Г.Н. БЕРМАН

ЦИКЛОИДА

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА • 1954

Г. Н. БЕРМАН

ЦИКЛОИДА

ОБ ОДНОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОЙ КРИВОЙ ЛИНИИ И НЕКОТОРЫХ ДРУГИХ, С НЕЙ СВЯЗАННЫХ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1954

11-3-1

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА

Первое издание книги «Циклоида» вышло в свет в 1948 году. Настоящее второе издание книги выходит после смерти автора Георгия Николаевича Бермана (последовавшей 9 февраля 1949 года). При подготовке настоящего издания к печати исправлены некоторые неточности и опечатки.

Г. Н. Берман. Циклоида

Редакторы: А. 3. Рывкин и Э. П. Тихонова Технический редактор С. Н. Ахламов. Корректор С. С. Патрикеева,

Сдано в набор 30/VIII 1954 г. Подписано к печати 5/XI 1954 г. Бумага 84х10«1/з->« Физ. печ. л. 3,625. Условн. печ. л. 5 945. Уч.-изд. л. 6,29. Тираж 30 ООО экз. Т-07793. Цена книги 1 руб. 90 коп. Заказ № lböO.

Государственное издательство технико-теоретической литературы. Москва, Б. Калужская, 15.

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности. 4-я тип. им. Евг. Соколовой. Ленинград, Измайловский пр., 29.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

В этой книжке изложены свойства замечательной кривой линии, носящей название «циклоида», и некоторых родственных ей кривых линий.

Почему мы выбрали из множества различных кривых именно циклоиду? По двум причинам.

Во-первых, циклоидальные кривые имеют исключительное значение для техники. Профили зубьев шестерён, очертание многих типов эксцентриков, кулачков и иных деталей машин имеют форму именно этих кривых линий. С циклоидой и циклоидальными кривыми должен быть знаком каждый чертёжник. По их практической ценности циклоидальные кривые можно поставить рядом с эллипсом, параболой, баллистической траекторией...

Во-вторых, циклоидальные кривые были пробными камнями, на которых испытывались новые математические идеи, новые приёмы вычисления, возникшие в XVII веке и оформившиеся к концу этого века в дифференциальное и интегральное исчисления. С изучением циклоиды связаны имена, известные любому школьнику: Галилей, Торичелли, Гюйгенс занимались этой замечательной кривой линией.

Изложение в книге совершенно элементарное. Она доступна любому развитому подростку, любому технику и студенту, большинству квалифицированных рабочих. Но широкой доступности удалось достигнуть ценою некоторой нестрогости изложения, пришлось также отказаться от краткости и сжатости математического учебного руководства.

Возникает естественный вопрос: зачем излагать свойства циклоиды элементарными методами, длинными и не всегда вполне убедительными, если это можно сделать значительно проще с помощью высшей математики — с помощью

дифференциального и интегрального исчисления. Могут сказать: «Ведь тому, кто не собирается изучать высшую математику, свойства циклоиды вряд ли интересны, а тот, кто интересуется точными науками и техникой, может подождать два-три года, пока поступит в университет или втуз».

На это можно ответить так. Есть широкая категория людей, которые интересуются вопросами науки, связанными с техническими приложениями, а высшей математики не знают: быть может, им будет интересно узнать свойства кривой, столь важной для техники. А тем, кто собирается изучать в будущем высшую математику, полезно — именно для того чтобы лучше усвоить её идеи и приёмы — познакомиться уже в школе с фактами, с методами, наконец с учёными, которые подготовили её рождение.

Мы хотим предупредить техническую молодёжь: «Циклоида» — книга по математике, а не по технике, книга для чтения, а не учебник. Технические приложения в ней едва намечены. Но, вероятно, она не бесполезна для техника: ведь практика без теории — слепа... В основном книга предназначена для любителей математики и для школьных математических кружков (для старших классов).

Многие люди к математике относятся с уважением, но без крайней необходимости предпочитают держаться от неё подальше. Автор будет счастлив, если эта книжка хотя бы в самой малой степени будет содействовать уничтожению этого странного предрассудка.

Всем лицам, содействовавшим написанию и опубликованию книжки, — сердечное спасибо.

Автор

ГЛАВА I

КРИВАЯ, РОЖДЁННАЯ КОЛЕСОМ

«Ехали медведи На велосипеде... »

К. Чуковский.

Разговор двух велосипедистов

Мои друзья—девятиклассник Вася и студент-физик Сергей-большие любители велосипедного спорта. Вот какой разговор произошёл у них однажды по возвращении с прогулки.

Сергей. Как ты думаешь, Вася, может ли велосипед обдать велосипедиста грязью, которая налипла на заднее колесо машины и отскакивает от него?

Вася. Ещё бы! Когда на грязной дороге случается замедлить ход, брызги всегда попадают в спину.

Сергей. А почему это так? Думал ли ты об этом? Как, по-твоему, должен двигаться комочек грязи, отделившийся от обода колеса? По какому направлению?

Вася. Дай вспомнить. Нет, не помню...

Сергей. Ну так я тебе напомню. Если какая-нибудь частица принуждена двигаться по кривой и неожиданно получает свободу движения, она, по инерции, будет двигаться в направлении касательной к траектории движения, сохраняя величину и направление скорости, которую имела в момент «освобождения». Ясно?

Вася. Не совсем. Я забыл, что такое траектория.

Сергей. Так называют кривую, по которой движется частица.

Вася. Да, верно! Теперь всё ясно.

Сергей. Попробуй применить этот закон к нашему случаю.

Вася. Зачем?

Сергей. Ты получишь неожиданный результат.

Вася. Ладно. (Подумав.) Путь комочка грязи будет иметь такой вид (тут Вася начертил рисунок, вроде нашего черт. /, только велосипед у него получился гораздо хуже, чем нарисованный здесь). Значит, комочек, отделившись, например, в точке А, будет двигаться в направлении касательной к ободу колеса и опишет вот эту кривую линию (показывает). По такому же пути полетит камень, если его бросить наклонно.

Сергей. Эта кривая называется параболой.

Вася (продолжая). Даже комочек, прилипший к колесу сильнее и поднявшийся до положения В (черт. 1), не догонит велосипедиста: он будет двигаться вертикально. А выше комок грязи не подымется. Ему помешает щиток.

Сергей. Что же будет, если велосипедист замедлит ход?

Вася. Велосипедист может даже совсем остановиться— всё равно грязь на него не попадёт... Что за чепуха получилась! Ведь грязь-то ещё как здорово попадает на спину!

Сергей. Я говорил, что получится неожиданный результат!

Вася. В чём дело? Не понимаю...

Сергей. Всё дело в том, что ты неправильно рассуждаешь. Давай, рассмотрим внимательнее движение велосипедного колеса. (Черт. 2.) Пусть это колесо катится направо. (Сергей нарисовал колесо, изображённое на черт. 2 слева.

Черт. 1. Верно ли?

и отложил от центра вправо стрелку v.) Будем считать, что скорость велосипедиста v м\сек, а радиус колеса г м. Полный оборот колесо сделает тогда, когда его центр продвинется вперёд на длину всей окружности колеса, т. е. на расстояние, равное 2ттг (черт. 2). Обозначим время полного оборота через X. Тогда получим:

за X секунд центр колеса пройдёт 2кг метров, за 1 секунду » » » v ».

Следовательно:

Итак, один оборот колесо делает за секунд; сколько же оборотов оно сделает в секунду?

Вася. Дай, я сам подсчитаю. Пусть у— число оборотов колеса в секунду. Теперь нужно составить пропорцию. Рассуждаем так:

1 оборот колесо делает за у оборотов оно делает за Получается пропорция:

Так?

Сергей. Так!

Вася. Значит, у = ^- оборотов в секунду!

Сергей. Правильно! Мы видим, что колесо велосипеда совершает сложное движение: оно движется поступательно с постоянною скоростью v м/сек и при этом равномерно

Черт. 2. Сложное движение велосипедного колеса.

вращается, делая оборотов в секунду. Ну-ка, вспомни, как найти скорость точки, принимающей участие в двух движениях?

Вася. Это я знаю! Нужно скорости обоих движений сложить по правилу параллелограма.

Сергей. Верно! Рассмотрим теперь какую-нибудь точку А на ободе колеса в какой-то момент движения. (Черт. 3.) Эта точка принимает участие, во-первых, в поступательном движении,—значит, она имеет горизонтальную скорость v м/сек. Но эта же точка участвует и во вращательном движении и имеет в нём свою, вторую скорость. Как её подсчитать?

Вася. Сейчас подсчитаю. В одну секунду колесо делает v : 2кг оборотов. При каждом обороте точка А на ободе проходит путь, равный длине обода, т. е. 2тгг метров. Значит, за одну секунду, когда колесо сделает оборотов, точка А пройдёт . 2тгг = v метров. Выходит, что эта вторая скорость будет тоже v м/сек.

Сергей. Именно так. Скорость точки обода при вращении колеса тоже равна v м/сек; но скорость поступательного движения направлена по горизонтали, тогда как эта вторая скорость — по касательной к ободу. Итоговая скорость будет направлена по диагонали параллелограма с равными сторонами (т. е. по диагонали ромба), как это и показано на черт. 3 (стрелка Aß). Ясно? Вася. Да.

Сергей. Теперь, Вася, обрати внимание на комочек грязи, достигший положения С на черт. 4. Его скорость будет

Черт. 3. Сложение скоростей поступательного и вращательного движений,

Черт. 4. Путь комка грязи, отскочившего от колеса.

составлена из горизонтальной скорости, равной v, и вертикальной скорости, равной тоже v. Итоговая скорость будет равна v)/~2 (по теореме Пифагора), а направлена она будет под углом 45° к горизонту.

Комочек грязи будет двигаться, как камень, брошенный под углом в 45° к горизонту (по параболе, изображённой штриховой линией на черт. 4). По инерции он и дальше сохранит горизонтальную составляющую скорости, равную v*). Догонит ли он велосипедиста?

Вася. Нет.

Сергей. А если велосипедист замедлит ход? Вася. Тогда грязь шлёпнется ему на спину! Сергей. Так на деле и бывает?

Вася. Да. Третьего дня я вернулся с велосипедной прогулки весь в грязи.

Сергей. Значит, всё ясно?

Вася (подумав). Ну, нет! По-моему, теперь всё окончательно запуталось! Ведь на черт. 4 видно, что скорость направлена не по касательной к ободу колеса, а как-то наискось. Начали же мы разговор с того, что скорость комочка грязи должна быть направлена по касательной к траектории движения. Ты сам сказал об этом.

Сергей. К траектории движения чего?

Вася. Соответствующей частицы обода, конечно!

Сергей. Совершенно верно! Она по касательной к этой траектории и направлена.

Вася. Не понимаю. По-моему чертежи 3 и 4 этому противоречат.

Сергей. Нисколько. Подумай.

Подумаем и мы вместе с Сергеем и Васей, на чём основано это кажущееся противоречие. Подумаем, какую траекторию (какую кривую) описывает каждая частица обода велосипедного колеса при движении велосипеда. Говоря геометрическим языком, — выясним, какую кривую описывает каждая точка окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Частица грязи будет двигаться по касательной не к ободу колеса, а по касательной к этой именно кривой.

*) Для упрощения расчётов мы не учитываем сопротивления воздуха. Это не очень искажает результат.

Что же такое циклоида?

Центр велосипедного колеса равномерно движется по прямой линии. Само колесо равномерно вращается. Какую кривую описывает при этом каждая точка обода колеса? Если бы центр был неподвижен, то все точки колеса описывали бы окружности. Но центр движется, и соответствующие окружности «размазываются», «вытягиваются». Изучим кривую, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения по прямой. Эта-то кривая и называется циклоидой.

Начнём с опыта. Выпилим из фанеры или вырежем из толстого картона круг, у самого его края проколем шилом дырку и вставим в неё кусочек карандашного графита. Положив линейку на лист бумаги, будем катить вдоль неё наш кружок, плотно прижимая его к бумаге. Кусочек графита и начертит нам циклоиду. На черт. 5 изображён демонстрационный прибор, которым пользуются на лекциях, когда говорят о циклоиде. У вертикальной чёрной доски сделана снизу горизонтальная закраина. По этой закраине катится массивный железный обруч, вроде тех, которые любят «гонять» малые ребятишки. В толще этого обруча имеется отверстие, и туда можно вставить кусок мела. Когда обруч катится по закраине, мел описывает циклоиду. Черт. 5 даёт представление о форме этой красивой кривой линии.

Построим теперь циклоиду «по точкам». Постараемся сделать это возможно аккуратнее. Проведём (черт. 6) прямую AB и у левого её конца начертим круг радиуса я, касающийся нашей прямой AB в точке К. Проще всего поступить так: на расстоянии а от прямой AB провести прямую МР, ей параллельную (эта прямая всё равно нам ещё понадобится). Отметив недалеко от левого конца отрезка MP точку О,

Черт. 5. Пособие для демонстрации циклоиды.

начертим окружность радиуса а с центром О. Эта окружность непременно коснётся прямой AB. Точку касания обозначим буквою К.

Теперь на прямой AB отложим от точки К вправо отрезок, равный длине окружности радиуса а. Сделать это циркулем и линейкой точно, как известно, невозможно. Придётся ограничиться приближённым построением. Если радиус круга равен а, то его окружность имеет длину 2тта, т. е. приблизительно 6уД или 6,28 а. Допустим, что прямую MP мы провели на расстоянии 4 см от прямой AB. Значит, у нас а = 4. Поэтому нам придётся отложить на AB отрезок, равный 4. 6,28, т. е. 25 см и 1 мм*). Конец отрезка обозначим А8.

Предположим теперь, что начерченный нами кружок катится по прямой А В. Центр его перемещается по прямой MP. Разделим отрезок 008, равный КА8, на восемь равных частей. Точка Ot (первая точка деления) соответствует -i- полного оборота. Когда центр О переместится в Ot, радиус OK повернётся на 360° : 8 = 45°. Строим угол АлОлК\, равный 45°, и откладываем отрезок Ot/Ct, равный ОК. Точка Кл должна принадлежать циклоиде. Штриховой линией изображено положение катящейся окружности, соответствующее -i полного оборота.

Черт. 6. Построение циклоиды по точкам.

*) Чертёж 6 в этой книге сделан в масштабе 1:4 — на нём а = 1 см. Мы советуем читателю сделать более крупный чертёж, именно такой, о котором говорится в тексте (а = 4 см).

Рассмотрим теперь точку 02—центр круга, повернувшегося на ~ = -i- окружности. Делаем построение точно такое, как в предыдущем случае, только угол А202К2 строим равным 2 • —g- = 90°. Получим принадлежащую циклоиде точку К2- Для построения следующей точки циклоиды при центре 03 строим угол, равный 3«-^-=135°, и откладываем отрезок 0.ЛК$, равный ОК.

Построение точек Kv ЛГб, К6, ясно. Точка К8 совместится, очевидно, с точкою А8. Соединив все полученные таким путём точки плавной кривою (от руки), мы и получим циклоиду. Читатель сообразит сам, как построить промежуточные точки, если полученная кривая покажется ему недостаточно плавной. Можно с самого начала делить основной отрезок (длину катящейся окружности) не на 8, а, например, на 12 частей. Тогда вместо углов, равных 45°, 90°, 135° и т. д., придётся строить углы, равные 30°, 60°, 90°, 120° и т. д.

Советуем читателю поупражняться в построении циклоид разной величины (давая разные значения радиусу а) и с помощью различного числа вспомогательных точек деления.

Заметим, что, подобно прямой линии, мы представляем себе циклоиду бесконечной кривой. Мы предполагаем, что круг (его называют производящим кругом) катится по прямой (направляющей прямой) неограниченно долго. При этом получится кривая, состоящая из бесконечного ряда арок (на нашем черт. 7 изображены две полные арки и часть третьей). Отдельные арки соединяются в точках (остриях), в которых имеют общую (вертикальную) касательную. Эти точки называются точками возврата циклоиды (черт 8). Они

Черт. 7. Общий вид циклоиды.

соответствуют самым низким положениям той точки на катящейся окружности, за которой мы следим и которая описывает циклоиду. Самые высокие положения находятся посредине между точками возврата; эти «наивысшие» точки называются вершинами циклоиды (на черт. 6 одна из вершин циклоиды находится в точке К4; укажите все вершины на черт. 7). Отрезок прямой линии между двумя соседними точками возврата, равный 2тса, называется основанием циклоиды (точнее — основанием одной арки циклоиды).

Какие же задачи возникают при изучении циклоиды? Прежде всего, нужно дать ей чисто геометрическое определение, независимое от механики. Далее, нужно изучить её свойства, научиться проводить к ней касательную, вычислять площадь, ограниченную аркой циклоиды и её основанием, длину дуги, объём тела, образованного вращением арки циклоиды вокруг направляющей прямой. Попутно мы изучим кривые, родственные циклоиде, познакомимся с чисто геометрическими их применениями и с применениями в смежных областях. Но прежде чем перейти ко всему этому, сделаем короткий исторический обзор.

Черт. 8. Элемент циклоиды (изображена одна арка).

Немного истории

Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564—1642) — знаменитый итальянский астроном, физик и просветитель. Он же придумал название «циклоида», что значит: «напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде

ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея: Вивиани, Торичелли и другие. Торичелли — известный физик, изобретатель барометра— уделял немало времени и математике. В эпоху Возрождения не было узких учёных-специалистов. Талантливый человек занимался и философией, и физикой, и математикой и всюду получал интересные результаты и делал крупные открытия. Немного позже итальянцев за циклоиду принялись французы, назвавшие её «рулеттой» или «трохоидой». В 1634 году Роберваль — изобретатель известной системы весов—вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и её основанием. Подробнее об этом, а также об открытиях других учёных, связавших своё имя с циклоидой, мы расскажем ниже. А сейчас уделим немного места, так сказать, предистории циклоиды,—замечательным исследованиям древних мудрецов; мы увидим, что эти исследования имели к циклоиде известное отношение.

Великий античный философ — «отец логики» — Аристотель из Стагиры (384—322 годы до н. э.), занимаясь логическим обоснованием понятия движения, рассматривал, между прочим, следующий парадокс. Пусть кружок, изображённый на черт. 9 жирной линией, катится по прямой AB. Когда кружок этот сделает полный оборот, точка M вернётся на прямую AB и займёт положение Мх. При этом, как мы знаем, отрезок ММХ будет равен длине «жирной» окружности. Рассмотрим начерченный кружок с центром О, изображённый тонкой линией. Когда точка M придёт в положение Mv этот маленький кружок тоже сделает полный оборот и его точка К придёт в положение Кл. При этом в каждый момент времени какая-то одна единственная точка маленькой окружности

Черт. 9. Парадокс Аристотеля.

совмещается с единственной же точкой отрезка КК^. Каждой точке окружности соответствует единственная точка отрезка и каждой точке отрезка—единственная точка окружности. Поэтому напрашивается вывод: длина маленькой «тонкой» окружности равна длине отрезка КК\ — ММг, т. е. равна длине большой («жирной») окружности. Итак, круги различных радиусов имеют окружности одинаковой длины! В этом и состоит парадокс Аристотеля.

Ошибка здесь в следующем. Из того, что каждой точке окружности радиуса OK соответствует единственная точка отрезка KKit вовсе не следует, что длина этой окружности равна KKt. Так, например, на черт. 10 точки отрезка AB приведены при помощи лучей, проходящих через точку D, во «взаимно однозначное» соответствие с точками вдвое большего отрезка СЕ, но никому в голову не придёт утверждать, что отрезки AB и СЕ имеют одинаковую длину! Это же относится не только к отрезкам прямых, но и кривых линий. Парадоксу Аристотеля можно придать следующую, более грубую, а потому и более ясную форму: рассмотрим две концентрические окружности (черт. 11). На них «поровну» точек: соответствующие точки соединены на черт. 11 прямыми линиями (радиусами). И всё же никто не станет утверждать, что длины этих окужностей одинаковы.

Сравнение чертежей 6 и 9 приводит нас к очень важному выводу. Возможны два типа качения окружности по прямой. Один тип имеет то свойство, что в любой момент времени (при

Черт. 10. Взаимно однозначное соответствие.

Черт. 11. К парадоксу Аристотеля.

любом положении производящего круга) длина дуги KxAt на черт. 6 равна длине отрезка КАг. Для другого типа качения, изображённого на черт. 9, где малый круг радиуса OK катится по прямой KKxt это свойство не выполняется. В первом случае говорят, что окружность катится по прямой без скольжения. Во втором говорят, что окружность не только катится, но и скользит по прямой Aß. Чтобы получить циклоиду, нужно рассматривать качение без скольжения. О кривых, которые получаются при качении со скольжением, мы расскажем позже.

Аристотель рассматривал именно то движение, которое через 1900 лет привело Галилея к открытию циклоиды; но он не заинтересовался кривыми, которые вычерчиваются точками окружности катящегося круга. Выдающийся астроном античности, живший позже, — Птолемей Александрийский (II век н. э.) — подошёл к одной из «родственниц» циклоиды (так называемой «эпициклоиде») значительно ближе.

Посмотрим теперь, какими нам представляются движения планет, например Марса, по небесному своду. Когда Земля и Марс расположены, как показано на черт. 12, и Земля из положения 3 переходит в положение 3', а Марс — из положения M в ЛГ, то наблюдателю на Земле будет казаться, что Марс перемещается между звёздами в направлении, обратном движению часовой стрелки. Именно так обычно и выглядит движение Марса. Но в противостоянии

Черт. 12. Прямое движение планеты Марс.

Черт. 13. Попятное движение планеты Марс.

(черт. 13), когда Земля из положения 3 переходит в положение 3', а Марс — из положения M в положение М\ создаётся впечатление, что Марс движется среди звёзд по часовой стрелке. Это «попятное» движение планет было известно астрономам уже в глубокой древности.

Знал о нём и Птолемей. Но он считал Землю неподвижным центром Вселенной и считал, что все планеты равномерно вращаются, вокруг Земли. В его времена считалось величайшим кощунством приписывать светилам некруговое и неравномерное движение. Как же согласовать равномерное круговое движение с фактически наблюдаемым время от времени (близ противостояний) «попятным» движением планет? Хитроумный Птолемей нашёл следующий выход из положения.

Он допустил, что каждая из планет движется равномерно по небольшому кружку, который он назвал «эпициклом» (слово «эпицикл» можно перевести по-русски «надкруг»). Центр эпицикла в свою очередь движется равномерно вокруг Земли. На черт. 14 изображена птолемеева система мира. Подбирая

Черт. 14. Птолемеева система мира.

радиусы эпицикла и большого круга («деферента»), Птолемей сумел хорошо согласовать свою теорию с данными наблюдения. Даже полторы тысячи лет спустя Коперник, поместивший в центр планетной системы Солнце, не решился отказаться от равномерных вращений: и у него планеты двигались по эпициклам, но центры эпициклов двигались не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Только очень тщательные наблюдения и измерения Тихо-Браге показали несостоятельность теории равномерных круговых движений и привели Кеплера к открытию неравномерного эллиптического движения планет.

Что же представляли собою пути планет с точки зрения Птолемея? Это были кривые, очень близкие в циклоиде. В случае циклоиды точка равномерно вращается по окружности, а центр окружности, в свою очередь, движется по прямой (читатель сообразит сам, что при этом получится та же самая циклоида, что и при качении окружности по прямой). У Птолемея точка движется по окружности, а центр круга движется по окружности же. Ясно, что получится кривая, близкая по своим свойствам к циклоиде. Эту кривую называют эпициклоидой (черт. 15). Мы о ней ещё будем говорить.

Черт. 15. Эпициклоида Птолемея.

ГЛАВА II

ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЦИКЛОИДЫ

«На второе был подан пирог в форме циклоиды...»

Дж. Свифт. Путешествия Гулливера.

Касательная и нормаль к циклоиде

Наиболее естественным определением окружности будет, пожалуй, следующее: «окружностью называется путь частицы твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси». Это определение наглядно, из него легко вывести все свойства окружности, а главное, оно сразу рисует нам окружность, как непрерывную кривую, чего вовсе не видно из классического определения окружности, как геометрического места точек плоскости, равноудалённых от одной точки.

Почему же в школе мы определяем окружность, как геометрическое место точек? Чем плохо определение окружности с помощью движения (вращения)? Подумаем об этом.

Когда мы изучаем механику, мы не занимаемся доказательством геометрических теорем: мы считаем, что уже знаем их — мы просто ссылаемся на геометрию, как на нечто уже известное. Если и при доказательстве геометрических теорем мы будем ссылаться на механику, как на нечто уже известное, то сделаем ошибку, которая называется «логический круг»: при доказательстве предложения А мы ссылаемся на предложение В, а само предложение В обосновываем с помощью предложения А. Грубо говоря, Иван кивает на Петра,

а Пётр на Ивана. Такое положение при изложении научных дисциплин недопустимо. Поэтому стараются, излагая арифметику, не ссылаться на геометрию; излагая геометрию, не ссылаться на механику и т. д. При этом можно при изложении геометрии безбоязненно пользоваться арифметикой, а при изложении механики — и арифметикой, и геометрией: логического круга не получится.

Определение циклоиды, с которым мы успели познакомиться, никогда не нравилось геометрам: ведь оно опирается на механические понятия — скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение. Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь её механическим определением.

Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основу геометрического определения.

Начнём с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; точно определение касательной даётся в курсах высшей математики*), и мы его приводить здесь не будем. Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На черт. 16 изображены касательная и нормаль к кривой AB в её точке М.

Рассмотрим циклоиду (черт. 17). Кружок катится по прямой AB. Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол <р (греческая буква «фи») и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок М0Т составляет такую долю отрезка M0MV какую угол <р составляет от 360° (от полного оборота). При этом точка М0

Черт. 16. Касательная и нормаль к кривой.

*) Из элементарных учебников геометрии, где даётся определение касательной к любой кривой, можно указать на книгу М. Я. Выгодского «Геометрия», М. — Л., 1945 г.

пришла в точку М. Точка M и есть интересующая нас точка циклоиды.

Стрелочка ОН изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка M принимает участие во вращении круга. Скорость MC, которую точка M на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной МСг к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. Мы уже знаем из «разговора двух велосипедистов» (см. стр. 8), что скорость MC по величине равна скорости MP (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб MC KP на черт. 17). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в конце беседы Сергея и Васи (стр. 9). Комок грязи, оторвавшийся от велосипедного колеса, движется по касательной к траектории той частицы колеса, от которой он отделился. Но траекторией будет не окружность, а циклоида, потому что колесо не просто вращается, а катится, т. е. совершает движение, состоящее из поступательного движения и вращения.

Всё сказанное даёт возможность решить следующую «задачу на построение»: дана направляющая прямая AB циклоиды, радиус г производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (черт. 17). Требуется построить касательную МК к циклоиде.

Имея точку Му мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М. Для этого предварительно найдём центр О при помощи

Черт. 17. Касательная к циклоиде.

радиуса МО = г (точка О должна лежать на прямой, параллельной AB на расстоянии г от неё). Затем строим отрезок MP произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую МСХ, перпендикулярную к ОМ. На этой прямой откладываем от точки M отрезок MC, равный MP. На MC и MP, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.

Это построение — чисто геометрическое, хотя получили мы его, используя понятия механики. Теперь мы можем проститься с механикой и дальнейшие следствия получать без её помощи. Начнём с простой теоремы.

Теорема 1. Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга.

Иными словами, на нашем черт. 17 угол KLT равен 90° — LMOT ^КЖР = 90° — ~. Это равенство мы теперь докажем. Для сокращения речи условимся угол <р поворота радиуса производящего круга называть «основным углом». Значит, угол МОТ на черт. 17 — основной угол. Будем считать основной угол острым. Читатель сам видоизменит рассуждения для случая тупого угла, т. е. для случая, когда катящийся круг сделает больше четверти полного оборота.

Рассмотрим угол С MP. Сторона СМ перпендикулярна к ОМ (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу). Сторона MP (горизонталь) перпендикулярна к О Г (к вертикали). Но угол МОТ, по условию, острый (мы условились рассматривать первую четверть оборота), а угол С MP — тупой (почему?). Значит, углы МОТ и С MP составляют в сумме 180° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, из которых один острый, а другой — тупой).

Итак, угол С MP равен 180° — ?. Но, как известно, диагональ ромба делит угол при вершине пополам. Следовательно, угол КМР90° — -—, что ь требовалось доказать.

Обратим теперь внимание па нормаль к циклоиде. Мы говорили уже, что нормалью к кривой называется перпендику-

ляр к касательной, проведённый в точке касания (черт. 16). Изобразим левую часть черт. 17 крупнее, причём проведём нормаль ME (МЕ_\__МК\ см. черт. 18).

Из черт. 18 следует, что угол ЕМР равен разности углов КМЕ и КМР, т. е. равен 90° — /_КМР. Но мы только что доказали, что сам угол КМР равен 90° — у. Таким образом, получаем:

Мы доказали простую, но полезную теорему. Дадим её формулировку:

Теорема 2. Угол между нормалью к циклоиде (в любой её точке) и направляющей прямой равен половине «основного угла».

(Вспомним, что «основным углом» называется угол поворота радиуса катящегося круга.)

Соединим теперь точку M («текущую» точку циклоиды) с «нижней» точкой (Т) производящего круга (с точкой касания производящего круга и направляющей прямой — см. черт. 18). Треугольник МОТ, очевидно, равнобедренный (ОМ и ОТ—радиусы производящего круга). Сумма углов при основании этого треугольника равна 180° — ср, а каждый из

Черт. 18. К теореме 2.

углов при основании— половине этой суммы. Итак, ^ОМТ = 90° — ^.

Обратим внимание на угол РМТ. Он равен разности углов О МТ и О MP. Мы видели сейчас, что О МТ равен 90° — у; что касается угла О MP, то нетрудно выяснить, чему он равен. Ведь угол О MP равен углу DOM (внутренние накрест лежащие углы при параллельных). Непосредственно очевидно, что /^DOM равен 90° — ср. Значит, ^ОМР = 90° — ср.

Таким образом, получаем:

Получается замечательный результат: угол РМТ оказывается равным углу PME (см. теорему 2). Следовательно, прямые ME и МТ сольются! Наш черт. 18 сделан не совсем правильно! Правильное расположение линий дано на черт. 19.

Как же сформулировать полученный результат? Мы сформулируем его в виде теоремы 3.

Теорема 3. (Первое основное свойство циклоиды.) Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга.

Из этой теоремы получается простое следствие. Угол между касательной и нормалью, по определению, — прямой. Это угол, вписанный в окружность производящего круга. Поэтому он должен опираться на диаметр круга. Итак,

Черт. 19. Основные свойства касательной и нормали к циклоиде.

TTt — диаметр, и 7\ — «верхняя» точка производящего круга. Сформулируем полученный результат.

Следствие (второе основное свойство циклоиды). Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.

Воспроизведём теперь построение циклоиды по точкам, как мы это делали на черт. 6. На черт. 20 основание циклоиды разделено на 6 равных частей; чем число делений будет больше, тем, как мы знаем, чертёж получится точнее. В каждой точке циклоиды, построенной нами, проведём касательную, соединяя точку кривой с «верхней» точкой производящего круга. На нашем чертеже получилось семь касательных (из них две — вертикальные). Проводя теперь циклоиду от руки, будем заботиться, чтобы она действительно касалась каждой из этих касательных: это значительно увеличит точность чертежа. При этом сама циклоида будет огибать все эти касательные*).

Проведём на том же черт. 20 нормали во всех найденных точках циклоиды. Всего будет, не считая направляющей, пять нормалей. Можно построить от руки огибающую этих нормалей. Если бы мы вместо шести взяли 12 или 16 точек

Черт. 20. Циклоида — огибающая своих касательных.

*) Такая линия и называется «огибающей». Всякая кривая линия есть огибающая своих касательных.

деления, то нормалей на чертеже было бы больше, и огибающая наметилась бы ясней. Такая огибающая всех нормалей играет важную роль при изучении свойств любой кривой линии. В случае циклоиды обнаруживается любопытный факт: огибающей нормалей циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая на 2а вниз и на ъа вправо. С этим любопытным результатом, характерным именно для циклоиды, нам ещё придётся иметь дело.

Свойства касательной и нормали к циклоиде были впервые изложены Торичелли (1608—1647) в его книге «Геометрические работы» (1644 год). Торичелли использовал при этом сложение движений. Несколько позже, но полнее, разобрал эти вопросы Роберваль (псевдоним французского математика Жилля Персонна, 1602—1672). Свойства касательной к циклоиде изучал также Декарт; он изложил свои результаты, не прибегая к помощи механики.

Геометрическое определение циклоиды

Теперь мы дадим определение циклоиды как геометрического места точек, не пользуясь механикой. Проще всего поступить так. Рассмотрим произвольную прямую AB (будем условно считать её направление горизонтальным) и на ней точку М0. Далее рассмотрим всевозможные круги определённого радиуса, касающиеся этой прямой и расположенные по одну сторону от неё. На каждом круге от точки 7 касания его с прямой AB отложим (в направлении к точке М0) дугу ТМ, по длине равную отрезку М0Т. Геометрическое место точек M (взятых на всех упомянутых нами кругах) и будет циклоидой.

Неправда ли, какое тяжеловесное определение! Насколько нагляднее определение с помощью движения! А в сущности, ведь ничего не изменено. Просто слова из механики заменены словами из геометрии. Выиграли мы при этом очень много: мы говорили уже, что геометрические факты следует излагать, не опираясь на механику, чтобы избежать в дальнейшем «логического круга». Но многое мы и потеряли. Если бы мы захотели, пользуясь только этим определением, вывести свойства касательной и нормали к циклоиде, мы столкнулись бы с большими трудностями. Недаром Торичелли и Роберваль не смогли их преодолеть и обратились к механике. Декарту

в его чисто геометрическом изучении циклоиды помог им же открытый необычайно мощный метод геометрических исследований— так называемый метод координат.

Установим ещё одно важное свойство циклоиды и попробуем именно его положить в основу изучения этой кривой.

Рассмотрим треугольник МТТ± (черт. 21), образованный вертикальным диаметром производящего круга, касательной к циклоиде и нормалью к ней. Угол МТ±Т, как вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, т. е. равен . Проведём МК\\ AB и MEJ_AB. Отрезок ME будет играть в дальнейшем значительную роль, поэтому дадим ему имя и обозначение: будем называть его «высотою» точки M циклоиды и обозначать буквою h. Итак, высота точки M циклоиды — это расстояние её от направляющей прямой.

Обратим внимание на угол КМТ. Он равен углу МТгТ (почему?). Из треугольника ТМТ± получаем:

а из треугольника ТКМ:

Черт. 21. Связь между «высотой» и наклоном касательной.

Сопоставляя эти результаты и замечая, что KT—h, получим окончательно:

Мы выразили высоту точки M через угол между касательной в точке M и вертикалью (горизонталью мы попрежнему считаем направление прямой AB). Теперь выразим синус этого угла через «высоту». Получим, очевидно:

где через k обозначена постоянная для данной циклоиды величина Л/т^- Полученный результат изложим словами.

Теорема 4. Синус угла между касательной к циклоиде в точке M и вертикалью пропорционален корню квадратному из «высоты» точки М.

Этим свойством обладает, очевидно, любая циклоида. Возникает вопрос: в какой мере это свойство характеризует именно циклоиду: будет ли всякая кривая, обладающая этим свойством, непременно циклоидой?

Можно доказать, что это будет именно так,—что верна и следующая (обратная) теорема:

Теорема 5. Если даны прямая AB и точка М, то единственной кривой, удовлетворяющей условиям теоремы 4 и проходящей через точку М, будет циклоида.

При этом радиус производящего круга этой циклоиды связан с коэффициентом k, о котором говорится в теореме 4, следующим соотношением:

(Разумеется, расстояние точки M от AB должно быть меньше, чем 2а.)

Строгое доказательство этой теоремы средствами элементарной математики очень громоздко, и мы его приводить здесь не будем.

Теорема 5 — очень важная теорема. В физике и технике часто приходится разыскивать кривую, удовлетворяющую тем

или иным данным условиям. Мы познакомимся в конце этой книжки с задачей, в которой требуется найти кривую линию, удовлетворяющую условиям теоремы 5. Ив том, и во всех подобных случаях мы можем быть уверены, что искомая кривая — циклоида.

Если в условии теоремы 5 не оговорить, что искомая кривая проходит через наперёд указанную точку Ж, то получится не одна*), а бесконечное множество циклоид, которые получаются друг из друга параллельным сдвигом по направлению прямой AB (одна из них проходит через точку М, другая — через Mv третья — через Л12 и т. д.). Это множество, или, как его называют, семейство циклоид изображено на черт. 22.

Отметим ещё одно, совершенно очевидное свойство циклоиды: её арка симметрична относительно перпендикуляра, восставленного в середине основания арки. А затем перейдём ненадолго к другой замечательной кривой, которую изучал Роберваль; он назвал эту кривую спутницей циклоиды.

Спутница циклоиды и её разоблачение

Рассмотрим циклоиду (черт. 23). Из её точки M опустим перпендикуляр на вертикальный диаметр производящего круга. Получим точку Р. Проделаем такое построение для всех без исключения точек циклоиды (так, точке М.2 будет соответствовать точка Р2, вершине циклоиды — сама вершина Pv остриям — острия и т. д. Всё это видно на черт. 23). Когда точка M опишет полную арку циклоиды, точка Р тоже опишет некоторую кривую. Вот эта-то кривая и называется спутницей циклоиды. Свойства «спутницы» были

Черт. 22. Семейство циклоид.

*) Строго говоря, и при точном выполнении условий теоремы 5 получается не одна, а две циклоиды. Читатели сами подумают, почему это так и как расположена вторая циклоида.

изучены Робервалем. Он их использовал для вычисления площади, ограниченной аркой циклоиды и её основанием. Но мы не будем систематически изучать спутницу. Мы сделаем проще: постараемся признать в ней нашу старую знакомую.

Рассмотрим циклоиду, точку M на ней и соответствующую точку Р на спутнице (черт. 24). Центр производящего круга обозначим буквою Q. Тогда будем иметь:

Начертим геометрическое место центров производящего круга (прямая ХХХ на черт. 24). От точки М0 отложим по AB отрезок М0К, равный-^-. Проведём КУ ±_XtX. Точку пересечения ХгХ и КУ обозначим буквою О. Теперь все вспомогательные построения закончены, и мы можем без труда «выяснить личность таинственной спутницы», как принято писать в приключенческих романах.

Черт. 23. Спутница циклоиды.

Черт. 24. Спутница циклоиды — синусоида.

Отрезок MQR на направляющей прямой от острия циклоиды (Ж0) до точки прикосновения производящего круга (/?) равен где о — основной угол MQR, выраженный в радианах*). Отрезок OQ на горизонтальной оси ХХХ (читатель узнал в прямых ОХ к OY оси координат, которыми принято пользоваться при вычерчивании графиков) равен MCR — М0К = а(о — y) » а отрезок QP равен a sin PMQ, т. е. равен синусу угла Ы—~\ , умноженному на радиус а.

Итак, от точки О по горизонтали откладываются отрезки, равные по длине дугам окружности, а по вертикали линии синусов соответствующих этим дугам углов. Мы узнаём известное из тригонометрии построение обыкновенной синусоиды (черт. 25).

Итак, незнакомка разоблачена! Она оказалась обычной синусоидой. Но «начало» этой синусоиды (О) не совпадает с остриём циклоиды: оно сдвинуто на у •а единиц вправо и на а единиц вверх.

Посмотрим внимательно на черт. 24 и мы сразу увидим любопытное соотношение между соответствующими друг другу точками M и Р циклоиды и её спутницы — синусоиды: отрезок MP между соответствующими точками циклоиды и её спутницы равен полухорде производящего круга. (Хорда проводится параллельно AB на расстоянии, равном расстоянию от AB до точки М.)

Рис. 25. Построение синусоиды.

*) Так как MqR = длине дуги MR, а длина дуги окружности равна я<р, где у — центральный угол, выраженный в радианах.

Взглянем теперь на черт. 26. На нём изображено несколько фигур, ограниченных дугами синусоиды и прямыми линиями: горизонтальными и вертикальными. Из соображений симметрии следует, что участки /, //, ///, IV (отмеченные разной штриховкой) равны. Так, поворот на 180° вокруг точки О в плоскости чертежа совместит участки // и /; зеркальное отражение относительно прямой между // и III совместит // с ///, а IV с /. Точно так же из черт. 27 видно, что синусоида делит прямоугольник АВСЕ на две равновеликие части. Действительно, повернув фигуру АОТЕ на 180° вокруг точки О, мы совместим её с фигурой АОТК) повернув фигуру КВРТ на 180° вокруг точки Р, мы совместим её с фигурой СТРВ. Следовательно, площадь, ограниченная спутницей одной арки циклоиды и основанием этой арки, равна половине площади прямоугольника АЕСВ, основание которого AB равно окружности производящего круга, т. е. 2тш, а высота KT— диаметру того же круга (2а). Итак, площадь фигуры АОТРВК (черт. 27) равна 2тга • 2а : 2. Обозначив эту площадь буквою S, получим формулу:

Черт. 26. Свойства синусоиды.

Черт. 27. Площадь между синусоидой и направляющей.

Словами это можно выразить так: площадь, ограниченная спутницей одной арки циклоиды и её основанием, равна удвоенной площади производящего круга.

Площадь циклоиды. Теорема Галилея

Теперь мы достаточно подготовлены к тому, чтобы вычислить площадь, заключённую между аркой циклоиды и её основанием. Первое упоминание о вычислении такой площади имеется в трудах Вивиани и Торичелли. Они связывают это вычисление с именем Галилея — своего учителя; поэтому теорему о площади циклоиды часто называют теоремой Галилея.

И Торичелли, и Вивиани при вычислениях площадей, ограниченных кривыми линиями, пользовались особым приёмом, который назывался «способом неделимых». Этот способ состоял в том, что криволинейную фигуру разбивали на бесконечно тонкие полоски («неделимые»), площади которых вычислялись сравнительно легко, а затем складывались. Этот приём через полвека привёл к изобретению интегрального исчисления*). Мы не будем следовать пути Торичелли и Вивиани, а изложим иной способ вычисления площади — способ Роберваля (несколько уточнив его).

Рассмотрим фигуру, ограниченную аркой циклоиды и её спутницей. На черт. 28 эта фигура, состоящая из двух

Черт. 28. Двухлепестковая фигура Роберваля.

*) Сущность этих методов доступно изложена в интересной и просто написанной книжке И. Б. Абельсона «Рождение логарифмов», М. — Л., 1948.

лепестков, обведена жирной линией. Займёмся вычислением её площади.

Прежде всего, построим зеркальное отражение правого лепестка фигуры относительно направляющей прямой AB (это отражение дано на черт. 28 штриховой линией). Перенесём затем эту штриховую кривую налево вверх и приложим её к левому лепестку так, чтобы дуги синусоид, входящие в контур каждого из лепестков, совпали. Получим выпуклую фигуру, заштрихованную на черт. 28 и изображённую отдельно на черт. 29. Установим важнейшие свойства этой фигуры.

1. Выпуклая фигура MqPLM равновелика двухлепестковой фигуре, изображённой жирной линией на черт. 28. Это видно из того, что она «составлена» из тех же лепестков. 2. Любая горизонтальная хорда выпуклой фигуры равна удвоенной хорде лепестка, находящейся на том же расстоянии от AB. Действительно, хорды СЕ и РН (черт. 28) правого лепестка, равноудалённые от линии центров, равны, так как равные им полухорды производящего круга одинаково удалены от центра (вспомним, что отрезок между соответствующими точками циклоиды и её спутницы равен полухорде производящего круга, см. стр. 31). Значит, КТ=СЕ=РН= РЛН1=Т1.

Это даёт важный результат: хорда MP выпуклой фигуры (черт. 29) равна хорде производящего круга CK, расположенной на том же расстоянии от направляющей прямой.

Рассмотрим теперь выпуклую фигуру Роберваля и круг, касающийся тех же прямых AB и АЛВ1 (черт. 30). Проведём ряд прямых, параллельных AB и A{Blt и точки их пересечения с окружностью и с контуром выпуклой фигуры соединим последовательно прямолинейными отрезками, как показано на нашем чертеже*). Полученные таким образом вписанные мно-

Черт. 29. Во что превращается двухлепестковая фигура.

*) На этом чертеже надо представить себе также хорды MN н ST окружности и хорды M}N\ и S\Ti фигуры Роберваля. Но они так малы, что на-глаз не отличимы от соответствующих дуг.

гоугольники (HLMNPQRSTK и H.L^N^Q^SJ^) мы будем называть «соответственными». Прямые, параллельные AB, разбивают «соответственные» многоугольники на ряд трапеций (и треугольников). Площади «соответственных» трапеций в круге и в фигуре Роберваля, например NPRS и NtPxRxSv равны, потому что у трапеций этих соответственно равны нижние основания, верхние основания (соответственные хорды) и высоты. На черт. 30 равновеликие «соответственные» трапеции покрыты одинаковой штриховкой.

Будем теперь неограниченно увеличивать число «промежуточных» прямых, параллельных AB, так чтобы расстояние между любой соседней парой стремилось к нулю. Тогда в круге мы получим серию многоугольников, число сторон которых неограниченно возрастает, а каждая из сторон стремится к нулю. Мы знаем, что площади Sn этих многоугольников имеют пределом площадь круга:

Как будет себя вести при этом последовательность многоугольников, вписанных в выпуклую фигуру Роберваля? Площадь £п последовательных вписанных многоугольников будет стремиться к площади £ фигуры Роберваля. Известно, что если две переменные величины сохраняют при всех своих изменениях соответственно равные значения и одна из них стремится к определённому пределу, то к тому же пределу стремится и другая. Но каждый многоугольник, вписанный

Черт. 30. Многоугольники, вписанные в круг и в выпуклую фигуру Роберваля.

в фигуру Роберваля, равновелик «соответственному» многоугольнику, вписанному в круг. Поэтому мы заключаем, что предел площадей многоугольников, вписанных в фигуру Роберваля, равен пределу площадей соответственных многоугольников, вписанных в круг; а это значит, что площадь выпуклой фигуры Роберваля равна площади производящего круга:

Отсюда получаем немедленное следствие: площадь двухлепестковой фигуры (черт. 28) равна площади производящего круга.

Взглянем теперь на черт. 27. Площадь фигуры АОТРВКА, как мы видели, равна удвоенной площади производящего круга (площадь между спутницей одной арки циклоиды и её основанием, см. стр. 33). Площадь двухлепестковой фигуры мы только что определили: она равна площади производящего круга. Следовательно, площадь, ограниченная аркой циклоиды и её основанием, равна утроенной площади производящего круга. Этот результат и известен под названием «теоремы Галилея».

Дальнейшие свойства циклоиды

После площади естественно заговорить о длине арки циклоиды и об объёмах тел, порождённых вращением этой арки. Сначала поговорим об этих объёмах.

Если арка циклоиды вращается вокруг своего основания, то она порождает поверхность, ограничивающую яйцевидное тело, изображённое на черт. 31. Разбив это тело на бесконечно тонкие слои, вписав в эти слои цилиндрики (как это показано на нашем чертеже) и сложив их объёмы, Роберваль получил объём всего яйцевидного тела. Не будем повторять его длинных, утомительных и не вполне строгих выкладок. В наше время высшая математика позволяет найти этот объём без труда. Сообщим готовый результат: объём тела, порождённого вращением арки циклоиды вокруг её основания, равен 5тг%3.

Вычислена и поверхность этого тела: она равна у ъа1, т. е. более чем в 21 раз превосходит площадь производящего круга.

Роберваль рассматривал также другую поверхность, порождённую вращением циклоиды. Он строил зеркальное отражение арки циклоиды относительно её основания, и овальную фигуру, образованную циклоидой и её отражением, вращал вокруг оси KT (черт. 32). Площадь порождаемой при этом поверхности вращения равна 32тг2а2, а объём репообразного тела, ею ограниченного, равен 127г3#3.

Немного позже знаменитый физик Паскаль определил объёмы и центры тяжести тел, образованных вращением частей циклоиды вокруг различных осей.

Черт. 31. Яйцевидное тело вращения, порождённое циклоидой.

Черт. 32. Репообразное тело вращения, порождённое циклоидой.

В 1658 году английский архитектор и математик Рен, строитель знаменитого купола собора св. Павла в Лондоне, определил длину дуги циклоиды. Его открытие произвело тем большее впечатление, что в то время задача вычисления длин дуг кривых линий казалась необычайно трудной и была решена буквально для единичных кривых (для окружности, параболы и некоторых спиралей). Дадим представление о том пути, по которому шёл Рен, опуская подробности доказательства. Впоследствии мы ещё вернёмся к вычислению длины дуги циклоиды совершенно другим способом.

Рен исходил из механических соображений, напоминающих первые работы Торичелли и Роберваля. Он рассматривал поворот катящегося (производящего) круга на весьма малый угол ос около точки Т (черт. 33). При этом центр круга перемещается из точки О в точку Ot, так что угол ОТО{ равен как раз ос. На тот же угол повернётся хорда ТМ, причём точка Ж, описав маленькую дужку циклоиды, перейдёт в точку Мл. Мы будем вместе с Реном считать угол ос столь малым, что дугу циклоиды ММЛ невозможно отличить от дуги окружности радиуса ТМ с центром в точке Т. Значит, длину циклоидальной дужки ММХ мы будем считать равной МТ - а (предполагается, что угол ос выражен в радианах). При этом мы сознательно допускаем ошибку, но эта ошибка будет тем меньше, чем меньше угол а, и в пределе её влияние сгладится.

При этом малом повороте треугольник О МТ перейдёт в треугольник ОхМгТ. Сторона ОМ повернётся на тот же

Черт. 33. Длина дуги циклоиды.

угол, что и сторона МТ] таким образом угол между ОМ и MxOv т. е. угол MQM{, будет равен а.

Начертим теперь левее на круге радиуса ОТ с центром Р радиусы РК\\ОМ и РК]\\ОхМ[. Угол К±РК, очевидно, равен углу ос. Хорда КН1 параллельна и равна отрезку касательной к циклоиде в точке М. Хорда КХН{ не может сильно отличаться от отрезка касательной к циклоиде в точке Мх — ведь при переходе от точки M к точке Мх производящий круг смещается очень немного. Рен допустил (хотя это и связано с некоторой неточностью), что хорда в точности равна отрезку касательной к циклоиде в точке Mt.

Угол КНКХ есть вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол КРКЛ, равный а; следовательно, КНКХ — ^ . Убыль длины хорды МТХ = КНХ при переходе точки M в положение Мх равна без чувствительной погрешности отрезку АХ, который в свою очередь можно считать равным радиусу НК, умноженному на угол КИКХ (выраженный в радианах), т. е. равным НК • или МТ--^-.

Этой убыли длины хорды производящего круга соответствует прирост дуги циклоиды, равный MMt, т. е., как мы уже говорили, равный МТ - ос. Мы получаем следующий результат: при малом повороте производящего круга убыль длины хорды МТЛ вдвое меньше приращения длины дуги циклоиды.

Это соотношение, конечно, не вполне точно; но если мы возьмём поворот производящего круга на 180°, разобьём его на весьма малые части («элементарные повороты» ос), вычислим соответствующие убыли хорд и приращения дуг, вычислим сумму всех таких убылей и всех таких приращений и перейдём к пределу,—то увидим, что полная убыль длины хорды будет ровно вдвое меньше длины полуарки циклоиды. При этом хорда меняется от 2а (когда точка M занимает самое низкое положение) до 0 (когда точка M приходит в самое верхнее положение). Убыль длины хорды составляет 2а, следовательно, длина полуарки циклоиды равна 4а, а длина всей арки — 8а.

Итак, «наводящие соображения» указывают, что длина одной арки циклоиды должна равняться восьми радиусам производящего круга. Результат неожиданный: ведь даже для

длины такой простой кривой, как окружность, пришлось специально вводить иррациональное число гс, вычислить которое не так просто. Длина же арки циклоиды выражается через радиус рациональным (даже целым) числом!

Чтобы придать нашим (вернее, реновским) наводящим соображениям доказательную силу, пришлось бы рассмотреть целый ряд вспомогательных теорем. Это сильно усложнило бы рассуждения и лишило бы их наглядности; поэтому мы эти детали опустили. Сам Рен выполнил их достаточно аккуратно.

Читатель, вероятно, обратил внимание на следующие обстоятельства. Все рассуждения, связанные с выводом формул площади циклоиды и длины её арки, очень своеобразны и не похожи на соответствующие рассуждения в случае окружности. Если бы читатель взглянул на работы учёных XVII столетия, посвящённые какой-нибудь другой кривой, например, параболе, он убедился бы, что их рассуждения тоже приспособлены к специальному случаю и не похожи ни на те, которые связаны с окружностью, ни на те, с которыми мы встретились при изучении циклоиды. Общих методов не было, каждое исследование требовало новых, иногда очень хитрых, приёмов.

С другой стороны, читателю, вероятно, не нравились постоянные указания на нестрогость доказательств. Доказательства различных теорем, данные учёными Возрождения, либо очень сложны и длинны, либо носят скорее облик наводящих рассуждений, чем строгих математических выводов. Очень часто используется механика, хотя и в те времена казалось желательным независимое от механики изложение геометрии.

А жизнь не ждала! Естествознание, техника, мореплавание, развиваясь, требовали единых геометрических методов, доступных широким кругам специалистов-прикладников, а не только Галилеям и Паскалям. И передовые учёные Возрождения всё больше и больше интересуются не решением отдельных задач, а выяснением того, что же, собственно, объединяет их сложные и хитроумные решения? Кавальери, Декарт, Ферма, Тейлор и другие математики пытаются открыть общие методы решения задач, связанных с кривыми линиями и криволинейными фигурами. Кавальери высказывает принцип, известный в наше время любому десятикласснику. Декарт и Ферма изобретают аналитическую геометрию: в её основе

лежит связь между линией с одной стороны и уравнением с другой; простейшая форма этой связи в наше время изучается в VIII классе («Таблицы и графики»). Ферма, кроме того, изобретает общий приём исследования касательных к разнообразным кривым.

Всё это завершается работами Ньютона и Лейбница, установившими замечательную связь между задачами на построение касательных к кривым линиям и вычислением площадей, ограниченных этими кривыми. Ньютон и Лейбниц разработали исключительно мощный и вместе с тем доступный метод решения многих геометрических и механических задач, разросшийся затем в стройную дисциплину, называемую математическим анализом (дифференциальное и интегральное исчисления). Но понадобилось ещё полтораста лет, чтобы придать математическому анализу ту строгость и убедительность, с которыми неразрывно связано представление о математике.

ГЛАВА III

РОДСТВЕННИЦЫ ЦИКЛОИДЫ

«Как Вам доводится Настасья Николавна?»

А. С. Грибоедов.

Укороченные и удлинённые циклоиды

Когда автор пьесы или романа хочет лучше охарактеризовать своего героя, он часто говорит о его родных. В некоторых случаях знание родных и знакомых позволяет полнее разобраться в характере человека. Мы тоже на время оставим саму циклоиду и перейдём к её ближайшим родичам. Если производящий круг и направляющая прямая играют, в известном смысле, роль «родителей» циклоиды, то кто же её братья и сестры?

На чёрт. 34 изображён производящий круг, «готовый к старту». Сейчас его точка М0 опишет красивую циклоиду. А какая судьба ожидает точки С0 и Е0? Точка С0 лежит не на окружности производящего круга, а где-то внутри него. Точка Е0 — внешняя точка, жёстко связанная с катящимся кругом. Можно вообразить, например, эту точку на ободе

Черт. 34. Движение внутренней и внешней точек производящего круга.

(реборде) вагонного колеса, как это изображено на черт. 35. Подобно внутренней точке, эта внешняя точка будет двигаться вместе с колесом и опишет некоторую кривую.

Этими кривыми, описанными внешними и внутренними точками катящегося круга, мы теперь займёмся.

Внутренняя точка производящего круга описывает при его движении кривую, называемую «укороченной циклоидой». Проведём через точку С0 вспомогательную окружность (черт. 36). Когда производящий круг катится по прямой AB, маленькая окружность будет катиться по прямой А В', но её качение будет сопровождаться скольжением; мы говорили уже об этом, когда разбирали парадокс Аристотеля (стр. 14). Итак, можно сказать, что укороченная циклоида описывается точкою окружности круга, который катится по направляющей прямой со скольжением.

Черт. 35. Как движутся точки рельсового обода?

Черт. 36. Укороченная циклоида.

Подобно этому, внешняя точка круга описывает так называемую «удлинённую циклоиду». И на удлинённую циклоиду можно смотреть как на кривую, порождённую точкой окружности катящегося круга. Но это качение должно сопровождаться скольжением в противоположном направлении.

Читатели сами придумают способы построения по точкам укороченной и удлинённой циклоид. Нетрудно сконструировать и демонстрационные приборы, подобные изображённому на черт. 5. Мы не будем разбирать этого подробно и сразу нарисуем укороченную и удлинённую циклоиды «в готовом виде» (чертежи 36 и 37). Укороченная циклоида отдалённо напоминает синусоиду, а удлинённая представляет собою красивую кривую с петлями. В наше время за укороченными и удлинёнными циклоидами сохранилось имя «трохоиды», которым в старину французские учёные называли все кривые, связанные с качением круга по прямой, в том числе и обыкновенную циклоиду.

Касательными к укороченным и удлинённым циклоидам занимались наши знакомые: Торичелли, Кавальери, Роберваль, Декарт. Рен установил, что длина дуги этих кривых равна длине дуги некоторых эллипсов, которые нетрудно построить, если даны основания и производящие круги циклоид. Мы не будем на этом останавливаться.

Скажем только два слова об известном шуточном вопросе: какие точки железнодорожного вагона движутся в сторону, противоположную движению самого вагона? Ответ теперь ясен: это будут нижние точки ободьев (реборд) его колёс (точка Е на черт. 38). Если вагон катится направо, то нижняя часть обода колеса смещается налево, причём направление

Черт. 37. Удлинённая циклоида.

движения самой нижней точки реборды противоположно движению центра колеса.

Взгляните теперь на известную всем игрушку — «ваньку-встаньку». Она изображена на черт. 39. Нижняя часть болванчика имеет форму полушара, верхняя — нам безразлична. В нижнюю часть фигурки налит свинец, а потому её центр тяжести расположен очень низко (точка M на черт. 39).

Если фигурку наклонить, её центр тяжести опишет дугу укороченной циклоиды: ведь здесь, в сущности, мы имеем дело с движением внутренней точки круга, катящегося по прямой. Если наклонённую фигурку предоставить самой себе,

Черт. 38. Ответ на шуточный вопрос.

Черт. 39. Ванька-встанька.

то она будет двигаться так, чтоб её центр тяжести возможно ниже опустился, а это и значит, что «ванька-встанька» будет возвращаться к вертикальному положению (вставать).

Эпициклоиды

От родных сестёр циклоиды перейдём к двоюродным. Будем попрежнему катить производящий круг, но покатим его не по прямой, а по окружности другого круга, снаружи. В зависимости от соотношения между радиусами неподвижного и подвижного (направляющего и производящего) кругов, будут получаться различные, хотя и родственные кривые. Все эти кривые называются эпициклоидами («надциклоидами»).

Начнём обзор эпициклоид с того случая, когда радиус производящего круга вдвое меньше радиуса круга направляющего. В этом случае получится кривая с двумя остриями,—«точками возврата» — изображённая на черт. 40. Если «неподвижный» радиус больше подвижного в три, четыре или шесть раз, то получатся кривые, изображённые, соответственно, на чертежах 41, 42, 43.

Те же учёные, которые изучили обыкновенную циклоиду, установили правила для построения касательной к различным эпициклоидам, а также метрические свойства эпициклоид (т. е. их свойства, связанные с измерением длины их арок, ограниченных ими площадей и т. д.). Выводы этих свойств очень похожи на соответствующие выводы для обыкновенной циклоиды; мы сообщим сразу готовые результаты.

Черт 40. Эпициклоида с двумя заострениями.

Черт. 41. Эпициклоида с тремя заострениями.

Черт. 42. Эпициклоида с четырьмя заострениями.

Черт. 43. Эпициклоида с шестью заострениями.

Рассмотрим направляющий круг с центром О (черт. 44). Пусть М0 — точка возврата эпициклоиды с тремя заострениями (рассуждения почти не изменятся, если число заострений будет иным). Пусть, далее, 0{ — центр подвижного (производящего) круга (сам круг изображён на черт. 44 штриховой линией). Построим соответствующую этому положению производящего круга точку M эпициклоиды. Если угол О±ОМ0 мы обозначим через ср, то угол ООхМ нужно будет взять равным Зср (качение, разумеется, рассматривается без скольжения). Центр Ot движется в направлении, перпендикулярном к 001; в этом движении принимает участие и точка М.

Кроме того, точка M принимает участие во вращении около центра Ох. Точно те же соображения, что и в случае обыкновенной циклоиды, приводят к результату: касательная к эпициклоиде проходит через «наивысшую» (Л), а нормаль — через «наинизшую» (В) точку производящего круга.

Радиус производящего круга будем, как и для обыкновенной циклоиды, обозначать буквою а. У обыкновенной циклоиды число а вполне её определяло (как, например, окружность вполне определялась своим радиусом). В случае эпициклоиды нужно указать ещё одно число: именно, нужно указать, во сколько раз радиус неподвижного круга больше радиуса подвижного. Это число мы будем обозначать буквою п. У эпициклоиды с двумя заострениями /1 = 2, у эпициклоиды с десятью заострениями п = 10 и т. д. Для эпициклоид, изображённых на черт. 40, 41, 42, 43, числа п соответственно равны 2, 3, 4 и 6.

При этих обозначениях для длины одной арки эпициклоиды с п заострениями получается следующая формула:

Черт. 44. Касательная и нормаль к эпициклоиде.

Обыкновенная циклоида, подобно прямой линии, бесконечна, и потому нельзя говорить о полной её длине. Эпициклоида, напротив, ограничена (как окружность). Поэтому, наряду с длиной её арки, можно указать полную её длину, которая, разумеется, в п раз больше длины одной арки. Длина всей эпициклоиды:

/ = /г. /х = 8а (п + 1 ).

Точно так же, говоря о площади, можно дать формулу как для площади между одной аркой и неподвижным кругом, так и для всей площади, ограниченной замкнутой кривой — эпициклоидой (простая циклоида не была замкнутой кривой и никакой площади сама по себе не ограничивала). Площадь между производящим кругом и одной аркой будем обозначать Sv а полную площадь, охваченную эпициклоидой, б1. Очевидно, S равно п раз повторённой площади S± плюс площадь неподвижного круга.

Вот формулы для St и 5:

На черт. 45 заштрихованы площади St и S для случая /1 = 3.

Сведём в одну табличку значения /t, /, Sv S для различных значений /г, т. е. для эпициклоид с двумя, тремя и т. д. заострениями (см. таблицу на стр. 50). При этом заметим, что подвижные круги для всех эпициклоид предполагаются

Черт. 45. Площадь, ограниченная эпициклоидой.

одинаковыми, а неподвижные возрастают вместе с числом п заострений.

Эпициклоиды

с 2 заострениями

с 3 заострениями

с 4 заострениями

с 5 заострениями

Видоизменим немного условия, при которых порождается эпициклоида. Рассмотрим (черт. 46) круг с центром О и будем предполагать, что по этому кругу равномерно движется центр другого круга, равномерно вращающегося. Какую кривую опишет при этом точка окружности вращающегося круга?

Мы встречались с такой задачей в самом начале этой книжки, когда шёл разговор о птолемеевой системе мира (стр. 17—18). Действительно, указанное построение приведёт нас к эпициклоиде Птолемея. Но будет ли птолемеева эпициклоида «настоящей» эпициклоидой? Нетрудно видеть, что нет. Нужно подобрать специально соотношение между скоростью точки Ot и угловой скоростью вращения подвижного круга, чтобы получить настоящую эпициклоиду (попробуйте, читатель, сделать такой расчёт). При другом соотношении между

Черт. 46. Птолемеева эпициклоида.

скоростями подвижный круг будет катиться по штриховому кругу (черт. 46) со скольжением, и вместо нормальных получатся укороченные или удлинённые эпициклоиды (черт. 47, а и 47,6).

Вообразим теперь, что на неподвижный обруч (черт. 48) надет другой — подвижный — обруч, радиус которого в 2, 3,

Черт. 47. Укороченные и удлинённые эпициклоиды.

Черт. 48. Перициклоида.

вообще, в п раз больше радиуса неподвижного обруча. Говоря геометрическим языком, скажем, что неподвижная окружность изнутри касается подвижной. Кривая, которую описывает точка внешней окружности, катящейся по внутренней, называется перициклоидой. Но говорить о свойствах перициклоид нет смысла: при более внимательном рассмотрении каждая перициклоида оказывается некоторой эпициклоидой.

Кардиоида. Конхоиды

Говоря об эпициклоидах, мы считали до сих пор, что радиус неподвижного круга в несколько раз больше радиуса подвижного (производящего) круга. Но никто не может помешать нам рассмотреть и такую эпициклоиду, у которой подвижный круг равен неподвижному, т. е. такую, у которой п = 1. Такая эпициклоида называется кардиоидой. Итак, кардиоида — это траектория точки окружности, которая катится без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. Кардиоида изображена на черт. 49 (жирная линия). Слово «кардиоида» значит по-гречески «сердцевидная».

Относительно касательной и нормали к кардиоиде говорить не приходится: ведь это — одна из эпициклоид (п = 1), а потому обладает всеми свойствами, общими этим кривым. Заметим только, что в случае кардиоиды углы О0ООх и ООгА1 на черт. 49 равны.

Точно так же формулы для длины арки кардиоиды (она совпадает с длиной всей кривой) и для площади, ею ограниченной, получаются из формул на стр. 49 простой подста-

Черт. 49. Кардиоида.

новкой л=1. Таким образом, получаем для кардиоиды:

площади St и S изображены на черт. 50. Тело, полученное от вращения кардиоиды вокруг её оси симметрии (ОО0 на черт. 49), напоминает помидор (см. черт. 51); объём этого тела равен -g- тш3.

Кардиоида обладает следующим замечательным свойством. Соединим какую-нибудь точку M кардиоиды с её «остриём» М0, как это изображено на черт. 52. Обратим внимание на точку К пересечения хорды ММ0 с неподвижным кругом. Углы М0ООг и ООгМ равны (об этом мы только что упоминали — см. черт. 49). Равны и радиусы ОМ0 и ОхМ. Значит, хорда М0М параллельна отрезку OOl5 соединяющему центры кругов. Точно так же КОЦ МОг. Поэтому отрезок КМ равен отрезку ООл, т. е. диаметру неподвижного (и подвижного) круга. Мы можем соединить точку М0 (остриё) с любой точкой кардиоиды, и всегда отрезок хорды, соединяющей остриё и точку кривой, заключённый между точкой кривой и точкой К неподвижного круга, будет равен диаметру производящего круга. Отсюда получается следующее построение кардиоиды. Начертим окружность радиуса а с центром О и возьмём на ней произвольную точку М0

Черт. 50. Площадь кардиоиды.

Черт. 51. Тело вращения, порождённое кардиоидой.

(черт. 53). Через точку М0 проведём пучок лучей (на нашем чертеже изображено 7 лучей; чем больше взять лучей, тем кривая получится точнее). От точек пересечения лучей с окружностью отложим вдоль каждого луча в обе стороны отрезки, равные диаметру. Геометрическим местом полученных таким способом точек будет кривая, изображённая жирной линией. Часть её, расположенная правее прямой AB, на основании только что сказанного, представляет собою дугу кардиоиды. Попробуйте, читатели, доказать, что левая (штриховая) часть «жирной» кривой дополняет эту дугу до полной кардиоиды.

Оставим на время кардиоиду и займёмся следующей игрой. Пусть один из играющих станет на место, изображённое на черт. 54 точкой О, а остальные построятся перед ним в прямолинейную шеренгу, но каждый из них повернётся так, чтобы смотреть прямо на своего командира. На чертеже играющие отмечены короткими чёрточками, а направление их взглядов — стрелочками. Если командир скомандует «кругом», а затем велит каждому сделать ровно десять шагов вперёд, сохраняя направление, то шеренга расстроится: вместо прямой линии получится своеобразно изогнутая кривая. Эта кривая называется конхоидой

Черт. 52. Замечательное свойство кардиоиды.

Черт. 53. Построение кардиоиды.

Никомеда, по имени древнегреческого учёного, изучавшего её*).

Играющие могли расположиться сначала не по прямой линии, а по некоторой кривой. Важно, чтобы смотрели они прямо на командира и после команды «кругом» сделали поровну шагов. И в этом случае получается кривая, которая также называется конхоидой. Греческое слово «конхоида» значит «напоминающая раковину».

Дадим теперь точную геометрическую формулировку: пусть имеются некоторая кривая и точка О (эту точку мы будем называть «полюсом»). Через точку О проведём пучок лучей и на каждом луче отложим равные отрезки в обе стороны от его точки пересечения с данной кривой. Геометрическое место концов этих отрезков даст новую кривую, которую называют конхоидой исходной кривой относительно данного полюса. Обратим внимание на небольшое усложнение по сравнению с описанной только что игрой. Там — играющие шли в одну сторону; здесь — отрезки откладываются по обе стороны от точек пересечения кривой с лучами. Поэтому всякая конхоида будет состоять из двух ветвей, которые, впрочем, иногда соединяются в одну кривую. Конхоида Никомеда (о которой говорилось выше и к которой нужно присоединить её левую половину, изображённую на черт. 54 штриховой линией) является, таким образом, конхоидой прямой линии.

Черт. 54. Конхоида прямой линии.

*) Точнее, это — только половина (одна ветвь) конхоиды Никомеда. (Это будет ясно читателю, когда он прочтёт ещё несколько строк.)

На черт. 55 изображены (штриховыми линиями) конхоиды различных кривых линий.

Читатель сообразит, что конхоидой окружности относительно её центра будет пара окружностей, концентрических данной и одинаково удалённых от неё (черт. 55, посредине).

Вернёмся теперь к кардиоде. Мы без труда заметим, что кардиоида служит конхоидой окружности относительно точки, лежащей на окружности. Чтобы в этом убедиться, достаточно взглянуть на черт. 53.

Задавшись кривой линией и полюсом, мы можем получить не одну конхоиду, а целое «семейство» конхоид, меняя величину откладываемого отрезка. На черт. 56 изображено (разными штрихами) три конхоиды прямой линии AB относительно полюса О. (Каждая из них состоит из двух ветвей!)

Если мы возьмём окружность и в качестве полюса точку на ней, то кардиоиду получим только в том случае, если будем откладывать отрезки, равные диаметру окружности. При других величинах откладываемых отрезков конхоидами будут удлинённые и укороченные кардиоиды. Эти удлинённые и укороченные кардиоиды называются иначе улитками Паскаля*). На черт. 57 изображены кардиоида (посредине) и пара «улиток».

Черт. 55. Конхоиды различных кривых.

*) По имени французского математика Этьена Паскаля, отца знаменитого физика и математика Блеза Паскаля.

Черт. 56. Различные конхоиды одной и той же прямой.

Черт. 57. Кардиоида и «улитки».

Кардиоида имеет различные применения в технике. В форме кардиоиды делают эксцентрики, кулачки у машин. Ею пользуются иногда при вычерчивании зубчатых колёс. Кроме того, она применяется в оптической технике.

Гипоциклоиды

Если больший круг будет неподвижен, а меньший будет катиться, касаясь его изнутри (черт. 58), то любая точка окружности этого меньшего круга опишет кривую, называемую гипоциклоидой («подциклоидой»). Если радиус подвижного круга будет в два, три, вообще в п раз меньше радиуса неподвижного, то получится гипоциклоида с двумя, тремя, вообще с п заострениями. Попробуйте, читатель, построить самостоятельно гипоциклоиду с двумя заострениями: вы получите любопытный результат. Попытайтесь его сформулировать и доказать.

На черт. 59, а, б, в изображены гипоциклоиды с тремя, четырьмя и шестью заострениями. Если качение внутреннего круга по внешнему будет сопровождаться скольжением, то будут получаться удлинённые и укороченные гипоциклоиды, изображённые на чертежах 60 и 61.

Нормаль к любой гипоциклоиде в любой её точке проходит через точку соприкосновения подвижного и неподвижного кругов; касательная к гипоциклоиде в любой её точке

Черт. 58. Гипоциклоида.

Черт. 59. Различные гипоциклоиды.

Черт. 60. Удлинённые гипоциклоиды.

Черт. 61. Укороченные гипоциклоиды.

проходит через диаметрально-противоположную точку подвижного круга.

Если радиус подвижного круга обозначим через а, радиус неподвижного — через па, то для длины 1Х одной арки гипоциклоиды, для длины / всей гипоциклоиды, для площади Sx между одной аркой гипоциклоиды и неподвижной окружностью, наконец, для всей площади S, ограниченной гипоциклоидой с п заострениями, получим следующие формулы:

формулы эти напоминают соответствующие формулы для эпициклоид (стр. 49).

Из всех гипоциклоид рассмотрим внимательнее одну, именно, гипоциклоиду с четырьмя заострениями (черт. 59, б). Её называют иначе астроидой, что значит «звездообразная». Астроиду определяют обычно не величиной подвижного радиуса а, а величиной неподвижного, которую принято обозначать буквою R. Полагая в только что данных формулах п = 4 и заменяя а равной ему величиной , получим для астроиды:

Итак, длина всей астроиды равна шести радиусам неподвижного круга, а площадь, ею ограниченная, — трём восьмым площади неподвижного круга.

Рассмотрим внимательнее касательную AB к астроиде в её точке M (черт. 62). Как и у всех гипоциклоид, она проходит через точку Т, диаметрально противоположную точке К касания подвижного и неподвижного кругов. Если угол ОхОМ0 мы обозначим буквою <р, то угол МОхК будет равен 4ср (почему?). Углы при основании равнобедренного треугольника

TOtM будут в сумме давать несмежный с ними внешний угол 4<р, а каждый из них будет равен 2<р. Сумма углов при основании OB треугольника О ТВ будет равняться 2ср (всё по той же теореме о внешнем угле треугольника); но угол TOB равен ср (так мы сами обозначили), следовательно, и угол ТВО будет тоже равен ср; треугольник ОТВ — равнобедренный, и ОТ=ВТ. Точно таким же образом убедимся, что ТА— = ОТ= ТВ.

Но О Г—разность радиуса неподвижного и диаметра подвижного кругов — равна половине радиуса неподвижного круга, т. е. ~. Следовательно, отрезок касательной к астроиде, заключённый между двумя взаимно перпендикулярными радиусами неподвижного круга, проведёнными в острия астроиды, равен радиусу неподвижного круга, независимо от того, как была выбрана точка М.

Это обстоятельство позволяет строить астроиду следующим путём. Чертим две взаимно перпендикулярные прямые и проводим ряд отрезков длиною /?, концы которых лежат на этих прямых. На чертеже 63 изображено 12 таких отрезков (включая отрезки на самих взаимно перпендикулярных прямых). Чем больше мы проведём отрезков, тем точнее получим кривую. Построим теперь от руки огибающую всех этих отрезков (с огибающими мы уже имели дело на черт. 20). Этой огибающей будет астроида.

На черт. 64 изображено тело, ограниченное поверхностью, порождённой вращением астроиды вокруг отрезка, соединяющего её противоположные острия. Объём этого тела равен ^ tzR^, а поверхность, его ограничивающая, равна тт/<.

Вернёмся теперь к вопросу, который мы предлагали самостоятельно разрешить читателям на странице 58 — в начале

Черт. 62. Касательная к астроиде.

беседы о гипоциклоидах. Именно, рассмотрим случай п = 2, т. е. гипоциклоиду с двумя заострениями. Допустим, что центр подвижного круга занял произвольное положение Ол (черт. 65). Чтобы построить соответствующую точку гипоциклоиды, нужно построить угол КОхМ, вдвое больший угла ОгОМ0. Но подвижный круг всё время будет проходить через центр неподвижного. Угол КОМ — а — вписанный в окружность подвижного круга, а угол КОхМ, равный 2а, вдвое больший вписанного,т.е. центральный для той же окружности. Поэтому точка Ж должна лежать на отрезке ОМ0. Так будет для любого положения центра Ot, и мы получаем замечательный результат: точка окружности, катящейся без скольжения по внутренней стороне окружности вдвое большего радиуса, движется по диаметру неподвижной окружности. Эта теорема была известна уже Копернику.

Черт. 63. Астроида — огибающая своих касательных.

Черт. 64. Тело вращения, порождённое астроидой.

Черт. 65. Теорема Коперника.

В этом случае гипоциклоида, как говорят, «вырождается» в прямолинейный отрезок, дважды повторённый (точка M пройдёт по диаметру из конца в конец в обе стороны). Если в формулах на стр. 60 мы положим п = 2, то для площади .5 получим значение 0, а для длины всей «кривой» — 8а, т. е. дважды повторённую длину диаметра производящего круга. Этого мы и должны были ожидать.

Предположим теперь, что радиус а подвижного круга раз навсегда установлен, а радиус неподвижного па неограниченно возрастает. Иными словами, положим, что п принимает возрастающий ряд значений: п — Ъ, п = 4, п — Ъ итак далее— до бесконечности. Неподвижный круг будет при этом всё более и более «выпрямляться» и стремиться к предельному положению — прямой AB на черт. 66. При этом гипоциклоида будет «разгибаться» и в пределе превратится в обыкновенную циклоиду. Посмотрим, что сделается при этом с формулами для длины дуги одной арки гипоциклоиды и соответствующей площади. Для длины одной арки гипоциклоиды мы имели:

Когда п неограниченно растёт, множитель в скобках в правой части этого равенства стремится к единице, потому что вычитаемое — стремится к нулю. Следовательно, сама длина арки стремится при этом к 8а, т. е. к длине арки обыкновенной циклоиды.

Для площади мы имели формулу:

Черт. 66. Неограниченное возрастание радиуса неподвижной окружности.

При неограниченном возрастании п правая часть будет стремиться к Зтш2, т. е. к площади, ограниченной аркой обыкновенной циклоиды и её основанием.

Предлагаем читателям провести подобные рассуждения для эпициклоид.

Эпициклоида с бесконечным множеством арок

До сих пор мы считали, что радиус неподвижного круга в целое число раз больше радиуса подвижного. Но можно представить себе, что радиус неподвижного круга в 1 у или в з| раза больше чем радиус подвижного. В случае эпициклоид можно рассматривать и тот случай, когда больший круг катится по меньшему. Иными словами, отношение радиусов неподвижного и подвижного кругов может быть дробным числом, причём для гипоциклоид — это неправильная дробь, а для эпициклоид может быть как неправильной, так и правильной дробью.

На черт. 67 изображена эпициклоида, у которой неподвижный радиус в полтора раза больше подвижного, т. е. п = у . Нетрудно сообразить, что полному обороту подвижной окружности соответствует на неподвижной окружности дуга 240°. Точка M опишет три петли, прежде чем вернётся в точку М0. Несмотря на свой необычайный, «запутанный» вид, эта кривая является самой настоящей эпициклоидой: нормаль в каждой её точке проходит через точку касания неподвижного и подвижного кругов, длина её арки и площадь между аркой и окружностью неподвижного круга вычисляются по формулам, приведённым на стр. 49 (при n = 3/2); только о всей площади, ограниченной этой кривой,

Черт. 67. Самопересекающаяся эпициклоида.

говорить нет смысла: ведь полученные арки будут несколько раз пересекаться друг с другом.

На черт. 68, а, б, в к г изображено несколько эпициклоид и гипоциклоид с различными дробными значениями числа п.

Рассматривая эти чертежи, нетрудно притти к следующему выводу. Если отношение R : а радиусов неподвижного и подвижного кругов эпициклоиды равно несократимой дроби —,

Черт. 68. Эпициклоиды и гипоциклоиды при дробных значениях п.

то подвижный круг должен сделать р оборотов (обегая при этом q раз неподвижную окружность), для того чтобы точка M вернулась в положение М0. При этом кривая замкнётся. Она будет с р остриями и с р (q— 1) точками самопересечения. На черт. 69 изображена эпициклоида, у которой отношение p:q равно 5:3 (т. е. я = — = 4-)- у неё 5(3 — 1 ) = 10 точек самопересечения и 5 точек возврата. Точно так же у изображённой на черт. 70 эпициклоиды, у которой р: # = 2:3, имеется 2 точки возврата (острия) и 2(3 —1) = 4 точки самопересечения. Наконец, у эпициклоиды, изображённой на черт. 67 (стр. 64),—три острия и три точки самопересечения, как это и вытекает из общей формулы. Заметим, что все эти эпициклоиды касаются изнутри круга, концентрического неподвижному кругу и имеющего радиус, равный сумме радиуса неподвижного и диаметра подвижного круга. Эти кривые лежат целиком внутри кольца, образованного двумя концентрическими окружностями.

Рассмотрим теперь наиболее интересный случай — случай эпициклоиды, у которой отношение радиусов подвижного и неподвижного кругов иррационально. На черт. 71 изображён неподвижный круг, радиус которого равен диагонали

Черт. 69. Эпициклоида при

Черт. 70. Эпициклоида при

квадрата, построенного на радиусе подвижного круга. Иными словами, отношение R : а = у 2 есть число иррациональное. Радиусы неподвижного и подвижного кругов — несоизмеримы, и их отношение невозможно выразить рациональным числом. Поэтому эпициклоида, порождённая этими кругами, никогда не замкнётся. Конца её петлям не будет. У неё будет бесконечное число точек возврата и точек самопересечения. На черт. 71 изображена, разумеется, только часть этой интересной кривой.

Мало того. Наша кривая, делая бесконечное число петель, будет всё плотнее и плотнее заполнять кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями. Заполнят ли точки кривой всё кольцо? Будет ли за петлями этой кривой линии просвечивать бумага? Иными словами, можно ли утверждать, что наша кривая, сделав достаточное количество петель, пройдёт через любую, наудачу указанную точку кольца, например, — точку А? Очень хочется сказать, что да. Но это, оказывается, будет далеко не всегда. Существуют точки кольца (и таких точек бесконечно много!), через которые наша кривая не пройдёт: всё-таки бумага будет просвечивать! При этом вот что любопытно. К любой точке кольца кривая наша может подойти как угодно близко. Если мы отметим произвольную точку А внутри кольца и выберем какой-нибудь очень маленький отрезок, равный, например, 0,001а, то наша кривая, сделав достаточное число петель, подойдёт к точке А ближе чем на это малое расстояние. Если мы зададимся расстоянием в 0,000 001 а или даже 0,000 000 001 а, то и в этих случаях кривая рано или поздно приблизится к точке А ближе чем на такое расстояние. Эту мысль выражают коротко, говоря, что точки кривой заполняют кольцо всюду плотно. Получается результат, который может показаться пара-

Черт. 71. Эпициклоида с несоизмеримым отношением радиусов подвижного и неподвижного кругов.

доксальным: с одной стороны, существуют — и притом в бесконечном количестве — точки кольца, недоступные кривой; а с другой — точки кривой заполняют кольцо всюду плотно!

Чтобы «раскрыть» этот парадокс, пришлось бы прибегнуть к тому разбору понятия бесконечности, о котором мы упоминали, когда речь шла о парадоксе Аристотеля (стр. 14). Здесь нет возможности останавливаться на этом*). Заметим только, что существуют и такие кривые линии, которые проходят через все без исключения точки, находящиеся внутри замкнутой линии — например, некоторого квадрата. Наглядно представить себе это невозможно, но доказать существование таких кривых и изучить их свойства — вполне доступно для современной математики.

Мы отошли от основной темы. Вернёмся к ней — перейдём от отвлечённых рассуждений к простым чертежам, один взгляд на которые часто говорит нам больше, чем самые строгие доказательства. Древние индийские математики в своих геометрических работах часто вместо доказательств давали наглядные чертежи, снабдив их единственным словом: «смотри!».

*) Эти вопросы рассматриваются в отделе математики, который носит название «теория множеств».

ГЛАВА IV

ЭВОЛЮТЫ И ЭВОЛЬВЕНТЫ

«Куда на выдумки природа таровата!»

И. А. Крылов.

Развёртка (эвольвента) кривой

Мы рассказывали уже (на странице 38), как английский учёный Рен вычислил длину арки циклоиды. Чтобы «наводящие» соображения Рена превратить в строгое доказательство, пришлось бы затратить слишком много труда*). Прямой путь здесь слишком крут. Удобнее воспользоваться более длинным, но «пологим» путём: он быстрее приведёт к цели. Этот окольный путь связан с особой кривой — тоже своего рода спутницей, — которая имеется у каждой плавной кривой, в том числе и у циклоиды.

Эта «спутница» носит название развёртки данной кривой.

Рассмотрим выпуклую дугу AB кривой линии (черт. 72). Представим себе, что к дуге AB в точке А прикреплена гибкая нерастяжимая нить такой же длины, как сама

Черт. 72. Развёртка (эвольвента) кривой.

*) Методы, которыми доказываются такого рода теоремы, относятся к интегральному исчислению.

дуга AB, причём эта нить «навёрнута» на нашу кривую и плотно к ней прилегает, так что её конец совпадает с точкою В.

Будем «развёртывать» — распрямлять нить, держа её натянутой, так что свободная часть СМ нити будет всё время направлена по касательной к дуге AB. При этих условиях конец нити опишет некоторую кривую. Вот эта-то кривая и называется развёрткой или, по-латыни, эвольвентой исходной кривой.

Исходную кривую можно изготовить из жести или из толстой проволоки, прижать её плотно к бумаге, а к концу нити привязать карандаш; тогда этот карандаш автоматически вычертит эвольвенту. Нужно только заботиться, чтобы нить к которой привязан карандаш, всё время была туго натянута.

Если дуга кривой не всюду выпукла в одну сторону, если она, подобно кривой AB на черт. 73, имеет точку С, в которой касательная к кривой переходит с одной её стороны на другую (такая точка называется точкой перегиба), то и в этом случае можно говорить о развёртке кривой, но рассуждения придётся немного усложнить.

Представим себе, что нить закреплена как раз в точке перегиба С (черт. 73). Нить, сматываясь с дуги ВС, опишет кривую BMP — развёртку.

Теперь представим себе нить, намотанную на дугу АС исходной кривой, но эта нить уже удлинённая: в точке С к ней привязан кусочек нити СР. Сматывая удлинённую нить АСР с кривой CA, мы получим дугу РНК, образующую вместе с дугой BMP единую непрерывную кривую — непрерывную, но не везде плавную: точке перегиба С исходной кривой будет соответствовать остриё (точка возврата) кривой ВМРНК кривая ВМРНК и будет эвольвентой (развёрткой) кривой ВСА.

Черт. 73. Точка перегиба кривой и точка возврата эвольвенты.

Основные свойства развёртки

При вычерчивании эвольвенты некоторой кривой нить должна быть всё время туго натянута. Благодаря этому отрезок нити СМ всегда направлен по касательной к кривой в точке С (черт. 74). При движении нити конец карандаша как бы описывает небольшую дугу окружности радиуса СМ с центром в С. Правда, когда нить развернётся чуть-чуть больше и точка M перейдёт в точку К, конец карандаша будет двигаться уже по другой окружности, именно — по окружности с центром в Е. Эвольвенту можно представлять себе как окружность, радиус которой всё время меняется, а центр скользит по кривой AB. Но в каждый момент времени точку касания можно считать центром бесконечно малой дуги окружности, совпадающей с бесконечно малой дугой развёртки. Точку С так и называют — мгновенный центр, или центр кривизны эвольвенты. Таким образом, всякая кривая линия является геометрическим местом центров кривизны своей собственной развёртки (эвольвенты).

Так как бесконечно малая дуга эвольвенты МК «сливается» с бесконечно малой дугой окружности радиуса СМ с центром в С, то касательная к эвольвенте в точке M будет перпендикулярна к мгновенному радиусу СМ. Получается важный результат: направление эвольвенты (т. е. касательной к ней) перпендикулярно касательной к исходной кривой. Отсюда вытекает следствие: нормаль к развёртке служит касательной к исходной кривой.

Можно сказать и так: эвольвента пересекает все касательные к данной кривой под прямым углом. Это — очень важное свойство эвольвенты, и на нём стоит задержаться. На черт. 75 изображена (сплошной линией) кривая AB и несколько её касательных (в разных точках). На этом чертеже видно, что найдётся не одна, а бесчисленное множество кривых (они начерчены штриховыми линиями), пересекающих

Черт. 74. Основное свойство эвольвенты.

все эти касательные под прямым углом. Каждая из этих кривых служит эвольвентой (развёрткой) кривой AB. Действительно, если на кривую AB намотана нить, закреплённая в точке А, с карандашом в точке В, то при разматывании этой нити карандаш опишет кривую. Но карандаш можно было закрепить в любой промежуточной точке нити, например— в точках С, D, Е и других, и тогда он описал бы любую из штриховых кривых, пересекающих под прямым углом касательные к кривой AB. Все эти штриховые кривые равноправны, и каждую из них можно считать развёрткой линии AB. Этот результат можно сформулировать так: плавная кривая имеет не одну, а бесчисленное множество эвольвент.

Внимательный взгляд на черт. 75 наводит нас ещё на одну мысль. Мы видим, что все развёртки данной кривой между собой «параллельны» — параллельны в том смысле, что отрезки касательных к кривой AB между двумя развёртками все между собою равны, совершенно так же, как отрезки перпендикуляров между параллельными прямыми. Практически наиболее важным будет следующее свойство эвольвенты, непосредственно вытекающее из самого построения этой кривой. Длина дуги ВС (черт. 72 на стр. 69) равна прямолинейному отрезку СМ. Ведь кусок СМ нерастяжимой нити был плотно навёрнут на дугу СВ. Отсюда вытекает следующая теорема: длина дуги кривой линии равна отрезку касательной от точки касания до пересечения касательной с соответствующей эвольвентой. Точнее, длина дуги AB равна отрезку касательной (в точке А) между точкою касания и эвольвентой, проходящей через точку В.

До сих пор мы занимались следующей задачей: дана кривая, найти (т. е. построить) её эвольвенту. Но можно поставить и обратную задачу: дана кривая; найти другую кривую, для которой данная кривая служит развёрткой. Для решения этой новой, обратной задачи воспользуемся тем, что нормаль к развёртке является касательной к исходной кривой. Проведём несколько нормалей к данной кривой — эвольвенте

Черт. 75. Семейство эвольвент.

некоторой кривой, пока ещё неизвестной. Чем больше мы проведём нормалей, тем чертёж будет точнее. На черт. 76 построено семь таких нормалей.

Кстати укажем удобный приём для построения нормалей. Пусть нужно построить нормаль к кривой Aß (черт. 77) в точке М. Возьмём небольшое зеркальце с ровным прямолинейным краем (ещё лучше взять блестящую металлическую линейку). Поставим это зеркальце перпендикулярно к бумаге, гладким краем вниз, так, чтобы этот гладкий край проходил через точку M (правое положение зеркала на черт. 77). При этом правая часть кривой отразится в зеркале, причём в точке M получится излом (кривая и её отражение встретятся в точке M под некоторым углом, как это изображено на нашем чертеже — в точке Р). Будем осторожно поворачивать зеркало, пока кривая и её отражение не сольются в плавную линию (без угла), как это изображено на нашем чертеже справа — при точке М. Теперь можно смело провести карандашом прямую по линейке — зеркалу: эта прямая и будет искомой нормалью.

Научившись строить нормали, вернёмся к черт. 76, на котором изображено семь нормалей. Остаётся начертить кривую линию, которая касалась бы всех этих нормалей — иными словами, огибающую всех этих нормалей (вспомним, что уже на черт. 20 мы имели дело с огибающей нормалей). Ясно, что наша первоначально взятая кривая будет развёрткой

Черт. 76. Как по эвольвенте найти саму кривую?

Черт. 77. Построение нормали с помощью зеркала.

вновь построенной кривой. Поставленная задача, таким образом, решена: мы по заданной кривой AB построили такую новую кривую, для которой сама заданная кривая является эвольвентой.

Огибающая нормалей служит важным вспомогательным средством при изучении свойств кривой линии. Её называют эволютой данной кривой. Таким образом, каждая кривая является эволютой собственной развёртки, и, обратно, всякая кривая является одной из развёрток своей эволюты. Отношение между эволютой и эвольвентой с логической точки зрения то же, что между, например, квадратом числа и квадратным корнем: если число а есть квадрат числа Ь, то число b есть один из квадратных корней из числа а.

Мы видели, что всякая плавная кривая имеет бесконечное множество «параллельных» между собой эвольвент. Это было ясно из построения эвольвенты с помощью натянутой нити*). Не так ясно обстоит дело с эволютой. Для всякой ли кривой можно построить огибающую семейства нормалей? Учёные XVII века доказали, что для всех тех кривых, с которыми им приходилось иметь дело, существуют эволюты. Немного ниже мы докажем, что циклоида имеет вполне определённую эволюту. Но как обстоит дело в общем случае? Будет ли это справедливо для любой кривой?

Ответить на подобные вопросы элементарная математика бессильна. Но высшая математика доказывает, что каждая плавная кривая имеет единственную эволюту. Исключение составляют только такие линии, все нормали которых либо пересекаются в одной точке, либо такие, все нормали которых параллельны между собою. Кривой, все нормали которой пересекаются в одной точке, является окружность (нормалями к окружности служат радиусы, которые, как известно, перпендикулярны к касательным). Линией же, все нормали которой параллельны между собой, является прямая: она совпадает с собственной касательной в любой точке и нормалями к ней служат параллельные между собою перпен-

*) Только придирчивая и строгая современная математика требует доказательства столь очевидного предложения. Нужно отдать ей справедливость, она не только требует, но и даёт это доказательство. Эти вопросы рассматриваются в том отделе высшей математики, который называется «дифференциальная геометрия».

дикуляры, восставленные в различных точках этой прямой. Окончательно общему предложению можно дать следующую формулировку: любая плавная линия, кроме прямой и окружности, имеет одну единственную эволюту.

Развёртка окружности

Можно ли в математической книге, хотя бы и в популярной, говорить, например, о жуках? Оказывается, можно. Но начать придётся издалека.

Окружность, как мы теперь знаем, не имеет эволюты. Все её нормали пересекаются в одной точке — в центре. Иногда говорят, что эволюта окружности «вырождается» в точку. Но зато эвольвенту она имеет (в чём, впрочем, большой заслуги нет: ведь развёртку имеет всякая плавная кривая). Эта эвольвента оказывается близкой родственницей циклоидальным кривым.

Начнём с чертежа. Изготовим из фанеры кружок, укрепим его на бумаге, приклеим к нему нить и навернём плотно эту нить на край нашего кружка. На конце нити сделаем петельку, в которую просунем остриё карандаша (черт. 78). Если будем теперь «сматывать» нить, то карандаш автоматически начертит эвольвенту. Нить, разумеется, должна быть туго натянута, а карандаш плотно прижат к бумаге*).

Развёртку окружности можно получить и иначе. Рассмотрим неподвижный круг радиуса а и прямую AB, касающуюся

Черт. 78. Развёртка окружности.

*) Проще, но не так точно, можно начертить эвольвенту, заменив кружок катушкой ниток и сматывая нитку с этой катушки, держа её всё время натянутой.

этого круга в точке М0 (черт. 79). Если прямая AB будет катиться без скольжения по окружности, то точка М0 опишет, очевидно, развёртку окружности. Действительно, для любой точки M этой кривой катящаяся прямая КМ служит нормалью, и длина отрезка КМ равна длине дуги М0РК неподвижной окружности.

Эвольвента круга является, таким образом, «циклоидой, вывернутой наизнанку». В случае циклоиды круг катится без скольжения по неподвижной прямой. В случае развёртки круга прямая катится без скольжения по неподвижной окружности.

На черт. 80 изображены простейшие качели. На обрубок дерева положена доска AB так, что её середина касается обрубка. Что будет, если доску наклонить? Мы знаем, что она вернётся в исходное положение, затем по инерции отклонится в другую сторону и будет качаться около положения равновесия. При этом, разумеется, и доска и обрубок должны быть шероховатыми, иначе доска соскользнёт в направлении, указанном на чертеже стрелкой.

Черт. 79. Качение прямой по кругу.

Черт. 80. Простые качели.

Почему доска будет возвращаться в исходное положение? Это нетрудно сообразить. Известно, что всякое тело движется под действием тяжести так, что его центр тяжести опускается. Для ответа на наш вопрос достаточно знать, по какому пути движется центр тяжести (середина) доски при небольших её отклонениях от положения равновесия.

Но это нам теперь ясно! Середина доски будет описывать дугу развёртки окружности. Эта часть развёртки изображена на черт. 80 штриховой линией. Мы видим, что при небольших отклонениях доски её центр тяжести подымается, а потому доска будет возвращаться к положению равновесия. Равновесие будет, очевидно, устойчивым.

Родство развёртки круга с циклоидальными кривыми можно обнаружить и другим путём. Мы уже говорили, что в случае эпициклоид или гипоциклоид (черт. 66) неограниченное возрастание радиуса неподвижного круга при неизменном радиусе подвижного приводит к циклоиде. Если мы обратимся к перициклоиде (стр. 51) и, оставив неизменным радиус неподвижного круга, будем неограниченно увеличивать радиус подвижного, так сказать, «выпрямляя» его (черт. 81), то перициклоида превратится в развёртку круга.

Мы не будем здесь приводить вывода формул для длины дуги эвольвенты круга и площади её сектора. Приведём готовый результат (черт. 82). Для длины / дуги М0М развёртки

Черт. 81. Неограниченное увеличение подвижного круга.

Черт. 82. Длина дуги и площадь сектора эвольвенты круга.

и для площади 5 сектора МОМ0 будем иметь:

Эти формулы интересны тем, что величину входящего в них угла приходится возводить во вторую и в третью степень— обстоятельство, которое может смутить новичка. Подчёркиваем ещё раз, что при этом угол с? должен быть выражен непременно в радианах. Если угол НОМ0 выражен в градусах и равен, например, а° (а градусов равны с? радианам), то формулы примут следующий вид:

Обратим внимание читателей на то, что угол о радиан (или а градусов) — это угол НОМ0 нашего чертежа, а вовсе не угол МОМ0 сектора эвольвенты!

Жук-математик

Возьмём бумажный кружок (черт. 83), разрежем его от края к центру (например, по радиусу НО) и свернём сектор НОК в трубочку, как показано на рисунке. Трубочка получится очень аккуратная: ведь она представляет собою

Черт. 83. Склеивание бумажного конуса.

коническую поверхность, причём все образующие этой поверхности, как радиусы одного и того же круга, между собою равны. Если бы мы разрезали кружок так, как показано на черт. 84, то трубка получилась бы неаккуратная: образующие конической поверхности были бы не равны между собою.

Возьмём теперь листок, ограниченный не окружностью, а какой-то другой плавной кривой, например, такой, как изображено на черт. 85. Если взять любую точку внутри листка, например, точку О, сделать разрез по ОН и свернуть трубку, то трубочка получится плохая, потому что образующие конической поверхности будут разной длины. И как бы мы ни выбирали точку О, нам хорошей трубки получить не удастся, потому что ни у какой кривой, кроме окружности, нет точки, равноудалённой от всех остальных её точек.

Что ж? Будем хитрить! Возьмём какую-нибудь точку H на краю листа (черт. 85) и наметим небольшую дугу НК. Будем считать эту дугу дугой окружности и найдём центр этой окружности. С этой целью проведём в точках H и К нормали. Точка пересечения Т нормалей будет искомым центром. Далее, рассмотрим дугу КМ. Её тоже можно без большой погрешности считать дугой окружности, но центр этой

Черт. 84. Плохая трубка.

Черт. 85. Как разрезать лист?

окружности не совпадёт с Г; проведя нормали к контуру листа в точках К и М, мы найдём точку их пересечения Tv не совпадающую с точкою Т. Поступая таким образом и дальше, мы получим точку Т2 и вообще—целый ряд центров, около которых нужно заворачивать листок, чтобы получить аккуратную трубочку.

Остаётся сделать последний шаг: перейти от ломаной линии центров ТТХТ2 ... к непрерывной кривой, чтобы обеспечить вполне гладкую трубочку, свободную от зазубрин. Ясно, что для этого достаточно заменить ломаную 7TtT2..., звенья которой соединяют точки пересечения «соседних» пар нормалей, плавной кривой — огибающею этих нормалей, т. е. кривой TP, изображённой на черт. 86.

Но огибающей нормалей является, как мы знаем, эволюта данной кривой. Значит, для того чтобы свернуть из листа наиболее аккуратную трубочку, нужно предварительно разрезать лист сначала по куску HT нормали, а затем — по эволюте TP его контура.

И вам, читатель, и мне, и кому-нибудь ещё вряд ли понадобится свёртывать в трубки листочки бумаги (свёртывание папироски — «козьей ножки»—не в счёт: при этом ведь не нужно заботиться, чтобы все образующие были равной длины!). Поэтому практическая ценность разобранной нами сейчас задачи ничтожна. Но вот что интересно: существует

Черт. 86. Как избавиться от зазубрин?

жук, вернее, несколько пород жуков, которые изготовляют для своего будущего потомства домик из листа, свёртывая его в трубку. Эта трубка должна быть прочной и аккуратной! Её не должны растрепать ветры и ливни, она не должна своим живописным видом и величиной привлекать врагов. И наш жучок-листовёрт (жуки из родов Rhynchites, Byctiscus и др.) прекрасно решает сложную математическую задачу. Он прогрызает лист по эволюте контура и лишь после этого свёртывает его. На черт. 87 изображён берёзовый листовёрт (в натуральную величину) и разрезанный (вернее, прогрызенный) им лист. На черт. 88 изображён увеличенный в два раза виноградный листовёрт и его трубочка.

Разумеется, жучок-геометр решает эту далеко не простую задачу совершенно бессознательно. В течение многих лет естественный отбор сохранял преимущественно тех жучков, домики которых были особенно аккуратны. В результате возник инстинкт, передающийся по наследству из поколения в поколение. Этот инстинкт заставляет насекомое, не зная геометрии, решать сложную геометрическую задачу. Заметим, что другое,

Черт. 87. Берёзовый листовёрт (натуральная величина).

Черт. 88. Виноградный листовёрт и его трубка (увеличено в 2 раза).

более известное насекомое — пчела — тоже решает (бессознательно, разумеется) не менее сложную задачу: построить соты так, чтобы при заданном числе и ёмкости ячеек их поверхность была наименьшей. При этих условиях достигается наиболее экономное использование строительного материала (воска).

Развёртка циклоиды. Длина дуги циклоиды

Разобранные примеры помогли нам привыкнуть к новым понятиям эволюты и эвольвенты. Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы заняться исследованием развёрток циклоидальных кривых.

Изучая ту или иную кривую, мы нередко строили вспомогательную кривую — «спутницу» данной кривой. Так, мы строили конхоиды прямой и окружности, развёртку окружности, синусоиду— спутницу циклоиды. Теперь, исходя изданной циклоиды, мы построим неразрывно связанную с ней вспомогательную циклоиду же. Оказывается, совместное изучение такой пары циклоид в некоторых отношениях проще, чем изучение одной отдельно взятой циклоиды. Такую вспомогательную циклоиду мы будем называть сопровождающей циклоидой.

Черт. 89. Циклоида и её сопровождающая.

Рассмотрим половину арки циклоиды АМВ (черт. 89). Нас не должно смущать, что циклоида эта расположена непривычным образом («вверх ногами»). Проведём 4 прямые, параллельные направляющей прямой АК на расстояниях а, 2а, За и 4а. Построим производящий круг в положении, соответствующем точке M (на черт. 89 центр этого круга обозначен буквою О). Угол поворота МОИ обозначим через о. Тогда отрезок АН будет равен а? (угол о выражен в радианах).

Диаметр HT производящего круга продолжим за точку Т до пересечения (в точке Е) с прямой Р'Р. На ТЕ как на диаметре построим окружность (с центром О,). Построим касательную в точке M к циклоиде АМВ. Для этого точку M нужно, как мы знаем, соединить с точкою Г (стр. 25). Продолжим касательную МТ за точку Т до пересечения со вспомогательной окружностью, и точку пересечения назовём My. Вот этой-то точкою Мх мы и хотим теперь заняться.

Угол МОН мы обозначили через о. Поэтому угол МТН будет равняться ср/2 (вписанный угол, опирающийся на ту же дугу). Треугольник TOtMv очевидно, равнобедренный. Поэтому не только угол ОгТМг, но и угол ТМ101 будут каждый равняться ср/2. Таким образом, на долю угла Т01М1 в треугольнике 701Ж1 остаётся ровно iz — с? радианов (вспомним, что угол 180° равен я радианов). Заметим ещё, что отрезок НК равен, очевидно, a (it — с?).

Рассмотрим теперь окружность с центром 02, изображённую на черт. 89 штриховой линией. Из чертежа ясно, что это за окружность. Если катить её без скольжения по прямой CBt то её точка В опишет циклоиду ВВ'. Когда штриховой круг повернётся на угол те— <р, центр 02 придёт в точку Ov а

Черт. 90. Соответствие между точками циклоиды и её сопровождающей.

радиус 02В займёт положение OtMv Таким образом, построенная нами точка Мх оказывается точкою циклоиды ВВ''.

Описанное построение ставит в соответствие каждой точке M циклоиды АМВ точку Мх циклоиды ВМХВ'На черт. 90 это соответствие показано более наглядно. Полученная таким путём циклоида и называется сопровождающей. На черт. 89 и 90 циклоиды, изображённые жирными штриховыми линиями, являются сопровождающими по отношению к циклоидам, изображённым жирными сплошными линиями.

Из черт. 89 видно, что прямая ММ1 является нормалью в точке М± к сопровождающей циклоиде. Действительно, эта прямая проходит через точку М± циклоиды и через точку Т касания производящего круга и направляющей прямой («наинизшую» точку производящего круга, как мы говорили когда-то; теперь она оказалась «наивысшей», потому что чертёж повёрнут). Но эта же прямая, по построению, является касательной к «основной» циклоиде АМВ. Таким образом, исходная циклоида касается каждой нормали сопровождающей циклоиды. Она является огибающей для нормалей сопровождающей циклоиды, т. е. её эволютой. А «сопровождающая» циклоида оказывается просто-напросто эвольвентой (развёрткой) исходной циклоиды!

Занимаясь этим громоздким, но в сущности простым построением, мы доказали замечательную теорему, открытую голландским учёным Гюйгенсом. Вот эта теорема: эволютой циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая.

Черт. 91. Последовательные эволюты циклоиды.

Построив эволюту не к одной арке, а ко всей циклоиде (что можно, разумеется, сделать только мысленно), затем эволюту к этой эволюте и т. д., получим черт. 91, напоминающий черепицу.

Обратим внимание на то, что при доказательстве теоремы Гюйгенса мы не пользовались ни бесконечно малыми, ни неделимыми, ни приблизительными оценками. Даже механикой мы не пользовались, хотя употребляли иногда заимствованные из механики выражения. Доказательство это совершенно в духе тех рассуждений, которыми пользовались учёные XVII века, когда хотели строго обосновать результаты, полученные с помощью различных наводящих соображений.

Из теоремы Гюйгенса получается сразу важное следствие. Рассмотрим отрезок AB' на черт. 89. Длина этого отрезка равна, очевидно, 4а. Представим себе теперь, что на дугу АМВ циклоиды намотана нить, закреплённая в точке А и снабжённая карандашом в точке В. Если мы будем «сматывать» нить, то карандаш будет двигаться по развёртке циклоиды АМВ, т. е. по циклоиде BMtB'. Длина нити, равная длине полуарки циклоиды, будет, очевидно, равна отрезку AB'\ т. е., как мы видели, 4а. Следовательно, длина/ всей арки циклоиды будет равна 8а, и формулу

можно считать теперь достаточно строго доказанной.

Черт. 89 даёт больше. Он даёт формулу не только для длины всей арки циклоиды, но и для длины любой её дуги. Действительно, очевидно, что длина дуги MB равна длине отрезка MMV т. е. удвоенному отрезку касательной в соответствующей точке циклоиды, заключённому внутри производящего круга.

Точно такие же рассуждения и чертежи приведут нас к эволютам эпициклоид и гипоциклоид. Приведём готовые результаты. Эволютой эпициклоиды служит эпициклоида, подобная данной, с тем же центром неподвижного круга, но повернутая на угол — радианов (т. е. градусов), где п—отношение радиуса неподвижного круга к радиусу подвижного. Отношение подобия равно —цго- Иными

словами, если радиус неподвижного круга в три, например, раза больше радиуса подвижного, то линейные размеры эволюты составляют gqj-g ~ "5 соответствующих размеров самой эпициклоиды. На черт. 92 изображена эпициклоида с двумя заострениями (п = 2) и две её последовательные эволюты. Каждая из них повёрнута по отношению к предыдущей на = 90°, каждая из них меньше предыдущей в 2 раза (имеются в виду линейные размеры).

Эволютой гипоциклоиды служит гипоциклоида, подобная данной, с тем же центром неподвижного круга, повёрнутая, как и в случае эпициклоиды, на угол — радианов. Но в отличие от эволют эпициклоид, эволюта гипоциклоиды больше самой кривой, причём отношение подобия равно

Черт. 92. Последовательные эволюты эпициклоиды.

п__2' На черт. 93 изображены астроида (п = 4) и её эволюта. Эволюта повёрнута относительно самой астроиды на -^— = 45° и больше неё в два раза (по линейным размерам, разумеется).

Эволютами к эпициклоидам и гипоциклоидам занимался один из величайших математиков и физиков — Исаак Ньютон, Он и нашёл сформулированные выше результаты.

Понятия эволюты и эвольвенты — чрезвычайно важные понятия как для самой геометрии, так и для приложений. Гюйгенса подвела к его замечательной теореме как раз физическая задача. Об этой физической задаче мы сейчас расскажем.

Черт. 93. Эволюта гипоциклоиды.

ГЛАВА V

ЛУЧШИЙ МАЯТНИК

«... Чтобы

не часы показывали время,

а чтоб время

честно

двигало часы.»

В. Маяковский.

Христиан Гюйгенс и его изобретение

«Славный Гугений» — так называл создатель русской науки Михаил Васильевич Ломоносов замечательного голландского учёного Христиана Гюйгенса, придав русское окончание латинизированной форме его имени.

Гюйгенс (1629—1695) был разносторонним учёным. Он был одинаково силён и в математике, и в прикладной механике, и в оптике. Мы говорили уже, что в эпоху Возрождения и в XVII веке такая разносторонность не составляла исключения.

Гюйгенс с одинаковым совершенством умел использовать и «неделимые» Торичелли и Кавальери, и хитроумные соображения Декарта и Ферма, но все полученные с помощью недостаточно обоснованных приёмов результаты он доказывал с непогрешимой строгостью древних греков. Строгое и вместе с тем изящное доказательство было его коньком. «Не так важен результат, — говорил он, — как безупречность вывода и ясность доказательства».

Гюйгенсу принадлежит честь изобретения часов с маятником. Он разработал их теорию и смастерил первые такие

часы. До сих пор часы с маятником имеют самое широкое распространение в быту (стенные часы — вспомним хотя бы ходики). Но значение маятниковых часов гораздо больше: точнейшими часами, обеспечивающими службу времени в астрономических обсерваториях, являются именно часы с маятником. Сочинение Гюйгенса «О маятниковых часах» содержало целый ряд блестящих математических открытий.

Кроме открытий в механике, физике, астрономии, Гюйгенс получил ряд новых результатов в математике. Он обосновал важнейшие положения теории непрерывных дробей; одновременно с Ферма и Паскалем он заложил основу теории вероятностей; вычислил площади поверхностей эллипсоида и параболоида вращения. Ему принадлежит ряд замечательных теорем об окружности, позволивших вычислить число гс с неслыханной в то время точностью. Наконец, он разработал учение об эволютах и применил его к исследованию циклоиды. Эти его исследования теснейшим образом связаны с работой о маятниковых часах.

Часы с маятником. Почему плох обыкновенный (круговой) маятник?

«Однако ж прав упрямый Галилей!»,-—написал А. С. Пушкин, имея в виду утверждение Галилея, что Земля вращается вокруг Солнца. А мы расскажем о том, как этот великий борец за науку оказался однажды неправ.

Наблюдая в храме за качающейся люстрой, Галилей обнаружил, что время полного качания люстры, т. е. время, по истечении которого она вернётся в исходное положение (так называемый период колебания), было одинаково и при больших размахах и при малых. Это наблюдение привело Галилея к мысли, что качающееся тело (маятник) можно использовать для регулирования хода часов.

Самому Галилею осуществить часы с маятником не удалось, а вскоре выяснилось, что его наблюдения были неточны. Более точные наблюдения показали, что период колебания маятника тем больше, чем больше размах; но благодаря неизбежному трению оси и сопротивлению воздуха размах колебаний обыкновенного маятника всё время уменьшается, а значит, будет уменьшаться и период его колебаний. Часы

с обыкновенным маятником — иначе называемым круговым маятником (потому что каждая точка его описывает дугу окружности), не могут итти верно.

Гюйгенс придумал, какое приспособление нужно сделать круговому маятнику, чтобы у него был постоянный размах (постоянная амплитуда, как говорят физики). Но он решил и другую интересную задачу— ответил на вопрос, по какой кривой должна двигаться точка, чтобы период её колебаний не зависел от амплитуды (т. е. чтобы время качания не зависело от величины размаха). Он придумал конструкцию, которая осуществила движение центра тяжести маятника по этой кривой. Читатели догадались, конечно, что этой кривой оказалась циклоида: иначе зачем стали бы мы говорить об этом в нашей книжке?

Начнём с приспособления, обеспечивающего верный ход часам с круговым маятником. Зубчатое колесо А (черт. 94) приводится во вращение цепью с гирькою В на конце. На ось этого колеса насажена шестерня, наглухо с ним связанная (она не изображена на чертеже). Эта шестерня и приводит в движение стрелки часов, а потому нужно, чтобы колесо А двигалось равномерно.

Но гирька В, как и всякое тело, под действием тяжести будет двигаться ускоренно, сообщая ускоренное же вращение колесу А. Устранить это затруднение должен маятник ММ.

Якорь С, лежащий в плоскости колеса А, наглухо соединён с маятником ММ, сам маятник ММ лежит за плоскостью

Черт. 94. Устройство часов с маятником.

чертежа и потому он начерчен пунктиром. Якорь снабжён зубцами H и К.

В момент, изображённый на черт. 94, колесо А удерживается» левым зубцом H якоря С. Когда маятник качнётся влево, зубец H якоря отпустит захваченный зубец колеса, и колесо повернётся, но только на ползубца, потому что зубец К якоря попадёт в промежуток между зубцами колеса и задержит его. Когда после этого маятник снова качнётся вправо, зубец на этой стороне будет задержен якорем. Итак, при каждом полном качании маятника (туда и обратно) колесо повернётся ровно на один зубец, т. е. на определённую долю окружности. Движение колеса будет строго равномерным.

Зубцы якоря, как видно из черт. 94, срезаны наискось, так что зубец колеса, который был задержан якорем и снова отпущен, должен скользить по косой поверхности зубца якоря. Вследствие этого якорь сообщит маятнику небольшой толчок. Эти ритмические толчки восполнят потерю энергии, которую маятник расходует на преодоление трения и сопротивления воздуха. Поэтому размах маятника (амплитуда колебания) не будет уменьшаться. Таким образом, гиря сообщает энергию и колёсам часов, и самому маятнику,— маятник же регулирует ход часов.

А если часы остановятся? Пустить в ход их не трудно: достаточно поднять гирю и качнуть маятник. Но при этом размах качания может оказаться другим, и часы пойдут хотя равномерно, но неверно (уйдут вперёд или начнут отставать). Гюйгенс придумал приспособление, которое позволяет легко регулировать ход часов. Но Гюйгенса, как истинного учёного, заинтересовал вопрос: каков должен быть «совершенный» маятник, маятник, время качания которого не зависит от величины размаха? О том, как Гюйгенс решил этот вопрос и какую роль сыграла при этом циклоида, — мы сейчас расскажем.

Таутохронная кривая Гюйгенса

Не пугайтесь, читатели, страшного греческого слова. «Таутохрона» значит попросту «равновременная». Так назвал Гюйгенс кривую, которую он начал разыскивать, т. е. такую кривую, по которой должен двигаться центр тяжести маятника, для того чтобы период его качания не зависел от

величины размаха. Поиски увенчались успехом: таинственная таутохрона оказалась незадолго перед тем изученной циклоидой. При этом Гюйгенс проявил исключительное остроумие. Достаточно сказать, что учение об эволютах было создано в процессе решения именно этой задачи.

Гюйгенс рассуждал следующим образом*). Представим себе желобок в форме циклоиды, как это изображено на черт. 95. По этому желобку катится тяжёлый шарик М. Мы рассмотрим идеальный случай, — тот случай, когда трение и сопротивление воздуха отсутствуют.

Обозначим точки возврата циклоиды через М0 и М0, а радиус производящего круга через а. Начертим круг радиуса а, касающийся циклоиды в вершине (круг с центром О) и производящий круг в положении, соответствующем точке M циклоиды (дан штриховой линией). Допустим, что мы положили шарик в точку М1 желобка и отпустили его без толчка. Под действием тяжести он покатится вниз. Изучим его движение.

Какова будет скорость шарика, когда он опустится до точки M циклоиды? Это нетрудно подсчитать. Опустившись из точки М± в точку My шарик израсходует некоторое количество потенциальной энергии. Эта потеря энергии равна произведению веса шарика mg (m — масса шарика, g—уско-

Черт. 95. К теории циклоидального маятника.

*) Мы излагаем рассуждения Гюйгенса, несколько упрощая их и выражаясь современными терминами. При этом наше изложение более доступно, но очень теряет в выразительности, — это лишь «... с живой картины список бледный»,

ренне силы тяжести) на «потерю высоты», т. е. на разность высот шарика в положениях Мл и М, причём высоты отсчитываются от какого-то определённого уровня, например, от уровни земли. От какого уровня ни отсчитывать высоты, разность их в нашем случае будет равна отрезку НМ. Итак, потеря потенциальной энергии шарика будет равна mg* HM.

Но в силу закона сохранения энергии потерянная потенциальная энергия шарика превратится в кинетическую энергию его движения, равную, как известно, -у, если через v обозначить пока неизвестную скорость шарика. Приравнивая эту кинетическую энергию потерянной потенциальной, получим уравнение

из которого сразу находим значение искомой скорости

Направление этой скорости тоже определить нетрудно. Она будет направлена по касательной к циклоиде, т. е. по хорде ML (черт. 95), где L — «наинизшая» точка производящего круга.

Нас будет интересовать не столько сама скорость v, сколько её вертикальная проекция, т. е. «скорость опускания шарика», скорость изменения его высоты. Эту вертикальную проекцию легко вычислить: она равна vcosv, где а — угол между хордой ML и вертикалью. Хорда AT круга с центром О, очевидно, равна и параллельна хорде ML, а потому угол LMP равен углу КАТ, что и отмечено на черт. 95. Итак:

Неравномерное движение по циклоиде, с которым мы пока совершенно незнакомы, будем сравнивать с равномерным движением по окружности, которое подробно изучается в школе. С этой целью построим вспомогательную окружность. Гюйгенс предложил строить эту окружность так: через вершину А циклоиды проводится перпендикуляр AD (диаметр круга

с центром О), а через начальную точку Мг движения шарика проводится параллель МХВ к её основанию. Пусть точка пересечения этих параллели и перпендикуляра будет обозначена буквою В. Окружность, построенная на AB, как на диаметре, и будет искомой вспомогательной окружностью. Пока неясно, чем именно она лучше других окружностей. Это выяснится постепенно, при изложении хода мыслей Гюйгенса.

Начнём с того, что вертикальную слагающую скорости движения шарика свяжем с элементами вспомогательной окружности. Имеем:

(*)

потому что НМ = ВК. Из треугольника АКТ получим:

Но АТ= 2а cos а, а потому

откуда

Подставим найденное значение косинуса в выражение для MP, отмеченное звёздочкой (*). Получим:

Последний корень равен средней пропорциональной между отрезками ВК и АК, т. е. между отрезками гипотенузы AB треугольника ABC, на которые последняя разделяется высотою CK. Но эта средняя пропорциональная, по известной теореме о пропорциональных линиях в прямоугольном треугольнике, равна как раз высоте CK:

Поэтому для вертикальной составляющей MP скорости движения шарика по циклоиде получим окончательно:

Величины а и g даны нам с самого начала и не связаны ни с точкою Ж, ни с её начальным положением Мх. Таким образом, движение шарика по циклоиде вполне определяется хордою КС вспомогательной окружности, т. е. в конечном итоге положением точки С на этой окружности.

Рассмотрим равномерное движение точки С по вспомогательной окружности с угловой скоростью у~^~ радианов в секунду, т. е. у |- градусов в секунду. При этом скорость точки С по окружности будет равна произведению радиуса окружности на угловую скорость, выраженную в радианах (в секунду), т. е. равна

Чему равна вертикальная составляющая этой скорости? Иными словами, с какой скоростью опускается точка С, с какою скоростью меняется её расстояние от прямой Ж0Л40 при равномерном движении точки С по окружности? Это нетрудно подсчитать.

Скорость w движения точки окружности направлена по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно радиусу. Её проекция на вертикаль равна самой скорости w, умноженной на косинус угла ß (черт. 95). Но угол ß равен, очевидно, углу КСОх: оба получаются путём вычитания угла ОхСЕ из прямого угла. Косинус угла КСОх равен КС:^АВ. Для вертикальной проекции скорости равномерного движения по окружности находим:

Получается замечательный результат: когда точка движется равномерно по окружности, её проекция на вертикаль движется точно так же, как проекция на вертикаль шарика, катящегося по циклоиде. Проекции обеих скоростей в любой момент времени равны друг другу. Но отсюда следует, что точка окружности из В в А и шарик на циклоиде из М± в А придут в одно время. Это время легко определить. Мы говорили уже, что точка на вспомогательной окружности делает радианов в секунду, иными словами, на один радиан она повернётся за |/"~ секунд, а на тт радианов (на полуокружность)— за тс • Точно такое же время нужно и нашему шарику, чтобы скатиться по циклоиде из точки М± в точку А. Такое же время понадобится ему, чтобы по инерции подняться до точки Ми такое же — чтобы снова спуститься, и такое же — чтобы подняться и вернуться в исходное положение (в точку Мг). Значит, время полного колебания шарика (период колебания) будет равняться

Это — весьма замечательная формула. Мы видим, что период движения шарика по циклоидальному желобку вполне определяется размерами желобка (радиусом производящего круга циклоиды) и ускорением силы тяжести. Положение точки Mt на циклоиде, её расстояние от прямой М0Мо не имеет никакого значения. С какой бы точки циклоиды ни начинал движения шарик, период его колебания будет один и тот же.

Именно за это циклоиду называют «кривой равных времён» — таутохроной.

Забудем ненадолго маятник и посмотрим на черт. 96. На нём изображена ледяная гора, и не простая ледяная гора, а изогнутая по циклоиде. На разной высоте (в пунктах К, Н, Р) стоят готовые к старту салазки. Одновременно по команде эти салазки начинают скользить. Кто первый достигнет цели?

Не спешите с ответом и не венчайте лаврами «спортсмена» К. Лучше вспомните то, что сейчас было рассказано о движении по циклоиде. Тогда вам станет ясно, что все трое достигнут точки А одновременно: ужасное столкновение неизбежно!

Циклоидальный маятник

Гюйгенс задумался над тем, как использовать таутохронное свойство циклоиды для устройства «совершенного» маятника? Обыкновенный маятник сделать совсем просто: достаточно привязать тяжёлый шарик к нитке и закрепить другой её конец (черт. 97). Центр тяжести маятника будет двигаться по окружности. Нить можно заменить прочным тонким стержнем. Но как заставить шарик маятника двигаться таутохронно, не прибегая к желобкам и тому подобным приспособлениям с большим трением? Как заставить шарик на нити двигаться по циклоиде? Размышляя об этом, Гюйгенс пришёл к понятиям об эволюте и эвольвенте.

Изготовим (например, из дерева) шаблон, состоящий из двух одинаковых полуарок циклоиды, имеющих общую точку

Черт. 96. «Таутохронная» гора.

Черт. 97. Круговой маятник.

возврата О (черт. 98). Радиус производящего круга циклоиды обозначим, как всегда, через а. Шаблон укрепим вертикально, и в точке возврата О привяжем нить, по длине равную 4а— т. е. удвоенному диаметру производящего круга циклоиды. Свободный конец нити Т снабдим тяжёлым шариком.

После того, что мы говорили об эволютах и эвольвентах, ясно, что шарик будет описывать при своём движении развёртку циклоиды АСОЕВ, потому что нить будет наматываться на шаблон (сравни чертёж 98 с чертежом 89 на стр. 82). Но развёрткой циклоиды служит, как мы знаем, точно такая же циклоида. Значит, кривая ВМТРА, по которой движется шарик, будет циклоидой, порождённой кругом радиуса а.

Если мы поместим шарик в произвольную точку M и предоставим самому себе, он начнёт совершать колебания, причём период этих колебаний не будет зависеть от выбора точки М. Если даже, под влиянием трения и сопротивления воздуха, размах колебаний будет уменьшаться, время колебания маятника останется неизменным. Поистине этот маятник будет таутохронным! Подумайте сами, как приспособить такой маятник к регулированию хода часов.

Черт. 98. Циклоидальный маятник.

Рассмотрим теперь малые колебания маятника по дуге AB циклоиды (черт. 99). Если эти колебания очень малы, то влияние направляющего шаблона практически не будет ощущаться и маятник будет двигаться почти как обыкновенный маятник длиною / = 4а, подвешенный в точке О. Путь AB циклоидального маятника практически не будет отличаться от пути СЕ кругового маятника длины 4а. Значит, и период малых колебаний обыкновенного кругового маятника длиною 1 = 4а не будет практически отличаться от периода циклоидального маятника. Вводя в формулу

с которой мы познакомились выше, вместо а равную ему величину ~, получим выражение периода малых колебаний кругового маятника через его длину:

Это — формула физики, известная любому школьнику.

Черт. 99. Малые колебания кругового маятника.

ГЛАВА VI

УДИВИТЕЛЬНАЯ ЛЕДЯНАЯ ГОРА

«Посредине двора

Ледяная гора

Возвышается!»

И. Белоусов.

Задача о брахистохроне

На черт. 96 (стр. 97) изображена замечательная ледяная гора: спортсмены, стартующие на разной высоте, прибывают к её подножью в одно время. Но возможна ледяная гора в некотором отношении ещё более замечательная, по крайней мере для математиков и физиков. Изучение этой горы сыграло важную роль в истории науки, и потому она заслуживает упоминания.

Сознаюсь честно: никогда в юности мне не приходил в голову вопрос—какова должна быть форма горы, чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из М0 в А (черт. 96) в кратчайшее время? Ведь кратчайшим путём служит прямая линия М0А. По ней и нужно двигаться! Вероятно и читателям вопрос кажется очевидным и малоинтересным? Но это далеко не так. Здесь мы встречаемся с одной из самых любопытных задач в истории математики и на ней остановимся более подробно.

Рассмотрим треугольник ABC (черт. 100). Гипотенуза его AB — ледяная гора, длина которой 20 метров, высота ВС = — 12 метров. Вычислим время, в течение которого салазки скатятся с вершины В горы к её подножью А. При этом трение, как обычно, учитывать не будем.

В результате тщательных наблюдений Галилей установил следующий закон: время движения тела по наклонной плоскости под действием одной тяжести так относится к длине пути, как время падения с той же высоты к самой высоте. Эту формулировку можно заменить такой, вполне ей равносильной: время, в течение которого тело скатывается под действием силы тяжести по наклонной плоскости, равно времени свободного падения с той же высоты, делённому на синус угла между наклонной плоскостью и горизонтом. Читатели без труда докажут равносильность обеих формулировок; для этого достаточно взглянуть внимательнее на черт. 100.

Галилей установил этот закон опытным путём. Но его легко вывести из закона свободного падения, применяя правило разложения силы*).

Итак, начнём с того, что вычислим время свободного падения тела из точки В в точку С. Мы знаем, что пройденный при свободном падении путь ВС выражается через ускорение силы тяжести (g-=9,81 м/сек2) и время t так:

Отсюда для времени t получаем:

потому что

Черт. 100. Как быстрее скатиться?

*) Вывод имеется в школьном учебнике физики.

Теперь нетрудно найти время Г, в течение которого салазки скатятся по наклонной плоскости: для этого достаточно разделить найденное значение /(1,57) на синус угла ос или, что то же самое, помножить t на

Получим :

Итак, салазки скатятся с горы за 2,61 секунды.

Допустим далее, что салазки из В в А катятся не по горе В А, а более сложным путём. Сначала они катятся по более крутой горе BE, а затем отрезок пути ЕА — продолжают катиться по инерции со скоростью, приобретённой за время спуска (которую легко вычислить). Путь из В в Е займёт время, равное времени падения с высоты 12 м, делённому на синус угла ß ^умноженному на , т. е. 1,57 . —= 1,96 секунды. К этому времени нужно добавить время движения по инерции (на отрезке ЕА = 7 м). Скорость, приобретённая салазками, когда они достигли точки Еу вычисляется путём сравнения потерянной потенциальной энери и приобретенной кинетической:

Сократив это уравнение на т, получим:

откуда

Чтобы найти время движения салазок по инерции от Е до А, нужно путь (7 метров) разделить на скорость (|/rgr»J^24); ведь движение по инерции — равномерное:

Складывая время «скатывания» по горе BE (1,96 сек) и время движения по инерции (0,46 сек), получим общее время движения по ломаной BE А. Оно оказывается равным 1,96 + 0,46 = 2,42 сек, т. е. оказывается меньше, чем время спуска по наклонной ВА. Хотя прямая AB и является кратчайшим расстоянием между В и А, но не она является линией «наименьшего времени»: с этой точки зрения ломаная ВЕА является как бы «более короткой». Оно и понятно: потеря в пути более чем вознаграждается выигрышем в скорости, полученным за счёт большей крутизны спуска.

Эти соображения наводят на мысль, что самым выгодным в смысле экономии времени будет, казалось бы, путь по ломаной ВС А: сначала салазки падают вдоль отвесной горы ВС; далее небольшое закругление (оно показано на черт. 100 пунктиром) меняет по возможности плавно их направление; а потом они катятся по инерции вдоль прямой CA, сохранив большую скорость.

Не будем гадать, лучше займёмся вычислением! Время свободного падения салазок вдоль катета ВС мы уже вычислили: ведь это — наше t, равное 1,57 сек. Скорость в точке С вычисляется из сравнения потерянной потенциальной и приобретённой кинетической энергии: она равна j/ g* \/ 24, как мы тоже вычислили. Поделив путь (16 м) на скорость, получим время toA.:

Прибавив к этому время падения (1,57 сек), получим полное время движения по ломаной ВС А:

Оказывается, что этот путь невыгоден: он — такой же продолжительный, как путь по прямой ВА, и, значит, заметно дольше пути по ломаной ВЕА. Из трёх разобранных нами путей самым кратковременным (хотя и не самым коротким) оказался путь по ломаной ВЕА.

Но является ли точка Е (черт. 100) «наивыгоднейшей» точкой? Обеспечивает ли она наибольшую экономию времени?

Или найдётся некоторая точка M (черт. 101), такая, что путь по BMA, изображённый штриховой линией (----), займёт ещё меньше времени? А может быть, вершина ломаной должна лежать не на прямой CA, а где-нибудь внутри треугольника ЛВС, и наивыгоднейшим по времени путём будет ломаная BDA, изображённая штрих-пунктирной линией (--— • —)? Или, наконец, решение даст кривая линия, изображённая пунктиром (.........)? И как найти такую кривую?

Одним словом, возникает задача: через точки В и А, лежащие на различной высоте над уровнем земли, провести кривую линию, при движении по которой под действием тяжести тело пройдёт из В в А в кратчайшее время. Искомую кривую назвали «брахистохроной», т. е. «кривой кратчайшего времени». Если точки В и А лежат на одной вертикали, то брахистохроной является, очевидно, прямолинейный отрезок. Но что будет, если точки А и В не лежат на одной вертикали, если они расположены как в разобранной нами только что задаче о треугольнике? В этом случае вопрос не ясен, а потому мы займёмся брахистохроной подробнее.

До сих пор мы говорили об учёных — Галилее, Паскале, Робервале, Торичелли и других, — которые своими работами подготовили создание Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления. Знаменитые братья Бернулли: Якоб (1654—1705) и Иоганн (1667—1748) принадлежат к иному поколению учёных. Они первые оценили могущество и красоту новых методов Ньютона и Лейбница и принялись энергично за их разработку и за расширение области их применения. Они же были первыми глашатаями новых идей в математике, первыми пропагандистами замечательных методов дифференциального и интегрального исчисления. Само слово «интеграл» было введено в науку Якобом Бернулли.

Черт. 101. Какой путь выбрать?

В 1696 году Иоганн Бернулли поставил задачу о брахистохроне. Ниже мы расскажем, чем именно трудна эта задача и почему она была особенно интересна. Иоганн Бернулли опубликовал её без решения, приглашая лучших математиков заняться ею. Четверо учёных решили эту задачу: Лейбниц, Ньютон, де-Лопиталь и Якоб Бернулли. Решение Якоба Бернулли было наиболее интересным и сыграло выдающуюся роль в истории математики.

Для того чтобы разобраться в вопросе о брахистохроне, нам придётся сделать экскурсию в сторону: придётся вспомнить кое-что из оптики.

Экскурсия в оптику. Хитрый луч света

Напомним формулировку задачи о брахистохроне. Из всех кривых, соединяющих лежащие на различной высоте точки А и В, нужно выбрать такую, двигаясь по которой под влиянием только силы тяжести, точка*) придёт из более высокой в более низкую точку в кратчайшее время.

Эта задача трудна. Рассмотрим предварительно следующую, более лёгкую задачу: с корабля А (черт. 102) требуется послать в город В гонца. Лодка движется со скоростью v км/час, пеший гонец делает w км час. Расстояния а, Ь, m даны (черт. 102). На берегу КИ нужно найти такое место Ж, чтобы гонец, высадившись там, совершил весь путь АМВ в кратчайшее время.

Близость этой задачи к задаче о брахистохроне — очевидна. Но задача о брахистохроне гораздо сложнее: там нужно было найти не точку, а целую неизвестную кривую. В новой задаче (будем называть её задачей Ферма) отыскивается

Черт. 102. Задача Ферма.

*) Здесь речь идёт не о чисто геометрической, а о материальной точке — точке, обладающей весом.

только одна точка. Более того: в задаче Ферма мы имеем дело только с двумя значениями скорости (v и w)\ в задаче о брахистохроне скорость точки меняется под влиянием силы тяжести непрерывно и принимает бесчисленное множество различных значений.

Но и к решению задачи Ферма мы приступим не сразу. Прежде рассмотрим один вопрос, которым почти 2000 лет назад занимался александрийский учёный Герон (I век н. э.).

Представьте себе, что вы путешествуете с группой товарищей. Часть вашей группы остановилась лагерем в пункте А (черт. 103), другая часть — в пункте В. Предположим, что вы находитесь в В, а ведёрко для воды — в А. Вы приходите в А, берёте ведёрко, а затем хотите зайти на берег НК реки, набрать воды и вернуться в свой лагерь В. В каком пункте M берега вам нужно брать воду, чтобы путь из А в В занял кратчайшее время? Мы допустим, что с водой и без неё вы двигаетесь одинаково быстро, и тогда вопрос физики можно будет заменить чисто геометрическим вопросом: найти кратчайший путь из А в В (с заходом на прямую НК).

Решается этот вопрос очень просто. Строим точку Bv симметричную точке В относительной прямой НК (иными словами, проводим ВС _1_ НК и на продолжении ВС откладываем СВЛ—СВ) Возьмём теперь любую точку Т на прямой НК. Совершенно очевидно, что длины ломаных АТВ и ATBt равны, как бы ни была выбрана точка Т. Кратчайшая ломаная типа АТВ будет соответствовать кратчайшей ломаной типа АТВЛ. Для ломаных типа ATBt вопрос ясен: соединим А и Вл прямолинейным отрезком; «ломаная» АМВЛ (т. е. прямая) будет кратчайшим расстоянием между А и ß1# Но тогда кратчайшей ломаной типа АТВ (точки А и В — по одну сторону прямой НК) будет ломаная АМВ, а искомой точкой —

Черт. 103. Как принести воды с наименьшей потерей времени?

Черт. 104. Закон Снеллиуса

точка M (точка пересечения прямой НК и отрезка, соединяющего А с «зеркальным отражением» точки В).

Обратите внимание на то обстоятельство, что углы ВМС и СМВХ равны (почему?). Если через точку M провести прямую ЕР _[_НК, то будут равны углы ЕМВ и ЕМА.

Допустим теперь, что мы имеем дело не с берегом реки и экскурсантами, а с поверхностью зеркала, источником света А и глазом наблюдателя В (всё тот же черт. 103). Тогда наше решение задачи выразит известный из физики факт: угол падения светового луча равен углу отражения. Эту же мысль теперь можно сформулировать и так: при отражении световой луч «выбирает» путь наименьшей длины. Этот результат был впервые получен Героном Александрийским, а потому последнюю формулировку закона отражения принято называть теоремой Герона.

Через полторы тысячи лет после Герона были изобретены микроскоп и телескоп. Стремление усовершенствовать эти приборы привело к усиленным занятиям геометрической оптикой, причём, естественно, в центре внимания стал вопрос не об отражении, а о преломлении света (в линзах). Было ясно, что в этом случае не может быть и речи о кратчайшем пути луча АОВ (черт. 104). Но как должны быть связаны углы а и р, изображённые на чертеже 104,—об этом приходилось только догадываться. Голландскому учёному Снеллиусу (1581 —1626) удалось опытным путём открыть закон, известный в наше время любому школьнику: если луч попадает из среды А в среду В, то отношение синусов угла падения и угла преломления луча есть величина постоянная (равная отношению показателей преломления среды В и среды А). Уже учёные позднего Возрождения поняли, что различие коэффициентов преломления вызвано различием скоростей света в разных средах. Если на черт 104 скорость света в верхней среде обозначим через в нижней — через w, то закон Снеллиуса можно будет сформулировать так;

синусы углов падающего и отражённого лучей прямо пропорциональны соответствующим скоростям света, — и записать так:

Путь луча из А в В через точку О не является наименьшим по длине. Но, может быть, он будет кратчайшим по времени? Французский математик Пьер Ферма (1601—1665) первый обратил внимание на то, что в теореме Герона об отражении света можно говорить не о кратчайшем пути, а о наименьшем времени (ведь скорость-то падающего и отражённого лучей одинакова!). А что, подумал Ферма, если и при преломлении световой луч «выбирает» путь, соответствующий кратчайшему времени? Это позволило бы охватить отражение и преломление света единым общим законом, положить в основу формулировки новую, быть может, плодотворную идею!

И Ферма ставит задачу: пусть на черт. 104 скорость света над прямой MP равна v, под MP — равна w. Как должен двигаться световой луч, чтобы притти m А в В в кратчайшее время?

Взглянем теперь на черт. 102 и сравним задачу Ферма о луче света с задачей о гонце с корабля. Сразу видно, что для математика — это одна и та же задача. Поэтому-то задачу о корабле мы и назвали задачей Ферма, хотя этот учёный кораблями никогда не занимался. Мы можем теперь забыть и о кораблях, и о лучах света, и говорить об отвлечённой задаче механики: частица движется из А в Bt пересекая прямую MP (черт. 104). Её скорость над прямой MP равна v, под прямой MP равна w. В какой точке О путь частицы, состоящий из двух прямолинейных отрезков, должен пересечь прямую МР, для того чтобы время движения было наименьшим?

В чём здесь трудность? Возьмём задачу: даны основание равнобочной трапеции, её периметр и угол при основании; найти площадь. Это — обычная задача, не слишком простая, но и не очень трудная, и любой девятиклассник её решит. Но видоизменим задачу и рассмотрим такой случай: даны основание и периметр равнобочной трапеции; как следует

выбрать угол при основании, для того чтобы площадь трапеции стала возможно больней? И вот из тысячи школьников вряд ли найдётся хотя бы один, который сумеет решить эту новую задачу.

Практическая ценность задач такого рода (т. е. таких, где нужно найти условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее или наименьшее значение) — очевидна. В технике постоянно приходится решать вопрос о самых экономных размерах котла, о наивыгоднейшей форме крыла самолёта и т. п. Наука древних подобными вопросами почти не занималась. Но перед учёными Возрождения стала насущная задача: разработать простые способы решения такого рода задач — задач на максимум и минимум, как их называют.

Решить задачу о преломлении светового луча, не зная закона Снеллиуса, очень трудно. Но допустим, что найденный из опыта закон Снеллиуса подсказал нам решение. Тогда нетрудно доказать, что наша догадка справедлива.

Этим мы теперь и займёмся.

Пусть частица (или луч) движется прямолинейно из точки А (черт. 105) к прямой НК а затем от НК в точку В, причём от А до прямой НК движется со скоростью v, а от прямой НК до точки В—со скоростью w. В какой точке С путь частицы (или луча света) должен пересечь прямую НК, чтобы достичь точки В в кратчайшее время? Докажем, что наикратчайшим по времени будет такой путь, при котором отношение синусов углов PC А и ВСМ будет равно отношению скоростей v и w.

Пусть АСВ именно такой путь, т. е. пусть по условию (черт. 105)

Черт. 105. Вывод закона Снеллиуса.

Возьмём на НК произвольную точку F. Докажем, что путь AFB займёт больше времени, чем путь АСВ.

Сделаем подготовительное построение, которое облегчит нам дальнейшие рассуждения. Опустим перпендикуляры из точки F на падающий луч и на направление луча преломлённого (эта оптическая формулировка годится и для решения задачи о движущейся частице). Иными словами, проведём FD _J_ CA и FE _\_ВТ. Угол DFC равен углу PC А (углу а), как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. По той же причине угол С FE равен углу ВСМ (углу ß). Поэтому

Поделив эти соотношения одно на другое, поменяв их местами и вспомнив, что (по закону Снеллиуса) sin а : sin ß = v :wt получим:

или

Это и есть предварительный результат, который нам нужно бы 10 поучить. Переходим теперь к сравнению времён, затрачиваемых на движение по путям АСВ и AFB. Для пути АСВ имеем:

а для пути AFB:

(на каждом прямолинейном участке для определения времени равномерного движения делим путь на скорость). Нужно доказать, что

Преобразуем теперь выражение для t. Заменив АС равной ему суммой AD+DCy получим:

Заменив отношение

равным ему отношением

получим :

потому что СЕ + С В = BE.

Остаётся последний шаг. Сравним отрезки AD и AF, Первый — перпендикуляр, второй — наклонная к DF. Следовательно, AD < AF. Точно так же EB<^BF. Но если AD <Л/?,

Точно так же

Мы получаем окончательно:

Итак, мы доказали, что время прохождения пути АСВ меньше времени прохождения любого другого пути. Теорема о падающем и преломлённом лучах доказана. А мы, тем самым, подготовлены к решению задачи о брахистохроне.

Снова циклоида!

Напомним формулировку задачи о брахистохроне (кривой скорейшего спуска). По какому пути должна двигаться тяжёлая частица, чтобы под действием одной только силы тяжести притти из А в В (черт. 106) в кратчайшее время? Это — совсем особая задача. В задаче Ферма требовалось найти определённое положение одной единственной точки, для которой рассматриваемая величина (время) была наименьшей. В других задачах, подобных задаче Ферма, требуется найти какое-то одно значение некоторой величины, чтобы другая величина получила наибольшее или наименьшее значение. В задаче же Иоганна Бернулли (задачу о брахистохроне поставил, как мы помним, И. Бернулли) дело обстоит

иначе: нужно найти положение не одной, и даже не десятка, а бесконечного множества точек, образующих непрерывную кривую линию. Тут не только способ Ферма, но и возникшее во времена Бернулли дифференциальное исчисление не могло помочь. Вот почему решить задачу о брахистохроне смогли только самые выдающиеся современники Бернулли.

Решение Якоба Бернулли, наиболее совершенное из всех, всё же не было вполне строгим. Попытки улучшить это решение и сделать его применимым к другим задачам привели в следующем, восемнадцатом веке к созданию совершенно новой ветви математики — вариационного исчисления. Именно поэтому мы говорили на стр. 105, что задача о брахистохроне сыграла выдающуюся роль в истории науки.

Переходим к решению этой задачи, данному Якобом Бернулли. Он начал с того, что заменил трудную задачу большим количеством простых — элементарных — задач. Разность высот точек А и В (черт. 106) он разделил на очень большое количество равных частей и через точки деления мысленно провёл ряд параллельных плоскостей. Всё пространство оказалось «расслоённым» на пласты. Если толщину каждого слоя обозначим через с, число слоев — через п (на черт. 106 /1=10, с = 0,4 см), то произведение сп будет, очевидно, равно всей величине h — разности высот точек А и В.

Черт. 106. К задаче о брахистохроне.

Допустим теперь, что скорость частицы меняется не непрерывно, а скачками — при переходе от слоя к слою. При этом в первом (сверху) слое она равна vt = J/ 2gc, т. е. скорости, которую под действием силы тяжести частица приобрела бы в конце пути через первый слой. Во втором слое она равна v2 = V 2g- 2с, т. е. равна той скорости, которую в конце второго промежутка частица имела бы и при естественном движении. Теперь ясно, какова должна быть скорость в любом слое. Так, например, в четвёртом слое она будет vk=y 2g-4c и т. д. Частица будет двигаться под действием тяжести по ломаной линии, причем если п велико (а толщина слоя, следовательно, мала), — движение будет очень близко к естественному движению по многоугольному желобку. Чтобы определить форму ломаной линии, дающей путь частицы в случае приближённого, «скачкообразного» движения, нужно определить все углы при вершинах этой ломаной.

Можно также определить углы, которые каждое звено ломаной образует с вертикалью: эти углы удобно обозначить через <xt, ое2, а3 и т. д. Номер под альфой указывает, о каком слое идёт речь (черт. 106).

Рассмотрим внимательнее поведение частицы на границе каких-нибудь двух слоев, например, пятого и шестого. Рассуждения и результат будут одинаковы и для любой иной пары смежных слоев. Чтобы время следования по пятому и шестому слоям было наименьшим, необходимо, чтобы синусы надлежащих углов относились как скорости в пятом и шестом слое (ведь здесь выполняются условия задачи Ферма, а стало быть, будет справедлив закон Снеллиуса в применении к частице). Итак, должно осуществляться равенство:

а потому

Можно написать и так:

Повторив подобное рассуждение для всех пар смежных слоев, мы получим серию равенств:

Иными словами, отношение синуса угла между любым звеном ломаной и вертикалью к соответствующему расстоянию слоя от верхней плоскости (от плоскости АН на черт. 106) есть величина постоянная. Искомая «ломаная кратчайшего времени» теперь полностью определена. Её можно построить звено за звеном, начиная с первого.

Следуя Якобу Бернулли, мы допустим, что толщина с слоев неограниченно уменьшается, а число слоев неограниченно растёт. Тогда ломаный путь в пределе перейдёт в искомую кривую— в брахистохрону, — и задача будет решена.

Что при этом станет с направлением каждого звена ломаной? Оно перейдёт в направление касательной к искомой кривой. Таким образом, в любой точке брахистохроны отношение синуса угла между касательной и вертикалью к корню квадратному из «высоты» (из расстояния от точки кривой до горизонтали АН) будет постоянным.

Но ведь это свойство характеризует как раз циклоиду! Вспомним теоремы 4 и 5 на стр. 28. Единственной кривой, у которой направление касательной в любой точке и расстояние от этой точки до данной прямой связаны таким соотношением, является наша старая знакомая! Ей мало быть таутохроной: она же оказалась и брахистохроной.

Решение Якоба Бернулли, разумеется, несовершенно. Не ясно, оправдан ли в этом случае предельный переход от ломаной линии к кривой. Есть и другие логические шероховатости. Но отказать Якобу Бернулли в исключительной изобретательности и остроумии никак нельзя. А развитие основной идеи этого решения и привело в XVIII веке к созданию вариационного исчисления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведём итоги. Мы познакомились с кривой, замечательной во многих отношениях. Она — и след точки обода катящегося колеса, она же — таутохронная кривая (кривая колебаний постоянного периода), она же — брахистохрона (кривая быстрейшего спуска). Но этого мало. В наше время циклоидальные кривые применяются при многих технических расчётах, и знание этих кривых облегчает изучение деталей машин. Не вдаваясь в подробности, упомянем, что свойствами циклоидальных кривых пользуются при построении профилей зубьев шестерён и во многих других технических вопросах. Даже с чисто прикладной точки зрения кривые эти заслуживают самого серьёзного внимания.

Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались учёные XVII века при разработке приёмов исследования кривых линий, — тех приёмов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые последователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

От Издательства...................... 2

Предисловие к первому изданию............... 3

Глава I. Кривая, рождённая колесом

Разговор двух велосипедистов ............. 5

Что же такое циклоида?................ 10

Немного истории.................... 13

Глава II. Важнейшие свойства циклоиды

Касательная и нормаль к циклоиде........... 19

Геометрическое определение циклоиды.......... 26

Спутница циклоиды и её разоблачение......... 29

Площадь циклоиды. Теорема Галилея.......... 33

Дальнейшие свойства циклоиды............. 36

Глава III. Родственницы циклоиды

Укороченные и удлинённые циклоиды.......... 42

Эпициклоиды ..................... 46

Кардиоида. Конхоиды.................. 52

Гипоциклоиды..................... 58

Эпициклоида с бесконечным множеством арок...... 64

Глава IV. Эволюты и эвольвенты

Развёртка (эвольвента) кривой ............. 69

Основные свойства развёртки.............. 71

Развёртка окружности................. 75

Жук-математик..................... 78

Развёртка циклоиды. Длина дуги циклоиды....... 82

Глава V. Лучший маятник

Христиан Гюйгенс и его изобретение.......... 88

Часы с маятником. Почему плох обыкновенный (круговой) маятник?...................... 89

Таутохронная кривая Гюйгенса............. 91

Циклоидальный маятник................. 97

Глава VI. Удивительная ледяная гора

Задача о брахистохроне................. 100

Экскурсия в оптику. Хитрый луч света......... 105

Снова циклоида!.................... 111

Заключение......................... 115