СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

КНИГА 8

Э. БОРЕЛЬ

СЛУЧАЙ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА - ПЕТРОГРАД

1923

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

Под общей редакцией А. Д. Архангельского, Н. К. Кольцова, В. А. Костицына, П. П. Лазарева и Л. А. Тарасевича

КНИГА 8

Э. БОРЕЛЬ

СЛУЧАЙ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

Э. БОРЕЛЬ

СЛУЧАЙ

перевод с французского

Ю. И. КОСТИЦЫНОЙ

под редакцией

проф. В. А. КОСТИЦЫНА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКВА 1923 ПЕТРОГРАД

Гиз. № 3628. Главлит. № 5637. Москва. Напеч. 7.000 экз.

„Мосполиграф“. 1-я Образцовая типография, Пятницкая, 71.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Несколько месяцев тому назад на вопрос о моей научной работе я имел неосторожность ответить, что кончаю книгу о „Случае“; мой собеседник тотчас же не без иронии, осведомился, что я имею сказать нового на эту „великолепную тему“.

Я должен был уверять, что книга не содержит ни рецепта для выигрыша в рулетку, ни талисмана для устранения гибельных случайностей или привлечения к нам и нашим близким благоприятных случайностей; увы!—вместе с таинственностью книга потеряла и свой престиж, и ожидаемый вопрос: „так о чем же в ней говорится?“ был предложен с вежливым безразличием, не требовавшим никакого ответа.

Обычные читатели этой „Библиотеки“1) не совершили той же ошибки и не ищут здесь гарантий от жизненных случайностей. Тем не менее, они смогут найти в этой книге, на ряду с отвлеченными размышлениями, более конкретные замечания и даже правила практического поведения, если только они пожелают для их формулировки призвать на помощь собственную сообразительность.

В самом деле, наука о случае имеет право притязать на управление нашими поступками не больше всякой другой науки; она может лишь облегчить размышление, которое у всякого разумного существа предшествует действию. В сложных вопросах здравый смысл должен руководиться результатами вычислений; формулы не создают духа тонкости, но облегчают его применение.

1) Книга Бореля в оригинале появилось в Новой Научной Библиотеке, издаваемой Феликсом Альканом. Прим. ред.

Я старался избегать излишних формул; те, которые здесь помещены, надеюсь, внесут ясность в мысли читателей, не совсем порвавших с алгеброй; они могут без неудобств быть опущены теми, кто привык верить математикам на слово.

Моей главной целью было выяснить роль случая в различных областях научного познания; эта роль значительно возросла за последние полвека, и пришло время спросить себя, не присутствовали ли мы, сами того не замечая, при настоящей научной революции.

В продолжение двух веков в науке царил знаменитый закон Ньютона, который установил господство рациональной механики.

На основании этого закона Лапласы, Кулоны, Гауссы, Френели, Амперы, Коши расширили поле механических объяснений; но, несмотря на весь их гений и все их усилия, высшая цель—механическое объяснение вселенной—всегда ускользала, пока открытие и изучение радиоактивности не показало, что механические объяснения иногда совершенно недостаточны и должны уступить место объяснениям статистическим.

Объяснить явление статистически— значит рассматривать его как равнодействующую очень большого числа неизвестных явлений, управляемых законом случая. Если бы удалось „объяснить“ таким образом закон всемирного тяготения, уменьшилась бы таинственность этого закона, столь прекрасного в своей простоте, но, надо сознаться, и бессмысленного в его классической формулировке, по которой тяготение передается мгновенно, без посредников, на самые большие расстояния. Это, быть может, одна из важнейших проблем современной науки.

Когда применение к точным наукам усовершенствует теорию вероятностей, введение законов случая в биологические, социологические, психологические и прочие науки будет делом и более легким, и более плодотворным.

Благодаря этим преобразованиям науки самое понятие научной истины оказывается измененным. Вместо догматического утверждения закона, вроде Ньютонова, выступает констатирование практической невозможности чудесного

случая. Я пытался примером обезьян, разграбивших склад пишущих машин и восстанавливающих дактилографированием наудачу Национальную Библиотеку, конкретизировать по возможности понятие случая чудесного и, однако, логически осуществимого.

Я думаю, что миф о дактилографирующих обезьянах не лишен действительного философского значения; но пространные рассуждения на эту тему заставили бы выйти из рамок этой книги; поэтому я удовлетворился несколькими указаниями, слишком большую краткость которых прошу извинить.

Париж, февраль 1914 года.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА.

Появление книги Бореля „Случай“ на русском, языке является более чем своевременным. Успехи физики и астрономии выдвинули статистический метод на первое место в современном естествознании. Значение статистического метода в биологии также чрезвычайно велико, и неумение пользоваться им часто гибельно отражается на огромных и сложных научных построениях. За последнее время все больше и больше говорят о „статистическом мышлении“, о том, что каждый закон природы есть в сущности статистический закон. „Статистическое мышление“ иногда ставится рядом с механическим пониманием природы, иногда ему противопоставляется. Временный костыль, которым пользуется наука ввиду несовершенства нашей техники, выдается за ноги.

Пользование теорией вероятности неизбежно, но при этом нужно всегда хорошо знать и помнить, какова ценность законов случая, какова граница их приложимости, какую степень неопределенности в предвидение будущего вносит их применение. К сожалению, существующее курсы теории вероятности излагают лишь формально - математическую сторону дела и ничего не говорят о значении теории вероятности как метода научного познания.

Этот пробел весьма удачно заполняет книжка крупного французского математика Эмиля Бореля „Случай“. В первой главе определяется понятие случая, понятие вероятности, выясняется неизбежность пользования этими понятиями на-ряду с понятием естественного закона. Во второй главе при помощи изучения простейшей азартной игры—„орлянки“—выводятся без всяких математических выкладок основные теоремы теории вероятностей и закон больших чисел. Конец главы посвящен критике закона больших чисел, при чем автору, путем полемики

с известным биологом Ле-Дантеком, удается дать весьма отчетливое представление об этом законе; тем не менее, эти параграфы для неподготовленного читателя представляют известные трудности, и в первом чтении их лучше бегло прочитать, отложив внимательное продумывание до второго чтения. В третьей главе изучаются прерывные и непрерывные вероятности, вводится понятие математического ожидания и рассматриваются знаменитые парадоксы Бертрана, при чем показывается, что при разрешении проблем этого рода математические условия недостаточны, и что нужно вводить дополнительные предположения относительно экспериментальной техники опыта. В главе четвертой рассматривается вопрос о вероятности причин, этот важнейший для естествознания вопрос, и на нескольких простых примерах показывается тот математический механизм, которым пользуется теория вероятностей для его разрешения. Этим заканчивается первая часть, изучающая законы случая, и в следующей, второй части, даются их применения. В главе пятой рассматриваются применения к социологии и биологии, изучается знаменитый софизм кучи зерна, встречающийся часто в общественных науках, показывается, что в каждом отдельном случае этого рода мы должны принять некоторое произвольное решение, которое, однако, можно оправдать и проверить статистически. В главе шестой рассказывается о многочисленных физических применениях теории вероятностей: статистическая механика, кинетическая теория газов, статистическое обоснование понятия энтропии, понятия необратимости, теория квантов дают Борелю повод и возможность показать всю важность теории вероятностей. В главе седьмой после краткого упоминания об астрономических применениях законов случая выясняется возможность статистического изложения и обоснования многих понятий и теорем современной теории функций.

Третья часть книги посвящена выяснению ценности законов случая. В главе седьмой выясняется их огромное практическое значение. Глава восьмая о научном значении законов случая показывает возможность путем применения „метода большинства“ индивидуальную оценку различных явлений заменять более точной коллективной оценкой, не впадая в крайность замены одного хорошего наблюдения

тысячею плохих. Глава девятая и последняя о философском значении законов случая ставит ряд чрезвычайно интересных проблем из теории познания. Если все законы природы являются в сущности статистическими законами, то каждое событие в нашем чувственном мире не есть непреложное, а лишь более или менее вероятное следствие предыдущих; при этом относительно взаимоотношений и строения молекул у нас в распоряжении очень большой выбор гипотез, лишь бы в среднем оправдывались наши статистические законы. Мы можем даже предположить, что молекулы обладают свободной волей, и это не отразится на термодинамике и законах газов. Таким образом, детерминизм в нашем мире не предполагает детерминизма в мире молекулярном, и, наоборот, детерминизм в мире молекулярном не влечет за собою полного детерминизма в нашем мире. С этими вопросами связан и вопрос об энтропии и ее космическом значении. Борель ставит эти вопросы, но не пытается их решать. Мне кажется, что все эти вопросы с развитием нашей физической техники утрачивают значение. Поле гипотез относительно молекулярного мира все более сужается, и недалек тот день, когда строение атома и междуатомные силы нам будут хорошо известны. Тогда снова вступит в свои права здоровый научный детерминизм, а статистические естественные законы будут лишь временным этапом нашего познания.

Пожелаем, чтобы ценная книжка Бореля получила у нас такое же распространение, как на Западе, и способствовала ознакомлению нашей широкой публики с одним из ценнейших методов научного познания. Читателю будет интересно сопоставить современное положение теории вероятностей с ее положением в науке сто лет тому назад, которое отразилось в выпускаемой Госиздатом книге Лапласа «Опыт философии теории вероятностей» («Классики Естествознания»). В заключение считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность В. М. Турбину за ценную помощь, оказанную им при работе над этой книгой.

В. А. Костицын,

11 февраля, 1923 г.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

ОТКРЫТИЕ ЗАКОНОВ СЛУЧАЯ

ГЛАВА I.

Случай и естественные законы.

1—3. Необходимость естественных законов.—4—5. Случайное явление и понятие вероятности.—6. Критика определения вероятности.—7. Вероятность объективная и субъективная.—8. Цель теории вероятностей,

1. Полный исторический очерк понятия естественного закона явился бы историей человеческого разума. Самый недавний период этой истории, период зарождения наук, относительно хорошо известен, по крайней мере, в общих чертах; всем известно, каким образом отвлеченные размышления греческих геометров оказались живым источником, из которого постепенно возникли геометрия, алгебра, механика, астрономия1), физика, и, наконец, стало возможным промышленное развитие XIX века и подчинение, с каждым днем все более полное, сил природы гению наследников греческой мысли. Настоящая пружина этой великой эпопеи—покорения земного шара человеком, это — вера в человеческий разум, убеждение, что мир управляется не слепыми богами или случаем, а рациональными законами: «αεί θεός γεωμΗτρεΐ»; этот девиз платоников означает, что бог, управляющий вселенной, обладает разумом, подобным разуму геометров, т.-е. что эти последние могут проникнуть в божественные и незыблемые законы мира; с того дня, когда человек понял, что он может поставить себе такую цель, он никогда от нее не отказывался; даже в самые мрачные периоды истории, когда материальные заботы поглощали почти всю энергию, нашлись рыцари духа, посвятившие свою жизнь, чтобы сохранить и передать факел античной мысли.

2. Однако всегда были, и теперь есть, метафизики, которые, ловко пряча под туманной, претенциозной или элегантной

1) См. относительно астрономии прекрасную работу Jules Sageret— Le système du Monde, des Chaldéens à Newton (Paris, F. Alcan).

и картинной формой пустоту или бессвязность своих мыслей, проповедывали человеку презрение к уму и разуму. Мы постараемся в последней главе этой книги определить точнее случаи, когда человеческий разум сталкивается с вопросами слишком для него сложными, и посмотрим, какова может быть тогда роль интуиции по сравнению с умом1); но не нужно много размышлять, чтобы признать, что без своего ума эти якобы анти-интеллектуалисты, превозносящие энергию и волю, оказались бы по отношению к «интеллектуалистам», которых они презирают, в положении отважного дикаря, нападающего на робкого европейца, сидящего в блиндированном каземате и вооруженного прекрасным ружьем2). Однако не надо забывать, что ум дает возможность понять мир, но не может создать его. «Mundum regunt numeri» (числа правят миром) — правило, которым не надо злоупотреблять, пытаясь построить вселенную à priori, не прибегая к наблюдению; его надо истолковывать так: числа помогают понимать мир.

3. Но не только наука и ее промышленные применения делают понятие естественного закона необходимым условием нашего существования; императив еще более категоричен, если это возможно, когда мы остаемся на почве практической повседневной жизни. С этой точки зрения, история донаучного периода человечества была бы еще более поучительной, чем история последних двух или трех тысячелетий. Идет ли дело о возделывании земли, которой вверяются драгоценные посевы в виду далекой жатвы, или о бесчисленных проблемах, которые надо было разрешить при разведении домашнего скота, охоте, рыбной ловле, плавании, сохранении или приготовлении пищи, — человек мог существовать и прогрессировать только благодаря познанию все большего количества естественных законов и возрастающей вере в их значение. Какого бы метафизического мнения ни держаться относительно сущности законов природы, относительно того, чем они были задолго до

1) Относительно важного значения интуиции в научных открытиях позволяю себе сослаться, на свои статьи: La logique et l'intuition en mathématique (Revue de métaphysique et de morale 1907); La mécanique rationelle et les physiciens (Revue du Mois, octobre 1910, t. X, главн. образом, стр. 42).

2) Некоторые философы могут упрекнуть меня в том, что я слишком упрощаю вопрос, но я не уверен в том, что им нельзя сделать упрека в его чрезмерном усложнении. Чтобы иметь право быть антиинтеллектуалистом, надобно сначала отказаться от ума, в противном случае впадаешь в очевидный порочный круг.

появления человека и чем они будут, когда человечество исчезнет (если считать, что подобные вопросы имеют смысл),— несомненно, с точки зрения практической, или, как иногда говорят, прагматической, вера в существование этих законов является для нас необходимостью: мы не могли бы заснуть, если бы не были уверены в завтрашнем восходе солнца. Точно так же трудно себе представить существование человека, который, роняя камень на свою ногу, не ожидал бы, что камень упадет и отдавит ему ногу.

«Человеческая» необходимость естественных законов есть отправная точка всякого научного мышления; этот принцип так очевиден, что считается излишним повторять его в каждой научной работе; точно также и я мог бы его подразумевать; но я этого не сделал потому, что случай, являющийся предметом этой книги, противополагается именно понятию закона; следовательно, было, быть может, не бесполезным вкратце напомнить о выдающемся месте, которого нельзя оспаривать у этого понятия.

4. Несмотря на прогресс науки, есть ряд явлений, которые человек неспособен предвидеть; самым банальным примером является дождь и ясная погода; мы не будем на нем останавливаться, так как сложность метеорологических явлений сделала бы изложение слишком длинным. Определение пола рождающегося человека — одна из типичнейших проблем, до сих пор не разрешенных, несмотря на кажущуюся простоту вопроса, будет ли ребенок, которому предстоит родиться, мальчик или девочка. Мы не знаем даже достоверно, определен ли пол с момента зачатия; «изыскание причин» возникновения пола — проблема необычайной сложности, несмотря на то, что возможны лишь два различных решения. Другие случайные явления, например, те, которые наблюдаются при азартных играх (в кости, карты и проч.) менее сложны по природе; тем не менее, разве возможно детально проанализировать движение руки, бросающей кость или сдающей карты?

Сущность явлений, называемых нами случайными, заключается в их зависимости от причин слишком сложных для того, чтобы мы могли их все выявить и изучить. Мы будем неоднократно возвращаться к этому определению случая на страницах этой книги; запомним его просто, как первое приближение, подсказанное нам рассмотрением условий протекания самых обычных явлений.

Даже очень поверхностное изучение наиболее частых случайных явлений показывает, что они подчиняются так называемым статистическим законам. Допустим, например, что в течение нескольких месяцев должна родиться тысяча детей; в настоящее время мы не имеем возможности предвидеть пол каждого ребенка в отдельности, но можно утверждать с уверенностью, что среди них будут и мальчики, и девочки. Точно так же, если каждому солдату армии дать бросить кость, то можно ожидать, что у некоторых непременно выпадет шестерка. Можно быть уверенным, что из миллиона двадцатилетних юношей, прекрасное здоровье которых признано лучшими врачами, многие умрут до истечения десяти лет; между тем каждый из них, взятый индивидуально, может вполне законно надеяться прожить до тридцати лет.

Отсюда видна разница между законами статистическими и законами естественными: статистический закон не дает возможности предвидеть единичное явление, но выражает лишь общий результат, относящийся к довольно большому числу аналогичных явлений; кроме того, его достоверность—иного происхождения и не одинаково ясна для всех умов. Если в присутствии многочисленного собрания я возьму в руки камень и заявлю, что выпущу его, и он не упадет, зрители отнесутся к этому скептически, и если опыт удастся, каждый из них будет убежден, что камень поддерживается в воздухе невидимой ниткой или каким-нибудь иным способом. Если перед тем же собранием я буду держать пари, что, бросая двадцать раз подряд две кости, я каждый раз выкину две шестерки, мое заявление встретят также скептически. И если опыт удастся, каждый заподозрит мошенничество. Тем не менее оба случая не тождественны: по отношению к камню, повисшему в воздухе, уверенность в мошенничестве останется даже после того, как я дам каждому зрителю возможность убедиться в том, что не был применен ни один из «трюков», о которых он думал, и эта уверенность будет достаточно сильна, чтобы каждый согласился прозакладывать все, что угодно, даже собственную голову, что удавшийся опыт не таков, каким я его описал. Напротив, относительно двадцати бросаний, если кости были тщательно исследованы, если мне доверяют, и я буду утверждать,, что честно бросал, многие, быть может, спросят себя, не являются ли двадцать тождественных бросаний просто случайным совпадением, очень мало вероятным, но все-таки возможным.

Вопрос о правильности этого впечатления принадлежит к числу тех, которые мы пытаемся осветить дальше; но нельзя пренебрегать фактом его существования, а это доказывает, что статистические законы не представляются человеческому разуму обладающими таким же характером необходимости, как законы естественные.

5. Тщательно изучая явления, подчиненные статистическим законам, легко показать, что между ними возможно установить довольно определенные числовые отношения, при чем закономерность проявляется тем лучше, чем больше число обследуемых явлений. Если, например, в продолжение нескольких лет изучать пол рождающихся детей в небольшом человеческом общежитии, то можно констатировать, что число рождающихся мальчиков и девочек приблизительно одинаково. Это первое замечание приводит к мысли, что рождение мальчика и рождение девочки одинаково вероятно; иначе говоря, каждое из этих явлений имеет за собою один шанс из двух, или его вероятность равна одной второй. Наблюдение, более продолжительное или распространенное на более многочисленное население, показывает, с другой стороны, что в среднем, рождается несколько больше мальчиков, чем девочек: в среднем, на 100 рождений приходится 51 мальчик и 49 девочек; иначе говоря, вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочек—0,49.

Вероятность в этом смысле и есть так называемая статистическая вероятность, так как ее величина неизвестна заранее из самой природы явления, но вытекает из точного и подробного знания большого числа явлений. Некоторые авторы очень настаивают на различии между статистическими вероятностями, являющимися простыми отношениями между наблюденными числами, и вероятностями, нуждающимися для числовой обработки в более точном определении. Например, возьмем хорошо сделанную кость; выпад каждой из ее сторон одинаково вероятен, и так как их шесть, то возможность выпадения каждой из них—один на шесть, т. е. равна одной шестой. Мы увидим, что это различие более кажущееся, чем действительное: ведь, в конечном счете, всякая конкретная вероятность является статистической вероятностью, но только определенной с известным приближением. Само собою разумеется, математикам дозволительно для удобства рассуждений и вычислений вводить вероятности, равные простым, вполне

определенным числам. Это—основное условие приложения математики ко всем конкретным вопросам; действительные данные, всегда неточно известные, заменяются приближенными значениями, над которыми производятся вычисления, как если бы они были точными. Поэтому и результат получается приближенный1).

В действительности, чтобы удостовериться в хорошем качестве кости, нет иного способа, как бросить ее большое число раз и убедиться, что каждая из шести сторон выпадает приблизительно так же часто, как другие2).

В конечном счете, если из большого числа аналогичных явлений мы выделим некоторые, как благоприятные случаи, то, по определению, вероятность будет равна отношению числа благоприятных случаев—к полному числу всех случаев. Если рождение мальчика— благоприятный случай, и родилось 51.200 мальчиков иа 100.000 рождений, то вероятность рождения мальчика равняется 0.512.

6. Данное нами определение является классическим; но не менее классической является и его критика; часто утверждалось, что оно заключает в себе порочный круг. В самом деле, оно требует предварительного знания всех возможных случаев и как будто не может относиться к будущим явлениям.

В сущности это—повторение упрека, который делался по адресу формальной логики: большая посылка может быть справедлива лишь в том случае, если исследованы все случаи, но тогда заранее известно заключение. Если я утверждаю, что все люди смертны, и заключаю, что Павел, будучи человеком, смертен, то мое первое утверждение справедливо только в том случае, если я знаю заранее, что Павел смертен.

Здесь не место для нового обсуждения вопроса индукции и понятия естественного закона; мы уже говорили, что человек может жить лишь тогда, если он уверен в правильности целого ряда больших посылок силлогизмов, хотя он не в состоянии проверить их в каждом отдельном случае.

Точно также мы не знаем, сколько мальчиков придется на первые 100.000 рождений во Франции в ближайшем году; но

1) См. дальше § 86.

2) Само собой разумеется, путем очень точных механических приспособлений можно изготовить кость совершенно тождественную с другой испытанной и признанной годной: но этим путем затруднение только отдаляется и усложняется.

если мы из ряда последовательных наблюдений установили, что на 100.000 рождений во Франции приходится около 51.000 мальчиков, то мы вправе ожидать того же самого и в будущем году. Изучение теории вероятности позволяет дать более точную форму этому ожиданию; но оно само основано на известном количестве подобных выводов, точно так же, как научные истины имеют первоисточником грубые наблюдения и неточные выводы.

7. Подвергалось критике также определение вероятности посредством проведения различия между вероятностью объективной и субъективной1). Не вдаваясь пока в обсуждение законности такого разделения, запомним просто следующее, часто повторяющееся замечание: случай—только название для нашего неведения; для существа всеведущего случая не существовало бы. На это можно, однако, заметить, что для существ всеведущих вся человеческая наука и деятельность напрасны и бесцельны. Наука и теория вероятностей созданы людьми не для такого сушества, а для самих людей, далеких от всеведения. Каковы бы ни были успехи человеческих знаний, всегда остается место для неведения и, следовательно, для случая и вероятности.

Во всяком случае надо остерегаться одного смешения названий, часто служившего источником парадоксов. Если случай есть только иное название для неведения, то теория вероятности имеет целью создать науку из незнания, т.-е. нечто из ничего. Здесь все дело в неясности смысла слова «неведение». Возьмем колоду карт, хорошо перетасованных несколькими лицами; я беру из нее карту, не глядя: очевидно, мне совершенно неизвестно, какая это карта, но мне известно, однако, многое относительно маленького опыта, состоящего в извлечении карты. Прежде всего, я знаю состав колоды—потому ли, что я его проверил перед тасованием, или же это новая колода, гарантированная маркой солидного предприятия. Если бы я имел дело с фокусником, то мог бы опасаться, что колода, которой он пользуется, состоит лишь из бубновых королей. Я знаю—или мне кажется, что знаю,—что в данном случае этого нет. Я знаю также, что люди, тасовавшие карты, делали это вполне честно; я мог и сам их тасовать и знаю, что приложил все усилия, чтобы самыми разнообразными способами смешать

1) См. далее § 87.

карты как можно лучше и не оставить их в том порядке, в котором они были расположены до тасовки. Мне известно также, что, выбирая карту не глядя, я не руководился никакими признаками, которые позволяли бы мне ее угадать. И вот, мое утверждение, что вероятность для выбранной карты быть семеркой пик точно равна если в колоде 32 карты, основывается на всем, что я знаю, а не на моем неведении. Если нескромный соучастник предупредит меня, что выбранная карта—не фигура, то мое незнание уменьшится, и колебания будут только относительно 20 нефигурных карт: следовательно, вероятность, что это семерка пик, будет равна -

Если мне скажут, что это семерка,—вероятность будет равна ^ , и если, наконец, я переверну карту, то уже не будет вероятности, но достоверность—положительная или отрицательная. Несомненно, неведение является необходимым элементом для существования вероятности, но не оно одно ее создает.

Можно заметить но этому поводу, что существует несколько степеней незнания; существование нескольких последовательных степеней незнания усложняет анализ задач, не внося ничего существенно нового в основы; поэтому не будем на них останавливаться; дадим, однако, для пояснения простой пример, предоставляя читателю, если он заинтересуется, труд разобрать его. Перед Павлом стасовано 10 колод, из которых четыре по 52 карты и шесть по 32 карты; ему предложено взять карту в одной из этих 10 колод, при чем ему неизвестно, идет ли дело о колоде в 52 или в 32 карты; какова вероятность, что вытянутая карта будет король пик1).

8. Теперь мы в состоянии понять, каков предмет и назначение теории вероятностей. Часто говорится, что цель ее заключается в нахождении и изучении законов случая; но может ли случай подчиняться законам? Это возражение уже отмечалось нами; оно неизбежно вытекает из этого способа выражаться. Предпочтительнее говорить, что предметом теории вероятностей является исчисление вероятностей сложных явлений посредством ве-

1) Вероятность, очевидно, не такая же, как при выборе карты наудачу из тех же десяти колод, но смешанных вместе. Она больше в данном случае.

роятностей других, более простых явлений. Ее цель — достигнуть возможности предвидеть явления с почти абсолютной, насколько это достижимо для человека, достоверностью, так, чтобы вероятность их наступления граничила с достоверностью. В какой мере эта цель может быть достигнута,—выяснится на следующих страницах.

Если бы эта цель была окончательно достигнута, то теория вероятностей чрезвычайно увеличила бы человеческое знание вселенной, ибо там, где нам неизвестны естественные законы и где для нас царит случай, знание законов случая позволило бы нам заменить неизвестные естественные законы иными законами, столь же точными, но хорошо известными. Поспешим прибавить, что этот идеал не только не достигнут, но и не будет достигнут до тех пор, пока человеческая наука не будет закончена, т.-е. никогда; но достаточно и того, что теория вероятностей позволяет значительно расширить наше знание вселенной и нашу способность предвидения явлений природы. Мы попытаемся показать на одном примере, по возможности простом, как можно, комбинируя простые вероятности, оставляющие широкий простор неведению и случаю, добиться иногда результатов, где уже почти нет места неведению и случаю.

ГЛАВА II.

Законы игры в орлянку.

9. Определение игры.—10. Изучение 2-х, 3-х, 4-х партий. — И. Общий случай; арифметический треугольник. — 12. Применение. —13. Случай больших чисел.—14—15. Десятичная единица отклонения; ее употребление.—16. Закон больших чисел Бернулли.—17. Возражения и парадоксы.—18. Смешение понятий очень малой и нулевой вероятности.—19. Возражение Ле-Дантека.—20. Ход длинной партии в орлянку.—21. Выигрыш не может быть пропорционален времени.—22. Практическое значение закона больших чисел.

9. В воздух бросают монету и держат пари, какая из ее сторон окажется на верху после падения; одна из сторон называется орлом, другая решеткой. Такова простейшая проблема вероятности, если предположить, что шансы выпадения обеих сторон одинаковы. Оставим в стороне философские споры по поводу этого равенства, принимая его, как экспериментальный факт или, если угодно, как определение пригодности данной монеты для игры; с этого момента мы считаем, что пользуемся хорошей монетой. Если кто-нибудь из читателей подумает, что неправильный рельеф монеты исключает возможность полной пригодности, пусть он представит себе, что мы пользуемся жетоном, симметричность которого достигнута очень тщательным изготовлением. Впрочем, такая совершенная симметричность1) возможна только в пределе, как абстрактное понятие, подобно понятию прямой линии. Однако, эта гипотеза может быть осуществлена на практике достаточно хорошо для того, чтобы выводы, к которым она ведет, согласовались с опытом в пределах ошибок наблюдения. Большего нельзя требовать ни от какой науки.

10. Рассмотрим сначала случай, где разыгрывается небольшое число партий, и попытаемся выяснить представляющиеся

1) Строго говоря, абсолютная симметричность влекла бы за собой неразличимость обеих сторон и, следовательно, невозможность игры; если стороны разнятся чем бы то ни было, хотя бы только окраской,—мы не можем быть уверены, что это различие не имеет значения.

здесь возможности. В первой партии могут получиться орел или решетка; оба предположения одинаково вероятны; выражаясь научным языком, вероятность каждого из них равна одному на два, или в письменном виде: 1:2, или 0,5. Этот результат может быть представлен следующей таблицей:

( Орел 1:2 1 Решетка 1:2

Каков бы ни был результат первой партии, в результате второй может быть орел или решетка; обе гипотезы одинаково вероятны, так как результат первой партии не имеет влияния на исход второй; по удачному выражению Жозефа Бертрана, монета не имеет ни сознания, ни памяти. Я несколько останавливаюсь на этом пункте, несмотря на его очевидность, так как бесполезно продолжать изучение теории вероятностей, не усвоив его в совершенстве, чтобы не оставалось места ни ограничению, ни недоговоренности.

Главным образом, привычка к азартным играм делает некоторые умы неспособными усвоить понятие независимости последовательных происшествий. Так как они заметили, что в длинном ряде партий выпады орла и решетки приблизительно одинаково часты1), то они заключают, что за многократным выпадом решетки должен следовать выпад орла. Это как бы долг игры по отношению к ним. Достаточно краткого размышления, чтобы убедиться, до какой степени это—ребяческий антропоморфизм. Причины, по которым существует одинаковость шансов для выпада орла и решетки, остаются в силе для всех партий, и нельзя придумать механизма, благодаря которому исход предшествующих партий мог бы изменить равенство шансов. Эта антропоморфическая вера в память и в сознание монеты не имеет, следовательно, никакого положительного основания; однако, суеверным умам было бы трудно от нее отказаться, если бы не представлялось иного способа объяснить наблюдения, по которым количество выпадов орла и решетки при большом числе партий почти одинаково; но, как мы увидим, подобные результаты опыта объясняются самым удовлетворительным образом при допущении

1) Наблюдения игроков относятся к „красному“ и „черному“ в рулетке или выигрышу и проигрышу банкомета в баккара и т. д. Мы оставляем в стороне эти игры, ибо они более сложны, чем игра в орлянку.

щении независимости последовательных партий, так что исчезает всякий повод для оспаривания этой независимости.

Вернемся к нашей второй партии; комбинируя ее возможные результаты с результатами первой, мы получим следующую таблицу:

В этой таблице первый столбец соответствует первой партии, второй столбец—второй партии; мы видим, что совокупность обеих партий дает четыре возможных комбинации, при чем все четыре равновероятны; вероятность каждой из них равна одной четверти, т.-е. 1:4, или 0,25. Их можно написать следующим образом:

Мы соединили скобкой две комбинации: ОР и РО; действительно, они имеют то общее, что каждая из них заключает один раз О и один раз Р; они тождественны, если не принимать во внимание порядка; если выразить только конечный результат обеих партий, то возможны только три гипотезы: или обе партии дают орла, или только одна дает орла, или ни одна не дает орла; иными словами, игрок, ставивший на орла, может выиграть или 2 раза, или 1 раз, или 0 раз. Вероятности этих гипотез не одинаковы, как можно было бы решить не подумав; случай, когда игрок выигрывает одну партию из двух, может получиться при двух различных комбинациях ОР и РО; следовательно, вероятность его равна половине, между тем как вероятность каждого другого случая равна только четверти.

Предположим теперь, что играется и третья партия. Аналогичное рассуждение приведет нас к следующей таблице:

В этой таблице первый столбец соответствует первой партии, второй столбец—второй партии, третий столбец—третьей партии; в общем имеется 8 комбинаций, каждая из которых так же вероятна, как и другие. Изменяя порядок расположения предшествующей таблицы, мы переместим четвертую и пятую строки, чтобы сблизить комбинации, ведущие к одинаковым суммарным результатам, если не обращать внимания на порядок партий, и мы получим следующую таблицу:

Ясно, что игрок, ставящий, например, на решетку, имеет 1 шанс на 8 выиграть 3 партии: 3 шанса на 8 выиграть 2 из них; 3 шанса на 8 выиграть 1 и 1 шанс на 8 выиграть О партий.

Таким же образом можно составить таблицы для четырех партий; мы дадим здесь только вторую из таблиц, в которой для удобства чтения, заменим букву О точкой:

Очевидно, у игрока, ставящего на решетку, 1 шанс из 16 выиграть все 4 партии; 4 шанса из 16 (или 1 из 4) выиграть из них 3; 6 из 16 (или 3 из 8) выиграть 2; 4 из 16 (или 1 из 4) выиграть 1 партию; 1 шанс из 16 не выиграть ни одной. Продолжать это исследование нет необходимости, ибо достаточно ясен путь, который приводит нас от равных по предположению вероятностей отдельных партий к неравным вероятностям того или другого возможного исхода целого ряда партий. Например, в случае 4 партий, имеется шесть комбинаций, при которых в общем итоге получится 2 раза орел и 2 раза решетка. Каждая из них взятая отдельно — не более вероятна, чем комбинация, дающая 4 раза под ряд решетку, но если брать их в совокупности, то имеется в 6 раз больше шансов получить одну из них, не указанную заранее, нежели единственную комбинацию РРРР. Если два игрока, часто играющих серии по 4 партии в орлянку, будут тщательно отмечать результаты игры, то они установят без труда, что в общем чаще всего будут встречаться серии, когда каждый из них выигрывает по 2 партии. Таких случаев будет в среднем 6 на 16; случаи, когда один из них выиграет 3 партии, будут встречаться 4 раза из 16 для каждого из них (и, следовательно, 8 раз из 16, если не определять, который из игроков должен выиграть 3 партии; тогда они более многочисленны, чем случаи равного выигрыша). Наконец, только 1 раз из 16 случится, что один из играющих выиграет все 4 партии (и, следовательно, 2 раза из шестнадцати все 4 партии будут выиграны одним из игроков, не указанным заранее). Но было бы большой ошибкой заключить из этого, что комбинация РРРО более вероятна, чем комбинация РРРР, т.-е. что если три первые партии дали решетку, то четвертая имеет особенную склонность дать орла. Комбинации, дающие 3 раза решетку, более вероятны, нежели комбинация, дающая решетку четыре раза, не потому, что более вероятна каждая из них, но исключительно в силу их большой численности; их

четыре, ибо единственная партия, дающая орла, может быть либо первой, либо второй, либо третьей, либо четвертой. Только этот последний случай возможен, когда первые три партии дали Р (решетку).

11. Из наблюдения большого числа последовательных партий в орлянку легко вывести правило для вычисления вероятности выпада m раз решетки в п партиях. Очевидно, что полное число возможных комбинаций равно 2Л, и что каждая из них одинаково вероятна, так как каждой из комбинаций, возможных для п — 1 первых партий, соответствуют две для м-ой партии, ибо ?г-ая партия может дать или орла, или решетку; таким образом, мы нашли 2 комбинации для одной партии, 4— для двух партий, 8 — для трех и т. д.

Из этих 2п комбинаций; сколько имеется содержащих m раз решетку? Обозначим их число через С% и заметим, что для получения m раз решетки нужно, или чтобы п—1 первых испытаний дали m раз решетку и ?г-ый раз дал орла, или чтобы п—1 первых испытаний дали m—1 раз решетку и ?г-ый раз дал решетку. Первая возможность дает столько комбинаций, сколько имеется комбинаций, дающих m раз решетку при п—1 испытаний, т.-е C^—ù точно так же вторая возможность даст Сп-1 комбинаций; следовательно, мы имеем

Из этой формулы выводится следующее правило, ведущее к арифметическому треугольнику Паскаля1).

В первой строке пишут число 1, повторенное 2 раза; затем каждое число, вносимое в следующую строку, получается через сложение двух чисел предыдущей строки, из которых первое стоит непосредственно над ним, а другое левее; предполагается, что строчки продолжены вправо и влево нулями. Таким образом получается следующая таблица:

1) Traité du triangle arithmétique переиздан (латинский текст и французский перевод) в т. III трудов Блэза Паскаля, опубликованных Léon Brunschvieg и Pierre Boutroux (Collection Les grands écrivains de 1a Franсe).

1 1

1 2

1

1 3

3

1

1 4

6

4

1

1 5

10

10

5

1

1 6

15

20

15

6

1

1 7

21

35

35

21

7

1

1 8

28

56

70

56

28

8

1

1 9

36

84

126

126

84

36

9 1

1 10

45

120

210

252

210

120

45 10 1

Эта таблица легко продолжается дальше и в высшей степени полезна при разрешении простых задач на вероятности. Четыре первых строки содержат числа, уже найденные нами в § 10 в случаях 1, 2, 3, 4 партий; 5-я строка составляется по следующему расчету:

0+1= 1 1+4= 5 4 + 6=10 6 + 4 = 10 4 + 1= 5 1 + 0= 1

Сумма всех чисел пятой строки по этим равенствам представляет удвоенную сумму чисел 4-й строки; она равняется 32=16X2. Следовательно, для пяти партий существует 32 возможных комбинации, из них — 1 дающая пять раз решетку, 5 дающих 4 раза решетку, 10 дающих 3 раза решетку, 10 дающих 2 раза решетку, 5 дающих один раз решетку и 1 дающая решетку 0 раз. Можно заметить, что различные строки таблицы симметричны, т.-е. что числа, равно удаленные от крайних,—равны. В строках четного порядка, соответствующих четному числу партий, числа возрастают к середине; наибольшее из них соответствует равенству чисел орлов и решеток. В строках нечетного порядка подобное равенство невозможно, и в середине строки находятся два равных числа, больших, чем остальные, и соответствующих двум случаям, когда одна из сторон монеты выпадает на 1 раз больше другой.

12. В качестве примера применения арифметического треугольника, решим одну элементарную задачу.

ЗАДАЧА. Имеет ли играющий в орлянку больше шансов выиграть 3 партии из 4х или 5 из 8-и?

Прежде всего необходимо дополнительное указание: должен ли играющий выиграть именно три партии и пять партий, или он должен выиграть по меньшей мере три партии или пять партий, т.-е. нужно ли считать игрока выигравшим пять партий, если он выиграл их шесть? Это, очевидно, зависит от условия, и мы рассмотрим последовательно оба случая.

Первый случай. Примем условие в буквальном смысле, т.-е. число выигранных партий должно быть точно 3 и 5. Из арифметического треугольника тотчас увидим, что для выигрыша 3-х партий из 4-х представляется 4 благоприятных случая на 16, а для выигрыша 5-и партий из 8-и—56 благоприятных случаев на 256; следовательно, при первой гипотезе вероятность выигрыша равна 4/16, т.-е. а/4, а при второй гипотезе она равна 56/256, т-~е- 7/s2i следовательно, она меньше; выгоднее держать пари, что выиграешь три партии из четырех, чем пять партий из восьми.

Второй случай. Условие понято в широком смысле, т.-е. число выигранных партий должно быть не менее 3 и 5. Арифметический треугольник показывает, что для выигрыша 4 или 3 партий из 4-х число благоприятных случаев будет равно 1 + 4 = 5 из 16; чтобы выиграть 8, 7, 6 или 5 партий из 8-ми, число благоприятных случаев равно 1 -j- 8 -f- 28 -f- 56 = = 93 из 256; в первой гипотезе вероятность выигрыша равна 5/16 или 8%5б5 во второй гипотезе она равна 93/256, т.-е. больше; выгоднее держать пари, что выиграешь, по меньшей мере, 5 партий из 8-и, чем 3 из 4-х.

13. Арифметический треугольник достаточен при разрешении задач относительно небольшого числа партий; но дело обстоит иначе, когда число партий становится значительным; для ста (100) партий было бы уже неудобно продолжать арифметический треугольник до сотой строки; для тысячи (1.000) партий это было бы почти невозможно; для миллиона (1.000 000) партий задача превзошла бы человеческие силы.

Алгебра и математический анализ дают возможность довольно легко получить результаты арифметических вычислений, прямое выполнение которых было бы слишком длинным и даже практически невозможным. Полученные для упрощения вычислений формулы, к которым приводит теория арифметического треугольника, представляются в высшей степени

важными для всех применений теории вероятностей. Их доказательство требует математических выкладок, которые можно найти в специальных книгах по теории вероятностей1). Единственно, что здесь нужно подчеркнуть, это то, что это доказательство не основывается ни на новых принципах, ни на. скрытых допущениях. Это—просто способ сокращенных вычислений, ведущий к таким же точно результатам, какие получились бы, если бы хватило времени и терпения продолжить арифметический треугольник или же, если угодно, повторить достаточное число раз элементарные рассуждения параграфа 10-го, записывая каждый раз полную таблицу возможных, выпадов.

14. Чтобы сделать формулу больших чисел по возможности ясной, возьмем определенный пример. Представим себе партию в орлянку, состоящую из миллиона бросаний. Легко понять, что комбинации, при которых выпало совершенно одинаковое число орлов и решеток (т.-е. 500.000 раз) немногочисленны, сравнительно с полным числом комбинаций. Число их на деле немногим разнится от числа комбинаций, содержащих 500.001 раз решетку и 499.999 раз орла. Формулы, дающие возможность определить вероятность каждой отдельной комбинации, могут быть выведены из формул, приведенных нами ниже; но мы не будем на них останавливаться, так как они мало употребительны; обычно задача ставится так: какова вероятность, что число выпадений решетки (или орла) превысит более чем на 1.000 или более чем на 20.000 число 500.000, которое получается при равночисленности орлов и решеток? Иными словами, какова вероятность, что число выпадов решетки будет заключаться между 480.000 и 520.000? В последнем случае мы будем говорить, что отклонение менее 20.000, при чем отклонение определяется как разность между наблюденным числом и числом, полученным путем умножения общего числа бросаний (1.000.000) на вероятность решетки (72)- Для упрощения формулировка еще несколько изменяется, и требуется определить вероятность, что отклонение превысит некоторое заранее данное число. Эта вероятность, очевидно, равна частному от деления числа комбинаций, где отклонение превышает это число, на полное

1) См., например, Emile Borel, „Elements de la théorie des probabilités“ (Hermann). (См. также: А. А Марков. Исчисление вероятностей. Ред.).

число всех возможных комбинаций; в более простых случаях мы определили бы его при помощи арифметического треугольника. Результат, к которому мы придем, тождественен с тем, который получился бы из арифметического треугольника в случае больших чисел, если бы можно было выполнить вычисление до конца.

Определим сначала то, что мы будем называть десятичной единицей отклонения; это — такое отклонение, вероятность превышения которого равна точно одной десятой1); в случае большого числа партий в орлянку эту единицу можно приравнять корню квадратному из числа партий2) в случае миллиона партий она, следовательно, равна 1.000. При большинстве практических применений можно пользоваться следующим правилом, дающим весьма достаточное приближение: Вероятность, чтобы отклонение равнялось V десятичных единиц отклонения равна Ю-“2-

1) В моих „Elements de la théorie des prohabilités“ я систематически ввел единицу отклонения, которую можно назвать неперовской, ибо она так же относится к числу е, как десятичная единица—к числу 10.

2) Я опускаю здесь, для простоты, некоторые подробности, имеющие интерес только при точных расчетах, которые очень редко применяются в обычной практике и не понадобятся нам в этой работе. При таких расчетах необходимо пользоваться таблицами функции, обычно обозначаемой через Э (X) и определяемой формулой

Вероятность, что относительное отклонение I будет превзойдено, равна

Упрощения, делаемые нами, состоят в следующем: 1) мы заменяем единицей множителя —— который равен 1, 12; 2) мы заменяем интеграл от I до бесконечности через е 4 ; это второе приближение по знаку обратно предыдущему; 3) заменив е~^2 через 10“^ , что дает между X и у. отношение: Л- = у/ toff мы принимаем значение этого отношения равным j/2“, что сводится к замене е = 2,718 через j/10 = 3,1. В случае m партий в — ; помножая ее на У 2, согласно приближению 3, мы получим действительно j/rn.

Таким образом, для миллиона партий в орлянку вероятность выпадения решетки (или орла) более 501.000 раз равна 0,1; вероятность двойного отклонения, т.-е. выпадения решетки (или орла), более 502.000 раз равна Ю-4, т.-е. одной десятитысячной; вероятность тройного отклонения — (более 503.000)—Ю-9, т.-е. одна миллиардная; вероятность десятикратного отклонения, т.-е. более 510.000 раз решетка (или орел) будет 10~100, т.-е. десятичное число, в котором после запятой стояло бы 99 нулей, а за ними цифра 1. Мы видим, с какой фантастической быстротой уменьшаются вероятности, как только отклонение превосходит величину, обозначенную нами как «десятичная единица».1)

При таких, поражающих воображение, результатах не бесполезно напомнить о том, что методы, приводящие к ним, суть лишь методы сокращенных вычислений, и что мы достигли бы тех же результатов, пользуясь арифметическим треугольником и рассуждениями, ведущими к нему, если бы имели достаточно терпения и времени. Пользование логарифмами так же точно упрощает вычисление сложных процентов за большие промежутки времени, но те же результаты могли бы быть достигнуты и при элементарных вычислениях простых процентов и прибавлении их к капиталу год за годом. Впрочем, аналогия между обеими проблемами очень велика; в первой—значительные числа получаются многократным умножением самого на себя множителя, очень мало превышающего единицу; во второй—получаются чрезвычайно малые числа, от перемножения множителей, очень немногим меньших единицы2).

1) Чтобы раз навсегда дать представление о степени приближения приводимых нами упрощенных формул, сообщим точные результаты, полученные при помощи таблиц функции 0 (V). Отклонение, вероятность превышения которого равна не 1.000, а 822; отклонение, вероятность превышения которого равна одной десятитысячной, равняется не ровно 2 0С0, а 1.945; отклонение, вероятность превышения которого равна одной миллиардной, не точно 3.000, а приблизительно 3.020. Для больших значений отклонения полученные значения вероятностей настолько малы, что не нужны для практического применения; с другой стороны, для нашего воображения, вероятность 10~95 не разнится от вероятности Ю-100-

2) В случае сложных процентов эти множители, мало отличающиеся от единицы, все равны между собою; в случае вероятностей они переменны, и благодаря этому, входит в качестве показателя квадрат отношения к деся-

15. Аналитические вычисления, при помощи которых мы приходим к вышеприведенному правилу, предполагают наличие довольно большого числа партий, скажем, для примера больше 100; для небольших чисел более точный результат получится путем действительного вычисления числа комбинаций при помощи арифметического треугольника. Мы приведем ниже (§ 106) пример такого вычисления для случая 20-ти партий. Не лишнее заметить, что если желательно определить только порядок величины результата, то даже для небольших чисел правило десятичной единицы дает достаточное приближение и притом с большей легкостью. Например, в случае 20-ти партий, десятичная единица отклонения |/20 заключается между 4 и 5; числа приведенные в § 106 показывают, что вероятность отклонения, равного или большего 4-х, равняется

т.-е. приблизительно > вероятность отклонения, равного или большего 5-и, равняется

т.-е. около ; вероятность действительно заключается между этими двумя числами. Этот пример показывает, какой степени точности можно ожидать от правила десятичной единицы отклонения. Эта точность вполне достаточна, когда (как это будет на протяжении всей нашей книги) не требуются

тичной единице отклонения. В случае миллиона партий в „орлянку“, вероятность появления 500.С01 раз решетки относится к вероятности появления решетки 500.000 раз, как -r^'^ni ~ » чтобы перейти к вероятности появления решетки 500x02 раза, ни до помножить на ^q^qq^- *> переходя к вероятности появления решетки 500.003 раза, надо помножить еще на Q , и т. д; понятно, что после тысячи умножении получится довольно маленькое произведение, которое будет уменьшаться тем быстрее, что множители, вроде -Km nnn , уже значительно разнятся от единицы.

точные числа, необходимые, например, для страхового общества, а попросту выясняется порядок величины вероятностей, встречающихся в изучаемых вопросах.

Ввиду важности правила десятичной единицы я привожу его применительно к простому случаю игры в орлянку; в дальнейшем мы дополним это правило, чтобы сделать его применимым к более общим проблемам.

ПРАВИЛО: Десятичная единица отклонения равна квадратному корню из числа партий; вероятность, что отклонение1) превысит десятичную единицу в п раз равняется 10~п2 .

16. Из этого правила легко выводится доказательство предложения, которое Яков Бернулли назвал законом больших чисел.

Для миллиона партий десятичная единица отклонения равна 1.000, для ста миллионов партий она равна 10.000. Вероятность отклонения, равного, например, семикратной десятичной единице, в обоих случаях равна 10—49. В первом случае это отклонение соответствует больше чем 507.000 партий, выигранных или проигранных игроком, ставящим на решетку, а во втором случае это отклонение соответствует 50.070.000 партий, выигранных или проигранных. Мы видим, что с увеличением числа партий, абсолютное отклонение также возрастает, но относительное отклонение, т.-е. отношение абсолютного отклонения к числу партий2), уменьшается. На миллион партий вероятность, что отношение числа выигранных или проигранных партий к общему их числу превысит частное от деления 507.000 на миллион, т.-е. 0,507, равняется Ю-49, т.-е. крайне мала, и на практике ею можно пренебречь; это—случайность, которая не имела бы места в среднем ни разу за миллиард миллиардов веков, даже если бы каждый обитатель земли производил мил-

1) Строго говоря, следовало бы сказать: абсолютная величина отклонения. Но это различие имеет мало значения в рассматриваемых нами случаях.

2) Обозначим через а? число партий; тогда десятичная единица отклонения будет а; вероятность же отклонения па будет 10—?г2; но каково бы ни было определенное число щ если а достаточно велико, то па очень мало по отношению к а2; а значит, и вероятность относительного отклонения, как угодно малого, стремится к нулю, когда число испытаний неопределенно возрастает.

лиарды опытов в секунду1). Такова же будет вероятность, что на сто миллионов партий отношение числа выигранных или проигранных партий к общему их числу превысит частное от деления 50.070.000 на сто миллионов, т.-е. 0,5007. Если бы число партий было 10 миллиардов, десятичная единица отклонения равнялась бы 100.000, и отношение, вероятность которого была бы все та же, было бы равно 0,50007. Мы видим, что можно держать пари, что отношение очень мало разнится от 0,5, с тем большей уверенностью, чем больше число партий. В этом состоит закон больших чисел. Он выражает не что иное, как одно из свойств соединений: когда число букв 0 и Р становится очень большим, то число комбинаций, в которых обе буквы фигурируют приблизительно одинаково часто, возрастает гораздо быстрее числа комбинаций, в которых они распределены неравномерно.

Мы увидим в главе IV, посвященной вероятностям причин, как закон Бернулли, вытекающий из понятия элементарной вероятности, может в свою очередь дать этому понятию более яркое и точное освещение.

17. Я уже указывал2), по каким соображениям мне кажется небесполезным, чтобы возможно большое количество культурных умов восприняло некоторые выводы теории вероятностей, пользующиеся единогласным признанием математиков. Однако

1) Часто приходится прибегать к сравнениям такого рода, чтобы сделать доступной воображению чрезвычайную малость таких чисел, как Ю-49; приведем вкратце расчеты, оправдывающие такие сравнения. Число обитателей земли меньше 10 миллиардов, т.-е. Ю10; день содержит менее 100.000 секунд т.-е. Ю5; век содержит менее 105 дней. Следовательно, если бы в течение миллиарда миллиардов веков, или 1018 веков, каждый обитатель земного шара делал бы по десять миллиардов испытаний в секунду, или 1010, то общая сумма стих испытаний была бы меньше

1010 X Ю3 X 105 X 1018 X ю10 = 104S.

В случае, когда вероятность достижения известного результата в единичном опыте равна 10~49, вероятность достижения того же результата в одном случае из совокупности этих бесчисленных опытов будет приблизительно 1/10 строго говоря, мы имеем, в данном случае, математическое ожидание, так как следовало бы учитывать случаи, при коюрых опыт удается больше одного раза; ошибка здесь достаточно мала, чтобы не считаться с ней.

2) Конец этой главы представляет собою перепечатку статьи, появившейся в Revue du Mois от 10 июля 1911 года (t. XII, р. 77) под названием «Les probabilités et M. Le-Dantec».

это не всегда легко, и я должен признать, что, в частности, г. Ле-Дантек как будто ставит себе в особенную заслугу, что думает по этим вопросам иначе, чем математики; в недавно опубликованной им книге, весьма значительной, как и все, что выходит из-под его пера1), он возвращается к спору, происходившему между нами несколько лет тому назад, и я, к сожалению, должен признать, что мои аргументы не изменили его взглядов. Я попытаюсь воспроизвести их с возможной ясностью: если они и не убедят г. Л е-Дантека, то, быть может, заинтересуют других читателей.

Я должен начать с признания, что существует пункт, где г. Ле-Дантек неуязвим: именно, когда он объявляет, что предпочитает один способ выражения другому. Это вполне законно, когда читатель предупрежден, что слово песурку будет заменять вероятность, асурба — математическое ожидание; и когда все примут эти условия, все станет ясным. Менее понятно заявление г-на Ле-Дантека, что слова: вероятность отдельного происшествия не имеют никакого смысла. Если эти слова шокируют г-на Ле-Дантека, я согласен заменить их выражением более кратким и говорить, например, «дробь»; это—число меньшее единицы, которое математики могут вычислять с точностью, если им известны правила игры. И если надо сделать выбор между двумя играми,, дроби которых неодинаковы, то всякий здравомыслящий и осведомленный человек выберет ту, дробь которой наибольшая2). Возможно, впрочем, что он после игры раскается в своем выборе, но это не помешает ему поступить по-прежнему, если представится случай. Таково универсальное практическое значение дроби, и это—достаточный приговор для мнения, объявляющего это число лишенным смысла.

1) Le chaos et l'harmonie universelle (Paris, Fel. Alcan 1911). (Имеется русский перевод В. Кривской под названием «Хаос и мировая гармония». Изд. «Звезда». Ред.)

2) Само собой разумеется, я предполагаю, что играют только одну партию, и что играющий желает ее выиграть. Было бы легко построить гипотезы, когда г. Ле- Дантеку пришлось бы выбирать в зависимости от дроби; один подобный случай я сообщил ему в частном письме, и он согласился со мной. Г. Фреше, с своей стороны, мне прислал пример того же рода.

Впрочем, я должен сознаться, что не совсем понимаю значение замечания г. Ле-Дантека, что чаще всего крупные выигрыши достаются владельцам только одного билета. Если это верно, то это значит только, что большинство билетов принадлежит владельцам только одного билета.

На-ряду с этим универсальным значением, дробь может принести всякому человеку, не совсем враждебному игре, гораздо более широкую пользу. Немногие, например, поколебались бы потратить 1 франк на приобретение одного билета из 1.000 на лотерею, обеспеченную главным выигрышем в 1 миллион франков1). Но здесь мы вышли из области математики, так как нам приходится считаться с психологией покупателя, у которого может быть много побуждений, известных ему одному. Как бы ни было, в теории соблазнительно предложение поставить на партию в орлянку сто тысяч франков против миллиона; все же никакой математик не будет доказывать, что его надо принять, и я знаю многих математиков, которые его отклонили бы по превосходным основаниям.

18. Главное разногласие между г. Ле-Дантеком и мною2) относится к последовательности неопределенного числа партий в орлянку; я хотел бы несколько остановиться на этом, так как г. Ле-Дантек, по моему мнению, совершает здесь настоящую математическую ошибку, а в таком случае я не теряю надежды переубедить его; и вообще, это вопрос довольно тонкий и мало известный; таким образом, будет небесполезно войти в некоторые подробности.

Для ясности постановки вопроса я прошу позволения воспроизвести вызвавший эту полемику отрывок из моей книги, уже цитированной выше.

Замечания о некоторых парадоксах.—Мы могли бы ограничиться изложением основных принципов теории игры в орлянку; они твердо установлены, и потому следствия, выведенные из них путем чисто логических рассуждений, являются строго доказанными, и, следовательно, всякое противоречащее этим выводам утверждение должно быть признано неточным без дальнейшего разбора аргументов, на которые оно опирается. Такой образ действий наиболее соответствует математическому складу ума; однако я предпочитаю его не придерживаться, так как не все обладают математическим складом ума, и в вопросах вероятностей вообще превосходные умы имеют некоторое недоверие в логическим рассуждениям и склонны им предпочитать доводы чувства. Недавно мне пришлось констатировать эту склонность у одного из наиболее просвещенных умов нашего времени, хорошо известного своими научными и философскими печатными трудами, к тому же получившее весьма серь-

1) Само собой разумеется, что всякий предпочел бы, если возможно, приобрести всю тысячу билетов: мы предполагаем, что продается только один.

2) Надеюсь, мне и винят эту личную форму, как более короткую и скромную; ведь мне пришлось бы на каждом шагу напоминать, что мои мысли принадлежат и всякому математику, который размышлял над этими вопросами.

езную математическую подготовку. Мне тогда же показалось, что не следует относиться к этим тенденциям с тем пренебрежением, которое с полным правом мог бы проявить математик, считая совершенно излишним убеждения, раз его рассуждения безупречны. Я думаю, напротив, что и с научной и с общественной точки зрения валено усвоение возможно большим числом людей основных принципов исчисления вероятностей; и если несколько аргументов могут привести к этому результату, то стоит посвятить им несколько строк, несмотря на то, что с абсолютно-математической точки зрения они бесполезны.

Один из главных источников этих парадоксальных рассуждений следующий: будущее событие считается как бы уже осуществившимся, под предлогом, что опыт доказал его крайнюю вероятность. Совершаемая при этом ошибка, конечно, очень мала, но их повторное накопление достаточно, чтобы повести к совершенно неточным выводам. Далее мы рассмотрим математический механизм этого накопления ошибок; пока удовлетворимся доказательством от противного неправильности рассуждений этого рода.

Предположим, что последовательно разыгрывается очень большое число партий в орлянку, при чем все результаты отмечаются; в каждый данный момент будет известен выигрыш или проигрыш игрока, все время ставящего иа решетку, если ставка одинакова для каждой из партий. Если произвести этот опыт на самом деле, то легко убедиться, что после некоторого числа партий, часто небольшого, редко превосходящего 100 и почти никогда 1.000, выигрыш и проигрыш сводятся к нулю; при таком положении имеется один шанс из двух на выигрыш следующей партии; если это случится, мы будем говорить, что совокупность выигранных партий составляет хорошую серию; если выигрыша не будет, мы будем продолжать игру до нового возвращения к нулю, и тогда снова будет один шанс на два—выиграть следующую партию, и в случае выигрыша у нас будет снова хорошая серия; в противном случае мы будем продолжать игру и, наконец, добьемся хорошей серии, так как у нас будет всегда один шанс на два достигнуть ее при каждом возвращении к нулю. На практике опыт покажет читателю, пожелавшему испытать его, что обычно после небольшого числа партий получается хорошая серия и получается наверное1), лишь бы хватило терпения сыграть, в случае надобности, несколько тысяч партий.

Итак, пусть Павел играет с Петром в орлянку, решив продолжать игру до тех пор, пока не осуществится хорошая серия2); он получает выигрыш, равный ставке, и прекращает игру, а на другой день ее возобновляет с Иваном; точно также он играет до наступления хорошей серии; он может делать то же самое ежедневно и регулярно будет выигрывать сумму, равную ставке.

Теперь предположим, что Павел играет все время с тем же противником Петром неограниченное количество партий; он может, не дожидаясь

1) Я подчеркиваю это слово, так как именно через него вкрадывается ошибка в рассуждение; следовало бы сказать почти наверное, т.-е., что вероятность неудачи крайне мала. (См. в § 18 цитированной книги подробное вычисление.)

2) Если первая партия выиграна, то она сама по себе составляет хорошую серию.

следующего дня, считать игру прерванной после каждой хорошей серии и начинать новый счет с этого момента; так как моменты игры ничем друг от друга не отличаются и за начало можно принять любой из них, то Павел осуществит, таким образом, неограниченное количество последовательных «хороших серий» и, следовательно, неограниченный выигрыш (во всяком случае ограниченный только медленностью игры и продолжительностью человеческой жизни). Но при той же последовательности партий, и Петр может рассуждать точно так же; следовательно, его выигрыш также неограничен при условии достаточной продолжительности игры; таков бессмысленный вывод, к которому приходишь; каждый из игроков осуществляет выигрыш, возрастающий пропорционально времени1). Мы удовлетворимся пока тем, что показали неудобство известного рода рассуждений; более глубоким исследованием этого вопроса мы займемся, когда усвоим необходимые принципы.

19. Приведем теперь, если не ошибаюсь, сущность возражения г. Ле-Дантека2).

И автор заканчивает: „Таков бессмысленный вывод, к которому приходишь: каждый из игроков осуществляет выигрыш, возрастающий пропорционально времени“. Примечание показывает, что автор приписывает эту бессмысленность тому, что наступление в действительности момента, когда один из играющих выиграет 1 су, считается достоверным, между тем, как оно только весьма вероятно. Но ошибка вовсе не в этом, она, по моему мнению, в самом рассуждении Бореля. Если мы пожелаем обратиться к рассуждениям по здравому смыслу, сопровождающим в настоящей главе пояснительною кривую, помещенную несколькими страницами выше, то увидим, что есть на самом деле моменты, когда выигрыш Петра как угодно велик, и другие момент ы—когда выигрыш Павла также как угодно велик. Но это не одни и те же моменты. Если прервать игру в тот момент, когда Павел выигрывает w су, Петр в тот же момент их проигрывает; это совершенно очевидно, и тем не менее практически ясно, что, от времени до времени, кривая пересекает ось х, и тогда выигрыш и проигрыш уравновешиваются; но между теми моментами, когда кривая пересекает ось х, она в известные моменты проходит через точки максимума (выигрыш Петра), а в другие моменты—через точки минимума (выигрыш Павла). Я указал это Борелю; мы даже имели с ним по этому поводу длинную переписку, результатом которой явилось указание на опечатку во 2-м издании Теории вероятностей (стр. VII); увы, это указание доказывает лишь, что автор упорствует в своем образе мыслей и что он приписывает ошибку, кроющуюся в мнимом парадоксе, тому, что ожидаемое равновесие только вероятно, тогда как его наступление считается достоверным.

1) Во 2-м издании (см. в нем опечатки) я, после переписки с Ле-Дантеком, добавил здесь объяснительную фразу, которая, не будучи небходимой, делает мысль более ясной: „Это абсолютно противоречит начальной гипотезе, по которой нескольких тысяч партий было бы наверняка достаточно для восстановления равенства между обоими игроками“.

2) Loc. cit., стр. 160-161.

И наконец, вот «рассуждения по здравому смыслу», на которые ссылается г. Ле-Дантек в предыдущем отрывке:

Условимся изображать графически, на разлинованной в клетку бумаге, соотношение числа выпадов орла и решетки в течение длинного ряда партий. За ось X мы примем одну из горизонтальных линий и будем наносить на ней число партий. Отметим нуль на оси х; это будет исходной точкой игры. Первая партия дает решетку; я наношу результат на ординату x=zl (точка а); второй бросок дает еще раз решетку; наношу его на ординату х=2 (точка 6). Третий раз дает орла. Я спускаюсь на ступеньку от Ъ и наношу точку с на ординату х = 3, и т.д. Таким образом я определил кривую, ордината которой, соответствующая абсциссе п, будет представлять избыток выпадов решетки над выпадами орла в течение п партий. Мы знаем вперед, каков будет общий вид кривой. Это будет ломаная кривая, от времени до времени пересекающая ось ж-ов, но без всякой правильности в распределении точек пересечен) я. Мы можем предвидеть некоторые особенности этой кривой, основываясь исключительно на уверенности в том, что игра не повинуется никакому закону.

Наиболее важная из них и в сущности заключающая в себе все другие, это — следующая особенность: если дано заранее какое-угодно большое число N, то несомненно настанет момент, когда ордината кривой будет равна N Другими словами, нет никаких границ для разницы между числом решеток и орлов в течение очень большого числа партий.

Это непосредственно вытекает из нашей уверенности, что никоим образом уже сыгранные партии te могут влиять на последующие. Когда мы находимся после двух партий в точке о, мы можем принять Ь за начало и Ъхг за ось X. Тогда вид кривой от начала Ъ должен быть таким же, как от начала О, но требующееся отклонение отныне стало {N—2). Если бы, начиная с Ь, кривая все время оставалась ниже оси Ъх', это составляло бы уже закон. Следовательно, наступит момент, когда она пройдет над осью, и тогда требующееся отклонение будет равно только (N— 3); тут мы снова поместим начало и путем тех же рассуждений увидим, что необходимо наступит такой момент, когда требуемое отклонение будет только (N—N), т.-е. когда действительно порученное отклонение от начала О будет равно N Теорема доказана.

Это, очевидно, справедливо как для отклонения числа решеток от числа орлов, так и для отклонения числа орлов от числа решеток, т.-е. ломаная кривая, начинающаяся от О, будет иметь отрицательные ординаты, не уступающие по величине ее положительным ординатам.

Одним из следствий этой теоремы является, что, как бы мы в данный момент ни были удалены от оси х, мы всегда должны ожидать после достаточно большого количества партий возвращения к ней; другими словами, нет момента, начиная с которого кривая больше не пересечет ось х. В самом деле, пусть будет отклонение в данный момент равно N; я предполагаю его положительным. Принимая эту точку кривой за начали, мы, наверное, рано или поздно, придем к отклонению (— N), т.-е. к оси, первоначально взятой за ось х.

Фиг. 1.

Все это—необходимое следствие нашего начального предположения, что. изучаемое явление не может быть подведено ни под какой закон.

Из этих замечаний ясно следует, что для очень большого числа партий отношение отклонения к общему числу сыгранных партий будет всегда очень мало, какова бы ни была абсолютная величина отклонения. В самом деле, так как ряд нулей нашей кривой неограничен, то мы всегда сможем сыграть число партий достаточно большое, чтобы число ml9 соответствующее последнему нулю перед началом дуги кривой, ведущей к отклонению, было сколь угодно велико. Но, начиная от нуля, отклонение п при наиболее благоприятных условиях может получиться только после числа ударов, равного, по меньшей мере, п: число ударов, ведущее к отклонению п, будет, следовательно больше или равно mj + w, а отношение отклонения к числу ударов будет меньше ^ , т.-е. величины, которую можно сделать сколь угодно малой, давая как угодно большое значение1).

Отсутствие закона, благоприятствующего выпадам хотя бы решетки, делает необходимыми последовательные встречи кривой с осью ох. Если бы кривая, вместо того, чтобы быть сколько-нибудь симметричной по отношению к оси ох, была симметричной по отношению к другой оси ov, образующей с ох сколь угодно малый угол а, то существовал бы закон, благоприятствующий выпадам решетки, что невозможно; угол может быть равен только нулю.

Таковы выводы, к которым рассуждения по здравому смыслу нас приводят, раз мы признали, что игра в орлянку не подчиняется никакому закону. Итак, закон больших чисел, т.-е. равенство нулю угла нашего чертежа представляет собой не что иное, как словесное преобразование утверждения отсутствия всякого закона. И тот факт, что некоторые мыслители вывели из этого существование какого-то закона случая, напоминает мне шутку из старой оперетки, в которой глава заговорщиков, не видя в назначенное время условного флажка, восклицает: „А не является ли сигналом отсутствие сигналов?“

В действительности, надо сознаться, мы не вполне удовлетворены нашим доказательством от противного. Если бы закон больших чисел не оказывался верным после очень большого количества партий, мы вывели бы отсюда доказательство существования закона, благоприятствующего орлу или решетке, что противоречит нашей гипотезе; в этом и заключается доказательство от противного; здесь, как и во всех случаях, когда мы бываем вынуждены пользоваться им за отсутствием положительного, этот способ доказательства нам не по душе. Мы инстинктивно вспоминаем о Буридановом осле. Действительно, в основе нашего рассуждения лежит некоторое допущение; мы хорошо знаем, что в игре в орлянку не может быть никакой закономерности. Но будет ли эта игра достаточно определенным и гибким аппаратом, чтобы дать прямое доказательство после большого числа партий этого замечательного отсутствия закона? Мы не решились бы утверждать это à priori.

1) Это рассуждение „по здравому смыслу“ не полно, так как вовсе не установлено, что отклонение п не произойдет до наступления mt ударов; г. Ле-Дантек не может, несмотря на весь свой талант, заменить точные вычисления туманными рассуждениями.

Мы не решились бы высказать закон больших чисел, если бы не проверили его на опыте очень большое число раз для каждой азартной игры. Наши рассуждения à priori получают ценность только после доказательства à posteriori. С другой стороны, наш закон больших чисел не является чем-то неизбежным; в самом деле, это не закон, а только результат отсутствия всякого закона. Если бы мы встретились на опыте со случаем, в котором после очень большого числа партий было бы всегда вдвое больше решеток, чем орлов, мы не имели бы права возмущаться; мы постарались бы прежде всего открыть, нет ли систематической ошибки в самой игре: допустим, что ее нет; мы должны были бы заключить, что закона в пользу выпадов решетки нет, но что в данном случае нам не удалось показать с очевидностью этого отсутствия закона. Я не слышал, чтобы это когда-нибудь случалось, но это не невозможно. И однако же теорема Бернулли дает доказательство à priori закона больших чисел! Так, значит, этот закон действительно является законом?

20. Я решил привести эти рассуждения буквально, так как они являются разительным примером того, что, как только задачи на вероятности становятся сколько-нибудь сложными, здравый смысл, даже руководимый светлым и глубоким умом, не может обойтись без помощи вычисления; он ведет, самое большее, к выводам, правда, не ошибочным, но неполным и расплывчатым. Если бы г. Ле-Дантек внимательно рассмотрел и сам проделал те вычисления, на которые я ссылаюсь в приведенном выше отрывке (см. § 18 цитированной книги), он наверное дал бы себе более ясный отчет в общем ходе очень длинного ряда партий в орлянку. Я не буду воспроизводить здесь этих вычислений, предпочитая притти к тождественным результатам иным, может быть, более наглядным путем.

Я напомню хорошо известный вывод, что после некоторого определенного числа партий возможное среднее отклонение в грубых цифрах равно квадратному корню из числа партий. Например, после миллиона партий, отклонение, равное тысяче в пользу одного из играющих, более или менее не является исключительным.

Предположим, что это среднее отклонение осуществлено с точностью, и спросим себя, какова вероятность, чтобы оно сохраняло свой знак в продолжение миллиона партий1). Это именно та задача, которую изу-

1) Для строгого и совершенно общего исследования этого вопроса следовало бы последовательно рассмотреть все возможные гипотезы относительно миллиона партий (отклонение равное 0, 1, 2 и т. д.) с их соответственными вероятностями, проделать для каждой из них подсчет, который мы производим для среднего отклонения, и просуммировать полученные результаты; это

чал г. Дезирэ Андрэ под названием „проблема голосования“ и решение которой хорошо известно. При индивидуальных выборах представляются 2 кандидата А и В; у первого (A) m голосов, а у второго (В) т-\-щ какова вероятность, что В сохранит большинство в течение всего подсчета? Ответ гласит, что вероятность равна частному от деления излишка голосов, полученных В, т.-е. п, на все число поданных голосов, т.-е. 2m-f п. Если в игре в орлянку известно только, что после миллиона партий В выиграл на 1.000 партий больше, чем. Л, то можно сказать, что имеется один шанс на 1.000, что за ним останется преимущество все время игры.

Говоря вообще, так как частное от деления числа на квадратный корень из него, очевидно, равняется этому квадратному корню, то вероятность, что один из играющих сохранит преимущество в продолжение большого числа партий приблизительно равна обратной величине квадратного корня из числа партий1).

Другими словами, если рассматривать 100 миллионов последовательных партий в орлянку, будет один шанс на 10.000, что один из играющих будет сохранять преимущество все время игры, и кривая г. Ле-Дантека не пересечет оси х. Предположим, что 2 миллиона взрослых обитателей Парижа, сгруппировавшись по двое, начнут с завтрашнего дня играть в орлянку, условившись с одним и тем же партнером продолжать игру до тех пор, пока они не будут „квиты“. При большой скорости каждая группа сыграет примерно по 1 партии в секунду, что составит 10 миллионов партий в год, при восьмичасовом рабочем дне. И вот, можно предвидеть, что и через десять лет останется еще сотня неокончивших групп, а через тысячу лет, если игроки передадут свои партии наследникам, еще десяток будет продолжать игру, ибо кто-нибудь из партнеров все время будет в убытке. Очевидно, мы далеки от практической уверенности,

вычисление ведет к легкой интеграции, результат которой отличается от результата сокращенного вычисления присутствием числового множителя, близкого к единице и не влияющего на наши выводы.

1) Как было сказано в предыдущем примечании, этот результат отличается от точного только присутствием числового множителя достаточно близкого к единице, чтобы с ним можно было не считаться. Если бы мы указали заранее игрока, который должен сохранять преимущество, то вероятность нужно было бы разделить на два; здесь мы предполагаем, что нам безразлично который, лишь бы это был один и тот же в течение всей игры.

что равновесие должно непременно восстановиться: для игроков, умерших в тяжелой погоне за своими деньгами, все, напротив, произошло так, как будто равновесие никогда и не должно было восстановиться1).

Я думаю, что изобретателям игры на „квит“ было бы полезно поразмыслить над этим результатом; источником их заблуждений, в сущности, является более или менее смутная вера в непреложность равновесия. Однако, рассмотрим „рулетку“, в которой устранен нуль; мы видим, что игра на красные и черные (как и всякая другая простая комбинация) эквивалентна игре в орлянку. Каждая партия отмечает для новоприбывшего игрока начало нового ряда игр, так что в хорошо посещаемых игорных домах, обладающих несколькими рулетками, число начальных партий доходит до нескольких сот тысяч в год. Правда, различные ряды игр, которые можно рассматривать отдельно, не вполне различны, так как частично совпадают друг с другом; легко понять, что подобный недостаток независимости только отчасти изменяет выводы, сделанные относительно независимых партий в орлянку, о которых шла речь2); безусловно, при рассмотрении полной сводки действительных результатов игры за прошлый год, мы нашли бы несколько очень редких и очень кратких моментов таких, что посетитель, вошедший как раз в этот момент в игорный зал и ставящий непрерывно на тот же цвет (например, красный) за одним и тем же столом, был бы в непрестанном проигрыше в течение целого года; очевидно, он был бы целый год в выигрыше, если бы ставил на противоположный цвет (черный); конечно, при условии, что нуль считается несуществующим, т.-е. что его выходы не влекут за собою ни выигрыша, ни проигрыша; всем известно, что присутствие нуля необходимо для выгод содержателя, это—единственный смысл существования игорных домов.

21. Но пора возвратиться именно к тому пункту, к которому, собственно, и относится аргументация г. Ле-Дантека; предшествующие рассуждения, мне кажется, способствуют осве-

1) Тем не менее остается законным утверждение, что равновесие непременно восстановится, если у игроков хватит терпенья, так как, по мере возрастания числа партий, вероятность неравномерного распределения стремится к нулю.

2) Впрочем, мы могли бы изложить довольно кратко случай не независимых партий, при чем понадобились бы понятия maxima maximorum и minima minimorum кривой.

щению вопроса с точки зрения здравого смысла, давая возможность этому здравому смыслу получить более ясное понятие об общем ходе игры, но они не затрогивают самой сути спора. Суть же в том, что требуется узнать, абсурдно или нет то заключение, к которому приводят некоторые приблизительные рассуждения и которое выражается словами: каждый игрок осущезтвляет выигрыш, возрастающий пропорционально времени.

Г. Ле-Дантек указывает на невозможность одновременного выигрыша и Петра и Павла; я, однако, не смею думать, что его уверенность в отсутствии здравого смысла у математиков доходит до предположения, что у меня не явилось мысли о возможности выигрыша того и другого по очереди в различные моменты: математик, настолько поглощенный вычислениями, чтобы не вспомнить о таком простом обстоятельстве, заслуживал бы почетного места в пантеоне рассеянных ученых. Абсурдно не то, что Петр и Павел выигрывают в различные моменты, а то, что выигрыши их возрастают пропорционально времени. Г. Ле-Дантек найдет вычисления и точные цифры в § 18 моей книги, на который я ссылаюсь в вышеприведенном отрывке; я резюмирую их здесь: на протяжении тысячи партий в орлянку можно с уверенностью надеяться на восстановление равновесия между играющими около двадцати раз; так как после наступившего равновесия каждый игрок имеет один шанс на два выиграть следующую партию, то каждый игрок и может, рассуждая, как указано выше, надеяться удалиться, выиграв приблизительно 10 франков, если ставка—1 франк. Эти надежды не противоречивы; в действительности, выигравшим будет тот игрок, который сумеет прекратить игру в тот момент, когда ему это будет выгодно. Если бы эта надежда осуществлялась не почти всегда, а всегда, то выигрыш в 10 франков после 1.000 партий превратился бы в выигрыш в 10.000 франков после миллиона партий, в 10 миллионов франков после миллиарда партий. Но это абсурд по многим причинам, из которых привожу две, быть может, наиболее веские: отклонение в 10 миллионов на миллиард партий, по закону больших чисел, бесконечно маловероятно, и, следовательно, бессмысленно считать его достоверным. К тому же, если отклонение в 10 миллионов происходит последовательно в пользу то одного, то другого играющего, то, очевидно, должно быть сыграно по меньшей мере 10 миллионов партий с момента выигрыша Павлом

10 миллионов до момента восстановления равновесия1); следовательно, существует два последовательных пересечения кривой с осью х, которые разделены промежутком, по меньшей мере, в 20 миллионов партий; это в корне противоречит гипотезе, по которой равновесие наверное восстановится после нескольких тысяч партий.

Мы видим, что общий вид кривой, построенной г. Ле-Дантеком, сложнее, чем ему кажется; длинные серии партий, в их совокупности выгодные для одного из играющих, весьма мало вероятны; но при очень продолжительной игре они все же, в конце концов, могут представиться и надолго нарушить равновесие; итак, кривая в общем начнет описывать изгибы около оси х; потом она довольно значительно отклонится и тогда будет изгибаться не вблизи от наклонной прямой (г. Ле-Дантек прекрасно объяснил, почему это было бы абсурдом), но вблизи от одной из параллелей оси х; это будет продолжаться до тех пор, пока не произойдет нового, довольно большого отклонения, которое сможет либо снова привести ее к оси ох, либо еще увеличить отклонение2).

Эти указания грубы, но трудно их сделать более точными, так как нет закона; единственное более или менее общее утверждение, которое можно сделать, это —то, что любая точка кривой может быть принята за начало, и что, следовательно, все, что можно сказать о виде кривой по отношению к оси ох, в такой же мере относится к любой параллели ох, которую кривая пересечет хотя один раз; по прошествии довольно долгого времени всякая параллель оси ох будет однажды пересечена3), так что нельзя сказать ничего об ох, что не относилось бы к любой параллели ох, если наблюдать игру достаточное количество времени; лишь в течение нескольких момен-

1) Это рассуждение по здравому смыслу было сделано г. Ле-Дантеком в вышеприведенном отрывке; это—один из довольно простых случаев, когда здравый смысл может обойтись без помощи вычисления.

2) Г. Ле-Дантек очень хорошо замечает эту роль параллелей оси х но не делает из этого соответствующих выводов; в противном случае он заметил бы, что так как все параллели оси х играют одинаковую роль, то они как и эта последняя, обязательно должны бы пересекаться кривой через довольно частые промежутки, что является абсурдом.

3) Вообще, если предположить игру продолжающейся неопределенно в обоих направлениях, то всякая параллель оси ох пересечется кривой число раз, пропорциональное квадратному корню из промежутка времени наблюдения, если он достаточно велик.

тов, непосредственно следующих за данным, можно сделать некоторое заключение, относящееся собственно к ох, из того факта, что данная точка является началом в данный момент. Эти замечания относятся ко всем вопросам, связанным с вероятностью, и, мне кажется, существует связь между ними и тем, что современные физики называют принципом относительности.

22. Г. Ле-Дантек обвиняет математиков не только по этому частному поводу; он долго останавливается на невозможности притти к познанию естественного закона путем абстрактного рассуждения. Думаю, что по этому пункту все математики согласны с г. Ле-Дантеком; в своем сомнении в выводах, которые можно сделать из вычисления, они иногда заходили даже слишком далеко; так Жозеф Бертран, критикуя Максвелл я, дошел до отрицания возможности кинетической теории, между тем как ее сторонники, по известному примеру, доказали возможность движения, двигаясь и даже пройдя довольно славный путь. Вообще, математики, не в обиду будь сказано г. Ле-Дантеку, в своих трудах прекрасно отличают чистую дедукцию от доводов чувства и предвзятого мнения, и, насколько они непримиримы, когда оспариваются их вычисления, настолько они готовы допустить, что каждый здравомыслящий человек, хорошо понявший результаты их вычислений, свободен применять их на практике, следуя своей личной психологии1). Но, для того чтобы рассуждать о вероятностях, надо понять, при помощи какого простого и неоспоримого аналитического механизма понятие отсутствия всякого закона приводит к выводам, по необходимости недостоверным, не самая недостоверность которых может быть строго измерена и часто исчисляется дробью, малость которой смущает воображение. Таким образом, мы возвращаемся, в конечном счете, к понятию вероятности отдельного происшествия, которое оспаривает г. Ле-Дантек; дело идет о том, чтобы установить, произойдет или нет такое-то событие, вероятность которого исчисляется, например, одной миллионной миллионной доли. Единственное практическое правило поведения, это—поступать так, как будто оно не произойдет. Если предположить, что вероятность еще меньше, например Ю-100, следует признать, что, приравнивая ее нулю, мы ничем не погрешим против научной строгости, так как нет че-

1) См. дальше гл. VIII.

ловеческого знания, которое было бы верно с такой степенью точности. В этом, и только в этом, смысле чисто абстрактные вычисления могут привести к конкретным правилам поведения, позволяя с большей точностью истолковывать то, что нам известно о действительности; именно в этом отношении отсутствие всякого закона часто есть закон. Когда этот существенный факт хорошо понят, не важно, является ли действительно исчисление Бернулли стратагемой: оно позволяет в известных случаях предвидеть с достоверностью (т.-е. с той степенью достоверности, которая никогда не бывает превзойдена человеческим предвидением).

ГЛАВА III.

Вероятности прерывные и вероятности непрерывные.

23. Прерывные вероятности.— 24. Относительные и абсолютные вероятности.—25. Теорема сложения вероятностей.—26. Теорема умножения вероятностей.— 27. Задача из игры в экартэ —28. Математическое ожидание.— 29. Проблема ставки; проблема костгй.—30. Правило десятичной единицы.— 31. Непрерывные вероятности; определение.—32.Простая задача.—33. Проблема иголки.—34. Критика Бертрана.—35. Обсуждение одного парадокса Бертрана. — 36 Критика Пуанкаре. — 37. Применение произвольных функций; реальное значение возражений Пуанкаре.

23. Прерывными вероятностями называют вероятности, в которых количество возможных случаев выражено конечным числом, в отличие от проблем непрерывных вероятностей1), в которых количество возможных случаев бесконечно (если, например, возможными случаями являются различные положения точки на прямой).

Игра в орлянку является одним из наиболее простых случаев прерывных вероятностей, так как число возможных случаев равно 2. и вероятности их равны. Проблемы, могущие возникнуть в связи с азартными играми, каковы игра в кости, в карты, относятся к разряду прерывных вероятностей. Эти-то проблемы, возникшие при азартных играх, дали повод к первым исследованиям вероятностей; если бы не интерес к этим проблемам, проявленный такими людьми, как Паскаль, теория вероятностей, наверное, была бы создана гораздо позднее; она не оказалась бы налицо в законченном виде, когда в ней явилась надобность для практических или научных применений2).

1) Можно рассматривать также счетные вероятности — промежуточный случай между вероятностями непрерывными и прерывными.

2) Одна из проблем, поставленных игрой, особенно способствовала проявлению проницательности основателей теории вероятностей. Это проблема раздела ставок: двое играющих условились, что ставки будут

Те из наших современников, которые употребляют значительную долю своего времени на игру в баккара или в бридж, не в праве думать, что они трудятся на пользу науки; теория вероятностей не нуждается более в азартных играх. Но из истории ее возникновения, может быть, можно извлечь тот урок, что трудно предусмотреть научное значение по внешности незначительных, пустых размышлений, даже если эти размышления способствуют обострению ума и выработке новых форм рассуждения.

Мы не будем повторять определения вероятности, которое в случае непрерывных вероятностей сводится к определению одинаковой вероятности случаев. Эта одинаковая вероятность допускается, по меньшей мере, как предельный случай.

24. Обозначим через N общее число возможных случаев, предполагая все одинаково вероятными (условие, которое мы будем молчаливо подразумевать), и через п число благоприятных случаев; вероятность р дается формулой

мы видим, что вероятность есть дробь, всегда меньшая единицы; она становится равной единице только в том случае, если n = N, т.-е. все случаи благоприятны; вероятность превращается в достоверность.

Часто бывает важно знать одновременно с вероятностью желаемого события та^же и вероятность неблагоприятного события (мы пока предполагаем, что за исключением желательного события, все остальные отнесены к этому разряду). Например, урна содержит N шаров, из которых п белые, а остальные красные, черные и пр. Если извлечение белого шара есть благоприятное событие, то неблагоприятным событием будет извлечение не белого шара; обозначая его вероятность через q, мы имеем

ибо число благоприятных случаев для неблагоприятного события,

принадлежать тому из них, который сможет первый записать на свой актив 10 выигранных партий; они прерывают игру в тот момент, когда один выиграл 7 партий, а другой 8; каковы тогда доли обоих игроков, т.-е. как должны быть поделены между ними ставки.

очевидно, равно N—п, так как имеется N—п не белых шаров.

Мы можем написать формулу

которая означает, что сумма вероятностей благоприятного и неблагоприятного событий равна единице. Важно заметить, что под неблагоприятными событиями подразумевается все, которые не являются благоприятными, и никаких различий между ними не делается: например, если дело идет о выигрыше партии в шахматы, то под понятие неблагоприятного события подходят все случаи, когда партия не выигрывается: и проигрыш, и партия в ничью.

Когда событие весьма вероятно, то вероятность его р приближается к единице, и, следовательно, вероятность q приближается к нулю. В просторечии иногда говорят, что вероятность очень велика; подобное выражение не согласуется с математическим определением, по которому вероятность не должна превышать единицу; вместо того, чтобы говорить очень большая вероятность, следовало бы сказать вероятность, очень близкая к единице. Это употребительное выражение происходит вот откуда: обыкновенно сравнивают вероятность благоприятного и неблагоприятного событий, и когда первая значительно превосходит вторую, говорят, что она очень велика; на самом деле очень велико отношение вероятности данного события к вероятности противоположного события. Это отношение могло бы быть названо относительной вероятностью обоих случаев,—тогда как вероятность, определенная выше, называлась бы абсолютной вероятностью; но мы не изменим обыкновенного языка и будем просто говорить вероятность, а не абсолютная вероятность, так как почти всегда встречается именно эта вероятность и лучше не изменять обозначающего ее выражения. Однако полезно помнить, что на обыденном, не научном языке слово „вероятность'' часто употреблятся в смысле относительной вероятности, т.-е. подразумевается отношение В, определяемое формулой:

Если, например, в урне находится 1.000 шаров, из которых 999

белых и единственный черный, и благоприятным событием является извлечение белого шара, то мы имеем:

р = 0,Ш 4 = 0,001 В= 999.

Вероятность р благоприятного события очень близка к 1; его относительная вероятность В очень велика.

Если рассматривать одновременно несколько взаимно исключающих друг друга возможностей, совокупность которых обнимает все возможные случаи, то сумма их вероятностей равна 1. Представим себе, например, что урна содержит N одинаковых шаров, каждый из которых помечен одной из цифр: 1, 2, 3, . . т; обозначим через пл число шаров, помеченных цифрой 1, через пг число шаров, помеченных цифрой 2, и т. д. Вероятность />3 вынуть один из шаров, помеченных цифрой 1, очевидно, равна

Точно так же

и, следовательно,

так как сумма пг -\-п2 -{-...-f- Nm равна числу всех шаров Ж 25. Рассмотрим урну, содержащую N шаров, в том числе а красных и Ъ белых; остальные не красные и не белые. Вероятность а извлечения красного шара равна

Вероятность ß вынуть белый шар равна

Вероятность р извлечь белый шар или красный шар, очевидно, равна

и тотчас же выясняется соотношение

выражающее теорему сложения вероятностей.

Для того, чтобы дать точное словесное выражение этой теоремы, важно выяснить условия, при которых получено предыдущее соотношение. Мы считаем благоприятным событием, вероятность которого р ищем, извлечение красного или белого шара; это благоприятное событие может представиться двумя различными путями, взаимно друг друга исключающими, ибо, если извлеченный шар красный, то ясно, что он не белый. Соответственные вероятности этих двух событий назовем а и ß; вероятность р равна их сумме. Очевидно, если количество благоприятных случаев больше двух, наше рассуждение остается в силе: если, например, рассматривать, как благоприятное событие извлечение или красного, или белого, или зеленого, или фиолетового, или желтого цвета, исключив другие цвета. Следовательно, можно формулировать следуюшим образом теорему сложения вероятностей.

ТЕОРЕМА. Если событие, вероятность которого мы ищем, может осуществиться несколькими различными путями, взаимно исключающими друг друга, то искомая вероятность будет равна сумме частных вероятностей, соответствующих этим различным путям.

При применениях этой теоремы чрезвычайно большое значение имеет строгое выполнение условия взаимной независимости различных возможностей.

26. Рассмотрим две урны, содержащие: первая N шаров, из которых а б°лые, вторая N* шаров, из которых а' белые. Вероятность извлечения белого шара из первой урны равна

и вероятность а! извлечения белого игра из второй урны равна

Предположим, что мы извлекли по одному шару из каждой урны. Какова вероятность р, что оба шара будут белыми? Определим число возможных случаев; допустим, что мы перенумеровали шары каждой урны, чтобы отличать их друг от друга. Шары первой урны занумерованы от 1 до N, шары второй— от 1 до мы можем извлечь шар 1 из первой урны и одновременно с ним любой из JV' шаров второй урны; это составляет Nr одинаково вероятных случаев; возможно также

извлечение шара 2 из первой урны и одновременно с ним любого из N' шаров второй урны; это составляет еще N' случаев, одинаково вероятных как между собой, так и с предыдущими», таким образом, каждому из N шаров первой урны соответствует Nr случаев, следовательно, всего имеется NN' возможных случаев1). Точно так же мы можем определить число благоприятных случаев; каждому из а белых шаров первой урны соответствует о! благоприятных случаев, — по числу о! белых шаров второй урны; имеется, следовательно, ad благоприятных случаев, и вероятность р выражается формулой

и этой формулой выражается теорема умножения вероятностей. Прежде чем дать словесную формулировку этой теоремы, мы придадим условиям, при которых она была установлена, более общую форму; предположим, что у нас имеется 3 урны, одна из которых всегда будет называться первой, а две остальные, выкрашенные снаружи, одна в белый, другая в черный цвет, будут называться второй белой урной и второй черной урной. Мы извлекаем сначала первый шар из первой урны; если этот шар окажется белым, то второй шар извлекается из второй белой урны; если извлеченный шар не белый, то второй шар извлекается из второй черной урны. Какова вероятность вынуть два

1) Если мы возьмем ÏV— 6 и перенумеруем шары: 0, 1, 2, 3, 4, 5; N' = 10. и перенумеруем соответственно шары 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то результаты извлечения мог.т быть представлены следующей таблицей, на которой первая цифра относится к шару, извлеченному из 1-й урны:

Очевидно, мы имеем

00

10

20

30

40

50

01

11

21

31

41

51

02

12

22

32

42

52

03

13

23

33

43

53

04

14

24

34

44

54

05

15

25

35

45

55

06

16

26

36

46

56

07

17

27

37

47

57

08

18

28

38

48

58

09

19

29

39

49

59

Ясно, что число возможных случаев равно 60.

белых шара? Ясно, что если обозначить через а вероятность извлечения белого шара из первой урны, и через ß вероятность извлечения белого шара из второй белой урны. то мы опять имеем

р = а$.

В самом деле, мы пользуемся второй черной урной только в том случае, если первое извлечение не дало нам белого шара. Следовательно, это безусловно не является благоприятным случаем, и результаты второго извлечения уже не имеют значения: таким образом, ничего не изменилось бы в отношении вероятности благоприятных случаев, если бы не производить второго извлечения или производить его из любой урны, хотя бы и из второй белой урны; таким образом, мы вновь приходим к уже рассмотренному случаю, но эти замечания позволяют дать более общую формулировку.

ТЕОРЕМА.—Когда событие, вероятность которого отыскивается, состоит в последовательном наступлении двух событий, то искомая вероятность равна произведению вероятности первого события на вероятность наступления второго события при уже совершившемся первом событии. Вообще, если необходимо последовательное наступление нескольких событий, надо перемножить различные вероятности этих событий, вычисляя каждую из них в предположении, что предшествующие события уже имели место.

Ограничиваясь случаем двух событий, мы видим, что если вероятность второго события не зависит от выполнения первого, то это последнее ограничение излишне. В таком случае можно рассматривать явления как одновременные.

27. Во многих случаях, вместо применения теорем сложения и умножения вероятностей, бывает проще прибегнуть к пересмотру всех вероятных случаев, пользуясь приемами теории соединений; рассмотрим один пример:

Какова вероятность в экартэ иметь 3 козыря при сдаче? Напомним, что в экартэ играют в 32 карты, из которых одна перевернута и указывает козырь; каждый играющий получает 5 карт; следовательно, эти 5 карт выбраны случайно из 31 карты (перевернутая не считается); число

козырей в колоде равно семи. Число возможных сдач, когда козырь известен, равно числу способов, какими можно выбрать 5 карт из 31, т.-е.

Таково число возможных случаев.

Число благоприятных сдач, содержащих 3 козыря, мы получим, умножая число способов выбрать 3 козыря из 7, на число способов выбрать 2 любые карты из 24 некозырных карт. Таким образом, мы получаем число благоприятных случаев:

Искомая вероятность равняется частному от деления числа благоприятных случаев на число возможных случаев, т.-е.

Очевидные сокращения дают (6.5 = 30, 7.4 = 28):

Искомая вероятность содержится между

28. Во многих задачах на прерывные вероятности удобно ввести понятие математического ожидания, которое дает возможность значительно упростить вычисления. Это выражение „математическое ожидание“ часто подвергалось критике, и надо сознаться, что оно не из особенно удачных; но оно освящено обычаем, и, с другой стороны, его употребление не может дать повода к путанице, если приучиться рассматривать его как единый термин, смысл которого не является результатом механического соединения смыслов обоих слагаемых. Тем не менее, если бы мы пытались понимать его буквально, то нам, вероятно, пришлось бы принять слово математическое в значении числовое и передать слова матема-

тическое ожидание, словами числовое значение ожидания. Математическое ожидание есть на самом деле числовое значение, которое мы принуждены приписать ожиданию игрока, если захотим выразить это ожидание в числах. Это выражение, очевидно, должно удовлетворять следующим условиям: в такой игре, как орлянка, где вероятности для обоих игроков равны, их математические ожидания также равны; сверх того, сумма обоих ожиданий равна полной ставке, ибо можно себе представить, что оба игрока входят в соглашение о разделе этой ставки вместо игры. Этих простых замечаний достаточно, чтобы вычислить математическое ожидание в простых случаях. Если предположим, например, что я должен получить 2 франка в случае исхода партии в орлянку в пользу решетки, то мое математическое ожидание будет равно 1 франку и может за эту цену быть продано игроку, расположенному занять мое место. В этом случае я могу надеяться без затруднений продать мое математическое ожидание; дело обстояло бы иначе, если бы ставка этой партии в орлянку была 100 тысяч франков. В некоторых случаях коммерческая ценность математического ожидания меньше его числовой величины; в иных случаях, напротив, коммерческая ценность математического ожидания выше его числовой величины; это результат любви публики к лотереям и препятствий к их развитию, поставленных законом. Лотерейный билет, связанный с математическим ожиданием в 30 сантимов1), находит покупателя за 1 франк.

Большое преимущество понятия математического ожидания состоит в том, что комбинирование различных вероятностей иногда требует сложных вычислений, тогда как для математических ожиданий существует простое и наглядное правило: чтобы получить полное математическое ожидание, связанное с несколькими случайными событиями, достаточно найти сумму математических о приданий, соответствующих каждому из них.

Павел должен играть 3 партии в орлянку; согласно заключенному условию, если он выиграл первую, то получит 10 франков; если выиграет вторую — 20 франков; если выиграет

1) Чтобы найти математическое ожидание, связанное с лотерейным билетом, достаточно разделить общую сумму выигрышей на число билетов; получится ценность билета, если не считать прибыли устроителя лотереи и издержек на рекламу.

третью — 40 франков; его полное математическое ожидание равно 5 4- 10 -)- 20 = 35 франков; такова сумма, за которую он мог бы продать свои различные шансы игроку, расположенному играть в безобидную игру. Если это не кажется очевидным, то достаточно заметить, что если тот же покупатель захочет купить математическое ожидание Павла и его противника, то он должен уплатить за них одинаковую цену, ибо положение Павла тождественно с положением его партнера, и, следовательно, покупателю обеспечено получение 70 франков, что бы ни случилось; очевидно, если игра не должна ему принести ни прибыли, ни убытка, то он должен уплатить каждому из партнеров по 35 франков.

Нужно считать очевидным, что если в игре, состоящей из нескольких последовательных партий, каждая партия безобидная, то и игра в целом — тоже безобидная; этот принцип очень полезен при разрешении некоторых вопросов.

29. Применим понятие математического ожидания к разрешению следующей задачи, называемой задачей ставки.

Трое игроков А, В, С играют в орлянку на следующих основаниях: АиВ играют первую партию, после которой проигравший отходит и уступает свое место С; то же повторяется после каждой партии: проигравший уходит, чтобы уступить свое место третьему игроку; игрок, выигравший 2 партии под ряд, получает сумму т; каково математическое ожидание каждого игрока: 1) после первой партии; 2) в начале игры.

Предположим, что А выигрывает первую партию, и обозначим, после этой первой партии, математическое ожидание А,В и С через а, Ъ, с, относящиеся последовательно к игроку остающемуся, выходящему из игры и вступающему в игру» Если А выиграет вторую партию, игра будет окончена, и А ее выиграет. Если А проиграет вторую партию, то он займет место выходящего из игры, В станет вступающим и С остающимся. В первом случае (А выигрывает) А получает m, В и О ничего не получают; во втором случае (А проигрывает) математическое ожидание его переходит к В, математическое ожидание В переходит к С, и математическое ожидание С переходит к А. Мы будем считать, что математическое ожидание для каждого из игроков равно сумме математических ожиданий, соответствующих каждой из двух гипотез, и так как вероят-

ность каждой гипотезы равна половине, мы получаем следующие уравнения:

которые легко решаются и дают

Таковы математические ожидания после первой партии; чтобы получить математические ожидания а\ Ъ\ с' перед первой партией, достаточно заметить, что математическое ожидание для С не может измениться в зависимости от исхода первой партии; с другой стороны, сумма математических ожиданий А и Б тоже не изменяется, так как человеку покупающему у А и Б их шансы на выигрыш безразлично, кто выиграет первую партию; наконец, безусловно d=V\ отсюда мы имеем окончательно:

Как видно, в начале игры положение игроков А и Б несколько лучше положения игрока С: если ставка равна 14 франков, то математическое ожидание А и Б стоит 5 франков, а математическое ожидание О стоит только 4 франка.

Причина, по которой понятие математического ожидания удобнее, чем понятие вероятности, заключается в невозможности складывать вероятность так же просто, как складываются математические ожидания, вследствие сложности возможных случаев; сложение вероятностей повело бы, впрочем, к вероятностям, превышающим единицу, что было бы абсурдом.

Рассмотрим, например, игрока в кости, который должен получать 6 франков каждый раз, как бросаемая им кость дает 5 очков; его математическое ожидание, для каждого выбрасывания, равно 1 франку; вероятность выхода пяти очков равна тт. Если он шесть раз бросает кость, то его математическое

ожидание равно 6 франкам, т.-е. ставке; но было бы нелепо думать, что вероятность выигрыша равна 6 раз V6, т.-е. единице; легко может случиться, что ни одно из 6 выбрасываний не будет для него благоприятным; но возможно также, что он выиграет несколько раз, и, именно благодаря этой возможности выиграть больше 6 франков, его математическое ожидание может равняться 6 франкам, несмотря на то, что в некоторых случаях он ничего не выиграет. В действительности вероятность выигрыша всех 6 партий и получения 36 франков равна ; вероятность выигрыша 5 партий и получения 30 франков равна 6 y^j . g,.... вероятность выигрыша только одной партии и получения 6 франков равна ( g J ; можно было бы получить полное математическое ожидание, умножая каждый возможный выигрыш на его вероятность и складывая результаты; это вычисление может быть упрощено применением формулы бинома и ведет к тому же результату, как прямое элементарное вычисление: математическое ожидание равно 6 франкам.

Когда вероятности очень малы по отношению к числу испытаний, и можно пренебречь повторением благоприятных случаев, то математическое ожидание дает приближенное значение вероятности. Например, Петр владеет двумя билетами лотереи, состоящей из 10.000 билетов, при 10 выигрышах по 1.000 франков; его математическое ожидание равно 2 франкам; отсюда мы выводим, что для него вероятность выигрыша 1.000 франков приблизительно равна частному от деления 2 на 1.000, т.-е. 0,002; на самом деле, вероятность выиграть 1.000 франков равна произведению 0,002 на дробь т.-е. 0,001998..., а вероятность выиграть 2.000 франков равна

Нам придется встретиться далее с физическими явлениями, для которых математическое ожидание выражается гораздо проще, чем вероятность.

30. Чтобы покончить с прерывными вероятностями, покажем, как вычисляется десятичная единица отклонения; это даст нам возможность применять простое правило, которое мы изложим в деталях применительно к игре в орлянку.

Обозначим через р вероятность наблюденного события и через q дополнительную вероятность (д=1—р). Десятичная единица отклонения получится путем умножения квадратного корня из числа испытаний на 2\/pq. Рассмотрим, например, 6.000 выпадов одной и той же кости; вероятность выхода хотя бы трех очков равна 1/6, дополнительная вероятность равна 516; десятичная единица отклонения равна

На 6.000 выпадов надо ожидать выхода трех очков 1.000 раз; вероятность отклонения равного или превышающего в п раз десятичную единицу, согласно общему правилу, равна Ю-“2. И так как вероятность отклонения, превышающего 58, есть одна десятая, то вероятность отклонения, большего 116, равна одной десятитысячной, вероятность отклонения, превышающего 174, равна одной миллиардной1).

Когда вероятность р очень мала, вероятность q очень близка к единице, и можно приближенно заменить q единицей; тогда произведение квадратного корня из р на квадратный корень из числа испытаний равно квадратному корню из ожидаемого числа благоприятных случаев2), и мы получим еще более простое правило:

Если вероятность мала3), то десятичная единица отклонения равна удвоенному квадратному корню из ожидаемого числа благоприятных случаев4). Вероятность отклонения, превышающего в ?г раз эту единицу равна 10~“2.

1) В нашей приближенной формуле мы не проводим различия между положительными и отрицательными отклонениями. Ясно, что отклонение, превышающее 1.000, возможно, если оно положительно, и невозможно, если оно отрицательно, так как возможен выход трех очков более 2.000 раз, но невозможен менее 0 раз. Но вероятность выхода более 2.000 раз так мала, что практически можно пренебречь подобной несимметричностью.

2) Ибо \/р ^11= ^Пр.

3) Для определенности: если она меньше одной десятой.

4) В случае игры в орлянку десятичная единица отклонения равна произведению числа ожидаемых событий на корень квадратный из двух; мы должны ожидать в среднем отклонений больших в \'2 раз, когда ожидаемое событие маловероятно.

Предположим, например, что ожидаемое событие заключается в выходе определенного номера в лото, состоящем из 90 номеров; вероятность = 1/90; из 9.000 испытаний можно ожидать 100 успешных; десятичная единица отклонения равна удвоенному корню квадратному из 100, т.-е. 20; следовательно, вероятность того, что отклонение превысит двадцать, т.-е. что избранный номер выйдет менее 80 раз или более 120 раз1), равна одной десятой. Вероятность отклонения 40 будет одна десятитысячная; если хозяин лото желает, чтобы у него был только один шанс на 20.000 быть в проигрыше после 9.000 партий против игрока, который ставит на определенный номер, то он скажет себе, что наиболее неблагоприятным случаем будет тот, когда игрок выиграет 140 раз; следовательно, он может обещать ему платить за каждую выигранную партию -jjj-Q ставок, т.-е. приблизительно шестидесятичетырехкратную ставку; если бы он выплачивал сумму равную 90 ставкам, игра была бы безобидной.

Напоминаем еще раз, что правило десятичной единицы есть только упрощенная и приближенная форма более строгой формулы, выводящейся путем аналитических преобразований без всяких дополнительных гипотез из формул перечисления различных возможностей (посредством теории соединений), что видно из приведенных нами примеров.

31. С непрерывными, или геометрическими вероятностями мы встречаемся в проблемах, где число возможных случаев равно числу возможных положений точки на прямой или на плоскости, или числу положений прямой в пространстве и пр. Рассмотрим сначала простейший случай.

Возьмем отрезок прямой AB и точку M на ней, которую мы полагаем непременно находящейся на этой прямой AB (фиг. 2). Какова вероятность, чтобы точка M занимала на AB определенное положение? Мы видим, что число возможных случаев неопределенно, ибо точка Ж может непрерывно перемещаться между А и В; итак, необходимо дать новое определение вероятности. Такое определение, очевидно, является для математика условным, так как он

Фиг. 2.

1) Вероятность столь же большого отклонения при 200 партиях в орлянку, когда можно ожидать 10Э выпадений решетки, равна одной сотой вместо одной десятой.

-может строить рассуждения на любом определении; но это не есть произвольная условность; à priori она подсказывается практическим изучением различных вопросов, à posteriori оправдывается соответствием выводов с наблюдениями. Когда математик говорит об условности определения, то это значит просто, что не будучи в состоянии его строго доказать, он предпочитает считать его условным и таким образом делает свои абстрактные рассуждения абсолютно неуязвимыми. Таким образом, трудность, заключающаяся в доказательстве законности определения, возникает при рассмотрении каждого конкретного случая. Мы примем следующее определение:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вероятность того, чтобы точка M оказалась на определенном отрезке PQ прямой AB пропорциональна длине этого отрезка.

Следствие. — Если мы предположим, что точка M должна находиться на AB, то вероятность нахождения Ж на AB равна 1; следовательно, вероятность нахождения Ж на PQ равна отношению jj^-

Мы рассмотрим ниже возражения и критику как этого определения, так и аналогичных определений геометрических вероятностей на плоскости и в пространстве; мы увидим, что эти определения справедливы в том смысле, что они ведут к заключениям, согласным с опытом, если только условия опыта не подобраны нарочно так, чтобы определение было неприменимо. Но мы имеем право изучать математические следствия этого определения непрерывной вероятности, не дожидаясь результатов критического разбора; мы придем к выводам, ценность которых будет равняться ценности определения, из которого мы исходим.

Большая часть проблем непрерывных вероятностей требует применения интегрального исчисления, поэтому я удовлетворюсь указанием результатов, опуская доказательства; вот, впрочем, несколько примеров, которые можно рассмотреть вполне элементарным путем.

32. Две точки Жи Jf по условию находятся на отрезке AB длины Ц какова вероятность, что расстояние ММ1 меньше Ы, если h меньше единицы.

Обозначим расстояние AM через х; вероятность, чтобы это расстояние заключалось между х и dx, равна -у •

Фиг. 3.

Отложим (фиг. 3) по ту и другую сторону от M два отрезка MC = MD = kl; чтобы ММ! было меньше Ы, необходимо и достаточно, чтобы Ж было заключено между С и Д; но М! должно также заключаться между А и В; следовательно, надо различать несколько случаев в зависимости от расположения точек С, А, D, В; так как отрезок CD равен 2Ы, он будет меньше или больше AB в зависимости от того, будет ли Je меньше или больше 1/2; мы разберем последовательно оба случая, каждому из которых соответствуют на чертеже еще по три различных случая:

Фиг. 4.

Фиг. 5.

Фиг. 6.

Фиг. 7.

Начертим отрезок АВ — 1 (фиг. 7 и 8) и возведем в каждой точке M отрезка А В ординату, равную длине отрезка, на котором может находиться Ж', если M есть основание ординаты; тогда результат деления площади (на чертеже заштрихованной), полученной этим путем, на I2 представляет собой искомую вероятность.

На фиг. 7, построенной для &<-~, мы имеем:

На фиг. 8, построенной для

мы имеем:

На обеих фигурах заштрихованная площадь равна прямоугольнику АА'В'В -f- треугольник А!В I — треугольник LNI> т.-е. заштрих. площадь =

Но на обеих фигурах мы имеем:

так как LN равно z~l(i — 2 Jo); следовательно, вероятность, полученная делением площади на Z2, равна

Укажем другой метод, приводящий к тому же результату; положим

АМ=х, АМ' = у.

Вероятность, что AM содержится между х и х-\- dx, и Ж' — между уиу-\-ау равна *

Если мы построим точку Р с прямоугольными координатами х и у (фиг. 9), то она будет лежать внутри квадрата ОАВС, сторона которого равна а вероятность, чтобы точка лежала на данной площади, пропорциональна этой площади. Но, по условию,

Фиг. 8.

Фиг. 9.

и, следовательно, Р должно заключаться между прямыми DE и FG, параллельными ОБ и имеющими в качестве уравнений соответственно

X — у = -4- Ы.

Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади ODEBGFO к площади квадрата; но оба прямоугольных треугольника ABE и CFG вместе образуют квадрат со стороной (1—к)1 (так как мы имеем OD = OF=kl); искомая вероятность равна

Как и следовало ожидать, вероятность непрерывно возрастает при изменении Je от О до 1; для к=0 она равна О и для Jo=l она равна 1; для Ъ = г\2 она равна 3/4.

33. Одной из самых знаменитых проблем непрерывных вероятностей является проблема иглы, которую Бюффон изучил теоретически и экспериментально и правильное решение которой он первый дал.

На горизонтальную плоскость, с начерченными равноотстоящими параллельными линиями, бросают наудачу цилиндрическую иглу; какова вероятность, что игла пересечет одну из параллелей?

Обозначим через 2а расстояние между параллелями и через 21 длину иглы; обычно предполагают, что I меньше а, так что возможна только одна точка пересечения. Мы ограничимся этим случаем.

Остроумное рассуждение, которым мы обязаны Барбье1) позволяет нам без труда вычислить математическое ожидание игрока, имеющего получить по 1 франку за каждую точку пересечения иглы с параллелями; так как при 1<а может быть только одна точка пересечения, математическое ожидание совпадает с вероятностью.

Рассмотрим ломаную линию (замкнутую или незамкнутую сделанную из какого-нибудь вещества, и бросим ее наудачу на параллели; ясно, что математическое ожидание игрока, имеющего получать по франку за каждую точку пересечения, равно сумме математических ожиданий для различных сторон ломаной; математические ожидания для сторон, в свою очередь, равны сумме аналогичных ожиданий для равных отрез-

1) Journal de Liouville, 1860 (2-е Série, t. 5).

ков, на которые можно разделить стороны (предполагая их соизмеримыми).

Отсюда видно, что искомое математическое ожидание пропорционально длине многоугольника. Но если этот последний обращается в круг с диаметром 2а. оно, очевидно, равно 2, так как всегда имеется 2 и только 2 точки пересечения; длина такого круга равна 2па; следовательно, математическое ожидание на единицу длины равно

При игле, равной 21, мы вновь находим результат —, данный Бюффоном; в случае а — 21, т.-е. когда расстояние между параллелями вдвое больше длины иглы, вероятность обратно пропорциональна отношению окружности к диаметру.

Проблема иглы является типичной проблемой непрерывных вероятностей, для которой легко произвести «экспериментальную проверку»; бросая швейную иголку средней величины на лист рисовальной бумаги, разграфленной равно отстоящими параллельными линиями (для определенности можно взять расстояние между чертами вдвое больше длины иглы), обычно после нескольких сотен испытаний находят довольно близкое значение тт (беря частное от деления всего числа испытаний на число случаев пересечения иглы с одной из параллелей). Понятно, надо стараться избегать бросать иглу в направлении почти перпендикулярном или параллельном линиям, начертанным на бумаге; наилучший способ заключается в бросании иглы вверх так, чтобы она падала приблизительно вертикально на один из своих концов; при таком способе направление падающей иглы наименее зависит от приемов бросания.

34. Жозеф Бертран в своем знаменитом труде «Calcul des Probabilités», подверг критике теорию непрерывных вероятностей. Его критика относится к самому определению элементарной вероятности, раз имеется бесконечное множество возможных случаев. Пусть известно, что некоторое число х заключается между 0 и 10, какова вероятность, что оно заключается между 0 и 5? Здравый смысл отвечает, что эта вероятность есть 5/]0, или */2, но этот здравый смысл обманчив,—замечает Бертран,— так как если мы рассмотрим квадрат х, то станет ясно, что раз X заключается между 0 и 10, то квадрат его заключается между 0 и 100, а если х заключается между 0 и 5, то

квадрат его заключается между 0 и 25; итак, этот же здравый смысл даст нам вероятность этого последнего случая, равную 25/100, или 1/4. Можно было бы, конечно, найти еще другое значение вероятности, рассматривая куб х, или логарифм х, или другую функцию от X. Заключение Бертрана, повидимому, сводится к тому, что проблемы непрерывных вероятностей суть просто математические игры, несоответствующие никакой действительности; определение элементарной вероятности произвольно, из этого произвольного определения выводят логические заключения; но произвольность определения всегда отразится на этих заключениях.

Эта скептическая позиция не согласуется с фактами. Это легко уяснить себе, заимствуя пример у самого Бертрана.

ЗАДАЧА. Берем наудачу хорду в круге; какова вероятность, что ее длина превосходит длину стороны вписанного равностороннего треугольника?

Бертран приводит эту задачу, как пример неполной формулировки, и дает три решения, ведущих к различным результатам.

Первое решение. Можно по соображениям симметрии наперед задать себе направление хорды; точка пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным к этому направлению, окажется тогда на отрезке, равном половине длины этого диаметра (ибо расстояние от центра стороны вписанного равностороннего треугольника равно г/2 радиуса); таким образом, вероятность равна 1/2.

Второе решение. По соображениям симметрии можно задать себе наперед один из концов хорды на окружности; касательная в этой точке и две стороны вписанного равностороннего треугольника, имеющие эту точку вершиной, образуют три угла по 60°; направление хорды должно проходить внутри одного из этих трех углов за исключением двух других; таким образом, вероятность равна 1/3.

Третье решение. Чтобы определить положение хорды, достаточно дать ее середину; чтобы хорда удовлетворяла условию, нужно, чтобы середина ее находилась внутри круга, концентрического данному, но половинного радиуса; площадь этого круга равна одной четверти площади данного круга; таким образом, вероятность равна */4.

Следует ли считать эти три решения одинаково хорошими и, следовательно, одинаково неверными? Нисколько; дело заключается просто в точном указании способа, которым будет производиться экспериментальная проверка, т.-е. каким способом наудачу проводится хорда в круге; если принять, что эта хорда должна проходить через определенную точку окружности, или если фиксировать наудачу ее середину, то верным будет второе или третье решение: но легко видеть, что большая часть естественных приемов, которые можно себе представить, поведут к первому решению.

Если, например, бросить круглый диск на плоскость, где начерчены прямые, то вероятность, чтобы одна из перехваченных хорд была больше стороны равностороннего треугольника, равна 1/2; то же решение будет, если рассматривать хорды, проводимые на круглом диске луны траэкторией затмеваемой звезды, или хорды, описанные в круглом поле астрономической трубы звездами, на которые не было сделано наводки и которые, следовательно, занимают любое положение в поле трубы.

Можно легко1) изучить проблему, являющуюся обобщением предыдущей (вероятность, чтобы длина хорды в круге превышала какую-нибудь данную длину) и из ее решения вывести решение проблемы иглы. Таким образом, для проблемы иглы получается три различных решения в зависимости от того, выбрано ли первое, второе или третье решение, предложенное Бертраном. Так как экспериментальное решение проблемы иглы не оспаривается, то мы принуждены в этом практическом случае констатировать, что первое из решений Бертрана единственное правильное; таким образом, от нас не зависит путем произвольного изменения определения изменить и самое решение задачи.

35. Вот другой пример проблемы непрерывных вероятностей, который также покажет нам, что отношение Бертрана страдает излишним скептицизмом. Эта проблема является примером проблем вероятностей, относящихся к положению точек на шаре.

Задачи этого рода имеют известное значение, так как они могут быть связаны, как мы увидим в следующей главе, с различными вопросами, относящимися к положению звезд на небесной сфере.

1) См. мою книгу „Elements de la théorie des probabilités“, стр. 111.

ЗАДАЧА. На поверхности шара взяты наудачу две точки Ми Мг; какова вероятность, что меньшая из дуг большого круга ММГ будет меньше а?

Вероятность будет одинакова, каково бы ни было положение Ж; но если положение M фиксировано, то М* должно помещаться на сферической чашечке AB, соответствующей центральному полууглу МОА = а (фиг. 10). Мы имеем, следовательно, обозначая через В радиус шара:

Фиг. 10.

Отношение поверхности чашечки к поверхности шара равно:

Такова искомая вероятность; если а очень мало, можно заменить синус дугой, приняв как приближенное значение

Бертран указывает одновременно с предыдущим способом другой путь рассуждения, приводящий к совершенно иному результату1). Когда даны две точки M и Ж', дуга большого круга, соединяющая их, определена2); так как все дуги большого круга на шаре аналогичны, то мы не изменим вероятности, фиксируя эту дугу большого круга; но вероятность, что две точки 1 и 1' одного круга таковы, что дуга ММ меньше а, равна, как мы видели, —; этот результат очень разнится от предыдущего, особенно если а очень мало; если величина а равна 1°, то мы имеем а=—- и, следовательно,

Отношение второй величины к первой равно т.-е. более 70. Следует ли отсюда заключить вместе с Бертраном,

1) Calcul des probabilités. Гл. 1.

2) Можно исключить случай, вероятность которого, очевидно, равняется нулю: точки M и М' диаметрально противоположны.

что предложенная задача неразрешима и что первое решение, данное нами, неверно? Напротив, это решение — единственно правильное, если принять постулат, относящийся к элементарной вероятности, т.-е. если считать все равные доли поверхности шара эквивалентными, с точки зрения вероятности нахождения на них точки Ж или точки Ж7. Но Бертран в своем втором рассуждении как - будто и допускает этого рода однородность, если можно так выразиться, так что представляется возможность считать все точки шара эквивалентными между собой. Все же именно это второе рассуждение содержит причину неточности, которую небесполезно выяснить. Рассмотрим его несколько ближе.

Оно начинается с утверждения, что вероятность не меняется, если дается заранее дуга большого круга, на которой расположены (точки) Ж и Ж', и положение Ж“ на этом большом круге; это очевидно по соображениям симметрии. Ошибка начинается, когда — после закрепления точки Ж и большого круга — вероятность нахождения Ж7 на данной дуге этого большого круга считается пропорциональной ее длине. Если дуга большого круга не имеет толщины, то вероятность, чтобы Ж и Ж7 находились на этом круге, надо, строго говоря, приравнять нулю; чтобы не иметь этого множителя 0, делающего все вычисления невозможными, мы должны рассматривать тонкий пучек дуг большого круга, проходящих через одну и ту же точку Ж, и тогда ясно, что для Ж', расположенного на 90° от Ж“, вероятность больше, чем для Ж',расположенного по соседству (фиг. 11).

Предположим, например, что наш шар — земной шар, Ж—северный полюс, а Мг — точка падения болида, который движется в пространстве, следуя неизвестному закону, со скоростью гораздо большей скорости земли. Спрашивается, какова вероятность, чтобы точка падения М' имела северную широту, большую 89°. Тогда, по Бертрану, если можно предположить известной долготу точки падения Мг, — предположить, например, что М' находится на Парижском меридиане, — то все точки этого меридиана одинаково вероятны. Мы увидим, что, даже принимая эту точку зрения, нам придется установить, при более точной экспериментальной проверке, что не все точки мери-

Фиг. 11.

диана одинаково вероятны: как, на самом деле, можно было бы доказать, что точка Ж' находится на Парижском меридиане? Определяя ее долготу при помощи астрономических наблюдений и хронометра? Но это определение производится с известной угловой точностью; допустим, что эта точность будет, например, 0,1; это означает, что рассматривается не идеальная линия без толщины, которая представляла бы собою теоретический меридиан, а пространство, заключающееся между 0,1° восточной долготы и 0,1° западной долготы; а это пространство — гораздо больше у экватора, чем близ полюса; следовательно, вероятность, чтобы широта точки Жг заключалась между 0° и 1° гораздо больше, чем вероятность, чтобы эта широта заключалась между 89° и 90°.

Можно подумать, что для опровержения предыдущего рассуждения, достаточно было бы заменить астрономические наблюдения для определения долготы геодезическими измерениями. Итак, предположим, что при помощи очень точных измерений удалось начертить меридиан на земной поверхности; по крайней мере, установлено известное количество вех, достаточно близко друг от друга отстоящих, чтоб из каждой точки меридиана были видны, по меньшей мере, две из них; на каждой из этих вех вертикальная, чрезвычайно тонкая черта указывает ее пересечение с плоскостью меридиана. Предположим тогда, что центр тяжести Ж1 болида находится на меридиане таким способом определенном,—не будет ли вероятность одинакова на экваторе и на полюсе? Да, несомненно, если вертикальные линии, начерченные на вехах, везде имеют одинаковую толщину. Но эта равномерная толщина линий противоречит понятию меридиана: какова бы ни была толщина черты на вехе, находящейся на экваторе (скажем, например, одна десятая миллиметра), оба края этой черты определяют с полюсом два меридиана, угол между которыми, без сомнения, очень мал, ибо их расхождение на экваторе составляет только одну десятую миллиметра, но это расхождение еще уменьшается при приближении к полюсу. Если бы поместить на экваторе по соседству 2 вертикальных линии, имеющие каждая по одной десятой миллиметра ширины, при чем правый край одной совпадет с левым краем другой, то было бы невозможно продолжать до полюса определенные таким образом меридианы, сохраняя их ширину в одну десятую миллиметра; если бы удалось осуществить это бесконечно трудное геодези-

ческое построение, то линии в одну десятую миллиметра, которые были бы начерчены на любой широте, налагались бы друг на друга тем больше, чем больше широта приближилась бы к 90°, так что в области, общей этим линиям, не было бы никакого основания сказать, что находишься на том, а не на другом меридиане, определенном у экватора.

Это несколько длинное обсуждение было небесполезно, чтобы оценить по достоинству бутаду Бертрана, которой он сам придавал не больше значения, чем она стоит1). Ее надо рассматривать как пример, предостерегающий от неточных рассуждений.

36. Анри Пуанкаре возобновил обсуждение парадоксов Жозефа Бертрана, в духе аналитического обобщения и в особенной критической форме, которые составляют основу его философии.

Прежде всего Пуанкаре замечает, что можно вместо непрерывной переменной х, взять любую непрерывную функцию f (х) этой переменной и заменить задачу относительно х соответствующей задачей относительно f [х)\ то же замечание относится к случаю с несколькими переменными вместо одной; отсюда немедленно можно сделать вывод, что определение элементарной вероятности совершенно произвольно, так как можно изменять это определение по закону, зависящему от непрерывной, абсолютно произвольной функции2).

1) См. Darboax, Eloge historique de Joseph Bertrand. По поводу аналогичного парадокса, о котором только что шла речь, Дарбу говорит, что Бертрану было известно решение, но он предпочел предоставить читателю возможность угадать его.

2) Если положение точки зависит от двух переменных, вводим произвольную функцию <р {х, у), которая должна отвечать двойному условию: быть положительной и удовлетворять соотношению

тогда вероятность, что точка х, у находится на площади (6), выразится двойным интегралом

Вообще, если положить:

Придя к этому, всякий другой, кроме Пуанкаре, казалось бы, остановился, так как результат совершенно отрицательный.

Пуанкаре, напротив, именно здесь вводит новую и очень интересную мысль.

37. Каков бы ни был в действительности аналитический интерес, представляемый вычислениями произвольных функций, он был бы не достаточен, чтоб оправдать их введение, если бы часто не имело места одно замечательное обстоятельство, на которое первым обратил внимание Пуанкаре: в известных случаях окончательный результат вычисления в большой мере не зависит от выбора произвольной функции; для этого достаточно предположить, что функция удовлетворяет некоторым, довольно широким, условиям, относящимся к ее непрерывности или к знаку ее изменения. Мы убедимся в наличности этого важного обстоятельства при изучении простой задачи.

ЗАДАЧА. Круглый циферблат разделен на 2п равных частей, выкрашенных поочередно в белый и черный цвет; по циферблату движется стрелка,

то вероятность выразится формулой:

где через S обозначена площадь (о которой предполагается, что она сама себя не перекрывает), которая соответствует в поле переменных а, ß площади S в поле переменных х, у.

Можно бесчисленными способами (при условиях непрерывности <f, которых мы не формулируем) определить изменение переменных так, чтобы иметь

Тогда вероятность становится:

т.-е. пропорциональной площади 2. Эти переменные а, ß, определенные таким способом, будут названы нормальными переменными функции <Р У), заданной à priori. Таким образом, для каждой произвольной функции имеются соответственно подобранные переменные, помощью которых эта произвольная функция приравнивается к единице и которые, следовательно, могут оправдывать своим употреблением, казалось бы, произвольный выбор. Но не надо упускать из вида, что произвол в выборе переменных имеет не более действительное основание, чем произвол в выборе функций <Р (ж> У)', определенной задаче соответствуют вполне определенные переменные, которые находятся в зависимости только от постановки задачи.

пущенная с силой, достаточной для того, чтоб сделать несколько оборотов, прежде чем остановится; какова вероятность, чтобы стрелка остановилась против белого деления циферблата.

Заметим, что в формулировке ничего не говорится о первоначальном положении стрелки; на самом деле, результат почти не зависит от первоначального положения, благодаря большой силе, с которой пущена стрелка; если бы эта сила была мала и сообщала бы стрелке движение только на два или три деления, то дело обстояло бы иначе.

Обозначим через Ô полный угол, на который поворачивается стрелка; этот угол увеличивается на 2 тт с каждым полным оборотом стрелки; по предположению, он всегда больше первых кратных 2 тт. Допустим, что пускает стрелку всегда одно и то же лицо: мы можем обозначить через с? (6) вероятность того, что угол, описываемый стрелкой, заключается между О и 6 4-dö; функция ср(0) равна нулю, когда 0 меньше 2 тт, ибо стрелка всегда делает больше одного оборота; она будет равна нулю также и в том случае, когда превысит 100 тт, если предположить, что лицо, пускающее стрелку, напрягая всю силу, не может заставить стрелку сделать больше пятидесяти оборотов; если 6 будет заключаться между 2 тт и 100 тг, мы будем предполагать ср(6) обладающей только свойством непрерывности; это естественно, если предположить, что аппарат построен хорошо с точки зрения равенства пассивных сопротивлений, замедляющих движение стрелки; если бы, вследствие какого-либо недостатка аппарата, большее сопротивление приходилось поблизости от некоторого значения 6, то остановки были бы более часты в этой части, и если бы она соответствовала белому делению на циферблате, то вероятность остановки против этого деления была бы больше.

Итак, наша гипотеза относительно 6 сводится к следующему; функция

может быть представлена непрерывной кривой, в роде изображенной нами (фиг. 12); с другой стороны, мы имеем

Мы изобразили эту кривую только с одним максимумом; рассуждение было бы аналогично, если бы их было некоторое конечное число. В обоих случаях легко доказать, основываясь только на непрерывности, что отношение суммы заштрихованных площадей на фиг. 12 к сумме незаштрихованных площадей очень мало разнится от единицы, если ординаты достаточно многочисленны. Итак, искомая вероятность равна ~-

Этот результат весьма интересен, но мы не должны забывать насколько условно введение произвольных функций.

Если только эти проблемы имеют конкретный смысл, т.-е. поддаются экспериментальной обработке, то определение элементарной вероятности является необходимым следствием принятой экспериментальной техники, и, следовательно, нет места для произвольных определений. Аналитический прием, употребленный Пуанкаре, приносит наибольшую пользу в некоторых вопросах вероятностей причин.

Позиция Пуанкаре, как читатель мог убедиться, только по внешности кажется скептической; если определение непрерывной вероятности не вполне удовлетворяло его, то это происходило потому, что Пуанкаре всегда предпочитал абстрактную уверенность уверенности конкретной, и когда введение произвольной непрерывной функции позволило ему достигнуть этой высшей степени уверенности, он был удовлетворен этим успехом и не беспокоился о том, что его чрезмерные требования могут породить скептицизм в умах менее могучих, чем его, тогда как он высказал свои сомнения лишь для того, чтобы доставить себе интеллектуальную радость их разрешения.

Фиг. 12.

ГЛАВА IV.

Вероятность причин.

38. Определения и простые примеры. — 39. Формула Байеса. — 40. Задача короля и мошенника. — 41. Вероятность причин в психологии, филологии археологии и пр. — 42. Положения звезд и критика Бертрана. — 43. Несколько слов об ошибках наблюдения.

38. Название проблем верятностей причин дано категории проблем, в которых, зная одно явление, требуется определить вероятность предшествовавших ему неизвестных, но связанных с ним событий.

Впрочем, эти предыдущие события не предполагаются совершенно неизвестными; предполагается, что известна их так называемая вероятность a priori, т. е. вероятность, которая у них была бы, если бы не произошло известное событие требуется определить их вероятность a posteriori, т. е. после происшествия данного события.

Приведем несколько простых примеров.

ЗАДАЧА I. Две урны А и В содержат: урна i — 3 белых шара и 1 черный; урна В — 1 белый и 3 черных. Извлекается шар из одной из этих урн, взятых наудачу; шар оказывается белым; какова вероятность, что он извлечен из урны А?

Данное нами указание, что урна выбрана наудачу, означает, что вероятности a priori одинаковы для урны А и урны В; следовательно, для каждой из них они равны ^.

Так как каждая из урн содержит одинаковое число шаров, то вероятность извлечь какой-нибудь из них для каждой урны одинакова; в виду же того, что в А — 3 белых шара, а в В—1, вероятность, что белый шар был извлечен из урны А, равна т; это и есть искомая вероятность.

Можно рассуждать и следующим образом: представим себе 40 систем по две урны в каждой — А19 А2,......А40, 2?!, В2......2?40, сгруппированных попарно, при чем все урны Аг имеют тот же состав, что и урна А, и все урны В1 — одинаковый состав с урной В. Положим, что извлекается наудачу шар из одной из урн каждой пары; можно предвидеть, что выбранная урна будет А в 20-ти группах и В в 20-ти других; но произведя 20 извлечений из урн состава А, вероятнее всего получить 15 белых и 5 черных шаров; точно так же мы получим 5 белых и 15 черных из урн В; это позволяет составить следующую таблицу:

20 извлеч. А дают 15 белых 5 черных

Мы видим, что 20 извлечений, давших белые шары, состоят из 15 извлечений из урн i и 5 извлечений из урн В; вероятность, чтобы одно из них происходило из урны А, равняется

ЗАДАЧА II. Имеются три ларца с двумя ящиками каждый; в каждом ящике первого ларца находится по золотой монете, в одном из ящиков второго ларца находится золотая монета, в другом серебряная, в каждом ящике третьго ларца находится по серебряной монете. Когда открывают один из ящиков, в нем оказывается золотая монета; какова вероятность, что и во втором ящике этого же ларца также окажется золотая монета?

Вопрос сводится к следующему: какова вероятность, что открытый ящик принадлежит первому ларцу? Золотые монеты находились в трех ящиках; вероятность быть открытым для каждого из них равняется так как все три предполагаются по внешности одинаковыми; искомая же вероятность равняется так как в первом ларце имеются два ящика, содержащие по золотой монете.

ЗАДАЧА III. Имеется 10 урн, из которых одна А содержит 5 белых шаров и 1 черный, 9 других S оодержат каждая по 2 белых и 2 черных шара.

Извлекается шар из какой-нибудь урны наудачу и оказывается белым. Какова вероятность, что выбранная урна есть А?

Здесь нельзя рассуждать так просто, как в предшествующих задачах потому, что урны В и А содержат различное число шаров, но при помощи общего наименьшего кратного мы можем упростить задачу. В самом деле, ничто не изменилось бы от удвоения числа шаров урны А, при сохранении их пропорции, и утроения числа шаров урны В; тогда урна А будет содержать 10 белых шаров и 2 черных, а каждая из урн В по 6 белых и 6 черных; всего будет 10 -|-6 X 9 = 64 белых шара, из коих 10 находятся в урне А; вероятность, чтобы извлеченный белый шар был из урны А, следовательно, будет 10 _ 5 54 — 32'

39. Общее решение проблем о вероятностях причин, подобных предыдущим, дано в формуле Байеса, которую мы сейчас выведем.

Рассмотрим п урн; из них n, которые мы будем безразлично обозначать через Аг, имеют одинаковый состав и заключают пропорцию^ белых шаров; точно также п2 урн А2 заключают пропорцию р2 белых шаров , . . . пк урн Ак заключают пропорцию рк белых шаров.

Из пг-\-п2-\-пк = п урн, предполагаемых внешне тождественными, выбирается одна, и из нее извлекается шар, оказывающийся белым. Какова вероятность Р, что выбранная урна будет одной из урн Аг?

Предположим, что в каждой урне заключается одинаковое число N шаров; в каждой урне А1 будет заключаться pxN белых шаров1), урны А2 будут содержать каждая p2N и т. д., так что общее число белых шаров будет:

^iAff+^ftiV+.....+ ЩРк^

из которых пгргК принадлежат урнам Аг. Вероятность Pv что извлеченный нами белый шар принадлежит одной из урн А1У равна

Эту формулу часто изображают иначе, принимая:

1) Число N выбрано так, чтобы рх N, р2 N были числами целыми.

Тогда формула приобретает вид:

Значение чисел юк очень просто.

Если выбрать урну наудачу, то вероятность, что она принадлежит к урнам А19 есть (ô15 ибо ®г есть отношение числа пг урн Аг к числу п всех урн. Поэтому мы назовем ыг вероятностью a priori (т. е. до какого бы то ни было извлечения) принадлежности выбранной нами урны к категории Аг; тогда вычисленная вероятность Р2 будет названа вероятностью a posteriori, а приведенная выше формула и есть формула Байеса. Ее можно доказать следующим рассуждением, пользуясь теоремами сложения и умножения вероятностей.

Определим вероятность извлечения белого шара из урны А2\ мы определим эту вероятность двояким способом, перемещая порядок двух условий, которым шар должен удовлетворять: 1) он должен быть белым; 2) он должен быть извлечен из одной из урн Аг

1. Вероятность извлечения белого шара определяется при помощи теоремы сложения вероятностей, ибо белый шар может быть извлечен или из урн А19 или из урн А2 и т. д.; следовательно, она равна:

А^+А^Н- • • • 4 Р«<°«-

С другой стороны, вероятность, что извлеченный шар, оказавшийся белым, происходит из одной из урн А19 обозначено через Р2; итак, искомая вероятность равна:

2. Вероятность, что шар извлечен из одной из урн Аг равна (о3; если известно, что шар извлечен из Av то вероятность, что он белый, равна рг; отсюда искомая вероятность равна.

(2) м.

Приравнивая друг другу оба найденные значения (1) и (2) мы приходим к формуле Байеса.

Последнее доказательство применяется независимо от характера опытов с вероятностями; но применение его иногда затрудняется неопределенностью величины вероятностей a priori.

Приведем несколько примеров.

ЗАДАЧА IV. В урне А заключается неизвестное количество белых или черных шаров; делается несколько последовательных извлечений, при чем вынутый шар кладется обратно после каждого извлечения; в результате извлечено г белых и s черных шаров. Каков наиболее вероятный состав урны?

Есть искушение ответить, что наиболее вероятный состав ее таков, что отношение белых шаров к черным равно отношению г к 5; но этот вывод будет правильным лишь в том случае, если делать относительно вероятностей a priori предположения, носящие не только слишком частный характер, но и меняющиеся в зависимости от значений г и s; мы увидим это на примере.

Предположим, что мы имеем г = 2, 8 = 0, т.-е. два последовательных извлечения дали белые шары, кроме того известно, что в урне заключается 6 шаров.

Относительно ее состава можно построить 7 гипотез, которые мы будем обозначать через А0, А19 . . . А6, причем гипотезой Ак будет та, при которой в урне содержится 6 — к белых шаров и к черных. Для каждой из этих гипотез вероятность извлечь 2 белых шара подряд дана в нижеследующей таблице.

Если мы теперь обозначим через (о0, о)3, со2, ... (о6 вероятности a priori этих семи гипотез, то их вероятности a posteriori Р0, Plf Р2, Р6 будут даны формулами:

Мы видим, что можно выбрать ©0, о)1ч____<о5 так, чтобы Р0, Р1. . . . Р5 имели любые положительные значения, сумма которых равнялась бы единице (Р6 всегда равно нулю, так как извлечены белые шары, конечно, не из урны, содержащей только черные шары).

Итак, нужно сделать предположения относительно со0, со2, . . . о)5, т.-е. дать дополнительные условия. Одна из правдоподобных гипотез будет заключаться в предположении, что эти вероятности a priori равны между собой, т.-е. в предположении что 7 возможных составов шаров представлены 7-ю урнами, из которых производится выбор наудачу; эта гипотеза дает:

Затем, мы могли бы предположить, что урна была наполнена путем извлечений, произведенных из урны, содержащей белые и черные шары в одинаковых пропорциях; тогда мы имели бы, согласно арифметическому треугольнику:

и, следовательно, получаем:

Мы видим, что этот результат значительно разнится от предыдущего; наиболее вероятным предположением здесь является то, по которому в урне заключаются 4 белых и 2 черных шара, так как вероятность a priori этого предположения гораздо

больше вероятности a priori того предположения, по которому в урне содержатся исключительно белые шары.

40. Встречаются случаи, когда определение вероятности a priori является просто вопросом глазомера; результат является функцией значения присвоенного этой вероятности. Вот классический пример этого.

Петр играет в экартэ с неизвестным, который яри первой сдаче карт открывает короля: какова вероятность, что партнер Петра профессиональный шулер.

В решении этой задачи, данном Пуанкаре, он неявно предполагает, что профессиональный шулер открывает короля каждый раз, как к этому представляется случай. Хотя и я, как Пуанкаре, не вращался в обществе шулеров, но эта гипотеза мне кажется довольно мало вероятной; честный игрок открывает короля в среднем 1 раз из восьми; казалось бы странным, если бы человек, которому подобная удача выпадала бы при каждой сдаче, не привлек скоро общего внимания; впрочем, шулер предпочтет варьировать свои приемы и во всяком случае не будет стараться насиловать судьбу, если она ему сама по себе благоприятствует. Итак, мне кажется, мы будем недалеки от истины, если определим вероятность открыть короля для шулера в тогда как вероятность открыть короля для честного игрока определяется в ^

Обозначим через <о вероятность a priori, что партнер Петра шулер; вероятность a priori, что он честный человек, равна 1—о, а вероятность Р a posteriori (т.-е. после того, как он открыл короля), что он шулер, равна

Если (о = -, т.-е.,если предположить, что вероятности a priori, что противник Петра шулер и что он не шулер, равны, то

т.-е. единственное наблюденное событие значительно повышает вероятность. Но заметим, что со стороны Петра было бы крайне неосторожно начинать игру с человеком, о котором он имел бы такое нелестное мнение. Тот факт, что Петр играет, показывает, что он считает число © достаточно малым. Если © мало, то Р мало разнится от 2©; впрочем, Р, во всяком случае, менее 2©; это значит, что вероятность, самое большее, удвоена тем, что партнер открыл короля. Если партнер Петра таков, что © равно 1 на 100.000, то Р равно 1 на 50.000, т.-е. практически так же незначительно, как ©; если Петр уверен в своем партнере и считает ©==0, то и Р тоже равно 0, т.-е. открытый король не должен поколебать его доверия: результаты вычисления согласны с выводами по здравому смыслу.

41. Задачи на вероятности причин крайне разнообразны и чаще всего соединяются с другими задачами на вероятности; можно было бы почти утверждать, что во всякой проблеме вероятностей заключается вопрос о вероятности причин. Это имеет место особенно при применении теории вероятностей к статистике и вопросам страхования.

Во всех случаях, когда вероятность единичного события определена опытом, ее определение является в действительности проблемой вероятности причин. Замечено, например, что число рождений мужского пола приблизительно равно 51% общего числа рождений; этот статистический результат подтвержден наблюдениями, сделанными в течение почти века в цивилизованных странах, т.-е. статистикой, обнимающей приблизительно миллиард фактов; следовательно, можно поставить себе следующую задачу: осуществив миллиард извлечений из урны неизвестного состава, получили 510 миллионов белых шаров и 490 миллионов черных шаров; каков наиболее вероятный состав урны? Расчет, который я опускаю, с легкостью показывает, что крайне маловероятно, чтобы в урне заключалось одинаковое количество белых и черных шаров, и этот результат в значительной мере не зависит от гипотезы a priori о различных возможных составах урны.

На этом примере видно, какую особую форму часто принимают проблемы вероятностей причин. Эта форма такова: обязаны ли мы таким-то результатом случаю, или есть какая-то причина, обусловливающая его? Часто указывалось насколько такая формулировка неопределенна; Бертран настойчиво указывал на это; далее мы при-

ведем наиболее интересные из его замечаний. Но все, что можно возразить с точки зрения логики, не могло бы помешать предыдущему вопросу возникать во многих случаях непроизвольно, так что теория вероятностей не может уклониться от его рассмотрения и от ответа на него; определенность этого ответа естественно будет ограничена недостаточной определенностью вопроса; но отказываться отвечать под тем предлогом, что ответ не может быть абсолютно точным, значит становиться на почву чисто абстрактную и не понимать того характера, который неизбежно приобретают все применения математики. Вычисление, действительно, дает точный ответ на точный вопрос; но, практически, точных вопросов нет: в экспериментальных данных неизбежно есть известная степень неточности, эта неточность отражается и на результатах вычисления, и так называемая абсолютная теоретическая точность вычисления является чистой иллюзией. Как пример вопросов, в которых причина неизвестна, или задача именно и заключается в том, чтобы узнать, есть ли причина, можно привести большое количество исследований по экспериментальной психологии1); например, у известного числа индивидуумов наблюдается совпадение какой-нибудь физической особенности с особенностью психологической; в какой мере возможен вывод о существовании действительного соотношения?

Отметим также многочисленные вопросы, которые можно поставить относительно языка какого-либо автора; каждый писатель имеет по отношению к длине слов и предложений особые привычки, которые можно перевести на числа; таким образом можно обнаружить в тексте посторонние вставки. В других случаях, можно поставить себе и разрешить статистическим методом вопросы метрики2).

Методы теории вероятностей прилагались также к вопросам искусства: например, такая-то школа скульптуры характеризуется постоянством некоторых соотношений между различными частями тела; числовые отклонения могут заставить предпола-

1) См. главу VIII.

2) Трудности такого рода вопросов и в то же время реальная польза теории вероятностей при их разрешении были вполне правильно отмечены Даниелем Серрюи в заметке слишком специальной, чтобы я мог ее здесь анализировать: Les procédés toniques d'Himérius et les origines du „Cursus“ byzantin (Mélanges Louis Havet: Philologie et linguistique. Paris 1909).

гать разницу школ, что подтверждается и чисто эстетической критикой1).

Во всех этих вопросах, вычисление служит, главным образом, для того, чтобы давать указания, которые необходимо проверить прямою критикой поставленной проблемы при помощи соответствующей техники.

42. Можно поставить интересные задачи вероятностей причин по поводу распределения звезд на небесной сфере. Это один из наиболее волнующих вопросов философии природы, так как он затрогивает происхождение и судьбы нашей вселенной. За несколькими, сравнительно редкими, исключениями нам неизвестны звездные расстояния; отсюда возникает первое затруднение: если две или несколько звезд расположены по близости на небесной карте, можно ли из этого заключить, что они близки в пространстве?

Конечно, невозможно дать определенный ответ на этот вопрос, но изучение вероятностей может, в некоторых случаях, дать очень сильные доводы в пользу утвердительного ответа. В самом деле, если не предполагать правильных линейных расположений, аналогичных расположениям теории кристаллических решеток, расположений, существования которых нет никаких оснований подозревать, то ясно, что если две или несколько звезд крайне удалены друг от друга в пространстве, то вероятность их возможной близости на небесной сфере вычисляется согласно принципам § 35. Если теперь мы будем изучать распределение звезд определенной величины, например, число звезд, видимых невооруженным глазом или в такую-то трубу, то возможно вычислить вероятность расположения внутри данной небольшой окружности на небесной сфере определенного числа этих звезд. Если же в действительности существует группировка, вычисленная вероятность которой очень мала, то есть основание думать, что эта группировка имеет причину, а не есть дело случая, т.-е., что она образована звездами действительно близкими в пространстве.

Бертран делает против такого рода рассуждений возражения, которые не кажутся мне убедительными:

«Плеяды, — говорит он2), — кажутся более близкими друг к другу, чем следует. Это утверждение заслуживает вни-

1) См. Jean Laran: La méthode statistique dans un problème d'archéologie. (Revue du Mois du 10 avril 1907, t. III, p. 433).

2) Bertrand. Calcul des Probabilités, p. 170.

мания; но если бы мы захотели выразить выводы цифрами, — у нас не хватило бы данных. Каким путем можно точно определить это туманное понятие близости? Искать наименьший круг, в котором заключена данная группа? Наибольшее угловое расстояние? Сумму квадратов всех расстояний? Площадь сферического многоугольника, вершинами которого являются некоторые звезды и внутри которого заключаются другие? Все эти величины в группе Плеяд меньше, чем можно было ожидать. Которая на них будет мерилом вероятности? Если три звезды образуют равносторонний треугольник, следует ли считать, что это обстоятельство, конечно, мало вероятное a priori, указывает на существование некоторой причины?»

Числами мы выражаем вероятность того, что известная группировка является случайной. Что бы ни говорил Бертран, числовой результат, полученный таким образом, будет лишь в очень слабой степени зависеть от того, как мы понимаем слово группа звезд: наименьший круг, ее содержащий, или сферический многоугольник и т. д. Практически будет избрано то определение, которое поведет к наиболее простым вычислениям. Эти вычисления приведут к результату в роде следующего: поподобная группировка, как дело случая, возможна 1 раз на 23.000. Давая этот результат, теория вероятностей дала все, что она могла дать, и должна уступить место индукции и гипотезе, которые придется проверить другими методами, если это окажется возможным.

Скажем несколько слов о мысли Бертрана по поводу равностороннего треугольника, который могли бы образовать 3 звезды; она связана с вопросом о круглом числе. Если рассматривать число, взятое наудачу между 1.000.000 и 2.000.000, то вероятность, что оно равняется 1.342.517, равна одной миллионной; вероятность, что оно равняется 1.500.000, равна тоже одной миллионной. Между тем эту последнюю возможность охотно будут считать менее вероятной, чем первую; это зависит от того, что никто и никогда не представляет себе индивидуально такое число, как 1.542.317; оно рассматривается как тип чисел такого же вида, и если при его переписке изменяется одна цифра, то это едва замечается, и число 1.324.519 не различается от 1.324.517: читателю нужно сделать усилие, чтобы убедиться, что, четыре числа, написанных в предыдущих строках, — все разные.

Когда число вроде предыдущего встречается как мера угла в десятичных долях центезимальных секунд, мы не задаемся вопросом о том, какова была вероятность, чтобы данный угол равнялся именно 13°42' 51“, 7; ибо мы никогда не поставили бы себе такого вопроса до измерения угла. Этот угол должен, конечно, иметь какое-нибудь значение, и каково бы оно ни было, с точностью до одной десятой секунды, можно было бы, измерив его, сказать, что вероятность a priori, что это значение будет именно таково, каково оно есть, равняется одной десятимиллионной, и что это факт крайне удивительный. Именно такой софизм портил систему экспертизы, построенную на измерении почерков, систему на момент прославившуюся несколько лет тому назад по соображениям, к математике никакого отношения не имевшим.

Вопрос заключается в том, нужно ли делать те же оговорки, если установлено, что один из углов треугольника, образованного тремя звездами, имеет замечательное значение и равен, например, углу равностороннего треугольника (66°66'66“,6) или половине прямого угла, 50 градусам, или 5.000.000 десятых секунды. Вот что можно сказать по этому поводу: следует очень опасаться склонности считать замечательным обстоятельство, неопределенное точно перед опытом, так как число обстоятельств, могущих, с различных точек зрения, показаться замечательными, очень значительно1).

Но величина угла, определенного кажущимися положениями трех звезд, есть сложная функция действительных положений звезд и положения нашей солнечной системы; факт, что этот угол был бы равен точно 666.666 десятых центезимальной се-

1) Вот простой пример такого факта: рассмотрим число из четырех цифр напр., 2.545, и допустим, что его мысленно разлагают на две части по две цифры 25 и 45; заметим, что оба числа оканчиваются одной и той же цифрой 5, что является обстоятельством особенным; точно так же в числе 2 524 оба числа 25 и 24 начинаются с одинаковой цифры 2; для 2.552 оба числа 25 и 52 симметричны; для 2.550 второе число 50 есть удвоенное первое—25, для 2.536—25 и 36 являются квадратами двух непосредственно следующих друг за другом целых чисел и т. д. Таким образом, можно почти в половине всех четырехзначных чисел найти что нибудь особенное; этим занятием можно развлекаться, разглядывая номера омнибусов или вагонов в тех довольно частых случаях, когда эти числа четырехзначные; можно подумать, если этого не оговорить заранее, что особенные номера встречаются чаще, чем этого желала бы теория вероятностей, и искать причину этой частоты.

кунды, должен казаться не более замечательным, чем факт, что он был бы равен точно 1.234.567 десятых секунды, что тоже является числом „замечательным“, или 1.259.921, что является числом не представляющим a priori ничего особенного.

Напротив, вопрос о расположении в пространстве—один из тех, которые естественно ставить a priori; теория вероятностей не позволяет разрешить его с достоверностью, но точно определяет следствия, которые можно вывести из наблюдений.

Это точное определение не излишне, так как оно часто удачно заменяет слишком поспешные индукции „здравого смысла“. Конечно, не нужно никаких вычислений, чтобы узнать, что Млечный Путь есть исключительное скопление звезд, и вычисление немного прибавило бы к этому впечатлению. С другой стороны, бывают случаи, когда мы приходим к результату, что вероятность такой-то группировки равна 1/3 или 2/4; при предположении особой причины здесь слишком мало оснований, чтобы результат представлял интерес; он ничего не доказывает, так же, как единичный факт открытия короля игроком в экартэ не доказывает, что он плут.

Однако, между этими двумя крайними случаями: тем случаем, когда вероятность случайной группировки настолько слаба, что индукция рисует ее нам практически равной нулю, и тем случаем, когда вероятность настолько велика, что нельзя сделать никаких выводов, есть много других случаев, например, таких, когда вероятность заключается между 0,01 и 0,00001: вычисление ее значения в пределах этих границ не бесполезно, и полученное отсюда указание может оказаться драгоценным, что бы ни думал об этом Бертран.

43. Я не буду дольше останавливаться на этих общих соображениях относительно вероятностей причин; обозревая применения теории вероятностей, мы уясним себе важность и разнообразие проблем. Отмечу, однако, один очень важный случай, к которому я больше не вернусь, так как он требует довольно длинных математических выкладок, имеющихся во многих специальных трудах; я говорю о теории ошибок наблюдения.

Несколько наблюдателей, измеряя одну и ту же длину, пришли к слегка разнящимся друг от друга результатам; выражаясь на принятом нами языке, эти результаты имеют общую причину в виде действительной длины измеряемой величины; вот эту причину и надлежит определить по ее следствиям,

т.-е. по измерениям. Скажем просто, что условились считать наиболее вероятным значением измеряемой величины среднюю арифметическую из измерений: это правило средней дает, впрочем, почву для возражений, аналогичных тем, которые мы рассматривали по поводу непрерывных вероятностей, и эти возражения опровергаются таким же образом, путем перехода на конкретную почву.

В результате двух измерений найдены числа 100 и 102 и средняя 101. Но может оказаться необходимым вычислить квадрат величины, подлежащей измерению; так обстояло бы дело, если бы измерение относилось к поверхности, имеющей форму квадрата, площадь которого желали бы знать; квадрат 100 равен 10.000, а квадрат 102—10.404; средняя 10.202 и разнится от квадрата 101, который равен 10.201. Правда, разница незначительна и всегда будет таковой, если ошибки будут незначительными, но достаточно факта ее существования, чтобы правило средней не могло претендовать на абсолютное значение, приписанное ему теми, кто выводит это правило из теории Гаусса.

Таково возражение. Оно не кажется мне неопровержимым; ошибка измерения действительно неразрывно связана с самой техникой измерения, и эта техника касается прямо количества вполне определенного рода, в данном случае—длины. Если бы дело шло об объеме куба, образованного однородным веществом известной плотности, то можно было бы определить его двумя способами: измеряя ребро или взвешивая куб; в первом случае правило средней надо было бы приложить к измеренным длинам, а во втором случае—к весам или к пропорциональным им объемам; было бы неразумно желать, до нахождения средней, заменять длины их кубами или объемы их кубическими корнями.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СЛУЧАЯ

ГЛАВА V.

Социологические и биологические науки.

44 — Применения законов случая и классификация наук Огюста Конта. 45—Статистические соотношения и коэффициенты вероятности. 46—Страхование и актуариат. 47—Софизм о куче зерен. 48—Язык и статистические истины. 49—Некоторые практические проблемы и статистические истины. 50—Розничная торговля и статистика. 51—Общее значение статистических истин. 52—Кетле и биномиальные кривые. 53—Средний человек; критика Бертрана. 54—Рост группы людей. 55—Точное определение среднего роста; критика Пуанкаре. 56—Статистические проблемы эволюции; законы Менделя. 57—Биометрика и нормальные ряды. 58—Общая проблема схемы урн.

44. Законы случая были легче всего и наиболее плодотворно применяемы в наиболее сложных науках, так что было бы сообразно с настоящим положением наук и исторической последовательностью изучать научные применения законов случая в порядке обратном тому, в котором Огюст Конт расположил науки, поставив в первую очередь социологию и биологию, затем физические науки, наконец—науки математические.

45. Наиболее важные социальные явления, это—явления демографические; уже более века тому назад в культурных странах поняли интерес, связанный с точным статистическим изучением этих явлений; в разных странах эта статистика ведется более или менее подробно; большинство крупных городов в этом отношении опередили страну, к которой они принадлежат; рождения изучены по возрасту родителей; смерти классифицированы по возрасту, полу, профессиям, причинам болезней и т. д.

Некоторые авторы различают статистические соотношения, которые могут быть вычислены посредством опубликованных таким путем статистических результатов, от коэффициентов вероятности, представляющихся, напр., при изучениях игры в орлянку или игры в кости. Это различение

может иметь практическую полезность напоминанием о том, что результаты всякой статистики содержат известную неточность и что, следовательно, соотношения, выведенные из этих результатов, только приблизительны по причине, во-первых, неточности результатов, во-вторых, того, что статистика относится только к ограниченному числу опытов и, наконец, по той причине, что самый статистический материал изменяется с течением времени. Однако, если подумать, то можно признать, что те же характерные черты имеются, до известной степени, во всех конкретно определенных коэффициентах вероятности1). Предполагая, что шесть сторон игральной кости имеют одинаковый коэффициент вероятности, равный, следовательно, одной шестой для каждой стороны, мы основываемся либо на предполагаемой точности фабрикации кости, либо на опытах, в ограниченном количестве произведенных с данной костью или с другими костями, предполагаемыми тождественными с ней; сверх того, мы полагаем, что изменение кости от употребления столь незначительно, что оно не отражается на коэффициентах вероятности.

Итак, применение методов теории вероятностей к статистическим отношениям вполне законно; не следует только забывать, что выводы никогда не могут быть более точны, чем посылки, и что они часто бывают менее точны, когда их отделяют от этих посылок сложные дедукции (или длинные вычисления). Таким образом, при изучении сложных статистических явлений следует пользоваться вычислениями очень умеренно, только для придания большей определенности соображениям здравого смысла. В этой скромной форме изучение статистических данных может повести к интересным социальным следствиям, большая часть которых выражается в форме корреляций (мы вернемся к понятию корреляции в конце этой главы). Например, существует прямая зависимость между числом смертей детей моложе года и числом рождений следующего года; оба числа изменяются в одном и том же направлении.

1) Понятно, можно, как это предлагали некоторые авторы, дать чисто абстрактное определение вероятности, как это делают по отношению к окружности в геометрии или к массе в рациональной механике; из такого определения можно будет сделать логические выводы абсолютно строгие; но когда мы захотим применить эти выводы к какой-нибудь реальной задаче, нужно будет заменить абстрактную вероятность конкретной вероятностью реального явления.

46. Серьезному изучению подвергалась, главным образом, статистика смертности, ибо на этом изучении базируется вся организация страхования жизни, распространение которого, как известно, очень значительно, почти универсально, если принять во внимание законы, устанавливающие ныне в культурных государствах государственное страхование всего рабочего класса. Если ограничиться частными страховыми предприятиями, то ремесло актуария требует изучения смертности для специальной клиентуры этих предприятий, исчисления премий, истекающих из такс смертности для простых и кратных рисков, исчисления надбавки для получения определенной прибыли, определения риска, вытекающего из колебаний смертности по сравнению с табличными данными, полученными путем прямого приложения коэффициентов вероятности, установление ценности портфеля страхового общества в данное время, ценности контракта в случае его расторжения и т. п. Актуариат в настоящее время является одной из наиболее важных отраслей прикладной математики; развитие за последнее время всех видов страхования лишь увеличивает его значение; здесь широкое поле для применения теории вероятностей. Техническое изучение особых методов, употребляемых при этом, представляет интерес только для специалистов; я предпочитаю остановиться на других социальных применениях теории вероятностей, несомненно менее точных, конечно, менее богатых дивидендами для акционеров, но, быть может, лучше освещающих значение теории вероятностей для общечеловеческих вопросов.

47. Во многих экономических вопросах возникает парадокс, напоминающий то, что в курсах логики называется „софизмом кучи зерна“. Среди софизмов, завещанных нам греками, „софизм кучи зерна“, быть может, с наибольшим правом удержан до нашего времени; в самом деле, это—не чистая игра ума, но частный пример затруднения, часто встречающегося как в практической жизни, так и в области чистой мысли.

Одно зерно не составляет кучи; два зерна — нет, три зерна — нет..., с другой стороны, если соединить миллионы зерен, то все признают, что они образуют кучу. Где же находится точная граница? Должны ли мы сказать, что, например, 2.342 зерна не составляют кучи, между тем как 2.343 зерна ее составляют. Это явно бессмысленно. Нет никакого логического выхода из этого тупика; следовательно, нельзя сказать, что такое куча зерна.

Формулировку софизма можно изменять на многие лады; будет небесполезно дать классификацию его различных видов.

Первая категория совершенно сходна с первоначальным софизмом: в какой момент своей жизни ребенок превращается во взрослого человека? Где граница, отделяющая лачугу от дома и дом от дворца? В какой момент ряд цветов, умело ослабляемых, переходит из серого в белый цвет или из зеленого в синий? Возможный выход из положения заключается в том, чтобы объявить вопросы этого рода лишенными интереса, так как дело идет только о словесном определении, каковое мы имеем право считать чисто произвольным. Мы скажем, почему такое отношение не кажется нам удовлетворительным, но надо признать, что, если бы в этом заключалось все значение софизма кучи, он, может быть, не заслуживал бы глубокого изучения.

Вторая категория вопросов покажется, без сомнения, более важной. Я говорю о тех случаях, когда устанавливаемое различие не является чисто словесным, а влечет за собою практически важные выводы. Правительственные органы обычно разрешают вопросы этого рода произвольным, но простым способом. Таким решением был недавно отмененный минимум роста, необходимый для военной службы, или трехлетний возраст, до достижения которого дети пользуются правом бесплатного проезда по французским железным дорогам. Но когда приходится лично принимать решение в деле, не предусмотренном административными правилами, нередко встречаются затруднения этого рода. Мы желаем снять спальню, при чем особенное значение придаем тому, чтобы было достаточное количество воздуха; мы твердо решили согласиться на комнату в 100 куб. метров и отказаться от комнаты в 10 куб. метр., какую же определенную границу мы установим? И какова бы ни была эта граница, кто не согласится понизить ее на долю метра, если прочие условия выгодны и приятны?

Наконец, к третьей категории мы причислим вопросы, объективно аналогичные предыдущим, но субъективно разнящиеся от них тем, что, вместо принятия персонального решения по поводу софизма, мы должны предвидеть решения большого числа людей, совокупность которых имеет для нас большое значение. В таком положении бывает коммерсант, когда устанавливает продажную цену, и транспортное общество, когда изменяет свои тарифы, и т. п.; то же затруднение встречается

во многих фискальных вопросах, усложненных монетной прерывностью: увеличивается на 1 франк с гектолитра налог на пиво или вино; стоимость литра оказывается, таким образом, увеличенной на один сантим, а цена четверти литра—на одну четверть сантима. Изменится ли розничная продажная цена, которая может меняться только скачками1) в 5 сантимов? Изучая именно эту третью категорию, мы осветим экономический парадокс, о котором идет речь и формулировка которого уже ясно вытекает из приведенных нами примеров.

Было бы легко увеличить число этих примеров, и читатель легко представит себе множество их; но и предыдущих, несомненно, достаточно, чтобы сделать очевидным разнообразие и важность вопросов, связанных с софизмом о куче зерна; я хотел бы попытаться показать, что на все эти вопросы можно дать совершенно ясный ответ, если систематически руководиться принципами теории вероятностей. На самом деле, вопрос неправильно поставлен, пока на него требуется определенно утвердительный или отрицательный ответы; правильным ответом будет коэффициент вероятности.

48. Вернемся сначала к вопросам наиболее простым, где трудность кажется чисто словесной. Она и была бы такой, если бы дело шло о создании искусственного языка. Очевидно, можно было бы решить, что на некотором волапюке слова „куча зерна“ обозначают совокупность 1.000 зерен, но не относятся к собранию 999 зерен. Такое решение было бы произвольным, но законным для тех, кто допускает законность создания волапюка2).

Но дело идет не о волапюке; дело идет об определении значения слов «куча зерна» на русском языке, а это не произвольный язык, которым мы могли бы располагать по своему усмотрению. Это язык, данный нам как существующий факт; можно, впрочем, спорить о действительной природе этого факта; одни считают, что русский язык определен «хорошими»

1) Во Франции наименьшей монетой является медная монета в 5 сантимов, и, следовательно, розничные цены могут меняться только скачками не меньше 5 сантимов. (Прим. ред.).

2) Едва ли надо говорить, что я не претендую разрешить мимоходом столь спорный вопрос о возможности создания жизнеспособного искусственного языка. Мне кажется вполне очевидным, что с того дня когда такой язык стал бы жизненным, он получил бы именно с точки зрения интересующей нас здесь, свойства естественного языка.

писателями, другие—разговорной речью «культурных» людей; третьи, наконец, обратятся к более демократическому критерию. Но, каково бы ни было принятое определение, если не обращаться к совершенному словарю (что было бы возможно лишь при условии существования такого словаря), мы вынуждены для определения точного значения слова прибегать к многочисленным свидетельствам. Впрочем, лучшие словари стараются определить значение слов именно посредством многих примеров: это для них единственная возможность избегнуть основного порочного круга, состоящего в определении слов словами же.

Если дело идет об определении общеупотребительного слова, как «дом», «лачуга», то можно согласиться принять свидетельство если не всех, то известного числа русских. С этой точки зрения разрешить софизм легко. Представим себе тысячу москвичей, проходящих мимо семиэтажной недвижимости; они все согласятся назвать это домом; между тем как они откажут в таком названии каменной постройке, могущей служить приютом двум кроликам и трем курицам. Возьмем теперь среднюю постройку; тут мнения могут разделиться; если 748 из 1.000 подающих голос выскажутся за название данного здания домом, то будет правильно утверждать, что вероятность, чтобы здание было домом, равна 0,748, а противоположная вероятность—0,252. Эта манера выражаться покажется очень многим странной; однако, после размышлений можно убедиться, что это единственный разумный ответ, который можно дать на аргумент Зенона.

Впрочем, ясно, что если вместо 1.000 москвичей мы опросили бы 1.000 жителей маленького городка, затем 1.000 крестьян, то пропорция ответов была бы иная; необходимо сделать точное условие, чтобы определение, данное нами, не могло толковаться различно; но эти трудности применения не имеют ничего общего с принципом теории; они относятся к неопределенности словесных определений; вот почему мы спешим перейти к вопросам, имеющим более реальный интерес, удовлетворяясь тем, что обратили внимание на тот факт, что в вопросах языка, как и во многих других, существуют только статистические истины.

49. Издатель предпринимает серию изданий, которые, по коммерческим соображениям, должны быть все приблизительно одинакового размера: от 251 до 300 страниц, вполне опреде-

ленного образца; и если ему предложат рукопись, которая должна дать 50 или 500 страниц этого образца, то он без колебания откажется от нее. Но затруднение «кучи зерна» представится при переходных случаях. Если для определенности мы предположим, что принятый образец содержит в среднем 1.000 печатных знаков в странице, то предельные размеры соответствуют рукописи, содержащей от 250.001 до 300.000 знаков; нужно ли будет отказаться от рукописи в 250.000 или 249.999 или 249.998 знаков?.. Это проблема кучи зерна.

Можно представить себе много способов практического разрешения вопроса; небесполезно будет перечислить некоторые из них, так как, если основная трудность и остается неизменной, то она представится в различных поучительных видах.

Первое решение «административное». Прежде чем прочесть рукопись, издатель «подсчитывает» ее через одного из своих служащих; последний должен указать ему точно количество страниц, которое, по его предположению, должна дать рукопись; если «подсчет» покажет меньше 251 или больше 300, то рукопись не будет принята, по крайней мере, в своем настоящем виде. Мы предполагаем, конечно, что служащий, занимающийся подсчетом, добросовестен и неподкупен; но было бы противно здравому смыслу считать его непогрешимым. Каково тогда положение автора, рукопись которого насчитывает 249.999 или 250.000 или 250.001 знаков. Если служащий, занимающийся подсчетом, очень искусен, то один шанс из двух за то, что рукопись будет принята,—-таков определенный ответ, который можно дать. Ибо, как бы искусен он ни был, он не сможет избежать ошибки в несколько единиц (и даже в несколько сотен единиц) в ту или другую сторону; предположение, что он искусен, может иметь только один смысл: есть столько же шансов, чтобы он ошибся в сторону увеличения, сколько в сторону уменьшения; именно это мы и выражаем, говоря, что один шанс из двух за то, что оценка будет благоприятна для автора.

Чтобы продолжить изучение вопроса, следовало бы ввести математическое выражение закона отклонений и предположить, что известно среднее отклонение (т.-е. средняя ошибка, совершаемая служащим при оценке; эта ошибка зависит, очевидно, и от умения служащего и от того, насколько хорошо переписана рукопись). Я не буду заниматься формулами, а приведу результат, ясный без формул всякому, кто следил за нашими

рассуждениями: когда число знаков рукописи уменьшается единица за единицей, можно вычислить вероятность, что она будет оценена как приемлемая и, следовательно, принята; эта вероятность уменьшается медленно, постоянно и, в конце концов, становится приблизительно равной нулю, когда число знаков понижается дальше известной границы, зависящей от искусства служащего. Другими словами, из 1.000 рукописей в 250.000 знаков, 500 будут приняты; из 1.000 рукописей в 249.000 знаков, быть может, только 450 будут приняты, из 1.000 рукописей в 230.000 знаков, быть может, только одна будет принята. Прерывность, с которой мысль не мирится, на практике исчезает: но поэтому надо допустить, что в сомнительных случаях единственный разумный ответ, это—коэффициент вероятности.

После «административного» решения скажем несколько слов о решении «эстетическом». Дело идет о собрании стихотворений, и из принятого типографского расположения вытекает число страниц; впрочем, можно и «сплутовать», введя некоторое количество белых страниц с различными заголовками и подзаголовками. По предположению издателя, для того, чтобы получилась порядочная книга, в ней должно быть по меньшей мере 120 «полезных» страниц; рукопись дает ему только 119; что он сделает? Ответом и здесь будет коэффициент вероятности, но к нему примешивается элемент литературной оценки. В зависимости от мнения издателя о достоинствах текста или об известности автора, требования его в отношении количества материала будут более или менее велики, но вероятность, чтобы он принял данное число страниц, будет медленно убывать, одновременно с уменьшением числа страниц. Здесь также не будет резкого скачка, но незаметное понижение до вероятности, равной нулю: ни один издатель не согласился бы напечатать 4 строчки Виктора Гюго в виде книжки, стоющей 3 франка 50 сантимов.

Можно также представить себе решение «механическое»; это решение было бы наиболее естественным, если бы авторы имели привычку придавать своим рукописям форму тех пробитых листков, которые достаточно доверить наборной машине, чтобы книга была механически отпечатана, при чем труд рабочего сводится к одному наблюдению. Однако, чтобы не забегать в будущее и оставаться в пределах действительности, возьмем другой пример: тщательно сделанная механиче-

ская сеялка пропускает крупинки песка (или муки) только меньше определенного размера. Если мы обозначим этот размер через 100, то ясно, что крупинка размера 50 пройдет всегда и что крупинка размера 150 не пройдет никогда; но, если есть крупинки всех размеров и несколько больше и, несколько меньше 100, то, очевидно, не будет резкого скачка; если предположить, что крупинки размера 100 пройдут все, то, кроме них, пройдет и значительная доля крупинок размера 101, и т. д. Машина, в сущности, поступает точно так же, как человек; и лишь среднее отклонение может изменяться в зависимости от большего или меньшего совершенства сита, но, во всяком случае, эти изменения повинуются законам вероятностей: никогда нет абсолютной границы, а всегда—незаметный переход.

Бесполезно было бы давать еще примеры, так как все они приведут нас к одному и тому же заключению: на всякий вопрос, где требуется решение в виде точного указания «числа зерен, составляющих кучу», мы не можем дать ответа иначе, как рассмотрев большое число случаев и исследовав средние; только исчисление вероятностей позволяет нам выйти из логического тупика, в который нас приводит рассуждение по непрерывности.

Можно, впрочем, различать две различных формы вопроса; в рассмотренных нами случаях мы предполагаем, что a priori было установлено некоторое правило; однако факты, не подчиняются в точности правилу, которое оказывается имеющим лишь относительную ценность1): оно определяет среднюю. В других случаях, мы можем не устанавливать правила a priori, а будем выводить правило средней из самых фактов. Напри-

1) Так обстоит дело даже в тех условиях, где пытались по мере возможности устранить сомнительные случаи путем административной регламентации Я не говорю о бесплатном проезде по железным дорогам детей в возрасте моложе 3-х лет: ведь немногие родители обладают добросовестностью того отца, о котором один юморист рассказывает, что он повернул ручку сигнального звонка как раз в ту секунду, когда его сыну минуло 3 года, для того чтобы уплатить за остаток пути. Возьмем случаи установления минимума роста, требуемого для приема на военную службу; ясно, что для того, чей рост разнился бы на несколько миллиметров в ту или другую сторону от Установленного минимума, при всей добросовестности приемной комиссии была бы только более или менее большая вероятность быть принятым или забракованным. Другими словами, один и тот же призываемый, осмотренный во 100 различных приемных комиссиях, был бы принят примерно, 55 раз и забракован 45 раз.

мер, когда хотят купить мебель, то всегда мысленно, представляют себе точно желательные размеры; во всяком случае, одни образцы, несомненно, будут отклонены как слишком маленькие, другие—как слишком большие. Действительно, если рассматривать большое количество образцов и отмечать те, размеры которых кажутся приемлемыми, то можно установить, что эти размеры располагаются вокруг некоторой средней, согласно уже упомянутым законам. Из ряда образцов одного и того же размера, которые будут рассмотрены в разное время, приемлемым будет признано тем меньшее количество их, чем больше общий размер отклоняется от средней.

50. Перейдем, наконец, к случаю часто встречающемуся, очень важному и потому часто, хотя и совсем не научно, обсуждаемому. Дело идет об экономическом отражении колебаний цен, очень незначительных по отношению к монетной единице. Один из наиболее характерных примеров—влияние оптовой продажной цены на розничную продажную цену. Для некоторых публицистов является почти аксиомой, что если оптовая цена понижается очень незначительно, так что понижение розничной цены должно было бы выразиться в долях сантима, то оно практически не сможет быть осуществлено, т.-е. розничная цена не изменится. Когда это положение развивается в газетных статьях, оно часто сопровождается рассуждениями о преимуществах, которые представило бы употребление монет в 1 сантим. Но обратимся к самому утверждению. Его нелепость вытекает с очевидностью из сравнения с парадоксом кучи зерна: если оптовая цена уменьшается каждую неделю на одну и ту же величину, соответствующую уменьшению розничной цены на пол-сантима, то в конце года понижение розничной цены должно будет достигнуть 26 сантимов; совершенно ясно— и даже самые большие пессимисты это признают, — что это понижение будет, по крайней мере, частично, осуществлено. Следовательно, будет, по меньшей мере, одна неделя в году, когда теоретическое уменьшение на пол-сантима, повлечет практическое уменьшение на пять сантимов.

Прежде чем итти далее, необходимо ответить на одно возражение, которое, несомненно, возникает в некоторых умах.

«Конечно,—скажут они, —если уменьшения на пол-сантима будут следовать одно за другим, наступит момент, когда их накопление даст понижение на пять сантимов; но это случится только тогда, когда сумма последовательных понижений дей-

ствительно достигнет пяти сантимов. Таким образом, ясно, что уменьшение на пол-сантима останется без влияния, и только десять уменьшений на пол-сантима произведут ощутимое действие».

Аргумент правилен только по виду, и достаточно рассмотреть его ближе, чтобы убедиться в его совершенной несостоятельности. Важно то, что оптовым подешевлением за данную неделю на полсантима вызывается понижение розничной цены на пять сантимов. Что это понижение на 5 сантимов не вызвано исключительно данным уменьшением на пол-сантима, этого никто не думает отрицать,—здесь, конечно, имеется множество других причин, в числе которых должны быть особо упомянуты предшествовавшие понижения; но неоспоримым остается следующий факт: уменьшение на пол-сантима было, в определенных условиях, непосредственной причиной понижения на пять сантимов; если бы не было уменьшения на пол-сантима, то не было бы и понижения на пять сантимов. Этого установления для нас достаточно. Действительно, нет необходимости продолжать анализ, чтобы уяснить себе, что упомянутые определенные условия, при которых уменьшение на пол-сантима вызовет понижение на пять сантимов, будут иметь место именно один раз из десяти; другими словами, вероятность понижения равна одной десятой, если уменьшение равняется точно десятой доле монетной единицы, определяющей минимум возможного понижения.

Впрочем, эта формулировка не является чисто теоретической; на практике, в большом городе или в стране один и тот же товар не везде продается за одинаковую цену по весьма различным причинам; таким образом, может случиться, что понижение произойдет, приблизительно, в десятой части розничных магазинов1).

1) Хотя я и не могу входить здесь во все подробности этого экономического примера, я считаю необходимым предотвратить одно недоразумение. Я говорю о том случае, когда качество проданного предмета не может быть непрерывно изменяемо (вино, разбавляемое водой и т. п.). В таком случае нужно полагать, что розничный торговец определяет продажную цену, сообразуясь одновременно с себестоимостью, с желаемой прибылью и с требованиями клиентов. Таким образом, часто случается, что он колеблется между двумя ценами, и, следовательно, ивой раз достаточно будет очень легкой разницы в условиях, являющихся причиной его колебаний, чтобы склонить чашу весов в ту или другую сторону. На это не следует отвечать, что розничный торговец всегда продает „как можно дороже“ и что покупатель всегда „попадается“; я не защищаю здесь розничной торговли, которая, не-

Аналогичное явление имеет место, когда цена какого-нибудь товара резко падает; понижение, даже незначительное, увеличивает число покупателей; и можно было бы в некоторых случаях (когда дело идет об увеселительной поездке, о входной плате на спектакль и т. п.) установить закон, по которому увеличивается число клиентов при понижении цены. Если общее количество клиентов велико, то можно констатировать значительное увеличение этого числа, даже при незначительном уменьшении в пять сантимов при цене в несколько франков. Между тем, каждый человек в отдельности убежден, что лишнее су, которое нужно заплатить, не могло бы помешать ему совершить эту экскурсию или присутствовать на этом спектакле. Заблуждение это объясняется очень просто: для каждого вероятность решиться уменьшается медленно и постепенно, по мере повышения цены, но, кто решился, тот обычно думает, что вероятность принятия этого решения равнялась единице, т.-е. была достоверностью. Поэтому, если и появляется впечатление, что некоторое обстоятельство могло слегка уменьшить вероятность, предполагаемую равной единице, то все же кажется, что вероятность оставалась весьма близкой к достоверности, т.-е. была ей практически равна. Таким образом, эта психологическая иллюзия происходит от того, что раз принятое решение действует на индивидуум и быстро приобретает силу, которой оно в действительности не имело. Такого рода психологические иллюзии встречаются нередко: наш ум часто находится в состоянии неустойчивого равновесия; достаточно очень незначительного толчка извне, чтобы нарушить равновесие, и это нарушение равновесия влечет за собой важные последствия, самая важность которых маскирует в наших глазах тот факт, что равновесие было неустойчиво, и что оно могло быть нарушено и в противоположную сторону1).

сомненно, взимает налог, непропорциональный оказываемым ею услугам; но, надо признать, что слова „как можно дороже“ не имеют никакого определенного смысла; возможная прибыль не безгранична, а прерывность монетной системы мешает ей быть постоянной; прибыль может только колебаться вокруг некоторой средней, — следовательно, она неизбежно должна иногда сокращаться.

1) Это напоминает определение случая, данное Анри Пуанкаре: случай на-лицо тогда, когда маленькие причины производят значительные последствия. Незначительная причина не замечается, но следствие нас поражает и нам кажется случайным. См. «Revue du Mois» от 10 марта 1907г. т. III, стр. 257.

Если смотреть на вещи извне, а не изнутри, можно действительно наблюдать явление нарушения равновесия без примеси психологической иллюзии: можно, таким образом, при помощи статистики уяснить себе действие, произведенное очень слабым колебанием вероятности, когда оно прилагается к большому числу случаев. Я оставляю в стороне вопрос о преимуществах круглых цифр: понижение цены с 8 франков до 7 франков 95 сантимов более бьет на психологию, чем понижение с 8 франков 20 сантимов до 8 франков 15 сантимов.

Аналогичные соображения можно было бы применить в отношении к заработной плате и ко многим другим вопросам. Но мы не можем больше останавливаться на этом вопросе.

51. Предыдущие рассуждения, мне кажется, достаточно ясно показывают, что на многие практические вопросы, настоящим математическим ответом является коэффициент вероятности. Такой ответ не удовлетворит многие умы, ждущие от математики достоверности. Подобная склонность ума весьма досадна, и очень жалко, что воспитание публики в этом отношении так мало подвинулось вперед; это зависит, несомненно, от того, что теория вероятностей почти никому неизвестна, несмотря на то, что она с каждым днем все больше и больше проникает в жизнь каждого из нас (различные страхования, общества взаимопомощи, пенсионные кассы и пр.). Коэффициент вероятности дает ответ совершенно ясный, соответствующий вполне осязаемой действительности. Некоторые будут утверждать, что они «предпочитают» полную уверенность; они могли бы также предпочесть, чтобы 2 и 2 составили 5.

Если бы понятие статистической истины было хорошо усвоено всеми теми, которые говорят или пишут по вопросам, в которых статистическая истина является единственной истиной, то можно было бы избегнуть многих софизмов и парадоксов. Многие умы, превосходные в других отношениях, воображают, что нет истин, кроме особой категории истин, которые они называют фактами: высаживаясь в Дувре, я увидел трех англичан, рост которых превышал два метра, это факт; но это факт—лишенный интереса, между тем как следующее предложение: средний рост англичан меньше двух метров, выражает не единичный факт но среднее из совокупности фактов и действительно является научной истиной.

52. В середине XIX века Кетле обратил внимание на тот научный интерес, который представляет, с точки зрения теории вероятностей, сравнение измерений, произведенных на целом ряде индивидов, и это является большой его заслугой. Исследования Кетле о человеческой расе являются в некотором роде посредствующим звеном между социологическими и биологическими применениями исчисления вероятностей.

Предположим, что измеряется рост очень большого числа взрослых французов; если измерения сделаны с точностью до 1 сантиметра, то можно будет передать их общие результаты, указав, сколько оказалось человек ростом в 1,50 м., 1,51 м., 1,52 м. и т. д. Если принять величину роста за абсциссу и число индивидов, обладающих данным ростом, за ординату, то концы ординат опишут кривую, известную под названием колоколообразной кривой, имеющей один максимум и убывающей сперва довольно медленно, а затем очень быстро, начиная от точки максимума1).

Эти кривые носят также название биномиальных кривых, по следующей причине. Рассмотрим коэффициенты бинома Ньютона для данного значения показателя п и рассмотрим кривую (или, вернее, многоугольник), у которого абсциссе р соответствует ордината Сп\ назовем этот многоугольник биномиальным; если подобрать подходящие единицы длины для абсцисс и ординат, то биномиальный многоугольник обращается в пределе для п, стремящегося к бесконечности, в биномиальную кривую.

Проще говоря, измеренные росты удовлетворяют тем же законам, как и ошибки измерения; все происходит так, как если бы человек, рост которого равен среднему, был измерен большое число раз наблюдателями достаточно неловкими или снабженными очень несовершенными измерительными приборами2).

1) Уравнение этой кривой имеет следующий вид:

ij=:Ce-k х-х^\

при чем ос0 есть значение х в точке максимума.

2) Можно также сказать, что все происходит так, как будто бы в соответственно выбранной игре ряд партий должен был дать количество выигранных партий, равное числу сантиметров, выражающему средний рост; если бы

Кетле сделал из этих очень важных замечаний выводы, из коих некоторые являются спорными. Тем не менее, совершенна несправедливо видеть только преувеличения или ошибки в его теории среднего человека; в идеях Кетле находится зародыш биометрических исследований, получивших такое широкое распространение в руках Френсиса Гальтона, Карла Пирсона и их учеников.

53. Отметим, однако, одно замечание Жозефа Бертрана: может ли существовать человек, рост которого равнялся бы среднему росту, среднему весу и т. д.? Не будет ли он чудовищем? Вот два шара, из которых один имеет радиус равный 1, а другой 3; если они сделаны из одного материала, и если первый весит 1 грамм, то второй будет весить 27. Тогда «средний шар» должен иметь радиус 2,—среднее между 1 и 3, и вес—14, среднее между 1 и 27. Но если «средний» шар сделан из того же материала,, то радиусу 2 доля^ен соответствовать вес не 14, а 8. Геометрия не допускает плутовства; будет ли биология менее требовательна?

Возражение заслуживает внимания, однако, его практическое значение в действительности меньше значения теоретического.

Нормальными рядами называют ряды измерений, распределяющихся согласно закону, называемому законом Гаусса (колоколообразные или биноминальные кривые); это понятие играет очень важную роль в биометрических изысканиях, о которых скажем ниже. Но сначала я хотел бы немного остановиться на биологическом значении понятия статистической истины.

54. Недавно праздновалось пятидесятилетие «Происхождения видов» (1857) и столетие «Зоологической философии» (1809); в это время много говорилось о кризисе трансформизма. Но этот кризис—кризис роста; было бы странно, если бы идеи Ламарка и Дарвина избегли естественного закона эволюции. Даже если бы я был достаточно компетентным, я не стал бы детально обсуждать изменения, внесенные в теории эволюции животных существ1). Я просто хотел бы, с чисто внешней точки зрения,

играли столько рядов аналогичных партий, сколько измерено людей, то таблица, на которую заносилось бы число выигранных партий каждого ряда, была бы абсолютно подобна таблице, на которую бы заносились результаты измерения роста.

1) См. прекрасную книгу Этьенн Рабо (Е. Rabaud). Le Transformisme et l'Expérience (Nouvelle Collection Scientifique. Paris, F. Alcan) и интересную работу Ле Дантека. La Crise du Transformisme (Ibid).

констатировать возрастающее значение, приобретаемое экспериментальными исследованиями над животными и растительными видами, и посмотреть, какие выводы можно сделать из совокупности этих изысканий и примененных методов.

Прежде всего заметим, что, по крайней мере, с внешней стороны, между понятием вида и понятием эволюции существует логическое противоречие. В самом деле, логическое определение вида должно, казалось бы, включать в себе понятие устойчивости; определенная группа животных1) заслуживает быть выделенной особо только в том случае, если все животные этой группы обладают некоторыми общими признаками, при чем эти признаки принадлежат также их потомкам. Довольно трудно изучать свойства, признаваемые биологами основными, не вдаваясь в технические подробности и не прибегая к фигурам, которым здесь не место; нам будет удобнее говорить о свойстве простом, известном всякому, например, о росте. Известно, что некоторые человеческие расы малорослы по сравнению с белой расой. В какой мере рост может считаться отличительной чертой расы?

Предположим, что мы поместим в изолированной местности, например, на отдаленном острове, взрослых представителей белой расы строго одинакового роста2), например, 1,65 метра. Через 30—40 лет новое взрослое население острова наверное утратит эту своеобразную особенность: рост некоторых индивидов будет больше, рост других—меньше 1,65 м.; отклонение в ту или иную сторону будет часто достигать 10, может быть, даже 15 или 20 сантиметров. Действительно, мы ежедневно видим родителей среднего роста, имеющих детей значительно меньше или значительно больше среднего роста.

Рассмотрение этих первых фактов как будто ведет к заключению, что человеческий рост от одного поколения к следующему может испытать, в ту или другую сторону, изменения, довольно часто достигающие двадцати сантиметров. Однако подобное заключение, очевидно, неприемлемо, по крайней мере, в такой форме. Ибо, если одного поколения достаточно, чтобы произвести изменение роста в двадцать сантиметров, то

1) Я употребляю этот туманный термин группа, чтобы не пришлось вновь рассуждать о понятии вида, в противоположность понятию разновидности.

2) Для простоты я здесь отвлекаюсь от того факта, что мужчины обычно обладают более высоким ростом, чем женщины.

два поколения могли бы произвести изменение в 40 сантиметров, пять поколений—изменение в 1 метр; изменение в 1 метр за 100 лет дало бы 10 метров в течение 10 столетий; мы попадем в область абсурда. Читатель уже заметил недостаток наших рассуждений: мы смешали индивидуальное изменение с изменением коллективным. Совершенно верно, что рост ребенка, ставшего взрослым, может значительно превысить рост каждого из его родителей, но это может произойти только в случае, если рост родителей относительно невелик по сравнению с ростом расы. Довольно легко найти примеры родителей ростом 1,60 м., имеющих сына ростом 1,80 м.; труднее встретить родителей в 1,80 м., имеющих сына в 2 м.; еще более высокий рост будет безусловно исключительным. Точно так же — для очень маленького роста: великаны и карлики, это — явление патологическое, как и некоторые уродства, тоже выставляемые в ярмарочных балаганах.

Эти факты вкратце можно резюмировать так: если рост детей зависит до некоторой степени от роста родителей, то в значительно большей мере он зависит от того, что мы назвали ростом расы. Если оба родителя очень высоки, т.-е. если их рост на много превосходит рост расы, то чаще всего случится, что дети будут ниже их, т.-е. приблизятся к росту расы. Точно так же, если родители очень низкого роста, то дети обычно бывают выше их. Таким образом, средний рост, о котором мы думаем, когда говорим, что человек очень высокого или очень низкого роста, не является только абстрактным представлением нашего ума; это—реальность, это—даже свойство, принадлежащее каждому индивиду, так же, как его собственный рост. Нам неизвестно, в чем именно заключается это свойство; мы не могли бы, изучая только одного представителя неизвестной расы, определить средний рост этой расы или хотя бы сказать, является ли изучаемый представитель высокого или низкого роста по отношению к своей расе, но это свойство, тем не менее, существует и проявляется, когда наблюдаемый индивид имеет потомство: оно стремится вновь приблизиться к росту расы.

55. Все это общеизвестно, и я извиняюсь, что остановился на этом; но, быть может, не бесполезно было указать, что понятие среднего роста нашей расы является для нас лишь одним из обыденных понятий; но что у нас есть надежда преодолеть трудности, представляющиеся при попытках дать этому понятию строго научное обоснование. Эти трудности кажутся

вначале неразрешимыми. Если мы захотим определить средний рост взрослых французов, окажется необходимым выяснить сначала, что значит взрослый француз; возьмем произвольное определение; будем говорить, например, о людях, родившихся и живущих в континентальной Франции, от 25—до 30-ти-летнего возраста, рост которых и измерим в полдень какого нибудь, заранее назначенного дня. Ясно, что все живущие за границей и путешествующие исключаются,—но как быть с теми, которые в полдень переезжают границу, или с теми, кто находится в плавании у берегов, или с теми, кому в этот день исполняется 25 или 30 лет, или с больными и умирающими? Затруднения были бы также велики, если бы имел значение вопрос о национальности. Куда отнести тех, чья национальность в этот именно момент оспаривается перед судом? Если взять рост новобранцев, войдут ли в счет уклонившиеся и больные, не могущие явиться в приемную комиссию?

Эти возражения логически неопреодолимы, и, однако, рассуждая здраво нельзя не считать их незначительными, почти ребяческими. И правильно здесь рассуждает здравый смысл, а не абстрактная логика. Он прав, прежде всего, по фактическим основаниям. Рост индивида не есть арифметическое число, подобно квадратному корню из двух, который математик может, если у него будет к тому охота и досуг, вычислить с десятком, сотней, миллионом точных десятичных знаков; это — число физическое, которое трудно измерить с большой точностью; впрочем, оно для того же индивида меняется в зависимости от физиологических условий (усталость, ходьба, продолжительный отдых), и самое большое, на что можно надеяться, это— определение его с точностью до одного миллиметра; претендовать на большую точность было бы бессмысленно, принимая во внимание самую природу измеряемого объекта. В силу необходимости положение таково же и в отношении среднего роста, который мы получаем, беря среднюю индивидуальных измерений; на нем отражается их неопределенность, и он сам известен только приблизительно. При этих условиях, легко себе представить, не вдаваясь в детали вычислений, что возможности ошибок, проистекающих от неизбежной неточности определения, меньше ошибок, коренящихся в самой природе вопроса. Другими словами, конечный результат будет один и тот же, каков бы ни был принятый способ решения спорных вопросов, несколько примеров которых нами приведены. Итак, фактиче-

ски можно пренебречь логическим возражением, вытекающим из этих спорных случаев.

Как бы ни был фактически силен этот аргумент, он, может быть, удовлетворит не все умы. Действительно, может возникнуть вопрос, не даст ли усовершенствование методов измерения и, главным образом, применение физиологической техники, дающей более точное определение измеряемой длины, возможности вычислять средний рост с гораздо большей точностью, так что все устраненные возражения вновь получили бы значение: влияние спорных случаев было бы, конечно, минимально, но измеримо. Должны ли мы из-за этого отказаться от мысли о среднем росте? Очевидно, нет только мы должны будем говорить, что этот рост нам известен лишь с точностью до тысячной доли миллиметра, например. Это все же лучше, чем если бы он был нам совершенно неизвестен. Конечно, с абстрактной точки зрения математика, рассматривающего числа вне их связи с действительностью, ошибка в тысячную долю миллиметра вещь столь же важная, как ошибка в 1 километр: ибо, если два числа а и Ь различны, то будь эта разница очень велика или очень мала, она может повести к выводам одинаково абсурдным, если положить а=Ь и если преобразовать это равенство, произведя ряд вычислений; на эту именно точку зрения встал Анри Пуанкарэ в своих размышлениях об относительности познания. Но каков бы ни был метафизический интерес подобных размышлений, они не должны быть применены к вопросу чисто научного характера; в таком вопросе не следует смешивать неточности с полной ошибкой. Все наши практические познания, будь то обыденные или научные, несовершенны, но это несовершенство не является несовместимым с достоверностью. Если я условлюсь подать сигнал в полдень, то внимательный наблюдатель наверное, увидит его, следя, в промежуток времени за пять минут до и пять минут после полудня, если наши часы сносны и были хотя бы довольно грубо сверены утром. С точными, старательно сверенными хронометрами можно было бы свести время ожидания к нескольким секундам; во всяком случае, знание времени подачи проектируемого сигнала является ценным указанием, несмотря на непреодолимые затруднения, препятствующие определению этого момента с абсолютной точностью. Точно так же мы достигли бы положительного результата, если бы имели право утверждать, что

средний рост заключается между 1,653427 м. и 1,653429 м.; легкая неточность, происходящая от невозможности строгого определения измеряемой группы, ничуть не умалила бы абсолютного значения достигнутого результата.

56. Теперь понятно, в каком смысле возможно относить изменения вида к определенному образцу, раз этот образец определяется самим изменчивым видом. Этот вид изменяется каждую минуту; некоторые индивиды рождаются, другие становятся взрослыми, иные умирают или выходят из пределов круга наблюдений.

Но, если эти изменения делают логически-невозможным точное определение среднего значения такого свойства, как рост, то они все же достаточно незначительны для того, чтобы это среднее значение могло быть определено с очень большой точностью. Таким образом, легко будет выяснить, меняется ли среднее значение или нет в различных группах или в одной и той же группе в различные эпохи. Таков принцип методов, с помощью которых можно сделать попытки точного изучения эволюционных проблем; они основаны на статистическом исследовании большого числа отдельных наблюдений. Каждое отдельное наблюдение в действительности лишено интереса; что рост некоего индивида равен 1,75 м., факт, но не научный факт; нам интересно знать, сколько из 100.000 индивидов найдется таких, рост которых равнялся бы 1,75 м. (или, вернее, был бы ближе к 1,75 м., чем к 1,74 м, или 1,76 м.).

Основное свойство научного познания заключается в том, что оно позволяет предвидеть; в качестве идеала можно было бы поставить перед биологией задачу, - зная в совершенстве родителей, совершенно узнать ребенка. Однако этот идеал, видимо, химеричен; тот простой факт, что двое близнецов могут быть разных полов, показывает, сколь далеки мы от уменья даже формулировать задачу. Особенно замечательно то, что эта неразрешимая задача становится сравнительно простой, когда внимание обращается одновременно на большое число индивидов. Ни один ученый не в состоянии сказать, будет ли ребенок, который родится через несколько месяцев, мальчиком или девочкой, но всякий занимающийся демографией знает определенно пропорцию между числом мужских и женских рождений и научно убежден, что в будущем году во Франции родится немного больше мальчиков, чем девочек. Та же закономерность встречается и в явлениях на-

следственности. названных менделевскими явлениями, по имени австрийского монаха Менделя, впервые отметившего их1). Она встречается ташке в средних значениях большого числа измерений, вроде измерения роста всех новобранцев: никто не может предвидеть, каков будет через двадцать лет рост ребенка, имеющего в настоящее время три года; но можно предвидеть, каков будет средний рост большого числа двадцатитрехлетних французов.

Возможность предвидения становится еще более невероятной, если обратиться не к самим индивидам, а к бесчисленным зародышам, могущим стать живыми существами; например, к цветочной пыли хлебных полей Франции; количество пылинок исчисляется даже не миллиардами, но миллиардами миллиардов. Изучить каждое из них в отдельности было бы сверхчеловеческой задачей; гораздо легче и интереснее изучение особенностей всего сбора в целом и изменений этих особенностей в зависимости от усовершенствований культуры и введения новых разновидностей семян.

В конечном счете некоторые задачи, лишенные интереса и практически неразрешимые для индивидов, ведут к полезным исследованиям и научным законам, если рассматривать одновременно очень большое число случаев и обращать внимание на средние или, как их тоже называют, статистические свой-

1) Менделевская наследственность состоит в следующем: определенные скрещивания между различными разновидностями производят потомство (метисов), внешне не отличающееся от одной из разновидностей, что и выражают, говоря, что свойство, принадлежащее этой разновидности является преобладающим; только скрещивая между собою этих метисов, можно установить, что они были не чистокровны. Предположим на минуту, что скрещивания между белыми и неграми удовлетворяют законам Менделя (чего на самом деле нет); от браков между белыми и негритянками или неграми и белыми женщинами тогда должны были бы рождаться мулаты, по внешности тождественные с белыми. Но, если бы скрещивать этих мулатов между собою, то неизменно получилось бы на 1.000 родившихся около четверти (250) чистых белых, четверть (250) чистых негров и половина (500) мулатов, т. е. по внешности белых, но мулатов в том смысле, что потомство, происшедшее от их взаимных скрещиваний, следовало бы только что указанному нами закону, между тем, как чистые белые производили бы исключительно белых потомков. В действительности, именно в данном случае дело обстоит не так, но существуют животные и растительные виды, о которых можно сказать нечто совершенно аналогичное: достаточно, например, заменить в предыдущем белых—красными помидорами, негров—желтыми помидорами, а мулатов — красными помидорами метисами (не чистой породы), разнящимися от красных помидоров чистых только своим потомством.

ства. В отношении наследственности нет научных законов, кроме законов статистических.

57. Биометрией называется совокупность исследований, в которых использованы результаты измерений, произведенных над живыми существами. Не буду приводить здесь историю биометрии, для которой отсылаю к содержательной статье Вито Вольтерра1). Я уже цитировал имена Кетле, бывшего здесь предвестником, и двух англичан Френсиса Гальтона и Карла Пирсона.

Задачи, которые себе ставит биометрия, весьма различны; укажем две из наиболее важных: однородность групп и корреляция.

Предположим, что измеряется рост большого числа взрослых французов; если условиться принимать среднюю величину измерений за точное выражение роста одного француза, то, как мы сказали, «ошибки», т.-е. положительные или отрицательные разницы между этим теоретическим и реальными значениями распределяются как раз согласно «закону Гаусса». Мы условились выражать этот факт, говоря, что совокупность роста французов образует нормальный ряд. Биологически это совпадает с тем фактом, что французы составляют достаточно однородную биологическую группу.

Предположим, что мы проделаем тот же опыт в городе, жители которого принадлежат к двум различным расам: белой и желтой. Если измерить всех взрослых жителей и отмечать измерения, не различая рас, то можно констатировать, что средняя не соответствует нашему обычному пониманию и что группировка вокруг средней не следует простому закону, каков закон Гаусса. Имеется напластование двух различных явлений, каждое из которых следует закону Гаусса, но сумма которых этому закону не следует; росты белых группируются вокруг своей собственной средней, следуя закону Гаусса, так же как росты желтых группируются вокруг их средней; общая средняя не имеет никакого значения; в частности может случиться, что эта общая средняя не является наиболее распространенным ростом. Это соответствует тому биологическому факту, что расы различны, и если бы этот факт не был известен, то он мог бы обнаружиться из изучения средних.

1) Vitо Vоlterra. Sur l'application des mathématiques aux sciences boilogiques et sociales. (Revue du Mois, 10 января 1906 г. т. I, стр. 1).

Не вдаваясь в подробности, углубленное изучение которых одно заслуживало бы отдельной работы, не трудно понять, каким образом экспериментальное изучение аналогичных фактов повело к следующему общему выводу: существенное биометрическое свойство нормальных рядов заключается в чистоте расы. Я оставляю в стороне многочисленные комментарии, которые понадобились бы при столь общей формулировке; необходимо было бы уточнить многие идеи, что явилось бы делом биолога еще в большей мере, чем делом математика; тем не менее эта теория, в том виде, как она есть, доказала свою научную ценность, оказавшись полезной в применениях на практике. Я не могу перечислить их все; но все же упомяну о весьма интересных работах, посвященных пивному ячменю, начатых г. Гиальмаром Нильсоном в лаборатории Свалёф (Svalèf) в Швеции и перенесенных во Францию Бларингемом, собственные работы которого были чрезвычайно интересны. Применением свойств чистых пород удалось селекционировать и культивировать на больших пространствах необычайно чистые породы, устойчивость которых очень ценится употребляющими их пивоварами: известно, каковы промышленные преимущества однородного материала. Другие примеры можно найти в хорошо известной книге Гуго де Фриза: «Виды и разновидности».

Отсюда очевидно, как велико значение биометрической теории однородности; не менее интересна теория корреляции, так как она может дать ключ к главным проблемам наследственности. Производятся различные измерения нескольких индивидов одной расы, их родителей и родственников; каковы соотношения этих измерений между собой? Зная, например, рост индивида, можно ли заключить что-нибудь относительно размеров предплечья его брата? Мы видим, что понятие причины здесь чрезвычайно расширяется; обыкновенно не говорят, что высокий рост индивида есть причина длины предплечья его брата; но это расширение понятия причины вполне справедливо с точки зрения теории вероятности1). Для изуче-

1) При чисто детерминистическом мировоззрении нет причины в обычном значении этого слова; мир вообще в каждый данный момент должен рассматриваться, как причина всех явлений прошлых, настоящих или будущих; в самом деле, нельзя изменить только одно явление, не изменяя всех остальных, ибо для этого надо было бы представить себе иной мир, так как тот, в котором мы живем, не может, при детерминистической гипотезе.

ния этой теории корреляции я ограничусь тем, что отошлю к работам Карла Пирсона и его учеников, появившихся в Proceedings of the Royal Society of London и в специальном журнале Biometrika.

58. Мы откладываем до главы IX, посвященной изучению научного значения теории вероятностей, обсуждение ее возможных приложений к вопросам психологии. Чтобы покончить со всем тем, что имеет отношение к биологическим наукам в самом широком смысле слова, я хотел бы вкратце указать, в какую математическую форму могут вылиться проблемы статистической вероятности.

Чтобы не вносить напрасной путаницы в слова, будем считать, что мы рассматриваем ряды наблюдений, из которых каждый относится к одному и тому же числу возможных случаев (например, к постоянному населению); в каждом ряду отмечено число случаев, когда имело место наблюдаемое явление; это будут так называемые благоприятные случаи,—название, освященное обычаем (это может быть число рождений или смертей, число людей, зараженных какой-нибудь болезнью и т. п.). Таким образом, наблюдение дает таблицу, указывающую для каждого ряда число благоприятных случаев; с другой стороны, известно число возможных случаев. Общая проблема математической статистики такова:

Определить систему извлечений, произведенных из урн определенного состава, так, чтобы результаты ряда извлечений, истолкованные при помощи определенных, соответственно подобранных коэффициентов, могли с очень большой правдоподобностью дать таблицу, тождественную с таблицей наблюдений.

Задачу, поставленную таким образом, мы назовем задачей схемы урн. Тип возможного разрешения ее следующий: рассматриваются три урны: U19 U2, Z73, содержащие тождественные по форме белые и черные шары, при чем пропорция черных шаров соответственно равна р1У р2, р3; из урны U2 производят аг извлечений (кладя каждый раз извлеченный шар обратно), которые дают пг черных шаров, точно также из

быть представлен иначе, чем он есть. Таким образом, с этой чисто детерминистической точки зрения, нужно заменить понятие причины понятием корреляции, которое одинаково приложимо, какова бы ни была последовательность изученных явлений и их кажущихся внешних прямых отношений.

урны U2 производят а2 извлечений, дающих п2 черных шаров, и также из урны U3—а3 извлечений, дающих к3 черных шаров; тогда число благоприятных случаев выразится суммой

коэффициенты Х2, i2, Х3, так же, как и целые числа а19 а2, а3 и вероятности р19 р21 р3 определяют рассматриваемую схему урн.

Мы должны удовлетвориться тем, что укажем здесь на различные вопросы, возникающие из общей проблемы схемы урн.

1. Возможна ли эта задача? Так как дело идет только о приближенном решении, то ясно, что оно всегда возможно, если предположить число урн достаточно большим; но такое решение было бы не вполне удовлетворительным; практически надо стараться разрешить ее с минимальным количествам урн; в том случае, когда удалось бы разрешить ее с одной лишь урной, рассмотренная задача могла бы назваться нормальной; интересен случай, когда необходимы две и только две урны.

2. Допускает ли задача несколько решений? Конечно, если предположить числа урн достаточно большим; но во многих случаях существует только одно простое решение, и его-то именно особенно и стремятся найти.

3. При помощи какого метода можно найти решения? Я ограничусь по этому поводу ссылкой на труды Карла Пирсона, несмотря на то, что он ставит вопрос не в той форме, которую мы ему придали; мне, впрочем, кажется, что вопрос требует новых исследований.

Заканчивая эти краткие указания, я желал бы подчеркнуть аналогию между формой, какую мы дали проблеме схемы урн, и формой, в которой ставятся проблемы механики и математической физики; там тоже первый вопрос заключается в построении математической схемы, изображающей действительность с достаточной близостью. Роль математика, когда он разрешил этот первый вопрос или, по крайней мере, разрешил его частично (так как часто существует несколько решений), сводится к изучению свойств полученной схемы, что является проблемой чистой математики; сравнение полученных таким путем результатов с опытом и развитие теорий, которые может вызвать это сравнение, выходит за пределы ведения математики; ибо среди этих теоретических исследований надо

никогда не упускать из виду действительности и ежеминутно проверять новые идеи опытом и наблюдениями. Однако роль математика, несмотря на всю ее ограниченность, во многих случаях очень важна1).

1) Относительно применения метода схемы урн к частному биологическому вопросу, именно вопросу о поле при родах двойни, смотри мои Elements de la théorie des probabilités, § 62. Там мы приходим к заключению что в 28 случаях из 100, все происходит так, как будто пол одного из близнецов определяется полом другого; между тем как в 72 случаях из 100 полы обоих близнецов подчинены тем же законам случая, как если бы дело шло, о двух, независимых друг от друга, рождениях. Было бы интересно выяснить, не получим ли мы те же пропорции, если распределим двойные рождения на происходящие из одного яйца и на происходящие из двух различных яиц.

ГЛАВА VI.

Физические науки.

59. Газы и кинетическая теория.—60. Диффузия газов.—61. Примеры крайне малых вероятностей.—62. „Чудо дактилографирующих обезьян“.—63. Скорости газовых молекул и закон Максвелла. — 64. Роль столкновений по Больцману. —65. Отклонения. —66. Гиббс и статистическая механика.—67. Неопределенность данных, основа статистической механики.—68. Необратимость и возражение Лошмидта. — 69. Радиоактивность и статистика.—70. Другие применения статистики к физике.—71. Равнораспределение энергии. — 72. Общее определение энаропии через вероятность. — 73. Теория кванов и прерывные вероятности.

59. Казалось бы, что статистические методы нельзя применять к физическим наукам в том виде, как к наукам биологическим, ибо в первых не достает понятия индивидуума. Один метр воздуха не отличается от другого, как отличаются друг от друга два хлебных зерна; две динамо-машины одинаковой конструкции дают тождественные токи. Основным признаком физических законов именно и является, что они выражают свойства общие для бесконечного множества предметов, неразличимых между собой. Эта точка зрения долгое время была принята без споров. Даже те, кто считал материю образованной из очень большого числа отдельных частей—атомов или молекул, не думали, что есть основание рассматривать ее свойства как статистическую равнодействующую свойств атомов. Кажется, знаменитый английский физик Максвелл первый ввел систематическое пользование статистическими вычислениями в изучение газов1). Эта точка зрения оказалась весьма плодотворной, и именно с ней можно связать некоторые из важнейших успехов физики, потрясающих теперь ее основы Мы не моллем и думать на нескольких страницах дать обзор

1) Следует также назвать и имена Бернулли, Клаузиуса и Вольцмана и Ломоносова. (Ред.).

этих успехов или указать те различные формы, в которых встречается статистический метод, но достаточно очень простого примера, чтобы сделать ясными принципы этого метода. Всем известно, что газ, находящийся в оболочке, оказывает давление на ее стенки, стремится ее расширить, если она эластична. Если мы наполним баллон водородом или светильным газом, то он не будет растягиваться безгранично, потому что внутреннее давление газа будет уравновешиваться внешним атмосферным давлением; но если перенести баллон в местность с более слабым атмосферным давлением, то ставшее возможным расширение газа вновь увеличит объем баллона. Как объяснить такое давление газа на стенки и все представляемые им особенности? Например, оно одно и то же, каково бы ни было положение стенки, т.-е. потолок комнаты испытывает такое же давление, как пол,—между тем как, если бы место воздуха занимала вода, то давление испытывал бы пол, а не потолок, ибо давление воды объясняется ее весом.

Газ представляется состоящим из крайне большого числа молекул, которые, в первом приближении, рассматриваются как сферы—маленькие, одинакового размера шары, находящиеся в постоянном движении, сталкивающиеся друг с другом и ударяющиеся в стенки сосуда очень много раз в секунду.

Если бы были очень точно известны положения всех этих молекул и их взаимные движения в некоторый данный момент, то задача, которая заключалась бы в предвидении их последующих движений, была бы механической задачей—теоретически очень простой, хотя и неразрешимой практически, в виду очень большого числа молекул. Невозможно даже и думать об индивидуальном изучении каждой молекулы; человеческая жизнь слишком коротка, она не превышает одного или двух миллиардов секунд; человек должен был бы думать о нескольких миллиардах молекул в секунду, чтобы к концу своей жизни подумать обо всех молекулах небольшой газовой массы1).

Итак, невозможно знать скорости молекул, ударяющихся в данный момент в определенный участок стенки; между тем, именно этими толчками обусловливается давление, оказываемое газом на этот участок стенки, и опыт показывает, что это

1) Смотри мою статью La philosophie mathématique et l'infini Revue du Mois, 10 авг. 1912, т. XIV стр. 218.

давление остается неизменным, если не изменяются физические условия. Оказывается, что толчки, подробно нам неизвестные, все же не совсем недоступны для нашего ума: мы имеем возможность узнать с точностью общий результат всех столкновений, происходящих за время равное доле секунды; этот результат зависит от среднего значения некоторых величин, точное значение которых для каждой молекулы нам, по необходимости, неизвестно. Таким образом, результат, выражаемый физическим законом, есть в сущности результат статистический.

Были созданы методы вычислений, позволяющие предусмотреть эти статистические результаты, эти средние от явлений слишком многочисленных, чтобы был возможен индивидуальный анализ каждого из них в отдельности; именно статистическими законами стремятся объяснить все физические явления, и именно при их помощи открывают неизвестные доселе свойства. Впрочем, всякий статистический закон есть только приближенный закон; но когда индивиды так же многочисленны, как молекулы газа, то возможная ошибка слишком незначительна, чтобы можно было обнаружить ее доступными человеку способами исследования; все происходит, следовательно, так, как если бы приближенный закон был строго точным.

60. Рассмотрим, например, что происходит, когда через широкое отверстие приводятся в сообщение два равных по величине сосуда А и В, наполненных двумя различными газами при одинаковом давлении и одинаковой температуре. По закону Авогадро, оба сосуда содержат равное число молекул, число для сосудов обычных размеров равное величине порядка 1022, т.-е. нескольким тысячам миллиардов миллиардов1). Опыт показывает, что неправильные столкновения молекул быстро делают газ практически однородным, т.-е. что становится невозможным обнаружить сколько-нибудь ощутительную его разнородность. Из этого экспериментального факта можно заключить, независимо от всяких теоретических гипотез о природе столкновений, что по прошествии довольно короткого времени, необходимого для диффузии, каждая молекула любого из обоих газов имеет одинаковую вероятность очутиться как в сосуде А, так и в сосуде Б. Следовательно, все должно

1) По этим различным вопросам смотри книгу Jean Perrin, Les Atomes (Nouvelle Collection Scientifique).

происходить так, как будто для каждой молекулы1) идет партия в орлянку, где решается, должна ли она в данный момент находиться в А или В. Но нам известно, что на 1022 партий в орлянку десятичная единица отклонения равна 10“, т.-е.—ста миллиардам; следовательно, один шанс из десяти за то, что в сосуде А в данную минуту будет находиться 1011 молекулами больше, чем в сосуде В; число это соответствует одной стомиллиардной общего числа молекул, т. е. одной стотысячной от миллионной; такова величина разнородности, которую можно ожидать встретить в смеси нескольких литров газа при обычных давлении и температуре. Очевидно, что она совершенно не поддается экспериментальному измерению. Еще более поражает изумительная быстрота, с которой уменьшается вероятность большей разнородности.

Мы знаем, что вероятность отклонения, равного десятикратной десятичной единице, равна Ю-100, т.-е. десятичному числу, которое заняло бы по меньшей мере две строчки этой книги, так как запятая сопровождалась бы 99 нулями, а эти последние — цифрой 1. Такое отклонение соответствует разнородности порядка одной десятимиллиардной. Если бы мы захотели понизить разнородность до стомиллионной, — следовало бы предвидеть отклонение, равное тысячекратной десятичной единице; вероятность равнялась бы Ю- 100000°, т.е. десятичному числу, содержащему после запятой миллион цифр, из которых только последняя была бы единицей, а все остальные нулями; чтобы написать такое число знаками, подобными употребленным в настоящей книге, понадобились бы все страницы книги гораздо более толстой. Наконец, вероятность уменьшения разнородности до одной стотысячной может быть выражена числом вроде предыдущего, но содержащим миллион миллионов нулей: для написания его понадобилось бы больше миллиона книжек в роде этой. Подобные числа настолько превосходят то, что может охватить наше воображение, что будет небесполезно постараться несколькими сравнениями дать понятие о малости этих вероятностей.

61. Предположим для определенности, что число знаков,, употребляемых во французском письме, считая и знаки препи-

1) Само собою разумеется, мы здесь предполагаем, что молекулы не связаны между собою в группы, так что вероятности очутиться в А независимы для всех различных молекул. Если бы были неразделимые группы, то именно эти группы мы должны были бы назвать молекулами.

нания и т. п., равняется 1001); книжка среднего размера содержит менее миллиона печатных знаков: спрашивается, какова вероятность вытянуть целую книгу, выбирая наудачу по одной букве. Ясно, что вероятность, чтобы вынутая буква была первой буквой книги, равна , она также равна для того, что бы вторая вынутая буква была второй буквой книги; так как эти два явления независимы, то вероятность, что они случатся оба, равна

То же самое рассуждение можно повторить для третьей буквы, для четвертой и т. д. Если их миллион, то вероятность, что случай даст именно их, равна произведению миллиона множителей, из которых каждый равен одной сотой; оно равно

Если бы вместо одной книги мы желали получить миллион книг, то мы должны были бы взять произведение миллиона множителей, равных только что найденному нами числу; результат был бы Ю-2-000-000-000*000. Это число—аналогичное тому, которое мы нашли для вероятности разнородности равной одной стотысячной2). Для разнородности порядка одной десятитысячной мы имели бы вероятность, у которой отрицательный показатель

1) Это число в обыкновенном письме меньше 100, если принимать во внимание заглавные буквы и цифры; обыкновенные пишущие машины предусматривают 84 знака; оно было бы больше 100, если бы принять в расчет разнообразные знаки, употребляемые в печати: курсив, жирный шрифт, большие и малые греческие буквы, готический шрифт (еще употребляемый в Германии) и т. п., но мы увидим, что почти ничего не пришлось бы изменить в наших вычислениях, и ничего в наших выводах, если бы вместо 100 взять 1.000 или даже 10.000.

2) Мы пренебрегаем множителем 2, стоящим в показателе; если бы принять его в расчет то, пришлось бы умножать величину разнородности на у/2, т.-е. говорить о единице, деленной на 70.000 вместо единицы, деленной на 100.000. Так как наша цель просто дать образное сравнение, то такое изменение не имеет значения.

был бы во сто раз больше, т.-е. который соответствовал бы ста миллионам книжек, воспроизведенных посредством извлечения букв наудачу.

Предшествующих объяснений достаточно, чтобы оправдать сравнение с «чудом дактилографирующих обезьян», которым мы часто будем пользоваться, ибо оно особенно поразительно.

62. Вообразим, что миллион обезьян научились ударять наудачу по клавишам пишущей машины и что эти обезьяны-дактилографы ревностно работают в течение 10 часов в день с миллионом пишущих машин различного типа, под наблюдением безграмотных надзирателей. Безграмотные надзиратели собирают испещренные буквами страницы и переплетают их в томы. И вдруг, по прошествии года, оказывается, что эти томы содержат точные копии всевозможных книг, написанных на всех языках и хранящихся в богатейших библиотеках мира. Такова же вероятность, чтобы на очень краткий момент, в сосуде Л, произошло изменение порядка стотысячной в составе газовой смеси. Предположить, что отклонение такого рода будет существовать несколько секунд, значит предположить, что наша армия обезьян-дактилографов, работая все время в тех же условиях в течение нескольких лет, будет ежедневно доставлять точную копию всех печатных книг и журналов, которые появятся в соответствующий день следующей недели на всей поверхности земного шара, и копию всех слов, произнесенных всеми людьми в тот же день. Проще сказать, что эти невероятные отклонения просто невозможны.

63. Изучение скоростей газовых молекул несколько более сложно; сообщая лишь результаты, мы ограничимся попыткой сделать понятным тот путь, которым они могли быть добыты. Уже в XVIII веке Бернулли предложил объяснить движением молекул давление, оказываемое газом на стенки сосуда. Так как это давление пропорционально абсолютной1) температуре, то мы приходим к предположению, что живая сила молекул сама пропорциональна температуре. Зная число и размеры молекул, мы можем при помощи довольно легкого вычисления вывести из величины давления среднюю живую силу и, следовательно, среднюю скорость2). Именно таким

1) Т.-е. температуре выше абсолютного нуля, соответствующего — 273° С.

2) При точном вычислении надо помнить, что средняя из квадратов скоростей не равна квадрату средней скорости. При интересующей нас степени точности подобное смешение допустимо.

путем находят, что молекулы азота и кислорода, составляющие воздух, которым мы дышим, имеют при обычных температурах среднюю скорость от 400 до 500 метров в секунду. Можно ли предположить, что все молекулы имеют одинаковую скорость и различны только направления? Максвелл первый ясно увидел, что законы столкновений этого не допускают, и его закон распределения скоростей — одно из наиболее красивых и плодотворных применений законов случая к физике.

Максвелл пришел к этому закону сначала путем очень спорного рассуждения, недостатки которого были указаны несколькими геометрами, в частности, Жозефом Бертраном, неоднократно возвращавшимся к критике его. Эта критика отчасти справедлива, и никто не сожалеет о том, что в настоящее время имеются другие доказательства закона Максвелла, кроме первоначального. Мне кажется, однако, что критики недостаточно останавливались на пункте, который, по моему мнению, является самым слабым в доказательстве Максвелла: на применении интегрирования функционального уравнения; всегда следует относиться с большой осторожностью к результатам, полученным таким путем, хотя бы установление функционального уравнения и не вызывало никаких возражений1). Вообще, обыкновенно забывают, в какой мере незначительная ошибка в функциональном уравнении может повлечь за собою значительные изменения результатов, получаемых путем интеграции этого уравнения.

1) Вот рассуждения Максвелла: пусть <р (х) dx есть вероятность, что проекция скорости ва ОХ заключается между х и х + dx; аналогичные вероятности для проекции О У и OZ будут ®(y)dy и y{z)dz, так как газ изотропен. Вероятность, что вектор—скорость, исходящий из начала, оканчивается в паралеллепипеде х, у, г, х + dx, у + dy, z + dz, равна:

(1) <Р 0*0 <р (у) <р О) dx dy dz.

Но эта вероятность, по тем же соображениям изотропии, должна быть функцией расстояния \/ж2 -\-у2 -\- z2 от этого паралеллепипеда до начала; мы имеем, следовательно:

(2) ср (X) ç (у) ср (?) = f{x2 + y2 + **).

Таково функциональное уравнение, которое нужно интегрировать; беря логарифмическую производную по трем переменным, мы без труда получаем:

(3)

64. Больцман доказал закон Максвелла рассмотрением столкновении молекул; доказательство это слишком сложно, чтобы его приводить здесь; но мы во всяком случае можем понять то, что эти столкновения не позволили бы всем молекулам сохранить одинаковую скорость, даже если предположить, что таковая могла бы иметь место в какой-нибудь данный момент. Это—следствие элементарных законов столкновения: если два одинаковых биллиардных шара, скорости которых равны по абсолютной величине, но направлены под прямым углом, сталкиваются таким образом, что в момент столкновения линия центров имеет то же направление, которое имеет скорость одного из шаров, то этот последний останавливается, между тем как другой катится по направлению биссектрисы угла обеих скоростей до столкновения, со скоростью, квадрат которой равен сумме квадратов этих двух скоростей. В итоге, скорость одного из шаров становится равной нулю, а скорость другого умножается на j/2. Наоборот, если обе скорости имели направление по линии центров, то столкновение изменит их направление, но не их абсолютные величины. Между этими двумя крайними случаями могут представиться промежуточные случаи, в которых общая живая

Ввиду того, что все члены этих равенств зависят от разных переменных, они могут быть только постоянными, которые мы обозначим через— 2к2 (предполагая их положительными, мы пришли бы к абсурдным физическим следствиям); таким образом, находим

(4) се (х) = е- f (а* + iß + г*) = е ~k4x*+y*+z*).

Это закон Максвелла. Критика Бертрана относится к уравнению (1), так как применение принципа сложных вероятностей правильно только, когда явления независимы. Но у нас нет уверенности в том, чтобы проекция на OY заключалась между у и у + dy независимо от вероятности, что проекция по ОХ заключается между х и х . clx. Действительно, когда формула Максвелла была доказана другим путем, легко было установить, что эти вероятности независимы (вопреки уверению Бертрана, утверждавшего â priori, что это невозможно). Может быть, было бы возможно доказать эту независимость, не пользуясь формулой Mаксвелла, и тогда вышеизложенное доказательство стало бы математически правильным. Оно, однако, не выдержало бы очень важного возражения, которое может быть сделано во всех случаях употребления функциональных уравнений; если уравнения (3) не строго точны в математическом смысле слова, а только приблизительны, что неизбежно в физических уравнениях, то невозможно делать выводы об абсолютном постоянстве каждого из членов и из них выводить дальнейшие следствия.

сила может распределяться между обоими шарами каким угодно образом. Итак, если бы мы предположили, что молекулы обладают начальными скоростями, равными по абсолютным величинам, но, разумеется, различными по направлению, то это положение изменилось бы, после первого-же столкновения; второе столкновение повело бы к новым изменениям, и так как, по нашим предположениям, каждая молекула претерпевает несколько миллиардов столкновений в секунду, то по прошествии некоторого количества времени первоначальная правильность распределения скоростей совершенно исчезла бы. Если мы попытаемся вообразить хаотическое движение, при котором каждая молекула претерпевает миллиарды столкновений в секунду, то придем к предположению, что распределение скоростей таково же, как если бы оно было случайным1), с той, только, оговоркой что полная живая сила остается неизменной2). Таким образом, мы приходим к изучению чистейшей задачи по теории вероятностей. Представим скорость каждой молекулы вектором ОМ, берущим начало в неподвижной точке О и эквиполлентным3) этой скорости; нужно найти наиболее вероятное распределение точек M в пространстве, если дана сумма квадратов их расстояний от начала.

Это—задача на непрерывные вероятности, не представляющая никакой особенной трудности; ее решение приводит к закону Максвелла. Закон этот может выражаться в следующей форме, когда точки в роде Жочень многочисленны: плотность их распределения в пространстве пропорциональна е“^2, где г обозначает расстояние ОМ. Это—тот же закон, что и закон распределения на плоскости точек попадания в мишень очень большого числа стрелков, целящихся в точку О. Наибольшая густота точек находится по соседству с точкой О, но из этого не следует заключать, что наиболее часто встречающиеся скорости—близкие к нулю; легкое вычисление показывает, что

1) Этот взгляд подтверждается изучением движения в пространстве 3-?г измерений (и—число молекул). См., например, мою книгу Introduction géométrique à quelques théories physiques.

2) При таких столкновениях не может быть речи о потере живой силы, превращающейся в теплоту, так как согласно кинетической теории, теплота есть не что иное, как живая сила молекул.

3) Эквиполлентный—значит равный по величине и направлению.

(Прим. ред.).

наиболее распространенные скорости—соседние с 1/k1). Молекулы со скоростями в 10 раз большими крайне редки, так как плотность точек, соответствующая таким скоростям, равна е~т~

Не буду останавливаться на различных вычислениях, ставших возможными благодаря закону Максвелла; из полной живой силы молекул, найденной путем массового изучения газов, можно вывести среднюю величину скорости, величину ея среднего квадрата и т. п.

65. Более интересен вопрос об отклонениях. Мы уже сказали несколько слов о колебаниях плотности, могущих происходить в газовой смеси (а также, разумеется, в простом газе); мы видели, что эти колебания недоступны опыту для сколько-нибудь заметных объемов при обыкновенных температуре и давлении; но не так обстоит дело с микроскопическими объемами, или с разреженными газами, или с очень слабыми растворами (если допустить аналогию между растворенными твердыми телами и газами). Прежде чем определять величину этих колебаний плотности, заметим, что могут происходить также колебания температуры; по определению температура газовой массы пропорциональна полной живой силе ее молекул и, следовательно, средней живой силе молекулы, т. е. среднему квадрату скорости.

Таким образом, строго говоря, выходит, что температура отдельной молекулы определяется ее скоростью, так что в каждой газовой массе есть молекулы очень холодные и молекулы, температура которых может в 5 или 6 раз превышать среднюю температуру массы (дело идет, разумеется, об абсолютных температурах; 27° цельзиевых, соответствуют 300° абсолютных; температура в 5 или 6 раз более высокая составляет, следовательно, от 1.500° до 1.800° абсолютных, т. е. от 1.200° до 1.500° стоградусных); к соображениям об этих горячих молекулах пришлось обратиться для объяснения некоторых химических явлений.

Небольшая часть газовой массы имеет температуру, обыкновенно несколько отличную от температуры массы; нам из-

1) Действительно, число скоростей, заключающихся между г и г + dr, получается от умножения плотности е-ьь* На объем 4кгЧ1г сферического слоя, если искать максимума произведения Ыг2е~х“>2, то тотчас же выясняется, что он получится при г = — .

вестно, что порядок величины отклонения, вероятность которого не равна нулю, обратно пропорционален квадратному корню из числа молекул.

М. Смолуховский первый подверг математическому анализу этот важный вопрос об отклонениях в условиях, при которых была возможна экспериментальная проверка. Так, он объяснил явление опаловых оттенков, появляющихся возле критической точки.

Следует также указать теоретические исследования А. Эйнштейна о броуновском движении и их прекрасное экспериментальное подтверждение, данное Ж. Перрэном; подробности—в книге Перрэна, об атомах.

66. Гиббс назвал статистической механикой такие исследования, где имеют место и механика, и теория вероятностей,— исследования, классическим типом которых является кинетическая теория газов, которой мы обязаны, главным образом, Максвеллу и Больцману. С точки зрения физической, трактат Гиббса не прибавляет ничего существенного к работам его знаменитых предшественников; но с точки зрения теоретической и математической, он имеет бесспорно большие преимущества в изложении «статистической механики», независимо от всякой частной гипотезы о кинетической теории.

Выражение «статистическая механика»1) имеет, впрочем, два значения; можно, как мы это делали на предыдущих страницах, рассматривать определенную газовую массу как состоящую из очень большого число молекул и изучать статистические особенности движения этих молекул: это—точка зрения Максвелла и первоначальная точка зрения Вольцмана. Но впоследствии Больцман, а за ним Гиббс приняли более общий и, подчас, даже более плодотворный взгляд; его и имеют в виду чаще всего, когда говорят о статистической механике. Вместо одной газовой массы, будем рассматривать очень большое число газовых масс, тождественных с первой, по крайней мере, поскольку это касается свойств доступных опыту; но движения молекул неодинаковы в этих различных массах. Если мы будем рассматривать число масс, достаточно большое, чтобы осуществились все возможности относительно движения молекул, то статистическая механика будет изучением свойств, на-

1) Смотри Encyclopédie des sciences mathématiques статью П. и Т. Эренфест, изложенную для французского издания Эмилем Борелем.

иболее часто встречающихся среди этих бесчисленных газовых масс1).

Легко понять, что если мы будем рассматривать массу, содержащую 1024 молекул, то число возможных гипотез относительно ее состояния, будет А^иу где А — число гипотез возможных для одной молекулы. Строго говоря, в допускаемой до настоящего времени гипотезе непрерывности А бесконечно; во всяком случае, А — число очень большое, а возводя его в степень 1024, получаем число несравненно больше2) этого показателя 1024; т. е. такого числа, у которого число цифр равно 1024. При таком огромном количестве испытаний возможные отклонения, по отношению к наиболее вероятным результатам можно считать безусловно ничтожными; или, другими словами, не ничтожные отклонения должны быть признаны невозможными, настолько они невероятны. Они столь же невероятны, как чудо дактилографирующих обезьян. Впрочем, нет ничего логически невозможного, как заметил П. Эренфест, в том, чтобы пойти еще дальше и, назвав статистическую механику молекул механикой газового порядка, а статистическую механику моделей газа-механикой второго порядка, изучать статистические механики третьего, четвертого, п—ного порядка. Однако этот теоретический взгляд до сих пор, кажется, не нашел полезного приложения.

67. Статистическая механика может быть истолкована как изучение различных возможностей, которые можно вывести из данных, частично неопределенных. Эта частичная неопределенность данных необходимо встает перед нашим умом, лишь только мы обращаемся к действительности: только с чисто теоретической точки зрения можно пытаться представить себе механическую проблему, в которой начальные значения были бы известны с абсолютной точностью. Между тем не трудно понять, что в кинетической теории газов многочисленность столкновений имеет следствием увеличение — с громадной бы-

1) Впрочем, гораздо правильнее говорить не о газовых массах, а просто о „математических моделях“ и ни о „моделях“ газа; ибо можно представить себе эти абстрактные модели как угодно многочисленными, между тем как могло бы показаться странным представление о реальных массах водорода, столь многочисленных, что их общее количество бесконечно превысит массу видимого мира.

2) Мимоходом можно заметить, что показатель Ю24 имеет большее значение, чем величина А; если взять А=1010 вместо А=10, то это равносильно возвышению 10 в степень 10'25 вместо 10“.

стротой и в огромной пропорции — самых незначительных неопределенностей.

Для простоты предположим, что молекулы имеют совершенно шарообразную форму, и вообразим, что только одна из них—подвижная—сталкивается с другими, предполагаемыми абсолютно неподвижными, молекулами. Эта упрощенная гипотеза делает рассуждения более ясными и короткими, не изменяя в наших условиях ничего по существу, в чем можно убедиться подробно проанализировав случай, когда все молекулы подвижны.

То, что мы знаем о размерах молекул, об их взаимных расстояниях и о числе испытанных каждой из них1) столкновений, позволяет нам составить себе следующее представление об изучаемом явлении, рассматривая его в очень сильном увеличении: круглые неподвижные шары, диаметром в 1 дециметр, неравномерно распределены в пространстве, так что расстояние от каждого из них до ближайшего соседнего равняется приблизительно нескольким метрам; один из шаров, подобный остальным, перемещается и отталкивается от неподвижных препятствий, двигаясь с такой скоростью2), что число столкновений в секунду выражается цифрой миллиардного порядка.

Мы видим сейчас же, что все происходит так, как будто центр подвижного шара, сведенного, таким образом, к материальной точке, перемещается, отталкиваясь от шаров, которые концентричны по отношению к неподвижным шарам, но двойного радиуса,—при чем это отталкивание происходит по законам отражения света. Таким образом, наша задача равносильна изучению отражения светового луча от этих новых неподвижных шаров.

Вообразим теперь, что вместо одного единственного светового луча, геометрически определяемого как чистая прямая линия, мы имеем бесконечно тонкий пучек; мы можем представить себе этот тонкий пучек в виде конуса вращения, угол основания которого крайне мал (ниже мы вернемся к порядку величины этого угла). Очевидно, отражаясь от выпуклой поверхности шаров, световой пучок расширится; можно представить себе без вычислений расширение, произведенное несколь-

1) См. Jean Perrin, Les Atomes.

2) Разумеется, наше увеличенное изображение нужно рассматривать как исключительно геометрическое и кинематическое; с точки зрения динамической, мы не имеем права пользоваться таким преобразованием по подобию.

кими последовательными столкновениями. Действительно, достаточно представить себе круглые полированные шары диаметром в 1 или 2 дециметра, расположенные в нескольких метрах друг от друга, и наблюдать отражение световых лучей от одного или нескольких из этих шаров. Прежде всего, если сосредоточить внимание на одном из них, легко видеть, что все предметы в нем отражаются в значительно уменьшенном виде; в частности, отражение соседнего шара имеет угловой размер, равный, по нашим предположениям, приблизительно одной десятой видимых угловых размеров шаров (если расстояние между нашим глазом и шарами равно нескольким метрам, так же как и расстояние шаров между собой). Если в маленьком отражении соседнего шара еще можно различить изображения отраженных в нем предметов, которые мы, таким образом, видим после двух последовательных отражений, то эти изображения, естественно, оказываются уменьшенными в той же пропорции.

Итти далее путем наблюдения становится почти невозможно, ибо предметы, отраженные более чем в двух шарах, до такой степени уменьшены, что никаких подробностей нельзя разглядеть; один только солнечный диск довольно ярок, чтобы можно было различить его в виде точки, видимый диаметр которой слишком мал, чтобы быть оцененным. Но это простое замечание наглядным путем приводит нас к результату, до которого мы дошли бы путем подробных вычислений; в представленных условиях каждое отражение уменьшает в десять раз видимый диаметр предметов; так, после сотни отражений видимый диаметр солнца покажется нам порядка величины 10~100 (градусов); это значит, что лучи, идущие из двух противоположных краев солнца, проникли бы в наш глаз, образуя между собой этот крайне малый угол. В силу того, что иногда называют принципом обратного возвращения световых лучей (принципа, сводящегося здесь попросту к факту, что, в законы отражения, отраженный луч и падающий луч входят симметрично), два луча, вышедших из нашего глаза, образуя этот крайне малый угол, потерпев те же отражения, но в обратном смысле, достигли бы противоположных краев солнца, т. е. образовали бы между собою угол в 10100 раз больший, нежели их начальный. После миллиарда отражений, т. е. через одну секунду начальный угол, оказался бы умноженным на Ю1 000,000 000, т. е. на число, которое наше воображение совершенно неспособно постигнуть. Впрочем, как только противоположные края начального пучка,

после ряда последовательных отражений, образуют довольно большой угол, различные части этого пучка не будут уже отражаться в одних и тех же шарах.

Возвращаясь к изображению молекул, рассматриваемая нами движущаяся молекула, не будет сталкиваться с теми же самыми молекулами. Итак, если мы захотим написать историю молекулы при различных предположениях, относительно начальных скоростей, лежащих внутри бесконечно тонкого конуса, который мы рассматриваем, то нам через малую долю секунды придется различать части первоначального пучка, дальнейшая судьба которых будет совершенно различная, так как они будут падать не на одни и те же молекулы. По прошествии еще более короткого времени понадобится новое подразделение и так далее, так что после нескольких секунд последовательные подразделения, увеличившись согласно экспоненциальному закону, станут более многочисленны, чем газовые молекулы. Исходя из различных начальных скоростей, лежащих внутри бесконечно тонкого конуса, мы приходим после нескольких секунд к признанию, что одинаково вероятными являются столкновения рассматриваемой молекулы с любой другой молекулой, при чем столкновение может произойти в любой точке поверхности молекулы, получившей толчок. Так как число комбинаций молекул по две равно просто квадрату числа молекул, то легко увидеть, что по прошествии двойного количества времени, любая возможная комбинация столкновений попарно становится одинаково вероятной, если к скоростям всех молекул отнести предположения, примененные к одной из них1).

Теперь определим точнее характер этих гипотез. Мы представили себе начальные скорости расположенными внутри конуса, угол при вершине которого крайне мал; достаточно сказать, что этот угол становится заметным лишь после умножения на К)1,000,000-000.

Попытаемся вычислить, исходя из Ньютонова закона всемирного тяготения, отклонение молекулы в промежутки времени между двумя столкновениями под действием перемещения очень малой массы, расположенной на очень большом расстоянии. Под действием земного притяжения тяжелое тело падает при-

1) Нужно было бы значительно больше времени, чтобы осуществить форму определенных соединений всех молекул попарно; ибо при вычислении количества таких соединений число молекул фигурирует в качестве показателя.

близительно на 5 метров в 1 секунду; в течение 10~10 секунд оно упадет на количество метров, в Ю-20 раз меньшее; если вместо земного шара, мы рассмотрим небольшой концентрический шар, такой же плотности, линейные размеры которого в 1017 меньше (полагая соответственно окружность большого круга равной 4 десятимиллионным миллиметра, вместо 40 миллионов метров), а масса в 1051 раз меньше земной, то отклонение еще уменьшится в 1051 раз, а всего будет в 1020 X Ю51 = Ю71 раз меньше. Перенесем теперь этот маленький шар за пределы видимой вселенной, в точку, откуда свет достигает до нас через миллиарды лет, вместо одной пятидесятой доли секунды, необходимой для прохождения пути из центра земли; так как расстояние в 1018 раз больше, то притяжение становится в 1036 раз меньше; отклонение, следовательно, в результате меньше в 1071 X Ю36 = 10107 раз. Наконец, при помощи аналогичного вычисления, которое я опускаю, мы получили бы величину отклонения, произведенного уже не действием маленького шара, помещенного на таком чудовищном расстоянии, а перемещением на одну миллионную миллиметра такого же шара, находящегося на таком же расстоянии. Даже применив, таким образом, все гипотезы, дающие возможность уменьшить действие, нам не удастся разделить отклонение даже на 10200,— иными словами, вызванные таким действием изменения траектории молекулы огромны по отношению к тому, что нам было нужно для нашего рассуждения. Итак, представление газовой массы одной единственной моделью, состоящей из молекул, положения и скорости которых строго определены для данного момента, является чисто абстрактной фикцией. Можно приблизиться к действительности только представив себе пучок моделей, т. е. сообщая начальным данным некоторую неопределенность. Как бы ни была слаба эта неопределенность, соответственно слабой неопределенности внешних сил, действие столкновений очень быстро рассеивает пучки траекторий, предполагаемые бесконечно тонкими, и проблема последующего движения молекул через очень малое число секунд становится очень неопределенной, в том смысле, что имеется огромное количество различных возможностей â priori одинаково вероятных. Само собою разумеется, в определенный, данный момент, может быть реализована только одна из этих возможностей, но неопределенность возрождается в таком же объеме, как только мы поставим вопрос о будущем положении, даже если это бу-

дущее очень близкое. Итак, единственная форма, в которой вопрос может быть поставлен и разрешен, это — форма статистическая: можно ли разделить очень большое количество возможных случаев на две очень неравных группы, соединяя в более многочисленной из них все случаи, имеющие некоторые общие свойства? Таким образом, рассматривая все возможные комбинации из миллиарда последовательных партий в орлянку, можно разделить их на две группы, причем в первую группу войдут комбинации с отклонением меньше 1.000.000, где, следовательно, число выигранных партий заключается между 499.000.000 и 501.000.000, а, во вторую группу, войдут все остальные. В виду того, что первая группа несравненно многочисленнее второй, бесконечно вероятно, что явление, имеющее случиться, будет принадлежать к этой первой группе, т.-е. будет обладать таким свойством, что отношение числа партий с решеткой к числу партий с орлом, будет заключаться между 0,996 и 1,004. Выводы, к которым приводит применение статистических методов к изучению проблем кинетической теории, той же природы, что и предыдущие; однако, в виду очень большого числа молекул, они еще более точны; что же касается смысла, который следует приписать словам бесконечно вероятно, то мы можем лишь сослаться на чудо дактилографирующих обезьян.

68. Когда проблемы статистической механики ставятся в указанной выше форме, то легко можно устранить возражение, называемое возражением Лошмидта. Оно состоит в следующем. Применение кинетической теории к термодинамическим явлениям дает возможность выяснить сущность необратимых явлений, вроде установления температурного равновесия между двумя приведенными в соприкосновение телами. Но кинетическая теория пользуется механическими явлениями, которые все обратимы, т. е. таковы, что представляющие их уравнения не изменяются от перемены знака времени. Более конкретно: если представить себе, что в известный момент мы заставим каждую молекулу повернуть назад, сообщая ей скорость прямо противоположную ее настоящей скорости, все произойдет так, как если бы кинематографировав явление, мы пустили ленту наоборот, т. е. начиная с последних моментов. Поэтому-то невозможно,—утверждает Лошмидт,—объяснить таким обратимым механизмом необратимые явления. Это возражение отпадает, если хорошенько понять неизбежно

статистический характер механических объяснений; мы пытаемся выяснить не строго определенный ход механических молекулярных явлений, но наиболее вероятный из всех возможных ходов; эта неопределенность будущего и есть принцип статистической механики; но нельзя было бы говорить о неопределенности прошлого; и вот почему различие между будущим и прошлым, т. е. асимметрия принципа Карно по отношению к знаку времени не противоречит механическому объяснению термодинамических фактов.

Мы вернемся ниже (гл., X) к обсуждению теории необратимости.

69. За последние годы усиленно изучались важные и новые явления, в которых теория вероятностей выступает, так сказать, на каждом шагу: это — явления радиоактивности. Я не имею возможности распространяться здесь ни об истории открытия, ни о деталях этих явлений, столь быстро занявших такое важное место в физике1). Между тем необходимо хотя бы вкратце определить их природу. Существенным свойством радиоактивности является самопроизвольное разложение некоторых атомов. Это разложение существенно отличается от химической диссоциации молекул на атомы несколькими особенностями, из которых, пожалуй, главной является его независимость от всяких физических воздействий2). Иными словами, определенное радиоактивное вещество за известный промежуток времени теряет, в силу свойства радиоактивности, строго определенную долю своего веса. Таким образом, все происходит так, как если бы каждый радиоактивный атом имел одинаковую вероятность распасться в любой момент, при чем эта вероятность не может быть изменена ни физическими агентами (температура, давление, электрическое или магнитное поле), ни самопроизвольным старением самого атома. Если считать эту точку зрения совершенно точным изложением экспе-

1) Об истории см. в Revue du Mois от 10 января 1913 г., Нобелевскую лекцию 1903 года г-на Кюри и Нобелевскую лекцию 1912 года г-жи Кюри. Несколько периодических изданий в разных странах специально посвящены научным исследованиям по радиактивности; в частности, во Франции ежемесячный журнал „Le Radium“.

2) Сверх того, радиактивность до сих пор совершенно необратима, т-е. мы не знаем никакого способа вновь скомбинировать атомы, получающиеся от разложения радиактивкого атома. Но этот отрицательный признак зависит, быть может, только от недостаточности нашей техники.

риментальных фактов—а кажется, это так и есть1),—то математическое изучение радиоактивных явлений явно входит в круг ведения теории вероятностей. Впрочем, для многих из этих явлений можно пользоваться только наблюдаемым результатом в целом, т.-е. разложением вещества в определенной пропорции за данный промежуток времени, для других же явлений теория вероятностей неизбежно и явно выступает на первый план, как, например, в изучении сверканий и в прямом подсчете частичек, испускаемых радием и другими радиоактивными веществами.

Эти а частицы представляют собою не что иное, как атомы гелия; мы должны допустить, что в течение одной секунды приблизительно из ста миллиардов атомов радия один разлагается на атом гелия и атом нитона. Атом гелия выбрасывается с очень большой быстротой и порождает электрические явления, которые и дают возможность обнаружить его присутствие. Если не принимать особых мер, то выпущенные таким образом частицы а оказываются слишком многочисленными, чтобы было возможно наблюдать их отдельно. Один грамм радия содержит в действительности несколько десятков миллиардов раз по сто миллиардов атомов, так что даже при пропорции один на сто миллиардов их разлагается несколько десятков миллиардов в секунду2). Для того, чтобы свести это число к нескольким единицам в секунду, или даже к единице в несколько секунд, можно указать два способа, которые употребляются одновременно. Прежде всего, можно сократить употребляемую массу, что легко сделать, пользуясь слабыми растворами радиоактивных солей; затем — сократить, посредством последовательных экранов, угловое отверстие, в которое наблюдается испускание. В самом деле, закон случая также хорошо приложим к направлению, в котором испускается а частица, как и к самому испусканию; одинаковые части шаровой поверхности имеют одинаковые шансы получить эти снаряды; если выделить те, которые соответствуют тысячной или десятитысячной доле поверхности шара, то их получится в 1.000 или 10.000 раз меньше. Но поверхность круга диаметром в один сантиметр есть десятитысячная доля поверхности шара радиусом 25 сантиметров. Итак, легко понять, что даже оперируя с более радиоактив-

1) См. M-me P. Curie, Traité de radioactivité (Gauthier-Villars).

2) Около 34 миллиардов, по последним наблюдениям.

ными чем радий телами, без труда удалось экспериментально обнаружить выбрасывания а частиц и измерить промежутки времени, их разделяющие. Распределение этих интервалов вокруг их средней есть проблема непрерывных вероятностей. Так как продолжительность опыта по отношению к времени, необходимому для заметного уменьшения используемой радиоактивной массы, невелика, то в действительности можно считать вероятность испускания величиной постоянной; отсюда математическое ожидание игрока, получающего определенную сумму с каждой выброшенной частички, пропорционально времени. Проблема непрерывных вероятностей может выразиться в следующей геометрической форме: на некоторой прямой отмечено наудачу известное число точек так, чтобы в среднем приходилось hx точек на длину х; какова вероятность, чтобы расстояние, отделяющее одну точку от другой, помещающейся непосредственно вправо от нее, превышало данную длину у. Легкое вычисление показывает1), что это вероятность равна e~hy. Если измерить большое количество расстояний (т.-е. промежутков времени, протекших между двумя последовательными выбрасываниями), то можно проверить согласие этого результата с опытом. Такая проверка была сделана и дала удовлетворительные2) результаты, делая вместе с тем весьма правдоподобной исходную точку вычислений. Изучение сверканий ведет также к удовлетворительным результатам,

70. Понадобился бы целый отдельный труд, чтобы изложить подробно новейшие применения теории вероятностей к физике, так они были многочисленны за последние годы. Ограничимся беглым указанием на последние экспериментальные и теоретические исследования Ланжевена об ионизированных газах3) и о магнитной проницаемости газов4), на экспе-

1) Е. Borel. Introduction géométrique à quelques théories physiques. Note Y (Gauthier-Villars).

2) Я укажу здесь вполне законченный опыт, поставленный г-жей Кюри при помощи ее препараторов и еще не опубликованный в тот момент, когда я пишу эти строки. Этот опыт относился к 10.000 выбрасываний, и числовое изучение, сделанное с большой тщательностью г-жей Кюри, великолепно согласуется с теоретическими предвидениями. Такое соответствие является наиболее полным экспериментальным доказательством неизменности радиоактивности.

3) Thèse. Paris, 1902.

4) «Journal de physique», 4 (1905), p. 678 и «Annales de chimie et de physique», 8-me, série, t. IV, 1905, p. 70. Прекрасная теория парамагнетизма Ланжевена.

риментальные работы Перрена по броуновскому движению1), на статьи о лучеиспускании Ван-дер-Ваальса младшего2), Г. А. Лоренца3) и Эйнштейна4), которые можно, впрочем, связать с более ранними исследованиями лорда Рэлея5), на статьи о диффузном рассеянии света молекулами6), на работы Коттона и Мутона о двойном электрическом и магнитном преломлении в жидкостях7), на изучение термодинамического поведения ультра разреженных газов8), когда путь, проходимый молекулой между двумя столкновениями, велик по сравнению с размерами сосуда, так что столкновения со стенками играют преобладающую роль по отношению к столкновениям молекул между собою, и на многие другие вопросы, изложение которых вышло бы из рамок настоящего труда. Тем не менее мне кажется необходимым дать хотя бы некоторое понятие о постановке трех исключительно важных в современной физике вопросов: равно распределения энергии, общего определения энтропии, как логарифма вероятности, и теории квантов.

71. Принцип равнораспределения энергии, в простейшем своем виде, состоит в том, что в газовой смеси средняя живая сила (т.-е. половина произведения массы на квадрат скорости) одинакова для различных видов молекул, так что средняя скорость уменьшается обратно пропорционально корню

(Langevin), привела П. Бейеса (Weiss) к понятию магнетона, или атома магнетизма, понятие, объясняющее многие экспериментальные факты и позволившее предвидеть еще множество других. См. Weiss, Les moments magnétiques des atomes et le magneton, в книге: Les idées modernes sur la constitution de la matière (Gauthier—Villars, 1913).

1) См. Jean Perrin. Les Atomes (Paris, F. Alcan).

2) Dissertation. Amsterdam, 1900.

3) Emission und Absorption der Metalle (Proc. Amst. 1903, p. 666).

4) «Annalen der Physik* (4), 19 (1906), § 2.

5) J. W. Strull (Lord Rayleigh). On the resultant of a large number of vibrations of the same pitch and of arbitrary phase. («Scientific papers», 1871 no 6, p. 76. (1880), no. 68, p. 491).

6) H. A. Lorentz Académie d'Amsterdam, 25 juin, 1910; A. Einstein, Annalen der Physik, 34 (1911).

7) «Bulletin de la Société française de physique», 1910. См. также Paul Langevin в Radium, 1910, p. 249 и A. Corbinо «Physikalische Zeitschrift», 1910, p. 756.

8) Очень ясное изложение этого последнего вопроса можно найти в лекции Дюнуайе (Dunoyer), опубликованной Французским Обществом Физиков в упомянутой уже книге: Les idées modernes sur la constitution de la matière.

квадратному из молекулярного веса. Таким образом, средняя скорость молекул кислорода, которые в 16 раз тяжелее молекул водорода, при одинаковых температурных условиях, в 4 раза меньше; при обычной температуре эта средняя скорость равна 1.700 метрам для водорода и 425 метрам для кислорода.

Не вдаваясь в подробные вычисления, которые довольно длинны и кропотливы, легко понять, что молекулы, живая сила которых значительно превышает среднюю живую силу, имеют по сравнению с другими относительно большую вероятность столкнуться с молекулами, представляющими как бы препятствие на их пути, а такие столкновения естественно ведут к потере живой силы быстрой молекулой и к приобретению ее молекулами, получившими такой толчок. Таким образом, невозможно, чтобы некоторые привилегированные молекулы постоянно имели живую силу выше средней; действие столкновений таково, что они вновь приводят к средней молекулы, временно от нее отклонившиеся. Итак, можно предполагать (само собой разумеется, это рассуждение не может назваться строгим), что все молекулы поочередно будут обладать скоростью выше и ниже средней и что, следовательно, средняя живая сила будет одинакова для всех.

Равнораспределение энергии экспериментально подтверждается, как это показал Ж. Перрэн, для микроскопических частичек, подвешенных в жидкости и перемещающихся неправильным движением, названным броуновским. Мы только что сказали, что при обычной температуре скорость молекулы водорода равна 1.700 метров в секунду; эта скорость равна 170.000 в единицах G. G. S; с другой стороны, масса молекулы водорода равна приблизительно ЗЛО-24; кинетическая энергия получается путем умножения половины массы на квадрат скорости, что дает около 4.10~и дин. Если, как это сделал Перрэн, наблюдать зерна, масса которых есть величина порядка Ю-14 (что соответствует диаметру в несколько десятитысячных миллиметра), то скорость, соответствующая этой кинетической энергии, будет величиной порядка единицы, т.-е. одного сантиметра в секунду.

Фактически измеряется не скорость, а перемещение заданный промежуток времени, перемещение, являющееся равнодействующей большого числа неправильных перемещений; теория вероятностей позволяет, как это показал А. Эйнштейн,

вывести величину средней скорости из средней величины перемещения, измеренной таким образом1).

До сих пор мы говорили только об энергии, соответствующей перемещению совокупности молекул, или об энергии перенесения; именно к этой энергии, был вначале применен принцип равнораспределения энергии и для нее он представляет меньше всего трудностей. Но можно дать и гораздо более общую формулировку этого принципа, которая в некоторых случаях приводит к неоспоримо верным выводам, а в иных—вызывает весьма серьезные затруднения. Эта формулировка основывается на понятии степени свободы системы, понятии вполне ясном для простых механических систем, но довольно смутном для непрерывных систем, напоминающих эфир в представлении некоторых физиков. Шар, предполагаемый совершенно гладким, ни в коем случае нельзя внешним механическим действием заставить вращаться вокруг самого себя; его перемещения совпадают, следовательно, с перемещением центра его тяжести; если он может свободно двигаться в пространстве по трем направлениям, то говорят, что шар имеет три степени свободы; он имел бы их только две, если бы его центр был вынужден оставаться в данной плоскости или на определенной поверхности. Рассмотрим теперь молекулу, имеющую форму эллипсоида с тремя неравными осями; вследствие столкновений эллипсоид будет вращаться, и для того, чтобы определить его положение, нужно будет, кроме трех координат центра, знать и направление осей, что требует еще трех числовых данных; таким образом, эллипсоид имеет шесть степеней свободы; число их свелось бы к пяти, если бы это был эллипсоид вращения; но оно не может быть сведено к четырем, ибо эллипсоид, симметричный по отношению к двум своим осям, должен быть симметричен и по отношению к третьей,—в таком случае он будет уже шаром2). Общее выражение принципа равнораспределения таково: средняя кинетическая энергия одна и та же для каждой степени свободы. Одно из наиболее замечательных экспериментальных подтверждений этого принципа дается нам вели

1) См. цитированную выше работу Ж. Перрэна.

2) Это — свойство, происхождение которого заключается в структуре группы симметрии в пространстве. Весьма замечательно, что это чисто аналитическое и геометрическое свойство указанной группы мы находим и в физических свойствах о которых сейчас будет речь (удельная теплота).

чинами удельной теплоты газов и твердых тел при обычной температуре; эта удельная теплота принимает значения существенно одинаковые для многочисленных групп тел, при чем эти постоянные значения пропорциональны числам 3, 5 и 6, соответствующим трем, рассмотренным нами случаям симметрии: шар, эллипсоид вращения, эллипсоид с тремя неравными осями. Однако, изучение удельных теплот при низкой температуре представляет большие трудности, о которых мы сейчас скажем несколько слов в связи с теорией квант.

Мы не имеем здесь возможности касаться подробностей вычислений, относящихся к общему принципу равнораспределения; укажем, однако, что точное определение средней энергии для данной степени свободы необходимо требует разложения обшей энергии на сумму квадратов, каждый из которых относится к одной из степеней свободы без прямоугольных членов1).

Другое, еще более серьезное затруднение, казалось бы, может быть разрешено только гипотезами прерывности, аналогичными гипотезам теории квант. Кажется невозможным допустить, чтобы молекула или атом имели строго сферическую форму и, следовательно, не могли приобрести никакой энергии вращения. А как бы незначительна ни была несимметричность по сравнению с шаром, раз она существует, вращение перестает быть невозможным: так как случаи (столкновения) бесконечно многочисленны, то вращение будет происходить, и равнораспределение будет осуществляться. Легко представить себе без вычислений, что причины, затрудняющие приобретение энергии вращения, в то же время затрудняют и потерю ее, раз она приобретена. Еще многие другие затруднения могут возникнуть по поводу равнораспределения; они далеко не все разрешены2), но эти трудности не должны позволить нам забывать о тех случаях, когда принцип равнораспределения покоится на твердых основаниях,— тогда этот принцип может рассматриваться как передающий одно геометрическое свойство

1) При некоторых вычислениях допускают, что прямоугольные члены пропадают в средних вследствие симметрии. Эти вычисления следовало бы, мне кажется, рассмотреть очень тщательно, по причине очень большого числа прямоугольных членов, сравнительно с членами квадратными; хотя каждый из них отдельно может быть очень малым, а совокупность их между тем может быть весьма значительной.

2) См. Rapports et Discussions de Bruxelles 1911., опубликованные Pau Langevin et Maurice de Broglie (Gauthier-Villars).

поверхностей второго порядка (эллипсоидов) в пространстве с очень большим числом измерений, —поверхностей, изучение которых составляет часть теорий вероятностей1)'

72.Больцман и Гиббс показали, что в случае газа, функция, которую Клаузиус назвал энтропией, отличается только множителем от логарифма вероятности определенного состояния. Форму, данную Клаузиусом принципу Карно, по которому энтропия изолированной системы никогда не убывает, можно выразить так, что изолированная система никогда не переходит от более вероятного состояния к менее вероятному; она, естественно, эволюционирует к наиболее вероятным состояниям.

Энтропия системы, образованной соединением двух других, равна сумме энтропии, между тем как вероятность определенного состояния системы в целом равна произведению вероятностей соответствующих состояний частей системы; эти отношения согласуются с основным свойством логарифмов; логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Таким образом мы пришли к широкому обобщению соотношения, выведенного для газов при помощи кинетической теории:

Энтропия = дХлогарифм вероятности.

Впрочем, можно принимать это основное отношение за определение вероятности, считая, что энтропия определена (за исключением аддитивной постоянной) классической термодинамикой; обратно, можно определять энтропию, исходя из вероятности. В том и другом случае представляются довольно серьезные затруднения в определении самой вероятности некоторого определенного состояния системы, зависящего от постоянно меняющихся параметров. Некоторые из этих затруднений, но не все, избегнуты посредством гипотезы квантов Планка, о которой мы сейчас будем говорить.

73. Гипотеза квантов была придумана для того, чтобы избегнуть выводов, противоречащих опыту, к которым нас приводит применение принципа равнораспределения энергии к теории лучеиспускания. Нам известно, что в закрытом сосуде вследствие лучеиспускания устанавливается равновесие температуры между всеми телами, заключающимися в сосуде; равновесие устанавливается отдельно для различных лучей с волнами различной длины; таким образом, мы приходим к определению

1) Е. Borel. Introduction géométrique â quelques théories physiques (Gauthier-Villars).

так называемого состава черного лучеиспускания при определенной температуре. С другой стороны, можно думать, что свечение через лучеиспускание вызвано резонаторами, из которых каждый имеет определенный период (и, следовательно, определенную частоту).

Состав черного лучеиспускания при определенной температуре соответствует распределению полной энергии лучеиспускания между резонаторами с различными периодами. Если бы это распределение происходило по законам обыкновенной статистической механики, то оно должно было бы удовлетворять принципу равнораспределения. Но из этого вытекало бы, что интенсивность лучеиспускания волн различной длины должна была бы меняться пропорционально абсолютной температуре; следовательно, полированная серебряная пластинка, которая очень сильно блестит в темноте, если нагреть ее до 1.227° С. (или 1.500° абсолютных) должна была бы быть в пять раз менее яркой, т.-е. блистать еще очень заметно при 27° С (или 300° абсолютных). Это заключение резко противоречит непосредственному опыту. Таким образом, необходимо предположить, что резонаторы, период которых соответствует видимым радиациям, испускают при обыкновенной температуре гораздо меньше энергии, чем это требовалось бы по принципу равнораспределения. Гипотеза, которой Планк объяснил этот экспериментальный факт, кажется на первый взгляд странной; она, однако, показала себя в течение 10 лет очень плодотворной, и, несмотря на многочисленные трудности, которые еще остается разрешить, несмотря на изменения в деталях, иногда противоречивые между собою, но необходимые для согласования с другими теориями,—теперь кажется бесспорным, что эта гипотеза не есть чисто теоретическая абстракция; несомненно, что прерывность, являющаяся ее существенной чертой, уцелеет после всех преобразований, необходимость которых признают самые горячие ее приверженцы.

В основе теории квант лежит гипотеза, что по крайней мере в некоторых условиях (лучеиспускание), энергия резонатора не может изменяться непрерывным образом, а только прерывными квантами, целыми кратными одного кванта, равного произведению числа колебаний на константу h (мировую константу Планка). Чем больше число колебаний jjl, т.-е. чем короче периоды, тем больше произведение u. h; таким образом можно понять, почему резонаторы с большим числом колеба-

ний, соответствующим световым колебаниям, могут бездействовать при обыкновенной температуре, хотя бы тепловое лучеиспускание было очень значительно.

С точки зрения теории вероятностей, теория квант также вводит прерывность и в изучении равнораспределения заменяет проблему непрерывных вероятностей (которая приводила к выводам, противоречащим опыту) проблемой прерывных вероятностей. Это—проблема наиболее вероятного распределения энергии между различными резонаторами, при чем это распределение должно быть сделано так, чтобы на долю каждого резонатора пришлось целое кратное кванта, определенное его периодом (или, по крайней мере, считать с точки зрения вероятности, тождественными те распределения, в которых энергия, присвоенная резонатору, заключается между целым кратным кванта и непосредственно за. ним следующим целым кратным).

Можно, впрочем, заметить, что если не допустить прерывности или другой равносильной1) гипотезы, то определение вероятности состояния приведет к затруднениям, аналитически неразрешимым; единственные распределения, вероятность которых не равна нулю, это—равномерные или квази равномерные распределения. Систематическое введение прерывности не уничтожает всех затруднений в общем определении состояния, но оно их смягчает; можно представить себе, что при систематическом употреблении прерывных переменных в определении физических величин (кванты вращений и т. п.) можно рассматривать явления, могущие происходить в ограниченном и замкнутом пространстве, как зависящие от конечного числа параметров, из которых каждый может иметь только конечное число значений, и таким образом полное число возможностей также конечно, хотя, понятно, крайне велико. Такое представление не согласуется с идеями о непрерывности, показавшими себя столь плодотворными в XVIII и XIX веках при изучении естественных явлений и благодаря которым было одержано столько научных и промышленных побед. Кажется очень трудным совсем расстаться с прежними представлениями, и не легко выяснить, в какой мере их можно примирить с новыми идеями; одно кажется бесспорным: это—важная роль, которую отныне не перестанет играть теория вероятностей в физических теориях.

1) О некоторых непрерывных гипотезах, равносильных прерывным, см. Е. Borel. Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 5 января 1914 г.

ГЛАВА VII.

Математические науки.

74. Несколько слов об астрономии и космогонии. — 75. Антитеза математики и случая.—76. Соизмеримые числа и вероятность.—77. Мера линейных множеств.—78. Рациональность конкретных чисел.—79. Вопрос об атомных весах. — 80. Мера множеств двух измерений и функции комплексного переменного.

74. Астрономические применения теории вероятностей можно причислять либо к физическим применениям, вследствие их аналогии с кинетической теорией газов, либо к математическим применениям: небесная механика, со времен Ньютона и Лапласа, может считаться одной из математических наук, так как она выводит из небольшего числа основных положений точные и определенные результаты, которые остается только проверить наблюдением.

Астрономические и космогонические исследования, в которых встречается теория вероятностей, слишком специальны, чтобы здесь можно было изложить их подробно. С другой стороны, они еще не привели к достаточно определенным результатам, дающим возможность вкратце перечислить выводы. Я, следовательно, должен ограничиться тем, что отмечу их существование1).

75. На первый взгляд кажется парадоксальным, что теория случая может применяться в чистых математических науках, так как, казалось бы, это—область, где все точно определено, где выводы абсолютно строги и где, следовательно, нет места случаю и вероятности. Я хочу попытаться показать, каким

1) Среди наиболее важных работ по этим вопросам следует прежде всего отметить труды лорда Кельвина (см. полное собрание его сочинений). Совсем недавно Шарлье, астроном Лундской обсерватории (Швеция), напечатал ряд интереснейших заметок и мемуаров по звездной статистике.

образом можно было притти к введению в вопросы чистой математики языка и методов теории вероятностей; чтобы достигнуть этого, я должен буду просить читателей, знакомых только с элементарной математикой, принять на веру выводы, доказательство которых изложено в специальных трактатах и не может быть здесь помещено1).

76. Наиболее простые вопросы вероятности, которые возникают в чистой математике, это—вопросы, относящиеся к действительным числам, так как множество этих чисел есть одно из бесконечных множеств, которые мы знаем или, вернее, думаем, что знаем лучше всего,—ибо стоит только углубиться в их природу, как очень быстро сталкиваешься с непредвиденными трудностями. Между тем не подлежит сомнению, что всякий человек, знакомый с началами математики, понимает, о чем идет речь, когда ему говорят о числах, заключающихся между 0 и 1, т.-е. о множестве неограниченных десятичных дробей, вроде:

О, 43752.....

Среди этих чисел различают соизмеримые (подразумевается с единицей), т.-е. такие, которые равны дроби как г/2 или а/3, и несоизмеримые, т.-е. такие, которые неравны в точности никакой дроби, как, например, квадратный корень из 2; несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной была известна уже греческим геометрам. Если писать числа в виде десятичных дробей, то соизмеримые числа дадут дроби с конечным числом знаков, как 0.5 или периодические дроби, как 0,166..., которая равна У6. Дробь с конечным числом знаков можно, впрочем, рассматривать, как частный случай периодической дроби: случай, когда период состоит исключительно из нулей или из девяток (ибо 0,4999... эквивалентно 0,5). Почти очевидно, что вероятность того, чтобы неограниченная десятичная дробь была периодической, равна нулю2), так как эта вероят-

1) См. например, Е. Borel, Leçons sur la théorie des fonctions (Gauthier.-Villars).

2) Чтобы доказать этот пункт по всей строгости, нужно воспользоваться счетовыми вероятностями. См. Е. Borel, Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques. (Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo, т. XXVII, 1909) и Un problème de probabilités relatif aux f actions continues (Mathematische Annalen, т. 72, 1912).

ность меньше всякого значащего числа. Если в самом деле представить себе, что мы пишем последовательно все десятичные цифры вправо от запятой, то для того, чтобы десятичная дробь была периодической, нужно, чтобы, начиная с определенного момента1), все цифры воспроизводились в определенном порядке; нужно, следовательно, чтобы произошло бесконечное множество благоприятных случаев; в силу принципа сложных вероятностей нужно получить произведение бесконечного множества дробей, меньших единицы2), так что получается результат сколь угодно малый, т.-е. нуль. Можно выразить тот же факт, говоря, что вероятность бесконечно мала, употребляя при этом слова «бесконечно мала» не в смысле «очень мала», а в смысле близком к тому, который придается им в математическом анализе: переменная величина, стремящаяся к нулю. Действительно, может показаться странным говорить о вероятности равной нулю для явления, которое не невозможно, так как соизмеримые числа существуют; между тем это не является парадоксальным, если принять во внимание, что полное количество чисел бесконечно велико и что от умножения бесконечности на нуль получается не нуль, а неопределенность. Таким образом, вероятность, чтобы выбранное н удачу число оказалось именно данным, очевидно, равна нулю3).

77. Вывод, к которому привело нас арифметическое изучение десятичных чисел, подтверждается также геометрическим

1) Рассуждая строго и полно, нужно считаться с тем фактом, что период может быть как угодно длинным; сошлемся на только что упомянутый мемуар.

2) И даже меньше определенной дроби меньшей единицы.

3) Само собой разумеется, надо условиться о значении слов: „выбранное наудачу“. Мы предполагаем, что они означают, что вероятность одинакова для всех чисел; таким образом, значение ее может быть только нуль, так как если бы она была положительной, то, как бы она ни была мала, мы получили бы при выборе достаточно большого числа чисел вероятность, превышающую единицу, что является абсурдом. Не так обстоит дело, если считать, что неизвестное число, вероятность которого мы определяем, является решением некоторой проблемы анализа, хотя бы и сложной. В этом случае почти невозможно точно определить вероятность, так как чувствуется, несмотря на трудность точного подтверждения a priori этого взгляда, что простые числа каковы действительные числа, элементарные иррациональные, или употребительные трансцендентные, каковы е и ïï, более вероятны, чем число, десятичные знаки которого подчинялись бы очень сложному арифметическому закону.

изображением чисел на неподвижной прямой, или оси, точкой, абсцисса которой равна данному числу.

Число X изображется точкой M на оси так, чтобы ОЖ было равно X, считая О за начало абсцисс1); числа х, заключающиеся между 0 и 1, представлены, таким образом, всеми точками отрезка OA, длина которого равна единице; точка О соответствует нулю, а точка А — единице. Ясно, что всякая часть отрезка OA, как бы она ни была мала, содержит бесконечное множество рациональных чисел (т.-е. точек, представляющих рациональные числа); примем для ясности, что часть 2IN больше одной миллионной,—тогда достаточно рассмотреть последовательные интервалы, протяженностью равные одной десятимиллионной, т.-е. от 0 до 0,0000001, затем от 0,0000001 до 0,0000002 и т. д. до 0,9999999—1, чтобы стало ясным, что некоторые из этих интервалов должны находиться целиком внутри MN (в противном случае, длина MN была бы меньше суммы двух последовательных интервалов, т.-е. двух десятимилионных); если предположить, что промежуток от 0,3456778 до 0,3456779 находится внутри MN, то все рациональные числа, которых первые семь десятичных знаков суть 0,3456778, расположены на MN; их, очевидно, бесконечное множество. Рассуждение было бы то же самое, если бы, вместо того, чтобы предположить MN больше одной миллионной, предположили его больше миллиардной доли миллиардной или любой другой дроби, как бы мала она ни была.

Это свойство можно выразить словами, что рациональные числа расположены плотно на всем протяжении OA. Как совместить этот факт с тем, что вероятность, чтобы выбранное на удачу число было рациональным, равна нулю? Чтобы понять это, необходимо точно определить одно очень важное понятие, понятие о мере линейного множества, т.-е. множества точек, лежащих на отрезке вроде OA. По определению, мерой такого отрезка будет его длина, которую мы полагаем равной единице; если мы имеем отрезок MN, лежащий на OA, длина которого равна, например, 0,3, то мы точно так же скажем, что мера совокупности точек, составляющих отрезок MN, равна 0,3. Это определение без затруднений распространяется на случай, когда мы рассматриваем на OA некоторое конечное число

1) Я оставляю в стороне отрицательные числа.

отрезков: MN, M'N', M“N“, друг на друга не налагающихся; мера множества, образованного точками, лежащими на этих отрезках, равна сумме их мер, т.-е. их длин, а эта сумма неизбежно будет меньше единицы — меры OA, если все отрезки лежат на OA и друг на друга не налагаются. При таких определениях ясно, что вероятность, чтобы точка Р, по условию находящаяся на ОАу пришлась на MN, равняется мере MN; вообще, вероятность, чтобы точка Р принадлежала к множеству, образованному отрезками MN, M'Nr, MnNffj равна мере этого множества; определенная таким образом вероятность, так же как и мера, несомненно, меньше единицы. Допустим возможность распространения этих понятий меры и вероятности на случай, где рассматривается не конечное, а бесконечное множество отрезков, не налагающихся друг на друга. Заметим, кроме того, что, если множество точек таково, что все они находятся внутри MN, то вероятность, чтобы данная точка к нему принадлежала (т.-е. его мера) самое большее равна вероятности, чтобы точка принадлежала к MN (т.-е. мере ЛОГ).

Если хорошенько разобраться в этих определениях и замечаниях, то легко будет доказать, что мера множества, состоящего из рациональных чисел, равна нулю, хотя это множество плотно на всем протяжении OA. Чтобы удостовериться в этом, пересчитаем в определенном порядке эти рациональные числа, стараясь не пропустить ни одного; для определенности возьмем сначала крайние точки 0 и 1, которые представляются целыми числами, затем 2/2, знаменатель которого 2, затем а/3 и 2/з> знаменатель которых 3, потом г/4 и ZU> потом 1/ь, 2/5, 2/ь> é/5 и так далее. Каждую из этих точек поместим в средине интервала, внутри которого она, таким образом, будет находиться1). Длины этих интервалов возьмем последовательно равными 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., и сумма их будет равна, следовательно, неограниченной периодической дроби 0,11111......, т.-е. 1/9. Итак, мы видим, что все рациональные числа, лежащие на OA, можно заключить в интервалы, сумма которых меньше 1/9,

1) Не будем принимать в расчет части интервалов, лежащих вне отрезка. OA; также не будем принимать в расчет доли каждого интервала (или весь интервал), лежащий внутри интервала ранее построенного. Эти детали, на которых я не останавливаюсь, не могут ослабить выводов, остающихся справедливыми a fortiori.

тогда как длина OA равна единице, несмотря на то, что рациональные числа плотны на всем OA. Этот вывод кажется слишком парадоксальным, чтобы я на нем немного не остановился. Если представить себе материально OA в виде стержня или нити из совершенно непрерывного вещества, можно было бы вообразить, что мы вырезываем и вынимаем отмеченные нами частичные интервалы. Сначала отнимается интервал длиною в 0,1, содержащий точку 0, затем интервал длиною 0,01, содержащий точку 1, потом интервал длиною 0,001, содержащий точку 1/2, и так далее. Последовательные операции, проделанные таким образом, повлекут удаление всех рациональных точек, так что прямая OA окажется целиком разрезанной, в том смысле, что от нее не останется никакой непрерывной части. И этот результат будет достигнут отнятием менее чем одной девятой части массы OA; неотнятые части (если можно их называть так, хотя не остается никакого целого куска), гораздо более значительны, чем отнятые. Отметим мимоходом, насколько несовершенно наше пространственное чутье непрерывного, так как оно не позволяет нам представить себе этот результат, весьма, однако, простой с арифметической точки зрения.

Ясно, впрочем, что ничто не мешает нам взять интервалы в десять или в сто раз меньше, т.-е. начать с 0,01 для первого, оставляя все последующие в 10 раз меньше предыдущего. Дробь 1/9 тогда была бы заменена 1/90 или /goo? очевидно, позволительно написать сколько угодно нулей вправо от знаменателя дроби; таким образом, мы приходим к заключению, что мера совокупности рациональных точек как угодно мала, т.-е. равна нулю: вероятность, чтобы точка, выбранная наудачу на OA, была рациональной, равна нулю. Геометрическое понятие меры приводит к тому же результату, как и арифметическое сравнение периодических дробей с непериодическими.

78. Если мы будем рассматривать уже не абстрактные арифметические числа, а экспериментально определенные конкретные числа, то вопрос о том, рациональны они или иррациональны, на первый взгляд кажется бессмысленным. Число, полученное из опыта, на самом деле никогда не известно точно, а только с известным приближением; имеется некоторое количество точных десятичных знаков, а об остальных ничего не известно; так что число может рассматриваться, по желанию, как рациональное или как иррациональное.

Тем не менее существует естественное стремление, если результат опыта показывает, что какое-нибудь отношение заключается между 0,49999 и 0,50001, полагать его равным точно 0,5, предпочтительно перед более сложным арифметическим значением. Для того, чтобы выяснить это несколько туманное понятие, нужны довольно пространные рассуждения1); вполне понятно, однако, и нет необходимости на этом останавливаться, что в некоторых случаях этот признак простоты приводит к выводам, в которых может заключаться доля истины.

79. Одним из наиболее важных вопросов философии природы, в котором мы сталкиваемся с понятием рационального числа, является изучение атомных весов. Долгое время думали, что все атомные весы должны быть целыми числами (или половиной целых чисел), т.-е. точными кратными атомного веса водорода, принятого за единицу. Небольшие разницы приписывались ошибкам наблюдения. Успехи, достигнутые благодаря точным химическим анализам и химически чистым продуктам, не позволили оставаться при этом взгляде, который в настоящее время кажется оставленным. Будем ли мы относить атомный вес к весу водорода, принятому за единицу, или к весу кислорода, принятому за 16, разницы между атомными весами и ближайшими целыми числами оказываются превышающими экспериментальные ошибки. После внимательного рассмотрения таблицы атомных весов, у нас создается впечатление, что эти числа и их соотношения ближе к простым соизмеримым числам, чем если бы они были выбраны наудачу. Чтобы выяснить правильность этого впечатления и исследовать, в какой мере можно предполагать, что эти числовые совпадения не случайны, понадобились бы довольно длинные вычисления. Если бы (что кажется вероятным) мы пришли к тому заключению, что соотношения атомных весов могут быть отнесены к рациональным числам, от которых они очень мало разнятся, то возник бы вопрос, как объяснить точное рациональное значение, с одной стороны, и небольшую разницу, с другой.

80. Теория меры, принцип которой мы указали для линейных множеств, без затруднений может быть распространена на множества, расположенные на плоскости и в пространстве трех

1) См. Е. Borel, Le continu mathématique et le continu physique. Sсientia, т. VI (1909).

или большего числа измерений. В такой общей форме она может оказать большую пользу при применении статистических соображений к вопросам устойчивости, встающим в наиболее общих механических проблемах.

В области чистой математики наиболее употребительной была мера плоских множеств, так как она находит свое немедленное применение в теории функций комлексного переменного, теории, занявшей такое большое место в анализе со времен работ Коши.

Известно, что изучение наиболее важных аналитических проблем упрощается и в то же время освещается, если рассматривать эти проблемы не только для действительных значений переменной, но также и для мнимых значений. На геометрическом языке действительная переменная представлена точкой на прямой, а мнимая переменная—точкой на плоскости. Итак, изучение функций комплексного переменного есть изучение некоторых функций, находящихся в особой1) зависимости от положения переменной точки на неопределенной плоскости: эта плоскость называется комплексным полем, в противоположность неопределенной прямой, которая называется действительным полем.

При изучении свойств функции в комплексном поле, можно установить, что некоторые точки, так называемые особые точки, а иногда некоторые области—особые области—играют очень важную роль. Часто случается, что для изученной функции можно установить некоторые простые свойства, но под условием исключить некоторые соседние области с особыми точками или особые области. В том случае, когда исключенные таким образом области имеют меру, выражающуюся известной дробью, от всей области, в которой изучается функция, ясно, что известна вероятность, чтобы точка, выбранная наудачу во всей области, не находилась в ее исключенных частях и функция обладала установленными простыми свойствами. Короче, можно сказать, что известна вероятность, чтобы функция обладала этими свойствами.

В некоторых случаях—если вся рассматриваемая область будет бесконечной или исключенные области будут сведены к сколь угодно малой мере—можно сказать, что эта вероятность

1) Особой, благодаря основному условию моногенности, введенному Коши: существование единственной производной.

равна единице или, по меньшей мере, бесконечно близка к единице, между тем как противоположная вероятность бесконечно мала.

Этот язык часто очень удобен, и систематическое его употребление может иногда повести к важным результатам. Здесь невозможно привести примеры этого метода исключения; но я должен был хотя бы отметить это употребление языка и методов теории вероятностей в вопросах чистого анализа.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ

ЗНАЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СЛУЧАЯ

ГЛАВА VIII.

Практическое значение законов случая.

31. Возвращение к основным положениям и определениям. — 82. Безобидная игра.—83. Относительное ожидание и математическое ожидание в лотереях.—84. Польза исчисления в карточной игре.-85. Исчисление одинаково важно во всяком практическом вопросе.—86. Злоупотребление и пренебрежение цифрами.—87. Различие между объективной и субъективной вероятностью.— 88. Практическая жизнь и случай.—89. Человеческая единица очень малой вероятности.—90. „Скептицизм“ Пуанкаре.—91. Индивидуалистическая чувствительность и насмешки над статистикой.—92. Законы случая и оспопрививание.—93. Социальное значение законов случая.—94. Социальная математика и преувеличения индивидуализма.—95. Нравственность и коэффициенты альтруизма.—96. Могут ли коэффициенты альтруизма быть отрицательными?—97. Патриотизм и интернационализм.

81. Мы пытались в первой части этой работы изложить, каким образом удалось подчинить вычислению законы случая; затем, во второй части мы бегло обозрели практические и научные применения созданных таким образом методов; теперь мы должны спросить себя, каково практическое, научное и философское значение этих применений; следует ли считать это значение как бы умаленным чем-то таинственным, заключающимся в слове „случай“, или же, напротив, следует считать, что именно более глубокое изучение законов случая полнее всего покажет нам значение всякого человеческого познания?

Чтобы подойти к этим основным вопросам, мне кажется необходимым приняться за проблему вероятности в некотором роде ab ovo, рассматривая предыдущие главы как простое введение, имеющее целью подкрепить точными примерами дальнейшие рассуждения. Именно в этом смысле, мы в настоящей главе прежде всего изучим значение вероятности для практической жизни и вместе посмотрим, как индивидуальные настроения часто являются препятствием для усвоения многими людьми выводов, воспринимаемых, однако, их рассудком.

Мы закончим краткими указаниями на ту роль, которую может играть теория случая для морали, основанной на солидарности, и для оценки социального значения индивидов.

Исчисление вероятностей есть изучение законов случая.

Мы уже упоминали о том, что это определение объясняет одно противоречие другим противоречием. Если непонятно, как можно говорить о вычислениях по поводу вероятностей, то еще менее понятно, как можно говорить о законах по отношению к случаю. Случай не есть ли именно то, что стоит вне всяких правил, всякого закона? И каждодневный опыт не учит ли нас остерегаться тех законов, которым якобы подчиняются случайные явления? Не происходят ли часто странные совпадения, необыкновенные случаи, внешне противоречащие всякой вероятности?

«Такие явления, конечно, происходят,—подтвердит математик,—но не так часто, как это нам кажется, и самая их частота управляется законами, которые их появлением, казалось бы, опровергаются. Впрочем, можно дать прекрасные финансовые доказательства правильности исчисления вероятностей: хорошо управляемое страховое общество всегда приносит прибыль, а рулетка еще никогда не разорила своего управляющего».

«Но в таком случае,—возразит противник по поводу последнего примера,—вы считаете, что рулетка не может разориться? Достаточно, однако, чтобы я был единственным игроком и чтобы я все время ставил на номер, который выйдет. Конечно, очень мало вероятно, чтобы у меня было такое чутье, но это, очевидно, можно вообразить себе. Что станется тогда с вашими принципами?»

Этот спор мог бы долго продолжаться, так как трудность, лежащая в его основе, может быть выяснена только в том случае, если подойти к ней прямо, посмотреть ей в лицо, начав изучать самое понятие вероятности, прежде чем узаконить применение исчисления вероятности.

82. Рассмотрим сначала вероятность в самой простой игре— в орлянку. Бросают в воздух монету, и пари относится к стороне, которая окажется наверху после падения.

Чтобы избежать затруднений, происходящих от несимметрии монеты, можно взять просто металлический жетон, обе стороны которого совершенно одинаковы и отличаются друг от

друга только цветом. Тогда нет никаких оснований, чтобы стороной, видимой после падения, была скорее одна, чем другая,—особенно, если предположить, что у бросающего монету завязаны глаза, и он, следовательно, не может различить стороны. Итак, шансы одинаковы как для стороны, которую мы назовем решеткой, так и для стороны, которую назовем орлом. Условились говорить, что вероятность каждой из них равна половине.

Если мы должны или хотим держать пари, то нет оснований предпочесть орла решетке; если ставки равные то игра безобидна; если ставки не равны, то она выгодна для того из игроков, ставка которого меньше.

Из этих утверждений, очевидных просто цо здравому смыслу, можем ли мы вывести правило поведения?

Прежде чем ответить на этот вопрос, заметим, что мы здесь оставляем в стороне моральные доводы против игры; они находятся вне наших рамок, и мы систематически становимся на утилитарную точку зрения. Но даже упростив такой оговоркой задачу, все же надо сказать, что изучения вероятности, произведенного на игре в орлянку, только в очень исключительных случаях достаточно, чтобы мы могли наметить правило поведения. Можно привести прекрасные основания, чтобы не играть в безобидную или даже выгодную игру; можно, хотя и реже, иметь основания играть в невыгодную игру.

Петр имеет миллион; ему предлагают сыграть на него в орлянку поставив его против миллиона (безобидная игра) или даже против миллиона и пятидесяти франков (игра, теоретически выгодная). Ясно, что если нет очень исключительных обстоятельств, в интересах Петра—отказаться от такого предложения.

Жак одинок, без связей, находится в отдаленной стране; он очень богат и получит завтра крупную сумму; но ему очень нужно сесть на пакетбот, уходящий через час, а между тем у него при себе только 300 франков, тогда как проезд, за который надо платить вперед, стоит 400 франков. Ему предлагают сыграть в орлянку на его 300 франков против 200 (игра теоретически невыгодная); очевидно, для него имеет смысл согласиться.

Если вместо простой игры, какова орлянка, взять игру немного более сложную, как лотерея, — то мы увидим, что здесь часто примешиваются рассуждения, посторонние простому вычислению вероятности, и влияют на принятие той или иной линии

поведения. Нельзя, например, утверждать, что совершенно безрассудно платить 2 франка за билет на лотерею, где имеется миллион билетов и выигрыш в миллион франков. Единственный человек, выигравший этот миллион, обычно находит, что он поступил мудро и предусмотрительно.

Однако, он заплатил два франка за билет, который математически стоил только один.

Обратно: предположим, что Жак—обладатель 100.000 франков; ему предлагают 100 франков с условием, что, если определенный номер в лотерее с 2.000 билетов выйдет первым, то Жак откажется от всего своего богатства. Предложение математически выгодно, практически оно неприемлемо.

83. В виду необходимости учесть тот факт, что значение одной и той же суммы денег зависит от богатства ее обладателя, предложен был эмпирический метод; он состоит в пользовании понятием относительного ожидания1), которое равно отношению возможного проигрыша или выигрыша ко всему состоянию игрока. Мы не будем останавливаться на этом методе, всю произвольность которого показал Жозеф Бертран; заметим просто, что цифра капитала, которым владеет человек, далеко не единственная причина, делающая его чувствительным к определенному выигрышу или проигрышу.

Единственный способ не приходить к столь условным выводам, это — отказаться от пользования так называемым математическим ожиданием или, в крайнем случае, считать это выражение обозначением величины, которую часто выгодно вводить при вычислениях вероятностей. Но не следует класть ее в основу. Петру дарят билет на лотерею, единственный выигрыш которой равен 100.000 франков при миллионе билетов; его математическое ожидание равно частному от деления этого выигрыша на число билетов, т. е. 10 сантимам. И однако, если он пессимист и умирает с голода, то он предпочтет получить 2 су на покупку хлеба,—если же у него есть воображение, то он весь день будет радоваться, почти так, как будто получил 100.000 франков. Оценивая его математическое ожидание, мы сделали вычисление несомненно точное, но не имеющее практического значения.

Устроители лотерей хорошо это знают; они стараются поразить воображение публики. Легче продать двадцати-франковый

1) В русской терминологии принят менее удачный термин: нравственное ожидание. Ред.

билет, математическое ожидание которого 8 франков, если список выигрышей составлен умело, чем билет, математическое ожидание которого 12 франков, но который не может взять никакого большого, производящего впечатление, выигрыша.

Отсюда следует, что вероятность и достоверность не имеют общей меры: один шанс на два выиграть 1.000 франков математически оценивается в 500 франков; но кто-нибудь предпочтет иметь верных 400 франков в кармане, думая, что лучше синица в руки, чем журавль в небе, — а другой, напротив, охотно заплатит за эту возможность 600 франков.

Придем ли мы к отрицанию всякого практического значения теорий вероятностей, в силу этой невозможности оценить вероятность при помощи достоверности?

84. Если нельзя найти общую меру между вероятностью и достоверностью, то нам остается возможность определить вероятность через вероятность же, т.е. через величину той же природы. Таким образом, теория вероятностей будет совокупностью математических приемов, позволяющих определить простым образом вероятность, эквивалентную вероятности, данной сложным образом.

Поясним это определение несколькими примерами.

Вот пример, в котором математический прием сводится к очень простому вычислению. Петр и Павел играют ряд партий в орлянку; отмечается исход каждой партии; в продолжение первых девяти партий ни один из игроков ничего не должен платить другому; начиная с десятой Павел уплачивает Петру 1 франк перед каждой партией, взамен чего Петр обязуется уплатить Павлу определенную сумму после каждой серии в 10 партий, кончающихся все десять выходом орла. Как велика должна быть эта сумма, чтобы положение Павла было такое же, как если бы он брал билеты по 1 франку в безобидной лотерее?

Легкое вычисление, элементы которого можно найти во всех трудах по теории вероятностей, дает в ответ десятую степень двух, т. е. 1.024 франка. Если Петр обязуется внести Павлу 500 франков в случае удачи и если они сыграют только 10 партий, т. е. если Павел рискует только одним франком, то его положение такое же, как если бы он взял билет ценою в 1 франк на лотерею с 1.024 билетами и единственным выигрышем в 500 франков. Следует ли ему делать это или нет? Вычисление не

может ответить на этот вопрос, — оно может лишь осветить Павлу природу риска, которому он подвергается; а там уже его дело решить, считает ли он удобным это делать.

Предыдущее вычисление—одно из тех, которые каждый человек, немного привыкший к проблемам вероятности, делает почти рефлективно, не замечая, что он решает задачу. Бывают случаи, когда необходимые вычисления требуют довольно долгого времени, даже при пользовании арифметикой и анализом. Это именно и происходит в большинстве проблем, встречающихся в карточных играх, и в этом, несомненно, одна из причин притягательности этих игр для тех, кто им отдается: каждую минуту нужно решать довольно сложные задачи, точное решение которых продолжалось бы очень долго; играющий вынужден быстро найти решение посредством эмпирических приемов и не всегда уверен, что это решение — наилучшее. Чтобы дать понятие о сложности вычислений, к которым приводят проблемы карточной игры, мы выберем один из наиболее простых примеров в игре, которая сама по себе принадлежит к простейшим1).

Петр и Павел играют в экартэ. Павел сдал и открыл восьмерку бубен; у Петра семерка бубен, король, дама, валет и туз пик. Каковы шансы выигрыша Петра, если он начинает игру?

Для определенности предположим, что Павел играет больше чем на одно очко (в противном случае надо допустить, что у него нет козырного короля); тогда картами Павла будут пять карт, выбранных из следующих 26, в число которых не входят карты Петра и открытая козырная карта, т. е. из 6 козырей, 4 пик, 8 бубен и 8 треф.

Какова вероятность, что у Павла нет козырей? Чтобы ее вычислить, нужно сначала вычислить общее число возможных сдач: оно равно числу сочетаний из 26 по 5; затем число сдач без козырей; оно равно числу сочетаний из 20 по 5. Разделив это последнее число на первое, находим искомую вероятность, равную приблизительно 0,2357; значит, 2.357 шансов из 10.000 за то, что у Павла нет козырей; таким же путем находим 4.419 шансов из 10.000 за то, что у него один козырь, 3.224 из 10.000 за то, что у него 2, 3, 4 или 5 козырей.

Ясно, что если у Павла нет козырей, то Петр делает шлем, а если у него есть один козырь, Петр выигрывает очко.

Если у Павла больше ошого козыря, то Петр проигрывает, если только у Павла нет 2 козырей и 3 пик; вероятность этого случая равна 9 на 10.000.

В итоге имеется 2.357 шансов из 10.000 за то, что Петр выиграет 2 очка; 4.428 (4.419 плюс 9) шансов из 10.000, что он выиграет одно очко, и 3.215

1) Я оставляю в стороне баккара, рудиментарную игру, математическая теория которой может быть построена полностью и которая поэтому лишена собственного интереса; это—только способ быстро выиграть или проиграть деньги.

шансов из 10.000, что о а проиграет два очка, несмотря на то, что он вел игру.

С некоторым приближением можно проще сказать, что около 2 шансов из 9 за то, что Петр выиграет 2 очка, 4 шанса из 9, что он выиграет одно очко, и 3 из 9, что он проиграет два очка.

Вот те указания, которые дают Петру вычисление; а затем его дело решить. Если он играет обыкновенную партию, ясно, какое решение он примет. В самом деле, из 9 аналогичных партий он может надеяться выиграть всего 8 очков и проиграть 61); но предположим, что зритель, который следит за игрой Петра, предложит ему очень крупное пари на выигрыш очка; Петру легко будет при помощи предыдущих цифр, выяснить: выгодны, безобидны или невыгодны условия пари, и получить, таким образом, один из элементов своего решения в вопросе о принятии этого пари.

85. Итак, практическое значение теории вероятностей представляется относительным; практическая проблема, которую нужно разрешить, упрощена в посылках, но не изменена по существу; она остается проблемой вероятности.

Небесполезно, может быть, обратить внимание на то, что этот характер относительности не является исключительным свойством применения математики к вероятностям; мы находим его во всех практических применениях математики, хотя у нас иногда и бывает искушение приписать им абсолютное значение.

Я хочу устроить освещение в одном зале; мне указывают необходимые данные для расчета стоимости освещения газом и освещения электричеством. После довольно долгих выкладок, я нахожу, что на газ я буду тратить 30 франков ежемесячно, а на электричество 32 франка. Этот точный результат будет одним из факторов, влияющих на мое решение; я лучше осведомлен, чем если бы знал только стоимость кубического метра газа и стоимость гектоуатт-часа; но не расчет определяет мое решение.

Этих примеров достаточно, чтобы понять роль вычисления в практической жизни; оно облекает в более удобопонимаемую

1) Мы здесь оставили без внимания одно важное соображение; мы рассуждали, как будто шансы выигрыша одинаковы для обоих игроков, покупающих карты; здесь можно видеть, что они меньше для Петра, чем для его противника, и это лишний повод для Петра обеспечить себе первый ход; но, вообще, при разборе игры в экартэ, надо спросить себя, увеличивает или уменьшает шансы выигрыша факт покупки карт (считаясь также с вероятностью отказа противника).

форму различные моменты, из которых состоят наши решения; оно заменяет некоторые сложные данные небольшим количеством простых цифр.

Есть, впрочем, случаи, когда одного вычисления, казалось бы, достаточно для определения нашего решения; но это зависит от того, что мы заранее решили, чего мы будем держаться; так, в примере выбора освещения, если я решил раньше всяких вычислений, что выберу наиболее дешевый способ освещения, то вычисление указывает мне на газ. Если бы я решил остановиться на электричестве, лишь бы дополнительный расход не превышал 5 франков в месяц, то вычисление заставило бы меня выбрать электричество.

Точно также я могу иметь намерение пожертвовать известной суммой на покупку лотерейных билетов, решив из двух предлагаемых лотерей выбрать либо ту, которая даст мне наибольшее математическое ожидание, либо ту, которая даст наибольший шанс получить выигрыш в 100.000 франков. В каждом случае мое решение будет продиктовано теорией вероятности.

86. Несмотря на очевидность этим замечаний, я счел нужным несколько остановиться на них, так как вмешательство вычисления в решения практической жизни слишком часто бывает причиной одного из двух противоположных суждений; некоторые считают нелепостью примешивать вычисления к решению, не все элементы которого выразимы цифрами; для других цифры имеют магическую силу, делающую непогрешимыми всех тех, кто употребляет их по определенным правилам.

Впрочем, эти две противоположные тенденции по существу соответствуют одному и тому же состоянию умов: так как некоторым людям цифры кажутся имеющими абсолютное значение, исключающее всякий спор, то, опасаясь их вмешательства, они предпочитают обходиться без их помощи, лишь бы не подчиняться их гнету.

Часто говорят: нет ничего точнее цифр,—и говорят также: нет ничего грубее цифр. Одни решают слепо подчиниться точным цифрам; другие — не хотят иметь дело с грубыми цифрами.

Происхождение этого заблуждения легко указать: можно делать вычисления, только пользуясь точными цифрами; слишком долго и трудно искать различные решения задачи при различных значениях неточных данных, и потому мы обычно

отступаем перед этим. Это вынуждает нас дать определенное значение каждому из элементов вычисления, даже если он плохо нам известен. Так составляется смета; говорится: для такой-то работы понадобится от 4 до 6 рабочих дней; положим 5 дней. Даже непредвиденные обстоятельства высчитываются точно, на основании эмпирических данных; при подряде кладется на непредвиденные расходы определенная часть сметы; например, одна десятая.

С этими точными данными можно производить точные вычисления, приводящие к точному результату. Но чем длиннее вычисления, тем больше результат рискует быть неточным, и тем скорее мы обычно забываем, что данные были неточны, и преисполняемся доверием, которое внушает нам точность правильно сделанных арифметических операций.

Такое же заблуждение часто происходит и в статистике; каждый год мы читаем в газетах, что урожай хлеба во Франции равен, например, 115.200.000 квинталов. Эта цифра получилась от сложения большого числа отдельных указаний, из которых каждое было неточно; величина ее, тем не менее, внушает известное доверие, и из нее охотно делают экономические выводы.

Будем же остерегаться выказывать слишком много доверия к цифрам; это лучший способ избегнуть противоположной крайности, состоящей в полном отказе от их помощи. Нужно ими пользоваться, но никогда не забывать, что они не создают достоверности: тогда исчисление вероятностей может применяться с таким же основанием, как и всякое другое исчисление; его практическое значение совершенно таково же.

87. Есть, однако, некоторые практические применения теории вероятностей, результаты которых так ощутительны для всех, что является искушение спросить себя, не были ли мы слишком строги, утверждая, что вычисление, относящееся к вероятностям, не может привести к достоверности.

Акции серьезных страховых обществ и даже акции Монакского игорного дома являются помещением денег, дающим очень регулярный доход. Нет никакого сравнения между поведением капиталиста, покупающего эти акции, и поведением игрока, рискующего всеми своими деньгами в баккара или в лотерею.

Это различие достаточно велико, чтобы можно было говорить об объективном значении исчисления вероятностей:

Игрок хочет поставить деньги; он спрашивает моего совета. Если я его ему дам, я буду руководиться исчислением вероятностей, но не буду ручаться за успех. Это я назвал бы субъективной вероятностью... Но предположим, что игрок присутствует при игре, что он отмечает все ходы, и что игра продолжается долго; когда он просмотрит свою запись, то убедится, что события распределились согласно законам исчисления вероятностей. Вот это я назвал бы объективной вероятностью. Существует множество страховых обществ, применяющих правила исчисления вероятностей, и они дают своим акционерам дивиденды, объективная реальность которых бесспорна. (Пуанкаре, „Наука и гипотеза“).

Я привел этот отрывок потому, что мне кажется необходимым предотвратить смешение, которого, конечно, не сделал Пуанкаре, но которое мог бы сделать непредупрежденный читатель. Между объективной и субъективной вероятностью существует различие не качественное, а количественное. Результат исчисления вероятностей может быть назван объективным, когда его вероятность возрастает до того, что практически сливается с достоверностью. Тогда не является существенным, идет ли дело о предвидении будущих явлений или о проверке прошедших; можно с одинаковым правом утверждать, что закон был или будет оправдан.

В Париже, например, бывает до 1.000 рождений в неделю, и можно допустить, как экспериментальный факт, что вероятность рождения мальчика равна вероятности рождения девочки1).

Возможно ли, чтобы в течение определенной недели (прошедшей или будущей) в Париже родились одни мальчики? Вероятность такого явления приблизительно равна вероятности выпада орла 1.000 раз подряд при игре в орлянку; имеется один благоприятный шанс против числа неблагоприятных шансов, равного двум в тысячной степени, т. е. числу, содержащему около трехсот цифр. Этот благоприятный шанс, приблизительно таков же, каков шанс получить два первых стиха Сида, вынимая наудачу из шапки буквы французского алфавита: в шапке лежит 25 букв, одна из них вытаскивается, записывается и кладется обратно в шапку; после встряхивания выни-

1) В действительности равенство не точно; не вполне точно также, с точки зрения закона отклонений, сравнение рождения с ипгрой в орлянку. Но сделанные нами приближения вполне законны, так как наша цель—дать пример, а не произвести точное вычисление. Можно найти интересное обсуждение вероятности мужских и женских рождений в Traité du calcul des probabilités Жозефа Бертрана, (Gauthier Villars). См. также Эмиль Борель, Eléments de la théorie des probabilités (Hermann) и E. Карвалло Le calcul des probabilités et ses applications (Gauthier Villars).

мается вторая и так далее. Строго говоря, возможно, таким образом, получить, именно, два первых стиха Сида. Однако, это кажется нам до такой степени мало вероятным, что если бы такой опыт, сделанный на наших глазах удался, мы считали бы это плутовством.

Мы не будем возвращаться к принципам, посредством которых вычисляются сложные вероятности, приближающиеся к достоверности, исходя из гораздо меньших и простых вероятностей. Зная вероятность выпада орла, равную одному на два, находим, что вероятность выпада орла менее чем 400.000 раз на миллион бросаний, величина совершенно ничтожная.

В этом примере вычисление—простое, и основания его кажутся неоспоримыми; дело обстоит сложнее с проблемами страхования, где, выступают эмпирические вероятности, касающиеся, человеческой жизни. Объективная проверка результатов вычисления может тогда рассматриваться как необходимое подтверждение примененных принципов: именно в этом смысле нужно понимать замечания Пуанкаре, частично приведенные нами выше.

88. Не только в проблемах вероятности, но и во всех случаях жизни мы действуем так, как будто бы очень большая вероятность равнялась достоверности.

Говоря, что прибыли страхового общества зависят от точности исчисления вероятностей, мы имеем в виду вычисления, сделанные актуариями этого общества для установления его тарифов. Однако недостаточно хорошо установленных тарифов, чтобы кампания имела прибыли; нужно еще иметь клиентов, а постоянная клиентура — вопрос вероятности, выступающий во всех предприятиях.

Но никого нельзя принудить быть акционером; нет ли возможности построить нашу деятельность так, чтобы вероятность не играла в ней никакой роли. Легко убедиться в том, что такое намерение привело бы нас прямиком к сумасшествию.

Достаточно представить себе жизнь человека при этих условиях: он упразднит из своего питания все продукты, могущие содержать в себе яды или болезнетворные микробы, что будет уже очень сложно; он будет жить в несгораемом доме, не будет выходить на улицу при ветреной погоде, опасаясь, чтобы его не убило черепицей и т. д.

Но это еще не все: он получает депешу, подписанную одним из его друзей, относящуюся к одному важному вопросу, извест-

ному только им двум. Кто поручится, что она действительно послана его другом? Нет ли здесь ошибки в доставке, совпадения, совершенно видоизменившего адрес, текст и подпись? Вероятность, что это именно так, может быть легко вычислена и, конечно, она не равна нулю.

Точно также не равна нулю вероятность того, чтобы принять незнакомого человека за приятеля, чтобы этот незнакомец одновременно принял вас за одного из своих друзей, назвал вас по имени (случайно оказавшимся таким же), упомянул о нескольких общих знакомых (носящих то же имя или фамилию) и кончил тем, что занял бы у вас денег под предлогом, как будто вполне естественным.

Бесполезно продолжать; и без того ясно, что каждое из наших решений основывается на данных только вероятных, но достаточно вероятных, чтобы мы могли действовать так, как будто бы они были достоверными. Многие данные, доставленные нам теорией вероятностей, собственно говоря, довольно вероятны, чтобы быть причисленными к этой категории. Практическое значение теории вероятностей в этом случае точно таково же, как значение всех других наших знаний.

89. Мы могли бы остановиться на этом, если бы не один важный вопрос, о котором я считаю необходимым упомянуть, несмотря на то, что он не математического, а чисто психологического характера и, следовательно, никак не может быть решен действительно точно. Однако он слишком тесно связан с предыдущим и слишком естественно приходит на ум, чтобы можно было отказаться разобрать его.

Можно формулировать его следующим образом: с какого момента можно принимать вероятность за достоверность? На поставленный таким образом вопрос, очевидно, нельзя дать точного и определенного ответа. Было бы нелепостью говорить, что достоверность начинается там, где имеется один неблагоприятный шанс на 1.000.000, — а там, где имеется 1 неблагоприятный шанс на 999.999, — еще вероятность. Старый софизм кучи зерен находит здесь свое применение.

Но, с другой стороны, правильно ли будет сказать, что очень большая вероятность совпадает с достоверностью1)?

1) Выражаясь математически, следовало бы сказать: вероятность очень близкая к единице. Мы здесь употребляем обыденный язык и принимаем значение вероятности, равным числу благоприятных шансов, имеющихся против одного неблагоприятного.

Ясно, что слово «очень большая» не имеет и не может иметь никакого абсолютного значения; оно имеет только относительное значение. Большое ли число миллиард? Когда это говорится о франках, которые надо получить, то обыкновенно это считают большим числом; когда же речь идет о числе ведер, которые надо вылить в океан, то это, очевидно, очень мало. Слова «очень большой» и «очень малый» не имеют, следовательно, никакого значения, если не определить единицу сравнения.

Где следует искать эту единицу сравнения для вероятностей?

На этот вопрос, можно, кажется, дать только один ответ: мы должны помнить, что мы люди, и искать человеческую единицу. Впрочем, для этого можно становиться на различные точки зрения, которые ведут к приблизительно одинаконым результатам.

Мы можем обратить наше внимание на продолжительность человеческой жизни. Эта продолжительность почти не превышает 30.000 дней; человек, выполняющий некоторое движение по несколько раз в день в течение всей своей жизни, в результате выполняет его несколько сот тысяч раз; если же дело идет об очень простом действии, как, например, о том, чтобы сделать шаг, проглотить кусок или о дыхании, то это может происходить несколько сот миллионов раз.

Если в таком действии какое-нибудь обстоятельство может представить важные неудобства, мы стараемся их избегнуть, когда они нам известны, что и случится, если неудобства действительно будут представляться достаточно часто, чтобы мы могли их заметить. Но если вероятность этих неудобств достаточно мала, чтобы вообще можно было ею пренебрегать, то большинство людей не будет считаться с нею. Таким образом, мы должны принять за факт, что в обыкновенных жизненных поступках мы обычно пренебрегаем вероятностями меньшими, чем одна миллионная (за исключением того случая, когда мы покупаем лотерейный билет).

К такому же заключению приводит нас рассмотрение другого человеческого элемента, числа людей, живущих в городе или в стране. В Париже меньше миллиона взрослых людей; газеты ежедневно извещают о странных случаях или несчастиях, постигших одного из них; жизнь была бы невозможной, если бы каждый постоянно опасался за себя в отношении

всех приключений, о которых можно прочесть в отделе разных происшествий; а это равносильно тому, чтобы сказать, что практически нужно пренебречь вероятностями, которые меньше одной миллионной. Таковы же вероятности неправдоподобных совпадений; когда они имеют место систематически, то возбуждают смех; это явление хорошо известно водевилистам и фабрикантам комических фильм.

Я прекрасно знаю, что мудрый и осторожный человек скажет: всегда надо привлечь на свою сторону как можно больше шансов; если мне известно, что, действуя таким-то образом, я имею хотя бы один шанс из миллиарда быть убитым, никакими рассуждениями нельзя будет убедить меня зря подвергнуться этому риску.

Совершенно верно, вы мудрый и осторожный человек,—но вся ваша осторожность не помешает вам ежедневно подвергаться опасностям, вероятность которых значительно больше.

Часто боязнь дурного приводит к еще худшему. Чтобы уметь различить худшее, надо хорошо знать вероятности различных явлений; именно в этом смысле теория вероятностей — более или менее сознательно — входит во все наши решения; часто было бы полезно сделать ее употребление более сознательным, иллюстрируя ее цифрами, но с условием не забывать, что если можно советоваться с цифрами, то никогда не следует быть их рабом.

90. Теория вероятностей была создана и усовершенствована людьми, которые были одновременно знаменитыми учеными \i всемирно почитаемыми мыслителями; достаточно упомянуть имена Паскаля, Бюффона, Д'Аламбера, Кондорсэ, Эйлера, Лапласа, из наиболее известных; странно, однако, что, несмотря на авторитет этих имен, у людей, неспособных к углублению в математические теории, на каждом шагу встречаются, без тени доказательства, сомнения и даже отрицания самых твердо установленных результатов. Это одно из любопытнейших явлений, так как оно стоит в странном противоречии со слепой и подчас чрезмерной верой, с которой публика обычно относится к утверждениям «ученых».

Я не думаю, чтобы причины этого следовало искать в «трансцендентальном скептицизме», которому иногда поддавались некоторые из выдающихся мыслителей, писавших об исчислении вероятностей,—я имею в виду, в частности, Жозефа Бертрана и, главным образом, Анри Пуанкаре.

Когда последний говорит об основах знания, он в одинаковой мере склонен оспаривать абсолютное значение классических мнений о движении земли и о законах случая; но это— только метафизическое мнение, имеющее не более практического значения, чем философское отрицание существования чувственного мира,—сравнение, принадлежащее самому Пуанкаре. Только те, кто плохо их понимали, могли думать, что Бертран и Пуанкаре не считают результатов теории вероятностей научными истинами, столь же достоверными, как всякая научная истина. Но скептики или, вернее, отрицатели, о которых я хотел говорить, находятся не среди их читателей; они обыкновенно не обладают математической подготовкой, необходимой для чтения таких работ; не разум, а чувство их шокировано выводами теории вероятностей, правда, выводами, своеобразно понятыми и истолкованными.

Таким образом, мы приходим к вопросу, что же собственно в теории вероятностей до такой степени задевает чувства многих людей, что только те считают ее истиной, ум которых достаточно силен, чтобы следовать во всех деталях за логическими выводами; для остальных же—аргумента авторитетности, столь могущественного, когда их чувства индиферентны и беспристрастны, недостаточно, чтобы победить их отвращение.

Пытаясь вникнуть в причины, по которым теория вероятностей несимпатична для многих умов, я надеюсь показать, что эта антипатия основана в большой мере на недоразумении; было бы желательно рассеять это недоразумение, так как введение в общее потребление если не методов, то выводов этой отрасли знания принесло бы большую пользу обществу.

91. Каждый из нас особенно дорожит всем тем, что составляет его индивидуальность, и, таким образом, в большей или меньшей мере, причастен к тем индивидуалистическим настроениям, которые иногда считаются уделом избранных умов.

Отличительной особенностью индивидуалистического настроения является чувство единственности человеческой личности и „отличия“ человека от людской массы. Индивидуалист любит это „отличие“ не только в себе, но и в других. Он склонен признавать его, считаться с ним и находить в нем удовольствие. Это предполагает тонкий и полный оттенков ум. Паскаль сказал: „Становясь умнее, мы находим все больше оригинальных людей. Люди с грубым умом не видят разницы между людьми“. Люди, настроенные социально или стадно, любят банальность черт, им нравится быть „как все“. Христианская, гуманитарная, солидаристическая и демократическая мораль

хотела бы стереть различия между личностями. Амиэль справедливо усматривает в этом признак грубого интеллекта. „Если,—говорит Паскаль,—по мере нашего развития мы находим больше разницы между людьми, то нельзя сказать, чтобы демократический инстинкт очень развивал ум, так как он заставляет предполагать равенство в силу равенства потребностей“. Христианин говорит: „Делайте другому то, что вы хотели бы, что бы он вам делал“. На что один драматург-моралист, Б. Шоу, остроумно возражает: „Не делайте другому того, что вы хотели бы, чтобы он вам делал: у вас, может быть, различные вкусы1)“.

Это жажда «единственности» проявляется, впрочем, не только у некоторых редких, избранных индивидов; она существует почти у всех людей, принимая иногда наивные и немного смешные формы, из которых наиболее любопытна важность, которую некоторые приписывают всему, что касается их собственного имени. Значение, придаваемое воспроизведению имени, принимает самые разнообразные формы: наиболее грубой, быть может, является желание видеть свое имя написанным всюду,—желание, выражение которого, в зависимости от общественного положения, видоизменяется, начиная от надписей на стенах до упоминаний в светской хронике; малейшая ошибка в адресе на письме, заминка в имени вызывают иногда настоящее душевное расстройство. Эти различные виды обидчивости особенно распространены, впрочем, среди наиболее ничтожных умов, обладающих наименьшей индивидуальностью; в сущности, вполне естественно, что они стараются всеми средствами возвеличить свою бессодержательную личность.

Более нормальным является то, что человек вообще не любит терять свое имя и быть обозначенным номером или считаться только членом группы, не будучи индивидуально указываемым. Вот одна из причин, по которой статистика не популярна, и насмешки по ее адресу обыкновенно принимаются благосклонно. Одна из наиболее классических состоит в том, что с важностью заявляют, что такой-то общественный экипаж перевозит ежедневно 245 пассажиров и 47 сотых пассажира; комический элемент получается именно от того, что доводится до абсурда уподобление индивида простой, абстрактной, арифметической единице.

1) G. Palante, Mercure de France от 16-го июня 1908. Признаки индивидуалистического настроения определены в этой работе с большой тонкостью; но многие из этих признаков, что бы ни думал о них автор общи почти всем людям: вопрос только, в какой степени.

Вот уже один элемент недоброжелательности против теории вероятностей во всех тех многочисленных случаях, когда она основывается на перечислении человеческих индивидов; но это—не единственный и не важнейший.

Теория вероятностей в действительности не совпадает со статистикой, к которой также относится все предыдущее; не довольствуясь описанием прошедших явлений, она претендует на предвидение, в известной мере, будущих. В этом отношении она является наукой. Эта претензия сталкивается прежде всего с психологическим чувством человеческой свободы (о метафизическом значении которого здесь не идет речи); высказывается утверждение, что, если не произойдет исключительных явлений, вроде войны, землетрясения и т. п., то на будущей неделе во Франции, наверняка, будет больше 1.000 свадеб: но не зависит ли от обрученных опровергнуть предсказание, отсрочив на неделю празднование их свадьбы?1) Возражение не выдерживает критики, но оно часто скрыто принимается без рассмотрения.

92. Есть, наконец, такие случаи, когда предвидения вычисления относятся к явлениям, независящим от воли человека, но слишком близко его касающимся, чтобы он мог их наблюдать холодно, при свете одного разума. Не буду говорить о суевериях и безумствах, которые вызывает страсть к игре в наиболее уравновешенных умах; но я хочу сказать несколько слов о применении вычисления к вероятностям, относящимся к человеческой жизни. Немного существует наук, объективное значение которых было бы менее спорно; общества страхования жизни,—по крайней мере, те, которые управляются серьезно и сообразно с правилами науки,—получают прибыли и

1) Кажется, что Жозеф Бертран думал, не выражая все же этого открыто, что оговорка „если не произойдут исключительные явления“ лишает всякого значения предсказания, основанные на исчислении вероятностей. Между тем эта оговорка имеет вполне ясный смысл и встречается во всех, поддающихся научному наблюдению, явлениях: астроном увидит такую-то звезду, проходящей через меридиан, если его зрительная труба и часы исправно действуют. В частности, в тех случаях, где выступает свобода человека, не представляет интереса утверждение, что исключительная причина может произвести пертурбации; эпидемия, например, вызывает исключительное падение числа путешественников; тогда каждый сознает, что его решение вызвано этой причиной; интересно констатировать правильность результатов, когда мотивы изменяются в зависимости от индивидуальностей.

дают дивиденды, осязательная реальность которых не возбуждает никакого скептицизма. Однако, если нельзя оспаривать общих результатов, то некоторые частные утверждения, часто плохо понятые, наталкиваются на суеверный страх, испытываемый многими людьми, лишь только даже косвенно может итти речь о их собственной смерти. Этот «биологический индивидуализм» очень распространен и имеет самые разнообразные проявления, из которых наиболее часто встречается какая-то ребяческая потребность выказать прекрасное состояние своего собственного здоровья, «прочность своего чемодана». Каждый охотно признает предсказания вычислений очень правильными, но при условии, чтобы они применялись к человеческой группе, к которой он не принадлежит: к китайцам или неграм, если он белый; но он не любит, чтобы указывали среднюю или вероятную продолжительность его жизни, впрочем, плохо разбираясь в значении этих выражений.

В этих вопросах есть еще другой источник парадоксов, ко торый станет ясным из примера, данного Жозефом Бертраном1).

В одной проблеме, весьма знаменитой и очень важной, ставкой была человеческая жизнь. Прививка, до введения вакцины, была лучшим средством от оспы; но из 200 человек, получивших прививку, один умирал от последствий операции. Некоторые колебались; Даниэль Бернулли, невозмутимый геометр, научно вычисляя среднюю жизнь, находил ее увеличившейся на три года и умозаключал отсюда- о благодетельности прививки. Д'Аламбер, всегда враждебно относившийся к теории игры, которой он никогда не мог понять, порицал, на этот раз вполне разумно, то применение, которое ей хотели дать: „Я полагаю,—говорил он,—что в среднем тридцатилетнему человеку предстоит прожить еще тридцать лет, и что он вполне может надеяться прожить еще тридцать лет, полагаясь на природу и не желая себе прививки. Затем, я предполагаю, что после операции средняя продолжительность жизни будет 34 года. Не кажется ли, что для оценки преимуществ прививки следует сравнить не только среднюю продолжительность жизни в тридцать лет и среднюю продолжительность жизни в тридцать четыре года, но и риск, равный 1 против 200, умереть через месяц от прививки, с отдаленным преимуществом жить на четыре года больше после шестидесяти?“

Нет убедительных аргументов, чтобы исчерпать такие вопросы: допустим, что можно оперативным путем увеличить среднюю продолжитетьность жизни уже не на 4, а на 40 лег, при условии, что моментальная смерть угрожает четвертой части оперированных: пожертвовать четвертью жизней, чтобы удвоить остальные три четверти, выгода большая. Кто захочет ею воспользоваться? Какой врач согласится оперировать? Кто взялся бы, приглашая 4.000 здоровых и сильных членов одной общины к операции, заказывать на

1) Calcul des probabilités, стр. XII.

следующий день 1.000 гробов? Какой директор учебного заведения осмелился бы объявить 50 матерям, что, желая увеличить среднюю продолжительность жизни своих 200 учеников, он сыграл за них в эту выгодную игру, и что их сыновья в числе проигравших. Самые благоразумные родители приняли бы риск 1 шанса против 200; никто, на основании каких бы то ни было вычислений, не подвергся бы риску 1 шанса против 4.

Парадокс изложен ясно, но ни д'Аламбер, ни Бертран не делают очевидной ту глубокую причину, по которой «аргументация плоха» в таких вопросах. Причина эта, мне кажется, следующая: незнание момента смерти является одним из существенных условий жизни человека; отрицать это так же нелепо в настоящее время, как предполагать возможность вторжений на соседние планеты. Если бы в будущем успехи науки дали возможность точно указать день смерти каждого, то умственное состояние человечества изменилось бы в такой мере, что мы не можем предвидеть, как оно отнеслось бы к проблемам, поставленным Бертраном. Между тем такая гипотеза необходима, чтобы эти вопросы действительно могли быть поставлены конкретным образом; в противном случае, это только беспочвенные спекуляции. В тот день, когда можно будет сказать тридцатилетнему человеку: «Вам научно обеспечена жизнь до 60-ти лет, но не более; такая-то операция наверняка продлит вашу жизнь до восьмидесяти, но вы подвергаетесь риску мгновенной смерти, происходящей в одном случае из десяти», и когда обоснованное доверие к науке не позволит сомневаться в справедливости этих утверждений,—в тот день можно было бы спросить себя, какой ответ даст этот человек. Но для нас, живущих в настоящее время, такие утверждения были бы необоснованы; мы очень хорошо знаем, что нам не могут гарантировать будущее, и самая эта неизвестность необходима, чтобы мы могли пользоваться жизнью.

Можно ответить, что исчисление вероятностей не обещает достоверности, но может в некоторых случаях предуказать среднюю; увеличение этой средней не является ли положительным результатом? Без сомнения так, но тогда не следует рассуждать, как будто реальная жизнь всегда в точности равна этой средней; распределение около средней не является безразличным, а именно это забывают Д'Аламбер и Бертран. Рассмотрим подробнее один из их примеров.

Бертран берет 100 индивидов, из которых каждый должен прожить 40 лет, и предлагает немедленно пожертвовать 25 из

них, чтобы продолжить до 80 лет жизнь 75 остальных; нетрудно показать, что это предложение неприемлемое. Однако дела обстояло бы несколько иначе, если бы предположить, как и следует делать, что не каждый живет в точности среднюю жизнь. Возьмем 100 индивидов, пораженных тяжелой болезнью; из них, надо предполагать, 50 должны умереть в очень скором времени; остальные 50 проживут в среднем сорок лет; продолжительность жизни этих ста индивидов, следовательно, равна в среднем 20 годам; если, посредством определенной операции или определенного ухода, можно будет спасти 75 из них, средняя жизнь которых будет еще сорок лет, а остальные 25 погибнут от операции, то средняя продолжительность жизни этих 100 индивидов станет равна 30 годам; здесь ясно, что увеличение средней жизни выгодно, и опытный врач посоветует применять лечение, которое из 4-х больных спасает 3-х. вместо только 2-х.

Допустим, напротив, что, производя некоторую операцию над новорожденными, можно избежать определенной старческой болезни и удлинить таким образом несколькими годами среднюю жизнь тех, кто проживет более 60 лет; если даже вычисление покажет, что средняя продолжительность жизни таким образом увеличивается для совокупности индивидов, все же ни одна мать не согласится подвергнуть своего ребенка операции, если она смертельна всего в 1 случае из 100. Все это доказывает только одно: именно то, что для истолкования результатов исчисления нужно иметь здравый смысл.

93. Но здравый смысл, не более чем исчисление, предохраняет от несчастия, и плохое утешение для человека думать, что вероятность несчастья была мала, если именно он от него пострадал. Умирающий с голода мало интересуется увеличением среднего богатства; ни в статистике, ни в исчислении не следует искать аргументов для утешения людей, страдающих от социальных неравенств; это утверждение нисколько не умаляет значения ни собственно статистики, ни исчисления вероятностей, которое и служит для обработки статистических данных.

Статистик или математик действительно изучают социальные явления, только с особой точки зрения; это изучение имеет ограниченное применение, но оно образует точную науку, когда не пытаются распространить его за его естественные пределы. В нем не следует искать ни моральных доводов, ни доводов для непосредственного действия: а только, как в фи-

зических науках, средство хорошо узнать прошедшие явления и предвидеть, с некоторым приближением, будущие явления. Когда предсказывают, что завтра более ста тысяч парижан проедут по метрополитэну, то никого из них не обязывают избрать это средство сообщения, а просто высказывают факт, подтверждающийся опытом. Точно так же, предсказывая при объявлении муниципалитета о предпринимаемых миллионных работах, что несколько рабочих погибнут жертвою несчастного случая при работах, ни мы, ни инициаторы работ не заслуживаем названия убийц; ничто не доказывает, что смертность не была бы больше среди незанятых рабочих или среди рабочих, занятых в другом месте; замена этой неизвестности относительно точным предвидением увеличивает наше знание, не причиняя никому вреда.

Следует только остерегаться, чтобы не впасть в слишком распространенную крайность: многим опасности и неудобства кажутся тем страшнее, чем они лучше им известны; они будут поражены точной статистикой железнодорожных катастроф и не будут думать о менее тщательно учитываемых несчастных случаях, которые поражают спокойно гуляющих пешеходов на улицах или на больших дорогах. Точно так же, если указать на определенные неудобства какого-нибудь способа питания, многие подвергнут себя странному режиму, не спрашивая себя о том, не будут ли неизвестные изменения их организма, вызванные этим ненормальным режимом, представлять более серьезную опасность, чем та, которой они хотели избежать.

Незнание может быть удобно для тех, которые придерживаются политики страуса, но оно не годится для людей, предпочитающих видеть ясно и не боящихся знать возможную опасность, когда вероятность ее значительно меньше вероятности тех неведомых опасностей, которым ежедневно подвергаются самые робкие люди1).

Вычислений нечего бояться, если принято решение сообразовать свое поведение с указаниями теории только после тщательного ее обсуждения; но было бы странной иллюзией думать, что индивидуальная независимость может быть увеличена невежеством.

94. Итак, есть ли какое-нибудь основание для того противоречия, которое мы, казалось, уловили между теорией ве-

1) См. выше, § 88.

роятностей и индивидуализмом? Есть—и очень реальное—постольку, поскольку индивидуализм антисоциален, ибо теория вероятностей есть основа того, что можно назвать социальной математикой. Изучение ее напоминает нам, что мы живем в обществе, что общественные явления действительно существуют и имеют собственный интерес. Оно напоминает нам, что если люди во многих отношениях различны, то они все же сходны в том, что все они подвержены болезням, несчастным случаям, смерти; в том, что их различные биологические элементы (рост, размер черепа и т. п.), распределяются согласно определенным законам вокруг некоторых средних; в том, наконец, что можно формулировать законы, подтверждаемые наблюдением фактов, где они рассматриваются как составные части целого, к которому применяется закон. Такие напоминания в высшей степени полезны, чтобы ограничить чрезмерный индивидуалистический эгоизм. Такая-то болезнь уносит в среднем некоторое количество жертв; град или наводнения причиняют в среднем некоторое количество разрушений; неизвестно, почему одни пострадали, другие не пострадали, но общество в целом терпит ущерб приблизительно постоянный. Изучение этих фактов может лишь содействовать развитию понятия солидарности и напоминать каждому, что он не должен рассматривать себя, как нечто независимое от этой среды, в которой он живет, что он должен участвовать в исправлении всех случайных бедствий, постигших его соседа и могущих постигнуть его самого. Вот почему изучение теории вероятностей имеет очень большое воспитательное значение; следует стараться, что.бы оно было доступно всем тем, кто имеет притязание на участие в управлении людьми и вещами. Таким путем велась бы успешная борьба с тем видом индивидуализма, который является не чем иным, как неумным эгоизмом. Но теория вероятностей ни в какой мере не угрожает подлинному индивидуализму, т.-е. ясному сознанию независимости мысли и действий личности, чувствующей себя свободной.

95. Можно ли итти дальше и построить на основе теории вероятностей настоящую индивидуальную и социальную мораль? Это—проблема, которою я не собираюсь здесь заниматься, но мне хотелось бы указать, по крайней мере, путь, по которому можно искать ее разрешения.

Самое возвышенное правило морали, когда-либо предлагавшееся людям, казалось бы, заключается в евангельской запо-

веди: «люби ближнего, как самого себя». Наиболее популярной практической иллюстрацией этого может служить история святого Мартина, делящего свой плащ. Если позволительно применять к такому предмету научную критику, рискуя услышать обвинение в чрезмерной сухости сердца, то мы вынуждены признать, что если ближние, это—все люди, то буквальное исполнение евангельской заповеди приводит к нелепым выводам. Сам святой Мартин не мог бы разделить свой плащ на тысячу кусков, если бы он встретил тысячу несчастных. Это банальное замечание можно представить в арифметической форме, утверждая, что человек, рассматривающий всех обитателей земного шара, или своей родины, или своего города, лишь бы это было большое поселение, как равноценных себе самому, должен был бы разделить не только свое имущество, но и свою деятельность на такое большое количество частей, что жизнь его стала бы невозможной. Можно возразить, что, если бы все подражали ему, то в этом целостном коммунизме создавалась бы компенсация, позволяющая жить всем, — но бесконечное распыление деятельности разрушило бы самую личность индивидов. Таким образом, единственное разумное толкование, которое можно дать евангельскому изречению, следующее: рассматривай каждого твоего ближнего, как величину эквивалентную во всяком случае не тебе самому, а какой-нибудь части тебя, заключающейся между нулем и единицей, но никогда не достигающей нижнего предела нуля и иногда достигающей верхнего предела единицы. Не думаю, чтобы такую формулировку можно было назвать эгоистической; если хорошенько понять ее значение, то становится ясным, что она, напротив, является самым широким и самым полным выражением разумного альтруизма. Различные степени альтруизма и эгоизма проявляются при определении коэффициентов: скольким лицам каждый из нас припишет коэффициент 1, скольким коэффициент 0,9, коэффициент 0,5...... коэффициент 0,000001. Я не стану входить в обсуждение этих величин, которое входит в компетенцию практической1) морали; существенно то, что эти коэффициенты не должны равняться нулю, и это положение можно принять за основу теоретической морали. При

1) Разумеется, употребление арифметических коэффициентов является здесь, главным образом, сокращенным способом выражения. Значение их могло бы быть установлено только после довольно длинного обсуждения, при возможности выбора между разными условиями.

установлении этого факта и при изучении его последствий теория вероятностей появляется на каждом шагу и дает объективную основу стремлениям поэта: «О, безумный! Ты думаешь, что я не ты».

Вероятность, что вред, причиненный другому, будет для нас убыточен, что польза, полученная другим, будет нам выгодна, что болезнь или смерть нашего ближнего будут для нас горестны, и т. д., не равна нулю. С другой стороны, даже наиболее эгоистичные люди оценивают более или менее добросовестно отношение между барышом, ожидаемым от определенного действия, и вредом, который оно может причинить другому, и не выполняют этого действия, если отношение слишком мало; поджечь стог сена, чтобы поджарить жаворонка, сочтут поступком сумасшедшего.

Было бы желательно, чтобы соотношение между ожидаемой прибылью и причиненным злом, проявляющееся в наших суждениях о наших поступках, встречалось бы также в законодательстве, в судопроизводстве и в общежитии.

Торговец аптекарскими товарами, который при помощи искусных реклам распространяет свои посредственные или фальсифицированные препараты и мешает выздоровлению тысяч несчастных, зарабатывая на каждом по несколько франков, является гораздо более виновным, нежели убийца, умерщвляющий только двух или трех человек, чтобы обеспечить себе состояние.

96. В уме читателя, вероятно, уже явилось одно возражение: не бывает ли таких случаев, когда коэффициент, которым человек оценивает своего ближнего, не только равен нулю, но и отрицателен; иными словами, не может ли случиться, чтобы мы желали зла своему соседу, не извлекая из этого никакой прямой и немедленной выгоды или, в лучшем случае, извлекая выгоду, как бы мала она ни была. Обозрение различных практических гипотез выходит из наших рамок; я ограничусь двумя краткими замечаниями.

Человек, который старается извлечь выгоду из несчастья соседа, есть существо противообщественное, и общество поступит вполне законно, защитившись от него; на этом останавливаться излишне. Боязнь жандарма должна в некоторых случаях заменить недостаточность морального сознания.

Но не устроено ли так наше общество, что в определенных условиях несчастье одних представляет косвенную выгоду для

других, при чем эти последние невиновны ни в каких заслуживающих порицания поступках, когда, например, повышение цен следует за гибелью богатых запасов товаров. Если это так, то общество должно стремиться к устранению этих условий; это есть правило социальной морали, дополняющее правила морали индивидуальной.

97. Заметим в заключение, что можно из коэффициентов, которыми измеряется любовь к ближнему, вывести одновременно патриотизм и интернационализм, в самом возвышенном смысле. Для каждого из нас сумма коэффициентов единоплеменников превышает сумму коэффициентов, приписываемых иностранцам, и, сверх того, значительно превышает единицу. Итак, если нашим единоплеменникам угрожает какая-либо опасность, то наш долг защищать их, жертвуя собою в случае необходимости; однако с другой стороны, мы должны желать, чтобы между народами установилась солидарность, подобная той, которая существует между индивидами. Известно, что даже теперь экономическая солидарность наций так велика, что можно было бы спросить себя, не будет ли победоносная война вредна для самого победителя. Это равносильно утверждению, что если нация приписывает себе самой коэффициент равный единице, то она должна приписать прочим нациям коэффициенты меньшие единицы, но не равные ни нулю, ни единице.1) Сказать, что коэффициент других наций меньше единицы, это равносильно тому, чтобы сказать, что должен существовать некоторый национальный эгоизм, столь же необходимый для жизни народов, сколь индивидуальный эгоизм необходим для жизни индивидов. Сказать, что коэффициенты других наций не должны быть отрицательными, это значит желать, чтобы состояние войны не заменяло состояния мира.

1) Norman Angell, La Grande illusion и N. Murray Butler, L'Esprit. international.

ГЛАВА IX.

Научное значение законов случая.

98. Законы случая и различные науки.—99. Решение вопросов большинством.—100. Исчисление вероятностей и судебные решения.—101.—102. Абсолютная истина и относительная истина.—103. Случаи, когда „относительная истина“ не имеет значения.—104. Метод „случаев истинных и случаев ложных“.—105. Экспериментальное изучение детских лиц—106. Изучение рук Бинэ—107. Выводы.

98. Может показаться излишним говорить о научном значении теории вероятностей, после всего сказанного о применении этой теории к различным научным вопросам. Для ученого наука имеет смысл сама по себе; если статистическая механика дает важные результаты, то она тем самым приобретает научное значение в глазах физика. Что касается философского значения этих методов, то мы рассмотрим его в следующей главе. Но сначала, может быть, будет полезно исследовать, в какой форме теория вероятностей может быть применена к тем вопросам, относительно которых можно сомневаться, являются ли они чисто научными; другими словами, исследуем, может ли теория случая быть использована для расширения самих границ науки1).

99. Мы дадим общее название метода большинства приему, состоящему в том, что считается практически имеющим значение мнение, выраженное большинством, после подсчета мнений или взглядов более или менее значительного числа лиц. Не будем пока останавливаться ни на перечислении и обсуждении различных форм, которые может принять этот метод, ни на попытках классификации его многочисленных применений настоящих или будущих. Вопрос, который

1) Нижеследующие страницы, до § 107 включительно, были написаны в 1908 г. по просьбе покойного Альфреда Бинэ, для его Année psychologique, т. XIV. Мне показалось желательным, вследствие обсуждения там методов Бинэ, воспроизвести их здесь без изменения.

нас будет занимать, главным образом, следующий: может ли знакомство с исчислением вероятностей принести некоторую пользу тем, кто применяет или критикует метод большинства?

100. Жозеф Бертран собрал в своем «Исчислении вероятностей» (XLIII—XLIX и 319—327) все доводы, говорящие против введения в эту область исчисления вероятностей. Несколько выдержек пояснят точку зрения, на которую он становится.

Применение вычисления к судебным решениям, — говорит Стюарт Милль, — является математическим скандалом. Но это обвинение неправильно. Можно взвешивать медь и выдавать ее за золото, — весы остаются безупречными. В своих трудах о теории суждений Кондорсэ, Лаплас Пуассон взвешивали только медь.

. . . . „Кондорсэ завладел моральной вселенной, чтобы подчинить ее исчислению“. Это—похвала, которую ему высказали; но хотелось бы знать, было ли это после прочтения его работы? В своей книге о вероятности суждений он, прежде всего, ставит себе две проблемы. Во первых: какова для каждого суждения и для каждого судьи вероятность выражать истину? Во вторых: какова вероятность ошибки, которую общество согласится принять без тревоги?

Первый вопрос ему кажется легким.

„Я предполагаю,—говорит Кондорсэ, — что выбрано большое число истинно просвещенных людей, и что они высказывают свое мнение об истинности или ложности решения. Если из решений этого трибунала считаться только с теми, которые получили известное количество голосов, то легко видеть, что можно, без ощутительной ошибки, считать их правильными“.

Таким образом он определяет и хочет созвать просто-на-просто непогрешимый конклав. Сам того не подозревая, он колеблется; не то, чтобы истинно просвещенные люди были редки, остережемся так думать, но время их драгоценно. Чтобы сберечь его, Кондорсэ предлагает второй метод, ошибочности которого не заметил позднее Пуассон. Предполагая, что вероятность ошибки каждого из присяжных нам известна, можно, не увеличивая их числа, безгранично уменьшить ее для их совокупности.

.... Если бы, как этого совершенно серьезно требует Курно, предложить письмоводителю после каждого суждения отмечать мнения каждого из судей, чтобы, когда цифр получится много, применить формулу, выражающую их ценность, при чем проницательность каждого судьи контролировалась бы проницательностью его двух коллег,—то самым лучшим судьей Франции, оказался бы тот, который, не обсуждая и не размышляя, голосовал бы всегда как председатель; если верить этой формуле, то такой судья никогда не ошибается. Ни Курно, ни Пуассон не совершили ни малейшей ошибки как математики; они с точностью излагают свою гипотезу. Но гипотезы не имеют ни малейшей связи с положением обвиняемого перед его судьями.

Они увидели различия и думают, отмечая их, получить право с ними не считаться.

Пуассон, который, подобно Кондорсэ, посвятил теории суждений целый том, наполненный самыми учеными вычислениями, думает смягчить

возражения, которых он не мог не предвидеть, изменив в своих рассуждениях значение слова виновный. Мы сделали бы язык более точным,—говорит он,—заменив словами подлежащий осуждению, которые выражают действительное положение вещей, слово виновный, которое нуждается в объяснениях и которое мы будем употреблять, подчиняясь обычаю.

Невинный, подавляемый обманчивыми уликами или являющийся жертвой слишком ловких махинаций, так что никакой судья не мог их заподозрить, есть обвиняемый, подлежащий осуждению. Пуассон, подчиняясь обычаю, помещает его среди виновных. Единодушная ошибка судей становится тогда доказательством проницательности, которую выражает алгебра, определяя их заслугу с непогрешимой точностью. В этой цепи бесплодных вычислений, которые останутся, как сказал Стюарт Милль, математическим скандалом, только один Кондорсэ дал мудрый совет: выбирать в присяжные людей истинно просвещенных.

Мне хотелось привести эти цитаты, где ирония и парадокс скрывают очень часто очень верную мысль; следует многое усвоить из оценок Бертрана, и полезно было о них напомнить. Было бы интересно исследовать, действительно ли Кондорсэ, Лаплас, Пуассон, Курно были так наивны, как изображает их Бертран; ноя не буду входить в этот исторический спор, довольно безразличный для нашей цели; дело не в том, чтобы узнать, правильны ли были утверждения Кондорсэ, или прав ли Бертран, критикуя их,—но в том, чтобы определить, в какой форме можно в настоящее время применить исчисление вероятностей к методу большинства. В этом изучении предыдущие работы естественно будут нам полезны; но приведение и обсуждение их на каждом шагу может только бесполезно загрузить изложение.

101. Прежде всего ясно, что большинство не может обладать разумом, если его не достает составляющим его индивидуальностям: жюри из слепых но может судить о цветах. Невозможность, вытекающая здесь из природы жюри, может в других случаях быть присуща поставленному вопросу: зная высоту большой мачты, определить возраст капитана; тысяча людей разрешит этот вопрос не лучше, чем один.

Эти замечания могут показаться излишними, настолько они очевидны; между тем можно из них сделать вывод, являющийся основным для нашего изучения: ценность суждения большинства может в некоторых случаях быть больше ценности индивидуального суждения, но по качеству они не могут быть различны.

Очень простой пример даст ясное понятие о смысле этого определения: Павел играет в экартэ, будучи неопытным в игре; у него оказывается на руках дама, туз и девятка козырей—червей, король треф и король пик. Он хочет открыть игру и советуется со своими более осведомленными друзьями: они его уговаривают играть, но у его противника—король, валет и десятка козырей и две маленьких бубны; Павел проигрывает партию. Совершил ли он ошибку, последовав данному ему совету? Или, точнее, следует ли признать эти советы дурными? Конечно, нет; эти советы были весьма хороши, раз советовавшие не знали карт противника Павла; только ловкий и нечестный соучастник мог бы, заглянув в чужие карты, дать Павлу совет более удачный при данных обстоятельствах.

Можно резюмировать это, сказав, что советы, данные Павлу его друзьями, составляют относительную истину, в условиях, в которых находился Павел, т.-е. при незнании карт своего противника; и может случиться, что эта относительная истина противоречит абсолютной истине, т.-е. тому способу ведения игры, который был бы наилучшим для человека, знающего карты обоих игроков. Впрочем, полезно добавить, что эта истина, называемая нами абсолютной, только менее относительна; может случиться, что проигрыш этой партии, в итоге будет выгоден Павлу, так что советник, знающий не только игру противника, но и то, каким образом карты будут собраны и смешаны для следующей сдачи, даст иной и практически лучший совет. Итак, само собой разумеется, что слово абсолютный означает только менее относительный; оно и не может иметь другого значения в исследовании, касающемся реальных вещей.

Принимая эту терминологию, можно с практической точки зрения различать три главных категории применений исчисления вероятностей к методу большинства:

1. Найденная относительная истина сама по себе представляет настолько большой интерес, что будет вполне законно принять ее за абсолютную цель исследования.

2. Найденная относительная истина имеет лишь отдаленное и неизвестное отношение к абсолютной истине, которая является единственно интересующей нас.

3. Вопрос поставлен таким образом, что является сомнение в существовании относительной истины; и, следовательно, нужно

задать себе вопрос, существует ли эта относительная истина, и затем уже стремиться к определению ее природы.

Эти различия, повторяю, могут иметь только практическое значение: с теоретической точки зрения, все промежуточные случаи возможны; с абстрактной точки зрения, все случаи сходны в том, что их математическое выражение одинаково; но полезное значение этих одинаковых формул весьма различно, в зависимости от случая: одни и те же весы,—сказал бы Бертран,—могут взвешивать и медь и золото.

102. Займемся сначала случаями, когда относительная истина не только интересна сама по себе, но должна быть рассматриваема, как имеющая абсолютное значение: это — случаи, когда факт создает право.

Одним из лучших примеров этого являются вопросы языка1): например, мы хотим узнать, употребляют ли или понимают ли в настоящее время такое-то выражение в данной местности; самое верное средство это—опросить большое число жителей этой местности; если бы можно было опросить всех, индививидуально и независимо друг от друга, то совокупность их ответов, предполагаемых правдивыми и точно подсчитанных, доставила бы, очевидно, согласно самому определению, самый удовлетворительный ответ на поставленный вопрос. Однако ясно, что подобный опрос практически невозможен; таким образом, метод большинства будет состоять в том, чтобы, опрашивая только небольшое число людей, постараться предвидеть результат, который получился бы от поголовного опроса. Например, чтобы установить, говорили ли москвичи в 1908 году зал или зала, мы спросим 20 человек и возьмем мнение большинства. Именно это часто и делают газеты, когда устраивают «анкету». Чего стоит этот метод? Не входя в подробности, заметим, что для возможности правильного применения исчисления необходимо, чтобы взятая группа людей была приблизительно однородной; эта однородность никогда не бывает абсолютной, так как нет двух одинаковых людей. В таком случае выбранная частная группа должна обладать такой же разнородностью, как все местное население. Было бы, например, совершенно неправильно принять пятьдесят пассажиров, находящихся в определенном трамвае, за представителей всего парижского населения;

1) См. выше § 47.

было бы правильнее представителями парижан, родившихся в 1887 году и призванных на военную службу, считать тех из них которые родились, например, 14 мая того года; это было бы удачнее, чем брать определенный квартал или из имен, записанных в алфавитном порядке, выбрать наудачу часть списка, так как в этом случае мы рискуем случайно попасть на однородные группы; например, лица, с фамилиями, начинающимися на La или Le, либо на W или Z, могут в общем обладать некоторыми этническими особенностями, отличающими их от остальных.

Если соблюдены условия однородности, т.-е. если небольшая группа, к которой относится опыт, действительно является верным изображением населения в целом, то какие выводы можно сделать из изучения этой частичной группы? Например, из 36.500 новобранцев данной области, родившихся в 1887 году, есть 100, родившихся 14 мая; мы устанавливаем, что из этих 100 абсолютное большинство, допустим 51, имеет рост равный или больший 1 м. 65 см., а остальные 49 имеют меньший рост; с другой стороны, устанавливаем у большинства из 100 наличность определенного незнания, или мнения, или частного суждения; какие выводы можно отсюда сделать для всей совокупности, из которой они были взяты?

Здесь не место обсуждать эти вопросы с математической точки зрения; достаточно указать на то, что мы вправе ставить их себе и наметить форму ответа, даваемого на них вычислением. Эта форма неизбежно примет вид коэффициента вероятности. Из рассмотренных случаев можно, например, сделать следующее заключение: вероятность, что большинство нерассмотренных случаев будет сообразно с большинством рассмотренных случаев равно 0,999, а противоположная вероятность равна, следовательно, 0,001. Другими словами, можно поставить 999 против единицы, что мы не ошибаемся, но достоверным этого считать нельзя. Эта особенная форма утверждения свойственна всем вопросам, в которых замешана теория вероятностей; некоторые умы отказываются понимать ее и предпочитают заявить, что не желают знать теории, ведущей к столь неопределенным результатам; они не отдают себе отчета в том, что эта неопределенность свойственна всем нашим утверждениям и не менее опасна, когда скрыта под догматической внешностью1). На самом деле, с практической точки зрения, для

1) См. выше §§ 85—89.

возможности действия нужно считать вероятность, достаточно близкую к единице, равной достоверности.

Укажем, наконец, на то, что теория вероятностей позволяет из изучения результатов наблюдения делать заключения об однородности изученной группы и, следовательно, о том значении, которое можно придавать наблюдениям, сделанным над этой группой. Я предполагаю, например, что из 10 первых новобранцев, освидетельствованных в приемочной комиссии департамента Сены, 5 оказались ростом 1 м. 55 см. и 5—1 м. 75 см.; простого установления факта, что ни один из них не имеет роста, близкого к среднему, достаточно, чтобы возбудить самые серьезные сомнения в точности выводов, сделанных в предположении, что эта частичная группа является точным изображением всей совокупности, из которой она взята; напротив, можно быть уверенным, что эти 10 индивидов не являются представителями целого.

103. Я буду очень краток касаясь случая, где относительная истина, получаемая методом большинства, не имеет прямого или, по крайней мере, некоторого известного отношения к абсолютной истине, которую было бы полезно знать. Эти случаи неинтересны: следует лишь отметить их в виде указания, чтобы избежать ошибок, к которым могло бы повести их изучение. Можно спросить себя, подходят ли под эту категорию все применения вычислений к судебным решениям, т.-е. достаточно ли различия, делаемого Пуассоном, между виновным и подлежащим осуждению, чтобы оправдать суровость Жозефа Бертрана. Последний, кажется,поставил вопрос слишком отвлеченно. Ясно, что для получения справедливых решений, нужно прежде всего выбрать просвещенных и беспристрастных судей: но не так обстоит дело на практике, и предлагать такое решение, право, слишком наивно. Дело не в том, чтобы осуществить недостижимый идеал, а в том, чтобы достигнуть наименьшего зла, пользуясь несовершенными учреждениями и подверженными заблуждениям людьми, которыми мы располагаем, впредь до того дня, наступления которого мы все желаем, вместе с Жозефом Бертраном, но рассчитываем на него не более, чем он: именно, когда учреждения будут совершенны и люди непогрешимы.

Когда мы, таким образом, переходим от идеальной справедливости на почву фактов, то мы вынуждены предположить, что есть обстоятельства, при которых невинный будет фатально

осужден мнимым единодушием судей или присяжных, призванных решить его участь. Нужно, понятно, очень сожалеть, что это так, и стараться, увеличивая гарантии, представляемые судопроизводством обвиняемому, и улучшая состав судей, делать судебные ошибки все менее и менее возможными; но желание улучшить действительность не должно мешать нам ясно ее видеть. А раз так, то мы вправе задать себе вопрос, вроде следующего: увеличивая число присяжных и изменяя большинство, требующееся для осуждения, увеличиваем мы или уменьшаем шансы осуждения обвиняемого, когда его невиновность не только действительна, но и не скрыта обманчивой внешностью и ловкими махинациями?

Когда вопрос поставлен таким образом, тогда кажется не подлежащим сомнению, что вычисления Лапласа и Пуассона дают на него правильный ответ1). Только для того, чтобы этот ответ был правильным, не следует изменять его смысла, отвлекаясь от конкретных различий, существующих в разных случаях. Например, легко вывести из простого вычисления, что предпочтительно быть судимым судом, состоящим из 7 судей, где для осуждения нужно пять голосов, чем судом из 12 судей, где для осуждения достаточно 7 голосов. Но было бы явной натяжкой заключить, что всегда лучше для солдата предстать перед военным судом, чем перед судом гражданским. Ибо, независимо от всякого другого рассмотрения, один уже факт тайной подачи голосов является элементом, который невозможно учесть при вычислениях.

В числе случаев, где нечего искать, и где, следовательно, метод большинства и всякий статистический метод теряет свои права, небесполезно упомянуть об азартных играх, не очень рассчитывая, однако, убедить игроков, — людей с устойчивыми предрассудками, более расположенных слушать продавцов «систем» игры, чем указаний алгебры. Обидно видеть исследова-

1) Есть, однако, пункт, которым Бертран как будто бы пренебрег, между тем значение его может в некоторых случаьх быть велико: знание условий, требующихся для осуждения, может повлиять на мнение судей. Например, нельзя ли считать очень правдоподобным, что между членами Конвента, вотировавшими смерть Людовика XVI, нашелся бы, по крайней мере, один, который высказался бы за менее суровый приговор, если бы, будучи единственным судьей или членом очень немногочисленного состава суда, считал свой голос более решающим? Этот вопрос отличается от вопроса о тайном голосовании судей, который относится к числу положений, которые могут быть изменены законами и обычаями.

телей, среди которых есть и серьезные люди, которые теряют на столь бесполезные изыскания время, которое могло бы быть лучше использовано.

Вопрос о том, можно ли, играя в рулетку, выиграть деньги наверняка, является по существу практическим и конкретным; ввиду этого он целиком принадлежит науке, и метафизические или субъективные доказательства не имеют ничего общего с практическим разрешением этого вопроса, которое давно дано Бернулли и подтверждено всеми математиками: человек, играющий неопределенно долгое время в безобидную игру, по истечении некоторого более или менее продолжительного срока, необходимо приходит к разорению; этот срок сильно сокращается, если игра не является безобидной, как оно всегда и бывает на практике.

104. Мы подходим теперь к вопросу, наиболее интересному для психологов, так как он часто встречается в их исследованиях, несмотря на то, что не всегда ставится в той форме, какую мы ему придаем. Пусть различные индивиды наблюдают некоторую совокупность явлений; их наблюдения классифицируются так, чтобы получилось некоторое большинство; и здесь является следующий вопрос:

Соответствует ли мнение этого большинства чему-нибудь в действительности?

Определить, какова эта действительность, и, в частности, сравнима ли она с тем, чего можно было ожидать, ставя опыты,— является второй задачей, важности которой я не отрицаю, но которую необходимо отличать от первой, ибо к ней можно серьезно приступить только после решения первой.

Поясним это примером: предположим, что в большом числе начальных школ прочли вслух одну и ту же страницу и попросили каждого из детей указать письменно, какие слова на ней чаще всего встречаются1). Если три четверти ответов сходятся на указании какого-нибудь слова, то можно заключить с уверенностью, что это совпадение не случайное, а имеет основание. Основание это может заключаться в том, что указанное слово является, действительно, наиболее часто встречающимся на прочитанной странице; основание может быть и совершенно

1) Подобный опыт недавно произведен Бинэ: детям прочитывали 100 существительных и предлагали написать список запомнившихся слов. У меня не было достаточно материала, чтобы подвергнуть обработке результаты вычисления.

иным; но существенным результатом метода большинства в данном частном примере является установление существования некоторой причины.

Точно так же пусть, сравнивая многочисленные взвешивания двух предметов А и В, формы и размеры которых весьма различны, мы получаем ответы, три четверти которых приписывают более значительный вес А; тогда можно заключить, что это имеет причину, хотя причина эта, может быть, и не та, что А действительно тяжелее JB. Напротив, если из 1.000 ответов только 520 покажут А тяжелее, а 480—В тяжелее, то (отбрасывая все сомнительные ответы), полученное отклонение может принадлежать к разряду отклонений, часто встречающихся в серии из 1.000 результатов в орлянку, и отсюда нельзя сделать никакого иного вывода кроме того, что вероятно, и новая серия из 1.000 опытов даст столь же неопределенные результаты.

Прежде чем перейти к обсуждению опытов с числовыми результатами, я хотел бы упомянуть об очень интересном опыте, результаты которого выражаются рисунками. Дело идет о наблюдениях поверхности одной планеты, одновременно сделанных несколькими удаленными друг от друга наблюдателями, каждый из которых дал рисунок своего наблюдения. Эти рисунки были собраны и сравнены г. Жаном Маскаром, астромом Парижской обсерватории, очень интересное исследование которого я здесь отмечаю1). Опыт, задуманный г. Николаем Путятой, был организован Французским Астрономическим Обществом по предложению Камилла Фламмариона; программа его была тщательно разработана и выполнена при участии 36 наблюдателей, располагавших весьма разнообразными средствами; опыт продолжался 19 дней (от 2 до 20 января 1906 г.), из которых несколько пропало для некоторых наблюдателей, вследствие дурной погоды. Однако число наблюдений, сделанных в один и тот же день и час, часто больше 10, иногда же доходит до 17. Мы здесь не имеем возможности ни пускаться в подробное обсуждение, как это делает Жан Маскар, ни описывать различные фотографические приемы, использованные, чтобы получить среднюю различных рисунков (отметим все же остроумную мысль установить соотношение между экс-

1) Одновременные наблюдения поверхности Юпитера, собранные г. Жаном Маскаром. (Bulletin de la Société Astronomique de France, 1907).

позицией и диаметром или поверхностью объективов, употреблявшихся при данном частном наблюдении). Удовлетворимся передачей впечатления, полученного от обозрения представленных рисунков: эти рисунки, выполненные в один и тот же день и час, сильно разнятся друг от друга, и очень немногие подробности встречаются на нескольких из них. Этого достаточно, чтобы внушить большую осторожность при истолковании подобного рода рисунков; очевидно, что наблюдатели, добросовестность которых несомненна, и которые, кроме того, знали,, что действия их будут контролироваться, видели черты, не соответствующие никакой действительности. Было ли это вызвано атмосферными условиями или воображением наблюдателя,— могли бы выяснить новые опыты. Во всяком случае,, опыт заслуживает повторения, ибо он столь же интересен для психологов, как полезен для планетной астрономии. При постановке новых опытов можно извлечь большую пользу из многочисленных справедливых замечаний Жана Маскара.

105. Среди психологических замечаний, вызвавших применение математических выкладок, связанных с исчислением вероятностей, следует в частности упомянуть метод носящий странное название истинных и ложных случаев (richtig und falsch, right and wrong). Этот метод породил множество вычислений, в которых встречается интеграл Гаусса и относящиеся к нему формулы; здесь не место давать его критический разбор, который потребовал бы сравнительно большого математического аппарата; удовлетворюсь указанием, что вся трудность состоит в том, чтобы найти математическое выражение элементарной ошибки, одинаково хорошо удовлетворяющее условиям прерывности и непрерывности, которые лежат в природе вопроса; попытки, сделанные в этом направлении, кажутся мне не вполне удовлетворительными с теоретической точки зрения,—а с другой стороны, с практической точки зрения, они быстро приводят к аналитическим сложностям, которых желательно избегать в вопросах, где заинтересовано множество лиц с весьма скудным математическим образованием.

Я хочу прежде всего указать, каким образом систематическое употребление метода большинства дает возможность поставить вопрос в форме, которая отличается от обыкновенной: вместо того, чтобы интересоваться, как это делалось до сих пор, изучением индивидуального ощущения, которое пытались

выделить во всех опытах, мне кажется интересным выделить именно точность «коллективного ощушения». Возьмем определенный пример.

Одной из задач экспериментаторов-психологов является определение того минимального увеличения веса, которое может заметить средний наблюдатель: возьмем гирю в 1.000 грамм; можно установить, что разница веса обычно заметна только тогда, когда вес меньше 950 гр. или больше 1.0501); итак, можно сказать, что 50 грамм есть минимально заметная разница по отношению к 1.000 граммов; определением этой минимальной разницы много занимались со времени закона Вебера. Но вопрос можно поставить иначе: вместо изучения закона одного опыта, можно смотреть, какую точность могло бы дать большое число опытов; очевидно, эта точность была бы больше, и вместе с тем она не была бы неопределенной. Предположим, например, что большому числу наблюдателей предложат сравнить два веса, один в 1.000 грамм, другой в 1.010 гр.2); если из 1.000 наблюдателей 600 дадут правильный ответ, то справедливо будет сказать, что совокупность этих 1.000 наблюдателей обладает коллективным ощущением разницы 10 граммов, несмотря на то, что каждый из 1.000 наблюдателей—если бы несколько раз повторить опыт—мог бы несколько раз ошибиться, так что ни один из них не мог бы считаться обладающим индивидуальным ощущением этого различия. Я предполагаю, что требуется ответить да или нет, и сомнительные ответы исключаются; было бы легко поставить вопрос и в том случае когда допускаются и сомнительные ответы.

Допустим, например, что имеется ряд разновесов, обозначенных в цифрах, меняющихся по 1 грамму от 900 до 1.100; наблюдателю дается груз Р неизвестного веса и предлагается назвать те из известных ему весов, которые кажутся ему рав-

1) Я оставляю здесь совершенно в стороне вопрос о систематических ошибках, происходящих в опытах этого рода; я предполагаю, например, что ошибка, зависящая от порядка сравнений, исключается путем производства каждого сравнения дважды; оставляю также в стороне точное определение обычно замечаемого отклонения; если предполагать, что замеченные отклонения следуют закону Гаусса, то можно взять либо вероятное отклонение, либо среднее отклонение, как известно, довольно близкие друг к другу.

2) Разумеется, я все время предполагаю, что систематические ошибки устранены.

ными, большими и меньшими веса данного груза. Опуская здесь детали опыта (не потому, чтобы я отрицал их большую важность, но для сбережения места), я полагаю, что из его результата можно вывести наиболее вероятное значение груза Р1). Можно ли доверять такому индивидуальному определению? И насколько можно доверять средней, выведенной из 1.000 аналогичных определений, сделанных различными наблюдателями? Если слепо принять закон Гаусса или любой другой точный математический закон для выражения индивидуальных ошибок, то мы неизбежно придем к выводу, что точность возрастает, как квадратный корень из числа наблюдений, и может, следовательно, быть доведена до величины как угодно большой. Этот метод оценки мог бы таким образом, при тщательном пользовании им, превзойти точностью лучшие измерения, произведенные инструментами, что кажется парадоксальным2). Было бы интересно определить опытным путем коллективную точность, которая может быть достигнута оценочными измерениями. Это—задача, мне кажется, достойная внимания наблюдателей; впрочем, элементы для начала исследования3) можно найти в уже напечатанных работах и, конечно, в записях опытов.

Чтобы дать представление о возможной постановке опытов, я заимствовал нижеследующие цифры из Руководства по экспериментальной психологии Титченера4). Вес S,

1) Математические методы для достижения этой цели очень просты, если предположить, что промежуток настолько мал, что в его пределах ощутимый минимум может считаться постоянным; они усложняются, если принимать во внимание его изменения по закону Вебера.

2) Парадокс уменьшается, если заметить, что практически невозможно для двух наблюдателей выполнить то же самое измерение, так как величина меняется со временем (а также и измерительные приборы). Если значительно увеличить число наблюдателей, то эти изменения превысят частное от деления средней индивидуальной ошибки на квадратный корень из числа наблюдателей; начиная с этого момента, точность не может более быть увеличена, и еще вопрос, можно ли достигнуть этой предельной точности.

3) Согласно разъяснений, данных мне г. Гильомом, вице-директором Международного Бюро Мер и Весов, была достигнута, посредством увеличения числа отсчетов, производимых опытными наблюдателями, точность средних, значительно превосходящая точность индивидуальных наблюдений; например, при помощи отсчетов, сделанных с лупой на миллиметровой скале, удалось достигнуть, при достаточном числе наблюдений, с полной уверенностью сотой доли миллиметра.

4) Titchener, Experimental Psychology, Students Manual Quantitative p. 107, я просуммировал числа соответствующие двум сериям опытов. Time

равный 1.071 грамм, сравнивался с различными весами С, в числе семи, величины которых возрастали интервалами в 50 грамм от 921 до 1.221 граммов. Следующая таблица дает результаты 100 наблюдений для каждого веса С, всего 700 наблюдений: в трех столбцах находятся числа, соответствующие наблюдениям, где С принималось большим, равным или меньшим а?.

Значение С.

C>S.

С =8.

c<s.

921

1

8

91

971

6

11

83

1.021

10

37

53

1.071

30

37

33

1.121

55

34

11

1.171

76

20

4

1.221

90

9

1

Если рассматривать эту таблицу с той точки зрения, на которой мы стоим, т.-е. если стараться из совокупности наблюдений вывести реальную зависимость, предполагаемую неизвестной, между G и S, то тотчас становится ясным, что эта зависимость проявляется совершенно отчетливо; три последних столбца показывают, даже при отсутствии первого, равно ли, больше ли или меньше С чем S. Разумеется, строгое равенство не может быть установлено, но опыт дает достаточно основания его предполагать. Из того, что из 100 опытов в тридцати С показалось больше 8} в тридцати семи равно S и в тридцати трех меньше S, можно просто заключить следующее: опыты не дали никакого основания1) предполагать <7># скорее, чем О; мы должны, следовательно, поскольку

Order I, S. first и Time Order II, S. second. (Курс Титченера имеется в русском переводе изд. т-ва „Мир“. Ред.)

1) В действительности незначительная разница между 30 и 33 является очень слабым основанием, чтобы считать С < S; это—проблема вероятностей причин, которая по классическому методу может быть решена при помощи дополнительной гипотезы о вероятности. Но при самом малом знакомстве с этим вопросом, не нужно вычислений, чтобы удостовериться в том, что вероятность иметь С < S, очень не на много превышает 0,5 и, следовательно, весьма близка к вероятности, чтобы было С > S.

нет других данных, считать C=S. Точно так же большинство безошибочно отличает С, весящее 1.021 граммов, от S, весящего 1.071 граммов, хотя каждый наблюдатель, в отдельности, может ошибиться; ибо, отбрасывая 37 ответов, утверждающих равенство или сомнение, остается 53 верных ответа против 10 неверных; такое распределение не может быть следствием случая; когда игра в орлянку при 63 опытах дает 53 раза решку и только 10 раз орла, можно считать почти абсолютно достоверным, что игра была мошенническая.

Однако можно пойти дальше и спросить себя, что произошло бы, если бы С имело промежуточное значение между 1.021 и 1.071 граммов; принимая во внимание правильность изменений чисел, записанных в трех столбцах, мы совершим довольно незначительную ошибку, действуя по линейной интерполяции, т.-е. предполагая, что числа изменяются в арифметической прогрессии, что дает нижеследующие результаты1).

С.

C>S.

c=s.

C<S.

1.021

10

37

53

1.031

14

37

49

1.041

18

37

45

1.051

22

37

41

1.061

26

37

37

1.071

30

37

33

Разумеется, если бы опыт был проделан в действительности, то числа не совпали бы в точности с написанными нами, вследствие случайных ошибок, но теория вероятностей указывает нам, какие случайные ошибки могут считаться вероятными и какие—в высшей степени невероятными. Например, при 63 суждениях, которые мы имеем в данном случае (так как 37 нейтральных), следует считать маловероятным, чтобы, раз действует только случай, получилось более 40 одинаковых и лишь

1) Принимая в расчет вторые разности, мы получаем довольно сходные числа, ведущие к одним и тем же конечным выводам; я предпочел дать вычисление в самой наглядной форме.

23 противоположных суждений1). Совокупность наблюдений, произведенных в случае, когда (7=1.051, позволяет таким образом, сделать весьма правдоподобный вывод, что C<S, т.-е. вывод близкий к истине. Из совокупности чисел нашей первой таблицы, мы, следовательно, делаем тот вывод, что рассматривая коллективное суждение 100 упомянутых наблюдателей, как целого, можно утверждать, что они различают колебания веса в 20 граммов. Однако посредством довольно сложных и очень точных вычислений Титченер (loc. cit., стр. 109 и 113) дает значения Di2), выведенные из той же таблицы, выраженные следующими различными числами3): 43, 36, 30, 53, 38, 34, среднее которых 39 приблизительно вдвое больше найденного нами числа 20. Это различие результатов, полученных из одних и тех же опытов, ясно указывает на различие задачи: Титченер определяет индивидуальную чувствительность, между тем как мы определяем коллективную чувствительность совокупности наблюдений. Впрочем, можно было бы придать большую точность нашему определению, но ввиду малости употребленных чисел4) это было бы в ущерб его строгости. Лучше остаться при полученном результате, что раз ница в 20 граммов определяется почти наверняка при помощи метода большинства, примененного к 100 наблюдениям; этот метод дает, следовательно, как можно было ожидать, точность и уверенность гораздо большие, чем индивидуальное наблюдение.

Я ограничусь этим примером, надеясь, что он покажет, какой интерес могло бы иметь применение метода большинства

1) Вероятность равна 1—6 j =1 — 9 (1,6) =0,024, где Ö обозначает интеграл Гаусса.

2) Т.-е. минимального прироста, заметного для отдельного наблюдателя.

3) Разницы этих чисел вызваны, с одной стороны, различием между двумя „time order“, с другой—различием между положительными и отрицательными приращениями и, наконец, разнообразием применяемых методов» эти разницы в результатах показывают, сколь обманчиво применение слишком точных методов вычисления к числам грубо приближенным.

4) Если бы мы следовали методу, параллельному тому, которым обычно пользуются в этих вопросах, когда применяется интеграл Гаусса, мы искали бы значение С, при котором вероятность наблюденного отклонения была меньше ^ из данных чисел следовало бы,что значение DL для 100 наблюдателей, рассматриваемых коллективно, приблизительно равно 8 грамм., на число наблюдений слишком мало, чтобы можно было считать этот результат точным.

к опытам, для этого специально поставленным. Без сомнения, мы получили бы результаты важные во многих отношениях.

106. Чтобы покончить, с этим я хочу обсудить некоторые применения метода большинства к качественным вопросам, ибо, быть может, особенно здесь этот метод дает результаты, которых нельзя было бы достигнуть никаким иным способом.

Впервые мысль о применении такого рода была мне внушена устроенной мною анкетой по поводу текстов, служивших для графологических опытов Бинэ1).

Дело заключалось в следующем: дано было 12 очень коротких текстов, напечатанных в книге, и требовалось определить, которые из 12 авторов были выдающимися людьми и которые—людьми обыкновенными2).

Индивидуальные ответы были интересны, но еще интереснее было распределение, выведенное из подсчета; шесть выдающихся людей и были признаны таковыми абсолютным большинством; только один обыкновенный человек также получил абсолютное большинство, но это, если можно так выразиться, наименее обыкновенный из людей «обыкновенных» (или просто «интеллигентных»), выбранных Бинэ, который говорит о нем: «Это—научный публицист, не лишенный заслуг, и который не рассердится на меня, если он узнает себя, за то, что я предпочел ему Клода Бернара». В результате мнение большинства соответствовало действительности в отношении всех выдающихся людей, и единственную совершенную им ошибку, заключавшуюся в признании выдающимся человека обыкновенного, можно было оправдать данными о нем сведениями. Не буду дальше останавливаться на этом опыте, мне хотелось только упомянуть о нем, так как он послужил поводом к переписке с Бинэ по вопросу о методе большинства (он и употребил впервые это выражение), и Бине любезно пригласил меня написать этот маленький этюд для его Année Psychologique.

Я рассмотрю подробно очень интересный опыт чтения детской физиономии3), произведенной г-жей Руссон. Напомню вкратце его условия, опуская подробности. Двадцати наблюдателям вручили 40 фотографий (каждая—двойная: en face и в

1) См. Revue du Mois за август и сентябрь 1906г , т.II, стр. 244и 366.

2) Классификацией мы обязаны Бине, см. его книгу Les Révélations de l'écriture soumises à un contrôle scientifique.

3) Bulletin de la Société libre pour l'étude psychologique de l'enfant, июнь 1906, стр. 76.

профиль) детей, из коих 23 было отсталых и 17 нормальных; каждый наблюдатель объявлял, нормален ли ребенок или отстал, или же отказывался ответить (было лишь 18 отказов на 800 наблюдений1).

Процентное отношение правильных ответов колебалось в зависимости от наблюдателей между 67% и 92%; их средняя была 78%. Отсюда можно заключить, что в фотографиях2) — по крайней мере в некоторых из них—действительно были признаки ума и развития. Этот общий вывод может быть значительно улучшен применением метода большинства. Я хотел бы детально показать на этом примере, какие простые принципы нужно употреблять в этом применении, при чем постараюсь требовать минимума математических знаний.

Голосующих было 20; каждый из них должен был голосовать: нормальный (Н) или отсталый (О), так что совокупность голосований, относящихся к одной фотографии была представлена последовательностью вроде следующей3) (фотография № 7):

ННОООНОЕОООНОООООООО.

Сколько может быть таких последовательностей из 20 букв H или О? Первая буква может быть H или О, что составляет 2 возможности, вторая буква может быть H или О, что составляет 2X2 возможности (НН, НО, ОН, 00); для каждой из этих 2X2 возможностей, третья буква может быть H или О, что составляет 2X2X2 возможностей (ННН, ННО, НОН, НООу ОНН, ОНО, ООН, ООО) и т. д. Повторяя это рассуждение до

1) Эти отказы достаточно малочисленны, чтобы можно было ими пренебречь. Г-жа Руссон не считается с ними при вычислении процентного отношения правильных ответов, т.-е. если наблюдатель отказывается ответить 2 раза и ошибается 3 раза из 40, она считает 35 правильных ответов из 38. Такой прием слегка увеличивает процентные отношения у г-жи Руссон; мы воспроизвели их такими, какими она их приводит.

2) Я говорю фотографии, а не только физиономии, так как один из наблюдателей заметил, что следовало бы „устранить все внешние различия, могущие оказать влияние на суждение“. Это замечание не имеет значения для наших выводов: оно должно иметь значение в относящихся непосредственно к физиономии выводах, которые можно было бы попытаться отсюда сделать.

3) Я отбрасываю несколько нулевых голосований (в числе 18 из 800), чтобы придать моим выводам больше достоверности, я буду считать их с меньшинством; это самый невыгодный прием, и в случае любого другого условия выводы остаются верны à fortiori. Ввиду их малочисленности, это впрочем, неважно.

двадцатой буквы, мы находим число возможностей, равное произведению 20 множителей, равных 2, т.-е. 220 или 1.048.576. Таково число различных возможностей рассматриваемого голосования. Если бы каждый голосующий, вместо обсуждения своего ответа, разыгрывал его в орлянку, то каждая из этих комбинаций была бы одинаково вероятна, и был бы, следовательно, один шанс на 1.048.576, чтобы осуществилась любая из них (например, написанная нами выше).

Теперь нужно определить, сколько есть между различными возможностями голосования таких, которые дают известное число голосов в пользу В.; совершенно ясно, например, что H может получить 1 голос против 19 голосов, поданных за О, 20-ю различными способами, так как единственный голос, поданный за Я, может принадлежать первому голосовавшему или второму... или двадцатому. Окончательное разрешение этого вопроса дано комбинаторным анализом, а числовой расчет производится просто применением «арифметического треугольника Паскаля»; я ограничусь указанием результата.

Можно получить

Числом способов, равным

Сумма чисел предыдущего столбца.

20 Я и 0 О

1

1

19 Я и 10

20

21

18 Я и 2 0

190

211

17 Я и 3 0

1.140

1.351

16 Я и 4 0

4.845

6.196

15 Я и 5 0

15.504

21.700

14 Я и 6 0

38.760

60.460

13 Я и 7 0

77.520

137.980

12 Я и 8 0

125.970

263.950

11 Я и 9 0

167.960

431.910

10 Я и 10 0

184.756

616.666

9 Я и 11 0

167.960

8 Я и 12 0

125.970

Очевидно, бесполезно писать таблицу до конца, цифры второго столбца будут итти в обратном порядке. В третьем столбце мы написали сумму чисел второго (21.700, например, является суммой 1 + 20 + 190 + 1.140 + 4.845 + 15.504); мы сейчас увидим, для чего это нужно.

Предыдущая таблица является существенным элементом для обсуждения метода большинства; когда число голосующих невелико, она без труда получается посредством арифметического треугольника Паскаля; когда оно велико, вычисления были бы очень сложны, и нужно пользоваться приближенными формулами, даваемыми интегральным исчислением и приводящими к рассмотрению знаменитого интеграла Гаусса, — таким образом, значение этого интеграла не заключает в себе ничего таинственного; но в настоящем примере я предпочел не пользоваться им.

Полное число возможных комбинаций равно 1.048.576; если бы голосование разыгрывалось в орлянку, что сделало бы вероятность всех возможных случаев одинаковыми, то вероятность наступления одной из 38.760 комбинаций, дающей 14 Л“ и 6 0, равнялась бы частному от деления 38.760 на 1.048.576, т.-е. в круглых числах 4%. Можно было бы вывести из предыдущей таблицы и прочие вероятные результаты голосования, производимого случайно; вот они в круглых цифрах:

Получили бы

Отсюда следует, что от 40 голосований можно в общем ожидать следующих результатов:

7 раз каждая из комбинаций И £Ги 9 О, 10 H и 10 О, 9 Я“и 11 О 5 » » » » 12 Ни 8 0, 8 Ни 12 О,

3 э » > » 13 Я и 7 О, 7 Ни 13 О,

3 раза вместе две комбинации 14 ff и 6 О, 6 H и 14 О.

Появление же других комбинаций, не будучи не возможным, было бы довольно маловероятно для 15 .ff или 16 ff, очень маловероятно для 17 ff и 18 ff и совершенно невероятно для 19 H или 20 ff. В частности эта последняя комбинация (единогласность) могла бы иметь место только 1 раз из 1.000.000, но в действительности она произошла 5 раз, каждый раз правильно1). Приписать это явление случаю так же невозможно, как допустить следующий факт: в городе, вроде Лондона, содержащем около 1.000.000 взрослых мужчин, 40 человек, облеченных высшей властью, вынуждены подать в отставку и передать свои полномочия 5 гражданам, указанным жеребьевкой из миллиона, и жеребьевка указывает именно пятерых, подавших в отставку. Народ будет убежден, что здесь мошенничество; и он будет прав. Точно так же и мы можем быть уверены, что результат голосования не является случайностью. Следовательно, существует причина, и вполне естественно предположить, что это—именно искомая причина, т.-е. рассмотрение фотографий (могло бы также быть соглашение между голосующими или внушение; но эти предположения должны быть устранены по самым условиям опыта).

Рассмотрим теперь подробно результаты: мы подразделим их на верные, сомнительные и неверные.

I. Верные результаты2). 5 единогласно 20 голосов

5 по 19 голосов против 1 (или против 1 воздержавшегося)

1) Так как голосование оказалось правильным, то мы говорим: 1 раз из 1.000.000, а не 2 раза из 1.000 000, что выражало бы единогласное решение в смысле, не указанном заранее (либо 20 Я, либо 20 О).

2) Верные и сомнительные результаты распределяются приблизительно одинаково между нормальными и отсталыми; вот это распределение:

I. Верные:

II. Сомнительные.

20 голосов 4 О и 1 Я

13 голосов 1 О и 1 Я

19 „ 2 О и 3 Я

12 „ 1 О и 1 Я

18 „ 5 О и 1 Я

11 „ 0 О и 1 Я

17 „ 0 О и 2 Я

10 „ 3 О и 1 Я

16 „ 1 О и 3 Я

9 „ 0 О и 1 Я

15 „ 3 О и 0 Я

5/8 „ 1 О и 0 Я

14 „ 0 О и 2 Я

Оба неправильных результата относятся к двум отсталым, объявленным голосованием нормальными.

6 по 18 голосов против 2 (или воздержавшихся),

2 по 17 » » 3 » » 4 по 16 » » 4 » »

3 по 15 » » 5 » » 2 по 14 » » 6 » »

Итого 27 верных результатов.

II. Сомнительные результаты.

2 большинством 13 голосов

2 » 12 »

1 » 11 >

4 равенство голосов (10 против 10)

1 меньшинством 9 голосов (против 10 и 1 воздержавш.)

1 » 5 »1) (против 12 и 3 воздержавш.)

Итого 11 сомнительных.

III. Неверные результаты.

1 когда за верное решение подано только 5 голосов против 15

1 когда за верное решение подано только 3 голоса против 17

Итого 2 неверных результата

Сомнительными мы назвали те результаты, в отношении которых не является невероятным, что правильность их вызвана случаем. Число их 11; если мы обратимся к третьему столбцу таблицы на странице 190, то увидим, что на 1.048.576 испытаний, управляемых случаем, имеется 60.460, в которых большинство достигает или превышает 14. и 137.980, в которых это большинство достигает или превышает 13; отсюда на 11 опытов, управляемых случаем, вероятное число тех, для которых большинство в определенном, заранее данном смысле, равно или превосходит 14, не достигает единицы,— между тем как число тех, для которых большинство достигает 13, превышает единицу. Вот почему мы поместили 2 голосования, в которых большинство достигает 14, среди

1) Этот результат мог бы быть отнесен к неверным; он сомнителен, если воздержавшихся прибавить к меньшинству.

верных результатов, а 2 голосования, в которых большинство достигает 13,—среди сомнительных. В разграничении такого рода, очевидно, есть некоторый произвол; было бы странно скрывать это, но неправильно находить в зтом аргументы против наших взглядов; нужно просто не забывать, что эти выводы заключают в себе некоторую неопределенность, т.-е. что вместо 27 верных результатов из 40, можно было бы считать от 25 до 29, может быть, даже от 24 до 30, но эта легкая неопределенность в числовом определении не говорит против выводов по существу; по самой природе своей, вычисления, основанные на опыте, могут давать только приближенные результаты. С этими оговорками мы будем считать числа на стр. 192 и 193 точными.

Мы видим, что из 40 фотографий для 27, т.-е. приблизительно для двух третей, мы должны считать, что результат голосований был определен рассмотрением фотографий: вполне возможно, что передав эти 27 фотографий на отзыв другим наблюдателям такого же рода (воспитателям и воспитательницам), мы получили бы те же результаты. Было бы интересно попытаться проделать подобный опыт.

Для 13 фотографий, т.-е. для одной трети, совокупность ответов дает точность не больше той, которую доставил бы случай. Казалось бы, отсюда следует заключить, что на этих фотографиях особенности, на которых наблюдатели базировали свои суждения, или отсутствовали, или отчасти были противоречивы. Итак, для одной трети фотографий опыт, казалось бы, следует толковать так, что свойства этих фотографий не дают возможности определить, к какой категории принадлежат изображенные на них дети. Таков логический вывод из этого опыта; этот вывод мог бы отчасти быть изменен более широким опытом, относящимся к тем же фотографиям; но я все-таки убежден, что он не был бы совершенно опорочен.

Наконец, скажем несколько слов о двух голосованиях, результат которых неверен, и к которым, быть может, следует присоединить одно из голосований, помеченных как сомнительные.

Речь идет о трех остальных детях, объявленных нормальными 17 голосами против 3, 15 против 5 и 12 против 5. Имеются довольно серьезные основания предполагать, что, по крайней мере, 2 фотографии (если не все три) обладают свой-

ствами нормальных детей, т.-е. что ошибка большинства соответствует некоторой относительной истине, хотя и противоречащей абсолютной истине (т.-е. оценке людей, очень хорошо знающих детей). Можно спросить, не потому ли они привели к ложным заключениям, что эти фотографии труднее было оценить, и не удалось ли бы более искусным судьям произнести о них истинное суждение. Мы этого не думаем, так как наблюдатели, сделавшие правильное определение этих снимков, как будто не отличались особенным искусством; относительный процент правильных ответов для наблюдателей, верно ответивших в ошибочных голосованиях, следующий:

82%, 75%, 67%, 78%, 67%

82%, 67%, 92%, 77%, 76%, 67%, 82%, 75%.

Эти проценты колеблются между минимумом и максимумом, общим для всех 20 наблюдателей (67% и 92%); и средняя 76% немного меньше общей средней, 78%, всех 20 наблюдателей. Следовательно, верные ответы в этих случаях принадлежат не более искусным вообще.

В качестве общего вывода из этого применения метода большинства к опыту г-жи Руссон, мы приходим к заключению, что фотографии содержали элементы для верного решения в 65% случаев1), оставляли место для сомнения в 30% случаев и должны были вести к неправильному решению в 5% случаев.

107. Я применил критический метод, подобный предыдущему, к весьма интересному опыту Бинэ с фотографиями рук2). Требовалось определить по снимку детской руки или, вернее, 2-м снимкам: ладони и тыла руки: 1) пол ребенка, 2) умен он или глуп. На второй вопрос, поставленный Бинэ в такой форме, должен был быть дан недвусмысленный ответ. Опыт относился к 20 фотографиям, которые были переданы 20 наблюдателям; я сам лично предложил 4 наблюдателям вопрос Бинэ об уме

1) Это не противоречит тому факту, что в общем процент правильных ответов равнялся 78°/о, так как в сомнительных случаях имеется приблизительно 1 шанс на 2, что ответ будет верным; если бы все случаи были сомнительными, то мы считали бы процент верных ответов равным 50%.

2) Этот опыт не опубликован; я приношу благодарность г. Бинэ, передавшему мне все материалы.

и присоединил в нижеследующем эти 4 ответа к 20 полученным Бинэ1); привожу результаты:

I. Вопрос о поле:

13 верных ответов:

2 по 19 голосов при 20 голосующих, 1—18 голосов, 6—17 голосов 1—16 голосов, 1—15 голосов, 1—14 голосов.

5 сомнительных ответов:

1—13 голосов, 2 по 12 голосов, 1—11 голосов, 1—7 голосов.

2 неверных ответа: 5 голосов за истину против 15.

Выводы приблизительно те же, что и в опыте г-жи Руссон, с той, однако, разницей, что большинство—в правильных ответах — менее значительно; фотографии рук несколько менее раскрывают пол, чем фотографии лица — ум. Замечательно, что оба неверных ответа относятся к двум мальчикам,, принятым за девочек; эти два мальчика умны: один из них был признан таким 18 голосами из 24, другой получил в этой второй анкете 12 голосов из 24.

II. Вопрос об уме:

6 верных ответов:

1—19 голосов из 24, 2 со 18 голосов, 1—17 голосов и 1—16 голосов

Эти верные ответы касаются двух детей, признанных умными и 4-х, признанных глупыми.

12 сомнительных ответов:

Правильное решение получило, при 24 голосующих, 3 раза по 14 голосов, 4 раза по 12 голосов, 2 раза по 11 голосов, 2 раза по 10 голосов, 1 раз 9 голосов.

2 неверных ответа: Правильное решение было дано только 7 голосами из 24.

Эти два неверных ответа относятся соответственно к обеим категориям.

Результаты эти, как и следовало ожидать, в отношении верности ответов значительно ниже результатов, полученных

1) Это присоединение уменьшает на единицу число сомнительных случаев; общий смысл результата, остается тот же. Из документов, переданных мне г. Бинэ, я использовал для каждого наблюдателя ответы, данные в первом испытании, не считаясь с изменениями, внесенными при втором. испыгании, о котором я скажу сейчас несколько слов.

при опыте изучения физиономий; большинство здесь выступает не так ясно, и в двух третях случаев отклонения носят характер случайных. Становится очевидным, что приблизительно в 60°/0 случаев нельзя ничего извлечь из фотографий рук. Это впечатление подтверждается при изучении результатов второго опыта, в котором некоторые из наших наблюдателей изменили свои суждения о тех же фотографиях (при втором опыте пол ребенка был им известен); таких измененных суждений было 62, из них 46 относились к 12 случаям, помеченным как сомнительные, 15 к 6 случаям верных ответов и только 1 к обоим случаям неверных ответов. Это выходит около 4 изменений на каждый сомнительный случай, только 2,5 на верные ответы и û,5 на неверные ответы. Таким образом, есть случаи, когда суждения очень неуверенны и другие, когда они более определенны, и там исследование обнаруживает «нечто объективное». Это «нечто объективное» совпало с умом в 6 случаях из 8; но цифры эти слишком незначительны, чтобы исчисление вероятностей позволило сказать что-либо по поводу их; было бы неправильно делать процентные вычисления; мы совершили бы грубую ошибку, заменяя 6 случаев из 8 через 75%, ибо, весьма возможно, что удача в 6 случаях из 8 является следствием чистой случайности (т.-е. вероятности— 50%). между тем как успех в 75 случаях из 100 обнаруживает существование причины с достоверностью, практически абсолютной.

Но нельзя ли конкретным изучением постараться определить природу этого «чего-то объективного», открытого опытом. Рассмотрение фотографий внушило Бинэ следующую гипотезу: когда пальцы коротки и некрасивы, ребенок считается глупым; когда же они длинны и тонки, его считают умным. Для проверки этой гипотезы Бинэ пригласил двух новых наблюдателей, попросив их произвести классификацию, основываясь исключительно на указанном признаке. Описание этого опыта находится в документах, которые он мне передал; чтобы сохранить свободу суждения, я разобрал его лишь после того, как написал все предыдущее, чему этот опыт дает замечательное подтверждение, так что гипотеза Бинэ, повидимому, всецело подтверждается моим арифметическим исследованием. В самом деле, в 6 случаях, когда ответ большинства был верен, и в 2 случаях, когда он был неверен, все ответы двух последних наблюдателей в точности совпадали с ответами большин-

ства1). Такая совершенная согласованность в 16 случаях (2 наблюдателя, высказывающиеся каждый о 8 фотографиях) является в некотором роде опытной проверкой метода большинства, и этот пример указывает способ применения его к случаям, подобным настоящему, когда â priori точно неизвестно, к чему относится исследование. Метод большинства открывает нам, что имеется «нечто объективное»; затем непосредственное наблюдение явлений дает возможность формулировать гипотезы, которые должны быть проверены новыми опытами. Вычисление играло здесь, как всегда в экспериментальных науках, только роль посредника между двумя опытами, но эта роль путеводителя в опыте хоть и скромна, но очень часто является весьма полезной.

108. Можно было бы увеличить число примеров; думаю, что было бы интересно и полезно изучить математически, применяя вышеописанные методы, значительное количество документов, собранных психологами во Франции, в частности Альфредом Бинэ, его сотрудниками и учениками (именно в Année psychologique и в Bulletin pour l'étude psychologique de l'enfaut). Однако, это длительное изучение теперь уже не является необходимым для того, чтобы сообщить нам уверенность в научном значении, которое может иметь, в этих областях, теория вероятностей, применяемая строго и с осторожностью.

1) Отмечу незначительную разницу в отзыве об одном ребенке, признанном большинством глупым (ответ правильный): один из двух наблюдателей написал ,,посредственный“, второй же написал „глупый“.

ГЛАВА X.

Философское значение законов случая.

109. Изучение законов случая ставит снова проблему ценности познания.— 110. Детерминизм ученого.—111. Детерминизм в человеческом масштабе не влечет за собою абсолютного детерминизма в молекулярном масштабе.— 112. Детерминизм в молекулярном масштабе не влечет абсолютного детерминизма в масштабе человеческом.—113. Чудо эпифеноменального сознания еще менее вероятно, чем чудо дактилографирующих обезьян.—114. Согласованность мира с разумом и эволюцией человека.—115. Статистическое объяснение закона Ньютона можно было бы считать большим успехом.—116. Второй принцип термодинамики и деградация энергии.—117. «Демон Максвелла» и человеческая деятельность. —118. Возможное представление об эволюции вселенной.

109. Не без колебаний решился я написать эту последнюю главу; после некоторого размышления я увидел, однако, что не могу отказаться от выражения своего мнения по вопросам которые должны интересовать большинство читающих эту, книгу. Излишне упоминать, что лишь только заходит речь о философской ценности какого-либо метода познания, неизбежно тотчас же встает вопрос о ценности познания вообще; понятно, здесь не может быть речи об установлении окончательных выводов для проблемы, не перестававшей занимать человека со времен рождения философской мысли. Я хочу лишь попытаться показать, в какой мере эта проблема обновляется в связи с изучением законов случая и установлением той роли, которую они играют в практической жизни и в науке.

110. Анри Пуанкаре отметил, что ученый, как таковой, не может не быть детерминистом, так же как человек не может в практической жизни поступать так, как будто он не верит в существование чувственного мира. Так как цель науки есть предвидение, то с того момента, как оно становится невозможным, мы находимся вне пределов науки, и ученый перестает действовать или рассуждать, как таковой. Такой взгляд

на науку, очевидно, необходим; весъ вопрос в том, абсолютная ли это необходимость, как для математических истин, или здесь примешивается элемент случая, хотя бы в самой малой степени. С этой точки зрения, объяснения, основанные на теории вероятностей, в частности «статистические» объяснения физических явлений, вдвойне интересны для изучения: с одной стороны, они позволяют понять, что необходимость явления в целом не исключает «свободы» частичных явлений; с другой стороны, они дают примеры случаев, где предполагаемый абсолютным детерминизм частичных явлений не позволяет с абсолютной точностью предвидеть явление в целом.

111. Остановимся немного на этих двух пунктах и прежде всего на том факте, что необходимость, замеченная в «следствиях», не влечет непременно абсолютного детерминизма причин.

Мы находим в различных науках одну и ту же тенденцию: заменить изучение частных случаев общим статистическим изучением совокупности очень многих явлений. Между прочим, такое статистическое изучение приводит к важным и точным результатам, которые в полной мере заслуживают названия научных законов. Над этим фактом стоит подумать.

После великих ученых конца XVIII века — Лагранжей, Лапласов, Фурье—XIX век пытался объяснить большинство явлений, сводя их к строгим законам механики; как неизменно движение небесных светил, и все детали его могут быть предусмотрены, совершенно так же достаточно усовершенствовать методы вычисления и подробно анализировать физические явления, чтобы обнаружить в них такое же соответствие между теорией и наблюдением.

Было бы неправильно утверждать, что этот взгляд оказался несостоятельным, ибо, только опираясь на него, можно было пойти дальше, и он должен быть сохранен, как один из необходимых элементов нашего познания,—но, будучи необходимым, он уже недостаточен. Бесполезно вновь перечислять причины, по которым подробный анализ детерминизма явлений превышает силы человеческие; но если бесчисленные дифференциальные уравнения, определяющие движение молекул, не могут быть рассмотрены индивидуально, то можно изучить некоторые общие свойства их, из которых и выводятся статистические законы. Строгий детерминизм, который вытекал бы из решения теоретически возможного, совокупности

уравнений, играл бы в установлении этих статистических законов второстепенную роль; эти законы остались бы неизменными даже при изменении деталей, лишь бы средние оставались теми же: из миллиарда миллиардов молекул газа несколько миллиардов в очень короткий промежуток времени сталкиваются с участком стенки сосуда; не существенно знать, какие именно эти привилегированные молекулы; с человеческой точки зрения, такой вопрос не имеет даже никакого смысла: единственно, что важно знать, это — их число и среднюю скорость.

Мы могли бы пойти еще дальше и представить себе, что среди миллиардов миллиардов молекул, составляющих небольшую газовую массу, некоторые подчиняются законам, совершенно отличным от известных нам, или даже вовсе никаким законам не подчиняются и ведут себя так, как будто они были одарены свободной волей в самом наивном понимании этого слова; на детерминизм явлений, доступных нашему наблюдению, это не оказало бы влияния; физические законы не потерпели бы никакого изменения1); точно так же предположение, что индивиды одарены свободной волей, не влияет на законы статистики: число путешественников, которые покинут Париж 3 августа с вокзала Сен-Лазар, может быть предвидено; однако большинство из них, если рассматривать их индивидуально, могло бы с таким же успехом выехать накануне или на следующий день.

Можно было бы привести еще примеры; но я, кажется, достаточно выяснил этот существенный пункт: роль того, что мы называем случаем, и установление научных законов не несовме-

1) Я должен указать весьма интересную статью Ж. Рони (старшего), направленную против гипотезы о „свободе молекул“.— La contingeance et la déterminatio n — появившаяся в то время, когда я исправлял последние корректуры этой книги (Revue du Mois, 10 января 1914, т. XVII, стр. 5). Я должен также упомянуть очень интересный доклад, прочитанный Ланжевеном во Французском Физическом Обществе в конце ноября 1913 г. и еще не изданный в момент появления настоящей книги. В своем докладе Ланжевен обратил внимание именно на то, что углубленное изучение различных явлений в нашем человеческом масштабе позволяет с уверенностью установить некоторые законы молекулярных явлений; мы не можем довольствоваться туманным заявлением, что они следуют законам теории вероятностей. Но, с одной стороны, это определение никогда не может стать абсолютным, а с другой стороны, всегда можно представить себе, что некоторые молекулы совершенно от него ускользают.

стимы; напротив, во многих, если не во всех случаях научные законы являются просто равнодействующей чрезвычайно большого числа сложных явлений, которые невозможно изучить отдельно. Узаконивает ли эта точка зрения применение чисто научных методов к изучению социальных и экономических явлений? Те, кого интересует этот вопрос, могут извлечь некоторую пользу из новой формы, в которой рассматривается детерминизм физических и биологических явлений, и которую можно назвать статистическим детерминизмом.

Возвращаясь к физическим наукам, заметим, что тот факт, что общий детерминизм не исключает неопределенности явлений в молекулярном масштабе, есть явление, заслуживающее более глубокого изучения. Основатели кинетической теории действительно приняли за исходную точку детерминизм молекулярных явлений; нет ли некоторого противоречия в том, что сомнение в детерминизме возникает благодаря выводам, сделанным из этой исходной точки?

Мы вернемся к этому ниже.

112. Прежде всего скажем несколько слов о факте, в некотором роде обратном предыдущему: о несколько случайном характере выводов, которые можно сделать из гипотезы абсолютного детерминизма молекулярных явлений. Совершенно ясно, что, если движения газовых молекул точно определены, то можно вывести с абсолютной точностью все свойства газа, исследуя уравнения, определяющие движения молекул. Но даже, оставляя на минуту в стороне весьма реальную трудность, проистекающую из необычайного количества уравнений, которые пришлось бы написать и интегрировать, мы констатировали, что невозможно точно исследовать движение молекулы, не написав уравнений для всей вселенной. Таким образом, перед нами не только число уравнений, столь большое, что ум человеческий неспособен представить их себе все, а действительно бесконечное число уравнений, которые понадобилось бы написать и проинтегрировать1). Таким образом, детерминизм

1) Можно было бы возразить, что вселенная может быть конечна; нам это неизвестно: но если пространство бесконечно, то как избегнуть бесконечного рассеяния материи? Философы, отказывающиеся верить в актуальную бесконечность, найдут, без сомнения, аргумент столь же сильным и тогда, когда дело ограничивается установлением наличности необычайно большого числа уравнений.

явления в целом в теории легко может быть понят, но детали его не могут быть предвидены; все, что мы можем сделать, это — при помощи методов статистической механики предсказать наиболее вероятное явление. Именно в этом смысле мы можем предвидеть, беря пример данный Джинсом, что вода, поставленная на огонь, закипит, а не обратится в лед. Между тем не невозможно в абсолютном смысле слова, но только в высшей степени невероятно, чтобы вода, поставленная в огонь, замерзла, точно так же как восстановление Национальной Библиотеки полчищем дактилографирующих обезьян нельзя объявить невозможным, но лишь в высшей степени невероятным. Чудо «воды, замерзшей под действием огня» можно сравнить с «чудом дактилографирующих обезьян»; вероятно, но не достоверно, что эти «чудеса» не произойдут. Несомненно, что такая степень вероятности для всякого разумного человека должна отождествляться с достоверностью; однако эта достоверность не имеет того абсолютного значения, которое философ детерминист должен приписать своему детерминизму: ибо, как бы ни была мала доля, отведенная в мире свободе, между тем миром, в котором она существует, и тем, из которого она исключена, целая пропасть.

Сделанные нами выше замечания о чрезвычайно быстром увеличении, вследствие столкновений, крайне малых вначале отклонений молекул, дают один из примеров важности изменений, которые произвел бы в будущем вселенной ущерб всемирного детерминизма, как бы мал и локализирован он ни был.

Если бы в примере Джинса вода, поставленная на огонь, замерзла, то физику-атомисту это, разумеется, не казалось бы явлением, действительно чудесным, т.-е. противоречащим физическим законам, но лишь удивительным совпадением, свидетелем которого он стал вследствие, поистине, исключительного случая; атомистический детерминизм не претерпел бы ни малейшего урона, ибо то, что нам известно об атомных движениях, делает это явление возможным, хотя и в высшей степени невероятным. Это повредило бы детерминизму в человеческом масштабе, т.-е. детерминизму, необходимому нам для ясного представления об этом мире.

В сущности, именно из-за этого детерминизма ум наш естественно склонен к вере в скрытый, но абсолютный детерминизм молекулярных явлений. Весьма интересно, что между обоими детерминизмами возможно противоречие.

113. Раз установлена возможность существования такого противоречия, нам, может быть, покажется менее странным представить себе, что там и сям в мире могут существовать абсолютные начала, не несовместимые с научным детерминизмом. Должен признаться, что эта концепция абсолютных начал внушает мне большое отвращение, как и всем тем, я думаю, кто получил сколько-нибудь научное или просто рациональное воспитание, но не менее велико мое отвращение по отношению к теории эпифеноменального сознания1), и эта антиномия—единственная проблема, которая никогда не переставала занимать меня. Я не утверждаю, что решил ее; но антиномия кажется мне все-таки менее затруднительной, с тех пор, как я стал размышлять о роли случая в научных законах; поэтому я и решил резюмировать здесь мои размышления, как бы ни были они несовершенны.

Одним из наиболее трудно объяснимых фактов при теории эпифеноменального сознания мне кажется тот, что только действие материалистического механизма могло породить книги, в которых изложены абстрактные идеи и сложные чувства, книги, которые могут так значительно воздействовать на природу через посредство человека. Это «чудо» довольно похоже на «чудо дактилографических обезьян», но еще более неправдоподобно; наличность этого факта и его вековая давность кажется мне непонятной, если не предположить, что отвлеченный разум человека может оказывать некоторое влияние на ход его мыслей и, следовательно, на его поступки. Движения мозга, соответствующие человеческой мысли, по сложности могут быть сравнены с движениями газовых молекул; те и другие научно определены, если рассматривать их в нашем масштабе, т.-е. следуя законам, которые не все нам известны, но которые мы можем надеяться узнавать с каждым днем лучше и лучше. Но мы никогда не сможем вполне проанализировать подробности явлений в молекулярном масштабе; таким образом, нам никогда не будет возможно узнать, в какой мере там строго проявляется детерминизм.

Впрочем, если бы через миллион поколений человек, бесконечно более разумный чем мы, достиг приемами, неизвестными нам, того, чтобы изучать извне все явления, про-

1) См. Jules Tannery, Revue du Mоis, 10 августа 1906 (т. II стр. 129) и Science et philosophie, т. III.

исходящие в нашем мозгу, то этот прогресс мог бы быть осуществлен только после того, как мозг этого сверхчеловека стал бы бесконечно сложнее нашего, и, следовательно, познание его было бы так же трудно для него, как познание нашего для нас.

114. Нам невозможно представить себе, каким образом наш разум мог бы воздействовать на механизм нашего мышления. На этот счет можно только строить догадки и предположения; мы не знаем даже, каким образом наше сознание дает нам познать если не этот механизм, то по крайней мере нечто ему равносильное. Изучение явлений бессознательных или подсознательных, многочисленных странностей патологической психологии, роли интуиции в практической жизни и научных исследованиях1) приводит нас к предположению, что наша мысль бесконечно сложнее того ясного сознания, которое у нас обычно от нее получается; иногда нашему сознанию удается овладеть частями этого механизма, обычно от него скрытыми, и утилизировать их. Так—беря по возможности простой пример—подробное вычисление возможных комбинаций и даже отчетливое воспоминание о всех раньше сделанных ходах позволило бы игроку в вист или в экартэ играть, сообразуясь с наибольшей вероятностью выигрыша. За отсутствием детального рассмотрения таких вычислений или воспоминаний, немыслимого в столь короткий срок, искусный игрок прибегает к интуиции, которая, быть может, является лишь несколько смутным отражением состояния его мозга, слишком сложного, чтобы можно было разобраться в его подробностях. Несомненно, дело обстоит так же в более сложных случаях, и в этом смысле вполне справедливо противополагать, как это часто делается, ум тонкий—уму геометрическому. Нечего и говорить, что эти замечания остаются в силе и для гипотезы эпифеноменального сознания. При этой гипотезе гораздо менее понятной мне кажется согласованность вселенной с нашим разумом, иными словами, тот факт, что познание истины выгодно для человеческой эволюции.

Дело идет не о мистической идее превосходства истины, но о том факте, что эволюция человеческого рода и его пре-

1) См. Е. Borel, L'intuition et la logique en mathématiques (Revue de Métaphysique et de morale, 1907, стр. 273) и L'évolution de l'intelligence géométrique (ibid, 1907, стр. 747).

восходство в борьбе за существование были в значительной мере поддержаны приобретением обиходных и научных истин. Мне хорошо известно, что некоторые думают1), будто познание высшей истины, т.-е. вера в абсолютный детерминизм и в -эпифеноменальное сознание, в результате сделают жизнь человеческую невозможной. Если это так, то это является поводом усумниться в этой верховной истине, так как это было бы первым примером гибельного влияния истины на эволюцию человечества. Верящие в строго материалистический детерминизм поступали бы, впрочем, логично по отношению к самим себе, не испытывая никакого отвращения к ложным утверждениям, общественная ценность которых казалась бы им неоспоримой: раз эта ложь в данный момент полезна, должно поддерживать и распространять ее.

Наоборот, те, кто считает, что эволюция вселенной не проходит по предустановленному, неизменному плану, и что разум человека может в некоторой степени повлиять на нее, те должны желать, чтобы с каждым днем становилось более полным согласие между этим разумом и миром, которым он желает управлять; они, следовательно, должны стараться просветить разум себе подобных, в убеждении, что истина всегда предпочтительнее заблуждения и лжи и никогда не может быть дурной. Такой оптимистический идеализм должен быть доктриной тех, кто верит в человеческий разум, прогресс и в превосходство истины; пессимистический же материализм пусть будет уделом тех, чей прагматизм приспособляется ко всем традиционным заблуждениям, если эти заблуждения имеют хотя бы кажущееся и временное преимущество.

115. Даже в научной области введение статистических методов повело к изменению традиционного понимания прогресса. Осуществление прогресса понималось сначала, как объяснение сложного через простое, как приведение к закону Ньютона, к притяжению прямо пропорциональному массам и обратно пропорциональному квадрату расстояний, сложных движений светил. Такое понимание прогресса остается, но оно должно быть дополнено; закон Ньютона по-прежнему кажется нам необходимым и неразрушимым этапом научной мысли, но он уже не вполне удовлетворяет нас своей простотой, и мы почитали бы

1) См. работы Le Dantec'a, a именно его книгу l'Athéisme, выводы которой могут почти целиком быть выражены известным выражением „Религия нужна для народа“.

равным Ньютону того физика, который объяснил бы этот закон статистической теорией, из которой он вытекал бы, как бесконечно вероятное следствие неправильности некоторых чрезвычайно сложных движений.

116. Одним из наиболее интересных следствий современных физических теорий является так называемое учение о деградации энергии.

Второй принцип термодинамики, или принцип Карно, в точной формулировке Клаузиуса гласит, что энтропия изолированной системы не может убывать; смело распространяя эту мысль на всю вселенную, из нее часто делается следующий, гораздо более общий вывод: энтропия вселенной стремится к некоторому максимуму, откуда можно заключить также, что эволюция необратима. Людям, настроенным пессимистически, эта необратимость эволюции может казаться признаком того, что вселенная стремится к состоянию термической смерти, при котором исчезнет энергия, годная к использованию; оптимисты же могут удовольствоваться тем, до некоторой степени утешительным выводом, что прогресс не пустое слово, раз предшествующие состояния вселенной, однажды пройденные эволюцией, никогда больше не вернутся. Нечего говорить, что эти различные выводы идут дальше того, что содержится во втором принципе; в частности, следовало бы сначала решить вопрос о том, конечны ли запасы годной для употребления энергии в конечной системе и â fortiori в бесконечной системе, какой, может быть, является вселенная. Тем более мы далеко вышли бы из пределов, действительно достигнутых наукой, если бы дали второму принципу наиболее общую форму, получаемую путем истолкования самых простых явлений языком статистической механики и распространения полученных отсюда результатов на самые общие случаи. Таким образом мы подходим к общему закону эволюции, согласно которому вселенная постоянно движется от наименее вероятных состояний к наиболее вероятным. Очевидно, невозможно доказать справедливость или ошибочность этого положения, покуда точно не определена эта вероятность. Можно просто заметить, что положение это справедливо для простых случаев, когда вероятность могла быть и была определена, и вывести отсюда, что должно быть во всех случаях возможно определить вероятность так, что положение остается в силе.

Я хотел бы сказать здесь несколько слов по поводу замечаний Вольцмана о применении второго принципа ко вселенной. Как совершенно правильно замечает Больцман, «никто, конечно, не примет таких умозаключений ни за важные открытия, ни за высшую цель науки, как это делали древние философы. Но мы не уверены, что было бы правильно смеяться над ними или считать их совершенно праздными». Больцман развивает механическое понимание вселенной, в которой там и сям происходят переходы от более вероятного к менее вероятному состоянию, так что для вселенной в целом необратимости нет. Это понимание справедливо с абстрактной точки зрения, если вселенная есть механическая система, которая может быть определена конечным числом параметров, для которых область изменения конечна. Допустим на минуту, что мы могли бы принять эту картину для всей видимой вселенной, т.-е. что мы можем фиксировать очень большое число R—такое, чтобы ничего не было вне шара S радиуса R; этот шар S будет нашей вселенной; эволюция этого шара будет, согласно одной теореме Пуанкаре, как угодно близка к периодической эволюции, и в бесконечно длинных периодах явления, противоречащие второму принципу, будут столь же часты, как явления, согласные с ним. Даже, оставляя в стороне трудности, на мой взгляд непреодолимые, которые влечет за собою гипотеза о том, что ничто не выходит за пределы шара S, надо заметить, что вывод верен лишь постольку, поскольку мы предполагаем абсолютным отсутствие всякого действия, внешнего по отношению к S. Представим себе вместе с О. Хвольсоном1) шар S2, размеры которого относительно S были бы таковы же, как размеры S относительно атома; затем шар S3, который был бы относительно S2 то же, что S2 относительно S, и так далее до шара Sn, индекс которого п равнялся бы миллиону. Для законности применения к S теории механической quasi-периодичности Пуанкаре, нам следовало бы быть уверенным в том, что за пределами Sn нет какого-нибудь мира Sa, таких же размеров, как S, хотя, вероятно, сильно разнящегося от S и могущего с течением времени действовать на него. Ибо продолжительность времени, необходимого для применения теоремы Пуанкаре, столь велика, что встреча S и S1 была бы бесконечно вероятна гораздо раньше, нежели это время истечет. Другими словами, по меньшей мере

1) Scientia, т. VIII, 1910,стр. 41 (текст) и 45 (дополнение).

столь же вероятно предположить, что законы нашего мира будут совершенно изменены благодаря встрече с другим шаром (в настоящее время бесконечно более удаленным от него, чем атом, находящийся на земле, удален от атома, находящегося на Сириусе), как и предполагать заметную перемену знака в изменении энтропии.

Иначе говоря, правильная эволюция к состояниям все более и более вероятным кажется мне, вопреки взгляду Больцмана, возможной для всей вселенной, если мы не рассматриваем ее как конечную систему, навсегда замкнутую в конечной части пространства, из которой ничто не может исходить, ни материя, ни энергия, ни лучеиспускание и в которую ничто не может проникнуть1).

117. Тогда встает вопрос о том, можно ли представить начало и конец этой эволюции; такой вопрос трудно разрешить вполне удовлетворительно, ибо наш ум не лучше представляет бесконечность во времени, чем бесконечность в пространстве; все, что можно требовать от космогонической теории, это чтобы она не увеличивала еще своими особенностями трудности, присущие всякому вопросу, в котором замешана бесконечность. Именно так некоторые физики, и в частности Аррениус, пытались представить себе, каким образом из особых условий, имеющих место в туманностях, можно вывести восстановление радиоактивных тел и другие нарушения второго принципа2).

Должен признаться, что я весьма скептически отношусь ко всему, касающемуся возможности таких нарушений; эволюция по направлению к наиболее вероятным состояниям представляется мне общим законом, избежать которого невозможно.

Максвелл старается показать, каким образом очень умное и находчивое существо может, не затрачивая никакого труда, просто открывая или закрывая отверстие легко ходящей дверцей, заставить эволюционировать газовую массу к наименее вероятным состояниям: достаточно было бы «Максвеллевскому

1) Можно попытаться уменьшить странность (чтобы не сказать более) этого представления конечной вселенной, предположив, что вселенная периодична, т.-е. состоит из бесконечною числа параллелепипедов, строго тождественных и, следовательно, неразличимых, так что все происходит так, как будто бы вселенная была конечна и имела при одном добавочном измерении геометрическое строение, подобное прямоугольнику, которого противоположные стороны склеены попарно, что дает гор. Но все это очень мало похоже на истину.

2) Таким образом удается дать quasi-научное обоснование знаменитой теории ..вечного возвращения“.

демону» пропускать в одну сторону наиболее быстрые молекулы, (т.-е. наиболее горячие), а в другую—наиболее медленные (т. е. наиболее холодные). Таким путем две газовые массы, разделенные отверстием, сами собой приобретают разность температуре Развивая далее ту же мысль, Жан Перрен спросил себя, нельзя ли представить себе утилизацию броуновского движения, видимого и доступного для нас следствия молекулярного движения. Кажется, действительно можно было бы, ценой больших усилий, получить минимальное отклонение от принципа Карно. Можно, однако, спросить себя, не потребуют ли различные механизмы, необходимые для этой цели, постоянного вмешательства человеческого ума, вмешательства, предполагающего жизненную деятельность, т.-е. увеличения энтропии, может быть, по необходимости большего, чем уменьшение, полученное иным путем.

Оставляя даже в стороне эти возражения, аргумент «Максвеллевского демона» является просто утверждением того факта, что человеческий разум умеет создавать порядок там, где произвольная игра механических сил приводила бы к увеличению беспорядка. Все произведения человеческой промышленности— от километров рельс и до библиотеки, наполненной книгами,— в которых кажущийся беспорядок в расположении букв есть в действительности порядок высшего рода, все эти произведения à priori бесконечно мало вероятны. Но место, занимаемое ими в мире, так мало, а с другой стороны, расход полезной энергии, необходимой для достижения этих результатов, беспорядок, созданный, чтобы добиться этого порядка, уголь, потраченный, чтобы соединить это железо и т. п., в сущности1) сравнительно так велики, что можно не принимать в расчет это создание порядка2), при рассмотрении космогонической проблемы; можно даже пренебречь всеми биологическими явлениями, принимая в расчет совокупность всех других явлений; развитие вселенной к наиболее вероятным состояниям становится тогда безусловно общим законом.

118. Возможно ли, предполагая существование общего закона эволюции, все-таки представить себе неограниченное

1) Строго говоря, не доказано, что усовершенствование техники не позволило бы получить, благодаря разуму, больше порядка, чем создано беспорядка; этого вопроса я здесь не могу касаться.

2) По поводу создания порядка разумом можно вернуться гс сказанному нами выше (§ 114). Этим я и принужден ограничиться.

продолжение этого развития в прошлом и будущем без того, чтобы каждую минуту не возникал вопрос о конце вселенной. Это не невозможно: достаточно вообразить, что увеличение беспорядка, т.-е. разницы температуры, разнородности материи и т. п., происходит все медленнее и медленнее, между тем как порядок, без сомнения, уменьшается в той мере, в какой увеличивается беспорядок, но может увеличиваться и даже совершенствоваться еще более медленно. Другими словами, структура вселенной становится все более тонкой; незначительная доля солнечной энергии, поглощаемая нашим шаром, создала на нем угольные копи, очень малые в солнечном масштабе, но представляющие в нашем масштабе значительный запас упорядоченных материалов; рассеяние угля позволяет нам создать порядок в более малом масштабе; вероятно, что аналогичные явления происходят и в других масштабах, слишком больших или слишком малых, чтобы быть доступными для нас.

Таким образом эволюцию вселенной можно себе представить, как постепенное усложнение структуры, доступное пониманию и использованию все меньших и меньших существ. Так как не существует абсолютного эталона длины1), то такое уменьшение не должно нас пугать; в настоящее время нам кажется, что существа молекулярных размеров, и, особенно, существа, которые являются по отношению к молекулам тем же, чем мы являемся по отношению к солнцу, представляют объект, весьма мало достойный нашего внимания; нет ничего невозможного в том, чтобы возрастающая сложность вселенной не сделала возможным появление существ с организацией гораздо сложнее нашей, если их уже нет теперь.

Эволюция мира могла бы, таким образом, рассматриваться как своего рода гомотетическое сокращение, по истечении огромных промежутков времени, быть может, сопровождаемое все увеличивающимся стремлением к упорядочению в высшем смысле сложности, управляемой разумом. Можно, по крайней мере, сказать, что такое толкование не противоречит новым данным, которыми мы обязаны науке о случае.

1) Предложено было принять за такой эталон длины световых волн; эти длины волн оцениваются нашими глазами при посредстве тел. считаемых в природе простыми. Принцип относительности вводит абсолютный эталон скорости, но не длины и не времени,

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. Открытие законов случая.

ГЛАВА ПЕРВАЯ. Случай и естественные законы.

Стр.

1—3. — Необходимость естественных законов. 4—5. — Случайное явление и понятие вероятности. 6. — Критика определения вероятности. 7. — Вероятность объективная и субъективная. 8. — Цель теории вероятностей................................ 3

ГЛАВА ВТОРАЯ. Законы игры в орлянку.

9. — Определение игры. 10.—Изучение 2, 3, 4 партий. И.— Общий случай; арифметический треугольник. 12. — Применение. 13.— Случай больших чисел. 14—15. —Десятичная единица отклонения; ее употребление. 16. — Закон больших чисел Бернулли. 17.— Возражения и парадоксы. 18. — Смешение понятий очень малой и нулевой вероятности. 19. — Возражение Ле-Дангека. 20.— Ход длинной партии в орлянку. 21, —Выигрыш не может быть пропорционален времени. 22.—Практическое значение закона больших чисел................ 12

ГЛАВА ТРЕТЬЯ.

Вероятности прерывные и вероятности непрерывные.

23.—Прерывные вероятности. 24. — Относительная и абсолютная вероятности. 25. — Теорема сложения вероятностей. 26. — Теорема умножения вероятностей. 27. — Задача из игры в экартэ. 28. — Математическое ожидание. 29. —Проблема ставки; проблема костей. 30.— Правило

Стр.

десятичной единицы. 31. — Непрерывные вероятности; определение. 32.—Простая задача. 33.— Проблема иголки. 34. — Критика Бертрана. 35. — Обсуждение одного парадокса Бертрана. 36. — Критика Пуанкаре. 37.— Применение произвольных функций; реальное значение возражений Пуанкаре.............. ............ 39

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. Вероятность причин.

38. — Определения и простые примеры. 39. — Формула Бейеса. 40. — Задача короля и мошенника. 41. — Вероятность причин в психологии, физиологии, археологии и пр. 42. — Положения звезд и критика Бертрана. 43. — Несколько слов об ошибках наблюдения........ 67

ЧАСТЬ ВТОРАЯ. Применение законов случая.

ГЛАВА ПЯТАЯ. Социологические и биологические науки.

44. — Применение законов случая и классификация наук Огюста Конта. 45. — Статистические соотношения и коэффициенты вероятности. 46. — Страхования и актуариат. 47. — Софизм о куче зерен. 48. — Язык и статистические истины. 49. — Некоторые практические проблемы и статистические истины. 50. — Розничная торговля и статистика. 51. —Общее значение статистических истин. 52. — Кетле и биномиальные кривые. 53.— Средний человек; критика Бертрана. 54.— Рост группы людей. 55. — Точное определение среднего роста; критика Пуанкаре. 56. — Статистические проблемы эволюции; законы Менделя. 57. — Биометрика и нормальные ряды. 58. — Общая проблема схемы урн................................. 83

ГЛАВА ШЕСТАЯ.

Физические науки.

59.— Газы и кинетическая теория. 60.— Диффузия газов. 61. —Примеры крайне малых вероятностей. 62. — „Чудо дактилографирующих обезьян“. 63. — Скорости газовых молекул и законы Максвелла. 64. — Роль столкновений по Больцману. 65.— Флюктуации. 66. — Гиббс и „статистическая механика“. 67. — Неопределенность данных, основа статистической механики. 68. — Необратимость и возражение Лошмидта. 69. — Радио-

Стр.

активность и статистика. 70. — Другие применения статистики к физике. 71. — Равно-распределение энергии. 72.— Общее определение энтропии через вероятность. 73. — Теория квантов и прерывные вероятности. . . 109

ГЛАВА СЕДЬМАЯ. Математические науки.

74. — Несколько слов об астрономии и космогонии. 75. — Антитеза математики и случая. 76. — Соизмеримые числа и вероятность. 77. — Мера линейных множеств. 78. — Рациональность конкретных чисел. 79. — Вопрос об атомных весах. 80. — Мера множеств двух измерений и функции комплексного переменного ................. 136

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. Значение законов случая.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ.

Практическое значение законов случая.

81. — Возвращение к основным положениям и определениям. 82. — Безобидная игра. 83.—Относительное ожидание и математическое ожидание в лотереях. 84. — Польза расчетов в карточной игре. 85. — Исчисление одинаково важно во всяком практическом вопросе 86. — Злоупотребление и пренебрежение цифрами. 87. — Различие между объективной и субъективной вероятностью. 88. — Практическая жизнь и случай. 89. — Человеческая единица очень малой вероятности. 90. — „Скептицизм“ Пуанкаре. 91. — Индивидуалистическая чувствительность и насмешки над статистикой. 92. — Законы случая и оспопрививание. 93. — Социальное значение законов случая. 94. — Социальная математика и преувеличения индивидуализма. 95. — Нравственность и коэффициенты альтруизма. 96. — Могут ли коэффициенты альтруизма быть отрицательными. 97. — Патриотизм и интернационализм.............147

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. Научное значение законов случая.

98.— Законы случая и различные науки. 99. — Решение вопросов большинством. 100. — Исчисление вероятностей и судебные решения. 101—102. — Абсолютная истина и относительная истина. 103. — Случаи, когда „относительная истина“ не имеет значения. 104. — Исследование значения относительной истины. 105. — Метод „истиных и ложных случаев“. 106.— Экспериментальное изучение детских лип. 107. — Изучение рук Бинэ. 108.— Выводы........... . ,........172

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. Философское значение законов случая.

Стр.

109.— Изучение законов случая снова ставит проблему ценности познания. 110.— Детерминизм ученого. 111. — Детерминизм в человеческом масштабе не влечет за собой абсолютного детерминизма при молекулярном масштабе. 112. — Детерминизм в молекулярном масштабе не влечет за собой абсолютного детерминизма в масштабе человеческом. 113. — Чудо эпифеноменального сознания еще менее вероятно, чем чудо дактилографирующих обезьян. 114. — Согласованность мира с разумом и эволюцией человека. 115. — Статистическое объяснение закона Ньютона можно было бы считать большим успехом. 116. — Второй принцип термодинамики и деградация энергии. 117.— „Демон Максвелла“ и человеческая деятельность. 118. — Возможное представление эволюции вселенной.........................199

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ.

Серия книг, издаваемая под общей редакцией А. Д. Архангельского, Н. К. Кольцова, В. А. Костицына, П. П. Лазарева и Л. А. Тарасевича.

При ближайшем участии в редакционной работе В.М. Арнольди, В. Ф. Кагана, Т. К. Молодого, В. В. Шарвина и Э. В. Шпольского.

ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ:

1. К. Фаянс. Радиоактивность и современное учение о химических элементах. Перевод и дополнения Э. В. Шпольского.

2. Омоложение. Сборник статей под ред. Н. К. Кольцова.

3. Э- Рёзерфорд. Строение атома и искусственное разложение элементов. Подготовил к печати Э. В. Шпольский.

4. А. Вейль. Внутренняя секреция. Перевод Н. М. Гуляевой, под ред. Н. К. Кольцова.

5. Р. Гольдшмидт. Механизм и физиология определения пола. Перевод П. И. Живаго, под ред. Н. К. Кольцова.

6. В. Нернст. Мироздание в свете новых исследований. Перевод Г. С. Ландсберга.

7. П. П. Лазарев. Ионная теория возбуждения.

8. Э. Борель. Случай. Перевод под ред. В А, Костицына.

9. А. Вегенер. Происхождение луны и ее кратеров. Перев. под ред. А. Д. Архангельского и В. А. Костицына.

ПЕЧАТАЮТСЯ:

Т. Морган. Структурные основы наследственности. Перевод под ред. В. Н. Лебедева.

Э- Фрейндлих. Основы теории тяготения Эйнштейна. Перев. под ред. В. К. Фредерикса.

С. Аррениус. Жизненный путь планет. Перевод под редакц. B. А. Костицына.

Нильс Бор. Три статьи о спектрах и строении атомов. Перев. C. И. Вавилова.

Ж. Перрен. Атомы. Перев. И. А. Соколова,

В. Н. Любименко. Процесс синтеза в мире растений

Л. Ж. Гендерсон. Среда жизни. Перевод под ред. С. H Скадовского.

Э. Борель. Пространство и время. Перевод под ред. П. Н. Андреева.

Ф. В. Астон. Изотопы.

Т. И. Юдин Евгеника.

Э. Кречмер. Строение тела и характер. Перевод под ред. П. Б. Ганнушкина.

М. В. Павлова. Причины вымирания животных в прошедшие геологические эпохи.

Омоложение. Сборн. статей под ред. Н. К. Кольцова. Вып. 2.