соотношение а b (строго говоря, здесь надо применить к соотношению b а рассматриваемое предложение алгебры логики и воспользоваться законом

двойного отрицания: если b => а, то а =^ ft, т. е. а^Ь).

Уже эти примеры показывают ту большую роль, которую играют в любой научной теории правила алгебры логики. В последние годы роль этих правил особенно сильно возросла в связи с возникшей задачей передачи целого ряда операций, выполняющихся людьми, электронным вычислительным машинам. При этом оказалось необходимым научить машину правилам логики, т. е. тем правилам, которыми люди обычно пользуются, зачастую не отдавая себе полного отчета в существе этих правил. Но для того чтобы эти правила могли быть заложены в «электронную память» машины, необходимо четко сформулировать их. Эти четкие формулировки и доставляет нам математическая логика.

Рис. 33. Сложение и умножение множеств можно хорошо проиллюстрировать, используя геометрические фигуры разных цветов.

В первой строке расположены фигуры, которые образуют универсальное (или единичное) множество. В других строках схемы из этого универсального множества / образованы новые множества А, В, С, D и их дополнения А, В, С, D; над этими множествами или их дополнениями произведены операции сложения и умножения.

Чем занимается алгебра

Числа и действия

Необычная конференция

Вообразим, что нам удалось собрать математиков разных веков и стран и поставить перед ними вопрос: «Что вы можете сказать о формуле квадрата суммы?» Стенограмма этой необычной конференции могла бы выглядеть примерно так.

Вавилонский математик, живший 4000 лет назад, сказал, что никаких формул он не знает, так как выполняет действия не над буквами, а над числами. Но ему известно, что если взять два числа, например 20 и 3, то для вычисления квадрата их суммы надо возвести в квадрат число 20, потом число 3, сложить эти квадраты и к сумме прибавить удвоенное произведение чисел.

Древний грек, живший 2300 лет назад, доказал это правило. Он нарисовал квадрат, разбил его на два квадрата и два равных прямоугольника (см. рис. слева) и сказал, что площадь квадрата АС (т. е. квадрата, у которого точки А и С являются концами диагонали) равна сумме площадей квадратов AB и ВС и удвоенной площади прямоугольника BD. Поэтому если сторона квадрата AB равна 20, а квадрата ВС равна 3, то площадь квадрата АС действительно можно подсчитать так, как предложил его вавилонский коллега.

Алгебраист XVI в. записал формулу квадрата суммы так, как показано на рис. 1.

В переводе это читалось бы примерно так : А + В в квадрате равно А в квадрате + В в квадрате + А на В2. (Вместо скобок он писал черту, степени обозначал словами, а коэффициенты писал в конце.)

— Не слишком удобные обозначения, — сказал иронически математик XVII в.

— Однако и с этими обозначениями мы умеем делать значительно больше, чем древние греки, — с обидой возразил выступавший. — Они умели решать лишь квадратные уравнения, а мы справляемся и с уравнениями третьей и четвертой степеней. Жаль лишь, что слишком часто эти уравнения не решаются, так как полученные формулы приводят к нелепой операции извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Выступавший следующим алгебраист XVII в. написал формулу квадрата суммы уже в привычном для нас виде:

(a+b)2 = a2 + 2ab + Ь2

Он добавил, что его предшественники слишком узко понимают эту формулу. Прежде всего, в ней а и b

Рис. 1.

не обязательно являются длинами отрезков, а сами могут быть площадями, объемами, весами и даже отрицательными числами. Более того, вместо а и b можно подставить любые многочлены, например:

[*2+ (* + l)]2 = *4 + 2*2(* + 1) + (* + I)2.

Он сказал еще, что эта формула является только одной из большого числа знакомых ему алгебраических формул и что ему хорошо известно искусство буквенных вычислений, а это искусство и есть алгебра.

Алгебраист XVIII в. заявил, что о формуле квадрата суммы нечего много говорить: эта формула, как и все буквенные вычисления, — удел школьной математики. При этом он отметил, что она всегда верна, и притом не только для положительных или отрицательных чисел, но и для комплексных, а эти числа совсем не такая уж нелепость! Что же касается предмета алгебраической науки, то это вовсе не искусство буквенных вычислений, а умение решать уравнения и системы уравнений. Для систем уравнений первой степени у него даже есть общая формула решения.

Выступление математика XIX в. часто прерывалось возгласами недоверия и шумными восклицаниями. Было ясно, что это выступление явилось для большинства участников полной неожиданностью. Да и в самом деле, выступавший заявил, что формула {a + b)2 = a2-\-2ab + b2 верна далеко не во всех случаях! Например, ирландский математик У. Гамильтон занимался обобщением комплексных чисел (так называемыми гиперкомплексными числами). Он построил числа, названные кватернионами, у которых не одна, а целые три мнимые единицы iy jy k. Так вот, для кватернионов (которые находят много интересных применений) формула квадрата суммы просто неверна. Неверна потому, что здесь мы сталкиваемся со случаем, когда умножение некоммутативно, т. е. не выполняется переместительный закон умножения (например, ij=k, ji= — £), а при выводе формулы квадрата суммы мы пользуемся равенством ab = ba.

Выступавший сказал, что другие математики рассмотрели еще более удивительные обобщения комплексных чисел, для которых умножение не только некоммутативно, но даже и неассоциативно, т. е. в общем случае

(аЬ)сфа(Ьс)

Выступивший вслед затем алгебраист XX в. сказал, что гиперкомплексные числа — это только примеры к тем общим теориям, которыми он занимается. Он может доказывать теоремы, которые верны не только для гиперкомплексных чисел одного вида, а для всех гиперкомплексных чисел (или для очень многих видов таких чисел). Он умеет складывать и умножать не только числа и многочлены, а и... квадратные таблицы, геометрические и алгебраические преобразования, логические суждения и т. д. (см. ст. «Алгебра множеств и алгебра логики»).

— Как же вам удается оперировать с такими непохожими друг на друга вещами, как квадратные таблицы, гиперкомплексные числа, геометрические преобразования? Что может быть общего в действиях над ними? И как вы узнаете, какие формулы имеют место в тех или иных случаях?

— Весьма несложно; для этого в моем распоряжении имеется столь мощное оружие, как аксиоматический метод, который...

— Не может быть, — воскликнул окончательно выведенный из равновесия древний грек, — ведь аксиомы относятся к области геометрии?!

...Прервем на этом нашу конференцию и постараемся разобраться во всем сказанном.

Фундамент алгебры

Из всех сделанных высказываний школьнику Васе Игнатьеву, который был корреспондентом школьной стенгазеты и присутствовал на конференции, самым правильным показалось мнение алгебраиста XVII в., что алгебра — искусство буквенных вычислений.

Вася учился тогда в VI классе и на уроках алгебры много занимался буквенными вычислениями. Тут были и формулы сокращенного умножения, и коэффициенты, и показатели степени, и многое другое — от букв в глазах рябило. Он часто думал: «Хорошо было бы иметь решения ко всем примерам нашего задачника!» Но вскоре понял, что это не поможет, — учитель для контрольных работ брал примеры из какого-то другого задачника. А запомнить решения всех задач из всех задачников на свете — это, пожалуй, никому не под силу, разве что фокусникам из цирка, выступающим с сеансами феноменальной памяти.

Делать нечего, приходилось заучивать правила: что происходит с коэффициентами и показателями при умножении одночленов, как возводить сумму и разность в квадрат и многое другое.

Вася был мальчик любознательный и захотел узнать, откуда же эти правила берутся. Внимательно читая учебник, он понял, что все правила, по которым выполняются действия с многочленами, вытекают из небольшого числа основных правил. Эти первоначальные правила таковы :

а + 0 = а; а+(—а)=0; a+b=b+a (коммутативность сложения);

(а + Ь) + с = а + (Ь + с) (ассоциативность сложения);

а-1 = а; (1)

ab = ba

(коммутативность умножения);

a(bc) = (ab)c (ассоциативность умножения);

a(b + c) = ab + ac (дистрибутивность).

Из этих правил можно вывести все остальные, например формулу

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (2)

обсуждавшуюся на необычной конференции. (Попробуйте это сделать!)

Таким образом, искусство буквенных вычислений сводится к применению основных правил. При этом некоторые следствия из этих правил (например, формула квадрата суммы) применяются настолько часто, что их надо так же хорошо запомнить и применять, как и первоначальные правила.

Не правда ли, это очень напоминает положение дел в геометрии — там тоже есть несколько аксиом (т. е. первоначальных положений), из которых выводятся различные следствия, называемые теоремами. А при решении задач приходится применять и аксиомы и теоремы. Поэтому мы будем, как и в геометрии, формулы (1) называть аксиомами, а формулы вида (2) — теоремами.

Как и аксиомы геометрии, аксиомы алгебры не доказываются. Они являются обобщением многотысячелетнего опыта практической деятельности человечества. Прежде чем сформулировать положение а + 6 = 6 + а, надо было много тысяч раз подметить такие арифметические соотношения, как: 2 + 5 = = 5 + 2, 4 + 6 = 6 + 4 и т. д.

Все остальные аксиомы (1) имеют такое же происхождение: они являются буквенной записью многократно проверявшихся законов арифметики.

Сила букв

Уже пятиклассники хорошо понимают, насколько алгебра сильнее арифметики: вместо того чтобы решать несколько задач, отличающихся только числовыми данными, можно решить одну задачу с буквенными данными, а потом подставлять в полученный ответ различные числовые данные.

При этом полученный алгебраический ответ часто можно упростить, пользуясь правилами алгебраических преобразований, и тогда подставлять числовые данные и производить арифметические действия будет гораздо проще.

На этом факте основаны многочисленные «фокусы» с отгадыванием задуманных чисел. Например, предложим выполнить следующие действия: 1) задумайте число; 2) прибавьте к задуманному числу 5; 3) полученный результат умножьте на 3; 4) отнимите от получившегося теперь результата задуманное число; 5) отнимите 11; 6) разделите полученный ответ на 2. Если сообщить «фокуснику» полученный результат, то он сразу назовет задуманное число. При этом ему не придется выполнять в обратном порядке всей сложной последовательности действий. В самом деле, если обозначить задуманное число через X, то действия, которые предложено выполнить, запишутся следующим образом:

[(*+5)-3—х-11]:2.

Упрощая это выражение, легко найдем, что оно равно л:+ 2. Поэтому «фокуснику» достаточно отнять от сообщенного ему результата 2, чтобы получить задуманное число.

Однако шестиклассник (да и оканчивающий школу) не оценивает полностью всю силу буквенных формул. Он считает, что буквы в них — это обязательно

какие-то числа (заранее известные или искомые). На самом же деле, производя действия с буквами, он использует лишь аксиомы алгебры и их следствия. Поэтому все его вычисления годятся не только для чисел, но и для любых вещей, для которых выполняются эти аксиомы. Например, буквы могут означать не отдельные числа, а многочлены, алгебраические дроби и другие алгебраические выражения.

Ведь хорошо известно, что для сложения и умножения многочленов выполняются те же аксиомы (1), что и для сложения и умножения чисел. Например, если а и b —некоторые многочлены, то a + b = b-\-а, ab = ba и т. д. Отсюда следует, что в любое алгебраическое тождество вместо букв можно подставлять не только числа, но и любые многочлены. Например, из того, что

аз _ £3 = (а_ Ь) (а2 + ab + b2),

следует тождество

Если кроме чисел и многочленов нам встретятся другие вещи, которые можно складывать и умножать, причем выполняются аксиомы (1), то для них будут верны все формулы и выводы алгебры. Например, старшеклассники встречаются с комплексными числами. Верны ли для таких чисел формулы алгебры, или надо снова выяснять, чему равен куб суммы комплексных чисел? Из сказанного следует, что проверять заново для комплексных чисел все формулы алгебры не нужно. Достаточно проверить аксиомы (1), а из них уже будут следовать все остальные формулы.

Кольца

Теперь ясно, когда верна формула

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,

да и все остальные формулы алгебры. Они верны для любых объектов, которые можно складывать и умножать, причем выполняются указанные выше аксиомы (1). Мы уже знаем три примера объектов, для которых эти аксиомы выполняются. Это действительные числа, комплексные числа и многочлены.

Математики знают много других примеров множеств с аналогичными свойствами:

1) элементы такого множества можно складывать и умножать, причем сумма и произведение двух элементов снова принадлежат тому же множеству;

2) среди элементов множества особо отмечены два элемента, обозначаемые символами 0 и 1 ;

3) для каждого элемента а определен противоположный элемент —а, принадлежащий тому же множеству ;

4) для сложения и умножения в рассматриваемом множестве выполняются все аксиомы (1).

Ввиду того что такие множества часто встречаются, для них было введено специальное название — кольцо.

Кроме рассмотренных выше трех примеров можно указать следующие примеры колец: а) множество всех целых чисел (сумма и произведение целых чисел — целые числа, так же как и число, противоположное целому); б) многочлены с целыми коэффициентами ; в) числа вида а +- Ьу^7, где а и b — произвольные целые числа.

А положительные числа (относительно обычных сложения и умножения) кольца не образуют, ведь число, противоположное положительному, уже не является положительным.

Позже понятие кольца было расширено. Во-первых, отказались от требования, что в кольцо входит элемент 1, для которого al = l-û-û. Например, все четные числа (как положительные, так и отрицательные) образуют кольцо без единицы. Нечетные же числа вообще не образуют кольца, так как сумма двух нечетных чисел четна.

Потом отказались и от требования коммутативности умножения, т. е. отбросили аксиому ab = ba (сохранив остальные аксиомы). Такие кольца стали называть некоммутативными. Примером некоммутативного кольца является кольцо всех кватернионов. Наконец, пожертвовали и аксиомой ассоциативности умножения, заменив ее другими аксиомами.

Например, стали рассматривать кольца, в которых аксиомы коммутативности и ассоциативности умножения заменяются следующими аксиомами:

ab= —Ьа (антикоммутативность); (ab)c + (bc)a + (ca)b = 0.

Такие кольца называют алгебрами Ли (по имени норвежского математика С. Ли).

Все это происходило не из любви математиков к обобщениям, а потому, что были найдены важные для практики объекты, для которых имелось естественное сложение и умножение, но умножение не было ни коммутативным, ни ассоциативным. Многие такие объекты встретились, например, в современной квантовой физике.

Разумеется, вследствие введения новых аксиом пришлось заменить многие формулы алгебры новыми. Например, для алгебр Ли вместо формулы (а — b)(a + Ь) = а2 — Ь2 справедлива формула (a — b)(a + b) = 2ab. Не правда ли, удивительно?!

Поля

Мы уже говорили, что понятие кольца, удовлетворяющего всем аксиомам (1), оказалось в некоторых вопросах математики слишком узким. Однако для других математических вопросов оно оказалось слишком широким, ведь в определении кольца ни слова не сказано о возможности деления. Да и не во всех кольцах можно делить. Возьмем, например, кольцо всех целых чисел. Если разделить 3 на 5, то целого числа не получится. А без деления нельзя решать даже уравнений первой степени!

Чтобы изучать уравнения, пришлось ограничиться кольцами, в которых есть операция деления. Такие кольца математики назвали полями. Как в настоящем поле можно идти в любую сторону, не встречая никаких препятствий, так в математическом поле можно беспрепятственно выполнять все арифметические действия (кроме деления на нуль!).

Читатель еще в V классе познакомился с одним полем — полем всех рациональных чисел (положительных и отрицательных). Позже он познакомился с более широким полем — всех действительных чисел (рациональных и иррациональных). Наконец, все комплексные числа тоже образуют поле.

Кроме этих трех полей (рациональных, действительных, комплексных чисел) есть еще много других полей, состоящих из чисел. Возьмем, например, все числа вида а 4- b j/o . где а и b — рациональные числа. В это множество чисел входит, например, I 3 = 0 — 1 У^З , но не входит \/~Ь . Оказывается, это множество чисел образует поле.

Точно так же числа а 4- b \ А5, где а и b рациональны, образуют поле. А вот числа вида а-\-Ьу 2 Л-су' 3, где a, b, с рациональны, не образуют поля, потому что \,г2 - |/~3 = V 6 . Чтобы получить поле, надо расширить это множество чисел, а именно рассматривать числа вида а + b у' 2 + с у 3 -1- d \ б , где а, Ь, с, d рациональны. Поля можно строить не только из чисел. Например, множество всех алгебраических дробей образует поле.

Разложение на множители и решение уравнений

Разложение чисел на множители

С разложением чисел на множители вы знакомы. Вам приходится это делать при отыскании общего знаменателя, при сокращении дробей и т. д.

Одно из основных утверждений арифметики гласит: каждое натуральное число единственным образом разлагается на простые множители. Например:

72 = 2.2-2 -З-З; 1001=7- 11 - 13 (разумеется, разложения, отличающиеся лишь порядком множителей, мы считаем одинаковыми). Напомним, что простым числом называется натуральное число, имеющее только два различных делителя (само число и 1). Число 1 не считается простым.

Будем теперь рассматривать не только натуральные числа, но и нуль и отрицательные целые числа. Иными словами, возьмем множество всех целых чисел. На первый взгляд здесь труднее определить понятие простого числа. Ведь, например, 7 = ( —1).( —7). Значит ли это, что число 7 перестает быть простым, если его рассматривать в множестве всех целых чисел? Оказывается, нет, надо только уточнить, что называется простым числом.

Заметим, что число — 1 обладает следующим свойством: если разделить 1 на —1, то в частном получится целое число. Другим целым числом с таким же свойством является сама единица. Мы будем называть эти числа (1 и —1) делителями единицы.

Назовем целое число р простым, если оно не является делителем единицы, но в любом его разложении в произведение двух целых множителей один из сомножителей обязательно является делителем единицы. При таком определении число 7 остается простым и после перехода к множеству всех целых чисел. Простым будет и число —7.

Сохраняет свою силу и основной закон арифметики, однако тоже с небольшим изменением формулировки: каждое целое число, отличное от нуля, разлагается в произведение простых целых чисел; это разложение однозначно определено с точностью до перестановок сомножителей и возможного умножения некоторых сомножителей на —1 (т. е. на делитель единицы). Например:

21 =3.7 = 7-3= (—3) (—7) = (-7) (-3).

Такие разложения принято считать одинаковыми,

Удивительное разложение

При решении некоторых сложных вопросов теории чисел пришлось разлагать целые числа не только на целые множители, но и на множители вида а + Ь )/~5> где а и b — целые числа. Числа такого вида сами образуют кольцо. Для них, как и для целых чисел, можно определить понятия простого числа, делителя единицы и т. д. Например, число 2 + У~Ъ — делитель единицы, так как (2 + y^5)( — 2 + J/1T) = 1. Велико же было удивление математиков, когда оказалось, что в кольце чисел а + Ь\/~5 нарушается основной закон арифметики о единственности разложения на простые множители. Например:

А вот в кольце чисел вида а + Ь]/3 (а и 6 —целые) имеются делители единицы кроме 1 и —1, например: (2 + ]/~3)(2—У^З) = 1. Но разложение на множители в этом кольце однозначно (как всегда, с точностью до перестановки множителей и умножения этих множителей на делители единицы).

В теории чисел полностью изучен вопрос, в каких кольцах чисел вида а + Ь\±D имеет место однозначность разложения на простые множители, а в каких нет. Мы не будем на этом останавливаться.

Разложение многочленов на множители

Разложение целых чисел на множители напоминает другой раздел элементарной математики — разложение многочленов на множители. Этот раздел очень нравился нашему знакомому Васе Игнатьеву. Он умел разлагать на множители не только такие простые многочлены, как х2 — 4 = (х — 2)(х + 2), но также способом группировки мог разложить:

X2— Зх + 2 = X2—х-2х + 2 = X ( х-1 ) — 2 ( х— 1 ) = = (х-\)(х-2).

Эти примеры он брал из различных задачников. Однако, когда он попытался сам придумать пример и начал разлагать на множители многочлен х2 + 6х + 4, у него ничего не вышло. Потом он сообразил, что даже многочлен ' х2 — 2 не разлагается на множители. Он забросил листок, на котором решал пример, и нашел его только через год, когда перешел в следующий класс. «Над чем же я думал!—воскликнул он, — ведь

Вася думал, что, научившись решать квадратные уравнения, он сможет разлагать на множители любой квадратный трехчлен. Но радость его была преждевременной; когда он взялся за многочлен х2 + 6х + 10, то даже применение иррациональных чисел ему не помогло. При решении квадратного уравнения х2 + 6х+10 = 0 появились квадратные корни из отрицательных чисел, а про такие корни он еще ничего не знал.

Лишь на одном из занятий математического кружка Вася научился разлагать и такие многочлены — учитель рассказал о комплексных числах, после чего Вася смог решать все квадратные уравнения, а тем самым и разлагать на множители все квадратные трехчлены :

Почему же в разных классах Вася по-разному подходил к задаче о разложении многочлена, почему все больше расширялся класс многочленов, которые он мог разлагать на множители? Ларчик открывается просто — задача о разложении на множители не очень точно поставлена. Надо еще указать, какими могут быть эти множители, какими числами должны быть их коэффициенты. Таким образом, недостаточно сказать: «Разложите многочлен f(x) = aQxn + + a\Xn~l+... + ап на множители». Надо еще сказать, какому полю должны принадлежать коэффициенты этих множителей.

Если все коэффициенты многочлена f(x) принадлежат числовому полю Р, то говорят, что f(x) является многочленом над полем Р. Например, х2 + 6х+10 является многочленом над полем рациональных чисел, х2+2х + т: — над полем действительных чисел, а многочлен х2 + ix + 3 — i — над полем комплексных чисел.

Разумеется, если поле Р является частью поля Рх (или, как говорят математики, его подполем), то любой многочлен над полем Р может рассматриваться и как многочлен над полем Рх. Ведь его коэффициенты принадлежат полю Р, а значит, и полю Рх. Такой подход бывает удобен при разложении многочленов на множители. Например, можно говорить о разложении многочлена х2 + 6х+10 над полем комплексных чисел.

Разложение многочленов на множители похоже по своим свойствам на разложение целых чисел. Только вместо простых чисел надо брать так назы-

ваемые неприводимые многочлены — те, которые нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей степени (над заданным полем). Делителями единицы являются только многочлены нулевой степени, т. е. отличные от нуля числа. Как и для целых чисел, здесь каждый многочлен единственным образом разлагается в произведение неприводимых множителей. Разумеется, такие два разложения, как

х2 + 3х + 2 = (х + \)(х + 2)=(2хг2)(±х+ l),

отличающиеся лишь делителями единицы, считаются одинаковыми.

Разложение многочленов на множители и решение уравнений

Зачем же надо разлагать многочлены на множители? Одна причина ясна — для выполнения действий с алгебраическими дробями. Но есть и другая причина — разложение на множители облегчает решение уравнений. Пусть нам дано уравнение :

jc5 + 2jc4—X 2 = 0.

Решать уравнения пятой степени мы не умеем. Но если сгруппировать члены в левой части, то получим:

(д;+2)(д4-1)=0,

или

(х+2)(х— 1)(х+1)(х2+1)=0.

А теперь видно, что левая часть обращается в нуль при Х\= — 2, х2 = 1, Хз= — 1. Значит, эти числа являются корнями нашего уравнения. Других действительных корней у него нет, так как произведение может равняться нулю, лишь если какой-нибудь множитель равен нулю, а множитель х2 +1 при действительных X в нуль не обращается.

Особенно легко решать уравнения, левая часть которых разложена на множители первой степени:

(х — а,) (х — а2) • • (х — ап)^0.

В этом случае ясно, что корнями будут числа ai, сх2» —» ал» а других корней не будет (так как если х отлично от всех чисел ai, аг» •••» a , то ни один из множителей первой степени в нуль не обращается).

Верно и обратное: если мы знаем п корней ai, a2. —, a многочлена

f(x)=abxn + alxn~l + . . + an,

то он следующим образом разлагается на множители:

Из сказанного ясно, что никакое уравнение лг-й степени не может иметь больше, чем п корней. А имеет ли любое уравнение хотя бы один корень? Впрочем, эта задача опять нечетко поставлена: неясно, что значит «любое уравнение», какими должны быть его коэффициенты. Неясно и то, какие корни мы будем рассматривать.

Основная теорема алгебры многочленов

Мы видели, что чем богаче элементами поле Р, тем больше возможностей разложить над ним заданный многочлен f(x) на множители. Например, многочлен je4 —2 совсем не разлагается над полем рациональных чисел, но разлагается на три множителя над полем действительных чисел:

и на четыре — над полем комплексных чисел:

Однако расширение поля влечет за собой и расширение множества многочленов, которые надо разлагать. Ведь если допустить в качестве коэффициентов не только рациональные, но и действительные числа, то придется разлагать не только такие многочлены, как X4 — 2, но и такие, как хА — \/~2> и даже такие, как хА — л. А если допустить комплексные числа, то придется рассматривать и многочлены вида xA-\-i.

К счастью, оказалось, что выигрыш от расширения поля больше, чем проигрыш, — над полем комплексных чисел любой многочлен (не только с рациональными, но и с любыми комплексными коэффициентами) разлагается до конца, т. е. на множители первой степени. А это означает, что всякое уравнение П'и степени с комплексными коэффициентами имеет ровно п корней. Эту теорему называют основной теоремой алгебры многочленов. Ее доказал К. Гаусс в 1799 г.

Сложнее обстоит дело с разложением многочлена над полем действительных чисел. Как мы видели, над этим полем многочлен х2 + 6х + 10 не разлагается на множители первой степени. Однако любой многочлен с действительными коэффициентами, степень которого больше двух, всегда разлагается на множители с коэффициентами того же вида. Поэтому всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается над полем действительных чисел на множители первой и второй степеней.

Нильс Хенрик Абель.

Решение уравнений в радикалах

Основная теорема алгебры дает только уверенность в том, что у каждого алгебраического уравнения есть корни. (Теоремы такого типа называют в математике теоремами существования.) Однако она ничего не говорит о том, как эти корни искать. Иными словами, вопрос о том, как решить данное уравнение, остается открытым и после доказательства основной теоремы алгебры.

Издавна люди занимались решением уравнений. При этом старались выразить корни уравнения через коэффициенты с помощью четырех арифметических действий и извлечения корней. Это удалось сделать для квадратных уравнений, а впоследствии и для уравнений третьей и четвертой степеней.

Многие годы усилия математиков были направлены на то, чтобы найти решение в радикалах (т. е. с помощью этих же пяти действий) для любого уравнения пятой степени. Все эти попытки к успеху не привели. Долгое время думали, что дело в недостаточной изобретательности математиков и что когда-нибудь придет математический гений, который решит задачу.

Алгебра правды и лжи

Всем, кто впоследствии пожелает изучить правила алгебры логики, имеет смысл предварительно попрактиковаться в применении своеобразных математических приемов выявления истины из поступившей информации, содержащей в себе и правду и ложь. Пусть полученная информация состоит из нескольких сообщении, причем заранее известно, что правдиво только какое-то одно. Сейчас несущественно — часто или редко встречается такая ситуация.

Условимся, что эквивалентом всякого верного утверждения будет число 1, а всякого ложного —число 0. Тогда полученные сведения можно определенным образом закодировать (зашифровать) символами и составить из этих символов и чисел 0 и 1 некоторые алгебраические выражения и равенства. При этом каждое утверждение можно представить в двух видах: как произведение и как сумму.

Пусть буквами А и В обозначены два верных утверждения, т. е. каждая буква имеет значение 1; тогда произведение АВ = 1; но если А или В ложно, т. е. имеет значение 0, то А-В — 0. Сумму двух верных утверждений (т. е. двух единиц) следует считать равной 1, Л + £ = так как в нашей алгебре нет чисел, превышающих единицу; в самом деле, ведь ничто не может быть более правильным, чем «верно». Однажды произошел такой разговор.

Мама. Вчера мне сказали, что Саша, сын Николая Ивановича, уже окончил институт, а ему еще только двадцать один год.

Папа. Ты что-то напутала, дорогая. Сына Николая Ивановича зовут Костя, и ему еще только недавно исполнилось восемнадцать.

Дочь. Я не знаю семью Николая Ивановича, но помню, подруга утверждала, что его сыну 25 лет, и при этом называла она его другим именем, не Сашей.

При помощи вычислений определите имя и возраст сына Николая Ивановича, полагая, что в каждой из полученных информации содержатся верные сведения либо только о возрасте, либо только об имени.

Решение на стр. 416.

Гений действительно пришел, им был молодой норвежский математик Н. Абель. Однако вместо желанной формулы он дал отрицательный ответ — решения задачи не существует. Впрочем, сначала Абель ошибся (и гении делают ошибки!). Ему показалось, что он нашел формулу, дающую решение уравнения пятой степени в радикалах. Но потом он увидел ошибку, проанализировал свои рассуждения и в результате получил замечательный вывод: не только неверна выведенная им формула, но и вообще не существует общей формулы, выражающей корни любого уравнения пятой степени через коэффициенты этого уравнения с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.

Циркуль и линейка

На развитие теории уравнений сильное влияние оказали задачи о построениях циркулем и линейкой, в особенности задачи о построении правильных многоугольников. Из школьного курса известно, как строить циркулем и линейкой правильный треугольник, квадрат и шестиугольник. В более подробных курсах рассказано о построении правильного пятиугольника. А вот о построении правильного семиугольника или девятиугольника ничего не говорится. И это не случайно: ни правильный семиугольник, ни правильный девятиугольник нельзя построить циркулем и линейкой.

Как же это узнали? Ведь доказать разрешимость задачи сравнительно легко — достаточно указать путь ее решения. Доказать же, что задачу нельзя решить, очень трудно.

Путей решения задачи бесконечно много (мало ли какие построения можно придумать!), и доказать, что ни один из них не приведет к цели, на первый взгляд невозможно.

Однако математики справились с этой задачей. Для этого они сначала исследовали вопрос, какие отрезки можно построить циркулем и линейкой исходя из одного заданного отрезка (в случае построения правильного многоугольника заданным является радиус описанной окружности или сторона искомого правильного многоугольника).

Чтобы ответить на этот вопрос, пришлось ввести понятие квадратичной иррациональности. Так назвали числа, которые получаются из единицы с помощью четырех арифметических действий и операции извлечения квадратного корня. Вот для примера некоторые числа, являющиеся квадратичными иррациональностями :

Все квадратичные иррациональности, вместе взятые, образуют числовое поле, причем в этом поле всегда выполнима операция извлечения квадратного корня из положительного числа.

Было доказано, что если задан отрезок а, длина которого принимается за единицу, то циркулем и линейкой можно построить любые отрезки, длины которых являются квадратичными иррациональностями, и только эти отрезки.

Например, для построения правильного пятиугольника с данной стороной достаточно построить его диагональ (тогда все вершины можно будет найти с помощью засечек окружности). Расчеты показывают, что если сторона пятиугольника равна 1, то его диагональ имеет длину -—^--Так как это число является квадратичной иррациональностью, то построение правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки возможно.

А вот правильный девятиугольник построить нельзя. Эта задача сводится к построению угла в 40°. Нетрудно проверить далее, что число cos40° является корнем уравнения

хъ—Зх+\=0 (3)

Было доказано, что если один из корней кубического уравнения с целыми коэффициентами является квадратичной иррациональностью, то у него есть и рациональный корень. А легко доказать, что у уравнения (3) рациональных корней нет, значит, нет и корней, являющихся квадратичными иррациональностями. Поэтому и нельзя построить правильный девятиугольник циркулем и линейкой.

Окончательное решение вопроса о построении правильных многоугольников циркулем и линейкой дал в 1796 г. Гаусс. Он доказал, что если р—простое число, то правильный р-угольник с данной стороной может быть построен циркулем и линейкой в том, и только в том, случае, когда число р можно записать в виде р = 22“ + 1, где п — целое число. Например, при м = 0 имеем р = 3, а при п = 1 имеем р= 5. Поэтому правильный треугольник и правильный пятиугольник можно построить циркулем и линейкой. При п — 2 получаем р = П. Значит, и правильный семнадцатиугольник строится циркулем и линейкой. Можно построить циркулем и линейкой даже пра-

вильные многоугольники с 257 и 65 536 сторонами. А вот при л = 5 число 22“ + 1 оказывается составным. Поэтому правильный (225 +1)-угольник нельзя построить циркулем и линейкой.

В древности математики потратили много сил на решение следующей задачи об удвоении куба: дан куб со стороной а; построить такой куб, объем которого вдвое больше объема данного куба. Примем длину отрезка а за единицу, а длину ребра искомого куба обозначим через х. По условию задачи должно быть Xs = 2. Это уравнение не имеет рациональных корней. Поэтому по упомянутой выше теореме у него нет и корней, являющихся квадратичными иррациональностями. Значит, решить задачу удвоения куба циркулем и линейкой невозможно.

Гораздо труднее было доказать, что невозможно построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий кругу радиуса 1 (задача о квадратуре круга). Это доказательство было проведено неалгебраическими методами. Было доказано, что сторона такого квадрата не только не является квадратичной иррациональностью, но даже не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (такие числа называют неалгебраическими или трансцендентными).

Группы

Умножение геометрических преобразований

О том, что такое геометрические преобразования и как они применяются для решения задач, было подробно рассказано в статье «Геометрические преобразования». На первый взгляд может показаться, что эта область математики относится целиком к геометрии, а алгебраистам там делать нечего. Но это не так; оказывается, геометрические преобразования можно умножать, а ведь алгебра изучает свойства самых различных действий, в том числе и умножения преобразований.

Как же умножить геометрическое преобразование а на геометрическое преобразование ß? А очень просто — сначала сделать преобразование a, a потом ß. В результате получится новое преобразование. Его называют произведением преобразований а и ß и обозначают aß. Пусть, например, a—поворот плоскости вокруг точки О на 30°, aß — поворот вокруг той же точки на 45°. Сделав эти повороты один за другим, получим поворот плоскости вокруг точки О на 75° (рис. 2). Этот поворот и является произведением поворотов а и р.

Умножение преобразований похоже по своим свойствам на умножение чисел. Например, для умножения преобразований верен ассоциативный закон:

«(ft)=(«Ph.

Есть и преобразование, играющее роль единицы, т. е. такое, что для любого преобразования а верна формула а • е=\е • а = а. Им является тождественное преобразование е, оставляющее все точки на месте. Ясно, что если сначала сделать преобразование еу т. е. оставить все неизменным, а потом преобразование а, то это все равно что сделать только преобразование а. Поэтому е • а = а. Точно так же доказывается, что а • е=*а.

— А нужно ли доказывать последнее равенство? — спросит читатель. — Ведь уже доказано, что е • а = а, a от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Вспомните, однако, что при умножении кватернионов переставлять сомножители нельзя. Оказывается, их нельзя переставлять и при умножении преобразований. Вот простой пример.

Пусть а — сдвиг вдоль оси Ох на 6 единиц, aß — поворот на 90° вокруг точки О. При преобразовании а начало координат перейдет в точку А (6; 0). При преобразовании ß (т. е. при повороте на 90°) точка А перейдет в точку В (0; 6). Таким образом, преобразование а • ß переводит точку О в точку В (рис. 3).

Произведем теперь те же преобразования в обратном порядке. При повороте а точка О останется на месте. При сдвиге же ß точка О перейдет в точку А. Значит, ß • а переводит О в точку Л, а не в точку В. Мы видим, что а • ߥ= ß • а.

Итак, умножение преобразований не обладает свойством коммутативности. Выполнение равенства aß = ß а является для преобразований не правилом, а исключением. Одно из таких исключений дается формулой: ае = еа.

Преобразования можно не только умножать, но и делить друг на друга. Для чисел деление сводится к умножению на обратное число, например:

2:5 = 2~=2-5“1.

И для преобразований деление сводится к умножению на обратное преобразование. Это преобразование определяют следующим образом.

Пусть преобразование а переводит точку Р в точку Q. Тогда обратное ему преобразование а-1 переводит Q обратно в точку Р. Например, если а — сдвиг вправо на отрезок а, то а“1 — сдвиг влево на тот же отрезок а.

Рис. 2 (верхний).

Рис. 3 (нижний).

Ясно, что если сначала сделать преобразование а, a потом преобразование а-1, то в результате все точки вернутся на свои места и получится тождественное преобразование. Поэтому а • а~1 =е. Точно так же а 1 • а = е.

Теперь ясно, как можно делить преобразования. Только, в отличие от чисел, для преобразований есть два вида деления — слева и справа. Если разделить преобразование а слева на ß, то получится ß_1a, если справа, то a

Зачем же нужно умножать преобразования? Чтобы разобраться в этом, разберемся в понятии равенства геометрических фигур.

Что такое равные фигуры

В статье «Геометрические преобразования» рассказано, что две геометрические фигуры называются равными, если существует движение, при помощи которого можно совместить одну фигуру с другой. Геометрические свойства равных фигур совершенно одинаковы. Поэтому можно сказать, что геометрия изучает только те свойства фигур, которые не меняются при движениях.

Однако это определение не всегда удовлетворительно. Например, при изучении векторов (а теория векторов — это часть геометрии) два вектора считают равными, если не только их длины одинаковы, но и векторы параллельны и одинаково направлены.

Поэтому, например, векторы OA и OB (рис. 4) не считаются равными, хотя один из них получается из другого поворотом вокруг точки О. А векторы OA и CD на том же рисунке равны друг другу. Чтобы получить вектор CD из вектора OA, надо сделать параллельный перенос плоскости на вектор ОС.

Таким образом, два вектора называются равными, если один получается из другого с помощью параллельного переноса. Можно сказать, что векторная алгебра изучает свойства, остающиеся неизменными при параллельных переносах.

В других случаях приходится изучать свойства фигур, остающиеся неизменными лишь при поворотах вокруг некоторой точки. Если, например, инженеру надо рассчитать турбину, то для него все лопатки турбины равноправны — одна получается из другой поворотом вокруг оси турбины. А сместить лопатку вдоль радиуса нельзя — при этом изменится центробежная сила и весь расчет окажется неверным.

Точно так же две фигуры на сфере надо считать равными, если одна получается из другой поворотом вокруг центра сферы.

Можно привести и такие случаи, когда целесообразно считать равными геометрические фигуры, не являющиеся таковыми с обычной точки зрения. Например, при изучении угловых свойств окружности можно полностью отвлечься от ее размеров. Тогда все окружности будут для нас одинаковыми. Но окружность Si на рис. 5 нельзя перевести в окружность S2 движением. Для этого надо применить более общее преобразование подобия. Существуют и такие случаи, когда целесообразно считать равными фигуры, переводимые друг в друга линейными и

Рис. 4.

Рис. 5 (верхний).

Рис. 6 (нижний).

другими преобразованиями (см. об этом подробнее в статье «Геометрические преобразования»).

Поэтому можно дать такое определение равенства геометрических фигур. Пусть имеется некоторое множество геометрических преобразований G. Фигура F\ называется равной фигуре F2 относительно этого множества преобразований, если есть преобразование а из G, переводящее F\ в F2. Например, если множество G состоит из параллельных переносов, то фигуры Fi и F2 на рис. 6 равны, а фигуры F\ и Fz не равны. Если же множество G состоит из поворотов вокруг точки О, то равными окажутся фигуры Fi и /^з, а неравными — Fi и F2. Наконец, если взять множество всех движений плоскости, то относительно него все три фигуры равны.

Ясно: чем больше преобразований содержит множество G, тем большее число фигур окажется равным относительно этого множества преобразований.

Группы геометрических преобразований

Не всякое множество G геометрических преобразований пригодно для определения равенства фигур. Ведь может случиться, что в множестве G отсутствует преобразование, оставляющее какую-то фигуру F неизменной, и окажется, что она не равна самой себе. Конечно, такое определение равенства никуда не годилось бы. Поэтому потребуем, чтобы среди преобразований множества G было тождественное преобразование е, т. е. такое, при котором все фигуры остаются неизменными. Тогда любая фигура будет равна самой себе относительно этого множества.

Но существования тождественного преобразования еще мало. Может случиться, что в множестве G есть преобразование, переводящее фигуру Fi в фигуру F2, есть и преобразование, переводящее фигуру F2 в фигуру ^з, но нет преобразования, переводящего Fi прямо в F3. Получим: Fx = F2y F2 = F3, но FiФF3. Чтобы этого избежать, введем следующее условие: вместе с любыми двумя преобразованиями а и ß в множество G входит и их произведение а/?.

Наконец, надо, чтобы из равенства Fi=F2 вытекало равенство F2 = Fi. Иными словами, надо, чтобы вместе с преобразованием, переводящим фигуру Fi в фигуру F2, множество G содержало и преобразование, переводящее F2 в F\. Для этого достаточно, чтобы вместе с преобразованием а множество G содержало и обратное ему преобразование а-1.

Подведем итоги. Для того чтобы равенство геометрических фигур, определенное с помощью множества преобразований G, обладало «хорошими» свойствами, нужно следующее: 1) множество G должно содержать тождественное преобразование; 2) вместе с двумя преобразованиями а и 3 в С должно входить их произведение aß; 3) вместе с каждым преобразованием a множество G должно содержать обратное к нему преобразование a ~1. Множество преобразований, для которого выполнены эти три условия, называют группой геометрических преобразований.

Таким образом, для того чтобы с помощью множества G геометрических преобразований можно было определить понятие равенства геометрических фигур, надо, чтобы это множество было группой.

Рис. 7

Разные геометрии

До того времени, пока математики не поняли, что равенство геометрических фигур можно определять при помощи различных групп геометрических преобразований, казалось, что существует только одна геометрия, а именно та, которую изучают в школе. Первый удар этому мнению нанес Н. И. Лобачевский, который построил новую геометрию, совсем не похожую на обычную (см. ст. «О различных геометриях»). Истинную причину различия геометрии Лобачевского и геометрии Евклида впервые глубоко осветил немецкий математик Ф. Клейн. Он показал, что все дело в различии групп преобразований, используемых в этих геометриях для определения равенства фигур: в геометрии Евклида для этого используется группа обычных движений, а в геометрии Лобачевского совершенно другая группа преобразований (их называют гиперболическими движениями плоскости).

Вообще, каждая группа преобразований плоскости определяет свое понятие равенства, а значит, и свою геометрию. В геометрии, соответствующей некоторой группе преобразований, изучаются лишь свойства, одинаковые у всех фигур, равных относительно этой группы. Иными словами, изучаются те геометрические свойства фигур, которые сохраняются при всех преобразованиях рассматриваемой группы. Эту точку зрения на геометрию впервые четко сформулировал Ф. Клейн в 1872 г. на лекции в г. Эрлангене. С тех пор такой подход к пониманию геометрии получил название эрлангенской программы.

Теоремы школьной геометрии тоже фактически относятся к различным геометриям. Одни из них касаются свойств фигур, не меняющихся при движениях, а другие — более глубоких свойств, не меняющихся при любых линейных преобразованиях (см. об этом в ст. «Геометрические преобразования»).

Группы симметрий

Посмотрите на геометрические фигуры, изображенные на рис. 7. Фигуру А на этом рисунке никак нельзя назвать симметричной. Фигуры В я С уже обладают некоторой симметрией. Более симметрична фигура D, и, конечно, самой симметричной из всех начерченных фигур является фигура Е (квадрат). Однако это только слова — симметричность не длина и не площадь, а потому понятия «больше» и «меньше» для оценки симметричности пока точного смысла не имеют.

Как же можно оценить большую или меньшую симметричность фигуры? Для этого надо рассмотреть множество всех движений плоскости, которые переводят рассматриваемую фигуру самое в себя. Для фигуры А на рис. 7 единственным таким движением является тождественное преобразование. Для фигур В я С кроме тождественного преобразования есть еще по одному движению, переводящему их в себя, именно : для равнобочной трапеции — осевая симметрия (относительно прямой, соединяющей середины оснований), для параллелограмма — центральная симметрия. Для ромба D есть уже 4 движения, совмещающих его с самим собой: тождественное преобразование, две осевые симметрии относительно диагоналей и центральная симметрия. Наконец, для квадрата таких преобразований 8 (4 осевые симметрии относительно средних линий и диагоналей и 4 вращения на углы 0°, 90°, 180° и 270°).

Ясно, что совокупность всех движений, переводящих заданную геометрическую фигуру самое в себя, образует группу. В самом деле, если преобразования аи^ переводят фигуру F в себя, то и их произведение а* ß преобразует ее в себя. Не изменит ее, конечно, и тождественное преобразование. То же самое верно и для обратного преобразования.

Группу всех движений, переводящих фигуру F самое в себя, называют группой симметрий этой фигуры.

Чем шире группа симметрий данной фигуры, тем более симметричной она является. Именно поэтому квадрат является наиболее симметричной из всех фигур, изображенных на рис. 7. Интересные примеры симметричных фигур, обладающих самыми разными типами симметрии, дают узоры.

Рис 8. Многообразны формы симметрии кристаллов: 1—апатит, 2 — альмандин, 3 — лед, 4 — кальцит (двойник), 5 — ставролит (двойник), 6 — золото, 7 — поваренная соль, 8 — исландский шпат.

Примером симметрии в природе является одуванчик.

Если фигура переходит сама в себя при всех поворотах на углы вида —-—, где к — целое, а п фиксировано, то говорят, что она обладает симметрией порядка п (см. стр. 299). Такой симметрией обладает, например, правильный дг-угольник.

Бывают фигуры, у которых группа симметрий бесконечна. Примерами могут служить окружность, кольцо, а также фигуры, изображенные на рисунке см. стр. 387; эти фигуры надо представить себе простирающимися в бесконечность).

Разумеется, о группе симметрий можно говорить не только для плоских, но и для пространственных фигур. При этом обычно рассматривают только движения пространства, не являющиеся симметриями относительно плоскостей (их нельзя осуществить в пространстве движениями пространственных тел как твердого целого). Так, можно говорить о группе симметрий правильного тетраэдра, куба, икосаэдра, правильной /г-угольной призмы и т. д. Предоставляем читателю убедиться, что группа симметрий куба состоит из 24 элементов, а правильной дг-угольной призмы — из 2п элементов.

Симметрия в природе

Симметрией обладают не только геометрические фигуры или вещи, сделанные рукой человека, но и многие творения природы (бабочки, стрекозы, листья, морские звезды, снежинки и т. д.). Особенно разнообразны свойства симметрии кристаллов. На рис.. 8 показаны некоторые виды кристаллов. Одни из них более симметричны, другие — менее. Долгое время ученые-кристаллографы не могли описать всех видов симметрии кристаллов. Решил эту задачу в 1890 г. русский ученый Е. С. Федоров. Он доказал, что есть ровно 230 групп, переводящих в себя кристаллические решетки. Это открытие значительно облегчило кристаллографам изучение видов кристаллов, которые могут существовать в природе.

Следует, однако, заметить, что многообразие кристаллов в природе настолько велико, что даже использование группового подхода не дало еще способа описать все возможные формы кристаллов.

Очень широко используется теория групп симметрий в квантовой физике. Уравнения, которыми описывается поведение электронов в атоме (так называемое волновое уравнение Шредингера), уже при небольшом числе электронов настолько сложны, что непосредственное решение их практически невозможно. Однако, используя свойства симметрии атома (неизменность электромагнитного поля ядра при поворотах и симметриях, возможность перестановки некоторых электронов между собой, т. е. симметричное расположение этих электронов в атоме, и т. д.), удается исследовать их решения, не решая уравнений.

Вообще, использование теории групп является мощным математическим методом исследования и учета симметрии явлений природы.

Группы алгебраических преобразований

Преобразования можно производить не только над геометрическими фигурами, но и над алгебраическими выражениями. Речь идет здесь, конечно, не о тождественных преобразованиях (раскрытии скобок, приведении подобных членов и т. д.). Нет, мы будем рассматривать такие преобразования, как изменение знаков переменных, перестановки переменных и т. д. Например, многочлен

*3—У2 + ЗхуА

при изменении знаков переменных х и у превращается в многочлен

—х*—у2—3ху\ а

при перестановке х и у — в многочлен

у*—х2 + 3ух*.

Изучение преобразований алгебраических выражений представляет собой с точки зрения эрлангенской

Евграф Степанович Федоров.

программы Ф. Клейна своеобразную геометрию. В этой геометрии «фигурами» являются алгебраические выражения (многочлены, дроби и т. д.), а группа преобразований состоит в одних случаях из всевозможных перестановок переменных, в других — из циклических перестановок переменных (при которых каждое переменное заменяется следующим, а последнее — первым), в третьих — из всевозможных замен знаков переменных (рис. 9) и т. д.

Задачей такой геометрии, как и обычной геометрии, является нахождение таких свойств «фигур» (т. е. алгебраических выражений), которые сохраняются при всех преобразованиях данной группы. В частности, весьма интересно нахождение и изучение «симметричных фигур» для данной группы, т. е. алгебраических выражений, которые не изменяются при преобразованиях данной группы. Например, если рассматривать группу всех перемен знаков, то «симметричными фигурами» будут четные выражения, т. е. такие, у которых показатели всех степеней переменных четны (например, х2 + и4, х2 5 — х8у6, —-——к и т. д.). Для группы всех перестановок переменных «симметричными фигурами» будут такие выражения, которые не меняются ни при каких перестановках переменных. Они называются симметрическими функциями. Например, симметрическими многочленами от двух переменных х, у являются

х2у2—хА—у4, х2-{-ху-\-у2у х5 + у5, хуъ + х3у.

В такой геометрии есть и свои теоремы. Например, можно доказать, что любой симметрический многочлен от X и у выражается через два простейших многочлена х + у и ху. Скажем,

х* + у*= (х + у)*—5(х + у)*ху + 5(х+у) (ху)2.

Эту теорему можно применять при решении систем уравнений. Если оба уравнения системы двух уравнений с двумя неизвестными симметричны относительно X и у, то бывает полезно ввести новые неизвестные: и = х + у, и = ху. Как правило, после этого заданная система уравнений упрощается. Например, система уравнений

при такой замене сводится к системе

Из этой системы легко найти и и у, а потом х и у.

Любопытно, что теория групп первоначально и возникла при рассмотрении групп алгебраических преобразований. Чтобы узнать, решается ли данное алгебраическое уравнение

хп + а1х»-*+ . + ап=-0 (4)

в радикалах, алгебраисты стали рассматривать значения, которые принимают многочлены от п переменных, если в них вместо jt,, jt2» —» хп подставить корни ар 0с2> .-.» а“ уравнения (4). Оказалось, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с поведением этих значений многочленов при различных перестановках корней между собой.

Эти исследования привели к созданию новой, очень глубокой и важной ветви алгебры — применению теории групп к исследованию уравнений. Основоположные результаты этой теории были получены в 1830—1832 гг. французским математиком Э. Галуа. В его честь весь этот раздел алгебры носит сейчас название теории Галуа.

Абстрактная теория групп

Рассмотрим следующие две группы преобразований. Первой из них является группа симметрий ромба, второй — группа перемен знаков переменных х и у. Обозначим тождественное преобразование ромба через е, симметрии относительно диагоналей — через а и b и центральную симметрию — через с. Проверьте, что «таблица умножения» в этой группе имеет следующий вид:

Otto Юльевич Шмидт.

Теперь обратимся к группе перемен знаков у переменных X и у. Здесь мы также обозначим тождественное преобразование х -> X, у -> у через е. Изменение знака у одного только х (т. е. преобразование X -> — х, у -> у) обозначим через a, a изменение знака у одного только у — через Ь. Наконец, преобразование je -> — X, у -> — у (изменение знаков у обеих переменных) обозначим через с. Легко проверяется тогда, что в рассматриваемой группе преобразований «таблица умножения» имеет вид:

Сразу бросается в глаза, что написанные «таблицы умножения» совершенно одинаковы. Итак, различные группы преобразований могут оказаться совершенно одинаково устроенными, т. е. иметь одинаковое число элементов и одинаковую «таблицу умножения». Для решения многих вопросов, относящихся к группам преобразований, совершенно неважно знать, что именно преобразуется, а существенно лишь, сколько имеется различных преобразований в группе и как они перемножаются.

Изучением групп с этой точки зрения занимается так называемая абстрактная теория групп. В этой теории рассматривают множества G, состоящие из каких угодно элементов (не обязательно преобразований), для которых определено каким-то образом умножение, обладающее следующими свойствами:

1. Произведение ab двух элементов из G принадлежит G.

2. Существует элемент е (единичный), обладающий тем свойством, что для всех элементов а из G выполняется равенство ае = еа = а.

3. Для любого элемента а есть обратный ему элемент а ~~1, т. е. такой, что аа 1 = а ~1 а = е.

4. Для любых трех элементов а, Ь, с выполнено равенство a(bc) = (ab)c.

Заметим, что последнее равенство, выражающее ассоциативность умножения, всегда выполняется для преобразований.

Множество G с указанными свойствами называется группой. Первая в России книга по теории групп вышла в 1916 г. и принадлежит перу О. Ю. Шмидта.

Значение абстрактной теории групп состоит в том, что теоремы и понятия этой теории могут применяться и к группам геометрических преобразований, и к группам алгебраических преобразований, и к изучению атомов и кристаллов и т. п.

Заключение

Мы рассмотрели различные вопросы, изучаемые в алгебре. Все эти вопросы объединяются одним общим направлением — изучением общих свойств действий и преобразований. Алгебра и дает аппарат изучения этих свойств. Законы действий (т. е. аксиомы, которым они подчиняются) могут быть совершенно различными, в зависимости от поставленной задачи. В соответствии с этим получаются группы, кольца, поля и т. п.

В современной алгебре рассматриваются и другие объекты, подчиненные совсем иным аксиомам (алгебры Ли, альтернативные алгебры, полугруппы и т. д.). Не следует думать, однако, что работа алгебраиста заключается в выписывании новых, произвольно взятых аксиом и выяснении их следствий. Как правило, интересные алгебраические объекты получаются не таким путем. Интересные объекты возникают при рассмотрении глубоких задач геометрии, физики, математического анализа, логики и самой алгебры. При изучении этих задач исследователь, отбрасывая второстепенное и несущественное, выделяет важное и основное и формулирует общие свойства различных объектов в виде аксиом. Таким образом, и в алгебре аксиомы имеют опытное происхождение (хотя это и не всегда может быть непосредственно замечено).

Математика учит предсказывать и управлять

Электронные вычислительные машины

Человек создает машины, чтобы облегчить труд. И они безотказно помогают шахтерам и кузнецам, колхозникам и землекопам. Но вот могут ли они принести пользу математикам, приняв на себя хотя бы часть их работы?

Еще 30—35 лет назад в ответ на такой вопрос последовало бы решительное «нет» : уж очень трудно было вообразить себе машину на поприще умственного труда!

Теперь положение изменилось. С каждым днем повышается роль науки — она стала уже непосредственной производительной силой общества. Работникам умственного труда приходится сталкиваться теперь с такими проблемами, которые для «невооруженного» мозга не только отдельного человека, но даже и целого коллектива оказываются непосильными. Если раньше для ускорения вычислений довольствовались такими простыми приспособлениями, как счеты, арифмометр, логарифмическая линейка, то теперь этого уже недостаточно. Ведь считая на арифмометре, не сделаешь в минуту больше трех действий над многозначными числами, а расчет атомного реактора включает в себя более 6 млрд. арифметических действий. Значит, на этот расчет понадобится 2 млрд. минут; а ведь первый миллиард минут с начала нашей эры истек только 29 апреля 1902 г.! Еще труднее поспевать вычислителям при запуске космических кораблей: они должны выдавать результат очень сложных расчетов почти мгновенно, пока ракета не успела еще значительно отклониться от заданной траектории.

Немало задач, превышающих возможности человеческого мозга, возникает и внутри самой математики. Как некоторые физические работы немыслимо выполнять вручную, так не могут быть решены «вмозговую» и некоторые важные проблемы из области умственного труда.

На помощь приходят электронные вычислительные машины (рис. 1, 2а, 26).

Создать электронный арифмометр!

Электронная вычислительная машина по сравнению с простым арифмометром — это все равно что современный завод по сравнению с напильником.

Прежде всего, арифмометр и подобные ему простые вычислительные приборы слишком медлительны. Колеса с зубьями и другие механические детали чересчур инерционны и даже при использовании

Рис. 1. Общий вид электронной вычислительной машины.

Рис. 2а (верхний). Пульт управления.

Рис. 26 (нижний). Цех, управляемый при помощи этого пульта.

моторов не могут срабатывать с желательной быстротой. Вот если бы удалось заменить механические детали какими-нибудь электронными приборами, тогда работа арифмометра стала бы молниеносной. Ведь успевает же электронный луч прочертить на экране телевизора 625 строк за 0,04 секунды!

Электроника умеет заменять быстродействующими электронными лампами медлительные механические устройства. Но сразу же нужно принять во внимание одно существенное различие между зубчатым колесом и электронной* лампой. Колесо с 10 зубцами имеет 10 четко фиксированных положений, которые могут быть сопоставлены с цифрами от 0 до 9. У электронной же лампы есть только два резко различных состояния: как говорят радисты, она может быть «заперта» или «открыта». Запертая лампа совсем не пропускает тока, так как на ее управляющую сетку подано достаточно большое отрицательное напряжение; открытая лампа пропускает через себя максимально возможный ток (благодаря наличию на сетке достаточного положительного потенциала). Все промежуточные состояния лампы (когда она «полуоткрыта») недостаточно устойчивы и не могут служить для изображения цифр (изменение свойств лампы с течением времени или от внешних причин привело бы к замене одной цифры другой).

Используя два резко различных состояния электронной лампы, возможно изобразить только две цифры, например: 0 (лампа заперта) и 1 (лампа открыта). Поэтому при замене зубчатых колес арифмометра электронными лампами естествен также и переход от десятичной системы нумерации к двоичной (позволяющей записать любое число в виде определенной комбинации нулей и единиц).

Двоичная нумерация

В статье «Как люди считали в старину и как писали цифры» уже говорилось, что в двоичной системе нумерации обходятся двумя цифрами: нулем и единицей. Единица каждого следующего разряда числа в двоичной записи в два раза больше единицы предыдущего разряда: две «простые» единицы составляют двойку, две двойки — четверку, две четверки — восьмерку, две восьмерки — шестнадцать и т. д.

Число «один» записывается как обычно — «1». Но число «два» составляет уже единицу второго разряда и потому записывается так: «10» (одна двойка и

Рис. 3. Числа «10110» и «01010» на перфокарте.

Рис. 4.

Рис. 5.

нуль единиц). Число «три» изображается: * 1 Ь (однп двойка и одна единица). Число «четыре» представляет собой единицу третьего разряда и потому записывается: «100» (одна четверка, нуль двоек и нуль единиц). Дальнейшие числа в двоичной записи име ют вид:

пять — «101» (одна четверка, нуль двоек и одна единица),

шесть — «110» (одна четверка, одна двойка и нуль единиц),

семь — «111» (одна четверка, одна двойка и одна единица),

восьмерка—это опять новый разряд — «1000» (нули показывают на отсутствие четверок, двоек и единиц) ; далее идут :

девять — «1001» (одна восьмерка и одна единица).

десять — «1010» (одна восьмерка и одна двойка),

одиннадцать — « 1011 » (т. е. 8 4-2 + 1),

двенадцать — «1100» (т. е. 8 + 4),

тринадцать — «1101» (т. е. 8 + 4 + 1) и т. д.

Вот перед нами «загадочное» число: 1001011,

записанное в двоичной нумерации. Его легко «разгадать», подписав (справа налево) под каждым разрядом его значение:

1 0 0 10 11 (64) (32) (16) (8) (4) (2) (1)

Как видим, заинтересовавшее нас число складывается из единицы, двойки, восьмерки и шестидесяти четырех (1 + 2 + 8 + 64). Очевидно, оно равно 75. Читатель, вероятно, теперь уже сам сможет определить, что двоичная запись 10110011 есть число 179.

Одно из преимуществ двоичной записи — удобство изображения чисел разнообразными средствами и быстрой передачи их из одного места в другое. Например, пробитый квадратик особой картонной карточки (ее называют перфокартой) может изображать единицу, а целый — нуль (рис. 3). Поместив перфокарту между пружинящими контактами электрической цепи (рис. 4), мы получим в ней ток, если в данном квадратике записана единица (контакты замкнутся через отверстие), и наоборот: если в данном квадратике записан нуль, тока в цепи не будет (рис. 5), так как картонная прокладка изолирует контакты друг от друга.

Кратковременный электрический ток принято называть электрическим импульсом. Как видим, любое число, записанное по двоичной системе, легко может быть выражено последовательностью электрических импульсов, причем наличие импульса в определенный момент времени означает единицу, а отсутствие его — нуль. Впрочем, иногда предпочитают изображать нуль не отсутствием импульса, а импульсом тока, идущего в противоположном направлении (в этом случае не обязательно уже выдерживать строго определенные промежутки времени между импульсами). Продолжительность импульса может быть очень малой, скажем в одну микросекунду (т. е. миллионную долю секунды), что дает возможность передать даже многозначное число почти мгновенно.

Считают лампы

Арифметика чисел в двоичной записи очень проста. Вся таблица умножения сводится к четырем простейшим произведениям:

Рис. 6. Электронный перемножитель.

а таблица сложения — к четырем столь же простым суммам. Не правда ли, это не особенно далеко выходит за пределы прославленных познаний Митрофанушки из комедии Фонвизина?

Нетрудно придумать прибор, который будет выполнять умножение согласно этой таблице. Проще всего использовать для этой цели последовательное соединение двух электронных ламп (рис. 6). Цифры сомножителей изображаются короткими импульсами электрического напряжения : единица — положительным, а нуль — отрицательным. Импульс первого сомножителя подается на сетку одной лампы, а импульс второго сомножителя — на сетку другой.

При перемножении двух единиц обе лампы отпираются соответствующими этим единицам положительными импульсами напряжения, и в их общей анодной цепи идет ток. Импульс этого тока как раз и изображает «на электронном языке» единицу произведения (1x1 = 1).

Если же хотя бы один из сомножителей — нуль, соответствующая лампа заперта отрицательным напряжением на ее сетке, и никакого импульса тока в анодной цепи не будет. А это как раз и является выражением нулевого значения произведения — в полном соответствии с формулами:

1X0 = 0, 0X1 = 0, 0X0 = 0.

Как видим, «электронное перемножение» однозначных чисел осуществляется очень просто. Для многозначных сомножителей схему приходится, конечно, значительно усложнить, но нас интересует сейчас только принципиальная сторона дела, а не технические подробности. Подобно тому как подходящая комбинация зубчатых колес в арифмометре дает возможность выполнять арифметические действия, надлежащее сочетание электронных ламп позволяет производить эти действия над числами, заданными в виде последовательности электрических импульсов. Их можно «электронным способом» складывать, вычитать, умножать, делить, сравнивать между собой (определяя, которое из них больше) и т. д. Любое из этих действий осуществляется очень быстро, так как электронные лампы практически безынерционны. Еще большие возможности открывают появившиеся недавно различные заменители электронных ламп: полупроводниковые, ферритовые, сверхпроводящие и иные приборы.

Итак, налицо реальная возможность создать электронный арифмометр, способный выполнять любое арифметическое действие, скажем, за микросекунду. Но это еще далеко не электронная вычислительная машина, а только быстродействующий арифмометр, практическое значение которого очень невелико. Как вы думаете, сколько действий можно было бы выполнить на таком арифмометре в секунду? Миллион? Или хотя бы тысячу?

Это зависит, конечно, от того, сумеем ли мы достаточно быстро задавать этому арифмометру задачи и записывать получающиеся результаты. Ведь если мы будем все это проделывать вручную, то больше 3—4 действий в минуту выполнить не удастся. Фантастическое быстродействие арифмометра окажется совершенно бесполезным.

Чтобы электронный арифмометр действительно выполнял за каждую секунду хотя бы несколько тысяч действий, необходимо полностью автоматизировать весь вычислительный процесс, совершенно исключив из него участие человека. Электронная вычислительная машина — это не просто быстродействующий арифмометр, а быстродействующий арифмометр плюс электронный автомат, который заменяет человека, работающего на арифмометре.

Чтобы легче понять, как может быть такой автомат создан, присмотримся к работе человека-вычислителя в вычислительном бюро, не располагающем электронной вычислительной машиной.

Обязанности вычислителя

Вычислитель должен иметь образование в объеме средней школы и уметь хорошо обращаться с простейшими вычислительными приборами (например, с арифмометром). Совсем не обязательно, чтобы вычислитель понимал научную или инженерную суть тех расчетов, которые ему поручены. Весь план расчета составляется учеными или конструкторами, а вычислителю дается только список исходных данных и специальная инструкция, определяющая порядок действий. Согласно этой инструкции он и

действует, при этом все арифметические операции выполняются на арифмометре, промежуточные результаты записываются на специальном бланке, а окончательные заносятся в другой бланк.

Простейший пример — составление таблицы значений площади круга в зависимости от его радиуса (по формуле S = nR2). В инструкции указывается, что каждое значение радиуса (скажем, от 500 до 1000 мм через каждые 2 мм) следует умножить само на себя и на я ~ 3,14 с занесением полученного результата в соответствующую графу таблицы.

К чему сводятся действия вычислителя? Прочитав в инструкции наименьшее значение радиуса (500), он устанавливает его на арифмометре, умножает сперва на точно такое же число, а потом на 3,14. Прочитав на арифмометре полученное произведение, вычислитель переносит его вместе со значением радиуса 500 в таблицу окончательных результатов. Далее вычислитель должен прибавить 2 мм к прежнему значению радиуса, записать полученное новое (наращенное) значение радиуса в свой бланк и повторить с этим новым значением все ранее описанные действия. Когда в результате многократного повторения указанных операций он дойдет до значения радиуса 1002, превышающего установленный инструкцией верхний предел (1000), вычисления следует прекратить.

Как видим, собственно вычислений, т. е. арифметических действий над числами, человек не производит: они выполняются арифмометром. На долю вычислителя остается управление работой арифмометра, перенос числовых данных из инструкции или своего бланка на арифмометр и с арифмометра в таблицу результатов, а также «записывание» или, если угодно, «запоминание» необходимых промежуточных результатов. Чтобы полностью исключить участие человека в вычислительном процессе, нужно создать автомат, который самостоятельно выполнял бы все эти действия в соответствии с данной ему инструкцией.

Возможен ли такой автомат?

Работа автомата по инструкции не таит в себе, конечно, ничего сверхъестественного или непостижимого. «Умеет» же аппаратура АТС безошибочно выполнять команды, которые мы посылаем ей набором телефонного номера. Нужно только, чтобы каждая команда была выражена на языке, доступном «пониманию» машины, например в виде определенной последовательности импульсов электрического тока.

Когда требуется длительная работа аппаратуры в соответствии с инструкцией, включающей множество команд, эту инструкцию следует тем или иным способом записать. Для хранения информации, выраженной электрическими импульсами, можно использовать, например, магнитофон: комбинации электрических импульсов могут быть зафиксированы путем намагничивания участков магнитофонной ленты точно таким же способом, как это делают в звукозаписи. Впоследствии записанные команды по мере их воспроизведения будут управлять действиями автоматической аппаратуры. Записанную тем или иным способом инструкцию, которой должен «руководствоваться» автомат, принято называть программой.

На таких же магнитофонных лентах может быть записана не только инструкция, но и таблица исходных данных: ведь цифры, с которыми оперирует электронная вычислительная машина, тоже изображаются электрическими импульсами.

Первоначальный ввод в вычислительную машину исходных данных, а также команд программы может осуществляться с помощью специальной клавиатуры, вроде той, которая используется в телеграфных аппаратах : нажал клавишу — замкнулись контакты, и по цепи побежала определенная комбинация импульсов электрического тока (в телеграфии она приводит в действие буквопечатающий аппарат, находящийся в другом городе, а в вычислительной машине намагничивает ленту магнитофона).

Электрические импульсы, выражающие окончательный результат вычислений, могут воздействовать на электромагниты печатающего аппарата (наподобие телеграфного), в результате чего мы получаем интересующие нас данные в форме обычной телеграммы.

Как видим, в современной технике нетрудно найти прообразы всех устройств, которые необходимы для полной автоматизации вычислительного процесса. Они нуждаются только в дальнейшем усовершенствовании для повышения их быстродействия и надежности.

Напомним, что осмысливание и понимание выполняемых расчетов в обязанности вычислителя не входят: это дело «заказчика», который задумал расчет и воплотил свой замысел в инструкцию. Но, конечно, на практике внимательный и квалифицированный вычислитель не бывает вполне равнодушным к тому, что он делает; в частности, он может заметить и даже исправить грубые ошибки в инструкции, восполнить случайные пробелы и т. д.

Рис. 7 (верхний). Ввод перфокарт.

Рис. 8 (нижний). Запоминающее устройство на магнитных лентах.

От машины (в отличие от человека) при решении ею задач нельзя, разумеется, ожидать никакой «сообразительности», основанной на понимании существа дела. Поэтому инструкция для машины должна быть составлена в такой форме, которая заранее исключала бы всякую двусмысленность, сомнения и необходимость руководствоваться здравым смыслом. Такого рода инструкция — свод четко сформулированных правил, применимых к достаточно широкому классу задач и всегда приводящих к определенному результату, в математике называется алгоритмом. Мы все изучали в средней школе алгоритм деления «уголком», алгоритм извлечения квадратного корня из многозначного числа и т. д. Действие любой современной вычислительной машины состоит в том, что она с педантичной точностью и аккуратностью выполняет последовательные предписания того или иного алгоритма, например алгоритма решения дифференциального уравнения или алгоритма перевода текста с английского языка на русский.

Категорический характер предписаний, которые составляют алгоритм, вовсе не означает, что вся последовательность действий машины во всех деталях заранее известна составителю данного алгоритма. Ведь категорическое предписание может иметь и такую форму: «Если в результате деления получится число меньше тысячи, увеличить его в два раза, а если получится частное не меньше тысячи — прибавить к нему восемьдесят три». Что будет делать машина фактически — умножать на 2 или прибавлять 83, этого составитель алгоритма заранее не знает, так как ему не известно, какое получится частное.

Про такой алгоритм говорят, что он предусматривает условный переход к выполнению той или иной последовательности операций в зависимости от результатов уже выполненных действий. Как мы увидим в дальнейшем, такие условные переходы играют огромную роль в работе электронных вычислительных машин, в значительной степени определяя их гибкость и возможность применения к решению весьма сложных математических и логических задач.

Главные части машины

Быстродействующая ЭВМ состоит из пяти основных устройств: вводного, запоминающего, арифметического, выводного и управляющего. Кроме того, имеется дополнительное устройство для контроля работы и обнаружения неисправностей.

Вводное устройство имеет обычно клавиатуру, посредством которой в машину вводятся исходные данные и задается определенная программа. Электрические импульсы, возникающие при нажатии на клавиши, направляются в запоминающее устройство. Возможны и иные конструкции устройства ввода (рис. 7).

Запоминающее устройство (или «память» машины, как его иногда для краткости называют) предназначено для хранения информации: исходных данных, числовых величин, команд программы, промежуточных и окончательных результатов (рис. 8). Оно играет роль памяти или записной книжки вычислителя.

Рис. 9а (верхний). Алфавитно-цифровое печатающее устройство.

Рис. 96 (нижний). Выданный с него результат.

Рис. 10. Пульт управления ЭВМ.

Как уже было сказано, числовые данные могут записываться с помощью магнитофонов; но этот способ не самый совершенный, так как для воспроизведения ранее записанного числа может потребоваться длительная перемотка ленты. Поэтому разработаны другие способы «запоминания»: например, путем намагничивания ферритовых сердечников или же электризации отдельных участков диэлектрического экрана электроннолучевой трубки. Удобство последнего метода состоит в том, что для записи или воспроизведения числа электронный луч может быть направлен в нужную точку экрана практически мгновенно.

Носитель информации запоминающего устройства (магнитофонная лента, диэлектрический экран) состоит из множества «ячеек памяти», в каждой из которых может храниться одно многозначное число.

Каждой ячейке присвоен номер (наподобие телефонного); по этому номеру с ней можно в любой момент «соединиться», чтобы поместить туда или, наоборот, «истребовать» оттуда соответствующее число.

Арифметическое устройство служит для выполнения основных арифметических и некоторых логических действий. Оно содержит несколько электронных «арифмометров» (осуществляющих сложение, умножение и т. д.). Такие арифмометры чаще всего строятся на основе современных заменителей электронных ламп, что делает их более совершенными. В быстродействующих машинах каждая операция выполняется арифметическим устройством за десяток микросекунд.

Выводное устройство предназначено для выдачи заказчику готовой продукции в виде таблицы окончательных результатов произведенного расчета, отпечатанной обычным шрифтом с помощью цифропечатающего (см., например, рис. 9а) «телеграфного аппарата» под влиянием электрических импульсов, поступающих из запоминающего устройства. Для ускорения вывода результатов вместо печатания иногда применяют фотографирование их на кинопленку.

Управляющее устройство связывает воедино отдельные части вычислительной машины и «управляет», или «руководит», всем ходом вычислительного процесса; именно оно выполняет роль вычислителя. Во время работы машины управляющее устройство, действуя согласно программе, последовательно осуществляет все необходимые соединения и пере-

Рис. 11. Размещение исходных данных

ключения, «отпирает» и «запирает» лампы, управляет движением электронных лучей и магнитофонных лент. Благодаря этому обеспечивается правильное размещение в ячейках памяти вводимых в машину исходных данных, своевременная передача чисел из определенных ячеек на те или иные «арифмометры» арифметического устройства, а также направление получающихся результатов в предназначенные для них ячейки. Наконец, по мере накопления окончательных результатов в ячейках памяти управляющее устройство «соединяет» их с печатающими аппаратами. На рис. 10 показан пульт управления.

Как видим, по своим функциям управляющее устройство вычислительной машины во многом напоминает автоматическую телефонную станцию, но оно должно делать сотни тысяч различных соединений в секунду! Кроме того, в отличие от АТС, управляющее устройство должно действовать не в соответствии с только что набранным номером, а по заранее заданной программе, которая (в зашифрованном виде) хранится в специально для этого отведенных ячейках памяти.

Инструкция для машины

Программа работы электронной вычислительной машины для решения определенной задачи составляется специалистами и через вводное устройство «вводится» в машину перед началом вычислений.

Программа представляет собой последовательность отдельных «команд». Каждая команда состоит из указания определенного арифметического действия (сложение, вычитание, умножение и т. д.), номеров (или «адресов») тех ячеек памяти, откуда следует взять числа, над которыми должно быть произведено действие, а также номера (или «адреса») ячейки, куда должен быть помещен полученный результат.

Каждое арифметическое действие условно обозначается числом — «кодом», хотя бы так: сложение — «1», вычитание — «2», умножение — «3» и т. д. Адреса ячеек памяти также обозначаются номерами, например: № 20, N° 21, № 22, В целом вся команда записывается в виде одного многозначного числа, в котором на первом месте стоит код действия, на втором и третьем местах — адреса чисел, над которыми надо совершать это действие, а на последнем (четвертом) месте — адрес ячейки, куда должен быть направлен полученный результат. Так, например, команда 3-21-26-52 предписывает перемножить числа, взятые из ячеек № 21 и 26, и поместить произведение в ячейку № 52. Такие команды называются трехадресными. Возможны команды и с иным числом адресов.

Поскольку команды управления машиной записываются многозначными числами, они наравне с другими числами могут быть помещены в ячейки запоминающего устройства: первая — в ячейку № 1, вторая — в ячейку № 2 и т. д.

Помимо арифметических команды могут задавать машине и некоторые другие действия, скажем: «Сравнить два числа», «Отпечатать число, хранящееся в такой-то ячейке памяти, в такую-то графу таблицы».

Составление программы и работа управляющего устройства лучше всего разъясняются на каком-нибудь простеньком примере. Рассмотрим для этой цели составление таблицы значений площади круга, о которой мы уже говорили, описывая работу вычислителя.

Программа для выполнения соответствующих вычислений имеет такой вид:

Номер команды

Шифр команды

Действие по команде

1

3-21-21-19

Умножение

2

3-19-20-19

Умножение

3

7-21-00-01

Печатание

4

7-19-00-02

Печатание

5

1-21-23-21

Сложение

6

8-21-22-01

Сравнение

7

9-00-00-00

Остановка

Как видим, программа состоит всего из семи команд, которые перед началом работы при помощи вводного устройства размещают в ячейки памяти с адресами от № 1 до № 7. Помимо программы в машину вводятся еще и необходимые исходные данные (рис 11): в ячейку № 20 — число я = 3,14; в ячейку № 21 — наименьшее значение радиуса (500), с которого должна начинаться таблица ; в ячейку № 22 — наибольшее значение радиуса (1000); в ячейку № 23 — число 2, показывающее, что значения радиуса надо брать через каждые 2 мм; ячейка № 19 будет использоваться для записи в нее промежуточных результатов.

Рис. 12. Числа в «машинной памяти».

Исполнение программы

После запуска машина будет выполнять команды в той последовательности, в какой они размещены в ячейках.

Согласно первой команде (3-21-21-19) начальное значение радиуса (500), хранящееся в ячейке № 21, будет умножено само на себя, а полученное произведение (квадрат радиуса) помещено в свободную пока что ячейку № 19.

Согласно второй команде (3-19-20-19) это произведение (R2) будет умножено на число лУ хранящееся в ячейке № 20, с помещением результата в ячейку № 19 (при этом ранее записанное там число автоматически стирается, подобно старой фонограмме при записи звука на магнитофоне).

Согласно третьей команде (7-21-00-01) значение радиуса из ячейки N° 21 будет отпечатано печатающим аппаратом № 1, заполняющим первую графу таблицы.

Согласно четвертой команде (7-19-00-02) печатающим аппаратом № 2 во второй графе таблицы будет отпечатано соответствующее значение площади круга, взятое из ячейки № 19.

Последующие команды служат для перехода к вычислению площади круга для новых значений радиуса или для окончания работы, когда все требуемые значения уже исчерпаны.

Согласно пятой команде (1-21-23-21) к старому значению радиуса (500) прибавляется 2, причем полученный результат (новое значение радиуса 502) направляется в ту же ячейку № 21, где находилось прежнее значение радиуса.

Согласно шестой команде (8-21-22-01) производится сравнение двух чисел с адресами № 21 и 22. Если первое из них меньше второго или равно ему, то машина возвращается к выполнению команды № 1, указанной в третьем адресе, в противном же случае она просто переходит к выполнению следующей (очередной) команды. В нашем случае новое значение радиуса (из ячейки № 21) сравнивается с наибольшим его значением, для которого еще нужно вычислять площадь круга. Если новое значение радиуса не больше 1000, машина проделывает над ним те же самые вычисления начиная с первой команды и, таким образом, заполняет еще одну строку таблицы. Если же новое значение радиуса больше 1000, то машина переходит к выполнению седьмой команды, согласно которой она попросту останавливается с подачей на пульт управления сигнала об окончании вычислений.

В работе вычислительной машины команда сравнения *6» и другие подобные ей команды «условного перехода» имеют исключительное значение. Они увеличивают гибкость машины, расширяют ее возможности и позволяют выполнять действия, для которых она на первый взгляд вовсе не приспособлена.

Многократное повторение одной и той же последовательности действий позволяет производить длинные вычисления по сравнительно короткой программе (иначе ведь составление программы и введение ее в машину потребовало бы, пожалуй, не меньше времени, чем вычисления вручную). Еще эффективнее другой прием сокращения программы, который состоит в систематической переработке ее в процессе самих вычислений. Ведь все команды программы изображаются числами, хранящимися в запоминающем устройстве на равных правах с исходными дан ными и промежуточными результатами. Ничто не мешает нам производить над этими числами арифметические действия и тем самым превращать одни команды в другие. Конечно, все эти преобразования команд на определенном этапе вычислений или при получении определенных результатов должны быть заранее предусмотрены самой программой (подобно тому как устав всякой общественной организации в числе других правил содержит обычно также и правила изменения самого устава).

Программа с преобразованиями

Допустим, что значения площади круга нужно определить только для некоторых ранее вычисленных значений радиуса, — скажем, записанных в ячейках памяти № 21—80 (рис. 12). Тогда, как и прежде, в ячейку № 20 помещаем л, а в ячейки № 81 и 82 — специальные числа 0-01-01-00 и 3-80-80-19, значение которых выяснится в дальнейшем.

Вычисления будем вести по следующей программе:

Номер команды

Шифр команды

Действие по команде

1

3-21-21-19

Умножение

2

3-19-20-19

Умножение

3

7-19-00-02

Печатание

4

1-01-81-01

Сложение

5

8-01-82-01

Сравнение

6

9-00-00-00

Остановка

По первой команде вычисляется квадрат первого значения радиуса (из ячейки № 21), который затем по второй команде умножается на л. По третьей команде вычисленное значение площади круга заносится в таблицу окончательных результатов.

Теперь нужно повторить те же самые операции, но уже над новым значением радиуса, хранящимся не в 21-й, а в 22-й ячейке. Для этого можно было бы включить в программу в качестве четвертой команды 3-22-22-19 (возвести новое значение радиуса в квадрат) с последующим повторением второй и третьей команд без изменения. Затем должна следовать команда 3-23-23-19 (возвести в квадрат значение радиуса из ячейки № 23) и т. д.

При большом количестве различных значений радиуса программа получалась бы очень громоздкой. Легко сообразить, что вводимые вновь команды 3-22-22-19, 3-23-23-19,... могут быть получены из первой команды 3-21-21-19 последовательным прибавлением к ней числа 0-01-01-00, хранящегося в ячейке № 81 :

Таким образом, посредством арифметических действий над числом, изображающим команду, может быть осуществлено систематическое изменение ее адресов (в данном случае первого и второго), а если потребуется, то и кода действия. Такая операция изменения адреса (называемая переадресацией) как раз и осуществляется по четвертой команде рассматриваемой программы. При этом число, изображающее новую (переадресованную) команду, направляется в ту же ячейку № 1, где хранилась исходная команда (переадресованную команду можно было бы поместить и в другую ячейку памяти).

По пятой команде выполняется сравнение переадресованной команды (числа) из ячейки № 1 с командой 3-80-80-19, специально введенной для этого в ячейку № 82. Пока первый и второй адреса переадресованной команды не больше 80 (использованы еще не все значения радиуса, хранящиеся в ячейках № 21—80), согласно команде сравнения осуществляется возврат к началу программы, т. е. к исполнению переадресованной первой команды. Когда же все значения радиуса будут исчерпаны, команда примет вид 3-81-81-19, т. е. превзойдет число в ячейке № 82, и по команде сравнения машина перейдет к выполнению следующей (шестой) команды, означающей остановку.

Универсальность машины

Как уже было сказано, преобразование программы в ходе ее выполнения наряду с периодическим повторением ее частей и другими приемами неизмеримо расширяет возможности вычислительной машины, позволяя решать на ней даже сложнейшие задачи высшей математики, хотя арифметическое устройство машины способно выполнять только четыре арифметических действия да несколько простейших логических операций.

Секрет современной вычислительной машины заключается не в ее элементах, какими бы чудесными они ни представлялись, а в их очень гибкой и сложной взаимосвязи, которая молниеносно меняется в соответствии с заданной программой. Вводя в одну и ту же машину различные программы, можно заставить ее решать самые разнообразные задачи из очень далеких друг от друга областей умственного труда. В зависимости от программы одна и та же машина способна вычислять траекторию космического корабля, предсказывать погоду, играть в шахматы, управлять работой железнодорожного узла и переводить книги с английского языка на русский. Именно это и делает электронную машину универсальным средством автоматизации умственного труда, средством, без применения которого столь характерные для нашей эпохи стремительные темпы научно-технического прогресса были бы невозможны.

Благодаря применению электронных машин удается отделить творческий процесс нахождения общих принципов решения той или иной проблемы от кропотливого и механического осуществления этих принципов. Чем большая доля механической умственной работы возложена будет на машины, тем больше времени и сил сможет уделить исследователь действительно научному творчеству.

Как выяснилось, составление программ вычислений тоже заключает в себе немалую долю формальных, механических операций. Составитель програм-

Рис. 13. Что значит «коса»?

мы должен не только придумать общий план (или логическую схему) решения задачи (что является актом творчества), но также и кропотливо расписать во всех подробностях все последовательные шаги машины (для чего достаточно лишь с педантической аккуратностью придерживаться определенных правил). Для ускорения естественно разделить эти две различные по своему характеру задачи: творческий поиск логической схемы оставить за человеком, а механическую работу детального расписывания команд возложить на саму электронную машину. Для этой цели составлены так называемые программирующие программы, на основе которых сама вычислительная машина автоматически преобразует введенную в нее человеком логическую схему в детально разработанную программу. Тем самым объем работы программиста сокращается во много раз.

Логическая схема программы записывается человеком не в виде последовательности знакомых уже нам «команд», а на более привычном и лаконичном «языке» математической символики, т. е. посредством обычных формул лишь немного измененного начертания с отдельными дополнительными пояснениями. При отсутствии у машины специальной клавиатуры для ввода математических символов и букв каждый из этих знаков предварительно кодируется числом вручную.

Ведется большая работа по созданию универсального языка программирования, посредством которого каждый мог бы (после самого краткого обучения) самостоятельно писать логические схемы программ, вполне пригодные для непосредственного введения их в машину (снабженную раз и навсегда установленной программирующей программой). Это позволило бы вообще исключить малопроизводительный процесс программирования вручную. Один из вариантов такого универсального языка известен под условным названием «алгол».

Другой широко применяемый метод экономии труда и времени при программировании состоит в использовании библиотеки стандартных подпрограмм. В такой библиотеке хранятся составленные заранее программы для самых различных вычислений, встречающихся на практике. В числе их может быть, например, решение кубического уравнения или вычисление определенного интеграла. Когда такого рода вычисление встретится при решении конкретной задачи, машина сама «выпишет» из библиотеки необходимую для этого последовательность команд, достаточно только одного лаконичного упоминания об этом в соответствующем месте основной программы решения рассматриваемой задачи.

Такой метод тоже значительно повышает производительность труда при программировании.

Без далеко идущей автоматизации программирования решение очень многих важных задач на электронных машинах было бы практически невозможным, так как составление соответствующих программ потребовало бы чересчур много времени.

Универсальность электронных вычислительных машин свидетельствует о том, что даже самые несхожие между собой виды умственного труда могут быть разложены на одни и те же элементарные шаги, но только расположенные в иной последовательности и выполняемые над другим исходным материалом. Именно это обстоятельство делает возможным единый подход к проблеме автоматизации всех видов умственного труда. Изучение тех общих закономерностей автоматизации умственного труда, которые не зависят от конкретных особенностей различных его видов, составляет одну из очень важных и интересных задач молодой науки кибернетики (см. ст. «Что такое кибернетика?»).

Чтобы наглядно показать универсальность электронной вычислительной машины и единство резко различных по своему характеру видов умственного труда, попробуем хотя бы вкратце пояснить, каким образом «умудряется» машина переводить книги с одного языка на другой.

Автоматический перевод

Английский текст для перевода вводится в запоминающее устройство, причем каждая буква изображается определенной комбинацией электрических импульсов. Кроме того, в память машины записываются словарь, грамматические таблицы и программа автоматического перевода.

Прежде всего машина отыскивает в словаре для каждого английского слова его русский эквивалент. Для нее это ничуть не сложнее, чем отыскать в триго-

Рис. 14. Анализ слова many.

нометрической таблице для заданного угла значение его косинуса. Но очень значительные трудности возникают при этом всякий раз, когда одно и то же английское слово, подобно, например, русскому слову «коса» (рис. 13), имеет несколько различных значений. Переводчик обычно выбирает одно из этих значений, наиболее подходящее по смыслу, машина же может руководствоваться только формальными правилами, которые должны быть ей заранее заданы. Поэтому для всякого многозначного слова в машинном словаре дается не перевод, а команда-ссылка — проанализировать это слово по специальной программке. Программка эта представляет собой последовательность вопросов, ответы на которые позволяют раскрыть смысл слова. Покажем, как это делается, на примере английского слова many.

Когда в предложении встречается это слово, машина его сначала пропускает и переводит все остальные. Но затем она обязательно возвращается к слову many и приступает к последовательному исполнению команд программки его анализа (рис. 14).

Первая команда этой программки гласит: проверить предыдущее слово, не является ли оно словом how. Если да — машина дает перевод «сколько», потому что сочетание how many всегда имеет именно такое значение.

Если же нет — машина переходит к следующей проверке: не является ли предыдущее слово словом as.

Если да — перевод будет «столько же», потому что таков смысл сочетания as many.

Если нет — машина должна проверить, не является ли предыдущее слово предлогом, а последующее — существительным.

Совершенные числа

Число 6 делится на себя, а также на 1, 2 и 3, причем 6 = 1 + 2 + 3.

Число 28 имеет пять делителей кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем, аналогично, 28 = 1+2 + 4 + 7 + 14.

Конечно, далеко не всякое натуральное число равно сумме всех его делителей, исключая его самого. Числа, которые обладают этим свойством, математиками Древней Греции были названы совершенными.

Каждое такое число обозначим символом Vл, где п — номер совершенного числа.

Тогда первое, самое меньшее совершенное число Vj =6.

Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян.

Второе по старшинству совершенное число Уг=28. В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. Почти до наших дней дожила эта традиция, идущая из далеких эпох. В Риме в 1917 г. при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейших академий: зал и вокруг него 28 кабинетов — как раз по числу членов академии.

Лев Николаевич Толстой не раз бывало шутливо «хвастался» тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом.

Год рождения Л. Н. Толстого (1828) — тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; если переставить две цифры, то получится

1/4 = 8128,

четвертое совершенное число.

Третье совершенное число — V3 = 496,

причем 496=1+2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + + 124 + 248.

Первые четыре совершенных числа: 6, 28, 496, 8128 — были обнаружены 2000 лет назад. Пятое совершенное число — 1/5 = 33 550 336 — было выявлено лишь 500 лет назад.

В настоящее время зарегистрировано пока 23 совершенных числа, причем начиная с тринадцатого все были обнаружены с помощью электронных вычислительных машин. Например, восемнадцатое совершенное число состоит из 1937 цифр и имеет следующий вид:

VI8 = 232,° (23217- 1).

В 1965 г. найдено

V23=2,1212(2,1213-l),

остающееся пока наибольшим совершенным числом.

Такая проверка легко осуществима, так как большинство слов предложения уже переведено, а перевод содержит все необходимые грамматические сведения, выписываемые вместе с самими словами из словаря.

При положительном ответе (да) машина должна будет записать перевод «многий», при отрицательном (нет) — «много». Особенно существенно здесь то, что в первом случае слово «многий» —это прилагательное с мягким окончанием, а во втором («много») — неизменяемое наречие.

Когда все переводы для всех (в том числе и многозначных) слов найдены и зафиксированы в запоминающем устройстве, машина начинает оформлять их в соответствии с правилами русской грамматики.

В частности, прилагательное «многий» должно быть поставлено в нужном падеже, роде и числе. Род, падеж и число прилагательного обычно определяются тем русским существительным, перед которым оно стоит. В свою очередь род русского существительного при переводе был выписан из словаря, число определено по окончанию английского слова, а падеж выяснен при анализе по предыдущему предлогу или глаголу.

На основании этих данных машина заменяет в слове «многий» окончание «-ий» другим, которое берется из грамматических таблиц для прилагательных с мягкими окончаниями (такие таблицы, как и словарь, тоже хранятся в машинной памяти). Следующий этап включает в себя обработку перевода по правилам синтаксиса и определение порядка слов.

После того как синтез русского предложения закончен, перевод передается в выводное устройство, которое и печатает его русскими буквами на бумаге (если какого-нибудь английского слова машина в своем словаре не нашла, она впечатывает его в текст перевода латинскими буквами).

Пока что автоматический перевод книг практического применения не нашел — нужна еще большая предварительная работа, которая может быть выполнена только совместными усилиями филологов, математиков и инженеров. Однако успех даже первых, пускай еще примитивных опытов в этом направлении еще раз подтверждает, что область применения электронных вычислительных машин не ограничивается одними математическими вычислениями.

Электронные вычислительные машины должны быть, без всякого сомнения, отнесены к числу наиважнейших факторов научно-технического прогресса.

Решения и ответы

Решение к стр. 359. Пусть одна дробь

а другая

тогда по условию

или

откуда

полагая k = 2, получаем: и, следовательно.

Полагая /? = 3, получаем:

и, следовательно.

и т. д. Конечно, k можно давать и дробные значения, например для к —~^ получим:

Что такое кибернетика

Управляющие системы

Одно из важнейших понятий современной науки — понятие управляющей системы. С разнообразными управляющими системами мы встречаемся в технике, в растительном и животном мире, в человеческом обществе.

Пример технической управляющей системы — примитивный поплавочный регулятор уровня воды (рис. 1). Задача его — поддерживать постоянный уровень жидкости в сосуде. Регуляторы подобного типа употребляются, например, в простейших паровых котлах.

В этом примере управляющая система состоит из поплавка, рычага и пробки. Эта система заключает в себе все основные черты гораздо более сложных управляющих систем. Действительно; любая из них должна иметь прежде всего чувствительный элемент, или вводное устройство (в данном случае — поплавок), с помощью которого она воспринимает сведения, или, как обычно принято говорить, информацию, о состоянии объекта управления (в данном случае — сосуда с жидкостью).

Далее, управляющая система должна содержать устройство, преобразующее информацию, полученную от объекта управления с помощью чувствительного элемента. Подобным преобразователем информации может считаться рычаг.

Наконец, управляющая система должна иметь возможность воздействовать на объект управления с помощью исполнительного механизма (выводного устройства). В нашем примере таким механизмом служит пробка, закрывающая конец трубы.

В современной технике мы встречаемся с автоматическими системами, несравненно более сложными, чем описанная. Еще более сложны биологические управляющие системы, и первое место среди них занимает нервная система человека, его головной мозг. Подобно техническим управляющим системам, нервная система человека также обладает чувствительными элементами (окончания нервов в органах чувств), исполнительным механизмом (окончания нервов, управляющих мышцами) и преобразователем информации (собственно нервная система).

А как устроены управляющие системы в человеческом обществе? Возьмем, например, управление экономикой. Чувствительный элемент системы — аппарат первичного учета, собирающий различные сведения о состоянии народного хозяйства. Преобразование собранной информации и выработка соответствующих решений осуществляются в Госплане, министерствах и т. п. Имеется также и специальный исполнительный аппарат на предприятиях, проводящий в жизнь принятые решения.

Все приведенные примеры показывают, что, несмотря на принципиальные различия, существующие в разных управляющих системах, все они имеют нечто общее. Изучение общих законов, на основе которых действуют управляющие системы, составляет предмет специальной науки — кибернетики. Термин «кибернетика» происходит от древнегреческого слова «кибернетес» (рулевой) и напоминает, что кибернетика — наука об управлении, или, более точно, наука об общих законах преобразования информации в управляющих системах.

Этот термин впервые употребил в 1834 г. французский физик А. Ампер, назвав кибернетикой не существовавшую еще в то время науку об управлении обществом. В 1948 г. словом «кибернетика» была названа общая наука об управлении, выделившаяся впоследствии в самостоятельную научную дисциплину (ее создание связывают с именем американского ученого Н. Винера). Возникновение кибернетики — результат предшествующего развития науки и техники. Фундамент кибернетики — современная математика, такие ее бурно развивающиеся области, как алгебра, теория информации, теория алгоритмов, теория оптимальных решений, теория массового обслуживания, исследование операций и т. д.

В настоящее время кибернетика — теоретическая основа автоматизации, и главным образом автоматизации многих видов умственной деятельности.

Конечно, между техническими и биологическими системами, и тем более между ними обеими и управляющими системами в человеческом обществе, имеются глубокие качественные различия. Поэтому наряду с кибернетикой существуют отрасли науки, изучающие особенности различных типов управляющих систем. К ним относятся техническая автоматика, физиология высшей нервной деятельности и большая группа социальных (общественных) наук.

Прикладной характер кибернетики выражается в применении ее к самым разнообразным объектам исследований реального мира. Так, перед экономической кибернетикой стоит задача приложения общих законов управляющих систем к экономике; биокибернетика исследует живые организмы, мышление человека, занимается созданием модели интеллекта, или разума; техническая кибернетика изучает вопросы проектирования сложных систем — вычислительных машин, информационных систем и т. д.

Такое применение кибернетики, в свою очередь, вызывает к жизни новые теоретические вопросы, исследование которых составляет суть теоретической кибернетики.

Рис. 1.

Рис. 2

Информация и кодирование

Важная составная часть кибернетики — так называемая теория информации. Она изучает различные формы представления и передачи информации как в отвлеченном (абстрактном) виде, так и применительно к конкретным управляющим системам. Информация может представляться в двух формах — непрерывной и дискретной, то есть прерывистой.

В первом случае информация представляется в виде плавно, непрерывно меняющихся величин. Например при передаче речи по радио или по телефону звуки представляются в виде плавно изменяющихся электрических величин — напряжения или силы тока. При передаче той же речи по телеграфу, с помощью азбуки Морзе, или при записи ее на бумаге характер представления меняется, информация разбивается на отдельные порции: точки и тире, буквы алфавита; переходы от одной порции к другой совершаются скачками. Это уже дискретная форма представления информации.

На современном уровне развития кибернетики особо важное значение приобрела дискретная форма представления информации. Оказывается, что информация, заданная в непрерывной форме, может быть с любой наперед заданной точностью представлена в дискретной форме. Более того, в качестве отдельных порций информации может быть выбрано любое нужное количество каких-либо значков (обобщенных букв), называемое обычно абстрактным алфавитом. Важно лишь, чтобы этот алфавит содержал более одной обобщенной буквы. Процесс представления информации в виде последовательно расположенных букв абстрактного алфавита называется кодированием.

Для примера рассмотрим процесс кодирования информации, содержащейся в рис. 2 (абстрактный алфавит состоит из двух обобщенных букв — 0 и 1). Разобьем рисунок на прямоугольнички, размеры которых зависят от точности, с какой мы хотим представить информацию.

Условимся обозначать каждый прямоугольничек нулем, если более половины его площади не зачернено, и единицей в противоположном случае.

Тогда, пробегая все прямоугольнички по строкам слева направо, а строки сверху вниз, мы получим для нашего рисунка следующий дискретный код: 00000000011001100000.

Разумеется, такое представление описывает рисунок с малой точностью. Однако, разбивая изображение на достаточно большое число прямоугольничков, мы можем добиться высокой точности описания.

Обратный процесс воссоздания по данному коду первоначального рисунка, т. е. восстановление исходного вида информации по ее дискретному коду, называется декодированием.

В теории информации разработаны не только способы кодирования различных сообщений, но и способы количественной оценки содержащейся в них информации.

Теория автоматов

Вопросы кодирования и декодирования, а также другие проблемы возникают в первую очередь при разработке вводных и выводных устройств управляющих систем. Теоретическую основу устройств для преобразования информации составляет раздел современной кибернетики — теория автоматов.

Основной объект исследований этой теории — автомат, его свойства, структура, проектирование, а также способы преобразования информации с помощью автоматов.

Теория автоматов тесно связана с теорией алгоритмов, а само понятие автомат основывается на математическом понятии алгоритма. Алгоритмом называется конечная система правил, по которым совершается преобразование дискретной информации. С понятием алгоритма вы, сами того не ведая, знакомились еще в школе. Из курса алгебры, например, хорошо известны алгоритмы (правила) решения квадратных уравнений, систем линейных уравнений, раскрытия скобок и приведения подобных членов в буквенных выражениях и т. п. Но алгоритмы широко распространены и за пределами математики. Если сформулировать все правила, которые употребляет опытный переводчик для переводов, скажем, с английского языка на русский, мы получим не что иное, как алгоритм англо-русского перевода.

Если элементарные правила шахматной игры дополнить системой стратегических правил, позволяющих в каждой позиции находить единственный, наилучший (с точки зрения данной системы правил) ход, получится алгоритм игры в шахматы.

Теоретически чуть ли не всякий вид умственной деятельности человека может быть сведен к выполнению того или иного алгоритма. Но практически найти правила, составляющие эти алгоритмы, — очень сложная и трудоемкая задача.

Алгоритмическая система включает в себя: способ задания информации, набор элементарных операций (приемов), правила построения алгоритмов из элементарных алгоритмов.

Для кибернетики особенно важны два результата, полученные в теории алгоритмов. Первый — универсальность алгоритмических систем — состоит в том, что в данной алгоритмической системе можно записать любой алгоритм, т. е. представить его в виде конечной последовательности элементарных операций (приемов). Подобно тому как из атомов складываются молекулы различных веществ или как из одних и тех же букв складываются слова совершенно различного содержания, так и всякий алгоритм можно составить, комбинируя элементарные алгоритмические операции.

Второй важный результат заключается в том, что существуют так называемые алгоритмически неразрешимые проблемы, т. е. такие задачи, которые для своего решения требуют бесконечного числа различных приемов. А всякий алгоритм обязательно включает в себя лишь конечное число приемов, хотя, может быть, и очень большое.

Так, например, можно построить алгоритм для доказательства любой теоремы из элементарной геометрии (не использующей понятие предела). В то же время доказано, что для теории чисел (устанавливающей свойства целых чисел) подобного алгоритма построить нельзя, его не существует.

Основная задача теории автоматов — разработка методов создания преобразователей информации для осуществления тех или иных алгоритмов, например машин для контроля и управления производственными процессами в различных отраслях промышленности, для автоматического перевода с одного языка на другой, для игры в шахматы и т. п.

Если существуют универсальные алгоритмические системы, то в принципе возможно построить универсальные преобразователи информации, способные реализовать любые алгоритмы. Подобные универсальные преобразователи уже построены и успешно работают. Это так называемые универсальные электронные цифровые вычислительные машины (ЭЦВМ). Цифровыми вычислительными эти машины называются потому, что первым их назначением была реализация вычислительных алгоритмов. Информация, с которой они имели дело, была цифровой, т. е. набором чисел. Такие машины снабжаются так называемыми запоминающими устройствами (памятью), позволяющими им «запоминать» как перерабатываемую информацию, так и программу работы машины, т. е. записанный в условных кодах алгоритм, который должна реализовать машина.

Чтобы изменить программу, не нужно переделывать машину, достаточно пропустить через вводное устройство набор бумажных карточек с пробитыми в соответствующих местах отверстиями — перфокарты или ленту с отверстиями — перфоленту. Так вводится в машину новая программа, настраивающая ее на новый вид работы.

Благодаря этому открываются широкие возможности для автоматизации умственной деятельности человека, достаточно найти алгоритм, описывающий тот или иной вид подобной деятельности, перевести его в программу, или, как говорят, запрограммировать, и ввести в машину.

На универсальной машине можно программировать любой алгоритм, и, поскольку машина работает гораздо быстрее и точнее человека, она, как правило, выполняет заданный алгоритм гораздо лучше него. Отсюда понятно, какое большое практическое значение имеет кибернетика в автоматизации таких видов умственной деятельности, где человек уже сейчас не в силах справиться с переработкой информации за разумное время, например в научных и инженерных расчетах.

Вычислительная техника в народном хозяйстве

Во многих разделах современной науки и техники, таких, как атомная физика или ракетная техника, решаются задачи, требующие вычислений, состоящих из многих миллиардов арифметических операций. Даже при помощи клавишных вычислительных приборов человек успевает в среднем выполнять за минуту лишь две арифметические операции над многозначными числами. А для выполнения одного миллиарда операций потребовалась бы тысяча лет непрерывной работы без сна и отдыха! В то же время современная электронная цифровая машина, например, БЭСМ-6, выполняющая 1 млн. арифметических операций в секунду, справится с этой работой за четверть часа! При таком росте производительности труда становится возможным решение задач, которые ранее были недоступны человеку.

Автоматизация расчетов нужна не только в новейших областях науки и техники. Так, в метеорологии только благодаря автоматизации удается вовремя выполнить сложные расчеты, необходимые для составления прогнозов погоды. В техническом проектировании внедрение автоматизации позволяет перейти от выбора лучших проектов из относительно небольшого числа вариантов к выбору наилучшего из всех возможных вариантов (так называемого оптимального проекта).

Рассмотрим, например, задачу выбора наилучшего варианта проекта железной дороги по заданному маршруту (трассе). Производя мысленный вертикальный разрез местности вдоль трассы, получим некоторую кривую, изображающую неровности рельефа (рис. 3, стр. 408). Проложить дорогу непосредственно по этому рельефу, как правило, нельзя: подъемы и спуски получаются слишком крутыми, и преодолеть их при эксплуатации уже построенной дороги либо окажется невозможно, либо потребуются большие затраты (снижение скорости и веса составов, использование нескольких локомотивов и т. д.).

Необходимо поэтому выровнять рельеф. Такое выравнивание проводят по нескольким выбранным отметкам. В нашем примере таких точек всего 5 (точки Л, В, С, D, Е). Каждая точка, за исключением крайних — А и £, находящихся на определенном уровне, может занимать 100 различных положений по высоте. У нас будет 1003 = 1000 000 различных вариантов выравнивания рельефа.

Если просматривать их со скоростью два варианта в минуту, потребуется целый год. Если же число точек увеличивается до 100, то количество вариантов выражается единицей со 196 нулями, а количество лет, необходимое для их просмотра, — единицей с 190 нулями. В этом случае просмотреть все варианты практически невозможно не только для человека, но и для электронных вычислительных машин.

Необходимо поэтому разработать методы, позволяющие резко уменьшить количество просматриваемых вариантов, отбросить целые группы заведомо плохих. Разработкой такого рода методов занимается специальный раздел кибернетики — теория оптимальных решений.

В настоящее время разработан ряд методов для решения задач оптимального проектирования, планирования и управления. Для решения задач оптимального проектирования дорог, линий электропередач и др. удобен метод последовательного анализа вариантов. С помощью этого метода оптимальный вариант выравнивания рельефа для прокладки железной дороги в несколько сотен километров находится вычислительной машиной среднего быстродействия (10—12 тыс. операций в секунду) за 2—3 часа.

В ряде областей техники разрабатываются системы алгоритмов, позволяющие осуществить полную автоматизацию проектирования многих сложных объектов.

Не менее важно также оптимальное планирование и управление народным хозяйством. Эти вопросы выделяют обычно в специальный раздел кибернетики — экономическую кибернетику. Масштабы производства и темпы роста народного хозяйства в СССР так велики, что обычные неавтоматизированные методы планирования уже не могут нас удовлетворить. Практика показывает, что выбор оптимальных (наилучших) вариантов планов уже сейчас практически недоступен никакому человеческому коллективу, не пользующемуся электронными цифровыми машинами.

Электронные цифровые машины используются пока для решения лишь частных планово-экономиче-

Рис. 3. Схема выбора наилучшего варианта проекта железной дороги.

Рис. 4 (см. стр. 409). Варианты рациональных перевозок, рассчитанные ЭЦВМ.

ских задач. Особенно успешно решаются с помощью методов линейного программирования (см. стр. 413) так называемые транспортные задачи (нахождение планов перевозок с минимальными транспортными расходами), а также задачи о наилучшей загрузке станков и др. Экономия от такой автоматизации исчисляется обычно 10—15%, а в отдельных случаях доходит до 50—60%.

На рис. 4 дана схема перевозок грузов с заводов А, Б, В, Г на склады 1, 2, 3, 4. Минимальная стоимость перевозок зависит от объема продукции каждого завода (цифры возле заводов, в тысячах тонн), от вместимости складов (цифры, проставленные около складов, в тысячах тонн), от стоимости перевозки единицы товаров с каждого завода на склад (цифры возле стрелок, в рублях). Красные линии показывают оптимальные маршруты перевозок.

Для решения этой задачи обычным способом нужно много времени. А если будет большее количество поставщиков и потребителей? С помощью же электронно-вычислительной машины решение можно найти за несколько минут.

На повестке дня сейчас полная автоматизация не только самих процессов планирования и управления экономикой, но и процессов сбора и систематизации необходимой первичной информации, учета и справочно-статистической работы. С этой целью создаются специальные вычислительные центры, имеющие иерархическую структуру, снабженные мощными электронными цифровыми машинами и соединенные между собой, а также с производством современными каналами связи для быстрой передачи необходимой информации.

Информация, поступающая от низовых ЭЦВМ по каналам связи в вычислительную машину высшего уровня, будет обрабатываться и выдаваться за несколько десятков минут, на что сейчас требуются годы. Обработанные результаты передадут в головную организацию (Госпланы республик, оттуда — в Госплан СССР). Если в дальнейшем возникнет необходимость вернуться к данным материалам для решения какой-либо новой экономической задачи, вся информация, хранящаяся в ЭЦВМ на местах, может быть вызвана через систему связи и систему машин, которые ее обрабатывали.

К задаче оптимального управления экономикой тесно примыкает задача оптимального управления производственными процессами. Сейчас еще во многих случаях диспетчер или группа диспетчеров управляет тем или иным сложным процессом далеко не лучшим образом. Дело в том, что человеческий мозг не успевает своевременно перерабатывать огромный объем необходимой информации. Помочь здесь могут только автоматизированные управляющие системы, основу которых составляют специально приспособленные для управления универсальные электронные цифровые машины.

Они называются обычно универсальными управляющими машинами. Эти машины снабжены особыми вводными и выводными устройствами, позволяющими автоматически собирать и выдавать информацию, необходимую для управления производством. Примером системы управления предприятием может служить система управления на Львовском телевизионном заводе, разработанная научными сотрудниками Института кибернетики АН УССР совместно со специалистами завода.

Техническую базу автоматизированной системы «Львов» представляет комплекс двух электронно-вычислительных машин типа «Минск-22», снабженных дополнительными устройствами, за счет которых значительно повышаются их эксплуатационные характеристики и эффективность комплекса в целом.

Машина составляет наилучшую программу работы для всех участков производства, следит за соблюдением технологии, выполнением графиков и при необходимости включает определенные механические комплексы. В любой момент можно получить всестороннюю объективную информацию о положении дел в цехах завода.

Все это ведет к высокому уровню рентабельности предприятия. Внедрение автоматизированной системы «Львов» повышает эффективность использования капитальных вложений в три раза.

Универсальная управляющая машина «Днепр» предназначена для контроля и управления производственными процессами в различных отраслях промышленности. Машина успешно управляет выплавкой стали, газорезательными станками, производством химических и нефтепродуктов, движением поездов на железнодорожном транспорте, производством целлюлозы и бумаги и другими процессами.

Машина используется и для автоматизации научных и инженерных исследований, для сбора и обработки данных о результатах научных и инженерных экспериментов.

Так, установка на научно-исследовательском судне «Михаил Ломоносов» машины «Днепр» дала возможность обрабатывать результаты гидрофизических исследований непосредственно во время рейса, на что раньше затрачивались месяцы и даже годы работы по окончании экспедиции.

Для управления производственными процессами на значительных расстояниях можно использовать электронные цифровые вычислительные машины, установленные в вычислительных центрах в другом городе.

Но создание управляющих машин лишь наполовину решает проблему автоматизированного управления производственными процессами. Не менее важно решить задачу алгоритмизации, т. е. найти эффективные алгоритмы для управления производственными процессами. Построением общей теории управления техническими (производственными) объектами занимается техническая кибернетика.

Разумная машина — верный помощник человека

Алгоритмизация производственных процессов обычно чрезвычайно трудоемка, а из-за непрерывного совершенствования технологии необходимо часто изменять и совершенствовать алгоритмы управления. Поэтому стараются использовать все чаще такие системы, которые могут самосовершенствоваться.

Особенно велико значение самосовершенствующихся систем при решении одной из самых увлекательных задач кибернетики — задачи моделирования процессов, протекающих в мозгу человека. Дело в том, что человеческий мозг — очень сложная и во многих отношениях замечательно устроенная самосовершенствующаяся система. Возможности мозга наглядно иллюстрируются таким примером.

Если показать человеку, ранее не имевшему представления об этажности домов, рисунки с одноэтажными и пятиэтажными домами, впоследствии он может правильно классифицировать и изображения, которые ему не были еще показаны, например двухэтажных, трехэтажных и т. д. домов. Значит, у человека выработалось достаточно правильное представление о домах в несколько этажей. Иными словами, человек внешне относительно просто приспособляется к распознаванию какого-либо класса изображения (в нашем случае — рисунков домов с различным числом этажей).

Для моделирования такой способности мозга в кибернетике было построено много различных алгоритмов и проведены эксперименты. Они послужили в ряде случаев основой для решения практических задач автоматизации процессов распознавания зрительных образов, а также человеческой речи. Впрочем, в направлении автоматического распознавания речи сделаны пока лишь первые шаги: машина распознает всего несколько десятков слов, произносимых разными голосами в различных условиях.

Обучение машин распознаванию зрительных и других образов — лишь самая первая, относительно несложная задача в моделировании мыслительных процессов. Более сложно моделировать логическое мышление, процесс обучения языку, моделировать процессы творчества.

В области логического мышления в первую очередь моделируются различные системы, позволяющие осуществлять автоматическое доказательство теорем в некоторых областях математики. При этом речь идет об автоматическом доказательстве не только теорем, вошедших в учебники, но и новых, еще неизвестных человеку. Значение такой автоматизации огромно: используя скорость и безошибочность работы даже современных, относительно еще мало совершенных, универсальных электронных цифровых машин, вероятно, можно будет уже в ближайшем будущем доказать сложные теоремы, которые «невооруженному» человеческому уму недоступны.

Здесь уже возникает вопрос об использовании автоматизации для развития самой науки. В будущем кибернетические машины будут незаменимыми помощниками человека не только в доказательстве новых теорем, но и в обобщении результатов наблюдений, в построении новых физических и других теорий и т. д. Уже сейчас помимо помощи в сложных вычислениях и обработке экспериментальных данных машины начинают применяться для автоматизации справочно-информационной и библиографической работы, отнимающей много времени у ученых. В принципе возможно накапливать научную информацию не только в библиотеках, но и в электронной памяти кибернетических машин в специальных информационных центрах. Из этих центров можно будет быстро получать необходимую справку, краткое или полное содержание научной статьи и т. д.

Важное место в научном творчестве займут также автоматический перевод с одного языка на другой, автоматическое реферирование и конспектирование статей и т. п. Для этих целей в машину должна быть вложена та или иная система знаний о человеческих языках. На первых порах в эту систему включаются обычно лишь необходимый словарный запас и грамматические правила. Однако в принципе ничто не препятствует тому, чтобы обучать машину распознаванию смысла вводимых в нее фраз.

Опыты такого рода были проделаны в Академии наук УССР. Универсальная электронная цифровая машина, работая в так называемом режиме обучения, обучалась отличать осмысленные фразы, состав-

Рис. 5 (см, стр. 410). БЭСМ-6.

Рис. 6. ЭЦВМ «Минск-22» (верхний рис.).

ЭЦВМ «Днепр-2» (нижний рис.).

ленные из выбранных наугад 100 слов, от бессмысленных. Важно подчеркнуть, что машина не просто «зазубривала» вводимые в нее «учителем» фразы, а создавала новые понятия, задавала «учителю» вопросы и в режиме экзамена различала смысл не только тех фраз, которые ей были сообщены «учителем», но и абсолютно новых для нее.

Возникает актуальный и острый вопрос: возможна ли автоматизация самих процессов творчества? О научном творчестве уже говорилось выше. Необходимо лишь определить: не потребуется ли программисту затратить больше усилий на составление программы, чем на непосредственное решение вопроса, заключенного в программе?

Рассмотрим простой пример. Предположим, программист не знает, как решаются квадратные уравнения, но может проверить, является ли то или иное число корнем заданного квадратного уравнения. В таком случае он без особых затруднений может составить программу, по которой машина будет пытаться решать квадратные уравнения по различным формулам, последовательно перебирая все такие формулы — от более простых к более сложным. При этом каждая такая попытка будет проверяться с помощью подстановки определяемых по испытуемой формуле корней в заданное уравнение (или в несколько заданных уравнений). В случае неудачи машина должна автоматически строить следующую формулу и испытывать ее — и так до тех пор, пока очередная попытка не приведет к успеху. Благодаря огромной скорости работы машина довольно быстро найдет требуемую формулу.

При решении более сложных проблем применение метода простого перебора может не привести к успеху. Однако, как правило, благодаря огромной быстроте действий машина может решать соответствующие проблемы с помощью более простых методов, чем те, которые потребовались бы для этой цели человеку. Поэтому составление программы для решения даже единичной проблемы творческого характера может оказаться более простым делом, чем непосредственное решение самой проблемы. В действительности же положение еще облегчается и тем, что составленная программа используется для решения всех проблем одного типа.

Возможности автоматизации творческих процессов не ограничиваются рамками одних лишь точных наук. Уже сейчас, когда кибернетика делает здесь первые робкие шаги, проведены успешные опыты по автоматизации музыкального творчества; машины сочиняют стихи (правда, пока еще плохие), играют в шахматы и т. д. С каждым днем перед автоматизацией процессов творчества открываются все новые и новые горизонты. Однако, разумеется, далеко не во всех областях подобная автоматизация так нужна, как в процессах научного творчества.

Хотя сегодня уже начинают применять математические методы исследования художественных произведений, вряд ли можно говорить о потребности автоматизировать литературное или музыкальное творчество. К тому же стихи электронных поэтов в обозримом будущем вряд ли смогут превзойти истинные поэтические шедевры.

Особый интерес представляют взаимосвязи между кибернетикой и биологией и медициной. Кибернетика дает в руки биологам новые методы исследований. Универсальные электронные цифровые машины позволяют моделировать процессы эволюции и естественного отбора, автоматизировать процесс определения болезней по их признакам, моделировать механизм возникновения условных рефлексов и других видов деятельности мозга животных и даже мозга человека.

В медицине врач-исследователь или лечащий врач сможет получить информацию о состоянии больного, выборочные данные из истории болезни, справку об эффективности лечебного комплекса применительно к большой группе подобных больных из информационного медицинского центра, оснащенного ЭЦВМ. Такие центры будут созданы во многих городах нашей страны.

Биология, в свою очередь, снабжает кибернетику новыми идеями, касающимися создания машин, ко-

ЭЦВМ «Мир-2».

торые в значительно большей степени приблизятся к свойствам мозга, чем ныне существующие.

Кибернетика непрерывно совершенствует свою техническую базу. На смену громоздким и малонадежным ламповым машинам пришли машины, использующие полупроводники и магнитные элементы. Успехи современной физики позволили сделать следующий шаг: перейти к чрезвычайно миниатюрным элементам, использующим тонкие пленки, твердые схемы и др. Машины четвертого поколения будут строиться на так называемых БИСах — больших интегральных схемах. В одной такой схеме, объем которой составляет доли кубического сантиметра, может размещаться блок машины, занимавший в машинах первого поколения целый шкаф. Машины станут чрезвычайно надежными, малогабаритными, относительно дешевыми и простыми в эксплуатации. Эволюция в технической основе ЭЦВМ привела к коренным изменениям в ее логической организации. Машина принимает и обрабатывает могучий поток информации, что позволяет сэкономить тысячи лет человеческого труда. При работе с машиной практикуется мультипрограммирование — одновременное решение большого количества задач, поставленных перед ЭЦВМ, а это, в свою очередь, ведет к более полной загрузке оборудования. Происходит также непрерывное совершенствование логической структуры машин, увеличение быстроты их действия и объема памяти. Наряду с этим разрабатываются методы построения новых машин, копирующих не только функции, но и некоторые детали внутреннего строения человеческого мозга.

Успешно решается проблема общения человека с машиной. Разработано большое количество универсальных и специализированных языков для работы с машиной, позволяющих человеку гораздо проще писать для нее исходные задания. С машиной должен работать не только математик-программист, но и инженер. Так, например, на машине «Проминь» любой инженер может легко программировать простые задачи. Для решения широкого круга инженерных задач удобна малогабаритная полупроводниковая машина «Мир». Новая машина этой серии «Мир-2» еще более удобна в эксплуатации. В ее конструкцию введено техническое новшество — экран со световым карандашом. Оператор, видя на экране рабочее поле машины, может вносить правки световым карандашом непосредственно в определенный участок программы. Все это придает особую гибкость процессу вычислений, возможность вмешиваться в процесс вычисления и давать машине необходимые указания, не прерывая ее работы. Математическое обеспечение «Мира-2» также разработано в плане реализаций возможности упрощения диалога человек — машина. Перед учеными стоит сложная проблема — разработать такой язык, который был бы понятен машине и приближался к человеческому языку. Путь к осуществлению этого уже намечен.

На базе новейших кибернетических устройств и систем быстрыми темпами развивается автоматизация различных видов умственной деятельности человека. Автоматизация эта захватывает все новые и новые области, возможности ее безграничны. У ряда буржуазных философов и писателей успехи подобной автоматизации вызывают опасения за будущность человечества: не вытеснят ли автоматы человека? Однако подобные опасения лишь результат непонимания закономерностей исторического развития. В социалистическом и коммунистическом обществе, которое с исторической неизбежностью приходит на смену капитализму, машины, какими бы совершенными они ни были, всегда останутся верными помощниками человека, способствуя неизмеримому расцвету материальных и духовных сил человеческого общества.

Чем занимается теория линейного программирования

В самых различных отраслях народного хозяйства постоянно возникает необходимость в составлении наилучшего плана производства: плана перевозок нефти между местами ее добычи и городами-потребителями; плана использования станков или другого оборудования; плана использования имеющихся ресурсов. Нахождением наилучшего решения такого рода задач и занимается теория линейного программирования. Название «линейное» связано с нахождением оптимального (минимального или максимального) значения линейной функции нескольких переменных, на которые наложены ограничения в виде линейных уравнений или неравенств. Слово «программирование» происходит от конечной цели методов этой теории — составления оптимальной (наилучшей) программы действия.

Линейное программирование — новая область прикладной математики. Основные идеи линейного программирования были развиты всего лишь три десятилетия назад. В 1939 г. появилась работа советского академика Л. В. Канторовича «Математические методы в организации и планировании производства». В 1949 г. опубликована работа американского математика Джорджа Б. Данцига, в которой излагались идеи метода последовательного улучшения плана, называемого теперь симплексным методом. Этот метод является одним из самых универсальных и эффективных.

Методы линейного программирования очень быстро получили широкое применение в экономике при решении различных задач планирования. О характере таких задач дает представление следующий пример.

Сначала рассмотрим экономическую постановку задачи. Цех выпускает два вида продукции: А и В (можно предположить, что продукция А — это столы, продукция В — шкафы). В данном цехе четыре группы оборудования (т. е. станков разного типа), которое используется для производства одной штуки продукции А и В указанным в таблице образом :

Группы оборудования

Виды продукции

1

II

III

IV

А

1

1

2

0

В

1

2

0

2

Всего станков по группам оборудования

18

24

24

18

Данные в таблице показывают, сколько станков определенной группы используется одновременно для производства одной штуки продукции (наличие нуля означает, что станки данной группы в производстве данного вида продукции не используются). Цех получает прибыль с одной штуки продукции вида А 40 рублей, вида В — 60 рублей. Необходимо составить такой производственный план цеха, который позволял бы получать максимальную прибыль при имеющихся в наличии станках и производственных мощностях.

Математизация экономической постановки задачи

Предположим, что цех должен выпускать .v, штук продукции вида А и х2 штук продукции вида ß. При этом станков I группы будет использовано 1 • Х\ + +1 • jc2. Но в цехе имеется всего 18 станков I группы, следовательно, имеем первое ограничение:

Три остальных ограничения получаются аналогично :

Таким образом, нами получена система четырех линейных неравенств. Нас будут интересовать только неотрицательные (допустимые) решения данной системы (нельзя же практически использовать, например, решение, где Х\= — 6, эквивалентное тому, что цех должен сделать —6 штук продукции?!).

Х\ штук продукции вида А дадут цеху прибыль 40 • X] руб., а Х2 штук продукции вида В дадут 60 • Х2 РУб. Общую прибыль будет описывать линейная функция /7 = 40л'1 +60.v2. Нам необходимо среди неотрицательных решений системы линейных неравенств отыскать такое, которое максимизировало бы линейную функцию F.

Математическая формулировка этой задачи выглядит так:

Найти максимум линейной функции

при условии

(1)

Рис. 1 (верхний). Рис. 2 (нижний).

I решение. В этой задаче только два неизвестных Х\ и х2. Это позволяет получить решение геометрически. Неравенства (д) и (е) ограничивают поиск решения первым квадрантом (рис. 1).

Неравенствам (в) и (г) удовлетворяют лишь точки, находящиеся внутри или на сторонах прямоугольника D2C2C\0. Линейные неравенства (а) и (б) еще сильнее ограничивают область поисков допустимых решений. После наложения всех шести ограничений мы получили многоугольник 002Р\Р2Си являющийся множеством допустимых решений задачи. Теперь среди множества этих решений надо выбрать такое, при котором линейная функция F достигала бы максимума, т. е. необходимо найти такую точку, принадлежащую этому многоугольнику, чтобы координаты ее (jti°, *2°) обращали F в максимум. Приравняем выражение для F, т. е. F = 40xi + 60*2. какой-либо постоянной а :

40xi-f 60х2 = а.

Известно, что это уравнение определяет прямую, в каждой точке которой функция F принимает одно и то же значение а.

Пусть а = 360, тогда уравнение

40*1 + 60x2 = 360

определяет прямую (/7 = 360) на рис. 2. Если же положить а = 960, то уравнение

40*! +60х2 = 960

определит другую прямую (F = 960).

Если представить, что а, возрастая, принимает значения от 0 до со, то прямая, соответствующая уравнению

40х!+60х2 = а,

смещаясь параллельно самой себе, образует семейство параллельных прямых. Такое семейство показано на рис. 3, где каждой прямой поставлено в соответствие определенное значение функции F. Направление возрастания значения а показано стрелкой. По взаимному расположению многоугольника допустимых значений и этого семейства прямых можно определить, какая точка многоугольника соответствует наибольшему значению F. Из рис. 4 видно, что такой точкой является точка Р2. Чтобы определить координаты этой точки, достаточно решить систему уравнений тех прямых, пересечением которых она является :

*i+*2=18, хх + 2х2 = 24, х, = 12.

Откуда Xi° = 12, jc2° = 6. При этом допустимом решении

F=40х, + 60x2 = 840 (руб.).

Это решение оптимальное, ибо ни при каком другом допустимом решении значение линейной функции F не будет большим.

Предлагаем читателю самому убедиться в этом, вычислив для сравнения, например, значение F в точке Р\. Заметим, что в теории линейного программирования доказывается теорема, по которой оптимального значения линейная функция может достигать только на границе многоугольника допустимых решений.

II решение Теперь решим эту же задачу с помощью симплексного метода. Читателю следует обратить внимание на основную идею этого метода — последовательное улучшение допустимых решений.

Рис. 3 (верхний). Рис. 4 (нижний).

Сначала приведем нашу задачу к виду, удобному для применения симплексного метода. Для этого систему неравенств (1) необходимо преобразовать в систему линейных уравнений. Чтобы неравенство *i+*2<18 превратить в равенство, достаточно в левую его часть ввести дополнительное неотрицательное неизвестное, например, х$:

Xi+x2 + x3='18.

Вводя дополнительные неизвестные х4, аг5, х6 в остальные неравенства, имеем :

*1+ Х2 + Х3 = 18,

Xi+2x2+x4 = 24,

хх+ + х5=12, (2)

*2 + +х6 = 9.

Эта система четырех уравнений имеет шесть неизвестных. Значит, имеется два неизвестных, называемых свободными, через которые можно выразить остальные четыре, называемые базисными. Заметим, что свободные неизвестные неотрицательны. В качестве свободных неизвестных произвольно выбираем Х\ и х2.

Хз = 18—Х\—х2, х4=24—х{—2х2у

х5=12—хи (3)

х6 = 9—х2.

Линейная функция уже выражена через свободные неизвестные:

F = 40x{+60x2.

Если придавать свободным неизвестным какие-либо значения, то будем получать все новые и новые решения. В симплексном методе ограничиваются только базисными решениями, т. е. решениями, которые получаются, когда свободные неизвестные равны нулю.

Система (3) имеет такое базисное решение (*i=0, х2 = 0, х3 = 18, х4 = 24, х5 = 12, х6 = 9), при котором значение линейной функции F=0. При этом допустимом решении цех ничего не должен делать и, естественно, прибыль равна нулю. В выражении для F свободные неизвестные входят со знаком «плюс». Следовательно, их увеличение должно привести и к увеличению F. Будем увеличивать Х\ при jc2 = 0. Нас интересуют только допустимые (неотрицательные) решения, поэтому Х\ нельзя увеличивать неограниченно, ибо при этом базисные неизвестные л'з, х4, Xs могут стать отрицательными (см. систему (3). Из третьего уравнения системы (3) видно, что Х\ можно увеличить лишь до 12. Положим теперь ATi ='12, тогда *5 = 0. Это приводит к новому допустимому решению:

*! = 12, х2 = 0, х3=6, *4=12, х5 = 0, *б = 9,

при котором значение линейной функции стало больше:

F = 40*1 + 60*2 = 480 (руб.). В этом решении (как и в первом) два неизвестных равны нулю (х2 и х5). Будем считать их свободными и выразим через них новое базисное неизвестное Х\. Из третьего уравнения системы (3) имеем: хх = \2-хъ.

Подставляя это выражение для Х\ в остальные уравнения системы (3) и в выражение линейной функции, получим:

*3 = 6 — #2 + *5»

х4=12-2х2 + х5,

х6 = 9-х2, (4)

х{ = 12 — хк, F=480 -г-60х2-40х5.

Из системы (4) видно, что увеличение х2 при х5 = 0 будет вести к дальнейшему увеличению значения F.

Но первые три уравнения системы (4) ограничивают увеличение х2.

При х2 = 6 значение линейной функции станет F = 840. Неизвестные х3 и х4 при этом окажутся равными нулю, т. е. станут свободными.

Нами получено новое допустимое решение:

X, = 12, х2 = 6, х3 = 0, х4 = 0, х5 = 0, х6 = 3.

Выразим новое базисное неизвестное х2 через свободные. Из первого уравнения имеем :

х2 = 6-х3 + х-0.

Выражая F через свободные неизвестные, имеем:

/? = 480 + 60 (6-Хз + х5)—40х5 = 840 - 60хг + 20jc5.

Из этого выражения как будто бы следует, что за счет увеличения х5 можно добиться еще большего увеличения F. Выразим базисные неизвестные системы (4) через свободные неизвестные х3 и jc5:

Х4 = 2хз — х5

Хб = 3 + ^3 — *5

X, = 12 — х5 (5)

х2 = 6-х3 + хь

Анализ уравнений системы (5) показывает, что любое увеличение неизвестного х5 при х3 = 0 сразу же приводит к недопустимому решению, так как Х\, х4, х6 станут отрицательными. Полученное решение Х\ = 12, х2 = 6, х3 = 0, хА = 0, jc5 = 0, х6 = 3 нельзя улучшить. Это решение будет оптимальным, ибо соответствующее ему значение линейной функции F максимальное среди всех ранее рассмотренных.

^глах =840 (руб.).

Сравните с решением, полученным геометрически.

Заметим, что последовательное улучшение допустимых решений в симплексном методе обычно происходит до тех пор, пока в выражении для линейной функции все свободные неизвестные не окажутся со знаком «минус» (в случае минимизации — со знаком «плюс»).

Нами была рассмотрена простейшая задача линейного программирования. На практике приходится иметь дело с задачами, число неизвестных в которых исчисляется сотнями, и тогда на помощь приходят электронные вычислительные машины.

Решение к стр. 381. Введем обозначения: а — Саша, 6 — Костя, с — не Саша, d — 18 лет, е — 21 год и / — 25 лет.

Мама сказала: «а • г», nana сказал: «6 • rf», а дочь сказала: «c-f». Так как часть каждой информации неверна (имеет значение 0), то а • е = Ь . d = c . / = 0 и а + е = 1, 6 + d = l, с+/=1.

Сын Николая Ивановича не может иметь сразу два имени и два возраста; следовательно: а - Ь = а - c = d • e = d • е=е • / = 0.

Перемножим суммы а + е=1 и b + d=l, тогда а • Ь + а • d + b • е + е • ^=1, после выбрасывания нулевых членов останется равенство а • d + b • е=\. Перемножим эту сумму и сумму c + f=lt что после выбрасывания нулевых членов даст равенство Ь-с-е=1, откуда следует, что 6 = 1, с= 1, е=1 (верхняя информация). Значит, сына Николая Ивановича зовут не Саша (с=1), а Костя (6 = 1) и возраст его 21 год (е=1).

Интересное свойство числа 121

Запись 121 имеет смысл числа не только в десятичной системе, но и в любой другой, основание которой В>2. Это число интересно тем, что является полным квадратом как при основании 10 (121 = 112), так и при любом другом основании В>2.

Докажите!

Решение на стр. 432.

Пять зашифрованных действий

Расшифруйте эти пять равенств, заменяя звездочки цифрами так, чтобы в каждом равенстве появились все 10 цифр от О до 9.

Числа, образующие первые четыре действия, не должны совпадать. Ответ на стр. 432.

Исследование операций

Исследование операций — это наука о математическом обосновании решений. Что такое «решение», знает каждый. Пусть имеется ситуация (положение, стечение обстоятельств), в которой перед нами возникает вопрос: Как поступить? Какой образ действий выбрать? Если мы выбираем в данной ситуации определенный образ действий из ряда возможных, это и называется решением.

Необходимость принимать решения так же стара, как само человечество. Вероятно, еще в каменном веке люди, отправляясь на охоту, принимали решения, например: Чем вооружиться? Какой район леса выбрать? Разделиться ли на две группы или идти всем вместе? И так далее.

Однако до поры до времени решения принимались без всяких научных расчетов, просто на основе опыта и здравого смысла. В ряде случаев такой способ принятия решений устраивает нас и до сих пор. Скажем, человек выходит утром из дому, чтобы ехать на работу. По ходу дела ему приходится принять целый ряд решений: Надевать плащ или нет? В каком месте перейти улицу? Ехать автобусом, троллейбусом или, может быть, трамваем? Все такие решения человек принимает мгновенно (часто бессознательно), опираясь на имеющийся у него опыт и здравый смысл. Здесь никакая наука не нужна и вряд ли понадобится в дальнейшем.

А теперь возьмем другой пример: пусть речь идет об организации работы городского транспорта в большом городе с миллионным населением. Нужно принять ряд решений: Какое количество и каких транспортных средств (автобусов, троллейбусов, трамваев) направить по каким маршрутам? Где расположить остановки? Как часто пускать машины в разное время суток? И т. д.

Здесь решения гораздо сложнее, чем в первом примере, а главное, от них гораздо больше зависит. В первом примере неудачный выбор решения затронет интересы одного человека, во втором — может отразиться на деловой жизни целого города. Такие ответственные решения уже нельзя принимать наобум — для них требуются специальные расчеты. Эти расчеты позволяют избежать риска, заранее оценить сильные и слабые стороны каждого решения и выбрать то из них, которое является наилучшим (или, как говорят, оптимальным). Чем сложнее, чем дороже мероприятие, которое мы собираемся предпринять, тем менее допустимы в нем произвольные, «волевые» решения, опирающиеся только на «опыт и здравый смысл». В особенности когда речь идет о мероприятии, которое вообще проводится впервые! Здесь «опыт» молчит, а «здравый смысл» легко может ввести в заблуждение. Нет уж, лучше «семь раз примерь, один раз отрежь»! Такой предварительной «примеркой» перед выбором решения и служат математические расчеты — исследование операций.

Подобными расчетами люди занимались от случая к случаю с самых давних пор, но в наше время они стали более массовыми и необходимыми, так как сами мероприятия стали более сложными и ответственными. Что касается названия «исследование операций», то оно появилось сравнительно недавно, в годы второй мировой войны, когда в вооруженных силах США и Англии были созданы специальные научно-исследовательские группы, в задачи которых входила подготовка разумных решений по организации боевых операций различных родов войск. В настоящее время это название укрепилось за всеми расчетами по обоснованию решений, к какой бы области практики они ни относились. Математические методы исследования операций применяются сегодня в экономике, промышленности, сельском хозяйстве, в медицине и биологии, в градостроительстве, инженерном деле и транспорте — одним словом, везде, где людям приходится организовывать сложные мероприятия и принимать решения. За последние годы исследование операций развивается очень быстрыми темпами и завоевывает себе все более широкое поле применений. Знакомство с математическими методами исследования операций требуется сейчас от инженеров, научных работников, хозяйственных руководителей. Широкое развитие и применение методов исследования операций опирается в наши дни на вычислительную технику — на быстродействующие электронные цифровые машины (ЭЦВМ), позволяющие в сжатые сроки осуществлять огромный объем расчетов, связанных с переработкой информации о состоянии дела и с оптимизацией решений.

Чтобы дать представление о задачах исследования операций, рассмотрим несколько примеров таких задач.

1. Имеется группа промышленных предприятий П], П2, П3, П4, расположенных в определенных географических пунктах (рис. 1). Эти предприятия нужно снабжать сырьем. Источники сырья С1э С2, С3, С4, С5 также размещены в разных географических пунктах и связаны с предприятиями какими-то путями сообщения (железнодорожными, шоссейными, водными, воздушными) со своими тарифами. Требуется разумным образом разместить заказы на сырье так, чтобы потребности предприятий были удовлетворены в заданные сроки и при этом расходы на перевозку сырья были наименьшими (минимальными).

2. Организуется продажа сезонных товаров (купальных костюмов, шапочек^ защитных очков и т. д.). Требуется выбрать количество и вид товаров,

Рис. 1.

Рис. 2.

число торговых точек, их размещение и т. д., с тем чтобы прибыль за сезон была наибольшей (максимальной).

3. Для обеспечения телевизионной связи запускается серия искусственных спутников Земли. Требуется выбрать количество спутников, их орбиты, тип оборудования и т. д. так, чтобы заданное качество и объем передач были обеспечены при минимальных расходах.

4. Необходимо к определенному сроку произвести обследование большой группы населения для того, чтобы выявить некоторые виды заболеваний. На обследование выделены какие-то средства (врачебный персонал, оборудование, деньги). Требуется разработать план обследования (число медпунктов, их размещение, способ работы, вид и количество анализов и т. п.), с тем чтобы выявить максимальный процент заболевших.

5. Завод изготовляет определенного вида изделия (телевизоры или, скажем, подшипники). Для обеспечения их высокого качества организуется система контроля, причем изделия (все или некоторые) подвергаются каким-то испытаниям (тестам). Требуется рациональным образом организовать этот контроль, т. е. назначить вид тестов, их последовательность, правила браковки и т. д., так, чтобы обеспечить заданный уровень качества изделий при минимальных расходах.

6. Требуется проехать на автомашине из пункта А в пункт В (рис. 2); пункты соединены сетью дорог разного качества: первоклассные благоустроенные шоссе, дороги среднего качества и проселки. Некоторые из них пересекают реки и железнодорожные пути, причем на переездах могут возникать «пробки» (скопления машин). Требуется проложить такой маршрут, по которому машина придет из пункта А в пункт В за кратчайшее время.

Как видно, наши примеры взяты из самых разных областей, и все же в них есть что-то общее, а именно: в каждом из них идет речь о каком-то Мероприятии, преследующем определенную цель. Заданы какие-то условия, в которых проводится мероприятие (в частности, ресурсы или средства, которыми мы располагаем). В рамках этих условий требуется принять решение так, чтобы наше мероприятие было в каком-то смысле наиболее выгодным (или наименее убыточным). Все эти задачи относятся к области исследования операций, и перечисленные черты являются для них общими и типичными.

Познакомимся с терминологией и основными понятиями исследования операций. Под операцией в широком смысле слова понимается любое мероприятие (или система мероприятий), направленное к определенной цели, заранее спланированное и руководимое из единого центра. Этим мероприятием мы можем в какой-то мере управлять, выбирая зависящие от нас параметры Х\, А^, которые мы будем называть элементами решения. Если мы выбрали определенным образом все эти параметры, это будет значить, что мы приняли решение.

Решение может быть удачным или неудачным, обеспечивать больший или меньший успех операции. Успешность (или эффективность) операции характеризуется какой-то величиной — мы будем обозначать ее W и называть целевой функцией (иначе — показателем эффективности) операции. Эту величину тре-

буется -сделать максимальной (или, наоборот, минимальной). Так, в примере 1 целевой функцией W является стоимость перевозок и ее нужно сделать минимальной. В примере 2 целевой функцией является прибыль и ее, наоборот, надо сделать максимальной. Предлагаем читателю самостоятельно назвать целевую функцию в остальных примерах.

Оптимальным решением называется решение, при котором целевая функция обращается в максимум (или в минимум, смотря по смыслу задачи).

Математические методы исследования операций позволяют с помощью расчета заранее выявить оптимальные решения и этим помочь в выборе образа действий тем людям (коллективам), которые несут ответственность за правильную, разумную организацию операции.

Чтобы проанализировать совокупность возможных решений и найти среди них оптимальное, нужно прежде всего построить математическую модель операции, т. е. выразить с помощью каких-то математических формул зависимость между условиями операции ai» a2, ...» элементами решения Х\> Х2, и целевой функцией W.

Построение математической модели — самая сложная и ответственная часть исследования. В модели надо по возможности учесть все важные, существенные факторы (причины), от которых зависит успех операции, а менее существенные, второстепенные — отбросить. Чтобы построить правильную, доброкачественную математическую модель, нужно не только хорошо знать математику, но и глубоко разбираться в существе того явления, о котором идет речь. Если математическая модель строится человеком, который имеет о данной области только общее представление, он всегда рискует, с одной стороны, не учесть ряда существенных факторов или учесть их неправильно, а с другой стороны, «утонуть» в несущественных подробностях, излишне усложняющих модель. Наилучшие результаты получаются, когда над моделью работают совместно математики и специалисты в данной конкретной области, к которой относится операция. Для наиболее сложных случаев приходится создавать коллективы специалистов разных профилей — математиков, физиков, инженеров, экономистов, психологов и т. д.

Предположим, что самая трудная и ответственная часть работы по исследованию операций — создание математической модели — выполнена. Это значит, что мы для любых заданных условий ai, a2, ••• и любого решения (Х\, Х2, •••) можем вычислить целевую функцию W. Запишем зависимость W от условий и элементов решения в виде формулы :

Не нужно думать, что эта зависимость всегда имеет вид простой алгебраической формулы,— нет, часто она гораздо сложнее, например имеет вид уравнения, которое нужно еще решить, или системы графиков, или программы для вычислительной машины, по которой всегда можно вычислить W. Так или иначе, примем, что задача вычисления W решена. Тогда задачу выбора оптимального решения можно поставить следующим образом:

При заданных условиях ai, a2, ••• найти такие элементы решения Х\, Х2 при которых целевая функция W обращается в максимум (минимум).

Для решения таких задач современная математика разработала много специальных методов, таких, например, как методы линейного программирования, динамического программирования, метод случайного поиска и другие, позволяющие в обозримое время найти оптимальное решение. Надо заметить, что в случаях, когда число элементов решения Х\9 Х29 ... велико, а целевая функция W зависит от них и заданных условий сложным образом, задача поиска оптимального решения может оказаться в вычислительном отношении очень громоздкой. В настоящее время подавляющее большинство таких задач решается на вычислительных машинах.

Однако вычислительные трудности — это далеко не главные трудности, с которыми приходится встречаться при исследовании операций. Значительно более серьезные затруднения возникают в связи с неопределенностью ситуации.

Представим себе, что обстановка, в которой будет выполняться операция, заранее неизвестна и может оказаться той или другой. Скажем, в задаче о распродаже сезонных товаров (пример 2) успех распродажи существенно зависит от спроса, а спрос — от погоды, которую, как известно, в точности предугадать невозможно, особенно задолго. В задаче о маршруте автомашины (пример 6) тоже нельзя заранее предвидеть, сколько придется простоять машине на том или другом переезде.

Если условия выполнения операции ai, a2, не все известны заранее, а среди них есть неопределенные, задача исследования операций превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределенности. Трудная задача, но, к сожалению, очень типичная! И встречается она на практике куда чаще, чем случай, когда все условия известны заранее.

Как же быть? Отказаться от математического исследования? Ни в коем случае!

Разумеется, неопределенность есть неопределенность, с этим ничего не поделаешь, и любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже того, которое мы приняли бы, если полностью знали обста-

новку. Приняв решение в условиях неопределенности, мы не гарантированы, что обстановка не обернется против нас, и тогда мы выиграем меньше, чем рассчитывали. И все-таки математические методы помогут нам принять решение более разумное, чем если бы мы действовали просто наобум. Существует ряд приемов, позволяющих принять и в условиях неопределенности решение лучшее, чем остальные.

Прежде всего надо сказать о вероятностных методах анализа случайных ситуаций. Как известно, теория вероятностей занимается закономерностями в случайных явлениях и предсказаниями (прогнозами) в области массовых случайных явлений. Методами теории вероятностей можно найти разумный способ поведения в условиях, которые могут меняться случайным и непредвиденным образом. Мы можем, например, выбрать такое решение, которое обеспечит нам максимальный средний выигрыш при неоднократном выполнении операции (а многие операции как раз и выполняются неоднократно!). Или, если мы очень боимся риска, неожиданных крупных потерь, можно выбрать такое решение, которое сводит к минимуму вероятность крупной потери. Многого можно достигнуть при математическом исследовании операции даже в условиях неопределенности — нужно только хорошо знать, к чему мы стремимся и чего опасаемся.

Бывают особые обстоятельства, когда неизвестные условия операции зависят не от «слепого случая», а от сознательно противодействующего нам противника (например, в ходе военных действий). В таких задачах найти оптимальное решение помогает специальная наука — теория игр (так называется математическая теория конфликтных ситуаций). Близкими к теории игр задачами занимается теория статистических решений — там рассматривается неопределенность, не обязательно связанная с враждебной деятельностью противника (так называемые «игры с Природой»).

Особые сложности в задачах исследования операций возникают, когда успешность операции описывается не одной-единственной целевой функцией (показателем эффективности) W, а сразу несколькими: W\9 W2* ...» Wk »из которых одни желательно сделать побольше (максимизировать), а другие поменьше (минимизировать). Например, организуется работа промышленного предприятия, и нам хотелось бы: а) максимизировать прибыль, б) минимизировать количество занятых на производстве людей, в) максимизировать количество сэкономленного сырья и т. д. Одним словом, хочется, чтобы «и волки были сыты и овцы целы»...

Легко видеть, что поставленные требования противоречивы : максимально удовлетворяя одному из них, мы неизбежно ставим под удар другие. Возникает вопрос о выборе так называемого компромиссного решения, которое, не будучи, может быть, в точности «оптимальным» ни по одному показателю, является приемлемым по всей совокупности показателей. Здесь тоже могут быть применены некоторые математические методы, позволяющие, например, заранее выявить и отбросить те варианты решения, которые уступают другим по всем показателям, со всех точек зрения. После того как эти заведомо негодные варианты решения будут отброшены, уже легче из оставшихся выбрать удачное компромиссное решение, приемлемое по всем показателям.

С некоторыми задачами исследования операций вы можете познакомиться по книжке А. Кофмана и Р. Фора «Займемся исследованием операций».

Наука о случайном

Обыденные представления

Наша повседневная речь широко использует слово «случай» и его производные — «случайность», «случайный» и т. п. Каждый из нас слышал и сам произносил фразы, подобные следующим: «Я случайно натолкнулся на интересную мысль», «Только случай помог мне сегодня», «Что за приятная случайность помогла нам встретиться!» Всякий раз при употреблении подобных выражений в них вкладывается один и тот же смысл: случайные события происходят крайне редко, представляют собой нечто совершенно исключительное, идущее вразрез с установившимся порядком вещей. В обыденном представлении случайное противопоставляется закономерности, является чем-то, что нарушает закономерный ход событий, нормальное их развитие.

Но так ли это на самом деле? Не упрощаем ли мы такими представлениями действительность? Не лишаем ли мы себя существенных возможностей

В объективе фотоаппарата положение летящего мяча случайно совпало с положением головы вратаря.

в познании явлений природы, а также процессов техники и экономики, когда считаем, что в мире господствует лишь строгая закономерность определенного типа — каждая определенная ситуация влечет за собой определенные следствия?

Мы сейчас на ряде примеров, заимствованных из окружающей жизни, убедимся в том, что множество важнейших явлений существенно зависит от случая и без учета влияния случайного не может быть полноценного их исследования. Мы увидим, что без учета влияния случайных явлений человек становится бессильным направлять развитие интересующих его процессов в желательном для него направлении. Мы узнаем далее, что случайные события также подчинены своим особым закономерностям. Изучение этих закономерностей — задача науки о случайном — теории вероятностей.

Примеры случайных событий

Почти каждый из нас пользуется телефоном-автоматом. Все мы прекрасно знаем, что иногда приходится долго ждать своей очереди, иногда же удается позвонить без всякого ожидания. Иногда нужный номер занят и нам не удается дозвониться даже после нескольких проб; иногда же соединение происходит немедленно, при первой же пробе. Все эти колебания, изменения условий использования телефона не представляют собой ничего необычного, хотя и носят случайный характер.

Известно, что при проведении измерений некоторой величины один результат отличается от другого. Невозможно, чтобы при проведении нескольких замеров все они дали абсолютно тождественные результаты. Этот факт хорошо известен экспериментаторам, и уже давно выработаны действенные меры для исключения случайных ошибок измерения. Каждый школьник, выполнявший измерения, связанные с физическими или химическими опытами, знает, что для получения более надежного результата опыт следует повторить несколько раз и за лучшее приближение к истине нужно взять среднее арифметическое из полученных чисел. Мы снова столкнулись с влиянием случая в таких событиях, которые систематически выполняются многими тысячами людей в лабораториях заводов, исследовательских институтов, в больницах и в торговых организациях.

При страховании жизни, посевов, скота, имущества никто не может предсказать, что случится в течение года с тем или иным застрахованным, с тем или иным гектаром посева или домом. Может случиться, что с застрахованным лицом произойдет несчастье, посев будет выбит градом или выжжен засухой; ничто не гарантирует нас от падежа скота или пожара, в результате которого погибнет все имущество.

Страховые организации при определении размеров страховых взносов и страховых премий в случае несчастий с застрахованным как-то должны учитывать влияние случая и в какой-то мере уметь предсказывать долю тех застрахованных, которым придется выплатить страховую премию. На этом всестороннем учете влияния случая как раз и построено все страховое дело.

Когда предприятия обувной промышленности планируют ассортимент обуви для выпуска в предстоящем году, то они не запрашивают у возможных потребителей, какие номера ботинок и в каком количестве им потребуются. Чтобы не получилось затоваривания обуви тех размеров, которые не потребуются, необходимо научиться заранее рассчитывать долю покупателей с тем или иным размером ног. И хотя ни один магазин не знает в лицо своих покупателей и ни одно обувное предприятие не знает

Рост подростков одного и того же возраста подчинен математической закономерности.

всех своих потребителей, выпуск обуви в общем хорошо удовлетворяет запросы населения. Это основано на изучении размеров ног. Оказывается, здесь приходится иметь дело с одним из законов случая, который получил название теоремы Лапласа — Ляпунова.

Советский Союз с каждым годом расширяет свою внешнюю торговлю и в связи с этим ежегодно значительно увеличивает количество грузовых судов. Для лучшего использования флота необходимо знать те закономерности, которым подчиняется прибытие грузовых судов. На первый взгляд кажется, что здесь нет никакой задачи, так как прибытие и отплытие судов заранее планируются и их движение происходит по строгому расписанию. Однако в действительности это далеко не так: в данный порт приходят суда из многих портов мира, по пути они попадают в различные метеорологические условия, которые существенно влияют на скорость движения. Это обстоятельство влияет на сроки прихода в порт назначения. Закупка товаров у иностранных фирм и иностранными фирмами у нас никак не согласована с графиком прихода судов в порт.

Поставка товаров в порт с мест производства также подвержена влиянию множества причин, ни одну из которых заранее учесть невозможно. В результате график прихода судов в порт дает лишь очень суммарное представление об истинной картине загрузки порта.

Для примера скажем, что в сентябре 1962 г. из судов, которые должны были прийти по графику в Ленинградский порт, не пришли совсем 17. Вместе с тем прибыли 22 судна, которые не были запланированы. Для того чтобы выяснить, насколько хорошо действуют здесь законы случая, приведем небольшую табличку, в которой указан фактический приход судов с так называемыми генеральными грузами в Одессу за конец апреля и май 1962 г. В первой строчке таблицы указано число судов, прибывших за сутки ; во второй — число суток, когда прибывало указанное число судов; наконец, в третьей приведены числа суток, вычисленные на основании теории вероятностей, в которые должно прибывать в порт указанное число судов.

Число судов в сутки

Фактическое число суток

0

16

1

13

2

10

3

3

Вычисленное число суток

15,5

15,5

8,6

2,4

Из таблицы мы видим, что согласно законам теории вероятностей должно быть 15,5 суток, когда в порт не должно прийти ни одного судна с генеральными грузами. Фактически таких дней было 16. За рассматриваемый период было 3 дня, когда в порт приходили по 3 судна. Расчет показал, что таких дней должно было быть 2,4. Рассмотренный пример показывает, что и в работе флота должно учитывать влияние случая.

Зачем нужно изучать случайные явления

Приведенные примеры достаточно убедительно показывают, что с игрой случая приходится считаться в большинстве видов человеческой деятельности. Однако убедиться в этом еще не означает, что становится ясной цель изучения случайных явлений. А ведь всегда полезно видеть, к чему следует стремиться, что может дать обществу вновь приобретенное знание. Мы постараемся выяснить этот вопрос на нескольких примерах.

Что может, скажем, дать нам знание закономерностей случайного прихода судов в порт? В первую очередь ясное представление о числе судов, с которыми придется иметь дело. А это уже многое. Действительно, руководитель порта должен так организовать работу, чтобы прибывающие суда не простаивали в ожидании освобождения причала для погрузки или выгрузки. Сколько нужно причалов, если известен грузооборот порта? Если мы поступим чисто арифметически, т. е. разделим количество перерабатываемых грузов на число часов в месяц и число тонн, которое в течение часа способны переработать механизмы порта, то такой подсчет будет ошибочным. Ведь при этом мы не учтем, что моменты подхода судов случайны. Современная теория вероятностей позволяет произвести расчеты так, что будут учтены многие случайные факторы: подходы судов, случайные колебания длительности обработки

Распределение автотранспорта на отдельных участках шоссе неравномерно. Оно подвержено случайным колебаниям.

судна и пр. И при этом можно добиться такого положения, чтобы общая сумма затрат на содержание флота и причалов была минимальной. Таким образом, решение важной экономической задачи опирается на познание случайных явлений.

Когда мы ставим какой-нибудь эксперимент или производим наблюдения, то нас в первую очередь интересует вопрос: сколько измерений нужно произвести или сколько раз следует поставить опыт, чтобы можно было быть уверенным в том, что полученный результат окажется достаточно точным? Поскольку наша задача состоит в том, чтобы уменьшить влияние случайных ошибок измерений, то для исключения влияния случая мы должны знать законы случайных явлений.

Важное и часто встречающееся в практической деятельности использование наших знании закономерностей случайных явлений проходит по такому пути: о составе большого числа предметов судят по сравнительно небольшой пробе (или, как часто говорят, «выборке»). Так, когда хотят составить представление о длине и крепости волокон хлопка, находящегося в кипе, то совершенно случайно выхватывают из этой кипы небольшой пучок (штапель). По результатам изучения длины и крепости волокон, содержащихся в штапеле, судят о качестве волокна во всей кипе. Этот способ дает прекрасные результаты. И исследование, проведенное буквально над долями грамма, дает надежную основу для назначения последующего технологического процесса, которому должен быть подвергнут хлопок этой партии. Точно таким же способом судят о качестве большой партии зерна по небольшой пробе, взятой из этой партии наудачу. В основе этих широко используемых практических методов лежат общие теоремы теории вероятностей, получившие название законов больших чисел.

При современном промышленном производстве зачастую нет возможности проверить качество каждого отдельного изделия, так как либо этих изделий так много, что на их испытание необходимо потратить многие годы, либо изделия таковы, что при испытании приходят в негодность. Поэтому испытывают лишь небольшую долю продукции и по ней судят о качестве всей партии. Как следует выбирать такие доли продукции? Как много изделий следует испытывать? Насколько точные результаты могут быть получены? Все эти вопросы таковы, что на них может дать определенный ответ лишь наука о случае. И практика в наше время этим ответом очень широко пользуется. Оказывается, что разработанные методы дают превосходные результаты, позволяющие экономить средства, материалы, труд и время.

Зарождение науки о случае

Как и все науки, наука о случае начала развиваться тогда, когда в этом появилась потребность, когда задачи практики уже не могли обходиться выводами, сделанными на глаз, а понадобился точный расчет. Первые шаги в создании теории вероятностей — математической науки о случайных явлениях — были сделаны в середине XVII в., в эпоху зарождения новой математики. Почти одновременно были заложены основы аналитической геометрии и появились ростки, давшие вскоре элементы дифференциального и интегрального исчислений — основы всей современной математики. Этот бурный расцвет математики закономерен. Он был вызван крупными сдвигами в общественных отношениях: развитием торговли, промышленного производства, мореплавания.

Первые понятия теории вероятностей формировались под влиянием потребностей страхования и

Когда-то азартные игры помогли возникновению математической теории.

азартных игр. Страхование в ту пору получило широкое распространение из-за непрерывного роста морских сообщений и морской торговли. Азартные игры захватили феодальную верхушку общества. Множество дворян искали в играх способ поправить свои дела. Наряду с большинством бездумных игроков оказались и такие, которые стремились подметить в случайных ситуациях некоторые закономерности. Один из страстных игроков, кавалер де Мере, обратился с рядом возникших у него вопросов к крупнейшему математику и мыслителю того времени Б. Паскалю. Вот один из них. При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы раз или же шестерка не появится ни разу?

Посмотрим, как решается эта задача. При бросании одной игральной кости может выпасть одна из 6 граней. В 5 случаях из 6 выпадает грань без шестерки. Если же мы бросим игральную кость один за другим 4 раза, то возможных сочетаний выпавших граней будет значительно больше. Действительно, при двукратном бросании кости число различных сочетаний выпадения граней при первом и втором бросаниях уже будет 36 = б2 (см. таблицу).

Таблица

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

(6,1)

(6.2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

При бросании кости трижды будет уже б3 различных сочетаний, а при четырехкратном бросании может представиться б4 = 1296 различных возможностей. При скольких же возможных исходах ни разу не появится шестерка? Из нашей таблички видно, что из 36 возможностей при двукратном бросании кости в 25 случаях (52) шестерка не появится ни разу. При четырехкратном бросании игральной кости шестерка ни разу не появится в 54 = 625 случаях. Отсюда вытекает, что хотя бы раз при 4 бросаниях шестерка появится в 1296 — 625 = 671 случае. Таким образом, при четырехкратном бросании игральной кости хотя бы раз шестерка появляется несколько чаще, чем ни разу. Это открытие, согласно воспоминаниям современников, не без успеха было использовано кавалером де Мере.

Возникновение основных понятий теории вероятностей и правил действия с ними связано с именами математиков XVII в. Б. Паскаля, П. Ферма, X. Гюйгенса и Я. Бернулли.

Те задачи, которые возникали на заре теории вероятностей, сводились примерно к таким ситуациям: при каждом испытании может появиться одно из п одинаково возможных событий. Интересующее нас событие А появляется тогда, и только тогда, когда происходят определенные m из них. Пример: при бросании четырех костей возможны 1296 различных состояний; из них 625 таковы, что при каждом из них ни разу не выпадает шестерка.

Число случаев, при которых наступает интересующее нас событие Л, дает нам средство оценки того, как часто оно может наступить при реальных испытаниях. Однако такой способ оценки неудобен, и в науку было введено следующее понятие: вероятностью события А называется отношение числа случаев, при которых событие А наступает, к числу всех возможных случаев. Вероятность события А мы обозначим символом Р \ А). Итак, по определению

В нашем примере вероятность того, что при 4 бросаниях ни разу не выпадет шестерка, равна :

Вероятность же того, что шестерка выпадет хотя бы один раз, равна .

Рассмотрим теперь еще одну задачу, относящуюся ко времени возникновения теории вероятностей. (Рассказывают, что с этой задачей обратился к X. Гюйгенсу один из ландскнехтов — наемных солдат.) При одновременном бросании трех игральных костей какая сумма выпавших на них очков должна появляться чаще — 11 или 12? Ландскнехт заметил, что и та и другая сумма может осуществиться шестью различными способами, а именно:

Словами: сумма 11 может появиться только тогда, когда или на одной из костей появляется 1, на другой — 4 и на третьей — 6, или и т. д. Точно так же 12 может появиться только тогда, когда или на одной кости появится 1, на другой — 5, на третьей — 6, или и т. д.

Казалось бы, 11 и 12 должны появляться одинаково часто, предполагал ландскнехт, однако его долголетний опыт учит другому: 11 появляется несколько чаще, чем 12. В чем же здесь причина?

Мы уже знаем, что всех различных исходов при бросании трех игральных костей будет 216. Теперь задача состоит в том, чтобы подсчитать число всех одинаково возможных исходов, при которых в сумме появляется 11 и 12. Мы увидим при этом, что одинаковое число разложений 11 и 12 на сумму трех слагаемых еще не является достаточным основанием для заключения равенства вероятностей этих событий. Все дело в том, что не все эти суммы одинаково часто встречаются. Так, все суммы, в которых все три слагаемых различны при подсчете числа возможных исходов, должны быть взяты с большим весом, чем остальные. Действительно, разложение 11 на сумму слагаемых 1 + 4 + 6 может произойти шестью различными способами: (1, 4, 6), (1, 6, 4), (4, 1, 6), (4, 6, 1), (6, 1, 4), (6, 4, 1). Мы мысленно нумеруем кости и на первом месте указываем число очков, выпавших на первой кости, на втором — на второй кости и на третьем — на третьей.

Точно так же суммы, в которых два слагаемых одинаковы, например 1 + 5 + 5, могут осуществиться лишь тремя различными способами: (1, 5, 5), (5, 1, 5), (5, 5, 1). И наконец, сумма 4 + 4 + 4 осуществляется одним-единственным способом: (4, 4, 4).

Если теперь учтем только что сказанное, то окажется, что число случаев, при которых в сумме появляется 11, равно: 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 3 = 27, а при которых появляется 12, равно: 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1 = 25. Таким образом, получаем:

Мы теперь же должны сказать, что расширение области применений теории вероятностей убедительно показало недостаточность того классического определения вероятности, которым мы пользовались, и установило необходимость широкого его обобщения. Такое обобщение сейчас уже произведено, и пока оно удовлетворяет всем запросам как практиков, так и теоретиков. Тем не менее классическое определение вероятности оказалось исключительно полезным для современного естествознания — оно лежит в основе многих важных выводов.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Прежде всего рассмотрим две важные формулы, которые лежат в основе действий с вероятностями. Эти формулы носят название теорем сложения и умножения вероятностей.

Пусть два события А и В таковы, что при каждом испытании может появиться только одно из них или же ни одного, а вместе появиться они не могут. Такие события называются несовместными. Теорема сложения утверждает, что если А и В несовместны, то

Р \А или В\ Р \А\ \-P\B\

Представим теперь себе, что события А и В таковы, что наступление одного из них не изменяет вероятности наступления другого. Такие события называются независимыми. Для независимых событий имеет место теорема умножения, состоящая в следующем:

Р\А и В\ ~Р\А\Р\В\

Рассмотрим для иллюстрации следующую задачу, с которой в настоящее время приходится часто встречаться при организации производства. Ремонтный рабочий обслуживает 6 механизмов, каждый из которых независимо от других может выйти из нормального рабочего режима и потребовать к себе внимания. Вероятность выхода каждого из механизмов за период длительности Т равна р. Чему равна вероятность того, что за период длительности Т из рабочего режима выйдет не более двух механизмов?

Вероятность того, что данный механизм за весь период работы не выйдет из нормального рабочего состояния, равна 1 — р. По теореме умножения вероятность того, что все шесть механизмов проработают

При многократной стрельбе по мишени попадания выявляют определенную закономерность.

благополучно, равна (1 — р)6. Вероятность того, что определенный механизм выйдет из нормального состояния работы, а остальные пять будут работать хорошо, равна по теореме умножения р(1 — р)5. Механизмом, потребовавшим внимания, может оказаться любой из шести, поэтому вероятность того, что из строя выйдет только один механизм (безразлично какой), равна по теореме сложения 6р(1 — р)5.

Вычислим еще вероятность того, что какие-то два механизма выйдут из рабочего состояния, а остальные четыре будут работать нормально. С этой целью заметим, что по теореме умножения вероятность выхода из строя двух определенных механизмов и нормальной работы остальных четырех равна рЦ1— р)А. Но два механизма из шести можно выбрать Сб2 = 15 различными способами. Для каждого из них вероятность уже вычислена. В результате по теореме сложения искомая вероятность равна 15р2(1-р)<.

Так как интересующее нас событие (выход из нормального рабочего состояния не более чем двух механизмов) может осуществиться следующими несовместимыми способами: все механизмы будут работать безотказно, откажет лишь один механизм, откажут в точности два механизма, то его вероятность по теореме сложения равна:

(1 -р)« + бр(1 -рГ + \5рЦ\ -Ру.

Если, для примера, вероятность выхода механизма из нормального рабочего состояния равна 0,2, то вероятность того, что за указанный срок:

все механизмы будут работать нормально, равна 0,262144;

только один механизм выйдет из строя, равна 0,393216;

только два механизма выйдут из строя, равна 0,245760.

Таким образом, при указанных условиях работы искомая вероятность равна 0,90112.

Дополнительные исторические сведения

Конец XVIII и XIX век принесли множество новых задач, связанных со случайными явлениями. Прежде всего бурное развитие астрономии, физики, химии, точных технических измерений со всей остротой поставило задачу построения теории ошибок измерений. Почти одновременно основы современной теории ошибок наблюдений были созданы двумя крупнейшими математиками — А. Лежандром и К. Гауссом. Далее, развитие военного дела потребовало развития теории стрельбы. Пока стрельба велась на малые расстояния по видимым целям, задача прицела, например, не играла решающей роли. Исключительное значение для прогресса всего естествознания и науки о случайных явлениях имело развитие молекулярных концепций в физике. Создание кинетической теории газов с особой силой потребовало систематического изучения теории случайных величин.

Такие выдающиеся математики, как П. Лаплас, С. Пуассон, П. Л. Чебышёв, А. М. Ляпунов, А. А. Марков, обогатили теорию вероятностей рядом замечательных открытий.

Вместе с тем во второй половине XIX в. стала все сильнее ощущаться необходимость создания новой математической дисциплины, которая получила название математической статистики. Среди простейших вопросов, которые относятся к ней, упомянем лишь следующий. Допустим, нам неизвестна вероятность р случайного события Л. Как оценить ее значение? С этой целью производят некоторое число п независимых испытаний, в каждом из которых событие Л появляется с неизменной вероятностью р, нам неизвестной. Далее подсчитывают число появлений события Л. Отношение этого числа к п дает нужную оценку.

В наши дни математическая статистика приобрела особенно большое значение. На ее правилах и результатах основаны, в частности, методы анализа производственных процессов, текущий и приемочный статистический контроль качества массовой промышленной продукции, оценка наличия или отсутствия сигнала на фоне шума и пр.

Закон больших чисел

Мы ограничимся здесь формулировкой двух теорем, получивших многочисленные теоретические и практические применения. Первая из них была доказана Я. Бернулли и опубликована в 1713 г.

Производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью р. Пусть среди первых п испытаний событие А наступило в некоторых т. Тогда, как бы мало ни было взято е>0.

Таким образом, если взять п достаточно большим, то вероятность неравенства

становится как угодно малой. А так как события с малой вероятностью имеют мало шансов наступить, то мы видим, что при больших az, как правило, отношение — будет близко к л. п

Теорема Я. Бернулли служит базой для приближенной оценки неизвестных вероятностей случайных событий. Длительные наблюдения над рождениями установили, что в среднем на каждую 1000 рождений приходится 511 мальчиков и 489 девочек. Отсюда делается вывод, что вероятность рождения мальчика приблизительно равна 0,511. По вероятности рождения мальчика делаются серьезные прогнозы о составе населения.

Все страховое дело построено на определении статистическим путем (посредством теоремы Бернулли) вероятностей различных событий: смерти лица определенной профессии в течение определенного года его жизни, гибели от пожара дома, гибели посевов от града и т. д. На этой базе рассчитываются страховые взносы. Эти расчеты оказываются настолько точными, что страховые общества не разоряются, а приносят систематический доход.

Вторая теорема доказана П. Л. Чебышёвым в 1867 г. Его доказательство просто и изящно, оно вполне доступно учащимся IX класса. Мы ограничиваемся формулировкой лишь частного случая теоремы.

Предположим, что случайная величина Е может принимать значения

X\i %2* •••» % п

соответственно с вероятностями

Средним значением (математическим ожиданием) случайной величины £ называется сумма

Представим теперь себе, что имеется последовательность независимых случайных величин £lf ç2» — » ç£, каждая из которых имеет среднее значение, равное а, и все случайные величины ограничены некоторым числом с. При этих условиях для любого £>0 имеет место неравенство:

Таким образом, среднее арифметическое независимых случайных величин при большом числе слагаемых становится почти постоянным. Это обстоятельство исключительно важно, оно находит широкое и разнообразное использование на практике.

Пусть, для примера, с* есть результат k-ro измерения некоторой величины а, лишенного систематической ошибки (например, постоянной ошибки измерительного прибора). Закон больших чисел утверждает, что для получения приближенного значения измеряемой величины следует взять среднее арифметическое из результатов измерений, и чем измерений больше, тем среднее арифметическое будет ближе к измеряемой величине.

В качестве другого примера рассмотрим давление газа на стенку заключающего его сосуда. Это давление есть результат суммарного воздействия ударов отдельных молекул о стенку. Число этих ударов в единицу времени и их сила — дело случая. Таким образом, давление в каждой части поверхности сосуда подвергается случайным колебаниям. Но так как давление складывается из колоссального числа ударов отдельных частиц, то среднее арифметическое отдельных производимых ими давлений, согласно закону больших чисел, практически достоверно является почти постоянной величиной. Отсюда вытекает, что давление газа в нормальных условиях (для не слишком разреженных газов) лишь ничтожно мало колеблется около некоторой постоянной величины. Но это утверждение мы знаем из физики под названием закона Паскаля. Таким образом, мы закон Паскаля получили не как опытный факт, а как результат теории, как следствие из общей теоремы теории вероятностей, из теоремы Чебышёва.

Заметим, что теорема Чебышёва содержит в себе теорему Бернулли как простейший частный случай, когда все случайные величины могут принимать лишь два значения—0 и 1, соответственно с вероятностями 1 — р и р.

Некоторые современные направления развития теории вероятностей

Основные понятия современной теории вероятностей — понятия случайного процесса, случайного поля, информации. Физика, химика, биолога и техника интересует в первую очередь изучение процессов, т. е. явлений, протекающих во времени. Так, при изучении химической реакции или же в технологических процессах на химическом предприятии нас всегда интересует, как при заданных условиях эта реакция протекает во времени, какая часть вещества уже вступила в реакцию, когда практически реакция уже закончилась.

Представим себе, что мы задались целью проследить за движением какой-либо молекулы газа или жидкости. В случайные моменты времени эта молекула сталкивается с другими молекулами, меняет при этом свою скорость и направление движения. Ряд физических задач требует для своего решения умения вычислять вероятности того, как много молекул успеет за тот или иной промежуток времени передвинуться на то или иное расстояние. Так, например, если приведены в соприкосновение две жидкости, то начинается взаимное проникновение молекул одной жидкости в другую — происходит диффузия. Как быстро протекает процесс диффузии, по каким законам, когда образующаяся смесь газов становится практически однородной? На все эти вопросы дает ответ статистическая теория диффузии, в основе которой лежат вероятностные расчеты.

Весьма важный круг явлений происходит по принципу радиоактивного распада. Это явление, как известно, состоит в том, что в случайные моменты времени какие-то атомы радиоактивного вещества распадаются, превращаясь в атомы другого вещества. Каждый распад происходит подобно взрыву, с выделением некоторой энергии. Если масса распадающегося вещества не слишком велика (меньше определенной величины, называемой критической), то распады атомов, как показывают многочисленные наблюдения, происходят независимо друг от друга. Для изучения процесса радиоактивного распада весьма важно определить вероятность того, что за определенный промежуток времени распадается то или иное число атомов. Впрочем, в точности такая задача возникает в телефонном деле, при проектировании пропускной способности мостов, в теории надежности, в экономике, в военном деле, в технике. Независимо от конкретного воплощения вопрос, который постоянно возникает, ставится так: как велика вероятность того, что за определенный промежуток времени наступит некоторое число определенных событий (вызовов абонентов на телефонную станцию ; машин, которым требуется пересечь мост; отказов элементов, из которых составлено сложное оборудование, и т. д.)? При весьма широких условиях искомая вероятность может быть вычислена по формуле:

Здесь Pk(t) означает вероятность того, что за промежуток времени t произойдет ровно k событий; Я — постоянная, так называемая интенсивность наступления событий, е = 2,71828..., fc! = l-2 • 3 •... • k.

В начале статьи была приведена табличка приходов судов в Одесский порт. Нижняя строка ее вычислялась как раз по этой формуле. Эта же формула широко используется в физике для подсчета числа космических частиц, попадающих на определенный участок земной поверхности за время /. Она же служит для вычисления числа ламп в электронной вычислительной машине, которые перегорят за срок /. Эта формула дает прекрасное совпадение с фактически наблюдаемым числом вызовов на телефонной станции.

Рассмотрение задач естествознания не с точки зрения качественного, а с позиций их количественного изучения привело к формированию понятия случайного процесса. Первые идеи в этом направлении были высказаны биологами и физиками еще в конце прошлого века. Более определенную форму они приняли в работах физиков А. Фоккера и М. Планка. Однако точное определение случайного процесса и начала теории были построены А. Н. Колмогоровым и А. Я. Хинчиным. Первому из них принадлежит заслуга в создании основ так называемых марковских процессов, второму — стационарных процессов.

Теория вероятностей — наука о случайных явлениях — в настоящее время находится на крутом подъеме. К ней теперь обращаются физики и астрономы, экономисты и лингвисты, биологи и врачи. Без нее не может быть глубокого познания процессов образования помех при радиовещании, правильного расчета организации производства, создания рациональных способов приема больших партий продукции, расчета запасов и средств обороны.

Прогресс теории вероятностей и ее применений требует непрерывного пополнения творчески работающих в ней математиков способной молодежью. Несомненно, среди читателей этой книги будет и та часть молодежи, которая даст новых Лапласов и Чебышёвых.

Теория игр

Чем занимается теория игр

Что такое теория игр?

Это математическая теория конфликтов. А что такое конфликт?

Это такая ситуация (положение, стечение обстоятельств), в которой сталкиваются интересы сторон, происходит борьба интересов. Каждый из участников хочет чего-то своего, не того, чего хочет другой (или другие).

Самые простые примеры конфликтов — это игры (шашки, шахматы, различные спортивные игры). Они отличаются тем, что ведутся по определенным правилам. Правила игры — это система условий, указывающих, какие возможности предоставляются игрокам (перечень возможных ходов) и к какому результату (выигрышу, проигрышу) приводит каждая данная совокупность ходов.

Далеко не каждый встречающийся на практике конфликт протекает по правилам. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликта, нужно представить конфликт в игровой форме, т. е. указать стратегии (образы действий), возможные для участников, и уточнить, к какому результату приведет игра, если каждый из игроков выберет определенную стратегию. Таким образом, игра есть конфликт с четко сформулированными условиями.

Часто бывает так, что результат конфликта — даже при вполне определенных стратегиях участников — предсказать в точности нельзя, так как он зависит от случая. Такими случайными обстоятельствами, вмешивающимися в ход игры, могут быть, например, тасовка и сдача карт, попадание или непопадание в цель при стрельбе и т. п. Тогда вместо «результата игры» нужно говорить о среднем результате, т. е. о результате, приходящемся в среднем на одну партию игры, если будет сыграно достаточно большое количество партий. Действительно, в одной партии может случайно «повезти» и игроку, применяющему явно неразумную стратегию. Если же партий будет много, то в среднем выигрывает тот, кто ведет себя разумно.

Когда мы говорим о результате, или среднем результате, игры, то предполагаем, что этот результат выражается определенным числом. А всегда ли это бывает так? Не всегда. Например, в шахматах мы не всегда выражаем результат числом, а просто говорим: выигрыш, проигрыш, ничья. Но ведь можно условиться и перевести их в числовую форму, например выигрышу приписать значение +1. проигрышу — 1, ничьей 0.

Мы будем предполагать, что в любом конфликте выигрыш (проигрыш) каждого из игроков выражается числом. Тогда основную задачу теории игр можно сформулировать так: как должен вести себя (какую стратегию применять) разумный игрок в конфликте с разумным противником (или противниками), чтобы обеспечить себе в среднем наибольший возможный выигрыш?

Парная игра с нулевой суммой. Цена игр