ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЖИЗНЬ В НАУКЕ

МИНКОВСКИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО «ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

80-летию Орловского государственного университета посвящается

ВЛАДИМИР ЛЬВОВИЧ МИНКОВСКИЙ

ПЕДАГОГ. ИСТОРИК. МЕТОДИСТ

К 100-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ

Орёл-2011

УДК 51 (09С) Минковский В.Л. ББК 22.1 г

Печатается по решению редакционно-издательского совета Орловского государственного университета от 20. 06. 2011 г., протокол № 10.

M 619 Минковский Владимир Львович - педагог, историк, методист.

К 100-летию со дня рождения. Автор-составитель Тарасова О.В. - Орел: ФГБОУ ВПО «ОГУ», 2011. - 276 с.

ISBN

В настоящем издании предлагается исследование научно-педагогического наследия видного педагога-математика Владимира Львовича Минковского, внесшего существенный вклад в развитие математического образования России.

Приводится ряд статей, фрагментов из книг В.Л. Минковского, фотографии, воспоминания учеников и коллег.

Книга адресована преподавателям вузов, учителям математики, аспирантам и студентам педагогических вузов, а также для всех тех, кто интересуется историей математического образования.

УДК 51 (09С) Минковский В.Л. ББК 22.1 г

ISBN 978-5-9929-0139-9 О Орловский государственный университет, 2011

О Кафедра геометрии и методики преподавания математики, 2011

О Тютюнова Ю.М., оформление обложки, 2011

Предисловие

В 2011 году исполняется 100 лет со дня рождения видного педагога-математика Владимира Львовича Минковского (24.09.1911- 17.03.1978), одного из постоянных авторов статей, публикуемых журналом «Математика в школе» в 40-70-е годы XX века, автора книг, вышедших в издательстве «Учпедгиз» и «Просвещение».

Владимир Львович более 20 лет работал на физико-математическом факультете Орловского государственного педагогического института. Период работы в нашем вузе стал для учёного временем активного творческого действия, плодотворной научно-педагогической деятельности.

Сфера моих научных интересов связана с историей отечественного математического образования. Ещё, будучи аспиранткой, была приятно удивлена, когда «натолкнулась» на статью в журнале «Математика в школе», автором которой был незнакомый тогда для меня В.Л. Минковский (в скобках написан родной город Орёл). Среди моих тогдашних учителей на физико-математическом факультете такого преподавателя не было, а статьи в старых журналах встречались вновь и вновь. Годы шли, теперь я работаю на физмате, и только сейчас для меня открываются всё новые и новые страницы истории родного факультета. За это благодарю дорогих моему сердцу талантливых Преподавателей с большой буквы: Александрову Галину Алексеевну, Беляеву Ирину Севериановну, Ветрова Владимира Владимировича, Ильину Надежду Александровну, Квасову Людмилу Борисовну, Кречетову Галину Алексеевну, Крючкову Раису Михайловну, Ноздрина Александра Ивановича, Подрез Елену Артемовну, Проскурину Раису Гавлиловну, Романову Нину Валентиновну, Селютина Владимира Дмитриевича, Судзиловскую Татьяну Артемьевну. Общение с ними, работа в архиве, библиотеке позволили мне постичь всю глубину и масштабность личности Владимира Львовича Минковского.

Присоединяясь к мнению его учеников, коллег, могу с уверенностью сказать, что для нас, сотрудников Орловского государственного университета, является предметом особой гордости осознание факта, что рядом с нами, в стенах родного университета работал и творил Учёный и Учитель с большой буквы - Владимир Львович Минковский.

Тарасова О.В.

1. Основные этапы жизненного пути

Владимир Львович Минковский родился 24 сентября 1911г. в г. Воронеже в семье врача. С 1923 г. Владимир обучался в Воронежской школе второй ступени №3 с педагогическим уклоном. Окончил её в 1928 году. Как свидетельствует Удостоверение, выданное Главным Управлением Социального Воспитания и Политехнического Образования, в течение курса обучения приобрел знания и навыки в объёме курса, установленного программами НКП для школ второй ступени, по следующим предметам : обществоведению, родному языку и литературе, математике, естествознанию, химии, физике, географии, немецкому языку, изобразительным искусствам, музыке и пению, физкультуре.

Участвовал в следующих видах общественно-полезной работы внутри и вне школы: член Исполбюро, принимал участие в общественно-организационной работе.

Во втором концентре второй ступени согласно программам, установленным Наркомпросом СССР, для школ с педагогическим уклоном (школьное отделение) в них изучались предметы: Содержание и методы педагогической работы в школе первой ступени, Методика родного языка и математики, Педология, Педагогическая практика, Труд (в школьных мастерских: столярной и переплетной), обязательным было проведение практических занятий в школах первой ступени в течение 2-х лет.

За время пребывания в школе обнаружил особую склонность к обществоведению и русскому языку.

В. Минковский 1926 г.

В 1933 г. Владимир Львович закончил математическое отделение физико-математического факультета Воронежского государственного педагогического института1. Ему было присвоено звание педагога и право преподавать математику во всех учебных заведениях: десятилетке, техникуме и рабфаке.

Воронежский государственный педагогический университет

Ростовский государственный педагогический университет

С 1.09.1932 по 1.09.1934 гг. Владимир Львович работал ассистентом в Воронежском государственном педагогическом институте. В архиве Орловского госуниверситета сохранилась следующая справка:

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Воронежский Государственный Педагогический Институт

г. Воронеж, ул.Ленина, 86. Телефон № 51-59

30 апреля 1951 года, № 0-41

СПРАВКА2

Дана В.Л. Минковскому в том, что он в Воронежском государственном педагогическом институте под руководством проф. Дернова вел с 1 сентября 1932 г. по 1 сентября 1933 г. следующие курсы: 1) курс элементарной математики у биологов II к. Педагогического института; 2) курс методики математики у математиков III к. Педагогического института; 3) курс высшей математики у биологов II к. заочного отделения Педагогического института; 4) курс методики математики у математиков III к. заочного отделения Педагогического института.

1 Воронежский государственный педагогический университет (ВГПУ) основан в 1931 году. Однако его предшественник - учительский институт в Воронеже - был открыт еще в 1914 году. Декретом Наркомпроса его переименовали (1920) в институт народного образования (ИНО), который спустя год стал педагогическим факультетом ВГУ. В 1931 году на базе педагогического факультета был образован Воронежский педагогический институт. Активными его создателями стали такие выдающиеся педагоги, как П. В. Каптерев, Н. К. Вентцель, С. В. Иванов, А. К. Димитриу, А. Н. Ясинский, знаменитый автор учебников по математике А. П. Киселев.// http://www.usvpu.ru/vuzes/vspu/

2 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л. 15.

С 1 сентября 1933 г. по 1 сентября 1934 г. вел самостоятельно следующие курсы: 1) курс методики математики у математиков III к. Педагогического института; 2) курс методики математики у математиков III к. вечернего отделения Педагогического института; 3) курс высшей математики у биологов II к. заочного отделения Педагогического института. Директор Воронежского Пединститута, доцент: А. Сергеев Секретарь: Т. Вирская

В течение одного года - с 1.09.1934 по 1.09.1935 гг. В.Л. Минковский является аспирантом Ростовского-на-Дону государственного педагогического института. Окончил аспирантуру по специальности математический анализ и методика математики при Ростовском пединституте.3 Все экзамены были сданы на «отлично».

Справка из Ростовского на Дону государственного педагогического и Учительского института об окончании В.Л. Минковским в 1935 году аспирантуры по специальности математика с методикой

3 Ростовский государственный педагогический университет (с 2007 года -Педагогический институт Южного федерального университета) восходит своими корнями к Варшавскому Русскому Императорскому университету, основанному в 1869 году. В годы Первой мировой войны, в 1915 году этот университет был эвакуирован в Ростов-на-Дону и стал называться Донским, а позже Северо-Кавказским (РГУ). В 1930 году из его педагогического факультета и был создан педагогический институт, нынешний университет. После некоторых дискуссий 1930-1931 учебный год считается датой рождения РГПУ.// http://rspu.edu.ru

Магнитогорский государственный университет (ранее Магнитогорский педагогический институт)

С 1935 г. по 1940 г. Владимир Львович работал в Магнитогорском пединституте4, читал курсы математический анализ и методика преподавания математики. В Личном деле В.Л. Минковского об этом периоде жизни есть запись:

«С 1.09.1935 г. по 8.02.1936 г. является исполняющим обязанности доцента Магнитогорского государственного педагогического института, город Магнитогорск.

С 8.02.1936 г. по 25.11.1939 г. работает заведующим кафедрой математики Магнитогорского государственного педагогического института, город Магнитогорск.

С 25.11.1939 г. по 5.02.1940 г. - исполняющий обязанности декана факультета Магнитогорского государственного педагогического института, город Магнитогорск»..5

Доброе имя Владимира Львовича вписано в историю Магнитогорского педагогического института. Летопись теперь уже университета хранит в себе историческое событие: «Официальной датой рождения Магнитогорского государственного университета (МаГУ) можно считать 1 октября 1932 г. - день открытия вечернего индустриально-

4 Официальной датой рождения Магнитогорского государственного университета (МаГУ) можно считать 1 октября 1932 г. - день открытия вечернего индустриально-педагогического института с математическим, физическим, химическим, историческим факультетами.// http://www.masu.ru/

5 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.20.

педагогического института с математическим, физическим, химическим, историческим факультетами. ... Из года в год росло число преподавателей: от шести преподавателей в 1932 г. до 25 штатных преподавателей и 5 совместителей в 1940 г. В основном сюда приезжали выпускники центральных вузов страны. Преподаватели подбирались по известному принципу: «Все лучшее -для Магнитогорска!» Поэтому уже в составе первой группы педагогов вуза в Магнитогорск прибыли М. Д. Василенко (будущий директор института), специалист в области педагогики П. М. Селезнев (позже - заместитель директора института), В. И. Попов, читавший курс истории СССР, А. Н. Капустин - преподаватель физики, В. Л. Минковский - математик, Л. М. Ауслендер - литератор. Это были молодые, талантливые и перспективные научные работники».6

В отзыве на работу Владимира Львовича, подписанном директором института М.Д. Василенко и зам. директора по учебной части П.М. Селезневым, сказано, что «за время работы в институте показал себя добросовестным, инициативным научным работником и обеспечивал высокое качество лекций, участвовал в научно-исследовательской работе, написал ряд статей, помещенных в журнале «Математика в школе», выступал с докладами на научных конференциях других институтов; работал над диссертацией на степень кандидата наук, закончил таковую и должен был защищать в 1940 году. В институте руководил математическим академическим кружком из студентов, вовлекая студентов в научно-исследовательскую работу кафедры, кроме того принимал активное участие в общественной работе, состоял членом месткома, а затем председателем, являлся членом городской избирательной комиссии в период выборов в Верховный Совет. Тов. Минковский В.Л. показал себя как хороший товарищ, умеющий жить и работать в коллективе».

Летом 1940 года Владимир Львович готовился к защите кандидатской диссертации в Москве. В личном архиве В.Л. Минковского есть справка7, выданная ему выдающимся советским математиком, доктором физико-математических наук, профессором МГУ имени М.В. Ломоносова М.Я. Выгодским8 о том, что Владимир Львович работал в Москве под его руководством в период с 5 марта 1940 года по 15 июля

6 http://www.masu.ru

7 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.19.

8 Выгодский М.Я. (2 октября 1898, Минск-26 сентября 1965, Пятигорск) - выдающийся советский математик, доктор физико-математических наук (1938), профессор МГУ им. М.В. Ломоносова (1931-1948) и Тульского государственного педагогического университета (в то время Тульского педагогического института) (1952). Автор целого ряда учебников и справочников по математике, один из основателей советской историко-математической школы, переводчик сочинений Кеплера, Монжа, Эйлера. Прах М.Я.Выгодского захоронен на Новодевичьем кладбище Москвы//http://ru.wikipedia.org

1940 года в качестве прикрепленного к научно-исследовательскому институту математики и механики Московского государственного университета с целью подготовки к защите кандидатской диссертации на тему «История иррационального числа».

Справка выдана В.Л. Минковскому доктором физико-математических наук профессором М.Я. Выгодским

Война перечеркнула все планы и Владимира Львовича, и всех жителей нашей страны. Только спустя семь лет суждено было свершиться намеченному.

В личном архиве В.Л. Минковского сохранилось благодарственное письмо выпускников Магнитогорского педагогического института, датированное 11 июня 1936 года. Приводим его содержание полностью.

С сентября 1940 года В.Л. Минковский перешел на работу в Немпединститут9. Как свидетельствуют исторические сведения - на 1 сентября 1940 г. в институте - 609 студентов, из них 196 немецкой национальности (32%), в учительском из 394 - 203 (58%)10.

Владимир Львович читал курсы: математический анализ и методика преподавания математики.

Во время Великой отечественной войны Энгельский пединститут был переведён в г. Маркс. В октябре 1941 г. институт был закрыт. Владимир Львович остался работать в этом городе в средней школе. В.Л. Минковского высоко ценили и уважали как грамотного специалиста высокого уровня. В Личном архиве сохранилась Характеристика на Владимира Львовича декана физико-математического факультета Немгоспединститута, подписанная директором института Князевой. В характеристике сказано, что «за время работы в НГПИ тов. Минковский показал себя добросовестным и инициативным научным работником, обеспечивающим высокое качество лекций. За высокое качество производственной работы, умелое сочетание её с общественной работой премирован. В общественной жизни института принимает активное участие - член МК. Политически развит».

Немпединститут. Фасад здания. 1940 г. (Энгельсский краеведческий музей.)

9 Немецкий государственный педагогический институт (Немпединститут) (Deutsche Pädagogische Hochschule in Pokrowsk/Engels) - высшее учебное заведение для подготовки преподавателей семилетних и средних школ, техникумов Немреспублики и учебных заведений в местах компактного проживания немецкого населения СССР, существовавшее в 1929-41 в АССР НП. Открыт в Покровске (с 18 октября 1931 -Энгельс) 1 октября 1929 постановлением Совнаркома РСФСР от 5 октября 1928 в составе двух факультетов: лингвистического (немецкий язык и литература) и социально-экономического, а также курсов дошкольных работников. // http://wolgadeutsche.ru/engels

10 http://wolgadeutsche.ru/lexikon/_Nempedinstitut.htm

В автобиографии он об этом периоде написал: «В связи с войной Энгельский пединститут был переведён в г. Маркс. Здесь в октябре 1941 г. институт был ликвидирован. Я, оставшись из-за эвакуированных ко мне родственников, перешёл на работу в среднюю школу в качестве директора и преподавателя математики в 8-10 классах».11 Личное дело В.Л. Минковского сообщает об этом периоде жизни ученого следующее: «С 20.07. 1940 по 1.10.1941 работает старшим преподавателем, заведующим кафедрой, временно исполняющим обязанности декана факультета в Немецком государственном педагогическом институте, г.Энгельс и г.Маркс, Саратовской области. С 1.10.1941 по 31.10.1945 работает директором и преподавателем средней школы №5, г. Маркс, Саратовской области».12

В трудные военные годы тыл всеми силами поддерживал фронт, не стояла в стороне и школа, директором которой был Владимир Львович. Нами обнаружена справка, выданная 14 августа 1945 г. Главным управлением формирования и боевой подготовки Бронетанковых механизированных войск Красной Армии, свидетельствующая о том, что на средства, внесенные учителями и учениками средней школы №5 г. Маркса построен танк и передан частям Гвардии генерал-майора танковых войск тов. Кравченко.

11 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.2-3.

12 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.20.

Владимир Львович награждён Указом Президиума Верховного Совета СССР от 6 июня 1945 года медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.».

Согласно приказу №55 по Саратовскому областному отделу Народного образования от 8 октября 1945 года, директор средней школы №5 г.Маркса тов. Минковский от работы освобожден и откомандирован в распоряжение Шадринского педагогического института Курганской области на основании распоряжения НКП РСФСР.

С 1 ноября 1945 года по 19 сентября 1950 года Владимир Львович работает в Шадринском педагогическом институте в должности заведующего кафедрой математики, а с 23 июля 1947 года по 30 августа 1949 года работает и деканом физико-математического факультета.

Летопись Шадринского государственного педагогического института хранит в себе имя Владимира Львовича Минковского.

«Трудные военные и послевоенные годы закалили молодых девушек и юношей. Не обделена заслуженными наградами и Анна Михайловна Дежнева (Иовлева): «За доблестный и самоотверженный труд в годы Великой Отечественной войны», «Ветеран труда», «За долголетний добросовестный труд». По окончании Шадринского учительского института она работала учителем математики и физики в Корюковской школе Катайского района, затем преподавала в школах Шадринска и в финансовом техникуме. В 1959 году она заочно закончила физико-математический факультет. Анна Михайловна была депутатом Городского Совета народных депутатов. «Учили нас замечательные преподаватели, которые давали очень хорошие лекции, интересно было их слушать: В.Л. Минковский (математический анализ), Д.К. Кноль (высшая алгебра и теория чисел)». ... Доцент В.Л. Минковский приехал в Шадринск, имея 13-летний стаж работы в вузах страны (Ростовский, Магнитогорский, Энгельсовский и Марксовский пединституты) и в школах г. Маркса. Он имел опыт работы ассистента, зав. кафедрой, декана, завуча и директора школы. С 1947 года он - кандидат педагогических наук. В нашем институте он был деканом с сентября 1947 по июнь 1949 г. В.Л. Минковский читал лекции по математическому анализу и методике преподавания математики. Отличался интеллигентностью, высокой математической культурой, феноменальной памятью. После Шадринска В.Л. Минковский работал в Орловском пединституте, стал известным в стране ученым-методистом».13

Шадринский государственный педагогический институт. 1950-е годы

13 http://shgpi.edu.ru/

В Личном деле В.Л. Минковского сохранилась автобиография, написанная в период работы в Шадринском педагогическом институте.

Автобиография14

Я, Минковский Владимир Львович, родился в 1911 году в г. Воронеже.

Отец мой — врач, умерший в 1937 г.; мать — домашняя хозяйка, ныне - пенсионерка.

В 1928 г. окончил Воронежскую среднюю школу №3 с педуклоном, в 1933 г. математическое отделение физико-математического факультета Воронежского пединститута, а в 1935 г. аспирантуру по специальности математический анализ и методика математики при Ростовском пединституте.

С 1935 г. по 1940 г. работал в Магнитогорском пединституте, а с 1940 г. в Энгельском. В названных институтах обеспечивал чтение курсов математического анализа и методики математики.

В связи с войной Энгельский пединститут был переведён в г. Маркс. Здесь в октябре 1941 г. институт был ликвидирован. Я, оставшись из-за эвакуированных ко мне родственников, перешёл на работу в среднюю школу в качестве директора и преподавателя математики в 8-10 классах.

В 1945 г. по распоряжению заместителя министра просвещения т.Новикова был переведён на работу в Шадринский пединститут, где и работаю по настоящее время в качестве заведующего кафедрой математики.

В 1947 г. в Московском областном педагогическом институте защитил диссертацию на степень кандидата педагогических наук (методика математики), а в 1948 г. утверждён в учёном звании доцента по кафедре «Математика».

Имею 9 печатных работ, опубликованных в «Учёных записках Тюменского пединститута» (1939), в журнале «Математика в школе» (1939, 1941, 1946, 1948, 1949) и в журнале «Советская педагогика» (1947).

За свою работу в высшей и в средней школе получил несколько премий, награжден Почётной грамотой Магнитогорского городского исполнительного комитета, Саратовского ОблОНО и медалью за доблестный труд в Великой отечественной войне 1941-1945 гг.

Член ВКП (б) с марта 1944 г.

14 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.2-3.

От обязанной заведующего кафедрой математики В.Л. Минковский освобождается в связи с переводом в другой институт. Владимира Львовича ждал Орловский государственный педагогический институт, который стал последним местом работы ученого.

Наиболее важным событием, произошедшим в период работы в Шадринском педагогическом институте, является защита кандидатской диссертации.

Стремление стать учёным было большим и сильным. Спустя два с небольшим года после войны его мечта сбылась. Под руководством Д. Д. Мордухай-Болтовского 16 октября 1947 года Владимир Львович в Московском областном педагогическом институте на заседании Учёного Совета физико-математического факультета защитил кандидатскую диссертацию на степень кандидата педагогических наук по теме: «Опровержение ложных доказательств как средство развития математического мышления учащихся». Официальными оппонентами выступали: профессор А.П. Юшкевич и профессор И.К. Андронов. Результаты тайного голосования на Совете факультета: «за» - 12 человек, «против» - 4 человека. Результаты тайного голосования на Совете института: «за» - 25 человек, «против» - 2 человека. В итоге на основании состоявшейся защиты диссертации Учёный Совет института постановил присудить В.Л. Минковскому учёную степень кандидата педагогических наук по методике математики. Учёным секретарём совета МОПИ был в это время профессор И.К. Андронов. Выписка из протокола была подписана им.

Решением Совета Московского Областного Педагогического Института от 11 декабря 1947 г. (протокол №7) В.Л. Минковскому присуждена учёная степень кандидата педагогических наук. Диплом кандидата наук МПД №00147.15

15 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.6.

ВЫПИСКА из протокола №7 заседания Учёного Совета института 11 декабря 1947 г. О защите диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук В.Л. Минковского

Телеграмма В.Л. Минковскому от И.К. Андронова о присвоении Владимиру Львовичу степени кандидата наук

Решением Высшей Аттестационной комиссии от 25 декабря 1948 г. (протокол №24) В.Л. Минковский утверждён в учёном звании доцента по кафедре «Математика». Диплом доцента МДЦ №05877.16

ВЫПИСКА из протокола №24 от 25 декабря 1948 г. ВЫСШЕЙ АТТЕСТАЦИОННОЙ КОМИССИИ ПРИ МИНИСТЕРСТВЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР Об утверждении В.Л. Минковского в учёном звании доцента (Шадринский педагогический институт)

16 Архив ОГУ, Личное дело ВЛ. Минковского №487. (№104) Л.7.

Окончание семилетки, г.Воронеж, 1926 г. Верхний ряд, слева направо, 3-й В. Минковский

Воронежская школа второй ступени, 1928 г. Верхний ряд, слева направо, 2-й В. Минковский

Студенческие годы

Б.г.

Второй ряд, слева направо, 3-й В.Л. Минковский

Первый выпуск Магнитогорского учительского института, физико-математический факультет, 1936 г.

Физико-математический факультет Магнитогорского пединститута, б.г. В центре В.Л. Минковский

3-й выпуск средней школы №5 г. Маркса 1943/44 уч.год Второй ряд слева направо: 5-й В.Л. Минковский

Надпись на фото:

Многоуважаемому директору школы Владимиру Львовичу Минковскому от учащихся 1 «А» класса 1944/45 уч.год

Б.г.

Владимир Львович принимает экзамен

Б.г.

Надпись на фотографии: Любимому преподавателю Владимиру Львовичу Минковскому от студентов I курса физико-математического факультета Шадринского государственного педагогического института, апрель 1947 г.

1-й ряд слева направо: 4-й В.Л. Минковский, б.г.

Надпись на фотографии: Любимому преподавателю и декану Владимиру Львовичу от студентов выпускников IV курса физмата Шадринского государственного педагогического института, 1949 г.

1-й ряд слева направо: 4-й В.Л. Минковский, Б.г.

2. Д.Д. Мордухай-Болтовской - учитель В.Л. Минковского

Пырков В.Е.

В 1933 году, по окончании математического отделения Воронежского пединститута, для подготовки к ученому званию и продолжения обучения в аспирантуре, В.Л. Минковский прибывает в г. Ростов-на-Дону. Именно здесь, в недавно открытом Ростовском педагогическом институте (1931), ему суждено было заложить фундамент своей научной подготовки и сформировать основные интересы в области математики, её истории и методики обучения, которым он был верен на протяжении всей жизни. Эти интересы во многом определились под влиянием непосредственного руководителя Владимира Львовича, в то время уже известного ученого, крупного математика - Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовского.

Д.Д. Мордухай-Болтовской (1876-1952) - представитель петербургской математической школы, которая, по его образному выражению, «жила под солнцем Чебышева», и к которой «на правах внука» он причислял и себя, обучаясь у его непосредственных учеников: А.А. Маркова, К.А. Поссе, А.Н. Коркина и других выдающихся математиков17.

Окончив физико-математический факультет Санкт-Петербургского университета (1898) и будучи оставлен для подготовки к профессорскому званию под руководством К.А. Поссе, Д.Д. Мордухай-Болтовской начал свою педагогическую деятельность в Варшавском политехническом институте в качестве ассистента проф. Г.Ф. Вороного, а затем также и проф. В.А. Анисимова. В 1906 г. он получил ученую степень магистра чистой математики за большую монографию «О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным», представленную в Петербургский университет в качестве диссертации.

В 1907 г. вместе с частью преподавательского состава Варшавского политехнического института Д.Д. Мордухай-Болтовской был направлен в Новочеркасск для налаживания учебной работы во вновь открытом Донском политехническом институте. Здесь он в качестве профессора читал лекции и вел практические занятия по различным отделам высшей математики. В 1909 г. он был переведен на службу в Варшавский университет экстраординарным профессором по кафедре чистой математики, которую он возглавил после смерти проф. Г.Ф. Вороного.

В 1915 г. Варшавский университет был эвакуирован в Ростов-на-Дону, где назывался затем Донским (1917-1925), Северо-Кавказским (1925-1931), Ростовским (с 1931). Д.Д. Мордухай-Болтовской был профессором этого университета (1915-1942, 1947-1950), а также профессором

17 ПФА РАН. Ф. 821. Оп. 1. Д. 123. Л. 2.

Ростовского (1931 -1942), Пятигорского (1943-1945, 1950-1952) и Ивановского педагогических институтов (1945-1947).

Научные интересы Д.Д. Мордухай-Болтовского были весьма разнообразны, что не помешало ему в каждой из исследуемых областей получить значительные результаты. Оставаясь приверженцем петербургской математической школы, он занимался проблемами интегрирования в конечном виде. Наиболее крупными работами в этой области явились его монографии «Об интегрировании в конечном виде линейных дифференциальных уравнений» (1910) и «Об интегрировании трансцендентных функций» (1913)18.

Довольно близко к этим работам по идеям и методам стоит полученное Д.Д. Мордухай-Болтовским решение 22-й проблемы Гильберта о гипертрансцендентности дзета-функции Римана. Работа, содержащая этот результат, была опубликована в «Известиях Варшавского политехнического института» в 1913 г., но из-за начавшихся военных действий и эвакуации Варшавского университета почти весь тираж выпуска с публикацией погиб, и она осталась неизвестной. В 1920 г. другое решение этой проблемы дал М.А. Островский, ученик академика Д.А. Граве. Распространив свой метод на функции более общего типа, Д.Д. Мордухай-Болтовской опубликовал с некоторыми дополнениями полученные им ранее результаты в журнале японского университета в Тохоку (1932).

Д.Д. Мордухай-Болтовскому удалось значительно продвинуть исследования трансцендентных чисел. Цикл этих работ начинается заметкой «К теории трансцендентных чисел» (1913), в которой автор достаточно близко подошел к решению 7-й проблемы Гильберта19. В четырех работах, опубликованных во французском журнале «Comptes Rendus» (1923-1924), он дал оригинальное доказательство

18 Первую из этих работ Д.Д. Мордухай-Болтовской планировал представить в качестве докторской диссертации, оппонентами были И.Л. Пташицкий и В.А. Стеклов. Последний посчитал работу абсурдной, и защита была провалена. Только в 30-е годы идеи, содержащиеся в этой работе, обратили на себя внимание ленинградских математиков, а в 1952 году, уже после смерти Д.Д. Мордухай-Болтовского, они полностью были подтверждены в докторской диссертации киевского математика К.Я. Латышевой. По мнению профессора Самарского университета Л.М. Берковича, высказанного в отзыве на автореферат к диссертации автора очерка, «если бы не была отвергнута докторская диссертация Д.Д. Мордухай-Болтовского, то Россия была бы родоначальницей очень важной области математики, а именно дифференциальной алгебры».

19 Эта проблема была полностью решена в 1934 г. А.О. Гельфондом. В своей монографии «Трансцендентные и алгебраические числа» (1952) он дает указание на результаты, полученные Д.Д. Мордухай-Болтовским, а относительно его статьи «О некоторых свойствах трансцендентных чисел первого класса» (1927) академик А.О. Гельфонд написал, что «значение её в теории трансцендентных чисел очень велико, и знакомство с ней обязательно для всех интересующихся этими вопросами».

трансцендентности числа é и отсутствия алгебраической зависимости между числами е и 7Г, ввел ряд новых понятий, поставил новые проблемы. Жак Адамар, представляющий эти работы в Парижской АН, охарактеризовал их как «прекраснейшее из приложений идей Эрмита, открывающее новые пути в теории трансцендентных чисел»20. Последняя из работ Д.Д. Мордухай-Болтовского по этой теме («О гипертрансцендентных функциях и гипертрансцендентных числах») была опубликована в Докладах АН СССР в 1949 г. Среди других работ в области математического анализа можно выделить исследования по теории функций комплексного переменного, теории целых функций и др.

Около половины работ Д.Д. Мордухай-Болтовского посвящены геометрии. Он заинтересовался ей еще в самом начале своей научной деятельности: первая его работа - «О кривизне плоских кривых» -относится к 1907 г. В автобиографии 1946 г., анализируя свой путь в науке, 70-летний профессор записал: «В геометрии меня преимущественно интересовали построения как на Эвклидовой, так и на не-Эвклидовой плоскости, вопросы аксиоматические и более всего многомерные пространства в особенности доказательство стереометрических теорем проектированием из четырехмерного и пятимерного пространства в трехмерное. Эти последние работы привлекли внимание голландских и советских математиков»21.

В пространстве Лобачевского Д.Д. Мордухай-Болтовской работал над вопросами механики (вывел основные уравнения динамики); дифференциальной геометрии (изучил кривые Бертрана, определил кривизну плоской и пространственной кривой); синтетической геометрии (построил теорию трансверсалей, исследовал различные вопросы четырехмерного пространства Лобачевского). Исследования Д.Д. Мордухай-Болтовского в области геометрических построений в пространстве Лобачевского были продолжены его учеником Н.М. Несторовичем в кандидатской и докторской диссертациях.

В области классической дифференциальной геометрии Д.Д. Мордухай-Болтовской исследовал кривизны высших порядков и вопросы теории сетей Чебышева на поверхности. Им впервые был предложен метрический принцип двойственности и определены двойственные метрические понятия. Отдельный цикл работ составляют исследования по многомерной геометрии и теории многогранников и кристаллических форм. Эти работы были тесно связаны с деятельностью Д.Д. Мордухай-Болтовского по созданию геометрического кабинета, не имеющего аналогов по многообразию своих экспонатов (о нем см. далее).

20 Цит. по статье: Несторович Н.М. По поводу 40-летия научной, педагогической и общественной деятельности профессора Д.Д. Мордухай-Болтовского // Известия РГПИ. Т.Х. 1940. С.5.

21 Архив Южного федерального университета (ЮФУ). Ф. Р-46. Оп. 22. Д. 63. Л. 86-87.

Следует отметить работы Д.Д. Мордухай-Болтовского в области математической биологии. Его «Биологическая аксиоматика»22 получила высокую оценку отечественного биолога и эволюциониста А.А. Любищева. В 1934 г. Д.Д. Мордухай-Болтовской опубликовал результаты исследования по теме «О парашютах и планерах в растительном и животном царствах», где поставил ряд задач математической биологии, относящихся к вопросам аэро- и гидромеханики, а в 1936 г. в «Ученых записках» Ростовского университета было опубликовано его обширное исследование «Геометрия радиолярий». Эта работа явилась пионерской в области исследования топологической структуры планктонных организмов — радиолярий, произведений живой природы, структура которых подобна фуллеренам - наноразмерным модификациям углерода. Как отмечают специалисты, «по систематичности и тщательности проработки проблемы она [работа Д.Д. Мордухай-Болтовского. - В.П.] не превзойдена до сих пор. Впрочем, правильнее будет сказать, что она практически забыта вместе с именем автора»23. В 2011 году в Санкт-Петербурге на конференции по нанотехнологиям было выражена заинтересованность в переиздании этой работы Д.Д. Мордухай-Болтовского и введении её в широкий научный оборот24.

Много внимания уделял Д.Д. Мордухай-Болтовской историко-математическим исследованиям. Знание древних (греческий, латынь) и современных иностранных языков позволило ему собрать по первоисточникам и обработать богатый фактический материал. Наиболее известными его работами по истории математики являются переводы на русский язык математических работ Ньютона (1937) и 15-ти книг «Начал» Евклида (1948-1950), снабженные обширными комментариями. Д.Д. Мордухай-Болтовским написан ряд очерков, содержащих характеристику научного творчества В.А. Анисимова (1909), И.П. Долбни (1912), А. Пуанкаре (1913), Н.Я. Сонина (1916), И. Ньютона (1927) и других ученых.

В 1928 г. в «Известиях» Северо-Кавказского университета была опубликована серия из шести его очерков по истории математики: «Два основных источника методов решения уравнений», «Генезис современного числа», «Первые шаги буквенной алгебры», «Аксиоматика XVII века», «Генезис и история теории пределов», «Философские элементы в эволюции методических идей в математике первой половины XIX века». Аналитический обзор этих работ был дан учеником Д.Д. Мордухай-

22 Не опубликована, хранится в ПФА РАН (Ф. 821. Оп. 1. Д. 49).

23 Цит. по книге: Кац Е.А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры: Родословная форм и идей. — М.: ЛКИ, 2008. С. 194.

24 Об этом нам сообщил один из участников конференции, проф. Е.А. Кац из Национального центра солнечной энергии и Университета им. Бен-Гуриона в Негеве (Израиль).

Болтовского по Донскому университету М.Я. Выгодским в сборнике «На борьбу за материалистическую диалектику в математике» (1931).

В послевоенные годы Д.Д. Мордухай-Болтовским были написаны и подготовлены к изданию (но не были опубликованы) «Курс математического анализа с историческими комментариями»25 и «Сборник работ по истории математики»26. Для лучшего понимания его отношения к истории математики и к роли исторических исследований в образовании, приведем выдержку из предисловия к этому сборнику: «Сочинение это принадлежит перу человека, который больше педагог, чем историк. Педагог же прежде всего психолог, для него главный интерес в душе учащегося, а не во внешних обстоятельствах и в истории, фокус его внимания - это индивидуальная или массовая психология. Вот отчего и чисто психологический подход к различным историческим проблемам в этом сочинении, и постоянно выступающие связи с вопросами методическими. В параллель душе взрослого человека времени прошедшего приводится душа ребенка настоящего времени»27. Для творчества Д.Д. Мордухай-Болтовского характерно тесное переплетение работ по истории математики с методическими исследованиями. Руководимые им методические работы, обязательно включали в себя историко-математический компонент. Даже лекционный курс, который он разработал и стал читать на отделении математики Донского университета с 1916/17 академического года назывался «История и методика математики»28.

Стоит заметить, что к истории математики проявляли интерес все ученики Д.Д. Мордухай-Болтовского, работавшие в Ростовском университете, но наибольших успехов достигли на этом поприще М.Я. Выгодский, P.A. Симонов (обучавшийся у Д.Д. в Пятигорском пединституте) и В.Л. Минковский.

Вообще, библиография научных работ Д.Д. Мордухай-Болтовского, насчитывающая 315 опубликованных исследований и около полутора сотен ненапечатанных рукописных работ29, содержит также труды по философским вопросам математики, психологии математического мышления, математической логике30, аксиоматике и даже филологии и истории.

25 ГАРО. Ф. Р-46. Оп. 10. Д. 57. Л. 48.

26 ПФА РАН. Ф. 821. Оп. 1. Д. 130—136.

27 ПФА РАН. Ф. 821. Оп. 1. Д. 130. Л. 1 (выделение в цитате принадлежат Мордухай-Болтовскому).

28 Программа этого курса сохранилась: ГАРО. Ф. 527. Оп. 1. Д. 449.

29 См. Санкт-Петербургский филиал архива РАН (ПФА РАН). Ф. 821. Оп. 1.

30 По вопросам математической логики и «металогики» Д.Д. Мордухай-Болтовской вел оживленную переписку с Дж. Пеано. См. подробнее: Государственный архив Ростовской области (ГАРО) Ф. Р-46. Оп.1. Д. 177; Демидов С.С. Джузеппе Пеано и

Исключительная роль принадлежала Д.Д. Мордухай-Болтовскому и в деле подготовки молодых кадров для университета и пединститута, а также организации аспирантуры в этих учреждениях. Целью аспирантуры в его понимании должна быть не сама по себе защита диссертации, а подготовка к научной деятельности и получение широкого и глубокого математического образования. Только через аспирантуру Д.Д. Мордухай-Болтовским было подготовлено 36 человек, защитивших кандидатские и докторские диссертации.

Он был очень требователен к работам своих аспирантов, вследствие чего уровень их работ был весьма высок. Так, будущий известный математик и специалист в области теории целых функций, проф. Б.Я. Левин, обучавшийся в аспирантуре у Д.Д. Мордухай-Болтовского одновременно с В.Л. Минковским, представил руководителю по окончании аспирантуры свою кандидатскую диссертацию, но получил её обратно с рекомендациями по существенной доработке. Переведясь в следующем году в Харьковский университет и представив там свою диссертацию в прежнем виде, по результатам её защиты ему была присвоена степень сразу доктора физико-математических наук31.

Учились у Д.Д. Мордухай-Болтовского и другие видные отечественные математики. Среди них Н.В. Ефимов — будущий профессор МГУ и декан мехмата, доктор физ.-мат. наук, лауреат Международной премии им. Н.И. Лобачевского; М.Ф. Субботин — профессор ЛГУ, доктор физ.-мат. наук, чл.-корр. АН СССР; И.С. Куклес -профессор Самаркандского университета, чл.-корр. АН УзССР; профессор А.Ф. Бермант - автор известного учебника по математическому анализу для втузов; Д.В. Клетеник - автор популярного сборника задач по аналитической геометрии; известные историки математики профессор М.Я. Выгодский и профессор P.A. Симонов. Создатель и первый директор института кибернетики АН СССР академик В.М. Глушков писал под руководством Д.Д. Мордухай-Болтовского свою дипломную работу по теории функций.

Иногда профессору приходилось работать одновременно с 10—15 аспирантами, и только благодаря необычайной эрудиции и широкому выбору тем, продолжающих его собственные исследования, эта работа оказывалась не только возможной, но и вполне успешной.

Но если с университетской аспирантурой положение дел обстояло более или менее ясно, то аспирантура в педагогических институтах вызывала множество вопросов. В то время как Наркомпрос предлагал аспирантуру только университетского образца, Д.Д. Мордухай-Болтовской неоднократно выступал за создание методической аспирантуры:

российское математическое сообщество его времени // Историко-математические исследования. Вып. 14 (49). 2011. С. 25-40.

31 Из воспоминаний Б.Н. Саморукова, записанных в 2003 г. автором очерка.

«Педагогический институт, как профессиональный вуз, готовящий школьных преподавателей, должен иметь и свою специфическую область исследовательской работы — методику»32.

Д.Д. Мордухай-Болтовской четко осознавал разницу между аспирантурой университетской, требующей специализированной подготовки в области математики, и аспирантурой педагогической, требующей подготовки математиков-методистов. Будучи участником и одним из почетных председателей II Всероссийского съезда преподавателей математики (1913-1914), он в своих философских, методологических и дидактических очерках по поводу докладов съезда отмечал, что «проблема создать ученого: научить знанию и научной работе - более простая проблема, чем проблема, создать учителя: научить учить»33. «Педагогическая аспирантура, - писал Д.Д. Мордухай-Болтовской, - встает перед нами, как трудная, но, на мой взгляд, крайне важная и вполне разрешимая проблема, о которой следует много поговорить и много подумать»34. Для того чтобы понять причину этих трудностей, обрисуем ситуацию, сложившуюся с педагогической аспирантурой в Ростовском пединституте в те годы, которые пришлись на момент обучения в ней В.Л. Минковского.

Во-первых, кандидатуры потенциальных аспирантов набирались дирекцией института и никоим образом не обсуждались с руководителем; более того, руководитель даже не допускался к приемным испытаниям в аспирантуру. В основном это были аспиранты-выдвиженцы, получившие, как и В.Л. Минковский, базовое образование в других периферийных вузах. В одном из отчетов 1934 г. имеется следующая запись: «На факультете имеется подготовительная группа аспирантов-горцев в числе 7 человек»35. Были случаи, когда в аспирантуру выдвигались и принимались «активисты», не получившие вследствие неуспеваемости высшего образования. Как отмечал Д.Д. Мордухай-Болтовской, студенты «попадались чаще посредственные, чем хорошие», но так как и последние не имели педагогического стажа, то методическая работа и с ними оказывалась весьма затрудненной. В этих условиях Д.Д. Мордухай-Болтовской, как он сам пишет, «находился в таком же положении, как портной, которому поручается сделать костюм из гнилого материала».

32 Мордухай-Болтовской Д.Д. Об аспирантуре в педагогических институтах // Народное образование». 1948. Вып. 4. С. 39.

33 Мордухай-Болтовской Д.Д. Второй всероссийский съезд преподавателей математики // Варшавские университетские известия. 1915. №1. С.66.

34 Мордухай-Болтовской Д.Д. Об аспирантуре в педагогических институтах // Народное образование». 1948. Вып. 4. С. 42.

35 Батырев А.А. Физико-математический факультет // XX лет Ростовского государственного университета. Ученые записки (юбилейный выпуск). Ростов-на-Дону. 1935. С.93.

Во-вторых, существовала проблема с защитой: университеты старались уклониться от методических диссертаций, а многие периферийные пединституты, как и Ростовский, не имели права приема к защите. На страницах журналов была развернута дискуссия, в ходе которой предлагалось в аспирантуру по методике направлять только в Москву. В то же время у большинства университетских профессоров бытовало мнение, что методики как науки вообще не существует и не может существовать, что методика — «ненаучный придаток чего-то». Наблюдая такое отношение к методике и методической аспирантуре, Д.Д. Мордухай-Болтовской писал: «Я всегда удивлялся той узости взглядов, которая наблюдалась у людей, гордых своими может быть и важными открытиями в специальных областях, за границы которых они не могут выйти. ... Отрицается методика просто потому, что её не знают, что методические проблемы далеки даже от тех лиц, которые привлекаются к составлению учебников. ... Интерес к методике со стороны того или иного научного работника становится часто ему в вину, понижает в глазах коллег степень его учености»36. Сам Д.Д. Мордухай-Болтовской считал методику наукой будущего, таящей в себе огромные возможности для развития. Свое видение мира сквозь призму математики он распространил и на методику её преподавания: «Если аксиоматика ставит логическую проблему — найти доказательство положения, исходя только из данной группы аксиом, то методика ставит психологическую проблему — найти доказательство положения, исходящее только из группы предпосылок для данного возраста»37.

Следует сказать, что проблемы методики обучения математике всегда интересовали Д.Д. Мордухай-Болтовского. Начало его методических исканий можно отнести к 1898 г., когда он начал преподавательскую деятельность в качестве руководителя практических занятий по математике в Варшавском политехническом институте.

В опубликованном в 1907 г. сборнике упражнений по математическому анализу особый интерес представляют не только подбор и классификация задач, но и те методические рекомендации, которые автор сформулировал во вступлении, изложив различные способы ведения практических занятий в зависимости от поставленных целей. Сборник этот был настолько удачен, что неоднократно переиздавался (в том числе на иностранных языках) и служил некоторое время настольным задачником для изучающих высшую математику.

В последующие годы интерес Д.Д. Мордухай-Болтовского к методико-математическим проблемам заметно возрастает. В 1908 г. в журнале «Вопросы философии и психологии» появляется его большое

36 Мордухай-Болтовской Д.Д. Об аспирантуре в педагогических институтах // Народное образование». 1948. Вып. 4. С. 40.

37 Там же.

исследование «Психология математического мышления». В нем раскрываются причины того, почему «не все могут ею [математикой. — В.П.] заниматься и очень немногие желают ею заниматься». Также в этой статье Д.Д. Мордухай-Болтовской высказывает свое представление о математике, главное педагогическое значение которой, по его мнению, «состоит в том, что в математике, преимущественно перед другими предметами, ученику предоставляется самостоятельная умственная работа». Д.Д. Мордухай-Болтовской был в составе русской национальной подкомиссии Международной комиссии по преподаванию математики (1910)38 и присутствовал на двух Всероссийских съездах преподавателей математики (1912-1914). Публикуя обстоятельные отчеты об этих съездах, он попутно давал оценки обсуждаемым вопросам и высказывал свои методические и педагогические взгляды39.

Участие Д.Д. Мордухай-Болтовского, одного из немногих представителей профессуры, в работе Всероссийских съездов преподавателей математики укрепило его стремление к методической работе. Как и в других областях научного знания, его деятельность на этом поприще оказалась необычайно плодотворной.

В методических статьях, опубликованных в отечественных изданиях, наиболее полно представлены вопросы, связанные с преподаванием геометрии. В основном эти статьи помещены на страницах журналов «Математика в школе», его предшественника «Физика, химия, математика и техника в советской школе», «Математическое просвещение» и в «Ученых записках» пединститутов (Ростовского и Пятигорского)40. Среди них имеются как исследования общего характера, касающиеся проблем школьной геометрической терминологии (1932), методики геометрических определений (1940) и школьного геометрического доказательства (1931), так и частные: например, методические проблемы, относящиеся к поверхностям и объемам (1938). Укажем еще на статью «Геометрия как наука о пространстве» (1940), в которой рассматриваются методические проблемы наглядной, рационалистической, формально-логической и гипотетической геометрий.

Отметим работу «Математические ошибки в науке и школе» (1940), посвященную изучению школьных математических ошибок и их связи с ошибками в математике как науке. Возможно, именно эта статья

38 См. подробнее: Бычков Б.П. Международная комиссия по математическому образованию // Математика в школе. №5. 1970. С.83-86.

39 См. подробнее: Пырков В.Е. Анализ Д.Д. Мордухай-Болтовского работы Всероссийских съездов преподавателей математики // Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики. Историко-математический и историко-методический аспекты. Вып. 4. Калуга, 2002. С. 131—136.

40 См. библиографию работ Д.Д. Мордухай-Болтовского: http://pyrkovve.narod.ru/bibliograf.html

послужила отправной точкой для дальнейшего развития в диссертационном исследовании В.Л. Минковского (об этом см. далее).

Вопросы частной методики рассматриваются также в статьях «Математика и логика в школе» (1935), «Принцип непрерывности и его методическое значение» (1950), «Функции в арифметике» (1925).

В творчестве Д.Д. Мордухай-Болтовского многообразно представлены исследования по истории методики математики. Значение этих исследований хорошо аргументировано в статье «Основы арифметики в середине XVIII в.» («Математика в школе», 1941, № 4). В журнале «Математическое образование» опубликованы историко-методические исследования, посвященные методам наложения и исчерпывания в элементарной геометрии (1928, № 3 и №6), а также освещающие проблемы ненатурального и апагогического доказательства в их историческом развитии (1929, №1). Журнал «Математика в школе», помимо уже указанной статьи, опубликовал на своих страницах исследования по истории и методике математического символа (1948, №1), а также обзор немецких учебников по элементарной математике (1932, №1).

Некоторые педагогические и методические работы Д.Д. Мордухай-Болтовского вышли за рубежом. Две из них, опубликованные в виде статей, касаются актуальной в то время проблемы обучения взрослых: «Методика обучения взрослых» (Милан, 1928) и «Педагогика для детей и педагогика для взрослых» (Берлин, 1929). В Милане же была переиздана работа Д.Д. Мордухай-Болтовского «Психология математического мышления» (1929), там же вышла статья «Методика демонстраций» (1929). Другие работы носят историко-методический характер: «Биогенетический закон в математике» (Милан, 1932), «Гетерогония целей в математике» (Милан, 1933), «Понятие бесконечности - исторические и критические заметки» (Нью-Йорк, 1932), «Генезис и история теории пределов» (Рим, 1933)и др.

Многие методические работы Д.Д. Мордухай-Болтовского так и не увидели свет, оставшись в рукописях. Часть рукописного наследия была передана его сыном в Санкт-Петербургский филиал архива РАН (ф. 821). Более двух десятков из 195 хранящихся здесь работ носят методический характер. Среди них есть статьи о математической мнемонике (д. 12), психофизическом законе и его приложении к педагогике (д. 13), о методическом значении неразрешимых задач в науке и школе (д. 3). Интерес представляет статья «Анализ и синтез в методике математики» (д. 14). Историко-методический характер носит работа «Прошлое, настоящее и будущее методики математики» (д. 16), дающая ретроспективный анализ развития методики как науки и освещающая её роль на каждом из этапов этого развития. Вопрос о логической стройности и научной строгости при построении математических курсов и объяснении материала рассмотрен в рукописи «Научная строгость и методика математики» (д. 127). Особого

внимания заслуживает статья о способах применения и методическом значении эвристических методов в преподавании математики (д. 125).

Несколько работ имеют своим предметом методические проблемы курса геометрии. Они освещают как общие вопросы, например, логику построения курса геометрии (д. 9), так и более частные, связанные с использованием и созданием геометрических моделей (д. 8) и эволюцией геометрической терминологии (д. 15). Имеются статьи, являющиеся методическими рекомендациями к изучению конкретных тем курса геометрии, таких как «Геометрические построения» (д. 7) и «Решение треугольников» (д. 4). Две статьи посвящены алгебраическим вопросам: «Методика формальных операций при решении уравнений первой степени» (д. 2) и «О разложении на множители» (д. 5). Методика преподавания тригонометрии представлена статьей «Установка понятий в тригонометрических величинах» (д. 1).

Помимо вопросов методики преподавания математики в средней школе, имеются статьи, касающиеся высшей школы. Это достаточно общего характера статья «Мнение о программах пединститутов» (д. 11) и работы по методике преподавания математического анализа (д. 126) и теории вероятностей (д. 10).

Достаточно разнообразно в методическом наследии Д.Д. Мордухай-Болтовского представлены учебные пособия и курсы лекций. Несмотря на то, что он вел большую работу по их написанию, из опубликованных учебных пособий можно назвать только «Систематический сборник элементарных упражнений по дифференциальному и интегральному исчислениям», который мы уже упоминали.

Курсы лекций дошли до нас в литографированном виде. По математическому анализу - это курсы дифференциального и интегрального исчисления (11 изданий) и курс эллиптических функций (2 издания). Среди геометрических сохранились курсы по аналитической геометрии (5 изданий), высшей геометрии (1 издание) и основаниям геометрии (1 издание). Также вышли конспекты некоторых спецкурсов, среди них: «Арифметика теоретическая» (1909), «Евклид и Лобачевский» (1938), «Измерения в геометрии и инверсия» (1938).

В архивах имеются свидетельства о том, что неоднократно предпринимались попытки по изданию некоторых курсов лекций Д.Д. Мордухай-Болтовского. В протоколах заседания редакционной коллегии Донского областного государственного издательства за 1922 г. упоминается о подготовке к печати учебника Д.Д. Мордухай-Болтовского по дифференциальному и интегральному исчислениям41, а в материалах празднования 25-летнего юбилея Ростовского университета (1940) отмечается, что Д.Д. Мордухай-Болтовским подготовлены к изданию

41 ГАРО. Ф. Р-67. Оп. 1. Д. 27. Л. 7.

учебники «Эллиптические функции» и «Курс анализа с историческими комментариями»42. Из личной переписки, хранящейся в семейном архиве Болтовских, известно, что несколько учебников Д.Д. Мордухай-Болтовского по математическому анализу и по геометрии43 должны были выйти в центральном Госиздате, но во время конкурсного отбора предпочтение отдавалось столичным авторам.

Только одно лишь перечисление методических вопросов, которыми занимался Д.Д. Мордухай-Болтовской, вполне свидетельствует об уровне его квалификации для руководства методической аспирантурой.

Кроме того, Д.Д. Мордухай-Болтовской уделял большое внимание формам работы с аспирантами. Практически вся научно-методическая и математическая работа аспирантов протекала в специально созданном для этих целей так называемом геометрическом кабинете. Он состоял из двух комнат. Первая использовалась для проведения аудиторных занятий на старших малочисленных курсах, для заседаний математического семинария, методического коллоквиума и отделения математики Общества естествоиспытателей; вторая - для индивидуальной работы. При кабинете имелись должности вычислителя (проводил необходимые расчеты для изготовления моделей) и библиотекаря. Эти должности позволяли молодым аспирантам иметь дополнительный заработок.

В геометрическом кабинете содержалось все необходимое для проведения исследовательской работы, а сама обстановка располагала к ней. В этот кабинет Д.Д. Мордухай-Болтовской передал всю свою научную библиотеку - уникальное собрание книг, эвакуированное еще из Варшавы. В области математики и её истории библиотека была много богаче, чем фонды академической фундаментальной библиотеки Северо-Кавказского университета. Стены кабинета украшали портреты выдающихся математиков и мыслителей. По воспоминанию одного из аспирантов Д.Д. Мордухай-Болтовского Б.Н. Саморукова, в геометрическом кабинете над рабочим местом Дмитрия Дмитриевича «висел на стене большой портрет Канта, а по обе стороны от него располагались портреты Абеля и Лобачевского, символизируя критическую научную мысль и высоту человеческого духа. Под знаком этого триединого символа были написаны почти все работы Д.Д. Мордухай-Болтовского»44. По боковым стенам висели хронологические таблицы, отражающие эволюцию того или иного математического понятия, идеи или теоремы. Как правило, они являлись формой представления результатов исследовательской деятельности

42 ГАРО. Ф. Р-46. Оп. 10. Д. 57. Л. 48.

43 Рукопись учебника «Элементарная геометрия» для пединститутов (в 2-х частях) хранится в личном фонде И.К. Андронова в Научном архиве Российской академии образования (Ф. 104. Оп. 1. Д. 571, 571а, 585).

44 Из рукописи Б.Н. Саморукова «О некоторых работах Д.Д. Мордухай-Болтовского» (1989). Личное собрание В.Е. Пыркова.

участников заседаний методического коллоквиума. Некоторые из них появлялись в результате летних командировок Д.Д. Мордухай-Болтовского, изучавшего историю математики в Ленинградской публичной библиотеке. На специальных стеллажах располагалось множество различных моделей: стеклянных, деревянных, нитяных, проволочных и др.

О геометрическом кабинете Ростовского пединститута писали, что он «по богатству моделей является одним из лучших в Советском Союзе»45. М.П. Черняев отмечал, что в нем находились «интересные модели правильных и полуправильных многогранников, выполненных по разверткам, рассчитанным Д.Д. Мордухай-Болтовским. Интересны были модели разверток четырехмерных тел, выполненных средствами начертательной геометрии четырехмерного пространства»46. Н.М. Несторович писал, что все приобретенное в результате долголетнего опыта Д.Д. Мордухай-Болтовской старался передать своим ученикам. И приводил в качестве примера тот факт, что в пединституте он «ввел обучение студентов строительству моделей, очень нужных в условиях их будущей работы. Модельная мастерская выпускает студентов математиков... с запасом знаний, обеспечивающих создание своими силами математических кабинетов в тех учебных заведениях, где они будут работать»47. Сам Д.Д. Мордухай-Болтовской в своей автобиографии отмечал, что «вся ростовская область и Кавказ были заполнены моделями, делавшимися моими учениками, согласно моим идеям»48.

Некоторые модели из геометрического кабинета Д.Д. Мордухай-Болтовского до сих пор бережно хранятся на кафедре геометрии и методики преподавания математики Педагогического института ЮФУ и используются преподавателями в учебном процессе.

С жизнью геометрического кабинета была тесно связана работа методического коллоквиума, впервые организованного Д.Д. Мордухай-Болтовским при Ростовском университете в 1924 г. и продолжившего свою деятельность в стенах пединститута. Д.Д. Мордухай-Болтовской принимал в занятиях коллоквиума самое непосредственное участие, руководил работой аспирантов и молодых преподавателей. Его громадные познания и опыт в области истории и методики математики служили залогом того, что темы докладов всегда были интересны и важны по содержанию, затрагивали самые животрепещущие вопросы.

45 Юбилей профессора Мордухай-Болтовского // Молот. - № 5258. - 8 дек. 1938 г.

46 Черняев М.П. Учебный опыт выдающихся русских и советских математиков // Ученые записки РГПИ. 1955. Вып. 3. С. 5-18.

47 Несторович Н.М. По поводу 40-летия научной, педагогической и общественной деятельности проф. Д.Д. Мордухай-Болтовского // Известия РПИ. 1940. Т. 10. С. 3—9.

48 Архив ЮФУ. Ф. Р-46. Оп. 22. Д. 63. Л. 878.

В «Известиях» Ростовского педагогического института за 1940 г. (т. 10) помещен отчет Д.Д. Мордухай-Болтовского о работе методического коллоквиума, в котором он приводит темы докладов, обсуждавшихся на заседаниях коллоквиума, и, что особенно интересно, характеризует их методическое значение.

Все научные сотрудники университета и института по математическому анализу и геометрии начинали с методического коллоквиума, лишь со временем переходя в область специальных научных исследований. Большую роль играл коллоквиум и в повышении квалификации учителей школ.

Несмотря на разносторонние методические исследования самого Д.Д. Мордухай-Болтовского и на серьезную постановку им научно-методической работы при геометрическом кабинете и в рамках методического коллоквиума, к 1948 г. только две руководимые им методические кандидатские диссертации достигли своего завершения и были готовы к представлению для защиты (благодаря огромному числу командировок в московские и ленинградские книгохранилища, консультаций самого Д.Д. и намеченных им столичных методистов). Автором одной из этих работ был В.Л. Минковский. Защита состоялась 16 октября 1947 года в Ученом Совете физико-математического факультета Московского областного педагогического института. По её результатам за кандидатскую диссертацию «Опровержение ложных доказательств как средство развития математического мышления учащихся» В. Л. Минковскому была присуждена степень кандидата педагогических наук.

Путь к этой защите был довольно долгим и извилистым. Даже тема исследования при наличии уже готовой работы была изменена: в 1935 г. Д.Д. Мордухай-Болтовской писал, что «усиленно работает над вопросами истории математики, преимущественно над теми, которые находятся в тесной связи с вопросами методическими. ... Эти работы дали учеников в лице аспирантов Пединститута Минковского и Улитина, разрабатывающих историю методики иррациональных чисел и пределов. Из них первый должен защитить диссертацию, которая уже закончена»49. Судьба этой работы остается для нас пока неизвестной.

Проблема, которой посвящена диссертация В.Л. Минковского 1947 г., была достаточно близка Д.Д. Мордухай-Болтовскому. В своих методических работах и в выступлениях перед учителями Д.Д. Мордухай-Болтовской призывал собирать школьные математические ошибки, считая, что подобный материал способен оказать большую помощь при решении

49 Мордухай-Болтовской Д.Д. Исследовательская работа по математике за десять лет в Ростовском университете // XX лет Ростовского государственного университета. Ученые записки (юбилейный выпуск). Ростов-на-Дону. 1935. С. 103—107.

различных методических проблем50. В статье «Математические ошибки в науке и в школе» (1940) им проведен анализ подобных ошибок, который выявил, что корни и тех, и других одни и те же. Автор разъяснил, в чем состоят ошибки невнимания и классифицировал их; рассмотрел ошибки логической природы; ошибки чертежа; ошибки наглядного представления, приводящие к геометрическим софизмам; показал, как знание этих ошибок способно предупредить их и в науке и в школе.

Идейно близкой к диссертации В.Л. Минковского является оставшаяся в рукописи работа Д.Д. Мордухай-Болтовского «Неразрешимые задачи в науке и в школе»51. В ней речь идет о псевдоошибках, которые являются ошибками только при первоначальном понимании проблемы. Он выделил три рода неразрешимых проблем: «неразрешимые вследствие того, что решение зарыто очень глубоко; неразрешимые вследствие технической невозможности завершения выкладок; неразрешимые вследствие того, что они неразрешимы». Далее он проанализировал эволюцию подобных проблем, обсудил вопрос о целесообразности и методике ознакомления учащихся с неразрешимыми классическими задачами на построение и др.

В своих работах Д.Д. Мордухай-Болтовской призывал учитывать историю такого явления как заблуждение52, ибо «математическое мышление проявляется также и в тенденции к заблуждениям, а не только к открытиям» и, более того, «очищенная от заблуждений история математики искажается эктированием настоящего» в прошлые эпохи53.

В благодарную память о своем учителе В.Л. Минковский, даже покинув Ростов, всегда поддерживал связь с Д.Д. Мордухай-Болтовским. В 1949 г. в журнале «Математика в школе» (№ 2) он опубликовал юбилейный очерк, в котором прослежен 50-летний научный и педагогический путь Дмитрия Дмитриевича, а также высказаны пожелания «многих лет дальнейшей плодотворной деятельности на благо и преуспевание науки, культуры и просвещения нашей великой Родины». Эта статья отличается необычайным уважением и теплотой, с которой была написана, чего Д.Д. Мордухай-Болтовскому, в эти, последние годы жизни так не хватало.

Умер Д.Д. Мордухай-Болтовской 7 февраля 1952 г. в Ростове-на-Дону.

50 См. подробнее: Мордухай-Болтовской Д.Д. Методический коллоквиум при кафедре математики Ростовского пединститута // Известия РГПИ. 1940. Т. 10. С. 26-35.

51 ПФА РАН. Ф. 821. Оп. 1. Д. 3; Доклад по этой работе был сделан Д.Д. Мордухай-Болтовским на заседании методического коллоквиума в 40-е годы.

52 См. подробнее: Степанова А.С. Неизвестные страницы жизни и научной деятельности Д.Д. Мордухай-Болтовского (по материалам архивного фонда) // Деятели русской науки XIX-XX веков. СПб. 1993. Вып.2. С.92-101.

53 ПФА РАН. Ф.821. Оп.1. Д.32

Выражая глубокое уважение его памяти, коллега и товарищ В.Ф. Каган в письме к родственникам называет Д.Д. Мордухай-Болтовского «последним математиком старой школы»54.

Хочется подытожить наше повествование о Д.Д. Мордухай-Болтовском словами, которые он написал в одном из писем своему сыну Филарету: «Мир, который меня окружал, был для меня слишком тесен, жизнь, которую я получил, слишком простой и бедной. Я жил в других мирах, которые близкие мне люди не видели. Я старался не только понять, но и пережить и другие жизни из казавшегося другим уже мертвым, а для меня еще живого прошлого»55.

Профессора и аспиранты физмата Ростовского на Дону педагогического института 5.11.1934 г. В центре Д.Д. Мордухай-Болтовской Верхний ряд, слева направо, 2-й В.Л.

54 ПФА РАН. Ф.821. Оп.1. Д.184.

55 Семейный архив Болтовских.

3. Работа в Орловском государственном педагогическом институте

29 августа 1950 года, по инициативе директора института СМ. Ефремова, В.Л. Минковский был переведён в Орловский государственный педагогический институт из Шадринского педагогического института. В обращении к начальнику кадров ГУВУЗа Министерства просвещения РСФСР было сказано что, «кафедра математики Орловского института до настоящего времени остается неукомплектованной, вследствие неявки на работу лиц, приглашённых по конкурсу. Найти квалифицированного преподавателя для чтения курса методики математики и истории математики институту не удалось. Создалась угроза срыва выполнения учебного плана по физмату. Острая нужна в кадрах по математике возросла еще и в связи с увеличением плана приёма на физмат».56 В Личном деле учёного имеется Правительственная телеграмма за подписью заместителя министра просвещения Арсеньева о переводе В.Л. Минковского в Орловский педагогический институт.57

С 1950 г. по 1971 г. Владимир Львович работал на физико-математическом факультет сначала доцентом кафедры математики, а с 1966 г. заведовал кафедрой элементарной математики и методики математики.

В Шадринском пединституте для приёма на работу в Орловский пединститут была выдана следующая характеристика.

Характеристика Заведующего кафедрой математики Шадринского пединститута Минковского Владимира Львовича58

Тов. В.Л. Минковский родился в 1911 году, по национальности еврей, в 1932 году окончил физико-математический факультет Воронежского пединститута, в 1935 г. - аспирантуру при Ростовском пединститут, имеет учёную степень кандидата педагогических наук и звание доцента, член ВКП (б) с 1944 года.

В Шадринском пединституте работает с ноября 1945 года в должности зав. кафедрой математики и преподавателя математического анализа. К работе относится добросовестно. Лекции читает на высоком научном и идейно-теоретическом уровне. Серьёзно занимается повышением своей научной квалификации, идейно-теоретического уровня и научно-исследовательской работой. Характерной особенностью лекций т. Минковского является то, что они глубоки по содержанию, ясны по изложению и всегда на высоте в борьбе с космополитизмом и за приоритет русской и в особенности советской науки.

56 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.1.

57 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.9.

58 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.8.

Тов. Минковский автор многих ценных в научном отношении статей в журнале «Математика в школе». Принимает активное участие в общественной жизни института и города. Является внештатным лектором горкома ВКП (б).

С сентября 1946 по сентябрь 1949 г. работал деканом физмата, совмещая эту должность с заведыванием кафедрой. Освобождён от обязанностей декана по личному заявлению.

Директор пединститута Маликов

Секретарь партбюро Кондрашенков

Председатель МК Рабинович

21 апреля 1950 г.

Из личного дела В.Л. Минковского Заявление на имя ректора о приёме на работу в Орловский педагогический институт от 19.09.1950 г.

Выписка из приказа №143 по Орловскому государственному педагогическому и Учительскому институту от 28 сентября 1950 г. о зачислении В.Л. Минковского доцентом кафедры математики

Начиная с первого года работы, Владимир Львович в соответствии с приказом Министерства просвещения РСФСР утверждается членом ГЭК, а затем и председателем Государственной экзаменационной комиссии.

15 февраля 1954 года составлен наградной лист, который был представлен в Верховный Совет СССР для награждения за выслугу лет и безупречную работу высших учебных заведениях и научно-исследовательских учреждениях. В этом наградном листе дана следующая характеристика В.Л. Минковскому.

Характеристика59

Тов. В.Л. Минковский в Орловском государственном педагогическом институте работает с 20 сентября 1950 г. в должности доцента кафедры алгебры и геометрии, ведет занятия по курсу методики математики и руководит педагогической практикой студентов в качестве группового и факультетского методиста. Занятия проводит на достаточном идейно-научном и методическом уровне.

Тов. Минковский систематически работает над повышением своей научной квалификации, идейно-теоретического уровня и ведет научно-исследовательскую работу (имеет 9 печатных работ). В настоящее время работает над докторской диссертацией: «Методические идеи в преподавании математики в средней школе в России (XIX-XX в.). Активно участвует в работе кафедры математики и в общественной жизни института. С 1951 года и по

59 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.24.

настоящее время работает парторгом физико-математического факультета. К работе относится добросовестно.

Заявление В.Л. Минковского на имя ректора института Г.М. Михалёва с просьбой о допуске к участию в конкурсе на замещение вакантной должности заведующего кафедрой элементарной математики от 14.04.1966 г.

В.Л. Минковский был избран на должность заведующего кафедрой элементарной математики и методики математики 26 мая 1966 года, относился к должностным обязанностям строго, был пунктуален во всем. В личном архиве Владимира Львовича сохранилась тетрадь записей посещений занятий членов кафедры. Приведем отдельные фрагменты из нее:

15.01.69. Ст.преподаватель Г.А. Александрова.

Дифференцированный зачёт по курсу элементарной математики (геометрии) в 5 группе 3 курса.

Я присутствовал при опросе следующих студентов: Корнеевой Г.П., Алехиной А.Н., Меркуловой А.Г., Герасиной В.А. и Куприянова В.В.

Экзамен проводится на достаточно высоком уровне требований, но в спокойной и благожелательной обстановке. Студент отвечает на каждый вопрос билета полностью, а затем осуществляется, в случае необходимости, уточнение ответа путём постановки дополнительных вопросов. Особое внимание уделяется осознанию студентом логической структуры изучаемой математической теории.

В некоторых случаях используется просмотр письменных выкладок студента. По записям студента предлагается сделать соответствующие уточнения. На эту форму проверки наталкивают оговорки и неточности в устном ответе студента.

Метод выборочной проверки позволяет утверждать, что основная масса студентов 3-го курса вполне удовлетворительно овладела материалом курса элементарной геометрии.

Студентка А.Г. Меркулова не обнаружила необходимой степени начитанности и твердости геометрических познаний. Ей была поставлена неудовлетворительная оценка.

15.02.69 Ст. преподаватель Л.И.Муромцева. Физмат, 2 курс, 1-ая группа. Практическое занятие по элементарной математике.

Тема: «Элементарные способы решения нелинейных систем алгебраических уравнений».

Занятие начинается с мобилизации теоретических познаний студентов, необходимых в дальнейшей работе (в должной последовательности). Предъявляются достаточно высокие требования к чёткости и логической полноценности ответов. Уделяется постоянное внимание обеспечению должной

профессиональной направленности. Уделяется серьёзное внимание организации самостоятельной работы студентов. Студенты, работающие на местах, получают систематические указания по рационализации своей деятельности. Осуществляется индивидуальный подход, умело сочетаемый с работой с группой в целом.

Л.И. Муромцевой высказаны следующие рекомендации:

1. При организации самостоятельной работы неправомерна установка на решение таких задач, методы решения которых аналогичны только что рассмотренным (установка на копирование). Необходимо ориентироваться на проявление больших возможностей студентов при выполнении самостоятельной работы в присутствии преподавателя (установка на дальнейшее развитие умственных действий).

2. Усилить требования к культуре математических записей, выполняемых студентами на доске, а особенно к внятности речи отвечающих (реализация требований подготовки будущего учителя).

6.03.69 Доцент СМ. Горшенин. Физмат, 1 курс (2-й поток). Высшая алгебра.

Тема лекции: «Делимость многочленов».

Материал излагается на достаточно высоком уровне. Теоретические положения иллюстрируются хорошо подобранными примерами. Большое внимание уделяется осознанию студентами всех основных моментов проводимых рассуждений.

СМ. Горшенину высказаны следующие рекомендации:

1. Не следует проводить параллельное рассмотрение примера и общего рассуждения, так как это существенно затрудняет восприятие логики развертывания доказательства. Алгоритм деления с остатком студенты могли осознать и без сопутствующего примера.

2. Не следует отказываться от сообщения студентам кратких сведений из истории математики, непосредственно связанных с излагаемым материалом. С именем английского математика Горнера (1786-1837) студенты встречались впервые, но лектором не было указано, в какой стране и в какое время протекала его жизнь и деятельность.

8.04.69 Асс. Г.А. Кречетова. Физмат, 3 курс, 3-ая группа. Практическое занятие по методике математики на тему: «Степень с рациональным показателем. Степенная функция».

Студенты выступают с тщательно отработанными методическими материалами по основным разделам этой темы. В процессе выступлений демонстрируется, как будет использована доска, аппарат ЛЭТИ, перфокарты, различные таблицы, чертежные инструменты.

Занятие проходит в атмосфере интереса к изучаемому, в плане сопоставления и оценки различных методических подходов к основным элементам темы, с элементами дискуссии между студентами. Весьма существенно, что методические рекомендации не декларируются, а обосновываются. Заключения руководителя кратки и содержательны. Проявляется стремление уплотненно использовать время. Осуществляется выборочная проверка составленных студентами конспектов (проверка работ студентов преподавателем вне времени занятия).

В.Л. Минковский пользовался заслуженным уважением и почётом.

Об этом свидетельствуют записи в Личном деле.

29 апреля 1968 года в честь Международного дня солидарности 1 мая В.Л. Минковский занесён на институтскую доску почёта.

3 октября 1969 года в ознаменовании праздника дня Учителя, за успешную работу в школах области В.Л. Минковскому объявлена благодарность.

5 ноября 1969 года в ознаменовании 52-й годовщины Великой Октябрьской социалистической революции В.Л. Минковский занесён на «Доску почёта» института. 5 ноября 1970 года в ознаменовании праздника Великого Октября и за успехи достигнутые в труде В.Л. Минковскому объявлена благодарность.

В течение нескольких лет В.Л. Минковский руководил факультетом повышения квалификации учителей математики, созданным при Орловском пединституте ныне Орловском государственном университете.

Награды В. Л. Минковского

Удостоверение к юбилейной медали «ТРИДЦАТЬ ЛЕТ ПОБЕДЫ В ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВОЙНЕ 1941-1945 гг.» 25 июня 1975 г.

Удостоверение к юбилейной медали «ЗА ДОБЛЕСТНЫЙ ТРУД В ВЕЛИКОЙ ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ВОЙНЕ 1941-1945 гг.» 11 мая 1946 г.

Удостоверение к юбилейной медали «ЗА ДОБЛЕСТНЫЙ ТРУД. В ОЗНАМЕНОВАНИЕ 100-летия со дня рождения В.И.Ленина» 1 апреля 1970 г.

Орловский период жизни Владимира Львовича, период его преподавания в Орловском государственном педагогическом институте является этапом активного творческого действия, плодотворной научно-педагогической деятельности, постоянной неутомимой помощи учителям школ г. Орла и Орловской области в совершенствовании преподавания математики, овладении ими содержанием и методикой преподавания новых тем и целых разделов модернизированного школьного курса математики.

Немаловажную роль сыграл в этом коллектив единомышленников, специалистов в различных областях математики и методики преподавания математики, профессионалов высокого уровня. Считаем важным и необходимым вспомнить о них.

Александров Василий Александрович родился 27 января 1905 г. в селе Асакаси Асакасинской волости Ядринского уезда Казанской губернии. Национальность - чуваш. Родители как до революции, так и после занимались сельским хозяйством.

В 1926 г. окончил педагогический техникум в Ульяновске и поступил на физико-математический факультет педагогического института Казани, который окончил в 1929 г. В 1929-30 учебном году работал преподавателем математики в педтехникуме г. Бугуруслана. В 1930-31 гг. учился на Высших Педагогических курсах при Московском государственном университете, по окончании которых получил ученое звание ассистента математики.60 С 20 августа 1931 по август 1941 г. работал преподавателем математики в Орловском педагогическом институте.

В августе 1941 г. эвакуировался с семьей на восток. С 1 октября 1941г. по 2 апреля 1942 г. работал инспектором районного отдела народного образования в Вурнадском районе Чувашской АССР. Со 2 апреля 1942 г. по 15 сентября 1945 г. служил в Красной Армии. С 15 сентября 1945 г. работал в Орловском пединституте старшим преподавателем кафедры математики. Член ВКП(б) с 1947 г.61

60 Архив ОГУ, Личное дело А.В. Александрова. №76. Л.10.

61 Архив ОГУ, Личное дело А.В. Александрова. №76. Л. 18.

С 1947 по 1948 гг. и с 1957 по 1964 гг. был деканом физико-математического факультета.

Василий Александрович на основании Постановления Совета Министров СССР от 22 мая 1948 г. и с согласия МОПИ был прикомандирован в аспирантуру Московского областного педагогического института для подготовки и защиты кандидатской диссертации по методике математики. Научным руководителем назначен профессор Иван Козьмич Андронов.

Защита диссертации на тему: «Преподавание начал алгебры в VI классе средней школы и развитие математического мышления на уроках математики» состоялась 2 июля 1956 г. на заседании Ученого Совета в Московском областном педагогическом институте. Официальными оппонентами выступили: член-корреспондент АПН РСФСР, профессор В.М. Брадис (с которым В.Л. Минковский поддерживал научные контакты) и кандидат педагогических наук, доцент C.B. Филичев.62

В Орловском педагогическом институте читал лекции по высшей алгебре, теории чисел, дифференциальной геометрии, основам современной алгебры, вел специальный математический семинар, несколько факультативных курсов.

В своей педагогической деятельности В.А. Александров проявил себя как опытный, вполне подготовленный и любящий свое дело преподаватель. Лекции его отличались ясностью и строгостью. Александров принимал активное участие в научно-педагогической работе кафедры математики, систематически повышал свою научную квалификацию и вел научно-исследовательскую работу.

В характеристике, подписанной ректором пединститута Г.М. Михалёвым в 1965 году, сказано, что «В.А. Александров проявил себя как квалифицированный преподаватель высшей школы, обладающий большой эрудицией в области математических наук, хороший лектор. Все учебные занятия ведет на высоком научно-методическом уровне, всегда следит за новейшими достижениями в области своей науки и использует их в научно-педагогической деятельности. Своим трудом он подготовил многие сотни квалифицированных учителей математики средней школы. Много сил тов. В.А. Александров отдавал становлению и развитию института, укреплению его материальной базы и совершенствованию учебного процесса».63

В.А. Александров был удостоен правительственных наград: медалей «За оборону Ленинграда», «За боевые заслуги», «За победу над

62 Архив ОГУ, Личное дело А.В. Александрова. №76. Л.44.

63 Архив ОГУ, Личное дело А.В. Александрова. №76. Л.63-64.

Германией», «За трудовую доблесть»64, орденом «Знак Почёта», значком «Отличник народного просвещения».

В пединституте В.А. Александров работал до 1964 года.

Клименко Сергей Митрофанович родился 2 апреля 1906 г. в городе Стародубе Брянской области в семье рабочего.

С 1914 года обучался в приходском училище, затем перешел в среднюю школу (девятилетку). Школу второй ступени окончил в 1925 году. После окончания средней школы уехал на работу в деревню в качестве сельского учителя и зав. школой в с.Бобрик Почаровского района Брянской области.

Летом 1926 года оставил педагогическую работу, вследствие желания поехать учиться в ВУЗ. В августе 1926 года проехал в Киев с целью поступить учиться, но опоздал, прием уже был закончен. Возвратился в Стародуб, но устроиться на постоянную работу не мог - место учителя уже было занято. В 1927 году поступил в открывшийся в г.Страродуб педтехникум на второй курс. Летом 1928 года поехал в Воронеж и поступил в университет на физико-математическое отделение педфака.65

После окончания аспирантуры Воронежского университета в 1934 г. Сергей Митрофанович был назначен на работу в Киров исполняющим обязанности доцента Кировского педагогического института. Летом 1938 г. по конкурсу перешел на работу в Орловский педагогический институт исполняющим обязанности доцента. С 1 декабря 1938 г. назначен заведующим кафедрой математического анализа. 27 июня 1939 г. защитил диссертацию на ученую степень кандидата физико-математических наук на тему: «Интерполирование периодических функций посредством тригонометрических полиномов».66 Научным руководителем выступал 27 июня профессор В.Л. Гончаров.

С первых дней войны состоял в истребительном батальоне Советского района г.Орла. В августе 1941 г. вместе с институтом эвакуировался в г.Бирск БАССР. Осенью 1943 г. пединститут, а вместе с

64 Деканы физмата. В.А. Александров.//Газ. Орловский университет.- №1(112).-14 марта 2006 г.-С.З.

65 Архив ОГУ, Личное дело СМ. Клименко. №467. Автобиография. Л.2.

66 Архив ОГУ, Личное дело СМ. Клименко. №467. Л.З.

ним и Сергей Митрофанович, реэвакуировался в Орловскую область, в Елец. Осенью 1944 г. институт переехал в Орел. С осени 1941 по 1947 г. Клименко работал деканом физико-математического факультета. С 1950 по 1959 г. избирался депутатом райсовета, был председателем комиссии по народному образованию. С 1948 г. состоял членом общества «Знание» и с 1952 г. руководил секцией физико-математических наук при областном отделении общества. С 1963 г. на общественных началах был заведующим отделением факультета повышения научной квалификации при Орловском пединституте. С 1962 г. руководил аспирантурой по специальности «Теория функций и функциональный анализ».

Во время работы в институте самостоятельно вел курсы по различным отделам математики. СМ. Клименко имел высокий уровень преподавания, материал излагал с большой полнотой и тщательностью. Его лекции отличались незаурядной ясностью и строгостью. Был требователен к себе и к студентам. СМ. Клименко являлся высококвалифицированным специалистом по математическому анализу, прекрасным преподавателем, инициативным заведующим кафедрой. За честный, добросовестный труд и большие заслуги в подготовке учительских кадров награжден орденом «Знак Почета», медалью «За доблестный труд в Великой Отечественной войне Советского Союза» и значком «Отличник народного просвещения».

В своей научной деятельности принимал участие в работе семинара по интерполированию аналитических функций под руководством профессоров В.Л. Гончарова и А.О. Гельфонда (г.Москва).

СМ. Клименко имел ряд научных трудов: «Об интерполировании периодических функций посредствам тригонометрических полиномов», «Об инструменте для вычерчивания некоторых кривых», «Об инструментах для вычерчивания циклоидальных кривых», учебное пособие «Ряды», статьи «Н.И. Лобачевский», «Н.Е. Жуковский», напечатанные в газете «Орловская правда».67

В институте СМ. Клименко работал до 1974 года.

67 Деканы физмата. СМ. Клименко.//Газ. Орловский университет.- №1(112).-14 марта 2006 Г.-С.2.

Парнасский Иван Васильевич родился 7 сентября 1922 года в городе Орле в семье учителя. В 1930 году поступил в среднюю школу № 7 г Орла и окончил её в 1940 году. В этом же году был принят на 1-й курс физико-математического факультета ОГПИ и в 1941 году переведён на 2-й курс. В сентябре 1941 года был эвакуирован вместе с семьей в село Большой Вьясс Пензенской области, в эвакуации работал плановиком в Б.-Вьясском промкомбинате; в 1943 году сдал экзамены за 2-й курс при Пензенском педагогическом институте в качестве экстерна. В октября 1943 года вернулся в Орёл. В сентябре 1944 года возобновил учёбу в Орловском пединституте (заочно) и окончил его с отличием по специальности математика в 1947 году. С января 1944 года по сентябрь 1948 года работал преподавателем математики в 8-10-х классах вечерней школы №1 г. Орла, с сентября 1945 года по сентябрь 1949 года -преподавателем математики в 8-10-х классах заочной средней школы Орловской области; с сентября 1948 года - преподавателем математики в 6-10-х классах мужской средней школы №19 г.Орла.68

В 1950 году Дирекция Орловского государственного пединститута просит освободить Ивана Васильевича от работы учителем математики в школе №19 в виду его перехода на работу в Орловский пединститут в качестве ассистента по кафедре математики.69

С 1 сентября 1950 года И.В. Парнасский работает в Орловском педагогическом институте в качестве ассистента кафедры математики и ведёт практические занятия по аналитической геометрии, математическому анализу, элементарной математики и руководит педагогической практикой студентов в качестве группового методиста. В характеристике, подписанной директором Пединститута СИ. Ефремовым в 1951 году сказано, что «занятия проводит на высоком научном и методическом уровне. Успешно работает над повышением своего идейно-теоретического уровня и повышения научно-педагогической квалификации. Тов. И.В. Парнасский аккуратно и добросовестно выполняет все поручения кафедры, директора института и общественных организаций».70

68 Архив ОГУ, Личное дело И.В.Парнасского. №484. Автобиография. Л.4.

69 Архив ОГУ, Личное дело И.В.Парнасского. №484. Л.8.

70 Архив ОГУ, Личное дело И.В.Парнасского. №484. Л.9.

С 1954 года Иван Васильевич работает старшим преподавателем, а с 1963 года доцентом кафедры алгебры и геометрии. 5 ноября 1969 года И.В. Парнасский за достигнутые успехи в труде занесен на «Доску почёта».

В 1985 году завкафедрой алгебры и геометрии В.В. Ветров отмечал, что И.В. Парнасский «постоянно является куратором студенческой группы, проводит с ней организаторскую и воспитательную работу. Большую помощь оказывает органам народного образования и учителям математики школ г.Орла и Орловской области в улучшении постановки преподавания математики, систематически выступает с лекциями перед слушателями народного университета педагогических знаний, ежегодно в качестве председателя жюри участвует в проведении областных олимпиад по математике. Принимает активное участие в работе семинара «Актуальные проблемы мирового революционного процесса».71

23 октября 1996 года И.В. Парнасскому присвоено ученое звание профессора по кафедре геометрии и методики преподавания математики. Им опубликовано более 30 работ. Среди них учебные пособия по геометрии, которые имели наибольшую популярность не только у студентов Орловского пединститута, но и студентов других педагогических вузов:

Парнасский И.В., Парнасская О.Е. Многомерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. - М.: Просвещение, 1978. - 129с.

Аргунов Б.И., Парнасский И.В., Задачник-практикум по геометрии. Часть 2. - М.: Просвещение, 1979. - 96с.

Иван Васильевич награжден медалями «За доблестный труд в Великой отечественной войне 1941-1945 гг.», «За трудовое отличие» и значками «Отличник народного просвещения», «Отличник просвещения СССР», «За отличные успехи в работе», ему неоднократно объявлялась благодарность.

2 июля 2001 года Иван Васильевич написал заявление на имя ректора Ф.С. Авдеева с просьбой уволить с занимаемой должности по состоянию здоровья.

Иножарский Вениамин Константинович родился 6 января 1923 г. в Орле в семье служащих. В 1930 г. поступил учиться в 1-ю орловскую среднюю школу имени Ломоносова и

71 Архив ОГУ, Личное дело И.В.Парнасского. №484. Л.52.

окончил ее в 1940 г. с отличием. С 1940 по 1941 г. был студентом физико-математического факультета Воронежского университета. В 1941 г. ушел на фронт бойцом 2130-й рабочей колонны (наркомат обороны, г. Саратов). В 1942 г. стал замполитрука 6-й мотострелковой бригады 11 -го танкового корпуса в действующей армии. С 1942 по 1945 г. был гвардейским старшиной взвода при отделе контрразведки «Смерш» 11-й гвардейской танковой дивизии.

После окончания войны с 1945 по 1948 г. был студентом физико-математического факультета Орловского педагогического института, по окончании получил специальность учителя математики средней школы.

Во время войны принимал участие в боях на Западном, Воронежском, Первом Белорусском фронтах, с 1942 г. - в качестве командира отделения. В составе действующей Красной Армии в 1945 г. был в Польше и Германии.

За отличное выполнение боевых заданий командования награжден орденом «Красная Звезда», медалями «За боевые заслуги», «За взятие Берлина» и «За победу над Германией». С октября 1943 года является членом ВКП(б).72

В. К. Иножарский работал в Орловском пединституте с 1948 г., сначала ассистентом, с 1952 г. - старшим преподавателем, в 1968 г. был избран на должность доцента, а с 1969. по 1974 гг. был деканом физико-математического факультета.

За время работы в институте В. К. Иножарский вел лекционные курсы по ряду математических дисциплин: математическому анализу, математическим машинам и программированию, математической логике. В характеристике, подписанной директором пединститута СИ. Ефремовым в 1952 году сказано, что «Тов. Иножарскому поручен лекционный курс элементарной математики на физико-математическом факультете педагогического и учительского институтов, который он читает на высоком научном и методическом уровне. Одновременно с лекционным курсом Иножарский ведет практические занятия по математическому анализу, основам высшей математики, элементарной математике и руководит педагогической практикой студентов».73

Он в совершенстве владел педагогическим мастерством, за что снискал высокий авторитет и уважение в коллективе преподавателей и студентов.

В.К. Иножарский не останавливался на достигнутом, систематически работал над повышением своей научной квалификации. Опубликовал ряд научных работ по вопросам математики. В характеристике, подписанной в 1973 году ректором института Г.М. Михалёвым отмечается: «Особую

72 Архив ОГУ, Личное дело В.К. Иножарского. №624. Л.2.

73 Архив ОГУ, Личное дело В.К. Иножарского. №624. Л.24.

ценность представляет его работа «Математическая логика и алгоритмы» -учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов, на которое получены положительные отзывы из ряда пединститутов СССР. В настоящее время завершает работу по составлению задачника-практикума по математической логике. Большой популярностью среди студентов пользуются его печатные лекции по важнейшим разделам читаемых курсов».74

Вениамин Константинович активно участвовал в работе семинара членов математических кафедр по философским проблемам математики.

Как декан физико-математического факультета проявлял старание и инициативу в совершенствовании профессиональной подготовки студентов и их идейно-политическом воспитании.

В.К. Иножарский вел большую общественную работу: в течение ряда лет являлся секретарем парторганизации факультета, секретарем и членом партбюро института, членом общества «Знание», вел большую работу по пропаганде математических знаний среди различных слоев населения.

Систематически в течение многих лет оказывал помощь учителям математики области в повышении их математической подготовки и улучшении математического образования школьников.75

В 1976 году В.К. Иножарский награжден орденом «Знак Почёта».

В институте В.К. Иножарский работал до 1986 года.

В.Л. Минковский, В.А. Александров, СМ. Клименко

74 Архив ОГУ, Личное дело В.К. Иножарского. №624. Л.52.

75 Деканы физмата. В.К. Иножарский.//Газ. Орловский университет.- №1(112).-14 марта 2006 г.-С9

24 сентября 1971 года Владимиру Львовичу исполнилось 60 лет. Друзья и коллеги: В.В. Ветров, Г.А. Александрова, Л.И. Муромцева, В.М. Катанов76, Е. Больсен, Б. В. Болгарский77 подготовили к публикации в газетах поздравления.

В институтской газете в юбилейный день вышла следующая статья с портретом Владимира Львовича. «За педагогические кадры».

О тех, кто рядом с нами

Поиск истины и совершенства78

Имя кандидата педагогических наук, доцента Орловского пединститута, члена Советского национального объединения историков естествознания и техники, участника недавно состоявшегося в Москве XIII Международного конгресса по истории науки, педагога-математика, коммуниста Владимира Львовича Минковского хорошо известно педагогической и научной общественности не только в нашей стране, но и за рубежом.

76 Василий Михайлович Катанов - заслуженный работник культуры РФ, автор более двадцати книг: поэтических, исторической и краеведческой прозы, очерков. Величайшей заслугой Катанова стало поэтическое переложение «Слова о полку Игореве», «Задонщина», «Слово о Законе и Благодати» и других литературных памятников древности. Поэт и прозаик, библиофил, общественный деятель, заслуженный работник культуры России. Родился в селе Альшань Орловского района Орловского округа Центрально-Черноземной области (ныне Орловский район Орловской области) в крестьянской семье. В соседнем селении Большая Фоминка прошло его детство, там он пережил войну и немецкую оккупацию, работал в местном колхозе, окончил Альшанскую семилетку, а затем среднюю школу в близлежащем селе Лаврово. В 1949 г. в районной газете «Путь Ильича» впервые было опубликовано его стихотворение «Родина». В 1950 г. поступил на историко-филологический факультет Орловского государственного пединститута. Продолжал публиковать стихи в «Орловской правде», а затем и в других орловских изданиях. Окончив институт в 1954 г., работал литературным сотрудником в редакции газеты «Орловский комсомолец», а с 1964 г.- заведующим отделом в «Орловской правде». В 1966 г. В.М. Катанов был принят в члены Союза писателей СССР. С 1973 г. в течение многих лет возглавлял Орловскую писательскую организацию. Состоял членом президиума областного отделения Всероссийского общества охраны памятников истории и культуры. 17 января 2006 года в малом зале администрации города прошло торжественное вручение специального памятного свидетельства о внесении имени В.М.Катанова в Книгу Почета г. Орла.// http://www.orel-story.ru/land_katanov.php

77 Болгарский Б. В. (1892-1980) - педагог-математик, окончил Казан, ун-т (1917); д-р пед. наук (1954), проф. (1959); до 1932 г. - школьный учитель; с 1932 г. - преп. Казан, пед. ин-та; авт. кн. «Очерки по истории математики» (1974; 1979), «Казанская школа матем. образования» (1967-1969) и др.// Колягин Ю. М., Саввина О. А., Тарасова О. В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. 4.2. Первая половина XX века. - Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С.226.

78 Ветров В.В., Александрова Г.А., Муромцева Л.И. Поиск истины и совершенства.// Газ. «За педагогические кадры». - №25(372). - 24.09.1971.

В. Л. Минковский родился 24 сентября 1911г. в семье врача. Среднее образование с педагогическим уклоном получил в одной из школ г. Воронежа. В 1928 г. поступил в Воронежский пединститут и окончил его по математическому отделению.

Уже в студенческие годы началась педагогическая деятельность Владимира Львовича. Учителя-студента полюбили учащиеся средней школы им. А. В. Луначарского.

За успехи в учебе и общественной работе выпускник пединститута Владимир Минковский был рекомендован в 1933 г. в аспирантуру при Ростовском пединституте, где в течение двух лет изучал математический анализ с методикой преподавания математики под руководством известного педагога-математика Д. Д. Мордухай-Болтовского. По окончании аспирантуры работал в Магнитогорском, Энгельсском и Шадринском пединститутах.

В 1947 г. Владимир Львович защитил диссертацию на степень кандидата педагогических наук, а через год был утвержден в ученом звании доцента.

В 1950 г. В. Л. Минковский перешел на работу в Орловский пединститут, где сначала работает доцентом кафедры математики, а в течение последних пяти лет - заведующим кафедрой элементарной математики и методики математики.

Именно здесь, в стенах ОГПИ, наиболее ярко проявился его талант ученого и педагога математика, именно в это время он создал свои наиболее значительные научно-методические и другие работы, многие из которых были переведены на иностранные языки и стали достоянием преподавателей математики школ и вузов Чехословакии, Англии и Японии.

Научные интересы Владимира Львовича широки и разнообразны. Им написано свыше 40 работ, посвященных методике школьного курса математики, воспитанию у школьников логического мышления в процессе преподавания математики, истории математического образования. Многие труды посвящены методико-математическим воззрениям академиков А. А. Маркова и Н. Н. Лузина, профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского, педагогическим идеям писателя Л. Н. Толстого и критика Д И. Писарева, уральского педагога-математика и революционера В. И. Обреимова, истории и методологии математики.

Владимир Львович принадлежит к числу тех ученых, работы которых способствовали обогащению науки новыми фактами и идеями.

Широкой популярностью у школьных учителей пользуются книги В. Л. Минковского: «За страницами учебника математики» и написанная совместно с В. М. Брадисом и А. К. Харчевой «Ошибки в математических рассуждениях».

Положительно, что деятельность Минковского-теоретика воплощается в плодотворной работе Минковского-практика. Начиная с 1946 г., он с успехом читает разработанный им курс истории математики, пользующийся большой популярностью у студентов.

В. Л. Минковский - участник многих математических конференций и симпозиумов, на которых он выступал с весьма интересными докладами, посвященными актуальным вопросам методики и истории математики.

Этот краткий рассказ о многолетней научно-педагогической деятельности Владимира Львовича был бы неполным, если бы мы не отметили его постоянной неутомимой помощи учителям школ г. Орла и Орловской области. В течение нескольких лет он руководит факультетом повышения квалификации учителей математики.

Активное участие коммунист Минковский принимает в общественной жизни института и г. Орла. Много лет он возглавлял партийную организацию физико-математического факультета, руководил межкафадральным семинаром «Философские проблемы математики», избирался депутатом райсовета, горсовета и членом горкома КПСС.

Плодотворная научно-педагогическая деятельность В. Л. Минковского высоко оценена Родиной. Он награжден орденом «Знак Почета», медалями и значком «Отличник народного образования».

Сегодня исполняется 60 лет этому замечательному человеку и большому труженику. 40 из них отданы педагогике. Путь пройден немалый. Был ли он легким? Конечно, нет. Легко ли сейчас? Ведь есть и знания, и опыт, и авторитет. Да, есть все это. Но ведь и задачи теперь ставятся перед собой сложнее, и требовательность к себе стала выше. Пожелаем же Владимиру Львовичу крепкого здоровья и новых творческих успехов в его поиске истины и совершенства.

В. Ветров, Г. Александрова, Л. Муромцева

В газете «Орловская правда»79 в рубрике «Если ты коммунист» была опубликована статья:

Вдохновение

Людмила Александровна в молодости была артисткой и если у кого-либо из своих учеников обнаруживала тягу к драматическому искусству, то мгновенно проникалась к нему особым уважением. У Володи Минковского, по её мнению, определённо есть талант. После одного спектакля, сыгранного старшеклассниками третьей школы на сцене Воронежского драмтеатра, она так и сказала:

79 Ветров В.В., Катанов В.М. Вдохновение. //«Орловская правда». - №226 (14863). -24.09.1971.

- За тебя я рада. Будешь артистом. Имя твоё большущими буквами напечатают на афишах.

Однако выбором своим Владимир удивил друзей и особенно Людмилу Александровну. Не в артисты решил пойти её любимый ученик. И даже не литературой заинтересовался. Физико-техническое отделение назвал в своём заявлении на имя ректора Воронежского университета.

Было это в 1929 году. Студенческая жизнь сразу захватила Владимира Минковского. С увлечением слушал лекции и чувствовал, как с каждым днём всё сильнее занимает его математика. Строгая, требующая убедительных доказательств и постоянно побуждающая к работе мысль, она вызывала в душе студента прилив радостных чувств, и ему вспоминались слова А.С. Пушкина, что вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.

Вдохновение стало сопутствовать ему на каждом шагу. На лекциях и на практических занятиях. На уроках в школе и редакционно-полиграфическом техникуме. Учителей не хватало, поэтому студентов охотно приглашали в свободное время преподавать. А доцент В.В. Мезенцев всемерно развивал педагогическую жилку у своих воспитанников.

- Из вас, молодой человек, неплохой педагог получится, - говорил Валентин Васильевич студенту Минковскому.

- А вы художник, батенька! - удивлённо восклицал артист А.Н. Покровский на репетициях студенческого драмкружка.

Навыки, полученные при общении с искусством, как ни странно, потом пригодились ему в математике. В науке, которая на первый взгляд, кажется сухой и скучной, он увидел эстетическую сторону.

И о числах, задачах, теоремах заговорил на педпрактике в селе Никольском с горячим воодушевлением. Вёл ещё и физику. Оба предмета в сельской семилетке в тот год отсутствовали: учителя не было. Директор школы, бывший рабочий, присмотрелся к студенту и выложил наболевшую просьбу. Минковский согласился. Объявили ребятам. Те тоже загорелись. И Владимир Львович стал встречаться с учениками дважды: днем и вечером. Решили за недолгое время педпрактики пройти полную программу по физике и математике. В ту пору и в личной жизни студента произошло важное событие: в день своего рождения - 24 сентября сыграл свадьбу. Жена Софья Сергеевна в Никольском тоже практику проходила: давала уроки русского языка и литературы.

Вторая практика была в Белгородском педтехникуме, а затем Владимир Минковский был рекомендован в аспирантуру по математическому анализу с методикой математики. Поскольку в Воронеже аспирантуры такого профиля не было, пришлось ехать в Ростов.

...Когда в марте сорок четвёртого В.Л. Минковского принимали в ряды Коммунистической партии, за плечами уже были годы преподавательской работы в различных вузах, несколько опубликованных статей по методике математики. Потом он получил учёную степень кандидата педагогических наук и снова вдохновенно работал в вузе.

А в пятидесятом...

Вышел из поезда в Орле и осмотрелся. Так вот он, Город Тургенева и первого салюта!

...Студенты литфака встречались на занятиях с Софьей Сергеевной Минковской, физмата — с её мужем. Методика русского языка стала её призванием, методика математики — Владимира Львовича. А на комсомольском собрании, на всякого рода общественных мероприятиях их привыкли видеть вместе. Коммунисты Минковские всегда были в гуще волн студенческих поколений, делились с юной сменой своими знаниями, опытом, вдохновением.

- Не останавливаться на достигнутом, непрерывно искать новые методы преподавания — этот совет молодым людям, получающим дипломы, Владимир Львович подкрепляет всем своим жизненным опытом.

Он не только с пятидесятого года в Орле читает лекции, а с шестьдесят шестого руководит кафедрой элементарной математики и методики математики. Круг его интересов и занятий широк. Коммунист Минковский избирается в партбюро института, возглавляет партийную организацию факультета, руководит внештатным отделом горкома КПСС.

В Воронеже учительница Людмила Александровна хотела увидеть имя своего ученика на афишах театра.

Его имя, уважаемого в Орле человека, не раз печаталось на избирательных бюллетенях. И депутат Минковский работал в комиссиях по народному образованию при райсовете и горсовете.

Одна за другой публикуются работы кандидата наук из Орла в солидных научных журналах и сборниках. С упорством, достойным глубокого уважения, он разрабатывает сложные вопросы методики и истории математики. Наука, крайне необходимая в наш век технического прогресса, должна вызывать интерес у человека с самого раннего возраста. В её преподавании нетерпим формализм. Это волнует и захватывает молодого учёного.

И он пишет о воспитательной эстетической роли математика. Странная тема? Ничего подобного. Разве не воспитывает эта наука добросовестность, трудолюбие, силу воли? Разве нет красоты в её логической стройности?

Религиозные предрассудки и суеверия несовместимы с научным взглядом на мир. И на борьбу с ними ставит свои знания В.Л. Минковский.

«За страницами учебника математики» - эта книга В.Л. Минковского, выпущенная издательством «Просвещение» в 1966 году, вызвала большой интерес среди педагогов страны. Автор интересно рассказал о людях, отдавших науке всю жизнь, с болью написал о русском мальчике Ване Петрове, всех удивлявшем своими необыкновенными математическими способностями и затерявшемся в сумерках царской России.

В 1961 году в Москве вышла книга «Вопросы преподавания математики в школе». В предисловии к ней отмечалось, что в сборник включены статьи видных учёных страны. Одна из них — «Очерк логических основ методов математического доказательства» принадлежит перу Минковского.

В Лондоне прогрессивное издательство «Пергамон-пресс» заинтересовалось русской книгой В.М. Брадиса, В.Л. Минковского, А.К Харчевой «Ошибки в математических рассуждениях». В Орёл из Англии пришло письмо, а через некоторое время — изящный томик с именами русских математиков на обложке.

Издали эту книгу в Японии. Увидел свои труды Владимир Львович переведёнными на узбекский и чешский языки.

Внимание В.Л. Минковского привлекли методико-математические идеи педагога-революционера В.И. Обреимова, академиков А.А. Маркова и Н.Н. Лузина, писателя Л.Н. Толстого, критика Д.И. Писарева. Учёный одним из первых в стране развивает в печати вопросы эстетического, научно-атеистического значения математики.

Этим летом (1971г. - О.Т.) В.Л. Минковского пригласили в Москву, на XIII Международный конгресс по истории науки. Там он встретился с членом-корреспондентом Академии педагогических наук СССР, профессором Н.М. Шахмаевым.

- Здравствуйте, Владимир Львович! Как поживаете, мой дорогой учитель?

Всех, кто учился у Владимира Львовича, трудно сосчитать. Их можно встретить на Орловщине почти в каждой школе. И по стране наберётся немало.

...Шумит ветер осени в сквере перед большим и красивым зданием Орловского пединститута. Проходит по тропинке Владимир Львович, улыбается встречным студентам, от души радуясь их звонким голосам, молодому задору, далям, распахнутым перед каждым из них.

В. Ветров, кандидат педагогических наук.

В.Катанов

1950 г. Кафедра математики: верхний ряд: И.В. Парнасский, Б.И. Томашов, В.Л. Минковский, В.К. Иножарский, Л.Д. Бологов; сидят: В.А. Александров, СМ. Клименко, Н.А. Дроздова, И.И. Минаев Фото из музея физико-математического факультета

1939 г.

1953 г.

1959 г.

1962 г.

Преподаватели физико-математического факультета, 1953 г.

На демонстрации В.Л. Минковский, СМ. Клименко

Орловский государственный педагогический институт, 1965 г.

Преподаватели физико-математического факультета, 1968 г.

Преподаватели физико-математического факультета, 1969 г.

В.Л. Минковский, В.В. Ветров с коллегами 1 мая 1969 г., г. Орёл

Владимир Львович на отдыхе

XIII Международный конгресс по истории науки, Москва 1971 г.

Преподаватели физико-математического факультета, 1970 г.

О Владимире Львовиче к юбилею написали в центральной печати.80

Письма в редакцию

Геометрия жизни

Когда Владимир Минковский учился в школе, была у него одна тайна, о которой не знали даже его ближайшие друзья. Читая занимательные книги Перельмана, Владимир узнал о великой теореме Ферма и загорелся желанием её доказать. Доказательство он показал учителю математики, хотя и не был уверен в его полноте. Учитель не стал конфузить юношу, а подарил ему на память старенькую книжечку о математических софизмах - задачах, в которых нужно было найти замаскированную ошибку. Часами просиживая над этой интересной книжицей, Владимир начинал понимать, что такое математическое доказательство и как надо его обосновывать. Тяга к знаниям привела его после окончания школы на физико-математический факультет Воронежского педагогического института.

На способного студента здесь обратили внимание и посоветовали Владимиру серьёзно заняться проблемой развития математического мышления учащихся. Тема понравилась молодому математику, он стал усиленно над ней работать: собирал литературу, выступал с сообщениями на занятиях математических кружков, анализировал работы участников математических олимпиад. Многолетний опыт он обобщил в кандидатской диссертации «Опровержение ложных доказательств, как средство развития математического мышления учащихся», явившейся ценным вкладом в отечественную методику преподавания математики.

Уже четыре десятилетия продолжается активная педагогическая и научная деятельность доцента В.Л. Минковского, заведующего кафедрой алгебры и методики математики Орловского пединститута. Им опубликовано более 40 работ по истории и методике преподавания математики. Его перу принадлежат: книга для учителей «За страницами учебника математики», учебное пособие для учащихся 6-го класса и книга «Ошибки в математических рассуждениях» (совместно с профессором В.М. Брадисом и А.К. Харчевой), которые вызвали большой интерес не только у наших, но и у зарубежных педагогов.

80 Больсен Е. Геометрия жизни. //«Учительская газета» - №109 (6399). - 18.09.1971.

Широко известны учителям его статьи, посвященные вопросам научно-атеистического и эстетического воспитания, опубликованные на страницах журнала «Математика в школе».

В.Л. Минковского и сотрудников его кафедры хорошо знают учителя города Орла и области. Кафедра принимает активное участие в переподготовке учителей по новым программам, в педагогических чтениях и математических олимпиадах, учёные систематически дают консультации руководителям школ передового опыта.

Владимиру Львовичу 60 лет. Но он полон энергии и творческого задора. Недавно он вернулся с международного конгресса по истории науки и сразу же приступил к работе над книгой «Очерки по истории методики преподавания математики в России». Сколько ещё незаконченных исторических этюдов ожидают своего завершения: «Чернышевский и математика», «Л.Н. Толстой - педагог-новатор» и многие другие.

Рассказ о В.Л. Минковском хотелось бы закончить афоризмом Лобачевского о том, что каждый человек имеет свой постулат и на его основе строит геометрию своей жизни.

Владимир Львович — счастливый человек: его постулат — увлечённость наукой, любовь к школе. Вот почему его «геометрия жизни» оказалась такой удачной.

Е. Больсен, учитель математики.

Владимир Львович Минковский (К 60-летию со дня рождения)81

Имя кандидата педагогических наук, доцента Орловского пединститута, члена Советского национального объединения историков естествознания и техники, педагога-математика коммуниста Владимира Львовича Минковского хорошо известно математической общественности.

В. Л. Минковский родился 24 сентября 1911 г. в семье врача в г. .Воронеже. Получив среднее образование в одной из школ г. Воронежа, он поступил в Воронежский пединститут и окончил его в 1933 г. по математическому отделению.

81 Болгарский Б. В., Ветров В. В. Владимир Львович Минковский (К 60-летию со дня рождения)// Математика в школе. - 1971. - №5. - С.91-92.

Научно-педагогическая деятельность Владимира Львовича началась в 1935 г. после окончания им аспирантуры при Ростовском пединституте. До 1950 г. он работал в Магнитогорском, Энгельсском и Шадринском пединститутах.

В 1947 г. В. Л. Минковский защитил диссертацию на степень кандидата педагогических наук. С 1950 г. он работает в Орловском пединституте сначала доцентом кафедры математики, а с 1966 г. по настоящее время заведует кафедрой элементарной математики и методики математики.

Научные интересы Владимира Львовича широки и разнообразны. Им написано свыше 40 работ, посвященных методике школьного курса математики, воспитанию у школьников логического мышления в процессе преподавания математики, истории математического образования, истории и методологии математики, методико-математическим воззрениям и педагогическим идеям академиков А. А. Маркова и Н. Н. Лузина, профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского, писателя Л. Н. Толстого и критика Д. И. Писарева, уральского педагога-математика и революционера В. И. Обреимова. Основные темы научных исследований Владимира Львовича - формирование логического мышления школьников в процессе обучения математике, научно-атеистическое и эстетическое воспитание учащихся на уроках математики, создание пособий для внеклассного чтения по математике, различные вопросы истории и методологии математики.

Большим вниманием школьных учителей пользуется книга В. Л. Минковского «За страницами учебника математики». Широко известна вышедшая несколькими изданиями написанная В. Л. Минковский совместно с В. М. Брадисом и А. К. Харчевой книга «Ошибки в математических рассуждениях».

В. Л. Минковский - участник многих математических конференций и симпозиумов, на которых он часто выступал с интересными докладами, посвященными актуальным вопросам методики и истории математики.

Наша характеристика многолетней научно-педагогической деятельности Владимира Львовича была бы неполной, если бы мы не отметали его постоянной неутомимой помощи учителям школ г. Орла и Орловской области в деле перестройки преподавания математики, овладения ими содержанием и методикой преподавания новых тем и целых разделов модернизированного школьного курса математики. В течение

нескольких лет он руководит факультетом повышения квалификации учителей математики, созданным при Орловском пединституте.

Плодотворная научно-педагогическая деятельность В. Л. Минковского получила высокую оценку. Он награжден орденом «Знак Почета», медалями и значком «Отличник народного образования».

Пожелаем же Владимиру Львовичу крепкого здоровья и новых творческих успехов в его плодотворной научно-педагогической деятельности.

Б. В. Болгарский (г. Казань), В. В. Ветров (г. Орел)

В юбилейный день рождения после торжественной части состоялся дружеский ужин в гостинице «Орёл». В личном архиве Н.А. Ильиной сохранился пригласительный билет.

Заявление В.Л. Минковского на имя Т.С. Кретовой с просьбой об освобождении от занимаемых должностей (заведующего кафедрой алгебры и методики математики и доцента) и оформления пенсии по старости от 24 сентября 1971 года

Уже на следующий день после Юбилея, Владимир Львович написал на имя ректора института заявление с просьбой освободить его от занимаемой должности. Впереди были большие творческие планы, желание больше времени проводить с любимой супругой Софьей Сергеевной Минковской. Однако судьба распорядилась иначе. 15 октября 1971 года Софья Сергеевна скончалась.

На могиле супруги г.Орёл, Троицкое кладбище

Минковская Софья Сергеевна родилась 12 сентября 1912 года в селе Грязное Советского района Курской области. Начальную школу окончила в родном селе, а среднюю в г. Щигры Курской области в 1929 году. В этом же году поступила в Воронежский университет, который затем был реорганизован в педагогический институт, на факультет русского языка и литературы, который окончила в 1932 году.82

По всей видимости, именно в Воронежском педагогическом институте и произошла встреча Софьи Сергеевны и Владимира Львовича. В 1931 году они поженились и с тех пор Софья Сергеевна всегда следовала за мужем. В

82 Архив ОГУ, Личное дело С.С. Минковской. №105. Л.38.

автобиографии она писала: «Мои переезды связаны с учёбой мужа в Воронеже и Ростове и его назначениями на работу».83

Пока Владимир Львович продолжал обучение на математическом отделении физико-математического факультета Воронежского государственного педагогического института, Софья Сергеевна работала преподавателем русского языка в филиале Воронежского комвуза на ст. Отрожка и в учебном комбинате.

В связи с дальнейшими переездами Владимира Львовича ее дальнейшая трудовая деятельность была так же как и у мужа связана с Ростовским, Магнитогорским и Энгельским педагогическими институтами. В них она работала преподавателем русского языка. Как мы уже отмечали ранее, в 1941 году Энгельский институт был переведен в г. Маркс, а затем ликвидирован. С октября 1941 года по ноябрь 1945 года С.С. Минковская работала преподавателем русского языка и литературы Марксовской средней школы №5. Затем вместе с Владимиром Львовичем они становятся преподавателями Шадринского пединститута.84

С 1950 года Софья Сергеевна становится ассистентом кафедры русского языка Орловского государственного педагогического института. Коллеги С.С. Минковской отзывались о ней как об опытном методисте, энергичном организаторе, преподавателе, который читает лекции и ведет практические занятия по русскому языку на достаточном научно-теоретическом уровне.85

28 июня 1956 года Софья Сергеевна на заседании Учёного Совета Московского педагогического института им. В.И. Ленина защитила кандидатскую диссертацию на тему: Методика изучения в средней школе темы «Бессоюзные сложные предложения». И уже в этом году, с начала нового учебного года, Софью Сергеевну утвердили в должности декана факультета русского языка и литературы Орловского государственного педагогического института.86

18 марта 1970 года С.С. Минковская утверждена в учёном звании доцента по кафедре «Русский язык».

Спустя семь месяцев Софьи Сергеевны не стало...

А Владимир Львович остался совсем один... Детей у них не было.

За сильным и успешным мужчиной всегда стоит мудрая женщина. Именно такой и была Софья Сергеевна. Владимиру Львовичу она отдала всю свою нежность, участие, заботу. Ограждала его от бытовых проблем на сколько хватало сил. Абсолютно неприспособленный к повседневным заботам, Владимир Львович после непродолжительного промежутка времени принимает решение повторно жениться.

83 Архив ОГУ, Личное дело С.С. Минковской. №105. Л.5.

84 Там же. Л.2.

85 Там же. Л. 15.

86 Там же. Л.24.

Второй супругой Владимира Львовича стала Валентина Ниловна. Именно она смогла окружить учёного вниманием, заботой. Сердечное и чуткое отношение супруги позволили Владимиру Львовичу продолжать активную научно-педагогическую деятельность.

Валентина Ниловна бережно сохранила весь личный архив учёного. Свою любовь и преданность супругу она сохранила на всю жизнь. В квартире, в окружении цветов весит портрет Владимира Львовича.

Валентина Ниловна Минковская, 2010 г.

Портрет В.Л. Минковского дома, 2010 г.

Выйдя на заслуженный отдых Владимир Львович продолжает активно творчески работать, поддерживать рабочие контакты с физматом. В.Л. Минковский периодически становился председателем Государственной экзаменационной комиссии. В Личном деле сохранилась последняя характеристика учёного, написанная меньше чем за год до смерти.

ХАРАКТЕРИСТИКА кандидата педагогических наук доцента Орловского пединститута Минковского Владимира Львовича87

В.Л. Минковский рождения 1911 года, еврей, член КПСС с 1944 года. Стаж работы в вузе - 31 год.

В Орловском государственном педагогическом институте работал с сентября 1950 по 1971 год, заведовал кафедрой элементарной математики и методики математики. Читал курсы методики и истории математики, руководил педагогической практикой. Все виды занятий проводил на высоком научно-теоретическом и методическом уровне.

В.Л. Минковский проводил большую и плодотворную научно-исследовательскую работу. До выхода на пенсию в 1971 году им опубликовано свыше 40 работ. Некоторые из его книг пользуются особой популярностью у преподавателей математики и учащихся и переведены и изданы в Чехословакии, Англии, Японии.

Находясь на заслуженном отдыхе, В.Л. Минковский продолжает вести интенсивную научно-исследовательскую работу. За последние годы он опубликовал в центральной печати около 15 статей, посвященных: 1) методико-математическому наследию Н.И. Лобачевского, П.Л. Чебышева, К.Д. Ушинского, С.А. Рачинского, Д.Д. Мордухай-Болтовского; 2) научно-атеистическому воспитанию на уроках математики; 3) критическому анализу учебных пособий по математике, истории математики и методике математики для учителей школ, учащихся педучилищ, студентов физико-математических факультетов и факультетов начальных классов пединститутов.

В.Л. Минковский принимал и продолжает принимать активное участие в общественной жизни. В течение ряда лет был секретарем партийной организации физико-математического факультета, членом партбюро института, избирался членом горкома КПСС, работал зав. внештатным отделом школ горкома партии, избирался депутатом районного Совета депутатов трудящихся нескольких созывов, систематически выступал с лекциями и докладами перед учителями и населением города.

87 Архив ОГУ, Личное дело В.Л. Минковского №487. (№104) Л.57.

На протяжении ряда последних лет В.Л. Минковский избирается членом комиссии парткома Орловского пединститута по контролю за деятельностью ректората по руководству научной работой.

Характеристика дана для утверждения председателем ГЭК. Ректор института (Михалев)

Секретарь парткома (Алексютин)

Председатель МК (Тиганов)

8 апреля 1977 г.

Скончался Владимир Львович Минковский в больнице 19 марта 1978 года. В институтской газете «За педагогические кадры» в №8(612) от 31 марта 1978 г. был опубликован некролог.

Некролог

Орловский педагогический институт понёс тяжёлую утрату: на 67-м году жизни скончался кандидат педагогических наук, доцент Владимир Львович Минковский - старейший преподаватель, коммунист, учёный, педагог-математик, член советского национального объединения историков естествознания и техники.

Владимир Львович родился 24 сентября 1911 года в семье врача в городе Воронеже. В 1933 году он окончил Воронежский педагогический институт, а в 1935 году — аспирантуру при Ростовском пединституте. В 1944 году вступил в ряды КПСС.

До 1950 года В.Л. Минковский работал в Магнитогорском, Энгельском, Шадринском пединститутах, а с 1950 по 1971 год в Орловском педагогическом, сначала доцентом, а затем заведующим кафедрой математики.

Широки и разнообразны были научные интересы Владимира Львовича. Им написано более 60 работ, посвященных методике школьного курса математики, истории математического образования, истории и методологии математики. Много сил и энергии отдавал Владимир Львович Минковский делу подготовки будущих учителей математики, привитию им любви к математической науке, а также оказанию помощи учителям математики средних школ. Им разработаны ценные пособия по вопросам формирования логического мышления школьников в процессе обучения математике, научно-атеистического воспитания учащихся на уроках математики.

Постоянную практическую помощь оказывал Владимир Львович учителям школ г. Орла и Орловской области в деле перестройки преподавания математики. В течение нескольких лет он руководил факультетом повышения квалификации учителей математики при Орловском пединституте.

Ученики В.Л. Минковского работают в школах и вузах нашей страны, ведут научно-педагогическую работу. Среди них есть кандидаты наук, профессора.

Коммунист В.Л. Минковский принимал активное участие в общественной жизни института и г. Орла. В течение нескольких лет он возглавлял партийную организацию физико-математического факультета, избирался депутатом райсовета, горсовета и членом горкома КПСС,

Плодотворная научно- педагогическая и общественная деятельность В.Л. Минковского получила высокую оценку: он награждён орденом «Знак почёта», медалями и значком «Отличник народного образования».

После ухода на пенсию Владимир Львович не порывал связи с Орловским институтом и физико-математическим факультетом. Неоднократно он возглавлял государственную экзаменационную комиссию, участвовал в работе комиссии народного контроля.

Вся жизнь Владимира Львовича Минковского может быть примером беззаветного служения делу коммунистического воспитания молодёжи, примером честного, принципиального отношения к работе.

Память о Владимире Львовиче сохранится в сердцах его учеников и товарищей по работе.

Группа товарищей.

Некролог Газ. «За педагогические кадры», 31 марта 1978 г.

Могила В.Л. Минковского и С.С. Минковской Троицкое кладбище, г.Орёл

4. Переписка с коллегами

Владимир Львович вёл активную переписку с выдающимися математиками, методистами, учителями. Среди них были: И.К. Андронов88, С.С. Демидов89, Н.М. Бескин, Д.С. Фаермак, П.М. Эрдниев90.

Сергей Сергеевич Демидов в 70-е годы XX века работал в авторском коллективе под руководством Адольф Павловича Юшкевича91. К работе по написанию статей энциклопедического характера был привлечен и

88 Родился Иван Козьмич Андронов 3 июня 1894 г. в центре России - в г. Новосиле (ныне Орловская область) в многодетной семье. Трудовую деятельность начал рано: в 1911 г. после окончания средней школы начал работать учителем начальной школы. Окончив учительский институт, преподавал в старейшей Порецкой учительской семинарии, а после окончания высшей педагогической школы - института им. П.Г. Шелапутина (1918) - стал преподавателем Петербургской губернской учительской школы. После преобразования педагогического института им. П. Г. Шелапутина в Педагогическую академию Иван Козьмич работает в ней преподавателем, доцентом, а с 1925 г. - профессором. С 1931 г. и до конца своей жизни И. К. Андронов работал в МОПИ заведующим кафедрой высшей математики, элементарной математики и методики преподавания математики. В 1957 г. Иван Козьмич был избран членом-корреспондентом АПН РСФСР; в 1964 г. ему присвоено звание заслуженного деятеля науки РСФСР. Умер Иван Козьмич 11 ноября 1975 г.// Колягин Ю. М., Саввина О. А., Тарасова О. В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. Ч.Ш. Вторая половина XX века и начало XXI века. 3-е изд. - Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С.21-22.

89 Демидов Сергей Сергеевич (род. 30.12.1942) - доктор физико-математических наук (1990), Зав. сектором истории математики ИИЕТ РАН. Главный редактор "Историко-математических исследований". Член Московского математического общества; действительный член Международной академии истории науки; член Американского математического общества; член Общества истории науки США; член Общества историков математики Великобритании. Опубликовал более 150 статей по истории математики.// http://www.mathnet.ru/php

90 Эрдниев Пюрвя Мучкаевич (р. 15.10.1921), педагог, математик-методист, акад. РАО, д-р пед. наук (1973), проф. (1972). Засл. деятель науки РСФСР (1981). Участник Вел. Отеч. войны. В 50-70-х гг. на материале школьного математики разработал систему укрупнения дидактических единиц (УДЕ) как технологию изучения взаимосвязанных понятий (уравнения и неравенства; обыкновенные и десятичные дроби; пропорции и проценты; координаты и векторы).// http://www.ido.rudn.ru/psychology/pedagogical_psychology/biograf249.html

91 Юшкевич А. П. (1906-1993) - математик и историк математики, окончил МГУ (1929); д-р физ.-мат. наук, проф. (1940). С 1930 по 1952 г. преп. МВТУ; с 1945 г. сотр. в Ин-те истории естествозн. и техники АН СССР; осн. труды по истор. математики, в т.ч. кн. «История математики в средние века» (1961), «История математики в России» (1968).// Колягин Ю. М., Саввина О. А., Тарасова О. В. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. 4.2. Первая половина XX века. - Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - С.226.

Владимир Львович Минковский, об это свидетельствуют письма из личного архива учёного.

Глубокоуважаемый Владимир Львович, пишу Вам по поручению заместителя главного редактора математической секции Энциклопедии по истории науки А.П. Юшкевича. Не согласились бы Вы написать для энциклопедии, издаваемой издательством БСЭ, статью «Арифметика» объёмом 10000 знаков. О Вашем согласии или несогласии сообщите мне, пожалуйста, как можно скорее, письмом по адресу:

117330 Москва В-330, Университетский просп. 23, корп.4, кв.121, Демидову С.С.

Предполагается, что статья будет содержать очерк развития систем счисления и правил счёта, иными словами, историю «школьной» арифметики. Теоретическим разделам арифметики /или теории чисел/ будет посвящена другая статья энциклопедии.

Просьба написать статью к началу сентября.

С глубоким уважением. Ваш С.Демидов 20 марта 1973 г., Москва

Работа не ограничилась написанием только одной статьи.

Глубокоуважаемый Владимир Львович, редколлегия вынесла следующее решение: статьи «Счёт» и «Счисления системы» выбросить, «влив» их содержание в статью «Арифметика», объём которой увеличить до 20000 знаков.

Статью «Дроби», ввиду особой исторической важности этого понятия, оставить. Статья эта никому ещё не заказана (буква «Д» в первый том не входит). Её содержание до известной степени будет зависеть от содержания Вашей статьи. Что касается статей «Чисел теория» и «Число» (тоже ещё не заказанных), то их содержание не имеет особенных пересечений с Вашей: первая -очерк истории теории чисел (элементарной, аналитической, алгебраической и т.д.), вторая - понятия числа в историческом развитии число - целое число (в античности), иррациональные числа, комплексные, гиперкомлексные и т.д.).

С глубоким уважением Ваш С. Демидов 18.06.73

Владимиром Львовичем работа была выполнена в срок и на соответствующем уровне, о чем можно убедиться из письма С.С. Демидова.

Глубокоуважаемый Владимир Львович, сообщаю Вам о том, что Ваша статья с некоторыми изменениями и сокращениями, сделанными А.П. Юшкевичем и А.И. Маркушевичем, сдана в редакцию БСЭ. Если со стороны их редактора Р.Я. Штейнмана не будет никаких существенных замечаний, которые потребуют некоторых доработок, то Ваша статья пойдёт в производство.

Ваш С. Демидов

Владимир Львович внимательно следил за новинками педагогической литературы, внимательно изучал их. Об этом свидетельствует большое количество публикаций в журналах «Математика в школе», «Народное образование», «Начальная школа» рецензионного характера. С авторами учебников, пособий В.Л. Минковский зачастую вёл переписку.

В личном архиве В.Л. Минковского есть письмо Д.С. Фаермарк, полученное Владимиром Львовичем в ответ на высказанные им замечания и одобрения в адрес автора книги «Задача пришла с картинки»92. В предисловии сказано, что эта книга своеобразная попытка создания научно-беллетристического произведения на математической основе. Рассказав о знаменитой картине Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет», о жизни художника и о его школьном наставнике - известном педагоге и просветителе С.А. Рачинском, изображенном на картине среди крестьянских детей; автор обращается к задаче, условие которой написано на классной доске. Далее читатель узнает о многих интересных задачах, связанных со свойствами целых чисел, об истории этих задач, о русских, советских и зарубежных математиках, внесших большой вклад в теорию чисел.

Здравствуйте, уважаемый Владимир Львович!

Ваше письмо от первого июня я получил. Большое Вам спасибо за добрые слова о моей книге.

Ваше письмо сначала, откровенно говоря, меня озадачило. Когда я вспомнил, что Вы в своей книге «За страницами учебника математики» писали о картине Богданова-Бельского «Устный счет», то все понял. Я искренне хотел бы узнать Ваше мнение о моей книге, особенно о второй части ее. Буду Вам очень благодарен, если Вы напишите мне об этом подробно. Для меня это очень важно. О первой части я получил много откликов, а о второй - нет откликов. Для меня, математика, гораздо важнее отклики о второй части книги.

Я лично не совсем доволен моей книгой. Недоволен тем, что были выпущены некоторые главы из математической части ее. Мои редакторы объяснили это тем, что необходимо сократить объем книги и, что эти главы не имеют научной ценности. А мне эти главы жаль. Я над ними очень много работал, и мне казалось, что любознательный

92 Фаермарк Д.С. Задача пришла с картинки. - М: Наука, 1974. - 160с.

читатель-математик нашел бы в них для себя много интересного. Не нравится мне и оформление книги. Плохо оформлена обложка. На картине не видна задача, не вся картина помещена на обложке (мальчики оказались без ног). В книге нет репродукций из других картин Богданова-Бельского, нет фотографий художника и его учителя и друга — Рачинского. Весь этот материал я послал в издательство. Ссылаясь на то, что вся серия книг «Из истории мировой культуры» оформляется таким образом. А жаль! Книга выглядела бы совсем по другому, если бы в ней были помещены хотя бы пять цветных репродукций картин художника, портреты художника и его учителя. Книга бы ожила. Я об этом мечтал. Но, увы! Приходится довольствоваться тем, что есть. Немного обидно. Я собрал богатейший материал о Богданове-Бельском и о Рачинском, репродукции многих картин художника, альбомы его работ, один из которых в своем роде уникальный, и все это осталось неиспользованным в книге.

Я хочу, чтобы Вы меня правильно поняли. Я не виню издательство. Наоборот - мой редактор Евгений Михайлович Кляус очень много сделал для меня. Я уверен, что не встреть я этого замечательного человека, моя книга не увидела бы свет. Ведь другие издательства, куда я обращался («Просвещение», «Молодая гвардия», «Детская литература» и др.) отмахивались от меня, как от назойливой мухи.

Извините меня, Владимир Львович, Зв такое большое вступительное слово. Наболело! Надо же с кем-нибудь поделиться своими мыслями и думами. Мне кажется, что Вы меня поймете.

А сейчас по существу. Постараюсь ответить на вопросы из Вашего письма. Книгу я написал в городе Каменск-Уральском Свердловской области. Там я прожил почти 30 лет. Работал учителем математики в школах города. Последние 10 лет работал там преподавателем математики в алюминиевом техникуме. В 1971 году переехал в Свердловск. Сейчас работаю учителем математики 136-ой свердловской школы.

Сейчас работаю над повестью об одном уральском математике-самоучке прошлого века. Если здоровье позволит, то закончу ее в этом году. Я очень плохо вижу. В 1972 году после одного несчастного случая я потерял зрение (поэтому и печатаю на машинке). Последнюю часть книги я диктовал своей дочери. Долго лечился в Москве, и после операции мне было возвращено 5% зрения. С таким зрением и работаю сейчас в школе. На инвалидность не хочу уходить.

Вот и все. Если у Вас будут еще вопросы ко мне, то напишите, и я с удовольствием отвечу на них.

Пока все. Будьте здоровы. С нетерпением жду Вашего ответа.

С искренним уважением Фаермак Д.С.

г. Свердловск. 6 июня 1974 г.

Спустя два года, в 1976 году в журнале «Народное образование»93 опубликована подробнейшая рецензия на книгу Д.С. Фаермак, с полным обоснованием «плюсов» и «минусов» работы. В итоге В.Л. Минковский совместно с В.В. Ветровым заключают, что «книга Д. Фаермарка принесет большую пользу учителям математики, их ученикам и займет достойное место на полках научно-популярной литературы». В разделе «Публикации Владимира Львовича Минковского» данной книги она приведена полностью.

Жаркие дискуссии разворачивались по вопросам содержания статей в журнале «Математика в школе», который был в то время, пожалуй, единственным научно-методическим журналом, на станицах которого печатались авторы, составляющие золотой фонд отечественной методики математики. Опубликование статье было возможно только после получения положительной рецензии, как правило, не от одного из специалистов. На большую часть опубликованных статей приходили отклики, причем, порой довольно с резкой критикой. В 1977 году Владимир Львович подготовил статью для журнала о Семёне Ильиче Шохор-Троцком.94 Рецензентом выступал В.Н. Молодший, который, судя по письму адресованному В.Л. Минковским Н.М. Бескину, был довольно резок и категоричен.

Дорогой Владимир Львович, посылая мне письмо В.Н. Молодшего, Вы, по-видимому, хотите знать моё мнение о нём. Сообщаю Вам по пунктам.

1. Я давно знаю, что В.Н. Молодший - рецензент крайне субъективный. В данном случае я не согласен с основным выводом его рецензии (он сообщает, что его отзыв «неположительный»). Я считаю тему Вашей статьи актуальной, так как Шохор-Троцкий заслуживает внимания со стороны учителей математики. Статью Вашу я тоже оцениваю положительно, хотя имею локальные замечания, которые я Вам сообщил. Посмотрим, что будет дальше. Мнение В.Н. Молодшего не есть окончательный приговор, а лишь гиря на одну чашу весов.

2. Мнение В.Н. Молодшего о Б.В. Болгарском я вполне разделяю. В частности, я возмущён его последней книгой «Очерки по истории математики». Это - книга очень низкой грамотности и культурного уровня. По непонятным мне причинам она встретила положительную оценку Б.А. Розенфельда, статья которого была опубликована в

93 Минковский В.Л., Ветров В.В. «Задач пришла с картинки».// Народное образование. -1976. -№3.-СЛ00-102.

94 Минковский В.Л., Муромцева Л.И. СИ. Шохор-Троцкий (К 125-летию со дня рождения) // Математика в школе. - 1978. - №1. - С.84-86.

«Математике в школе». Б.А. Розенфельд - большой эрудит и знаток предмета, но либерал.

3. Мнение В.Н. Молодшего о необходимости покончить с «борьбой с преклонением». Борьба приняла в начале пятидесятых годов карикатурные формы, я разделяю, но считаю, что это мнение не имеет никакого отношения к Вашей статье. Здесь уместно было бы вспомнить низкопробную книгу А.В. Ланкова «Развитие передовых идей в русской методике математики».

4. По-видимому, упоминание о Грубе - уязвимый пункт Вашей статьи. Как вы помните, я тоже обратил на него Ваше внимание, хотя и с другой точки зрения, чем В.Н. Молодший. Я, не будучи специалистом и не зная теории Грубе, считаю, что раз Вы эту теорию обсуждаете, Вы должны были бы сформулировать, в чём она заключается. Иначе это место для читателя непонятно. Я не считаю, что Вы должны одобрить эту теорию, следуя логике В.Н. Молодшего, который ссылается на И.Н. Ульянова. Во-первых, И.Н. Ульянов не может считаться авторитетом в области методики математики. Во-вторых, если бы даже он и был таковым, то с тех далёких времён появились разные новые течения, о которых он не мог знать (в частности, тот же Шохор-Троцкий). В-третьих, в отличие от В.Н. Молодшего, мне глубоко чужда аргументация, заключающаяся в ссылках на авторитеты. Однако, я попрежнему считаю, что этот пункт в Вашей статье должен быть обстоятельно разъяснён. Желаю Вам всего лучшего.

Ваш Ник.Бескин. 27 июля 1977 г.

Владимир Львович, и сам довольно часто готовил рецензии на статьи в журнале «Математика в школе». К примеру, в 1977 году была опубликована рецензия на работу И.Н. Бронштейна и Б.Л. Лаптева95. Этой публикации предшествовала большая и кропотливая работа.

Дорогой Владимир Львович, благодарю Вас за присылку статьи, но был огорчён получением денег, да ещё с превышением. Было бы педантично посылать Вам сдачу, но я верну её при личной встрече.

И.Н. Бронштейн посвятил громадный многолетний труд работе над этой книгой. Всё издание держится главным образом на нём и на Б.Л. Лаптеве96. Поскольку И.Н. Бронштейн страдал неизлечимой болезнью (рак пищевода), я хотел доставить ему удовлетворение быстрым опубликованием рецензии. Понятно, что я не хотел

95 Минковский В.Л. Новый том научного наследия Н.И. Лобачевского.// Математика в школе. - 1977. - №2. - С.86-88.

96 По всей видимости, речь идёт о работе: Н. И. Лобачевский. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма [Текст] / отв. ред., ред. П. С. Александров, ред. И. Н. Бронштейн, отв. ред., ред. Б. Л. Лаптев и др., подгот. изд. В. В. Аристов, подгот. изд. В. М. Верхунов, подгот. изд. Э. Д. Днепров и др. - М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 663 с.

распространять этой причины. Теперь секретность миновала: он умер 26 ноября. Накануне этого дня я по его просьбе был у него и показал ему вашу рецензию. Она ему понравилась. Он указал две мелкие неточности: 1) на стр.4 строки 4-3 снизу в списке редакторов пропущена его фамилия, 2) на стр.11 строка 5 сверху вводная статья приписана Б.Л. Лаптеву (вместо А.П. Нордена). Кроме того, он просил проверить, действительно ли «Учёные записки Казанского университета» — первый в России университетский журнал. Я надеюсь, что Вы напишите мне об этом. Желаю Вам всего лучшего.

Ваш Ник.Бескин, 1 декабря 1976 г.

Почтовая карточка В.Л. Минковскому от Н. М. Бескина

5 августа 1977 г.

Письмо профессора П.М. Эрдниева В.Л. Минковскому

13.07.1977 г.

Владимир Львович долгие годы общался с Иваном Козьмичем Андроновым. И это было неслучайно, поскольку область научных интересов этих двух учёных -история математического образования.

Выше мы уже отмечали, что И.К. Анронов выступал официальным оппонентом на защите кандидатской диссертации Владимира Львовича. Своих коллег Г.А. Александрову и Р.Г. Проскурину он рекомендовал в аспирантуру к Ивану Козьмичу. В библиотеке им. К.Д. Ушинского (г. Москва) хранятся книги из библиотеки И.К. Андронова. На одной из них есть дарственная надпись.

Андронов Иван Козьмич

Дарственная надпись В.Л. Минковского на книге «Учёные записки кафедр физико-математического факультета Орловского государственного пед.института». Том XI. Вып. II. 1956 г. Ивану Козьмичу Андронову

5. Воспоминание о Владимире Львовиче Минковском учеников и коллег

Кречетова Галина Алексеевна училась на физико-математическом факультете в период с 1944 по 1948 гг., получила квалификацию учителя математики. После окончания института продолжала семейную учительскую династию - работала учителем математики, завучем в школах №4, 7, 10, 11 г Орла. С 1957 года по совету и настоянию В.Л. Минковского перешла на работу преподавателем в Орловский педагогический институт. В течение 10 лет была проректором по заочному обучению. В родном вузе работала до 1983 г. Отличник народного просвещения.

Вспоминает Галина Алексеевна Кречетова: Владимир Львович предложил мне перейти на работу на кафедру элементарной математики пединститута. И вот с 1957 года я стала вести практические занятия по методике преподавания математики, лекции читал Владимир Львович.

В моей памяти Владимир Львович остался человеком мыслящим, порядочным, сверхкультурным, обходительным. Он много читал, знал глубоко методическую литературу. Часто присутствовал на практических занятиях, проводимых мною, резких отрицательных замечаний никогда не делал, был очень тактичен. Сначала спросит: «Как Вы мыслите изложение того или иного вопроса?» Никогда не навязывал свою точку зрения. Всегда готов был дать совет: где взять дополнительный материал. У Владимира Львовича была большая библиотека, книгами которой он охотно давал пользоваться. Я не один год работала в институте усовершенствования учителей, вела занятия. Владимир Львович всегда интересовался что преподаю, с чем возникают сложности. Всегда выслушает, даст добрый совет. Со студентами был чрезвычайно уважителен. Обращался к ним только на «Вы», никогда никому никакого плохого слова не сказал. Хорошо было работать с Владимиром Львовичем в нашем дружном физматовском коллективе.

Выпуск 1953 года

Александрова Галина Алексеевна 49 лет работала на физико-математическом факультете, долгие годы была заместителем декана. Но прежде были студенческие годы - с 1949 по 1953 годы, трудные

послевоенные. По примеру старшей сестры физико-математический факультет с отличием закончила (1961-1966 гг.) и младшая сестра -Светлана Алексеевна Свешникова, которая была и членом комитета комсомола, и старостой. Сестры не один год работали вместе на кафедре алгебры и методики математики, руководимой Владимиром Львовичем. В личной библиотеке Светланы Алексеевны сохранилась книга, подаренная ей в день рождения В.Л. Минковским.

Вспоминает Галина Алексеевна Александрова:

Владимир Львович - замечательный педагог, Человек с большой буквы, один из лучших педагогов-психологов Орловского государственного педагогического института. Он очень чутко относился к студентам. Его лекции по методике преподавания математики и истории математики были шедеврами. А насколько умело и интересно он проводил семинарские занятия! Владимир Львович назначал ответственного за тему занятия. Его роль заключалась в подготовке вступительного сообщения. Затем почти каждый высказывал своё мнение, а он слушал с улыбкой, ни кого не перебивал, Но в его заключительное слово доставалось тому, с

кем он был не согласен (при этом его замечания были доброжелательными). Владимир Львович старался всех студентов называть по имени и отчеству.

Мне, еще студенткой, несколько раз приходилось разговаривать с Владимиром Львовичем (он был парторгом физмата) и Сергеем Митрофановичем Клименко (в то время был деканом факультета), как говорится, по душам.

Первый раз, когда Учёный Совет физмата рекомендовал меня на стипендию им. 15-летия Комсомола. Второй раз, когда Совет факультета рекомендовал меня в аспирантуру при МОПИ. Третий раз - когда пришел отказ, поскольку я была на оккупированной территории.

Но каждый раз я была очень благодарна участливому, внимательному отношению ко мне.

Владимир Львович был очень чуток к аспирантам. Он пытался помочь мне и Раисе Гавриловне Проскуриной, организовав нашу встречу с профессором Иваном Козьмичем Андроновым в Москве у него на квартире. Правда, мы не смогли воспользоваться этой встречей. Трудно было: новая учебная нагрузка, семья и т.п.)

Сам Владимир Львович относился к своей работе очень добросовестно. Он был факультетским руководителем педагогической практики, и считал, что учителем может стать только студент, хорошо зарекомендовавший себя на учебной практике. Владимир Львович сам посещал все школы, где проходили практику студенты, помогал.

Курьёз со мной приключился на первой педагогической практике на 3 курсе в школе №26 г.Орла. Надо было каждому из нас подготовить и провести пять уроков в 7классе и один урок в 5 классе. Классы большие, человек по сорок в каждом. Запомнить все фамилии трудновато было. И вот я в 5 «А» классе подготовилась к уроку на тему «Площадь круга». На урок пришли человек десять студентов, методист Борис Иванович Томышев, Владимир Львович Минковский, учитель класса Иван Петрович (фамилии, к сожалению, не помню). И вот на урок ко мне опаздывает мальчик, и прячется за печкой, я его не увидела, а он тихонечко стоял до тех пор, пока учитель не позвал его. Смутилась я сильно. Владимир Львович после урока ободрил, поддержал меня добрым словом.

После окончания института стремилась в школу. Сначала рекомендовали меня в школу №4, затем в Тургеневскую школу, затем во Мценском РАЙНО в школу №1. В итоге я оказалась в Залегощенской средней школе. Первый год отработала учителем математики, а затем в течение трех лет была завучем в этой школе. Сестра в эти годы училась на нашем факультете. Святослав Михайлович Горшенин прислал с сестрой письмо с приглашением на работу. Я к тому времени вышла замуж, родила ребёнка, муж учился. С того далекого 1957 года по 2006 год работала на физико-математическом факультете.

В 1962 году был мой первый выпуск. Мои учителя - теперь коллеги. Я очень гордилась этим.

В обычной жизни Владимир Львович также был очень чутким и внимательным. Приведу примеры. Пример первый. Оставалось немного дней до защиты курсовых работ по методике преподавания математики. В нашей группе у него писали четыре человека. Владимир Львович немного приболел и попросил кого-нибудь принести работы ему на квартиру. Так решили, что идти мне. Прихожу, боюсь. Но как только открыла дверь жена Владимира Львовича - Софья Сергеевна, пригласила в дом - все пропало. Владимир Львович посмотрел мою работу, сделал несколько советов и замечаний. В это время Софья Сергеевна уже накрыла стол. И они напоили меня чаем с очень вкусными оладушками и шоколадными (!!!) конфетами. Это же для меня чудо по тем временам!

А четыре человека, что писали у Владимира Львовича курсовые работы - это мои подруги Паничева (Семёнова Галина Михайловна), Азаренкова Эля Геннадьевна и Фёдорова Таисия Фёдоровна. По окончании института Эля и Таисия по распределению уехали в Омскую область, а мы - две Галины, через несколько лет были сотрудниками нашей кафедры родного физмата.

Пример второй. Экскурсия в Спасское-Лутовиново. Никакого различия между преподавателями, лаборантами, их родственниками не было. В автобусе все пели, смеялись, рассказывали анекдоты. Владимир Львович очень интересно их рассказывал.

И третий пример. В последние годы жизни Владимир Львович, его вторая супруга - Валентина Ниловна, и я с мужем, часто встречались на вечерней прогулке по улицам Комсомольской и Панчука. Всегда находили «общий язык» Владимир Львович и мой муж, человек далекий от математики.

Выпуск 1954 года

Ветров Владимир Владимирович учился на физико-математическом факультете в период с 1950 по 1954 гг., получил квалификацию учителя математики и физики. После окончания института работал учителем физики и математики, а затем завучем школы №37 г. Орла, позже завучем в Железнодорожном школе-интернате №2 ст. Орёл. В 1962 г. принят в аспирантуру при ОГПИ по специальности «Математический анализ». С 1965 г. -старший преподаватель кафедры высшей математики, позднее переименованной в кафедру математического анализа. В 1971 г. защитил кандидатскую диссертацию, в 1973 г. ему присвоено ученое звание доцента кафедры «Математический анализ». Владимир Владимирович долгие годы заведовал кафедрой алгебры, геометрии и методики преподавания математики. С 1999 г. профессор кафедры геометрии и методики преподавания математики. Учебно-педагогическая, научная и общественная работа отмечена значками: «Отличник народного просвещения РСФСР», «За отличные успехи в работе высшей школы СССР», «Почетный работник высшей школы» и др.

Вспоминает Владимир Владимирович Ветров: В далеком 1950 году автор этих строк и Владимир Львович Минковский оказались в Орловском государственном педагогическом институте (ОГПИ) на физико-математическом факультете. Первый по окончании Станово-Колодезьской средней школы Орловского района Орловской области поступил на математическое отделение физико-математического факультета, чтобы овладеть профессией учителя математики и физики, а второй, будучи кандидатом педагогических наук, доцентом, приказом по МП РСФСР был переведен из Шадринского пединститута в Орловский, где ему предстояло читать студентам курсы лекций по методике преподавания математики и истории математики, проводить семинарские занятия по этим дисциплинам, руководить педагогическими практиками, написанием курсовых работ и др.

На первых двух курсах обучения в ОГПИ мне приходилось встречаться с Владимиром Львовичем на комсомольских курсовых и факультетских собраниях, которые посещались очень многими нашими преподавателями. Одевался Владимир Львович всегда подчеркнуто строго.

Он появлялся в тщательно отутюженном костюме темного цвета, в сорочке, сверкающей белизной, и со вкусом подобранном галстуке.

Регулярные встречи с Владимиром Львовичем стали происходить на третьем курсе, когда он начал читать нам, студентам, лекции по методике преподавания математики, а позднее - и истории математики.

Слушая лекции Владимира Львовича, невольно приходишь к выводу о том, что услышанное и записанное за ним являлось логически стройным и глубоким по содержанию, пропущено через тщательную авторскую редакцию и подано на прекрасном литературном языке. В своих лекциях он не чурался таких вопросов и даже целых проблем методики преподавания математики, по которым даже у наиболее авторитетных педагогов-математиков не было однозначных ответов. Всесторонне анализировал существующие концепции, указывал на их сильные и слабые позиции, обосновывал свой выбор, деликатно приглашал студентов принять активное участие в затронутой дискуссии. Лекции читались Владимиром Львовичем в размеренно-взвешенном темпе. Нам, студентам, легко было вести записи за лектором и в результате составлять хорошие конспекты, отражающие сведения не только по основной, но и дополнительной литературе.

Конспекты лекций по методике преподавания математики и истории математики, прочитанные Владимиром Львовичем, для каждого из нас впоследствии стали настольными пособиями, когда мы оказались в школе.

Первая педагогическая практика проходила у нас в 5-7 классах в шестом семестре. Мне посчастливилось, что я попал в группу студентов, где не только факультетским, но и групповым руководителем педпрактики был сам Владимир Львович Минковский. Не скрою, волнений перед предстоящими уроками, особенно первыми, было в избытке. Нашу группу студентов направили в женскую среднюю школу №1 г.Орла, которая тогда (в 1953 году) находилась в Железнодорожном районе города, у моста через Оку, где сегодня располагается «Трансагентство».

Меня определили в один из шестых классов, в котором алгебру и геометрию преподавал Михаил Михайлович Шатохин, пожалуй, по самой строгой аттестации, один из лучших учителей математики Орловщины. Кстати, он совмещал работу в школе с преподавательской работой на физико-математическом факультете ОГПИ, был одним из активных участников конкурсов по решению задач, проводимых журналом «Математика в школе».

Я не сохранил никаких записей своего первого урока по алгебре, но тему урока «Квадрат суммы двух чисел» очень хорошо помню. В памяти отлично сохранились и многие детали самого урока. Предстояло выдать по плану все основные части урока, начиная от оргмомента и кончая записью на классной доске поясненного домашнего задания к следующему уроку.

Чтобы в ходе уроков ориентироваться во времени, на период педпрактики одолжил у брата Виктора часы. И вот я на первом в моей жизни уроке, уроке алгебры. Провожу по плану каждую часть урока, наконец, даю пояснения к выполнению домашнего задания и записываю его на доске. Успел выполнить всё запланированное, облегченно глянул на часы и ... замечаю, что до конца урока ещё около 15 минут! Подумал, что часы остановились, но звонка об окончании урока нет. Замечаю, что стрелки часов движутся. В голове проносится мысль, что свой «первый» в жизни урок завалил. Переживающие за меня мои педагоги В.Л. Минковский и М.М. Шатохин, студенты из группы сочувственными взглядами показывали мне, что урок надо продолжать. Я беру себя в руки, открываю замечательный задачник по алгебре Н.А. Шапошникова-Н.К. Вальцева и ещё успеваю решить с учащимися несколько содержательных примеров по новой теме. Это свидетельствовало, что урок своей цели достиг. Владимир Львович и Михаил Михайлович сделали подробный тщательный и доброжелательный анализ проведенного мной урока и оценили его четвёркой. Присутствующие на уроке студенты с оценкой были согласны. Неумолимое время все дальше и дальше отодвигает меня от того первого урока, а я все больше и больше убеждаюсь, что выставленная за урок мне оценка была психолого-педагогической поддержкой моих мудрых наставников.

На педагогической практике Владимир Львович научил нас, студентов, глубоко и доброжелательно анализировать уроки, отмечать их достоинства и недостатки, как расти от урока к уроку. Неслучайно, что многие выпускники физико-математического факультета ОГПИ, пройдя обучение по методике преподавания математики у В.Л. Минковского, стали не только хорошими учителями математики, мастерами своего дела, но и выдвинулись на должности завучей и директоров школ.

По поводу второй педагогической практики замечу, что она проходила в седьмом семестре в той же женской средней школе №1 г.Орла в 10 классе под руководством тех же талантливых педагогов-математиков В.Л. Минковского и М.М. Шатохина. Первая и вторая мои педагогические практики были оценены на «отлично».

В.Л. Минковский, блестящий лектор по методике преподавания математики и истории математики, большое внимание уделял приобщению к занятиям наукой способных студентов. Будучи сам увлеченным исследователем по формированию логического мышления школьников, методике преподавания математики, методико-математических взглядов выдающихся отечественных учёных Л.Н. Толстого, Д.И. Писарева, П.Л. Чебышева, А.А. Маркова (старшего) и др., он со всеми студентами, которые писали курсовые работы под его руководством, много работал по индивидуальным планам. Обучаясь на четвертом курсе ОГПИ, я под руководством Владимира Львовича написал

курсовую работу «Методико-математические взгляды М.В. Остроградского, Н.И. Лобачевского, П.Л. Чебышева и А.А. Маркова». На основе этой курсовой работы по рекомендации Владимира Львовича я выступал с докладом на научной студенческой конференции.

Как Владимир Львович Минковский стал моим научным руководителем

В 1962 году в ОГПИ открыли аспирантуру по математическому анализу и теории функций. Руководство этой аспирантурой было поручено кандидату физико-математических наук, доценту СМ. Клименко, заведующему кафедрой математического анализа. Сергей Митрофанович не скрывал, что аспирантура была навязана ему руководством ОГПИ. Я успешно выдержал вступительные экзамены и стал аспирантом СМ. Клименко.

В аспирантуре мне приходилось очень много работать, подготовить и сдать непростые кандидатские экзамены. Например, кандидатский экзамен по специальности состоял из 4-х частей. Для успешной его сдачи надо было самостоятельно изучить несколько математических дисциплин («Избранные вопросы дифференциальных уравнений в частных производных», «Вариационное исчисление», «Распределение корней целых функций», «Функциональный анализ» и др.) и восстановить свою т.н. «математическую» форму: ведь окончание ОГПИ и поступление в аспирантуру разделяли целых 8 лет работы фактически в 3-х сменной средней школе.

К окончанию аспирантского срока (1965) мне не удалось завершить кандидатскую диссертацию, которая посвящалась решению «Одной интерполяционной задачи Евграфова».

Я был принят на кафедру математического анализа на должность старшего преподавателя. Завкафедрой Сергей Митрофанович поручил мне читать 3-х летний курс из математического анализа и теории функций. Проработав два года, в 1967 году я уехал в Ленинград (ныне Санкт -Петербург) на ФПК (факультет повышения квалификации) при ЛГПИ им. Герцена с надеждой продвинуться в решении «Одной интерполяционной задачи Евграфова», может быть, получить полезные консультации у ленинградских математиков. К сожалению, надежды мои не оправдались. Из Ленинграда с письмом я обратился за советом к Владимиру Львовичу Минковскому. Вскоре получил от него письмо с советом: попытаться написать кандидатскую диссертацию «О содержании и методике преподавания элементов интегрального исчисления и дифференциальных уравнений в средней общеобразовательной школе». Владимир Львович дал согласие быть моим научным руководителем. За два месяца мне удается написать черновой вариант будущей кандидатской

диссертации по названной выше теме. С этим «черновиком» я приехал из Ленинграда на встречу с Владимиром Львовичем.

Встреча с В.Л. Минковским длилась более 2-х часов и оказалась очень плодотворной: был составлен подетальный план работы на два года. Предполагалось написать и опубликовать два учебно-методических пособия: одно по содержанию и методике преподавания первообразной и интеграла, а другое по содержанию и методике преподавания элементов дифференциальных уравнений в средней школе. На основе этих методических разработок провести несколько обучающих семинаров для учителей математики в ИУУ и начать проведение двухгодичного педагогического эксперимента в ряде городских и сельских школ. Одновременно выслать экземпляры пособия известным специалистам по методике преподавания математики для получения от них объективных отзывов. Договориться о получении отзывов на пособия от учителей математики, участвующих в проведении педагогического эксперимента.

Один из первых прислал отзыв на домашний адрес Владимира Львовича с высокой оценкой моего пособия по первообразной и интегралу профессор И.Я. Депман из Ленинграда. Положительный отзыв на разработанные учебно-методические пособия о содержании и методике преподавания элементов интегрального исчисления и дифференциальных уравнений в средней школе прислал из Казани доктор педагогических наук, профессор Б.В. Болгарский. Кстати, впоследствии он был первым оппонентом на защите мной кандидатской диссертации.

К марту 1971 года под научным руководством кандидата педагогических наук, доцента Владимира Львовича Минковского мною была завершена кандидатская диссертация. Предстояло её защитить.

По этому вопросу Владимир Львович совещается с одним из самых известных математиков-методистов Советского Союза, профессором Иваном Козьмичем Андроновым. Выяснилось, чтобы пройти защиту кандидатской диссертации по методике преподавания математики в каком-либо диссертационном совете при московском вузе, надо встать в очередь и дожидаться не менее 3-х лет. И.К. Андронов предложил В.Л. Минковскому связаться с Б.В. Болгарским, который сам был членом диссертационного совета при Казанском государственном

педагогическом институте (КГПИ) и пользовался там большим авторитетом.

Вскоре у В.Л. Минковского состоялись переговоры с Б.В. Болгарским, в результате которых моя диссертация была принята диссертационным советом при КГПИ на сентябрь 1971 года. В апреле этого же года на объединенном заседании кафедр математического анализа и методики преподавания математики у меня состоялась успешная предзащита кандидатской диссертации. Здесь же меня спросили, а не согласился бы я пройти защиту диссертации в мае, т.к. плановый соискатель к этому сроку не успел завершить свою работу. Я тут же связался по телефону с Владимиром Львовичем, рассказал ему о сложившейся ситуации, которой он очень обрадовался. Приняли решение пройти защиту в мае. В двухдневный срок удается напечатать автореферат диссертации, на обложке которого впервые появилась надпись: «Научный руководитель к.п.н., доцент В.Л. Минковский».

Конечно, перед защитой да и во время защиты диссертации много волновался, но на все вопросы отвечал грамотно. Защита моей кандидатской диссертации членами диссертационного совета была утверждена единогласно. Это для меня было очень большой радостью. Звоню Владимиру Львовичу. Он ждал моего звонка и безмерно был рад. Мы поздравили друг друга с общим большим успехом.

Не скрою, успешная мной защита кандидатской диссертации очень способствовала укреплению дружеских отношений с дорогим учителем Владимиром Львовичем Минковским.

Приближалось 60-летие В.Л. Минковского. По его просьбе я согласился возглавить оргкомитет по организации и проведении всех мероприятий, связанных с юбилеем.

Официальное чествование Владимира Львовича Минковского состоялось на Учёном совете ОГПИ 24 сентября 1971 года в день его рождения.

Ректор ОГПИ доктор педагогических наук, профессор Г.М. Михалёв, проректор по научной работе кандидат философских наук, доцент Г.М. Домрачеев, декан физико-математического факультета кандидат педагогических наук, доцент Д.Г. Курбан и др. весомо говорили о юбиляре как об учёном-педагоге, известном своими работами не только в

Советском Союзе, но и далеко за пределами Родины. К тому времени книги В.Л. Минковского были изданы в Англии, Японии, Чехословакии, Болгарии и др. странах. Выступающие говорили, что Владимир Львович является одним из лучших педагогов-лекторов физико-математического факультета ОГПИ, внесших большой вклад в дело подготовки высококвалифицированных преподавателей математики и физики для средних школ Орловщины и всей страны.

Научные исследования Владимира Львовича Минковского в области формирования логического мышления школьников, развития методики преподавания математики и истории математики, высоко были оценены учёными-коллегами и государством. Его избирают членом Советского национального объединения историков естествознания и техники. Составители сборника «Вопросы преподавания математики в средней школе»97, содержанием которого явились статьи А.Н. Колмогорова, П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и др. нашли место в нем и для статьи В.Л. Минковского. Владимир Львович искренне радовался и гордился тем, что оказался в такой солидной компании учёных.

За заслуги в науке и учебно-педагогической деятельности государство наградило В.Л. Минковского орденом «Знак Почёта».

На Учёном совете ОГПИ, посвященном чествованию Владимира Львовича, было предоставлено слово и мне, председателю оргкомитета. Я сообщил о том, что в адрес оргкомитета поступило около 70 писем и телеграмм, в которых их авторы, в основном коллеги Владимира Львовича, приветствуют и поздравляют юбиляра, отмечают его большой вклад в науку и образование, желают ему крепкого здоровья, долгих лет жизни и талантливых учеников. Тексты некоторых телеграмм я озвучил полностью. Профессор И.К. Андронов в своей телеграмме назвал Владимира Львовича Минковского выдающимся советским методистом, давно заслуживающим высокого ученого звания «профессор». После этих слов зал взорвался бурными аплодисментами. Эти бурные аплодисменты я расценил тогда (и остаюсь при этом мнении сейчас) как упрёк от всех собравшихся руководству институту за то, что для Владимира Львовича не была открыта аспирантура, хотя он на деле доказал, что с этим успешно мог справиться.

Дошла очередь и для выступления юбиляра. Владимир Львович был краток, поблагодарил Учёный совет, руководителей ОГПИ, всех собравшихся, выразил им глубокую благодарность и признательность, пригласил к себе на банкет в ресторан.

На следующий день Владимир Львович Минковский пришел в институт, вошел в кабинет ректора и положил на стол заявление с

97 Сборник «Вопросы преподавания математики в средней школе». Под ред. П.В. Стратилатова. - М. Учпедгиз, 1961.

просьбой разрешить ему уйти на заслуженный отдых. Это решение В.Л. Минковского оставить работу почти для всех, кто его знал, было неожиданным. Интересующимся он, шутя, говорил, что для него в этом выборе примером служит А. Дистервег, который по исполнении ему пенсионного возраста уволился с работы на следующий день. Любопытствующим, почему он уходит с работы такой молодой и сильный, он говорил: «Сейчас мой возраст и физическое состояние объективно оцениваю только я один, и мне легко уйти на пенсию. Когда же мои старость и немощность заметят окружающие, то это сделать мне будет очень тяжело».

Наши дружеские отношения с уходом Владимира Львовича на пенсию продолжались и далее. Но теперь мы чаще стали бывать друг у друга в гостях. При встречах мы естественно обменивались новостями, обсуждали вышедшие в свет новинки учебно-методической литературы по методике преподавания математики и истории математики. На некоторые из них мы писали рецензии. Конечно, Владимир Львович активно продолжал сотрудничать с журналом «Математика в школе» и часто публиковать в нем актуальные статьи по методике преподавания математики. У него было много творческих задумок...

Но судьба приготовила Владимиру Львовичу тяжёлые испытания. Через несколько месяцев после ухода его с работы от инсульта умирает жена Софья Сергеевна, которая ухаживала за ним как за ребенком и обеспечивала ему прекрасный быт. Понятно, оставшись по жизни в одиночестве (детей у них не было), Владимиру Львовичу надо было решать, как прожить оставшуюся жизнь. Он вступил в брак с Валентиной Ниловной, медицинским работником, с которой семья Владимира Львовича была знакома ранее. Слава богу, новая жена создала для Владимира Львовича очень хорошие бытовые условия. Он уговорил ее уйти с работы на пенсию, чтобы отдыхать и радоваться жизни вместе. Действительно, они зажили счастливо, но продолжалось это недолго. В 1977 году врачи обнаружили у Владимира Львовича онкологические заболевание, которое через несколько месяцев (март 1978 года) сводит его в могилу.

Похоронили Владимира Львовича Минковского на Троицком кладбище г.Орла рядом с первой женой Софьей Сергеевной. Организацию похорон взял на себя Орловский государственный педагогический институт. Комиссию по похоронам кандидата педагогических наук, доцента Владимира Львовича Минковского возглавил дважды его ученик, автор этих воспоминаний, кандидат педагогических наук, профессор Владимир Владимирович Ветров.

Выпуск 1956 года

Проскурина Раиса Гавриловна училась на физико-математическом факультете в период с 1952 по 1956 гг., получила квалификацию учителя математики. После окончания института была направлена на работу в Успенскую среднюю школу Ливенского района Орловской области учителем математики. Спустя год в 1957 году принята на должность ассистента кафедры элементарной математики ОГПИ, с 1966 года - старший преподаватель кафедры высшей математики. Сегодня Раиса Гавриловна доцент кафедры геометрии и методики преподавания математики, награждена Грамотами Министерства просвещения РФ, Почетный работник высшего профессионального образования.

Вспоминает Раиса Гавриловна Проскурина свои студенческие годы и первые годы работы на физико-математическом факультете:

«В. Л. Минковский на нашем курсе читал лекции, проводил семинары по методике преподавания математики, а также был факультетским руководителем по педпрактике. Мы очень уважали его за глубокие знания, большую эрудицию, грамотную речь, аккуратность и большое внимание к студентам, коллегам. На каждой лекции мы узнавали много нового, интересного, полезного: о жизни и деятельности учёных, их позиции, об исторических событиях. На каждой лекции знакомились с достоинствами и критическими замечаниями рассматриваемого вопроса. Владимир Львович на семинарах предлагал высказывать свою точку зрения по изучаемому материалу».

Вспоминая с теплотой о Владимире Львовиче, Раиса Гавриловна также, как и Галина Алексеевна помнит чуткое отношение к себе педагога. «Владимир Львович был очень доброжелательным и внимательным к коллегам. Он договорился с И.К. Андроновым о встрече нашей (моей и Г.А. Александровой). Мы беседовали с Иваном Козьмичем около двух часов в его домашнем кабинете с огромной библиотекой. Затем Владимир Львович привёз нам программу и план сдачи экзамена по специальности, а главное - согласие работать с нами. К сожалению, жизнь внесла свои коррективы».

Вспоминают Александрова Галина Алексеевна и Проскурина Раиса Гавриловна:

В 1969 году четыре преподавателя нашего факультета ездили в город Ижевск на XXVII научную конференцию математических кафедр педагогических институтов Уральской зоны. На фрагменте коллективной фотографии: Проскурина Раиса Гавриловна, Бадоев Ахмед Латифович, Минковский Владимир Львович, Александрова Галина Алексеевна, Кречетова Галина Алексеевна.

Фрагмент коллективной фотографии. XXVII научная конференция математических кафедр педагогических институтов Уральской зоны, 1969 г

На конференции в г. Ижевске, 1969 г. Слева направо: Проскурина Р.Г., Кречетова Г.А., Александрова Г.А., Минковский В.Л.

Поездка в город Минск Верхний ряд слева направо: 2-ая - В. Н. Минковская, 3-й В. Л. Минковский, 5-ая - Т.А. Судзиловская, 6-ая - Е.А. Подрез, 10-ая В.А. Щербакова, 11-ая - Р.Г. Проскурина. В центре фото - Л.Б. Квасова

Выпуск 1959 года

Судзиловская Татьяна Артемьевна училась на физико-математическом факультете в период с 1954 по 1959 гг., получила квалификацию учителя математики и черчения. После окончания института по собственному желанию была направлена на работу в Новосибирскую область Венгеровский район в Старо-Тартаскую неполную среднюю школу учителем математики. Через год вернулась в родной город продолжать родительскую династию учителей - мама и папа были учителями математики. Восемь лет работала Татьяна Артемьевна в школе №26 г. Орла учителем математики, достойно, на высоком уровне выполняла свою работу. В 1969 году, пройдя конкурс на замещение вакантных должностей, приступила к работе в Орловском государственном педагогическом институте. С этого года и по настоящее время Татьяна Артемьевна работает на физико-математическом факультете в должности доцента кафедры геометрии и методики преподавания математики.

Вспоминает Татьяна Артемьевна Судзиловская: Владимир Львович, как и у других моих коллег, вёл занятия по методике преподавания математики и истории математики, руководил педагогической практикой. И все это делал на очень высоком уровне. Владимир Львович регулярно посещал школы. Волновались не только студенты, но и методисты, работающие со студентами. В. Л. Минковский великолепно анализировал уроки, учил это делать и нас. Он был не только талантливым педагогом, но и вёл большую общественную работу. Владимир Львович руководил бригадой агитаторов, в которую входила и я. «Моими» были несколько 4-8 квартирных домов по ул. МОПРа. Квартиры, как правило, были коммунальными, жильцы собирались на общей кухне, а мы, молодые девчонки и ребята, проводили политинформации. На одном из открытых занятий присутствовал Владимир Львович. Я гордилась тем, что попала в число лучших агитаторов.

Когда сама начала работать на факультете, участвовала в проведении педагогической практики, старалась равняться на те высокие требования, которые поддерживал Владимир Львович. В первый год работы мои студенты были на практике в школе №2 г. Орла. Сначала проверялись

черновики конспектов учителем, методистом, затем конспекты переписывались, проверялись ещё раз, заверялись подписью учителя и методиста. К практике подходили основательно. Для меня Владимир Львович на всю жизнь остался образцом обстоятельности, честного отношения к своей работе. Спасибо ему за это!

Выпуск 1963 года

Беляева Ирина Севериановна училась на физико-математическом факультете в период с 1958 по 1963 гг., получила квалификацию учителя математики и черчения. После окончания института работа в Некрасовской школе-интернат, Оптушанской средней школе, затем были годы обучения в аспирантуре в г. Москве под руководством известного учёного, доктора физико-математических наук, профессора Нечаева Василия Ильича. С 1971 года и по настоящее время Ирина Севериановна работает на физико-математическом факультете, долгие годы была заведующей кафедрой геометрии и методики преподавания математики, Почетный работник высшего профессионального образования. Владимир Львович Минковский был руководителем выпускной квалификационной работы Ирины Севериановны и оставил в её сердце добрые воспоминания.

Вспоминает Ирина Севериановна Беляева:

Наш Учитель Владимир Львович

Владимир Львович Минковский - это имя знакомо многим выпускникам физико-математического факультета Орловского педагогического института, обучавшимся в шестидесятые-восьмидесятые годы теперь уже прошлого столетия.

Да, много лет прошло, очень много. Но в памяти каждого из нас Владимир Львович остался яркой незабываемой личностью, и всем, кто слушал курс методики преподавания математики, надолго запомнились его лекции.

Вот он, всегда подтянутый, стройный, в безупречно выглаженном костюме и рубашке, с большим черным портфелем в руке быстро и решительно входит в аудиторию, здоровается с нами, снимает с руки часы

на ремешке, кладет их на стол и начинает лекцию. И уже с первых слов мы оказываемся под влиянием неповторимого таланта этого педагога.

В.Л. Минковский прекрасно знал предмет, четко и доступно излагал материал, при этом достаточно артистично выделял главное, расставляя интонацией акценты. Будучи высоко эрудированным, он непременно использовал исторический материал и часто рассказывал много интересного из жизни ученых, причем так, как будто каждого из них он знал лично.

Вот тайна неудач доказательства аксиомы параллельных и то, как Н.И. Лобачевский приходит к выводу о том, что пятый постулат недоказуем, отказываясь от всеобщего убеждения, что евклидова геометрия есть единственно мыслимая геометрическая система познания мира. И как, как оригинально делает это ученый! Просто потрясающе! И мы под впечатлением услышанного, под впечатлением глубины и смелости великой идеи. И тут же Владимир Львович повествует нам о юном Лобачевском не только как о большом озорнике, но и о его необыкновенном трудолюбии, о том, что он уже в 15 лет становится студентом Казанского университета, и как складываются отношения юноши с друзьями и преподавателями.

А вот мы с замиранием сердца и грустью слушаем проникновенный рассказ о трагической судьбе гениального Эвариста Галуа, раскрывшего двухсотлетнюю загадку решения уравнений. Сколько пришлось пережить этому молодому человеку, погибшему в полном расцвете сил в 21 год: и таинственное исчезновение ценных рукописей, посланных самому Фурье, и полное безразличие к его работам, и, наконец, спровоцированная ревность и дуэль.

Да, много всяких исторических фактов мы узнавали из уст Владимира Львовича. Но не в этом дело. На примерах жизни великих людей он учил нас быть принципиальными, честными, учил отстаивать свое мнение, не быть равнодушными и быть нетерпимыми к проявлениям человеческой подлости.

Я часто думаю, а что самое главное в тех методических установках, которые давал нам наш Учитель? Безусловно, это прежде всего воспитание общелогической культуры мышления, умения строго провести логическое умозаключение.

При этом Владимир Львович был сторонником конкретно-индуктивного метода познания и принципа наглядности и особенно на начальном и среднем этапах изучения математики в школе. Он считал, что, всегда, где можно, следует предварять и подкреплять математические рассуждения яркими примерами и всевозможными геометрическими интерпретациями. Так, на простых модельках - разноцветных квадратиках - мы выявляли смысл распределительного закона умножения относительно сложения, а при доказательстве вывода объема пирамиды

еще и наглядно убеждались в равновеликости трех пирамид с равными основаниями и высотами.

Это было ярко и незабываемо! И, конечно, вся эта работа была направлена на обучение нас борьбе против формализма в знаниях учащихся. А как это важно!

Наш Учитель всегда заострял внимание, как он выражался, «на тонких вещах». Почему, скажем, доказательство методом математической индукции не является индуктивным (как это заявляют иногда отдельные студенты), а является дедуктивным? До сих пор помню его слова о том, что в процессе такого доказательства опираются на аксиому математической индукции. Тут Владимир Львович со свойственной ему выразительностью делал паузу, поднимал руку с указательным пальцем вверх и громко, чеканя слова, заявлял: «Аксиома по своей общности превосходит теорему, и, следовательно, перехода от частного к общему в этом доказательстве нет».

Вся учебная и методическая литература подвергалась грамотнейшему критическому анализу лектора. Здесь проявлялись такие качества методиста, как умение всесторонне оценить пособие или, как говорят сейчас, определить роль его каждой функции.

Интересно, что анализируя школьные программы, Владимир Львович сравнивал их содержание с соответствующими зарубежными и непременно в самых оптимистических чертах раскрывал перспективы дальнейшего школьного математического образования в нашей стране.

Особую любовь Владимир Львович испытывал к внеклассной литературе по математике. Как бы переполненный прочитанным, он хотел поделиться с нами и неожиданно перед лекцией интригующе зачитывал небольшой отрывок из книг известных популяризаторов математики, а чаще всего из книг Я.И. Перельмана. Времени на это явно не хватало (а может, эта была и методическая уловка), Владимир Львович останавливался на полуслове, но интерес к прочитанному, к недорешенной задаче был настолько велик, что многие из нас сразу отправлялись в библиотеку.

Студенты знали, что Владимир Львович в курсе всех их учебных успехов и неудач. Практические занятия по методике преподавания математики у нас вела Галина Алексеевна Кречетова. Мы очень любили её. Это был глубокий, хорошо знающий свой предмет педагог, имеющий уже опыт работы в школе, которым она щедро делилась с нами. На её занятиях мы часто выступали, дискутировали, анализировали учебники, проверяли контрольные работы учащихся, но самое главное, мы учились простому, доступному, математически грамотному объяснению учебного материала. Мнение Галины Алексеевны высоко ценил Владимир Львович, после занятий он беседовал с ней и нашу успеваемость заносил в свою пухлую записную тетрадь.

В 1962-1963 году ввиду того, что учителей математики в районах области не хватало, весь пятый курс был отправлен на целый учебный год на длительную педагогичную практику, а фактически на работу в сельские школы. И, несмотря на холод, мороз, ветер и крайне плохое сообщение к нам с методической помощью спешил Владимир Львович, он с большим терпением сидел на занятиях и с особой тщательностью разбирал наши далеко несовершенные уроки. Но всегда с огромным удовольствием он стремился отметить, подчеркнуть лучшее, похвалить и приободрить нас.

Своей научной деятельностью Владимир Львович часто занимался в тесном контакте с другими широко известными учеными. Так была создана совместная работа В.М. Брадиса, В.Л. Минковского, А.К. Харчевой «Ошибки в математических рассуждениях», в которой излагались математические софизмы, а в конце книги приводились взамен правдоподобных суждений правильные. И не случайно, что эта книга -шедевр, рассчитанная на воспитание логического мышления учащихся, сразу получила мировое признание и была издана в Англии и в Японии, но в отличие от нашего издания уже на бумаге хорошего качества и в ярком, красочном оформлении. Интерес к книге был настолько огромен, что она сразу была раскуплена, и найти её в продаже спустя некоторое время было просто невозможно. Да это и понятно, в течение последующих почти пятидесяти лет никто ничего подобного не написал и не издал.

С особой тщательностью и ответственностью Владимир Львович относился к руководству по написанию выпускных работ студентов, называя их никак не иначе, а научными исследованиям. Незаметно, со знанием истинного педагога он подводил дипломника к необходимости обобщения уже имеющегося в науке и к самостоятельному выдвижению идей и построению своей методики.

Мне посчастливилось выполнять диплом под научным руководством Владимира Львовича. Его консультации по работе были всегда исключительно полезными, чрезвычайно интересными и содержательно яркими. Они давали подробное представление о предмете исследования, воспитывали умение ориентироваться в потоке методических идей, обучали последовательному и грамотному изложению темы.

И ещё один штрих к личности Владимира Львовича. Когда моя выпускная работа была уже готова, её отдали рецензенту. В то время с его отзывом студент знакомился за день или за два до защиты. Отзыв на мою работу задерживался и я, будучи уверенной, в том, что все в порядке, почти не беспокоилась. Но накануне защиты поздно вечером Владимир Львович позвонил ко мне домой и сказал, что он только что видел рецензию, имеются отдельные замечания, и надо тщательно продумать ответ оппоненту. Что говорить - я была растрогана таким вниманием большого ученого к моей работе и ко мне, его добротой, чуткостью и способностью сопереживать.

Впрочем, Владимир Львович был внимателен не только к учебной и научной деятельности своих студентов. Вспоминаю, что для участия в межфакультетском смотре художественной самодеятельности выбрали нескольких первокурсников. Я читала простенькие стихи со сцены перед большой аудиторией и очень волновалась. Сейчас уже не помню их автора, да и сами стихи почти забылись.

Студент-математик сказал: «Решено»,

Увлекшись высокой лингвисткою.

«Наташа», - сказал он без дальних затей,

«Наташа, родная, желанная,

Изранил меня треугольник страстей,

Изъела любовь многогранная.

В первых рядах сидел Владимир Львович, он широко улыбался, смеялся, придавая мне уверенность своей эмоциональностью. После наших выступлений он нашел хорошие, добрые слова для каждого из участников. И как приятна была его похвала! Из разговора с ним мы поняли, что он тонко чувствует слово, знает литературу и любит поэзию.

Но Владимир Львович не только хвалил и восторгался нами. Мою первую научную статью он раскритиковал. «Сыровато», - было его заключение. А по поводу моего выступления на кафедре, где я уже работала в должности ассистента, и докладывала о результатах своей диссертации, он сказал: «Что же, свежо, интересно, но почему без эмоций, почему Вы рассказали нам обо всем без вдохновения?».

И это очень показательно для Владимира Львовича. Будучи глубоко творческим, трудолюбивым и требовательным к себе, он хотел видеть творческое вдохновение в делах своих учеников. Спасибо ему за все огромное.

Добрая, светлая память осталась у нас, бывших студентов-учеников, о Владимире Львовиче, как о прогрессивном, современном учёном, передовом методисте, прекрасном воспитателе и настоящем человеке.

Дарственная надпись на книге «Ошибки в математических рассуждениях», подаренная В.Л. Минковским И.С. Беляевой в 1963 году

Выпуск 1965 года

Квасова Людмила Борисовна училась на физико-математическом факультете в период с 1961 по 1965 гг., получила квалификацию учителя математики. Поступала на 5-ти летний срок обучения, но из-за нехватки учительских кадров, срок обучения был сокращён до 4-х лет.

После окончания института была направлена на работу учителем математики в Шаблыкинскую среднюю школу Орловской области. В то время директором школы был Старостин Николай Иванович. Через год Людмила Борисовна перешла на работу также учителем математики в школу №3 г. Мценска. Примерно половина учащихся были из детского дома. Этой школе Людмила Борисовна отдала три года, своё тепло, профессионализм, который год от года рос. Затем были 1,5 года работы в школе №32 г.Орла.

Со 2 января 1970 года и по настоящее время Людмила Борисовна работает на физико-математическом факультете. Начинала Л.Б. Квасова с должности методиста по заочному отделению, затем ассистента кафедры математического анализа. Сейчас Людмила Борисовна доцент кафедры информатики. На факультете ей довелось вести огромное количество дисциплин, начиная от дифференциальной и начертательной геометрии, математического анализа, заканчивая различными разделами информатики. Вот так формируются истинные профессионалы своего дела.

Вспоминает Людмила Борисовна Квасова: У меня так же, как и у моих коллег, в то время студентов физико-математического факультета, самые добрые воспоминания о Владимире Львовиче. Наиболее яркое воспоминание связано с педагогической практикой. В.Л. Минковский проводил очень подробные и обстоятельные консультации перед проведением уроков. Он присутствовал на моем уроке алгебры, даже тему урока помню - «Линейная функция и её график». В моей памяти Владимир Львович останется очень интеллигентным человеком, доброжелательным, внимательным, эрудированным. Лекции он читал настолько хорошо, что не было желания отвлекаться, мы с упоением его слушали. Никогда не делил студентов на «хороших» и «плохих». Уважал нас, мы чувствовали его такт и доброжелательность. Всего полгода мы были коллегами. Жаль, что Владимир Львович так рано ушёл на пенсию с факультета.

На демонстрации, май 1975 г. Слева направо: Ветров В.В., Батуров П.М., Меркулова Р.Ф., Колесникова А., ... Квасова Л.Б., Бадоев А.Л.

На демонстрации, примерно ноябрь 1976 г. Слева направо: Щербакова В.А. с дочерью Ольгой, Меркулова Р.Ф., Подрез Е.А., Квасова Л.Б., Воронина C.B.

Выпуск 1969 года

Подрез Елена Артемовна училась на физико-математическом факультете в период с 1965 по 1969 гг., получила квалификацию учителя математики. После окончания с отличием института 2,5 года работала в школе д. Вязовое Волховского района Орловской области. С 1971 года начала преподавать на кафедре математического анализа физико-математического факультета. Затем перешла на новую кафедру информатики, на которой работает в настоящее время в должности доцента, Почетный работник высшего профессионального образования.

Вспоминает Елена Артемовна Подрез:

Владимир Львович остался в моей памяти человеком глубоко порядочным, эрудированным, интеллигентным, доброжелательным. Занятия проводил интересно, рассказывал о новейших разработках в методике преподавания математики. В результате на педагогическую практику мы шли подготовленными. Я благодарна ему за это! Владимир Львович к студентам относился с большим уважением. На выпускных государственных экзаменах В.Л. Минковский был председателем государственной комиссии. Не забуду, как мы сдавали трудный для нас экзамен по философии и марксизму-ленинизму. Переживала, волновалась очень перед экзаменом. Сдала на «отлично»! Владимир Львович вышел из аудитории, пожал мне руку. Такие моменты уважительного отношения преподавателя к студенту забыть нельзя. Это остаётся на всю жизнь.

Училась Елена Артемьевна в одной группе с нашим знаменитым земляком -Геннадием Андреевичем Зюгановым - доктором философских наук, российским политическим деятелем, председателем Совета Союза компартий - КПСС (с 2001), председателем

Центрального комитета Коммунистической партии Российской Федерации (с 1995), председателем президиума Центрального исполнительного комитета КПРФ (1993-1995).

Зарубин А.Н., Ильина Н.А., Ветров В.В.

В параллельной группе учились Ильина Надежда Александровна, ныне проректор по учебной работе университета, профессор, кандидат педагогических наук, Почетный работник высшего профессионального образования, и Зарубин Александр Николаевич, сегодня - зав. кафедрой математического анализа и дифференциальных уравнений, профессор, доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки РФ, чл.-корр. Российской академии естествознания, действительный член (академик) Международной педагогической академии.

Ильина Надежда Александровна поступила на физико-математический факультет в 1965 году и окончила его с отличием в 1969 г., получила квалификацию учителя математики. Была старостой группы и курса. После окончания института она остается работать на кафедре высшей математики. В сельских школах и в то время, и сейчас часто возникала острая нехватка специалистов. Такая ситуация сложилась в Себякинской средней школе Урицкого района Орловской области. На начало учебного года отсутствовали многие учителя-предметники. Надежда Александровна согласилась на предложение ОБЛОНО поддержать сельскую школу. Она преподавала математику, физику, географию, черчение. В 1970 году по рекомендации В.Л. Минковского и декана факультета В.К. Иножарского приняла участие в конкурсе на замещение вакантной должности ассистента кафедры высшей математики, успешно прошла его и приступила к работе на родном физико-математическом факультете. Вела занятия по математическому анализу,

логике, аналитической геометрии, элементарной математике. Затем работала заместителем декана факультета. Сегодня Надежда Александровна проректор по учебной работе университета, профессор, кандидат педагогических наук, Почетный работник высшего профессионального образования, заведующий кафедрой общих математических дисциплин.

Вспоминает Надежда Александровна Ильина:

В.Л. Минковский и В.В. Ветров рекомендовали меня в аспирантуру. Направление научной работы - история математики. Тема исследования была связана с научно-педагогической деятельностью выдающегося советского математика, одного из наиболее значимых учёных в советской школе теории вероятностей Александра Яковлевича Хинчина. В 70-е годы XX века страна активно участвовала в «Колмогоровской реформе». Были осуществлены такие нововведения в школьный курс математики, которые решительно поменяли не только содержание этого курса, но заставили изменить сам математический язык. Эти нововведения значительным образом отразились на методике преподавания математики. Выбранная тема исследования стала неактуальной, и я вынуждена была перейти на новую тематику. Не жалею о том, что занималась изучением научно-педагогической деятельности А.Я. Хинчина. Александр Яковлевич был ярким популяризатором сложных вопросов математики. Среди его научно-популярных книг «Великая теорема Ферма», «Цепные дроби», «Три жемчужины теории чисел», «Восемь лекций по математическому анализу». Эти работы имеют непреходящую ценность и сегодня служат фундаментом для развития важнейших направлений естественных и технических наук.

Вспоминаю Владимира Львовича Минковского как человека, умело сочетающего высокий профессионализм в выбранном деле и важные личностные качества. Его отличали профессионально-математическая грамотность, умение доступно излагать учебный материал, объективность в оценивании. Своё искреннее служение науке и образованию он подкреплял любовью и уважением к воспитанникам. Его обращения к студентам на «Вы» было непритворным велением души. В.Л. Минковский был человеком высочайшего уровня интеллигентности и воспитанности.

Уровень преподавания методики математики и истории математики, заложенный Владимиром Львовичем, и сегодня является образцом для подражания.

По предложению В.Л. Минковского я руководила факультетским математическим кружком, на занятиях которого решались занимательные задачи, рассматривались парадоксы, исторические факты. Это была интересная и увлекательная работа.

Занятие математического кружка ведёт Н.А. Ильина, 1975 г.

Спасское-Лутовиново, 1970 г. Внимательный читатель на фото увидит молодых и счастливых: Щербакову Веру Антоновну, Квасову Людмилу Борисовну, Судзиловскую Татьяну Артемьевну, Минковского Владимира Львовича, Александрову Галину Алексеевну, Ильину Надежду Александровну, Минковскую Валентину Ниловну, Маркова Олега Васильевича

Последний полный выпуск Владимира Львовича Минковского 1970 год

Селютин Владимир Дмитриевич учился на физико- математическом факультете в период с 1966 по 1970 гг., получил квалификацию учителя математики. После окончания института служил в армии, работал в высшем военном училище связи (ныне Академия Федерального агентства правительственной связи и информации при Президенте Российской Федерации), затем были годы обучения в аспирантуре в г. Москве под руководством известного учёного, профессора Фирсова Виктора Васильевича. С 1991 года и по настоящее время доктор педагогических наук, профессор Владимир Дмитриевич, работает на физико-математическом факультете, является заведующим кафедрой алгебры и математических методов в экономике.

Вспоминает Владимир Дмитриевич Селютин:

Владимир Львович читал у нас лекции по методике преподавания математики и по истории математики. Мало сказать, что Владимир Львович читал лекции хорошо. Он читал в особой манере, одухотворенно, захватывая аудиторию логикой самостоятельных рассуждений, которых не встретишь в книгах. Маленькие листочки, иногда появлявшиеся в его руках, служили лишь для дословного цитирования других ученых. Казалось все, что он говорит, придумано им тут же, у аудиторной доски. Вовлекая в диалоги слушателей, не оставлял без внимания тех, кто пытался рассуждать самостоятельно и нестандартно. Он был мастером своего дела.

Защита курсовой работы проходила под председательством Владимира Львовича. Приятно было услышать от него хвалебные слова. Личная подпись Владимира Львовича у меня в дипломе, он был Председателем государственной комиссии.

Я благодарен Владимиру Львовичу Минковскому за помощь в выборе научного направления работы - статистике, определившей всю мою дальнейшую научную жизнь.

После окончания института один год работал в своем институте. Тогда я занимал должность секретаря комитета комсомола института, а по совместительству проводил практические занятия по математическому анализу в 2-х группах физиков 2-го курса. Потом была служба в армии.

В 1972 году я вернулся из армии, В.В. Ветров только защитил кандидатскую диссертацию. Это было важное событие в жизни института. До армии я занимался геометрией, у И.В. Парнасского взял книги, начал готовиться. После армии нужно было жилье, появилась возможность получить и работу, и жилье - начал работать в военной академии. После встречи с В.В. Ветровым, он предложил посоветоваться с В.Л. Минковским. Состоялась с ним встреча. Владимир Львович знал меня как общественника и отличника и обратил моё внимание на идеи академика Б.В. Гнеденко о необходимости формирования статистического мышления школьников. Они были опубликованы на страницах журнала «Математика в школе» в 1968 году.98 Я несколько испугался, поскольку теорию вероятностей по сравнению с другими предметами, как мне казалось, знал слабее. С неуверенностью, тем не менее, не отказался от предложенной идеи. Знания же по теории вероятностей и математической статистике пришлось углублять самостоятельно. При этом, следуя совету Владимира Львовича, постоянно размышлял о способах доступного ознакомления школьников с идеями этой науки.

В содержание факультативных занятий в 10-х классах средних школ №31 и №36 г. Орла я смог включить начальные сведения из теории вероятностей. Параллельно с этим приступил к подготовке методических материалов для учителей. В 1973 году в обществе «Знание» опубликована брошюра «Некоторые задачи теории вероятностей», знакомящая учителей со способами решения ориентированных на школьников вероятностных задач. Поиск наиболее приемлемых методических подходов привел к убежденности в необходимости реализации предложений Б.В. Гнеденко и В.В. Фирсова, касающихся прикладной направленности обучения математике. В 1974-75 годах совместно с В.В. Ветровым опубликовал брошюры «Статистические методы решения производственных задач» и «О воспитании статистического мышления молодежи», в которых учителям предлагался материал, направленный на ознакомление учащихся с возможностями применения статистических методов.

При этом общение с Владимиром Львовичем продолжалось, советы опытного учителя, методиста и ученого оказались незаменимыми. Вузовский курс теории вероятностей к тому времени был прочитан мною уже несколько раз, кто бы мог подумать, что вся моя дальнейшая жизнь будет неразрывно связана с этим ученым.

Дальнейшие события показали, что В.Л. Минковский правильно заглянул в будущее, определив актуальную тему теории и методики преподавания математики на долгие годы вперед.

98 Гнеденко Б.В. Статистическое мышление и школьное математическое образование // Математика в школе.- 1968. №1.- С.8-16.

В 1985 году я защитил кандидатскую диссертацию «Методика формирования первоначальных статистических представлений учащихся при обучении математике», а в 2002 году докторскую диссертацию «Научные основы методической готовности учителя математики к обучению школьников стохастике».??*

После защиты кандидатской диссертации мы с В.В. Ветровым были на могиле нашего учителя, чтобы поклониться и отдать дань почести и уважения. И продолжаем эту традицию в каждый юбилейный его день рождения.

В.Л. Минковский - Учёный и Учитель с большой буквы, давая наставления ученикам при выполнении научно-исследовательской работы, повторял: «Главное - не переставать об этом думать!».

Романова (Филичкина) Нина Валентиновна училась на физико-математическом факультете в период с 1966 по 1970 гг., получила квалификацию учителя математики. После окончания института год работала в сельской школе Кустанайской области. Вернулась в Орёл. После года работы в школе №36, перешла на работу в родную школу №32 г Орла. 37 лет работала в этой школе учителем математики. За добросовестный труд имеет грамоту Министерства просвещения РФ. Из семьи потомственных учителей математики: мама, муж, сын закончили физико-математический факультет.

Вспоминает Нина Валентиновна Романова:

Владимир Львович читал у нас лекции по истории математики на 3 курсе. Мы все его ценили, любили, с удовольствием слушали лекции. Он умел интересно рассказывать, увлечь своим рассказом. После окончания института мы большой командой 36 человек - выпускники физмата, начфака и других факультетов отправились на работу в Казахстан. Было очень весело, наших было почти весь вагон. Приехали мы в Кустанайскую область, распределили меня в Новошаумлянскую школу в 120 км от г.Кустанай99. В первые месяцы в процессе работы, конечно, пришла в библиотеку. Стала подбирать литературу для работы. Вдруг я встречаю книгу «За страницами учебника математики», написанную

99 Кустанай - город в Казахстане, на реке Тобол, областной центр Кустанайской области. До 1997 года название везде писалось Кустанай, в настоящее время в Казахстане принято написание Костанай (транслитерация с казахского), в России -Кустанай. Население города составляет 210 тысяч человек.// http://findmapplaces.com

В.Л. Минковским. Это было как весточка с физмата. Я сразу написала письмо Владимиру Львовичу, рассказала о своей работе, как мне нравится работать, какие есть сложности. С гордостью описала всё подробно о школе, где размещается, какая она. Школа располагалась в живописном месте, с трёх сторон её окружало озеро. Место было уникальное. В 1957 г. на целинных полях, рядом с селом, где располагалась школа, приземлился первый советский спутник.100 Обо всём этом я написала Владимиру Львовичу. Он мне ответил, написал, что помнит меня по экзамену. Я всё боялась идти сдавать ему экзамен. Наши все уже сдали. Владимир Львович встретил меня в коридоре и говорит: «Ну, что Вы, я Вас жду. Вы одна остались из группы». Он начал со мной беседовать по практике. У меня по ней были две пятёрки. В беседе я рассказала, что из семьи потомственных учителей. Постепенно перешли на историю математики. В итоге Владимир Львович поставим «хорошо», интеллигентно отчитав, что пришла не вовремя. Вот в такой ситуации он меня запомнил. На четвертом курсе В.Л. Минковский частенько спрашивал меня, как мои успехи. Поэтому, обнаружив в библиотеке книгу, я не задумываясь написала учителю письмо на адрес института. Приятно удивилась, что он мне ответил. Не каждый преподаватель это сделал бы. Для меня это было великое уважение. Владимир Львович всегда ко всем студентам проявлял это своё великое уважение. Это была черта всех наших преподавателей. У нас преподавали В.К. Иножарский, Д.Г. Курбан, И.В. Парнасский - самый цвет физмата. Конечно, нам повезло, что мы «впитывали» не столько математику, сколько общую культуру, отношение со студентами, с детьми. Они относились к нам как к взрослым самостоятельным людям. Когда я стала работать в школе, получала благодарности за организацию математических вечеров. С удовольствием использовала книги и статьи Владимира Львовича в журнале «Математика в школе» в своей работе. Благодарю его за это!

Крючкова Раиса Михайловна училась на физико-математическом факультете в период с 1966 по 1970 гг., получила квалификацию учителя математики. После окончания института два года работала завучем в Новоселовской средней школе Баканского района Кустанайской области. Вернулась в Орёл.

100 Спутник-1 - первый искусственный спутник Земли, был запущен на орбиту в СССР 4 октября 1957 года.//http://ru.wikipedia.org/wiki/

С 1972 по 1983 гг. работала в школе №24 г. Орла учителем математики. Три года работала учителем математики в школе группы советских войск на территории Германии. По возращении в родной город Раиса Михайловна работала в школах №22, 34, была инспектором Областного отдела народного образования, руководителем методического объединения учителей математики Заводского района. 14 лет работала в школе №23. Профессионал высокого уровня. Заслуженный учитель России.

Вспоминает Раиса Михайловна Крючкова:

Владимир Львович был председателем государственной комиссии на выпускных экзаменах. Тогда дипломные работы не писали, а сдавали по три экзамена. Готовились к экзаменам серьёзно. На всю жизнь сохранила в памяти высокую оценку моего ответа на экзамене по методике преподавания математики. После окончания экзамена Владимир Львович подарил мне свою книгу «За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 6 класса». Эту книгу я берегла, возила с собой в Казахстан, много использовала в работе. От В.Л. Минковского мы очень много получили в интеллектуальном плане. У него было удивительно тонкое чувство юмора.

1970 год был необычайно богат выпускниками, которые достойно несли и продолжают нести звание «физматовца», внесли существенный вклад в становление и развитие системы отечественного математического образования. Среди них Уман Аркадий Ильич - заведующий кафедрой общей педагогики, профессор, доктор педагогических наук, действительный член Международной педагогической академии.

Аленичева (Рыскина) Нина Шепшелевна окончила физико-математический факультет в 1970 году. После окончания института работала учителем математики в Навлинской средней школе Шаблыкинского района Орловской области, с 1973 года по 2010 год - в средней общеобразовательной школе №4 им. А.М. Горького с углубленным изучением отдельных предметов в г. Брянске. В течение последних 19 лет была заместителем директора по учебно-воспитательной работе данной школы. На протяжении 6 лет возглавляла областную предметную комиссию по проверке развернутых ответов экзаменационных материалов ЕГЭ по математике. Аленичева Н.Ш. является учителем - методистом, награждена Знаком

«Почетный работник общего образования», является Заслуженным учителем школ Российской Федерации. В 2006 году удостоена премии Президента РФ по итогам всероссийского конкурса лучших учителей в рамках реализации приоритетного национального проекта «Образование».

Выпуск 1972 года

Ноздрин Александр Иванович первую свою специальность получил на факультете электровакуумной техники в Таганрогском радиотехническом институте, но профессией эта специальность не стала. В 1963 году ему предложили место учителя физики в Станово-Колодезьской средней школе Орловского района, и здесь у него возникло желание стать учителем математики. В 1966 году поступил на заочное отделение физико-математического факультета. На тот момент ему было 32 года. Окончил физмат в 1972 году. После 10 лет работы в Станово-Колодезьской средней школе были четыре года работы в школе №20 г.Орла, затем руководил вечерними школами №4 и №12, а в 1982 году стал работать учителем математики в школе №26 г.Орла, где и проработал в течение 27 лет. Сегодня Александр Иванович Заслуженный учитель России, ведет уроки математики в Православной гимназии, а так же в областной школе одаренных детей «Интеллект» при областном институте усовершенствования учителей с которым он сотрудничает уже на протяжении многих лет.

Вспоминает Александр Иванович Ноздрин: Я поступил на отделение математики физмата ОГПИ уже в зрелом возрасте. Это был совершенно осознанный выбор. Сейчас, оглядываясь в прошлое, я могу сказать, что мне повезло с преподавателями. Об одном из них, Минковском Владимире Львовиче, мне хочется сегодня вспомнить. Как-то так получилось, что мы относились к друг другу, как взрослые люди, умеющие оценивать труд человека именно в том деле, которое он считает своей профессией. Я всегда чувствовал, - и на лекциях, и просто в общении, - что Владимир Львович относится к своему делу не просто как к предмету вообще, а как к предмету, который он может и хочет сделать понятным и доступным каждому.

Мы были с ним в довольно необычных, доверительных отношениях. Владимир Львович всегда звал меня по имени и отчеству и почему-то проявлял повышенный интерес к моей учёбе. Где-то ещё на 3-ем курсе при каждой нашей встрече Владимир Львович начал деликатно «давить» на меня, спрашивая: «Ну, Александр Иванович, в аспирантуру пойдёте?!». Причем он уже определил, очевидно, по договоренности, - мне в качестве научного руководителя Владимира Модестовича Брадиса, видного ученого, педагога-математика, профессора, члена-корреспондента Академии педагогических наук. Уговаривал меня Владимир Львович очень долго. Даже, вручая диплом, сказал: «Идёте в аспирантуру? Или как?!». Я тогда сказал: «Нет». И может быть сделал это напрасно.

И по сей день у меня сохранилось очень хорошее впечатление и воспоминание о Владимире Львовиче. Это был высоконравственный, целеустремленный, наполненный добром человек. Я не берусь судить о нём как об учёном, - здесь я не компетентен, - но вот как преподаватель, как учитель, желающий и умеющий дать людям знания, он был на очень и очень высоком уровне. Всегда был внимательным, тактичным и человечным. А это, наверное, и есть самое главное.

Слова благодарности, сказанные учениками - есть высшая награда для Учителя. Любому учителю это дает осознание правильности своих действий, стремлений, уверенность в правильности выбранных методов преподавания.

В личном архиве Владимира Львовича бережно хранились открытки, телеграммы от благодарных учеников.

Уважаемый Владимир Львович! Разрешите мне присоединиться к хору поздравлений Ваших учеников по случаю наступающего Нового года.

Я себе дала слово - написать Вам, когда заслужу на это право. Теперь с уверенностью могу сказать, что Вы научили меня, как и многих других владеть методикой преподавания математики. Спасибо Вам! Доброго здоровья Вам, успехов в работе, долгих лет жизни!

Ваша ученица Тучина Екатерина Андреевна

6. Публикации Владимира Львовича Минковского

Владимиром Львовичем написано свыше 60 работ, посвященных методике школьного курса математики, формированию логического мышления школьников в процессе преподавания математики, истории математического образования, истории и методологии математики. На станицах журнала «Математика в школе» им опубликовано более 30-ти статей. Среди них: «Математические софизмы и их педагогическая роль» (1946) «Василий Иванович Обреимов» (1951), «К вопросу о создании руководства по истории методики математики в России» (1951), «О методико-математических воззрениях Н.Н. Лузина» (1963) и многие другие.

В.Л. Минковский - автор популярных в советские годы книг: учебного пособия для учащихся 6-го класса «За страницами учебника математики», опубликованного издательством «Просвещение» в 1966 г., «Ошибки в математических рассуждениях» (написана совместно с профессором В.М. Брадисом и А.К. Харчевой), опубликована издательством «Учпедгиз» в 1959 г. Книга издана на английском, японском, узбекском, чешском языках, ее актуальность не потеряна и в наше время.

В 1961 году в Государственном учебно-педагогическом издательстве был опубликован сборник «Вопросы преподавания математики в средней школе» под редакцией П.В. Стратилатова. В предисловии редактора сказано, что «статьи сборника делятся на две части. Часть статей сборника представляет перепечатку материалов, напечатанных в журнале «Математика в школе» за период с 1939 года по 1954 год. Вопрос о перепечатке ряда статей, ранее опубликованных в журнале «Математика в школе», не потерявших своего актуального значения и в настоящее время, был поставлен перед Учпедгизом секцией средней школы Московского математического общества. Мы отобрали в сборник статьи, посвященные основным понятиям современной математики - понятиям множества, функции, иррационального числа и др., принадлежащих перу наших ученых-математиков: академика А.Н. Колмогорова, академика П.С. Александрова, ныне покойного члена корреспондента АН А.Я. Хинчина, проф. А.И. Маркушевича и проф. В.В. Немыцкого. Включены также статьи об аксиоматическом методе, о логических основах методов математического доказательства (статьи В.Н. Молодшего и

В.Л. Минковского) и некоторые другие. Мы стремились в первую очередь отобрать те статьи, которые способствовали бы повышению научной квалификации учителя.

Вторая часть сборника содержит статьи, печатающиеся впервые. «Она отражает опыт учителей математики в их попытках решения насущных задач сегодняшнего дня: особенности работы в школе-интернате, приложение математики к различным вопросам техники, работа учителя математики в IX классах с производственным обучением, опыт работы по арифметике в V классах по новой программе».101 По воспоминаниям В.В. Ветрова Владимир Львович очень гордился тем, что был опубликован в сборнике со столь выдающимися математиками, методистами. Статья В.Л. Минковского «Очерк логических основ методов математического доказательства» из этого сборника была опубликована ранее в журнале «Математика в школе» в 1949 году №5.

Работы В.Л. Минковского высоко оценивали выдающие педагоги-математики, историки математики. Среди наиболее значимых представителей методико-математической науки выделим Ивана Яковлевича Депмана102. Им был дан положительный отзыв на статью Владимира Львовича, благодаря которому статья103 опубликована в журнале «Математика в школе».

Отзыв о статье В.Л. Минковского «Математические софизмы и их педагогическая роль» Небольшая статья даёт ясные и правильные указания учителю о значении математических софизмов и ориентирует его при пользовании соответствующей литературой. Интересно сопоставление математических парадоксов с логическими построениями и житейскими примерами. Впервые появляется в нашей литературе пример стереометрических парадоксов. Статья заслуживает быть напечатанной. Профессор И. Депман

101 Вопросы преподавания математики в средней школе. Сборник статей. Под ред. П.В. Стратилатова. - М: Учпедгиз, 1961. - С.3-4.

102 Депман Иван Яковлевич (1885- 26 июля 1970) - учёный, профессор, историк математики, педагог-математик, создал историко-методическую школу, подготовил многих творчески работающих учеников.// http://letopisi.ru

103 Минковский В.Л. Математические софизмы и их педагогическая роль.// Математика в школе. - 1946. - №5-6. - С.49-56.

В. М. Брадис и А. К. Харчева «Ошибки в математических рассуждениях» Учпедгиз, Москва, 1938104

В. Л. Минковский

Названная работа вышла в качестве первой книги математической серии библиотеки учителя средней школы. Эта серия, согласно аннотации издательства, должна оказать помощь учителю в его повседневной работе и способствовать повышению его научно-педагогической квалификации по вопросам элементарной математики. Любопытно, что авторы книги, повидимому, не согласны с ориентацией на учителя, как на своего основного читателя, так как в их предисловии четко сказано, что книга предназначается для учащихся неполных средних и средних школ.

Оставляя указанное недоразумение на совести издателей, заметим, что книга фактически распространилась как среди учителей, так и среди учащихся. Спрос на подобную литературу настолько велик, что тираж (10000 экз.) оказался явно недостаточным. Разнообразные категории читателей буквально сгорают от нетерпения получить квалифицированную элементарно-математическую книгу.

В своей рецензии мы постараемся ответить на вопрос, насколько рассматриваемая книга способна удовлетворить требованиям, выставленным издательством.

Высокую и универсальную педагогическую значимость софизмов авторы выводят из выдвинутого ими положения, что «хорошо ознакомившись с какой-нибудь ошибкой, мы страхуем себя от повторения такой ошибки в будущем».

Исходное положение спорно. Фиксировать постоянно внимание учащихся на ошибках, еще только могущих возникнуть, психологически вредно. Известно, что, например, плакаты с изображением «как надо» и «как не надо» что-нибудь делать не достигают цели, так как в сознании человека запечатлевается и то и другое, и легко забывается, что с чем связано.

Педагогический опыт работы по математике подтверждает, что ошибки, как правило, следует учителю предупреждать путем всестороннего рассмотрения с учащимися изучаемых понятий в классе, специально не останавливая их внимания на возможных ошибках.

Сказанным нисколько не отрицается определенная роль математических софизмов в школьной практике. Последние целесообразно использовать в особых случаях, а именно в тех, когда самая сущность

104 Минковский В.Л. В. М. Брадис и А. К. Харчева «Ошибки в математических рассуждениях» Учпедгиз, Москва, 1938.// Математика в школе. - 1939. - №3. - С.73-74.

теории рассматриваемых вопросов требует указания, какие преобразования или действия производить не законно.

В качестве примера таких вопросов назовем темы: «Пропорциональность величин», «Теория эквивалентности уравнений», «Элементы приближенных вычислений».

Но видеть в софизмах защиту от всех зол, как это делает Харчева в последней главе книги, от которой Брадис, как опытный педагог, кстати сказать, дважды открещивается, нельзя. Ведь по Харчевой выходит, что с помощью математических софизмов недисциплинированный класс стал примерным, ученики, враждебно относящиеся к математике, стали ее поборниками, а неуспевающие сделались успевающими.

Эта глава написана по-детски наивно, и польза ее вызывает законные сомнения.

Рассматриваемая книга принадлежит к числу тех, которые приобретают в короткий срок широкую популярность, поэтому ошибки и неточности в этой книге особенно досадны.

Перечислим некоторые из них.

Пожалуй, хуже всего ошибки, относящиеся к разряду ошибок в математических рассуждениях. Так, на стр. 64 авторы высказывают как истинное следующее суждение:

«# = Г=1.1Л...

Итак, произвольное число N мы представили в виде произведения бесконечного множества единиц, откуда заключаем, что 7V=1». Этим абсурдным утверждением бессознательно увеличено число софизмов сборника. Ведь, с точки зрения авторов, известное равенство

означает, что единица равняется любому положительному числу! А между тем из начал анализа известно, что Г принадлежит к числу типических неопределенностей.

Вообще надо признать вредным то систематическое оперирование условными записями, т.е. равенствами, содержащими символ бесконечности, которое допускают авторы на протяжении всего сборника. Преподаватели анализа весьма осторожно подходят к этому вопросу даже в условиях высшего учебного заведения, так как несоблюдение этого условия способствует выработке у студентов неправильного взгляда на символы бесконечности и является открытой дорогой для порождения разнообразных ошибок.

Авторы сборника считают, что число, отличное от нуля, на нуль делить можно. Так, на стр. 64 мы встречаем такое «истинное» утверждение: ~ = Здесь, очевидно, забывается одно из самых важных

правил математического анализа: «Деление на нуль безусловно недопустимо ни в одном случае»» (акад. Н. Н. Лузин).

Наконец, на той же злополучной странице авторы приводят и такое неверное рассуждение: нулевая степень корня квадратного из произвольного числа N равна единице (упускается из внимания случал N=0).

Не все утверждения книги согласованы с современными научными воззрениями. Так, на страницах книги (47-49) основной теоремой высшей алгебры авторы называют теорему которая утверждает, что «всякое уравнений имеет, по крайней мере, один действительный или комплексный корень».

Между тем известно, что эта теорема в настоящее время не считается алгебраической так как для ее доказательства необходим использование идеи непрерывности, являющейся понятием анализа.

Сказанного достаточно, чтобы сделать следующие выводы.

1. Известная часть материала книги требует критического подхода.

2. Издательству необходимо более тщательно редактировать свою продукцию.

Математические софизмы и их педагогическая роль105

В. Л. Минковский (Шадринск)

Основные понятия и краткие исторические сведения

«Доказательство», направленное на формально логическое установление абсурдного положения, носит название софизма. Раскрыть софизм - это значит указать ошибку в рассуждении, с помощью которой была создана внешняя видимость доказательства. Осознание ошибки обычно достигается противопоставлением ложному рассуждению истинного.

В основном математические софизмы строятся на неверном словоупотреблении, на неточности формулировок, очень часто на забвении условий применимости теорем, на скрытом выполнении запрещенных действий, на незаконных обобщениях, особенно при переходе от конечного числа объектов к бесконечному, и на маскировке ошибочных рассуждений или постулатов с помощью геометрический «очевидности».

Обычно принято распределять математические софизмы по тем предметам, к которым относится содержание софистической «истины». Этой чисто внешней классификации естественно противопоставляется методическая, основанная на объединении софизмов по общности

105 Минковский В.Л. Математические софизмы и их педагогическая роль.// Математика в школе. - 1946. - №5-6. - С.49-56.

характера допускаемых в них ошибок. С указанной точки зрения известный софизм «Сумма оснований любой трапеции равна нулю», как основанный на делении нуля на нуль, следует считать не геометрическим, а алгебраическим. Подобная методическая классификация вполне себя оправдывает в практике преподавательской работы, так как она систематизирует разнообразный математический материал, относящийся к уяснению определенного вида ошибки.

Математический софизм тем более совершенен, чем более тонкого характера проводимая в нем логическая ошибка, чем менее она предупреждена обычным школьным изложением предмета и чем искуснее она замаскирована неточностями внешнего выражения. С целью маскировки усложняют завязку софизма, т.е. формулируют такое положение, в процессе доказательства которого приходится использовать несколько истинных математических утверждений, способствующих отвлечению усилий ищущих ошибку на ложный путь. В некоторых софизмах достижению подобного отвлечения удачно содействует оптическая иллюзия.

Само слово софизм (sophisma) греческого происхождения и в переводе означает хитроумную выдумку, ухищрение или головоломку.

Одним из ярких представителей софистики является Зенон Элейский, живший в V в. (495-435) до н. э. Диоген Лаэрций свидетельствует, что Зенон обладал необыкновенным даром красноречия, написал произведения, выявляющие его исключительный ум и глубокую ученость, и приобрел известность в философии и политике. Свидетельство Диогена существенно подкрепляется тем фактом, что наибольшее число исключительно остроумных софизмов дошло до нас от Зенона.

Зенон был талантливым противником теории бесконечной делимости континуумов. Свои скептические взгляды он подкреплял так называемыми апагогическими доказательствами, т.е. методом приведения к абсурду.

«Есть четыре рассуждения Зенона о движении («дихотомия», «Ахиллес и черепаха», «стрела» и «ристалище» - В.М.), - говорит Аристотель, - доставляющее большие затруднения тем, которые хотят их разрешить»106. «Второе, - продолжает Аристотель, - так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что существо, более медленное в беге, никогда не будет настигнуто самым быстрым, ибо преследующему необходимо раньше придти в место, откуда уже двинулось убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество»107.

Математической основой приведенного софизма является интуитивное отождествление суммы бесконечного множества членов с

106 Аристотель, Физика. Пер. В. П. Карпова. М. 1939, стр. 119.

107 Там же.

бесконечно большой величиной, хотя на самом деле речь идет лишь о сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии равной дроби где п указывает, во сколько раз Ахиллес двигается быстрее черепахи.

В истории развития науки математические софизмы играли существенную роль: они способствовали усилению требований содержательного анализа и строгого доказательства и приводили к длительному отказу от использования тех понятий и методов, которые не были еще доступны для строгой логической обработки. Отсюда понятен рано возникший интерес к изучению и систематизации заведомо ложных доказательств. До нас дошли свидетельства, что первый сборник таких ошибочных рассуждений в области геометрии был составлен еще в III в. до н.э. автором «Начал» Эвклидом из Александрии108.

В России литература, посвященная математическим софизмам, начинает издаваться с последней четверти XIX в. В 1883 г. глава известного петербургского книгоиздательства Ф. Павленков, выпуская перевод «Математических развлечений» Э. Люкаса, писал: «Желание выпустить её (книгу Люкаса. - В.М.) в свет возможно скорее заставало меня на первых порах ограничиться простым ее переводом, хотя я и создавал, что она выиграла бы от прибавления к ней нескольких новых отделов, каковы, например: кастеты, различного рода конкретные геометрические задачи, так называемые «японские фокусы» (высвобождение колец из замкнутых проволочных фигур), наглядные несообразности в тенях и особенно математические парадоксы с точными на вид доказательствами таких абсурдом, как 2=3, часть более всего целого, ломаная линия короче прямой, возможность двух перпендикуляров в одной плоскости к одной и той же линии и т.д.109 Далее издатель указывал, что составление книги математических софизмов будет в ближайшее время осуществлено переводчиком книги Люкаса, бывшим учителем математики Екатеринбургской гимназии, В. И. Обреимовым. Одновременно переводчик и издатель обращались с просьбой к читателям присылать материалы для проектируемых дополнений, в особенности по части математических парадоксов, не имеющих на русском языке ни одного сборника, но повсеместно распространенных между юными математиками, которых они всегда живо интересуют110.

В 1884 г. книга Обреимова, представляющая довольно полный сборник разнообразных математических софизмов, увидела свет. При

108 Ф. Кэджори, История элементарной математики, Одесса, 1910, стр.79.

109 Э. Люкас, Математические развлечения. Пер. с фр. В.И. Обреимова, СПб, 1883. От издателя.

110 Там же.

составлении своей книги автор использовал материалы о математических ошибках журналов Жерона и Лиувилля и брошюры И. Виола «Математические софизмы» (18 упражнений). Русский перевод 2-го издания (Вена, 1865 г.) брошюры Виола, сделанный неким А. Н., был издан в конце 1883 г. типографией Московского университета. В 1889 г. появилось новое издание книги Обреимова.

Значительное усиление педагогического интереса к математическим софизмам наблюдается в России в начале 2-го десятилетия XX в. в связи с т. н. реформистским движением в области преподавания математики и Всероссийскими съездами учителей. К этому периоду относится издание книг А. А. Лямина «Математические парадоксы и интересные задачи» (М., 1911), Н. Аменицкого «Математические развлечения и любопытные приемы мышления» (М., 1912). М. С. Лянченкова «Математическая хрестоматия» (СПБ., 1912), переводов книг Шуберта «Математические развлечения и игры» (Одесса, 1911), Фурре «Геометрические головоломки» (Одесса, 1912) и других.

В настоящее время, когда обращено особое внимание на изыскание путей воспитания логического мышления учащихся и достигнуто принципиальное разрешение вопроса о включении логики в школьный курс обучения, наблюдается повышенный интерес преподавателей математики к материалу математических софизмов, как к наиболее им близкой категории логических ошибок.

О целях введения софизмов в школьное преподавание математики

Начнем с обзора мнений, высказанных по этому вопросу в нашей методической литературе последних лет.

«Желая повысить интерес учащихся к математике, вызвать активное отношение к работе и внести некоторое разнообразие в программный материал, я, - рассказывает А. К. Харчева, - приступила с ноября 1934 г. к использованию математических софизмов в школьной практике»111.

«Вначале, - сообщает П. П. Кузнецов, - надо было заинтересовать учащихся математикой, и кружок начал свою работу с занимательных задач, софизмов, парадоксов, как, например: «2x2 = 100», «2x2 = 5»; «всякая хорда равна диаметру»; «расстояние от земли до солнца равно 1 м»; «сумма оснований трапеции равна нулю»; «из точки вне прямой можно опустить на эту прямую два перпендикуляра»; «длины всех окружностей равны»; «в окружности могут быть два центра» и мн. др.»112

111 В.М. Брадис, А.К. Харчева, Ошибки в математических рассуждениях, М., 1938, стр.136.

112 Ст. «6 лет работы математического кружка» в журнале «Математика в школе» за 1940 г. №4, стр.58.

В приведенных высказываниях о целях введения софизмов в школьный курс математики на первый план выдвигаются второстепенные черты. Основная же цель введения софизмов в школу, заключающаяся в приобщении к критическому мышлению, к умению не только воспроизводить определенные логические схемы, определенные мыслительные процессы, но и критически осмысливать каждый этап рассуждения в соответствии с усвоенными принципами математической логики и вычислительной практики, не формулируется.

Математические софизмы заставляют особенно внимательно, с большой настороженностью прочитывать их тексты, тщательно следить за наличием должной точности в формулировках и записях, за соблюдением всех условии применимости теорем, за отсутствием незаконных обобщений, запрещенных действий, ссылок на кажущиеся свойства фигур и вспомогательных построений. Все эти моменты ценны в методическом отношении, так как они направлены на содержательное усвоение предмета, противопоставляемое формальному, для которого «характерно неправомерное доминирование в сознании и памяти учащихся привычного внешнего (словесного, символического или образного) выражения математического факта над содержанием этого факта»113.

Прочность же усвоения математического факта значительно повышается внесением элемента эмоции в восприятие, вызываемой абсурдным утверждением формулировки софизма.

Математические софизмы предлагаемые вниманию учащихся, должны, как правило, использоваться не для предупреждения ошибок, а для проверки степени сознательности усвоения и закрепления определенного материала. На этом положении базируется практика работы наших лучших учителей математики, использующих в некотором объеме материал софизмов на заключительном этапе упражнений по разделу и при повторении.

Ошибки же учащихся педагог предупреждает путем всестороннего рассмотрения изучаемых понятий в классе. Хорошее знание самим педагогом материала математических софизмов способствует лучшему достижению этой цели.

В арсенале задач вдумчивого педагога находят себе должное место вопросы:

1. Определить смысл знака V (V обозначает один из символов <, >, =) в соотношении 2а V а, положив а равным:

и сделать обобщение.

113 А. Я. Хинчин, О формализме в школьном преподавании математики. Советская педагогика, №11-12. 1944, стр. 22.

2. Когда — равно единице?

3. Из равенства (а-b)2 =(т-п)2 можно ли заключить, что а-Ъ = т-п!

4. При всех ли значениях х и у имеет место формула:

5. При каких значениях х теряют смысл выражения:

Американский психолог Э. Л. Торндайк считает, что подобная работа педагога со своими учениками ценнее работы по изучению математических софизмов, и на этом основании советует, хотя и не без расплывчатых оговорок, исключить их из школьного преподавания математики114. Хотя точка зрения Торндайка нами воспринимается как выражение односторонней крайности, однако считаем нужным подчеркнуть, что при введении математических софизмов в школу надо быть весьма осторожным. Дело в том, что при первом изучении того или иного раздела математики у ребенка, не имеющего надежной опоры в логике, нет и основательных знаний: он овладевает только первоначальными наглядными понятиями. При таком состоянии познаний и развития ученика для него часто оказывается недоступным раскрытие софизма, хотя бы хорошо и тщательно объясненного. Всякий же не осознанный до конца софизм опасен, потому что внушает смущение и сомнение в пользовании усвоенными основами предмета, а «нет ничего опаснее долгого пребывания в уме темной мысли: от нее всегда останется некоторый след даже после того, как она выяснится»115. К осторожному введению софизмов призывает и факт неполной доказательности школьного курса математики (наличие выводов, установленных методом неполной индукции, «геометрических доказательств» аналитических утверждений в тригонометрии и т.п.), и то, что для некоторых умов (даже философских!) язык логики бессилен нейтрализовать действие, производимое созерцанием чертежа. История математических знаний и литературы предоставляет нам многочисленные примеры, свидетельствующие, как жертвой непреднамеренно ложных выводов в силу исторической ограниченности или недосмотра делались великие мужи науки.

114 Э.Л. Торндайк, Вопросы преподавания алгебры, М, 1934, стр.79-80.

115 Этот вывод сделан французским учёным Дюгамелем на основании почти полувекового опыта преподавания математики и высказан в предисловии (стр.11) к его работе «Приложение методов умозрительных наук о числах», СПб, 1877.

Примерная программа школьных кружков по изучению ошибок в математических рассуждениях

Сборники математических софизмов, которых выпущено сравнительно много, требуют от педагога умения критически отнестись к их содержанию и выбрать материал, ценный для школы. Сравнительно удачную попытку осуществления такого подбора материала, связанного с учебным и ориентированного на кружковую работу с хорошо успевающими учащимися данного года обучения, предлагает Л. В. Федорович в своей интересной статье «Внеклассная работа по математике».116

Приводим предлагаемую Л. В. Федорович примерную программу изучения ошибок в математических рассуждениях, которую, в интересах краткости и удобства изучения вопроса, мы несколько искусственно отрываем от связанного с ним теоретического и исторического материала и в скобках указываем соответствующие страницы книги Брадиса и Харчевой «Ошибки в математических рассуждениях» (М., 1938):

VI класс: 1. Исторические сведения о софизмах. 2. Раскрытие софизма. «1=2». 3. «Прямой угол равен острому». 4. «Из точки на прямую можно опустить 2 перпендикуляра» (81). 5. «Всякое число равно удвоенной своей величине» (18). 6. «Любые два числа равны друг другу» (19).

VII класс: 1. Деление нуля на нуль (21). 2. «Внешний угол треугольника равен внутреннему с ним не смежному» (76).

VIII класс: 1. «64 кв.см=65 кв.см» (74) 2. «Окружность имеет 2 центра» (77). 3. «Произвольное число а равно 1» (22). 4. Чему равен корень квадратный из числа а ? (27).

IX класс: 1. Всегда ли а=\1 (62). 2. «Во всякой окружности есть хорда, не проходящая через центр, но равная диаметру» (73). 3. «Две окружности разного диаметра имеют одну и ту же длину» (92). 4. «Ахиллес и черепаха» (69). 5. «Сумма бесконечного числа нулей есть единица» (63). 6. «Длина полуокружности равна диаметру». 7. «Объемлемая равна объемлющей» (83). 8. Осторожнее с бесконечно большими значениями (120).

X класс: «Мнимая и действительная отрицательная единица равны» (38).

Исходя из убеждения, что компетентное решение вопрос о принципах отбора материала для школы может быть найдено лишь на основе экспериментальной проверки и широкого обсуждения усилиями многих методистов и преподавателей, мы переходим к изложению наших соображений.

116 Журнал Математика в школе», 1940, № 4, стр. 46-48. См. также изложение доклада Л. Федорович на эту тему в «Материалах совещания преподавателей математики средней школы». М., 1935, стр. 134-138.

1. Целесообразно использовать иллюстрацию ошибок в математических рассуждениях для таких вопросов, самая сущность которых требует указания, какие преобразования или действия производить незаконно. В качестве простого примера подобного вопроса назовем тройное правило, которое легко усваивается учениками и вызывает у них стремление к широкому его применению. Однако, как известно, правило это далеко не всегда действует, и для решения многих задач надо обладать некоторыми специальными сведениями. «Но получается, - пишет Оливер Лодж, - такое впечатление, что целые поколения учителей по молчаливому соглашению отвергли все эти задачи без разбора и исключили их совсем из арифметического рассмотрения»117. Между тем эти задачи должны найти себе место в курсе арифметики для правильного установления области применимости простой пропорции.

Приводим несколько примеров, которые часто называют каверзными или софистическими:

№ 1. «Двое пошли - пять гвоздей нашли. Четверо пойдут - много ли найдут?» (А. Б. Ланков, Математика в трудовой школе. М., 1925, стр. 66)

№ 2. «Если 2 петуха могут разбудить одного человека, то сколько могут разбудить 6 петухов?» (Лодж, Легкая математика, стр. 109).

№ 3. «Если верблюд может выдержать ношу в 5 центнеров в течение 6 часов, то в течение какого времени он может выдержать ношу в 10 тонн?» (Там же).

Дальнейшие примеры смотреть в книге Брадиса и Харчевой «Ошибки в математических рассуждениях».

2. Следует включить в приведенную программу ценные в методическом отношении софизмы, связанные с рассмотрением приближенных вычислений, хорошо и оригинально представленные В. М. Брадисом в книге «Ошибки в математических рассуждениях».

3. В литературе нам не приходилось встречать софизмов, ориентирующихся на пространственные представления учащихся. Желая восполнить этот пробел, мы предлагали своим учащимся стереометрические варианты некоторых софизмов.

Пример: «Прямой угол равен тупому».

Пусть имеем четырехугольник AB CD (черт.1), у которого сторона DA образует со стороной AB прямой угол и равна стороне ВС, образующей с AB тупой угол. Строя этот четырехугольник, примем во внимание правила изображения на плоскости чертежа плоских фигур, расположенных в горизонтальной плоскости.

Восставим из середины стороны AB

Черт. 1

117 «Легкая математика» М, 1909, стр.109.

перпендикуляр к плоскости основания, а из середины стороны DC перпендикуляр к этой прямой, пересекающий перпендикуляр к AB в некоторой точке S. Соединим эту точку с точками А, В, Си D.

Из прямой теоремы о трех перпендикулярах (прямая, перпендикулярная к проекции наклонной, перпендикулярна к самой наклонной) легко усмотреть, что AD.LSA. На основании же теоремы о двух перпендикулярах заключаем о перпендикулярности AD к плоскости SAB. Плоскость SAD, как проходящая через AD перпендикулярна к плоскости SAB, а потому двугранный угол при ребре SA - прямой.

Из равенства треугольников SAD и SBC имеем: ZSAD=ZSBC. Применяя обратную теорему о трех перпендикулярах и теорему о двух перпендикулярах, утверждаем, что ВС перпендикулярна к плоскости S В А, и, следовательно, плоскость S ВС перпендикулярна к плоскости S В А, откуда двугранный угол SB - прямой.

Итак, трехгранные углы SDAE и SCBE равны, как имеющие по равному двугранному углу (SA и SB), заключенному между двумя соответственно равными и одинаково расположенными плоскими углами (ZSAD=ZSBC и ZSAB=ZSBA). Но в равных многогранных углах соответственные плоские углы равны, а потому ZDAB=ZABC, т.е. прямой угол равен тупому, что и требовалось доказать.

Разъяснение. При использованном построении ADSC является равнобедренным, что приводит к противоречию, так как при равенстве наклонных SD и SC их проекции DE и СЕ оказываются неравными, что видно из рассмотрения ADAE и АСВЕ (АЕ=ЕВ. AD=BC, но DE<CE, так как ZA<ZB). Отсюда вывод, что прямые SF и SE не могут иметь общей точки.

Примечание. Наличие ошибки легко устанавливается в процессе доказательства плохо скрытым противоречием с условием теоремы. Однако отыскание причины ее возникновения затрудняет учащихся, склонных разыскивать ошибку в формулировке и применении важнейших теорем.

4. При раскрытии некоторых видов математических софизмов для лучшего уяснения допущенной логической ошибки весьма полезно представление их в силлогистической форме и сопоставление с аналогичными ложными умозаключениями, относящимися к объектам так называемой повседневной жизни.

Конкретизируем это положение на примере.

Квадраты равных чисел равны

Близнецы - родные.

Квадраты чисел аи b равны Вывод: а = b

Брат и сестра родные

Вывод: брат и сестра - близнецы

Указание на ошибку: числа а и b

Указание на ошибку: брат и

могут быть и неравными.

сестра могут и не быть близнецами

Обращаем внимание читателей, что при построении примера для сопоставления обычно допускается логическая ошибка.

Птица - животное

Два равных числа имеют равные квадраты

Лошадь - животное. Следовательно: лошадь есть птица

Эти два числа имеют равные квадраты. Следовательно: эти два числа равны

Здесь упускается из внимания, что для «этих двух чисел» не исключено соотношение равенства, в то время как возможность включения лошади в число представителей пернатого мира исключена.

5. Следует исключить из программы софизм IX, 2 (1=0; римская цифра означает класс, арабская - номер занятия. См. ст. тов. Федорович). В формулировке этого «софизма» отсутствует элемент софистики, так как нет основания утверждать, что Охоо есть 0: перед нами символическое изображение произведения бесконечно малой величины на величину бесконечно большую.

6. Вызывает возражение использование задачи IX, 4. Ее неверное решение основано на допущении ошибок, совершить которые не придет в голову ни одному ученику, если последнего мало-мальски сносно учат (см., например, § 55 курса тригонометрии А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника). Для правильного же решения поставленной задачи, заключающейся в нахождении предела отношения двух бесконечно больших величин

ученик средней школы должен использовать отсутствующие у него знания:

7. Исключительно ценен по своему идейно-образовательному значению софизм VIII, 3, основанный на существовании порога точности чувственных восприятий. Однако ограничение вопроса рассмотрением одного частного случая («64=65») не вполне достигает

Черт. 2

Черт.4.

цели. Обобщенная трактовка этого софизма, привлекающая теорию непрерывных дробей, изложена Игнатьевым118. Методическая обработка этого вопроса для кружковых занятий учащихся VIII-X классов, предполагающая предварительное ознакомление с софизмом «64=65», изложена ниже.

Рассмотрим 3 чертежа, изображающие фигуры, составленные из одних и тех же кусков, а именно: двух равных трапеций и двух равных треугольников (черт. 2, 3 и 4).

Обозначив площадь каждой фигуры буквой S с соответствующим индексом, запишем следующие очевидные равенства:

Установим условие, при котором будет справедливо равенство:

S,=S2=S3 (1)

Для этого найдем разности:

(2)

Итак, соотношение (1) будет иметь место при выполнении равенства X2 - ху - у2 = 0(2). Решим это уравнение относительно х:

Произведя выбор знака, определим отношение х ку:

Соотношение (3) указывает, что х и у несоизмеримые отрезки, т.е. по крайней мере один из них выражается иррациональным числом. Отсюда приходим к мысли, что если взять числа х и у рациональными, в частности целыми, но такими, чтобы их отношение подходило к величине дроби

с определенной степенью точности, то при переложении частей

фигуры восприятие различия в направлениях отрезков, используемых для составления прямой, останется за порогом возможностей нашего зрения. Прежде всего обратим внимание на свойство функции F(x,y)=x2 -ху-у2, выражающееся в том, что F(x,y) = -F(x + y,x). В самом деле,

118 Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. Кн. 2-я, СПБ, 1909, стр. 163-167.

Установленная закономерность позволяет указать такие последовательные целочисленные значения аргумента, которые не меняют абсолютной величины значения функции.

Таблица содержит последовательные пары целых неотрицательных значений х и у, для которых абсолютные величины разностей (s2-Sx\ (S2 -Sx) и (S3 -S2) равны единице.

Закон ее составления весьма прост:

Ум = Х, > ХМ = Х, + У г > ГДе 1 = 1>2>3 • • •

Для достижения должной иллюзии при перекладывании фигур следует брать значения таблицы, начиная с шестой строки. Беря за х и у соответственно 5 и 3, получаем приближение к иррациональной дроби Л^+\ разнящееся в сотых долях единицы, беря 21 и 13 - в тысячных и далее со все возрастающей степенью точности.

Об одном приеме борьбы с ошибками учащихся по алгебре119

В.Л. Минковский (Шадринск)

Работа над ошибками учащихся составляет одну из главнейших обязанностей учителя. Часто практикуемое простое указание на ошибки, как правило, не искореняет последних. Осуществляясь в порядке пропедевтики, оно порой способно лишь провоцировать возникновение ошибок. В известной степени помогает постоянное воспроизведение соответствующих правил. Однако основным, эффективно действенным средством оказывается только содержательный анализ ошибок и причин их возникновения.

Всякий ошибочный ответ парадоксален, он противоречит одному из исходных принципов или одному из ранее полученных выводов в данной отрасли знания. Возникает возможность постановки вопроса: существуют ли условия и если да, то какие, при соблюдении которых ошибочное (в общем случае) утверждение оказывается справедливым.

В практике преподавания следует воспользоваться некоторыми из ученических ошибок как поводом для проведения весьма ценных в педагогическом отношении элементарных исследований. От учащихся здесь требуется установить, при каком дополнительном условии анализируемое ошибочное соотношение окажется справедливым. Подобными упражнениями достигается углубленное осознание теории и допущенной ошибки. Эти же упражнения играют известную роль в развитии функционального мышления учащихся, так как на каждое выражение вырабатывается взгляд как на функцию входящих в него букв.

Конкретизируем высказанные утверждения несколькими примерами из нашей педагогической деятельности в средней школе.

Пример первый. Ученик VII класса 3., выполняя сложение двух дробей, сложил их числители и знаменатели отдельно, первую взял за числителя, вторую за знаменателя, т.е. выполнил сложение дробей так:

(1)

Несмотря на парадоксальность написанной формулы, можно указать бесконечное множество значений для а, Ь, с и d, при которых равенство (1) будет иметь место. К числу таких значений принадлежат, например, следующие: а= - 12, Ь=2, с=3, d=l. Вообще равенство (1) будет удовлетворяться любой системой четырех чисел, взятых при условии:

119 Минковский В.Л. Об одном приеме борьбы с ошибками учащихся по алгебре.// Математика в школе. - 1948. - №4. - С.30-32.

К последнему соотношению приходим с помощью следующих элементарных выкладок:

(2)

Придавая произвольные значения й, с и d, исключая b = 0, d = О, Ъ + d = О и находя соответствующие значения а по формуле (2), получим бесконечное множество систем из четырех чисел, удовлетворяющих парадоксальной формуле (1).

Равенство (1) справедливо тогда и только тогда, когда выполнено дополнительное условие (2). Подобные формулы не имеют, конечно, практического значения. С их помощью можно только пополнить коллекцию любопытных арифметических тождеств.

«Универсальная» же формула — + — =- не связана никакими ограничениями, если не считать требования, чтобы Ъ и d были отличными от нуля, выражающего запрет деления на нуль. Разумеется, только эта формула выражает общее правило сложения алгебраических дробей.

Пример второй.

(3)

Весьма распространенная ошибка: сокращение знаменателя на общего числителя с одним из слагаемых числителя.

Ставим перед учениками вопрос: в каких частных случаях эта грубейшая ошибка не приведет к заблуждению?

Исследование дает: ас + be = ас + adc, be = abc или Ь = аЬ,тш как знаменатель с не может быть равен нулю. Из соотношения й(1-я) = 0 следует, что равенство (3) будет справедливо только в двух частных случаях: во-первых, когда Ь = 0 и формула (3) принимает вид — = —; во-вторых, когда а = 1 и формула (3) принимает вид

Пример третий.

Типичная и весьма упорная ошибка. Исследование дает: abc = ac(b + с) + ab(b + с\

Из последнего равенства следует, что или а = О, или

b2+c2+bc = 0.

Однако трехчлен Ь2 + с2 + Ъс ни при каких действительных отличных от нуля значениях Ъ и с в нуль не обратится. В самом деле, если Ъ ф с, то или о2 > |бс|, или с2 > \Ьс\, если b = с, то Ь2 =с2 = Ъс. А потому во всех случаях £2+с2+£с>0.

Выходит что «формула» (4) оказалась справедливой только в том тривиальном случае, когда а = 0.

Мы не случайно остановились на примерах, относящихся к тождественным преобразованиям над алгебраическими дробями и к действиям над ними. Дело в том, что очень большое число массовых ошибок учащихся падает именно на эти вопросы.

Пример четвертый:

(5)

Ученик VIII класса Р., сделавший эту ошибку, вслух рассуждал так: корень квадратный из а2 есть а, так как из b он не извлекается, то b остается под корнем, получается a<Jb.

В. Г. Прочухаев на основании просмотра большого числа работ учащихся различных школ нашей республики утверждает, что ошибки типа VÎT = Зл/2 «весьма распространены и требуют упорной работы по их предупреждению».

По времени возникновения ошибку нашего ученика, весьма склонного к автоматизму, мы объясняем как следствие переноса на этот случай только что приобретенного навыка в извлечении корня из произведения.

Заставив ученика с помощью класса ощутить свою ошибку, предлагаем учащимся на дом задание: установить, при каком дополнительном условии формула (5) будет иметь место, и воспользоваться этим соотношением для пополнения нашей галереи числовых тождеств.

Исследование дает: a2 + b = а2Ъ\ а2 = b[a2 -1)

(6)

Формула (5) имеет место в множестве действительных чисел, когда а>\ и выполнено соотношение (6). Исключаются значения а = ±1, при которых соотношение (6) теряет смысл, а формула (5) становится неверной.

Если, например, а = 2, то Ъ =

Подобные исследования весьма заинтриговали многих учеников. Так, например, к следующему уроку по собственной инициативе ученик Г. составил и разрешил задачу, которую мы приводим в качестве последнего примера.

Учитель должен быть предупрежден, что рекомендуемый разбор ошибок приносит положительный эффект только при условии глубокого осознания учащимися всех элементов проводимых рассуждений. Несоблюдение этого условия не только полностью обесценивает применение упражнений указанного типа, но и делает их вредными, так как в сознании учащихся сохраняется лишь след от зрительного восприятия неверных формул.

Пример пятый. Установить условия применимости парадоксальной формулы л[аЪ=—. Исследование дает: ab = ^; ab3=a2;

Отсюда или а = О, или Ъ = \[а. (7)

Первый случай тривиален, но второй может служить источником любопытных арифметических тождеств. Так, если а положить, например, равным 8, то Ь = \1%=2, a V8-2 находится делением первого множителя подкоренного числа на второй.

В заключение считаем нужным подчеркнуть, что предлагаемые упражнения содержат элементы активного противодействия механическому заучиванию правил и не имеют ничего общего с бессодержательными задачами-шутками типа следующих:

«1) Имеем — = —.. Нет ли еще других дробей, которые можно сократить простым зачеркиванием одинаковых цифр

2)-= а-Ь. Нет ли еще других дробей, которые можно сократить простым зачеркиванием одинаковых букв»120.

Подобные же «доказательства» для тригонометрических тождеств, построенные на зачеркивании в соответствующих формулах тригонометрии символов тригонометрических функций, приводит В. Городков в своих «Математических заметках»121.

Законное сомнение, в какой мере подобные доказательства (поскольку они ограничиваются простым констатированием факта) могут быть поучительны или даже только курьезны, выражает Я. С. Дубнов в

120 Бем, Волков, Струве. Сокращенный сборник упражнений и задач по элементарному курсу алгебры, ч.1. - М, 1928. стр.82.

121 «Математика в школе», М., 1938, т.1, №1, стр.33-34.

статье «О разложении на множители некоторых тригонометрических выражений»122.

К пятидесятилетию научно-педагогической деятельности профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского123

В. Л. Минковский (г. Шадринск)

Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской родился 27 июля 1876 г. в семье известного инженера железнодорожного транспорта в уездном городке Павловске Петербургской губернии.

Первые годы учебы Д.Д. протекали в домашней обстановке, а с десятилетнего возраста он обучается в первой классической гимназии Петербурга.

Закончив в 1894 г. курс средней школы, Д.Д. продолжает свое образование на физико-математическом факультете Петербургского университета. Здесь незаурядная математическая одаренность и резко выраженная склонность к углубленному осознанию научных проблем новичка-студента привлекают к себе внимание выдающихся профессоров университета, в том числе А.А. Маркова и К.А. Поссе. По представлению профессуры Д.Д. в 1898 г. оставляют при университете для подготовки к профессорскому званию по кафедре чистой математики. Однако в конце этого же года начинающий аспирант, нетерпеливо стремившийся к непосредственному педагогическому общению со студенческой молодежью, принимает назначение в качестве ассистента замечательного русского ученого проф. Г.Ф. Вороного в Варшавский политехнический институт. Напряженная и плодотворная педагогическая работа не помешала Д.Д. разносторонне и глубоко подготовиться к магистерским экзаменам, которые он блестяще сдал в 1900-1901 гг.

Покончив с экзаменами, Д.Д. развертывает интенсивную научную деятельность, в результате которой в «Сообщениях харьковского математического

122 Сборник статей под редакцией И. Чистякова и Н.Соловьева «Вопросы математики и её преподавания», М, 1923. стр.66.

123 Минковский В.Л. К пятидесятилетию научно-педагогической деятельности профессора Д. Д. Мордухай-Болтовского.// Математика в школе. - 1949. - №2. - С.45-47.

общества» за 1902 г. появилась первая публикация молодого магистра. Она содержала оригинальное обобщение знаменитой теоремы Абеля.

К моменту представления (1906 г.) своей обширной (свыше 400 стр.) магистерской диссертации Д.Д. имел уже 6 печатных трудов. Его диссертационная работа «О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным» излагала существенно новый метод приведения, дающий обобщение результатов Пуанкаре-Пикара, решение проблемы Шварца относительно преобразования интегралов Абеля, вывод условий существования алгебраического решения обобщенного уравнения Эйлера и некоторые другие результаты.

Непосредственным плодом ассистентской деятельности Д.Д. является «Систематический сборник элементарных упражнений по дифференциальному и интегральному исчислениям» (1904 г.). Этот большой сборник, в основном оригинальный по своему задачному материалу, представляет собою мастерскую реализацию весьма зрелых и интересных педагогических воззрений автора, обстоятельно изложенных в введении к работе.

В 1907 г. Д.Д. в составе небольшой группы научных работников Варшавы командируют в Новочеркасск для непосредственного участия в налаживании учебного процесса в только что организованном Донском политехническом институте. В следующем году Д.Д. был утвержден в качестве профессора вновь открытого института.

Но научные интересы молодого профессора побуждают его думать о возвращении в Варшаву, как в один из немногочисленных центров исследовательской мысли тогдашней России. По конкурсу в 1090 г. он утверждается экстраординарным профессором Варшавского университета, а через три года ординарным.

К варшавскому периоду научной деятельности Д.Д. относятся его обширные исследования по интегрированию в конечном виде трансцендентных функций и решению в квадратурах дифференциальных уравнений.

В 1913 г. Д.Д. решает 22-ю математическую проблему Гильберта, доказав, что функция, определяемая известным рядом, не может быть определена алгебраическим дифференциальным уравнением.

В этом же году Д.Д. обнародовал свои первые изыскания о трансцендентных числах (дополненные впоследствии в 1926 г.), являющиеся серьезным подступом к решению знаменитой седьмой проблемы Гильберта, полностью решенной в 1934 г. другим советским математиком - А.О. Гельфондом.

В 1915 г. Варшавский университет со своим профессорско-преподавательским составом в силу условий военного времени был эвакуирован в Ростов на Дону.

Д.Д. работает в Ростовском университете до его ликвидации в январе 1931 г. После этого он переходит на работу в организованный на базе университета педагогический институт. С возобновлением работы университета Д.Д. успешно совмещает свою научно-педагогическую деятельность в университете и институте.

В 1935 г. Всесоюзная аттестационная комиссия при ВКВШ присудила Д.Д. ученую степень доктора физико-математических наук без защиты диссертации.

В ростовский период научные интересы Д.Д. главным образом сосредоточиваются на проблемах четырехмерного мира и пространства Лобачевского. Интенсивно обогащается геометрический кабинет университета новыми оригинальными моделями, относящимися к многомерному пространству. Среди этих моделей много таких, которые представляют собою своеобразную интерпретацию ненапечатанных статей как бы «окристаллизованную» мысль автора. В непосредственной связи с названным кругом интересов находится значительная часть работ Д.Д. по геометрии построений.

В исследованиях по алгебраическим кривым даются интересные обобщения диаметральных и полярных свойств; работы по дифференциальной геометрий относятся к проблемам одевания поверхностей и к кривизне высших порядков.

В 20-х годах Д.Д. начинает живо интересоваться проблемами авиации. С этой новой струей в области научных интересов Д.Д. связаны его первые работы по математической биологии, относящиеся к летучкам, крылаткам и к полету птиц. Большое внимание советских и иностранных зоологов вызвали работы Д.Д., посвященные строению скелетов радиолярий, в частности связанным с ними экстремальным задачам.

Д.Д., являясь неутомимым энтузиастом-педагогом, большее значение придает своим исследованиям по истории и методике математики. Маститый профессор незыблемо убежден в том, что «проблема создать ученого: научить знанию и научной работе - более простая проблема, чем проблема создать учителя: научить учить»124.

По воззрениям, прочно укоренившимся в дореволюционных университетах, заниматься методикой преподавания науки для профессора высшего учебного заведения считалось недостойным его высокого звания. И лишь немногие ученые находили в себе достаточно сил и независимости, чтобы словом и делом противодействовать этому нелепому и вредному предрассудку. Ярким представителем этой передовой группы ученых является Д.Д. Мордухай-Болтовской.

124 Д. Д. Мордухай-Болтовской, Второй всероссийский съезд преподавателей математики, 1914, стр.66.

Во всех своих педагогических работах Д.Д. исходит из следующего положения: методика призвана решать аксиоматическо-психологическую проблему. Это означает, что каждое доказательство школьного типа должно быть построено только на тех предпосылках, для которых вопрос о доступности учащимся предварительно решен в положительном смысле.

Отсюда Д.Д. придается очень большое значение изучению психологии восприятия и творчества, в частности, в области математического мышления. И не случайно, что одна из первых работ педагогического цикла самого Д.Д. (относящаяся к 1912 г.) посвящается именно этой проблеме125.

Д.Д. считает, что школьная «геометрия», раньше чем сделаться логической, должна быть опытной или наглядной.126 Прежде чем оперировать отвлеченными геометрическими понятиями, надо их приобрести, а последнее достигается с помощью идеализации соответствующих реальных прототипов.

В своих работах Д.Д настойчиво пропагандирует включение элементов истории математики в цикл обязательного материала для изучения в средней школе. В 1912 г., сопоставляя обычный материал школьного учебника истории того времени с материалами истории науки, он приходит к выводу, «что изучение истории науки в средней школе является не менее полезным, чем изучение каких-либо междоусобных войн или дворцовых интриг».127

Однако Мордухай-Болтовской решительно выступает против подмены в процессе обучения логической структуры рассматриваемого вопроса его историческим генезисом, воспроизводимым во всех деталях. При всем своем законном уважении к крупнейшему историку математики В.В. Бобынину. Д.Д. в противовес его мнению заявляет, что «едва ли ученику может принести пользу индусская веревка, древнегреческая звезда, римская грома и диоптр Герона Александрийского».128

Исключительно большое внимание уделяет Д.Д. изучению истории учебника, считая, что здесь проходит то нижнее русло математической мысли, ознакомление с которым подсказывает современному методисту много ценных мыслей, ибо даже в прошлом заблуждении обычно заключается доля истины.

В связи с изучением учебника Д.Д. весьма содержательно анализирует проблемы математической терминологии.

125 «Психология математического мышления», «Вопросы философии и психологии», М., сентябрь-октябрь, 1912г., стр.491-534.

126 «Геометрия как наука о пространстве», «Известия Ростовского пединститута», т.Х, 1940, стр.10.

127 М.-Болтовской, О первом всероссийском съезде преподавателей математики, Варшава, 1912, стр.22.

128 М.-Болтовской, Второй всероссийский съезд преподавателей математики, стр.62.

Будучи последовательным сторонником реформы преподавания математики в дореволюционной России, участником Всероссийских съездов преподавателей математики и трудов Русской национальной подкомиссии по преподаванию математики, Д.Д. выступает, однако, против крайностей в осуществлении реформы. Так, например, он решительно высказывается против включения в программу курса средней школы геометрии Лобачевского и Римана. Настаивая на включении в курс средней школы аналитической геометрии (хотя бы ограничиваясь прямой и кругом), Д.Д отвергает целесообразность изучения в средней школе математического анализа как отдельной дисциплины, ограничиваясь требованием «познакомить (учащихся. - В.М.) с идеей функции на отдельных примерах, познакомить с понятием производной и изменить изложение тех глав геометрии, которые не могут обойтись без предела суммы бесконечно малых, так, чтобы основная идея интегрального исчисления выступила вполне ясно и определенно».129

Следует отметить, что Д.Д. постоянно стремится вовлечь в творческую дискуссию учителей, к голосу которых он всегда чутко прислушивается. Он неустанно призывает педагогов к творческому преподаванию и тщательному анализу его итогов. В частности Д.Д. придает очень большое значение глубокому изучению письменных работ учащихся и обоснованной на четких логических и психологических основах классификации ошибок.

Свои методические взгляды Д.Д. до недавнего времени проверял и совершенствовал на личном опыте преподавания математики в разных классах средних школ различного типа. Этой же цели способствовали развернутые дискуссии по различным общим и частным вопросам преподавания математики на постоянно действующем под непосредственным руководством Д.Д. математическом семинаре, привлекавшем на свои заседания передовых учителей средних школ. Многие сообщения участников этого семинара существенно обогатили советскую методическую литературу.

Д.Д. было уже 65 лет, когда началась Великая Отечественная война советского народа. Движимый патриотическим чувством, старик-профессор, выполнивший свою годовую учебную нагрузку, просит в 1942 г. предоставить ему возможность безвозмездно работать с заочниками-педагогами. 20 июля, когда Д.Д. выходил из института после своей очередной лекции, он был тяжело ранен осколками вражеский бомбы. Ранение повлекло почти годовое пребывание в госпиталях и эвакуацию из Ростова в Ессентуки. Первые мучительные шаги на костылях Д.Д. смог предпринять только в 1943 г. В августе этого же года он

129 Мордухай-Болтовской Д.Д., О первом всероссийском съезде преподавателей математики, стр. 10.

возобновляет свою научно-педагогическую деятельность в Пятигорском институте. Летом 1945 г. Д.Д. переводится в Иваново, нуждаясь в поддержке и уходе проживающих там родных, а в 1947 г. возвращается на работу в родной Ростов.

Немецкие варвары сожгли богатейший научный архив старого профессора. Но у советского ученого-патриота и на восьмом десятке лет хватило энтузиазма и упорства, чтобы восстановить в короткий срок более сотни своих рукописных работ. Некоторые из них уже опубликованы в «Докладах Академии наук СССР», «Народном образовании», «Математике в школе» и других советских изданиях.

В переводе и с обширным комментарием Д.Д. М.-Болтовского советский читатель уже получил издание математических трудов Ньютона. В ближайшее время ожидается выход из печати выполненного Д. Д перевода с древнегреческого «Начал» Эвклида.

Пожелаем же Дмитрию Дмитриевичу в полувековую юбилейную дату многих лет дальнейшей плодотворной деятельности на благо и преуспевание науки, культуры и просвещения в нашей великой Родине.

Очерк логических основ методов математического доказательства130

В. Л. Минковский (г. Шадринск)

Постановка преподавания математики в средней школе предполагает осуществление систематического повторения. Обобщающий характер повторения в выпускном классе должен в основном выражаться в выявлении логических основ науки. Здесь должно быть обращено особое внимание на уяснение правил и методов логического доказательства. При этом разумеется, что вводить учащихся в круг этих идей надо с должной постепенностью и осторожностью. Было бы лишним и, в силу преждевременности, вредным знакомить учеников с современной математической логикой и общими проблемами аксиоматики, но ощущается весьма настоятельная потребность в изучении некоторых элементов теории доказательства в плане классической логики131.

В указанном направлении написана и настоящая статья, рассчитанная на преподавателей математики средней школы.

Доказательство и его составные части

Доказать данное суждение, т.е. какое-либо утверждение или отрицание, - это значит вывести рассматриваемое суждение из таких

130 Минковский В.Л. Очерк логических основ методов математического доказательства.// Математика в школе. - 1949. - №5. - С. 1-9.

131 См. сообщение о постановлении ЦК ВКП (б) «О преподавании логики и психологии в средней школе», газ. «Культура и жизнь», № 16 от 30 ноября 1946 г.

суждений, истинность которых не вызывает сомнения. Под доказательством суждения подразумевается вывод его из суждений, установленных ранее.

Отсюда видно, что для получения доказуемых суждений в любой системе знаний необходимо обладать суждениями, не прошедшими через горнило доказательства, но тем не менее признанными истинными. Такие первоначальные общие положения образуют необходимые основания, принципы или начала всех доказательств данной научной области. Последовательное присоединение к числу заведомо истинных положений уже доказанных теорем должно обеспечить возможность только из этих истин выводить новые и избегать повторений.

В доказательстве различают три основные части: 1) тезис, 2) аргументы и 3) демонстрацию.

Тезисом называют доказываемое положение. Он отвечает на вопрос что? (что доказывается?).

Аргументами, или основаниями доказательствами, называются те положения, из которых должен быть выведен тезис. Они отвечают на вопрос чем? (чем, с помощью чего доказывается?).

Наконец, демонстрацией, или рассуждением, называется та последовательность умозаключений, которая приводит к выводу. Демонстрация отвечает на вопрос как? (как, каким образом доказать?).

Математики часто говорят, что важно не только что доказать, но и как доказать. В зависимости от порядка изложения логической дисциплины или от степени ее разработанности выбор аргументов для доказательства данного положения может быть разнообразен. Отсюда возникает возможность нескольких вариаций, в числе которых выявляются и так называемые изящные доказательства.

Тезис

Логическое доказательство подчиняется определенным правилам. Если хотя бы одно из этих правил нарушено, то достоверность доказательства подлежит сомнению.

Рассмотрение этого вопроса начнем с анализа тех требований, которые должны быть предъявлены к доказываемому положению.

1° Тезис доказательства не должен принадлежать к числу тех суждений, которые приняты в качестве основных принципов или начал данной отрасли знания.

Всякая попытка доказать один из основных принципов данной отрасли знания требует использования какого-нибудь положения из числа эквивалентных доказываемому. Много поучительного с этой точки зрения дает длительная история V постулата Евклида. Многочисленные попытки его доказательства выявили большое число суждений, которыми может быть заменен этот классический постулат евклидовой геометрии. В их число входят: сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым,

существуют подобные треугольники и многие другие. С аналогичным явлением встретились математики несколько десятилетий тому назад в связи с попытками доказать принцип индукции. Эти попытки сопровождались спором о том, является ли принцип математической индукции аксиомой или теоремой. В споре принимали участие такие крупные математики, как Анри Пуанкаре (1854-1912). В то время еще не было ясно, что ответ на поставленный вопрос исключительно зависит от того, какая принята в арифметике система аксиом.

2° Тезис должен быть сформулирован ясно и определенно.

Определенность формулировки достигается полнотой перечисления тех предложений, при которых суждение имеет место. Пренебрегать требованием полноты условий весьма опасно, так как забвение хотя бы одного из условий может привести к грубым ошибкам.

Вот несколько примеров довольно распространенных небрежностей в формулировке теорем:

1. Большей дуге соответствует большая хорда.

Здесь не указано, что речь должна идти о дугах одной и той же или равных окружностей и что большая дуга меньше полуокружности.

2. Равным центральным углам соответствуют равные дуги. Следует добавить, что рассматриваются центральные углы в одной и той же окружности или в окружностях равных радиусов.

3. В треугольниках против равных лежат равные стороны.

В такой формулировке теорема ложна: не в треугольниках, а в равных треугольниках или в треугольнике.

Однако не исключена возможность, что хотя мы со всей тщательностью подойдем к формулировке тезиса, в него все-таки вкрадутся элементы двусмысленности, позволяющие текст теоремы понимать не только в одном (первоначально подразумеваемом) смысле. Такая опасность становится особо реальной при последующем применении ранее доказанной теоремы. Эту опасность предотвращает выражение теорем математическими формулами, но обычный язык последних не обладает необходимой универсальностью. Стремление усилить степень общности этого языка, настойчиво предпринимаемое с середины XIX века, привело к созданию особой идеографии, т.е. специального письма, в котором знаками выражаются понятия и соотношения между ними. Если же не пользоваться логическим письмом, то эта же цель достигается сохранением в памяти четкого представления о всех тех звеньях доказательства, которые приводят к применяемому суждению.

3°. Тезис должен оставаться неизменным на протяжении всего доказательства.

Здесь речь идет о том, чтобы в процессе доказательства не происходило замены тезиса другим положением, в большей или меньшей степени напоминающим тезис, но все же ему неравносильным.

Так, например, Яков Штейнер (1796-1863) уделил много внимания доказательству теоремы, утверждающей, что из всех замкнутых плоских линий, имеющих данную длину, наибольшую площадь содержит окружность. Опубликовано несколько вариантов его решения этой интересной изопериметрической задачи, но в каждом из них допускалась одна и та же ошибка, заключавшаяся в подмене тезиса. Штейнер фактически доказывал следующее: какую бы замкнутую плоскую линию, имеющую данную длину и отличную от окружности, ни взять, всегда можно указать другую линию той же длины, но содержащую большую площадь. Эта теорема не равносильна первоначальной. Из нее, правда, следует, что если существует линия, удовлетворяющая условиям задачи и имеющая максимум площади, то это будет окружность. Но, очевидно, оставался открытым вопрос, существует ли вообще линия, обладающая таким свойством.

Аргументы

Много разных ошибок в доказательствах возникает от нарушения правил, относящихся к аргументам (основаниям) доказательства.

1°. Аргументы доказательства должны быть суждениями истинными. Рассмотрим типические случаи нарушения этого правила.

а) «Предрешение основания», т.е. использование в качестве аргумента доказательства такого положения, которое само нуждается в доказательстве.

Педагогическая практика постоянно требует от школьного учителя настойчиво указывать учащимся VI-VII классов, что ссылки на равенство отрезков, углов, дуг и других элементов равных фигур прежде, чем доказано, что они являются соответствующими частями этих фигур, лишает рассуждение права называться доказательством.

б) «Основное заблуждение», т.е. использование в качестве аргумента доказательства ложного суждения.

При просмотре доказательства, подтверждающего истинный или кажущийся истинным тезис, далеко не всегда легко заметить ошибку этого типа. Отыскать ошибку значительно легче, когда заранее известно, что она содержится в доказательстве.

Рассмотрим в качестве примера любопытное доказательство одного ложного суждения. Отыскание ошибки - полезная и увлекательная задача для учеников.

Тезис. Площадь равностороннего треугольника равна нулю.

В равностороннем треугольнике ABC проводим высоту AD (черт. 1).

Рассматриваемый треугольник равновелик прямоугольнику ADCE. На продолжении AD откладываем отрезок DF, равный AD. На отрезке AF, как на диаметре, описываем полуокружность, которая пересечется с продолжением CD в некоторой точке К. Тогда KD =ADDF. Квадрат KDJH, как и прямоугольник ADCE. равновелик треугольнику ABC.

Представляя АСЕА сдвинутым вдоль АС так, что С совпадает с N, Е с H и А с L, заметим, что квадрат KHJD состоит из куска CLJD и куска, равновеликого BMJD, следовательно, равновелик трапеции CBML. Отсюда следует, что площадь равностороннего A ALM равна нулю. Это и есть тезис.

Разъяснение. Утверждение, что при указанном параллельном перенесении точка Е совпадает с точкой Н, ошибочно. Для того чтобы в этом убедиться и иметь возможность оценить численную величину ошибки, найдем отрезки НО и LJ.

где буквой а обозначена сторона A ABC.

Откуда находим:

в) Основание доказывает «слишком много» - это значит используется в качестве основания доказательства такое суждение, с помощью которого можно доказать не только данный тезис, но и заведомо ложные утверждения.

В этом случае истинность основания опровергается методом приведения к абсурду в тех дальнейших рассуждениях, которые приводят к заведомо ложным суждениям.

Весьма распространенной и упорной ошибкой этого вида является «доказательство? перпендикулярности мнимой и действительной осей. Это рассуждение ведет свое начало от трактата Аргана (вышедшего в 1806 г.), посвященного геометрической интерпретации комплексных чисел.

Рассуждение обычно ведется так:

Отложим на прямой вправо и влево от точки О (черт. 2) отрезки OA и О В,

Черт.2

равные единице меры. OA изображает число (+1), а OB - число (-1). Восставим OCJDB; из точки О, как из центра, опишем полуокружность радиусом, равным АО; обозначим через с точку пересечения полуокружности С с перпендикуляром. Соединив точку С с точками В и А, получим прямоугольный треугольник АСВ, в котором ОС есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы OB и OA, т.е.

Основанием этого «доказательства» служит ложная мысль о возможности применения геометрических теорем к направленным отрезкам. С помощью этого основания можно доказать «слишком много». Так, например, рассматривая катеты прямоугольного треугольника ОАС как направленные отрезки, один из которых равен единице, а другой i, находим по теореме Пифагора, что гипотенуза АС равна нулю. Получением этого нелепого результата опровергнуто и основание доказательства Аргана.

2° Необходимо различать сказанное «с оговоркой» от сказанного «просто».

Под «сказанным с оговоркой» подразумевается утверждение, справедливое только при некоторых определенных условиях, а под «сказанным просто» - справедливое во всех случаях, без всяких ограничений. Когда мы забываем о тех ограничениях, при которых данная истина имеет место, то тем самым условную, истину выдаем за безусловную. В результате такого смешения часто получаются нелепые выводы.

Величина одного сантиметра, бесспорно, очень мала, когда ее сопоставляют с расстоянием от Москвы до Ленинграда. Если же мы подвергнем забвению условие, выраженное придаточным предложением, то утверждение становится ложным (сравнить сантиметр с толщиной человеческого волоса).

Другая разновидность этой ошибки заключается в распространении на каждый отдельный случай такого положения, которое справедливо только «в принципе», только «в общем случае». Так, например, говорят, что совокупность всех действительных чисел образует числовое поле, потому что «сумма, разность, произведение и частное любых двух действительных чисел есть всегда число действительное»133. Слова, взятые в кавычки, выражают положение, справедливое только с оговоркой, так как существует одно исключение: на нуль делить нельзя. Это, разумеется, не должно выпадать из поля зрения.

3° Аргументы должны быть такими суждениями, истинность которых доказана независимо от тезиса.

132 См. С. С. Бронштейн, Методика алгебры, М. 1937, стр.337.

133 П. Д. Белоновский, Основы теоретической арифметики, М. 1938, стр. 141.

Нарушение этого правила приводит к так называемому порочному или заколдованном у кругу в доказательстве. Сущность этого круга состоит в том, что тезис А доказывается при помощи аргумента В, тогда как само суждение В было ранее выведено из суждения А.

Ошибки этого типа, допускаемые учащимися, иногда очень многое говорят учителю. Когда, например, ученик предлагает доказывать теорему Пифагора путем возведения в квадрат и почленного сложения равенств: а=с sinA, b=c cosA, то он тем самым обнаруживает полное непонимание логической структуры школьного курса тригонометрии.

Демонстрация

Любое доказательство состоит из одного, двух или большего числа умозаключений. Каждое умозаключение, в свою очередь, представляет собою соединение минимум двух суждений, с одним из которых, называемым выводом, нам представляется необходимым согласиться, коль скоро мы признали истинность остальных суждений, именуемых посылками. Однако это принуждение иногда может носить только кажущийся характер. В последнем случае мы сталкиваемся с неправильным умозаключением, т.е. таким, в котором отсутствует логическая связь между посылками и выводом.

Высказанной мысли придадим формулу правила.

Тезис должен быть заключением, логически вытекающим из аргументов по общим правилам умозаключения.

Нарушение этого правила приводит к двум основным ошибкам в рассуждении.

а) Тезис не вытекает из аргументов, а произвольно присоединяется к ним.

Эту ошибку порой наблюдают экзаменаторы, когда экзаменующийся, не разобравшийся в сущности доказательств и только механически нагрузивший ими свою память, забывает, какое рассуждение относится к данному тезису, говорит явно не по поводу, а между тем в конце своей речи все-таки заявляет: «что и требовалось доказать».

б) Тезис выведен из аргументов путем ошибочного умозаключения.

Рассмотрим пример. Часть прямолинейного отрезка равна всему отрезку.

Пусть В - наибольший угол треугольника ABC (черт. 3). Отложим ZCBD, равный ZBAC.

Из подобия треугольников ABC и DBC следует, что их площади относятся как квадраты сходственных сторон:

(1)

В силу же теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих равные высоты, мы можем написать:

Черт. 3

(2)

Так как в равенствах (1) и (2) левые части одинаковы, то равны и правые:

(3)

Теорема о квадрате стороны треугольника, лежащей против острого угла, дает следующие равенства:

(4) (5)

Подставляем правые части выражений (4) и (5) в соотношение (3):

Разделив в каждой части равенства почленно числитель на знаменатель, имеем:

и приведя в каждой части к общему знаменателю:

делаем вывод, что АС= DC, так как получились равные дроби с одним и тем же числителем.

Разъяснение. Частное от деления нуля на любое число, отличное от нуля, есть нуль. Следовательно, мы допускаем ошибочное умозаключение, когда из равенства дробей b с где а=0, заключаем о равенстве знаменателей.

Рассмотрим другой пример. Гражданин у трамвайной остановки А спрашивает, на каком трамвае он сможет доехать до остановки В, находящейся на той же улице. Ему отвечают, что на любом. Возвращаясь, наш гражданин на остановке В, без всяких уже сомнений, садится в первый попавшийся трамвай. Отсчитав соответствующее число остановок, он выходит из трамвая и обнаруживает, к своему немалому удивлению, что находится не на остановке А, а совсем в другом месте.

Нам несколько раз довелось наблюдать лиц, пострадавших от подобного легкомысленного рассуждения. Дело в том, что один из трамваев, проходивших через пункт В, не доходя до А, сворачивал на другую улицу.

Ошибки а) и б) называются ошибками произвольного вывода, или ошибками мнимой необходимости.

Индуктивные и дедуктивные доказательства

Индуктивным доказательством называется такое доказательство, тезис которого выражает общее, а аргументы - частные правила.

Если частные правила выражают какое-либо утверждение или отрицание для ограниченного числа экземпляров или видов и сумма этих экземпляров или видов исчерпывает соответственно класс или род, то обобщающая формулировка достигается методом полной индукции.

Пример. Доказать, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Разделим все прямоугольные параллелепипеды на виды, взяв за основание деления характер чисел, измеряющих ребра рассматриваемого тела: 1) случай целых чисел; 2) случай дробных чисел (по крайней мере одна из дробей не равна целому числу); 3) случай иррациональных чисел (по крайней мере одно из измерений выражается иррациональным числом).

Соответствующие доказательства сформулированного утверждения, проведенные особо для случаев 1, 2, 3134, дают возможность включить в число истинных суждений три частных правила, из которых, как из аргументов, на основании метода полной индукции, заключаем о справедливости теоремы вообще.

Метод полной индукции не имеет в математике широкого применения. С давних времен математики стремятся избежать необходимости рассматривать особые доказательства для каждого вида, естественно предпочитая им те, которые относятся ко всему роду. Так, например, Евклид, изложив в V книге своих «Начал» теорию пропорции Евдокса (407-354 гг. до н. э.), не требующую разграничения случаев соизмеримости и несоизмеримости, достигает обобщенной трактовки доказательств соответствующих геометрических истин.

Метод полной индукции становится неприменимым, когда рассматривается класс, состоящий из бесконечного или, по крайней мере, столь большого числа экземпляров, которое исключает возможность прямого перечисления всех членов класса. В этом случае индукция может быть только неполной, когда частные правила, выражающие какое-либо утверждение или отрицание относительно части экземпляров некоторого

134 См., например, Киселев А.П. Курс элементарной геометрии.

класса, обобщаются на весь класс. Однако для объектов математического исследования метод неполной индукции не может быть признан методом доказательства. Для того чтобы истина, добытая методом неполной индукции, получила права гражданства в математике, она должна получить дедуктивное доказательство.

Отрицание за методом неполной индукции доказательной силы основано на веских соображениях. Нетрудно привести примеры предложений, справедливых для более или менее значительного отрезка натурального ряда чисел, но не являющихся верными вообще.

Пример 1. О функции можно утверждать, что ее значения суть простые числа для первых тридцати девяти членов натурального ряда. Однако это утверждение не будет верным для любого натурального числа, так как, например, при п=40 значением функции будет составное число.

Пример 2. П. Ферма (1601-1665) утверждал, что при любом п есть простое число. Л. Эйлер (1707-1783) в своем первом мемуаре по теории чисел (1732) показал, что ^(5) делится на 641.

Впоследствии было обнаружено, что составные числа получаются и при других значениях п. Русский математик И. М. Первушин (1827-1900) доказал, что в число этих значений входят п=\2 и /7=23.

В связи с этим примером заметим, что сам Ферма признавал, что не имеет здесь вполне законченного доказательства, хотя и неоднократно выражал убеждение в справедливости своего интуитивного заключения.

Дедуктивным доказательством называется такое доказательство, тезис которого выражает частный случай, а аргументы - общее правило. Здесь суждение, относящееся к частному случаю, выводится из имеющегося в нашем распоряжении общего правила.

Основная роль дедукции заключается в доказательном изложении и тем самым в подтверждении результатов индуктивного исследования. Сравнительно в редких случаях ученый получает новые истины путем непосредственного выведения их из ранее полученных общих положений и аксиом.

К дедуктивным доказательствам следует отнести и доказательства методом математической индукции. Этот весьма общий способ доказательства математических суждений основан на принципе математической индукции, который принадлежит к числу основных положений математики.

Принцип математической индукции формулируется так:

1° Предложение верно для п=1.

2° Из справедливости предложения для натурального числа п (каким бы ни было ri) следует его справедливость и для п+1.

Если условия (1°) и (2°) выполнены, то предложение справедливо для любого натурального числа.

Пример. Доказать, что сумма кубов п первых чисел натурального ряда равна квадрату суммы п первых чисел натурального ряда:

Это верно для п=1, так как 1 =1 .

Если при некотором натуральном п имеем:

то докажем, что

Для доказательства формулы достаточно проверить справедливость равенства

Вычислением убеждаемся, что перед нами тождество. Итак, из справедливости предложения для натурального п (каково бы это число ни было) вытекает его правильность и для п+1. Но мы убедились, что оно имеет место для п=и значит, оно будет верным также и для 1+1, т.е. 2, и для 2+1, т.е. 3, и для 3+1, т.е. 4, и т.д.

Мы сформулировали принцип математической индукции и приняли его за аксиому. В приведенном доказательстве он нашел применение. Это доказательство, как и всякое доказательство, основанное на использовании рассматриваемой аксиомы, является уже дедуктивным. В самом деле, здесь при доказательстве не происходит наведения, перехода от частного к общему, так как одним из аргументов доказательства является сам принцип математической индукции.

Прямые и косвенные доказательства Доказательство называют прямым, если тезис непосредственно выводится из аргументов. Здесь для доказательства тезиса мы приводим такие основания, прямым следствием которых является доказываемое положение.

Доказательство называется непрямым, косвенным или апагогическим, если истинность тезиса вытекает из обнаружения абсурдности положения, противоречащего тезису, т.е. антитезиса. Противоречащие суждения имеют один и тот же материал, но отличаются друг от друга и по количеству (одно суждение общее, другое частное), и по качеству (одно суждение утвердительное, другое отрицательное).

Доказать данный тезис косвенным путем - это значит опровергнуть его антитезис. Опровержение достигается путем допущения истинности антитезиса и получения из него выводов, находящихся в противоречии с установленными ранее истинами. Здесь истинность доказуемого суждения

утверждается применением одного из основных законов формальной логики - закона исключенного третьего: «А есть В или не В».

Доказательства способом приведения к нелепости часто применяются в математике, особенно в тех случаях, когда непосредственное доказательство теоремы сопряжено с большими затруднениями или даже просто невозможно.

Пример. Доказать, что множество простых есть бесконечное множество.

Формулируем антитезу: множество простых чисел не есть бесконечное множество, т.е. является конечным множеством.

Легко видеть, что тезис и антитезис - суждения с одним и тем же подлежащим и сказуемым, но с разным качеством: первое утвердительное, а второе отрицательное. Но из этих суждений совсем неочевидно, что они различны по количеству, а именно, что второе суждение носит частный характер. Чтобы последнее сделать наглядным, сформируем суждения, равносильные рассматриваемым, но в развернутом виде.

Тезис. Во всяком достаточно большом отрезке натурального ряда чисел, с какого бы числа он ни начинался, имеется хотя бы одно простое число.

Антитезис. В тех отрезках натурального ряда чисел, которые начинаются с достаточно больших чисел, как бы велики (отрезки) ни были, нет ни одного простого числа.

Теперь непосредственно очевидно, что тезис трактует о всех достаточно больших отрезках натурального ряда чисел, а антитезис только о тех, которые достаточно удалены от начала.

Утверждение антитезиса равносильно признанию существования самого большого простого числа. Пусть этим числом будет число р.

Для доказательства возьмем число Q, равное произведению всех простых чисел от 2 до р включительно, увеличенному на единицу, т.е. положим Q=2-3-5-7...-/? + l. сузк как Q>p, то оно не может быть простым числом, т.е. оно должно делиться, по крайней мере, на одно из чисел: 2, 3, 5, 7,... р. Но ни на одно из этих чисел Q делиться не может, так как представляет сумму двух слагаемых, из которых первое делится на каждое из этих чисел, а второе нет.

Итак, Q не есть ни простое, ни составное число. Получившийся абсурдный вывод, опровергая антитезу, утверждает истинность тезиса: множество простых чисел бесконечно135.

135 Этот важный результат из области теории чисел, доказанный воспроизведенным здесь методом приведения к абсурду, составляет 20-ю теорему IX книги евклидовых «Начал».

Опровержение ложных доказательств Оправдать тезис - это значит установить его истинность; опровергнуть тезис - показать его ложность.

Проверка тезиса состоит в его оправдании или опровержении. Рассмотрим способы опровержения ложных доказательств. I. Проверку доказательства естественно начать с решения вопроса об истинности аргументов. Установление ложности хотя бы одного из аргументов разрушает все доказательство.

Примером может служить приведенный выше анализ «доказательства» равенства нулю площади равностороннего треугольника.

II. Если прямой путь установления ложности аргументов встречает затруднения, то идут косвенным путем. С этой целью допускают истинность всех аргументов. Затем оперируют с ними и с другими необходимыми истинными посылками так, чтобы, соблюдая безукоризненную логическую схему, прийти к абсурду. Этим самым методом приведения к нелепости устанавливается ложность, по крайней мере, одного из аргументов.

Проиллюстрируем сказанное примером.

Будем исходить из сомнительного положения, что в равнобедренной трапеции диагонали в точке пересечения делятся пополам (черт. 4), т.е.

АО = ОС, DO = OB (1)

Зная, что в равнобедренной трапеции боковые стороны равны AB = CD, (2) заключаем из (1) и (2), что ЛАВО = ADOC. (3)

Это, как легко видеть, истина. Продолжая же логически правильно рассуждать дальше, мы без труда придем и ко лжи: ZABO =Z CDO, (4)

в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Из равенства углов следует, что AB || CD; если две прямые пересечены третьей и внутренние накрестлежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

Абсурдный вывод: в равнобедренной трапеции боковые стороны параллельны - указывает на наличие ложного аргумента в приведенном рассуждении.

Кстати, заметим, что приведенный выше анализ «доказательства» Аргана представляет еще один пример, относящийся к рассматриваемому способу опровержения.

Черт. 4

III. Если проверка аргументов не выявила среди них ложных, то переходим к рассмотрению рассуждения. Здесь нас интересует вопрос, вытекает ли данный тезис из аргументов как их логическое следствие по общим правилам умозаключения. Не исключена возможность, что в ходе логических рассуждений допущена та или иная ошибка, что из этих аргументов вытекает совсем другой тезис или вообще нельзя сделать никакого вывода. Хорошей иллюстрацией к сказанному является ранее рассмотренное рассуждение о соотношении длин прямолинейного отрезка и его правильной части.

Каждый из этих трех способов указывает на один из возможных путей для опровержения доказательства. Но опровержение доказательства не означает еще опровержения тезиса. Если тезис истинен, то опровержение доказательства свидетельствует лишь о том, что в его защиту приведены неудачные аргументы или допущена оплошность в рассуждении. Однако истинность тезиса до тех пор остается под вопросом, пока не будут представлены должные аргументы и логически безупречная схема доказательства.

Способы I и III требуют конкретного указания той ошибки, которая допущена в доказательстве. Способ II, решая вопрос о наличии ошибки в аргументах, не указывает, однако, какой именно аргумент ложен, если в рассматриваемом доказательстве несколько сомнительных оснований.

Для опровержения тезиса, а тем самым и мнимого доказательства его истинности, если такое предлагалось, существуют два приема.

IV. Доказательство истинности положения, противоположного тезису, опровергает его, так как два противоположных суждения не могут быть одновременно справедливыми.

Здесь уместно будет напомнить, что суждения называются противоположными, если они являются противоречащими или противными друг другу. Последнее характеризует два общих суждения, из которых одно утвердительное, а другое отрицательное. Так, например, суждения: «корень квадратный из двух равен любому рациональному числу» и «корень квадратный из двух не равен никакому рациональному числу» - находятся в отношении противности. Справедливость последнего утверждения указывает на ложность первого.

V. Выведение из тезиса утверждения, противоречащего заведомо истинному, опровергает тезис.

Если тезис, например, гласит, что множество простых чисел конечно, то с помощью рассуждения Евклида мы приходим к утверждению, противоречащему известной истине, а именно, к тому, что существует натуральное число, отличное от единицы, не являющееся ни простым, ни составным.

Последние два примера опровержения отличаются от первых трех тем, что они в принципе не требуют ни критического рассмотрения

представленных нам доказательств, ни пользования их аргументацией, а противопоставляют им такие рассуждения, принятие которых принуждает к отказу от выдвинутого тезиса, а вместе с тем и его доказательства. Однако здесь остается открытым часто весьма интересный и поучительный вопрос, какая ошибка допущена в доказательстве.

Из сопоставления сказанного относительно возможных способов опровержения ложных доказательств видно, как следует сочетать различные способы опровержения для решения вопроса об истинности тезиса и установления конкретной ошибки доказательства.

Василий Иванович Обреимов136

В. Л. Минковский (Орел)

15 февраля 1950 г. исполнилось сорок лет со дня смерти В. И. Обреимова - одного из выдающихся созидателей прогрессивных основ нашей отечественной методики математики.

В. И. Обреимов родился в 1843 г. в семье небогатого купца в городе Чебоксары. Образование он получил в Ярославской гимназии, а затем на математическом факультете Казанского университета, который закончил со степенью кандидата.

В 1870 г. в Екатеринбургской мужской гимназии молодой кандидат приступил к преподаванию математики и физики, В этой деятельности он проявляет себя ярко выраженным сторонником педагогических идей Д.И.Писарева (1840-1868), непримиримым противником системы подавления и унижения личности учащегося, насаждения муштры и бессмысленной зубрежки. В. И. Обреимов успешно воспитывает у своих учеников материалистическое мировоззрение и гражданские чувства, развивает умение не только беспрекословно подчиняться, но и мыслить самостоятельно, парализует господство крайнего индивидуализма и прививает навыки коллективного поведения, пробуждает чувства любознательности и живого интереса к науке.

Василий Иванович был убежденным сторонником естественнонаучного образования. Реакционная реформа 1871 г. Д.А.Толстого была направлена на максимальное сокращение возможностей реального

136 Минковский В.Л. Василий Иванович Обреимов. // Математика в школе. - 1951. - №5. -С. 68-71.

образования в гимназиях. По новому учебному плану свыше 41% всего учебного времени отводилось на изучение мертвых языков, а на математику с физикой, математической географией и кратким естествоведением - менее 18%. Принципиальный и строгий в вопросах общественной морали, В. И. Обреимов не считал возможным для себя молчаливо участвовать в этом своеобразном педагогическом изуверстве. Во-первых, Василий Иванович составляет свою контрпрограмму преобразования гимназии.

Во-вторых, в своей непосредственной педагогической деятельности он осуществляет изучение с учащимися материала естественно-научных дисциплин в таком объеме, который вполне достаточен для поступления в специальные высшие учебные заведения. Этого удается достигнуть на основе пробуждения и воспитания у учащихся прочного интереса к предмету, настойчивого желания его основательно изучить и исключительной большой и самоотверженней дополнительной работы учителя с учениками, протекавшей при упорном противодействии известной части педагогического коллектива.

В-третьих, Василий Иванович пропагандирует, и далеко не безуспешно, среди родителей учащихся мысль о том, что с большой пользой для ума и здоровья их детей можно было бы организовать приватную подготовку подрастающего поколения для жизни и дальнейшей учебы, не стесненную реакционной реформой правительства.

Политические противники Обреимова с ненавистью говорили о нем, что он «всегда был большим равнителем прав народных» и «всегда от души желал ниспровержения общественного порядка». Он разделял и высказывал мысль о том, что «владельцы заводов давят рабочих и живут на их счет, - сами же рабочие бедствуют с полными правами на дела рук своих»137. Он доказывал, что заводы и земля должны быть общественным достоянием.

Свою просветительную и воспитательную работу В. И. Обреимов не хотел ограничивать рамками гимназий (мужской, а затем и женской). Он долго и упорно добивался открытия в Екатеринбурге воскресной школы для простого народа, учреждения общества потребителей и был одним из основателей Уральского общества любителей естествознания (УОЛЕ).

Прогрессивные установки в вопросах воспитания юношества быстро начали приносить свои положительные плоды. Они не могли не привлечь к себе озлобленного внимания царских сатрапов от педагогики.

По предписанию министерства внутренних дел Василий Иванович в конце июня 1872 г. был выслан под строгий и бессрочный полицейский надзор в Вятскую губернию. Намерения Обреимова заняться в г. Вятке частными уроками решительно пресекались. По этому поводу вятский

137 Исторический архив г. Свердловска, фонд 91, опись 1, единица хранения 378, лист 7.

губернатор поучает полицмейстера: «Даю Вам знать, что ему не только не могут быть дозволены занятия с учениками, а даже признается вредным всякое сношение его с учащимися»138. Особое же беспокойство губернатора вызывает возникновение тесной дружбы В. И. Обреимова с известным прогрессивным русским издателем Ф. Ф. Павленковым (1839-1900), сосланным в Вятку еще в 1868 г. за издание полного собрания сочинений Д. И. Писарева.

Не прошло и трех месяцев, как Обреимова перевели в г. Глазов. Но и это не дает успокоения полицейской администрации, так как «приверженцы Обреимова и до настоящего времени желают руководиться его советами, в особенности в педагогическом отношении» (л. 23). Дело доходит до царя, который «высочайше повелел» принять все меры к прекращению влияния ссыльного учителя на своих бывших воспитанников, осуществляемого путем переписки (л. 80).

В 1877 г. в Петербурге, благодаря неукротимой энергии Павленкова, публикуется сборник «Вятская незабудка». «По мнению министра (внутренних дел Тимашева - В. М), все корреспонденции сборника исходят от политических ссыльных, которые недовольны вообще нашим государственным строем и пытаются произвести перемену революционным путем. Цель статей очевидна - посредством печати поселить в среде жителей Вятской губернии полнейшее недоверие к правительству, избирающему своими агентами таких возмутительных администраторов, судей, наставников юношества, охранителей государственных имуществ»139.

Деятельное участие в издательских предприятиях Павленкова принимал Обреимов140. В сборнике «Вятская незабудка» ему принадлежат (как можно судить по тематике, упоминаемым фамилиям и стилю) ряд статей, в которых автор изобличает безобразное отношение членов Управы к сельским учителям, выявляет попытки и приводит факты незаконных увольнений оскорблений и поборов с учителей, рассказывает об исключительно тяжелых условиях их жизни. Убийственная характеристика дается чиновному и купеческому слободскому обществу. Очень ярко и образно рассказывается об издевательствах над народом в царском суде, о глупых и чванливых судьях. Наконец, исключительно проникновенно описано бесправное положение политических ссыльных.

В 1878 г. Обреимов перемещается в Нолинск, где по его инициативе и под непосредственным руководством открывается кузница для изучения, сближения и ведения пропагандистской работы среди крестьян окрестных

138 Исторический архив г. Кирова, фонд 582, опись 58, единица хранения 30а, лист 9.

139 Цитирую по книге П. Луппова «Политическая ссылка в Вятский край», М. 1933, стр. 65-66.

140 «Физико-математический сборник», издаваемый Управлением Кавказского учебного округа, №3, Тифлис 1910, стр. 124.

сел и деревень. Однако кузница просуществовала только один месяц, так как кузнецы-дилетанты плохо владели кузнечным делом и не привлекали заказчиков141.

В начале июля 1878 года «весьма важному политическому ссыльному»142 В. И. Обреимову, перемещенному в село Даровское Котельнического уезда, удается бежать в Швейцарию.

Широкую известность среди педагогической общественности приобретает Василий Иванович после публикации своей оригинальной книги «Математические софизмы» (1884 г.), полнота и ценность качественного своеобразия которой сделали ее первым по времени образцом для всех последующих работ в этом направлении.

Математические софизмы не случайно явились предметом особого внимания Василия Ивановича. Предоставляя материал для удивления и размышления, ложные доказательства заставляли учащихся анализировать сущность тех действий, которые в системе гимназического образования преподносились, как правило, для чисто формального усвоения. Эти же доказательства давали пищу для вопросов учителю, для товарищеских элементарно научных собеседований и способствовали пробуждению интереса к генезису математических понятий.

В. И. Обреимова занимал вопрос о принципах педагогически оправданной классификации математических софизмов как определенной системы упражнений на опровержение ложных доказательств. Свой сборник он рассматривал «как опыт группировки подобного рода упражнений», (стр. 2).

В 1889 и в 1898 гг. вышли новые издания книги Василия Ивановича, причем в каждое новое издание включались интересные дополнения.

Книга Обреимова приобрела и долго сохраняла широкую известность. В год выхода ее третьего издания В. А. Волжин утверждал, что она известна чуть ли не каждому ученику гимназии143.

В. И. Ленин в одной из своих работ, относящихся к 1903-1904 гг., в связи с характеристикой ошибок в области логического мышления своих политических противников, напоминая о тех рассуждениях, «которые математики называют математическими софизмами и в которых, - строго логичным, на первый взгляд, путем, - доказывается, что дважды два пять, что часть больше целого и т. д.», указывает, что «существуют сборники таких математических софизмов, и учащимся детям они приносят свою пользу»144.

141 Исторический архив г. Кирова, фонд 582, опись 58, единица хранения 510, лист 36-37.

142 Характеристика вятского губернатора (фонд 582, опись 58, единица хранения 510, лист 52).

143 В. А. Волжин, Физические парадоксы и софизмы, СПБ 1898, стр. 5.

144 В. И. Ленин, Сочинения, т. 7, изд. 4-е, М. 1946, стр. 78.

В 1884 г. В. И. Обреимов выпускает и свою вторую интересно и богато иллюстрированную книгу «Тройная головоломка».

Первый раздел книги посвящается так называемой китайской головоломке. Игра состоит в конструировании на плоскости из семи составных элементов всевозможных симметрических фигур. Этими элементами являются семь кусков, на которые разрезан квадрат: пять треугольников, параллелограмм и квадрат.

Второй раздел книги посвящен так называемой паркетной головоломке. Здесь требуется проявить инициативу в составлении возможно большого числа симметричных фигур из одноцветных и двухцветных квадратов.

В третьем и последнем разделе книги автор рассказывает о проволочных головоломках, т.е. о высвобождении колец из замкнутых проволочных цепей.

Педагогическая установка рассматриваемой книги ясна. Она направлена на развитие у учащихся элементарных конструктивных способностей на воспитание чувства симметрии и красоты геометрической формы.

Интенсивный экономический рост России второй половины 90-х годов потребовал внесения коррективов в образовательную систему. В передовых учебных заведениях того времени, как в Петербургском Тенишевском и восьмиклассном Лесном коммерческом училищах, естественно-научные знания начинают занимать прочное место. Сюда потянуло В. И. Обреимова. В 1905 году ему предоставляется возможность обосноваться в пригороде Петербурга - Лесном. На работе в Лесном коммерческом училище он с новой силой проявляет себя талантливым преподавателем, оригинально и много работающим над своим предметом.

Здесь В. И. Обреимов с большим задором и увлечением разрабатывает и претворяет в жизнь свой «метод и план преподавания математики». Его идеи в основном созвучны принципам реформы в области математического образования, но они не являются плодом простого подражания.

В 1906 г. публикуется оригинальная книга Обреимова «Элементы арифметики». В ней автор включает в предмет арифметики учение о неотрицательных действительных числах и действиях над ними. Свое изложение он подразделяет на два концентра: в первый вошли действия над отвлеченными, а во второй над именованными числами.

Изучение арифметических действий начинается с последовательного рассмотрения трех прямых операций. Умножение на целое положительное число выступает как рационализация вычислительной практики сложения равных слагаемых, а возвышение в целую положительную степень - как сокращенная запись произведения равных сомножителей.

В своем учебнике В. И. Обреимов вводит специальный термин для характеристики преобразования дроби в более мелкие доли единицы. По этому поводу он пишет: «Раздробление дроби состоит в том, что ее выражают в более мелких долях единицы сравнительно с теми, в которых она дана» (стр. 160).

Потребность в особом термине для рассматриваемого преобразования дроби осознается многими лицами. Однако предложение отечественного автора, сделанное еще в 1906 г., осталось совершенно незамеченным. Между тем подобные же нововведения за пределами нашей страны не только замечались некоторыми из методистов, но и способны были привести их даже в умиление. Так, например, автор одной книги писал по этому вопросу в 1941 г.: «...надо заботиться о ясности и расчлененности нашей школьной терминологии. В языках некоторых народов в этом отношении достигнуты отдельные большие успехи, например, немецкий школьный математический язык располагает совершенно особыми выражениями для операции «сократить дробь» (den Bruch verkürzen) и для обратной операции (den Bruch erweitem)145.

В книге подробно изложено извлечение корней 2, 3, 4 и 5-й степеней по способу Герона. Заметим, что этот способ в наши дни рекомендует автор «Справочника по элементарной математике»146.

Серьезное внимание уделяется В. И. Обреимовым воспитанию на материале арифметики функционального мышления учащихся.

Василий Иванович утверждает, что преимущества того или иного учебного курса по теории элементарной арифметики, как способного отразить в своем тексте «одну лишь идею предмета», должны быть подтверждены путем «соответствующего практического приложения». Такое приложение Обреимов подготовил и сдал в печать под названием «Способы решения арифметических задач». Однако нам не удалось установить судьбу этой книги.

Обобщая свой опыт преподавания математики, Василий Иванович опубликовал в 1908 г. две «дополнительные статьи по курсу математики в V классе»147.

Одна из этих статей посвящается методике изложения пропедевтического курса тригонометрии, а другая - геометрическому истолкованию решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

В 1909 г. В. И. Обреимов излагает свой вариант программы подготовительного курса алгебры, в объяснительной записке, в которой обращает особое внимание на уяснение сходства и отличия алгебры от арифметики, на сознательное усвоение правил алгебраических

145 В. В. Журавлев, Спрашивание учащихся в средней школе, Л. 1941, стр. 61-62.

146 М. Я. Выгодский, Справочник по элементарной математике, изд. 3-е, М. 1949, с.64.

147 «Ежегодник Коммерческого училища в Лесном», СПБ 1908.

преобразований, на решение уравнений первой степени с одним неизвестным на основе определений и свойств арифметических действий, а также на составление уравнений148.

В работе «Метод и план преподавания математики в IV классе» Обреимов излагает свои интересные и глубоко содержательные взгляды на начальное преподавание геометрии в школе149. Он считает, что в обучении геометрии следует вести учащихся по трем главным ступеням:

1) наблюдение и изложение замеченного свойства элементарной фигуры;

2) проверка этого свойства на более сложных геометрических образах;

3) обобщение, выражающееся в форме общих теорем. При этом работа по овладению теорией предмета сопровождается системой самостоятельных упражнений учащихся в доказательстве теорем, сходных с изученными; в применении научных истин к числовым вычислениям; в решении и исследовании «определенности» задач на построение фигур.

Большую работу проделал В. И. Обреимов и как переводчик математической литературы. В частности, он перевел на русский язык широко известные «Математические развлечения» Э. Люкаса (СПБ, 1883).

Имя Василия Ивановича Обреимова навсегда сохранится в истории русской методики математики, как пионера в постановке и разработке проблем внеклассной работы по математике.

К вопросу о создании руководства по истории методики математики в России150

В. Л. Минковский (Орел)

1. Актуальность проблемы

В широких кругах советского народа непрерывно возрастает и углубляется интерес к истории развития научных знаний в нашей стране. Это явление естественно и закономерно, так как вклад, внесенный в науку народами, населяющими Советский Союз, исключительно велик и многообразен, а имевшие место в прошлом бесславные традиции раболепия перед иностранщиной не способствовали торжеству исторической правды.

Советские историки математики и ее преподавания с большим энтузиазмом и патриотическим подъемом взялись в последние годы за изыскания и исследования в области истории русской методики. Уже первыми результатами этих исследований убедительно вскрывается

148 Там же, СПБ 1909, стр. 93-95.

149 Там же, стр. 95-98.

150 Минковский В.Л. К вопросу о создании руководства по истории методики математики в России.// Математика в школе. - 1951. - №6. - С.77-79.

процесс становления передовой материалистической отечественной методики математики в острой борьбе с чуждыми иностранными влияниями и идеалистическими реакционными течениями.

Нельзя признать нормальным, что результаты этих исследований еще не стали прочным достоянием даже историков педагогической науки. Так, например, в серьезной в целом книге Н. И. Ганелина «Очерки по истории средней школы в России» (1950 г.) содержится просто комическое утверждение, что учебные книги А.Ф. Малинина и А.Ю. Давидова сыграли отрицательную роль в истории русской школы (стр. 253-254), что, как известно, диаметрально противоположно истине.

Настало время поставить вопрос о необходимости вооружения учителей и студентов-математиков определенным кругом сведений по истории созидания отечественной методики математики. Советские учителя должны хорошо знать, как развились и оформились именно в нашей стране наиболее передовые течения педагогической мысли. Кроме того, изучение истории преподавания своего предмета, с одной стороны, предостерегает от заимствования уже отвергнутого, от методического прожектерства, а с другой - побуждает к критическому осмысливанию настоящего, к научно обоснованному новаторству.

Сказанным в достаточной степени выявляется актуальность проблемы создания руководства по истории методики математики в нашей стране. Очевидно, сознавая важность решения этой проблемы, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР в 1951 г. выпустил в свет книгу проф. А. В. Ланкова «К истории развития передовых идей в русской методике математики».

Автор в предисловии к книге заявляет, что «наша работа - не история методики математики в России, а только ряд очерков по развитию методики математики, ставящих перед собой определенную цель» (стр. 4). Все это, конечно, так, но тем не менее книга А. В. Ланкова является подступом к созданию руководства по истории методики математики в России.

Настоящая статья посвящается критическому обзору работы А. В. Ланкова. Мы отметим сперва достоинства книги в целом, а затем перейдем к анализу ее основных недостатков. Заголовками 3, 4, 5 и 6 разделов статьи будут служить формулировки тех требований, которые оказались нарушенными в тех или иных местах книги.

2. Прогрессивные идеи русской методики математики

Рецензируемая книга посвящена характеристике дореволюционного периода в развитии русской методики математики. На небольшом количестве страниц (150) автор характеризует развитие прогрессивных методико-математических идей XVIII, XIX и начала XX века.

Размеры работы обязывали автора к тщательному отбору материала, к выявлению и использованию главного, определяющего. Однако с этой

трудной задачей автору не во всех случаях удалось справиться, как будет видно из дальнейшего текста статьи.

Основное достоинство книги А. В. Ланкова состоит в том, что в ней, как правило, история методики математики не сводится к объективистскому, аполитичному изучению сменяющегося содержания форм и методов преподавания математики в школе, а прослеживается развитие передовой частной методики в условиях непримиримой борьбы с иностранными реакционными влияниями. Особенно удачно написаны в этом плане страницы, посвященные возникновению и развитию непревзойденной русской школы методики преподавания начальной арифметики.

Надо отдать должное автору и за четкую, вполне убедительную постановку вопроса о русском приоритете в выяснении значения и разработке конкретных путей и средств внедрения идеи функциональной зависимости в школьный курс математики.

Следует еще отметить, что исключительно тепло и проникновенно написан очерк о замечательном русском методисте В. А. Латышеве, с именем которого автора книги связывают личные воспоминания о начале своей научно-педагогической деятельности.

Однако нельзя не поставить в серьезную вину автору, что он в книге, посвященной передовым идеям в русской методике математики, не выделил ни одной страницы, чтобы рассказать, как в 1915 году горячий патриот своей родины и крупнейший ученый математик А. А. Марков, возглавив борьбу с реакционными идеалистическими поползновениями, направленными против прогрессивных материалистических принципов отечественной методики, спас русскую школу от торжества мракобесия в преподавании математики.

Разумеется, автор в своей книге далеко не исчерпывает богатства передовых идей русской методики математики описываемого периода, в особенности относящихся к истории математического учебника, к развитию логического мышления и к организации внеклассной работы учащихся.

3. Непримиримое отношение к взглядам, враждебным марксистско-ленинской науке

Много усилий потратил А. В. Ланков, чтобы убедить своего читателя, что Д. В. Ройтман принадлежал к числу «передовых людей того времени» (стр. 121, речь идет о 1907-1910 гг.)

Если бы автор не освободил бы себя от неблагодарной, но необходимой для историка науки работы по ознакомлению с подлинными «трудами» Ройтмана, то у него вряд ли возникло бы желание называть передовым человеком воинствующего мракобеса-черносотенца, стремящегося, вопреки фактам и здравому смыслу, вознести

небезызвестного Евгения Дюринга на высочайший пьедестал, как «основателя нового жизнедеятельного духовного руководительства»151.

Специальную книгу выпускает «передовой» Ройтман в защиту писаний фашистского толка Е. Дюринга от «посягательств» рецензентов «Мира божьего» и «Сына отечества» (1899 г.). В другой своей публикации, носящей название «Значение математики, как науки и как общеобразовательного предмета» (1906 г.), Ройтман все свои усилия направляет на то, чтобы всячески пропагандировать «гениальные творения» Дюринга, не имевшие в России успеха. Бессильно злобствуя по поводу блестящего успеха классического произведения марксизма - книги Энгельса «Анти-Дюринг» (выдержавшей уже в то время три русских издания), одержимый дюрингианец с пеной у рта называет её «пасквильной и клеветнической».

Какие же особые методические заслуги Ройтмана толкнули А. В. Ланкова на безудержное восхваление этого апостола мракобесия?

«Идея Ройтмана, - говорит А. В. Ланков на стр. 120 своей книги, -заключается в связи тригонометрии с геометрией. Тригонометрические величины естественно связываются с геометрической темой «Подобие фигур».

Относительно связи тригонометрии с геометрией мы позволим себе напомнить, что в русских учебниках тригонометрии XVIII и первой половины XIX века тригонометрия и определялась как часть геометрии, посвященная измерению треугольников (Румовский, Войтяховский, Фусс и др.). В учебнике же «Тригонометрия» Ф. Симашко (СПб, 1852 г.) составленном на основе личных указаний и «Программы и конспектора тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях» знаменитого математика М. В. Остроградского, изучение тригонометрических функций начинается с прямоугольного треугольника, причем устанавливается естественная связь с геометрической темой «Подобие фигур» (стр. 26-27).

Что же касается вопроса об изучении пропедевтического курса тригонометрии в курсе геометрии, то сам А. В. Ланков вынужден признать, «что в начале XX века идея включения решения треугольников в курс геометрии была исключительно популярной и одновременно развивалась различными авторами» (стр. 121).

Наконец, отметим, что изложение пропедевтического курса тригонометрии, данное самим Ройтманом, не обладает никакими достоинствами и выделяется лишь неграмотным утверждением, что если тригонометрическая функция синус равна нулю, то это означает, что «синуса нет»152.

151 Из заглавия книги Ройтмана, выпущенной в 1911 году.

152 Дм. Ройтман. Курс элементарной геометрии с включением начал тригонометрии, СПб, 1907.-стр.195.

Недостаточно глубокое изучение конкретного историко-методического материала привело автора к грубой ошибке в оценке личности Д. Ройтмана и к серьезному искажению действительного хода развития методической мысли.

4. Критическое освоение методического наследия прошлого

«Идеи Лая, как мы уже говорили, - пишет А. В. Ланков, - не имели распространения в России. Однако основание, на котором строятся выводы Лая и Вальземана, заслуживает внимания.

Эксперимент, как один из методов построения науки, должен быть оценен по достоинству. Чуткий педагог К. Ф. Лебединцев, разбирая новое направление в методике арифметики, так заканчивает свою книгу: «Русская методика арифметики трудами г.г. Гольденберга, Арженикова, Шохор-Троцкого и др. закончила эмпирический период своего развития и теперь должна вступить в новый - экспериментальный». С этим взглядом нельзя не согласиться» (стр. 136).

В приведенном отрывке содержатся две крупные ошибки.

Первая из них состоит в отождествлении понятия эксперимента в понимании буржуазной экспериментальной педагогики, явившейся колыбелью лженауки - педологии, с понятием естественного педагогического эксперимента. Между тем в изучении учащихся следует применять не эксперимент в широком смысле слова, а лишь ту разновидность эксперимента, построенного с учетом специфических особенностей правильного применения экспериментального исследования в школе, теория и практика которого была разработана не Лаем и не Вальземаном, а известным русским психологом А. Ф. Лазурским.

Вторая ошибка состоит в санкционировании надуманной, совершенно необоснованной периодизации развития русской методики математики, основанной на явной переоценке значения эксперимента в педагогике153. Не следует забывать, что естественный эксперимент, а только о нем и можно вести речь в плане научной педагогики, в основном отличается от обычного наблюдения лишь более точной организацией. Кроме того, результаты педагогического эксперимента только тогда приобретают научное и практическое значение, когда они выдерживают проверку в обычных условиях работы.

Санкционированная А. В. Ланковым периодизация объективно означает отрицание за русской методической мыслью в области арифметики какой-либо научной ценности, так как речь идет лишь о донаучном, эмпирическом периоде развития.

153 Поучительно отметить, что эта переоценка привела самого К.Ф. Лебединцева в стан представителей лженауки - педологии, в значительной степени оторвав от прославившей его имя исключительно плодотворной научной деятельности.

Любопытно отметить, что на стр. 60 А. В. Ланков не только не делает подобной ошибки, но и вполне справедливо гневно и убедительно осуждает за нее В. Мрочека.

Научное, марксистское освещение наследия прошлого в области методики математики - задача ее истории.

5. Достоверность в изложении материала

Специальную главу посвящает А. В. Ланков выдающемуся методисту С. И. Шохор-Троцкому. В основном этот раздел написан хорошо и должен быть отнесен к достижениям работы.

Однако у читателя, имеющего хотя бы поверхностное знакомство с работами Шохор-Троцкого, вызывает недоумение следующее утверждение А. В. Ланкова: «В том же докладе (речь идет о докладе на 1-м Всероссийском съезде преподавателей математики. - В.М.) С. И. Шохор-Троцкий отрицательно оценивает роль эмоций, считая, что «они неуместны при обучении математике» (стр. 72).

Выходит, по Ланкову, что Шохор-Троцкий не понимал, что чувства переживаются в связи с теми или иными познавательными процессами (ощущением, восприятием, образом памяти или воображения, мыслью и т.д.), что эмоции являются формами проявления потребности личности, что они, наконец, выступают в качестве внутренних побуждений к деятельности.

Чтобы реабилитировать Шохор-Троцкого от этих исключительно тяжелых обвинений, мы вынуждены процитировать полностью соответствующее место его доклада: «Эмоции, препятствующие нормальному ходу психической жизни учащегося (страх, уныние, смущение, чувство обиды, оскорбления, унижения и т.п.) и вредно отзывающиеся (особенно при занятиях математикой, требующих, так сказать, всего человека) даже па физиологических функциях органов человеческого тела, в обучении вообще неуместны, и в частности не уместны при обучении математике» («Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики», том I, СПб, 1913, стр. 79).

Итак, С. И. Шохор-Троцкий считает неуместными при обучении математике не всякие эмоции, а лишь те, которые препятствуют «нормальному ходу психической жизни учащегося». А это разные вещи.

Обеспечение достоверности в изложении материала - элементарное требование к научной книге.

6. Убедительность в изложении материала

Если в двух разных местах книги автор высказывает противоположные суждения, то, очевидно, по крайней мере одно из них ложно. Подобная ситуация создается сказанным на страницах 83 и 117.

На стр. 83 читаем: «Тот факт, что, например, учебник геометрии А. П. Киселева используется школой уже в течение 55 лет, свидетельствует о его достоинствах».

Не имея оснований не соглашаться с автором, мы, казалось бы, должны заключить, что факт использования нашей школой уже в течение 63 лет учебника тригонометрии Рыбкина свидетельствует о наличии в нем известных достоинств.

Однако учебник тригонометрии Рыбкина в книге по истории методики характеризуется только следующим абзацем: «Типичным формалистическим учебником курса тригонометрии, воплотившим в себе все отмеченные выше недостатки изложения предмета, является книга Н. Рыбкина» (стр. 117).

Здесь дело, конечно, не столько в наличии логического противоречия с ранее сказанным; хотя и это существенно, сколько в отсутствии исторического подхода в оценке книги, сыгравшей серьезную роль в истории русского математического просвещения.

А. В. Ланков дает высокую оценку «Методике алгебры» Н. Г. Лексина (стр. 111). Эта оценка находится в резком противоречии с мнением А. Н. Барсукова, высказанным им в своей широко и заслуженно известной книге «Уравнения первой степени в средней школе» (М. 1948, 2-е изд., стр. 181-185).

Прав ли здесь А. В. Ланков, читателю судить трудно, так как изложение автора предельно лаконично, а книгу Лексина, вышедшую в провинции и небольшим тиражом, достать весьма трудно.

Ясно одно, что А. В. Ланков, утверждая свое мнение, не имел оснований уклониться от полемики с А. Н. Барсуковым.

7. Заключение

Создание полноценного руководства по истории развития методико-математических идей в России - ответственная, большая и трудная работа. Ее осуществлению будут способствовать частные публикации, посвященные истории отдельных методических проблем и наиболее выдающимся деятелям математического просвещения. Надо пожелать, чтобы подобные публикации стали регулярным явлением на страницах журнала «Математика в школе» и в «Историко-математических исследованиях».

Выход в свет работы А. В. Ланкова отвечает насущным потребностям нашего учительства. Книга, несмотря на наличие серьезных недостатков, о которых читатель должен быть предупрежден, способствует уяснению основной линии развития нашей передовой методики математики, ее самобытных творческих истоков и неограниченных возможностей дальнейшего прогресса.

Об элементах эстетического воспитания на уроках математики154

В. Л. Минковский (Орел)

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии Н. Е. Жуковский

В Программе построения коммунистического общества мы имеем указания о том, чтобы эстетическое отношение человека к действительности пронизало все стороны нашей жизни. С этой целью подлежит решению грандиозная задача эстетического воспитания народа -активного приобщения всего многомиллионного населения нашей страны к художественной культуре в повседневной трудовой, общественной и личной жизни.

Эта задача решается в нашей стране в духе неуклонной партийной принципиальности. Глубоко враждебна нам мысль о возможности сосуществования двух идеологий - коммунистической и буржуазной. Речь Н. С. Хрущева на мартовской встрече руководителей партии и правительства с деятелями литературы и искусства, посвященная генеральной линии развития советского художественного творчества, требует от нас, педагогов, партийной, предельно серьезной и разносторонней постановки вопросов эстетического воспитания подрастающего поколения.

Эстетическое воспитание школьников - органическая часть их коммунистического воспитания. Оно осуществляется в процессе изучения учебных предметов, на уроках труда, во всех видах внеклассной работы.

Общая характеристика принципиальной направленности эстетического воспитания в советской школе была впервые сформулирована в «Основных принципах единой трудовой школы РСФСР». В этом документе записано: «Под эстетическим образованием надо разуметь не преподавание какого-то упрощенного детского искусства, а систематическое развитие органов чувств и творческих способностей, что расширяет возможность наслаждаться красотой и: создавать ее. Трудовое и научное образование, лишенное этого элемента, было бы обездушенным».

Другими словами, использование в преподавании различных предметов элементов художественно образного познания действительности усиливает эмоциональную окраску процесса обучения, способствует преодолению формализма и обеспечению прочности знаний учащихся, развитию их воображения и образного мышления.

154 Минковский В.Л. Об элементах эстетического воспитания на уроках математики.// Математика в школе. - 1963. - №4. - С.25-30.

Хотя высказанные утверждения не подвергались отрицанию, а, наоборот, нашли свое подтверждение и дальнейшее развитие в трудах выдающихся советских педагогов, но тем не менее одному из них -А. С. Макаренко - пришлось констатировать, что «как раз мы, педагоги, очень часто страдаем некоторым нигилизмом по отношению к эстетике».

В школах особенно часто в этом обвиняют учителей математики.

К сожалению, нельзя не признать, что встречаются еще учителя-математики, которые почти никогда не ставят перед собой вопроса о тем, что ими сделано для воспитания у учащихся чувства прекрасного.

Такое безразличие к эстетической стороне своей педагогической работы нередко проявляется в однообразии, скучности и серости уроков, в бедности и невыразительности языка, в небрежности изготовления, использования и хранения наглядных пособий и т.п. неприглядных чертах деятельности учителя, объективно направленных на поддержание справедливости пословицы-анахронизма: «Корень учения горек».

В наших школах существует и вполне себя оправдывает единый режим грамотного письма и культуры речи. Есть все основания полагать, что назрела необходимость в установлении эстетического режима.

«Казалось бы, все педагоги, - говорит талантливый поэт и драматург С. В. Михалков, - и особенно Академия педагогических наук, должны были уже давно разработать целый «свод законов» эстетического воспитания детей и широко применять его в жизни. Но на практике получается иначе: как ни странно, эстетическое воспитание - это пока еще некая педагогическая целина».

С этим нельзя не согласиться. Специальное исследование показало, что учащихся, впервые заинтересовавшихся математикой в результате осознания ее пользы, значительно меньше, чем тех, которым математика прежде всего начала импонировать привлекательностью техники преобразований и вычислений, логической стройностью доказательств теорем и решений задач, т.е. той стороной, которая вызывает эстетическое чувство. Результаты этого исследования не являются неожиданными, если учесть, что пути развития интересов подростка носят по преимуществу эмоциональный характер. Хорошо известен тот подъем, который испытывает ученик, установив самостоятельно остроумный метод решения задачи, предвосхитив оригинальную идею доказательства, излагаемого учителем.

У нас немало учителей - мастеров своего дела, которые успешно справляются с задачей создания условий для полноценных и плодотворных эстетических переживаний учащихся в процессе изучения математики. Возникает настоятельная потребность в изучении, обобщении и распространении передового опыта их работы.

Не претендуя на полноту, мы постараемся охарактеризовать основные компоненты эстетического воспитания учащихся в связи с

преподаванием математики. При этом сознательно делается отказ от разграничения этих компонентов на специфически математические и неспецифические, так как подобное разграничение не является существенным в процессе обучения.

Ознакомление с формой, сочетанием размеров, симметрией

Прекрасное сложно и многообразно. Восприятие красоты в широком значении этого слова предполагает наличие должного знакомства с ее простейшими, первичными элементами. К числу таких элементов относятся форма, сочетание размеров, симметрия.

Естественно, на уроках математики так осуществлять ознакомление учащихся с этими первичными элементами красоты, чтобы к ее проявлениям в окружающей действительности и в искусстве дети были более чуткими.

Существенно важно осознание учениками, что влечение человека к красоте - неотъемлемый элемент истории формирования основных геометрических понятий. При этом подростки овладевают примерно следующим пониманием идеи геометрического образа.

В окружающей нас природе не существует идеальной прямой, абсолютно безукоризненного прямоугольника или окружности, прямоугольного параллелепипеда или шара. Тем не менее человек, отталкиваясь от созерцаемого, еще на ранних этапах развития, приступив к изготовлению различных предметов своего повседневного обихода, интуитивно стремился придавать материалу все более и более правильную форму. Всматриваясь в форму уже изготовленного, сопоставляя различные экземпляры своего труда, человек не только совершенствовал свою продукцию, но и отчетливо осознавал понятие формы, как таковой. А постепенно это понятие абстрагировалось от многих изготовленных объектов, особенно наиболее удавшихся, и послужило основой для выработки отвлеченных, идеальных геометрических понятий.

В связи с изучением выпуклых правильных многоугольников целесообразно указать ученикам, что существуют также невыпуклые, звездчатые правильные многоугольники, Звездчатый многоугольник с наименьшим числом сторон - пятиконечная звезда - элемент Государственного герба СССР. Способ построения пятиконечной звезды крайне прост. Ознакомление с ним учащихся неизменно вызывает значительный интерес.

Знакомство с геометрической структурой правильных и полуправильных многогранников всегда связано с волнующим ощущением красоты этих пространственных форм. Здесь, в частности, весьма полезно воспользоваться мастерски выполненными фотографиями с исключительно искусных моделей тел Платона, Архимеда, Пуансо и

Е. С. Федорова155. Эти снимки настолько эстетически выразительны, что дают полное основание говорить об эстетике, рожденной математикой.

Глубоко неправы те преподаватели математики, которые не способствуют привлечению внимания своих учащихся к восприятию красоты форм, ориентируясь на ложное оправдание занятой ими вредной позиции как якобы противостоящей сентиментальности. Между тем развитие эстетической восприимчивости у детей не стихийный процесс, а сознательно культивируемый учителями различных предметов.

Проявление учителем математики инициативы по установлению постоянных связей преподавания предмета его специальности с преподаванием рисования, черчения и труда весьма благотворно сказывается и на повышении общеобразовательного эффекта работы, и на эстетической стороне результатов детского труда.

В число элементарных задач эстетического воспитания учащихся входит развитие у них чувства соразмерности. Широкие возможности для этой цели предоставляет изучение геометрии.

В курсе геометрии изучаются только такие фигуры, которые могут быть известными приемами осуществлены, т.е. построены.

При изучении темы «Треугольники» ученики сталкиваются с фактом невозможности построить треугольник из трех произвольно взятых отрезков.

Сопоставляя отрезки, из которых треугольника не построишь, с отрезками, из которых удается построить треугольник, ученики на основе опыта приходят к формулировке зависимости между сторонами треугольника.

В других случаях, как например при построении прямоугольников, соотношение размеров не выступает в качестве критерия возможности или невозможности построения фигуры, но представляет значительный интерес с эстетической точки зрения.

Если заинтересоваться измерениями прямоугольной формы различных художественных открыток, почтовых конвертов и книг, а затем вычислить отношение большей стороны каждого из этих прямоугольников к меньшей, то убедимся, что оно обычно выражается числом, принадлежащим сегменту [1,4; 1,6].

Немецкий ученый Г. Фехнер с целью изучения эстетических вкусов в отношении сочетания размеров смежных сторон прямоугольников проделал простой, но любопытный опыт.

Из одинакового материала было вырезано десять изопериметрических прямоугольников со следующими отношениями сторон: 1) 1:1=1; 2) 6:5=1,2; 3) 5:4=1,25; 4) 4:3= 1,(3); 5) 29:20=1,45; 6) 3:2=1,5; 7) 34:21-1,62; 8) 23:13-1,77; 9) 2:1=2; 10) 5:2=2,5.

155 Большая Советская Энциклопедия, т. 27, вклейка, стр. 652-653.

Каждому из участников эксперимента было предложено указать прямоугольник, который его наиболее удовлетворяет в эстетическом отношении.

Результаты опыта показали, что наиболее привлекательными оказались прямоугольник 7) или близкие к нему. У этих прямоугольников длина большей стороны оказывается весьма близкой к числу, которое является средним пропорциональным между полупериметром прямоугольника и длиной его меньшей стороны. Так, например, для прямоугольника 7) имеем такие соотношения:

Опыт Фехнера явился подтверждением замеченного еще в древности, что прямоугольник со сторонами, равными или близкими частям отрезка, разделенного в крайнем и среднем отношении, наиболее приятен для глаза.

В связи с ознакомлением учащихся с так называемым «золотым сечением» естественно рассказать, что это одна из тех пропорций, которые довольно часто используются скульпторами и архитекторами.

Исключительно широкие возможности для осуществления эстетического воспитания учащихся представляют вопросы симметрии.

Мало кому из современных учащихся не довелось еще в дошкольном возрасте испытать пленяющее очарование незатейливой с виду игрушки -калейдоскопа. Многие из них не удержались и от того, чтобы дорогой ценой - ценой порчи полюбившейся игрушки - заглянуть в ее тайники. Но секрет очарования оказывался до обидности простым: несколько разноцветных стеклянных обломков, лишенных особой приятности, перекатывались на небольшом участке треугольной формы, ограниченном тройкой зеркальных пластинок.

Дошкольнику трудно, конечно, осознать, что все удовольствие, доставляемое этим, довольно примитивным оптическим прибором, в том, что разноцветные стекляшки между зеркалами образуют в них путем отражения симметричные узоры и сочетания, красота которых исключительно в безукоризненной симметрии нехитрых рисунков.

Эти яркие детские впечатления далеко не всегда в должной мере используются педагогами в целях повышения качества обучения.

В связи с изучением различных видов симметрии естественно знакомить учащихся с ее богатейшими проявлениями в природе, использованием ее законов в архитектуре и в декоративно-прикладном искусстве. Исключительное богатство геометрических форм весьма характерно для орнаментов (так называемые геометрические орнаменты).

Осознание стройного единства системы развертывания математических знаний

В общих законах познания и преобразования действительности коренятся и закономерности эстетического отношения к ней. Достаточно глубокое осознание гармоничного единства системы развертывания знаний о количественных отношениях и пространственных формах рождает у человека идею прекрасного.

Понятие числа - одно из важнейших в школьном курсе математики. В процессе его развертывания число претерпевает длительную эволюцию, захватывающую своей стройностью наше воображение.

Представим себе юношу, выпускника средней школы, бросающего ретроспективный взгляд на собственный одиннадцатилетний путь освоения понятия числа.

В младшем школьном возрасте - в начальных классах - было освоено множество натуральных чисел.

В начале V класса к членам числовой семьи присоединился еще один элемент - нуль, который до этого рассматривался только в качестве знака отсутствия в числе единиц определенного разряда. А за этим расширением понятия числа последовало новое: трактовка дроби как числа. В распоряжении учащихся оказалось множество неотрицательных рациональных чисел, в котором, в отличие от множества натуральных чисел, операция деления стала неограниченно выполнимой (разумеется, за исключением деления на нуль).

В VI классе возникла настоятельная потребность измерять величины, значения которых простираются в двух взаимно противоположных направлениях. Это заставило ввести так называемые отрицательные числа.

В IX классе выяснилось, что рациональных чисел не хватает: они не дают возможности выразить числом отношение двух любых отрезков. И снова возникла необходимость дальнейшего расширения понятия числа -введения так называемых иррациональных чисел.

Наконец, в XI классе стало необходимым решение новой задачи. Она, как и все предыдущие, непосредственно связана с потребностями практики, если только это понятие трактовать с достаточно широкой точки зрения.

Речь шла о том, чтобы расширить множество действительных чисел так, чтобы в образовавшемся новом множестве квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом имело бы корни.

Решение этой простейшей и многих других задач потребовало нового пополнения числовой области - введения так называемых мнимых чисел.

Юноша, проследивший пройденный им путь развития понятия числа, глубже постигает стройное единство богатейшего числового

многообразия. А в этом единстве и заключается характерная черта наших представлений о подлинной красоте.

Восприятие эстетической стороны решения задач

Поиски изящных решений задач относятся к глубокой древности. В частности, исключительно остроумны приемы решения различных задач греческого математика Диофанта,

Понятия «изящное решение» задачи, «красивый» вывод и т.д. являются в математике общепринятыми. Выдающийся советский математик Н. Г. Чеботарев, желая подчеркнуть мысль относительно общезначимости этих понятий, указывает на отсутствие в среде математиков «споров об «изяществе».

К сожалению, довольно распространенным является мнение, что удовлетворение от изящного решения задачи и красоты вывода может испытывать только ученый, только узкий специалист определенной отрасли знаний. Между тем опыт показывает, что восприятие эстетической стороны решения задачи доступно почти каждому ученику, если только в преподавании математики поощряются поиски самостоятельных путей и приемов рационального решения.

Существенную роль в выработке понимания красоты решения играет демонстрация учителем оригинальных путей решения доступных для учащихся задач. Так, например, ученикам пятого класса доставляет подлинное эстетическое удовольствие выразительный рассказ учителя о том, как маленький Карл Гаусс почти моментально подсчитал сумму ста первых членов натурального ряда чисел.

Подобные сообщения весьма активизируют класс. У учащихся появляется настойчивое желание испытать собственную смекалку в отыскании эффектного решения нестандартной задачи, как, например, в вычислении суммы нескольких дробей вида без приведения их к общему знаменателю156.

«Красота в математике, - утверждал Н. Г. Чеботарев, - идет рука об руку с целесообразностью: мы редко называем изящными рассуждения, не приводящие к законченной цели или более длинные, чем это представляется необходимым».

Изящное решение задачи обычно достигается сочетанием оригинальности приема решения с простотой и ясностью самого решения. Крупный математик Герман Минковский очень высоко ценил владение «искусством соединять с минимумом слепых формул максимум зрячих мыслей».

156 Каждое из слагаемых данной суммы представить в виде разности двух дробей, а именно:

Проявления такого искусства встречаются и в работах школьников. Весьма ярким примером для иллюстрации этой мысли может служить решение сравнительно сложной задачи девочкой-шестиклассницей из г. Орджоникидзе, обнародованное Б. А. Кордемским.

Требовалось найти прямоугольник, стороны которого выражаются целыми числами, а площадь численно равна периметру.

Решение. Искомый прямоугольник состоит из единичных квадратов (клеток). Выделив «каемку» шириной в одну клетку, прилегающую к сторонам прямоугольника (черт. 1), замечаем, что нельзя установить взаимно однозначное соответствие между клетками каемки и линейными единицами контура. Этого нельзя сделать потому, что в контуре всегда на 4 единицы больше. Приняв во внимание условие задачи, заключаем, что оставшаяся «сердцевина» должна содержать 4 клетки, а четыре клетки можно расположить прямоугольником только двумя способами: 2*2 и 4*1. Окаймляя их клетками, получаем те два решения (черт. 2), которые имеет задача.

Полноценное восприятие учениками эстетической стороны решения задач - могучее средство повышения интереса учащихся к изучению математики.

Элемент художественно образного познания в преподавании математики

Обобщение и абстракция - типичные черты метода математики. Но и в этой науке исключительно велико значение образного мышления и работы воображения, фантазии. «Даже в математике она нужна, - писал В. И. Ленин, - даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии».

И язык математики не чужд образности. В терминах некоторых общих понятий - гладкая кривая, гладкая поверхность, семейство кривых и т.п. - мир запечатлен в образной форме. Эта образность сохраняется и при характеристике, например, известного способа нахождения простых чисел - решето Эратосфена, а особенно часто в наименовании кривых, изучаемых математикой (цепная линия, винтовая линия, трезубец, четырехлепестковая роза, архимедова спираль, паскалева улитка, локон Аньези и т. д.).

У педагога по призванию каждое поколение, учеников, каким бы оно ни было по счету, не лишается радости первооткрывателей,

Черт. 1

Черт. 2

непосредственно участвующих в построении основ математических знаний. На базе же творческих, созидательных эмоций вырастает и прочный интерес к математике.

Преддверием для многих тем школьного курса математики могут служить конкретные, интересные для учащихся задания жизненного содержания. В частности, с успехом используются отрывки из текстов известных художественных произведений, интригующие задачи-легенды, любопытные задачи-рассказы.

Виднейшие ученые-математики нашей страны - Б. К. Млодзеевский, Н. Н. Лузин, А. Я. Хинчин и другие блестяще доказали, что наука и учебный предмет ничего не утрачивают от художественной изобразительности и изящества стиля, а приобретают большую доступность и становятся интересными для многих.

В учебных книгах Н. Н. Лузина абстрактные рассуждения сопровождаются такими образными сравнениями, которые придают изложению подлинную художественность. Из обилия возможных примеров ограничиваемся одним, относящимся к уяснению того факта, что на любом сколь угодно малом отрезке числовой прямой имеются и рациональные и иррациональные точки.

«Представим себе, - говорит академик Н. Н. Лузин, - что во всех рациональных точках зажжены фонари, тогда на всей прямой не остается ни одного темного места, а между тем имеется бесчисленное множество темных иррациональных точек».

Использование образных сравнений при уяснении наиболее трудных понятий математики весьма полезно. Дальнейшее совершенствование таких сравнений следует всячески приветствовать.

Профессор В. В. Немыцкий образ Н. Н. Лузина дополняет такой картиной:

«Пусть в рациональных точках мы зажгли синие фонари, а в иррациональных точках - желтые фонари, тогда в нашем глазу эти цвета смешались бы и мы видели бы всю прямую, освещенную ровным зеленым светом».

Грамотная, краткая, выразительная и красивая речь в математике в значительной степени определяет математическое развитие и знания учащихся.

Для улучшения преподавания математики в школе очень важно сделать для учащихся более привлекательным устное выполнение вычислений и преобразований.

В решении этой задачи известную роль может сыграть продуманное использование; картины Н. П. Богданова-Бельского «Устный счет в народной школе С. А. Рачинского».

Сила этого замечательного произведения искусства не только в пробуждении эстетической эмоции. Оно учит эстетически воспринимать

самую действительность - покоряющую увлеченность решением трудной задачи.

Заботы учителя об усилении эстетического элемента в преподавании математики, вполне себя оправдывают. Они способствуют и решению общих задач коммунистического воспитания, и улучшению преподавания самой математики.

О методико-математических воззрениях Н.Н. Лузина (к 80-летию со дня рождения)157

В. Л. Минковский (Орел)

Создатель и глава московской математической школы академик Николай Николаевич Лузин (1883-1950) был не только творцом новых путей в науке, но и замечательным педагогом. Его глубоко своеобразное педагогическое кредо не является только плодом интуиции большого ученого, а есть прежде всего результат постоянных и глубоких размышлений разносторонне одаренного человека над особенностями первоначального восприятия неискушенным в научных тонкостях интеллектом новых математических понятий и методов. Мы глубоко убеждены в том, что следует начать тщательное изучение методико-математических воззрений Н.Н. Лузина и, выявив их особенности и достоинства, сознательно использовать в практике современного преподавания.

Самую большую опасность на путях развития науки и в преподавании Н.Н. Лузин усматривал в подмене подлинной науки собранием пустых слов и чисто логических понятий без концепций. Он настойчиво призывал хорошо понять, что наука - это не «логомахия», что за словами всегда должна скрываться сама реальность, т.е. те стороны действительности, которые являются предметом изучения данной науки (1; стр. 25). В частности, так называемую строгость рассуждений при обучении математике Н.Н. Лузин никогда не трактовал как самоцель. Он считал, что ее роль и место определяются математическим развитием обучаемых и теми целями, которые преследуются при изучении того или иного математического вопроса в определенном типе учебных заведений.

Однако при создании любой математической книги, даже справочника, по мнению Н.Н. Лузина, нельзя отказываться от теоретического обоснования предлагаемых правил, так как, «только зная вывод правила, можно быть уверенным в допустимости его применения в

157 Минковский В.Л. О методико-математических воззрениях Н.Н. Лузина (к 80-летию со дня рождения) // Математика в школе. - 1963. - №6. - С.65-68.

таком-то и таком-то случае, встретившемся на практике». Эта мысль особо подчеркивается Николаем Николаевичем потому, что случаев, не являющихся шаблонными, не так уж мало, а справиться с ними можно только при наличии драгоценного качества - «свободы инициативы», достигаемого только одним - знанием (2; стр. 5).

Еще в начале тридцатых годов Н.Н. Лузин, характеризуя педагогику математики современного этапа развития, указывал на огромное преимущество этого этапа перед предшествующими как освобожденного от мнимой необходимости употреблять лишь немногие формы математических доказательств. Речь здесь идет о том, что только эти избранные формы доказательств считались ранее единственно строгими.

Такое «раскрепощение педагогики было достигнуто в результате развития самой математики. Глубокий анализ сущности понятия строгости математического доказательства привел к принципиально важному для педагогики выводу, что неуклонное проведение вполне строгих доказательств, как правило, недостижимо. «Все, о чем можно говорить в этом отношении, это - лишь о безукоризненной редукции сложного к более простому и неясного к более ясному или, точнее, к тому, что в данный момент соглашаемся считать более ясным или, по крайней мере, не могущим привести к противоречию. Именно современная критика математических доказательств и сделала равноценными, в смысле строгости, такие рассуждения, которые еще недавно казались совершенно неравноценными в отношении их научности» (3; стр. VII).

В настоящее время эти идеи стали достоянием советской методико-математической мысли.

Н.Н. Лузин на основе конкретных материалов истории классических руководств по математическому анализу для высшей технической школы пришел к убедительному выводу, что в отношении излагаемых в этих книгах фактов имеет место относительная устойчивость со времени Леонарда Эйлера. Между тем ни один из учебников, как бы прекрасно он ни был написан, не может претендовать на столь почтенное долголетие. Причина этого явления кроется в том, что жизнеспособность учебной книги находится в самой непосредственной зависимости от научных взглядов на основы анализа в переживаемую эпоху. Срок жизни учебного трактата определяется в первую очередь длительностью господства тех научных воззрений, которые нашли в нем свое воплощение.

На первый взгляд казалось бы, что жизнь учебника может быть продлена ценою удаления «соединительной логической ткани» между фактами, обладающими в основах анализа значительным постоянством. Опыт показал, что после этого книга становилась непреодолимо трудной для учащихся. Этот совершенно неожиданный эффект «упрощающей операции, очевидно, следует объяснить тем, что удалялось именно то, что цементировало факты благодаря этому могущественно помогало памяти.

Из поучительного урока истории Н.Н. Лузин извлекает важный педагогический вывод: обучая математике, никогда не следует ориентироваться на механическую память обучаемых; учебник, составитель которого придерживается такой порочной ориентации, способен вызвать лишь разочарование и охлаждение к книге или даже, в несравненно худшем случае, к самому предмету (3; стр. VI).

Основную трудность создания полноценного курса математического анализа для высших технических школ Н.Н. Лузин усматривает в том, что в этом курсе требуется осуществить органическое сочетание минимума необходимых для инженера сведений из анализа бесконечно малых с такой трактовкой научных фактов, которая не вступает в противоречие с современной наукой. Попытки игнорировать это требование приводят к подмене втузовского курса суррогатом университетского. Наличие подобной фальсификации убедительно выдают такие вещи, как, например, сохранение доказательства иррациональности числа /, абсолютно лишнего для инженера, которого вполне устраивают первые три или четыре десятичных знака названного числа.

Отказ от должной научной трактовки излагаемых фактов неизбежно приводит к недопустимому упрощенству. Так, например, если материал о непрерывности функций излагается с замалчиванием факта о существовании непрерывной кривой без касательной и учащимся тем самым внушается уверенность в существовании у каждой из непрерывных функций производной, то это, бесспорно, разительный пример отхода от требований научности в преподавании.

Нарушение требования научности преподавания Н.Н. Лузин видит не только в сокрытии от учащихся фактов, которые радикально изменили взгляды ученых на трактовку основных понятий курса, но и в сохранении в современных учебных руководствах рудиментарных терминов, понятий и теорий, например теории раскрытия всех видов неопределенностей. В свое время названная теория представляла значительный интерес, но в настоящее время она удерживается в тексте некоторых учебников только в силу прочно установившейся традиции (3; стр. VII).

Однако, сравнивая учебники математического анализа предыдущего и нынешнего столетий в плане сопоставления трактовки в них основных понятий курса, Н.Н. Лузин утверждает, что «в педагогическом отношении лицо учебников по математическому анализу неузнаваемо изменилось». В самом деле, на их страницах не встретишь ныне утверждений типа «сантиметр есть бесконечно малое по сравнению с расстоянием от Земли до Солнца», т.е. претензии определять бесконечно малое на основе противопоставления привычного расстояния космическому, которая культивировалась в прошлом даже «сильными людьми» (4; стр. 7).

Говоря о стиле учебной книги, Н.Н. Лузин характеризует два совершенно различных способа составлять учебник.

Сторонники первого способа составления учебников исходят из постулированного ими же представления об идеальном читателе, т.е. о таком читателе, которому никогда не изменяет безукоризненное внимание, понятливость, догадливость и сообразительность. Разумеется, что такой сверхблагоприятный читатель понимает автора буквально с полуслова и прочно запоминает каждое из его указаний по поводу самых различных обстоятельств, по крайней мере, на все время изучения книги.

Принятие постулата об идеальном читателе позволяет автору сосредоточить все свое внимание только на предмете изложения. Благодаря этому, бесспорно, достигаются весьма экономные размеры книги, но назвать ее учебной в подлинном смысле этого слова становится затруднительным.

Иллюзия существования идеального читателя основана на том, что «под таким читателем автор просто разумеет себя самого и именно то самое состояние своего ума, которое он имеет в момент создания учебника, но отнюдь не то состояние ума, которое было у автора, когда он сам впервые знакомился с излагаемыми им идеями» (5; стр. XI).

Сторонники же второго способа составления учебников исходят из вполне реального представления о живом читателе, т.е. о таком читателе, первые движения ума которого не свободны от всяческих сомнений, недоумений и заблуждений. Разумеется, что такой читатель весьма нуждается в доброжелательных советах автора - опытного педагога, который как истинный учитель неуклонно следит за состоянием ума изучающего предмет, всегда готов прийти на помощь, предупредить о трудностях и скрытых опасностях.

Отказ от постулата об идеальном читателе требует перемещения центра внимания с предмета изложения на самого читателя: «его ум, начинающуюся его работу, его сначала слепое ощупывание предмета, его беспрерывные заблуждения, ошибки, иллюзии и бесчисленные самообманы и, наконец, его трудное шествие по правильно найденному пути».

Проанализированные способы составления учебников глубоко и принципиально отличны друг от друга. В самом деле, первый из них является как бы красноречивым практическим претворением широко известного педагогического девиза Даламбера: «Идите дальше, потом когда-нибудь поймете»; второй же целеустремленно направлен на обеспечение полного понимания учащимися всех процессов рассуждений.

Итак, учебники первого типа неизбежно наталкивают учащихся на путь механического заучивания материала, тем самым лишая их возможности приобрести сознательное понимание предмета, а потому и инициативу в применении приобретенных знаний; учебники же второго типа, исключительно ориентированные на глубокое осознание всех основных принципов, наоборот, способствуют выработке драгоценного

качества - умения ориентироваться в новой обстановке, выходящей за пределы привычного шаблона.

«В условиях ориентировки на понимание, - утверждает Н.Н. Лузин, - нисколько не страшны дефекты памяти, т. е. механического заучивания, так как самый ход однажды понятого материала не позволяет утратить существенное, деталь же легко восстановить по справочнику. Ориентировка на понимание кажется громоздкой лишь вначале, на деле затраченное на понимание время с лихвой окупается в дальнейшем, так как при правильно понятых основаниях дисциплины дальнейший материал часто принимает характер лишь упражнений в давно известном, чем создается уже экономия и времени».

Преодоление принципиальных основ даламберовского педагогического девиза было делом трудным и длительным. Оно составило главное содержание движения за реформу в области преподавания математического анализа.

Характеризуя историю движения, Н.Н. Лузин называет в качестве его наиболее оригинального и яркого представителя в нашей стране Ивана Ивановича Жегалкина, о котором он неизменно говорит как о своем учителе в преподавании с большой теплотой и глубокой признательностью.

Метод преподавания И.И. Жегалкина, имя которого прочно связано с развитием одной из самых молодых математических дисциплин -математической логики, возник на основе материалов работы нескольких десятилетий по тщательному выявлению и углубленному анализу всех типичных ошибок учащихся. Отличительная особенность этого метода и состоит в концентрированной профилактической направленности против иллюзий и заблуждений обучаемых, которая явственно сказывается, например, в характере подбора примеров, в выявлении всех существенных в пределах данного типа вариаций с целью предупреждения возникновения односторонних ассоциаций и неправильных обобщений.

Н.Н. Лузин всемерно поддерживал стремление И.И. Жегалкина освободить или, по меньшей мере, обезопасить учебные курсы математического анализа от некоторых исторически сложившихся терминов, которые наталкивают учащихся на неверную трактовку понятий, обозначаемых этими словами, как например такой термин, как «бесконечно малое».

«Теория пределов в редакции Коши, - утверждает Николай Николаевич, - окончательно обосновала анализ бесконечно малых, подведя под него безупречный логический фундамент. Понятие бесконечно малого получило, наконец, точный смысл: это - самая обыкновенная переменная величина, конечная в течение процесса своего изменения, но имеющая своим пределом нуль. Ньютон в таком случае говорил об «исчезающе малом», мы же, осторожности ради, дабы не

вызвать здесь ложной идеи постоянного, говорим о «бесконечно умаляющемся» (Жегалкин), переходя на традиционный термин бесконечно малого тогда, когда в умах начинающих этот двусмысленный опасный термин уже не может вызвать никакого соблазна».

Будучи резко враждебным рутине и шаблону и творчески осознав все прогрессивное в преподавании математики, Н.Н. Лузин «пошел, - скажем мы, воспользовавшись его собственным выражением из характеристики одного автора, - по пути истинной педагогики», осуществляя сначала редактирование (с 1922 г.) и основательную переработку (с 1930 г.) «Элементов дифференциального и интегрального исчислений» В. Грэнвиля и затем создав собственные курсы дифференциального и интегрального исчислений (1946 г.), и теории функций действительного переменного (1940 г.).

Свою деятельность по «ориентировке преподавания принципов математического анализа на понимание, а не на заучивание» Николай Николаевич не случайно начал с редактирования перевода учебника английского автора Виллиама Грэнвиля: в этой книге интуитивное осмысливание предмета всегда предпосылается аналитическому исследованию.

На учебниках Н.Н. Лузина воспитано не одно поколение инженеров и учителей. Основные методологические и методические установки этих руководств оказали глубокое влияние на развитие советской методики математики в целом.

Создавая свои учебники для высшей школы, Николай Николаевич неизменно ориентировался на следующую постановку этой проблемы: «Здесь должна быть решена своеобразная задача вариационного исчисления: дать минимум объема при максимуме заботы о начинающем читателе, научности и художественности».

Внимание к начинающему читателю выражается, прежде всего, в интуитивной психологической подготовке к восприятию определений (например, непрерывности функции в точке), доказательств и в предельно отчетливом оттенении всех существенных элементов их.

Исходя из убеждения, что источником ошибок учащихся, «в конце концов, является неверная оценка их умом тех или иных элементов обыденной жизни» (5; стр. X), Н.Н. Лузин изложение многих вопросов (число, переменная величина, отрезок и промежуток, функция и т.д.) предваряет анализом математической сущности явлений окружающей нас действительности.

В некоторых случаях Николай Николаевич считает целесообразным фиксировать внимание обучаемых на самих типичных ошибках, но делает это не мимоходом, не ограничиваясь простым указанием на ошибку, а тщательно выясняет сущность и причины появления ошибки (см., например, параграф «Об ошибках, часто случающихся при

дифференцировании функции от функции»). В частности, с этой же целью используются и «кажущиеся парадоксы» - математические софизмы, связанные с делением на нуль, легкомысленным и неосторожным обращением с пределами и бесконечностью.

Той же неизменной заботой о читателе продиктовано четкое расчленение трудностей, усиленное внимание к детальной геометрической интерпретации аналитических фактов и ряд замечаний педагогически отточенного характера («Учащийся отнюдь не должен думать, что все описываемые случаи разрыва функции «слишком отвлеченны», имеют лишь «теоретический» интерес и «никогда» не встречаются на практике. Напротив, современная техника как раз имеет дело с описываемым поведением функции. Например, »).

Некоторым представляется, что Н.Н. Лузин проявляет излишнее стремление к простоте; далеко не все осознают, что эта простота есть результат органического синтеза таланта крупнейшего математика и замечательного педагога. Внимательное, предупредительное отношение к своему читателю не выражает у Николая Николаевича снисходительности академика к массовому студенту, а является плодом исключительно проникновенного понимания процесса становления математических знаний.

«Обычно здесь слышишь, - говорит Н.Н. Лузин, - от неопытных еще педагогов вопрос: «Да зачем брать на себя такой труд? Не проще ли изложить предмет, как придется, но лишь бы правильно, и просто потребовать от учащегося не какого-то там утонченного понимания предмета, а твердого его знания, для чего ведь всегда найдутся в случае необходимости и принуждающие возможности?» Поставленный таким образом вопрос есть вопрос о замене полного понимания предмета его заучиванием».

При создании своих учебных руководств Николай Николаевич глубоко и творчески пользовался принципом научности в преподавании математики, который всегда трактовался им как требование не противоречить современному состоянию науки, а не рабски следовать за этим состоянием. В частности, до последних дней своей жизни он утверждал, что явно нецелесообразно в начальном преподавании математического анализа становиться на стационарную точку зрения, лишая эту дисциплину самой идеи переменной величины.

«Наиболее ярким выражением происшедшей перемены взглядов, -говорит Н.Н. Лузин, - явился известный университетский учебник Балле Пуссена «Курс анализа бесконечно малых» (второе и третье издания), где в мелком шрифте знаменитый автор показал, каким образом математический анализ может быть построен без понятия переменного. Но уже в следующих изданиях автор возвратился к «^-определениям», находя (с полным основанием), что стационарный математический анализ

представляет еще большие логические трудности, чем классический «£-анализ» Коши с его явным призывом к изначальной интуиции времени» (4; стр. 7).

Допуская в плане сознательного педагогического корректива нестрогости в изложении, Николай Николаевич считает нужным фиксировать внимание своего читателя на этом обстоятельстве.

Авторам учебных книг Н.Н. Лузин настоятельно рекомендует изучение источников, дающих историческую перспективу, так как их содержание всегда существенно обогащает составителя руководства, даже и в том случае, когда оно не попадает непосредственно на страницы учебника.

Постоянно пропагандируемое Н.Н. Лузиным требование максимальной художественности научного изложения многим представляется неправомерным по отношению к математическому материалу, несмотря на то, что еще учитель Николая Николаевича Б.К. Млодзеевский дал прекрасные образцы реализации этого требования.

Разносторонний ученый Болеслав Корнелиевич Млодзеевский своими научными сочинениями и учебниками блестяще доказал, что наука и учебный предмет ничего не утрачивают от художественной изобразительности и изящества стиля, а приобретают большую доступность и становятся интересными для многих.

Уделяя внимание художественной выразительности научного стиля, Н.Н. Лузин в созданном им курсе теории функций действительного переменного достигает вершин в совершенствовании этой стороны изложения. Он считает возможным сделать углубленное изучение математического анализа вполне доступным и по-настоящему привлекательным. На многих страницах названной книги абстрактные рассуждения сопровождаются такими образными сравнениями, которые придают изложению подлинную художественность. Ограничиваемся одним примером, относящимся к исходному понятию - понятию множества.

«Читатель не должен упускать из виду, что самое существенное в понятии множества - это акт объединения различных предметов в одно целое, именно в множество М, элементами которого (после акта объединения) будут данные предметы. Этот существенный пункт и желал подчеркнуть основатель теории множеств Георг Кантор, когда он впервые высказал свое знаменитое положение: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Чтобы прийти на помощь читателю, удобно будет прибегнуть к такому несколько грубому образу. Представим себе некоторую прозрачную непроницаемую оболочку, нечто вроде плотно закрытого прозрачного мешка. Предположим, что внутри этой оболочки заключены все элементы / данного множества M и что, кроме них, внутри оболочки

никаких других предметов не находится. Эта оболочка с предметами / находящимися внутри нее, и может служить образом множества М, составленного из элементов /. Сама же эта прозрачная оболочка, охватывающая все элементы (и ничего другого, кроме них), довольно хорошо изображает тот акт объединения элементов /, в результате которого создается множество М. Обычно такой акт объединения различных элементов в одно множество M совершается путем выяснения некоторого характеристического свойства, которым обладают элементы / (и только они одни). Например, когда мы произносим фразу: «Множество всех положительных чисел» - мы выявлением свойства «быть положительным» тотчас же выделяем из всех действительных чисел одни лишь положительные числа и как бы помещаем их все (и только их одних) в нашу прозрачную оболочку, оставляя снаружи нее все другие числа (отрицательные и нуль), как и все другие предметы».

Научно-педагогическое творчество Н.Н. Лузина имеет своими истоками его преподавательскую деятельность в средней и высшей школе.

Лекции Николая Николаевича отличались яркостью, содержательностью и идейной глубиной. Его ближайшие соратники известные ученые нашей страны Н.К. Бари и В.В. Голубев очень хорошо поведали о главном в этих лекциях - пробуждении творческой активности слушателей (6; стр. 475- 476).

Лекции Лузина были таковы, что они запоминались на всю жизнь. Читать лекции так, чтобы они не забывались, - это высшая цель каждого лектора.

Создание учебных книг лузинского стиля - дело не только трудоемкое, но и требующее наличия у их авторов подлинного педагогического таланта.

Н.Н. Лузин очень охотно и всегда с большим подъемом выступал с глубоко содержательными лекциями перед московскими учителями. Учителя отмечают отчетливо выраженную научно-педагогическую целеустремленность этих лекций: преодоление неправильных, устаревших воззрений, имеющихся в учебниках; выявление настоятельной необходимости правильной трактовки принципиальных вопросов школьного курса математики; освежение материала, непосредственно используемого в классе.

Заканчивая этот очерк, следует еще раз подчеркнуть мысль о том, что академик Николай Николаевич Лузин, следуя славной традиции всех крупнейших русских математиков, внес существенный вклад в разработку проблем преподавания математики.

Литература

1. Н.Н. Лузин, Современное состояние теории функций действительного переменного. «Труды Всероссийского съезда математиков в Москве 27 апреля - 4 мая 1927 г.»,М.-Л., 1928.

2. Н.Н. Лузин, Предисловие к русскому переводу справочника по математике Г. Дуббеля, М.-Л., 1933.

3. Н.Н. Лузин, Предисловие к книге В. Грэнвиля «Элементы дифференциального к интегрального исчислений», ч.1., изд. 3, Л., 1924.

4. Н.Н. Лузин, Дифференциальное исчисление, М., 1946.

5. Н.Н. Лузин, Предисловие к книге И.И. Жегалкина и М.И. Слудской «Введение в анализ» М., 1935.

6. Н.К. Бари и В. В. Голубев, Биография Н.Н. Лузина. «Собрание сочинений Н.Н. Лузина», т. III, M, 1959.

Рассказ шестиклассникам об Иване Петрове158

В. Л. Минковский (Орел)

В работе математического кружка учащихся пятых-шестых классов обычно уделяют много внимания математическим развлечениям. Такое стремление в массовой внеклассной работе с детьми 11-12 лет вполне закономерно, но нельзя забывать и задач воспитательного характера.

Беседа по одной из незаконно забытых тем159 позволяет нарисовать перед умственным взором учащихся картину гибели яркого математического таланта крестьянского мальчика в условиях дореволюционной России, оставляет глубокий след в их сознании и имеет исключительно действенное воспитательное значение.

В СССР и странах народной демократии, где власть принадлежит народу, осуществляется всеобщее обязательное обучение детей. В процессе обучения выявляются разнообразные юные таланты и создаются все условия для их дальнейшего развития.

Совсем иначе обстояло дело в царской России. Дети рабочих и крестьян в своем подавляющем большинстве оставались неграмотными. «Четыре пятых молодого поколения, - писал в 1913г. В.И.Ленин, -осуждены на безграмотность крепостническим государственным устройством России».

Не мудрено, что при такой организации народного просвещения постоянно и во множестве погибали народные таланты; примером этого может служить участь талантливого самородка Ивана Петрова.

158 Минковский В.Л. Рассказ шестиклассникам об Иване Петрове.// Математика в школе. - 1965. - №1. - С.57-58.

159 Исторические факты взяты из издания «Ученые записки императорского Московского университета», ч. IV, М., 1834, стр. 608-610; ч. V, М., 1834, стр. 478-480.

В 1823 г. в семье крепостного крестьянина Петрова, проживавшего в деревне Рагозине Костромской губернии, родился мальчик, которому дали имя Иван.

У родителей Вани не было никакой возможности обучать своего сына. Одиннадцати лет он не умел ни читать, ни писать. Но с раннего возраста мальчуган вполне самостоятельно, без всякого руководства пристрастился к счету и к решению разнообразных задач. В условиях поголовно неграмотной деревни к юному числолюбцу очень часто обращались взрослые с просьбой произвести те или иные хозяйственные расчеты.

Необыкновенные способности неграмотного мальчика к выполнению различных вычислений удивляли односельчан; слух о нем постепенно распространился и за пределами родной деревни.

В мае 1834 г. учителя Костромской гимназии решили проверить справедливость народной молвы о самобытной математической одаренности Ивана Петрова. Ваню пригласили на заседание педагогического совета гимназии и предложили решить двенадцать задач, одну за другой, без всякого перерыва.

Приведем некоторые из них.

Задача 3. Через 15 лет мне будет столько же лет, сколько теперь брату моему. Который ему год, если мне 14 лет?

Задача 9. Издержано 5 мешков с 875 пятачками в каждом на покупку холста по 35 коп. за аршин. Сколько куплено аршин холста?

Задача 10. Между двумя селениями посажено по дороге 1658 деревьев на равных расстояниях друг от друга. Как велико расстояние между селениями, если одно дерево от другого отстоит на 8 аршин?

Задача 12. Сколькими способами можно уплатить 78 рублей, имея билеты трехрублевого и пятирублевого достоинства?

Иван Петров справился с каждой из предложенных задач. На их решение ему потребовалось 1 час 17 минут, причем значительная часть этого времени была использована для чтения и повторения условий задач.

Оценивая способности Вани, нельзя забывать, что мальчик не только не умел читать и писать, но он и не обладал какими-либо сведениями относительно используемой нами системы счисления. Экзаменаторы отметили, что он решил каждую из задач «единственно силою соображения и памяти».

Наиболее сложной являлась задача двенадцатая. Решая ее, Ваня указал все 6 способов, каждый из которых дает возможность уплатить 78 рублей, имея только трехрублевки и пятирублевки: 1) 3*26; 2) 3-21+5*3; 3) 3-16+5-6; 4)3-11+5-9; 5)3-6+5-12; 6)3-1+5-15.

В августе 1834 г. для ревизии учебных заведений Костромской губернии приехал видный ученый, астроном и математик Дмитрий

Матвеевич Перевощиков. В Костроме, во дворе гимназии, произошло его знакомство с Ваней Петровым.

Желая лично проверить математические способности мальчика, известный педагог, профессор Московского университета, будущий академик, предложил Ване решить 5 задач. И этот новый экзамен Иван Петров выдержал с честью. Тут не оказалась помехой даже занятная игра возле него маленьких детей с собакой, за движениями которой с невольным любопытством почти все время следил Ваня. Он оторвал свой взгляд от занимавшей его собаки лишь тогда, когда размышлял над решением самой трудной задачи, подобной которой до этого никогда не встречал.

Задача. За 500 рублей куплено несколько пудов сахару. Если бы на те же деньги куплено было 5 пудами больше, то каждый пуд обошелся бы 5 рублями дешевле. Спрашивается, сколько куплено?

Ваня, счастливо сочетая необыкновенно ярко выраженную сообразительность со способностью удерживать в памяти многие числа, решил эту задачу методом подбора. Через 17 минут он дал ответ на вопрос задачи: 20 пудов.

Д. М. Перевощиков рассказывал, что он никак не ожидал, что мальчик справится с этой задачей - задачей на квадратные уравнения.

В конце испытания Д. М. Перевощиков спросил Ваню, сколько в году секунд. Через 3 минуты, попросив разрешения отвечать по порядку, Петров почти без остановки произнес: число часов 8760, минут 525 600, секунд 31 536 000.

Результаты экзамена поразили московского профессора. Ему стало ясно, «какая драгоценность скрывается под грубою и самою обыкновенного наружностью крестьянского мальчика, не умеющего ни читать, ни писать».

И профессор не мог не почувствовать, как велико преступление существующего строя перед народом, когда гибнут такие таланты, как талант Ивана Петрова.

«До какого совершенства, - писал Д. М. Перевощиков, - дошли бы его способности, если бы он получил образование и имел случай чаще упражнять их?»

Дальнейшая судьба Ивана Петрова неизвестна. Одно только непреложно, что яркий талант погиб. Иначе сверкали бы плоды его творчества в немеркнущих летописях науки.

Методико-математические идеи Д. И. Писарева

(К 125-летию со дня рождения)160

В. Л. Минковский (Орел)

Д. И. Писарев был убежденным пропагандистом изучения проблем естествознания и математики. Под непосредственным влиянием его глубоко содержательных выступлений эти науки стали объектом постоянного общественного внимания.

Исключительно интересная статья «Наша университетская наука» была написана двадцатитрехлетним Писаревым в Алексеевской равелине Петропавловской крепости. В ней дана сокрушительная критика классического образования. Убедительно показано, что классическая гимназия - вредный пережиток, что ее необходимо заменить реальной школой, тесно связанной с жизнью.

Не будучи математиком по образованию, молодой публицист весьма высоко оценил роль математики в развитии человеческого общества. В частности, он писал: «...математика - наука великая, замечательнейший продукт одной из благороднейших способностей человеческого разума» (1,стр. 133). В то же время Д.И.Писарева глубоко удручало, что с преподаванием этой науки в гимназиях дело обстояло из рук вон плохо.

Основной порок в постановке преподавания математики в русских гимназиях 50-60-х годов прошлого века Писарев видел в «профанировании математики», которое он квалифицировал как «преступление перед разумом».

«Доказывая геометрическую теорему, - утверждал Д. И. Писарев, -гимназист только притворяется, будто он выводит доказательства одного из другого; он просто отвечает заученный урок; вся работа лежит на памяти, и там, где изменяет память, там оказывается бессильной математическая сообразительность, которую вы, благодушный педагог, уже готовы были предположить в вашем речистом ученике» [1, стр. 132].

В приведенном отрывке очень выпукло обрисован формализм ученических знаний и навыков, выражающийся в отрыве словесной формы от содержания и явном преобладании этой формы над содержанием [2, стр. 110].

Каковы причины этой «местной тупости» учеников? Не создается ли их бессилие «искусственными средствами»? Не является ли оно естественным следствием «своеобразных достоинств системы преподавания»?

160 Минковский В.Л. Методико-математические идеи Д. И. Писарева (К 125-летию со дня рождения).// Математика в школе. - 1965. - №5. - С.85-87.

«У нас математика, - заявляет Писарев, - есть не что иное, как собрание сочинений Боско или Пинети; это ряд удивительных фокусов, придуманных бог знает зачем и бог знает какою эквилибристикою человеческого мышления»161 [1, стр. 132].

Уподобление школьного курса математики случайному набору балаганных фокусов было вызвано обычной в гимназиях того времени подменой содержательного изучения математики бессмысленной зубрежкой; забвением того, что «математические науки представляют непрерывную цепь истин, вытекающих одна из другой по логической необходимости» [1, стр. 132], а не бессистемный набор неизвестно откуда взявшихся предложений для тренировки механической памяти; отрывом науки от жизни, отсутствием межпредметных связей и даже наличием «бедственных междуусобий» между арифметикой, алгеброй, геометрией и тригонометрией.

Не мудрено, что подобная постановка преподавания математики постоянно и во множестве порождала «врагов математики», обычно именуемых аматематиками, из уст которых очень часто можно было слышать: «...математику ненавижу и в жизни своей не возьму больше в руки ни одного математического сочинения» [1, стр. 136].

Почему же мирились с таким положением? Разве учителя математики не осознавали плачевных результатов собственной деятельности? Неужели у них не возникало желания как-то изменить существующее положение?

Конечно, не все мирились. Были такие учителя, которые раскрывали своим ученикам красоту и величие математической мысли. Но они в такой степени диссонировали общей официальной традиции в преподавании математики, что «я, - с убийственным сарказмом пишет Писарев, прозрачно намекая на существующее положение вещей, - не шутя советую старшему педагогу, имеющему власть, обратить все свое внимание на (такого. - В. М.) учителя математики и отметить его в своих начальнических соображениях как опасного человека и беспокойного реформатора» [1, стр. 132-133].

В обучении математике должны достигаться материальная и формальная цели преподавания. И это необходимо осуществлять не только при воспитании мужчин. Д. И. Писарев в своей рецензии на одну из методических работ известного педагога-математика П. С. Гурьева утверждал, что к числу образовательных средств и при воспитании женщин следует «отнести рациональное, систематическое преподавание математических наук в том объеме, в каком они нужны каждому

161 Боско и Пинети - имена популярных итальянских фокусников, гастроли которых в России в 1850-1860 гг. пользовались успехом. Выражение «собрание сочинений Боско или Пинети» употреблено, конечно, иронически, обозначая: «различные фокусы».

образованному человеку сколько для приложения к жизни, столько и для формирования правильного, последовательного мышления» [3, стр. 80].

В 60-х годах предыдущего столетия эта защита прав женщин на математическое образование звучала и новаторски и смело.

Математические знания, по методической концепции Писарева, должны излагаться так, «чтобы самодеятельность ученика была постоянно возбуждена, чтобы мысль его, творя по своим естественным законам, постоянно убеждала его в непреложности истин, постоянно говорила его сознанию: это так, и иначе быть не может» [3, стр. 84].

В пробуждении умственных потребностей и активности ребенка, в осознании необходимости учения большую роль призвана сыграть история науки, ознакомление «с процессом деятельности человеческой мысли в лице ее лучших, самых развитых представителей» [3, стр. 85].

Высоко оценивая значение математического образования, Писарев выступал за повышение удельного веса математики в учебном плане школы. Он предлагал отвести на изучение этого предмета в каждом классе 6 часов в неделю, что значительно превосходило число еженедельных уроков математики в реальных гимназиях того времени.

Методико-математические взгляды Д. И. Писарева не только будили мысль, но и поражали современников своей революционной направленностью. Они разоблачали антинародную деятельность в области просвещения помещичье-дворянской бюрократии, ее стремление оградить школу от «вредоносного» влияния естественнонаучных знаний с их основной опасностью - материализмом - и тем самым закрыть народным массам дорогу к подлинно научному образованию.

Читателю нетрудно видеть, как близки многие из конструктивных предложений Писарева современной практике преподавания математики. Это относится и к дозировке математики в учебном плане школы, и главное, к основным принципиальным установкам при осуществлении математического образования.

Среди высказываний Писарева о развитии и преподавании математики есть и ошибочные. Так, например, нельзя согласиться с тем, что «время великих открытий и радикальных переворотов окончательно миновало для математики» [4, стр. 278-279]; что эта наука «никогда не будет давать никакой пищи ни чувству, ни воображению», что она «не может сделаться эстетически привлекательной» [5, стр. 352].

Влияние Д. И. Писарева на передовых деятелей математического образования дореволюционной России было весьма значительным. Ярко выраженным сторонником его идей, талантливо преломившим их в своей учительской и литературно-методической деятельности, был замечательный русский педагог-математик и революционер В. И. Обреимов (1843-1910) [6].

Методико-математические воззрения революционного демократа Д. И. Писарева, сыгравшие выдающуюся роль в формировании передовых идей русской и советской методики математики, не должны быть забыты.

Литература

1. Д.И.Писарев, Наша университетская наука. Сочинения в 4-х т., т. 2, Гослитиздат, М., 1955.

2. А. Я. Хинчин, О формализме в школьном преподавании математики, Педагогические статьи, М, 1963.

3. Д. И. Писарев, Подробный конспект преподавания первоначальной математики малолетним детям П. Гурьева, Избранные педагогические высказывания, Учпедгиз, М, 1938.

4. Д. И. Писарев, Педагогические софизмы, Избранные педагогические сочинения, изд-во АПН РСФСР, М, 1951.

5. Д. И. Писарев, Школа и жизнь, Избранные педагогические высказывания, Учпедгиз, М., 1938.

6. В. Л. Минковский, Василий Иванович Обреимов, «Математика в школе», 1951, №5.

Упражнения на отрицание в преподавании математики162

В. Л. Минковский (Орел)

Обучение математике, ориентирующееся на сознательное усвоение предмета и развитие математического мышления учащихся, осуществляется не только в направлении подтверждения тех или иных положений, но и в направлении отрицания некоторых из них. А это говорит о методической целесообразности использования определенной системы упражнений на отрицание. Под упражнениями на отрицание будем подразумевать вопросы, на которые предполагается получение аргументированных отрицательных ответов, доказательство отрицательных суждений, опровержение ложных доказательств.

Введение в школьный курс математики системы упражнений на отрицание не только глубоко оправдано положениями современной психологии восприятия, но и требованиями усиления внимания к изучению математической теории в частности и в особенности школьном курсе алгебры. В самом деле, многие вопросы, связанные с элементами исследования, наиболее естественно предлагать форме упражнений на отрицание. Вопросы на отрицание всегда создают проблемную ситуацию, ставя ученика в положение исследователя, который на пути отысканию истины довольствуется сперва догадкой, предположением, а затем доказывает его истинность.

162 Минковский В.Л. Упражнения на отрицание в преподавании математики.// Математика в школе. - 1967. - №5. - С.57-60.

Упражнения на отрицание являются хорошей пропедевтикой к решению задач на доказательство. Опровержение неверных утверждений, как правило, легче дается ученикам, чем утверждение истинности верных, Это и естественно, так как для опровержения общих высказываний достаточно привести только один противоречащий пример.

Проиллюстрируем сказанное на простом примере.

Теорема. Если а + Ь = 0, то \а\ = \b\.

Дано: я + £ = 0.Требуется доказать \а\ = \b\.

Доказательство: Из соотношения а + b = О следует, что а = -Ь, а поэтому \а\ = |- b\ = \b\.

Предложение обратное. Если |я| = |б|, то а + £ = 0. Иначе: верно ли утверждение: если \а\ = \b\, то а + Ь = 0?

Ученик даст правильный ответ, если приведет хотя бы такой пример: пусть а=7 и Ь=79 тогда а=Ь, но я+&=14^0, значит, сформулированное обратное предложение неверное.

Вопросы на отрицание по одному и тому же материалу можно значительно варьировать в отношении степени их трудности. Часто упрощение вопроса достигается ограничением степени его общности, расчленением его на несколько частных вопросов, которые в своей совокупности исчерпывают содержание общего утверждения.

Конкретизируем сказанное на примере, который полезно рассмотреть при изучении рациональных чисел.

Общая постановка вопроса: можно ли утверждать, что а+Ь больше а? Какие случаи здесь надо различать?

Расчлененная постановка того же самого вопроса: можно ли утверждать, что а+Ь>а, а) если Ь>0; б) если Ь<0?

Во многих случаях при выполнении упражнений на отрицание полезно использование таблиц, заранее заготовленных или составленных самими учениками по ходу работы.

Пример. Всегда ли а больше, чем al

Составим таблицу

На основе анализа данных этой таблицы, пользуясь неполной индукцией, подводим учащихся к выводам: 1) а больше а, если а<0 (т.е. если а - любое отрицательное число) и если а>\ \ 2) а равно а, если а = 0 или ö=l; 3) а меньше а, если 0<а<1.

Однако надо признать более целесообразным предварительно поставить вопрос в следующей форме: всегда ли а >а, если схфО и а ф 11

Здесь самой формулировкой вопроса мы не только сужаем степень его общности, но и фиксируем внимание учащихся на том, что не всегда а больше, чем а. Это осуществляется указанием тех значений а, при которых а оказывается равным а. А на долю ученика остается найти хотя бы одно такое значение а, при котором а<а, и затем попытаться подняться до обобщения своего утверждения.

В целях создания условий для наилучшего усвоения смысла некоторых операций (действий) порой полезно сочетать в одном задании два вопроса, ответ на один из которых положительный, а на другой -отрицательный.

Вопрос. Равны ли между собой выражения: 1) - а и (-а) ; 2) -а и (-а) ? Рассмотрите другие примеры, подобные предложенным. Сделайте обобщение высказанных утверждений.

Было бы методической ошибкой вопросы на отрицание ставить концентрированно, выделяя их в особо отрабатываемый раздел упражнений. Эти вопросы целесообразно ставить систематически, в должном сочетании с другими, но преимущественно в процессе изучения такого материала, в котором особо большую роль играют условия применимости тех или иных правил. К числу таких вопросов, например, в курсе алгебры VI класса относятся: обозначение чисел буквами, переход от множества неотрицательных рациональных чисел к множеству рациональных чисел, формулы сокращенного умножения и их использование.

Упражнения на отрицание способствуют преодолению формального подхода к изучению математики, сознательному усвоению предмета и формированию навыков абстрактного мышления. Включение их в общий комплекс упражнений создает благоприятные возможности для обеспечения должного соотношения между упражнениями, углубляющими знание теории и развивающими математическое мышление, и упражнениями чисто тренировочного характера.

Для выяснения степени эффективности систематического использования упражнений на отрицание в школьном курсе алгебры мы на протяжении последних двух лет осуществляли экспериментальную проверку определенной системы таких упражнений при изучении алгебраического материала в шестых классах (восьмилетняя школа № 21 г. Орла, учителя А. Т. Тихонова и Л. Г. Мелешко).

Выбор для эксперимента VI класса обусловлен следующими соображениями. Во-первых, в этом классе начинается изучение нового предмета - алгебры, возводится тот фундамент, который должен надежно поддерживать дальнейшее развертывание дисциплины, закладываются основы определенного стиля алгебраического мышления. Во-вторых, при

решении этих задач в практике работы школ допускается много типичных недостатков: неполное осознание основных алгебраических понятий и правил, увлечение работой по правилам и схемам при выполнении неправомерно суженного круга упражнений, наличие все еще неизжитого отрыва буквы от числа. В-третьих, формальное изучение первых тем алгебры весьма затрудняет содержательное овладение предметом в последующих классах.

Результаты эксперимента позволяют утверждать, что роль упражнений на отрицание значительна.

Предложенные нами алгебраические упражнения на отрицание оказались практически пригодными и достаточно эффективными. В интересах краткости изложения эти упражнения приводятся здесь обособленно, без воспроизведения всего комплекса упражнений курса алгебры VI класса. Если в формулировках упражнений не указывается, о каком множестве чисел идет речь, то подразумевается то множество, которым владеют ученики на данном этапе обучения.

Свои ответы учащиеся сопровождали по предложению учителя числовыми примерами, подтверждающими правильность ответа, а также противоречащими высказанному суждению.

Алгебраические выражения

1.Дано натуральное число а. Как написать число, в 5 раз большее его? Можно ли утверждать, что число 5а в 5 раз больше любого целого числа а?

2. Можно ли сказать, что число /?+7>7, каким бы ни было число pi

Примечание. Учеников следует подвести к такому ответу: «р+7 не всегда больше 7. При р=0 р+7=7. Можно только сказать, что при р>0 р+7>7».

3.При всяком ли а число Sa целое?

4. Справедливо ли утверждение: «Если 7а есть целое число, то и а -целое число»?

Примечание. Часто на этот вопрос отвечают утвердительно, рассматривая в качестве значений 7а только числа, кратные 7. Следует довести до сознания учеников, что 7а может быть любым целым числом и что целесообразно рассматривать его числовые значения в порядке их возрастания: 0, 1, 2, 3 и т. д.

5. Дано число # где р - целое, q - натуральное. Всегда ли существует число, обратное # ? Если нет, то при каком условии оно не существует?

Примечание. После устного ответа ученикам предлагается его письменное оформление.

Для данного числа q где /?ид-целые числа, q*0, не всегда существует обратное число. Оно не существует, если р=0, так как тогда q а для нуля нет обратного числа.

6. Записано частное от деления числа а на разность чисел b и с. Могут ли числа b ис быть равными? Если нет, то почему?

7. Верно ли, что ab равно а только при 6=1? Рациональные числа

1. Можно ли утверждать, что -а обозначает отрицательное число?

2. Всегда ли а больше -а?

Ответ: а) если а>0, то -а<0, а потому а> -а\ б) если а<0, то -а>0, а потому а<-а.

3. Могут ли два взаимно обратных числа быть противоположными по знаку?

4.Если a) \p\ = q> верно ли: Р = с1? б) Н>9' верно ли: Р>(*1 в) \p\<q> верно ли: Р < У ? Во всех случаях q - °* Дать развернутые ответы.

5. Если а) 1^1 ~ 1^1' верно ли: Р = У ? б) ^ > верно ли Р>(1?

6. Если Р < ^, верно ли: И < ^ ?

7. Можно ли из условий: и - сделать заключение, что х + уФ0 9

8. Если 0 * °, то при каких значениях аи b з) ab ^ а? б) ab < а?

9. а) Можно ли утверждать, что сумма чисел а и b всегда больше al Какие случаи здесь надо различать?

б) Те же вопросы относительно разности чисел аи Ь.

10. Справедливо ли утверждение: «Если аЪ>0, то я>0, b >0»?

11. Можно ли утверждать, что для любых чисел т<2т7 т>2т7

12. Во всех ли случаях произведение а-(-а) является отрицательным числом?

13. Может ли произведение (частное) двух взаимно обратных чисел быть отрицательным числом?

14. Может ли абсолютная величина произведения быть неравной произведению абсолютных величин сомножителей? Если нет, то почему?

15. Один из двух сомножителей увеличили на две единицы. Можно ли утверждать, что произведение увеличилось?

16. Может ли а) сумма двух отрицательных чисел быть больше их частного (произведения); б) разность двух отрицательных чисел быть больше их частного (произведения)?

17. Можно ли утверждать, что если рациональное число аф^ и я<1, то « ?

18. Изменится ли при изменении знака а на противоположный значение выражения а) 1+а , б) 1+я ?

19. Можно ли утверждать, что ; ; 1 1 ?

20. Доказать или опровергнуть следующие утверждения: 1) если я=0, то а3 = я2; 2) если я2=я3, то я=0?

Действия над целыми алгебраическими выражениями

1. Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом?

2. Может ли сумма двух последовательных четных чисел, делиться на 4?

3. Может ли сумма двух последовательных нечетных чисел не делиться на 4?

4. Может ли сумма пяти последовательных натуральных чисел не делиться на 5?

5. Существуют ли такие целые значения х, при которых а) многочлен 2х2 + 4х + 5 окажется четным числом, б) многочлен 7x3 + 6х2 + 5х + 2 окажется нечетным числом?

6. Установить, справедливы ли равенства: а) {a-b)2={b-af. б) (а + Ъ)2={-а- b)2 . в) {а + b)2 = (а - Ъ)2 при любых значениях аиЬ?

7. Имеет ли место равенство р ~ 14^ + 49 = + 7) ПрИ всех значениях pi Какими двумя способами можно изменить правую часть равенства, чтобы оно имело место при всех значениях pi

8. Справедливо ли равенство х + 4х - 4 = (х - 2) ПрИ всех значениях х? Как изменить левую часть равенства, чтобы оно было справедливо при всех значениях х?

9. При каких значениях а и b (a+b)2 больше, чем а2+Ь27 равно а2+Ь27 меньше, чем а2+Ь2с?

10. Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел делиться на 4?,

Мы глубоко убеждены в том, что существует реальная потребность в разработке примерной системы упражнений на отрицание по математике и для учащихся последующих классов. Богатые возможности для конструирования таких упражнений дают все основные линии развития школьного курса алгебры VII-X классов: тождественные преобразования, уравнения, функции, развитие понятия числа.

Рекомендуемое проектом новой программы введение терминов и обозначений из области математической логики открывает особо широкие перспективы для внедрения в школьные курсы алгебры и геометрии

упражнений на отрицание, так как применение современного логико-математического языка значительно облегчает и конструирование точных отрицаний и опровержение ложных предложений.

Василий Алексеевич Латышев163

В. Л. Минковский (Орел)

Ничего не может быть ошибочнее, как отбрасывать прошедшее, служившее для достижения настоящего.

А. И. Герцен

Василий Алексеевич Латышев родился 23 июля 1850 г. в семье помощника попечителя Петербургского учебного округа. Образование получил в родном городе - в гимназии и на физико-математическом факультете университета. В июле. 1872 г. он начинает преподавательскую деятельность в Гатчинской учительской семинарии. Но с открытием в октябре того же года Петербургского учительского института его переводят в это учебное заведение преподавателем-наставником.

В институте В. А. Латышев проработал 20 лет. Он обучал математике, вооружал своих слушателей знанием методики, руководил их пробными уроками, осуществлял воспитательные функции. Эта деятельность потребовала от Латышева напряженной работы по совершенствованию своей методической подготовка Ведь многим из учеников двадцатидвухлетнего наставника было около трех десятков лет, и они имели опыт учительской работы в начальной школе.

Формирование В. А. Латышева как методиста осуществлялось на основе глубокого и критического изучения педагогики, психологии, учебной и методической литературы по математике, приобретения личного опыта преподавания этого предмета в гимназии, осмысливания положительного и отрицательного в конспектах и на уроках воспитанников учительского института. Особое внимание он уделял выработке у будущих учителей умения анализировать преподаваемый материал и устанавливать рациональные способы его изложения.

Теоретическую деятельность в области методики математики В. А. Латышев начал с критического анализа методической мысли по арифметике в России. В журнале «Педагогический сборник» за 1878 г.

163 Минковский В.Л. Василий Алексеевич Латышев.// Математика в школе. - 1975. -№5.-С.81-83.

опубликована серия его обстоятельных и ценных по своей основной идейной направленности статей под общим заглавием «Исторический очерк русских учебных руководств по математике».

К концу семидесятых годов В. А. Латышев глубоко осознает необходимость создания такого органа педагогической печати, который бы пропагандировал идеи всеобщего начального образования, защищал интересы народной школы и ее преподавателей, помогал сельскому учителю повышать профессиональный и общекультурный уровень. И он основывает, издает и редактирует такой журнал под названием «Русский начальный учитель», выпускавшийся ежемесячно с января 1880 г. до конца жизни его издателя-редактора (по 1911 г. включительно). На протяжении 32 лет в журнале печатались методические работы учителей, в нем постоянно выступали передовые деятели народного просвещения (Я. Ф Бунаков, К. К. Сент-Илер, М. И. Демков, Н. А. Рубакин и др.), обсуждались проблемы работы начальной школы, помещались рецензии на книги для учащих и учащихся, письма школьных работников и другие материалы. «Русский начальный учитель» завоевал симпатии широких кругов народных учителей, каждый номер журнала ожидался ими как письмо верного друга, несущее моральную поддержку и ценные советы для непосредственной педагогической деятельности. Однако буржуазно-либеральная направленность журнала и утверждение его редактора, «что для правильного и успешного развития школы прежде всего необходимо не связывать школьного дела с какими бы то ни было политическими стремлениями» ([1], с. 4), не могли способствовать решению кардинальных вопросов народного образования.

Роль В. А. Латышева в разработке принципиальных основ методики математики исключительно велика. Он впервые в истории методико-математической мысли достигает органического сочетания психологии с методикой. Проанализировав это обстоятельство, Н. А. Менчинская делает вывод, что «можно с достаточным основанием считать, что Латышев в какой-то мере является родоначальником психологии обучения арифметике» ([2], с. 39).

Основным трудом В. А. Латышева, в котором он выступил как реформатор методики математики, является «Руководство к преподаванию арифметики». Впервые оно было опубликовано в 1880-1882 гг. в качестве приложения к номерам журнала «Русский начальный учитель». Второе издание этой работы появилось в 1897 г., а третье - в 1904 г.

Автор отказывается от метода изучения чисел, основанного на предположении, что числа, не превышающие сотню, доступны непосредственному созерцанию, который господствовал в пашей школе с начала шестидесятых до начала восьмидесятых годов. И в своем труде он делает одну из первых попыток последовательного проведения метода изучения действий, т.е. приемов выполнения действий на основе счета и

десятичной системы счисления, оказавшуюся удачной, поднимающей роль теории в начальном обучении математике.

Им осуждается распространенный обычай излагать в руководствах к преподаванию только тот метод, который выработан его составителем, так как при таком подходе читателю внушается ложная мысль, что успех обучения возможен только тогда, когда преподающий будет выполнять любое из указаний автора методики. Стремление ограничивать учителя узкими рамками техники обучения, выработанной тем или иным лицом, парализует личную инициативу преподающего и лишает его работу одухотворяющего начала. «Начинающим преподавателям подробно указывать приемы преподавания полезно, - утверждает В. А. Латышев, - но рядом с этим необходимо особенное внимание обращать на те теоретические соображения, которые руководят автором методики, потому что необходимо учить начинающих не приемам обучения только, но и вдумчивости в свое дело и умению проводить в курсе руководящую мысль» ([3], с. 2).

Протест В. А. Латышева против догматической и рецептурной методики закономерен. Он вызван пониманием непреложного факта, что учитель, знания и навыки которого по математике и ее методике не свободны от формализма, не способен учить учащихся в соответствии с принципом сознательности и активности в обучении. А именно этот принцип разработан Латышевым наиболее полно и глубоко.

Умение проводить в курсе руководящую мысль, пропагандируемое В. А. Латышевым, заключается в установлении таких связей между теорией и практикой в преподавании той или иной математической дисциплины, которые могли бы служить основой для сознательного усвоения материала и приобретения навыков выполнения умственной работы. В частности, при трактовке вопросов преподавания арифметики эту идею рекомендуется реализовать в плане следующих указаний: «Нужно, чтобы теория не излагалась ученикам и не » предшествовала практическим упражнениям, а чтобы, наоборот, теория постепенно вырабатывалась учениками и представляла собою ряд выводов из практических упражнений в вычислениях и в решении задач» ([3], с. 25). Но автор этим не ограничивается. Он доказывает, что процесс познания требует вторичного возвращения к практике, потому что знание становится подлинным, существенно обогащенным только в итоге своего применения в разнообразных случаях. Реализуя эту установку, до которой предшественники Латышева не поднимались, он весьма плодотворно разрабатывает вопросы методики решения задач. Он раскрыл значение задач в курсе арифметики: выяснена необходимость анализировать не только отдельные задачи, но и системы их; вводить подготовительные упражнения к решению трудных задач; уяснить на несложных задачах зависимости между величинами, входящими в условие; полноценно

осуществлять разбор задач; вырабатывать умение оформить письменно объяснение решения составной задачи.

В. А. Латышева волновала проблема повышения успеваемости по математике в школах различного типа. Он был убежден, что многих детей зачисляют в разряд неуспевающих только потому, что «дух предмета» -арифметики, алгебры или геометрии - «недостаточно разрабатывается, излагается теория, но не разъясняется метод работы по предмету, недостаточно обращается внимание на развитие в учащихся тех общих идей, которые связывают части предмета в одно стройное целое» ([4], с. 164). Вся система работы должна быть ориентирована на такую подготовку учащихся по математике, которая удовлетворяет сформулированным Латышевым критериям сознательности усвоения: отсутствие затруднений при изменении обычной формулировки вопроса, критический подход к заданию, уверенность в сказанном, свободное конструирование формы устного ответа, иллюстрирование утверждаемого собственными частными примерами, умение несколько изменить предложенное решение задачи или дать новое, осуществить проверку решения и т. п.

Очень большое внимание в трудах В. А. Латышева уделяется принципу научности обучения математике. «Элементарное обучение может упрощать и ограничивать содержание сообщаемых знаний, -разъясняет он, - но ни в каком случае не искажать их характера» ([5], с. 157). Чаще всего нарушение научности обучения связано с тем, что учитель не проявляет заботы о предупреждении ошибок своих учащихся. Так, например, одного умолчания о некоторых признаках того или иного понятия может быть достаточно для того, чтобы учащиеся приняли частные случаи за общие и не допускали даже мысли о возможности существования других. Но не следует ограничиваться и тем, что понятие выработано и закреплено на традиционной системе упражнение. Полезно вводить упражнения, требующие отрицательного ответа, потому что анализ последних побуждает учащихся к осознанию тех условий, при соблюдении которых изучаемое понятие применимо.

Много плодотворных идей высказал В. А. Латышев о систематичности и последовательности в обучении математике. Он выступал против увлечения концентрическим расположением материала. В частности, он указывал, что линейное построение курса геометрии даст значительный выигрыш во времени, резерв которого можно использовать на обогащение курса упражнениями и теоретическим материалом. Еще большее зло Латышев видел в «эпидемии» на подготовительные курсы всех предметов. Он доказывал, что все приемы мышления сводятся к ограниченному числу основных, различные приемы встречаются в одном и том же предмете, а потому занятия одним из них должны подготовлять к изучению других. Отсюда делается вывод огромной принципиальной

важности: «Все предметы преподавания должны быть расположены в известный последовательный ряд (и естественный), так чтобы они гармонически развивали различные, но всегда соответствующие возрасту способности. Тогда каждый из них будет служить подготовкой к другому, можно будет сберечь время и лучше развить ученика, обходясь без приготовительных курсов» ([6]).

Около двух десятилетий В. А. Латышев занимал крупные административные посты: директор народных училищ Петербургской губернии (1892-1902), помощник попечителя Петербургского учебного округа (1902-1909), член совета министра народного просвещения (1909-1912). Новое служебное положение предоставило Латышеву значительно большие возможности для проведения своих педагогических взглядов и проверки их на практике. В частности, он уделял много внимания вопросу о разумном сокращении требований по отдельным предметам, чтобы у детей оставалось время для самостоятельных занятий любимым делом вне программ школы; он стремился внедрить в жизнь такую систему обучения в начальных классах, которая давала бы не только грамотность, но и умение владеть книгой; он неустанно разрабатывал проблему введения всеобщего начального обучения. По его инициативе учителей в какой-то степени стали привлекать к обсуждению некоторых насущных вопросов народного образования, были организованы первые в России летние общеобразовательные курсы для учителей в Павловском дворце (1899-1907), осуществлялись и отдельные частные мероприятия по облегчению тяжелого материального положения сельских учителей. Однако все эти преобразования ограничивались только тем, что можно было сделать в рамках буржуазно-либеральной чисто просветительской деятельности.

Чувства любви, уважения и острой личной причастности к судьбе сельского учителя пронес В. А. Латышев через всю свою сознательную жизнь, его служебное повышение не отзывалось на его журнале и на отношении к людям ([7], с. 353). Случайно, конечно, но тем не менее символично, что смерть застала его за правкой рукописи сельского учителя. Это произошло 25 января 1912 г.

Литература

1. «Русский начальный учитель», 1880, № I.

2. Менчинская Н.А., Психология обучения арифметике. Учпедгиз, М., 1955.

3. Латышев В.А., Руководство к преподаванию арифметики. Изд. 3. - М., 1904.

4. Латышев В.А., О преподавании алгебры в гимназиях. «Русская школа», 1893, №9и10.

5.Латышев В.А. Геометрия в городских училищах. «Русская школа», 1893, № 3. 6.Латышев В.А. О преподавании геометрии. «Педагогический сборник», книжка XII, СПБ, 1877.

7.Бунаков Н.Ф. Моя жизнь в связи с общерусской жизнью, преимущественно провинциальной. СПБ, 1909.

Владимир Николаевич Молодший164

(К 70-летию со дня рождения)

В. Л. Минковский (Орел)

В. Н. Молодший родился 1 марта 1906 г. в семье архитектора в Белгороде-Днестровском (ныне Одесской области). Осиротев десятилетним мальчиком, Владимир Молодший вынужден был помогать матери зарабатывать на жизнь. Свою учебу в школе он совмещает с работой в качестве рассыльного, ученика в мастерских, счетчика в статбюро. Завершив среднее образование в одной из вечерних школ г. Барнаула, В. Н. Молодший поступает в Иркутский университет, физико-математическое отделение педфака которого он заканчивает в 1928 г.

За университетом следует год работы в школе, а затем трехгодичная аспирантура при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова. На основе защиты диссертации «Гипотеза континуума и арифметика алефов» В. Н. Молодшему в 1936 г. присуждается ученая степень кандидата физико-математических наук, а в 1939 г. ученое звание доцента.

В 1967 г. В. Н. Молодший удостаивается ученой степени доктора физико-математических наук; им защищалась диссертация на тему: «Основы учения о числе в XVIII и начале XIX веков». В 1971 г. ему присваивается ученое звание профессора.

Трудовая деятельность В. Н. Молодшего отражает сферу его разнообразных научных интересов. Он работал научным сотрудником Коммунистической академии, Института философии АН СССР, редактором Учпедгиза, членом редколлегии журнала «Математика в школе», доцентом и профессором Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина и других высших учебных заведений Москвы.

В. Н. Молодший в своей кандидатской диссертации доказал весьма элементарными средствами независимость континуум-гипотезы от некоторой системы аксиом, характеризующей кардинальные числа. Тем самым впервые была выдвинута идея о возможной независимости

164 Минковский В.Л. Владимир Николаевич Молодший.// Математика в школе. - 1976. -№1.-С.83-84.

континуум-гипотезы от принципов теории множеств. Публикация этой диссертации (1939) была осуществлена значительно ранее появления работ Гёделя и Коэна о континуум-гипотезе и содержит один из первых конкретных результатов, идущих в направлении разъяснения положения континуум-проблемы в теории множеств.

Общее число опубликованных В. Н. Молодшим книг и статей близко к 60. Многие из его статей (27) были напечатаны на страницах журнала «Математика в школе». Из этих публикаций считаем полезным выделить как наиболее значительные следующие: «Энгельс о математике» (1939, № 1), «Аксиоматический метод» (1939, № 5), «Понятие комплексного числа в его развитии» (1947, № 1), «О некоторых гносеологических вопросах математики» (1951, №6), «Об истолковании роли аксиомы индукции в системе аксиом арифметики натуральных чисел» (1954, № 3), «О простейших геометрических интерпретациях арифметики комплексных чисел» (1966, № 2), «О математических рукописях К. Маркса» (1969, № 1), «О роли Н. И. Лобачевского в жизни и деятельности И. Н. Ульянова» (1970, № 5), «Ленин и первые шаги советской математики» (1972, № 5).

Многие работы В. Н. Молодшего были опубликованы в Трудах математических съездов, Трудах института истории естествознания АН СССР, Трудах Тбилисского математического института, Ученых записках МГУ имени М. В. Ломоносова, Докладах высшей школы, Историко-математических исследованиях, Литературном наследстве и в различных сборниках статей.

С большим полемическим накалом написана статья В. Н. Молодшего «Был ли Евклид последователем Платона?» («Историко-математические исследования», вып. II, 1949). Автор убедительно показал, что как в теории доказательства, так и в понимании критерия истины в математике вообще Евклид не следовал за Платоном. Учителем Евклида в этих вопросах был Аристотель - методологические основы «Начал» основаны на его идеях и логике.

Монографии В. Н. Молодшего «Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века» (1963, изд. 2) и «Очерки по философским вопросам математики» (1969, изд. 2) посвящены весьма важным и актуальным вопросам истории развития оснований математики и, кроме того, содержат некоторые из математических достижений автора.

В первой из указанных монографий автор не ограничивается исследованием основополагающих научных трактатов по той или иной проблеме, но и прослеживает процесс внедрения новых идей в практику преподавания. В ней эволюция методов обоснования учения о числе рассматривается в органической связи с характеристикой методических проблем и способами их решения математиками и методистами. Сугубо внимательное, предельно уважительное отношение В. Н. Молодшего к порой уже забытым учебным руководствам и их авторам позволило

сделать достоянием современной исторической науки многие поучительные нюансы трактовки учения о числе.

Во второй монографии осуществляется анализ общих философских вопросов математики и тех ее основных методологических проблем, которые возникали в процессе ее развития от античного периода до начала XX в.

В работах В. Н. Молодшего рассмотрение достаточно глубоких исторических и философских вопросов математики соединяется с большой доходчивостью изложения; они доступны не только преподавателям математики, но и учащейся молодежи.

Пожелаем же Владимиру Николаевичу еще многих лет плодотворной творческой деятельности.

Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской

(К 100-летию со дня рождения)165

В. Л. Минковский (Орел)

Д. Д. Мордухай-Болтовской родился 9 августа 1876 г. в семье инженера в г. Павловске Петербургской губернии. Образование получил в Петербурге - сначала в гимназии, а потом на физико-математическом факультете университета. Окончив университет в 1898 г., он по рекомендации своих университетских учителей А. А. Маркова и К. А. Поссе начинает преподавательскую деятельность ассистентом профессора Г. Ф. Вороного в Варшавском политехническом институте.

Напряженная педагогическая работа не стала помехой для подготовки к магистерским экзаменам. Сдав экзамены в 1900-1901 гг., Дмитрий Дмитриевич развертывает интенсивную научную деятельность в области математического анализа; он печатает 6 работ и в 1906 г. защищает в Петербургском университете диссертацию на ученую степень магистра чистой математики по теме «О приведении абелевых интегралов к низшим трансцендентным». Степень доктора физико-математических наук была присуждена Д. Д. Мордухай-Болтовскому - тогда уже автору более сотни ценных работ - в 1935 г. без защиты диссертации.

В 1909 г. Дмитрий Дмитриевич избирается профессором математики Варшавского университета. Во время первой мировой войны он вместе с университетом переезжает в г.Ростов-на-Дону. С 1915 по 1950 г. в университете и пединституте этого города протекала научно-педагогическая деятельность Д. Д. Мордухай-Болтовского, если не считать перерыва, вызванного тяжелым ранением осколками вражеской бомбы в

165 Минковский В.Л. Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской (К 100-летию со дня рождения).// Математика в школе. - 1976. - №4. - С.80-82.

1942 г. и эвакуацией. В 1950 г. он перешел на работу в пединститут г. Пятигорска. Приехав в 1952 г. на зимние каникулы в г. Ростов, Д. Д. Мордухай-Болтовской 7 февраля скоропостижно скончался.

За скромной хронологической канвой жизни Дмитрия Дмитриевича Мордухай-Болтовского скрывается огромный труд исключительно разностороннего ученого и педагога. В трех сотнях его публикаций исследовались вопросы различных отделов анализа, теории чисел, геометрии, теории вероятностей, математической логики, математической биологии, небесной механики, психологии, истории математики и методики преподавания математики. Столь же разнообразной была и лекторская деятельность Дмитрия Дмитриевича: в университете и пединституте ему приходилось читать в разное время почти каждый из обязательных математических курсов, многие спецкурсы, а иногда и курсы астрономии и механики.

Разнообразие научных интересов не помешало Д. Д. Мордухай-Бол-товскому оставить глубокий след в разработке очень многих проблем математики, ее истории и методики преподавания.

Д. Д. Мордухай-Болтовской внес свою лепту в исследование 22-й проблемы Гильберта. В 1913 г. он обнародовал свои первые изыскания о трансцендентных числах (дополненные впоследствии в 1926 г.), являющиеся серьезным подступом к решению 7-й проблемы Гильберта, полностью решенной в 1934 г. другим советским математиком -А. О. Гельфондом.

Богаты интересными результату работы Д. Д. Мордухай-Болтовского по интегрированию трансцендентных функций в конечном виде и решению дифференциальных уравнений в квадратурах. В частности, в 1926 г. им обобщен известный результат Чебышева относительно интегрируемости дифференциального бинома в элементарных функциях включением случая иррациональных показателей.

Большой вклад внес Д. Д. Мордухай-Болтовской в разработку неевклидовой геометрии. Ему принадлежит решение основных задач на построение в плоскости Лобачевского, что положило начало созданию общих основ теории этих построений. Он исследовал и диаметральные свойства алгебраических кривых в той же плоскости, а также разработал многие вопросы механики для пространства Лобачевского.

В работах Д. Д. Мордухай-Болтовского, относящихся к многомерной геометрии, дано применение начертательной геометрии трех- и четырехмерных пространств для построений в ограниченной части плоскости и доказан ряд стереометрических теорем методом проектирования из пятимерного пространства в трехмерное.

Более трех десятков работ Дмитрия Дмитриевича посвящены истории математики. Исключительно ценным вкладом в русскую научную литературу являются его переводы с латинского математических

сочинений Ньютона (1937) и с греческого «Начал» Евклида (1948-1950). Каждое из этих изданий существенно обогащено весьма содержательными математическими, историческими и методическими комментариями, отражающими итоги многолетних исследования Д. Д. Мордухай-Болтовского. В других его публикациях по истории математической мысли анализируется происхождение таких основных понятий, как число, функция, уравнение, предел и т.д. Нельзя не заметить, что в историко-математических работах Дмитрия Дмитриевича проявлено не только поразительное знание и понимание текстов классических произведений, но и старых, большей частью забытых, учебников и пособий.

Дмитрий Дмитриевич не представлял своего существования без научной работы. Но с не меньшим энтузиазмом он относился и к своей педагогической деятельности.

Формирование методических взглядов Д. Д. Мордухай-Болтовского началось с последних лет прошлого века. Выполняя обязанности ассистента профессора Г. Ф. Вороного, Дмитрий Дмитриевич вступал с ним в горячие споры, доказывая, что его оригинальный и очень строгий курс анализа для будущих инженеров «в методическом отношении не выдерживает никакой критики, так как студенты, не будучи в силах его одолеть, можно сказать, по задачникам приобретают только формальные навыки дифференцирования и интегрирования». [1] В частности, начинающий педагог категорически возражал против заполнения одной трети раздела дифференциального исчисления детально изложенной теорией иррациональных чисел Г. Кантора. Эта полемика была глубоко принципиальной: одна сторона опиралась на тезис, что не существует двух наук - для посвященных и непосвященных, а другая ратовала за построение курса математики в соответствии с основным профилем данного учебного заведения.

Перейдя к самостоятельной преподавательской работе, Дмитрий Дмитриевич остро ощутил недостаточность предусмотренных учебным планом форм общения профессора со своими студентами. И в 1911 г. он организует математический семинар, весьма интересный по тематике, который за 14 лет своего существования заслушал и обсудил доклады не только студентов, но и самого руководителя. Прекращение работы этого семинара было вызвано тем, что Д. Д. Мордухай-Болтовской переключился на руководство методическим коллоквиумом, организованным в связи с преобразованием физмата университета в отделение его педфака (1924). Этот коллоквиум сразу стал высшей школой методики для преподавателей и студентов старших курсов университета, а затем и многих учителей школ города и приобрел значение общегородского научно-методического центра. Его тематика отличалась большим разнообразием: в ней находили отражение актуальные вопросы не только преподавания математики в средней школе, но и высшей

математики. Коллоквиум провел около сотни занятий. Многие из докладов, апробированных на его собраниях, появились в печати, в частности на страницах журнала «Математика в школе».

Руководство коллоквиумом требовало от Дмитрия Дмитриевича непосредственного знания школы. С этой целью он в разное время работал по совместительству в средних общеобразовательных школах, техникумах и на различных курсах.

В некоторых воспоминаниях о Д. Д. Мордухай-Болтовском указывается, что он не был блестящим лектором. Действительно, в его лекциях не было внешнего блеска, допускались паузы для раздумья, для подыскания наиболее подходящего слова, выражения, порой и продолжения доказательства, но слушатели непрерывно ощущали, что они являются свидетелями и в некоторой степени участниками творческого развертывания живой мысли. Все это побуждало к проявлению самостоятельности, к желанию задать вопрос и высказать свое мнение.

Очень большое значение в организации учебной и научной работы Дмитрия Дмитриевича и его учеников имел математический кабинет, организованный при университете. По богатству и оригинальности своих коллекций он был уникальным. Все изготовлялось собственными руками Д. Д. Мордухай-Болтовского или под его руководством студентами, аспирантами и мастерами-специалистами. Особо сильное впечатление производили оригинальные стеклянные модели, относящиеся к многомерному пространству. Среди них были и такие, которые представляли собой своеобразную материализацию новых идей Мордухай-Болтовского. Сам Дмитрий Дмитриевич называл их своей окристаллизованной мыслью.

Д. Д. Мордухай-Болтовской больше всего ценил в себе качества учителя. На экземплярах своих книг и оттисков статей, преподносимых ученикам, он неизменно указывал: «От старого учителя». Этим, вне сомнения, подчеркивалось особое уважение к учительской профессии. Недаром еще в 1914 г. он писал, что «проблема создать ученого: научить знанию и научной работе - более простая проблема, чем проблема создать учителя: научить учить». [2]

Дмитрий Дмитриевич высмеивал тех работников высшей школы, которые кичились своим негативным отношением к методике. Он был убежден: методика отрицается просто потому, что ее не знают и не подозревают даже, какие «она таит в себе огромные возможности для развития». [3] Но это непризнание чревато тяжелыми последствиями: оно превращает профессора в лекционную и экзаменационную машину. Исходя из тезиса, что за методикой средней школы рождается методика высшей, Д. Д. Мордухай-Болтовской в 1914 г. писал: «Каждый профессор должен знать среднюю школу, должен пройти через нее, раньше чем быть допущенным к чтению курса в университете». [2]

Но с особой остротой Дмитрий Дмитриевич ставил вопрос о необходимости усиления внимания к интенсивной разработке методических проблем в пединститутах СССР, которым для этого предоставлены исключительно благоприятные возможности. Пединститут, как вуз, готовящий учителей, утверждал Д. Д. Мордухай-Болтовской, должен иметь и свою специфическую область исследовательской работы -педагогику, психологию, методику. Необходимо только полностью преодолеть вредное и глубокое заблуждение - взгляд на методику, как на ненаучный придаток чего-то, а также осознать, что эту науку, как имеющую дело с живым человеком, следует отнести к разряду самых трудных.

Такой высокой оценки методических исследований Дмитрий Дмитриевич придерживался на протяжении всей своей педагогической деятельности. Признание его собственных заслуг в области методики выразилось, в частности, в факте включения Д. Д. Мордухай-Болтовского в состав Русской национальной подкомиссии Международной комиссии по математическому образованию (1910).

Д. Д. Мордухай-Болтовской придавал очень большое значение разработке проблем истории методики математики. Во-первых, утверждал он, даже среди исторически преодоленных методических заблуждений можно «высмотреть и методическую правду». [4] Во-вторых, каждому педагогу-математику для осознания своей творческой миссии необходимо понять, что все методическое настоящее - это результат незаметной работы многих поколений педагогов.

Д. Д. Мордухай-Болтовской неоднократно подчеркивал, что методика математики в большей степени наука будущего, чем настоящего. По его мнению, она достигнет необходимой высоты научного уровня только тогда, когда, опираясь на строго установленные психологические требования, окажется способной решать следующую проблему: возможно ли определенное положение разъяснить и обосновать для лица определенного возраста. Однако он был совершенно чужд нигилистического подхода к. возможностям возраста. Наоборот, он утверждал, что «не следует смотреть на ребенка, изучающего математику, как на существо, способное в настоящее время постигнуть только то, что постигал Евклид; необходимо воспитать те способности, тот характер мышления, который дается ближайшими к нам стадиями эволюции человеческой мысли». [2]

Искусство методиста и заключается в разработке такой системы изложения, которая позволяет преодолеть антагонизм психологических и логических требований. Такая обработка математического материала абсолютно необходима, так как возможность вывода математических положений из аксиом не означает еще возможности их познания -познание не дается одной логикой. Возникающая потребность в

воспитании интуиции не только является неизбежным методическим коррективом, но и обязательным условием для развития творческих способностей в области математики. «Интуиция, - утверждал Дмитрий Дмитриевич, - а не формальная логика с логическими обозначениями представляет те крылья, на которых мы улетаем в самые отдаленные области абстракции». [5]

Д. Д. Мордухай-Болтовской настойчиво пропагандировал включение истории математики в цикл обязательного материала для изучения в средней школе. Он указывал на целесообразность издания систематизированных исторических комментариев к учебникам. Написание таких дополнений к учебным книгам, по его мнению, следовало поручать лицам, обладающим солидной историко-математической подготовкой, даром слова и популяризации.

Несколько слов о Дмитрие Дмитриевиче как человеке. Общение с ним доставляло подлинное удовольствие. Сердечный, очень простой, по-доброму требовательный человек, он был подлинным учителем и наставником молодежи.

Д. Д. Мордухай-Болтовской воспитал многих учеников, ставших известными математиками. Таковы Н. Я. Авдеев, А. Ф. Бермант, Н. В. Ефимов, Р. И. Кирищиев, Б. Я. Левин, К. К. Мокрищев, Н. В. Наумович, Н. М. Несторович, М. Г. Хапланов, М. П. Черняев и многие другие.

После Д. Д. Мордухай-Болтовского осталось в рукописях около полутораста (!) неопубликованных научных работ. Они хранятся в Ленинградском отделении архива АН СССР и ждут своих исследователей. Кроме работ по анализу, теории функций, теории чисел, механике, геометрии, философии, логике, методике, истории науки есть работы по биологии («Биологическая аксиоматика», «Деление яйца и планиметрические конфигурации» и многие другие) и даже по генеалогии (например, «О великорусском элементе в литовско-русском боярстве XVI века»).

Славное имя Д. Д. Мордухай-Болтовского навсегда сохранится в истории отечественной математики и преподавания.

В настоящем очерке в некоторой степени использованы и машинописные рукописи методических работ Дмитрия Дмитриевича. За их представление в мое распоряжение выражаю сердечную благодарность Ф. Д. Мордухай-Болтовскому.

Литература

[1] Мордухай-Болтовской Д. Д. Научная строгость и методика математики (рукопись).

[2] Мордухай-Болтовской Д. Д. Второй всероссийский съезд преподавателей математики. Варшава, 1914.

[3] Мордухай-Болтовской Д. Д. Об аспирантуре в педагогических институтах. -«Народное образование», 1948, № 4.

[4] Мордухай-Болтовской Д. Д. Основы арифметики в середине XVIII в. -«Математика в школе», 1941, № 4.

[5] Мордухай-Болтовской Д. Д. Четыре лекции по философии математики. Варшава, 1913.

С. И. Шохор-Троцкий - педагог-новатор

(К 125-летию со дня рождения)166

В. Л. Минковский, Л. И. Муромцева (Орел)

Имя этого выдающегося педагога-математика неразрывно связано с историей борьбы прогрессивных сил дореволюционной России против школы муштры и зубрежки. Все его многочисленные работы по педагогике, психологии и методике математики были посвящены разработке теории и описанию практики воспитания мыслящего и инициативного гражданина своей страны.

Семен Ильич Шохор-Троцкий родился 14 января 1853 г. в г. Каменец-Подольске.

Завершив среднее образование в гимназии г. Херсона, Шохор-Троцкий поступил в Петербургский институт путей сообщения [1], а в 1877 г. уехал за границу для совершенствования своих знаний.

На протяжении четырех лет СИ. Шохор-Троцкий, посещая лекции известных профессоров немецких университетов и штудируя разнообразные труды, приобретал основательные познания по избранным им математическим, физическим, философским и педагогическим дисциплинам. Свою интенсивную учебу он удачно сочетал с плодотворной научной деятельностью, результаты которой публиковались в русских журналах (35 статей), в том числе и его первая большая научно-методическая работа «Математика как предмет общего образования».

В 1882 г. С. И. Шохор-Троцкий возвращается в Россию. В Петербурге развертывается его разнообразная литературная деятельность. Он был помощником редактора сначала журнала «Семья и школа», а затем - журнала «Русская школа». Но наиболее важной вехой на творческом пути Семена Ильича явилась опубликованная им в 1886 г. «Методика арифметики с приложением сборника упражнений по арифметике для

166 Минковский В.Л., Муромцева Л.И. СИ. Шохор-Троцкий (К 125-летию со дня рождения) // Математика в школе. - 1978. - №1. - С.84-86.

учащих», в которой он выступил с пропагандой «методы целесообразных задач», о сущности которой будет сказано ниже.

Окончание высшей школы за границей не давало тогда права преподавания в России. В 1887 г. Шохор-Троцкому пришлось сдавать экзамен на звание домашнего учителя, и только после этого он получил возможность преподавать в гимназиях.

С 1887 г. Семен Ильич Шохор-Троцкий с исключительной энергией отдается непосредственной педагогической деятельности в самых разнообразных учебных заведениях - от начальной школы до высшей. Он преподавал в женских гимназиях и институтах, в Кадетском корпусе, на педагогических курсах военно-учебных заведений, в Педагогической академии Лиги образования, на Фребелевских педагогических курсах, в Психоневрологическом институте, а также в созданной после революции Педагогической академии и в Каменноостровском сельскохозяйственном институте. К этому нельзя не добавить, что, стремясь всеми средствами распространять прогрессивные педагогические идеи, Семен Ильич начиная с 1896 г. ежегодно отказывался от летнего отдыха и принимал приглашения земских управ самых различных уголков России руководить педагогическими курсами и читать лекции по методике математики.

Отношение Ученого комитета Министерства народного просвещения к многочисленным методическим и учебным пособиям С. И. Шохор-Троцкого радикально изменилось с 1904-1905 гг. Если до указанного времени его книги одобрялись и даже рекомендовались для библиотек учебных заведений, учителей и учащихся, то после него они стали подвергаться только гонениям. Такое изменение официальной оценки было вызвано тем, что в этот период Семен Ильич примкнул к группе большевиков РСДРП и стал открыто пропагандировать свои политические убеждения ([2], с. 93). Положение еще более усугубилось после его увольнения 5 января 1906 г. с должности преподавателя Смольного и Александровского институтов за участие в Декабрьской политической стачке 1905 г.

Большую роль в революционизировании русского учительства сыграла статья С. И. Шохор-Троцкого «Учитель и политические партии» (1907). В ней убедительно доказывается, что школа всегда была орудием политики. В настоящее же время, утверждает автор, в любой из школ России эта политика осуществляется чаще всего противообщественным русским правительством. Последнее лицемерно заявляет, что оно желает иметь дело с учителем полностью беспартийным, подразумевая под этим его идейную принадлежность только «к партиям, признанным со стороны попечительного начальства наиболее отвечающим «видам правительства» ([3], с. 36). Но если согласиться с тем, что учитель - это не тот человек, который не смеет свое суждение иметь, а истинный гражданин своей страны, то логическим выводом отсюда и будет признание за ним не

только права, но даже обязанности принадлежать к такой партии, программа которой была бы совместима с его профессиональным долгом и требовала от него борьбы вместе «со всеми своими согражданами за лучшее будущее и за это право» ([3], с. 37).

В архиве АПН СССР хранится письмо Семена Ильича к прогрессивному деятелю народного просвещения В. П. Вахтерову, полное гневных строк о столыпинском режиме, который залил родину потоками крови и покрыл ее просторы тюрьмами и виселицами. В материалах того же архива находятся и статьи Шохор-Троцкого «Кричите, сколько хотите», «Не помогло и не поможет» и др., призывающие народ к политической борьбе с ненавистным самодержавным строем.

Твердо веря в светлое будущее родной страны, Семен Ильич утверждал, что «Россия вступила, во всяком случае вступит в новый период своей истории», а обращаясь к правительству, заявлял: «Вашей, никем и ничем не контролируемой, деспотической власти не только наступит, но уже наступил конец».

Со времени первой русской революции С. И. Шохор-Троцкий страстно боролся с многочисленными препятствиями на пути развития просвещения в царской России, в том числе с бесправным положением учительства. В приветственной телеграмме Учительскому съезду в Москве в апреле 1914 г. он писал: «Желал бы надеяться на то, что русское учительство в скором будущем свободно и безболезненно будет обсуждать меры к оздоровлению тяжко больной русской школы. Без полноправного учителя нет школы».

С. И. Шохор-Троцкий неоднократно принимал участие в работе различных комиссий по разработке планов и программ учебных заведений разного типа как в дореволюционное, так и в советское время. Довольно часто он выступал с весьма содержательными докладами на учительских съездах.

Говоря о заслугах С. И. Шохор-Троцкого в разработке важнейших проблем обучения и воспитания, необходимо прежде всего сказать о нем как о педагоге, впервые воплотившем идеи проблемного обучения (по его терминологии «методы целесообразных задач») в системе преподавания школьного курса математики. Сущность этой «методы» заключается в построении всего курса математики на целесообразно подобранных задачах. Здесь слово «задача» понимается в самом широком смысле, включая и так называемые задачи-вопросы, и задачи-задания (например, по вычерчиванию фигур, по изготовлению наглядных пособий и т. п.). Постановкой каждой из таких задач преследуется одна общая цель -обеспечение самодеятельности учащихся, развитие их интеллекта и способностей, пробуждение подлинной активности и интереса к сознательно усваиваемому материалу.

В последние годы в нашей стране и за рубежом идет, как известно, интенсивная разработка теоретических основ и путей осуществления проблемного обучения. Советские педагоги с полным основанием считают Шохор-Троцкого основоположником этого направления. Однако следует заметить, что идея метода целесообразных задач высказывалась и до Шохор-Троцкого. Кстати, на это обстоятельство обращал внимание и он сам, но замечал, что его предшественники ограничивались только декларацией этой идеи, а ему удалось реализовать ее в форме последовательной методической системы, над разработкой которой он трудился около 35 лет.

С. И. Шохор-Троцкий был одним из инициаторов реформы математического образования. В частности, в своем труде «Цель и средства преподавания низшей математики с точки зрения требований общего образования» (Спб., 1892) он впервые выдвинул одну из основных идей реформы - положить в основу школьного курса математики изучение функциональной зависимости.

В начале 70-х гг. прошлого века в нашей стране началась борьба с так называемым методом изучения чисел. Этот метод, принадлежащий немецкому педагогу Грубе, господствовал в русской школе с начала 60-х до начала 80-х гг. благодаря тому, что его применение крайне упрощало работу преподавателя, которая сводилась к простому воспроизведению многочисленных и однообразных числовых комбинаций. Этот метод опирался на чисто умозрительное предположение его создателя, что «непосредственному созерцанию доступны все числа от 1 до 100». Это предположение основывалось лишь на вере в существование у человека врожденных числовых представлений (отсюда ставка на «дух, созерцающий себя»). Однако наблюдениями и данными экспериментов было установлено, что таких врожденных представлений не существует, а выучивание наизусть всех разложений каждого натурального числа первой сотни на все числа, ему предшествующие, требует удержания в памяти более пяти тысяч числовых формул, что практически недостижимо. Вполне естественно, что метод изучения чисел, который в силу своей принципиальной порочности не мог обеспечить должное усвоение арифметики даже при некоторых его коррективах (в том числе весьма содержательных, как, например, В. А. Евтушевского), стал вызывать критические выступления в печати. В числе его ярых противников были Л. Н. Толстой, П. С. Гурьев, А. И. Гольденберг и В. А. Латышев. Они противопоставили методу изучения чисел метод изучения действий, т. е. приемов выполнения арифметических операций на основе счета, который вполне оправдал себя на практике и поднял роль теории в начальном обучении математике. Однако рецидивы метода изучения чисел на протяжении длительного времени не поддавались искоренению. Целый ряд своих статей Семен Ильич посвятил тщательному анализу

произведений этого направления, последовательно отстаивая материалистический подход к вопросам преподавания математики на основе выводов современной ему педагогики и психологии.

С. И. Шохор-Троцкий резко выступал против существовавшей тогда системы обучения в гимназиях. Он был убежден, что неуспеваемость по математике в значительной степени является результатом пренебрежительного отношения учителей к психологии. Эту мысль он выразил весьма четко в докладе на Первом всероссийском съезде преподавателей математики: «Учитель, не умеющий или не желающий считаться с тем, что учащийся математике должен интересоваться предметом и его вопросами, что он должен испытывать радость по поводу одолеваемых им трудностей, должен испытывать чувства умственного, нравственного и эстетического удовлетворения, уважения к науке, удивления по поводу добываемых ею результатов и т. д., - такой учитель, конечно, не удовлетворяет современным требованиям психологии. Он не считается с тем, что учащийся - не бездушный сосуд, в который надо сваливать полагающийся по программе учебный математический материал, а человек в полном смысле этого слова с бесконечно богатым миром душевных переживаний, на который он, как таковой, имеет полное право» ([4], с. 67). Оценивая заслуги Шохор-Троцкого в разработке конкретных проблем психологии арифметики, Н. А. Менчинская, указывает, что до него ни один из методистов не высказал таких содержательных и принципиально правильных мыслей по вопросу о навыке при обучении арифметике, какие впервые были сформулированы в его методике для учителей начальной школы.

С. И. Шохор-Троцкий проявлял постоянную заботу о том, чтобы занятия математикой были привлекательны для учащихся и своей эстетической выразительностью. Он утверждал, что одна из основных причин ходячего мнения о «сухости» математики в «полном почти отсутствии достаточного внимания школы к эстетическим требованиям, которым должны удовлетворять воспитание и обучение» ([5], с. 392).

Семен Ильич разработал методику обучения арифметике совместно с геометрией и с группой своих учеников осуществил ее экспериментальную проверку в школах. Данные опыта показали, что при включении познаний и навыков из области геометрии в курс арифметики последний усваивается значительно лучше. Семен Ильич утверждал, что надлежащее обучение арифметике должно «сродниться» и с алгеброй, ибо в начальной школе надо учить не только арифметике, но и по возможности математике.

Семен Ильич Шохор-Троцкий умер 12 марта 1923 г. Последние годы своей жизни он посвятил основательной критической переработке своего творчества, в основном протекавшего в условиях дореволюционной России. Плодом ее была огромная рукопись в тысячу страниц, излагавшая вопросы методики преподавания арифметики в начальной и средней

школе. По материалам этой рукописи советскими методистами И. Н. Кавуном и В. И. Синакевич были изданы две книги: «Методика начального курса математики» (Л., 1924) и «Методика арифметики. Пособие для учителей средней школы» (М, - Л., 1935).

Заканчивая краткое описание жизни и творчества С. И. Шохор-Троцкого, необходимо отметить, что его методические взгляды опередили его эпоху, во многом предвосхитили современные установки.

Литература

[1] Н. В. Чехов. Семен Ильич Шохор-Троцкий. - «Вестник просвещения», 1923, №4.

[2] И. С. Симонов. С. И. Шохор-Троцкий. - «Педагогическая мысль», 1923, № 3. [3] С. И. Шохор-Троцкий. Учитель и политические партии. - «Просвещение», 1907, №2.

[4] Труды Первого всероссийского съезда преподавателей математики. T. I. Спб., 1913.

[5] Труды Второго всероссийского съезда по педагогической психологии в С.Петербурге в 1909 г. Спб., 1910.

«Задача пришла с картины»167

В. Л. Минковский, В. В. Ветров (Орел)

Так называется книга, написанная учителем средней школы Д. С.Фаермарком (М., «Наука», 1974). В книге две части: в первой, научно-беллетристической, рассказано о деятеле начального образования в дореволюционной России, профессоре ботаники Московского университета Сергее Александровиче Рачинском; во второй, преимущественно математической, части излагаются многие интересные факты из истории математики и делается попытка обобщения той задачи, которую решают ученики, запечатленные на картине художника Н. П. Богданова-Бельского «Устный счет в народной школе С. А.Рачинского».

Весьма поучительна история возникновения идеи написания рецензируемой книги и реализации этой идеи. Работая с 1956 г. в школе-интернате г. Каменск-Уральска, Д. Фаермарк обычно проводил занятия в математическом кабинете, одну из стен которого украшала большая репродукция картины «Устный счет...». Педагог вспоминает: «Закончив с ребятами все неотложные дела, я иногда засиживался до 10-11 часов вечера, не замечая в беседе, как быстро летит время. О чем только ни было говорено в эти часы!.. Разглядывая картину, ребята, в который раз, спрашивали меня об учениках и учителе, нарисованных на ней, решали

167 Минковский В.Л., Ветров В.В. «Задач пришла с картинки».// Народное образование. - 1976.-№3.-С.100-102.

задачу с этой картины. Но чем больше я им рассказывал, тем больше появлялось у них новых и новых вопросов» (с. 154). Эти вопросы вызвали у Д. Фаермарка желание приобрести больше сведений об С. Рачинском и его ученике Н. Богданове; он серьезно задумался над возможностью обобщения той задачи, которая так увлекла деревенских мальчиков на картине.

Материал, на основе которого создана книга, почерпнут автором не только из литературных источников - он любовно по крупицам собирал сведения от различных людей, знавших, лично С. Рачинского или Н. Богданова-Бельского.

В книге дана характеристика С. Рачинского как одного образованнейших людей своего времени, которого наряду с научными проблемами биологии и вопросами преподавания в начальной школе волновали и проблемы истории педагогической мысли в России, и судьбы искусства и литературы родной страны. Одним из первых в России Рачинский выступил за обучение грамоте крестьянских девочек, активно участвовал в организации «Общества трезвости» и был автором его устава. В книге дана объективная оценка педагогического наследия С. Рачинского, его влияния на развитие русской культуры, в частности музыки. Далеко не всем известно, например, что свой Первый струнный квартет П. Чайковский посвятил своему другу С. Рачинскому, художественные и литературные вкусы которого композитор оценивал исключительно высоко.

Основным содержанием жизни С. Рачинского, покинувшего кафедру ботаники Московского университета и переехавшего в село Татево Смоленской губернии, стало обучение крестьянских детей, поиск в их среде наиболее целеустремленных и одаренных. Оценивая значение личности и деятельности С. Рачинского в становлении Н. Богданова-Бельского как художника, Д. Фаермарк приходит к убеждению, что талант Богданова-Бельского окреп и развился только благодаря самоотверженной помощи замечательного педагога. Уже будучи зрелым художником, Н. Богданов-Бельский снова и снова обращался за советами к своему старому учителю; личные контакты с С. Рачинским подсказывали ему сюжеты новых картин. Вполне закономерно, что большая часть полотен художника посвящена школе, учителю и ученикам.

У учителя Д. Фаермарка, тщательно ознакомившегося с жизнью С. Рачинского, возникло непреодолимое желание рассказать о пути человека, не имевшего специального математического образования, но ставшего создателем собственной оригинальной системы начального математического образования. Д. Фаермарк проанализировал материал методико-математического труда С. Рачинского «1001 задача для умственного счета» с позиций специалиста-математика. Ему удалось убедительно показать, что это не произвольный набор упражнений

дилетанта в области математики, а плод большой и серьезной работы, итог глубоких раздумий талантливого педагога и, бесспорно, математически одаренного человека. Вполне оправдано, что для развития математических способностей своих учеников С. Рачинский довольно широко использует элементарную теорию чисел, которой по обращенности к естественной человеческой любознательности нет равных среди математических наук.

Педагогическую деятельность С. Рачинского высоко ценил П. Толстой. В Татево очень часто приезжали учителя, чтобы посоветоваться с Рачинским, познакомиться с руководимой им школой и используемыми в ней методами работы. Собрание педагогических статей Рачинского под объединяющим заглавием «Сельская школа», изданное в 1883 г., стало настольной книгой для народных учителей России конца XIX - начала XX в.

Нам представляется серьезным упущением, что среди статей четырехтомной Педагогической энциклопедии издания 1964-1968 гг. не нашлось места для имени Рачинского, для выявления его вклада в дело развития народного образования в нашей стране. Конечно, педагогическое наследие С. Рачинского не свободно от ошибок, и большая заслуга Д. Фаермарка в том, что он четко разграничивает Рачинского -переводчика и пропагандиста «Происхождения видов» Ч. Дарвина, педагога-новатора, замечательного человека и Рачинского - проповедника религиозно-нравственной теории воспитания. Кстати, заметим, что религиозные заблуждения С. Рачинского резко осуждались некоторыми его горячими сторонниками из числа современников, например, Чеховым.

Математическая часть книги Д. Фаермарка свидетельствует о высокой общей математической культуре ее автора. Система математических упражнений, выработанная С. Рачинским в основном интуитивно, в работе Д. Фаермарка получила математическое обоснование. В этой части рецензируемого труда содержится много интересных математических фактов, наблюдений и теорем. В связи с проведением математических исследований, элементарных, но, без сомнения, полезных для учащихся, автором высказываются ценные замечания относительно требований к математическим доказательствам. Существенное методическое достоинство анализируемой книги - в переходе от любопытных числовых фактов, отдельных примеров к доказательству определенной закономерности в общем виде.

Учитель Д. Фаермарк провел серьезную работу, чтобы подготовить математический аппарат и определить методику исследования. Им обобщена задача С. Рачинского (речь идет о задаче, записанной на классной доске на картине Н. П. Богданова-Бельского) для вторых степеней, она рассмотрена для первых степеней, установлено, что задача не имеет целочисленных решений для нескольких последующих степеней. Подробно раскрывая перед читателем весь ход своих математических

рассуждений, Д. Фаермарк приохочивает к самостоятельным элементарно-математическим исследованиям.

Книга Д. Фаермарка не лишена и недостатков, на некоторых из них мы остановимся. Д. Фаермарк умалчивает о том, что С. Рачинскому свойственно было излишнее увлечение устным счетом, между тем правильная оценка границ его использования была дана еще в середине прошлого века выдающимся русским математиком П. Чебышевым.

На с. 45 и 46 говорится, что было время, когда натуральный ряд чисел считали коротким, и что Архимеду удалось расширить его до небывалых размеров; действительно, очень долго поддерживался миф о существовании самого большого числа; Архимед в своем сочинении «Исчисление песчинок» стремился этот миф развеять. С этой целью он создал метод построения и словесного обозначения сколь угодно больших чисел. Но труд Архимеда имел в основном философское и просветительное значение, подлинно же математические результаты, относящиеся к вопросу о бесконечности числовой последовательности, принадлежат Евклиду.

На с. 48 мы читаем, что «занимаясь измерением отрезков, пифагорейцы пришли к выводу, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы. Это натолкнуло их на мысль о существовании чисел, отличных от целых и дробных, т.е. иррациональных». Известно, что Пифагор и ученики его школы не только не владели понятием иррационального числа, но и не допускали мысли о возможности его введения. Крупнейшим достижением школы Пифагора было открытие существования несоизмеримых отрезков: до этого момента существовала твердая уверенность, что отношение двух произвольно взятых отрезков может быть выражено отношением двух натуральных чисел, когда же выяснилось, что это совсем не так, то в сознании греческого математика, который знал только натуральные числа и их отношения, возник непреодолимый разрыв между понятием числа и понятием непрерывной величины, выражаемым сплошным отрезком прямой.

Нет оснований называть Платона математиком (с. 75) - применение математики на практике Платон и его ученики считали недостойным аристократов, низменным занятием, они видели в математике не орудие исследования внешнего мира, а средство для «обоснования» своего мировоззрения.

Неудачно в нескольких местах рецензируемой книги излагается материал, относящийся к истории математики. Но все недостатки носят частный характер и, следовательно, легко устранимы. В целом же книга Д. Фаермарка принесет большую пользу учителям математики, их ученикам и займет достойное место на полках научно-популярной литературы. Первую же часть этой книги, написанную увлекательно,

хорошим литературным языком, с удовольствием и пользой для себя прочитает каждый педагог.

Первая книга по методике начального обучения математике для высшей педагогической школы168

В. Л. Минковский (Орел)

В 1972 г. издательство «Просвещение» выпустило в свет стотысячным тиражом «Методику начального обучения математике»169 под редакцией Л.Н. Скаткина. Коллективный труд одиннадцати преподавателей шести педагогических институтов допущен Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для студентов педагогических институтов по специальности «Педагогика и методика начального обучения».

Нет необходимости останавливаться на перечислении глав рецензируемого пособия, так как оно в основном написано в соответствии с программой факультетов педагогики и методики начального обучения. Однако мы считаем серьезным недостатком, что в пособии не нашлось места для весьма важной главы «Воспитание младших школьников в процессе обучения математике», которая была, например, хорошо представлена в «Основах методики начального обучения математике» (М.,«Просвещение», 1965).

В книге отражен опыт преподавания методики начального обучения математике в высшей педагогической школе, которое осуществляется на III курсе на основе предварительного изучения психологии, педагогики и вузовского курса математики. Указанная последовательность изучения дисциплин создает благоприятные условия для достаточно обстоятельного освещения научных основ методики начального обучения математике.

Естественно, что значительное внимание авторы уделяли тем новым задачам, которые решает в настоящее время наша начальная школа и соответственно методика начального обучения математике. При изложении вопросов об элементах математической теории в обучении, об алгебраической пропедевтике, об ознакомлении учащихся с геометрическими фигурами на теоретико-множественной основе довольно подробно вскрывается содержание соответствующих математических понятий и дается известное методическое обоснование их.

168 Минковский В.Л. Первая книга по методике начального обучения математике для высшей педагогической школы.// Начальная школа. - 1973. - №6. - С.87-88.

169 Методика начального обучения математике. Учебное пособие для студентов педагогических институтов. Под ред. Л.Н. Скаткина. - М.:Просвещение, 1972.

Следует отметить, что в книге уделено серьезное внимание методологическим вопросам, критике идеалистических концепций, осуществляется постоянная опора на психологические знания студентов; хорошо рассказано о методах научного исследования в педагогических науках, организации познавательной деятельности учащихся, об анализе их типичных ошибок; удачны исторические экскурсы, органически связанные с ходом изложения основного материала. В ряде случаев достигнуто сочетание конкретности изложения и практической направленности с выявлением научных основ рекомендаций.

Библиографические указания осуществлены по главам. Всего в списке рекомендуемой литературы названо более ста различных книг и статей, материал которых существенно пополняет содержание пособия.

Но сами авторы отчетливо осознают, что в период перестройки школы они не могли дать сколько-нибудь исчерпывающих ответов (стр. 3) по ряду вопросов. Их книгу, очевидно, и следует рассматривать как первый опыт создания учебника по методике начального обучения математике для высшей школы.

Положительно оценивая новую книгу по методике в целом, ограничимся краткой характеристикой ее основных недостатков.

Неправомерно трактовать методику начального обучения математике в качестве самостоятельной науки, как это делают авторы пособия (стр. 5). Ведь она является составной частью методики преподавания математики в общеобразовательной школе. Если же принять точку зрения авторов рецензируемой книги и быть последовательными, то нельзя не считать самостоятельными науками и методику преподавания математики в восьмилетней школе, и, методику преподавания математики в старших классах средней школы. Подобное «размножение» наук, вне сомнения, вредно, так как оно приводит к совершенно неоправданному дублированию одних и тех же проблем.

Авторы хорошо делают, что по ряду вопросов излагают или хотя бы указывают различные подходы к их разрешению. Но, как правило, в книге отсутствует сравнительная оценка разных систем уроков по одной и той же теме (например, стр. 60-61) или различных способов введения того или иного понятия (например, стр. 174-176). На последних из указанных страниц рассказано о том, что в теории умножения возможны три способа введения этого понятия. Каждый способ кратко изложен. А затем, отказываясь от анализа этих способов по существу, авторы отмечают только, что «в советской методике (и русской дореволюционной) общепринято действие умножения вводить в школьный курс по третьему способу, на основе вычисления суммы одинаковых слагаемых» (стр. 176). Вряд ли такой способ изложения способствует выработке у студентов самостоятельного методико-математического мышления, а нет оснований

сомневаться, что достижение этой цели - одна из основных задач учебного пособия по методике математики для студентов высшей школы.

В отношении понимания возможностей осуществления полемики на страницах учебного пособия авторы проявляют явную непоследовательность. С одной стороны, они отказываются, как мы видели, от критического анализа в тех случаях, когда он необходим; с другой стороны, на страницах книги без всякой к тому необходимости пространно излагаются взгляды Н.А. Менчинской на возникновение и развитие понятия натурального числа у детей, которые авторы не принимают и подвергают острой критике (стр. 144-145). Есть все основания утверждать, что подобной полемике место не в учебной книге, а на страницах периодической педагогической и психологической печати.

Изложение историко-методического материала не свободно от существенных недостатков. Из поля зрения авторов выпадает учет движущих сил общественного развития, что особенно ярко проявляется при характеристике обстоятельств создания «Арифметики» Л.Ф. Магницким.

Даже в кратком историческом обзоре развития методики арифметики в России нельзя было умолчать о выходе в свет в 1757 г. «Универсальной арифметики» Н.Г. Курганова. Именно с появления этого труда, основанного на совершенно новой методике, опирающейся на развитие у учащихся логического мышления, книга Магницкого перестала служить основным учебным пособием. И только в свете этого дополнения можно довести до сознания студентов, что руководство Магницкого знаменует промежуточный этап между вполне догматической системой подачи материала в русских математических рукописях и той новой методикой, которая стала нарождаться в России с организацией отечественной Академии наук.

Трудно понять, почему, вопреки указаниям программы, в книгу не включены сведения об «Арифметике» Л.Н. Толстого. Игнорирование этого замечательного труда великого русского писателя является совершенно недопустимым. Оно основано на забвении того факта, что наряду с арифметическими руководствами П.С. Гурьева «Арифметика» Толстого убедительно иллюстрировала существование таких путей преподавания, которые не имеют ничего общего ни со слепой тренировкой учащихся в механическом выполнении вычислений по догматически предписываемым правилам, ни с крайне искусственным, надуманным способом Грубе.

Очень хорошо, что авторы пособия стремятся познакомить будущего учителя с большим числом представителей педагогической и психологической мысли. Но это не оправдывает злоупотребления цитированием. Оно выражается как обилием цитат, так и их обширностью. Так, например, сплошная выписка из одной работы Г.С. Костюка занимает

1,5 страницы (стр. 147-148). Не приходится доказывать, что подобный стиль не соответствует требованиям к учебной книге.

Разные главы, а иногда и разные параграфы писались различными авторами, бесспорна заслуга редактора Л.Н. Скаткина, который в какой-то мере сумел добиться известного единства изложения. Однако в некоторых местах книги мы встречаемся с досадными языковыми погрешностями, несколько примеров которых приводятся ниже.

Страница 246. «Запишите сумму чисел b и d? Подберите сами по 4 значения каждого из слагаемых и вычислите сумму». Слово подберите здесь явно неуместно: значениями b и d могут быть любые из известных учащимся чисел, а не только специально подобранные (к тому же неизвестно, по какому принципу).

Страница 248. «Вводится практическое усвоение свойства симметричности равенства и несимметричности неравенства». Усвоение вводиться не может, так как термин «усвоение» означает сделать что-то свойственным, привычным.

Страница 250. «Уравнение усложняется в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: 37-а=12+14; 2) один из компонентов задан выражением х+(18-15)=24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73-Ь)+31=85». Правую часть уравнения составляет 12+14, а не 37-а=12+14; аналогичные замечания, очевидно, следует сделать и по поводу пунктов второго и третьего.

Внесение соответствующих исправлений в следующее издание книги значительно повысит ее ценность.

К. Д. Ушинский о начальном обучении математике170

В. Л. Минковский (Орел)

Идеи и деятельность К.Д. Ушинского как основоположника русской педагогической науки, народной школы в России и глубоко прогрессивной системы обучения родному языку изучались многими исследователями и широко освещены в печати. Менее изучены высказывания К.Д. Ушинского по вопросам начального обучения математике. Между тем в его воззрениях много оригинального, значительно опередившего свое время и прочно вошедшего в практику современного преподавания.

В одиннадцать лет К.Д. Ушинский поступил в III класс Новгород-Северской гимназии. Материал двух предшествующих классов он усвоил под руководством матери. На первого учителя математики ребенку явно не

170 Минковский В.Л. К. Д. Ушинский о начальном обучении математике.// Начальная школа. - 1974. - №2. - С.60-63.

повезло. Им оказался, как рассказывает в воспоминаниях М. Чалый, педагог Игнатьев «с его любезной «арифметичкой», представлявшейся нам не иначе, как в образе синей тетрадки, в которой нам досконально были известны все задачи со всеми их нехитрыми решениями. Мы отлично понимали, как «в один высокоторжественный день выстрелено было из пушек 101 раз и сколько пороху на эти выстрелы было потрачено», «как катилось колесо и сколько раз оборотилось оно в минуту». Задачи эти много лет повторялись слово в слово.

Подобный стиль математического образования, выключающий работу собственной мысли ученика и делающий упор только на механическую память, был глубоко противен юному Ушинскому, который с ранних лет проявлял блестящие способности и значительно превосходил своих одноклассников по развитию. Отрицательное отношение мальчика к преподавателю естественно переносилось на предмет и не способствовало приобретению глубоких знаний по этому предмету.

Занявшись педагогической деятельностью, Ушинский сумел сделать важные общепедагогические выводы. Эти выводы таковы: проблема первоначального обучения - решающая в школьной успеваемости; умственное развитие учащихся необходимо осуществлять при изучении каждого предмета на протяжении всего курса обучения; неспособность детей к учению не является фатальной, а может и должна быть преодолена в процессе самого обучения. Так, К.Д. Ушинский писал: «Недостаток способностей в ученике есть, по большей части, не более, как неуменье быть внимательным, а в этом неуменье более всего виновата школа; потому что уменье не родится с человеком (детское внимание всегда -мгновенно), а приобретается навыком».

К.Д. Ушинский считал, что в элементарном курсе в целях повышения успеваемости и умственного развития учащихся преподавание русского языка, арифметики, естествознания, географии и истории должен вести один учитель. К.Д. Ушинский весьма деятельно занялся пополнением своих знаний в области естествознания и начал математики. Это позволило ему, в частности, высказать ценные суждения по вопросам начального обучения математике.

Первое выступление К.Д. Ушинского по вопросам преподавания арифметики относится к апрелю 1860 г. Оно составляет небольшую часть его объяснительной записки о преобразовании учебных курсов Смольного института благородных девиц, которое он осуществлял в 1859-1861 гг.

В этом документе дана не только убедительная критика программы курса арифметики, предназначенного Учебным комитетом для Смольного института, но и предложена собственная программа обучения началам математики. К.Д. Ушинский обращает особое внимание на то, что «преподавание распределено в обратном порядке, а именно: оно начинается отвлеченными числами, после чего проходятся уже

именованные, потом дроби, и, наконец, наглядные понятия об измерениях. Я полагаю, что наглядными понятиями об измерениях, именно потому, что они наглядные, следует начинать... Занявшись изучением геометрических форм, учитель арифметики оживит свое преподавание и может воспользоваться измерениями, чтобы самой арифметике придать наглядность и живость. Именованными числами также следует прежде заниматься, чем отвлеченными, и изучение действий над дробными величинами вовсе не следует отделять от целых чисел. Следует начинать с того, чтобы познакомить детей с мерами и весами и дать им самим возможность мерить, взвешивать и считать. Впоследствии, когда уже девицы познакомятся с мерами и весами, приобретут навык измерять площади, углы, узнают значение масштаба (что составляет необходимое подготовление к изучению географии), - привыкнут, когда нужно, разделять целые величины на дроби, складывать эти дроби и т.д., можно уже будет приступить к передаче правил арифметического языка».171

Легко показать, что новаторская программа курса арифметики, сформулированная К.Д. Ушинским, соответствует его дидактическим положениям и правилам. В ней отчетливо видно стремление идти «от наглядного к отвлеченному и от практики к теории и системе», что дает возможность учить арифметике так, «чтобы ее нельзя было позабыть», а в процессе преподавания не было бы скуки.

Идеи К.Д. Ушинского о реформировании преподавания начальной математики в Смольном институте, несмотря на его вынужденный уход с должности инспектора классов, не остались лишь благими пожеланиями. В качестве превосходного исполнителя планов К. Д. Ушинского выступил известный педагог-математик М.О. Косинский, который более семи лет неизменно претворял в жизнь его общепедагогические, дидактические и методико-математические воззрения.

Второе выступление К.Д. Ушинского по вопросам преподавания начальной математики относится к сентябрю 1864 г. В его отчете о двухгодичной заграничной командировке по обозрению женских учебных заведений содержится раздел, посвященный преподаванию арифметики и первоначальной геометрии.

К.Д. Ушинский был далек от копирования иностранного опыта. Он решительно осуждал, например, немецкую теорию и практику воспитания женщины как рабы мужчины. Но это не мешало ему видеть то прогрессивное в зарубежной школе, что могло нам помочь. К числу таких вопросов он относил: приучение к математическому языку и сочетание умственных и письменных вычислений.

Приобщение к математическому языку - важная методическая задача: «...от непривычки к нему, сколько я заметил, - утверждал

171 К.Д. Ушинский. Собр. соч., т. 2. М.-Л., Изд-во АПН РСФСР, 1948, стр. 308-309.

К.Д. Ушинский, - главным образом происходит неуспех изучения арифметики в наших школах». Осознанное овладение языком математики требует постепенного нарастания трудностей, специальных упражнений, самостоятельности. «Только тогда, когда ученик привыкнет писать знаки сложения, вычитания, умножения и деления и числовые величины с таким же ясным сознанием, с каким он пишет самые обыкновенные, понятные для него слова, можно приступить к таким арифметическим задачам, с каких у нас обыкновенно начинают»172.

К.Д. Ушинский, изучая постановку преподавания начал математики в России, неоднократно наблюдал, что «умственное» счисление (устный счет. - В.М.) введено и у нас в порядочных школах, но, по крайней мере, там, где я бывал, умственное счисление и письменные арифметические задачи делаются отдельно и независимо друг от друга, - это ошибка»173. К.Д. Ушинский отчетливо осознавал, что такое разграничение глубоко порочно, так как оно приводит к отказу от устного решения задач как непосредственной пропедевтики к письменному решению таких же и более сложных задач, от должной рационализации вычислительной практики.

Наиболее развернутое выступление К.Д. Ушинского по вопросам начального обучения математике относится к 1870 г. В этом году была издана его книга «Родное слово», год 3-й, и «Книга для учащих по «Родному слову». Собираясь осуществить дальнейшие выпуски книг для учащихся, с включением в них математического материала, К.Д. Ушинский в своем труде «для учащих» посвящает специальный раздел первоначальному обучению счету.

В этом разделе много интересных идей, относящихся к вопросам частной методики, не утративших актуальности и до наших дней. Но особенно созвучны его мысли о переоткрытии учениками арифметических правил, о применении усвоенного математического материала на практике, о подборе и методике преподнесения арифметических задач.

На основе наблюдений за преподаванием арифметики в женских учебных заведениях К.Д. Ушинский пришел к выводу, что изучение этого предмета часто идет вяло, скучно и мало эффективно потому, что учащимся предлагается заучивать готовые арифметические правила. Отвлеченность изложения этих правил затрудняет не только их понимание, но и простое запоминание. Но этого недостатка можно избежать, если организовать работу учащихся так, чтобы в процессе оперирования тем или иным конкретным материалом они были подведены к открытию соответствующих арифметических правил. «Так, например, -конкретизирует Константин Дмитриевич, - не следует говорить детям, что

172 К. Д. Ушинский. Избранные педагогические произведения. М.:Просвещение, 1968, стр. 512.

173 Там же.

если нельзя вычесть единиц из единиц, то следует занять единицу из десятков и т.п.; но должно дать ученику два десятичных пучка палочек и, кроме того, несколько палочек отдельно, положим, три; скажите потом ребенку, чтобы он дал вам четыре палочки, и дитя само увидит необходимость развязать один десятичный пучок, и когда сочтет потом, что у него осталось, то легко поймет, как занимать из десятков, сотен и т.д. Когда же все дети поймут какой-нибудь простой арифметический закон и привыкнут его выполнять и умственно, и словесно, и письменно, тогда вы можете формулировать этот закон в арифметическое правило, собственно для приучения детей к точности выражений».174

Исключительно плодотворна мысль К.Д. Ушинского о том, что в математике имеются весьма богатые возможности для активного повторения уже пройденного учениками теоретического материала методом его «приложения к делу», т.е. решению разнообразных задач. Эта идея нашла свое дальнейшее развитие в трудах советских методистов, которые убедительно показали, что существуют задачи, которые содержат большие возможности для творческого повторения материала.

Весьма ценны высказывания К.Д. Ушинского о подборе и методике преподнесения арифметических задач, которые он трактует не как искусственное нагромождение условий, а как средство ознакомления учащихся с кругом важнейших сведений и понятий из жизни. «Содержание для задач, - говорит он, - должно брать, сколько возможно, из мира, окружающего детей... Задачи, конечно, должны усложняться постепенно, но никогда не должны терять своего практического, наглядного характера. Впоследствии эти задачи могут быть первыми уроками в домашнем хозяйстве и политической экономии»175. Естественно, что и числовые данные, которые используются в задачах, «не должны быть даваемы наобум», а как можно точнее соответствовать действительности. Дальнейшее развитие этих идей было дано в советской методике И.В. Арнольдом, который убедительно показал, что повторяющаяся ситуация, произвольные числовые данные, стандартная постановка вопроса в задаче парализуют всякий интерес к ним учащихся.

Методико-математические взгляды К.Д. Ушинского сыграли большую роль в формировании передовых идей русской и советской методики математики и должны быть прочным достоянием современного учителя начальной школы.

174 Там же, стр.149.

175 Там же.

О методике преподавания математики в начальных классах176

В. Л. Минковский (Орел)

Весьма незначительный отрезок времени отделяет нас от момента введения новых программ в начальной школе (1969). Модернизированная программа по математике, как теперь уже доказано не только экспериментом, но и опытом ее использования в массовой школе, позволяет реализовать большие развивающие возможности этого предмета. Эффект, достигаемый при квалифицированном преподавании, превзошел самые смелые ожидания: математика, традиционно считавшаяся самой трудной дисциплиной, стала любимым предметом не единиц, а основной массы учащихся начальных классов.

Разумеется, такой поворот не был достигнут стихийно, а является результатом большой предварительной теоретической, организационной и экспериментальной работы по перестройке начального обучения математике. Обобщение результатов совместной деятельности в этой области сотрудников сектора начального обучения НИИ содержания и методов обучения АПН СССР М.И. Моро, А.С. Пчелко, А.М. Пышкало и коллектива сотрудников кафедры педагогики начальной школы ЛГПИ им.А.И. Герцена осуществлено в книге М.А. Бантовой, Г.В. Бельтюковой и А.М. Полевщиковой,177 допущенной Министерством просвещения СССР в качестве учебного пособия для учащихся школьных отделений педагогических училищ.

Каждый учитель с чувством удовлетворения встретит появление рецензируемого труда. В нем на сравнительно небольшом числе страниц (300) с необходимой степенью полноты рассмотрены почти все основные вопросы содержания и методики преподавания математического материала I-III классов; достаточно высокий научный уровень изложения вопросов удачно сочетается с неизменно осуществляемой практической направленностью. Несмотря на то что М.А. Бантова является соавтором учебников математики для I, II, III классов и основных учебных пособий для учителя, она, выступая в качестве редактора и одного из основных авторов методики, сумела проявить необходимую степень объективности по отношению к другим точкам зрения, широкую эрудицию и кругозор.

Наиболее характерной чертой новой методики является забота ее авторов об использовании широкого арсенала самых разнообразных средств развития учащихся в процессе изучения ими математики. Формированию у детей умения выполнять умственные операции,

176 Минковский В.Л. О методике преподавания математики в начальных классах. // Начальная школа. - 1974. - №3. - С.79-81.

177 М.А. Бантова и др. Методика преподавания математики в начальных классах. Под ред. М.А. Бантовой. - М.: Просвещение, 1973.

осуществляемому в органической связи с изучением программного материала, уделяется большое внимание во всех разделах общей и частной методики. Особый акцент делается на обучение сравнению объектов, лежащему в основе обобщений и требующему применения анализа и синтеза: В частности, полезны указания авторов о путях предупреждения тех неправильных обобщений учащихся, с которыми довольно часто встречаются в практике своей работы молодые учителя начальных классов. С этой целью используются хорошо продуманные вопросы на понимание, контрпримеры и разнообразные упражнения.

В первой главе, посвященной общим вопросам методики начального обучения математике, отчетливо охарактеризованы содержание и задачи методики математики как учебного предмета в педагогическом училище, органическая связь этой дисциплины с математикой, педагогикой и педагогической психологией. Четко раскрыта программа и построение начального курса математики, выяснены основные требования к учебникам и учебным пособиям по этому предмету, рассмотрены методы обучения, проанализированы наглядные пособия, формы обучения, проверка знаний, умений, навыков и особенности организации обучения математике в малокомплектной школе. Однако, говоря об использовании планов уроков, составленных не самим учителем, следовало бы подчеркнуть, что они могут быть и весьма полезными для повышения качества обучения, а могут быть и рассадником формализма. Все зависит от способа их употребления: применение их для корректирования собственных методических разработок, бесспорно, плодотворно; слепое же следование за ними, которое нередко имеет место, превращает учителя в ремесленника, пренебрегающего очень важными конкретными особенностями своей работы.

Во второй главе - «Методика изучения нумерации целых неотрицательных чисел и арифметических действий над ними» -убедительно раскрываются причины концентрического построения этой центральной части начального курса математики (десяток, сотня, тысяча, многозначные числа). Каждая из перечисленных тем подробно проанализирована в отношении содержания и методики преподнесения материала. Большое внимание уделяется усвоению учениками математической терминологии и приобщению их к правильному использованию математической фразеологии. Предусматривается должная постепенность в подготовке учащихся к обобщенной формулировке правил на основе выполнения и анализа глубоко продуманной системы упражнений. Отчетливо уясняется, какой материал и на каком этапе обучения подлежит заучиванию наизусть. Проявляется постоянная забота о разнообразии уроков математики, их воспитательной направленности. Удачны примеры диалогов учителя и ученика, посвященных уяснению важнейших математических понятий. Приемы арифметических

вычислений раскрываются в органической связи с изучением теоретического материала. Убедительно показано, как установить такое сочетание в изучении арифметического и геометрического материала, которое способствовало бы лучшему усвоению того и другого. Хорошо раскрыты приемы развития так называемого математического зрения учащихся, в частности, при самостоятельном нахождении ими новых вычислительных приемов путем умелого использования свойств арифметических действий. Только напрасно, говоря о натуральной последовательности чисел, авторы употребляют в качестве синонимов термины «ряд» (стр. 58, 122-123 и др.) и «последовательность» (стр. 106-108, 110 и др.).

В третьей главе обсуждаются вопросы обучения решению арифметических задач.

Убедительно показано, что отсутствие единого логического основания для классификации задач не противоречит идее о целесообразности выделения по чисто методическим соображениям для рассмотрения в начальных классах определенных групп задач, решение которых основывается на одних и тех же связях между данными и искомым. Основное же внимание уделяется подготовительной работе к решению задач, ознакомлению с их решением, формированию умений решать задачи рассматриваемого вида, как простые так и составные, осуществляя при этом индивидуальный подход к учащимся и всестороннее развитие задатков их творческих способностей. В параграфах этой главы удачно осуществлен отбор наиболее ценного из созданного и проверенного дореволюционными и советскими методистами и учителями в области обучения решению задач. В частности, исключительно полезно указание о том, что «читают задачу, как правило, дети» (стр. 175). Но здесь необходимо было пояснить почему, так как в решении этого вопроса среди учителей нет единства. Многих из них смущает то обстоятельство, что при чтении задачи педагогом ее условие скорее делается достоянием учащихся. И вне внимания преподавателя остается тот общеизвестный факт, что так как решение задачи начинается с умения ее прочитать, то оно является необходимым элементом в обучении учащихся основному самостоятельному решению задач.

В четвертой главе рассматривается методика изучения алгебраического материала, опыт преподавания которого в начальной школе весьма невелик. Содержание и пути внедрения алгебраической пропедевтики отчетливо охарактеризованы в параграфах, посвященных математическим выражениям, буквенной символике, равенствам, неравенствам и уравнениям. Удачно показано, как осуществлять обучение элементам алгебры устанавливая тесные связи с изучением арифметического и геометрического материала. Полезны фрагменты уроков, иллюстрирующие ознакомление учащихся с математическими

выражениями. Неплохо преподнесен материал о решении задач с помощью уравнений. К сожалению, отсутствуют указания о перспективах дальнейшего раскрытия важнейших алгебраических понятий в ближайших из последующих классов. Между тем без знания такой перспективы весьма затруднительно осуществлять творческий подход к усвоению зачатков алгебры в начальных классах.

В пятой главе излагается методика изучения геометрического материала. Проявлена забота о развитии пространственных представлений у детей, умений наблюдать, сравнивать, абстрагировать и обобщать. Охарактеризовано достаточно широкое использование разнообразных наглядных пособий: общеклассных и индивидуальных, покупных и самодельных. Описаны лабораторно-практические работы и выявлена их высокая эффективность при изучении геометрического материала. Проанализированы устные и письменные упражнения, высказаны содержательные соображения о предупреждении типичных заблуждений учащихся, о приобщении последних к самостоятельному составлению задач, чтению и черчению диаграмм. Однако авторы не пояснили будущим учителям начальных классов, как в I классе реализуется требование программы о выполнении сложения и вычитания отрезков. Между тем такое пояснение необходимо, так как первоклассники не владеют циркулем и навыками вычерчивания прямых. Следовательно, с ними нельзя использовать ни один из способов сложения отрезков, известных обучающему из основного курса геометрии, а потому он должен хорошо осознать, что в I классе осуществляется сложение длин отрезков, а не самих отрезков.

В последних главах книги - шестой и седьмой - раскрыта методика обучения измерению величин и методики изучения дробей. Изложение материала в них отвечает современным методико-математическим требованиям и основным задачам подготовки выпускников педучилищ.

В заключение считаем необходимым высказать несколько общих замечаний.

Вопросы организации, содержания и методики внеклассной работы по математике в рецензируемом труде почти не затронуты. Между тем хорошо известно, с какими большими трудностями встречается начинающий учитель при проведении этой работы.

Авторами обойден вопрос о сообщении учащимся в связи с изучением начального курса математики некоторых сведений по истории математики. Имеющееся единственное указание целиком относится к внеклассной работе: «Расширить и углубить знания по нумерации можно на внеклассных занятиях (например, на тему «Как считали люди в далеком прошлом», «Числа-великаны» и др., стр. 124).

В книге не уделено внимания сообщению наиболее ценных сведений из истории становления передовых идей в методике начального курса

математики. Даже в списке литературы не указано ни одной работы по истории арифметики, ни одной работы по истории методических идей, не названа и хрестоматия по методике начальной арифметики.

Высказанные критические замечания ни в какой степени не меняют данную выше общую высокую оценку рецензируемой книги. Учет их при следующем издании методики повысит ее ценность.

П.Л. Чебышев и его взгляды на начальное обучение математике178

В. Л. Минковский (Орел)

8 декабря 1894 г. в Петербурге, сидя за письменным столом в своем кабинете, умер от паралича сердца на семьдесят четвертом году жизни академик Пафнутий Львович Чебышев, великий русский математик и механик, один из крупнейших ученых мира.

Для творчества П.Л. Чебышева характерно многообразие его научных изысканий, поразительное искусство добиваться больших научных результатов сравнительно элементарными математическими средствами, постоянный интерес к вопросам практики и, в частности, вопросам, связанным с обучением детей математике.

Исследования П.Л. Чебышева стали прочным достоянием золотого фонда математического анализа, теории чисел, теории вероятностей, теории механизмов и многих других из смежных отраслей знания, а созданные им общие методы и четко сформулированные идеи положили начало ведущим направлениям в последующем развитии перечисленных наук. П.Л. Чебышев неоднократно обращал внимание на то, что в установлении новых методов исследования «науки находят себе верного руководителя в практике» и что «сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных».179

Для читателей нашего журнала особенно интересны научные результаты П.Л. Чебышева, относящиеся к распределению простых чисел в натуральной последовательности.

Мы не располагаем данными для ответа на вопрос, когда люди впервые осознали, что последовательность натуральных чисел 1, 2, 3 и т.д. может быть продолжена безгранично. Но в дошедших до нас классических памятниках античной математики III в. до н. э. - бессмертных творениях

178 Минковский В.Л. П.Л. Чебышев и его взгляды на начальное обучение математике.// Начальная школа. - 1974. - №2. - С.69-72.

179 Чебышев П. Л. Полн. собр. соч., т. V. М. -Л., Изд-во АН СССР, 1951, с. 150. В дальнейшем том и страница этого издания указываются в тексте.

Евклида и Архимеда - отражено отчетливое представление о бесконечности последовательности натуральных чисел. Больше того, в «Началах» Евклида вполне строго Доказывается, что и часть множества натуральных чисел - множество простых чисел - есть бесконечное множество.

Установив бесконечность множества простых чисел, люди задумались над тем, как выделить эти числа в последовательности натуральных чисел. Первый опыт решения этого вопроса был осуществлен греческим математиком и географом Эратосфеном, жившим немного позже Евклида.

Составляя таблицы простых чисел, ученые обнаружили, что сначала промежутки между последовательными простыми числами невелики. Однако по мере удаления от начала последовательности натуральных чисел эти промежутки, как правило, возрастают. Например, в промежутке от числа 4 652 354 до числа 4 652 506 все числа составные, среди 153 этих чисел нет ни одного простого.

Эти наблюдения натолкнули на мысль о том, как располагаются простые числа, имеется ли какая-нибудь закономерность в их распределении, и если да, то какая именно. Но на эти вопросы не последовало математически обоснованного ответа на протяжении двух тысяч лет. Многочисленные попытки справиться с названной проблемой не увенчались успехом. Безрезультатно трудились над ее разрешением и такие общепризнанные корифеи математической науки, как Л. Эйлер и К. Гаусс.

Первым, кто после Евклида существенно продвинул изучение вопроса о распределении простых чисел, перейдя от догадок к строгой теории, был П.Л. Чебышев. Он доказал теорему, устанавливающую, как растет число простых чисел, меньших х, с возрастанием х. А из этого предложения вытекало простое следствие: между х и 2х, где х - любое целое число, большее единицы, обязательно находится по меньшей мере одно простое число. Так, например, между числом 2 и его удвоением (4) находится простое число 3, между числом 3 и его удвоением (6) заключено простое число 5, между числом 4 и его удвоением (8) содержатся простые числа 5 и 7 и т. д.

Названные результаты П.Л. Чебышева были признаны величайшим достижением математической мысли. Так, английский математик Сильвестр (1814-1897), назвав Чебышева победителем простых чисел, утверждал, что «дальнейших успехов теории простых чисел можно ожидать тогда, когда родится некто, на столько превосходящий Чебышева своей проницательностью и вдумчивостью, насколько Чебышев превосходит этими качествами обыкновенных людей»180. Немецкий

180 Депман И. Я. История арифметики. - М.:Просвещение, 1965, с. 140.

математик Эдмунд Ландау (1877-1938) дополняет эту характеристику, указывая на то, что «первый после Евклида Чебышев пошел правильным путем при решении проблемы простых чисел...».

Теоретические исследования П.Л. Чебышева в этой области положили начало всемирно известной петербургской школе теории чисел. Они выдвинули П.Л. Чебышева на одно из первых мест среди современных математиков.

Дальнейшее его творчество протекает по собственной, совершенно оригинальной и актуальной тематике. Разрабатывавшиеся им направления научных исследований положили начало петербургским школам математического анализа, теории вероятностей и теории механизмов. Исследования представителей этой школы отличались всегда общностью подхода к научным проблемам, весьма отчетливо охарактеризованной одним из ярких представителей чебышевской школы А. М. Ляпуновым.

«П.Л. Чебышев и его последователи остаются постоянно на реальной почве, руководствуясь взглядом, что только те изыскания имеют цену, которые вызываются приложениями (научными или практическими), и только те теории действительно полезны, которые вытекают из рассмотрения частных случаев.

Детальная разработка вопросов, особенно важных с точки зрения приложений и в то же время представляющих особенные теоретические трудности, требующие изобретения новых методов и восхождения к принципам науки, затем обобщение полученных выводов и создание этим путем более или менее общей теории - таково направление большинства работ П. Л. Чебышева и ученых, усвоивших его взгляды»181.

Свой разносторонний научный труд П. Л. Чебышев плодотворно сочетал с профессорской деятельностью в Петербургском университете, а также с организаторской работой в Артиллерийском отделении военно-ученого комитета и в ученом комитете Министерства народного просвещения, сыгравшей большую роль в истории развития русской науки, техники и просвещения.

Членом ученого комитета Министерства народного просвещения П.Л. Чебышев был на протяжении 17 лет. Он рецензировал учебную литературу и некоторые другие книги по математике, участвовал в разработке учебных планов и программ для уездных училищ, прогимназий и гимназий, принимал активное участие в обсуждении многих других вопросов, связанных с преподаванием математики.

П.Л. Чебышев стремился не допустить в русскую школу плохие математические учебники и пособия. Он был глубоко убежден в том, что учебник должен строго соответствовать программе учебного заведения, раскрывать ее содержание последовательно и просто, но на должном

181 Чебышев П. Л. Избранные математические труды. М. - Л., Гостехиздат, 1946, с.20.

научном уровне иллюстрировать все основные положения теории целесообразно подобранными примерами и содержать необходимый минимум задач для выработки у учащихся соответствующих навыков. Если книга не удовлетворяла хотя бы одному из перечисленных требований, то П.Л. Чебышев не признавал ее достойной быть учебником русской школы. Особенно же высоко он ценил такую систему изложения материала, при которой не прямо предлагаются истины, а когда до них учеников доводят рядом последовательных вопросов. Для достижения этой цели он считал вполне оправданным известное увеличение объема учебной книги.

П.Л. Чебышев требовал от составителей руководств по арифметике, чтобы все арифметические предложения и правила были объяснены просто и чтобы эти объяснения, выясняющие суть дела, «могли заменить собою доказательства» (с. 328). Он был глубоко убежден в необходимости разъяснять ученикам сущность действий и порядок их выполнения, так как «бессознательное заучивание различных приемов, предлагаемых в арифметике, не может принести никакой пользы» (с. 361). Он, разумеется, не отвергал использования неполной индукции в школьном курсе математики, но беспощадно критиковал такое ее применение, когда после рассмотрения единственного примера, скажем, на переместительный закон умножения безапелляционно формулировался общий вывод.

Много внимания при рецензировании учебных книг, в особенности задачников, П.Л. Чебышев уделял подбору задач, последовательности их расположения и приводимым образцам решения. В частности, он утверждал, что устное решение арифметических задач детьми существенно содействует их умственному развитию. Хотя навыки устного счета ребенок приобретает «ежечасно в повседневной жизни», тем не менее требуются и специальные сборники для устного решения задач. Основная цель таких пособий состоит в отборе наиболее ценных жизненных задач и их распределении по степени трудности: «от самых легких изустных вычислений до задач, составляющих границу, где необходимо употребление числительных знаков» (с. 341). Исключительно важно правильно установить такой рубеж, так как «переходить эту границу неблагоразумно». Высказанные соображения, указывал П.Л. Чебышев, подтверждаются многочисленными наблюдениями над теми детьми, которые, проявляя необыкновенные способности к устному счету, оказываются весьма малоспособными к изучению математики.

Неуклонное требование П.Л. Чебышевым обеспечения научности в обучении сочеталось у него с поощрением поисков наиболее рациональных путей изложения учебного материала.

В годы деятельности П.Л. Чебышева в Министерстве народного просвещения в русскую школу стал проникать из Германии метод монографического изучения чисел, разработанный Грубе. Первым

пропагандистом этого веяния в России был И.И. Паульсон, который изложил «арифметику по способу немецкого педагога Грубе» на страницах журнала для воспитания. Затем она была выпущена отдельной книгой и за несколько лет выдержала 12 изданий.

Метод Грубе стал популярным среди значительной части обучающих на протяжении двух десятков лет благодаря тому, что его применение крайне упрощало работу преподавателя. Эта работа сводилась к простому воспроизведению многочисленных и однообразных числовых комбинаций.

Но метод Грубе уводил ребенка от жизни. Изучение количественных отношений действительного мира подменялось созерцанием числа. Скучное однообразие уроков арифметики убивало всякий интерес к предмету. Этот метод наносил серьезный ущерб ознакомлению детей с арифметическими действиями.

Однако в период бурного увлечения грубеизмом очень многими принималось на веру, что «созерцание чисел» спасает преподавание арифметики от многочисленных недостатков. В создавшейся ситуации необходимо было убедить широкие массы учительства, что нашумевшее методическое течение несостоятельно, что следование за ним оправдать нельзя, так как оно не приводит к подлинному знанию предмета. И П.Л. Чебышев как официальный представитель Министерства решил обратиться для решения этой задачи к эксперименту.

В 1864 г. ему было предложено дать отзыв на «Первый курс арифметики, составленный по методу Грубе» старшим учителем 1-й харьковской гимназии Ладовским. Этот курс был представлен министру народного просвещения попечителем Харьковского учебного округа для утверждения в качестве руководства в приходских и уездных училищах округа. В своем донесении попечитель, в частности, ссылался на полное одобрение книги Ладовского профессором университета Бейером, утверждавшим, что она принесет низшим учебным заведениям огромную пользу.

П.Л. Чебышев признал, что Ладовский вполне удовлетворительно справился с поставленной перед собой задачей, но отметил, что переход на обучение по системе Грубе «требует большой осторожности». П.Л. Чебышев внес следующее предложение: «Прежде обязательного введения этой методы и вместе с тем курса Ладовского во все низшие училища Харьковского округа полезно было бы ограничиться сначала введением этого курса в одни училища Харьковской губернии, директор которых особенно ходатайствует о введении курса г. Ладовского в училищах ему подведомственных, и предложить этому директору наблюдения свои относительно успешности в его училищах новой системы преподавания начал арифметики сообщить Ученому комитету» (с. 350).

В 1865 г. П.Л. Чебышеву необходимо было дать отзыв на второй курс «Арифметики» Ладовского. Но к этому времени Ученый комитет уже располагал единогласным отзывом учителей уездных училищ «касательно неудобоприменимости первого курса арифметики г. Ладовского». Из опыта преподавания было установлено, что ученики, обучаясь по методу Грубе, не приобретают знаний, которые необходимы в жизни, а некоторые из них забывают даже сложение. Ссылаясь на плачевные результаты эксперимента и указав на значительные недостатки в изложении второго курса арифметики Ладовского, П.Л. Чебышев сделал вывод, что «этот курс не может быть признан полезным руководством в уездных училищах». Рецензируя в том же году первый выпуск третьего курса «Арифметики» Ладовского, П.Л. Чебышев не поддержал просьбу попечителя Харьковского учебного округа «о внесении означенного выпуска арифметики г. Ладовского в список учебников, предназначенных к употреблению в средних учебных заведениях». Со всей категоричностью П.Л. Чебышев писал, что «арифметика г. Ладовского лишена той точности и ясности в изложении, которые составляют необходимое условие хорошего учебника, а потому я считаю невозможным внести ее в список учебников, предназначенных к употреблению в средних учебных заведениях» (с. 357).

Явно отрицательные результаты преподавания по учебнику Ладовского заставили П.Л. Чебышева критически отнестись и к принципиальным установкам системы обучения Грубе, которой придерживался Ладовский. Рецензируя в 1872 г. «Методику арифметики» В.А. Евтушевского, несколько ослабившего и завуалировавшего методологическую порочность построений Грубе, П.Л. Чебышев заявил, что рассматриваемое сочинение не свободно от противоречий. Эти противоречия он усматривал, в частности, в том, что автор рассчитывал на получение от учеников ответов на такие вопросы, для решения которых они не обладают достаточными математическими средствами. Цитируя методику В.А. Евтушевского, П.Л. Чебышев писал: «На следующей странице (129) автор приступает к изложению упражнений при изучении отдельных чисел первого десятка. После общеизвестного образования чисел прибавлением 1 к числу предшествовавшему он говорит о разложении чисел на слагаемые, о приведении этих разложений в систему и об определении числа их (с. 131). Но на все это, как известно, арифметика не имеет надлежащих средств, и г. Евтушевский в книге своей не говорит, каким образом можно безошибочно доходить до решения этих вопросов».

В учебниках и задачниках, построенных в соответствии с методом Грубе, указывал П.Л. Чебышев, расположение задач «строго сделано по величине чисел; но зато трудности задачи не всегда следуют в надлежащем порядке» (с. 374). Другими словами, максимум своих усилий при

распределении задач последователи Грубе направляют на относительно несущественное - на переход от оперирования с натуральным числом п к числу п+1, а специфические трудности, связанные с решением задач разных видов, почти не учитываются, а потому в предлагаемой ими системе упражнений трудные задачи довольно часто предшествуют более легким. Из сказанного П.Л. Чебышевым ясно, что он отчетливо осознавал ошибочность утверждения Грубе - Евтушевского о доступности непосредственному созерцанию («осязательному пониманию» Евтушевский) чисел в пределах первой сотни. Его отрицательный отзыв на «Методику арифметики» Евтушевского явился первым по времени внушительным ударом против так называемого «метода изучения чисел» в нашей стране. Резко критические отзывы в печати, как известно, последовали несколько позже (начало им положила знаменитая статья «О народном образовании» Л.Н. Толстого, опубликованная в № 9 «Отечественных записок» за 1874 г.).

Мысли великого русского математика П.Л. Чебышева сыграли немалую роль в формировании передовых идей русской и советской методики математики, и они несомненно достойны самого серьезного внимания современного учителя.

Фрагмент из книги В.М. Брадис, В.Л. Минковский, А.К. Харчева «Ошибки в математических рассуждениях». М.: Учпедгиз, 1959. - 176с.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Книга В.М. Брадиса и А.К. Харчевой «Ошибки в математических рассуждениях», изданная в 1938 году и давно исчезнувшая из продажи» имела в свое время значительный успех среди учителей. По договоренности с авторами я предпринял ее переработку для переиздания. При подготовке нового издания использована моя статья «Опыт классификации упражнений на опровержение ложных математических рассуждений», напечатанная в 1956 году в «Ученых записках кафедр физико-математического факультета Орловского государственного педагогического института» (том XI, вып. II, стр. 122-148), исключены некоторые менее удачные разделы первого издания книги, добавлено несколько новых ошибочных рассуждений, а разъяснения вынесены в отдельные разделы соответствующих глав.

В предлагаемой вниманию читателя книге «Ошибки в математических рассуждениях» ложные доказательства расположены по предметно-классификационному принципу. Это означает, что традиционное деление материала на арифметический, алгебраический, геометрический и тригонометрический сохранено, но внутри названных разделов школьного курса математики осуществлено распределение предлагаемых упражнений в соответствии с изложенной в первой главе классификацией.

При составлении настоящего сборника авторами были использованы различные источники, в том числе:

Обреимов В.И., Математические софизмы, изд. 3, Пб., 1898. Горячев Д.Н. и Воронец А.М., Задачи, вопросы и софизмы для любителей математики, М., 1903.

Лямин А.А., Математические парадоксы и интересные задачи, М., 1911.

Лянченков М.С., Математическая хрестоматия, Пб., 1911-1912.

Надеюсь, что лица, ознакомившиеся с книгой и имеющие замечания, не откажутся поделиться ими, направляя их в редакцию математики Учпедгиза, по адресу: Москва, И-18, 3-й проезд Марьиной рощи, дом 41.

В.Л. Минковский

Фрагмент из главы II «Арифметика. Примеры ложных рассуждений», С.-41-55

11. Новое правило умножения дробей.

Один ученик заявил своему учителю математики: «Я нашел новое правило умножения смешанных чисел, гораздо более простое и понятное, чем то, которое вы нам объяснили и о котором пишут в учебниках. Дело в том, что при сложении смешанных чисел надо отдельно складывать целые и отдельно дроби; например:

То же самое делается и при вычитании: из целых вычитаем целые, из дроби - дробь, в случае надобности делаем «заем»; например:

Очевидно, так же надо поступать и при умножении смешанных чисел: надо целые умножить на целые, дробь на дробь; например:

Мое правило и проще для применения, и более понятно, чем ваше». В самом деле, нельзя ли производить умножение смешанных чисел так, как предлагает юный изобретатель?

12. Куда делся рубль?

В ларьке было две корзины с грушами, в каждой по 150 штук. Цена на груши определялась следующим несколько своеобразным расчетом: из первой корзины груши должны продаваться по рублю за десяток, а из второй корзины по рублю за полтора десятка. Таким образом, за все груши первой корзины надо было получить 150:10=15 (руб.), за все груши второй корзины 150:15=10 (руб.), а всего 25 руб.

Продавец рассудил, что, взяв из первой корзины десяток груш, а из второй - полтора, он должен продать 2 десятка груш за 2 руб. Поэтому он смешал груши из обеих корзин вместе и продавал эти 150-2=300 (груш) по 2 руб. за 2 десятка. В результате получил 2 (300:25)=24 (руб.), т.е. на 1 руб. меньше предполагаемой суммы выручки. Куда делся рубль?

13. Откуда появился лишний гривенник?

В буфете было две корзины с грушами разных сортов, по 60 штук в каждой. За этот товар предполагалось получить 9 руб. 50 коп. при следующем несколько необычном расчете: 30 коп. за 4 груши из первой корзины и 50 коп. за 6 груш из второй корзины.

Однако буфетчица для упрощения своей работы решила смешать груши обоих сортов и продавать десяток смеси за 80 коп.

Но в результате продажи груш денег оказалось на гривенник больше: не 9 руб. 50 коп., а 9 руб. 60 коп. Откуда появился этот лишний гривенник?

14. Завещание отца.

По завещанию умершего родителя три сына должны были поделить между собой табун в 7 лошадей так, чтобы старшему досталась половина табуна, среднему - четвертая часть, а младшему - восьмая.

Завещание отца весьма смутило наследников. В самом деле, его реализация была связана с необходимостью резать лошадей на части.

Однако выход из затруднительного положения нашелся. Старик сосед, присоединив к подлежащему разделу табуну своего коня, предложил, к удивлению братьев, приступить к разделу.

В результате его осуществления старший сын получил четыре лошади, средний - две, а младший - одну. Что же касается лошади соседа, то в ней теперь потребность миновала, и она с благодарностью была возвращена своему мудрому хозяину.

Таким образом, выходит, что завещание отца допускает решение и в целых числах.

Так ли это?

15. 2-3=4.

Некто взялся доказать, что 3 раза по 2 будет не 6, а 4. Выполняя свою странную затею, он взял в руки обыкновенную спичку и попросил присутствующих внимательно следить за ходом его мысли.

- Переломив спичку пополам, - заявил странный математик, - будем иметь один раз 2. Проделав то же самое над одной из половинок, будем

иметь второй раз 2. Наконец, проделав эту же операцию над второй из половинок, получим третий раз 2.

Итак, беря три раза по два, мы получили четыре, а не шесть, как принято обычно думать.

Укажите заблуждающемуся на его ошибку.

АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ

11. Рассмотрим задачу: если человек проходит по 2 км в час, то сколько он пройдет за 4 часа? Решим эту задачу, не пользуясь никаким правилом умножения дробей, ни старым, ни новым.

За час человек пройдет 2 км или 6500 м, за 2 часа 6500-2=13000 (м), за четверть часа 6500:4=1625 (м), а всего за 4 часа 13000+1625=14625 (м), или 14 км 625 м, или 8 км>

Казалось бы, задачу эту можно решить одним действием - умножением 2 на 4 я Действительно, при любом целом числе часов пройденный путь равен пути, пройденному в 1 час, повторенному столько раз, сколько часов продолжалось движение, т.е. равен произведению 2 на число часов. Естественно ожидать, что и при дробном числе часов результат должен получаться посредством того же действия умножения.

Но если принять новое правило умножения, то произведение 2 на 4 , как мы видели выше, оказывается равным 8 а не 8 , как должно быть. Обычное же правило умножения в настоящем случае дает:

т.е. именно тот результат, который мы получили выше, обходясь без дробей (посредством раздробления километров в метры).

Итак, «новое правило» умножения смешанных чисел приходится забраковать. Но интересно выяснить, почему сложение (и вычитание) смешанных чисел можно выполнять, складывая (и вычитая) отдельно целые и отдельно дроби, а умножение выполнять таким образом (т.е. умножая целое на целое, а дробь на дробь) нельзя.

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, нужно это третье число прибавить к одному из слагаемых, оставляя другое неизменным.

Например, чтобы к 8+5 прибавить 2, мы должны взять либо (8+2)+5=10+5, либо 8+(5+2)=8+7. В обоих случаях получается правильный результат (15). Мы имеем здесь формулу: (а + Ъ) + с = а + (Ъ + с\ выражающую так называемое «сочетательное» свойство суммы. Используя «переместительное свойство» суммы {а + Ъ = Ъ + а\ мы получим (а + Ь)+с = (Ь + а)+с = Ь + (а + с) = (а + с) + Ь и придем к другому выражению «сочетательного свойства» суммы: (а + Ъ)+с = (а + с) + Ъ.

Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, надо умножить на это третье число один из сомножителей, оставляя второй неизменным. Например, чтобы умножить 3*4 на 5, надо взять либо (3'5)-4=15-4, либо 3(4-5)=3-20. В обоих случаях получается правильный результат (60). Здесь имеем формулу: (a'b)-c = а-{Ъ-с\ ВЫражаЮщуЮ «сочетательное» свойство произведения.

Мы рассмотрели случаи, когда дважды выполняется одно и то же действие: два раза сложение или два раза умножение. Теперь возьмем случай, когда выполняется сначала сложение, затем умножение. Чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, оказывается, нельзя ограничиться умножением одного лишь из данных чисел: надо умножить каждое слагаемое. Например, чтобы умножить на 5 сумму 3+4, нельзя взять 3-5+4=15+4=19 или 3+4-5=3+20=23 необходимо взять 3-5+4-5=15+20=35. Таким образом, здесь нельзя ограничиться простым сочетанием третьего числа с одним из двух первых. Здесь второе действие (умножение) как бы распределяется между двумя числами, над которыми производится первое действие (сложение). Говорят, что произведение суммы обладает распределительным свойством, которое выражается формулой: (<* + Ь)-с = ас + Ьс.

Итак, прибавляя к сумме двух чисел третье число, мы должны применять сочетательное свойство, а умножая сумму двух чисел на третье число, должны применять распределительное свойство.

Теперь вернемся к действиям над дробями. Всякое смешанное число можно рассматривать как сумму двух чисел, целого и правильной дроби, например, 2 2 Складывая два смешанных числа, например, 2 и мы можем прибавить к 2 сначала 2, потом 4 я Чтобы прибавить к число 2, мы увеличим на 2 первое слагаемое (6), а второе оставим без изменения. Получим 2 К этой сумме двух

слагаемых + и 2 остается прибавить еще 4 Пользуясь еще раз сочетательным свойством, оставим первое слагаемое (6+2) без изменения, а второе увеличим на 4 Окончательно имеем:

Рассмотрим умножение смешанных чисел

Чтобы умножить

на

мы должны, используя распределительное свойство, умножить на 4 как первое слагаемое (6), так и второе слагаемое , а затем произведения сложить:

Но для получения произведения 4 или 4 или v *J опять используем распределительное свойство

Точно так же поступаем и для получения произведения 2 4 5 а именно:

В конце концов оказывается, что наше произведение двух смешанных чисел равно сумме четырех частных произведений, а именно:

Теперь ясно, что, умножая целое на целое и дробь на дробь, мы получаем не все произведение, а лишь часть его: теряются второе и третье частные произведения

т.е. произведение целой части первого сомножителя на дробную часть второго и целой части второго на дробную часть первого.

Черт. 12.

Применяя умножение для вычисления площади прямоугольника по основанию и высоте, мы можем очень наглядно представить все четыре частных произведения, входящие в произведение двух смешанных чисел.

Взяв, например, прямоугольник со сторонами 2И 4 видим (черт. 12), что его площадь состоит из 4 частей: большого прямоугольника со сторонами 6 и 2, узкой длинной полоски - прямоугольника со сторонами 6 и 4 более широкой полоски справа - прямоугольника со сторонами 2 и 2, маленького прямоугольника со сторонами 2 и 4 а Площадь большого прямоугольника содержит 12 квадратов (кв. единиц), площадь узкой длинной полоски - 6 четвертей квадрата, или 4 2 квадрата, площадь полоски справа - две половины, или 1 целый квадрат, а площадь маленького прямоугольника есть половина одной четверти, или одна восьмая квадрата. Всего имеем квадрата, как и должно быть.

Если обозначить целые и дробные части обоих сомножителей буквами, то мы получим не что иное, как известное из курса алгебры правило умножения двучленов : {a + b)\c + d) = ac + bc + ad + bd, наглядно изображенное на чертеже 13.

Черт. 13.

12. Из второй корзины (15 груш на 1 руб.) продавец мог брать по 15 штук всего 10 раз. Добавляя к каждым 15 грушам по 10 штук из первой корзины (10 груш на 1 руб.), он вынет из нее только 100 груш. Составленные таким образом десять совокупностей по 25 груш он продаст за 20 руб. После этого останется 50 груш только из первой корзины; из них каждый десяток груш он должен был продавать по рублю и получить за все 50 груш 5 руб.; на самом же деле он эти 50 груш продал за 4 руб. (по 2 руб. за 25 штук) и, таким образом, потерпел 1 руб. убытка.

Разъясняя этот софизм, надо напомнить ученикам и правильный расчет стоимости 25 груш в случае продажи смеси.

Так как стоимость 150 груш, находящихся в первой корзине, составляет 15 руб., а стоимость 150 груш, находящихся во второй корзине, составляет 10 руб., то стоимость каждой груши смеси составит 15 + 150 300 12 (руб.). Следовательно, стоимость 25 груш составит ±•25=25 12 (руб.). Всего же совокупностей по 25 груш из множества груш двух корзин можно выделить 300:25=12. При их продаже будет выручено 12 (руб.), т.е. столько же, что и при раздельной продаже по различным ценам.

В анализируемом рассуждении мы столкнулись с отклонением от тезиса: под видом изменения способа решения одна задача заменена другой, не равносильной первой.

Задача, эквивалентная первоначальной, формулируется так: «Каждые 25 груш, составленные из 10 груш первой корзины и 15 груш второй, продаются по 2 руб.; остаток груш первой корзины продается по ранее установленной для них цене».

В ошибочном же рассуждении исходная задача подменена следующей, ей не эквивалентной: «150 груш одного сорта, стоящие 15 руб., и 150 груш другого сорта, стоящие 10 руб., решили смешать и продавать по 2 руб. за 25 штук. Какая сумма будет выручена при реализации груш по указанной цене (сопоставить с первоначально установленной стоимостью этого товара)?»

13. В этом рассуждении допущена та же самая ошибка, что и в рассуждении п. 12.

Оно предназначено для самостоятельного опровержения учащимися, которое становится им доступным на основе предварительного анализа подобного же рассуждения под руководством учителя.

14. В завещании умершего родителя допущена оплошность. В самом деле, сумма долей 2 4 8 составляет 8 9 а не единицу. Точное выполнение

завещания предполагает передачу старшему сыну 2 голов табуна, среднему 4 и младшему 8 Это в сумме составит 8 8 а 8 от одной лошади остаются вне требований раздела.

Старик сосед своими действиями подсказал такую подмену тезиса завещания, благодаря которой бралось 8 не от 7, а от 8 единиц. Однако такое решение вопроса неточностью реализует завещание, так как старший сын получил больше на 22 лошади, средний на 4 4 а младший на 88 Эти прибавки в своей сумме исчерпывают оставшиеся вне раздела 8 от одной лошади.

15. В рассуждении допущено уклонение от тезиса: вопрос о числе, составляющем произведение двух единиц на три, подменен вопросом о числе обломков спички, полученных в результате определенного процесса, привлеченного для ложной иллюстрации анализируемого рассуждения.

Мы называем иллюстрацию ложной потому, что в ней в качестве множимого сначала выступают две половины от целой спички, а затем две четверти от той же спички.

7. Список литературы:

1. Болгарский Б. В., Ветров В. В. Владимир Львович Минковский (К 60-летию со дня рождения)// Математика в школе. - 1971. - №5. - С.91-92.

2. Больсен Е. Геометрия жизни. // «Учительская газета» - №109 (6399).- 18.09.1971.

3. Брадис В.М., Минковский В.Л., ХарчеваА.К. Ошибки в математических рассуждениях.- М.: Учпедгиз, 1959.- 176 с.

4. Буняковский В.Я. Письмо об арифметическом отделе «Азбуки» Л.Н. Толстого./ Публикация В.А. Добровольского и В.Л. Минковского.// Историко-математические исследования. - 1959. Вып. XII.-C.505-511.

5. Ветров В.В., Александрова Г.А., Муромцева Л.И. Поиск истины и совершенства.// Газ. «За педагогические кадры». - №25(372). -24.09.1971.

6. Ветров В.В., Катанов В.М. Вдохновение. //«Орловская правда». - №226 (14863). - 24.09.1971.

7. Ветров В.В., Муромцева Л.И. Владимир Львович Минковский. Некролог.// Математика в школе. - 1978. - №4. - С.95.

8. Добровольский В.А., Минковский В.Л. Л.Н. Толстой -педагог-новатор.// Народное образование. - 1960. - № 11.

9. Добровольский В.А., Минковский В.Л. Примечания к письму В.Я. Буняковского. // Историко-математические исследования. - 1959. Вып. XII.-С.511-524.

10. Иножарский В.К., Минковский В.Л. О научно-популярной книге по математической логике для школьников.// Математика в школе. — 1964. -№3.-С.89-90.

11. Колягин, Ю. М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. Ч.Ш. Вторая половина XX века и начало XXI века [Текст] / Ю. М. Колягин, О. А. Саввина, О. В. Тарасова. - 3-е изд. -Орел.: ООО Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. - 273 с.

12. Минковский В. Л., Ветров В. В. Новая книга о П. Л. Чебышеве. // Математика в школе. - 1978. - № 1. - С. 89-90.

13. Минковский В.Л. В. М. Брадис и А. К. Харчева «Ошибки в математических рассуждениях» Учпедгиз, Москва, 1938.// Математика в школе. - 1939. - №3. - С.73-74.

14. Минковский В.Л. Василий Алексеевич Латышев.// Математика в школе. - 1975. - №5. - С.81-83.

15. Минковский В.Л. Василий Иванович Обреимов.// Математика в школе. - 1951. - №5. - С. 68-71.

16. Минковский В.Л. Владимир Николаевич Молодший.// Математика в школе. - 1976. - №1. - С.83-84.

17. Минковский В.Л. Выдающийся деятель математического просвещения уральский педагог и революционер В.И. Обреимов.//Материалы VIII научно-методической конференции математических кафедр педагогических и учительских институтов Урала. -Пермь, 1951.

18. Минковский В.Л. Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской (К 100-летию со дня рождения).// Математика в школе. - 1976. - №4. -С.80-82.

19. Минковский В.Л. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 6 класса. - М.: Просвещение, 1966. - 118 с.

20. Минковский В.Л. К вопросу о создании руководства по истории методики математики в России.// Математика в школе. - 1951. -№6.-С.77-79.

21. Минковский В.Л. К вопросу о создании руководства по истории методики математики в России.// Математика в школе. - 1951. -№5.-С. 68-71.

22. Минковский В.Л. К пятидесятилетию научно-педагогической деятельности профессора Д.Д. Мордухай-Болтовского.// Математика в школе. - 1949. - №2.

23. Минковский В.Л. К.Д. Ушинский о начальном обучении математике.// Начальная школа. - 1974. - №2. - С.60-63.

24. Минковский В.Л. Математические софизмы и их педагогическая роль.// Математика в школе. - 1946. - №5-6. - С.49-56.

25. Минковский В.Л. Методико-математические идеи Д.И. Писарева (К 125-летию со дня рождения).// Математика в школе. -1965.-№5.-С.85-87.

26. Минковский В.Л. Методико-математические идеи Д.И. Писарева. // Историко-математические исследования. - 1966. Вып. XVII.-C.391-395.

27. Минковский В.Л. Научно-атеистическое воспитание учащихся в связи с преподаванием математики.// Математика в школе. - 1957. - №6. -С.22-27.

28. Минковский В.Л. Новый том научного наследия Н.И. Лобачевского.// Математика в школе. - 1977. - №2. - С.86-88.

29. Минковский В.Л. О книге А.А. Колосова «Книга для внеклассного чтения по математике для учащихся VIII класса».// Математика в школе. - 1959. - №5. - С.77-80.

30. Минковский В.Л. О книге С. А. Гастевой, Б. И. Крельштейна, С. Е. Ляпина и М. М. Шидловской «Методика преподавания математики».// Математика в школе. - 1956. - №5. - С.75-77.

31. Минковский В.Л. О методике преподавания математики в начальных классах.// Начальная школа. - 1974. - №3. - С.79-81.

32. Минковский В.Л. О методико-математических воззрениях Н.Н. Лузина (к 80-летию со дня рождения) //Математика в школе. - 1963. -№6.-С.65-68.

33. Минковский В.Л. О необходимости восстановления в учебном плане обязательного курса «История математики».// Материалы 27-й межвузовской научной конференции математических кафедр педагогических институтов Уральской зоны. - Ижевск, 1969, С.309-311.

34. Минковский В.Л. О сборнике упражнений по методике математике для заочников.// Математика в школе. - 1968. - №5. - С.93.

35. Минковский В.Л. Об одной попытке избежать доказательства от противного в русской методической литературе.//Ученые записки Тюменского пединститута. - Вып.1.- Пермь, 1939.

36. Минковский В.Л. Об одном приеме борьбы с ошибками учащихся по алгебре.// Математика в школе. - 1948. - №4. - С.30-32.

37. Минковский В.Л. Об очерке истории математического образования в Белоруссии.// Математика в школе. - 1976. - №6. - С.87-89.

38. Минковский В.Л. Об элементах эстетического воспитания на уроках математики.// Математика в школе. - 1963. - №4. - С.25-30.

39. Минковский В.Л. Опыт классификации упражнений на опровержение ложных математических рассуждений. //Орловский государственный педагогический институт. Ученые записки кафедр физико-математического факультета. Том XI, вып.II, 1956. - С. 122-147.

40. Минковский В.Л. Очерк логических основ методов математического доказательства.// Математика в школе. - 1949. - №5. -С.1-9.

41. Минковский В.Л. Очерк логических основ методов математического доказательства. //Сборник «Вопросы преподавания математики в средней школе». Под ред. П.В. Стратилатова. - М.:Учпедгиз, 1961.- С.145-159.

42. Минковский В.Л. П.Л. Чебышев и его взгляды на начальное обучение математике.// Начальная школа. - 1974. - №2. - С.69-72.

43. Минковский В.Л. Педагогические идеи и деятельность академика А.А. Маркова.// Математика в школе. - 1952. - №5. - С. 10-16.

44. Минковский В.Л. Первая книга по методике начального обучения математике для высшей педагогической школы.// Начальная школа. - 1973. - №6. - С.87-88.

45. Минковский В.Л. Рассказ шестиклассникам об Иване Петрове.// Математика в школе. - 1965. - №1. - С.57-58.

46. Минковский В.Л. Справочник по элементарной математике М.Я. Выгодского как книга для учителей // Советская педагогика. - 1947. -№4.

47. Минковский В.Л. Упражнения на отрицание в преподавании математики.// Математика в школе. - 1967. - №5. - С.57-60.

48. Минковский В.Л., Ветров В.В. «Задач пришла с картинки».// Народное образование. - 1976. - №3. - С. 100-102.

49. Минковский В.Л., Ветров В.В. О курсе истории математики в педвузах.// Математика в школе. - 1977. - №5. - С.70-71.

50. Минковский В.Л., Ветров В.В. Специальное пособие для учителей по началам анализа.// Математика в школе. - 1974. - №2. - С.88-89.

51. Минковский В.Л., Ветров В.В. Специальное пособие для школьников по началам анализа.// Математика в школе. - 1971. - №3. -С.89-90.

52. Минковский В.Л., Габинский Г.А. Некоторые материалы по атеистическому воспитанию на уроках математики.// Математика в школе. - 1972.-№5.-С.19-26.

53. Минковский В.Л., Муромцева Л.И. СИ. Шохор-Троцкий (К 125-летию со дня рождения) //Математика в школе. - 1978. - №1. - С.84-86.

54. Фаермарк Д.С. Задача пришла с картинки. - М.: Наука, 1974. - 160 с

55. Физико-математический факультет Орловского государственного педагогического института - университета: 1931 - 2007. Путеводитель по музейной экспозиции. Типография ГОУ ВПО «ОГУ», Орёл, 2008.- 117 с.

Содержание:

Предисловие.................................................... 3

1. Основные этапы жизненного пути...................... 4

2. Д.Д. Мордухай-Болтовской - учитель В.Л. Минковского (авт.Пырков В.Е.)................... 32

3. Работа в Орловском государственном педагогическом институте.................................. 48

4. Переписка с коллегами...................................... 92

5. Воспоминание о Владимире Львовиче Минковском учеников и коллег.......................... 102

6. Публикации Владимира Львовича Минковского.. 140

7. Список литературы............................................ 272

Научное издание

Минковский Владимир Львович - педагог, историк, методист (к 100-летию со дня рождения)

Автор-составитель Тарасова Оксана Викторовна

Подписано в печать 20.06.2011 г. Формат 60x80 1/8 Печать оперативная. Бумага офсетная. Гарнитура Times Объем 34,6 усл. неч. л. Тираж 500 (1-й завод 1-100 экз.) Заказ № 60

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе редакционно-издательского отдела ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет» 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95, Тел. (4862) 74-45-08

ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ