ЯВЛЕНИЕ ЧРЕЗВЫЧАЙНОЕ

КНИГА О КОЛМОГОРОВЕ

ЯВЛЕНИЕ ЧРЕЗВЫЧАЙНОЕ

КНИГА О КОЛМОГОРОВЕ

ФАЗИС

МИРОС

Москва 1999

УДК 501

Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 98-01-14031

Издание поддержано фондом «КНИГА-НАУКА-КУЛЬТУРА»

Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. — М: ФАЗИС, МИРОС, 1999. — 256 с. ISBN 5-7036-0053-7

Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987) — великий русский ученый, один из крупнейших математиков XX века, неутомимый подвижник Просвещения. Книга представляет собой сборник статей и очерков учеников и сотрудников А. Н. Колмогорова, со многими из которых он воплощал в жизнь свои идеи и планы по реформированию математического образования. В их воспоминаниях личность Андрея Николаевича предстает в ее многогранности и неповторимости. Книга адресована учителям и старшеклассникам, преподавателям ВУЗов и студентам, научным работникам и всем, кто интересуется математикой, математическим образованием, историей отечественной науки и культуры.

Составитель Н. Х. Розов Под общей редакцией В. М. Тихомирова

Фото Л. Н. Шерстенникова

Основные работы по подготовке издания выполнены Московским институтом развития образовательных систем (МИРОС) 109004, Москва, Нижняя Радищевская ул., д. 10

Издательство ФАЗИС (ЛР № 064705 от 09.08.96) 123557 Москва, Пресненский вал, 42-44. E-mail: phasis@aha.ru

ППП Типография «Наука» Академиздатцентра РАН 121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6 1-й завод: 2000 экз. Заказ № 1227

ISBN 5-7036-0053-7

© ФАЗИС, 1999

СОДЕРЖАНИЕ

Слово к читателю (Н. Х. Розов, В. М. Тихомиров) ......... 7

Раздел I. Колмогоров — ученый и человек ......... 13

В. А. Успенский. Явление чрезвычайное: великий ученый России Андрей Николаевич Колмогоров (25.04.1903 — 20.10.1987) 15

Б. В. Гнеденко. Учитель в математике, учитель в жизни..... 40

В. М. Тихомиров. Гений, живший среди нас ............. 49

А. С. Монин. Колмогоровские рейсы.................. 77

А. Н. Колмогоров в воспоминаниях учеников (В. И. Арнольд, А. Н. Ширяев, А. М. Абрамов)......... 86

Раздел II. Колмогоров и математическое образование 97

А. М. Абрамов. О педагогическом наследии А. Н. Колмогорова 99

А. П. Ершов. Компьютеризация школы и математическое образование ............................. 148

Р. С. Черкасов. О научно-методическом вкладе А. Н. Колмогорова в школьное математическое образование ........... 152

А. Б. Сосинский. А. Н. Колмогоров и журнал «Квант»....... 158

А. А. Егоров. А. Н. Колмогоров и колмогоровский интернат . . . 162

Н. Б. Васильев. А. Н. Колмогоров и математические олимпиады .............................. 167

Раздел III. Три интервью ...................... 173

Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым (А. Б. Сосинский) 175

Ученик об учителе (В. А. Успенский) ................. 180

Последнее интервью (Н. Г. Рычкова, А. Н. Марутян)........ 183

Раздел IV. Материалы к биографии .............. 215

Архивная справка об участии академика А. Н. Колмогорова в экспедициях Института океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР............................... 224

Отчет научного руководителя гидрофизического раздела экспедиции (5-й рейс н.и.с. «Дмитрий Менделеев») ..... 228

Письмо В. В. Голубеву .......................... 232

Два отзыва ................................. 234

Письмо в редакцию журнала «Строительство Москвы» ...... 236

Приложения................................ 238

В. А. Успенский. Об исправлении некоторых опечаток и неточностей ............................ 238

Л. В. Богачев, Н. Х. Розов. Дополнения к колмогоровской библиографии ............................ 242

Указатель имен ............................... 246

В разделе IV «Материалы к биографии» факсимильно воспроизведены два автографа А. Н. Колмогорова — автобиография и заполненная им анкета (на обоих документах проставлена дата — 13 августа 1954 г.). Документы публикуются по оригиналам из личного дела А. Н. Колмогорова в МГУ им. М. В. Ломоносова.

Слово к читателю

Эта книга посвящена Андрею Николаевичу Колмогорову — великому ученому, учителю, человеку.

Каждый, кому посчастливилось быть его учеником, работать с ним или просто быть рядом, навсегда сохранил восхищение мощью интеллекта, непредсказуемой оригинальностью мышления, поразительной широтой кругозора, подкупающим обаянием личности Андрея Николаевича. С течением времени все яснее осознается его уникальное место в мировой науке, значение его вклада в математическое образование, величие свершенного им. И все труднее смириться с тем, что многие его мысли и идеи, наблюдения и замечания, рекомендации и советы остались нереализованными и даже незаписанными...

Андрей Николаевич Колмогоров известен прежде всего как ученый, математик. Чаще всего имя Колмогорова связывают с его основополагающим вкладом в теорию вероятностей. На самом же деле для него была характерна совершенно исключительная, поражавшая всех широта научного диапазона, ставящая его в этом отношении в один ряд с такими великими учеными, как Эйлер, Гаусс, Пуанкаре, Гильберт. Помимо математики, где Андрей Николаевич внес фундаментальный вклад в теорию функций, математическую логику, топологию, теорию приближений, теорию информации, математическую статистику и, разумеется, теорию вероятностей, в которой он при жизни стал классиком, Колмогоров получил выдающиеся результаты в механике, физике, геофизике, теории стрельбы, информатике и кибернетике; он с большим успехом занимался проблемами биологии, стиховедения, философии и методологии наук; в ранние годы он выполнил выдающуюся работу по истории.

Более шестидесяти лет А. Н. Колмогоров отдал механико-математическому факультету Московского университета. Он читал там лекции, вел семинары, был деканом факультета и директором Института математики при МГУ, возглавлял отделение математики на мехмате, организовывал кафедры и заведовал ими. В течение многих лет Андрей Николаевич был президентом Московского математического общества. Ему суждено было создать замечательную научную школу — среди его учеников много выдающихся, всемирно известных ученых.

Но наряду со всем этим Андрей Николаевич был неутомимым подвижником Просвещения. Почти треть жизни он целиком посвятил

проблемам воспитания молодого поколения, реформе школьного математического образования.

Педагогическое поприще привлекало его с юношеских лет. В 1922— 1925 годах, учась в Московском университете, А. Н. Колмогоров преподавал математику и физику в Потылихинской опытно-показательной школе Наркомпроса. В статье «Как я стал математиком» он писал: «Работу в Потылихинской школе я вспоминаю теперь с большим удовольствием... Я принимал самое активное участие в жизни школы — был секретарем школьного совета и воспитателем в интернате».

И шестьдесят лет спустя, в своем последнем интервью, Андрей Николаевич говорил: «Наиболее увлекавшей меня перспективой было положение директора такой идеальной школы, не специально даже математической... Эти школьные дела меня всегда чрезвычайно занимали. Так что после математики интерес к воспитанию юношества — вероятно, второе мое увлечение».

Это увлечение, прошедшее через всю жизнь Андрея Николаевича, ставшее призванием, воплотилось в основании им знаменитого колмогоровского интерната — физико-математической школы при Московском университете, в которой он много лет сам читал лекции и вел занятия; в создании физико-математического журнала для юношества «Квант», где он с момента основания журнала и до конца своей жизни руководил математическим разделом и для которого написал множество ярких статей; в многолетней работе по организации и проведению многих математических олимпиад — от московских до всесоюзных; в длительном сотрудничестве с журналом для учителей «Математика в школе» (А. Н. Колмогоров был членом редколлегии журнала и опубликовал в нем более 60 статей); в задумываний и непосредственном участии в написании новых школьных учебников; наконец, в масштабном руководстве и практическом осуществлении глобальной реформы школьного математического образования в нашей стране (имя Колмогорова стало олицетворением реформы).

Только сейчас, по прошествии лет, осознается грандиозный масштаб и значение всего задуманного и свершенного А. Н. Колмогоровым на ниве Просвещения. Отдавая дань признательности этой стороне его жизни и деятельности, ученики и сотрудники Андрея Николаевича решили издать книгу о Колмогорове, адресованную прежде всего школьникам и их наставникам-учителям, всем, в ком горит огонь познания, кому дороги судьбы отечественного просвещения. Эта книга — перед вами.

Нам представляется, что выход в свет такой книги именно сейчас, в эпоху кардинальных перемен в жизни нашей страны, является фактом знаменательным. Огромную роль в национальном духовном возрожде-

нии играет присутствие в отечественной истории наших великих сограждан — подвижников и гениев, прославивших Россию. Андрей Николаевич Колмогоров — из этой плеяды. Сохранить драгоценное колмогоровское наследие, донести до молодежи ощущение потрясающего масштаба личности Колмогорова — в этом мы видим нашу главную цель. В этом и задача предлагаемой читателю книги.

Несколько слов о том, как составлен этот сборник. Открывается книга разделом «Колмогоров — ученый и человек». В него вошли статьи и воспоминания о Колмогорове, написанные его учениками.

Статья профессора В. А. Успенского, давшая название всей книге, написана на основе переработанного им очерка из сборника работ А. Н. Колмогорова «Математика в ее историческом развитии» (М.: Физматлит, 1991).

Две статьи — академика АН Украины Б. В. Гнеденко и профессора В. М. Тихомирова написаны по текстам их устных выступлений на посвященных 90-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова юбилейных собраниях в московском Доме ученых (20 апреля 1993 г.) и в Московском математическом обществе (22 и 27 апреля того же года).

Очерк члена-корреспондента РАН, директора академического Института океанологии А. С. Монина посвящен двум океаническим путешествиям Андрея Николаевича на научно-исследовательском судне «Дмитрий Менделеев» (в 1969 и 1971 гг.).

Завершают первый раздел воспоминания учеников А. Н. Колмогорова (В. И. Арнольда, В. А. Успенского, А. Н. Ширяева, А. М. Абрамова), которые мы перепечатываем с небольшими редакционными изменениями из журнала «Квант» (1988, № 11/12), отметившего этой публикацией 85-летие Андрея Николаевича (и первую годовщину его кончины).

Второй раздел сборника «Колмогоров и математическое образование» посвящен педагогической деятельности А. Н. Колмогорова и открывается большой статьей члена-корреспондента РАО, директора Московского института развития образовательных систем (МИРОС), А. М. Абрамова, в которой содержится систематический обзор деятельности Андрея Николаевича в области педагогики, анализ его педагогического наследия. Впервые опубликованная в мемориальном колмогоровском номере журнала «Успехи математических наук» (1988, т. 43, вып. 6), эта статья была значительно переработана автором для настоящего издания.

В этот раздел вошли также небольшие очерки Р. С. Черкасова, А. В. Сосинского, А. А. Егорова и Н. Б. Васильева, тесно примыкающие по содержанию к школьной тематике. Авторы этих статей, долгие годы работавшие под руководством А. Н. Колмогорова по различным направлениям (новые учебники, журнал «Квант», интернат при

МГУ, олимпиады), делятся своими воспоминаниями. По предложению А. М. Абрамова мы поместили здесь также фрагменты доклада академика А. П. Ершова на VI Международном конгрессе по математическому образованию (Будапешт, 1988 г.), в котором был дан яркий анализ колмогоровской реформы.

В третьем разделе «Три интервью» собраны фактически все (по крайней мере, известные нам) интервью, которые Андрей Николаевич дал за свою долгую жизнь. Увы, их только три — тем более значимо каждое из них.

Первое из этих интервью, данное редактору журнала «Квант» А. Б. Сосинскому, было напечатано в «Кванте» (1983, №4) в связи с 80-летием Андрея Николаевича. Драматический рассказ о рождении этого интервью читатель найдет в уже упомянутом очерке А. Б. Сосинского.

Второе интервью было взято В. А. Успенским 8 июня 1983 г. в связи с готовившимся тогда 100-летним юбилеем со дня рождения Николая Николаевича Лузина (под руководством которого Андрей Николаевич начинал свои научные исследования в Московском университете). Под названием «Ученик об учителе» оно было впервые опубликовано в многотиражке Кемеровского университета «Путь в науку» (7.09.1983); этот номер газеты был приурочен к проходившей в те дни в Кемерове Всесоюзной школе по теории функций, посвященной Н. Н. Лузину. Это интервью впоследствии перепечатывалось и в других изданиях, в частности в журнале «Успехи математических наук» (1985, т. 40, вып. 3).

И наконец, «Последнее интервью» — так мы назвали беседы уже тяжело больного Андрея Николаевича с режиссером-документалистом А. Н. Марутяном, записанные на пленку в период подготовки фильма «Рассказы о Колмогорове», вышедшего в 1984 г. Это интервью особенно ценно тем, что Андрей Николаевич как бы подводит в нем итоги своего жизненного пути. Расставляя акценты, он вновь неоднократно подчеркивает важность для него проблем школьного математического образования. В упомянутый фильм вошли только маленькие кусочки из этого интервью; полный же текст, бережно и тщательно расшифрованный с магнитофонных пленок Н. Г. Рычковой, публикуется здесь впервые. Своеобразным послесловием к этому уникальному документу служат воспоминания А. Н. Марутяна о работе над фильмом и общении с Андреем Николаевичем.

В раздел «Материалы к биографии» включен ряд интересных документов, которые в основном представляют собой тексты, написанные самим А. Н. Колмогоровым: они характеризуют его подчас с неожиданной стороны. Здесь публикуется составленная по нашей просьбе в Институте океанологии им. П. П. Ширшова РАН архивная справка об

участии А. Н. Колмогорова в двух экспедициях на научно-исследовательском судне «Дмитрий Менделеев», а также научный отчет Андрея Николаевича по итогам рейса 1971 г. (Оба документа имеют довольно значительный объем и публикуются с некоторыми сокращениями; предполагается опубликовать их полностью в других изданиях. Пользуясь случаем, от лица всех, кто работал над этой книгой, выражаем глубокую признательность Татьяне Андреевне Воробьевой, которая предоставила нам эти документы.) Кажется поразительным абсолютное понимание Андреем Николаевичем всех сторон и деталей проводимого исследования, начинал от построенной им же теории турбулентности и кончал такими сугубо техническими аспектами, как глубина зондирования верхних слоев океана, функционирование измерительных приборов и т. п.

Публикуемое далее в этом разделе письмо председателю Ученого совета по механике механико-математического факультета МГУ В. В. Голубеву (по поводу защиты диссертации Г. И. Баренблатта) характеризует общественный темперамент Андрея Николаевича, его принципиальность в отстаивании научной истины и человеческого достоинства. А два его отзыва на студенческие дипломные работы — В. А. Успенского и Р. З. Хасьминского — показывают, как много глубоких суждений разбрасывалось Андреем Николаевичем как бы походя. Ведь подобные отзывы, сыграв свою в общем формальную роль, как правило, через некоторое время просто уничтожались; эти — случайно сохранились.

Думаем, читатель с интересом познакомится также с письмом Андрея Николаевича, направленным им в 1936 г. в редакцию журнала «Строительство Москвы» в связи с обсуждавшейся на страницах журнала задачей оборудования перекрестка (!). (О существовании этой малоизвестной публикации нам сообщил Алексей Вячеславович Рогачев; наш приятный долг — выразить ему признательность.)

Завершают книгу два приложения: исправления некоторых опечаток и неточностей в других изданиях и дополнения к опубликованной ранее библиографии работ А. Н. Колмогорова.

Этот сборник никогда не увидел бы света, если бы не самоотверженный и бескорыстный труд многих людей, хранящих признательную память об Андрее Николаевиче Колмогорове. Особую благодарность мы хотим здесь выразить Наталье Григорьевне Рычковой за ее огромный труд по подготовке книги к печати и Леониду Викторовичу Богачеву за разностороннюю помощь в редактировании рукописей и подготовку оригинал-макета книги. Большое спасибо всем, кто откликнулся на наши просьбы, связанные с изданием этой книги.

Н. Х. Розов, В. М. Тихомиров

Приближается 100-летие со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова.

К этому юбилею готовятся новые издания.

Если Вы, уважаемый Читатель, или Ваши знакомые хотели бы опубликовать свои воспоминания об Андрее Николаевиче или какие-либо материалы, связанные с его жизнью и творчеством, обращайтесь, пожалуйста, в Комиссию по научному наследию академика А. Н. Колмогорова

Почтовый адрес: 117966, Москва, ул. Губкина, д. 8 Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук чл.-корр. РАН А. Н. Ширяеву Контактные телефоны: (095)938-3760, (095)938-3737

или в

Некоммерческий фонд «КНИГА-НАУКА-КУЛЬТУРА»

Почтовый адрес: 123557, Москва, Пресненский вал, 42-44 Телефон/факс: (095)253-0820 E-mail: phasis@aha.ru

Я жил, всегда руководясь тем тезисом, что истина — благо, что наш долг — ее находить и отстаивать...

А. Н. Колмогоров

РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ

Колмогоров — ученый и человек

Явление чрезвычайное: великий ученый России Андрей Николаевич Колмогоров (25.04.1903 — 20.10.1987)

В. А. Успенский

При имени Пушкина тотчас осеняет мысль о русском национальном поэте. В самом деле, никто из поэтов наших не выше его (...) Пушкин есть явление чрезвычайное (...)

Н. В. Гоголь. «Несколько слов о Пушкине»

I

Если в вынесенном в эпиграф высказывании Гоголя о Пушкине заменить «поэт» на «ученый», а «Пушкин» на «Колмогоров», мы получим удивительно точную характеристику Колмогорова. В Колмогорове все чрезвычайно. Чрезвычайна многомерность охвата знаний. Чрезвычайны воплощавшиеся в действия представления о научной этике. Чрезвычайно стремление к самосовершенствованию, к созиданию себя как личности, гармонически развитой как духовно, так и телесно. Последние годы физической неподвижности и телесной немощи были поэтому для него особенно мучительны.

Телесная культура была такой же неотъемлемой частью внутреннего мира Колмогорова, как поэзия и музыка, как архитектура, живопись и другие виды пластических искусств. Мало сказать, что он имел обширные и глубокие знания в каждой из этих художественных сфер. В стихах и музыкальных произведениях, зданиях, картинах и скульптурах он видел необходимые условия нормального человеческого бытия, своего рода синхронизаторы или, может быть, лучше сказать, гармонизаторы эмоционального статуса человека. Колмогоров отчетливо ощущал наличие основы «культура» в примелькавшемся словообразовании «физкультура» и с несомненностью считал физическую культуру (именно физическую культуру, а не спорт) необходимым компонентом человеческой культуры вообще.

Состязательным спортом Колмогоров, по его собственным словам, не занимался никогда. Физическим же упражнениям он уделял, пожалуй, не меньше внимания, чем математическим занятиям, и приобщал к ним своих учеников. «За несколько дней до своего шестидесятилетия, 14 апреля, Андрей Николаевич вместе со своими учениками совершил пятичасовое лыжное путешествие по снегу, воде и земле, после чего выкупался в снегу» [3]. А за месяц до своего семидесятилетия, в марте 1973 года, Андрей Николаевич купался в горном озере Севан, разложив одежду на заснеженных камнях (чему свидетель автор этих строк). Ближе к восьмидесяти годам, теряя зрение, Колмогоров мучился не столько тем, что ему становится труднее читать, сколько тем, что перестает видеть лыжню.

II

В применении к познавательной деятельности Колмогорова выше было употреблено слово «многомерность». Действительно, здесь можно выделить как бы три измерения: широту, глубину и высоту.

Широта научных интересов и занятий Колмогорова имеет мало прецедентов в XX веке — если вообще имеет таковые. Их спектр простирается от метеорологии (к примеру, Колмогоров был почетным членом Американского метеорологического общества) до теории стиха (список опубликованных стиховедческих работ Колмогорова насчитывает 11 наименований1), и их высоко ценили такие видные филологи, как В. М. Жирмунский и Р. О. Якобсон, а академик Д. С. Лихачев согласился быть ответственным редактором посмертного сборника, который должен быть составлен из этих работ; сам же Колмогоров выступал официальным оппонентом по стиховедческой докторской диссертации М. Л. Гаспарова, ныне академика).

К какой бы области знания ни прикоснулся Колмогоров, она, эта область, получала новый импульс развития и уже больше не могла изучаться без учета колмогоровского вклада в нее.

В своих ранних, еще студенческих работах Колмогоров проявил себя как историк (см. об этом [40], [41]). Его увлекла история Новгорода. Работал в семинаре, который вел в Московском университете видный историк С. В. Бахрушин, он занялся анализом землевладения в Новгородской земле в XV веке. Свои исторические исследования Колмогоров начал в возрасте семнадцати с половиной лет и закончил, когда ему было неполных девятнадцать. Полагали, что результаты этих исследований безвозвратно утеряны; однако после кончины Колмогорова среди его многочисленных бумаг были найдены и его рукописи по истории.

1) См. [28, с. 698].

Выступая 15 декабря 1989 г. в московском Доме ученых на вечере памяти А. Н. Колмогорова, известный историк, ныне академик В. Л. Янин указал, что эти юношеские работы занимают в исторической науке место, до которого развитие этой науки еще не дошло. Сейчас эти колмогоровские рукописи опубликованы (см. [12]).

Известный лингвист, ныне покойный профессор филологического факультета Московского университета П. С. Кузнецов писал в своих воспоминаниях, что Колмогоров, «который еще будучи студентом занимался историей (...) и который вместе с тем (...) путешествовал по Пинеге и в ее верховьях, высказал предположение, что колонизация в верховья Пинеги шла с Северной Двины (от Верхней Тоймы) на восток через водораздел, а не по реке от впадения ее в Двину. Если так, то граница Восточной и Поморской группы северорусских говоров должна была проходить севернее, чем предположительно проведена на карте МДК (Московской диалектологической комиссии. — В. У.), и верховья Пинеги должны входить в Восточную группу. Оказалось, что так и есть» [29, с. 207].

Откроем известную хрестоматию ван Хейеноорта «От Фреге до Гёделя» [48]. Хрестоматия входит в серию, каждая из книг которой представляет собой «собрание статей, определивших структуру той или иной науки» [48, с. V]. Данная хрестоматия посвящена математической логике. Мы находим в ней английский перевод [44] статьи двадцатидвухлетнего Колмогорова [13] — статьи, охарактеризованной ван Хейеноортом как «первое систематическое изучение интуиционистской логики» [48, с. VII]. Действительно, в этой статье интуиционистская логика впервые сделана предметом математического исследования. К сказанному можно добавить, что эта статья была также первой отечественной статьей по логике, содержащей собственно математические результаты. (Здесь уместно упомянуть, что с 1 января 1980 г. и до конца своих дней А. Н. Колмогоров состоял заведующим кафедрой математической логики Московского университета; подробнее о роли Колмогорова в развитии математической логики см. [47].)

Возьмем теперь в руки известную монографию Абрахама и Марсдена «Основания механики» [42]. Галерея портретов крупнейших ученых в области классической механики, открывающаяся портретом Архимеда, включает и портрет Колмогорова. А его доклад «Общая теория динамических систем и классическая механика» на Международном математическом конгрессе 1954 г. в Амстердаме [17] охарактеризован как важная историческая веха в развитии науки и потому полностью воспроизведен в монографии в виде специального приложения [45]. И это при том, что классическая механика составляла лишь часть интересов Колмогорова в области механики — он внес также выдающийся вклад

в аэрогидродинамику. «Общее число опубликованных А. Н. Колмогоровым статей по механике турбулентных течений жидкостей и газов сравнительно невелико, и ни одна из них не занимает много места. Однако эти несколько небольших статей совершенно преобразили лицо современной теории турбулентности и оказали огромное влияние и на все дальнейшее развитие указанной теории, и на постановку экспериментальных исследований широких классов турбулентных течений» [39].

Необычайную широту (и одновременно практическую направленность!) интересов Колмогорова ярко иллюстрирует его письмо в журнал «Строительство Москвы», посвященное проблеме транспортных развязок [14]. Это письмо (с комментарием редакции журнала) полностью воспроизводится на с. 236-237 настоящего издания.

III

Все же основной сферой деятельности А. Н. Колмогорова была, конечно, математика. Колмогоров — один из великих математиков XX века. «Всем нам, общавшимся с кругом ученых всего мира, было хорошо известно, что Колмогорова большинство считало крупнейшим математиком своего времени», — отмечает президент Московского математического общества академик С. П. Новиков [31].

Теория множеств, где он заложил основы теории операций над множествами; теория функций, где студенческая работа [43] девятнадцатилетнего автора, устанавливающая существование почти всюду расходящегося ряда Фурье, сразу сделала его известным всему математическому миру; математическая логика, где Колмогоров предложил свободное от идеологических установок интуиционизма понимание интуиционистской семантики; топология, где он разделяет с Дж. У. Александером1) авторство теории когомологий; теория информации, в которой ему принадлежит не только существенная роль в превращении этой теории (сформулированной ее создателем К. Э. Шенноном2) в виде скорее технической дисциплины) в строгую математическую науку, но и построение оснований теории информации на принципиально ином, отличном от шенноновского фундаменте; теория динамических систем, где он является первым из трех основоположников теории КАМ3) (открывающие эту теорию работы Колмогорова составили его вклад в

1) Джеймс Уэдделл Александер (1888 —1971) — американский математик.

2) Клод Элвуд Шеннон (род. в 1916 г.) — американский инженер-электротехник и математик.

3) Теория КАМ — теория Колмогорова — Арнольда — Мозера. Владимир Игоревич Арнольд (род. в 1937 г.) — российский математик, ученик А. Н. Колмогорова. Юрген Мозер (род. в 1928 г.) — американский математик (ныне живущий в Швейцарии).

классическую механику, о котором говорилось выше); теория алгоритмов, где ему принадлежит определение общего понятия алгоритма и создание теории сложности конструктивных объектов; и, конечно, теория вероятностей, где он был признанным главой этой науки во всем мире, «живым воплощением математической теории вероятностей», как писала английская газета «Таймс» 26 октября 1987 г. в связи с его кончиной, — вот краткий перечень областей математики, в которых Колмогоров оставил глубокий след. Перечень этот не может претендовать на полноту: к примеру, мы даже не назвали математическую статистику (ср. [23]). Не являются ни в какой степени исчерпывающими и наши упоминания о достижениях Колмогорова в перечисленных областях1). Так, в математической логике он внес также выдающийся вклад в теорию доказательств; в теории функций — в решение тринадцатой проблемы Гильберта (об этом ниже) и в развитие теории приближений; в топологии — в учение об отображениях, повышающих размерность пространства; в теории динамических систем — в развитие так называемой эргодической теории, куда он, во-первых, достаточно неожиданно сумел внести и успешно применить идеи теории информации и где он, во-вторых, тоже достаточно неожиданно, по существу открыл новое направление, оказавшееся плодотворным для современной физики.

IV

Здесь мы подходим к следующему измерению творчества Колмогорова — его глубине.

Во всем мне хочется дойти До самой сути, —

сказал в 1956 году старший современник Колмогорова великий русский поэт Борис Пастернак (10.02.1890—30.05.1960). Можно усмотреть черты сходства между Пастернаком и Колмогоровым. Сходство это не исчерпывается тем, что каждый занимал первенствующее положение в своей области — один в поэзии, другой в науке — и имел право на титул «великий». Выли отдельные черты и внешнего сходства (включающие и похожие фонетические особенности, с характерным «мычанием»), и сходства внутреннего. Так, обоим были свойственны демократизм в общении и охотная готовность к физическому труду. Но прежде всего их делало похожими желание «дойти до сути».

Колмогоров всегда стремился проникнуть вглубь предмета, выделить основные понятия. Его главная монография, определившая пути

1) Детальные комментарии можно найти в избранных трудах А. Н. Колмогорова [22], [23], [24], а также в сочинениях, указанных в разделе X «Библиографии» из сборника [28] (см. с. 719-724).

развития теории вероятностей, называется характерно — «Основные понятия (разрядка моя. — В. У.) теории вероятностей». Отображающие эти понятия символы (fi,.?7, Р) составили эмблему I Всемирного конгресса по математической статистике и теории вероятностей, состоявшегося в Ташкенте в 1986 году.

Именно этот метод «дохождения до сути» позволил Колмогорову добиться фундаментальных достижений и занять лидирующее положение во всех сферах, которым он уделял внимание. В поисках сути Колмогорову нередко удавалось достичь очень просто формулируемых представлений, как, например, в случае с принадлежащим ему аксиоматическим построением теории вероятностей. По-видимому, им руководило естественное для большого ученого убеждение, что чем более общий характер носит идея, тем более простой она, в сути своей, является и тем проще она должна быть выражена.

И здесь уместно снова вспомнить Пастернака, написавшего в 1931 году:

Есть в опыте больших поэтов

Черты естественности той,

Что невозможно, их изведав,

Не кончить полной немотой.

В родстве со всем, что есть, уверясь

И знаясь с будущим в быту,

Нельзя не впасть к концу, как в ересь,

В неслыханную простоту.

Но мы пощажены не будем,

Когда ее не утаим.

Она всего нужнее людям,

Но сложное понятней им.

Одним из последних по времени достижений Колмогорова было создание общей теории сложности объектов, сформировавшейся ныне в отдельную главу современной математики (см., например, [5], [46] и [49]). То, что вещи бывают простые и сложные, было и есть ясно всем. Вопрос состоял в том, можно ли измерить сложность вещи числом. Колмогоров предложил называть сложностью объекта длину наикратчайшего его описания. Это колмогоровское определение (которое мы здесь привели, разумеется, в огрубленном виде) обладает отличительной чертой гениальности — оно кажется самоочевидным, но лишь после того, как высказано!

Любопытно отметить, что использование в рассуждениях представления о степени сложности описания встречается, в неявной форме, уже в упоминавшейся студенческой работе Колмогорова о новгородском землевладении. В писцовых книгах сохранились сведения о том, какой налог брался с каждого селения. Возникает вопрос, назначался ли этот налог сразу селению как целому или же он складывался из налоговых обложений, назначенных отдельным

дворам. Предшественники Колмогорова, профессиональные историки, склонялись ко второму варианту ответа. Опровергая их, Колмогоров решительно выбирает первый вариант: действительно, анализ писцовых книг, проведенный Колмогоровым, показывает, что при втором варианте само правило налогообложения должно было бы быть чрезвычайно сложным (см. [27, с. 79-82]).

Формализация интуитивного представления о сложности объекта и легла в основу предложенного Колмогоровым алгоритмического построения оснований теории информации. В отличие от шенноновской теории, опирающейся на понятие вероятности, колмогоровская теория информации не использует этого понятия. Напротив, она сама позволяет изложить на новом языке основные законы теории вероятностей и даже дать строгое математическое определение индивидуального случайного объекта (чего не в состоянии сделать традиционная теория вероятностей; замечательно и отчасти парадоксально, что определение случайности индивидуального объекта дается в терминах алгоритмов, то есть сущностей, максимально не случайных). Не откажем себе в удовольствии процитировать самого Колмогорова (см. с. 236 в [24]; на этой и соседних с нею страницах воспроизведена его знаменитая статья 1969 года «К логическим основам теории информации и теории вероятностей»):

«Предшествующее краткое изложение должно оправдать два общих тезиса:

1) основные понятия теории информации должны и могут быть обоснованы без помощи обращения к теории вероятностей и так, что понятия „энтропия“ и „количество информации“ оказываются применимы к индивидуальным объектам;

2) введенные таким образом понятия теории информации могут лечь в основу концепции случайного, соответствующей естественной мысли о том, что случайность есть отсутствие закономерности».

Глубину исследований Колмогорова иллюстрирует то обстоятельство, что значение предложенных им идей, понятий и методов с течением времени не убывает, а возрастает.

V

Многие понятия, введенные Колмогоровым, опережали свое время. (Сам Колмогоров, кстати, учил, что система понятий не менее важна, чем система результатов, и поэтому может составить предмет диссертации.) Так, в начале 1954 года им была предложена общая идея нумерации, а также понятие сводимости нумераций; сейчас основанная на этих представлениях теория нумераций составляет важную ветвь теории алгоритмов (см., например, [9]). В языкознании заняло прочное место понятие «падежа по Колмогорову». Высказанное в тех же

50-х годах (а придуманное, вероятно, раньше), это было первое научное определение падежа1), и последующие научные определения так или иначе от него отправляются (см., например, [10, § 2.2]).

Стоит отметить, что и определения нумерации и сводимости нумераций, и определение падежа — как и многие другие замечательные его идеи — были изложены Колмогоровым лишь в устной форме, и притом в узком кругу2). Сформулировав эти фундаментальные определения («дойдя до сути»!), он более к этим темам не возвращался. Это стремление идти дальше, к новым идеям и областям знания, оставляя другим обживать уже завоеванное пространство, вообще чрезвычайно характерно для Колмогорова.

Новаторскими были и многие предложенные Колмогоровым идеи и методы. Так, при исследовании знаменитой тринадцатой проблемы Гильберта о суперпозициях он не только установил в 1956 году возможность представления любой непрерывной функции (от сколь угодно большого числа переменных) в виде суперпозиции непрерывных же функций трех переменных, но и выдвинул идеи, позволившие его ученику В. И. Арнольду, тогда студенту-третьекурснику, понизить в этом результате количество переменных с трех до двух и тем самым окончательно решить указанную проблему (причем ответ оказался противоположен тому, который ожидался самим Гильбертом). Уже в следующем, 1957 году Колмогоров усилил результат Арнольда, показав, что любую непрерывную функцию от произвольного числа переменных можно представить в виде суперпозиции непрерывных функций одно-

1) Возможно, читателя заинтересует, в чем состоит проблема отыскания подобного определения. Вспомним, что традиционная школьная грамматика утверждает, что в русском языке имеется шесть падежей (более тонкий анализ приводит к большему числу падежей), а, скажем, стандартные учебники языка эстонского называют в этом языке четырнадцать падежей. Встает вопрос: чего именно, каких единиц — шесть в русском или четырнадцать в эстонском? В требовании дать математически строгий ответ на этот нелегкий вопрос и состоит, в первом приближении, проблема определения понятия «падеж».

2) Понятия, положившие начало теории нумераций, были сформулированы Колмогоровым 9 февраля 1954 г. на семинаре по рекурсивной арифметике, который Колмогоров вел на механико-математическом факультете Московского университета вместе с автором этих строк, в то время колмогоровским аспирантом второго года обучения.

Определение падежа было сообщено автору в 1956 г. в связи с предстоявшим в сентябре открытием на филологическом факультете Московского университета семинара «Некоторые применения математических методов исследования в языкознании» (автор был одним из руководителей этого семинара совместно с лингвистами Вяч. Вс. Ивановым и П. С. Кузнецовым). Некоторые детали, связанные с ролью Колмогорова в развитии языкознания в России, можно найти в [36, с. 122-123, 151— 152, 155] и в [37, с. 296-298, 353-355].

Формулировки Колмогорова были впервые опубликованы в [34] и [35].

го переменного и единственной функции двух переменных — функции сложения s(x, у) = х + у.

А в работах Колмогорова 1954 года по теории динамических систем (более точно — по теории возмущений условно-периодических движений) было положено начало методу КАМ (Колмогорова — Арнольда — Мозера), легшему в основу одноименной теории, — «методу, считающемуся одним из крупнейших достижений математики двадцатого века». [Эта оценка принадлежит редакционной коллегии журнала «Успехи математических наук» (1989, т. 44, вып. 1, с. 243).]

VI

Попытаемся, насколько это позволяют рамки данного очерка, сказать и о тринадцатой проблеме Гильберта, и о методе КАМ чуть подробнее.

«Проблема Гильберта» — принятый в математике термин, означающий одну из двадцати трех проблем, сформулированных в опубликованном тексте доклада, сделанного 8 августа 1900 г. великим немецким математиком Давидом Гильбертом на проходившем в Париже Втором международном конгрессе математиков (см. [8]). «Ни до доклада Гильберта, ни после этого доклада математики, насколько я знаю, не выступали с научными сообщениями, охватывавшими проблемы математики в целом. Таким образом, доклад Гильберта оказывается вполне уникальным явлением в истории математики и в математической литературе. И сейчас, почти через 70 лет после того, как Гильберт сделал свой доклад, он сохраняет свой интерес и значение». Так в 1968 году охарактеризовал доклад Гильберта почетный президент Московского математического общества академик П. С. Александров [4]. Эта характеристика сохраняет свою силу и сегодня. Решение каждой из двадцати трех проблем Гильберта до сих пор воспринимается как событие в математике.

Формулируя свою тринадцатую проблему, Гильберт указал некоторую конкретную непрерывную (даже алгебраическую) функцию трех переменных и предложил доказать, что она не представима в виде суперпозиции непрерывных же функций двух переменных. Как мы теперь знаем, это не так.

В опубликованном тексте своего доклада Гильберт цитирует не названного им по имени «старого французского математика», сказавшего: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному» [8, с. 14]. Руководствуясь этим принципом в качестве недосягаемого идеала и не пытаясь изложить колмогоровскую конструкцию, попробуем пояснить, в чем состоит суть тринадцатой проблемы.

Функции действительного переменного можно наглядно представлять себе в виде таблиц. Разумеется, в реальности встречаются только конечные таблицы, в которых аргументы принимают конечное число значений. Однако мысленно можно вообразить и бесконечные таблицы, в которых аргументы принимают все действительные значения из какого-либо отрезка. Воображаемая таблица для функции одного переменного выглядит так: в каждой точке отрезка помещено значение функции в этой точке. Таблица для функции двух переменных, определенной на квадрате, двумерна: в каждой точке квадрата записано значение функции в этой точке. Таблица для функции трех переменных, определенной на кубе, трехмерна, она сама имеет форму куба. Таблица для функции п переменных, определенной на n-мерном кубе, располагается в n-мерном пространстве и имеет вид n-мерного куба. В некоторых случаях п-мерную таблицу удается свести к двумерным, а тем самым — соответствующую функцию представить в виде суперпозиции функций двух переменных. «Свести)) значит в данном случае следующее: заменить вычисление функции при помощи n-мерной таблицы вычислениями, использующими только двумерные таблицы. Например, четырехмерную таблицу для функции четырех переменных

можно свести к двумерным таблицам для функции и = f(xyy) = ху, v = = g(z,t) = zt, w = h(u,v) = и + v. Действительно, чтобы для значений аргументов X = а, у = Ь, z = с, t — d найти значение w = ab + cd, можно, вместо того чтобы обращаться к четырехмерной таблице для функции <р, поступить так: сначала по двумерной таблице для функции / найти f(a, b), затем по двумерной таблице для функции g найти g(c,d) и, наконец, по двумерной таблице для h найти h(f(a,b),g(c,d)). Иными словами, <p{x,y,z,i) = h(f{x,y),g(z,t)), так что функция <р получается из функций f,g,h посредством подстановки этих функций друг в друга. Такая подстановка функций друг в друга и называется суперпозицией.

Проблема состоит в том, всякую ли n-мерную таблицу для непрерывной функции можно свести к двумерным таблицам для непрерывных же функций, или, другими словами, для всякой ли непрерывной функции <р от п переменных можно подобрать такие непрерывные функции f,g,h и т. д. от двух переменных, что <р получается из этих f,g,h и т. д. путем суперпозиции. Если не требовать от рассматриваемых функций непрерывности, то легко обнаруживается, что любую n-мерную таблицу можно свести к двумерным. Для непрерывных функций это не очевидно. Гильберт даже полагал, что указанная им алгебраическая, а тем самым заведомо непрерывная функция трех переменных (связанная с решением уравнений седьмой степени) не допускает представления в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных (см. [8], п. 13, «Невозможность решения общего уравнения седьмой степени с помощью функций, зависящих от двух аргументов»). Однако, как показал Арнольд, любая (а потому и та, которую указал Гильберт) непрерывная функция трех переменных, определенная на кубе, получается суперпозицией из подходящим образом подобранных функций двух переменных. А поскольку, как ранее доказал Колмогоров, любая непрерывная функция многих переменных может быть получена суперпозицией непрерывных функций трех переменных,

то оказывается, что любая непрерывная функция многих переменных может быть получена суперпозицией непрерывных функций двух переменных.

Что касается метода КАМ, то он состоит в использовании в новой обстановке восходящего к Ньютону метода построения обратной функции путем последовательных приближений. «Новая обстановка» заключается в присутствии так называемых малых знаменателей (эти малые знаменатели появляются здесь в разложении в различные ряды той функции, обратная к которой ищется). Метод КАМ играет важную роль в так называемой нелинейной механике.

Вот что писал об этом методе в 1965 году выдающийся математик И. М. Гельфанд: «Уже давно, во всяком случае около семидесяти лет назад, после работ А. Пуанкаре, стало понятно, что лишь небольшое число задач в механике поддается точному решению. Скажем, движение одной планеты вокруг Солнца можно описать точно (в той воображаемой ситуации, когда других планет не существует вовсе. — В. У.). Однако уже совместное движение трех тел не допускает точного, или, как говорят математики, аналитического решения. В некоторых случаях на помощь приходят приближенные методы и современные вычислительные машины. Однако с той же задачей трех тел не может справиться самая быстродействующая счетная машина. Дело в том, что точность численного счета сильно падает, если нам необходимо следить за движением систем в течение длительного времени. А ведь, скажем, Земля совершила за время своего существования около пяти миллиардов оборотов вокруг Солнца, поэтому приближенные методы бессильны описать ее движение. Таким образом, и точные (аналитические) решения, и численные способы в ряде случаев не могут нам помочь, необходимы какие-то общие методы качественного исследования. В трудах В. И. Арнольда и А. Н. Колмогорова разработан совершенно новый математический метод. Применение его позволило им решить ряд проблем, которые „не поддавались“, несмотря на усилия многих выдающихся математиков, механиков и астрономов. В качестве примера можно опять-таки указать на задачу трех тел. В. И. Арнольд, применяя разработанные его учителем А. Н. Колмогоровым методы, сумел доказать существование достаточно большого „массива“ устойчивых решений в этой задаче. Это исследование имеет, например, прямое отношение к вопросу об устойчивости Солнечной системы. Новые методы оказались настолько плодотворными, что их удалось применить не только для исследования классических проблем, но и целого ряда задач, значение которых осознано только сейчас, — таких, как задача движения заряженных частиц в „магнитных ловушках“» [7].

VII

Если в применении к научным исследованиям термины «широта» и «глубина» достаточно привычны, то слово «высота» требует пояснений. Вот что можно разуметь здесь под высотой: расстояние между теоретическими построениями (расположенными как бы вверху) и практическими приложениями (расположенными как бы внизу). Несколько веков назад Ньютон и сам отливал и шлифовал зеркало для изобретенного им отражательного телескопа, и сам же формулировал гравитационные уравнения, описывающие движение наблюдаемых в этот телескоп небесных тел. Теперь, как правило, теорией занимаются одни, а практическими приложениями — другие, между теорией и приложениями — так сказать, по вертикали — несколько промежуточных этажей, и на каждом этаже своя группа исследователей, общающаяся только с соседями непосредственно сверху и непосредственно снизу (как выразился Ф. Дюрренматт, «обер-бухгалтеры общаются только с вице-обер-бухгалтерами»). Колмогоров проходит эту лестницу сам, без помощи промежуточных лиц, а точнее — объединяя всех промежуточных лиц в себе. Теоретические работы по аксиоматическому построению теории вероятностей естественно перетекают в занятия теорией стрельбы и статистическим контролем качества продукции. Исследования по теоретической гидромеханике непосредственно связаны с участием в многомесячных морских экспедициях для изучения океанических течений1)

1) Эти экспедиции были организованы Институтом океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР и проводились на научно-исследовательском судне «Дмитрий Менделеев». А. Н. Колмогоров дважды участвовал в плаваниях этого судна, а именно в его втором рейсе в 1969 г. и в пятом рейсе в 1971 г.

Второй рейс проходил по маршруту: Калининград, 23 июня 1969 г., — Рейкьявик, 3 — 5 июля, — Конакри, 20 — 21 июля, — Рио-де-Жанейро, 4— 7 августа, — Дакар, 16 —18 августа, — Гибралтар, 1 — 3 сентября, — Калининград, 18 сентября 1969 г.

Пятый рейс проходил по маршруту: Калининград, 20 января 1971 г., — Кингстон (Ямайка), 15 —19 февраля, — Панамский канал, 21 — 22 февраля, — о-ва Галапагос, 25 — 27 февраля, — Гонолулу, 16 —19 марта, — атолл Фаннинг, 23 марта, — о. Раротонга (о-ва Кука), 31 марта, — Сува (Фиджи), 9 —11 апреля, — Порт-Вила (о-ва Новые Гебриды), 13 апреля, — о. Малекула (о-ва Новые Гебриды), 14 апреля, — Иокогама, 5 — 8 мая, — Владивосток, 12 мая 1971 г.

В обоих рейсах А. Н. Колмогоров был заместителем начальника экспедиции по научной работе (фактически — научным руководителем экспедиции), а в пятом рейсе — еще и руководителем гидрофизического раздела экспедиции.

Об участии А. Н. Колмогорова в этих плаваниях рассказывается в настоящем сборнике в очерке А. С. Монина «Колмогоровские рейсы». Кроме того, в разделе «Материалы к биографии» печатаются (с некоторыми сокращениями) научный отчет А. Н. Колмогорова по итогам рейса 1971 г. и архивная справка. Эти документы были любезно предоставлены в распоряжение составителя настоящего сборника Институтом океанологии РАН. Можно надеяться, что и эти, и другие материалы, связанные

Здесь Колмогорову принадлежит открытие слоистой структуры океана (так называемых «блинов»), а сам Колмогоров гордился наличием у него специального мореплавательского удостоверения — матросской книжки. Или вот такой штрих: в монографии П. С. Александрова «Комбинаторная топология» [2] имя Колмогорова встречается дважды: на с. 483 он указан в качестве автора одной из формулировок закона двойственности, а на с. 22 — в качестве исполнителя многих чертежей.

А. Н. Колмогоров являл собою редкое соединение математика и естествоиспытателя, теоретика и практика. И одновременно — философа науки и ее популяризатора. Колмогоров внес неоценимый вклад в методологию и историю математики, в теорию и практику ее преподавания; он — автор ряда блестящих статей на эти темы (см., в частности, сборники [25] и [26]).

Неослабевающий интерес к проблемам оснований математики, к поискам оптимальных способов ее логического построения и изложения сочетался у Колмогорова со свободным и радостным владением численными методами, с умением в нужных случаях довести решение «до числа». При обращении с числовыми массивами — таблицами, графиками и т. п. — он обладал «абсолютным зрением» и, в частности, мог углядеть в них ошибку с такой же неоспоримостью, с какой человек с абсолютным музыкальным слухом слышит фальшивую ноту.

Культуру вычислений, способность увидеть за числовыми данными общую, качественную картину, умение выразить эту картину в конкретных чертежах и таблицах — все эти навыки Колмогоров старался привить своим сотрудникам и студентам. И не только своим. В первой половине 50-х годов — в частности, в тот период, когда он был деканом механико-математического факультета МГУ (а это продолжалось с 1 ноября 1954 г. по 31 января 1958 г.), — Колмогоров потратил много творческой энергии и времени на то, чтобы упорядочить математический практикум для студентов факультета и придать ему, еще до появления в университете компьютеров, подлинно вычислительный характер.

VIII

Вклад Колмогорова в дело распространения математических знаний совершенно уникален. Относительно его роли в школьном математическом образовании отошлем читателя к обстоятельной статье А. М. Абрамова [1]1). Здесь мы ограничимся лишь двумя аспектами

с деятельностью Колмогорова и хранящиеся в архиве названного института, будут когда-нибудь опубликованы полностью.

1) В переработанном автором виде эта статья публикуется на с. 99-147 настоящего сборника. — Прим. ред.

просветительского служения Колмогорова — издательским и ораторским.

Изданию математической литературы для самых разнообразных слоев читателей — от обычных школьников до рафинированных специалистов — Колмогоров придавал исключительное значение и сам уделял этому много сил и времени. Нет возможности перечислить все те начинания, в которых он был инициатором или принимал решающее участие. Не будем говорить сейчас о специальных математических журналах. Вспомним, что он был основателем и — с 1946 по 1952 год — первым главой редакции математики и механики Издательства иностранной литературы (ныне издательство «Мир»), что вместе с физиком академиком И. К. Кикоиным он создал физико-математический журнал для юношества «Квант», в котором с момента его возникновения в 1970 году и до конца своих дней руководил математическим разделом. Свидетельствует многолетний главный редактор журнала «Математика в школе» Р. С. Черкасов: «В составе редакционной коллегии журнала „Математика в школе“ А. Н. Колмогоров находился официально с 1967 года. Как он пояснял позднее, он убедился, что именно журналы позволяли быстро и эффективно формировать необходимое для учителя новое общественное мнение и оказывать ему быструю и столь необходимую практическую помощь. Трудно переоценить значение Андрея Николаевича для всей творческой жизни журнала и как члена редколлегии, относившегося к этой своей деятельности с большой ответственностью, и как автора фундаментальной значимости статей, инициатора постановки на обсуждение волнующих многих читателей вопросов» [38, с. 596].

А. Н. Колмогоров сыграл также решающую роль в формировании математического раздела Большой Советской Энциклопедии. Он возглавлял этот раздел в первом (начиная с 1936 г.) и во втором (с самого начала) изданиях БСЭ, а также лично написал большое число статей, в том числе широко известную (и неоднократно потом перепечатывавшуюся) статью «Математика» для второго издания [16]. Надо полагать, он написал ряд статей и для Малой Советской Энциклопедии, но атрибуция этих статей представляет немалые трудности.

IX

Устные выступления Колмогорова были весьма многочисленны, и многие важные идеи были высказаны именно в них — и, к сожалению, только в них. Его лекции и доклады можно разделить на два вида: для профессионалов и для широкой публики. Слово «профессионалы» понимается здесь в весьма широком смысле, включающем как уже сложившихся математиков (например, членов Московского математического

общества1) и участников различных конференций и семинаров), так и еще только собирающихся стать таковыми (увлеченных математикой школьников — например, участников математических олимпиад).

В выступлениях для профессионалов Колмогоров мог рассчитывать на определенный уровень подготовленности своих слушателей. Этот уровень, однако, в подавляющем большинстве случаев сильно им завышался. Его выступления поэтому были всегда очень содержательны, но, как правило, мало понятны. Бытовало мнение, что выступления Колмогорова для школьников с интересом и пониманием слушают аспиранты, для аспирантов — доктора наук, доклады же для докторов наук вообще не понимает никто, кроме докладчика. В этом мнении много верного. Но этот недостаток устных выступлений Колмогорова, как это часто бывает, являлся продолжением его же достоинств — в данном случае неизменно уважительного отношения к собеседнику и слушателю. В этом состояла важная этическая черта Колмогорова. Он всегда видел в собеседнике и слушателе равного себе по интеллекту (что, понятно, редко соответствовало реальности). Кто-то заметил, что «Колмогоров считал, что мир населен Колмогоровыми». Это, конечно, было заблуждением, но заблуждением благородным: Колмогорову было в высокой степени присуще то «дворянское чувство равенства со всем живущим», о котором писал Пастернак.

Более понятными были — и пользовались небывалой популярностью — публичные лекции Колмогорова для широкой аудитории. Эти лекции читались в больших залах и собирали огромное число слушателей. Особенно велик был интерес к первым лекциям Колмогорова, посвященным кибернетической проблематике, свободное обсуждение которой было разрешено в СССР в 1955 году. Присутствовавшие на тех лекциях помнят толпу спрашивающих лишний билет на лекцию Колмогорова в Политехническом музее и другую толпу, не могущую вместиться в полуторатысячный Актовый зал высотного здания Московского университета, так что организаторам пришлось устроить наружную трансляцию.

Первым из этой серии «больших» колмогоровских выступлений был его знаменитый доклад «Автоматы и жизнь», сделанный 6 апреля2) 1961 г. на методологическом семинаре механико-математического факультета МГУ. Первоначально объявленный в аудитории 02, одной из двух самых больших учебных аудиторий высотного здания

1) Список выступлений Колмогорова на заседаниях ММО (начиная с 8 октября 1922 г. и кончая 18 января 1978 г.), приведенный на с. 705-709 в [28], насчитывает 97 наименований.

2) Именно шестого, а не пятого, как ошибочно указано в некоторых изданиях.

университета, он был перенесен (надо думать, из-за наплыва публики) в расположенный в том же здании Дворец культуры МГУ1). В распространенных к докладу тезисах2) Колмогоров задавал следующий вопрос: «Возможно ли создание искусственных живых существ, способных к размножению, прогрессивной эволюции, в высших формах обладающих эмоциями, волей и мышлением вплоть до самых тонких его разновидностей?» И сам же отвечал: «...важно отчетливо понимать, что в рамках материалистического мировоззрения не существует никаких состоятельных принципиальных аргументов против положительного ответа на наш вопрос».

Доклад вызвал огромный резонанс и стал событием в интеллектуальной жизни Москвы. Его популярное изложение было составлено сотрудницей Колмогорова Н. Г. Рычковой на основе ее собственных записей. Предваренное небольшим предисловием Колмогорова, это изложение было опубликовано в том же 1961 году журналом «Техника — молодежи» (см. [19])3). В начале следующего 1962 года обсуждение доклада было организовано Центральным домом литераторов; оно состоялось, с участием Колмогорова, 5 января. Засим последовала лекция «Жизнь и мышление как особые формы существования материи» в московском Политехническом музее 11 января 1962 г. (это здесь спрашивали лишний билет). И далее — лекция «Кибернетика в изучении жизни и мышления», состоявшаяся в Актовом зале высотного здания Московского университета 22 апреля 1964 г. (это тогда зал не мог вместить всех желающих). Содержание этих лекций отчасти отражено в [20] и [21].

Названной темой открылась серия из десяти лекций, прочитанных Колмогоровым в Актовом зале. Вот темы и даты остальных девяти лекций:

«Теория информации», 6 января 1965 г.; «Бесконечность в математике», 17 ноября 1965 г.; «Современная математика в школе и на практике», 12 октября 1966 г.; «50 лет Великого Октября и развитие математики», 4 октября 1967 г.; «Математические структуры и реальный мир», 2 октября 1968 г.; «Теория вероятностей (общий очерк ее истории и ее значение)», 29 октября 1969 г.;

1) А не в Актовый зал, как ошибочно указывается в некоторых изданиях.

2) Они были потом опубликованы, хотя и малым тиражом, см. [18].

3) Опубликованный в журнале текст, с несущественными редакционными изменениями, трижды перепечатывался: сперва в сборнике [6], затем в сборнике [11] и, наконец, — с учетом исправлений, внесенных самим Колмогоровым в предисловие в принадлежавшем ему экземпляре журнала, — в сборнике [25].

«Математика бесконечного и финитная математика с точки зрения их применений», 27 октября 1971 г.;

«Математика в изучении произведений искусства», 25 октября 1972 г.;

«Закономерность, случайность, вероятность и информация (логические основы теории вероятностей и теории информации)», 23 февраля 1977 г.

К этому списку примыкает яркая лекция «Что ожидает выбравшего математику?», прочитанная 1 марта 1975 г. в Конференц-зале гуманитарных факультетов МГУ (некоторые подробности о ней приведены в [37, с. 306-308]).

Многочисленные выступления Колмогорова с публичными лекциями иллюстрируют существенную черту его личности — его энергию, его активность. И не просто активность. Всем, чем занимался Колмогоров, он занимался увлеченно.

X

Колмогоров ни в малейшей степени не соответствовал традиционному образу кабинетного ученого. Его активность была многогранна. О физической, творческой, просветительской гранях мы уже говорили. Скажем еще о грани литературной. Колмогоров был чрезвычайно плодовит как автор — и это при том, что строк, не наполненных мыслью (как правило, весьма глубокой), у него не было. Список его публикаций, приведенный на с. 632-687 сборника «Колмогоров в воспоминаниях» [28], насчитывает несколько сот наименований. Его жена Анна Дмитриевна Колмогорова рассказывала Р. С. Черкасову, что в более молодые годы Андрей Николаевич «печатал такое множество различных текстов, что напечатанными листками были заполнены не только столы, диван и стулья, но полностью выстлан весь пол комнаты» (см. [38, с. 596]).

Обширная педагогическая деятельность Колмогорова в качестве профессора Московского университета общеизвестна и не требует специальных разъяснений. Здесь он не только читал курсы лекций и вел семинары, но и учреждал новые дисциплины учебного плана, которые сам же наполнял содержанием. Он же был и первым лектором новых курсов. Так, в сентябре 1946 г. он впервые стал читать «Анализ III», а в феврале 1972 г. — «Введение в математическую логику»; именно Колмогорову оба эти предмета обязаны своим становлением как обязательных дисциплин на механико-математическом факультете. Существенная переработка учебных планов факультета, произведенная в 1963/64 учебном году, была основана на проекте, составленном Колмогоровым.

Прибавим работу в качестве преподавателя физико-математической школы-интерната при МГУ, носящей с 1989 года его имя. (Например, в первом полугодии 1964 года его недельная нагрузка в ФМШ

была такова: одна лекция, один кружок и восемь уроков!) Вспомним его участие в летних математических школах для школьников, в проведении школьных математических олимпиад. Не упустим из виду и организаторскую деятельность Колмогорова. Упомянутая только что школа-интернат была основана им в 1963 году. О его роли в создании журнала «Квант» и редакции издательства «Мир» мы уже говорили. Колмогоров являлся также создателем (1956 г.) и первым главным редактором журнала «Теория вероятностей и ее применения». На механико-математическом факультете Московского университета он создал и первым возглавил кафедру теории вероятностей (декабрь 1935 г.), лабораторию статистических методов1) (апрель 1963 г.2)) и кафедру математической статистики (февраль 1976 г.). А Институт физики атмосферы РАН вырос из небольшой лаборатории турбулентности, созданной в 1946 году по инициативе Колмогорова (и возглавлявшейся им по 1949 год) в недрах существовавшего тогда Института теоретической геофизики АН СССР, руководимого О. Ю. Шмидтом.

Как уже отмечалось, понимать Колмогорова часто бывало трудно. Сам же Колмогоров понимал всех.

Колмогоров понимал всех аспирантов всех математических специальностей (являвшихся к тому же учениками самых различных научных руководителей), с которыми он считал своим долгом встречаться, когда руководил математической аспирантурой в Московском университете3). К этой своей обязанности (как, впрочем, и ко всем другим) Колмогоров относился очень серьезно и ощущал свою личную ответственность за ход научных занятий аспирантов, подведомственных ему,

1) Впоследствии А. Н. Колмогоров добился придания этой лаборатории статуса межфакультетской.

2) С этого времени А. Н. Колмогоров — научный руководитель лаборатории статистических методов. В январе 1966 г. он был назначен заведующим названной лабораторией (сменив на этой должности Ю. К. Беляева). Одновременно он уступил заведование кафедрой теории вероятностей Б. В. Гнеденко, оставаясь, вплоть до 1976 года, профессором кафедры.

3) А. Н. Колмогоров руководил этой аспирантурой, по должности, в течение трех периодов своей жизни. Первый период продолжался с 22 декабря 1933 г. по 15 апреля 1939 г., когда Колмогоров был директором НИИ математики и механики при МГУ, а затем НИИ математики МГУ. Второй период — с 23 июня 1951 г. по 15 апреля 1956 г., когда он был сначала директором НИИ механики и математики МГУ, а затем (с 20 ноября 1953 г.) заведующим отделением математики механико-математического факультета МГУ. Наконец, со 2 июня 1978 г. до последних дней своей жизни он снова являлся заведующим отделением математики. После образования в 1953 году на механико-математическом факультете двух отделений (математики и механики) аспиранты-математики стали числиться при отделении математики, а до того числились при университетском Научно-исследовательском институте (математики и механики; математики; механики и математики).

казалось бы, лишь административно. Будучи директором университетского Научно-исследовательского института, он встречался с каждым аспирантом ежемесячно для содержательных бесед по теме диссертации. Вряд ли кто-либо, кроме Колмогорова, мог решиться поставить перед собой такую задачу. Нечего и говорить, какое впечатление на аспирантов производили эти встречи и как полезны им были колмогоровские советы.

Колмогоров понимал всех диссертантов и всех оппонентов на заседаниях диссертационных советов. Когда в 1976 году на механико-математическом факультете были созданы диссертационные советы по двум группам математических специальностей, Колмогоров — единственный — стал членом обоих советов.

Колмогоров понимал всех докладчиков, которых ему доводилось слушать на всевозможных семинарах и конференциях, в которых он участвовал. Последняя большая конференция с участием Колмогорова — это двухдневные научные чтения в Московском университете в апреле 1983 г., посвященные его 80-летнему юбилею. Колмогоров прослушал все двенадцать сделанных по его приглашению его учениками пятидесятиминутных докладов на темы теории динамических систем, механики, теории функций и теории вероятностей. С уходом Колмогорова из жизни многие научные собрания как бы поблекли: они потеряли единственного участника, активно и мгновенно понимавшего все, что на них говорилось.

Слушал и читал Колмогоров всегда заинтересованно и проницательно. Он не только быстро схватывал суть и обнаруживал погрешности, но иногда видел в докладе или статье такие глубины, которые были неизвестны, а подчас и недоступны, самому автору. «Колмогоров обладал исключительной работоспособностью и навыками чтения рукописей и книг не „построчно“, а схватывая содержание текста страницы „в целом“, замечал при этом все допущенные автором ошибки и неточности. На вопрос о том, как он добился таких возможностей, Андрей Николаевич отвечал кратко: „Нужна большая тренировка“» [38, с. 596].

XI

Колмогоров имел высокие понятия об этике ученого и претворял их в жизнь. Ему были свойственны предельная научная честность и объективность, скромность, отзывчивость и щедрость.

Объективность Колмогорова была особенно заметна на фоне его необычайной эмоциональности, даже страстности, в своих собственных ученых занятиях. При этом Колмогоров готов был содействовать

исследованиям, не только ему не близким, но даже иногда прямо не симпатичным.

Его скромность проявлялась прежде всего в вопросах собственного приоритета. У него была всегда на минимуме оценка своего вклада и на максимуме — вклада конкурента. Впрочем, сам термин «конкурент» здесь мало уместен. Правильнее было бы сказать «коллега по профессии». Дело в том, что Колмогоров никогда не стремился кого-либо опередить. Напротив, он щедро делился своими мыслями.

Мы уже отмечали, что, сформулировав те или иные идеи, Колмогоров, как правило, не занимался их развитием, а переходил к новым областям. То же относится и к математическим результатам. Колмогоров не стремился к рекордам — или если и стремился, то на свой, колмогоровский лад, без чувства соперничества. Совершив решающий прорыв, создав новые методы, преодолев принципиальные трудности, он нередко оставлял продвижение за несколько метров до финишной ленты — ему как бы переставало быть интересно. Слова «как бы» означают нашу неуверенность в истинных мотивах Колмогорова; очевидно лишь, что они заключались не в том, что ему не под силу было пройти то сравнительно небольшое расстояние, которое отделяло его от «рекордной» формулировки. Колмогоров рассматривал математику прежде всего как инструмент познания, как источник радостей и мук творчества — хотя и не отказывался признавать в занятиях математикой спортивный элемент. Однако правильно будет сказать, что если он и видел в этих занятиях черты спорта, то такого благородного спорта, как альпинизм, где соперником выступает природа. Повторим то, о чем говорилось в начале нашего очерка: состязательным спортом Колмогоров не занимался никогда.

Самые разные люди обращались к Колмогорову с самыми разными просьбами, и он, как правило, старался помочь. Он также старался, хотя это было и затруднительно, отвечать на многочисленные письма. Р. С. Черкасов вспоминает о письмах, которые поступали на адрес журнала «Математика в школе»: «Обычно они были адресованы непосредственно Андрею Николаевичу, и долгое время он отвечал на них сам, минуя редакционное оформление. (...) Позднее, когда у А. Н. Колмогорова ослабло зрение (...) эти письма ему прочитывали, и он тут же диктовал ответ, который мы затем направляли адресату уже обычным для редакционной переписки путем» [38, с. 595]. А ведь по каким только адресам ни писали Колмогорову! И на адрес Московского университета, и на адрес Академии наук, и на адрес школы-интерната; немалая доля писем шла к нему непосредственно по его домашнему адресу.

Молодых своих сотрудников Колмогоров, случалось, за свой счет возил на научные конференции, проходившие в других городах. Ва-

лютные средства, полученные в связи с присуждением ему в 1963 году международной премии Бальцана1), он в значительной степени потратил на организацию в Московском университете специализированной библиотеки по теории вероятностей и математической статистике и на последующее систематическое снабжение этой библиотеки иностранной литературой. (Надобно принять во внимание, что Колмогоров так и не получил от властей права свободно распоряжаться этими средствами, так что каждое их использование — будь то приобретение литературы или покупка лекарств — требовало преодоления бюрократических барьеров, вплоть до получения разрешения у заместителя министра финансов СССР.) Библиотека, существующая и сегодня, когда пишутся эти строки, начала функционировать с начала 1966 года. Еще до ее открытия, в 1964 году, на деньги Колмогорова было закуплено много иностранных книг, а оплаченное им поступление иностранных журналов продолжалось с 1967 по 1993 год. До конца своих дней Андрей Николаевич живо интересовался делами библиотеки. Сейчас она представляет собою уникальное собрание специальной литературы по теории вероятностей и математической статистике, доступное для пользования всем заинтересованным читателям, начинал со студентов.

Со своими учениками Колмогоров не только делился идеями, не только подсказывал результаты, которые он провидел, — нередко он брал на себя значительную часть труда по редактированию и даже написанию текста статей. Фактически Колмогоров был соавтором многих статей своих учеников; однако он, как правило, воздерживался от включения себя в число формальных авторов. Высокое искусство Колмогорова как учителя состояло в умении создать у ученика впечатление, что именно он, ученик, и есть полноценный автор как результата, так и соответствующей публикации.

Традицию индивидуальной работы университетского профессора с учениками ввел в московскую (а возможно, и во всероссийскую) математику учитель Колмогорова Николай Николаевич Лузин. Колмогоров унаследовал и развил эту традицию. Как и для Лузина, для Колмогорова было естественно встречаться со своими студентами и аспирантами не только в университетских аудиториях и кабинетах, но и у себя дома (к Лузину ученики приходили имеющими постоянный состав небольшими группами в закрепленный за каждой группой день недели;

1) Бальцановские премии были учреждены с целью отметить достижения в тех областях, которые не покрываются Нобелевскими премиями. В 1963 году состоялось первое присуждение премии по математике, и она была присуждена Колмогорову. Дальнейшие подробности о премиях Бальцана и о вручении премии Колмогорову см. в [28, с. 139, 345-348, 412].

к Колмогорову — без фиксированного расписания). Как и Лузин, Колмогоров общался со своими учениками и на прогулках (в случае Лузина это были короткие прогулки по московским улицам, когда Лузин, окруженный учениками, возвращался из университетского здания на Моховой в свою арбатскую квартиру; прогулки Колмогорова со своими учениками были более продолжительны, иногда многодневны, и всегда на природе — зимою на лыжах, а летом нередко пешком в горах или на лодке по воде).

Ввиду обычно завышенного мнения Колмогорова о собеседнике общение ученика с Колмогоровым — студента с профессором, аспиранта с научным руководителем — иногда бывало затруднительным. Эта затруднительность усугублялась чувством неловкости аспиранта по поводу того, что его великий учитель решаемую им, аспирантом, частную задачу понимал не только глубже аспиранта, что естественно, но и много детальнее, а зачастую даже лучше помнил, на чем прервалась предыдущая беседа. При этом случалось, что со своим аспирантом по математической логике и со своим аспирантом по гидромеханике Колмогоров разговаривал практически одновременно. Сам Колмогоров шутливо говорил в 1983 году, что один из его учеников управляет атмосферой, а другой — океанами (он имел в виду директора Института физики атмосферы АН СССР академика А. М. Обухова и директора Института океанологии АН СССР члена-корреспондента А. С. Монина).

XII

Андрей Николаевич Колмогоров не только внес личный уникальный вклад в науку и в распространение знаний. Он также создал одну из крупнейших в нашей стране научных школ. Среди его учеников мы видим математиков первой величины, получивших всемирное признание. (Сам Колмогоров был избран членом практически всех авторитетных научных сообществ мира.)

Колмогоров дарил окружавшим его людям ни с чем не сравнимое, почти физическое ощущение непосредственного соприкосновения с гением.

Имя Колмогорова стоит в российской науке рядом с именами Ломоносова, Менделеева, Павлова. Он один из тех, кто подвигом своей жизни прославил Россию. С полным правом Колмогорова можно назвать российским национальным достоянием.

8 февраля 1995 г.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абрамов А. М. О педагогическом наследии А. Н. Колмогорова // Успехи математических наук. 1988. Т. 43, вып. 6. С. 39-74.

2. Александров П. С. Комбинаторная топология. М.; Л.: ОГИЗ, 1947. 660 с.

3. Александров П. С. Андрей Николаевич Колмогоров (к шестидесятилетию со дня рождения) // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1963. № 3. С. 3-6.

4. Александров П. С. Несколько слов о проблемах Гильберта // [33]. С. 7-10.

5. Витаньи П., Ли М. Колмогоровская сложность: двадцать лет спустя // Успехи математических наук. 1988. Т. 43, вып. 6. С. 129-166.

6. Возможное и невозможное в кибернетике / Под ред. акад. А. Берга, акад. Э. Кольмана; Сост. В. Д. Пекелис. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 222 с.

7. Гельфанд И. М. Учитель и ученик // Известия. 1965. № 95.

8. Гильберт Д. Математические проблемы // [33]. С. 11-64.

9. Ершов Ю. Л. Теория нумераций. М.: Наука. Физматлит, 1977. 416 с.

10. Зализняк А. А. Русское именное словоизменение. М.: Наука, 1967. 370 с.

11. Кибернетика ожидаемая и кибернетика неожиданная / Отв. ред. акад. А. Берг, акад. Э. Кольман; Сост. В. Д. Пекелис. М.: Наука, 1968. 311 с.

12. Колмогоров А. Н. Землевладение в новгородских пятинах XV века; О сборе налогов и порядке землепользования; Новгородское землевладение XV в. Первая часть; [Новгородское землевладение XV в. Вторая часть] // [27]. С.15-84.

13. Колмогоров А. Н. О принципе tertium non datur // Математический сборник. 1925. Т. 32. № 4. С. 646-667. (Перепечатано в [22], с. 45-69.)

14. Колмогоров А. Н. [Письмо в редакцию] // Строительство Москвы. 1936. № 19. С. 27.

15. Колмогоров А. Н. Об одном новом подтверждении законов Менделя // Доклады АН СССР. 1940. Т. 27. №1. С. 38-42. (Перепечатано в [23], с. 209-214.)

16. Колмогоров А. Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия. 2-е изд. М.: БСЭ, 1954. Т. 24. С. 464-483. (Перепечатано почти без изменений в [26], с. 24-85, и, в отредактированном А. П. Юшкевичем виде, в [30], с. 7-38.)

17. Колмогоров А. Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Proc Internat. Congress Math. 1954. V. 1. P. 315-333; также в кн.: Труды Международного математического конгресса, Амстердам, 1954 г.: Обзорные доклады. М.: Изд-во АН СССР, 1961. С. 187-208. (Перепечатано в [22], с. 316-332.)

18. Колмогоров А. Н. Автоматы и жизнь: Тезисы доклада // Машинный перевод и прикладная лингвистика. 1961. Вып. 6. С. 3-8.

19. Колмогоров А. Н. Автоматы и жизнь // Техника — молодежи. 1961. № 10. С. 16-19; № 11. С. 30-33. (Перепечатано в [6], с. 10-29, в [11], с. 12-31, и, с учетом исправлений А. Н. Колмогорова в его предисловии, в [25], с. 43-62.)

20. Колмогоров А. Н. Жизнь и мышление с точки зрения кибернетики: Тезисы доклада на объединенной теоретической конференции философских (методологических) семинаров по философским вопросам кибернетики. М., 1962. 11с. (Академия наук СССР. Научный совет по философским вопросам естествознания.)

21. Колмогоров А. Н. Жизнь и мышление как особые формы существования материи // [32]. С. 48-57.

22. Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985. 470 с.

23. Колмогоров А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986. 534 с.

24. Колмогоров А. Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. 304 с.

25. Колмогоров А. Н. Математика — наука и профессия / Сост. Г. А. Гальперин. М.: Наука. Физматлит, 1988. 288 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 64.)

26. Колмогоров А. Н. Математика в ее историческом развитии / Под ред. В. А. Успенского; Сост. Г. А. Гальперин. М.: Наука. Физматлит, 1991. 223 с.

27. Колмогоров А. Н. Новгородское землевладение XV века; Бассалыго Л. А. Комментарий к писцовым книгам Шелонской пятины / Предисл. В. Л. Янина. М.: Наука. Физматлит, 1994. 128 с.

28. Колмогоров в воспоминаниях / Ред.-сост. А. Н. Ширяев. М.: Наука. Физматлит, 1993. 734 с.

29. Кузнецов П. С. Из автобиографических записок // Успехи математических наук. 1988. Т. 43, вып. 6. С. 197-208.

30. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988. 848 с.

31. Новиков С. П. Воспоминания об А. Н. Колмогорове // Успехи математических наук. 1988. Т. 43, вып. 6. С. 35-36.

32. О сущности жизни. М.: Наука, 1964. 351 с.

33. Проблемы Гильберта / Под общ. ред. П. С. Александрова. М.: Наука. Физматлит, 1969. 239 с.

34. Успенский В. А. Системы перечислимых множеств и их нумерации // Доклады АН СССР. 1955. Т. 105. № 6. С. 1155-1158.

35. Успенский В. А. К определению падежа по Колмогорову // Бюллетень Объединения по проблемам машинного перевода. М., 1957. № 5. С. 11-18. (Первый московский гос. педагогич. ин-т иностр. языков.)

36. Успенский В. А. Серебряный век структурной, прикладной и математической лингвистики в СССР и В. Ю. Розенцвейг: Как это начиналось (заметки очевидца) // Wiener slawistisснer Almanaсн. 1992. Sonderband 33. S. 119-162.

37. Успенский В. А. Колмогоров, каким я его помню // [28]. С. 280-384.

38. Черкасов Р. С. Колмогоров и школьное математическое образование // [28]. C. 583-604.

39. Яглом А. М. Турбулентность // [22]. С. 421-433.

40. Янин В. Л. Колмогоров как историк // Успехи математических наук. 1988. Т. 43, вып. 6. С. 189-195.

41. Янин В. Л. Предисловие к кн. [27]. С. 3-14.

42. Abraham R., Marsden J. E. Foundations of Meснanics. 2nd ed. Reading, Mass.: The Benjamin/Cummings Publ. Co., 1978. XII + m.XVI + 806 p.

43. Kolmogoroff A. Une série de Fourier — Lebesgue divergente presque partout // Fundamenta mathematicae. 1923. T. 4. P. 324-328. (Рус. перевод: Ряд Фурье — Лебега, расходящийся почти всюду // [22]. С. 8-11.)

44. Kolmogorov А. N. On the principle of excluded middle // [48]. P. 416-437. (Перевод с рус. на англ. статьи [13].)

45. Kolmogorov А. N. The general theory of dynamical systems and classical meснanics // [42]. P. 741-757. (Перевод с рус. на англ. статьи [17].)

46. Li M., Vitânyi P. An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1993. XIII-h 546 p.

47. Uspensky V. A. Kolmogorov and mathematical logic // Journal of Symbolic Logic. 1992. V. 57. No. 2. P. 385-412.

48. van Heijenoort J. From Frege to Gödel. A Source Book in Mathematical Logic, 1879 — 1931. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967. XII-1-660 p.

49. Watanabe O. (ed.) Kolmogorov Complexity and Computational Complexity. Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1992. 105 p.

Учитель в математике, учитель в жизни

Б. В. Гнеденко*

Впервые я приехал в Московский университет в апреле 1934 г. — так сказать, на разведку перед поступлением в аспирантуру (я тогда работал в г. Иваново, в Текстильном институте). Надо сказать, что 20 — 30-е годы были золотым веком в истории механико-математического факультета МГУ. Здесь царила необыкновенная атмосфера высокого творчества. На факультете в это время работали такие выдающиеся математики, как П. С. Александров, Н. К. Бари, А. О. Гельфонд, В. И. Гливенко, В. Ф. Каган, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев, Н. Н. Лузин, Д. Е. Меньшов, Н. В. Смирнов, С. Л. Соболев, В. В. Степанов, А. Я. Хинчин и еще многие и многие. Я увидел такое разнообразие тем для научного творчества! И практически всюду Андрей Николаевич Колмогоров был лидером.

Я выбрал для себя два научных семинара: семинар А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина по теории вероятностей и семинар под руководством Н. К. Бари и Д. Е. Меньшова по теории функций действительного переменного. Я хотел, посещая эти семинары, выбрать, на чем мне остановиться в моей дальнейшей самостоятельной работе.

Семинар Колмогорова и Хинчина привел меня в трепет и восхищение. Два совершенно разных, «ортогональных» характера его руководителей — огненный Андрея Николаевича и сдержанный Александра Яковлевича — создавали необыкновенную атмосферу. Колмогоров, когда дело касалось науки, высказывался с предельной прямотой: для него не существовало никаких авторитетов — только истина. Хинчин же был всегда деликатен, никогда не повышал голоса и, если с чем-нибудь был

* Когда эта книга уже была подготовлена к печати, Бориса Владимировича Гнеденко не стало (он скончался 27 декабря 1995 г.). Ушел из жизни выдающийся математик, историк науки, педагог, последний представитель классической вероятностной школы Хинчина — Колмогорова. Тридцать лет (с января 1966 г.) он заведовал кафедрой теории вероятностей Московского университета, основанной в 1935 г. Андреем Николаевичем Колмогоровым. — Прим. ред.

не согласен, находил чрезвычайно простые и доходчивые слова, чтобы убедить в правильности своей точки зрения. Однако, несмотря на такое различие характеров, взаимодействовали они очень успешно. Тем более, что Хинчин не стремился быть лидером, а у Колмогорова это получалось естественно. При этом Александр Яковлевич с огромным уважением относился к Андрею Николаевичу как к человеку, излучавшему и продвигавшему новые идеи, а у Андрея Николаевича, в свою очередь, был пиетет по отношению к Александру Яковлевичу — еще и потому, что первые знания по теории вероятностей он получил как раз от Хинчина, будучи слушателем его семинара 1926 года, когда Александр Яковлевич читал курс «Избранные главы предельных теорем теории вероятностей». Этот курс послужил позднее основой небольшой монографии — первой монографии, изданной Институтом математики Московского университета1).

В семинаре Колмогорова и Хинчина тогда принимали участие и физики (в частности, довольно систематически участвовал М. А. Леонтович), и биологи (например, генетики А. А. Малиновский и А. С. Серебровский), даже приходили инженеры с каких-то телефонных станций. Андрей Николаевич для всех был авторитетом. Он буквально с лету схватывал задачу, тут же указывал возможные подходы к ее решению или, наоборот, выступал с критикой. При этом он мог иногда и, может быть, излишне категорично высказываться, не особенно прислушиваясь к тому, что имели в виду его собеседники — биологи, физики или даже математики. И, как правило, Андрей Николаевич оказывался прав. Только в редких случаях он не замечал путей, которые были видны другим. И на меня производило чрезвычайно большое впечатление, что ни у кого никаких обид не возникало, даже когда чье-то мнение резко оспаривалось. Думаю, именно тогда у меня сложилось убеждение, что для настоящего ученого выяснение научной истины является первоосновой всего. И главное — утвердилась мысль, что ради науки можно пренебречь чем-то личным, но никогда и ничем — в самой науке. И еще меня поразила необычайная широта, когда руководители семинара, помимо своих собственных научных интересов, с энергией отдавались «чужим» задачам, если видели их важность. М. А. Леонтович, к примеру, учился элементам теории случайных процессов у Колмогорова и Хинчина: для решения своих физических задач он взял на вооружение так называемые процессы без последействия, предложенные Колмогоровым, и стационарные случайные процессы, введенные Хинчиным.

1) Хинчин А. Я. Основные законы теории вероятностей. М.: Ассоц. научно-исслед. ин-тов при физмате 1-го МГУ, 1927. 90 с. (Исследовательский институт математики и механики при 1-м МГУ.) — Прим. ред.

На моих глазах рождались новые результаты, открывались новые горизонты. Это было увлекательно, и я сделал свой выбор: решил поступать в аспирантуру. А. Я. Хинчин дал тогда согласие быть моим научным руководителем, и осенью того же 1934 года я вновь приехал в Москву держать вступительные экзамены. Экзамен по математике принимали у меня А. Н. Колмогоров и В. В. Степанов. Оба они отнеслись ко мне в высшей степени доброжелательно. Билет я вообще не тянул: это была скорее беседа, и в процессе этой беседы я осознал, в чем я был прав, а где допускал ошибки в своем самостоятельном изучении серьезной математической литературы. Добавлю, что по завершении экзамена я получил высшую оценку.

В мои аспирантские годы механико-математический факультет Московского университета, вне всяких сомнений, переживал вершину своей славы. Это было время, когда вышли из печати знаменитая работа Колмогорова по теории случайных процессов и работа Хинчина по теории стационарных процессов, когда появились работы А. О. Гельфонда по теории трансцендентных чисел (в которых была решена 7-я проблема Гильберта), когда были напечатаны замечательные геометрические работы Л. А. Люстерника и Л. Г. Шнирельмана. В Москву из Ленинграда тогда переехал С. Л. Соболев. Это были годы, когда если не каждую неделю, то каждый месяц появлялся новый замечательный результат. Я попал в обстановку, в какую редко доводится попадать молодому человеку. Я думаю, что это было уникальное явление не только у нас в стране — столь быстрое продвижение и расцвет математической школы в целом ряде принципиально новых направлений науки. Думаю, что и в истории всей мировой математики это — редчайшее явление. Этот взлет Московской математической школы продолжался до самого начала Великой Отечественной войны; потом уже обнаружился некоторый спад...

У меня сохранились очень яркие воспоминания о встречах с Андреем Николаевичем Колмогоровым как с директором Института математики Московского университета. Этот институт тогда включал в себя аспирантуру мехмата. Меня поразило, что Андрей Николаевич сразу после поступления нашей группы в аспирантуру (а вместе со мной поступило тогда пять или шесть человек, и вскоре был еще один примерно такой же прием) решил с каждым из нас познакомиться и подробно побеседовать. Он вызывал нас парами в Старопименовский переулок, где он тогда жил, и на каждую пару тратил примерно час. Каждого он детально расспрашивал, почему тот именно таким образом составил себе программу, рекомендовал, что, с его точки зрения, следует добавить. Настаивал, например, на обязательном включении функционального анализа, других разделов современной математики («математик

должен быть широким!»). Функциональный анализ я сразу включил в свою программу, но Андрей Николаевич сказал мне: «Вы с Александром Яковлевичем совершенно упустили из виду геометрию! Следует дополнительно включить тензорный анализ». Он посоветовал мне также изучить только что вышедшую книгу Банаха по линейным пространствам и внимательно ознакомиться с журналом «Studia Mathematica». Вообще, надо сказать, мы тогда сдавали гораздо больше математических экзаменов, чем нынешние аспиранты. Я сдавал, помню, пять серьезных математических предметов.

Вспоминается, как однажды я в расстроенных чувствах поделился с Александром Яковлевичем, что понимаю не более половины в научных докладах Колмогорова. «Половины? — воскликнул Хинчин. — Так это же замечательно хорошо! Я, как правило, не понимаю и трети того, что он говорит!» Я понял тогда, что не я один испытываю трудности с восприятием на слух идей Колмогорова. Андрей Николаевич считал, что все, с кем он общается, похожи на него и могут мгновенно воспринять совершенно новую идею. Наверное, ему не верилось, что другим людям нужно какое-то время, иногда и немалое, чтобы достичь достаточного понимания.

Андрей Николаевич всегда поражал меня какой-то исключительной ясностью мышления. Для него любая задача (и не только математическая) мгновенно становилась «своей», и он практически сразу видел, что и в каком направлении следует сделать для существенного продвижения вперед. И, надо сказать, часто после этого задача в значительной степени теряла для него интерес. Сам процесс творчества был для него главным, а появится ли у него в результате новая печатная статья — это его волновало очень мало. Причем этот творческий процесс порой происходил буквально на глазах. Обратившись к какой-то новой задаче, Андрей Николаевич как бы отрешался от всего остального: не слышал обращенных к нему вопросов, ничего не замечал вокруг. Он был погружен в себя, думал, думал — и через какое-то, не слишком продолжительное, время как бы выносил вердикт: идти нужно в таком-то направлении, делать то-то и то-то и результат следует ожидать такой-то.

Андрей Николаевич не любил пустословия. Для него человек, который пустословит, просто переставал существовать. Но он любил и умел внимательно слушать, не обижался, когда его переспрашивали. Это наша большая ошибка, что мы не всегда решались переспросить, — наверняка многие его идеи были из-за этого потеряны. Вот уже сколько лет прошло, а я все простить себе не могу, что, будучи близким Андрею Николаевичу человеком, его учеником, не организовал записи всех его лекций, всего, что он мне или при мне говорил. Мы вообще

безответственно относимся к математическому наследию. И больше всех я виню себя. Я, правда, не раз просил Андрея Николаевича разрешить запись хотя бы его публичных лекций на магнитофон. Но здесь он всегда категорически возражал.

Андрей Николаевич любил беседовать со своими учениками во время прогулок, иногда и очень продолжительных. После каждой такой прогулки оставался огромный материал для размышлений — и о математике, и не о математике. Узнав, что я интересуюсь искусством, Андрей Николаевич очень много внес в мое развитие и в этом отношении. Он, например, научил меня пониманию иконописи: он был тонким знатоком древней русской иконы, хотя сам икон и не собирал. Он обладал обширными познаниями в архитектуре, был ценителем классической скульптуры. У него дома всегда рядом с ним была его любимая скульптура «Мальчик, вынимающий занозу» (копия древнегреческой бронзовой скульптуры, относящейся, по-видимому, к первой половине V века до н. э.). Он прекрасно знал и любил русскую поэзию, а в юности серьезно увлекался историей и даже внес некоторый вклад в историю новгородского землевладения XV — XVI веков, работая в семинаре историка С. В. Бахрушина1).

Каждая прогулка с Андреем Николаевичем давала мне огромный интеллектуальный заряд: многое было мною воспринято как бы исподволь и сказалось на моем становлении — педагогическом, научном и даже гражданском. Общение с Андреем Николаевичем всегда обогащало и несло радость. Учитель в математике, А. Н. Колмогоров стал для меня (и, я убежден, для каждого из его учеников) учителем и в жизни.

А в совместном путешествии мы с Андреем Николаевичем оказались впервые в 1936 году. Я тогда организовал экскурсию университетских аспирантов по Кавказу. Колмогоров узнал об этом и неожиданно выразил желание участвовать. Наша группа была уже в Барисахо (Хевсуретия), когда Андрей Николаевич в буквальном смысле свалился на нас с гор. Мы шли по долине, а он, оказывается, шел верхом, по хребту. Потом мы уже вместе с ним поднимались на Казбек. Андрей Николаевич был не новичок в горных путешествиях и, надо сказать, проявлял

1) Сейчас эти изыскания юного Андрея Николаевича опубликованы (А. Н. Колмогоров. Новгородское землевладение XV века. М.: Физматлит, 1994). В предисловии к этой публикации академик В. Л. Янин, ссылаясь на рассказ самого Андрея Николаевича о конце своей «карьеры историка», пишет: «Когда работа была доложена в семинаре, руководитель семинара профессор С. В. Бахрушин, одобрив результаты, заметил, однако, что выводы молодого исследователя не могут претендовать на окончательность, так как „в исторической науке каждый вывод должен быть обоснован несколькими доказательствами“ (!). Впоследствии, рассказывая об этом, Андрей Николаевич добавлял: „И я решил уйти в науку, в которой для окончательного вывода достаточно одного доказательства“». — Прим. ред.

необыкновенную заботу о своих более молодых и неопытных спутниках. После подъема на Казбек основная группа закончила свой маршрут и вернулась в Москву, а мне Андрей Николаевич предложил продолжить путь до реки Гизельдон, пересечь Главный Кавказский хребет и спуститься к селению Зарамаг. У меня сохранились яркие впечатления об этом путешествии. Мы поднялись к стене Главного Кавказского хребта и затем примерно два километра спускались вниз по осыпи, что давалось мне, надо признаться, с трудом. Спустились в сказочную долину и пошли на запад. Но, пока мы были наверху, в долине прошли ливневые дожди, так что протекавшая там спокойная речка сделалась бурной и полноводной, и перейти ее не было никакой возможности. Продукты у нас кончились, но раздобыть провизию мы не могли, так как места были необжитые. У Андрея Николаевича оставалось немного толокна, мы разводили его водой и этим держались. Наконец встретили осетина с двумя лошадьми, и он за плату помог нам перейти через реку. Мы форсировали этот бурный поток вброд, держась за лошадиные хвосты. В Зарамаге была тогда турбаза, и мы устроили с Андреем Николаевичем настоящий пир. Было ему в ту пору всего 33 года, но он по-отечески заботился обо мне.

В 1937 году, зимой, в январе, я снова отправился с Андреем Николаевичем в путешествие, но уже на лыжах, по Валдаю. Мы доехали поездом до Бологого и в тридцатипятиградусный мороз пересекли Валдай на лыжах. Все наши припасы превратились в камень, и хотя места были сказочной красоты, но удовольствия от выпавших тягот я не испытывал и больше в зимние путешествия уже не пускался.

Позднее, когда я переехал на Украину, Андрей Николаевич продолжал живо интересоваться моими математическими занятиями. Он горячо поддержал затеянную мною тогда в Киеве работу, связанную с медицинской диагностикой на быстродействующих вычислительных машинах. Он считал это серьезным и перспективным научным направлением. И действительно, первые наши результаты были очень обнадеживающими. Но, к сожалению, по не зависящим от меня обстоятельствам работы эти вскоре пришлось свернуть.

В 1960 году я снова оказался в Москве, где Андрей Николаевич сразу принял и приютил меня на созданной им в 1935 году и с тех самых пор им возглавляемой кафедре теории вероятностей Московского университета. В дальнейшем Андрей Николаевич увлекся новой идеей — созданием лаборатории теории вероятностей и статистических методов (для нее и некоторых других лабораторий МГУ даже возводился отдельный корпус), и он строил грандиозные планы развертывания чрезвычайно полезных и необходимых, с его точки зрения, статистических исследований. Затем он возглавил «отпочковавшуюся»

от его кафедры новую кафедру математической статистики, а в последние годы жизни заведовал кафедрой математической логики. Этими кафедрами и лабораториями, ставшими за прошедшие годы серьезными, крупными научными центрами, теперь руководят непосредственные ученики А. Н. Колмогорова1). Я же так и остался на любимой кафедре Андрея Николаевича, его первом университетском детище, — кафедре теории вероятностей, которой заведую вот уже почти 30 лет.

Был период в моей жизни, когда мне пришлось, довольно скоро после окончания войны, работать в Гумбольдтовском университете в Берлине. Надо сказать, я не очень стремился туда ехать: слишком близка еще была война, и такую поездку и работу было трудно принять и мне, и моей семье. И вот тут Андрей Николаевич неожиданно для меня нашел очень убедительные слова. Он сказал, что это моя гражданская обязанность — наладить добрые отношения с творческой молодежью послевоенной Германии, чтобы немецкие математики были с нами, а не против нас. Так что та довольно сильная вероятностная школа, которой теперь славится Германия, начиналась, можно сказать, с благословения Андрея Николаевича в теперь уже далеком 1953 году.

Вообще, я думаю, широчайшее распространение теоретико-вероятностных подходов и развитие самой теории вероятностей — и у нас, и за рубежом — во многом обязаны лидерству Андрея Николаевича Колмогорова и всеобщему признанию этого лидерства. Повсюду в мире, не говоря уже о нашей огромной стране, работают ученики Андрея Николаевича и его последователи. Как-то, я помню, к 60-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова мы на кафедре составили «родословное дерево» из его учеников (мы изобразили его в виде «архимедовой спирали», исходящей от самого Андрея Николаевича и разворачивающейся его учениками). И уже тогда, в 1963 году, т. е. более тридцати лет назад, их насчитывалось более полусотни — только прямых его учеников! (Более двадцати из них впоследствии стали академиками.)

А. Н. Колмогоров как педагог высшей школы, университетский профессор — тема особого разговора. Очень многое можно сказать о его деятельности по организации новых курсов и семинаров, коллоквиумов по прикладным задачам, лекциям для профессиональных математиков и для самой широкой аудитории. Но главное, конечно, — о его индивидуальной работе со своими непосредственными учениками.

1) Так, кафедру теории вероятностей возглавляет член-корр. РАН, проф. А. Н. Ширяев, кафедрой математической логики и теории алгоритмов заведует проф. В. А. Успенский, кафедрой общих проблем управления — проф. В. М. Тихомиров. Проф. Ю. К. Беляев заведовал лабораторией теории вероятностей, а И. Г. Журбенко — лабораторией математической статистики; сейчас этой лабораторией заведует М. В. Козлов. — Прим. ред.

Надо сказать, учеников себе он выбирал мастерски. Эта сторона педагогического таланта Колмогорова всегда вызывала у меня восхищение. Я до сих пор не могу разгадать, как, по каким признакам он мгновенно отличал способных людей. Он безошибочно угадывал в совсем молодых людях тех, в ком заложен дар созидания, дар разыскания нового. Многим и многим людям Андрей Николаевич помог открыть в себе этот дар и развить его. Я думаю, что именно горячее желание помочь молодежи открыть в себе математические способности и привело к тому, что Колмогоров много лет своей жизни, массу творческих сил и энергии отдал развитию школьного образования, а затем и реформе школы.

Сам Андрей Николаевич в свои школьные годы учился в замечательной Московской частной гимназии Е. А. Репман, откуда вышел не один талантливый ученый. Сама обстановка этой гимназии, по-видимому, располагала к творчеству, способствовала выявлению творческих способностей у самых юных. Андрей Николаевич вспоминал, например, что в этой гимназии можно было отдельные предметы изучать не со своими сверстниками, а на класс или даже два выше (сам Андрей Николаевич занимался по математике с более старшими ребятами). Может быть, создавал при Московском университете школу для способных ребят, он хотел возродить в современных ему условиях гимназию своей юности. Эту школу-интернат № 18 при МГУ сразу стали называть колмогоровской. Андрей Николаевич с первых дней был душой этой школы и многие годы отдавался этому своему детищу со всей присущей ему энергией и страстью.

Я уверен, что педагогическая деятельность А. Н. Колмогорова заслуживает самой высокой оценки и признания. Хотя при жизни Андрея Николаевича ждало на этом поприще — я имею в виду реформу школы в целом и создание новых программ и учебников по математике для общеобразовательной школы — большое разочарование, незаслуженные нападки и непонимание со стороны даже многих близких ему учеников, не говоря уже об официальных инстанциях. Я убежден, что это усугубило его тяжелую болезнь и тяжко омрачило его последние годы. Но хочется верить, что его огромный труд и идеи, быть может, опередившие время, еще будут востребованы, его учебники окажутся нужными школе, и наш долг — способствовать этому.

В заключение мне хотелось бы сказать, что пришло время восстанавливать многое из наследия Андрея Николаевича, его начинания и традиции. Мне, например, хочется возобновить традицию лекций для школьных учителей по математике и, главное, по истории математики. В память об Андрее Николаевиче я сохраняю надежду написать для учителей книжку по истории математики — я думаю, что это будет

в точности в его духе. И еще я собираюсь подготовить второе издание нашей с ним книги по теории вероятностей1) (в основном это уже сделано).

Я был рад узнать, что сейчас удалось разыскать несколько лекционных курсов А. Н. Колмогорова, прочитанных им в разные годы, и среди них — поистине уникальные. Так, А. П. Мишина предоставила конспект легендарного курса «Анализ III», впервые прочитанного Андреем Николаевичем в 1946/47 уч. г. (записки лекций тогда подготовил секретарь А. Н. Колмогорова по Институту математики рано ушедший из жизни А. А. Петров); у Д. П. Полозкова сохранились его аккуратнейшие записки лекций по высшей геометрии, прочитанные Андреем Николаевичем в 1945/46 уч. г.; В. А. Успенский предоставил хранившийся у него стеклографированный конспект курса «Теория меры и интеграл Лебега» 1955/56 уч. г.; В. Ф. Писаренко передал конспект курса лекций по теории случайных процессов 1957/58 уч. г. (Эти материалы помогла разыскать М. В. Щеглова, многолетняя помощница Андрея Николаевича.) Можно только всячески приветствовать начинание Московского института развития образовательных систем (МИРОС) — возглавляемого, кстати, учеником и сотрудником А. Н. Колмогорова членом-корреспондентом Российской академии образования А. М. Абрамовым — по изданию отдельной серии «Из педагогического наследия А. Н. Колмогорова».

Я убежден, что об Андрее Николаевиче непременно надо написать книгу в серии «Жизнь замечательных людей», — только не одному какому-то автору, а, может быть, целому коллективу. Наверное, только всем вместе его ученикам под силу обрисовать личность Колмогорова как учителя, ученого и человека — столь многогранна она была.

1) Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. — Прим. ред.

Гений, живший среди нас1)

В. М. Тихомиров

Андрей Николаевич Колмогоров был, без сомнения, одним из величайших русских ученых и принадлежал к числу самых крупных математиков XX века; он был Просветителем, создателем огромной научной школы, одним из патриархов Московского университета, реформатором математического образования, философом и историком науки. Его жизнь вместила в себе столько творческих свершений, что обо всех них невозможно сказать здесь. Об Андрее Николаевиче Колмогорове уже сказано и будет сказано еще очень многое и его учениками, и последователями, и историками науки. В этой статье я преследую скромную цель — осветить лишь некоторые стороны его творческой и человеческой судьбы.

А. Н. Колмогоров известен прежде всего как ученый, и потому начну с краткого обзора его творческой биографии. Первые научные публикации Андрея Николаевича относятся к 1923 году, когда ему исполнилось двадцать лет (хотя сами результаты были получены им в

1) Эта статья является продолжением двух моих публикаций, посвященных Андрею Николаевичу Колмогорову: «Жизнь и творчество Андрея Николаевича Колмогорова» в журнале «Успехи математических наук» (1988, т. 43, вып. 6, с. 3-33) и «Слово об учителе» в сборнике «Колмогоров в воспоминаниях» (ред.-сост. А. Н. Ширяев; М.: Наука, 1993, с. 220-279).

К моему глубокому сожалению, в последней публикации обнаружилось несколько существенных опечаток, которые не были вовремя выявлены мною. Укажу здесь важнейшие среди них. На с. 249, 19-я строка сверху, вместо слова академика нужно академии; таким образом, соответствующая фраза (цитата из письма Н. Н. Лузина А. Н. Колмогорову, касающаяся П. С. Александрова) читается так: «...все это заставляет видеть в нем достойнейшего кандидата, польза активности которого для академии неоценима». Далее в том же письме (с. 249, 21-я строка сверху) вместо укажите нужно укажете. На с. 256, 2-я строка снизу, вместо слияние должно быть сияние: «...человечество всегда мне представлялось в виде множества блуждающих в тумане огоньков, которые лишь смутно чувствуют сияние, рассеиваемое всеми другими...» (выдержка из письма А. Н. Колмогорова автору). В этом же письме на с. 257, 3-я строка снизу, вместо переходящи нужно преходящи. Наконец, на с. 267, 8-я строка снизу, вместо «искреннего друга» должно быть «избранного друга».

Приношу извинения читателям за мою небрежность.

предыдущем году, в возрасте девятнадцати лет), а последний научный труд был напечатан в 1983 году — году его восьмидесятилетия. Между этими двумя датами пролегло шестьдесят лет — огромная жизнь. Быть может, читателям будет интересно проследить, как число его публикаций варьировалось от десятилетия к десятилетию (гистограмма на рисунке построена с учетом лишь тех статей, которые сам А. Н. Колмогоров включил в собрание своих сочинений).

Что можно усмотреть из этой гистограммы? Бурное начало. Студенческая пора Андрея Николаевича была заполнена исключительной по интенсивности научной работой. В свой начальный период он черпал темы и задачи прежде всего, конечно, у своего научного руководителя — Николая Николаевича Лузина. К числу своих учителей он причислял также Павла Сергеевича Александрова, Павла Самуиловича Урысона, Алексея Константиновича Власова, Вячеслава Васильевича Степанова. Его научная любознательность распространялась фактически на всю современную ему математику. Начальный период его творчества был связан с теорией функций, затем началось его многолетнее сотрудничество с Александром Яковлевичем Хинчиным в области теории вероятностей. В эти же годы он делает классические работы в области математической логики, где в России у него не было ни учителей, ни предшественников.

Пожалуй, вершиной первого десятилетия его творческой деятельности явились его работы по аналитическим методам теории вероятностей (где математика соприкасается с физикой и где он создал теорию марковских процессов, завершив усилия таких великих предшественни-

ков, как Эйнштейн, Смолуховский и Планк). Классическая монография «Основные понятия теории вероятностей» (наверное, самое известное произведение Андрея Николаевича, оказавшее столь же огромное влияние на все дальнейшее развитие этой науки, как труды Я. Бернулли и Лапласа) также была написана в первое десятилетие.

Затем наступил еще более блистательный период. В течение десяти лет — с 1933 по 1943 год — Андрей Николаевич опубликовал сорок пять (!) статей по самым разнообразным проблемам классического анализа, топологии, геометрии, теории приближений, функционального анализа и, разумеется, теории вероятностей, где он занял общепризнанное в мире положение лидера. Едва ли не каждый год он открывал какое-то новое направление в науке; очень много занимался и приложениями. Одним из крупнейших достижений Колмогорова этого периода было создание теории турбулентности, где он стал прижизненным классиком наряду с величайшими механиками XX века — Дж. Тейлором и Т. фон Карманом.

Десятилетие между 1943 и 1953 годом было менее насыщенным. Конечно, это можно объяснить войной. Кстати сказать, Андрей Николаевич много сил отдал проблемам, связанным с обороной; в частности, он фактически создал вероятностную теорию стрельбы. Но по их значению в истории науки работы этого десятилетия не идут в сравнение с теми, что были написаны в предыдущие десятилетия.

А затем произошло истинное чудо. Начинал с 1953 года Андрей Николаевич пережил совершенно необыкновенный творческий подъем, длившийся снова примерно десять лет, — период, быть может, не имевший себе равных в творчестве других математиков всех времен. Одной из величайших удач моей собственной жизни я считаю то, что мне довелось быть близким свидетелем этого поразительного периода гениальных свершений.

Чем можно объяснить такой взрыв творческой активности? Я задавал этот вопрос самому Андрею Николаевичу, и он отвечал и мне и другим своим друзьям, что сам видит две такие причины.

Главной из них он называл крушение чудовищной тирании, рухнувшей со смертью Сталина. Это породило надежду, веру в то, что мир может установиться в спокойствии и благоденствии. Такие ожидания частично оправдались, и они сумели напитать творческий потенциал Андрея Николаевича новыми мощными стимулами. А другая причина — окончание строительства нового Университета, переезд в новое здание, которое он сразу полюбил, переезд, обозначивший новый этап жизни и звавший к началу больших свершений. Именно в эти годы Андрей Николаевич оказался очень счастлив и в своих деяниях, и в своих учениках.

Наибольшие усилия Колмогорова в этот период были, по свидетельству самого Андрея Николаевича, связаны с четырьмя темами. Это:

— малые знаменатели в задачах классической механики;

— внедрение понятия энтропии в различные области математики;

— представление функций в виде суперпозиций;

— равномерные предельные теоремы теории вероятностей.

И в каждом из этих направлений им были разрешены фундаментальные проблемы.

В теории малых знаменателей Андрей Николаевич создал совершенно новый метод, который, будучи усовершенствован его учеником В. И. Арнольдом и американским математиком Ю. Мозером, привел к решению, быть может, самой глубокой задачи теоретической астрономии и классической механики — проблемы устойчивости планетной системы, проблемы, которую решали и Ньютон, и Лаплас, и Пуанкаре1). В принципе, могло быть так, что всякая планетная система неустойчива и рано или поздно все планеты обрушиваются на свое основное светило. В итоге работ Андрея Николаевича и его последователей выяснилось, что это не так: бывают и вечно устойчивые системы2). Попутно им самим и его продолжателями было сделано существенное продвижение в большом числе других принципиальных вопросов естествознания3).

Большой успех выпал на долю А. Н. Колмогорова в теории динамических систем. Введенное им понятие энтропии динамической системы совершенно преобразило эту классическую область математики, где среди его предшественников были такие крупнейшие математики, как фон Нейман и Н. Н. Боголюбов. Основополагающие работы А. Н. Колмогорова и его ученика Я. Г. Синая принадлежат к числу самых крупных достижений математики второй половины нашего века.

А. Н. Колмогоров вместе со своим учеником В. И. Арнольдом решил одну из самых знаменитых гильбертовых проблем — тринадцатую. При этом решение оказалось не соответствующим общему замыслу Гильберта: выяснилось, что на уровне непрерывности не бывает функций многих переменных (!) (хотя весь опыт классического анализа, казалось бы, свидетельствует о том, что чем больше переменных, тем богаче запас функций). Точнее говоря, оказалось, что любую непрерывную функцию можно представить в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и единственной функции двух переменных — сложения: s(x,y) = X + у.

1) Впоследствии этот метод был назван КАМ-теорией (теорией Колмогорова — Арнольда — Мозера).

2) Вопрос об устойчивости Солнечной системы остается, увы, открытым.

3) См. об этом: Арнольд В. И. Классическая механика (комментарий) // Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 433-444.

Наконец, в теории вероятностей Андрей Николаевич получил теорему о равномерном приближении распределений сумм независимых случайных величин с помощью так называемых безгранично делимых распределений. Подходы к решению этой проблемы он искал почти двадцать лет.

Кроме того, в это же десятилетие учениками и последователями А. Н. Колмогорова под его руководством и идейным влиянием:

— получены выдающиеся результаты в теории случайных процессов (В. П. Леонов, Р. Ф. Матвеев, Ю. А. Розанов, Я. Г. Синай, А. Н. Ширяев и др.);

— сделаны большие продвижения в эргодической теории динамических систем (Л. М. Абрамов, Д. В. Аносов, А. М. Вершик, И. В. Гирсанов, В. А. Рохлин, Я. Г. Синай, С. Смейл и др.), а также динамических систем классической механики (В. М. Алексеев, К. А. Ситников);

— получены фундаментальные результаты по основаниям теории информации (И. М. Гельфанд, Р. Л. Добрушин, М. С. Пинскер, А. М. Яглом и др.);

— открыта новая глава в функциональном анализе — теория размерности бесконечномерных линейных топологических пространств (Б. С. Митягин, А. Пельчинский и др.);

— фактически начата разработка нового этапа теории аппроксимации, где исследовались е-энтропия и поперечники функциональных классов и связанные с ними топологические и экстремальные задачи (К. И. Бабенко, А. Г. Витушкин, В. Д. Ерохин, Н. П. Корнейчук, В. М. Тихомиров и др.);

— решены важные экстремальные задачи в классических предельных теоремах теории вероятностей (В. С. Королюк, Б. А. Рогозин, С. Х. Сираждинов и др.);

— изучены предельные теоремы теории вероятностей с точки зрения распределений в функциональных пространствах (Ю. В. Прохоров, А. В. Скороход и др.);

— велась интенсивная работа в области математической логики (Ю. Т. Медведев, В. А. Успенский и др.); Андрей Николаевич вел в те годы (совместно с В. А. Успенским) семинар по рекурсивной арифметике, обдумывал проблемы связи теории рекурсивности и теории автоматов1) — все это в дальнейшем способствовало созданию теории сложности, увенчавшей его творческую биографию2).

1) На Западе наиболее общий вид автоматов получил название «Kolmogorov — Uspensky maснine» («машина Колмогорова — Успенского»).

2) Ныне «колмогоровская сложность» — одно из самых популярных и широко цитируемых достижений А. Н. Колмогорова.

Творчество Андрея Николаевича тех лет имело огромное влияние на работы очень большого числа математиков. Перечислю некоторых из них (хотя часть уже называлась мною, но, собранные вместе, они производят особое впечатление): В. М. Алексеев, В. И. Арнольд, Г. И. Баренблатт, Ю. К. Беляев, Л. Н. Большев, А. А. Боровков, А. Г. Витушкин, И. М. Гельфанд, И. В. Гирсанов, А. А. Гончар, Р. Л. Добрушин, Е. Б. Дынкин, В. Д. Ерохин, В. М. Золотарев, В. С. Королюк, В. П. Леонов, П. Мартин-Лёф, Р. Ф. Матвеев, Ю. Т. Медведев, Л. Д. Мешалкин, Б. С. Митягин, В. С. Михалевич, М. С. Пинскер, Ю. В. Прохоров, Ю. А. Розанов, Б. А. Севастьянов, Я. Г. Синай, С. X. Сираждинов, К. А. Ситников, А. В. Скороход, В. А. Статулявичюс, В. М. Тихомиров, Ю. Н. Тюрин, В. А. Успенский, А. Н. Ширяев, А. М. Яглом — и этот список далеко не полон! В те годы он работал примерно с двадцатью аспирантами и направлял деятельность многих завершавших докторские диссертации.

В этот период А. Н. Колмогоров намечал и осуществлял поистине грандиозные планы. В письме к В. И. Арнольду от 31 мая 1957 г. Андрей Николаевич рассказывает о своих замыслах на 1957/58 учебный год: он предполагает вести с Арнольдом кружок для первого курса, активно руководить постоянным семинаром кафедры теории вероятностей, открыть новый совместный семинар Стекловского института (в те годы Андрей Николаевич заведовал отделом теории вероятностей МИАН им. В. А. Стеклова) и кафедры теории вероятностей по прикладным вопросам теории вероятностей, читать обязательный курс по случайным процессам, вести семинар по динамическим системам для аспирантов (В. Алексеева, В. Арнольда, Ю. Беляева, В. Ерохина, Л. Мешалкина, Я. Синая), вести семинар для четверокурсников по проблемам сложности... И все это с превышением было осуществлено. Кто и когда брал на себя подобные нагрузки!

А какие замечательные планы строил А. Н. Колмогоров, объявляя научно-исследовательский семинар 1959/60 года! Вот программа этого семинара (с небольшими сокращениями), написанная самим Андреем Николаевичем:

«1. Краевые задачи для гиперболических уравнений... 2. Задачи классической механики... 3. Моногенные функции Бореля и квазианалитические функции Гончара. 4. Возникновение высокочастотных колебаний при стремлении производных к нулю (работы Волосова и Лыковой). 5. Уравнения с малым параметром и возникновение турбулентности. 6. Вопросы устойчивости ламинарных течений. 7. Обсуждение возможностей применения к реальным механическим и физическим системам представлений метрической теории динамических систем. Рассмотрение гипотезы (хотя бы на моделях), что... в пределе динамиче-

скал система превращается в случайный процесс (гипотеза практической невозможности долгосрочного прогноза погоды)».

В эти годы стал постепенно приподниматься «железный занавес» и Андрей Николаевич начал принимать активное участие в международной математической жизни. Он был докладчиком на Амстердамском математическом конгрессе 1954 г. (его доклад завершал научную программу конгресса — так была выделена особая роль А. Н. Колмогорова среди других участников этого математического форума); читал циклы лекций в Швеции, Франции, ГДР, Польше; сделал доклад с изложением принципиально новых подходов к теории аппроксимации и к вычислительной математике на Эдинбургском конгрессе 1958 г.

И в нашей стране Андрей Николаевич имел ряд ответственных выступлений. Он выступил с обзорным докладом на общем собрании Академии наук СССР; сделал два обзорных часовых доклада на Всесоюзном математическом съезде в Москве; много выступал перед научной общественностью с докладами о кибернетике, математической экономике, по другим проблемам; сделал свыше тридцати докладов на Московском математическом обществе; путешествовал по Советскому Союзу, выступал с лекциями и докладами (много путешествовал и «просто так»).

При этом Андрей Николаевич заведовал кафедрой теории вероятностей в МГУ; с 1954 по 1958 год был деканом механико-математического факультета; основал новую лабораторию вероятностных и статистических методов; заведовал отделом в Стекловском институте; много работал в Энциклопедии; разработал и организовал на мехмате математический практикум; прочитал большое число обязательных и специальных курсов — по анализу, случайным процессам, теории меры, динамическим системам, теории энтропии...

Повторюсь, мне трудно представить себе, что когда-нибудь в истории науки у какого-либо ученого мог быть период такой фантастической насыщенности и плодотворности!

И вдруг... Вот здесь мы сталкиваемся с одной из загадок его судьбы: вдруг в одночасье все прекратилось — курсы, семинары, публикации и все прочее. Все это заместилось одним — реформой математического образования в школе. Чем был вызван такой резкий переход, можно только гадать. И, к глубочайшему сожалению, именно на этом поприще Андрей Николаевич потерпел большую и, пожалуй, единственную во всей его необыкновенно счастливой творческой жизни неудачу. Эта неудача принесла ему трагические переживания и, без сомнения, ускорила его кончину. Попробуем разобраться в случившемся.

Темы математического образования Андрей Николаевич много раз касался и в своих устных выступлениях перед учителями и коллегами, и в своих беседах с близкими и друзьями, и в своих публикациях,

посвященных школьным делам (число которых было очень велико — около ста). Но какого-либо сводного, завершающего труда на эту тему он так и не написал.

Математическое образование — необыкновенно сложная и тонкая структура, где переплетаются проблемы государственного устройства, психологии, экономики, социологии, культуры и еще многое другое. Как было бы прекрасно, если бы мыслитель такого высочайшего ранга, каким был Андрей Николаевич Колмогоров, треть своей жизни посвятивший реформе школьного математического образования, ответил бы, по возможности прямо, на несколько простых и основополагающих вопросов! Прежде всего: в чем смысл математического образования, зачем оно? Нужно ли оно (и в каком объеме) всем людям или лишь той части юношества, которая испытывает в нем потребность? Какие цели должно преследовать математическое образование на каждом отдельном его этапе (начальном, среднем, высшем)?

К глубочайшему сожалению, такого текста с анализом подобных основополагающих проблем математического образования Андрей Николаевич не оставил. В те годы, когда он стал заниматься проблемой реформы математического образования, многое вызывало мое недоумение, и в наших беседах я иногда говорил: «Андрей Николаевич, разные люди, верящие вам и желающие успеха вашей деятельности, не понимают глобальных целей вашей реформы. Объясните их хотя бы мне. Я запишу ваши слова, постараюсь продумать их и потом сделаю попытку донести смысл вашей деятельности до широких кругов научной общественности». Но Андрей Николаевич неизменно — мягко, но непреклонно — отклонял эти мои просьбы. Обычно под предлогом, что «еще рано об этом говорить», что «время еще не пришло». Но это время так и не наступило.

И вот сейчас я вижу свой долг в том, чтобы самому осмыслить случившееся — то, что я не могу истолковать иначе, как трагедию великого, гениального человека.

Я вижу две основные причины того, что усилия Андрея Николаевича в итоге не привели к благоприятному исходу. Первая из них заключена в идеологии того общества, в котором тогда приходилось всем нам жить и трудиться. Первоосновой всего, высшей целью жизни и деятельности каждого человека объявлялось тогда укрепление и развитие государства. Не личности, а именно государства. И руководящая структура государства — партия — определяла, в частности, цели и смысл образования. И Андрей Николаевич в той или иной мере вынужден был подчиняться этому порядку вещей. В брошюре «О профессии математика», вышедшей в свет в 1952 году, Андрей Николаевич писал: «Советскому Союзу сейчас требуется большое количество само-

стоятельных исследователей по теоретическим вопросам математики». Эта мысль варьировалась им многократно: «Нашей стране необходимо иметь много математиков-исследователей...», «Наша страна нуждается в большом числе подготовленных и талантливых математиков...» и т. п. Обращаясь 1 сентября 1961 г. к первокурсникам, принятым в Московский университет, Андрей Николаевич писал: «Все высшие учебные заведения страны имеют общую задачу — готовить специалистов к работе на пользу нашего общества, готовить строителей Коммунизма». В числе непременных аксиом того времени было требование единого образования: каждый должен был получить в точности то же образование, что и все остальные. Постановление партии и правительства о реформе школьного образования было принято в 1966 году, и именно тогда Андрею Николаевичу было поручено осуществить ту часть реформы, которая относилась к математике.

Естественно, должен был встать вопрос: как и чему учить детей в нашей бескрайней, многонациональной, столь разнородной и неблагоустроенной стране с огромным числом неблагополучных семей, детей с неполноценным умственным развитием — читатель легко продолжит список всех наших трудностей тех и нынешних лет. И при этом учить всех и одинаково! Андрей Николаевич взялся за осуществление этой реформы, не имея в виду существенно менять исходные позиции упомянутого постановления.

А теперь надо сказать о второй причине, приведшей к плачевным результатам. Парадоксально, но она связана с одной прекрасной особенностью личности самого Андрея Николаевича. Он был идеалистом. Не в философском или религиозном значении этого слова, а в своем взгляде на окружающий мир. Ему досталось прекрасное, солнечное детство, замечательная гимназия, лучший в мире математический факультет университета, высококультурная человеческая среда и радостное, оптимистическое восприятие мира. Он видел людей и окружающую действительность как бы сквозь особые волшебные очки, в несравненно лучшем свете, чем оно было в реальности. Это, как правило, приносило прекрасные плоды, особенно для его учеников: всем хотелось соответствовать тому идеальному образу, который складывался у Андрея Николаевича, все тянулись ввысь, росли, совершенствовались. Но Андрей Николаевич полагал, что вообще мир населен людьми благородными, культурными, стремящимися к поиску истины — словом, похожими на него самого и на тех, с которыми он всю жизнь общался. И мне представляется, что, планируя будущую программу средней школы, он исходил из такого идеального образа советского школьника.

Следует учесть, что в 60-е годы увлечение реформами математического школьного образования приняло всеобъемлющий, всемирный

характер. Особенно крайние позиции заняла французская школа, лидеры которой считали, что преподавание должно вестись исходя из принципов Бурбаки. И это тоже оказало определенное (и во многом отрицательное) влияние на Андрея Николаевича. Но не это было главным. Глядя на мир сквозь свои волшебные очки, Андрей Николаевич полагал, что едва ли не самым привлекательным и желанным видом человеческой деятельности для каждого является творческий труд, направленный на поиск истины. А потому, в частности, стремление к высшему образованию является естественным и безусловным для каждого молодого человека. Он много раз писал, что жизнь человеческая должна быть спланирована так, чтобы избранному виду творческой деятельности человек отдал максимум того, на что он способен. В соответствии со всеми этими мыслями он и планировал новую программу всеобщего среднего образования.

По мнению Андрея Николаевича (впрочем, это предписывалось и постановлением партии и правительства 1966 г.), курс школьной математики должен быть научным, строгим и современным. Далее, среди целей математического образования должно было, по мнению Андрея Николаевича, присутствовать формирование научного мировоззрения. А. Н. Колмогоров писал, например: «Вряд ли нужно доказывать, насколько желательно с общеобразовательной точки зрения достигнуть того, чтобы все учащиеся могли вполне конкретно понять хотя бы ньютоновскую концепцию математического естествознания».

Одной из важнейших целей школьного математического образования А. Н. Колмогоров считал подготовку к поступлению в высшее учебное заведение. «Учащиеся (и общество также), — писал он, — заинтересованы в том, чтобы обучение в X—XI классах подготовило их возможно лучше к предстоящей работе в вузе или специальном учебном заведении».

Среди важнейших целей математического просвещения Андрей Николаевич видел «поиск талантов». Вот как он писал об этом: «Содействие продвижению математически одаренной молодежи является одной из важных задач школьных математических кружков, математических олимпиад и других мероприятий по пропаганде математических знаний и распространению интереса к самостоятельным занятиям математикой».

Летом 1917 года вместе с другом своей юности Николаем Селиверстовым четырнадцатилетний Андрей Колмогоров обдумывал конституцию идеального государства — государства, где торжествовали бы Разум, Труд, Совесть и Справедливость. (К сожалению, проект этой конституции не сохранился.) Мое убеждение состоит в том, что, размышляя над реформой образования, Андрей Николаевич имел в виду

именно то идеальное государство, населенное людьми высоконравственными, глубокими, ищущими истину, благородными и творческими. Для такого государства программа Андрея Николаевича могла бы быть, как недавно было принято говорить, «принята за основу» (впрочем, с определенными оговорками, ибо в ней было все-таки слишком много от Бурбаки). Но мы жили в другом государстве. И реальность нередко находилась в вопиющем противоречии с идеальными установками Колмогорова.

При этом необходимо сказать, что Андрей Николаевич отнюдь не был человеком не от мира сего. Он очень многое видел и понимал. Однажды, в самом начале нашего с ним знакомства, он даже специально счел своим долгом уведомить меня об этом: «Не думайте, пожалуйста, Володя, что мой духовный мир целиком и полностью занимает лишь математика. Я внутренне свободный человек и позволяю себе свободно размышлять надо всем и критически все оценивать». Тогда начался между нами разговор, который продолжался потом многие годы, — о культуре, искусстве, науке, истории и, в частности, о государстве. В тот самый первый наш разговор Андрей Николаевич заметил: «Идеальное государство должно основываться на свободе». Для нас обоих было очевидно, что то государство, в котором мы живем, этому принципу не удовлетворяет.

Итак, Андрей Николаевич видел все, что происходит вокруг, но в то же время в своих письменных декларациях он, как правило, как бы игнорировал суровую действительность и обращался через «хребты веков» к некоему идеальному, свободному Государству. Так было, в частности, когда он писал, что «на устных экзаменах задача экзаменатора в советском вузе, вопреки распространенному воззрению школьников, состоит не в том, чтобы поскорее „срезать“ незадачливого поступающего, а в том, чтобы тщательно взвесить, учитывая все обстоятельства экзаменационной обстановки, перспективы его работы по избранной им специальности... В Московском университете приемные и экзаменационные комиссии более всего озабочены тем, чтобы не потерять ни одного поступающего, достаточно подготовленного и способного серьезно работать на данном факультете». Это было сказано в 1952 году, когда анкетные ограничения принимались во внимание едва ли не в первую очередь, когда, к примеру, окончивших механико-математический факультет И. И. Пятецкого-Шапиро и Ф. А. Березина — людей, безусловно «способных работать на данном факультете», подававших большие надежды и оправдавших их своими последующими выдающимися открытиями, — распределили на работу в провинциальные школы... Я могу объяснить себе написанное Андреем Николаевичем лишь тем, что он старался шагнуть в то бесконечное идеальное «далеко», игнорируя

несовершенную реальность. Но, осуществляя реформу образования, реальность игнорировать невозможно. А я оцениваю его реформаторскую деятельность так и только так: это была реформа для идеального государства, и рекомендации Андрея Николаевича надо рассматривать только под этим углом зрения.

Если во главу угла ставить личность, ее права, ее интересы, то государство должно быть институтом, призванным удовлетворять естественные и непременные права личности. Среди этих прав, вне всякого сомнения, должно быть право на получение математического (как и любого другого) образования. Но личность должна быть действительно свободна, и в частности свободна требовать от государства того математического образования, которое соответствует этой личности, ее желаниям и возможностям. А значит, образование не может, не должно быть единым. Оно не должно непременно быть и строго научным, ибо у личности может быть масса интересов, далеких от науки и поиска истины (а в наши дни результаты разнообразных анкетирований свидетельствуют, что к поиску истины стремится примерно 1% школьников). И, разумеется, нельзя навязывать каждому, чтобы он обязательно выработал в себе естественнонаучное мировоззрение, — и здесь свободный человек должен иметь свободу выбора.

Целью математического образования, по моему скромному мнению, должно быть прежде всего развитие. Развитие навыков оперирования с числами и фигурами, пространственного воображения, логического мышления — словом, развитие интеллекта. Ничто не может обучить этому лучше, чем математика, — об этом говорит весь опыт человечества. При всем этом обучение должно быть интересным, увлекательным, поучительным. Таким должно быть обучение для всех. Но отдельно надо подумать и о тех людях, которые действительно испытывают удовольствие от творчества, от поиска истины, от красоты самой математики. Этих людей надо учить по-особому. Таких людей не так уж мало — такова природа человеческая. И чем более благополучно общество, чем больше в нем благоденствия, тем значительнее этот слой и тем сильнее он облагораживает все общество. И этот слой людей также должен обладать правом получить адекватное, глубокое математическое образование.

Вот для этой-то категории людей бесценны многие мысли, идеи, методические находки и планы, которые вынашивал на протяжении более чем трети своей творческой жизни великий ученый и гениальный математик Андрей Николаевич Колмогоров. Ограничусь лишь одним примером. Очень большие усилия Андрей Николаевич потратил на создание совершенно оригинального курса геометрии. Он старался построить его действительно строгим, научным и современным. Для это-

го он создал свою собственную, интересную и вполне естественную, аксиоматику. Однажды он приоткрыл общий замысел своего курса: «...постепенно подготовить материал для понимания возможности разных „геометрий“, отличных от евклидовой (как геометрия Лобачевского) или охватывающих евклидову в качестве частного случая (как концепция „метрического пространства“)».

Но в масштабах всей страны такие идеи были, конечно, обречены. Андрей Николаевич не был понят даже своими ближайшими сотрудниками, не говоря уже о недоброжелательно или завистливо настроенных коллегах. (И эти последние выступили против колмогоровских нововведений зачастую в грубой и даже уничижительной форме.)

Но необходимо сказать, что главная цель реформы образования — его модернизация, и в частности включение в него элементов дифференциального и интегрального исчисления, — была достигнута: все это вошло в школьную практику. И это позволяет сказать, что дело, которому Андрей Николаевич посвятил двадцать с лишним лет упорнейшего труда, не пропало. А по прошествии лет, когда человечество приблизится к тому идеалу, о котором мечтал Андрей Николаевич, — пусть в далеком будущем, когда воссоздастся слой людей высокой общечеловеческой культуры, когда среди наиболее престижных интересов снова окажутся интересы творчества, — тогда мысли Андрея Николаевича об образовании, безусловно, будут востребованы во всей их полноте.

Мысли великого человека являются общим достоянием человечества. В них всегда содержатся зерна истины, недоступные для поверхностного взгляда. Они должны быть продуманы до конца, детально проанализированы. Так, я уверен, произойдет и с творческим наследием А. Н. Колмогорова, связанным с образованием. Надо только сберечь это наследие!

Лишь в одном мне хочется поспорить с моим учителем. Я имею в виду тезис о «талантах». Поиск людей, которые могут поставить перед собой великие цели и достигнуть их, — благородная задача всего человечества. Но это — отдельная, особая тема. Сам Андрей Николаевич считал безусловно значимыми понятия «талант», «одаренность». Он писал: «Талант, одаренность, скажем, в работе в области математики, физического эксперимента, конструирования новых приборов даны от природы не всем. Никакой упорный труд не может заменить эту природную одаренность» («Известия», 18.02.1962). А мне кажется, что Учитель никогда не должен произносить таких слов. Цель просвещения — поиск таланта в каждом человеке. В каждом надо пробовать находить нечто такое, что должно вселить в него веру в свои силы, чтобы человек заранее ничем не ограничивал себя. И именно математика дает исключительные возможности для этого, и это едва ли не

самая важная и благородная цель, которую должен ставить перед собой каждый учитель. И ведь, по существу, Андрей Николаевич, великий Учитель, создавал свою замечательную школу во многом именно таким способом. К нему в орбиту попадали люди разные, и многие из них не были «тестовыми» талантами (скажем, не блистали на олимпиадах), однако Андрей Николаевич умел возжечь огонь в их душах, внушить мысль об их ответственности за некое научное направление, и в итоге они становились лидерами этих направлений, общепризнанными мировыми авторитетами.

Да и само понятие таланта еще требует своего анализа. Очень много любопытного на эту тему дает наша история. Вернемся к словам самого Колмогорова: «Наша страна нуждается в большом числе хорошо подготовленных и талантливых математиков...» И он предлагал организовывать кружки, проводить олимпиады... Но вспомним первые послевоенные годы. Сталин поставил перед обескровленной, разрушенной страной грандиозные задачи: создать атомную бомбу, баллистические ракеты, атомный подводный флот, сверхзвуковую авиацию, совершенные средства связи. (Не будем обсуждать цели, которые он при этом вынашивал.) Для всего этого требовались математики, много математиков. Но вспомним, как проводился отбор — по анкетам! Иногда эти анкеты состояли из 28 страниц; там был, например, вопрос о том, какие номера могил имеют умершие дедушки и бабушки, и многие другие, столь же «существенные» для оценки одаренности и таланта. Зато не принимались во внимание успехи на семинарах, олимпиадах — решительно ничто из того, о чем говорил Андрей Николаевич, когда декларировал «поиск талантов». И что же? Все поставленные задачи были выполнены! Было создано атомное, а затем и термоядерное оружие, взлетели баллистические ракеты и спутники, был создан мощный подводный атомный флот, наши самолеты были не хуже лучших зарубежных образцов. И в деле разработки систем связи и шифровки мы достигли выдающихся успехов. Государство достигло своих целей и без тех, кто побеждал на олимпиадах. Настала иная эпоха. Еще в начале века наука была индивидуалистична, она делалась отдельными учеными — талантами и гениями. А в наше время великие свершения осуществляются цивилизациями, когда над отдельной проблемой работает фактически вся государственная система. И потому ныне разумно разделить эти два ремесла. Поиск гениев, творцов и великих подвижников — это дело всего человечества. Государство же пусть отбирает тех, кто ему более подходит. А поиск таланта в каждом человеке — вот благороднейшая и великая цель просвещения, — я убежден в этом.

Я хотел бы еще остановиться на том, какую роль сыграл А. Н. Колмогоров в развитии высшего математического образования. Однажды

он написал: «Вся моя жизнь с 1920 года неразрывно связана с Московским университетом». На самом деле, все началось еще раньше. Еще в гимназические годы Колмогоров посещает университетский семинар видного русского историка С. В. Бахрушина и выполняет в нем свое первое научное исследование — о земельных отношениях в Новгороде, по писцовым книгам XV — XVI вв. В 1920 году он становится студентом физико-математического факультета университета. Четвертым января 1921 года датирована его первая математическая рукопись — «Доклад математическому кружку о квадрильяже». Последний текст Андрея Николаевича, адресованный коллегам по факультету, — приветствие к пятидесятилетию В. И. Арнольда — был продиктован им 13 июня 1987 г., за четыре месяца до кончины. Между этими датами — шестьдесят шесть лет, из которых примерно две трети были посвящены факультету и научному творчеству, а треть — целиком школе.

Механико-математический факультет очень многим обязан Андрею Николаевичу Колмогорову. И здесь я хочу воскресить в памяти некоторые его деяния на благо университета и факультета. Деятельность Андрея Николаевича в университете проходила в трех сферах — научной, педагогической и административной. О научной работе было сказано в начале статьи и еще будет сказано ниже. Поговорим здесь о его организаторской и педагогической работе.

Андрей Николаевич занимал в университете множество административных постов. В 1933 году (в возрасте тридцати лет) он назначается директором Института математики и механики при МГУ. По воспоминаниям коллег старшего поколения, одной из основных функций Института было руководство аспирантурой мехмата. Впоследствии Андрей Николаевич заведовал математическим отделением мехмата, и аспирантура была также в его ведении. И все, кому довелось общаться в аспирантские годы с А. Н. Колмогоровым, с восхищением вспоминают о нем. Большинству аспирантов и тех лет, и последующих десятилетий беседы с Андреем Николаевичем запоминались на всю жизнь и нередко открывали путь в большую науку. Как правило, во время беседы перед аспирантом раскрывались таинственные и манящие перспективы даже в тех областях, которые, казалось, были далеки от личных научных интересов Колмогорова.

Андрей Николаевич основал на факультете две кафедры. В 1935 году была создана кафедра теории вероятностей; Андрей Николаевич стал первым ее заведующим и возглавлял кафедру свыше тридцати лет. Это был замечательный период: в эти годы сформировалась мощная теоретико-вероятностная школа СССР, завоевавшая авторитет во всем мире. Что же способствовало этому? Все очень просто: причина успеха — в величии личности Андрея Николаевича, в его щедрости,

в богатстве идей, которые он раздаривал своим ученикам, в его научной взыскательности и высоком авторитете, в том, что он считал своим долгом поддерживать людей творческих и инициативных, боролся за таких людей, защищал их, предоставляя им в то же время творческую свободу.

Кроме кафедры теории вероятностей, Андрей Николаевич организовал и возглавил лабораторию вероятностных и статистических методов (1963 г.) и кафедру математической статистики и случайных процессов (1976 г.). В самые последние годы жизни Андрей Николаевич был заведующим кафедрой математической логики. Но в ту пору он был уже неизлечимо болен и многого сделать не смог. В 1972 году Андрей Николаевич стал первым лектором обязательного курса математической логики, который он ввел. В 1980 году он прочитал его в последний раз.

С 1954 по 1958 год Андрей Николаевич был деканом механико-математического факультета. Это — замечательный сюжет: Андрей Николаевич на посту декана. В этом сюжете отразилось время, весьма насыщенное событиями. Как декану, ему приходилось взаимодействовать со студентами, парткомом, «профессорско-преподавательским составом», ректором МГУ И. Г. Петровским... Конечно, сам Андрей Николаевич всегда стремился к справедливости (так, как он понимал ее), кое-что ему удавалось, но кончилось все, и довольно скоро, его отставкой. Здесь, пожалуй, не место говорить об этом подробнее, но, по-моему, подобная административная деятельность — не стихия Андрея Николаевича.

Коснемся темы: Андрей Николаевич — лектор. Общепринятое мнение, многократно зафиксированное в разных публикациях, сводится к тому, что Андрей Николаевич был плохим лектором. Мне доводилось читать, что Андрей Николаевич вообще не любил читать лекций. Но это утверждение находится в явном противоречии с тем, что в течение своей жизни Андрей Николаевич читал огромнейшее число обязательных и специальных университетских и интернатских курсов. Он прочитал почти все обязательные курсы, входившие в программу мехмата. В частности, несколько раз читал курс математического анализа (он планировал «в старости» написать учебник по этому предмету). Андрей Николаевич читал алгебру, высшую геометрию, дифференциальные уравнения, разнообразные курсы по теории вероятностей. Он разработал новый тип университетского курса — синтетический курс «Анализ III» — и был первым его лектором. (За курсом «Анализ III» последовали блистательные курсы, читавшиеся на других кафедрах, построенные по сходной схеме: «Линейная алгебра и геометрия», «Геометрия и топология» и др.) А сколько замечательных спецкурсов прочи-

тал Андрей Николаевич! В мои аспирантские годы Андрей Николаевич читал курсы по энтропии, классической механике, теории меры, случайным процессам. Именно через эти его курсы входили в математику В. М. Алексеев, В. И. Арнольд, Ю. К. Беляев, В. Д. Ерохин, В. П. Леонов, Л. Д. Мешалкин, Ю. А. Розанов, Я. Г. Синай, А. Н. Ширяев и многие другие.

Я вспоминаю последнюю лекцию осеннего семестра 1955 года, венчавшую первую половину обязательного курса «Анализ III». Она была посвящена теории динамических систем и почти целиком состояла из «необязательного» материала. В этой лекции, начавшейся с определения динамической системы и демонстрации нескольких примеров (в частности, бернуллиевых испытаний), рассказывалось об эргодичности и теореме о возвращении Пуанкаре — Каратеодори; в качестве иллюстрации приводился усиленный закон больших чисел. Затем приводились примеры динамических систем классической механики, доказывалась теорема Лиувилля о сохранении объема в фазовом пространстве и теорема о возвращении для вращения тела с закрепленной точкой. В заключение говорилось о разного рода гипотезах, связанных с устойчивостью Солнечной системы (окончательный результат на основе теории, за год до читавшейся лекции построенной самим Колмогоровым, был через восемь лет получен Арнольдом). Никогда больше мне не доводилось прослеживать в течение одной лекции путь от самых истоков теории до современного ее состояния и обзора манящих перспектив будущего развития.

А какие замечательные лекции читал Андрей Николаевич для «широкой» математической аудитории! На его лекции «Автоматы и жизнь» был заполнен Дворец культуры университета, вмещающий более 1000 человек1). Люди стояли в проходах; были радиофицированы две большие аудитории 01 и 02 (по 400 мест), и они были также переполнены. Какой успех имел тогда Андрей Николаевич! И после всего этого все еще бытует мнение, что А. Н. Колмогоров был плохим лектором!

Огромное число колмогоровских лекций не было записано и фактически пропало. Безумно жаль!.. А бывало, случалось такое. Начинал чтение спецкурса по теории случайных процессов, Андрей Николаевич

1) Запись этой замечательной лекции была опубликована в журнале «Техника — молодежи» (1961, № 10,11) и позднее несколько раз перепечатывалась (см., например: Колмогоров Л. Н. Математика — наука и профессия. М.: Наука, 1988. С. 43-61). Пользуясь случаем, отмечу, что в некоторых своих публикациях я, к сожалению, допускал ошибку, когда писал, что эта лекция происходила в Актовом зале МГУ. В Актовом зале — с тем же фантастическим успехом — проходили другие лекции А. Н. Колмогорова (подробнее об этом см. в статье В. А. Успенского на с. 29-31 настоящего сборника).

попросил своего ученика Виктора Леонова (трагически погибшего в горах в 1960 г.) вести конспект на предмет издания в будущем этого курса в виде книги. Виктор вел этот конспект с необычайным тщанием, восстанавливая все бегло обозначенные или пропущенные места. Это требовало огромного труда. Фактически всю неделю — от лекции до лекции — он работал над совершенствованием текста. Наконец Виктор понес свое детище Андрею Николаевичу. Тот некоторое время листал огромную папку и потом воскликнул: «Боже, какой урод у нас с вами получился!» Когда Виктор потом рассказывал об этом, как нам было весело! Казалось — жизнь бесконечна, можно будет легко исправить этого «урода» и издать книгу (ведь курс был исключительно насыщенным и интересным). Но судьба распорядилась иначе: Виктор погиб, а Андрей Николаевич больше никогда не вспоминал ни о курсе, ни о написанном конспекте. Такая же судьба постигла многие прочитанные Андреем Николаевичем курсы и отдельные лекции1).

Еще об одном педагогическом нововведении мне хотелось бы здесь хоть вкратце упомянуть. Это — математический практикум, который придумал и которым некоторое время руководил А. Н. Колмогоров. (И здесь материалов, по-видимому, не осталось никаких, а участники, которых я спрашивал, сохранили лишь самые общие воспоминания.) Андрей Николаевич брал темы для практикумов, находившиеся на самом острие науки: предельные циклы (которыми занимался И. Г. Петровский), уравнения с малым параметром (их исследовали А. А. Дородницын, А. Н. Тихонов, Л. С. Понтрягин и Е. Ф. Мищенко), численные методы для дифференциальных уравнений (это была актуальнейшая тема в Отделении прикладной математики Математического института им. В. А. Стеклова). Я хочу подчеркнуть, что этими вопросами занимались в те годы крупнейшие ученые. Их труды отмечались орденами, званиями и премиями. А Андрей Николаевич силами студентов иногда продвигался дальше: уточнял асимптотики, совершенствовал методики, набирал необходимую статистику. Как жаль, что все это утрачено!

Разумеется, надо сказать и о его семинарах. Это вообще часть темы для специального исследования: семинары мехмата тридцатых — семидесятых годов! По моему мнению, мехмат МГУ в эти полвека был лучшим в мире учебным заведением по математике. И главная основа этого — мехматские семинары. Они выросли из скромного семинара

1) Пользуясь случаем, обращаюсь к читателям этой книги с просьбой поискать в домашних архивах материалы, связанные с педагогической деятельностью Андрея Николаевича Колмогорова: записи лекционных курсов и отдельных лекций, письма, фотоснимки, рисунки, вырезки из газет и журналов и др. Комиссия по научному наследию академика А. Н. Колмогорова (см. с. 12) будет благодарна за передачу ей таких материалов или информации о них.

Дмитрия Федоровича Егорова 1914 года с четырьмя основными участниками — П. Александровым, Д. Меньшовым, М. Суслиным и А. Хинчиным. А потом образовались такие замечательные семинары, как топологический кружок П. С. Александрова и П. С. Урысона, семинары А. Н. Колмогорова— А. Я. Хинчина по теории вероятностей, И. Г. Петровского — С. Л. Соболева — А. Н. Тихонова по уравнениям с частными производными, В. В. Степанова — В. В. Немыцкого по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Д. Е. Меньшова— Н. К. Бари по теории функций, А. И. Маркушевича — Б. В. Шабата по комплексному анализу, А. И. Плеснера по функциональному анализу, А. О. Гельфонда по теории чисел, В. Ф. Кагана по дифференциальной геометрии, семинары по уравнениям с частными производными О. А. Олейник и М. И. Вишика, не говоря уже о семинаре И. М. Гельфанда, просуществовавшем более 50 лет. Этот список можно продолжать и продолжать. А на смену этим семинарам наших учителей пришли замечательные семинары математиков следующих поколений — В. И. Арнольда, С. П. Новикова, Ю. И. Манина, Я. Г. Синая, В. М. Алексеева и др.

Среди самых интересных математических семинаров на мехмате был упомянутый уже семинар А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина по теории вероятностей, существовавший с конца двадцатых и до начала шестидесятых годов. Это была настоящая научная школа для всех вероятностников.

Но Андрей Николаевич был еще необыкновенным мастером организации «семинаров по случаю». Так, в 1953 году он объявил семинар по классической механике, где были заложены основания КАМ-теории; в 1955 году он объявил семинар по суперпозициям функций и сделал основное продвижение в решении 13-й проблемы Гильберта (а затем обобщил результат Арнольда, решившего проблему); в те же годы он объявил семинар по рекурсивным функциям, принесший большие плоды в математической логике; я был участником его замечательных семинаров пятидесятых годов по теории информации и динамическим системам, где едва ли не каждую неделю докладывались новые выдающиеся результаты.

Несколько раз уже возникала тема: А. Н. Колмогоров— глава замечательной математической школы. Здесь, где я говорю о роли Андрея Николаевича в истории мехмата, я хочу перечислить тех непосредственных учеников Андрея Николаевича, которые в разные годы работали профессорами нашего факультета. Это: В. М. Алексеев, В. И. Арнольд, Ю. К. Беляев, Л. Н. Большев, А. В. Булинский, И. М. Гельфанд, Б. В. Гнеденко, Р. Л. Добрушин, Е. Б. Дынкин, И. Г. Журбенко, В. М. Золотарев, Л. Д. Мешалкин, Ю. В. Прохоров, Ю. А. Розанов, Б. А. Севастьянов, Я. Г. Синай, В. М. Тихомиров, Ю. Н. Тюрин,

В. А. Успенский, С. В. Фомин, Г. Е. Шилов, А. Н. Ширяев, А. М. Яглом (возможно, я кого-то не вспомнил). С теплыми чувствами произношу я имена своих друзей и коллег, объединенных именем Андрея Николаевича Колмогорова. Мне кажется, мы не омрачили памяти нашего великого учителя недостойными поступками. Все мы сохранили благодарность к нашему учителю и чувство глубокой общности.

Настало время вернуться еще раз к научной биографии Андрея Николаевича и обсудить некоторые особенности его творческой манеры, во многом способствовавшей созданию столь значительной научной школы. Все познается в сравнении, и мне хочется сравнить творческие особенности Андрея Николаевича с творческой манерой его выдающихся коллег и современников.

Как-то Андрей Николаевич завел разговор о том, кого считать самым крупным из современных математиков. Из сказанного им следовало, что пытаться остановиться на каком-то одном имени бесперспективно: договориться не удастся. Существует как бы множество первых математиков. Оно сравнительно невелико, но достаточно определенно: если расспросить сотню-другую математиков, то они назовут примерно одни и те же имена. Во время разговоров с друзьями не раз возникала эта тема (особенно когда мы были молоды). Назывались — в качестве первых — сам Андрей Николаевич, И. М. Виноградов, С. Н. Бернштейн, И. Г. Петровский, Л. С. Понтрягин, И. М. Гельфанд. (Здесь упомянуты лишь математики советского периода.) Вполне допускаю, что можно было бы добавить и другие имена. Но давайте остановимся на этом списке, присоединив к этому собранию еще лишь имя Гильберта — безусловно, первого математика первой трети нашего века, ученого, которого очень высоко чтил Андрей Николаевич и о ком он написал так проникновенно в Большой Советской Энциклопедии. (Из зарубежных математиков, разумеется, можно было бы в рассматриваемом ряду назвать многих — Адамара, Брауэра, Г. Вейля, Гёделя, Зигеля, Э. Картана, А. Картана, Лебега, Лере и др.)

Есть одно фундаментальное отличие творческой манеры Андрея Николаевича от всех перечисленных математиков. Израиль Моисеевич Гельфанд как-то обронил в разговоре: «Математика — это марафон». В этом заключена глубокая мысль. И сам Гельфанд, и все остальные перечисленные выше математики, без всякого сомнения, были «марафонцами». А Андрей Николаевич принадлежал к другому типу творцов (впрочем, кроме него самого, подобных ему я не взялся бы назвать). Андрей Николаевич был, конечно, и «марафонцем», но главным образом он был «спринтером».

Что это значит? На протяжении многих лет и в печати, и в личных разговорах Андрей Николаевич часто приводил одно высказывание

Бориса Николаевича Делоне. Тот, выступая как-то перед школьниками на закрытии олимпиады, сказал, что творчество ученого-математика отличается от труда участника математической олимпиады лишь тем, что для решения олимпиадной задачи требуется что-то около часа времени, а для решения настоящей, глубокой математической проблемы требуется 5000 часов. Эта величина — 5000 часов — и характеризует труд математика-марафонца.

Однако всякий раз, когда в разговоре речь заходила о нем самом, Андрей Николаевич выражал явное смущение. У него этих пресловутых 5000 часов не получалось. В одном из последних интервью он сказал так: «Мне во всей истории моих научных открытий так уж самозабвенно, отключившись от всего другого, приходилось работать неделю, иногда, может быть, две, но не больше». Впервые я слышал подобное примерно сорок лет тому назад, когда Андрей Николаевич выступал перед моим курсом, и тогда он назвал значительно меньшую цифру — трое суток беспрерывных размышлений над примером почти всюду расходящегося ряда Фурье, завершившихся внезапным озарением. Тогда же было сказано, что этот результат так и остался самым трудным в его научной биографии. В конце жизни Колмогоров в качестве самого трудного результата называл теорему, впоследствии приведшую к решению проблемы Гильберта, и при этом упоминал уже о двух неделях неотступных размышлений.

По-видимому, эти случаи характерны для Андрея Николаевича. Он умел концентрировать огромную энергию на сравнительно коротком отрезке времени. Подобные аккумуляции энергии порождали мощнейшие взрывы, и в, казалось бы, неприступных крепостных стенах образовывались зияющие бреши. Туда устремлялись десятки, иногда сотни и даже тысячи исследователей. А сам Андрей Николаевич обычно оставался в стороне от всего этого, и мысли его были уже направлены к другим целям. Это многократно случалось на моих глазах. И вообще, быть может, с этой точки зрения будет интересно взглянуть на всю творческую биографию Андрея Николаевича.

Первая значительная работа была выполнена им по дескриптивной теории множеств, под воздействием курса, читавшегося Павлом Сергеевичем Александровым. Андрея Николаевича озарила возможность соединения основной идеи Александрова, приведшей к построению А-множеств, с основной идеей Суслина, доказавшего, что запас А-множеств шире запаса B-множеств. В итоге были заложены основания теории операций над множествами. Эта работа не была понята Лузиным, и потому первая часть ее была опубликована лишь через семь лет — в 1928 году. (Вторая часть, найденная в бумагах Андрея Николаевича в 1986 году, была опубликована в 3-м томе избранных сочинений

А. Н. Колмогорова в 1987 году.) Больше этой проблематикой Андрей Николаевич не занимался. Впоследствии теория разрослась очень широко, и труд Андрея Николаевича по праву занял место одного из истоков нового направления.

Затем последовало крупнейшее открытие начального периода творческой деятельности Андрея Николаевича (мы говорили о нем выше) — был построен почти всюду расходящийся ряд Фурье. Теорией тригонометрических и ортогональных рядов Андрей Николаевич занимался еще некоторое время, но затем его интересы сместились в сторону теории вероятностей (которой он несколько лет занимался в тесном сотрудничестве с А. Я. Хинчиным). В начале 30-х годов его усилия увенчались двумя фундаментальными трудами, о которых уже упоминалось: «Об аналитических методах теории вероятностей» и «Основные понятия теории вероятностей». Наряду с этими «марафонскими» сочинениями1) было и несколько «спринтерских» озарений — в частности, таковы его исследования по математической логике, его замечательная работа по математической статистике и выдающийся цикл топологических работ (в которых он, одновременно с американским математиком Александером, ввел важнейшее понятие топологии — «верхние гомологий»). Все это произошло в 30-е годы. Здесь же и две его краткие заметки по теории аппроксимации, заложившие основы нового фундаментального направления, решение проблемы о повышении размерности при открытом отображении и ряд других замечательных результатов. Конец 30-х и начало 40-х годов были посвящены теории турбулентности. Эти исследования имели и «марафонскую» компоненту.

В 40-х годах им была построена теория стрельбы (и здесь имелись «марафонские» элементы) и заложены основания теории так называемых ветвящихся процессов (а это, пожалуй, «спринтерское» достижение). И вот я снова возвращаюсь к 50-м годам.

Началось все со внезапного великого озарения, приведшего к основанию КАМ-теории. Буквально через десять лет число исследователей, использовавших метод Андрея Николаевича, исчислялось десятками, а сам Андрей Николаевич опубликовал лишь две заметки в «Докладах АН СССР», прочитал спецкурс на мехмате и сделал большой доклад на Амстердамском конгрессе. В 1955 году его начала интересовать уже теория информации. Но «случайно» ему довелось «почти» решить 13-ю проблему Гильберта (ценою колоссального, как было сказано, напряжения): он доказал, что любая непрерывная функция четырех и более

1) К ним надо присоединить еще и его большое сочинение по теории интеграла, которым Андрей Николаевич очень гордился; к сожалению, оно не сыграло той роли в математике, на которую он рассчитывал.

переменных представима в виде суперпозиции непрерывных же функций трех переменных. И снова он не стал работать над окончательным решением проблемы (и прямо объявил об этом). Решил проблему В. И. Арнольд, тогда студент третьего курса.

...Как-то летом 1957 года я приехал в Комаровку, и вот что мне рассказал Андрей Николаевич. Оказывается, за день до того, при обдумывании конструкций, приведших к решению 13-й проблемы Гильберта, Андрея Николаевича вдруг осенило и он нашел необычайно простой новый подход к решению проблемы, с некоторым даже усилением результата Арнольда. К моменту моего приезда была уже написана заметка в ДАН! Точно так же случилось и с проблемой фон Неймана (стоявшей свыше двадцати лет и которой занимались все специалисты по динамическим системам) о том, является ли спектр полной характеристикой динамической системы. И снова, во время одного из моих посещений Комаровки, Андрей Николаевич вдруг говорит: «Энтропия — это инвариант, а одного спектра недостаточно». Снова произошло мгновенное озарение, прорыв, и в образовавшуюся брешь ринулись десятки исследователей, среди которых были математики самого первого ранга; сам же Андрей Николаевич, как это часто бывало, ограничился заметкой в ДАН лишь об этом изначальном результате. Или вот еще один случай. Однажды едем мы с Андреем Николаевичем в Ленинград на конференцию. Вечером беседуем в коридоре вагона о разном. И вдруг он мне говорит, что ему только что пришла в голову (тут же, во время разговора!) мысль о том, что энтропия может быть инвариантом и при линейных отображениях линейных топологических пространств. И снова вскоре была написана заметка, и снова этой темой заинтересовались очень многие математики, а Андрей Николаевич, на моей памяти, никогда даже и не полюбопытствовал, что же происходит в этой области.

Насколько можно судить, ничего похожего не было ни с кем из перечисленных мною «первых» математиков. Наиболее яркой противоположностью Колмогорову был как раз Гильберт. Благодаря «спринтерской» особенности своего творческого гения Андрей Николаевич успел проникнуть в огромное число вопросов, проблем, тем. Я в одной из своих статей, посвященных Андрею Николаевичу, перечислил около сорока направлений в математике, естествознании, гуманитарных науках, где он оставил фундаментальный след (не исчерпав, по-видимому, всего им созданного). Почти всюду исследования Андрея Николаевича были трудами первооткрывателя, а создание теорий, разработка открытых им новых территорий — все это выпадало на долю других. Гильберт же занимался лишь восемью темами, но занимался с полной сосредоточенностью, в течение многих лет, а иногда — десятилетий, стараясь добраться «до оснований, до корней, до сердцевины». Похожи творческие

биографии С. H. Бернштейна, И. М. Виноградова, И. Г. Петровского, Л. С. Понтрягина. (Особый случай — И. М. Гельфанд: он всегда работал с сотрудниками, в то время как остальные трудились в одиночку. Как и Андрей Николаевич, он занимался очень многими проблемами. Но он-то — несомненный «марафонец».)

Из того, что было сказано, вытекает, что от Андрея Николаевича всегда исходило огромное число идей, и они-то и питали учеников, работавших рядом с ним. Андрей Николаевич не работал вместе с учениками; он, собственно, и не учил их в общепринятом смысле этого слова. Он просто сеял проблемы, гипотезы, идеи, методы — на лекциях, во время прогулок, за чаем в Комаровке... Это были всегда проблемы с дальним прицелом, в них была не только математическая, но и общенаучная (или философская) загадка. И если человек ступал на какую-то стезю, то дальше он двигался вперед уже самостоятельно и никогда не мог сказать, что все уже сделано...

Завершая тему творчества, хотел бы обсудить еще одну загадку в судьбе Андрея Николаевича. Мы много беседовали с ним обо всем, однако один странный вопрос возник у меня тогда лишь, когда спросить у Андрея Николаевича было уже невозможно... Вопрос простой: почему Андрея Николаевича не привлекали к сверхсекретным работам?

Начинал с 30-х годов с каждым годом все расширялась могущественная тайная империя, назначением которой было создание и совершенствование современного оружия. В этой империи было множество независимых федераций. В одной производилось атомное (а затем и термоядерное) оружие, в другой создавали спутники и баллистические ракеты, в третьей отрабатывались типы сверхзвуковых самолетов, в четвертой производили атомные подводные лодки, в пятой разрабатывались системы секретной связи и шифровки... Вряд ли я назвал все и точно — ни к чему подобному никогда не имел ни малейшего отношения. Но я жил в этой стране, и совсем ничего не знать про эту великую империю было невозможно. Сейчас секреты постепенно стали раскрываться. Видны и масштабы этой беспредельной империи. Стали известны некоторые из ее руководителей — партийных и научных. Там трудились рабочие, служащие, инженеры, техники и огромное число ученых всех специальностей. Разумеется, в том числе и математики, причем из известных математиков — фактически все. И особенно удивляет отсутствие среди них А. Н. Колмогорова. Посмотрите: Н. Н. Боголюбов работал над атомной программой, жил в Арзамасе; И. М. Гельфанд был одним из лидеров советской вычислительной математики, работавшей на атом и космос; А. О. Гельфонд был занят проблемами шифровки; о М. В. Келдыше и говорить не приходится; М. А. Лаврентьев занимался самыми разнообразными проблемами вооружения, включая атомное;

Л. А. Люстерник работал в секретном отделе ОПМ1) с первых дней войны, а затем был одним из пионеров программирования; Л. В. Канторович был на секретных работах, связанных с вычислительной математикой; И. Г. Петровский был консультантом по важнейшим проблемам атомной и космической науки; С. Л. Соболев заведовал вычислительным центром при И. В. Курчатове; А. Н. Тихонов за секретные работы получил в 1953 году звание Героя Социалистического Труда... Кого же из математиков, членов академии, обошла чаша сия? П. С. Александрова, И. М. Виноградова, Н. Н. Лузина и А. Н. Колмогорова... То, что Александрова, Виноградова и Лузина могли не пригласить на секретные работы, можно понять: их специализация была слишком далекой от техники, — но Колмогоров! Один из величайших ученых того времени, истинный натурфилософ, специалист в актуальнейших вопросах механики, физики, гидромеханики и аэромеханики, турбулентности, теории вероятностей, классического анализа, логики — словом, всего!

В Америке активнейшим образом на секретных работах использовали труд математиков, конкурировавших так или иначе с А. Н. Колмогоровым (хотя он один, быть может, стоил их всех). Я имею в виду фон Неймана, Винера, Улама, Стоуна, Тьюринга, Шеннона и других. В 1939 году Андрей Николаевич выступает на Московском математическом обществе с докладом о стационарных последовательностях в гильбертовом пространстве. Соответствующий труд Винера, сделанный позже, был засекречен, ибо решал секретные проблемы радиолокационного управления авиацией. В 1947 году Колмогоров публикует две работы по ветвящимся процессам (совместно с Н. А. Дмитриевым и Б. А. Севастьяновым). Через некоторое время его берет сомнение, не является ли эта тема секретной. Выясняется, что это так, и дело доходит до того, что у Севастьянова забирают его собственную кандидатскую диссертацию и запрещают ему пользоваться ею. Несомненна исключительная роль турбулентности в самых разнообразных исследованиях секретного характера. Или теория информации — с какой скоростью Андрей Николаевич вышел на самые передовые позиции, как только были сняты грифы секретности с исследований Шеннона и они были опубликованы! А как много мог он сделать, если бы был вовремя привлечен к этой тематике! Трудно представить себе, сколько мог сделать Андрей Николаевич и для вычислительной математики, и даже для конструирования вычислительных машин... Однако государство предпочло обойтись без него. Почему? Я не знаю ответа. (Может быть, именно благодаря тому, что Андрей Николаевич не был задействован

1) Отделение прикладной математики. Ныне — Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН.

в секретных исследованиях, как-то в 1956 году он, встретив меня, тогда студента пятого курса, в коридоре мехмата, сказал: «У меня сейчас много свободной энергии, я набираю дипломников. Не согласитесь ли вы работать со мной?» Этот разговор определил мою судьбу.)

И, вероятно, это же обстоятельство — непричастность к секретности — сыграло самую положительную роль в дальнейшей судьбе самого Андрея Николаевича. Как только умер Сталин, приоткрылись двери на Запад. Андрей Николаевич в 1954—1955 годах побывал в Голландии (на Международном конгрессе), во Франции, в Швеции, в ряде других стран. На него как из рога изобилия посыпались награды и звания, свидетельствовавшие о признании его научных заслуг. Его избирают в Национальную академию наук США, Парижскую академию, Лондонское королевское общество, в различные академии Западной и Восточной Европы. А некоторые его коллеги, наиболее плодотворную часть жизни посвятившие секретным работам, не получили признания, адекватного их дарованию. Многие именно этим объясняют то единодушие и ту безжалостность, с которыми в начале 80-х годов некоторыми его коллегами по Академии были отвергнуты усилия Андрея Николаевича по реформе математического образования.

А в заключение мне хочется сказать несколько слов не о великом ученом, не о реформаторе и просветителе, а о человеке — добром, трогательном, во многом счастливом, в чем-то глубоко несчастном.

...Когда я закрываю глаза, передо мной попеременно предстают два человека. Один — стремительный, полный сил и энергии, спортивный, исполненный оптимизма... Но картинка меняется, и я вижу больного старика, неподвижно сидящего в кресле, совершенно беспомощного и молчаливого. Я подхожу к нему, дотрагиваюсь до его плеча и спрашиваю: «Андрей Николаевич, как вы?» И он всегда отвечает одно и то же, и до сей поры сжимается мое сердце. Он еле слышно, с трудом произносит: «Живу...» И замолкает.

Последние годы его были очень тяжелы, и даже сейчас об этом больно вспоминать. Значительное ухудшение здоровья Андрея Николаевича в этот период резко нарушило привычный ритм и сам стиль его жизни — с активной творческой работой, с живым общением с очень многими людьми, с длительными прогулками пешком и на лыжах и купанием в любую погоду... Нарастающая потеря зрения и прогрессирующая затрудненность движений привели к тому, что ставшая потребностью ежедневная работа за письменным столом, чтение книг и статей, подготовка собственных рукописей, обсуждение совместной работы с учениками и молодыми сотрудниками, не говоря уже о былых физических нагрузках, — все это вдруг сделалось практически невозможным.

Деятельная натура Андрея Николаевича не могла смириться с этим: он упрямо противился судьбе. В этой борьбе с недугом посильную помощь оказывали его близкие, ученики, сотрудники. Поначалу помощь касалась научной и педагогической работы Андрея Николаевича, но затем должна была постепенно охватить все стороны его жизни. Организацию регулярных, ежедневных дежурств и все связанные с этим хлопоты взял на себя ученик Андрея Николаевича А. В. Прохоров. Здесь трудно перечислить всех людей (их более 40), которые принимали участие в дежурствах, и рассказать о роли и вкладе каждого. Все же хочу назвать тех, на долю кого пришлась самая тяжелая часть ухода за больным Андреем Николаевичем. Это Ася Александровна Буканова, сиделка и поистине сестра милосердия, и совсем тогда молодые люди — Юрий Усенко и Андрей Летчиков, выполнявшие, помимо регулярного участия в дежурствах, также обязанности секретарей при Андрее Николаевиче по МИАНу и МГУ.

Хочу в заключение привести несколько цитат (с некоторыми небольшими пояснениями) из последнего интервью Андрея Николаевича, публикуемого в этом сборнике (см. с. 185-212).

Интервью Андрей Николаевич давал Александру Николаевичу Марутяну, режиссеру студии «Центрнаучфильм», решившему снять фильм о Колмогорове. Молодой кинорежиссер проникся глубочайшим уважением к Андрею Николаевичу, и интервью получилось содержательным и интересным. Многое в этом интервью, высказанное на исходе жизни человеком тяжело больным и несчастным, своеобразно оттеняет весь облик Андрея Николаевича. Я хочу показать это на двух примерах.

Вот первый. Речь зашла о математике и математиках, их значении в настоящем и будущем. А. Н. Марутян спрашивает: «Можно ли сказать, что математика — это наиболее „впереди идущая“ или „вперед смотрящая“ наука?»

Какой напрашивается ответ? — «Да, разумеется!» Помните, сколько раз в своих публикациях Андрей Николаевич говорил что-то вроде: «Нашей стране необходимо иметь много математиков-исследователей, способных делать открытия...» и т. п. Однако Андрей Николаевич отвечает: «Нет» — и продолжает: «Я думаю, что просто человечеству достижения математики оказываются нужными. А нам, математикам, она доставляет такое внутреннее наслаждение. И, по-моему, самое лучшее решение — это такое мирное сосуществование. У меня был один приятель, такой чистый гуманитарий, который говорил, что, с его точки зрения, математики — это такие полезные домашние животные, что надо относиться к ним вот именно с такой утилитарной точки зрения... Поскольку техника нужна, то, значит, нужна и математика, и нужно ублажать достаточно математиков, давать им жить, пусть себе зани-

маются...» Вот тебе и на! Не цари, не принцы, а всего только полезные домашние животные! И пусть себе занимаются...

Второй фрагмент. И снова о том же, все о том же — о будущем... Все началось с такого вопроса А. Н. Марутяна: «Андрей Николаевич, когда-то были времена — скажем, Архимеда или даже Ньютона, — когда изучение окружающего мира находилось в сфере доступности просто для образованного человека. Сейчас, увы, это уже не так. Потому что в силу своего образования можно что-то понимать, и то очень немного, лишь в какой-то одной теоретической области. Как вы считаете, такое положение — естественный результат развития человеческого общества или это этап, через который мы пройдем и, может быть, снова вернемся к какому-то общему пониманию?»

Андрей Николаевич начинает издалека и как бы не на тему: «Вы знаете книжку Шкловского „Вселенная, жизнь, разум“? Там он определенно говорит, что развитие каждой культуры, если оно не будет остановлено какими-то такими катастрофическими событиями — ну, все мы понимаем, что может произойти с человечеством сейчас, — так, по Шкловскому, если никаких таких катастрофических причин уничтожения цивилизации не оказалось, то цивилизация заканчивается таким этапом потери интереса к технике, — вы помните у него? Вероятно, это все-таки правильно...»

А. Н. Марутян переспрашивает: «Что значит „потеря интереса к технике“? Вы хотите сказать, что человечество начинает заниматься больше какими-то гуманитарными проблемами?» И тут Андрей Николаевич снова отвечает совершенно неожиданно — этого я никогда от него не слышал раньше и даже не подозревал, что такой ответ может находиться в сфере его сознания. Андрей Николаевич говорит так: «Даже не гуманитарными проблемами, а вообще возможен такой возврат к более элементарной и детской радости от жизни». Вот такие удивительные и очень трогательные слова...

Давайте закончим на этой ноте. И пусть каждый найдет свое: радость открытия, радость творчества, радость человеческого общения или просто — элементарную, детскую радость от жизни!

Колмогоровские рейсы1)

А. С. Монин

Андрей Николаевич Колмогоров не без гордости говаривал, что один из его учеников — это был А. М. Обухов — «заведует атмосферой», а другой, автор настоящей заметки, «заведует океанами». Однако, когда А. М. Обухов организовывал длительные полеты на свободных аэростатах для измерений турбулентности в свободной атмосфере и летали мы все по очереди — сам А. М. Обухов, А. М. Яглом и я, вопрос о личном участии Андрея Николаевича в этих полетах не возникал. Во всяком случае, мне об этом ничего не известно. Думаю только, что А. М. Обухов вряд ли решился бы взять на себя ответственность за полеты Андрея Николаевича.

Пробыв четыре года на посту директора Института океанологии Академии наук и убедившись, что плавания на судах института безопасны, плодотворны и достаточно комфортабельны, я предложил Андрею Николаевичу принять участие в одном из наших рейсов, посвященном изучению океанской турбулентности, и он быстро и легко согласился. Надо сказать, что ничего сверхъестественного в этом приглашении не было. Мы и тогда, и позже регулярно практиковали участие в наших рейсах специалистов из других научных учреждений. Это расширяло наши возможности, повышало научный уровень проводимых в рейсах исследований и давало шансы на получение новых идей от приглашавшихся в рейсы крупных ученых.

Ближайшим рейсом, подходящим по научной тематике, был второй рейс нашего научно-исследовательского судна «Дмитрий Менделеев». Это было молодое судно, 1968 года постройки, большое — водоизмещением 6838 тонн, длиной 124, шириной 17 и осадкой 6 метров, бравшее на борт 157 человек, из них 81 члена экипажа и 76 сотрудников научной экспедиции. (Экспедиционных работников можно было бы брать

1) В дополнение к этому очерку А. С. Монина, рассказывающему об участии А. Н. Колмогорова в двух рейсах научно-исследовательского судна «Дмитрий Менделеев», ниже в разделе «Материалы к биографии» (с. 224-231) публикуются некоторые архивные материалы об этих экспедициях, любезно предоставленные нам Институтом океанологии им. П. П. Ширшова РАН. — Прим. сост.

больше за счет сокращения экипажа, но этому препятствовали профсоюзные законы, по которым моряки не должны были работать более восьми часов в сутки; они охотно работали бы и больше, но за повышенную зарплату, однако она-то и была строго ограничена. Из-за этого моряки, в противоположность «научникам», имели в рейсах ежедневно многочасовой досуг.)

С названием этого судна связан курьез. Академические чинуши, присвоившие себе право наименования новых судов, решили, что каждое большое судно должно называться «Академик такой-то». Моя попытка назвать одно из судов «Бегущая по волнам» не имела успеха. Судно назвали «Академик Менделеев», провели это название через высокоученую коллегию — Президиум АН СССР — и направили на утверждение в Совет Министров РСФСР. Лишь там нам удалось доказать, что Дмитрий Иванович Менделеев не был академиком: его коллеги, фамилии которых ныне заслуженно забыты, не прощали ему ни таланта, ни характера. В результате судно стало «Дмитрием Менделеевым». Впрочем, традиция чинуш все же сохранилась и в дальнейшем.

Во втором рейсе Андрей Николаевич формально занимал «должность» заместителя начальника рейса по научной работе, начальником же рейса был назначен наш сотрудник, доктор наук Ростислав Озмидов. При этом мы исходили из того, что такое распределение ролей предоставит Андрею Николаевичу большую свободу действий, так как на начальника рейса падает масса администрирования, включая не всегда простые взаимоотношения с капитаном и экипажем судна (капитаном был Михаил Соболевский).

Нам хотелось, чтобы Р. В. Озмидов продолжил достижения колмогоровской школы в область изучения океанической турбулентности, хотя, не будучи по существу теоретиком, он был ограничен в своих возможностях. Главной же задачей рейса нам виделось испытание и опытное применение образцов океанских турбулиметров, созданных в нашем ОКБ под руководством Ефима Кузнецова по заказам того же Р. В. Озмидова, а также в Атлантическом отделении института по инициативе талантливого инженера В. Т. Паки. Здесь, правда, была заложена и некоторая конкуренция. Видимо, все это, к сожалению, не дало оптимальных условий для работы Андрея Николаевича. Теперь, задним числом, думается, что лучше было бы отложить его первый рейс до той поры, когда я сам смог бы пойти вместе с ним.

Тот рейс «Дмитрия Менделеева» занял 87 суток. Судно вышло из Калининграда, зашло в Рейкьявик (Исландия), после чего совершило колоссальный пробег по меридиану до Рио-де-Жанейро (забежав по дороге в Конакри, Гвинея, чтобы сдать в посольство заболевшего члена экспедиции), а на обратном пути заходило в Дакар (Сенегал) и в

Гибралтар. Такой пробег из Северного в Южное полушарие вряд ли был необходим для испытаний новых турбулиметров, но туристические интересы большинства участников, вероятно, были удовлетворены полностью. Хочется верить, что и Андрей Николаевич увидел много для себя интересного.

Начальник рейса регулярно присылал нам в Москву радиограммы с длинными перечнями выполненных работ — оборудования гидрологических станций, зондирований приборами на кабелях в дрейфе судна, буксировок и т. п. Стремление рапортовать было некоторой слабостью начальника рейса, о которой мы знали. Однако обращало на себя внимание то, что перечисление работ не сопровождалось упоминанием о научных открытиях.

От первых же прибывших в Москву участников экспедиции я уже получил некоторое представление об обстановке, сложившейся в рейсе. И тем не менее, встретив Андрея Николаевича на Белорусском вокзале в Москве с поездом «Янтарь» из Калининграда, я все-таки спросил о его впечатлениях о рейсе и о людях. Он выглядел невеселым и скучно ответил: «Все было нормально». Я отнес это отчасти к утомлению от суточного пребывания в поезде (да еще летом), да и понятно мне было, как человека охватывают заботы и хлопоты, от которых он оторвался, отправившись в длительное путешествие. Но чувствовалось все-таки, что дело не только в этом.

Я спросил, что наиболее интересного было по науке. И тут Андрей Николаевич оживился и с некоторой даже запальчивостью сказал, что главное, что он сделал, это закрытие ряда недостоверных открытий — путем воспрепятствования их изложению в радиорапортичках.

— А пойдете ли вы еще в рейсы?

— В этой компании — нет, — ответил он решительно.

— А со мной пойдете?

— С вами — пойду.

Это меня несколько успокоило.

Через полтора года, в январе 1971 года, мне удалось организовать еще один рейс, в который я смог пойти сам и пригласить Андрея Николаевича. Это был пятый рейс того же «Дмитрия Менделеева», с тем же капитаном Михаилом Соболевским, а функции начальника рейса мне пришлось взять на себя. Нам предстояло перегнать судно из Калининграда во Владивосток. (Оно было построено в ГДР и первые свои четыре рейса провело из Калининграда, но предназначалось для Владивостока, где у нашего института было Тихоокеанское отделение.) Таким образом, нам с Андреем Николаевичем предстояло совершить кругосветное путешествие: выехать из Москвы в Калининград, идти на судне на запад до Владивостока и оттуда вернуться в Москву.

Программа рейса была посвящена, во-первых, тому, что Андрей Николаевич назвал «статистической гидродинамикой океана», — изучению мелкомасштабных гидрофизических процессов (турбулентности и вертикальной тонкослойной микроструктуры) в верхнем слое океана на фоне крупных океанских течений — северного пассатного течения в Атлантике, течений Саргассова моря, включая Гольфстрим, пассатных и экваториальных течений в Тихом океане и, наконец, тихоокеанского аналога Гольфстрима — течения Куросио. Во-вторых, была поставлена широкая программа специальных гидрооптических измерений, причем надо отметить, что гидрооптика в нашем институте имела высокий научный уровень, не уступавший классу специальных физических институтов (ею у нас в институте, и в том числе в пятом рейсе, руководил профессор Кусиель Соломонович Шифрин).

Андрей Николаевич взял на себя функции научного руководителя гидрофизического раздела экспедиции, посвященного исследованиям по динамике и термике океана. Этими вопросами в экспедиции занимались пять отрядов, вооруженных разнообразной аппаратурой, в том числе рядом новых и, к сожалению, не вполне еще отлаженных приборов. Андрею Николаевичу пришлось потратить немало усилий и времени (может быть, даже наибольшую часть своего рабочего времени) на выяснение их точности, аккуратности их тарировок и наличия различных методических помех, искажающих их показания.

Меня нередко огорчало, когда я видел, на какие, в общем, нехитрые задачи великому математику приходилось тратить свое время. Но любые попытки подменить его в этих задачах он решительно отклонял, настойчиво сохраняя за собой контроль за качеством всех производившихся измерений. Поняв это, я от таких попыток быстро отказался. Впрочем, я и раньше знал, что такое отношение к делу свойственно характеру Андрея Николаевича.

Лучше всего это отношение он выразил сам в своем последнем интервью-беседе с А. Н. Марутяном1): «По существу прикладной математик, когда он решает задачу из гидродинамики, скажем, — вот как я занимался гидродинамикой океана, — то он занимается, собственно, проблемами гидродинамики океана математическими средствами... Математикам всегда хочется, чтобы математика была как можно более „чистой“, то есть строгой, доказательной. Но обычно самые интересные реальные задачи, которые нам ставят, бывают на этом пути недоступны. И тогда очень важно, чтобы математик сам умел находить приближенные, нестрогие, но эффективно действующие пути решения задач. Во всяком случае, для меня это всегда было так, что если я за-

1) Эта беседа публикуется в настоящей книге (см. с. 185-212). — Прим. ред.

нимаюсь турбулентностью, то я занимаюсь турбулентностью... Я, во всяком случае, наиболее ценю этот тип прикладных математиков, которые, собственно, вообще перестают быть математиками, а просто решают физические задачи — если можно, то аккуратно, „чистыми“ методами, если нельзя, то делают гипотезы».

Интервьюер спросил его: «Значит, вы за гибкость мышления?» Он ответил: «И за непосредственное участие, где можно, и в эксперименте вместе с физиками».

Он говорил о себе: «Я — математик. Я хочу считать себя математиком». Но я думаю, что он был больше чем математиком, и больше чем великим математиком. Он был Естествоиспытателем и старался прививать это и нам.

В годы колмогоровских рейсов гидрофизика океана переживала рождение нового открытия — вертикальной тонкослойной микроструктуры океана. Сначала в лабораторных опытах Генри Стоммела и Джона Тернера, а затем и при отдельных измерениях в океане было замечено, что устойчиво стратифицированная жидкость (плотность которой достаточно быстро возрастает с глубиной) иногда распадается на квазиоднородные слои, отличающиеся друг от друга по температуре, солености и другим характеристикам. Раньше этого не замечали, потому что температуру и соленость измеряли в воде, поднятой на борт судна с нескольких глубин специальными бутылками — батометрами. Непрерывные же дистанционные измерения опускаемыми на кабелях приборами (в которых, кстати, вместо солености измерялась электропроводность воды) сразу обнаружили ступенчатость вертикальных профилей температуры и солености.

Для исследований по этой проблеме в нашем институте был создан цифровой термосолезонд АИСТ — автоматический измеритель солености и температуры. Именно с этой «птицей» больше всего пришлось повозиться Андрею Николаевичу. И, несмотря на ненадежность тарировки электропроводности и сбои в работе арифметического устройства, АИСТ в конце концов помог нам понять, что вертикальная тонкослойная микроструктура распространена в океане почти повсеместно.

Поэтому было желательно найти физический механизм повсеместного порождения тонкослойной микроструктуры. Нашей гипотезой было расплывание перемешанных пятен, образующихся при опрокидывании постоянно присутствующих в океане внутренних волн. Конкурирующей гипотезой была «двойная диффузия», создаваемая различием коэффициентов молекулярной диффузии тепла и соли в морской воде (тепло диффундирует в сто раз быстрее), но этот механизм мог действовать не повсеместно, а только в слоях с одинаковыми знаками вертикальных градиентов температуры и солености. Какой из этих двух

механизмов эффективнее? Тогда такой вопрос еще только зарождался. Потом были построены в общем примитивные, но, к сожалению, алгоритмически несколько усложненные количественные критерии для различения прослоек «интрузионного» и «диффузионного» происхождения, однако их формальное применение, без различения определяющего мезомасштабного фона, привело лишь к топтанию на месте.

Теперь мы знаем, что «слои» имеют отчетливые «края», то есть являются скорее «линзами» (или «блинами»), и надо изучать не просто слоистость, а трехмерную структуру, например при помощи специальных буксируемых приборов — термотралов.

Предварительный опыт таких буксировок накапливал упоминавшийся выше Вадим Пака. Тогда, в пятом рейсе, он буксировал турбулиметры, помещенные в специальные хорошо обтекаемые гондолы, а также цепочки температурных датчиков — термотралы. Работа у Вадима ладилась, отряд работал дружно, как камерный оркестр, которым он дирижировал, ловко управляя размахом сигналов на перьях самописцев, чтобы увеличить наглядность записей. Сидеть рядом и наблюдать за ходом буксировок нравилось и Андрею Николаевичу, и мне. Да и вообще, лишний раз заглянуть в лабораторию Паки всегда было приятно: угощали кофейком, рассказывали интересные вещи. Вадим Пака был, что называется, человеком умелым (причем здесь я хочу противопоставить это определение человеку неумелому, каковых, как известно, немало, а никак не человеку разумному, как это делается в антропологии, где «хабилисы» считаются предшественниками «сапиенсов»).

После пятого рейса Андрей Николаевич пригласил В. Т. Паку на полугодичную стажировку в Московский университет. Относительно скоро после этой стажировки Вадим представил и защитил в МГУ докторскую диссертацию об исследованиях внутренних волн в океане при помощи буксировок термотралов. А несколько позже он стал директором Атлантического отделения Института океанологии, где успешно управляется и в настоящее время.

Не имея в виду более задерживаться здесь на научной работе Андрея Николаевича в этом рейсе «Дмитрия Менделеева», я хочу рассказать еще об одном, скорее административном, вопросе, его затронувшем. Однажды я получил радиограмму из Москвы с просьбой к Андрею Николаевичу поддержать выдвижение на Государственную премию коллектива во главе с И. Д. Папаниным за создание серии научно-исследовательских судов, в которую входил и «Дмитрий Менделеев». Я сам отнесся к такой просьбе спокойно: мы все были приучены к тому, что Государственные премии (да и другие знаки отличия) присуждались в большинстве случаев не из чисто научных, а главным образом из политических соображений, когда выдающиеся ученые и инженеры

зачастую фигурировали в одном списке со знатными доярками (так, по моему мнению, происходит и теперь, и справедливого порядка в сколько-нибудь близкой перспективе пока не видно).

Я тогда сразу как-то не подумал, что эта просьба ставила Андрея Николаевича в неловкое положение. Его же она чрезвычайно рассердила. Пару дней он со мной даже не разговаривал, а потом дал понять, что оформление заказов на корабли и судовое оборудование и какой-то контроль за исполнением этих заказов не являются выдающимся научным или техническим достижением, заслуживающим присуждения Государственной премии. К тому же рассматриваемая серия судов конструировалась и строилась даже не в СССР, а в ГДР, да еще всего лишь путем модификации пассажирского судна «Михаил Калинин». Были у Андрея Николаевича и другие возражения. Я, конечно, взялся послать в Москву любой ответ, какой он захочет, но он предпочел послать уклончивый ответ сам.

Одной из любимых форм отдыха Андрея Николаевича было прослушивание хорошей музыки. Он взял с собой в рейс много пластинок, мы же отдали ему ключ от лучшего судового проигрывателя, смонтированного в малом конференц-зале. И не реже одного раза в неделю он устраивал по вечерам для всех желающих концерты, чаще всего из произведений Вивальди и Баха, на которые собиралось несколько десятков любителей из числа экспедиционных работников и моряков. Пожалуй, моряков приходило даже и побольше. Море — оно располагает к размышлению. Как и музыка.

Своей научной увлеченностью, демократичностью и интеллигентностью Андрей Николаевич завоевал в наших рейсах всеобщую любовь. Его каюта — передняя по правому борту верхней жилой палубы, соседняя с каютой капитана, — навсегда названа «каютой Колмогорова».

Пятый рейс «Дмитрия Менделеева» продолжался 113 суток. Судно прошло маршрут протяженностью более двадцати шести тысяч морских миль. Оно заходило в пять портов и совершало высадки на ряд островов. Стоит отметить, что во время этих заходов и высадок Андрей Николаевич нередко уклонялся от участия в компаниях с судовым и экспедиционным начальством и от посещения местных административных и дипломатических учреждений. Обычно он предпочитал собирать небольшие компании спортивной молодежи и отправлялся купаться на дальние пляжи.

Хочется вспомнить места, в которых нам удалось побывать в пятом рейсе вместе с Андреем Николаевичем. Проход сквозь битый лед Балтики по выходе из Калининграда. Кильский канал, заканчивающийся местечком Брунсбюттелькоог. Па-де-Кале и просвечивающие справа сквозь дымку белые скалы Дувра. Жестокий шторм, захвативший нас,

как полагается, в середине Бискайского залива и трепавший трое суток вдоль всей Португалии и южнее ее (так что одна из лаборанток после этого чуть не месяц отказывалась от еды, пока я не припугнул ее угрозой высадить на берег для отправки домой самолетом, — это помогло).

Переход на запад по пассатной зоне. Стаи летучих рыб. Саргассово море с плавающими на его поверхности крупными водорослями — саргассами — с маленькими шариками в качестве поплавков. Измерение бешено меандрирующих зимних фронтов Саргассова моря, местами образующих трехэтажные структуры, как фронты окклюзии в атмосфере. Буксировка приборов поперек Гольфстрима по направлению к флоридскому мысу Канаверал. Ощущение мощности струи Гольфстрима и крутизны его северной «стены».

Заход на Ямайку, где нам вначале было разрешено выйти в город и посетить университет, закончился неудачей: проамериканское правительство предпочло продемонстрировать свою антисоветскую позицию, отменив после первой высадки все разрешения и через сутки стоянки отправив нас восвояси. Хорошо еще, корабельный агент снабдил нас по дешевке отличным ямайским ромом.

После этого мы не без опасения пошли в Панамский канал, оцепленный с обеих сторон морской пехотой США. Он являет собой географический парадокс: из-за перегиба Панамского перешейка его атлантический вход находится западнее тихоокеанского выхода. Стоянка на этом выходе запомнилась стаями огромных пеликанов, похожих на птеродактилей, и изобилием страшно ядовитых морских змей на поверхности воды. В модернистском Панама-Сити мы заходили в посольство Эквадора, чтобы оформить (т. е. оплатить) посещение знаменитых Галапагосских островов — тех самых, на которых Чарльз Дарвин, наблюдая разновидности зябликов, строил основы своей теории происхождения видов. Теперь на островах национальный парк и Дарвиновская биологическая станция.

Удивительная живность Галапагосских островов. Слоновые черепахи, медленно отползающие в сторону, если попытаться влезть к ним на спину; когда-то пираты использовали их как живые консервы. Стада страховидных драконов — ящериц игуан, как морских, так и сухопутных. Пингвины на экваторе. Милейшие морские львы, вместе с которыми мы купались, переплывая через проливы между островками, причем надо было следить, чтобы они не утащили оставленные на берегу шорты. А когда мы возвращались на катере на корабль, оказалось, что поверхность проливов просто кишела треугольными плавниками акул.

Переход на запад по экватору — там поднимается к поверхности знаменитое экваториальное глубинное противотечение, направленное

на восток, против поверхностных пассатных течений. В Тихом океане оно называется течением Кромвелла. Переход на Гавайские острова. Гонолулу — слишком дорогой курорт. Полицейские ограничения на наши прогулки по городу. На прославленном пляже Вайкики нам купаться можно, но на его дне острые кораллы режут ноги. А гавань Пёрл-Харбор нам посетить нельзя, хотя там всех туристов без каких-либо паспортов бесплатно катают на военных катерах по мемориальным местам. Зато мы посетили дельфинарий Макапу и посмотрели имевшиеся там обитаемые подводные аппараты.

Переход в Южное полушарие по меридиану 159° западной долготы, с измерениями всех течений северных и южных тропиков Тихого океана. Высадка на атолл Фаннинг (острова Лайн). Как и другие коралловые атоллы, это удивительная жемчужина в безбрежном океане. Новозеландский хозяин, надсмотрщик над местными полинезийцами, принимал нас любезно, угощал охлажденными напитками. Колмогорову он очень не понравился.

Высадка на остров Раротонга (острова Кука), где нас принимал премьер-министр местного правительства: дарил нам красивые почтовые марки с изображением великого мореплавателя Джеймса Кука (единственная местная валюта!), выделял автомобили для поездок по острову. Переход на запад, где в районе глубоководного желоба Тонга мы открыли место с рекордной прозрачностью океанских вод: опускаемый с борта на тросе белый диск был виден до глубины около 70 метров. Заход в порт Сува (остров Вити-Леву, государство Фиджи), куда вслед за нами зашел колоссальный туристский лайнер.

Еще переход на запад, заход в Порт-Вила на острове Эфате (архипелаг Новые Гебриды), где нас любезно принимали власти франко-английского кондоминиума: угощали в ресторане замечательными лангустами, разрешили посетить несколько островов. Рай для коллекционеров раковин. Последний большой переход — на северо-северо-запад, еще одно пересечение экваториальной зоны. Буксировки поперек Куросио. Заход в уютную Иокогаму. Фарфоровые сервизы с драконами — не напоминание ли о галапагосских игуанах? И наконец перед нами — ворота в Амурский залив и вход в Золотой Рог: Владивосток.

Может быть, в этой кругосветке мы добыли более обширные и более качественные научные материалы, чем в свое время Фернан Магеллан и Джеймс Кук, вместе взятые. Но одно дело — пятиэтажный дом на средневековой равнине, и совсем другое — новые пять этажей на верхушке современного небоскреба.

Во Владивостоке Андрей Николаевич счел своим долгом выступить с научным докладом. Он был озаглавлен «Статистическая гидродинамика океана».

А. Н. Колмогоров в воспоминаниях учеников

От составителя. 25 апреля 1988 года, в день 85-летия со дня рождения Андрея Николаевича Колмогорова, в его подмосковном доме в Комаровке собралась небольшая группа его ближайших учеников и сотрудников. Впервые день рождения Андрея Николаевича отмечался без него (А. Н. Колмогоров скончался 20 октября 1987 года). Тогда и родилась идея — записать и опубликовать воспоминания учеников об Андрее Николаевиче. Такая публикация была подготовлена А. Б. Сосинским и вскоре появилась в журнале «Квант» (1988, № 11/12, с. 2-11). По существу, это были самые первые воспоминания о Колмогорове. Мы печатаем здесь некоторые из них: пусть неполные, фрагментарные, они дороги и интересны своей искренностью, непосредственностью, эмоциональностью, какими-то яркими, емкими деталями.

Вспоминает Владимир Игоревич Арнольд:

— Андрей Николаевич Колмогоров прожил большую и счастливую жизнь. Колмогоров — Пуанкаре — Гаусс — Эйлер — Ньютон: всего пять таких жизней отделяют нас от истоков нашей науки.

Пушкин заметил как-то, что он оказал на юношество и российскую словесность больше влияния, чем все министерство народного образования, несмотря на полное неравенство средств. Таким же было влияние Колмогорова на математику.

Я познакомился с Андреем Николаевичем в мои студенческие годы. Тогда он был деканом мехмата. Это были годы расцвета факультета, расцвета математики. Уровня, которого достиг факультет в 50 —60-е годы благодаря прежде всего Андрею Николаевичу Колмогорову и Ивану Георгиевичу Петровскому, он более никогда не достигал и вряд ли когда достигнет.

Андрей Николаевич был замечательным деканом. Он говорил, что надо прощать талантливым людям их талантливость, и спас не одного из очень известных сейчас математиков от исключения из университета. Снимая буйных студентов со стипендии, этот декан сам же помогал им пережить трудное время...

От других известных мне профессоров Андрея Николаевича отличало полное уважение к личности студента. Он всегда ожидал услышать от ученика что-то новое, оригинальное и в высшей степени обладал той заразительной увлеченностью наукой, которая прежде всего и

нужна студентам. «Действительно хорошо преподавать математику, — говорил Андрей Николаевич, — может только человек, который сам ею увлечен и воспринимает ее как живую, развивающуюся науку».

Менее всего заботясь о формальном совершенстве своих лекций, Андрей Николаевич был замечательным учителем. Мне кажется, он руководствовался в своем преподавании принципами, которые сформулировал Эйнштейн:

«Кажется почти чудом, что современные методы обучения еще не совсем удушили святую любознательность, ибо это нежное растеньице требует, наряду со свободой, прежде всего поощрения. Большая ошибка думать, что чувство долга и принуждение способствуют тому, чтобы находить радость в том, чтобы искать и узнавать. Здоровое хищное животное отказалось бы от пищи, если бы ударами бича его заставляли непрерывно есть мясо, особенно если принудительно предлагаемая еда выбрана не им...»

В наш век больших научных коллективов кажется, что пора крупных индивидуальных достижений в науке ушла в прошлое. Для Андрея Николаевича характерны, однако, именно крупные личные достижения.

В развитии каждой области науки можно различить три стадии. Первая стадия — пионерская: прорыв в новую область, яркое и обычно неожиданное открытие, часто опровергающее сложившиеся представления. Затем следует техническая стадия — длительная и трудоемкая; теория обрастает деталями, становится труднодоступной и громоздкой, но зато охватывает все большее число приложений. Наконец, в третьей стадии появляется новый, более общий взгляд на проблему и на ее связи с другими, казалось бы, далекими от нее вопросами; делается возможным прорыв в новую область исследований.

Для математических работ Андрея Николаевича Колмогорова характерно то, что он явился пионером и первооткрывателем во многих областях математики: ему принадлежат яркие достижения в теории вероятностей, теории функций, функциональном анализе, топологии, теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, теории турбулентного движения жидкости и т. д. — трудно указать область математического анализа, в которую А. Н. Колмогоров не сделал бы существенного вклада, где бы он не решил классических (порой двухсотлетних) проблем.

Первую свою знаменитую работу — пример ряда Фурье суммируемой функции, расходящегося почти всюду, — Андрей Николаевич выполнил в девятнадцать лет. (В качестве курьеза упомяну, что Фреше говорил мне в 1965 году: «О, Колмогоров! Это тот замечательный молодой человек, который построил почти всюду расходящийся ряд Фурье!» Для Фреше все работы Колмогорова по теории вероятностей,

динамическим системам, турбулентности имели меньшую цену, чем эта студенческая работа.) Сам Андрей Николаевич всегда высоко ценил «спортивно-математические» достижения и этой первой работой гордился, но самым трудным таким своим достижением считал работу о 13-й проблеме Гильберта.

Технического усовершенствования и обобщений построенной теории Андрей Николаевич обычно старался избегать. Зато на третьей стадии работы, когда нужно осмыслить полученные результаты и увидеть новые пути, на стадии создания фундаментальных обобщающих теорий Андрею Николаевичу принадлежат замечательные достижения.

Среди более чем трех сотен опубликованных им статей имеются исследования по механике, геологии, биологии, кристаллизации металлов, теории стрельбы, теории стихосложения, теории передачи информации, теории автоматов и т. д. В самой математике Андрей Николаевич всегда старался выбирать такие проблемы, решение которых приближает нас к познанию природы и к овладению ее силами. Сам он сказал о своей прикладной деятельности так:

«Занимаясь с некоторым успехом, а иногда и с пользой, довольно широким кругом практических приложений математики, я остаюсь в основном чистым математиком. Восхищаясь математиками, которые превратились в крупных представителей нашей техники, вполне оценивая значение для будущего человечества вычислительных машин и кибернетики, я все же думаю, что чистая математика в ее традиционном аспекте еще не потеряла своего почетного места среди других наук. Гибельным для нее могло бы оказаться только чрезмерно резкое расслоение математиков на два течения: одни культивируют абстрактные новейшие разделы математики, не ориентируясь отчетливо в их связях с породившим их реальным миром, другие заняты „приложениями“, не восходя до исчерпывающего анализа их теоретических основ. Поэтому мне хочется подчеркнуть законность и достоинство позиции математика, понимающего место и роль своей науки в развитии естественных наук, техники, да и всей человеческой культуры, но спокойно продолжающего развивать „чистую математику“ в соответствии с внутренней логикой ее развития».

Эти слова Андрея Николаевича о законности и достоинстве позиции математика, вынесенные в 1963 году на обложку посвященного ему номера «Огонька», — его кредо и научное завещание. Актуальность его мыслей и предостережений становится все очевидней по мере того, как сбывается предсказание Лагранжа: «Места по математике в Академии сделаются тем, чем уже стали кафедры арабского языка в университетах...»

Вспоминает Владимир Андреевич Успенский:

— Еще школьником я знал, что самый главный математик, самый великий — это Колмогоров. А увидел я Колмогорова впервые на одной из Московских олимпиад по математике (скорее всего, это была весна 1946 года, когда я учился в восьмом классе). Он тогда приветствовал участников олимпиады. На трибуну вышел моложавый человек. На меня произвело очень большое впечатление его выступление: и манера говорить гнусаво, наклонив голову набок к плечу, и сама речь, которую он начал фразой: «Президент Московского математического общества Павел Сергеевич Александров поручил мне приветствовать участников математической олимпиады». Если самый великий математик — Колмогоров, то как же велик тот, кто мог что-то поручить самому Колмогорову?!

Познакомился я с Андреем Николаевичем, когда учился на третьем курсе механико-математического факультета МГУ. Он читал специальный курс «Теория меры». На этот спецкурс ходили в основном для удовольствия, так как сдавать его было не обязательно. Однажды на лекции Андрей Николаевич сделал некое утверждение, которое показалось мне неверным. В перерыве я к нему подошел и показал контрпример. На него это произвело впечатление, и он пригласил меня приехать к нему в Комаровку, спросив, готов ли я только говорить о математике или же могу также кататься на лыжах. Так мы с ним познакомились.

О катании даже и вспоминать не хочется, потому что лыжи просто не держались на мне. До этого я катался на лыжах только в валенках, просовывал носок валенка в петельку, и никаких других креплений просто никогда не видел и не знал, что такие бывают. Андрей Николаевич выдал мне и ботинки, и лыжи, и крепления (жесткие или полужесткие — не помню сейчас). Лыжи постоянно с меня спадали, и академик Колмогоров всякий раз, стоя на коленях на снегу, поправлял крепления моих лыж. Первые лыжи совсем уехали от меня под гору, мы вернулись и надели другие. Я в этом, скорее всего, не был виноват, потому что при исправных креплениях лыжи не должны были бы уехать.

Это все происходило 22 января 1950 года. В этот день Андрей Николаевич не без некоторой торжественности произвел меня в свои ученики. Тогда же он назначил тему моих занятий. Он сказал, что бывают такие особенные функции, они называются рекурсивными, и о них в нашей стране почти никто ничего толком не знает. Дал несколько оттисков статей из иностранных журналов и велел разобраться. И сказал: «В крайнем случае, если из вас ничего не выйдет, будете делать нам грамотные рефераты». Одновременно с этим он подарил мне несколько оттисков своих трудов, один из них — с дарственной надписью. Это очень ранние и уникальные оттиски 20-х годов, которые я берегу.

Работать с Андреем Николаевичем было очень не просто. Все время ощущалось, что он человек гениальный. В моей жизни было три гениальных человека, с которыми мне довелось общаться, — Б. Л. Пастернак, А. А. Зализняк и А. Н. Колмогоров. У Андрея Николаевича был свой особый стиль. В чем проявлялась гениальность Андрея Николаевича, сказать словами очень трудно. Но вот могу привести два таких примера. Первый. Будучи аспирантом, я встречался с Андреем Николаевичем еженедельно. И всякий раз, в каждую последующую встречу, он помнил, на чем мы расстались, и вообще всю мою работу (все, что я сделал до этого) он знал лучше и точнее, чем я. Хотя я занимался только этим, а он, как известно, и многим другим. Второй пример. Часто одновременно со мной в Комаровку ездил Г. И. Баренблатт, с которым Андрей Николаевич занимался гидродинамикой (а со мной — математической логикой). На нас с Баренблаттом производило неизгладимое впечатление, с какой легкостью Андрей Николаевич переходил от гидродинамики к математической логике и обратно. Для него это было совершенно естественно. А нам казалось чудом.

Как шла работа? Иногда мы с Андреем Николаевичем рассуждали вслух, а иногда я писал ему тексты, которые и приносил (и которые, как мне теперь хотелось бы надеяться, он просто выбрасывал). Взяв меня в аспирантуру, Колмогоров назначил мне два трудных экзамена — по алгебре и по уравнениям математической физики — и объявил, что третий экзамен должен быть все же ближе к логике. И велел мне сдавать теорию релейно-контактных схем. Математической литературы по релейно-контактным схемам тогда почти не было, а была литература техническая. Поэтому подготовка к этому экзамену давалась мне труднее всего. Помню, что два месяца я не мог понять, как работает триод. И только все выучив, понял, что этого и не надо было понимать.

Помимо трех экзаменов, полагались еще и аспирантские отчеты. В качестве одного из них Андрей Николаевич дал мне для перевода только что вышедшую на немецком языке книгу венгерского математика Р. Петер «Рекурсивные функции». Немецкого языка я не знал, но сказать об этом Колмогорову не решился. Пришлось переводить. Книжка на самом деле была довольно заурядная (ее главная ценность состояла в том, что это была первая в мировой литературе монография по рекурсивным функциям), но перевод был украшен замечательным предисловием Андрея Николаевича.

У меня есть две работы, совместные с Андреем Николаевичем; есть и работа, на которой стоит только моя фамилия, но которая полностью инспирирована Андреем Николаевичем. Это статья в «Докладах Академии наук» про доказательство теоремы Геделя. Когда Андрей Николаевич индуцировал у своего ученика некоторый результат, который

на самом деле был им почти подсказан, он создавал такую обстановку, будто бы ученик додумался до этого сам, и предлагал писать статью в журнал о результате. Вот такая психологическая поддержка своего младшего партнера — очень существенный момент его педагогического стиля. Происходило ли это инстинктивно или он это обдумывал, я не знаю.

К сожалению, я, наверное, не могу считать себя полноценным учеником Андрея Николаевича, потому что не обладал ни одним из двух необходимых для этого качеств: ничего не понимал в музыке и не занимался спортом. Тем не менее он меня не прогонял.

Иногда он рассуждал со мной об искусстве и разных других предметах, поражая меня своими познаниями во всем. Кто сегодня, например, знает шахматный учебник Дюфреня? Этот известный учебник конца прошлого века у меня дома был (достался от отца), поэтому я его читал. И когда мы заговорили с Андреем Николаевичем о шахматах, первое слово, которое он произнес, было «Дюфрень», и он живо пересказал мне содержание чуть ли не всего учебника.

Еще такой случай. Для меня было неожиданностью, что на гербе правой и левой стороной считаются не те, что мы видим справа и слева, а наоборот. (Это потому, что герб рисовался на щите и рассматривался с точки зрения несущего щит.) Стоило мне об этом узнать, как Андрей Николаевич по какому-то поводу об этом упомянул.

Вспоминает Альберт Николаевич Ширяев:

— Об Андрее Николаевиче я услышал еще в школе: учительница по математике очень много говорила о нем. Я учился тогда в 358-й московской школе-интернате, и наша учительница подталкивала нас к участию во всевозможных кружках и олимпиадах. При вручении призов на одной из олимпиад я впервые увидел Андрея Николаевича. Потом было поступление в университет. Хотя о Колмогорове мы много слышали, но общение с ним казалось чем-то недостижимым, нереальным.

Я сначала блуждал по разным кафедрам, и прошло много времени, прежде чем я остановился на кафедре теории вероятностей. Мое первое соприкосновение с Андреем Николаевичем произошло, когда я слушал его курс «Анализ III». А первый мой разговор с ним состоялся, когда я защищал свою дипломную работу. Я ее выполнял между четвертым и пятым курсами, потому что знал, что в начале пятого курса мне будет не до дипломной работы: я входил в студенческую сборную страны по горным лыжам и в начале февраля 1957 года должен был принимать участие во II Зимних студенческих играх в Гренобле.

Защита происходила в конце февраля. После защиты Андрей Николаевич вышел в коридор, заговорил со мной о моей работе, произнес

многие вещи, которых я не понял. И то ли кто-то сказал ему о моем участии в играх в Гренобле, то ли мой загорелый вид говорил сам за себя, но Андрей Николаевич пригласил меня к себе в Комаровку кататься на лыжах.

Андрей Николаевич спрашивал меня и о моих математических интересах, но никакого продолжения тогда не было. Однако после пятого курса мы с моим однокурсником Витей Леоновым (к несчастью, рано погибшим) узнали, что Андрей Николаевич берет нас по распределению в Математический институт имени В. А. Стеклова (МИАН). Для меня это было тем более неожиданно, что начинал с четвертого курса я учился в так называемой спецгруппе (что было сопряжено с известной долей «секретности») и хотя бы поэтому не мог рассчитывать на работу в Математическом институте. Но мы тогда даже не оценили сразу этого счастья.

Когда В. Леонов и я были зачислены в МИАН, Андрей Николаевич сразу четко определил наши обязанности. В 1956 году был создан журнал «Теория вероятностей и ее применения» (главным редактором которого стал А. Н. Колмогоров), и определенная работа по журналу — редактирование, разметка поступавших работ — была возложена на нас. Эта деятельность, хотя и была технической, явилась для нас хорошей школой. Мы должны были также ходить на лекции Андрея Николаевича и записывать их. Например, В. Леонов затратил много сил на приведение в порядок конспекта лекций по случайным процессам. Когда Андрей Николаевич увидел получившийся текст, его комментарий был очень краток: «Боже, какой урод у нас с вами получился!» Такая реакция Андрея Николаевича объясняет, почему этот лекционный курс, прочитанный им в 1958/59 учебном году, — один из самых первых полных курсов по общей теории случайных процессов — так и остался неизданным: основательно переработать весь текст, сохранив при этом стиль Колмогорова, — задача далеко не простая. Кстати, записями этих лекций я пользуюсь до сих пор.

В научном плане Андрей Николаевич включил нас в исследования по нелинейному спектральному анализу и нелинейной теории случайных процессов. Наша деятельность по нелинейным случайным процессам началась так. Андрей Николаевич заметил в одной работе Черенкова (сына известного академика) некоторые правила вычисления так называемых семиинвариантов маленьких порядков. Он решил, что, по-видимому, имеет место некое общее правило (для всех порядков), как-то его пояснил и поручил нам его доказать. Мы мучились, исписывали фантастическое количество бумаги — ничего не получалось... Ситуация была очень тяжелой. Только через год нам удалось сложнейшими комбинаторными путями доказать то, что нужно. А потом

мы придумали доказательство, которое уместилось на двух страницах. Андрей Николаевич написал введение к этой работе.

По поводу другой нашей работы, которая сейчас широко известна, мне вспоминается, как на семинаре, где мы делали с Леоновым доклад, Андрей Николаевич с улыбкой сказал: «Авторы преисполнены важности разрабатываемой проблемы!» Это были настолько счастливые и плодотворные годы, что я даже забросил горные лыжи.

Теперь о том, как мы работали. Каждый четверг мы встречались и беседовали с Андреем Николаевичем. Часто не покидало ощущение, что он говорит что-то гениальное и по делу, а ты ничего не понимаешь. За его пояснениями мы, как правило, не успевали следить; магнитофонов тогда не было, а записать все просто физически не было возможности. Довольно быстро мы взяли за правило не уходить от него без бумажки, на которой он делал при разговоре пометки. Потом, разглядывал эти записи, мы разгадывали их, как ребусы. Каждая наша встреча всякий раз начиналась с вопроса Андрея Николаевича: «Что же сделано?» Стыдно было отвечать, что ничего, и, чтобы успеть что-то сделать, приходилось очень много работать, иногда за счет отдыха и сна. Хотя у нас обоих уже намечались семьи, мы упорно скрывали это от Андрея Николаевича.

Андрей Николаевич и позже нередко создавал ситуации, которые были сопряжены с потрясениями. Например, я хорошо помню, как однажды мне позвонили в 9 часов вечера и сказали, что А. Н. Колмогоров просит приехать к нему в Комаровку. Часам к 11 я добрался до Комаровки. Андрей Николаевич оказался болен. Он сказал, что завтра у него должна состояться лекция, где нужно будет рассказывать теорему Блекуэлла о рекуррентных событиях. Андрей Николаевич не хочет, чтобы эта лекция пропадала, и просит меня ее прочесть. И предложил на выбор два варианта: либо он немедленно что-то мне рассказывает по теме лекции, либо дает оттиск работы Блекуэлла, в которой я должен сам разобраться. Я взял оттиск и поехал домой. Лекция должна была читаться утром, на первой паре, поэтому у меня была только ночь. Блекуэлл писал чрезвычайно сжато. Я просидел всю ночь, прочитал лекцию, а потом вернулся домой спать.

Довольно скоро Андрей Николаевич переключил меня на новую тематику, связанную с радиолокацией. Заказчики как могли объяснили суть задачи. Математическая ее постановка, предложенная Колмогоровым, — минимизировать среднее время запаздывания при заданной вероятности ложных тревог — оказалась удивительно удачной. (Андрей Николаевич умел так формулировать задачи, что из них потом вырастали новые направления.) Как всегда, он ничего подробно не объяснял — сказал лишь, что в простейшей ситуации ответ должен

быть такой-то. Пришлось до всего доходить самому: изучать книги по радиотехнике, где описывалось устройство приемников и ламп, разбираться в принципах радиолокации. Оказалось, что угаданный Колмогоровым ответ нельзя получить из какой-либо существовавшей в то время теории: ее просто пришлось придумывать. Занимаясь этой задачей, я написал свою докторскую диссертацию и книгу по статистическому последовательному анализу.

Моя деятельность (сначала нелинейные преобразования, потом последовательный анализ) — пример того, как Колмогоров с помощью очень простых формулировок выталкивал людей на самостоятельную орбиту, после чего он считал, что у него есть сотрудники, которые профессионально работают в данной области и знают ее лучше него (хотя знать лучше Андрея Николаевича можно было разве только детали, но не общие идеи).

О нематематическом общении с Андреем Николаевичем могу рассказать лишь отдельные эпизоды, отдельные штрихи. Помимо научной работы, мы с В. Леоновым были связаны с Андреем Николаевичем секретарскими обязанностями, лекционной деятельностью, и нам приходилось часто бывать в Комаровке. Ходили в походы, слушали музыку. И в музыке (как, впрочем, и во всем остальном) фамильярничать с Андреем Николаевичем было невозможно. Типичный пример. Как-то в конце какого-то вечера, когда было очень много музыки, Андрей Николаевич спросил: «Ну, что же еще вам сейчас поставить, Шарпантье или Куперена?» Я сказал: «Андрей Николаевич, может быть, что-нибудь полегче?» Колмогоров тут же: «Сейчас я вам „Одинокую гармонь“ найду». Мне было невдомек, что Андрей Николаевич может что-нибудь знать об этой «Одинокой гармони». А однажды, слушал музыку, я постукивал в такт пальцами по столу. Андрей Николаевич быстро подложил салфеточку. Я все понял.

Помню такой характерный эпизод. Мы были вместе в Венгрии на Конгрессе по теории информации. Получили по 1300 форинтов на личные расходы. Поскольку там нас поили-кормили, у каждого образовалась большая по тем временам сумма денег. Возник вопрос: что на них купить? Андрей Николаевич сразу спросил про книжный магазин. Пришли туда. Он тут же углядел книгу рисунков Микеланджело, которая стоила 1200 форинтов, купил ее, потратив практически все, что у него было, и сказал: «А билет на трамвай вы уж мне купите».

Впервые со старыми русскими городами я познакомился благодаря Андрею Николаевичу. Иногда в поездках мы заезжали в провинциальные города, в глубинку. Андрей Николаевич о каждом городе много знал, и цель у него всегда была определенная: он помнил, что здесь нужно посмотреть такую-то стену или башню. Видимо, на память об

этих поездках Андрей Николаевич подарил мне на 40-летие толстую книгу «Древнерусские города».

Из спортивных увлечений Андрея Николаевича стоит отметить греблю и лыжные походы. В равнинных лыжных походах Андрей Николаевич проявлял фантастическую ритмичность движений. 30 — 40 км похода для нас, молодых, были тяжелым испытанием, а он и в 60 лет проходил такие расстояния легко.

На моей памяти, Андрей Николаевич никогда не жаловался. Он никогда, ни в какой форме не искал к себе сочувствия. А на вопрос: «Как вы относитесь ко всякому признанию, почету?» — Андрей Николаевич отвечал просто: «Спокойно».

Вспоминает Александр Михаилович Абрамов:

— Заочно я познакомился с А. Н. Колмогоровым, когда учился в седьмом классе. Среди книг, которые я получил в качестве премии за первое место на областной математической олимпиаде, была брошюра А. Н. Колмогорова «О профессии математика». Написана она и доступно, и ярко, поэтому хорошо помню свои впечатления и даже отдельные задачи из нее.

А впервые увидел я Андрея Николаевича в 1963 году, когда он вручал грамоты призерам Всероссийской олимпиады. В том же году была организована первая летняя математическая школа в Красновидове, а затем открылась и школа-интернат при МГУ. Мы, ученики самого первого выпускного класса, считали, что нам невероятно повезло: и в летней школе, и в ФМШ Андрей Николаевич был нашим учителем. Да и он сам, по-видимому, испытывал особые чувства к первым девятнадцати выпускникам ФМШ: спустя многие годы он помнил всех.

В студенческие годы, учась на мехмате МГУ, я уже сам преподавал математику в колмогоровском интернате и довольно часто встречался с Андреем Николаевичем. И все же для меня было полной неожиданностью, когда перед распределением он предложил мне стать его аспирантом и профессионально заниматься школьными проблемами. Естественно, я сразу согласился.

Свою первую научную работу в университете я выполнил под руководством В. М. Тихомирова, ученика Андрея Николаевича. Так что в известной мере с характером школы Колмогорова я был знаком, и это, конечно, оказалось очень полезно в дальнейшем.

Хотя мне предстояло работать над педагогической диссертацией, тема требовала размышлений главным образом в сфере математики. Андрей Николаевич кратко поставил задачу: дал список аксиом евклидовой планиметрии, положенных им в основу нового школьного курса геометрии, и сказал, что надо исследовать эту аксиоматику и на

ее основе дать точное изложение геометрии. Каких-либо инструкций (например, как выстраивать последовательность теорем) и подсказок не было. Андрей Николаевич выделил только наиболее интересующий его результат — теорему об измерении углов — и указал несколько работ, которые полезно прочитать.

Таким образом, Колмогоров предоставлял полную свободу и ограничивался лишь очень краткими обсуждениями. Но окончательные результаты Андрей Николаевич контролировал, внимательно знакомился с итоговым текстом.

Позднее мы много работали над школьными учебниками. Было несколько периодов по 3 — 4 месяца ежедневной работы при подготовке очередных изданий. Андрей Николаевич очень тщательно следил за текстом. Когда его что-то не удовлетворяло (а это происходило постоянно, вплоть до стадии корректуры), рассматривались многие варианты. В итоге возникали горы черновиков.

На мой взгляд, главное, что давал А. Н. Колмогоров как учитель, научный руководитель, — это увлеченность делом и вера в собственные силы. Он умел сделать так, что ученик вырастал много выше того потолка, который сам себе отмерял. Как-то стыдно было не справиться с заданием, которое давал Андрей Николаевич. Может быть, поэтому удавалось сделать многое из того, что ранее казалось невозможным. Очень важно иметь такой пример перед глазами — для Андрея Николаевича, казалось, не было таких задач, которые нельзя решить.

Мне кажется, что Андрей Николаевич в какой-то момент своей жизни — очевидно, еще в ранней юности — решил, что человек просто обязан быть счастлив, а для этого нужно правильно построить свою жизнь. При этом важно, чтобы все виды деятельности, которыми занимается человек, его по-настоящему увлекали. И Андрею Николаевичу это удалось: внешне рациональная, размеренная, его жизнь была внутренне динамична, наполнена и необычайными творческими достижениями, и интересом ко всему сущему, и глубокими переживаниями. Он очень многое умел ценить — любил человеческое общение, природу, музыку, литературу...

Однажды Андрей Николаевич заметил, что, по его мнению, каждый человек начинал с определенного момента продолжает как бы оставаться в том возрасте, для которого наиболее характерно свойственное этому человеку мироощущение. На прямой вопрос: «А вам сколько лет, Андрей Николаевич?» — он ответил: «Четырнадцать».

В последние годы моя деятельность развивается в направлении участия в деле столь важном для нашей страны, как реформа школы. Я думаю, что, если старость не помешает, я смогу внести еще много полезного и даже незаменимого, работая над учебниками для обычной школы и для юношества, увлеченного наукой. Оба направления меня чрезвычайно увлекают, и имеется желание участвовать в них самым энергичным образом и с юношеским задором.

Апрель 1986 г. А. Н. Колмогоров

РАЗДЕЛ ВТОРОЙ

Колмогоров и математическое образование

О педагогическом наследии А. Н. Колмогорова

А. М. Абрамов

Работы Андрея Николаевича Колмогорова в области математики и ее приложений давно уже получили мировую известность и признание. Практически все они опубликованы. Его идеи нашли развитие в статьях и книгах учеников и последователей; в ходе этих исследований математическое творчество А. Н. Колмогорова внимательно анализировалось и в основном подробно прокомментировано.

По-иному складывается судьба его педагогического наследия. Известный нам список работ А. Н. Колмогорова по школьной тематике (см. ниже с. 135-147) явно не полон. Ряд имеющихся материалов не опубликован. Если не принять срочных мер к розыску, возможно, сохранившихся конспектов лекций для учащихся и учителей, прочитанных А. Н. Колмогоровым в разные годы (в первую очередь, в 60-е и 70-е годы), то эта очень существенная часть его творчества уйдет безвозвратно.

Между тем именно деятельность в области школьного математического образования занимала, пожалуй, главное место в последний период жизни и творчества А. Н. Колмогорова, т. е. на протяжении примерно трети его творческого пути. К этой работе он относился с полной ответственностью, щедро вкладывая всю свою энергию. Любое дело, которое искренне увлекало Андрея Николаевича, всегда приносило богатейшие плоды. Его работа в сфере школьного математического образования не исключение — и здесь множество глубоких, ярких идей, крупные достижения.

В настоящее время задача исследования педагогического наследия А. Н. Колмогорова приобретает особую значимость. Обсуждая, какой должна быть математика в школах будущего столетия, важно понять, что следует сохранить, а что изменить; что удалось, а что не удалось осуществить в ходе реформы 70-х годов.

Жизнь и творчество А. Н. Колмогорова — феномен необычайный, нуждающийся в самом тщательном исследовании. Не только потому,

что надежды на обнаружение новых открытых им фактов и идей, пока не получивших полного развития, вполне обоснованны. И не только потому, что человеческое сообщество должно сохранять все, что связано с именами выдающихся его представителей. Мы вправе надеяться, что исследование жизни и творчества А. Н. Колмогорова позволит лучше понять общие механизмы развития дарования: педагогическое наследие Андрея Николаевича, наиболее непосредственно отражающее его взгляды на этот счет и являющееся в известной мере результатом самонаблюдений, особенно ценно в этом отношении.

Настоящая статья — обзор педагогической деятельности А. Н. Колмогорова, комментарий к его статьям и книгам. Это попытка выделить основные циклы работ, наметить возможные направления для последующего детального анализа. При этом речь идет только о «школьной» тематике. Такие стороны педагогического наследия А. Н. Колмогорова, как создание научной школы, работа со студентами, требуют специального рассмотрения.

При работе над статьей мне оказали большую помощь очень многие люди, которым близки судьбы отечественной школы, дорога память об Андрее Николаевиче. Особо признателен я А. Д. Колмогоровой, И. М. Гельфанду, Б. В. Гнеденко, А. П. Ершову, О. С. Ивашеву-Мусатову, Г. Г. Масловой, А. В. Прохорову, Ю. В. Прохорову, В. М. Тихомирову, В. А. Успенскому, В. В. Фирсову, Р. С. Черкасову, А. Н. Ширяеву, И. М. Яглому. Беседы с ними позволили уточнить многие факты и позиции.

Истоки. В статье «Как согласовать преподавание в школе с прогрессом науки» Э. Борель заметил: «Лишь в редких случаях мы можем очень хорошо научить тому, чему не учились сами, когда были учениками...»1). Это наблюдение, отражающее тот несомненный факт, что личный опыт учения оказывает сильное влияние на каждого педагога, имеет самое непосредственное отношение и к педагогическому творчеству Андрея Николаевича Колмогорова. Как в ряде своих работ, так и во многих публичных выступлениях и беседах он часто обращался к своему раннему детству, гимназии, в которой учился, первому опыту преподавания. Уместно поэтому выделить некоторые особенности этих периодов его жизни.

А. Н. Колмогоров учился в 1910 —1918 годах в частной гимназии Е. А. Репман в Москве. Учителя гимназии сумели создать обстановку, при которой школьная жизнь была очень насыщенной, учебные занятия живо заинтересовывали учащихся. Высока была ответственность за учебный труд. Андрей Николаевич вспоминал: «Отличные успехи на

1) См.: Математическое просвещение. 1958. Вып. 3. С. 93.

экзаменах „с представителем от округа“ воспринимались всеми нами как дело долга и чести. Организация занятий была своеобразна. Одно время я мог заниматься математикой на класс старше, чем другими предметами» [3.29, с. 7]. Школьная жизнь была устроена так, что общекультурному развитию гимназистов уделялось очень много внимания, а сами они охотно занимались «сверх программы» по интересующим их предметам.

Сейчас трудно восстановить, как именно начинал заниматься математикой А. Н. Колмогоров. Известно, что, помимо обязательных занятий, в гимназии он много читал (Андрей Николаевич особо отмечал математические статьи в энциклопедии Брокгауза и Ефрона, статьи «Вестника учителя математики и опытной физики»). Но интересы его и тогда вовсе не ограничивались математикой. Он писал: «Впрочем, на время интерес к другим наукам взял верх. Первое большое впечатление силы и значительности научного исследования на меня произвела книга К. А. Тимирязева „Жизнь растений“. Потом вместе с одним из своих друзей (Н. А. Селиверстовым) я увлекся историей и социологией. Увлечение это было настолько серьезно, что первым научным докладом, который я сделал в семнадцатилетнем возрасте в Московском университете, был доклад в семинаре профессора С. В. Бахрушина о новгородском землевладении. В докладе этом, впрочем, использовались (при анализе писцовых книг XV — XVI веков) некоторые приемы математической теории»1) [3.29, с. 7].

Анализ этой первой научной работы А. Н. Колмогорова показывает, что уже в 17-летнем возрасте у него не только проявился выраженный интерес к научной деятельности, но и сформировались прочные профессиональные навыки: способность к анализу (работа стала итогом обработки очень большого по объему и притом разнородного, не всегда ясного текста писцовых книг), умение выделить главное, ясно сформулировать и обосновать итоговые выводы. Эта работа по истории написана будущим математиком: характерные ее признаки — подчеркнутое внимание к поиску точных определений, стремление обосновать обнаруженные закономерности. Примечательно, что слово «вероятность», по-видимому, впервые встречается у Андрея Николаевича именно здесь: при обосновании выдвигаемых тезисов в работе приводятся подсчеты вероятностного характера, показывающие, что альтернативные версии должны быть отвергнуты.

Первый личный опыт преподавания Андрея Николаевича относится к 1922 — 1925 годам, когда он был еще студентом Московского

1) Рукопись этой работы теперь опубликована: Колмогоров А. Н. Новгородское землевладение XV века. М.: Физматлит, 1994.

университета: «Работу в Потылихинской опытно-показательной школе Наркомпроса РСФСР я вспоминаю с большим удовольствием. Я преподавал математику и физику (тогда не боялись поручать преподавание двух предметов сразу девятнадцатилетним учителям) и принимал самое активное участие в жизни школы (был секретарем школьного совета и воспитателем в интернате)» [3.29, с. 9]. Многое из того, что было характерно для гимназии Е. А. Репман и Потылихинской школы, стало определяющим для физико-математической школы-интерната № 18 при МГУ, которую еще при жизни Андрея Николаевича стали называть колмогоровской1).

В деятельности А. Н. Колмогорова, связанной со школой, можно выделить два больших направления. Одно из них — работа с «сильными», т.е. с учащимися, проявляющими интерес и способности к математике. Другое направление — работа, связанная с постановкой курса математики в обычных средних общеобразовательных школах.

Характеризуя первое из этих направлений, естественно выделить несколько отдельных тем: «Олимпиады», «Летние школы», «Физико-математическая школа при МГУ», «Литература для учащихся», «Проблема дифференциации старших классов». (Сюда же следовало бы отнести и тему «Факультативные курсы», но лучше обсудить ее в контексте проблем общего школьного математического образования несколько позднее.)

Олимпиады. При анализе библиографии А. Н. Колмогорова, приведенной в настоящей статье, мы часто встречаемся с такой ситуацией: публикаций по теме немного, хотя известно, что работа в данном направлении была очень интенсивной. Так, имеется лишь одна статья Андрея Николаевича, непосредственно связанная с олимпиадами, а также два предисловия к сборникам олимпиадных задач, редактором которых он был ([1.52], [5.3], [5.9]). Сделано же было существенно больше2).

Первая в СССР математическая олимпиада, как известно, была проведена в Ленинграде в 1934 г. по инициативе Б. Н. Делоне. Олимпиадное движение было активно поддержано на II Всесоюзном математическом съезде3). В 1935 г. состоялась I Московская математическая олимпиада, в оргкомитет которой входили, в частности, П. С. Алексан-

1) Интересно отметить также, что в 1929 —1931 гг. А. Н. Колмогоров, будучи научным сотрудником НИИ математики и механики при МГУ, по совместительству заведовал кафедрой математики в Индустриально-педагогическом институте им. К. Либкнехта (этот институт впоследствии влился в МГПИ им. В. И. Ленина).

2) См. также статью Н. Б. Васильева в настоящем сборнике (с. 167-172). — Прим. ред.

3) См.: Резолюция съезда // Математическое просвещение. М.: ОНТИ ИТКИ, 1938. С. 56.

дров (председатель), Л. А. Люстерник, А. Н. Колмогоров, Л. Г. Шнирельман. Андрей Николаевич принимал активное участие и во многих последующих московских олимпиадах; в 1937, 1951, 1963 и 1975 годах он был председателем оргкомитета олимпиады.

Председательствуя в оргкомитете, Андрей Николаевич не просто вел общие обсуждения задач — он глубоко вникал в их существо, предлагал изменения формулировок, а иногда и сами задачи. Столь же внимательно он относился и к проверке работ, определению победителей.

Эта система работы была сохранена и позднее, когда стали проводиться всероссийские (с 1961 г.), а затем и всесоюзные (с 1967 г.) математические олимпиады. Долгие годы Андрей Николаевич возглавлял методическую комиссию по отбору задач для республиканских и всесоюзных олимпиад. В 1970 г. (Симферополь), 1978 г. (Ташкент), 1980 г. (Саратов) и 1982 г. (Одесса) он был председателем жюри Всесоюзной олимпиады и выезжал на место проведения финальных туров.

Придавая большое значение олимпиадам как эффективному средству поиска способных ребят, Андрей Николаевич считал, что эти соревнования не должны быть чисто спортивными. Целью олимпиадного движения является приобщение способных ребят к математике, а не натаскивание на определенного рода задачи или подготовка «чемпионов». Поэтому больше его занимали не сами соревнования, а подготовительная работа и в первую очередь лекции для школьников, а также математические кружки, тематика которых, по его мнению, никоим образом не должна ограничиваться решением олимпиадных задач1). Примечательно такое его замечание: «Своим успехам на олимпиаде естественно радоваться и даже гордиться ими. Неудачи же на олимпиаде не должны чрезмерно огорчать и приводить к разочарованию в своих способностях... Уже само наличие назначенного очень ограниченного срока для решения задач многих делает совершенно беспомощными.

1) В архиве А. Н. Колмогорова сохранились материалы о XVI Московской математической олимпиаде (1953 г.), в частности отчет о подготовке и итогах олимпиады, написанный Д. Е. Меньшовым, И. Р. Шафаревичем, Е. А. Морозовой и В. М. Золотаревым. (Отчет опубликован в журнале «Успехи математических наук», 1954, т. 9, вып. 3, с. 257-262.) Мы хотим привести здесь из этого отчета названия некоторых лекций, которые читались тогда для школьников в рамках подготовки к олимпиаде. Для учащихся VII — VIII классов: «Координаты» (А. И. Маркушевич), «О „Началах“ Евклида» (Л. А. Скорняков), «Геометрические построения с помощью одной линейки» (А. И. Фетисов). Для учащихся IX — X классов: «Планиметр» (Б. Н. Делоне), «Отец русской авиации Н. Е. Жуковский» (В. В. Голубев), «О решении уравнений высших степеней» (И. Р. Шафаревич), «Проективная геометрия на плоскости» (П. К. Рашевский), «Распределение простых чисел» (А. О. Гельфонд), «О бесконечных множествах» (А. А. Ляпунов), «Об элементарных функциях» (В. В. Немыцкий), «Делимость и алгоритм Евклида» (А. Н. Колмогоров), «Замкнутые поверхности» (П. С. Александров), «Алгебра логики» (П. С. Новиков). — Прим. ред.

Но существуют и такие математические проблемы, которые могут быть решены лишь в результате очень длительного и спокойного размышления и формирования новых понятий. Много такого рода проблем было решено замечательным советским топологом П. С. Александровым. Не случайно Павел Сергеевич Александров неоднократно говорил, что если бы во времена его юности были математические олимпиады, то, возможно, он вообще не сделался бы математиком: его главные достижения в математике явились не плодом быстро работающей изобретательности, а итогом длительного и углубленного созерцания» [3.29, с. 65].

Как-то в беседе Андрей Николаевич полушутя заметил, что для поиска будущих математиков нужно было бы устраивать, кроме олимпиад, и иные соревнования типа практиковавшихся ранее экзаменов для китайских чиновников: испытуемому дается реальное задание, требующее довольно большого, в несколько суток, срока для исполнения, в течение которого он остается совершенно один (при этом пища достаточной калорийности поставляется через специальное окошечко с должной периодичностью).

Андрей Николаевич с огорчением отмечал также, что блиставшие в школьные годы «олимпиадники» часто так и остаются на «олимпиадном» уровне: успешно справляются с задачами, требующими остроумной идеи, но не доходят до решения математических проблем, нуждающихся в длительном продумывании, большом объеме работы.

Не удивительно поэтому, что, всячески поддерживая олимпиады, Андрей Николаевич придавал большое значение регулярным лекциям, вовлекающим школьников в мир серьезной науки. На олимпиадах он сам прочитал много таких лекций1). В 1937 г. в своей лекции «Основная теорема алгебры» он изложил, по существу, полное доказательство этой теоремы, ставшее позднее кружковской классикой (и получившее в фольклоре название «дама с собачкой»). В 1936—1937 годах Андрей Николаевич вел секцию качественной геометрии в математическом кружке МГУ. Разборы задач со школьниками, которые любил проводить Андрей Николаевич по завершении олимпиад, он умел переводить в русло серьезной математики.

А. Н. Колмогоров прочитал множество лекций для учащихся и учителей. Сколько их было? Сохранились ли их конспекты или хотя бы названия тем? Эти вопросы обращены к читателям в надежде, что некоторые материалы можно восстановить.

1) См.: Болтянский В. Г., Яглом И. М. Школьный математический кружок при МГУ и московские математические олимпиады // Сборник задач московских математических олимпиад / Под ред. В. Г. Болтянского; Сост. А. А. Леман. М.: Просвещение, 1965. С. 3-46.

Летние школы. Для того чтобы развить природные задатки, заинтересовать подростков научной деятельностью, олимпиад недостаточно. Олимпиадные задачи — вещь заразительная. Увлечь школьников красивыми задачами, допускающими краткие решения, относительно просто. Приучить их к систематической работе — дело существенно более трудное.

Андрей Николаевич справедливо считал (и при этом он определенно ориентировался на свой личный опыт учащегося гимназии и молодого учителя), что очень важно не только подготовить содержательный математический материал, интересный и доступный для школьников, но и создать подлинную атмосферу увлеченности делом, атмосферу научного поиска. Это, по его мнению, требует более тесного и длительного контакта учеников и учителей, причем существенно, чтобы в число учителей входили и профессиональные математики, не только вполне сформировавшиеся, но и молодые способные аспиранты и студенты, которым, при некотором начальном контроле, можно и нужно доверять работу со школьниками. Так возникли летние математические школы, в которые в один из каникулярных месяцев собирали победителей олимпиад для занятий математикой и отдыха. Чуть позднее появились и физико-математические школы при университетах.

Андрей Николаевич был не только одним из инициаторов организации летних школ — по существу, он определил их характер, самым активным образом работая во многих таких школах начиная с августа 1963 г., когда в подмосковном поселке Красновидово на базе дома отдыха МГУ была организована летняя математическая школа. А. Н. Колмогоров работал в Красновидове также в 1964, 1965, 1968 и 1970 годах, а после того, как летние школы интерната при МГУ «переехали» в Пущино, он несколько раз приезжал туда на весь срок (24 дня) — в 1971, 1972, 1975 и 1977 годах. В 1965 г. Андрей Николаевич преподавал в летней школе Крымской Малой академии наук, а в 1968 г. — в летней школе на Рубсом озере [3.13].

Рассказ о работе летних школ естественно провести на типичном примере первой красновидовской школы. Тогда были отобраны 46 победителей и призеров III Всероссийской олимпиады, выпускники девятых и десятых классов (школа тогда была одиннадцатилетней). Собственно учебные занятия составляли примерно 4—5 уроков в день, из которых 3—4 приходились на утренние часы, a 1—2 — на вторую половину дня (как правило, это были занятия по выбору школьников).

Одновременно велось несколько основных курсов, из которых нужно было выбрать два обязательных — по ним предстояло сдать зачет (в августе выяснилось, что в скором времени откроется ФМШ при МГУ, поэтому зачеты стали, по существу, отборочными испытаниями;

позднее эта традиция сохранилась). А. Н. Колмогоров читал курс (примерно 10 уроков) «Конечные поля и булевские алгебры», завершавшийся примерами применения булевой логики к задачам построения контактных схем. П. С. Александров прочел курс по теории множеств. В. И. Арнольд вел продвинутую группу, в которую вошли ребята, уже знакомые с понятиями анализа; А. Г. Кушниренко и А. М. Леонтович (тогда студенты) вели занятия с группой начинающих. Н. Х. Розов и О. Н. Найда занимались механикой, а А. А. Карацуба — теорией чисел. Особенностью семинарских занятий было одновременное участие двух или даже трех молодых преподавателей (среди них А. С. Мищенко, М. Л. Гервер, А. Л. Тоом), занимавшихся с учащимися индивидуально. Кроме того, велись кружки, читались отдельные лекции.

Занятия, естественно, сопровождались упражнениями. Постоянно вывешивались списки задач, учитывающие все вкусы. В любое время можно было, встретив преподавателя (и Андрея Николаевича в том числе), задать вопрос, получить консультацию. Ученикам и преподавателям выдавались краткие конспекты лекций. Этих же правил Андрей Николаевич придерживался и позднее, в ФМШ и пущинских школах; конспекты собственных лекций он печатал, как правило, сам.

По вечерам регулярно устраивались музыкальные или литературные вечера, велись беседы учеников с молодыми преподавателями на самые разные волнующие школьников темы, собственно математические или же связанные с поступлением в университет. Популярностью пользовались «английские шарады», логические игры. Традиционным для летних школ стало внимание к спорту. Обязательные утренние зарядки и ежедневные купания три раза в день при любой погоде, походы в лес, заплыв через Московское море, «флагманами» которого были П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, экскурсия на Бородинское поле — вот штрихи красновидовского лета. Примерно так же работали и последующие летние школы, участники которых вспоминают их с самым добрым чувством.

Тематика лекций и курсов, которые читал А. Н. Колмогоров в летних школах, каждый раз менялась, так что в совокупности конспекты всех его лекций для летних школ, если бы они сохранились, составили бы очень интересную книгу. К сожалению, имеющиеся материалы малочисленны, опубликована лишь одна работа [3.13]. Неизвестна судьба конспектов лекций, прочитанных П. С. Александровым, В. М. Алексеевым, другими преподавателями летних школ.

Физико-математическая школа при МГУ. По-видимому, сама идея этих школ зародилась в Сибирском отделении АН СССР. Но стиль работы каждой школы определялся личностью ее научного руководителя: все четыре существующие ФМШ при университетах (Но-

восибирском, Московском, Ленинградском и Киевском) отличаются довольно заметно как по содержанию курсов, так и по методам работы и, если угодно, укладу жизни. Делу создания таких школ существенно помогло то обстоятельство, что вокруг идеи ФМШ объединились люди, понимающие большую государственную значимость работы с талантливыми школьниками, — М. А. Лаврентьев, И. К. Кикоин, А. Н. Колмогоров, С. Л. Соболев, А. А. Ляпунов. Активно поддержал начинание ректор Московского университета академик И. Г. Петровский.

В жизни Андрея Николаевича Колмогорова физико-математическая школа-интернат № 18 при МГУ занимает особое место. Он создал эту школу, вдохнул в нее жизнь. Андрей Николаевич был научным руководителем ФМШ, читал многочисленные курсы, вел кружки и обычные уроки; проводил музыкальные и поэтические вечера, ходил с ребятами в походы; возглавлял Попечительский совет школы, добивался необходимого финансирования, заботился о библиотеке. Словом, вся жизнь ФМШ проходила при активнейшем участии Андрея Николаевича. Непосредственно в ее стенах он провел суммарно, наверное, не меньше года.

ФМШ при МГУ была открыта 2 декабря 1963 года. За эти годы по отношению к школе, ее выпускникам и самой идее высказывались самые разные суждения — от восторженных до резко критических. Время — самый справедливый судья. Подлинный показатель успешности работы школы — судьбы ее выпускников. За более чем 30 лет ФМШ окончили около 4000 учащихся. Многие из них к настоящему времени защитили кандидатские, десятки выпускников — докторские диссертации. Научные работы выпускников ФМШ составляют заметную долю всех работ по математике и физике, подготавливаемых в стране.

Некоторые общие представления о работе ФМШ можно получить из имеющихся публикаций [1.46], [2.13], [2.14], [3.2], [3.7], [3.25], [6.10], [6.32]. Не претендуя на сколько-нибудь полную характеристику, остановимся на некоторых принципах работы школы, ее традициях, созданных главным образом А. Н. Колмогоровым.

Основная цель заключалась в том, чтобы создать необходимые предпосылки для приобщения школьников к научной работе. Достигалось это разными способами. Многое зависело от выбора программ, учебных материалов, стиля лекций. Одна из наиболее характерных особенностей интернатских курсов состояла в том, что практически все они (и те, которые читал сам Андрей Николаевич, и те, что после обсуждения с ним читали другие лекторы) были курсами совершенно новыми. Необходимо было заинтересовать ребят, познакомить их с серьезными математическими идеями и при этом учесть специфику возраста, ограниченность имеющихся математических знаний. Все это

требовало поиска принципиально новых идей, и здесь математический гений А. Н. Колмогорова проявлялся в полной мере.

Ученики ФМШ приобщались к научной работе во многом благодаря тому, что в лекциях Андрея Николаевича речь шла о серьезной математике. Многие выпускники интерната, ставшие позднее профессиональными математиками, отмечают, что с очень существенными идеями они познакомились именно в стенах интерната. Показателен, например, курс геометрии, который дважды читал Андрей Николаевич для учеников 9-х классов. Он охватывал, по существу, материал первой главы «Геометрической алгебры» Э. Артина, но изложение было существенно нагляднее, геометричнее. Начинался курс с аксиоматики аффинной и проективной плоскости. Доказывались простейшие следствия, строился пример недезарговой плоскости, аксиоматика исследовалась на полноту, непротиворечивость, независимость. Затем действие переносилось в пространство: выводились известные теоремы курса геометрии, основанные на аксиомах соединения, обосновывалось существование гомотетий и переносов, появлялись векторы и определялись операции над ними, доказывались соответствующие свойства. Лишь в самом конце добавлялись аксиомы, обеспечивающие переход к евклидовой геометрии. Конспект этого курса сохранился.

Другим примером может служить курс, прочитанный В. И. Арнольдом в 1963/64 учебном году для одиннадцатиклассников. Финалом была теорема Галуа, доказанная вполне строго (по ходу дела вводились необходимые элементы ТФКП и алгебры). Один из выпускников, В. Б. Алексеев, позднее, будучи уже аспирантом, прочитал в ФМШ этот курс еще раз по сохранившимся записям и оформил его в виде книги1).

А. Н. Колмогоров, как никто другой, умел и вроде бы малоинтересные темы и факты излагать глубоко и ярко, в принципиально новой форме. Так, вводный курс анализа, который он читал для 9-х классов, содержал, по существу, законченную, совершенно по-новому изложенную теорию действительного числа, основанную на аксиоматике скалярных величин, предложенной Андреем Николаевичем (см. [4.77]).

Необычной для вводного курса анализа была и его структура. Сам Андрей Николаевич описал ее так: «Лекционный курс начинается с общего понятия отображения (функции) и развивается с одной стороны в направлении изучения геометрических преобразований и кинематики, а с другой стороны в виде наглядного введения в анализ (начала интегрального и дифференциального исчисления)... с первыми примерами дифференциальных уравнений» [3.7, с. 3].

1) Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах. М.: Наука, 1978.

Следует заметить, что необычность всех курсов, которые он читал, требовала известного напряжения не только от учащихся, но и от преподавателей. Как правило, после лекций Андрея Николаевича (а на них, ввиду указанных особенностей, присутствие преподавателей признавалось не только полезным, но и необходимым) сразу проводились семинарские занятия. На семинарах в ходе изучения лекционного материала предлагались задачи (умение решать задачи требовалось на регулярно проводившихся зачетах и экзаменах). При этом выдерживался достаточно высокий темп изложения — это оказывалось возможным благодаря тщательному отбору школьников в интернат, — так что времени на прорешивание больших циклов тренировочных задач попросту не было.

Показательна система подготовки к вступительным экзаменам в вузы, которые всем выпускникам интерната предстояло сдавать и которые требовали известной тренированности. Предполагалось, что именно в ходе изучения интернатских курсов, довольно далеких от программ вступительных экзаменов, ученики ФМШ должны достигать уровня, позволяющего успешно справиться с конкурсными задачами; для необходимого же тренинга (не слишком большого по объему) достаточно заключительного курса лекций по элементарной математике, сопровождающегося решением специально подобранных конкурсных задач. Долгие годы эту работу вели такие мастера, как А. А. Шершевский, И. К. Сурин; позднее ее с успехом выполняли А. Н. Земляков, Б. М. Ивлев.

Андрей Николаевич считал, что каждому будущему ученому требуется умение выполнять вычислительные и графические работы значительного объема. Для этого необходимы новые, отличные от стандартных, формы работы со школьниками. Такой формой для интерната стал в первую очередь математический практикум, многие темы которого предлагал сам А. Н. Колмогоров. Вот как он характеризовал общий замысел практикума:

«Часы математического практикума, проводящегося, в идеале, одновременно для всего потока, используются частично для унифицирующих требования к различным классам письменных контрольных работ, состоящих из серии задач обычного школьного типа. Но в основном эти часы отводятся для выполнения работ большого объема, требующих больших вычислений и чертежного оформления. Например, фактически осуществляется программа оценки числа 7г, после изучения в классе движения по циклоиде исследуются графически более сложные случаи сложения движений, находятся и изображаются графически решения системы дифференциальных уравнений последовательного радиоактивного распада: х = —ах, у = ах — by, z = by, и т. п. В проведении практикума участвуют преподаватели, работающие в классах, но отдельная

небольшая группа преподавателей его организует и готовит для него материал» [3.7, с. 4]. Несколько тем матпрактикума обсуждается в брошюре [3.25]. Так, одно из заданий предусматривало конструирование моделей правильных, полуправильных и звездчатых многогранников, полная коллекция которых была изготовлена учениками одного из потоков ФМШ.

Следует отметить важную особенность уже приведенных примеров: все указанные курсы имеют законченный характер, как это и должно быть в научной теории. Остается добавить, что это же было характерно и для отдельных тем. Примером может служить опубликованный фрагмент работы кружка по геометрии, которым руководил А. Н. Колмогоров: было дано полное описание всех укладок плоскости правильными многоугольниками [2.5].

Указанные особенности интернатской программы по математике в значительной мере содействовали тому, что выпускники успешно поступали в вузы (до 95% учащихся), в том числе и ведущие (70%). Многие из них активно включались в научную жизнь уже в первые годы студенчества, а позднее успешно продолжали обучение в аспирантуре. Научные связи между учениками и учителями ФМШ часто находили продолжение в университете. Например, С. М. Воронин и Г. И. Архипов, ставшие докторами наук, начали контакты со своим будущим научным руководителем А. А. Карацубой в школьные годы. Это же можно сказать о работе В. И. Арнольда и Н. Н. Нехорошева, В. А. Скворцова и Т. П. Лукашенко. Число подобных примеров велико.

При всей важности правильной постановки курсов и всего учебного процесса не менее существенным был подбор людей, способных создавать новые курсы, вести уроки и кружки, умеющих работать с ребятами, способствуя созданию той атмосферы увлеченности наукой, о которой неоднократно говорил А. Н. Колмогоров как о необходимом условии жизни ФМШ. В интернатском гимне (а он существует с 1966 г., его автор — Юлий Ким) есть такие строки: «Здесь ученого элемента плотность очень велика: аспирант и полдоцента на процент ученика». Это — очевидное преувеличение, но в интернате действительно работало необычайно много научных сотрудников и преподавателей высшей школы. Помимо лекторов и «взрослых» преподавателей (а в их число в разные годы входили физики В. Б. Буховцев, Г. И. Катаев, И. К. Кикоин, Я. А. Смородинский, математики В. М. Алексеев, В. И. Арнольд, А. А. Егоров, В. А. Скворцов, А. Б. Сосинский), в ФМШ работали многие аспиранты и студенты университета, которым начинал с III курса доверяли вести уроки, занятия кружков. Положительное влияние на жизнь школы оказало включение в Положение об интернате пункта, предусматривающего возможность работы в каж-

дом классе до трех преподавателей математики и физики (один-два из них были студентами). Это позволяло, с одной стороны, работать индивидуально с каждым учеником, а с другой — привлечение студентов обеспечивало преемственность: становясь аспирантами, они часто продолжали преподавать. Среди студентов-преподавателей было много выпускников школы — они работали увлеченно и со знанием дела.

Очень большое внимание А. Н. Колмогоров уделял общему образованию и развитию школьников. Предметом специальной его заботы был подбор людей, ответственных за преподавание «нематематических» предметов. Очень многое ему удалось сделать. Так, постановка преподавания английского языка в ФМШ была осуществлена под руководством известного филолога О. С. Ахмановой. Многие выпускники ФМШ, которым довелось изучать литературу в классах преподавателя МГУ Н. И. Герасимова, вспоминают его с самой глубокой признательностью. Обучение биологии в течение ряда лет осуществлялось преподавателями биофака МГУ. Для изучения французского языка теми немногими учениками, которые до прихода в ФМШ изучали этот язык, был приглашен А. А. Зализняк, ныне член-корреспондент РАН.

Активно велась разнообразная внеклассная работа. Как уже говорилось, Андрей Николаевич сам проводил многие музыкальные и поэтические вечера. Он рассказывал о своих путешествиях, о плавании на научно-исследовательском судне «Дмитрий Менделеев» и т. п. Неоднократно встречался со школьниками и П. С. Александров. Проводились вечера интересных встреч — на одном из них, например, В. К. Левик рассказывал о работе переводчика, читал свои переводы; бывали в ФМШ летчик-испытатель В. К. Коккинаки, поэты Л. Ошанин, Я. Хелемский и многие другие.

Предмет специального внимания Андрея Николаевича — здоровье ребят. Сохранились заметки, в которых он фиксировал оценки утомляемости учеников ФМШ, полученные в лаборатории профессора Нагорного (его сотрудники в 60-е годы проводили специальные исследования физиологических характеристик учащихся ФМШ). Большое значение придавалось занятиям спортом. В интернате было увеличено, по сравнению с обычной школой, число часов, отводимых на физкультуру. Работали спортивные секции, часто устраивались футбольные и баскетбольные матчи, в том числе между командами школьников и преподавателей. Несколько раз по инициативе Андрея Николаевича организовывался выезд в летние трудовые лагеря в Крыму.

И еще одна деталь. Создавая ФМШ, А. Н. Колмогоров исходил из того, что подобные школы-интернаты необходимы в первую очередь тем ребятам, которые живут вне университетских центров, полагал, что в больших городах имеются собственные возможности для

полноценного развития способных учащихся. Тем самым было взято обязательство принимать в интернат по преимуществу ребят из сельской местности и из небольших городов (исключения делались только для победителей всесоюзных олимпиад). Это правило неукоснительно соблюдалось. Неоднократные попытки добиться особых решений, предпринимаемые со стороны очень влиятельных людей, заботящихся о своих молодых родственниках, не имели успеха.

Литература для учащихся. Необходимое условие организации эффективной системы работы со школьниками, интересующимися математикой, — наличие специальной литературы. Вклад, который внес А. Н. Колмогоров в это дело, неоценим. Говоря о литературе для школьников, в создании которой он в том или ином качестве участвовал, можно выделить три больших раздела.

Во-первых, это книги и статьи, написанные самим Андреем Николаевичем ([2.1]-[2.15], [3.1], [3.2], [3.4], [3.5], [3.7], [3.13]-[3.17], [3.20]-[3.29], [4.22], [4.41], [4.42], [4.52], [4.53], [4.71]). Напомним, что опубликована лишь небольшая часть тех лекций для учащихся, которые он читал. Практически все эти лекции готовились так, что в случае наличия стенограмм или хотя бы точных конспектов они составили бы большой том, готовый для печати. Конспекты отдельных неопубликованных лекций и курсов сохранились — среди них есть подлинные шедевры.

Второй раздел составляют книги, редактором которых был Андрей Николаевич ([3.3], [3.6], [3.18], [3.19], [5.3], [5.5], [5.7]-[5.9]). Говоря о работе А. Н. Колмогорова в качестве редактора, необходимо отметить необычайное его умение быстро вникать в существо текста, даже большого по объему и сложного по структуре и содержанию. Это умение «видеть» текст было у него чрезвычайно развито и производило очень сильное впечатление. Андрей Николаевич быстро находил ему одному видимые «узловые точки» и обращал внимание на неточности или, наоборот, на яркие, наиболее интересные особенности. Добавим, что во многих случаях А. Н. Колмогоров, не являясь официальным редактором книги (а его участие в этом качестве никогда не носило формального характера), активно поддерживал издание, выступая его инициатором или консультантом. Судя по числу благодарностей, вынесенных авторами в предисловия, количество изданий, в судьбе которых принимал участие Андрей Николаевич, очень значительно.

Наконец, особую группу составляют около 200 номеров журнала «Квант» и книги серии «Библиотечка „Квант“». Инициаторами их издания были И. К. Кикоин и А. Н. Колмогоров; начиная с 1970 г., когда был создан «Квант», И. К. Кикоин вел физический, а А. Н. Колмогоров — математический раздел журнала. Надо сказать, что добиться специального издания для школьников было делом непростым. Тем более су-

щественно, что им удалось также настоять на ряде особых условий, в частности хорошем полиграфическом исполнении журнала. Андрей Николаевич вообще высоко ценил хорошие иллюстрации математического текста для учащихся, считая, что они помогают восприятию, позволяют более выпукло выделить основные идеи. Существенным пунктом Положения о «Кванте» стало и решение о повышенных гонорарах для авторов журнала — это обстоятельство во многом облегчало задачу привлечения к сотрудничеству в «Кванте» квалифицированных авторов.

Лицо журнала в математической части определялось главным образом А. Н. Колмогоровым. Его редакторская работа — отбор авторов и статей, компоновка журнала, правка — всегда затрагивала существо дела. Даже в последние годы, будучи уже тяжело больным, Андрей Николаевич регулярно знакомился с материалами и рукописями, предназначенными для издания в «Кванте» или «Библиотечке „Квант“».

Дифференциация обучения. На протяжении примерно трех десятилетий А. Н. Колмогоров активно выступал за дифференциацию обучения в старших классах, за расширение сети специализированных классов, считая, что именно этот путь развития советской школы позволит в наибольшей мере развить способности и таланты подростков, учесть в должной степени запросы современного производства и науки.

В архиве Андрея Николаевича сохранилось немало материалов, в том числе достаточно законченных, отражающих его чрезвычайно интересные взгляды на природу математических способностей, возможные схемы развития способностей у подростков. Первые публикации А. Н. Колмогорова на этот счет (см. [4.45], [6.4], [6.6], [6.11]) относятся к концу 50-х — началу 60-х годов. Типично его выступление 25 июня 1964 г. на совещании в Министерстве просвещения РСФСР: «...следует учитывать наклонности учащихся. (...) Для учащихся, которые желают посвятить себя работе в области физико-математических наук или стать инженерами, необходимо наряду со специализированными физико-математическими школами-интернатами развернуть широкую сеть физико-математических школ типа средних общеобразовательных школ с производственным обучением со специальностью вычислителей-программистов. Такими школами целесообразно охватить 10 —15% всех учащихся старших классов средней школы» [1.3].

Эта идея была довольно популярной, и высказывали ее многие; определенное развитие специализированные школы и классы получили в 60-х — начале 70-х годов, хотя, к сожалению, затем последовала волна закрытий. Заслуга А. Н. Колмогорова состоит в том, что он наполнил идею новым конкретным содержанием: разработал принципы обучения (реализованные в ФМШ при МГУ), создал значительное число первоклассных учебных материалов.

Важно подчеркнуть, что А. Н. Колмогоров не просто выступил в поддержку идеи дифференциации — он боролся за нее. Идея эта, как известно, очень длительное время не пользовалась официальной поддержкой. Тем не менее, будучи убежден в своей правоте, Андрей Николаевич неоднократно возвращался к ней в целом ряде публикаций и выступлений. Показателен следующий эпизод.

В январе 1984 г. проходило широкое обсуждение проекта реформы общеобразовательной школы. Андрей Николаевич подготовил текст, содержащий предложения об осуществлении в ходе реформы дифференциации старших классов. Он обратился за поддержкой к видным ученым, и после обсуждений и согласований в газете «Известия» было опубликовано коллективное письмо девяти академиков с соответствующими предложениями [6.29]. Отклика официальных инстанций не последовало, не было и обсуждения в печати. Косвенным ответом стал опубликованный через полгода в журнале «Коммунист» следующий текст: «В отклике на проект реформы были предложения о создании условий для углубленного изучения учащимися отдельных предметов. В „Основных направлениях“ предусмотрена такая возможность. Для углубленного изучения предметов физико-математического, химико-биологического и общественно-гуманитарного циклов, а также для развития разносторонних интересов и способностей школьников вводятся факультативные занятия по выбору учащихся. Что касается пожеланий повсеместно организовать специализированные школы и классы (выделено мной. — А. А.), то согласиться с ними было нельзя. Делать это нецелесообразно, и на широкое развитие сети таких школ идти не следует. — Иначе был бы нарушен один из основных принципов нашей школы — единый уровень образования»...

Программа школьного курса математики. В середине 60-х годов Андрей Николаевич Колмогоров возглавил работу по совершенствованию всей системы школьного математического образования в СССР. Первый его большой цикл работ в этой области связан с разработкой программы по математике.

Собственно, вопрос тогда ставился шире — начиналась реформа всего школьного образования в СССР. С этой целью в декабре 1964 г. была создана Центральная комиссия по определению содержания образования в средней школе АН СССР и АПН СССР под председательством Алексея Ивановича Маркушевича. В комиссии были организованы предметные секции, в которые входили многие действительные члены АН СССР: Д. Д. Благой, Я. Б. Зельдович, А. Ю. Ишлинский, В. А. Каргин, И. К. Кикоин, М. А. Леонтович, М. В. Нечкина, В. М. Хвостов и др. Андрей Николаевич возглавил математическую секцию комиссии. В состав непосредственных разработчиков, подготавливающих

проект школьной программы по математике для широкого обсуждения, входили профессиональные математики и учителя, представители высшей школы и методисты: В. Г. Болтянский, А. Н. Колмогоров, Ю. Н. Макарычев, А. И. Маркушевич, Г. Г. Маслова, К. И. Нешков, А. Д. Семушин, А. И. Фетисов, А. А. Шершевский, И. М. Яглом.

Работа над программой заняла около трех лет и проходила в несколько этапов. В 1965 г. после определения комиссией структуры будущей школы и разработки учебного плана была создана схема программы и материал «Объем знаний по математике» [1.4], после публикации которого и дискуссии в журнале «Математика в школе» (1966 г.) был завершен первый вариант программы [1.12], опубликованный издательством «Просвещение». Полученные замечания учитывал проект 1967 г., который после очередной серии обсуждений стал документом [1.21], одобренным Министерством просвещения СССР и принятым в качестве основы для будущих учебников.

Работа над программами проходила в активных дискуссиях. Есть основания утверждать, что программа 1968 г. не только была одобрена Министерством просвещения, но и получила поддержку широкой общественности и организаций, так или иначе связанных с математическим образованием. Программа была одобрена и Отделением математики АН СССР1).

Характеризуя обстановку конца 60-х — начала 70-х годов, когда была осуществлена реформа школьного математического образования, нужно отметить подлинный энтузиазм как составителей программ и учебников, так и учителей, методистов. Объясняется это в первую очередь тем, что программа 1968 г. стала документом, который отразил неудовлетворенность структурой и содержанием существующего курса математики и вобрал в себя конструктивные идеи, определившиеся к тому времени. (Чтобы убедиться в этом, достаточно обратиться к многочисленным статьям послевоенного периода, опубликованным в журналах «Математическое просвещение», «Математика в школе», других источниках.)

Важно подчеркнуть, что необходимость модернизации школьного курса математики к 60-м годам была осознана во всех развитых странах мира; волна реформ прокатилась по всей Европе, затронула и США. Отвлекаясь от того обстоятельства, что школы западных стран весьма разнообразны, а во многих странах вообще нет общегосударственных образовательных программ, в целом основные тенденции перемен были очень близки. Собственно, все эти реформы имели общий источник. Поиск путей реформирования математического образования начался в

1) См.: Математика в школе. 1967. № 3. С. 28.

конце XIX столетия и в 1914 г. оформился в виде достаточно законченных документов Международной комиссии, возглавляемой Ф. Клейном. Введение элементов анализа и аналитической геометрии, активное обращение к геометрическим преобразованиям (а позднее и векторам), освобождение от архаичного материала, последовательное проведение идеи функции — вот основные лозунги реформы, активно поддерживаемые и развиваемые в конкретных разработках как в нашей стране, так и за рубежом с начала XX столетия. Задержка же реформ была вызвана, по-видимому, в основном историческими катаклизмами.

Итак, программа 1968 г. создавалась не на пустом месте. Но конкретная проработка структуры курсов, продумывание возможных схем изложения, распределение времени, учет имеющихся традиций преподавания в нашей стране и оценка степени готовности учительства — все это требовало кропотливой, трудной работы от всех, кто готовил программы, и в первую очередь от лидера — А. Н. Колмогорова. Комплекс идей, заложенных в программе 1968 г., представляет собой сложную структуру, которую полно описать здесь трудно, да и вряд ли нужно: главное было сказано самим Андреем Николаевичем в ряде его статей, практически являющихся комментариями к программе ([1.5]—[1.8], [1.15], [1.20]—[1.22]). Поэтому ограничимся перечислением лишь некоторых наиболее принципиальных особенностей.

Обновление курса математики в указанных выше направлениях (включение элементов анализа, аналитической геометрии, геометрических преобразований и векторов) стало возможным за счет освобождения курса от ряда устаревших тем — в первую очередь, от архаичного курса арифметики. Предусматривался сдвиг некоторых тем (например, темы «Простейшие элементы алгебры») на более ранние этапы изучения. Возможность подобных решений была подсказана предшествующим опытом, обосновывалась в ходе экспериментов.

Была существенно пересмотрена структура курса: возник единый курс математики для I—VI классов, в школе утвердился курс алгебры и начал анализа, был упразднен отдельный курс тригонометрии, больше времени выделено на изучение алгебры в VI—VIII классах и т. д.

В указанных выше статьях Андрей Николаевич подробно характеризовал общие установки методического плана, которыми руководствовались составители программы. Он отмечал, например: «Одной из основных задач мы считали достижение идейной стройности курса математики в средней школе. При этом я имею в виду следующие требования: 1) всюду, где это возможно, учащихся надо прямыми путями вести к современным и рациональным методам решения проблем и задач; 2) переход к новому кругу идей должен быть по возможности мотивирован понятным для учащихся способом; 3) каждое направление работы

учащегося, будучи начато, должно быть доведено до тех минимальных результатов, которые его действительно оправдывают; школа не должна заниматься наполнением памяти учащихся заготовками, которые в школьном курсе не найдут достойного употребления, в надежде, что они учащимся когда-либо пригодятся» [1.15, с. 5].

Одна из особенностей проекта 1968 г., получающая сейчас активное развитие, — явное выделение большого числа примеров, задающих тот уровень навыков, которого учащиеся должны достичь при изучении той или иной темы. Уровень этих обязательных требований не был слишком высок. Точка зрения Андрея Николаевича на этот счет была следующей. Он считал крайне неудачной складывающуюся ситуацию, при которой вслед за вузами, поднимающими планку трудности конкурсных задач, учителя и методисты часто предлагают искусственно усложненные технические задания. Фактически же большинство учащихся не овладевало рядом навыков и на более скромном уровне. Предъявление завышенных требований отвлекало от общеобразовательных задач курса. Андрей Николаевич отмечал: «Несомненно, что навыки в выполнении некоторых основных, постоянно встречающихся во всей дальнейшей работе операций должны быть доведены до автоматизма. Это относится не только к четырем арифметическим действиям, но и к простейшим алгебраическим преобразованиям или к эскизному изображению (от руки, без чертежных инструментов!) простейших геометрических фигур. Но круг этих навыков, доводимых до автоматизма, а следовательно, и до определенной скорости выполнения, должен быть очень ограничен. Нет, например, никакой необходимости включать в их число логарифмирование и „потенцирование“ замысловатых, искусственно придуманных выражений и т. п.» [1.15, с. 5].

Что касается элементов теории множеств и логики, т. е. тех элементов курса математики, которые оказались в эпицентре критики конца 70-х годов, то следует заметить, что программа 1968 г. как раз рекомендовала весьма осторожное и умеренное их введение [1.21, с. 5].

При оценке этой программы сейчас, четверть века спустя, когда уже известно последующее развитие событий, наиболее обоснованным представляется вывод: это был документ, верно определивший основное содержание школьной математики, структуру математического курса и основные методические принципы на предстоящий период.

Подготовительный цикл. Еще продолжая работу по определению структуры и содержания школьного математического образования, Андрей Николаевич начинает цикл статей, подготавливающих переход школы на новое содержание математического образования. Характеризуя его, начнем с работ, связанных со становлением факультативных курсов, которым он придавал очень большое значение.

Как уже говорилось, А. Н. Колмогоров всегда относился к числу сторонников развития специализированных школ и классов. В известной мере решение, предусматривающее приоритетное развитие системы факультативных занятий, было компромиссом, позволяющим (в случае полноценного развития факультативов) учесть и необходимость специальной работы со способными ребятами, и мнения противников дифференциации старших классов. Факультативные курсы — форма, несомненно, более демократичная и проще реализуемая, нежели специализация классов, при которой требуется наличие большого числа квалифицированных учителей. Андрей Николаевич активно участвовал в становлении факультативных курсов: программы разрабатывались под его руководством, он являлся соавтором и редактором всех созданных тогда программ.

Были подготовлены два цикла факультативных курсов: сначала «Дополнительные главы математики» [1.14]-[1.18], затем «Избранные вопросы математики». Основной целью первого цикла было содействие возможно более быстрому внедрению факультативов в практику школы. Эти факультативы имели и иное назначение: включая ряд вопросов, относящихся к новой программе, еще не подкрепленной учебниками, они подготавливали учителей к преподаванию нового курса математики. Этот первый цикл имел в целом довольно удачную судьбу: факультативы начали вести многие учителя.

Вопрос о факультативных курсах имеет принципиальное значение для понимания всего развития событий, связанных с реформой 70-х годов. Напомним, что реформа школьного математического образования осуществлялась в рамках реализации общей реформы школы, проводимой в соответствии с Постановлением правительства от 10 ноября 1966 г., главным требованием которого было повышение научности изложения — этому в полной мере отвечал замысел реформы математического образования.

В последовавших затем изменениях учебного плана первоначальное число часов, отводимых на математику, постоянно сокращалось. При самом первом таком сокращении А. Н. Колмогоров и А. И. Маркушевич, которые еще могли влиять на решение, согласились с уменьшением на 1 час в неделю, поскольку в этом не было большой беды (хотя именно тогда уже пришлось отказаться от изучения комплексных чисел); главный же расчет был на реальную жизнь факультативов.

Далее, однако, появляется ряд новых решений о школе, радикально меняющих систему постулатов, лежащих в основе программы 1968 г. В первую очередь, это Закон о всеобщем обязательном среднем образовании (1973 г.), а также ряд частных решений — о создании учебно-производственных комбинатов, о включении в учебный план новых

предметов и т. п., вслед за чем не только неуклонно сокращались часы, отводимые на изучение общего курса математики, но и учебное время, предназначенное для факультативных курсов, использовалось не по прямому назначению. Это привело, в частности, к тому, что число реально действующих факультативов оказалось невелико уже в середине 70-х годов, когда второй цикл факультативных курсов «Избранные вопросы математики» получил воплощение в пособиях.

Говоря об участии Андрея Николаевича в создании факультативных курсов, надо указать две работы. Одна из моделей такого курса была им разработана в статье «Элементы теории вероятностей и комбинаторики» [1.24] — эту тему не удалось ввести в обязательную программу. Другой пример — глава «Логическое строение геометрии» [3.20], завершающая курс геометрии для VI — VIII классов. Здесь давался обзор аксиоматики, положенной в основу школьного курса геометрии. На примере простой аксиоматики аффинной плоскости обсуждались понятия полноты, непротиворечивости и независимости. Иными словами, идея аксиоматического метода доводилась до определенной завершенности.

Сам Андрей Николаевич не считал эти тексты готовыми для использования в непосредственной практической работе и не включал их в сборники факультативных курсов. Но работы эти заслуживают самого пристального внимания. Они хорошо иллюстрируют один из основных педагогических принципов А. Н. Колмогорова: тексты для школьников должны быть законченными, содержательными (т. е. нести заметную идейную нагрузку), должны знакомить с серьезными математическими идеями и приложениями математики. Естественно, что при этом он стремился сделать материал доступным для школьников, наглядным.

Более утилитарную тенденцию придать факультативам функции курсов для подготовки в вузы Андрей Николаевич не отвергал, а в более поздние времена, когда число часов на математику уменьшилось уже значительно, — и поддерживал, полагал, например, целесообразным честно ввести факультативный курс, ориентированный на вступительные экзамены в вузы.

При всей важности факультативных курсов это была лишь часть работы, проводимой в рамках реформы школьного математического образования. Велось экспериментальное обучение, осуществлялись многочисленные теоретические разработки (готовились варианты изложения новых тем, модификация старых). Соответствующие публикации многих авторов регулярно появлялись в журнале «Математика в школе» в конце 60-х — начале 70-х годов.

В этот период А. Н. Колмогоров знакомится с зарубежной литературой, отечественными учебниками, подготавливает и публикует

большой цикл статей с конкретными разработками, материализующими ряд идей новых программ. Работы этого периода охватывают практически все (за исключением начальных классов) этапы школьного обучения (см. [1.22]-[1.24], [1.27]-[1.29], [1.31], [1.32]).

Так, в статье «Учебные материалы по геометрии для V класса» [1.31] было предложено принципиально новое направление изучения элементов геометрии. Андрей Николаевич считал, что геометрия в V классе может быть изложена более содержательно за счет включения дополнительных интересных фактов (например, теоремы Пифагора с «индийским» доказательством). Он полагал также важным ознакомить школьников уже в этом возрасте с геометрическими преобразованиями — при условии, что изложению будет придан наглядный характер, будут включены примеры, интересные для учащихся этого возраста. Такого рода тексты и вошли в указанную работу.

Пожалуй, больше всего в этот период его занимали совершенно новые для советской школы вопросы преподавания алгебры и начал анализа. Для проверки предлагаемых вариантов изложения он организовал четырехлетний эксперимент в болшевской школе № 3, где два потока IX—X классов изучали элементы анализа по материалам, подготовленным или самим А. Н. Колмогоровым, или под его руководством (см. [1.10]). Эксперимент проводился при непосредственном участии Андрея Николаевича: он регулярно встречался с учителями, ведущими эксперимент, с учениками.

В журнале «Математика в школе» имеется также несколько статей А. Н. Колмогорова, являющихся фактически рецензиями на действовавшие тогда учебники (см. [1.11]—[1.19]). В этих статьях указывалось на явные дефекты, предлагались конкретные способы исправления замеченных недостатков. Обсуждаемый цикл работ содержит как идеи общего характера, так и подробный анализ отдельных частных проблем. При этом Андрей Николаевич зачастую формулировал явно некоторые свои общие принципы. Так, в работе «О школьном определении тождества» [1.8] он отмечает следующее: «...„логическая строгость“ в живой, развивающейся науке достигается лишь за счет права в зависимости от наших потребностей выбирать способ „формализации“ наших знаний и, по мере надобности, переходить от одной формальной системы к другой».

В целом цикл работ А. Н. Колмогорова, связанных с подготовкой проекта школьной программы, а также статьи, предваряющие реформу, представляют большую ценность. Здесь он объяснял, почему школьный курс математики желательно ориентировать в предлагаемых программой направлениях, какие методические принципы следует положить в основу преподавания математики в школе, как их можно

реализовать. В совокупности эти работы затрагивают так или иначе очень многие важные вопросы обучения математике в школе, злободневные и сегодня.

Учебники. По-видимому, решение Андрея Николаевича о личном участии в написании учебников было принято под влиянием складывавшихся обстоятельств. Длительное время он ограничивался активным участием в обсуждениях, консультациями авторам формирующихся коллективов, дал согласие быть редактором учебников. Начинал с 1970 г., когда в школе был введен учебник «Математика 4 — 5», возникла уже острая необходимость, заставившая его включиться в работу в качестве официального автора: несколько лет подряд к началу учебного года нужно было подготавливать очередные учебники, и доводка их требовала полного напряжения сил всех авторских коллективов.

Переходу школы на новые пособия по математике предшествовало экспериментальное обучение. В конце 70-х годов иногда высказывались мнения об отсутствии практической проверки введенных в ходе реформы учебников. На самом деле эксперимент проводился в течение ряда лет; непосредственная проверка осуществлялась во всех школах четырех экспериментальных районов (Суздальский район Владимирской области, Тосненский — Ленинградской, Белоярский — Свердловской и г. Севастополь). При этом проверке подлежали различные варианты учебников: пособия по алгебре и началам анализа Б. Е. Вейца и И. Т. Демидова, а также Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой, пособия по геометрии для VI — VIII классов А. Ф. Семеновича, Р. С. Черкасова и Ф. Ф. Нагибина и коллектива авторов под руководством В. Г. Болтянского; по стереометрии конкурировали учебники К. С. Барыбина и авторского коллектива под руководством 3. А. Скопеца. Окончательное решение принималось после сопоставления результатов эксперимента. Можно обсуждать, насколько удачной оказалась схема проведения экспериментов, но нельзя отвергать их наличия.

Работа над учебниками требует поиска схемы изложения, подготовки многих промежуточных вариантов, поисков десятков определений и доказательств, подбора сотен задач и изготовления эскизов сотен рисунков, поиска лучших редакций формулировок и отдельных фраз, учета многочисленных связок между различными элементами текста и т. д. и т. п. Поэтому работа над учебниками потребовала от Андрея Николаевича полного напряжения сил. За период с 1970 по 1979 г., на который пришлась подготовка учебников геометрии для VI — VIII классов, затем — алгебры и начал анализа для IX — X классов, под руководством Андрея Николаевича были подготовлены несколько вариантов этих пособий (см. список учебников на с. 140-141; указаны лишь те издания, которые радикально перерабатывались).

Личное участие А. Н. Колмогорова в работе над учебниками было очень велико. Основное внимание он уделял теоретическому тексту: определял структуру изложения, изучал предварительно подготовленные соавторами варианты. На решающем этапе подготовки к печати, когда работа шла непрерывно по нескольку месяцев, эти варианты в результате переписывались практически заново; многие ключевые пункты и разделы переделывались многократно. Стремление Андрея Николаевича использовать малейшую возможность для улучшения текста даже на стадии корректуры приводило, естественно, к трудностям в процессе издания, которые, впрочем, в итоге снимались благодаря пониманию сложности дела, проявленному со стороны Минпроса СССР и издательства «Просвещение».

Уделяя первоочередное внимание теоретическому материалу пособий (в значительной части написанному самим А. Н. Колмогоровым), он внимательно контролировал подготовку всех других элементов текста, и в первую очередь задач. Его участие и здесь было очень большим: Андрей Николаевич указывал задачи, которые следует удалить, заменить или отредактировать, вносил правку в формулировки. Ряд задач придуман им самим. Вносимые после замечаний Андрея Николаевича исправления всегда проходили его окончательный контроль.

Характеризуя на основании накопившегося к тому времени большого личного опыта работу над учебниками, в 1974 г. А. Н. Колмогоров отмечал: «Когда создают новые марки самолетов, конструкторское бюро имеет общий замысел, единое четкое руководство, но отдельные узлы планируются самостоятельными группами. Потом итоги работы собирают вместе, определяют, что подходит, а что не подходит, и в случае несогласованности дают специальным группам новый заказ. Учебник не менее сложная вещь, чем новый тип самолета. Всем ведомствам и организациям это надо понять и не бояться широкой постановки дела, хотя бы она потребовала затрат и освобождения квалифицированных специалистов от другой работы» ([4.67, с. 14]). Эта мысль актуальна и сейчас: по сей день подготовка школьных учебников продолжает осуществляться небольшими авторскими коллективами в «свободное» время.

Первый опыт работы А. Н. Колмогорова над школьными учебниками относится к концу 30-х годов, когда он совместно с П. С. Александровым подготовил первую часть учебника алгебры для VI — VIII классов [3.1]; вторая часть, для старших классов, не была закончена. Этот учебник (по-видимому, в связи с разразившейся вскоре войной) не был введен в школу и, насколько известно, не проходил экспериментальной проверки. Несомненно, однако, что многие идеи, заложенные в эту книгу, оказали заметное влияние на авторов последующих пособий по алгебре; многие учителя, специалисты в области школьной матема-

тики отмечали ряд его несомненных достоинств и высоко оценивали учебник в целом.

Характеризуя работу Андрея Николаевича над пособиями для учащихся, следует выделить (не претендуя, впрочем, на полноту) некоторые его общие принципы, которые четко проявлялись при работе над учебниками алгебры, геометрии, алгебры и начал анализа.

Андрей Николаевич постоянно настаивал (и эта его идея реализована во всех учебниках, созданных под его руководством) на необходимости включения в пособие текстов, дополняющих основное содержание: исторического материала, доказательств, интересных фактов, выходящих за рамки обязательной программы, но тесно примыкающих к ней, задач повышенной трудности. Весь этот материал предназначался для ребят, интересующихся математикой.

Как уже отмечалось выше, А. Н. Колмогоров считал, что в школьных учебниках — в тех случаях, когда строгое изложение неизбежно требует длинных или трудных доказательств, — нужно не стесняться вводить так называемые недоказанные утверждения (т. е. утверждения, о которых явно говорится учащимся, что они верны, но доказательства трудны и поэтому для облегчения изложения опускаются). Во всех подобных случаях, однако, необходимы, по мнению Андрея Николаевича, убедительные наглядные объяснения. Этот путь он считал более правильным и естественным, нежели «педагогическое лицемерие» (когда дается видимость доказательства) или же изложение, требующее не оправданных в данном возрасте затрат сил и времени. При этом, естественно, математическая схема разрабатывалась им так, чтобы недоказанных утверждений было как можно меньше, а по мере взросления школьников подобные логические пробелы вообще исчезали бы.

В то же время Андрей Николаевич считал, что возможна организация системы понятий, в которой все определения даются совершенно аккуратно (это было сделано в курсе геометрии). Вообще, умение давать точные определения, наличие у школьников критического отношения к дефинициям А. Н. Колмогоров относил к числу важнейших общеобразовательных умений, необходимых не только будущим математикам.

При поиске лучших формулировок определений и утверждений, лучших редакций отдельных фраз, схем изложения Андрей Николаевич исходил из правила: «Короче — всегда приятнее». Однако сокращение текста не было самоцелью: наличие пояснений, разбор типичных примеров он считал совершенно необходимым. Большое значение Андрей Николаевич придавал примерам и иллюстративному материалу, считая их важными средствами повышения доступности текста, прозрачности изложения. Подбор и композиция иллюстраций, подготовка многих отдельных эскизов занимали у него значительное время.

Остановимся вкратце на характеристике основных идей, положенных в основу учебников «Геометрия 6 — 8» и «Алгебра и начала анализа 9 —10».

Основные особенности учебника геометрии Андрей Николаевич описывал так:

«Курс геометрии VI—VIII классов по новым программам существенно отличается от традиционного. В новом учебнике по геометрии для восьмилетней школы:

1) Последовательно проводится точка зрения на геометрические фигуры как на множество точек.

2) Доводятся до полной ясности (уже в VI классе) представления о неизбежности наличия в геометрии некоторых основных понятий, которым не дается явного определения, и о необходимости отчетливо определять через них все остальные геометрические понятия.

3) Систематически развиваются представления о „геометрических преобразованиях“ как обратимых отображениях всей плоскости (позднее всего пространства) на себя. В VI классе это — „перемещения“ плоскости (на современном научном языке „изометрии“). В VII классе рассматриваются преобразования подобия и в частности — гомотетии.

4) Постепенно подготавливается материал для понимания возможности разных „геометрий“, отличных от евклидовой (как геометрия Лобачевского) или охватывающих евклидову в качестве частного случая (как концепция „метрического пространства“, подготавливаемая уже в VI классе при рассмотрении основных свойств расстояний)1).

5) В VII классе вводится понятие вектора, которое далее систематически используется в старших классах и в курсе физики.

6) В VIII классе изучаются тригонометрические функции углов от -180° до 180°» [3.9, с. 5].

К этому следует добавить, что в учебник вошли элементы аналитической геометрии. В основу курса была положена система аксиом, специально разработанная А. Н. Колмогоровым (как и в аксиоматике Д. Биркгофа, здесь были приняты за основу свойства расстояний, но этим, по существу, сходство систем Д. Биркгофа и А. Н. Колмогорова ограничивается). Другая важная особенность курса — наличие элементов стереометрии, чему Андрей Николаевич всегда придавал боль-

1) Позднее, в 1984 г., Андрей Николаевич писал: «Возвращаясь к геометрии, считаю, что всякая аксиоматика в современном школьном курсе должна стоять на теоретико-множественной точке зрения. Такова, в частности, аксиоматика A.B. Погорелова. Но вопрос о том, когда начинать с учащимися разговор о логическом строении геометрии, следует обсудить заново. Опыт работы по разным вариантам учебников геометрии в течение последнего десятилетия показал, что в начале курса VI класса делать это преждевременно» [1.73].

шое значение, имея в виду развитие пространственных представлений у школьников и, в частности, учитывал нужды курса черчения.

Несколько замечаний об учебнике алгебры и начал анализа. Следует сразу заметить, что именно здесь произошел наибольший отход от программы 1968 г. Обусловлено это было внешними обстоятельствами: на этот курс пришлась львиная доля потерь учебного времени, которые за 20 лет понес курс математики (если в 1974 г. на изучение алгебры и начал анализа в IX и X классах в общей сложности выделялось 8 часов в неделю, то в 1988 г. эта цифра сократилась до 4,5). Поэтому последовательно удалялись из программы темы «Метод математической индукции», «Элементы комбинаторики», значительно сокращалось время на изучение других тем.

Работа над учебником «Алгебра и начала анализа 9 —10» строилась на тех же общих принципах, о которых говорилось выше. Поэтому, не приводя новых примеров, остановимся кратко на характеристике системы изучения элементов анализа. Необходимость их изучения в школе А. Н. Колмогоров связывал в первую очередь с общеобразовательным значением анализа. «Вряд ли надо доказывать, насколько желательно с общеобразовательной точки зрения достигнуть того, чтобы все учащиеся могли вполне конкретно понять хотя бы ньютоновскую концепцию математического естествознания» [1.6, с. 56]. Естественным следствием принятия такой позиции стало решение о раннем введении производной, рассмотрение достаточно широкого класса функций, которые учащиеся умели бы дифференцировать.

Что касается основного метода изложения элементов анализа, то Андрей Николаевич всегда считал, что он должен быть не формальным, а наглядным. Так, ссылаясь на собственный опыт преподавания в 1922 —1925 годах, он отмечал: «Опыт наглядного преподавания начал анализа говорит, что эти начала могут быть изложены в форме, в которой они совсем не воспринимаются как что-либо более трудное, чем обычный, чисто алгебраический материал» [1.6, с. 56]. Поиск системы подобного изложения — ив первую очередь введение ключевых понятий анализа (предел, непрерывность, производная, интеграл), подбор иллюстраций их применения — составил основную трудность. Потребовалось несколько вариантов изложения, полное представление о которых можно получить, обратившись непосредственно к тексту учебных пособий [3.18], [3.19], [3.21], [3.22], [3.24], [3.27], [3.28].

Подготовка учителей. Отвечающие программе 1968 г. учебники были новы для учителей как по математическому содержанию, так и с точки зрения методики. Поэтому в течение всего периода перехода на новое содержание курса математики в каждой области страны действовала система переподготовки учителей.

Участие А. Н. Колмогорова в пропаганде основных идей новых учебников проявилось в разных формах. Он читал лекции для учителей, методистов, преподавателей пединститутов, непосредственно в институтах усовершенствования учителей г. Москвы, в Центральном ИУУ (собирающем представителей всех областей РСФСР, а в те годы и представителей союзных республик), в других городах (Калинин, Иваново, Владимир, Ярославль, Симферополь и др.)- Им был сделан целый ряд докладов в секции средней школы Московского математического общества, на различных семинарах и совещаниях, проводившихся в Академии педагогических наук СССР. Вот несколько тем докладов: «Понятие величины в средней школе» (23 марта 1972 г.), «Элементы логики в средней школе» (17 мал 1972 г., ММО), «Синтаксис и семантика математических знаков» (27 декабря 1973 г., АПН), «Наглядность и теория множеств в курсе геометрии восьмилетней школы» (19 февраля 1970 г., ММО), «Десять лет работы над учебниками математики средней школы» (1975 г., АПН). Полный список включает, по-видимому, около 100 докладов.

В этот же период продолжает печататься цикл статей в журнале «Математика в школе» — теперь уже публикуются отдельные главы учебников [1.33], [1.36], [1.39] (такие опережающие издания позволяли учителям знакомиться с учебниками до их выхода в свет), методические комментарии к учебным пособиям [1.30], [1.42], [1.45].

В 70-е годы А. Н. Колмогоров публикует также немало статей в различных газетах и журналах, и в первую очередь в «Учительской газете» [6.16], [6.22], [6.24]. Основная тема этих заметок — особенности содержания новых учебников и методики работы с ними, популяризация идей реформы математического образования (см. также [4.58], [4.66]).

По предложению А. Н. Колмогорова, в учебный план пединститутов был введен новый предмет: «Научные основы школьного курса математики». Этот курс должен был быть достаточно непосредственно связан со школьным курсом, восполняя неизбежные логические пробелы пособий для школьников. Предполагалось также обсудить различные схемы изложения наиболее важных тем школьного курса. (Вообще, Андрей Николаевич всегда считал, что математические курсы пединститутов должны существенно отличаться от университетских, в полной мере учитывая характер будущей работы студентов.)

На программном уровне вопрос о новом курсе был решен А. Н. Колмогоровым, разработавшим такую программу [4.64]. Для подготовки соответствующего учебника был создан авторский коллектив, в который ввиду крайней занятости Андрей Николаевич не вошел. По разным причинам учебник (уже под другим названием и написанный в соответ-

ствии с несколько иной программой) был создан только к концу 70-х годов. Тем не менее первоначальный замысел во многом был реализован самим А. Н. Колмогоровым: практически все вопросы, входящие в программу, были достаточно подробно и полно обсуждены в различных его статьях, книгах, лекциях.

Особое место в публикациях Андрея Николаевича, предназначенных для учителей и студентов пединститутов, занимают материалы, подготовленные на основе цикла лекций, прочитанных им в обществе «Знание»: «Десять лекций под этим названием («Научные основы школьного курса,». — А. А.) были прочитаны мною в Центральном лектории общества „Знание“ в 1968/69 учебном году. Естественно, что эти лекции не могут заменить более подробного изложения, пригодного, например, в качестве руководства для педагогических институтов. Я решаюсь на публикацию этих лекций в „Математике в школе“ лишь потому, что потребность в более современном освещении научных основ проводимой перестройки школьного курса математики очень настоятельна.

Вот программа дальнейших лекций (первая лекция имела название «Современные взгляды на природу математики». — А.А.): Натуральные числа. Скалярные величины и действительные числа. Векторные пространства. Вращения и тригонометрические функции. Общее понятие о функции в школе. Язык математических знаков и начала математической логики в школе. Понятие структуры в современной математике и обзор основных структур школьной математики. Логическое строение курса геометрии» [1.27].

Подготовлены Андреем Николаевичем к печати и опубликованы были только первые три лекции [1.27]—[1.29]. Конспекты других лекций, к сожалению, пока не найдены.

Круг обязанностей. Выше бегло и неполно указывались посты, которые занимал Андрей Николаевич, занимаясь проблемами школы. Их полный список таков: председатель секции математики Центральной комиссии по определению содержания среднего образования АН СССР и АПН СССР (1964 —1968); председатель Попечительского совета ФМШ №18 при МГУ (1963 —1987); первый заместитель главного редактора журнала «Квант» (1970 —1987); председатель методической комиссии по математике Центрального оргкомитета Всесоюзной физико-математической и химической олимпиады (1968 —1980); председатель жюри нескольких московских, всероссийских и всесоюзных олимпиад; председатель комиссии по математике Ученого методического совета (УМС) при Министерстве просвещения СССР (1970 —1979). С 1967 г. А. Н. Колмогоров являлся действительным членом Академии педагогических наук СССР.

АПН СССР была создана в 1967 г. путем реорганизации АПН РСФСР, и А. Н. Колмогоров вошел в число 21 учредителя новой академии. В круг обязанностей Андрея Николаевича по линии АПН, помимо описанной выше работы (часть которой входила в план академии), входило также участие в определении основных направлений исследований АПН СССР; он выступал с сообщениями на заседаниях бюро Отделения дидактики и частных методик (в этом отделении он и состоял) и заседаниях Президиума АПН СССР, знакомился с материалами АПН и давал заключения. Некоторые обнаруженные в архиве документы являются, по существу, не частными замечаниями, а готовыми к печати законченными статьями, не утратившими своего значения и сейчас. Таков, например, текст о перспективах развития среднего образования в СССР на ближайшие 30 лет [1.77]1).

Комиссия по математике УМСа — консультативный орган Минпроса СССР, в задачи которого входило обсуждение рукописей, предполагаемых к публикации в издательстве «Просвещение», разработка рекомендаций по различным вопросам. В основном рукописи, выносимые на обсуждение, представляли собой пособия, входящие в состав учебно-методических комплектов по каждому классу, — учебники и пособия для учителей, дидактические материалы (содержащие дополнительные тренировочные упражнения, тексты задач для самостоятельных и контрольных работ), пособия для факультативных занятий.

В качестве председателя комиссии УМСа А. Н. Колмогоров провел десятки заседаний. Его руководство никогда не носило чисто протокольного характера. Он всегда предварительно подробно знакомился с рукописью. Обсуждения часто были весьма длительными, непременно выслушивались различные точки зрения. В своих выступлениях Андрей Николаевич не ограничивался частными замечаниями, высказывал общие идеи, вносил конкретные предложения. Для А. Н. Колмогорова вообще была характерна научная щедрость, и проявлялось это, в частности, в его школьной деятельности. Очень часто он приглашал авторов к себе; в ходе бесед намечались конкретные пути доработки рукописей.

Некоторые вопросы, выносившиеся на заседания секции УМСа и его пленумов, нашли отражение в публикациях. Опубликованы, например, доклады А. Н. Колмогорова на темы: «О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики» [1.32], «Элементы логики в современном школьном курсе математики» [1.34], «О структуре учебников математики» [4.67], «О воспитании на уроках математики и физики диалектико-материалистического мировоззрения» [1.55], [2.15], [4.72], [3.29, с. 270-275].

1) Работа подготовлена в 1971 г.

Работы последних лет. Здесь речь идет о работах А. Н. Колмогорова, выполненных в период с 1978 по 1987 год. Чтобы понять их происхождение, необходимо напомнить обстановку, сложившуюся в конце 70-х годов.

Как известно, в 1978 —1979 годах программа школьного курса математики и действовавшие учебники подверглись критике в Отделении математики АН СССР (посвятившем школьной теме специальное заседание 5 декабря 1978 г.) и в печати. Основания для неудовлетворенности состоянием школьной математики, безусловно, были. Особое беспокойство ученых и работников высшей школы вызывал уровень математической подготовки абитуриентов. Критика со стороны учителей, некоторых органов народного образования была обусловлена перегрузкой школьного курса, сложностью изложения некоторых тем, отдельными неудачами методического плана. Известную роль сыграла и озабоченность общественности: большинство родителей оказалось не в состоянии помочь своим детям разобраться в «новой математике». Все это послужило основой для принятия резких резолюций в Отделении математики АН СССР.

Такой поворот дела не является чем-то неожиданным. Радикальные реформы образования вообще и математического в частности, по-видимому, не могут проходить гладко. Подобное развитие событий еще в начале века предвидел Э. Борель, который в цитированной выше статье писал: «Реформистское течение и противоположное ему консервативное борются между собой из-за программ средней школы не только в области математики. Если бы сторонники реформ поняли хорошо, что всякая перемена вредна в период ее осуществления, и если бы консерваторы согласились, что разумное изменение становится полезным через некоторое время после того, как оно войдет в жизнь, и что преподавание не может оставаться навеки неизменным, тогда, может быть, эти противоборствующие тенденции могли бы помириться на медленной, осторожной и мудрой эволюции».

Такого примирения тогда, в конце 70-х, к сожалению, не произошло. С тех пор прошло 20 лет. Сопоставление математической подготовки выпускников школ не позволяет, мягко говоря, сделать вывод, что за эти годы ситуация изменилась к лучшему. Отсутствие прогресса приводит также к выводу о неполноте вынесенной в результате дискуссии системы оценок. Наиболее существенными представляются два обстоятельства.

1) Обсуждение вопроса о школьном математическом образовании 70-х годов свелось к обсуждению только программ и учебников, проблема не обсуждалась в комплексе. Качество подготовки учащихся, несомненно, зависит от программ и учебников, но далеко не только ими

определяется. Очень сильно влияние и иных факторов — квалификации учителей, престижности образования и т. п. Немалую роль сыграло и проведенное сильное сокращение числа часов, отводимых на изучение математики в школе. Негативное воздействие на итоги реформы оказал не подготовленный должным образом переход к системе всеобщего обязательного среднего образования.

2) Уместно по прошествии времени проанализировать критику в адрес программы и учебников заново. Конкретные замечания оппонентов реформы сводились, по преимуществу, к выводу, что перегрузка курса математики и его недостатки есть следствие принятого «теоретико-множественного подхода» к построению курса. Введение термина «конгруэнтные» (вместо «равные») фигуры, явное определение фигуры как множества точек, определение вектора как переноса (а не направленного отрезка), цикл понятий, связанных с понятием отображения (функции), сложное определение многогранника послужили главными мишенями для критики.

В этой связи нужно заметить, что даже при абсолютно негативной оценке всего материала, прямо или косвенно связанного с понятием множества, следует учесть, что удельный вес его в курсе математики не был большим, и поэтому «теоретико-множественный подход» не мог решающим образом влиять на результаты обучения. Это обстоятельство проявилось позднее: изгнание слова «множество» и соответствующих теоретико-множественных атрибутов из школьного курса не дало ожидаемого эффекта.

Анализ мнений оппонентов реформы вызывает противоречивое отношение. Несомненно, был сделан ряд верных замечаний. Неудачен был, например, текст о векторах. Учебники действительно содержали ряд искусственных задач, понятий и утверждений и т. п. Обоснованность же других замечаний не столь очевидна. Так, в условиях компьютеризации необходимость развитых навыков употребления символов заставляет вернуться к вопросу о роли и месте символики в курсе математики заново.

С другой стороны, критика программы и учебников была явно не полна. Надо признать, что в ходе реформы многие интересные и глубокие замыслы не получили должного воплощения. Так, курс геометрии, построенный на основе геометрических преобразований, не был подкреплен соответствующей методикой, а главное, системой упражнений, способной конкурировать с традиционным задачником Н. А. Рыбкина. Не были найдены методики, позволяющие эффективно вести работу в условиях всеобуча.

Необходимо отдельно сказать о характере критики. Учителя и методисты не были привлечены к обсуждению итоговых решений. Быст-

рый перенос критики на страницы печати, в том числе партийной, заглушил мнения, высказываемые в поддержку идей реформы 70-х годов, и привел, по существу, к волевому решению вопроса.

Имелась ли альтернатива? Безусловно. В конце 70-х — начале 80-х годов, по-видимому, был упущен весьма благоприятный шанс для серьезного совершенствования школьного математического образования. Школа крайне нуждалась в реальной помощи профессиональных математиков — ученых, представителей вузов. Не секрет, что до 1978 г. громадная созидательная деятельность, которую вел А. Н. Колмогоров, не только не получала поддержки коллег, но и вообще оставалась вне внимания математической общественности. Всплеск интереса к школьной математике, возникший на волне критики программ и учебников, мог получить выражение в комплексной государственной программе совершенствования всей системы математического образования, включающей в себя меры и по улучшению подготовки учителей, и по форсированию программы изданий по математике для учащихся и учителей, и по координации усилий по созданию основных учебников. Этого не произошло.

Тогда были приняты два решения. Одно из них резко осуждало новые программы и учебники, другое предусматривало создание авторских коллективов для написания учебников, призванных заменить действующие.

Что же произошло потом? Была пересмотрена программа и утверждена новая. Однако сравнение показывает, что эта программа (одобренная и оппонентами реформы) сохраняла главные элементы программы 1968 г. Что же касается учебников, то большинство из них выдержало испытание временем (лишь пособия по геометрии заменены учебником А. В. Погорелова). Поэтому надо полагать, что спокойная, взвешенная и доброжелательная критика принесла бы большую пользу общему делу. Именно такой путь предлагали Л. В. Канторович и С. Л. Соболев. Высказывая свои критические замечания, они выражали уверенность «в том, что невзирая на все трудности, путем дальнейших усилий, методической работы, после некоторой доработки учебников и программ (небольшой в сравнении с тем главным, что уже сделано) (курсив мой. — А. А.) наша школа получит полноценные программы и учебники по математике, отвечающие современным жизненным требованиям» («Математика в школе», 1979, №4, с. 11). Такую точку зрения они высказывали и на заседании Отделения математики 5 декабря 1978 г., но она не получила поддержки. Аналогичного мнения придерживался и А. И. Маркушевич (см. тот же номер журнала, с. 11).

Что касается решения о создании новых авторских коллективов, то оно, безусловно, было верным и принесло большую пользу. Благодаря

ему появился целый ряд новых учебников, созданных под руководством и при участии крупных математиков: А. Д. Александрова, С. М. Никольского, А. В. Погорелова, А. Н. Тихонова, Д. К. Фаддеева. В ходе работы над новыми пособиями появились многие свежие идеи, стали понятнее многие проблемы школьного учебника математики. В то же время нельзя не отметить и такой факт: ни один из существующих ныне учебников не решает полностью всех проблем. В известной мере это вызвано, по-видимому, отсутствием консолидации усилий по созданию учебников.

Сказанное не является попыткой представить в розовом свете все, что было сделано в ходе реформы 70-х годов. Ошибки и неудачность ряда решений признавал и сам А. Н. Колмогоров. (Более того, самый глубокий и критичный анализ состояния дел с учебниками, проведенный в ходе заседания Отделения 5 декабря 1978 г., был, на мой взгляд, сделан именно А. Н. Колмогоровым.) К дискуссии о реформе 70-х годов целесообразно вернуться в более спокойной обстановке, рассмотрев теперь уже весь комплекс вопросов, предусмотрев (в отличие от предшествующих дебатов) активное участие в дискуссии опытных методистов и учителей-практиков, представителей различных авторских коллективов, объективно оценивая как недостатки, так и достоинства1). Причины неудовлетворенности состоянием математического образования оказались глубже, чем это представлялось ранее, и необходимо сообща искать новые пути выхода из кризиса.

Отношение А. Н. Колмогорова к критике учебников и программ всегда было конструктивным. Проблемы перегрузки курса в известной мере учитывались в новых, переработанных вариантах учебников «Геометрия 6— 8» (1979 г.) и «Алгебра и начала анализа 9 —10» (1980 г.). На протяжении 1979 —1981 годов Андрей Николаевич активно искал пути совершенствования учебников. Тогда появляется новый вариант изложения темы «Векторы» [1.65], продумываются различные подходы к введению понятия предела (частично это нашло отражение в статье [1.69]), разрабатывается структура принципиально нового курса геометрии для VI — VIII классов.

Этот процесс замедлила болезнь, уже в 1979 г. серьезно ограничившая возможности Андрея Николаевича для работы. Тем не менее и в последние годы жизни А. Н. Колмогоров продолжает руководить переработкой учебников: знакомится с текстом, диктует дополнения. В 1986 г. выходит в свет переработанное издание учебника алгебры и

1) Примером такого объективного анализа может служить доклад академика А. П. Ершова на VI Международном конгрессе по математическому образованию (Будапешт, 1988 г.), фрагменты которого воспроизводятся в настоящем сборнике (см. с. 148-151). — Прим. ред.

начал анализа. В 1987 г. в связи с проведением всесоюзного конкурса учебников осуществляется новая доработка. Пособие «Алгебра и начала анализа 10 — 11» и сегодня действует в школах.

В период 1982 —1987 годов Андрей Николаевич был вынужден ограничиваться очень краткими статьями, которые он диктовал. Последней статьей, опубликованной при жизни А. Н. Колмогорова, стала работа «О скалярных величинах» [1.75]. Этой теме он всегда придавал очень важное значение: при разборке архива Андрея Николаевича, уже после его кончины, была обнаружена работа, посвященная аксиоматике скалярных величин1), — она датирована 1923 г. (!)

О том, какое место занимала школьная деятельность в жизни Андрея Николаевича, можно судить по его словам, сказанным в апреле 1986 г. в ответ на поздравления учеников с днем рождения:

«В моем случае я считаю свою научную карьеру, в смысле получения новых результатов, законченной. Печалюсь об этом, но склоняюсь перед неизбежностью. В последние годы моя деятельность развивается в другом направлении — в участии в деле столь важном для нашей страны, как реформа школы. Тут я, во-первых, думаю, что, если старость не помешает, я смогу внести еще много полезного и даже незаменимого, работал над учебниками для обычной школы и для юношества, увлеченного наукой. Оба направления меня увлекают, и имеется желание участвовать в них самым энергичным образом и с юношеским задором. Но время идет, проходят месяцы, на которые была запланирована та или иная работа, но она все откладывается... Поэтому особенное значение приобретает выбор тех направлений деятельности, где ты являешься наиболее трудно заменимым, и сейчас я нахожусь на известном распутье. Если я сосредоточусь на составлении учебников для способных ребят, то не успею участвовать в создании учебников для обычных школ. Если я дам согласие работать активно и с достаточным размахом в одном из этих направлений, то я не смогу это делать в другом. Вот такого рода душевные переживания особенно обостряются в старости...» [6.46].

Школа, относясь к социальным институтам общества, является организмом чрезвычайно сложным: судьба его определяется действием самых разнородных факторов. Поэтому адекватная оценка целесообразности тех или иных воздействий на жизнь школы становится возможной лишь по прошествии определенного времени. Более того, часто при всей

1) Эта работа была опубликована в 1990 г. в альманахе «Историко-математические исследования» [4.77]. См. также комментарий А. М. Абрамова и В. М. Тихомирова (там же, с. 484-487).

доказательности общей позитивной (или, наоборот, негативной) оценки мы отмечаем и проявления противоположного свойства.

Деятельность Андрея Николаевича Колмогорова в просвещении, направленная на то, чтобы найти, пробудить и развить математические способности подростков, уже принесла замечательные плоды и поэтому заслужила высокие оценки, пользуется признанием. Объективная оценка итогов работы по совершенствованию всей системы школьного математического образования — дело существенно более трудное как в силу наличия многих факторов, определяющих итоги, так и ввиду известной размытости критериев, затрудняющей объективный анализ. Вероятно, поэтому существующий спектр мнений о реформе 70-х годов весьма широк.

Подлинные смысл и значение этой реформы высветит время. Полный анализ, взвешенные оценки еще впереди. Но уже сейчас ясно видно, что громадному педагогическому наследию А. Н. Колмогорова суждена долгая жизнь. Опубликованные (а также еще не опубликованные или не найденные) работы А. Н. Колмогорова на школьные темы составляют золотой фонд, к которому обращаются и будут обращаться школьники и учителя, специалисты по методике обучения математике, создатели учебников во многих странах мира.

Необычайную ценность педагогическому творчеству А. Н. Колмогорова придает, в первую очередь, то обстоятельство, что оно отражает широчайший взгляд на содержание и методы преподавания математики в школе, принадлежащий человеку, обладавшему уникальным сочетанием качеств: математическим гением, педагогическим талантом, глубочайшим и деятельным интересом к проблемам школы. Ценность педагогического наследия А. Н. Колмогорова определяется и тем, что он много работал непосредственно в школе, сам был учителем и наставником школьников многих поколений. Педагогические принципы А. Н. Колмогорова, его конкретные идеи и решения можно принимать или не принимать, но их необходимо изучать.

В настоящее время налицо понимание важности участия всего общества в воспитании подрастающих поколений. Как никогда актуальна мысль Андрея Николаевича о том, что для постановки правильной системы образования и воспитания в средних школах необходимо существенное увеличение доли общественного труда, вкладываемого в систему народного образования. На практике же находится множество объективных и субъективных причин, в силу которых подавляющее большинство ученых, деятелей культуры, писателей, инженеров или не участвует, или резко ограничивает круг принимаемых на себя в этой сфере обязанностей. Причины при этом разные: и неготовность принести в жертву время, отнимаемое от любимого дела, и обреме-

ненность обязанностями, и личные обстоятельства; иногда это боязнь ответственности, понимание крайней запутанности школьных проблем и т. п. Все эти причины, несомненно, вставали и перед А. Н. Колмогоровым, когда он принял на себя бремя ответственности за судьбы школьного математического образования. По-видимому, сделать иной выбор он просто не мог: его Поступок определили постоянное стремление к созиданию, искренний глубокий интерес к школе, понимание государственной важности проблемы.

Свой долг Андрей Николаевич Колмогоров исполнил достойно. До конца. Вся жизнь А. Н. Колмогорова— пример проявления высочайшего нравственного чувства, мужества, гражданской ответственности.

РАБОТЫ А. Н. КОЛМОГОРОВА ПО ПЕДАГОГИКЕ

1. Статьи в журнале «Математика в школе»

1.1. Свойства неравенств и понятие о приближенных вычислениях // 1941. № 2. С. 1-12. Совм. с П. С. Александровым.

1.2. Иррациональные числа // 1941. № 3. С. 1-15. Совм. с П. С. Александровым.

1.3. [Реферат доклада на совещании по проблемам математического образования в средней школе 25 июня 1964 г.] // 1964. № 6. С. 90-91.

1.4. Объем знаний по математике для восьмилетней школы (От Комиссии по математическому образованию математического отделения АН СССР) // 1965. № 2. С. 21-24. Совм. с И. М. Гельфандом, А. И. Маркушевичем, А. Д. Мышкисом, Д. К. Фаддеевым, И. М. Ягломом.

1.5. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии // 1965. № 2. С. 24-29.

1.6. О содержании школьного курса математики // 1965. № 4. С. 53-62. Совм. с И. М. Ягломом.

1.7. Функции, графики, непрерывные функции; Предел функции. Производная [Главы из пособия] // 1965. № 6. С. 12-21.

1.8. О школьном определении тождества // 1966. № 2. С. 33-35.

1.9. Об учебниках на 1966/67 учебный год // 1966. № 3. С. 26-30.

1.10. [Предисловие к статье С. Б. Суворовой «Об опыте раннего введения начал дифференциального исчисления в девятых классах»] // 1966. №4. С. 23.

1.11. Об учебниках на 1966/67 учебный год // 1966. № 6. С. 31-37. (Продолжение [1.9].)

1.12. Проект программы средней школы по математике // 1967. № 1. С. 4-23. Совм. с А. И. Маркушевичем, И. М. Ягломом и др.

1.13. Об учебниках на 1966/67 учебный год («Алгебра и элементарные функции» Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой, ч. II) // 1967. № 1. С. 43-48.

1.14. Факультативные занятия по математике // 1967. № 2. С. 2-3. Кол. авт.

1.15. Новые программы и некоторые основные вопросы усовершенствования курса математики в средней школе // 1967. № 2. С. 4-13.

1.16. Содержание факультативных занятий по математике в 1967/68 и 1968/69 учебных годах // 1967. № 2. С. 33-38. Кол. авт.

1.17. Программы специальных курсов по математике // 1967. № 3. С. 73-75. Кол. авт.

1.18. Программы специальных курсов по математике // 1967. №4. С. 58-59. Кол. авт. (Продолжение [1.17].)

1.19. К изменениям в тексте учебника алгебры для VI — VIII классов А. Н. Барсукова // 1967. № 6. С. 22-24.

1.20. Обобщение понятия степени и показательная функция // 1968. № 1. С. 24-32.

1.21. Программа по математике для средней школы // 1968. № 2. С. 5-20. Кол. авт.

1.22. К новым программам по математике // 1968. № 2. С. 21-22.

1.23. К изучению показательной функции и логарифмов в восьмилетней школе // 1968. № 2. С. 23-25.

1.24. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику // 1968. № 2. С. 63-72. (Перепечатано с незначительными сокр. в [3.29], с. 174-190.)

1.25. Дополнение к рецензии Ю. А. Шихановича // 1968. № 3. С. 92. (Рецензию Ю. А. Шихановича на работы А. А. Столяра см. там же, с. 91-92.)

1.26. Письмо в редакцию [О статье Б. Е. Вейца «Элементы теории вероятностей и комбинаторика»] // 1969. № 2. С. 93. (Статью Б. Е. Вейца см. в № 6 за 1968 г.)

1.27. Научные основы школьного курса математики. Первая лекция: Современные взгляды на природу математики // 1969. № 3. С. 12-17. (Перепечатано в [3.29], с. 227-237.)

1.28. Научные основы школьного курса математики. Вторая лекция: Натуральные числа // 1969. №5. С. 8-17. (Продолжение [1.27]. Перепечатано в [3.29], с. 237-255.)

1.29. Научные основы школьного курса математики. Третья лекция: Обобщение понятия числа. Неотрицательные рациональные числа // 1970. № 2. С. 27-32. (Продолжение [1.27], [1.28]. Перепечатано в [3.29], с. 255-267.)

1.30. О пробном учебнике геометрии для VI класса // 1970. 4. С. 21-34. Совм. с А. Ф. Семеновичем.

1.31. Учебные материалы по геометрии для V класса (По новым программам) // 1970. № 5. С. 30-45. Совм. с А. Ф. Семеновичем и Р. С. Черкасовым.

1.32. О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики [Реферат доклада в комиссии по математике при Ученом методическом совете Министерства просвещения СССР 11 января 1971 г.] // 1971. №2. С. 17-22.

1.33. Из пробного учебника геометрии для VII класса // 1971. № 3. С. 9-17. Совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым.

1.34. Элементы логики в современном школьном курсе математики [Реферат доклада] (В комиссии по математике при Ученом методическом совете Министерства просвещения СССР) // 1971. № 3. С. 92-93.

1.35. О новом издании пробного учебника геометрии для VI класса // 1971. № 4. С. 23-35. Совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым.

1.36. О новом издании пробного учебника геометрии для VI класса // 1971. № 5. С. 25-38. Совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым. (Продолжение [1.35].)

1.37. Современная математика и математика в современной школе // 1971. № 6. С. 2-3.

1.38. Из нового учебного пособия по геометрии для VI класса // 1971. №6. С. 13-21. Совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым. (Продолжение [1.35], [1.36].)

1.39. Из нового учебного пособия по геометрии для VI класса // 1972. № 1. С. 22-31. Совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым. (Продолжение [1.35], [1.36] [1.38].)

1.40. Борис Владимирович Гнеденко (К 60-летию со дня рождения) // 1972. № 1. С. 85-86. Совм. с Р. С. Черкасовым.

1.41. По поводу письма Н. Я. Виленкина // 1972. № 6. С. 34-35. (Письмо Н. Я. Виленкина «Равенство или конгруэнтность?» см. там же, с. 33-34.)

1.42. К методике изучения темы «Параллельность и параллельный перенос» в курсе геометрии VI класса // 1973. № 1. С. 24-29. Совм. с А. Ф. Семеновичем и Р. С. Черкасовым.

1.43. О структуре нового учебника по геометрии для VII класса // 1973. № 2. С. 17-29. Совм. с А. Ф. Семеновичем и Р. С. Черкасовым.

1.44. Иван Георгиевич Петровский [Некролог] // 1973. №4. С. 81-86. Совм. с П. С. Александровым и О. А. Олейник.

1.45. Методические замечания к пробному учебнику IX класса «Алгебра и начала анализа» // 1973. № 5. С. 64. Совм. с Б. Е. Вейцем и И. Т. Демидовым.

1.46. Школа-интернат при университете. Для чего она? [В разделе «10 лет физико-математической школе при МГУ»] // 1974. № 2. С. 58-60.

1.47. Анна Максимилиановна Фишер [Некролог] // 1974. № 2. С. 87. Совм. с А. Ф. Семеновичем.

1.48. Алгебра и начала анализа. Метод математической индукции // 1975. № 1. С. 8-14. Совм. с С. И. Шварцбурдом.

1.49. Элементы комбинаторики // 1975. № 2. С. 16-35. (Продолжение [1.48].)

1.50. Действительные числа, бесконечные последовательности и их пределы // 1975. № 2. С. 16-25. Совм. с О. С. Ивашевым-Мусатовым.

1.51. Тригонометрические функции, их графики и производные в учебном пособии для X класса // 1976. № 1. С. 11-25. Совм. с С. И. Шварцбурдом.

1.52. XXXVIII Московская математическая олимпиада // 1976. № 4. С. 68-72. Совм. с Г. А. Гальпериным.

1.53. Интеграл в учебном пособии для X класса // 1976. № 6. С. 15-17.

1.54. Что такое функция? [В связи со статьей Г. В. Дорофеева «Понятие функции в математике и в школе»] // 1978. № 2. С. 27-29. (Статью Г. В. Дорофеева см. там же, с. 10.)

1.55. О воспитании на уроках математики и физики диалектико-материалистического мировоззрения [Доклад на IV пленуме Ученого методического совета Министерства просвещения СССР, декабрь 1977 г.] // 1978. № 3. С. 6-9. (Перепечатано в [3.29], с. 270-275.)

1.56. Программы по математике для восьмилетней и средней школы: Проект // 1978. № 4. С. 7-32. Кол. авт.

1.57. Сергей Львович Соболев (К 70-летию со дня рождения) // 1978. № 6. С. 67-73. Совм. с О. А. Олейник.

1.58. Новые программы французской средней школы // 1978. № 6. С. 74-78. Совм. с А. М. Абрамовым.

1.59. Об учебном пособии «Геометрия 6 — 8» // 1979. № 3. С. 38-42. Совм. с Р. С. Черкасовым и А. Ф. Семеновичем.

1.60. Алексей Иванович Маркушевич [Некролог] // 1979. № 5. С. 77-78. Совм. с В. Д. Белоусовым, В. Г. Болтянским и др.

1.61. Показательная и логарифмическая функции // 1979. № 6. С. 22-27. Совм. с А. М. Абрамовым, О. С. Ивашевым-Мусатовым, Б. М. Ивлевым, С.И. Шварцбурдом.

1.62. Об учебном пособии «Алгебра и начала анализа 9—10» // 1980. № 4. С. 18-21. Совм. с А. М. Абрамовым, О. С. Ивашевым-Мусатовым, Б. М. Ивлевым, С.И. Шварцбурдом.

1.63. Изабелла Григорьевна Башмакова [К 60-летию со дня рождения] // 1981. № 1. С 73-74. Совм. с П. С. Александровым, Б. В. Гнеденко и др.

1.64. О понятии вектора в курсе средней школы // 1981. № 3. С. 7-8.

1.65. К вопросу о проведении первых уроков по теме «Векторы» // 1981. № 3. С. 8-11. Совм. с А. М. Абрамовым.

1.66. Рецензия на книгу Л. С. Понтрягина «Анализ бесконечно малых» // 1981. № 5. С. 73-74.

1.67. Борис Владимирович Гнеденко (К 70-летию со дня рождения) // 1982. № 1. С. 72-73. Совм. с Р. С Черкасовым.

1.68. Леонид Витальевич Канторович (К 70-летию со дня рождения) // 1982. №2. С 77-78. Совм. с В. А. Зал галлером.

1.69. О понятии предела в общеобразовательной школе // 1982. № 5. С. 56.

1.70. Ньютон и современное математическое мышление // 1982. № 5. С. 58-64. (Перепечатано из [4.9].)

1.71. Павел Сергеевич Александров [Некролог] // 1983. № 1. С. 47-48. Совм. с Б. В. Гнеденко. (Перепечатано в [4.78], с. 125-130.)

1.72. Об учебном пособии «Геометрия 6 —10» А. В. Погорелова // 1983. № 2. С. 45-46.

1.73. Замечания о понятии множества в школьном курсе математики // 1984. №1. С. 52-53.

1.74. С. Л. Соболев и современная математика (К 75-летию со дня рождения) // 1984. № 1. С 73-77. Совм. с О. А. Олейник.

1.75. О скалярных величинах // 1986. № 3. С. 32-33.

1.76. Борис Владимирович Гнеденко [К 75-летию со дня рождения] // 1987. № 2. С. 62-63. Совм. с И. Г. Башмаковой, Ю. К. Беляевым и др.

1.77. К обсуждению работы по проблеме «Перспективы развития советской школы на ближайшие 30 лет» // 1990. №5. С. 59-61.

1.78. О работе вузов со школами [Изложение доклада на совещании зав. кафедрами математики и методики математики, январь 1963 г.] // 1995. № 2. С. 46-48.

2. Статьи в журнале «Квант»

2.1. Что такое функция // 1970. № 1. С. 27-36. (Перепечатано в [2.19], а также в [3.29], с. 67-79.)

2.2. Задача М3 // 1970. № 1. С. 52-53.

2.3. Физико-математические школы-интернаты // 1970. № 1. С. 58-59. Совм. с В. А. Гусевым, А. А. Егоровым, Е. Л. Сурковым.

2.4. Что такое график функции // 1970. № 2. С. 3-13. (Перепечатано в [3.29], с. 79-91.)

2.5. Паркеты из правильных многоугольников // 1970. № 3. С. 24-27. (Перепечатано в [2.18].)

2.6. О решении десятой проблемы Гильберта // 1970. № 7. С. 39-44. Совм. с Ф. Л. Варпаховским. (Перепечатано в [3.29], с. 206-215.)

2.7. [Предисловие к статье В. Г. Болтянского и Н. Х. Розова «Ленинская теория познания и математические понятия»] // 1970. № 7. С. 2.

2.8. Полулогарифмическая и логарифмическая сетки // 1973. № 3. С. 2-7.

(Перепечатано в [3.29], с. 190-198.)

2.9. О профессии математика [Выдержки из брошюры «О профессии математика»] // 1973. № 4. С. 12-18. (Публикация М. Смолянского и Т. Киселевой.) (Перепечатано в сокращенном виде из [4.22].)

2.10. Полезная книга [Рецензия на книгу О. С. Ивашева-Мусатова «Начала математического анализа»] // 1973. №11. С. 74.

2.11. Решето Эратосфена // 1974. № 1. С. 77. (Перепечатано в [2.17].)

2.12. Группы преобразований // 1976. № 10. С. 2-5. (Перепечатано в [3.29], с. 98-102.)

2.13. Физико-математическая школа при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова// 1977. № 1. С. 56-57. Совм. с В. В. Вавиловым.

2.14. ФМШ при МГУ — 15 лет // 1979. № 1. С. 55-57. Совм. с В. В. Вавиловым и И. Т. Тропиным.

2.15. Диалектико-материалистическое мировоззрение в школьных курсах математики и физики [Текст доклада на IV пленуме Ученого методического совета Министерства просвещения СССР, 1977 г.] // 1980. № 4. С. 15-18. (См. также [1.55].)

2.16. Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым // 1983. № 4. С. 12-15. (Беседу записал А. Б. Сосинский.) (Перепечатано в [3.29], с. 14-19.)

2.17. Решето Эратосфена// 1984. № 3. С. 35. (Перепечатано из [2.11].)

2.18. Паркеты из правильных многоугольников // 1986. № 8. С. 3-4, 7. (Перепечатано из [2.5].)

2.19. Что такое функция // 1993. № 9/10. С. 3-12. (Перепечатано из [2.1].)

2.20. Путь в математику открыт // 1993. № 9/10. С. 60-61. (Перепечатано из [6.40].)

3. Учебные и методические пособия и брошюры

3.1. Алгебра: Пособие для средних школ. Ч. I. М.: Учпедгиз, 1939. 192 с. Совм. с П. С. Александровым.

3.2. Введение в анализ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1966. 56 с.

3.3. Ред. к кн.: Вейц Б. Е., Демидов И. Т. Алгебра и начала анализа, 9 класс: Пробный учебник. М.: Просвещение, 1969. 264 с.

3.4. Геометрия, 6 класс: Пробный учебник / Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1970. 136 с. Совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым.

3.5. Геометрия, 6 класс: Методическое пособие. М.: Просвещение, 1970. 96 с. Совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым.

3.6. Ред. к кн.: Вейц Б. Е., Демидов И. Т. Алгебра и начала анализа, 10 класс: Пробный учебник. М.: Просвещение, 1971. 208 с.

3.7. Курс математики для физико-математических школ. Вып. 1. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971. 224 с. Совм. с В. А. Гусевым, А. Б. Сосинским, А. А. Шершевским.

3.8. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику // Новое в школьной математике / Сост. И. М. Яглом. М.: Знание, 1972. С. 181-199.

3.9. Ред. к кн.: Гусев В. А., Маслова Г. Г., Нагибин Ф. Ф. и др. Геометрия в VI классе: Методическое пособие (в помощь учителю). М.: Просвещение, 1972. 126 с.

3.10. Ред. к кн.: Гусев В. А., Маслова Г. Г., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия в VIII классе: Методическое пособие к учебнику «Геометрия». М.: Просвещение, 1972. 57 с.

3.11. Ред. к кн.: Гусев В. А., Маслова Г. Г., Нагибин Ф. Ф. и др. Геометрия в VII классе: Методическое пособие для учителей. М.: Просвещение, 1973. 174 с.

3.12. Ред. к кн.: Гусев В. А., Маслова Г. Г., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия в VIII классе: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1974. 159 с.

3.13. Летняя школа на Рубеком озере. М.: Просвещение, 1971. 160 с. Совм. с И. Г. Журбенко, Г. В. Пуховой, О. С. Смирновой, С. В. Смирновым.

3.14. Геометрия, 7 класс: Пробный учебник / Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1971. 136 с. Совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым.

3.15. Геометрия, 8 класс: Пробный учебник / Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1972. 80 с. Совм. с А. Ф. Семеновичем, В. А. Гусевым, Р. С. Черкасовым.

3.16. Геометрия, 6 класс: Учебное пособие / Под ред. А. Н. Колмогорова. 2-е изд. М.: Просвещение, 1972. 128 с; 3-е изд., перераб. 1973; 8-е изд. 1978. Совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым.

3.17. Геометрия, 7 класс: Учебное пособие / Под ред. А. Н. Колмогорова. 2-е изд., перераб. М.: Просвещение, 1973. 160 с; 3-е изд. 1974; 8-е изд. 1979. Совм. с А. Ф. Семеновичем, Ф. Ф. Нагибиным, Р. С. Черкасовым.

3.18. Ред. к кн: Вейц Б. Е., Демидов И. Т. Алгебра и начала анализа 9: Пробный учебник. 2-е изд., перераб. М.: Просвещение, 1973. 304 с.

3.19. Ред. к кн: Вейц Б. Е.у Демидов И. Т. Алгебра и начала анализа 10: Пробный учебник. 2-е изд., перераб. М.: Просвещение, 1974. 190 с.

3.20. Геометрия: Учебное пособие для 8 класса средней школы / Под ред. А. Н. Колмогорова. 2-е изд., перераб. М.: Просвещение, 1974; 3-е изд. 1975; 7-е изд. 1979. Совм. с А. Ф. Семеновичем, В. А. Гусевым, Р. С. Черкасовым.

3.21. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 9 класса средней школы / Под ред. А. Н. Колмогорова. 2-е изд., перераб. М.: Просвещение, 1975; 5-е изд. 1979. Совм. с Б. Е. Вейцем, И. Т. Демидовым, О. С. Ивашевым-Мусатовым, С.И. Шварцбурдом.

3.22. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 10 класса средней школы / Под ред. А. Н. Колмогорова. 2-е изд., перераб. М.: Просвещение, 1976. 272 с; 5-е изд. 1980. Совм. с Б. Е. Вейцем, И. Т. Демидовым, О. С. Ивашевым-Мусатовым, Б. М. Ивлевым, С.И. Шварцбурдом.

3.23. Геометрия: Учебное пособие для 6 — 8 классов средней школы / Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1979; 2-е изд. 1980; 3-е изд. 1981; 4-е изд., дораб. 1982. Совм. с А. Ф. Семеновичем и Р. С. Черкасовым; 4-е изд. с участием А. М. Абрамова.

3.24. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы / Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1980. 336 с; 2-е изд. 1981; 5-е изд. 1984. Совм. с А. М. Абрамовым, Б. Е. Вейцем, О. С. Ивашевым-Мусатовым, Б. М. Ивлевым, С. И. Шварцбурдом.

3.25. Физико-математическая школа при МГУ. М.: Знание, 1981. 64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия: Математика, кибернетика. № 5.) Совм. с В. В. Вавиловым и И. Т. Тропиным.

3.26. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1982. 160 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 23.) Совм. с И. Г. Журбенко и А. В. Прохоровым. (См. также переиздание: [3.30].)

3.27. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы / Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1986. 336 с; 7-е изд., перераб. 1987; 8-е изд. 1988. Совм. с А. М. Абрамовым, Б. Е. Вейцем, О. С Ивашевым-Мусатовым, Б. М. Ивлевым, С. И. Шварцбурдом.

3.28. Алгебра и начала анализа 9 — 10: Учебное пособие (конкурсный вариант)/ Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Типография МИФИ, 1987. 418 с. Совм. с А. М. Абрамовым, Ю. П. Дудницыным, Б. М. Ивлевым, С. И. Шварцбурдом.

3.29. Математика — наука и профессия / Сост. Г. А. Гальперин. М.: Наука. Физматлит, 1988. 288 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 64.)

3.30. Введение в теорию вероятностей. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Физматлит, 1995. 176 с. (Библиотечка «Квант». Вып. 23.) Совм. с И. Г. Журбенко и А. В. Прохоровым. (Первое издание: [3.26].)

4. Научно-популярные и методические статьи и брошюры

4.1. Современные споры о природе математики // Научное слово. 1929. № 6. С. 41-54.

4.2. Современная математика // Фронт науки и техники. 1934. № 5/6. С. 25-28.

4.3. Институт математики и механики Московского государственного университета // Фронт науки и техники. 1934. № 5/6. С. 75-78.

4.4. Второй Всесоюзный математический съезд // Социалистическая реконструкция и наука. 1934. № 7. С. 142-145.

4.5. Современная математика // Сборник статей по философии математики. М.: ОНТИ, 1936. С. 7-13.

4.6. Теория и практика в математике // Фронт науки и техники. 1936. № 5. С. 39-42.

4.7. Математика// БСЭ1). 1938. Т. 38. С. 359-402.

4.8. Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века // Николай Иванович Лобачевский. 1793 —1843. М.; Л.: Гостехиздат, 1943. С. 87-100. (Перепечатано в [4.78], с. 112-124.)

4.9. Ньютон и современное математическое мышление // Московский университет — памяти Исаака Ньютона, 1643 —1943. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1946. С. 27-42. (Перепечатано в [1.70], а также в [4.78], с. 92-111.)

4.10. Роль русской науки в развитии теории вероятностей // Роль русской науки в развитии мировой науки и культуры. Т. 1, кн. 1. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1947. С. 53-64. (Ученые записки МГУ. Вып. 91.)

4.11. Развитие математики в СССР // БСЭ. 1947. Том «СССР». С. 1318-1323. (Перепечатано в [4.78], с. 85-91.)

4.12. Аксиома //БСЭ-2. 1949. Т. 1. С. 613-616.

4.13. Алгебра в средней школе // БСЭ-2. 1950. Т. 2. С. 61-62.

4.14. Алгебраическое выражение // БСЭ-2. 1950. Т. 2. С. 64.

4.15. Алгоритм Евклида // БСЭ-2. 1950. Т. 2. С. 65-67. (Перепечатано в [3.29], с. 202-206.)

4.16. Анализ математический // БСЭ-2. 1950. Т. 2. С. 325-326.

4.17. Асимптота// БСЭ-2. 1950. Т. 3. С. 238-239.

4.18. Бесконечность (в математике) // БСЭ-2. 1950. Т. 5. С. 73-74.

4.19. Больших чисел закон // БСЭ-2. 1950. Т. 5. С. 538-540.

4.20. Величина // БСЭ-2. 1951. Т. 7. С. 340-341.

4.21. Вероятность // БСЭ-2. 1951. Т. 7. С. 508-510.

4.22. О профессии математика (В помощь поступающим в вузы). М.: Сов. наука, 1952. 22 с; 2-е изд., доп. 1954. 32 с. (Последующие издания: см. [4.42].)

4.23. Гильберт Давид // БСЭ-2. 1952. Т. 11. С. 370-371.

4.24. График // БСЭ-2. 1952. Т. 12. С. 453-454.

4.25. Движение (в геометрии) // БСЭ-2. 1952. Т. 13. С. 447-448.

1) Здесь и ниже: БСЭ — Большая Советская Энциклопедия (1926 —1947); БСЭ-2 — БСЭ, 2-е изд. (1950 — 1958).

4.26. Действительные числа // БСЭ-2. 1952. Т. 13. С. 570-571.

4.27. Дискретность // БСЭ-2. 1952. Т. 14. С. 425.

4.28. Дифференциал // БСЭ-2. 1952. Т. 14. С. 497.

4.29. Дифференциальные уравнения // БСЭ-2. 1952. Т. 14. С. 520-526. Совм. с Б. П. Демидовичем и В. В. Немыцким.

4.30. Индукция математическая // БСЭ-2. 1953. Т. 18. С. 146-147.

4.31. Интеграл // БСЭ-2. 1953. Т. 18. С. 250-253. Совм. с В. И. Гливенко.

4.32. Исключение неизвестных // БСЭ-2. 1953. Т. 18. С. 483.

4.33. Константа // БСЭ-2. 1953. Т. 22. С. 416.

4.34. Континуум // БСЭ-2. 1953. Т. 22. С. 454-455.

4.35. Координаты // БСЭ-2. 1953. Т. 23. С. 55-58.

4.36. Линия // БСЭ-2. 1954. Т. 25. С. 167-170.

4.37. Математика // БСЭ-2. 1954. Т. 26. С. 464-483. (Перепечатано в [4.78, с. 24-85].)

4.38. Множеств теория // БСЭ-2. 1954. Т. 28. С. 14-17. Совм. с П. С. Александровым.

4.39. Основания геометрии // БСЭ-2. 1955. Т. 31. С. 296-297.

4.40. Поверхность // БСЭ-2. 1955. Т. 33. С. 346-347. Совм. с Л. А. Скорняковым.

4.41. К обоснованию теории вещественных чисел // Математическое просвещение. 1957. Вып. 2. С. 169-173. (Перепечатано в [3.29], с. 215-218.)

4.42. О профессии математика. 3-е изд., перераб. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1959. 60 с; 4-е изд. 1969. 60 с. (Первые издания: см. [4.22]. Перепечатано также в [3.29], с. 22-41, и в сокращенном виде в [2.9].)

4.43. Информация // БСЭ-2. 1958. Т. 51. С. 129-130.

4.44. Кибернетика//БСЭ-2. 1958. Т. 51. С. 149-151.

4.45. Юношеские математические школы // Вестник высшей школы. 1959. № 11. С. 66-69. Совм. с И. М. Ягломом.

4.46. Автоматы и жизнь: Тезисы доклада // Машинный перевод и прикладная лингвистика. 1961. Вып. 6. С. 3-8.

4.47. Автоматы и жизнь // Техника — молодежи. 1961. № 10. С. 16-19; № 11. С. 30-33. (Перепечатано в [4.50], [4.56], а также в [3.29], с. 43-62.)

4.48. Свойства неравенств и понятие о приближенных вычислениях. Иррациональные числа // Вопросы преподавания математики в средней школе. М.: Учпедгиз, 1961. Совм. с П. С. Александровым. (См. также [1.1], [1.2].)

4.49. Как я стал математиком // Огонек. 1963. № 48. С. 12-13. (Перепечатано в [4.71] и [3.29], с. 7-10.)

4.50. Автоматы и жизнь // Возможное и невозможное в кибернетике / Под ред. А. Берга и Э. Кольмана; Сост. В. Д. Пекелис. М.: Изд-во АН СССР, 1963. С. 10-29. (Перепечатано из [4.47].)

4.51. Жизнь и мышление как особые формы существования материи // О сущности жизни. М.: Наука, 1964. С. 48-57.

4.52. Натуральные числа и положительные скалярные величины // Математическая школа: Лекции и задачи. Вып. IV-V. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1965. С. 19-35.

4.53. Одна проблема из теории кривых // Математическая школа: Лекции и задачи. Вып. VIII. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1966. С. 35.

4.54. Геометрия на сфере и геология // Наука и жизнь. 1966. № 2. С. 32. (Перепечатано в [3.29], с. 41-43.)

4.55. Замысел «стохастической теории обучения» у Н. А. Романова// Природа. 1966. № 7. С. 88-89.

4.56. Автоматы и жизнь // Кибернетика ожидаемая и кибернетика неожиданная / Отв. ред. А. Берг и Э. Кольман; Сост. В. Д. Пекелис. М.: Изд-во АН СССР, 1968. С. 12-31. (Перепечатано из [4.47].)

4.57. К основам русской классической метрики // Содружество наук и тайны творчества. М.: Искусство, 1968. С. 397-432. Совм. с А. В. Прохоровым.

4.58. Новое в школьной математике // Наука и жизнь. 1969. Я5 3. С. 62-66.

4.59. [Письмо П. Л. Капице] // Вопросы философии. 1972. № 9. С. 127-128.

4.60. Научный руководитель // Нейман Л. Радость открытия. М.: Дет. лит., 1972. С. 160-164. (Перепечатано в [3.29], с. 10-14.)

4.61. Радость научного поиска // Смена. 1972. № 16. С. 14.

4.62. Согласование преподавания математики и физики // Всесоюзная научно-практическая конференция по проблеме учебно-воспитательной работы в школах и классах с углубленным изучением отдельных предметов: Тезисы докладов. М.: НИИ СиМО АПН СССР, 1972. (Ротапринт.)

4.63. Материалы для обсуждения в Комиссии по школьной терминологии и обозначениям УМС МП СССР. М., 1973. 3 с. (Ротапринт.)

4.64. Научные основы школьного курса математики. М.: Просвещение, 1973. 8 с. (Серия: Программы педагогических институтов.)

4.65. Заботясь о достойном пополнении // Вестник высшей школы. 1974. № 6. С. 26-33. Совм. с И. Т. Тропиным и К. В. Чернышевым.

4.66. Новые программы: специализированные школы // Математическое образование сегодня. М.: Просвещение, 1974. С. 5-12.

4.67. Некоторые соображения о структуре учебников математики // Проблемы школьного учебника. Вып. 3. М.: Просвещение, 1975. С. 14-17.

4.68. Общие проблемы математического образования в СССР // История математического образования в СССР. Киев: Наукова думка, 1975. С. 9-13.

4.69. Свой путь в науке (Памяти математика А. И. Мальцева. 1909 —1967) // Наука и жизнь. 1975. № 7. С. 112-115.

4.70. Предисловие к статье: Шилов Г., Берман В. Над «балдой» стоит подумать // Наука и жизнь. 1976. № 5. С. 138.

4.71. Как я стал математиком. Что такое математика // Наука в твоей профессии. М.: Знание, 1978. № 11. С. 5-9.

4.72. О формировании диалектико-материалистического мировоззрения школьников на уроках математики и физики // Роль учебной литературы в формировании мировоззрения школьников. М.: Педагогика, 1978. С. 69-74.

4.73. Математик и историк математики: О трудах А. И. Маркушевича (1908 —1979) по истории математики // Вопросы истории естествознания и техники. 1980. № 2. С. 96-100.

4.74. Письмо в редакцию «Историко-математических исследований (от 8 декабря 1983 г.) // Историко-математические исследования / Отв. ред. А. П. Юшкевич. М.: Наука, 1985. Вып. 28. С. 337-338.

4.75. Ученик об учителе [Интервью В. А. Успенского с А. Н. Колмогоровым] // Успехи математических наук. 1985. Т. 40, вып. 3. С. 7-8. (Перепечатано из [6.42].)

4.76. Воспоминания о П. С. Александрове // Успехи математических наук. 1986. Т. 41, вып. 6. С. 187-203. (Перепечатано в [4.78], с. 131-157.)

4.77. О понятиях величины и числа // Историко-математические исследования / Отв. ред. А. П. Юшкевич. М.: Наука, 1990. Вып. 32-33. С. 474-484.

4.78. Математика в ее историческом развитии / Под ред. В. А. Успенского; Сост. Г. А. Гальперин. М.: Наука. Физматлит, 1991. 223 с.

5. Книги, вышедшие под редакцией или с предисловием А. Н. Колмогорова

5.1. Ред. и предисловие к кн.: Лебег А. Об измерении величин / Пер. с франц. М.: Учпедгиз, 1938. С. 7-16; 2-е изд. 1960. С. 7-16.

5.2. Ред. к кн.: Математика, ее содержание, методы и значение: В 3 т. М.: Изд-во АН СССР, 1956. Совм. с А. Д. Александровым и М. А. Лаврентьевым.

5.3. Предисловие к кн.: Васильев Н. В., Егоров А. А. Сборник подготовительных задач к Всероссийской олимпиаде юных математиков. М.: Учпедгиз, 1963. (Перепечатано в [3.29], с. 63.)

5.4. Ред. и предисловие к кн.: Фор Р.} Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика / Пер. с франц. М.: Мир, 1966. С. 5-6.

5.5. Ред. и предисловие к кн.: Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика: Элементарный очерк идей и методов / Пер. с англ. 2-е изд. М: Просвещение, 1967. С. 3. (Серия: Математическое просвещение.)

5.6. Ред. и предисловие к кн.: Донеддю А. Евклидова планиметрия / Пер. с франц. А. М. Абрамова. М.: Наука, 1978. С. 3-4.

5.7. Предисловие к кн.: Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп / Пер. с польск. М.: Наука, 1981. (Библиотечка «Квант». Вып. 8.) (Перепечатано в [3.29], с. 62-63.)

5.8. Ред. кол. в кн.: Энциклопедический словарь юного математика / Гл. ред. Б. В. Гнеденко; Сост. А. П. Савин. М.: Педагогика, 1985. 352 с; 2-е изд., испр. и доп. 1989. 348 с; 3-е изд., испр. и доп. 1996.

5.9. Ред. и предисловие к кн.: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. М.: Просвещение, 1986. С. 3-4. (Перепечатано в [3.29], с. 64-66.)

6. Публикации А. Н. Колмогорова в газетах

6.1. Пробные учебники математики (алгебра, ч. I) // Учительская газета. 1941. 23 апреля. Совм. с П. С. Александровым.

6.2. Великий русский ученый-новатор (К 150-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского) // Известия. 1943. 2 ноября.

6.3. Вода и воздух должны быть чистыми! (О чистоте р. Клязьмы) // Литературная газета. 1953. 30 июня. Совм. с П. С. Александровым.

6.4. Молодые силы науки (О научной работе студентов МГУ) // Комсомольская правда. 1955. 15 мая.

6.5. Школа и подготовка научных кадров (К обсуждению тезисов ЦК КПСС о школе) // Труд. 1958. 10 декабря.

6.6. Вы выбрали науку // Московский университет. 1961. 1 сентября.

6.7. Наука в поиске // Неделя. 1961. № 42. С. 10-11. (Репортаж Е. Манучарова и Е. Худякова с пресс-конференции А. Н. Колмогорова и И. С. Шкловского.)

6.8. Искусственные разумные существа возможны // Неделя. 1962. № 5. С. 8.

6.9. Наука требует горения // Известия. 1962. 21 февраля.

6.10. Нужны ли научные школы? // Известия. 1962. 27 октября.

6.11. Простоту сложному // Известия. 1962. 31 декабря.

6.12. Обычная профессия: математик//Комсомольская правда. 1963. 2 марта.

6.13. Поиск таланта (О работах молодых советских математиков) // Известия. 1963. 7 апреля.

6.14. В добрый путь (О развитии математики и подготовке кадров) // Правда. 1963. 8 сентября.

6.15. Да здравствует математика (Круглый стол «Недели») // Неделя. 1964. № 3. (Репортаж В. Корнилова и В. Янкулина.)

6.16. Физико-математическая школа // Учительская газета. 1964. 11 февраля.

6.17. Московское математическое общество // Правда (моек. вып.). 1964. 19 октября. Совм. с А. Г. Курошем.

6.18. Что такое «культурный человек»? (Вечер в МГУ, проведенный П. С. Александровым и А. Н. Колмогоровым) // Неделя. 1965. № 1. (Запись В. Янкулина.)

6.19. Брак в солидных обложках (О выпуске литературы по экономико-математическим наукам) // Известия. 1965. 24 января. Совм. с А. Дородницыным, Б. Гнеденко, А. Вайнштейном.

6.20. Алгоритмы жизнелюбия // Комсомольская правда. 1965. 9 июля.

6.21. Впереди большие перспективы // Московский университет. 1965. 10 декабря.

6.22. Ключи от лесной сторожки // Литературная газета. 1966. 16 августа.

6.23. Шаг в науку // Московский университет. 1966. 10 декабря.

6.24. Знания, навыки, способности и конкурсные экзамены (О подготовке учащихся физико-математических школ) // Литературная газета. 1967. 11 января.

6.25. Обновление школьного курса математики // Учительская газета. 1967. 14 февраля.

6.26. Опыт, задачи, перспективы // Московский университет. 1967. 8 декабря.

6.27. Радость познавать мир (В связи с началом учебного года) // Правда. 1968. 1 сентября.

6.28. Пожелания к пятилетию (ФМШ при МГУ) // Московский университет. 1968. 4 декабря.

6.29. Настольная книга исследователей (на соискание Ленинской премии) // Известия. 1970. 21 марта.

6.30. Как растят таланты (О работе ФМШ при МГУ) // Учительская газета. 1971. 28 января.

6.31. Профессия непрерывной юности (В связи с началом учебного года) // Правда. 1971. 1 сентября.

6.32. Таланты требуют внимания (О ФМШ при МГУ) // Московский комсомолец. 1971. 22 октября.

6.33. Школа решает основную свою задачу // Московский комсомолец. 1971. 14 декабря.

6.34. Учителя не заменить (Как выработать у школьников активный интерес к знаниям) // Комсомольская правда. 1972. 19 января.

6.35. Воспитывать наглядное мышление (О новой программе по математике) // Учительская газета. 1972. 22 августа.

6.36. Вероятность не равна нулю (О контактах с внеземными цивилизациями) // Литературная газета. 1972. 20 сентября.

6.37. От старой к новой геометрии (О новом курсе геометрии) // Учительская газета. 1972. 21 декабря.

6.38. Школа-интернат при университете. Для чего она? // Московский университет. 1973. 30 ноября.

6.39. Диалог о математике (Диалог академика А. Н. Колмогорова и учителя 317-й школы г. Москвы В. А. Садчикова) // Учительская газета. 1974. 12 января.

6.40. Путь в математику открыт // Московский университет. 1975. 8 апреля. (Перепечатано в [2.20].)

6.41. Все начинается с дороги (О собеседнике, старшем друге) //Литературная газета. 1976. 13 октября.

6.42. Ученик об учителе (Интервью с академиком А. Н. Колмогоровым 8 июня 1983 г. в связи со столетием со дня рождения академика Н. Н. Лузина)// Путь в науку [орган Кемеровского университета]. 1983. 7 сентября. (Интервью взял В. А. Успенский.) (Перепечатано в [4.75] и в [3.29], с. 19-22).

6.43. Каким быть X—XI классам? (Коллективное письмо девяти академиков с предложениями к проекту реформы школы) // Известия. 1984. 26 января. Совм. с Б. В. Гнеденко, Н. П. Дубининым, И. К. Кикоиным и др.

6.44. Как растить увлеченных (О встрече акад. А. Н. Колмогорова с выпускниками ФМШ — докторами наук) // Известия. 1984. 28 января. (Запись И. Преловской.)

6.45. Что дает и мог бы дать «Квант» учителю математики? // Учительская газета. 1985. 22 января. (Перепечатано в [3.29], с. 267-270.)

6.46. Ответ ученикам [26 апреля 1986 г.] (Жизнь во имя науки) // Учительская газета. 1987. 26 ноября.

Компьютеризация школы и математическое образование1)

А. П. Ершов

(...) Имея счастливую привилегию получить математическое образование в Московском университете и общаться с выдающимися учеными за 14 лет участия в работе Отделения математики Академии наук СССР, я постоянно ощущал на себе воздействие мощных идей современной математической и образовательной мысли и ее носителей, из которых я хотел бы в первую очередь назвать Пуанкаре и Лузина, Куранта и Колмогорова, Клини и Маркова, фон Неймана и Бурбаки, Выготского и Пиаже.

(...) Принято говорить, что математическое школьное образование переживает кризис. С этим нельзя спорить, так как обследования, проводимые в разных странах, приносят много свидетельств о недостатках математического образования.

В то же время этот критический настрой в отношении образовательной математики... соседствует с буквально триумфальным развитием математической науки. Характеристика XX века как золотого века математики так же популярна, как и разговоры о кризисе школьной математики. (...)

Очевидно громадное увеличение дистанции между математикой как школьным предметом и математикой как живой наукой. Налицо большой разрыв между потребностями математической практики и способностью людей ею заниматься. Наш образовательно-математический универсум резко расширился, и сразу стали видны неоднородности и разрывы.

Я бы назвал ситуацию со школьным математическим образованием не кризисом, а нарастанием противоречий в понимании его целей. (...) Эти противоречия... в значительной степени носят общий характер и не специфичны только для математики.

1) Фрагменты доклада на VI Международном конгрессе по математическому образованию (Будапешт, август 1988 г.). Сокращенное изложение всего доклада опубликовано в журнале «Математика в школе» (1989, № 1, с. 14-31). — Прим. сост.

Научное знание или «здравый смысл»? Этот конфликт стар как жизнь и отражает вечное противостояние обыденного и научного сознания. В более техническом смысле спор идет о том, какими должны быть основы школьного курса: логически безупречными, но абстрактными или интуитивно ясными, но расплывчатыми?

Элитарное или эгалитарное образование? Это общее для образования противоречие особенно остро ощущается в математике. Любая попытка дать целостное математическое образование в школе сразу упирается в реальную неоднородность способностей учащихся или возможностей учителя. (...)

Вариативность или одинаковость? Возможно, это противоречие специфично для нашей страны с ее стремлением к однородности и одинаковости учебного процесса1). Даже если согласиться в принципе на вариативность, остаются трудности поиска схем курса математики, вызванные предыдущим противоречием.

В сторону вуза или в сторону общего знания? Что является главной целью средней школы: подготовить учащихся к дальнейшему образованию или дать им такие знания, которые останутся у них навсегда и больше пополняться не будут? (...)

Наконец, традиция или модернизация? Пожалуй, эта дилемма более актуальна для педвузовского, нежели школьного курса математики. Что должно составлять пафос учительского кругозора и мировоззрения: приверженность историческим ценностям или увлечение последними событиями? (...)

Возможно, наиболее ярко проявились проблемы и противоречия современного математического образования во время так называемой колмогоровской реформы. Три обстоятельства делают историю колмогоровской реформы особенно драматичной: то, что она связана с именем одного из наиболее выдающихся математиков нашего времени; ее размах и масштаб; и наконец, преобладающее мнение о том, что это предприятие оказалось несостоятельным, привело к неудаче.

Опишем очень схематично последовательность событий. В середине 60-х годов во исполнение правительственного постановления о повышении научного уровня преподавания и модернизации школьных программ начали разрабатывать новые программы по школьному курсу математики. Формально, да и по существу, это была коллегиальная работа, объединявшая специалистов из Академии наук, Академии педагогических наук, университетских профессоров при некоторой доле участия школьного учительства. Однако она очень быстро приобрела «колмогоровский» характер благодаря объему личного вклада

1) Не забудем, что это было сказано в 1988 г. — Прим. ред.

академика А. Н. Колмогорова в эту работу, его огромному научному авторитету, а также в очень значительной степени благодаря его всеобъемлющему и цельному подходу к школьному курсу математики. Он занимался абсолютно всеми аспектами проблемы: от глобального планирования до рядовых уроков математики в университетской школе-интернате. В посмертной книге А. Н. Колмогорова «Математика — наука и профессия», вышедшей в серии «Библиотечка „Квант“» (М.: Наука, 1988), помещен справочный материал, убедительно показывающий размах и объем его деятельности: одних только публикаций в журнале «Математика в школе», относящихся к этому периоду, насчитывается 58.

Новая программа была введена фронтально, до появления новых учебников, на основе министерских инструктивных писем и временных методических разработок, которые срочно опубликовал журнал «Математика в школе». В большом объеме проводилась краткосрочная курсовая подготовка учителей по всей территории страны.

В течение нескольких лет появились новые учебники, работа по которым, однако, стала вызывать значительные сложности у учительского корпуса. Курс математики стал труден для учеников. Ослабла тяга к математике, понизился уровень абитуриентов в вузах. Учителя почувствовали себя дезориентированными.

Стала нарастать критика реформы. Сначала по конкретным недостаткам учебников, потом по методике, а затем стала складываться оппозиция по отношению к главным научным положениям новых программ. Начали появляться альтернативные учебники.

Объединение критики с нараставшими трудностями преподавания привело к мощному контрреформистскому движению, в котором взяло верх традиционалистское отношение к школьному курсу математики. Контрреформация носила менее фронтальный характер, было немало компромиссов, некоторые «колмогоровские» учебники уцелели, но в целом принятая в последующие годы модифицированная программа курса признается многими весьма консервативной.

Все это сопровождалось очень острыми дискуссиями, и последние годы Андрея Николаевича Колмогорова были омрачены не только тяжелой болезнью.

Естественно, это очень грубая схема. На самом деле... общая ситуация, конечно, не является реставрацией того, что мы имели двадцать лет назад. На колмогоровских программах выросло новое поколение успешно работающих математиков, которое доминирует в лучших проявлениях нашей математической мысли и практики. Кроме того, учителя, при всех пережитых ими трудностях, вкусили немало свежих и новаторских мыслей и тем самым перешли на новый уровень

самосознания. Активность А. Н. Колмогорова пробудила творческую энергию коллег-академиков, в результате чего математическая литература по школьной математике весьма обогатилась. Появился журнал «Квант» и его замечательная «Библиотечка».

Думается, что нельзя дать оценку сути, роли и судьбы колмогоровской реформы, оставаясь в рамках только лишь ее научно-методического содержания. Ее судьбу нельзя отделить от судьбы всего образования, всей страны за то двадцатилетие, которое наша публицистика деликатно называет «периодом застоя».

Я бы сказал так: если колмогоровская реформа как акция оказалась несостоятельной, то эта несостоятельность является всего лишь проекцией на математику более глобальной несостоятельности другой грандиозной акции, состоявшей в переходе к обязательному среднему образованию с сохранением всей прежней негибкости, однородности и авторитарности в содержании и методике школьного обучения...

Думал о драматической судьбе колмогоровской реформы и ее идейного лидера, я не могу не провести параллели с судьбой другого гениального современника Андрея Николаевича Колмогорова. Я имею в виду писателя и поэта Бориса Леонидовича Пастернака и его главный труд «Доктор Живаго». Та же мера таланта, высокого профессионализма и способности к рядовой работе. Та же несочетаемость со многими реалиями повседневной жизни и обстановки. Та же неразрывная связь с культурой и природой. Та же смертельная ревность и пристрастность со стороны многих братьев по цеху. То же высокое ощущение своей бескомпромиссной предназначенности для некоторой общечеловеческой миссии. (...)

О научно-методическом вкладе А. Н. Колмогорова в школьное математическое образование

Р. С. Черкасов

Из всего многообразия направлений научно-педагогической деятельности Андрея Николаевича Колмогорова в области школьного математического образования я кратко остановлюсь главным образом на его вкладе в трактовку некоторых важнейших принципов научной дидактики, на исключительно плодотворном участии в жизни журнала «Математика в школе».

1. Издавна в обществе большим уважением пользовался умственный труд — труд, направленный на созидание, требующий больших усилий. Но начиная с 20-х годов в нашей стране под влиянием ложных политизированных воззрений общественно-полезный труд стал трактоваться лишь как труд физический. В соответствии с «пролетарским» характером государственной идеологии культивировалась та точка зрения, что умственный труд — это «труд для себя», для удовлетворения только своих внутренних потребностей, в то время как труд физический — это «труд для всех», для блага всего общества.

Такие воззрения нанесли большой ущерб и отношению к учебному труду. Традиционно заложенные в практику обучения положения о том, что школьникам при изучении предметов неизбежно приходится встречаться с трудностями и что при обучении необходимо сформировать у них способности преодолевать их, стали трактоваться как идущие от «буржуазной» педагогики.

Возобладавшее с тех же лет якобы материалистическое истолкование процесса познания как движения мысли только «от конкретного к абстрактному» привело к тому, что как в учебно-методических пособиях, так и в практике обучения не находили правильного отражения вопросы, связанные с проблемой развития мышления. Не учитывалось, что в действительности процессы движения мысли «от конкретного к абстрактному» и «от абстрактного к конкретному» всегда взаимо-

связаны и что именно эта взаимосвязь содействует успешному развитию как формально-логического, так и образно-интуитивного мышления учащихся.

Допускалось упрощенное истолкование и других принципов обучения. Так, принцип единства школы стал трактоваться как принцип обязательного единообразия в содержании и формах обучения на всех его этапах; принцип систематичности сводился к непременному соблюдению строгой линейности в развитии содержания предмета; принцип наглядности — только к наглядности физической.

Все это повлекло за собой серьезные упущения в развитии мышления многих учащихся средней школы. А в результате, как встревоженно пишет ректор Московского физико-технического института Н. В. Карлов, «опасно тонким оказался у нас слой по-настоящему широко и глубоко образованных людей»1).

В своей теоретической и практической деятельности А. Н. Колмогоров восстанавливал правильную трактовку принципов научной дидактики применительно к преподаванию математики. Так, в трактовке принципа наглядности он стремился отразить в создаваемых при его участии программах и учебниках требования, идущие не только от наглядности физической, модельной, но и от других ее видов — образно-знаковой, теоретической. В развернувшихся в те годы спорах вокруг «линейности» и «концентричности» в раскрытии содержания изучаемого материала Андрей Николаевич не противопоставлял эти подходы, считая, что процесс обучения предмету должен идти по «восходящей спирали».

В целях более эффективного решения не только первоочередных, но и перспективных задач развития школьного математического образования А. Н. Колмогоров считал необходимым проведение поисковых экспериментов с заведомо повышенным уровнем требований — как к содержанию предмета, так и к видам языка математики. Такие эксперименты должны были выявлять пока еще неизвестные нам возможности и особенности развивающегося детского мышления; в зависимости от полученных результатов предполагалось в дальнейшем определить окончательное содержание создаваемых программ и новых учебников.

Андрей Николаевич стремился через обучение математике готовить по-настоящему образованных, культурных людей. Многое ему удалось сделать. Но далеко не все, что он предлагал, получало в то время поддержку. Так, не были приняты в полной мере предложения

1) Карлов Н. В. Образование и общежитие // Свободная мысль. 1992. № 16.

А. Н. Колмогорова о дифференциации школьного обучения на старшем этапе. Введение факультативных курсов только отчасти решало эту проблему. Создания же специализированных физико-математических школ и классов удалось добиться лишь под видом того, что специализация является одной из форм производственного обучения (!).

2. К работе над новыми школьными учебниками А. Н. Колмогоров привлекал авторов, обладавших опытом работы в школе и уже имевших учебно-методические публикации. Таким был и наш коллектив авторов учебника «Геометрия 6 — 8»1).

Работать под руководством Андрея Николаевича было очень интересно, но непросто. Требовалось работать с большим напряжением, не допуская даже малейших нарушений в сроках выполнения получаемых заданий. Возникавшие спорные вопросы необходимо было обсуждать с должным вниманием к мнению оппонента, с умением находить компромиссные решения. (В некоторых случаях такое решение принималось после выполнения дополнительного эксперимента.)

Нередко Андрей Николаевич находил другое, более целесообразное изложение содержания отдельных параграфов, чем первоначально найденное и включенное в рукопись, уже сданную в печать. В таких случаях он был непреклонен в своих требованиях внесения в текст поправок, и наши отношения с издательством не всегда были мирными.

Андрей Николаевич хорошо знал историю математического образования и современное его состояние как в нашей стране, так и за рубежом, что помогало ему брать все хорошее из уже имеющегося опыта. Однако он не считал возможным ограничиться только этим и находился в состоянии постоянного творческого поиска.

Успешности коллективной работы содействовало наше хорошее знание учебников прошлого времени — таких, как курсы геометрии А. Ю. Давидова, А. П. Киселева, Н. А. Извольского, Н. А. Глаголева, А. А. Глаголева, Ж. Адамара, Э. Бореля.

Заметим, что из этих учебников «Геометрия» А. П. Киселева отнюдь не была «лучшей». Ее широкому распространению способствовал выход в свет задачника Н. А. Рыбкина, содержание которого было ориентировано на изучение теории по учебнику Киселева. «Лучшим» же этот учебник стал считаться после того, как он был объявлен таковым в известных партийно-правительственных постановлениях о школе в 30-е годы.

1) Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия: Учебное пособие для 6 — 8 классов средней школы / Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Просвещение, 1979; 2-е изд., 1980; 3-е изд., 1981; 4-е изд., дораб. (с участием А. М. Абрамова), 1982. — Прим. ред.

«Геометрия» Киселева была, по существу, рассчитана на овладение учащимися знаниями лишь на уровне их воспроизведения по тексту учебника. Многие из названных выше учебников преследовали достижение более глубокой цели — усвоения учащимися знаний не только на уровне воспроизведения, но и на творческом уровне «вариативных рассуждений».

Именно такую задачу Андрей Николаевич ставил перед нашим авторским коллективом. На достижение этой цели была направлена наша многолетняя работа по созданию и совершенствованию сначала пробных, а затем введенных в школу учебников геометрии для 6 — 8 классов. Наиболее полное воплощение методические установки А. Н. Колмогорова получили в варианте учебника, представленного на конкурс в середине 80-х годов. К сожалению, конкурсная комиссия не присудила учебнику того места, которое позволило бы осуществить его издание. На такое решение, надо полагать, повлияла обстановка, созданная в общественном мнении вокруг предпринятой реформы школьного математического образования. Рукопись этого учебника и конкурсный ротапринтный экземпляр пока сохраняются в моем архиве.

3. Трудно переоценить деятельность А. Н. Колмогорова в журнале «Математика в школе». Он опубликовал в журнале свыше 60 статей. Как член редколлегии, Андрей Николаевич был рецензентом всех статей, поступающих в научно-популярный и дискуссионный отделы. Он добивался, чтобы журнал не только оказывал учителю помощь в его текущей работе, но и систематически знакомил со всем новым, что происходит в постановке математического образования в развитых зарубежных странах. По инициативе Андрея Николаевича в журнале был создан отдел «Научные основы курса математики». Он был автором первых опубликованных в этом отделе статей, до настоящего времени привлекающих внимание каждого, кто преподает математику.

Содержание поступающих в журнал статей мы обсуждали с Андреем Николаевичем на еженедельных встречах в его домашней рабочей комнате (в последние годы жизни он смог присутствовать лишь на немногих заседаниях редколлегии). Поражала его способность читать текст рукописей не «по строчкам», а воспринимая содержание сразу «с листа». На вопрос о том, как он овладел таким искусством, ответ был кратким: «Нужна большая тренировка». Андрей Николаевич с большим вниманием и интересом относился к поступающим в редакцию на его имя письмам читателей, часто отвечал на поставленные там вопросы путем личной переписки.

4. В 1980 году в некоторых центральных газетах и в журнале «Коммунист» появились статьи, резко осуждающие основное направление предпринятой реформы школьного математического образования.

В них даже выдвигалось обвинение в том, что математики, ответственные за реформу, «подпали под чуждое нашему обществу влияние буржуазной идеологии», поскольку построили реформу на идеалистической теоретико-множественной основе (!).

Как главному редактору журнала «Математика в школе», мне довелось присутствовать вместе с Андреем Николаевичем на некоторых официальных заседаниях (например, в республиканском Министерстве просвещения и в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР), где проводилось обсуждение реформы «по следам» этих публикаций. К сожалению, эти собрания проходили в стиле, не способствовавшем спокойному, объективному анализу реформы, выработке взвешенных оценок; на них принимались заранее подготовленные, продиктованные «свыше» решения, резко осуждающие реформу.

Только такие материалы и публиковались потом в широкой печати. Резолюции же в поддержку проводимой реформы (принятые в те дни, например, в Институте математики Сибирского отделения АН СССР и на кафедре теории вероятностей механико-математического факультета МГУ) не доводились до сведения общественности, как, скажем, и статьи С. Л. Соболева, Н. М. Бескина и др., направленные в 1980 году в журнал «Коммунист», но ставшие известными читателям лишь из недавних публикаций1).

Прошедшие десятилетия свидетельствуют о том, что разработанная А. Н. Колмогоровым концепция основных направлений развития школьного математического образования «до 2000 года» находит свое убедительное подтверждение в мировой практике. По высказыванию В. А. Успенского, «с течением времени значимость научного наследия А. Н. Колмогорова не убывает, а возрастает»2). Эта характеристика полностью приложима и к его научно-методическому наследию.

В докладе на VI Международном конгрессе по математическому образованию (Будапешт, 1988 г.) академик А. П. Ершов высоко оценил деятельность А. Н. Колмогорова по реформе математического образования3). По его мнению, союз лингвистики, математики и информатики, закладывая в школьное образование опорный треугольник развития

1) См.: Соболев С. Л. Нужен разговор по существу // Математика в школе. 1989. № 4. С. 22-27; Бескин Н. М. Несостоявшаяся дискуссия // Там же. 1990. № 3. C. 15-17.

2) См.: Успенский В. А. Наш великий современник Колмогоров // Колмогоров А. Н. Математика в ее историческом развитии / Под ред. В. А. Успенского; Сост. Г. А. Гальперин. М.: Физматлит, 1991. С. 15. — Прим. ред.

3) Ершов А. П. Компьютеризация школы и математическое образование // Математика в школе. 1989. № 1. С. 14-31. Выдержки из этого доклада, касающиеся колмогоровской реформы, перепечатываются в настоящем сборнике (см. с. 148-151). — Прим. ред.

главных проявлений человеческого интеллекта — способности к обучению, способности к рассуждению и способности к действию, — будет способствовать успешному достижению целей реформы.

Благотворные перемены, происходящие в последние годы в области демократизации школы, глубокое внимание и интерес к творческому наследию Андрея Николаевича Колмогорова, проявляемые сейчас математической и научно-методической общественностью, широкими кругами учителей математики, вселяют надежду на то, что это драгоценное наследие найдет свое воплощение и развитие в постановке современного отечественного школьного математического образования, которое вновь займет в мире достойное место.

А. Н. Колмогоров и журнал «Квант»

А. Б. Сосинский

Журнал «Квант» был создан в 1969 году усилиями Андрея Николаевича Колмогорова и Исаака Константиновича Кикоина. Первые номера вышли в 1970 году. Когда журнал начинался, Андрей Николаевич выступил не только в роли организатора, но и в роли своеобразного камертона. Он задал стиль этого журнала, написав в первых трех номерах статьи «Что такое функция», «Что такое график функции» и «Паркеты из правильных многоугольников».

Третья статья представляется довольно естественной для такого научно-популярного журнала, как «Квант», а вот первые две могут показаться неуместными, слишком «школьными». На самом деле эти статьи совсем не случайны. С самого начала Андрей Николаевич хотел, чтобы журнал был приближен к школе, чтобы в нем обсуждались не только «высокие материи» и красивые математические задачи, но и темы, непосредственно примыкающие к школьной математике. К сожалению, этот замысел, во всяком случае вначале, не получил должного развития, а огромный успех журнала у читателя отвлек сотрудников и авторов от серьезного обдумывания именно этой линии.

В последующих номерах «Кванта» печаталось много замечательных статей, посвященных действительно красивым, глубоким математическим идеям и теориям. С самого начала подобрался сильный авторский коллектив — в основном это были люди, в той или иной степени связанные с олимпиадами. Я назову среди них лишь Николая Борисовича Васильева, который создал уникальный раздел «Задачник „Кванта“», и Анатолия Павловича Савина, который в 1971 году создал страничку «„Квант“ для младших школьников», а позднее — несмотря на некоторое сопротивление Андрея Николаевича — расширил ее до небольшого, но очень популярного раздела под тем же названием.

Что касается меня, то я стал работать в «Кванте» существенно позже, по инициативе Андрея Николаевича, причем, чтобы добиться моего приема на работу, ему пришлось приложить определенные усилия. Дело в том, что в 1975 году, после моего ухода из МГУ, я был «персоной

нон грата», и только благодаря настойчивости А. Н. Колмогорова и И. К. Кикоина удалось преодолеть сопротивление отдела кадров, видимо, получившего определенные указания на мой счет.

Нужно сказать, что после выхода в свет первых номеров «Кванта» Андрей Николаевич несколько охладел к журналу и уделял ему мало времени. Но начало моей работы в «Кванте» как раз совпало с возобновлением интереса Андрея Николаевича к журналу. Он мне страшно этот журнал ругал, говоря, что авторы всё хотят себя показать и продемонстрировать изысканные математические красивости, вместо того чтобы писать простые статьи о фундаментальных вещах, которые так нужны школьникам. Между тем в это время с «Квантом» начали сотрудничать несколько человек, которые действительно пытались работать в этом направлении. В первую очередь, это Александр Николаевич Земляков и Виктор Львович Гутенмахер, создавшие новый раздел «По страницам школьных учебников», а также Николай Христович Розов, который расширил и активизировал раздел «Практикум абитуриента».

Третий период деятельного интереса А. Н. Колмогорова к журналу относится к самым последним годам его жизни. Несмотря на болезнь, Андрей Николаевич стал снова активно заниматься и школьными учебниками, и «Квантом». Он тогда организовал у себя дома регулярные ежемесячные встречи с небольшой частью редколлегии: кроме меня, в них участвовали также Н. Б. Васильев, Ю. П. Соловьев, реже А. П. Савин, Н. Х. Розов. Несмотря на трудности общения, вызванные затрудненностью речи Андрея Николаевича, эти встречи запомнились своей живостью и конкретностью. Продолжались они почти до самого конца жизни Андрея Николаевича.

Я хочу более подробно рассказать об одном эпизоде, ознаменовавшем начало этого периода. В конце 1982 года редколлегия «Кванта» решила поместить в журнале интервью с А. Н. Колмогоровым. Я заранее подготовил несколько вопросов и приехал с магнитофоном к Андрею Николаевичу в Комаровку. До этого я довольно долго — восемь или девять месяцев — не виделся с Андреем Николаевичем и теперь был просто потрясен разрушительным действием его болезни.

Процесс записывания интервью произвел на меня очень тягостное впечатление. Каждая фраза давалась Андрею Николаевичу с большим трудом. Отвечая на вопрос, Андрей Николаевич произносил несколько слов, потом голос у него срывался, как бы наталкиваясь на невидимое препятствие; он снова начинал фразу, продвигался еще на одно-два слова, речь опять обрывалась... Впоследствии я привык к такой его манере говорить, но тогда это было для меня шоком. Примерно два часа (вместо предполагаемого получаса) продолжалась запись, но все-таки Андрей Николаевич ответил на все мои вопросы.

Я возвращался от Андрея Николаевича расстроенный, в мрачной уверенности, что текст интервью придется как-то редактировать или дополнять, и вообще неясно, выйдет ли из этого что-нибудь. Придя домой, я стал расшифровывать запись. И вскоре неожиданно для себя обнаружил, что если не обращать внимание на прерывания и повторы и записывать одно за другим каждое новое произнесенное слово, то получаются правильные, грамматически безукоризненные фразы и на бумагу ложится совершенно связный текст. Я стал работать этим методом и, закончив, впервые прочитал интервью с начала до конца. Я был поражен: было очевидно, что интервью абсолютно готово для публикации.

Вообще-то я довольно жесткий редактор, и порой мне приходилось многих, даже очень маститых, авторов весьма сильно править. Но тут я ничего не стал менять — и не из пиетета к Андрею Николаевичу, а просто потому, что текст в этом не нуждался.

И все-таки в одном месте я позволил себе внести маленькое изменение. Одним из вопросов, которые я задавал Андрею Николаевичу, был такой: «Норберт Винер пишет в своей автобиографической книге, что перестал заниматься функциональным анализом, когда почувствовал, что „Колмогоров наступает мне на пятки“. А как вы относитесь к конкуренции в математике?»1)

На это Андрей Николаевич ответил следующее: «Заявление Винера мне не совсем понятно. В функциональном анализе я сделал немного. Самая интересная моя работа по функциональному анализу называется „Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве“...» Далее Андрей Николаевич объяснил, что в математике важна не столько конкуренция, сколько сотрудничество, и немного развил свою мысль. Так вот, мне показалось, что третья фраза в этом ответе недостаточно связана с первыми двумя, и я добавил в ее начало вводное слово «правда».

Через несколько дней я вновь пришел к Андрею Николаевичу, чтобы показать, что же получилось. По его просьбе я стал читать вслух текст интервью. Когда я дошел до исправленного места, Андрей Николаевич вдруг перебил меня: «Я сказал „правда“?» Я страшно смутился, пробормотал что-то вроде: «Может быть, лучше... да нет, я зачеркну, зачеркну», — что в итоге и сделал.

1) В книге «Я — математик» (М.: Наука, 1964) Н. Винер так пишет о своем многолетнем заочном соревновании с А. Н. Колмогоровым: «Хинчин и Колмогоров, два наиболее видных специалиста по теории вероятностей, долгое время работали в той же области, что и я. Больше двадцати лет мы наступали друг другу на пятки: то они доказывали теорему, которую я вот-вот готовился доказать, то мне удавалось прийти к финишу чуть-чуть раньше их» (с. 142; см. также с. 249-250). — Прим. ред.

Таким образом, опубликованный текст интервью1) — доподлинный, без единого измененного слова.

Этот эпизод показывает, насколько трагичны были последние годы Андрея Николаевича. Он уже не мог ни читать, ни писать, и ходил он все хуже и хуже... А мозг у него оставался кристально ясным до конца.

В 25-летней истории журнала «Квант» бывали разные времена. В 70-е годы он пользовался огромной популярностью и любовью и его тираж доходил до 350 тысяч. Позже, до середины 80-х годов, тираж колебался на уровне 200 тысяч, но затем экономические сложности посткоммунистического периода привели к его катастрофическому снижению. Но мне очень хочется надеяться, что дела снова пойдут на лад, тираж журнала вырастет и «Квант» — это замечательное творение Андрея Николаевича Колмогорова — будет жить долго.

1) Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым // Квант. 1983. № 4. С. 12-15. Это интервью перепечатывается также в настоящем сборнике (см. с. 175-179). — Прим. ред.

А. Н. Колмогоров и колмогоровский интернат

А. А. Егоров

Впервые я увидел и услышал Андрея Николаевича Колмогорова весной 1956 года, на разборе задач второго тура Московской математической олимпиады, участником которой я был. Андрей Николаевич рассказывал решения задач и комментировал их так, что очень немногие до конца его поняли (хотя мы — участники кружка В. И. Арнольда — уже умели все эти задачи решать). Но буквально все были покорены обаянием его личности, глубиной его мысли (это-то мы чувствовали), тонкостью и изяществом конструкций.

Следующая встреча произошла уже в университете. А. Н. Колмогоров был (правда, недолго) деканом мехмата. Нашему курсу особенно повезло: Андрей Николаевич читал нам курс теории вероятностей. Это был один из самых трудных и интересных лекционных курсов за все время учебы в университете. Тогда я впервые услышал притчу о том, что лекции Колмогорова для школьников понятны аспирантам, лекции для аспирантов — докторам наук, а его выступления на научных семинарах и конференциях вообще мало кто понимает.

Позднее, в 1962 году, А. Н. Колмогоров стал председателем оргкомитета Московской и Всероссийской математической олимпиады и пригласил Н. Б. Васильева и меня стать его помощниками. Настало время более или менее постоянного сотрудничества и общения с Андреем Николаевичем, за что я очень благодарен судьбе.

Подробно об огромной роли А. Н. Колмогорова в организации сначала всероссийских, а потом и всесоюзных олимпиад рассказано в статье Н. Б. Васильева в этом сборнике1). Подчеркну лишь, что Андрей Николаевич считал главной целью олимпиад просвещение и пробуждение интереса школьников к научным занятиям, полагая вовсе не основной чисто спортивную сторону соревнования. Вот его слова из предисловия к нашей с Н. Б. Васильевым книжке: «...пути к серьезной работе в области математической науки разнообразны. Одним легче

1) См. с. 167-172. — Прим. ред.

дается решение замысловатых задач, другие вначале не выделяются на этом поприще, но, двигаясь медленно, овладевают глубоко и серьезно теорией и несколько позднее научаются работать самостоятельно. В конечном счете при выборе математики как предмета основных интересов и работы на долгое будущее каждый должен руководствоваться своей собственной самооценкой, а не числом премий и похвальных отзывов на олимпиадах»1).

Проблемы школы и вообще проблемы образования занимали большое место в жизни Андрея Николаевича. По-видимому, в начале 1960-х годов, а может быть и раньше, он начал обдумывать реформу школьного математического образования в нашей стране. Летом 1963 года постановлением Совета Министров СССР были созданы специализированные школы-интернаты при Московском, Ленинградском, Киевском и Новосибирском университетах (правда, Новосибирская ФМШ уже существовала с 1962 года: ее, пользуясь удаленностью от московского начальства, самочинно организовал М. А. Лаврентьев со своими последователями из Сибирского отделения АН СССР). В Москве наиболее активно добивался создания такой школы Андрей Николаевич. Он, а также П. С. Александров, М. В. Келдыш, И. К. Кикоин, И. Г. Петровский — какое созвездие имен! — сумели убедить начальство в необходимости иметь «гимназию при университете»2).

Подготовка к созданию интерната при МГУ началась весной 1963 года. Победители заключительного тура III Всероссийской олимпиады школьников были приглашены в летнюю школу, проходившую в августе в подмосковном Красновидове. Всего было приглашено 46 ребят (среди них 19 будущих одиннадцатиклассников, составивших впоследствии первый выпуск интерната при МГУ). Работой школы руководил А. Н. Колмогоров, находившийся там безвыездно. Андрей Николаевич сам вел занятия, читал лекции, организовывал походы по окрестностям Можайска и Красновидова — короче говоря, был душой этой школы.

Все преподаватели ФМШ той поры до сих пор вспоминают учеников первого набора — безусловно, лучшего за все годы существования интерната. Многие из первых выпускников стали затем нашими близкими друзьями — ведь разница в возрасте учеников и преподавателей

1) Васильев Н. Б., Егоров А. А. Сборник подготовительных задач к Всероссийской олимпиаде юных математиков. М.: Учпедгиз, 1963. — Прим. ред.

2) Эта мысль принадлежит великому русскому ученому М. В. Ломоносову: «При университетах должна быть гимназия, без которой университет как пашня без семян. Здесь следует преподавать школьные предметы так, чтобы вышедшие оттуда должны быть способны приступить к занятиям высшего порядка в университетах». (Цит. по: Колмогоров А. Н., Вавилов В. В., Тропин И. Т. Физико-математическая школа при МГУ. М.: Знание, 1981. С. 9.) — Прим. ред.

порой составляла всего 5 — 6 лет. Я не буду говорить о научных достижениях выпускников разных лет — они огромны. Одно перечисление кандидатов и докторов наук заняло бы много места. Преданность этих людей науке была воспитана еще на школьной скамье, и, конечно, огромную роль сыграло то, что по крайней мере раз в неделю они имели возможность общаться с А. Н. Колмогоровым.

Главная задача интерната, по мнению Андрея Николаевича, — дать способным ребятам, живущим далеко от университетских и научных центров, такие же возможности для выдвижения в науку, которые имеются в больших городах. До последних пор этот принцип соблюдался неукоснительно. В ФМШ, например, не принимались ученики из Горького, Воронежа, Саратова, Свердловска, Минска и других городов, где сравнительно хорошо была поставлена работа со школьниками (не говоря уже о Москве и Ленинграде). Преимущество при поступлении в интернат предоставлялось ребятам из небольших городов, поселков и сел. Разумеется, все поступающие должны были сдавать достаточно трудные экзамены. Экзаменаторы — Андрей Николаевич особенно на этом настаивал — старались выявить «искру Божью», порой пренебрегая тем, что школьник не знает тех или иных разделов курса математики и физики (мы отдавали себе отчет в том, что порой в провинциальных школах математику и физику «преподавали» учителя труда и чуть ли не физкультуры). Часть школьников принималась в интернат сразу по итогам экзаменов; если же возникали некоторые сомнения, поступающих приглашали в летнюю школу: в первые годы — в Красновидово, позже — в Пущино.

Андрей Николаевич очень любил принимать самое деятельное участие в летних школах: читал там лекции, вел занятия, принимал итоговые экзамены. Все, кто бывал в летних школах, и преподаватели и ученики, навсегда запомнили походы и экскурсии, организованные Андреем Николаевичем. По вечерам Андрей Николаевич часто собирал преподавателей. Во время этих вечерних бесед обсуждались учебные планы следующего учебного года, планы публикаций статей и учебных пособий. Он очень хотел написать учебник для интерната. К сожалению, болезнь помешала ему это сделать.

Андрей Николаевич, приходя на лекцию, раздавал своим ассистентам, преподавателям в классах, листочки с кратким конспектом лекции и задачами, которые следовало решить в классе и дать в качестве домашнего задания. Я думаю, что у многих, кто преподавал тогда, сохранились эти материалы. Было бы очень полезно собрать их и опубликовать — они могли бы послужить базой для создания очень хорошего учебника. В этих листочках было много замечательных методических находок, новых трактовок широко известных фактов. Так,

например, совершенно замечательным являлся подход к экспоненте в комплексной области и многое, многое другое.

Андрей Николаевич не только читал в интернате лекции, вел занятия и кружки. Не реже чем два раза в месяц он проводил для ребят музыкальные вечера, читал лекции по истории, живописи, древнерусской архитектуре. Мне запомнилось, как Андрей Николаевич показал однажды слайд с изображением Успенского собора Московского Кремля и спросил: «Как можно узнать, что этот собор построил иностранец?» Оказывается, церкви русской постройки имеют закомары (боковые членения стен) разной ширины — для того чтобы уравновесить пятиглавие. Итальянец же Аристотель Фиораванти, строитель Успенского собора, сделал их одинаковыми, отчего собор кажется несколько тяжеловесным.

Иными словами, Андрей Николаевич вел огромную просветительную работу. В результате выпускники интерната становились разносторонне образованными, культурными людьми, а не только хорошими математиками и физиками. Андрей Николаевич, кстати, вовсе не считал, что все питомцы интерната непременно должны сделаться профессиональными учеными — математиками и физиками. Но он был убежден, что школьное увлечение математикой обязательно пригодится им в дальнейшей жизни.

Невольно задумаешься: а зачем вообще в школе изучают математику? Ведь большинству людей никогда в жизни не придется решать не то что квадратные, но даже линейные уравнения, а производную и интеграл и с высшим техническим образованием приходится вычислять нечасто. (Правда, сейчас инфляция предъявляет несколько повышенные требования к арифметическим способностям россиян, но это, будем надеяться, не навсегда.)

И все-таки математика нужна — как способ мышления, а не как вспомогательный аппарат для других областей человеческой деятельности. К чему приводит пренебрежение этой ролью математики, можно увидеть в нескольких примерах, приведенных в статье В. И. Арнольда («Квант», 1993, № 1/2). В американских школах провели тест, в котором был такой вопрос: «От некоторого числа взяли 120 %. Что произошло с этим числом: а) увеличилось, б) уменьшилось, в) не изменилось?» Ответы распределились примерно поровну (!). Комментарии, как говорится, излишни. Другой пример из этой же статьи связан с излишней формализацией преподавания. Во французской школе учеников младших классов спросили: «Сколько будет 3 + 2?» Ответ: «Так как сложение коммутативно, будет 2 + 3». Формализм, доведенный до абсурда!

Андрей Николаевич не терпел невежества и не переносил чрезмерного формализма. Его лекции для школьников, до предела насыщенные

идеями, были в то же время очень ясными и четкими. Он на редкость умело выделял главную идею и очень точно и четко ее разрабатывал. Так что с мнением, будто Андрей Николаевич был не очень хорошим лектором, я, прослушавший много его лекций для школьников, согласиться никак не могу. Его лекции действительно требовали довольно большого напряжения и внимания слушателей, но этот труд окупался сторицей.

Не следует думать, что жизнь интерната была безоблачной. Школа была объектом постоянного «внимания» гороно Москвы и парткомов МГУ и мехмата. Нас часто посещали весьма пристрастные комиссии; порой на заседаниях в очень уважаемых учреждениях ставился вопрос о закрытии интерната или о передаче его под эгиду Академии педагогических наук, и даже вообще о недопустимости элитарного образования в нашем обществе. Один весьма почтенный человек даже заявил на одном из таких заседаний, что, мол, «был уже лицей в начале прошлого века, а что вышло из него? — Декабристы!». Таких людей не устраивало, что в интернате работал Ю. Ким, что на литературных вечерах читали Булгакова, Пастернака, Мандельштама, Заболоцкого, Цветаеву, Ахматову...

Постепенно интернат все больше и больше превращался в некое подобие подготовительных курсов для школьников из провинции. Андрей Николаевич противостоял этому, но его здоровье ухудшалось, и он мог уделять интернату все меньше внимания. Но все-таки, уже тяжело больной, он постоянно интересовался тем, что происходило в школе. Вызывал к себе преподавателей, требовал, чтобы ему подробнейшим образом рассказывали о жизни интерната.

В последние годы, уже после смерти Андрея Николаевича, интернат стал подразделением Московского университета. Появились новые, молодые способные преподаватели, стал возрождаться тот дух, который был присущ школе в первые годы ее существования. К сожалению, кризисная ситуация в стране привела к тому, что в интернат стали принимать москвичей. Это грубейшее нарушение заветов А. Н. Колмогорова вызвано аварийным состоянием жилых корпусов и невозможностью быстро провести их ремонт. Мы все надеемся, что скоро ситуация изменится и интернат возродится таким, каким он был в 1963 —1968 годах. И главной своей задачей мы, преподаватели интерната, и молодые и старые, считаем такое возрождение. Это будет лучшим памятником А. Н. Колмогорову — великому ученому и учителю.

А. Н. Колмогоров и математические олимпиады

Н. Б. Васильев*

К началу 60-х годов, когда были организованы первые математические олимпиады для школьников из регионов России и других республик, в Москве и Ленинграде уже сложились прочные традиции работы со школьниками, начало которым было положено еще в середине 30-х годов группой замечательных математиков — прежде всего, среди них должны быть упомянуты Борис Николаевич Делоне и Андрей Николаевич Колмогоров. Работали еженедельные вечерние секции математического кружка, устраивались воскресные лекции профессоров мехмата. Наиболее торжественным и массовым заключением этой работы были ежегодные олимпиады, где председателем жюри был кто-то из ведущих математиков, а заместителем председателя и членами жюри — в основном аспиранты и студенты, среди них часто вчерашние школьники-кружковцы.

С Андреем Николаевичем Колмогоровым я познакомился в 1958 г. в университете, на семинаре для первокурсников (он проходил в маленькой комнате кафедры теории вероятностей на 12-м этаже Главного здания МГУ). Почти все участники, кроме, пожалуй, симферопольца Лёни Бассалыго и меня, были уже умудренными опытом участниками олимпиад. Вместе с некоторыми из них (отчасти, быть может, чтобы догнать своих математически более образованных сокурсников) я с удовольствием включился в работу со школьниками: сначала как помощник руководителя кружка, а потом «дорос» и до зампреда олимпиады. Это было как раз в том году (1961), когда вместе с очередной московской олимпиадой было решено устроить всероссийскую, куда пригласили команды из нескольких городов и республик.

Разумеется, эта идея не была бы реализована, если бы не активная

* Николай Борисович Васильев — обаятельный человек, замечательный математик и выдающийся популяризатор нашей науки скончался 28 мая 1998 года. Долгие годы он работал вместе с А. Н. Колмогоровым в олимпиадном движении и в журнале «Квант». — Прим. ред.

поддержка Андрея Николаевича, а также ректора МГУ Ивана Георгиевича Петровского. К тому времени уже сложились две схемы организации и проведения олимпиад: «сверху», т. е. силами студентов и аспирантов, выезжающих на места из Москвы по комсомольским путевкам, и «снизу», т. е. с большей опорой на органы просвещения и инициативу местных математиков и учителей. Андрей Николаевич был несомненным сторонником второй схемы, в чем его поддерживали и другие инициаторы проведения всероссийской олимпиады: Марк Иванович Башмаков, Игорь Владимирович Гирсанов, Николай Николаевич Константинов, Алексей Иванович Маркушевич, Елена Александровна Морозова и, конечно, Иван Семенович Петраков, деятельный и доброжелательный методист по математике из Минпроса. В конце концов схема, включающая оба эти подхода, была согласована «на высшем уровне» между Андреем Николаевичем и могущественными академиками-физиками — Петром Леонидовичем Капицей и Исааком Константиновичем Кикоиным, представлявшими физтех, где работу со школьниками возглавлял Анатолий Павлович Савин.

Было решено создать постоянно действующую методическую комиссию по математическим олимпиадам. Андрей Николаевич был ее бессменным (в течение более чем 20 лет) председателем, а я — заместителем (до 1980 г.); наряду со мной заместителями в разные годы были ленинградец Марк Иванович Башмаков, Александр Николаевич Земляков (один из первых выпускников колмогоровского интерната), а позже — Николай Христович Розов. В начале 80-х годов основным заместителем А. Н. Колмогорова стал Валерий Васильевич Вавилов, а когда здоровье Андрея Николаевича ухудшилось, комиссию по его просьбе возглавил Борис Владимирович Гнеденко. Сейчас, когда олимпиады стали чисто российскими, роль основного организатора взял на себя физтех (председатель оргкомитета — Николай Васильевич Карлов, председатель комиссии по математике — Геннадий Николаевич Яковлев).

Первые всероссийские олимпиады проходили в Москве, а затем заключительный тур стал проводиться в разных городах России и столицах союзных республик, куда Андрей Николаевич уже не всегда мог приезжать (тем более что он не летал самолетами). Однако все ключевые вопросы — список комиссии и «командируемых» членов жюри, задачи, отбор команды на международную олимпиаду, совершенствование всей системы олимпиад — обсуждались с Андреем Николаевичем и на заседаниях комиссии, и в более тесном кругу (нередко у него дома), вместе с другими многочисленными «школьными» делами: новыми учебниками, интернатом, «Квантом». Его мнение было, конечно, определяющим.

После каждой олимпиады Андрей Николаевич интересовался не только итогами, статистикой результатов по каждой задаче, но и — часто в первую очередь — успехами «своих» интернатцев (между прочим, в московском интернате, в отличие от ленинградского, не было специальных «предолимпийских» тренировок). Если оказывалось много победителей из Ленинграда, он мог и поворчать: «Эти ленинградцы уж слишком болеют за своих учеников... Правильно ли мы делаем, что включаем преподающих в ленинградском интернате математиков в жюри?» — «Ну а как же тогда быть с московским интернатом? — возражаю я. — Ведь преподаватели интерната А. Егоров, Б. Ивлев, А. Земляков и другие — самые опытные...» Приходим к компромиссу: они могут участвовать, но старшими по классам все же должны быть люди «нейтральные» (часто в этой роли выступали М. Серов, Д. Фукс, А. Плоткин, Н. Константинов).

В своих выступлениях перед школьниками и учителями, в статьях, в предисловии к нашему с Андреем Егоровым сборнику олимпиадных задач1) (изданному по инициативе Колмогорова) Андрей Николаевич многократно подчеркивал, что неуспех на олимпиадах никак не должен разочаровывать, что он вовсе не свидетельствует об отсутствии математических способностей. Сам Андрей Николаевич предлагал искать какие-то новые формы олимпиад — например, вместо нескольких совершенно разных искусственных задач (когда при подсчете «суммы баллов» впереди оказываются те, кто способен быстро переключаться и решать все подряд) предложить на выбор несколько тем для исследования. Он был очень доволен подобным экспериментом, впервые осуществленным на Всесоюзной олимпиаде 1971 г. в Риге. (Кстати, одна из исследовательских задач этой олимпиады — о переключательных схемах — была впервые поставлена Андреем Николаевичем на том самом семинаре для первокурсников в 1958 г.; основную конструкцию придумал тогда Юра Офман. А в олимпиадную задачу ее потом превратил другой ученик Колмогорова, Ян Мартынович Барздинь, возглавлявший рижское жюри.) Я не помню, чтобы Андрей Николаевич предлагал подобные задачи непосредственно для олимпиады, однако задачи, которые он придумывал для «Кванта», как правило, как раз составляли тему для небольшого самостоятельного исследования.

Еще одна его любимая идея — прочесть лекцию и на ней предложить серию новых задач для исследования (нечто похожее пытаются теперь делать на летних семинарах международного «Турнира городов», который отделился от Всесоюзной олимпиады в 1980 г.).

1) Васильев Н. Б., Егоров А.А. Сборник подготовительных задач к Всероссийской олимпиаде юных математиков. М.: Учпедгиз, 1963. — Прим. ред.

Конечно, для Андрея Николаевича олимпиады были лишь очень небольшой частью той огромной работы по математическому образованию школьников, которую он задумал и осуществлял. Но в стиле математических занятий самого Андрея Николаевича — с быстротой полного вникания в конкретную задачу, необъяснимым появлением неожиданных красивых идей, легкостью в преодолении технических трудностей, умением переключаться на новые темы, да и в самом его характере, несомненно, была сильна олимпийская, спортивная жилка.

Думаю, все, кто был на Симферопольской олимпиаде 1970 г. (тогда Андрей Николаевич смог приехать в свой любимый Крым, а традиционный в те годы банкет жюри совпал к тому же с его днем рождения), помнят организованный им после олимпиады поход вверх по большому каньону с ночевкой на Ай-Петри: тогда Н. Константинов, опытный турист, спокойно топал по дну, прямо по воде, а Андрей Николаевич легко забрался вверх на гребень и... случайно спустил почти что прямо на бедного Андрея Егорова, карабкавшегося посередине склона, солидный камень. Слава Богу, все кончилось благополучно, — и с несколькими молодыми коллегами, не спешившими уезжать, Андрей Николаевич провел еще несколько дней у моря. Вот это стремление двигаться вперед и вверх — в сопровождении тех своих коллег, кто успевает за ним, — было очень характерно для Андрея Николаевича.

Может быть, спортивное и несколько ревнивое отношение к достижениям «своей» команды — одна из причин того, что Андрей Николаевич так долго пробыл на посту руководителя математической олимпиады. (Конечно, в целом состав актива олимпиады менялся — Андрей Николаевич всегда поддерживал идею включения в жюри молодых математиков, даже студентов, но «основные кадры» стремился сохранить.) Он продолжал быть в этой роли и тогда, когда (начиная с 1976 г.) в ведении нашей комиссии остался лишь небольшой верхушечный островок Всесоюзной олимпиады — математическая олимпиада СССР развалилась на отдельные республиканские на 15 лет раньше самого СССР. Российское же министерство, которое поддерживало яростных оппонентов новых колмогоровских учебников и ориентировалось в основном на математиков из физтеха, организовало в России зональные «выездные» олимпиады. Все это нам не слишком нравилось: школьникам добавилась новая трудная ступенька.

Была еще и внешняя причина, побуждавшая нас по возможности сохранять на нашем островке «основную команду»: это постепенное, начавшееся еще в 60-е годы общее ухудшение обстановки — и в министерском чиновном аппарате, и на мехмате. В конце 70-х ни один из членов нашей комиссии уже не мог быть приглашен, скажем, принимать вступительные экзамены — ведь наши симпатии и друзья были среди

тех, кто анализировал и обличал национальную и кадровую политику нового руководства мехмата и университета. Если раньше было достаточно письма с подписью Колмогорова, чтобы не то что в МГУ, но даже, скажем, в ведомственном НИИ Информэлектро директор командировал своего математика (победителя олимпиады Л. Н. Васерштейна) как члена жюри на заключительный тур, то теперь командировки и на международную олимпиаду, и даже на олимпиады внутри страны уже вполне могли не быть одобрены начальством.

Андрей Николаевич в эти последние, 80-е годы даже стал чаще ездить на олимпиады, стремясь выступить гарантом их прежнего стиля. Он оставался главой олимпиадного движения, даже когда в конце концов и «свое» союзное министерство решило разогнать по крайней мере московскую часть старого жюри — чиновники новой формации уже не могли терпеть подозрительно активных молодых людей, которые никак не хотят послушно исполнять предписанные им правила: то норовят пообщаться со школьниками на каких-то не утвержденных начальством лекциях и кружках, то предлагают никем не санкционированные нововведения, то поют «возьмемся за руки, друзья» на заключительном банкете вместе с местными математиками в Прибалтике или Грузии... Между тем многие члены старой команды теряли прежний интерес к ставшему слишком «профессиональным» олимпиадному математическому спорту, а часть из них уже просто уезжала из страны. К сожалению, слишком рано ушел из жизни один из главных помощников Андрея Николаевича в интернате и на олимпиадах — Владимир Михайлович Алексеев. Другие же ученики Колмогорова не стали тогда его преемниками в олимпиадных делах, хотя в их семинарах (прежде всего И. М. Гельфанда и В. И. Арнольда) первые роли часто играли студенты — бывшие чемпионы олимпиад.

После неоднократных настояний Андрея Николаевича мы с Андреем Егоровым собрали в книжку1) материалы олимпиад (задачи, решения) более чем за 25 лет и в предисловии постарались рассказать о традициях олимпиад и о роли Андрея Николаевича.

Правда, к сожалению, подробных, «живых» записей почти не осталось — историографических навыков у нас нет. Но, как счастливое исключение, сохранились фрагменты высказываний Андрея Николаевича из почти стенографически записанной Алешей Толпыго дискуссии в комиссии после олимпиады в Ташкенте (1978 г.). На этой олимпиаде Колмогорова принимали особенно торжественно: среди его учеников

1) Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад / Под ред. А. П. Савина. М.: Физматлит, 1988. (Серия: Библиотека математического кружка. Вып. 18.) — Прим. ред.

были тогдашние руководители местной академии и даже Верховного Совета республики. Вот эти несколько фрагментов — просто чтобы, так сказать, услышать голос Андрея Николаевича.

О подведении итогов. «Было бы желательно наградить грамотами учителей, воспитанники которых показали лучшие результаты... Если здесь грамоты вручить не сможем, следует выслать их из Москвы и предусмотреть награждения на следующих олимпиадах...»

По поводу специальных команд от школ-интернатов. «Эти четыре школы были открыты постановлением правительства. Но сейчас открыты и другие подобные хорошие школы, и выделять только эти школы вряд ли стоит. С другой стороны, было бы целесообразно вообще вернуться к прежней системе больших олимпиад, куда собирались команды от всех областей. У этой системы был ряд преимуществ, и я готов внести такое предложение в министерство. Тогда интернаты приглашались бы отдельно».

О разборе задач. «Плохо, когда много задач рассказывается подряд — некоторые объяснения были смазаны и не восприняты большинством. Я, когда меня просили разбирать задачи, всегда готовился...» (Это характерное «ворчание» было вызвано вполне конкретным обстоятельством: подряд рассказывались решения десятка задач, и для одной из них, помимо довольно искусственного решения в одну строчку, Толя Кушниренко со свойственной ему обстоятельностью полчаса рассказывал и другое, более естественное, но технически непростое решение.)

Не буду приводить высказывания по более частным поводам. В подобных дискуссиях Андрей Николаевич часто старался выступать как арбитр, но иногда сентенции работниц Минпроса доводили его до «повышенного тона» — это легко представит каждый, кто с ним часто общался.

Сейчас, конечно, нет характерной для 60 — 70-х годов тяги школьников к математике и физике (вызванной, среди прочего, и тем, что эти «точные» науки давали едва ли не единственную в то время возможность интеллектуальной работы «без лжи»). Но мне приятно отметить, что Московская олимпиада в последние годы (начиная с 1993 г., когда она была организована и проведена под руководством Владимира Михайловича Тихомирова) собрала довольно много одаренных и преданных математике людей, которым удалось восстановить до некоторой степени старые традиции. Сейчас в целом ряде российских городов — Санкт-Петербурге, Кирове, Иванове, Нижнем Новгороде и других — также сформировались группы молодых математиков, активно работающих со школьниками. И для руководства этой работой в масштабах всей России очень не хватает какого-то, быть может, коллективного преемника Андрея Николаевича Колмогорова.

Мне хочется подчеркнуть законность и достоинство позиции математико, понимающего место и роль своей науки в развитии естественных наук, техники, да и всей человеческой культуры, но спокойно продолжающего развивать «чистую математику» в соответствии с внутренней логикой ее развития.

А. Н. Колмогоров

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

Три интервью

Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым1)

Мы находимся в старом деревянном доме в Комаровке под Москвой, где Андрей Николаевич обычно проводит конец недели. Светлая, скромно обставленная комната. В одном из углов — старый, но качественный проигрыватель и специальные полки для пластинок. Стены заставлены стеллажами с книгами. В середине комнаты — большой стол с множеством книг, оттисков статей, рукописей, художественных альбомов. Андрей Николаевич сидит у окна за небольшим письменным столом. Рядом с пишущей машинкой и аккуратно сложенными исписанными листами бумаги стоит магнитофон, на который записывается наша беседа. Стенограмма этой беседы и предлагается вашему вниманию.

— Андрей Николаевич, часто приходится слышать о возрастающей специализации науки. В то же время известно, что вы занимались такими далекими друг от друга областями математики, как теория вероятностей и алгебраическая топология, математическая логика и теория динамических систем. В чем, по-вашему, будущее науки — в универсальности или специализации?

— Математика велика. Один человек не в состоянии изучить все ее разветвления. В этом смысле специализация неизбежна. Но в то же время математика — единая наука. Все новые и новые связи возникают между ее разделами, иногда самым непредвиденным образом. Одни разделы служат инструментами для других разделов. Поэтому замыкание математиков в слишком узких пределах должно быть гибельно для нашей науки. Положение облегчается тем, что работа в области математики, в принципе, коллективна. Должно быть некоторое количество математиков, которые понимают взаимные связи между самыми различными областями математики. С другой стороны, можно работать с большим успехом и в какой-нибудь совсем узкой ветви математики.

1) Интервью провел А. Б. Сосинский. Впервые опубликовано в журнале «Квант» (1983, № 4, с. 12-15). — Прим. сост.

Но в этом случае надо еще, хотя бы в общих чертах, понимать связи между своей специальной областью исследования и областями смежными, понимать, что, по существу, научная работа в математике — коллективная работа.

— Что вы можете сказать о соотношении и связях прикладной и чистой математики?

— Прежде всего, нужно заметить, что само различие между прикладной и чистой математикой чрезвычайно условно. Вопросы, которые, казалось бы, принадлежат к чистой математике и не имеют применений, очень часто совершенно неожиданно оказываются важными для разных приложений. С другой стороны, занимаясь прикладной математикой, ученый почти неизбежно наталкивается на смежные вопросы, решающиеся теми же методами, привлекающие его своей логической красотой, но, собственно говоря, непосредственных приложений уже не получающие. Вероятно, в практической работе математика нужно проявлять должную широту. Несомненно, что математики должны — это их долг — заниматься всеми теми вопросами, которые настоятельно навязываются вопросами практики. Если смежные вопросы, пусть сразу применений не имеющие, являются привлекательными хотя бы в силу красоты и естественности возникающих задач, ими, конечно, тоже нужно заниматься.

— Норберт Винер пишет в своей автобиографической книге, что перестал заниматься функциональным анализом, когда почувствовал, что «Колмогоров наступает мне на пятки»1). А как вы относитесь к конкуренции в математике?

— Заявление Винера мне не совсем понятно. В функциональном анализе я сделал немного. Самая интересная моя работа по функциональному анализу называется «Спираль Винера и некоторые другие интересные кривые в гильбертовом пространстве»2).

Что касается конкуренции, то конкуренция может быть дружеской, тогда она мало отличается от сотрудничества. Тесное содружество, когда два математика одновременно и параллельно думают над одной и той же проблемой, порой бывает очень продуктивным. Но при этом иногда бывает и так, что участие одного из сотрудников практически оказывается излишним, и тогда ему разумно без обиды отойти в сторону.

1) Винер П. Я — математик. М.: Наука, 1964. См. также примечание к статье А. Б. Сосинского на с. 160 настоящего сборника. — Прим. ред.

2) См.: Доклады Академии наук СССР. 1940. Т. 26. № 2. С. 115-118. Перепечатано в кн.: Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 274-277; см. также комментарий: Розанов Ю. А. Кривые в гильбертовом пространстве // Там же. С. 392-393. — Прим. ред.

— Всегда ли математика была вашим основным увлечением? Когда вы окончательно выбрали математику как профессию?

— Нет, как это часто бывает, пути моего развития были более извилистыми. С раннего детства было известно, что я умею хорошо считать и что меня интересуют математические задачи арифметического характера; я сравнительно рано познакомился и с началами алгебры. Но все это относится к очень раннему возрасту. Несколько позднее, в средних классах школы, победили уже совсем другие увлечения, в частности историей. Возврат к математике произошел в самых последних классах средней школы. Когда я кончил среднюю школу, то долго колебался в выборе дальнейшего пути. В первые студенческие годы, кроме математики, я занимался самым серьезным образом в семинаре по древнерусской истории профессора С. В. Бахрушина. Не бросал мысль о технической карьере: почему-то меня увлекала металлургия, и параллельно с университетом я поступил на металлургическое отделение Химико-технологического института имени Д. И. Менделеева и некоторое время там проучился. Окончательный выбор математики как профессии, собственно говоря, произошел, когда я начал получать первые самостоятельные научные результаты, то есть лет с восемнадцати-девятнадцати.

— Когда обычно проявляются способности к математике? Всегда ли, как у вас, в раннем возрасте?

— Я довольно много преподавал в средней школе. У меня сложилось такое впечатление, что интерес к математике в средних классах, в возрасте двенадцати-тринадцати лет, часто оказывается временным и совсем проходит к старшим классам. Особенно часто это бывает у девочек. С теми школьниками, которые увлечены математикой в возрасте 13 —14 —15 лет, по-моему, стоит работать. При умелом культивировании их способности постепенно развиваются и, как правило, уже не теряются. Бывает, конечно, и очень много исключений. Разумеется, серьезный интерес к математике может проявиться и позже.

— Какие математики старшего поколения оказали на вас наибольшее влияние?

— В студенческие годы я был учеником Николая Николаевича Лузина. Кроме него, большое влияние оказали на меня Вячеслав Васильевич Степанов, Александр Яковлевич Хинчин, Павел Сергеевич Александров и другие математики их поколения.

— Что вам хотелось бы сказать о своих учениках и кого из них вы хотели бы упомянуть?

— Мне повезло на талантливых учеников. Многие из них, начав работу вместе со мной в какой-нибудь области, потом переходили на

новую тематику и уже совершенно независимо от меня получали замечательные результаты. Выделить из них наиболее заслуживающих упоминания было бы трудно.

Скажу только в виде шутки, что в настоящее время один из моих учеников управляет земной атмосферой, а другой — океанами1).

— Андрей Николаевич, каков ваш режим дня?

— Естественно, в течение моей достаточно длинной жизни режим дня в разные ее периоды был различным. Опишу, пожалуй, только тот режим дня, который мы с Павлом Сергеевичем Александровым установили для себя на те 3 — 4 дня в неделю, которые мы проводили за городом, под Москвой, в деревне Комаровке.

День начинался в 7 часов утра. Первый час был посвящен гимнастике, пробежке. В 8 часов мы завтракали и принимались за работу за столом — с пишущей машинкой или без нее. В час или два часа дня был полдник, состоящий из молока или кефира с хлебом. После полдника мы еще немного работали, но обычно отправлялись на большую прогулку пешком или — зимой — на лыжах, до 4 часов дня. Потом на полчаса мы укладывались спать. В 5 часов был обед. После обеда мы иногда еще занимались работой, обычно второстепенной — переписывание или тому подобное. Вечер посвящался чтению, музыке, приему гостей. Перед сном мы любили еще делать небольшую прогулку. Укладывались спать около 10 часов.

Но, конечно, когда работаешь и начинает получаться решение какой-либо важной проблемы, все отступает на задний план, никакого распорядка дня уже не бывает.

— Вы, как и многие математики, любите серьезную музыку. Расскажите почему.

— Ваше замечание о многих математиках, увлекающихся серьезной музыкой, мне кажется правильным. Если прийти в концертный зал, особенно в Малый зал Московской консерватории, то вы там увидите непропорционально много математиков. По-видимому, между математическим творчеством и настоящим интересом к музыке имеются какие-то глубокие связи. Но выяснить и объяснить эти связи мне представляется довольно трудным. Замечу, впрочем, что мой друг Павел Сергеевич Александров рассказывал, что у него каждое направление математической мысли, тема для творческих размышлений связывались с тем или иным конкретным музыкальным произведением.

1) Речь идет об академике А. М. Обухове, директоре Института физики атмосферы АН СССР, и о члене-корреспонденте А. С. Монине, директоре Института океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР. — Прим. ред.

Среди любимых композиторов назову в первую очередь Моцарта, Шумана, ну и, конечно, величайших музыкантов — Баха, Бетховена.

— Лингвисты и литературоведы обратили внимание на ваши публикации по стиховедению. Что вы можете сказать об этом — менее обычном — сочетании: математика и поэзия?

— Мне хотелось бы разделить этот вопрос на два, так как мое увлечение поэзией имеет такой же непроизвольный, стихийный характер, как и у людей, не занимающихся теоретическим исследованием стиха. Любимые мои поэты — это Тютчев, Пушкин, Блок. Что же касается моих научных работ по метрике и ритмике русского стиха, то они действительно обратили на себя внимание специалистов-литературоведов, но все-таки это довольно специальная область исследования, интересоваться которой совершенно не обязательно всякому.

— Занимаетесь ли вы спортом? Каким?

— Состязательным спортом я никогда не занимался. Если не ошибаюсь, я только три раза в жизни участвовал в гонке на 10 км на лыжах.

Но я всегда очень любил большие прогулки пешком и на лыжах, совершал длинные путешествия на байдарке или на лодке. Очень люблю плавание, походы в горах. Во всех этих занятиях я ценю не только их пользу для здоровья, но ту радость общения с природой, которую они приносят.

Всегда любил купание в морском прибое. В солнечные мартовские дни люблю делать большие лыжные пробеги в одних шортах. Во время таких мартовских лыжных пробегов люблю выкупаться посреди сияющих на солнце сугробов в только что вскрывшейся ото льда речке. Впрочем, я не советую обязательно подражать мне во всем этом — можно просто записаться в какую-нибудь привлекающую вас спортивную секцию.

— Андрей Николаевич, что бы вы хотели пожелать нашим читателям?

— Я сам являюсь ученым, и, конечно, в первую очередь я желаю нашим читателям внести тот или иной вклад в науку, большой или хотя бы маленький. Замечу, впрочем, что в случае если все наши читатели принялись бы писать самостоятельные научные работы, то научные журналы не выдержали бы такого натиска. Поэтому я выскажу и более скромное пожелание — чтобы школьное увлечение математикой пригодилось вам и в дальнейшей жизни. В «Кванте» мы как раз стараемся вам показать (может быть, и недостаточно), как разнообразны приложения математической науки.

Ученик об учителе1)

— Андрей Николаевич, что вы знали о Н. Н. Лузине до того, как впервые увидели его?

— Когда осенью 1920 года я поступил на первый курс математического отделения физико-математического факультета Московского университета, имя Николая Николаевича Лузина и как ученого, и как лектора было очень популярно среди студентов. Я сразу же стал слушать его лекции по теории функций комплексного переменного; параллельно Болеслав Корнелиевич Млодзеевский читал курс ТФКП в более традиционном жанре. Мы, студенты, живо обсуждали различия в стиле изложения этих двух курсов. Помню, что одновременно Н. Н. Лузин читал курс линейной алгебры, но я его не слушал.

— Был ли курс ТФКП обязательным? Должны ли вы были его слушать?

— Студенты тогда почти ничего не были должны в современном понимании слова «должны». Посещение было вольное. Нужно было лишь сдавать экзамены. Список экзаменов, которые требовалось сдать, чтобы перейти на второй курс, был очень небольшим. Я сдал все эти экзамены в начале первого курса, чтобы получить студенческий паек (пуд печеного хлеба и килограмм масла в месяц; этот паек прибавлялся к обычной карточке), и потом уже до начала пятого курса почти ничего не сдавал (но за студенческое время написал пятнадцать научных работ и с чрезвычайным увлечением преподавал в школе, так что на экзамены оставалось мало времени). Вообще, с современной точки зрения, был довольно большой хаос. Что же касается лекций по ТФКП, то они предназначались для второго курса.

— Когда и каким образом состоялось ваше личное знакомство с Н. Н. Лузиным?

— Знакомство состоялось, когда я был студентом второго курса. На этом курсе я начал заниматься в семинаре В. В. Степанова. Рабо-

1) Интервью с академиком А. Н. Колмогоровым 8 июня 1983 г. в связи со столетием со дня рождения академика Н. Н. Лузина. Интервью взял В. А. Успенский. Впервые опубликовано 7 сентября 1983 г. в газете «Путь в науку» (орган Кемеровского университета). —Прим. сост.

тал в этом семинаре, я решил задачу, которой интересовался Н. Н. Лузин. Возможно, что и сама эта задача была им поставлена. Во всяком случае, именно со ссылкой на Н. Н. Лузина формулировка задачи обсуждалась на семинаре Вячеслава Васильевича Степанова. Речь шла о построении ряда Фурье со сколь угодно медленно стремящимися к нулю коэффициентами. Мне удалось решить эту задачу (это была моя первая самостоятельная работа). Когда об этом рассказали Н. Н. Лузину, он обратился ко мне (помню, это было на университетской лестнице) и предложил регулярно приходить к нему на занятия.

— В чем состояли эти занятия с Н. Н. Лузиным?

— Каждый ученик приходил к Николаю Николаевичу Лузину в его арбатскую квартиру раз в неделю вечером — в постоянно выделенный для него день недели. Мой день был общий с Петром Сергеевичем Новиковым, Людмилой Всеволодовной Келдыш, Игорем Николаевичем Хлодовским. Занятие состояло в беседе Н. Н. Лузина с нами четырьмя на научные темы. Интенсивная работа с учениками была одним из тех новшеств, которые культивировал Николай Николаевич.

— Какое влияние оказали на вас эти занятия?

— Все мои первые работы были посвящены темам, развивавшимся Николаем Николаевичем: тригонометрическим рядам, теории интегрирования, дескриптивной теории множеств и функций. Возможность общаться с Н. Н. Лузиным, рассказывать ему еще не полностью завершенные результаты была очень важна. Надо, правда, признаться, что дескриптивной теорией множеств и функций я занимался вопреки желанию Николая Николаевича. Николай Николаевич всех своих учеников делил на тех, кто должен заниматься метрикой (т. е. тригонометрическими рядами, теорией интегрирования) и дескрипцией. Мне назначена была метрика.

— Каково было влияние Н. Н. Лузина на ваши последующие работы?

— В 1925 году я окончил Московский университет как студент и поступил в университетскую аспирантуру. Моим руководителем в аспирантуре был по-прежнему Н. Н. Лузин. (Напомню, что пребывание в аспирантуре не завершалось тогда диссертацией, как сейчас: ведь ученые степени были введены лишь в 1934 году.)

Еще в 1924 году я начал интересоваться теорией вероятностей. Моя первая работа в этой области относится к тому же 1924 году. Она была выполнена совместно с Александром Яковлевичем Хинчиным (также учеником Н. Н.Лузина). Все мои занятия по теории вероятностей совместно с А. Я. Хинчиным, весь вообще первый период занятий этой теорией отмечен тем, что мы применяли методы, разработанные в метрической теории функций. Такие темы, как условия для применимости

закона больших чисел, условие сходимости ряда [из] независимых случайных величин, велись, по существу, методами, выкованными в общей теории тригонометрических рядов, то есть методами, разрабатывавшимися Н. Н. Лузиным и его учениками.

— Как вы оцениваете роль Н. Н. Лузина в развитии математических знаний?

— Н. Н. Лузин вошел в математику как автор первоклассных работ в метрической и дескриптивной теории функций, дескриптивной теории множеств. Для Москвы, для Московской математической школы важное значение имел новый подход к работе с молодежью. Существенным в этом подходе было вполне индивидуальное личное руководство, а также умение придавать избранной тематике особенную значимость.

Н. Н. Лузин настойчиво внедрял следующий метод работы (он и сам работал таким образом, и приучал к этому своих учеников): берясь за какую-либо проблему, надлежит смотреть на нее с различных точек зрения. Надо пытаться доказывать гипотезу и одновременно опровергать ее. Если доказательство не выходит, надо переходить к опровержению гипотезы, к построению противоречащего примера. Если не получается построение, надо снова вернуться к доказательству. И пока не получится результат, нельзя покидать данную область.

В теории функций действительного переменного такая установка двойного видения (поиск доказательства — поиск опровержения), такой подход к делу естественно привел к культивированию чрезвычайно высокой техники построения примеров (или, как теперь принято говорить, контрпримеров). В этом направлении школа Н. Н. Лузина двадцатых годов была им поставлена на уровень, превосходящий все другие научные центры мира. Число тонких примеров, построенных в школе Н. Н. Лузина, очень велико. Из того, что сейчас приходит мне на память, назову нуль-ряд Д. Е. Меньшова и построенное М. А. Лаврентьевым обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с непрерывной правой частью, для которого единственность нарушается в каждой точке.

Последнее интервью1)

Вместо предисловия

Может быть, то, что вы прочитаете ниже, правильнее было бы назвать беседой. Андрей Николаевич Колмогоров не любил интервью и очень редко соглашался на них. Возможно, те два, что также печатаются в этой книге (данные В. А. Успенскому в связи с юбилеем Н. Н. Лузина и А. Б. Сосинскому для журнала «Квант»), являются единственными за всю долгую научную и общественную жизнь А. Н. Колмогорова. Тем более удивительно, что Андрей Николаевич согласился на долгие и трудные для него часы бесед с малознакомым человеком — режиссером-документалистом А. Н. Марутяном.

К сожалению, точная дата этих бесед (как и многое-многое другое, касающееся этой великой жизни) оказалась утраченной: никто не записал и не может вспомнить. Ясно только, что это происходило в период подготовки А. Н. Марутяном фильма об Андрее Николаевиче, задуманного в связи с его 80-летием, — предположительно, осенью 1983 г. Сам фильм «Рассказы о Колмогорове» был выпущен студией «Центрнаучфильм», по-видимому, где-то в первой половине 1984 г.; по телевидению он был показан — скорее всего, впервые — 17 апреля 1988 г., т. е. накануне 85-летия А. Н. Колмогорова, первого его дня рождения уже без него2).

2 июня 1984 г., еще до выхода фильма, состоялся просмотр в небольшом зале на восьмом этаже Главного здания МГУ. Были там ближайшие ученики Колмогорова — участники съемок — и еще несколько самых близких людей. Пришли и Андрей Николаевич с Анной Дмитриевной. Трудно сказать, какое впечатление произвел на них этот фильм: сам Андрей Николаевич тогда не сказал ничего. Остальные присутствующие, пожалуй, испытывали общее

1) Беседа А. Н. Колмогорова с А. Н. Марутяном, сценаристом и режиссером документального фильма «Рассказы о Колмогорове» («Центрнаучфильм», 1984 г.). Беседа была записана на магнитофон осенью 1983 г. Полностью текст интервью публикуется впервые. Публикация и предисловие Н. Г. Рычковой; послесловие А. Н. Марутяна. — Прим. сост.

2) С участием Андрея Николаевича было снято еще два фильма. Один из них — под названием «Спрашивайте, мальчики» (1970 г.), об интернате при Московском университете, — сохранился, там можно услышать живую речь Андрея Николаевича. Другой, телевизионный фильм (по свидетельству многих, замечательный), снятый в московской квартире Андрея Николаевича, разыскать пока не удалось. По-видимому, он был смыт после первого показа. Андрей Николаевич давал также интервью для японского телевидения, но было ли оно показано, сохранилось ли — неизвестно. — Прим. ред.

чувство какой-то подавленности, вызванное тем, что в фильме слова Колмогорова читал от его лица другой человек, актер. На речь Андрея Николаевича — живую, насыщенную, с яркими ударениями на весомых словах и, наоборот, «сглатываниями» малосущественного, пересыпанную многими привычными вводными словечками и такую ясную и напористую по мысли, — этот спокойный, интеллигентно шелестящий голос был, однако, совсем не похож...

Остались магнитофонные кассеты, записанные А. Н. Марутяном. Теперь уже, готовя эту книгу, их тщательно расшифровали, записали на бумаге, и оказалось, что в фильм вошли малые крохи этого длинного разговора 80-летнего Андрея Николаевича (особенно длинного из-за огромных трудностей, с которыми давалось ему каждое слово, — тем более удивительна его готовность продолжать и постоянно ощущаемая задушевность всего тона беседы). Более того, тексты из этого интервью, использованные в фильме «Рассказы о Колмогорове», претерпели ряд изменений — редакционных, сделанных режиссером при отборе материалов для фильма, и иногда даже смысловых, в результате неадекватного озвучивания.

Так возникла идея опубликования полного текста этих бесед. Мы благодарны Александру Николаевичу Марутяну за его согласие на эту публикацию и за предоставленные (даже подаренные В. М. Тихомирову) кассеты. Теперь все, кто знал и любил Андрея Николаевича, жил и работал рядом с ним, могут снова встретиться с его живой и ясной мыслью, своеобычной речью, ощутить необыкновенную энергию его замыслов.

Отдельно нужно сказать о самих публикуемых текстах. Кассеты, к сожалению, оказались во многих местах повреждены, и отдельные слова, а иногда и целые фразы и даже куски оказалось невозможным восстановить. Везде в таких местах стоит пометка «стерто». Отмечены также паузы, которые нередко «звучали» в этой беседе и которые, конечно же, очень важны. Мы позволили себе внести и другие «сценарные» ремарки, вроде «смеется», «посмеивается» и т. п., также из желания приблизить читателя к истинному характеру этой беседы. Есть и другие места, в которых Андрей Николаевич реагирует живо, а иногда и резко на какие-то пассажи, с которыми он явно не согласен, — многое можно будет уловить по таким пометкам. И, наконец, мы даже позволили себе во многих местах выделить на печати курсивом слова, на которые Андрей Николаевич сделал особое смысловое ударение. Кто слышал живого Андрея Николаевича, думаем, сразу узнает его манеру излагать свои мысли; кому не довелось — может быть, сможет вернее понять его.

Вопросы А. Н. Марутяна несколько отредактированы и чуть-чуть сокращены; в некоторых случаях вопросы «восстанавливаются» по смыслу или по фонограмме фильма. Ответы А. Н. Колмогорова печатаются практически дословно. Возникающие иногда видимые несогласования почти всегда имеют причиной дефекты записи. Там, где пленка сохранилась, тексты Андрея Николаевича грамматически безупречны — нам осталось только убрать вынужденные многократные повторы, вызванные затрудненностью речи. Иногда «достраиваются» по смыслу слова, которые все-таки не удалось разобрать на слух, — эти слова печатаются в квадратных скобках.

Н. Г. Рычкова

Беседа с А. Н. Колмогоровым

Начало стерто.

К. Понимаете, я окончательно решил выбрать научную работу в области математики в качестве своей основной деятельности довольно поздно. Собственно, тогда, когда у меня уже появились собственные работы. Ведь тогда уже логичность такого пути достаточно ясна: раз дело нужное, у меня оно идет лучше, чем у других, — надо им заниматься. Собственно говоря, именно так было. (Пауза.)

Я уже как-то вам говорил, что до этого времени я искал для себя несколько различных путей. И в частности, меня чрезвычайно занимала перспектива деятельности в области педагогики. Я учился в такой совершенно необычной школе, созданной двумя женщинами-энтузиастками — это Репман и Федорова. И одна из идей, которые постоянно носились передо мной, — это сосредоточиться на деятельности руководства идеальной, в каком-то смысле, школой. Вот это нашло небольшое осуществление в этом самом интернате1). Был довольно длинный период, когда наиболее увлекавшей меня перспективой было, если говорить официальным языком, положение директора школы — так сказать, не специально математической. В значительной мере — под влиянием этого собственного опыта ученика в такой гимназии. Гимназия Репман была же такой частной школой, учрежденной группой московской интеллигенции для своих собственных детей. (Пауза.)

А математиком я сделался окончательно только тогда, когда убедился в том, что дело это у меня идет хорошо, а совершенно неизвестно, какое-нибудь другое дело пошло бы или нет.

М. (улыбаясь). Вы не рискнули, значит, испытывать себя в качестве директора школы, да?

К. Да. Но я был секретарем школьного совета два с половиной года. В Потылихе. Помните, был же такой эпизод в моей биографии — Потылихинская школа?2)

1) Специализированная школа-интернат № 18 физико-математического профиля при МГУ была открыта 2 декабря 1963 г. В 1989 г. интернату было присвоено имя А. Н. Колмогорова. Подробнее об интернате и роли Андрея Николаевича в его создании и работе см. в настоящем сборнике статьи А. М. Абрамова (с. 99-147) и А. А. Егорова (с. 162-166). — Прим. ред.

2) А. Н. Колмогоров работал в Потылихинской опытно-показательной школе Наркомпроса РСФСР преподавателем математики и физики в 1922 —1925 гг., параллельно с учебой в Московском университете. Этот «эпизод в биографии» оставил неизгладимый след в душе Андрея Николаевича; избрание секретарем школьного совета составляло предмет его особой гордости. Ср. ниже с. 196; см. также: В. М. Тихомиров. Слово об учителе // Колмогоров в воспоминаниях. М.: Наука, 1993. С. 220-279. — Прим. ред.

М. Андрей Николаевич, а вот эта школа Потылихинская — в то время ведь всё экспериментировали... Там вы тоже были подвержены всем этим экспериментам?

К. Я был не подвержен, а активно проводил их, [например] дальтон-план так называемый...1) И я до сих пор продолжаю считать, что в нем было очень много хорошего. Это такая организация, что преподаватель каждого учебного предмета, например математики, которой обычно в школе занимаются, скажем, 5 часов [в неделю] и занятия идут со всем классом, когда преподаватель должен сам все время рассказывать, увлекать своими рассказами, какими-нибудь демонстрациями, — вот таких занятий преподаватель имел всего один час в неделю. А вся остальная деятельность учеников регламентировалась такой карточкой месячного задания: посмотреть в такой-то книжке, прочесть то-то, решать такие-то задачи, попробовать найти какую-нибудь зависимость, изобразить ее графически... Так что каждый школьник большую часть школьного времени проводил за своим столиком, шел в подручные библиотечки вынуть нужную книжку, что-нибудь писал. А преподаватель сидел в уголку, [читал,] и школьники подходили по очереди, показывали, что они сделали. За месяц — ну, скажем, по математике — таких обращений к учителю получалось несколько десятков. В карточке появлялись такие галочки, что такая-то часть задания выполнена, такая-то выполнена. (Пауза.)

В школе-интернате кое-что родственное можно найти, но организация была уже другая. В школе-интернате у нас имеется три потока учащихся: девятые классы, десятые и одногодичные десятые, куда поступает довольно много ребят после побед на олимпиадах всяких, на один год всего. Каждый такой поток состоит примерно из сотни или немножко больше учащихся, значит, из 4 — 5 классов, — на классы они формально все ж таки делятся, по 30 человек в классе, как и полагается в спецшколах советских. И если математика в первом семестре занимает 11 часов [в неделю], скажем, то распределяются они так: 2 часа — лекция для всего потока, причем довольно существенно, что не одна двухчасовая лекция, а две одночасовые, которые... (Неразборчиво.)

1) Дальтон-план — система организации учебно-воспитательной работы, основанная на принципе индивидуального обучения; получила название от г. Дол тон (Dalton), США, где она впервые была применена в начале XX в. Дальтон-план предусматривал отказ от классно-урочной системы занятий; учащимся предоставлялась свобода в выборе занятий и использовании своего учебного времени; учитель, по существу, играл роль советчика, консультанта. Особое внимание уделялось контролю за работой учащихся, в частности при помощи специальных учетных карточек. В 20-х гг. эта система проникла частично в советскую школу в форме так называемого бригадно-лабораторного метода. — Прим. ред.

М. А как удалось создать такую школу в наше время, Андрей Николаевич?

К. (стерто). Просто вышло постановление Совета Министров об устройстве при [некоторых] университетах таких физико-математических школ. На основании этого постановления — 62-го, кажется, года — мы до сих пор существуем, эти школы: Новосибирская, Московская, Киевская, [Ленинградская].

М. Андрей Николаевич, а что вам ближе: обучение вот такое «келейное», когда аспиранты приезжали к вам и вы с ними вместе входили в решение каких-то задач, или обучение лекционного типа?

К. Некоторые лекции в университете я тоже с увлечением читал. Основные же формы здесь, во-первых, лекции все-таки (и, как видите, в моем понимании дальтон-план 20-х годов все-таки включал в себя и работу с целым классом). Но в вузе я никаких оригинальных подходов к планировке времени не предпринимал, следовал тому, что у нас полагается.

Все мои годы активной работы в университете обычно складывались так: скажем, 2 часа в неделю какой-нибудь обязательный курс — я перечитал все-таки очень много разных обязательных курсов: «Теория функций действительного переменного», «Функциональный анализ», «Дифференциальные уравнения», «Теория вероятностей»... Это для наших профессоров довольно обычное распределение энергии: один обязательный курс, один специальный курс о новейших работах с участием и своих собственных, но все-таки лекционный курс, — вторые 2 часа. А потом один или два семинара, куда приходит человек 10, скажем, делают поочередно доклады. Руководитель, конечно, рассказывает несколько больше других. И потом уже в этих семинарах выделяются те участники, с которыми начинается строго индивидуальная работа.

М. Андрей Николаевич, для вас ведь лекции — это, в общем-то, повторение пройденного, давно известного. Не мешали они вам в какой-то мере, не отвлекали от своей работы?

К. Нет, я не думаю.

М. А когда вы работали с аспирантами, со студентами, насколько эта работа была для вас творческой? Решали ли вы при этом и какие-то собственные задачи или это была, так сказать, просто помощь этим людям?

К. Ну видите ли, даже в тех случаях, когда семинар элементарный — скажем, для первокурсников — и когда даются задачи, решение которых руководителю уже известно, все-таки надо стараться, именно стараться, в какой-то мере стать на тот же уровень, на котором находится обучаемый.

М. Андрей Николаевич, у вас за вашу жизнь было много учеников. Я вот видел лузинское дерево1), так от той ветви, которая относилась к вам, шло огромное количество «веточек». Довольны ли вы своими учениками? Что они дали вам в жизни? Может быть, эмоциональные даже ощущения... Какое место они занимают в вашей жизни?

К. Большое очень, конечно. Что касается места в жизни, эмоциональной какой-то стороны — совершенно не равное. Одни мне очень близки просто как люди... (После долгой паузы.) Боюсь, что это у нас не очень с вами идет...

Пауза.

М. (стерто; вопрос печатается по фонограмме фильма). Как вы работаете, Андрей Николаевич?

К. Настоящая уже научная работа? Обычно дело идет так, что вы читаете книжки, подготавливаете свои собственные лекции с какими-то новыми вариантами, и вдруг на почве этой повседневной работы является какая-нибудь неожиданная идея: а вдруг на самом деле можно в такой-то задаче сделать все не так, как до сих пор делали? Еще смутно виднеется какой-то совершенно другой путь. Тогда математику, как и всякому, вероятно, ученому, чрезвычайно существенно забросить все остальное и просто думать, думать без конца в одном, только что возникшем направлении. На счастье, у меня обычно такая возможность бывала.

Есть такой математик — вы, наверное, знаете, — Борис Николаевич Делоне. Вы, конечно, слыхали много о нем2). М. Да-да-да.

К. Он в своих выступлениях перед школьниками, когда его спрашивали, в чем существо творческой работы ученого, отвечал так: «Вот вас собрали на олимпиаду. Вам дано четыре часа на решение 5 задач (как на олимпиадах делается). И вы тратите на каждую задачу примерно по часу. А представьте себе такую задачу, на решение которой у вас потребуется не 1 час, а, скажем, 5000 часов непрерывного размышления! Тогда вы и получите некоторое представление о том, что делает настоящий ученый». Но, по-моему, все-таки Борис Николаевич тут сильно преувеличивал. Во всяком случае, мне во всей истории моих научных

1) Имеется в виду схема, изготовленная в 1983 г. к 100-летнему юбилею Н. Н. Лузина, изображающая в виде дерева Московскую лузинскую школу — «Лузитанию». — Прим. ред.

2) Борис Николаевич Делоне (1890-1980) — замечательный советский математик, геометр, человек разносторонних увлечении, яркий и интересный собеседник. Фраза «вы, конечно, слыхали много о нем» характерна для Андрея Николаевича: он всегда предполагал в собеседнике высочайший уровень осведомленности. — Прим. ред.

открытий так уж самозабвенно, отключившись от всего другого, приходилось иногда работать неделю, иногда, может быть, две недели, но не больше1).

М. Андрей Николаевич, а как перед вами вставала задача, занимавшая ваше воображение? Искали вы ее сами или она возникала неожиданно?

К. По-разному.

М. А вы никогда при решении задачи не думали о том, насколько она значительна? Не задавались какими-то глобальными целями?

К. Нет, в общей планировке всей своей работы, выборе просто чтения книжек новых, которые нужно читать, при просмотре научных журналов, выделении тех работ, которые нужно подробнее изучить, — конечно, такой рациональный элемент тоже присутствует. Должен присутствовать. Но, с другой стороны, такой спонтанно возникший интерес к какой-нибудь гипотезе, только что пришедшей в голову, конечно, тоже часто бывает существенным.

М. Я у кого-то прочитал, что для того, чтобы решить задачу, нужно знать конечный результат, что-то в этом духе. То есть я хочу спросить о соотношении интуитивного и рационального. Интуиция играла роль в ваших размышлениях, рассуждениях, работе и в какой мере?

К. Конечно, очень большую. Для математика это совсем уж обычно.

М. Андрей Николаевич, а что вы думаете о пользе или, наоборот, о том неудобстве, которое связано с огромным количеством специализаций, существующих в современной науке вообще и в математике в частности?

К. Наша наука находится в довольно критическом положении. Я-то все-таки принадлежу к ученым старого типа, но возможно, что будут найдены какие-то новые пути для коллективной работы, с умением какую-нибудь проблему делить на части, выполнять ее по кусочкам. Но для математики это остается еще... (Стерто.) Потому что количество математиков очень быстро растет, появляется все больше и больше параллельных работ.

Пауза.

М. А не лишает ли такое коллективное творчество радости творчества собственного?

1) Слова Б. Н. Делоне о «5000 часов» глубоко задели Андрея Николаевича. Он много раз и в разговорах, и в печати обсуждал эту тему. При этом он всегда подчеркивал, что его творчество устроено по-другому. Андрей Николаевич принадлежал к редкому типу ученых, которым удавалось на сравнительно коротком отрезке времени аккумулировать огромную энергию и преодолевать очень большие трудности. — Прим. ред.

К. Нет, не думаю. Во всяком случае, было бы очень хорошо, так сказать... Из моих учеников, между прочим, такими мастерами организации коллективной работы, с умением делить область исследования на кусочки, в постоянном контакте преодолевать трудности, так сказать, по кусочкам, по частям, раздавая эту работу ближайшим сотрудникам, — очень большим мастерством обладал Израиль Моисеевич Гельфанд, а в настоящее время — Владимир Игоревич Арнольд1).

М. То есть вы хотите сказать, что в такой коллективной работе все-таки необходимо иметь какое-то количество людей, которые, так сказать, парят над общими проблемами?

К. Нет, я хотел просто среди близких мне людей, моих учеников, указать тех, которые оказались удачными мастерами такой организации коллективной работы — это вот я назвал Израиля Моисеевича Гельфанда и Владимира Игоревича Арнольда, у которого сейчас активно работающих вместе с ним учеников, вероятно, больше всего. С ним вы имели какой-нибудь контакт?

М. Да, конечно. Андрей Николаевич, в одном из ваших интервью или, может быть, в статье я встретил такое ваше высказывание, что иногда математик, уходя в чужую задачу, чужую для себя область, находит что-то необычайно привлекательное.

К. Да-да.

М. Но ведь для того чтобы уходить куда-то, так сказать, в сторону, надо эту сторону все-таки знать! Наверное, раньше это было легче сделать? Или и сейчас такое возможно?

К. Да, я думаю.

М. А вам самому такая коллективная работа удавалась или вы предпочитаете все-таки «стиль одиночки»?

К. Пожалуй, вернее всего будет сказать так, что организация сколько-нибудь больших коллективов, пожалуй, по сравнению с вышеназванными мне меньше удавалась. Но вот я сейчас стараюсь вспомнить отдельные работы, мной выполнявшиеся... Пожалуй, надо сказать, что,

1) Здесь обозначена очень интересная тема — о стиле работы математика. Стиль Андрея Николаевича был индивидуалистическим («старого типа», как он сам сказал об этом). Из 126 работ, включенных им в собрание своих сочинений, совместных — 20. Десять соавторов — ученики Андрея Николаевича, бывшие в пору написания статей, как правило, аспирантами. Имеется несколько совместных докладов с четко обозначенными разделами, написанными каждым из соавторов. Собственно, совместная работа, когда вклад соавторов невозможно разделить, среди всех работ Андрея Николаевича с соавторами, по-моему, только одна — с Г. А. Селиверстовым. Периодов сотрудничества, направленных на создание научного направления, новой научной теории или доказательства какого-либо результата, у Андрея Николаевича не было (в отличие, скажем, от Харди и Литтлвуда, Полиа и Сеге или Гельфанда со многими и многими математиками). — Прим. ред.

кроме чисто индивидуальной работы, мне в наибольшей степени удавалась работа вдвоем. Причем таким «напарником» в одном случае был Павел Сергеевич Александров: есть такал небольшая область топологии, где мы строго совместно работали. С Борисом Владимировичем Гнеденко... с разными людьми.

М. А вот вы в своей жизни — простите, что я вас об этом спрашиваю...

К. Нет, пожалуйста!

М. (продолжает). В вас когда-нибудь рождалось чувство ревности по поводу того, что кто-то сумел не то что вас опередить, а сделать то, чем вы занимаетесь, красиво?.. Приходилось ли вам испытывать эти чувства?

К. Нет.

М. А вот почему? Потому что вы не видели соперника или вы просто были лишены этого комплекса?

К. Вероятно, именно второе. Что же, проблема решена — это хорошо и приятно знать. Я понимаю, что вот то, что я говорю, — получается, так сказать, такал прописная мораль. Но я думаю, проверяя себя, что действительно таких случаев со мной не было; что, узнавал, что что-нибудь, чем я занимался, уже сделано, я чувствовал некоторое облегчение: слава Богу, что сделали... Это не самохвальство.

М. (стерто; вопрос печатается по фонограмме фильма). Андрей Николаевич, а как вы относитесь к тому, что большинство людей не понимает сущности предмета, которым вы занимаетесь всю жизнь?

К. Спокойно отношусь. (Неразборчиво.)

М. Андрей Николаевич, когда-то были времена — скажем, Архимеда или даже Ньютона, — когда изучение окружающего мира находилось в сфере доступности просто для образованного человека.

К. Ну, это верно, конечно.

М. Сейчас, увы, это уже не так. Потому что в силу своего образования можно что-то понимать, и то очень немного, лишь в какой-то одной теоретической области. Как вы считаете, такое положение — естественный результат развития человеческого общества или это этап, через который мы пройдем и, может быть, снова вернемся к какому-то общему пониманию?

К. Вы знаете книжку Шкловского «Вселенная, жизнь, разум»1)?

М. Да, знаю.

К. Там он определенно говорит, что развитие каждой культуры, если оно не будет остановлено какими-то такими катастрофическими

1) Шкловский И. С. Вселенная, жизнь, разум. М.: Изд-во АН СССР, 1962; и последующие издания. — Прим. ред.

событиями — ну, все мы понимаем, что может произойти с человечеством сейчас, — так, по Шкловскому, если никаких таких катастрофических причин уничтожения цивилизации не оказалось, то цивилизация заканчивается таким этапом потери интереса к технике, — вы помните у него? Вероятно, это все-таки правильно.

М. А что значит «потеря интереса к технике»? Вы хотите сказать, что человечество начинает заниматься больше какими-то гуманитарными проблемами?

К. Даже не гуманитарными проблемами, а вообще возможен такой возврат к более элементарной и детской радости от жизни. Если, конечно, не произойдет с человечеством такой фундаментальной катастрофы, то останется такая довольно трудно решаемая проблема увеличения численности человечества. Но она, вероятно, все-таки разрешима вполне таким рациональным путем. Я думаю, что такое общество, сохраняющее для своих сочленов достаточно личной свободы, вполне в состоянии будет, вероятно, все-таки решить этот вопрос регуляции своей численности.

(Живо.) А скажите, между прочим, есть такой немецкий писатель Гессе (произносит на немецкий лад: Hesse), вы знаете?

М. Да.

К. У него есть такал замечательная книга... М. «Игра в бисер»?

К. Да, «Das Glasperlenspiel». Вот там как раз и рисуется состояние общества, потерявшего интерес к техническому прогрессу. И достаточно талантливо, по-моему.

М. Да, это сильно показано. Андрей Николаевич, может быть, мы сделаем небольшой перерыв? Вас не утомила еще наша беседа? Как вам удобнее?

К. В каком отношении?

М. То есть мы можем сейчас продолжить, а можем еще немного поговорить потом.

К. А который час?

М. Сейчас 2 часа.

К. Ну, давайте еще поговорим.

М. Тогда вот какой вопрос. Андрей Николаевич, можно ли сказать, что, в принципе, математика — это наиболее «впереди идущая» или «вперед смотрящая» наука?

К. Нет, я думаю, что просто человечеству достижения математики оказываются нужными. А нам, математикам, она доставляет такое внутреннее наслаждение. И, по-моему, самое лучшее решение — это такое мирное сосуществование. У меня был один приятель, такой чистый гуманитарий, который говорил, что, с его точки зрения, математики —

это такие полезные домашние животные (А.Н. Марутян смеется), что надо относиться к ним вот именно с такой утилитарной точки зрения. Для него настоящие культурные ценности были исключительно гуманитарного порядка. Ну а поскольку техника нужна, то, значит, нужна и математика, и нужно ублажать достаточно математиков, давать им жить, пусть себе занимаются... (Стерто.) ...бывают такие случаи.

М. Ну, это вы говорите о тех случаях, когда речь идет о каких-то родственных проникновениях?

К. Нет, не обязательно, почему же?

М. А пример такого дилетантизма вы могли бы вспомнить, который был плодотворен?

Пауза.

К. Вот вы меня и изловили. Нет, не могу. Нет. (А.Н. Марутян смеется.) Но что касается моих работ по стихосложению, то и в самой гуманитарной области это такой закоулочек очень специальный. Но меня там всерьез признают. Я по стиховедению выступал даже как-то оппонентом докторской диссертации Гаспарова, такого филолога. Печатают меня охотно. Жирмунский ценил мои работы, а из зарубежных специалистов — Якобсон. Так что это такое разветвление моей научной работы, находящее в таком довольно узком кругу специалистов полное признание, между прочим, — имейте это в виду.

Пауза.

М. Андрей Николаевич, простите, что я повторяю следующий вопрос: просто я хотел бы записать ваш ответ. Каковы причины, побуждавшие вас так иногда резко устремлять свои интересы в другую область?

К. Нет, я думаю, что вопрос просто не совсем правильно поставлен. Потому что разные области математики, которыми я занимался, как правило, все-таки непосредственно примыкают одна к другой, между ними возможны такие естественные переходы. (Стерто.) Понимаете, в принципе — не с точки зрения того, что я непременно что-нибудь сделаю, а так, из общего любопытства, — все-таки более или менее вся математика меня интересует. И когда слушаешь какие-нибудь научные доклады, читаешь что-нибудь новое, то неизбежно все-таки прикидываешь: а может быть, я могу что-нибудь там сделать?

М. И вот такой вопрос, заранее прошу за него прощения. Вы чувствовали, наверное, что ваши возможности, ну, скажем так, во многом превосходят возможности тех людей, которые работают рядом с вами?

К. Ну, в некоторых случаях так, в некоторых — не так.

М. Ну, вот как вы сами к этому относились?

К. Нет, конечно, это приятно — в тех случаях, когда это так.

М. Андрей Николаевич, а сталкивались ли вы с человеческим недоброжелательством, связанным именно с этой вашей способностью что-то делать быстрее, лучше, талантливее?

К. Признаться, как будто бы не встречался.

М. То есть вас признавали изначально, да? Вам так везло или вы чем-то другим это можете объяснить: справедливостью, объективностью?..

К. Математика — вообще довольно объективная наука. Через некоторое время, достаточно скоро, выясняется, что такая-то новая идея далеко, действительно, идет, позволяет какие-то старые проблемы решать... Математика — как раз чрезвычайно приятное поле деятельности именно потому, что настоящее продвижение вперед не теряется, своевременно находит признание в огромном большинстве случаев и в большей степени, чем в каких-либо других областях человеческого творчества.

М. Но вы об этом не думали, когда выбирали математику? К. О том, что это будет более спокойная жизнь? (Смеются.) Нет, не думал.

Стерто.

К. На обратном пути из Рима в Москву1) я попал в один вагон с кардиналом Вышиньским, который возвращался в Ченстохов из Рима. А в одно купе, двухместное, я попал с архиепископом познаньским, с которым несколько часов мы беседовали на немецком языке о христианстве, о таком нерелигиозном гуманизме, о Томасе Манне; мне казалось, что для него, может быть, окажется убедительным... Но сам архиепископ, естественно, отстаивал ту точку зрения, что истинного гуманизма не на религиозной основе не может быть. А я, действительно, как-то втянулся в то, чтобы ему доказывать, что это не так, что вера в бессмертие вовсе не необходима для такой положительной философии человеческой... Мы долго [беседовали], ну просто более или менее всю дорогу от Рима до Ченстохова, где он, не доезжал Варшавы, должен был сойти, сопровождал Вышиньского. В самом конце этой беседы вдруг мой архиепископ вытащил из-под стола магнитофон (А.Н. Марутян смеется) и сказал: «Герр профессор, я надеюсь, что вы ничего не имеете против того, что всю нашу поучительную беседу я записал». (Оба смеются.)

1) Поездка в Рим в мае 1963 г. была сопряжена с вручением А. Н. Колмогорову премии Бальцана (в области математики). Одновременно с А. Н. Колмогоровым Бальцановская премия была присуждена, в частности, папе римскому Иоанну XXIII (премия «За мир и гуманизм»); возможно, этим обстоятельством объясняется пребывание в Риме кардинала Вышиньского и познаньского архиепископа, оказавшихся попутчиками А. Н. Колмогорова на обратном пути. — Прим. ред.

М. Да, служитель был ловкий, прямо скажем.

К. Я сказал, что ничего не имею против, — кажется, ничего такого страшного я [в этой беседе] не сказал... И на этом мы мирно расстались.

Пауза.

М. Андрей Николаевич, а какое место занимала в вашей жизни дружба с Павлом Сергеевичем [Александровым]?

К. Конечно, чрезвычайно большое. Все-таки хотя разница в возрасте между нами семь лет, но когда наша близость началась, в 29-м году, эта разница была еще заметна. В какой-то мере я в этой дружбе находился на положении младшего все-таки, такого постоянно опекаемого самым таким любовным образом. Вы коротенькую заметочку, которую к моему юбилею написал Павел Сергеевич, видели?

М. Да, конечно, читал. И мемуары его читал тоже.

К. Что касается этой коротенькой записки обо мне, она была Павлом Сергеевичем написана примерно даже, по-видимому, меньше чем за год до его смерти. Помните, там сказано об этой дружбе, в которой за все 53 года не было темных сторон, так сказать. Вы потом посмотрите, как это там написано1).

М. Да, это замечательный пример. Андрей Николаевич, а вот скажите... (стерто), а как вы можете ее определить?

К. В основном с начального периода этого остался на всю жизнь все-таки некоторый такой оттенок вполне признававшейся мной привычки обо мне заботиться... (Стерто.) Но я вообще очень любил путешествовать именно вдвоем. Каждый человек в таком доверительном непрерывном общении как-то весь раскрывается. Вот с Димой

1) См.: Александров П. С. Несколько слов об А. Н. Колмогорове // Успехи математических наук. 1983. Т. 38, вып. 4. С. 7-9. В статье, в частности, говорится: «Моя дружба с А. Н. Колмогоровым занимает в моей жизни совершенно исключительное, неповторимое место; эта дружба перешагнула в 1979 г. через свое пятидесятилетие и за весь этот полувековой период не только не дала никакой трещины, но не сопровождалась даже никакой ссорой; не было у нас за все это время и какого бы то ни было взаимного непонимания по вопросам, сколько-нибудь важным для нашей жизни и миросозерцания; даже тогда, когда наши взгляды на какой-нибудь из этих вопросов были различны, мы относились к этим взглядам друг друга с полным пониманием и сочувствием». Этот отрывок цитирует сам Андрей Николаевич в своих «Воспоминаниях о П. С. Александрове» («Успехи математических наук», 1986, т. 41, вып. 6, с. 182-203) и продолжает: «Публикуя сейчас описание нашей с Павлом Сергеевичем жизни в начальный период этой дружбы (1929 —1931), я хочу предварить его признанием, частично повторяющим приведенные выше слова Павла Сергеевича: для меня эти пятьдесят три года нашей тесной и неразрывной дружбы явились основой того, что вся моя жизнь в целом оказалась преисполненной счастья, а основой моего благополучия явилась непрестанная заботливость со стороны Павла Сергеевича». — Прим. ред.

Арнольдом1) мы путешествовали 20 дней, с Игорем Журбенко часто. Игорь Журбенко — он попал в поле вашего внимания?

М. Да, конечно. Я с ним еще не встречался, но это впереди, так сказать... (Стерто.)

К. Тут был все-таки определенный выбор людей, мне и в самом деле близких. Вот Володя Тихомиров к ним принадлежал, Игорь Журбенко, Ильдар Ибрагимов, такой есть у меня друг в Ленинграде.

М. Андрей Николаевич, мне говорили... (стерто), что вы своих учеников, аспирантов вытаскивали на лыжах, гоняли и по воде и по суше... Это вам всегда было свойственно — такое устремление к активной физической деятельности?

К. Нет, как раз в школьные годы я был таким все-таки довольно болезненным ребенком. В школьном дворе во время игр я как-то падал в обморок, и вообще... Потылихинская школа, между прочим, оказала в этом отношении на меня некоторое действие. Молодому учителю очень хотелось быть популярным. Для этого мне не хватало именно физических возможностей. В те времена каждый класс школьников выбирал себе классного руководителя — такой был порядок в школах. Был у меня такой любимый класс, в котором я был совершенно уверен, что они выберут меня своим классным руководителем, был совершенно уверен. И вдруг мне говорят, что они выбрали физкультурника. (А.Н. Марутян смеется.) Потом педагогический совет им объяснил, что физкультурник по положению не может быть классным руководителем. (Смеется.) Тогда они второй раз собрались и уже выбрали меня. (Оба смеются.)

А на меня это произвело чрезвычайное впечатление и чрезвычайно содействовало тому, что я постарался исправиться: побольше ходить на лыжах, плавать научился как следует и так далее.

М. Так что ваша жизнь была такой рациональной, да?

К. (стерто). Во всяком случае, как раз в этот период, в 20-х годах, была рациональной. На старших курсах университета нервная система у меня разладилась. Не помню сейчас медицинских названий и не помню, к какому именно из авторитетных медиков я ходил, — мне было настойчиво рекомендовано оздоровить мой физкультурный режим. И я действительно слушался этих настояний. А вообще-то мне все такие физкультурные радости доставляли просто непосредственное удовольствие. Вы видели мою заметочку в «Кванте», где редактор «Кванта» задает мне вопросы и я отвечаю, или не видели?2)

1) Имеется в виду Владимир Игоревич Арнольд; Димой его называют родные и близкие друзья. — Прим. ред.

2) Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым // Квант. 1983. № 4. С. 12-15; см. также с. 175-179 настоящего сборника. — Прим. ред.

М. Да, я читал.

К. Вот там как раз сказано, что настоящим спортсменом я не был, но что всяческое движение мне доставляло просто физическую радость. Что я любил морское купание в сильный прибой... Там даже подпущена такая поэзия — «плавать в мартовской речке среди сияющих на солнце снежных сугробов».

М. А кто был инициатором зимних купаний, вы или Павел Сергеевич?

К. А мы как раз сошлись, уже имея оба некоторый опыт таких купаний.

М. Андрей Николаевич, вы говорили несколько раз — не знаю, правильно ли я понял, — что разница между чистой и прикладной математикой, в общем-то, достаточно условна. А в обыденном представлении прикладная математика — это, прежде всего, компьютеры, всякого рода вычисления, а чистая математика — это довольно абстрактный полет мысли, не всегда имеющий непосредственные точки приложения в реальном мире. Вы могли бы разъяснить свою точку зрения?

К. (неразборчиво). Основным, собственно говоря, является здесь, что такое «прикладной математик». Никакой отдельной науки «прикладная математика» нет, собственно. А прикладной математик — это математик, который обычную математику умеет применять к решению реальных задач. Так что настоящего прикладного математика интересуют реальные задачи в какой-нибудь смежной области. (Пауза.) Он, собственно, перестает уже при этом быть чистым математиком.

М. То есть все зависит от того, какую задачу он при этом решает?

К. Да, и по существу прикладной математик, когда он решает задачу из гидродинамики, скажем, — вот как я занимался гидродинамикой океана, — то он занимается, собственно, проблемами гидродинамики океана математическими средствами.

М. Андрей Николаевич, тогда еще один вопрос, на ту же тему. Вот существует наука — теоретическая физика. Я знаю, математики всегда очень скептически относятся к физикам-теоретикам, потому что они «грязно» работают математически. Но вот когда вы занимались турбулентностью, в частности, — я обращаюсь к вашему личному опыту, — насколько все-таки велика степень абстрагирования от реальных физических задач?

К. Я бы хотел сначала ответить на ваш намек относительно «грязной» математики. Понимаете, математикам всегда хочется, чтобы математика была как можно более «чистой», то есть строгой, доказательной. Но обычно самые интересные реальные задачи, которые нам ставят, бывают на этом пути недоступны. И тогда очень важно, чтобы математик сам умел находить приближенные, нестрогие, но

эффективно действующие пути решения задач. Во всяком случае, для меня это всегда было так, что если я занимаюсь турбулентностью, то я занимаюсь турбулентностью. Если чисто математическими средствами дело не идет, то я всматриваюсь в экспериментальные материалы, стараюсь угадать в них какие-то закономерности, потом делаю уже аккуратные математические выводы, но из совершенно таких гипотетических допущений. Вообще я, во всяком случае, наиболее ценю этот тип прикладных математиков, которые, собственно, вообще перестают быть математиками, а просто решают физические задачи — если можно, то аккуратно, «чистыми» методами, если нельзя, то делают гипотезы.

М. Значит, вы за гибкость мышления?

К. И за непосредственное участие, где можно, и в эксперименте вместе с физиками.

М. Андрей Николаевич, было время, когда физика была очень модной наукой. Ну, не только физика, так было и с кибернетикой, и еще многое становилось модным... И вот возникло такое выражение, которое, я знаю, у физиков существует и по сей день, — «драма идей».

К. Не слыхал.

М. Не слыхали, да? (Смеется.)

К. Пожалуй, я отстал от мира физиков. (Смеется.)

М. (смеясь). Просто это такой расхожий термин. Драма идей — это, например, когда Эйнштейн не понимал квантовой механики или Пуанкаре не понимал Эйнштейна, ну и так далее.

К. Да, в общем, понятно.

М. А вот скажите, может ли возникнуть драма идей в математике? Не обязательно современной — может, что-то похожее раньше было?

К. Вероятно, может — в такой же мере. Вряд ли математика отличается этим от физики.

М. Вы, Андрей Николаевич, я знаю, писали с Павлом Сергеевичем книгу о Лобачевском в свое время в Казани.

К. Да, написали небольшую книжку1).

М. Этот большой математик за всю свою жизнь не нашел признания в математическом мире... К. Да...

М. ...И, очевидно, психологически это оказывает какое-то давление на человека. Вам не знакомы такие ощущения? Вы никогда не испытывали в своей жизни подобного «вакуума», что ли, — в связи с какой-то идеей, какой-то работой?

1) Александров П. С., Колмогоров А. Н. Николай Иванович Лобачевский. 1793 — 1843. М.; Л.: Гостехиздат, 1943. 100 с. — Прим. ред.

К. Нет, не припомню.

М. По-видимому, это явление объясняется, главным образом, тем временем, да? Сейчас, наверное, легче добиться объективной оценки — как вы считаете, Андрей Николаевич?

К. В математике все-таки в основном сейчас такое положение, что сделанные результаты много людей проверяют и довольно быстро и довольно беспристрастно устанавливается общественное мнение, что то-то сделано, верно или нет, или содержатся ошибки...

М. Андрей Николаевич, я хотел просить вас рассказать, как вы начинали свой путь в математику. Что способствовало выбору направления, выбору вашей математической специализации?

К. Видите ли, мне кажется, что для начинающих математиков все-таки наиболее типичный случай — не свободный выбор направления, а просто попытки решить конкретные задачи, которые старшее поколение выдвигает. Все-таки наиболее типичен такой случай. Мои первые работы по тригонометрическим рядам все были такого рода. А идеи заняться, скажем, перестройкой целой области науки обычно возникают позднее. У меня, впрочем, это было не так поздно, когда я занимался основными понятиями теории вероятностей, — здесь все-таки с самого начала была такая претензия построить более логичную систему понятий целой науки. Это не было в моем случае уж очень поздно: это было начало 30-х годов, значит, мне было около 30 лет.

А начинают математики обычно просто с того, что имеется какой-то «каталог» поставленных задач, интересующих данный круг математиков (Московскую лузинскую школу, скажем). И молодые люди бьются над их решением. Не выходит одна задача — они берутся за другую. Выбор этих ближайших нерешенных задач всегда довольно велик. И как раз чрезмерно неотвязчивое желание сделать именно такую-то задачу иногда бывает очень печальным для судьбы математика. К тому же все-таки большинство математиков начинает работать под чьим-нибудь руководством; тогда дело руководителя — у него имеется много задач, — кому именно из молодых людей поручить размышления над такой-то задачей. Если слишком долго не выходит, то посоветовать пока бросить, заняться другими, смежными задачами.

М. Андрей Николаевич, на ваших глазах, на вашей памяти, через ваши руки, даже можно сказать, прошло много поколений молодых математиков. Могли бы вы сказать, чем эти поколения отличаются друг от друга? Один и тот же огонь горит в них?

К. В основном все-таки один и тот же, конечно.

М. Андрей Николаевич, я хотел бы вернуться к тому, что у вас в начале 30-х годов возникло желание дать более строгое обоснование теории вероятностей. Вы не могли бы подробнее рассказать об этом?

Наверное, для вас это был один из самых основательных трудов вашей жизни?

К. (после паузы). Что же [именно] вам хочется [узнать]?

М. Ну, как вы пришли к этой идее? Меня интересует сам творческий процесс, я пытаюсь понять, был ли это закономерный, так сказать, путь для вас: от рядов, от теории функций — туда...

К. Не знаю.

М. Андрей Николаевич, я хотел с вами посоветоваться еще вот по какому поводу. Вот есть люди, которые оставляют после себя какой-то определенный след в истории — и обычной истории, и истории науки. Например, заслуги Архимеда, Евклида, Птолемея, Кеплера, Ньютона не вызывают сомнения: они, так сказать, уже устоялись.

К. Да-да.

М. А вот современная математика, которая начинается, наверное, с начала XX века, — кого бы вы назвали как внесших наиболее серьезный, важный вклад в развитие этой науки?

К. (после паузы). Ну, Гильберта, конечно. (Пауза.) Адамара1). (Пауза.)

М. И всё, Андрей Николаевич?

К. Ну, дальше выбор будет несколько затруднительным. М. Вы имеете в виду, что речь уже идет о слишком близкой современности, да? (Смеется.)

А.Н. Колмогоров молчит.

Андрей Николаевич, вы как-то говорили, что начало дружбы с Павлом Сергеевичем — вершина вашей жизни. Потом в другой раз вы сказали, что одна из вершин — это все, что было связано с интернатом, вообще с обучением юных. Наверное, были еще какие-то вершины в вашей жизни — эмоциональные, может быть, или по каким-то научным достижениям?

К. Конечно, одной из таких вершин было создание современной системы изложения теории вероятностей. Во-первых, аксиоматика, во-вторых, основания общей теории случайных процессов. Ну, это всё, как

1) Еще две замечательные темы — о влиянии творчества других ученых на Андрея Николаевича и о его оценках научного творчества ученых. В своих разговорах Андрей Николаевич много раз среди великих математиков нашего века называл именно эту пару — Гильберта и Адамара. В какой-то мере здесь нашло свое отражение интеллектуальное соперничество в XIX веке в области математики двух великих математических школ — немецкой и французской, с традиционным сопоставлением лидеров (Гаусс — Коши, Клейн — Пуанкаре, Гильберт — Адамар). Влияние Гильберта на творчество Андрея Николаевича очень значимо; что же касается Адамара, то оно было значительно меньшим, но Андрей Николаевич всегда выражал чувство глубочайшего почтения к патриарху французских математиков. — Прим. ред.

видите, самое начало 30-х годов. Случайно или не случайно, это совпадает с нашей дружбой с Павлом Сергеевичем, совместными путешествиями и так далее...

На озере Севан, правда, я написал одну хорошую работу, но немного в стороне от других моих работ — по общей теории интегрирования1).

М. Скажите, а вы никогда не задумывались, какую роль играет в вашей жизни случай? (А.Н. Колмогоров посмеивается.) Ведь вы занимались теорией случайных процессов? (Смеется.)

К. Право, не знаю; в основном, я думаю, что, может быть, немножко в другое время, немножко в другой форме, но основное, что мне удалось, скажем, внести в науку, было бы сделано и в случае немножко другого распределения ролей, так сказать.

М. То есть, если бы вас окружали другие люди, иные обстоятельства, да?

К. Вероятно, все-таки объективный результат был бы более или менее тот же самый.

М. Андрей Николаевич, меня еще интересует ваше отношение к избранничеству. Знаете, у Томаса Манна есть такая замечательная маленькая повесть — «Избранник»?

К. Да.

М. Есть ли оно, это избранничество, или, может быть, это наши красивые гуманитарные идеи?

К. Тоже не знаю, действительно.

М. Вы об этом не задумывались, Андрей Николаевич?

К. Нет, наверное, серьезно не думал. (Стерто.)

...Строго логически доказать или опровергнуть мнение на этот счет, вероятно, довольно трудно. Я, во всяком случае, жил, всегда руководясь тем тезисом, что истина — благо, что наш долг — ее находить и отстаивать независимо от того, приятна она или не приятна. Во всяком случае, в своей сознательной жизни я всегда исходил из таких положений.

М. В общем, «цель оправдывает средства» — это вас не вдохновляло в вашей жизни, да, Андрей Николаевич?

1) Имеется в виду работа: Untersuснungen über den Integralbegriff // Math. Ann. 1930. Bd. 103. S. 654-696; см. также перевод: Исследование понятия интеграла // Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 96-136. О путешествии с П. С. Александровым в 1929 г. см. в упоминавшейся уже статье А. Н. Колмогорова «Воспоминания о П. С. Александрове» в журнале «Успехи математических наук». Эти воспоминания перепечатаны также в книге: Колмогоров А. Н. Математика в ее историческом развитии / Под ред. В. А. Успенского; Сост. Г. А. Гальперин. М.: Физматлит, 1991. С. 131-157. — Прим. ред.

К. Нет.

М. Если можно, я вернусь к Павлу Сергеевичу. Про него рассказывают, и сам Павел Сергеевич рассказывает, что у него в самом начале занятий математикой был период, когда у него что-то не ладилось и он просто решил забросить математику...

К. Да, это было так: Николай Николаевич Лузин, наш общий учитель, как раз очень любил строить такие иногда удававшиеся, иногда не удававшиеся гипотезы о том, кто именно из его ближайшего окружения, из учеников — чем должен заниматься и в чем возыметь успех. В случае с Павлом Сергеевичем Николай Николаевич именно пришел — не знаю уж почему — к мысли о том, что одну знаменитую проблему, к которой тогда, во всяком случае, не было никаких путей подхода, — проблему континуума, — должен решить непременно Павел Сергеевич Александров. С очень большой настойчивостью, с большой силой внушения, которой Николай Николаевич обладал, такую идею он поселил и в душе Павла Сергеевича, что и привело скоро к такому кризису, к намерению бежать из математики.

М. У вас и у Павла Сергеевича отношения с Лузиным были сложные...

К. Да.

М. А в те времена, когда начиналась ваша самостоятельная математическая жизнь, у вас появилось какое-то новое окружение, помимо Павла Сергеевича?

К. Что касается Павла Сергеевича, то, собственно, в математике мы строго совместно работали только один раз, а потом довольно эпизодически. Меня интересовал круг его работ, его интересовал круг моих работ, но взаимное проникновение такое в полном смысле получилось только один раз.

А первыми людьми, с которыми я совместно с успехом работал, были Дмитрий Евгеньевич Меньшов — это по тригонометрическим и ортогональным рядам — и Александр Яковлевич Хинчин — с ним мы занимались тем, чтобы методы, выработанные в теории функций, в частности в теории тригонометрических рядов и ортогональных функций, применить к некоторым важным задачам теории вероятностей. Есть у нас и напечатанные совместные работы и с тем, и с другим — и с Дмитрием Евгеньевичем Меньшовым, и с Александром Яковлевичем Хинчиным.

М. А после у вас были еще совместные работы? Могли бы вы назвать примеры плодотворного сотрудничества с другими людьми?

К. Ну, вот все-таки в высшей степени плодотворным надо назвать сотрудничество с Александром Яковлевичем Хинчиным, потому что были нами сделаны действительно важные и интересные задачи:

найдены там условия сходимости случайных рядов, условия применимости закона больших чисел и так далее.

А дальше, пожалуй, уже следует сравнительно довольно короткий период нашей совместной работы с Арнольдом. Как-никак, так называемая 13-я проблема Гильберта была практически нами совместно решена. Такой формально решающий шаг был сделан именно Арнольдом как раз, на этом я настаиваю, тогда так получилось. Но вся подготовка к этому и решение некоторых смежных задач было сделано мной. Потом решение, строго говоря, той проблемы, которую Гильберт поставил, досталось Арнольду, а через очень небольшое время мне удалось найти несравненно более простое решение той же задачи. Но почему-то оно позднее появилось, во всяком случае. Так уж в науке очень часто бывает, что какая-нибудь задача решается обходными путями, а потом оказывается, что есть гораздо более близкие.

М. Ну, это, наверное, не только математическое свойство.

А вот еще вопрос, совсем о другом: вы сами тянулись к какой-то административной деятельности или она вас настигала?

К. Нет, стремиться я никогда не стремился. В некоторых случаях было такое чувство долга, так сказать, вера в то, что если я возьмусь, то сделаю существенно лучше — ну, это в случае деканства моего, например...

М. Ну, а как вы считаете, это вам удалось, Андрей Николаевич?

К. В какой-то мере удалось. Для факультета, во всяком случае, это был все-таки один из лучших периодов. А вообще говоря, какого-то отвращения к административной деятельности у меня не было. Когда Отто Юльевич Шмидт пригласил меня в Президиум Академии наук, в академики-секретари физико-математического отделения, то я в такой интерес как-то сразу вошел. Идея Шмидта о моем привлечении в значительной мере была вызвана вот чем: отделение физико-математическое — значит, практически там математика в административном отношении очень мало места занимает (физических учреждений, как вы знаете, гораздо больше, у них [и] материальные запросы гораздо больше). В те времена были два физика, которые в наибольшей степени могли бы претендовать на руководство всей физикой, — это П. Л. Капица и А. Ф. Иоффе. И вот Отто Юльевичу Шмидту пришла в голову такая идея: между ними посадить совсем молодого математика. Ну, в общем, не так уж плохо удалось1). (А.Н. Марутян смеется.)

1) Было бы очень интересно, если бы кто-то описал по архиву Академии наук СССР деятельность Андрея Николаевича на посту академика-секретаря физико-математического отделения Академии. Время его пребывания на этом посту (1939-1942) было необыкновенно важным для всего дальнейшего развития не только науки, но и всей человеческой истории. Какова была роль Андрея Николаевича в этот

Я действительно относился к этой деятельности всерьез. Когда астрономы должны были выбрать место для большой геофизической обсерватории на юге. то я даже, чтобы посмотреть, насколько они правы, отправился во все те места, между которыми должен был быть сделан выбор. Совершенно приватным образом, конечно, просто в качестве туриста. Так что понимал я свои обязанности достаточно широко. Но все это продолжалось всего три года, моя эта деятельность, — с 39-го года по 42-й.

М. Андрей Николаевич, вы в своей жизни встречались с большим количеством людей. Что вас привлекало в людях? Общность интересов была значима или же, наоборот, вас интересовали люди из областей, далеких от вас?

К. Нет, интересовали в основном люди с близкими интересами, конечно.

М. С близкими научными интересами? К. Да.

М. А когда речь шла о той же истории, об искусстве, — ведь, вероятно, вас тоже как-то тянуло к этому миру?

К. Нет, к: самому искусству меня больше тянуло. Именно мои увлечения искусством практически никогда не попадали в такт со временем.

М. А почему?

К. Ну, просто развивались сами по себе, так сказать. М. То есть вы увлекались вещами, которые больший интерес представляли для вас, нежели для остальных, не были модными? К. Ну да.

M, А в чем это выражалось, Андрей Николаевич? Может, вы как-то могли бы это пояснить?

К. Нет, я говорю, что я как-то был обычно малочувствителен к увлечениям времени. (Стерто.) Вот обращение к древнерусскому искусству, к иконописи было, пожалуй, строго синхронно увлечению в интеллигентном обществе.

М. Я понял. Вы в прошлый раз говорили, что театр вас как-то не интересовал и что в кино вы остановились где-то на конце 20-х годов?

К. Да.

М. Андрей Николаевич, а это объясняется недостатком времени или просто отсутствием интереса?

период? Что он задумывал, что осуществил? Сам он всегда с некоторой гордостью вспоминал этот период своей жизни.

К Отто Юльевичу Шмидту, человеку исключительной разносторонности и яркости, Андрей Николаевич испытывал неизменное чувство восхищения, много рассказывал о нем, написал несколько страниц воспоминаний. — Прим. ред.

К. Нет, я сейчас говорил просто о том, что какой-то синхронности с очередным увлечением нашего интеллигентного общества обычно не получалось.

М. Но вы себе не объясняли, почему именно, да?

К. Да, пожалуй.

М. Андрей Николаевич, вы знаете, в фильме обязательно будет музыка...

К. Да.

М. ...Наш синтетический жанр без этого невозможен. К. Да, конечно.

М. И я хотел бы, чтобы в фильме звучала та музыка, которая вам близка, вам дорога. Наверное, есть какие-то вещи, любимые вами?

К. Я думаю, что в том месте (а я думаю, что такое место будет обязательно), где будет непосредственно говориться о музыкальных вечерах, устраивавшихся в Комаровке для наших друзей, — мы с Павлом Сергеевичем систематически и довольно много народу собирали на такие музыкальные вечера, — в этом месте мне бы хотелось, чтобы это был баховский концерт для двух скрипок.

М. А это была общая ваша с Павлом Сергеевичем любимая вещь?

К. Я думаю, что эта — достаточно общая. Соль-минорную симфонию Моцарта мы могли слушать по многу раз. Ну, я не говорю о «Страстях по Матфею» баховских, потому что здесь это как-то громоздко получилось бы. Глюковский «Орфей» — это всё же...

М. Большие полотна?

К. Да, здесь они не будут производить впечатления. А какой-нибудь кусочек этого концерта для двух скрипок сразу же у ваших зрителей создаст какое-нибудь впечатление; если вы оттуда даже две минуты возьмете, некоторое впечатление получится1).

М. Да, может быть, даже дать этот концерт как лейтмотив вашей и Павла Сергеевича дружбы...

Андрей Николаевич, если вы не возражаете, я хотел бы еще поговорить о дружбе. Вот есть друзья, для которых важно просто быть рядом и не обязательно даже говорить о чем-то, особенно когда они друг друга давно знают. А есть дружба, которая нуждается в непрерывном общении, в разговорах, даже спорах, может быть. К какому роду вы отнесли бы вашу дружбу с Павлом Сергеевичем?

К. Ну, конечно, для разговоров у нас всегда хватало достаточно тем.

1) В этом фрагменте речь идет о концерте для двух скрипок с оркестром (ре минор) и оратории «Страсти по Матфею» И. С. Баха, симфонии № 40 (соль минор) В. А. Моцарта и онере «Орфей и Эвридика» К. В. Глюка. — Прим. ред.

М. Понятно. Вопрос какой-то банальный получился. Ну, вообще-то все вопросы банальны, в конце концов. Вы уж меня простите.

А вот когда человек вспоминает свое прошлое, он, как правило, мне кажется, вспоминает не какие-то даже наиболее значительные вещи, а какие-то яркие кусочки мозаики: отдельное слово, запах, иногда какую-то картинку. Что вам вспоминается за вашу жизнь? Какие наиболее яркие впечатления юности, может быть, даже детства?

К. Из самого раннего детства могу вам сказать. Когда меня повезли в четырехлетнем возрасте в Крым, то мы, значит, доехали поездом до Севастополя, сели в ландо — такую четырехместную повозку — и поехали в Алупку. А по дороге, естественно, подъехали к Байдарским воротам, сошли, и из Байдарских ворот — вы бывали там, конечно, — сразу поразило меня это бесконечное море, темно-синее.

М. А в юности, из таких ярких впечатлений?

К. Как-то не соображу сейчас. Ну, конечно, вам не обязательны такие строго отдельные моменты? М. Да, конечно.

К. Глубокое впечатление оставили мои похождения по Северу России, которые были формально, так сказать, связаны с древнерусской деревянной архитектурой. Я сам отправлялся в такие пешие странствования, просто выписав из «Истории русского искусства» Грабаря1), где находятся деревянные церковки древние. И вот от одной из них до другой путешествовал один, частью на пароходе, частью пешком, частью с какими-нибудь местными кооператорами, которые на лодке везли купленные в городе товары. Вот многое запомнилось из этих пеших странствований по Северу, из которых значительная часть проходила просто в одиночку, а некоторые — вдвоем, с разными, между прочим, людьми. Был у меня такой довольно близкий друг, Глеб Александрович Селиверстов2), на один год моложе меня (его брат был моим товарищем по школе). Вот с ним мы такие странствия предпринимали... (Стерто.)

1) Грабарь И. История русского искусства: В 6 т. М.: Изд-во И. Кнебель, 1909 — 1916. — Прим. ред.

2) Андрей Николаевич посвятил Глебу Александровичу Селиверстову статью, опубликованную в «Успехах математических наук» (1970, т. 25, вып. 3, с. 244-245); эту статью можно также найти в сборнике избранных работ А. Н. Колмогорова «Математика в ее историческом развитии» (М.: Наука, 1991). О Г. А. Селиверстове, его брате Николае и вообще о семействе Селиверстовых см. также в статьях В. М. Тихомирова, посвященных Андрею Николаевичу Колмогорову (см. примечание на с. 49 настоящего сборника). Два письма А. Н. Колмогорова военного времени, где речь идет о Селиверстовых, недавно опубликованы с комментариями В. М. Тихомирова в журнале «Вопросы истории естествознания и техники» (1995, № 2, с. 123-124). — Прим. ред.

Глеб Селивёрстов был одним из самых близких мне людей. Вот среди моих молодых друзей, конечно, при желании можно выделить тех, которые не просто были мне интересны для разговоров, а действительно для такого совместного существования, когда существенен просто самый факт совместного нахождения. К таким интимно близким друзьям относится Володя Тихомиров... В какой-то мере, например, Игорь Журбенко, я его уже упоминал, — это из более позднего времени. А из ранних, когда такие друзья были просто моими сверстниками, — вот этот самый Глеб Александрович Селивёрстов. Одна из первых моих работ по тригонометрическим рядам, впрочем, у нас [с ним] даже совместная, так что он был все-таки немножко математиком даже1).

М. Андрей Николаевич, а вот скажите, пожалуйста, вы не испытывали в детстве, в юности недостатка какого-то внимания?

К. (энергично). Ну, к этому просто никаких поводов не было, потому что, действительно, всегда я был окружен даже избытком внимания.

М. Андрей Николаевич, а вот существует, наверное, какая-то семейная доминанта, я бы так назвал. Вы себя относите по характеру, по складу своему к какой линии — материнской или отцовской?

К. Отца я просто очень мало знал. А что касается колмогоровского семейства, то со старшим поколением, с моим дедом, бабушкой, прадедом, я тоже почти не имел дела. Окружали меня мои тетки, из которых, значит, одна была врачом и которые все были более или менее связаны с революционными кругами — и Вера Яковлевна в том числе, и моя мать. Какие-то (правда, небольшие) сроки отбывали тюремного заключения... Из семейных традиций — вот я не знаю, может быть, вам даже понравится, что в Туношенском доме, когда мне был еще один год, я даже участвовал в революционном движении: какие-то нелегальные книжки подложили под меня в колыбель, и жандармы вошли, обошли весь дом, но не решились меня поднять, так сказать.

М. (смеясь). Это очень большой либерализм был, по-моему, по тем временам.

К. Все-таки жандармы, конечно, тоже знали, что эти злокозненные молодые женщины как-никак являются дочерьми местного предводителя дворянства. (Посмеиваясь.) Так что у них сложные задачи были.

1) Имеется в виду работа «О сходимости рядов Фурье», опубликованная на французском языке двумя частями: Sur la convergence des séries de Fourier // С. r. Acad, sei. Paris. 1924. V. 178. P. 303-306; Atti Accad. naz. Lincei Rend. 1926. V. 3. P. 307-310. См. перевод в кн.: Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 16-19, 69-73. — Прим. ред.

М. У меня сложилось впечатление, что ваши тетушки и мать, все пять дочерей Якова Степановича, были девушками очень свободомыслящими.

К. Да. Ну вот приводившими даже к таким... М. Эксцессам. К. Гм-м.

М. А как к этому относился сам дед?

К. Вероятно, с большим сожалением. Но, во всяком случае, он был таким либеральным барином, который сам любил, ну, такие умеренно вольнолюбивые разговоры.

М. А насколько глубоко вы можете проследить род Колмогоровых вглубь истории?

К. Ну вот, мой прадед (как раз мы с вами нашли его фотографию), Степан Петрович, — я очень точно не знаю, но я думаю, что дворянство получил именно он впервые. За такую «почтенную» деятельность откупщика. Это вы знаете, что такое откупщик?

М. Да.

К. На целую губернию откупает у государства проведение в данной губернии продажи водки. Такая (посмеивается) не особенно прогрессивная деятельность. А дед мой, по-видимому, был уже очень либерально настроенным, очень богатым помещиком, действительно.

М. А со стороны отца? Вот у Павла Сергеевича написано, что он из семьи священника?

К. Да, точно.

М. Ну, а что еще вы знаете?

К. Ну, очень много не знаю. Ну, значит, мой отец — Николай Матвеевич (Катаев. — Ред.). Естественно, значит, отец Матвей был моим дедом; я видел его только один раз, он приезжал в Москву и был у нас с Верой Яковлевной дома. А мой дядя по отцу (Иван Матвеевич Катаев. — Ред.) был историком, вообще ученым человеком, не очень уж знаменитым — преподавателем гимназии. А сын его — значит, мой двоюродный брат, — это весьма известный писатель Иван Катаев.

М. Это очень интересно. Вы потом в жизни поддерживали родственные связи? У вас такая жилка существует?

К. Ну, не знаю. Что касается этого Ивана Катаева, то его дети, один Георгий, другой Дмитрий, Митя, когда они были студентами, даже жили у меня в моей квартире в Москве. Так что по этой линии продолжались все-таки отношения.

М. А с Колмогоровыми, кроме тетушек? У вас тоже поддерживались связи на протяжении жизни?

К. Нет, каких-нибудь других — нет.

М. Кстати, один из Колмогоровых был вчера назначен председателем Госкомитета по стандартам, Андрей Николаевич. К. Ну нет, думаю, что это вряд ли родственник. М. (смеется). Вы считаете, просто однофамилец? К. Да-да.

М. Андрей Николаевич, я вас не утомил сегодня своими этими разнородными вопросами? Как вы?

К. Ну, можно еще немножко продолжить, но, я думаю, все-таки все уже идет к исчерпанию, конечно.

М. Андрей Николаевич, я вам скажу... (Стерто.)

К. Задача наша здесь несколько ограниченна. Что касается Владимира Михайловича (Тихомирова. — Ред.), то, может быть, мы займемся с ним такой длительной работой по написанию уже таких систематизированных моих воспоминаний. Но по отношению к вам я уж на это не претендую, так сказать.

М. Понятно.

К. Нет, мне вы действительно очень приятны, я рад с вами познакомиться, но перекладывать по существу этот замысел писать свои воспоминания на работу с вами я все-таки вряд ли считал бы целесообразным.

М. Я понимаю. Я и не претендую на это, упаси меня Бог. Я понимаю, что ни степень моего знакомства с вами, ни степень моего знакомства с математикой, скажем так, не дает мне права на это претендовать. Андрей Николаевич, я тогда хотел бы, с вашего позволения, задать вам такой вопрос...

К. Хорошо.

М. Я его уже задавал, но просто хотел бы записать ваш ответ. Какова сфера ваших интересов, лежащих вне математики?

К. Вне математики мы с вами уже много касались школы. Во всяком случае, как я вам уже объяснял, эти школьные дела (и не только математические школьные) меня всегда чрезвычайно занимали. Были вот периоды жизни, вроде Потылихи, когда я профессионально занимался этим, и я действительно всегда с удовольствием об этих временах вспоминаю. Так что если классифицировать, то после математики интерес к воспитанию юношества, не обязательно только по математике, — вероятно, второе мое увлечение.

А что касается таких более, так сказать, потребительских увлечений, где я сам ничего не произвожу, то это музыка и, пожалуй, все-таки древнее изобразительное искусство, и особенно древнерусское. Вот в свои лучшие годы, я уже говорил, я много путешествовал. А, надо сказать, если вы хотите просто так праздно шататься по России,

по проселкам русским, то для того, чтобы непринужденно вступать в общение с местными людьми, надо иметь все-таки какое-нибудь дело. В моих первых путешествиях таким «делом» была эта древнерусская архитектура. Ну, правда, она приводила меня, в первую очередь, к священникам, у которых я иногда и останавливался на ночлег. В Ферапонтове — моды такой на Ферапонтов тогда еще не было — был женский монастырь, и с Глебом Селивёрстовым мы туда отправились1). И сама игуменья, хотя мы были студентами просто, угощала нас таким вкусным чаем со сливками и всячески за нами ухаживала (посмеивается), вероятно, считая, что все-таки мы какие-то представители от начальства.

М. (смеется). Роль странника была вам по душе? К. Да. А чай пил я еще с епископом великоустюгским, обновленцем.

М. Это было в 20-е годы, да? Потому что в 30-е такое чаепитие было бы...

Андрей Николаевич, а вот я еще хотел попросить у вас разъяснений по поводу двух ваших высказываний, которые мне привели студенты ваши бывшие. Вы говорили как-то, что (по-видимому, читает по своим записям) «надо воспитывать уважение к гению, преодолевая естественное отвращение к нему».

К. Не знаю, не знаю. Совершенно впервые слышу!

М. Да? Я могу даже назвать автора.

К. (быстро). Кто же это?

М. (видимо, ищет в своих записях). Вот. Борис Александрович Севастьянов мне сказал, как их потрясла эта фраза, вами произнесенная.

К. Нет, совершенно не помню.

М. Не помните, да? Но вы готовы с этим согласиться или не очень?

К. Не знаю — вообще не очень понимаю.

М. Вот я поэтому, тоже не очень понимая, решил вас спросить. Борис Александрович сказал, что, когда вы как-то читали лекцию и произнесли эту самую фразу, вы их просто в самое сердце поразили, и они все...

К. (перебивая). Совершенно не понимаю!

М. То есть вы считаете, что не надо специально воспитывать уважение к гению?

1) Ферапонтов монастырь — архитектурный ансамбль XV — XVII вв. на берегу Бородавского озера, в 20 км от г. Кириллов Вологодской обл. В соборе Рождества Богородицы (1490 г.) сохранились росписи Дионисия. — Прим. ред.

К. Ну, как-то не приходило в голову даже вопроса такого, нужно или не нужно.

М. Да-а, вот видите как. А интересно, ведь, я думаю, он же не придумал...

К. Нет, вероятно.

М. То есть это просто случайно было сказано? К. Да, так, в крайнем случае1).

М. И еще мне кто-то сказал, сейчас, минуточку, я забыл фамилию... (Видимо, ищет в записях.)

К. Ну, все равно, наверное, догадаюсь.

М. ...что вы как-то говорили, что более всего на свете вы цените труд агронома, который работает в любое время и в любую погоду...

К. Не знаю, я многим людям рассказывал, что первой такой уже взрослой, серьезной идеей будущей профессии для меня была не вообще агрономия, а специально лесоводство. Это я многим рассказывал.

М. Да, вот видите, Андрей Николаевич, какая любопытная вещь. Насколько что-то, что запечатлевается в памяти, в сознании, просто на глазах иногда претерпевает разночтения, расхождения.

К. Гм-м.

М. Андрей Николаевич, знаете, я хотел бы записать рассказы ваших учеников, если вы на это согласитесь, конечно... К. Да, конечно.

М. (продолжает). И я хотел бы дать вам их послушать. К. Вероятно, уж придется.

М. Мне кажется, ваш комментарий будет необычайно интересен. К. Да, и потом исчезнут такие уж возможные грубые недоразумения.

М. Ну, грубых, я надеюсь, не будет, Андрей Николаевич.

К. Грубые не в смысле грубиянства, а в смысле такой непоправимости. Я вот уже не в первый как-то раз слышу совершенно неожиданные для меня вещи.

1) Этот эпизод беседы, вызвавший недоумение Андрея Николаевича, по-видимому, сопряжен с досадным разночтением. Высказывания Андрея Николаевича о необходимости бережного отношения к таланту остались в памяти и других его учеников. Так, В. М. Тихомиров, участвуя в фильме «Рассказы о Колмогорове», приводит по памяти слова Андрея Николаевича: «...талантливый человек несет в себе некоторый неудобный отпечаток своего таланта, он всегда какой-то немножко угловатый, нестандартный; нужно ценить таланты, щадить их, уметь преодолевать эти их слабости (которые, во всяком случае, нам кажутся слабостями)». Об этой мысли Андрея Николаевича упоминает и В. И. Арнольд (см. с. 86 в настоящем сборнике): «Андрей Николаевич говорил, что надо прощать талантливым людям их талантливость». — Прим. ред.

М. Да? Ну, я думаю, что если что-то еще возникнет, то мы это исправим. Андрей Николаевич, ну, Бога ради, я за сегодняшнюю свою беседу приношу извинения.

К. Нет, почему же?

М. Понимаете, это я не оправдываюсь перед вами, а хочу, чтобы вы поняли, если, может быть, характер моих вопросов вызывает у вас какое-то недоумение.

К. Да, понятно.

М. Но дело в том, что вообще мы занимаемся странным искусством. Кинематограф, он... в общем, наверное, до сих пор непонятно, что это такое. И вы знаете, мой, не очень большой, опыт работы говорит...

На этом все обрывается.

Публикация Н. Г. Рычковой

Послесловие

Случай всегда справедлив. И фильм, благодаря которому состоялись эти беседы с А. Н. Колмогоровым, родился случайно. Покойная ныне Вера Иосифовна Бокшицкая, редактор Студии научно-популярных фильмов, как-то предложила мне сделать фильм-портрет о каком-либо выдающемся советском ученом. В тот же вечер или на следующий день в разговоре с моим знакомым Владимиром Михайловичем Золотаревым, математиком, профессором МГУ, я упомянул об этом предложении, и он сразу назвал имя своего великого учителя — Андрея Николаевича Колмогорова.

Так возникла идея фильма. Вследствие своего предыдущего естественнонаучного образования я, разумеется, слышал об А. Н. Колмогорове. Более того, я отдавал себе отчет, с человеком какого масштаба мне придется встречаться и говорить. Но — я написал сценарную заявку, она была принята, и фильм был запущен в производство. Вскоре меня представили Андрею Николаевичу, и осенью 1983 года (в сентябре или октябре) состоялись две мои беседы с ним в его подмосковном доме в Комаровке.

Чтобы развеять возможное недоумение по поводу некоторой фрагментарности наших бесед, я должен объяснить, для чего и как это делалось. Я не ставил перед собой цели создать некую законченную кинобиографию Андрея Николаевича. Очевидно, насколько нелепой была бы попытка объяснить другим то, чего сам не понимаешь — я имею в виду сферу научных интересов Колмогорова. Я попытался нащупать и показать средствами кино общекультурный, философский аспект в деятельности Колмогорова как ученого, математика, воплотить ощущение титанического масштаба его личности. С другой стороны, важно было найти верный эмоциональный строй фильма — то, без чего не получается живой рассказ о живом человеке.

Длительность будущего фильма составляла не более 18 минут (так называемые 2 части), поэтому с чисто «производственной» точки зрения мне нужны

были всего несколько фраз, произнесенных Андреем Николаевичем, которые помогли бы в создании образа. И вот в поиске этих фраз мы с ним так вольно, в течение трех или четырех часов — благодаря, в первую очередь, доброму согласию Андрея Николаевича, — «странствовали» по его жизни и мировосприятию. Надо сказать, что магнитофонных кассет у меня было не очень много (дело происходило в начале 80-х годов, в разгар «развитого» социализма и торжествующего дефицита), а потому я, как правило, экономил на собственных вопросах, включая диктофон, лишь когда начинал говорить Андрей Николаевич. Те, кто знал его в тот период жизни, помнят, какой медленной, затрудненной была вследствие болезни его речь, — так что я успевал вовремя нажать кнопку. Разумеется, уже тогда меня посещали сомнения в возможности использования в картине фонограммы с голосом Андрея Николаевича, но я все-таки надеялся на лучшее.

Потом начались съемки. И снова возникла проблема болезни Андрея Николаевича. Я не мог решиться просить Андрея Николаевича участвовать с полной нагрузкой в таком утомительном деле, как съемки. Тогда в голову пришла нехитрая мысль: ввести в фильм художника, пишущего портрет героя, и через этот портрет совершать необходимые переходы. Я был довольно хорошо знаком с замечательным русским художником Анатолием Зверевым и достаточно просто договорился с ним о сеансе портретирования. Внутренне потирая руки, отправился за разрешением к Андрею Николаевичу и... услышал отказ. Колмогоров никак не объяснил его, просто сказал: «Мне бы этого не хотелось».

Я не стал настаивать, но мысль эту все же не оставил. Великое рукомесло монтажа позволяет легко свести воедино два разновременных и разнопространственных события: герой снимается отдельно, а художник, рисующий его с остающейся за кадром фотографии, — отдельно; склеиваем — и получаем то, что нужно. Забыв о предупреждении, сделанном мне задолго до этих событий Владимиром Андреевичем Успенским, — о неких мистических способностях Колмогорова, я принялся за реализацию своего плана.

Сняли Андрея Николаевича. Потом в отсутствие Колмогорова в Комаровку привезли — к ужасу его домоправительницы — не совсем трезвого художника (это было его нормальное состояние). Сеанс прошел благополучно; было сделано три портрета с фотографий Андрея Николаевича.

А потом началась мистика. Когда пленка находилась в проявочной машине, туда попал свет. Буквально один луч. Но этого хватило, чтобы произошла легкая засветка, прошедшая, правда, аккуратно по межкадровому пространству и не затронувшая само изображение. Но формально это считается браком, и материал был забракован1). Я мог, конечно, напирая на уникальность и прочие обстоятельства, настаивать и добиваться права на использование этих кадров, но понял, что продолжать идти против желания Колмогорова не то чтобы опасно — бессмысленно. Он как никто другой умел организовать вокруг себя желаемое пространство. И это относилось решительно ко всему.

1) Кадры с художником Зверевым (а это единственная киносъемка замечательного мастера) все же не пропали. Через несколько лет они вошли в мой фильм об А. Звереве «Алё, привет...».

Съемки со всеми своими сложностями закончились. Фильм был смонтирован, и тут начались главные испытания. Картину пришлось «сдавать» — и кинематографическому начальству, и самому Андрею Николаевичу, и его ученикам.

Первую инстанцию не устраивало многое. Вот образчики начальственных претензий: «При чем тут нерусские горы и немецкая музыка, если фильм — о великом русском ученом?!»; «Убрать „Тайную вечерю“ со стены! (Имелась в виду репродукция картины Леонардо да Винчи, висевшая на стене кабинета в Комаровке. — А. М.) Ведь там один из учеников — предатель, а в фильме Колмогоров тоже сидит со своими учениками!»; «Панораму по церкви вести только до креста! Крест — отрезать!»; «Не нужно показывать немощного академика!» — и так далее в том же роде.

Учеников же не устраивал главным образом чужой голос, читающий за кадром текст Колмогорова. К моему великому сожалению, другого выхода я не нашел. Читать этот текст «от третьего лица» при живом Андрее Николаевиче было нелепо и нарушало стилистику картины. Использовать же саму запись было технически невозможно, несмотря на многодневные старания моего монтажера Маши Козиной.

Имея на руках фонограмму фильма, я отправился в Узкое к Андрею Николаевичу. Он прослушал ее и разрешил использовать свои ответы на вопросы в таком виде, попросив лишь выразить в титрах благодарность актеру Геллеру за чтение его текста. Соответствующая бумага за подписью А. Н. Колмогорова была направлена директору студии, после чего, наконец, фильм разрешили к выходу на экран. Просьба Андрея Николаевича была выполнена: во второй и последующих копиях фильма титр с благодарностью Э. Геллеру присутствует.

Я не знаю, как Андрей Николаевич отнесся к фильму о себе. Сам он ничего не сказал, а спрашивать мне было как-то неловко. Но судя по тому, что Андрей Николаевич позволил автору этих строк уже после фильма прийти к нему, — он, как мне хочется верить, принял предложенную трактовку.

Кто-то из учеников прочитал ему рецензию на наш фильм, появившуюся вскоре в журнале «Советский экран»1). Андрей Николаевич заметил, что автор рецензии точно уловил символический смысл образа одинокого лыжника, торящего снежную целину на заоблачных горных высотах.

А. Н. Марутян

1) Михайлова И. Слово об ученом // Советский экран. 1984. № 22 (ноябрь). С. 11. Приведем две выдержки из этой рецензии — ее начало: «В киноленте «Рассказы о Колмогорове» (сценарист и режиссер А. Марутян, оператор С. Рахомяги, «Центрнаучфильм») есть символические кадры: одинокий лыжник скользит по заснеженному склону горы, прочерчивая геометрически четкую линию. Над ним синее небо и угловатый абрис скальной гряды. Эти кадры как бы соотнесены с образом великого математика академика Колмогорова. Геометрия наклонной плоскости, математическая строгость линий ландшафта, разреженный воздух истины... И одиночество лыжника... Ученый ведь всегда наедине с терзающей его проблемой», — и конец: «...мы увидели научно-популярную ленту, где с нежностью и трогательным вниманием рассказано о гениальном современном математике и благородном человеке». — Прим. ред.

Я думаю, что мысль о том, что математика открывает путь к работе в самых различных смежных науках, вполне актуальна и для нового поколения... От самого математика зависит, останется его роль вспомогательной или он внесет в работу достаточно значительную свою собственную выдумку.

А. Н. Колмогоров

РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ

Материалы к биографии

АВТОБИОГРАФИЯ

Личный листок по учету кадров

Архивная справка об участии академика А. Н. Колмогорова в экспедициях Института океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР1)

Академик А. Н. Колмогоров в качестве заместителя начальника экспедиции по научной работе участвовал в двух экспедициях, организованных Институтом океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР в соответствии с планом-программой, утвержденным Государственным комитетом Совета Министров СССР по науке и технике и Отделением океанологии, физики атмосферы и географии АН СССР. Обе экспедиции проводились на научно-исследовательском судне (н. и. с.) «Дмитрий Менделеев» (2-й и 5-й рейсы).

2-й рейс н. и. с «Дмитрий Менделеев»

2-й рейс н.и.с «Дмитрий Менделеев» проводился с 23 июня по 18 сентября 1969 г. Начальником экспедиции был д.ф.-м. н. Р. В. Озмидов. Рейс был посвящен вопросам, связанным с исследованиями океанической турбулентности, и включал в себя следующие задачи:

1) испытание и сравнительная оценка технических характеристик и эксплуатационных качеств различных образцов измерителей океанической турбулентности в океанских условиях;

2) отработка требований к аппаратному комплексу для измерений океанической турбулентности и методики проведения этих измерений;

3) определение характеристик океанической турбулентности на отдельных типичных полигонах в характерных гидрометеорологических условиях...

1-й этап работ (23 июня — 2 июля) был посвящен испытанию капсул носителей малоинерционной аппаратуры, лабораторной проверке этой аппаратуры, а также отработке буксирной линии. Отработаны две станции (71, 72) и осуществлена постановка буя.

1) Справка составлена по нашей просьбе в Институте океанологии им. П. П. Ширшова РАН по материалам экспедиций 1969 и 1971 гг., хранящимся в архиве института. Публикуется с незначительными сокращениями. — Прим. сост.

Задачей 2-го этапа (6—12 июля) оставалась отладка новой малоинерционной аппаратуры и натурные ее испытания. Выполнены станции 73 — 75, а также велись полигонные работы с постановкой буйковой станции с самописцами течений. На последующих станциях (77 — 82) осуществлялась отработка аппаратуры акустического отряда, проводились измерения термозондом, брались гидрологические пробы. 20 июля судно сделало вынужденный заход в порт Конакри для высадки больного члена экспедиции.

С 23 по 27 июля проводились работы на 3-м полигоне. Оборудованы 4 станции (83 — 87)... для сбора информации об изменчивости гидрологических полей в океане в широком диапазоне пространственных и временных масштабов.

После захода в Рио-де-Жанейро (4 — 8 августа)... 16 августа на рейде порта Дакар состоялась встреча с н.и.с. «Академик Курчатов». После взаимной перегрузки оборудования «Дмитрий Менделеев» следовал к островам Зеленого Мыса для работ с новыми гондолами на 4-м полигоне (с 22 по 25 августа). Исследовались вибрационные параметры гондол в различных режимах буксировки.

С 5 по 11 сентября велись работы на 5-м полигоне. Были выставлены два буя и проводились работы с термотралом.

11 сентября работы были закончены, а 18 сентября судно пришвартовалось к причалу Калининградского порта.

Заходы в иностранные порты

Рейкьявик (Исландия). 3 июля н.и.с. «Дмитрий Менделеев» пришвартовалось в порту Рейкьявик. В этот же день руководство экспедиции было принято послом СССР в Исландии, а вечером на судне состоялась пресс-конференция для корреспондентов исландских газет. 4 июля для участников экспедиции была организована экскурсия по стране. Вечером 5 июля судно отошло от причала порта.

Конакри (Гвинея). 20 июля судно пришло в порт Конакри. Больного члена экспедиции перевезли в медпункт советского посольства. Члены экспедиции побывали в городе. 21 июля судно вышло из порта.

Рио-де-Жанейро (Бразилия). 4 августа судно ошвартовалось у причала Рио-де-Жанейро. Посольство СССР предоставило участникам экспедиции автобусы для ознакомления с городом. 7 августа академик А. Н. Колмогоров встретился с учеными Института математики Академии наук Бразилии.

Дакар (Сенегал). 16 августа «Дмитрий Менделеев» встал у причала порта. Члены экспедиции имели возможность познакомиться с городом Дакар и его окрестностями. 18 августа судно отошло от причала. В этот же день была организована высадка на расположенный вблизи

от порта о. Горе, где располагается океанографическая станция университета Дакара. Вечером того же дня судно вышло из бухты.

Гибралтар (Великобритания). 1 сентября судно пришло в порт Гибралтар. 3 сентября судно отошло от причала.

5-й рейс н. и. с. «Дмитрий Менделеев»

5-й рейс н.и.с. «Дмитрий Менделеев» проходил с 20 января по 12 мая 1971 г. Начальником экспедиции был директор Института океанологии д.ф.-м.н. А. С. Монин. Перед экспедицией ставились две основные задачи:

1) выполнить обширный комплекс гидрооптических исследований в различных водах Атлантического и Тихого океанов;

2) провести изучение мелкомасштабных гидрофизических процессов в верхнем слое океана (турбулентность, ступенчатые вертикальные структуры, внутренние волны) в крупных океанических течениях (пассатные течения, экваториальная система течений, Гольфстрим, Куросио). (...)

1-й этап работ (Калининград — Панама) по времени охватывал период с 20 января по 22 февраля. Исследования в основном проводились в Северном пассатном течении Атлантического океана, Саргассовом море и на разрезе Гольфстрим.

Работы на 2-м этапе (Панама — Гонолулу) проводились с 22 февраля по 16 марта. Основной упор в них делался на исследование мелкомасштабных гидрофизических процессов в зоне экваториальных течений и противотечения Кромвелла.

На 3-м этапе (Гонолулу — Сува) в период с 20 марта по 9 апреля проводились исследования на меридиональном разрезе по 159 —160° з. д., где доминировали гидрооптические измерения.

4-й этап (Сува — Владивосток): после выхода из порта Сува 11 апреля и перехода к месту работ начались гидрофизические исследования на разрезе по 164° в. д. На экваторе была проведена двухсуточная станция с буйковой постановкой и гравиметрическим полигоном. Здесь же проводились работы с буксируемой линией. (...) 12 мая судно пришло в порт г. Владивостока.

Заходы в иностранные порты

Кингстон (о. Ямайка). 15 февраля судно подошло к о. Ямайка и бросило якорь в бухте Роял-Харбор. Разрешение на высадку не более 25 человек было получено с трудностями только 17 февраля. (...) Часть членов экспедиции побывала на берегу, познакомилась с достопримечательностями Кингстона, имела научные контакты с учеными университета Ямайки. 19 февраля судно покинуло порт Кингстон.

Галапагосские о-ва (Эквадор). 25 февраля судно подошло к о. Санта-Крус и стало на якорь в бухте Академии. (...) Члены экспедиции смогли побывать на этом острове, где ознакомились с работой Дарвиновской биологической станции... (...) 26 февраля по совету губернатора экспедиция посетила о. Фернандино у м. Эспиноза и о. Исабель в б. Элизабет, а 27 февраля — о. Пласа. (...)

Гонолулу (Гавайские о-ва). 16 марта «Дмитрий Менделеев» подошел к порту Гонолулу. Участники экспедиции были приглашены в Биологический институт, в парк-океанарий, где они осмотрели подводный дом-лабораторию, бассейны с подопытными дельфинами. 18 марта ученые экспедиции побывали на биологической станции на Кокосовом острове. 19 марта судно покинуло Гонолулу.

Атолл Фаннинг (о-ва Лайн). 23 марта участники экспедиции имели возможность высадиться на атолл Фаннинг. На атолле проживают всего двое новозеландцев и 340 полинезийцев, занимающихся сбором копры для австралийской компании.

О. Раротонга (о-ва Кука). 31 марта судно подошло к бухте Аварура на северном берегу о. Раротонга. (...) Руководство экспедиции было принято премьер-министром острова. На острове имеется обсерватория, где периодически проводятся исследования приезжающими для этой цели учеными из Новой Зеландии.

Сува (о-ва Фиджи). 9 апреля судно стало на якорь на рейде порта Сувы. Участники экспедиции побывали в городе и его окрестностях. 11 апреля судно снялось с якоря.

Порт-Вила на о. Эфат; о. Томан и о. Малекула (о-ва Новые Гебриды). Руководство экспедиции было принято во французской и английской резиденциях... (...) 14 апреля была организована высадка на берег о. Томан и о. Малекула. 15 апреля судно покинуло острова.

Иокогама (Япония). 5 мая судно пришло в порт г. Йокогама. (...) Ученые экспедиции побывали в институтах исследования океана и в Токийском университете. Начальник экспедиции А. С. Монин и академик А. Н. Колмогоров с группой сотрудников приняли участие в дискуссии по вопросам турбулентности, организованной в Институте аэронавтики и космических исследований. 8 мая судно отошло от порта.

Отчет научного руководителя гидрофизического раздела экспедиции (5-й рейс н. и. с. «Дмитрий Менделеев»)1)

Задачи рейса

В части гидродинамики и термики экспедиция изучала в основном верхний слой океана до глубин 200 — 300 м. К сожалению, устройство буксирной линии позволило погружать турбулиметры и цепочки термистеров только до глубины 200 м, а при управляемом заглубителе — до 80 м. (...)

Планирование специальных экспедиций, работающих в основном на глубинах не более 300 м, представляется вполне закономерным. Такое ограничение было бы противоестественно при изучении общей циркуляции в океанах, но многие процессы меньшего масштаба развиваются в верхнем слое океана, так что требуют лишь весьма обобщенной информации о подстилающем слое. (...)

Специальное внимание экспедиции было направлено на изучение явлений всех масштабов, начиная от масштабов намеченных в качестве мест работы географических объектов до микротурбулентности... (...)

Техника измерений и их обработка

1. Точность данных, получаемых из гидрологических серий, и применявшихся методов их обработки была достаточной для целей экспедиции. В начале рейса предполагалось, что достаточно точные данные не только о температуре, но и о солености, а следовательно, и плотности будет давать термосолезонд АИСТ2). (...) К сожалению, надежды на

1) Отчет написан А. Н. Колмогоровым по итогам научной экспедиции Института океанологии им. П. П. Ширшова АН СССР, проходившей с 20 января по 12 мая 1971 г. на научно-исследовательском судне «Дмитрий Менделеев» (5-й рейс судна). В этом плавании Андрей Николаевич был руководителем гидрофизического раздела и заместителем начальника экспедиции по научной работе (начальником был директор института А. С. Монин). Машинописный экземпляр отчета А. Н. Колмогорова хранится в архиве института в качестве составной части итогового отчета экспедиции. Текст публикуется (с некоторыми сокращениями) впервые. — Прим. сост.

2) АИСТ — автоматический измеритель солености и температуры. См. также статью А. С. Монина в настоящем сборнике (с. 77-85). — Прим. ред.

АИСТ в части определения солености не оправдались, и поэтому полученные АИСТом данные по температуре иногда трудно интерпретировать (например, отличить инверсии температуры, связанные с инверсиями плотности, от компенсированных измерением солености).

Одной из причин плохой работы АИСТа является нечеткая работа его арифметического устройства. (...) Специальной причиной неустойчивости вычисления солености и плотности по АИСТу является инерционность датчика температуры. (...) В среде с равномерно меняющейся со временем температурой АИСТ выдает температуру с запозданием примерно в 3,5 секунды. При зондировании на скорости в 1,5 м/с и градиенте в 0,1° на метр это приводит уже к ошибке в температуре в 0,5°. Сам датчик малоинерционен, но на него влияет более теплоемкий носитель. Дефект можно устранить, может быть, без радикальной переделки прибора. (...)

Из-за неудач с вычислением солености и плотности канал электропроводности на АИСТе находился в некотором пренебрежении. (...) Тем не менее при помощи АИСТа удалось получить много интересных результатов по тонкой структуре профилей температуры. Впрочем, в том состоянии, в котором АИСТ работал в рейсе, дело может идти лишь о «ступеньках» и инверсиях толщины не менее нескольких метров и перепадах температуры в несколько десятых градуса.

2. Аппаратура группы акустических методов для измерения скорости звука представляется весьма перспективной. Измеренная скорость звука с поправкой на давление в условиях наших станций зависит почти исключительно от температуры (лишь в незначительной степени — от солености). Поэтому безынерционные измерения скорости звука в принципе позволяют исследовать тонкую структуру профиля температуры с большей детальностью, чем это доступно АИСТу. (...)

3. (...) Для того чтобы при помощи аппаратуры группы акустических методов наблюдать реальные колебания скорости потока на одном и том же уровне или разности скоростей в тонких слоях, надо либо обеспечить равномерное перемещение носителя датчиков, либо иметь возможность вносить соответствующие поправки. Сами же датчики группы акустических методов в принципе могут употребляться для таких более тонких измерений.

4. Измерения скорости малоинерционными вертушками отряда турбулентности интересны в том отношении, что их возможно проводить одновременно на многих горизонтах, в частности, размещая их с обеих сторон на небольшом расстоянии от несущего турбулиметры катамарана и т. п. (...)

5. Термистеры отряда турбулентности показали себя с хорошей стороны. (...) В принципе они пригодны для записи колебаний темпера-

туры вплоть до низкочастотной компоненты турбулентных пульсаций с волновыми числами порядка 1 м-1. Но громоздка и неустойчиво работает система регистрации их показаний. Досадно, что перфорация происходит после двойного превращения: электрического сигнала — в перемещение каретки самописца и затем этого перемещения — обратно в электрический сигнал, вводимый в перфоратор.

6. Турбулентные записи велись в экспедиции только с турбулиметрами... (...) К сожалению, обработка состояла по преимуществу в стараниях оценить и исключить влияние помех (электрического происхождения, а также вызванных рысканьем катамарана и вибрациями). Эта борьба лишь иногда увенчивалась успехом. Наиболее успешными были измерения в дрейфе на станции 392, где на разных глубинах удалось получить убедительно интерпретируемые спектры пульсаций... Выделение реального турбулентного сигнала в других случаях еще требует дальнейшей работы.

7. Как видно из вышесказанного, главная трудность турбулентных измерений заключается в создании равномерно перемещающихся в среде носителей турбулиметров. Возможен другой путь — тщательной регистрации собственного движения носителя и введения соответствующих поправок. Но этот второй путь не легок. Например, по произведенным измерениям поперечные вибрации были больше продольных, а поперечные вибрации приводят к быстрой флуктуации угла атаки турбулиметров, нарушающего характер их обтекания потоком, учитывать влияние которого не просто. (...)

Обзор полученных результатов...

1. Из конкретных географических объектов наиболее широкому изучению подверглось экваториальное противотечение Кромвелла в Тихом океане. Три меридиональных разреза на 164° в. д., 160° и 110° з. д. дают представление об эволюции его характера при движении с запада на восток. (...)

На 164° в. д. течение, по-видимому, только формируется. Уже буйковая экваториальная станция указывает на большие меридиональные составляющие течения, различные на различных глубинах. Мне представляется вероятным, что характер этих отклонений от зонального направления неустойчив во времени. Здесь было бы интересно провести в будущем длительную станцию. (...)

Следует заметить, что «однородный слой» в районе течения Кромвелла можно назвать лишь «квазиоднородным». Температура в нем менее постоянна, чем это бывает обычно в экваториальном однородном слое. (...) При этих условиях, по-видимому, источником турбулентности в одном слое является не поверхностное волнение, а напряжение сдвига.

Это представление подтверждается тем, что диссипация турбулентной энергии здесь растет с глубиной.

Детальный анализ условий для турбулентного перемешивания в районе течения Кромвелла еще предстоит произвести. (...) Вероятно, общее описание течения Кромвелла, включая его меандрирование в целом или по толстым слоям, может составить содержание отдельной работы, не вдающейся глубже необходимого в вопросы турбулентности и тонкой переслоенности и опирающейся лишь на данные отряда гидрологии, измерения скорости группы акустических методов и несколько обобщенные температурные разрезы АИСТа. (...)

2. Экспедицией произведено беглое сравнительное изучение внутреннего термического фронта в Саргассовом море и аналогичного фронта к юго-востоку от Куросио... Детальная обработка всех относящихся сюда материалов отряда турбулентности и группы мелкомасштабной турбулентности еще должна быть произведена и, вероятно, составит материал для отдельной публикации. (...)

Работа отряда измерительных приборов

Отряд производил окончательную наладку комплекса измерительных приборов, предназначенных для измерения вертикального потока влаги. Был проведен обширный ряд измерений. Путем спектрального анализа выяснено, на каких волновых числах существенно происходит этот перенос на избранной высоте расположения приборов (предположительно, при увеличении этой высоты полоса существенных волновых чисел сдвигается вниз). Полученные спектры пульсаций влажности и вертикальной составляющей скорости имеют и самостоятельный интерес.

Однако основным недостатком всей работы является расположение аппаратуры вблизи борта, в зоне легко регистрируемого подъема набегающего на судно потока воздуха. Проведенная работа полезна, если будут налажены измерения разработанной и испробованной в рейсе аппаратурой в более нормальной обстановке. Быть может, на ходу судна подходящим местом для этого является носовая мачта.

А. Н. Колмогоров

Письмо В. В. Голубеву1)

Глубокоуважаемый Владимир Васильевич!

Обращаюсь к Вам как к председателю Механической секции факультетского Ученого совета. Защищавшаяся весной диссертация Г. И. Баренблатта все еще находится в неопределенном положении2). Ввиду не единодушного голосования в секции и на факультете, на Ученом совете университета было решено послать ее на дополнительный отзыв. Обращались к И. А. Кибелю, но он не пожелал познакомиться с диссертацией. Обращались к Н. А. Слезкину, но он тоже не согласился рассмотреть диссертацию и дать по ней отзыв. Согласен дать отзыв [И. А.] Чарный, который данную область механики (взвешенные частицы) знает, но я не знаю, пользуется ли он вообще достаточным авторитетом как эксперт по спорным делам.

Между тем я настаиваю на том, что диссертация Г. И. Баренблатта имеет выдающийся интерес, и если оказалась спорной, то именно потому, что содержала в себе существенно новый подход к действительно важным и нужным вещам. Поэтому затянувшееся неопределенное положение с ней является, по моему мнению, нетерпимым далее. Помимо диссертанта, задетой этой волокитой должна была бы считать себя и сама Механическая секция Совета факультета, которая могла бы поинтересоваться тем, почему вынесенное решение не утверждается. Возможно, что было бы целесообразно обсудить вопрос по существу на секции, заслушав диссертанта, оппонентов, руководителя и отсутствовавшего основного критика — М. А. Великанова. Если секция удовлетворится объяснениями диссертанта и моими, то можно было бы

1) Письмо написано А. Н. Колмогоровым предположительно во второй половине 1953 г. Текст письма публикуется по сохранившемуся в личном архиве М. В. Щегловой машинописному черновику. Формулы вставлены Андреем Николаевичем от руки. — Прим. сост.

2) Защита кандидатской диссертации Г. И. Баренблатта «О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке» проходила на секции механики Ученого совета механико-математического факультета МГУ в июне 1953 г. А. Н. Колмогоров был научным руководителем этой диссертационной работы; официальными оппонентами выступали А. М. Обухов и Ю. М. Шехтман. — Прим. ред.

обратиться в Совет МГУ, указав, что секция настаивает на утверждении своего решения.

Что касается зачитывавшегося при защите письма М. А. Великанова к декану факультета1), то оно написано в столь странных тонах, что пока я предпочитал на него не отвечать. Однако в случае Вашего желания я незамедлительно составлю подробный его разбор. Боюсь только, что в этом случае мне уже придется требовать рассмотрения вопроса о недопустимости недобросовестной научной критики и принятия соответствующего решения на этот счет2).

Искренне Вас уважающий

[А. Н. Колмогоров]

[P.S.] Г. И. Баренблатт показывал Вам более наглядное изображение тех данных работы Ванони3), интерпретация которых Вам показалась неубедительной. При этом ясно видно, что с возрастанием концентрации ß отступления от прямой, соответствующей диффузионной теории, действительно захватывают все большую область (при малой концентрации они наблюдаются для у > 0,75, при средней — при 7 > 0,40, а при большей — при у > 0,15). При защите диссертации те же точки были совмещены на одном чертеже, и у слушателей не хватило терпения следить за условными обозначениями, соответствующими различным ß.

1) Деканом механико-математического факультета был в это время Ю. Н. Работнов. — Прим. ред.

2) Полемика А. Н. Колмогорова с М. А. Великановым прослеживается и в других его текстах. Ср.: А. П. Колмогоров. К кинематике движения жидкости переменной мутности. (Дискуссия по статье члена-корреспондента АН СССР М. А. Великанова «Перенос взвешенных наносов турбулентным потоком».) // Известия АН СССР. Отделение технических наук. 1946. № 5. С. 781-784; его же: О новом варианте гравитационной теории движения взвешенных наносов М. А. Великанова // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 1954. № 3. С. 41-45. (Статья поступила в редакцию 16 декабря 1953 г.) — Прим. ред.

3) В диссертации анализируются экспериментальные данные, полученные в работе: Vanoni V. Transportation of suspended sediment by water // Proc. Am. Soc. Civ. Eng. 1944. V. 70. № 6. — Прим. ред.

Два отзыва1)

Отзыв на дипломную работу студента Успенского В. А.

Тема: «Общее определение алгоритмической вычислимости и алгоритмической сводимости»

Работа интересна в двух отношениях:

1) В ней впервые подвергнута подробному исследованию алгоритмическая сводимость вычисления функции у = у(х) к вычислению функции у = 5(х) (х и у — натуральные числа).

2) В ней подвергается более полному, чем до сих пор делалось, анализу само понятие алгоритмической вычислимости.

1) Автор приводит только одно предлагавшееся до него формально безукоризненное определение алгоритмической сводимости, которое он на стр. 22 приписывает Б. А. Трахтенброту: функция у «сводится» к функции <5, если 7 принадлежит рекурсивному замыканию 5. Автор показывает, что в действительности такая сводимость может всегда быть осуществлена очень простым каноническим образом при помощи раз навсегда заданных примитивно-рекурсивных функций т(и) и и(и) и зависящих от пары 7, S примитивно-рекурсивных функций h(u, и, w) и (р(тп). См. об этом теорему на стр. 28. Это основной новый с чисто математической точки зрения результат работы.

Определение сводимости по Трахтенброту нуждается в известном «оправдании» его соответствия интуитивной идее сводимости в смысле существования «механического» способа получения при любом х значения 7(х) в предположении, что получение значений 5(х) сделано каким-то способом «доступным» для любого X. Общие контуры возможной формализации этой идеи были намечены Поустом2). В дипломной

1) Отзыв о дипломной работе В. А. Успенского, научным руководителем которого был А. Н. Колмогоров, публикуется по машинописному оригиналу, напечатанному самим А. Н. Колмогоровым на стандартном бланке (этим объясняется предлог «на» в заголовке); формулы, а также дата и подпись проставлены рукой Андрея Николаевича. Отзыв о дипломной работе Р. 3. Хасьминского дан А. Н. Колмогоровым в качестве рецензента (научным руководителем являлся Е. Б. Дынкин); текст публикуется по оригиналу, написанному А. Н. Колмогоровым от руки. — Прим. сост.

2) Имеется в виду американский математик Пост (Е. L. Post). Написание «Поуст» заимствовано из текста дипломной работы, относящейся к времени, когда русское написание этой фамилии еще не установилось. — Прим. ред.

работе полностью воспроизведен перевод соответствующего места статьи Поуста. Автор дипломной работы, по-видимому, впервые дает соответствующее этой идее определение сводимости с полной отчетливостью и доказывает его эквивалентность определению Трахтенброта. Это тоже весьма существенное достижение автора дипломной работы.

2) Кроме того, в работе содержится хороший обзор различных предлагавшихся ранее определений алгоритмической вычислимости числовой функции у = S(x). В центре изложения помещено определение, предложенное мною, интерес которого, на мой взгляд, убедительно аргументирован автором дипломной работы. Доказана равносильность этого определения прежде предлагавшимся. В известном смысле слова этот результат можно рассматривать как «обоснование» прежних определений, так как в моем определении становится особенно ясной основная идея алгоритмической вычислимости, которая отличается от вычислимости обыкновенным реальным счетным механизмом только неограниченным объемом «запоминающего устройства» механизма.

8 мая 1952 г. А. Колмогоров

Отзыв о дипломной работе студента Р. З. Хасьминского

«Предельные распределения для функционалов от непрерывных марковских процессов»

В работе изучаются предельные (при t—>оо) распределения величины

где X(s) — однородный по времени марковский процесс. Естественно было бы ожидать, что результаты будут во многом аналогичны тем, которые были получены В. Феллером при исследовании цепей Маркова со счетным числом состояний. И действительно, при довольно широких допущениях относительно процесса и функции f(z) Р. 3. Хасьминский устанавливает, что предельные законы принадлежат неизбежно к найденным В. Феллером типам. Устанавливаются довольно широкие условия сходимости к каждому из возможных типов законов. В результатах Р. 3. Хасьминского содержатся в качестве весьма частных случаев некоторые опубликованные ранее результаты других авторов.

Работа безусловно заслуживает оценки «отлично» и после некоторой доработки должна быть опубликована.

18 мая 1954 г. А. Колмогоров

Письмо в редакцию журнала «Строительство Москвы»1)

Не являясь специалистом в данной области, я не могу судить, в какой мере сама постановка задачи оборудования перекрестка двух магистралей, данная в вашем журнале в статье В. Ходота, отвечает действительным потребностям. Однако после того, как задача отчетливо поставлена, ее решение переносится в область чисто комбинационного остроумия. Мне кажется, что на прилагаемой схеме я даю решение, удовлетворяющее всем условиям, выставленным В. Ходотом, но во многих отношениях более выгодное, чем предложенное им самим.

Для сравнения решения В. Ходота и моего, прежде чем перечислять представляющиеся мне преимущества моего решения, замечу, что:

1. Мое решение при той же ширине улиц, из которых повороты производятся, как и у В. Ходота, только на одной, осуществляется даже с несколько большими радиусами поворотов.

2. Число тоннельных сцепов в обеих схемах — одинаково. Длина тоннелей у меня скорее несколько меньше.

3. Наличие свободных полос для пропуска транспорта необычных габаритов сохраняется и в моем решении.

Основными преимуществами моего решения являются следующие: 1. Исключены даже «попутные пересечения», имеющиеся в схеме В. Ходота. Верно его замечание, что такие попутные пересечения

1) Письмо опубликовано в журнале «Строительство Москвы» (1936, № 19, с. 27), в разделе «Письма читателей».

Письмо А. Н. Колмогорова представляет собою отклик на статью В. Ходота «Оборудование перекрестка с автоматически регулируемым движением (В порядке предложения)», опубликованную в №11 за тот же 1936 год, с. 12-14. Под «автоматически регулируемым движением» В. Ходот, как можно понять из его статьи, подразумевает такую организацию движения транспортных средств, которая не требует ни регулировщиков, ни светофоров. Автор пишет: «...система регулирования уличного транспорта с помощью светофоров далеко не удовлетворяет требованиям безостановочного, безопасного и производительного движения. Эта задача может быть решена только автоматическим регулированием перекрестков с большим движением. (...) Основной трудностью проектирования перекрестка с автоматически регулируемым движением в городских условиях... является предупреждение пересечений движения при левых поворотах. (...) Описываемый ниже проект оборудования перекрестка рассчитан на полное решение этой задачи». — Прим. сост.

неизбежны при всяком движении в несколько полос, но казалось бы желательным избежать таких пересечений, связанных с необходимостью совершать их на вполне определенном коротком участке.

2. Значительно проще и удобнее у меня организация пешеходного движения — для него нужен только один тоннель на глубине трех метров, в то время как у В. Ходота требуется или тоннель на глубине десяти метров, или мостики над улицей.

3. В схеме В. Ходота часть тоннельных спусков начинается в 200-х метрах от перекрестка. У меня все спуски расположены вдвое ближе (так как устранено их последовательное расположение по одной улице).

4. Часть движения, пропускаемого через тоннели, у меня немного меньше (все правые повороты делаются на поверхности).

Профессор Московского государственного университета А. Колмогоров

ОТ РЕДАКЦИИ [журнала]

Предложенная проф. Колмогоровым схема полностью разрешает принцип беспрепятственного и беспрерывного движения на перекрестке. Однако трудности в организации движения переносятся на подходы к перекрестку, поскольку на них неизбежно вызываются пересечения лент движения. Несмотря на это, схема проф. Колмогорова представляет несомненный интерес и требует уточнения и технической проработки.

Схема разобщения движения в 2-х уровнях на перекрестке, предложенная автором письма проф. А. Колмогоровым

Приложения

Об исправлении некоторых опечаток и неточностей

В. А. Успенский

Архивные материалы, относящиеся к жизни и деятельности Андрея Николаевича Колмогорова, еще не подвергались исследованию. В этих условиях повышенную значимость приобретают воспоминания современников Колмогорова, нередко оказывающиеся единственным источником имен, дат и других сведений, связанных с великим ученым.

В 1993 г. московская издательская фирма «Физико-математическая литература» выпустила книгу «Колмогоров в воспоминаниях» объемом 35,6 уч.-изд. л. Как сообщается на ее 4-й странице, в книгу вошли статьи тех, кто откликнулся на обращение «Комиссии по научному наследию академика А. Н. Колмогорова». Появление сборника на свет пришлось на период развала государственного книгоиздательства в нашей стране. В качестве свидетеля процесса составления и издания сборника могу утверждать, что сборник не смог бы состояться без самоотверженных усилий его редактора-составителя А. Н. Ширяева. Усилий требовали и переговоры с авторами (иногда нелегкие: могу судить по себе как один из авторов), и обеспечение финансовой поддержки полиграфического производства.

В любом издании практически неизбежны опечатки. Не миновали они и обсуждаемый сборник (в нескольких из них повинен автор этих строк). Поскольку тексты сборника могут служить источником информации об А. Н. Колмогорове, целесообразно отметить наиболее существенные опечатки — а именно те, которые способны вызвать у читателя неверное представление о тех или иных реалиях. Ниже предлагается список соответствующих исправлений. Составление и публикация такого списка никоим образом не должны восприниматься как выражение каких-либо нареканий в адрес лиц, ответственных за создание сборника. И редактор-составитель Альберт Николаевич Ширяев, и заведующая редакцией Анна Петровна Баева, и заведующая производственным отделом Валентина Ивановна Осина — все они отдали сборнику часть своей души и заслуживают искренней признательности.

Итак, вот список необходимых исправлений к сборнику «Колмогоров в воспоминаниях»1).

1. С. 20, 2-я стр. сн.: напечатано [1926; 1], должно быть [1926; 2].

2. С. 133, 8-я стр. сн.: напечатано Битюкову, должно быть Битюцкову.

3. С. 134, 11-я и 10-я стр. сн.: напечатано И. В. Арнольд, должно быть B. И. Арнольд; напечатано И. И. Гельфанд, должно быть И. М. Гельфанд.

4. С. 153, 4-я стр. св.: напечатано Бардзинем, должно быть Барздинем.

5. С. 153, 6-я и 7-я стр. св.: после слова отношения нужно поставить запятую; вместо упоминаются должно быть упоминается.

6. С. 154, 13-я стр. сн.: напечатано Дионосиевых фресок, должно быть Дионисиевых фресок.

7. С. 154, 13-я стр. сн.: напечатано Шерешевского, должно быть Шершевского.

8. С. 176, 15-я стр. сн.: напечатано Гельфанд, должно быть Гельфонд.

9. С. 176, 14-я стр. сн.: неправильно указан год смерти В. Ф. Кагана — 1947; должно быть 1953.

10. С. 176, 10-я стр. сн.: напечатано Л. С. Соболев, должно быть C. Л. Соболев.

11. С. 198, 8-я стр. св.: напечатано Димитров, должно быть Дмитриев.

12. С. 324, 7-я стр. сн.: напечатано ул., должно быть дер.

13. С. 340, ил.: на плане следует показать двери из помещения 11 в помещения 3, 9 и 8. Дверь из 11 в 8 — в той стене, которая примыкает к помещению 9.

14. С. 342, сноска 33, 2-я стр. св.: напечатано 1938, должно быть 1937.

15. С. 377, 6-я стр. сн.: напечатано Ивашов-Мусатов, должно быть Ивашев-Мусатов.

16. С. 383, 7-я стр. св.: напечатано Ю. П. Прохоров, должно быть Ю. В. Прохоров.

17. С. 399, 1-я стр. св.: напечатано определенной, должно быть определений.

18. С. 412, 10-я стр. сн.: напечатано Бальзано, должно быть Бальцана.

19. С. 413, 2-я стр. св.: напечатано 1962, должно быть 1963.

20. С. 462, 17-я стр. сн.: напечатано Матиасевича, должно быть Матиясевича.

21. С. 493, 10-я и 11-я стр. сн.: напечатано персонального, должно быть первоначального.

22. С. 496, 15-я стр. св.: напечатано Ефремову, должно быть Ефремовичу.

23. С. 516, 13-я стр. сн.: напечатано Григорьевич, должно быть Георгиевич.

24. С. 524, 6-я стр. св.: напечатано Андронникова, должно быть Андроникова.

1) Здесь не приводятся опечатки в статье В. М. Тихомирова, помещенной на с. 220-279 указанного сборника, поскольку их исправляет сам автор на с. 49 настоящего издания.

25. С. 525, 4-я стр. сн.: напечатано направлениями, должно быть исправлениями.

26. С. 607, 9-я стр. сн.: напечатано 1956, должно быть 1936.

27. С. 633, 1-я стр. сн.: напечатано Г. Ф. Селиверстовым, должно быть Г. А. Селиверстовым.

28. С. 634, поз. 2 (1926): из названия статьи следует исключить слово presque.

29. С. 652, поз. 14 (1954): напечатано теории движения взвешенных насосов М. А. Великанова, должно быть теории движения взвешенных наносов М. А. Великанова.

30. С. 655, поз. 3 (1959): напечатано ветрящихся процессов, должно быть ветвящихся процессов.

31. С. 658, поз. 9 (1962): неточно описано издание, в котором опубликована статья А. Н. Колмогорова. После названия статьи должно быть: // Опарин А. И. Жизнь, ее соотношение с другими формами движения материи; Колмогоров А. Н. Жизнь и мышление с точки зрения кибернетики. Доклады на теоретической конференции философских семинаров научных учреждений АН СССР. М.: Изд-во АН СССР, 1962. (Ротапринт фундаментальной библиотеки общественных наук АН СССР.) С. 1-11 второй пагинации. (Академия наук СССР. Научный совет по философским вопросам естествознания.)

32. С. 659, поз. 14 (1963): вместо точки после названия Автоматы и жизнь нужно вставить разделитель // (так как следующее далее название Возможное и невозможное в кибернетике относится к сборнику, где помещена статья).

33. С. 661, поз. 11 (1966): напечатано Фор, Робер и др., должно быть Фор Р. и др.

34. С. 662, поз. 10 (1967): напечатано Т. Поляк, должно быть Б. Т. Поляком.

35. С. 664, поз. 7 (1967), и с. 691, поз. 1: напечатано Задача N 3, должно быть Задача М3.

36. С. 668, поз. 22 (1972): напечатано П. С. Капице, должно быть П. Л. Капице.

37. С. 669, поз. 11 (1973): напечатано Ред. к кн., должно быть Ред. и предисл. к кн.; после 899 с. нужно добавить: — Предисловие редактора перевода. — С. 6-8.

38. С. 672, поз. 7 (1975): напечатано С. 3-17, должно быть С. 269-278; напечатано Дзядык, должно быть Дзядыком.

39. С. 677, поз. 19 (1978): напечатано геометрия, должно быть планиметрия.

40. С. 683, поз. 4 (1985): напечатано о Лузине Н. И., должно быть о Лузине П. П.

41. С. 685, поз. 3 (1988): напечатано (гол. матем.) А. Рейтингу, должно быть [голл. математику] А. Гейтингу.

42. С. 701, поз. 30: то же, что и под № 36 выше.

43. С. 710, 6-я стр. св.: напечатано Библиографическая, должно быть Биографическая.

44. С. 722, поз. 51: напечатано Математик, должно быть О математике. (Об А. Н. Колмогорове.)

45. С. 724, поз. 81: после названия Наш великий современник Колмогоров вместо точки должно быть: // Колмогоров А. Н. (следующее далее Математика в ее историческом развитии является названием сборника работ А. Н. Колмогорова); после 1991. нужно добавить: — С. 11-20.

Следующие четыре опечатки относятся к статье Т. А. Дорониной «Рядом с Андреем Николаевичем» и указаны мне автором статьи.

46. С. 435, 6-я стр. сн.: следует исключить слова В. П. Леонов.

47. С. 438, 9-я стр. сн.: напечатано не тяжелы, должно быть были не тяжелы.

48. С. 440, 2-я стр. св.: напечатано Давида Сасунского, должно быть «Давид Сасунский».

49. С. 440, 3-я и 4-я стр. св.: напечатано своего, должно быть моего.

Следующая, 50-я опечатка нашего списка указана М. В. Щегловой. На с. 440, в 12-й стр. сн., вместо О. К. Гаев должно быть Р. А. Агаев. Имеется в виду Рагим Аликберович Агаев, бывший в 1949 г. начальником отдела кадров МГУ (в те годы факультеты Московского университета не имели собственных отделов кадров).

Отметим также опечатку в подписи к фотографии на с. 67: как указал А. Н. Ширяев, обозначенный там 1936 г. следует заменить более поздним годом — скорее всего, относящимся к концу 50-х — началу 60-х годов.

И еще несколько замечаний. Данное в последних строках с. 207 описание обстановки вокруг лекции А. Н. Колмогорова «Автоматы и жизнь» — тысячи слушателей в Актовом зале Московского университета, радиофикация — следует отнести к публичной лекции «Кибернетика в изучении жизни и мышления», состоявшейся 22 апреля 1964 г.; доклад же «Автоматы и жизнь», сделанный 6 апреля 1961 г. на Методологическом семинаре мехмата, происходил в более скромном помещении Дворца культуры МГУ. Дата 5 апреля, указанная на с. 657, поз. 1 (1961), в качестве даты этого доклада, правильно отражает название публикации в бюллетене «Машинный перевод и прикладная лингвистика», но не соответствует исторической реальности. Поэтому на с. 126 в 12-й стр. сн. следует заменить цифру 5 на цифру 6.

М. В. Щеглова справедливо заметила, что посвященное 50-летию А. Н. Колмогорова юбилейное заседание, состоявшееся в старом здании МГУ на Моховой, проходило не в аудитории № 74 механико-математического факультета, упомянутой в последнем абзаце на с. 335, а в Коммунистической аудитории. Однако в указанном абзаце всего лишь процитирован пригласительный билет на это заседание, а в билете была обозначена именно мехматская аудитория № 74.

На с. 603 (8-я стр. св.) сообщается, что в 1984 г. А. Н. Колмогоров выражал желание завершить свою работу по риторике. Риторикой Колмогоров никогда не занимался, и на самом деле речь идет о его стиховедческих исследованиях. Я ошибочно полагал, что слово риторика должно быть заменено здесь словом поэтика, и даже успел сообщить свое предположение ряду коллег. Как справедливо указала Н. Г. Рычкова, правильное слово в этом контексте не риторика и не поэтика, а ритмика.

На с. 428 в 1-й стр. св. упоминается о том, что мальчиком Андрей Николаевич хотел стать лесником; мне же он говорил, что в детстве хотел стать лесничим.

11 июля 1995 г.

Дополнения к колмогоровской библиографии

Л. В. Богачев, Н. Х. Розов

В 1961 году в своем знаменитом докладе «Автоматы и жизнь» А. Н. Колмогоров предложил следующую классификацию чисел:

«I. Число А назовем малым, если практически возможно перебрать все схемы из А элементов с двумя входами и выходами...

II. Число В называется средним, если мы оказываемся не в состоянии перебрать практически все схемы из В элементов, а можем перебрать лишь сами эти элементы...

III. И наконец, число С — большое, если мы не в состоянии практически перебрать такое число элементов, а можем лишь установить систему обозначений для этих элементов»1).

Неожиданный пример большого числа доставляет библиография трудов самого Андрея Николаевича. Действительно, при сопоставлении, уточнении и дополнении различных списков его работ, имеющихся в тех или иных изданиях, становится ясно, что мы пока не в состоянии перечислить все публикации А. Н. Колмогорова.

Наиболее полный и авторитетный список трудов А. Н. Колмогорова опубликован в книге «Колмогоров в воспоминаниях» (ред.-сост.

1) А. Н. Колмогоров. Математика — наука и профессия / Сост. Г. А. Гальперин. М.: Наука, 1988. С. 53. (Библиотечка «Квант». Вып. 64.) Доклад впервые опубликован в журнале «Техника — молодежи» (1961, № 10,11).

А. Н. Ширяев; M.: Наука, 1993, с. 631-733). Библиографические перечни имеются также:

в четырех номерах журнала «Успехи математических наук», в связи с юбилеями А. Н. Колмогорова, с единой нумерацией работ (1953, т. 8, вып. 3, с. 194-200; 1963, т. 18, вып. 5, с. 121-123; 1973, т. 28, вып. 5, с. 13-15; 1983, т. 38, вып. 4, с. 23-26);

в первом томе избранных трудов А. Н. Колмогорова «Математика и механика» (М.: Наука, 1985, с. 452-466);

в цитированном выше сборнике статей А. Н. Колмогорова «Математика — наука и профессия» (с. 280-286);

в статье А. М. Абрамова «О педагогическом наследии А. Н. Колмогорова» («Успехи математических наук», 1988, т. 43, вып. 6, с. 67-74; см. также с. 135-147 настоящей книги);

в мемориальной статье А. Н. Ширяева «Андрей Николаевич Колмогоров (25.IV.1903-20.X.1987)» («Теория вероятностей и ее применения», 1989, т. 34, вып. 1, с. 85-109);

в сборнике избранных работ А. Н. Колмогорова «Математика в ее историческом развитии» (под ред. В. А. Успенского, сост. Г. А. Гальперин; М.: Наука, 1991, с. 188-212).

Тем не менее до сих пор, к сожалению, отсутствует действительно научная библиография трудов Андрея Николаевича Колмогорова — выверенная, полная, с адекватным научным и справочным аппаратом. Необходимость в подготовке и публикации такой библиографии давно назрела.

Пользуясь случаем, приведем здесь известные нам дополнения к ставшему уже каноническим библиографическому списку из упомянутого сборника «Колмогоров в воспоминаниях». Некоторые из этих дополнений взяты из приведенных выше изданий, другие попали в поле нашего зрения уже при работе над настоящей книгой.

Часть новых публикаций, сведениями о которых мы располагаем, составляют впервые опубликованные работы и документы из архива А. Н. Колмогорова, а также подготовленные на основе имевшихся записей тексты его устных выступлений:

1. К обсуждению работы по проблеме «Перспективы развития советской школы на ближайшие 30 лет» // Математика в школе. 1990. № 5. С. 59-61.

2. О понятиях величины и числа / Публ. и примеч. А. М. Абрамова, В. М. Тихомирова // Историко-математические исследования. Вып. 32-33 / Отв. ред. А. П. Юшкевич. М.: Наука, 1990. С. 474-484. (См. также комментарий А. М. Абрамова и В. М. Тихомирова, там же, с. 484-487.)

3. Землевладение в новгородских пятинах XV века; О сборе налогов и порядке землепользования; Новгородское землевладение XV в. Первая часть;

[Новгородское землевладение XV в. Вторая часть] // Колмогоров А. Н. Новгородское землевладение XV века; Бассалыго Л. А. Комментарий к писцовым книгам Шелонской пятины / Предисл. В. Л. Янина. М.: Наука. Физматлит, 1994. С. 15-84.

4. О работе вузов со школами [Изложение доклада на совещании зав. кафедрами математики и методики математики, январь 1963 г.] // Математика в школе. 1995. № 2. С. 46-48.

5. Два письма А. Н. Колмогорова 1941 г. / Публ. и коммент. В. М. Тихомирова // Вопросы истории естествознания и техники. 1995. № 2. С. 123-124.

Другая часть — прижизненные публикации А. Н. Колмогорова (некоторые из них удалось разыскать лишь в самое последнее время):

6. [Письмо в редакцию] // Строительство Москвы. 1936. № 19. С. 27. (Это письмо перепечатывается также в настоящем сборнике, см. с. 236-237).

7. Пробные учебники математики (алгебра, ч. I) // Учительская газета. 1941. 23 апреля. Совм. с П. С. Александровым.

8. Встречи с Отто Юльевичем // Отто Юльевич Шмидт: Жизнь и деятельность / Отв. ред. П. С. Александров; Ред.-сост. Я. Б. Коган. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1959. С. 184-185.

9. Юношеские математические школы // Вестник высшей школы. 1959. № 11. С. 66-69. Совм. с И. М. Ягломом.

10. Наука в поиске // Неделя. 1961. № 42. С. 10-11. (Репортаж Е. Манучарова и Е. Худякова с пресс-конференции А. Н. Колмогорова и И. С. Шкловского.)

11. Искусственные разумные существа возможны // Неделя. 1962. № 5. С. 8.

12. Предисловие к кн.: Васильев Н. В., Егоров А. А. Сборник подготовительных задач к Всероссийской олимпиаде юных математиков. М.: Учпедгиз, 1963.

13. Жизнь и мышление как особые формы существования материи // О сущности жизни. М.: Наука, 1964. С. 48-57.

14. [Реферат доклада на совещании по проблемам математического образования в средней школе 25 июня 1964 г.] // Математика в школе. 1964. № 6. С. 90-91.

15. Ред. и предисловие к кн.: Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика: Элементарный очерк идей и методов / Пер. с англ. 2-е изд. М: Просвещение, 1967. С. 3. (Серия: Математическое просвещение.)

16. Физико-математические школы-интернаты // Квант. 1970. № 1. С. 58-59. Совм. с В. А. Гусевым, А. А. Егоровым, Е. Л. Сурковым.

17. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику // Новое в школьной математике / Сост. И. М. Яглом. М.: Знание, 1972. С. 181-199. (Народный университет. Естественнонаучный факультет.)

18. Полезная книга [Рецензия на книгу О. С. Ивашева-Мусатова «Начала математического анализа»] // Квант. 1973. №11. С. 74.

19. Некоторые соображения о структуре учебников математики // Проблемы школьного учебника. Вып. 3. М.: Просвещение, 1975. С. 14-17.

20. Общие проблемы математического образования в СССР // История математического образования в СССР. Киев: Наукова думка, 1975. С. 9-13.

21. Путь в математику открыт // Московский университет. 1975, 8 апреля.

22. Опыт истории математики Нового времени [Рецензия на кн.: Abrégé d'histoire des mathématiques. 1700-1900. Vol. 1, 2. Paris: Hermann, 1978.] // Вопросы истории естествознания и техники. 1980. № 3. С. 137-144. Совм. с И. Г. Башмаковой, А. И. Маркушевичем, А. Н. Паршиным, А. П. Юшкевичем.

23. Беседа с Андреем Николаевичем Колмогоровым // Квант. 1983. № 4. С. 12-15. (Беседу записал А. Б. Сосинский.)

24. [Письмо в редакцию «Историко-математических исследований»] (от 8 декабря 1983 г.) // Историко-математические исследования. Вып. 28 / Отв. ред. А. П. Юшкевич. М.: Наука, 1985. С. 337-338.

25. Ред. кол. в кн.: Энциклопедический словарь юного математика / Гл. ред. Б. В. Гнеденко; Сост. А. П. Савин. М.: Педагогика, 1985. 352 с; 2-е изд., испр. и доп. 1989. 348 с; 3-е изд., испр. и доп. 1996.

Наконец, третья группа представляет собой перепечатку уже опубликованных статей и выступлений А. Н. Колмогорова:

26. Автоматы и жизнь // Кибернетика ожидаемая и кибернетика неожиданная / Отв. ред. А. Берг и Э. Кольман; Сост. В. Д. Пекелис. М.: Изд-во АН СССР, 1968. С. 12-31.

27. Решето Эратосфена // Квант. 1984. № 3. С. 35.

28. Паркеты из правильных многоугольников // Квант. 1986. № 8. С. 3-4, 7.

29. Научные связи с Францией [Подзаголовок: Академик А. Н. Колмогоров, член президиума Общества дружбы «СССР — Франция», почетный доктор Сорбонны] / Пер. с франц. статьи, опубликованной в московской газете «Les nouvelles de Moscou» 17.02.1960; Пер. A. П. Юшкевича // Историко-математические исследования. Вып. 32-33 / Отв. ред. А. П. Юшкевич. М.: Наука, 1990. С. 487-489. (См. также: Юшкевич А. П. Об избрании А. Н. Колмогорова иностранным членом Академии наук Института Франции // Там же. С. 490-503.)

30. Математика в ее историческом развитии / Под ред. В. А. Успенского; Сост. Г. А. Гальперин. М.: Наука. Физматлит, 1991. 223 с.

31. Что такое функция // Квант. 1993. № 9/10. С. 3-12.

32. Путь в математику открыт // Квант. 1993. № 9/10. С. 60-61.

33. Введение в теорию вероятностей. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Физматлит, 1995. 176 с. Совм. с И. Г. Журбенко и А. В. Прохоровым. (Библиотечка «Квант». Вып. 23.)

34. Основные понятия теории вероятностей. 3-е изд. М.: ФАЗИС, 1998. 144 с. С приложением: А. Н. Ширяев «Математическая теория вероятностей. Очерк истории становления». (Серия «Стохастика». Вып. 1.)

Можно с уверенностью сказать, что этими дополнениями список работ А. Н. Колмогорова далеко не будет исчерпан. Остается надеяться на продолжение поисков, предвкушая ту интеллектуальную радость, которую сулят будущие находки.

Указатель имен

От составителя. В статьях этого сборника встречается много имен. В какой-то мере их список отражает «человеческую сферу» Андрея Николаевича Колмогорова — тех людей, которых он притягивал к себе и к которым притягивался сам. Мы приводим этот список с самыми краткими комментариями; заранее приносим извинения за их неполноту и возможную неточность. В ряде случаев сведения об упомянутых лицах могут быть дополнены по энциклопедиям и биографическим словарям.

Пользуясь случаем, выражаем искреннюю признательность за помощь при составлении этого именного указателя старшему архивисту Архива Управления делами МГУ Наталье Петровне Каргиной, а также А. М. Абрамову, Г. В. Белоцкой, Л. В. Богачеву, Н. Б. Васильеву, Б. М. Гуревичу, В. Н. Дубровскому, И. Клейнеру (I. Kleiner), С. М. Козелу, Ю. Н. Макарычеву, Г. Г. Масловой, Н. Н. Нехорошеву, Н. Г. Рычковой, Г. С. Смирновой, Н. И. Солнцевой, В. М. Тихомирову, В. А. Успенскому, В. В. Фирсову, Р. С. Черкасову.

Абрамов Александр Михайлович (р. 1946) — математик и педагог, член-корр. РАО, директор Московского института развития образовательных систем (МИРОС); ученик А. Н. Колмогорова, его соавтор по учебникам для средней школы; один из 19 первых выпускников школы-интерната при МГУ 8-10, 12, 27, 37, 48, 95, 99, 133, 138, 141, 145, 154, 185, 243

Абрамов Леонид Михайлович (1931-1995) — математик и экономист, доцент эконом, ф-та ЛГУ 53

Адамар (Hadamard) Жак Саломон (1865-1963) — патриарх франц. математики, член Парижской АН, иностр. почетный член АН СССР 68, 154, 200

Александер (Alexander) Джеймс Уодделл (1888-1971) — амер. математик, член Нац. АН США 18, 70

Александров Александр Данилович (1912-1999) — математик, академик, ректор ЛГУ (1952-1964) 132, 145

Александров Павел Сергеевич (1896-1982) — математик, академик, зав. кафедрой высшей геометрии и топологии МГУ (1943-1982); ученик Н. Н. Лузина, ближайший друг А. Н. Колмогорова 23, 27, 37, 38, 40, 49, 50, 67, 69, 73, 89, 102-104, 106, 111, 135, 137, 138, 140, 143, 145, 146, 163, 177, 178, 191, 195, 197, 198, 200-202, 205, 208, 244

Алексеев Валерий Борисович (р. 1948) — математик, доктор физ.-мат. наук, доцент ф-та ВМиК МГУ, один из 19 первых выпускников школы-интерната при МГУ 108

Алексеев Владимир Михайлович (1932-1980) — математик, профессор МГУ, ученик А. Н. Колмогорова 53, 54, 65, 67, 106, 110, 171

Аносов Дмитрий Викторович (р. 1936) — математик, академик 53

Арнольд Владимир Игоревич (р. 1937) — математик, академик, президент Моск. матем. общ-ва, ученик А. Н. Колмогорова; получил совместно с А. Н. Колмогоровым Ленинскую премию (1965) за работы по классической механике 10, 18, 22-25, 52, 54, 63, 65, 67, 71, 86, 106, 108, 110, 162, 165, 171, 190, 196, 203, 211

Архипов Геннадий Иванович (р. 1945) — математик, профессор МГУ, один из 19 первых выпускников школы-интерната при МГУ 110

Ахманова Ольга Сергеевна (1908-1991) — филолог, зав. кафедрой англ. языка МГУ, профессор 111

Бабенко Константин Иванович (1919-1987) — математик, член-корр. АН СССР, профессор МГУ 53

Баренблатт Григорий Исаакович (р. 1927) — механик, профессор, ученик А. Н. Колмогорова 11, 54, 90, 232, 233

Барздинь Ян Мартынович (р. 1937) — математик, доктор физ.-мат. наук 169

Бари Нина Карловна (1901-1961) — математик, профессор МГУ, ученица Н. Н. Лузина 40, 67

Бассалыго Леонид Александрович (р. 1941) — математик, доктор физ.-мат. наук, ученик А. Н. Колмогорова 12, 38, 167, 244

Бахрушин Сергей Владимирович (1882-1950) — историк, член-корр. АН СССР, ученик В. О. Ключевского 16, 44, 63, 101, 177

Башмаков Марк Иванович (р. 1937) — математик и педагог, действ, член РАО, профессор; один из организаторов школы-интерната при ЛГУ 168

Беляев Юрий Константинович (р. 1932) — математик, профессор МГУ, ученик А. Н. Колмогорова 32, 46, 54, 65, 67, 138

Березин Феликс Александрович (1931-1980) — математик, доктор физ.-мат. наук; трагически погиб во время лодочного путешествия 59

Бернштейн Сергей Натанович (1880-1968) — математик, академик 68, 72

Бескин Николай Михайлович (1904-1993) — математик и педагог 156

Биркгоф (Birkhoff) Джордж Дейвид (1884-1944) — амер. математик, член Нац. АН США 124

Благой Дмитрий Дмитриевич (1893-1984) — литературовед, член-корр. АН СССР, действ. член АПН СССР 114

Богачев Леонид Викторович (р. 1953) — математик, доцент мех.-мат. ф-та МГУ 11, 242

Боголюбов Николай Николаевич (1909-1992) — математик и физик-теоретик, академик 52, 72

Болтянский Владимир Григорьевич (р. 1925) — математик и педагог, член-корр. РАО, автор учебников геометрии для средней школы 104, 115, 121, 138, 139

Большев Логин Николаевич (1922-1978) — математик, член-корр. АН СССР, профессор МГУ, ученик А. Н. Колмогорова 54, 67

Борель (Borel) Эмиль (1871-1956) — франц. математик, член Парижской АН, иностр. член-корр. АН СССР, видный деятель движения за реформу школьного математического образования 54, 100, 129, 154

Боровков Александр Алексеевич (р. 1931) — математик, академик, ученик А. Н. Колмогорова 54

Браузр (Brouwer) Лёйтзен Эгберт Ян (1881-1966) — голл. математик, член Нидерландской королевской АН 68

Булинский Александр Вадимович (р. 1952) — математик, профессор МГУ, ученик А. Н. Колмогорова 67

Бурбаки (Bourbaki) Никола — собирательный псевдоним группы математиков во Франции, авторов многотомного трактата «Начала математики» («Eléments de mathématique»), выходящего с 1939 г., в котором предпринята попытка изложить все важнейшие разделы математики с позиций формального аксиоматического метода 58, 59, 148

Буховцев Борис Борисович (1925-1987) — физик и педагог, доцент физ. ф-та МГУ, автор школьных учебников 110

Вавилов Валерий Васильевич (р. 1946) — математик, зав. кафедрой математики Специализированного учебно-научного центра (СУНЦ) МГУ, многолетний сотрудник А. Н. Колмогорова по школе-интернату при МГУ 139, 141, 163, 168

Ванони (Vanoni V. А.) — амер. механик 233

Васильев Николай Борисович (1940-1998) — математик, многолетний сотрудник А. Н. Колмогорова по проведению математических олимпиад, член редколлегии журнала «Квант» 9, 102, 145, 158, 159, 162, 163, 167, 169, 171, 244

Вейль (Weyl) Герман (1885-1955) — нем. математик, член Нац. АН США 68

Великанов Михаил Андреевич (1879-1964) — гидролог, член-корр. АН СССР, зав. кафедрой физики руслового процесса МГУ 232, 233

Вершик Анатолий Моисеевич (р. 1933) — математик, профессор С.-Петербургского университета 53

Винер (Wiener) Норберт (1894-1964) — амер. математик и кибернетик 73, 160, 176

Виноградов Иван Матвеевич (1891-1983) — математик, академик, в 1932-1983 гг. — директор Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР (МИАН) 68, 72, 73

Витушкин Анатолий Георгиевич (р. 1931) — математик, академик, профессор МГУ 53, 54

Вишик Марко Иосифович (р. 1921) — математик, профессор МГУ 67

Власов Алексей Константинович (1868-1922) — математик, профессор Московского университета, один из учителей А. Н. Колмогорова 50

Воронин Сергей Михайлович (1946-1997) — математик, профессор Московского педагогического гос. университета (МПГУ), один из 19 первых выпускников школы-интерната при МГУ 110

Выготский Лев Семенович (1896-1934) — психолог 148

Гальперин Григорий Александрович (р. 1953) — математик, ученик А. Н. Колмогорова 12, 38, 137, 141, 145, 156, 201, 242, 243, 245

Гаспаров Михаил Леонович (р. 1935) — филолог, академик 16, 193

Гедель (Godel) Курт (1906-1978) — австр. логик и математик, член Нац. АН США 17, 68, 90

Гельфанд Израиль Моисеевич (р. 1913) — математик, академик, ученик А. Н. Колмогорова 25, 37, 53, 54, 67, 68, 72, 100, 135, 171, 190

Гельфонд Александр Осипович (1906-1968) — математик, член-корр. АН СССР, профессор МГУ 40, 42, 67, 72, 103

Герасимов Николай Иванович (1924-1972) — филолог, преподаватель фил. ф-та МГУ, в 60-х гг. преподавал рус. язык и литературу в школе-интернате при МГУ 111

Гервер Михаил Львович (р. 1938) — математик и геофизик, доктор физ.-мат. наук 106

Гильберт (Hilbert) Давид (1862-1943) — нем. математик, один из крупнейших ученых XX века, иностр. почетный член АН СССР 7, 19, 22-24, 37, 38, 42, 52, 67-71, 88, 200, 203

Гирсанов Игорь Владимирович (1934-1967) — талантливый математик, трагически погиб в туристском походе 53, 54, 168

Гливенко Валерий Иванович (1897-1940) — математик, профессор Московского пед. института им. К. Либкнехта, ученик Н. Н. Лузина 40, 143

Гнеденко Борис Владимирович (1912-1995) — математик, академик АН Украины, зав. кафедрой теории вероятностей МГУ (1966-1995), ученик А. Я. Хинчина и А. Н. Колмогорова; получил совместно с А. Н. Колмогоровым премию им. П. Л. Чебышева АН СССР (1951) за монографию «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» 9, 32, 40, 48, 67, 100, 137, 138, 145-147, 168, 191, 245

Голубев Владимир Васильевич (1884-1954) — математик и механик, член-корр. АН СССР, ученик Д. Ф. Егорова; зав. кафедрой аэродинамики МГУ (1933-1935, 1938-1954), первый декан мех.-мат. ф-та МГУ (1933-1935, 1944-1952) 11, 103, 232

Гончар Андрей Александрович (р. 1931) — математик, академик 54

Гусев Валерий Александрович (р. 1942) — педагог и методист, зав. кафедрой методики преподавания математики Московского педагогического гос. университета (МПГУ), профессор, соавтор А. Н. Колмогорова по школьным учебникам 139-141, 244

Гутенмахер Виктор Львович (р. 1943) — математик, один из организаторов Всесоюзной заочной математической школы (ВЗМШ) 159

Делоне Борис Николаевич (1890-1980) — математик, член-корр. АН СССР, зав. кафедрой высшей геометрии МГУ (1935-1943) 69, 102, 103, 167, 188, 189

Дмитриев Николай Александрович (р. 1924) — математик, ученик А. Н. Колмогорова 73

Добрушин Роланд Львович (1929-1995) — математик, профессор, ученик А. Н. Колмогорова 53, 54, 67

Дородницын Анатолий Алексеевич (1910-1994) — математик, геофизик и механик, академик 66, 146

Дынкин Евгений Борисович (р. 1924) — математик, член Нац. АН США, ученик А. Н. Колмогорова 54, 67, 234

Егоров Андрей Александрович (р. 1939) — математик и педагог, многолетний сотрудник А. Н. Колмогорова по школе-интернату при МГУ, журналу «Квант» и олимпиадам 9, 110, 139, 145, 162, 163, 169-171, 185, 244

Егоров Дмитрий Федорович (1869-1931) — математик, член-корр. АН СССР, один из создателей Московской математической школы, учитель Н. Н. Лузина 67

Ерохин Владислав Дмитриевич (1935-1961) — талантливый математик, ученик А. Н. Колмогорова; трагически погиб в горах 53, 54, 65

Ершов Андрей Петрович (1931-1988) — математик, академик 9, 100, 132, 148, 156

Жирмунский Виктор Максимович (1891-1971) — филолог, академик 16, 193

Журбенко Игорь Георгиевич (р. 1938) — математик, профессор, ученик А. Н. Колмогорова; ныне прож. в США 46, 67, 140, 141, 196, 207, 245

Зализняк Андрей Анатольевич (р. 1935) — лингвист, академик 37, 90, 111

Зельдович Яков Борисович (1914-1987) — физик-теоретик, академик 114

Земляков Александр Николаевич (р. 1950) — математик и педагог, многолетний сотрудник А. Н. Колмогорова по школе-интернату при МГУ 109, 159, 168, 169

Зигель (Siegel) Карл Людвиг (1896-1981) — нем. математик 68

Золотарев Владимир Михайлович (р. 1931) — математик, профессор МГУ, ученик А. Н. Колмогорова 54, 67, 103, 212

Ибрагимов Ильдар Абдуллович (р. 1932) — математик, академик 196

Иванов Вячеслав Всеволодович (р. 1929) — лингвист, профессор МГУ 22

Ивашев-Мусатов Олег Сергеевич (р. 1927) — математик, доцент мех.-мат. ф-та МГУ, соавтор А. Н. Колмогорова по школьным учебникам алгебры и начал анализа; сын А. Д. Колмогоровой 100, 137-139, 141, 244

Ивлев Борис Михайлович (1946-1990) — математик и педагог, многолетний сотрудник А. Н. Колмогорова по школе-интернату при МГУ (1966-1990), соавтор по школьным учебникам алгебры и начал анализа; один из 19 первых выпускников интерната 109, 138, 141, 169

Иоффе Абрам Федорович (1880-1960) — физик, академик 203

Ишлинский Александр Юльевич (р. 1913) — механик, академик, зав. кафедрой прикладной механики МГУ 114

Каган Вениамин Федорович (1869-1953) — математик, зав. кафедрой дифференциальной геометрии МГУ (1933-1953), профессор 40, 67

Канторович Леонид Витальевич (1912-1986) — математик и экономист, академик, лауреат Нобелевской премии по экономике (1975) 73, 131, 138

Капица Петр Леонидович (1894-1984) — физик, академик, лауреат Нобелевской премии по физике (1978) 144, 168, 203

Каратеодори (Carathéodory) Константин (1873-1950) — нем. математик 65

Карацуба Анатолий Алексеевич (р. 1937) — математик, профессор МГУ 106, 110

Каргин Валентин Алексеевич (1907-1969) — физикохимик, академик 114

Карлов Николай Васильевич (р. 1929) — физик, член-корр. РАН, ректор МФТИ 153, 168

Карман (Karman) Теодор фон (1881-1963) — нем. механик 51

Картан (Cartan) Анри Поль (р. 1904) — франц. математик, член Парижской АН 68

Картан (Cartan) Эли Жозеф (1869-1951) — франц. математик, член Парижской АН 68

Катаев Георгий Иванович (р. 1929) — физик, доцент физ. ф-та МГУ; сын И. И. Катаева 110, 208

Катаев Дмитрий Иванович (р. 1937) — сын И. И. Катаева, химик 208

Катаев Иван Иванович (1902-1939) — советский писатель, погиб в сталинских лагерях; сын И. М. Катаева 208

Катаев Иван Матвеевич (1875-1946) — дядя А. Н. Колмогорова, брат Н. М. Катаева; историк, профессор Магнитогорского пединститута 208

Катаев Матвей — дед А. Н. Колмогорова, отец Н. М. Катаева; сельский священник 208

Катаев Николай Матвеевич (ум. 1919) — отец А. Н. Колмогорова; по образованию агроном 208

Келдыш Людмила Всеволодовна (1904-1976) — математик, профессор МГУ, ученица Н. Н. Лузина, сокурсница А. Н. Колмогорова 181

Келдыш Мстислав Всеволодович (1911-1978) — математик и механик, академик, президент АН СССР (1961-1975), профессор МГУ 72, 163

Кибель Илья Афанасьевич (1904-1970) — математик, гидромеханик и метеоролог, член-корр. АН СССР 232

Кикоин Исаак Константинович (1908-1984) — физик, академик, один из инициаторов создания школы-интерната при МГУ, гл. редактор журнала «Квант» (1970-1984) 28, 107, 110, 112, 114, 147, 158, 159, 163, 168

Ким Юлий Черсанович (р. 1936) — поэт, драматург, бард; преподавал историю, обществоведение и литературу в школе-интернате при МГУ, руководил школьным театром, автор интернатского гимна; в 1968 г. был вынужден уйти из школы в связи с участием в правозащитном движении; в 1969-1985 гг. работал под псевдонимом Ю. Михайлов 110, 166

Клейн (Klein) Феликс (1849-1925) — патриарх нем. математики, член-корр. Берлинской АН, иностр. член-корр. Петербургской АН 116, 200

Клини (Kleene) Стивен Коул (1909-1994) — амер. математик, член Нац. АН США 148

Козлов Михаил Васильевич (р. 1943) — математик, ученик А. Н. Колмогорова 46

Колмогоров Степан Петрович — прадед А. Н. Колмогорова по материнской линии 207, 208

Колмогоров Яков Степанович — дед А. Н. Колмогорова по материнской линии; в его имении под Ярославлем прошло детство А. Н. Колмогорова 207, 208

Колмогорова (Егорова) Анна Дмитриевна (1903-1988) — жена А. Н. Колмогорова; училась с ним в гимназии Репман 31, 100, 183

Колмогорова Вера Яковлевна (1865-1951) — тетя А. Н. Колмогорова (сестра М. Я. Колмогоровой), со дня рождения заменившая ему мать 207, 208

Колмогорова Мария Яковлевна (ум. 1903) — мать А. Н. Колмогорова; умерла при родах 207

Константинов Николай Николаевич (р. 1932) — математик и педагог, «патриарх» московского математического олимпиадного движения, организатор «Турнира городов» 168-170

Корнейчук Николай Павлович (р. 1920) — математик, член-корр. АН Украины 53

Королюк Владимир Семенович (р. 1925) — математик, академик АН Украины 53, 54

Кузнецов Петр Саввич (1899-1968) — лингвист, профессор МГУ; друг А. Н. Колмогорова, провел с ним детство в ярославском имении Я. С. Колмогорова, оставил воспоминания об этом периоде своей жизни 17, 22, 38

Курант (Courant) Рихард (1888-1972) — нем. и амер. математик, иностр. член АН СССР 145, 148, 244

Курчатов Игорь Васильевич (1903-1960) — физик, академик 73

Кушниренко Анатолий Георгиевич (р. 1943) — математик, доцент мех.-мат. ф-та МГУ 106, 172

Лаврентьев Михаил Алексеевич (1900-1980) — математик и механик, академик, председатель Сибирского отд. АН СССР (1957-1975), ученик Н. Н. Лузина 40, 72, 107, 145, 163, 182

Лебег (Lebesgue) Анри Леон (1875-1941) — франц. математик, член Парижской АН, иностр. член-корр. АН СССР 68, 145

Леонов Виктор Петрович (1934-1960) — талантливый математик, ученик А. Н. Колмогорова; трагически погиб в альпинистском походе 53, 54, 65, 66, 92-94

Леонтович Андрей Михайлович (р. 1941) — математик, в 60-х гг. принимал активное участие в работе со школьниками (кружки, олимпиады, школа-интернат при МГУ) 106

Леонтович Михаил Александрович (1903-1981) — физик-теоретик, академик 41, 114

Лере (Leray) Жан (р. 1906) — франц. математик, член Парижской АН, иностр. член АН СССР 68

Лихачев Дмитрий Сергеевич (р. 1906) — литературовед и текстолог, академик 16

Лузин Николай Николаевич (1883-1950) — математик, академик, профессор МГУ; ученик Д. Ф. Егорова, один из создателей Московской математической школы, учитель А. Н. Колмогорова 10, 35, 36, 40, 49, 50, 69, 73, 147, 148, 177, 180-183, 188, 202

Лукашенко Тарас Павлович (р. 1948) — математик, профессор МГУ 110

Люстерник Лазарь Аронович (1899-1981) — математик, член-корр. АН СССР, зав. кафедрой функционального анализа МГУ (1935-1941); ученик Н. Н. Лузина 42, 73, 103

Ляпунов Алексей Андреевич (1911-1973) — математик, член-корр. АН СССР 103, 107

Макарычев Юрий Николаевич (р. 1922) — методист и педагог, автор учебника алгебры для средней школы 115

Малиновский Александр Александрович (1909-1996) — биолог, доктор биол. наук, принимал участие в первых в СССР исследованиях по генетике 41

Мальцев Анатолий Иванович (1909-1967) — математик, академик, ученик А. Н. Колмогорова 144

Манин Юрий Иванович (р. 1937) — математик, член-корр. РАН 67

Марков Андрей Андреевич (1903-1979) — математик, член-корр. АН СССР, зав. кафедрой математической логики МГУ (1959-1979) 148

Маркушевич Алексей Иванович (1908-1979) — математик и педагог, вице-президент АПН РСФСР (1950-1958, 1964-1967) и АПН СССР (1967-1975) 67, 103, 114, 115, 131, 135, 144, 168, 245

Мартин-Леф (Martin-Löf) Пер (p. 1932) — швед, математик, ученик А. Н. Колмогорова 54

Марутян Александр Николаевич (р. 1946) — драматург и кинорежиссер-документалист, автор фильма «Рассказы о Колмогорове» 10, 75, 76, 80, 183, 184, 214

Маслова Галина Герасимовна (р. 1920) — педагог и методист, в 60-х гг. была заместителем А. Н. Колмогорова в математической секции Центральной комиссии по определению содержания среднего образования АН СССР и АПН СССР 100, 115, 140

Матвеев Ростислав Федорович (р. 1934) — математик, доктор физ.-мат. наук, ученик А. Н. Колмогорова 53, 54

Медведев Юрий Тихонович (р. 1929) — математик, ученик А. Н. Колмогорова 53, 54

Меньшов Дмитрий Евгеньевич (1892-1988) — математик, член-корр. АН СССР, зав. кафедрой теории функций и функционального анализа МГУ (1943-1979), ученик Н. Н. Лузина 40, 67, 103, 182, 202

Мешалкин Лев Дмитриевич (р. 1934) — математик, профессор МГУ, ученик А. Н. Колмогорова 54, 65, 67

Митягин Борис Самуилович (р. 1937) — математик, профессор МГУ; ныне прож. в США 53, 54

Михалевич Владимир Сергеевич (1930-1994) — математик, академик, ученик А. Н. Колмогорова 54

<